Р. С. ГУТЕР, А. Р. ЯНПОЛЬСНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве
учебного пособия для студентов высших
технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976

517.2
Γ97
УДК 517.25 (075)
Рецензент: кафедра алгебры и теории функций
Московского авиационного института
Гутер Р. С. и Янпольский А. Р.
Г97 Дифференциальные уравнения. Учеб. пособие
для втузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Высш.
школа», 1976.
304 с. с ил.
Книга представляет собой учебное пособие по обыкновенным
дифференциальным уравнениям для студентов втузов.
В ней излагаются общие теоретические сведения о
дифференциальных уравнениях и методы интегрирования отдельных типов
уравнений первого и высших порядков, а также систем дифференциальных
уравнений. Изложение сопровождается многочисленными обстоятельно
разобранными примерами. Большое внимание уделено задачам из
геометрии, механики, физики и техники, требующим составления и
решения дифференциальных уравнений.
Предназначается для студентов высших технических учебных
заведений.
„ 20203—025 517.2
Г 51—76
001 (01)—76
© Издательство «Высшая школа», 1976 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко второму изданию . 5
Из предисловия к первому изданию 5
Введение 6
Глава I
Дифференциальные уравнения
первого порядка
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной. Общие сведения 13
§ 2. Разделение переменных 16
§ 3. Дифференциальные уравнения, однородные относительно
χ и у и приводящиеся к ним 50
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся
к ним 56
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель 70
§ 6. О составлении дифференциальных уравнений ....... 78
§ 7. Дополнительные сведения о дифференциальных
уравнениях первого порядка 84
§ 8, Приближенные методы решения дифференциальных
уравнений 88
§ 9. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно
производной. Задача об изогональных траекториях .... 100
Глава II
Понижение порядка дифференциальных
уравнений
§ 10. Уравнения высших порядков. Общие сведения ...... 121
§11. Типы уравнений, допускающих понижение порядка ... 123
§ 12. Физические примеры. Некоторые задачи механики и
сопротивления материалов . 129
Глава III
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков
§ 13. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейный дифференциальный оператор 156
§ 14. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
и его применения 161

Стр.
§ 15. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами 168
§ 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения . . 176
§ 17. Уравнение Эйлера 190
§ 18. Физические примеры. Гармонические колебания. Резонанс 192
§ 19. Простейшие сведения о краевых задачах 216
§ 20. Линейные уравнения с переменными коэффициентами . . 221
Глава IV
Понятие о системах
дифференциальных уравнений
§ 21. Нормальные системы дифференциальных уравнений . . . 233
§ 22. Линейные системы с постоянными коэффициентами .... 239
§ 23. Физические и другие примеры 244
§ 24. Геометрическое истолкование решения системы
дифференциальных уравнений. Понятие о фазовом пространстве . . . 264
§ 25. О численном решении систем дифференциальных уравнений 271
Глава V
Операционные методы решения
дифференциальных уравнений
§ 26. Необходимые сведения из операционного исчисления . . . 274
§ 27. Применение операционных методов к решению
дифференциальных уравнений и систем 285
§ 28. Физические и другие примеры 293
Предметный указатель 301

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Несмотря на то, что со времени выхода первого издания книги
прошло четырнадцать лет, основное методическое направление
ее осталось прежним: мы стремились научить читателя не только
(а, быть может, даже не столько) решать дифференциальные
уравнения, но и составлять их. По этой причине число
примеров, взятых из различных областей приложений математики и
требующих составления дифференциальных уравнений и анализа их
решении, во втором издании увеличено.
Кроме этого, во втором издании добавлен некоторый новый
материал. Заново написаны параграфы о краевых задачах, о
линейных дифференциальных уравнениях с переменными коэффициентами
и о понятии фазового пространства, а также глава о применении
операционного исчисления для решения обыкновенных
дифференциальных уравнении. Расширен материал о приближенном решении
дифференциальных уравнений, и систем, хотя здесь мы по-прежнему
ограничились рассмотрением элементарных численных методов.
Большую помощь в работе над рукописью второго издания нам
оказала Т. А. Муратова, которой мы выражаем свою признательность.
Мы благодарим также коллектив кафедры алгебры и теории функций
Московского авиационного института» в особенности Р. Я. Глаголеву,
Г. А. Каменского и П. И. Романовского, и редактора книги А. М. Су-
ходского за внимательное знакомство с рукописью и ряд замечаний
и советов. Наконец, мы считаем необходимым отметить влияние,
которое оказали на нас идеи А. Д. Мышкиса о преподавании
математики во втузах.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу настоящей книги положены лекции, неоднократно
читанные обоими авторами в Военно-инженерной академии им. В. В.
Куйбышева.
От других книг по дифференциальным уравнениям она
отличается тем, что в ней уделяется значительно большее внимание задачам
на составление дифференциальных уравнений.
Мы стремились осветить по возможности более широко
приложения дифференциальных уравнений к различным областям физики
и техники. Поэтому мы рассчитываем, что книга представит интерес
не только для студентов, но также и для инженеров, которые могут
в своей работе встретиться с задачами, связанными с
применением дифференциальных уравнений.
В работе над книгой нам очень помогли советы товарищей.
Мы считаем своим долгом выразить глубокую признательность
М. И. Вишику, Ю. И. Гросбергу, Н. И. Вайсфельду, М. И. Скана-
ви, Г. Л. Лунцу, Е. М. Ландису, Н. К- Мановцевой, В. М. Маку-
шину и редактору книги Н. А. Угаровой за целый ряд сделанных
с их помощью улучшений.
Мы будем благодарны всем читателям, которые захотят сообщить
нам свои замечания.

ВВЕДЕНИЕ
■■ ■■ '■ · ■·
Решение многих задач естествознания и техники
приводится к нахождению неизвестных функций,
описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда
известны соотношения, связывающие между собой эти
функции и их производные. Такие соотношения
называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим
несколько конкретных задач.
Пример 1. Определить давление воздуха в
зависимости от высоты над уровнем моря.
Решение. Обозначим высоту над уровнем моря
через h (м) и давление воздуха через р(Н/м2). Задача
состоит в том, чтобы отыскать функцию
p = p(h), описывающую зависимость
давления от высоты. Рассмотрим
горизонтальную площадку размером 1 м2,
расположенную на уровне моря, и призматический
столб воздуха, опирающийся на эту пло-
щадку. Если мысленно провести сечение
до» три столба на высоте h (рис. 1), то давление
Рис. 1 в этом сечении определится весом части
столба, находящейся над сечением.
Проведем второе горизонтальное сечение на высоте Α, + Δ/ι.
Давление в этом сечении будет меньше на величину Δρ,
равную весу воздуха в столбе между двумя сечениями.
Поэтому можно написать
Δρ = —dAh,
где d — вес одного кубометра воздуха при давлении
р(Н/м2). Но величина d сама пропорциональна давлению.
Действительно, пусть d0 — вес кубометра воздуха при
давлении р0 = 1 (Н/м2). В силу закона Бойля — Мариотта
(pV = pQV0) это же количество воздуха будет
при-давлении ρ занимать объем V = — кубометров и весить по-
прежнему d0(H). Вес d одного кубометра будет тогда
равен d=Y = d0p, или вообще d = /zp, где k — коэффициент

пропорциональности. Таким образом, мы получаем
соотношение
Ар= -kpAh. (1)
Равенство (1) является неточным: здесь предположено,
что во всех сечениях между h и /ι+Δ/ι давление
постоянно и равно р. На самом же деле давление в этих
сечениях различно м падает с увеличением h. Однако
функцию p = p(h) естественно предположить непрерывной,
поэтому ошибка равенства (1) невелика и будет тем меньше,
чем меньше величина Δ/ι. Если разделить теперь обе части
равенства (1) на Δ/ι и перейти к пределу при Δ/ι-*-О,
то ошибка в нем также будет стремиться к нулю, и мы
получим уже точное равенство
%=-*>■ <2>
Равенство (2) есть дифференциальное уравнение,
связывающее неизвестную (искомую) функцию ρ (h) и ее
производную. Решением этого уравнения является функция,
выражающая зависимость давления воздуха ρ от высоты
h. Так как общие методы нахождения решений нам пока
неизвестны, то поступим следующим образом. Рассмотрим
в соотношении (1) высоту И над уровнем моря как
функцию от давления р. Так приходится поступать, например,
при барометрическом нивелировании, когда требуется
определять высоту места по показаниям барометра.
В этом случае, разделив обе части равенства (1) на Δρ
и перейдя к пределу при Δρ->0, получим
dh , Л
или
άρ=~~Τρ @)
Равенство (3) также является дифференциальным
уравнением, но здесь мы имеем простейшую зависимость:
производная неизвестной функции выражается как известная
функция аргумента. Поэтому для нахождения
неизвестной функции h остается только взять неопределенный
интеграл, после чего находим
Л=-|1пр + С1. (4)
— 7 —

Величина Сг представляет произвольное постоянное
интегрирования, которое удобнее для дальнейшего
записать в виде С1 = -£-1пС. Тогда равенство (4) можно
переписать так:
h = j\nj. (5)
Равенство (5) дает выражение для искомой функции
h — h(p), однако это выражение остается ие вполне
определенным вследствие наличия в нем произвольного
постоянного С. Для того чтобы достичь полной определенности,
необходимо знать С, что достигается заданием значения ρ
при каком-либо значении h. В данном случае это удобнее
всего сделать, приняв, что на уровне моря (при Л = 0)
атмосферное давление равно р = р0. Подставив эти
значения в (5), мы получим С = р0, так что окончательно
искомая функция выражается формулой
h = Un^, (6)
k р w
Равенство (6) можно разрешить относительно ρ и тем
самым получить решение первоначально поставленной
задачи. Выражение давления воздуха ρ в зависимости
от высоты h над уровнем моря определится формулой
p = pQe~hh. (7)
Большое количество задач, приводящих к
дифференциальным уравнениям, дает механика. Классической
задачей динамики точки является задача отыскания закона
движения материальной точки, если известны
действующие силы. В этом случае второй закон Ньютона
приводит к дифференциальному уравнению. В зависимости от
действующих сил получаются уравнения самых
различных типов, с которыми мы будем встречаться в
дальнейшем. Рассмотрим* наиболее простую из задач этого типа.
Пример 2. Материальная точка массы т свободно
падает под действием силы тяжести. Найти з,акон
движения точки без учета сопротивления воздуха.
Решение. Возьмем вертикальную ось,
направленную вниз, с выбранной на ней точкой отсчета О.
Положение материальной точки определится координатой
OM = s, изменяющейся в зависимости от времени t
(рис. 2). Запишем второй основной закон динамики

и виде
F = tna,
где /// — масса, а — ускорение точки к F — действующая
сила. По предположению, на точку действует только сила
тяжести, так что F = P = mg, где g—ускорение силы
тяжести. Ускорение о есть вторая производная от пути
по времени, и мы получаем
или
d-s
mdfi
dt~
'"g,
g
(8)
Равенство (8)
циалыюе уравие
представляет собой дифферен-
ие, содержащее вторую
производную неизвестной функции s = s(t). Так
как эта вторая производная оказывается здесь
известной функцией от аргумента (даже
просто постоянной величиной), то искомую
функцию легко получить, произведя дважды
интегрирование по
t. Последовательно находим:
ds
dt
= gt+clt
аР
S=*L + C1/ + Ca.
(9)
(10)
Равенство (10) дает искомый закон
движения, однако, как и в предыдущей задаче, оно
содержит постоянные интегрирования, в
данном случае —два. Их можно определить, зная
положение и начальную скорость точки. Пусть
ный момент (/ —0) скорость точки равна v0t
стояние от точки отсчета О равно s0. Так как
жает скорость, т<? из (9) получаем Ci = u0,
C2 = s0, и закон движения приобретает вид
s = V + ^ + s0.
Μ
Рис. 2
начальное
в началь-
а ее рас-
ds
di Bbipa-
а из (10)
(И)
Рассмотрим еще один пример, относящийся к
геометрии.
Пример 3. Найти уравнение кривой, зная, что
отрезок, который отсекается касательной в произвольной
точке кривой на оси ординат, равен удвоенной ординате
точки касания.

Решение. Возьмем на искомой кривой
произвольную точку Μ (х; у) (рис. 3). Уравнение касательной в
точке Μ имеет вид
У-у = у'(Х-х),
где Χ, Υ — текущие координаты точек касательной, а у' —
производная искомой функции в данной точке. Для
нахождения отрезка ОВ, отсекаемого касательной на оси
Оу, положим Х = 0. Тогда OB = Y = y — xy'. С другой
2у; сравнивая оба выражения
для отрезка ОВ, получаем
уравнение
у-ху' = 2у,
или
ху'+У = 0. (12)
Умножив обе части этого
уравнения на ах, приведем
его к виду, содержащему
дифференциалы:
xdy + ydx=0. (13)
Левая часть уравнения (13) представляет собой
дифференциал произведения переменных d(xy), поэтому
уравнение (13) можно записать в виде
d(xy) = 0,
откуда
ху = С, (14)
где С — произвольное постоянное. Равенство (14) дает
уравнение искомой кривой, которое можно записать
также и в явном виде
У=~- (15)
Уравнение (14), как и (15), представляет, собственно,
не одну кривую, а целое семейство кривых — семейство
равноосных гипербол, асимптотами которых служат
координатные оси (рис. 4). Для выделения одной из кривых
этого семейства необходимо, как и в предыдущих
задачах, задать значение искомой функции для некоторою
значения аргумента. Для данной задачи это эквивалентно
стороны, по условию ОВ
_ 10 -

заданию координат точки, через которую проходит
искомая кривая. П\сть, например, искомая кривая проходит
через точку Λίυ (3; 2), т. е. при дг = 3 функция
принимает значение у = 2. Подставив эти значения в (14) или
в (15), получаем С = 6, поэтому уравнение искомой
кривой имеет вид
ху = 6, (16)
или
0=4- (17)
Приведенные примеры показывают, что одному и тому
же дифференциальному уравнению удовлетворяют, вообще
говоря, многие функции, так что для выделения одной
из них необходимо задание дополнительных условий.
Теперь можно перейти к определению основных понятий.
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
связывающее независимое переменное, неизвестную
функцию и ее производные или дифференциалы различных
порядков.
Примерами дифференциальных уравнений являются
уравнения (2), (8), (12), (13), Во всех этих уравнениях
неизвестная функция является функцией одного аргумента.
Такие дифференциальные уравнения называют
обыкновенными в отличие от уравнений с частными производными.

в которых рассматриваются неизвестные функции,
зависящие от нескольких аргументов. Мы будем рассматривать
только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется
порядок входящей в уравнение старшей производной (или
дифференциала). Так, уравнения (2), (12), (13) являются
уравнениями первого порядка, а уравнение (8) — второго
порядка, так как содержит вторую производную.
В некоторых случаях, когда уравнение является
алгебраическим относительно старшей производной, пользуются
термином «степень уравнения». При этрм степенью
дифференциального уравнения называют наибольший
показатель степени старшей производной, после того как
уравнение приведено к целому рациональному виду
относительно этой производной.
Любая функция
!/ = ф(л"), (18)
которая удовлетворяет данному дифференциальному
уравнению, т. е. обращает его в тождество при замене у и
его производных на φ (χ) и ее производные, называется
решением дифференциального уравнения.
Если функция, удовлетворяющая уравнению, задана
соотношением вида Φ (.v, y) = 0 или параметрически, то
говорят об интеграле уравнения. В этом смысле выражения
(7) и (17) будут решениями соответствующих
дифференциальных уравнений, а выражения (6) и (16) —их
интегралами. Мы не будем строго придерживаться
этих разграничений.
При геометрическом истолковании дифференциального
уравнения приходится рассматривать график его решения,
который называют интегральной кривой уравнения.

ГЛАВА I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Так как левая часть уравнения первого порядка может
зависеть только от х, у и у\ то общий вид
дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,y') = 0. (1)
Обычно уравнение (1) стараются представить в форме,
разрешенной относительно производной:
У'=Нх,У) (2)
или в форме, содержащей дифференциалы:
М{х, y)dx + N(x, y)dy = 0. (3)
От формы (2) легко можно перейти к форме (3) и
наоборот. В самом деле, если в уравнении (2) заменить у' через
-А умножить обе части уравнения на ах и перенести все
члены в одну сторону, то получим
f(x, y)dx — dy = 0,
что представляет собой форму (3), где Μ (х, y)=f(x, у),
а N (ху у) — —1. Наоборот, если перенести первый член
уравнения (3) вправо и разделить обе части уравнения на
N (х, у) dx, предполагая, что N (х, у)=£0, то получим
dy __ _ Μ (χ,, у)
dx N (χ, у)'
т. е. форму (2), где f {х, й = -^|.
— 13 —

Таким образом, формы (2) и(3) совершенно равноправны;
в дальнейшем мы будем пользоваться тон и j них, которая
окажется удобнее для конкретного исследования.
Как уже было указано во Введении, дифференциальному
уравнению удовлетворяет, вообще говоря, целая система
функций. Для выделения одной из них следует указать ее
значение при каком-либо значении аргумента, т. е. задать
условие вида у = у0 при х = х0, которое называют
начальным условием. Часто его записывают в виде
у\х=Хо = у0. (4)
Определение. Решение у = <р(х) [или интеграл
Φ (χ, у) = 0] дифференциального уравнения (2).
удовлетворяющее условию (4) (если это решение существует),
называется частным решением (или частным интегралом)
дифференциального уравнения, удовлетворяющим заданному
начальному условию.
Например, решениеу=6/х дифференциального уравнения
ху' + У = 0 (см. Введение) есть частное решение,
удовлетворяющее начальному условию у\х„3 = 2. Соответственно
ху = 6 есть частный интеграл этого уравнения.
Начальное значение функции у = у0, соответствующее
начальному значению аргумента л=л-0, можно задавать
произвольно. С изменением у0 будет изменяться решение,
которое, таким образом, оказывается функцией не только
аргумента х, но и произвольной величины у0 = С. Впрочем,
решение уравнения может содержать произвольное
постоянное С и не как начальное значение у0.
Определение. Решение у = φ (χ, С) [или интеграл
Ф(х, у, С) = 0] дифференциального уравнения (2),
зависящее от произвольного постоянного С, называется общим
решением (или общим интегралом) дифференциального
уравнения (2), если путем подбора значений произвольного
постоянного из него можно получить частное решение
(частный интеграл), удовлетворяющее любому возможному
начальному условию* у\х=х0=у0·
Практически для определения С следует подставить
в общее решение (общий интеграл) вместо χ и у заданные
значения х0 и у0 и разрешить уравнение #0 = Ψ(*ο· Q
* Под возможным начальным условием подразумеваются
координаты точки, через которую проходит единственная определенная
интегральная кривая, т. е. такое условие, для которого
соответствующее частное решение существует и единственно. Подробнее об этом
см. § 7.
— 14 —

[Φ (χ0, уп, С) — 0] относительно неизвестного С. Пусть С=С0;
тогда частное решение будет y = <p(xf C0) [соответственно
частный интеграл Φ (v, у, Co) = 0].
Геометрически общее решение представляет собой
семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра С.
Частное решение есть одна из интегральных кривых этого
семейства, проходящая через точку М0(х0; у0). Например,
решение у — С/х (семейство гипербол) есть общее решение
уравнения ху' -\-у=0. Если задать начальное условие
£/ U-з = 2, то, подставив в общее решение значения * = 3
и |/=2, находим, что С = 6, и следовательно, из общего
решения у = С/х получаем частное решение у=Ь/х,
удовлетворяющее заданному начальному условию, т. е. получаем
одну гиперболу,
проходящую через точку М0 (3; 2).
Дифференциальное
уравнение (2) может быть
истолковано геометрически
следующим образом.
Пусть у = ср(х, С) есть
общее решение этого
уравнения, т. е. семейство
интегральных кривых в
некоторой области D плоскости
хОу, в которой определена
функция f{x, у).
Уравнение (2) устанавливает
связь между координатами
любой точки Μ (χ; у) области и значением производной в
этой точке. Задавая координаты χ и у точки М, можно
из уравнения (2) найти значение производной, т. е. угловой
коэффициент касательной к интегральной кривой,
проходящей через точку М. Таким образом, дифференциальное
уравнение (2) определяет совокупность направлений или,
как говорят, поле направлений в области D. Изображая
направление в каждой точке области маленькой стрелкой,
выходящей из этой точки, можно построить поле
направлений дифференциального уравнения (2) (рис. 5).
Геометрически задача интегрирования
дифференциального уравнения (2) заключается в нахождении кривых,
которые в каждой своей точке касаются направления,
задаваемого полем.
Поскольку в определении общего решения идет речь
о возможных начальных условиях, естественно возникает
Рис. 5

вопрос о том, в каких случаях можно гарантировать, что
решение, удовлетворяющее данным начальным условиям,
действительно существует и когда можно быть уверенным
в том, что такое решение только одно. Эти вопросы
решаются теоремой существования и единственности, которая
будет рассмотрена в конце настоящей главы вместе с
некоторыми общими методами интегрирования
дифференциальных уравнений (см. § 7).
Перейдем к рассмотрению отдельных типов
дифференциальных уравнений, нахождение общих решений которых
сводится к выполнению обычных операций вычисления
интегралов.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Простейшим дифференциальным уравнением первого
порядка является уравнение в форме, разрешенной
относительно производной, и не содержащее у:
Как известно из курса интегрального исчисления, в этом
случае для нахождения неизвестной функции у достаточно
найти неопределенный интеграл от функции f(x). Общее
решение уравнения (1) запишется в виде *
y=\f(x)dx + C.
Если задано начальное условие y\x=Xa = yQt то можно
вычислить значение С и получить частное решение.
Найдем, например, частное решение дифференциального
уравнения у' = 3х2 — 2х-\-1, удовлетворяющее начальному условию у —2
при х= 1. »
Интегрируя, получаем общее решение
у = х* — хг + х + с.
Для нахождения частного решения положим в общем
решении х=\, у = 2 и определим, что С=1. Следовательно, искомое
частное решение имеет вид
у = х* — *» + *+!.
* Здесь и всюду в дальнейшем символ f будет означать какую-
либо одну первообразную функцию.
— 16 —

Частное решение уравнения (1) с начальным условием
y\x=sX9 — y0 часто бывает удобно записывать в форме
определенного интеграла. Действительно, первообразную можно
записать в виде определенного интеграла с фиксированным
нижним и переменным верхним пределом, например в виде
y = \f(t)dt + C. (2)
Так как при х = х0 этот интеграл обращается в нуль, то
для удовлетворения начальных условий следует положить
С = г/о> следовательно, частное решение уравнения (1),
удовлетворяющее начальному условию у \х=Хо = у0, имеет вид
y = y* + \t(t)dt. (3)
Хо
Дифференциальное уравнение вида
/ιΜώ+/2(ί/)* = 0, (4)
где множителем при dx является функция, которая может
зависеть только от ху но не от у, а множителем при dy—
функция, которая может зависеть только от у, но не от х,
называется уравнением с разделенными переменными.
Предположим, что функция у —у (х) является его
решением. Если вычислить dy — φ' (х) dx и подставить в
уравнение (4) вместо у н dy их выражения φ (χ) и φ' (χ) dx, то,
согласно определению решения, получим тождество
h(x) dx + h[<p{x)W (х) dx = Q,
которое можно проинтегрировать. Таким образом,
S /ι (х) dx + J h [Φ (х)] Ц>'(х)ах = Су (5)
где в левой части содержатся первообразные функции fx (χ)
и f2 [φ (х)] φ' (χ), & произвольные постоянные от обоих
интегралов объединены в одно произвольное постоянное С,
помещенное в правой части.
Второй интеграл можно преобразовать посредством
замены переменного, положив φ (χ) = у. При этом равенство (5)
преобразуется к виду
\h(x)dx + \h(y)dy = C. (6)
Это равенство представляет собой конечное (не
содержащее производных или дифференциалов) соотношение между
χ и у, которому удовлетворяют все решения уравнения (4).

Если какая-нибудь функция у = ц>(х) при подстановке
обращает уравнение (6) в тождество, то
дифференцированием последнего устанавливаем, что она удовлетворяет и
уравнению (4). Следовательно, равенство (6) является
общим интегралом уравнения (4).
Заметим, что равенство (6) может быть получено
непосредственно из (4), если интегрировать первое слагаемое
по х, а второе — по у, т. е. интегрировать каждое
слагаемое так, как если бы у, наряду с х$ было независимым
переменным. Возможность этой операции можно пояснить
также и следующим образом: так как у есть функция от дг,
то слагаемое ft{y)dy есть дифференциал функции от *,
в которой у играет роль промежуточного аргумента. В силу
известной теоремы об инвариантности формы первого
дифференциала этот дифференциал выглядит так же, как если
бы у было независимым переменным. Поэтому каждое из
слагаемых равенства (4) можно интегрировать отдельно по
своему аргументу, что и приводит к равенству (6).
Таким образом, отыскание общего интеграла
уравнения (4) свелось к интегрированию. В некоторых случаях
может оказаться, что интегралы \f\{x)dx или \fz{y)dy
нельзя выразить в элементарных функциях. Мы будем
полагать, однако, и в этом случае задачу интегрирования
дифференциального уравнения решенной в том смысле,
что она свелась к более простой задаче — вычислению
интегралов.
Найдем, например, частный интеграл дифференциального
уравнения
xdx y*dy __n
1 _|_jc2 l-j-^з— *
удовлетворяющий начальному условию у\х^о— 1.
Проинтегрировав, получим
-L in (1 +*2)__1. in (i +y3) = i- In C,
причем для удобства дальнейших преобразований в качестве
произвольного постоянного выбрано выражение -^ In С. Умножая обе части
равенства на 6 и потенцируя, получим общий интеграл
(1 + χψ_
Для нахождения частного интеграла подставим в общий интеграл
* = 0, у=\ и найдем, что С=1/4. Искомый частный интеграл
(1+^)*-4(1+**)3 = 0.
— 18 —

Дифференциальное уравнение вида
^=М')МЙ, (7)
где правая часть представляет собой произведение двух
функций, из которых одна не зависит от у, а вторая не
зависит от х, называется уравнением с разделяющимися
переменными.
Это уравнение интегрируется способом разделения
переменных, сводящим его к рассмотренному выше типу
уравнения с разделенными переменными (4). Для этого
делим обе части уравнения (7) на /2 (у) и умножаем на dx\
мы получим уравнение
dy =h(x)dx,
hiy)
в /котором переменные разделены *.
Проинтегрировав, находим общий интеграл
$ш = 5ьмл+с· (8)
Уравнением с разделяющимися переменными называется
также уравнение в дифференциалах вида
Мх)Ыу)ах + Ь(х)П(у)ау = 0, (9)
поскольку делением на /3 (*) h (У) оно приводится к виду (4).
Его общий интеграл
SfcS*+SMI*-c· <|0>
Если задано начальное условие у\х=Хо==Уо, то частный
интеграл можно найти, либо определив С, либо по
формуле
[см. равенство (3)].
* Если /3(i/) = 0, то уравнение (7) имеет вид у' = 0 и его
решение у~С. Если же /2(ί/) = 0 при каких-либо значениях у = у, то
у = р будет решением уравнения (7) наряду с (8), ибо в этом случае
у' = 0.
^ 19 —

Найдем общий интеграл дифференциального уравнения
V \-y-dx+\ \-х*ау = 0.
Поделив обе части уравнения на произведение \ 1-х-У 1—ι/2,
получим уравнение с разделенными переменными
dx _i_ dy = О
]/ϊ_χ3 γΐ-y*
откуда находим общий интеграл
arcsin χ -f- arcsin у = arcsin С.
Если в последнем равенстве перейти к синусам, то получим
общий интеграл в алгебраической форме
Заметим, что при делении па \' \—у'1 мы могли потерять решения
у—± 1. Непосредственная проверка показывает, что у=± 1
действительно являются решениями.
Начальное условие у\х 0 = 0 дает возможность найти С(С = 0)
и приводит к частному интегралу
Физические примеры
Скорость прямолинейного движения. Если скорость
движения материальной точки направлена по линии
действия силы, то движение материальной точки происходит
прямолинейно. Примем линию движения за ось Ох. Из
второго закона Ньютона получим.дифференциальное
уравнение движения точки
т% = Х. (П)
где ^—ускорение (производная скорости υ по времени t),
т — масса движущейся точки, X — величина силы.
Это уравнение описывает также и поступательное
движение тела, при котором все его точки движутся
одинаково, и потому движение тела можно рассматривать как
движение материальной точки, сосредоточенной в его центре
тяжести, под действием приложенной к центру тяжести
силы.
Пусть сила X задана как функция времени t Х — Х (/),
начальная скорость движения v = v0 при i = t0.
Интегрируя уравнение (11), получим общее решение
t
— 20 —

Произвольное постоянное С определим из начального
условия v = v0 при / = /„; имеем и0 = С и, следовательно,
ι
-mvQ= [ Χ(τ)άτ, (12)
/о
Это решение можно переписать в форме
t
mv
и
выражающей следующий закон: изменение количества
движения точки за конечный промежуток времени равно
импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.
Если функция X зависит от координаты χ точки:
Х = Х(х), и движение начинается с начального
перемещения х = л:0, то, умножая обе части уравнения (11) на dx,
получим
т jtdx = Χ {χ) dx, (13)
или
mv dv = X (x) dx,
dv dv dx dv
так как ,- = ■.- · ,,= ν -,-.
dt dx dt dx
Интегрируя, получим
χ
= [ X(x)dx + C.
mv2
Χα
Из начального условия v = vQ при χ — χ0 определим
произвольное постоянное С:
~2" —ϋ
и, таким образом, получим частный интеграл в виде
χ
- Щ- = \ X (х) dx. (14)
X
mv2
2
Xq
Это соотношение показывает, что изменение кинетической
энергии точки при перемещении ее на расстояние х — х0
равно работе силы на этом участке. Оно очень удобно
в тех случаях, когда сила задана как функция
перемещения, и требуется выразить скорость точки также как
функцию перемещения.
— 21 -

Пример. (Движение пули.) Пуля, двигаясь со
скоростью 1'0 = 4(Ю м/с, пробивает стену толщиной h ~
= 20 см н вылетает из нее со скоростью ^=100 м/с.
Полагая силу сопротивления стены пропорциональной
квадрату скорости движения пули, найти время Τ
движения пули в стене.
Решение. Согласно второму закону Ньютона,
дифференциальное уравнение движения пули имеет вид
m%—k* (15)
(знак минус взят потому, что сила сопротивления стены
направлена в сторону, противоположную направлению
скорости).
Это уравнение с разделяющимися переменными. Раз-
k
делив переменные и обозначив — через klt получим
откуда
= — k-J — C, или — = kit4-C.
ν ν
Из начального условия ν = υ0 при / = 0 находим, что
C=\/v0; поэтому
1 = ^ + -. (16)
Если положить в этом соотношении v = vlt то t = T
и, следовательно, искомое время Τ определяется из
уравнения
iT-Ar + J-.
νΧ ν0
откуда
T=i{±-iY <17>
В полученном для Τ выражении участвует неизвестная
величина kx. Для ее определения перепишем общее
решение (16) так:
<**_ р„
dt ' l-KW
— 22 —

dx
где скорость ν заменена через -^ Из этого уравнения
интегрированием находим, что
x=~\n{\+kxVQt) + Clt
ГЦ
При t = 0 имеем д: = 0 (пуля входит в стену), и потому
Ci = 0; при t = T имеем x — h (пуля выходит из стены),
и потому /i = £-ln (l+kiu0T).
Из равенства (17) находим
1 + ^ОоГ
откуда следует, что 1 +&1а0Т = £>0/£;1· Поэтому выражение
для /г принимает вид
и 1 ι "о 1 *■
Л = т- 1П — . ИЛИ т- =
Подставив найденное значение \/ki в выражение (17),
получим формулу для определения искомого времени Т:
r = -A-fi_iy (18)
Произведя числовые выкладки (положив и0 = 400 м/с,
1^=100 м/с, /г = 20 см), получим ответ: 7 = 0,00108 с.
Реактивное движение. При движении тел с переменной
массой (например, ракет) второй закон Ньютона
неприменим, поскольку он распространяется только на тела
с постоянной массой. В этом случае применяется другое
уравнение, связывающее силу с ускорением.
Пусть в момент времени / материальная точка с
массой m имеет (абсолютную) скорость v. За время At к ней
присоединяются частицы с суммарной массой Am,
имевшие до присоединения скорость и. В момент / + Δ/ точка
и присоединившиеся к ней частицы будут иметь массу
пг-\-Аш и скорость ν + Δν.
Количество движения системы в момент t равно
Q —mv-f-u Am,
а в момент t + At оно стало равным
Q -|- AQ = (ш + Am) (ν + Δν).
- 23 -

Следовательно, изменение количества движения всей
системы за время Δ/ равно
AQ = т Δ ν + (ν — и) Am -f- Am Δν.
Предположим, что масса, как и скорость, непрерывная
и дифференцируемая функция времени. Разделим обе
части равенства на Δ/ и перейдем к пределу при Δ/->-0.
Учитывая, что
получим соотношение
rfQ dv . , ч dm
Ύί="ιΈ + (ν-°ΪΊΤ·
Если равнодействующая внешних сил, приложенных
к точке переменной массы, равна F, то на основании
теоремы о количестве движения имеем уравнение
<t+^-»)w=e· <19>
называемое уравнением Мещерского.
Заметим, что при -т»г>0 масса точки увеличивается
(частицы присоединяются),.а при -,— <С0 — уменьшается
(частицы отбрасываются). При -jt = 0 масса точки
постоянна, и из уравнения Мещерского получается второй
закон Ньютона.
Уравнению Мещерского можно придать вид
d (mv) Fj_„dm /оп\
В частности, при и=0 имеем
d (mv)
dt
= F.
Если ввести вектор относительной скорости
присоединяемых частиц (относительно движущейся точки
переменной массы)
u-v = u0,
то
dv _, . dm /on
m * =F+ж u°· (21)
- 24 -

В частности, при и0 = 0 опять получаем второй закон
Ньютона.
Принято называть ju0 реактивной силой. Если
обозначить ее через R, то уравнение Мещерского запишется
в виде
m% = F + R. (22)
Заметим, что точка переменной массы может двигаться
с ускорением и при отсутствии внешних сил. Когда
F = 0, получаем
Величина реактивной силы
dm
Rl =
at
и.
пропорциональна изменению массы в единицу времени
-5- («секундной массе») и относительной скорости
отбрасываемых или присоединенных частиц.
Пример 1. Ракета с начальной массой М0 движется
прямолинейно под действием отдачи от истечения
непрерывной струи газов, выбрасываемых из ракеты. Скорость
и0 истечения газов (относительно ракеты) постоянна по
величине и направлена в сторону, противоположную
начальной скорости ракеты v0. Найти закон движения
ракеты, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением
воздуха (задача Циолковского о прямолинейном движении
ракеты в пустоте).
Решение. Воспользовавшись уравнением Мещерского
в форме (21) и направив ось Ох в сторону начальной
скорости v0, получим дифференциальное уравнение движения
ракеты в проекции на эту ось:
лл dv dM _
0 dM
Здесь -dr= μ — «секундная масса», расход массы
топлива в секунду; при установившемся процессе горения
топлива μ = const, Μ — переменная масса ракеты.
— 25 —

Разделяя переменные в уравнении (23), получим
откуда
ti = — //,, In Μ -\-C.
Произвольное постоянное С находим из начального
условия ν = υ„, Μ = Μυ при / = U; тогда имеем
С = и0\п M0-\-v0lu потому
t/^/Jn^'+iV (24)
Это формула впервые получена К. Э. Циолковским
и носит его имя (формула Циолковского).
Для нахождения уравнения движения ракеты заменим
ах
в формуле Циолковского ν через -тт; получим
дифференциальное уравнение
ах . м0
^ = //01η-^ + ιν
Проинтегрируем его в предположении, что х = 0 при
/ = 0. Имеем
t
х = и0 ^ In ^ dx + vQt. (25)
о
Если через некоторое время после начала движения,
в момент t = tK, скорость, масса и пройденный путь стали
равными соответственно ν = νκ, Μ = ΜΚ, х = хк, то
формулы (24) и (25) перепишутся так:
vK = u0\n-M0- + v0, (26)
Жк
'к
хк = и0 jj In j£dx + u0tK, (27)
откуда заключаем, что конечная скорость не зависит от
закона изменения массы, а только от начальной скорости
v0 ракеты, относительной скорости и0 истечения газов
и отношения Мк/М0 масс в конечный и начальный момент,
путь же хк зависит от закона изменения массы,
определяемого скоростью сгорания топлива.
— 26 -*

Предположим, что масса ракеты изменяется по
линейному закону
М = М0(\— at), где a = const, a>0.
Тогда
t
о ■
или
t
•"»«SlniH,(ff-aT)dr + ','<'
х = — и0 ξ In (1 — αχ) άτ-\-ν0(.
о
Так как
t
\ In (1 - ατ) dx =— — [(1 - «О In (1 - at) + a/],
о
TO
* = ^ [(1 -at) In (1 -a/) + a/] + t;0/.
Если предположить, что масса ракеты изменяется по
показательному (экспоненциальному) закону
Μ = Μ0β-λ', где λ — const, λ>0,
то
t t
x=u0 \ In —^—dx+Viyt, или x = u0k \ xdx-\-v0t,
и, следовательно,
x^^ + vj. (28)
Законы механики могут быть использованы для
определения величин космических скоростей. Определим
первую космическую скорость иь т. е. скорость, необходимую
для того, чтобы ракета вращалась по круговой орбите
вокруг Земли в виде спутника. Для этого ее
центробежная сила должна быть равна силе притяжения Земли;
следовательно,
MKvf=MKg,
где г —радиус орбиты — расстояние от центра Земли до
движущегося на орбите спутника, а g— ускорение силы
- 27 -

тяжести. Если величину г полагать приближенно равной
радиусу /?, Земли, то
Όχ = yjTrmX~gR3«* V\ 10· 6 400 000 = 8 км/с.
Более точно, ^ = 7,93 км/с.
В случае значительного удаления движущегося по
орбите спутника от поверхности Земли, т. е. при г ^Rг^
необходимо учесть изменение ускорения силы тяжести
с изменением высоты. Из закона тяготения следует, что
тело с массой Λί, отстоящее от центра Земли на
расстояние г, притягивается к Земле с силой F = yMMv'r2, где
ΜΆ — масса Земли. Но так как в то же время F = Mg„
где gr — ускорение силы тяжести на расстоянии г от центра
Земли, то yMM3/r2 = Mgrt откуда gr = yMJr2. При г = Нъ
имеем gr = g\ следовательно, g = yMjR'i, откуда у —
= gRi/M3, и потому gr = gRl/r2. В этом случае равенство
центробежной силы и силы тяжести дает
откуда
vi=V —·
Из этой формулы следует, что чем больше г, т. е. чем
более удален спутник от Земли, тем меньше первая
космическая скорость ϋχ, необходимая для вращения
спутника на соответствующей орбите. Так, например, на
высоте 10 000 км (г я« 16 400 км) имеем ^^5 км/с, а на
высоте 380 000 км (примерное расстояние от Земли до
Луны) 1^=1 км/с. Таким образом, для того чтобы Луна
не падала на Землю, достаточна скорость Луны в 1 км/с.
Для того чтобы ракета могла уйти из области земного
притяжения, она должна обладать большей скоростью,
чем Vi. Эта скорость называется второй космической
скоростью (или скоростью отрыва от Земли) и обозначается
через v2. Вычислим ее. Для этого потенциальную энергию
En = MKgrr ракеты, находящейся на расстоянии г от центра
Земли, приравняем кинетической энергии EK = MKv'i/2
ракеты, скорость которой равна v2; тогда получим
откуда
— 28 —

Таким образом, вторая космическая скорость больше
первой примерно в 1,4 раза. Поэтому на поверхности
Земли и3 «^ 11,2 км/с, на высоте 1000 км имеем v2 «a*
^7 км/с, а для того чтобы Луна вышла из пределов
земного притяжения она должна иметь скорость 1,4 км/с.
Если произвести аналогичные вычисления для
определения скорости 1>ь необходимой для вращения спутника
по круговой орбите вокруг Луны, Марса и Венеры,
а также скорости v2 отрыва от этих небесных тел, то
получим:
для Луны 1>!^=:1,7 км/с, у2«^2,4 км/с;
для Марса 1^^3,6 км/с, у3^5,1 км/с;
для Венеры ιί^7,3 км/с, α2^10,3 км/с.
Пример 2. Ракета с начальной массой М0 движется
вертикально вверх под действием силы отдачи от
истечения газов. Масса Μ ракеты изменяется в зависимости от
времени t по закону M — f{t) (закон сгорания топлива).
Скорость истечения газов постоянная (относительно
ракеты), направлена вниз и равна и0. Найти высоту
подъема ракеты как функцию времени t, если начальная
скорость ракеты на поверхности Земли равна и0.
Сопротивление воздуха н изменение ускорения силы тяжести
в зависимости от высоты подъема ракеты не учитывать
(задача Циолковского о движении ракеты с учетом силы
тяжести).
Решение. Направим ось Оу вверх. Тогда
дифференциальное уравнение движения запишется в виде
., ... dM
где /' (t) = -τ— «секундная масса».
Разделив переменные, получим
V (t)
dv=-gdt~u0'j^dt,
откуда
v=-gt-u0\nf(t) + C.
При t = 0 масса ракеты Λί = /(0) = Λίο. а скорость
v = v0; поэтому C = w0ln Λίο-Μο и, следовательно,
м
— 29 —

Так как ν = -ή, то последнее равенство можно
записать в виде дифференциального уравнения с разделенными
переменными
dy = [ - gt + «о In щ + ι>0] Л,
откуда интегрированием получаем
t
y = —Y + u0 у^щ dx + uot + C!.
о
При ^ = 0 высота подъема у — О; поэтому Ci = 0 и,
следовательно,
*/ = — ^ + «ο Jj ln^dT + V·
b
В частности, при изменении массы ракеты по
линейному закону M — f(t) = MQ(\ — at), где α = const, α>>0,
имеем
0
= —^2~—и0 \ In (1 — ατ) dx-\-v0t
и, следовательно,
α
Если задать числовые значения, например, у0 = 0,
«0 = 2000 м/с и а = упп с_1» то
</ = -f + 2.10S[(l-4)ln(l-4)+-,y·
В этом случае через 10 с ракета поднимется на
высоту 0,54 км, через 30 с —на 5,65 км, через 50 с —на
18,4 км.
При изменении массы ракеты по показательному закону
M—f(t) = MQe-Kty где λ = const, λ>0, имеем аналогично:
* J Μ0β~λτ 2
- 30 -

Скорость υ движения ракеты до момента сгорания
всего заряда /=/к есть производная у по t\
При / = ^к, т. е. в момент сгорания всего запаса топлива,
v = vK = (u0l~g)tK + V(h У = У«==1^?^1-К + и0(к.
Вычислим ускорение w. Имеем
w = -~г = и0\ — g — const.
Отсюда заключаем, что ракета движется с постоянным
ускорением. При и0к — g<iO движение равнозамедленное,
при «0λ — g >· 0 движение равноускоренное, при и0Х — g = О
движение равномерное со скоростью щ.
В случае и0Х — g<0 скорость точки обратится в нуль,
когда t = v0/(g — u0k), в этот момент ракета достигнет
максимальной высоты утах подъема, равной
и ϋ!
t/max— 2(5-«0λ) '
После сгорания всего топлива движение ракеты
продолжается по закону
S = — -f + vj + y*.
Наибольшее удаление smax ракеты от высоты у = ук
найдем как максимум этой функции в стационарной точке
t = vjg:
ν*
Максимальную высоту утах подъема ракеты от
поверхности Земли находим по формуле
Утах — Smax Т~ У к — "rvj" "τ ^Ук>
Заменяя νκ и ук их выражениями через ы0, α и /к,
получаем окончательно:
i/max = gi ^ ("θλ - g) /к + 2ϋ0/κ =
= 2^("^-g2)fi + 2^K.
— 31 -

Пример 3. Определить скорость ик многоступенчатой
ракеты π конце участку пыведепин спутника на орбиту,
если скорость истечения реактивном струн постоянна и
величина ее раина //,,, угол пак/юна направлении
скорости к горизонту — 0· (/) π аэродинамическое
сопротивление — X (t).
Решение. Пели обозначить общий вес ракеты,
зависящий от времени, через G(/j, то скорость изменения
веса ракеты (весовой расход топлива) будет равна — . ,
а реактивная тяга
п_ ио aCi
где g0—ускорение силы тяжести на поверхности Земли
(ускорение на высоте h будем обозначать через gh).
Ввиду сравнительной малости потерь в скорости ракеты
от несовпадения направлении силы тяжести и скорости
(угла атаки) этими потерями можно пренебречь, и
дифференциальное уравнение движения ракеты в проекции
на касательную к ее траектории получаем в виде
или, заменяя Ρ его выражением через / и деля обе части
уравнения на G/g0, в виде
do ί/η clG X . α /0_,
-dt=—C-4T-8o-G--g*s™b- (30)
В момент старта / = 0 скорость ракеты ν = 0
(начальное условие), в момент прохождения ракетой конца
участка выведения спутника на орбиту / = гк скорость ракеты
υ — υκ. Поэтому после интегрирования по / и
подстановки этих значений получим искомую скорость
'к 'к
u^^Uiin-^-g^-^-dt-^gbSinftdt, (31)
ί= 1 К' 0 0
где п — число ступеней ракеты, a uh Goi, GKi —
соответственно скорость истечения струи, начальный и конечный
вес для каждой отдельной ступени.
В последней формуле первый член правой части
соответствует формуле Циолковского и определяет так назы-
— 32 —

ваемую характеристическую скорость ракеты, т. е.
скорость при отсутствии воздействия на ракету внешних сил.
Второй и третий члены правой части формулы
определяют потери в скорости на преодоление сил
аэродинамического сопротивления и потери в скорости, связанные
с влиянием силы тяжести.
Радиоактивный распад. Радиоактивным распадом
называются самопроизвольные превращения ядер атомов
некоторых элементов в ядра других элементов,
сопровождающиеся альфа-, бета- и гамма-излучением. Радиоактивный
распад носит статистический характер: ядра атомов
распадаются не одновременно все сразу, а в течение всего
времени существования данного изотопа. При этом
установлено, что количество атомов, распадающихся в единицу
времени, составляет определенную, постоянную для
каждого изотопа часть количества его нераспавшихся атомов.
Эта часть называется постоянной распада и обозначается
буквой λ.
Таким образом, число атомов dN', распавшихся за
время dt, равно XNdt, где N — число нераспавшихся
атомов в момент времени t, и мы имеем дифференциальное
уравнение *
dN = — XNdt. (32)
Знак минус показывает, что число N нераспавшихся
атомов с течением времени уменьшается.
После разделения переменных получим
откуда интегрированием находим
ΙηΝ = — λ^ + lnC, или N = Ce~u.
Если известно первоначальное число N0 атомов (N = N0
при t = Q), то можно определить произвольное
постоянное С: NQ = C, и, следовательно,
N = NQe-u. (33)
Время 7\ в течение которого распадается половина
количества атомов изотопа, называется периодом
полураспада этого изотопа. Периоды полураспада для различных
* Мы заменяем здесь приращение функции дифференциалом,
отбрасывая тем самым бесконечно малые более высокого порядка
малости, чем dt (см. § 6).
— 33 —

изотопов различны. Так, например, для радия 7 = 1590 лет,
для урана 7 = 4,6 млрд. лет, для радиоактивного кобальта
(Cof"') имеем 7 = 5,3 года, для радона 7 = 3,82 суток.
Между 7 и λ имеется легко устанавливаемая связь.
К моменту времени t — T имеем N = N0/2 и, следовательно,
откуда θ~λτ=\/2 и 7 = (1η2)/λ^0,693/λ, а к = (\п2)/Тъ*
^ 0,693/7. Это позволяет выразить N не через λ, а через 7,
а именно
W = AV<-/ln2>/r.
Так например, для радия, период полураспада которого
7=1590 лет,
Λ/=Λν-(/1η2)/1590=Λν0·00044'.
Из последней формулы можно определить, какая часть
атомов распадется, например, за 200 лет. Если положить
ί = 200, то мы узнаем, что через 200 лет останется
N 1/_2оо = Л^ое"°'088 = 0,915 NQ атомов, и, следовательно, за
это время распадется 8,5% наличного числа атомов.
Скорость радиоактивного распада изотопа называется
активностью данного изотопа (или его препарата).
Активность а равна а= -τ- , или, исходя из
дифференциального уравнения (32) и его решения,
Через период полураспада активность выражается по
формуле
ЛМп2 0,693 N
Если а0 = λΝ0 — активность препарата в начальный
момент, то
а = а$-и.
Вычислим среднюю продолжительность существования
одного атома радиоактивного вещества. Число dN атомов,
сохранившихся в течение времени t и распавшихся
в последующий промежуток времени dt, равно —dIV =
= XNtf-7Jdt. Эти атомы имеют среднюю продолжитель-
- 34 -

ность существования, равную t. Чтобы получить среднюю
продолжительность существования одного атома, нужно dN
умножить на t} проинтегрировать по t в пределах от О
до оо и разделить на первоначальное число атомов N0:
оо
[XNtte-U dt
Л__о 1 _ Τ
Ν0 ~~ λ ~~ 1π2 *
Так, например, для радона (7 = 3,82 суток) средняя
продолжительность существования атома θ = 5,552 суток.
Химическая реакция. Если # —количество вещества С,
в которое переходит каждое из двух веществ Л и θ, то
при постоянстве температуры и соблюдении некоторых
ах
других условии полагают, что скорость реакции -л-
пропорциональна:
1) в случае перехода вещества Л в вещество С —
оставшемуся количеству вещества Л, что приводит к
дифференциальному уравнению
ж = к(а-х),
где а —начальное количество вещества Л, а &
—коэффициент пропорциональности, &>0;
2) в случае перехода двух веществ- Л и θ в
вещество С — произведению реагирующих масс, что приводит
к дифференциальному уравнению
^- = k(a-x)(b-x),
где а и Ь — начальные количества веществ А и В, a k —
коэффициент пропорциональности, k>0.
Найдем зависимость χ от времени t в обоих случаях.
Составленные дифференциальные уравнения относятся
к числу уравнений с разделяющимися переменными.
В обоих случаях имеем одно и то же начальное условие:
х = 0 при £ = 0.
В первом случае после разделения переменных полу-
чаем χ_ — — kdt, откуда находим общее решение χ =
~a-\-Cekt. Из начального условия определяем, что
С = — а и, следовательно, частное решение имеет вид
х = а(\—е -*'). При /->-оо из этого решения следует,
что х-+а.

Во втором случае после разделения переменных имеем
dx
(х — а) (х—Ь)
= kd(.
Замечая, что г-, ττ = — τ— τ > н проин-
' \x — a){x — b) b — a\x — a x—bj' r
тегрировав, получаем общий интеграл
1 |niLi* _« + _!-]п С,
b — a x — b b — a
или, после некоторых преобразований, —-r=Ce~k{b~a,i.
Из начального условия находим, что С = а/Ь% т. е.
х — а
x—b b
Отсюда получим частное решение
1 e-kib~a)t
= ae-ktb-a)tt (34)
ab
b — ae~k<b-a)t
Предположим, что 6>α, т. е. что начальное
количество вещества β больше начального количества вещества А;
тогда при ί-^оэ из этого решения следует, что х->а.
Если предположим обратное, т. е. что а>6, то,
переписав равенство (34) в виде
— _ —e-k{a-b)t
х — а а
заключаем, что х-*-Ь при ^-*оо.
Этот же результат можно было получить и из частного
решения, если переписать его в форме
x = ab
f,e-k(a-btl_a
Истечение жидкости из сосуда. Предположим, что
сосуд, площадь S поперечного сечения которого есть
известная функция высоты /ι, S = S(h), наполнен
жидкостью до уровня Н. В дне сосуда имеется отверстие
площади ω, через которое жидкость вытекает. Определим
время /, за которое уровень жидкости понизится от
начального положения И до произвольного Л, и время Τ
полного опорожнения сосуда. При этом будем считать,
что скорость о изменения количества (объема) жидкости
в сосуде является известной функцией v = v(h) от уровня h
жидкости в сосуде (напора).
_ зв -

Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент
времени / равна h. Количество жидкости dV, вытекшее
из сосуда за промежуток времени dt от момента t до
t-\-dt, можно подсчитать как объем цилиндра с площадью
основания ω и высотой v(h). Таким образом,
dV = <uv(h)dt.
Этот же объем жидкости может быть вычислен другим
способом. Вследствие утечки воды уровень h жидкости
в сосуде понизится на величину dh, следовательно, dV =
= — S{k)dh (знак минус берется потому, что dh<iO).
Приравнивая друг другу оба выражения для dV, составим
дифференциальное уравнение
a>v{h)dt = — S(h)dh. (35)
Разделив переменные, получим
dt = --^-dh,
ων (h)
откуда
я
ω J о (Α) ω J v
Η. h
тог dh.
(Ό
При полном опорожнении сосуда /ι = 0, а потому
время Τ опорожнения сосуда определится по формуле
5(Л> dh.
Если истечение происходит через малое отверстие или
через короткий патрубок, то, согласно закону Торичелли,
v — ^Y2gh, где g —ускорение силы тяжести, а μ
—эмпирический коэффициент (коэффициент расхода). В этом
случае полученные формулы могут быть записаны в виде
t =
1 ? 5(A) .. „ Ι ?δ(Λ)
Шл, г=-1=Л^а. (36)
h 0
Рассмотрим конкретные примеры применения
полученных формул.
Пример 1. Круглый цилиндрический бак с
вертикальной осью, диаметром D и высотой Η наполнен водой.
Определить время опорожнения бака через круглое
отверстие диаметром а в дне бака (рис. б).
- 37 -

Решение. В данном случае площадь S (h)
поперечного сечения постоянна и равна nD2j<\. Аналогично
площадь отверстия равна ля2/4. Следовательно,
н
2£>з ун
т_ Ρ* ΐ dh_ = 2/)з \ Η
~α-μ j/% J у J а^УГц
В частности, при D=1,0 м, Η = 1,5 м, α = 0,05 м и
принимая коэффициент расхода μ = 0,62 (для воды),
получим
„ 2-\,№-УТЪ оса с ее „
Г = ■ , = 35fi c = 5 мин 56 с.
0,05^.0,62· J/ 19,62
Пример 2. Определить время опорожнения
заполненной керосином железнодорожной цистерны длины L и диа-
„ j метра D через короткий
сливной патрубок в нижней части
цистерны, площадь поперечного
сечения которого ω (рис. 7).
I
—χ
В
>рвшавшдж^-^ь
Рис. 7
Решение. Переменная величина S (h) площади
зеркала нефтепродукта определяется по формуле
S {h) = 2xL = 2LVR*~ (h- R)* = 2LY {D - h) h,
и потому
АН
V(D-h)hdh__4LDVD
V~h
3ωμ|/2#*
— 38 -

В частности, при L=12 м, 0 = 2,6 м, ω = 0,01 м2 и
коэффициенте расхода μ =
= 0,6 (керосин) имеем
Т =
4· 12-2,6 К 2,6
3 0,01-0,6 У 19,62
= 2520 с = 42 мин.
и
Пример 3. Определить
время опорожнения
заполненного водой
конического резервуара с
диаметром Dl верхнего
(большего) основания, D2 —
нижнего и высотой Η через
круглое отверстие
диаметром а в дне резервуара
(рис. 8).
Рис 8
Решение. Площадь горизонтального сечения конуса
S (Л) = | [D2 + (D1 - Da) ^г]2, поэтому
Г = —K^} -!= 7= ^-dh =
fl> /2g
VA
2.УЯ
15α2μ/2^
(3DI+4D1D,+ 8D3.
В частности, приЯ^О.в м, D2 = 0,3m, Η = 1 м, α = 0,03 м
и μ = 0,62 (вода) имеем
7 =
2 (3 ■ 0,8^4-4 · 0,8 · 0,3 + 8 · 0,32)
15 0,032. 0,62 КЖ62
= 194 с = 3мин 14 с.
Если площадь отверстия, через которое вытекает
жидкость, зависит от времени, ω = ω (/), то
дифференциальное уравнение (35) после разделения переменных примет вид
а его интеграл
·»*=-4%-*.
— 39 —
(37)
(38)

Пример 4. В дне наполненного водой цилиндрического
сосуда с вертикальной осью имеется малое отверстие
площадью со0 (см2), закрытое диафрагмой (как у объектива
фотоаппарата). В начальный момент диафрагма начинает
открываться, причем площадь oj (см2) образующегося при
этом отверстия пропорциональна времени, ω = &/, и
полностью открывается через τ (с). Определить высоту 1ц
жидкости в сосуде, когда диафрагма откроется полностью.
Высота цилиндра Η (см), площадь основания 5 (см2). *
Решение. По условию задачи ω = ω0 при ί = τ.
Следовательно, ω0 = £τ, откуда & = ω0/τ и потому ω = ω0//τ.
Подставляя выражение ω в интеграл (38), получим
ω0
τ
J μ]/ 2g ·' V h
откуда
2τ μ V2g
При t=x высота уровня жидкости h = h1. Поэтому
4S
(см).
hlJyH-mg*z\*
45 J
Пусть наряду с истечением жидкости из сосуда
одновременно имеется постоянный приток жидкости в
количестве q (единиц объема) в единицу времени. Тогда
количество жидкости dV, на которое уменьшается общее
количество жидкости в сосуде за промежуток времени dt,
равно разности количеств вытекающей жидкости ων (h) dt
и притекающей qdt, т. е.
dV = [<uv(h)-q]dt.
Поэтому дифференциальное уравнение принимает вид
[ωυ (h) -q]dt = — S (h) dt. (39)
Время t понижения уровня от Я до Л определяется
интегралом уравнения:
н
t=[ Sy dh. (40)
h
— 40 -

Если выразить приток q через постоянный напор Н*
истечения, д — ц(аУ2дН*% то
н
t =
1 С S (А)
J V h-γΗ*
η
щхУЦ ) V h-V'H*
Для призматического (или цилиндрического) резервуара
[S (Л) — S = const] имеем
ωμ |/2g \ К Л— |/ Я* /
При истечении жидкости с большой вязкостью в
выпускном трубопроводе может наблюдаться ламинарный
(струйный) режим течения, при котором скорость
истечения пропорциональна напору, т. е. v = kh. По такому же
закону происходит истечение жидкости через тонкую
длинную трубку. Подставив это выражение υ в (35), найдем,
что дифференциальное уравнение принимает вид
di=-4f<«' <41>
а его интеграл
и
h
В частности, для призматического (или цилиндрического)
резервуара, для которого 5 (h) — S = const,
4 S . Η
ωκ /ι
Другие примеры. Рассмотрим еще несколько задач,
приводящих к дифференциальным уравнениям с
разделяющимися переменными.
Пример 1. (Охлаждение тела.) Пусть в
начальный момент тело массы т с постоянной теплоемкостью с
имеет температуру θ0. Температура окружающей среды
постоянна и равна ftc (Oo>^c)· Найти закон охлаждения
тела, принимая, что тепло, отданное телом за бесконечно
малый промежуток времени dt, пропорционально
разности температур тела и окружающей среды, а также
длительности промежутка (закон Ньютона).
Решение. За время охлаждения температура тела
падает от Ф0 до Фс. Пусть в момент времени t
температура тела равна Ь. За бесконечно малый промежуток

времени dt количество тепла, отдаваемое телом, по
предположению, равно
dQ = —α(θ-0€)ί//,
где α = const — коэффициент пропорциональности.
С другой стороны, количество тепла Q, отдаваемое
телом при охлаждении от температуры ϋ до $с, равно
Q = mc φ — ftc), а значит,
dQ = mcd$.
Сравнивая между собой оба выражения для dQ,
получим дифференциальное уравнение
тс <Ю = — α (θ - 0С) rf/. (42)
Разделение переменных приводит его к виду
d$ α ,.
ϋ — Ό'ς тс
Интегрируя, получим
ln(fl-flc) = — -^t + lnC, или fl-ftc = Ce-a'/(mc).
Начальное условие (Ф = д0 при t = 0) дает возможность
определить С:
и потому искомый закон охлаждения тела (частное
решение) запишется в форме
φ = фс + (ф0-дс) *-«№*>. (.43)
Коэффициент α должен быть задан либо
непосредственно, либо дополнительным условием, из которого он
может быть определен, например условием Ό, = θ1 при t = ti.
В этом случае имеем
0! - йс = (φ0 - 0С) 0-«i/CnO ,
откуда
■ g/<mci^.^i-^eV^
Соответственно
*-·.+<·.-·.>($ξ£Γ.
Приведем числовой расчет. Если температура среды
Фс — 20°С и тело охлаждается от температуры д0=100°С
— 42 —

до температуры t^^GCrT за время ^=10 мин, то
» = 20 + 80(-1)"'°.
Пусть требуется узнать, через сколько времени
температура тела понизится до 25°С. Положив в формуле Φ = 25,
получим 25 = 20 + 80(у) , или i-^-j —(у) » откуда
/ = 40 мин.
Пример 2. (Нагревание слитка.) Стальной
слиток с температурой ύ*α перед прокаткой помещен в печь,
температура которой равномерно повышается в течение
часа от Ьа до fly Найти закон нагревания слитка, если
при разности температур печи и слитка в Τ градусов он
нагревается со скоростью kT град/мин.
Решение. Обозначим температуру печи в момент
времени t через Θ. Тогда температура Φ слитка будет
равна разности Φ = Q — T. Из условия задачи· найдем
закон изменения температуры печи Q = At-\-B, где
постоянные А я В определяются из условий θ |/-0 —^α» θ \t-eo = ®b
и равны, соответственно, А = (ftb — fln)/60 и В = Ъа.
Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
dUt
dt
Так как
= kT,
йЬ d (*-T) = ±(At + B-T) = A-^t
dt dt v ' dt v l ' dt
то это уравнение преобразуется к виду
A--^-=*kT, или 4L + kT-A=Q.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общий
интеграл
j\n(kT-A) + t = j\nC, или kT-A=Ce~kt.
Из начального условия 7Ч_о = 0 находим, что произволь-
ное постоянное С = — А и, следовательно, Т~-г{\ —e~kt).
Произведя замену Т = Ь — $ = At-{-B — Φ, получим
А_
к
= At + B-^(\-e-%
или
- 43 -

