Автор: Макклинток Ф. Аргон А.
Теги: физика сопротивление материалов деформация издательство мир
Год: 1970
Текст
FRANK A. McCLINTOCK and ali s. argon
MECHANICAL BEHAVIOR
OF MATERIALS
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading,
Massachusetts, U.S.A.
Addison-Wesley (Canada) Limited, Don Mills, Ontario
I960
www. vokb- la.spb.ru
Ф. МАККЛИНТОК, А. АРГОН
ДЕФОРМАЦИЯ
И
РАЗРУШЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
Перевод с английского
Под редакцией
канд. техн, паук Е. М. МОРОЗОВА
и
канд. фпз.-мат. наук Б. М. СТРУНИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1970
www. vokb- la. spb. ru
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой оригинальный обзор современных пред-
ставлений по механике деформируемых твердых тел и охватывает широкий
круг вопросов поведения материалов под нагрузкой — от упругой
деформации до различных видов разрушения. Рассматриваются ра.-шооб
разные случаи деформирования в зависимости от вида напряженного состоя-
ния, большое внимание уделяется условиям возникновения внутренних
напряжений и методам приближенного анализа предельных нагрузок.
В книге дается не только макроскопическое описание процессов деформа-
ции и разрушения с помощью математического аппарата теорий упругости
и пластичности, но и обсуждаются физические механизмы этих процессов
на атомно-кристаллическом уровне с учетом роли дефектов кристалличе-
ской решетки.
Книга предназначена для материаловедов, мсталлофизиков, механи-
ков, занимающихся вопросами прочности, а также для аспирантов и студен-
тов старших курсов указанных специальностей.
Редакция литературы по новой технике
www. vokb- la. spb. ru
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателей монография является введением
в современные представления по механике деформируемого твердого тела
и одновременно учебным пособием для студентов широкого круга специаль-
ностей, связанных с вопросами пластичности и прочности материалов и кон-
струкций. Книга написана коллективом авторов под общей редакцией
Ф. А. Макклинтока и А. С. Аргона, которые являются также авторами 15
(из 22) глав книги. В русское издание вошли именно эти главы, что позво-
лило вынести фамилии Макклинтока и Аргона на титульный лист в качестве
авторов книги. Исключение при переводе ряда глав, посвященных, различ-
ным частным вопросам (механика полимеров, твердость, внутреннее трение,
усталость, ползучесть, трение и износ, волокнистые материалы), обусловлено
лишь стремлением ограничить объем книги.
Книга состоит из двух частей: «Физическое описание деформации мате-
риалов» (гл. 1—5) и «Механика материалов» (гл. 6—15). Глава 1 посвящена
описанию строения кристаллов, в главах 2 и 3 даны сведения об упругих
свойствах и напряженном и деформированном состоянии; эти сведения необ-
ходимы для понимания теории дислокаций и последующих глав, посвящен-
ных механике сплошной среды. Физические представления о свойствах дефек-
тов решетки и их роль в пластической деформации и упрочнении кристал-
лических тел рассмотрены в главах 4 и 5.
В части II различные аспекты механического поведения материалов
описываются в основном на макроскопическом уровне. Здесь рассмотрены
изгиб и кручение, приближенные методы анализа напряженного состояния,
концентрация напряжений и деформаций, исследованы остаточные напря-
жения и указаны причины их появления. В этой же части обсуждается хруп-
кое разрушение при различных напряженных состояниях, дается анализ
возможных причин образования трещин и описывается строение изломов.
Рассматриваются пластическое разрушение и его механизмы, а также
условия взаимного перехода от пластического разрушения к хрупкому
и, наконец, приводятся решения ряда технических задач, почерпнутых из
практики.
Авторы поставили перед собой актуальную и весьма трудную задачу —
изложить в одной книге представления о деформации и разрушении твердых
тел на различном уровне: микроскопическом (на языке кристаллической
решетки и ее дефектов) и макроскопическом (пользуясь усредненными по
достаточно большим объемам значениями напряжений и деформаций). Это
позволило в ряде случаев (например, в гл. 14) качественно выделить роль
микроскопических механизмов в развитии макроскопического процесса.
Необходимо заметить, однако, что задача количественной стыковки
макро- и микропредставлений о механическом поведении материалов, т. е.
задача о нахождении количественной связи макроскопических механиче-
ских свойств твердых тел с параметрами их микроструктуры, может быть
решена только путем построения статистической теории пластичности
и прочности твердых тел, основанной на современных физических представ-
лениях о дефектах решетки и элементарных актах пластической деформации
и разрушения и учитывающей неоднородность развития этих процессов,
www. vokb- la. spb. ru
6
П редисловие
обусловленную неоднородностью структуры реальных материалов. Построе-
ние такой теории является делом будущего, но сейчас необходимо привет-
ствовать сделанную в настоящей книге попытку хотя бы качественно увя-
зать макро- и микронредставления.
В монографии затронут весьма широкий круг важных вопросов. Однако
изложение иногда излишне конспективно, материал многих разделов,
например гл. 4, носит вводный характер. В ряде мест отсутствуют четкие
определения, попадаются неточности и ошибки. В этих случаях нами при-
водятся дополнительные источники, где читатель может найти более глубо-
кое и исчерпывающее изложение вопроса, даются примечания (в ряде слу-
чаев уточнения вносились прямо в текст).
Отметим также, что общее повествовательное изложение материала книги
предполагает известное знакомство читателя с этими вопросами и иногда
служит как бы фоном, на котором проводится более детальный анализ
отдельных проблем, важных, но все же достаточно узких. Такое изложение
является, по-видимому, наиболее разумной формой подачи оригинального
материала и позволяет отразить его место в общей системе взглядов.
Монография отражает богатый опыт авторов по преподаванию соответ-
ствующих курсов в Массачусетском технологическом институте.
Особую роль играют в книге задачи. Они не только активизируют про-
цесс изучения материала, но и вносят в текст значительную дополнитель-
ную информацию.
Монография представляет собой полезный вклад в литературу по
механике деформируемых тел, поскольку она помогает устранить существую-
щий в отечественной литературе пробел по синтезу микро- и макропредстав-
лений о поведении тел под нагрузкой.
Книга может служить учебным пособием для студентов—материаловедов
и механиков, ее можно рекомендовать также инженерам, работающим в обла-
сти материаловедения, расчетов на прочность и в смежных областях.
Главы 2, 3, 6—11 и 13 написаны Ф. А. МакКлинтоком, главы 1, 4, 5,
12, 14, 15—А. С. Аргоном.
Работа над переводом распределялась следующим образом: гл. 1—6
перевел К. С. Чернявский, гл. 7 —15 — В. М. Маркочев. Редактировал
перевод гл. 1—5 Б. М. Струнин, гл. 6—15 Е. М. Морозов.
Б. М. Струнин
Е. М. Морозов
www.vokb-la.spb.ru
ПРЕДИСЛОВИЕ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Несмотря на то что в механическом поведении материалов еще многое
непонятно, значительная активизация работ в этом направлении за послед-
ние 15 лет позволяет построить довольно стройную теорию деформации и раз-
рушения. В этих работах получили развитие не только теория дислокаций
и описание явлений на атомном уровне, но также и методы механики сплош-
ных сред, к которым приходится обращаться всякий раз при рассмотрении
множества элементов, взаимодействие которых макроскопически выглядит
просто, а на атомном уровне оказывается чрезвычайно сложным.
Существование связи между различными уровнями описания механиче-
ского поведения материалов привело к мысли о том, что книгу надо начать
с обзора различных видов механического поведения и рассказать о деформа-
ции, напряжении и упругости твердых тел. Затем вводятся представления
теории упругости на почти атомном уровне в качестве основы для изложения
теории дислокаций. В дальнейшем вновь используются макроскопиче-
ские представления и дается общая формулировка фундаментальных урав-
нений пластичности. Решения этих уравнений, особенно в окрестности
отверстий и выточек, дают основу для теоретического описания различных
видов разрушения. В заключение приводятся примеры решения конкретных
инженерных задач.
Вслед за вводным курсом по материаловедению, в равной мере необ-
ходимым студентам всех инженерных специальностей, представляется весьма
целесообразным ознакомление студентов с специальным курсом поведения
материалов. Наша книга представляет собой такой специальный курс, цели-
ком посвященный механическому поведению материалов, причем здесь рас-
сматриваются материалы и условия их работы, которые типичны для строи-
тельных конструкций, летательных аппаратов и других механизмов. Этот
курс обычно читается студентам после курсов механики и общего материало-
ведения, иногда его изучают одновременно со специальными разделами
математического анализа.
Книга написана не только для тех, кто хочет добросовестно усвоить,
а затем и применить в работе новые сведения о деформации и разрушении
материалов, она дает толчок к творческой мысли тем студентам, дипломни-
кам и аспирантам, которые могут внести свой вклад в разработку этих про-
блем. Чтобы помочь им ориентироваться в книге, охватывающей столь обшир-
ный материал, в начале каждой главы дается ее краткое содержание, а в кон-
це главы — сводка основных результатов.
Надеемся, что благодаря достаточно подробному изложению материала
студент по прочтении этой книги сможет разобраться в специальной периоди-
ческой литературе по данному вопросу. В книге дана обширная библиогра-
фия: как правило, это ссылки на оригинальные работы, а также на более
поздние работы, отличающиеся четкостью изложения, или на те из них,
в которых делаются обобщения.
Книга написана не только для студентов, но и для наших коллег. Каж-
дый из нас накапливает знания, необходимые для работы в избранной им
www.vokb-la.spb.ru
8
Предисловие к американскому изданию
узкой области техники, и потому перестает следить за достижениями своих
коллег. Надеемся, что данная монография поможет ликвидировать разрыв
между материаловедами и механиками и укажет технологам и конструкто-
рам на стоящие перед ними проблемы, а также на потенциальные возможно-
сти, которые могут быть ими использованы.
В процессе работы над книгой мы осознавали, насколько отрывочны
наши знания даже в узкой области непосредственно интересующих нас вопро-
сов, и попытались заполнить хотя бы некоторые пробелы в наших позна-
ниях и выявить закономерности, ранее не обнаруженные.
При чтении курса мы иногда начинаем изложение материала с раздела
о механике и даем лишь краткие сведения о фундаментальных механизмах
процессов (хотя обычно отдаем предпочтение той последовательности изло-
жения, которая принята в данной книге). Иногда, наоборот, рассматривается
упругость и концентрация напряжений в связи с вызываемым ими хрупким
разрушением, а пластичность и анализ предельных состояний —- в связи
с пластическим разрушением. Хотя этот вариант изложения нельзя считать
последовательным, он позволяет раньше перейти к макроскопическому опи-
санию, на основании которого легче проводить экспериментальные работы.
Лабораторные работы являются существенной частью курса. В нашей
лаборатории четыре задания-программы предлагаются группам студентов
по четыре человека, которые в течение семестра изучают избранный ими
вопрос; с написанными ими отчетами знакомятся остальные студенты. Чтобы
исключить излишнее углубление в отдельные проблемы механического
поведения материалов и показать, как много сведений можно извлечь из
простых экспериментов, мы часто даем «на дом» задачи, решение которых
можно проверить расчетами.
Мы выражаем нашу благодарность многим лицам и в частности профес-
сорам И. Финни, Д. С. Вуду, М. Коэну и Р. Д. Андрюсу, а также неко-
торым из наших студентов за внесение поправок в текст книги.
Ф. Макклинток
А. Аргон
Массачусетский технологический
институт
www.vokb-la.spb.ru
ЧАСТЬ I
ФИЗИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛОВ
www. vokb- la.spb.ru
Глава 1
СТРУКТУРА й МЕХАНИЗМЫ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Обзор)
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Деформация и разрушение материалов под действием приложенных сил—
это основные явления, определяющие механическое поведение материалов.
Они могут происходить во взаимодействии с другими явлениями: тепловыми,
электрическими, магнитными, химическими и оптическими. Па эти эффекты
и их взаимодействие влияет структура материала.
Начинается обсуждение механического поведения материалов с описа-
ния явлений, наблюдаемых макроскопически. Затем следуют краткие све-
дения о структуре твердых тел, рассматриваются различные силы межатом-
ной связи и сравнивается энергия этих связей с энергией тепловых колебаний
атомов. Дается представление о кристаллической симметрии и вводятся обоз-
начения для плоскостей и направлений в кристаллах. Затем рассматрива-
ются дефекты кристаллической решетки и на этой основе приводится обзор
основных механизмов деформации кристаллических твердых тел. Большой
интерес представляет выяснение влияния напряжений, температуры и упо-
рядоченности структуры на механизм деформации. Это позволит нам рас-
сказать о некоторых видах структурной неоднородности и анизотропии,
вызванных деформацией, например о различных типах полос деформации
и о текстурах.
Данный обзор имеет описательный характер. Подробное рассмотрение
сил связи и строения атома и доказательства положений, касающихся сим-
метрии решетки, в таком обзоре невозможны. Читателя, интересующегося
этими вопросами, отсылаем к трудам по современной физике, квантовой
теории, статистической механике и кристаллографии. Непосредственный
интерес представляют виды деформации различных структур. Количествен-
ному их описанию и будут посвящены последующие главы, где можно будет
найти необходимые доказательства утверждений, сделанных в этой главе.
1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Поскольку деформация тела под действием приложенных к нему сил
сильно зависит от размера и формы тела, поведение материала удобно описы-
вать с помощью силы, отнесенной к единице площади, или напряжения, и сме-
щения, отнесенного к единице длины, или деформации. При достаточно низ-
ких значениях приложенного напряжения во многих твердых телах дефор-
мация и напряжение связаны линейным и независящим от времени соот-
ношением, как показано на фиг. 1.1. Кроме того, при снятии нагрузки вос-
станавливается исходная форма образца. Независящая от времени дефор-
мация, которая исчезает при снятии нагрузки, называется упругой дефор-
мацией. Во всех других случаях, если снятие внешнего напряжения не
приводит к почти мгновенному (со скоростью звука) уменьшению деформа-
ции, деформация называется неупругой.
При действии на материал возрастающего напряжения еще до наступ-
ления разрушения может оказаться, что при разгрузке исходная форма
образца не восстанавливается. Напряжение, соответствующе»? моменту
www. vokb- la. spb. ru
Глава 1
возникновения этого явления, называется пределом упругости материала.
Можно считать, что у металлов при низкой температуре (например, мень-
шей половины температуры плавления по абсолютной шкале) остаточная
Фи г. 1.1. Линейная зависимость деформации и напряжения стали 1020 при растяже-
нии в упругой области.
деформация возникает почти мгновенно и, следовательно, практически не
зависит от времени (фиг. 1.2). Независящая от времени деформация, которая
сохраняется после разгрузки, называется пластической деформацией.
Фиг. 1.2. Линейная упругость и последующая пластичность.
Деформация
У металлов при достаточно высоких температурах деформация продол-
жает расти во времени даже при постоянном напряжении (фиг. 1.3). Это
Ф и г. 1.3. Неуста носившаяся ползучесть в отожженной меди при постоянном напря-
жении и комнатной температуре.
Испытание на растяжение.
явление называется ползучестью. Если при температурах и уровнях напря-
жений, при которых имеет место ползучесть, воздействием извне вызвать
деформацию материала и поддерживать ее постоянной (фиг. 1.4), то при
www.vokb-la.spb.ru
Структура и механизмы, деформации твердых тел 13
появлении деформации будет возрастать напряжение, которое затем умень-
шится с течением времени. Такое уменьшение напряжения называется релак-
сацией. В металлах при условиях, благоприятствующих ползучести, часть
деформации после снятия нагрузки исчезает гораздо медленнее, чем чисто
упругая деформация (фиг. 1.5). Это явление называется задержанной упру-
гостью или упругим последействием. Его определяют как неупругую дефор-
мацию, хотя иногда считают, что это один из видов упругой деформации.
«Фиг. 1.4. Релаксация крутящего момента при постоянном угле закручивания поли-
кристаллпческого MgO при температуре 1773° К (1500° С).
Размеры образца: поперечное сечение 1,6 ммг, длина 25,4 ллг.
При достаточно высоких температурах приложение весьма малого напряже-
ния вызывает ползучесть, скорость которой приблизительно пропорцио-
нальна приложенному напряжению. Такая деформация называется вязким
течением.
При циклическом деформировании все виды неупругой деформации
приводят к появлению петли гистерезиса на диаграмме деформации. Наличие
петлиц гистерезиса свидетельствует о диссипации энергии.
ф и г. 1.5, Задержавшая упругость, или упругое последействие (отрезки кривых CD).
Больше всего металла расходуется на изготовление конструкций, основ-
ное назначение которых — сопротивление деформации. Сопротивление пла-
стической деформации материала, как правило, определяют испытанием
на растяжение или на твердость.
Для описания результатов испытания на растяжение материала, диа-
грамма деформации которого почти не зависит от времени (фиг. 1.6), вводят
специальные термины, рассматриваемые ниже.
Пределом текучести называют напряжение, требуемое для создания
некоторой заданной пластической деформации (обычно порядка десятых
долей процента). Это значение используется в конструкторских расчетах,
где требуется, чтобы пластическая деформация по порядку величины не пре-
восходила упругую.
Если нужно определить максимальную несущую способность детали,
испытание растяжением продолжают. По мере удлинения образца напря-
жение, необходимое для его пластического деформирования (деформирующее
www.vokb-la.spb.ru
14
Глава 1
напряжение), также возрастает. При этом площадь поперечного сечения
образца уменьшается. В некоторый момент влияние уменьшения площади
перекрывает прирост деформирующего напряжения и кривая нагрузки про-
ходит через максимум (фиг, 1.6, б). Значение максимальной нагрузки,
деленное на исходную площадь сечения, называется пределом прочности
при растяжениих). Если достижение максимальной нагрузки вызвано
локальным уменьшением сечения образца (образованием шейки), то, как
Ф и г. 1.6. Предел текучести (а) и предел прочности (б) при растяжении.
1 — условный предел текучести при остаточной деформации 0,2%; 2 — предел прочности; 3 — равно-
мерная деформация; 4 — деформация с образованием шейки.
правило, деформация продолжается дальше, до разрушения. При испы-
тании некоторых материалов нагрузка может увеличиваться и после
начала разрушения. В первом случае предел прочности является мерой
сопротивления деформации, во втором — мерой сопротивления разруше-
нию (например, в стекле, где нет заметной неупругой деформации, или
Фиг. 1.7. Определение твердости.
Твердость равна Pi А, где Р — сила, А — площадь отпечатка на оверхности.
в латуни, где она есть). Материалы или конструкции, в которых перед разру-
шением происходит значительная пластическая деформация, называются
пластичными', если же пластическая деформация перед разрушением отсут-
ствует, материалы называются хрупкими.
Быстро определить сопротивление пластической деформации можно,
произведя измерение твердости, при котором в образец вдавливают инден-
тор, как показало на фиг. 1.7. Твердость материала можно определить как
силу, приходящуюся па единицу площади отпечатка, следовательно, она
имеет размерность напряжения. У пластичных материалов значения напря-
жения, полученные при измерении твердости, как правило, в 2,5—3 раза
превосходят предел прочности при растяжении; это вызвано тем, что упру-
гий материал, окружающий пластически деформированную зону около инден-
х) Его называют также предельным сопротивлением — ultimate strength (или пре-
дельным сопротивлением растяжению).
www.vokb-la.spb.ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
15
тора, препятствует увеличению поперечных размеров отпечатка. Часто
используется шкала отвлеченных чисел твердости, определяемых по глу-
бине вдавливания индентора при постоянной нагрузке.
После прохождения различных этапов деформирования образец раз-
деляется на две или несколько частей. Если не было заметной пластической
деформации или ползучести, этот процесс называется хрупким разрушением.
Другим крайним случаем является разрыв, который представляет собой
последовательное уменьшение толщины образца до нуля за счет непрерывной
пластической деформации или вязкого течения. Пластическое разрушение —
это расчленение образца при пластическом течении до наступления разрыва.
Мерой пластичности материала является относительное уменьшение пло-
щади поперечного сечения (в процентах) при разрушении во время испыта-
ния на растяжение. У хрупкого материала поперечное сужепие равно нулю.
При разрыве оно составляет 100%. У большинства металлов и сплавов
поперечное сужение имеет значение от 30 до 70%. Но даже в пластичных
материалах может наступить разрушение при повторном приложении нагру-
зок, которые при однократном приложении не вызывают макроскопической
пластической деформации материала. В этом случае к образованию трещины,
а затем и к разрушению приводит локальное пластическое течение. Это
явление называется усталостью. Разрушение может наступить и после
ползучести в результате образования пор в материале (по границам зерен
или вблизи включений) и их смыкания.
Коррозия — фактор, существенно влияющий на механическое поведе-
ние материалов, потому что коррозия и напряжения, действуя совместно,
иногда приводят неожиданно к опасному виду разрушения, называемому
коррозией под напряжением. Последняя может вызвать образование трещин
при статическом и при повторном приложении напряжений, гораздо мень-
ших, чем те напряжения, которые приводят к разрушению при отсутствии
коррозии.
Трение и износ также являются процессами, которые в большой степени
зависят от характера поверхности материала, особенно от степени загрязнен-
ности и от наличия смазки. Хотя повреждения, вызванные износом, не столь
заметны, как повреждения, вызванные большой пластической деформацией
или разрушением, тем не менее износ и коррозия являются первичными источ-
никами выхода из строя большинства машин и конструкций.
1.3. МЕЖАТОМНЫЕ СВЯЗИ И ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
А. Межатомные связи
Механическое поведение материалов зависит от их строения. Строение
или структуру следует рассматривать на разных уровнях, начиная со строе-
ния ядра и атома, молекулярной, кристаллической и дислокационной струк-
туры, полосы скольжения, субзерен, полос деформации, фаз, включений
и переходя затем к конструкции балки, колонны, стрингеров и плит
(например, в конструкции корабля или летательного аппарата). Далее
в этой главе мы последовательно рассмотрим, как такие различные виды
структуры участвуют в процессах деформации и разрушения материала.
Изменения структуры ядра влияют на механическое поведение материа-
лов, поскольку они вызывают превращения элементов, а также приводят
к испусканию частиц с высокой энергией, которые нарушают правильность
атомной, молекулярной или кристаллической структур. С другой стороны,
механическое давление в несколько миллионов атмосфер, позволяющее суще-
ственно изменить плотность, делает возможным протекание ядерных реакций,
которые при атмосферном давлении неосуществимы. Не касаясь технологии
ядерных взрывчатых веществ, отметим, что основное участие ядерной струк-
www. vokb- la .spb. ru
16
Глава 1
туры в деформации и разрушении — это воздействие ядерных реакций на
атомную, молекулярную и кристаллическую структуры.
Нейтральный атом состоит из положительно заряженного ядра, окру-
женного электронами, полный заряд которых равен заряду ядра. Согласно
квантовомеханическому описанию, имеется ряд орбит — мест вероятного
нахождения электронов. Считается, что энергия, угловой момент и спин
электронов принимают лишь дискретные квантованные значения. Нам важно
Фиг. 1.8. Зависимость энер-
гии от однородной дилатации
для NaCl (а) и производные
энергии по расстоянию для
кристалла сферической формы,
отнесенные к текущему значе-
нию поверхности сферы (б).
Тангенс угла наклона начального
участка кривой напряжения при
т/т0 = 1 равен утроенному модулю
всестороннего сжатия. в Принято,
что г0 = 2,81 А.
лишь знать, что объединение атомов в молекулы и кристаллы вызвано взаи-
модействием электронов друг с другом и с ядрами. Оказывается, что раз-
личные виды квантовомеханического взаимодействия электронов можно рас-
сматривать по отдельности, т. е. можно говорить о различных составляющих
энергии кристалла или молекулы: энергии отталкивания и одном или несколь-
ких видах энергии притяжения. Иллюстрирует это фиг. 1.8, а, где вычер-
чены графики энергии отталкивания иг, притяжения иа и полной энергии
в функции расстояния для случая однородной дилатации кристалла NaCl.
При отсутствии напряжения полная энергия приблизительно равна энергии
притяжения и называется энергией связи. Первая производная от полной
энергии определяет интенсивность изменения межатомных сил с расстоя-
нием (o"r, о',., <4Г на фиг. 1.8, б), а ее вторая производная — жесткость
(модуль всестороннего сжатия В),
Силы отталкивания, вызванные перекрытием внутренних, прочно свя-
занных с ядром электронных оболочек, преобладают на близких расстоя-
www. vokb- la .spb. ru
Структура и механизмы, деформации твердых тел 17
ниях и резко спадают пропорционально приблизительно девятой степени
расстояния, или, точнее, экспоненциально [13].
Силы связи по их величине можно разделить на три класса:
1. Первичные связи, а) Ионная связь. Атомы некоторых элементов,
например щелочных металлов, помимо заполненных электронных оболочек,
имеют валентные электроны, которые они могут легко отдавать. Атомы
других элементов, например галогенов, стремятся присоединять электроны
для заполнения электронных оболочек. Нейтральные атомы щелочных
металлов в присутствии галогенов легко отдадут последним свои валентные
электроны. Образовавшиеся таким образом катионы щелочных металлов
и анионы галогенов будут взаимно притягиваться электростатически без
каких-либо дополнительных заметных изменений их электронного строе-
ния. Например, в хлористом натрии катионы натрия стремятся окружить
себя шестью анионами хлора и наоборот. В результате образуются не отдель-
ные молекулы NaCl, а гигантская молекула, устойчивая за счет действия
электростатических сил. Этот тип связи называется ионной связью.
Электростатическую энергию притяжения находят, попарно суммируя
электростатические взаимодействия между всеми положительными и отри-
цательными ионами; эта энергия меняется обратно пропорционально первой
степени расстояния между ионами. Получаемые таким образом значения
энергии связи имеют порядок 40 000—200 000 кал/г-молъ (задачи 1.1—1.3).
б) Ковалентная связь. Атомы ряда элементов стремятся к взаимному
обмену некоторыми из своих валентных электронов. Связь, образующаяся
в результате снижения энергии из-за такого обмена, называется ковалентной.
По типу ковалентной связи образовано большинство молекул, например
N2, 02, СН4, а также молекулы более сложных химических соединений.
в) Металлическая связь. Энергия тех атомов, которые легко теряют свои
валентные электроны, понизится, если атомы сблизить настолько, что элек-
троны смогут перемещаться от одного ионного узла к другому по всему
кристаллу, образуя некий газ из свободных электронов, благодаря которому
сохраняется плотная упаковка положительно заряженных ионов. Эта связь
характерна для металлов, в том числе щелочных, и называется металли-
ческой. Движением свободных электронов при приложении электрического
поля объясняется высокая электропроводность металлов. Одним из важ-
нейших следствий металлической связи является наличие в металлах плот-
ной упаковки (большого числа ближайших соседей).
2. Вторичные (межмолекулярные, вандерваальсовы) связи. Хотя
валентные связи атомов в пределах одной молекулы насыщены, между самими
молекулами все же действуют силы притяжения, правда, гораздо более сла-
бые. Эти силы вызваны наличием постоянных или индуцированных дипо-
лей. Квантовая механика показывает, что даже при отсутствии постоянного
диполя в молекуле существуют колебания заряда электронов, представляю-
щие колебания дипольных моментов, которые в соседних молекулах автома-
тически взаимно синхронизируются и создают силы притяжения. Именно
эти силы вызывают конденсацию и затвердевание веществ, состоящих из
молекул (в других веществах, например в металлах, причины этих процессов
другие). Впервые эти силы были введены Ван дер Ваальсом при рассмотре-
нии причины отклонения от закона идеальных газов.
3. Водородная связь. Водород может существовать в виде как положи-
тельного, так и отрицательного иона. Положительный ион водорода, или
протон, получается при удалении единственного электрона. Отрицательный
ион образуется при неполном экранировании положительно заряженного
ядра единственным электроном в нейтральном атоме. Неполная экрани-
ровка приводит к образованию постоянного диполя, который обладает слабо
выраженной тенденцией к присоединению другого электрона за счет чисто
ионного притяжения. гвпйствл-дтома водорода позволяет ему свя-
2—92
www. vokb- la .spb. ru
18
Глава 1
зывать два отрицательных иона; эта связь называется водородной. Наличием
водородной связи объясняется тот факт, что вода, имея очень легкую моле-
кулу, кипит при довольно высокой температуре и расширяется при кри-
сталлизации.
Как правило, силы связи элементов или молекул определяются сочета-
нием нескольких идеализированных типов связи, рассмотренных выше.
Полную энергию связи можно измерить либо термохимически, либо спектро-
скопически. Энергия первичной связи, как правило, порядка 40 000—
200 000 кал/г-молъ (или 2—10 эв/атом). Энергия водородной связи 5000—
10 000 кал/г-молъ (0,2—0,5 эв/атом), а энергия вторичной связи 500—
5000 кал/г-молъ (0,02—0,2 эв/атом). Величины энергий связи важны при
определении упругих констант кристаллических материалов и их способно-
сти сопротивляться деформации, несмотря на тепловое движение атомов.
Б. Тепловое движение
Атомы в кристалле колеблются около положений равновесия, ампли-
туды их колебаний увеличиваются с ростом температуры. Этим движением
определяются временная и температурная зависимости механического поведе-
ния кристаллических тел. Поэтому мы сделаем краткий обзор основных идей
статистической механики, следуя Иосу [9], в книге которого читатель найдет
более подробное их обсуждение 1).
Статистическая механика показывает, как полная энергия теплового
движения зависит от температуры, и выводит распределение энергии для
различных видов движения, или, другими словами, определяет флуктуации
энергии во времени для данного вида движения. Классическая статистика
Больцмана применима к наборам частиц, энергии которых можно описать
с помощью обобщенных координат, определяющих положение частицы и мо-
мент количества движения. Эти координаты определяют многомерное про-
странство (фазовое пространство), в котором движутся частицы. Например,
система пружина — масса (без затухания) имеет в двумерном фазовом про-
странстве эллиптический график движения (задача 1.4). В случае тран-
сляций и поворотов в трех измерениях пространство будет двенадцати-
мерным: шесть координат положения q-t и шесть координат момента р;.
Движение набора частиц можно представить как движение «газа» точек
в фазовом пространстве. С помощью уравнений механики в формулировке
Гамильтона можно доказать, что если силы консервативны, то плотность
«газа» в окрестности каждой данной точки постоянна во времени. Если «газ»
разделить на ячейки объемом Ду, которые движутся вместе с точками, эти
объемы будут при движении в фазовом пространстве содержать постоянное
число точек. Таким образом, ячейки представляют удобную систему отсчета
при исследовании. Их действительный размер определяет квантовая
механика.
Макросостояние системы описывают с помощью числа частиц в каждой
ячейке Nt. Микросостояние (набор микросостояний формирует макросостоя-
ние) определяется способом расположения заданных частиц по заданным
ячейкам. Из-за накладываемых на условия задачи ограничений не все ячейки
могут быть заняты. (Например, может быть разрешено движение вдоль
линии или по плоскости, а вращение частиц запрещено.). Однако предпо-
лагается, что попадание частицы во все допустимые ячейки равновероятно.
Тогда вероятность макросостояния будет пропорциональна числу микро-
состояний, которыми это макросостояние обладает.
В качестве примера рассмотрим следующий эксперимент (фиг. 1.9).
Два индивидуально различимых красных и два белых шара надо попарно
х) См. также книги [18*—— Г/рц.ч^.- .рей.
f
“ www.vokb-la.spb.ru
Структура и механизмы деформации твердых тел 19
разместить в двух ящиках, каждый из которых вмещает лишь два шара.
Если взаимное положение шаров в ящиках и взаимное положение ящиков
роли не играют, то для четырех шаров в двух ящиках можно указать два
возможных макросостояния: одно, когда в каждом ящике находятся шары
одного цвета, и другое, когда в каждом ящике находятся шары разного
цвета. Как показано на фиг. 1.9, существует лишь один способ (микросостоя-
ние) распределить шары по ящикам так, чтобы получить макросостояние
без смешения цветов, тогда как для получения макросостояния со смешением
2 красных шара
Макросостояние в одной ячейке1
2 белых е другой
Микросостояпие
В каждой ячейке 1 красный
и 1 белый шар
2
Число микросостояний
2/2
Вероятность макроактотия l/з
Ф и г. 1.9. Расчет вероятности макросостояния по числу микросостояний.
К — красные шары; Б — белые шары.
цветов существуют два способа (микросостояния). Таким образом, из трех
микросостояний два приводят ко второму макросостоянию и одно —‘к пер-
вому; следовательно, вероятность наступления первого макросостояния
равна х/3, а второго 2/я.
По определению Больцмана за энтропию макросостояния принимается
произведение константы Больцмана к на натуральный логарифм числа мик-
росостояний, приводящих к данному макросостоянию; с точностью до адди-
тивной постоянной энтропия пропорциональна вероятности макросостояния
s = (1.1)
Для данного общего числа частиц N и данной полной энергии состояние с
максимальной энтропией, или наиболее устойчивое состояние, будет достиг-
нуто при следующем распределении частиц по ячейкам, выраженном через
полную энергию и, каждой ячейки 2):
J^L — f. — ,Ле_____ fl 2)
2 е 1 Др
Это функция распределения Максвелла — Больцмана; суммирование ведется
по всему фазовому пространству.
Из приведенных рассуждений следует, что в состоянии устойчивого рав-
новесия системы частицы не обладают одинаковой энергией, но лишь не-
многие из них имеют более высокую энергию, чем все остальные (т. е. нахо-
дятся в соответствующих этой энергии ячейках). Можно определить долю
частиц с энергией, большей или равной и (задача 1.5):
р (щ и) = e~u/hT. (1-3)
Теплоемкость набора частиц находят, дифференцируя среднюю энергию,
относящуюся к каждой координате фазового пространства, 5. е. соответст-
вующую каждому значению положения и момента количества движения всех
частиц. Вычислить теплоемкость довольно просто, если можно представить
*) Вывод этой формулы см. у Носа [9].
2*
www. vokb- la .spb. ru
20
Глава 1
энергию в виде суммы членов, относящихся к различным координатам.
В частности, если энергию находят суммированием членов, каждый из кото-
рых пропорционален квадрату момента, то средний вклад в полную энергию
от каждой координаты будет fcf/2 (з а д ач а 1.6).
Теплоемкость при постоянном объеме есть скорость изменения энергии
при изменении температуры, и для 1 моль она может быть выражена через
число Авогадро NA. Так, у одноатомного идеального газа, где каждый атом
имеет лишь три компоненты момента количества движения, теплоемкость
будет равна 3NAk!2. У двухатомного газа, где каждая молекула имеет
пять степеней свободы, теплоемкость составит 5NAk/2. Можно считать, что
в кристалле атомы колеблются возле равновесных положений и что потен-
циальная энергия описывается параболической функцией, соответствующей
линейной восстанавливающей силе при малых отклонениях от равновесных
Фиг. 1.10. Колебания атома в потен-
циальной яме при некотором конечном
значении температуры Т.
Фиг. 1.11. Колебания кристал-
лической решетки с наивысшей
частотой.
положений (фиг. 1.10). В действительности это не совсем так: из-за дви-
жения соседних атомов рельеф потенциальной ямы для каждого атома сме-
щается и при интенсивном тепловом движении восстанавливающая сила
Становится нелинейной. Тем не менее можно принять такое приближение:
у каждого атома три координаты положения и три компоненты момента
количества движения; вклад в энергию каждой из них пропорционален ее
квадрату. Поскольку средняя потенциальная энергия для линейного осцил-
лятора равна его средней кинетической энергии, теплоемкость кристалла
при постоянном объеме можно выразить через число Авогадро (для 1 лимь)
следующим образом:
с0 = 2N Ак = 37? 6 кал!г-молъ град, (1.4)
где R — универсальная газовая постоянная (задачи 1.7—1.9). Постоян-
ство молярной теплоемкости многих простых веществ экспериментально
установили Дюлонг и Пти еще до появления статистического толкования;
этот закон назван их именами.
Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, как определить число
координат, входящих в статистическую модель. Другими словами, сколько
степеней свободы имеет колебательное движение в кристалле? Должны ли
мы, говоря о кристалле, учитывать не только трансляции, но и вращения
атомов? Должны ли мы рассматривать движение каждого отдельного атома
в кристаллическом веществе или на самом деле атомы движутся парами? Отве-
ты на зти вопросы дает квантовая механика, которая утверждает, что колеба-
www. vokb- la .spb. ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
21
ния возбуждаются лишь теми значениями энергии, которые кратны Ди:
Au = fcv, (1-5)
где v — частота колебаний данного вида; h — постоянная Планка (6,62 X
X 10-27 эрг-сек). В рассмотренной выше модели простого гармонического
осциллятора средняя энергия (сумма кинетической и потенциальной),
приходящаяся на один вид колебаний, равна кТ. Следовательно, на основа-
нии выводов классической статистики для возбуждения колебаний одного
вида с частотой v необходима такая темпе-
ратура, чтобы
кТ hv.
(1.6)
Для того чтобы установить, какие виды
колебаний будут возбуждаться в кристалле,
содержащем много атомов, нужно знать
соответствующие этим видам частоты. Боль-
шинство частот близко к наивысшей возмож-
ной частоте колебаний решетки [11, стр. 31,
которую приближенно можно считать равной
частоте колебаний отдельного атома, ко-
леблющегося между жесткими стенками
(фиг. 1.11). Наивысшую частоту колебаний
можно выразить через массу грамм-атома М,
модуль упругости Е, число Авогадро N А
и межатомное расстояние Ь (задача 1.10):
2л V m V MjNA
(1-7)
Это соотношение можно также вывести
из учета времени распространения упругой
волны от данного атома к соседнему (з а-
дача 1.11). Температура, которая, согласно
уравнению (1.6), достаточна для возбужде-
ния этой частоты, есть характеристическая
температура, приблизительно равная тем-
пературе Дебая. При более высоких тем-
пературах должны возбуждаться все 3N
Фиг. 1.12. Теплоемкости твер-
дых тел при низких температу-
рах (101.
Значения 0 (характеристической тем-
пературы Дебая) для хорошо извест-
ных веществ
Вещество е, °к Вещество e, °к
Ag 215 Мо 379
Al 398 Na 159
Ан 180 Ni 370
С (алмаз) I860 Ph 88
Cd 160 Та 245
Си 315 w 310
Ге 420 NaCi 281
Mg 200
видов колебаний решетки, а теплоемкость будет 6 кал/г-молъ-град (зна-
чение, рассматривавшееся выше). При более высоких температурах
начнут возбуждаться некоторые виды движения электронов и теплоемкость
станет еще выше. При температуре ниже дебаевской некоторые виды колеба-
ний «заморозятся» и теплоемкость понизится (фиг. 1.12). Следовательно,
правильность выбора числа видов колебаний в статистической модели можно
проверить либо по уравнению квантовой механики (1.6), либо сравнением
теплоемкости со значением 6 кал/г-моль-град.
Тепловое движение способствует постепенному переходу от одного
состояния к другому. Например, для испарения атома с поверхности твердого
тела в вакуум, он и его соседи должны расположиться так, чтобы атом был
выброшен из кристалла, несмотря на его связь с соседями. Грубо говоря,
кинетическая энергия атома должна стать равной энергии связи. Вероятность
того, что кинетическая энергия атома не меньше требуемой, дает соотноше-
ние (1.3). Частота смены энергетических состояний — порядка частоты
колебаний решетки по формуле (1.7). Следовательно, скорость, с которой
атомы, преодолевая энергию связи иь, покидают поверхность, содержащую
N атомов, равна
—у— = Д ve~vb'hT.
at
(1-8)
www.vokb-la.spb.ru
22
Глава 1
Аналогичные соотношения описывают и многие другие случаи, где
термическая активация играет основную роль. Следовательно, скорость
активируемого процесса R можно выразить через число активационных
центров Ns, преобладающую частоту va и энергию активации иа
R = Nsvae~Ua/hT. (1.9)
Говоря точнее, величина иа должна быть равна изменению свободной
энергии Гиббса, необходимому для удаления атома из потенциальной ямы
[1, 5, 15, 17]. Согласно квантовой механике, энтропия будет изменяться
не только при изменении температуры, как следует из кривой теплоемкости,
но и при изменении частоты. Этот вклад в свободную энергию при комнатной
температуре составляет 0,003 эв при изменении частоты на 10% (зада-
ч а 1.12). Иэ-за малости этого эффекта и ввиду того, что было уже сделано
более серьезное допущение о применимости статистической механики равно-
весных состояний для описания переходных процессов, пренебрежем раз-
ницей между свободной энергией Гиббса и внутренней энергией активации,
и в дальнейшем будем рассматривать лишь последнюю.
Интересно будет в качестве иллюстрации рассмотреть несколько числен-
ных примеров применения соотношения (1.8). С поверхности материала,
у которого энергия связи внешних атомов или молекул с внутренними со-
ставляет 1 эв, при комнатной температуре будет испаряться каждую секунду
одна молекула из 10 000, т. е. при отсутствии обратного осаждения из газо-
вой фазы 1 см3 испарится приблизительно за 10 000 лет. Когда энергия
связи составляет 0,2 за, то испарение того же объема займет лишь 0,01 сек,
если при этом удастся сохранить вакуум. Если же энергия связи будет равна
2 эв, процесс займет время в 1012 раз больше возраста вселенной (з а д а-
ч а 1.13). Очевидно, 1 эв можно считать некоторым пределом, выше которого
тепловое движение при колпачной температуре практически уже не спо-
собно разрывать связи.
1.4. СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ И ДЕФЕКТЫ
А. Кристаллическая структура
Во время охлаждения из жидкого состояния в большинстве металлов
и простых веществ может происходить упорядочение, необходимое для кри-
сталлизации. При этом атомы образуют правильную решетку, в которой
определенная конфигурация периодически повторяется в пространстве
(фиг. 1.13). Эта конфигурация, содержащая один или много атомов, назы-
вается элементарной ячейкой х). В большинстве случаев элементарная ячейка
выбирается больших размеров, чем примитивная ячейка, чтобы отразить
высокую степень симметрии кристалла, которая может быть незаметна у при-
митивной ячейки. На фиг. 1.14 в качестве примеров представлены ячейки:
гранецентрированная кубическая, объемноцентрированная кубическая, гек-
сагональная плотноупакованная и хлористого натрия. Расположение атомов
в самой элементарной ячейке может быть более или менее симметрич-
ным. Даже у кубических структур элементарные ячейки могут быть разной
сложности: от гранецентрированной и объемноцентрированной до алмазной
или ячеек а- и 0-марганца, содержащих соответственно 58 и 20 атомов.
Однако и эти структуры кажутся простыми в сравнении со сложной струк-
Д Смещение элементарной ячейки в трех измерениях в направлении векторов транс-
ляции а, Ь и с (фиг. 1.13) позволяет построить всю кристаллическую решетку. Примитив-
ная ячейка — это элементарная ячейка наименьшего объема, т. е. параллелепипед, пост-
роенный на векторах трансляции а, Ь и с.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
24
Глава 1
турой органических соединений. Описание структуры кристаллов с различ-
ной степенью симметрии дано в книге Бюргера [3].
Большинство известных конструкционных металлов кристаллизуется
с образованием высокосимметричных решеток, кубической или гексагональ-
ной. В табл. 1.1 и 1.2 приводятся типы решеток и их параметры для ряда
Таблица 1.1
Кристаллическая структура и параметры решетки некоторых элементов
при комнатной температуре (20° С) 2)
Элемент Тип структуры Число атомов на элемен- тарную ячейку Периоды решетки, А Расстояние между бли- жайшими . соседями, А
а С
Ag Г. ц. к. 4,0856 2,888
Al Г. ц. к. 4 4,0490 2,862
Au Г. ц. к. 4 4,0783 2,884
Be Г- п. у. 2 2,2854 3,5841 2,225
Cd Г- п. у. 2 2,9787 5.617 2,979
С (алмаз) Алмазная кубн- 8 3,568 1,544
Or чсская О. ц. к. 2 2,8845 2,498
a-Co г. я. у. 2 2.507 4,069 2,506
P-Co Г. ц. к. 4 3,552 2,511
Cu Г. ц. к. 4 3,6153 2,556
a-Fe О. ц. к. 2 2,8664 2,481
y-Fe (эк- Г. ц. к. 4 3,571 2,525
страполяция) Ge Алмазная куби- 8 5,658 2,450
К ческая О. ц. к. 2 5,344 4,627
Li О. ц. к. 2 3,5089 3,039
Mg Г- и. у. 2 3,2092 5,2103 3,196
a-Mn Кубическая 58 8,912 2,24
P-Mn В 20 6,300 2,373
Mo О. ц. к. 2 3,1466 2,725
Na О. ц. к. 2 4,2906 3,715
Ni Г. ц. к. 4 3,5238 2.491
Pb Г. ц. к. 4 4,9495 3,499
Pt Г. ц. к. 4 3,9237 2,775
Si Алмазная куби- 8 5,4282 3,351
a-Sn ческая То же 8 6,47 2,81
Ta О. ц. к. 2 3,3026 2,860
<i Ti Г. и. у. 2 2,9504 4,6833 2,89
a-W О. ц. к. 2 3,1648 2,739
Zn Г. п. у. 2 2,664 4,945 2,664
1) Данные Барретта (1952).
известных металлов и простых неорганических соединений. При рассмотре-
нии деформации кристаллов важно иметь в виду, что в зависимости от харак-
тера представления кристаллической структуры выявляются различные ее
особенности. Например, и гексагональная плотноупакованная и гранецен-
трированная кубическая структуры обеспечивают плотную упаковку твер-
дых шаров. Для гексагональной плотноупакованной структуры (фиг. 1.15)
это очевидно. Это же свойство в гранецентрированной кубической структуре
легче всего заметить, если смотреть на плоскости, проходящие через три
несоседние вершины элементарной ячейки (фиг. 1.16). Эти плоскости подобны
плоскостям гексагональной плотноупакованной структуры, но, как видно
www. vokb- la. spb. ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
25
Таблица 1.2
Кристаллическая структура и параметры решетки некоторых неорганических
соединений и сплавов при комнатной температуре (20° С)
Соединение (сплав) Тип структуры Полное чи- сло атомов на элемен- тарную ячейку Периоды ^решетки, Расстояние микду ближайшими
а С соседями , A
NaCl (каменная соль) Г. ц. к. структу- ра каменной соли 8 5,627 Na-Na Na —Cl 3,97 2,81
KCI (сильвинит) То же 8 6,28 К — К К — Cl 4,42 3,14
AgCI » » 8 5,545 Ag — Ag Ag —Cl 3,92 2,78
CsCl CaF2 (флюорит) СаСО3 (кальцит) 0-А12Оз а-Латунь 0-Латунь Хлористого цезия Кубическая (о. ц. к.) Ромбоэдрическая Гексагональная Г. ц. к. 0. ц. к. 2 12 (4 моль) 10 (2 моль) 4 2 4,110 5,451 6,361 5,56 Зависит центра ка То же 22,55 от кон- ции цин- Cs — Cs Cs — Cl 4,110 3,560
из фиг. 1.16, они уложены в последовательности по три (. . . САВСАВ . . .),
а не по две (. . . ВАВА..как в гексагональной плотноупакованной
Фиг. 1.15. Плоскости из
плотноупакованных шаров
уложены так, что атомы в
слоях А лежат непосред-
ственно друг над другом
(слои раздвинуты в верти-
кальном направлении).
структуре. Если бы межатомные силы
действовали только между ближай-
шими соседями, эти две конфигура-
ции были бы равнозначны. Однако
взаимодействие соседей, следующих
за ближайшими, которое отличает
гранецентрированную кубическую
Фиг. 1.16. Гранецентриро-
ванная кубическая струк-
тура, в которой плотноупа-
кованные плоскости (111)
имеют последовательность
АВ С АВС А.
структуру от гексагональной плотноупакованной, приводит к тому, что>
первая имеет четыре семейства плотноупакованных плоскостей (фиг. 1.16),
а не одно, как вторая. Это создает дополнительные возможности для пла-
стической деформации.
www.vokb-la.spb.ru
'26
Глава J
Б. Миллеровские обозначения
Плоскости и направления в кристаллической решетке удобно описы-
вать с помощью системы трех индексов, связанных с тремя векторами транс-
ляции, образующими элементарную ячейку. Учитывая периодичность
строения кристалла, достаточно рассмотреть лишь одну (любую) плоскость
или линию из семейства параллельных плоскостей или линий.
Чтобы описать какое-либо направление (например, d или d', фиг. 1.13),
надо:
1. Задать вектор, параллельный этому направлению, набором чисел,
кратных длинам трех векторов трансляции, например
dt 1, 1, 1 или 2, 2, 2; d't 1, —2, 3 или 2, —4, 6.
(У линии, проходящей через две точки в решетке, т. е. у кристаллографи-
ческого направления, коэффициенты всегда целые числа.)
2. Направление линии обозначить набором наименьших целочисленных
коэффициентов, заключенных в квадратные скобки, с черточкой над отри-
цательными коэффициентами
d: [111]; d': [123].
Чтобы описать кристаллографическую плоскость, надо:
1. Найти величины отрезков, которые данная плоскость или одна
из параллельных ей плоскостей отсекает на трех кристаллографических осях,
проходящих вдоль векторов трансляции.
2. Взять отношения длин этих отрезков к величинам соответствующих
векторов трансляции и записать их в виде последовательных трех чисел
в соответствии с правовинтовой ориентировкой осей. Например, для пло-
скостей Р и Р’ на фиг. 1.13 эти отношения будут равны
Pt 1,1, 1; P't Т, 1, Чг.
3. Взять обратные величины этих отношений и привести их к наимень-
шим целочисленным значениям, умножив на соответствующий множитель.
Полученные три целых числа, заключенные в круглые скобки, называются
Миллеровскими индексами плоскости. Отрицательный индекс по-прежнему
обозначается черточкой над цифрой. Итак, плоскости Р и Р' обозначаются
Pt (111); P't (221).
В кристаллах с высокой симметрией часто бывает необходимо обозначить
целое семейство эквивалентных плоскостей или направлений определенного
типа. Для этого заключают Миллеровские индексы (положительные) для пло-
скости в фигурные скобки, а для направления — в угловые скобки. Напри-
мер, {110} представляет семейство плоскостей (110), (101), (011), (110) и т. д.,
а (НО) представляет семейство направлений [110], [101], [011], [110] и т. д.
В кубическом кристалле три кристаллографические оси можно рас-
сматривать как декартову систему координат. В этом случае можно очень
легко выполнять векторные операции, пользуясь миллеровскими индексами
плоскостей и направлений. Отметим, что вектор и, нормальный к пло-
скости (hkl) и проходящий через начало координат, имеет направляющие
косинусы (задача 1.14)
hkl
+ + ' -[/h^ + k^ + l^ ' ’
www. vokb- la. spb. ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
27
Следовательно, любая кристаллографическая плоскость в кубическом кри-
сталле может быть единственным образом представлена своим единичным
нормальным вектором
__ hi 4- k j + Ik
где i, j и к —три единичных вектора декартовой системы. Аналогично можно
представить кристаллографическое направление его единичным вектором
__ ui 4" cj + “’k
Vu2 4 i’a -| - to-
Рассмотрим наиболее употребительные операции.
Нахождение косинуса угла между двумя плоскостями (/iifcJi) и
COS ф = Щ. no = - . ^2 + ktk2 + ltl?_ . _ (1 10) V(hl-rkl + l^(hl + kl-\ Z|)
Нахождение и [u2v2ivz]: косинуса угла 2. между двумя направлениями C.OSl = d1.d.,= -/ _ (111) V (“i + г? -T ^1) (w| + I’i + U’l)
Нахождение направления линии пересечения плоскостей и
i j k
ui+d+^k = — !_ h k lt
-[/U2 + V2 + W2 V(ht+h? + i?)^i+hi+Z2)
(1.12)
В. Дефекты кристаллической решетки
Совершенная кристаллическая решетка является идеализированной
схемой. В решетке реального кристалла имеются различные дефекты. Один
из дефектов — выход атомов из регулярных положений, вызванный тепло-
вым движением, о котором уже говорилось. Другими простейшими дефекта-
ми кристаллической решетки являются: вакансия, образующаяся при уходе
атома из узла решетки; межузельный атом, т. е. «лишний» атом того же сор-
та, что и атомы, составляющие решетку, для которого не нашлось свободного
узла; примесный, или чужеродный, атом, который обязательно найдется
.даже в самых «чистых» материалах. Примесные атомы могут замещать атомы,
из которых составлена решетка, в ее узлах (тогда они называются примесями
.замещения) либо размещаться в межузельных пустотах между основными
атомами решетки (в этом случае они называются примесями внедрения).
Подобные дефекты, связанные с одним атомом, называются точечными дефек-
тами.
Другими несовершенствами кристаллической решетки являются линей-
ные дефекты. В результате незавершенного трансляционного смещения
одной части решетки относительно другой образуется линейный дефект,
называемый дислокацией (фиг. 1.17). Пластичность кристаллов есть резуль-
тат образования и движения дислокаций. Часто дислокационные линии
•сплетаются в сетки. В таких случаях очень трудно представить себе поведение
каждого атома, дислокацию рассматривают как целое и говорят о действую-
щих на нее силах, о взаимодействии дислокаций друг с другом и об обра-
зовании дислокационной структуры.
До сих пор мы говорили лишь о точечных и линейных дефектах в кри-
сталлах, но могут быть еще и поверхностные дефекты. Ими являются поверх-
ности, по разные стороны которых векторы трансляции имеют различные
направления. Например, может существовать кристаллографическая пло-
www. vokb- la. spb. ru
28
Глава 1
скость, при переходе через которую решетка кристалла изменяется так, как
будто она отразилась в зеркале. Этот поверхностный дефект называется
границей двойника (фиг. 1.18). Области смыкания кристаллов с различными
Фиг. 1.17. Один из видов дислокаций [6].
ориентировками называются границами зерен (фиг. 1.19). Области смыкания
кристаллов различного состава называются границами фаз (фиг. 1.20). Сво-
бодную поверхность кристалла также можно рассматривать как одно
Фиг. 1.18. Двойникование в объемноцентрированной кубической решетке, являющееся
результатом сдвига параллельно плоскостям (112) в направлении [111].
из поверхностных несовершенств, при переходе через которое происходит
крайне резкое изменение кристаллической структуры. Точно так же, как
мы говорим об энергии дислокации, являющейся линейным дефектом,
можно говорить и об энергии двойниковой, межзеренной или межфазовой
поверхностей или об энергии свободной поверхности. Под энергией каждого из
www. vokb- la. spb. ru
Структура и механизмы деформации твердых тел 29
этих дефектов мы понимаем разность между полной энергией кристалла,
содержащего данный дефект, и энергией кристалла без дефектов.
При температурах, обеспечивающих подвижность точечных дефектов,
избыточная энергия кристалла, имеющего точечные дефекты, может быть
понижена в результате их коалесценции, т. е. образования колоний (скопле-
ний) вакансий (зародышевых пор) или выделений. Может образоваться совер-
шенно новая фаза. Все эти трехмерные конфигурации можно было бы
Фиг. 1.19. Границы зерен в a-же-
лезе [16].
Фиг. 1.20. Границы двух структурных
составляющих в отожженной стали, со-
держащей 0,4% С [16].
назвать объемными дефектами, но чаще всего каждую из них называют по-
своему — так, как указано здесь.
Равновесие различных фаз можно изучать, пользуясь представлениями
термодинамики, т. е. не прибегая к описанию явления на атомном уровне.
Однако при рассмотрении скорости приближения к равновесию часто бывает
необходимо учитывать процессы, связанные с точечными дефектами и дисло-
кациями, которые приводят к равновесию.
1.5. МЕХАНИЗМЫ ДЕФОРМАЦИИ
Деформации твердого тела бывают двух видов: упругая и пластиче-
ская. В случае малых упругих деформаций работа, совершенная внешней
силой, накапливается в теле в форме энергии более или менее однородного
искажения межатомных связей (фиг. 1.21). Если нагрузку удалить со ско-
ростью, меньшей, чем частота собственных колебаний решетки, энергия
искажения связей будет возвращена среде, создававшей внешнее усилие.
Следовательно, упругая деформация обратима и исчезает почти мгновенно.
Величину сжимаемости упругих материалов [или обратную ей величину —
модуль всестороннего сжатия В = — V (dp/dV)] можно грубо оценить, если
известны энергия связи и и плотность р. У большинства материалов
В = (1 -г 5) рп, причем большие значения коэффициента соответствуют
металлам, у которых взаимодействие ближнее, а потому энергия меньше,
чем у материалов других типов (задача 1.16). У материалов с пер-
вичными связями модули всестороннего сжатия обычно составляют
240s— 2404 кг!мм2, а у материалов с вторичными связями модули все-
стороннего сжатия приблизительно в 10 раз меньше (задача 1.17).
www.vokb-la.spb.ru
30
Глава 1
Пластическая деформация в противоположность упругой столь зна-
чительна, что уже можно говорить о разрыве связей между атомами, которые
до деформации были соседями, и об образовании новых связей, таких
же устойчивых, как и первоначальные связи. Поскольку при снятии нагрузки
сохраняется новая конфигурация атомов, деформация будет неупругой.
Если же новые связи не образовались, наступит разрушение. Обычно пласти-
ческая деформация происходит в том случае, когда к разрыву связей при-
водит возрастание напряжения во всем деформируемом объеме до вели-
чины, равной теоретической прочности, т. е. порядка 0,1 В (фиг. 1.8). Раз-
рушение же наступает в результате разрыва связей из-за исключительно
высокой концентрации напряжений вблизи трещин. Однако во многих мате-
риалах пластическая деформация имеет лгесто при уровне напряжения,
гораздо более низком, чем теоретическая прочность.
Фиг. 1.21. Недеформировапная простая кубическая решетка (а) и простая кубическая
решетка, деформированная упруго (6).
Существование дислокации в кристалле приводит к появлению области,
где благодаря сохранению порядка в расположении атомов в окружающем
эту область кристалле энергия, необходимая для разрыва группы связей,
получается за счет одновременного восстановления другой группы связей.
Таким образом, для деформирования требуются напряжения небольшой
величины. Пластическая деформация, которая может возникнуть, если
через кристалл пройдут все имеющиеся в нем дислокации, в случае отожжен-
ных материалов невелика. Следовательно, должен существовать какой-то
механизм непрерывного зарождения дислокаций. Действие такого меха-
низма связано с образованием дислокационных петель диаметром порядка
сотен межатомных расстояний. В гл. 4 будет показано, что в кристалле
с модулем всестороннего сжатия В и межатомным расстоянием Ъ энергия
деформации от дислокации составляет порядка 0,1 /?6:!на одно межатомное
расстояние вдоль линии дислокации. Следовательно, для образования даже
самой маленькой петли потребуется энергия, гораздо большая, чем энергия
связи; в кристаллах с первичными связями при комнатной температуре
термическая активация почти никогда не сможет быть источником этой
энергии. Еще реже будут создаваться в результате термической активации
петли длиной в несколько сотен межатомных расстояний. Они будут воз-
никать при действии на короткие отрезки дислокаций внешнего напряжения
определенной величины — стартового напряжения. В гл. 4 мы увидим, что
благодаря периодичности строения кристаллической решетки с дислокацией
связана энергия деформации больших областей. Остаточный характер плас-
тической деформации объясняется тем, что расширяющиеся петли взаимо-
действуют друг с другом и переплетаются, в результате чего при снятии
нагрузки они не могут принять исходного положения.
www. vokb- la. spb. ru
1.6. МИКРО- И МАКРОСТРУКТУРА МАТЕРИАЛОВ
А. Микроструктура
Линейные дефекты материалов столь малы, что выявить их можно'
лишь с помощью электронной микроскопии или по изменению травимости
кристалла. В световом микроскопе наблюдаемая при обычном увеличении
структура в большинстве случаев связана с дефектами на поверхности.
Фиг. 1.22. Липин скольжения
в а-латуни после 8%-ной деформа-
ции сдвига [4].
В отсутствие пластической деформации можно наблюдать границы
зерен, где стыкуются кристаллы с различной ориентировкой. Иногда рас-
творенные атомы образуют группировки с правильной решеткой — новую
Фиг. 1.23. Полосы скольжения на поверхности монокристалла алюминия.
фазу; ее границы можно выявить путем травления. Включения — это фазы
из неметаллических элементов, не вошедших в раствор.
При деформировании очень часто структура изменяется лишь в отдель-
ных областях материала, причем таким образом, что оказывается возмож-
ным продолжение деформации в непосредственной близости от первоначаль-
www.vokb-la.spb.ru
Ф и г. 1.24. Полоса деформации в зерне алюминиевого образца после гиба и перегиба
вручную.
но деформированных участков. Вследствие этого деформация происходит
в ограниченных областях — полосах различных типов. Движение дислока-
ций ио некоторой плоскости
Ф и г. 1.25. Полосы сброса в кристалле цинка
после сжатия (по Гилману).
скольжения приводит к вза-
имному смещению двух ча-
стей кристалла, разделяемых
плоскостью скольжения. Об-
разующаяся в результате
этого смещения ступенька на
поверхности проявлется как
линия скольжения. На
фиг. 1.22 показаны линии
скольжения на поверхности
кристалла а-латуни. Отпо-
Ф и г. 1.26. Двойники деформации
в монокристалле цинка.
сительное смещение по одной плоскости скольжения, как правило, не
превосходит длины 100 векторов трансляции L), поэтому линии скольже-
ния с помощью оптического микроскопа наблюдать нельзя.
*) Некоторые сплавы, в том числе ос-латунь, представляют исключение (разд. 4.10).
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
33
На более поздних стадиях пластической деформации параллельные
линии скольжения начинают объединяться и на поверхности возникают
следы, видимые в оптический микроскоп (фиг. 1.23). Эти следы называются
полосами скольжения. За очень небольшим исключением все видимые в’опти-
ческий микроскоп следы скольжения на поверхности металла — это полосы
скольжения.
В некоторых случаях пластический сдвиг по двум или нескольким
пересекающимся плоскостям происходит внутри широкой полосы (фиг. 1.24),
которую можно назвать полосой деформации 1).
Фиг. 1.27. Полосы Чернова — Лю-
дерса в образце из малоуглеродистой
стали.
Фиг. 1.28. Продольное сечение стальной про-
волоки после травления.
Видны удлиненные зерна и включения.
Когда скольжение по параллельным плоскостям происходит в полосе,
почти перпендикулярной плоскостям скольжения, решетка материала внутри
полосы поворачивается по отношению к решетке окружающей матрицы.
Такого рода полоса называется полосой сброса. На фиг. 1.25 показаны полосы
сброса в кристалле цинка, деформированном сжатием.
Двойникование может происходить внутри узкой полосы, ограничен-
ной плоскостями двойникования. В результате двойникования образуется
тонкая пластина с решеткой, находящейся по отношению к матрице в двой-
никовой ориентации. Она называется полосой двойника деформации. Такие
двойники в кристалле цинка показаны на фиг. 1.26.
В некоторых поликристаллических материалах, например в подвергну-
той старению малоуглеродистой стали, деформация с самого ее начала лока-
лизуется в полосах и «размягчает» примыкающие к ним области, что облег-
чает продолжение деформации на границе исходной полосы. Такого типа
полосы деформации часто видны даже макроскопически, они называются
полосами Чернова — Людерса. В качестве примера показаны такие полосы
на образце из стального листа (фиг. 1.27).
Пучки полос скольжения и полосы сброса часто также называют полосами дефор-
мации. Это приводит к такой путанице, что термин «полоса деформации» становится
почти бесполезным.
3— 92
www.vokb-la.spb.ru
34
Глава 1
При большой пластической деформации исходная форма зерна может
сильно измениться; действующие плоскости скольжения стремятся повер-
нуться в направлении деформирования, в результате чего возникают преиму-
щественные ориентировки зерен и образуются длинные цепочки включений*
Такая структура характерна для материала после ковки и прокатки; ей соот-
ветствуют линии течения (фиг. 1.28).
Б. Макроструктура
Часто создают такие сочетания материалов, которые нецелом можно
рассматривать как новый материал. Например, обшивка самолета может
иметь на обратной стороне ребра жесткости (фиг. 1.29) или представлять
Ф и г. 1.29. Ребра жестко-
сти яа обшивке плоскости
самолета.
Ф и г. 1.30. Слоистая конструкция с сотовой серд-
цевиной.
собой «соты» (фиг. 1.30). Такие материалы можно рассматривать с двух
точек зрения: а) учитывая поведение отдельных элементов составного мате-
риала и б) учитывая его свойства как целого. Подход в каждом конкретном
случае определяется условиями задачи.
1.7. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
Теперь мы постараемся ответить на вопрос: в какой степени знание
структуры материалов позволяет предсказывать их механическое поведение?
Физики разобрались во многих вопросах ядерной структуры, но точной тео-
рии пока еще нет. Однако мы уже ввдели, что процессы на ядерном уровне,
как правило, не играют большой роли в деформации и разрушении мате-
риалов, и поэтому отсутствие теории этих явлений не имеет существенного
значения.
Для описания структуры и процессов на атомном уровне физики создали
мощный инструмент — квантовую механику. Зная массу и заряд ядра атома,
с помощью квантовой механики принципиально возможно установить
не только строение отдельного атома, но и любого агрегата атомов. Однако
фактические достижения в этом направлении еще далеки от уровня, на кото-
ром находятся основы теории. Точные решения имеются лишь для очень
простых атомов и молекул, тем не менее были получены удовлетворительные
приближенные решения для некоторых типов кристаллов и для ряда хими-
ческих соединений. Была выяснена природа различных типов связи.
В результате этих работ появилась возможность рассчитывать в хорошем
приближении упругие константы некоторых кристаллов.
www.vokb-la.spb.ru
Ф it г. 1.29. Ребра жестки
стп на обшивке плоскости
самолета.
Ф и 1. 1.3il Слоне гая koiici рукция с cihwhi серд-
цевиной.
www. vokb- la. spb. ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
35
Следующий, еще более макроскопический уровень описания структуры
требует знания растворимости элементов друг в друге и существования
различных фаз в кристаллах. Факторы, влияющие на растворимость, доста-
точно хороню установлены с помощью термодинамики, несмотря на то что
не для всех случаев имеются квантовомеханические решения. Термодина-
мика различных фаз позволяет получить важные сведения о материале, нахо-
дящемся в равновесном состоянии. Однако твердое тело в течение длитель-
ного времени может находиться в неравновесном состоянии. Скорость при-
ближения к равновесию определяется поведением тех же элементов струк-
туры, которые определяют механическое поведение кристаллов: вакансий
и дислокаций. Мощный аппарат для расчета скоростей процессов дает кине-
тическая теория. Диффузия вакансий объясняется достаточно хорошо;
анализ взаимодействия дислокаций возможен лишь для нескольких идеали-
зированных случаев.
Теория пластической деформации находится в менее удовлетворитель-
ном положении, чем теория упругости или термодинамика и статистическая
механика. Пластическая деформация определяется движением дислокаций
в кристалле. До сих пор не удалось получить даже приближенных решений
уравнений квантовой механики, определяющих расположение атомов около
дислокации, и для сил, требуемых для движения дислокации. Все, что уда-
лось сделать до сих пор,— зто распространить механику сплошных сред
на области почти атомных размеров и ввести простую нелинейную поправку
для области наиболее высоких деформаций в ядре дислокации вместо
квантовомеханического анализа. Однако получение квантовомеханического
решения даже для единичной дислокации не столь уж сложно, поскольку
большая часть энергии дислокации сосредоточена не в ядре этого несовер-
шенства, а в упруго деформированной области, размеры которой позво-
ляют с уверенностью использовать континуальную теорию упругости.
В связи с этим, использовав незначительные допущения, удалось раз-
вить теорию дислокаций, которая объясняет их движение, взаимодействие
и размножение под действием приложенного извне напряжения. Правда,
пока теорию удается применять для идеализированных случаев взаимодей-
ствия очень небольшого числа дислокаций друг с другом и с растворенными
атомами и выделениями, но полученные решения помогают выяснить при-
роду процессов деформации и разрушения. В последние годы благодаря
совершенствованию металлографических методик и использованию элек-
тронной микроскопии стало возможным наблюдение отдельных дислокаций,
и в настоящее время сведения, полученные экспериментально, намного обшир-
нее тех, которые дают нам решения теоретических задач. Трудности теории
становятся очевидными, если представить себе, что в 1 cms холоднодеформи-
рованного металла находится млн. км дислокаций и они расположены
не упорядоченными рядами, а образуют запутанные клубки и пересекаются
сложным образом.
На совсем уже макроскопическом уровне механика использует урав-
нения. связывающие напряжение и деформацию (эти уравнения либо полу-
чены эмпирически, либо вытекают из данных о структуре материала),
и, учитывая условия равновесия и геометрической совместности, предсказы-
вает поведение областей материала, размеры которых настолько велики,
что можно считать их однородными. Теория упругой деформации достаточно
хорошо разработана и успешно применяется в самых различных случаях.
Хуже обстоит дело с пластической деформацией, поскольку она сопрово-
ждается изменением структуры материала. Даже если пренебречь этим
и использовать соотношения, достаточно точно описывающие связь дефор-
мации и напряжения, получается система уравнений, которую можно решить
лишь для сравнительно простых случаев. Если говорить о деформации при
ползучести, то изменениями структуры пренебрегать нельзя, а они зависят
3*
www. vokb- la. spb. ru
Глава 1
от предшествовавших деформаций, напряжений и температуры. До сих пор
еще нет соотношения, которое бы удовлетворительно описывало связь
между деформацией и напряжением и было бы физически обосновано; нет
подходящих уравнении и для решения практических задач.
Подведем итог. Если и найдется вдруг решение уравнений квантовой
механики, которое позволит объяснить механическое поведение материалов,
оно не будет иметь никакого практического значения (и, к счастью, в нем
нет необходимости, когда описание ведется не на атомном уровне). Чтобы
добиться наилучшего понимания структуры и поведения материалов при
современном уровне знаний, приходится использовать упрощенные микро-
и макромодели. Например, для описания разрушения используют механи-
ческую макромодель, позволяющую установить распределение напряжений
и деформаций в областях, состоящих из нескольких зерен. В непосредствен-
ной близости от вершины трещины можно использовать теорию дислокаций
для определения пластического течения под действием локальных напря-
жений. А между областями порядка 10-2 см, которые являются предель-
ными «снизу» для применения механических макромоделей, и областями
порядка 10-5 см и более, в которых дислокационная структура слишком
сложна для описания, лежит «ничья земля», которую еще предстоит освоить.
Теперь ясно, что теория механического поведения материалов еще
далека от завершения. Очевидно, придется иметь дело с явлениями на самых
различных уровнях; там, где нет точных решений, можно пользоваться
приближенными моделями, а там, где нет моделей или они сложны, при-
дется обращаться к экспериментальным данным.
1.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Макроскопически механическое поведение материалов удобно описы-
вать с помощью деформации, которую создают напряжение, температура
и время. Известны различные идеализированные схемы такого поведения:
упругость, пластичность, ползучесть, релаксация и упругое последействие.
На механические свойства материалов сильное влияние оказывает их струк-
тура, поэтому необходимо знать строение материалов почти на всех уровнях,
начиная с атомной структуры и кончая геометрией конструкций.
Электронная структура атомов определяет связь между ними в твердом
теле. Межатомные связи в твердых телах в основном бывают двух типов:
первичные и вторичные. Интервал энергии первичных связей (ионных, кова-
лентных или металлических), как правило, составляет от 2 до 8 эв; вторичные
связи, например вандерваальсовы, имеют энергию от 0,02 до 0,2 эв. Водо-
родная связь, относящаяся к промежуточному типу, имеет энергию от 0,2
до 0,5 эв (табл. 1.3).
Твердое тело обладает набором мод тепловых колебаний. Наивысшая
частота, соответствующая встречному колебательному движению соседних
атомов, приблизительно равна
где Е — модуль упругости; NA — число Авогадро; М — атомный вес.
Если температура высока и квантовомеханические эффекты значитель-
ной роли не играют, т. е.
kT'^hv, (1.6)
то тепловое движение атомов в решетке можно в первом приближении опи-
сать с помощью классической статистики Больцмана. В твердом теле каждый
атом имеет три координаты, определяющие положение его центра, и три коор-
динаты, определяющие его вращение. На каждую координату приходится
энергия кТ!2, тогда полная энергия равна ЗкТ, а теплоемкость 3NAk. Вероят-
www.vokb-la.spb.ru
Таблица l.'l
Физические константы в различных системах единиц1)
Константы и единицы измерения СИМВОЛ Энергия выражена в
эргах калориях электронвольтах
Постоянная Планка h 6,62-10~27 .фа-еск 1,58’10-31 кал-сек 4,13’10_I5 эв’Сек
Постоянная Больцмана к 1,38-10-ie эрг/’К 3,30’10-21 кал/°К 8.61-10-5 5в/ок
при 293° К кТ 4,05'10_14 эрг 9,67’10-22 кал 1/40 ,м
Газовая постоянная R = kN л 8,32-107 эрг/г-молъ- ’К 1,99 кп,|/«-.но.(Ъ’°К 5,18’101® Эв/г-моль-"К
при 293° К RT = kNAT 2,43-101° эрг/г-молъ 584 кал/г-молъ 1,52’1022 эв/г-моль
Эрг 1 эрг 1 эрг 2,39’10-е кал 6,24-1011 эв
Калория 1 пал 4,19-Ю7 &рг 1 кал 2,61’10’® зв
Электронвольт 1 эв 1,60’10-12 эрг 3,83-10-2° кал 1 эв
Электронвольт па 1 атом 1 эв/атом 9,64’104 эрг/г-молъ 23 000 кал/г-лсо.гъ 1 эв/атом
1 атм = 1,03 кг/см2= 1,01-109 Эан/сл<2 = 1,01 бар
1 дж — 1 вт- сек = 10 7 эрг
Число Авогадро JV = 6,02- 1023 атом/г-молъ
www.vokb-la.spb. ru
1) Рекомендуется пользоваться значениями, набранными жирным шрифтом, и запомнить их.
38
Глава 1
ность флуктуаций с энергией больше и, определяется распределением Макс-
велла — Больцмана
р (и, > и) = е~и‘кТ. (1-3)
Скорость К термически активируемого процесса с единственным энерге-
тическим барьером иа (энергией активации) определяется по формуле
R = N svae~U(l^hT, (1.9)
где Ns — число возможных центров активации; va — характеристическая
частота колебаний.
Кристалл — наиболее стабильная форма твердого тела. Простые веще-
ства, например металлы, почти всегда существуют в кристаллической форме.
Кристаллы могут иметь структуру различной степени сложности, однако
кристаллическая структура большинства металлов и некоторых неоргани-
ческих веществ относительно проста и обладает высокой симметрией.
Кристаллографические плоскости и направления в кристаллических
решетках удобно обозначать тремя индексами по Миллеру. Индексы в куби-
ческой структуре равны обратным величинам направляющих косинусов,
поэтому к ним применимы методы векторной алгебры.
В решетках кристаллов имеются различные дефекты. В соответствии
с их размерами дефекты называют точечными, линейными или поверх-
ностными. Вакансии, межузельные атомы и примесные атомы замещения
называются точечными дефектами. Дислокации являются линейными дефек-
тами решетки. Поверхностные дефекты — это свободные поверхности и гра-
ницы зерен, фаз и двойников. Выделения и вторые фазы можно отнести
к объемным дефектам.
Под действием напряжения материалы могут деформироваться двумя
способами: упруго и пластически. Упругость является результатом стати-
ческого сопротивления межатомных связей, вызываемого смещением атомов;
во время деформации связи не нарушаются и работа деформации переходит
либо в потенциальную энергию, либо в свободную энергию при понижении
энтропии. Термическая активация не играет роли, и деформация не зависит
от времени.
При пластической деформации атомные связи разрываются, а затем
снова восстанавливаются. При температурах ниже тех, что требуются для
разрыва связей под действием тепловых колебаний, в кристаллических
материалах даже небольшая перестройка структуры за счет тепловых флук-
туаций невозможна из-за высокоупорядоченного расположения атомов.
Деформация осуществляется путем зарождения и движения дислокаций
в основном под действием приложенного касательного напряжения. Энергия
устойчивой дислокационной конфигурации столь высока, что она не может
быть получена за счет тепловых флуктуаций, поэтому термическая активация
оказывает лишь небольшое влияние на пластичность большинства кри-
сталлов.
Деформация создает структурные неоднородности {полосы скольжения,
двойникования и сброса) и приводит к анизотропии материала (образованию
текстуры). Желая получить комбинацию полезных свойств нескольких
материалов в одном материале, часто искусственно создают так называемые
композиционные материалы с неоднородной структурой.
ЗАДАЧИ
1.1. Предположим, что энергия притяжения обратно пропорциональна
первой степени межатомного расстояния, а энергия отталкивания обратно
пропорциональна его девятой степени. Показать, что в условиях равновесия
www. vokb- la.spb.ru
Структура и механизмы деформации твердых тел 39
вклад в полную энергию от сил притяжения будет намного больше, чем
вклад сил отталкивания.
1.2. а) По причине весьма ближнего действия сил отталкивания энер-
гия решетки ионного кристалла — это в основном энергия электростатиче-
ского взаимодействия каждого иона с остальными. Показать, что при равно-
весии энергия электростатического взаимодействия (равная приблизительно
энергии связи), приходящаяся на 1 моль в ионном кристалле, должна зави-
сеть от зарядов положительного и отрицательного ионов е+ и е_, от числа
Авогадро Na и от расстояния между катионом и анионом г.
б) Показать, что зависимость энергии от указанных параметров выра-
жается уравнением
и — — Na Аге+е_ —,
Г
где Аг — так называемая постоянная Маделунга, определяемая исключи-
тельно типом решетки кристалла. [Значения постоянной Маделунга раз-
личны: от 1,74 для решетки NaCl до 5 или даже 25 для более сложных реше-
ток, например окиси алюминия (см. [13], стр. 91 русского перевода).
в) Оценить энергию связи хлористого серебра (имеющего ту же решет-
ку, что и NaCl). Получается ли при этом значение, укладывающееся в харак-
терный интервал энергий ионных связей?
1.3. Показать, что относительно большие изменения энергии связи
ионного кристалла, например на его поверхности, сопровождаются сравни-
тельно малыми изменениями плотности.
1.4. Показать, что в двумерном фазовом пространстве система пружи-
на — масса, имеющая постоянную энергию (без затухания), обладает эллип-
тической траекторией.
1.5. Предположим, что значения энергий частиц весьма близки друг
ДРУГУ, поэтому в фазовом пространстве они составляют непрерывные рас-
пределения, т. е. вместо суммирования по всему фазовому пространству
[уравнение (1.2)1 можно взять интеграл J eulhTdv. Показать, что в этом
случае уравнение (1.3) действительно определяет долю частиц, имеющих
энергию не меньше и.
1.6. Уравнение (1.2), описывающее плотность частиц в фазовом про-
странстве (число частиц dN на объем dv фазового пространства), можно
написать в более общей форме
av
при условии, что значения энергий составляют непрерывный спектр от нуля
до бесконечности.
а) Предположив, что фазовое пространство одномерно (т. е. представ-
ляет одномерный идеальный газ, у которого du — одномерная скорость час-
тиц массы т, и частицы обладают только кинетической энергией), показать,
что постоянный множитель А можно выразить через общее число частиц
N и что вероятность / (п) dv найти значение скорости каждой частицы в интер-
вале между v и v -|- dv с учетом знаков равна
f(p)dK=l/ -^-e-^dv.
б) Использовав результаты решения (а), показать, что средняя энергия и
любой частицы равна
СО -J-CO
— Г Г \кТ
и — \ uf (и) du — \ ujF (х) dv = .
J J Л
(J - СО
www.vokb-la.spb.ru
40
Глава !
в) Обобщив эту формулу на случай движения в трехмерном простран-
стве, показать, что средняя энергия атома идеального газа равна е^(3/2)А7\
1.7. Показать, что средняя потенциальная энергия простого гармони-
ческого осциллятора равна его средней кинетической энергии.
1.8. В качестве дальнейшего обобщения решения задачи 1.6 показать,
что для кристалла с простой решеткой при высоких температурах молярная
теплоемкость при постоянном объеме равна 37?.
1.9. Сопоставить закон Дюлонга и Пти [уравнение (1.4)] для твердых
тел, состоящих из атомов одного элемента, со значениями теплоемкости при
высокой температуре, приведенными в таблицах.
1.10. Вывести уравнение для собственной частоты колебаний атома
в узле решетки [уравнение (1.7)1, предположив, что атом массы т связан
с каждой из поверхностей куба (атомного объема) и что связи создают воз-
вращающие силы, пропорциональные модулю Юнга.
1.11. Вывести уравнение (1.7) из учета времени распространения упру-
гой волны от данного атома до соседних атомов.
1.12. Согласно квантовой механике, средняя энергия нормальной моды
колебаний кристалла равна [7, стр. 90]
е^-т>"+7^-
а) Показать, что для высоких температур на основании этого уравнения
можно получить классическое значение теплоемкости.
б) Показать, что энтропия нормальной моды равна
. . Г dE (v) dT E(v) . J Л e-hv>2hT . kT \ hv
s(v)— J dT ' T T 4'Zcln e-hv/kT ~ (1 + ln ) НРИ kT
0
в) Показать, что при комнатной температуре изменение частоты на 10%
вызовет (согласно приведенному уравнению) изменение свободной энергии,
равное ~ 0,003 эв для каждой степени свободы.
1.13. Используя рассуждения, приведенные в разд. 1.3, вычислить,
какое (по порядку величины) время потребуется для испарения слоя толщи-
ной 1 см с поверхности твердого тела при хорошем вакууме и комнатной
температуре, если энергии связи равны 0,2, 1 и 2 эв.
1.14. Показать, что единичный вектор нормали к плоскости (hkl) в кри-
сталле кубической симметрии равен
п = + к’4 Zk)’
1.15. Показать, что тепловые колебания при комнатной температуре
могут легко разорвать вандерваальсовы связи.
1.16. Написать численную зависимость энергии связи, приходящейся
на 1 атом в решетке хлористого натрия, от модуля всестороннего сжатия
и параметра решетки на основании данных фиг. 1.8.
1.17. На основании результатов решения задачи 1.16 вычислить модуль
всестороннего сжатия жидкости, в которой действуют вторичные силы связи,
и сравнить со значениями модуля, которые приводятся в справочниках.
1.18. Определить угол между двумя кристаллографическими плоско-
стями с индексами (111) и (321).
1.19. Определить угол А между направлениями [100] и [3021 в куби-
ческом кристалле.
1.20. Определить угол А между направлением [110] и линией пересе-
чения плоскостей (211) и (111) в кубическом кристалле.
www.vokb-la.spb.ru
Структура и механизмы деформации твердых тел
41
1.21. а) Нарисуйте элементарную ячейку в образце для испытаний
на растяжение, приготовленном из кубического кристалла, когда ось образ-
ца совпадает с направлением [1011, а его грань параллельна плоскости (111).
б) Если скольжение происходит по плоскости (111), чему равен угол
между следами скольжения на поверхности и направлением оси образца?
(Указание: надо определить направление линии пересечения плоскости
скольжения и поверхности.)
1.22. Всегда ли перегибы в следах скольжения на поверхности свиде-
тельствуют о сбросообразовании?
ЛИТЕРАТУРА1)
Читателю, интересующемуся квантовомехапичсской интерпретацией энергии связи,
мы рекомендуем обратиться к книге Юм-Розери [8], в которой он найдет подробное каче-
ственное описание, и к квите Киттеля [101, характеризующейся более аналитическим
описанием; в книгах Мотта и Джонса [11] и Зейтца [13] дается глубокое изложение
вопроса.
Позиция химика (основанная не столько на решении уравнений квантовой механи-
ки для небольшого числа относительно простых случаев, сколько на анализе большого'
числа данных) изложена в книге Полинга [12].
Классическая трактовка статистической механики хорошо представлена в книге
Слатера [14], а в книге Хилла [7] вопросы статистической механики излагаются с кванто-
вомеханических позипий.
Книга Барретта [2] является хорошим введением в кристаллографию, а в книге-
Бургера [3] подробно рассматриваются вопросы кристаллической симметрии.
1. Barr or R. М., Trans. Farad. Soc., 38, 78 (1942).
2. Barrett C. S., Structure of Metals, 2nd ed., McGraw-Hil], New York, 1953; имеет-
ся перевод 1-го издания: Барретт Ч. С., Структура металлов, Металлургиздат,.
1948.
3. Buerger М. J., Elementary Crystallography, Wiley, New York, 1956; русский
перевод: Бургер М. Дж., Рентгеновская кристаллография, ИЛ, 1948.
4. F о и г i е j. Т., W i 1 s d о г f Н., Acta Met., 7, 339 (1959).
5. Glasstone S., LaidlerK. J., Eyring H., Theory of Rate Processes,
McGraw-Hill, New’ York, 1941.
6. G u у A. G., Elements of Physical Metallurgy, Addison-Wesley. Reading, Mass.,
1959.
7. Hill T. L., Introduction to Statistical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1960.
8. H ume-R о th ery W., Atomic Theory for Students of Metallurgy, Inst. Metals,
London, 1955; русский перевод: Юм-Розери В., Атомная теория для метал-
лургов, Металлургиздат, 1955.
9. .Т о о s G., Theoretical Physics, 2nd ed., Hafner, New York, 1950; русский перевод:
И ос Г., Курс теоретической физики, Учпедгиз, 1963.