Найдем температуру слитка через час, т. е. при / = 60 мин.
Имеем
^\(-^ = Κ-ύ-^(\ -е ш -60k)^%-^^(\ -е ^}.
Пример 3. (Поглощение света при
прохождении через воду.) Поглощение светового потока
тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и
потоку, падающему на его поверхность. Зная, что при
прохождении через слой толщиной 2 м поглощается 1/3
первоначального светового потока, определить, какой
процент его дойдет до глубины 12 м.
Решение. Обозначим через Q световой поток,
падающий на поверхность на глубине h. При прохождении
через слой воды толщиной dh поглощенный световой
поток dQ равен
dQ = — kQdh, (44)
где & —коэффициент пропорциональности (k>0).
Общее решение этого дифференциального уравнения
Q = Cekh. Пусть первоначальный световой поток равен Q0.
Тогда из начального условия Q = QQ при h = 0 находим,
что C = Q0» и потому
Q = Qorfr*\
По условию задачи при h = 2 имеем Q = 2Q0/3, поэтому
^Qo = Qo{e-k)2, откуда 6-* = (·--^/2 и
<г-«.(4Г·
До глубины h= 12 м дойдет световой поток Qlt равный
Qi = Qo(4)6 ** 0,0878 Q0f
что составляет 8,78% первоначального светового потока QQ.
Пример 4. (Ионизация газа.) Под действием
постоянного излучения в газовой среде происходит
процесс ионизации, при котором за одну секунду образуется q
положительных и столько же отрицательных ионов в
данном объеме газа. Вследствие того, что положительные и
отрицательные ионы снова соединяются между собой
(рекомбинация ионов), количество их убывает.
— 44 —

Принимая, что из общего количества η положительных
ионов в каждую секунду соединяется часть,
пропорциональная квадрату их количества (коэффициент
пропорциональности α = const зависит от природы и состояния
газа), найти зависимость количества ионов η от времени t.
Решение. Дифференциальное уравнение процесса
ионизации
dn = qdt-an2dt (45)
получается непосредственно из условия задачи.
Разделение переменных приводит уравнение к виду
1 "" ' Л = 0.
a n2 — q/a
Общий интеграл уравнения (45)
1 ι п — Valet . , 1 , ~
откуда
или
2\faq n + Vq/u 2Ϋ Щ
n-VqJa=Cc^v—t^
n + Vqja.
Так как /? = 0 при / = 0, то С= — 1, pi частное
решение, определяющее искомую зависимость числа ионов от
времени t, принимает вид
n = ]i±th(tV*q),
Пример 5. (Вентиляция цеха.) В помещении цеха
вместимостью 10 800 м3 воздух содержит 0,12%
углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух,
содержащий 0,04% углекислоты, в количестве а м3/мин.
Предполагая, что концентрация углекислоты во всех частях
помещения в каждый момент времени одна и та же (смешение
чистого воздуха с загрязненным происходит немедленно),
рассчитать, какова должна быть мощность вентиляторов,
чтобы по истечении 10 мин содержание углекислоты не
превышало 0,06%.
Решение. Обозначим содержание углекислоты в
воздухе в момент времени t через χ (%). Составим за
промежуток времени dt мин, протекший от момента /, баланс
— 45 —

углекислоты, находящемся в помещении. За это время
вентиляторы доставили 0,0004 </<// м:| углекислоты, а ушло
из помещения 0,0\ xudt м'1 углекислоты. Следовательно,
всего за dt мин количество углекислоты в воздухе
уменьшилось на ί/ί/ = (0,01.γ — 0,0004) a dt м;{. Обозначив через ах
процентное уменьшение содержания углекислоты в воздухе,
можно подсчитать это же количество углекислоты другим
путем, по формуле dq ——10 800 · 0,01 dx м3 (знак минус
берется потому, что dx<C.Q). Приравнивая друг другу оба
выражения для dq, составим дифференциальное уравнение
(0,01*-0,0004) a dt = —10 800 · 0,01 dx. (46)
Разделяя переменные, найдем
a dt dx
~~ 10 800 = х — 0,04 *
Общий интеграл
л:-0,04 = Се-а'/10800.
Так как х = 0,12 при t = 0, то С = 0,08 и частный
интеграл имеет вид
х - 0,04 = 0,08 е- й'/10 800. (47)
Для определения мощности а вентиляторов положим
д- = 0,06 и ^=10; получим
0,02 = 0,08 e-a/ioso,
откуда £>-°/1080=1/4 и а= 1080 In4^ 1500 м3/мин.
Пример 6. (Очищение газа.) Для очистки газа от
некоторой газообразной же примеси его пропускают через
скруббер (сосуд, содержащий тот или иной поглотитель).
Количество газообразной примеси, поглощаемое тонким
слоем поглотителя при установившемся режиме аппарата,
пропорционально концентрации примеси, а также толщине
и площади поперечного сечения слоя. Скруббер имеет
форму конуса с радиусом основания R и высотой И. Газ
поступает через вершину конуса. Найти зависимость
концентрации газообразной примеси в скруббере как функцию
расстояния слоя от вершины конуса, если концентрация
примеси в поступающем газе равна а%, а в
выходящем Ь%. N
Решение. Обозначив концентрацию примеси через
q%, а расстояние слоя от вершины конуса через Л, со-
- 46 —

ставим дифференциальное уравнение
dq — kqnr2 dh,
где г — радиус сечения тонкого слоя конуса, который
связан с размерами конуса соотношением r = Rh/H, так что
dq = kqn -гг%№dh.
Общее решение этого уравнения имеет вид
q — QeknRw/ttH2),
Так как q = a при ft = 0, то С = а и, следовательно,
д _ QQknRWHZH*)^
Остается определить коэффициент k из условия q = b при
h = H. Имеем
b = aek7iR*W№№)^
откуда лучше определить не k, а выражение,
содержащее к:
е*«Я7<з//*> = (Ау/№.
Окончательно получаем
ч=аЬ) ·
Решим аналогичную задачу для скруббера, имеющего
форму шара радиуса R. В этом случае dq = kqnr2dh, где
г —радиус сечения тонкого слоя шара, который связан
с радиусом R шара и расстоянием h слоя от нижней точки
шара (см. рис. 7) соотношением r2 = R2 — (h — R)2, Тогда
dq = kqn[R2-(h-R)2\dh.
Общий интеграл этого уравнения
1„ £=*„[/»-<ЦЕ].
Для определения С и k используем условия: </ U_o=а*
q\h-2R=b. Имеем
1пс=~з-
Возьмем разность
, 1п| = *д(2^-|) =
In w — In * = In — =
С 1Ы С α 3 '
- 47 —

U 3 I Ь
откуда £π —-τη^-Ιπ —, а также разность
1п'-1п2-=1п| = *я
™-^-£]-*»(«а'-£).
Подставляя в последнее соотношение выражение kn,
получим частный интеграл уравнения в виде
111 а ~ 4/?з
Пример 7. (Поток научной информации.) При
исследовании роста информационных потоков в науке, т. е.
числа научных публикаций, исходят из допущения, что
du
скорость роста -h пропорциональна достигнутому уровню у
числа публикаций, т. е. что относительная скорость роста
— ~ остается постоянной. Закон, определяющий
достигнутый уровень числа публикаций в зависимости от времени,
находится из дифференциального уравнения
1 \% = k> илн 1П = кУ <*>°)·
где & —константа, характеризующая (в среднем) отклики
на публикации в той или иной области знания.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
экспоненты
у = аем,
где а —постоянная, характеризующая некоторый
начальный уровень развития науки.
Интересно отметить, что относительной скорости роста в 7%,
т. е. k = 0,07, соответствует удвоение уровня примерно за 10 лет.
В самом деле, пусть уровень у0 = а имеет место в начальный момент
* = 0, а уровень 2у0 достигается при t=T, где Т — искомое время
в годах: 2y0 — aekT. Разделив обе части последнего равенства на
соответствующие части равенства у0 = а, получим 2 =te^T, откуда
логарифмированием находим, что
т .In 2 0,69 ,.
г = —= оЖ^10лет·
При резком изменении внешних условий
экспоненциальный закон роста, вследствие сдерживающих факторов, не
может сохраниться. Рост уровня ограничивается
некоторым его значением, и механизм роста числа публикаций
— 48 —

представится следующим дифференциальным уравнением:
% = ку(Ь-у) (/г>0, 0<у<Ь),
где b служит максимально возможным значением
величины у. Относительная скорость
роста
становится уже не постоянной,
а линейной функцией от у.
Это дифференциальное
уравнение есть уравнение с
разделяющимися переменными.
Разделим переменные и возьмем интегралы от обеих частей
уравнения. Имеем
У
1
1
2j
I
0
Рис. 9
Так как
то решение уравнения запишется в виде
Ь ШЬ-у
где положено С — —- In a
-4- -г \na-kt,
Преобразуем полученное решение. Потенцируя, имеем
У = (а + еш) = Ьеш; у =
и окончательно
а+еш
У
1+ае
,-ьм
Кривая, определяемая последним уравнением,
называется логистической кривой. В начальные моменты
времени, когда у значительно меньше Ь, она практически
совпадает с экспонентой у = Ьеш. Прямые y=^b и // = 0 служат
асимптотами логистической кривой. Точка Mi]na b
, bk ' 2)
является точкой перегиба (см. рис. 9, где принято a = b = 1).
— 49 —

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ОДНОРОДНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО .V И V
И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Уравнение, однородное относительно χ и у, легко
сводится к уравнению с разделяющимися переменными с
помощью замены переменных. Чтобы дать определение одно^-
родного уравнения, следует предварительно познакомиться
с понятием однородной функции.
Функция f (χ, у) называется однородной функцией
нулевого измерения, если при умножении аргументов χ и у
на произвольный параметр значение функции не
изменяется.
Однородная функция нулевого измерения может быть
записана в виде f(x, y) — ^{ylx). Действительно, пусть
f(x, */)—однородная функция нулевого измерения.
Пользуясь тем, что параметр t можно выбрать произвольно,
положим t—\/x. Тогда
/(-v. y)=f(tx, ty)=f(\, y/x) = y(y/x).
Пусть, например, f (х, у) =——; тогда
χ у
Следовательно, эта функция есть однородная функция нулевого
измерения. Разделив числитель и знаменатель дроби на х, получим
где <р(ы) = (1 + й)/(1 —ы).
Уравнение у' =f(xy у) называется однородным
относительно χ и у, если функция f {x, у) является однородной
функцией нулевого измерения. Таким образом, однородное
уравнение можно записать в виде
У'=ГШ- (1)
Функция f (x, у) называется однородной функцией п-го
измерения, если при замене в ней переменных χ и у
соответственно на tx и ty, где (— произвольная величина
(параметр), получается та же функция, умноженная на tn,
т. е. если выполняется условие
— 50 —

fitx, ty)^i"f(x, y)\
показатель степени п называется измерением (или
степенью) однородности функции.
Уравнение
М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0, (2)
в котором функции Μ (χ, у)-и N (х> у) — однородные
функции одного и того же измерения, также является
дифференциальным уравнением, однородным относительно χ и у.
Уравнение (1), а также уравнение (2), можно привести
к уравнению с разделяющимися переменными
подстановкой y = xz, где г —новая искомая функция.
Дифференцируя равенство y = xz, получим -j- = x~^Jrz- Подставим
выражения у и -J*- в уравнение (1); тогда
*-^ + г = /(г), (3)
откуда x-^-=f (z)~z или в дифференциалах, xdz-\-
-\-[z — f(z)]dx = Q. Это уравнение с разделяющимися
переменными. Поделив обе его части на x[f{z) — ζ], получим*
dz dx л
откуда находим
s
z-f (ζ) ' к
dz
+ 1п* = 1пС.
ζ-/ W
С dz
Если V _ . n = F (z) (произвольное постоянное
опускаем), то
F(z) + ln~ = 0, или х = Се~рю
и окончательно общий интеграл уравнения (1) примет вид
х = Се-рШхК (4)
* Необходимо иметь в виду, что деление возможно лишь при
χ Φ О и ζ — [(ζ)Φθ. Случай /(г) = г приводит к уравнению — = 0,
откуда г = С и у = Сх. Отдельные точки, в которых возможно
равенство /(г) = г, являются особыми точками уравнения. О них речь
будет идти в § 7, так же как и о значении х = 0.
— 51 —

Найдем общий интеграл уравнения
(y — x)ydx + x'-dy = 0.
Положим y = xz. Тогда dy = x dz-\-2 dx и уравнение примет вид
x-{z-\)zdx-\-x"(xdz-\-zdx) = 0, или z- dx + χ dz = 0.
После разделения переменных получим
dx dz _ п
ΊΓ + ^~ '
откуда
In x — С.
ζ
Возвращаясь к переменному у, найдем общий интеграл
In χ = С.
У
Кроме того, решением является также г = 0, откуда получаем у = 0.
аУ tf ax + by + c
Уравнение вида
dx ' Wi*+M + cJ у }
приводится к однородному или к уравнению с
разделяющимися переменными. Для этого введем новые
переменные и и ν вместо χ и у, положив
а числа απβ выберем так, чтобы уравнение стало
однородным. Так как при указанной замене dx=du, dij — άυ
и уравнение принимает вид
dv г ( au-\-bo-\-aa-\-b$-\-c \
~du ' \ ajM + bxu + fl^ + fciP + C! /'
то это равносильно требованию
aa + fcp +с =0,
а1а + Ь$-\-с1 = 0.
Найдем общий интеграл дифференциального уравнения
dy = х + у— 3
dx —χ+y+i'
Положим х=и + а, i/ = f + P; тогда dx=du, dy = dv и
уравнение примет вид
dv = u-f ι; + (α + β-3)
du — « + » + (— α + β+Ь) '
Выберем α и β так, чтобы удовлетворялась система уравнений
α+β-3 = 0,
-α + β +
— 52 —
з=о, ι
1=0, J

т, е. примем α = 2, β=1 (корни системы уравнений). Получим
однородное уравнение
dv _ w-f υ
du ~~ — и -f- ν '
dv
Введем новое переменное ζ, положив ν=ιιζ, а значит, -,— =
аи
= «-j- + z. Тогда
(z-l)dz du _0
откуда
1 + 2г —z2 и
-у1п| 1+2г~22|-1п|и| = —ylnC,
а2(1_|_2г-22) = С, или и2 + 2ио — о8 = С.
Возвращаясь к прежним переменным χ и у, получим общий
интеграл
(*-2)Ч-2(*-2)(у-1)-(у-1)* = С,
или
χ2 _|_ 2лгу—φ — 6* — 2ί/ = Clt
где СХ = С —7.
Найдем теперь общий интеграл дифференциального уравнения
dy_ _ Зх—Ау — 2
с?л; Зх — 4у— 3 '
π -у л dy S I dz
Положим Зле — 4ί/ = ζ; тогда —±-= — τ~ί~ и Уравнение
примет вид
3 1 At z-2 I 4
или
(tr--1)*-*·
4 4 dx z-3 '
откуда
41п|г+1 \-г = х+4С.
Возвращаясь к прежней функции у, получим общий интеграл
ln|3*_4y+l|=x-y+C.
Обобщенное однородное уравнение. Уравнение вида
М(х, y)dx-\-N{x, y)dy = Q называется обобщенным
однородным уравнением, если можно выбрать показатель
степени α так, чтобы подстановка y = za преобразовала
данное уравнение в однородное относительно χ и г.
Пусть, например, дано уравнение
(ж - 2t/3) dx + 3ί/2 (2χ -y3)dy = 0.
„Проверим, что оно является обобщенным однородным уравнением
и проинтегрируем его.,
- 53 -

Положим y = zrx. Тогда dy = azri 1 dz и уравнение принимает вид
(а· - 2*w) (/.ν + Заг^'1 (2*— г47-) cte = 0.
Для того чтобы множитель при dx был однородной функцией
(и притом первой степени, так как первое слагаемое первой степени),
необходимо потребовать, чтобы Зсс=1, откуда α =1/3. Проверим,
будет ли множитель при dz тоже однородной функцией первой степени.
Если а=)/3, то это действительно имеет место. Следовательно,
подстановка ί/ = 2^3 приведет наше уравнение к однородному виду:
{x-2z)dx-\-(2x-z)dz = 0.
В этом уравнении произведем еще одну замену переменного,
положив г = их и соответственно dz = χ du + и dx. Получим
(1 —«2) сЦ-_]_ (2_ и) χ du = 0,
или после разделения переменных
dx и — 2 , _
5—г du= 0.
л: иг — I
Отсюда
ы-1
In [ χ 1-μ— In | u2-l I —In
или
*а(и+1)з = С(и—1).
= jlnC,
Так как и = г/х = у*/х, то окончательно получаем
Кроме того, и= ± 1, что дает z= ± *, откуда у=± У~х-
Геометрические примеры
Пример 1. Найти кривые, у которых подкасательная
равна сумме абсциссы и ординаты точки касания.
Решение. Из условия задачи составляем
дифференциальное уравнение
f=*+y.
или, в дифференциалах,
ydx = (x-\-y)dy.
В этом уравнении удобнее сделать замену x = yz, а не
у — хг. Соответственно dx = ydz + z dy и уравнение
принимает вид
y(ydz + zdy)=y(z+\)dy; ydz = dy\ dz^-f.
Отсюда г = In i/-fin С; у = Сег. Общее решение
представляет собой семейство кривых у = Сех'у.
- 54 -

Пример 2. По какой поверхности вращения надо
отшлифовать зеркало рефлектора, чтобы все лучи, выходящие
из источника света, помещенного в точке О на оси
вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси
(рис. 10)?
Решение*. Возьмем меридианное сечение искомой
поверхности вращения. Выберем начало координат в
точке О, а ось Ох направим по оси вращения. Если
обозначить через α угол, образованный с осью Ох касательной
АТ в точке Μ (χ; у) кривой, то, по условию задачи,
Рис. 10
/_ SMT = oc. С другой стороны, £ ОМА = ,/ SMT, как
дополняющие до π/2 углы падения (/_ ΟΜΝ) и отражения
(/.yVMS), поэтому и £ОМА = а. Таким образом
треугольник О AM равнобедренный и АО = ОМ Отрезок
AOTAP-OP = y/t/-x, а ОМ=У?+?, и мы имеем
дифференциальное уравнение
У_
у'
х=*Ух2 + у*
(6)
или, в дифференциалах,
у ах - (х + VW+ψ) dy = 0.
Это — уравнение, однородное относительно χ и у Подста-
новкой x = yz и соответственно dx = zdy + ydz приведем
* Другой метод решения см. в примере 1 § 6, с. 80, 81.
- 55 ^

его к уравнению с разделяющимися переменными
y(zdy + ydz)=y(z + V"z*+~i)dy, или ydz = Vz2+\ dy,
откуда
dz dy
т. е.
= -Ч или \n(z + yrz2+\)=\ny-lnC,
2 + }/"г2+1-|·.
Упростим полученное уравнение, уничтожив
иррациональность:
-£- — z\ — Vz1 -\-1, или -^ ^- = 1.
Возвращаясь к прежнему переменному х, получим
общин интеграл
£/2 = 2С(х + 4), (7)
представляющий собой семейство парабол с осью
симметрии, совпадающей с осью Ох, с параметром р — Сн
вершиной, лежащей на расстоянии С/2 слева от начала
координат. Следовательно, поверхностями вращения являются
параболоиды вращения, уравнения которых //2-|-г2 =
= 2С(х-\-~к-) получаются, по известному правилу,
заменой у2 через y2-\-z2.
Если задать диаметр зеркала d и глубину /г, то можно
из уравнения параболы определить значение С, положив
χ-\-γ = /ι, У — ~2.· Получим С — -^-, и уравнение
параболы (частный интеграл) будет у2 = ~ (х -f- -^- ), а
уравнение параболоида вращения
г/2+г2=ж(*+т!г)· (8)
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Дифференциальное уравнение называется линейным, если
оно линейно (т. е. первой степени) относительно искомой
функции у и ее производной j-. Общий вид линейного
— 56 —

уравнения первого порядка
% + Ρ(χ)9=<ί(χ). (1)
Если правая часть уравнения Q {χ) ξ= Ο, то уравнение (1)
называется линейным однородным *, в противном случае
оно называется неоднородным.
Предположим, что уравнение (1) неоднородное, т. е.
Q(x)^0. Приведем два способа интегрирования этого
уравнения: способ подстановки и способ вариации
произвольного постоянного. Случай однородного линейного
уравнения не требует специального рассмотрения, поскольку
при Q(x) = 0 уравнение (1) одновременно является
уравнением с разделяющимися переменными.
Способ по дет а но в к и. Произведем в уравнении (1)
замену переменного, положив г/=ыу. Тем самым вместо
у в качестве искомой функции введем новое переменное,
например и. Поэтому второе переменное ν можно
рассматривать как вспомогательное и выбирать его по своему
усмотрению. Это и будет сделано в дальнейшем.
Вычислим j- и подставим выражения у и ~ через и
и υ в уравнение (1); так как
dg du . dv
dx dx ■" dx'
то уравнение примет вид
v3* + u
dv
dx
+ *>(*) »]=QM. (1)
Пользуясь тем, что вспомогательное переменное ν может
быть выбрано произвольно, подберем его так, чтобы
выражение, содержащееся в квадратных скобках, обратилось
в нуль, т. е. потребуем, чтобы
d£ + P(x)v = 0. (3)
* Не следует смешивать линейное однородное уравнение с
уравнением, однородным относительно χ и у. Термин «однородное»
появляется применительно к линейному уравнению потому, что
выражение у' -f- Ρ (х) У является однородной функцией первого измерения
относительно у и у'.
— 57 —

Это уравнение с разделяющимися переменными.
Поделив обе части его на ν π умножив на dx, получим
откуда интегрированием найдем
\\\v + \P{x)dx^\nCt
или
v = Ce-IPlx)dx. (4)
Подставив выражение ν в уравнение (2), получим
для и уравнение с разделяющимися переменными
CWPW" £ = <?(*). (5)
Умножая обе части его на е* {X)dxt имеем
Cdu=Q(x)elPix)dxdx,
откуда,
u = ±\\Q(x)JPM'"dx+C1}. (6)
Формулы (6) и (4) дают выражения и и υ через х\
так как нам нужно найти зависимость у от a*, a y — uv,
то окончательно общее решение линейного уравнения (1)
запишется в виде
y=e-lPW<"[\Q(x)eSPMd'dx + C1}. (7)
Заметим, что произвольное постоянное С, полученное
при интегрировании уравнения (3), сократилось при
умножении и на υ. Этого следовало ожидать, ибо общее
решение уравнения первого порядка должно содержать только
одно произвольное постоянное. Предвидя это, можно было
в решении (4) заранее положить С=1 и взять частное
решение v=e~* P(x)dx уравнения (3) вместо общего, как
обычно и поступают на практике.
Примененный здесь способ подстановки позволяет
свести задачу интегрирования одного линейного уравнения (1)
к отысканию решений двух уравнений с разделяющимися
переменными (3) и (5).
- 58 -

Например, найдем способом подстановки общее решение линейного
уравнения
у' — ау = еЬх.
Положим у = uv; тогда у' = vu' + uv' и уравнение преобразуется
к виду
vu + u(rj' — αν) = ebx.
Потребуем, чтобы υ' — αυ = 0. Разделяя переменные, получим
— adx = О, откуда ν = Сеах.
Как было указано, можно ограничиться частным решением υ = еах.
Подставив выражение ν в преобразованное уравнение, будем иметь
еахи' = еЬх, или du = eib ~ а> х dx, откуда41= 7 etb~aiX-\-C, если
ЬФа, и и = х-\- С, если 6 = а. Так как ι/ = uv, то общее решение
получается в виде у = -т— 1- Сеах, если Ьфа, и у = (* -f- С) еах,
если 6 = а.
Способ вариации произвольного
постоянного. Вместо того, чтобы искать решение неоднородного
уравнения (1), где Q(x)=je0, решим сначала
соответствующее ему однородное уравнение
% + Р(х)у = 0, (8)
которое является уравнением с разделяющимися
переменными. Его общее решение
y = Ce-lPMdx. (9>
Совершенно очевидно, что найденная функция у,
в выражении которой С — произвольное постоянное, не
может быть решением неоднородного уравнения.
Действительно, при подстановке вместе со своей производной
в уравнение (1) она обратит левую часть уравнения
тождественно в нуль, в то время как правая часть Q (х)
не равна нулю. Однако, если рассматривать С не как
произвольное постоянное, а как некоторую функцию
от х, т. е. C = C(x)t то оказывается, что можно подобрать
функцию С {х) так, чтобы функция (9) стала решением
неоднородного уравнения (1).
Для нахождения функции С(х) вычислим
производную функции у = С (х) е~> (х) х , подставим выражения у и
~2~ в уравнение (1) и потребуем, чтобы оно при этом
удовлетворялось, т. е. обратилось в тождество. Так как
- 59 -г

du dC (χ) - ( p(X)dx n . ν n 11 ч - Г я (*) rfje
-fiT =-fiTe -C(x)P(x)e J , то
уравнение (1) переходит в уравнение
i^e-J"«»^QW (Ю)
(два средних члена взаимно уничтожились). Мы опять
получили уравнение с разделяющимися переменными и
неизвестной функцией С(х). Его общее решение
C(x)=^Q(x)eIPix)dxdx + C1.
Подставляя найденное выражение С (х) в равенство (0),
получим искомое решение неоднородного уравнения (1)
снова в виде (7):
y = e-lPix)dx[^Q(x)elp<x)dxdx + C1].
Название способа происходит от того, что мы
варьируем (изменяем) произвольное постоянное С, считая его
функцией от х.
Этот способ, как и способ подстановки, позволяет
свести линейное уравнение (1) к двум уравнениями с
разделяющимися переменными (8) и (10).
Например, найдем способом вариации произвольного постоянного
общее решение линейного уравнения
у ctg χ — a sin χ.
dx
Сначала находим общее решение линейного однородного
уравнения -j- i/ctg* = 0. Разделение переменных приводит это уравнение
к виду ——z{gxdx = 0, откуда In у— In sin x= In С и y = Csinx.
Будем варьировать С, полагая С = С(х); при этом у = С (х) sin x и
-^- = —JiL sin x + C (x) cos %. Выражения у и ~- подставим в
исходное уравнение; получим
—-~Ч- sin х + С{х) cos х — С (х) sin x ctgx = a sin x,
или, после упрощений, dC (x) = adx, откуда С (х) = ах + С1.
Подставляя выражение С (х) в решение однородного уравнения, придем
к общему решению исходного уравнения
y — (ax-\-Cj) sin χ.
- 60 w

При определении у по формуле (7) надо брать одну
из первообразных в каждом из неопределенных
интегралов ^Р (х) dx и \ Q{x)e* P{x) dx dx, так как прибавление
к ним произвольных постоянных изменяет только
значение произвольного постоянного С it что несущественно
для общего решения дифференциального уравнения.
Иногда бывает удобно заменить в формуле'(7)
неопределенные интегралы определенными с переменным верхним
пределом. При такой замене формула (7) примет вид
-J P(t)dt
у = е *0'
х J Ρ(и)du
\Q{t)ex° dt + d
L*o
(Π)
где *0 — произвольное, но определенное число. Если
задать начальное условие: у = у0 при x=x0f то можно
определить значение Сх. Так как определенные интегралы
с одинаковыми пределами равны нулю, то С1 = у0, и мы
получаем частное решение линейного уравнения
- \р{/) dt
у — е х°
X \P(U)du η
Χο
(12)
удовлетворяющее начальному условию у\х = х0 = Уо-
Если известно одно частное решение линейного
уравнения у=у\ (х), то общее решение можно найти по формуле
У = УЛх)+Се-1РМ
dx
В самом деле, функция у=У\(х), будучи решением
уравнения (1), удовлетворяет ему, т. е. имеет место
тождество
y'i+P(x)yi=Q(x).
Вычитая обе части этого тождества из
соответствующих частей уравнения (1), получим
или
(y'-yl) + P(x)(y-yi) = o,
(y-yu' + PW(y-yi)=o.
— 61 —

Это уравнение с разделяющимися переменными,
которое приводится к виду
*ЛШй = - ρ (х) dXi
У —У ι
откуда
1п(у-у1)=- [P(x)dx+lnC,
а, следовательно,
Если известны два частных решения линейного
уравнения tji(x) и у»(х), не пропорциональные между собой,
то общее решение можно найти непосредственно по формуле
y-yi{x) = C [у2 (х) - У! (х)].
В самом деле, если yt (x) есть решение уравнения (1),
то, согласно предыдущему, общий интеграл получается
в виде
/-> — Г Ρ (χ) dx
У-У1=Се J ■
В этом интеграле содержатся все частные решения,
в том числе и второе решение у = у2{х), которое
получается из общего интеграла при определенном значении
произвольного постоянного С, например при С = С2.
Следовательно, имеем тождество
Деля обе части общего интеграла на соответствующие
части этого тождества, получим
у-Ух (х) = С_
Уч. (х) — Уь (*) Сг
или, заменяя С/С2 через С,
У - У1(х)=С[у2{х) - у^х)].
Уравнение Бернулли. Общий вид уравнения Бернулли
^x + P(x)y=Q(x)y\ (13)
где /г —const. При п — 0 уравнение Бернулли переходит
в линейное уравнение; при п=\ оно является
уравнением с разделяющимися переменными, так как может
- 62 -

быть преобразовано к виду
fi + [P(x)-Q(x)]y = 0
и, следовательно, может быть проинтегрировано
разделением переменных.
В дальнейшем предположим, что n^t\.
Уравнение Бернулли можно соответствующей
подстановкой привести к линейному виду. Для этого разделим
обе части уравнения на уп:
Положим ^т = *· Тогда (1 -η)^ψχ = ^, и уравнение
Бернулли принимает вид
jx^{\-n)P(x)z = {\-n)Q{x).
Это линейное уравнение первого порядка с неизвестной
функцией г\ его можно проинтегрировать способом
подстановки или способом вариации произвольного постоянного
и найти ζ как функцию от х. Возвращаясь к
первоначальному переменному у путем обратной замены ζ на
1///л~\ получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Кроме того, решением любого дифференциального
уравнения Бернулли при /г>»0 является функция # = 0.
Из сказанного выше следует, что любой из этих
способов может быть применен к уравнению Бернулли
непосредственно, минуя промежуточный этап — сведение
последнего к линейному виду.
Найдем общий интеграл уравнения Бернулли
dx χ α *
Разделив обе части уравнения на у2, получим
у2 dx χ у
1 1 du dz
Положим — = г; тогда --? = —- и уравнение принимает вид
-j-Η—г = х*.
dx x
Это линейное уравнение проинтегрируем методом вариации. Общее
решение однородного уравнения ^--] ζ —0 есть г = С/дг3. Пола-
- 63 -

~ n, л dz dC (χ) 1 3C (χ)
гаяС = С(л), вычислим . =—-ζ— „ ;—и подставим в линен-
dx ах х* хх
dC(x) 1 3C(.r) , 3
ное неоднородное уравнение; получаем —н—^ 5—- -4 у
αχ хл χ* χ
Х-^ = .ν:ι, или (1С (х) = хЧх, откуда С (х) = х1 jl -f· С, и, еле-
доватслыю, общее решение неоднородного уравнения z = xxj7 -f-Cx/д:3.
Заменив ζ через 1/г/, получим
Xх , С, /а-"
7 = T+-i, или^+С^-А
Физические примеры
Пример 1. (Переходный процесс в
электрической цепи.) В цепи с индуктивностью происходит
переходный процесс. Индуктивность L и активное
сопротивление R постоянны. Напряжение и задано как функция
от времени /: u~f(i). Начальный ток равен /0.
Найти зависимость тока / от времени t. В частности,
рассмотреть случай, когда и = и0 = const.
Решение. Так как ток / в цепи изменяется со
временем, то вследствие наличия индуктивности L возникает
э. д. с. самоиндукции ei. = — L тт. По закону Кирхгофа
падение напряжения в цепи Ri равно сумме э. д. с.
U — L-T-- таким образом,
τ di τ-ν.
или
L§ + Ri = u. (14)
Это линейное дифференциальное уравнениепервого порядка.
Заменив и через /(/) и разделив обе части уравнения на L,
получим
dt^~ Ll L *
Частным решением этого линейного уравнения,
удовлетворяющим начальному условию i~i0 при t = Q, является
[см. формулу (12)] функция
i = e-*"L ί0 + τ [f(x)eRx'LdT . (15)
64 —

При f (Ζ) = "о = const получаем
t
t
+ϊ5
e^>Lai
(16)
или, так как \ eRxiLdx = -jr (eRt/L — 1),
о
''=^ + (''»--лг)е"Я№· <17)
При возрастании tf множитель e~RtiL убывает, и через
некоторый промежуток времени процесс можно
практически считать установившимся, причем ток будет
определяться по закону Ома:
щ
1 Я'
Если положить ί0 — 0, то получим формулу для тока
при замыкании цепи:
/=^(1_е-л^). (18)
Из равенства (18) видно, что ток ι после включения
батареи нарастает до значения u0/R, определяемого
законом Ома, так как можно считать, что ток ^e_i?'/L,
называемый экстратоком замыкания, очень быстро убывает
и практически скоро становится неощутимым.
Если положить Uq — 0, to получим формулу
затухающего тока при размыкании цепи:
i = te-Rt/Lm (19)
Этот ток, проходящий в цепи, когда в ней снято
напряжение, под действием одной лишь электродвижущей
силы самоиндукции, называется экстратоком размыкания.
С возрастанием t он стремится к нулю.
Постоянную величину L/R называют постоянной
времени цепи.
Рассмотренные вопросы очень важны в тех случаях,
когда замыкание и размыкание быстро следуют одно за
другим, например при телеграфировании.
Особый интерес представляет случай, когда
напряжение источника тока изменяется по синусоидальному
закону « = £ sin ω/ (например, случай подключения #£-цепи
к сети переменного тока). В этом случае, согласно фор-
— 65 «.

муле (12), имеем
i = e
-Rt.L:
ί'ο Η- г \ eRx/L sin on: άτ \
Легко проверить, что
l* / RL
у*4ιηωτ dx = e^L[^jjj^ 5ΐπωτ - ω2/2 + ^2
Поэтому
(20)
ω£2
7> cos ωτ
)·
S
eRxjL $Ίηωτ dx =
и мы получим зависимость тока от времени в виде
• (· ι ω££ \ RilL . RE . . ω!£ „^ ,
(21)
>-
ν
^
У//////////Ш
2a
Множитель e~Ri/L при возрастании / быстро убывает,
„ и потому первое слагаемое этой
формулы через короткий
промежуток времени практически не
влияет на определение
величины i. Сумма оставшихся двух
слагаемых представляет собой
синусоидальную величину с той же
частотой ω, что и напряжение
и, но с другой амплитудой и
другой фазой; при этом она не
зависит от начального тока ι0. Этот
ток называется установившимся.
Пример 2. (Скольжение
веревки.) Веревка лежит на
столе (рис. 11), причем один
из ее концов перекинут через
гладкий блок на высоте а над
столом. В начальный момент кусок
веревки длиной 2а висит свободно
по другую сторону блока. Найти
скорость ν движения этого конца
в зависимости от пути s, если
сопротивление трения при движении принято равным
квадрату скорости, а начальная скорость равна нулю.
1
)
ь
Рис. 11
- 66

Решение. Если выбрать блок в качестве точки отсчета
пути и направить ось Os вниз, то второй закон Ньютона
m-^ = F в нашем случае приводит к дифференциальному
уравнению
{* + a)-£ = (s-a)g-v\
где g —ускорение силы тяжести.
т. dv dv ds dv , ,Λ „Λ«Λ
Так как "d7-T^ = yT. T0 уравнение можно
переписать следующим образом:
(3 + α)νά£ + υ*=(3-α)§. (22)
Это уравнение Бернулли (п — — 1). Подстановкой υ2 = ζ
dv l dz
и соответственно υ -τ — 2 -г приводим его к линейному
виду
dz | 2 z = 2e(s-a)
ds * s-f-α s-\-a
Общее решение этого уравнения находим по формуле (7):
Но
f i^eain(s+e)iis= Ϊ (s2-a2)<is = |--a2s,
и поэтому
* = »2 = H^[2*(-f-<*) + 4
Из начального условия и = 0 при s = 2a находим, что
С = —4ga3/3, и частный интеграл имеет вид
и» = - 2f v, (s3 - 3a2s - 2a3).
Выражение в скобках можно разложить на множители:
s3 - 3a2s - 2tr> = s3 - 2as2 + 2as2 - 4a2s + a2s - 2a3 =
= s2 (s - 2a) + 2as {s - 2a) + a*{s- 2a) = (s - 2a) (s + a)2
— 67 —

и, таким образом, получаем искомую зависимость υ от s:
(23)
f = |/"2f(s-2a).
Докажем, что движение равномерно ускоренное. Для
этого возведем обе части полученного равенства в квадрат
и продифференцируем по /. Будем иметь 2υ ■£ = -j £ ,
ds άυ d2s d2s
dt
мое доказано.
но - = ι\ a ^ = ~y поэтому ~ = | = const, и требуе
Геометрические примеры
Пример 1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку Л (а; а) и обладающей следующим свойством:
если в любой точке Μ (χ; у)
кривой с ординатой РМ
провести касательную до
пересечения с осью Оу в точке Т,
то площадь трапеции ОТМР
есть величина постоянная,
равная а2 (рис. 12).
П
Рис. 12
Рис. 13
Решение. Площадь трапеции определяется по
формуле S = °I±^- .op. Так как ОТ = у-ху\ РМ=у,
а ОР = х, то составляем дифференциальное уравнение
{2у-ху')х=2а\
или
,' 2 „ 2а2
(24)
- GS -

Это линейное уравнение. Его общее решение находим
по формуле (7):
откуда
!, = *»(-2α'$£ +С), или *-*■(!£+С)
и, следовательно,
Подставляя в общее решение начальное условие лг=а,
у = а, находим, что С=1/(За), и уравнение искомой
кривой примет вид
2fl2 ι *2 /OCU
Пример 2. Площадь треугольника, образованного
радиусом-вектором ОМ любой точки Μ (χ; у) кривой,
касательной MP в этой точке и осью Ох, равна 2. Кривая
проходит через точку Л (2; —2). Найти ее уравнение
(рис. 13).
Решение. Площадь треугольника определяется по
формуле S = -jOP-MN, где MN = y — ордината точки М,
а ОР = х — 4- Дифференциальное уравнение имеет вид
у
или
*-f)lt = 4,
£_±*=_±. (26)
dy у у* у '
Это линейное дифференциальное уравнение
относительно неизвестной функции χ аргумента у. Общий
интеграл находим по формуле (7):
* = ein,(_4$^* + c), или х = у(*- + с).
При дс = 2 имеем у= — 2, следовательно, С = — 3/2, и
мы получаем уравнение искомой кривой
3*/2 + 2д:г/-4 = 0.
Пример 3. Составить уравнение кривой, проходящей
через начало координат, зная, что середина отрезка ее
нормали от любой точки кривой до оси Ох находится
на параболе у2 = ах.
— 69 -

Решение. Возьмем на кривой произвольную точку
Μ (х; у). Точка Я пересечения нормали в точке Μ
кривой с осью Ох имеет координаты х + уу и 0, а середина
N отрезка MP нормали — координаты χΝ — χ-\-1^ и уы =
= -?-. Так как точка N лежит на параболе у2 = ах, то
ее координаты удовлетворяют уравнению параболы; имеем
или
f-h—τ <27)
Дифференциальное уравнение составлено. Это
уравнение Бернулли (п = — 1). Перепишем его в виде 2*/#'— =—=
= — 4х и положим г/2 = г, соответственно 2yy'=z'.
Уравнение приводится к линейному виду
*'-- = — 4х.
а
Его общее решение запишем по формуле (7):
г = едт/а^— 4 ξ хе~х'а dx -\- С).
Так как
J xe-x'a dx= — ахе-х'а — а2е~х'а,
то
ζ = у2 = е*/« [4а (*е~ */fl -f яе_дг/а) -Ι- С],
или
Начальное условие */ = 0 при лс = 0 позволяет найти С =
= — 4а2. Уравнение искомой кривой имеет вид
#2 = 4алг + 4а2(1-б-*/а).
§ 5. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Если левая часть уравнения
М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1)
представляет собой полный дифференциал некоторой
функции U (х, у), т. е. если
М{х, y)dx + N(x, y)dy = dU(xt у),
— 70 -^

то уравнение (1) называется уравнением в полных
дифференциалах. В этом случае его можно записать так:
dU(x, y)=0,
откуда интегрированием получаем общий интеграл
U(x, у) = С.
Например, легко проверить, что левая часть
уравнения
2xydx+(x2-2y)dy=0
есть полный дифференциал функции U (х, у)=х2у — у2-
Поэтому уравнение можно записать в виде
d(x*y-y2) = 0,
откуда находим общий интеграл
х2у — у2 = С.
Фактически мы уже пользовались этим замечанием во
Введении. Естественно, возникает вопрос: при каких
условиях уравнение (1) представляет собой уравнение в
полных дифференциалах dl)(x, y) = 0 и как найти функцию
U (х, у)? Ответом на этот вопрос служит следующая
теорема.
Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение
М(х, y)dx + N(x, y)dy, (2)
где функции Μ (χ, у) и N (х~ у) определены и непрерывны
в области D плоскости" хОу и имеют в ней непрерывные
частные производные —У' и —^ , представляло
собой полный дифференциал некоторой функции V (х, у),
необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области
D было выполнено условие
ду ~ дх · W
Доказательство. Докажем сначала
необходимость этого условия. Для этого предположим, что
существует такая функция U (x, t/), что dU = M(xt у) dx +
+ Ν (χ, y)dy, и докажем, что имеет место равенство (3).
Полным дифференциалом функции U (х, у) является
выражение γάχ-\--=τ- dy. Так как оно равно выражению (2),
— 71 -

то мы имеем тождество
Μ μ·, у) dx -|- Ν (χ, у) dy ξ— dx + ~- dy,
справедливое для любых dx и ify. Сравнивая множители
при dx и df/, получим
Продифференцируем обе части первого равенства по у,
а второго —по х; имеем
дМ _ d2U Μ _ &Щ
ду дх ду ' дх ду дх'
Из равенства смешанных производных ^-^- = з—j-
заклюем dN
чаем, 410-^- = ^.
Докажем теперь достаточность этого условия.
Для этого предположим, что условие (3) имеет место, и
докажем, что выражение (2) представляет собой полный
дифференциал некоторой функции U (ху у), т. е. что
справедливы равенства
fx=M(x,y), Щ = Ы(х,у). (4)
Тем самым задача сводится к отысканию функции U (х, у),
удовлетворяющей системе (4) из двух дифференциальных
уравнений с частными производными.
Возьмем первое из уравнений (4). Его решение можно
записать в виде
X
U(xt у)=\М(х, y)dx + <p(y), (5)
Хо
где х0 — абсцисса какой-либо точки Р0 (х0; yQ) области £>,
а <р(у) — произвольная функция от у, заменяющая
произвольное постоянное С, поскольку интегрирование
производится по χ в предположении, что у сохраняет
неизменное значение. Определим φ (у) так, чтобы удовлетворялось
и второе из уравнений (4). Продифференцируем обе части
равенства (5) по у. Тогда получим
X
Χα
- 72 —

но так как ^- = N(x, у), а согласно теореме о
дифференцировании определенного интеграла по параметру
Χα Χο
то
π дМ dN
По условию -д- = ^-; следовательно,
χ
чЧй=Ш?:.1»-\Щ^ах.
Х0
Последний интеграл равен
\Щ£й dX = N (Х, у)
поэтому
=#(*, y)-N(x0, У),
Хо
φ' te)=W(*o, у),
откуда
ФЫ= $W(jf0l y)dy + C,
Уо
где г/0 —ордината точки Р0 (λό; */0) области D, а
С—произвольное постоянное. Подставляя найденное выражение
φ (у) в равенство (5), получим
χ у
U(x, y)=\M (х, y)dx+\N(x0t у) dy + C. (6)
Хо Уо
Итак, не только доказано существование функции U(xy y)t
но даже выведена формула для нахождения этой функции.
Впрочем, при решении соответствующих задач можно не
пользоваться готовой формулой (6), а поступать таким
же образом, как в общем случае (или с заменой
определенных интегралов неопределенными).
Проверим, например, что дифференциальное выражение
(7 χ + Ъу) dx + (3* — Ъу) dy
представляет собой полный дифференциал dU (x, у) и найдем
функцию U (х, у).
— 73 —

В данном случае Μ (х, и) = 7х-\-Зу, N (х, у) = 3х — by, f' = 3,
cW дМ ON ... <У
β^ = ά> следовательно, условие =— выполнено. Найдем
функцию U (х, у), удовлетворяющую уравнениям
dU - . , dU „
^ = 7Л + Зу, ^=3*-5У.
Первое из этих уравнений дает
^(*, ί/)= \ (7д: + 3у)^ + ф(у)=-хз + 3^ + ф(у).
Отсюда ^- = Зл:-(-ф'(г/); поскольку — = 3* — 5#, то 3jc — 5ί/ = 3λ: + φ'{ί/),
5
откуда φ'(ί/)= —5# и φ (у) = — у ί/3 + С- Следовательно,
U(x, у)=^х2 + Зху-^-у* + С.
Если бы надо было проинтегрировать дифференциальное
уравнение
(7x-\-3y)dx+(3x-5y) dy = 0,
то, переписав его в виде
d(~x* + 3xy-^y^ = b,
мы получили бы общий интеграл
7а:2+ 6^ — 5г/2 = С.
Рассмотрим еще один пример. Пусть дано дифференциальное
уравнение
2х cos2 ydx+(2у — λ-2 sin 2у) dy = 0.
Выберем из семейства интегральных кривых этого уравнения ту,
которая проходит через начало координат.
Здесь Μ (χ, y) — 2xcos2y, N {χ, y) = 2y — x"1 sin 2y. Так как
дМ . . 0 . 0 dN .
-з— = — 4л: cos г/ sm у=—2х sin 4/, -5- — — 2х sin 2г/,
дМ dN
то условие -,— = -гг- выполнено и мы имеем уравнение в полных
ду ах
дифференциалах. Остается найти функцию U (х, у), удовлетворяющую
уравнениям
dU 0 0 dU 0 Л . 0
-— = 2лг cos2 у, -тг-= 2у — χ* sm 2у.
дх * ду *
Из первого уравнения находим, что
U (х, У) =- $- 2х cos2 г/ £/л- + q (t/) - χ2 cos2 у f φ (ί/),

откуда
^ = —*2вт2у+ф'(у).
dU
Заменяя у-через 2у — л-2 sin 2у, получим
2у — a·2 sin 2у = — хч sin 2y+q/ (ί/), или φ' (у) = 2у,
так что q)(i/) = i/2 + C. Итак, уравнение семейства интегральных
кривых имеет вид
х*со&.у + у*+С = 0, илиу + Х2С°252у-Ь^ + С = 0.
Уравнение искомой интегральной кривой найдем, зная, что из
начального условия ί/ = 0 при л = 0 следует, что С = 0. Окончательно имеем
A2-bJc2cos2i/ + 2i/2_o.
„ дМ ON ,, -
he л и условие -к- = — -- не выполнено, то
дифференциальное уравнение (1) не является уравнением в полных
дифференциалах. Однако это уравнение можно превратить
в уравнение в полных дифференциалах умножением на
подходящую функцию μ(Λ% у). Такая функция носит
название интегрирующего множителя для данного
дифференциального уравнения. Оказывается, что для всякого
дифференциального уравнения интегрирующий множитель
существует, хотя это не означает, что его легко можно
найти. Покажем, как ищется интегрирующий множитель
уравнения (1).
Для того чтобы уравнение
μΜ (χ, у) άχ-\-μΝ {χ, у) dy = 0
было уравнением в полных дифференциалах, должно быть
выполнено условие
д (μΜ) = д (μΝ)
ду дх '
или
\тди ΛΛδμ /дМ dN\ ,_.
Равенство (7) является дифференциальным уравнением
интегрирующих множителей уравнения (1), поскольку
каждое из его решений, будучи умножено на обе части
уравнения (1), приводит последнее к виду уравнения в полных
дифференциалах. Для нахождения μ (χ, у) нужно
проинтегрировать дифференциальное уравнение с частными
производными (7). В общем случае эта задача является более
сложной, чем интегрирование обыкновенного дифферен-
~- 75 —

циального уравнения (1). Она значительно упрощается,
если μ зависит только от одною переменного χ или у.
Мы рассмотрим только эти два частных случая.
Пусть μ = μ(Λ-). Тогда уравнение (7) принимает вид
дМ dN
N dX -^[~ду дх),иш ητϊχγ- ν ах>
откуда
дМ dN
In μ Μ- 1 6У Λ/ дХ dx + C,
dy
\
N
дМ
ду
J
дх ώ
LtJ
dN
дх
N
т. е.
с ^L δΝ
\jydxdx
μΜ=^ Ν (8)
(произвольное постоянное С принято равным нулю,
поскольку нам достаточно иметь какой-нибудь один
интегрирующий множитель).
^ /дМ dN\ / KJ
Очевидно, что в этом случае выражение ι-л ~&с)/
не зависит от у. Имеет место и обратное: если выражение
(дМ дМ\ / λΤ
-^ 7Ϊ// не зависит от У у то существует
интегрирующий множитель μ, который зависит только от х. Он
выражается равенством (8).
Пусть теперь μ=μ(#). Тогда уравнение (7) принимает
вид
дМ dN
M-dy—^-dy---^), или-j^-- Έ—dy,
откуда
μ (y)=eJ M (9)
где положено С = 0.
D (дМ dN\ ι ,.
В этом случае выражение Ν -к- / Μ не зависит
от χ и, обратно, если это выражение не зависит от х,
то интегрирующий множитель μ, зависящий только от у,
существует и выражается равенством (9).
Для приведения уравнения (1) к виду уравнения в
полных дифференциалах в рассматриваемых частных случаях
— 76 -

n dM dN
практически поступают так. Составляют выражение -,—
и берут его отношение к N. Если это отношение не зависит
от //, то для нахождения интегрирующего множителя
следует пользоваться формулой (8); в противном случае берут
дМ dN k.
отношение выражения-^ -р· кМ; если это отношение
не зависит от х, то существует множитель μ, не
зависящий от х, и его можно найти по формуле (9).
Найдем, например, интегрирующий множитель
дифференциального уравнения
(х*-у) άχ + (χψ + χ) dy^O
и проинтегрируем это уравнение.
В нашем случае Μ {χ, у) = х2 — у, N (лг, у)-=х2у2 + х,
Отношение (ψ. - ™) / Μ = ~2 <'+«'> зависит от χ η у.
\ду dxj/ x2—y
/дМ dN\ / лг —2(1+χί/2) 2
Отношение ^ τ-λ / N — —,ν 0 , ;* = зависит только
\ду dxj/ x(*i/2+!) x
от х. Следовательно, интегрирующий множитель μ = μ(*) может быть
найден по формуле (8):
Умножаем обе части уравнения на 1/х2; получим
l—^)dx + (y*+]-)dy = 0, или dx + ?dy + xdy-ydx=Q.
χ2 ι V * χ * ' v *2
xdy — ydx_ ly^
χ* [χ
тем интегрирования в виде
Так как —у-~у— — d (-^J, то общий интеграл получается пу-
* + у + 7 = у> или Зх« + ^ + Зу-Сж = 0.
Найдем интегрирующий множитель линейного
уравнения
d/i+P(x)y=Q(x).
Для этого перепишем уравнение в виде, содержащем
дифференциалы: [Р (х) y—Q {χ)] dx-\-dy=0. Здесь Μ (χ, у) =
= Ρ (χ) у — Q (χ), a N (χ, у) = \\ поэтому
дМ η , λ dN Λ дМ дМ D . ч
- 77 —

Отношение f'j — '' ) / Ν = Ρ (χ). По формуле (8) имеем
Умножение обеих частей линейного уравнения на
с* (А) приводит его к уравнению в полных
дифференциалах. Таким образом, получается еще один способ
интегрирования линейного уравнения.
и - » dy
Наидом интегрирующий множитель линейного уравнения -: \-
-\-ау = етх и проинтегрируем это уравнение, если а-\-тфО,
В данном случае Р(х) — а. Поэтому μ(χ)=βαχ. Имеем
е"х [{ау — е"1*) dx + dy]=Q, aeaxy dx + cax dy—e(a+m>x dx = 0,
или
d (eaxy) — c<a+m,xdx = 0.
Общин интеграл
а общее решение
е(а+т>х
еаху =. С,
рШХ
у = Се~ах +
fl-{-m
§ 6. О СОСТАВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Решение геометрических и физических задач, требующих
составления дифференциальных уравнений, обычно
вызывает затруднения: специфика конкретных физических
задач требует знания разнообразных законов физики.
Универсального метода составления дифференциальных
уравнений, пригодного во всех случаях, указать нельзя;
можно лишь дать некоторые общие указания.
При составлении дифференциальных уравнений первого
порядка из условия геометрической или физической задачи
обычно приходят к одному из следующих трех видов
уравнений:
1) дифференциальные уравнения в дифференциалах;
2) дифференциальные уравнения в производных;
3) простейшие интегральные уравнения с последующим
преобразованием их в дифференциальные уравнения.
Рассмотрим, как составляются уравнения каждого из
приведенных видов в отдельности.
I. Уравнен и яв дифференциалах. При
составлении дифференциальных уравнений первого порядка часто
бывает целесообразно применять так называемый метод
дифференциалов. Этот метод заключается в том, что из
— 78 —

условия задачи составляется приближенным путем
соотношение между дифференциалами. При этом делаются
допущения, упрощающие задачу и вместе с тем не отражающиеся
на результатах. Так, например, малые приращения величин
заменяются их дифференциалами, неравномерно
протекающие физические процессы (неравномерное движение точки,
нагревание или охлаждение тела, истечение жидкости из
сосуда и т. д.) в течение малого промежутка времени dt
рассматриваются как равномерные, протекающие с
постоянной скоростью. Эти допущения не отражаются на
правильности окончательных результатов вследствие того, что
замена приращений дифференциалами сводится к
отбрасыванию бесконечно малых высших порядков малости. Так
как отношение дифференциалов функции и аргумента
Рис. 14
является пределом отношения их приращений, то по мере
того, как приращения стремятся к нулю, наши допущения
выполняются с большей точностью. Получающиеся при
этом дифференциальные уравнения оказываются точными,
если они однородны и линейны относительно
дифференциалов.
Рассмотрим геометрический пример на применение
метода дифференциалов.
Пример 1. По какой поверхности вращения надо
отшлифовать зеркало рефлектора, чтобы выходящие из одной
точки световые лучи после отражения в зеркале
пересекались в другой точке?
Решение. Очевидно, задача сводится к нахождению
уравнения сечения искомой поверхности меридианной
плоскостью, проходящей через точку Fu в которой
помещается источник света, и точку Fit в которой пересекаются
отраженные лучи (рис. 14). Пусть MQ — малая дуга этого
- 79 -

сечения. Будем ее считать прямолинейным отрезком и
опишем из точек Fx и F2t как из центров, дуги MN и MP
окружностей радиусами /Γ1Λί = /-1 и F2M = r2. Эти дуги
также будем считать прямолинейными отрезками.
Треугольники MQN и MQP — прямоугольные {/_ MNQ и
„_ MPQ — прямые) с общей гипотенузой MQ. Пользуясь
известным законом оптики о равенстве углов падения и
отражения, а также свойством равенства вертикальных
углов, находим, что Ζ MQN'= /_ MQP', и треугольники
оказываются равными между собой. Отсюда следует, что
QN = QP, но так как QN = — Arlt a QP = Ar2, то, заменяя
приращения
радиусов-векторов /ί и г2 их
дифференциалами, имеем
агх + аг2 = 0. (1)
Дифференциальное
уравнение составлено. Оно
легко интегрируется. Для
этого перепишем его
следующим образом:
d('i+ /-.) = О,
откуда находим общий
интеграл
ri + rt = C. (2)
Итак, сечением
искомой поверхности
меридианной плоскостью оказался эллипс. Следовательно, зеркало
рефлектора надо отшлифовать по поверхности эллипсоида
вращения.
Эту задачу видоизменим следующим образом.
Предположим, что световые лучи, выходящие из точки Flt после
отражения должны стать параллельными *.
Выберем систему координат таким образом, чтобы
источник света помещался в начале координат, а
отраженные лучи были параллельны оси Ох (рис. 15). Пусть
MN — малая дуга сечения, которую, как и прежде, будем
считать прямолинейным отрезком. Из точки О, как из
центра, проведем дугу NQ окружности радиусом ON =
= ОМ -f- MQ. Эту дугу также будем считать прямоли-
* См. пример 2 § 3, с. 55, 56.
- 80 -,

нейным отрезком. Из точек Μ и N с абсциссами χ и x+dx
опустим перпендикуляры МА и NB на ось Ох, а из точки М,
кроме того, опустим перпендикуляр на прямую BN до
пересечения с ней в точке Р. Треугольники MQN и MPN—
прямоугольные {£. MQN и 2 MPN — прямые) с общей
гипотенузой MN. Эти треугольники равны между собой,
так как у них имеется по равному острому углу Ζ QMN=
= Ζ, ΡΜΝ, что следует из равенства углов падения и
отражения и из равенства вертикальных углов. Поэтому
MQ^MP, а так как MQ — dr (приращение Аг мы
заменяем дифференциалом dr) и MP = dx, то
дифференциальное уравнение имеет вид
dr = dx. (3)
Интегрированием находим общий интеграл
г = х + С (4)
или, заменяя г через ~\fx2-\-y2>
YxT+J* = x + C.
Если возвести обе части уравнения в квадрат, то
получим уравнение
у* = 2С.х + С\ (5)
которое показывает, что сечением является парабола, и
потому зеркало рефлектора в этом случае надо отшлифовать
по поверхности параболоида вращения.
Примеров физического содержания на применение
дифференциального метода здесь приводить не будем. Ряд
задач § 2 решался этим методом, хотя об этом там явным
образом не говорилось. Рекомендуем внимательно
просмотреть их еще раз с этой точки зрения.
II. Уравнения в производных. Во многих
случаях можно составить дифференциальные уравнения, в
которых вместо дифференциалов содержатся производные,
рассматриваемые как скорости изменения величин. При
этом, в частности, используется геометрический смысл
производной (угловой коэффициент касательной) и ее
физический смысл (скорость протекания неравномерного
процесса). Этот метод является видоизменением метода
дифференциалов. Отсутствие бесконечно малых здесь только
кажущееся: при этом методе используется готовое понятие
скорости изменения величины, которое само появилось из
рассмотрения бесконечно малых элементов.
- 81 —

В предыдущих параграфах приведено много примеров
геометрического и физического содержания, в которых
дифференциальные уравнения составлялись подобным
образом.
III. Простейшие интегральные уравнения.
Решение некоторых задач приводит к уравнениям,
содержащим неизвестные функции под знаком интеграла. Такие
уравнения называются интегральными. Они, в частности,
возникают, когда используется геометрический смысл
определенного интеграла как площади криволинейной трапеции
и другие интегральные формулы (длина дуги, площадь
поверхности, объем тела, работа силы и т. д.). В простейших
случаях удается путем дифференцирования преобразовать
интегральные уравнения в дифференциальные, которые
интегрируются обычными методами. Приведем примеры.
Пример 2. Найти кривую, проходящую через точку
М0 (2; 4) и обладающую следующим свойством; если через
любую точку кривой провести две
прямые, параллельные
координатным осям, до пересечения с
последними, то полученный при этом
прямоугольник делится кривой
на две* части, из которых одна
(примыкающая к оси Ох) по
площади вдвое больше другой.
Решение. Через точку Μ (х\ у)
кривой проводим две прямые: МЛ
параллельно оси Оу и MB
параллельно оси Ох (рис. 16).
Согласно условию задачи, пл. ОСМЛ =
χ
= 2пл. СВМ. Так как пл. OCMA = \ydx, а пл. СВМ =
о
χ
= пл. ОВМА — пл. ОСМА= ху — ^ydx, то получаем урав-
Рис. 16
нение
/
^ydx = 2 ixy— J у ах , или 3^ydx = 2xy.
Продифференцируем по χ обе части полученного
уравнения:
Зу = 2у-\- 2ху', или 2ху' = у.
-82 ^