10. Kittell С., Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1953; русский
перевод: Кит те ль Ч., Введение в физику твердого тела, Гостехиздат, 1957.
11. Mott N. F., Jones Н., The Theory of the Properties of Metals and Alloys,
Oxford, Univ. Press, London, 1936; Dover Pub]., New York, 1958.
12. P a u 1 i n g L., Nature of the Chemical Bond, 2nd ed., Cornell Univ. Press, Ithaca,
N.Y., 1948; имеется перевод 1-го издания: П а у л и н г Л., Природа химической
связи, Гостехиздат, 1947.
13. Seitz F., Modem Theory of Solids, McGraw-Hill, New York, 1940; русский пере-
вод: Зейтц Ф.. Современная теория твердого тела, Гостехиздат, 1949.
14. S 1 a t е г J. С., Introduction to Chemical Physics, McGraw-Hill, New York, 1939.
15. S w a 1 i n R. A., Thermodynamics of Solids, Wiley, New York, 1962.
16. V a n V 1 a c k L. H., Elements of Materials Science, Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1959.
17. Zen er С., в сб. Imperfections in Nearly Perfect Crystals, Shockley W. et
al. (eds.), Wiley, New York, 1952, p. 289.
18*. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, изд-во «Наука»,
1964.
19*. Хилл Т., Статистическая механика, ИЛ, 1960.
20*. Уленбек Дж-, Форд Дж., Лекции по статистической механике, изд-во
«Мир», 1965. *
;) Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред..
www. vokb- la. spb. ru
Глава 2
НАПРЯЖЕНИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
В процессах деформации и разрушения материалов участвует огромное
число атомов, поэтому предпочитают говорить не о поведении отдельных
атомов, а о среднем напряжении и деформации в материале.
Оказывается, что эти усредненные величины можно с успехом исполь-
зовать при изучении поведения конструкций и механизмов, когда размеры
их велики по сравнению с размерами элементов структуры материалов,
из которых они изготовлены. Например, в ноликристаллическом металле
области, но которым производится усреднение, состоят из большого чис-
ла зерен.
Напряженное состояние обычно можно описать с помощью шести ком-
понент, представляющих собой силы, отнесенные к единице площади и дей-
ствующие по взаимно перпендикулярным плоскостям, проходящим через
исследуемую точку. Будут рассмотрены и особые случаи, описание которых
требует большего числа компонент. Если имеются градиенты напряжения,
а три компоненты силы, действующие на малый элемент объема, находятся
в равновесии, можно вывести три уравнения равновесия. Из условий равно-
весия вытекают также правила преобразования компонент напряжения при
перемене координат. Знание этих преобразований в дальнейшем поможет
нам понять влияние симметрии кристалла на его механическое поведение.
Деформацию материала можно описать выражением, в которое войдут
относительные смещения точек и не войдут члены, соответствующие пере-
мещению твердого тела как целого; сделав это, получим шесть компонент
деформации, представляющие собой смещения точек, отнесенные к перво-
начальному расстоянию между ними. Из того факта, что шесть компонент
деформации выведены из трех смещений, следует, что в большинстве случаев
лишь три компоненты деформации могут быть заданы произвольно. Отсюда
вытекают условия совместности. Закон преобразования компонент дефор-
мации, выведенный из геометрических соображений, оказывается аналогич-
ным закону преобразования напряжения.
В заключение мы покажем, как работу, совершаемую над единицей
объема материала, в котором при приложении некоторого напряжения
возникает определенное приращение деформации, можно выразить через
напряжение и приращение деформации.
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Если бы механика ставила перед собой задачу изучать по отдельности
силы, действующие на каждый из атомов, пользоваться ее уравнениями
было бы очень трудно; на самом деле механика отдельными атомами не инте-
ресуется. Вместо этого рассматриваются средние интенсивности сил, дей-
ствующих на элементы, содержащие большое число атомов. Размеры этих
элементов выбираются в зависимости от условий задачи: иногда это области
кристалла, содержащие много дислокаций, в других случаях это объемы
поликристалла, состоящие из большого числа зерен. Однако размеры эле-
мента должны быть малы по сравнению с размерами испытуемого образца
или конструкции, поэтому в элементе не должно быть заметного градиента
www. vokb- la. spb. ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
43
напряжения. Такой элемент показан на фиг. 2.1. Иногда возникает противо-
речие между необходимостью иметь элемент размерами больше атомных
и условием отсутствия градиента сил (например, ядро дислокации, области,
примыкающие к вершине трещины). В таких случаях понятие напряжения
Фиг. 2.1. Поле изменяющихся сил,
действующих в сечении.
пригодно для описания состояния областей, окружающих этот элемент,
и не пригодно для описания того, что происходит внутри элемента.
Однако в большинстве случаев удается выбрать элементы подходящего
размера — такие, как на фиг. 2.2. Площадки шести различных граней эле-
мента обозначаются в соответствии с направлениями их внешних нормалей,
Фиг. 2.2. Компоненты напря-
жения, действующие на эле-
мент объема.,
т. е. Alt Az, А-i и т. д.; на каждую грань действуют три компоненты силы.
Отношение одной из этих компонент силы к площадке, на которую она дей-
ствует, называется компонентой интенсивности силы или напряжением.
Для обозначения напряжения используют два индекса: первый определяет
внешнюю нормаль к рассматриваемой площадке, второй — компоненту
www. vokb- la. spb. ru
44 Глава
силы, действующей на эту площадку. Например,
пп = -^-, 012 = -^- и т. д. (2.1)
Казалось бы, напряжение должно иметь 18 различных компонент,
но, к счастью, число этих компонент гораздо меньше, что вытекает из двух
условий равновесия. Во-первых, сила, действующая на часть тела по одну
сторону сечения, равна по величине и противоположна по направлению
силе, действующей на другую часть:
и т. д. (2.2)
Число компонент напряжения уменьшается до девяти. Их число умень-
шится еще, если будет соблюдаться условие равенства нулю результирую-
щих моментов от действия касательных компонент напряжения. (Как будет
показано в разд. 2.5, это условие действительно выполняется, но при отсут-
ствии заметного влияния межатомных моментов, действующих на сечение.)
В этом случае условием равенства моментов относительно оси х является
Щг = <?21 и т. д., (2.3)
т. е. порядок индексов не играет роли (задача 2.1). Два рассмотренных
условия равновесия приводят к снижению числа независимых компонент
напряжения до шести: три компоненты — от сил, перпендикулярных
поверхностям, по которым они действуют, т. е. три нормальные компоненты,
и три компоненты — от сил, параллельных поверхности, по которой они
действуют, т. е. три касательные компоненты.
Компоненты напряжения разными авторами обозначаются по-разному.
Ниже приведены наиболее употребительные обозначения:
Обозначения компонент напряжения
Данная книга
Тимошенко и Гудиер
[19], Крэнделл и
Даль [4]
Ляв [13]
Бриджмен [1]
Сокольников [17]
Си • • • ст23 • • •
... Хуг . . .
Хх ... . . .
хх . . . yz . . .
Гц ... т23 . . .
2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ НАПРЯЖЕНИЯ
Часто бывает удобно описывать деформацию материала в коорди-
натах, определяемых симметрией его кристаллической структуры. В то же
время поведение образца или детали под нагрузкой удобнее описывать
в координатах, определяемых симметрией формы детали или направлением
внешних сил. Если эти два требования нельзя выполнить, используя одну
и ту же систему координат, необходимо работать с двумя координатными
системами. Законы преобразования компонент напряжения при переходе
от одной системы к другой вытекают из условия равновесия.
В случае преобразования, представляющего поворот вокруг оси хд
(фиг. 2.3), компоненты напряжения, действующие на поверхности 1', нахо-
дят следующим образом: выражают величину площадок и Аг, перпен-
дикулярных старым координатным осям, через площадки, перпендикуляр-
ные новым осям; выражают силы, действующие на различные площадки,
через компоненты напряжений и рассматривают условия равновесия сил,
www. vokb- la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
действующих в направлении новой оси xlt В результате получают (з а д а-
ч а 2.2)
(тг r = au cos2 0 + 012 sin О cos 6 -г o2i cos 0 sin 0 4- о22 sin2 0,
01'2' = — Иц sin 0 cos 0 + (т12 cos2 0 — o21sin20 4-o22sinOcos6.
Взяв элемент другой формы (задача 2.3), аналогичным образом находим
02'2' = Оц sin2 0 + о12 sin 0 cos 04-о21 cos0 sin ©4- о22 cos2 0. (2.5)
Нас не должно удивлять, что преобразования компонент напряжения
сложнее, чем преобразования вектора: компоненты напряжения опреде-
ляются двумя направлениями (направлением нормали к площадке и направ-
лением силы, действующей на площадку), а компоненты вектора опреде-
ляются одним лишь его направлением. Если внимательно посмотреть на урав-
нения преобразований компонент напряжения 1(2.4) и (2.5)], то нетрудно
Ф и г. 2.3. Преобразование компонент
напряжения.
Фиг. 2.4. Углы между координат-
ными осями.
заметить, что они описываются простой схемой. Эта схема станет еще нагляд-
нее, если в уравнениях (2.4) и (2.5) специальным образом обозначить коси-
нусы углов между различными координатными осями, так называемые
направляющие косинусы.
Прежде чем продолжить изучение преобразований компонент напря-
жения, поговорим о направляющих косинусах и посмотрим, как можно
их использовать для преобразования компонент вектора (см. также книгу
Томаса [18], стр. 615, задача 15]).
Возьмем две системы координатных осей (фиг. 2.4). Повернутые —
«новые» — оси отмечены штрихом при индексе. Набор косинусов углов О
между различными осями координат можно представить в виде таблицы,
столбцы которой соответствуют исходным осям, а строки — повернутым
осям
Ху COS ©1'1
Х-у COS 02-1
Ху COS Оз-!
^2 Я3
COS ©1'2 COS ©1'3
COS 02'2 COS ©2-3
COS 03'2 COS 03'3
Для краткости направляющие
образом:
Zpi
^2'1
6<’l
косинусы часто обозначают
^1'2 /гз
^2'2 Z2'3
^3'2 ^3'3
следующим
www.vokb-la.spb.ru
46
Глава 2
Из определения направляющего косинуса и из фиг. 2.4 следует, что
4'1 = 41'» 4'2 = 41' и т- Д-> но совсем необязательно, чтобы 1^2 = Z12-.
Если в исходной системе координат вектор имеет компоненты щ, а2, а3,
то, как следует из геометрических соображений, его компоненты в пре-
образованной системе а^, а2', определяются следующими уравнениями
(задача 2.4):
СИ' = Zi'iCtj Z1-2&2 + 4'3аз,
«2'== 4'1«1 + 4'2вг + 4’з«з, (2.6)
Оз' -- 4'1»! + 4'2^2 + 4'3аз-
Члены этих уравнений можно записать обобщенно в виде IfjCij, где индексы
V и / могут принимать значения от 1 до 3. Теперь соотношения (2.6) можво-
представить в более компактной форме
з
щ»= 2 1гзаг
j=i
(2.7)
Это выражение может соответствовать любому из трех уравнений в зави-
симости от того, выбрано I' равным 1, 2 или 3.
Фиг. 2.5. Тетраэдр для
вывода уравнений трехмер-
ного преобразования ком-
понент напряжения.
Фиг. 2.6. Координаты, при-
веденные к кристаллографи-
ческим осям.
Иногда уравнение (2.7) приводят как определение вектора, т. е. говорят,,
что вектор есть величина, компоненты которой преобразуются согласно
уравнению (2.7). В задачах 2.5 и 2.6 выводятся два полезных соотношения,
связывающих направляющие косинусы.
Теперь вернемся к преобразованию компонент напряжения при повороте
вокруг оси л3 и выразим обобщенную компоненту в виде o;j, где i и j могут
принимать любое из трех значений, соответствующих индексам координатных
осей. Уравнения для компонент напряжения в новой системе координат
[уравнения (2.4) и (2.5)] теперь будут выглядеть как (задача 2.7)
2 2
= 2 2ам4'й4'Ь (2.8)
Ь=1 /=1
www.vokb-la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
47
Это уравнение можно легко распространить на случаи преобразований, соот-
ветствующих изменению всех трех координатных осей (см. тетраэдр на фиг. 2.5)
(задача 2.8):
з з
СЧ'З'= 2 2 •
k=l 1=1
(2.9)
При испытании монокристаллов в виде длинных проволочек к образцу
прикладывается только нормальная компонента напряжения о33, как пока-
зано на фиг. 2.6. Однако пластическая деформация этих кристаллов опре-
деляется касательной компонентой напряжения, приведенной к определен-
ному кристаллографическому направлению на определенной кристаллогра-
фической плоскости. Согласно уравнению преобразования (2.9), касатель-
ное напряжение <т3'2' на плоскости 3' в направлении 2' можно выра-
зить через приложенное напряжение п33 и углы <р и X (фиг. 2.6) (з а д а-
ч а 2.9)
Оз-2- = Озз cos <р cos X.
(2.10)
2.4. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Условия равновесия накладывают ограничение на распределение напря-
жений в твердом теле, находящемся в переменном поле напряжений.
На фиг. 2.7 представлены элемент объема и действующие на него напря-
жения; в целях упрощения здесь показаны лишь те напряжения, которые
Ф и г. 2.7. Элемент объема, рассматриваемый при выводе уравнений равновесия.
являются результатом действия сил, приложенных в направлении xt. Если
нормальная компонента напряжения olt изменяется при переходе от одной
грани к другой, то в направлении Xj должна действовать сила. Она может
оказаться уравновешенной благодаря изменению касательных компонент
напряжения в промежутке между парой противоположных граней А2 или
аналогичной парой А3. Умножив компоненты напряжения на площади
соответствующих граней (чтобы получить силы) и приравняв сумму сил
www.vokb-la.spb.ru
48
Глава 2
нулю, получим следующие уравнения равновесия (задача 2.10):
dOjl дО21 I до31
' дх2 дх3
д<?12 1 I __ Q
д%1 <tt2 дх3 ’
^13 I ^23 | 0033 _ п
dxi дх2 ' дх3
0,
(2.Н)
Три уравнения (2.11) можно написать в более компактной форме, если три
индекса направлений, для которых поочередно рассматривается равновесие
сил, заменить одним индексом j:
з
у daiJ
dxt
0.
(2.12)
Три уравнения равновесия [(2.11) или (2.12)] связывают шесть компо-
нент напряжения друг с другом. Поэтому нельзя установить распределение
напряжений на основании одних лишь условий равновесия; необходимо
также рассмотреть соотношения между напряжением и деформацией и гео-
метрические условия, определяющие возможные деформации.
Элемент может и не находиться в равновесии, и силы могут действовать
не только по его поверхности, но и в объеме: магнитные и электростатические
силы, силы гравитации. Если силы не находятся в равновесии, то элемент
получит ускорение dhtjldt2. В уравнения равновесия теперь можно включить
объемную силу, обозначив ее у-ю компоненту на единицу объема через F}.
В окончательном виде уравнения равновесия принимают форму уравнения
момента количества движения, поскольку они характеризуют скорость
изменения момента количества движения данного элемента (задача 2.11)
ЙО;; д%и;
где р — масса.
Если тело обладает цилиндрической симметрией, уравнения равновесия
удобнее записывать в цилиндрических координатах (см., например, книгу
Крэнделла и Даля [4, стр. 161])
дигг ! 1 ЙЩд ( duzr । огг -400 р
дг 1 г йО 1 дг г
dPrfl I 1 | дог6 , g 0,11 _ g
Йг ' г йбйг 1 г ’
(2.14)
да г г
дг
£ дЩо . дагг oJr =
г дв ' dz г В
В случае сферической симметрии удобно использовать сферические коор-
динаты. Если в такой системе координат касательные компоненты напряжения
отсутствуют (т. е. огф -оге = OeQ —0), нетрудно показать, что уравнения
статического равновесия примут вид
Qy (2°ГГ °00 <J<p<p) — О,
ЙО00 л 9O44' п
йО — й<р ~0, °09 —
(2.15)
www.vokb-la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая оерирмация
2.5. МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
До сих пор мы считали, что на сечение действуют только распределен-
ные силы. Оказывается [3], что могут существовать еще и распределенные
моменты (фиг. 2.8). Доказательство их существования будет дано в главе,
посвященной уравнениям упругости (разд. 3.5). Обозначим интенсивность
распределенных моментов на единице площади поверхности через (пер-
вый индекс соответствует площадке, по которой действует распределенная
пара, второй индекс обозначает направление вектора момента). Распреде-
ленные по поверхности пары (моментные напряжения) преобразуются
Ф и г. 2.9. Слоистая структура,'уп-
рочненная волокнами, в которой су-
ществует градиент распределенных
пар.
так же, как и компоненты напряжения (задача 2.12), но при этом
не обязательно выполнение условия у,у = yit (задача 2.13). При рас-
смотрении равновесия элемента, на который и действуют моментные напря-
жения, равенство ог; = Cjt может не соблюдаться (задача 2.14):
<’«-‘•"=2^ <2Л6>
1=1
при i =^=к.
Уравнение (2.16) показывает, что моментные напряжения представляют
особый интерес в тех случаях, когда они оказывают влияние на распре-
деление напряжений, т. е. когда градиент моментных напряжений велик.
Крепер [12[ отмечает, что представление о моментных напряжениях оказы-
вается полезным при изучении объемов, содержащих ряды дислокаций.
Моментные напряжения играют большую роль в слоистых структурах,
упрочненных волокнами (фиг. 2.9). Под действием растягивающего усилия,
приложенного в направлении хя, две наружные пластины стремятся повер-
нуться в направлении —xs, средняя пластина — в направлении -j-x2. Если
этому повороту противодействуют участки, в которых волокна в различных
слоях пересекают друг друга, то в каждой точке пересечения будут суще-
ствовать моментные напряжения. Можно считать, что на элемент объема,
содержащий много волокон, действуют моментные напряжения. Пары
4—92
www. vokb- la. spb. ru
50
Глава 2
на противолежащих гранях элемента имеют одинаковый знак. Следовательно,
пара Х22 меняет знак при переходе от одной грани центрального слоя к дру-
гой, т. е. существует исключительно высокий градиент напряжений. В этом
случае, согласно уравнению (2.16), касательные напряжения о13 и о31 раз-
личны.
Механизм разрушения слоистых материалов изучен недостаточно,
но известно, что расчленение их начинается в местах пересечения волокон,
так что представление о моментных напряжениях помогает лучше понять
условия разрушения.
2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Наличие напряжений в теле вызывает его деформацию. Деформацию
можно описать с помощью смещений, при этом нужно иметь в виду относи-
тельные смещения близлежащих точек тела, поскольку смещаться как целое
Фиг. 2.10. Смещение близлежащих точек
при одинаковом значении ординаты.
может и недеформируемое тело. Рассмотрим две точки тела (фиг. 2.10). Обо-
значим смещения в направлении и хг соответственно ut и и2. Взаимное
смещение двух точен будет тем больше, чем больше начальное расстояние
между ними. Поэтому при описании деформации мы должны рассматривать
взаимное перемещение двух точек, отнесенное к единице начального рас-
стояния между ними. Относительное смещение имеет несколько компонент,
например (фиг. 2.10)
(U2 + ^-dx1)-u2 _ 9uz
дхх дхЛ
(2-17)
Мы видим, что относительные смещения выражаются через частные
производные смещений в данном теле. Смещения являются функциями
начальных координат точек тела
иг = иг(х!, я:2, х3).
(2.18)
Приведенное определение имеет смысл лишь для достаточно больших
элементов, смещения которых можно усреднить, и потому зависимость сме-
щений от координат является непрерывной и дифференцируемой функцией.
Например, если элемент кристалла имеет размер порядка расстояния между
полосами скольжения, то средняя производная смещения в нем будет заметно
зависеть от того, находится ли в этом элементе полоса скольжения.
Необходимо выбрать правильные размеры элемента, как это мы делали
при изучении напряжения: элемент должен быть достаточно большим, чтобы
можно было определить средний градиент смещения, и в то же время доста-
точно малым, чтобы в нем не было скачков градиента смещения. Всего имеет-
www.vokb-la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
51
ся девять производных смещения. Их можно сгруппировать в следующем
виде:
duj dut dut
дх1 dx2 9X3
8u2 dn-2
dxt dx3
du3 ди-з
0x2 dx3
(2.19)
Для описания деформации, вызванной напряжением, этих производных
недостаточно, поскольку взаимное перемещение точек может осуществляться
и в отсутствие напряжения путем локальных поворотов. В ряде случаев, на-
Ф и г. 2.11. Относительные смеще-
ния при повороте тела.
пример при изучении развития анизотропии или разрушения в результате
деформации, необходимо учитывать и повороты, по здесь будет рассматри-
ваться лишь деформация, вызванная действием напряжения. Поэтому
повороты из рассмотрения хотелось бы исключить.
Рассмотрим элемент, представленный на фиг. 2.11, и предположим, что
начало координат перемещается одновременно с перемещением соответ-
ствующей точки тела. Угол поворота линии, первоначально параллельной
оси xit приблизительно равен и = du2ldxi при условии, что величина этого
угла много меньше единицы. Угол поворота линии, параллельной х2, соста-
вит со = — (cjiitfdx2). Средний угол поворота элемента в плоскости (1, 2)
можно определить по формуле
1 I ди? ди< \
(2.20)
Полный
набор компонент поворота можно представить в виде
0 <о12 ю13'
(02, 0 <В23
Ы31 ®32 0
0
1 / ди2 dui X
2 \ дх1 дх2 /
1 / ди3 ди^ X
I 2 X dxt дх3 }
1 / дщ ди2 X 1 / диЛ ди3 V
2 \ дх2 dxt ) 2 \ dxs /
о 1 .
2 V их3 дх2 }
1 / ди3 0и2 \ !
2 \ д$2 '
(2-21)
Вычтя повороты, представленные в (2.21), из набора градиентов относи-
тельного смешения (2.19), получим деформацию, характеризующую локаль-
ные изменения формы тела 2):
Е1! е12 Е13
Е2! Е22 Е23
_Е31 ®32 Езз
otq
дх1
1 / ди2 dut X
2 \ дх, ' дх2 )
1 / дщ , ди2
2 ( дх2 дхг
ди2
1 / dui ди3 X
2 \ дх3 ' c)xi )
(2.22)
1) Здесь, как и везде в дальнейшем, мы обозначаем тремя точками специально опу-
щенные члепы, задача читателя — самому вписать их.
4*
www. vokb- la.spb.ru
52
Глава 2
Отдельные члены этой таблицы называются компонентами деформации.
В обобщенном виде их можно выразить следующим образом:
i ( дщ ди/)
2 ' dxj дх, J
(2.23)
Если существует лишь несколько компонент деформации, множитель
1/2 в (2.22) часто опускают. Чтобы отличить такую компоненту деформации,
вводят особый символ
_ dU2 I ди3
^2Я дх2
2^23 •
(2-24)
Вычтя соответствующие повороты из набора градиентов смещения,
мы можем следующим образом выразить компоненты деформации через
смещения:
Еи
£22
Езз
дщ
dxi ’
Su2
йх3 ’
dl<2 I &и3
23 дх3 дх2 ’
диз 1 бц1
^31 дх3 дх3 ’
Suj . ди2
-
(2.25)
В (2.22) или (2.25) компоненты с двумя одинаковыми индексами, папри-
мер ен, представляют относительные смещения двух точек в направлении
первоначально соединявшего их отрезка; их называют нормальными компо-
нентами деформации. Компоненты с разными индексами, например
у12, представляют средние поперечные смещения па единицу первоначаль-
ного расстояния и называются сдвиговыми компонентами деформации. Заме-
тим, что по определению у)2 = Tai и е;.г — и потому существует лишь
шесть компонент деформации. По причинам, которые станут ясны при чте-
нии разд. 2.7 и 2.8, компоненты деформации, заданные в выражениях (2.22)
или (2.23), называются компонентами тензора деформации. Если в опре-
деление компонент деформации пе входит множитель 1/2, как в формулах
(2.24) и (2.25), их называют тангенциальными компонентами деформации
сдвига, поскольку представляет тангенс угла поворота двух отрезков,
первоначально параллельных осям ж,- и Xj соответственно.
Объемная деформация, или дилатация, задается суммой нормальных
компонент при условии, что деформации значительно меньше единицы
(задача 2.15)
др
с = -у -- Еи+ Ега-|- е33. (2.26)
Формула для объемной деформации справедлива лишь при малых
деформациях; уравнения, определяющие деформации сдвига через смещения,
были получены с помощью формул поворота, которые справедливы лишь
при малых углах. Поэтому пет ничего удивительного в том, что и выражения
для определении деформации имеют физический смысл лишь при малых
относительных смещениях. Можно привести следующий пример.
Рассмотрим поворот жесткого тела на угол 0 вокруг оси х3. Смещения
точек тела можно выразить через угол поворота 0 и исходные координа-
ты х,, х2 и г,. Можно показать, что при 0 1 деформация в соответствии
с (2.22) и (2.25) равна нулю. Одпако при больших углах поворота, например
при 0 — 180°, компоненты деформации, согласно этим же уравнениям, уже
пе обращаются в пуль (задача 2.16). В гл. 6 мы увидим, что при больших
пластических деформациях физический процесс деформирования лучше всего
описывать с помощью ряда приращепий деформации, каждое из которых
мало или почти не зависит от исходного состояния, т. е. соотношения (2.22)
и (2.25) справедливы, когда относительные смещения приведены к текущему
расстоянию между точками тела.
www.vokb-la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
53
Шесть компонент деформации, определяемые соотношениями (2.22) или
(2.25), не*могут принимать произвольных значений, поскольку они выведены
лишь из трех компонент смещения. Таким образом, необходимо найти усло-
вие распределения деформаций в твердом теле, которое может быть получено
из трех компонент смещения. Как будет показано ниже, это условие не накла-
дывает ограничения на поля деформации, если в объеме материала они
Фи г. 2.1'2. Пример нелиней-
ного поля деформации.
меняются линейно, но ограничивает выбор возможных значений деформа-
ции в более сложных случаях. Одним из таких случаев является деформа-
ция пластины в собственной плоскости (фиг. 2.12). Предполагается, что сме-
щения, перпендикулярные пластине, равны нулю. Зададим для примера
нормальные компоненты деформации в следующем виде:
еи -- —«цТз, f22 =—a2xf.
В этом случае деформацию сдвига нельзя задать произвольно, поскольку
оказывается, что смещения в плоскости пластины суть
Uj — — ' 1 ’ f Ой) ,
и2 — — + д (xj,
а сдвиговая компонента должна иметь следующий вид (задача 2.17):
о, , . . й/(ж2) 0g
Т12 - - 2 (а, -г а2) xtx2 + h .
Можно не определять весь набор смещений, а вместо этого показать,
что существует принципиальная возможность найти однозначные смещения
путем интегрирования уравнений, если распределение деформации удовлет-
воряет определенным условиям — условиям совместности. Обычно их выра-
жают в виде двух систем из трех дифференциальных уравнений (см. книги
Тимошенко и Гудиера 119, стр. 229] и Сокольникова 117, стр. 25]) следую-
щих типов:
даС22 ^3Т23
дхз 1 Ox's дх2дх3 ’
° ( ^ + §3, + ^) . (2.27)
дхох о, дх1 \ oxi ох2 t)x3 / ' '
www. vokb- la. spb. ru
54
Глава 2
Деформацию тела с цилиндрической симметрией (так же как и напря-
жение) часто бывает удобно выразить в цилиндрической системе координат.
Если радиальные, тангенциальные и осевые смещения обозначать соответ-
ственно иг, щ и uz, компоненты деформации будут следующими (см. книгу
Крэнделла и Даля [4, стр. 166]):
ди, ди, , ди,
егг=4^, + ~ ’ (2.28)
г <)г ' дг г дО г v '
1 dug , и, 1 ди, ! duo
еее= —+ —, Тог == — •
В случае сферической симметрии удобнее пользоваться сферической
системой координат, обозначив смещения в направлениях г, 0 и ср соответ-
ственно через и,, ие и и^.
Если существуют только радиальные смещения, а ив — цф = 0, будут
существовать лишь следующие компоненты деформации:
t'rr " - l £<p<p == Coo = ~jT ’
Tro -• уГф -= Т.Ц1 0. (2.29)
2.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ
Компоненты деформации выражаются через частные производные сме-
щений, поэтому правила преобразования компонент деформации при пово-
роте осей координат представляют собой сочетание правил преобразования
Фиг. 2.13. Частные производные старых
координат по новым.
смещений и правил преобразования частных производных. Смещения пре-
образуются согласно закону преобразования векторов [уравнение (2.7)]
,ч
— У| li-jUj.
з=1
(2.30)
Согласно правилам дифференцирования, производную но новой координате
выражают через производные по старым координатам и через производные
каждой из старых координат по данной новой координате (фиг. 2.13)
(2.31)
Производные старой координаты по новой можно выразить через направ-
ляющие косинусы
и т. д. (2.32)
На основании двух последних уравнений и тензорного определения дефор-
мации [уравнение (2.22)1 можно получить значения компонент дефор-
www. vokb- la.spb.ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
55
мадии в новой системе координат. Вначале, чтобы не ошибиться, лучше выпи-
сывать все компоненты; правило преобразования в компактной записи сле-
дующее (задача 2.18):
з з
Ei,r= 2 2 (2.33)
h=I l=i
2.8. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ
Нетрудно заметить, что уравнения преобразования компонент деформа-
ции (2.33) идентичны уравнениям преобразования компонент напряже-
ния (2.9). Такие преобразования применяются и в других областях физики,
они получили общее название тензорные преобразования. Величина, которая
преобразуется по уравнению (2.9) или (2.33), называется тензором второго
ранга, поскольку в преобразовании участвуют два направляющих коси-
нуса. В соответствии с этим определением вектор является тензором первого
ранга. При изучении упругих констант кристаллов мы встретимся с тензо-
рами более высоких рангов. Напряжение и деформация — симметричные
тензоры, потому что равны их компоненты, находящиеся на противополож-
ных сторонах диагонали, проведенной слева направо, например о,7- =
Набор значений, представляющий вращения, антисимметричен, поскольку
<£>ij — — tOjj. Моментные напряжения, которые обсуждались в разд. 2.5,
также являются тензорными величинами, хотя их нельзя назвать ни симмет-
ричными, ни антисимметричными.
Вероятно, читателю известно, что тензоры второго ранга, такие, как
напряжение и тензорная деформация в двух измерениях, можно преобразо-
вать с помощью графического построения, называемого кругом Мора
(фиг. 2.14). Абсциссы представляют нормальные компоненты напряжения,
ординаты — касательные компоненты; при этом соблюдается следующее
правило знаков: при положительном сдвиге точка, соответствующая компо-
ненте в направлении в обычной системе координат, откладывается вниз
от оси абсцисс, а точка, соответствующая компоненте в направлении х2,—
вверх. Компоненты напряжений по площадкам, повернутым на угол 0
к исходным площадкам, определяются координатами концов диаметра круга
Мора, повернутого на угол 20, как показано на фиг. 2.14. Если принято
www. vokb- la. spb. ru
56
Глава
тангенциальное, а не тензорное определение деформации сдвига, то перед
построением круга Мора (или выполнением тензорных преобразований)
необходимо значения компонент сдвига разделить на 2.
Из построения круга Мора следует, что при двухосных напряжении
или деформации существует такая система координатных осей, что на пло-
щадках, им перпендикулярным, касательные компоненты равны нулю.
Эти оси называются главными осями. Можно показать (см., например, книгу
Егера 1111), что главные оси существуют и в трехмерных случаях. Это сле-
дует из того, что для установления связи между двумя системами координат
необходимы три переменные; оказывается, их можно выбрать так, что
по трем взаимно перпендикулярным площадкам касательные компоненты
напряжения или сдвиговые деформации обратятся в нуль. Следовательно,
при построении кривой деформации в материале, структура которого не имеет
предпочтительной ориентировки, для удобства можно выбрать такие коорди-
натные оси, которые будут совпадать с направлениями главных напряже-
ний. При изучении распределения напряжения или деформации в кон-
струкции, направления главных осей в различных точках которой, как
правило, различаются, легче работать с единой системой координат, выбран-
ной в соответствии с геометрией конструкции. В этих координатах обычно
существуют сдвиговые компоненты напряжения и деформации.
Операции над тензорами часто записываются болео кратко, при этом
вводят специальные правила и символы. (В настоящей книге мы не везде
будем использовать эту форму записи, но будем упоминать о ней, так что
читателя не испугают статьи, в которых принята сокращенная форма запи-
си.) Было замечено, что в формулах, содержащих знаки суммирования,
«немой» индекс, по которому производится суммирование, повторяется
дважды в каждом члене суммы. Поэтому можно опускать знак суммы и счи-
тать, что наличие двух одинаковых индексов подразумевает суммирование
(правило суммирования). Следуя правилу суммирования, можно записать
законы преобразования компонент векторов и тензоров [т. е. уравнения (2.7)
и (2.9)1 в виде
~ li'jOj, (2./)
(2-9)
Можно сделать более кратким символ частной производной по переменной
координате; для этого индекс этой координаты записывают после индексов
тензора, отделяя его запятой. Например, частная производная компоненты
напряжения записывается как
а уравнение моментов количества движения
i + = Р . (2.13)
Оказывается, что некоторые выражения становятся равными единице
или пулю, если значения их индексов соответственно одинаковы или различ-
ны. Для описания этого свойства вводят единичный тензор равный еди-
нице при равенстве значений индексов и равный нулю при неравных индек-
сах. С помощью этого тензора можно записать соотношения между направ-
ляющими косинусами (задачи 2.5 и 2.6)
= (2.34)
В некоторых случаях вводят еще одну специальную переменную —
единичный антисимметричный тензор третьего ранга е;-р., принимающий
значения, равные 1, если индексы образуют четную перестановку чисел
www.vokb-la.spb.ru
Напряжение и бесконечно .чалая деформация 57
1, 2, 3: е123 = е2з1 = e3i2 ~ 1; равные—1, если эта перестановка нечетная:
е132— е213 = е331 = —1 и равные, 0, если какие-либо два индекса совпа-
дают: бц2 = еа22 — 0.
С помощью этого тензора мы можем выразить векторное произведение
через единичные векторы
а х Ь = е^л-пг-б12-Ьл. (2.35)
Малый поворот элемента можно представить как вектор
(В = (0fenA = nhEijhuit j-~2 . (2.36)
Разность касательных компонент напряжений можно выразить через гра-
диенты моментных напряжений
%!ЛД = Eipfltj. (2.16)
Эта компактная запись нужна при доказательстве общих теорем, а также
для формулировки решений задач с помощью ЭВМ. При решении конкрет-
ных задач (балки, плиты, брусья, плоское напряженное состояние, плоская
деформация) такая запись не столь необходима, поскольку граничные усло-
вия и условия нагружения, как правило, просты, в результате чего ряд
компонент напряжения и деформации обращается в нуль.
2.9. ИЗМЕРЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Часто возникает необходимость определять напряжение эксперимен-
тально. Это бывает нужно, например, для того, чтобы выяснить, какие
нагрузки действуют на деталь во время эксплуатации, чтобы проверить
справедливость допущений, сделанных при теоретических расчетах, или
для того, чтобы определить напряжения в деталях сложной формы, когда
теоретический расчет напряжении затруднителен. Непосредственное изме-
рение напряжений, за исключением контактных напряжений на поверхности,
невозможно, поэтому измеряют деформацию, а по ней рассчитывают напря-
жение. Существуют различные методы измерения деформации:
1. Непосредственное механическое измерение. Этот метод прост, но пре-
дел его чувствительности не высок: 10~4 — 10“5 12].
2. Измерение с помощью датчиков сопротивления. Метод дает хорошие
результаты вплоть до деформаций 10_® (а при использовании полупроводни-
ковых датчиков даже до 10 8), но позволяет измерять деформацию лишь при
том условии, что датчики постоянно прикреплены к образцу [14].
3. Измерение на моделях из фотоупругих материалов. Для этого метода
необходимо изготовлять специальные модели (анализ данных прост только
при плоском напряженном состоянии [8]).
4. Измерения с помощью фотоупругих покрытий. Метод требует исполь-
зования громоздких регистрирующих устройств и не пригоден для иссле-
дования деформаций деталей малых размеров [16].
5. Измерения с помощью хрупких лаковых покрытий. Метод позволяет
определять направление максимального растягивающего напряжения,
но он сравнительно малочувствителен, пригоден лишь для определения
растягивающей деформации; к тому же покрытия трудно наносить [5].
6. Рентгенографическое измерение. Метод позволяет определять упру-
гую часть деформации, но требует использования очень дорогого и сложного
оборудования, и его чувствительность по напряжениям составляет всего
лишь несколько десятых долей килограмма на 1 мм2.
Для справок по всем вопросам измерения деформаций мы отсылаем
читателя к превосходной книге Хэтени [10].
www. vokb- la. spb. ru
58
Глава 2
2.10. ВЫРАЖЕНИЕ РАБОТЫ ЧЕРЕЗ ДЕФОРМАЦИЮ И НАПРЯЖЕНИЕ
Работу, приходящуюся па единицу объема деформированного твердого
тела, можно выразить через напряжение и приращение деформации (в тан-
генциальном или тензорном определении). Если пользоваться тангенциаль-
ным определением деформации, то уравнение работы выводится из рассмо-
трения изменения трех различных сечений элемента объема (одно из этих
сечений показано на фиг. 2.15) (задача 2.19)
“гг — ^еи 4~ °22 ^Ё22 + . • . + t?23 ^"|’23 • • •
(2.37)
Используя тензорное определение деформации, можно получить более
компактное выражение для работы на единицу объема, хотя в численных
обозначениях это выражение может оказаться несколько более длинным.
'Ф и г. 2.15. Представление изменения формы сечения элемента объема, используемое
при определении работы на единицу объема.
При выводе рассматривается дифференциал работы, совершаемой над нахо-
дящимся в равновесии телом путем смещения его поверхностей. Возьмем
прямоугольный элемент, у которого на поверхности, перпендикулярной
оси т,, действуют компоненты силы a^dAt. Если приращение смещения
равно diij, то приращение работы составит
з з
dW = J У (JtjdAidiij,
Л Д=1 1=1
(2.38)
Интеграл по поверхности, согласно теореме Гаусса — Остроградского,
можно заменить объемным интегралом (см., например, книгу Франклина
|7, стр. 308]):
з з
J 2(2Л)
Л i=l V 1=1
где
з
f 'i = 2 d^j-
3=1
Вычисляя частные производные и используя уравнения равновесия
X1 __
дх[ ~
0
www. vokb- la. spb. ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
59
й определение деформации
fddui 8 ЗиЛ
= ----— J ,
J 2 ' Oxj i)Xj >
получаем выражение для дифференциала работы, совершаемой над телом
{задача 2.20):
з з
J S 2 °iJdRijdV- (2-4°)
у i=l j=i
Тогда дифференциал работы, отнесенной к единице объема, равен
з з
= (2-41)
1=1 3=1
2.11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Можно рассматривать напряжение и деформацию таких элементов,
размеры которых достаточно малы, чтобы напряжение менялось в его раз-
личных точках незначительно, и в то же время достаточно велики по срав-
нению с элементами структуры материала, чтобы колебания напряжений
из-за локальных изменений структуры усреднялись.
Компонента напряжения имеет два индекса: первый из них обозначает
площадку, по которой действует напряжение, второй — компоненту силы,
действующей на этой площадке:
(2.1)
Компонента напряжения называется нормальной (если сила перпендику-
лярна площадке) или касательной (если сила параллельна площадке). Из
условий равновесия при отсутствии моментных напряжений вытекает, что
djj = Gjt. Шесть компонент напряжения связаны тремя уравнениями,
каждое из которых соответствует равновесию сил, действующих в одном
из трех направлений:
дх3
0 и т. Д.
(2.11)
Деформация элемента объема представляет набор смещений соседних
точек, отнесенных к расстоянию между ними и преобразованных так, чтобы
исключить относительные смещения, вызванные поворотом элемента. Малые
деформации в соответствии с этим условием можно определить, выразив
их через смещения и,, и2 и п3:
dUi ди2 8и3
Е11 8X1 ' I’23 Лг3 <)х2 ’
с. = ,, i,Vx I
дх2 ’ '31 dxi ' ох2 ’
5и3 diti , ди,2
633 дх3 ’ I12 дх2 ’ 8xt
(2.25)
Компоненты е и у соответственно называют нормальными и сдвиговыми ком-
понентами деформации. Эти определения деформации не годятся для боль-
ших деформаций, за исключением случая пластического деформирования,
когда их можно использовать для описания приращений деформации. Важ-
ными компонентами напряжения и деформации, как мы узнаем позднее,
являются среднее нормальное напряжение о = (сгц -]- cr2Z -|- озд)/3 и дила-
тационная или полная нормальная деформация с = 6ц + ег, е33.
www. vokb- la. spb. ru
60
Г ла ea 2
Приращение работы, совершенной над элементом и отнесенной к еди-
нице объема, можно выразить через приращения деформации
ЙТУ
-р- = Оц с/еи -|- 022 Ч* - - Ч- °23 + . (2.37)
Преобразование компонент деформации при изменении координатных
осей показано графически с помощью круга Мора (фиг. 2,14). Другой способ
преобразования — с помощью направляющих косинусов: lt-j — косинус
угла между Z-й осью в повой системе координат и у-й осью в старой системе.
Компоненты вектора в повой системе можно выразить через компоненты
в старой системе aj и через направляющие косинусы
з
= 2 li4aj. (2.7)
Аналогично преобразуются компоненты напряжения, только в каждом члене
появляется не один, а два направляющих косинуса
3 3
(2-9)
h- 1 ь 1
Закон преобразования компонент деформации идентичен закону пре-
образования компонент напряжения при условии, что принято тензорное
определение деформации
Тогда
з з
Ci’j' — I I (2.33)
h 1 I =1
Если имеют дело с тангенциальными сдвиговыми компонентами деформа-
ции Tij, то перед выполнением преобразования их надо разделить на 2.
Оси системы координат, в которой отсутствуют сдвиговые деформации
или касательные напряжения, называются главными осями.
При тензорном определении деформации приращение работы на единицу
объема выражается следующим образом:
3 3
i=l j=l
Уравнения этой главы можно выразить в более компактной форме, если
воспользоваться правилом суммирования, изложенным в разд. 2.8. Приве-
дем эти уравнения:
равновесия
d^llj
преоб разования
^i'j' —
деформации через смещения
1 .
EiJ = -2(.Ui,j + Uj, i),
поворота
1
— 2 Л’
работы
dW ~ = Gijdeij.
www. vokb- la. spb. ru
Напряжение и бесконечно малая деформация
61
Уравнения равновесия в цилиндрических и сферических координатах —
(2.14) и (2.15); уравнения, определяющие деформацию в соответствующих
координатах, — (2,8) и (2.9).
ЗАДАЧИ
2.1. Показать, что o2i = <Чг [уравнение (2.3)1.
2.2. Вывести уравнения преобразования компонент напряжения [урав-
нение (2.4)|.
2.3. Вывести уравнение преобразования третьей компоненты напря-
жения [уравнение_(2.5)1.
2.4. Вывести уравнения преобразования компонент вектора [уравне-
ние (2.6)1.
з
2.5. Доказать, что У, li'jli'j = !• (Указание: рассмотрите скаляр-
j=i
ное произведение параллельных единичных векторов.)
з
2.6. Доказать, что У* = 0, если I' к'. (Указание: рас-
3 = 1
смотрите скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных единич-
ных векторов.)
2.7. Вынести общее уравнение преобразования компонент напряжения
в плоскости [уравнение (2.8)1.
2.8. Вывести общее уравнение преобразования компонент н«пряжения
[уравнение (2.9)1.
2.9. ывести уравнение для приведенного касательного напряжения
при растяжении [уравнение (2.10)1.
2.10. Вывести уравнения статического равновесия [уравнение (2.11)1.
2.11. Вывести уравнения момента количества движения [уравне-
ние (2.13)1.
2.12. Вывести закон преобразования моментных напряжений.
2.13. Показать, что условие у.и — у,-, не является обязательным.
2.14. Вывести уравнение, связывающее моментные и касательные
напряжения [уравнение (2.16)1.
2.15. Вывести уравнение, выражающее объемную деформацию через
нормальные компоненты деформации [уравнение (2.26)1.
2.16. Доказать, что уравнения (2.25) не справедливы для больших пово-
ротов, (У к а з а н и е: рассмотрите поворот на 180° элемента. изображен-
ного на фиг. 2.16.)
2.17. Какие ограничения накладываются на смещения и распределение
напряжений и деформаций в плите, изображенной на фиг. 2.12, если вп —
= — и в23 = —a2x'i?
2.18. Вывести уравнение преобразования компонент деформации [урав-
нение (2.33)1.
www. vokb- la. spb. ru
62
Глава 2
2.19. Вывести уравнение работы на единицу объема [уравнение (2.37)1.
2.20. Вывести уравнение работы, совершаемой над тедом [уравне-
ние (2.40)], выполнив последовательно все выкладки.
2.21. Показать, что распределение деформации, полученное в зада-
че 2.17, удовлетворяет уравнениям совместности.
2.22. а) Написать приближенные выражения для компонент смещения
элемента, показанного на фиг. 2.11.
б) Показать, что деформация этого элемента приблизительно равна
t'n Т’г) (0,2 0,1|
?21 е22) |0,1 0 I
2.23. Показать, что поворот элемента, представленного на фиг. 2.11,
равен
0 Wial ( 0 —0,151
®2i 0 j ~ (0,15 0 J
2.24. Нарисовать элемент до и после деформации
и поворота
ell e12 61з) '0 0,1 0-
621 e22 e23 / = < 0,1 0 0
.E31 e32 e33 • .0 0 0,
' 0 °J2 °13 0 0,05 01
0 ®23 ► = < — 0,05 0 0>
,°31 ®32 0 . L 0 0 OJ
Нарисовать такой же элемент после деформации
en c12 e13l 0 0,1 0
< 621 822 e23 ? = < 0,1 0 0
,e31 e23 C33J .0 0 0.
и поворота
0 <B13 (0 -0,05 O'
0 6)23 • = < 0,05 0 0
L 6^31 6J32 J lo 0 0.
2.25. Нарисовать элемент до и после деформации
еп
Т12
T1Z
622
— 0,11
— 0,3/
Дать несколько рисунков, каждый из которых соответствует различным
поворотам, происходящим в связи с деформацией.
ЛИТЕРАТУРА1)
Читатель может обратиться к книгам Крэпдслла и Даля [4. гл. 4.], Эприха [6, гл. 2]
и Тимошенко и Гудиера [19, гл. 8 и 9], где он найдет аналогичные определения и дефор-
мации и толкования уравнений равновесия. С подобных же позиций у Егера [111 дано
описание бесконечно малых деформаций, но только Егер гораздо детальнее обсуждает
преобразование компонент деформации и дает некоторые определения для больших дефор-
маций. Грин и Церпа [9|, Ляв [13], Мусхелишвили ]15| и Сокольников [17| излагают
представления о конечных деформациях, а также дают определение деформации в обобщеп-
Ч Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Напряжение и бесконечно малая деформация 63
ной тензорной форме, одинаково удовлетворительное как и ортогональной, так и в криво-
линейной системах координат1). Уровень изложения последних четырех книг доступен
студентам выпускных курсов.
1. Bridgman Р. W., Studies in Large Plastic Flow and Fracture, McGraw-Hill,
Mew York, 1952; русский перевод: Бриджмен II., Исследования больших
пластических деформаций и разрыва, ИЛ. 1955.
2. С о о k N. И., Rabinowicz Е., Physical Measurement and Analysis. Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1963.
3. Cosserat E., Cosserat F., Theorie des corps deformables, Hermann, Paris,
1909.
4. Crandall S. II., Dahl N. C. (eds.), An Introduction to the Mechanics of
Solids, McGraw-Hill, Now York, 1959.
5. D u г e 1 1 i A. J., Philips E. A., Tsao С. H., Introduction to the Theoretical
and Experimental Analysis of Stress and Strain, McGraw-Hill. New York. 1958,
6. Eirich F. R. (ed.). Rheology: Theory and Applications, Vol. 1, Acad. Press, New
York, 1956.
7. Franklin P., Methods of Advanced Calculus, McGraw-Hill, New York, 1944.
8. F г о c h t M. M., Photoelasticity, Vols. 1, 2, Wiley, New York, 1948; русский пере-
вод: Ф p о x т M. М., Фотоупругость, Гостехиздат, 1948.
9. G г е е п А. Е., Zerna W., Theoretical Elasticity. Clarendon Press, Oxford,
England, 1954.
10. H e t ё n у i M. (ed.), Handbook of Experimental Stress Analysis, Wiley, New York,
1950.
11. J a e g e r J. C., Elasticity, Fracture and Flow, Methuen, London, 1956.
12. К г б n e r E.. Physica Status Solicit, 1. 3 (1961).
13. Love A. E. H., Mathematical Theory of Elasticity, Dover. New York, 1944; имеется
русский перевод более раннего издания: Математическая теория упругости, ОНТИ,
1935.
14. Murray W. М., Stein Р. К., Strain Gage Techniques, Society for Experimental
Stress Analysis, 21 Bridge Square, Westport, Conn., 1961.
15. M у c x e л и ш в и л и II. И., Некоторые основные задачи математической теории
упругости, изд-во «Паука», 1966.
16. Post D., Zandinan F., Experimental Mechanics, 1, 1 (1961).
17. SokolnikofI I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
New York, 1956.
18. Thomas G. B., Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1960.
19. Timoshenko S., Goodior J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill,
New York, 1951.
20*. Снеддон И. H., Берри Д. С., Классическая теория упругости. Физматгиз,
М., 1961.
21*. Блох В. И., Теория упругости, изд-во Харьк. гос. упив., 1964,
22*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория упругости, изд-во «Наука», 1965.
*) См. также [20*—22*].— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Глава 3
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Если соотношения между напряжением и деформацией учитывают также
влияние температуры и времени, то обычно их называют основными, урав-
нениями.
Для малых упругих деформаций описывается получение этих уравне-
ний путем линеаризации закона, определяющего силы межатомного взаимо-
действия. В наиболее общем случае линейной связи каждая из шести ком-
понент деформации зависит от шести компонент напряжения. Эти соотно-
шения упрощают, учитывая обратимость упругой деформации и приводя
напряжение и деформацию к кристаллографическим осям симметрии. Оказы-
вается, что в кристалле с кубической симметрией имеются лишь три незави-
симые постоянные упругости, а в случае изотропной упругой среды их всего
две, например модуль упругости и коэффициент Пуассона. Будет показано,
как нормальные компоненты напряжения могут создавать сдвиговые ком-
поненты деформации даже в кристалле с кубической симметрией, если
образец вырезан не вдоль оси симметрии. Значения коэффициентов упру-
гой жесткости железа, соответствующие различным ориентировкам кри-
сталла, могут различаться в 2 раза; это говорит о наличии упругой
анизотропии. Даже поликристаллы могут быть существенно анизотропны,
если в них имеется текстура, вызванная обработкой Давлением. Структура
некоторых материалов симметрична относительно трех взаимноперпендику-
лярных плоскостей. Эти материалы называются ортотропными- к ним
относятся, например, холоднокатаные стальные листы.
Вывод упругих констант па основании закона для сил межатомного
взаимодействия выходит за пределы настоящей книги; здесь рассмотрены
лишь два решения, которые особенно полезны для поликристаллов. Пока-
зано, что, во-первых, существует приближенное соотношение, связываю-
щее модуль всестороннего сжатия и энергию связи в решетке, и, во-вторых,
коэффициент Пуассона должен равняться 1/4, если .межатомные силы
центральны.
Благодаря линейности уравнений, связывающих упругие деформации
и напряжения, справедлив принцип суперпозиции, согласно которому
напряжение и деформацию в теле, подверженном совместному действию
нескольких сил, можно найти, суммируя напряжения и деформации, соот-
ветствующие каждой из этих сил в отдельности (при условии, что деформа-
ции малы). Кроме того, линейность уравнений позволяет при отыскании их
решения быть уверенными в том, что если решение правильно, то оно будет
единственным (принцип единственности).
Приводятся значения модуля Юнга, коэффициента Пуассопа и коэф-
фициента теплового расширения для известных изотропных материалов.
Отмечается, что в некоторых диэлектрических кристаллах под действи-
ем внешних электрических полей возникают малые деформации. Аналогично
магнитные поля вызывают малые (но измеримые) деформации в ферромагнит-
ных материалах.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
65
3.2. ВИД УРАВНЕНИЙ, СВЯЗЫВАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Мы уже видели в гл. 2, что для установления распределения напряже-
ний и деформаций в нагруженном теле недостаточно уравнений равновесия
и уравнений, связывающих деформации и смещения: необходимо знать
соотношения между напряжением и деформацией. Эти соотношения будут
Фиг. 3.1. Зависимость анергии и напряжения от деформации.
рассмотрены количественно, но в начале нам нужно определить общий вид
уравнений, их описывающих. В гл. 1 уже обсуждалась кривая энергия —
деформация для нормальных деформаций; она еще раз приведена на фиг. 3.1.
Можно предположить, что зависимость напряжения от сдвиговой компонен-
ты деформации будет синусоидальной. Кроме того, используя приближение
жестких сфер, удерживаемых вместе действием внешнего давления, находим,
что энергия должна изменяться в связи с изменением объема, вызываемого
изменением расстояния между сферами. Кривая, полученная в результате
грубой интерполяции между крайними значениями энергии, соответствую-
щими каждому из приближений, представлена на фиг. 3.1 (задача 3. 1).
5 — 92
www.vokb-la.spb.ru
66
Глава 3
С помощью кривых энергия — деформация можно найти компоненты
напряжения, поскольку работа по созданию упругой (обратимой) деформа-
ции, совершаемая внешним напряжением, равна приросту внутренней,
энергии
dW = <Тц cfeu O22 dr-22 _г - • • т ^23 ^Тгз 4~ • - = du =
= ^L^h+^L*22+ • -\-~^-dy23+ . . . , (3.1).
мг. Л *7h22 vygg
Это равенство должно соблюдаться при любых значениях приращений
деформации; сле.довательно, оно показывает, что компоненты напряжения
суть производные энергии деформации по ее соответствующим компонентам
du ди ,,,
—“ О,,. —— = 0,0 и т. д. (3.2).
<2еи 11 d?23 '
Кривые, соответствующие двум из этих производных, определяющих нор-
мальную и сдвиговую компоненты напряжения, показаны на фиг. 3.1.
В первом приближении можно считать, что вблизи нулевой деформации
кривые напряжение — деформация линейны. Чем жестче атомы, тем мень-
ше значение деформации, для которого справедливо линейное приближение.
Поскольку предполагается, что соотношения между напряжениями
и деформациями линейны, можно в самом общем виде выразить шесть компо-
нент напряжения через шесть компонент деформации с помощью коэф-
фициентов пропорциональности С:
°11 = 4’ С12Е2? -h C’i3e33 |-614у23 -р- С I5y3( )- С1су12,
о22 = С21еи С22е22 -р . .. | С24у23 +....“г б'26у1а.
°33 — + ^32е22 +.................... 4 СзоТ12> (3.3).
°23=£-41Е11-^'42е22 Г....................4- 6'4!i1’12,
°3i — К51еи + 6'saE22 “..................4 б’5Ву12,
°12“= ^Bl^H ! t62E22-i ................. I б’ббТ12
или, более компактно, через тензорные компоненты деформации и кон-
станты Cijjif.
з з
2 2 Сцме-ы- (3.4)
L I Т— 1
Константы С в уравнениях (3.3) и (3.4) называются компонентами или
коэффициентами упругой жесткости 1).
Компоненты Cijhl, связывающие напряжение и тензорную деформацию,
преобразуются при изменении системы координат по правилам преобразо
вания тензоров четвертого ранга
3 3 3 3
Cijhl~ 2 2 2 2 i'i'H'ldi'ilj’ilk'klt'l, (3-3)
i'=l j' 1ft' 11' 1
где, например, l\t — направляющие косинусы угла между i-й старой
и г'-й новой осями координат. Справедливость этого соотношения можно
доказать, если в соответствии с уравнениями (3.2) и (3.3) коэффициенты
Cijhi представить как частные производные энергии деформации
и применить к ним правила преобразовапия частных производных и компо-
нент деформации (задача 3.2). Это же соотношение можно вывести
с помощью правил преобразования напряжения и деформации, если выра- Ч
Ч Их также называют упругими постоянными или модулями упругости.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
67
зить их в новой системе координат через соответствующие компоненты
в старой системе, написать соотношение между напряжением и деформацией
в старой системе координат и переставить члены в формуле (задача 3.3).
Общее правило преобразования коэффициентов упругой жесткости, выра-
женных через сдвиговые компоненты деформации в тангенциальном опре-
делении [уравнение (3.3)], оказывается слишком длинным, и им трудно
пользоваться.
Пользуясь тензорным обозначением, можно показать, что всего имеет-
ся З4 коэффициентов жесткости. Благодаря существованию равенств =
— о)г и = Bjj число коэффициентов уменьшается до 36. Не все они незави-
симы, поскольку ввиду обратимости упругой деформации работа упругого
деформирования является однозначной функцией деформации и не зависит
от пути. Следовательно, функция, связывающая деформацию и энергию,
существует, и для нее справедливо соотношение
д*и ___ д2и
огыде,ц ’
откуда следует, что
С12 = С21 или CfjAZ = CW£; (3.7)
и число независимых компонент упругой жесткости уменьшается до 21
(задача 3.4). К этому же выводу можно прийти, рассматривая цикл
упругого деформирования, осуществляемый последовательным приложением
и снятием двух компонент деформации (полная работа за цикл должна быть
равна нулю) (задача 3.5).
Если деформирование ведется в упруго-пластической области, дефор-
мации аддитивны; поэтому удобнее пользоваться уравнениями, выражаю-
щими компоненты деформации через компоненты напряжения. В этом случае
легче учитывать эффекты теплового расширения. Общее линейное соотноше-
ние между деформацией и напряжением можно записать, пользуясь кон-
стантами 5:
6ц = -f 512(72- . . - 4" -I- . . . -(-О^ЛУ,
®22 = ^21*7(1 4 S42P22 4~ - ' • 4~ 2477'23 -r • • • 4" TZgAJ ,
езз “ ‘S’siGh 4-......................4 ctsAT*, (3.8)
?23 4-.......... • 4 447723 i • • 4' СцА?',
Тз1 +.................................+ ccsAT1,
Ti2 =~ ^<и77ц -7-.....................-фавАУ,
или
3 3
= V 2 ^ии<7м4анАГ. (3.9)
s=i i=i
Компоненты или коэффициенты упругой податливости S4j или 5 ijh г х) пре-
образуются аналогично коэффициентам упругой жесткости, и для них спра-
ведливы те же тождества. Коэффициенты теплового расширения а преобра-
зуются как компоненты деформации. Коэффициенты податливости в танген-
циальном и тензорном определениях связаны друг с другом (задача 3.6):
Aj122 = Slz,
,, 1 с с 1 с (3.10)
•51123 ~~2 14’ *5 2331 —-^-£>45 и т- Д.
1) Их также называют упругими модулями, хотя модулем упругости называется Е,
а мы увидим, «то = 1/Е.
5»
www. vokb- la. spb. ru
68
Глава 3
Для определения других соотношений между упругими константами
полезно использовать термодинамическое рассмотрение. Например, разли-
чие между изотермическими и изоэнтропийными податливостями выражается
через коэффициент теплового расширения и теплоемкость при постоянном
напряжении С в соответствии с уравнением
/ де \ ___ / де \
\ да / т \ да / s
Та2
рС '
(3-11)
Это можно показать, приведя одно из термодинамических уравнений Макс-
велла к случаю одноосного напряженного состояния
и используя уравнение для деформации в функции напряжения и энтропии
(задача 3.7). (Мэзон [9] вывел эти соотношения для трехмерного случая.)
Другой пример — уравнение, показывающее влияние напряжения на
коэффициент расширения:
OcCj сУГц
(3.13)
(Оно вытекает из существования соотношения между деформацией, напря-
жением и температурой, независимого от пути.) Уравнение (3.13) может
иметь существенное значение, если в результате достаточно больших коле-
баний температуры тела возникают большие различия в податливостях
отдельных его точек.
3.3 ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ НА СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ И НАПРЯЖЕНИЕМ
При выборе систем координат существуют лишь три степени свободы,
поэтому нельзя значительно уменьшить число коэффициентов упругой жестко-
сти или податливости за счет выбора соответствующей системы координат,
если структура материала не обладает достаточно высокой степенью симме-
трии. На фиг. 3.2 показаны примеры материалов с наименьшей симметрией.
Они обладают тремя взаимно перпендикулярными осями, при повороте на
180° вокруг каждой из которых структура материала остается неизменной.
Такие материалы называются ортотропными, и для описания их упругой
податливости в осях координат, совпадающих с осями симметрии, требуется
девять компонент:
Напряжение Деформация I 2 3 4 5 6
1 Ен = 5цОц + 512022 + 51гОзз
2 e22 = 512Оц + S22O22 4" 52зСГзз
3 833 = 51зОц -Ь ЗгзОгг + Sssa33 (3.14)
4 T23 = 514Oh + + 544a23
5 Vai — 5is<Tii 4* + 565o31
6 Ti2 = 51вОц + + 5бе<т12
Если компоненты напряжения и деформации определены в системе коорди-
натных осей, отличающихся от осей симметрии, то с помощью преобразова-
ний, соответствующих уравнению (3.5), соотношения (3.14) будут иметь
вид (3.8), из которого следует, что касательные напряжения создают нормаль-
ную компоненту деформации и наоборот.
Следующей более высокой степенью симметрии, часто встречающейся
в материалах, является гексагональная симметрия. Если выбрать коорди-
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для .чалых упругих деформаций
69
натную систему, представленную на фиг. 3.3, то на первый взгляд может
показаться, что число коэффициентов также равно девяти, поскольку создает-
ся впечатление, что З'ц --J- S22. Однако, применяя уравнения преобразований
к компонентам податливости, которые соответствуют осям, повернутым
в плоскости базиса на 60° относительно исходных осей, и учитывая вытекающее
Фиг. 3.3. Координаты в гексагональном
кристалле.
из условий симметрии кристалла равенство компонент, соответствующих
новым и старым осям, можно показать, что число независимых компонент
равно пяти (задача 3.8):
*5i3
*5ц
*51з
*5 и
*512
>51з
(3.15)
*51з
>51з
>5зз
*544
>544
Если кристалл обладает кубической симметрией, то, сделав несколько
поворотов координатных осей на 90°, можно показать, что существуют лишь
www. vokb- la. spb. ru
70
Глава 3
три независимые компоненты податливости Su, >S'12 и (задача 3.9).
Однако даже в этом случае в системе координатных осей, отличающихся от
осей симметрии, число компонент тензора податливости равно 21. Благодаря
малому числу независимых упругих констант в кубических кристаллах
появляется возможность выразить компоненты в новом направлении
Srj'h'i’ через соответствующие компоненты в старом направлении Sцм,
направляющие косинусы и множитель (Sun — £1122 — 252323) (см. дис-
сертацию Макклинтока [81; специальные случаи рассмотрены у Фойгта [161
и Боаса и Маккензи [21):
з
Si'j'k’l’ — 5 ijkl + *^1122 ^iSggag) 2 l-mi'lmj'lmk’lml'j (3.16)
m=l
если же i' — j, = k’ = l'y то
з
Si'i'l'i’ ~ San + (*5цц— >51122 — 2iS'232s) [( /mi’)— 1]- (3.16a)
m l
При этом, если
5’iin—>51122 — 25232b = 0, (3.17)
упругие константы не зависят от направления; другими словами, в этом
случае кристалл упруго изотропен. Условие (3.17) выполняется для моно-
кристаллов вольфрама при комнатной температуре.
Материал называют упруго изотропным, если его упругое поведение
не зависит от ориентировки. Так ведут себя не только те материалы, кристал-
лическая структура которых упруго изотропна, но и те, которые состоят
из набора анизотропных кристаллов, ориентированных случайным образом,
так что упругое поведение усредняется в пределах достаточно малого эле-
мента, рассматриваемого как точка при анализе напряжения. Важно, чтобы
кристаллы в самом деле были ориентированы беспорядочно. В разд. 3.4
мы узнаем, что кристаллы в холоднокатаной меди могут иметь разнообраз-
ные ориентировки, и все же этот поликристаллический материал может
оказаться не полностью изотропным.
Если материал изотропен, его упругое поведение описывают с помощью
модуля упругости Е, коэффициента Пуассона v и модуля сдвига G. Эти
величины не являются независимыми, что нетрудно показать, если опреде-
лить деформацию сдвига, создаваемую единичным сдвиговым напряжением,
либо непосредственно с помощью модуля сдвига G, либо с помощью Е и v,
повернув при этом оси координат на 45° (чтобы появились только нормаль-
ные компоненты напряжения), а затем вернуться к исходной системе (з а д а-
ч а 3.10). Формула, связывающая эти три величины, выводится также
из соотношения между компонентами тензора упругой податливости
в случае изотропной упругости (задача 3.11). Эта формула имеет вид
<ЗЛ8>
Уравнения, связывающие напряжения, деформацию и температуру (основные
уравнения), принимают следующий вид:
__ . Иц va22 уо33
611 “Г7Г —“Ё 7Г
С 22 —
УОц , 022 VOS3
Е ’ Е Е
езз —
1’23 =
?31 =
_ vnll VO22 I O33
Е Е ГЕ
+ <хД7’,
+ аД7’,
+ аДГ, (3.19)
Т12 =
2(1+у)
Е
°23>
, 2(1 +у)
"Г Е
°315
2(1+у)
Е
а12-
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
71
Всегда полезно помнить, какой практический смысл имеют члены, входя-
щие в уравнение (3.19). Например, члены в первой колонке показывают, что
при приложении нормальной компоненты напряжения возникают соот-
ветствующая компонента деформации, а также две равные отрицательные
компоненты деформации в- двух поперечных направлениях.
Физически часто легче всего рассматривать сжимаемость или обратную
ей величину — модуль всестороннего сжатия, определяемый как изменение
давления, отнесенное к соответствующему значению относительной объем-
ной деформации е:
В = = (3.20)
dv/v е ' '
Модуль всестороннего сжатия связан с модулем Юнга и коэффициентом
Пуассона следующим соотношением (задача 3.12):
в-5(пЬй)- Р'2,)
Основные уравнения для изотропных материалов можно упростить,
если использовать модуль всестороннего сжатия, а вместо нормальных
компонент напряжения написать разности между ними и средним нормаль-
ным (гидростатическим) напряжением ст. Эти разности называются девиато-
рами напряжения 1); они равны
S11 = °11-з~ (°11 + °22 4~ °2з) = °И — О,
$22 = <?22 О, S33 — Oss—О', (3.22)
S23 — °23 И Т. Д.
Аналогично разности между тремя нормальными компонентами деформации
и средней нормальной деформацией е/3 называются девиаторами деформа-
ции; эти разности определяются соотношениями
ег2 — ezz—— , е33—е33—д-, (3.23)
е23 = е23 и т. д.
Основные уравнения для малой упругой деформации принимают следую-
щий вид:
е = —--(-ЗаАТ’. (3.24)
Основные уравнения (3.19) или (3.24) можно представить также как
напряжение, выраженное через деформацию, например (задача 3.13)
_ (1 — v)Eelt т£е22 уЕе33 аЕ\Т ...
11 (1-l-v) (1 —2v) ' (l | v) (1 —' —2v) 1—2v ’ '
_ E
°23“2(l-b v)^3-
Соотношения между наиболее употребительными упругими константа-
ми, в том числе константами Ламе Л и р, применяемыми при описании рас-
пространения упругих волн, приведены в табл. 3.1.
9 Точнее, они являются компонентами тензора, называемого девиатором напряже-
ний.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
72
Глава 3
Таблица 3.1
Соотношение между константами упругости изотропной среды
Константы Константы, выраженные через пары
Е, v Е, G в, v Л, G Л, р.
E Е Е 3 (1—2v) В 9/> р(3+2р/А)
1 + ЗЙ/С 1 + р/Х
1— 2G/3B 1
2-J-2G/3B 2(1 + ЩЛ)
G Е G 3 (1—2v) В Q
2(1 + v)
2(l + v)
Z? Е Е В
3 (l-2v) S—3E/G
X £v E(1 — '2G/E) 3Bv В 2G X
(1 + v) (1- 2v) E/G 1 + V L 3
Е G 3(1— 2v) В G
2(l + v) 2 (1 v) М'
3.4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ УПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Уравнений равновесия и уравнений, связывающих смещения, дефор-
мации и напряжения, достаточно для определения распределения напряже-
ний в теле при заданных на его границе нагрузках или смещениях. Непо-
средственно решить эти уравнения можно лишь в редких случаях. Сущест-
вует косвенный метод — задать общий вид искомой функции, а затем
уточнить ее выражение так, чтобы оно удовлетворяло всем уравнениям
и граничным условиям. Возникает вопрос, будет ли найденное распределе-
ние напряжения единственно возможным или может существовать еще
и другое распределение. Иными словами, возникает вопрос о единствен-
ности распределения напряжений.
Доказывая единственность распределения упругих напряжений, удобно
использовать принцип суперпозиции, который заключается в следующем:
если некоторое распределение напряжений удовлетворяет уравнениям
равновесия, совместности и основным уравнениям, тогда сумма двух таких
решений также удовлетворяет всем уравнениям. Нетрудно показать, что
это следует из линейной зависимости членов этих уравнений от напряжения
и деформации (задача 3.14).
Единственность доказывают методом «от противного». Предположим,
что одному и тому же изменению внешней нагрузки соответствуют два
распределения напряжения. Уравнения равновесия, напряжения — дефор-
мации и смещения — деформации линейны, поэтому из принципа суперпо-
зиции следует, что напряжения, соответствующие разности этих двух реше-
ний, также представляют собой решение. Соответствующее изменение внеш-
ней нагрузки равно нулю; следовательно, равна нулю и работа внешних сил.
Тогда и полная энергия деформации должна быть равна пулю. Энергия
деформации каждого элемента должна либо равняться нулю, либо иметь
положительное значение, иначе материал не будет находиться в равновесии.
Стало быть, полная энергия деформации сможет обратиться в нуль лишь
тогда, когда локальные напряжения и энергия деформации повсеместно
обратятся в нуль; следовательно, предположение о существовании двух
различных решений песправедливо. Более подробное доказательство можно
найти у Лява [7] (стр. 181 русского перевода) или у Тимошенко и Гудие-
ра [15, стр. 2361. Утверждение о единственности распределения напряжений
при данных нагрузках справедливо лишь для малых деформаций. Например,
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
13
при сжатии круглая стойка может выгнуться в любую сторону. Кроме того,
неявно предполагается, что при равенстве нулю нагрузки начальные напря-
жения отсутствуют. На самом деле могут существовать остаточные напря-
жения, о которых мы расскажем в гл. 11.
3.5. ВЕЛИЧИНА УПРУГИХ КОНСТАНТ
В разд. 1.3 it 3.2 уже говорилось о том, что значения упругих констант
зависят от энергии кристаллической решетки. Даже для приближенной
оценки значений этих констант большинства кристаллов необходимо исполь-
зовать методы квантовой механики, что выходит за рамки этой книги. Одна
Ф и г. 3.4. Соотношение между модулем всестороннего сжатия, плотностью и энергией
связи [2, 10, 14J.
ко, если пренебречь различиями в структуре разных видов атомов, можно
предположить на основании анализа размерности, что модуль всестороннего
сжатия В будет связан с энергией связи и (па атом) и атомной плотностью р
уравнением типа
(3.26)
Справедливость этого уравнения подтверждает фиг. 3.4.
Более глубокое представление о соотношении между энергией связи
и модулем всестороннего сжатия можно получить, если рассмотреть ионные
www.vokb-la.spb.ru
74
Глава 3
кристаллы, в которых притяжение носит электростатический характер,
а его энергия обратно пропорциональна расстоянию в решетке. В качестве
удовлетворительного приближения можно принять, что энергия отталки-
вания пропорциональна некоторой высокой степени межатомного расстояния.
Таким образом, между энергией связи и межатомным расстоянием должно
существовать следующее соотношение:
U = Пцритязк Т ^отталк — Н (2-27)
(показатели записаны в общем виде, чтобы это уравнение можно было исполь-
зовать для кристаллов с неэлектростатическим взаимодействием атомов).
Констапту Ci получают суммированием энергии электростатического притя-
жения и отталкивания данного атома всеми остальными атомами; она зави-
сит от типа решетки. В особом случае чистой дилатации (одинаковые
нормальные деформации во всех направлениях) можно считать, что этот
коэффициент постоянен. Константу С2 определяют, исходя из наблюдаемого
равновесного значения расстояния, при котором напряжение равно нулю, т. е.
(3.28)
Модуль всестороннего сжатия определяют, зная зависимость изменения
объема от напряжения при равновесном расстоянии (задача 3.15)
В тп
ри 9
(3.29)
При т = 4 и п = 9 имеем В/ри = 4 (в соответствии с фиг. 3.4). Энергию
связи и (в ионных кристаллах по отношению к ионизированному состоянию)
можно измерить непосредственно, ее приближенные значения известны для
различных типов связи (разд. 1.3), поэтому уравнение (3.29) представляет
удобный способ приближенной оценки модуля всестороннего сжатия различ-
ных материалов. Строго говоря, это уравнение справедливо лишь при
температуре абсолютного нуля, поскольку оно не учитывает теплового
движения. Однако влияние последнего не очень велико: при комнатной
температуре значения упругих констант лишь на 10—20% меньше, чем при
абсолютном нуле. Дальнейшее уточнение этого соотношения читатель найдет
в книге Зейтца [131 (стр. 400 русского перевода).
Как отмечалось в разд. 3.3, для описания изотропного материала нужны
две упругие константы. Помимо модуля всестороннего сжатия, наиболее
простой физический смысл имеет еще коэффициент Пуассопа. Коши уста-
новил, что если между однородно деформированными областями решетки
действуют центральные силы, то коэффициенты жесткости оказываются
связанными следующими соотношениями [7]:
Cja — С6е, С14 — С5в и т. д.
Из соотношений Коши следует, что для изотропного материала коэффициент
Пуассона должен равняться 1/4 (задача 3.16). Соотношения Коши
хорошо выполняются для иоппых кристаллов, где электростатические силы
связи действительно центральные. Они также довольно хорошо выпол-
няются для стекла, структура которого столь рыхла, что влияние пар,
действующих между атомами, незначительно. В большинстве же металлов
соотношения Коши не выполняются и коэффициент Пуассона у них боль-
ше 1/4. Это является свидетельством существования в кристаллах момент-
ных напряжений. Однако при обычном расчете напряжения ими можно
пренебречь, поскольку на распределение напряжения влияют в основном
лишь градиенты моментных напряжений.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
75
Модель нецентральных сил в кристаллической решетке использовали
Гибсон и др. [5] при изучении радиационного повреждения. Они предполо-
жили, что существуют два источника энергии: центральные силы оттал-
кивания пар атомов, энергия которого подчиняется закону Борна — Майера
иг — Ле~Ъ(-Г1~г^, и силы притяжения, энергия которого пропорциональна
объему иа = pbV (фиг. 3.5). Силы притяжения действительно нецентраль-
ные, поскольку они не препятствуют чистому сдвигу. Расчет на основании
этой модели показал, что в кристалле отношение модулей всестороннего
сжатия и сдвига, а следовательно, и коэффициент Пуассона зависят от
постоянной Ъ и равновесного расстояния между атомами, так что соотноше-
ния Коши вовсе и не должны выполняться (задача 3.17).
а*
Фиг. 3.5. Трехатомный элемент для ил-
люстрации модели нецентральных сил.
Приведенные выше рассуждения и приближенные соотношения позво-
ляют оценить порядок величины упругих констант изотропных материалов.
Таблица 3.2
Упругие постоянные изотропных материалов при комнатной температуре х)
Материал Состав Модуль упругости Е, кг/ммЪ Коэффи- циент Пуассо- на V Модуль сдвига С», к г/мм2 Коэффи- циент ли- нейного расшире- ния а, 1(1 Cgpacrl Плот- ность, г/сле»
Алюминий Чистый и легиро- ванный 7000—8U00 0,32— 0,34 2600— 2700 20—24 2,7-2,9
Латунь 60—70% Си, 40—30% Zn 10 000—11 ОТО 0,33- 0,36 3700— 4200 19,8— 20,9 8,3
Медь 11 800—12 000 0,33— 0,36 4050— 4700 16,0- 16,7 8,9
Чугун литой 2,7—3,6% С 9100—14 700 0,21— 0,30 3650— 4050 10,5 6,9—7,5
Сталь Углеродистая и низколегиро- ванная 19 600—22 400 0,26— 0,29 7700— 8400 9,9—12,7 7,8
Нержавеющая сталь 18% Сг, 8% Ni 19 600—21 000 0,30 7420 14,8— 16,9 7,8—8,0
Титан Чистый И легиро- ванный 10 800—11 600 0,34 4200 8,8 4,43
Стекло Различных сор- тов 5000—8000 0,21— 0,27 2650— 3280 6,0—9,5 2,4-3,8
1) Из книги Крэнделла и Даля [3].
www. vokb- la. spb. ru
76
Глава 3
Значения упругих констант некоторых металлов удается довольно точно
определить с помощью методов квантовой механики, однако следует отме-
тить, что точные значения определяются экспериментально (табл. 3.2).
Кристаллы не обладают упругой изотропией, поэтому, анализируя поведение
Таблица 3.3
Коэффициенты упругой податливости кубических кристаллов !)
Материал Коэффициенты упругой податливости, 10—4 мм2/кг
jS |2 S44 1 Ян — sia —
Al 1,54 -0,56 3,25 0,49
Cu 1,44 -0,60 1,28 1,4
Fe 0,76 —0,275 0,84 0,57
Pb 9,0 —0,407 6,7 6,1
W 0,25 —0,070 0,64 0
95% Al 5% Cu 1,46 —0,67 3,6 0,033
72% Cu + 28% Zn 1,88 -0,82 1,34 1,34
1) Из книги Крзпделла и Даля [3].
монокристаллов, необходимо учитывать коэффициенты податливости, при-
веденные в табл. 3.3 Даже в поликристаллических материалах расположе-
ние кристаллов не всегда беспорядочно, поэтому эти материалы не изотроп-
ны. Здесь не приводится исчерпывающих данных об анизотропии,
но в табл. 3.4 показано (для примера), как модуль Юнга зависит от ориенти-
Таблица 3.4
Модули упругости ортотропных материалов
в форме листов Ч
Материал Модуль упругости Е (кг/мм?) в направлении, составляющем с направлением пронатки
0° 45° 90°
Холоднокатаное же- лезо 23 000 20 500 27 200
Холоднокатаная медь 13 800 10 800 14 000
Холоднокатаная медь, рекристаллизован ная 7 000 12 000 6 700
1) Из книги Крандсл.ча и Даля [3].
ровки образцов, вырезанных из листа. Этих данных недостаточно для
полного описания анизотропии материала (задача 3.18).
Точное решение для коэффициента расширения можно получить только
с помощью квантовой механики; его существование вытекает из того факта,
что энергия решетки не пропорциональна квадрату расстояния от положе-
ния равновесия. Наоборот, связи в решетке становятся тем слабее, чем
больше она расширяется. Следовательно, при наличии тепловых колебаний
атомы стремятся чаще всего находиться в положениях, соответствующих
расширенной решетке, в результате чего средняя плотность снижается.
В книге Мотта и Джонса [10, стр. 171 дано количественное описание это-
го явления.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
77
3.6. ФОТОУПРУГОСТЬ, ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНИТОСТРИКЦИЯ
Деформация изменяет диэлектрическую постоянную некоторых мате-
риалов, следствием чего является зависимость скорости света при заданном
направлении светового луча от ориентации вектора напряженности попереч-
ного поля или плоскости поляризации. Возникает эффект фотоупругости,
о котором упоминалось в разд. 2.9 как о методе экспериментального иссле-
дования напряжений.
Существует и обратный эффект, заключающийся в том, что электриче-
ское поле в некоторых твердых телах может вызывать деформацию из-за
поляризации в элементарных ячейках и искажения распределения элек-
тронов. Для этого нужно, чтобы кристалл был непроводящим и к нему можно
было прикладывать большие поля и чтобы элементарная ячейка кристалла
не обладала центром симметрии; тогда приложенное поле сможет раздельно
воздействовать на центры положительных и отрицательных облаков заря-
дов. Заметный пьезоэлектрический эффект наблюдается в кварце SiO2
и фосфорнокислом аммонии МЩНгРСД-
Пьезоэлектрические кристаллы применяются для генерирования и обна-
ружения волн сжатия при звуковой и ультразвуковой дефектоскопии.
Их используют в качестве генераторов ультразвуковых колебаний — в обо-
рудовании для ультразвуковой очистки, в качестве преобразователей —
для измерения силы или для преобразования механических колебаний
в электрические сигналы, например в звукосъемной головке фонографа.
В электрических цепях они используются для стабилизации колебательных
контуров. Деформация — тензор второго ранга, а компоненты напряженно-
сти электрического поля — компоненты вектора, т. е. тензора первого
ранга, поэтому коэффициенты, связывающие деформацию и напряжепность
поля, являются компонентами тензора третьего ранга (задача 3.19).
Как и при описании упругого поведения, часто используют соотношения меж-
ду независимыми компонентами деформации и компонентами вектора поля Е:
ец = АцЕ\ dzjEg 4- d3^E3,
е^.2 = d2ZEгd3ZEa,
е8з=--- ~\~d33E3, (3.30)
Тгз = diiEl -f- -|- d:iiE 8,
Tai — • • •
У12=--- -^~d3eE3.
Если напряженность поля одинакова, расчет деформаций и смещений в кри-
сталле довольно прост. В большинстве случаев поле внутри кристалла
неоднородно. Поэтому деформации, рассчитанные исходя только из величи-
ны напряженности поля [по уравнениям (3.30)], уже не соответствуют
непрерывным смещениям. Возникшему напряжению соответствует допол-
нительная деформация. Кристаллы, в которых наблюдается пьезоэлектри-
ческий эффект, весьма асимметричны, поэтому механические расчеты очень
сложны, особенно в тех случаях, когда кристалл не находится в состоянии
покоя, а колеблется с одной из его собственных частот. О пьезоэлектри-
ческом эффекте и его применениях рассказано в книге Мэзона [9]; данные
о термоупругих и пьезооптических эффектах читатель найдет в сборнике
под редакцией Кришнана [6].
Изменения температуры тоже вызывают изменения напряженности
поля. Таким образом, существует трехстороннее взаимодействие между
температурой, напряжением и напряженностью электрического поля, схе-
матически представленное на фиг. 3.6. Между другими физическими пере-
www.vokb-la.spb.ru
78
Глава 3
менными также наблюдается многостороннее взаимодействие. Более подроб-
ное физическое объяснение пьезоэлектрического эффекта дано Форсбер-
гом [4].
Ф и г. 3.(>. Связи между тепловыми, электрическими и механическими свойствами
кристалла [И].
Цифры в квадратных скобках соответствуют рангу тензоров свойств, цифры в круглых скобках —
рангу тензоров переменных. Под смещением подразумевается электростатическая индукция.
В ферромагнитных материалах при приложении магнитного поля воз-
никает деформация. Между тензором второго ранга — деформацией —
Таблица 3.5
Магнитострикция образцов в виде прутков
Материал Поле насы- щения, 3 Деформация, 10 с лш/лм*
Железо 20 4, затем падает до 0 при поле 200 a
Кобальт литой 100 —10, затем падает до 0 при 500 ;>
Кобальт отожженный 300 — 10
Никель 100 —35
Инвар 60 20
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
79'
и тензором первого ранга — магнитным полем — также существует связь.
Однако соотношение настолько нелинейно, что его нельзя выразить анали-
тически. Подробно этот вопрос изложен в книге Бейтса [1]. Значения напря-
женности магнитного поля, выше которого деформация меняется мало
(поле «насыщения»), и соответствующие им деформации представлены для
некоторых материалов в табл. 3.5.
3.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Если кривая зависимости межатомных сил от смещения достаточно
гладкая, ее можно хорошо аппроксимировать линейной зависимостью.
Наиболее общее линейное соотношение между шестью компонентами дефор-
мации и шестью компонентами напряжения будет включать 21 независимую
константу пропорциональности, если учтена обратимость упругой дефор
мации. Симметрия кристаллической решетки часто позволяет еще больше
уменьшить число упругих постоянных. Наконец, в изотропном агрегате
беспорядочно ориентированных кристаллов остаются лишь две независимые
упругие константы: модуль упругости Е и коэффициент Пуассопа v. Часто
бывает удобно использовать еще модуль сдвига G. Выраженные с помощью
этих констант и коэффициента теплового расширения ос основные уравнения
для изотропного материала имеют вид
₽ ан
611 ~Ё
G
W22
Е
где
т. д.,
-J-СС.ДУ и т. д.,
Е ” ’
Е
2(1 + т) ’
(3.19)
(3.18)
и
G =
Типичные значения модуля упругости, или модуля Юнга, для мате-
риалов с первичными связями лежат в интервале от 700 до 50 000 кг!ммг,
а для материалов с водородной связью, или вторичной,— от 70 до 700 кг/лглс2.
Коэффициент Пуассона материалов, в которых действуют центральные
силы, приблизительно равен 0,25; в других твердых телах его значение
выше. Значения коэффициентов линейного расширения большинства метал-
лов и стекол находятся в интервале от 7-10-6 до 25-10“ град-1, а для боро-
силиката и стекловидной окиси кремния—от 0,5-10“ до 1-10“ град-1.
В сплавах железа магнитные превращения могут компенсировать тепловое
расширение, поэтому коэффициенты теплового расширения этих сплавов близки
к нулю или принимают небольшие отрицательные значения. Модуль упру-
гости Е многих материалов может изменяться во много раз в зависимости
от ориентировки монокристалла или направления прокатки холоднокатаного
материала.
Для материала с обычным характером анизотропии или для произволь-
ных (по отношению к осям анизотропии) направлений в любом анизотропном
материале соотношения между напряжением и деформацией описываются
уравнениями вида
з з
ЕЫ = 2 2 Sijkl^kl 4- (3.9)
?.-1 I 1
Если считать напряжение функцией деформации, то упругие константы
можно находить путем дифференцирования внутренней энергии по компо-
нентам деформации
Cijkl = д . (3.6>
J Se.tjde.hi ' ’
www. vokb- la. spb. ru
80
Глава 3
Основные соотношения для изотропных материалов можно представить
с помощью девиаторов напряжения и деформации
SH = где ° = Д5- , (3-22)
О
eij = j j-, где е = Ekk, (3.23)
при этом
^ = 5-’ е = £+3адт. (3.24)
ЗАДАЧИ
3.1. Начертить кривые зависимости энергии и напряжения от деформации
сдвига для случая синусоидального закона изменения межатомных сил и для
приближения твердых сфер. Показать, как с помощью интерполяции между
этими крайними случаями можно построить кривые, представленные на
фиг. 3.1.
3.2. Вывести правила преобразования коэффициентов упругой жест-
кости [уравнение (3.5)1 из уравнения (3.6).
3.3. Вывести уравнения преобразования коэффициентов упругой жест-
кости [уравнение (3.5)] из правил преобразования компонент напряжения
и деформации.
3.4. Вывести соотношения между компонентами упругой жесткости
[уравнение (3.7)1 из зависимости энергии от деформации. Составить табли-
цу для 21 независимого коэффициента.
3.5. Вывести уравнение (3.7) из рассмотрения термодинамического
цикла, о котором говорится в тексте главы после уравнения (3.7). Составить
таблицу для 21 независимой компоненты.
3.6. Вывести уравнения, связывающие тангенциальные и тензорные
коэффициенты упругой податливости [уравнение (3.10)].
3.7. Вывести уравнение, связывающее изотермическую и изоэнтро-
пийную податливости [уравнение (3.11)1.
3.8. Доказать, что в гексагональных кристаллах нет других независи-
мых коэффициентов упругой податливости кроме тех, которые определяет
матрица (3.15).
3.9. Доказать, что в кристалле кубической симметрии имеются лишь
три независимых коэффициента податливости.
3.10. Вывести соотношение между G и Е с помощью преобразований,
описанных в абзаце перед соотношением (3.18).
3.11. Вывести формулу (3.18) из соотношения между коэффициентами
податливости [уравнение (3.17)].
3.12. Вывести соотношение, связывающее модуль всестороннего сжатия
с модулем Юнга [уравнение (3.21)].
3.13. Выразить деформации через напряжения в уравнении (3.25).
3.14. Доказать существование принципа суперпозиции следующим
образом. Пусть каждое из двух напряжений crij (xt, х2, х3) и a'i, (ад, х2, жа)
удовлетворяет условиям равновесия, а вызываемые ими деформации и соот-
ношения между напряжением и деформацией соответствуют непрерывному
распределению смещений; тогда распределение напряжений, представляемое
суммой этих функций о' + о", будет также удовлетворять условиям
равновесия.
3.15. Вывести соотношение, связывающее модуль всестороннего сжатия
и энергию связи [уравнение (3.29)1 с помощью уравнений (3.27) и (3.28).
3.16. Показать, что из соотношений Коши (разд. 3.5) следует, что
коэффициент Пуассона равен г/&.
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения для малых упругих деформаций
81
3.17. Показать, что соотношения Коши не выполняются при наличии
нецентральных сил (фиг. 3.5).
3.18. а) Почему для полного описания анизотропного поведения недо-
статочно значений модуля Юнга, приведенных в табл. 3.4?
б) Сколько констант нужно зпать, чтобы суметь полностью описать
анизотропное поведение? Как их определить экспериментально?
3.19. Показать, что пьезоэлектрические константы представляют ком-
поненты тензора.
3.20. Вычислить коэффициент упругой податливости 5ц для направ-
ления (111) в железе и сравнить его со значением для направления (100),
приведенным в табл. 3.3.
3.21. Вычислить коэффициенты упругой податливости кристалла железа
в системе координат, повернутой на 30° относительно одной из осей куба.
3.22. Согласно Боасу и Маккензи [2], кристаллы в поликристалличе-
ской железной проволоке при волочении поворачиваются так, чтобы направ-
ление (110) было параллельно оси проволоки. Если все зерна имеют эту
ориентировку, то
а) каково будет значение модуля упругости при растяжении?
б) каково должно быть значение эквивалентного модуля сдвига?
Поскольку в проволоке кристаллы самых различных ориентировок имеют
направление (110) вдоль оси, в качестве первого приближения можно рас-
смотреть средний модуль сдвига для двух взаимно перпендикулярных
ориентировок этого типа.
3.23. Доказать, что тепловое расширение кубического кристалла
изотропно.
ЛИТЕ РАТУРА
1. Bates L. F., Modem Magnetism, Cambridge Univ. Press, Cambridge. England,
1951, p. 401,
2. Boas W., Mackenzie J. K., Progress in Metal Physics, Vol. 2, Interact,
New York, 1950, p. 90.
3. Crandall S. H., Dahl N. C. (eds.), An Introduction to the Mechanics of
Solids, McGraw-Hill, New York, 1959.
4. Forsbergh P. W., Handbuch dcr Physik, Vol. 17, Springer, Berlin, 1956, p. 264-
5. G i b s о n J. B., G о 1 a n d A. M., M i 1 g r a m M., Vineyard G. H., Phys.
Rev., 120, 1229 (1960).
6. Krishnan R. S. (ed.), Progress in Crystal Physics, Vol. 1, Interact, New York,
1958.
7. L о ve A. E. H., Mathematical Theory of Elasticity, Dover, New York,'1944, p. 618—627;
имеется русский перевод более раннего издания: Ляв А. Е., Математическая
теория упругости, ОНТИ, 1935, стр. 647—657.
8. McClintock F. А., докторская диссертация, Calif. Inst. Techn., Pasadena,
1950.
9. Mason W. P., Piezoelectric Crystals and Their Application to Ultrasonics, Van
Nostrand, New York, 1950.
10. Mott N. F., Jones H., The Theory of the Properties of Metals and Alloys, Oxford
Univ. Press, London, 1936.
11. N у e J. F., Physical Properties of Crystals, Oxford Univ. Press, Lond., 1957; русский
перевод: H а й Дж., Физические свойства кристаллов, изд-во «Мир», 1967.
12. Petterson D. R., докторская диссертация, MIT, Cambridge, Mass., 1958.
13. Seitz F., Modern Theory of Solids, McGraw-Hill, New York, 1940; русский пере-
вод: Зейтц Ф., Совремеиная теория твердого тела, Гостехиздат, 1949.
14. S m i t h J. F., Arbogast C. L., J. Appl. Phys., 31, 99 (1960).
15. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New
York, 1951.
16. V о i g t W., Lehrbuch der Kristallphysik, 2 Auflage, Teubner, Leipzig, 1928.
fl—92
www.vokb-la.spb.ru
Глава 4
МЕХАНИКА ДИСЛОКАЦИЙ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 1 отмечалось, что реальные кристаллы отличаются от идеальных
тем, что в решетке первых имеются дефекты. Теперь считается общеприз-
нанным, что эти дефекты оказывают сильное влияние на механические,
электрические и химические свойства кристалла. Рассматривая зти дефекты,
не будем описывать смещения каждого атома в их окрестности, а используем
косвенный прием: примем, что несовершенства явлются цельными образова-
ниями. Поэтому пластическая деформация будет рассматриваться как
результат движения и взаимодействия дислокаций в кристалле, который
во всех других отношениях считается совершенным. Диффузию атомов
в кристалле будем рассматривать как результат диффузии вакантных мест
решетки в противоположном направлении.
В начале данной главы обсуждаются геометрические характеристики
дислокаций; результатом движения дислокаций является относительное
смещение двух частей кристалла по разные стороны от плоскости движения
дислокации, равное длине вектора трансляции. Изучаются внутренние
напряжения, связанные с дислокацией, и рассматривается, как эти напря-
жения взаимодействуют между собой, с внешними напряжениями и со свобод-
ными поверхностями. Действие приложенного напряжения на дислокацию
можно считать эквивалентным появлению распределенной силы, всегда
направленной перпендикулярно дислокационной линии. Большая величина
упругой энергии, которой обладает дислокация, приводит к тому, что пове-
дение дислокации подобно поведению резиновой ленты, все время испыты-
вающей действие линейного натяжения. Из изучения динамики движущейся
дислокации вытекает, что дислокация ведет себя как линия, единица длины
которой обладает определенной массой. Таким образом, по своим свой-
ствам дислокационная линия представляет собой одномерный аналог растя-
нутой резиновой мембраны, обладающей массой.
Для прохождения дислокации через потенциальные барьеры решетки
к ней нужно приложить напряжение конечной величины, но измеряемый
экспериментально предел текучести определяется, как правило, другими
соображениями. Рассматриваются частичные дислокации, движение которых
приводит к образованию плоского нарушения правильной упаковки решетки,
пересечение этих неполных дислокаций и реакции их взаимодействия.
Обсуждаются механизмы размножения дислокаций, существование кото-
рых делает возможным большие пластические деформации. Описываются
свойства равновесных дислокационных конфигураций: малоугловых границ
и пространственных дислокационных сеток.
Дается критическая оценка роли термической активации при пласти-
ческой деформации. Рассматривается задача о концентрации вакансий
в условиях теплового равновесия, которая решается относительно просто
и имеет практическое значение. Будет также изучена термически акти-
вируемая диффузия вакансий и ее связь с диффузией атомов в решетке..
Дальнейшее изучение этого вопроса приводит к выводу, что термическая
активация не может создавать дислокаций, по тем не менее начиная с момен-
та приложения критического касательного напряжения она может оказы-
вать влияние па скорость движения дислокаций в доле внутренних напря-
жений кристалла.
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
83
4.2. ГЕОМЕТРИЯ ДИСЛОКАЦИЙ
Пластическая деформация и фазовые превращения становятся возмож-
ными или ускоряются за счет движения дислокаций — линейных дефектов
упаковки атомов т), из которых состоит кристалл. Дислокация, представ-
ленная на фиг. 4.1, называется краевой дислокацией', она возникает в резуль-
тате обрыва атомной плоскости внутри кристалла, который приводит в окре-
стности точки О к изменению укладки атомов, принадлежащих слоям 1 и II.
Вблизи дислокаций слой I сжат, а слой II растянут. Между слоями I и II
должно существовать касательное напряжение, являющееся результатом
Ф и г. 4.1. Краевая дислокация в кубической решетке.
в — краевая дислокация пересекает грань кристалла в точке О; б — та же краевая дислокация, если
на нес смотреть сверху. Светлые кружки соответствуют атомам слоя I, черные — атомам слоя 11.
искажения атомных связей. Краевую дислокацию можно представить себе
введенной в совершенный кристалл посредством неполного разреза, причем
поверхности разреза затем взаимно смещены на одно межатомное расстояние
в направлении, перпендикулярном внутреннему краю разреза, а затем
снова сварены. Эта операция эквивалентна введению дополнительной полу-
плоскости в другой разрез, перпендикулярный первому 2).
На фиг. 4.2 представлена винтовая дислокация, которая существенно
отличается от краевой дислокации. При ее создании части кристалла по обе
стороны неполного разреза, сделанного в совершенном кристалле, сдвинуты
относительно друг друга на одно межатомное расстояние в направлении,
параллельном внутреннему краю разреза, а затем сварены. Положение
атомов в слоях I и // по обе стороны неполного разреза иллюстрирует уча-
сток А на фиг. 4.3.
Основное различие между краевой и винтовой дислокациями — отсут-
ствие лишней полуплоскости у винтовой дислокации ®). Дислокации в кри-
сталлах редко бывают чисто краевыми или чисто винтовыми, криволиней-
ные дислокационные линии имеют смешанный характер: в зависимости
х) Болес точное определение, дислокации дал В. Л. Инденбом [52*]: «Дислокация —
это линейный дефект, нарушающий правильное чередование атомных плоскостей».—
Прим. ред.
г) И в нервом и во втором случаях поверхность разреза опирается на линию дисло-
кации, однако в первом случае относительное смещение параллельно плоскости
разреза (добавлении материала не требуется), а во втором случае смещение перпендикуляр-
но поверхности разреза (добавляется полуплоскость).— IIрил. ред.
3) Это связано с том, что винтовая дислокация образуется путем чистого сдвига,
т. е. для ее образования не пужпо добавлять в совершенный кристалл материал или
удалять его.— Прим. ред.
6*
www. vokb- la. spb. ru
84
Глава 4
от ориентации один тип дислокации переходит в другой (фиг. 4.3). Величи-
на относительного смещения поверхностей разреза характеризует мощность
дислокации. Чтобы дать однозначное определение мощности любой дисло-
кации, мы должны прежде всего приписать дислокационной линии положи-
тельное направление, введя единичный касательный вектор 1). Затем надо
сравнить кристалл с дислокацией и совершенный кристалл. Для этого
Ф и г. 4.2. Винтовая дислокация, параллельная оси
в совершенном кристалле проводят большой замкнутый контур в направле-
нии вращения правого винта, ось которого совпадает с предварительно
выбранным касательным вектором (фиг. 4.4, а). Потом нужно провести
идентичный контур в кристалле с дислокацией так, чтобы он не захватывал
сильно искаженного «плохого» материала около ядра дислокации. Контур
в кристалле с дислокацией не будет замкнут (фиг. 4.4, б) из-за относитель-
ного смещения поверхностей разреза. Вектор, проведенный в дефектном
кристалле от начальной точки контура к конечной, характеризует мощность
дислокации. Его называют вектором Бюргерса 2). Контур, охватывающий
дислокацию в направлении вращения правого винта, который движется
в направлении единичного касательного вектора дислокации, называют
контуром Бюргерса.
т) Направление дислокации выбирается произвольно, но только один раз.—
Прим. ред.
Обычно принимается противоположное направление вектора Бюргерса: вектор
Бюргерса замыкает коптур Бюргерса и направлен из его конца в начало [21, 41].—
Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
85
В то время как величина вектора Бюргерса всегда постоянна, его
направление зависит от выбора единичного касательного вектора. Мы пол-
ностью определим характер дислокации, если к началу вектора Бюргерса
Ф и г. 4.3. Расположение атомов вблизи криволинейной дислокационной линии.
Светлые кружки соответствуют атомам плоскости, лежащей над плоскостью скольжения, черные__
атомам, лежащим под этой плоскостью.
Отрезок С — чисто краевая дислокация, отрезок Л — чисто винтовая дислокация; между ними дислока-
ция частично винтовая, частично краевая.
пристроим маленький вектор, указывающий направление единичного каса-
тельного вектора (фиг. 4.4, б; задача 4.1). На фиг. 4.4, б кружок с точ-
кой в начале вектора Бюргерса показывает, что положительное направление
дислокации выбрано перпендикулярно плоскости рисунка на нас; крест
в кружке будет показывать, что единичный касательный вектор направ-
лен от нас.
Если лишняя полуплоскость краевой дислокации перпендикулярна
оси X}, содержит положительную полуось х%, а край этой полуплоскости
совпадает с осью ха (фиг. 4.1 и 4.4, б), то вектор Бюргерса направлен в сто-
www. vokb- la. spb. ru
86 Глава 4
рону положительного направления оси хл при условии, что направление
единичного касательного вектора совпадает с положительным направле-
нием оси х3. Такого рода дислокацию называют положительной краевой
дислокацией ').
Бинтовая дислокация на фиг. 4.2 является правовинтовой. Если дисло-
кационную линию направить вдоль оси хя, направление вектора Бюргерса
Фиг. 4.4. Определение вектора Бюргерса путем сравнения кристалла с дислокацией
и совершенного кристалла.
а — совершенный кристалл; б — кристалл с дислокацией.
должно совпадать с положительным направлением оси х9 и тогда винтовая
дислокация будет положительной. Символ положительной краевой дисло-
кации — перевернутая буква Т; отрицательная краевая дислокация
обозначается Т. Б этом значке горизонтальная линия изображает плоскость
Фиг. 4.5. Иллюстрация того положения, что сумма векторов Бюргерса дислокаций,
сходящихся в узле, равна нулю.
разреза, или плоскость скольжения, а вертикальная линия — лишнюю полу-
плоскость. Положительную и отрицательную винтовые дислокации можно
обозначить соответственно значком S и его зеркальным отображением % •
Для смешанных дислокаций надо использовать векторное обозначение.
Дислокации, представленные на фиг. 4.1 и 4.4, векторы Бюргерса
которых равны одному вектору трансляции или целому их числ , называют
соответственно единичными и полными дислокациями.
Вектор Бюргерса является неизменной характеристикой дислокации.
Характер дислокационной линии может меняться от краевого до винтового;
эта линия может причудливо извиваться в кристалле, но при этом ее вектор
1) Некоторые авторы называют эту дислокацию отрицательной.
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
87
Бюргерса должен быть постоянным. Из зтого свойства вытекают следующие
важные следствия:
а) дислокационная линия не может обрываться внутри кристалла
(задача 4.2);
б) дислокация может заканчиваться на свободной поверхности, замы-
каться на себя, образуя петлю (задача 4.3), или разветвляться на дру-
гие дислокации в узле.
ОПД5)))))) 1)))))))))1)))))ГГ)ТПШПС>
Ф и г. 4.6. Движение дождевого червя (вверху) и змеи (внизу) за счет перемещения
дислокаций [38].
Если в узле встречается несколько дислокаций, касательные векторы
которых направлены от узла, то сумма их векторов Бюргерса должна
равняться нулю. Это дислокационный эквивалент известного закона
Кирхгоффа для узлов электрических цепей. В качестве примера рассмотрим
узел на фиг. 4.5. Проведем два контура Бюргерса на плоскостях I и II,
Ф и г. 4.7. Дне локация и слое пузырьков (диаметр пузырьков 1,2 .и.ч).
расположенных по разные стороны от узла (фиг. 4.5, б). Ни одна из дислока-
ций не пересекает поверхность цилиндра, соединяющего два контура
Бюргерса; поэтому суммарные векторы Бюргерса контуров, лежащих
н плоскостях I и II, должны быть равны при условии, что дислокационные
линии выходят из плоскости I и входят в плоскость II (т. е. если все единич-
ные касательные векторы направлены вправо). Если лее предположить, что
дислокации направлены от узла и выходят из цилиндрического объема через
плоскости I и II (единичные касательные векторы направлены от узла;
фиг. 4.5, а), то суммарные векторы Бюргерса контуров Бюргерса, лежащих
в этих плоскостях, должны быть равны по величине, но иметь противополож-
ные направления; из этого следует, что, если к сумме векторов Бюргерса
двух дислокаций, проходящих через плоскость II, прибавить вектор Бюр-
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
88
Глава 4
герса дислокации, проходящей через плоскость I, векторный многоуголь-
ник будет замкнут (задача 4.4).
Орован [38] отмечает, что дислокации представляют интерес и в зооло-
гии. «Змеи, черви и моллюски движутся за счет образования дислокаций.
Движение дождевого червя начинается с образования «растягивающей»
дислокации (отрицательной Т) вблизи шейки, тогда как движение боль-
шинства змей осуществляется путем образования «сжимающих» дислока-
ций (положительных £) у хвоста и их перемещения по направлению к го-
лове» (фиг. 4.6).
Брэгг и др. [4, 5] предложили удобную модель для изучения краевых
дислокаций. Они показали, что силы взаимодействия небольших мыльных
пузырей одинакового размера, плавающих на поверхности воды, напоминают
силы, действующие между атомами в плотноупакованных металлах. Пузырь-
ки притягиваются благодаря существованию да льнодействующих сил
поверхностного натяжения воды; внутреннее давление пузырьков приво-
дит к появлению близкодействующей силы отталкивания. В результате
на поверхности воды образуется плотноупаковапный слой сжимаемых сфер.
При диаметре пузырьков ~ 1,2 мм можно моделировать притяжение и оттал-
кивание атомов меди. На фиг. 4.7 показан слой мыльных пузырьков,
содержащий краевую дислокацию (задача 4.5).
4.3. ДВИЖЕНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В КРИСТАЛЛЕ
Дислокационные линии в кристалле могут иметь любую форму и на-
правление. Однако очень часто из-за анизотропии кристалла, текстуры
роста, термических напряжений, возникших при затвердевании, и взаимо-
действия между дислокациями (которое будет обсуждено позднее) они
а
Фиг. 4.8. Результат перемещения краевой дислокации по кристаллу.
находятся в определенных кристаллографических плоскостях. Это, как
правило, плоскости плотнейшей упаковки с большим межплоскостным
расстоянием.
Рассмотрим краевую дислокацию, лежащую в плотноупакованной пло-
скости (на фиг. 4.8 мы видим ее конец на краю лишней полуплоскости).
Если к кристаллу приложить напряжение сдвига так, как показано
на фиг. 4.8, а, лишняя полуплоскость может постепенно изменять свое'поло-
жение в кристалле, пока не достигнет свободной поверхности, где она обра-
зует ступеньку скольжения одноатомной высоты (фиг. 4.8, б). Аналогично
при движении винтовой дислокации под действием приложенного напряже-
ния (фиг. 4.9) в кристалле будет непрерывно увеличиваться зона сдвига,
пока дислокация не выйдет на свободную поверхность (заднюю грань кри-
сталла) и не образуется ступенька скольжения одноатомной высоты.
Итак, мы видим, что результатом прохождения через кристалл дисло-
кации, лежащей в плотноупакованной плоскости, является сдвиговое сме-
щение на вектор Бюргерса по площади, «заметенной» дислокационной лини-
ей. Анализ фиг. 4.1 и 4.2 показывает, что направление сдвига в плоскости
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
89
не может быть произвольным: необходимо, чтобы после скольжения решетка
оставалась такой же, какой она была до него, т. е. сдвиг должен про-
исходить по вполне определенному кристаллографическому направлению.
Такая картина движения дислокации через «замороженную» решетку,
в которой каждый атом занимает строго определенный узел, справедлива
лишь при очень низких температурах, когда можно пренебречь тепловыми
колебаниями. (Если при этих температурах возможно скольжение, оно
происходит по плотноупакованным плоскостям с наибольшим межплоско-
стным расстоянием ив направлении плотнейшей упаковки в этих плоскостях.}
Фиг. 4.9. Результат перемещения винтовой дислокации по кристаллу.
При более высоких температурах усиливается тепловое движение,
и благодаря этому в большинстве кристаллов скольжение может про-
исходить также по менее плотно упакованным плоскостям и в направлении
менее плотной упаковки. Б табл. 4.1 представлены плоскости скольжения
и направления скольжения в наиболее известных пластичных материалах
(задача 4.6). Дислокации, векторы Бюргерса которых лежат в плоско-
сти скольжения (фиг. 4.8 и 4.9), называются скользящими дислокациями.
Как видно из названия, скользящие дислокации могут сравнительно легко
проходить через кристалл и для их движения не требуется переноса материа-
ла, т. е. при скольжении не изменяется протяженность лишней полуплоско-
сти. Движение скользящих дислокаций часто называют консервативным,
понимая под этим не отсутствие трения, а сохранение размеров лишней полу-
плоскости благодаря отсутствию диффузии. У винтовой дислокации нет
лишней полуплоскости, поэтому ее движение всегда консервативно.
Итак, скользящие дислокации — это демаркационные линии между
теми участками кристалла, в которых скольжение прошло, и теми, в кото-
рых его не было. Векторы Бюргерса этих дислокаций определяют величину
относительного сдвигового смещения частей кристалла, разделенных пло-
скостью скольжения.
На фиг. 4.10 показана дислокационная петля, образованная в результате
слияния вакансий, накопившихся на плоскости скольжения; вектор Бюр-
герса этой петли перпендикулярен ее ^плоскости. Независимо от способа
образования дислокации, если ее вектор Бюргерса перпендикулярен пло-
скости, в которой она лежит, скольжение дислокации по этой плоскости
невозможно и поэтому дислокация называется сидячей.
Бывают случаи, когда часть петли лежит на линии пересечения пло-
скости петли и другой плоскости скольжения, которая параллельна вектору
Бюргерса петли. Тогда становится возможным скольжение этой петли
по плоскости, не совпадающей с плоскостью петли. Во всех остальных случаях
петля может двигаться лишь с помощью диффузии, удлиняя свою полу-
www. vokb- la.spb.ru
90
Глава 4
Таблица 4.1
Плоскости скольжения и направления скольжения широко
применяемых пластичных материалов
Материал Тип решетки Системы скольжения при низкой температуре Добавочные системы скольжения при повышенных температурах
плоскость скольжения направление скольжения минималь- ная темпе- ратура, °C плоскость скольжения направление скольжения
[101]
Al Г. ц. к. (111)
Cu Г. ц. к. (111) [101] > 450 (100) [011]
Ag Г. ц. к. (111) [1011
Au Г. ц. к. (111) [101]
a-Fe О. ц. к. (101) (112) [111] При комнатной и более высоких тем-
(123) ‘) [111] пературах скольжение может про-
Ta О. ц. к. (101) (112) исходить также по многим другим
W О. ц. к. (Ю1) (112) [111] плоскостям, в которых лежит на- правление [111]
Mg Г. п. у. (0001) [1120] (1101) [1120] 2)
Zn Г. п. у. (0001) [1120] [ 225 (1101) [1120] 2)
Cd Г. п. у. (0001) [1120] (1101) [1120] 2)
NaCl Г. ц. к. (110) [110] 100
(камеппой соли) [110] j. (001) (111) [Й0]
LiF То же (110) 400
MgO » » (110) [110]
О При комнатной температуре скольжение в железе может происходить по волнистой поверхно-
сти, в которой лежит направление [111] (карандашное скольжение).
2) Обозначения плоскостей и направлений гексагональной решетки отличаются от принятого
в гл. 1 трех индексного обозначения. Чтобы добиться единообразия в обозначении эквивалентных
плоскостей, вводят третью (лишнюю) ось в плоскости базиса. Первые три члена hhl в обозначении
плоскостей hkii представляют обратные значения отрезков, отсекаемых плоскостью на трех осях
базисной плоскости. Из геометрических условий следует, что сумма двух первых индексов равна
третьему индексу, взятому со знаком минус: г — — (й k).
плоскость благодаря конденсации межузельных атомов (или испарению
вакансий). Движение дислокации в направлении, перпендикулярном
Фиг. 4.10. Сечение сидячей дислока-
ционной петли плоскостью, перпенди-
кулярной плоскости пегли.
Фиг. 4.11. Определение пластической
деформации при сдвиге.
ее вектору Бюргерса, которое требует диффузии атомов или вакансий, назы-
вается переползанием', это движение неконсервативно.
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
91
Если скользящая дислокация проходит расстояние х по плоскости
скольжения в кристалле длиной I, высотой h и толщиной t (фиг. 4.11), возни-
кает пластическая деформация сдвига (задача 4.7)
Если же в кристалле имеется N дислокаций, параллельных направле-
нию t, и все они проходят в среднем расстояние Л, полная деформация, оче-
видно, будет равна *)
т-т*. <4-* 2>
Уравнение (4.2) может быть упрощено, если ввести плотность дислока-
ции A = Nllh1 тогда
у = ЛХЬ. (4.3)
В хорошо отожженных кристаллах плотность Л порядкаТЮ4—10е см~2,
а в сильно деформированных кристаллах она доходит до 1010—1013 сл~2
(в а д а ч а 4.8).
4.4. ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ДИСЛОКАЦИИ
Дислокация создает в окружающих ее областях кристалла самоуравпо-
вешивающееся поле напряжений. Это определяется самой природой дисло-
кации. Если пренебречь анизотропией кристалла и считать среду линейно
упругой, можно определить ноля напряжений краевой и винтовой дисло-
каций, а, следовательно, путем суперпозиции этих полей и любой дислокации
смешанного типа. Дислокации в анизотропной среде были изучены Бюргер-
сом [7], Эшелби [16], Эшелби, Ридом и Шокли [17] и Стро [46].
Рассмотрим винтовую дислокацию и направим вдоль ее линии ось хэ
(фиг. 4.2). Попытаемся угадать решение и проверим, удовлетворяет ли оно
в самом деле требуемым уравнениям и краевым условиям. Предположим, что
кристалл с дислокацией является областью сплошной среды, размеры
которой достаточно велики, благодаря чему геометрия внешних границ суще-
ственно не влияет на смещения вблизи центра; тогда, учитывая спиральный
характер винтовой дислокации, можно заметить, что отличны от нуля только
смещения в направлении оси х3. Поскольку расположение плоскостей
не меняется вдоль дислокации, можно заключить, что это смещение будет
функцией только координат и или г и 0. Расположение плоскостей
около винтовой дислокации можно представить в виде винтовой поверхно-
сти с шагом, равным межатомному расстоянию Ь 2); наиболее простым
выражением для смещения вдоль xs является
, 0 Ь х2
и3 = Ъ —— — arctg —- .
J 2л 2л ь хх
Этому смещению -будет соответствовать тензор напряжений, у которого лишь
следующие две компоненты не равны нулю (задача 4.9):
Gb f . ,
°13=
Gb х. ., ,,,
х) При этом подразумевается, что длина каждой из JV дислокаций единична.—
Прим. ред.
2) Винтовая дислокация является осью этой поверхности.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
92
Глава 4
В цилиндрических координатах напряженное состояние описывается
более компактно; здесь отлично от нуля лишь (задача 4.9)
Gb
0(52" 1^7 '
Это простое распределение напряжений удовлетворяет условиям равно-
весия, и поскольку напряжение стремится к нулю по мере удаления от дис-
локации, оно удовлетворяет краевым условиям везде, за исключением,
возможно, торцов кристалла, на которые выходят концы дислокации.
Смешения и напряжения около краевой дислокации не удастся опре-
делить так же просто, как в случае винтовой дислокации. Рассмотрим поло-
жительную краевую дислокацию Д_, подобную изображенной на фиг. 4.1;
Ф и г. 4.12. Распределение напряжений вокруг положительной краевой дислокации.
направим оси координат в соответствии с фиг. 4.4, б. Смещения около дисло-
кации по-прежнему не зависят от координаты вдоль оси х3, поэтому везде,
за исключением конца дислокации, подходящего к узлу, или свободной
поверхности, соблюдаются условия плоской деформации. В этом случае
будут отличны от нуля только четыре компоненты тензора напряжения —
три нормальные (ои, о22, og3) и одна касательная (oi2):
Gb . п . от Gb г2 (Зх? J-#!)
Иц = — ----— sin 0 (2 - cos 20) — —г,—Гл-;—i » (4.6а)
11 2л (1 — т) г ' 1 ' 2л (1 — v) (х®4 х|)2 * v '
Gb - л ЬЬ Х2 (it 1 Xgl t / О г*\
О29 — Г—Гл---Г" siП 0 C0S 20 = —Гл--; ~Гг . т (4.66)
2л (1 — v) г 2л(1 —v) (х?4х|)2 ’ ' '
Gb „ „„ Gb хл (х?— xl) .
°i2 = к—Гл---cos 6 cos 20 = - а- -.-л-;—, \ (4.6в)
*“ 2л (1 -v)r 2л (1— т) ' 7
Третью нормальную компоненту можно найти по двум первым (з а-
д а ч а 4.11).
Характер напряженного состояния вокруг положительной краевой
дислокации представлен на фиг. 4.12. Нарисовать эту схему можно и не
зная точного решения: для этого нужно обладать некоторой интуицией
и знать условия равновесия (задача 4.12).
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
93
Выражения для всех компонент напряжения краевой и винтовой дисло-
каций имеют общий множитель Gbf2rcr, который характеризует их зависи-
мость от расстояния дислокации. Этот множитель часто используют для
•оценки порядка величины напряжения, вызываемого дислокацией.
У поля напряжений винтовой дислокации, находящейся в изотропном
материале, от нуля отличаются только касательные компоненты. Следова-
тельно, ни в одной точке материала, окружающего винтовую дислокацию,
не возникает дилатации, или объемной деформации. Краевая дислокация,
наоборот, вызывает локальные изменения объема в окружающем ее мате-
риале. Такое изменение объема легко определить посредством следующего
соотношения, получаемого из уравнений (2.26), (3.19), (4.6а) и (4.66)
(задача 4.13):
Таким образом, локальный объем материала со стороны лишней полу-
плоскости уменьшается, а на противоположной стороне увеличивается.
Общее изменение объема материала, содержащего краевую дислокацию,
равно нулю (задача 4.14). Следовательно, при соблюдении условия
линейности упругой деформации полный объем материала, содержащего
винтовую или краевую дислокацию (за исключением собственно ядра
дислокации), не изменяется. В ядре дислокации эти условия не выполняют-
ся, и там должно иметь место приращение объема. Оно вызвано тем, что
сжимающие усилия, хотя они и велики, приводят к уменьшению объема,
которое не компенсирует его увеличения, вызванного действием растяги-
вающих усилий. Полное приращение объема в ядре дислокации, приходя-
щееся на каждую атомную плоскость, пронизываемую дислокацией, не может
превысить величины объема атома. Таким образом, в сильно деформиро-
ванных металлах относительное приращение объема должно быть порядка К)’4.
Известно, что приращение объема сильно деформированной меди действи-
тельно имеет такой порядок величины (2,4-10-4) [8]. Измеренные значения
включают вклад в изменение объема и от точечных дефектов, образую-
щихся в процессе пластической деформации (разд. 4.8).
Поскольку введение дислокаций в кристалл не вызывает изменений
объема (за исключением небольшого приращения объема в ядрах дисло-
каций), пластическая деформация не должна изменять объем материала.
Таким образом, в условиях изотропной пластичности коэффициент Пуассона
должен равняться V2
4.5. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ, «ЛИНЕЙНОЕ НАТЯЖЕНИЕ»
И «МАССА» ДИСЛОКАЦИИ
Зная поле напряжений дислокации, можно рассчитывать запасенную
•в кристалле упругую энергию, приходящуюся на единицу длины дислока-
ции ((в направлении xs). Для этого задаются выражением зависимости плот-
ности упругой энергии от г и 0 (или %! и а?2) и интегрируют его по объему
в пределах от г0 (радиус ядра дислокации, внутри которого деформации
столь велики, что линейная теория упругости неприменима) до К (радиус
кристалла). В результате получают энергию деформации на единицу длины
винтовой дислокации, равную (задача 4.15)
Аналогичное вычисление дает для единицы длины краевой дислокации
величину
„ СЬ3 .7? ,
ёе = -i—rt-Г- In — . (4.80)
4 л (1—т) г0 ' '
www. vokb- la. spb. ru
94
Глава 4
Соотношения (4.8а) и (4.86) показывают, что энергия кристалла,
содержащего одну дислокацию, зависит от размеров кристалла. Это сви-
детельствует о дальнодействующем характере поля напряжения дислока-
ции. Отметим, что энергия дислокации пропорциональна квадрату ее вектора
Бюргерса. Поскольку кристалл всегда стремится к состоянию с наимень-
шей энергией, следует ожидать, что сверхдислокации с векторами
Бюргерса, большими, чем наименьший вектор трансляции, будут неустой-
чивы, так как при их расщеплении на единичные дислокации упругая
энергия кристалла существенно понизится. В реальных кристаллах, содер-
жащих не одну, а много дислокаций, поле напряжений данной дислокации,
будет захватывать не весь кристалл, а лишь область размером, равным,
расстоянию до соседней дислокации, которая при беспорядочном распределе-
нии дислокаций будет иметь противоположный знак, и ее поле будет компен-
сировать эффект дальнодействия поля первой дислокации. Таким образом,
в уравнении (4.8) В можно заменить на рЧ/Л, где Л — плотность дислока-
ции х) (задача 4.16).
Соотношения (4.8а) и (4.86) определяют основную часть энергии дисло-
кации. Полную энергию деформации от дислокации мы получим, если учтем
энергию, накопленную в ядре дислокации, а также влияние поверхностей
кристалла, ио которым не действуют напряжения. Практически в большин-
стве случаев такой учет приводит к незначительным поправкам, которыми
здесь для простоты будем пренебрегать. Можно показать [11], что вклад,
от изменения конфигурационной энтропии в свободную энергшо кристалла,
содержащего дислокацию, также очень мал по сравнению с упругой энер-
гией поля напряжений дислокации при любом разумном значении длины
дислокации. Таким образом, свободная энергия дислокации приближенно
равна энергии деформации, сосредоточенной вне ядра дислокации.
Расчет показывает, что энергия упругой деформации весьма совер-
шенного кристалла, содержащего дислокацию, приблизительно равна 5 эв-
на атомную плоскость, перпендикулярную дислокационной линии (зада-
ч а 4.17). Это значение более чем на два порядка выше средней энергии
колебаний, приходящейся на одну степень свободы атома в кристалле при
комнатной температуре. Следовательно, беспорядочное тепловое движение
не может привести к образованию даже короткого дислокационного отрезка.
Мы вернемся к этому выводу в разд. 4.14, в котором ему будет дано более
строгое обоснование.
Для энергии, приходящейся па единицу длины дислокации в кристал-
ле с плотностью дислокаций Л = 10® 10® см~2, вместо уравнений (4.8а)
и (4.86) можно написать приближенное, но более удобное выражение
(4.9)
Обладая большой упругой энергией на единицу длины, дислокация всег-
да стремится сократить длину каждого своего отрезка, закрепленного между
двумя точками, путем скольжения или переползания, т. е. ведет себя так,
как будто по всей ее длине действует линейное натяжение Т. Это аналогично'
наличию поверхностного натяжения тонкой мыльной пленки, стремящейся
понизить свою энергию за счет уменьшения площади ее поверхности. Рас-
смотрим небольшой отрезок I дислокационной линии, выгибающийся в пло-
скости скольжения в дугу большого радиуса В (фиг. 4.13). На отрезок
дислокации длиной dx будет действовать восстанавливающая сила, направ-
’) Более точный анализ [53*, 5-4*] показывает, что при чисто случайном распело
женпи дислокаций дальнодействие не компенсируется, т. е. в каждой точке кристалла
проявляется влияние всех содержащихся в нем дислокаций; при этом радиус кристалла Гг
в формуле (4.8) остается.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
95
ленная вертикально и равная (при dyldx 1)
T-^-dx = ^dx.
az2 R
Для выгибания дислокационного отрезка от исходного положения до поло-
жения с ординатой у нужно прикладывать извне постоянно возрастающее
усилие. Работа, совершаемая этой внешней силой, равна
4 J
о
Работа внешних сил, затраченная на прогиб дислокации, будет накапли-
ваться в форме упругой энергии, связанной с приращением длины As:
~AA = $As.
tl
Упрощая это соотношение, получаем (задача 4.18)
Энергия на единицу длины винтовой дислокации, движущейся прямо-
линейно с постоянной скоростью v в направлении, перпендикулярном дисло-
кационной линии, получает приращение, определяемое фактором Лоренца
Ф и г. 4.13. Изогнутый сегмент дисло-
кации.
и аналогичное релятивистскому приращению энергии движущейся части-
цы [18]. В изотропной упругой среде с плотностью р, в которой скорость
поперечной волны равна с — ]/~G/p, энергия винтовой дислокации возраста-
ет от значения энергии покоя до величины
1
1---v2jc2
(4.11)
Поскольку поле напряжений краевой дислокации содержит как каса-
тельные, так и нормальные компоненты, предельная скорость ее движения
не совпадает ни со скоростью поперечных, ни со скоростью продольных
волн, а находится между этими величинами. Хотя энергия краевой дисло-
кации неограниченно возрастает, когда ее скорость приближается к пре-
дельному значению, соответствующая зависимость более сложна, чем
соотношение (4.11). Для скорости винтовой дислокации и, меньшей J/10
скорости звука с, энергия на единицу длины приближенно равна
£«,^44(4^-
(4.12)
Можно считать, что эти два члена представляют соответственно собственную
упругую энергию и кинетическую энергию дислокации. Таким образом, при
www. vokb- la. spb. ru
96
Глава 4
малых скоростях движения дислокации существование инерции смещаю-
щихся частей кристалла можно считать эквивалентным наличию у дисло-
кации собственной массы, величина которой на единицу длины равна
И— С2 ~ 2 ’
(4.13)
4.6. «СИЛА», ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ДИСЛОКАЦИЮ
А. Сила, действующая в плоскости скольжения
Когда дислокация движется в кристалле под действием приложенного
извне напряжения, на поверхности, которую она описывает, возникают
смещения и внешние силы, действующие на кристалл, совершают работу.
Малое перемещение дислокации, находящейся в центре кристалла достаточ-
но больших размеров, не изменит энергии деформации кристалла. Поэтому
должна происходить диссипация энергии, полученной за счет работы,
Ф и г. 4.14. Определение силы, дей-
ствующей на дислокацию в плоско-
сти скольжения.
совершаемой внешними силами на свободных поверхностях, что приводит
к повышению температуры кристалла. Мы будем считать, что диссипа-
ция является результатом перемещения дислокации под действием фиктив-
ной силы, перпендикулярной дислокационной линии. Преимуществом такой
трактовки является то, что дислокацию представляют в виде самостоятельно-
го образования. Рассмотрим кристалл, имеющий форму прямоугольного
параллелепипеда (фиг. 4.11), в котором имеется дислокация, лежащая
на плоскости скольжения X — X. Под действием касательного напряжения
о дислокация скользит на расстояние х в плоскости скольжения. При этом
на единице толщины кристалла совершается работа (задача 4.19)
W = uxb.
Мы полагаем, что она равна работе па единицу толщины кристалла,
совершаемой компонентой фиктивном силы, действующей в плоскости сколь-
жения на длине х. Следовательно,
или
F — ub. (4.14)
Эта сила направлена по нормали к дислокационной линии.
Заметив, что правая часть уравнения (4.14) представляет произведение
абсолютной величины вектора Бюргерса на компоненту касательного напря-
жения, действующую по плоскости скольжения в направлении вектора
Бюргерса, и что сила всегда перпендикулярна линии дислокации, мы сможем
написать для силы, действующей в плоскости скольжения, обобщенное
векторное соотношение. На фиг. 4.14 показана дислокация, лежащая в пло-
скости скольжения с единичным нормальным вектором п и имеющая единич-
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
97
ный касательный вектор s и вектор Бюргерса Ь. Если суммарное напряжение
(без учета собственного поля дислокации) в точках на дислокации равно ui},
то сила, действующая на единицу площади, равна
з
Tt = Ojtnj,
1
а произведение величины вектора Бюргерса на компоненту касательного
напряжения в направлении вектора Бюргерса составляет
з з
У]
i=i j=i
□то и есть величина силы, действующей на дислокацию в плоскости
скольжения; ее направление перпендикулярно дислокационной линии,
т. е. параллельно вектору (n х s). Это дает для вектора силы следующее
выражение (задача 4.19):
з з
(п/'s) У У biGjinj. (4.15)
i= 1 3 = 1
Б. Сила, вызывающая переползание
На краевые дислокации может действовать сила, перпендикулярная
плоскости скольжения. Величина силы равна произведению of>, где о —
нормальное напряжение, действующее в лишней полуплоскости перпенди-
кулярно вектору Бюргерса дислокации. Направление силы зависит от того,
вызывает ли это нормальное напряжение выдавливание лишней полупло-
скости из кристалла или, наоборот, втягивает ее в кристалл.
В. Сила взаимодействия дислокаций
Как правило, поля напряжений двух дислокаций взаимодействуют»
в результате чего дислокации отталкиваются или притягиваются. Такое
взаимодействие легко определить, если воспользоваться представлением
о силе, введенным в предыдущих параграфах. Силу, действующую в пло-
скости скольжения одной из дислокаций вследствие наличия поля напря-
жения другой дислокации, можно рассчитать по формуле (4.14), т. е. опре-
делить компоненту касательного напряжения поля второй дислокации,
действующую в плоскости скольжения первой дислокации в направлении
ее вектора Бюргерса, и затем умножить эту компоненту на величину вектора
Бюргерса первой дислокации. Компоненту силы, с которой первая дислока-
ция вызывает перползание второй, можно рассчитать аналогичным образом,
т. е. определить величину нормального напряжения от первой дислокации,
действующего на лишнюю полуплоскость второй дислокации, и умножить
ее на величину вектора Бюргерса второй дислокации. Тогда мы сможем
установить, стремится ли это нормальное напряжение выдавить лишнюю
полуплоскость из кристалла или втянуть ее в кристалл.
На фиг. 4.15 представлены результаты расчета силы взаимодействия
двух краевых дислокаций, действующей в плоскости скольжения; линии
дислокаций параллельны оси х3 и проходят одна через точку (0, 0), другая
через (xit хг); векторы Бюргерса параллельны направлению а:,. Компо
пента силы взаимодействия дислокаций в точке (x1T х2) считается положи-
тельной, если она действует в положительном направлении а:, (т. е. вызы-
вает отталкивание). На фиг. 4.15 кривые показывают, что две параллельные
краевые дислокации одного знака находятся в устойчивом равновесии, когда
они лежат одна над другой, и в неустойчивом равновесии, когда xt = х2;
7—92
www.vokb-la.spb.ru
98
Глава 4
для двух параллельных краевых дислокаций противоположного знака спра-
ведливо обратное. К таким же выводам можно прийти при совместном рас-
смотрении фиг. 4.12 и равенства (4.14). В частном случае, когда обе дисло-
Ф и г. 4.15. Сила Fit с которой дислокация А действует на дислокацию В в плоскости
скольжения.
1 — знаки дислокаций одинаковы; 2 — знаки дислокаций различны.
нации находятся на одной плоскости скольжения, сила взаимодействия
дислокаций одного знака равна
Г Gb*
1 2л.(1 — ’
(4.16)
а для дислокаций противоположных знаков — тому же выражению со зна-
ком минус.
Г. Взаимодействие дислокаций со свободными поверхностями
При приближении дислокаций к свободной поверхности энергия дефор-
мации кристалла уменьшается. Дело в том, что свободная поверхность
не вызывает напряжений, которые препятствовали бы перемещению дисло-
кации. В результате уменьшения энергии дислокации по мере приближения
ее к свободной поверхности дислокация будет все сильнее притягиваться
к поверхности до тех нор, пока она не выйдет из кристалла; при этом
на поверхности образуется ступенька высотой в одно межатомное расстояние.
Вследствие того что уменьшение энергии деформации кристалла зависит
от расстояния дислокации от свободной поверхности, для расчетов можно
рассматривать силу, притягивающую дислокацию к поверхности кристалла.
Кёлер [31] и Хед [261 показали, что сила, стремящаяся вытолкнуть дислока-
цию из кристалла, аналогична силе, с которой в бесконечном кристалле
на нее действует воображаемая дислокация противоположного знака,
соответственно ориентированная по отношению к поверхности (фиг. 4.16) *).
i) В случае винтовой дислокации, приближающейся к плоской поверхности, вооб-
ражаемая дислокация лежит вдоль линии, изображающей исходную дислокацию при
зеркальном отражении от поверхности. Поэтому сила, притягивающая дислокацию
к поверхности, называется обычно силой изображения.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
99
Если поверхность покрыта тонким непроницаемым слоем, каким является,
например, окисная пленка на алюминий, то может оказаться, что дислока-
ф и г. 4.16. Воображаемая дислокация
стремится заставить дислокацию, нахо-
дящуюся вблизи поверхности, выйти из
кристалла путем скольжения.
ции, притягиваемые к поверхности, не смогут покинуть кристалл (из-за
трудности скольжения в этом слое); при этом возникает заметное поверх-
ностное упрочнение.
4.7. КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ, НЕОБХОДИМОЕ
ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ДИСЛОКАЦИИ
Чтобы представить кинематику движения дислокации в атомных масшта-
бах, необходимо более детально рассмотреть ядро дислокации. На фиг. 4.17
показано расположение атомов в плоскостях, лежащих по обе стороны
° 5
Фиг. 4.17. Схематическое изображение двух возможных видов искажений сжимаемых
сфер в области ядра краевой дислокации в иростом кубическом кристалле.
от плоскости скольжения. Край литпней полуплоскости действует как клин
и смещает нары атомов, например 1—1, относительно друг друга, создавая
тем самым несовпадение слоев I и II. Сопротивление сдвигу искаженных
связей (подобных 1 — 7) по обе стороны от лишней полуплоскости препят-
ствует относительному смещению атомов и увеличению области, где слои
не совпадают. Поэтому атомы в слое I сжаты, а в слое II раздвинуты. Пред-
ставленное на фиг. 4.17 положение дислокации является равновесным.
Таким образом, существуют две взаимно уравновешивающиеся силы; сжима-
ющие напряжения в верхнем слое и растягивающие напряжения в нижнем
слое стремятся увеличить область несовпадения, а сопротивление связей
сдвигу стремится ликвидировать это несовпадение.
Если атомы обладают малой сжимаемостью или сопротивление связей
сдвигу по плоскости скольжения мало, область несовпадения будет иметь
7*
www. vokb- la. spb. ru
100
Глава 4
большую протяженность. Если же, наоборот, сжимаемость атомов высока
или связи обладают высоким сопротивлением сдвигу, область несовпадения
будет узкой.
Различие в протяженности областей несовпадения иллюстируют пузырь-
ковые модели Брэгга. Дислокация в слое больших сжимаемых пузырьков
(фиг. 4.7) имеет весьма узкую область несовпадения; если пузырьки малы
и несжимаемы (фиг. 4.18), область несовпадения простирается на большое
расстояние. Большинство атомов, составляющих узкую (фиг. 4.7) дислока-
цию, находятся вблизи положений с наименьшей энергией. Наоборот, мно-
гие атомы широкой дислокации (фиг. 4.18) находятся вблизи положений
неустойчивого равновесия. Следовательно, при действии внешнего напря-
жения легче осуществить перемещение дислокации с широкой областью
Ф и г. 4.18. Дислокация в слое пузырь-
ков малого диаметра (1,1 мм).
ИсхоЗиое
положение
дислокации
t
Конечное
положение
дислокации
Фиг. 4.19. Движение дислокаций
в LiF, выявляемое с помощью ямок
травления [28].
несовпадения, чем узкую дислокацию. Пайерлс [39] и Набарро [34] рассчита-
ли напряжение, необходимое для движения краевой дислокации в простой
кубической решетке, учитывая только парные взаимодействия атомов по обе
стороны плоскости скольжения. Оказалось, что напряжение, необходимое
для движения дислокации в бездефектном кристалле, сильно зависит
от ширины области несовпадения. Это напряжение называют напряжением
трения решетки (или напряжением Пайерлса — Набарро).
Исследование поведения отдельных дислокаций показывает, что напря-
жение трения решетки значительно меньше предела текучести для чистых
гранецептрированных кубических и гексагональных плотноупакованных
металлов, а также некоторых ионных кристаллов. Напряжение трения пере-
ходных металлов с о.ц.к. решеткой, по-видимому, составляет значительную
долю предела текучести [101. Высокое напряжение трения у кристаллов
с сильными направленными связями, таких, как кремний, кварц и алмаз,
препятствует их пластической деформации при комнатной температуре.
У обычных пластичных г.ц.к. и г.п.у. кристаллов даже «сверхвысокой»
чистоты сопротивление непосредственно наблюдаемому движению дисло-
каций на значительные расстояния выше, чем напряжение трения из-за
добавочного сопротивления малых количеств примесей или вакансий.
Было измерено касательное напряжение в некоторых кристаллах,
необходимое для движения отдельных дислокаций. В таких опытах кристалл
с низкой исходной плотностью дислокаций травили для выявления мест
выхода дислокаций па внешнюю поверхность (например, кристалл LiF
на фиг. 4.19). Затем к кристаллу прикладывали напряжение импульсами
www. vokb- la.spb.ru
* * & ъ
I - . -
$
< 2 «V ’t *' •. <
r- * ?< ’ ' 4 -
д. ч •&> <*• *’
* У V »: 2. * • *-
Ф §: *'« V” *i“ # >'-' *r> - ? . x £
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
101
с возрастающей амплитудой. После приложения каждого импульса напря-
жения кристалл снова травили. Напряжение, при котором новые ямки
травления появляются вблизи старых, считалось напряжением, необходи-
мым для движения дислокации. Результаты измерений представлены
в табл. 4.2. В таблицу также включены значения предела текучести, при
Таблица 4.2
Напряжения трения, измеренные при
комнатной температуре
Материал Напряжение трения, кг/см2 Макроско- пический предел теку- чести, ка/с№ Источник
LiF 60 90 [29]
Fc + 3% Si 1100 1500 [45]
Cu 0,2 4 [50]
котором возникает большая пластическая деформация. Мы видим, что во
всех случаях дислокации двигаются при напряжениях, меньших, чем
напряжение, вызывающее макроскопическое течение. Напряжение, необ-
ходимое для движения дислокации в почти совершенном реальном кристалле,
мы будем называть напряжением трения кристалла, чтобы отличить его
от напряжения трения решетки, которое существует в идеально совершен-
ном и чистом материале.
Когда напряжение, действующее на дислокацию, превышает напря-
жение трения, дислокация движется в кристалле с возрастающей скоро-
стью; другими словами, для того чтобы дислокации двигались с высокой
скоростью, необходимо прикладывать напряжения, большие, чем напря-
жения трения. Связь между скоростью отдельных дислокаций в LiF и при-
ложенным напряжением иллюстрирует фиг. 4.20 (данные получены Джон-
стоном и Гилманом методом ямок травления).
Интересно сравнить напряжение трения, определяемое эксперимен-
тально, с теоретическим сопротивлепием сдвигу совершенного кристалла.
Предположим, что две части кристалла сдвинуты на одно межатомное рас-
стояние b по кристаллографической плоскости в направлении плотной
упаковки. Поскольку начальное и конечное положения двух половин равно-
весны, напряжение сдвига, препятствующее смещению по плоскостям,
отстоящим друг от друга на расстояние йп, должно описываться периоди-
ческой функцией, тангенс угла наклона начального участка которой равен
модулю сдвига G (фиг. 3.1). Если для простоты выбрать синусоидальную
функцию
сг = (т0 sin , (4-17)
то легко показать, что сопротивление сдвигу совершенного кристалла ое
должно быть равно
^ = -2^-
Это напряжение имеет величину порядка G/10 для плотноупакованных
плоскостей с большим межплоскостпым расстоянием (для менее плотно
упакованных плоскостей с меньшим межплоскостным расстоянием о0 выше),
т. е. на несколько порядков выше экспериментально измеренных касатель-
ных напряжений, при которых движутся дислокации. Значения, прибли-
жающиеся к столь высоким величинам напряжений, были измерены на
бездислокационных участках больших кристаллов LiF (G/85) [23] и на без-
www. vokb- la. spb. ru
102
Глава 4
дислокационных нитевидных кристаллах (усах) многих металлов и ионных
кристаллов (G/20) [6, 25].
Именно это громадное различие теоретического сопротивления сдвигу
и наблюдаемого экспериментально критического касательного напряжения
побудило Орована [36], Тейлора [471 и Поляни [40] ввести в науку о пла-
стичности представление о дислокациях. Громадное количество экспери-
ментальных работ последнего десятилетия (которые цитируются в этой
Фиг. 4.20, Скорости краевых и винтовых дислокаций в кристаллах фтористого
лития [28].
и следующей главах) по непосредственному наблюдению движения отдель-
ных дислокаций в самых различных кристаллах дали надежное подтвер-
ждение теории дислокаций в кристаллах.
4.8. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ
Часто в процессе скольжения дислокации, движущиеся в пересекаю-
щихся плоскостях, встречаются под различными углами и перерезают друг
друга. Если встречаются две краевые дислокации и одна перерезает дру-
гую (фиг. 4.21), на пересекаемой дислокации AD образуется ступенька,
длина которой равна вектору Бюргерса пересекающей дислокации XY.
Конечно, вектор Бюргерса ступеньки РР' будет тот же, что и у дислока-
ции AD (задача 4.21).
Ступеньки, образовавшиеся на дислокациях в процессе их пересечения,
называются порогами. Пороги, которые лежат в плоскости скольжения
и могут исчезнуть при скольжении дислокации, называются перегибами.
Когда краевая дислокация пересекает винтовую (фиг. 4.22), на первой
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
103
образуется порог. На винтовой дислокации соответственно образуется пере-
гиб, который в принципе должен легко удаляться при ее скольжении вслед-
ствие действия линейного напряжения. Однако в реальном кристалле это
не всегда возможно, поскольку работа не преодоление трения решетки
может оказаться больше энергии перегиба.
Фиг. 4.21.
а — дислокация JCY движется по плоскости скольжения и П°ДХ°ДИТ к дислокации AD. A’Y имеет
вектор Бюргерса Ъ— вектор Бюргерса АЛ, лежит в плоскости скольжения [41].
б — дислокация XY перерезала дислокацию AD. На AD образовался порог РР'. По величине
и направлению он равен bf- [41].
Появление устойчивого порога вызывает прирост длины дислокации,
и поэтому для его создания требуется дополнительная работа. Энергия
порога единичной длины несколько ниже энергии отрезка дислокации
длиной в межатомное расстояние, поскольку весь порог находится в ядре
Фиг. 4.22. Образование порога в ре-
зультате пересечения винтовой и краевой
дислокаций.
материнской дислокации, где решетка сильно искажена. По оценке многих
исследователей [21] энергия порога длиной Ь2 на дислокации с вектором
Бюргерса Ь± равна
W;
Gbfbz
10
(4.19)
т. е. для металлов она составляет 0,5—1,0 эв. Таким образом, для создания
порога при пересечении дислокаций приложенное напряжение должно
совершить работу, равную энергии порога.
При пересечении двух винтовых дислокаций между ними образуется
линейный дефект-диполь, состоящий из двух краевых дислокаций, лежа-
щих на соседних плоскостях. Рассмотрим фиг. 4.23. Верхняя часть кри-
сталла удалена, мы видим винтовую дислокацию А, пронизывающую пло-
скость скольжения винтовой дислокации В. Исходное положение дислока-
www.vokb-la.spb.ru
104
Глава 4
ции В обозначено Пересечение начинается с выгибания дислокации В
в конфигурацию В2. Две вогнутые стороны дислокации В суть краевые дис-
локации противоположных знаков, они притягиваются и образуют диполь.
Ф_и г. 4.23. Образование хвостов диполей (или вакансий) при пересечении винтовых
дислокаций.
Bi и ВЕ —• последовательные положения пересекающей винтовой дислокации В.
Краевые компоненты 1 и 2 притягиваются и образуют диполь.
Такие диполи, или «хвосты», наблюдал Дэш [151 в деформированном крем-
нии (фиг. 4.24). Он выращивал кристаллы с малыми добавками меди, кото-
рая, осаждаясь на дислокациях, декорировала их. Хвосты выявлялись
Фиг. 4.24. Винтовые дислокации — S и хвосты Т в кремнии [15].
при растворении кристалла в направлении, перпендикулярном плоскости
скольжения.
Хвосты диполей на винтовых дислокациях тормозят движение этих
дислокаций. Подробных расчетов энергии диполей нет; приближенно
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
105
можно считать, что она несколько больше энергии ядра единичной дис-
локации.
Суммарный вектор Бюргерса диполя равен нулю, поэтому хвосты могут
быть отрезаны от дислокации и образовывать линии вакансий или меж-
узельных атомов, которые могут распадаться на отдельные вакансии или
межузельные атомы и затем рассасываться путем диффузии. Энергия вакан-
сии в плотноупакованном металле, например меди, порядка 1 эв -1), а энер-
гия внедренного атома — порядка 4—5 эв. Энергия дипольного хвоста,
приходящаяся па одну атомную плоскость, несколько меньше 1 эв, поэто-
му для отрыва дипольного хвоста из межузельных атомов требуется более
высокая температура, чем для отрыва вакансионного диполя. Как увидим
в разд. 4.14, для диффузионного рассасывания диполей обоих типов тре-
буется энергия меньше 1 эв. Однако в твердых металлах при комнатной
температуре оба типа диполей довольно устойчивы.
Пороги играют важную роль в переползании дислокаций: они являют-
ся такими местами, откуда вакансии (или межуэельные атомы) легче всего-
уходят в кристалл и поэтому облегчают процесс увеличения или умень-
шения лишней полуплоскости.
4.9. ДИСЛОКАЦИОННЫЕ РЕАКЦИИ
Как уже отмечалось, энергии дислокаций, достаточно удаленных друг
от друга, пропорциональны квадратам длин их векторов Бюргерса. При
слиянии двух параллельных дислокаций образуется дислокация с вектором
Бюргерса, равным векторной сумме векторов Бюргерса исходных дисло-
каций. Если энергия образовавшейся дислокации меньше суммы энергий
взаимодействующих дислокаций, они притягиваются друг к другу, стре-
мясь слиться. Если же энергия образовавшейся дислокации больше суммы
энергий взаимодействутои|,их дислокаций, их взаимное отталкивание про-
тиводействует слиянию. В тех случаях, когда это кристаллографически
возможно, дислокация может диссоциировать на две дислокации, векторы
Бюргерса которых в сумме равны вектору Бюргерса исходной дислокации.
Такая диссоциация возможна, если сумма энергий образующихся дисло-
каций меньше энергии исходной дислокации. Эти условия можно сфор-
мулировать следующим образом:
1. Если угол между векторами Бюргерса дислокаций, участвующих
в реакции, тупой, слияние дислокаций возможно, поскольку оно приведет
к уменьшению энергии кристалла.
2. Если дислокация может диссоциировать на две дислокации с кристал-
лографически возможными векторами Бюргерса, составляющими острый угол,
дислокация расщепится на две дислокации с меньшими векторами Бюргерса
и энергия кристалла понизится.
Дислокационную реакцию можно записать в виде векторного выра-
жения, связывающего векторы Бюргерса взаимодействующих и суммарной
дислокаций; стрелка будет указывать направление реакции, приводящее
к уменьшению энергии. В качестве простого примера напишем реакцию,
которая может протекать в о. ц. к. решетке с периодом а (задача 4.22):
-J- [111]+ 4 [111]-> а [001]. (4.20)
Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что дислокации
с векторами Бюргерса, большими вектора трансляции решетки, неустой-
чивы и должны распадаться на единичные дислокации.
*) При расчете энергии образования вакансии необходимо учитывать кваптовомеха-
нические особенности взаимодействия атомов в решетке. Такие расчеты дают величи-
ну 1 эв.
www.vokb-la.spb.ru
406
Глава 4
В некоторых плотноупакованных решетках единичные дислокации
могут расщепляться на дислокации, векторы Бюргерса которых меньше
вектора трансляции. При движении таких дислокаций части кристалла по
разные стороны плоскости скольжения сместятся на расстояние, меньшее
вектора трансляции. Следовательно, позади дислокации с вектором Бюргер-
са, меньшим, чем вектор трансляции, будет оставаться дефектный слой. По
этой причине такие дислокации называются неполными или частичными.
Образование дефектного слоя позади движущейся частичной дислокации
приводит к увеличению энергии кристалла; поэтому обычно встречаются
пары взаимно дополняющих друг друга частичных дислокаций1), которые
ограничивают область дефектного слоя. Хорошим примером могут явиться
частичные дислокации в кристаллах с г. ц. к. или г. п. у. решеткой. На фиг. 4.25
Фиг. 4.25. Расщепление дислокации
г вектором Бюргерса Ь| на две дисло-
кации с векторами Бюргерса Ь2 и Ь3
в плоскости (111) г. ц. к. решетки.
Фиг. 4.26. Частичные дислокации и дефект
упаковки в кристалле.
показаны атомы в плотноупакованной плоскости {111}, являющейся пло-
скостью скольжения в г. ц. к. кристалле. Вектор Бюргерса (наименьший
вектор трансляции) полной дислокации обозначен bi, сдвиг верхнего слоя
атомов (представленных пунктирными окружностями) относительно нижне-
го слоя атомов (сплошные окружности) в направлении Ь] может совершать-
ся в две стадии: сначала сдвиг на величину Ъ2, а затем на величину Ь3.
В переводе на язык дислокаций это означает расщепление дислокации
с вектором Бюргерса bt на две дислокации с векторами Бюргерса Ь2 и Ь3.
Реакция расщепления
±_["J10j—>-|-[211J+-1-[121] (4.21а)
энергетически выгодна, поскольку (задача 4.23)
(4.216)
После расщепления происходит дополнительное понижение энергии
кристалла в результате отталкивания дислокаций с векторами Бюргерса
Ь2 и Ь3, поскольку они имеют большие одноименные составляющие. Разой-
дясь в стороны, дислокации становятся границами трех участков на пло-
скости скольжения (фиг. 4.26). В участке А произошел сдвиг на величину
вектора трансляции bt, в участке С сдвиг еще не произошел. В обоих этих
участках сохраняется характерная для г. ц. к. решетки последовательность
укладки атомных слоев ...ЛВСАВСА... (разд. 1.4). Через участок В прошла
только дислокация с вектором Бюргерса Ь2, атомы сместились на расстоя-
Суммарный вектор Бюргерса такой пары равен вектору трансляции.— Прим., ред.
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
107
ние, меньшее вектора трансляции, и вместо последовательности слоев
АВС АВС... образовалась последовательность ...АВСА | С АВС... (фиг. 4.26),
т. е. над плоскостью скольжения (обозначена вертикальной чертой) и под
ней возникает укладка, характерная для г. и. у. кристалла. Такой локаль-
ный переход от г. ц. к. упаковки к упаковке
г. п. у. и наоборот представляет дефект упа-
ковки в г. ц. к. решетке; его образование
вызывает повышение энергии кристалла.
Таким образом, взаимное удаление дислока
ций с векторами Бюргерса Ь2 и Ь3 снижает
упругую энергию, но в то же время увели-
чивает протяженность дефекта упаковки и,
следовательно, ведет к росту энергии кри-
сталла. Если дислокации с векторами Бюр-
герса Ь2 и Ь3 отошли друг от друга на рас-
стояние d, сила их взаимного отталкивания
приблизительно равна (без учета винтовых
компонент)1) С(Ь2,Ьз)
2л, (1 — т) d
Чтобы найти равновесное расстояние d, при
котором полная энергия минимальна, мы
должны приравнять значение этой силы
величине энергии единицы площади дефекта
упаковки а/ (задача 4.24); тогда
d = .. (4.23)
2л (1 — v)af ' '
(4.22)
Ф и г. 4.27. Расщепленные дисло-
кации и узлы в чешуйке гра-
фита, прозрачной для электро-
нов [2].
Частичные дислокации с векторами Бюргерса Ь2 и Ь3 вместе с разделяющей
их лентой дефекта упаковки называются расщепленной дислокацией.
Расщепленные дислокации наблюдались в кристаллах г. ц. к. и г. п. у.
структуры, а также в кристаллах с плотноупакованной слоистой структу-
рой, например в графите и тальке. На фиг. 4.27 представлен электронно-
микроскопический снимок очень тонкой чешуйки кристалла графита; здесь
видны изображения расщепленных дислокаций, которые становятся види-
мыми вследствие различных условий дифракции электронов в разных обла-
г) Исходная единичная дислокация (фиг. 4.26) краевая; для точного вычисления
силы в общем случае нужно записать силы взаимодействия между краевыми и винто-
выми составляющими (см., например, [61*]).— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
108
Глава 4
стях кристалла с дислокацией. Хорошим примером реакции объединения дис-
локаций в г. ц. к. решетке является реакция Коттрелла между двумя частич-
ными дислокациями, приводящая к образованию сидячей частичной дисло-
Ф и г. 4.29. Дислокации в тонкой фольге нержавеющей стали, наблюдаемые при просве-
чивании в электронном микроскопе [48].
нации. На фиг. 4.28 изображены две дислокации, расщепленные в плоско-
стях скольжения типа {111}. Если они встретятся вдоль линии пересечения
Фиг. 4.30. Гексагональная сетка дислокаций в кристалле КС1 [1].
их плоскостей скольжения, головные частичные дислокации сольются
и образуют новую частичную дислокацию согласно реакции
[121][1211 —[ПО]. (4.24)
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
109
Дислокация, образовавшаяся на линии пересечения, не может скользить,
так как ее вектор Бюргерса не лежит ни в одной из плоскостей скольжения.
Подобные сидячие дислокации удерживают частичные дислокации, остав-
шиеся от встретившихся расщепленных дислокаций, и ленты дефектов
упаковки между ними. По-видимому, такие конфигурации представляют
барьер для скольжения других дислокаций в тех же плоскостях, и поэтому
они вносят вклад в деформационное упрочнение г. ц. к. кристаллов.
Объединение и расщепление дислокаций — широко распространенные
явления в кристаллах. Участки двух дислокаций, движущихся по пере-
секающимся плоскостям навстречу друг другу, притягиваются и объеди-
няются на значительной длине вдоль линии пересечения их плоскостей
скольжения. В подобных случаях вновь созданная дислокация образует
узел с оставшимися частями двух исходных дислокаций, как это видно
на электронной микрофотографии тонкой (1000—3000 Л) фольги нержаве-
ющей стали (фиг. 4.29). Область, на которую указывает стрелка LC, соот-
ветствует конфигурации, изображенной на фиг. 4.28; она привязана к линии
пересечения двух плоскостей скольжения сидячей дислокацией Коттрел-
лах) (задача 4.25). Дислокационные узлы часто наблюдаются в уме-
ренно деформированных или рекристаллизованных зернах, что приводит
к возникновению устойчивых трехмерных сеток. На фиг. 4.30 виден участок
такой сетки в кристалле КС1, который наблюдал Амелинкс [1]. Теперь поч-
ти достоверно установлено, что во всех кристаллах, кроме совершенных,
подобные сетки образуются в процессе роста или затвердевания.
4.10. РАЗМНОЖЕНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ
Хотя в отожженных кристаллах содержится в зависимости от степени
их совершенства от 104 до 10е дислокаций на 1 слг2, нетрудно показать (зада-
ч а 4.26), что прохождение всех этих дислокаций через кристалл не создает
тех пластических деформаций, которые наблюдаются в эксперименте. С по-
мощью рентгеновских исследований и непосредственными наблюдениями
установлено, что при пластическом деформировании плотность дислока-
ций повышается на несколько порядков. В разд. 4.14 будет показано, что
термические флуктуации не могут создавать дислокаций при тех (низких)
уровнях касательных напряжений, при которых идет скольжение. Следо-
вательно, должны существовать другие геометрические механизмы размно-
жения дислокаций. Сильная локализация скольжения в монокристаллах
(фиг. 4.31) является дополнительным доказательством того, что на некото-
рых плоскостях скольжения должно зарождаться большое число дислокаций.
Рассмотрим механизм размножения дислокаций, который впервые был
предложен на основании теоретических соображений Франком и Ридом [19].
Пусть в кристалле имеется дислокация ступенчатой формы ADD'B
(фиг. 4.32, «). Если к кристаллу приложить касательное напряжение о,
сила будет действовать только на отрезок DD’, а отрезки AD и D'B
останутся неподвижными. При возрастании напряжения отрезок DD’ будет
выгибаться (фиг. 4.32, б), пока не превратится в полуокружность, т. е. зай-
мет положение неустойчивого равновесия. (Заштрихованный участок пло-
скости скольжения показывает протяженность области сдвига в плоскости.)
С этого момента для распространения петли требуется меныпее напряжение,
и она продолжает распространяться по плоскости скольжения. Петля
выходит на поверхность, где образуется ступенька одноатомных размеров
(па фиг. 4. 32, в ступенька почти полностью сформирована). Два сегмента
DC и D'C проходят по правой части плоскости скольжения (фиг. 32, а) и
встречаются. Сблизившись, они аннигилируют, в результате чего образуются
9 Ее называют также барьером Ломера — Коттрелла.
www.vokb-la.spb.ru
110
Глава 4
ния сдвиг большой величины.
Критическое напряжение о,
окружность диаметром I, легко
Ф и г. 4.31. Локализованное сколь-
жение в монокристалле цинка.
сегменты СС' и DD' (фиг. 4. 32, о). Сегмент СС' будет продолжать сколь-
зить по левой части плоскости скольжения, образуя одноатомную-
ступеньку на левой части свободной поверхности кристалла (фиг. 4.32,е),
а сегмент DD’ выпрямляется, и цикл может повторяться снова. Существен-
ной чертой этой модели является то, что сегмент DD', произведя сдвиг
на величину одного вектора Бюргерса, не уходит из кристалла и может
включаться в работу снова и снова, создавая на одной плоскости скольже-
потребное для выгибания петли в полу-
определить, рассмотрев равновесие силы
линейного натяжения и силы от внеш-
него напряжения, действующей на полу-
окружность; это напряжение равно *)
(задача 4.27)
c = —j~. (4.25)
Отрезки дислокационной сетки, обра-
зовавшейся в процессе роста кристалла
(одна из них показана на фиг. 4.30), могут
работать как источники дислокаций Фран-
ка — Рида. На фиг. 4.33 показан источ-
ник такого типа («мельница» Франка —
Рида), обнаруженный Дэшем в крем-
нии [14].
У большинства чистых пластичных
кристаллов высоты отдельных ступенек
столь малы, что линии скольжения выяв-
ляются только при предельном увеличении
электронного микроскопа. Это означает,
что по каким-то причинам цикл работы
источников Франка — Рида не может
повторяться многократно. Следовательно,
должны возникать новые источники.
Механизм образования источников
Франка — Рида в процессе деформации
иллюстрируется фиг. 4.34. Винтовая дислокация движется справа на-
лево по своей плоскости скольжения Р и, встретив препятствие А или
в результате тепловой флуктуации, переходит на другую плоскость сколь-
жения, пересекающую первую и параллельную вектору Бюргерса дислока-
ции. Пройдя по этой плоскости некоторое расстояние, дислокация может-
перейти на плоскость Р', параллельную первоначальной плоскости сколь-
жения (фиг. 4.34, б).
Процесс, при котором винтовая дислокация меняет плоскость сколь-
жения, называется поперечным скольжением (cross-glide). Часто оказывает-
ся, что в плоскости, пересекающей плоскость скольжения и являющейся
своего рода мостом, по которому дислокация переходит на параллельную
плоскость Р’, движение дислокации затруднено, и может случиться, что
краевые отрезки ВВ' и СС' не могут пройти по пей. В этом случае винтовой
*) Из формулы (4.25) видно, что, например, для о = 0,100 кг/мм2, G = 4000 кг/мм2'
и Ъ — 2,5-IO-7 (кристаллы меди) критическая длина источника Франка — Рида I — Gbto
составляет 10 .ик, т. е. много меньше размеров макроскопического кристалла. Поэтому
в результате действия источника происходит образование концентрических петель (подоб-
ных представленным на фиг. 4.33), приводящее к увеличению плотности дислокаций.
Это пе показано на фиг. 4.32, поскольку размер кристалла имеет тот же порядок, что
и длина сегмента DD'.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
111
Фиг. 4.32. Последовательные стадии одного никла работы источника Франка — Рида.
отрезок В'С, вышедший на плоскость Р', становится источником Франка —
Рида и может породить несколько новых дислокаций, лежащих на этой
плоскости.
Процесс образования источников Франка — Рида при двойном попе
речном скольжении впервые, наблюдали в иоппых кристаллах Джонстон
и Гилман [29], где он является основным механизмом расширения полос
скольжения. Теперь уже имеются многочисленные доказательства того, что
двойное поперечное скольжение происходит почти во всех пластичных
кристаллах.
Если дислокации расщеплены (разд. 4.9), они не могут совершать попе-
речного скольжения, поскольку ни одна из двух частичных дислокаций
не является чисто винтовой. Поэтому перед поперечным скольжением
www.vokb-la.spb.ru
412
Глава 4
на коротком отрезке расщепленной винтовой дислокации должно произойти
сжатие дефекта упаковки путем слияния частичных дислокаций. Для осу-
ществления такого сжатия в кристаллах с низкой энергией дефекта упаков-
ки (например, в а-латуни) требуется значительная дополнительная энер-
гия. Следовательно, при низких температурах линии скольжения у а-латуни
Фиг. 4.33. Источник Франка — Рида, наблюдавшийся в пластически деформированном
кремнии [14].
Дислокации лежат в плоскости (111); они декорированы выделениями меди.
будут очень глубокими, т. е. будут иметь большую ступеньку (фиг. 1.18),
а расширение полос скольжения окажется затрудненным.
Ф и г. 4.34. Поперечное скольжение и двойное поперечное скольжение дислокации,
приводящее к образованию источника Франка — Рида.
При некотором критическом касательном напряжении многие винто-
вые отрезки дислокаций будут совершать двойное поперечное скольжение
и превращаться в источники Франка — Рида, которые будут создавать
скользящие дислокации в количестве, необходимом для поддержания
непрерывной пластической деформации. Это критическое касательное напря-
www. vokb- la. spb. ru
j I/O ..Vi К ,
WWW. V6Rb-Ia7spb. ru
Механика дислокаций
113
жение будет представлять предел текучести кристалла при отсутствии
больших напряжений трения решетки или других внутренних напряжений,
вызванных присутствием примесей, выделений, границ зерен и т. и. В плотно-
упакованных металлах оно больше критического касательного напряже-
ния, приводящего в действие источник Франка — Рида [уравнение (4.25)]
[28, 501, и много больше напряжения трения решетки.
Опыты с монокристаллами показали, что пластическое течение, как
правило, наступает тогда, когда касательное напряжение, действующее
на плоскости скольжения в направлении скольжения, достигает критиче-
ской величины. В табл. 4.3 представлены значения приведенного критиче-
ского касательного напряжения различных монокристаллов.
Таблица 4.3
Приведенные критические касательные напряжения монокристаллов
металлов и ионных солей [42J
Металл Чистота исходно- го мате- риала, % Способ получения кристалла Система скольжения Крити- ческое касатель- ное на- пряже- ние, кг/мм- Модуль сдвига, кг/мм2 Упругий сдвиг при начале* течения ХЮ6
Медь >99,9 (111) [101] 0,10 1
Серебро 99,99 1 Кристаллизация в 0,060 } — —-
Золото 99,99 [ вакууме 0,092 J
Пиноль 99,8 (0001) [1120] 0,58 — —
Магии й 99,95 Рекристаллизация 0,083 1700 4.95
Ципк 99,96 —. — 0.094 4080 2,3
Кадмий 99.996 —. —. 0,058 1730 3,35
(j-Олово 99,99 > Вытягивание из Я|'“" 0,189 1790 10,6
) расплава 0,133 1790 7,43
Висмут 99,9 (111) [101] 0,221 970 22,8
Соль Общее содержание примесей, вес.% Критическое касательное на- пряжение по системе 1 110} <110>, кг/льи2
NaCl 0,030 0,075
К Cl 0,016 0,050
КВг 0,030 0,080
К1 0,020 0,070
Пусть единичный нормальный вектор в плоскости скольжения и единич-
ный касательный вектор в направлении сдвига имеют направляющие косинусы
Zip
Z17 i’iq
Тогда сдвиг по данной плоскости будет осуществляться путем движения
дислокаций с векторами Бюргерса
b = fe Z2gi2-|-Z3gi3) (4.26)
под действием приложенного поля напряжений су,/, когда приведенное каса-
тельное напряжение оР7 достигнет критического значения ov, т. е.
СУ—Gpq— /j lipGijljq-
i=l
(4.27)
Формула для критического напряжения в длинном монокристалле, нахо-
дящемся в одноосном напряженном состоянии оаз, упрощается по сравнению
8—92
www. vokb- la. spb. ru
114
Глава 4
с соотношением (4.27), принимая вид
0^ = 033/3^/35. (4.28)
Следует отметить, что не всегда сдвиг начинается на той плоскости
данного семейства плоскостей скольжения, по которой действует наиболь-
шее напряжение (хотя, как правило, для начала скольжения по данной
плоскости необходимо, чтобы на ней действовало критическое напряжение
сдвига). Эта особенность характерна, например, для вольфрама и молибдена
и, по-видимому, связана с тем, что винтовые дислокации из-за расщепления
в трех плоскостях по некоторым плоскостям могут двигаться лишь в одну
сторону 133].
4.11. ГРАНИЦЫ КРУЧЕНИЯ И НАКЛОНА; СКОПЛЕНИЯ ДИСЛОКАЦИЙ
Как уже было показано (фиг. 4.15), действующая в плоскости сколь-
жения компонента силы взаимодействия двух параллельных краевых дисло-
каций одного знака, лежащих на параллельных плоскостях, обращается
в нуль, когда дислокации
находятся одна над другой, т. е. в положении
устойчивого равновесия. В устойчивом равно-
весии будет находиться и ряд краевых дисло-
каций одного знака, лежащих на параллельных
плоскостях (фиг. 4.35). Такая стенка краевых
дислокаций, отстоящих одна от другой на рас-
стояние h, представляет один из видов мало-
угловых границ, называемый границей наклона',
она создает взаимную разориентировку двух
соседних частей кристалла относительно оси,
параллельной дислокациям, на угол
6 = | . (4.29)
Фиг. 4.35. Граница наклона. Границы наклона в кристаллах встречаются
очень часто, поскольку дислокации в этих
границах находятся в положениях устойчивого равновесия; дальнодей-
ствуюгцие поля дислокаций, составляющих стенку, погашаются 111],
в результате чего общая энергия деформации кристалла снижается.
На фиг. 4.36 представлена граница наклона, обнаруженная в кристалле LiF
(выходы дислокаций выявляли избирательным травлением).
Ряд параллельных винтовых дислокаций, лежащих в одной плоскости,
создает взаимный поворот двух частей кристалла, разделенных этой пло-
скостью. Можно показать, однако, что для удержания такого ряда в равно-
весии необходимо приложить достаточно большой дальнодействующий кру-
тящий момент или напряжение трения (задача 4.28). В случае если
существует другой ряд таких же дислокаций, лежащих в той же или в сосед-
ней плоскости и образующих с дислокациями первого ряда прямоугольную
сетку, то такой ряд вызывает дальнодействующий крутящий момент про-
тивоположного знака; при этом образуется сетка дислокаций, в которой
каждый ряд удерживает другой ряд в положении равновесия (фиг. 4.37).
Подобная сетка, которую наблюдал Лмелмнкс [II в тонкой пластинке
кристалла КС1 с помощью оптического микроскопа, показана на фиг. 4.38.
Сетка состоит из виптовых дислокаций, лежащих в плоскости {001}; узлы
стали видны благодаря тому, что в кристалл предварительно ввели атомы
серебра и с помощью специальной термической обработки добились их выде-
ления на узлах дислокаций (винтовые дислокации не создают локальных
изменений объема, поэтому атомы серебра декорируют только дислокацион-
ные узлы). Крестообразные сетки винтовых дислокаций, создающие вза-
www.vokb-la.spb.ru
Фиг. 4.36. Малоугловые границы в кристалле фтористого лития, выявляемые избира-
тельным травлением мест выхода дислокаций на поверхность кристалла [24].
Ф и г. 4.37. Чистая граница
кручения [41].
I ’ряница гтараллсл ьп a i ut осн ости
рисунка; два зерна взаимно повер-
нуты вокруг направления оси куба,
перпендикулярной плоек ости гра-
ницы. Светлыми кружочками обо-
значены атомы под границей. Ре-
шетка одного зерна непрерывно
переходит в решетку другого везде,
за исключением областей, примы-
кающих к винтовым дислокациям,
образующим сетку.
www . kb- la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
116
Глава 4
имный поворот частей решетки, разделенных плоскостью сетки, называются
границами кручения.
Если дислокации, испущенные источником Франка — Рида, останав-
ливаются перед мощным препятствием, например границей зерна, обра-
зуется скопление дислокаций (фиг. 4.39). Скопление дислокаций вызывает
концентрацию приложенного касательного напряжения у препятствия.
Фиг. 4.38. Почти идеальная квадратная сетка в плоскости {111} кристалла КС1 [t 1
Обратите внимание на преимущественное декорирование узлов.
Взаимное отталкивание дислокаций стремится увеличить расстояние меж-
ду ними, а приложенное напряжение прижимает дислокации друг к другу
и все скопление — к препятствию. Таким образом, на препятствие действует
\ Граница зерна
\
U. _ _L _ J- ± -L__________L
\ '
Ф и г. 4.39. Скопление краевых дислокации перед границей аерпа.
не только приложенное касательное напряжение, но также и все касатель-
ные напряжения от дислокаций в скоплении. Если в скоплении п дислока-
ций и они прижимаются к препятствию приложенным напряжением о,
тогда на препятствие действует напряжение по. Этот важный результат
можно получить, если рассмотреть работу внешнего напряжения о и силы,
действующей со стороны препятствия на первую дислокацию при бесконечно
малом перемещении всего скопления па фиг. 4.39 влево (задача 4.29).
4.12. ВИДЫ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОТЛИЧНЫЕ ОТ СКОЛЬЖЕНИЯ
Скольжение является наиболее распространенным механизмом пласти-
ческой деформации кристаллических материалов, однако важную роль
играют также образование сбросов и двойникование. Опи являются един-
ственно возможными механизмами деформации в тех случаях, когда сколь-
жение затруднено.