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными. После разделения переменных получим
Γ,ί/ί/ _ dx
" у ~ χ '
откуда у2 = Сх.
Таким образом, указанным свойством обладают
параболы с вершинами в начале координат и с осями
симметрии, совпадающими с осью Ох. Используя начальное
условие, находим, что С = 8, и потому искомой кривой
является парабола* у2 — 8х.
Пример 3. Найти закон прямолинейного движения
материальной точки массы ш, если известно, что работа
действующей на точку силы пропорциональна времени /,
протекшему от начала движения (коэффициент
пропорциональности к). Начальный путь и начальная скорость
равны соответственно s0 и v0.
Решение. Из курса механики известно, что в
случае прямолинейного перемещения точки, когда направле-
s
ния силы и скорости совпадают, работа А = ^ F (и) dut где
So
F(s) —действующая на точку сила. По условию задачи,
A=kt. Сравнивая оба выражения для Л, находим
s
\ F(u)du = kt.
Дифференцированием по s получаем
ds , . at 1 1
а так как -^ — ν (скорость движения) и -т- = -г-тт ~ —,
то F is) — —.
С другой стороны, из второго закона Ньютона следует,
что F(s)=m-тт. Сравнивая оба выражения для F (s),
составляем дифференциальное уравнение
dv k
at v '
* Из полученного решения видно, что кривая проходит через
начало координат, т. е. точка С должна совпадать с точкой О (см.
рис. 16).
83 —

откуда
— =.-_ kt-\~ d.
Из начального условия u = v0 при t — Ο находим, что
Cj ~mvl/2, и потому
Заменяя ν через -^ и интегрируя, получим
Из начального условия s = s0 при / = 0 находим, что С2 =
mvl
= s° —3F' п закон движения точки окончательно примет
вид
S-3k[m ' + υή 'S°~~3JT·
§ 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
При определении общего решения, которое было дано
в § 1, возникал вопрос об условиях существования
частного решения, удовлетворяющего данному начальному
условию. Наиболее простые из них даются следующей
теоремой существования и единственности решения
дифференциального уравнения первого порядка.
Теорема Кош и. Если функция f (х, у) определена и
непрерывна в области D плоскости хОу и имеет
непрерывную частную производную 4~ во всех точках этой
области, то, какова бы ни была точка М0 (х0; у0) области D,
всегда существует, и притом единственная, функция у =
= ц)(х), которая определена и непрерывна в некотором
интервале, содержащем хй, является решением уравнения
y'=f(x, у) и принимает при х=х0 значение у — у0.
Геометрически это означает, что через любую точку
области D проходит единственная интегральная кривая,
т. е. кривая, в каждой своей точке касающаяся
направления, задаваемого полем, которое определяется
дифференциальным уравнением.
— 84 ~

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы,
укажем метод, которым оно может быть получено.
Дифференциальное уравнение
у'Ч(х> у) (U
с начальным условием у\х=Хо = у0 можно переписать в виде
χ
y = y*+SfV. y)dt, (2)
Χο
где ί означает переменное интегрирования.
Уравнение (2) является простейшим интегральным
уравнением, эквивалентным дифференциальному
уравнению (1) с начальным условием у\х=Ха = Уо- В самом деле,
при х = х0 определенный интеграл обращается в нуль и
у — у0. Производная же интеграла по верхнему пределу
равна функции, стоящей под знаком интеграла, в
которой переменное интегрирования заменено верхним
пределом, т. е. y'=f{x, у).
Решение уравнения (2) не может быть получено путем
непосредственного интегрирования, поскольку зависимость
у от t неизвестна. Однако его можно использовать для
получения приближенных решений. Для этой цели
примем в качестве нулевого приближения функцию, равную
постоянному числу, т. е. у—у0. Тогда первое
приближение можно определить равенством
χ
0ι=0ο+$/(Λ Уо)М.
Хо
Функция у ι уже может быть получена, так как здесь
под знаком интеграла стоит известная функция от ΐ.
Аналогично полагаем
χ
У2 = Уо+ $/(*, yi)di
Хо
и вообще
χ
0/i = i/o+J/(Л ya-i)dt.
х0
Можно доказать, что в условиях приведенной выше
теоремы Коши последовательность функций \уп\ сходится
на некотором интервале, содержащем точку л-0, и имеет
— 85 «-

своим пределом функцию //, удовлетворяющую
интегральному уравнению (2), а значит, и дифференциальному
уравнению (1) с заданным начальным условием. Это и
будет доказательством теоремы Кош п.
Нарушение какого-либо из условии теоремы Коши в какой-нибудь
точке может привести к тому, что координаты этой точки не будут
явтяться «возможными начальными условиями» в том смысле, в каком
эти слова употребляются в § 1. Через такую точку может не
проходить ни одна интегральная кривая уравнения, а могут проходить
несколько интегральных кривых. Изолированные точки плоскости,
в которых нарушается существование или единственность решения
данного дифференциального уравнения, называются особыми точками
этого уравнения.
Заметим, что условия теоремы Коши являются лишь
достаточными, но не необходимыми. Поэтому особые точки
дифференциального уравнения (1) следует
искать среди точек разрыва
функции / (ν, у) и точек, где не суще-
ствует производная у-, однако все
такие точки не обязательно
должны быть особыми.
Поведение интегральных
кривых в окрестности особой точки
может быть весьма
разнообразным. Познакомимся на примерах
с некоторыми возможными типами
особых точек. Мы ограничимся
рассмотрением однородного
дифференциального уравнения вида
Рис. 17
:aix±biy
α2λ' + b2y
с очевидной особой точкой (0; 0), в которой правая часть не
определена. Различные соотношения между коэффициентами приводят
к тому или иному типу расположения интегральных кривых в
окрестности особой точки (начала координат).
Пример 1. Рассмотрим уравнение
'-Ч- <3>
Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение
у = Сх\ (4)
Таким образом, общее решение есть семейство парабол с вершиной
в начале координат, касающихся оси абсцисс. Общий вид
расположения интегральных кривых в окрестности особой точки изображен
на рис. 17. Особая точка дифференциального уравнения с таким
расположением интегральных кривых называется узлом.
Пример 2. Для уравнения
(5)
— 86

общим решением является у = Сх, т. с. семейство всех прямых,
проходящих через начало координат (включая и ось ординат, так как
решение можно было бы записывать и в виде х = Су. Такая точка
также называется узлом (дикритический узел); этот случай отличается
от предыдущего тем, что каждая интегральная кривая имеет в
особой точке свое направление
(рис. 18). „
Пример 3. Для уравнения σ
У χ
(6)
Рис. 18
общим интегралом является
ху = С, т. е. семейство
гипербол, асимптотами которых
служат оси координат. При С = 0
получаем, в частности, оси
координат х = 0 и у = 0. Эги
интегральные кривые проходят
через начало координат, все
остальные через особую точку не
проходят. Расположение
интегральных кривых в этом
случае показано на рис. 19;
особая точка такого типа
называется седловиной.
Пример 4. Рассмотрим
уравнение
ν х—у
Подстановка у = их
приводит дифференциальное
уравнение (7) к виду
du_ _ 1 + Ц2
dx ~ 1 — и '
откуда после разделения
переменных и интегрирования
получаем
lnC + arctg« — -2-ln(l + u2) =
= In x,
или, иначе,
x[/TT^ = C<?arcte«.
Возвращаясь к старым
переменным, находим рис jg
УхТ+у2=Сеагс{*Мх). (8)
Переходя к полярным координатам, приведем уравнение (8)
к виду р = ОЧ'. Это —семейство логарифмических спиралей, которые
образуют вокруг начала координат неограниченное число витков
(при φ-> —оо). Вид семейства интегральных кривых в окрестности
особой точки показан на рис. 20. Такая особая точка носит
название фокуса.
- 87 -

Пример 5. Рассмотрим уравнение
, х
У = .
У
Интегрирование этого уравнения дает
Х2 + у2 = С,
т. е. семейство окружностей с центром в начале координат. Через
Рис. 20 Рис. 21
саму особую точку не проходит ни одна интегральная кривая
(рис. 21). Такую особую точку называют центром.
§ 8. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущих параграфах были рассмотрены
некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающие
интегрирование в конечном виде. Число их невелико (оно
несколько увеличится в следующем параграфе), но отнюдь
не по причине ограниченности втузовского курса. Дело
в том, что таких типов уравнений вообще немного. Между
тем практические задачи часто приводят к
дифференциальным уравнениям самого разнообразного характера, для
решения которых приходится прибегать к
приближенным методам.
Различного рода приближенным методам решения
дифференциальных уравнений посвящена обширная
литература*. Обычно они изучаются в разделе, специально
посвященном методам вычислительной математики. Тем
* Наиболее близкими по уровню и стилю изложения нам
представляются: Р. С. Г у те ρ и Б. В. Овчинский, Элементы
численного анализа и математической обработки результатов опыта,
М., «Наука», 1970; Б. П. Д е м и д о в и ч, И. Α. Μ а р о н, Э. 3. Ш у-
в а л о в а, Численные методы анализа, М., «Наука», 1966; Р. В. X е м-
минг, Численные методы, М., «Наука», 1972.
— 88 —

не менее мы коротко остановимся на некоторых наиболее
простых из этих методов, чтобы познакомить читателя и
с этой стороной исследования дифференциальных
уравнений.
Знакомство с этим материалом начнем со способа
последовательных приближений, который основан на
построении последовательности {уп\ функций, сходящейся
к решению дифференциального уравнения y'=f(x,y)
с начальным условием у\х = Хо = Уо· Построение такой
последовательности было приведено в предыдущем
параграфе при описании метода доказательства теоремы Коши.
Любая из функций последовательности \уп] может быть
принята за приближенное решение нашей задачи. Проще
всего познакомиться с построением такой
последовательности на примере.
Решим способом последовательных приближений
дифференциальное уравнение у'=ху с начальным условием у \х_0=\.
За нулевое приближение принимаем функцию ι/=1. Тогда
X
о
χ
о
*-ι + $'(ι + τ + τ)Λ-1+τ + τ + β·
о
Ни одна из функций этой последовательности не удовлетворяет точно
заданному уравнению, но точность полученного приближения быстро
возрастает с ростом номера приближения. В этом легко убедиться,
найдя точное решение уравнения и разложив его в степенной ряд.
Рекомендуем читателю проделать это самостоятельно.
Решение дифференциального уравнения можно искать
графически, используя поле направлений, определяемое
этим уравнением. Построение поля направлений
значительно облегчается, если воспользоваться так называемыми
изоклинами, т. е. линиями, состоящими из точек поля
с одинаковым направлением. Все интегральные кривые,
пересекающие какую-нибудь изоклину, наклонены в
точках пересечения под одним и тем же углом к оси Ох
(отсюда происходит название изоклины — линии одинако-
— 89 -

вого наклона). Из определения изоклины вытекает способ
составления се уравнения: следует левую часть уравнения
i/' = f(x, у) положить равной некоторой величине k и
тогда уравнение /(.ν, у) = к, где k — параметр, будет
уравнением семейства изоклин. Придавая параметру к
различные значения: къ k«, кл, ..., получим разные изоклины
данного дифференциального уравнения.
Построим, например, с помощью изоклин поле
направлении дифференциального уравнения уг = -^. Уравнение
семейства изоклин данного уравнения -у = k, или χ = 2k.
Изоклинами служат прямые, параллельные оси Оу (рис. 22).
Положив k = 0, будем иметь изоклину х = 0 (ось Оу), во
всех точках которой направление поля параллельно оси Ох.
При k=\ получим
изоклину χ = 2, во всех
точках которой направление
поля образует с осью Ох
угол 45°; полагая k==
= — 1, найдем, что во
всех точках изоклины х =
= — 2 направление поля
■дГ образует с осью Ох угол
— 45°, и т. д.
Если задать
какую-нибудь точку, например
точку М0(—2\ 3), то можно
построить приближенно
интегральную кривую, проходящую через эту точку,
используя то, что касательная к кривой в каждой точке
совпадает с направлением поля в этой точке. Из чертежа видно,
что интегральная кривая напоминает параболу. Это вполне
у-
естественно: общее решение уравнения i/f =-=- представ-
ляет собой семейство парабол i/ = ^--fC, а начальное
условие #|*=-2 = 3 определяет одну из этих парабол.
В качестве второго примера построим поле
направлений дифференциального уравнения у' = х2-\- у2.
Изоклинами этого уравнения будут концентрические окружности
с центром в начале координат: x2-\-y2 = k (рис. 23). При
k = 0 получаем точку —начало координат О (0; 0), в
которой направление поля параллельно оси Ох. При &=1
имеем окружность х2 + у2=\, в каждой точке которой
^ 90 —
*0
-Z
ч
ч
ч
ч
ч
ч
У-/
ч
ч
У\
X
>г~
•χ
4 0
V
,
~*"
^^
ζ. /
V
>
у
S
2
7
/
/
/
/
/
/
/,
/
/
Рис. 22

направление поля образует с осью Ох угол 45°,
и т. д.
Если задать определенную точку, например начало
координат О (0; 0), то можно построить проходящую через
нее интегральную кривую. На рис. 23 показаны, кроме
нее, еще две другие интегральные кривые.
Интегральную кривую дифференциального уравнения
y' — f(x, у), проходящую через заданную точку М0 (х0; у0),
можно построить приближенно в виде ломаной и не строя
предварительно поля направлений. Для этого можно
воспользоваться следующим приемом.
Рис. 23
Проведем на плоскости хОу ряд прямых,
параллельных оси Оу и пересекающих ось Ох в точках А0, Аъ Л2,
Л3, ... с абсциссами х0, хъ х2, ... (рис. 24). На прямой
х = х0 возьмем точку М0 (х0\ у0) и от нее будем вести
ломаную, заменяющую интегральную кривую. Подставим
в правую часть уравнения координаты точки М0 и
вычислим угловой коэффициент касательной к интегральной
кривой в этой точке tga0 = i/o = /(#o» Уо)· Если
вертикальные прямые взяты достаточно близко друг к другу, то
отрезок кривой между прямыми х=х0 и л: = лг1 можно
приближенно заменить отрезком касательной к ней
в точке М0. Для его построения проводим из точки М0
— 91 —

луч с угловым коэффициентом r/ό == tg oc0, вычисленным
выше, до пересечения с ближайшей прямой д: = л:1вточке
Mi (Χι, tji).
Это построение можно несколько упростить, взяв на
оси Ох влево от начала координат полюс Ρ на расстоянии
РО=\ и отложив на оси Оу отрезок ONQ = f(x0, у0).
Если соединить прямой точку N0 с полюсом, то
отношение -p£- = f(x0f y0) = iga0. Проведя из точки М0 прямую
параллельно PN0, получим отрезок МйМ1 касательной,
которым заменим отрезок интегральной кривой на участке
(·Χ"ο> ·*Ί)·
<^
Ρ
У
"п
0
\
Уо
*о
Δ
>
А,
h -3
>
Уг
Аг
Л
Уз
Аз
"г л
3
*^*
N
N
.
ч
V
\
>
An
1
Уп
η х
Рис. 24
Дальнейшее построение производится таким же
образом. Примем точку Мг (хх; уг) за точку интегральной
кривой. Ординату ух определяем по чертежу; ее значение
вместе со значением хх подставляем в уравнение и
вычисляем tga1 = ^i==/ (χι, у ι). Далее, на оси Оу отложим
отрезок ON1 = f(xu Ух)% соединим точку Nx с полюсом Ρ
отрезком прямой и из точки Мг проведем отрезок
прямой MXM2\PNX до пересечения с прямой х = х2 в точке
М2(Хо', Уг)· Затем выполняем то же построение, исходя
из точки Л42, и т. д. Эти построения можно проводить
как в направлении возрастающих, так и в направлении
убывающих абсцисс. Ломаная М0МХМ2М3... представляет
приближенно искомую интегральную кривую, проходящую
через точку М0(х0; у0). Она называется ломаной Эйлера,
При построении отрезка ОР и отрезков ON0, ONX}
ON2, ... можно пользоваться масштабом, отличным от
масштаба, принятого по осям координат, так как
направление отрезков PN0t РМх, РМ2, ... не зависит от выбора
масштаба для этих отрезков.
— 92 -

Рассмотренный способ графического нахождения
приближенного решения дифференциального уравнения
первого порядка называется методом ломаных Эйлера.
Этот способ часто применяется на практике, но, обычно,
не в описанной графической форме, а как численный,
в результате применения которого мы получаем таблицу
значений приближенного решения. Действительно, из
построения первой же точки вытекает, что мы принимаем
ее ординату равной
У1 = Уо + У о (Χι - *0) = у0 + (*ι - *о) / (*о, Уо) ·
Если предположить, что точки *0> *ь *2» ··· выбраны
равноотстоящими и обозначить расстояние между ними
через h = xk+1 — xkt то можно записать
yi = yo + y'oh = y0 + hf(x0t у0),
y2 = yi + y\h = y1-\-hf(xu yj,
и вообще
yk + i = yk + y'kh = yk-i-hf(xkt yk). (1)
Решим методом Эйлера то же, что и в примере на стр. 89,
уравнение у' = ху с начальным условием «у | *_0 — Ь вычислив
таблицу значений с шагом h = 0,1.
Представим вычисления схемой, оформленной в виде приведенной
ниже таблицы. По заданным начальным значениям χ и у в первой
строке сначала вычисляется производная, которая записывается
в той же строке колонки (4). Затем находится Δ«/ = «/7ι для колонки
(3). Прибавление Δί/ к значению у в предыдущей строке дает
значение у в следующей строке. Дальнейшие вычисления производятся
по той же схеме.
(1)
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
(2)
У
1
1,000
1,010
1,030
1,061
• 1,103
(3)
&У
0,000
0,010
0,020
0,031
0,042
(4)
у'=ху
0
0,100
0,202
0,309
0,424
Значение точного решения у = е* '2 в точке χ = 0,5 равно
«/=1,133, так что абсолютная погрешность полученного
приближенного решения равна 0,030, а относительная — 3%.
— 93 —

Как видно из приведенного примера, численные методы
более удобны при решении конкретных прикладных задач
по сравнению с другими приближенными методами, так
как дают решение в форме, пригодной для дальнейшего
использования. Однако, по крайней мере для
приведенного уравнения, метод Эйлера дает довольно грубое
приближение: даже при шаге h = 0,1 относительная ошибка
после пяти шагов составляет 3%. Это объясняется здесь
большой скоростью роста решения. Для других
уравнений дело обстоит более благополучно. Тем не менее метод
Эйлера, являющийся наиболее простым, действительно
наименее точен.
Одна из возможностей улучшения точности состоит
в том, чтобы заменить кривую касательной, проведенной
не в конце участка, а в середине его. Для этого вместо
участка (xk, x,t + 1) рассмотрим участок (xk-i, Xk+i), в
середине которого находится точка xk. Если заменить
интегральную кривую на этом участке касательной,
проведенной в точке с абсциссой х/{, то ее угловой коэффициент
будет равен ij'k=f (xk, Уп) и. поскольку длина участка
равна 2/г, получаем
byk = 2hyk=2hf(xk, у,), (2)
Ук+'1 = Ук-л + ЬУк = ик-1 + Щ'к=Ук-1 + Щ{Хк, Ук)· (3)
Эти формулы, дающие более точный результат,
представляют так называемый уточненный метод Эйлера.
Некоторая трудность его применения состоит в том, что
приведенные формулы можно применять лишь начиная
с k=\f что дает возможность найти Уъ = Уо-\-2Ну\=у0-{-
+ 2/г/(хх, iji); здесь предполагается известным не только
//с, но и у1. Чтобы получить значение уи можно
воспользоваться обычным методом Эйлера. Еще лучше
предварительно вычислить по методу Эйлера значение у\/2 в
«половинной точке» χι/2 = *ο + Λ/2.
Рассмотрим применение уточненного метода Эйлера на примере
того же уравнения у' = ху, у\х^0=\, h = 0,1.
Так как у'0 = .v„//0 = 0, то для «половинной точки» получаем
Ау0 = и и у J/2 = 1,000. Тогда
У1/2 = х\/2У1/2 = 0,050.
Теперь мы можем написать
yL = Уо -]_ hy' = ι + 0,005 = 1,005
94 —

и дальнейшие вычисления вести уже по формулам (2) и (3). Так,
1,;=^ = 0,101; y2 = y(} + 2hyl = 1+2.0,1 -0,101 = 1,020;
у: = х#г = 0,204; у, = у, + 2hy'2 = 1,005 + 0,041 « 1,046.
Вычисления, как обычно, следует вести в приведенной ниже
таблице:
(1)
X
0
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
(2)
У
1
1,000
1,005
1,020
1,046
1,083
1,133
1,196
1,277
1,375
(3)
Δ//
0
0,005
0,020
0,041
0,063
| 0,087
о.пз
0,144
0,179
(4)
У'
0
0,050
0,101
0,204
0,314
0,433
0,567
0,718
0,894
Сравнение с точным решением показывает, что для χ = 0,5
значение, полученное при уточненном методе Эйлера, совпадает с
точным. Для χ = 0,8 точное решение равно у = 1,377, так что
абсолютная ошибка составляет 0,002, а относительная — менее 0,2%.
Уточненный метод Эйлера, при той же трудоемкости
вычислений, дает, как правило, много более точные
результаты. Однако ему свойствен другой существенный
недостаток — неустойчивость: при большом числе шагов
значения приближенного решения, полученные этим
способом, могут начать колебаться около истинного решения
с возрастающим размахом. При обнаружении таких
колебаний следует отказаться от применения этого метода и
обратиться к более точным.
Такие численные методы приближенного решения
дифференциальных уравнений, основанные на различных идеях
и, чаще всего, опирающиеся на метод Эйлера, сводятся к
более точному вычислению приращения Δί/. Естественно,
формулы становятся сложнее, а вычисления довольно
громоздкими. В настоящее время все шире
распространяются методы, носящие название методов прогноза и
коррекции. Мы остановимся на рассмотрении простейшего
представителя этого класса; возникновение названия будет
ясно из изложения.
Рассматривая снова произвольный участок (xk, xfr+i)
в предположении, что все значения xk являются равноот-
— 95

стоящими, мы можем написать
хкп
Ьуи^Уь-й-Ук^ 5 y'(x)dx. (4)
К вычислению этого интеграла можно применить какую-либо
формулу для приближенного вычисления определенных
интегралов, например формулу трапеций. Тогда формулу
(4) можно переписать так:
Δ0* = γ(0* + ί/* + ι)- (5)
Применение формулы (5) для вычисления приращения
кук искомого решения предполагает известным значение
производной у' не только в точке xk, но также и в точке
λ'Α + 1. Его можно получить из дифференциального
уравнения y'k + \=f (Xk+i> #a + i); однако для этого надо знать
tjk+u которое мы ищем! Получается порочный круг, но
его можно разорвать следующим образом.
Вычислим сначала значение yk + i с помощью какого-либо
простейшего способа (прогноз). Это значение можно
подставить в дифференциальное уравнение и получить оттуда
значение производной y'k + \. Теперь мы получаем
возможность воспользоваться формулой (5) и вычислить новое,
исправленное приращение искомой функции (коррекция).
Если считать, что прогноз делается по уточненному методу
Эйлера, то последовательность действий для описываемого
метода прогноза и коррекции сводится к следующему:
Ук+1 = Ук-\Л-Щ'к* (прогноз)
«/* + !=/(**, Ук),
Ук+1 = Ук + 1Цук + у'к+1) /2 (коррекция).
Другие методы прогноза и коррекции основаны на
тех же идеях и отличаются от описанного тем, что как
для прогноза, так и для коррекции очередного значения
решения применяются другие, более точные,^ хотя и более
сложные формулы. Например, для коррекции, при
вычислении интеграла в формуле (4), можно использовать не
формулу трапеций, а более точную формулу парабол.
Разность между прогнозированным и
скорректированным значениями функции в очередной точке позволяет
судить о погрешностях получающегося приближенного
решения, что весьма важно в практических задачах, где
точное решение неизвестно, а другие методы оценки
практически невозможны или чрезвычайно трудоемки.
— 96 —

Найдем решение дифференциального уравнения у' == 2ху* с
начальным условием у \ х 0 = 0,25 па отрезке (0, 1] с шагом h = 0,2 при
помощи описанного выше метода прогноза и коррекции.
Псе вычисления, как обычно, сведены в приведенную ниже
таблицу. Для лучшего понимания их расскажем подробнее, как они
выполняются.
Колонка (1) таблицы содержит значения х. В колонках (2) — (5)
вычисляются прогнозированные значения и, так же, как и в
предыдущем примере (уточненный метод Эйлера), только для удобства
вычислений производной вставлена колонка (4), содержащая величину
у-. Колонки (6) — (9) содержат аналогичные значения, полученные
уже по формулам коррекции. Наконец, в колонке (10) приведены
1
для сравнения значения точного решения у = — 5-.
Вычисления производятся в следующем порядке. Сначала по
начальным данным в первой строке вычисляется производная [колонки
(4) — (5)] и приращение Δι/ [колонка (3)] для «половинной точки»,
которая находится во второй строке (дГ|,2 = 0,1). Эта строка играет
вспомогательную роль и дальше в вычислениях не участвует. После
нахождения производной </j,2 = 0,012 в этой точке мы вычисляем
Δι/= 0,002 [колонка (3)] и прибавляя его к начальному значению у0,
находим прогнозированное значение у в точке *j = 0,2. Это значение
записано в колонке (2) и равно г/х = 0,252. Производная здесь равна
у[ = 0,026 и по формуле (5), учитывая, что у'и — 0 (значение берется
в первой строке; напоминаем, что вторая строка в вычислениях
не участвует!), находим для колонки (6) Δί/ = 0,003, так что
скорректированное значение уъ = 0,253 [колонка (7)]. По нему
вычисляется исправленное значение у'.-, в колонках (8) — (9), которое здесь
совпадает с первоначальным.
Исправленное значение производной используется затем для того,
чтобы получить Δί/ по формуле (2) для прогноза нового значения у.
Эта величина Δί/ = 0,010 записывается в колонке (3). Чтобы получить
очередное прогнозированное значение у, следует прибавить к у0
полученное Δ»/- Дальнейшие вычисления производятся в том же
порядке. Необходимо только иметь в виду, что для получения
очередного прогноза значение Ау из колонки (3) прибавляется к
значению у в предыдущей строке, в качестве которого берется
скорректированное значение из колонки (7). Рекомендуем читателю
проверить все выкладки в приведенной таблице, для чего вполне
достаточно логарифмической линейки.
(1)
X
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
(2)
У
0,250
0,250
0,252
0,260
0,275
0,297
0,332
(3)
Δί/
0
0,002
0,010
0,022
0,036
0,057
(4)
У2
0,062
0,062
0,064
0,068
0,075
0,088
0,110
(5)
У'
0
0,012
0,026
0,054
0,090
0,141
0,220
(6)
Ду
0,003
0,008
0,014
0,023
0,036
(7)
У
0,253
0,261
0,275
0,298
0,334
(8)
Уг
0,064
0,068
0,075
0,089
О)
у·
0,026
0,054
0,090
0,142
(Ю)
^точн
0,250
0,252
0,260
0,278
0,298
0,333
— 97 —

Рассмотрим теперь физическую задачу, приводящую
к необходимости численного решения дифференциального
уравнения.
Пример. В электрическую цепь включена катушка
с железным сердечником (рис. 25). Определить магнитный
поток, предполагая, что
кривая намагничивания
сердечника задается
формулой
/=^(Λφ + βφ3),
Рис. 25 где / — ток в амперах,
N — число витков
катушки и φ — магнитный поток в веберах. Коэффициенты
Л и В кривой намагничивания определяются физическими
свойствами сердечника и конструктивными особенностями
намотки.
Решение. Закон Кирхгофа для рассматриваемой
цепи имеет вид
E = Ri + L%t,
или, учитывая известное из электротехники соотношение
at " at ·
E = Ri + Na^-r
Подставляя сюда значение i из приведенного выше закона
намагничивания сердечника, приходим к
дифференциальному уравнению
£ = |(Λφ + βφ3) + Λ^,
где время измеряется в секундах.
Для обычной электротехнической стали можно
принять Л=0,6-105 и Ζ? = 0,33· 1013. Принимая, в частном
случае, £=18 В, R = 300 Ом и ЛГ=100 и измеряя
магнитный поток в 1(У~5 Вб (φ=105Φ), а время —в
миллисекундах (ί=10~3τ), приведем наше уравнение к виду
^?+1,8Ф + 0,01Ф*=18.
Если ключ S замыкается в момент τ = 0, то начальное
условие для нашего дифференциального уравнения Φ (0) = 0.
— 98 —

Полученное уравнение не допускает решения в
конечном виде. Для удобства применения численных методов
такие уравнения обычно приводят к безразмерной форме.
В данном случае это можно сделать следующим образом.
Из физических соображений следует, что при
неограниченном возрастании τ поток Φ стремится к насыщению.
Максимальное значение потока Ф,„, соответствующее
насыщению, будет уже сохраняться неизменным, т. е.
для него -ту — 0. Поэтому значение Фт можно получить
из дифференциального уравнения, положив в нем тг = 0»
в результате чего мы приходим к обычному кубическому
уравнению 0,01Ф«ОТ+ 1,8ФМ- 18 = 0.
Это уравнение имеет единственный действительный корень,
так что Фт = 7,58023.
Теперь мы можем привести наше дифференциальное
уравнение к безразмерной форме, положив Φ (т) = Фтг/ (τ).
Тогда у — безразмерная функция времени τ. Уравнение
приведется к виду
Ф„,*/'=18- 1,8ΦΓ„ί/-0,01Φ^,
или
у' = 2,37460 - 1,80-0,574600»,
причем из начального условия следует также г/ (0) = 0.
К полученному уравнению применим уточненный
метод Эйлера для участка (0; 0,5) с шагом /г = 0,05.
Вычисления приведены в таблице, последняя колонка (6)
которой содержит окончательные значения φ в веберах (с
учетом вводившихся ранее коэффициентов Фт и 105).
(1)
X
0
0,025
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
(2)
У
0
0,594
0,1134
0,2170
0,3112
0,3967
0,4737
0,5428
0,6043
0,6588
0,7067
0,7488
(3)
Δ*
0,0594
0,1134
0,2169
0,1978
0,1797
0,1625
0,1461
0,1306
0,1160
0,1024
0,0900
(4)
0,57460#а
0
0,1204- 10-*
0,8379 · 10-з
0,5871 · 10-2
0,1732. 10-1
0,3587 . 10-1
0,6108- 10-1
0,9189- ΙΟ"1
0,1268
0,1643
0,2028
(5)
У'
2,3746
2,2676
2,1697
1,9781
1,7971
1,6246
1,4608
1,3057
1,1601
1,0245
0,8997
(6)
φ
0
0,8595 ■
0,1645·
0,2359
0.3007
0,3591
0,4114
0,4580
0.4994
0,5357
0,5676
10*5
10 ч
10-1
ю··»
10-1
ю ·■»
• Ю'4
■ 10 ч
• Ю-»
— 99 —

§ 9. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
ЗАДАЧА ОБ ИЗОГОНАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЯХ
До сих пор мы ограничивались рассмотрением
дифференциальных уравнений, разрешенных относительно
производной, т. е. вида
y'=f(x,y). (1)
Однако, как было указано выше, уравнение первого
порядка может иметь, вообще говоря, вид
F(x,y,y') = 0, (2)
причем непосредственный переход от уравнения вида (2)
к уравнению вида (1) далеко не во всех случаях удается.
Тем не менее путем введения параметра задачу
интегрирования дифференциального уравнения (2) можно привести
к задаче интегрирования уравнения, разрешенного
относительно производной.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (2)
и укажем способы их интегрирования.
1) Уравнение первого порядка п-й степени. Левая
часть уравнения представляет собой целую
рациональную функцию относительно г/', т. е. имеет вид
(y')n+Pi(y')n-l + Pz(y')n-2+..- + Pn-iy'-{-Pny=o,
где п — целое положительное число, а ръ p.2f р3, ... , рп —
функции от χ и у.
Допустим, что мы можем решить это уравнение
относительно у'. При этом, вообще говоря, получается η
различных выражений для у':
y' = h(x,y)>y'=h(x,y), ·.·, y'=fn(x>y). (3)
В этом случае интегрирование уравнения (2) свелось
к интегрированию η уравнений первой степени (1). Пусть
их общие интегралы будут соответственно:
Ф1^,^С1) = 0>Ф2(д:,г/,С2) = 0, ...,Ф„(дг,0,Сл)=О. (4)
Перемножим левые части интегралов (4) и приравняем
произведение нулю:
Φι (дг, У, С,) Ф2 (дг, у, С2) ... Фл (х, у, Сп) = 0. (5)
Если разрешить уравнение (5) относительно у, то мы
получим решение уравнения (2). В самом деле, всякое
— 100 —

решение уравнения (5) удовлетворяет одному из
уравнений (4), а следовательно, одному из уравнений (1), на
которое разлагается уравнение (2), и, таким образом,
удовлетворяет и уравнению (2). Не уменьшая общности,
можно заменить в уравнении (5) все произвольные
постоянные Си С2, ... , Сп одним С и записать его в виде
Ф, (*, у, С) Ф2 (*, у, С) ... Фп (х, у, С) = О, (6)
который и будет общим интегралом уравнения (2). В этом
легко убедиться, если заметить, что уравнение (6)
распадается на η уравнений:
Φι(*, У, С)=0, Ф2 (х, у, С)1 = 0,... , Фп(*, У, 0^0, (7)
где С является произвольным постоянным, способным
принимать любые значения, а потому все решения,
получаемые из уравнения (4), содержатся среди решений,
получаемых из уравнений (7).
Найдем общий интеграл уравнения (у')2 1 = 0.
Разлагая левую часть уравнения на множители, получим
, Уху л , , Уху л Л^
откуда у — -—- = 0 и у -f- -—" = 0· Оба эти уравнения являются
уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы
Поэтому общий интеграл исходного уравнения имеет вид
ОТ-<:)·-£-о.
2) Уравнение, разрешенное относительно у и не
содержащее х. Речь идет об уравнении вида
у=ч>(у'). (8)
В этом случае целесообразно применить метод
введения параметра. Он заключается в том, что
рассматриваемые переменные выражаются через параметр и решение
ищется в параметрической форме. Положим у'=р. Тогда
наше уравнение запишется в виде
0 = «Р(Р). (9)
— 101 —

Если удастся получить еще одно уравнение, выражающее
Л' через ρ и С, то совокупность этих двух уравнений
будет являться общим решением уравнения (8) в
параметрической форме. Исключая из них параметр р, можно
получить зависимость между х, у и С, т. е. общий
интеграл в обычной форме.
Второе уравнение найдем следующим образом.
Перепишем равенство /=рв виде dx = — \ отсюда х= \ —+ С
К интегралу \ — применим формулу интегрирования по
частям; получим
Следовательно,
{p)dp
χ==ι+^ϊψ£ + α. (ίο)
Система уравнений (10) и (9) является общим
решением уравнения (8) в параметрической форме. Исключая,
если это возможно, параметр ρ из этих уравнений,
получим общий интеграл в форме Ф(х,у, С) = 0.
Найдем общее решение уравнения у=(у')^-\-2 (у')3 в
параметрической форме.
Положим у'—р; тогда у=р*-\-2рз. Продифференцировав по х,
получим у' = (2р + 6р2) —β-1 или, так как у' = р и можно сократить
на р, имеем 1 = (2 + 6р)-—·. Отсюда dx=(2-\-6p) dp и х=2р-\-
+ Зр2 + С. Общее решение запишется так:
x = 2p + Zp* + C, \
у = р2 + 2рз. )
При этом мы предположили, что рфО. Если же р = 0, то это дает
решение у = С, которое, как легко видеть, удовлетворяет уравнению
лишь при С = 0.
3) Уравнение, разрешенное относительно χ и не
содержащее у. Уравнение имеет вид
* = <Р&% (И)
Поступаем аналогично предыдущему. Положим г/' = р.
Тогда уравнение запишется в виде
х = Ф(р). (12)
— 102 —

равенство t/ = p перепишем так: dy = pdx. Отсюда
y = \pdx = px-\xdp,
или
y = PV(p)-\<V(p)dp + C. (13)
Система уравнений (12) и (13) является общим
решением уравнения (11) в параметрической форме. Исключая
из них параметр р, получим общий интеграл Φ (χ, у, С) — 0.
Необходимо подчеркнуть, что переменное ρ в
равенствах (9), (10), (12) и (13) играет роль произвольного
параметра и может быть заменено любой другой буквой.
Найдем общее решение уравнения χ = у' sin у' в параметрической
форме.
Положим у'=р; тогда x = psinp. Равенство —--=р перепишем
в форме dy = pdx\ так как
\pdx = px — \ xdp — px — \ ρ sin ρ dp = px-\-p cos ρ — С cos ρ dp =
= px-\-p cos p— sin p + C,
то, следовательно, ί/= px-\~P cos p — sin p + С. Общее решение
запишется так:
x = psinp, Л
ι/ = ρ2 sin р + р cos ρ—sin p+C. J
4) Уравнение, не содержащее χ или у, но не
обязательно разрешенное относительно у или х. Уравнение
имеет * вид
Г(У, 40 = 0
или (14)
F(x, й0==0
причем мы предполагаем, что из уравнения удается
выразить у (в первом уравнении) или χ (во втором уравнении),
а также р = у' через параметр /. Как и в случаях 2) и
3), общее решение уравнения получается в
параметрической форме.
Рассмотрим, например, уравнение F (у, р) = 0.
Предположим, что, полагая ί/ = φ(ί), мы из уравнения нашли
ρ — ψ (/) или, наоборот, полагая ρ = ψ(/), нашли из
уравнения ι/ = φ (t). Тогда, с одной стороны, dy=p dx = ty (t) dx,
а с другой, dy = q>'{t)dt. Сравнивая оба выражения для
dyy получим ψ (t) άχ = φ' (ί) dt, откуда dx = -^rdt и х =
— 103 —

= J ТРТТГ <" + с· 0бщее Решенпе в параметрической форме
запишется в виде
(15)
Найдем общее решение уравнения у = а γ\ + (у')2·
Положим ρ = y'=$ht; тогда у = а Ϋ l + sh2i = aeh t. Из
равенства ,— = Р находим dx — —, Так как dy = asht dt, iodx = adt и
x = at — C. В параметрической форме общее решение запишется так:
x=at— С, \
y = ach t. }
Исключим параметр t, Для этого из первого уравнения находим / и
подставляем во второе. Имеем t = (x-\~C)ja и
Л- + С
у=асЪ -
а
5. Уравнение Лагранжа. Так называется уравнение,
линейное относительно χ и г/, т. е. имеющее вид
у = <р(у')х-^у (у'). (16)
Предположим, что ц>(у')^у\ Случай q>(y)==zy' будет
рассмотрен ниже.
Для интегрирования уравнения Лагранжа применим
также параметрический метод. Положим у' = р. Тогда
уравнение запишется в виде
у = ц>(р)х + ^(р). (17)
Дифференцируя по х, получим
ί/ = φ(ρ)+*φ'(ρ)-^ + ψ'(ρ)-^ (18)
ι du
или, после замены у через р, умножения на -,-- и
алгебраических преобразований,
dx φ>(ρ) χ= *'<р) ПШ
Это линейное уравнение относительно функции χ и про-
изводной -г-. Его общий интеграл имеет вид
ф(*, р, С)-=0. (20)
— 104 —

Вместе с уравнением (17) он дает общий интеграл
уравнения Лагранжа в параметрической форме. Исключая ρ
из равенств (17) и (20), получим общий интеграл
уравнения Лагранжа Φι (л:, у, С) = 0.
Заметим, что произведенное нами преобразование
уравнения (18) возможно, если р — ц>(р)ф0. Если уравнение
ρ — φ(ρ) = 0 имеет корни р — р1% то они дадут также
решения y = xy(Pi) + ty(Pi) (/=1, 2, ..., k).
Найдем общее решение уравнения у = х (у')2 + (у')г-
Положим у'=р. Тогда у — хр2-{-р2, или у = (х-\- 1)р3.
Продифференцировав по *, имеем
ί/'=ρ2 + 2(*+1)ρ-^.
После несложных преобразований получим
ι о / ι i\ dP dx 2dp
1_р = 2(х+1)-£, или
dx ' *+1 1—ρ '
откуда
ln(x+l) = —21n(l-p) + 21nC.
Произведя потенцирование, находим
*+1 =
(1-р)з·
Следовательно, общее решение в параметрической форме имеет вид
Х~0-Р)й '
С2р
ι2-
" О-Р)3'
Исключим параметр р. Для этого найдем выражение
Р,=[1_(1_,)Р=(,_^о^
и подставим в уравнение у = (х-{-1) р2. Таким образом, общее решение
^(КЯ^-с)2.
6. Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется
частный случай уравнения Лагранжа, когда φ (*/') = */'.
Общий вид уравнения Клеро
у=ху' + Ц(!/). (21)
Положим у'=р. Тогда
у = хр + Ц(р). (22)
— 105 —

Продифференцировав по xt получим
т. е.
откуда
или
%[х+*(р)]~0,
ф=0
ах
* + г|/(Р) = 0. (23)
Из уравнения -^=0 получаем, что р = С. Подставляя С
вместо ρ в (22), получим общее решение уравнения Клеро
у = Сх + Ц(С), (24)
представляющее собой геометрически семейство прямых.
Уравнение (23) совместно с (22) тоже дает решение
уравнения Клеро в параметрической форме:
* = —ψ», .
у=—ρψ'(ρ) + ψ(ρ)·;
В самом деле, из этих уравнений находим, что
dx = — V(p)dp,
dy = [-pV (Ρ) -ψ' (ρ) +ψ' (Ρ)] dp^-pi' (ρ) dp,
откуда -^-г=р. Подстановка в уравнение Клеро приводит
к тождеству — ρψ (ρ) + ψ (ρ) = - ρψ" (ρ) + ψ (ρ).
Исключая из двух уравнений системы параметр р,
получим интеграл уравнения (21) Φ (χ, у) — 0. Этот
интеграл не содержит. С и, следовательно, не может быть
общим интегралом. Он не может быть также получен из
общего ни при каких значениях С, так как не является
линейной функцией. Это так называемый особый интеграл.
Найдем общее и особое решения уравнения
У = рх+-т, где р = у'.
Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой
ρ на С:
— 106 —

Для получения особого решения найдем ψ'(ρ) = — \/р\ Система
уравнений
__1
*--рТ>
2 '
ρ )
представляет собой особое решение в параметрической форме.
Исключим параметр р. Для этого возведем обе части второго уравнения
в квадрат и разделим их на соответствующие части первого
уравнения; получим уУх = 4, откуда у* = 4х. Геометрически общее решение
представляет собой однопараметрическое семейство прямых у=Сх-\-
+ 1/С (С —параметр), а особый интеграл — параболу (рис. 26).
Рис. 26
Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл
(парабола) оказался геометрически огибающей семейства интегральных
линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не
случайно.
Возможность существования особых решений связана
с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем,
выполнение этих условий гарантирует существование и
единственность решения — не может быть двух различных
решений, удовлетворяющих одному и тому же начальному
условию. В § 7 были рассмотрены случаи, когда эти
условия нарушались только в отдельных особых точках.
Между тем условия единственности могут нарушаться во
всех точках некоторой линии, которая сама может
оказаться решением уравнения. Это решение и называют
особым.
— 107 —

Таким образом, особым решением дифференциального
уравнения называется такое решение, которое во всех своих
точках не удовлетворяет свойству единственности в смысле
задачи Коши, т. е. в любой окрестности каждой точки
особого решения существуют по крайней мере две
интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Заметим, что параметрический метод может быть также
применен при интегрировании уравнений вида
«/ = Ψ(*, У),
не линейного относительно х, т. е. не являющегося
уравнением Лагранжа или Клеро, а также некоторых
других уравнений. В данном случае, полагая у' = р, получим
ί/ = ψ(Λ:, ρ), откуда дифференцированием по χ приходим
к уравнению
№(Х, ρ)-ρ] + ψρ(Χ, p)d£ = 0.
Если удастся найти общий интеграл этого уравнения
Φ (χ, ρ, С) = 0, то совместно с уравнением ί/ = ψ(χ, ρ) он
дает общий интеграл
исходного уравнения в
параметрической форме.
Исключая из них
параметр р, получим
общий интеграл в форме
ФЛх,У, Q = 0.
По определению,
огибающей семейства
линий Ф(х, у, С) = 0,
зависящих от параметра
С, называется линия,
которая в каждой своей
точке касается какой-нибудь из линий семейства, причем
в различных своих точках она касается разных линий
семейства (рис. 27).
Пусть Ф(х, у, С)—О представляет собой семейство
интегральных кривых дифференциального уравнения
F{x, У, у') = ®1 имеющее огибающую. Если взять точку
Μ (χ; у) на какой-нибудь из кривых семейства, то х, у и
у' в этой точке удовлетворяют уравнению. Но для
огибающей значения х, у и у' в той же точке Μ (χ; у) будут
теми же. Следовательно, огибающая также является
интегральной кривой, и притом особой, поскольку через каж-
У\
Рис. 27
— 108 —

дую'точку огибающем по одному направлению проходят
две интегральные кривые: сама огибающая и какая-либо
из интегральных кривых. Таким образом, в каждой точке
огибающей нарушается единственность.
Для получения особого интеграла из общего можно
воспользоваться правилом получения огибающей однопа-
раметрического семейства кривых Φ (,ν, уу С) = 0. Согласно
этому правилу, составляется еще одно уравнение путем
дифференцирования частным образом по С обеих частей
уравнения семейства. Система уравнений
дФ (*, у, С) \ (25)
дС )
является особым интегралом уравнения, если он
существует. При этом надо иметь в виду, что эта система
уравнений может вообще не определять никакой кривой; тогда
уравнение не будет иметь особого интеграла. Но даже
когда система (25) определяет кривую (дискриминантную
кривую), то она может оказаться не огибающей, а
геометрическим местом особых точек кривых семейства и,
следовательно, все-таки не быть особым интегралом.
Требуется проверить совпадение угловых коэффициентов
касательных к интегральной кривой и огибающей в общих
точках. Только в этом случае дифференциальное
уравнение имеет особый интеграл, параметрическими
уравнениями которого является система (25). Исключая из этой
системы параметр С, получим особый интеграл в форме
ц>(х, у) = 0.
Применительно к уравнению Клеро имеем по этому
правилу систему уравнений
* + 1>'(О = 0, /
которая совпадает с параметрическими уравнениями
особого интеграла уравнения Клеро, выведенными выше, с той
лишь разницей, что параметр ρ заменен параметром С.
Сделанное1 выше замечание относительно дискриминант-
ной кривой для уравнения Клеро не играет роли: если
дискриминантная кривая общего решения уравнения Клеро
существует, то она непременно является огибающей, а
значит, и особым интегралом, потому что частные решения
уравнения Клеро суть линейные функции, а прямые не
имеют никаких особых точек.
— 109 —

Найдем особый интеграл уравнения
Общий интеграл уравнения был найден раньше (см. стр. 105):
у=(\ГТ+\-С)2.
Продифференцировав по С, получим
_2(|/^Н _с)=0.
Исключим С из этих двух уравнений. Из второго уравнения находим,
что С = }■■' χ -\- I. Подставляем в первое уравнение, получаем у = 0.
Функция у = 0 удовлетворяет уравнению и, следовательно, является
его особым решением.
В некоторых случаях можно найти особый интеграл
и не зная общего интеграла. В процессе интегрирования
уравнения иногда приходится производить действия,
которые могут нарушить равносильность уравнения (например,
деление па выражение, содержащее переменные). В таких
случаях следует каждый раз проверять, не произойдет ли
при этом потери интегралов, которые могут оказаться
особыми.
Найдем общий и особый интеграл уравнения
у* + У*Ю1 = а* (αφΟ).
Разрешив уравнение относительно у', получим
У'-±1—у—·
Так как при этом мы делили на у, то следует проверить, не является ли
функция у = 0 решением, которое мы могли бы потерять. Подстановка
у = 0 и 1/' = 0в уравнение показывает, что у = 0 не удовлетворяет
исходному уравнению (а Φ 0) и, следовательно, не является решением.
Преобразованное уравнение есть уравнение с разделяющимися
переменными. Разделение переменных производим путем деления
на V а2 — у'г и умножения на у dx\ при этом получим
,ydy = + dx,
V& - у*
откуда — Υ а2 — у2· = ± (х -f- С) и общий интеграл имеет вид (х -f- C-) 4-
-±.уЪт=а2. Это семейство окружностей. Проверим, не потеряли ли
мы решений при делении на Yd1 — у'2. Подстановка в исходное
уравнение у = ± а и у' = 0 показывает, что функции у — i а
удовлетворяют уравнению |(± о)2 = а2], а следовательно, являются решениями,
и притом особыми, а не частными, так как, будучи прямыми, не могут
быть в числе окружностей, из которых составляется общий интеграл,
Заметим, что тот же результат можно было получить по общему
правилу дифференцированием общего интеграла по С. Тогда имеем
2 (х 4- С) = 0, откуда С = — х. Подставляем в общий интеграл и
получаем у = ± а.
— ПО —

Таким путем легко проверить, что уравнение Лагранжа
также может иметь особый интеграл. Допустим, что
разность ρ — ψ (ρ) обращается в нуль при некотором
значении р = р0. Тогда р = р0 удовлетворяет уравнению (18).
Подставляя р = р0 в уравнение Лагранжа (16), получим
сю особое решение у=ху (Α,) + ψ (Ρο)> представляющее
собой прямую линию.
Возвращаясь к разобранному примеру уравнения Лагранжа
(см. пример на стр. 110), заметим, что для него φ (ρ) = ρ3 и
уравнение ρ — ρ· = 0 имеет два корня pt = 0, р2= 1. Первый корень
приводит к особому решению у = 0, а второй — к решению у = χ-\- 1,
являющемуся частным, ибо оно получается из общего решения
у = (loF+Ί - С)2 при С = 0.
К уравнениям, не разрешенным относительно
производной, приводят чаще всего различные геометрические
задачи, например задача об изогональных траекториях.
Если
F(x, у, а) = 0 (26)
однопараметрическое семейство кривых, где а —параметр,
то его изогональными траекториями называется другое
семейство кривых, пересекающихся с кривыми семейства
(26) под одним и тем же углом φ.
В частности, если этот угол прямой, φ = π/2, то
траектории называются ортогональными.
Составим дифференциальное уравнение заданного
семейства кривых (26). Для этого продифференцируем по χ
уравнение (26):
Исключим параметр а из уравнений (26) и (27). Допустим,
что при этом дифференциальное уравнение семейства (26)
имеет вид
y'=f(x,y). (28)
Углом между двумя кривыми в их точке пересечения
Μ (χ\ у) называется, как известно, угол между
касательными, проведенными к кривым в этой точке (рис. 28).
Если обозначить через ос угол, образованный с осью Ох
касательной к кривой / семейства (26) в точке М, а через
β —угол, образованный с осью Ох касательной к кривой
// искомого семейства в той же точке М, то φ = ± (β —α),
— Ill —

или β = α±φ. Отсюда следует, что
tg α ± tg φ
tgP =
1 Τ- tg α tg φ
Величина tg φ задана, обозначим ее через k\ tgcc — y'—
= f{x, у); поэтому
/ (Л', y)±k
tgP
1 + kf (x, у)'
Мы получили соотношение между координатами любой
точки изогональной траектории и угловым коэффициентом
касательной в этой точке,
т. е. дифференциальное
уравнение семейства траекторий.
Обозначим tg β через у';
тогда
/ (*, у) ±k
У =
1 h kf (л-, у)
(29)
Рис. 28
—^г Общий интеграл этого
дифференциального уравнения
является уравнением
семейства изогональных траекторий
для семейства кривых (26); они пересекают кривые (26)
под одним и тем же углом (р.
Если же траектории ортогональные, то
φ = £, β=α±|. tgp = —ctcot j^_ = _/_i__J.
и дифференциальное уравнение семейства ортогональных
траекторий имеет вид
</' = — πτ-тл. или-^г =f{x, у). (30)
/ (*. у)'
у
Итак, мы получаем правило: чтобы найти
дифференциальное уравнение семейства изогональных траекторий
данного семейства кривых (26), надо в дифференциальном
уравнении (28) этого семейства заменить у' на ? + ~,\,
где k —тангенс угла пересечения кривых с траекториями.
В частности, для ортогональных траекторий надо
заменить у' на т.
У
— 112 —

Геометрические примеры
Пример 1. Найти линию, обладающую тем свойством,
что отрезок любой касательной к ней» заключенный между
координатными осями, имеет
постоянную длину, равную I
(рис. 29).
Решение. Уравнение
касательной в точке Μ (х\ у)
кривой y=f(x) имеет вид
где Χ, Υ — текущие
координаты точки касательной.
Абсциссу точки А
пересечения касательной с осью Ох
найдем из этого уравнения,
положив F=0, а ординату точки В пересечения ее с осью
Оу — положив Х = 0. Имеем ХА — х — М7ц YB=y — xy'.
Расстояние между точками А (Хл; 0) и В (0; YB) найдем
по формуле расстояния между двумя точками и
приравниваем его /; получим дифференциальное уравнение
/
χ—ρ) +(y-xy')*=i.
После преобразований получим
У=ху'
¥
Vi + iyT'
Это уравнение Клеро. Его общее решение
y — CxzL·
(31)
CI
представляет собой семейство прямых, отрезки которых
между осями координат имеют длину, равную /.
Продифференцируем решение по С и составим систему уравнений
у = Сх± Cl
Х = _|_
I
(i + C2)3^'
которая представляет собой особый интеграл в
параметрической форме. Для исключения параметра С подставим
— Ш

выражение χ из второго уравнения в первое:
У — -+- (i + C2)3/a-
Если возвести в степень 2/3 обе части последних двух
равенств и сложить, то получим уравнение
Таким образом, особым интегралом оказалась астроида,
она является огибающей семейства интегральных прямых.
Пример 2. Найти кривые, для которых произведение
расстояний до любой касательной от двух данных точек
есть величина
постоянная, равная Ь2.
Расстояние между данными
точками равно 2с (рис. 30).
Решение. Выберем
оси координат так,
чтобы данные точки F1 и
F2 находились на оси
Ох, а начало координат
О посредине между
ними; в этой системе
данные точки запишутся
так: Fx (с; 0) и F2 (— с;0).
Уравнение касательной в любой точке Μ (χ; у) кривой
запишем в виде
y'X-Y-(xy'-y)=0,
где X и Υ — текущие координаты точек касательной.
Приведя уравнение касательной к нормальному виду, найдем
расстояния рх и р2 До нее от заданных точек:
су'-(ху'—у) п _-у-—су' — {ху'—у)
Ρι = ^
Рг
VV)a+l
W)2+l
По условию PiP2 — b2, поэтому
(^'-i/)2-c2(i/')2==t^[(i/')2+il·
или
(32)
y = xy'±Va*{y'Y±b\
где положено с2±Ь2 = а2.
Это уравнение Клеро. Его общее решение
у = Сх±Уа2С2±Ь2
представляет собой семейство прямых — тривиальный ответ.
— 114 —

Найдем особый интеграл. Для этого
продифференцируем общее решение по С и составим систему уравнений
х=
У=^
б2
Va2C2 ± £>2
(второе уравнение получено путем подстановки
выражения χ в общее решение).
Перепишем эту систему так:
а
У_
Ь
аС
Va?C* ± Ь2· '
Ь
Возьмем знак плюс перед б2, возведем обе части каждого
из уравнений в квадрат и сложим:
Теперь возьмем знак минус перед Ь2, возведем обе
части каждого из уравнений в квадрат и вычтем из
первого второе, получим
а2 б2 "
Таким образом, искомыми кривыми оказались эллипсы
и гиперболы.
Пример 3. Найти кривую, зная, что полуразность
подкасательной и поднормали в любой точке равна
абсциссе точки касания.
Решение. Согласно условию задачи составляем
дифференциальное уравнение
или
£-,-уу' = 2х,
y~~\-(y')*Xm
(33)
Это уравнение Лагранжа [ψ(#') = 0]· Для того чтобы
его проинтегрировать, удобнее записать его в виде
ЛГ =
1-(У')
2</'
'\2
У*
или
ух
2х'
— 115 —

и считать, что χ есть функция аргумента у. Положим
х' = р. Тогда * = ^-2р· нл" х==1{р~~т)· ПР°ДИФ"
ференцировав по у, имеем
Заменив х' через ρ и произведя преобразования, получим
dy dp_
~У Ρ '
откуда у = Ср. Общий интеграл в параметрической форме
имеет вид
у = Ср.
Исключим р.
х 2С
Для этого из второго уравнения находим
р = у/С и подставляем
в первое; получим
2 С
2
ИЛИ
2Сх = у2-С\
т. е. семейство парабол.
Пример 4. Световой
луч выходит из точки
А (0; Уо). Пользуясь
законом преломления све-
Ta:2!2! = S2!u( = const)>
Vl V2
где α! и α2 — углы
наклона к оси Ох каса-
траектории луча, а νλ и
Рис. 31
тельных в любых двух точках
у2 —скорости луча в этих точках, найти уравнение формы
луча в оптической среде, в которой скорость луча обратно
пропорциональна ординате.
Решение. Возьмем на луче произвольную точку М(х\ у)
(рис. 31). Полагая at — α, a fi = f, где α —угол наклона
касательной, a v — скорость луча в -этой точке, из закона
cos α ,
преломления света получаем, что ——=с (с — некоторая
постоянная, не зависящая от выбора точки М). По
условию задачи v — kjy, где k — коэффициент пропорциональ-
— 116 —

ности. Следовательно, ycosa = kc, или, полагая kc = a,
имеем
ycosa = a.
Так как 1/cos α = sec α = νΊ + tg2a = ]/l + {у')г, то мы
получаем дифференциальное уравнение
= а. (34)
Ι/ι+(ί/')2
Его решение (см. пример на стр. 104)
х+С
y = ach
а
Из начального условия у = у0 при # = 0 находим, что
C=aArch— и, следовательно,
y = ach(-- + Arch j^>
Пример 5. Найти ортогональные траектории семейства
окружностей х2-\-у2-|-2ш/—0, где a — произвольный
параметр.
Решение. Составим дифференциальное уравнение
семейства окружностей, для чего продифференцируем обе
части данного уравнения по χ и исключим а из
полученного таким путем и из данного уравнений. Имеем
2х + 2уу' + 2ау' = 0.
Подставим сюда выражение 2а — — (х2 + у2)/у, полученное
из уравнения семейства окружностей; тогда
2x + 2yy'-{*+pv'=Q
или, после преобразований,
2ху (35)
jfl-y* ·
Дифференциальное уравнение семейства ортогональных
траекторий получим из этого уравнения путем замены у'
— 117 —

на - Ι/ι/':
λ — 2хч
у'- у*-* '
Это однородное уравнение. Его общее решение можно
найти по общему правилу интегрирования однородных
уравнений, но можно и проще. Перепишем уравнение
в дифференциалах:
2ху dy — у2 dx -f- χ2 dx = 0.
Рис. 32
Разделив обе части уравнения на *2, получим
ауу«+<Ьг_0,
или
d(£-) + dx = 0,
что представляет собой уравнение в полных
дифференциалах. Интегрируя, имеем

Χ '
ИЛИ
х2 + у2-2Сх = 0,
т. е. также семейство окружностей. Все окружности обоих
семейств проходят через начало координат (рис. 32), но
центры окружностей данного семейства расположены на
оси Οί/, а центры траекторий — на оси Ох.
Пример 6. Найти кривые, которые пересекают все
прямые, проходящие через одну и ту же точку О под
одним и тем же углом ω, τ. е. найти изогональные
траектории пучка прямых с центром в начале координат
(рис. 33).
Решение. Примем точку О за начало координат.
Если обозначить через α угол, образованный с осью Ох
касательной в произвольной
точке Μ (χ; у) искомой
кривой, а через φ —угол,
образованный с осью Ох
радиусом-вектором этой точки, то
а = φ-f ω. Взяв тангенсы от
обеих частей этого
равенства, получим
ё 1 — tg φ tg ω *
Так как tga = ^, а
tg φ = —, то приходим к
дифференциальному уравнению
dy
dx
y/x+k
i—ky/x'
(36)
Рис. 33
где положено tgo) = &.
Это — однородное уравнение. Положим -~ — г; тогда
-ρ = χ j- + ζ и получается уравнение с разделяющимися
переменными
xdl + z=T=rz> или *(ΐ-**)δ=*(ζ'+ΐ)·
- 119 ~

После разделения переменных имеем
\—kz j^ udx
z2+laz~R χ ,
и, следовательно, общий интеграл
k
arctg ζ — у In (ζ2 4-1) = k In χ — k In С
или, после преобразований,
ι
В полярных координатах общее решение имеет вид
r=Ce^k.
Таким образом, искомыми кривыми являются
логарифмические спирали.