При деформационном двойниковании часть кристалла становится
зеркальным отражением в атомном масштабе относительно некоторой пло-
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
117
скости в результате однородного двойникующего сдвига х). Двойникование
принципиально отличается от скольжения тем, что при нем происходит
однородное смещение каждого атомного слоя на расстояние, мепыиее вектора
трансляции. Характер двойниковых перемещений иллюстрирует фиг. 1.20.
Двойники часто образуются в о. ц. к. кристаллах; у них плоскость зеркаль-
ного отражения (112), а направление сдвига [1111 (фиг. 1.18). Двойники
Фиг. 4.40. Схема образования сброса при растяжении (а) и сжатии (б) кристалла,
имеющего лишь одно семейство действующих плоскостей скольжения.
растут в виде плоских дисков, имеющих большое отношение диаметра
к толщине (фиг. 1.26). Подобные тонкие диски наблюдаются во многих
о. ц. к. материалах; их называют также полосами Нейманна.
Очень часто встречаются двойники и в гексагональных плотноупако-
ванных материалах —цинке, кадмии и магнии. В материалах с г.ц.к. решет-
кой механические двойники — более редкое явление по сравнению с о. ц. к.
Фиг. 4.41. Кристалл цинка со сбросами (снимок дан в натуральную величину).
и г. п. у. кристаллами. Они были обнаружены в монокристаллах меди при
4,2° К [31; плоскостью двойникования была плоскость [111], а направлением
сдвига — направление [1121.
Коттрелл и Билби [13] предложили модель последовательного образо-
вания двойникового сдвига на плоскостях, параллельных плоскости зер-
кального отражения (112) в о. и. к. решетке. Модель хорошо описывает
геометрию перемещений, но с ее помощью нельзя, например, объяснить,
почему напряжение, при котором начинается двойникование, зависит от тем-
пературы слабее, чем критическое касательное папряжение.
Если при растяжении кристаллов, имеющих только одно семейство
плоскостей легкого скольжения, окажется, что плоскости скольжения почти
перпендикулярны оси растяжения, или если при сжатии их плоскости ока-
жутся почти параллельны оси сжатия, сдвиг будет происходить в узкой
полосе, как показано на фиг. 4.40. Это приведет к выпучиванию кристал-
ла, которое называется сбросом.
*) В направлении, параллельном этой плоскости.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
118
Глава 4
Появление сброса связывается с образованием в параллельных плоско-
стях пар дислокаций; дислокации каждой пары перемещаются в разные
стороны (фиг. 4.40). Результатом сброса является полоса, внутри которой
решетка повернута по отношению к решетке остальной части кристалла
на угол, тангенс которого равен деформации сдвига у внутренней области
полосы.
Франк и Стро [20] показали, что напряжение сдвига, которое создают
границы полосы сброса в точке А. может быть порядка теоретического
сопротивления сдвигу совершенного кристалла [соотношение (4.18)1. Следо-
вательно, по достижении критического размера полоса сброса распростра-
няется самопроизвольно — ее длина увеличивается за счет образования
пар дислокаций у вершины, где напряжение превышает теоретическое сопро-
тивление сдвигу. На фиг. 4.41 представлен кристалл цинка со сбросами.
Образование сбросов наблюдалось в г. п. у., г. ц. к., о. ц. к и ионных кристал-
лах.
4.13. ОБРАЗОВАНИЕ И ПОДВИЖНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ В РЕШЕТКЕ
Пластическое поведение кристаллов зависит от температуры и скорости
деформации, потому что существует тепловое движение атомов, оказываю-
щее влияние на перемещение вакансий и дислокаций. Рассмотрим сначала
более простой случай — влияние теплового движения на вакансии. Испа-
ряясь или осаждаясь на лишнюю полуплоскость краевых дислокаций, вакан-
сии обеспечивают переползание последних. Энергия образования вакансии
намного меньше, чем у межузельного атома, поэтому вакансий в кристалле
гораздо больше межузельных атомов и роль их более значительна (разд. 4.8).
При образовании вакансии энтальпия *) решетки повышается. В то же
время образование вакантного узла вносит беспорядок в решетку и, следо-
вательно, повышает ее энтропию. Если приращение энтропии значительно
(т. е., будучи умножено на абсолютную температуру, оно превзойдет умень-
шение энтальпии), свободная энергия (д = h — Ts) понизится, следо-
вательно, для термодинамического равновесия решетки будет необходимо
присутствие вакансий. Их равновесную концентрацию можно определить,
найдя минимум свободной энергии кристалла.
На атомном уровне изменение энтропии определяется прежде всего
вероятностью данной конфигурации, тогда как ее изменение, связанное
с изменением амплитуды и частоты колебаний атомов, существенно меньше
и мы будем пи пренебрегать (задача 1.12). Согласно статистической
интерпретации Больпмана, конфигурационная энтропия выражается через
постоянную Больцмана к и является мерой степени беспорядка, т. е. в соот-
ветствии со статистической термодинамикой она пропорциональна логариф-
му числа возможных различных состояний с точностью до аддитивной
постоянной [30, стр. 5711:
х = к In W. (4.30)
Для кристалла, содержащего Аг атомов и п вакансий (т. е. N п узлов
решетки), число различных способов размещения вакансий по узлам решет-
ки (пропорциональное вероятности состояния; см. разд. 1.3) определяется
по известной формуле комбинаторики
”)! . (4.31)
nJ Д'! ' '
1) Нужно рассматривать изменение энтальпии, а не внутренней энергии, поскольку
для извлечения атома из решетки, находящейся под значительным давлением, надо
совершить дополнительную работу, которая равна разности между- энтальпией и внутрен-
ней энергией решетки с вакансией.
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
119
Выразим избыточную (по сравнению с энергией атомов) свободную энергию
кристалла через энтальпию образования вакансии при постоянном давлении hf:
g = nhf — kT In (^г,д.^! . (4.32)
Применим формулу Стирлинга для разложения факториала при большом
аргументе
N! /2л УУ+ 2е- -v или In TV! « N In N, (4.33)
а затем найдем минимум свободной энергии как функции п и получим,
что при Д' п (задача 4.30)
/г —hf/kT t г о/ ч
Сс = —= е f . (4.34)
Эта величина по определению равна вероятности нахождения вакансии
в узле решетки, или, иными словами, равна объемной концентрации вакан-
сий ср. Аналогично рассчитывают объемную концентрацию межузельных
атомов в условиях теплового равновесия и получают выражение, подобное
(4.34), причем теперь hf представляет энтальпию образования межузель-
ного атома.
Формула (4.34) определяет равновесную концентрацию вакансий без
учета кинетики достижения равновесия. Однако вакансии могут легко
образовываться лишь на свободных поверхностях, границах зерен, у вакап-
сионного диполя, который тянется за дислокацией, или у порога на лишней
полуплоскости краевой дислокации, т. е. в тех случаях, когда существуют
стоки для атомов, образовавших вакансии. Внутри совершенного кристал-
ла такой атом не может найти стока, и поэтому вакансии должны обязатель-
но образовываться в парах с межузельными атомами. Энергия активации
такого процесса равна сумме энтальпий образования вакансии и межузель-
ного атома ]), поэтому вероятность процесса мала. Следовательно, для дости-
жения равновесной концентрации вакансий требуется диффузия вакансий,
образованных у поверхности, во внутренние области кристалла. Ниже будет
рассмотрена задача о диффузии вакансий из областей с высокой их концен-
трацией в области низкой концентрации.
Совершать перескок в соседний узел решетки вакансия может, лишь
поменявшись местами с атомом, занимающим этот узел. В процессе такого
обмена атом должен преодолеть энтальпийный барьер и создать состояние
беспорядка в решетке, т. е. необходимо затратить энергию, не меньшую
чем свободная энергия Гиббса hj — Ts} [51 ]. Вероятность pj того, что
флуктуации энергии колебаний смогут обеспечить атом таким запасом
энергии, определяется но формуле Больцмана [см. уравнение (1.3)]
—(ft7s -)'kT s ./ft — ft.'feT
Pj—-e J J =e J e j . (4,35)
Назовем энтальпийный барьер hj активационной энтальпией, a sj актива-
ционной энтропией.
Теперь мы можем определить скорость диффузионного переноса вакан-
сий из одной части кристалла в другую. Если бы концентрация вакансий
повсюду в кристалле была одинакова, вероятность диффузии во всех направ-
лениях также была бы одинакова и диффузионный перенос отсутствовал бы.
Если же концентрация вакансий изменяется, как, например, вблизи сво-
бодных поверхностей, дислокаций и т. п., вакансии будут чаще совершать
перескоки по направлению к областям низкой концентрации. Рассмотрим
!) Если расстояние между вакансией и межузельным атомом настолько велико,
что взаимодействие отсутствует. -Прим. ред.
www. vokb- la.spb.ru
120
Глава 4
два соседних атомных слоя (фиг. 4.42). Для данной точки слоя х средняя
скорость ухода вакансий в слой х + а, т. е. скорость прихода атома из слоя
х + а, определяется произведением следующих сомножителей: f) кон-
центрации вакансий cv (х) в слое х\ 2) частоты v (в единицу времени) попы-
ток перескока; 3) вероятности того, что атом в слое х 4* G находится в энер-
гетически благоприятной позиции; 4) числа таких позиций (их может быть
\ “ / «$/* -ьмт.
три); Ь) вероятностей того, что величины энтропии и энтальпии (е J и е )
о
о
о
о
о
о
о
о
Ф и г. 4.42. Градиент вакансий между
2 соседними плоскостями.
достаточны для перескока. Таким образом, скорость диффузионного пере-
носа вакансий пз узла слоя 1 в узел слоя 2 равна
VD = Зс0 (ж) -V [ 1 - cv (х я)] esr'he-h},hT. (4.36)
Вычтя из выражения (4.36) соответствующее выражение для скорости диф-
фузии в противоположном направлении и выразив результат в виде соот-
ношения между потоком вакансий в единицу времени через единицу пло-
щади и градиентом концентрации вакансий в единице объема (Cv = cv/a3),
получим (задача 4.31)
/с = — 3va2esi‘ ke~hi'' kT grad CD. (4.37)
Значение энтропийного множителя обычно порядка единицы (задача 1.12).
и его можно опустить; тогда получим
fv = — Dv grad С„, (4.38)
где Dv = 3va2e~hi/hT — коэффициент диффузии вакансий.
Самодиффузия есть диффузия атомов, аналогичных атомам основного
вещества, например изотопов, в его решетке. Вакансии играют роль носи-
телей изотопов; скорость диффузии определяется градиентом концентрации
изотопов Ci. Если для вакансий выполняются условия теплового равно-
весия (т. о. отсутствуют заметные градиенты их концентрации), поток
изотопов fi определяется по формуле (задача 4.32)
—2?JgradCr=—3vaie~Vlfi'hi>,hT grad Cj. (4.39)
Рассматривая случайное движение вакансии, можно определить время,
за которое она проходит расстояние I. На основании анализа размерностей
получаем
(4.40)
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
121
Коэффициент пропорциональности действительно равен единице [43, стр. 691.
В табл. 4.4 приведены полученные экспериментально значения энтальпии
Таблица 4.4
Активационные энтальпии образования вакансии hj-,
движения вакансий hj и само дифф узин Л,,, ив [12]
Металл hf s-
Медь 0,9 0,7 2,0
Золото 1.0 0.7 1,85
Платина 1,4 1,1 2,96
Алюминий 0,75 0,45 1,4
Никель 1,4 — 2,7
Железо — —. 2.6
Вольфрам —• — 5,2 [32]
образования и движения вакансий и активационной энтальпии самодиффу-
зии для различных чистых металлов.
Энтальпия образования межузельных атомов экспериментально не опре-
делялась. Для меди по оценке Хантингтона [27] она равна 4—5 эв. Энталь-
пия движения межузельного атома значительно меньше, чем у вакансий;
измерения и теоретические оценки показывают, что у меди она составляет
~0,25 зе.
4.14. РОЛЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ АКТИВАЦИИ В ПРОЦЕССЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
В разд. 1.5 утверждалось, что температура не влияет на пластическую
деформацию, поскольку дислокации в кристалле приходят в движение
не в результате изменения температуры, а под действием напряжения, когда
оно превосходит критическое приведенное касательное напряжение. Теперь
мы можем подробнее рассмотреть это утверждение.
Можно попытаться оценить равновесную концентрацию дислокаций
аналогично тому, как это было сделано для вакансий. В разд. 4.5 отмечалось,
что энергия деформации, связанная с дислокацией, приблизительно равна
свободной энергии, поэтому прямолинейные дислокации всегда неустойчивы
и не существует термодинамически равновесной их концентрации. Следова-
тельно, можно говорить лишь о равновесной концентрации малых дислока-
ционных петель. При уменьшении размера дислокационной петли полная
энергия деформации понижается, а число способов размещения петли в кри-
сталле быстро увеличивается, поэтому, по-видимому, может существовать
равновесная концентрация петель.
При отсутствии напряжения трения и внешнего напряжения все дисло-
кационные петли неустойчивы и стремятся сжаться; поэтому мы рассмотрим
равновесие при действии касательного напряжения о. Минимальный радиус
петли равен (задача 4.33)
n Z _ G&
I 1 — о •
ab 2о
. (4-41)
Поскольку петля образуется при действии напряжения а, это напряжение
производит работу сгЬлТ?2, и значение энергии активации уменьшается
на эту величину, становясь равным
иа да aRGb2 — trwbR2 = .
(4.42).
www.vokb-la.spb.ru
122
Глава 4
Энтропия, связанная с собственно дислокацией, пренебрежимо мала [11].
Существенный вклад в энтропию определяется лишь числом способов раз-
мещения петли W в кристалле. Чтобы в кристалле могла существовать хотя
бы одна петля радиусом R [соотношение (4.41)1, должно выполняться условие
иа — кТ 1пИ7<0.
Если даже принять величину приложенного напряжения равной G/100,
диаметр кристалла должен быть в 103000 раз больше диаметра солнечной
системы (задача 4.34)!
Может быть, эти термически не равновесные петли могут возникать
каким-либо случайным образом? Сравнение энергии, определяемой соотно-
шением (4.42), с тепловой энергией при комнатной температуре кТ показы-
вает, что такие случаи совершенно невероятны. Известно лишь одно исклю-
чение: зарождение дислокаций наблюдалось у края тонкой фольги нержа-
веющей стали, просвечиваемой пучком электронов; в этом случае из-за малой
Фиг. 4.43. Два равновесных положения
базового сегмента источника Франка —
Рида при действии приложенного каса-
тельного напряжения о < on — Gb/l.
-толщины края фольги поле напряжений и энергия так изменяются, что
становится возможным термически активируемое зарождение дислока-
ций [49].
Таким образом, в обычных условиях дислокации в совершенном кри-
сталле не могут образовываться в результате тепловых флуктуаций, они
должны возникать при образовании кристалла в виде устойчивых конфи-
гураций, например сеток (фиг. 4.30 и 4.31).
Рассмотрим влияние тепловых флуктуаций на движение дислокаций
в кристаллах, не имеющих внутренних напряжений, т. е. в кристаллах,
где дислокаций мало и где их движению мешает только трение решетки.
Возьмем кристалл меди, напряжение трения в нем о0 = 0,2 кг!см2 (табл. 4.2).
Длина дислокационной линии, которая в результате тепловой флуктуации
с энергией 0,75 эв может переместиться на одно межатомное расстояние
при отсутствии внешнего напряжения, приблизительно равна 0,1 мм
(задача 4.35). Следовательно, термическая активация в значительной
мере определяла бы пластическое поведение кристаллов, если бы трение
решетки представляло единственное сопротивление движению дислокаций.
Однако экспериментально наблюдаемые большие пластические деформации
не являются результатом такого беспрепятственного движения прямых
дислокаций (задача 4.26).
Выясним, наконец, влияет ли термическая активация на зарождение
дислокаций, происходящее с постоянной скоростью и компенсирующее
уход дислокаций из кристалла или их задержку в областях действия высо-
ких внутренних напряжений. В качестве примера рассмотрим источник
Франка — Рида (фиг. 4.43). Для выгибания дислокации в полуокруж-
ность (неустойчивая критическая конфигурация) требуется критическое
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
123
касательное напряжение о0 (задача 4.27), равное
<то = ^. (4.25)
Если приложено напряжение, большее ас, петля будет расширяться. Если
приложено напряжение, меньшее О(|, дислокация выгибается в более корот-
кую дугу АСВ (показано пунктиром) с большим радиусом кривизны R. Дис-
локация сможет распространяться под действием напряжения меньше о0
лишь в том случае, если она пройдет через конфигурацию полуокружности
и примет конфигурацию АСВ с тем же радиусом кривизны R. Энергия
активации перехода дислокации от конфигурации АСВ к конфигурации
АСВ равна разности энергий дислокационных линий, соответствующих
каждой из конфигураций, минус работа внешнего напряжения при прохож-
дении дислокацией площади, заключенной между АСВ и АСВ (з а д а-
ч а 4.36):
G Gb3 [ л .о о . с ) ,, ,Q.
иа =----а-1-Х---arcsin--------Ъ 1------I. (4.43)
о 2 \ 2 о0 о0 т о0 > ' >
Если эту энергию обеспечивает термическая активация, ее значение
не должно превышать 1 эв. Но при иа = 1 эв из уравнения (4.43) следует,
что отношение сг/сг0 = 1 с точностью до четвертого знака после запятой
(задача 4.37), т. е. приложенное напряжение должно достигать критиче-
ского значения. Следовательно, термическая активация не может оказывать
влияния на регенерацию дислокаций по механизму Франка — Рида. Как
только приложенное к кристаллу напряжение достигнет критической вели-
чины, кристалл начинает деформироваться с постоянной скоростью. Если
при тех же условиях повысить температуру кристалла, скорость деформа-
ции будет возрастать пропорционально фактору Больцмана х). Повысить
скорость деформации можно и при низкой температуре, если несколько
увеличить касательное напряжение по сравнению с его критическим значением.
Таким образом, термическая активация не оказывает заметного влияния
ни на процесс образования дислокаций, ни па начало пластической дефор-
мации, но тем не менее она определяет скорость пластической деформации,
когда действующее напряжение равно критическому. Более подробное обсуж-
дение вопросов термической активации дислокационных процессов чита-
тель найдет в книгах Набарро [35J и Фриделя [211.
4.15. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Пластическая деформация кристаллических материалов осуществляется
путем зарождения и движения дислокаций. Дислокация есть линейное несо-
вершенство, ограничивающее поверхность внутри кристалла, по которой
две части кристалла сдвинуты относительно друг друга, поэтому дислокация
не может обрываться внутри кристалла: она должна выходить на свободную
поверхность, встречаться с другими дислокациями или замыкаться сама
на себя. Дислокации могут пронизывать кристалл произвольным образом
или лежать в определенных кристаллографических плоскостях.
Мощность дислокации определяется величиной невязки контура, про-
веденного вокруг дислокации. Вектор Бюргерса — это невязка контура,
которой приписано определенное направление путем задания единичного
(касательного к дислокации) вектора, определяющего направление обхода
по контуру. Вектор Бюргерса — основная инвариантная характеристика
Этот анализ не учитывает влияния температуры на подвижность дислокации,
т. е. на зависимость скорости ее движения от напряжения. Влияние температуры
на эту зависимость может быть весьма существенным для о. и. к. и ионных кристаллов
.[55*. 5С*].— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
124
Глава 4
дислокации. Дислокация, перпендикулярная своему вектору Бюргерса,
называется краевой дислокацией; краевая дислокация характеризуется нали-
чием лишней полуплоскости, ограниченной дислокационной линией. Дисло-
кация, параллельная своему вектору Бюргерса, называется винтовой дисло-
кацией; у нее нет лишней полуплоскости. Если вектор Бюргерса дислокации
равен вектору трансляции решетки, дислокация называется полной (еди-
ничной). При прохождении полных дислокаций через кристалл его правиль-
ность полностью восстанавливается.
Сумма векторов Бюргерса дислокаций, сходящихся в узле, равна нулю,
если касательные векторы всех дислокаций направлены от узла. Каждую
точку на дислокации можно рассматривать как выродившийся узел.
Движение краевой дислокации в направлении ее вектора Бюргерса
называется скольжением; при таком движении край лишней полуплоскости
смещается параллельно самому себе по плоскости скольжения. Винтовые
дислокации не привязаны к определенным плоскостям, и любое движение-
винтовой дислокации есть скольжение. Уход краевой дислокации из пло-
скости скольжения в направлении, перпендикулярном вектору Бюргерса,
называется переползанием. Этот вид движения требует диффузии материала
и поэтому не происходит при температурах, значительно меныпих половины
абсолютной температуры плавления.
Если на единице площади имеется Л дислокаций и они путем скольже-
ния в среднем проходят расстояние Z, произойдет пластическая дефор-
мация, равная
у=/АЛ. (4-3)
Дислокации являются линиями, отделяющими в плоскости скольжения
области, в которых сдвиг произошел, от тех областей, в которых сдвига
не было, поэтому с ними связаны высокие локальные напряжения
В поле напряжений краевой дислокации имеются компоненты, вызы-
вающие локальные изменения объема, в то время как поле напряжений
винтовой дислокации в первом приближении не вызывает локальных изме-
нений объема. Однако если локальные изменения объема, вызванные крае-
вой дислокацией, проинтегрировать по всему кристаллу, окажется, что
в целом объем кристалла вне ядра дислокации не изменяется. Полное изме-
нение объема в сильно деформированном кристалле, происходящее вдоль
ядер дислокаций, не превышает 10-4. Следовательно, пластическая дефор
мация не сопровождается изменением объема. Вокруг дислокации накапли-
вается энергия упругой деформации х)
т. е. порядка 4—5 зв на каждый отрезок дислокации, равный межатомному
расстоянию. При введении в кристалл дислокации любой длины свободная
энергия кристалла возрастает, поскольку связанное с дислокацией возраста-
ние энтропии не будет компенсировать прироста свободной энергии, равного
приращению внутренней энергии. Следовательно, беспорядочное тепловое
движение не может создать дислокации.
Энергия деформации кристалла понизится, если содержащиеся в нем
дислокации сократят длины каждого из своих отрезков до предела, опре-
деляемого особенностями кристаллической структуры и наличием других;
!) См. примечание на стр. 94.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Механика дислокаций
125
дислокаций, т. е. дислокации должны вести себя так, как будто на них
действует линейное натяжение
Т = (4.10)
которое равно упругой энергии единицы длины дислокации.
При движении дислокации с постоянной скоростью полная энергия
кристалла возрастает пропорционально фактору Лоренца. Если рассматри-
вать это приращение энергии как кинетическую энергию дислокации, можно
считать, что последняя обладает распределенной массой, величина которой
на единицу длины дислокации равна
Если приложенные к кристаллу внешние силы вызывают скольжение
дислокаций, удобно рассмотреть их работу, вводя фиктивную распределен-
ную силу, всегда направленную перпендикулярно дислокационной линии.
Величина фиктивной силы, действующей на единицу длины дислокации,
равна произведению вектора Бюргерса на приведенное касательное напря-
жение, действующее па плоскости скольжения в направлении вектора Бюр-
герса дислокации:
F = cb. (4.14)
Аналогичное выражение получается м для распределенной силы, вызы-
вающей переползание дислокации, но в него входит нормальная компонента
напряжения, действующая на лишнюю полуплоскость.
Взаимодействие полей напряжения дислокаций приводит к возникнове-
нию между ними сил притяжения или отталкивания.
Поверхность, по которой не действуют напряжения, притягивает дисло-
кацию с такой же силой, с какой ее притягивала бы воображаемая дисло-
кация противоположного знака, находящаяся по другую сторону поверх-
ности. Если дислокации притягиваются друг к другу, они могут слиться
и образовать новую дислокацию с более низкой энергией. Наоборот, единич-
ные дислокации могут понизить энергию, расщепившись на неполные (частич-
ные) дислокации. Частичные дислокации удерживаются на некотором рас-
стоянии одна от другой действием дефекта упаковки. Такие лентообразные
дислокации встречаются в плотноупакованных структурах, например
в гранецентрированной кубической и гексагональной плотноупакованной.
Из-за периодичности потенциального рельефа кристалла существует
напряжение трения решетки, препятствующее движению дислокации.
Истинное напряжение трспия в решетках г. ц. к. и г. п. у. металлических
кристаллов незначительно. Однако оно велико у кристаллов переходных
о. ц. к. металлов и ковалентных кристаллов, например кремния, окиси
алюминия и алмаза.
Скорость дислокации в реальном кристалле очень сильно зависит
от величины разности между действующим напряжением и напряжением
трения. Фактическое напряжение трспия, которое необходимо преодолеть
для того, чтобы привести в движение дислокации, в кристалле, содержащем
примеси или другие малые препятствия, обычно выше теоретического напря-
жения трения решетки. В процессе пластической деформации дислокации
пересекают друг друга, в результате чего на дислокациях образуются корот-
кие ступеньки, которые называются порогами или перегибами. При этом
могут возникать также хвосты диполей краевых дислокаций.
Поскольку при пластической деформации дислокации сталкиваются
и переплетаются, возникает необходимость образования новых дислокаций.
Их испускают источники дислокаций, представляющие закрепленные дисло-
кационные отрезки, которые могут удлиняться, выгибаясь в двойную спи
www. vokb- la. spb. ru
126
Глава 4
раль. Источник может генерировать большое число дислокаций, находя-
щихся в одной плоскости скольжения, если в этой плоскости действует кри-
тическое касательное напряжение
Gb
I '
(4.25)
Отрезок дислокации винтовой ориентации может уходить из первоначальной
плоскости скольжения и скользить по любой другой плоскости, параллельной
вектору Бюргерса дислокации. Если такие отрезки путем поперечного
скольжения вновь возвращаются на плоскость, параллельную первоначаль-
ной плоскости скольжения, они могут стать источниками дислокаций
и наполнить дислокациями соседние плоскости скольжения. Этот процесс
называется размножением дислокаций путем двойного поперечного сколь;не-
ния. Заметная пластическая деформация кристалла возникает при достиже-
нии критического значения приведенного касательного напряжения, дей-
ствующего по плоскости скольжения в направлении сдвига, если степень
размножения дислокаций достаточно велика. Это напряжение совпадает
с деформирующим напряжением, если напряжение трения решетки невелико.
Когда на пути ряда дислокаций, испущенных источником, встречается
препятствие, например граница зерна, образуется скопление дислокаций.
Из-за наличия скопления на препятствие действует касательное напряжение,
превышающее приложенное во столько раз, сколько дислокаций содержится
в скоплении.
Ряд краевых дислокаций (лежащих в параллельных плоскостях), кото-
рый перпендикулярен плоскостям скольжения, вызывает взаимный поворот
двух частей кристалла, границей которых этот ряд является, относительно
оси, параллельной линиям дислокаций. Если два ряда параллельных винто-
вых дислокаций, лежащих в одной плоскости, взаимно перпендикулярны,
происходит взаимное кручение частей кристалла по разные стороны от этой
плоскости относительно перпендикулярной ей оси.
При определенных условиях сдвиг происходит внутри некоторой полосы
в направлении, перпендикулярном границам полосы. Этот процесс, назы-
ваемый образованием сброса; приводит к повороту части кристалла, лежа
щей внутри полосы, относительно остальной части кристалла.
В некоторых кристаллах возникает однородная постоянная деформа-
ция сдвига параллельно определенным кристаллографическим плоскостям
и в определенных направлениях, которая приводит к тому, что части кри-
сталла, разделенные этими плоскостями, становятся зеркальным отображе-
нием друг друга. Это явление называется деформационным двойникованием.
Величина двойникового сдвига постоянна и определяется симметрией
решетки.
Наиболее удобной моделью для изучения краевых дислокаций является
слой маленьких мыльных пузырьков, плавающих на поверхности мыльного
раствора. Движение и взаимодействие дислокаций в слое пузырьков диа-
метром 1,2 мм представляет двумерную аналогию тех же процессов в кри-
сталле меди.
Правильно понять влияние температуры и напряжения па процесс
пластической деформации можно лишь, зная природу термически активи-
руемых процессов.
Вакансии — простейшие дефекты, участвующие в процессе деформации;
они повышают энтальпию кристалла, но одновременно увеличивают его
энтропию, в результате чего свободная энергия при равновесном распре-
делении вакансий снижается. Равновесная концентрация вакансий опре-
деляется по формуле
п -1ц !кТ
c‘~-tT = e
(4.34)
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокаций
127
Диффузия вакансий в решетке обеспечивает возможность переполза-
ния дислокаций. Энтальпия активации диффузии вакансий приблизительно
равна энтальпии образования вакансии.
Вследствие того что упругая энергия дислокационных линий почти
совпадает со свободной энергией и составляет несколько электронвольт
на межатомное расстояние, термическая активация не влияет на зарождение
дислокаций. В связи с этим дислокации должны генерироваться источни-
ками под действием приложенного напряжения. Однако, после того как
приложенное касательное напряжение достигло критического значения
и скольжение началось, скорость движения дислокаций в кристалле опреде-
ляется характером тепловых колебаний.
ЗАДАЧИ
4.1. Пользуясь фиг. 4.4, б, показать, что для дислокации, линия кото-
рой направлена вдоль оси xs, а лишняя полуплоскость параллельна х2,
невязка контура Бюргерса всегда будет иметь направление положитель-
ной ОСИ
4.2. Показать, что дислокация не может обрываться внутри кристалла.
(Указание: Предположим, что дислокация обрывается внутри кри-
сталла. Построим прямоугольную призму, охватывающую конец дислока-
ции. Прямоугольный контур Бюргерса, составленный из ребер призмы,
будет замкнут на всех поверхностях, через которые дислокация не проходит;
на поверхности, через которую дислокация входит в призму, контур будет
нс замкнут. Показать, что в этом есть противоречие.)
4.3. Вектор Бюргерса дислокационной петли одинаков во всех ее точ-
ках. Означает ли это, что и характер дислокации одинаков во всех участках
петли?
4.4. Показать, что любую точку дислокации можно считать узлом,
в котором сходятся два ее отрезка. <
4.5. Начертить контур Бюргерса вокруг дислокации в слое мыльных
пузырьков на фиг. 4.7 и определить ее вектор Бюргерса.
4.6. Отметить плоскости скольжения в четырех элементарных ячей-
ках на фиг. 1.16 и указать Миллеровские индексы для каждой пло-
скости.
4.7. Вывести уравнение (4.1), пользуясь фиг. 4.11.
4.8. Определить общую длину всех дислокаций в 1 см3 отожженного
и холоднодеформированного кристалла из значений, приведенных в конце
разд. 4.3.
4.9. Определить касательные компоненты напряжения о13 и п23 около
винтовой дислокации по заданном^' смещению и3. Показать, что эти напря-
жения удовлетворяют уравнениям равновесия.
4.10. Вывести соотношение (4.5) из уравнений (4.4а) и (4.46).
4.11. Написать формулу для напряжения о33 около краевой дисло-
кации.
4.12. Знаки некоторых компонент напряжения на фиг. 4.12 могут быть
определены из анализа строения краевой дислокации. Определить знаки
других компонент, рассмотрев допускаемые изменения компонент напря-
жения, которые дают уравнения равновесия.
4.13. Вывести формулу (4.7) для локального изменения объема около
краевой дислокации.
4.14. Показать, что, согласно соотношению (4.7), вблизи краевой
дислокации полное изменение объема равно нулю.
4.15. Вывести формулу (4.8а) путем интегрирования плотности энергии
деформации по всему объему цилиндрического кристалла, вдоль оси которого
лежит дислокация.
www. vokb- la. spb. ru
128
Гливп 4
4.16. На основании качественных соображений показать, что энергия
дислокационного диполя, состоящего из двух параллельных краевых дисло-
каций с противоположными векторами Бюргерса, отстоящими друг от друга
на расстоянии 6, равна
<?Ь2 . 6
2п (1 — v) 11 го
(см. также задачу 4.45).
4.17. Выразить энергию дислокации длиной Ъ в электронвольтах.
4.18. Вывести уравнение энергии дислокационной линии на основании
выражения, предшествующего формуле (4,10).
4.19. Показать, что при смещении дислокации, представленной на
фиг. 4.11, на расстояние х в ее плоскости скольжения приложенное извне
напряжение совершает над кристаллом работу, равную оЬх на единицу тол-
щины 'кристалла.
4.20. При использовании соотношений (4.14) или (4.15) для винтовой
дислокации могут возникнуть трудности, связанные с ее способностью
скользить но нескольким плоскостям. В чем заключаются эти трудности?
4.21. Почему на дислокации ХУ на фиг. 4.21 не образуется порога?
4.22. Представите геометрически дислокационную реакцию, описывае-
мую уравнением (4.20), начертив векторы Бюргерса в о. ц. к. элементарной
ячейке, и показать, что реакция энергетически выгодна.
4.23. Показать, что квадрат длины вектора Бюргерса в левой части
реакции (4.21а) больше суммы квадратов длин векторов Бюргерса в правой
части.
4.24. Вывести формулу силы взаимного отталкивания двух частичных
дислокаций [уравнение (4.22)] и формулу для равновесного расстояния
между ними [уравнение (4.23)1.
4.25. Пусть некоторые участки прямых дислокационных линий на
фиг. 4.29 представляют собой сидячие дислокации Коттрелла, параллель-
ные направлениям (110). Пользуясь тем, что на снимке указано направле-
ние [0101, определить, какой кристаллографической плоскости параллельна
плоскость фольги.
4.26. Вычислить величину пластического сдвига, возникающего
в результате выхода из кристалла достаточно больших размеров всех дисло-
каций, образовавшихся при его росте.
(Дополнение редактора перевода: Используйте урав-
нение (4.1), приняв b = 2-10 cjm.-8, h = I = t = 1 см и взяв исходное число
дислокаций в кристалле, равным 10*.)
4.27. Вывести формулу (4.25) и показать, что напряжение, необходи-
мое для удержания отрезка дислокации в выгнутом положении, будет приоб-
ретать максимальное значение, когда отрезок примет форму полуокружности.
4.28. Показать, что ряд параллельных винтовых дислокаций, лежащих
в одной плоскости, представляет неустойчивую конфигурацию.
4.29. Предположив, что скопление дислокаций совершило малое вир-
туальное перемещение (см. фиг. 4.39 и текст), показать, что из-за концен-
трации напряжения в скоплении из п дислокаций на препятствие действует
касательное напряжение, равное по.
4.30. Повторив последовательность рассуждений при выводе соотно-
шений (4.30) — (4.33), показать, что формула (4.34) действительно дает
удельную концентрацию вакансий в решетке при температуре Т.
4.31. Обобщив уравнение (4.36), показать, что соотношение (4.37) дей-
ствительно представляет собой выражение для потока вакансий через любую
площадку.
4.32. Показать, что при самодиффузии поток изотопов через некоторую
площадку определяется уравнением (4.39).
www.vokb-la.spb.ru
Механика дислокации
129
4.33. Показать, что соотношение (4.41) есть выражение для критиче-
ского радиуса дислокационной петли, на которую действует касательное
напряжение о ’).
4.34. Для доказательства термодинамической нестабильности дислока-
ционных петель оценить размер кристалла, при котором свободная энергия
в присутствии одной петли будет снижаться, т. е.
а) показать, что число способов размещения, включая перенос и поворот
петли радиусом R в кристалле с линейным размером L, есть величина поряд-
ка (L/b)s (R/b)1 2;
б) показать, что свободная энергия будет снижаться в присутствии
одной петли при (L/b)s = (b/7?)2exp (pGb2R!2kT)\
в) показать, что при Gia = 100 размер кристалла должен быть
в 103000 раз больше диаметра солнечной системы;
г) выяснить, при каком напряжении петли будут термодинамически
стабильны в кристалле разумных размеров?
4.35. Показать, что длина прямой дислокации, которая под действием
тепловой флуктуации с энергией 0,75 эв сможет переместиться на одно меж-
атомное расстояние, преодолев трение решетки меди, составляет прибли-
зительно 0,1 мм (приложенным напряжением пренебречь).
4.36. Показать, что соотношение (4.43) представляет собой выражение
для энергии активации перехода дислокационной петли от конфигурации
АСЕ (фиг. 4.43), устойчивой при напряжении о < <т0 = Gb/l, к неустойчи-
вой конфигурации АС'Е.
4.37. Показать, что при отсутствии заметного влияния термической
активации отношение о/п0 в уравнении (4.43) будет равно единице с точно-
стью до четвертого знака.
4.38. Предположив, что дислокация испытывает линейное натяжение
Т и обладает массой, значение которой на единицу ее длины составляет ц,
показать путем непосредственного сравнения, что дислокационная линия
длины I с закрепленными концами будет совершать свободные колебания
подобно предварительно натянутой струне с равномерно распределенной
массой, т. е. с собственной частотой v = (l/2Z)X77p.
Рассчитать собственную частоту дислокационного отрезка длиной 1 мк
в кристалле меди.
4.39. В разд. 4.7 отмечалось, что причиной высокой твердости кремния,
кварца и алмаза, по-видимому, являются высокие значения напряжения
трения решетки, которые возникают из-за наличия сильных направленных
связей между атомами в этих кристаллах. Какие еще кристаллы должны
относиться к этой категории?
4.40. Показать, как изменится концентрация вакансий при приложе-
нии гидростатического давления.
4.41. Клербро и др. [81 калориметрическим методом установили соотно-
шение между запасенной энергией пластического деформирования и вели-
чиной пластической деформации при сжатии (фиг. 4.44). Предположив, что
вся запасенная энергия есть полная энергия дислокационных линий в кри-
сталле, оценить величину плотности дислокаций после осадки образна
на 80%.
4.42. Длинный кристалл с квадратным поперечным сечением (1 X 1 мм)
пластически изогнут; радиус кривизны R — 20 см. Предположив, что
единственной причиной изгиба является введение краевых дислокаций,
определить их плотность, приняв длину вектора Бюргерса равной
3- 10_flcJW.
1) При этом пренебрегают зависимостью энергии дислокации от ее ориентировки.—
Прим. ред.
9—9Е
www.vokb-la.spb.ru
130
Глава 4
4.43. Показать, что введение постороннего атома, который притяги-
вается вакансиями, может повлиять на скорость диффузии вакансий в решет-
ке, но может и не оказать такого влияния.
4.44. Силкокс и Уэлан [44] наблюдали в фольге алюминия, закаленного
с 600° С, дислокационные петли со средним диаметром 138 Л, плотность кото-
рых 1015 см~8. Какова энергия активации образования вакансий, если пред-
положить, что все петли образовались в результате конденсации вакансий?
Ф и г. 4.44.
4.45. Вывести формулу энергии диполя краевых дислокаций (см. зада-
чу 4.16), рассмотрев силу, с которой неподвижная дислокация действует
на другую дислокацию, когда последняя приближается к ней из беско-
нечности.
ЛИТЕРАТУРА1)
Классической работой, посвященном геометрическим характеристикам пластине
ской деформации в кристаллических материалах, является книга Шмидта и Боаса [42J,
в которой дан обзор самых первых работ в этой области. Четкое описание дислокационных
эффектов в кристаллах с полуколичественпых позиций дает Орован в книге, вышедшей
под редакцией Коэна [9]; эта работа особенно полезна для начинающих. Монография
Коттрелла [11], в которой вопрос освещается достаточно подробно, представляет интерес
как для начинающих, так и для хорошо подготовленного читателя. Влияние дислокаций
на механическое поведение кристаллов обсуждается здесь значительно полнее, чем
у Рида [41], который в своей хорошо иллюстрированной книге наибольшее внимание
уделяет основам теории дислокаций, геометрии дислокаций в гранецентрироваппых куби-
ческих кристаллах н границам зерен.
В монографии Фриделя [21] дается общее количественное обсуждение поведения
дислокаций, доступное для начинающего читателя; более строго эти же вопросы изложены
в обзоре Пабарро [35] * 2).
1. Amelinckx S., Acta Met., б, 34 (1958).
2. Amelinckx S., Delavignctte P., J. Appl. Phys., 31, 2126 (1960).
3. Blewitt Т.Н., CoItmann R. R., Redman J.K., в книге: Dislocations
and Mechanical Properties, Wiley, New York, 1957, p. 179; русский перевод:
Блюитт T. X., Кольтман Р. Р., Редман Дж. К., в книге: Дислока
ции и механические свойства кристаллов, ИЛ, 1960, стр. 125.
4. Bragg W. L., Lomer W. М., Proc. Roy. Sue. (London), A196, 171 (1949).
5. Bragg W. L., Nye J. F., Proc. Roy. Soc. (London), A190, 474 (1947).
6. Brenner S. S. в книге: Growth and Perfection of Crystals, Wiley, New York,
1958, p. 157.
7. Burgers J. M., Proc. Kon. Nederlansche Akad. van Wettenschappen, 42, 378 (1939).
8. Clarcbrough L. M., Hargreaves M. E., West G. W.. Proc. Roy.
Soc. (London), A232, 252 (1955).
9. С о h e n M. (ed.), Dislocations in Metals, AIMME, New York, 1954.
10. Conrad H., Hayes W., Trans. ASM, 56, 249 (1963).
11. Cottrell A. H., Dislocations and Plastic Flow in Crystals, Oxford, Univ. Press.
London, 1953; русский перевод: Коттрелл A. X., Дислокации и пластическое
течение в кристаллах, Металлургиздат, 1958.
*) Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред.
2) См. также [57*—62*].— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
М еханико дислокаций.
131
12. Cottrell А. Н., в книге: Vacancies and Other Point Defects in Metals and Alloys,
Inst. Metals, London, 1958, p. 1; русский перевод: Коттрелл A. X., в книге:
Вакансии и другие точечные дефекты в металлах и сплавах, Металлургиздат, 1961,
стр. 7.
13. С о t t г е 1 1 А. Н., В i 1 Ь у В. A.. Phil. Mag., 42, 573 (1951).
14. Dash W. С., в книге: Dislocations and Mechanical Properties of Crystals, Fisher
ct a), (eds.), Wiley, New York, 1957, pp. 57—68; русский перевод: Дэш В. К.,
в книге: Дислокации и механические свойства кристаллов, ИЛ, 19(50, стр. 413—437.
15. Dash W. С.. J. Appl. Phys., 29, 705 (1958).
16, Esh с 1Ь у J. D., Phil. Mag., 40 , 903 (1949).
17. Eshclby J. D., Read W. T., Shockle у W., Acta Met., 1, 251 (1953).
18. Frank F. C-, Proc. Phys. Soc.: A62, 131 (1949).
19. Frank F. C., Read W. T., Phys. Rev., 79, 772 (1950).
20. F r a n k F. C-, Stroh A. N., Proc. Phys. Soc., B65, 811 (1952).
21. Friedel J., Les Dislocations, Gauthier-Villars, Paris, 1956; имеется русский
перевод издания 1964 г.: Фридель Ж., Дислокации, изд-во «Мир», 1967.
22. F г i е d е 1 J., в книге: Internal Stresses and Fatigue in Metals, R a s s w e i 1 e r,
Grube (eds.), Elsevier, Amsterdam, 1959, p. 220.
23. Gilman J. J., J. Appl. Phys., 30, 1584 (1959).
24. G i 1 m a n J. J., Johnston W. G., в книге: Dislocations and Mechanical
Properties of Crystals, Fisher et al. (eds.), Wiley, New York, 1957, pp. 116—163;
русский перевод: Гилман Дж. Дж., Джонстон У. Г., в книге: Дислока-
ции и механические свойства кристаллов, ИЛ, 1960, стр. 82—116.
25. Gyulai Z. Z., Z. Physik. 138, 317 (1954).
26. Н е a d А. К.. Proc. Phys. Soc., В66, 793 (1953).
27. И u n t i n g t о n H. B.. Phys. Rev., 91, 1092 (1953).
28. Johnston W. G., Gilman J. J., J. Appl. Phys., 30, 129 (1959).
29. J о h n s t о n W. G., Gilman J. J., J. Appl. Phys., 31, 632 (I960).
30. Joos G., Theoretical Physics, 2nd ed., Hafner, New York, 1950, p. 571—580; рус-
ский перевод: И о с Г., Курс теоретической физики, Учпедгиз, 1963.
31. Koehler J. S., Phys. Rev., 60, 397 (1941).
32. Langmuir 1., J. Franklin Inst., 217, 543 (1934).
33. M a 1 о о f S. R., Argon A. S., AVCO Rept. .XL TR 62-60, 1962.
34. N a h a г г о F. R. N., Proc. Phys. Soc., 59, 256 (1947).
35. N ab arro F. R. N., Advances in Physics, 1, 269 (1952).
36. О г о w a n E., Z. Physik, 89, 634 (1934).
37. О г о w a n E., Nature, 149, 643 (1942).
38. О г о w а и E., в книге: Dislocations in Metals, 103, AIME Monograph, New York, 1954.
39. P e i e r 1 s R., Proc. Phys. Soc., 52. 34 (1940).
40. Polanyi M., Z. Physik, 89, 660 (1934).
41. Read W. T., Dislocations in Crystals, McGraw-Hill, New York, 1953; русский
перевод: Рид В. Т., Дислокации в кристаллах, Металлургиздат, 1957.
42. S с h m i d Е., Boas W., Kristallplastizitat, Springer, Berlin, 1935; русский
перевод: Шмид E., Боас В., Пластичность кристаллов, в особенности метал-
лических, ГОНТИ, 1938.
43. Schoeck G., в книге: Mechanical Behavior of Materials at Elevated Temperatu-
res, Dorn J. E. (ed.), McGraw-Hill, New York, 1961, p. 79—107.
44. Silcox J., Whelan M. J., Phil. Mag., 5, 1 (I960).
45. Stein D. L., Low J. R., J. Appl. Phys., 31 362 (1960).
46. Stroh A. N., Phil. Mag., 3, 625 (1958).
47. Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. (London), A145, 362 (1934).
48. Whelan M. J., Proc. Roy. Soc. (London), A249, 114 (1959).
49. W h e 1 a n M. J., H i r s c h P. B., Horne R. W., Bollmann W., Proc.
Roy. Soc. (London), A240, 524 (1957).
50. Young F. W„ J. Appl. Phys., 32, 1815 (1962).
51. Z e n e г С., в книге: Imperfections in Nearly Perfect Crystals, Shockley W.
et al. (eds.), Wiley, New York, 1952, p. 289.
52*. Инденбом В. Л., Физический энциклопедический словарь, I, 1960, стр. 583.
53*. Струнин Б. М., ФТТ, 9, 805 (1967).
54*. Wilkens М., Acta Metallurgica, 15, 1412 (1967).
55*. Сб. «Динамика дислокаций», Харьков, 1968.
56*. Сб. «Dislocations dynamics», Rosenfield A. (ed.), N.Y., McGraw-Hill, 1968.
57*. Инденбом В. Л., Сб. «Физика кристаллов с дефектами», 1, Тбилиси, 1966,
стр. 5 -106.
58*. Э ш е л б и Дж., Континуальная теория дислокаций, ИЛ, М., 1963.
59*. Ilirth J. Р., Lothe J., Theory of Dislocations, N.Y., 1968.
60*. N a b a г г о F. R. N., Theory of Crystal Dislocations, Oxford, 1967.
61*. S a a d a G., в книге: Theory of Crystal Defects, Prague, 1966, p. 167—217.
62*. Библиографический указатель: Дислокации в кристаллах, ч. I, Изд-во АН СССР,
1958; ч. IT. изд-во «Наука», 1967.
9*
www.vokb-la.spb.ru
Глава 5
ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Как было показано в гл. 4, наличие дислокаций в кристалле объясняет,
почему предел текучести пластичных кристаллических материалов, как пра-
вило, намного ниже теоретической прочности при сдвиге, рассчитанной
по прочности атомных связей. В то же время напряжение, которое необхо-
димо для движения дислокации, в большинстве пластичных кристаллов
оказывается намного меньше предела текучести, определяемого при обычном
испытании. Следовательно, необходимо рассмотреть способы, позволяющие
тормозить движение дислокаций различными препятствиями и повышать
тем самым предел текучести.
Препятствия скольжению, действующие эффективно с самого начала
деформации, будем называть источниками структурного упрочнения.
Их можно получить путем введения атомов растворяющихся элементов,
частиц выделений и твердых фаз (и создания определенного их распределе-
ния.— Ред.}, а также в результате облучения или термической обработки,
вызывающих повреждения решетки. При этом искажается кристаллическая
решетка и создаются препятствия движению дислокаций. С помощью неслож-
ных расчетов можно получить некоторое представление о том, каким образом
эти препятствия могут вызывать упрочнение.
Кроме того, сам процесс деформации приводит к упрочнению. До сих
пор еще не существует полного количественного описания деформационного
упрочнения, представляющего собой один из наиболее сложных вопросов
теории дислокаций. Мы рассмотрим качественно наиболее вероятную схему
дислокационных процессов, приводящих к деформационному упрочнению.
Термическая активация сама по себе не может создавать дислокации, но она
может определять скорость деформации, если значение напряжения близко
к критическому для данной температуры.
В качестве примера рассмотрим механизм, основанный на пересечении
дислокаций, и покажем, что действие его может привести к наступлению
неустановившейся ползучести в металлах. Кратко опишем также и другие
механизмы, определяющие скорость деформации. Кроме того, мы обсудим
механизм диссипации почти всей работы деформации в тепло. Будет пока-
зано, что предел текучести поликристаллических материалов может отли-
чаться от предела текучести монокристаллов. Мы обсудим также другие
особенности поведения монокристаллов, вызванные присутствием границ
зерен.
Кратко будет рассмотрена анизотропия деформационного упрочнения,
которая проявляется при последовательном прохождении деформации
в противоположных направлениях.
При некоторых условиях пластическая деформация не упрочняет, а раз-
упрочпяет материалы; результатом этого является нестабильность при
заданной нагрузке. К появлению механической неустойчивости могут при-
водить старение, вызванное присутствием примесных атомов, двойникова-
ние, образование сбросов, а также термическая нестабильность при очень
низких температурах.
Мы обсудим возможность существования простого уравнения механи-
ческого состояния, связывающего напряжение, деформацию, скорость
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
133
деформации и температуру. Точная запись этого уравнения, по-видимому,
невозможна, однако будет показано, что можно получить удовлетворительные
соотношения для многих интервалов входящих в него величин, что позво-
ляет находить связь между различными характеристиками и производить
экстраполяцию данных при их минимальном числе.
Наконец, будут рассмотрены характеристики пластического деформи-
рования различных металлов, представляющие интерес для оценки их пове-
дения в конструкции, с целью показать, как можно использовать изложенные
в этой главе теоретические принципы при разработке высокопрочных сплавов.
5.2. СТРУКТУРНОЕ УПРОЧНЕНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Присутствие дислокаций в кристалле позволяет деформировать его
пластически при уровне напряжения, гораздо мепыпем, чем тот, что тре-
буется для пластической деформации совершенного кристалла. Из наблю-
дения движения отдельных дислокаций следует, что в кристаллах с г. ц. к.
и г. и. у. решетками, а также в некоторых ионных кристаллах скольжение
дислокаций происходит при напряжениях, составляющих десятимиллион-
ные доли от модуля сдвига [94].
Возникает вопрос, почему сопротивление пластической деформации
ряда материалов столь велико по сравнению с напряжением, необходимым
для движения дислокаций в чистом и почти совершенном кристалле? В нас-
тоящем разделе будут обсуждаться три наиболее существенные причины,
которыми можно управлять. К ним относятся влияние растворенных ато-
мов, выделившихся фаз и сидячих дислокационных петель, введенных
посредством закалки или облучения. Если эти три механизма действуют
в достаточной степени, то дефекты структуры, вызывающие упрочнение,
возникнут еще до начала массового движения дислокаций; в этом случае
говорят о структурном упрочнении.
А. Упрочнение за счет твердого раствора
Издавна известно, что металл можно упрочнить, легируя его малыми
добавками растворимых в нем элементов. Еще в бронзовом веке умели
выплавлять бронзу, сплав меди и олова; легируя легкоплавкое олово малыми
добавками меди и сурьмы, получали прочный, но легко обрабатываемый
сплав, служивший дешевым заменителем серебра.
Растворимые добавки представляют собой отдельные инородные атомы
в кристалле и вызывают в их окрестности сферически симметричные иска-
жения решетки (центры дилатации) или направленные искажения решетки.
Это приводит к возникновению полей напряжения, со стороны которых
на близлежащие дислокации действуют силы (разд. 4.6). Вначале будет рас-
смотрен простейший дефект, вызывающий дилатацию решетки — атом при-
меси, замещающий атом кристалла в узле решетки и имеющий больший
атомный радиус.
1. Дефект, вызывающий дилатацию. Если считать исходную решетку
изотропным упругим континуумом, то главным эффектом от замещения
основного атома примесным атомом (при относительной разности радиусов
^ Arc//-,,) будет радиальное смещение (здесь оно принято положительным),
резко уменьшающееся при возрастании г (разд. 10.5):
«г = |г0(-^)2. (5.1)
Это смещение создает только сжимающие радиальные компоненты деформа-
ции и растягивающие тангенциальные компоненты:
_^ = Eoo = ew = g(ZL)3. (5.2)
www. vokb- la.spb.ru
134
Глава. 5
Преобразуя компоненты деформации к прямоугольным координатам xt,
х2 и хд и используя соотношения, связывающие напряжение с деформацией,
можно показать, что максимальное касательное напряжение в плоскости,
находящейся па расстоянии t от растворенного атома, равно (задача 5.1)
°12 мч,;с 25У§5
(5.3)
Если прямолинейная положительная краевая дислокация параллельна
оси Хд (фиг. 5.1), на нее со стороны поля напряжений растворенного атома
действует сила, заставляющая дислокацию скользить по направлению
к этому атому. На разные участки дислокации действуют различные силы.
Фиг. 5.1. Взаимодействие растворенного атома с краевой дислокацией.
t — расстояние от атома до плоскости скольжения дислокации.
Можно рассчитать полную силу, действующую на дислокацию благодаря
наличию растворенного атома. Для этого надо определить касательное
напряжение, действующее в плоскости скольжения перпендикулярно линии
дислокации, умножить его на величину вектора Бюргерса Ь, проинтегриро-
вать это выражение по всей длине дислокации и найти максимум относи-
тельно 0 (фиг. 5.1). Б результате получаем (задача 5.2)
(5.4)
Если растворенный атом находится непосредственно под плоскостью сколь-
жения (t — г0 = 5/2), максимальная полная сила равна
Ft макс &2С. (5.4а)
Максимальная полная сила является мерой взаимодействия дислокации
с растворенным атомом.
Нетрудно видеть, что поле напряжений вокруг центра дилатации
пе создает силы, которая бы действовала на винтовую дислокацию L), ориен-
г) Это объясняется тем. что поле смещений винтовой дислокации не вызывает упру-
гого изменения объема.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
135
тированную параллельно оси xs на плоскости скольжения. По этой причине
точечные дефекты, вызывающие лишь сферически симметричные смещения,
тормозят движение только участков дислокаций с краевой ориентацией
(задача 5.3).
2. Дефект, вызывающий направленные искажения решетки. Лишь
немногие растворенные атомы вызывают сферически симметричную дилата-
цию. Растворенные атомы замещения и в большей степени растворенные
атомы внедрения создают сильно направленные искажения решетки. При-
мером являются искажения от атома углерода, внедренного в решетку
о. ц. к. железа. В о. ц. к. металлах позиции внедрения имеют тетрагональ-
ную форму. Если в эти позиции поместить атомы углерода, возникнут силь-
ные искажения, которые приведут к локальному переходу от кубической
<1> и г. 5.2. Искажение о. ц. к. решетки a-железа при внедрении атомов углерода в меж-
доузлия. что приводит к образованию объемноцептрирова и пой тетрагональной решетки.
симметрии к тетрагональной (фиг. 5.2). Смещения не являются сферически
симметричными, и в окрестности внедренных атомов возникают большие
касательные напряжения. В общем случае такие поля взаимодей-
ствуют не только с нормальными и касательными компонентами полей напря-
жений краевых дислокаций, но также и с касательными напряжениями
винтовых дислокаций. Следовательно, внедрение атомов в решетку будет
приводить к большему упрочнению по сравнению с тем, что создают раство-
ренные атомы, вызывающие только сферически симметричные искажения
(дилатацию).
Максимальная полная сила взаимодействия дислокации и растворенного
атома, вызывающего направленные искажения, описывается выражением,
аналогичным формуле (5.4а). В этом случае £ представляет разность зна-
чений локальных максимальной и минимальной компонент деформации
на границе с растворенным атомом [32].
3. Искажения из-за различия в упругой жесткости. Существование
упрочнения, вызванного различием жесткости растворенных атомов и мат-
рицы, можно продемонстрировать, рассмотрев предельный случай — раство-
ренный атом, не имеющий жесткости, т. е. свободную поверхность.
В разд. 4.G было показано, что со стороны свободной поверхности на дисло-
кацию действует сила изображения, равная по величине силе от воображае-
мой дислокации, расположенной по другую сторону поверхности на таком
расстоянии, чтобы напряжение на самой свободной поверхности равнялось
нулю.
Анализ влияния малой искривленной поверхности, например вакан-
сии [17], или поверхности раздела с атомом, имеющим другой модуль упру-
гости, очень сложен. Оценка Флейшера [31] показывает, что во многих изве-
стных случаях сила взаимодействия, вызванного различием упругой жест-
www. vokb- la. spb. ru
136
Глава 5
кости растворенных атомов и матрицы, имеет тот же порядок величины,
что и при взаимодействии, обусловленном объемными искажениямит).
Дилатация, направленные искажения или различия упругой жесткости
вызывают упрочнение лишь при условии, что результирующая сила будет
тормозить движение дислокаций. Если бы дислокационная линия распола-
галась так, чтобы максимальная сила действовала через интервалы I по
Фиг. 5.3. Влияние концентрации растворенных элементов на прочность твердого
раствора па основе меди [52].
ее длине, тогда, согласно формуле (4.14), указанные факторы упрочнения
давали бы следующий вклад в предел текучести при сдвиге:
к = FT
На самом деле беспорядочное распределение растворенных атомов и суще-
ствование конечного линейного натяжения не позволяют дислокации выги-
баться в соответствии с потенциальным рельефом, связанным с отдельным
растворенным атомом, и, следовательно, дислокация пе может испытывать
действие ЕГыакс. Если бы линейное натяжение было бесконечно велико,
т. е. дислокация оставалась бы абсолютно прямой, действующие на нес отри-
цательные и положительные силы компенсировались бы и упрочнения
не было. Мотт и Набарро учли эти факторы (см. [23], стр. 148 русского
перевода). Приняв приближенно, что линейное натяжение равно Gb2, они
нашли вклад растворенных атомов с концентрацией с <Г 10~2 в величину
предела текучести при сдвиге
4=4 )4/з с [2с2/з >п М1-
(5.5)
х) В действительности почти никогда нельзя разделить эффекты дилатации, направ-
ленных искажений, различной упругой жесткости и поверхностного натямления (частич-
ного сплющивания вакансии). Мы рассматриваем их здесь по отдельности для ясности
изложения.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
137
Член в квадратных скобках в выражении (5.5) приблизительно равен 4
и в интервале концентраций 10~3—10~2 мало изменяется. Если подставить
значение ЕгмацС из соотношения (5.4а), получим
4-^2^/зс. (5.6)
Зависимость предела текучести меди от первой степени концентрации рас-
творенных атомов с представлена на фиг. 5.3. Фиг. 5.4 показывает, что зави-
симость интенсивности упрочнения при образовании твердого раствора
(производной упрочнения по концентрации растворенных атомов) от пара-
метра несоответствия £ описывается прямой линией, если Е, взято в степе-
ни 4/3, т. е. соответствует предсказаниям теории упрочнения жесткими
растворенными атомами (см. работы Линде и др. [51, 52]).
Ф и г. 5.4. Влияние «атомного несоот-
ветствия» на интенсивность упрочнения
при образовании твердого раствора на
основе меди [51].
В качестве характеристики несоответствия £
принято относительное изменение параметра
решетки твердого раствора при различных
концентрациях растворенного элемента.
При повышении концентрации растворенных атомов могут образоваться
выделения в форме пластин толщиной в один или несколько атомов. Эти
пластины, названные зонами Гинье — Престона 171], когерентно связаны
с решеткой растворителя. Поля упругих искажений, вызванных когерент-
ностью сопряжения, сильно взаимодействуют с дислокациями и приводят
к большему упрочнению, чем упрочнение в результате образования твердого
раствора. В настоящем разделе мы пе будем более подробно обсуждать
этот вид выделений, а обратимся к предельному случаю, представляющему
частицы второй фазы произвольной формы с четко выделенными границами.
Б. Упрочнение за счет выделений
Другим методом упрочнения, используемым в технике наряду с упроч-
нением за счет образования твердого раствора, является упрочнение
в результате распада пересыщенного твердого раствора, образующегося при
закалке с повышенных температур. Старение при промежуточных температу-
рах приводит к образованию выделений растворенного элемента. Если
подобрать такой режим старения, что до начала роста выделений будет обра-
зовываться большое количество их зародышей, можно получить равномерно
распределенную совокупность малых близко расположенных частиц. Меха-
низм упрочнения этими выделениями такой же, как и механизм упрочнения
растворенными атомами (фиг. 5.5, а). Кроме того, дислокации не смогут про-
ходить сквозь частицы либо по причине высокой твердости последних, либо,
из-за отсутствия когерентной связи частиц и матрицы (фиг. 5.5 бив).
www. vokb- la. spb. ru
138
Глава 5
Если частицы непроницаемы для дислокаций, заторможенные дислока-
ции будут выдавливаться в свободные области матрицы между частицами.
Таким образом, эффект упрочнения с помощью этого механизма определяется
Ф и г. 5.5. Когерентные и некогерептные выделения.
величиной напряжения, необходимого для продавливания дислокаций через
промежутки между частицами. Следовательно, предел прочности при сдвиге
должен быть равен критическому касательному напряжению, приводящему
Фиг. 5.6. Карбидные выделения в прозрачной для электронов железной фольге.
в действие источник Франк — Рида с критической длиной, равной расстоя-
нию I между частицами выделений, т. е., согласно формуле (4.25),
А- = ^. (5.7)
Для достижения максимального упрочнения надо сделать расстоя-
ние I по возможности наименьшим. Например, для алюминиевых сплавов
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Пласт ичёсКая дефо ума (^ия к у и с тал л и. чески з' ла тер иа лов
139
возможны максимальные отношения ЪН, равные 1/2оо — ’/юо- Если сильное
уменьшение расстояния между частицами не будет сопровождаться увели-
чением относительной массы частиц, то из-за неизбежного уменьшения
размера частиц произойдет переход к упрочнению за счет образования твер-
дого раствора. Значение относительной массы в свою очередь ограничено
величиной предельной растворимости упрочняющего компонента при высо-
кой температуре. Другими словами, если уменьшать расстояние I, не умень-
шая размера частиц, необходимо увеличивать весовой процент выделяющейся
фазы; при этом может наступить момент, когда легирующие элементы уже
нельзя будет вводить в раствор, не вызывая плавления последнего. Если
выделения не переходят в твердый раствор во время термической обработки,
они будут стремиться к объединению в большие, редко расположенные скоп-
ления, которые мало упрочняют материал. Следовательно, для достижения
максимального упрочнения за счет выделений необходимо, чтобы раствори-
мость заметно изменялась в интервале температур, в котором сплав можно
обрабатывать, и чтобы равномерно распределенные частицы обладали воз-
можно большим сопротивлением движению дислокаций, вызванным отсут-
ствием когерентной связи с матрицей, высокой твердостью частиц или высо-
кими напряжениями от искажений решетки.
Если продолжительность старения слишком велика, будут расти раз-
меры выделений и расстояния между ними, что вызывает снижение упроч-
пспия сплава. На фиг. 5.6 видпы выделения карбидов в фольге железа, про-
свечиваемой электронным пучком [501.
В. Упрочнение в результате закалки или облучения
Если нагреть металл до температуры, близкой к точке плавления, тер-
мически равновесная концентрация вакансий будет высока (разд. 4.13).
После быстрого охлаждения переохлажденные вакансии будут стремиться
конденсироваться в виде колоний вакансий или вакансионных дисков (вместо
Фиг. 5.7. Сидячие дислокационные
петли, образовавшиеся в результате
конденсации вакансий в закаленном
алюминии [78].
того, чтобы уходить на свободные поверхности). Если эти диски достаточно
велики, они будут сплющиваться (задача 5.4) и образовывать сидячие
дислокационные петли. На фиг. 5.7 показаны такие петли в закаленном
алюми нии.
К весьма похожим явлениям приводит облучение металлов заряженными
или незаряженными тяжелыми частицами. Когда металл облучают незаря-
женными а-частицами, он поглощает большие количества газообразного
гелия [6]. К такому же насыщению газом могут привести ядерные реакции.
www. vokb- la. spb. ru
www. vokb- la .spb. ru
140
Глава 5
Сидячие дислокационные петли, образующиеся из вакансий, созданных
закалкой или облучением, существенно препятствуют движению дислока-
ций. Ути петли создают направленные искажения решетки, что приводит
к возникновению полей внутренних напряжений с эффективным радиусом
действия, равным размеру петель. Кроме того, на скользящих дислокациях,
перерезающих петли, образуются пороги (разд. 4.8). Как будет показано
в разд. 5.4, это также может привести к упрочнению.
5.3. ДЕФОРМАЦИОННОЕ УПРОЧНЕНИЕ В МОНОКРИСТАЛЛАХ,
ОРИЕНТИРОВАННЫХ ДЛЯ ЕДИНИЧНОГО СКОЛЬЖЕНИЯ
Одной из наиболее важных задач теории дислокаций, которая до сих
пор решена далеко не полностью, является количественное описание дефор-
мационного упрочнения (наклепа). Хотя количественной теории деформа-
ционного упрочнения пока не существует, качественно можно описать мно-
гие характерные особенности этого явления.
Фи г. 5.8. Типичная кривая деформации для монокристалла меди, ориентированного»
для единичного скольжения и деформированного при комнатной температуре [28].
Исследование поведения отдельных дислокаций в кристаллах плотно-
упакованных металлов высокой чистоты при действии переменных напря-
жений очень малой амплитуды показывает, что напряжение трения решетки
не определяет ни предела текучести, ни деформирующего напряжения [931.
Следовательно, деформирующее напряжение определяется различными
видами взаимодействия дислокаций. В о. ц. к. кристаллах [221 и в ионных
солях [43] напряжение трения решетки может, одпако, играть существен-
ную роль.
Простейший случай представляет деформационное упрочнение чистых
пластичных г. ц. к. кристаллов в условиях единичного скольжения, когда
приведенное касательное напряжение по одной системе скольжения с под-
ходящей ориентировкой максимально (фиг.5.8) J). Согласно наблюдениям
Янга [941, дислокации начинают двигаться еще до наступления течения.
Винтовые отрезки этих дислокаций будут время от времени совершать
двойное поперечное скольжение (разд. 4.10). Его результатом должно быть
образование порогов на винтовых дислокациях, их торможение или полная
остановка и, как следствие, прекращение действия наиболее легко возбу-
ждаемых источников дислокаций. При обычных условиях испытания, когда
г) Обычно направления в кристалле представляют в виде стереографических проек-
ций точек пересечения этих направлений с большой «основной» сферой, в центре которой-
помещается кристалл. Есе кристаллографические направления в кристаллах с кубической
симметрией могут быть представлены на 1/24 круга стереографических проекций — сте-
реографическом треугольнике, который показан на фиг. 5.8 |6а].
www. vokb- la .spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
141
концы кристалла перемещаются с постоянной скоростью, упругое растяжение
•образца будет продолжаться и напряжение будет возрастать. При возраста-
нии напряжения приводятся в действие источники дислокаций с более высо-
ким напряжением старта и скорость двойного поперечного скольжения воз-
растает до тех пор, пока скорость введения в действие новых источников
дислокаций не станет достаточной для компенсации выхода дислокацион-
ных источников из строя. На этой стадии количество имеющихся подвижных
скользящих дислокаций достаточно для того, чтобы обеспечить скорость
пластической деформации, необходимую для перемещения концов кристалла
с заданной извне скоростью без дополнительного упругого растяжения.
При этом будет достигнут нижний предел текучести, при котором течение
происходит при кажущемся постоянстве напряжения. Для начала заметной
пластической деформации в кристаллах меди требуется около 106 см~* 2 * под-
вижных дислокаций. Если исходный кристалл весьма совершенный и плот-
ность дислокаций в нем гораздо ниже этого значения, имеет место интенсив-
ное размножение дислокаций в стадии деформации, предшествующей началу
течения [941.
В кристаллах железа, имеющих зуб и площадку текучести, еще до нача-
ла общего течения через значительную часть образца проходит фронт весьма
малой пластической деформации [68]. В кристаллах LiF в стадии, предше-
•ствующей течению, образуется некоторое количество полос скольжения [36].
Как только в кристалле появится нужное число подвижных дислокаций
и скорость образования эффективных источников дислокаций станет доста-
точной для поддержания этого числа на постоянном уровне, скольжение
будет продолжаться при малом возрастании приложенного напряжения
(фиг. 5.8). Это явление называется «легким скольжением» и наблюдается
в благоприятно ориентированных г. ц. к. и г. п. у. кристаллах, а также в кри-
сталлах некоторых ионных солей.
Но окончании этой стадии скольжение может осуществляться двумя
различными способами. В прочных ионных кристаллах LiF или MgO заро-
ждается небольшое число полос скольжения, которые разрастаются
в ширину путем двойного поперечного скольжения, наполняя дислокациями
недеформированные области кристалла, примыкающие к их краям. В этом
случае все скольжение сосредоточивается в узких участках на краях расши-
ряющихся полос скольжения, где плотность дислокаций возрастает от 104
до 108 сл1-2. В области кристалла внутри полосы скольжения в течение всего
времени ее распространения на недеформированные участки кристалла
•скольжение продолжаться не будет (фиг. 5.9). Деформация по этому способу
продолжается до тех пор, пока в кристалле есть недеформированные
области [43].
В металлических кристаллах «легкое скольжение» имеет несколько
иной характер: деформация более однородна и глубина отдельных линий
скольжения непрерывно возрастает 177] 4). При этих двух, казалось бы, раз-
личных видах деформации плотность дислокаций при увеличении пластиче-
ской деформации возрастает линейно [43, 44, 94] и, согласно формуле (4.3),
величина среднего свободного пробега дислокаций постоянна 2). Как видно
из табл. 5.1, средние свободные пробеги значительны и близки по величине
к длинам отдельных линий скольжения в г. ц. к. кристаллах, определенным
с помощью надежных измерений [77].
2) В опытах, описанных в работах [96*, 97*], наблюдалась другая картина —
в ходе легкого скольжепия сдвиг, как правило, не продолжается по тем плоскостям
(упрочнеппым), где оп уже имел место.— Прим. ред.
2) Основной вклад в деформацию при легком скольжении вносят дислокации, про-
шедшие по всему сечению кристалла и вышедшие на его поверхность [98*. 99*]; их коли-
чество ис определяется наблюдаемой экспериментально плотностью дислокаций, остав-
шихся в кристалле, поэтому оценка длины пробега по формуле (4.3) непригодна для
стадии легкого скольжения.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
142
Глава 5
Таблица 5.1
Средние пути свободного пробега дислокаций при легком
скольжении в различных кристаллах
Материал Средний путь свобод- ного пробега, ми Источник
LiF (1,1В [43]
MgO 0,42 [2]
NaCl 1,0 167]
Си 1,2 1941
Fe1) 0,8 144]
1) В железе не наблюдается легкого скольжения; его верхний „редел
текучести высок, однако Hci ранней стадии пластической деформации
средняя длина свободного пробега дислокаций в нем постппнна.
Единственными источниками упрочнения в указанных кристаллах,
если они ориентированы для единичного скольжения, являются дислока-
ционные диполи и подобные им дефекты, образующиеся в результате двой-
ного поперечного скольжения (фиг. 5.10). Диполи, как следует из фиг. 5.11,
Ф и г. 5.9. Различные стадии расширения полос скольжения в кристалле MgO, подвергну-
том сжатию.
Дислокации внутри полос выявляли путем травления.
очень похожи па сидячие дислокационные петли, образовавшиеся при облу-
чении. Они не обладают дальнодействующими полями напряжений, но вызы-
вают направленные искажения, которые эффективно блокируют движение
других дислокаций [35]. Значение коэффициента упрочнения 0/ = deldy
в этой области мозкот составить лишь 10-4б?, по обычно его величина оказы-
www.vokb-la.spb.ru
к
“Л
z Ч'-'
'Ч vokb-la.fepjj.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
143
вается несколько выше. Дислокационные диполи также являются основной
причиной необратимости скольжения по отдельным плоскостям в условиях
Плоскости поперечного
Ф и г. 5.10. Образование дислокационных диполей при двойном поперечном скольжении'
винтовых дислокаций.
Расстояние t между двумя плоскостями первичного скольжения настолько мало, что дислокации,
составляющие диполь, нс могут пройти одна мимо другой под действием приложенного напряжения-
легкого скольжения. Если после прохождения некоторой пластической
деформации снять напряжение, дислокации не смогут повторить свой путь
Фиг. 5.11. Дислокационные диполи’в магнии на стадии легкого скольжения [48].
в обратном направлении и лабиринт трехмерного клубка дислокаций, скреп-
ленных друг с другом множеством диполей, останется практически неизмен-
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
444
Глава 5
ным. Однако могут существовать более плотные группы дислокаций, при-
жатых напряжением к сильным препятствиям; после снятия напряжения
эти группы могут вызывать пластическую деформацию в обратном направ-
лении и несколько облегчать деформирование в противоположном направ-
лении. Это может явиться причиной эффекта Баушингера, который мы под-
робнее обсудим в разд. 5.8.
Диполи, представленные на фиг. 5.11, образуются и при легком сколь-
жении в полосах и при однородном легком скольжении. Однако в послед-
нем случае, для которого характерно, как правило, более низкое напряже-
ние трепия, распределение диполей будет менее правильным (фиг. 5.12).
Ф и г. 5.12. Клубки дислокаций на стадии легкого скольжения [47].
Легкое скольжение заканчивается, когда плотность дислокаций на пер-
вичной системе скольжения становится критической х). При однородном
скольжении плотность дислокаций постепенно увеличивается, достигая
критического значения; при деформации путем распространения полос кри-
тической является плотность дислокаций в полосе. В обоих случаях после
достижения критической плотности дислокаций во всем объеме кристалла
начинается скольжение по другим системам скольжения, пересекающим
первичную систему, и скорость упрочнения в малом интервале значений
деформации значительно возрастает.
На процесс единичного скольжения влияют многие факторы, из которых
наиболее значительным является ориентировка кристалла. Если ориенти-
ровка такова, что по нескольким системам действуют одинаковые высокие
напряжения, скольжение начнется одновременно во всех этих системах.
Следовательно, с самого начала деформирования дислокации вынуждены
перерезать друг друга, и будут возникать сидячие дислокации и другие
линейные дефекты, о которых говорилось в разд. 4.8 и 4.9. Результатом этого
является быстрое упрочнение. Различие в упрочнении при единичном сколь-
жении и скольжении по пересекающимся системам иллюстрирует фиг. 5.13
на примере двух алюминиевых кристаллов.
Если кристалл имеет размеры, сравнимые с длиной среднего свободного
пробега дислокаций, значительная часть дислокаций будет покидать кри-
сталл. Пленки на поверхности кристалла препятствуют выходу дислокаций.
1) Окончание легкого скольжения, как правило, определяется началом скольжения
по вторичным системам [34].— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
145
Накопление дислокаций и образование скоплений приводят к прекращению
легкого скольжения и оказывают влияние на последующее упрочнение (что
будет обсуждаться в разд. 5.7, Б).
Введение легирующих элементов, которые образуют твердый раствор,
как правило, повышает сопротивление скольжению и удлиняет стадию
Фиг. 5.13- Медленное и быстрое
упрочнение двух кристаллов алюми-
ния при комнатной температуре [54].
легкого скольжения. Часто это бывает вызвано понижением энергии дефекта
упаковки, т. е. увеличением ширины дислокаций (фиг. 5.14); это должно при-
водить к затруднению двойного поперечного скольжения, что и происходит на
самом иеле: в сплавах наблюдались глубокие линии скольжения (разд. 4.10)
Фиг. 5.14. Расщепленные ди-
слокации на стадии легкого
скольжения в кристалле Си —
7% Л1 [40J.
Ф и г. 5.15. Полосы сброса в монокристалле
алюминия на стации легкого скольжения.
При единичном скольжении могут образоваться протяженные группы
дислокаций противоположного знака, расположенные перпендикулярно
плоскости скольжения; из этих групп в свою очередь образуются полосы
(фиг. 5.15), которые очень похожи на полосы сброса (разд. 4.12). Поскольку
расстояние между этими полосами всегда несколько больше, чем средняя
длина свободного пробега дислокаций, полосы вызывают небольшое упроч-
нение [57].
J0—92
www.vokb-la.spb.ru
&
v.'v.'v.1. vokb-la.spb.ru
146
Глава 5
5.4. ДЕФОРМАЦИОННОЕ УПРОЧНЕНИЕ ПРИ
МНОЖЕСТВЕННОМ СКОЛЬЖЕНИИ
«Легкое скольжение» заканчивается, по-видимому, тогда, когда кри-
сталл наполнен дефектами типа диполей и связанными с ними трехмерными
клубками дислокаций, что приводит к возникновению скольжения (но край-
ней мере в областях малого размера) по системам, пересекающим первичную
систему. Наступает быстрое упрочнение (фиг. 5.8). С этой стадии начинается
деформация о. ц. к. кристаллов, которые, как правило, не имеют стадии
Фиг. 5.16. Дислокации в тонкой чешуйке деформированного кристалла кремния [49].
Рентгеновская дифракционная топограмма (на просвет), полученная путем фотографирования части
кристалла при отражении рентгеновских лучей от определенных кристаллографических плоскостей.
Дислокации становятся видимыми благодаря различной рассеивающей способности участков деформи-
рованной решетки в окрестности дислокации.
легкого скольжения, и г. ц. к. кристаллов, ориентированных для множе-
ственного скольжения. Эксперименты с наложением периодического закручи-
вания на растяжение кристаллов показали, что для быстрого упрочнения
характерно скольжение по пересекающимся системам даже в кристаллах,
ориентированных для единичного скольжения, когда основная часть дефор-
мации все еще осуществляется путем скольжения по первичной системе [761.
По-видимому, этот вторичный сдвиг несколько уменьшает концентрацию внут-
ренних напряжений от групп первичных дислокаций, образовавшихся
на ранних стадиях деформации. Однако с наступлением вторичного сколь-
жения начинается пересечение дислокаций первичной системы, которое,
с одной стороны, приводит к образованию специфических линейных дефек-
тов, или хвостов г), а с другой — к образованию сидячих отрезков дисло-
каций на линии пересечения плоскостей скольжения (разд. 4.9). Сидячие
дислокации крепко связывают плотные клубки дислокаций в устойчивые
сетки, которые становятся неподвижными. Нерегулярные дислокационные
конфигурации, обнаруженные в деформированном кристалле кремния
(фиг. 5.16), по-видимому, образовались именно таким способом.
Часто встречаются дислокационные конфигурации и другого типа —
ячеистая структура (фиг. 5.17). Наблюдения показали, что в железе такая
*) Образование хвостов происходит в результате движения дислокаций с порогами.—
Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов 147
структура образуется в основном при высоких деформациях и повышенных
температурах 144] и что при низких температурах (ниже комнатной) для
образования ячеистой структуры необходимы еще более высокие деформации.
Это говорит о том, что образование ячеек связано с быстрым протеканием
процессов возврата, которые часто наблюдались при комнатной темпера-
туре и даже при температурах ниже комнатной (в случае больших дефор-
маций).
Измерение плотности дислокаций по ямкам травления показывает, что
на стадии быстрого упрочнения плотность дислокаций с увеличением плас-
тической деформации возрастает быстрее, чем линейная функция, поэтому
Фиг. 5.17. Ячеистая структура алюминия после
обжатия на 10% при 77° К [81].
Ф и г. 5.18. Образование об-
ластей с различной ориенти-
ровкой следов скольжения
в кристалле меди, растяну-
том в паправлепии [110] иа
-10% [73].
средняя длина свободного пробега скользящих дислокаций непрерывно
уменьшается [94]. Этот вывод согласуется с данными [75] об уменьшении
длины линий скольжения на этой стадии деформации.
С увеличением плотности клубков дислокаций взаимодействие между
дислокациями становится все сильнее и все труднее вводить в клубки допол-
нительные дислокации.
Таким образом, существует несколько явлений, которые могут приво-
дить к подъему кривой зависимости деформирующего напряжения от плас-
тической деформации. Мы уже говорили об упрочнении отдельных плоско-
стей скольжения на ранних стадиях деформации дислокационными диполями,
образованными в основном в результате двойного поперечного скольжения
винтовых дислокаций. Вызываемое диполями упрочнение, хотя и является
сильным в их окрестности, не будет сказываться на величине деформирую-
щего напряжения, пока весь объем кристалла не заполнится клубками
дислокаций первичной системы. Второй причиной упрочнения являются
линейные дефекты, или дипольные хвосты, образовавшиеся при пересечении
винтовых дислокаций. Если скорость распада таких дефектных конфигура-
ций на точечные дефекты меньше скорости их образования (распад требует
диффузии точечных дефектов и может происходить лишь при температурах
выше половины абсолютной температуры плавления), то будет повышаться
свободная энергия кристалла и, следовательно, внешние силы должны будут
совершать дополнительную работу. Нетрудно показать, что вклад этого
эффекта в величину прочности при сдвиге (деформирующее напряжение)
10*
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
148
Глава 5
должен быть значительным (задача 5.5). В то же время непосредствен-
ные наблюдения показывают, что плотность дипольных линейных дефектов
составляет лишь небольшую долю от плотности всех наблюдавшихся дисло-
каций т). Плотность дислокаций определяет запасенную энергию деформа-
ции [20], которая составляет лишь 10% всей работы пластической дефор-
мации. Таким образом, действительный вклад в работу пластической дефор-
мации от пересечения винтовых дислокаций невелик. Следовательно, предло-
женный выше механизм упрочнения за счет вытягивания дипольных хвостов
действует довольно редко. Это же подтверждают наблюдения характера
скольжения. При (растяжении в направлении высокой симметрии часто
наблюдается разделение кристалла на области, в каждой из которых дей-
ствует какая-либо одна система скольжения. В качестве примера пред-
ставлена картина следов скольжения для кристалла меди, растянутого
в направлении [110] (фиг. 5.18).
Третьим и одним из наиболее существенных механизмов деформацион-
ного упрочнения является взаимное блокирующее действие полей напряже-
ний дислокаций. Этот эффект можно оценить, рассматривая взаимодействие
дислокаций при их движении в параллельных плоскостях скольжения.
Величину этого взаимодействия характеризуют кривые на фиг. 4.15. Исходя
из формулы максимального касательного напряжения
= Gb
С 2л (1 — v) t ’
создаваемого одной краевой дислокацией в параллельной плоскости сколь-
жения, отстоящей от нее на расстояние t (з а д а ч а 5.6), и соответствующей
формулы для силы взаимодействия между параллельными дислокациями,
можно сделать вывод, что расстояние между дислокациями противополож-
ного знака составляет постоянную долю среднего расстояния между дисло-
кациями. Следовательно, деформирующее напряжение должно быть обратно
пропорционально среднему расстоянию А—1/2 между дислокациями (Л плот-
ность дислокаций), т. е.
(5-8)
<Г~КЛ. (5.9)
Такой характер упрочнения был впервые рассмотрен Тейлором (841.
Предельной формой клубков дислокаций является образование свобод-
ных от дислокаций ячеек, окруженных стенками с высокой плотностью дисло-
каций (фиг. 5.17). Теперь для перемещения дислокаций необходимо, чтобы
они продавливались через промежутки в стенках ячеек. Если I — размер этих
промежутков, то напряжение, которое сможет протащить дислокацию через
промежуток, определяется соотношением (5.7). Если в стенках ячеек сосре-
доточена большая часть всех имеющихся дислокаций, а стенки имеют тол-
щину больше Л_1/з, то предел текучести при сдвиге снова будет определяться
выражением типа (5.9). Такой характер упрочнения был рассмотрен Куль-
ман-Вильсдорф [46].
По-видимому, именно два последних механизма обеспечивают быстрое
линейное упрочнение г. ц. к. кристаллов, при котором деформирующее
напряжение возрастает в 50 раз по мере увеличения плотности дислокации
(фиг. 5.19) [121. Эти механизмы также определяют деформационное упроч-
нение о. ц. к. металлов при деформациях выше 10%. Результаты измерений
плотности дислокаций в прозрачных для электронов металлических фоль-
гах, приготовленных из деформированных образцов, подтвердили наличие
линейной зависимости деформирующего напряжения от корня квадратного
из плотности дислокаций на стадии быстрого упрочнения [5, 44].
J) Разрешающая способность электронного микроскопа не позволяет наблюдать
диполи с расстоянием между дислокациями порядка межатомного.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
149
Зависимость плотности дислокаций от деформации может быть различ-
ной у кристаллов различной структуры; на нее могут влиять процессы воз-
врата, температура и энергия дефекта упаковки (определяющая ширину
расщепленных дислокаций в г. ц. к. и г. п. у. кристаллах). При постоян-
стве среднего свободного пробега дислокаций, например в железе [441 1),
Фиг. 5.19. Низкий предел текучести
и быстрое линейное упрочнение мо-
нокристалла меди при температуре
кипения гелия [12J.