ГЛАВА II
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 10. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Все дифференциальные уравнения порядка выше
первого называют дифференциальными уравнениями высших
порядков. Уравнение порядка п, кроме производной у{п),
может содержать также и младшие производные, так что
общий вид такого уравнения
F(y(n\ у^-г\ ...,*/', У, *) = 0, (1)
или, если это возможно, в форме, разрешенной
относительно старшей производной:
0ы = /(*. У, У', · · ■, ί/""1'). (2)
Как и для уравнений первого порядка, общее
решение будет зависеть от произвольных постоянных. Поэтому
для выделения частного решения из общего необходимо,
кроме дифференциального уравнения, задать еще
некоторые дополнительные условия, которые позволят определить
значения произвольных постоянных. Для уравнения
первого порядка таким дополнительным условием являлось
задание значения у\х-Хо=Уо, т. е. координат точки,
через которую проходит интегральная кривая. Для
уравнений высших порядков эти условия можно задавать
различными способами. Например, для уравнения
второго порядка, как будет указано ниже, общее решение
зависит от двух произвольных постоянных. Для
нахождения их значений нужно иметь два условия. Их можно
получить, задав значения искомой функции в двух
точках или иначе, задав в одной точке значения искомой
функции и ее первой производной.
Второй способ имеет широкое распространение при
решении дифференциальных уравнений, к которым
приводятся задачи механики. Действительно, если
пользоваться терминами механики, то речь идет об отыскании зако-
*- 121 —

на движения, причем задано начальное положение точки
(значение функции) и ее начальная скорость (первая
производная). Поэтому нахождение частного решения из
общего по заданным значениям функции и ее первой
производной в некоторой точке называют задачей с
начальными условиями.
Для уравнений порядка η в качестве начальных
условий задаются в некоторой точке значения искомой
функции и всех ее производных до (п— 1)-го порядка
включительно, т, е. при х = х0
У=Уа,
Систему чисел (3) называют системой начальных
условий. Задачу нахождения частного решения данного
дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего системе
начальных условий (3), называют задачей Коши. Коши
впервые доказал теорему существования и единственности
решения, которую можно сформулировать следующим
образом.
Теорема. Пусть дано дифференциальное уравнение (2)
и система начальных условий (3). Если функция
f (х> У> У'» ···' Уы'1}) непрерывна в окрестности
начальных условий и имеет непрерывные частные производные по
аргументам у, у', у", ..., у(п~г)} то существует, и притом
единственное, решение уравнения, определенное и
непрерывное в некотором интервале, содержащем xQl и
удовлетворяющее заданной системе начальных условий.
На доказательстве этой теоремы мы останавливаться
не будем.
В сопротивлении материалов часто бывает
необходимо отыскать частное решение, если известны значения
искомой функции в нескольких точках. Такие же задачи
или несколько более общие, встречаются и в других
областях, требующих применения дифференциальных
уравнений. Во многих из этих задач частные решения
приходится находить из условий другого рода, которые
принято называть граничными или краевыми. Такие задачи
являются, вообще говоря, более сложными, нежели
задачи с начальными условиями, которыми мы в основном
и ограничимся. Дадим определение общего решения
уравнения л-го порядка,.
122

Общим решением дифференциального уравнения (2)
называется решение, содержащее произвольные постоянные,
которые можно подобрать таким образом, чтобы
удовлетворить любой допустимой * системе начальных условий.
Если учесть зависимость решения и от начальных
условий, то его можно записать в виде
У = Ч>(х, Уо, Уо, .... УоЫ'1})· (4)
Так как система начальных условий может быть
выбрана произвольно, то выражение (4) показывает, что
общее решение уравнения п-го порядка зависит от η
произвольных постоянных.
Задача интегрирования дифференциальных уравнений
высших порядков является значительно более сложной,
нежели задача интегрирования уравнения первого
порядка и далеко не всегда может быть сведена к этой
последней. Тем не менее, кроме линейных уравнений,
рассмотрению которых будет специально посвящена гл. III,
для всех остальных типов уравнений высших порядков
основным методом интегрирования является понижение
порядка, т. е. сведение путем замены переменных
данного уравнения к другому, имеющему порядок ниже
заданного.
Понижение порядка целесообразно даже в тех
случаях, когда оно приводит к уравнению первого порядка,
не интегрируемому в конечном виде, или к уравнению
порядка выше первого. Однако понижение порядка
возможно далеко не всегда. В следующем параграфе будут
рассмотрены некоторые типы уравнений, допускающих
понижение порядка.
§ 11. ТИПЫ УРАВНЕНИЙ,
ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Простейшим типом уравнений η-го порядка,
допускающих понижение порядка, являются уравнения вида
уМ =/(*). (1)
Здесь порядок понижается непосредственно путем
последовательного интегрирования. Из (1) сразу получаем:
y{n-1) = !f(x)dx + C1.
* Под допустимой системой мы, как и ранее, понимаем систему,
удовлетворяющую условиям теоремы Коши.
— 123 —

Проинтегрировав таким образом требуемое число раз,
получим общее решение уравнения (1), причем
произвольные постоянные будут входить в качестве коэффициентов
многочлена (/г— 1)-й степени.
Решим, например, уравнение у'" = sin дс—cos*.
Интегрируя обе части равенства по χ трижды, получаем
последовательно;
у" — — cosx — sin je-j-2Clt
у> _ __ Sjn x _|_ cos x _j_ 2Ctx+C2,
у=cos χ+sin χ+CV*3 + Q*+ £3*
Несмотря на простоту этого типа уравнений, он
играет важную роль, потому что к нему сводятся уравнения
других видов, а также и потому, что к этому типу
относятся некоторые уравнения, получающиеся при решении
ряда задач сопротивления материалов.
Мы не будем сейчас рассматривать эти задачи, отнеся
все приложения и физические примеры к следующему
параграфу, а перейдем к другому типу уравнений,
допускающих понижение порядка.
Дифференциальное уравнение
F(x, y{kK У{ШК ...,^л)) = 0, (2)
не содержащее явно искомой функции и младших
производных до порядка k — 1 включительно, допускает
понижение порядка на k единиц.
Действительно, примем за новую искомую функцию
и = у(*Н (3)
дифференцирование (3) дает:
u>==y(k+i)t
так что подстановка (3) приводит уравнение (2) к виду
F(x, и, и',..., uin~ki) = Q,
т. е. к уравнению (n — k)-ro порядка. Проинтегрировав
это уравнение и определив новую^ искомую функцию и,
можно найти функцию у, рассматривая равенство (3) с уже
известной функцией и как новое дифференциальное урав-
— 124 —

нение β-го порядка
y«> = f(x, Q C».J (4)
уже разобранного выше типа, допускающее
непосредственное интегрирование.
Найдем общее решение уравнения ylv=y у'"·
Это уравнение не содержит искомой функции, ее первой и
второй производной. Таким образом, порядок уравнения можно
понизить на три единицы. Полагая у'" = и и дифференцируя ylv=,u',
приходим к уравнению первого порядка и' = У и.
du
Разделив переменные, получим r^= = dx, откуда
2Y"li = x + Cl·, u^-jix + Ctf,
а также и=0. Следовательно,
Iff * , . „ ^« //' r\
У ~4-(*+С,)» и у =0.
Интегрируя эти уравнения трижды, получим последовательно:
У" = -\2-(х+С1)з+2Сг,
у=ш(х+Ci)5+Са*2+СзХ+С|
и
y = Cfx* + C$x + C*.
-л
Частным случаем этого типа уравнений является
уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой
функции:
F(x, у\ г/")=о. (5)
Здесь порядок уравнения понижается на единицу
подстановкой у' =и.
Проинтегрируем уравнение у"-\-^— = χ.
Положим у' = и, отсюда у" = и' и уравнение примет вид
и' + — = *,
X
т. е. мы получим линейное уравнение первого порядка. Интегрируя
это уравнение (см. § 4), получаем
*2 J CJl
χ
— 125 —

Таким образом,
У ~ 3 "г χ '
откуда общее решение
ж3
j/ = -q—J-Cj In ι χ ι-f- C2·
Выражение вида (4), связывающее производные
искомой функции порядка ниже п, саму искомую функцию,
независимое переменное и произвольные постоянные
в количестве, меньшем п, принято называть
промежуточным интегралом дифференциального уравнения (2). В
рассмотренных примерах мы находили общие решения
дифференциальных уравнений. При отыскании частного решения
можно, как было показано выше, пользоваться
полученным общим решением, но проще находить значения
произвольных постоянных уже в промежуточном
интеграле, используя заданные начальные условия до
следующего интегрирования.
Решим уравнение у" (дс2+ 1) = 2ху' с начальными условиями
* = V™ Сновку ,-„. откуда И-«'. получав уравне-
ние первого порядка
и' (х*+1) = 2хи.
Разделение переменных и интегрирование дают:
du _ 2x dx t
откуда
Это соотношение представляет собой промежуточный интеграл
первоначального уравнения. Используя начальные условия, получаем 3 =
= С1(0+1), откуда С]. = 3, Следовательно, y' = 3x2-irZ, а после
интегрирования
y=jc3_j_3jc+C2.
Начальные условия дают l=0-fO-fC2, или С%=1; поэтому частное
решение, удовлетворяющее заданной системе начальных условий,
имеет вид
^ = дЗ-|_Зх+1.
Еще одним типом уравнений, допускающих понижение
порядка, является уравнение вида
F(y, у', у'\ ..., ί^) = 0, (6)
не содержащее явно независимого переменного. Здесь
порядок уравнения понижается на единицу путем замены
— 126 —
In и = 1п (*2+ l) + ln Cx\ u = Ci(x2-\-l)t

обоих переменных. В качестве новой искомой функции
мы выбираем у' — р, а за новое независимое переменное
принимаем у. По правилу дифференцирования сложной
функции получаем:
г/' = -— ρ = dp dy = η dp
У dx " dy dx dy '
* dx\p dyj — p dx\dyj^ dx P dy P dy^p \dy) '
Методом полной индукции можно доказать, что у{п) выра-
dp dn~lp ,п\
жается через ρ, ->-, .,., , η_1 , так что уравнение (6)
приведется этой подстановкой к виду
т. е. к уравнению (п— 1)-го порядка.
Проинтегрируем уравнение (у')2 — уу"=1-
Пусть у' = р и {/—новое независимое переменное. Как и выше,
» dp
у =p—j-t и мы приходим к уравнению
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
откуда последовательно получаем:
& = %; !ln<p.-l) = ln, + !lnCi;
pa-l^C^; p=Vl + CxyK
где, для определенности, перед корнем выбран один из возможных
знаков, а также (вследствие деления на р2— 1) р= ± 1.
Подставляя вместо ρ выражение у', получим:
d* т 1У ' /1 + dy* 0/1 + C^*
а также t/' = ±l; t/=±*-f-C*.
Форма интеграла существенно зависит от знака постоянного Сь
т. е. от начальных условий. Так как здесь требуется определить
общее решение и начальные условия отсутствуют, то необходимо
рассмотреть оба случая.
Если Cj > 0, то
— 127 —

и общее решение уравнения приштаОт вид
1
In (у I Сх + К I + С,//2) = л- + С3.
Если же, наоборот, Сх < 0, то решение будет иметь вид
дг-f С2 = —=- arcsin ι/ К— Cj.
I — Ci
Отметим, наконец, еще один случай, когда уравнение
допускает понижение порядка. Это случай, когда левая
часть уравнения есть точная производная. Легко понять,
что в этом случае порядок уравнения понижается на
единицу путем непосредственного интегрирования.
Разумеется, такой случай встречается редко. Значительно
чаще удается преобразовать уравнение к подобному виду
путем некоторых искусственных преобразований, но
указать какие-либо общие методы таких преобразований здесь
мы не сможем и ограничимся примерами.
Решим уравнение у"— χ у'—у — О.
Легко заметить, что левая часть уравнения имеет вид
откуда
y' — xy = Cv
Промежуточный интеграл представляет собой линейное уравнение
первого порядка, интегрируя которое (см. § 4 гл. I), имеем
y-C^I* (\е~*№ dx+C%).
Полученный нами интеграл в элементарных функциях не
выражается, но для такой неэлементарнон функции имеются подробные
таблицы.
Найдем теперь общее решение уравнения уу" — (t/')- — у" = 0.
Левая часть этого уравнения не является точной производной.
Однако это уравнение можно записать так:
УУ"-(У')* = У*, или УУ' }у,) =1
У
откуда видно, что это уравнение имеет вид ( —] =1. Интегрируя,
получаем:
и
-^- = * + <α, или у' = у{х + Сх);
У
это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные
и интегрируя, получаем:
^■ = (x + CJdx; 1пу=(*+2С*)2 + 1пСа>
т. β·
y=C2elx + cW.
— 128 —

§ 12. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
И СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Здесь будет рассмотрен ряд задач, приводящих к
дифференциальным уравнениям второго порядка,
допускающим понижение порядка и интегрирование в конечном
виде *.
Прямолинейное движение точки. Исследуем в первую
очередь прямолинейное движение материальной точки
массы т под действием силы F, зависящей только от
одного из следующих аргументов: времени, скорости или
координаты точки.
Направим ось Ох по прямой, по которой движется
точка. Тогда приложенная сила, а следовательно, и
ускорение точки, будут направлены по этой прямой и
дифференциальное уравнение движения запишется в виде
Примем начальные условия: х = х0 и ν — ϋ0 при t = t0.
Рассмотрим все три случая.
1) Сила зависит от времени: F = F(t).
π dx d2x άυ /1Ч
Так как -^ = f> a ^- = -37, то уравнение (1)
приводится к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными
откуда
t
v=-^-^F(u)du+Clt
где и — переменное интегрирования. Произвольное
постоянное С\ находим из начального условия υ = ν0 при х = х0:
C^—vo и, следовательно,
v = v0 + —^F(u)du,
t
о
* О приближенном решении дифференциальных уравнений
высших порядков-см. в § 25.
— 129

или
t
и
Проинтегрировав вторично, получим
x = vut-]-~ \[ \ F(u)du\dz + C2,
to Vo /
где m F{u)du\dz есть повторный интеграл. Произволь-
ное постоянное находим из начального условия х = х0
при t = tQ; отсюда C2 — Xo — v0t0 и, следовательно, закон
движения окончательно запишется в форме
^ = дг0Н-у0(/-/0) + -^- ^ К F{u)du\dz.
Пусть, например, точка массы т движется
прямолинейно под действием силы, равномерно убывающей с
течением времени и по истечении Τ секунд обращающейся
в нуль. Пусть в начальный момент t = Q сила F=F0,
скорость v = 0 и координата л" = 0. Для того чтобы можно
было использовать полученные выше формулы, найдем
силу F. По условию задачи F = F0 — kt, где коэффициент к
подлежит определению. Так как F = 0 при f = 7\ то
FQ — kT = Ot откуда k = F0/T и, следовательно, F —
= F0(\-t/T). Поэтому
о
х=-^-\[\{1-т)аиУг'или '-Щ1-^)-
Чтобы найти скорость и пройденный путь к моменту
времени 7\ надо в полученных соотношениях положить
/ = 7\ Имеем
0\ r-F°T х\ -ЬИ
νν-τ--2ΪΓ>( X\t-T- 3m .
— 130 —

2) Сила зависит от скорости: F = F(v).
В этом случае дифференциальное уравнение принимает
вид
Производя, как и выше, замену -jt — v, получим
dt
=-F it
dt
m~W = F Mi
откуда
ν
m \ -гг^-г- = 14- Ci.
«о.
При ί = ^0 имеем u = u0> поэтому Ci = — ^0 и последнее
уравнение можно переписать так:
т\ш='-'·· <2)
Допустим, что нам удалось проинтегрировать это
уравнение и разрешить полученное соотношение
относись
тельно ν = -π'.
v = y(t, t0, vQ).
Тогда получим
t
Х=\ φ (Ζ, t0, V^dZ + C^
to
где С2 определяется из начального условия x = xQ при
t = tQ, т. е. С2 = х0. Таким' образом, закон движения
точки получается в форме
x = x0 + \q>{zt tQ, v0) dz.
t0
Если из уравнения (2) нельзя определить υ как
функцию /, то в исходном дифференциальном уравнении
производим такую замену:
dx d?x dv dv dx du
— У» -3«- = —rr — —л tt = V
dt ' dt2 dt dx dt ~" dx
- 131 -

и переписываем уравнение в виде
mv£r=F(v),
откуда находим
С udu . п
х=т)ш+с·
Определив С из начального условия v = v0 при х=х0,
т. е. С = х0, получим
ν
С и du
x = Xo + "*)Tj^· (3)
ΙΌ
Простейшим случаем прямолинейного движения с'силой,
зависящей от скорости, является движение в
сопротивляющейся среде, когда сила сопротивления
пропорциональна скорости. Так как в этом случае можно считать
F(v) = — kv, то равенство (3) примет вид
х = х0 — -j-(v-uq),
а формула (2) преобразуется к виду
Т to-?--<-<..
или
v==OQ^-k(t-t0)/mt (4)
Рассмотрим конкретную задачу такого типа.
Пример 1. Моторная лодка движется со скоростью
10 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен и через
20 с скорость лодки уменьшилась до 6 км/ч. Вычислить
скорость лодки через 2 мин после выключения мотора и
пройденное лодкой расстояние в течение одной минуты
после выключения мотора.
Решение. Из условия задачи имеем: t0 = 0, *0 = 0,
vQ—\0 км/ч, и 1,_2ос = 6 км/ч. Поэтому по формуле (4)
получим 6= Юе—*/(l80m), откуда
е-*м=(0,6)ш,или£/т = — 1801п0,6= 180-0,5108 = 91,944.
Следовательно,
^|^ιμΗη=10.(0,6)18°/60=10·(0,6)3 = 2,16 км/ч,
— 132 —

a
xVi„„H = (10-2,16)/91,944 = 7,84/91,944*«85,3 м.
Предположим теперь, что v2=l,b м, a u|/_4c=1 м/с.
Вычислим, через сколько времени скорость лодки
уменьшится до 0,01 м/с и какой путь пройдет лодка до
остановки. Имеем 1 = l,5e-4ft/m, откуда
е~к/т={г*УА>или 4 = т1п1'5=т-0'4055=0'1014·
Следовательно,
4 1 , 1,5 1 . 1СЛ 5,0107 сл
^=о,о1м/с = ^Ш41ПоЖ = 5ЛЖ1п150 = оТ1о14^50 с'
а
χ |„.0= 1,5/0,1014^* 14,8 м.
Рассмотрим теперь случай падения тела массы т с
большой высоты, считая, что тело будет двигаться как
материальная точка, а сопротивление воздуха пропорционально
квадрату скорости. Примем также начальные условия:
х = 0 и v = vQ при г = 0.
На падающее тело действуют две силы: сила тяжести
тела и сопротивление воздуха; их равнодействующая
F = mg — ku2, и потому
t: * ^
Так как тело будет падать только при F>0, то
mg — kv2 >· 0, или υ <с Y^tng/k. Обозначим \fmg/k = υκρ
(критическая скорость). Тогда
2АоКр \ fKp — ϋ νκρ — ν0/>
ИЛИ
/=* (Arfo-2--ArthuS-).
^кр V f кр икрУ
Заметив, что — = —Ε, а значит, -— — —, преобра-
к g Tfl ^кр
зуем последнее равенство таким образом:
Arth-^ = Arth-^ + ^-.
1>кр укр Укр
- 133 -

Взяв гиперболические тангенсы от обеих частей
равенства, получим
_ t>0/aKp + th(g//t>Kp)
V~~ °"P H-(i'o/yKP)th(g^Kp) '
ИЛИ
(i-^p)th(g//,Kp)
O-fo-t-ϋκρ l + (yoKp)th(g//t;Kp)· W
В частности, при ι»0 = 0 имеем
у = о«р th fe//oBp), (6)
а при ϋο = ε>κΡ
т. е. падение тела происходит с постоянной скоростью.
Заметим, что поскольку при неограниченном
возрастании аргумента гиперболический тангенс стремится к
единице, то при 2->оо скорость v(t) стремится к νκρ. Это
означает, что тело, падающее со скоростью ν (t) Φ υκρ,
никогда не достигнет критической скорости, хотя его
скорость υ (t) приближается к ней асимптотически.
При падении тел конечных размеров сопротивление
воздуха зависит от величины, формы и веса тела, а
также плотности воздуха. Эта зависимость учитывается
коэффициентом ki = k/mt который определяется эмпирической
формулой
kL = a-p, (7)
где d — вес 1 м3 воздуха (в Н; в среднем d=\2 Н/м3),
что соответствует весу 1 м3 воздуха при давлении 760 мм
и температуре 15° С; S —площадь проекции тела на
плоскость, перпендикулярную к направлению движения
(в м2); Р — вес тела (в Н), а а —безразмерный
«коэффициент сопротивления», зависящий от формы тела и
определяемый опытным путем; так, например, для горизонтально
падающей квадратной пластинки α = 0,631; для полусферы
с отверстием вниз (парашюта) α = 0,664 и т. д.
Формула (7) вместе с предыдущими результатами
позволяет решить, например, задачу об определении
скорости, которую будет иметь через 2 с после начала
падения находящаяся до того в покое горизонтальная
квадратная пластинка со стороной 1 м и весом 19,6 Н.
- 134 -

В данном случае
^ = 0,6319>б'1=0>386' ^ρ = 5'038, ^=1>947·
Подставляя эти значения, а также значение / = 2с,
в формулу (4), находим
ν |,_2 = 5,038 th 3,894 = 5,038 · 0,999 = 5,033 м/с.
Этот результат практически не отличается от
критической скорости vK? = v \t=с» = 5,038 м/с, которой вообще
может достичь падающая пластинка. Таким образом,
предельная скорость, развиваемая теоретически через
бесконечно большой промежуток времени, практически
достигается уже в конце второй секунды после начала падения.
Для нахождения координаты χ проинтегрируем
дифференциальное уравнение
i>o/Oitp + th(g//t>Kp)
что дает
f0Mcp + th(gz/uKp)
dz-\-C.
=% J
1 + (fo/ϋκρ) th (ξζ/υκρ)
Интеграл в правой части вычислим с помощью
подстановки th(gz/vKp) = ut или z = (vKp/g) Arthw, заменив
одновременно ν0/νκρ через а; тогда интеграл (вместе с
множителем vkp) примет вид
«о
α + ц j
(1+а«)(1—и2» а"'
-*5
где «о = th (gt/vKp). Разложение дроби на элементарные
дает
(1+аа)(1 — к2) — 1+аи ~~ 2(1+ и) +2(1 —м)'
вследствие чего
ϋκο, !+а"
= -?ln
£ ]/l_wa
«о о* l+fo/^pth^/^p)
= —^ 1П
о
g \ »кц укр У*^
8 Kl - th2 (g'Mcp)
— 135 —

Итак,
x = !k in (ch iL + Jul sh Щ + С
β \ с'кр <·'κρ укр/
Для определения С положим х=х0 при / = 0. Тогда
С = х0 и1 значит,
£ \ *'кр νκρ укр
Если предположить, что х0 = 0, то
у— "Plnfrh et -L υ° ih 8
В частности, если положить еще и ν0 = 0, то
и2 ut
(9)
Inch
8 wKp
Эта формула может быть использована, например, при
решении такой задачи.
Пример 2. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км,
а раскрыл парашют на высоте и,э km, определить, сколько
времени он падал до раскрытия парашюта, полагая, что
критическая скорость падения человека в воздухе
нормальной плотности равна 50 м/с и пренебрегая
изменением плотности воздуха с высотой.
Решение. В данном случае χ =1,5 км —0,5 км =
— ι км =1000 м. Следовательно,
1000=^ InchЙ,
откуда, полагая g**l0 м/с2, получаем
Inch (775) = 4, или T=5Arche4.
Из таблиц показательных и гиперболических функций
находим, что е* = 54,598, a Arch 54,598 = 4,693.
Следовательно,
Г = 5-4,693=23,465 ся«23 с.
3) Сила зависит от положения точки: F =
= F(x).
В дифференциальном уравнении
m^=^F{x)
— 136 —

произведем подстановку
dx ... d-x dv _ du
Тогда
dt~~V' dP ~ dt ~V dx'
mupx = F(x),
откуда разделением1 переменных находим
mo2
χ
Χο
где и — переменное интегрирования. Из начального
условия υ — ν0 при х=х0 определяем Ολ=ηινΙ/2 и,
следовательно,
*0
Разрешая это уравнение относительно ν и заменяя υ
dx
через -тт. получим
а?-К *+s5f<")ite·
откуда имеем
2 1*
у°+лГ J^<")d"
*о
Так как *=лг0 при t = t0, то С3 = /о и окончательно
*=/0+ ι d' =. (ίο)
ί У *§+J-$^<")<*«
Выразив отсюда * как функцию /, получим закон
движения точки.
Так, если, например, точка движется прямолинейно
под действием силы F^km/x* при начальных условиях
— 137 —

x — x0} v = v0 при t = t0t то
X X
4 Г dz {* zdz
t= = x0
A / *4 \
2 f km J
u3 *·
К(Фз + *)г3-**2'
*0
или
Разрешив это уравнение относительно χ, получим закон
движения точки
χ=γ- (x0 + vQt)2+k-^.
Если точка движется под действием силы отталкивания
от центра 0, то k > 0; если под действием силы
притяжения, то k<C0. В последнем случае точка достигнет
центра через время 7\ определяемое из условия х = 0 при
t — T. Полагая k = — k\, получим
(*0 + и0Г)2-^-=0.
Разложим левую часть этого уравнения на множители
и приравняем, каждый из них нулю:
Xo + VoT ~^ = 0, x0 + OoT + k-£=0.
Второе уравнение отбрасываем, так как Τ не может
быть отрицательным. Из первого уравнения находим
Т =
ki — UqXq
К задачам, в которых сила зависит от положения
точки, относится и такая.
Пример 3. Определить скорость, с которой метеор
ударяется о Землю, предполагая, что он падает прямолинейно
с неограниченно большого расстояния из состояния покоя
и при его движении к Земле ускорение обратно
пропорционально квадрату его расстояния от центра Земли.
Решение. Обозначим расстояние метеора от центра
Земли через г и составим дифференциальное уравнение
№г _ k_
— 138 —

Так как ускорение w = ^μ = Jr, гДе у —скорость
движения метеора, то уравнение преобразуется к виду
du к dv k
dt r2 ' dr r2 '
do <ίϋ dr du
поскольку Έ = Έ·Έ=νΈ.
Общий интеграл последнего уравнения имеет вид
где С определяется из начального условия υ = Ό при /■ =
= оо, т. е. С — О. Итак, v2=—2k/r.
Скорость при падении на Землю получим, подставляя
вместо г радиус Земли R «^ 6,377 ■ 106 м, а множитель
пропорциональности k можно выразить через ускорение
силы тяжести на поверхности Земли g = 9,8 м/с2 и через
R. Имеем — g=k/R2, откуда k = — gR2 (знак минус взят
потому, что расстояние отсчитывается от начала г = 0,
а ускорение направлено к началу).
Итак, искомая скорость равна
v = ]^r2gR27R = V^gR = V2'9,8 -6,377 · 10« =
= 11 180 м/с«=* 11 км/с.
Колебания маятника. Материальная точка Ρ массы т
подвешена на нерастяжимой нити длины /, массой
которой можно пренебречь. Под действием силы тяжести точка
Ρ движется по окружности радиуса /, лежащей в
вертикальной плоскости. Найдем закон движения маятника,
если он в начальный момент отклонен от вертикального
положения на угол α < π/2 и имеет начальную скорость,
равную нулю (рис. 34).
Положение маятника будем определять углом φ =
= Ζ, ЛОР, отсчитываемым от вертикали. На маятник
действует сила тяжести mg, направленная вертикально
вниз, и сила натяжения нити. Пусть s —путь,
пройденный точкой по дуге РА окружности, s = /<p. Касательная
составляющая силы тяжести, равная, как видно из рис. 34,
mg sin φ, направлена в сторону убывания s, поэтому
второй закон Ньютона дает дифференциальное урав-
— 139 —

нение
d*s
т dt* = ~ mgsmy.
(12)
Сократив на т и заменив s на /φ, приведем его к виду
(13)
d-ω Ρ .
jJ! = - * sin φ.
Это и есть уравнение математического маятника, которое
представляет собой уравнение второго порядка, не
содержащее независимого
переменного. Понижение
порядка достигается подста-
„ άφ ά2φ άω
новкои ^ = ω; a7J = o)^,
и уравнение (13)
приводится к виду
άω
g
ωΉΪ= — ί sinfP·
или
ω d(0 = — 4-sin φ άφ,
Рис. 34
откуда
Так как ω есть угловая скорость, то при ί = 0 вследствие
у —0 также и ω = 0. Поэтому начальные условия дают
е
0=-7-cosa + Ci,
в
откуда Ci = — 4 cos α, так что промежуточный интеграл
приводится к виду
ω2 = 2 у (cos φ — cos a).
При возрастании / угол φ убывает и производная ω =
= -^ должна быть отрицательной; поэтому при
извлечении корня необходимо взять знак минус:
ω = —Ί/ -j У2 (cos φ — cos a).
— 140 —

Подставляя вместо ω выражение ~£ и разделив
переменные, получим:
^ = - "(/fV 2 (cos φ-cos а);
<Й = -Т/Т-—*P
г g^y 2 (cos φ — cos а)
g J 1^2 (cos φ — cos a)
Учитывая начальные условия, можно переписать это
решение в виде определенного интеграла:
ЛЛ/Т?-— *" (14)
Φ
Υ 2 (cos и —cos a)
Оказывается, что интеграл в формуле (14) не
выражается в элементарных функциях, а представляет собой один
из типов так
называемых эллиптических
интегралов.
Если отклонения
маятника малы, то в
уравнении (13) можно
заменить sin φ я« φ и оно
приведется к виду
ίί2φ
άν+Τ*
0.
Рис. 35
Это уравнение является
уравнением свободных
гармонических колебаний. Оно будет рассмотрено в
следующей главе.
Равновесие нити. Представим себе тяжелую гибкую
однородную нерастяжимую нить, подвешенную двумя
концами в точках Л и В (рис. 35). Предположим, что кривая,
по которой располагается нить, лежит в плоскости,
которую мы примем за координатную плоскость хОу. Выберем
систему координат так, чтобы ось Ох была расположена
горизонтально, а ось Оу проходила через самую низкую
точку Οχ нити (точка Οι расположена ниже точек А и В).
Выделим часть нити ОгМ между точкой Οχ и
произвольной точкой Μ (χ; у). Эта часть нити находится под
действием следующих сил:
— 141 —

1) натяжения Н, приложенного в точке Оь
направленного по касательной в точке Οι (горизонтально) и
производимого частью ΑΟι нити,
2) натяжения Т, приложенного в точке М,
направленного по касательной в точке Μ и производимого частью MB
нити,
3) нагрузки W на часть 0ХМ нити, направленной
вниз.
Так как нить находится в равновесии, то, согласно
законам статики, сумма проекций всех этих сил на
координатные оси должна быть равна нулю. Следовательно,
Г cos а-# = 0, Г sin а-№ = 0,
где а — угол между натяжением Τ и положительным
направлением оси Ох, а Н, Т, W — величины
соответствующих сил.
Если в этих уравнениях перенести вправо
соответственно Η и W и разделить обе части второго
полученного уравнения на соответствующие части первого, то
получим
Так как tga=-^, то мы приходим к дифференциальному
уравнению первого порядка
* = - (IS)
dx Η ' ^10>
интеграл которого есть кривая, форму которой принимает
нить в положении равновесия.
Горизонтальное натяжение Я —величина постоянная.
Поэтому если известна нагрузка W как функция от х:
W=F(x)f то уравнение (15) допускает непосредственное
интегрирование. Его решение в этом случае имеет вид
y=^F(x)dx + Ct
где С определяется из начальных условий.
Однако могут встретиться случаи, когда известна не
сама функция W, а ее производная по х. Дифференцируя
по χ обе части уравнения (15), мы в этом случае
приходим к дифференциальному уравнению второго порядка
сРу I dW /1β.
— 142 —'

Если-τ-=/(*), где f (χ) — известная функция, то решение
этого уравнения (уравнение фигуры равновесия нити)
имеет вид
где Сх и С2 определяются из начальных условий.
В более общих случаях, когда правые части
уравнений (15) и (16), зависят не только от х, но и от у и у',
приходится применять разные приемы для нахождения
решения, так как непосредственное интегрирование
невозможно.
Заметим, что во всех случаях решение будет содержать
постоянную величину Н. Зная координаты концов нити Л
и В и точку Ох, можно вычислить Н.
Пример 1. Гибкий однородный нерастяжимый канат
закреплен концами в двух точках и несет нагрузку,
равномерно распределенную по горизонтальной проекции
каната: q Н/м. Определить форму равновесия каната,
пренебрегая его весом.
Обычно так ставится задача при определении формы
равновесия цепей или канатов висячих мостов: нагрузка
(мост, висящий на цепи или канате) равномерно
распределена по горизонтальной проекции и величина ее такова,
что весом самой цепи или каната можно пренебречь.
Решение. В рассматриваемом случае W = qxy где
χ — координата точки М — служит одновременно и
горизонтальной проекцией части ОгМ каната. Поэтому
дифференциальное уравнение (15) принимает вид ^- = ?г.
Его общее решение У — ^Л-С представляет собой
семейство парабол.
Для определения С зададим ординату у = q/H точки Οχ.
Тогда начальное условие запишется в виде y = q/H при
х = 0. Следовательно, C=q/H, а значит, искомое частное
решение представляет собой параболу
я /*3
Пример 2. (Цепная линия.) Гибкий однородный
нерастяжимый канат, закрепленный концами в двух
точках, провисает под действием собственного веса. Опреде-
— 143 -

лить форму равновесия каната, если вес единицы длины
каната равен q.
Решение. Здесь W = qs, где s —длина дуги OvM.
Из курса математического анализа известно, что s =
= S/·+(£)'«*· Поэтому w=AVl+ffidx·
о о
а значит, γ- = q l/ 1 -\-\-f) · Подставляя выражение про-
изводной -т- в уравнение (16), получим
дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее
аргумента χ и искомой функции у:
e^W'+Ш- <17>
Подстановкой ^ = w это уравнение сводится к
уравнению первого порядка с разделяющимися переменными
du 1
dx a
У\+и\
где произведена замена H/q — a. После разделения
переменных и интегрирования получим
1п(а+уТР+Т) = ^ + 1пСь
откуда
Изолировав корень \fu2 + 1 и возведя в квадрат обе
ча'сти полученного равенства, после упрощения найдем
l = C\ei*/*-2C1ue*/at
откуда
% = с^1а-шГ"а' (18)
du
так как и=^~-.
dx
Получилось простейшее дифференциальное уравнение
первого порядка. Его общее решение
аС1
— 144 —
y^&' + ^e-'/'+C*. (19)

Для определения произвольных постоянных Сх и С2
зададим ординату у —а точки Οχ. Заметив, что веточке Οι
касательная параллельна оси Ох, запишем начальные
условия в виде у = а, у' = 0 при х = 0. Подставляя
значения χ и у' в равенство (18), получим алгебраическое
уравнение для определения Сх:
0=C-L-±
υ 2 2Q'
откуда Сх = 1.
Второй корень (отрицательный) не годится, что непо;
средственно вытекает из дифференциального уравнения.
В самом деле, из неравенства Сг<.0 следует, что з-^<С0,
а это противоречит уравнению, поскольку правая часть —
существенно положительная величина.
Подставляя значения χ и у в уравнение (19), получим
а = γ +-% + С2,
откуда С2 = 0.
Итак, искомым частным решением служит
функция
i/ = iL(e*/"-|_i?-*/a), или i/ = ach—.
Решение этой задачи показывает, что гибкий
нерастяжимый канат, свободно подвешенный за оба конца,
принимает под действием собственного веса форму графика
гиперболического косинуса. Этим и объясняется
общепринятое название последнего — цепная линия.
Заметим, что величина a = H/q может быть истолкована
геометрически как радиус кривизны цепной линии в
нижней точке Οχ. В этом легко убедиться из следующих
вычислений:
П + (у')а]'М
i/'U-o = 0, /U-o=4. R
х=*0 \У"\ \х=0
Таким образом, величина а характеризует форму цепной
линии: чем меньше о, тем она уже и круче.
Изгиб балки. Рассмотрим горизонтально
расположенную балку, ограниченную цилиндрической поверхностью,
имеющей вертикальную плоскость симметрии. Таким
образом, каждое поперечное сечение балки имеет вертикаль-
- 145 -

ную ось симметрии. Геометрическое место центров тяжести
равных между собой поперечных сечении представляет
горизонтальную прямую, которая называется осью (или
нейтральной осью) балки.
Пусть действующие на балку силы расположены в
плоскости симметрии и направлены вертикально, т. е.
перпендикулярно к оси балки.
В этих предположениях балка и действующие на нее
силы могут быть изображены схематически, как это,
например, показано на рис. 36. Под действием этих сил
балка будет изгибаться, причем в балке возникнут
внутренние силы упругости.
b
>/--
Рис. 36
Разрежем мысленно балку по поперечному сечению и
рассмотрим условия равновесия правой (или левой) части
балки (рис. 36). Для сохранения равновесия следует
в сечении аЪ приложить усилия отброшенной части балки
на оставшуюся, т. е. систему, равносильную системе сил,
приложенных к отброшенной части балки. Как известно,
систему сил, действующих в одной плоскости, можно
привести к одной равнодействующей силе, равной их
алгебраической сумме, и к паре сил, момент которой равен
алгебраической сумме моментов соответствующих пар.
Для случая, изображенного на рис. 36, это будут:
равнодействующая
и момент
Q = P!-P2-P3
м = /у! - я2/3 - /у8.
(20)
(21)
Выражения (20) и (21) показывают, что для левой
части балки положительным направлением силы считается
направление снизу вверх, а положительным направлением
— 146 -

момента — такое, которое соответствует вращению левой
части балки по направлению движения часовой стрелки.
Если рассматривать вместо правой половины балки левую,
то равнодействующая сила и суммарный момент для
правой половины балки будут отличаться соответственно от
выражений (20) и (21) лишь знаком. Это означает, что
для правой половины балки положительной следует
считать силу, направленную сверху вниз, а положительным
направлением момента — такое, которое соответствует
вращению против движения часовой стрелки.
Силу Q называют перерезывающей силой в сечении ab,
а М — изгибающим моментом в том же сечении.
Поставим задачу отыскать форму изогнутой оси балки.
Направим ось Ох горизонтально вправо по оси балки
в ненапряженном состоянии, а ось Оу — вертикально
вверх. Если обозначить через у прогиб в сечении на
расстоянии χ от начала координат (например, от левого
конца балки), то график функции у—у(х) и есть форма
изогнутой оси балки.
Основным соотношением, известным из курса
сопротивления материалов и позволяющим отыскать эту
функцию, является уравнение
_1_ _ М(х) ,99,
ρ ~" ΕΙ ' \Δί)
где ρ — радиус кривизны изогнутой оси в данной точке,
Μ (χ) — аналитическое выражение изгибающего момента
в соответствующем сечении, Е — модуль упругости (модуль
Юнга), зависящий от физических свойств материала,
/ — момент инерции поперечного сечения относительно оси,
совпадающей с нейтральной осью балки. Используя
формулу для кривизны, известную из курса
дифференциального исчисления, получим
У" __-^_«. (23)
П +О/')2]3/* — ει
Равенство (23) есть дифференциальное уравнение
второго порядка, не содержащее искомой функции и потому
допускающее понижение порядка. Однако интегрирование
такого уравнения, вообще говоря, представляет
значительные трудности1. По этой причине уравнение (23) обычно
подвергают дальнейшим упрощениям, основанным на том,
что на практике допускаются только малые прогибы.
Поэтому у' как тангенс угла касательной к изогнутой оси
— 147 —

балки с положительным направлением оси абсцисс есть
величина настолько малая по сравнению с единицей, что
ее квадратом в знаменателе выражения для кривизны
можно пренебречь. Получается уравнение
у ~~ — El
(24)
которое и принято называть дифференциальным
уравнением изогнутой оси балки. Это уравнение непосредственно
интегрируется. Выражение изгибающего момента зависит
от условий работы балки.
Рассмотрим несколько конкретных задач.
У
1
о-
1
■ х
тшжжтм
а
dt
χ
Рис. 37
Пример 1. (Изгиб консольной балки.) Дана
балка длины / м, левый конец которой наглухо заделан,
а правый свободен. Определить форму изогнутой оси и
максимальный прогиб на правом конце, если балка
находится под действием равномерно распределенной нагрузки
интенсивностью q Н/м и к правому концу приложена сила
Ρ И.
Решение. Так как мы можем воспользоваться
дифференциальным уравнением (24), то дело сводится к
нахождению изгибающего момента Μ (χ); затем достаточно будет
двукратного интегрирования. Выберем оси координат, как
показано на рис. 37, и рассмотрим сечение аЬ на
расстоянии χ от левого конца. Изгибающий момент, возникающий
в этом сечении от силы Р, приложенной в правом конце,
равен
М1(х) = -Р{1-х), (25)
— 148 —

причем, в соответствии с выведенным из (21) правилом
знаков, выбран знак минус, ибо сила Ρ вращает правую
часть балки по направлению движения часовой стрелки.
Остается подсчитать изгибающий момент от равномерно
распределенной нагрузки, приложенной справа. Для этого
рассмотрим на расстоянии ( от начала координат элемент
dt, на который действует сила q dt. Как и в (25),
изгибающий момент, вызываемый в сечении ah силой,
действующей на этот элемент, равен
dM2{x) = — q{t-x)dt. (26)
Чтобы получить изгибающий момент в сечении ab,
вызванный всей равномерно распределенной нагрузкой
в правой части балки, нужно просуммировать все
выражения (26) по правой части балки, так что
M2{x) = -q\{t-x)dt = -q{^^x=-q«-^. (27)
Теперь для нахождения изгибающего момента от обоих
видов нагрузки остается сложить выражения (23) и (25),
после чего дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки для случая нашей задачи приводится к виду
/—ет[р <'-*>+f'-T^]· <28>
Так как Ε и / постоянны, то двукратное
интегрирование дает последовательно:
ι Γη/'*2 *3\ , ι /ι*** '*» , *'\1 , ^ , ^
Начальные условия для нашей задачи имеют вид у \х=0 =
= #'U-o = 0. Действительно, так как левый конец
заделан, то он неподвижен и касательная к изогнутой оси в этой
точке горизонтальна. Из начальных условий получаем
С1 = С2 = 0 и, таким образом, форма изогнутой оси
описывается уравнением
1 Γη/'*2 *3\ ι 1 (12χ2 Ιχ3 ι *4\1 /ооч
Максимальный прогиб на правом конце равен
— 149 —

Пример 2. (ΓΙ з г и б балки с шарнирно
опертыми концами.) Балка длины / м оперта концами
так, что последние могут поворачиваться, но перемещаться
не могут, и находится под воздействием сосредоточенной
нагрузки Ρ Η, действующей на расстоянии m м от левого
конца. Определить форму изогнутой оси балки.
Решение. Так как балка находится в равновесии,
то действие силы Ρ должно уравновешиваться силами
Pi и Р2 давления опор на балку, называемыми опорными
реакциями (рис. 38). Для их нахождения обозначим через
п = 1 — т расстояние от точки приложения
сосредоточенной нагрузки Ρ до правого конца балки и заметим, что
У
Pi
tii
-с
-*-Х-т·
ъ
а
/
с
Ρ
\
ι
Ί
ь,
щ d
■
р2
X
Рис: 38
вследствие условий равновесия сумма моментов всех сил
относительно любой точки должна равняться нулю. Взяв
сумму моментов относительно правой опоры балки,
получим равенство Р11 — Рп = 0, откуда Р1 = пР/1. Аналогично
сумма моментов относительно левого конца будет — Р21 -\-
+ Рт = 0, что дает Р2 = тР/1.
Для составления дифференциального уравнения
изогнутой оси балки воспользуемся, как и в предыдущей задаче,
уравнением (24), в которое требуется только подставить
аналитическое выражение изгибающего момента.
Рассмотрим сечение ab, находящееся на расстоянии χ от левого
конца балки. Если предположить, что х<.т, то на левую
половину балки действует только реакция левой опоры
Рь и изгибающий момент равен
М1(Х) = Р1Х:
пРх
I
Таким образом, для х<Сту т. е. для левой части балки
(левой относительно точки приложения внешней сосредо-
— 150 —

точенной нагрузки) дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки имеет вид
у"=ш п1г· <31>
Двукратное интегрирование этого уравнения дает
последовательно:
У' = Ип4 + Сь (32)
'£// 2
пР л?
ΕII 6
У = ТГп1Г + С1Х + С2- (33)
Уравнение (33) после нахождения произвольных
постоянных, о чем речь будет идти позже, дает форму левой
части изогнутой оси балки.
Для отыскания формы упругой кривой в правой части
необходимо рассмотреть сечение афи находящееся от
левого конца балки на расстоянии ху удовлетворяющем
условию т<Сх<С,1. В этом случае на левую относительно
такого сечения половину балки действуют уже две силы
Рх и Р; изгибающий момент в этом сечении равен
M.i(x) = P1x-P(x-m) = ^-P(x-m).
Соответственно дифференциальное уравнение (29)
принимает вид
У"=Г1\т-(х-т)\ <34)
Последовательное интегрирование уравнения (34) дает:
и,_Р\п# (ж-туп , г
у —Τι [Ж 2J + Сз> (35)
Ρ [nxs (x—m)31 . „ . ~ /ЛОЧ
У = Ё1Ы - —Г1 J + С*х + С*· (Зб)
Подобно (33) выражение (36) представляет форму правой
части изогнутой оси балки, расположенной за точкой
приложения силы Р.
Таким образом, изогнутая ось балки представляется
на двух участках балки различными аналитическими
выражениями: уравнением (33) для 0<*<т и уравнением
(36) для т<.х<.1.
Перейдем к отысканию произвольных постоянных.
Заметим, что здесь уже нет обычной системы начальных усло-
— 151 ~

вий. В самом деле, так как левый конец оперт, то он не
опускается, т. е. г/|Л = о = 0, но так как он может
поворачиваться, то г/'|;г-от^О. Вместо этого имеется условие
на правом конце балки: у\х=[ = 0. Таким образом, вместо
системы двух начальных условий имеются два граничных
условия: у\х_0 = у\х_1 = 0.
Однако этих условий мало для определения четырех
произвольных постоянных, возникших при
интегрировании двух различных уравнений второго порядка. Два
недостающих условия получаются из предположений, что
изогнутая ось балки — непрерывная плавная линия, не
имеющая угловых точек. Из предположения непрерывности
вытекает, что ординаты, вычисленные при х = т из выражений
(33) и (36) должны совпадать. Предположение гладкости дает
совпадение угловых коэффициентов у', вычисленных при
х = т из выражений (32) и (35).
Так как у\х_0 = 0, то из (33) следует, что С3 = 0.
Приравняв теперь угловые коэффициенты из (32) и (35)
при х = т, получим
пР т ι •-» Ρ пт .„
£7/1 + ϋι—£7~2Г + Сз»
откуда следует С1 = С3. Далее, приравнивая при х = т
выражения (33) и (36) и заменяя при этом С3 на Clf
получим
пР т3 . г Ρ пт? , п , «
£7'Гб" +с1/п = £7-бГ+с1т+с4,
т. е. что С4 = 0. Остается определить постоянное Сь
воспользовавшись для этого последним условием #'|*-/ = 0.
Подставив х = 1 в выражение (36), имеем
Ρ Гп/з (/-mpi { п У_Л
или, учитывая, что т = / — п, получим
6^('a-"2)+Ci' = 0.
откуда
Ci= -бШ"/(/2-/г2)·
Подставляя найденные значения произвольных
постоянных в выражения (33) и (36), получим уравнения,
выражающие форму левой и правой частей изогнутой оси балки.
- 152 -

Теплопередача через трубу. Пусть имеется толстая
цилиндрическая труба с внутренним радиусом г и
наружным R. Требуется определить теплопередачу через трубу
изнутри наружу, предполагая, что установился
стационарный тепловой режим, при котором количество тепла,
проходящее через какую-либо данную площадь, постоянно,
т. е. температура Ό каждой точки трубы не зависит от
времени и меняется только с расстоянием точек от оси
трубы.
Основным соотношением в теории теплопроводности,
которым здесь необходимо воспользоваться, является
следующее:
Количество тепла, проходящее через бесконечно малую
площадку, перпендикулярную к некоторой оси, в
направлении этой оси за промежуток времени dt
пропорционально площади dF площадки,
длительности промежутка и
скорости падения. температуры в
этом направлении, т. е.
dq = —XdF-j-dt.
Знак минус указывает, что
поток тепла движется в сторону
падения температуры;
постоянный коэффициент λ зависит от
вещества рассматриваемого тела
и называется коэффициентом рис 39
теплой роводн ост и.
Выделим внутри трубы цилиндрическую поверхность
радиуса ρ (рис. 39), r<Q<R. Тогда для элемента dF
этой поверхности
dq=-\dF~dt. (37)
Так как количество тепла не зависит ни от элемента dF,
ни от промежутка времени dt, то просуммировав
выражения типа (37)," получим для всей поверхности цилиндра
за единицу времени полное количество тепла
Q=-XF
dQ-
Если длина трубы равна /, то /Γ = 2πρ/, так что
(5=-2πλ/ρ^.
(38)
— 153 —

По предположению процесс является установившимся,
так что тепло не может накапливаться ни в какой части
трубы. Отсюда следует, что величина Q не зависит от о,
т. е. -^ — 0. Продифференцировав равенство (38) по ρ и
сократив на постоянный множитель, получаем искомое
дифференциальное уравнение
е^ + ^=0· <39>
Мы получили дифференциальное уравнение, не
содержащее явно искомой функции. Однако из самого процесса
получения видно, что левая часть уравнения является
точной производной. Воспользовавшись этим замечанием,
сразу получаем промежуточный интеграл в виде
Второе интегрирование дает общее решение в виде
ft = £χ In q + C2. (40)
Остается определить произвольные постоянные. Мы
не можем здесь получить начальные условия. Наиболее
естественными будут граничные условия. Проще всего
задать температуры на внутренней и наружной
поверхностях:
4-,=ft0; Н-*=*1- (41)
Подставляя значения (41) в общее решение (40),
получим систему уравнений для нахождения произвольных
постоянных:
1 Ъ0 = С\\пг + Сг,
G^dlntf + Ca.
Вычитая из второго равенства первое, имеем
*1-*о = С1(1п/?-1пг),
откуда
fli-flo
In R- In r'
Подставляя найденное выражение Сх в одно из
уравнений нашей системы, получим
г _ fr0 in к —0! in г
L2~ Intf-lnr *
— 154 —

Мы можем теперь подставить найденные выражения
для произвольных· постоянных в выражение (40) и тогда
получим функцию, описывающую изменение температуры
точек трубы в зависимости от их расстояния от оси.
Выражение (38) позволяет подсчитать количество тепла,
протекающее через трубу.
Необходимо отметить, что фактически условия типа (41)
получаются весьма редко. В большинстве случаев
оказываются известными не температуры ΰ·0 и Фь а температуры
вещества, заполняющего внутренность трубы, и
температура среды, окружающей трубу. Это приводит к
граничным условиям значительно более сложного вида.

ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ IS. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫ!
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется уравнение вида
a0yin) + aiy{n~1) + a%y{n-*)+... + an„1y' + ад = &, (I)
Независимое переменное χ может входить в уравнение
произвольным образом (определение линейного уравнения
не содержит никаких ограничений по поводу того, как χ
входит в уравнение). Поэтому коэффициенты а0, аъ ..., ап%
так же как и правую часть 6, следует считать
произвольными функциями от х. Обычно принято линейное уравнение
писать в «приведенном виде», что достигается делением
обеих частей уравнения на коэффициент а0. Получающиеся
новые коэффициенты будем обозначать буквами ръ р2, ,..,
ря, а свободный член —буквой q, причем укажем их
зависимость от χ явным образом. В этом случае линейное
дифференциальное уравнение я-го порядка примет вид
У(п) + РхШп'1) + Р*ШЯ-* + · · ·
. ... + Pn-i(x)yf + Pn{x)y = q{x)· (2)
Для того чтобы такое деление можно было произвести,
необходимо предположить, что а0фО, и, таким образом,
уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) только в таких
интервалах α<χ<β, в которых выполняется это условие
(тождественное равенство нулю коэффициента а0
невозможно, ибо уравнение не было бы тогда уравнением w-ro
порядка).
Приведенную в предыдущей главе теорему
существования и единственности решения можно распространить и
на линейные уравнения. Как известно, функции, непре-
- t5fi-

рывные на замкнутом интервале, ограничены на нем. Поэтому
условия существования и единственности решения
выполняются для линейного уравнения не только в достаточно
малой окрестности начальных условий (как это имеет место
в общем случае), но на любом отрезке на котором
непрерывны функции рг(х), ..., Рп{х)· В частности, эти условия
выполняются на любом отрезке внутри интервала (α, β),
в котором αΌ(χ) Φ О, если предположить непрерывность
коэффициентов уравнения (1).
Таким образом, для линейных дифференциальных
уравнений теорему существования и единственности решения
можно сформулировать так.
Пусть коэффициенты Ρι(χ), Рг(х), ..., Рп(х)
линейного дифференциального уравнения (2) непрерывны на
некотором отрезке [а, Ь]. Существует одно и только одно
решение у=у(х) уравнения (2), определенное и
непрерывное на всем интервале (а, Ь), удовлетворяющее этому
уравнению и любой системе начальных условий, если только
значение х0 принадлежит интервалу (а, Ь).
Доказательство этой теоремы опускается. В дальнейшем
нам придется, однако, ею воспользоваться.
Уравнение вида (2) называют линейным неоднородным
уравнением, или уравнением с правой частью. Если же
а{х) == 0, то уравнение принимает вид
У{п)+Р1(х)У{п'1) + ^Лрп-1(х)у'+Рп(х)У = 0 (3)
и его называют линейным однородным дифференциальным
уравнением, или уравнением без правой части.
Линейные дифференциальные уравнения — наиболее
изученный тип уравнений высших порядков. Многие задачи
техники и естествознания приводят к линейным
уравнениям. Более того, в ряде случаев в условие задачи
специально вводятся такие дополнительные предположения,
которые позволяют получить дифференциальное уравнение
линейного вида. Внесение таких дополнительных
предположений принято называть линеаризацией.
В настоящем параграфе1 будут рассмотрены некоторые
свойства частных решений уравнения (3).
Обозначим левую часть уравнения (3) через L[y]:
ι
L [у] ^ */"> + Piy{n~l) +. · · + Рп-1У' + РпУ, (4)
причем, для краткости, будем опускать у функций pl9
- 157 -^

p2, ..· аргумент χ. Это выражение будем называть
линейным дифференциальным оператором от функции у.
Линейный дифференциальный оператор L [у] можно
рассматривать как аналог функции/(лг). Действительно,
функция / (х) ставит в соответствие числу χ новое число
f(x), а оператор L [у] ставит в соответствие функции у
новую функцию L[y]. Например, пусть
L [у] ξξε у" - ху' + 2у.
Тогда для функции у = х3 получим
L [х3] = (Χγ - χ (χ3)' + 2х3 = 6х - χ ■ Зх2 + 2х3 = 6х- х\
т. е. функции у = х3 ставится в соответствие функция
L[y]=6x — χ3. Для функции у = sin x имеем
L [sin λ:] = (sin χ)" — χ (sin χ)' + 2 sin #=
= — sin α: — λ" cos x +2 sin λ* = sin χ — λ: cos*.
Если оператор L[y]=y"-\-xy, то для у = х3 имеем
L [χ*] = (λ:3)" + χ ■ χ3 = 6* + λ:4,
а для # = sin* получим
L [sinλ:] = — sinx-f * sin * = (* — 1) sin*.
Линейный дифференциальный оператор L [у] обладает
следующими двумя основными свойствами.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
оператора, т. е. для любой η раз дифференцируемой
функции уг справедливо равенство
£[Q/i]=CL [*/!], где С = const. (5)
Действительно, вычисление L [Сух] дает:
L [СУ1] = (Су,) ("> + р1 Ш ("-D +... + ρα-ι (Суг)1 + рпСуг =
= Сум + Pity» -» +... + Pn-iCy[ + р^ =
= С (у^ + Ριί/<η- п 4- · ■ ■ + Pn-iy' + р„^) - CL Ы,
что и утверждалось. Это свойство носит название свойства
однородности.
2. Оператор от суммы двух функций равен сумме
операторов от каждого из слагаемых в отдельности, т. е.
- 158 —

для любых η раз дифференцируемых функций ух и у2
имеет место равенство
L\yi + y*\=L\yA+L[y2]. (6)
В самом деле,
^1У1 + У2] = (У1-\-У2){п) + р1(У1 + У2){п-1) + ..·
-•- + Рп-1{У1 + У*У + Рл(У1 + У2)·
Так как производная суммы равна сумме производных,
то отсюда находим:
L \У1 + У λ = (У[п) + У\п)) + Pi(y[n-l)+y[n-l))+--.~
..■ + Рп-1(у[ + Уд + Рп(У1 + У2) = (у[п)+р1У[п-1) + ...
. .. + ря-1У\+РпУ11 + {У{п\ +Ρ.ι^η~|}+. -ЛРп-гУъ+РпУ*) =
Это свойство называют свойством аддитивности
линейного дифференциального оператора. Очевидно, оно имеет
место не только для двух, но и для любого конечного
числа слагаемых.
Установленные свойства линейного дифференциального
оператора (4) позволяют доказать теоремы, выражающие
некоторые свойства решений уравнения (3).
Заметим прежде всего, что линейное однородное
дифференциальное уравнение (3) можно, воспользовавшись
линейным оператором, записать в виде
Ifefl-O· (7)
Таким образом, решение уравнения есть функция у,
которой оператор L[y] ставит в соответствие нуль. Такая
формулировка аналогична формулировке задачи решения
обычного уравнения /(*)=0.
Рассмотрим теперь теоремы о свойствах частных
решений линейного однородного дифференциального
уравнения^
Теорема 1. Если функция ух является решением
уравнения (3), то и функция Сух есть решение этого уравнения.
Доказательство. Если у удовлетворяет
уравнению (3), то вследствие равенства (7) L\yx\ — 0. Далее,
вследствие однородности линейного дифференциального
оператора LlCyJ^CLlyJ, т. е. L[Cy^=-0; последнее
и означает, что функция Сух также удовлетворяет
уравнению (3).
— 159 -*

Теорема 2. Если функции у1 и у2 являются решениями
уравнения (3), то и функция yi + y-2 есть решение этого
уравнения.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично
доказательству предыдущей. Так как уг и //..
удовлетворяют уравнению, то L[iji]-= 0 и L[y2]~0. С другой
стороны, вследствие равенства (6) LlyL + y.^ — Lly^ + Lly*],
т. е. L[y1-\-y2] = 0, а это означает, что и У\-\-у-г также
удовлетворяет уравнению (3).
По аналогии с линейной комбинацией векторов
линейной комбинацией функций ylt y2,·-., уп называют
выражение вида у = С1у1 + С*у2 + ... + С„у„, где Си С2,..., Ся —
произвольные постоянные коэффициенты.
Теорема 3. Если уи у2,..., уп — частные решения
линейного однородного дифференциального уравнения (3), то
их линейная комбинация у^=Схух-\-Слу^Лг..,-\-Спуп есть
также решение этого уравнения.
Эта теорема является очевидным следствием двух
предыдущих.
Выражение у=Сгух + С2Уг +.. · + Спуп содержит η
произвольных постоянных и удовлетворяет
дифференциальному уравнению n-το порядка. Естественно возникает
мысль, что это выражение является общим решением
нашего уравнения и что, таким образом, общее решение
линейного однородного дифференциального уравнения
можно сконструировать из нескольких известных частных
решений. Последнее заключение действительно
справедливо, однако выражение у=С1у1 + С2у2-\-...-\-Спуп будет
общим решением уравнения (3) не при всяких частных
решениях уи #2,..., уп.
Как уже говорилось в предыдущей главе, для того
чтобы решение, содержащее произвольные постоянные,
было общим решением некоторого дифференциального
уравнения, должна существовать возможность подбора
единственным образом произвольных постоянных так, чтобы
удовлетворить любой системе начальных условий.
Чтобы выяснить, существует ли такая возможность при
данном выборе известных частных решений уи у^..., у„,
т. е. чтобы выяснить, будет или не будет выражение
У = Ci£/i + Qi/2 + · · · + Cnyn общим решением, нам
понадобится ввести понятие линейной зависимости и линейной
независимости функций. Этим понятиям и их применению
к теории линейных дифференциальных уравнений посвящен
следующий параграф.
— 160 —

§ 14. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Рассмотрим систему функций уи */2.··-. уп*
определенных и непрерывных на одном и том же отрезке [а, Ь] оси
Ох. Эта система функций называется линейно зависимой
на отрезке [а} Ь], если существуют η таких чисел alt
ot2,..., ал, что выполняется тождественное соотношение
ЩУ\ + ВДг + ■ · · + ВД„=0 (1)
для всех χ на данном отрезке. При этом предполагается,
что числа alt ..., аЛ не равны нулю одновременно. Если
предположить, например, что α„=^0, то тождество (1)
можно переписать в виде
У η = βΐ*/ΐ + β2ί/2 + · · · + β„-10«-1. (2)
где положено β,· =— α„/α* (i=l, 2,..., «—1). Поэтому
линейная зависимость системы функций означает, что хотя
бы одна из функций системы представляет собой линейную
комбинацию остальных.
Если же такие коэффициенты аь а2, ..., ап подобрать
невозможно, т. е. никакая линейная комбинация функций
Уъ Угу ···! У η не является тождественным нулем*, то
такая система функций называется линейно независимой.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть i/1 = cos2jc; y2 = sin2x; у3 = а- Эта система функций линейно
зависима на любом отрезке [иногда также говорят «на интервале
(— со, + со)»].
Действительно, при сх1=1, a2=l, a3 =—1/а имеем
αι#ι + ^2^2 + аз#з = cos2 * + sul2 * — 1 = О·
Пусть теперь
yi = cos2 χ, у ζ = sin2 x, уз = ех,
у4 = sin 2х, ι/δ = cos 2*, уе — In x.
Эта система также линейно зависима, ибо функция уь равна
разности функций у± и уг. Если положить ^ = 1, аа = — 1, а5 =— 1,
a3 = tt4 = ae = 0> то
«ι«/ι+«гУа+α3ί/3 + α4ι/4 + «5ί/5 + αβ# в = cos2 * — sin2 ж—cos 2x == 0.
* Разумеется, кроме тривиальной коыбпнацпп, т. е. такой, где
а1 = аа = ... = ал = 0. Эта комбинация всегда тождественно равна
нулю.
— 161 —

Отсюда видно, что если часть функций системы линейно
зависима, то линейно зависима и вся система. Заметим,
что достаточно из этой системы удалить одну из
функций уи у2, ί/5. и оставшаяся система будет линейно
независимой. Однако доказательство этого утверждения совсем
не так просто.
Чтобы доказать линейную зависимость, достаточно
просто указать значения коэффициентов, дающих
тождественно равную нулю комбинацию. Если же подбор таких
коэффициентов не удается, то с равным основанием можно
считать, либо что мы просто не умеем их найти, хотя
они и существуют, либо что система линейно независима
и таких коэффициентов вообще подобрать нельзя.
Доказательство линейной независимости приходится поэтому
вести другим путем.
Система ^=1, Уг=х, #з = *2» У^ = х3 является линейно
независимой. Действительно, пусть <xlt α2, α3, α4—любые постоянные
числа, не равные нулю одновременно. Тогда равенство
«ι + α·ζχ+аз*2 + «4*3 = О
представляет собой кубическое уравнение, которое может иметь не
более чем три корня. Поэтому выражение
<*>&! + «202 + «3^3 + «4#4 = Oil + СС2Х + 0С3*2 + а4*3
может обращаться в нуль при любых множителях α не более чем
в трех точках и, значит, ни при каких коэффициентах не обращается
в нуль тождественно.
Возникает необходимость в рассмотрении признаков,
которые дали бы возможность установить линейную
зависимость или независимость некоторой системы функций.
Если функции системы у1у у2, ..., уп дифференцируемы
л—1 раз, то из них можно построить определитель
я-го порядка, который имеет вид
У ι У г ... У η
y'i У* ... У η
W =
й«-1>йя-1)... #~1)
Этот определитель также является функцией от χ и
обозначается
W(x) = W[yl9 y2t ..., yn] = W.
По имени польского математика И. Вронского (1778—1853),
который впервые ввел его в рассмотрение, он назван
определителем Вронского (или вронскианом) данной системы
— 162 ~

функций. В частности, при
функций уи ?у2, Уз имеет вид
п = Ъ вронскиан системы
W =
Уг Уг Уг
У\ У* У'ъ
У'г У* У%
Вронскиан является средством изучения линейной
зависимости или независимости системы функций. Его
применение основано на следующих двух теоремах.
Теорема 1. Если функции уи у2, ... , уп линейно
зависимы, то вронскиан системы тождественно равен нулю.
Доказательство. Для большей наглядности
ограничимся рассмотрением случая п = 3. Пусть функции г/f,
Угу Уз образуют линейно зависимую систему функций.
Тогда существуют коэффициенты аь а2, а3, для которых
ад+ад 4- ад зя о. (3)
Предположим, что а3ф0 (если а3 = 0, то следует
лишь изменить нумерацию функций, ибо по условию не
все коэффициенты α равны нулю). В этом случае,
разрешив равенство (3) относительно у3, получим
#3=βΐ#1 + β2ί/2, (4)
где, как и выше, β* = — α,/α3 (t=l, 2).
Составим теперь для данной системы функций
определитель Вронского и заменим в нем последний столбец,
содержащий функцию у3 и ее производные, выражением (4)
и производными, полученными отсюда. Тогда
W[ylt У2,Уз] =
У\ Уг Уз
Ух Уг
У'1 У* β^ί + β^ί
У" У* Μ' + β«#'
У\ уъ Уъ
У1 У* У*
Последний определитель равен нулю. Чтобы убедиться
в этом, вычтем из последнего столбца первый,
умноженный на рь и затем второй, умноженный на β2. После
этого последний столбец определителя будет содержать
лишь нули; следовательно,
W(x)^W[ylt у2, у3]^0.
Теорема 2. Если ylt y2, ... t у п — линейно независимые
функции, удовлетворяющие некоторому линейному
однородному дифференциальному уравнению п-го порядка, то
вронскиан такой системы не обращается в нуль ни
в одной точке.
— 163 —

При этом функции уи yt, ..., уп рассматриваются
на некотором отрезке, лежащем строго внутри
интервала (a, b)t в котором можно гарантировать
существование и единственность решения. Таким образом, вронскиан
этой системы определен на таком же отрезке, и теорема
утверждает, что он на данном отрезке отличен от нуля.
Доказательство проведем методом «от противного»,
ограничившись по-прежнему случаем п = 3. Предположим,
что W (х) обращается в нуль хотя бы в одной точке #„,
и покажем, что отсюда уже вытекает линейная зависимость
системы, что противоречит предположению. Итак, пусть
существует точка х0, для которой W(x0) = 0. Обозначим
через #,о, у.2о, г/3о значения наших функций в точке х0,
через ι/ίο, у'щ% ι/зо — значения их первых производных
в этой точке и через у'т, ум, ут — значения вторых
производных. Тогда
yio У20 Узо
W(#cj)= у'т у'т ук = 0.
у'ю у'ш Ут
Рассмотрим теперь некоторую систему трех однородных
уравнений с тремя неизвестными аи а2» «з»
коэффициентами которой служат строки нашего определителя:
<*ιί/ιο + аг|/2о 4- азУзо
(X-iyU + <%ъУт + &ъУш
ахУы + щу'т + ЩУ'ш
0, )
0.
= 0.
(5)
Определитель этой системы D = W (х0)=0. Напомним,
что однородная система трех алгебраических линейных
уравнений с тремя неизвестными имеет решения, отличные
от нулевых, тогда и только тогда, когда определитель
системы' равен нулю. Поэтому система (5) имеет
ненулевое решение аи а2, «з- Образуем с помощью полученных
чисел новую, функцию
У=а1У1 + а%Уг + а>вУз*
(6)
которая является линейной комбинацией функций
заданной системы с коэффициентами, удовлетворяющими системе
уравнений (5). Установим некоторые свойства функции (6).
Прежде всего, так как уъ */2, у3 являются решениями
некоторого линейного однородного дифференциального
— 164 —

уравнения, то вследствие теоремы 3 из § 13 функция у
также является_ решением этого уравнения. Далее,
значение функции у в точке х0 равно
У (*θ) = «1^1 (*о) + <*2#2 (*о) + <ЭД3 Μ =
= «ii/ιο 4- α2ί/2ο + <*3у30 = О
в силу первого из уравнений (5), которым удовлетворяют
коэффициенты ось а2, а3. Поскольку производные функции у
являются такими же линейными комбинациями
производных функций уъ у2, Уз, как и в (6):
^а^ + азЙ + азг/з,
у" = од! + «зй + едз,
то и для производных в точке х0 в силу остальных
уравнений системы (5) получаем'
У' Ы = «ι#ίο + «гЙо + а3#зо = О,
#" (*о) = ОДГо + «айо + «зйо = 0.
Таким образом, функция д удовлетворяет не только
указанному уравнению, но также и нулевой системе
начальных'условий, т. е. в точке х0 обращается в нуль
вместе со своими первой и второй производными. Но
вместе с тем рассматриваемое уравнение имеет и
очевидное решение у = 0, удовлетворяющее той же нулевой
системе начальных условий. По теореме существования
и единственности (§ 13) не может существовать двух
различных решений, удовлетворяющих одной и той же
системе начальных условий. Поэтому функция у должна
совпадать с тождественным нулем, т. е. равенство (6)
приобретает вид
<*ι#ι +α2#2 + α3ί/3 = 0,
причем не все at равны нулю. Однако это последнее
равенство означает линейную зависимость функций уъ у2,
у3, что противоречит условиям теоремы.
Возвратимся к рассмотрению линейного однородного
дифференциального уравнения. Систему частных решений
Ух, Уг, ··· » Уп линейного однородного дифференциального
уравнения л-го порядка будем называть
фундаментальной, если она состоит из η линейно независимых
функций.
м~ 165 —

Можно показать, что любое линейное однородное
дифференциальное уравнение обладает бесчисленным
множеством фундаментальных систем.
Использование понятия фундаментальной системы
решений и рассмотренных выше теорем об определителе
Вронского дает возможность решить поставленный в
предыдущем параграфе вопрос: в каком случае общее
решение линейного однородного дифференциального уравнения
можно сконструировать из частных решений?
Теорема (об общем решении линейного
однородного дифференциального у ρ авнения). Если
функции уи у2, ... , уп образуют фундаментальную
систему решений уравнения
y{n)+Pi(x)y<n-l)+P2(x)y<n-2)+.·.
...+Pn-i(x)y'+Pn(x) = 0, (7)
то их линейная комбинация
У=С1у1 + С2у2 + ... + СпУп (8)
является общим решением этого уравнения.
Доказательство. Как и в предыдущих двух
теоремах, ограничимся рассмотрением случая я = 3. Тогда
уравнение (7) будет иметь вид
У'" + р1(х)У' + Р*(х)У' + Р*(х)У = 0 (9)
и теорема утверждает, что линейная комбинация
У^См + С&г + Сф, (10)
где Си С2, С3 — произвольные постоянные, а уъ у2, у3 —
фундаментальная система решений уравнения (9), является
общим решением уравнения (9).
Из теоремы 3 предыдущего параграфа следует, что
функция (10) является решением уравнения (9). Остается
показать, что можно подобрать значения СиС2> С3 так,
чтобы функция (10) удовлетворяла также любой системе
начальных условий.
Пусть задана некоторая система начальных условий:
У = Уо, у' = Уь, У" = У1 при х = х0. (11)
Если функция (10) удовлетворяет первому из этих условий,
то
Cii/io + С2У20 + СзУзо = У о»
причем ylQ, y2Q, #зо — значения функций уи Уъ> Уз в точке х0.
- 166 —

Дифференцируя (10), находим
у'=С1У\ + СЖ + СзУг\
второе условие дает
Cii/io + Сгйо + СзУм = У1
Дифференцируя функцию (10) еще раз, получаем
S^Ctfi + Ctfi + Cetf,
откуда
£ιί/ιο 4~ СъУъо + С"з1/зо = Уа.
Итак, для того чтобы функция у удовлетворяла
заданной системе начальных условий, произвольные
постоянные должны удовлетворять системе уравнений
С1У10 4" С2У20 + СзУзо= ί/ο» ]
ад„4-С2^0 + СзЙо = г/о, (12)
^ιί/ίο -f- СъУм + С3#зо = #ό· J
Система (12) является неоднородной системой из трех
алгебраических уравнений первой степени с тремя
неизвестными. Ее определитель представляет собой вронскиан
системы ylt y2, у3 в точке х0. Так как система частных
решений уъ у2, у3 фундаментальна, а значит, линейно
независима, то по теореме 2 ее вронскиан отличен от
нуля в каждой точке. Поэтому определитель
неоднородной системы (12) отличен от нуля и к ней можно
применить известное правило, по которому находится
единственное решение. Следовательно, система (12) разрешима, т. е.
можно подобрать произвольные постоянные Clt C2, С3
так, чтобы функция (10) удовлетворяла начальным
условиям (И). Это означает, что функция (10) является
общим решением уравнения (9).
Приведенное доказательство может быть без
изменений проведено и для любого η>3.
Таким образом, если система уъ у2% ... , уп частных
решений является фундаментальной, то общее решение
уравнения (7) может быть сконструировано из частных,
как их линейная комбинация с произвольными
коэффициентами. Тем самым задача интегрирования линейного
однородного дифференциального уравнения сводится
к задаче отыскания фундаментальной системы его частных
решений. Последнюю не удается разрешить в общем
виде. Именно, для произвольного линейного уравнения
~ 167 ~

высшего порядка не удается получить ни одной
фундаментальной системы частных решении не только в
элементарных функциях, но также и в виде интегралов от них.
Однако для некоторых простейших типов таких уравнений
отыскание фундаментальных систем может быть выполнено
даже с помощью одних только алгебраических операций.
Такие типы линейных уравнений будут рассмотрены
ниже.
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с постоянными коэффициентами
Так называется линейное однородное
дифференциальное уравнение вида
У{п) + Р1У{п-]) + Р2У{п-2) + .-. + Рп-1У' + РпУ = 0, (1)
в котором все коэффициенты ри р2, ... , рп, в отличие
от рассматриваемого выше общего случая, являются
постоянными. В этом случае отыскание фундаментальной
системы частных решений, а значит, и общего решения,
сводится к чисто алгебраическим операциям — решению
одного алгебраического уравнения п-п степени.
Вид уравнения (1) показывает, что частные решения
этого уравнения следует искать прежде всего среди таких
функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим
производным. Известно, что среди элементарных функций
этим свойством обладает показательная функция. Поэтому
будем сначала искать частные решения в виде у = егх.
Так как
y'=rerx, y"=r2erxr ... , y(n) = rnerx,
то для левой части уравнения (1) получаем
L[erx] = rnerx + p1rn-]erx + ...-\-pn-irerx + pnerx =
Таким образом, подстановка у = егх в уравнение (1)
приводит его к виду
erxf(r) = 0, (2)
где /(г) = г*+ р1гл~,+.-- + Рл-1/'4-Р/1 принято называть
характеристическим многочленом данного
дифференциального уравнения. Множитель егх в выражении (2) не
обращается в нуль ни при каком· значении х. Поэтому
функция у — еГХ тогда и только тогда удовлетворяет линей-
— 168 —

ному однородному дифференциальному уравнению с
постоянными коэффициентами (1), когда число г является
корнем уравнения
f(r) = 0. (3)
Алгебраическое уравнение (3) называют
характеристическим уравнением данного дифференциального. Оно
получается из дифференциального уравнения (1) замещением
в нем производных искомой функции соответствующей
степенью неизвестного г, причем, сама функция как
«производная нулевого порядка» замещается «нулевой
степенью неизвестного г», т. е. просто единицей. Решение
характеристического уравнения (3) дает некоторую систему
частных решений дифференциального уравнения (1). При
этом могут представиться различные возможности, которые
следует проанализировать подробнее.
I. Все корни характеристического
уравнения действительные и различные, т. е.
характеристическое уравнение не имеет ни кратных, ни
комплексных корней. Так как алгебраическое уравнение
имеет столько корней, какова его степень, то получается
ровно η различных корней характеристического уравнения
Ги ^2, ··· » гп· Каждому из этих корней соответствует
частное решение дифференциального уравнения.
Следовательно, находим η различных частных решений
pV
(4)
yi = eriX, Уг = ег*х, .... Уп
Остается показать, что эта система будет
фундаментальной, т. е. что функции уи у2, ... , уп линейно
независимы. Для этого следует составить определитель
Вронского этой системы функций. При п — 3 вронскиан имеет
вид
W [Уи Уг> Уз] =
erlX
ггеГ*х
г\ег*
ег2х ег.Лх
г2ег*х г3ег*х
r\er*x r\er*x
=
=e(rt-\-r3+r3)x
1
Г\
о
Π
1
г*
г\
1
г3
(5)
Здесь из каждого столбца определителя был вынесен
за скобку множитель вида егх. Последний определитель
можно легко вычислить, пользуясь правилом треуголь-
— 169 —

ника. Однако в общем случае, когда вронскиан системы
является определителем п-го порядка, т. е.
W{yu у2 уп] =
—e(ri+rt+... + гп)х
1
1
1
Гп
„п— 1
г?"'
п— 1
(6)
это правило неприменимо. Поэтому рассмотрим способ
вычисления определителя (5), который можно применить
и в общем случае.
Вычтем третий столбец определителя из первого и
второго. Тогда
1
о
П
1
1
П П
О
О
fi — гз гъ — гз
1
Гз
г\ — '"з гъ — гъ гъ
= (ri-r3)(r2-r3)
1 1
Г\ + Η г2 + /з
= — (/Ί - Г3) (/Ί - Г3) (Г2 - Г3),
причем из первого столбца вынесен общий множитель
fi — rs, из второго — общий множитель г2 — г3, и
оставшийся определитель третьего порядка сведен к
определителю второго порядка разложением по первой строке.
Таким образом, для системы трех функций
W[ylf y2, Уз] = е^+г^^х(-^)Чг1-г2Игх-гъ){г2~г,).
Можно показать, что и в общем случае имеет место
аналогичная формула
W[ylty2 Уя] = &*+"+-+'*)*(- 1)" (^-^(гх-гв)...
.. . {/*! — Гп) (Га — Г3) ... (Гп- 1 — Гп),
которая , получается вычислением определителя (6)
с помощью рассмотренного выше приема.
Так как все корни ль г2, ··· , гп характеристического
уравнения, по предположению, различны, а функция е
не обращается в нуль ни при каком х, то
— 170 —
,гх

Тем самым доказано, что если все корни
характеристического уравнения гъ г2 гп действительны и
различны, то система частных решений (4) будет
фундаментальной. Следовательно, линейная комбинация
функций этой системы
у=С1ег* + С*'* + ... + СУ'<х (7)
дает общее решение нашего дифференциального уравнения.
Так, для уравнения
у"-3у' + 2у = 0
характеристическое уравнение имеет вид г2 — Зг + 2 = 0; его корни
/4=1, г2 = 2. Частные решения ух=ех, уг = е2х. Общее решение
дифференциального уравнения
у = Сге*+С&*.
Для уравнения
у'" — 5у" + еу'=;0
характеристическое уравнение г3 — б/"2-J-6г = 0 имеет корни гх = 0,
га = 2, г3 = 3. Общее решение дифференциального уравнения
у = С1 + Сяе»*+С8вЗ*.
Наконец, для уравнения
у™-5у" + 4у = 0
характеристическое уравнение г4—5г2 + 4=0; его корни гг,2=± I,
г3,4=± 2; общее решение дифференциального уравнения
у =-Cjex + С2е~х + С3е2* + САе~*х.
II. Все корни характеристического
уравнения различны, но среди них имеются
комплексные. Рассуждения, которые привели к
выражению (7) для общего решения, остаются справедливыми.
Однако выражение (7) неудобно, ибо содержит
комплексные функции вида е{а+ы)х, тогда как до сих пор мы
ограничивались рассмотрением действительных функций
действительного аргумента х. Поэтому поставим своей целью
преобразовать выражение (7) таким образом, чтобы оно
и в случае комплексных корней характеристического
уравнения содержало бы лишь действительные функции.
Пусть г = а-\-Ы — один из комплексных корней
характеристического уравнения. Так как многочлен f (г) имеет
лишь действительные коэффициенты, то, как известно из
алгебры, корнем характеристического уравнения будет
также и сопряженное комплексное число f — a — bi. Паре
комплексных сопряженных корней а±Ы соответствует
два частных решения yk = e{a+bi)x и ys = e{a~bi)x. Вместо
— 171 —

этих двух решений рассмотрим некоторые их комбинации,
которые также будут решениями уравнения (1)
вследствие теорем 1 и 2 из § 13. Именно, рассмотрим функции
Ук=(Ук + У*)/2 и у5 = (Ук — Уз)/21, Применяя известные
> формулы Эйлера
βίΧΛ-β-ϊχ gix β-ix
cos*=—^ , sin д: = γ. ,
преобразуем эти выражения следующим образом:
w pta+bi) χ ι_ и(а-Ы) χ pibx \p-ibx
У*=-Ц У- = <** —γ =eaxcosbx,
~ pid+bh χ pia-bi) χ pibx p-ibx
ys=- 2Γ = έ?—4 = *** sinbx.
Итак, паре комплексных сопряженных корней
характеристического уравнения rktS — a±:bi можно поставить
в соответствие пару действительных частных решении
дифференциального уравнения ук = епх cosbx и ys = eax sinbx.
Так как функции ук и ys могут быть получены как линей-
ные комбинации функций yk и ys, в силу тех же формул
Эйлера, то эта замена не нарушит линейной
независимости системы частных решений. Общее решение снова
можно получить как линейную комбинацию частных
решений с произвольными коэффициентами, ηό это решение
не будет уже иметь вида (7). Каждому действительному
корню г характеристического уравнения ставится в
соответствие частное решение вида еГх, а паре комплексных
сопряженных корней характеристического уравнения
а±bi — пара частных решений вида еахcosbx и еах sinbx.
Например, для уравнения
у" — 2у' + Ьу = 0
характеристическое уравнение г2 — 2r-f-5 = 0 имеет корни rll2= 1 ± 21.
Общее решение дифференциального уравнения
у = Сгех cos 2x -f C2ex sin 2х, или у = ех (Cj cos 2x + Са sin 2x).
Уравнение
у'"-8у = 0
имеет характеристическое уравнение г3 — 8 = 0. Разложив левую часть
на множители, получим (г —2) (r2 + 2r-r-4)=0, откуда гх = 2, г2,3 =
= —1 ± /' ]/Ί3· Общее решение дифференциального уравнения
у = С^х + С2е~х cos χ УЗ + Cse~x sin x /3,
или
у = схе*х + Гх (С2 cos χ VI + С3 sin χ VZ).
— 172 —

Наконец, для уравнения
«Л + 13/Ч36</ = 0
характеристическое уравнение гъ-\- 13r3-f36r = 0; его корни ^ = 0,
г2.з= ± 2/, r3,4= ± 3ί. Общее решение дифференциального уравнения
у — Сх -f C2 cos 2χ -f C3 sin 2х + С4 cos Зле -f C5 sin Зле.
III. Среди корней характеристического
уравнения имеются кратные. Выражение (7)
для общего решения теряет здесь силу, так как число
линейно независимых решений становится меньше п.
Действительно, если г есть корень характеристического
уравнения кратности а, то ему соответствует не а, а лишь
одно решение еГх и для получения фундаментальной
системы не хватит а—1 решений. Выясним, как найти
недостающие частные решения в этом случае.
Рассмотрим сначала случай, когда характеристическое
уравнение имеет нулевой корень кратности а>1.
Характеристическое уравнение имеет тогда вид
rn + pirn-l + _ + рпаГа = 0 (р^ φ 0),
где га можно вынести за скобку. Меньших степеней г
уравнение содержать не может. В этом случае
дифференциальное уравнение (1) получается в виде
yin) + piyu-i) + яяя + Рп_ауМ = 0,
т. е. не содержит производных порядка ниже а. Такому
уравнению удовлетворяет любой многочлен степени не
выше а—1, все производные которого порядка α и выше
тождественно равны нулю. Таких многочленов
бесчисленное множество, но можно выбрать α из них, линейно
независимых между собой. Для этого достаточно положить
01=1, #2 = *, Уэ=х2, ···, Уа^х"-'1-
Линейная независимость этой системы функций
доказывается так же, как в примере на стр. 162. С другой
стороны, любой многочлен степени не выше а—1 может
быть получен как линейная комбинация функций этой
системы. Таким образом, для корня г = 0 кратности а
находятся α линейно независимых решений
дифференциального уравнения.
Пусть теперь корнем характеристического уравнения
(3) кратности α является число гх Φ 0. Произведем в урав-
— 173 —

нении (1) замену переменного, положив y = ze^x. Отсюда
yf = z'e^x^rlze^xf
У" = * V»* -μ 2/vV«* -f. r\zeT **.
Подставив эти выражения в уравнение (1), получим
дифференциальное уравнение е неизвестной функцией ζ.
Оно будет линейным уравнением п-то порядка с
постоянными коэффициентами, ибо все члены содержат общий
множитель ег»*, который можно сократить. Запишем это
уравнение в виде
z<"> + ?l2i«-i>4-...e<). (8)
Пусть
k^ + q^-^^.^O (9)
— характеристическое уравнение для дифференциального
уравнения (8). Если число к является корнем
характеристического уравнения (9), то z=ekx удовлетворяет
дифференциальному уравнению (8). Но тогда у=гег*х =
_ ekxenx —e(k+rt)x удовлетворяет дифференциальному
уравнению (1) и, по доказанному выше, число г ==k + τλ
является корнем характеристического уравнения (3). Наоборот,
уравнение (1) может быть получено из уравнения (8)
подстановкой z*=ye~riX, поэтому каждому корню г
характеристического уравнения (3) соответствует корень k — r — ri
характеристического уравнения (9). Таким образом, между
корнями характеристических уравнений (3) и (9)
существует связь, выраженная равенством г — к + ги причем
различным корням г уравнения (3) соответствуют различные
корни к уравнения (9), и наоборот.
Так как характеристическое уравнение (3) имеет корень
г=гг кратности а, то характеристическое уравнение (9)
должно иметь корень £=0 кратности а. Действительно,
так как корню г — гг уравнения (3) соответствует корень
k=0 уравнения (9) и различным корням уравнения (9)
соответствуют различные корни уравнения (3), то
кратность корня 1=0 должна быть равна кратности корня
r — rj. Но в таком случае, как было установлено выше,
дифференциальное уравнение (8) имеет а линейно
независимых между собой решений
— 174 —

которые дают а решений дифференциального уравнения (1)
вида
y = eriX, у = хег*х, у=х2ег*х, ..., у=х*-Чг*.
Итак, корню /-χ характеристического уравнения (3)
кратности α соответствует ровно α различных решений
дифференциального уравнения. Опять получается система
частных решений, состоящая из η функций.
Доказательство линейной независимости полученной системы частных
решений опускается.
В предыдущих рассуждениях не предполагалось, что
кратный корень гх является действительным числом.
Поэтому все рассуждения остаются в силе и для того случая,
когда кратные корни являются комплексными. Например,
если пара комплексных корней а±Ы является двойной,
то ей соответствуют четыре частных решения следующих
видов:
eaxcosbx, eaxsinbx, xea*cosbx, xe?xs'mbx.
Так, для уравнения
у"-2у' + у = 0
характеристическое уравнение г3 — 2r-J-1 =0 имеет кратный корень
ri, 2=1» поэтому общее решение записывается в виде
у = Схех+Сгхех, или у=е* (Ct -f- С2х).
Уравнение
yV-2y™ + 2ym = 0
имеет характеристическое уравнение г5 — 2г4 + 2г3 = 0, откуда /"1,2,3 —
= 0, г4,5=1±*"· Следовательно, общее решение
у = Ci + С2х + С3х2 + С4ех cos χ + Cbex sin x.
Наконец, уравнение
yv+8ym+lGii = 0
имеет характеристическое уравнение п + 8г3-\-16г = 0, корни которого
гг = 0, r2t3 = 2it ritb = —2i. Общее решение
у = Сх + Сг cos 2x -\- С3 sin 2x -f- CAx cos 2χ+С5* sin 2*.
Во всех возможных случаях получается
фундаментальная система частных решений, которая позволяет
составить общее решение. Поэтому задача нахождения общего
решения линейного однородного дифференциального
уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами
сводится к нахождению всех корней алгебраического
уравнения /1-й степени.
- 175 -

§ 16. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Неоднородным линейным уравнением называют (см. § 13)
дифференциальное уравнение вида
У(п) + Ρι Μ Уы~1] + Рг (х) У{п~2) + · · ·
... Pn-i (χ) у'+Рп (χ) у=д(х). 0)
Пользуясь выражением для линейного
дифференциального оператора, можно записать уравнение (1) в виде
Цу] = д(х). (2)
Это означает, что решением неоднородного уравнения
является такая функция, которой линейный оператор Ь[у]
ставит в соответствие заданную функцию q(x). Часто
приходится наряду с уравнением (2) рассматривать
однородное уравнение L[y]~0, получающееся из уравнения (2)
отбрасыванием правой части. Такое однородное уравнение
называют соответствующим данному неоднородному.
Важность рассмотрения соответствующего однородного
уравнения при решении неоднородного вытекает из
следующей теоремы.
Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения представляет сумму
частного решения этого уравнения и общего решения
соответствующего однородного.
Доказательство. Рассмотрим уравнение (2) и
обозначим через у известное частное решение этого
уравнения, L[y] = q(x). Введем новую искомую функцию F,
связанную с у равенством y=Y-\-g.
Тогда уравнение (2) перейдет в L[Y-\-y] = q (х), что
вследствие свойства аддитивности линейного
дифференциального оператора (см. § 13) приводит к уравнению
L[g] + L[Y]=±q(x),
а так как L[y] = q(x), то функция Υ оказывается
удовлетворяющей соответствующему однородному уравнению,
т. е. L[Y] = 0.
Если функции уи у2, ..., уп образуют фундаментальную
систему частных решений этого уравнения, то
У = С1У1 + С2у2 + ... + Спуп.
Общее решение неоднородного уравнения получает вид
y^g + См + См + ... + Суп. (3)
— 176 -^

Доказательство того, что выражение (3) представляет
общее решение, проводится так же, как и доказательство
теоремы об общем решении из § 14. Наличие д изменяет
только правые части системы для нахождения
произвольных постоянных, что не отражается на ее разрешимости.
Действительно, пусть, например, для уравнения третьего
порядка
ίΤ-r-Pi Μ /+ρ, Μ !/+Рэ (х)у=д(х)
даны начальные условия:
У = Уо, У' = Уо, У" = УЪ при х = х0.
Для того чтобы функция (3) при /ι = 3 удовлетворяла этим
условиям, должно быть:
Уо = Но + Cii/ю 4- С2г/20 + С3г/3<ь
УО — #0 + Cii/ίθ + C2i/20 + С3*/30,
tf = Й + Cil/Γο + Cai/2o + C3i/3o, -
где po» #ό, ^ο —значения функции у и ее производных
в точке x—Xq. Эту систему можно переписать в виде
Cii/io + C2i/ao + Сз^зо = ί/ο — #<ь |
C1yio + C2ino + C^io = 4fo-^of (4)
С^Го + С^о + С^з'о^Й-Й- )
Система (4) отличается от системы (12) из § 14 только
правыми частями. Определитель этой системы, как и там,
есть вронскиан W (х0), который отличен от нуля.
Следовательно, система (4) совместна и имеет единственное
решение, откуда вытекает, что функция (3) является общим
решением рассматриваемого дифференциального уравнения.
Такое же рассуждение можно применить для уравнения
любого порядка.
Таким образом, для решения неоднородного линейного
уравнения новым по сравнению с решением однородного
является лишь отыскание какого-либо частного решения
неоднородного уравнения. На этом основан способ
решения неоднородных уравнений, применение которого
облегчается еще следующей теоремой.
Теорема 2. Если правая часть неоднородного уравнения
(2) есть сумма двух функций, т. е.
— 177 —

то частное решение такого уравнения можно получить
как сумму частных решений аналогичных уравнений с
правыми частями соответственно qx (χ) и q2 (x).
Доказательство. Рассмотрим уравнения L[y] =
= дг(х) и L[y] = q2(x). Пусть функции д1 и у2
удовлетворяют соответственно первому и второму из этих
уравнений, т. е.
£[&] = <&(*). Ц9ъ] = Ял(х)·
В силу свойства аддитивности линейного
дифференциального оператора
ЦУг + дъ^ЦЗА + ЬШ^ЪЮ + ЪМ'
т. е. функция д = #i-f y2 удовлетворяет уравнению
£M=-frW+ ?*(*).
что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к рассмотрению способа
неопределенных коэффициентов для нахождения
частного решения неоднородного линейного уравнения.
Способ неопределенных коэффициентов применим для
неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами
и со специальным видом правой части. Если правая часть
содержит показательные функции, синусы, косинусы и
многочлены или их целые рациональные комбинации, то
способ неопределенных коэффициентов позволяет подобрать
частное решение неоднородного уравнения. Знание частного
решения, в силу теоремы 1, достаточно для нахождения
общего решения, так как общее решение соответствующего
однородного уравнения находится по правилам § 15.
Способ неопределенных коэффициентов основан на
знании формы частного решения. Естественно, что частное
решение следует искать в форме, аналогичной форме
правой части. Однако легко убедиться, что форма частного
решения зависит также и от вида левой части уравнения.
Для этого рассмотрим следующие примеры.
Решим уравнение у" — 2у' — у == Ьхех.
Здесь правая часть уравнения представляет произведение
показательной функции ех на многочлен первой степени. Естественно
частное решение искать также в виде произведения показательной
функции ех на многочлен первой степени:
у = (Ах + В)е*.
— 178 -,

Для нахождения неизвестных коэффициентов А и В подставим
выражение функции у и ее производных через χ в уравнение и сравним
коэффициенты левой и правой частей. Для этого выпишем выражения
у, у', у" и слева от каждого —коэффициенты, с которыми они входят
в уравнение. Получим:
-1 у = (Ах + В)е\
-2 д' = (Ах+В)е* + Ае*,
1 д" = (Ах + В)е* + 2Ае*.
Производя вычисления, имеем
— 2(Ах + В)ех = 6хех,
откуда, приравняв коэффициенты, находим А—— 3, В = 0, т. е. частное
решение уравнения имеет вид у = —Зхех. Этого достаточно для
решения уравнения, ибо соответствующее однородное уравнение у" — 2у'—
— у = 0 легко решается. Его характеристическое уравнение а3 — 2г—
-1=0 имеет корни г1Л=\ ± Ϋ2, откуда Υ = C^x+Y^)x-\-C%e^-V^x
и общее решение неоднородного уравнения
Решим теперь уравнение у" — 2у' ~{-у — Ьхех.
Так как правые части в обоих примерах одинаковы, то попробуем
искать частное решение в такой же форме, как и. в предыдущем
примере:
1 у = {Ах+В)ех,
— 2 у' = (Ах-\-В) сх + Аех,
1 у" = (Ах+В)ех+2Ае*.
Приведение подобных членов в левой части уничтожает все члены,
в результате чего получается равенство 0==6*е*, которое не является
тождеством. Это показывает, что для данного уравнения частное
решение в предположенной выше форме у = (Ах-\-В)ех не существует.
Оказывается, что частное решение можно получить в другой форме.
Именно, если положить у=(Ах3--\-Вх*)ех, то вычисления,
аналогичные предыдущим, дают:
1 д = (Ахз + Вх*)ех,
— 2 д' = (Ах* + Вх*)е* + (ЗАх* + 2Вх)е*9
1 у" = (Ах3 + Вх*) ех + (6Л*2 + АВх) ех + (6Л χ+2В) ех,
откуда (6Ах-\-2В) ех = 6хех, т. е. А = \, В = 0; поэтому частное
решение имеет вид д = х3ех. Соответствующее однородное уравнение
y"_2i/'-f £/ = 0; его характеристическое уравнение г2 — 2г-\-1 =0 имеет
корни г1>2=1, следовательно, Y = C1ex-\-Cixex и общее решение
неоднородного уравнения
у = хзех + с1ех + С2хех.
Итак, для одной и той же правой части вид частного
решения может быть различным, и необходимо выяснить,
от чего и как оно зависит. Рассматривая общий случай,
мы ограничимся уравнением четвертого порядка, которое
— 179 —

является уже достаточно общим, но позволит избежать
громоздких выкладок, связанных с произвольностью порядка
уравнения п. В качестве правой части возьмем
произведение показательной функции екх на многочлен степени т.
Таким образом, будем рассматривать уравнение
У™ + Р*У" + Р&'+ РпУ' +Р*У = Рт {x)ekx, (5)
в котором коэффициенты ръ р2, р3, р4 постоянные. Частное
решение будем искать в форме g = Q(x)ekx, где Q(x) —
многочлен, степень и коэффициенты которого надлежит
подобрать. Будет показано, что при надлежащем подборе
степени этого многочлена нахождение решения в такой форме
всегда возможно. Результат подстановки функции y = Qekx
(аргумент у многочлена Q (х) для краткости опускается)
в уравнение (5) запишем так, как это делалось в
разобранных выше примерах:
р4 у = Qekx,
Рз У' =Qkekx + Q'ekx,
рг у" = Qk2ekx + 2Q'kekx + Q"ekx,
Pl f = Qkhhx + 3Q'k2ekx + ZQ"kekx + Q'"ekx,
1 10i ν = Qk4ekx _|_ 4Q'^*x + QQ>'tfekx + 4Q"'kekx -f Q] wekx.
Умножив на стоящие слева коэффициенты, сложив и
приведя подобные члены, получим
[Q W + Pi*3 + Ptk2 + Рзк + р4) +
+ Q' (4^з + 3Plk* + 2p2k + p3) + Q" (6£2 + 3ft* + p2) +
Λ-Q'" ^k^Pl)^Q^]ekx = Pm{x)ekx.
Коэффициент при Q в левой части равенства есть
характеристический многочлен уравнения (5), в котором вместо г
подставлено к. Коэффициент при Q' есть /' (&), а
коэффициенты при Q", Q,r!, QIV — соответственно следующие
производные характеристического многочлена с надлежащим
образом подобранными числовыми коэффициентами.
Воспользовавшись этим замечанием и сократив полученное
выражение на ekx, имеем
+ 4^<?17,У(*) = ЛЛ*). (6)
— 180 —

Для нахождения из равенства (6) неопределенных
коэффициентов многочлена Q (х) необходимо и достаточно, чтобы
степени многочленов в левой и правой частях равенства (6)
совпадали, т. е. чтобы степень левой части, так же как
и правой, равнялась т. Отсюда уже ясно, какова должна
быть степень Q в различных случаях. Если число к не
является корнем характеристического уравнения, то
/ (k) Φ 0 и Q фактически содержится в левой части
равенства (6). Поэтому степень левой части в точности равна
степени Q (производные от многочлена Q имеют степень
ниже, нежели степень Q), и для того чтобы иметь
возможность найти неопределенные коэффициенты, многочлен Q (х)
должен быть степени т. Стало быть, в том случае, когда
правая часть имеет вид Рт (х) ekx uf (к)ФО, частное
решение следует искать в форме t) = Qm (x)ekx.
Пусть теперь число k является корнем
характеристического уравнения. Если этот корень простой, то/(Л) = 0, но
f'(k)=£Q. Если же корень имеет кратность α^Ι,το
/ {k) =/' {k) = .. . = /(a-D (k) = 0, но f ία> (k) Φ 0. В последнем
случае левая часть равенства (6) не содержит ни
многочлена Q, ни его производных до порядка а— 1
включительно. Например, если а=3, то равенство (6) будет иметь вид
^"7"'(/г) + ^1У/1у(Л) = Ят(х)
(так как рассматривается уравнение четвертого порядка, то
α 5^4). Левая часть равенства (6) будет начинаться с Q{a)
(в нашем примере с Q'"); поэтому степень многочлена Q
следует выбирать так, чтобы производная Q(a) имела
степень т. Сам многочлен Q будет тогда иметь степень т-\-а.
Более того, равенство (6) позволяет определить
коэффициенты Q(a), т. е. только коэффициенты старших членов
многочлена Q. Все члены Q, имеющие степень ниже а,
в равенство (6) не входят, поэтому они могут быть
произвольны и их можно полагать равными нулю. Следовательно,
младший член многочлена Q можно считать имеющим
степень а, а весь многочлен — произведением х°- на многочлен
степени т.
Таким образом, если правая часть неоднородного
уравнения имеет вид Рт (х) ekx и число к является корнем
характеристического многочлена кратности а, то частное
решение следует искать в форме y = xaQm{x)ekx. По
причинам, о которых подробнее будет говориться в § 18,
этот случай называют случаем резонанса.
— 181 —

Решим уравнение у" —5у' + Ьу = 2хех.
Здесь правая часть имеет вид Рт(х)екх, причем fe=l.
Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения
г2 — 5л + 6 = 0 имеет корни гх = 2, г2 = 3, так что k=l не является
корнем характеристического уравнения и частное решение следует
искать в форме у = (Ах-\-В) ех. Далее получаем, как в рассмотренных
выше примерах:
6
-5
1
д=(Ах+В)е*„
у' = (Ах + В)ех + Аех,
у" = (Ах+В)ех + 2Аех.
Отсюда 2Ахех + (— ЗА + 2В)ех = 2хех, т. е. 2Л=2, — 3Λ + 2θ = 0.
Решая систему, находим А = 1, В = 3/2. Частное решение у = (χ -f ~ )е*.
Общее решение неоднородного уравнения
^=[х+4)е*+Cie2x+^ - * ·
Равенство (6) может быть использовано для нахождения
неопределенных коэффициентов без подстановки функции у и ее производных
в уравнение.
Действительно, в рассмотренном примере:
Q(x) = Ax+B; Q'(x)=A; Q"(x) = 0,
/(γ) = λ2_5λ + 6; /'(') = 2r_5, /(1) = 2; /'(1) = -3.
Подставляя все эти выражения в равенство (6), имеем
(Л*+Я)-2 + уЛ(-3) = 2*.
откуда, сравнивая коэффициенты, получаем, как и выше, 2А = 2
2В-ЗА = 0.
Решим теперь уравнение у"' — Зу"-\-2у'= (х*-\-1) е?х.
Здесь k = 3, m = 2. Характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения г3—Згг-\-2г = 0, откуда гх = 0, г^=\,
л, = 2; следовательно, [(к)фО и Q(x)~Axi-\-Bx-\-C. Воспользуемся
равенством (6), для чего вычислим:
Q(x) = Ax* + Bx+C, Q'(x) = 2Ax + B, Q" (x) = 2A, Q"'(x) = 0,
f(r) = r*-3r* + 2r, f (/-) = Зг2-6г + 2, f (r) = 6r-6,
Г'С) = 6, /(3) = 6, /'(3)=И, Г(3)=12.
Подставляя в (6), получаем
6(Ах* + Вх + С) + П(2Ах + В)+12.*^ -2Л = х»+1,
или 6Л = 1, 6B + 22A = Q, 6С+ПЯ+12Л = 1, откуда А = 1/6. В =
= —11/18, С= 103/108; значит, Q (*) = *2/6- Ш/18+ 103/108. Таким
образом, частное решение д = (18л;2 — 66+ 103) еЗА"/108, а общее решение
и 18*2_б6*+103 „>γ>Γοχ^γαχ
У= щ-1 е*х + Сг + С^ + С3е2·*.
— 182 —

Решим, наконец, уравнение yW — 4у'" + 6у" — 4у' + у = 2ех.
Здесь k=\, т = 0. Характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения имеет вид г1 — 4r3 -f 6л2 — 4л + 1 = 0, т. е.
(г—1)4=0, откуда /"1,2,3.4=·· Налицо случай резонанса. Многочлен Q (х)
должен быть нулевой степени (т = 0), умноженным на *4(α = 4), τ. 5.
Q(x) = /ljt*. Далее,
<? (х) = Ax*t Q' (х) = 4Αχ3, Q" (χ) = Шх\
Q'"(x) = 24Ax, Qiv = 24/1,
/(г) = г4-4г3 + 6л2-4л+1, /'(л) = 4лЗ_12г2+12/--4,
/"(r)=12/-2-24r+12, /'"(л) = 24г-24, /IV (г) ξ 24,
/(!) = /' 0)=/"0) = /'"(1)=0, /IV(1) = 24.
Равенство (6) дает
поэтому ^ = -Γ^β-ν, а
У=%*х + Схе* + С2хе*+С3хЧ*+ С4д&?*,
или, иначе,
у = (с1 + С2х+С3х2+С4хЗ + -д^е*.
Рассмотренным выше видом правой части
исчерпываются все возможности, допускающие применение метода
неопределенных коэффициентов. В самом деле, многочлен
можно рассматривать как частный случай выражения
Pm{x)ekx при £ = 0, правую часть, содержащую cos/jc
и sin /л-, как комбинацию выражений, содержащих ё1х
и е~Пх, а комбинации ekxcoslx и ekxsinlx как e(k+il)x
и e(k~li,x. При этом вовсе не обязательно переходить
к комплексным показателям степени: можно предположить,
что в окончательном выражении частного решения снова
сделан переход к тригонометрическим функциям по
формулам Эйлера.
Отсюда ясно, что случай резонанса, т. е. случай, когда
необходимо умножить многочлен m-й степени в частном
решении на лс06, для правой части, имеющей вид
многочлена, имеет место тогда, когда характеристическое
уравнение имеет нулевой корень кратности а; для
правой части, содержащей cos lx и sin lx, — когда корнями
характеристического уравнения являются числа ± li\
наконец, для комбинаций ekx cos lx, екх sin lx, — когда
характеристическое уравнение имеет корни k±li. Различные
формы частного решения в зависимости от вида правой
части и корней характеристического уравнения даны в
таблице на стр. 184.
*- 183 —

тного
ия
Д час
решен
s
СП
К
ае
ω
ческого уравн
<сти
ικτερι
та
а.
s
Корн
н
ь
то
а·
1
с
ВИД Π
'н
Ε
О1
о
ι-
Ο
ϋ!
<J
cu
3"
я
CJ
я
α.
cu
н-
w
я
Си
га
X
Si в
К О)
о, ас
о cq
X га
Он
CJ
CU
к
ас
о
о
-гн
5s
'ν
α
,_^
га
2
СУ
о
Ο
О)
3"
я
CJ
s
CU
я *
Си (j
га о
x χ
Η
S «
о.
о к
м я
χ
К си
Η CQ
ш га
К Он
03
К
О
о
и
S
ЕГ
4
,-ч
о
■се
S
о
о
Ο
CJ
си
3*
н
α
s
CL,
CU
Η
га
α.
га
χ
«
s я
О) Д
X си
О И
Μ га
α.
CJ
Η
CU
κ
ω
0J
Jtf
ο
CJ
Я
5Г
4
-*
2
ε
Он
^
га
С
ч
•te
ε
о
о
χ
о
с*
о
CJ
α»
я*
ίο
a
га (ч
Си U
га о
χ Χ
н
S га
си
ΟΧ «
о к
ЬЙ Я
« Si
CJ Я
си га
« Си
CQ
-οίο
о
к
ЕГ
си
О
X
J3
си
f-
Я
CQ
О
си
I
_^
vo
Μ
О -—ч
СУ +
|
я
H
CJ
я
o-
ra
Он
ra
X
я к
s S
я ¥
cl. 3;
о 2
s ra
κ α
R >1
m си
CU
я
+1
TO
5
я
zr
CJ ^
~ ε
-о
Еа
СУ*
» -4-
Η
1-4
о.
(- О
ί«5
га я
Си Н
га о
х °
я
я га
к «
я
Си К
о я
си
R Ж
О ей
Я Си
ш о
05 ί-
Ο
·- til
*^* tj
, . си
ΤΙ 3·
га
Ч
а
S
+3
"Б* Ε
1'^
0,+
__^
га
^^^
\о
«г
>
+■2
ч с
— ■я
(Л
О Ч
U4
ч Д.
Си
О)
га
Си
га
X
я
s к
к я
я я
Си ω
о я
!»- CQ
га
и >»
Η
2 о
к Ь;
« г5
к О)
ж н
■■-А
+1
•а;
га
с;
α
s
D4
+3
■iS.S
ся ">
О >
<->■«
i2
S Ε
C?%
ΙνΗ
-Μ
и
s
о.
си
it! Й
га
ρ. Я
га н
^ О
Си
о к
« я
2 га
0Ϊ Он
cq
К О
с-
^ О
га
CJ
Я
гг
+3
-3 я
О Ч
о*
■ВС V
м -^
3 ε
га
'о
■^
— 184

Степени многочленов Ρ и Ρ в случаях 3 и 4 можно
всегда считать одинаковыми. Действительно, если они
различны, то коэффициенты при недостающих степенях одного
из многочленов можно принимать равными нулю.
Все случаи б) являются случаями резонанса.
Правая часть уравнения может содержать несколько
слагаемых; в этом случае частное решение также
составляется из нескольких слагаемых в соответствии с теоремой 2.
Решим уравнение
у'" + 2у" + Ъу' = 4хе-х — 68 cos 2*-f χ.
Здесь правая часть содержит три слагаемых, поэтому частное
решение должно состоять из трех слагаемых, которые можно
определять как отдельно, так и вместе. Найдем сперва общее решение
соответствующего однородного уравнения у'"4-2у"-\-5у' = 0; его
характеристическое уравнение г3 + 2г2 + 5/" = 0 имеет корни г1 = 0;
га.з =—1 ±2/, следовательно,
Υ = Сг+С2е~х cos 2х + С3е~* sin 2x.
Так как характеристическое уравнение не имеет корня —1 и не
имеет корня 2ί, то первое слагаемое относится к типу 2а), а
второе— к типу За). Что касается третьего слагаемого, то оно относится
к типу 16), ибо характеристическое уравнение имеет нулевой корень
кратности а=1. Поэтому частное решение следует искать в виде
у = (А х+В) е~х + (С cos 2χ+D sin 2x) + (Ex+F\ χ.
Коэффициенты в первом и третьем слагаемых можно было бы искать
отдельно, используя равенство (6), как это делалось в предыдущих
примерах. Для тригонометрических функций это несколько сложнее.
Кроме того, некоторую часть выкладок пришлось бы проводить
несколько раз. Поэтому будем дифференцировать выражение для у и
подставлять в уравнение, как и в примерах, рассмотренных выше:
0 y = (Ax+B)e-x + Ccos2x-}-Dsm2x-\-Ex* + Fx,
5 у' = Ае~х— (Ах + В)е~х — 2С sin2x+2Dcos2x + 2Ex+F,
2 у" = —2Ае~х+(Α χ+В) е'х—AC cos 2χ — AD sin 2x+2E,
1 g'" = 3Ae-x — (Ax+B)e-x+8Csm2x~8Dcos2x.
Приводя подобные члены и сравнивая коэффициенты в левой и
правой частях тождества, получаем
—4Л=4, АА-АВ = 0, —8C + 2D = —68,
—2C-8D = 0, 10£=1, 4Е + 5/7 = 0,
откуда А= — \, В = — \, С = 8, D = —2, Я =1/10, F = — 2/25.
Итак, частное решение имеет вид
х2 2х
у= — (*+1)<г*+ 8cos 2*— 2sin 2^+Jo "" 25»
а общее решение данного неоднородного уравнения
у = - (х+ 1) е~х + 8cos 2*-2 sin 2* + £ _ ^ +
+ Сх + С%е~х cos 2х + С#~х sin 2X.
— 185 —

Способ неопределенных коэффициентов имеет узкую и
ограниченную область применимости. Достаточно иметь
в правой части хотя бы tgjc или дробно-рациональную
функцию, и способ неопределенных коэффициентов
окажется неприменимым. Поэтому следует познакомиться еще
с одним методом решения неоднородных уравнений, область
применимости которого значительно шире.
Способ вариации произвольных
постоянных применим к любому неоднородному линейному
уравнению независимо от вида правой части и позволяет найти
общее решение такого уравнения во всех случаях, когда
известно общее решение соответствующего однородного
уравнения. Как и при изложении способа неопределенных
коэффициентов, ограничимся рассмотрением уравнения
четвертого порядка. Итак, пусть
ylv + P&'" +Р2У" + РзУ' +Р*У = Я, V)
где рь р2, р3, Pi, 7 —любые функции от х, и пусть
У = СгУг + С2у2 + СзУз + С4г/4 (8)
есть общее решение однородного уравнения,
соответствующего уравнению (7), предполагающееся известным.
Способ вариации постоянных состоит в том, что общее
решение ищется в виде, аналогичном (8), где, однако,
произвольные постоянные заменены неизвестными
функциями от х. Последние будут по-прежнему обозначаться
буквами Clt С2, С3, С4. Иначе говоря, решение ищется
в виде
У = Сг (х) уг + С2 (дг) у% + С3 (х) у3 + С4 (х) у,. (9)
Способ вариации постоянных аналогичен способу
вариации постоянного для линейного уравнения первого
порядка, который рассматривался в § 4. Задачей является
выбор неизвестных функций таким образом, чтобы
выражение (9) удовлетворяло уравнению (7). Для этого
найдем производные от функции (9) и подставим их в (7).
При этом можно заметить, что для четырех неизвестных
функций получается только одно уравнение. Поэтому
можно к этому единственному уравнению присоединить
еще три (в общем случае уравнения η-го порядка —еще
η — 1) произвольно, лишь бы полученная система
оказалась совместной.
Мы вправе были бы написать эти три уравнения сразу
в нужной форме, однако целесообразнее идти другим путем.
~ 186 ~

Дополнительные уравнения будут подбираться
последовательно таким образом, чтобы основное уравнение,
получающееся в результате подстановки функции (9) и ее
производных в уравнение (7), имело бы наиболее простой
вид. Будем стремиться, чтобы первые три производные
при переменных Си С2, С3, С4 имели такой же вид, как
и при постоянных Сь С2, С3, С4. При этом система будет
содержать лишь первые производные С[(х)% С'ъ(х), С'ъ(х)у
С\{х).
Начнем с дифференцирования функции (9), опуская,
для краткости, аргументы χ у всех функций:
У' = С1У[ + С2й + СзУз + С4у{ + С[У1 + СМ + С'зУз + С[у,.
В качестве первого из дополнительных уравнений
приравняем нулю вторую половину этого выражения, т. е.
положим
С[уг + СМ + С'гУз + СМ = 0. (10)
Тогда выражение у' будет выглядеть так, как если бы
функции Сь Са, С3, С4 были постоянными. Далее,
у"=с1У[+сгу\+сзУ; + c,yi + с[У[+см+см+см.
Снова, как и выше, уничтожим вторую половину, выбрав
в качестве второго дополнительного уравнения
СМ + СМ + СМ + СМ = 0. (11)
Тогда третья производная будет иметь вид
У"' = С1У[" + Сгу'," + СзУ'ъ" + С,у['' +
+ C[yl + CM + Qtf + Q/Γ,
и можно еще раз уничтожить вторую половину, положив
см + см + см + см=0. (12)
Дальнейшее упрощение невозможно: присоединены уже
три дополнительных уравнения. Выпишем снова
выражение у и ее производных с коэффициентами уравнения,
на которые их следует умножать при подстановке:
р4 У = сгУ\ + счУг + сзУз + С4г/4,
р3 У' = С&[ + С^ + С3у; + С4у1
р2 У" = С1У1 + СМ + СзУ1 + СМ,
Pi у'" = СМ" + СМ" + С,М" + СМ",
ι i/IV=cMv + CMv+c3i/;v + cMv +
см" + см"+см"+см".
— 187 —

Сложив отдельно произведения элементов первого
столбца на соответствующие множители, получим
еду + ClPly\" + Сф2у\Л- С1Рзу[ + Смг - dL Ы<
Это выражение является результатом подстановки
функции ух в левую часть уравнения (7). Так как у1 есть
решение соответствующего однородного уравнения, то
L[^] —0. Аналогично обратятся в нуль суммы для
остальных столбцов, равные соответственно C2L[y2], C3L[y3] и
С4£[г/4]. Уравнение, следовательно, приобретает вид
О/Г + О/Г + О/Г + С[уГ=я- (13)
Таким образом, для нахождения неизвестных функций
Съ С3, С3, С4 мы получили систему четырех уравнений
(10), (11), (12), (13):
0/ι+ 0/2 + θ/3 + θ/4=ο,
сш+сы +ед + Q/i=o,
0/ί + 0,2" + 0/3' +. С4'г/Г = 0,
О/Г+см" + с^" + О/Г=?·
Для лучшего запоминания системы (14) заметим, что
неизвестными служат производные С[, О О О
коэффициентами — строки определителя Вронского известной
фундаментальной системы, а правые части уравнений равны
нулю во всех уравнениях, кроме последнего, где стоит q —
правая часть заданного уравнения (7).
Система (14) является неоднородной системой линейных
алгебраических уравнений, которая совместна, ибо
определитель этой системы D = W[ylt y2, ..., уп]фО. Решив
ее, получим
с;=ф1(дг), α=φ2(*), с;=ч>зМ, с;=<р4(*к
откуда
Сх = \q>i(x)dx + ki, C2 = \<p2(x)dx + k2,
C3 = \<p3(x)dx + k3, C4=$q>4(x)<k + fc4,
где ku k2, k3, £4 — произвольные постоянные (как обычно
в дифференциальных уравнениях, произвольное
постоянное в знак неопределенного интеграла не включается).
Подставляя полученные выражения в равенство (9), полу-
— 18Я —

чим общее решение неоднородного уравнения (7) в виде
У = У\\ Φι (х) dx + y21 φ2 (χ) ах + уэ J φ3 (x) dx +
+ У* I ф4 Μ dX + %! + %3 + k3y3 + £4^4.
Заметим, что общее решение неоднородного уравнения
(7) разбивается на две группы членов, из которых первая
не содержит произвольных постоянных* и представляет
собой частное решение неоднородного уравнения, а вторая
группа членов является общим решением соответствующего
однородного уравнения. Таким образом, мы снова
получили результат теоремы 1.
В приведенном доказательстве коэффициенты plt p2,
Рз, Рл предполагались функциями от х. Таким образом,
для интегрирования неоднородного уравнения достаточно
знать общее решение соответствующего однородного.
Практически, однако, нам придется ограничиться уравнениями
с постоянными коэффициентами либо приводящимися к
ним, ибо только для них нам известны методы отыскания
фундаментальной системы решений однородного уравнения.
Решим уравнение у'" -{-у' — igx.
Общее решение соответствующего однородного уравнения
у=С1 + С2созл; + С3 sin *,
т. е. yi«=l, y% = cosx, yz = smx. Система (14) для такого уравнения
примет вид
С[-\-С1со$х-\-С'й sin аг=0,
— С'2 sin дс+ Cj cos χ — О,
— Cg cos x—C's sin x— tg x.
Умножив обе части второго уравнения на sin x, третьего—на cos*
и сложив, получим С'й — — sin л:. Тогда из второго уравнения следует
С'А = —sin2 jc/cos дг. Сложив обе части первого и третьего уравнений,
найдем Cj = tgjc. Интегрирование дает
ίη χ \
Cl==— In cos x + klt C2 = cosx+kz, C3 = sin χ— In tg f-j- + -χΑ + h·
Отсюда общее решение нашего неоднородного уравнения
/я χ \
у = — In cos х+ cos2 χ-f- sin2 χ— sin χ In tg I ,-j- + у J -f
или, иначе,
+ *l + ^2COSJe + ^3 S'n X>
У — _ jn cos χ — sin χ In tg ί -~r -f- -y) + ^i + ^2 cos x-\-ks sin xt
где положено ^ = ^+1.
__ 189 _

§ 17. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
Уравнение Эйлера представляет собой линейное
дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами,
которое может быть преобразовано в уравнение с
постоянными коэффициентами. Уравнением Эйлера называют
уравнение
хпу(п) + Pixn-ly{n~l) 4- р2*л-у л"2)+...+pn-ixy' +pny=q (χ),
(1)
где рь Ρ2ι ···. Рп — постоянные числа. Таким образом,
коэффициенты уравнения Эйлера суть степенные функции,
причем степень коэффициента равна порядку производной,
при которой он стоит.
Уравнение Эйлера приводится к линейному уравнению
с постоянными коэффициентами заменой независимого
переменного подстановкой х = е( (или t = \nx),
В самом деле, положим х—е*, т. е. t=\nx
(предполагается, что *>0; для #<0 следует считать / = ln|*|).
Найдем производную у по х, считая t промежуточным
dt 1
аргументом и замечая, что -т- = —:
*ϊ — *l J_ п\
dx~ dt ' χ' W
Дальнейшее дифференцирование по χ, согласно правилу
дифференцирования сложной функции, дает
dx* ~~ dP\x) "*" dt\ χ*)' W
откуда
2d>y__&l_dy
λ dx* ~~ dt2 at · W
Продифференцировав по х еще раз, получим
&У_ = &у_/1\з i<^(_^\_&g}_\___dy(_2\
dx* d&\x) "~ dt* \ jfl) <№ χ x* dt\ x?)
и, следовательно,
3 d*y _ d*y о <22«/ , 9 dy -.
Равенства (2), (4) и (5) показывают, что для младших
производных произведение хпу(п) выражается через
производные от у по t с постоянными коэффициентами. Поль-
- 190 -

зуясь методом полной математической индукции, можно
доказать, что это свойство имеет место для любых целых
положительных я, откуда вытекает возможность
приведения к уравнению с постоянными коэффициентами
уравнения Эйлера любого порядка.
Решим уравнение х*у'" — х*у" + 2ху' — 2^ = 0.
Полагая x = et и пользуясь равенствами (2), (4) и (5), получим
&у &у dy\ (d*y dy\ 9dy 9
или
d3y _л&у dy
т. е. линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Его
характеристическое уравнение г3—4л2 + 5г—2 = 0 имеет очевидный корень
гх= 1 и может быть переписано в виде (/■—1)2{г —2) = 0. Корни
этого уравнения rlr2=I, r3 = 2. Общее решение уравнения
у^С^ + С^ + С***,
или, переходя к старым переменным,
у=Сгх+ С2х \пх + С3х2.
Сказанное выше позволяет дать способ интегрирования
однородного уравнения Эйлера
хпУКп) + ΡιΧη~ψη-χ) + ... 4- Pn-ixy' +РпУ = 0 (6)
непосредственно, без замены независимого переменного.
Действительно, в преобразованном уравнении с
постоянными коэффициентами при отсутствии кратных корней
частные решения имеют вид er*t т. е. в первоначальном
уравнении Эйлера вид у = хг. Поэтому можно сразу, не
заменяя аргумента, искать частные решения уравнения
Эйлера в виде у = хг. Так как
то для всех k^r:
х**^р- = г(г-1) ...(r-k+\)xT.
dx*
Подставив эти выражения в уравнение (6) и сократив на хг,
получим для нахождения г алгебраическое уравнение п-й
степени
г(г-1) ... (г-л+1)+р1г(г-1)...(г-л + 2)+...
. · · + Рп-тГ (г - 1) + Рп-гГ + Рп = 0. (7)
— 191 —