Фиг. 5.20. Очень быстрое упрочне-
ние в монокристалле вольфрама,
деформированном при —74° С [3].
из уравнения зависимости сдвиговой деформации от площади, пройденной
дислокациями, и их плотности [соотношения (4.3) и (5.9)] следует, что кривая
упрочнения является параболой с постепенно уменьшающимся наклоном
0=|=W1/2- (5.10)
где Pi — постоянная. Примерно такой вид имеет кривая упрочнения кри-
сталла вольфрама (фиг. 5.20). Если величина среднего свободного пробега
есть постоянная, кратная а — средним расстояниям между дислокациями
в клубке, формула (4.3) принимает вид
-у = ос6|/Л. (5.11)
Из соотношений (5.8), (5.9) и (5.11) следует, что коэффициент упрочнения
равен
(5.12)
где р2 — постоянный множитель. Это приближение описывает характер
упрочнения г. ц. к. кристаллов в стадии быстрого упрочнения, следующей
за «легким скольжением» при низких температурах, когда влияние возврата
пренебрежимо мало (фиг. 5.8 и 5.19).
Кульман-Вильсдорф [461 показала, что коэффициенты упрочнения
многих г. ц. к. и о. ц. к. металлов обычно составляют от G7150 до G/700 для
условий, при которых справедливо приведенное выше описание. Иногда
скорости упрочнения о. ц. к. кристаллов и г. ц. к. поликристаллов на началь-
*) Здесь мы не рассматриваем явление легкого скольжения, при котором все упроч-
нение, по-видимому, создают дислокационные диполи.
www. vokb- la .spb. ru
150
Глава 5
ной стадии упрочнения оказываются гораздо большими — порядка G/50
(см., например, кривую упрочнения монокристалла вольфрама на фиг. 5.20)
Фиг. 5.21. Кривые деформации для металлических кристаллов [74].
(задача 5.7). Высокая скорость начального упрочнения вольфрама
Фиг. 5.22. Кривые деформации для
монокристаллов тантала при различных
температурах (не зависят от ориенти-
ровки) [62].
Кристаллы растягивались со скоростью сдви-
говой деформации 8 -105 сек~г.
числа подвижных дислокаций («истоще-
нием» источников), поэтому картина
деформационного упрочнения отличает-
ся от приведенной выше [3].
В решетках, где существует только
одна система легкого скольжения, на-
пример в г. п. у. структуре, пересече-
ние дислокаций происходит редко и об-
разуется мало сидячих отрезков дисло-
каций. Вследствие этого дислокационные
клубки не могут стабилизироваться
и плотность дислокаций в них почти
совсем не увеличивается. Легкое сколь-
жение может продолжаться вплоть до
очень больших деформаций (порядка
500%). Однако происходит непрерывное
образование диполей, что приводит
к упрочнению, характерному для лег-
кого скольжения. Это существенное
различие в интенсивности деформацион-
ного упрочнения г. ц. к. и г. п. у. кри-
сталлов наглядно показывает фиг. 5.21,
взятая из книги Шмида и Боаса [74].
У переходных о. ц. к. металлов
высокой чистоты и у ионных солей
деформирующее напряжение имеет
высокие начальные значения и резко
возрастает при понижении температуры (фиг. 5.22) и увеличении скорости
деформации. По-видимому, это объясняется высокими напряжениями тре-
www. vokb- la .spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
151
ния решетки, чем указанные материалы отличаются от плотноупакованных
о. ц. к. металлов 1221. Хотя у пластически деформированных переходных
о. ц. к. металлов и ионных солей наблюдается затухание при амплитудах
деформации 10-’ и одновременно понижается модуль Юнга [18, 33], можно
показать, что эти данные согласуются с представлением о высоких напря-
жениях трения решетки.
Трехмерные клубки дислокаций, содержащие сидячие дислокационные
отрезки и диполи, необратимы и образуют устойчивую конфигурацию при
низких температурах, когда диффузия идет с пренебрежимо малой скоро-
стью. Таким образом, при снятии приложенного напряжения обратное
движение дислокаций снимает лишь очень небольшую долю пластической
деформации (см. также разд. 5.8). Следовательно, пластическое деформи-
рование — процесс необратимый; полностью восстановить исходное состоя-
ние Кристалла можно только посредством отжига.
5.5. РОЛЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ АКТИВАЦИИ В ДЕФОРМАЦИОННОМ УПРОЧНЕНИИ
Неоднократно отмечалось, что пластическая деформация в основном
не зависит от температуры. Представленная в двух предыдущих разделах
схема деформационного упрочнения согласуется с этим утверждением.
Фиг. 5.23. Изменение деформирующего напряжения монокристалла меди при измене-
нии температуры и скорости деформации при растяжении со скоростью 1,1 ЛСН’сек-1 [8|.
В действительности же в различных интервалах температур деформирующее
напряжение зависит от температуры. В качестве примера такой зависимости
представлены кривые напряжение — деформация для монокристаллов тан-
тала при различных температурах [62] (фиг. 5.22) и график изменения дефор-
мирующего напряжения для кристаллов меди при изменении скорости
деформации [8] (фиг. 5.23). В разд. 4.14 отмечалось, что понижение темпе-
ратуры и значительное увеличение скорости деформации, как правило,
приводят к возрастанию деформирующего напряжения. Существование
www.vokb-la.spb.ru
152
Глава 5
зависимости деформирующего напряжения от скорости деформации и тем-
пературы свидетельствует о том, что отдельные стадии процесса пластической
деформации являются частично термически активируемыми. Рассмотрим
несколько примеров.
А. Зависимость деформирующего напряжения от скорости деформации
и температуры
1. Пересечение дислокации. Следуя Коттреллу [231, рассмотрим влия-
ние термической активации на движение дислокаций по пересекающимся
системам скольжения; при таком перемещении дислокации, принадлежащие
Фиг. 5.24.
а — пересечение скользящей дислокации с дислокацией леса в плоскости скольжения; б конфигура-
ция, образующаяся непосредственно перед взаимным пересечением цислокаций и обладающая высокий
энергией.
различным системам, должны пересекать друг друга. На фиг. 5.24, а пока-
зана дислокация, которая повисла на «деревьях» леса дислокаций, про-
низывающих плоскость скольжения. Если процесс пересечения предусматри-
вает образование только простых порогов на дислокациях леса (разд. 4.8),
то при перемещении скользящей дислокации от положения, обозначенного
сплошной линией, до положения, обозначенного пунктиром, энергия кри-
сталла возрастает на величину Uj [определяемую соотношением (4.19)1.
Может оказаться, что, проходя расстояние 6. разделяющее эти два положе-
ния, дислокация будет вынуждена несколько растянуться и выгнуться или
выгнуть дислокацию леса, как показано па фиг. 5.24, б. Таким образом,
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
153
дислокационной линии приходится проходить через конфигурации с более
высокой энергией, отличающиеся от средней энергии конфигураций на вели-
чину пг. Однако энергия активации меньше, чем н,, что вытекает из сле-
дующих рассуждений. Со стороны искривленного участка на скользящей
дислокации (фиг. 5.24, б) па дислокацию леса действует сила
FT = 2Т sin 0 = Gb2 sin 0. (5.13)
Следовательно, в процессе пересечения будет совершаться работа
Л’т6, и энергия активации уменьшится на эту величину. При малых значе-
ниях угла 6 его можно выразить через радиус R кривизны дислокации,
выгнутой между деревьями; тогда получим следующее выражение для энер-
гии активации:
на = нг — T16/R. (5.14)
Радиус кривизны дислокации R можно выразить через результирующее
касательное напряжение на плоскости скольжения о — о0 с помощью соот-
ношения (4.41). Величина о0 представляет не только трение решетки,
но и структурное упрочнение, вызванное образованием твердого раствора
или образованием выделений, а также — в некоторой степени — деформа-
ционное упрочнение. При этом энергия активации равна
иа = ui — (о — о0) Ыб = lit — (и — о0) к. (5.15)
Величина и=Ь1б получила название активационного объема.
Если, перерезав одну дислокацию леса, скользящие дислокации смогут
при своем движении замести площадь А (заштриховано на фиг. 5.24, а),
тогда скорость сдвиговой деформации у при N активных пересечениях
в каждом элементе объема кристалла будет равна х)
у = bANv exp [ - , (5.1 б)
где v — характеристическая частота колебаний скользящей дислокации
(задача 4.38). Из последнего соотношения можно выразить касательное
напряжение, действующее в плоскости скольжения:
о = о(0)-— 1п^ ,
v Y (5-17)
где
о (0) -- о0 (у) + щ!о
есть деформирующее напряжение при абсолютном нуле. Выражение (5.17)
показывает, что деформирующее напряжение должно возрастать при умень-
шении температуры и (значительно менее сильно) при увеличении скорости
деформации.
Таким образом, хотя термическая активация и не может привести
к образованию дислокаций, опа помогает им преодолевать препятствия.
Соотношение (5.17) показывает, что скорость деформации можно увеличить,
повысив либо касательное напряжение в плоскости скольжения, либо тем-
пературу. На основании других дислокационных моделей могут быть выве-
дены соотношения для скорости термически активируемой пластической
деформации, очень похожие на соотношение (5.1G). Ниже мы обсудим
несколько наиболее важных случаев.
1) Строго говоря, число активных пересечений дислокаций в единице объема N.
а также частота колебаний дислокационного сегмента v возрастают при увеличении
напряжения. Величины N и v также зависят от температуры, поскольку последняя
влияет на дислокационную структуру. Об этих эффектах следует помнить при сопоставле-
нии результатов, полученных на образцах, для которых значения пластической дефор-
мации и температуры испытания сильно различаются.
www. vokb- la .spb. ru
154
Глава 5
2. Преодоление дислокацией точечных препятствий. В металлах про-
мышленной чистоты наиболее типичным термически активируемым процес-
сом является преодоление дислокацией близкодействующих внутренних
напряжений от растворенных атомов. По-видимому, этот механизм сущест-
вен для упрочнения многих предположительно чистых материалов (в каче-
стве примера см. работу Джонстона [42]).
3. Поперечное скольжение винтовых дислокаций. Поперечпое скольже-
ние винтовых дислокаций позволяет им обходить области действия макси-
мальных внутренних напряжений и делает возможным продолжение сдвига
по первичным плоскостям скольжения, в связи с чем оно может определять
Ф и г. 5.25. Следы поперечного
скольжения на поверхности
кристалла меди после деформа-
ции на 65% [57].
Фиг. 5.26. Типы зависимостей энергии
активации от напряжения для раз-
личных механизмов.
1 — поперечное скольжение дислокаций,
испущенных источником Франка — Рида в со-
вершенном кристалле; 2 — блокирование
растворенными атомами; з — диффузия;
4 — перерезание леса дислокаций.
скорость деформации. Для поперечного скольжения расщепленных винто-
вых дислокаций в плотноупакованных металлах на небольшом отрезке
должна произойти рекомбинация *), восстанавливающая единичную винто-
вую дислокацию, которая затем на плоскости поперечного скольжения снова
расщепляется. Таким образом, энергия активации представляет в основном
энергию, необходимую для сжатия ленты дефекта упаковки. На поздних
стадиях деформации г. ц. к. кристаллов скорость деформационного упроч-
нения непрерывно уменьшается и кривая напряжение — деформация при-
обретает приблизительно параболическую форму. По-видимому, это объяс-
няется широко развитым термически активируемым поперечным скольже-
нием, которое связывает друг с другом отдельные линии скольжения
(фиг. 5.25). Образующиеся глубокие следы скольжения, называемые поло-
сами скольжения, являются результатом объединения отдельных линий
скольжения.
4. Эффекты возврата. В процессе деформационного упрочнения неко-
торые менее устойчивые дислокационные конфигурации могут распадаться
Г) Это объясняется тем, что частичные дислокации, образующиеся при расщепле-
нии винтовой дислокации, не являются винтовыми и связаны лентой дефекта упаков-
ки.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Таблица 5.2
Оценка порядка величины членов идеализированного уравнения для скорости деформации е = ехр ( —ы (ff)/fcT)’)
Механизмы Частота Заметаемая площадь Am Число источников на 1 см3 пт Энергия активации при низком напряжении «о Типичный порядок величины, эя Локальное напряжение, соответству- ющее нуле- вой энергии активации, по Источник
Пересечение дислокаций, образование порогов vD6A1/s 1/Л Л3/2 С63/10 1 С6Л1/2/10
Блокирование напряжением от рас- 1 творенпых атомов > Эффект различия модулей J vjj&A1'2 (Ь/с’^2 « св/&3 < сг-здь/й <63ДС/10 1 1 GA6/6 ДС/10 [25] [31]
Поперечное скольжение винтовых дис- локаций в структуре: о.ц.к. | г.ц.к. J » vnbAv2 1/Л ДО J2 Л3/2 <(G6»/10) Д/О/а Gb^dJlO 1 1-10 — [33]
Миграция вакансий при старении, воз- врате и рекристаллизации Vo 62 exp (— hf/kT} Gb3/10 1 [15]
ЬЯ
1) b—диаметр атома, или длина вектора Бюргерса; cs-атомная концентрация растворенных атомов; d—размер зерна; ds=Gb2/10a.q—ширина ленты дефекта упа-
ковки при отсутствии напряжения; G—модуль сдвига; Л—плотность дислокаций; > 'E/'p/b—дебаевская частота; а—приложенное касательное напряжение;^—
оптальпия образования вакансии.
www.vokb-la.spb.ru
156
Глава 5
под влиянием взаимодействия полей напряжений отдельных дислокаций
и термического возбуждения. Процесс возврата требует диффузии на неболь-
шие расстояния; его энергия активации того же порядка, что и для процесса
самодиффузии.
5. Рекристаллизация. Протекание рекристаллизации одновременно
с деформированием может обеспечить постоянство скорости деформации при
постоянном напряжении. Это один из процессов, приводящих к установив-
шейся ползучести при повышенных температурах. Его скорость опреде-
ляется скоростью переползания краевых дислокаций, т. е. этот процесс
зависит от диффузии.
Энергия активации рассмотренных процессов обычно понижается при
возрастании касательной или нормальной компоненты приложенного напря-
жения. Схематически эта зависимость представлена на фиг. 5.26. Табл. 5.2
представляет сводку типичных значений энергии активации и других харак-
теристик этих механизмов.
Б. Пеустановившаяся ползучесть при очень низких температурах
Одним из проявлений частично термически активируемого движения
дислокаций является переходная ползучесть металлов (фиг. 1.4). При низко-
температурном деформационном упрочнении кристалла, когда напряжение
Ф и г. 5.27. Схематическое представле-
ние деформации металла при абсолют-
ном пуле и температуре Т.
Ф и г. 5.28. Неустановившаяся ползучесть
в меди при напряжении 6 кг/мм2 [91].
сг0 непрерывно возрастает при увеличении пластической деформации, для
обеспечения постоянной скорости деформации необходимо поддерживать
постоянное полное напряжение на плоскости скольжения о — сг0. Если
быстро изменить условия испытания и начать проводить их не при постоян-
ной скорости деформации, а при постоянном приложенном напряжении,
то скорость деформации будет непрерывно уменьшаться во времени, посколь-
ку внутренние напряжения, а следовательно, и энергия активации процесса
пересечения дислокаций будут увеличиваться при возрастании пластиче-
ской деформации на величину Лу х). В этом случае скорость деформации пол-
зучести равна
у —Сехр{— ^-Го-оп^п + Л7)], | t (518)
*) Пересечение дислокаций не является основным механизмом упрочнения при
неустановившейся ползучести; ее скорость могут определять и другие механизмы, кото-
рые обсуждались выше.
www. vokb- la .spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
157
где
С = bANv.
В качестве иллюстрации рассмотрим фиг. 5.27. Верхняя кривая пред-
ставляет зависимость касательное напряжение—сдвиговая деформация при
абсолютном нуле, нижняя — при температуре Т. Если перейти к испыта-
нию с постоянным напряжением а при деформации у0, то добавочная дефор-
мация ползучести Л у будет продолжать упрочнять образец на величину 0 Ду.
Учитывая это, можно с помощью фиг, 5.27 переписать формулу (5.18) в сле-
дующем виде (задача 5.8):
у = Сохр Г-^-1п-Д-]. (5.19)
L То J
Упростив и проинтегрировав это выражение, получим соотношение, опре-
деляющее деформацию ползучести Ду (задача 5.9) (63]:
Дт = g 1» (1 + Же ) = «(т. в) In [1 +Tj' ] (5.20)
Подобная логарифмическая неустановившаяся ползучесть при очень низких
температурах (составляющих небольшую долю абсолютной температуры
плавления) наблюдалась у многих пластичных металлов [69]; в качестве
примера на фиг. 5.28 приведены кривые ползучести меди (92].
5.6. ЗАПАСЕННАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ
При пластической деформации кристалла повышается его температура;
большая часть работы деформации превращается в тепло. Измерения коли-
чества тепла, выделившегося в процессе пластической деформации [30, 85],
показали, что при деформациях свыше 10% лишь 10% работы деформации
переходит в энергию, накапливаемую в металле, остальные 90% рассеи-
ваются в тепло. Почта всю энергию, запасенную в кристалле, составляет
энергия деформации, вызванной дислокациями, которые образовались при
деформационном упрочнении (201. Энергия точечных дефектов, образовав-
шихся в результате пересечения дислокаций, составляет небольшую долю
всей запасенной энергии.
Выяснение механизма этого поглощения энергии пластической деформа-
ции представляет фундаментальную проблему, поскольку без ее решения не-
возможна успешная разработка количественной теории деформационного уп-
рочнения. Решение этой проблемы связано с анализом рассеяния упругой
энергии колеблющимися дислокациями при их движении в флуктуирую-
щем поле внутренних напряжений, вызываемых другими дислокациями.
Когда, двигаясь в кристалле, дислокация преодолевает область высоких
внутренних напряжений и попадает в область их минимума, она может
•быстро колебаться, смещаясь вперед и назад под действием внешних и внут-
ренних напряжений. Теоретические расчеты упругой энергии, рассеиваемой
колеблющимися дислокациями в кристаллах, обладающих низкими напря-
жениями трения (например, в г. ц. к. металлах [64]), показывают, что
потери энергии будут очень малы, если дислокация только колеблется,
не взаимодействуя с рельефом внутренних напряжений. В действительности
же впадины и выпуклости рельефа внутренних напряжений обусловлены
положением полей других дислокаций, которые интенсивно взаимодействуют
с колеблющейся дислокацией (они сами при этом начинают колебаться)
и рассеивают ее кинетическую энергию по решетке. Таким образом, кинети-
ческая энергия первичной колеблющейся дислокации будет рассеиваться
в окрестности плоскости скольжения, что приведет к увеличению амплитуды
колебаний решетки и, как следствие, к повышению температуры. В кристал-
www.vokb-la.spb.ru
158
Глава 5
лах с высоким напряжением трения (например, в о. ц. к. металлах) простое
перемещение дислокации в совершенной решетке является диссипативным
процессом.
Для многих металлов скорость накопления энергии уменьшается при
увеличении пластической деформации и при высоких значениях этой дефор-
мации может стать равной нулю, т. е. наступит насыщение. Момент насы-
щения соответствует переходу к постоянству деформирующего напряжения.
По-видимому, насыщение является результатом достижения постоянной плот-
ности дислокаций, которая соответствует динамическому равновесию между
размножением дислокаций и их аннигиляцией, происходящих при встре-
чах дислокации с противоположными знаками. В этих условиях работа
деформации преобразуется в тепло и при взаимном уничтожении дислока-
ций и при объединении их в диполи, обладающие низкой энергией.
5.7. РОЛЬ БЕЗДИФФУЗИОННЫХ ПРЕВРАЩЕНИИ. ПОВЕРХНОСТНЫХ
ПЛЕНОК И ГРАНИЦ ЗЕРЕН В ДЕФОРМАЦИОННОМ УПРОЧНЕНИИ
Наличие препятствий движению дислокаций может приводить к повыше-
нию плотности дислокаций и, следовательно, оказывать влияние на интенсив-
ность упрочнения. К числу таких препятствий относятся границы зерен, а так-
же полосы или пластины, образовавшиеся в результате бездиффузионных пре-
вращений, например при двойниковании или мартенситном превращении..
А. Бездиффузионные превращения
Эффект упрочнения будет велик, если расстояние между пластинами,
образовавшимися в результате бездиффузионных превращений, по
порядку величин меньше или равпо расстоянию между другими
препятствиями — границами субзерен, дислокациями леса, отрезками сидя-
чих дислокаций, растворенными атомами и т. п. В противном случае упроч-
нение мало. В г. п. у. кристаллах, в которых обычно не наблюдается сколь-
жения по пересекающимся плоскостям, величина среднего свободного пробега
дислокаций может быть порядка размера кристалла. В этом случае образо-
вание двойников на плоскостях пирамиды должно приводить к заметному
упрочнению. В мартенсите экспериментально наблюдаемое упрочнение
не зависит от размеров мартенситных пластин, а является результатом
образования твердого раствора и наличия высокого напряжения трения
самой объемноцентрированной тетрагональной решетки мартенсита. Это
установили Уинчелл и Коэн [89], исследуя причину низкой твердости желе-
зоникелевого мартенсита.
Б. Поверхностные пленки
В монокристаллах г. п. у. и г. ц. к. металлов, ориентированных для
единичного скольжения, величина среднего свободного пробега дислокаций
часто бывает порядка размеров поперечного сечения кристалла, т. е. — 1 мм
(разд. 5.3). В подобных случаях присутствие твердого поверхностного слоя,
например пленки окисла, может препятствовать выходу дислокаций
на поверхность и привести к тому, что при деформации плотность дислока-
ций будет возрастать несколько быстрее, чем в кристалле без поверхностной
пленки. В результате кристалл с пленкой будет упрочняться более интенсивно.
Существование этого явления было продемонстрировано многими исследо-
вателями. Гарстон и др. [34] изучали поведение двух одинаковых кристаллов
меди, один из которых был покрыт слоем хрома толщиной 4«10-4 см.
Из фиг. 5.29 видно, что эти образцы упрочняются по-разному. На фиг. 5.30
представлено скопление краевых дислокаций под покрытием у. поверх-
www. vokb- la .spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
159
ности кристалла фтористого лития. Привести к заметным механическим
эффектам эти скопления смогут лишь в том случае, если вызовут повыше-
ние плотности дислокаций в гораздо большем объеме, чем подповерх-
ностный слой.
На более поздних стадиях деформации, когда возрастает плотность
дислокаций в результате их пересечения и длина среднего свободного пробега
Фиг. 5.29. Влияние тонкого
слоя хрома на упрочнение кри-
сталла меди [34].
1 — слой хрома толщиной 10—* слЦ
2 — без покрытия.
Фиг. 5.30. Скопление дислока-
ций под поверхностным слоем
в кристалле LiF [87].
становится гораздо меньше, чем размеры поперечного сечения кристалла,
влияние поверхностных слоев сильно уменьшается, однако полностью
не исчезает.
В. Границы зерен
В поликристалле отдельные зерна разделены границами. В общем
случае строение границы зерна в реальном поликристалле гораздо сложнее,
чем строение границ наклона и кручения, рассмотренных в предыдущей
главе. Если граница разделяет два кристалла с резко различной ориентиров-
кой, обычно не имеет смысла описывать ее дислокационной моделью,
поскольку дислокации были бы настолько близко расположены друг к другу,
что их нельзя было бы различить. Это наглядно иллюстрирует пузырьковая
модель плотноупакованной решетки (фиг. 5.31). В малоугловой границе
можно различить отдельные дислокации, в высокоугловой — нельзя. По этой
причине высокоугловые границы часто представляют в виде тонких пере-
ходных слоев с сильным нарушением порядка, напоминающих по свойствам
жидкость или стекло.
Одним из наиболее важных свойств высокоугловой границы является
ее способность тормозить процесс скольжения в отдельных зернах. Наличие
пространственной разориентировки плоскостей скольжения по разные сторо-
ны высокоугловой границы мешает дислокациям проходить через нее. Следо-
вательно, в металлах с четко определенными системами скольжения процесс
скольжения в областях порядка размера зерен обязательно должен быть
прерывистым. Естественно предположить, что при возрастании напряжения,
приложенного к поликристаллу, скольжение будет начинаться в зернах
с благоприятно ориентированными системами скольжения. Однако границы
таких (мягких) зерен будут блокировать это скольжение. Накопление сколь-
жения у границ приведет к концентрации напряжений около границы
www. vokb- la .spb. ru
4 , ' >
vfvfvi.vokb-la.spb.ru
160
Глава 5
зерна, что сильно помогает внешнему напряжению приводить в действие
менее благоприятно ориентированные системы скольжения.
Во многих случаях ограничения, накладываемые на скольжение в дан-
ном зерне со стороны окружающих зерен, приводят к множественному
Фиг. 5.32. Четыре системы следов
скольжения в зерне деформированного
алюминия [13].
Фиг. 5.31. Малоугловая (а) и высоко-
угловая (5) границы зерен в слое мыль-
ных пузырей.
скольжению в данном зерне, как показано на фиг. 5.32, где можно обна-
ружить действие четырех независимых систем скольжения (разд. 6.5).
В результате происходит интенсивное скольжение по пересекающимся систе-
мам, которое приводит к быстрому упрочнению. Следовательно, значения
Ф и г. 5.33. Кривые деформации поли- и монокристаллов алюминия [45].
Ось монокристаллов расположена вдоль <100> и <111>. В треугольнике ориентаций заштрихована
область, где имеет место единичное скольжение
характеристик деформационного упрочнения поликристалла нельзя получить
простым усреднением характеристик упрочнения отдельных зерен с одной
системой скольжения в каждом из них: необходимо учитывать возможность
множественного скольжения в каждом из зерен. Фиг. 5.33 показывает, что
кривая деформации поликристаллов алюминия лежит между кривыми для
www.vokb-la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
161
монокристаллов, имеющих ориентировку (100) и (111), благоприятную для
множественного скольжения. Кривая для поликристаллов сильно отличается
от кривых для монокристаллов, в которых скольжение происходило лишь
по одной системе 1).
Размеры зерен накладывают ограничения на длину линий или полос
скольжения внутри зерна. Таким образом, на ранних стадиях пластической
деформации, когда длина полос скольжения в монокристалле будет больше
размера зерен поликристалла, следует ожидать, что при действии одина-
ковых систем скольжения в поли- и монокристаллах предел текучести поли-
кристаллов будет выше.
Представление о границе зерна как о тонком аморфном слое позволяет
объяснить многие эффекты, связанные с границами зерен. При критическом
сочетании действия высокой температуры и низкого напряжения может
происходить скольжение и разрушение по границам зерен. Известно также,
что границы являются предпочтительными местами накопления атомов при-
месей, на них в двухфазных сплавах наиболее часто образуются зародыши
второй фазы. Это, несомненно, является следствием сильного нарушения
порядка на границе зерна, которое превращает ее в сток для растворенных
атомов (примесей), поскольку при попадании такого атома на границу
снимаются вызванные им искажения решетки.
Нарушение порядка на границе делает ее предпочтительным путем
диффузии растворенных атомов, и тем самым граница способствует зарож-
дению вторых фаз. Являясь стоком для растворенных атомов, граница
и прилежащие к ней области могут отличаться по химическому составу
от остальной части зерна. Во многих случаях химическое сродство материа-
ла границы к коррозионным средам наряду с более высокой скоростью
диффузии вдоль границы делают последнюю особенно чувствительной к кор-
розии. Это приводит к возникновению охрупчивания границ зерен или
к коррозии под напряжением. Мы не имеем возможности подробно обсудить
значение этих физико-химических явлений на границах зерен, но надо
всегда помнить, что они оказывают сильное влияние на механические свой-
ства и часто приводят к образованию своеобразных дефектов, вызывающих
разрушение в процессе эксплуатации. Более подробную информацию читатель
найдет в книге Улига [86].
5.8. ЭФФЕКТ БАУ1ПИНГЕРА
Удаление приложенного напряжения не может снять пластической
деформации, однако деформация в обратном направлении обычно начинается
под действием весьма малого напряжения. Часто даже во время разгрузки
может начаться небольшая обратная деформация (фиг. 5.34). Впервые
анизотропию деформационного упрочнения наблюдал Баушингер [9]; она
известна под названием эффекта Баушингера.
Вулли [911 и Дик [27 ] установили, что в поликристаллических материа-
лах разность значений действительной деформации и линейной упругой
деформации, так называемая баушингеровская деформация, как правило,
линейно зависит от величины предшествующего перемене знака деформации
деформирующего напряжения, или предварительного напряжения, но также
может зависеть и от предварительной деформации, особенно если для кривой
напряжение — деформация характерны высокие значения напряжения
и малое упрочнение, как, например, у легированных сталей. Кривая напря-
жение— деформация для обратного направления не является отражением
кривой деформации при первичном нагружении, она проходит ниже, сохра-
х) Эти кривые лежат в заштрихованной области на диаграмме деформации
фиг. 5.33.— Прим. ред.
11—S 2
www.vokb-la.spb.ru
162
Глава 5
няя, однако, ту же скорость деформационного упрочнения (фиг, 5.34). Это
означает, что эффект Баушингера предусматривает наличие не только преж-
девременного течения г), но также и определенной величины непрерывного
разупрочнения или деформации без упрочнения.
Преждевременное течение можно предотвратить с помощью термической
обработки, приводящей к снятию напряжений. Такая обработка вызывает
некоторую перестройку дислокационной структуры и лишь небольшой
Ф и г. 5.34. Эффект Баушингера при кручении обезуглероженного стального трубчатого
образца [27].
I — кривая обратной деформации; 2 — отображение кривой деформации (в прямом направлении) за
—предварительно приложенное напряжение; - баушингеропекая деформация.
возврат [271; она делает материал почти полностью изотропным. Без терми-
ческой обработки первоначальная величина деформирующего напряжения
восстановится лишь после некоторой деформации. Следовательно, определен-
ная доля пластической деформации является обратимой в том смысле, что
она не дает вклада в деформационное упрочнение.
При идеализированном макроскопическом описании пластичности
эффект Баушингера часто не учитывают. В действительности неупрочняющая
пластическая деформация играет существенную роль в процессах демпфиро-
вания, усталости и ползучести материалов, подвергнутых действию меняю-
щихся напряжений. Прежде считали, что эффект Баушингера связан с макро-
скопическими остаточными напряжениями, развивающимися вследствие
неоднородной деформации отдельных зерен. Оказалось, что это объяснение
несправедливо, поскольку баушингеровская деформация может во много
раз превосходить деформацию при начале течения (фиг. 5.34). Эксперименты
Закса и Схойи [72] на монокристаллах латуни, а также более поздние экспе-
рименты на монокристаллах железа, цинка, кадмия, меди и алюминия
показали, что заметный эффект Баушингера наблюдается при чистом растя-
жении — сжатии, т. е. не может определяться одним лишь неоднородным
течением в отдельных зернах.
Для объяснения эффекта Баушингера были предложены механизмы,
учитывающие образование скоплений дислокаций вблизи препятствий
и задержку дислокаций на особо густых участках леса дислокаций. В част-
ности, можно предположить [661, что плотность дислокаций леса, прони-
зывающих плоскость скольжения, будет увеличиваться перед движущимися
2) То есть течения при напряжении ниже исходного предела текучести.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая Реформация кристаллическил материалов
163
дислокациями, как показано на фиг. 5.35; причиной этого может быть дей-
ствие механизма, представленного на фиг. 5.24. Таким образом, при изме-
нении направления деформирования движущиеся назад дислокации будут
на начальной стадии движения встречать на своем пути меньше препятствий.
Фиг. 5.35. Анизотропия препятствий скольжению, приводящая к возникновению эффек-
та Баупшпгера (по Оровану [66]).
Дислокация 1 останавливается перед рядом препятствий с большой плотностью; при изменении направ-
ления напряжения на противоположное она движется назад и останавливается в положении 2 у бли-
жайшего ряда с такой же плотностью.
При дальнейшем деформировании будет снова возникать анизотропия препят-
ствий (теперь уже в обратном направлении). Расчет показывает, что дефор-
мация, которая связана с остановкой скользящих дислокаций в местах
высокой плотности дислокаций, например на субграпицах, может быть
порядка нескольких процентов (задача 5.14).
5.9. МЕХАНИЧЕСКАЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ
Пластическое деформирование кристаллических материалов не всегда
протекает стабильно. Кроме образования шейки (гл. 7), существует много
других случаев, когда пластическое деформирование сопровождается паде-
нием деформирующего напряжения. Наиболее известным из них является
явление текучести в малоуглеродистой стали, которое мы обсудим в первую
очередь.
А. Явления текучести, вызванные присутствием примесей
1. Взаимодействия с примесями, вызывающими искажения решетки.
В поликристаллической отожженной или нормализованной малоуглеродистой
стали и в монокристалле железа, содержащего небольшие количества угле-
рода или азота, начало пластической деформации сопровождается явлением
текучести (фиг. 5.36). Напряжение внезапно падает; наивысшее его значение
перед падением называется верхним пределом текучести, а постоянное
значение, которого напряжение достигает после падения, называется нижним
пределом текучести. Величина верхнего предела текучести возрастает при
уменьшении температуры и увеличении скорости деформации. При комнат-
ной температуре явление текучести в мелкозернистых образцах выражено
сильнее, чем в крупнозернистых. Аналогичным образом влияют температура,
скорость деформации и размер зерна на нижний предел текучести.
При напряжении, равном нижнему пределу текучести, удлинение —
процесс неоднородный. Оно начинается в месте концентрации напряжений
и распространяется сначала по поперечному сечению, а затем в виде полосы
вдоль образца. Такую полосу, называемую полосой Чернова — Людерса,
И*
www. vokb- la. spb. ru
164
Глава 5
можно непосредственно наблюдать на поверхности предварительно отполи-
рованного образца во время его растяжения. Внутри полосы видны неодно-
родно деформированные участки (фиг. 1.27). Деформация при таком процессе
протекает лишь в узкой области на границе полосы Чернова — Людерса,
а участки внутри полосы и области вне ее не деформируются (см. также
разд. 7.4). Пакстон и Бэр [68] наблюдали образование пучков полос сколь-
жения в монокристаллах железа во время деформирования, предшествую-
щего верхнему пределу текучести. Оказалось, что падение нагрузки и
Фпг. 5.36.
а — явление текучести в монокристалле железа, содержащем 0,0ПЗ% С; растяжение при 195° К со
скоростью деформации 10~5 сек-1 Гб81; т— образование полос Чернова — Людерса.
6 — явление текучести в норматшзошшпом образце стали SAE1020; деформация со скоростью 10-®сек -1.
А — разгрузка и быстрая повторная нагрузка; 13— 10-минутное старение при 100° С после разгрузки»
полный возврат текучести; В — старение в течение 1 лнт при 100° С, частичный возврат текучести.
удлинение при нижнем пределе текучести являются результатом распрострапе-
ния полосы Чернова — Людерса с высокой плотностью линий скольже-
ния, которое начинается при достижении верхнего предела текучести. Значе-
ние удлинения при нижнем пределе текучести возрастало при понижении
температуры; при комнатной температуре оно составляло 1%, а при 195° К —
от 5 до 15%.
Если испытания при комнатной температуре прервать в момент, соот-
ветствующий подъему кривой напряжение — деформация после нижнего
предела текучести, и нагрузку полностью спять, а затем снова приложить
(4 на фиг. 5.36, б), то течение возобновится при напряжении, близком
к исходному, и явление текучести нс будет повторяться. Если перед новым
приложением нагрузки образец опустить в кипящую воду на 10 мин
(Б па фиг. 5.36, б), то вновь появится зуб и площадка текучести. Даже
выдержка в течение 1 мин при 100° С приводит к частичному возврату теку-
чести (В па фиг. 5,36, б). Следовательно, низкотемпературное старение
не приводит к значительным изменениям кривой деформации, оно лишь
восстанавливает зуб и площадку текучести, приводя к образованию новой
полосы Чернова — Людерса. Такой же эффект дает длительная выдержка
образца при комнатной температуре. При температурах выше 100° С старение
происходит гораздо быстрее и при достаточно высокой температуре может
протекать с той же скоростью, что и деформирование. Эффект старения
характерен не только для железа, но также и для других о. ц. к. и г. ц. к.
металлов.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
165
Было установлено, что примесные атомы играют большую роль в этом
явлении: при удалении из металла примесей нестабильность деформации
полностью исчезала.
Согласно теории, предложенной Коттреллом и Билби 125] и развитой
в работах других исследователей, явление текучести описанного выше
типа является результатом миграции внедренных атомов примесей к дис-
локациям. Как было показано в разд. 5.2, примесь внедрения в о. ц. к.
решетке вызывает большие объемные и направленные искажения, которые
приводят к сильному взаимодействию как с краевыми, так и винтовыми
Фиг. 5.37. Сегрегация «примесей» на дисло-
кации в пузырьковой модели.
а примесный атом внедрения располагается в ра-
стянутой области около краевой дислокации; б — два
примесных атома аамещепии (их размеры меньше, чем
у атома матрицы) располагаются в статей области
около краевой дислокации.
Ф и г. 5.38. Кривые истинное напря-
жение — истинная деформация для
отожжеппой стали SAE1020 при раз-
личных постоянных скоростях истин-
ной деформации.
Наблюдается обратная зависимость напри-
жения от скорости истинной деформации
[56]. Скор ость деформации: 1 5 10--& сек -1;
2— 20-1(Н сек-»; 3- 100 4—
500 • 10-5 сек-1.
дислокациями. При температурах, обеспечивающих подвижность внедрен-
ных атомов 1), последние будут мигрировать к дислокациям (фиг. 5.37),
при этом полная энергия деформации кристалла будет уменьшаться. Это
приводит к блокированию скольжения дислокаций в решетке и упрочнению
кристалла. Чтобы началась пластическая деформация, дислокации нужно
оторвать от окружающих их «атмосфер» примесей или от выделений; для
этого требуется напряжение, большее, чем напряжение, которое может
перемещать дислокации в решетке твердого раствора 1 2).
Согласно другой теории [37], появление зуба текучести вызвано тем,
что скорость дислокаций сильно зависит от напряжения. Вначале от при-
месных атмосфер отрывается небольшое число дислокаций; для того чтобы
кристалл растягивался с той же скоростью, с какой перемещаются захваты
испытательной машины, скорость этих дислокаций должна быть высока.
Небольшое число дислокаций сможет обеспечить задаваемую движением
захватов нагружающего устройства скорость деформации, если действующее
на них напряжение велико. Результатом действия высокого напряжения
является увеличение числа источников дислокаций при двойном попе-
1) Для большинства внедренных атомов (и основного материала и примесей) энергия
активации миграции низка. Например, у железа опа меньше 1 эв.
2) Преимущественное расположение примесей около дислокаций, вызванное упру-
гим взаимодействием полей напряжений дислокации с атомом примеси, называют обычно
атмосферой Коттрелла.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
166
Глава 5
речном скольжении. По мере увеличения числа подвижных дислока-
ций их скорость падает, и, следовательно, резко уменьшается напряжение.
Эти представления согласуются с экспериментальными данными о том, что
большой зуб текучести возникает при высоких скоростях деформации.
Однако Сильверстрович и Холл [82] обнаружили, что наибольший зуб теку-
чести возникает при наименьшей скорости деформации.
Если подвижность примесных атомов столь велика, что средняя скорость
их дрейфа (разд. 4.13) оказывается того же порядка, что и средняя скорость
дислокаций, то под действием высокого напряжения дислокации могут
тащить за собой окружающие их примесные атмосферы. Более высокая
скорость деформации при той же температуре приводит к отрыву дислокаций
от атмосфер, и деформация будет происходить при более низком напряжении.
Это является причиной необычной зависимости кривой напряжение — дефор-
мация для мягкой стали от скорости деформации, иллюстрируемой фиг. 5.38.
Такое явление обусловлено деформационным старением.
Хотя рассмотренные теории дают довольно удачные модели, их нельзя
считать вполне удовлетворительными. В частности, они не могут объяснить
влияния размера зерна в развитии текучести.
2. Эффект Портевена — Ле-Шателье. Часто оказывается, что участок
текучести на кривой напряжение — деформация не является гладким,
а на нем наблюдаются скачки. Их обнаружили впервые Портевен и Ле-Ша-
телье [70] при исследовании дюралюмина и вскоре же Эренфест и Иоффе
[291 и Классен-Неклюдова [211 при исследовании каменной соли. В пласти-
ческой области, когда кристалл деформируется при действии постоянного
напряжения, неустановившаяся нолзучесть также протекает скачкообразно.
Этот эффект наиболее заметен при комнатной температуре в разбавленных
твердых растворах на основе цинка, алюминия и др.; он наступает после
предварительной однородной пластической деформации. Его наблюдали
также в весьма чистых кристаллах цинка при температуре жидкого азота
[16].
Коттрелл [24] объяснил это явление взаимодействием примесей или ва-
кансий с дислокациями. Регулярное повторение скачков вызвано, вероятно,
тем, что дислокации, освободившиеся под действием термической активации
от примесей или точечных дефектов, снова оказываются закрепленными
этими дефектами. По-видимому, предварительная пластическая деформация
создает вакансии, которые обеспечивают закрепление либо непосредственно,
либо как носители примесных атомов. Для объяснения эффекта Портевена—
Ле-Шателье в поликристаллах приходится предполагать, что разблокиро-
вание дислокаций передается лавинообразно от зерна к зерну.
3. Химическое взаимодействие. Сузуки [80] рассмотрел еще один меха-
низм взаимодействия дислокаций с примесями в г. ц. к. и г. п. у. метал-
лах, в которых дислокации расщеплены и состоят из двух частичных дисло-
каций, разделенных дефектом упаковки. Последний представляет тонкий
слой материала с отличающимися химическими свойствами; примеси могут
оказаться химически связанными с дефектом упаковки, при этом его энер-
гия будет снижена. Среднее значение энергии химической связи по оценке
Сузуки составляет около 10% энергии связи дислокации и внедренного
атома, вызывающего искажение решетки.
Б. Падение нагрузки при двойниковании и образовании сброса
Образование двойника или полосы сброса часто вызывает резкое падение
величины внешнего напряжения, если нагружение проводится с помощью
жесткой испытательной машины. Причина заключается в том, что распро-
странение двойниковой прослойки или полосы сброса по достижении ими
некоторого критического размера сопровождается понижением потенциаль-
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
167
ной энергии кристалла и деформирующей его системы. Следовательно,
увеличение протяженности двойника или сброса должно сопровождаться
падением внешнего напряжения. «Крики» олова, сопровождающие образо-
вание двойников при изгибе, являются следствием падения напряжения.
Многие исследователи наблюдали на кривой растяжения резкие зубцы,
каждый из которых соответствует образованию определенной двойниковой
полосы [191. Холден и Кунц [38] обнаружили нестабильность такого же типа
в монокристалле железа; это явление может быть вызвано образованием
полосы сброса.
В. Низкотемпературная термомеханическая нестабильность
Совершенно необычную нестабильность наблюдал Базинский [8] в моно-
и поликристаллах алюминия во время их растяжения при температуре
кипения гелия (4,2° К). Нестабильность возникала в результате адиабати-
ческого нагрева областей, окружающих полосу деформации, который
являлся следствием пластической деформации. Основная причина нестабиль-
ности — очень низкая теплоемкость твердых тел вблизи абсолютного нуля;
при температуре 20 ° К нестабильность не проявлялась.
Г. Нестабильность предварительно деформированных образцов
Если г. ц. к. металл при низкой температуре подвергнуть деформации
в области быстрого упрочнения, а затем продолжить деформацию при более
высокой температуре, которой соответствует параболическое упрочнение при
более низком деформирующем напряжении, возникает явление текучести,
сопровождающее разрушение более плотной низкотемпературной дислока-
ционной структуры (Коттрелл и Стокс [26]).
Д. Нестабильности, связанные с переходом порядок — беспорядок
Если два металла полностью растворимы друг в друге, то в некоторых
случаях при определенном стехиометрическом составе может наступить пол-
ное упорядочение твердого раствора и образуется сверхрешетка. Проходя
через решетку полностью упорядоченного твердого раствора, дислокации
создают беспорядок, т. е. повышают свободную энергию решетки. Этому
должно соответствовать резкое повышение деформирующего напряжения,
т. е. должно возникать явление текучести (см., например, статью Марцин-
ковского [59]).
5.10. МЕХАНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, объем
и температуру, известно каждому, кто изучал термодинамику. Людвиг [55]
в 1909 г. и сравнительно недавно Холломоп и Зипер [39] высказали пред-
положение о том, что подобная функциональная зависимость должна суще-
ствовать и для пластической деформации металлов. Как следует из соотно-
шения (5.16), в уравнение состояния должны входить напряжение, дефор-
мация, температура и скорость деформации; это уравнение может быть спра-
ведливо лишь для ограниченных интервалов значений входящих в него
величин, которым соответствуют минимальные изменения структуры. Хотя
наличие структурных превращений не позволяет вывести единое функцио-
нальное соотношение между напряжением, деформацией и скоростью дефор-
мации [65], мы рассмотрим приближенные соотношения, которые могут ока-
заться полезными при расчете эксплуатационных свойств материалов
на основании неполных данных об их механическом поведении.
www.vokb-la.spb.ru
168
Глава 5
Идея существования механического уравнения состояния вытекает
из соотношений типа (5.16), связывающих скорость деформации с величиной
полного касательного напряжения, действующего в плоскости скольжения.
Учитывая, что соотношение (5.16) выведено на основании специальной моде-
ли и что область его применения может оказаться ограниченной, единствен-
ный общий вывод, который мы можем сделать, заключается в том, что неко-
торую часть сопротивления пластической деформации можно преодолеть
с помощью термической активации и что внешнее напряжение может оказы-
вать сильное влияние на энергию активации. Следовательно, в общем случае
мы можем говорить о зависящей от напряжения свободной энергии актива-
ции g [о (е)]. Мы будем рассматривать лишь одноосные нормальные ком-
поненты напряжения и деформации. Если заменить множитель bANv
на множитель скорости деформации Се0 х), то соотношение (5.16) упро-
щается и принимает вид
е = Се0 ехр | . (5.21)
Определив из этого уравнения свободную энергию и подставив 1пС = 1/сс,
получим
4^1о(Е)]= т( 1 -а 1нА) •
V ео /
Из этого соотношения вытекает и другое следствие: деформирующее напря-
жение является функцией абсолютной температуры, зависящей от скорости
деформации:
о(е) = /1 т(1 — ccln^)l , (5.22)
I \ Е0 /
т. с. деформирующее напряжение зависит лишь от величины
Z^rfl-aln-M . (5.23)
\ ЕО /
Мак-Грегор и Фишер [56] назвали величину Тт «модифицированной
температурой»; эти авторы экспериментально подтвердили справедливость
формулы (5.23) для различных металлов. Если испытания проводить с оди-
наковой скоростью е0 при различных температурах, то зависимость деформи-
рующего напряжения от температуры при постоянном значении в представ-
ляет функциональное соотношение между деформирующим напряжением
и «модифицированной температурой» для того случая, когда последняя
равна абсолютной температуре. Если те же испытания повторить при других
значениях скорости деформации е =£ е0, то окажется, что, выбрав подходя-
щее значение коэффициента ct, можно получить совпадение кривых дефор-
мирующее напряжение — температура при постоянном значении деформа-
ции. Справедливость этого утверждения иллюстрируют фиг. 5.39 и 5.40.
Точки на разных участках кривых соответствуют испытаниям при различ-
ных скоростях деформации при постоянной температуре. Кривые свидетель-
ствуют о плодотворности представления о «модифицированной температуре»
(5.23). Горбы кривых на фиг. 5.39 в интервале «модифицированных темпе-
ратур» между 360 и 680° К соответствуют повышению деформирующего
1) Это серьезное допущение; оно является лишь приближением, возможным вслед-
ствие существования зависимости Лг и v от структуры [см. примечание к соотношению
(5.16)]. Справедливость такого приближения подтверждена экспериментально; об этом
будет сказано ниже.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
169
Ф и г. 5.39. Деформирующее напряжение в зависимости от истинной деформации е
и модифицированной температуры Тт для отожженных сталей SAE1020 и 1045 [56].
Каждой кривой соответствует один и тот же набор скоростей деформации в интервале от 5 1о-5 сек-
ло 500 10—5 сек-1. тт = Т 11 — a In j , где е0 = 100-10-5 сек-1, а = - 0,018.
напряжения, вызванному деформационным старением. Таким образом, суще-
ствует возможность учитывать некоторые диффузионные явления.
Существование семейств кривых, аналогичных представленным на
фиг. 5.39 и 5.40, свидетельствует о том, что для монотонного одноосного
деформирования (непрерывно возрастающая деформация) справедливо соот-
ношение типа
/ (о, е, е, Т) = 0.
Это соотношение можно назвать механическим уравнением состояния;
в дальнейшем будет показано, что оно является гораздо менее общим по
сравнению с уравнением состояния идеального газа.
Кривые напряжение — модифицированная температура (фиг. 5.39 и 5.40)
дают некоторые сведения, необходимые при расчетах на ползучесть. По этим
кривым можно определить скорости ползучести при высоких температурах
и постоянном напряжении.
В некоторых случаях зависимость свободной энергии от напряжения
можно представить в виде степенной функции и предэксионенциальном
множителе соотношения (5.21); тогда уравнение состояния приобретает
www. vokb- la. spb. ru
170
Глава 5
другой вид:
8 = 808П
(5.24)
Здесь бп — частотный множитель, ст0 — множитель нормировки напряжения,
а показатели степени т и п суть константы, которые должны быть опреде-
лены на основании экспериментальных данных о деформационном упрочне-
нии материала и зависимости деформирующего напряжения от температуры
Ф и г. 5.40. Деформирующее напряжение в зависимости от истинной деформации в и мо-
дифицированной температуры Тт для отожжеппой латуни [56].
Тт—Т I I — a In -7-I . где е0 100-10-с сек-1, а = 0,018.
' Го '
и скорости деформации при различных температурах. В книге [53] пока-
заны возможности применения этого уравнения для описания поведения
некоторых г. ц. к. металлов.
Мы рассмотрели случаи исключительно непрерывного нагружения.
Уравнение состояния несправедливо при наличии других видов нагруже-
ния. Простейшим отклонением от условий монотонного нагружения
является разгрузка, отдых и повторное нагружение, что вызывает заметный
возврат в интервале температур, в котором имеет место ползучесть. Измене-
ние направления приложенного напряжения также приводит к существенным
отклонениям в механическом поведении по сравнению с монотонным нагру-
жением. Следовательно, уравнение состояния справедливо лить для систем,
на которые действует статическая или монотонно возрастающая нагрузка.
Согласно физическим соображениям, механическое уравнение состояния
не может существовать потому, что деформирующее напряжение является
структурночувствительным и определяется дислокационными конфигура-
циями, которые термодинамически не равновесны. Следует подчеркнуть, что
при данной температуре дислокационная структура деформированного метал-
ла сильно зависит от температуры и скорости предшествующей деформации.
При температурах ниже половины абсолютной температуры плавления
дислокационная субструктура относительно стабильна и зависит от степени
деформации и температуры предшествующего деформирования, т. е. субструк-
тура, определяющая деформирующее напряжение при данной пластической
деформации, представляет функцию, зависящую от пути процесса деформи-
рования. В противоположность этому распределение молекул в газе при
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая Реформация кристаллических материалов
171
данной температуре не зависит от предшествующих изменений объема и тем-
пературы газа и будет создавать одинаковое давление независимо от того,
каким образом газ достиг своего окончательного объема: при расширении или
сжатии, при понижении или повышении температуры. Газ находится
в состоянии термодинамического равновесия, субструктура деформирован-
ного металла неравновесна, и характер дислокационных конфигураций
зависит от температурно-деформационной предыстории материала. Таким
образом, ниже 1/2 Тал (здесь ТШ1 — абсолютная температура плавления)
уравнение состояния можно использовать лишь при небольших различиях
в предыстории материала.
При температурах выше когда отжиг дислокационных конфигу-
раций происходит с той же скоростью, с какой они образуются, в уравне-
ние состояния деформация не входит, и поэтому оно более точно описывает
поведение металла. К сожалению, сами металлические материалы в этом
интервале температур реже используются в конструкциях.
5.11. ДАННЫЕ О ПРОЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
В разд. 5.2—5.4 мы обсуждали различные идеализированные модели
структурного и деформационного упрочнения. Чаще всего эти механизмы
Ф и г. 5.41. Дислокационные метли возле частиц выделений в фольге закаленного маг-
ния [48].
упрочнения действуют не поодиночке, а в комбинации друг с другом. Раз-
личные возможные комбинации могут обеспечить более высокую прочность
по сравнению с той, которую обеспечивает каждый из механизмов. Напри-
мер, можно подвергнуть деформационному упрочнению (наклепу) образец,
www. vokb- la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
172
Глава 5
предварительно упрочненный за счет образования твердого раствора или
дисперсионного твердения. С другой стороны, часто оказывается, что эффект
старения предварительно деформированных образцов больше, чем для неде-
формированных. В некоторых случаях старение приводит к образованию
не только выделений, но и дислокаций (фиг. 5.41).
Преимуществом методов структурного упрочнения, описанных в
разд. 5.2, является возможность их применения к готовым деталям (терми-
ческая и термодиффузионная обработка) без заметного искажения их формы.
Сплавы, упрочняемые за счет образования твердого раствора, находят
широкое применение в свариваемых деталях. Поскольку упрочнение вызвано
присутствием некоторого элемента в растворе, разупрочнения при сварке
не произойдет. Диспсрсионнотвердеющие сплавы, наоборот, нельзя использо-
вать для сварных деталей и для деталей, работающих при повышенных
температурах, поскольку они перестариваются и теряют высокие прочност-
ные свойства. Сказанное справедливо и для мартенсита, высокая твердость
которого объясняется его нестабильностью.
Хотя облучение и закалка дают аффективное упрочнение, их применение
оказывается либо невыгодным, либо невозможным в больших масштабах.
Говоря о некоторых весьма важных промышленных материалах, часто
трудно бывает установить, какой из механизмов упрочнения в них преоб-
ладает.
Сведения о свойствах металлов и сплавов можно найти во многих спра-
вочниках и руководствах [1, 4, 14, 58, 61, 79, 89] *).
5.12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кристаллические материалы можно упрочнять различными способами.
Издавна известен одип из наиболее эффективных методов упрочнения пласти-
ческого металла — легирование его малыми добавками элементов, которые
образуют с основным металлом твердый раствор внедрения или замещения.
Упрочнение возникает, если растворенный атом вызывает локальное увели-
чение или уменьшение объема, а также направленные искажения решетки
основного металла. Напряжения, возникающие вследствие несоответствия
атомных радиусов растворяющегося вещества и матрицы, эффективно тормо-
зят движущиеся дислокации. Эффект упрочнения в области существования
твердого раствора линейно зависит от концентрации растворенных атомов
с (с 10-2) и в более высокой степени от £ — разности размеров растворенного
атома и атома основного материала; при этом сопротивление сдвигу равно
к « 2Gea/sc. (5.6)
Закалка металла с высоких температур или облучение его с частицами
с высокой энергией создает в нем сидячие дислокационные петли малых
размеров, с которыми связаны сильные искажения в направлении, перпеп
дикулярном плоскости петли; в результате металл весьма эффективно упроч-
няется.
Выделение растворенного элемента из пересыщенного твердого раствора
может привести к упрочнению, если добиться того, чтобы частицы были
распределены равномерно, а расстояние между ними было приблизительно
равно 100 межатомным расстояниям. В этом случае выделения представляют
препятствия, непроницаемые для дислокаций. Дислокации смогут лишь
продавливаться в области между выделениями; поэтому сопротивление сдви-
’) Авторы данной монографии приводят обширную таблицу свойств некоторых
сталей и сплавов после различных видов упрочнения; однако составы многих сплавов
в этой таблице не указаны, а даны лишь обозначения ио американскому стандарту. При
переводе таблица опущена.— Прим, перев.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
173
гу должно быть обратно пропорционально расстоянию между частицами
Методы структурного упрочнения (образование твердого раствора; распад
перенасыщенного твердого раствора; превращение, приводящее к образова-
нию решетки с высоким напряжением трения; облучение и закалка) осуще-
ствляются посредством термической обработки и применимы к деталям,
прошедшим окончательную механическую обработку.
В процессе пластического деформирования в кристалле образуются
препятствия скольжению, которые делают движение дислокаций все более
затрудненным. Особенно эффективные препятствия возникают при пересече-
нии дислокаций, принадлежащих двум системам скольжения. Возникаю-
щие при скольжении дефекты — дислокационные диполи, малые сегменты
сидячих дислокаций, хвосты диполей вакапсионного или межузельного
типа — скрепляют клубки дислокаций и способствуют тому, что они стано-
вятся все более плотными. Для проталкивания новых дислокаций через
клубки требуется все более высокое деформирующее напряжение.
Наибольший эффект деформационного упрочнения обеспечивает взаим-
ная блокировка дислокаций; этому механизму соответствует сопротивление
сдвигу, пропорциональное квадратному корню из плотности дислокаций.
Преодолению препятствий с близко действующими напряжениями может
способствовать термическая активация. Следствиями этого является зависи-
мость от температуры деформирующего напряжения и термически активируе-
мая неустановившаяся ползучесть при постоянном напряжении.
Большая часть работы пластической деформации рассеивается в виде
тепла. Величина энергии дислокационных клубков, как правило, не превы-
шает 10% полной работы пластической деформации.
Упрочнение может возникнуть в результате бездиффузионных сдвиговых
превращений — двойникования и образования мартенсита, если толщина
пластин новой фазы меньше длины среднего свободного пробега дисло-
кации при той же величине пластической деформации. Твердые пленки
на поверхности вызывают упрочнение в тех случаях, когда предотвра-
щение выхода дислокаций на свободную поверхность приводит к значитель-
ному повышению их плотности и уменьшению длины среднего свободного
пробега дислокаций.
Границы зерен в поликристаллах представляют весьма эффективные
препятствия скольжению дислокаций. В связи с этим необходимо, чтобы
каждое зерно деформировалось согласованно с окружающими его зернами.
По этой причине скольжение по пересекающимся системам в отдельных
зернах почти всегда идет в самом начале деформации, скорость деформацион-
ного упрочнения поликристалла становится такой же, как у монокристалла
при множественном скольжении.
Пластическая деформация необратима, потому что приводит к образова-
нию неправильных дислокационных клубков. Однако деформационное упроч-
нение не является полностью изотропным. Деформация в обратном направле-
нии в материале, уже подвергнутом холодной деформации, начинается
при весьма малом напряжении; небольшая обратная пластическая деформа-
ция происходит при приложении напряжения, гораздо меньшего, чем деформи-
рующее напряжение, непосредственно предшествующее деформации проти-
воположного знака. Подобная анизотропия деформационного упрочнения
(эффект Баушингера) является, с одной стороны, следствием анизотропии
внутренних напряжений в полосах скольжения и, с другой стороны, анизо-
тропии препятствий.
На различных стадиях процесса пластической деформации увеличение
деформации может сопровождаться снижением деформирующего напряже-
www. vokb- la. spb. ru
174
Глава 5
ния; следствием этого является возможная механическая нестабильность.
Один из примеров ее — хорошо известное явление текучести в малоуглеро-
дистых сталях. Атомы азота или углерода мигрируют к дислокациям
и прикрепляют их к решетке, при этом частично снимаются высокие напря-
жения около ядра дислокации. Для образования «свежих» скользящих дисло-
каций требуется более высокое напряжение, чем для их перемещения в кри-
сталле; в результате возникает механическая нестабильность в виде зуба
текучести.
Полосы двойника или сброса могут образоваться лишь из зародышей
критического размера, для возникновения которых требуется высокое каса-
тельное напряжение. В то же время для роста полос требуется гораздо
более низкое напряжение. Таким образом, двойники и сбросы также могут
служить причиной механической нестабильности.
В определенной области пластической деформации, где изменения
структуры, определяющиеся диффузией, пренебрежимо малы, между дефор-
мирующим напряжением, скоростью деформации, температурой и пласти-
ческой деформацией может существовать определенное соотношение, которое
справедливо для ограниченных интервалов значений входящих в него вели-
чин и для случая монотонной деформации. Ниже приведены две формы
такого соотношения
о (е) = /
(5.22)
и
е = бобп
(5-24)
(Значения входящих величин определяются экспериментально.)
Эти соотношения, или уравнения состояния, можно использовать для
предсказания поведения материала в процессе ползучести под действием
долговременных нагрузок на основании данных, полученных при кратко-
временных высокотемпературных испытаниях.
ЗАДАЧИ
5.1. Показать, что соотношение (5.3) действительно определяет величи-
ну максимального касательного напряжения, создаваемого растворенным
атомом в плоскости скольжения, отстоящей на расстоянии t от этого атома.
5.2. Показать, что соотношение (5.4) действительно определяет полную
силу, с которой растворенный атом действует на дислокацию, лежащую
в плоскости, отстоящей от него на расстоянии t, при t = Ъ/2 и tg 6 = 2.
5.3. Показать, что между растворенным атомом, вызывающим сфериче-
ски симметричные искажения, и винтовой дислокацией взаимодействие
отсутствует.
5.4. Считая, что энергия круглого вакансионного диска равна энергии
его поверхностей, определить минимальный радиус, при котором для
кристалла a-железа энергетически будет выгодно захлопывание диска и обра-
зование сидячей дислокационной петли. [Для а-желсза b = 2,47 «10-8 см,
модуль сдвига G 7,75 -10й дин!см2, поверхностная энергия у ~ 300 э/с№.
Примем, что диск лежит на плоскости (112).]
5.5. а) Рассмотрим движение винтовой дислокации, удерживаемой
дипольными хвостами (фиг. 5.42). Пусть отрезок длиной I продвигается
на расстояние Ь и остается геометрически подобным самому себе; показать,
что для этого требуется приложить напряжение о = GG/20Z, если энергия
единицы длины дипольного хвоста составляет Gb2/20.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
173
б) Пусть плотность винтовых дислокаций равна Л/2 и действуют две
системы скольжения, причем величина сдвига на каждой из них одинакова.
Показать, что I — A~J/2.
в) Предположим, что плотность дислокаций линейно возрастает
от 10е до 1011 с.лг~ на единицу деформации. Вычислить коэффициент упроч-
нения daidy при плотности дислокаций 108 см~2.
5.6. Показать, что формула (5.8) действительно определяет максималь-
ное касательное напряжение, которое со стороны краевой дислокации дей-
ствует на параллельную ей дислокацию с параллельным вектором Бюргерса-
Фиг. 5.42.
5.7. С помощью фиг. 5.20 определить коэффициент упрочнения моно-
кристалла вольфрама при деформации 1%.
5.8. Показать, что подстановка угла наклона кривой деформации
(фиг. 5.27) в соотношение (5.18) приводит к выражению (5.19).
5.9. Проинтегрировать выражение (5.19) и показать, что соотношение
(5.20) правильно определяет деформацию неустановившейся ползучести.
5.10. Изобразить отдельные этапы двойного поперечного скольжения
расширяющейся дислокационной петли и этапы образования диполей
и других дефектов в ходе этого процесса.
5.11. Растворенный атом, вызывающий только объемные искажения,
может взаимодействовать лишь с краевыми дислокациями. Показать, что
это взаимодействие может сдерживать также движение и винтовых дислока
ций посредством блокирования краевых компонент дислокационных петель.
5.12. Сколько отрезков дислокаций должно содержаться в единице
объема (при разумном значении плотности дислокаций Л, определяющем
длину Л-1''2 отрезка), чтобы в результате холодной деформации модуль
Юнга стали уменьшился от 21 700 до 20 300 кг/лыи2?
5.13. Какова амплитуда теплового колебания отрезка дислокации дли-
ной I с закрепленными концами?
5.14. С помощью соотношения (4.3) определить порядок величины бау-
шингеровской деформации, приняв плотность дислокаций Л = 1010 см~2,
а средний свободный пробег дислокаций — равным размеру ячейки 10-4 см.
5.15. При облучении металла частицами с высокой энергией возникают
сильные повреждения решетки. Основным эффектом облучения является
образование вакансий и внедренных атомов. При благоприятных условиях
эти точечные дефекты могут объединиться и образовать диски вакансий или
внедренных атомов, которые впоследствии могут преобразоваться в сидячие
дислокационные петли. Известно, что такие дислокационные петли упрочняют
металл. Предположим, что в результате облучения образовалось по 101и сл1~3
вакансий и внедренных атомов и что они коалесцировали в диски диаметром
10® см, причем ни один точечный дефект не ушел на поверхность. Опре-
делить предел текучести облученного металла, выразив его в долях от модуля
сдвига.
5.16. Введение вакансий в совершенный кристалл понижает его свобод-
ную энергию, поэтому для теплового равновесия необходимо, чтобы кристалл
www. vokb- la. spb. ru
176
Глава 5
содержал вакансии в концентрации
£ — —Uv/hT
где ии — прирост внутренней энергии совершенного кристалла при введении
в него одной вакансии (для алюминия ик= 8 эв).
Предполагается, что алюминий можно упрочнить путем нагрева до
высокой температуры и последующего резкого охлаждения. При повы-
шенной температуре устанавливается высокая концентрация вакансий. После
закалки избыточные вакансии образуют сидячие дислокационные петли.
а) Пусть средний диаметр сидячих дислокационных петель равен 10-6 см.
До какой температуры надо нагреть алюминий, чтобы после закалки его
Фиг. 5.43.
предел текучести составлял 10~3 6? (Влияние вакансий, находящихся
в равновесии при комнатной температуре, учитывать не надо.)
б) Легко ли добиться упрочнения таким методом?
5.17. Ке и Вейсманн (44] установили зависимость плотности дислока-
ций в железе от величины истинной деформации для двух образцов с раз-
личными размерами зерна (фиг. 5.43).
а) Начертить кривые напряжение — деформация для этих образцов
(подробно рассмотреть все допущения, которые нужно сделать при построе-
нии этих кривых).
б) Почему прирост плотности дислокаций на единицу истинной дефор-
мации (скорость размножения дислокаций) в мелкозернистом образце больше?
5.18. Во время прохождения краевой дислокации через лес винтовых
дислокаций, пересекающих плоскость скольжения краевой дислокации под
прямыми углами, должны образовываться пороги в результате каждого
акта пересечения. Вычислить напряжение, необходимое для движения краевой
дислокации через лес, плотность которого составляет 10® сл«-2.
5.19. С помощью дисперсионного твердения нужно упрочнить сплав
настолько, чтобы его сопротивление сдвигу было порядка 67100. Рассчитать,
каково должно быть расстояние между частицами выделений и какой процент
но объему должна занимать вторая фаза. Будет ли сказываться присутствие
или отсутствие когерентной связи частиц с матрицей?
ЛИТЕРАТУРА1)
1. Alcoa Aluminum Handbook, Aluminum Co. America, Pittsburgh, 1962.
2. Argon A. S., О rowan E., Phil. Mag., 9, 1003 (1964).
3. A r g о n A. S., Maloof S. R., Plastic Deformation of Tungsten Single Crystals,
1965.
!) Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическая деформация кристаллических материалов
177
4. A. S.M., Metals Handbook, 8th, ed., Lyman T. (ed.), Amer. Soc. Metals, Novell v,
Ohio, 1961.
5. В a i 1 e у J. E., H i r s c h P. B., Phil. Mag., 5, 485 (1960).
6. В а г n e s R. S., M a z e у D. J., Phil. Mag., 5, 1247 (1960).
6a. Barrett C. S., Structure of Metals, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1953, имеет-
ся перевод 1-го издания: Барретт Ч. С., Структура металлов, Металлург-
издат, 1948.
7. Basinski Z. S., Proc. Roy. Soc. (London), A240, 229 (1957).
8. Basinski Z. S., Phil. Mag., 4, 393 (1959).
9. Bauschingcr J., Mitteilung Mechanisch. Techn. Labor. K. Techn. fiochschule
Miinchen, 13, Heft 5, 31 (1886).
10. Becker В., О г о w a n E., Z. Physik, 79, 566 (1932).
11. Bethlehem Steel Co.. Modern Steels and Their Properties, 3rd ed., Bethlehem, Pa., 1955.
12. В 1 e w i 11 T. H., С о I t m a n R. 11., Redman J. К., в книге: Defects in
Crystalline Solids, Phys. Soc., London, 1955, p. 369.
13. Boas W., Ogilvie J., Acta Met., 2, 655 (1954).
14. В r a d у G. S. (ed.). Materials Handbook, 9th ed., McGraw-Hill, New York. 1963.
15. Broom T., Ham R. К., в книге: Vacancies and Other Point Defects in Metals
and Alloys, Inst. Metals, London, 1958, p. 41; русский перевод: Брум T.,
X а м Р. К., в книге: Вакансии и другие точечные дефекты, Металлургиздат, 1961,
стр. 54.
16. Bullen F. Р., Phil. Mag., 7, 133 (1962).
17. Bullough R., Newman R. C., Phil. Mag., 7, 529 (1962).
18. C h a m b e r s R. H.. Schultz J., Acta Met., 10, 467 (1962).
19. C h u r c h m a n A. T., Cottrell A. H., Nature, 167, 943 (1951).
20. Clarebrough L. M., H a r g r a v e s M. E.. Head A. K., Loret-
t о M. II., Phil. Mag., 6, 819 (1961).
21. Классен-Неклюдова M., Z. Physik, 55, 555 (1929).
22. Conrad H., Hayes W., Truns. ASM, 56, 249 (1963).
23. С о t t r e 1 1 A. II., Dislocations and Plastic Flow in Crystals, Oxford, Univ. Press,
Lond., 1953; русский перевод: Коттрелл A. X., Дислокации и пластические
течения в кристаллах, Металлургиздат, 1958.
24. Cottrell А. Н., в книге; Vacancies and Other Point Defects in Metals and Alloys,
Inst. Metals, London, 1958, pp. 1—40; русский перевод: Коттрелл A. X.,
в книге: Вакансии и другие точечные дефекты, Металлургиздат, 1961 стр. 7—53.
25 Cottrell А. II., В i 1 Ь у Б. A., Proc. Phys. Soc., А62, 49 (1949).
26. С о t t г е 1 1 А. Н., Stokes В. J., Proc. Roy. Soc. (London), A233, 17 (1955).
27. D e a k G., докторская диссертация, MIT, Cambridge, Mass., 1961.
28. Diehl J., Z. Metallkunde, 47, 331 (1956).
29. Ehrenfest P., J о f I e A., On the Jerky Extension Phenomenon, 1924, цити-
руется в работе M. В. Классен-Неклюдовой [21].
30. Farren W. S,, Taylor G. ]., Proc. Roy. Soc. (London), A107, 422 (1925).
31. Fleischer R, L., Acta Met., 9, 996 (1961).
32. Fleischer R. L., Acta Met., 10, 835 (1962).
33. Friedel J., в книге: Internal Stresses and Fatigue in Metals, Rassweiler,
Grube (cds.), Elsevier, Amsterdam, 1959, p. 220.
34. Garslone J., Honeycombs R. W. K., Greetham G-, Acta Mel.,
4, 485 (1956).
35. Gilman J. J., J. Appl. Phys., 33, 2703 (1962).
36. Gilman J. J., Johnston W. G., в книге: Dislocations and Mechanical Pro-
perties of Crystals, Fischer et al. (eds.), Wiley, New York, 1957, pp. 116—163;
русский перевод: Гилман Дж., Джонстон У. Г., в книге: Дислокации
и механические свойства кристаллов, ИЛ, 1960, стр. 82—116.
37. Hahn G. Т., Acta Met., 10, 727 (1962).
38. Holden A. N., Kunz F. W., Acta Met., 1, 495 (1953).
39. H о 1 I о m о n J. H., Zener C., J. Appl. Phys.. 17, 69 (1946).
40. Howie A., Proc. European Regional Conf, on Electron Microscopy (Delft). Vol. 1,
1960, p. 383.
41. Intern. Nickel Co., Properties of Some Metals and Alloys, New York.
42. J ohnston W. G., J. Appl. Phys., 33, 2050 (1962).
43. J о h n s t о n W. G., Gilman J. J., J. Appl. Phys., 30, 129 (1959).
44. К e h A. S., Weissmann S., в книге: Electron Microscopy and Strength of
Crystals, Thomas. Washburn (eds.), Wiley, New York, 1963, p. 301.
45. Kocks U. F., Acta Met., 8, 345 (1960).
46. Kuhlmann - Wilsdorf D., Trans. A1ME, 224, 1047 (1962).
47. Kuhlmann -Wilsdorf D., Wilsdorf H. G. F., в книге: Electron
Microscopy and Strenght of Crystals, Thomas, Washburn (eds.), Wiley,
New York, 1963, pp. 575—604; русский перевод: Кульман-Вильсдорф Д.,
Вильсдорф X. Г. Ф., в книге: Электронная микроскопия и прочность кри-
сталлов, изд-во «Металлургия», 1968, стр. 362—391.
12—92
www.vokb-la.spb.ru
178
Глава 5
48. Lally J. S., цитируется в работе Прайса: см. Price Р. В., в книге: Electron
Microscopy and Strength of Crystals, Thomas, Washburn (eds.), Wiley.
New York, 1963; русский перевод: Прайс П. Б., в книге: Электронная микро
сколия и прочность кристаллов, изд-во «Металлургия», 1968, стр. 42—122.
49. L a n g Л. В., J. Appl. Phys., 30. 1748 (1959).
50. Leslie W. C., Acta Mel., 9, 1004 (1961).
51. Linde J. О., E dwardson S., Arkiv for Fysik, 8, 511 (1954).
52. L i n d e J. O., Lindell В. O., Stade С. H., Arkiv for Fysik, 2, 89 (1950'.
53. L и b a h n J. D., F e 1 g a r R. P., Plasticity and Creep of Metals, Wiley, New York.
1961.
54. Lucke K., Lange IL, Z. Metallkunde, 43, 55 (1952).
55. Ludwig P., Elemente der Technologischen Mechanik, Leipzig, 1909.
56. M a c G г e g о г C. W., Fisher J. C., J. Appl. Meeh., 13, All (1946).
57. Mader S., Seeger A., Acta Met., 8, 513 (1960).
58. M a n t e 1 1 C. L. (ed.). Engineering Materials Handbook, McGraw-Hill, 1958.
59. M a r c i n k о w s k i M. J., в книге: Electron Microscopy and Strength of Crystals,
Thomas, Washburn (eds.), Wiley, New York, 1963, pp. 333—440; русский
перевод: M a p ц и н к о в с к и ii М. Дж., в книге: Электронная микроскопия
и прочность кристаллов, изд-во «Металлургия», 1968, стр. 215—320.
60. Merriam J. С., Lubars W. (eds.), Materials Selector, Special Issue of Materi-
als in Design Engng., 46, 4 (1957).
61. Miner D. F., Seastone J. B. (eds.), Handbook of Engineering Materials,
Wiley, New York, 1955.
62. M о r d i k о B., Z. Metallkunde, 53, 586 (1962).
63. Mott N. F., Phil. Mag.. 44, 742 (1953).
64. Nabarro F. R. N., Proc. Hoy. Soc. (London), A209, 278 (1951).
65. О г о w a n E., West Scotland Iron a. Steel Inst., 54, 45 (1947).
66. О г о w a n E., в сборнике: Internal Stresses and Fatigue in Metals, General Motors
Symposium, Elsevier, Amsterdam, 1959, p. 59.
67. Padawer G., диссертация, MIT, Cambridge, Mass., 1963.
68. Paxton H. W., Bear 1. J., J. Metals, Trans., 7, 989 (1955).
69. Phillips P., Proc. Phys. Soc. (London), 19, 491 (1905).
70. Fort ev i n A., LeCh atelier F., /lead. Sci. Compt. Rend., 176, 507 (1923)*
71. P г e s t о n G. D., Phil. Mag., 26, 855 (1938).
72. Sachs G., Shoji H., Z. Physik. 45, 776 (1927)
73. S a i m о t о S., докторская диссертация, MIT. Cambridge, Mass., 1963.
74. Schmid E., Boas W., Kristallplastizitat, Springer, Berlin, 1935.
75. Seeger А., в книге: Dislocations and Mechanical Properties of Crystals, Fisher
et al. (eds.), Wiley, New York, 1957, pp. 243—329; русский перевод: Зегер A.,
в книге: Дислокации и механические свойства кристаллов, ИЛ, 1960, стр. 179—267.
76. S е с g е г A., Diehl J._ Mader S., В е b s t о с k Н., Phil. Mag., 2, 323
(1957).
77. S e e g e г А., Kronmiiller II., MaderS., Trauble H., Phil. Mag.,
6, 639 (1961).
78. S i 1 с о x J., Whelan M. .1., Phil. Mag., 5, 1 (1960).
79. Smit h ells С. 3. (ed.), Metals Reference Book, 3rd ed., Inlersci., Now Y'ork, 1962.
8CL ’ ” ................
81.
Sci. Repl. Res. Inst.. Tohoku Univ., A4, 455 (1952).
., в книге: Electron Microscopy' and Strength of Crystals, Thomas,
(eds.); Wiley, New York, 1963, pp. 131—182; русский перевод:
Электронная микроскопия и прочность кристаллов, изд-во «Метал-
стр. 123—168.
w i с z W., Hall Е. О., Proc. Phys. Soc., В64, 495 (1951).
Acta Met., 10 , 490 (1962).
I., Proc. Roy. Soc. (London), A145, 362 (1934).
Quinney H., Proc. Roy. Soc. [London), A143, 307 (1934).
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96*.
97*.
98*.
99*.
Suzuki H.,
Swann P. R.
W a s h b u r n
С у о n П. P.,
лургия», 1968, ।
Sylvestro’
Taylor A.,
T a v 1 о г G. I
Taylor G. I.. Quinney H., Proc. Roy. Soc. (London), A143, 307 (1934).
Uhlig H. H., Corrosion and Corrosion Control, Wiley, New York, 1953.
Van Bueren H. G., Imperfections in Crystals, North Holland, Amsterdam, 1960;
русский перевод: Ван Бюрен, Дефекты в кристаллах, ИЛ, 1962.
W е s t w о о d A. R. С., Phil. Mag., 5, 981 (1960).
Winch oil P. G., Cohen M., Trans. ASM, 55, 347 (1962).
Woldman N. E. (ed.), Engineering Alloys, Reinhold, New York, 1962.
Woolley R. L.. Phil. Mag., Ser 7, 44, 597 (1953).
Wyatt _O. H ~ zcn
Yates
Young F. W.
Young F. W.
(ed.), Engineering Alloys, Reinhold, New York, 1962.
Proc. Phys. Soc., B66, 459 (1953).
Hamaker J. C., Metal Progr., 82, 97 (1962).
J. Appl. Phys., 32, 1815 (1961).
Appl. Phys., 33, 963 (1962).
Mader S„ Z. Phys., 149, 73 (1957)
Re b stock H„ Z. Metallkunde, 48, 206 (1957).
Струнин Б. M., ФТТ, 6, 1281 (1964).
M a c a d a J., Kocks U. F., Chalmers B., Trans. AIME, 230, 1273 (1964).
D. H
www. vokb- la. spb. ru
ЧАСТЬ II
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ
12*
www. vokb- la. spb. ru
Глава 6
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Проведенное нами обсуждение физических механизмов деформации
показало, что нельзя подобрать простой формулы для описания соотношения
напряжение — деформация — время — температура (определяющие уравне-
ния для реального материала). Несмотря на это, инженеру приходится
пользоваться определяющими уравнениями и комбинировать их с уравне-
ниями равновесия и уравнениями, связывающими напряжение и деформацию,
если необходимо установить соотношение между нагрузкой и деформацией
для данной конструкции или определить напряжение и деформацию
в отдельных точках конструкции. Решить такие задачи точно или с хорошим
приближением можно лишь в том случае, если путем идеализации поведения
реального материала получены простые физические уравнения.
Наряду с упругим приближением, которое мы уже обсуждали, в этой
главе будет дано математическое описание поведения материалов, удовлетво-
ряющего условиям пластичности и ползучести. Выбор того или иного прибли-
жения определяется конкретными условиями задачи.
После краткого обзора уравнений упругости будет рассмотрено пласти-
ческое поведение материала в предположении, что деформация не зависит
от времени. Будут обсуждаться критерии, определяющие начало пластиче-
ского течения в условиях сложного напряженного состояния, а также воз-
можность вывода соотношений между напряжением и деформацией на осно-
вании этих критериев. Мы остановимся на способах оценки деформационного
упрочнения, а также на ограничениях, возникающих из-за эффекта Бау-
шингера.
При высоких значениях температуры и напряжения деформация материа-
ла зависит от времени (явление ползучести), поэтому придется внести соот-
ветствующие изменения в определяющие уравнения. При высоких скоростях
нагружения необходимо учитывать влияние инерции. Будет рассмотрено
влияние распространения волн на локальную деформацию при заданных
внешних нагрузках и деформациях.
6.2. ИДЕАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
Для решения задач механики сплошных сред необходимо, чтобы выпол-
нялись условия равновесия для компонент напряжения
। ^021 4-а°31 0
dxi дх-2 <>хз
, ^^22 1 с>х2 0^3 (2.П)
1 _ о
Лг1 ' dx3 <^3
чтобы компоненты деформации можно было выразить через смещения
„ 'lu2 1 d,‘:' ^Z3 dxs ' ’
ди»/ , tix\ ' dx3 ’ (2.25)
F33 = ^ ’ duj du2 dx., ' i)xt ’
www.vokb-la.spb.ru
182
Глава 6
а также чтобы существовало некоторое соотношение между напряжениями
и деформациями. Для изотропного упругого материала, компоненты дефор-
мации которого являются линейными функциями компонент напряжения,
эти соотношения имеют следующий вид:
е ^11 'VO’gg ^’ФзЗ ^23
еп ~j: Ё~ > ¥23 = -g- ,
е ¥Оц , О22 w33 о31 у
---ту---------Ё~’ (й.1Д
ое ТОц W22 о33 __СГ12
езз - ~Е~ ~Ё~'
где
G“2(^- <3-18)
Можно считать, что упругая деформация равномерно распределена
по решетке кристалла. Распределение неупругой деформации менее равно-
мерно, поскольку она вызвана движением дислокаций. В уравнения, связы-
вающих деформацию со смещением, должна входить полная деформация,
имеющая упругую и неупругую составляющие. Например, учитывая пластич
ность и ползучесть, следует писать
deu == de^ 4- deft -|- derlt. (6.1)
В гл. 4 и 5 было показано, что с наступлением неупругой деформации
приобретают значение переменные время и температура. Кроме того, зависи-
мости от напряжения могут оказаться нелинейными. В результате основные
уравнения очень усложняются. Чтобы иметь возможность ими пользоваться,
приходится рассматривать отдельные идеализированные механизмы деформа-
ции. хотя поведение реального материала, вероятно, определяется совокуп-
ностью этих механизмов. Диаграммы напряжение — деформация —время
для некоторых идеализированных механизмов деформации представлены
на фиг. 1.1—1.5.
Например, можно считать, что пластическая деформация наступает сразу
же после приложения нагрузки и сохраняется после ее удаления. Деформа-
ция при ползучести составляет ту часть общей деформации, для развития
которой требуется конечное время. Большая часть этой деформации сохра-
няется после снятия нагрузки, однако может иметь место также упругое
последействие.
Решение вопроса о том, какой из идеализированных механизмов лучше
всего описывает поведение материала, зависит пе только от материала,
но и от условий задачи. Например, уравнения упругая деформация — напря-
жение пригодны в тех случаях, когда заданное значение деформации должно
воспроизводиться в материале многократно, что имеет место при работе
пружин и конструкций, испытывающих вибрации. Эти же уравнения следует
использовать при проектировании конструкций, гарантированных от хруп-
кого и усталостного разрушения, поскольку такую гарантию можно дать
лишь при условии, что во всем объеме материала будет сохраняться упругий
режим деформации.
Предположение о том, что тело является вполне жестким, часто бывает
необходимо для описания движения детали как целого, а также для нахож-
дения сил, действующих на нее. С помощью этого приближения можно удов-
летворительно описывать процессы износа и трения.
Жестко-пластическое приближение полезно для описания больших
деформаций, например при ковке, обработке резанием, а также при изуче-
нии напряжений и деформаций вблизи трещины в пластичном материале.
Оно полезно также при проектировании защитных приспособлспий, которые
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения механики сплошной средн
183
должны воспринимать заданную деформацию и ограничивать величину
нагрузки или ускорения; такими устройствами являются бамперы автомо-
биля, срезные штифты и предохранительные диафрагмы. Жестко-пластиче-
ское приближение также полезно при проектировании конструкций; можно
утверждать, что при нагрузках, несколько меньших тех, которые вызывают
пластическую деформацию больших объемов, деформация по порядку вели-
чины мало отличается от упругой.
Это утверждение получит количественное выражение, если применить
упруго-пластическое приближение, которое может оказаться полезным и при
изучении распространения трещины от вершины острого надреза при усло-
вии, что значение среднего напряжения ниже предела текучести. Упруго-
пластическое приближение следует использовать также при исследовании
остаточных напряжений, возникающих при обработке материала или в ре-
зультате действия на деталь эксплуатационных нагрузок. При больших
пластических деформациях материал можно считать жестко-пластичным при
нагружении и упругим при разгрузке. Упруго-пластическое приближение
необходимо также для изучения явления «отдачи», которое наблюдается при
штамповке деталей из металлических листов.