Уравнение (7) естественно называть
характеристическим для уравнения Эйлера. Оно же является
характеристическим уравнением для преобразованного уравнения
с постоянными коэффициентами. Если уравнение (7) имеет η
различных корней гъ г2, ..., гп, то находятся η частных
решений. Общим решением уравнения Эйлера будет функция
у = d/i + С2х* + ... + С„/«.
Кратному корню гх кратности а соответствует а частных
решений вида л/1, хМп#, χΓι (1η χ)2, ..., χΓί (1η*)α_1, паре
комплексных сопряженных корней а±Ы — пара решений
вида хп cos (b In χ) и χα sin (6 In x).
Решим уравнение х*у'" + 2х°у" — χμ' -\-у = 0.
Положим у — хг. Тогда y' = rxr~i и лсг/'=глгг; далее, находим
у" = г{г— 1) л;^2 и *у = г(г—Ι)**"; затем у'" = г (г— I) (г — 2) х'-3,
откуда х3у", = г(г— 1) (г — 2) дсЛ.
Подставив эти выражения в уравнение и сократив на хг, имеем
г (г — 1) (г — 2)Н-2г (г — I) — /4-1=0, или г8—/* — /- + 1 =0.
Записав это уравнение в виде (/"—1)2(г+1) = 0, находим г1>2=1,
г3 = —1. Эти корни дают три частных решения: ух = х, уг — х\пх
(двойной корень!), у3 = х~1 и, таким образом, общее решение
у = Схлг + С2х In дг-f- С3/дг.
Неоднородное уравнение Эйлера может быть
проинтегрировано с помощью вариации постоянных. Для некоторых
типов правых частей возможно применение и метода
неопределенных коэффициентов, причем это можно сделать
как после перехода к уравнению с постоянными
коэффициентами, так и в непреобразованном уравнении.
§ 18. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
РЕЗОНАНС
Механические колебания
Пример 1. (Гармонические колебания.) Груз
•весом Ρ 'подвешен на вертикальной пружине, длина
которой в естественном состоянии равна /. Груз слегка оттянут
книзу и затем отпущен. Найти закон движения груза,
пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной
прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало
координат О выберем в положении равновесия груза, т. е.
— 192 —

в точке, в которой вес груза уравновешивается силой
реакции пружины (рис. 40).
Пусть λ означает удлинение пружины в данный момент,
а Аст — статическое удлинение, т. е. расстояние от конца
нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда
λ —Яст + *» или λ— λ,τ^Λ\
Дифференциальное уравнение движения получаем из
второго закона Ньютона F — та., где
m~P/g — масса груза, а —ускорение
движения и F — равнодействующая
приложенных к грузу сил. В данном случае
равнодействующая слагается из силы натяжения
пружины и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения
пружины пропорциональна ее удлинению,
т. е. равна —сХ, где с —постоянный
коэффициент пропорциональности,
называемый жесткостью пружины. Поэтому
дифференциальное уравнение движения имеет
вид
ax = -cX + P.
т
dP
Так как в положении равновесия сила
натяжения пружины уравновешивается ве- Рис. 40
сом, то Р = скС1. Подставив в
дифференциальное уравнение выражение Ρ и заменив λ — λ
через χ, получим уравнение в виде т -щ~7=—сх* ΗΛΗ»
обозначив с/т через k2,
ст
% + k2x ■
at
0.
(1)
Полученное уравнение определяет так называемые
свободные колебания груза. Оно называется уравнением,
гармонического осциллятора. Это линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его характеристическое уравнение г2 -f-
+ k2 = 0 имеет мнимые корни r = zt ik, соответственно этому
общее решение
л: = 6?! cos/г/ -\-С2 sinkt.
Для выяснения физического смысла решения удобнее
привести его к другой форме, введя новые произвольные
193 -,

постоянные. Умножив и разделив на YC\ + Q, получим
x^''cl^fecos4i+Aisini/)'
Если положить
VQ + Cl = A, CJVQ + Cl = $maf CJVQ + Q = cos α,
то решение приводится к виду
x=As'm(kt + a). (2)
Таким образом, груз совершает гармонические колебания
около положения равновесия.
Величину А называют амплитудой колебания» а
аргумент Ы + а — фазой колебания. Значение фазы при ^ = 0»
т, е. величина а, называется начальной фазой колебания.
Величина & = ]/V/m есть частота колебания. Период
колебания Τ = 2njk = 2π Ym/c и частота k зависят только от
жесткости пружины и от массы системы. Так как с = РДс, =
= mglX^ то для периода можно получить также формулу
T = 2nV%cJg.
Скорость движения груза получается
дифференцированием решения по t:
υ _ * _ Ak cos φι _|_ α}m
Для определения амплитуды и начальной фазы
необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в
начальный момент £ = 0 положение груза х=х0 и скорость ν = υ0.
Тогда jc0=i4sma, v0=Akcosat откуда
Α-ΫχΙ + ^τ, a-arctg^.
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно,
что в отличие от частоты и периода собственных
колебаний они зависят от начального состояния системы.
При отсутствии начальной скорости (ϋ0=0) амплитуда
A=xQt а начальная фаза а=я/2 и, таким образом,
x=x0sin(& + ir]f или x=xQcoskt.
2,
— 194 -*

Если заданы числовые данные, например: Я = 2Н,
/ = 40 см, λςτ = 4 см, причем груз оттянут на величину
х0 = 2 см и отпущен без начальной скорости (ν0 = 0), то
закон движения, согласно формуле (2), определяется в виде
х = А sin (kt + α),
где k = \rcglP находится из соотношения Ρ = ιλίνΓ, откуда
с=1/2, а значит, fc = "|/g/2, Л = Yx\ + v'(,/k2 = 2 и а =
— arctg (kx0/v0) = π/2. Таким образом,
x = 2cos-^Vg.
Период колебания груза T = 2n/k = 4n/]fg^0,4 с.
Наибольшее удлинение Ятах = λετ + Л = б см, а
наибольшая сила натяжения пружины Fmax = cXn]ax=^SH.
Пример 2. (Затухающие колебания.) Найти
закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но
с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально
скорости движения.
Решение. К силам, действующим на груз,
прибавляется здесь сила сопротивления воздуха R = — μν (знак
минус показывает, что сила R направлена
противоположно скорости ν). Дифференциальное уравнение движения
в проекции на ось Ох имеет вид
d2x dx
или, если положить c/rn — k2, μ//η = 2η,
^ + 2n£ + k*X=0. (3)
Это уравнение также является линейным однородным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его характеристическое уравнение r2-{-2nr-\-k2 = 0
имеет корни
rh2 = — n±Vn2-k2. (4)
Характер движения целиком определяется этими
корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим
сначала случай, когда η2 — /ζ2<0. Это неравенство имеет
место, когда сопротивление среды невелико. Если
положить k2 — n2 = k], то корни (4) имеют вид г1л = — /izt/'&x.
Тогда общее решение можно записать в виде
х=e~nt (Сг cos kj -f- C2 sin kit),
— 195 —

или, преобразовав, как (2),
x = Ae-ntsin(k1t + a). (5)
Если заданы начальные условия: х = Хо, v = v0 при ^ = 0,
то можно определить А и а. Для этого находим
v = -^ = Akxe~nt cos (^ + α) - Ane~n( sin fa* + a)
и подставляем i = Q в выражения для χ и ν; получим
систему уравнений,
х0 = А sina,
vQ = AkiCOsa — An since.
Путем деления обеих частей второго уравнения на
соответствующие части первого получим u0/x0 = kictga — nt
откуда
ct0a = -2rL—^, или tga = —^—, a a = arctg—*—.
Так как
since— tgcc = ^^/("о+"^ = feiyo
yi + tgaa /l-f^^/(y0 + «Xo)2 Vk\xl + {OQ + nx0y>'
TO
sin a fef
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие
колебания. Действительно, амплитуда колебания Ае~п<
зависит от времени и является монотонно убывающей функцией,
причем Аеп'->*0 при t-^co.
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые груз получает
максимальное отклонение от начала координат (положения
равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью,
равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих
колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию
со знаменателем, равным егпл/** или егпТ12. Эта величина
называется декрементом затухания и обычно обозначается
буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = — η Τ/2
называется логарифмическим декрементом затухания,
— 196 —

Частота колебаний kY = "J/ k2 — η2 в этом случае меньше,
нежели в предыдущем (&!<&)» но» как и там. не зависит
от начального положения груза.
Если заданы числовые значения: период колебания
Т = 2с, декремент затухания колебания D=l/2, а также
начальные условия лг0 = 0 и v0=l м/с, то закон движения
груза, согласно формуле (5), определяется в виде
x=Aernts\n{k1t-\-a)>
где величины ki и η находятся из соотношений:
Γ = 2π/&1 = 2, откуда kx = n\
D = e-n7V2=e-n=l/2, откуда л = 1п2.
1 м/с при ί = 0 позволяют
и окончательно получаем
sin nt
Если сопротивление среды велико и я2 — &2;>0, то,
положив я2 —&2 = /ι2, получим корни (4) в виде г1>2 =
= — я±я =—(язря). Так как я<Ся, то оба корня
отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет
вид
д: = С1е-*'1+Л>< + С2е-и-Л)'. (6)
Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет
колебательного характера. Аналогичный характер будет
иметь движение и в случае я2 — № = 0, когда общее
решение имеет вид
*=*-«* (Ci+ед. (7)
Легко заметить, что в обоих последних случаях при-
/—»-оз имеем jc-vO.
Если заданы начальные условия дс(0) = л-0 и χ' (0) = ι>0,
то в случае, когда я2 —fe2:>0, имеем x0 = Ci-\-C2, ay0 =
= — (я -+- л) С ι — in — h) C2. Решая эту систему относительно
Сх и С2, получим
r _x0(/t — η) — yQ r _ a:0(/i + /i) + u0
Начальные условия. Д"0 = 0 и v0 =
определить Л и α. Имеем
a=arctg-^2- = 0,
— 197 —

и, следовательно,
χ ^ e-nt U)(ft-n)-fQ g-Λ^ ДГ0(/»+/1) + ^'0 ^1 =
,<Гхья+Го^-г*< , „ е»*+<г*' I .....
-е- [~χ— 2 + *° 2 J-
= e-n(([x0chht + ^^°shht\.
В случае же, когда η2 — k2 = 0, получаем 6Ί = λ·0,
С2 = л:0/г-f- ^o и» следовательно,
x = e-nt[x0 + (x0n + u0)t].
Пример 3. (Вынужденные колебания без
учета сопротивления среды.) Груз весом Я
подвешен на вертикальной пружине, длина которой в нена-
груженном состоянии равна /. На груз действует
периодическая возмущающая сила Q sin pt, где Q и ρ — прстоян-
ные. Найти закон движения груза, пренебрегая массой
пружины и сопротивлением среды.
Решение. Как и в примере 1, получаем уравнение
d2x
т -др- = — ex -\- Q sin pt.
Полагая, как и прежде, k2 = с/т и, кроме того, q = Q/m,
перепишем уравнение в виде
d2x
dP
-f k2x=q sin pt. , (8)
Это — неоднородное линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами, причем однородным
уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1).
Поэтому Х = А sin (kt-\-a); остается найти х. Если
предположить, что рфИ, то частное решение х, как следует
из таблицы, приведенной на стр. 184 (случай За), нужно
искать в виде х = М cos pi -\-N sin pt, где М и ^V
—коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
k2 χ =Μ cos pt-\-N sin pt,
0 χ' = — Mp sin pt + Np cos pt,
1 л" = — Mp2 cos pt~ Np2 sin pt.
Производя вычисления, получаем
— Mp2 + Mk2 = 0, — Np2 + Nk2 = q,
— 198 —

откуда Λί = 0 ιι N = q/(k2 — ρ2). Полученное таким образом
частное решение
* = .*^sin/7/ <9)
определяет так называемые вынужденные колебания,
созданные возмущающей силой Q sin pi. Вынужденные
колебания имеют тот же период, что и возмущающая сила,
и совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую
начальную фазу) при &>/?, либо отличаются на π, если
&<р, т. е. если Лг<0.
Закон движения представляется общим решением
х= ы q , s\npt + A sin(kt + a). (10)
Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9),
которые определяются внешней возмущающей силой, и
собственных колебаний (2), обусловленных исключительно
внутренними причинами: жесткостью пружины и массой
груза.
Если заданы начальные условия: #(0) = x0 и х' (0) = и0,
то можно определить произвольные постоянные А и а.
Для этого продифференцируем функцию (10):
1Г = &-р* £°*Р1 + Ак CQS (** + <*)
dx
и подставим в выражения χ и -г- значение аргумента
t = 0; получим систему уравнений относительно А и а:
х0 = А sin а,
vQ = -^z^+Akcosa.
Преобразуем ее так:
х0 = А sin ос,
возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений
и сложим. Тогда
— 199 —

Для нахождения α разделим обе части первого
уравнения на соитиетешующпе части второю; получим
10 α = -г, rr. от к уда α -■- a re 11* -.γ-, .τ-,
Л'о 1 / QP \
при этом sina= " , a cos a == ^ 1 u0 — /г2_ а 1.
Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим
заданным начальным условиям, является функция
x = -r^-^sinpt-\-As\nktcos a-\-A cos Л/ sin a,
или
χ
= pip* sin Ρ* + X (У° ~ Г^-рО sin ^ + *o COS £/.
Частное решение (9), характеризующее собственно
вынужденные колебания, было получено в предположении,
что рфк, т. е. что частота внешней силы не совпадает
с частотой собственных колебаний. Если же ρ = /ζ, то дело
будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8)
можно переписать теперь в виде
^ + k2x = q sin/г/. (И)
Частное решение следует искать в форме (случай 36)
x = t (Μ coskt-\-N sinkt), где М и Ν — коэффициенты,
подлежащие определению. Итак,
0
1
χ =Mtcoskt + Nt sinkt,
F = — MM sin kt + Nkt cos kt + Μ cos kt + N sin kt,
7 = _ MkH coskt -Nk2 sinkt -2Mk sinkt -\-2Nk cos kt,
откуда получаем —2Mk = q, 2Nk = 0, и следовательно,
частное решение имеет вид
Z = — ^tco$kt. (12)
Общее решение в этом случае
х = — -£j t cos kt-\-A sin (kt-\- a).
Найдем -£: и подставим в выражения χ и -г· значение
— 200 —

/ = 0; получим
x0 = A sin a;
v0 = — ■-$- + Л & cos a, или T (v0 + 0^-) = A cos a.
Из последних двух равенств находим
откуда
a = arctgT^PF; sinct-^-, cos а = д(»о + ^-).
Перепишем общее решение так:
* = — -^г /cos^ + Л sin ^/cosa + Л cos £ί sin a,
тогда искомое частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям, запишется в виде
х = — 2у t cos kt -f- у (t>o + -^-) sin&/ + *o cos Λ/.
Выражение (12) показывает, что амплитуда
вынужденных колебаний qt/(2k) в этом случае может стать
неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе
говоря, возможно получение сколь угодно больших
амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление
называют резонансом. Таким образом, резонанс наступает
тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с
частотой собственных колебаний.
Впрочем, в действительности точное совпадение этих
частот не является необходимым. Выражение (9) для
вынужденного колебания показывает, что - при близости
частот амплитуда q/(k2 — p2) может быть очень большой,
хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р.
Возможностью создания колебаний с значительной
амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например
в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе
случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо
может приводить к разрушению конструкций (скажем,
мостов или перекрытий).
Пример 4. (Вынужденные колебания с
учетом сопротивления среды.) Найти закон
движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом
сопротивления среды, пропорционального скорости движения,
— 201 —

Решение. Как и выше, имеем
d-x
т
или
— ex
dx
tl-dT + Qs'luP{>
Однородным уравнением, соответствующим (13), является
уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4).
Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е.
/ι2 —&2<0. При этом общее решение однородного
уравнения имеет вид (5):
где &! — ]/"&2 — η2. Это решение определяет свободные
колебания, которые будут затухающими. Для отыскания
вынужденных колебаний ищем частное решение в виде
х = М cos pt-\-N sin pt. Имеем:
χ = Μ cos pt 4- Ν sin pt,
χ' = — Μρ sin pt-\-Np cos pi,
x" = _ Mp2cos pt — Np2 sin pf.
Сравнивая коэффициенты, получаем систему
M(k2-p2) + 2npN = 0, )
— 2npM + (k2-p2)N=q. )
Так как
k2
2п
1
О
k2 — ρ2 2ηρ
— 2ηρ k2 — p
2ηρ
το
q k2 — p2
= — 2npq,
2npq
= (k2-p2)2 + 4n2p2,
k2-p2 0
— 2np q
и мы находим частное решение
я
Ν:
= Я(&-Р2),
q(k*-p*)
(&-ρψ + 4η*ρ* '
* д (fe2_p2)2 + 4n2p2 [~ 2яр cos pt + (k2 - ρ2) sin pt].
Преобразуем выражение х следующим образом:
р=- q- Г-- M=,cospt +
У (/г3 - ρψ + 4«2p2 L l7 (*3 - P2)2 + 4'*2P2
+
*= —/?3
Χ {&-ρψ + 4ηψ
=r sin pt I.
~- 202 —

Обозначив
■ / 7Г-.-=-^ГТ"<~7~ ^ Sln Q> — К = COS б, (14)
перепишем .ν в виде
х = В sin (pt-δ). (15)
Выражение
6 = arctg^^- (16)
носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в
предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см.
формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):
х = Ае~к( sin (kj -\-а) -\-В sin (pt~ δ). (17)
Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет
затухающие колебания, которые, особенно при большом k,
довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается
вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не
зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q
периодического возмущения, так как q = Q/m. Она
отличается от q множителем
А (р) = —= ' (18)
характеризующим зависимость амплитуды вынужденного
колебания от частоты возмущающей силы.
Определим максимум этой амплитуды. Для этого
найдем производную функции (18)
[(№ — p2)2+4n2p2J3/2
Положив Л'(/?) = 0, получим уравнение (k2 — ρ2) — 2п2~0
(случай р = 0 отбрасывается как невозможный), корень
которого дает частоту внешних сил: р = |/&2 — 2п2, при
которой, как показывает проверка достаточных условий
экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет
максимальной. Максимальное значение амплитуды равно
В = / (19)
— 203 —

Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний
тем больше, чем меньше п. При малых η частота р.близка
к частоте собственных колебании к.
Решение (15) существует всегда, когда
(№-ρψ + 4η2ρ2φ0.
В случае (k2 — р2)2-\-4п2р2 = 0 получаем p = k и я = 0, и
уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь
вновь наступает явление резонанса, при котором, как
было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют
вид (12).
Колебания в электрической цепи
' Пример t. К источнику с э. д. с, равной e(t),
подключается контур, состоящий из последовательно
соединенных катушки
индуктивности L, омического
сопротивления R и емкости С. -Найти
ток i в цепи как функцию
(t)eft) U" времени /, если в начальный
момент ток в контуре и за-
II I ряд конденсатора равны нулю
с" (рис. 41).
Рис.41 Решение. По закону
Кирхгофа электродвижущая
сила в цепи равна сумме падений напряжения на
индуктивности, сопротивлении и емкости:
е(0 = «1 + ы* + "с,
связанных с током i соотношениями *
О*
άτ.
* Последнее равенство получается из соотношения между током
t
da С
и зарядом конденсатора: i = -^-t откуда q= V i (τ)<ίτ + <7ο» а так как
о
t
uc = q/C, то ис — -£- \ i (τ) άτ + qjC. В данной задаче <70 = 0 по
о
условию.
— 204 —

Таким образом, получается уравнение
t
e(t) = L 2j.+ /?£-+2-jj/(T)dT.
b
Это уравнение есть интегро-дифференциальное
уравнение, т. е. относится к одному из наиболее сложных
типов уравнений, но в данном случае путем
дифференцирования можно перейти от него к обычному
дифференциальному уравнению. Действительно, дифференцируя
по /, получим линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами
, d'H . n di 1 . de /om
Рассмотрим два случая.
Случай 1. е (t) = E = const. В этом случае ^ = 0, и
уравнение (20) переходит в однородное уравнение
dP + L dt + LC /~υ' ^
аналогичное уравнению свободных механических
колебаний с учетом сопротивления среды. Характеристическое
ρ ι
уравнение г2 4~ -т- г + -утг — 0 имеет корни
,1*2 2L — ψ 4L* LC 21. — J
C-4L
4L2C
Если R2C — 4L^0, то оба корня характеристического
уравнения действительные и общее решение есть функция
непериодическая. Соответственно апериодическим будет и
ток. Никаких электрических колебаний в цепи не
произойдет, так же как и при /?2С — 4L = 0. Если же J$2C —
— 4L<0, то общее решение
ι = е~ы (Ci cos ωχί -f C2 sin ωχ/),
где положено b = JR/2Lt ω\= \/(LC) — /?2/(4L2), определяет
электрические колебания.
di
Заметим, что L .,
at
Λ Ι Ε
(_Q = E, откуда —1^- = -, и, таким
образом, начальные условия запишутся в виде
Ε
i-o L
'1,-0=0, 4?
— 205 —

Дифференцируя i по t, имеем
-.γ = e~6f [— 6 (Сι cos ωΑ/ -f C2 sin ω,/) -f-
Подставив / = 0в выражения для / и -, , получим
-f- ojj (— С ι sin ωιί -\- C2 cos (ύιή].
di
at
-j- = — Od-f-GJjA,
0 = Clf
£
откуда Сх —0 и Cit = E/(L(ul), и решение принимает вид
/ = -7 £-6/SinoV.
de
С л у ча й 2. е (ή^=Ε sincui. В этом случае -г, = Εω cos ω/,
и получается линейное неоднородное уравнение
I-^ + tf-lf+^<' = ^cosu>/. (22)
Однородным уравнением, соответствующим данному
неоднородному, является уравнение, рассмотренное выше
(случай 1), поэтому остается отыскать частное решение
неоднородного уравнения. Его следует искать в форме
ι —A cos ωί + В sin ωί.
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычислим:
J_
~с
/?
L
I = A cos ωέ-\-В sin cut,
V = — Αω sin ωί 4- Βω cos ωί,
Γ = — Αω2 cos ωί — θω2 sin ωί
и приходим к системе алгебраических уравнений
относительно А и В:
(-£■ - La)2) А + ω/?β = £ω,
Решая эту систему, находим
, £ω(1/6?-Ζ-ω2) R __ £ω3#
^- 206 -.

При этих значениях коэффициентов искомое частное
решение принимает вид
Е(о
1=
(-£- — Leo2 J cos (ot-\-(uR sin (t>t\.
(1/C-L(u2)2 + (u2/?2
Общее решение неоднородного уравнения получается
как сумма общего решения соответствующего однородного
и частного решения неоднородного, т. е.
i = I + i=e-6i (d cos ω^ + C2 sin ω^) +
Ε
+
[l/(C(u)-L(u]2 + #3
Обозначим:
-ρ Ζ,ω) cosro/-|-^sina)4·
Ь>-±=Х: ΐ/"(ά-Ηί+/?2 =
= ]/χ2 + #2 = Ζ; тогда
i = e~6t (CiCOSa)1i + C2sinro1^) — ^ (X cos u>t — R sin ω/).
Найдем Ci и С2 из начальных условий: ί|,_0 = 0,
-L =0 (последнее условие получается из уравнения
Z,-^- + /?/ + -i-Ϊ i(T)dt = £sinflrf при / = 0).
о
Для этой цели выпишем производную
= — бе-6' (Ci cos a»!* + C2 sin ω^) -+-
-f e~bt (— Сгщ sin ω^ -f С2шх cos ωι/) +
β
+ 2^- (Χω sin (at -f /?ω cos ω/)
и подставим значение / = 0 в выражения /и^; получим
0/> ЕХ, л Ел
^d--^-, откуда d = -^-;
0 = -6С1 + ш1С2 + ^-,
откуда
Выражение, содержащееся в скобках, преобразуем так:
-J¥- + Tsr-*(i-+Tsr)-ex'·
- 207 -

где введено обозначение L(o-f- 1/(С(о) = Х\
Итак,
—γ; (X cos (at — R sin ω/).
Положим ЛЧ/V Χ2ω\ + X'*62 = sin vlf X#Wfrt =
= cosy! или, так как
Χ2ω? + Χ'2δ2 = -g-, (23)
το XyTCa)1/Z = sinY1, X' }/TC δ/Ζ = cosγχ.
Соотношение (23) получается следующим образом. Имеем
L<d = X + -^-, Lu> = X'- l
откуда
Следовательно,
_ iL _μ = -—- (Χ2 4- R2) — -ί—
Аналогично положим X/ΥΧ2 + #2 = sin γ,-/?/)/Χ2Η-/?2 =
= cosy, или Χ/Ζ = sin γ, R/Z = cos γ. В результате получим
где 1ё71 = (Хо)/(Х'о), tgy = X/R.
Заметим, что в случае, когда ω = ω1< частное решение
следует искать в виде
I = t (Л cos ωί -f- В sin ω^).
Наличие множителя / показывает, что амплитуда
колебания неограниченно возрастает; случай ω = ωχ определяет
резонанс.
— 208 —

Пример 2. Рассмотрим LC-цепь, отличающуюся от
цепи примера 1 отсутствием сопротивления /?, с э. д. с,
равной £cos(o^ + ij)), причем ωφϊ/ΥΈΟ.
В этом случае дифференциальное уравнение принимает
вид
d2i 1
L-^ + -£-i = — £u)sin(to/ + ^)»
di E
а начальные условия: i \t^a — 0, -η = у-cos ψ (последнее
t
условие получается из уравнения L-tt- + «- \ t (τ) άτ =
■ ό
= Ε cos (ω/ + ψ) при / = 0).
Общее решение соответствующего однородного
уравнения
/ = (^θ8ω0/-|-£2 5ίηωο/, где ш0=1/|/г£С
Найдем частное решение:
1
С
О
l = A cos ω/+ £ sin ω/,
-π = — Л(л sin ω^ -f- Βω cos ω/,
s = — Л ω2 cos ω/ — Βω2 sin ω/,
Л i^r — Δω2) costo^ -\-B Iγ,— L<aA sin a>t =
Следовательно,
=— £cosini]} cos ω/ — £cucosiJ) sin ω/.
LC
BL\LC
AL ( γγ. — ω2) = — Εω sin ψ, откуда Л = — ·
Εω sin ψ
ω2ϊ = -.-£ω cos ψ, откуда Α = "κ°-ω«) ,
и потому
i =
Εω
^(ω2-ωϋ)
или
1 =
(sinψ cos <ut + cos ψ sin ω/),
£ω
7-p^ jr- sin Ш -(-ψ).
L (ω-3 — од) v ' T/
Итак, общее решение получается в виде
i = d cos ω0/ -f C2 sin ω0/ + Ι(ΰ)2_ω2τ- sin (ω* + ψ).
- 209 —

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего
начальным условиям, выпишем производную
-dJ- = — CjOq sin ω0/ + CoOq C0S(uQt + £(ω2^" COS (ω/ + ψ)
и подставим в выражения / и -,- их значения при t = 0.
11меем
Л л . £asint() „ Εω sin ψ
°=С'+1(^-Ш5) ■ 0ТКУДа C- = -Z.(^-a>g)·-
£ ,. ~ . £O>2costb _ (unEcosif»
rcos^ = C2co0+ L(0)a_Mg) . откуда C2=- 1(ώ>_ω1);
и, следовательно,
г =
^г [cosinipcosa)/-{-wocostysino^ — (osin (co/-f-ty)L
Ζ,(ω3-ω03)
или
i ==-=—-= — [(osin (ωί + ά|)) — ω sin ib cos ω/ — co0cosipsin ω/1.
L (ω2 — gl>o) l
Произвольные постоянные определяются из начальных
условий, как и в предыдущем случае.
Если cu=l/(LC) = tu0, то частное решение следует
искать в виде
l=t (A cos(ut-\-B sin ω/);
тогда
^- = / (— Α ω sin ωί + Βω cos ω/) -f Λ cos ωί + Β sin ω/,
dH
= ί ^ ЛШ" LUS ωί — ОШ" SHI
-f- (— 2Л ω sin ωί + 2£ω cos ω/),
— Γ) τη
_ ί (— Лш2 cos ω/ — Βω2 sin ω/) -f-
Так как £ω2 — -^-= О, то, подставляя в уравнение вы-
d2i
ражения I и -^, получим тождество
L (— 2Λω sin ω/ -f 2£ω cos ω/) = £ω cos ω/,
откуда следует, что Л = 0, B = E/(2L)} и потому
ί^-ητ-^ιηω^.
Общее решение уравнения в этом случае (/?==0) имеет
вид
ί = / +1 = Ci cos ωί-f C2 sin ωί + -^-/sinω/,
- 2!0 -

Определим С ι и С\ из начальных условий /1,_0 = 0, ~
Для этого выпишем
dt
= 0.
/-о
= — Сгсо sin ωί -f-C2w cos ωί-\—^- cosco/ -f--^- sin o>/
d/
di
и, подставив значение tf = 0 в выражения / и -^, получим
Ci~C2 = 0, т. е. что i=l. Окончательно имеем (случай
Ε 1
резонанса) /==—-ίύηωί, где ω = —=-.
2L ' У 1С
Пример 3. Рассмотрим /Л?-цепь с э. д. е., равной
£ sin (ωί + 'ψ)·
В этом случае получается уравнение первого порядка
L — Jt~Ri = E sin (ω/ +ψ)
и начальное условие / |/=о = 0. Так как это линейное
уравнение с постоянными коэффициентами, то его можно
решить методом, которым решаются линейные уравнения
высших порядков.
Из характеристического уравнения Lr-\-R = 0
определяем г = — R/L и получаем общее решение соответствующего
однородного уравнения I = C1e~Rt/L. Частное решение
неоднородного уравнения будем находить методом
неопределенных коэффициентов:
R
L
i = A cos ωί -f- В sin ωί,
-7j = — Αω sin ωί -\- Βω cos W,
(RA + Ζ,ωΒ) cos ωί -f (— L(uA + RB) sin ωί =
= Ε sin ψ cos ωί-\-Ε cos -ψ sin ωί;
RA+LωB = Esm^
— LωA+RB = E costy
R
— Ζ,ω
Ζ,ω
R;
^ + υωηΑ=ΕφΒΐη4-ΙωοθΒ4),Α = Ε{«™*-ί'ω<:05*),
(^ + Z.W)^^£^sintj; + /?cos^,g = £(Lu)Sin^+J?cost)t
где Z2 = /?2 + ZAo2;
I = ji[(R sin ψ — Ιω cos ψ) cosωί-\-(Lωs'm$)-{'Rcos^ty)smωt] =
= л [Ζ,ω (sin ωί sin ψ — cos ωί cos^) + /? (sin ωί cos ψ +
+ cos ωί sin ψ)] = jr, [— Ζ,ω cos (ω/ + ψ) + Я sin (ω/ + ψ)]·
— 211 —

Если положить R/Z = co$y, Lw/Z = sin γ, то
ι = γ5[η(ωί-\-"φ — у).
Итак,
i = Cle-Ri'L + ^sin(<nt + y-y).
Для определения Ολ используем начальное условие /1/=0=0:
F F
0 = C1 + 2-sin(iJ) —γ)· откуда C1 = ^-sin (γ — ψ).
Окончательно имеем
i = γ [sin (γ — ψ) е- Rt/L -f- sin (ω/ + ψ — γ)],
где tgY = Lo)/#.
Все предыдущие задачи приводили к
дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Следующая физическая задача приведет нас к уравнению
другого типа.
Пример. (Напряжения в толстостенной
трубе.) Рассмотрим напряженное и искривленное состояние
толстостенной трубы с внутренним радиусом г0 и
внешним г1 под действием
постоянной внутренней
или внешней нагрузки р.
Условимся считать
тр^бу бесконечно
длинной и введем полярные
координаты, как это
^показано на рис. 42. Силы,
действующие на элемент
трубы с поверхностью
г dr d(p и высотой 1 в
радиальном и касатель-
ном~направлениях,
симметричны. Поэтому
концентрические
окружности с центром на оси
трубы не искажаются.
Обозначим радиальное напряжение через ог, и
напряжение по кольцу через σφ. Радиально действующая сила
Рис. 42
— 212 —

на внутренней поверхности равна огг ώρ, а на внешней
(σ, \-dor) (r-\-dr) d(p. Силы, действующие на поверхности
радиальных сечений по кольцу, равны o^dr (рис. 43).
Заметим, что касательная сила o(f dr разлагается на
радиальную составляющую а^агтл i-~j и нормальную к ней
dcp
(рис. 44). Вследствие малости
βίφ
компоненту σφ dr cos.
dy первую можно принять равной u^dr — , а вторую o^dr
Нормальные компоненты, приложенные к противоположным
Рис. 43
сечениям, взаимно уравновешиваются. Условие равновесия
в радиальном направлении имеет вид
(ar + dor) (r -j- dr) dy — arr dtp — 2σφ
dr dtp
0,
если пренебречь бесконечно малыми третьего порядка.
Раскрыв скобки и сократив на dtp Φ 0, приведем
полученное уравнение к виду
ordr-\-r dor — σφ dr = 0,
d (rar) _
или
dr
-Ф<
(24)
Напряжения σΓ и σφ можно выразить через
соответствующие растяжения гг и εψ. Если μ означает коэффициент
— 213 —

поперечного растяжения, то из закона Рука выводим
где Е~ модуль ynpyiOCTii. Разрешив эти уравнения
относительно напряжений,
получим
ι μ,
σ
-(μεΛ + εφ).
(25)
* 1 — μ2
Для радиального смещения
и выполняются условия
£/■
dy
oadr ' dr
Следовательно,
εφ— r .
or =
и . du,
^Т + йгЬ
Рис. 44
£ f du . ιι\
0* = Г^[^аТ + Т)·)
l(26)
Подставив полученные выражения (26) для напряжений
в уравнение (24) и сократив на общий множитель £/(1 — μ2),
имеем
d I . du\ du . и
или, окончательно,
d2u
du
dr- ' dr
(27)
Мы получили уравнение Эйлера. Полагая в нем г = е'
и заменяя, как в предыдущем параграфе (см. стр. 190),
du du
г — = — г*
dr dt ' dr*
d'U d-u
dt2·
du
dt
придем к уравнению с постоянными коэффициентами
d-u
г-«=0,
dP
— 214 —

общее решение которого
u — C1et-\-C2e-i, или и — Cir-\- —.
Найденное значение смещения можно теперь
использовать для нахождения напряжений аг и σφ, подставив
выражения для и и -г- в (26). Тогда получим
μυ3 . л СЛ я В
^^τ—χ^ + ψ + Сг-^А-^,
",=т4?('1С1-!^+С1+^)==л+^·
где положено Л=£С1/(1 —μ), В = ЕС2/(1 +μ)-
Теперь мы можем возвратиться к первоначальной
постановке задачи. Для трубы под действием постоянной
внутренней нагрузки ρ на внутренней стенке г = г0 должно
выполняться условие ог-{-р = 0, а на свободной наружной
стенке г = /ί — условие σΓ = 0. Эти условия являются
граничными и приводят к значениям постоянных А =
= prll{r\ — r§* B = prlr\l{r\ — rl), в результате чего для
напряжений получаем
*-;£sM)<o..
1 (28)
tfm =
р'З
Φ r2 r2 \ * \ r2
i+ϊ >o.
В частности, для напряжений на внутренней и
наружной стенках находим: радиальное напряжение
<*г(г0)= — Л σΛ(Γ!)=0,
как и предполагалось, а касательное напряжение
<*ч>(г0) = рг-~Ц>Р, σφ('Ί)=Ρ-ΐΓ:4·
Радиальное смещение равно
"-Ft^bsiO-rt' + O + i^}. (29)
в частности, на внутренней стенке
— 215 —

а на внешней
Выражения для напряжений и радиального смещения,
аналогичные (28) и (29), легко получить и для другого
случая —когда постоянно давление на наружной стенке
трубы. Для этого случая мы имеем граничные условия
σΛ = θ для г = г0 и σΛ + ρ = 0 для r = rlf откуда легко
получаются требуемые формулы. Рекомендуем читателю
проделать все требуемые выкладки самостоятельно.
Аналог формул (28), (29) можно получить и для
тонкостенной трубы; достаточно положить в них r1 — r0 = h
и г1-г-гая«2г. Эти преобразования также нетрудно
провести самостоятельно.
§ 19. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Как было указано еще в § 10, для выделения частного
решения уравнения л-го порядка рассматривается, как
правило, задача Коши, состоящая в задании начальных
условий: в некоторой точке х~х0 задаются значения
искомой функции и всех ее производных до (п— 1)-го порядка
включительно.
Вместе с тем в ряде задач приходится встречаться
с условиями другого типа; например, требуется
нахождение частного решения по известным значениям искомой
функции в нескольких точках. С некоторыми из таких
задач мы имели дело в § 12 и 18. Их называют граничными
или краевыми задачами.
Рассмотрим сначала некоторые такие задачи на
частных примерах.
Найдем частное решение дифференциального уравнения у" -j- 4у — xt
удовлетворяющее условиям t/(0)=l, у (π/4) = η/2.
Общее решение этого уравнения, как следует из результатов
§ 16, имеет вид
у — -j- χ + С ι cos 2x + С3 sin 2x.
Подставляя сюда значения х = 0 и дг = л/4, приходим к двум
уравнениям для нахождения произвольных постоянных Сх и Са:
С1=1,
1 π ~ π . π π
"4" · у + W cos -jf + С» sin у = у,
— 216 —

откуда следует Сг=\у С2 = Зл/8. Следовательно, искомым частным
решением является
1 3
У — ~4 * + cos2x + — nsin2x.
Краевые задачи не обязательно задаются в такой
элементарной форме. В некоторых случаях в качестве
условий задаются линейные комбинации функции и ее первой
производной в двух (для уравнения второго порядка) или
нескольких точках.
Найдем частное решение уравнения х2у" — 2ху'-\-2у — х3,
удовлетворяющее условиям у(0)-\-2у' (0) = 1, у (1)— у' (1)=0.
Заданное дифференциальное уравнение является уравнением
Эйлера, которое решается по правилам, изложенным в § 17.
Применяя их, найдем, что общее решение соответствующего однородного
уравнения есть Υ = С1х-\-С2х~, а частное решение неоднородного
д = х*/2 можно получить как меюдом неопределенных коэффициентов,
так и методом вариации постоянных. Советуем читателю проделать
все требуемые выкладки самостоятельно.
Итак, общее решение уравнения
y = C1x + C2x2 + Y χ3.
Остается найти производную
1/' = Сх + 2С^+-|-лс·
и подставить значения у к у' в заданных точках в краевые условия.
Получаем
(c1-0 + C,.0+i.oj + 2(c1 + 2Ci.O + -|..oj=sli
(d- 1+С,. 1 +у · ή- (Q + 2CV 1 + |-; l) = 0,
откуда сразу находим Сх=1/2 и С2—— 1, так что частное решение,
удовлетворяющее заданным краевым условиям, имеет вид
У = ~2Х — *2 + -2"*3.
Найдем теперь частное решение уравнения у" — 2у'-\-2у = 2ех,
удовлетворяющее условиям у (0) + у (π/2) = е*12, у' (0) -f у' (ji/2) = 1.
Здесь общее решение уравнения
у = ех (1 + Сг cos χ -f C2 sin x).
Поэтому первое краевое условие дает
l + C1+eIiy2(l + C2)=ert·2.
Дифференцируя общее решение, имеем
у' =ех [1 + (Ci-г-Са) cos χ — (Сх — С2) sin x],
откуда следует
l + C1 + Ca+e"/2[l-(C1-Ql = l.
— 217 —

Окончательно для нахождения произвольных постоянных
получаем систему
С^сл/2С2 = - I,
(\-en/2)CL^(\-\-e^2)C2^^e^2,
решая которую, получаем
π π/2_ ι ] _2вл/2
так что частное решение, удовлетворяющее заданным краевым
условиям, имеет вид
/ еп-еп/2-1 1-2ея'2 \
У = еХ{1+ Ц^п cos*+ ι + 6π sin*/'
Вообще говоря, краевые условия могут задаваться
и более сложным образом. Но для линейных уравнений
второго порядка обычно ставится двухточечная линейная
краевая задача, которая может иметь одну из двух
рассмотренных выше форм:
«ιί/(Α) + βι0'(β) = Υι. 1
либо
Условия, встретившиеся в первом из рассмотренных выше
примеров, являются частным случаем первой из этих
двух форм при β1 = β2 = 0.
В разобранных примерах мы имели дело с наиболее
простым случаем, когда общее решение уравнения
известно и для нахождения частного решения,
удовлетворяющего заданным краевым условиям, требуется лишь
определить значения произвольных постоянных, причем
уравнения для их отыскания оказываются совместными
и определенными. Более сложные случаи, требующие,
например, отыскания значений параметров, при которых
существует решение уравнения, удовлетворяющее нулевым
граничным условиям, но отличное от нуля, представляют
серьезные трудности. Такие задачи возникают при
решении уравнений математической физики, но в нашем курсе
рассматриваться не будут.
Необходимо также иметь в виду, что условия
существования и единственности решения краевой задачи
существенно отличаются от условий существования решения
задачи Коши. Может случиться, что даже простейшие
— 218 —
(1)
(2)

краевые условия, состоящие в задании значения решения
для двух значений аргументов, окажутся невозможным!!.
Тем не менее на вопросах существования и единственности
решения краевой задачи мы не останавливаемся.
Рассмотрим теперь физическую задачу, приводящую
к дифференциальному уравнению с краевыми условиями.
Пример. (Распространение тегтл а в стержне.)
Длинный и тонкий стержень, сделанный из металла
с теплопроводностью λ (ккал/м2 ■ ч · град) находится в
состоянии теплового равновесия, т. е. температура точек стержня
не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность
стрежня в окружающую среду, температура которой й0 =
= const, пропорциональна разности температур с
постоянным коэффициентом теплопередачи α (ккал/м2-ч· град).
Считая температуру Φ во всех точках поперечного
сечения стержня постоянной, найти ее зависимость ·$ = ϋι(χ)
от координаты, отсчитываемой от какого-либо, например
левого, конца.
Решение. Пусть длина стержня равна / м, периметр
поперечного сечения Ρ м, а площадь поперечного сечения
Q м2. Выделим элемент стержня длины dx, находящийся
на расстоянии χ от левого конца, и примем его
температуру равной θ. За время Δτ через левую границу этого
элемента пройдет количество тепла —XQ-t-
Δτ, а через
άϋ
x + dx
Δτ.
правую на расстоянии x-\-dx от конца —KQ-r
Таким образом, выделенный участок приобретает за
время Δτ количество тепла, равное разности
<
Δτ- — λφ
dx
x-\-dx
Δτ =
*(£
x-\-dx
dj&
dx
Δτ*«λφ^-ίίχΔτ.
Вместе с тем потеря тепла этого элемента через
поверхность в окружающую среду равна aPdx(ft — Ь0) Δτ.
Вследствие предположения о стационарности процесса
эти количества равны, т. е.
откуда
сРФ
XQ , , dx Δτ = аР (θ - Ф0) dx Δτ,
dx
^-βΐ(θ-θβ)=0,
— 219 —

где положено a2 = aP/(XQ). Так как ft0 = const, то
положив ft — О0 = ы, приведем уравнение к виду
d-u 2 л
ах2
Общее решение уравнения (4) таково:
и = deax + С2^лдг;
отсюда для уравнения (3) находим абщее решение в виде
ft = ft0 + deax + C2e-ax. (5)
Произвольные постоянные находятся из условий, которые
в данной физической задаче, естественно, являются
краевыми.
Пусть, например, на обоих концах стержня
поддерживается постоянная температура ft1! и ft2<Cfti. Тогда
краевые условия имеют вид
ft(0) = ftb ft(/) = ft2.
Подставляя их в (5), находим
fti-fto-^ + Ca,
^-'&0 = Cle(1l + C2e-al.
Решая полученную систему относительно постоянных Ci
и С2, находим
Частное решение, удовлетворяющее заданным краевым
условиям, получается подстановкой значений (6) в общее
решение (5). После очевидных преобразований приходим
к выражению
ϋ-ϋο-t- ^ , (7)
где, как уже было отмечено, a = YaPftkQ).
Анализ выражения (7) приводит к любопытному и
неожиданному результату: минимальная температура точек
стержня ниже, нежели поддерживаемая на правом (более
холодном) конце. Этот минимум будет тем более резким,
чем больше величина а. При а, близком к нулю, решение
будет близко к линейному и минимума иметь не будет.
Произведем числовой расчет. Пусть стержень имеет
длину /=1 м и поперечное сечение в форме квадрата со
— 220 —

стороной ft = 5,52 см = 0,0552 м. Тогда отношение P/Q =
==4/77 = 72,5. Кроме того, λ = 330 (медь), α=10, θ0 = 0,
О1==200, θ2=100.
Для приведенных данных а = У aP/(lQ) я^]/725/330я^
я^1,48. Так как sh q/ = sh 1,48 = 2,083, то частное
решение (7) принимает в этом случае вид
fl = 47,9shl,48* + 95,8sh 1,48(1 -χ).
Вычисляя значения функции (8), получаем таблицу
* 1
θ
0
200,0
0.2
156,3
0.4
126,7
0,6 1 0,8
108,4 1 99,4
0,9
99,2
1.0
100,0
из которой видно, что минимум находится вблизи
правого (холодного) конца.
§ 20. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Кроме линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, которые почти исключительно
рассматривались в этой главе, физические задачи часто
приводят к уравнениям с переменными коэффициентами.
Последние, вообще говоря, не интегрируются в
конечном виде (исключая рассматривавшиеся в § 16
уравнения Эйлера, которые сводятся к уравнениям с
постоянными коэффициентами). Их решения являются
уже новыми, вообще говоря, неэлементарными функциями.
Основным источником для изучения свойств таких
функций являются определяющие их дифференциальные
уравнения. Такие специальные функции изучены уже
достаточно полно и для их вычисления составлены подробные
таблицы.
Настоящий параграф посвящен краткому знакомству
с некоторыми специальными функциями, которые являются
решениями линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами, а также с самими
этими уравнениями. В большинстве случаев такие
уравнения получаются при решении задач математической физики,
описываемых уравнениями с частными производными, однако
могут встретиться и непосредственно.
Рассмотрим задачу, приводящую к часто встречающемуся
дифференциальному уравнению Бесселя.
— 221 —

Пример. (Продольный изгиб балки.) Рассмотрим
вертикально стоящий и изгибающийся под действием
собственного веса призматический стержень длины /,
нижний конец которого заделан, а верхний свободен (рис. 45).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки было
выведено нами еще в § 12
[см. формулу (24)]. Оно
имеет вид
d*u _ Μ (ζ)
dz2· ~ EI '
где Μ (ζ) — момент
инерции поперечного сечения,
зависящий от условий
работы балки.
Для данного случая,
как видно из рис. 45,
величина Μ определяется
интегралом:
1-2
М= J q{y\-u)dly
о
рис 45 причем q — вес единицы
длины стержня. Подставив
интеграл в дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки и продифференцировав обе части полученного
равенства по г, придем к уравнению
El
d3u
Здесь оказывается удобным произвести замену
независимого переменного, полагая
Обозначая производные от и по л: штрихами, получим:
du
Έ
d-u
dz*
d*u
d2u
dx2
dx\*
dz>
— d4(d^Y.^d^dxd^du^db^
dz* ~ dx?\dzj ' dx* dz dz2 *~ dx dz3
2 ЕГ u
х-иГ+^и'х-ή.
— 222 —

Подставляя полученные выражения производных в
дифференциальное уравнение, приходим к уравнению третьего
порядка
порядок которого легко понижается на единицу
подстановкой и'=у, в результате чего окончательно получаем
у"+±у'+(\-±)у=о. (1)
Уравнение (1) является частным случаем
дифференциального уравнения Бесселя с индексом т, которое
имеет вид
у" + ±У'+(1-$)у = 0. (2)
Функции, удовлетворяющие уравнению (2), называются
функциями Бесселя с индексом т, или функциями Бесселя
т-го порядка. Легко видеть, что уравнение (1) есть
уравнение Бесселя при т=1/3.
Для нахождения общего решения уравнения Бесселя достаточно
найти два его частных решения, которые, как уже говорилось выше,
вообще говоря не являются элементарными функциями.
Попробуем найти частные решения в виде степенных рядов. Так
как точка х=0 является для уравнения (2) особой — коэффициенты
уравнения терпят разрыв, — то искомое решение может и не
разлагаться в обычный степенной ряд. Поэтому мы будем пытаться искать
частные решения в форме обобщенного степенного ряда вида
y = x*(C0+ClX+C2x*+... + CnXn+...)t (3)
где α— некоторое действительное число. Очевидно, что при целых
неотрицательных α ряд (3) совпадает с обычным степенным рядом.
Ряд (3) удобнее записать в виде
у = С0х* + С1ха+1 + С2х<*+*+... + Спх*+п + ....
Отсюда находим
у'= СоОл«-1+Ct (ce+IJ^+Ca (а + 2) *»+! + ...
... + Crt(a + n)*a+*-i-b...,
y" = CQa (а- 1) л^ + Сх (а + 1) аха~1 + С2(а + 2) (а+ 1) ** + ...
... + Сп(а + л)(а + л-1)*«+"-2 + ....
Подставим полученные выражения у, у', у'1 в уравнение
Бесселя (2), которое перепишем так:
#У" + *У' + (х2 — /я2) У = 0.
Для этого достаточно умножить ряд для у на х2—т2, ряд для у' —
на χ и ряд для у" —на х2. Сложив эти выражения и приведя подоб-
-* 223 -.

ныс члены, получим
ία (α - 1) Cu + «С - "'"-'С..] ** + ί (* + ') *Ci + (α + ·) Cl - m-Cx ] ι'** +
+ [(α + 2) (ct-f 1) C, + (a + 2) C2-w2C2 + C0] *«+2 + ...
...Ч-[(ссН-")(^ + ^-1)Сл + (сб-[-л)С,1-то-Сл + Сл_2]^^ + ...-0.
Написанный слева ряд должен сходиться к нулю, откуда
вытекает, что должны быть равны нулю все его коэффициенты. Можно
считать, что С0 Φ 0. Тогда, приравнивая нулю коэффициент при Xй
и сокращая на С0, получаем определяющее уравнение
α (а— 1) + а — т3 = 0,
или а2 — т2 = 0, что и определяет а=± /п.
Приравнивание нулю остальных коэффициентов дает систему
(α+1)α^ + (α+1)6Ί —от2С1 = 01 »
(а+2)(а+1)С2 + (а + 2)С;-т2С2 + Са = 0,
(а + 3)(а + 2)С3 + (а + 3)С3-т2С3 + С1 = 0,
(а + 4) (а + 3) С4 + (а + 4) С4 - т2С4 + С2 = 0,
(а + я)(а + и-1)Ся + (а + п)Ся-т2Сл + Сл_2 = 0
(4)
Полагая сначала а = /я(>0), последовательно находим все
коэффициенты:
С: = 0,
г = °
2 (m + 2)2-m2
с3=о,
с4=-
С0
22(m-f 1)
(m + 4)2 — m2 2Mm+l)(m + 2)-1-2
^2/1—1 — ^'
С2я = (- Ψ 22Лл1 (От +1) (m + 2)... (m + η)
Co
Итак, одно из частных решений уравнения Бесселя (2) можно
записать в виде
^-Си*т(1~22(т+1) +
х4
..+ (-1)"
24-2!(m+l)(m + 2)
Y2rt
22"п! (т+1)(ш + 2)...(ш + /г)
+ ··
(5)
Пользуясь признаком Даламбера, легко проверить, что ряд (5)
сходится на всей числовой оси. При надлежащем выборе числового
коэффициента С0 функцию, определяемую рядом (5), называют бес-
селечой функцией первого рода с индексом т (или m-το порядка) и
обозначают Jm (x).
— 224 —

Чтобы получить окончательное выражение для Jm (χ), нам
придется познакомиться еще с одной специальной функцией —
гамма-функцией Эйлера Г (х), которая определяется независимо от
дифференциальных уравнений. Именно, она определяется несобственным
интегралом
оо
Г (х) = J и*-1(Г" dut (6)
сходящимся, как легко проверить, для всех действительных χ > О
или для всех комплексных χ с положительной действительной частью.
Интегрируя (6) по частям, получим
оо со оэ
Г (х)= Ϊ ц*-1*г" du= — е"ы °° + Ϊ — £Г" du = — ί ы<дг+1'-1е-« du,
0 0 О
откуда вытекает, что Г(л:) = — Г (а:+ 1), или
Г(*-г-1) = жГ(х). (7)
Это есть основное функциональное уравнение, которому
удовлетворяет гамма-функция. Так как
со
Г(1)= j<T"dtt=I,
о
то из (7) следует, что для натурального η справедливо равенство
Т(п) = (п-\)\
[в частности, под 01 понимают Г(1)=1].
Равенство (7) позволяет определить значение Г (х) и для χ < 0.
Действительно, если χ < 0, но 1 -J- χ > 0, то можно написать
Г(х) = ±Г(х+1). (8)
Аналогичным определением, применяя (7) или (8) несколько раз,
можно получить значения гамма-функции для любого х, исключая
х — 0, а следовательно, и х = — 1, —2,.... В этих точках Г (х)
обращается в бесконечность.
Возвратимся теперь к бесселевым функциям. Функцией Jm (χ)
называют ряд (5), в котором принято С0 = птГ (—ТТГ· ^ак как
в силу (7)
(п + т) (п + т- 1)... (т+ 1) Г (т+ 1) = Г (п+т-\-1),
то ряд (5) можно в этом случае переписать так:
со
Jm (X) = У (- П» {Χβ) Μ
т{) L ( > Г(«+1)Г(п + т+1)* (9)
Отыскание второго частного решения уравнения Бесселя требует
уже некоторых сведений о числе т. Если т— нецелое число, то
система (4) при а = —т дает новый ряд, аналогичный (5).
Соответствующую функцию также называют бесселевой функцией первого
— 225 —

рода. Она равна
оо
Σ(χ/9\ζη-ηι
<-'>* Г (»+ΐ/Λ.-«+!)· <'°>
« = 0
Легко убедиться в том, что функции Jm {χ) и J_m (χ) линейно
независимы. Достаточно заметить, что /т(0) = 0 (т>0), тогда как
■'-mW, как видно из (10), при х=0 обращается в бесконечность.
Отсюда уже вытекает, что эти две функции не могут отличаться
постоянным множителем. Поэтому, для нецелого индекса т общее
решение уравнения Бесселя (2) можно записать в виде
У=СЛ(*) + С2/_„(*), (II)
где Сх, С2—произвольные постоянные.
Иногда вместо J_m (χ) берут другое частное решение, которое
представляет собой линейную комбинацию функций (9) и (10):
Υ (χ) - Jm <*> cos mJl~ 1~™ (*) · /J°)
sijti mx ' ^ "'
эта функция имеет смысл при нецелых т. Функцию Ym (x) называют
функцией Бесселя второго рода, или функцией Вебера. Общее
решение уравнения (2) можно тогда записывать в виде
У = С^т(х) + СгУт(х). (13)
Для целого m ряд (9) можно переписать без использования
гамма-функции в виде
оо-
(х/2)М+т
'•«-Σ<-»ν$
(п + т)\1
в частности,
00
'·.«-Σ <-«·»·
л = 0
Совсем иначе будет обстоять дело с функцией J_m (χ),
определяемой рядом (10). Прежде всего, первые пг членов этого ряда не
имеют смысла, потому что в их знаменателях получаются значения
гамма-функции для целых отрицательных значений аргумента и для
нуля. Эти члены следует полагать равными нулю (как было
указано, гамма-функция в таких точках обращается в бесконечность).
Если полагать J_m (χ) равной оставшемуся ряду, то сравнение его
с рядом (9) показывает, что для целых т имеет место равенство
J-m(x) = (-l)mJm(x).
Таким образом, при целых т функции Jm (χ) и J m (x) линейно
зависимы и равенство (11) уже не дает в таком случае общего
решения уравнения Бесселя.
Выражение (12) при целых т становится неопределенным (чис
литель и знаменатель обращаются в нуль), поэтому непосредственно
воспользоваться бесселевой функцией второго рода тоже нельзя. Тем
— 226 —

не менее можно показать, что при любом целом т существует предел
/μ(Α-)α*5μπ— /_μ (я)
lim ;
μ^,η ειημπ
(это можно легко сделать с помощью правила Лопиталя, на чем мы
не останавливаемся), который мы и будем называть бесселевой
функцией второго рода для целого индекса. При так определенной
функции Ym(x) формула (13) будет давать общее решение уравнения
Бесселя и для целого т.
Бесселезы функции находят многообразные
применения почти во всех областях приложений математики:
очень большое число встречающихся в прикладных
задачах уравнений приводятся к уравнению Бесселя. Кроме
того, для бесселевых функций существует большое число
различных соотношений, связывающих между собой бес-
селевы функции с различными индексами или
производные бесселевых функций, с самими функциями.
Приведем (без вывода) несколько таких соотношений.
Большое значение имеет рекуррентное соотношение,
связывающее значения трех бесселевых функций, индексы
которых отличаются на единицу, в одной и той же точке:
Оно позволяет находить Jm+1 (χ) по известным
значениям Jm(x) и Jm-x(x). Аналогичную роль играет формула
Jn*-i(x)-J„»i(x) = 2Jm(x), (15)
позволяющая находить производную. Впрочем, для
нахождения производных проще пользоваться формулами
4-xlxmJm(x)]=XmJm-i(x), )
1 <16>
Τχ [xmJm (Χ)] = — X~mJm+1 {Χ). J
Формулы, аналогичные (14) и (15), имеют место и для
бесселевых функций второго рода. Именно,
Υη-ϊ{χ) + ΥΜ+ϊ(χ) = γΥΜ{χ),
Ym-l(x)-Ym+i(x) = 2Y'm(x).
(17)
Между бесселевыми и тригонометрическими функциями
существует глубокая связь, которая проявляется также
- 227 —

и в общности поведения функций. В последнем легко
убедиться, познакомившись с графиками бесселевых
функции Jo(x) " «/ι (.ν), приведенными на рис. 46 и 47.
Если индекс бесселевой функции первого рода есть
целое число плюс половина, то такая функция выражается
Рис. 46
J, (х)> ■
ЬО 1 1 г—
Рис. 47
через элементарные, и притом именно через
тригонометрические. Для т=1/2 и т= — 1/2 имеют место следующие
соотношения:
•/]/2 {х) =УЩюс) sinх\ J_ 1/2 (χ) =V2/ (лх) cos x. (18)
Читатель легко сможет вывести эти соотношения самостоятельно,
воспользовавшись рядами (9) и (10) и заметив, что Г {\/2) = Υπ.
Значения Г (м -}-1/2) для натурального η могут быть получены
применением формулы (7), а для целого отрицательного п —формулы (8).
Наряду с функциями Бесселя первого и второго ряда
нередко встречаются также функции Бесселя чисто мни-
~- 228 —

мого аргумента Im(x), определяемые соотношением
Im(x) = rmJm(ix). (19)
Как видно из (19), связь между функциями 1т и Jm
аналогична связи между гиперболическими и
тригонометрическими функциями.
Для них также имеют место рекуррентные соотношения,
аналогичные приведенным выше, например,
Im-Ϊ (x)-Im+i (X)=^lm (*),
и т. д. Функции 1т (х) удовлетворяют дифференциальному
уравнению
х2у" + ху'-(х2 + т2)у=0,
которое называют поэтому уравнением Бесселя для
мнимого аргумента. Оно также является линейным
уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.
Ряд для 1т (х) получается подстановкой (9) в (19), что дает
/ (Х) = У (*/2>2га+т (20)
п = 0
Следующим типом уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами, которое мы рассмотрим,
является дифференциальное уравнение Лежандра. Так
называют уравнение
(*2-1)/ + 2^'-/г(я+1)^=0. (21)
При натуральных η решением уравнения Лежандра
служат обычные многочлены Рп(х):
Pi(x)=x, P8(*)=-g-(5*»-3*)f
p2(x) = ±(3x2-l), Я4(^)=1(35^-30^4- 3),
Общее выражение' для многочленов Лежандра дается
формулой Родрига
ΡηΜ=~Γ£-Λ**-ψ. (22)

Из нее легко выводится, что многочлены Лежандра
четного порядка являются четными функциями, а нечетного
порядка —нечетными. Из нее же, пользуясь теоремой
Ролля, можно вывести и такое важное свойство: все η
корней многочлена Рп{х) действительны и расположены в
интервале (— 1, 1).
В самом деле, функция и = (х2— \)п обращается в нуль в точках
х= ± 1 вместе со своими производными до порядка η— 1 включительно.
По теореме Ролля существует точка ξ^ интервала (—1, 1), в которой
обращается в нуль и'. Тогда для и' находим два интервала (—1, ξι)
и (£,, 1), на концах которых и' обращается в пуль, что дает, в силу
теоремы Ролля, два внутренних нуля и".
Продолжая таким же образом, находим для и'"-1' уже η
интервалов, на концах которых она обращается в пуль, так что и<п>
имеет внутри (—1, 1) ровно η нулей. Но и<п> отличается от Рп(х)
лишь постоянным множителем, так что многочлен Лежандра Рп (х)
имеет те же η нулей внутри (—1, 1), что и и(П).
Многочлены Лежандра также удовлетворяют
трехчленному рекуррентному соотношению, аналогичному
соотношению (14) для бесселевых функций:
(п + 1) Ρη+ί (χ) - (2л + \)хРп (х) + пРп.х (х) = 0. (23)
Принимая Р0(*) = 1 и исходя из Р0 и Ръ можно с
помощью (23) последовательно вычислять многочлены
Лежандра для любого п. Значения Рп (х) находятся таким
образом проще, чем по формуле Родрига (22).
Важным свойством многочленов Лежандра является
их ортогональность, которая выражается равенством
ι
\ Pm(x)Pn(x)dx = 0 {тфп). (24)
— ι
Ортогональность системы многочленов Лежандра позволяет
строить ряды Фурье по этой системе, аналогичные
тригонометрическим рядам Фурье.
Многочлены Лежандра являются единственной системой
многочленов, ортогональной в обычном смысле определения (24) на
конечном интервале. Но, кроме этого, часто приходится встречаться с*
многочленами, ортогональными с весом.
Функции φ(χ) и ·ψ(λ') называют ортогональными с весом ш (х)
на отрезке [α, β], если они удовлетворяют соотношению
jj w (χ) φ (χ) ψ (χ) = 0. (25)
ά
Каждая система многочленов, ортогональных с весом w (x),
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению второго порядка
с переменными "коэффициентами и трехчленному рекуррентному
— 230 —

соотношению, аналогичному (14) или (23). Приведем некоторые из таких
систем, наиболее часто встречающиеся в приложениях.
Многочлены Чебышева определяются соотношением
Тп (х)=-rtjjrj- cos (n arccos x). (26)
\
Они ортогональны на отрезке [—1, 1] с весом w{x) — If у 1— *3 и
удовлетворяют рекуррентному соотношению
7W (*) - хТя (*) + -J" Tn-i W = 0. (27)
С помощью (27), полагая Т0(х)= 1 и Тг (х) = х, проще получать
выражения Тп{х), чем по формуле (26). Дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет многочлен Чебышева Тп (х), имеет вид
(1-дсв)^-^' + П2у = о. · (28)
Многочлены Эрмита
Hn{x) = {-lfexS^-^e-^ ■ (29)
ортогональные весом ш (*)=е"*~*2/2 на (— оо, со), т. е. для них
справедливо соотношение
оо
— 00
Рекуррентное соотношение для многочленов Эрмита
# «+1 <*) - *Нт (х) + лЯл_1 (ж) = 0, (30)
а дифференциальное уравнение
yf—xy' + ny—O» (31)
Многочлены Лагерра
Ln (х) = (-1)" лг«е* ^ <**+V*) (32)
ортогональны на (0, оо) с весом w(x) = xae~x (α>— 1; иногда
принимают а = 0). Для них справедливо соотношение
W (*) — (*-<*— 2/1— 1) 1„ (х) + η (а + п) Ln.± (χ) = 0 (33)
и дифференциальное уравнение
ху" + (а-{-\ — х)у'Ц-пу = 0. (34)
Перечисленные системы многочленов, включая и
многочлены Лежандра, конечно, являются элементарными
функциями. Со специальными функциями их объединяет то,
что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
с переменными коэффициентами. Однако не надо
забывать, что уравнения (21), (28), (31), (34) имеют решениями
элементарные функции (многочлены) только тогда, когда
входящий в них параметр η принимает натуральное
значение.
Большое место в прикладных задачах занимает
введенное и изученное Гауссом вшгергеометрическое уравнение,
— 231 —

содержащее три числовых параметра α, β, γ:
х (1 ~ х) 1Ж + [V - <а + Ρ + 1} Я-Лх - а$У = °- (35)
Решения этого уравнения называют гипергеометрическими
функциями.
Нетрудно доказать, что уравнению (35) удовлетворяет
гипергеометрический ряд
. α. β . α(«+1)β(β+1) У2 ι
^ 1·ν *i~ 1·2νίν+η "*"
1·2γ(γ+1)
α(α+1)(α + 2)β(β+1)(β + 2) эд
+ 1·2.3γ(γ+1)(ν + 2) * + - · (36)
Определение радиуса сходимости этого степенного ряда и проверку
того, что он удовлетворяет уравнению (35), читатель сможет провести
самостоятельно, пользуясь методами теории рядов.
Многочисленные случаи различных соотношений между
тремя параметрами гипергеометрического уравнения^при-
водят к разным вырожденным уравнениям и
функциям, многие из которых оказываются элементарными.
Так, при а = — η (η — натуральное) и β=γ ряд (36)
превращается в функцию (1 — *)л; при α = β=1 и γ=2 —
л. In (1 —г)
в функцию —- ' и т. д.
Из неэлементарных вырожденных гипергеометрических
функций можно отметить функции Ушптекера ΨχΛι(χ),
удовлетворяющие дифференциальному уравнению второго
порядка
*" + (-Т-Т + ^)*=0. (37,
В задачах распространения электромагнитных волн
часто встречается уравнение Ма'тье, которое можно
записывать в виде
i/',+ (a+16<7COs2*)i/ = 0, (38)
где а и <7 — постоянные. Частные решения уравнения (38),
выбранные определенным образом, называют функциями
Матье.
Мы привели здесь несколько линейных
дифференциальных уравнений второго порядка с переменными
коэффициентами, решения которых играют большую роль в
прикладных задачах. Естественно, сколько-нибудь полная
теория специальных функций не может входить в общий
втузовский курс математики, а потому и в нашу книгу.
Мы хотели только продемонстрировать роль линейных
дифференциальных уравнений в теории специальных функций.