6.3. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛОЖНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Стремление металла течь под действием сложного напряженного состоя-
ния обычно выражают с помощью функции, зависящей от компонент напря-
жения: течение должно начаться, когда значение этой функции достигнет
величины напряжения, вызывающего
текучесть при испытании на одноосное
растяжение. Эту функцию называют
эквивалентным напряжением х). Пока
еще невозможно вывести функцию для
эквивалентного напряжения теорети-
чески на основании данных о пове-
дении монокристалла. Известны лишь
условия, которым должна удовлетво-
рять эта функция; мы обсудим некото-
рые из них, а затем рассмотрим эм-
пирические функции, удовлетворяю-
щие этим условиям, в сравнении с
экспериментальными данными.
Поскольку течение осуществляет-
ся путем скольжения или двойникова-
Ф и г. 6.1. Влияние промежуточного на
пряжения о22 на течение бикристалла.
ния, а эти процессы вызываются
действием касательных напряжений,
следует предположить, что и экви-
валентное напряжение, вызывающее
течение, должно зависеть от касательных напряжений или от разности
нормальных напряжений. По-видимому, течение должно зависеть от всех
трех разностей нормальных компонент напряжения. В качестве примера
рассмотрим бикристалл (фиг. 6.1). Несмотря на то что поперечная нормаль-
ная компонента напряжения о2з не является ни наибольшей, ни наименьшей,
она участвует в деформировании правого кристалла и тем самым облегчает
пластическое деформирование бикристалла в целом.
Поликристалл, в котором все ориентации зерна равновероятны,
должен быть изотропным, поэтому удобно выбрать координатные оси
х) Для обозначения этой функции используется также равноправный термин «интен-
сивность напряжений».— Прим. ред.
www. vokb- la.spb.ru
184
Гласи в
совпадающими с направлением главных напряжений, обозначаемых uIt
н2 и Оз, так что условия течения можно выразить только через разности
нормальных напряжений без введения касательных компонент напряжения.
Чаще всего эквивалентное напряжение выражают с помощью функции, кото-
рая удовлетворяет изложенным выше требованиям и имеет следующий вид:
о=|/ -^-[(щ,— о3)31 (о3 — о,)2 -! (oi — о,)3]. (6.2а)
Этот критерий связывают с именами нескольких исследователей, которые
независимо друг от друга предложили его: Мизес, Губер и Генки (а также
Максвелл, который упоминал об этом критерии в переписке). Его называют
также критерием энергии формоизменения или критерием октаэдрического
касательного напряжения. Было показано [24], что это напряжение пропор-
ционально среднему квадратичному значению касательных напряжений,
действующих по всем площадкам, проходящим через данную точку. Тем
не менее мы будем считать, что в основном этот критерий носит эмпириче
ский характер. Будем называть его критерием текучести Мизеса.
Часто бывает удобнее пользоваться этим критерием в произвольных
координатах, в которых могут существовать и касательные напряжения.
Можно показать, что при условии существования одной лишь компоненты
касательного напряжения, например сг23, эквивалентное напряжение равно
о = /.Зе;,.
Когда действуют всо компоненты напряжения, эквивалентное напряже-
ние равно
О = {/"4” [(°22—Озз)2 I (Озз — Он.)2 “ (ои — о22)2] + Зсг33 4- Зо^ -LЗо32, (6.26)
или, если выразить его через девиаторы напряжения [соотношения (3.22)1
и использовать правило суммирования (разд. 2.8), формула эквивалентного
напряжения будет иметь следующий вид:
о- (6.26)
Можно показать (см., например, книгу Прагера и Ходжа [281, стр. 40, 44
и 54 русского перевода), что эта формула для эквивалентного напряжения
идентична формуле (6.2а), которая выражает эквивалентное напряжение
через главные напряжения. Таким образом, согласно критерию Мизеса,
течение начинается тогда, когда эквивалентное напряжение станет равным
пределу текучести при одноосном растяжении нт, т. е. когда
о—-от. (6.2в)
Вторая эмпирическая формула для эквивалентного напряжения основана
на разности экстремальных значений главных напряжений. Полуразность
максимального и минимального главных напряжений в любой системе коор-
динат равна максимальному касательному напряжению. По этой причине
второй критерий часто называют критерием максимального касательного
напряжения. Он также назван именами предложивших его исследователей —
Треска и Геста. Согласно этому критерию, течение наступает, когда мак-
симальное касательное напряжение
Т = (6.3а)
станет равно максимальному касательному напряжению! при испытании
на растяжение к
г-.=к. (6.36)
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики синейшей среды
185
Экспериментальные данные для проверки этого критерия можно полу-
чить при испытании тонкостенных труб в условиях одновременного действия
внутреннего давления и осевой нагрузки или в условиях одновременного
кручения и растяжения [или при растяжении плиты с канавками, проточен-
ными под углом к направлению растяжения (в ада ча 6.14)]. Некоторые
данные, полученные в ранних работах, но не утратившие своего значения
и сейчас, представлены на фиг. 6.2. Экспериментальные точки лежат между кри-
выми, соответствующими началу течения, согласно критериям Мизеса и мак-
симального касательного напряжения, но ближе к кривой критерия Мизеса.
Ф и г. (>.2. Течение тонкостенных труб при сложном напряженном состоянии [23J.
Рисунок взят из книги под ред. Крэндрлла и Даля [5]
Геометрическое место точек, соответствующих началу течения, называется
поверхностью течения. На фиг. 6.3 эта поверхность показана для случая,
когда все три главных напряжения не равны нулю.
Критерии Мизеса и максимального напряжения сдвига не применимы
к анизотропным материалам. Хилл [14] обобщил критерий Мизеса на случай
ортотропного металла
а = {т/Tg К°22— Озз)2 6' (о33 — о1()2 Н (оц — O22)2] -
+ L<4.r'; ryVo?2} S-
(6.4)
Значения коэффициентов G и Н, относящихся к нормальным напряже-
ниям, известны, но все пять коэффициентов в формуле (6.4) удалось опреде-
лить лишь для нескольких случаев (задача 6.3).
Представление о функции течения и поверхности течения, введенное
для случая напряжений, действующих в точке, можно распространить
на большие объемы материала. Например, при расчете брусов и балок
часто удобнее рассматривать внешние осевые нагрузки или изгибающие
и крутящие моменты, чем распределение напряжений в самом элементе.
Сказанное представляет обобщение утверлщепия о том, что в поликристал-
лическом материале легче поддаются учету средние напряжения, чем локаль-
ные напряжения, возникающие внутри зерен или вблизи дислокаций. Для
www. vokb- la. spb. ru
Глава (>
Ф и г. 6.3. Геометрическая интерпретация критериев Мизеса и максимального касатель-
ного напряжения в пространстве главных напряжений [5J.
длинного бруса можно представить графически те комбинации значений
осевой нагрузки и крутящего момента, которые вызывают течение. Для
таких построений нужно провести теоретические расчеты, которые могут
потребовать знания соотнопгений между напряжением и деформацией (о них
будет сказано ниже).
6.4. ВЛИЯНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПА
ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ДЕФОРМИРУЮЩЕЕ НАПРЯЖЕНИЕ
В процессе пластической деформации кристалла напряжение, вызываю
щее пластическое течение, которое называют напряжением течения * 2), как
правило, возрастает. Это объясняется тем, что движение дислокаций все
больше затрудняется из-за присутствия других дислокаций на тех же плоско-
стях скольжения (или пересекающих их плоскостях) или из-за блокировки
дислокаций растворенными атомами, выделениями, сплетениями дислока-
ций, а также границами зерен, фаз и двойников. Дислокационная структура
зависит от предшествующей пластической деформации. Следовательно, влия-
ние деформации на эквивалентное деформирующее напряжение необходимо
рассматривать в двух аспектах [18]: влияние пластической деформации
на дислокационную структуру и зависимость эквивалентного напряжения
от этой дислокационной структуры. Однако далеко не все известно об этих
зависимостях, хотя уже ясно, что такие зависимости будут сложны. Поэтому
необходимо сочетать оба указанных аспекта и найти эмпирические соотно-
шения, непосредственно выражающие зависимость эквивалентного деформи-
рующего напряжения от предшествующей пластической деформации. Знания
о поведении дислокаций используются при выборе функций, описывающих
указанные соотношения, хотя исторически эти функции были пред-
ложены раньше, чем было введено понятие дислокации.
Предполагается, что материал сохраняет изотропию, поэтому искомое
выражение может включать главные компоненты пластической деформации.
Поскольку объем материала при деформировании остается постоянным (если,
пренебречь эффектами второго порядка в ядрах дислокаций), деформацион-
*) Более четким был бы термин «сопротивление течению» (flow strength), так как
он характеризует состояние материала, но его не следует смешивать здесь с какой бы то
ни было силой на единицу площади в момент наступления течения. Однако, чтобы не пу-
тать это понятие с понятием «сопротивление разрушению» (fracture strength), обычно
пользуются термином «напряжение течения» (flow stress).
2) В русском переводе для этого понятия исполь'уется термин «деформирующее
напряжение».— Прим. реО.
www. vokb- la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
187
ное упрочнение должно зависеть от разности компонент пластической дефор-
мации, а не от их абсолютных величин. Кроме того, известно, что деформа-
ционное упрочнение возникает даже в том случае, если металлический обра-
зец деформируют сначала в одном направлении, а затем в противоположном
и при этом восстанавливается исходная форма образца. Следовательно, дефор-
мационное упрочнение не зависит непосредственно от величины полной
деформации, а зависит от монотонно возрастающей суммы бесконечно малых
приращений пластической деформации. Всем этим условиям удовлетворяет
предположение о том, что эквивалентное напряжение зависит от эквивалент-
ной деформации, которая выражается через компоненты так же, как и экви-
валентное напряжение, но с числовым множителем. Последний выбирается
из условия, что произведение эквивалентных напряжения и деформации
.должно быть равно работе пластического деформирования при одноосном
растяжении и чистом сдвиге (задача 6.4) г):
J = J {|[«-^-|-(...г + (...Г] +
, бМ’з)2 . (rfy?,)2 , 1/2
з 1 з з J •
(6.5а)
.Множитель 2/а делает эквивалентную деформацию при одноосном растяжении
равной осевой нормальной компоненте деформации (задача 6.5). Интег-
рал в уравнении (6.5а) берется по всей
деформации, воспринятой образцом с мо-
мента последнего отжига.
Выражая пластическую деформацию
через тензорные компоненты, получим
г/с1' = j J/ dEijdEtj.
(6.56)
Для материала, течение которого
определяется критерием максимального
касательного напряжения, также оказы-
вается удобнее (разд. 6.5) выразить экви-
валентную деформацию так, чтобы про-
изведение экивалентных деформации и
напряжения равнялось работе пластиче-
ской деформации. Условимся, что под
главной компонентой скольжения будем
понимать деформацию сдвига, отнесенную скольжения.
к плоскости, составляющей 45° с парой
главных направлений (фиг. 6.4). Любая пара главных компонент скольже
ния может быть выражена с помощью любой комбинации главных компонент
деформации. Пусть символ | ds | означает абсолютную величину максималь-
ной главной компоненты деформации; выбрав соответствующим образом
две главные компоненты скольжения, показанные на фиг. 6.4, можно
с их помощью выразить все главные нормальные компоненты деформации:
|йу*>| = 2реР|,
(6.6)
х) Доказательство для общего случая требует знания уравнений напряжение —
деформация (6.16) ([14], стр. 42 русского перевода).
www.vokb-la.spb.ru
188
Глава 6
Будем считать эквивалентную деформацию сдвига равной сумме абсо-
лютных величин главных компонент скольжения
j dy" —- j | dyft | -i- | | = j 21 de£aKC I . (6.7)
Первое из этих двух равенств более наглядно, второе более компактно.
Уравнение (6.7) может рассматриваться как определение энергетически
эквивалентной деформации сдвига, так как если для начала течения по каж-
Ф и г. 6.5. Результаты испытаний отожженных медных труб при сложном напряже ином
состоянии и кривые напряжение — эквивалентная деформация J dnl‘ и напряжение —
энергетически эквивалентная деформация dyP [7J.
1 — эквивалентное деформирующее напряжение - - эквивалентная деформация, deJJ; 2 —• макси-
мальное касательное деформирующее напряжение ft. — энергетически эквивалентная деформации
сдвига (равная удвоенному абсолютному значению деформации).
дой из двух главных плоскостей сдвига требуется максимальное касательное
напряжение т (разд. 6.5), то приращение работы пластической деформа-
ции составит (задача 6.7)
dW' zdy1’. (6.8)
С другой стороны, если на второй главной плоскости сдвига касательное
напряжение равно пулю, то работа будет равна
dli7” - т cfyMai!C. (6.9)
Мы утверждаем, что эквивалентное деформирующее напряжение зависит
от соответствующей эквивалентной деформации, т. е. течения не будет,
пока эквивалентное напряжение не станет равным эквивалентному дефор-
мирующему напряжению, которое в свою очередь зависит от эквивалентной
деформации.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения механики сплошной среды
189
Для критерия Мизеса, используя символ сгт для эквивалентного дефор-
мирующего напряжении, постулируем, что течение наступает при
(6.10)
Если же используется критерий максимального касательного напряжения,
постулируем, что течение наступает, когда
i = k ( ( dy'1) =тт ( J dy} • (6.11)
На фиг. 6.5 приведены данные для проверки справедливости этих урав-
нений; данные получены в результате испытания отожженных медных труб
<1> и г. 6.6. Диаграммы деформации для попеременного растяжения и кручения в зависи-
мости от эквивалентной деформации и от энергетически эквивалентной деформа-
ции сдвига dyi' [30].
Обозначения те же, что на фиг. 6.5.
при совместном действии внутреннего давления и осевой нагрузки. Откло-
нение экспериментальных значений от теоретических для случая критерия
Мизеса (кривая 7) составляет ± 5%, причем при малых деформациях
соответствие лучше, чем при больших; вероятно, в последнем случае больше
сказывается анизотропия. Справедливости ради следует отметить, что на кри-
вую максимальное касательное напряжение — максимальная деформация
сдвига (кривая 2), соответствующую формуле (6.9), точки ложатся лучше
при больших значениях деформации. Является ли это общей закономерностью
или случайным эффектом анизотропии, характерным для данного случая,
покажут дальнейшие экспериментальные исследования.
Более точную оценку справедливости концепции эквивалентных напря-
жения и деформации можно получить, если во время испытания изменять со-
отношение между компонентами напряжения, например после растяжения
образца испытывать его кручением. Результаты такого эксперимента предста-
влены на фиг. 6.6. Критерий Мизеса оказывается более удовлетворительным,
www. vokb- la. spb. ru
190
Глава 6
и хорошее соответствие экспериментальной и теоретической кривых наблю-
дается на протяжении всего испытания, за исключением собствен-
но моментов изменения напряженного состояния.
Еще более строгую проверку обеспечивают испытания, при которых
знак напряжения полностью изменяется. Наблюдения Баушингера показали
(разд. 5.8), что для обратного пластического течения требуется меньшее
напряжение. Это подтверждают результаты экспериментов по реверсивному
закручиванию (фиг. 6.7).
Первым нескольким процентам пластической деформации в обратном
направлении соответствует пониженное значение напряжения, а затем
Ф и г. 6.7. Знакопеременное кручение тонкостенных медных труб, отожженных врп
350° С.
напряжение становится по величине приблизительно таким же, каким оно
было при аналогичной экививалентной деформации до изменения знака.
Таким образом, эффект Баушингера проявляется при деформациях, боль-
ших, чем упругие, но значения этих деформаций гораздо меньше единицы.
6.5. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ПРИРАЩЕНИЕМ
ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
До сих пор мы ограничивались рассмотрением соотношения между
эквивалентной деформацией и эквивалентным деформирующим напряжением.
Другими словами, мы считали деформацию только скалярной величиной.
Рассмотрим теперь, как абсолютная величина деформации распределяется
между различными компонентами приращения деформации. Это распреде-
ление определяется не столько значением эквивалентного напряжения,
сколько величинами его компонент. Соотношения между компонентами при-
ращений деформации и напряжения могут быть выведены на основании
представления о поверхности течения и с учетом микромеханизмов пласти-
ческого течения.
Во-первых, текущая величина напряжения определяет направление дви-
жения дислокаций лишь в момент приложения напряжения. Следовательно,
текущее напряжение определяет лишь текущие приращения деформации,
а не полную деформацию, как это имело место в теории упругости. Во-вто-
рых, надо обсудить, правильно ли представление о том, что пластическое
течение или сдвиг в данной точке зависит исключительно от величины напря-
жения в этой точке и не зависит от напряжений в окрестности этой точки.
Для очень малых областей это утверждение несправедливо.
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
191
Рассмотрим фиг. 6.8. Дислокации, зарождающиеся в точке S, к моменту
блокировки успевают пройти на плоскости скольжения довольно большие
расстояния. Если контролирующим фактором является напряжение, которое
вызывает активацию источника, тогда пластическое течение в точке Р
на линии скольжения определяется не только напряжением, действующим
в точке Р, но (в еще большей степени) и напряжением, действующим
на источник дислокаций S. Кроме того, само понятие пластической дефор-
мации предполагает, что значение последней должно определяться величиной
средних смещений в достаточно больших областях, содержащих много линий
скольжений. Следовательно, можно говорить о справедливости представле-
ния о существовании критического напряжения сдвига и соотношения между
f P-L d
Ф и г. 6.8. Иллюстрация зависимости деформации в окрестности точки Р от напряжения
в источнике дислокаций S.
напряжением и деформацией лишь для областей, размеры которых больше
среднего расстояния между источниками дислокаций и среднего пути дислока-
ций или длины полосы скольжения, созданной лавиной дислокаций.
Ф и г. 6.9. Кристалл при двухосном
пап ряженном состоянии.
Ф и г. 6.10. Поверхность текучести и
соответствующее приращспис деформа-
ции для кристалла, представленного
на фиг. 6.9.
Выбрав достаточно большой объем, в котором приращение деформации
зависит только от локального напряжения, мы вернемся к вопросу о связи
между поверхностью течения и соотношениями напряжение — деформация
для монокристалла. Рассмотрим кристалл, у которого плоскости скольжения
перпендикулярны оси а, а направление сдвига параллельно оси (3, как
показано на фиг. 6.9. Пусть требуется выяснить, как влияют на течение
кристалла две нормальные компоненты напряжения, составляющие угол 0
с указанными осями. Обозначив через ка$ касательное напряжение, вызы-
вающее течение в системе скольжения а, р, можно построить поверхность
текучести при пластической деформации (фиг. 6.10), выраженную через
нормальные компоненты деформации (задача 6.8). Можно также пред-
ставить и собственно пластическую деформацию, проведя из точки, характе-
ризующей напряженное состояние, короткий вектор, компоненты которого
пропорциональны соответствующим приращениям деформации и rie22.
Эти приращения определяются из следующих условий (см. также разд. 4.10):
www.vokb-la.spb.ru
192
Глава 6
если для осуществления пластического деформирования необходимо действие
приведенного касательного напряжения та в, то соответствующее приращение
деформации равно dya в. Оказывается, что вектор, представляющий прира-
щение деформации, перпендикулярен поверхности течения (задача 6.9).
Скольжение и двойникование по другим кристаллографическим пло-
скостям, как правило, также накладывают ограничение на величину напря-
жения, при котором в кристалле еще не наступает пластической деформации.
На фиг. 6.10 появится дополнительная пара линий, а на трехмерной диаграм-
ме — пара дополнительных плоскостей. Поверхность текучести превращается
в многогранник (в проекции — многоугольник). Если напряженное состоя-
ние соответствует точке на одной из сторон многоугольника, то будет дейст-
вовать только одна система скольжения. Если напряженное состояние соот-
ветствует одной из вершин многоугольника, то скольжение может происхо-
дить по двум кристаллографическим плоскостям, соответствующим сторонам
многоугольника, исходящим из этой вершины. Аналогичные утверждения
справедливы для шестимерного полиэдра, с которым приходится иметь дело
при рассмотрении всех компонент напряжения.
Итак, компоненты приращения деформации, представленные в виде
векторов в шестимерпом пространстве напряжений, всегда перпендикулярны
поверхности течения; это утверждение выражает принцип максимального
сопротивления пластическому деформированию г), который гласит: каждому
приращению пластической деформации при данном напряженном состоянии
соответствует приращение работы, которое равно или больше значения ра
боты, совершаемой приращением деформации при любом другом нап-
ряженном состоянии, соответствующем области, ограниченной поверхнос-
тью текучести или на самой поверхности текучести. Это утверждение
может быть записано в виде следующего неравенства:
з .ч
2 2 (огу-оЬ)^>0, (6.12)
i-1 .<-«1
где of; определяет напряженное состояние, соответствующее поверхности
текучести или области, ограниченной ею а).
Теперь покажем, следуя рассуждениям Бишопа и Хилла (И, что прин-
цип максимального сопротивления пластическому деформированию справед-
лив не только для деформации, вызванной скольжением по единственной
кристаллографической системе, но также и для деформации при одновремен-
ном скольжении по многим кристаллографическим системам не только
в монокристалле, но и в агрегатах, состоящих из многих монокристаллов.
Принцип максимального сопротивления пластическому деформированию
справедлив независимо от того, через какие величины выражается работа:
через напряжение и деформацию или через обобщенные величины — силы,
изгибающие моменты, удлинения и повороты.
Полная работа, совершаемая во время скольжения по нескольким
кристаллографическим плоскостям, вызывающая полную деформацию ,
равна
3 3
dW" 2 Oijdelp (2.41)
i -l j=i
Полную деформацию можно представить в виде суммы приведенных к коор-
динатным осям i, j компонент деформаций deaB, которые вызваны скольже-
2) Этот термин используется также в другом смысле, как это отмечается в разд. 9.5.
2) Эта формулировка эквивалентна формулировке принципа максимума скорости
диссипации механической энергии (см., например, Ивлев Д. Д., Теория идеальной
пластичности, изд-во «Наука», 1966).— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Основные уравнения механики, сплошной среды 193
нием по различным системам а, р1):
d^ij — 2 tZcQpZjaZjp,
а, р
причем максимальные значения индексов суммирования аир равны дейст-
вительному числу систем скольжения (а не трем, как обычно). Работа,
совершаемая против напряжения ст,,, определяется выражением
3 3
dWp = 2 V Vo..Z.aWePp,
<1, ₽ i—1 j—1
Применив правило преобразования компонент напряжения для опреде-
ления напряженного состояния на каждой из кристаллографических систем
скольжения, получаем
dW“ = V ОаРг/Еар.
а, р
Работа, которая была бы произведена во время пластического деформирова-
ния в условиях напряженного состояния о«р, соответствующего области,
ограниченной поверхностью течения, равна
а, р
Следовательно, разность значений работ, совершенных в условиях действи-
тельного напряженного состояния и любого другого состояния, соответствую-
щего поверхности течения или области, ограниченной этой поверхностью,
определяется как
dW1' - dWv* = У (цаР - ogp) d^. (6.13)
a. P
Поскольку все члены в правой части уравнения (6.13) больше нуля, мы
можем утверждать, что принцип максимального пластического сопротив-
ления доказан для случая одновременного скольжения по нескольким
системам в кристалле. Если этот принцип справедлив для любого элемента
в монокристалле, он должен быть справедлив и для совокупности многих
элементов при условии, что каждый из них находится в равновесии и не об-
ладает кинетической энергией. Продолжая обобщение, мы можем утверждать,
что работа, соответствующая заданной пластической деформации поликри-
сталла или даже целой конструкции, будет больше, чем работа, соответствую-
щая любому воображаемому напряженному состоянию, которое находится
в равновесии с внешними силами и описывается либо самой поверхностью
течения, либо ограничиваемой ею областью в любой точке тела. В качестве
примера рассмотрим поликристаллический элемент достаточно больших раз-
меров, для которого справедливо обычное определение напряжения и дефор-
мации. В этом случае принцип максимального сопротивления пластическому
деформированию выразится следующим образом:
л .3
У 2 (°ы - Gij) deft > 0. (6.14)
i j
Неравенство (6.14) аналогично по форме неравенству (6.12), но имеет
другой смысл: в (6.12) входят напряжение и дефомация, соответствующие
2) Для произвольной пластической деформации существует пять независимых
компонент деформации (шестая определяется из условия несжимаемости). Следовательно,
долито существовать по крайней мере пять независимых систем скольжения. В каменной
соли не всегда имеется пять независимых систем, поэтому она может быть хрупкой в поли-
кристаллическом состоянии (см., например, работу Грувза и Келли [13]).
13—92
www.vokb-la.spb.ru
194
Глава 6
Фиг. 6.11. Доказательство невозмож-
ности существования вогнутой поверх-
ности течения.
Поскольку (с—о**) de,J > 0, то прираще-
ние деформации должно быть нормально
к поверхности текучести и вогнутая поверх-
ность (показанная пунктиром), соответствую-
щая напряжению о**, невозможна.
малой области внутри зерна, а в (6.14)— значения этих величин, усреднен-
ные по многим зернам.
Существует другой вывод принципа максимального сопротивления пла-
стическому деформированию — на основании утверждения о том, что вся-
кому приращению пластической деформации, требующему небольшого при-
ращения напряжения, всегда должна соответствовать положительная работа,
совершаемая внешними напряжениями в процессе возрастания соответствую-
щих перемещений [81. Автор предпочитает первый вывод, поскольку оп
более непосредственно связан с дислокационными механизмами пластичес-
кой деформации.
Принцип максимального сопротивления пластическому деформированию
имеет следствия. Во-первых, поверхность течения никогда не может быть
вогнутой. Во-вторых, поверхности те-
чения должны соответствовать уравне-
ния, связывающие напряжение и де-
формацию. Чтобы сделать эти утверж-
дения более очевидными, необходимо
представить напряжение и деформацию
в виде векторов в многомерном про-
странстве. Эти величины, с одной сторо
ны, можно считать векторами, поскольку
они выражаются через компоненты;
с другой стороны, их нельзя считать
векторами, поскольку правила преобра-
зования этих величин от одной си-
стемы координат к другой отличаются
от правила преобразования векторов,
но для нашего доказательства это не
существенно. Работу пластической де-
формации можно представить в виде
скалярного произведения вектора на-
пряжения на вектор приращения дефор-
мации в соответствии с уравнениями
(2.37) и (2.41). Тогда принцип максималь-
ного сопротивления пластическому де-
формированию выразится в том, что-
это скалярное произведение должно быть всегда положительным. Отсюда
следует, что поверхность течения не может стать вогнутой (фиг. 6.11). Вектор
приращения деформации, соответствующей данной точке поверхности тече-
ния, должен быть всегда перпендикулярен к поверхности в этой точке;
исключение составляют острые углы на поверхности течения, в этом случае
существует интервал возможных векторов приращения деформации, ограни-
ченный двумя нормалями к сторонам, составляющим указанный угол.
(Иллюстрацией последнего утверждения для поверхностей течения, соответ-
ствующих критериям Мизеса и максимального напряжения сдвига, является
фиг. 6.12.) Аналогичные рассуждения справедливы и для шестимерного
пространства, в котором представлены все компоненты напряжения
и деформации.
Из условия перпендикулярности вектора приращения деформации
поверхности течения вытекают два важных следствия. Во-первых, если экспе-
римент позволяет пе только констатировать пластическое течение, но и опре-
делить соответствующие ему приращения пластической деформации, то это
значит, что известна не только точка на поверхности течения, по также
и линия (перпендикулярная к вектору приращения), позади которой должна
находиться поверхность течения. Во-вторых, подразумевается существова-
ние соотношений, связывающих напряжение и деформацию, поскольку
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
195
приращения деформации пропорциональны компонентам внешней нормали
к поверхности течения. Эти соотношения можно выразить через частные
производные (задача 6.11)
= (6.15)
йсг/йсгц де/йа22 <?o/cta23
где гй. — скалярный коэффициент пропорциональности. Уравнение (6.15)
выражает ассоциированный закон течения. Для случая критерия Мизеса,
определив скаляр dk из условий равенства приращений эквивалентного
Ф и г, 6.12. Иллюстрация условия перпендикулярности вектора приращения деформации
к поверхности течения.
с — критерий Мизеса; б - критерий максимального касательного напряжения,
напряжения приращению напряжения па кривой деформации при одноосном
растяжении, получаем более простое выражение для ассоциированного закона
течения (задача 6.12):
de? = [пп — (игг + о33)] с!е‘7аТ,
= .. -,
(?уР3 = Зо23(/ег/от. (6.16а)
(Zyp = ... .
Эти соотношения могут быть выражены также через девиаторы напряжения
(задача 6.13)
de,ij — 3s;//e'72c,. (6.166)
Полезно сравнить уравнения (6.16а) с соответствующими уравнениями
для напряжений и упругих деформаций (3.19). Уравнения (6.16а) отли-
чаются, во-первых, тем, что в них входят не деформации, а приращения
деформации. Физический смысл этого следующий: данное напряженное
состояние определяет только вызванное им движение дислокаций и нс отра-
жает предшествующего ему движения дислокаций, которое привело к дан-
ной деформации. Во-вторых, коэффициент Пуассона в условиях упругости,
13*
www. vokb- la. spb. ru
196
Глава 6
приблизительно равный 0,3, становится равным 0.5 при пластической дефор-
мации, поскольку движение дислокаций приводит к незначительным изме-
нениям объема. Наконец, множитель de'’/о^ является аналогом величины,
обратной модулю упругости.
Уравнения (6.16) были проверены экспериментально путем испытаний
тонкостенных труб при различных комбинациях растяжения, кручения
и внутреннего давлепия (см., например, работы Дэвиса [7] и Филлипса
и Грэя (261). Существует весьма остроумный способ испытания, при котором
с целью задания определенного деформированного состояния в листовом
образце протачивают плоскодонные канавки под углом к оси образца. Для
определения отношения значений двух компонент деформации в области
канавок требуется несложное оборудование, возможно также исследование
анизотропии (задача 6.14).
Надо помнить, что рассмотренные выше уравнения напряжение —
деформация не учитывают эффекта Баушингера, который играет роль не
только при полном изменении знака нагрузки, но также может оказывать
существенное влияние при изменении напряженного состояния, например
при переходе от растяжения к сдвигу (разд. 6.4). Вопросу о том, как изме-
няется форма поверхности текучести в этих условиях, посвящено большое
количество работ (см., например, работы Друккера [81, Филлипса и Грэя
126], Щспиньского 1321 и приводимую этими авторами библиографию).
Данные работы Ленского [21] по влиянию указанных эффектов на уравне-
ния напряжение — деформация не укладываются в рамки ассоциирован-
ного закона течения. Однако уравнения (6.16) хорошо описывают поведение
материала вплоть до более чем 1%-ных деформаций, воспринятых материа-
лом с момента последнего изменения напряжения; впоследствии начинает
сказываться анизотропия, вызванная холодной деформацией.
Для описания этой стадии следует использовать соотношения между
напряжением и деформацией с учетом анизотропии, которые можно написать
лишь в том случае, когда удается построить поверхность текучести для ани-
зотропного материала, как, например, условие (6.4) ([14], стр. 361 русского
перевода). Соотношения между напряжениями и деформациями получаются
громоздкими, если их выразить с помощью критерия максимального каса-
тельного напряжения и ассоциированного закона течения. Проще всего
описать деформацию, сказав, что она представляет собой чистый сдвиг
в тех же координатах, в которых определено максимальное касательное
напряжение. Однако это описание не может однозначно характеризовать
условия, соответствующие углам поверхности текучести, определяемой
критерием максимального касательного напряжения (фиг. (5.12). Например,
при испытании на растяжение одно и то же максимальное касательное
напряжение может быть результатом действия различных пар главных
напряжений, т. е. может активироваться любая комбинация главных компо-
нент скольжения. Чтобы это учесть, было введено представление об энерге-
тически эквивалентной деформации сдвига [уравнение (6.7)1.
В некоторых случаях математически удобнее работать с уравнениями,
в которые входят сами деформации, а не приращения деформаций. При этом
уравнения Мизеса, или течения (6.16), заменяются на уравнения Гемки, или
уравнения деформации. Очень часто отношения компонент деформации в про-
цессе деформирования столь мало изменяются, что решения уравнений Генки
оказываются вполне пригодными для технических целей [2].
Одним из главных достоинств ассоциированного закона течения является
то, что он справедлив пе только для соотношений напряжение — деформа-
ция, но и для описания поведения конструкции в целом. Как отмечалось
в разд. 6.3, критерий текучести для элементов конструкции можно выра-
зить с помощью обобщенных нагрузок, под которыми можно понимать силы,
а также изгибающие или крутящие моменты. В этом случае принцип мак-
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
197
симального сопротивления пластическому деформированию будет справед-
лив, если рассматриваются и соответствующие компоненты деформации,
поскольку работа, совершаемая над конструкцией, должна быть равна
произведению обобщенной нагрузки на соответствующую ей обобщенную
деформацию. Выбор обобщенных нагрузок и деформаций аналогичен выбору
обобщенных координат в уравнениях Лагранжа в механике твердого тела;
этот вопрос обсуждается, например, в книге Байерли [3]. Здесь мы приво-
дим лишь конечные выводы.
Рассмотрим обобщенные нагрузки (силы, изгибающие или крутящие
моменты Qi) и обобщенные приращения пластической деформации (удлине-
ния, кривизну или повороты dq(); тогда работа пластической деформации
будет определяться соотношением
dW>’ = [ QidqidV. (6.17)
г
Если поверхность течения имеет вид
Q(Qt, Qz, ...) = 0, (6.18)
то отношения между приращениями деформации можно выразить следую-
щими равенствами:
oQ;OQl dQ'dQz
= dk
(6.19)
В качестве примера предлагается задача 6.15.
6.6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
Ползучесть представляет собой процесс пластического течения, зави-
сящий от времени, поэтому логично предположить, что соотношения между
напряжениями и деформациями при ползучести материала будут аналогичны
соответствующим соотношениям для пластической деформации с той лишь
разницей, что в уравнения ползучести будут входить не прирашепия дефор-
мации, а скорости деформации ползучести. Испытания на ползучесть при
растяжении позволяют приближенно определить скорость ползучести в зави-
симости от величины напряжения и температуры. В условиях сложного
напряженного состояния определяют эквивалентную скорость деформации
ползучести и эквивалентное напряжение. Различные компоненты скорости
деформации ползучести можно определить с помощью уравнений, которые
но форме аналогичны уравнениям Мизеса. Поскольку эти уравнения должны
определять скорость ползучести и поскольку процесс ползучести может
протекать при любом напряжении, вместо эквивалентного деформирующего
напряжения стт в уравнения входит эквивалентное напряжение ст:
~ [°" - 4 (^+°зз) ]
3М44/°) и т- д-
(6.20)
Эти уравнения, как и уравнения для приращений пластической деформации,
справедливы лишь при условии, что явлениями типа эффекта Баушингера
можно пренебречь. В действительности же при малых деформациях дисло-
кационная структура зависит от деформационной предыстории материала,
поэтому и форма поверхности текучести также зависит от предшествующей
деформации. Имеется и другое ограничение, существенное для ползучести:
если структура материала не является равновесной при данной температуре,
www. vokb- la. spb. ru
198
Глава 6
то во время испытания на ползучесть будут происходить структурные изме-
нения, которые представляют собой также следствие деформационной
предыстории. При расчетах на ползучесть очень часто приходится учиты-
вать деформации, в несколько процентов или даже равные (но порядку
величины) упругим деформациям, поэтому применимость соотношений между
напряжениями и деформациями при ползучести еще более ограничена, чем
применимость аналогичных уравнений, описывающих пластическую дефор-
мацию. Дальнейшие сведения о ползучести читатель может получить в обзо-
рах Финни и Хеллера [11] и Одквиста и Халта [25] г).
6.7. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Многие конструкции испытывают действие быстро возрастающих нагру-
зок, по этой причине становится невозможным не учитывать инерционные
члены в уравнении движения (2.13). При быстром нагружении через мате-
риал проходят волны напряжений. Сначала рассмотрим волну, возникающую
Фиг. 6.13. Силы, действующие па элемент бруса при ударе.
в результате удара и распространяющуюся вдоль длинного прутка упруго-
пластического материала. Для элемента, показанного на фиг. 6.13, силы,
действующие на каждый из концов, выражены через условное напряжение,
которое представляет собой силу, отнесенную к единице исходной площади
поперечного сечения и действующую в направлении исходной координаты
я’. Тогда уравнение движения примет вид
д^и.
"йДГ' = Р-^2_ '
(6.21)
Это уравнение можно записать так, чтобы в него входил касательный
модуль — производная от напряжений по условной деформации (условная
деформация — приращение единицы первоначальной длины)
da?, <12иЛ d2ut о.-.
= ’ <6-22>
Уравнение (6.22) аналогично уравнению распространения упругих волн
за тем лишь исключением, что касательный модуль при изменении деформа-
ции doa/de° не является постоянным, а зависит от величины деформации.
Оказывается, что каждое приращение деформации распространяется со ско-
ростью, которая соответствует текущей величине тангенса угла наклона
касательной к кривой напряжение — деформация [151:
С (89)= (
d [о« (to)] /defi
Р
На фиг. 6.14 представлена зависимость скорости распространения дефор-
мации от ее величины, рассчитанная на основании кривой напряжение —
деформация для отожженной медной проволоки. Примечательно, что при
(6.23)
х) См. также фундаментальные руководства на русском языке: Качанов Л. М.,
Теория ползучести, Физматгиз, 1960; Работнов IO. Н., Теория ползучести, изд-во
«Наука», 1967; Р ж а н и ц ы н А. Р., Теория ползучести, Стройиздат, 1968.— Прим. ред.
www. vokb- la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
199
однородной деформации (16%), при которой кривая напряжение — дефор-
мация почти параллельна оси абсцисс, скорость распространения волн
также равна нулю. Это означает, что при ударе, вызывающем такую дефор-
мацию, пластическая деформация распространяться не будет, вместо этого
вблизи точки приложения нагрузки образуется шейка.
Если по прутку наносят удар с постоянной скоростью V, величина дефор-
мации должна быть такой, чтобы процесс деформирования материала,
заключающийся в распространении упругих и пластических волп, мог вос-
произвести скорость внешнего нагружения. Если через материал прошла
Ф и г. 6.14. Скорость распростра-
нения пластической деформации с
в отожженной меди [S].
Скорость звука в меди с — 3800 л/сск.
Время от начала движения
Ф ц г. 6.13. Изменение деформации во
времени при низкоскоростном ударе.
волна, создающая приращение деформации de° и имеющая скорость с, то
скорость деформации этого материала возрастает на величину
с/1 .(6-24)
Слсдовательпо, величину условной деформации е®, которая может быть соз-
дана ударом со скоростью V, можно определить из следующего выражения:
j c(E°)rfe0.
о
(6.25)
Формулы (6.23) и (6.25) позволяют оценить, действительно ли процесс
является динамическим. Если скорость «удара» достаточно мала, то нагру-
жение будет восприниматься как серия упругих волн, которые по нескольку
раз отражаются в образце. Деформация в точке будет возрастать во времени
так, как это показано на фиг. 6.15. Если созданные этими волнами при-
ращения деформации малы по сравнению с ее конечной величиной, можно
использовать обычные представления, пригодные для случая статических
напряжений, и скорость деформации можно считать равной скорости «удара»,
деленной на длину образца. Поскольку скорость распространения упругих
волн в стали составляет ~5000 м!сек (задача 6.16), обычное «ударное
испытание» стального образца, при котором ударная головка падает с высоты
2 м и разрушает образец, оказывается статическим испытанием, поскольку
в образце до наступления течения может пройти несколько волп (зада-
ч а 6.17). Динамические эффекты будут иметь большое значение для свин-
ца, обладающего низким пределом текучести (задача 6.18).
www. vokb- la .spb. ru
200
Глава 6
В трехмерном теле отдельные компоненты волн напряжения распро-
страняются с различными скоростями. В обзоре, посвященном волнам
напряжений в твердых телах, Кольский [15] показал, что волны гидростати-
ческого напряжения во внутренних объемах твердого тела распространяются
со скоростью продольных волн
7?-MG/3 \*/г
Р /
(6.26)
а волны касательных напряжений — с более низкой скоростью поперечных
волн
(6.27)
В то же время волны, распространяющиеся по поверхности полубесконеч-
ного тела, имеют скорость волн Рэлея, составляющую 0,92—0,95 скорости
Ф и г. 6.16. Сравнение наблюдаемого распределения деформации с данными теории
для медного прутка длиной 2000 мм при скорости удара 33 м/сек и продолжительности
удара 1,5 мсек [19J.
1 — теория, учитывающая влияние скорости деформации (качественная оценка); 2 — теория, не учиты-
вающая влияния скорости деформации; .? — экспериментальные данные Дувеза и Кларка [3].
поперечных волн при значениях v, равных 0,25—0,5. Когда материал про-
являет зависимость свойств от времени, приведенный выше анализ должен
быть модифицирован.
Рассмотренная нами теория деформаций при ударе удовлетворительно
описывает поведение материала при условии, что деформации велики, а влия-
ние скорости деформации незначительно (фиг. 6.16). Если деформация мате-
риала зависит от времени или от скорости деформирования, теория не
является вполне удовлетворительной, однако позволяет предсказывать пове-
дение материала в целом. Стернгласс и Стюарт [311 показали, что влияние
скорости деформирования следует учитывать при рассмотрении поведения
предварительно деформированного прутка во время приложения малых
дополнительных ударных нагрузок; по-видимому, приращение напряжения,
вызванное повышением скорости деформации, распространяется упруго.
Пласс и Вонг 127] проанализировали случай нелинейной зависимости дефор-
мации от скорости деформирования, однако их результаты плохо коррели-
руют с данными однократных испытаний на удар (фиг. 6.16). Рипарбеллй
[29] и Ленский и Фомина [221 предложили теорию, основанную на гипотезе
об исходной упругой волне с последующей релаксацией. Судя по данным
www. vokb- la .spb. ru
Основные у равнения механики сплошной среды 201
работ [4, 6, 16, 20], окончательно еще не ясно, сколь велики расхождения
между этими теориями и данными эксперимента. Мы рекомендуем в первую
очередь прочесть обзор Ли [19]. Более полный обзор динамических явлений
при ударе дан Гольдсмитом (12], обзор более поздних результатов приведен
в сборнике под редакцией Кольского и Прагера [17] 2).
6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Напряженное состояние любого материала должно удовлетворять урав-
нениям равновесия или движения
д<Т21 . ^31
д.т, 1 дх2 0x3
д2и.
ит-;t-’
(2.13)
или
д2и j
(2.13)
Деформированное состояние и скорость деформации должны быть таковы,
чтобы их компоненты можно было определить по трем компонентам смеще-
ния или скорости
или
ди, ди» . 8и->
— И т. д,
(2.25)
(2.23)
1
Cfj- 2
Уравнения напряжение — деформация — время — температура, или
определяющие соотношения, представляют третье условие, выполнение
которого необходимо для отыскания распределения напряжений и дефор-
маций. Для изотропного упругого материала зти уравнения следующие:
e['i=(<7ii —w£2 —vffg3)/£, -\’2s = &&'G и т. д., (3.19)
где
Для общего случая анизотропии с учетом термического расширения
определяющие уравнения приобретают вид
eij = Sijki<4i + aij&T- (3-9)
При описании пластически деформированного материала деформация
будет складываться из упругой составляющей, которая равномерно распре-
делена в решетке кристалла, а также из пластической составляющей и состав-
ляющей ползучести (последние два вида деформации вызваны движением
дислокаций, двойникованием и т. д.):
de.,1 = de'^ + de^t decn. (6.1)
В общем случае пластическая деформация поликристаллического ме-
талла зависит от касательных напряжений и от разностей нормальных напря-
жений (но не от среднего значения нормальных напряжений, поскольку
гидростатические растяжения и сжатие не вызывают движения дислокаций).
Это условие в случае изотропного тела выражает критерий Мизеса, согласно
’) См. также книги, изданные на русском языке: Райнхарт Дж., II и р -
сон Дж., Поведение металлов прц импульсивных нагрузках, ИЛ, 1958; Д е й -
в и с Р. М., Волны нагружений в твердых телах, ИЛ, 1961, а также Рахматул-
лин X. А., Демьянов 10. А._ Прочность при интенсивных кратковременных
нагрузках, Физматгиз, 1961. Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
202
Глава 6
которому пластическое течение начнется, когда эквивалентное напряжение,
определяемое по формуле
а - У у 1<°22 — °33)г + (°33 — — + За» Зом + Зоы -2б)
или через компоненты девиатора напряжений
su ~ в виде а = ]/"у s^s,,, (6.26)
станет равным главному напряжению при одноосном напряженном состоя-
нии, вызывающему пластическое течение при испытании на растяжение, т. о.
о=и,г ( j ей?’) . (6.10)
Эквивалентная пластическая деформация определяется по формуле
рёР = j |/|(&Г2-^р)2+... I-(d7r)s/3-j-... , (6.5а)
de,1' = у^у dEijdei]. (6.56)
Другой критерий текучести основан на максимальном касательном
напряжении, согласно которому течение начинается при условии
Т = (Омане Омин)/2 —/с. (6.3)
При этом предполагается, что деформирующее напряжение при сдвиге воз-
растает с пластической деформацией в виде некоторой функции накоплен-
ных главных деформаций сдвига, которой охватывается и линейная дефор-
мация
к — к[ § rfy'J =к у j |decane| ) . (6.7). (6.11)
Напряженное состояние материала в некоторый данный момент опре-
деляет лишь направление движения дислокации, которое происходит в этот
момент, и, следовательно, лишь текущие приращения деформации. Полную
деформацию определяет вся деформационная предыстория материала. Ком-
поненты приращения деформации для данного напряженного состояния
в соответствии с принципом максимального сопротивления пластической
деформации зависят от формы поверхности текучести. Вводятся обобщенные
напряжение Qt и компоненты приращения деформации dqt, соответствую-
щие условию
dW"=^ j ^Qtdq^dV, (6.17)
где dW1' — работа пластической деформации на единицу объема материала.
Исходя из механизмов деформации кристалла, можно показать, что формула
для приращений деформации должна быть следующей:
dqP = ^QLdk. (6.19)
Последнее соотношение известно под названием ассоциированного закона
течения. При соблюдении критерия Мизеса на основании этого закона можно
вывести следующие соотношения менаду напряжениями и приращениями
деформации, которые также могут быть получены по аналогии с соотноше-
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды
203
нияьги напряжение — деформация для случая упругости:
lZsp = (Огг+азз)] deP/v.r, cZy? = 3o23def’/aT,
tZe.f, = ..., rfy?,’, = .. -, (6.16a)
, dyr_ -
или
defj - = 3sijde'72o'T. (6.166)
При такой формулировке этих соотношений предполагается, что прираще-
ния деформаций не зависят от деформационной предыстории. В действитель-
ности же дислокационная структура после пластического течения становится
анизотропной, в результате чего изменяется форма поверхности течения
и уменьшается напряжение течения при изменении знака нагрузки (эффект
Баушингера). После приращений деформации, равных 1—2%, эти эффекты
почти пропадают, и вновь можно применять уравнения для изотропного
тела. Пластические деформации порядка 20% или больше создают пред-
почтительные ориентировки; в этом случае снова необходимо учитывать
анизотропию.
Заменив в полученных уравнениях приращения пластической дефор-
мации па скорости деформации, получим соотношения между напряжениями
и деформациями для ползучести
= Г^и — v (ом ф о38)1
• ' J е _ (6-20)
= [О23] (3t?ec/t?Z)/o.
Применимость уравнений ползучести, как и уравнений пластичности, огра-
ничена ввиду существования зависимости деформации от предыстории мате-
риала. Кроме того, в случае ползучести добавляется еще влияние измене-
ния температуры на структуру материала; это влияние сказывается на протя-
жении всего испытания и даже при сравнительно больших деформациях.
В первом приближении множитель (d^idt) о в уравнении (6.20) зависит от
температуры и эквивалентного напряжения при условии, что достигнуто
устойчивое структурное состояние.
В ноликристаллическом материале ползучесть одних зерен может раз-
виваться более интенсивно, чем других зерен. Для такой структуры будет
наблюдаться задержка восстановления деформации или упругое последействие
при снятии нагрузки, а также переход к начальной неустановившейся пол-
зучести. В этом случае полную деформацию нельзя выразить через сумму
упругой деформации, пластической и деформации ползучести, каждая из
которых зависит от напряжения. Величина упругого последействия в боль-
шинстве металлов составляет доли величины упругой деформации. Поскольку
при ползучести металлов структура может зависеть не только от истории
деформации, но и от температуры, то имеются еще большие ограничения для
уравнений ползучести, чем для уравнений пластичности. Кроме того, во
многих практических приложениях величина деформации ползучести мала,
поэтому эти ограничения представляют большой интерес. В первую очередь
это справедливо по отношению к релаксации, при которой значительное
снижение напряжений при постоянной общей деформации вызывается дефор-
мацией ползучести, которая меньше начальной упругой деформации.
При деформировании металлов с большими скоростями приходится
учитывать инерционные эффекты. Волны напряжения внутри упругой среды
www.vokb-la.spb.ru
204
Глава 6
распространяются с двумя скоростями, равными скорости распростране-
ния продольной волны
c1 = [(Z?-k4G/3)/p]1'2 (6.26)
и скорости поперечной волны ,
c2 = (G/p)V2. (6.27)
Если волны распространяются вблизи поверхности, значения скоростей будут
несколько отличаться от указанных. Например, в тонком длинном стержне
скорость равна
с = 1 Е/р.
Скорость распространения фронта пластической волны, которая вызывает
деформацию е, равна
с = 'К(йи°/б/е°)/р, (6.23)
где da°lde,°—локальный наклон условной диаграммы деформации. При нане-
сении удара брусом по жесткому телу деформация должна иметь такую
величину, чтобы интеграл скоростей волн по всем соответствующим дефор-
мациям равнялся скорости удара
емакс
Е= j" с(е°)йео. (6.25)
о
Так, для случая упругого удара максимальное напряжение равно
<3 — EVIc.
Формулы (6.23) и (6.25) хорошо согласуются со многими эксперименталь-
ными данными, однако недавние теоретические и экспериментальные работы
показали, что необходимо учитывать также чувствительность материала
к скорости деформации.
ЗАДАЧИ
6.1. На основании формулы, выражающей эквивалентное напряжение
через нормальные компоненты, вывести соотношение [записанное перед фор-
мулой (6.26)1, выражающее эквивалентное напряжение через единственную
касательную компоненту.
6.2. Показать, что формула (6.26) в девиаторной форме идентична этой
же формуле в обычной записи, а также формуле (6.2а), в которой эквива-
лентное напряжение выражено через главные компоненты.
6.3. Струна музыкального инструмента изготовлена из высокоуглероди-
стой стальной проволоки, у которой предел текучести при растяжении равен
315 кг/мм2 и предел текучести при сдвиге 0,03%, определенный путем испы-
тания на кручение, равен 148,4 кг/мм2.
Написать выражение эквивалентного напряжения для этого материала.
Предполагается, что оба предела текучести измерены при соответственных
значениях деформации. Что можно сказать о коэффициенте анизотропии?
6.4. Показать, что численный множитель в уравнении (6.5), записанном
в обычной и девиаторной форме, делает произведение эквивалентного напря-
жения и эквивалентной деформации равным приращению работы пластиче-
ской деформации при одноосном растяжении и чистом сдвиге.
6.5. Показать, что множитель 2/и в уравнении (6.5а), определяющем
приращение эквивалентной деформации, делает эквивалентную деформацию
при одноосном растяжении равной осевой нормальной деформации.
6.6. Показать, что обе формы уравнения для эквивалентной деформации
[(6.5а) и (6.56)] идентичны.
www. vokb- la .spb. ru
Основные уравнения механики сплошной среды 205
6.7. Вывести формулу (6.8), выражающую приращение работы пласти-
ческой деформации через эквивалентное касательное напряжение и прира-
щение деформации.
6.8. Показать, что условие текучести, представленное на фиг. 6.10,
справедливо для кристалла, изображенного на фит. 6.9.
6.9. Показать, что для кристалла, изображенного на фиг. 6.9, вектор
приращения пластической деформации перпендикулярен поверхности
течения.
6.10. Вывести неравенство (6.12) на основании принципа максимального
сопротивления пластическому деформированию.
6.11. Показать, что уравнение (6.15) вытекает из условия перпендику-
лярности вектора приращения деформации к поверхности текучести.
6.12. Вывести соотношения напряжение — пластическая деформация,
соответствующие критерию Мизеса [уравнение (6.16а)].
6.13. Вывести девиаторную форму соотношений напряжение — пласти-
ческая деформация [уравнение (6.166)].
6.14. Для пластины с выточкой (фиг. 6.17) рассчитать отношение нор-
мальных и касательных напряжений и деформаций в системе координатных
осей, связанных с выточкой. Считайте, что материал изотропен [10].
6.15. Показать, что уравнение (6.19) выполняется для случая испыта-
ния тонкостенной трубы в условиях одновременного кручения и растяжения.
Построить поверхность текучести, выразив условие текучести через осевую
нагрузку и крутящий момент. Рассчитать отношения удлинения к углу закру-
чивания и показать, что, будучи представлены в виде векторов, они пер-
пендикулярны поверхности течения.
6.16. Показать, что скорость звука в стали составляет 4800 м!сек.
6.17. а) Рассчитать величину упругой деформации, которая должна
наступить в образце, чтобы он мог деформироваться со скоростью, равной
скорости ударного нагружения при падении на образец молота с высоты
1,2 м. Пусть рассматриваемый образец изготовлен из стали. Каковы должны
быть его механические характеристики, чтобы ко времени начала текучести
напряженное состояние в нем было однородным?
б) Рассчитать скорость волны пластической деформации в стали и вели-
чину деформаций, вызванных ударом при падении молота с указанной высо-
ты. Определить, сколько фронтов волн пройдет через данную точку, прежде
чем деформация достигнет критического значения.
6.18. Определить скорость удара, которую способен воспринять сви-
нец, не переходя в пластическое состояние.
6.19. Распрямить канцелярскую скрепку, закрепить ее консольно
и нагрузить, как показано на фиг. 6.18, т. е. приложить к скрепке гори-
зонтальную силу, а затем добавить вертикальную или наоборот. Вы обна-
ружите, что при малых нагрузках конечное отклонение одинаково незави-
симо от последовательности нагружения. Отожгите скрепку в пламени
спички или горелки газовой плиты и снова нагрузите ее; на этот раз согните
скрепку посильнее, чтобы отклонение в вертикальном направлении оказа-
лось необратимым. Обратите внимание, что теперь конечное отклонение
www. vokb- la .spb. ru
206
Глава и
зависит от того, какая компонента нагрузки была приложена вначале,
вертикальная или горизонтальная. Этот эффект отражает предысторию,
характерную для пластической деформации.
6.20. Использовав сведения о движении дислокаций, объясните, почему
переход от растяжения к сдвигу должен вызвать падение кривой эквивалент-
Ф и г. 6.18.
ное деформирующее напряжение — экви-
валентная деформация. Сколь велико это
падение?
6.21. Существуют исключения из ассо-
циированного закона течения. Один из
примеров представлен на фиг. 6.19, где
показана плоскость первичного скольже-
ния и лежащее на этой плоскости пре-
пятствие, которое блокирует скольжение
дислокаций. Предположим, то существует
возможность поперечного скольжения на
вторичной плоскости и что после некото-
рого поперечного скольжения дислокация
продолжает движение по плоскости первич-
ной системы. Заметьте, что касательное
напряжение о2з вызывает движение ди-
слокаций и по первичной и по вторичной
плоскости, а компонента и13— только по
вторичной плоскости (плоскости попереч-
ного скольжения).
а) В координатах о23—сц3 начертите поверхность текучести для малых
значений касательного напряжения и13.
б) Постройте вектор приращения деформации в предположении, что
повсюду в кристалле скольжение происходит по плоскости, перпендику-
лярной оси з:2. Обратить внимание па явное противоречие ассоциированному
закону течения.
Ф п г. 6.19. Ф и г. 6.20.
1 — пинтовые дислокации; Я — первичные
плоскости скольжения; з—препятствие;
4 — вторичная плоскость.
в) Обсудите возможные способы экспериментальной проверки этого про-
тиворечия, указав, какие бы вы выбрали материалы и условия нагружения.
г) Что можно сказать о рассмотренном примере? Все ли сказанное спра-
ведливо? Имеет ли рассмотренное противоречие существенное значение?
6.22. Эффект Баушингера иногда оказывается столь значительным, что
течение в обратную сторону начинается сразу же после удаления нагрузки.
Выполняется ли в этом случае принцип максимального сопротивления пла-
стическому деформированию?
6.23. Определить форму поверхности текучести в координатах двух
компонент силы, действующих на консольно закрепленную изогнутую балку
www.vokb-la.spb.ru
Основные уравнения механики сплошной среды 207
(фиг. 6.20). Отметить направление, в котором будет иметь место исключи-
тельно пластическое течение. Будут ли векторы приращения деформации
перпендикулярны поверхности течения? Иными словами: выполняются ли
условия ассоциированного закона течения? (Проще работать с малопрочным
материалом. Для этого предварительно отожгите канцелярскую скрепку
в пламени спички или горелки.)
6.24. Предположим, что для условий изменяющегося отношения ком-
понент напряжений получены решения в виде уравнений для приращений
деформации (6.16), а также в виде уравнений для конечных деформаций
(уравнения Генки). Будет ли поведение реального материала описываться
одними из этих уравнений или оно будет соответствовать некоторому проме-
жуточному случаю ?
ЛИТЕРАТУРА
1. В i s h о р J. F. W.. Hill В., Phil Mag., 42, 414, 1298 (1951).
2. Budiansky В., J. Appl. Meeh., 26, 259 (1959).
3. Byerly W. E., An Introduction to the Use of Generalized Coordinates in Mechanics
and Physics, Ginn, Boston, 1916.
4. C r a g g s J. W., Progress in Solid Mechanics, Vol. 2, J Amsterdam, 1961, p. 143.
5. Crandall S. H., Dahl N. C. (eds.), (An Introduction to the Mechanics of Solids,
McGraw-Hill, New York, 1959.
6. Cristescu N., Proc. 2nd Symp. Naval Struct. Meeh., Lee E. H., Sy-
monds P. S. (eds.), Pergamon Press, London, 1960.
7. Davis E. A., Trans. ASME, J. Appl. Meek., 65, A187 (1943); русский перевод:
Давне E., в сб. «Теория пластичности», ИЛ, 1948, стр. 336.
8. D г и с k е г D. С., в книге: Rheology: Theory and Applications, Vol. 1, E i r i c h
F. R. (ed.), Acad. Press, New York, 1956, p. 97; русский перевод: Д p у к к e p Д.,
Реология, ИЛ, 1962.
9. D u w е z Р., Clark D. S., Proc. ASTM, 47, 502 (1947).
10. Ellington J. P., J. Meek. Phys. Solids, 6, 276 (1958).
11. F i n n i e 1., Heller W. R., Creep of Engineering Materials, McGraw-Hill, New
York, 1959.
12. G old smith W., Impact, Arnold, Lend., 1960; русский перевод: Голд-
смит В., Удар, изд-во «Наука», 1965.
13. Groves G.W., Kelly A., Phil. Mag., 8, 877 (1963).
14. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Clarendon Press, Oxford, England,
1950; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности, Гос-
техиздат, 1956.
15. К о 1 s к у Н., Stress Waves in Solids, Clarendon Press, Oxford, England, 1953; рус-
ский перевод: Кольский Г., Волны напряжений в твердых телах, ИЛ, 1955.
16. Kolsky Н., Proc. 1st. Symp. Naval Struct. Meeh., Goodier J. N.,
Hoff N. J. (eds.), Pergamon Press, London, 1960, p. 233—262.
17. К о 1 s k у H., Prager W. (eds.). Stress Waves in Anelastic Solids, Symposium
at Brown Univ., Springer, Berlin, 1964.
18. Kroner E., J. Math. Phys., 42, 23 (1963).
19. Lee E. IL, Intern. Symp. on Stress Wave Propagation, Davids K. (cd.), Inter-
sci., New York, 1960, p. 199.
20. L e e E. H., T u p e г S. J., J. Appl. Mevh., 21, 63 (1954).
21. Ленский В. C., Proc. 2nd Symp. Naval Struct. Meeh., Lee E. H.,
Symonds P. S. (eds.), Pergamon Press, London, 1960, p. 259.
22. Ленский В. С., Фомина Л. X., Изе. АН СССР, ОТН, Механика, № 3,
133 (1959).
23. Lode W., Z. Physik, 36, 913 (1926).
24. Новожилов В. В., Лрикл. метем, и мех., 16, 617 (1952).
25. О d <jv i s t F. К. G., H u 1 t J. A. H., Kricchfcstigkeit Metaliischer Werkstoffe.
Springer, Berlin, 1962.
26. 1’ h i 1 1 i p s A., G г a у G. A., Trans. A SME, J. Basic Eng., 83D, 275 (1961).
27. P 1 a s s H. J., Wang N. M., Proc. 4th Midwest Conf. Solid. Meeh., Univ. Texas,
1959, p. 331. >
28. Prager W., H о d g e P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley. New York,
1951; русский перевод: П рагер В., X о дж Ф. Г., Теория идеально пластиче-
ских тел, ИЛ, 1956.
29. Н i р а г b е 1 1 i С., Proc. 1st. Midwest. Conf. SolidMech., Purdue Univ., 1953,p. 148.
30. Sautter W., К och end orf er A., Dehlinger U., Z. Metallkunde, 44,
553 (1953).
31. S t e r n g 1 a s s E. J., Stewart D. A., J. Appl. Meeh., 20, 427 (1953).
32. Szczepinski W.. Arch. Meeh. Stos., 15, 275 (1963).
www. vokb- la .spb. ru
Глава 7
ДЕФОРМАЦИЯ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
В качестве первого примера применений основных уравнений механики
описывается деформация при растяжении анизотропного стержня и прово-
дится сравнение ее с более известным случаем растяжения изотропного
стержня. Затем рассматривается начало появления пластической деформа-
ции и дается более тщательное, чем это было сделано раньше, определение
понятий, применяющихся обычно для ее описания; обсуждается возмож-
ность локализации деформации в полосах скольжения.
По мере развития процесса пластической деформации большое значение
приобретают изменения формы образца, оказывающие большое влияние
на максимальную нагрузку для пластичного материала или время до раз-
рыва вязкого материала. Возникновение шейки в пластичных материалах
приводит к изменению напряженного и деформированного состояний, кото-
рые необходимо учесть при попытке истолковать окончательное разрушение
образца. Термины, описывающие пластическую деформацию и окончатель-
ное разрушение, сопровождаются ссылками на работы, содержащие более
полные сведения по соответствующим вопросам.
Так как при сжатии пределы несущей способности определяются по
столько разрушением, сколько потерей устойчивости, рассмотрим ограни-
чения, которые это явление накладывает на несущую способность мате-
риала при его нагружении в упругой и пластической областях. Нако-
нец, будет приведено несколько примеров диаграмм напряжение — деформа-
ция как основы для оценки ожидаемого поведения материала.
7.2. УПРУГОЕ РАСТЯЖЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Упругая деформация стержня из анизотропного материала под действием
одной составляющей нормальных напряжений <г33 приводит к перемещениям,
Ф и г. 7.1. Деформация при растяжении стержня из анизотропного материала.
показанным па фиг. 7.1 (задача 7.1) [351:
Щ. — °зз н:иг(1 1 *^12ззжг) ?
и2 — азз (6 12зз-?’1 Ч ^ггзз^г),
W-3 = °’33 (26 133Ч-'Г1 Ч ' 2А2333,£2 — S 3333Ж3).
(7.1)
Под действием тензора сдвиговых деформаций 5i233g33 поперечные
сечения наклоняются к оси на углы 2*STj333cr33 и 252333и33. Если стержень
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
209
нагружен путем зажима его концов в захваты или с помощью утолщенных
частей (головок), предотвращение наклона сечений потребует приложения
изгибающего момента и поперечной силы. Этих реакций можно избежать,
лишь используя длинные образцы и исследуя поведение материала на неко-
тором расстоянии от захватов или применяя специально сконструирован-
ные захваты с шарнирами около начала рабочей части образца.
7.3. НАЧАЛО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Пластическая деформация начинается почти незаметно. Например,
в отожженной малоуглеродистой стали в области, которая на первый взгляд
кажется упругой, имеется пластическая деформация порядка 10~5 [27].
Отсутствие резкого перехода от упругой деформации к пластической при-
водит в зависимости от конкретных задач к разным определениям напряже-
ния, при которых наступает пластическая деформация. За исключением
специально отмеченных случаев, нижеследующие определения совпадаю!
с определениями Американского общества испытаний материалов (ASTM)
[1]. В идеальном случае предел упругости определяется как наибольшее
напряжение, которое может выдержать материал без какой-либо остаточной
деформации после снятия напряжений. Испытание, необходимое для опре-
деления предела упругости, схематически показано на фиг. 7.2. Повторные
нагружения и разгружения, необходимые для определения предела упру-
гости, трудоемки и могут оказать влияние на свойства образца, поэтому
желательно иметь такой способ определения предела упругости, который
применим при испытаниях с монотонно увеличивающимся удлинением.
Когда упругие деформации достаточно малы, так что зависимость напряже-
ние—упругая деформация линейна, эквивалентным определением является
предел пропорциональности, характеризуемый наибольшим напряжением,
которое может выдержать материал без отклонения от прямой пропорцио-
нальности между напряжениями и деформациями. Предел пропорциональ-
ности показан па фиг. 7.3.
Определения и предела упругости и предела пропорциональности нере-
альны, так как они базируются наполним отсутствии пластической дефор-
мации или отклонения от пропорциональности и поэтому требуют примене-
ния совершенных измерительных приборов. Начало пластической деформации
более реально определяется через напряжение, необходимое для появления
поддающейся измерению или практически значительной величины пластиче-
ской деформации. Предел текучести — это напряжение, при котором мате
риал дает или заданное отклонение от пропорциональности между
напряжениями и деформациями, или заданную полную деформацию. Когда
отклонение выражено через увеличение деформации сверх той, которая
соответствует пределу пропорциональности, как это показано на фиг. 7.3, то
получаем условный предел текучести по заданному допуску на остаточную
14—9 2
www.vokb-la.spb.ru
210
Глава 7
деформацию. Допуск на остаточную деформацию обычно составляет 0,2%
(пластическая деформация равна 0,002) для сталей и алюминиевых сплавов.
Для меди и ее сплавов предел текучести обычно определяют как напряже-
ние, соответствующее некоторой полной деформации, равной, как правило,
0,5% (0,005). При определении предела текучести по допуску на полную
деформацию не нужно находить наклон упругого участка диаграммы напря-
жение — деформация и откладывать допуск на остаточную деформацию.
С другой стороны, предел текучести по допуску на полную деформацию
является неудовлетворительным для высокопрочных сплавов типа берил-
лиевой бронзы, для которых упругая деформация может достигать 0,5%.
Ф и г. 7.3. Термины, применяемые для описания начала пластической деформации.
« — предел текучести <т0 9 по 0,2 %-пому допуску на остаточную деформацию; б — предел текучести
по 0,5 %-ному допуску па полную деформацию; в — предел текучести по 2 %-ному допуску на абсолют-
ное перемещение; г—интервал разброса значений предела пропорциональности.
Хотя указанные выше величины допусков на остаточную и полную дефор-
мации оказываются приемлемыми для многих практических случаев, Розен-
фельд и Авербах [30] использовали предел текучести по допуску на пласти-
ческую деформацию 2«10-е, определяемому по величине остаточной дефор-
мации после разгружения, так как их интересовали дислокационные
механизмы, действующие в самом начале пластического течения. Даже при
этих условиях измеренная пластическая деформация соответствовала дви-
жению через образец нескольких сотен дислокаций.
Для пружин значение может иметь пластическая деформация, состав-
ляющая даже малую долю упругой. Поэтому для этой области техники,
хотя это и не отражено в инструкциях Американского общества испытания
материалов, принято определять продел текучести как напряжение, при
котором пластическая деформация, или осадка, при снятии нагрузки состав-
ляет неболыпую часть, например 2% полного абсолютного перемещения под
нагрузкой. Эта величина называется пределом текучести по допуску на
2%-ную осадку.
7.4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
В некоторых материалах, например в отожженной малоуглеродистой стали
(фиг. 5.36), наблюдается падение нагрузки при малых пластических деформа-
циях. Максимальное напряжение, достигаемое до падения, называется верх-
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
211
ним пределом текучести, а минимальное перед началом нового увеличения
напряжения — нижним пределом текучести. Падение деформирующего
напряжения может быть описано, если допустить, что материал имеет мень-
шее деформирующее напряжение после пластической деформации, чем до
нее; это деформационное разупрочнение может возникнуть, например,
в результате вырывания дислокаций из атмосфер внедренных атомов.
Деформационное разупрочнение часто связано с локализацией пластической
Фиг. 7.4. Образование полос скольжения в материале, имеющем верхний и нижний
пределы текучести. Влияние скорости деформации отсутствует.
« — диаграмма напряжение—деформация; б — диаграмма расстояние вдоль оси образца — дефор-
мация.
деформации и появлением полос скольжения и локальных уменьшений сече-
ния (шеек), поскольку уменьшение нагрузки в одной части после прохожде-
ния ее через максимум снижает нагрузку на оставшейся части. Эти полосы
Чернова — Людерса хорошо описаны у Надаи [24] и других авторов
[10,12].
Для более подробного исследования явления локализации пластиче-
ского течения предположим, что диаграмма напряжение — деформация
представляет собой непрерывную кривую с максимумом, точкой перегиба
и минимумом. Будем считать напряжение одноосным; влиянием скорости
деформации пренебрежем. Такая диаграмма напряжение — деформация
показапа на фиг. 7.4, а. Когда изменение площади поперечного сечения не
существенно, напряжение может быть получено как отношение нагруз-
ки к площади первоначального сечения (разд. 7.5). При растяжении
образца из такого материала напряжение сначала увеличивается, пока
самое слабое сечение не достигнет своего верхнего предела текучести п3 =
— о®. Дальнейшее растяжение приводит к уменьшению нагрузки на том
первом элементе, на котором напряжение достигло максимума, и тем самым
14*
www.vokb-la.spb.ru
212
Глава 7
Напряжение ол будет тем ближе
Ф и г. 7.5. Диаграмма растяжения ста-
ли ATST 4340 [33].
Сталь была подвергнута нормализации при
871° С в течение 0,5 час, аустенизации мри
810° С, 1 час; закалке в масло; отпуску при
468е С, 1 час; полировке; отпуску в вакууме
при 468° G, 1 час.
Замечание: Для кривой со светлыми
точками, дающей пирную часть диаграммы
напряжение — деформация, пользоваться
верхней писал ой деформации.
к частичному разгружению остальных элементов. Если первый элемент,
где началась пластическая деформация, имеет бесконечно малый размер, то
это падение нагрузки вызовет упругое сокращение остального образца,
достаточное для продолмссния растяжения наиболее деформированного
элемента. В конце концов в некоторой точке А восстановится равновесие.
: 0^, чем меньше пластически деформи-
рованный элемент по сравнению с ос-
тальным образцом.
Даже при отсутствии влияния ско-
рости деформации теперь возникают
две возможности. Если деформирующее
напряжение в каждой точке опреде-
ляется только деформацией в этой
точке, тогда дальнейшее растяжение
потребует увеличения пагрузки как
в слабо, так и в сильно про деформиро-
ванных областях. Когда напряжение
в Слабо деформированной области опять
достигнет Oj, произойдет пластическая
деформация второго элемента и процесс
повторится. Поскольку течение возни-
кает в очень малых элементах, в пре-
деле падение напряжений будет прене-
брежимо малым и течение будет про-
исходить при практически постоянных
напряжениях, как это показано на
фиг. 7.5 для стали 4340. Так как все
слабо деформированные элементы будут
находиться при одних и тех же напря-
жениях, дальнейшее течение может
происходить в местах, расположенных
по образцу случайным образом.
С другой стороны, может оказаться,
что пластическая деформация в одном
элементе не всецело определяется на-
пряжением в этом элементе, а конечная
длина полос скольжения или средний
свободный путь дислокаций указывают
на то, что пластическая деформация
в одном элементе будет стремиться
распространиться на соседние элементы, облегчая пластическую дефор-
мацию в этих элементах. В этом случае состояние окажется неста-
бильным, так как дальнейшее течение может произойти в недеформирован-
ном элементе, который наиболее близок к пластической зоне, что приведет
к дальнейшему] падению пагрузки. Этот процесс повторяется до тех пор,
пока в пределе напряжение не понизится до минимума о" на диаграмме
напряжение — деформация. На такой стадии пластически деформируется
некоторая определенная часть образна, зависящая от формы диаграммы
напряжение — деформации и величины модуля упругости. Дальнейшее рас-
тяжение осуществляется путем роста пластической области за счет еще
не продеформированных участков. Этот рост будет происходить па гра-
нице раздела областей, как схематически изображено, например, на
фиг. 7.4, б. Когда недеформированного материала не останется, напряжение
стабилизируется при о", после чего оно опять начнет увеличиваться по
возрастающей кривой через точки 10 и 11. Короче говоря, пластическая
www. vokb- la. spb. ru
Деформация растяжения и сжатия
213
деформация будет происходить путем продвижения фронта полос скольже-
ния при нижнем пределе текучести ст". В других материалах возможно частич-
ное влияние этого эффекта, так что нижнее напряжение, необходимое для
появления пластической деформации в элементе, соседнем с пластически
продеформированным, является промежуточным между о? и <гт' х).
Диаграмма напряжение — деформация, приведенная на фиг. 7.4, указы-
вает на резкую границу раздела между двумя зонами и на бесконечно
Ф и г. 7.6. Образование полос скольже-
ния в образце с локализацией пласти-
ческой деформации.
Эта .локализация обусловлена зависимостью
диаграммы растяжения от градиента деформации.
Эффект скорости деформации отсутствует.
а -диаграмма напряжение—деформация; б—диа-
грамма расстояние вдоль оси образца — дефор-
мация.
Ф и г. 7.7. Образование полос сколь-
жения в материале, чувствительном
к скорости деформации.
а диаграмма напряжение — деформа-
ция; б — диаграмма расстояние вдоль оси
образца — деформация.
высокий градиент деформации. Согласно нашим сведениям о механизмах
пластической деформации, течение пластически недеформировапного мате-
риала будет облегчено, так как полосы скольжения распространяются
вверх от области деформированного материала. Градиепт деформации может
служить первым показателем величины эффекта локализации деформации.
Поэтому для более точного описания явления можно допустить, что течение
зависит не только от напряжения, но и от градиента деформации, так что
в присутствии высоких градиентов деформации деформирующее напряже-
ние должпо быть более низким, как показапо па фиг. 7.6, а. Возникающая
область деформации имеет теперь большую протяженность, что видно из
фиг. 7.6, б (задача 7.2).
Описание явления текучести может быть уточнено, если исходить из но-
ложения, что при любой конечной скорости растяжения бесконечно высокий
градиент деформации потребует бесконечно высокой скорости деформации.
Так как это определенно будет влиять на деформирующее напряжение, вид
т) Соотношение между экспериментальными значениями верхнего и нижнего пре-
делов текучести в сильной степени зависит та кже от жесткости испытательной машины.
Обсуждение этих вопросов см. в книгах: Давиденков Н. Н., Некоторые пробле-
мы механики материалов, Л., 1943; Фридман Я. Б., Механические свойства метал-
лов, Оборонгиз, 1952.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
214
Глава 7
диаграмм напряжение — деформация должен зависеть от скорости деформа-
ции, как показано на фиг. 7.7, а. Для определенности допустим некоторую
конусность образца, так что один конец сначала имеет несколько большую
деформацию и скорость деформации, чем другой. Когда толстая часть образца
достигнет (Тт, области в более тонкой части могут уже находиться в точке А.
Вначале можно предположить, что деформация будет изменяться скач-
кообразно до точки В, соответствующей низкой скорости деформации. Однако
такой путь невозможен, так как для мгновенной деформации материала
потребуется бесконечно высокая скорость нагружении. Вместо этого проис-
ходит быстрое увеличение скорости деформации на тонком конце. Как пока-
зано на фиг. 7.7, б, если на тонком конце возникнет достаточная деформа-
ция, должно последовать уменьшение деформации остального образца и, сле-
довательно, падение нагрузки, чтобы скорость общего удлинения оставалась
постоянной. Быстрая деформация в тонкой области скоро приведет этот
материал в окрестность точки В, и для продолжения деформации соседний
материал должен начать быстро растягиваться. Между тем в материале,
который уже продеформирован, скорость деформации постепенно падает
до нуля. Деформация может достичь стационарной конфигурации, рас-
пространяясь с постоянной скоростью. Наконец, когда весь материал
продеформирован, скорость деформации должна начать увеличиваться и в
деформированном материале. Если этот процесс достаточно внезапен, тре-
буемое увеличение напряжения вызовет внезапный скачок скорости дефор-
мации в конце области нижнего предела текучести.
Если материал более чувствителен к скорости деформации или если обра -
зец короче, площадка текучести, соответствующая нижнему пределу текучести,
может отсутствовать совсем, а наблюдаться сначала постепенное падение,
а затем постепенное увеличение нагрузки. Причина такого поведения заклю-
чается в том, что фронт области текучести простирается по всему образцу
вместо продвижения в стационарном состоянии от одного конца к другому.
При таких условиях сделать обобщения из экспериментальных кривых
нагрузка — удлинение и получить основные соотношения, графически
изображенные на фиг. 7.7, очень трудно. Такое обобщение еще труднее сде-
лать для волокон, так как трудно предотвратить их проскальзывание из зах-
ватов машины. Если фронты области текучести очень крутые, процесс
локализации деформации может быть очень важен. Если они более пологи
и если образец не конический, а имел вначале неодинаковый по длине диа-
метр, тогда в материале может образоваться много шеек и он будет ползти,
очевидно, вследствие того, что в соответствии с временной зависимостью
по всему образцу происходит непрерывная деформация. В конце концов
некоторый элемент станет достаточно тонким и будут достигнуты напряже-
ния, при которых возникает быстрая деформация. Две возникшие полосы
скольжения требуют такой скорости деформации, которая в каждой полосе
равна половине скорости для одной шейки, и, следовательно, необходим
более низкий уровень напряжений. Проведенный анализ ограничен рас-
смотрением постоянной скорости растяжения и будет отличаться от случая
постоянной нагрузки. Количественное описание этих представлений еще
полностью не проведено, начало этому для случая резких фронтов области
текучести положено Хартом [111. Даппые о верхнем пределе текучести мало-
углеродистых сталей приведены в работе 112], для нейлона — в работе [22].
7.5. КОНЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Деформация определяется как относительное смещение двух точек
па единицу расстояния между ними. Когда деформация мала, нет большой
разницы, будет ли расстояние между точками текущее или исходное. Однако,
когда деформации пе очень малы по сравнению с единицей, эти два рассто-
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
215
яния будут различаться. Кроме того, как показано в разд. 2.6, дефор-
мация, определенная как частная производная от перемещений но
начальной или конечной координатам, не будет стремиться к нулю в случае
поворота элемента как жесткого тела. Поэтому определение деформации
необходимо расширить. Уместность того или иного определения зависит
от вида рассматриваемого материала. Для резины распрямление молекуляр-
ных цепей является упругим, поэтому структура и, следовательно, даль-
нейшая деформация зависят как от начальной, так и от текущей формы.
Однако для пластической деформации текущее движение дислокаций опре-
деляется в осповном текущими напряжениями. Предыстория напряжений
дает лишь сравнительно слабый эффект Баушингера, являющийся следст-
вием анизотропности дислокационной структуры. Именно эта зависимость
движения дислокаций от напряжения приводит к записи зависимости
Ф и г. 7.8. Равномерная деформация растягиваемого образца.
напряжений от деформаций в пластической области через дифференциальные
приращения деформации, которые всегда малы по сравнению с едини-
цей. Сравнительная малозначимость эффекта Баушингера приводит к исполь-
зованию для определения деформационного упрочнения скалярной величи-
ны — эквивалентной пластической деформации. Другими словами, при
пластической деформации материал не «помнит» своей первоначальной формы,
поэтому определение пластической деформации базируется на текущей,
а не на исходной форме или размерах образца. Зависимость напряжений от
деформации образца, который испытывает большие пластические дефор-
мации, получается вычислением приращений эквивалентной деформации
на каждой ступени пластической деформации и последующего суммирова-
ния приращений по всему процессу с целью получения эквивалентной
деформации. При обычных испытаниях это удобно и возможно сделать
и выражать результирующую эквивалентную деформацию через началь-
ные и конечные размеры образца. При испытаниях на растяжение
и сжатие истинная деформация1) может быть следующим образом связана
с начальной и конечной длинами 10 и If. Пусть направление z совпадает
с осью образца и соответствующее перемещение будет (z), как показано
на фиг. 7.8. Так как деформация вдоль длины образца постоянна, осевая
нормальная составляющая приращения деформации df.zz может быть выра-
жена через перемещение uz (J) на конце образца:
< [-1rz)-]==d [^тЧ • <7-2>
По перемещение в направлении z, равное duz (I), как раз равно изменению
длины образца dl. Произведя подстановку, получим следующее выражение
Поскольку при одноосном 'растяжении до образования шпики эквивалентные
напряжения и деформация совпадайте истинными, в дальнейше изложении для это-
го случая используются оба этп термона.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
216
Глава Т
для приращения осевой нормальной составляющей деформации:
dl
d^zz — —
Когда выражения для двух других нормальных компонент деформации
получены и подставлены в выражение для эквивалентной деформации, то,
пренебрегая упругими деформапиями, имеем (задача 7.3)
dr" = Т"
(7.3)
Интегрирование уравнения (7.3) дает] величину эквивалентной (истинной)
деформации, выраженной через начальную и конечную длину образца:
е1'= 1п-/-. (7.4)
ю
Если учесть упругую деформацию, то получим следующий результат (зада-
ч а 7.4):
Логарифмическая форма уравнения (7.5) приводит к введению термина
«логарифмическая деформация» вместо «истинная пластическая деформация».
Ф и г. 7.9. Эквивалентная и условная диаграммы растяжения и сжатия горячекатаной
стали AISI 1020 [5].
1 — эквивалентная диаграмма напряжение — деформация для растяжения и сжатия; г — условные
диаграммы напряжение — деформация для растяжения (форма диаграммы иависит от длины образца);
3 — условная диаграмма напряжение — деформация для сжатия .
+ точки равных истинных деформаций; х разрушение при растяжении.
Однако при других видах нагружения понятие эквивалентной пластиче-
ской деформации не приводит к логарифмической форме записи, и поэтому
во многих случаях термин «логарифмическая деформация» не применим.
Например, при кручении, как показано в гл. 8,эквивалентная деформация вы-
ражается через тангенс угла, на который поворачивается исходный осевой
элемент. Заметим, что фактические значения напряжений могут отличаться
от средних истинных значений вследствие неравномерности распределения
напряжений по сечению.
При графическом описании поведения пластически деформируемого
материала, как, например, на фиг. 7.9, где проведено сравнение испытаний
на растяжение и сжатие, использование эквивалентных напряжений и
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия 217
деформаций дает простейшую форму кривой. Однако для расчета конструк-
ций может оказаться более удобным работать с напряжениями, полученными
исходя из первоначальных, а не из текущих размеров детали. Такие вели-
чины напряжений и деформаций называют условными напряжениями и услов-
ными деформациями. В некоторых случаях, представляющих интерес для
техники, как, например, при обработке металлов давлением и в расчетах со-
судов давления на устойчивость, более удобно использовать эквивалентные на-
пряжения и эквивалентные деформации. Таким образом, напряжения и
деформации, использующиеся для расчета конструкций, не всегда со-
ответствуют напряжениям и деформациям, полученным исходя из перво-
начальной площади поперечного сечения. Однако эти термины продолжают
использоваться по традиции. На фиг. 7.9 также показаны диаграммы ус-
ловное напряжение—условная деформация. Применение условных напряже-
ний удобно тем, что несущая способность детали может быть определена
непосредственно из такой диаграммы и размеров детали. Недостаток состоит
в том, что диаграмма напряжение — деформация не является больше одно-
значной характеристикой материала, а зависит также и от способа нагру-
жения. Характерной чертой условной диаграммы напряжение — дефор-
мация, полученной при растяжении, является наличие максимума нагрузки,
хотя истинная диаграмма напряжение — деформация этого же материала
продолжает идти вверх. Это явление будет рассмотрено в следующем
разделе.
7.6. МАКСИМАЛЬНАЯ НАГРУЗКА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
В ряде случаев, когда возникает пластическая деформация при растя-
жении, несущая способность детали сначала увеличивается, а затем начи-
нает падать. Это явление наблюдается при растяжении стержней и полос,
в трубах при комбинированном действии внутреннего давления и осевых
сил и в сферах под действием внутреннего давления. Максимум нагрузки
получается потому, что, в то время как деформирующее напряжение про-
должает возрастать, площадь поперечного сечевия уменьшается. Может
наступить такой момент, когда уменьшение площади поперечного сечения
станет происходить быстрее, чем увеличение деформирующего напряжения
вследствие деформационного упрочнения.