ГЛАВА IV
ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 21. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для описания некоторых процессов или явлений нередко
требуется несколько функций. Отыскание этих функций
может привести к нескольким дифференциальным
уравнениям, образующим систему.
Систему дифференциальных уравнений первого порядка
можно получить также из одного дифференциального
уравнения высшего порядка, вводя вспомогательные функции.
Действительно, пусть
y{n)=f(x, У, У', У\ · · ·, У{п-1]) (Π
— дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное
относительно старшей производной. Положим
У=Уи
У'=у[ = Уг,
У" = У2 = Уз,
У{п-1] = Уп-1 = Уп>
У{п)=Уп = /(х, Уи Уг, ·■·» Уп)·
Таким образом, из одного уравнения п-го порядка
получается система дифференциальных уравнений первого
порядка
У* = Уз,
У* = У*, \ (2)
• · · «
y'n = f(x, Уъ Уъ ·.., Уп)< .
— 233 ->

Полученная система уравнений представляет собой
частный случай системы
y\ = fi(x, Уи У* У»)>
0-ί = Μ*. 0ь 02, ···, У*), , /3)
Уп = Ы(х*УъУг> ···. Уп)· .
Такая система называется нормальной системой
дифференциальных уравнений. При этом предполагается, что
число уравнений равно числу неизвестных функций.
Решением системы (3) называется совокупность η
функций уи Уъ>...,уп> удовлетворяющих всем уравнениям
системы.
Частным решением системы (3) называется решение,-
удовлетворяющее также начальным условиям:
0ι = #ιο. 02=020, ··, Уп=Упо при х = х0, (4)
где х0, 010, 020, ·-·, Упо — заданные числа.
Заменив числа у10, у20, ..., уп0 произвольными
постоянными Съ С2, ..., Сп, приходим к общему решению системы
(3), зависящему, следовательно, от η произвольных
постоянных.
Для нормальной системы дифференциальных уравнений
может быть доказана теорема существования и
единственности, частным случаем которой является теорема
существования и единственности решения для
дифференциального уравнения п-го порядка, приведенная в § 10.
Выше было показано, что одно дифференциальное
уравнение п-го порядка может быть приведено к нормальной
системе уравнений. Вообще говоря, возможно и обратное.
Нормальная система η дифференциальных уравнений
первого порядка эквивалентна одному дифференциальному
уравнению порядка п.
Действительно, возьмем первое из уравнений системы (3)
и продифференцируем обе его части по х\ получим
<*V= d/i ι dh dyx dfj dy2 dft dyn
dx* дх "Г" дУ1 dx "T" дуг dx "*" ''' "+" dyn dx »
или, заменив производные -^- = у\ Их выражениями
fi (X> 01* 02, · · · , У η),
*у± = Ml л. J!L· f -u_^Lf ι . */i f
dx* дх ^ дУ1 /1-Г" ф2 /2+ · · · ^"dy~Jni
— 234 —

т. е. равенство вида
dx*
Г — ^2 (*» 0ι» 02» · · · ι Уп)·
(5)
Дифференцирование равенства (5) с учетом системы (3)
дает
cPyj __ dF^ ι dF2 г - dfz f . _, dF2 f
d^ ~ d* "Τ" ayx '^йь '2i~ ,,,+A' fnt
или
Й/л
■^3" — ^з (*» У и 02» · ■ ■» Уп)·
Продолжая аналогично, получаем
"^Г = ^4 (*» Уъ 02» · ■ · » 0л)>
(6)
d д.л-1 — Гп-1 (#» 01» £/2» · · · » У η), ί
-^ = Fn{x, ylf y9, ..., #n). j
(7)
Выпишем полученные уравнения совместно с первым
уравнением системы (3), образовав, таким образом, новую
систему
7" = /ι С*» #1» 02» · · ·» 0л)»
d*
dty
djtc
з~ — ?ъ (χ> Уъ 02» · · ·» 0/ι)» ,
■^Г = Fn{x* 0i» 02 0/t)·
(8)
Из л— 1 первых уравнений системы (8) можно, вообще
говоря, выразить /г — 1 неизвестных функций у2, гу3» ··■» Уп
через функцию уг и ее производные до порядка η — 1
включительно. Подставив эти выражения в последнее из
уравнений (8), придем к одному дифференциальному
уравнению порядка η относительно неизвестной функции у^.
dn!h
dyt
d"-^
(9)
dxn ^^ι г/ι. dx . ■·■» dxn-\
Если записать общее решение уравнения (9) в виде
0ι=<Ρι(*, Сь С2, ...,С„), (10)
- 235 —

то можно найти остальные функции, подставив в
выражения для //2, #з> ..., уп, найденные из первых п—1
уравнений системы (8), выражение (10) для у1 и его
производные. Таким образом, получаем систему функций
У ι — Φι (χι w, C*2» ■··» С η),
ί/2 = ψ2(*> Си C2i ..., Cn),
(Π)
У η — ψη(·Κ» W» ^2» ···» *->п)·
Нетрудно показать, что система функций (11) дает
искомое решение системы дифференциальных уравнений (3),
чем доказательство утверждения завершается.
Решим систему дифференциальных уравнений
Φ = У2
dx г '
dz
dx
Продифференцировав по χ второе уравнение системы, получим
d2z _ dy
~d&~ Их'
Заменим -j- его выражением из первого уравнения. Тогда
d2z _ у^
dx* ~~ г '
Наконец, заменив, в силу второго уравнения, у на -τ—, приходим
к уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией:
dz \2
dH
dx
dx*
Полученное уравнение не содержит явно независимого
переменного и поэтому допускает понижение порядка. Однако, записав его
в виде ζζ"—(ζ')2 = 0 и разделив обе части равенства на г3, замечаем,
что левая часть представляет точную производную. В самом деле,
ζζ"—{ζ'ψ
г*
и наше уравнение имеет вид (z'/z)' = 0f откуда
г'
— = Си или z' = Cxz.
Из полученного промежуточного интеграла легко получить г,
разделив переменные и проинтегрировав, чю дает выражение для
— 236 —

функции ζ, содержащее χ и два произвольных постоянных:
Так как y=-—t то, продифференцировав выражение для г,
получаем
y = C1CipCiX.
Таким образом, решение системы имеет вид
y = CxCtfC>x, z = C*c*.
После нахождения одной из функций остальные
следует находить путем дифференцирования и исключения,
что всегда возможно без нового, интегрирования. Так,
в рассмотренном примере после того, как функция ζ
найдена, функцию у следует искать, используя второе
уравнение, но не первое, что было бы ошибкой. Действительно,
для нахождения у из первого уравнения пришлось бы
интегрировать еще раз, что привело бы к выражению,
содержащему три произвольных постоянных. Последнее
невозможно, ибо функция у удовлетворяет уравнению
второго порядка.
Другой способ решения систем основан на подборе так
называемых интегрируемых комбинаций. Не имея
возможности разбирать этот способ подробно, познакомимся с ним
на примерах.
Решим систему дифференциальных уравнений
dx
dt
= У — г,
dy
—-— = 2 — Χ
dt Z *'
dz
w = x-y-
(12)
Обозначив производные по t штрихами и сложив все три
уравнения (12), получим
*' + ί/' + ζ' = 0,
т. е.
^-(,+, + ή-0.
откуда
х+у + г = С1. (13)
Аналогично, умножив первое из уравнений (12) на х, второе на у и
третье на г и сложив, имеем
— 237 —

т. е.
откуда
*2 + уа + г2 = С2. - (14)
Равенства (13) и (14), представляющие конечные
соотношения между искомыми функциями и независимым
переменным * называют первыми интегралами системы. Если бы
удалось получить еще один первый интеграл, т. е.
получить столько независимых первых интегралов, каково число
неизвестных функций, то задача интегрирования системы
была бы решена. Из первых интегралов можно было бы
выразить искомые функции через t и произвольные
постоянные. В приведенном примере такой простой подбор
еще одной интегрируемой комбинации не удается. Но и
знание нескольких первых интегралов облегчает решение
задачи: каждый первый интеграл позволяет понизить
порядок уравнения на единицу.
Действительно, система трех дифференциальных уравнений должна
приводиться к одному дифференциальному уравнению третьего порядка.
Продифференцируем по / третье уравнение (12). Это дает
ζ" = *' — */'.
Воспользовавшись первыми двумя уравнениями, получаем
г" = х+у — 2г.
Теперь можно из первого интеграла (13) получить x-\-y = d — г,
что дает для г уравнение не третьего, а второго порядка:
ZH-\-3z = Cv (15)
Использование еще одного первого интеграла (14) позволило бы
понизить порядок еще на единицу, но этого не стоит делать:
уравнение (15) легко интегрируется, так как является линейным
уравнением с постоянными коэффициентами. Используя метод неопределенных
коэффициентов (см. § 16), получаем
2 = -g-C1 + Cacos*Vr3+C3sin/K3. (16)
Далее, так как
x+y = z" + 2z,
x—y = z',
то для определения неизвестных функций χ и у получаем систему
о _
x + y = -jCl — CiCQ&tVr3—CasantY3, )
x — y = V3C3 cos t УЗ—]/3 C2 sin / 1Л3, J
* В наших частных случаях независимое переменное в
полученные соотношения не входит.
— 238 —

решение которой дает
,=i Ct_ а=р& cos, п_ с3+р с, sin t Vli
t^Cl_cs±ncioati]ri_ct-Vlct s|n<r3 j (l7)
Выражения (17) и (16) образуют решение системы (12).
В некоторых случаях интегрируемую комбинацию
удается получить с помощью подходящей замены
переменных.
Решим систему дифференциальных уравнений
dy _ \
) (18)
dz
Сложив оба уравнения, получаем
у + г'=у+х. (19)
Подстановка y-\-z = u приводит уравнение (19) к виду и'= и, .откуда
легко находим
и = Схех. (20)
Таким образом,
у + г-С1в* (21)
или, после дифференцирования,
у' + г'^Схв*. (22)
Заменив в уравнении (22) г' на у, получаем линейное уравнение
первого порядка
решение которого (см. § 4) дает
и из уравнения (21) следует
г^-^С^-Сге-*.
§ 22. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Нормальная система дифференциальных уравнений
называется линейной, если функции flt /2, ...,/„ линейны
относительно искомых функций. Из этого определения
— 239 —

следует, что линейная система имеет вид
-^l- = anyL + any-i + -·· + а1яуп + Ьг,
причем все коэффициенты aik и «свободные члены» £?Л (/, £ =
= 1, 2, ..., /г) являются, вообще говоря, произвольными
функциями от х.
Линейная система вида (1) допускает более простую и
короткую форму записи, если пользоваться векторно-мат-
ричными обозначениями. Введем в рассмотрение
вектор У(х), компонентами которого служат функции У\(х),
Уг{х), ···, Уп(х), и будем записывать его в виде матрицы-
столбца, т. е. матрицы с η строками и одним столбцом:
Y(x)= ^W
/;
\Уп(х)>
Естественно назвать производной такого вектора новую
матрицу-столбец, элементы которой суть производные от
элементов первоначального вектора:
•л
dx
,Уп>
Тогда если обозначить через В вектор, компоненты
которого — свободные члены системы (1), и через
Л—матрицу коэффициентов системы
full Q,\2 ,■ . 0,χη
Λ / αύ #22 « · · α2η
то систему (1) можно записать в виде равенства векторов:
άΥ
dx
= AY + B.
— 240 —

Последнее равенство и называется векторно-матричной
формой записи линейной системы дифференциальных уравнений.
Ограничимся рассмотрением однородной линейной
системы с постоянными коэффициентами, т. е. предположим,
что η системе (1)
aik = const (i, k=\, 2, ...,«); &, = 0(«=1, 2,..., η).
Таким образом, система примет вид
dyy
-^ = Gni/i + апуг +... + а1пУп,
dy« ι.,
-ά~ = «2li/l + β22£/2 + · · · + ^2^,
-£- = аП1У1+ап2у2 +... + аЛЯ#л.
(2)
Приведение системы (2) к одному уравнению дает
однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Поэтому естественно искать решения системы (2) в виде
показательных функций.
Рассмотрим для определенности однородную линейную
систему с постоянными коэффициентами с тремя
неизвестными функциями
-£■ = яп#1 + а12у2 -f alsy3,
■jfc = £*21У1 + Я 22#2 + <*23#3 г
η& = аа1у! + a32y2+a33y3.
Частное решение системы будем искать в виде
y1 = kierxt y2 = k2erx, y3 = k3er\
(3)
(4)
где klt k2, k3, r — постоянные, которые следует, если это
возможно, подобрать так, чтобы функции (4) удовлетворяли
системе (3).
Подставим выражения (4) для искомых функций в
систему (3). Тогда
rkxerx = ankxerx + a12k2erx + a13k3er\
rk2erx = a21kxerx + a22k2erx + a,3k3erx\
rk3erx = a31 kxerx + a32k2erx + a33f?3erx,
— 241 -~

или, после сокращения на егх и перенесения всех членов
вправо,
(ап - г) Αι + a12k2 + a13k3 = О,
a2i^L + («22 — r) th + Яаз^з = 0 · ' (5)
«з А + «32^2 + («зз - r) /e3 = 0. ,
Систему (5) можно рассматривать как однородную систему
трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными ku к2,
k3. Чтобы система (5) имела отличные от нуля решения,
необходимо и достаточно равенство нулю определителя этой
системы (по теореме об однородной системе). Это условие
дает
«и — г а12 «13
0Я1
«31
агг — г
«32
«23
«зз-
0.
(6)
ап-г
«21
«31
«12
«22 - Г
«32
«13
«23
«за-'
Уравнение (6) называют характеристическим уравнением
системы (3). Оно является уравнением третьей степени,
и решение вида (4) существует тогда и только тогда, когда
число г является корнем характеристического уравнения (6).
Анализ всех возможных случаев, которые здесь могут
представиться, требует подробного изучения свойств
характеристической матрицы
(7)
Ограничимся простейшим случаем, когда все корни
уравнения (6) различны и в матрице (7)' при значениях г, равных
этим корням, существует хотя бы один определитель второго
порядка, отличный от нуля. В этом случае каждому корню
fii ri> Гз характеристического уравнения (6) соответствует
решение (4), коэффициенты которого klf k2, k3 определяются
из соответствующей системы (5) с точностью до множителя
пропорциональности. Линейная комбинация всех частных
решений с произвольными постоянными коэффициентами
дает общее решение.
В случае комплексных корней характеристического
уравнения решения, соответствующие паре комплексных корней
α±β/, можно комбинировать, как и в гл. III, применяя
формулу Эйлера. Это даст пару действительных решений,
содержащих функции вида еах cos β,γ и e*-s sin $x.
— 242 —.

Решим сиаему дифференциальных уравнений
dy
dz
dx~Z' dx~y
(см. пример на стр. 239).
Характеристическое уравнение (6) имеет вид
-г 1
1 —г
= 0,
т. е. г3— 1=0, откуда гхл—±. 1. При г=1 система (5) для
нахождения коэффициентов kL и k2 приобретает вид
-fci + £2 = 0, л
kl — ^2 =
Из этой системы получаем kl2v = k[l>. Для г = — 1 имеем
*1 + *2 = 0,
k
^1 + ^2 = 0, V
^1 + ^2 = 0, /
откуда fe22' = —fci21. Таким образом, находим две системы решений
y'1,=k'll'ex, zai = k\l,ex,
у™ = к*Ъ-*, г(3> = —/г^'Г*.
Коэффициентам k\t] и &'х3' можно давать любые числовые значения.
Полагая k'1i, = k'i-'= 1, получаем
y<i> = ex, га) = ех,
уш=е~х, г'2» = — έΓ*,
так что общее решение системы имеет вид
ι, = 0* + <;2£Γ*, г = С1ех-С#г*,
что совпадает с решениэм, полученным в § 21, если заменить С,
на Q/2.
Решим теперь систему дифференциальных уравнений
* —7ft+fc
^2
= — 2У1 — %2·
Характеристическим уравнением для этой системы является
— 7 —г 1
=0, или/■3+12г+37 = 0, откуда г1>2 = —6±i.
— 2 — 5 —г
При /-! = —6-f-i получаем систему для нахождения коэффицентов
ί-1-ί)*ι + *2 = 0, \
_2/e1+(l-i)/fa = 0. J
Из нее находим Α8 = (^+0*ι· Полагая ^=1, получаем два частных
решения
yy=:e{-^i)Xt ^1' = (l+0e,~e+i'·*.
— 243 —

При г — — 6 — i коэффициенты k1 и k* находятся из системы
алгебраических уравнений
(-1+0^1 + ^2 = °, 1
-2^ + 0+ /)*2 = 0, /
следовательно, k2 = (\ — i)klt что при ^=1 дает частные решения
μψ>= g^e-ί) А", у'.^ = (1 — i) е! "6_/»х
Вместо полученных частных решений можно взять их комбинации:
-,, УТ + У?' е(~вИ)х + е1-*Ч)Х „Rxeix + e4x _β„
у ι* — £1—±_£J_ — L = е ел L = е бх ст х>
- ,, У>и + У·»2' (l+<)<?(~at/,x+(l — Qe(~e~f'*
_y2 - - _ 2 -
_ fi , (1 + 0 eix + (1 — 0 e~ix _ _fi y |"g«* + е"гдр , gfjg—e~ix'
= g-6* (cos χ—sin x),
y:/>-y<*> (i + o g(-6-n->*_(i _t-)e(-e-iijf
•Уз
2t
2*
= „-ev (l+t)g^~(l-i)g-^ _
2ί ~~
==g
= e ел-
-eix — e~ix gix^g-i
2i
+
— e M (sin л* + cos x),
которые являются уже действительными функциями, Таким образом,
общее решение системы записывается в виде
yt = €χ€~ΰχ cos χ + C2g_ev sin лг,
г/3 = Сге~ъх (cos л: — sin χ) + С2е~6Л' (cos *-f- sin ж)м
или
yx == e 6X (Cl cos χ + C2 sin *),
^3 = rejf [(Ci + C3) cos ж — (Q —1?2) sin x].
§ 23. ФИЗИЧЕСКИ! И ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. (Разложение вещества.) Вещество А
разлагается на два вещества Ρ и Q. Скорость образования
каждого из них пропорциональна количеству неразложнв-
шегося вещества А. Найти законы изменения количеств*
и у веществ Ρ и Q в зависимости от времени /, если через
час после начала процесса разложения χ и у равны
соответственно а/8 и За/8, где а — первоначальное количество
вещества А.
Решение. В момент времени t количество вещества А
равно а — х — у и, следовательно, мы имеем систему диф-
— 244 —

ференциальных уравнений первого порядка
(1)
^ =^(а-х-у),
at
^L = k2(a-x-y). j
Разделим обе части второго уравнения на
соответствующие части первого; тогда ~^- = -^-, откуда y^k2x/kl-{-С.
Так как при / — О имеем x = y = Ot то С = 0 и потому
y = kix/k1.
Заменив в первом уравнении у через кгх!къ найдем
-jf + Ψι + k2)x = k^a.
Общее решение этого линейного уравнения первого порядка
Используя начальное условие (х = 0 при / = 0), находим
Ci~ — &ι<3/(&ι + &2) и, следовательно,
^1 + *·2 U ;'
Подставив это выражение для χ в равенство y = k.2x/kXy
получим
Примем за единицу времени час. Зная, что х = а/8 и
у~-За/8 при /=1, составим систему уравнений для
определения коэффициентов kx и k2:
*i + *2 ^ ' 8 '
£i + *a v '8
Сюжив соответствующие части обоих уравнений, получим
1_е-(А1 + ^> = 1/2, откуда ?-(*ι + **> = 2 * и ^4-^= In 2.
Разделив обе части второго уравнения на
соответствующие части первого, имеем /?2 = 3&ι. Таким образом,
1 3
ki—-j In2, &а = т ln2 и искомое решение запишется
— 245 —

в виде
*=£(!-2'). '
(2)
Пример 2. (Размножение бактерий.) Некоторые
бактерии размножаются пропорционально их наличному
количеству, но в то же время вырабатывают яд,
истребляющий их пропорционально количеству бактерий.
Скорость выработки яда пропорциональна наличному
количеству бактерий. Показать, что число бактерий N сначала
возрастает до некоторого наибольшего значения М, а затем
убывает до нуля; в момент времени t оно определяется
формулой N = . а , ,9 , где время t измеряется от того
момента, когда N = M. .
Решение. Обозначим количество яда через х. Согласно
условию задачи, составим систему дифференциальных
уравнений
™- = Ш-№х, -Jf=k2N. (3)
n dN dx
Здесь —гг- и --т.- соответственно скорость размножения
бактерий и скорость выработки яда, a k, kx и ^ —
коэффициенты пропорциональности.
Разделив обе части первого уравнения из системы (3)
на соответствующие части второго,, получим
дифференциальное уравнение
dN _ k _ki_
dx k2 A.'2 '
откуда
Так как х = 0 при Ν —0, то С^-О, и поэтому связь
между числом бактерий и количеством яда устанавливается
формулой
N=-ax-bx\ (4)
где положено
k/k2 = a, kxl(2k^ = b. (5)
График функции y — N(x) представляет собой параболу,
проходящую через начало координат и через точку
^ 246 —.

Л К: 0). с осью симметрии, параллельной осп Оу, и
с вышиной в точке Οι ( 9. ; 4, . Следовательно,
Νηα = Μ^ζ=-^. (6)
Найдем теперь зависимость количества бактерий от
времени /. Для этого преобразуем равенство (4) к виду
bx*-ax + N = 0
и разрешим его относительно х:
* 2b — У 4^2
N
b
Это выражение χ через N подставим в первое из
уравнений (3); тогда
%-kN-%S+kJiY^*. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (6),
замечаем, что первые два числа в правой части взаимно
уничтожаются, а последний равен ζρ&Λ^]/Ί — Ν/Μ. Поэтому
уравнение (7) запишется так:
а это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными. Разделением переменных оно приводится
к виду
dN
=qrAdt. (8)
Интеграл /= \ . вычислим с помощью под-
становки )/ I — N/M— у, из которой следует, что N =
= ΛΪ (1 - у2), a dN = — 2My dy. Поэтому
'—3StV
In
1 —
У
1+* ' "2>
Таким образом, общий интеграл уравнения (8) имеет
вид
1п-^- + Со = цг£/.
\-у
ι+7τυ2
— 247 —

Произвольное постоянное С2 определим из начального
условия N = M при / = 0, которое дает у—0, а
следовательно, С2 —О, и, значит, частный интеграл уравнения (8)
1
откуда
У
1 + У
e±kt/2_e+kt/2
У =Рты
= е
kt
kt/2
+ е~
Tm, или 0 = ±th—.
Возвращаясь к прежним величинам N и Λί, получим
Υ
М — 2 '
Возведя обе части последнего уравнения в квадрат и
разрешив его относительно N, получим
N=M 1-th2
kt
или N =
Μ
ch2 (kt/2) '
Пример 3. (Движение шариков в трубке.)
Горизонтальная трубка вращается с угловой скоростью
2 рад/с вокруг вертикальной оси. В трубке находятся
С^
м,
щ
м,
~Хр
-X,
Рис. 48
два шарика с массами ηΐχ — ЗОО г и т2 = 200 г,
соединенных легкой упругой пружиной длиной /=10 см, причем
пружина не растянута и шарики одинаково удалены от
оси вращения (рис. 48). Шарики удерживаются в
указанном положении некоторым механизмом. В начальный
момент действие механизма прекращается и шарики
приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика
относительно трубки, если известно, что сила в 24 000 дин
растягивает пружину на 1 см.
Решение. Обозначим через хх координату
(относительно трубки) более тяжелого шарика и через х2 — более
легкого, причем отсчет будем вести от оси вращения,
выбрав на ней положительное направление вправо (рис. 48).
— 248 —

Если, согласно условию задачи, принять Fi = kx, где
FL — сила действия пружины на каждый из шариков,
а л- —деформация пружины, то 6 = 24 000.
Составим дифференциальное уравнение относительного
движения каждого из шариков:
πΐι—πΓ = /Πιω2Χι — k(x1 — x2 — 10),
\ (9)
m2 —jp = т2ю2х2 + k (xi — x2 — 10).
Полученная система дифференциальных уравнений не
является нормальной, но может быть решена
рассмотренными выше приемами. Путем сложения обеих частей
первого уравнения с соответствующими частями второго
получим
mxxl + т2х\ = ω2 (т1х1 + т2х2),
Обозначив т^Хх + т2х2 = и, получим уравнение и" — со2м = 0.
Его_ общее решение и = £Ί ch ω/ + С2 sh ωί или 3χ! + 2λ·2 =
= Cich 2/ + C2sh2/, где принято, согласно условию, ω = 2
и положено Ci/100==Ci и С2/100 = С2. Начальные условия
Χι=5, *ί = 0, х2 =— 5, *5 = 0 при / = 0.
Вычислим Зх[+ 2x2 = 2 (Сгsh 2t+С2ch 2t) и подставим
сюда, а также в выражение Зх1-\-2х2 их значения при
ί = 0. Тогда Ci = 5, С2 = 0 и, следовательно, 3xi + 2;t3 =
= 5(^-е"20/2, или 3xi + 2x2 = 5ch2*.
5 3
Находим отсюда х2 = у ch 2/ — у jcj и подставляем его
в первое из уравнений системы, преобразованной к виду
*ί = —76*ι +80*, +800, \
4 = 120^-116x2-1200. J
Подстановка исключает переменное х2 и приводит
к уравнению, содержащему только хх и х[:
х{ = — 76^ + 80 (у ch 2t - у ΛΓχ) + 800,
или
*; + 196*, = 200ch2* + 800.
Общее решение однородного уравнения X1 = ClcosHt +
+ C2sin 14/. Частное решение χ неоднородного уравнения
будем искать в виде x1 = Ach2tJr В.
Так как при этом xi' = 4Л ch 2^, то, подставив χλ и х'{
в дифференциальное уравнение, получим тождество
200Л ch 2ί + 196Я = 200 ch 2t + 800,
— 249 -

откуда находим Л = 1, а В — 20049; следовательно, .ν, =
— ch 2/+ 200/49 и общее решение χλ запишется в виде
x1 = C1cos 14/ +Со sin 14/ + ch2/ +
200
Остается определить С1 и С2. Начальные условия дают:
5 = С!+1 + 200/49, откуда Ci = —4/49; 14С2 = 0, откуда
С2=--0.
Окончательно имеем закон движения шарика с массой
300 г:
*! = ch 2t - 4-g- cos 14/ + -4g-
(10)
Для нахождения закона движения шарика с массой
200 г подставим найденное выражение в выражение х2
через Χχ и получим
|-ch2/-|-{ch2/
4 ллг , 200\
wcosl4/ + -4g-j,
или
и о. , 6 i,w 300
x2 = ch2/ + ^-cosl4/--^^-.
49
49
(И)
Φ
Л'
Пример 4. (Подключение цепи к источнику
с постоянной
электродвижущей силой.)
Индуктивность L, емкость С
и сопротивление R соединены
согласно схеме,
изображенной на рис. 49. Цепь
подключается к источнику с
постоянной э. д. с, равной Е,
причем до включения ток и
заряд в цепи отсутствовали.
Найти ток /, протекающий в катушке самоиндукции, как
функцию от времени /.
Решение. Обозначив через il и /2 токи в правом
контуре, составим систему уравнений задачи на основании
закона Кирхгофа:
Рис. 49
LW + T \(i~h)dx=E,
о
t
(12)
Д'1--с \ (<-/ι)<ίτ = 0,
— 250 —

где / —ί1 = /2. Исключим из этой системы /\. Сложив
соответствующие части обоих уравнении, имеем
L^ + Ri^E. (13)
Если продифференцировать по ί обе части первого
из уравнений (12), то получим
т ач . \ . ι .
откуда
т d4 ι ·
h = CLTtT+t.
При подстановке il в уравнение (13) получаем
L-* + CLR-^- + fli = £,
или уравнение
d/a τ CR dt ^ CLl CLR » ^ ;
в котором ток ιΊ отсутствует.
Будем решать уравнение (14). Корни его
характеристического уравнения равны rlt2 = — αzL· β, где положено
l/(2Ctf) = a, ΐ/α2-1/^Ι) = β.'
Предположим сперва, что α2> l/(CL). Тогда общее
решение г соответствующего однородного уравнения
z^e-^dchpZ-f-Cashp/).
Частное решение ί неоднородного уравнения (14) будем
искать в виде 1=Л. Тогда V = Г = 0 и A/(CL)=E/{CLR),
откуда A=E/R.
Следовательно, i = E/Ry а общее решение ί уравнения
(14), равное сумме i + z, имеет вид
t =^+е α^ (САсЬЭ^4- C2shP0- (15)
Определим С1 и С2 из начальных условий. Так как / = 0
при-/ = 0, то из (15) получим -тг-\-С1 = 0, откуда СХ =
= --|·, и потому i = -f-+e aiic2shp/-|-ch[^).
Вычислим -гг. Имеем:
at
di
df -=eai I — α ^С2 sh β/ — -|- ch βί) + β (^a ch β/ - χ sh β^
— 251

Положив здесь tf = 0, получим
di
dt
,-„ = ^- + Рс,
Теперь можно определить и С2. Учитывая, что при
/ = 0 не только i = 0, но и /1 = 0, получим из уравнения
LaE
(13), что
R
+ Ц)С2=-Е, откуда
г Ε (. La\ Ε (R \
Окончательно частное решение i для случая а2[> l/(CL)
запишется так:
• Е (ι
t=-RV
ο-Οί.ί
chP/ + (f "^
shp/
I
Теперь предположим, что a2<l/(CL). Тогда β —
мнимое число, и мы положим β = /«!(/ = ]/—l), где
действительное число ωχ равно ]/l/(CL) — a2.
В этом случае получим частное решение i в виде
i = -5- {1 — e~a/ [cos ωιί + (α/ω! — Я/Ь^) sin ω^]}.
Пример 5. (По дк л ючен и е цепи из двух
индуктивно связанных
контуров.) К
источнику с постоянной
электродвижущей силой Ε
подключается цепь,
состоящая из двух индуктивно
связанных контуров,
изображенных на рис. 50.
Найти токи /χ и /2 в
обоих контурах в
зависимости от времени t, если подключение производится при
нулевых начальных условиях, причем Ь^2фМ2.
Решение. Согласно закону Кирхгофа, составляем
систему дифференциальных уравнений задачи:
Рис. 50
ΐΛ + Riii + M d'2
dt
dt
L2d£ + R2i2 + MdJ±
-dt
di
E,
■ 0.
(16)
Здесь Μ — коэффициент взаимной индуктивности контуров;
остальные обозначения, как в предыдущей задаче.
— 252 —

Из системы уравнений (16) исключим -ту. Для этого
умножим обе части первого уравнения на L2l а второго
на — Μ и сложим их. Тогда
(LXL2 - Мг) § + UR& - MR2i2 = L2E,
или
{1-^§ + 2αιι1-1^Η = ψ, (17,
что получилось в результате деления обеих частей
предыдущего уравнения на LXL2 и замены M2/(L1L2)^=k2,
R1/L1=2a1, R2/L2 = 2a2. Продифференцируем обе части
уравнения (17), найдем выражение -^ и подставим его
в первое из уравнений (16):
dii==R1(l—k*)d% . Rx dix
dt ~~ АМага2 dt* ~~^~ 2Ma2 dt '
4α-Ια2 dt* ^~\2аг~Т 2UJ dt Ί~*11~c^
Paздιeлнв обе части полученного уравнения на коэффициент
при -п^, имеем
аЧх .2 (oci + a2) ^Ί Г ^а1°^ · 4£a1ct2
dF~r l—k* dt ' 1 —/г2 ίι — ^(1— б2) '
d2t'i ι q^.^1 , 4αχα2 . _ 4£θιθ2 n$J,
или
где положено (α1 + α2)/(1 — ^2) = σ.
Так как корни характеристического уравнения г12 =
= —σ±β, где положено β = l/ σ2 — ^!"* (β — число
действительное, так как подкоренное выражение больше
нуля*), то общее решение ζ соответствующего
однородного дифференциального уравнения равно
z = <ra'(C1chp/ + C2sh0O·
* В самом деле,
о-1 —
2 4α,α2 _(α! + α3)2 4а^__
1 —/е2 "~ (1 —Л-)3 I-*2
а; — 2α!α2 + «J + 4a1oc3fca _ («ι - «г)2 + 4a jPCgA'3 ^ Q
= (l-/v·-)- (l-k-)*
— 253 —

Найдем методом неопределенных коэффициентов частное
решение ϊλ неоднородного уравнения. Пусть i1 — A, где
Л — подлежащий определению коэффициент.
Так как -п=--0 и -ίτ=~0, то дифференциальное урав-
at dl·
пение (IS) приводит к алгебраическому уравнению
относительно Л:
4oc1ot3 .. _ 4Εα1α2"
1-А2 ~~ Λιίΐ-Λ2) '
откуда Л ==£"//?!.
Итак, ix — E/Ri, а следовательно, общее решение
уравнения (18) будет иметь вид
ί'ι- I- +е~°' (CiCh p/ + C2sh β*). (Ю)
Для определения произвольных постоянных используем
начальные условия: iL = 0 и /2 = 0 при ^ = 0.
Подстановка первого из них в решение (19) сразу
дает (?! — —E/Rv Поэтому решение (19) запишется так:
«i = jf +его1[сг sh β/ -Ji ch β/1 (20)
Возьмем производную
^- =^'σ' [—σ (С3 sh β/ - ^- ch β/) +
+ β(θ3 ch β/ — -— sh βί"
и вычислим ее значение при / = 0; имеем
dt
Подставив найденное значение производной и значения
i1~i2 = 0 из начальных условий в уравнение (17),
получим уравнение для определения С2:
(i-*2)(^+c2p)=^.
Учитывая, что σ = (α1 + α2)/(1 — k-), преобразуем
последнее уравнение к виду
откуда
л (аг — α.,) Ε
β(ΐ-*-)/?ι
— 254 —

Окончательно частное решение t\ запишется так:
Частное решение L можно определить из соотношения
(17), заменив в нем ix и ■— полученным выше выраже-
at
нием ί\ как функции от t [см. формулу (21)] и
производной этой функции по /. Предоставляем читателю сделать
это самостоятельно.
Пример 6. (Трансформатор в цепи
переменного тока с нагрузкой.) Найти токи в двух
контурах трансформатора, включенного в цепь переменного
тока с нагрузкой.
Решение. Как известно, трансформатор состоит из
двух индуктивно связанных контуров, имеющих
индуктивность и внутреннее
сопротивление. Поэтому
мы получаем схему,
отличающуюся от схемы
рис. 50 только тем, что
"'во втором контуре име-
е!ся еще нагрузка
(внешнее сопротивление) R
(рис. 51). Кроме того,
источник тока
предполагается не с постоянной электродвижущей силой Е,
a U(t) = и cos (ω/ -f φ0), где и —амплитуда, ω —частота и
φ0 — начальная фаза напряжения источника.
Согласно законам Кирхгофа, система
дифференциальных уравнений задачи в нашем случае примет вид,
аналогичный (16):
фт
Рис. 51
4t
1$ + Ыг + М%:
и (0.1
(22)
где £/(ί)—электродвижущая сила источника. Примем
для простоты начальную фазу φ0 равной нулю и запишем
напряжение в виде U (/) = м cosco/.
Рассматривая (22) как систему двух алгебраических
уравнении с неизвестными -г
dil din
at
и решая их обычным
образом, придем к системе двух линейных уравнений
255 -

с постоянными коэффициентами
di,
at ■
rf(3
~di
RXL· . . M(R2 + R) . . L*U \
—Q- ιι Ί η hn '
D
D
RyM . Ц (Я3 + #) ■ MU
h ή h —
(23)
D
D
D
где D = L1L2 —Λί2— определитель системы.
Система (23) является неоднородной и для ее
решения необходимо решить сначала соответствующую
однородную систему
dix
Tt ~
RXL2 . . MR .
~D~h^"~D~h
dh
dt
D
U —
lift
D
l2>
(24)
)
в которой мы ввели обозначение R2-{- R = R. Применим
к этой системе методы § 22. Характеристическое
уравнение системы имеет вид
= 0,
— RXU -r MR
RXM —LJl-r,
так как общий знаменатель D можно опустить. Отсюда
получаем
г2 + {RXL2 + RU) г + RXRD = 0,
поэтому корнями характеристического уравнения служат
Ί.2 =
2
УСЩ
+RLA'
-RXRD ■ (25)
Из (25) видно, что при D > 0 характеристическое
уравнение имеет либо два отрицательных
действительных корня, либо два комплексных корня с
отрицательными действительными частями. В этом случае общее
решение однородной системы (24), определяющее экстра-
ток ιι замыкания, при возрастании t быстро убывает,
независимо от того, имеет ли экстраток характер
колебаний [комплексные корни (25)] или апериодический
характер (действительные корни). При изучении
установившегося процесса этой частью решенля можно
пренебрегать, поэтому в общем виде мы его не выписываем.
Особый интерес представляет частный случай
рассматриваемой схемы, называемый идеальным
трансформатором. Последний характеризуется малыми внутрен-
— 256 —

ними сопротивлениями /?χ и /?2, которые можно считать
практически равными нулю по сравнению с вне иней
нагрузкой R, и приблизительно равным нулю зн .чением
D, откуда вытекает приближенное равенство Μ *&V LiL2.
При этих предположениях можно считать R^R и из
соотношения (25) вытекает, что αί«^0, r2^ — RL\, так
что общее решение однородной системы (24) можно для
случая идеального трансформатора записать в виде
Вторые слагаемые при возрастании t быстро убывают;
установившийся процесс характеризуется первыми
слагаемыми вместе с частным решением неоднородной
системы (23).
Так как V (t) = uzosu>t, то будем искать эти частные
решения в виде
1л = A cos ωί + В sin ωί, ]
I (26)
ι2=^Ρ cos (dt + Q sin ωί. J
Подставляя (26) в (23), находим
D (— Αω s'm ωί-\-Βω cos ωί) = — RtL2 (A cos cut-{-В sino)i) +
+ MR (P cos o)/ + Q sin ωί) + L.m cos ωί,
D (—Ρω sinG)/ + Qcncos(u/) = .R1M(4 cos ωί-}-В sin ωί) —
— ^R (Ρ cos ωί-\-Q sin ωί) — Ми cos ωί.
Приравнивая коэффициенты при coscoi и sin ωί в левых
и правых частях выписанных уравнений, придем к
системе
BDm^ — ARiLz + PMR + Ldi, )
— Αϋω = — BRxLb + QMR, I
QDω = AR1M + P^R - Ми, \
— Ρϋω = BRtM + Q^R ]
четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными
А, В, Р, Q. Решение этой системы дает выражение для
частного решения (26).
Не останавливаясь на этом общем случае, возвратимся
снова к частному случаю идеального трансформатора. Для
него (Rx^R2^0, R^R, D^O, М^УЦЦ) получаем
уравнения
PRYTJ7^l^u = ^ QRV ЦЦ = Ъ,
откуда Q = 0 и Р = — V L,lU u/R.
— 257 —

Полученная величина Ρ опредепяет амплитуду тока
в цепи нагрузки. Заметим, что амплитуда падения
напряжения на нагрузке будет тогда равна «2==1/ Аг/А", где
// есть амплитуда напряжения источника. Таким образом,
величина Υ LojLi определяет отношение напряжений
в цепи нагрузки и цепи источника. Ее называют
коэффициентом трансформации. Впрочем, чаще в
электротехнике коэффициент трасформации записывается в несколько
иней форме. Так как индуктивность катушки с
цилиндрическими витками пропорциональна квадрату числа
витков, то коэффициент трансформации оказывается равным
отношению числа витков
первичной и вторичной обмоток
трансформатора.
Пример 7. (Фильтр н и з-
ких частот.) На рис. 52
приведена электрическая
схема: равные индуктивности L,
емкость С и сопротивление
нагрузки R подключены к
источнику напряжения,
изменяющегося по закону U (ή = и cos oft.
Выяснить характер колебаний падения напряжения на
нагрузке, ограничиваясь установившимся процессом.
Решение. Обозначив токи в левом и правом
контурах соответственно через ix и /2, найдем, что ток через
емкость равен i2 — ii- По закону Кирхгофа получаем
систему дифференциальных уравнений относительно iu i2:
Рис. 52
~di
L^ + L'£ + Rt\
Tt
U(t).
1
(27)
Продифференцировав второе уравнение (27) no t, получим
откуда
^+*§ + ^-'>>=°·
LCfj + RC% + ls.
Выражение для ι\ можно вновь дифференцировать
по t и подставить в первое уравнение (27), которое при-
— 258 —

мет тогда вид
V-Cd^+LRCd-^ + 2L^ + Ri1^U(l). (28,
Характеристическое уравнение для однородного,
соответствующего (28), является кубическим уравнением
L2Cr3 + LRCr* + 2Lr + #= О,
все коэффициенты которого положительны. Отсюда видно,
что такое уравнение нэ может иметь положительного
действительного корня, так как при г >. О все слагаемые
левой части положительны и не могут в сумме дать нуль. Более
того, можно доказать, что и у мнимых корней такого
уравнения действительные части отрицательны.
Таким образом,, все слагаемые общего решения
однородного уравнения, соответствующего (28), содержат
экспоненты с отрицательным показателем и поэтому
быстро убывают при возрастании t. Установившийся процесс,
который нас интересует, определяется поэтому
исключительно частным решением неоднородного уравнения (28),
которое, вследствие того, что £/ = wcoscd/, будем искать
в виде
ι2 = Л cos ω/ -Ι- В sin ω/.
Дифференцируя это выражение и подставляя ΐ2 и
производную в (28), приходим к системе уравнении
Л (— 2Lg) + L2CW3)+5(#-L#Cg>2)=0, 1
A(R-LRC(n*)+B(2L(u-L2Ca3) = u, )
или, если воспользоваться обозначениями
- 2Lco + L2Crf = α, R— LRCu2 = β,
к системе
βΛ-α£ = Ω. J
Из последней системы находим, что
Λ = βίΐ/(α* + β8), Я=-ош/(а2 + р2).
Амплитуда решения [2 выразится тогда соотношением
1 ν\=УА2 + В2 = \ и |/ΐ/α* + β2
— 259 —

или, учитывая значения α и β,
М = -. -ί"1 - . (29)
11 ) L -со- (LCor _ 2)- + Я3 (1-1 Coj2)j v '
Падение напряжения на нагрузке можно получить теперь
из (29) умножением обеих частей равенства на R, так
как Ui — Ri*.
Рассмотрим влияние частоты колебаний ω на
отношение амплитуд напряжения на нагрузке к входному
напряжению. При малых частотах ω величинами порядка
о)2 и выше можно пренебречь. Тогда в знаменателе (29)
останутся лишь члены, не содержащие ω, так что
подкоренное выражение будет равно R2. Следовательно, | υ\ я»
я^ | и | /R и требуемое отношение | ν \ ■ R/\ и | «» 1.
Это показывает, что колебания малой частоты
проходят через данную схему, практически не изменяя
амплитуды. Наоборот, для больших частот оэ главным членом
подкоренного выражения в (29) будет член со старшей
степенью, ω. Поэтому для таких частот | ν | я^ | и |/ (L2Ca)3),
откуда отношение
МЯ *_^п
т. е. колебания высокой частоты практически не
проходят через данную схему; она пропускает низкие частоты
и почти не пропускает высоких частот. Именно по этой
причине такую схему и называют низкочастотным
фильтром.
Пример 8. (Динамика боевых действий.)
Широкое развитие приложений математики сделало
возможным решение с помощью математических методов и,
в частности, дифференциальных уравнений, многих задач
из таких областей, в которых раньше казались
возможными лишь качественные рассуждения. Одной из таких
областей является и военное дело. Рассмотрим одну из
задач, представляющую собой простейшую модель боевых
действий, в которых участвуют две группировки—красные
и синие..
Предположим, что группировка красных имеет в своем
распоряжении Л\, а группировка синих Д/о однородных
боевых единиц (танков, самолетов, кораблей, ракетных
установок и т. п.), причем их характер у разных
группировок может быть различным; например, можно
рассматривать бой самолетов с танками или ракетных
установок с кораблями.
— 2G0 —

Обозначим среднее число боевых единиц красных к
моменту времени / через ти а среднее число единиц
синих через т2 и подсчитаем их изменения за малый
промежуток времени Δ/.
Изменение ΔηιΛ происходит за счет выхода из строя
боевых единиц, поврежденных стрельбой синих. За время
Δ/ каждая из ш2 боевых единиц синих производит кЛ1
успешных выстрелов. Здесь Ι?2 — λ2ρ», где λ2 —средняя
скорострельность (число выстрелов боевой единицы синих
за единицу времени), а р2 — вероятность поражения цели
при отдельном выстреле. Поэтому
Δ/τί1= —k2m2&t.
Деля обе части равенства на Δ/ и переходя к переделу
при Δί~>-0, приходим к дифференциальному уравнению
dmL .
Рассуждая аналогично, получаем и второе уравнение
dm2 ,
-fi- = — k1m1.
Итак, мы получили систему дифференциальных
уравнений с начальными условиями m1(Q)=N1, m2(0) = N2.
Эти уравнения называются уравнениями динамики боя,
или уравнениями Ланчестера.
Для решения системы продифференцируем обе части
первого уравнения по / и заменим в правой части -~
его выражением из второго уравнения. Тогда получим
d2trii , ,
-^j- = k1fc2m1.
Общее решение этого уравнения имеет вид
гщ = deftt t + Сге- v'k^t
или, если пользоваться гиперболическими функциями,
т1 = С3 ch Υ^.2 t+CiSh V^k, t.
Продифференцировав mlt найдем из первого уравнения
т2 = — С3 Vkjkl sh V^kl t - C4 Vkjkz ch V^A t.
Использовав начальные условия для определения
произвольных постоянных, придем к значениям: C3 = iVb
— 261 —

Ci^-- — ]/k2/k1N2, откуда частное решение системы
уравнений .Манчестера получается в виде
/«! = Λ'Ί ch УТф, i - N2 ΥΊΰϊΐΐΊ sh VkAt,
ni^ — N^l^shYl^t + NzChYk^t.
Полученные формулы можно упростить путем перехода
от абсолютных чпсленностей к относительным, т. е. к до.1е
сохранившихся единиц. Для этого обозначим μι = /η1/Ν1,
μ2 = ηι2/Ν2 и разделим обе части исходных уравнении
системы сооответственно на Νι и Ν2; тогда получим новую
систему уравнений
c/μο , Νχ '
которую следует проинтегрировать при начальных
условиях μχ = μ2 = 1 при / —0. Последней системе можно
придать более компактный вид, введя параметры г/1 = /(,1Л'1//У.2,
ιΐ2 = ^Ν2/Νι. Тогда
d^~ и и )
ι ' \ '
ίίμ»
_-_=— Μ,μι.
Параметры их и и2 имеют простой физический смысл.
Числитель выражения u1 = kxN1lN2 есть среднее число
выстрелов, которое могут производить в единицу времени
красные в своем первоначальном составе, т. е. среднее
число единиц синих, которые могут поражаться красными
за единицу времени. Разделив это число на N2, получим
среднюю долю синих, которую могут поражать красные
за единицу времени. Величину их называют
характеристикой интенсивности воздействия красных по синим.
Величина и2 имеет аналогичный смысл, с переменой
сторон местами, и ее называют характеристикой
интенсивности воздействия синих по красным.
Решение последней системы уравнений имеет вид
^ix = ch VttiU» t — У ιι-,/ιΐ! sh Viiiti, t,
μ2 — ch У uLu21 — } Ui/u2 sh ) и iti-, t
(оно получено из решения исходной системы путем
соответствующей замены переменных).
- 202 -

Эти формулы можно еще упростить, введя новую
переменную—«приведенное время» 1 = У twist и обозначив
| "/7^ = κ. Тогда
1
p1 = ch t sh t, μ2 = ch t — xsh /.
Если силы сторон равны, т. е. κ=1, то
Mi — \h = e—f.
Из этих формул видно, что средние доли
сохранившихся боевых единиц μί и μ2 зависят только от
приведенного времени t и от параметра κ, который
характеризует соотношение сил:*
κ — У Ux/Uz = (NjNz) У kx/k2.
Параметр κ определяет преимущество одной
группировки перед другой. При κ>1 красные сильнее синих
и бой через некоторое время закончится победой красных,
при κ < 1 — наоборот, при κ=1 ни одна из сторон не
имеет преимущества.
Заметим, что из выражения параметра κ вытекает,
что он зависит от соотношения сил NxlN2 в большей
степени, чем от соотношения эффективных скорострельностей
kL/k2. Так, например, увеличение Νχ в два раза удваивает
параметр κ, а удвоение эффективной скорострельности kx
увеличивает κ только в )/^2 —1,4 раза.
Рассмотрим конкретную задачу такого типа.
Между двумя группами танков красных и синих
происходит бой. Танки красных в количестве 50 единиц
обладают средней скорострельностью λχ = 0,25 выстрелов
в минуту со средней вероятностью поражения цели/?! = 0,56.
У синих 25 танков, средняя скорострельность их λ2 = 0,5
выстрелов в минуту, средняя вероятность поражения цели
р2 = 0,5. Произведем прогноз развития боя, т. е. укажем,
победой какой из сторон и ориентировочно через какое
время закончится бой и каковы будут приблизительно
подери победившей стороны.
Вычислим прежде всего коэффициенты
,. ΚΝι
λ../ν.,
0,25 · 0,56 ■ 50
25
0,5 0,5 ■ 25 _
66 ""
= 0,28,
0,125.