Для количественного исследования этого явления рассмотрим несущую
способность при растяжении круглого стержня,выразив ее через эквивалентное
деформирующее напряжение пД) и площадь поперечного сечения А. Условие
достижения максимальной нагрузки получается путем приравнивания нулю
дифференциала от нагрузки:
dP — d (Ло) = A du^-odA = 0. (7-9)
Дифференциальное изменение площади поперечного сечения может быть
выражено через поперечные компоненты деформации, а они в свою очередь
могут быть с помощью соотношений между напряжением и деформацией
выражены через осевые деформации. Вычисления упрощаются, если сделать
допущение, что упругая деформация пренебрежимо мала и что значительный
Так как при испытаниях па растяжение деформация всегда увеличивается, прило-
женное эквивалентное ианряжение о всегда равно эквивалентному деформирующему нап-
ряжению (сопротивлению пластической деформации) пт^ J . Поэтому между оиот
часто различия не проводят. Это относится и к последующему изложению материала
данной книги.
www.vokb-la.spb.ru
218
Глава 7
вклад вносит лишь пластическая деформация, как это практически и бывает.
Используя этот способ, можно показать, что условие достижения макси-
мальной нагрузки соответствует такой точке на диаграмме истинная пласти-
ческая деформация — истинное напряжение, для которой (задача 7.5)
— do
о —----• . (/./)
de”
Если диаграмма истинное напряжение — истинная деформация может быть
представлена в виде
o = o1(efTl, (7.8)
то максимальная нагрузка при растяжении будет при напряжении Gxn,t
и деформации п (задача 7.6).
Значение максимальной нагрузки, которое получается при испыта-
ниях на растяжение, отнесенное к площади исходного поперечного сече-
ния, называется временном сопротивлением или пределом прочности (оь).
Это одна из наиболее часто применяемых характеристик механических
свойств материалов. Термин «предел прочности» не совсем удачен, так как
истинная
мере про-
не разру-
виде (7.8)
истинное напряжение выше предела прочности, поскольку
площадь поперечного сечения мепыпе исходной. Более того, по
должения испытания истинные напряжения растут, пока образец
шится. Для соотношения между напряжениями и деформациями в
предел прочности при растяжении равен щ (n/е)”, где е = 2,718... (з а д а-
ч а 7.7).
Для тонкостенной сферы с радиусом г и толщиной I условие достиже-
ния максимума внутреннего давления имеет вид (задача 7.8)
(7.9)
de” 2
В случае тонкостенного цилиндра с закрытыми торцами максимальное внут-
реннее давление возникает, когда (з а д а ч а 7.9)
do ,/к -
----------------------------------= у 3 ст.
de?
(7.10)
В то же время, если нагрузки на торцы скомпенсированы внешними силами,
условие будет таким£же, как и для сферы (задача 7.10).
7.7. ОБРАЗОВАНИЕ ШЕЙКИ
Как было показано в разд. 7.5, при одноосном нагружении после дости-
жения условий максимальной нагрузки следует неравномерная деформация.
Если нагрузка не увеличится снова, эта локализация деформации ведет
к нарушению прочности (фиг. 1.6). Вследствие появления неравно-
мерной деформации, которая при испытаниях на растяжение возникает
после достижения точки максимальной нагрузки, деформацию при макси-
мальной нагрузке иногда называют равномерной деформацией. В США эта
деформация обычно нс входит в технические условия, но в Дании и Швейца-
рии она используется в технических условиях на конструкционные мате-
риалы. Основная причина использования равномерной деформации как меры
пластичности материала заключается в том, что в большинстве случаев
работы па растяжение очень длинных стержней в них возникает лишь равно-
мерная деформация. Дополнительная деформация перед разрушением воз-
никает лишь в небольшой области и почти ничего не добавляет к полной пла-
стичности конструкции. Другая причина введения величины равномерной
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
219
деформации заключается в том, что она соответствует максимальной нагрузке
при испытаниях на растяжение. Дальнейшее растяжение детали приведет
к падению ее несущей способности.
Равномерная деформация может быть определена после разрушения,
если образец был достаточно большой длины, так что часть его не была
-затронута возникшей шейкой. Это требует исходного отношения длины к диа-
метру порядка 8, хотя хорошее приближение может быть получено при
обычно применяемом отношении 5. Для материала, который деформационно
упрочняется в соответствии со степенным законом (7.8), равномерная дефор-
мация равна показателю степени п (задача 7.11).
Образование шейки в плоских образцах происходит не так, как в образ-
цах с круглым сечением. Сначала может создаться представление, что шейка
Ф и г. 7.11. Круг Мора для
растяжения.
Фиг. 7.12. Шейка в пло-
ской полосе.
“Д' п г. 7.10. Нереализу-
емая форма шейки.
.должна возникать поперек плоского образца, как показано на фиг. 7.10.
Однако подробное исследование возникающей деформации показывает, что
это невозможно, так как, если бы шейка возникла указанным образом, не
продеформированный пластически материал на каждой стороне шейки пре-
пятствовал бы поперечному сжатию везде, за исключением кромок, и воз-
никли бы условия плоской деформации. При этих условиях компоненты
деформации имели бы вид
с/бц— ^^22 — 0.
(7.11)
Исходи из соотношения меящу напряжениями и пластическими деформа-
циями и из условия пластичности Мизеса, можно показать, что при этих
условиях осевая составляющая напряжений должна быть больше деформи-
рующего напряжения (задача 7.12):
Озз=<т-^. (7.12)
Из соотношения (7.12) можпо видеть, что для появления локальной
деформации в шейке требуется большее осевое напряжение, чем это необхо-
димо для общей деформации по всему образцу. Следовательно, локализация
пе произойдет, если плоский образец не будет искусственно надрезан до
толщины, в У 3/2 раз меньшей толщины соседнего материала. Этот метод
иногда используется для исследований условий пластичности и соотношений
между напряжениями и деформациями, особенно для анизотропных мате-
риалов [9].
Чтобы установить, как образуется шейка в полосе, мы должны отыскать
вид деформации, при котором возможно состояние плоской деформации.
Нужно найти такое направление линии шейки, в котором плоскую де-
www. vokb- la. spb. ru
220
Г.га ва 7
формацию можно допустить, т. е. определить условия, для которых отно-
шения напряжений равны
^21 = 2. (7.13)
°2'2' *
Из круга Мора, приведенного на фиг. 7.11, видно, что такой выбор коорди-
нат возможен. Шейка должна возникнуть вдоль линии, составляющей
с направлением оси угол 54,7°, как это показано на фиг. 7.12 (з а-
дача 7.13). Хотя такая форма шейки не требует увеличения напряжения,
оказывается, что площадь сечения не уменьшается так же быстро, как при
однородной осевой деформации, и, пока соотношение между напряжения-
ми и деформациями не достигнет точки, в которой выполняется условие
(la/de, = о/2, будет иметь место однородная деформация [14]. Когда полоса
свернута в трубу и подвергнута чистому растяжению, рассмотренный выше
способ образования шейки становится невозможным и наблюдается еще
более нерегулярная картина,
В сфере иод действием внутреннего давления шейка не может возникнуть
ни в одной области без локальных условий плоской деформации или дефор -
мации в другом месте сферической оболочки (задача 7.14). Это, конечно,
не доказывает, что невозможна некоторая форма локализованной асимметрич-
ной деформации, но Марин и др. 1201 на самом деле не обнаружили локали-
зованной пластической деформации, деформируя сферы далеко за точку
максимального давления.
Механизмы образования шейки и полос Чернова — Людерса при напря-
жении верхнего предела текучести идентичны, и возможность локализации
пластической деформации в полосы зависит от существования в материале
направлении, перпендикулярно которым могут возникать нарушения непре-
рывности деформации или градиента деформации. Математически задача
заключается в нахождении так называемых характеристик уравнений в ча-
стных производных, определяющих пластическое течение [131.
При наличии ползучести тенденция к образованию шейки уменьшается.
Этот эффект может быть рассмотрен на примере экстремального случая линей-
но-вязкого материала. Сначала мы найдем скорость изменения площади
для данной нагрузки Р. Если изменения площади поперечного сечения
вдоль длины образца достаточно постепенны, напряженное и деформиро-
ванное состояния могут еще рассматриваться как одноосные и скорость дефор-
мации равна
Скорость осевой деформации может быть выражена через скорость уменьше-
ния площади поперечного сечения, принимая во внимание несжимаемость,
материала:
dV —d (АГ) —I dAA--Adi; dE33^—~. (7.15)
Объединяя эти уравнения, получаем скорость уменьшения площади попереч-
ного сечения
dA
dt-- т- (7Л6>
Таким образом, скорость уменьшения площади не зависит от текущей вели-
чины площади. Любое начальное различие в площади поперечного сечения
будет сохраняться, но не увеличиваться в процессе испытаний, поэтому
ярко выраженной шейки не возникнет. Это отсутствие шейки в вязких мате-
риалах можно наблюдать, вытягивая в нитку каплю очень вязкого сиропа
www. vokb- la. spb. ru
Деформация растяжения и сжатия 221
или при волочении стекловолокна. Время до разрушения ограничено
(задача 7.15)
= = (7.17)
Р со
Для материала, который подвергается ползучести в соответствии со степен-
ным законом, наблюдается шейка промежуточной величины (а а д а ч а 7.16).
7.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИИ
В ШЕЙКЕ КРУГЛОГО ОБРАЗЦА
После того как в пластическом образце начала образовываться шойка,
истинную деформацию как функцию базы тензометра в соответствии
с соотношением (7.4) определить трудно, так как для этого необходим тен-
зометр с бесконечно малой базой и он должен быть заранее установлен точно
там, где в образце начнет образовываться шейка. Вместо этого удобнее вос-
пользоваться несжимаемостью материала при пластической деформации,
чтобы выразить осевую деформацию через изменение площади поперечного
сечения или диаметра. Так как Бриджменом [21 было экспериментально пока-
зано, что деформация в сечении шейки в растянутом образце постоян-
на, измерения диаметра дают не только среднюю, но даже и фак-
тическую локальную пластическую деформацию. Пренебрегая упругими
компонентами деформации, можно показать, что существует следующее соот-
ношение между истинной деформацией, начальной площадью Лп и конечной
площадью //(задача 7.17):
Ё" = 1п-^- = 21п-^- . (7.18)
la df '
При наличии некоторого упрочнения материала упругие деформации могут
достичь величины порядка 1 % и ими, возможно, нельзя будет пренебречь.
В этом случае выражение для эквивалентной’ деформации в зависимости от
диаметра имеет вид
?„2(1., (7.19)
Поправка имеет приближенный характер потому, что, как будет показано
ниже, величина напряжений изменяется по сечению шейки. Однако в этом
случае пластическая деформация велика и поправка несущественна.
На каждой стороне шейки силы имеют радиальную составляющую, при-
водящую к появлению поперечных составляющих напряжения внутри
шейки. Для получения локальных и эквивалентного деформирующего
напряжений в образце с шейкой Бриджмен [2] провел полуэипирический
анализ, используя радиус кривизны профиля шейки и диаметр шейки. Этот
анализ основан па уже упомянутом экспериментальном наблюдении, что
осевая компонента деформации е,2 по минимальному сечению шейки
постоянна. Рассмотрение условий совместности приводит к заключению, что
с,-,- = ego. Это распределение деформации вместе с соотношением между
напряжениями и деформациями, условием пластичности, уравнениями рав-
новесия и разумными допущениями относительно изменения направлений
главных напряжений в окрестности шейки приводит к следующей зависимо-
сти составляющих напряжений от координат, показанных на фиг. 7.13:
Д|*-= 1+1н (-~4-1—, Рсо = сг,г = ог, —ст. (7.20)
Напряженное состояние соответствует постоянному осевому растяжению с на-
ложенным гидростатическим растяжением,ин тенсивность которого увеличивает-
www.vokb-la.spb.ru
222
Глава 7
ся к центру. Поэтому, чтобы найти эквивалентное деформирующее напряжение,
нагрузка, относящаяся к гидростатическому напряжению, должна быть выч-
тена из полной нагрузки, приходящейся на сечение. 9jra поправка в виде-
отношения эквивалентно го деформирующего напряжения о к среднему осевому
напряжению P/А показана на фиг. 7.14.
с 1
P/а" (1+гн/а) ig (t+a/2/i)
Фиг. 7.13. Координаты
для образца с шейкой, воз-
никшей при растяжении.
Ф и г. 7.14. Отношение эквива-
лентного напряжения к номи-
нальному в шейке растянутого
образца.
Определение продольного радиуса R проводить неудобно, хотя это можно
сделать с помощью конуса, перемещаемого по шейке до тех пор, пока кри-
визна конуса не совпадет с кривизной образца, и затем измерить кривизну
конуса в этом месте [21]. Бриджмен [21 установил, что этого часто можна
Ф и г. 7.15. Зависимость радиуса шейки от деформации [21].
Экспс:римев'га.11.пы<' точки по данным Бриджмена [-1 относятся к стали, за исключением отмеченных
особо. Кружками обозначены данные дли горячекатаной стали 414 П с твердостью но Бринеллю НЕ
и для электролитной меди, отожженной при 500° С в течение 1 час, с твердостью НВ G4.
избежать, используя эмпирическое соотношение, основанное на результатах,,
представленных на фиг. 7.15, хотя Маршалл и Шоу [21] показали, что линей-
ный рост а/R часто дает прямую, отсекающую от координатной оси эквива-
лентной деформации отрезок, больший чем 0,1.
Пока еще полностью не установлено, действительно ли анализ Бридж-
мена дает точное распределение напряжений в шейке растянутого образца.
В качестве независимой проверки справедливости этого уравнения Мар-
шалл и Шоу [21] провели испытания образцов, которые были обточены до
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
223.
произвольной продольной кривизны на различных стадиях. Они нашли, что
полученные результаты могут лечь на гладкую кривую, если ввести поправку
Бриджмена. С другой стороны, Паркер и др. 128] определили распределение
напряжений в шейке растянутого образца путем разгружения образца после
образования шейки, вычисления изменения напряжений с помощью теории
упругости и последующего высверливания образца с целью определения оста-
точных напряжений. Из остаточных напряжений и изменения напряжений
в результате разгружения можно было определить, какое напряженное
состояние было в процессе пластической деформации. Оно не совпало с резуль-
татами Бриджмена, хотя точность измерений была невелика. Авторы питают
достаточное доверие к поправке Бриджмена, чтобы использовать ее везде,,
где возможно в данной книге при рассмотрении диаграмм напряжение —
деформация при растяжении х).
Фиг. 7.16. Гипотетический способ образования шейки при плоской деформации.
Сплошные линии первоначально были прямыми.
В случае образцов с искусственными шейками в условиях плоской
деформации можно провести более детальный анализ, но даже здесь исследо-
вание еще не завершено. Онет и Прагер [26] предложили модель деформации,
показанную на фиг. 7.16. Здесь напряженное состояние постоянно по всему
образцу. Кроме того, предполагается, что деформация происходит путем
сдвига под углом 45° к основаниям двух треугольных клиньев, которые дефор-
мируются по мере вытягивания в шейку. Это решение удовлетворяет условиям
равновесия, совместности и соотношениям между напряжением и деформа-
цией для неупрочняющегося материала. Однако оказалось, что такое решение
не единственно возможное. Используя работу Хилла [15], Коупер и Онет [4]
показали, как деформационное упрочнение приводит к правильному полю
деформации, но даже они не смогли получить точного решения для случая,
когда длина образца была вдвое больше толщины. Это пример нерешенной
задачи теории пластичности.
7.9. ПЛАСТИЧНОСТЬ МАТЕРИАЛА
Развитие шейки в конце концов приводит к разрушению. При растя-
жении образца с шейкой разрушение начинается в центре, где напряжения
наибольшие, и распространяется к поверхности, как это будет рассмотрено
позже, в разд. 13.5. Деформация материала до разрушения называется
ого пластичностью. Мерой пластичности служит относительное сужение ф,
определяемое как отношение изменения площади поперечного сечения к пер-
воначальной площади. Можно показать, что для круглого стержня относи-
тельное уменьшение площади связано с эквивалентной деформацией при раз-
х) Анализ напряженного состояния в шейке растягиваемого цилиндрического образ-
ца (результаты которого отличаются от результатов Бриджмена) был проведен ранее,
см. Д а в и д е н к о и Н. Н., Спиридонова Н. И., Анализ напряженного состо-
яния в шейке растянутого образца, Заводская лаборатория, И, № 6 (1945).—
Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
224
Глава 7
рушении Еу следующим соотношением (задача 7.18):
ф-1-е-е? (7.21)
Поскольку напряженное состояние в момент разрушения образца с шей-
кой зависит от его формы, например от того, имеет ли образец форму стержня
или полосы, и поскольку при некоторых видах испытаний, например тех,
которые дают равноосное двухосное напряженное состояние, шейки не воз-
никает совсем и так как разрушение, по всей вероятности, зависит не только
от напряженного и деформированного состояния, но также и от предыстории
их возникновения, деформация в момент разрушения не будет одинаковой
при различных условиях испытаний. Поэтому уменьшение площади попереч-
ного сечения не может рассматриваться как свойство материала, а лишь как
характеристика его поведения при определенном виде испытаний 2).
В качестве меры пластичности материала чаще используется его удли-
нение, определяемое как частное от деления изменения рабочей длины до
разрушения на первоначальную рабочую длину образца (т. е. приближен-
ная деформация при разрушении). Недостаток удлинения как меры пла-
стичности материала состоит в том, что оно дает условную, а не истинную
деформацию и, кроме того, представляет собой средневзвешенное следую-
щих величин: равномерной деформации в части образца, не захваченной
шейкой, и более высокой деформации в области шейки. Таким образом,
удлинение зависит и от длины и от поперечных размеров образца (зада-
ч а 7.19).
7.10. РЕЗУЛЬТАТЫ
Осповывапсь на вышеизложенном, мы обратимся к диаграммам напря-
жение — деформация для ряда материалов, которые приведены па
фиг. 7.17—7.21. Эти диаграммы получены с учетом поправки Бриджмена
для шейки (точной или приближенной в зависимости от имевшихся данных).
Хотя предел текучести и деформация до разрушения изменялись в широких
пределах, модуль упрочнения после первых 20% деформации становился
сравнительно постоянным и равным £'-'150—£/700, как упоминалось
в разд. 5.4.
Построения истинных диаграмм напряжение — деформация является тру-
доемким процессом. Так как нагрузка и длина могут регистрироваться
автоматически, условные диаграммы напряжение — деформация можно
получать без применения ручного труда. Истинные ясе диаграммы напряже-
ние — деформация, особенно после образования шейки, требуют измере-
ний минимального сечения. Задача облегчается применением регистрирую-
щего кронциркулыюго датчика, описанного Пауэллом и др. [29], однако
этот прибор не нашел повсеместного распространения. Для получения точек
на кривой до достижения максимальной нагрузки используют образцы
с малой конусностью, так что максимальная нагрузка будет давать различ-
ные напряжения в разных сечениях по длине образца. Диаметры можно
измерить после проведения испытаний и подсчитать эквивалентные напря-
жения и деформации.
По многих случаях целесообразно диаграммы нс строить, а лишь сво-
дить полученные результаты в таблицы. Как минимум желательно иметь
данные о пределах текучести и прочности, величину равномерной дефор-
мации, напряжение разрушения и относительное сужение. По этим данным
можно получить три точки, которые вместе с модулем упругости довольно
точно определяют диаграмму напряжение — деформация (задача 7.20).
0 Формулы для определения сужении в образцах различной формы, а также дру-
гие относящиеся сюда формулы см., например, и книге: Шапошников И. А., Меха-
нические испытания металлов, Матпгиз, 1951.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Ф иг. 7.17, Эквивалентные диаграммы напряжение—-деформация с поправкой Бриджме-
на для шейки по результатам работ [7, 25].
+ максимальная нагрузка; х разрушение.
Ф и г. 7.18. Эквивалентные диаграммы растяжения для трех сталей [5].
а — малые деформации; б — большие деформации.
I — сталь 4130 (0,3% С, 0,5% Мп, 0,25% Si, 0,9% Сг, остальное Fe), закалка в масло с 871° С, отиуск
при 310° С, оь = 152 кг/лии2; 2 — малоуглеродистая холоднокатаная сталь 1020, оь = 62 кг/лои2; 3 —
малоуглеродистая горячекатаная сталь 1020, оь = 43 иг/мм*.
+ максимальная нагрузка; х разрушите, о” — нижний предел текучести; о® — верхний предел
текучести.
15—92
www.vokb-la.spb.ru
226
Глава 7
Отметим, что получение данных о величине равномерной деформации
и относительного сужения даже не требует дополнительных измерений в про-
Ф и г. 7.19. Диаграммы растяжения для чугуна [3, 17] и стекла [23].
1 — серый чугун при сжатии; 2 — серый чугун при растяжении; з — стекло при сжатии; 4 — стекло
при растяжении, х разрушение.
быть получено по результатам измерений изменения диаметра на относи-
тельно прямой части образца, а относительное сужение можно измерять
Ф и г. 7.20. Эквивалентные диаграммы растяжения для чистого алюминия и алюми-
ниевого сплава 2024 (4,6% Си; 1,5% Mg; 0,7% Мп, остальное А1), подвергнутого
различным термическим обработкам [5].
а — малые деформации; б — большие деформации.
/ — сплав (2024-Т4) после закалки н воду с 491° С и старения при 121° С в течение 24 чсс; 2—отожженный
сплав (2024-0); з—отожженный алюминий технической чистоты 1100-0.
-J- максимальная нагрузка; х разрушение.
после разрушения, хотя для получения напряжения разрушения необхо-
димо дополнительное измерение нагрузки в момент разрушения. К сожа-
лению, величина равномерной деформации и напряжение разрушения
почти никогда не приподятся, а относительным сужением: часто пренебре-
www. vokb- la. spb. ru
Деформация растяжения и сжатия
227
гают. Это весьма серьезное упущение, поскольку величина деформации
до разрушения при монотонном нагружении является мерой времени жизни
Фиг. 7.21. Влияние температуры на эквивалентные диаграммы напряжение — дефор-
мация с учетом поправки Бриджмена для шейки I19J.
1 — Сталь 1045 после отжига в течение 1 час при 769° С, охлаждение с печью; 2— холоднокатаная
латунь, отжиг 1 час при 427° С, охлаждение с печью.
+ максимальная нагрузка; х разрушение.
образца при малоцикловой усталости. Отметим, что даже по полной услов-
ной диаграмме напряжение — деформация невозможно построить истин-
ную диаграмму, не делая некоторых допущений относительно ее формы
(задача 7.21).
7,11. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Если образец подвергается действию нагрузки, которая изменяется
как функция времени, то после достижения максимальной нагрузки насту-
пают условия нестабильного равновесия. Малейшее дополнительное удли-
нение приведет к уменьшению несущей способности образца, так что неко-
торой части приложенной пагрувки будет достаточно для относительного
ускорения концов образца. Удлинение начнет быстро возрастать. Однако
если удлинение задано как функция времени, то образец оказывается совер-
шенно стабильным. На практике встречаются промежуточные случаи. Напри-
мер, в обычной испытательной машине (даже при отсутствии времени для
слива масла в гидравлической машине или для вращения передач, которые
перемещают траверсу в механической машине) упругость станины препят-
ствует падению нагрузки до нуля при удлинении образца на бесконечно
малую величину. Упругость машины можно характеризовать жесткостью
К, которая дает скорость падения нагрузки, создаваемой машиной, на едини-
цу удлинения образца без изменения положения подвижной траверсы.
15*
www. vokb- la. spb. ru
228
Глава 7
Тогда, как показано на фиг. 7.22, нестабильность зависит от скорости паде-
ния нагрузки при удлинении образца и наступает всегда, когда
dP
du.
(7.22)
Обычные испытательные машины имеют жесткость порядка 5400 кг!мм.
Нестабильность может также возникнуть и при испытаниях па сжатие.
Читатель знаком с тем фактом, что сжатие листа бумаги в направлении
кромок приводит к чрезмерной деформации листа, но не путем каких-либо
Фиг. 7.22. Нестабильность деформации образца в испытательной машине.
1 —линия, характеризующая жесткость машины в последовательные моменты процесса деформации;
2 —• точка нестабильности; I—перемещение, равное единице измерения*
остаточных изменений самого материала, а скорее путем бокового переме-
щения бумаги, называемого потерей устойчивости. Обычно если колонна
нагружена осевой силой с некоторым небольшим эксцентриситетом, попе-
речной силой или изгибающим моментом, то при возрастании осевой нагруз-
ки поперечное отклонение будет увеличиваться сначала постепенно, а по
достижении критической нагрузки очень быстро. Эта критическая нагрузка
Фиг. 7.23. Критическая нагрузка для потерп устойчивости упругих прямых стержней [5].
представляет собой нагрузку при потере устойчивости. Для прямого стержня,
закрепленного на одном конце и свободного на другом, изготовленного из
материала с модулем Е и имеющего момент инерции поперечного сечения 7,
критическая нагрузка (см., например, [5]) равна
1 ирит —
(7.23)
Из этой формулы видно, что, если стержень имеет достаточно большую длину,
потеря устойчивости определяется лишь жесткостью материала и не зави-
сит от его предела текучести. Другие способы крепления концов стержня
показаны на фиг. 7.23.
www. vokb- la .spb. ru
Деформация растяжения и сжатия
229
Приближение к моменту потери устойчивости может быть обнаружено
путем измерения увеличения бокового смещения, а также уменьшения
поперечной жесткости и собственной частоты поперечных колебаний. Из
них простейшим способом получения грубого указания о приближении кри-
тической нагрузки служит удар по проверяемому стержню и сравнение его
собственной частоты с частотой колебаний ненагруженного стержня. Основа-
нием для этого испытания служит соотношение между собственной частотой
Ф и г. 7.24. Развитие деформации в стержне.
а — осевое нагружение с последующим изгибом; б — одно-
временное сжатие и изгиб.
ненагруженного стержня икрит, частотой нагруженного стержня <о и отно-
шением текущей нагрузки к критической, данное Ден Гартогом [6]:
Р ,
крит
й)
^крит
(7.24)
Это соотношение является строгим для стержня с шарнирноопертыми кон-
цами, но приближенным для более сложных видов крепления концов. Отсут-
ствие неподвижных шарниров на концах стержня может сделать этот метод
недейственным. Более совершенен метод измерения поперечной жесткости
стержня под действием небольшой поперечной силы известной величины
Саусуэлл [32] разработал метод, с помощью которого критическая нагрузка
Т’крит может быть опенена путем серии измерений деформации стержня
с шарнирными опорами. Оказалось, что деформация в центре е связана
с текущей нагрузкой Р, критической нагрузкой /\-рИт, амплитудой началь-
ного прогиба в виде половины синусоиды а. моментом инерции / и толщиной
поперечного сечения h следующим образом:
Дополнительные сведения о потере устойчивости даны в работах [6, 34].
Понимание критической нагрузки для стержней, работающих в пласти-
ческой области, достигнуто сравнительно недавно [31]. Начальные попытки
предсказания критической нагрузки исходили из предположения, что по
мере увеличения поперечного прогиба деформация сжатия на одной сто-
роне будет уменьшаться, приводя к упругому разгруженшо, как показано
на фиг. 7.24, а. Это приводило к нагрузкам, примерно вдвое превышаю-
щим наблюдаемые. Однако Шенли [31] показал, что большие прогибы могут
возникнуть без изменения деформаций в обратную сторону, если они обра-
зуются постепенно но мере нагружения стержня, как показано на фиг. 7.24, б.
Эти представления подтвердили предложенное ранее уравнение для потери
устойчивости в области пластической деформации, которое аналогично урав-
нению для упругого случая (различие состоит в том, что модуль упругости
заменен на локальный наклон диаграммы напряжение — деформация).
Для стержня, закрепленного на одном конце (фиг. 7.23, а), уравнение
www.vokb-la.spb.ru
230
Глава 1
имеет вид
/)крит= • (7.26)
Если стержень нагружается так, что любые поперечные перемещения запре-
щены, он не потеряет устойчивости при снятии этого ограничения, даже
если нагрузка превысила критическую при условии, что нагрузка все еще
меньше двойной величины нагрузки, соответствующей анализу, основан-
ному на изменении деформаций в обратную сторону.
Деформация стержня из материала, обладающего ползучестью, пре-
высит любой заданный прогиб, если он был сначала изогнут или нагружен
поперечной силой. Необходимое для этого время может быть конечным.
Например, если материал ползет с установившейся скоростью, соответст-
вующей
и если ег— начальная скорость ползучести, вычисленная из этого уравнения
для а — PIA, то время для бесконечно большого прогиба может быть выра-
жено формулой [16]
(7.27)
черев следующие параметры:
е(' — упругая деформация при упругой потери устойчивости, равная
для стержня с шарнирными опорами на обоих концах n4IAL2',
г — радиус инерции сечения, равный ]//М;
аг— амплитуда первоначального прогиба в виде половины синусоиды.
Отметим, что для сравнительно больших прогибов критическое время при-
мерно равно времени, необходимому для деформации ползучести, чтобы
достичь деформации упругой потери устойчивости с начальной скоростью
деформации. Статья Хоффа [16], из которой заимствован этот обзор, весьма
полно рассматривает данную тему, и, кроме того, она может служить введе-
нием при изучении других явлений, которые нельзя предвидеть исходя из
упругой потери устойчивости стержней.
7.12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В анизотропных материалах под действием осевых растягивающих напря-
жений возникает не только обычное осевое растяжение и поперечное сжатие,
но также и деформация сдвига, вызывающая поворот концов образца, что
затрудняет приложение нужных осевых напряжений.
Начало пластической деформации характеризуется пределами упру-
гости, пропорциональности и текучести или верхним или нижним пределами
текучести. Когда диаграмма нагрузка — удлинение идет вниз, как в слу-
чае малоуглеродистого железа, появляются полосы Чернова — Людерса,
указывающие на неоднородность деформации. Деформация в этих полосах
составляет ~3% для стали при комнатной температуре, но несколько сотен
процентов для нейлона. Особенности роста полос зависят от соотношения
размеров образца, чувствительности материала к скорости деформации и от
тенденции со стороны деформированной области «заражать» деформацией
соседнюю недеформированную область. В изотропных материалах под дей-
ствием одноосного напряжения полосы имеют тенденцию возникать в обла-
сти, наклоненной под углом 55° к направлению растягивающих напря-
жений.
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия
231
При больших пластических деформациях, пока деформация остается
равномерной на конечной рабочей длине If, истинная пластическая дефор-
мация, которая определяет истинное деформирующее напряжение, описы-
вается уравнением
J*- = InA. (7.4)
При растяжении увеличение напряжений в результате упрочнения все
более и более компенсируется уменьшением площади поперечного сечения,
пока не будет достигнута максимальная нагрузка. Условное напряжение,
соответствующее этой нагрузке, называется пределом прочности при растя-
жении. Для одноосного растяжения это происходит при
Как и в случае неоднородного течения, максимальная нагрузка приводит
к возникновению локальной деформации, называемой образованием шейки.
Напряжения в шейке больше не остаются одноосными, и для вычисления
деформирующих напряжений по величине нагрузки и текущей площади попе-
речного сечения необходимо ввести поправки. Б образцах, претерпевающих
процесс ползучести, наблюдаются менее развитые шейки.
В предельном случае вязкого материала все сечения уменьшаются с оди-
наковой скоростью. Время, необходимое для бесконечной деформации, зави-
сит от вязкости, начальной площади поперечного сечения и нагрузки
= (7.17)
Обычные металлы имеют пределы текучести от £7100 до £/2000 и модуль
упрочнения от £/200 до £/600, за исключением возможных нижних пределов
текучести и областей с большим упрочнением при деформациях в интервале
0,1—0,2.
Нестабильность возникает как при растяжении, так и при сжатии и зави-
сит от жесткости испытательной машины. Может возникнуть как упругая,
так и пластическая потеря устойчивости при нагрузке, которая в случае
колопны, закрепленной одним концом, равна
£крит= • (7.26)
ЗАДАЧИ
7.1. Показать, что перемещения в соответствии с уравнениями (7.1)
удовлетворяют необходимым основным уравнениям.
7.2. Показать, как диаграммы напряжение — деформация на фиг. 7.6, а
влияют на распределение деформации в образце согласно фиг. 7.6, б.
7.3. Пренебрегая упругой деформацией, вывести соотношение (7.3)
для истинной деформации при испытаниях на растяжение.
7.4. Учитывая упругую деформацию, вывести формулу (7.5) для истин-
ной деформации при испытаниях на растяжение в зависимости от начальной
и конечной длины.
7.5. Вывести формулу (7.7) для истинной деформации при максимальной
нагрузке, достигаемой при испытаниях па растяжение.
7.6. Показать, что для истинной диаграммы напряжение — деформа-
ция, представленной в виде степенной функции [соотношение (7.8)], макси-
мальная нагрузка при растяжении достигается при деформации п и истин-
ных напряжениях щи".
www.vokb-la.spb.ru
232
Глава 7
7.7. Показать, что для степенной формы диаграммы напряжение —
деформация [соотношение (7.8)] предел прочности равен с^п/е)'1,
7.8. Вывести соотношение (7.9) для максимального давления в тонко-
стенной сфере.
7.9. Вывести соотношение (7.10) для максимального внутреннего давле-
ния в тонкостенном цилиндре с закрытыми концами.
7.10. Показать, что максимальное давление для цилиндра, нагрузки на
торцы которого скомпенсированы внешними силами, достигается в той же-
точке диаграммы напряжение — деформация, что и для тонкой сферы.
7.11. Показать, что для материала, упрочняющегося по степенному
закону (7.8), равномерная деформация равна показателю степени п.
7.12. Вывести формулу (7.12) для осевого напряжения, необходимого-
для образования гипотетической поперечной шейки.
7.13. Показать, что шейки или полосы Чернова — Людерса должны
возникать вдоль линии, составляющей 54,7° с направлением оси, как показано
на фиг. 7.12.
7.14. Показать, что шейка пе может возникнуть ни в одном месте сфе-
рической оболочки без существования условий плоской деформации или без
дополнительной деформации где-нибудь в другом месте.
7.15. Показать, что время, необходимое для разрыва вязкого образца,
определяется по формуле (7.17).
7.16. Вывести уравнение для формы исходного конического образца,
который ползет в соответствии со степенным законом в виде
/ ё. v
О I -7- J -
\ 8! /
7.17. Вывести соотношение (7.18) для истинной деформации в зависи-
мости от отношения диаметров.
7.18. Вывести формулу (7.21) для относительного сужения в зависимо-
сти от эквивалентной деформации при разрушении.
7.19. Для образца с сильно развитой шейкой разумно допустить, что
диаметр образца изменяется линейно с расстоянием от центральной плоско-
сти шейки. Вывести для этих условий выражение для удлинения в зави-
симости от относительного сужения, реальных размеров образца и равно-
мерного удлинения [181.
7.20. Вывести выражения для параметров диаграммы напряжение —
деформация в виде степенной функции [соотношение (7.8)1 в зависимости
от наблюдаемых отдельно параметров, например а) предел прочности и рав-
номерное удлинение или б) предел прочности, напряжение разрушения и отно-
сительное сужение.
7.21. Оценить относительное сужение образца по информации, кото-
рую можно извлечь из условной диаграммы напряжение — деформация и из
допущений о возможной форме эквивалентной диаграммы напряжение —
деформация.
7.22. Сравнить угол полосы Чернова — Людерса на фиг. 1.27 с ожи-
даемым теоретически. Рассмотреть различные возможные причины расхож-
дений, указав, имеются ли для этого разумные количественные основания.
7.23. Оценить предел прочности и равномерную деформацию, которые
можно ожидать после 90%-ного относительного сужения при волочении про-
волоки из алюминия 1100.
7.24. Если коэффициент упрочнения материала имеет порядок от £7200
до £7600, какую максимальную прочность может иметь материал без нару-
шения равномерного удлинения?
7.25. Если диаграмма напряжение — деформация монокристалла отно-
сится к типу, показанному на фиг. 7.25, то при каком напряжении или
деформации в образце начнется образование шейки?
www. vokb- la. spb. ru
Деформация растяжения и сжатия
233
7.26. Показать, что вектор, указывающий направление относительного
движения через косую полосу, в которой образуется шейка при растяжении
тонкого листа (фиг. 7.26), составляет с осевым направлением угол 35,3°.
7.27. Вывести соотношение между относительным сужением и истинной
деформацией при разрушении тонкого листа с образованием шейки.
7.28. Показать, что для испытательных машин с очень малой жесткостью
соотношение (7.22) предсказывает возникновение нестабильности при пре-
деле прочности образца.
7.29. Упругость самого испытательного образца в области, удаленной
от шейки, может дать достаточное удлинение, чтобы оказать влияние на
Фиг. 7.25. Диаграмма растяже-
ния кристалла.
Фиг. 7.26. Плоский об-
разец с шейкой.
нестабильность. Вывести выражение для максимального наклона диаграммы
напряжение — деформация, до которого нестабильность не наступает,
в зависимости от реальных размеров образца.
7.30. Показать, что критические нагрузки на фиг. 7.23, б и г могут
быть получены в предположении, что стержни состоят из последовательно
соединенных стержней типа показанного на фиг. 7.23, а. Почему этот метод
не пригоден для стержня на фиг. 7.23, в?
7.31. Растяните образец из пластилина с наименьшей и наибольшей
скоростями, какие вы можете получить. Отметьте различие в форме шеек.
По чему в этих шейках вы можете определить, что является причиной ско-
ростных эффектов в основных уравнениях для пластилина?
7.32. Оценить и измерить максимальную сжимающую нагрузку, кото-
рую может выдержать данный кусок пружинной проволоки.
7.33. Получить диаграмму напряжение — деформация модельной глины.
Исходя из этой диаграммы, предсказать, какую максимальную длину
может иметь колонна из этой глины без пластической потери устойчивости.
Попытайтесь испытать на сжатие колонну примерно такой длины. Насколько
удачно ваше предсказание?
7.34. Дьюхирст и Сайдботтом [8] проводили испытания на сжатие квад-
ратных стержней сечением 12,7 X 12,7 мм, длиной 305 мм из нержавеющей
стали 17-7РН при 522° С. При этой температуре диаграмма напряжение —
деформация приближенно имела следующий вид:
(Здесь о выражено в кг/мм2, a t — в час.)
Определить время до потери устойчивости таких стержней, нагружен-
ных осевой силой (но с начальным прогибом 0,51 мм сразу после приложе-
ния нагрузки). Напряжение сжатия поддерживалось равным 24,5 кг!м.м2.
Получите выражение для ваших результатов, учтя все интуитивные поправ-
ки, прежде чем находить его численное значение, чтобы посмотреть, насколько
www.vokb-la.spb.ru
234
Глава 7
близко вы подошли к наблюдаемому времени в 25 мин. Дьюхирст и Сайд-
боттом предсказывали нагрузку с точностью 10% (соответствует примерно
множителю 2 для времени), но применяли для этого вычислительную машину.
ЛИТЕРАТУРА
1. ASTM, Definition of Terms Relating to Methods of Mechanical Testing, ASTM Stan-
dards, 3, № E6-61, 215—226 (1961).
2. Bridgman P. W., Studies in Large Plastic Flow and Fracture, McGraw-Hill,
New York, 1952; русский перевод: Бриджмен П. В., Исследование больших
пластических деформаций и разрывов, ИЛ, 1955.
3. С о f f i n L. F., The Flow and Fracture of a Brittle Material, J. Appl. Meeh., 17,
233—248 (1950).
4. C owper G. В., О n a t E. T., The Initiation of Necking and Buckling in Plane
Plastic Flow, Proc. 4th US Nat. Con. Appl. Meeh., ASME, 1962, pp. 1023—1030.
5. С r a n d a 11 S. H., Dahl N. C. (eds.), An Introduction to the Mechanics of Solids,
McGraw-Hill, New York, 1959.
6. D e n H a г t о g J. P., Advanced Strength of Materials, McGraw-Hill, New York,
1952.
7. DeSisto T. S., Low Temperature Charpy, True Stress-Strain, and Notched Tensile
Properties of Base and Weld Deposits of AISI Types 301, 310, 316 and 347 Stainless
Steels». Pros. ASTM, 62, 756—764 (1962).
8. De whilst D. L., S i d e b о 11 о m О. M., Inelastic Design of Load Carrying
Members, V, Theoretical and Experimental Creep Analyses of Beam-Columns», WADD
Tech. Rept. 60-580, Aeronautical Systems Division, US Air Force, Wright-Patterson
Air Force Base, Ohio, 1962.
9. E 11 i n g t о n J. P., An Investigation of Plastic Stress-Strain Relationships Using
Grooved Tensile Specimens, J. Meek. Phys. Solids, 6, 276—281 (1958).
10. Green A. P., Hun dy В. В., The Initial Plastic Yielding in Notched Bend Test,
J. Meeh. Phys. Solids, 4, 128—144 (1956).
11. Hart E. W., A Uniaxial Strain Model for a Liidcrs Band, Acta Met., 3, 146—149
(1955).
12. H e n d r i c k s о n J. A., Wood D. S., The Effect of Rate of Stress Application
and Temperature on the Upper Yield Stress of Annealed Mild Steel, Trans. ASM, 50,
498—516 (1958).
13. II i 1 1 R., The Mathematical Theory of Plasticity, Clarendon Press,. Oxford, England,
1950; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности, М.,
Гостехиздат, 1956.
14. Hill В., On Discontinuous Plastic States with Special Reference to Localized Necking
in Thin Sheets, J. Meeh. Phys. Solids, 1, 19—30 (1952); см. также: Keeler S. P.,
Backofen W. A., Plastic Instability and Fracture in Sheets Stretched over Rigid
Punches, Trans, Quart. ASM, 56, 25—48.
15. Hill R., On the Problem of Uniqueness in the Theory of a Rigid Plastic Solid IV,
J. Meeh. Phys. Solids, 5, 302—307 (1957).
16. Hoff N. J., A Survey of the Theories of Creep Buckling, Proc. 3rd US Nat. Con.
Appl. Meeh., 1958, pp. 29—49.
17. I n gb erg S. H., Sale P. D., Compressive Strength and Deformation of Structural
Steel and Cast Iron Shapes at Temperatures up to 950° C, Proc. ASTM, 26. Part 2, 33—
51 (1926).
18. Lessells J. M., Strength and Resistance of Metals, Wiley, New York, 1954.
19. MacGregor C. W., Fisher J. C., Tension Tests at Constant Strain Rates,
J. Appl. Meeh., 12, 217—227 (1945).
20. Marin J., Dutton V. L., F a u p e 1 J. H., Tests of Spherical Shells in the
Plastic Range, Welding Pies. Suppl., 27, 593s—607s (1948).
21. M a r s h a 1 1 E. R., Shaw M. C., The Determination of Flow Stress from a Tensile
Specimen, Trans. ASM, 44, 705— 725 (1952).
22. M i k 1 о w i t z J., The Initiation and Propagation of the Plastic Zone Along a Tensi-
on Specimen of Nylon, J. Colloid Sei., 2, 193—215 (1947).
23. Morey G. W., Properties of Glass, Reinhold, New York, 1954.
24. N a d a i A., Theory of Flow and Fracture of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, New* York,
1950; русский перевод: H а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел,
т. I, ИЛ, 1954.
25. Nunes J., Larson F. R., A Method for Determining the Plastic Flow Pro-
perties of Sheet and Round Tensile Test Specimens, Proc. ASTM, 61, 1349—1361
(1961).
26. Gnat E. T., Prager W., The Necking of a Tension Specimen in Plane Plastic
Flow, J. Appl. Phys., 25, 491—493 (1954); русский перевод: сб. «Механика», № 4,
93—97 (1955).
www.vokb-la.spb.ru
Деформация растяжения и сжатия 235
27. Owen W. S., Cohen М., Averbach В. L., Some Aspects of Pre-Yield Phe-
nomena in Mild Steel at Low Temperatures, Trans. ASM, 50, 517—540 (1958).
28. Parker E. R., Davis H. E., Flanigan A. E., A Study of the Tension
Test, Proc. ASTM, 46, 1159—1174 (1946).
29. Powell G. W., Marshall E. R., Backofen W. A., Diameter Gage and
Dynamometer for True Stress-Strain Tension Tests at Constant True Strain Rate, Proc.
ASTM, 55, 797—809 (1955).
50. Rosenfield A. R., Averbach B. L., Initial Stages of Plastic Deformation
in Copper and Aluminum, Acta Met., 8, 624—629 (1960).
31. Shanley F. R., The Column Paradox, J. Aero. Sci., 13, 678 (1946); см. также:
Inelastic Column Theory, J. Aero. Sci., 14, 261—268 (1946).
32. S out h we 1 1 R. V., On the Analysis of Experimental Observations in Problems
of Elastic Stability, Proc. Roy. Soc. (London), A135, 601—616 (1932).
33. Suhre J. R., Brock G. W., A Comparison of the Fatigue Behavior of Leaded
and Non-Leaded AISI 4340 Steel at High Hardness Levels, Theo, and Appl. Meeh. Dept.
Rep. 570, Univ, of Illinois, Urbana, Illinois, 1959.
34. Timoshenko S., Gere J. M., Theory of Elastic Stability, 2nd ed., McGraw-
Hill, New York, 1961.
35. Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik, 2nd ed., Teubner, Leipzig, 1928.
www.vokb-la.spb.ru
Глава 8
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ
8.1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе рассматриваются такие задачи механики твердых тел,
для которых возможно получить сравнительно простое, хотя иногда и при-
ближенное, решение. К этой категории относятся задачи о кручении круг
лого цилиндрического стержня и об изгибе балок и пластин. Для этих
случаев симметрия и тот факт, что условия вдоль длины рассматриваемого
элемента должны быть одинаковыми, приводят к деформациям, линейно изме-
няющимся по сечению. Соответствующие напряжения могут быть найдены
с помощью соотношения между напряжениями и деформациями; их инте-
грирование дает крутящий или изгибающий момент пе только для случая
упругости, но также и для пластичности, вязко-упругости и ползучести.
В широких пластинах имеется поперечная кривизна, отсутствующая в балках,
в результате которой возникают поперечные напряжения. В связи с этим
исследуется, какая ширина необходима для их возникновения. В случае
анизотропного материала появляются дополнительные компоненты дефор-
мации, хотя они все еще линейно изменяются по сечению. Присутствие этих
дополнительных компонент означает, что под действием крутящего момента
возникает изгиб и наоборот. Изучается возможность получения соотношений
между напряжениями и деформациями, исходя из экспериментальных зави-
симостей между крутящим моментом и углом закручивания.
Рассматриваются два источника напряжений, которые могут иметь место
при отсутствии внешних сил. Когда пластическая деформация приводит
к нелинейному распределению напряжений, возникают остаточные напря-
жения, так как линейное распределение упругих напряжений при разгрузке
не всюду приводит к уменьшению напряжений до нуля. Аналогичным обра-
зом температурные градиенты или изменение коэффициентов теплового рас-
ширения по сечению приводят к искривлению плоской полосы. При этом,
как и в изотермическом случае, поперечные сечения остаются плоскими,
а удлинение и искривление определяются условиями равенства нулю осе-
вой силы и изгибающего момента.
8.2. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Для длинного цилиндрического стержня круглого поперечного сече-
ния, нагруженного постоянным крутящим моментом, однородность условий
вдоль длины стержня и симметрия аргументов приводят к распределению
деформаций, которые линейно нарастают от оси стержня [4]. Кроме того,
из симметрии и изотропии следует, что если закручивание в одном направ-
лении приводит к удлинению стержня, то такое же действие окажет закру-
чивание в другом направлении. Для этого должна потребоваться скорее квад-
ратичная, а не линейная форма зависимости напряжений от деформаций.
Но для малых упругих деформаций или для приращений деформаций при
пластическом течении и ползучести зависимость от компонентов напряжений
линейная {соотношения (3.19), (6.16) и (6.20)]. Следовательно, пока упру-
гие деформации малы или пластическая деформация пе приводит к значи-
тельной анизотропии, не будет и изменений длины стержня. Симметрия
и линейность показывают также, что никаких других нормальных состав-
www.vokb-la.spb.ru
Изгиб и кручение
237
ляющих деформаций не будет (задача 8.1). Таким образом, если исполь-
зовать обозначения фиг. 8.1, то зависимости перемещений от относительного
угла закручивания dq/dz примут следующий вид:
ur = uz = 0, не = rz (dtp/dz).
(8-1)
Используя определение деформаций (2.28), получим следующее распределе-
ние деформации: ди, п диг п Szz- d:z -0, err— дг -0, е°0 г + г и’ = + = (8.2) dz дг ' ' а, . див 1 1 8иг «е _л дг । г дО г ’ 1 ди, , диа dtp Ьв- г д6 + дз
кручении круглого
стержня.
Фиг, 8.1. Деформация
при
Для изотропных материалов наличие лишь одной сдвиговой составляю-
щей деформации влечет за собой присутствие единственной соответствующей
составляющей напряжения, которая находится из
соотношений между напряжениями и деформациями
при упругости, пластичности или ползучести. Эта
составляющая напряжений удовлетворяет уравне-
ниям равновесия (2.14) (задача 8.2). Удовле-
творив условиям совместности, равновесия и соот-
ношениям между напряжениями и деформациями,
получим решение задачи. Из теоремы единственности
известно, что это решение будет единственным, если
исключить остаточные напряжения и влияние значи-
тельных изменений геометрии, как, например, при
потере устойчивости.
Интегрируя касательные напряжения по сече-
нию, получим крутящий момент
го
Mzz = § 2пт2овг (yez)dr,
о
где зависимость деформации от радиуса определяет-
ся соотношением (8.2). Если соотношение между
напряжением и деформацией материала имеет достаточно
уравнение (8.3) может быть проинтегрировано до конца.
Ниже рассмотрено несколько примеров.
а) Для упругого материала с модулем сдвига G крутящий момент
равен (задача 8.3)
М = Сяг* _ 2Е1
(8-3)
простую форму,
(8-4)
2 dz 2
б) Для упруго-пластического неупрочняющегося материала с моду-
лем сдвига G и пределом текучести при чистом сдвиге k касательные напря-
жения изменяются с радиусом так, как это показано на фиг. 8.2. В резуль-
тате между крутящим моментом и углом закручивания получается зави-
симость, приведенная на фиг. 8.3 (задача 8.4). При углах закручивания,
больших по сравнению с углом, соответствующим началу текучести, крутя-
www.vokb-la.spb.ru
238
Глава 8
гций момент приближается к предельному моменту (задача 8.5)
9
Mzl = nrsk. (8.5)
Отметим, что, хотя пластическая деформация начинается при крутящем
моменте, составляющем 0,75 предельного, вклад пластической деформации
в угол закручивания сравняется с упругим вкладом лишь тогда, когда
крутящий момент достигнет 95% предельного. Если наличие упругих
деформаций несущественно, то расчет может основываться на моментах,
практически равных предельному. Это свидетельствует о значении опреде-
ления предельных нагрузок, производимого часто приближенными метода-
ми, рассматривающимися в разд. 9.5 и 9.6.
Ф и г. 8.2. Распределение
напряжений при кручении
стержня из неупрочняюше-
гося материала.
A-/Gr0
Фиг. 8.3. Диаграмма крутящий мо-
мент — угол закручивания для неупроч-
няющегося материала.
По оси ординат отложено отношение момента
к полностью пластическому моменту, а по оси
абсцисс — отношение относительного угла
накручивания к относительному углу закру-
чивания начала текучести.
в) Для упрочняющихся материалов зависимость между напряжениями
и деформациями иногда может быть представлена в степенном виде: Щр —
= ki (ул»)’1. Крутящий момент может быть выражен через угол закручива-
ния (задача 8.6)
= <8-6>
Интегрирование во многих случаях должно проводиться численными
методами.
г) Для вязкого материала с коэффициентом вязкости р, крутящий
момент связан со скоростью закручивания следующим образом (зада-
ч а 8.7):
м ряц> д ( dtp \ nrg „ 7
Семаке (8./)
Совпадение формул для случаев упругости и линейной вязкости [(8.4)’-
(8.7)] является частным случаем более общих выводов для вязко-упругих
материалов. Повсюду, где в задачах, относящихся к области упругости, рас-
сматриваются перемещения или деформации, в соответствующих задачах
вязкости рассматриваются скорости перемещений или скорости деформации.
Уравнения равновесия совпадают. Поэтому решение задачи для линейпо
вязкого материала может быть получено по аналогии с решением соответ-
ствующей задачи для линейно упругого материала, если в них не входят
коэффициенты Пуассона, имеющие различные значения.
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
239
В случае нелинейной зависимости деформации ползучести материала
от напряжений крутящий момент все еще может быть найден путем инте-
грирования напряжений, определенных по скорости деформации, если
Ф и г. 8.4. Изменение распределе-
ния напряжений при ползучести.
Ф и г. 8.5. Остаточные напряжения,
возникшие после упругого разгру-
жепия в момент времени Z2, которому
соответствовало распределение на-
пряжений, показанное на фиг. 8.4.
известна скорость закручивания. Практике скорее свойственна задача
о нахождении скорости закручивания под действием постоянного крутя-
щего момента.
Сразу после приложения крутящего момента имеет место или упругое,
или пластическое распределение напряжений. Рассмотрим случай низких
Ф и г. 8.6. Предсказанные л экспериментально полученные кривые ползучести нейлона
при кручении [8].
Температура 2j° С, относительная влажность 50%.--- результаты испытаний;-------результаты
повторных испытаний; — — предсказанные значения.
напряжений, когда распределение напряжений почти упругое и они линей-
но изменяются по сечению. На стадии установившейся ползучести распре-
деление напряжений уже не будет линейным, а будет изменяться по неко-
торому закону, например по закону, показанному на фиг. 8.4 (задача 8.8).
Следовательно, при постоянном крутящем моменте напряжения на пери-
ферии сечения со временем будут уменьшаться, в то время как напряжения
в центре будут возрастать. Чтобы предсказать это явление, необходимо
www.vokb-la.spb.ru
.240
Глава 8
знать скорость ползучести при изменяющихся напряжениях. Аналитиче-
ские выражения и даже экспериментальные данные для этих условий име-
ются редко. Если установившаяся стадия ползучести достигается позже,
начальными переходными явлениями можно пренебречь или рассматривать
их приближенным способом, как это сделано для экспериментальных дан-
ных, приведенных на фиг. 8.6 (задача 8.9). Значительная часть данных
удовлетворяет вязко-упругому приближению (задача 8.10).
При освобождении от нагрузки изменение напряжений почти упругое
и потому линейное. Когда это линейное изменение напряжений наклады-
вается на первоначальное нелинейное распределение напряжений, являю-
щееся результатом пластической деформации или ползучести, часть напря-
жений остается, даже если крутящий момент снижается до нуля (фиг.8.5).
Такие остаточные напряжения рассматриваются в гл. 11.
Для стержней некруглого поперечного сечения симметрия больше
не гарантирует, что сечения останутся плоскими. И действительно, в этом
случае сечения искривляются (деплавируют), а деформации изменяют-
ся вдоль контурной линии поперечного сечения. На внешних углах
напряжения и, следовательно, деформации должны исчезать (зада-
ч а 8.11). Это можно показать, исходя из отсутствия напряжений на поверх-
ности, из равенства Oi2 “ o2i и из правила преобразования сдвиговых
составляющих, действующих в одной плоскости. Более подробно упругое
кручение рассмотрели, например, Тимошенко и Гудиер [И], распределение
напряжений при пластическом кручении — Надам [91 и Хилл [61, дефор-
мацию и депланацию поперечных сечений — Прагер и Ходж [101. Влияние
анизотропии более удобно обсудить после изучения изгиба.
8.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ ПО ЗАВИСИМОСТИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
ОТ УГЛА ЗАКРУЧИВАНИЯ
По диаграмме зависимости крутящего момента от угла закручивания
круглого стержня можно получить зависимость напряжений от деформа-
ций для данного материала, поскольку эта зависимость во всех точках
одинакова. Несмотря на то что эта связь неизменна, сами напряжения
и деформации по сечению стержня, нагруженного крутящим моментом,
изменяются. Поэтому определение зависимости между напряжениями
и деформациями по диаграмме деформации при кручении требует более
тщательного анализа, чем соответствующая задача в случае растяжения
стержня. Как зто часто бывает, в анализе есть своя ключевая точка. Ключе-
вой точкой данного анализа служит то обстоятельство, что напряжения
по сечению можно считать функцией радиуса или деформации и зависимость
напряжений от деформаций будет той же самой независимо от того, что рас-
сматривается в процессе испытаний — различные углы закручивания на од-
ном радиусе или различные радиусы на одной и той же стадии испытаний.
Поэтому, использовав уравнение для распределения деформаций (8.2).
мы можем заменить переменную интегрирования в уравнении (8.3) для
крутящего момента [для удобства относительный угол закручивания
может быть обозначен через dtp/dz — <р, J
AGz = 2rap-3 y|zoez (Yoz) (8-8)
о
Дифференцирование по (yeJo с учетом равенства <р, 2 = (уег)о/го и после-
дующее преобразование дают (задача 8.12)
о8.(Те,).= 1Дг(М..+^<Я • (8-9)
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
241
Для вычисления напряжения по (8.9) Mzz и г берут в точке диа-
граммы крутящий момент—угол закручивания, где <р, г = (Toz)o/'"o (фиг. 8.7).
Если поведение материала в значительной мере зависит от скорости
деформации, проведенный выше анализ становится приближенным, так как
скорость деформации изменяется с радиусом и зависимости напряжений
Ф и г. 8.7. К определению касательных
напряжений по диаграмме крутящий мо-
мент — относительный угол закручивания.
Относительный угол закручивания
от деформаций уже не будут идентичными для всех радиусов. Фельд и Бако-
фен [5] показали, каким образом эта зависимость от скорости деформирования
может быть получена по результатам испытаний с варьируемой скоростью
закручивания.
8.4. ИЗГИБ БАЛОК С СИММЕТРИЧНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Анализ напряженного и деформированного состояний в балках при
чистом изгибе упрощается, если учесть ограничения на возможные виды
деформаций, которые накладываются условиями симметрии, изотропии
и постоянством условий вдоль длины балки. Отсюда следует, что попереч-
ные сечения остаются плоскими и нормальными к оси балки. Это можно
доказать от противного, показав, что любой другой вид деформации про-
тиворечит принятым условиям симметрии, изотропии и однородности усло-
вий вдоль оси балки (задача 8.13).
Так как поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси
балки, нормальные компоненты деформаций (вдоль оси балки) изменяются
по сечению линейно и пропорционально расстоянию от некоторой прохо-
дящей по сечению прямой, называемой нейтральной осью. При изгибе балки
в плоскости симметрии, как показано на фиг. 8.8, направление удобно
выбирать параллельным нейтральной оси. Тогда, обозначив пока еще неиз-
вестную координату нейтральной оси через а, получаем
= — a)IRt. (8.10)
Кроме того, возникают перемещения в плоскости поперечного сечения,
и, следовательно, компонент деформации больше чем одна. Эти другие ком-
поненты проще определить после рассмотрения вопроса о напряжениях,
и они зависят от того, будут ли иметь место упругие или пластические зави-
симости напряжений от деформаций.
Поскольку балка тонкая и напряжения на ее боковых поверхностях
отсутствуют, то, по-видимому, можно допустить, что присутствуют лишь
нормальные составляющие напряжений вдоль оси балки. Условия равно-
весия в прямоугольных координатах удовлетворяются (2.11). Если имеет
место значительная кривизна, граничные условия, требующие равенства
нулю напряжений на верхней и нижней поверхностях балки, более просто
записываются в цилиндрических координатах [соотношения (2.14)1. Отсюда
16—92
www.vokb-la.spb.ru
242
Глава 8
можно показать, что должно возникать также поперечное напряжение
—о22> которое зависит от высоты балки h. Грубо говоря, оно имеет порядок
Лоц/7?! (задача 8.14). Это напряжение обычно пренебрежимо мало,
но в тонких трубах или полках двутавровых балок имеются поверхности,
на которых оно должно отсутствовать; сопротивление действию этого напря-
жения уменьшается, в результате чего может возникнуть заметное искаже-
ние сечения и потеря жесткости.
Проверка предположения о единственной составляющей напряжения
зависит от возможности удовлетворения не только уравнениям равновесия,
Фиг. 8.8. Продольная деформация при
чистом изгибе.
Фиг. 8.9. Деформация попе-
речного сечения прямоуголь-
ной балки при чистом изгибе.
но и зависимостям напряжений от деформаций и деформаций от перемеще-
ний. При упругих деформациях связь напряжений с деформациями приво-
дит к существованию трех компонент деформаций
езз = , (811)
®22= —ves3-= v (а?2 й)/7?1-
Перемещения, соответствующие этим компонентам деформаций, показаны
на фиг. 8.9 и выражаются аналитически следующим образом (задача 8.15):
и3 = (хг—а) x:i/Rt,
иг = —xl/2Rt~v — a)2!2Ri -]-vxl/2Ri, (8.12)
11-!= —vxt (х3— a)/Rf.
Различные члены уравнений (8.12) вполне возможно связать с соответ-
ствующими видами деформаций, изображенными на фиг. 8.8 и 8.9 (з а д а-
ч а 8.16).
Теперь в предположении, что перемещения в поперечном сечении малы
по сравнению с размерами поперечного сечения, мы имеем решение, удовле-
творяющее наряду с соответствующими граничными условиями уравнениям,
связывающим деформации с перемещениями, зависимостям напряжений
от деформации и, по крайней мере приближенно, уравнениям равновесия.
Что именно подразумевается под «малыми» перемещениями, будет рассмотрено
позже, в разд. 8.5. После того как напряженное состояние найдено, изгиба-
ющие моменты могут быть получены путем интегрирования при использо-
вании соответствующего соотношения напряжений с деформациями и урав-
нения (8.10) для распределения деформаций. Неизвестную кйординату а
нейтральной оси находят, приравнивая нулю осевую силу при отсутствии
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
243
соответствующих внешних нагрузок
В силу симметрии
з = j j озз (е33) dxt dx2 = 0;
и = j J °.зз (езз) х2
Л/ж = J J °зз (е33) dxt dx2 = 0.
dx2.
(8.13)
В случае упругого распределения напряжений интегралы могут быть выра-
жены через геометрические характеристики сечений, как, например, центр
тяжести, момент инерции сечения и центробежный момент инерции:
x2 = J j rr2 dXi dx2
^12 =
/ J J dxtdx2,
dxi dx2,
j j (aj — rti) (rc2 — z2) dxi dx2,
в результате чего (задача 8.17)
F3 = 0 = Ex2!Ri — EaJRi или а = х2,
7И31 = EI22JRi,
Мя2 — EliJRi.
(8.14)
(8.15)
Изгибающие моменты часто выражаются через максимальное напряжение
Омакс = Я|^2 —а|макс'Л1 (задача 8.18):
М31 = ।°макс,'722 ,
I х2 ° |макс
П/Г __ 1амакс|^12
Жз2 — г?;;—я-------•
I *^2 а |макс
(8.16)
Изгиб балок несимметричного поперечного сечения описан в [4].
Анализ изгиба балок из анизотропных материалов сильно упрощается,
если принять, что распределение напряжений то же самое, как и для изо-
тропных материалов. Справедливость такого допущения будет показана
далее. В таком случае, исходя из соотношений между напряжениями и дефор-
мациями, можно получить любую составляющую деформации. Эти деформа-
ции приводят наряду с изгибом к депланации и закручиванию (зада-
ч а 8.19). При кручении наблюдается обратное явление (задача 8.20).
При полностью пластической деформации может быть найдена система
перемещений, аналогичная перемещениям для случая упругости, за исклю-
чением различий в поперечной кривизне, так как при пластической дефор-
мации коэффициент Пуассона равен 0,5. При рассмотрении упруго-пласти-
ческого случая это различие в кривизне приводит к несовместности деформа-
ций и появлению поперечных составляющих напряжений. Точное реше-
ние для этого случая неизвестно.
Пренебрегая упругими деформациями, по диаграмме зависимости изги-
бающего момента от кривизны можно получить соотношение между напря-
жениями и деформациями J9], но необходимые эксперименты более сложны,
чем эксперименты при кручении. Как показано на фиг. 8.10, при разгру-
жении из состояния пластичности опять возникают остаточные напряжения.
Составные балки также можно проанализировать как для упругого, так
и для полностью пластического случая. Единственное отличие от однород-
16*
www. vokb- la.spb.ru
244
Глаеа 8
ной балки состоит в том, что изменение прочности и жесткости при переходе
от одного слоя к другому может вызвать изменение напряжений, которое
необходимо учитывать при интегрировании с целью получения изгиба-
ющего момента.
Пластический изгиб прямоугольной балки относительно осей, не сов-
падающих с осями симметрии, дает сравнительно простую возможность
Фиг. 8.10. Графики, показывающие, что нелинейное распределение приложенных
напряжений в совокупности с линейным изменением напряжений при разгрузке приво-
дит к появлению остаточных напряжений.
для проверки ассоциированного закона пластического течения, устанавли-
вая связь деформации с условием пластичности для обобщенных напряже-
ний и деформаций. В этом случае обобщенными «напряжениями» являются
Фиг. 8.11. Изгиб прямоугольной балки относительно оси, не совпадающей с осью сим-
метрии.
составляющие изгибающих моментов относительно двух осей симметрии,
.как это показано на фиг. 8.11. Для балки ив изотропного иеупрочняющегося
материала, продеформированной в область пластичности достаточно дале-
ко, чтобы можно было пренебречь упругими деформациями, кривую теку-
чести можно найти путем вычисления изгибающих моментов, необходи-
мых для изгиба относительно, оси, составляющей с осью симметрии угол 0
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
245
(задача 8.21):
„. ОТ&Л2 ( , Ь2 . „ hrh
^ = -^-(1—3^tg20) для -_<tge<T,
a-fbli2 [ 2 l2 \ h . ,, . h
7Изг = -^—(-y^gG) для — V<tge<V
(8.17)
Обобщенные компоненты деформаций должны быть выбраны так, чтобы
после умножения на соответствующие изгибающие моменты и суммирова-
Ф и г. 8.12. Обобщенная кривая текучести,
сообщенные деформации, являющиеся компонентами угла нагиба, нормальны к кривой.
ния они давали бы работу пластической деформации. В данном случае
обобщенными деформациями являются изменения угла изгиба
dw-Jdutf = tg 0. (8.18)
Если эти компоненты угла изгиба представить в виде вектора, направлен-
ного из точки на кривой текучести под соответствующим углом 6, то вектор
нормален к кривой, как это показано на фиг. 8.12 (задача 8.22).
Как и при кручении, анализ может быть распространен на случаи вяз-
ко-упругости или первичной и вторичной ползучести.
8.5. ИЗГИБ ПЛАСТИН
При изгибе все более и более широких балок отклонение кромок (от
исходного положения) при искривлении поперечного сечения может стать
сравнимым с толщиной балки. Когда эта поперечная!кривизна сочетается
с продольной кривизной балки, оказывается, что при принятом распределе-
нии напряжений условие равновесия перестает удовлетворяться. Такая
ситуация показана на фиг. 8.13. Наличие изгиба поперечного сечения озна-
чает, что края элемента стремятся к растяжению, а центральная часть —
к сжатию. Это приводит к появлению в сечении момента с компонентой
М82 в направлении х2. Вследствие кривизны балки моменты в соседних
сечениях взаимно не уничтожаются и необходим противодействующий
момент. Им может быть лишь момент, действующий на поверхности ж,
и имеющий компоненту Mi-3 в направлении —х3. Этот момент стремится
предотвратить поперечное искривление. Если пластина достаточно широка,
поперечное искривление будет лишь в области около краев пластины и им
можно пренебречь.
www.vokb-la.spb.ru
246
Глава 8
Перемещения в этом случае могут быть выражены через постоянную с,
которую еще следует определить:
из = ^^zfRii
и2=; —xl/2Ri — c3^/2Rl, (8.19)
щ = 0.
Дифференцирование этих перемещений дает деформации
Гуз = XyJRi, 822= —cxdRi, 8ц = 0. (8.20)
Напряжения можно найти с помощью соотношений между напряжениями
iz
Фиг. 8.13. Возникновение поперечного момента при поперечном искривлении.
и деформациями (задача 8.23), а условие о22 = 0 позволит определить
постоянную с (задача 8.24)
Оц = W3S1
o93=Ex2,IRi (1-v2), (8.21)
c^=v/(l —v).
Интегрирование напряжений дает изгибающие моменты (задача 8.25)
1И31 = ЕЬ/г3/12Я1(1-т2),
M13/Z = -vEhWRi (1 - v2). (8,22)
Следует отметить, что в результате пренебрежения краевыми эффектами
граничные условия, состоящие в отсутствии поперечных моментов на краях
пластины, перестают удовлетворяться.
Грубая оценка полной ширины Ь, необходимой для возникновения
поперечного момента, может быть получена следующим образом. Начиная
от точки, которая на фиг. 8.13 является началом координат и где нейтраль-
ная ось находится в центре сечения, поперечная кривизна увеличивается до
максимального значения v/Ri, где Hi — радиус продольной кривизны.
Допустим, что изменение кривизны линейное. Тогда оказывается, что
ширина Ь, необходимая для получения полной интенсивности поперечного
момента М^Н, выражается через максимальную составляющую нормаль-
ной деформации еЗЗМакс следующим образом (задача 8.26):
b = Т^бЛ/Уезз макс- (8.23)
Более точный анализ дает численный коэффициент около 3, что было про-
верено экспериментально [II.
Когда изгиб настолько значителен, что упругими деформациями можно
пренебречь, деформации все еще изменяются по сечению линейно, но попе-
речные напряжения равны половине, а не v от продольных Напряжений,
www.vokb-la.spb.ru
Изгиб и кручение
247
как в упругом случае (задача 8.27). Отметим, что в соответствии с кри-
терием пластичности Мизеса наличие поперечных напряжений приведет
к увеличению продольных напряжений, необходимых для наступления
пластической деформации, до более высокого уровня, чем соответствующий
уровень для балки. Это происходит как вследствие увеличения эквивалент-
ной деформации при заданной кривизне (задача 8.28), так и благодаря
увеличению нормальной составляющей осевого напряжения для данной
величины эквивалентного напряжения, в результате чего сг33 = 2сгт/|/ 3
и Оц = щ/|/3 (задача 8.29).
Упруго-пластический анализ усложняется тем обстоятельством, что
начиная с момента появления первых пластических деформаций попереч-
ные напряжения по мере распространения пластической деформации к цент-
ру балки увеличиваются от v до 0,5 от продольных. Это изменяет величину
эквивалентных напряжений при заданных продольных напряжениях. Влия-
ние этого эффекта невелико, подробности можно найти у Хилла [6].
В вязко-упругих материалах поперечное стеснение приводит к изме-
нению распределения напряжений. Рассмотрим, например, чистый изгиб
пластины из материала, упругого относительно шарового тензора напря-
жений и вязкого по модели Максвелла для девиатора напряжений. Соот-
ношения между средним напряжением, объемной деформацией и девиато-
рами напряжений и деформации описываются уравнениями
е = о/7?, ег; = sijI^G -j- s;j/2p.
Для коротких промежутков времени влиянием вязкости можно пренебречь,
распределение напряжений упругое, а поперечные напряжения равны
cr11 = w33. (8.24)
По истечении значительных промежутков времени (т. е. при t р/С)
напряжения достигают постоянной величины и деформация принимает харак-
тер вязкого несжимаемого течения, для которого (задача 8.30)
Oii = Og3/2. (8.25)
Это увеличение поперечных напряжений приведет к уменьшению скорости
деформации, и начальный переходный процесс будет аналогичен процессу,
описываемому с помощью четырехэлемеитной модели вявко-упругого
материала. Таким же образом после разгружепия поперечные остаточные
напряжения приведут к упругому последействию. Поэтому поведение кон-
струкции может отличаться от поведения материала, из которого она изго-
товлена. Начальный неустановившийся процесс изменения поперечных
напряжений может быть описан количественно с помощью преобразова-
ния Лапласа для зависимости напряжений от деформаций и упругого
решения для изгиба пластин (задача 8.31).
8.6. ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛАХ
Анализ, проведенный для пластин и балок, справедлив и для биметал-
лических полос, подверженных изменению температуры, но для двух раз-
личных материалов, образующих полосу, должны быть записаны два раз-
личных уравнения, устанавливающих связь между напряжениями и дефор-
мациями. Осевые деформации должны быть выбраны так, чтобы осевая
сила была равна пулю. Это приводит к такому распределению напряже-
ний, как показано на фиг. 8.14. Например, в случае составной балки из двух
материалов с толщинами hi и й2, модулями упругости и £’2 и коэффициен-
тами теплового расширения и а2 соответственно кривизна, обусловленная
www.vokb-la.spb.ru
248
Глава 8
тепловым расширением, определяется следующим соотношением (зада-
ча 8.32):
3(а2 —Е2 7г2 / Л2 \
1 ^1' /о nfi\
Деформация, вызванная термическим ударом, также может быть описа-
на теоретически. Вывод упрощается, если нижележащий материал настолько
толст, что препятствует любой деформации, за исключением компонент
деформации, нормальных к поверхности. В таком случае повышение темпера-
туры приводит к двухосному сжатию в плоскости поверхности. Если повы-
шение температуры значительно, может возникнуть и пластическая дефор-
мация. Дальнейшее увеличение напряжений, если вообще оно произойдет,
будет следствием лишь деформационного упрочнения. При равномерном
охлаждении теплового сжатия окажется более чем достаточно, чтобы возник-
ли упругие деформации, необходимые для уменьшения напряжений до нуля,
Ф и г. 8.14. Распределение напряжений в равномерно нагретой биметаллической полосе.
и поэтому на поверхности возникнет состояние растяжения. В случае иде-
ального неупрочняющегося материала с постоянным модулем упруго-
сти Е, коэффициентом теплового расширения а и пределом текучести сгт тем-
пература может быть повышена на величину
(7’-7’0)<TT = crr(l-v)/£a (8.27)
без появления пластической деформации (задача 8.33). Остаточные
напряжения, возникающие после нагрева до более высоких температур,
равны (задача 8.34)
°11г — °22г —
Еа(Т-Т0)
(1 —v)
сгт
Для
<гт(1— и) т т 2(1 — v) <гт
Еа 7о<: Еа.
(8.28)
Gltr — П2гг — Ог
О’ Т 2 (1"v) °-
для Т—То>---------—
Если температура повышается еще больше, то при охлаждении до началь-
ной температуры может возникнуть пластическая деформация в другом
направлении. В любом случае остаточные напряжения могут стать причи-
ной растрескивания. При использовании достаточно топких пластин терми-
ческие напряжения на поверхности приведут к общему искривлению пла-
стины, которое может быть оценено по известной предыстории теплового
удара. Дополнительную информацию можно получить в работе Менсона [7].
Общий обзор по термическим напряжениям выполнил Болей [2], обзор-
ные статьи Вейнера и Ландау ИЗ] дают представления о достижениях
в области упруго-пластических термических напряжений. Наиболее общей
справочной книгой по термическим напряжениям является книга Болея
и Вейнера [3] г).
х) Подробный справочник по термическим напряжениям в телах различной формы
имеется также в сб. «Прочность и деформация в неравномерных температурных полях»,
Госатомиздат, 1962.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
249
8.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При кручении круглого цилиндрического стержня из изотропного
материала симметрия и постоянство условий по длине стержня дают следую-
щую зависимость деформаций сдвига от относительного угла закручивания:
yz&---rdq/dz. (8.2)
Аналогичным образом, при чистом изгибе изотропного стержня нор-
мальная осевая составляющая деформации в зависимости от расстояния до
нейтральной плоскости записывается в виде
®33 = ^2/-^1> (8.11)
где 7?t—радиус продольной кривизны стержня.
Интегрирование напряжений дает крутящий момент
Mzz = J 2лггоег (у6г) dr.
о
При изгибе продольная сила и изгибающие моменты равны
А3 = j J о33 (е33) dxi dx2 = О,
Ms t = j ( o33 (e33) x2 dxi dx2, (8.13)
Af32 = j j o33 (e33) Xi dxt dx2.
Когда в результате пластической деформации или ползучести распределение
напряжений становится нелинейным, линейно распределенные упругие
напряжения при разгрузке не уменьшают напряжений до нуля и возника-
ют остаточные напряжения.
Для анизотропных материалов достаточно одной составляющей напря-
жений. Однако возникают дополнительные компоненты деформаций, так что
под действием крутящего момента может произойти изгиб (и наоборот).
Для пластин шириной Ь, удовлетворяющей условию
(8.23)
загиб кромок пластины дает поперечный изгибающий момент, который
удерживает пластину в плоском состоянии, так что деформированное состоя-
ние пластины — это состояние плоской деформации.
И при кручении и при изгибе по диаграммам крутящий момент — угол
закручивания и изгибающий момент — радиус кривизны можно получить
зависимость напряжений от деформаций. Однако для материала, поведение
которого зависит от скорости деформирования, изменение этой скорости
по сечению стержня делает необходимым проведение испытаний при раз-
личных скоростях деформации, чтобы получить зависимость напряжения
от деформации только для одной скорости деформации.
Температурные градиенты по сечению или наличие слоев материалов
с различными коэффициентами теплового расширения приводят к искрив-
лению плоской полосы. Как и в изотермическом случае, поперечные сече-
ния остаются плоскими и удлинение и изгиб полосы выбираются так, чтобы
осевая сила и изгибающий момент были равны нулю.
Для линейных вязко-упругих материалов распределение напряжений
по сечению линейно, как и в упругом случае, и отсутствуют остаточные
напряжения, за исключением поперечных напряжений в широкой пластине.
www. vokb- la. spb. ru
-250
Глава 8
ЗАДАЧИ
8.1. Показать, исходя из симметрии и линейности аргументов, что при
кручении круглого стержня не будет поперечных компонент деформации.
8.2. Показать, что при кручении единственная составляющая касатель-
ных напряжений удовлетворяет уравнениям равновесия.
8.3. Вывести соотношение (8.4) для крутящего момента при упругом
кручении круглого стержня.
8.4. Получить зависимость крутящего момента от угла закручивания
при упруго-пластическом кручении стержня (фиг. 8.3).
8.5. Вывести соотношение (8.5) для крутящего момента при полностью
пластическом кручении.
8.6. Вывести уравнение (8.6) для крутящего момента, если материал
упрочняется по закону пг0 = 1г (v2e)\
8.7. Путем прямого дифференцирования получить уравнение (8.7) для
крутящего момента при кручении стержня из вязкого материала.
8.8. Дать качественное объяснение характера изменения распределе-
ния напряжений при ползучести круглого стержня, показанного на фиг. 8.4.
8.9. Считали ли авторы статьи, из которой заимствована фиг. 8.6, неуста-
новившуюся ползучесть восстанавливающейся или нет?
8.10. Какие результаты, приведенные на фиг. 8.6, могли бы соответ-
ствовать вязко-упругому приближению? Какая необходима дополнительная
информация, чтобы определить численное значение деформации, при которой
лилейное вязко-упругое приближение неприменимо?
8.11. Показать, что при кручении многогранного стержня сдвиговые
компоненты деформаций вдоль углов должны отсутствовать.
8.12. Вывести уравнение (8.9), дающее напряжение в данной точке
диаграммы крутящий момент — угол закручивания [9].
8.13. Выбрать любой неплоский вид деформации при изгибе стержня
и показать, что это противоречит принятым условиям симметрии, изотропии
и постоянству условий вдоль длины балки [4].
8.14. Путем рассмотрения равновесия соответствующего элемента длин-
ной прямоугольной балки высотой h, изогнутой в виде полукольца, или
из уравнений равновесия в цилиндрических координатах показать, что
через нейтральную ось балки будет действовать поперечное давление, вели-
чина которого имеет порядок haiJRi.
8.15. Показать, что перемещения, выраженные соотношениями (8.12),
дают деформации, определяемые уравнениями (8.11).
8.16. Объяснить, которые из членов уравнений (8.12) связаны с соот-
ветствующими видами деформаций, изображенными на фиг. 8.8 и 8.9.
8.17. Вывести уравнение, определяющее положение нейтральной оси,
и зависимости изгибающего момента от кривизны при изгибе балки (8.15).
8.18. Вывести зависимость (8.16) между изгибающим моментом и макси-
мальным напряжением.
8.19. Показать, что при изгибе балки из анизотропного материала
имеют место следующие перемещения:
= ^ПЗЗ^Й-П + ‘S' 1233^2 + 3133^2-^3 >
»2^23 _ Л’ггзз^ -Узззз^з с „ Л'шз^
Л731 2 2 д 3133-^3 2
Л 22 = ‘S’ ззззЯ^з -|- S аззз^г-
Объяснить физический смысл каждого члена [12].
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
251
8.20. Показать, что при кручении круглого стержня из анизотропного
материала имеет место следующая система перемещения:
щ!
Л?33
= “ S'S'i 131^1^2•— (S2.Z23~Ь 2Si23i) £% 2 («?2згз -[-^3121) ^2^3 ^ззгз^з»
дТ— = 21S2223^)^2— '5*2231^ + 3331^5 + 2 (S3323 + >^SJ31) XSXY -]- (£нз1 -ф 25’122з) Xj ,
— — 2Л’зз23‘7?1а-3-------^зззр^з 4“ 25з12Э£1+ 2(^2323-------------------->^3131) Я’1Ж2-----2^2331^2-
Сбъяснить физический смысл каждого члена.
8.21. Вывести соотношения (8.17) для изгибающего момента при изгибе
пластичной балки относительно произвольной оси.
8.22. Показать, что приращение вектора обобщенной деформации для
балки (из задачи 8.21) направлено нормально к кривой текучести, как это
показано на фиг. 8.12.
8.23. Из уравнений (8.20) получить распределение напряжений при
изгибе упругой пластины.
8.24. Исходя из условия равенства нулю напряжений, нормальных
пластине, оценить постоянную с в уравнении (8.20).
8.25. Вывести уравнения (8.22) для изгибающих моментов при изгибе
пластины.
8.26. Получить приближенное значение ширины, необходимой для воз-
никновения поперечного изгибающего момента [соотношение (8.23)].
8.27. Исходя из основных уравнений, вывести уравнение для попереч-
ных напряжений при пластическом изгибе пластины.
8.28. Показать, что при данной кривизне эквивалентные напряжения
при изгибе пластины выше, чем нри изгибе стержня.
8.29. Показать, что для данного эквивалентного напряжения нормаль-
ные составляющие осевых напряжений при изгибе пластины выше, чем
при изгибе стержня, так что <г33 = 2огт/[/3, пи — пт/|3.
8.30. Вывести формулу (8.25) для поперечных напряжений при стацио-
нарном изгибе плоской пластины из материала, поведение которого описы-
вается моделью твердого тела Максвелла.
8.31. Вывести уравнение для неустановившихся поперечных напряже-
ний в пластине из вязко-упругого материала, девиаторы напряжений кото-
рого подчиняются соотношениям Максвелла.
8.32. Вывести уравнения для кривизны биметаллической пластины
в частном случае, когда толщины и модули упругости двух материалов
равны [соотношение (8.26)]. Вместо прямого вывода можно допустить, что
температура изменяется без последующего изменения кривизны, и вычис-
лить необходимый для этого сдерживающий момент. Кривизна при снятии
этого момента может быть получена с помощью обычных уравнений для
изотермического случая.
8.33. Вынести соотношение (8.27) для максимального изменения темпе-
ратуры в бесконечно толстой плите, еще не приводящего к появлению
пластической деформации.
8.34. Вывести соотпошспие (8.28) для остаточных напряжений в плите
после резкого изменения температуры па величину, большую получаемой из
уравнения (8.27).
8.35. При испытаниях на растяжение монокристаллов анизотропия
материала может привести к повороту концов образца по отношению к рас-
сматриваемому сечению. Всегда или только при определенных условиях
можно устранить этот перекос путем использования комбинированного
воздействия изгибающих и крутящих моментов и осевой силы?
www.vokb-la.spb.ru
252
Глава 8
Ф и г. 8.15.
8.36. Показать, почему остаточные напряжения будут или не будут
оказывать влияние на способ, предложенный для определения зависимости
касательных напряжений от деформации сдвига по диаграмме крутящий
момент — угол закручивания, полученной при кручении круглого стержня.
8.37. При каких условиях можно ожидать появления остаточных
напряжений после испытаний нейлона на ползучесть при кручении? Резуль-
таты испытаний показаны на фиг. 8.6.
8.38. Изготовьте пружинный динамометр
для настольных экспериментов. Вокруг ка-
рандаша плотно намотайте примерно 10 вит-
ков 0,66 мм рояльной проволоки. Будьте
осторожны, остерегайтесь проскальзывания
конца проволоки под вашими пальцами, так
как это может привести к порезам. Заметьте
диаметр карандаша и диаметр пружины
после ее освобождения. Чтобы отломить про-
волоку, зажмите ее между двумя монетами и,
пользуясь ими как тисками, отломите про-
волоку, изгибая ее вперед и назад. На каж-
дом конце пружины сделайте петлю, сначала
придав ей нужную форму, а затем с помощью
двух монет изогнуть ее так, чтобы она оказа-
лась в плоскости оси пружины (фиг. 8.15).
а) Оцените жесткость пружины. В случае необходимости см. [4]. Срав-
ните эту жесткость с жесткостью вашего динамометра.
б) Какова максимально допустимая нагрузка? Как ее определить
экспериментально ?