Так как НхЖ*. то победят красные. Переидем к
«приведенному времени» t = ] 0,28·0,125/ = 0,187/ и вычислим
коэффициент преимущества κ = |/ 0,28/0,125 ^ 1,5.
В момент окончания боя μ3 = 0, следовательно,
ch ?— xsh? = 0,
откуда tli ?= 1/κ= 1/1,5 = 0,667. Из таблицы
гиперболических тангенсов находим, что ^ = 0,8, а, переходя к
истинному времени (в минутах), получим / = //0,187 = 4,28 (мин).
Определим долю сил красных, сохранившихся к моменту
окончания боя:
Mi = ch 0,8 - 0,667 · sh 0,8 = 1,337 - 0,667 ■ 0,881 =
= 1,337-0,585 = 0,752.
Итак, бой танков закончится победой красных
примерно через 4,5 мин, причем победившая сторона понесет
потери в размере около 25% своего первоначального
состава, т. е. приблизительно 12 танков.
§ 24. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Как мы видели еще в § 1, обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка допускает простое
геометрическое истолкование: уравнение у' —f (χ, у)
определяет на плоскости хОу поле направлений. Решением
уравнения является интегральная кривая, в каждой своей
точке касающаяся направления, задаваемого полем.
Аналогичный геометрический смысл имеет и
нормальная система дифференциальных уравнений. Ограничимся
для определенности рассмотрением нормальной системы
двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя
неизвестными функциями у(х) и г{х):
% ft А (1)
Общим решением этой системы является пара функции
у-=у(х, Сь С2), \ 2
z = z(x, Clt C2). J
— 264 —

Каждая из функций (2) представляет собой уравнение
цилиндрической поверхности в трехмерном пространстве
Oxyz, а их совокупность —кривую в этом пространстве,
которая и является интегральной кривой системы (1).
В свою очередь система (1) определяет в каждой точке
(л\ у, ζ) некоторой области пространства значения —■ и
dz
-τ , задающие направление, которого интегральная кривая
к аса етс я.
Таким образом, нормальная система дифференциальных
уравнений (1) задает поле направлений в пространстве,
а нахождение общего решения этой системы геометрически
означает нахождение двухпараметрического семейства
кривых, в каждой своей точке касающихся направления,
задаваемого полем.
Рассмотренная картина может быть легко перенесена на случай
системы с большим числом неизвестных функций. Действительно,
система
y]=h(x, Уъ ■■■, Уп), Л
У*=к(Х, ί/ь ... , уп), I (3)
y'n=fn(*, Уъ ···. Уп) .
η обыкновенных дифференциальных уравнений с η неизвестными
функциями iji, у2, .... уп задает поле направлений в (л+Омерном
пространстве Охуу...уп. Ее решение
yi = yi(x, Clt ... , Сп),
Уп = Уп (*, Сг Сп) ,
есть семейство кривых от η параметров Сх, ..., Сп, каждая из
которых в каждой своей точке касается направления, задаваемого полем.
Во многих физических задачах, в частности, в
большинстве задач механики, роль независимого переменного
в системе дифференциальных уравнений играет время /.
Для таких задач удобно не только приведенное выше
геометрическое истолкование, в котором время / .играет
роль одной из координат, равноправной с
пространственными, но и другое, в котором различная природа
входящих в уравнение переменных не затушевывается, а,
наоборот, подчеркивается и выясняется в полной мере.
Знакомство с этим новым геометрическим
истолкованием начнем с рассмотрения следующих примеров.
— 265 —

Пример 1. Уравнение гармонического осциллятора,
которое рассматривалось уже в § 18, имеет вид
££+*»* = 0, (5)
а его общее решение
а' == Сх cos kt -j- С2 sin kt.
Предположим, что заданные при t = 0 начальные условия
имеют вид Jf|f=o = *oi 77 _ = tv Тогда для произвольных
постоянных находим Ci = x0, C2 — v0/k и частное решение,
удовлетворяющее заданной системе начальных условии,
может быть записано в виде
x — x0coskt-\--j>-smkt. (6)
Функция (6) представляет собой закон прямолинейного
движения материальной точки, совершающей
гармонические колебания.
Уравнение (5) —второго порядка, и его легко привести
к виду нормальной системы двух дифференциальных
уравнений первого порядка введением новой неизвестной
функции ν = ·£· Тогда приходим к системе
*-· ,} (7)
V' = ^k2x,
(здесь штрихи означают дифференцирование по t) с
начальными условиями х|/_о—x0t f|/-o — v0. Решением системы (7)
с заданными начальными условиями служат функция (6)
и ее производная:
χ = х0 cos kt -f- (νο / k) sin kt,
v = — Xok sin kt + v0 cos kt, *
которые описывают закон движения и закон изменения
скорости рассматриваемой колеблющейся материальной
точки.
В соответствии со сказанным выше, геометрически
решение (8) изобразится кривой в трехмерном пространстве Otxv.
Значение t определяет точку на этой кривой, координаты
которой соответствуют значениям расстояния χ от
положения равновесия и скорости υ движения материальной
точки в данный момент /.
— 266 -,

Другое геометрическое истолкование движения
получится, если относить уравнение (8) не к осям /, χ, υ
трехмерного пространства Otxu, а к осям .ν, ν плоскости χΟυ,
считая / параметром. В этом случае система (8)
определяет кривую, уравнение которой можно получить,
исключив из уравнении системы параметр /. Для этой цели
разделим обе части второго уравнения на k, после чего
возведем оба уравнения в квадрат и сложим. Тогда мы получим
x* + {v/k)* = xl + {vjk)\
или, введя обозначение рЬ = xl-\-(Vo / k)2 и разделив обе
части равенства на ро,
*3/р8 + и8/(*Ро)2=1. (9)
При этом здесь р0 —-f-J/ *6-Ь (£>о/&)2>0,так как при
начальных условиях χ0 = υο — 0 решением был бы тождественный
нуль, т. е. груз остался бы неподвижным. Легко видеть,
что уравнение (9) выражает в плоскости хОи канонически
расположенный эллипс с полуосями р0 и kp0.
Плоскость χΟυ, введенную нами в рассмотрение,
называют фазовой плоскостью для нормальной системы (7), а
кривую (9) на фазовой плоскости—фазовой траекторией
системы. Очевидно, что эта траектория определяется не только
системой дифференциальных уравнений (7), но и
соответствующими начальными условиями. Каждой допустимой системе
начальных условий соответствует своя фазовая траектория
данной системы дифференциальных уравнений.
Реальному прямолинейному движению точки,
описываемому в данном примере уравнением (6), соответствует
движение по фазовой траектории—эллипсу (9)—в
фазовой плоскости системы.
Часть фазовой плоскости, заполненная фазовыми
траекториями, называется фазовым портретом системы. В нашем
случае фазовый портрет заполняет всю плоскость, поскольку
при надлежащем выборе начальных условий через любую
точку фазовой· плоскости будет проходить фазовая
траектория — эллипс (9).
Вообще, для нормальной системы дифференциальных
уравнений (1) фазовой плоскостью называют плоскость yOz,
а фазовой траекторией — решение (2), отнесенное к осям
у, ζ плоскости yOz, в котором аргумент χ играет роль
параметра, а постоянные интегрирования Сь С2
определяются из заданных начальных условий. Исключение пара-
,τ- 267 -.·

метра χ из системы (2) приводит к обычному уравнению
фазовой траектории.
Изображение решения нормальной системы с помощью
траектории на фазовой плоскости особенно удобно для
систем, правые части которых не зависят от аргумента
или — возвращаясь к терминологии упоминавшихся выше
задач механики — не зависят от времени t.
Пример 2. Рассмотрим с этой же точки зрения
уравнение затухающих колебаний. Как мы видели в § 18,
уравнение затухающих колебаний имеет вид
^- + 2/1^ + ^ = 0; (10)
корни его характеристического уравнения г1>2=
=— η -±ι Υ n2 — k2 при условии я2 — £2<0,т. е. k2 — n2 = kru
могут быть записаны так: rJ(2 = — n±kii, а
соответствующее общее решение
х = е-я'(d cos 6χ/ +Casing). (Π)
Зададимся начальными условиями x\(„0 = x0t x'\f^0 = v0.
Тогда из (11) сразу вытекает Cx = ,v0. Для нахождения С2
продифференцируем решение (11):
*' = <,-«/[(__пСг +kjCz) coskJ + iC^-nC*) sinЫ],
откуда при /=-0 получаем v0 = — nCx + kxC*, так что
Ο2 = (ν0 + ηχ0)/ ki и частное решение принимает вид
x = e-nt(x0cosk1t + Vo~tnXnsinklt)t (12)
описывающий реальное прямолинейное движение груза.
Введением новой функции υ = .χ' уравнение (10)
приводится к нормальной системе
χ' = ν,
г/' = — 2nv — k2x,
решение которой запишется, как
* = <?-*'Лт0 cos ^ + щ^пх° sink^Y
причем первое уравнение (14) совпадает с (12), а второе
получается дифференцированием первого.
- 268 -
(13)

Как и в предыдущем примере, фазовой траекторией
системы (13) служит система уравнений (14), отнесенная
к осям χ, υ плоскости χΟν, где / играет роль параметра.
Здесь исключение параметра представляет значительно
более сложную задачу, чем для системы (8). Впрочем,
уяснить характер фазовых траекторий, задаваемых
системой (14) можно и без получения их явных уравнений.
Чтобы облегчить выяснение вида фазовых траекторий,
образуем сначала выражение ν-\-ηχ, для чего умножим
первое из уравнений (14) на η и сложим со вторым:
ν + пх = e~nt{ (νϋ + пх0) cos kxt — х0к± s i n kxt).
Разделив это равенство на k± и заменив им второе
уравнение системы (14), перепишем систему в виде
x = e-»t(xQco$k1t+ i!!»±^sinJfeA
Ε+£ί = е-т(-^t^cos \j-Xb sin kxt\
Возведем оба уравнения (15) в квадрат и сложим их.
Тогда
или, если ввести обозначение х'0-{- (vQ-\- nx0)2/k1 = p21
получаем
*+(!ψγ=ρ*τ**, tie)
причем, очевидно, рфО, так как начальные условия
отличны от чисто нулевых.
Равенство (16) можно использовать для получения
уравнения фазовой траектории. Для этого достаточно
найти из (16) значение t и подставить это значение в одно
из уравнений (14) или (15). Однако заранее ясно, что
полученное выражение будет чересчур громоздки л и проще
действовать иным путем.
Запишем уравнение (16) в виде
χ1 {υ + ηχψ .
Это уравнение напоминает уравнение эллипса. Если бы
знаменатели были постоянными: ре nt — A, kipe~nt~Bt то
(15)
— 269 —

уравнение можно было бы представить в виде
А·" ■ (О + ПХ)'3 ,
Ai -Г Βι
что выражает эллипс, повернутый относительно
координатных осей, поскольку второе' слагаемое
содержит υ-\-ηχ вместо υ. Но на самом деле знаменатели
А и В, как видно из выписанных выше выражений,
зависят от времени. Поэтому, если нарисовать на фазовой
плоскости семейство таких эллипсов с B/A~klt то точка,
движущаяся по фазовой траектории, как бы переходит
с одного такого эллипса на другой и движется по
спирали (эллиптико-логарифмическая спираль).
По физическому смыслу задачи я>0, поэтому e~nt->0,
полуоси эллипсов убывают и движение по фазовой
траектории представляет собою движение по спирали в
сторону центра (положения равновесия). Напротив, при
п<С.О полуоси эллипсов возрастают и движение по
фазовой траектории происходит в сторону от центра.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением систем двух
уравнений с двумя, неизвестными функциями. Введенные понятия легко
переносятся и на случай систем с большим числом функций. Для
систем вида (3), правая часть которых не зависит от аргумента χ
(в механике — от времени t\ такие системы называют автономными),
для геометрической иллюстрации решения можно строить не только
интегральные кривые в (п.-\- 1)-мерном пространстве Охуг...уПг как
об этом говорилось в начале параграфа, но и фазовые траектории
в фазовом пространстве Оух... уп, которое будет «-мерным. Для
получения уравнений фазовых траекторий надо решение (4) рассматривать
как их параметрическое задание, где аргумент χ (время t) играет
роль параметра.
Из рассмотренных примеров видно, что характер
движения по траекториям в фазовой плоскости тесно связан
с характером реального движения. Поэтому построение
фазового портрета широко используется при изучении
поведения реальных систем.
Особенно важно изучение фазовых портретов для
нелинейных систем и, вообще, во всех тех случаях, когда
не удается получить точного решения системы в конечном
виде. Анализ фазового портрета позволяет в значительной
степени выяснить характер движения, описываемого
данной системой, его устойчивость и ряд других специальных
вопросов. На этих вопросах мы останавливаться не будем,
так как они не входят в общий курс, которым мы
ограничиваемся.
— 270 —

§ 25. О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Метолы численного решения дифференциальных
уравнений первого порядка переносится на случай
нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
почти автоматически. При переходе к следующей точке
по аргументу нужно только подсчитать по одинаковым
формулам приращения всех искомых 'функций
последовательно. Покажем, как это делается, на примере подробно
разобранного в § 8 метода Эйлера.
Пусть дана система двух обыкновенных^дифференци-
альных уравнений
y'=hix, У, г)Л ,jv
*'=/з(*, У. z) )
с начальными условиями х0, у0, г0. Для получения
значений искомых функций у (х) и ζ (χ) в точке ^ = ^ + /1
вычисляем их приращения по формулам
Δί/ο = ί/ί·^ = Μ*ο, Уо, г0,)-Л,
(2)
после чего получаем
yi=lJo + byo = yu + fi(Xo, Уо, «ο)-Λ,
(3)
Ζι = Ζο + Δζ0 = Ζο + Μ*ο, у0) z0)-h.
Значения (3) дают систему хи уи zb отправляясь от
которой, мы можем переходить к новой точке по
формулам (2). Совершенно очевидно, что такое же обобщение
допускает любой другой численный метод, основанный
на других формулах подсчета приращений, взамен
формул (2). При использовании какого-либо из методов
прогноза и коррекции сначала делается прогноз значений
всех искомых функций в следующей точке, а затем под-
счптываются скорректированные значения.
Для численного решения дифференциальных уравнений
высших порядков их сводят к нормальной системе путем
введения вспомогательных функций, как это делалось
в § 21. Например, уравнение второго порядка
y"=f(xt У> У)
с начальными условиями x0t y0t y'v введением новой нско-
— 271 —

мои функции 2 = у' приводится к системе
У' = г* )
*' = /(*. £Л z) I
вида (1) с начальными условиями х0, у0, 2о = Й·
Найдем решение уравнения Бесселя с индексом т=1
(см. § 20), удовлетворяющее начальным условиям *0 = 0,5, у0 = 0,242,
ί/ύ =^0,454, методом Эйлера для участка [0,5; 1] при /г = 0,1.
Прежде всего преобразуем данное уравнение второго порядка
в систему. Для этого достаточно положить / = ги разрешить
заданное уравнение относительно z'=y", тогда мы получим систему
1/'=*. Ι
.,, _0-*2)j/-z >
* J
Ход вычислений достаточно ясен и мы просто приводим таблицу,
в которой все они помещены. Заметим только, что в ней введено
несколько· колонок (6)—(8), содержащих промежуточные вычисления
при нахождении г'. В последней колонке (10) приведены значения
функции J1 (χ), являющейся точным решением нашей задачи.
Сравнение приближенного решения с точным показывает, что при х—1
абсолютная погрешность равна 0,012, так что относительная
составляет около 3%.
0)
X
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
(2)
У
0,242
0,287
0,327
0,363
0,397
0,428
(3)
Ау =
=y'-h
0,045
0,040
0,036
0,034
0,031
(4)
у' = г
0,454
0,399
0,363
0,335
0,309
(5)
Δζ =
= ζ'·Λ
-0,055
-0,036
-0,028
-0,026
(6)
«1» —
-<D2
0,750
0,640
0,510
0,360
(7)
(6)-(2)
0,181
0,185
0,167
0,131
(8)
(7)-(4)
-0,273
-0,214
-0,196
-0,204
(9)
г' =
= (8):(1)
-0,546
-0,357
-0,280
-0,255
(10)
Л (χ)
0,242
0,287
0,329
0,369
0,406
0,440
Пример. Исследовать движение материальной точки
массы т по прямой линии под влиянием упругой силы,
стремящейся вернуть точку в положение равновесия и
пропорциональной удалению точки от этого положения.
— 272 —

(Предполагается, кроме того, что движение совершается
в среде, сопротивление которой пропорционально кубу
скорости.)
Решение. Обозначим буквой χ удаление точки от
положения равновесия, тогда дифференциальное
уравнение примет вид
тх" = — kiX — £2*'3ι
где k{ и k2 — положительные коэффициенты
пропорциональности.
Возьмем численный пример
х" = — лг-0,1*'3
и будем искать решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям /0 = 0, л:0=1, *J=1, методом
Эйлера для участка [0; 0,20] с шагом h = 0,02.
Ход вычислений представлен в таблице.
t
(1)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
X
(2)
1
1,02000
1,03956
1,05867
1,07733
1,09554
0,11329
1,13057
1,14738
1,16371
1,17956
Ax = x'h
ч (3)
0,02000
0,01956
0,01911
0,01866
0,01821
0,01775
0,01728
0,01681
0,01633
0,01585
χ' = у
(4)
1
0,97800
0,95573
0,93319
0,91039
0,88733
0,86402
0,84046
0,81666
0,79262
Ay = y'h
(5)
-0,02200
-0,02227
—0,02254
—0,02280
-0,02306
-0,02331
-0,02356
-0,02380
-0,02404
c0,l».(4)s
(6)
0,10000
0,93544· 10-1
0,87298 · 10-1
0,81266 · 10-1
0,75454 ■ 10"1
0,69864-10-1
0,64502 ■ 10"!
0,59368 · 10-1
0,54466- 10"1
У' =
= -(2) -(6)
(7)
-1,10000
-1,11354
-1,12686
-1,13994
—1,15278
-1,16540
-1,17779
-1,18994
-1,20185

ГЛАВА V
ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
§ 26. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Рассмотренные в предыдущих главах методы решения
дифференциальных уравнений требуют иногда сложных и
громоздких выкладок, в особенности, когда речь идет
о частном решении. Методы операционного исчисления
позволяют находить частное решение проще и
непосредственно, минуя отыскание общего решения и последующий
подбор произвольных постоянных. Основной идеей этих
методов является переход от исходного дифференциального
уравнения к некоторому вспомогательному
алгебраическому, при построении которого учитывается также система
начальных условий. Обратное преобразование от решения
вспомогательного алгебраического уравнения позволяет
получить требуемое частное решение первоначально
заданного дифференциального.
Методы операционного исчисления весьма эффективно
применяются при решении линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Познакомимся
с общим принципом их применения на простом примере.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
первого порядка
*'(*) + * (0 = 1
с начальным условием х(0) = 0 и требуется найти частное
решение для значений аргумента ^>0,
Умножим обе части уравнения на функцию е~pt и
проинтегрируем их по / в пределах от / = 0 до /=-г-°°·
Полученное равенство примет вид
оо оо со
\ er#x* it) at -f \ e-P'x (t) at = \ е~# at.
о о о
— 274 -^

Интеграл справа легко вычисляется. Именно,
со
С e-ptdt = — -e pt
о
со
О '
Отсюда видно, что для сходимости интеграла необходимо
предположить /?>0, в противном случае интеграл
расходится и выражение не имеет смысла. Поэтому мы примем
предположение, что ρ > 0. Тогда
оо
e-ptdt = -.
Ρ
о
ос
5
Далее, вычислим первый из интегралов, стоящих в левой
части нашего равенства, применив jk нему правило
интегрирования по частям:
ОО 00
\ е-Р(х' (/) at = \ e~P(d [χ (/)] = e~ptx (t) |от + ρ $ er *x (t) at.
0 0 '° 0
Первое слагаемое при t = 0 обращается в нуль в силу
заданного начального условия. Аналогичное утверждение
справедливо и при t = oo. Действительно, e~pt при /?;>0 и
/ ->■ + со стремится к нулю. Поэтому достаточно
предположить, что искомое решение x(t) ограничено* и мы
получим, что
][те-Р'хЦ) = 0.
t-*oo
Окончательно находим
ОО 00
\е-Р'х' (t)dt=p \е-Р<хЦ)М.
* На самом деле требование ограниченности χ ({) для выполне.
ния предельного соотношения lim e~p/x(t)=0 слишком стеснительно.
/ — 00
Предельное соотношение справедливо и в том случае, когда χ (t)
неограниченно возрастает, но н е слишком быстро. Чтобы не
останавливаться на точном смысле последнего утверждения, мы можем
предполагать просто выполнение предельного соотношения. Заметим,
кстати, что это гарантирует также сходимость всех используемых
здесь несобственных интегралов.
— 275 —

Проведенные вычисления позволяют записать
полученное после интегрирования равенство в виде
от
о
Это и есть вспомогательное уравнение, из которого
легко выводится соотношение
оо
[ ег#х (/) dt= .' = -i i-ϊ-.
о
Но, как мы знаем,
1
~р
Так же легко убедиться, то
оо
о
а потому
ОО 00
\e-#x(t)dt= \e р([1~е-(]Ш.
о о
Из последнего равенства естественно заключить, что
искомым решением будет функция x(t)=l—e~(. Легко
убедиться в том, что это действительно так и что
полученное решение удовлетворяет заданному начальному условию.
Разумеется, приведенные вычисления также нельзя
назвать краткими, но это происходит лишь потому, что
они проводились кустарно. Формальный аппарат
операционного исчисления позволяет во много раз сократить
их, избегая выписывания и вычисления несобственных
интегралов, подобно тому, как формальный аппарат
дифференциального исчисления позволяет находить
производные элементарных функций, не выполняя предельных
переходов.
Таким образом, нам необходимо познакомиться с
формальным аппаратом операционного исчисления. Последнее
представляет собою самостоятельный раздел курса
математики, который сейчас включается в программы для
большинства специальностей. Поэтому мы не станем излагать
оо
-S
e-^dt.
— 276 —

полностью содержание этого раздела, а ограничимся тем,
что приведем лишь нужные определения, свойства и
теоремы. Разъяснение определений, как и доказательства
свойств и теорем, читатель сможет самостоятельно
отыскать в любом из многочисленных пособий, посвященных
операционному исчислению.
Основным понятием операционного исчисления является
преобразование Лапласа, которое ставит в соответствие
функции действительного переменного /(/), определенной
при /^0, функцию F(p), определенную равенством
сю
F(p)=\e-r'f(t)dt,
о
где ρ — положительное действительное число или
комплексное число с положительной действительной частью.
Функция / (t) называется при этом оригиналом, a F (р) —
изображением (иногда также изображением по Лапласу
или лаплас-трансформацией). Переход от функции f (t)
к ее изображению обозначается символами
L{f(t)} = F(p) или f(t)=F(p),
а от изображения к оригиналу— символами
L-i{F(p)}=f(t) или F(p)=f(t).
Чтобы гарантировать существование изображения и
сходимость всех используемых несобственных интегралов,
достаточно предположить, что оригинал f (t) удовлетворяет
следующим условиям:
1°. На любом конечном интервале f{t) и /' (t) имеют
не более конечного числа точек разрыва первого рода
(конечных скачков).
2°. /(0 = 0 для t < 0.
3°. Функция f(t) растет не быстрее показательной,
т. е. существуют такие действительные постоянные
Μ > 0 и s ^ 0, что | / (t) | < Me4 .
Относительно второго условия заметим, что изображение
функции определяется лишь ее значениями для t^O, так что ее значения
для *<0 нам безразличны. В прикладных задачах обычно требуется
определить течение процесса, начиная с некоторого момента, который
мы всегда можем полагать нулевым. Третье условие гарантирует
сходимость всех нужных несобственных интегралов для значений р,
удовлетворяющих неравенству Re (ρ) > s.
Приведем теперь без доказательства сводку основных
правил для преобразования Лапласа, которые могут
потребоваться при решении дифференциальных уравнений.
— 277 —

Правила преобразования Лапласа
1. Свойство линейности. Пусть {fi (t)} и {С,·} —системы
η функций и η чисел. Если fi{t)^FFi{p) {i—\> 2, ..., η),
то
Σ c,f ι id = Σ c<f< о»)·
t=l ϊ=1
т. е. линейной комбинации оригиналов соответствует
линейная комбинация изображений и обратно.
2. Теорема подобия (изменения масштаба аргумента
оригинала). Если а>0 uf {t) ==F (p), mo f (at) = ^fl^\.
3. Теорема смещения изображения. Пусть f(t)==F(p).
Тогда для любого р0 справедливо e~p^f (t) = F (p -f- p0).
4. Теорема запаздывания оригинала. Если tQ>0, то
из f(t)==F (ρ) следует f{t-10) = e~**F (p).
5. Теорема опережения оригинала. Если /0>0, то из
f(t)d=zF (p) следует
J(t + U) = et*[Fip)-\e-*f®di\.
о
Различие в выражениях правил 4 и 5 показывает, что изменение
изображения при сдвиге аргумента в оригинале зависит не только
от величины этого сдвига, но и от его направления: в одном случае
изображение просто умножается на соответствующую экспоненту,
тогда как в другом из него еще вычитается дополнительный член,
зависящий от значения оригинала на соответствующем участке.
6. Дифференцирование оригинала. Пусть f (t)
непрерывно дифференцируема на [0, оо) и /' (/) удовлетворяет
условиям 1° —3° существования изображения. Тогда:
а) если f (t)=F (ρ), mo f (t) Φ pF (p) — / (0); в частности,
если /(0) = 0, то
f'(t)=pF(p),
т. е. дифференцированию функции соответствует
умножение изображения на ρ (и, быть может, вычитание ее
значения в нуле);
б) если /("J (/) существует и удовлетворяет условиям
1° —3°, то из f(t)-=F(p) следует /(п) (/) Φ рп F (р) —
- [Р""1/ (0) + Р" 2/' (0) + · · ■ 4-/(лЧ) (0)]; в частности, если
f (t) удовлетворяет нулевым начальным условиям f (0) =
=/'(0)=„>/(»-в(0),ш
— 278 —

7. Интегрирование оригинала. Пусть f (t) непрерывна
на [О, со), удовлетворяет условиям 1° — 3° существования
изображения и f (t) = F (p). Тогда
t
ό
т. е. интегрированию функции соответствует деление
изображения на р.
Правила б и 7 показывают, что при переходе к
изображениям и соблюдении некоторых дополнительных
условии (нулевые начальные значения) с оператором
дифференцирования можно обращаться в известном смысле как
с обычным множителем.
8. Дифференцирование изображения. Пусть f (t)=F (p).
Тогда:
а) -tf(t)=F'(p);
б) (-\)»ti(t) = F^(p).
9. Интегрирование изображения. Пусть f(t)==F(p) и
f (t)
дробь -j1 удовлетворяет условиям 1° — 3° существования
00
Ϊ (t) с
изображения. Тогда -γ-φ \ F (q) dq.
ρ
Рекомендуем читателям сравнить между собою формулировки
правил 6 и 8, а также 7 и 9, и уяснить сходство и различие.правил
дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.
10. Теорема о свертке (теорема умножения
изображений). Прежде чем формулировать эту теорему,
нам понадобится привести определение операции
свертывания (или свертки), которая обозначается символом *.
Пусть даны функции /х (/) и /2 (0, определенные на
некотором отрезке [α, β]. Их сверткой на этом отрезке
называется новая функция f (t)> определяемая равенством
f V) = \ίι(τ) f2(t -τ) dT = f1(t) *f2(t).
α
В качестве отрезка [α, β] мы будем рассматривать
отрезок [0, t]. Нетрудно показать, что операция свертки
обладает свойствами коммутативности и ассоциативности
(т. е. подчиняется переместительному и сочетательному
законам) и дистрибутивности (распределительный закон»
— 279 —

относительно сложения. В частности, коммутативность
означает, что свертка не зависит от того, какая из
функций входит под интеграл с аргументом / — т.
Если f1(t) и /2 (0 удовлетворяют условиям 1° —3°, то
изображение их свертки есть произведение изображений
сомножителей, т. е. U3fi (t) φ/7! (ρ) и f2 (t) ΦF2 (ρ) следует
fi{t)*h(t)=Fx{p)F%ip).
11. Теорема Дюамеля. Эта теорема может
рассматриваться как обобщение предыдущей и дает выражение для
изображения производной от свертки двух функций.
Если функции /ι (/), /2 (t) имеют непрерывные
производные на [О, оо) и h(t)=Fx(p)t fi(t)=Ft(p)f то
T,[fi(t)*f2(t)] = pFl(p)F2(p).
Все рассмотренные свойства удобно свести в общую
таблицу (см. табл. 1).
Обратимся снова к рассмотренному выше уравнению
x'{t)+x{t) = \
с начальным условием #(0)=0. Если обозначить
изображение функции x(t) через X (р):
x(f) = X(p),
то, в соответствии с теоремой о дифференцировании
оригинала,
x'(t) = pX(p).
Кроме того, как мы подсчитали ранее, 1 = 1/р. Поэтому
преобразование Лапласа левой и правой частей заданного
уравнения, в силу свойства линейности, приводит к
уравнению
рХ(р) + Хф) = 1/р,
откуда
Y/n4__J 1 L·
Λφ)-ρ(Ρ+ΐ)~ ρ p + l*
Теперь остается перейти от изображений обратно к
оригиналам. Применив к уже известному равенству 1 == 1/р
теорему смещения, найдем, что е~* =■ 1/(р+ 1)· Поэтому
Ρ ρ-И "
что и дает искомое решение уравнения χ(ή = \— е-'.
— 280 —

Таблица 1
Правила преобразования Лапласа
со
F(p)=$ e-P'f(t)dt
о
№
1
2
3
4
V
Наименование
Свойство
линейности
Теорема подобия
Теорема смещения
изображения
Теорема
запаздывания оригинала
Оригинал
i = l
/ (at) (a > 0)
е~ Potf (г)
f(t-t0) (tQ>0)
Изображение
~a \a)
F(p + Po)
е-*°рР(р)
to
о
6
7
8
9
10
11
Дифференцирование оригинала
Интегрирование
оригинала
Дифференцирование изображения
Интегрирование
изображения
Теорема о свертке
(теорема
умножения
изображения)
Теорема Дюамеля
/'(0
t
\f{x)dx
Ό
(-1WC)
/(0
t
h(t)*kV)
~ (A (0 * h (0J
pf(p)-fV)
pnF(p)-[p*-if(0) +
+ Ρη~ΨΦ)+ ...
... + p/<«-2. (0)_f-
+ /«"-!> (0)]
~F(p)
ρ
-F' (P)
со
Ρ
Λ (Ρ) ^ (Ρ)
PFi (Ρ) Fi (p)
— 281 —
Теорема
опережения оригинала
/(f + 'o) (ίο>0)
о^оР

Заметим только, что вследствие условия 2°
существования изображения, все встречающиеся здесь функции
следует полагать равными нулю при /<0, так что,
например, в правой части уравнения должна стоять не единица,
а функция, определенная условиями
( 1 при t^O,
М') = \0при«0.
Такую функцию называют единичной функцией. Однако
для сокращения записи за всеми функциями сохраняют
их обычные обозначения, понимая, тем не менее, под
обозначением, скажем, е~* функцию β~'σ0(/), для которой
( е~* при ^0,
е~'о0 it) = {
ow \ 0 при *<0.
Как видно из приведенного примера., для успешного
применения методов операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений надо знать изображения
по Лапласу элементарных функций. Это потребуется и при
переходе к вспомогательному уравнению для нахождения
изображения правой части, и при возвращении к решению
исходного уравнения —для нахождения оригинала по
известному изображению, полученному решением
вспомогательного уравнения.
Изображения элементарных функций получаются путем
вычисления соответствующих несобственных интегралов,
иногда довольно сложных и громоздких. Однако нет
никакой необходимости проделывать все вычисления каждый
раз заново: достаточно составить таблицу изображений и
пользоваться ею всякий раз, подобно таблице производных
или неопределенных интегралов.
В помещенной ниже таблице (см. табл. 2) приводятся
изображения наиболее часто встречающихся элементарных
функций. Комбинируя некоторые из них по правилам табл. 1,
можно получить целый ряд новых формул. Впрочем, и ряд
формул таблицы мы можем получить таким же образом
из более простых: например, изображение chat — из
изображений eat и e'at% пользуясь линейностью
преобразования Лапласа и формулой ch at= (eat + e~a')/2, a
изображение e~at sin at — из изображения smat. Вывод приводимых
формул и более подробные таблицы изображений читатель
найдет в руководствах по операционному исчислению.
- 282 —

Таблица 2
Изображения некоторых элементарных функций
Л°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0[>Ш «НМЛ
МО
e-at
sin at
cos at
sh at
ch αί
/
/я
e at sin αί
e"ft|,cos at
e~ai sh ci
e~a/ ch at
te-at
tne-at
Изображение
1
Ρ
1
p + a
a
P2 -l· a3
Ρ
Ο ι Ο
a
p^-a*
Ρ
JD--Q2
1
Ρ2
η!
рп+ι
a
(ρ+ «)* + *»
P+a
(p + tt)2-|-fl2
a
(p + a)2_a2
P + a
(р + аЯ_а'2
1
(p + a)3
η I
(p + ajn+x

Продолжение табл. 2
№
15
16
17
18
19
20
21
22
23
,
24
25
Оригинал
/ sin at
t cos at
\
—e~nt sin η-,ί, nr = V n2 — k2
nx ■
1
~e-nts\iht, h = Vn2-№
1[1_в-»/(сов^ + ^81пЯ1^],
пг = Ук2 — п2
tf[l-,rni{chht+Kchht)]>
h = Y n2-k2
e~ni (cos п-Л smnJt),
nt = у к2 — η2
! η \
e~nt ί chht-^shhtj, h = y n*-№
_ni ( t cos nxt t sin tiit \
\ 2л? 2n1Vn1 )'
ni = y k2 — n2
tl tchht sh ht \
6 \ 2A« ' 2Λ Vhi *
h = V n*-k2
_nt fnt cos ηλί ! f sin r^i" я sin п^\
л1= γ& — η*
Изображение
2αρ
(ρ2 + Ω2)2
ρ2 —α2
(ρ2 + α2)2
1
p2 + 2np + k2
1
p2 + 2np + fc2
1
P(p2+2n/7 + fe2)
1
p(p*+2np + k*)
Ρ
p2 + 2np-\rk2
Ρ
р2 + 2лр+/г2
1
(p2+2np + k2)2
1
(р2+2лр + И2
Ρ
{p"--\-2np + k2f
— 284 -

Продолжение табл. 2
№
Оригинал
Изображение
26
-nl
fntchht tshht η sh fit \
< 2Ла 2/i 2liVh]>
h=Ytf—№
(рЯ+2яр + Ла)а
27
1
Χ
/,-.
nt
Χ
Γ(^-*3) zosk1t-nikl^rk'i) χ
*1
(jD2 + 2n/7 + ft2)(p^ + /i5)
X sin kA - (Щ — /f2) cos Jfc0/ +
+ 2nka sin v} , h = Vk2 - n-
§ 27. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И СИСТЕМ
Из примера, разобранного в предыдущем параграфе,
читателю должна быть уже ясна общая схема применения
преобразования Лапласа к решению дифференциальных
уравнений. Остановимся на ней еще раз в более общей
форме.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами
*<"> (t) + α^ΐ"-1» (/)+... + ctn-ix' (t) + anx (t) =f (t) (1)
и требуется найти его частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
*(0)=*о, *(0) = х'о, ..., х(п-1)(0)=х['1-». (2)
При этом предполагается, что как функция /(/), так и
искомое решение удовлетворяют условиям существования
изображения по Лапласу. Применим к обеим частям
уравнения (1) преобразование Лапласа.
Обозначим изображения χ (t) и / (/) соответственно через
X(p)nF(p):
x(t) = X(p)t f(t)=F(p).
Используя правило дифференцирования оригинала, полу-
— 285 —

чаем
Ϊ (t) = рХ (ρ) - x0t
χ" (Ο φ ρ2Χ (ρ) -[pXo + xi]„
х<»-"У) = р«'1Х(р)-[р"-2х0 + ... + х!)п-%
x{n)(t) = p"X(p)-[p"--1x0 + pn-2xo + ... + pxln-» + xl"-^].
В силу линейности преобразования Лапласа для
нахождения изображения левой части достаточно умножить
полученные выражения на соответствующие коэффициенты щ
и сложить, изображение же правой части есть F(p).
Таким образом, мы получаем
<p(p)X(p)-y(p) = F(p), (3)
где
Ψ (Ρ) = Рп + ciiP""1 + · ■ · + cin-iP + ап
есть характеристический многочлен для линейного
уравнения (см. § 15), а
1|)(р) = [р-Ч + рл-244--. + ^ГЧа'!л--|,] +
+ α1[ρ'ί-%4-... + ^-2)] + ·.· + β«-2[ρ^0Η- *о] + яя-1*о·
" Заметим, между прочим, что при нулевых начальных
условиях (2) получается ψ (ρ) ξξ 0 и левая часть
уравнения (3) приобретает вид φ(ρ)Χ(ρ), к которому можно
прийти, заменив в уравнении (1) оператор
дифференцирования множителем ρ и вынеся затем X (р) за скобки.
Уравнение (3) есть вспомогательное уравнение для
уравнения (1) с системой начальных условий (2). Его
называют также изображающим (или операторным) уравнением.
Разрешив уравнение (3) относительно Х(р), получим
изображающее (или операторное) решение, которое имеет
вид
Х{р).= Г<Р)+*<Р) . (4)
у ' ψ(ρ) w
Переход к оригиналам позволяет найти искомое частное
решение x(t). При этом правая часть операторного
решения (4) обычно оказывается рациональной дробью и для
облегчения использования таблицы изображений следует
разложить правую часть на элементарные дроби.
— 286 —

Рассмотрим несколько примеров на нахождение частных решений
дифференциальных уравнений.
Решим уравнение
*"'(/)-*' (0 = 0
с начальными условиями х(0) — 3; *'(0) = 2, *"(0) = 1.
Составим операторное уравнение
Ιρ3χ (ρ) _ (3р» + 2р + 1)] _ [РХ (р) - 3] = 0,
или
(рЗ-р)Х(р) = Зрг + 2р-2.
Решая его относительно X (р), получим операторное решение
г—р
Разложим правую часть на простейшие дроби:
ЗрЗ + 2р-2 _А В С_
р(р-1)(р+1)_ р+р-1+р+Г
Для нахождения коэффициентов А, В и С приведем правую часть
к общему знаменателю и сравним числители обеих частей тождества:
ЗрЗ + 2р-2 = Л(р2-1) + £р(р+1) + Ср(р-1).
Полагая в этом тождестве р = 0, получим А =2. При р=1 имеем
2В = 3, откуда В = 3/2, а при р = — 1 находим, что 2С=— 1, откуда
С = —1/2.
ν, ч 2 , 3 1 1 1
Следовательно, X (р) = — -f -=■ -—- — —__-
ρ Ι ρ—ι λ ρ-\-\
Переходя к оригиналам при помощи таблицы, получаем ответ:
Решим теперь уравнение ^
х'"-2х"+х'=4; х(0)=1, х' (0) = 2, х" (0) = 2.
Здесь операторное уравнение
[р^(р)-(Р2 + 2р42)]-2[р^(р)-(р4-2)] + {рХ(р)-1] = А
или
(ρ3_2ρ2 + ρ)Χ(ρ) = ρ2_5 + -ί-.
Операторное решение
у ,-ч Р2-5 + 4/р рЗ-5р + 4 рз-5р + 4
Л(Р} рЗ_2р2 + Р Р3(р2~2р+1)~Р3(р-1)3 '
Дробь в правой части допускает сокращение на р — 1> поэтому
у,-ч . Р2 + Р-4
XM-pTJp^T-
Разложив эту дробь на элементарные, имеем
Х(р) = !+-4 2
ρ р* р—\
— 287 -

Переходя к оригиналам, получаем
*(/) = 3 + 4/_2i>'.
Решим ешс одно уравнение
х" — 3х'+2х = е'\ х(0) = *'(0) = 0.
Операторное уравнение
р*Х (р) - ЪрХ (р) + 2Х (р) = —-j,
или
(р2_Зр + 2)Х(р) = ^т.
Операторное решение
^^(р-и^-Зр+^^-пир-З) ■
Разложение дроби дает
Л <W—- £Л-0ГГТ)Г + ^Г2.
откуда, переходя к оригиналам, получаем
jc(0 = — е* — ίβΉ-β2'. или *(*)=ея' —е'О + О-
Решим, наконец, уравнение
x" + 4x = sinf; *(0) = *'(0) = 0.
Операторное уравнение
р2Х(р) + 4Х(р) = .
Операторное решение
Преобразуем дробь следующим образом:
1 1 (4 + р2)-(р2+1)
(р2+1)(р2 + 4) 3 (рЭ+1)(ра + 4)
Следовательно, операторное решение принимает вид
у^ " 1 ^ 1 1
^(Р)=-з-
e±(J L_\
3\р2+1 Р2 + 4,
откуда, переходя к оригиналам, получим решение
*(f) = -jr (sin ί—^ sin 2/J.
He следует думать, что операционные методы
позволяют искать только частные решения
дифференциального уравнения. С тем же успехом ими можно воспользоваться
и для получения общего решения. Для этого следует
принимать предполагающиеся заданными начальные
значения за произвольные постоянные, которые войдут тогда
— 2ЪЪ —

в выражение для получающегося решения.
Проиллюстрируем это на примере.
Найдем общее решение уравнения
х" -\-№х = а sin kx.
Для нахождения общего решения следует положить х(0) = Сг,
х' (0) = С2. Получим операторное уравнение
[р*Х (р) - (ClP + С2)] + &Х (ρ) = -~^,
или
Операторное решение
Первую дробь преобразуем так:
ak ak (№ — р*) + (р* + №)
Г k2~P2 , 1
(р2 + &2)2 2£2 (p2 + /fe2)2 2*
Таким образом,
\f>. Г _<ϋ ι 1.2 I
(p2 + A:2)2 V + A
«]■
*<*) = £
*3-p2 | 1
2£|>2 + £2)2 P2-M2J ' "V + *a
Переходя к оригиналам, получим искомое общее решение
χ (() = !%(—* sin kt + у sin J») + Ci cos /W + ^3 sin «.
Так как Сг и С2 являются начальными значениями функции и
ее производной, то, давая любые начальные условия: χ (0) = x(j — Ci
и χ' (0) = х') = С2, мы можем немедленно получить из найденного
общего решения соответствующие частные без необходимости решать
систему алгебраических уравнений относительно Сх и С2.
Операционный метод решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно
распространить и на системы таких уравнений. Разница
будет лишь в том, что вместо одного операторного
уравнения получится система линейных алгебраических
операторных уравнений относительно изображений искомых
функций. При этом нет необходимости производить какие-
либо предварительные преобразования исходной системы
дифференциальных уравнений, например, не нужно
приводить их к нормальной форме; любую систему можно
решить операционным методом в том виде, в каком она
задана первоначально.
— 289 —

Пусть дана система уравнении первого порядка
*i(0+Sfl2***(O=M0,
k= 1
(5)
k= 1
и требуется найти частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
*fe(0)=*ft0 (k=\, 2, ... , η), (6)
причем
L{fk(t)}=Fk(p), L{xk(t)} = Xk{p).
Тогда систему операторных уравнений можно записать
так:
η
ΡΧι (Ρ) + Σ αιΑ (Ρ) = fi (Ρ) + *м.
η
ΡΧ* (Ρ) + Σ fl2 Α (Ρ) = ^2 (Ρ) + *2β,
л
ρΧ„ (Ρ) + Σ α« A W = ^ (Ρ) + Χηθ·
Эту систему алгебраических линейных уравнений надо
решить относительно изображений. Х*(р), после чего
следует перейти от найденных изображений к оригиналам
Xk{t), совокупность которых и составит искомое частное
решение системы дифференциальных уравнений (5),
удовлетворяющее начальным условиям (6).
Рассмотрим несколько .примеров на нахождение
частных решений систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами методами
операционного исчисления.
Решим систему дифференциальных уравнений
*'(/)-2*(9 + у(/) = <М
*(0) = «/(0)=1. -
- 290 -

Операторная система
[рХ(р)-1]-2Х(р) + К(р) = 0, }
или
{ρ_2)Χ(ρ)+Υ(ρ)=\,
[pY(p)-l]-X(p)-2Y(p) = 0, I """" -Х(Р) + {Р-2)У(Р)=>1·J
Решение этой системы найдем по правилу Крамера, для чего
вычислим определители:
р-2 1
Δ^
Δν =
1 р-2
1 1
1 р-2
р-2 1
— 1 1
= {p__2)2+l=p2-4p-f-5,
= р_2-1=р-3,
= р-2+1=р—I.
Q 1
Следовательно, X (р) = р3^4р + 5-, У (Р) = р2Р_4р + 5'
переходя к оригиналам, получим искомое решение
дг(0=е2' (cos / + 2sin /) — 3<?2' sin ί = έ>2/ (cos t— sin /),
t/ (0=e2/ (cos/ + 2sin t) — e^ sin ί = ί2' (cos/ + 3sin t).
Решим теперь такую систему:
x'(t)-4x(t) + 3y(t) = &mt, Л
у' (t)-2x(t) + y{t) = -2cost, )
*(0) = y(0)=I.
Операторная система
р*(р)-4Х(р) + ЗК(р) =
1
р2 + Р
рУ(р)-2Х(р) + Г(р) = _
2р
или
(р-4)Х(р) + ЗГ(р) =
р*+1* )
1
Ра + 1'
2р
откуда,
-2X(p) + (p+l)F(p) = -_
Вычислим определители:
Δ = |!Γ24>ρ+ι | = (Ρ-4)(Ρ+1) + 6 = (ρ-1)(ρ-2),
г
Δ* =
р2 + 1
2р
Р2+1
р-4
-2 -
3
Р+1
1
Р2 + 1
2р
Р2+1
_7р+1
Р2+1'
= 2(р^-4р-1)
Р-+1
— 291 —

Следовательно, операторное решение
(Р,"(Р°-+1)(р-1)(р-2)' МР)~ (Р-+1)(Р- 1){р —2)*
Разлагая полученные дроби на простейшие и переходя к оригиналам,
получим искомое частное решение
χ (0 = Зе2' — 4е' + cos t — 2siti t,
у (t) = 2enJ — 4p' 4- 2eos / — 2sin t.
Рассмотрим еще пример на нахождение общего решрния системы
дифференциальных уравнений
*"(0 + .У' (0+ 2* = О,
у" {t)-Zx' [t)-2y = Q.
Положим
х(0) = Сх, *'(0) = С2, ι/(0) = С3, //'(0) = С4.
Составим систему операторных уравнений
[p*X(p)-(ClP + C2)] + [pY (p)_C3] + 2X (р) = 0,
[ра Г (р) - (С3р + Q] - 3 [ρΧ (р) ·
(Р2 + 2) X (р) + рУ (Р) = С,р + Со + С3,
- ЗрХ (р) + (Р2 - 2) Г (р) = С3р - ЗСХ + С4.
Вычислим определители:
Р2 + 2 ρ
или
,1
з. ί/
ий
-С3] + 2Х (р)-0, ϊ
,_^]-2/(ρ) = 0, /
}
Δ =
Δ,=
— Зр р2 —2
С\Р + С2 + С3 ρ
Сзр-З^ + С* р2_2
-Зр Сзр-ЗС^^
= (р2-0(р3 + 4),
= Сг (рз + р) + С2 (р= - 2) - 2С3 - С4р,
= _ б^+Зс^р+Сз (р3+5р) + С4(рМ- 2).
Следовательно, операторное решение имеет вид
Х(о) = Q (Ρ3 + Ρ) + С2 (Ρ2 - 2) - 2С3 - С4р
' (р2-1)(р*-Н)
у = - 6СХ + ЗСар + Са (рз + 5р) + С4 (Р2 + 2)
Р (р2-1)(р2 + 4)
Для перехода от изображений к оригиналам вместо разложения
на элементарные дроби применим прием, основанный на теореме
дифференцирования оригинала.
Так как
1
J_
ι
ι
1
1
_ f sh / —^- sin 2/
5 \ 2
(ρ·--1)(ρ2 + 4) 5 \p2_l р2+4у
то [учитывая, что добавочных слагаемых вида /(0) не будет, поскольку
каждый раз /(0) = 0] получим
(Р2-1)(Р2 + 4)Фт(сЬ/~
(p2-lHpa + 4)^i(shi + 2sin2/)'
cos 2ί
(Р3-1)(р2 + 4)
= -у ichf + 4cos2/V
292 —

Применяя эти формулы, можно из операторного решения
получить искомое общее решение в виде
x(0 = 2Cl~^-ch^-C2 + 2C3sli^ + 3Cl^C4 cos2/+3C« + Cagin2f,
у (θ д 3 <С* + 2Сз) ch t - i-fffr - C4)sh f - ЗСг + Сз соз 2t +
+ 3C*+C'sin2/.
о
§ 28. ФИЗИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ
ПРИМЕРЫ
Механические колебания
Решим операционными методами некоторые задачи,
разобранные ранее в § 18.
Пример 1. (Гармонические колебания.)
Дифференциальное уравнение с системой начальных условий
имеет вид
лг"(0+*в*Ю = 0; *(0)'=*о, х'(0) = и0.
Операторное уравнение
[рЩр) - (х0р + v0)] + k*X(p) = 0.
Операторное решение
У/гЛ — *оР + ^о _ у Ρ . 0 !
л^~ p2 + fe2 -*ора + ла-|-Оора + Л2·
Искомое частное решение
x(/)=x0cos&/ + -^ sin /ei, или χ (t) — A sin (kt-\-a.),
где Л = Vx\ + ι^/Α»2, α = arctg (*0Λ/ϋ0) ·
В частности, при v0 = Q имеем x(0 = *ocos&, или
x(t)=x0sin(kt + n/2).
Пример 2. (Затухающие колебания.) Уравнение
и система начальных условий
х'ЧО + 2п*'(/)+£2*(0==0; х(0)=х0, лг'(0) = и0.
Операторное уравнение
[р2Х (р) - (*0р + v0)] + 2л [рХ (р) - Хо] + £2Х (/>) = 0.
— 293 —

Операторное решение
γ /п\ — χοΡ + ν" + 2ηχο _ у Ρ ι
л IW — р2 + 2пр + ^ V + 2«р + /г2 "Г
Искомое частное решение при k2 — п2>0 (полагаем
kx = }/k2~n2)
x(t)=--x0e-n< UoskJ- £smklt\ + Vo\^e-'"&ink1t =
= e-nt(Kx^osklt^v-^^unk1ty
Это решение можно преобразовать к виду
χ (/) = Ae~nt sin (^ + α),
г№А = ^Х1 + (Щ^)\ a = arctg^.
Заметим, что если k2 — я2<0, то, обозначив Л = ]/"я2 —£^
получим решение в виде
*'(/)=£>-«'( х0 ch/ii + ^-^sh/i/).
Если же кг — п2=0, то операторное решение
принимает вид
X° ip + nf "Г (р + п)з p + n Τ" (p + n)»'
откуда, переходя к оригиналам, получаем
χ (ή = хф~п* + (ν0 + я*о) te~nt = ernt [x0 + (t>0 + л*о) *]-
Пример 3. (Вынужденные колебания без учета
сопротивления среды.) Уравнение и система
начальных условий имеют вид
x"{t)-\-k2x{t) = qsm(*t\ х(0)=х0, χ'(0) = ν0.
Операторное уравнение
[р*Х (р) - (рх0 + ν0)] + /Μ (ρ) = j^.
Операторное решение
уи' (Pa+/i2) (ρ2 + ω*) "Τ" рЧ-Аа '
— 294 —

откуда, переходя к оригиналам, приходим к следующим
двум случаям.
Случай 1. ω2 Φ k2. Тогда
х (0= J*! a i — sin ω^ — -г-sinkt) -f x0coskt -f- ^sinkt =
sin ω; + *ο cos &+ -° - ч sin & =
= рз^яsin ω* + *ο cos 6/ + τ (vo - fe3^V, j s in &/.
Это решение можно преобразовать к виду
х (t)=jTZT~г sin ω/+ Л sin (£/ + α),
w^^]/4 + ^(^o-^-^)2, a « = arctg —
#0&
?tu/(fe·2 — ω2)'
Случай 2. ω2 = &2. Β этом случае операторное
решение-принимает вид
У(п)= q(u \_χοΡ-\~νο
ψ} (р2 + Л2)2 ~*~ p2+£2
и, следовательно (см. пример 3 на стр. 198),
х (ή — — ^ / cos Л* + *о cos kt + -£- f σ0 +' J:) sin &£.
Этому частному решению можно придать другой вид:
2k
χ (ή — — -rtcoskt-^-A sin (kt + α),
гдеЛ=У^ + ^(^о + |)2;а a = arctg?>o+^(2/,r
2xbk*
arctg
9 + 2^ϋ0'
Электрические колебания
Пример 1. Решим операционным методом разобранную
в § 18 задачу нахождения тока в RLC-uemi для
случая постоянной э.д.с. (см. стр. 205).
Дифференциальное уравнение для тока имеет вид,
аналогичный уравнению свободных механических колебаний
с учетом сопротивления среды:
^Ю + гПО + ге'Ю-О,
а начальные условия таковы: ί (0) =0, i'(0)=E/L·,
- 295 -

Операторное уравнение
[рЧ (р) -1] + £ pJ (ρ) + ± J (р) = 0.
Операторное решение
J(p) =
1 p"+V х
L^1С
Обозначим R/L = 2$ и рассмотрим следующие случаи.
Случай 1. χ£~4Ζ2 = ωϊ>0· ПеРех°Дя от
изображения к оригиналу, получим для тока i (t) функцию
* (0=^3;*-* sin (M,
определяющую затухающие электрические колебания.
Случай 2. 4l2~£c==P2>°- Тогда
i(t) = jre-6ish$t.
В этом случае ток i (t) апериодический, никаких
электрических колебаний в цепи не будет.
Случай 3. тп~ 77? = ^· ^ этом слУчае операторное
решение _ t
J (P) = 77 (р + б)а
и, следовательно,
i (*) = -£■&-*,
т. е. и в этом случае ток ί(/) апериодический,
электрических колебаний не будет.
Пример 2. Рассмотрим ту же RLC-цепь с
синусоидальной э. д. с. (см. стр. 206). Дифференциальное уравнение
имеет вид
i" (/) +*. ν (/) + -L / (/) = |- ω cos ω/,
1 R2
начальные условия ί (0) = г' (0) = 0, случай г?· — 4L-~
= ωϊ>0.
Операторное уравнение
Операторное решение
— 296 —
ω2

Перейдем от изображения к оригиналу и введем
обозначения (R/2L) = б, l/(LC) = a)5 (и, следовательно, ω; =
= ωο~δ2); тогда получим
'' О=7s «a.-J+w Iе ы [<ω° - ω»cos ^ -
(оз2 4- щ) sin ω^ — (ω2 — ω,*) cos ωί + 2δω sin ωί\.
Введем еще такие обозначения:
(ω2-ω5)2 + 4δ^ = ^Χ2+.§ω2=^(Χ2 + ^2)=^2>
где Z2 = X2 + tf2,
ω2 + ω5 = ω2 + ζί = г(^+^с) = г^ где Χ' = ω£ + ±,
Тогда
— j- X cos ωί + 2δω sin ωί} =
= — j-— [ω2Χ cos ωχ/ — 6 Χ' sin ωχί] — Χ cos ω/ + /? sin otfj.
Положим
R Χ
•2- = cos γ, j = smv;
α>ιΧ δΧ'
• ζ =sinv1> -./ ^ — — cosvi;
]/ω^2 + δ2Χ'2 1/ω^Λ:2 + δ2Χ'2 гь
тогда
Докажем, что V ωΐΧ2-\-№Χ'* — Фо< для этого
преобразуем подкоренное выражение так:
ωιΧ2 + δ2Χ'2 = (ω2-δ2) X2-f δ2Χ'2 = ω2Χ2 + δ2(Χ'2-Χ2) =
= ω5Χ2 + δ2(Χ' + Χ)(Χ'-Χ) = ω§Χ2 + ^·2ωΙ-^ =
= ω*Χ2 + ^tf2 = ω; (Χ2 + R*) = ω2Ζ*,
— 297 —

так как г^=«о· Следовательно,
V (ύ\Χ* + №Χ'
что и требовалось доказать.
Окончательно имеем
ω0Ζ
Ι'(0 = -^0^8ΐη(ω1/-γ1) + |-δΐη(ω/-ν).
ω, Ζ
Решим операционным методом две задачи из § 24,
приводящие к системам дифференциальных уравнений.
Пример 3 (см. пример 4 на стр. 250). Система
дифференциальных уравнений
I
о
t
причем ϊ (ί) — ί"ι (/) == ί2 (0· Начальные условия i (0) =
= /1(0) = 0.
Система операторных уравнений
LpJ(p)+-^V(p)-JAp)]=-j,
или
«Л(р)-г5^(р)-Л(р)]-о. j
j5^W-(*+'i)AW--o.
Для решения этой системы алгебраических уравнений
выразим J (ρ) через Уг (р) из второго уравнения; получим
J (ρ) = Cp(R + ^) Л (ρ) = (СТр + 1) Л (р)
и подставим это выражение J (p) в первое уравнение:
(Lp + jJL) (Ctfp +1) Л(р) - ^ Л (р) = |,
— 298 —

или
(LCRp* + Lp + R)J1(p)=-p,
откуда
P[P"+CRP + LC)
Случай 1. Предположим, что γγ, — -тгш = ω? > 0;
тогда, переходя к оригиналам, получим
ί w - m ik [' - ^ w*c,(cos ω^+xLisin ω^)] =
= τ [' - e-'/i2"c,(cos^+2ckrsin^)]·
Операторное решение для i(t), согласно полученному
выше, есть
J ^ =LCRlCR p* + p/(CR)+ \(LC) + p[p3 + p/(C/?)p+l/(LC)]J·
Отсюда, переходя к оригиналам, находим
i (t) = £§# {С# ^ e-WKO sin ωχ/ + LC [l - ^-'/<2WC0S ωι/+
+ж,sin ω*')]Ι=Ι ί1 - ^'/(2ЛС) [cos ^+
Ток t2(t) можно найти как разность i{t) — ii(t).
Случай 2. Пусть -^СЩ1 — χ^ = β2>0> тогда,
переходя к оригиналам, получим
Операторное решение для / (f) такое же, как и в
предыдущем случае, поэтому
'» =1 {»-г-"·2*0' [ch β'+lf^c - τ)sh Hl·
Пример 4 (см. пример 5 на стр. 252). Система
дифференциальных уравнений
Ιιί(Ο+/?ιίι(/) + Λί/ί(0 = ^, )
Начальные условия ix (0) = /2 (0) = 0.
— 299 —

Система операторных уравнений
L1pJ1(p) + RiJ1(p) + MpJ2(p)
Ρ'
Uph (Ρ) + R*h (Ρ) + MpJ1 (ρ) = 0, J
или
(LlP + Ях) Λ (ρ) + Λ1/> J, (ρ) = --,
Mp/i(p) + (L2p + ^)V2(p) = 0. J
Для решения этой системы алгебраических уравнений
выразим из второго уравнения /2 (р) через J\{p):
и подставим в первое уравнение; получим
откуда приходим к операторному решению
EU
P + Rz/L*
p\p ~f I1La-M2 P^L^-M*
Р + ЯгИъ
I (\ M*\ Jn* Ί ^t/Lt+RJL^ , (R1R^/(L1Li)\ ·
Введем обозначения M2/(LLL2) = k2, R1/L1 = 2<xlt #2/L2=
= 2α2, (α! + α2)/(1— £2) = σ; тогда
^i(P)-I7(ur^)|_-
1
pP + 2ap + 4alai/(\-k*)
+
+ ^
^Ρ (p2 + 2ap-h4aia2/(l-fe2))J·
Так как σ2-4αια2/(1 -£2) = β2>0 (см. стр. 253), то,
переходя от изображений к оригиналам, находим
«I^=M™iTe"°'shpi+rI^-[1-e<"(chP/+
+jsh v)]\ = i i1 + e~°' [i&rsh ·" -ch И ·
Для получения /2(/) следует сначала найти
операторное решение У2(р) из системы операторных уравнений и
затем перейти от изображений к оригиналам.
~ 300 —

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Активность изотопа 34
Амплитуда 194
Бернулли уравнение 62, 63
Бесселева функция 223
второго рода 226, 227
. для целого индекса
227
— — первого рода 224—227
— — чисто мнимого аргумента
229
Бесселя уравнение 223, 224
для мнимого аргумента
229
Вебера функция 226
Вронскиан 162
Вторая космическая скорость 28
Гамма-функция 225
Геометрическое истолкование
дифференциального
уравнения первого порядка 15
■ нормальной системы
дифференциальных уравнений
264, 265, 267
теоремы Коши 84
Гипергеометрические функции
232
Гипергеометрическое уравнение
231, 232
Граничные задачи 216
— условия 122
Двухточечная линейная краевая
задача 218
Декремент затухания 196
Дикритический узел 87
Дискриминантная кривая 109
Дифференциальное уравнение 7,
11
в полных дифференциалах
70, 71
высшего порядка 121
вида F (x,yik),y
... , уш>) = 0 124, 125
F(y,y't у", ... ,
у<п>) = о 126, 127
(fc) U(k+1)
yw = f(x) 123,
124
линейное, см.
Линейное дифференциальное
уравнение я-го порядка
обыкновенное 11
первого порядка 13
_ ВИда ρ (х< у'} — о,
F(y, y')=0 103, 104
χ= φ (у') 102,
103
У=ц>(у>) 101,
102
(,ι'\η _|_ л f„'\n-l I
\у у -|- ру\у ) -J-
-f ... + рпу loo, mi
.— линейное 56, 57
.—_ .—_ неоднородное
57 — 62
_ _ _ однородное 57
— — — — однородное 50, 51
. , обобщенное
53
— — с разделенными
переменными 17, 18
. — разделяющимися
переменными 19
. частными
производными 11, 12
(См. также Уравнение)
Дюамеля теорема 280
Единичная функция 282
Жесткость пружины 193
Задача о вентиляции цеха 45, 46
вынужденных колебаниях
без учета сопротивления среды
198—201, 294, 295
с учетом
сопротивления среды 201—204
гармонических
колебаниях 192—195, 266, 267, 293
движении шариков в
трубке 248—250
— 301

Задача о динамике боевых
действий 260—264
затухающих колебаниях
195—198, 268—270, 293, 294
колебаниях маятника
139—141
.-нагревании слитка 43,
44
напряжениях в
толстостенной трубе 212—216
нахождении тока в LC-це-
пи 209—211
Ltf-цепи 211,
212
/?LC-uenH
204—208, 295—298
переходном процессе в
электрической цепи 64—66
поглощении света при
прохождении через воду 44
подключении цепи из двух
индуктивно связанных
контуров 252—255, 299, 300
к источнику с
постоянной э. д. с. 250—252
потоке научной
информации 48, 49
продольном изгибе балки
222, 223
прямолинейном движении
точки 129—139
равновесии нити 141—145
радиоактивном распаде
33—35
разложении вещества
244—246
размножении бактерий
246—248
распространении тепла в
стержне 219—221
реактивном движении
23—33
скольжении веревки
66—68
скорости прямолинейного
движения 20—23
теплопередаче через трубу
153—155
трансформаторе в цепи
переменного тока с нагрузкой
255—258
фильтре низких частот
258—260
химической реакции 35, 36
— об изгибе балки 145—152
ионизации газа 44, 45
истечении жидкости 36—
41
охлаждении тела 41—43
очищении газа 46—48
Идеальный трансформатор 256,
257
Изгибающий момент 147
Измерение однородности
функции 51
Изображающее решение 286
— уравнение 286
Изображение 277
Изогональные траектории 111,
112
Изоклины 89, 90
-~ Интеграл дифференциального
уравнения 12
Интегральная кривая 12
Интегральное уравнение 82
Интегрирующий множитель
75—77
Ионизация 44
Клеро уравнение 105, 106
Колебания в электрической цепи
204—212, 295—298
Коэффициент теплопроводности
153
— трансформации 258
Коши задача 122
— теорема 84, 122
Краевые задачи 216
— условия 122
Лагерра многочлены 231
Лагранжа уравнение 104, 105
Ланчестера уравнения 261
Лапласа преобразование 277
Лежандра многочлены 229, 230
— уравнение 229 *^
Линеаризация 157
Линейная зависимость 161, 162
— комбинация 160
— независимость 161, 162
Линейное дифференциальное
уравнение /j-го порядка 156
неоднородное
157, 176—189
однородное 157
— — — — — — с
постоянными коэффициентами 168—175
Линейный дифференциальный
оператор 157—160
Логарифмический декремент
затухания 196
Логистическая кривая 49
.с: -

Матье уравнение 232
— функции 232
Метод дифференциалов 78, 79
— прогноза и коррекции 95, 96
Механические колебания
192—204, 293—295
Мещерского уравнение 24, 25
Начальная фаза 194
Начальные условия 14, 122
Низкочастотный фильтр 260
Нормальная система
дифференциальных уравнении 234
линейная 239—241
однородная с
постоянными коэффициентами
241, 242
Обобщенный степенной ряд 223
Общее решение 14, 123
Общий интеграл 14
Огибающая 108
Однородная функция 50, 51
Операторное решение 286
— уравнение 286
Определяющее уравнение 224
Оригинал 277
Ортогональность функций 230
с весом 230
Ортогональные траектории 111,
112
Особая точка 86
Особое решение 107, 108
Особый интеграл 106, 109—111
Ось балки 146
Первая космическая скорость 27
Первый интеграл 238
Перерезывающая сила 147
Период колебания 194
— полураспада 33
Поле направлений 15
Порядок дифференциального
уравнения 12
Постоянная времени цепи 65
— распада 33
Промежуточный интеграл 126
Реактивная сила 25
Резонанс 181, 201
Решение дифференциального
уравнения 7, 12
— системы дифференциальных
уравнений 234
Родрига формула 229
Свертка 279
Свободные колебания 193
Сдвиг фазы 203
Седловина 87
«Секундная масса» 25
Система начальных условий 122
Составление дифференциальных
уравнений 78—82
Способ вариации произвольных
постоянных 59, 60, 186—189
— интегрируемых комбинаций
237
— неопределенных
коэффициентов 178—186
τ- подстановки 57, 58
— последовательных
приближений 85, 86, 89
— разделения переменных 19
Степень дифференциального
уравнения 12
— однородности функции 51
Таблица видов частных решений
линейного неоднородного
дифференциального уравнения 184
— изображений некоторых
элементарных функций 283—285
— правил преобразования
Лапласа 281
Теорема о частном решении
линейного неоднородного
дифференциального уравнения 177,
178
— об общем решении линейного
неоднородного
дифференциального уравнения 176, 177
однородного
дифференциального уравнения 166
условии полного
дифференциала 71—73
— существования и
единственности (теорема Коши) 84, 122,
157
Теоремы о свойствах вронскиана
163-165
изображения и
оригинала (правила преобразования
Лапласа) 278—280
частных решений
линейного однородного
дифференциального уравнения 159, 160
Узел 86, 87
Уиттекера функции 232
Уравнение вынужденных
колебаний 198, 202
303 —

Уравнение гармонического
осциллятора 193
— затухающих колебаний 195
— изогнутой оси балки 147, 148
— изогональных траекторий 112
— истечения жидкости 37
— колебаний маятника 140, 141
— напряженного состояния
толстостенной трубы 214
— переходного процесса в
электрической цепи 64
— продольного изгиба балки
222, 223
— прямолинейного движения
точки 20, 129, 131, 136
■— равновесия нити 142
— радиоактивного распада 33
— распространения тепла в
стержне 219
— реактивного движения
(уравнение Мещерского) 24, 25
— скорости протекания
химической реакции 35
— теплопередачи через трубу 154
— LC-цепи 209
— Lfl-цепи 211
— ^LC-цепи 205
Установившийся ток 66
Фаза 194
Фазовая плоскость 267
— траектория 267
Фазовый портрет 267
Фокус 87
Фундаментальная система
решений 165
Характеристика интенсивности
воздействия 262
Характеристическая матрица 242
— скорость 33
Характеристический многочлен
168
Характеристическое уравнение
169, 192, 242
Центр 88
Циолковского задача о движении
ракеты в пустоте 25—29
— с учетом силы
тяжести 29—31
— формула 26
Частное решение
дифференциального уравнения 14
системы
дифференциальных уравнений 234
Частный интеграл 14
Частота колебания 194
Чебышева многочлены 231
Численное решение
дифференциальных уравнений 88—99
систем дифференциальных
уравнений 271—273
Эйлера ломаная 92
— метод 91—93
уточненный 94, 95
— уравнение 190, 191
однородное 191, 192
Экстраток замыкания 65
— размыкания 65
Эрмита многочлены 231
Гутер Рафаил Самойлович, Янпольский Авраам Рувимович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Редактор А. М. Суходский
Художник А. В. Исиченко
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор 3. В. Нуждина
Корректор Г. А. Чечеткина
Сдано в набор 26/V-75 г. Подп. к печати 10/XI-75 г. Формат 84х1087з2. Бум.
тип. № 3. Объем 9,5 печ. л. Усл. печ. л. 15,96. Уч.-изд. л. 14,41. Изд. № Φ М-570,
Тираж 50 000 экз. Цена 56 коп.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» для вузов и техникумов на 1976 г. Позиция № 51
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграф-
прома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136,
Гатчинская ул., 26. Зак. 37г