8.39. Изогните скрепку для бумаг в виде буквы U как показано на
фиг. 8.15. Какова будет жесткость при нагружении за одну пояску указан-
ным способом? Проверьте это с помощью вашего пружинного динамометра.
Ф и г. 8.17.
Фиг. 8.16.
8.40. Определить направление перемещения и жесткость L-образной
консольной балки, изображенной на фиг. 8.16, при нагружении ее в пре-
делах упругости.
8.41. а) Отожгите скрепку для бумаги в пламени газа или спички.
Изогните скрепку и определите на ощупь верхний предел текучести. После
повторного отжига измерьте нагрузку с помощью пружины и посмотрите,
действительно ли будет падение нагрузки. Каково должно быть отношение
верхнего предела текучести к нижнему, чтобы изгибающий момент упал?
Продолжайте изгибать скрепку с постоянным изгибающим моментом, пока
не получите почти полную петлю. Определить пластическую деформацию
для нияснего предела текучести, б) Будет ли верхний предел текучести более
резко выявляться при изгибе или кручении? Изогните скрепку в форме
буквы U, отожгите ее и скрутите, как показано на фиг. 8.17. Заметьте, что
www. vokb- la. spb. ru
Изгиб и кручение
253
протяженность зоны пластической деформации может быть измерена по
наблюдаемой области растрескивания нагара. Определить деформацию,
соответствующую пределу текучести при кручении. Как сравнить ее с дефор-
мацией при растяжении?
8.42. Выпрямить скрепку для бумаг и нагрузить ее, как консольную
балку. Определить нагрузку, соответствующую началу пластической деформа-
ции, и нагрузку полной пластической деформации. Как они зависят от
предыстории изгиба балки в точке максимального момента? Предсказать
эти напряжения, имея в виду, что в этой точке можно ожидать появления
остаточных напряжений.
8.43. Предположим, что скрепка для бумаги изогнута прямоугольни-
ком и нагружена, как показано на фиг. 8.15. Заметим, что в углу, ближай-
шем к приложенной нагрузке, изгибающий и крутящий моменты равны. Что
скорее приведет к появлению пластичности, изгиб или кручение? Какой
момент, соответствующий полностью пластической деформации, больше?
Рассмотреть влияние предыстории нагружения, как в задаче 8.42.
8.44. Определить изгибающий момент полной пластической деформа-
ции рояльной проволоки диаметром 0,66 мм. Какого увеличения диаметра
пружины можно ожидать, если пружина навивается на карандаш диамет-
ром 7,5 мм? Какое будет различие при использовании карандашей шести-
угольного и круглого сечений? Что говорит вам этот результат о конструкции
штампов для гибки листового металла?
8.45. Оценить предел упругости при растяжении пружины, изготов-
ленной навивкой рояльной проволоки (диаметр 0,6 мм) на карандаш диамет-
ром 7,5 мм. При каком удлинении появится первая пластическая дефор-
мация? Если пружина растянута далеко в область пластичности, то насколь-
ко увеличится ее упругая область?
8.46. Пружина, работающая па кручение, это пружина, концы которой
поворачиваются вокруг центральной оси. Заметим, что когда пружина
работает на кручение, ее проволока работает на изгиб. Как предпочтитель-
нее использовать пружины, работающие на кручение,— в направлении
раскручивания или скручивания? Насколько остаточные напряжения умень-
шают допустимый диапазон поворота концов пружины, работающей на кру-
чение? Проверьте ваши результаты экспериментально.
8.47. Из испытаний формовочной глины на твердость, растяжение или
сжатие определить длину консольной балки, которая может выдержать свой
собственный вес. Проверьте ваши результаты экспериментально.
8.48. Определить обобщенную границу текучести и распределение
напряжений и деформаций при комбинированном изгибе и кручении круг-
лого стержня. (Указание: исходить из перемещений, найдя их по
возможности точнее. Интегралы до конца не берутся. Вы узнаете специаль-
ные функции?)
8.49. Образец из алюминиевого сплава 2024-Т4 в форме пластины
шириной 32 лыи и толщиной 3,2 лыи испытывается на изгиб. Расстояние
между опорами 38 мм, нагрузка прикладывается в середине между опорами.
Оценить максимальную нагрузку и сравнить ее с полученной (490 кг). Объяс-
нить возможные причины расхождения значений, включая количественные
оценки величин расхождений, ожидаемых по различным причинам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ash well D. G., The Antielastic Curvature of Rectangular Beams and Plates
J. Hoy. Aero. Soc., 54, 708—715 (1950).
2. В oley B. A., Thermal Stresses, в книге: Structural Mechanics (Proc. 1st Symp.
Naval Struct. Meeh.), G о о d i e r J. N., Hoff N. J. (eds.) Pergamon Press
London, 1960, pp. 378—406.
www. vokb- la. spb. ru
254
Глава 8
3. В о 1 е у В. A., Weiner J. Н., Theory of Thermal Stresses, Wiley, New York,
1960;русский перевод: Боли Б., Уэйнер Дж., Теория температурных напряжений,
изд-во «Мир», 1964.
4. Crandall S.H., Dahl N.C. (eds.), An Introduction to the Mechanics of Solids,
McGraw-Hill, New York, 1959.
5. Fields D.S., Backofen W. A., Determination of Strain-Hardening Characte-
ristics by Torsion Testing, Proc. ASTM, 57, 1259—1272 (1957).
6. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Clarendon Press, Oxford, England,
1950; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности, М.,
Гостехиздат, 1956.
7. М ans on S. S., Behavior of Materials Under Conditions of Thermal Stress, NACA
Technical Rept., 1170, 1954.
8. M a r i n J., Webber A. C., Weissman G. F., Creep-Time Relations for
Nylon in Tension, Compression, Bending and Torsion, Proc. ASTM, 54, 1313—1343
(1954).
9. N a d a i A., Theory of Flow and Fracture of Solids, 2nd cd., McGraw-Hill, New York,
1950; русский перевод: На дай Л., Пластичность и разрушение твердых тел,
т. I, ИЛ, 1954.
10. Prager W., Hodge Р. G., Theory of Perfectly Elastic Solids, Wiley, New York,
1951; русский перевод: Прагер В., Ходж Ф. Г., Теория идеально пластиче-
ских тел, ИЛ, 1956.
11. Timoshenko S., Good i er J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New
York, 1951.
12. Voigt W., Lehrbucli der Kristallphysik, 2nd ed., Teubner, Leipzig, 1928.
13. Weiner J. H., Landau H. G., Thermal Stresses in Elastic-Plastic Bodies,
в книге: Plasticity (Proc. 2nd Symp. Naval Struct. Meeh.), Lee E. H., Symon-
ds P. S. (eds.), Pergamon Press, London, 1960, pp. 369—384.
www.vokb-la.spb.ru
Глава 9
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИЙ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Трудность получения точных решений для многих задач, представ-
ляющих интерес для процессов обработки металла давлением, испытаний
материалов и их использования, заставляет искать приближенные решения.
В этой главе будет рассмотрено, какие нагрузки необходимы, чтобы
вызвать данную деформацию как в упругом состоянии, так и в условиях
полной пластичности. Грубо говоря, нижние границы точных значений этих
нагрузок могут быть найдены, если пренебречь условиями совместности
деформаций или геометрическими соотношениями, но удовлетворить урав-
нениям равновесия и (в случае текучести) условиям пластичности. Верхние
границы точного значения нагрузки находят, задаваясь видом деформации
и выбирая нагрузки достаточно высокими для того, чтобы обеспечить систе-
му как энергией, необходимой для упругой деформации, так и энергией,
затрачиваемой на пластическую деформацию, игнорируя при этом то обсто-
ятельство, что результирующее распределение напряжений может и не
удовлетворять условиям равновесия. По мере увеличения деформации
пластичного неупрочняющегося материала нагрузка достигает постоянной
величины, называемой предельной нагрузкой, если не происходит разру-
шения и изменением формы тела можно пренебречь.
Оценка значения предельной нагрузки при пластической деформации
надрезанных образцов показывает, что для пластин с двусторонним надре-
зом предельная нагрузка, отнесенная к единице площади минимального
сечения, может примерно в три раза превышать предел прочности при
растяжении, тогда как для плиты с односторонним надрезом предельная
нагрузка на единицу площади минимального сечения примерно равна пре-
делу прочности. Таким образом, геометрические аспекты, которые в упру-
гих случаях не приводят к большим различиям, становятся решающими при
наличии пластической деформации. Для задач пластичности, которые можно
приближенно рассматривать как задачи при плоском деформированном
состоянии, уравнения равновесия и совместности записываются в криво-
линейных координатах, которые локально параллельны направлениям
максимальных касательных напряжений.
На примере испытаний на растяжение будет показано, что распределе
ние деформаций совсем необязательно определяется внешней нагрузкой,
хотя распределение напряжений однозначно в любой деформируемой области.
Будет дан также ряд других полезных следствий теорем о предельной
нагрузке.
Для некоторых практических задач точное нахождение верхних и ниж-
пих границ затруднительно; тогда уравнения совместности и равновесия
могут быть удовлетворены не в каждой точке, а лишь для больших элементов.
9.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Иногда для определения истинного или совместимого напряженного
состояния среди многообразия напряженных состояний, удовлетворяющих
условиям равновесия и внешним нагрузкам, в теории упругости пользуются
энергетическими методами. Это оказывается возможным потому, что для
www.vokb-la.spb.ru
256
Глава 9
точного решения энергия как функция напряженного состояния прини-
мает минимальное значение. Наш интерес к таким теоремам объясняется
не столько их прямыми применениями, сколько возможностью их исполь-
зования для оценки полной жесткости конструкции и их сходством с анало-
гичными теоремами, полезными для оценки предельных нагрузок пласти-
ческого материала.
А. Теорема минимума потенциальной энергии
Рассмотрим задачу определения жесткости тела по отношению к пере-
мещению в некоторой точке, как показано на фиг. 9.1, Допустим, что поле
перемещений по всему телу совместимо с положением его опор и другими
связями. Исходя из этих перемещений, можно определить деформацию
Р(параллельно перемещению)
^^Перемещение и
j—До нагружения
If—После нагружения
Фиг. 9.1. Перемещение тела под дей-
ствием силы Р.
в каждой точке. Зная компоненты деформации и упругие постоянные, ока-
зывается возможным определить энергию деформации в каждой точке
^=2225 . (2.37), (3.4)
г j h I
Теорема минимума потенциальной энергии устанавливает, что:
Энергия деформации, полученная из перемещений, совместимых с
любыми граничными условиями, и проинтегрированная по всему
объему тела, для истинного распределения перемещений принимает ми-
нимальное значение.
Доказательство может быть найдено у Сокольникова [21], который
в теорему о потенциальной энергии включает не только энергию дефор-
мации, но и потенциальную энергию любого внешнего фактора, которым
может оказаться внешняя нагрузка. Энергию деформации можно выразить
через действительную жесткость К = Р!и. Тогда, используя правило сум-
мирования (разд. 2.8), принцип минимума энергии деформации запишем
в виде
(9Л)
Таким образом верхпяя граница жесткости будет определяться следующим
соотношением:
(9.2)
В качестве примера применения соотношения (9.2) рассмотрим растя-
жение длинного цилиндрического стержня с площадью поперечного сече-
www. vokb- la. spb. ru
Нр и бл и жен ft ый а нализ на пряжен ий
257
ния А. Предположим (считая решение неизвестным), что в выражении для
перемещений присутствуют как линейный, так и квадратичный члены
/z3 = ах3 -|-Ъх^.
(Здесь делается допущение об отсутствии энергии деформации, связан-
ной с поперечными перемещениями, и поэтому этими перемещениями пре-
небрегают.) Коэффициенты уравнения должны быть выбраны так, чтобы
перемещение нижнего конца составляло
u3(Z) = u- al | Ы2, или а — (и--Ы2)!1.
Соответствующие верхние границы жесткости будут определяться соот-
ношением (задача 9.1)
Не удивительно, что наименьшая верхняя граница находится при Ь = 0;
ото дает равномерную деформацию. Поэтому делается вывод, что
К < АЕ11.
Хотя данное применение принципа может показаться весьма тривиаль-
ным, он находит важное применение для решения более трудных задач,
например для определения упругих постоянных поликристаллических
материалов но упругим константам монокристаллов. В этом случае делается
допущение о равномерном распределении деформации по поликристаллу,
хотя известно, что решение это не является правильным. Анизотропные
упругие постоянные, приведенные к оси образца, изменяются от точки к точке
в соответствии со случайной ориентацией зерен. Для осевого нагружения
жесткость единичного кубика будет равна модулю Е. Полученная оценка Е
в любом случае несколько выше истинной величины, и хотелось бы знать,
насколько именно. В то время как для полного ответа на этот вопрос требует-
ся точное решение, может быть получено частное решение, если найти пиж-
пюю границу жесткости. Это делается с помощью принципа минимума
дополнительной энергии.
Б. Теорема минимума дополнительной энергии
Дополнительная энергия в материале определяется как интеграл от
деформаций по напряжениям
Сдоп^ 2 2 j £'/*0‘г
i 3
Для линейных упругих систем, к которым применимо понятие жестко-
сти, дополнительная энергия равна энергии деформации (задача 9.2).
Если нас опять интересует лишь жесткость в одной точке, где приложена
пагрузка, то следует воспользоваться теоремой о минимуме дополнительной
энергии, которая утверждает, что:
Среди напряженных состояний, удовлетворяющих в каждой точке
уравнениям равновесия и находящихся в равновесии с внешними
нагрузками, истинным напряженным состоянием является то, для кото-
рого соответствующая энергия деформации имеет минимальную величину.
Чтобы применить эту теорему для нахождения жесткости тела, заме-
тим, что если сила Р приложена в точке, где жесткость равна К, то сила
производит работу, равную для упругого тела Р2!2К, которая увеличивает
потенциальную энергию. Поскольку эта энергия меньше или равна дополни-
тельной энергии, полученной из распределения напряжений, которое может
17—92
www.vokb-la.spb.ru
258
Глава 9
быть и неверным, получаем нижнюю границу жесткости, т. е. число, кото-
рое должно быть меньше действительной жесткости:
Р2
К > Ка. г = ----------- . (9.3).
) 'ijklGijOM HV
В качестве примера опять рассмотрим задачу о жесткости прямолиней-
ного стержня при его растяжении. Игнорируем правильное решение и допу-
стим, что распределение напряжений однородно по длине стержня, но изме-
няется при переходе от поверхности к оси стержня по закону
Р к ( г
Из этого семейства напряженных состояний можно получить в зави-
симости от параметра b ряд нижних границ жесткости (задача 9. 3).
Наибольшее напряжение из этого семейства дает лучшую оценку жесткости,
и им оказывается напряжение, для которого b = 0 и которому соответ-
ствует равномерное распределение напряжений по сечению. Следовательно,
в этом случае найдено точное значение жесткости
ЕАЦ — 1\„. г < А7 < Ев. г = ЕАЦ.
В большинстве случаев, представляющих интерес, нам может не посча-
стливиться включить точное решение в семейство предполагаемых пере-
мещений или напряжений и поэтому не будет получено точного значения
жесткости. Однако, если границы достаточно близки, точность окажется
вполне достаточной для практических целей.
Эта теория может быть использована для получения нижней границы
упругих констант поликристаллических материалов, если принять распре-
деление напряжений по всем зернам неравномерным независимо от того,
что в результате анизотропии такие неравномерно напряженные зерна
не будут больше плотно пригнаны друг к другу. Верхняя и нижняя границы
упругих констант поликристаллического материала, определяемые с помо-
щью этих двух теорем, для большинства практических целей достаточно
близки друг к другу, и если взять их средпеквадратичное значение, то
может быть получена еще более точная оценка. Недостаток этой оценки
в том, что она не позволяет определить, выше или ниже истинного значе-
ния лежит полученный результат.
9.3. ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ПРИ ПЛАСТИЧНОСТИ
При пластической деформации понятие жесткости уже неприменимо,
так как отношение нагрузки к перемещению изменяется с увеличением дефор-
мации. Чтобы показать, какие представления возникают вместо этого,
рассмотрим два испытания на растяжение (фиг. 9.2) — гладкого цилиндри-
ческого образца и такого же образца с поперечным отверстием. Для данного
алюминиевого сплава и фактически для конструкционных металлических
материалов вообще пластический модуль деформационного упрочнения
намного меньше модуля упругости, так что вскоре после начала пласти-
ческой деформации диаграмма нагрузка — деформация становится почти
горизонтальной. Соответствующая нагрузка называется предельной нагруз-
кой. Если одновременно приложено несколько нагрузок и соотношение
между ними остается постоянным, любая из них может быть названа пре-
дельной и другие нагрузки выражены через нее. Для деталей, деформация
которых должна превышать упругую деформацию не более чем в два или
три раза, нагрузка должна быть ограничена величиной, немного мепыпей
предельной нагрузки. Если в образце имеется отверстие, концентрация
www. vokb- la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
259
деформаций вокруг отверстия приведет к появлению пластической деформа-
ции при нагрузках, меньших, чем те, которые приводят к появлению пласти-
ческой деформации в гладких образцах. Однако эта пластическая деформа-
ция не дает значительного вклада в общее удлинение образца, так как она
локализована и параллельно с областью пластической деформации имеется
материал, находящийся еще в упругом состоянии. И лишь когда в даль-
нейшем упругие деформации исчезают (т. с. область пластической дефор-
мации распространяется по меньшей мере на все поперечное сечение образца),
деформация образца заметно увеличивается. Если же нужно рассчитать
Фиг. 9,2. Влияние концентрации деформаций на деформацию образца из алюминиевого
сплава 2024-Т4.
деталь, деформация которой примерно равна упругой, необходимо лишь
ограничить нагрузку величиной, немного меньшей предельной нагрузки.
Теперь после предварительного рассмотрения некоторых необходимых
теорем обратимся к оценке предельной нагрузки.
9.4. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
Для доказательства теорем предельного состояния в теории пластичности и
для решения других задач, в которых рассматривается равновесие твердого
тела, удобно связать работу внешних сил с работой на единицу объема. Это
требует перехода от поверхностных интегралов к объемным с помощью
теоремы Грина — Гаусса [уравнение (2.39)1 способом, аналогичным исполь-
зованному при получении работы на единицу объема, выраженной через
деформацию. Полученный результат носит название принципа виртуальной
работы и формулируется следующим образом:
Допустим, что имеется возможность существования некоторого
фиктивного состояния, включающего в себя компоненты напряжений
о";, находящихся в равновесии с внешними силами Р'к как в объеме
тела, так и на его границе. Эти силы могут быть представлены напря-
жениями на поверхностях тела или сосредоточенными нагрузками
и моментами. Допустим также, что в теле имеется виртуальное или
17*
www. vokb- la. spb. ru
260
Глава D
произвольное поле перемещений и}, которое может не быть связано
с нагрузками с помощью какого-либо соотношения между напряжения-
ми и деформациями, но такое, что деформации в теле совместимы
со всеми введенными перемещениями dp^. Этими перемещениями
могут быть перемещения на поверхности под действием нагрузки или
повороты под действием моментов. Виртуальная работа, произведен-
ная внешними силами на виртуальных перемещениях, равна объемному
интегралу от напряжений, умноженных на соответствующие приращения
деформаций (задача 9.4):
з з
J 2 2 <4-dV= 2 d^ (9-4)
i—1 j=i h
Для балок и пластин вместо напряжений иногда удобнее пользоваться
силами и моментами, приведенными к сечению. При использовании таких
обобщенных напряжений Qi, действующих в сечении, и соответствующих
обобщенных деформаций q't, произведение которых дает работу на единицу
длины или площади, принцип виртуальной работы запишется в виде
(задача 9. 5)
з з
J У 2^.dV- - J %Qtydl-%Pahdpb. (9.5)
i=l j=l г h
9.5. ТЕОРЕМЫ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ
Точное определение предельной нагрузки даже для неупрочняющегося
материала является обычно очень трудной задачей, поскольку здесь тре-
буется, чтобы одновременно удовлетворялись соотношения между напряже-
ниями и деформациями, связь между перемещениями и деформациями или
уравнения совместности, уравнения равновесия и условия пластичности.
Не вызывает особого удивления то обстоятельство, что точные решения извест-
ны лишь для нескольких очень простых случаев. Поэтому для инженеров
и даже научных работников, исследующих механические свойства материа-
лов, полезно иметь приближенные решения. Более того, очень важно знать,
будут ли эти решения давать завышенную или заниженную оценку.
Для некоторых задач конструкционного использования материалов
очень важно иметь оценки нагрузок, в любом случае меньших предельной
нагрузки. Такие оценки являются нижними границами предельной нагруз-
ки. Если нижняя граница найдена, тогда любая нагрузка, меньшая этой
нижней границы, не приведет к чрезмерной деформации конструкции.
С другой стороны, для процессов обработки металла давлением важно,
чтобы сила была достаточной для выполнения заданной деформации. В этом
случае желательно знать верхнюю границу предельной нагрузки. Так как
точно не известно, насколько далеко одна из этих границ находится от дей-
ствительной предельной нагрузки, часто желательно знать и верхнюю
и нижнюю границы. Если верхняя и нижняя границы предельной нагрузки
не различаются на практически значительную величину, то предельную
нагрузку для практических целей можно считать определенной.
Несмотря на необходимость получения оценок предельной нагрузки,
бощие теоремы были доказаны лишь в 1951 г. [5, 9]. По этой причине эти
теоремы в вузовских учебниках по механике обычно не приводятся, однако
применения их, как мы увидим, для решения многих задач могут быть очень
просты. Кроме того, эти теоремы способствуют развитию творческого вооб-
ражения и изобретательности, позволяя получать полезные оценки из заве-
домо неверных допущений.
www. vokb- la. spb. ru
Приближеннъш анализ напряжений
261
При доказательстве теорем предельного состояния полагают, что
материал жестко-пластический. Полученные теоремы будут справедливы
также для упруго-пластического материала при условии, что они применяют-
ся в тех случаях, когда пластическая деформация зашла достаточно далеко,
так что дальнейшая деформация не вызывает изменения распределения
напряжений. С этого момента материал упруго не деформируется и может
рассматриваться как жесткий. Такой момент наступает вскоре после появ-
ления пластической деформации, если распределение напряжений сравни-
тельно равномерное, но там, где имеются большие концентрации деформа-
ций, локальная деформация может быть намного больше, чем деформация,
соответствующая пределу текучести.
В последнем случае при применении теорем важно обеспечить достижение
стационарного состояния напряжений, но чтобы при этом еще не была
достигнута нижняя максимальная нагрузка, что возможно при значитель-
ных изменениях в геометрии, возникающих вследствие потери устойчивости,
чрезмерной пластической деформации вокруг надреза или растрескивания.
Грубо говоря, нижние границы предельной нагрузки получают из
распределений напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия и пла-
стичности, а верхние границы — из работы, необходимой для возникнове-
ния распределения перемещений, которые удовлетворяют условиям совмест-
ности. В частности, теорема о нижней границе формулируется следую-
щим образом:
В жестко-пластическом континууме не возникает пластической
деформации при нагрузках, для которых может быть найдено напря-
женное состояние, которое
а) везде удовлетворяет уравнениям равповесия,
б) находится в равновесии с внешними нагрузками и
в) везде находится внутри поверхности текучести.
Другими словами, если при заданных нагрузках можно найти напря-
жение 0,7, находящееся в равновесии с заданными силами и во внутренних
точках тела располагающееся в пределах поверхности текучести, то пласти-
ческой деформации произойти не может. Большие возможности теоремы
определяются тем обстоятельством, что выбранное распределение напряже-
ний необязательно должно быть правильным.
Именно эта теорема предельного состояния и является причиной того,
что методы элементарного анализа напряжений дают удовлетворительные
результаты для конструкционных элементов, содержащих концентраторы
напряжений типа галтелей или смазочных отверстий. Если анализ бази-
руется на прямолинейном образце тех же самых размеров, как и поперечное
нетто-сеченне реального элемента, и если максимальные напряжения нигде
не превышают предела текучести, то при этом удовлетворяются требования
теоремы о нижней границе. Конечно, принятое распределение напряжений
не является правильным, так как известно, что около концентраторов напря-
жений будет иметь место пластическая деформация. Тем пе менее теорема
о иижней границе предельной нагрузки показывает, что при данной нагрузке
общей пластической деформации быть не может а).
Прагер [151 доказал теорему о нижней границе от противного. Допу-
стим, что пластическая деформация может произойти при нагрузках, для
т) Одно время теорема о нижней границе называлась принципом максимального
пластического сопротивления, т. е. использовался термин, который теперь применяется
к принципу (того же наименования), приводящему к ассоциированному закону пласти-
ческого течения (разд. 6.5). В последнем случае для данной поверхности текучести и при-
ращения деформации напряжения максимизируют работу. В теореме о нижней границе
этот термин возник вследствие того, что в конструкции среди всех распределений
напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия и пластичности, истинным рас-
пределением явится то, которое максимизирует одну из обобщенных сил при неизмен-
ности других, т. е. максимизирует нижнюю границу [18].
www. vokb- la. spb. ru
262
Глава 9
которых напряжения находятся в равновесии и в пределах поверхности
текучести. Пусть напряжение, не дающее пластической деформации, есть
Cij. Пусть гипотетическое приращение деформации будет de,ij, а соответствую-
щих перемещений под нагрузками dp1/,. Используя принцип виртуальной
работы, получаем
з з
<9-6)
4=1 j-1 h
Если пластическая деформация действительно имеет место, тогда дол-
жно существовать напряжение Ojj, соответствующее гипотетическим дефор-
мациям. Это гипотетическое напряжение должно удовлетворять условиям
равновесия. Применяя принцип виртуальной работы к гипотетическому
распределению напряжений и деформаций, получаем
з з
J 2 S <^<4dV = 2 dPk- <9-7)
i=l j=l k
Из соотношений (9.6) и (9.7) следует, что работа на единицу объема, про-
интегрированная по всему объему, для напряженного состояния, не даю-
щего пластической деформации, равна работе для гипотетического напря-
женного состояния. Так как по допущению при гипотетическом напряженном
состоянии имеет место пластическая деформация, напряжения, по крайней
мере для некоторых точек, должны лежать на поверхности пластичности.
Из принципа максимального сопротивления пластическому деформи-
рованию (6.14) следует, что для гипотетических приращений дефор-
маций необходимо, чтобы работа гипотетических напряжений была больше
работы напряжений орд не дающих пластической деформации и которые для
каждой точки тела находятся внутри поверхности текучести
3 3 3 3
4=1 3=1 4=1 >-=1
Интегрирование этого неравенства по всему объему приводит к про-
тиворечию с равенством полной работы, полученным из соотношений (9.6)
и (9.7). Следовательно, гипотетическое напряженное состояние должно
быть неверным, а теорема, в свою очередь, правильной.
Из нижней границы все еще неизвестно, насколько высока может быть
предельная нагрузка. Следовательно, желательно иметь способ оценки
нагрузки, которая обязательно вызовет пластическую деформацию. Эту
оценку можно получить с помощью следующей теоремы о верхней границе:
В жестко-пластическом континууме деформация может возникнуть
под действием любой системы сил Рц, для которой можно найти такое
распределение перемещений, что
а) граничные условия для перемещений, если таковые имеются,
удовлетворены,
б) перемещения дифференцируемы для получения деформаций
(всюду без изменения объема) и
в) результирующая работа пластической деформации по всему
материалу, найденная по результирующим эквивалентным деформаци-
ям, меньше работы внешних сил, произведенной на допустимых пере-
мещениях:
2 Phdph> j oTde,vdV, (9.9)
h v
где <rT — эквивалентное деформирующее напряжение.
www.vokb-la.spb.ru
Приближепный анализ напряжений
263
Значение этой теоремы состоит в том, что принятые перемещения не обя-
зательно должны быть правильными.
Эта теорема также доказывается от противного, если выразить сначала
работу пластической деформации через составляющие напряжений и дефор-
маций, а не через эквивалентные напряжения и деформации [уравнение (2.41)].
Допустим, что под действием системы сил, удовлетворяющих соотноше-
нию (9.9), можно найти равновесное напряженное состояние, при котором
не возникнет пластической деформации, т. е. такое, что напряжение всег-
да лежит внутри или на поверхности текучести. Из принципа виртуальной
работы, примененного к этому распределению напряжений и деформациям
dsij, соответствующим пластическому течению, постулированному неравен-
ством (9.9), получаем
з з
J 3 2 dV=2 dp%- <9Л°)
F 1=1 j=l II
Так как виртуальная работа внешних сил одинакова для (9.9) и (9.10),
имеет место следующее неравенство двух объемных интегралов:
3 3 3 3
f 2 2 J 2 2 (9-ii)
V i=l j=l V i—I 3=1
Но, согласно принципу максимального пластического сопротивления, в каж-
дой точке тела
У У У °iideir (9.12)
i=1 j—1 i=l i=l
Если обе части этого неравенства проинтегрировать по объему, то получен-
ное условие будет противоречить неравенству (9.11). Следовательно, та-
кого напряженного состояния, не приводящего к пластической деформа-
ции, существовать не может. То есть невозможно иметь распределение напря-
жений, которое пе даст пластической деформации в присутствии нагрузок,
достаточно больших для того, чтобы произведенная ими поверхностная
работа при некотором принятом распределении деформаций превышала
работу пластической деформации на единицу объема.
Эти предельные теоремы пластичности аналогичны теоремам, дающим
оценки верхней и нижней границ жесткости упругого тела (разд. 9,2).
Аналогичные теоремы имеют место для сопротивления тел вязкой деформа-
ции. Дополнительные подробности, включая ползучесть, см. в работах
13, 411).
9.6. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ
В качестве примера применения теорем предельного состояния рассмотрим
нагрузки, необходимые для разрыва плоской пластины с надрезом на одной
стороне, как это показано на фиг. 9.3. При упругом нагружении в вершине
надреза будет очень высокая концентрация напряжений. По мере увеличе-
ния нагрузки возникает пластическая деформация сначала в вершине надреза,
затем она распространяется наружу. Пока пластическая деформация не прой-
дет по всему сечению образца, деформация образца будет не очень большой.
Задача вычисления распределения напряжений и деформаций именно
во время этого упруго-пластического процесса деформирования настолько
Полезные сведения по теории предельного равновесия содержатся также в книгах:
И’в’лев Д. Д.. Теория идеальной пластичности, изд-во «Наука», 1966; Кача-
нов Л. М., Основы теории пластичности, изд-во «Наука», 1969.— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
264
Глава У
трудна, что она еще не может быть решена. Но можно вычислить предель-
ную нагрузку, т. е. нагрузку, при которой пластическое течение не сдержи-
вается упругим окружением. Эта нагрузка та же, что и максимальная
нагрузка для неупрочняющегося материала, при условии, что разрушение
не наступает.
Найдем сначала нижнюю границу. Необходимо определить напряжен-
ное состояние пластины, удовлетворяющее уравнениям равновесия и при ко-
Ф и г. 9.3. Растяжение пла-
стины с одпосторонппм над-
резом.
Фиг. 9.4. Распределение напряжений, принятое
для определения нижней границы предельной
нагрузки.
тором напряжения везде меньше предела текучести, а затем вычислить наг-
рузку, соответствующую этому состоянию. Уравнения равновесия имеют вид
_l_ dg21 j __Q
‘ дх% 1 йх'з ’
^12 I + (2.13)
ox^ dx2 0x3
еогл 1 й<т33_g
tte-l dxn ' Sz3
Выберем сначала самое простое из возможных распределений напря-
жений. Такое распределение напряжений показано на фиг. 9.4. Составляю-
щая напряжения сг33 равна пределу текучести, и все другие составляющие
напряжений в слое материала налево от вершины надреза равны нулю.
В материале направо от вершины надреза, т. е. на выступах, все составляю-
щие напряжений равны нулю. Удовлетворяет ли это распределение напря-
жений уравнениям равновесия? Единственным градиентом напряжений
является изменение составляющей о33 в направлении оси aj при переходе
через границу раздела между предположительно напряженным и предполо-
жительно ненапряженным материалом. Но производная да^.Л1дхЛ не входит
в уравнения равновесия. Все другие градиенты равны нулю, и, следователь-
но, уравнения равновесия тождественно удовлетворены. Нагрузка, соответ-
ствующая этому напряженному состоянию, равна напряжению о33, умножен-
ному на площадь минимального сечения образца. Поэтому если о33 меньше
предела текучести пт, то напряжения везде будут лежать внутри поверх-
ности текучести. Следовательно, мы удовлетворили трем требованиям теоре-
мы о нижпей границе и можем сделать вывод, что нижняя граница отли-
чается от величины Gvbh па бесконечно малую величину. Так как предель-
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
265
вая нагрузка должна быть больше или равна любой нижней границе, то
^прсд Рн, г = tj'cbh. (9.13)
Теперь перейдем к задаче об оценке верхних границ, т. е. нагрузок,
которые определенно вызовут пластическую деформацию в жестко-пласти-
ческом материале. Для решения необходимо предположить какой-либо вид
деформации пластины. Простой вид деформации показан на фиг. 9.5, где
угол 0 может быть выбран так, чтобы получить наименьшую верхнюю гра-
ницу. Деформация сдвига сконцентрирована в тонком слое между двумя
жесткими частями. Следовательно, деформации всюду равны нулю,
а
Ф и г. 9.5. Распределение перемещений, принятое для определения верхней границы
предельной пагрузки.
а — общий вид; б — слой, деформируемый сдвигом.
за исключением этого тонкого слоя, скажем, толщиной 6, где сдвиговая
деформация равна wa/f> sin0. Это единственная область, где имеет место
пластическая деформация. Необходимо подсчитать работу, произведенную
в области сдвига. Можно было бы вычислить ее из соотношения между
напряжениями и деформациями и из условий пластичности, но значительно
проще использовать результаты задачи 6.4, согласно которым работа пласти-
ческой деформации равна эквивалентному напряжению, умноженному
на приращение эквивалентной пластической деформации. Приращение экви-
валентной пластической деформации [уравнение (6.5а)] равно
d= ^’гз' du3 .
У.З "|/36sin6
Поскольку для пластического течения эквивалентное напряжение равно
пределу текучести п.г, полная работа пластической деформации составляет
НИ''1 =
— рт, зтг бЬЛ ЙИд От Ml dus
О deP dV = От-5 —-—*----= —У-----
т cos е у3 б sin е уз cos о sin е
Отметим, что работа пластической деформации не зависит от толщины слоя
сдвига и равна пределу текучести, умноженному на площадь слоя сдвига
и перемещение при сдвиге. Верхняя граница предельной нагрузки равна
такой нагрузке, при которой произведенная ею работа равна работе пласти-
ческой деформации. Для перемещения нижнего конца относительно верх-
него на dus полпая работа внешних сил будет равна Pdus. Теперь мн удов-
www.vokb-la.spb.ru
266
Глава 9
летворили трем условиям для верхней границы, и, следовательно,
т, Оф bh
в г д/д sin В cos 0
Чтобы получить более близкую оценку предельной нагрузки, нужно знать
величину самой низкой из всех возможных верхних границ. Эта величина
достигается при 6 = 45°. Предельная нагрузка должна быть меньше этой
верхней границы. Таким образом,
<9Л4)
Этот результат примерно на 15% выше полученного ранее значения
для нижней границы [соотношение (9.13)1. Возможно, что мы можем найти
нижнюю границу, которая лежит несколько выше. Отметим, что раньше
было принято допущение о наличии одноосного напряженного состояния.
Ф и г. 9.6. Влияние отсутствия попереч-
ных напряжений.
а — надрезанные листы; б — сечение, показы-
вающее утонение около надрезов.
Фиг. 9.7. Простое поле пла-
стического течения для пласти-
ны с двусторонним надрезом.
При испытаниях иа растяжение, где напряженное состояние одноосное,
имеет место поперечное сужение. Оно будет наблюдаться также, если
испытанию подвергать не надрезанную пластину, а стопку тонких листов,
как это показано на фиг. 9.6. Чтобы предотвратить сужение, необходимо
приложить поперечное напряжение сг22. Из рассмотрения условия пластич-
ности Мизеса (фиг. 6.2) и анализа условия пластичности (6.2) видно, что
максимальное значение оза получается, когда поперечные напряжения
равны а33/2.
При нахождении нижней границы нет необходимости выяснять, как
возникают поперечные напряжения и возникают ли они вообще. По для
лиц, интересующихся данным вопросом, можно предположить, что такие
напряжения могут обусловливаться распределением напряжений в упругой
области вокруг надреза в условиях плоской деформации, определяемым
уравнениями (10.23), или могут возникнуть вследствие стеснения пласти-
ческой деформации при приближении к предельной нагрузке. Аналогичным
образом вследствие ограничивающего действия выступов может возникнуть
напряжение Оц. Однако оно не может распространиться до противополож-
ной стороны образца, и им можно пренебречь. Таким образом, в качестве
предварительного уточнения, допуская, что = 0, о22 ~ Ь'гСТзз, получим,
что значение ст33 перед появлением пластической деформации может достичь
величины
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
267
Выяснить, действительно ли напряжения могут достичь такой величины
в условиях плоского деформированного состояния, не входит в нашу задачу,
поскольку нас интересует лишь нижняя граница. Допущение присутствия
о 22 приводит к допущению некоторых сил на боковых поверхностях пла-
стины. Они, конечно, не могут присутствовать на самых внешних краях,
но поперечные напряжения будут быстро нарастать на малом расстоянии
от краев. Полученная более высокая величина осевых напряжений дает
нижнюю границу
7'прсд7?' Ри. г = bh. (9.15)
Сопоставляя это соотношение с (9.14), получаем равенство, так что
предельная нагрузка определяется однозначно. Заметим, что распределение
деформаций не является единственным; мы в равной степени можем предполо-
жить сдвиг в другой плоскости, расположенной под углом 45е к падрезу,
или комбинацию сдвигов в двух плоскостях. (Такое отсутствие однознач-
ности будет более подробно рассмотрено в разд. 9.8.)
Когда пластина надрезана с двух противоположных сторон, как зто
показано па фиг. 9.7, материалу легче течь вокруг углов от боков надреза,
чем претерпевать сдвиг и разрушаться, с изломом, выходящим на поверх-
ность образца, как в случае одного надреза. Простое выражение для верхней
границы получается, если принять, что деформация всецело состоит из вра-
щения двух жестких полуцилиндров, показанных на фиг. 9.7, которое при-
водит к сдвигу по пунктирным линиям, но пе вызывает деформации в другом
месте. Результирующая верхняя граница предельной нагрузки, выраженная
через предел текучести материала от, равна (задача 9.6)
(9.16)
V °
Эта граница более чем в три раза выше нагрузки, которую может выдержать
равномерно нагруженная пластина, имеющая такое же минимальное попереч-
ное сечение. Чтобы получить нижнюю границу предельной нагрузки, необ-
ходимо найти распределение напряжений, удовлетворяющее уравнениям
равновесия во всех точках тела и нигде не превышающее предела текучести.
Простое распределение, как и прежде, находится путем допущения равно-
мерного напряжения в средней части пластины
^прсд Рн. г = ^/"7
Эта граница настолько отличается от верхней границы, что ни та, ни другая
не могут быть использованы. Уточнение требует исследования общей формы
условий равновесия и условий пластичности для случая плоского деформи-
рованного состояния, рассматриваемого в разд. 9.7, которое показывает,
что поле пластического течения, приведенное на фиг. 9.8, дает верхнюю
границу
Лщед < РВ. г = ( 1 if) ^’>h <9Л7)
и удовлетворяет условиям равновесия и условиям пластичности. Чтобы
доказать, что это является также и нижней границей, необходимо показать,
что равновесное напряжение не превышает предела текучести ни в одной
точке тела, даже вне деформированной области. Например, если полная
ширина меньше, чем в (1 + л) раз, минимальной ширины, сдвиг может
произойти, как показано на фиг. 9.9 (задача 9.7). Точное решение пока-
зывает, что для острого надреза полная ширина образца должна быть
www.vokb-la.spb.ru
268
Глава 9
в 10 раз больше расстояния между вершинами надреза, чтобы пластическая
деформация не привела к разрушению с изломом, выходящим на поверх-
ность образца [1].
Предельная нагрузка определена теперь точно, но остается вопрос,
является ли это распределение напряжений единственно возможным. Оказы-
вается, что оно действительно единственно возможное, как это следует
из теоремы единственности (разд. 9.8).
Фиг. 9.8. Часть поля пластического
течения для пластины с двусторон-
ним надрезом [8].
Все перемещения ранной величины.
Фиг. 9.9. Гипотетическое пе-
ремещение при неглубоких
надрезах.
Соотношение (9.17) устанавливает, что нагрузка, которую может выдер-
жать образец с двусторонним надрезом в случае плоского деформированного
состояния, примерно в три раза больше нагрузки, выдерживаемой гладким
Фиг. 9.10. Идентичность напряжений при внедрении наконечника и при пластическом
растяжении пластины с двусторонним надрезом.
образцом. Аналогичный результат для образцов с кольцевым надрезом полу-
чен Лсвипом [131 и ПГилдом 120]. Эти результаты полезны также для интер-
претации результатов испытаний на твердость, ибо, если нагрузку изменить
на обратную и рассматривать лишь нижнюю половину образца, как это пока-
зано на фиг. 9.10, задача получается аналогичной задаче о внедрении нако-
нечника. В этом случае среднее напряжение также в три раза больше напря-
жения текучести материала.
При умеренном деформационном упрочпепии это соотношение мож-
но аппроксимировать эмпирическим правилом, приведенным в разд. 1.2:
твердость, выраженная через силу на единицу площади, в три раза больше
предела прочности при растяжении.
Высокое значение напряжений под наконечником иногда приводят
в качестве примера пластического стеснения, но этот термин иногда вводит
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
269
в заблуждение, ибо стеснению подвергается жесткий материал, а, как
мы увидим в разд. 10.6, аналогичное напряженное состояние с высокими
поперечными и боковыми напряжениями имеет место и перед острым надре-
зом в упругом материале.
В качестве примера применения теорем предельного состояния к задачам
конструирования рассмотрим вопрос о прочности обезуглероженногоJ) винта,
показанного па фиг. 9.11. За нижнюю границу можно принять равномерное
напряжение GTll в минимальном, не затронутом обезуглероживанием сече-
нии Аи и напряжение crTj в обезуглероженной зоне Zri, причем оба сечения
Ф и г. 9.11. Закаленный винт с ми-
нимальным сечением Аи + Л,;, обез-
углероженный но площади сече-
ния Ad.
взяты между впадинами резьбы. Напряжение в резьбе принимается равным
нулю. Это дает нижнюю границу предельной пагрузки
^пред Рн. г — -]- .4^0.^.
В действительности эта’величина не является истинной нижней границей,
так как мы не удовлетворили уравнениям равновесия везде, а именно
в головне винта и в резьбе, где нагрузка передается гайке. Однако опа
является нижней границей для нагрузки, при которой деформация происхо-
дит в стержне винта. Для определения верхней границы при деформации
в стержне винта мы можем допустить равномерную деформацию не только
в стержне винта, но также и в резьбе, т. е. по всему объему винта V.
Мы знаем, что подобное допущение не является правильным, так как для
этого необходимы напряжения, действующие на поверхностях резьбы, по все
же, хотя оценка и не верна, она дает полезную информацию. Поэтому предель-
ная нагрузка будет равна
^и^ти Н- РПрСд стержня Н j oTd- (9.18а)
Теперь мы имеем верхнюю и нижнюю границы, между которыми должна
лежать предельная нагрузка (нагрузка, необходимая для значительной
пластической деформации стержня болта). Действительный результат
см. в задаче 15.13. Допустив такую деформацию, при которой произойдет
сдвиг резьбы, мы можем также получить верхнюю границу нагрузки, необ-
ходимой для среза резьбы:
^прсд. резьбы От<! • (9.18о)
Весьма интересно сравнить соотношения (9.18а) и (9.186) и определить отно-
шение площади резьбы к площади стержня болта, которое обеспечит разру-
шение стержня болта еще до повреждения резьбы. В действительности
т) Как мы увидим в задаче 15.13, целью обезуглероживания является замедление
разрушения во впадинах резьбы.
www.vokb-la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
270
Глава 9
же на этой стадии этого сделать нельзя, поскольку необходимо еще пока-
зать, что для резьбы предельная нагрузка выше, чем для стержня болта.
Для этого нижняя граница для резьбы должна быть выше верхней границы
для стержня болта. Задача определения такой нижней границы для резьбы
еще не решена. Трудность получения значений нижних границ, которые
часто только и требуется определить, является одним из основных препят-
ствий, встречающихся при использовании предельного анализа. К счастью,
обычно оказывается, что верхние границы лежат ближе к правильному
решению, так что на практике это ограничение оказывается пе настолько-
серьезным, как это кажется на первый взгляд.
Другим примером применения теорем предельного состояния является
попытка найти диаграмму напряжение — деформация поликристаллического
материала по данным об отдельных сдвигах в монокристаллах. Тейлор [221
базировал свои вычисления на совокупности систем скольжения, которая
минимизирует величину диссипированной работы пластической деформации
в системах скольжения всех зерен при допущении, что полные деформации,
являющиеся результатом скольжения в различных системах, во всех зернах
равны. Читателю предоставляется возможность решить, дает ли это нижнюю
или верхнюю границу или ни ту, ни другую (задача 9.8).
Из теорем предельного состояния вытекает ряд следствий, которые полезны
при применениях этих теорем. Некоторые из этих следствий были неявным
образом использованы в предшествующих примерах. За исключением перво-
го, все следствия были суммированы Друккером [4]. Их доказательство
оставляем читателю (задача 9.9).
1. Упругие решения, базирующиеся на нетто-сечении, при пренебре-
жении нарушениями сплошности, приводящими к концентрации напряже-
ний, например отверстиями или надрезами, дают нижнюю границу, если
эквивалентные напряжения везде меньше эквивалентных напряжений течения.
2. Теоремы предельного состояния применимы и для деформационно-удроч-
няющегося материала, если используются локальные деформирующие напря-
жения (хотя их определение может оказаться затруднительным).
3. При условии, что геометрия не подвергается существенному измене-
нию, начальные напряжения при деформации не оказывают влияния па пре-
дельную нагрузку.
4. Добавление (невесомого) материала без изменения положения прило-
женной силы не может привести к уменьшению предельной нагрузки,
и, наоборот, удаление материала не может увеличить предельную нагрузку.
5. Верхняя граница действительной предельной нагрузки вычисляется
по выпуклой поверхности текучести, огибающей действительную поверх-
ность текучести. Аналогичным образом нижняя граница предельной наг-
рузки вычисляется по вписанной поверхности текучести. Этот вывод поз-
воляет нам в некоторых случаях упрощать поверхность текучести и все
же получать полезные результаты.
6. Добавление (невесомого) материала к недеформируемой границе тела
не может увеличить предельной нагрузки.
9.7. ГРАНИЦЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК ДЛЯ ЗАДАЧ ПРИ
ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Получение решения для нижней границы в общем трехмерном случае
является трудной задачей. Действительно, одним из основных препятствий
широкому применению предельного состояния является отсутствие способа,
с помощью которого можно получать решения для нижней границы и посте-
пенно видоизменять их, пока не будет получено достаточно высокое значе-
ние. Однако при плоском деформированном состоянии жестко-пластического
www. vokb- la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
271
материала условия пластичности и уравнения равновесия можно записать
так, что границы становятся более просто определимыми. Во-первых, посколь-
ку поперечная деформация равна нулю, поперечное напряжение должно быть
средним из двух других (задача 9.10). Тогда и из условия пластичности
в виде постоянства максимального касательного напряжения и из условия
пластичности Мизеса следует, что разность главных напряжений должна
быть постоянной (задача 9.11). Другими словами, можно получить,
условие пластичности, предположив, что радиус круга Мора должен быть
постоянен и равен пределу текучести к при чистом сдвиге. Напряженное
состояние тогда может определяться через среднее нормальное напряжение о
Фиг. 9.12. Определение криволинейных координат в направлении максимального
сдвига.
а — физическая плоскость; б — круг Мора пли плоскость напряжений.
и направление главных напряжений относительно координатных осей. Удоб-
но использовать криволинейные координаты, где осями являются направле-
ния максимальных касательных напряжений. Обозначим эти оси аир, как
показано на фиг. 9.12; угловую координату оси а обозначим <р.
Составляющие напряжений в направлении осей Xi и г2, выраженные
через к и о, равны
ои = о — ksin2tp,
о22 = о + к sin 2ф, (9.19)
ст12 = к cos 2ф.
Подстановка этих выражений в уравнения равновесия (2.11), дифференциро-
вание и предположение, что оси xt и х2 локально параллельны криволиней-
ным координатам, так что ф = 0, дают следующий результат (задача 9.12):
J^_2^ = 0, 2^-+ 2^ = 0.
Уравнения равновесия в частных производных разделились теперь
на обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль одного или другого
из двух частных направлений. Это результат применения метода характе-
ристик — математического метода, который используется также для реше-
ния задач со сжимаемым потоком и задач нестационарного течения жидкости..
Краткое введение к методу приводится у Хилла [81. Эти обыкновенные диф-
ференциальные уравнения, проинтегрированные вдоль характеристических
направлений, дают
вдоль направления а: о — 2Лф = const,
вдоль направления р: о -ф 2А*ф const. (9.-0)
www. vokb- la. spb. ru
272
Глава !)
Рассматривая четыре соседние точки, показанные на фиг. 9.13, получаем
важное следствие применения криволинейных координат для описания поля
напряжений. Так как изменение среднего напряжения между точками
А и С должно быть одним и тем же как вдоль АВС, так и вдоль ЛВС, уравне-
ния (9.20) показывают, что (задача 9.13)
Фл~ фс~ фв- (9.21)
Соотношение (9.21), известное как первая теорема Генки, сводится
к утверждению, что если две кривые одного семейства пересекаются двумя
кривыми другого семейства, то угловое изменение между точками пересе-
чения одно и то же для каждой из двух пересекающихся кривых. Любая
система ортогональных криволинейных: координат, обладающая этим свой-
ством, дает распределение напряжений, которое удовлетворяет уравнениям
Ф и г. 9.13. Диаграмма для доказательства теоремы Гепки.
равновесия при условии, что вдоль координат радиус круга Мора постоянен.
Дальнейшее рассмотрение теории этих полей см. у Хилла [81. Поле пласти-
ческой деформации для пластины с двусторонним надрезом, показанное
на фиг. 9.8, удовлетворяет этим требованиям (задача 9.14). Уравнения
(9.20) дают значение нижнего предела нагрузки для образца с двусторон-
ним надрезом в условиях плоского деформированного состояния, определяе-
мого уравнением (9.17) (задача 9.15), при условии, что выступы доста-
точно широки, чтобы в них могло простираться равновесное поле напряже-
ний. Этот анализ был впервые проведен Бишопом [11, показавшим, что
полная ширина образца должна быть по крайней мере в 10 раз больше
ширины в месте надреза.
У равнения для перемещений также можно упростить, если их выразить
в криволинейных координатах а и р. При использовании этих координат
исчезают нормальные компоненты деформаций и остаются только сдвиговые
компоненты. Если приращения перемещений в направлениях а и р соответ-
ственно равны бы и 6 о, перемещения в прямоугольной системе координат
составят
Suj = бп cos ср — ёг sin ср,
(9 22)
6ua = 6zzsin ср ф-бг coscp. ' '
Отсутствие нормальных деформаций и несжимаемость означают, что при
наличии плоского деформированного состояния
4.^f2 о. (9 23)
Подстановка уравнений (9.22), дифференцирование и локальная параллель-
ность прямоугольных координат криволинейным, так что ср = 0, дает
www. vokb- la. spb. ru
IIриближенный анализ напряжений
273
(задача 9.16)
вдоль направления a: d(6zz)— 6fc?(p = O,
вдоль направления (3: d (6г) Ч Ни dtp = 0. (9.24)
Эти уравнения известны как уравнения Гейрингера. Одним из показателей
сравнительной молодости теории пластичности служит тот факт, что эти фунда-
ментальные уравнения, которые должны быть удовлетворены для получения
решения, не были выведены до 1930 г. и не использовались вообще примерно
до 1950 г. Для жестко-пластического материала рассматриваемые уравнения
всегда могут быть проинтегрированы при условии, что для заданной дефор-
мации можно найти путь интегрирования вдоль характеристических линий
а и р от любой точки к свободной поверхности. Для упруго-пластического
материала эти характеристики должны оканчиваться на упруго-пластической
границе, но результирующее взаимодействие упругих и пластических пере-
мещений препятствует решению задачи, за исключением случаев, когда
по крайней мере один конец каждого характеристического направления
лежит на свободной поверхности. Когда оба конца лежат на упругой гра-
нице, взаимодействие между пластической и упругой деформациями приво-
дит к задаче, которая до настоящего времени скорее игнорируется, чем
решается [8]. Поле смещений в образце с двусторонним надрезом при плоском
деформированном состоянии (фиг. 9.8) удовлетворяет этим уравнениям
(задача 9.17). Подробности об интегрировании уравнений (9.24)
см. у Хилла [8].
9.8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЙ
Распределение деформаций при пластическом течении J) не может быть
единственным, т. е. можно пайти два различных распределения деформаций,
которые удовлетворяют приложенным нагрузкам, соотношению между напря-
жением и деформацией материала и условиям равновесия и совместности.
Другими словами, распределение деформаций не является единственным.
Этот довольно неожиданный вывод можно пояснить, рассматривая образец
для испытаний на растяжение в условиях максимальной нагрузки, когда
шейка может появиться в любом месте по длине образца. Однако при доста-
точном деформационном упрочнении момент достижения максимальной
пагрузки (вместе с образованием шейки) сдвинут в сторону больших дефор-
маций и деформация однозначно определена.
В качестве другого примера, который показывает, как деформационное
упрочнение приводит к однозначности, можно привести образец с односто-
ронним надрезом в условиях плоского деформированного состояния, рассмот-
ренного в разд. 9.6. Если сдвиг вначале происходил лишь в одной 45°-ной
плоскости, начинающейся от вершины надреза, любое деформационное
упрочнение приведет к появлению еще одного сдвига в другой плоскости.
Поэтому можно ожидать возникновения симметричной деформационной кар-
тины, показанной на фиг. 9.14, при которой в полосах скольжения имеет
место средняя сдвиговая деформация величиной, равной единице (зада-
ч а 9.18). Можно ожидать, что деформационное упрочнение приведет
и к другим изменениям вида деформации. Однако даже в отожженном алю-
минии возникает этот основной вид деформации, хотя угол, как показано
на фиг. 9.15, отличается от 45°.
Еще одним примером служит растяжение образца с двухсторонним
надрезом в условиях плоского деформированного состояния, когда и поле
пластического течения, показанное на фиг. 9.16, и поле, рассмотренное
1) При отсутствии упрочнения.— Прим. ред.
18-92
www.vokb-la.spb.ru
274
Глава 9
раныпе (фиг. 9.8), удовлетворяют всем необходимым уравнениям. Ней-
марк [14] доказал, что для этого случая бесконечно малое деформаци-
онное упрочнение обеспечивает единственность решения, и устано-
вил, что перемещения вдоль прямой АВ изменяются примерно линейно,
что дает решение, промежуточное между решениями (9.8) и (9.16). Дефор-
мация в центральной области имеет величину порядка удлинения образца,
Фиг. 9.14. Чередующийся сдвиг
в образце с односторонним над-
резом.
Фиг. 9.15. Поперечное сечение
пластины с односторонним надре-
зом из отожженного алюминия
после растяжения в вертикальном
направлении.
Метки показывают исходную глубину
надреза.
деленного на половину ширины сечения между падрезами, хотя в областях
выше и ниже вершины надреза деформация достигает намного большей
величины.
Однако те области, которые остаются жесткими, обладают определен-
ной единственностью. Предположим, что можно найти полное решение,
Фиг. 9.16. Поле пластического течения для пластины с двусторонним надрезом [16].
дающее распределение деформаций, удовлетворяющее условиям пластич-
ности, совместности и соотношению между напряжением и деформацией
в деформированной области, а также условиям равновесия и нигде в жесткой
области не превышающее предела текучести. Распределение напряжений
в жесткой области может нс совпадать с распределением напряжений для
упруго-пластического решения. Однако, даже если это не так, область, остав-
шаяся жесткой в этом решении, должна действительно быть жесткой при
любом решении, включая точное. Короче говоря, жесткая область опреде-
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.sp6.ru
Приближенныи анализ напряжений
275
лена единственным образом в том смысле, что она должна быть жесткой
во всех решениях [2]. Общее рассмотрение вопроса о единственности переме-
щений приведено у Хилла [10].
Хотя распределение деформаций и не всегда единственное, распределение
напряжений в деформированной области жестко-пластического неупроч-
няющегося материала является единственным, как это устанавливается
следующей теоремой единственности:
Если верхняя и нижняя границы совпадают и если найдены два
или более решений, удовлетворяющих всем уравнениям в деформирован-
ной области, напряженные состояния, соответствующие этим решениям,
должны быть идентичными, за исключением области, которая является
жесткой во всех решениях.
Хилл [91 впервые доказал эту теорему следующим образом. Если теоре-
ма не верна, тогда в образце должны существовать два различных напряжен-
ных состояния а"; и а^-, соответствующих одной нагрузке Р. Применим прин-
цип виртуальной работы к разности между двумя этими решениями
з з
j 2 3 dV= 2 (dp--dpbh). (9.25)
i—1 3—1 к
Поскольку (Рд — /\) равно нулю, возникают две возможности: или интег-
рал изменяет знак при переходе от одной области к другой, или же он всегда
равен нулю. Как следует из принципа максимального пластического сопро-
тивления (6.14), подынтегральная функция не может быть отрицательной,
поэтому
з з
У У (о?. — .) de!1. > О
и
3 3 3 3
2 2 4—2 2
1=1 1=1 1=1 j=l
Отсюда вытекает, что (п“3 — dj) (de“j — df^j) = 0 всюду. Если область
деформируется в одном решении, она может деформироваться на произволь-
ную величину, так что de"3- — dejj не может всегда быть равно нулю. Поэтому
о?. — о^.^О, или о?, = о?,.
13 13 г гз ij
Таким образом, напряжение является единственным (если пренебречь
различием в гидростатических составляющих); исключением могут явиться
лишь различия в величине напряжений вдоль прямолинейного элемента
поверхности текучести, где (detj — dd)) = О-
Возможная неопределенность в связи с различиями в гидростатических
составляющих напряжений или в состоянии напряжений вдоль одного
и того же прямого элемента поверхности текучести (например, многоуголь-
ника, отвечающего условию пластичности в виде постоянства максимального
касательного напряжения) может быть устранена путем рассмотрения гра-
ничных условий для напряжений в том месте, где пластическое течение
обрывается свободной поверхностью тела. Конечно, распределение напря-
жений может быть изменено путем наложения на весь образец гидростатиче-
кого давления, но это изменение не влияет на деформацию или величину
необходимой нагрузки.
18*
www. vokb- la .spb. ru
276
Глава 9
9.9 МЕНЕЕ ТОЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Даже получение границ предельной нагрузки может оказаться довольно
трудной задачей. Поэтому иногда оценки нагрузок, необходимых для пласти-
ческой деформации, производят, удовлетворяя уравнениям равновесия
и совместности лишь в общем. Результаты не дают строгих верхних или
нижних границ, но могут быть очень полезными для оценки порядка вели-
чины сил, которых следует ожидать.
Фиг. 9.17. Обжатие стержня в условиях плоского деформированного состояния.
В качестве первого примера рассмотрим ковку стержня, показанного
на фиг. 9.17. Предположим, что стержень настолько длинен, что дальнейшего
изменения длины не происходит и материал скорее выдавливается в боко-
вом направлении. Поэтому возникает плоское деформированное состояние.
Чтобы получить верхнюю границу, сначала можно считать деформацию
однородной, требующей для совершения пластической работы следующей
нагрузки:
^Ы.
Уз
(9.26)
Поскольку наряду с пластической деформацией некоторая часть работы
идет па преодоления трения, формула (9.26) не дает истинной величины верх-
ней границы. Рассмотрение случаев с учетом трения находится вне сферы
применения предельного состояния, так как для оценки работы (это необхо-
димо для получения верхней границы) требуется знание нормальных напря-
жений, чтобы, умножив их на коэффициент трения, получить тангенциальную
силу, против которой во время фрикционного скольжения и производится
работа. К сожалению, однако, получить данные о нормальных напряжениях
в решении для верхней границы не представляется возможным [6|. При
нахождении нижней границы в данной задаче трение вызовет довольно
сложное распределение напряжений по стержню. Однако вместо детального
удовлетворения условиям равновесия можно рассмотреть лишь общее равно-
весие элемента полного поперечного сечения, как это показано на фиг. 9.18,
где начало координат помещено в середине свободной поверхности. Для
этого элемента уравнения в частных производных могут быть заменены
на обычные дифференциальные уравнения
Wti , д<т31 .. п „„„ d(-O 2т
ft =0 или dXi =~h-
(9.27)
www. vokb- la. spb. ru
Приближенный анализ напряжений
277
Уравнение (9.27) показывает, что трение на верхней и нижней поверхностях
приводит к возникновению поперечной сжимающей силы. Напряжение в про-
дольном направлении стержня определяется из условия плоской деформа-
ции и оказывается средним среди двух других компонент нормальных напря-
жений (задача 9.10). Если прочими компонентами касательных напря-
жений можно пренебречь, то критерий текучести, выраженный через среднее
напряжение по толщине, будет иметь вид
К(о™-о33)а + 2т* = . (9.28)
При достаточно малой величине коэффициента трения f сила трения мала
по сравнению с пределом текучести материала, и ее влиянием на критерий
Фиг. 9.18. Пример применения условий равновесия с использованием среднего напря-
жения orJi к элементу обжимаемого стержня.
текучести можно пренебречь. Если использовать уравнение равновесия
в виде (9.27), то (задача 9.19)
-<j33 = -^e2^i/\ (9.29)
Интегрирование этого уравнения дает формулу (задача 9.20)
P = (9.30)
которая справедлива при
(^зз)2 <
или (задача 9.21)
у1- (9-31)
Быстрое увеличение сжимающих напряжений, происходящее в соответствии
с уравнением (9.29), вскоре приведет к возникновению касательных напря-
жений на границе раздела между молотом и заготовкой, которые
примерно равны сопротивлению материала сдвигу. В этом случае о33 Оц.
У равнение равновесия приводит теперь к линейному изменению сжимающих
напряжений от расстояния
d(—2огт 1
уз h
(9.32)
Интегрирование соотношения (9.32) дает нагрузку
Р"Т5-(1 + ^)Ы- <8-33)
www.vokb-la.spb.ru
278
Глава 9
На фиг. 9.19 эти приближенные результаты сопоставлены с точным решением
Хилла |8] для случая, когда проскальзывания между молотом и заготовкой
не происходит. Поскольку в действительности некоторое проскальзывание
концов заготовки относительно молота будет иметь место, приближенное
решение, которое удовлетворяет лишь равновесию вообще, является почти
Ф it г. 9.19. Нормальные напряжения при обжатии стержня.
таким же удовлетворительным, как и точное решение задачи с приближен-
ными граничными условиями. Надежность решения в большой степени зави-
сит от умения и опыта исследователя в выборе соответствующего приближе-
ния к реальной задаче.
В качестве другого примера приближенного пластического решения,
удовлетворяющего общим, а не локальным условиям равновесия, рассмотрим
Фиг. 9.20. Гипотетическое поле пласти-
ческого течения при волочении.
Ф и г. 9.21. Выдавливание.
процесс волочения (фиг. 9.20). Верхнюю границу можно получить, исходя
из показанного поля пластического течения материала. Так как централь-
ная часть материала проходит более короткое расстояние, будет иметь
место сдвиг, в результате которого центральная часть материала протяги-
вается перед внешним слоем. Вычисление распределения деформаций, соот-
ветствующего этому процессу, является весьма утомительной процедурой.
Поэтому часто постулируют, что уменьшение сечения происходит так же, как
и при испытаниях на растяжение. Отсюда может быть оценена удельная
работа, требуемая для волочения материала, и затем вычислено усилие
волочения, которое должно быть достаточно большим, чтобы совершить эту
работу на заданном перемещении (задача 9.22):
Р = Л2от1п-ф-. (9.34)
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений 279
Конечно, в действительности деформация не будет такой же простой,
как при чистом растяжении, и нагрузка, вычисленная этим методом, даст
скорее нижнюю, а не верхнюю границу. Более того, необходимо учесть
еще силы трения.
Аналогичный приближенный анализ можно применить для процесса
выдавливания, показанного на фиг. 9.21, но здесь результат будет еще более
приближенным вследствие больших деформаций сдвига в отверстии матрицы
и наличия намного больших сил трения. Интересно отметить, что для случая
Задняя
бабка
Оправка
Фиг. 9.22. Выдавливание па токарно-давильном станке [12].
t — пидача на 1 оборот-
двумерного волочения (или выдавливания) недавно была найдена конструк-
ция матрицы, которая обеспечивает 100%-ную эффективность, так что фор-
мула (9.34) дает точное решение (для теоретического случая без трения) [17].
В качестве последнего примера приближенного пластического решения
с использованием общих уравнений рассмотрим процесс выдавливания
конуса на токарно-давильном станке (фиг. 9.22). Деформация в основном
представляет собой сдвиг небольшого элемента, проходящего под роликом.
Если допустить, что деформация представляет собой чистый сдвиг (что при
данных граничных условиях для напряжений в действительности не выпол-
няется. но оказывается достаточно близким приближением для практики),
получим следующее выражение для силы, перемещающей ролик в танген-
циальном направлении, которая определяет требования к мощности стан-
ка (задача 9.23):
— у sin . (9.35)
1/3 “
Это выражение дает силу, которая примерно на 20 % ниже необходи-
мой [12].
9.10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так как точные решения задач механики деформируемого твердого тела
получить трудно, часто полезно искать приближенные решения. Оценки,
дающие верхнюю или нижнюю границы жесткости упругого тела или
предельной нагрузки пластического тела, получаются путем нахождения
решений, которые удовлетворяют лишь некоторым, а не всем основным
уравнениям. Б пластическом случае, если предварительная упругая и пла-
www. vokb- la.spb.ru
280
Глава 9
стическая деформация не приводит к значительным изменениям геометрии,
например к разрушению, потере устойчивости или чрезмерной пластической
деформации вокруг надреза, предельная нагрузка для упруго-пластического
материала совпадает с нагрузкой для жестко-пластического материала. Две
теоремы дают нижнюю и верхнюю границы предельной нагрузки.
1. Нижние границы предельной нагрузки:
В жестко-пластическом континууме не может происходить пластической
деформации при нагрузках, для которых может быть найдено распределение
напряжений, которое
а) везде удовлетворяет уравнениям равновесия,
б) находится в равновесии с внешними нагрузками и
в) везде находится внутри поверхности текучести,
2. Верхние границы предельной нагрузки:
В жестко-пластическом континууме деформация должна возникнуть под
действием любой системы сил, для которой может быть найдено такое распре-
деление перемещений, что
а) граничные условия для перемещений, если таковые имеются, удовлет-
ворены,
б) перемещения должны быть дифференцируемыми для получения дефор-
маций (всюду без изменения объема) и
в) пластическая работа, заданная деформацией и проинтегрированная
по всему объему материала, меньше, чем работа внешних сил, действующих
на принятых перемещениях:
2 Pk dpk > j от cZep dV. (9.9)
h v
Из первой теоремы получаем, что любое решение, использующее упру-
гое соотношение между напряжениями и деформациями, дает нижнюю гра-
ницу предельной нагрузки при условии, что максимальные касательные
напряжения равны пределу текучести материала. Если концентрация напря-
жений высока, нижняя граница может быть сильно занижена. Вторая теорема
дает верхние границы предельной нагрузки. Эти теоремы применимы также
для деформационно упрочняющегося материала при условии, что в каждой
точке может быть установлена соответственно верхняя или нижняя граница
деформирующего напряжения.
С помощью описанных теорем можно часто иметь практические оценки
несущей способности конструкций и деталей, которые очень трудно получить
при точном анализе. Одним из самых важных результатов является то, что
в пластине с глубокими надрезами или под наконечником прибора для испы-
тания на твердость номинальные напряжения в минимальном поперечном
сечении или в области контакта могут быть примерно в три раза больше
предела прочности материала при растяжении. Эти высокие напряжения
отражают то обстоятельство, что наличие соседнего недеформированпого
материала вызывает поперечные напряжения, которые стремятся предотвра-
тить пластическую деформацию под действием основных напряжений. Для
многих других форм образца, включая пластину с односторонним надрезом,
предельная нагрузка имеет примерно ту же величину, как и для гладкого
образца с той же площадью минимального сечения.
Если удается выбрать распределения напряжений и деформаций так,
что верхняя и нижняя границы, определяемые двумя теоремами, совпадут,
то предельная нагрузка становится известной точно. В этом случае напря-
женное состояние определено единственным образом в любой области, кото-
рая при расчете верхней границы предполагается деформированной.
Однако распределение деформаций оказывается нс единственным, и наиболее
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
281
ярким примером этого является случай растяжения длинного гладкого
образца, когда шейка может возникнуть в любом месте вдоль длины образца.
При пластической деформации в условиях плоской деформации уравне-
ния равновесия и совместности удобно записывать в криволинейных коорди-
натах, направленных вдоль линий максимальных касательных напряжений.
Тогда, если угол между осью х и линией а, отсчитанный против движения
часовой стрелки, обозначить ср, получаем следующие соотношения:
вдоль кривой а: о — 2/с<р= const,
вдоль кривой 0: а-|- 2/сср = const, (9—0)
вдоль кривой а: d (6w) — 8v dq = 0,
вдоль кривой 0: d (би) + dtp = 0. (9.24)
Часто полезно использовать еще более приближенные методы оценки
нагрузки, необходимой для возникновения пластической деформации. Напри-
мер, в случае волочения или выдавливания приложенная сила может быть
оценена по удельной работе, необходимой для получения такого же сужения
поперечного сечения, как и при испытаниях на растяжение, что дает
i Р- Л2ст1п-^-. (9.34)
Так как уравнения совместности неудовлетворены, эта сила не является
верхней границей. Действительно, это соотношение занижает необходимую
нагрузку, поскольку реальный процесс деформации идет пе так, как в растя-
гиваемом образце. С другой стороны, в таких случаях, как ковка тонких
дисков, оценка усилий иногда производится на основе удовлетворения урав-
нениям равновесия для сравнительно больших элементов. Это не дает истин-
ной нижней границы, поскольку уравнения равновесия необязательно удов-
летворяются в каждой точке тела. Когда сила трения достаточно велика,,
чтобы вызвать в материале деформацию сдвига, сила, необходимая для ковки
полосы шириной b и толщиной h без изменения ее длины, равна
p=Ts(I+i)w-
ЗАДАЧИ
9.1. Для примера, следующего за соотношением (9.2), получить выра-
жение для верхней границы жесткости при растяжении длинного стержня.
9.2. Показать, что для линейной упругой системы дополнительная энер-
гия равна работе деформации.
9.3. Для примера, следующего за соотношением (9.3), получитьпижнюю
границу жесткости в зависимости от параметра распределения напряжений Ь.
9.4. Доказать принцип виртуальной работы, используя теорему Гри-
на — Гаусса применительно к произведению напряжений на приращение
перемещений, уравнения равновесия и связь между перемещениями и дефор-
мациями.
9.5. Вывести первое равенство соотношения (9.5) для балки при чистом
изгибе, используя в качестве обобщенного напряжения изгибающий момент
и соответствующую обобщенную деформацию.
9.6. Вывести соотношение (9.16) для верхней границы предельной
нагрузки при растяжении пластины с двусторонним надрезом.
9.7. Показать, что соответствующая нижней границе ширина образца
должна быть в (1 + л) раз больше минимальной, чтобы предотвратить
пластическую деформацию в выступах пластины с двусторонним надрезом,
как показано на фиг. 9.9.
www.vokb-la.spb.ru
282
Глава 9
9.8. Базируется ли упомянутый в разд. 9.6 анализ Тейлора [22] для
деформирующих напряжений в поликристаллическом теле, проведенный
исходя из отдельных кристаллографических систем скольжения, на верхней
границе, нижней границе или на некоторой другой оценке? Почему Тейлор
выбрал комбинацию систем скольжения, которая минимизирует работу при
заданной деформации?
9.9. Доказать одно из следствий теоремы предельного состояния, при-
веденных в конце разд. 9.6.
9.10. Доказать, что при плоской деформации нормальная составляющая
напряжений в направлении нулевой деформации должна быть средней вели-
чиной двух других напряжений в том случае, если достигнуты условия
полной пластичности.
9.11. Доказать, что в условиях плоской деформации условие пластич-
.ности в виде постоянства максимального касательного напряжения и усло-
вие пластичности Мизеса совпадают.
9.12. Пользуясь указаниями, изложенными сразу после соотношений
(9.19), вывести уравнения равновесия в координатах, локально парал-
лельных координатам в направлении максимальных касательных напря-
жений.
9.13. Доказать первую теорему Генки (9.21).
9.14. Показать, что поле пластического течения для образца с двусто-
ронним надрезом в условиях плоской деформации (фиг. 9.8) удовлетворяет
уравнениям равновесия(9.20).
9.15. Показать, что при отсутствии пластической деформации в высту-
пах образца с двусторонним надрезом соотношение (9.17) дает нижнюю
границу.
9.16. Вывести уравнения Гейрингера (9.24).
9.17. Показать, что поле перемещений для образца с двусторонним
надрезом в условиях плоской деформации, приведенное на фиг. 9.8, удов-
летворяет уравнениям Гейрингера.
9.18. Доказать, что при растяжении образца с односторонним надрезом
в условиях плоской деформации (фиг. 9.14) в полосах скольжения средняя
деформация сдвига в направлении этих полос должна иметь единичную
величину.
9.19. Вывести уравнение (9.29) для нормальных напряжений при обжа-
тии стержня.
9.20. Вывести уравнение для нагрузки, соответствующей условию пре-
дыдущей задачи.
9.21. Установить ограничения на размеры образца, при которых спра-
ведливы результаты решения задач 9.19 и 9.20.
9.22. Вывести формулу (9.34) для минимального усилия волочения.
9.23. Вывести формулу (9.35) для силы па ролике при выдавливании
на токарно-давильном станке.
9.24. Пластина из алюминиевого сплава 6061-Т6 толщиной 6,4 мм
надрезана, как показано на фиг. 9.23. Как максимальная нагрузка будет
зависеть от угла 0 [7]?
9.25. Показать, что при оценке нижней границы жесткости стержня
при осевом нагружении условия совместности не будут удовлетворены,
если осевые напряжения изменяются от внешних слоев к внутренним.
9.26. Круглый стержень имеет в одном поперечном сечении четыре
надреза пилкой, так что между вершинами надрезов остается квадратное
сечение. Если материал стержня — алюминиевый сплав 2024-ТЗ с твер-
достью НВ 140, то что можно сказать о величине крутящего момента, необхо-
димого для полного скручивания зтого стержня? Какие допущения вы сде-
лаете? Полезно знать, что для неунрочняющегося материала момент, необхо-
димый для достижения полностью пластического кручения прямого стержня
www. vokb- la. spb. ru
Приближенный анализ напряжений
283
квадратного поперечного сечения, зависит от стороны квадрата h и предела
•текучести материала при сдвиге к по закону khs!3.
9.27. Оценить порядок величины силы резания, чтобы получать струж-
ку с размерами, показанными на фиг. 9.24. Заметим, что форма заранее
неизвестна и что предельный анализ неприменим, если не известны
размеры.
9.28. Новая застежка состоит из двух спирально намотанных проволок,
вплетенных в края двух кусков ткани. Как показано на фиг. 9.25, спирали
заходят одна в другую и через их пересечения пропускается длинный стер-
жень или проволока. Если диаметр спиралей 7,9 мм, диаметр проволоки
Фиг. 9.24.
0,7 мл и она изготовлена из холоднокатаной нержавеющей стали 302, какую
максимальную нагрузку могут выдержать спирали до появления чрезмер-
ной деформации? Предел текучести для данного материала 175 кг/мм2. Отме-
тим, что максимальный упругий момент равен 0,318 PR [191. Для частичной
Кольца
Фиг. 9.25,
Р
проверки вашего решения сообщаем, что, как показали результаты экспе-
риментов, без заметной деформации спирали могут выдержать нагрузку
6 кг на кольцо.
9.29. Определить предельную нагрузку для стержня из модельной глины
с поперечным отверстием. Каким должен быть диаметр гладкого стержня,
чтобы он мог выдержать примерно ту же предельную нагрузку, как и стер-
жень с поперечным отверстием? Проверьте это экспериментально путем рас-
www.vokb-la.spb.ru
284
Глава 9
тяжеиия стержня, содержащего эти два сечения, расположенные последо-
вательно.
9.30. Решить задачу 9.29 для образца с глубоким надрезом с одной сторо-
ны, а также для образца с двумя надрезами с противоположных сторон.
Какова должна быть глубина пары надрезов, чтобы предотвратить пластиче-
скую деформацию на выступах? Будет ли ваша модель соответствовать при-
ближенно плоскому напряженному состоянию, плоской деформации или сме-
шанному состоянию? Получите ли вы тот же самый результат с различными
сортами модельной глины? Если нет, то почему?
9.31. Стержень из пластилина диаметром 12,7 и длиной 50,8 мм сжат
между пластинами до толщины 5,1 мм при однократном приложении нагруз-
ки. Какова будет его ширина? Какая нагрузка для этого необходима, судя
Фиг. 9.2С.
по испытаниям на твердость или другим методам определения напряжения
текучести пластилина? Экспериментальные результаты: карандаш весом 5,6 г
дает отпечаток диаметром 0,5 мм. Для образца, все размеры которого вдвое
превышают размеры описанного, нагрузка сжатия составила 43 кг. Соот-
ветствуют ли эти данные вашим результатам?
9.32. Показать, что предельная нагрузка при кручении круглого стержня
с кольцевым надрезом совпадает с предельной нагрузкой для гладкого круг-
лого стержня диаметром, равным диаметру в надрезе.
9.33. Оценить снижение предельной нагрузки при растяжении круглого
стержня (диаметр D), в котором имеется поперечное смазочное отверстие
диаметром d. Сравнить полученный результат с результатами, приведенными
на фиг. 9.2.
9.34. Оценить предельную нагрузку крепления хвоста лопатки турбины,
показанного на фиг. 9.26. Для проверки ожидаемой нагрузки были прове-
дены испытания опытного образца лопатки из горячекатаной стали твер-
достью HRB 81, которой соответствовал предел прочности при растяжении
~ 53 кг/мм*. Найдено, что максимальная нагрузка равна 3920 кг. Насколько
эти данные близки к вашим оценкам?
9.35. Лист из стали 1018 твердостью НВ 254 и толщиной 3,2 мм пробит
штампом диаметро 1 12,7 мм на матрице диаметром 12,8 мм. Оценить мак-
симальную нагрузку. Соответствует ли она нижней или верхней границе?
Сравнить ваш результат с экспериментально найденным значением 5130 кг.
Совместима ли эта величина с вашим результатом? Как велико значение
www.vokb-la.spb.ru
Приближенный анализ напряжений
285
изгиба или трения в дополнение к сдвигу, который только и можно было
бы ожидать в идеальном случае?
9.36. Хоффман и Закс [11] приводят следующую формулу для напря-
жении, необходимых для волочения проволоки (фиг. 9.27):
<гт В
где В = //tg а. Показать, что, когда в пределе!? становится намного меньше
единицы (малое трение), это выражение сводится к напряжениям в протяги-
ваемой проволоке, равным пределу текучести, умноженному на деформацию,
соответствующую уменьшению площади поперечного сечспия.
Фиг. 9.27.
9.37. Оценить силу, необходимую для резки листа из алюминиевого
сплава (фиг. 9.28). Толщина листа 1,16 лш, твердость по Роквеллу HR3(lT
соответствует пределу прочности на растяжение около 32 кг/мм2. Влиянием
Ф и г. 9.28.
изгиба пренебречь. Объяснить, исключив из рассмотрения изгиб, почему
вы получили верхнюю или нижнюю границу или какое-либо другое прибли-
жение. (Действительная сила равна 73 кг.)
9.38. Образец Шарпи для испытаний на ударный изгиб, показанный
на фиг. 9.29, изготовлен из алюминия. Были проведены поверхностные испы-
тания на твердость по Роквеллу, давшие твердость ПЛ\5-С 45 (общая нагрузка
15 кг, наконечник — шарик диаметром 1,588мм, глубина отпечатка 0,045мм).
Измерение диаметра отпечатка дало величину 0,7 мм.
Оценить, сколько энергии поглощается образцом при изгибе его
на опорах. Можно принять вид деформации, показанный пунктиром, считая,
что весь сдвиг сосредоточен на цилиндрической поверхности радиусом R
(для экстремизации результатов R можно изменять). Возможны и другие
www. vokb- la. spb. ru
286
Глава 9
допущения относительно вида деформации. Будут ли ваши оценки слишком
завышены или слишком занижены? Действительная величина поглощенной
энергии равна 8,85 кем. Дать количественное объяснение причины расхож-
дений
Ф п г. 9.29.
9.39. Болт с квадратной головкой (фиг. 9.30) имеет расстояние между
гранями головки, равное диаметру болта d. Вследствие конструкции ключа
нагрузка прикладывается лишь к внешним четвертям граней, как это пока-
зано на фиг. 9.30. Рассмотреть возможность среза углов по дугам, показан-
ным пунктиром. Что это говорит о толщине головки I, необходимой для пре-
дотвращения скругления углов еще до скручивания тела болта? Объясните
ваш ответ с помощью анализа предельного состояния.
9.40. При каких условиях добавление материала приведет или может
привести к увеличению предельной нагрузки?
ЛИТЕРАТУРА
Дополнительную информацию о теоремах предельного состояния, включая их приме-
нения, см. у Прагера [15|. Там ate дан анализ полей линий скольжения при плоской дефор-
мации, хотя трактовка Хилла [8] может оказаться более предпочтительной. Полный обзор
проблемы пластичности в очень сжатой форме выполнен Друккером [4].
1. Bishop J. F. W., On the Complete Solution to Problems of Deformation of a Plastic-
Bigid Material, J. Meeh. Phys. Solids, 2. 43—53 (1953).
2. В i s h о p J. F. W-, Green A. P., Hill R., A Note on the Deformable Region
in a Rigid Plastic Body, J. Meeh. Phys. Solids, 4, 256 258 (1956).
www. vokb- la. spb. ru
П риближенный анализ .напряжений
287'
3. С а 1 1 a d i п е С. R., Drucker D. С., A Bound Method for Creep Analysisof
Structures: Direct Use of Solutions in Elasticity and Plasticity, J. Meeh. Eng. .S'ci., {4,
1 — 11 (1962).
4. D г u с к с r D. C-, Plasticity, Structural Mechanics, L e e E. H., S у m о n d s P. S.
(eds.), Pergamon Press, bond., 1960, pp. 407—456.
5. Drucker D. C., Greenberg H. J., Prager W., The Safety Factor7of
an Elastic-Plastic Body in Plane Strain, J. Appl. Meek., 18, 371-378 (1951).
6. D r u с к e r D. C-, Prager W., Soil Mechanics and Plastic Analysis of Limit
Design, Quart. Appl. Malh., 10, 157—165 (1952).
7. E 1 у R. E., Ultimate Strength of Grooved Flat Bars for Simulated Biaxial Loading,
J. Exp. Meeh., 3, 152 (1963).
8. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Clarendon Press, Oxford, England,
1950; русский перевод: X и л л Р., Математическая теория пластичности, Гостех-
издат, 1956.
9. Hill R., On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point, Phil..
Mag., Series 7, 42, 868—875 (1951).
10. Hill R., A General Theory of Uniqueness and Stability in Elastic-Plastic Solids,
/. Meek. Phys. Solids. 6, 236—249 (1958).
11. Hoffman O., Sachs G., Introduction to the Theory of Plasticity for Engineers,
McGraw-Hill, New York, 1953.
12. К a 1 p a k c i о g 1 u S., The Dynamics of the Shear Spinning Process, 1'rans. A SME,
J. Eng. Ind., B83, 125—130 (1961).
13. Levin F., Indentation Pressure of a Smooth Circular Punch, Quart. Appl. Math.,
13, 113—137 (1955).
14. N e i m a г k J. E., The Initiation of Ductile Fracture in Tension, докторская диссер-
тация. M.I.T., Cambridge, Mass., 1959.
15. Prager W., An Introduction to Plasticity, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959.
16. P r a n d 11 L., X ber die Harte Plastischer Korper. Nachrichten von der Koniglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Math.-phys. Klasse, 1920, S. 74—85.
17. R ichmond O., Devenpock L. M., A Die Profile for Maximum Efficiency
in Strip Drawing, Proc. 4th U.S. Nat. Con. Appl. Meeh., 1962, pp. 1053—1057.
18. Sadowsky M. A., A Principle of Maximum Plastic Resistance, J. Appl. Meeh.,
10 (1943); Trans. AS ME, 65, A65—A68 (1943).
19. Seely F. B., Smith J. O., Advanced Mechanics of Materials, Wiley, New York,
1952, pp, 576—578; см. также пат. США 779252. 1958.
20. S h i e 1 d R. T., On the Plastic Flow of Metals under Conditions of Axial Symmetry,
Proc. Roy. Soc. (London), A233, 276—286 (1955).
21. S о k о 1 n i k о f f I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,.
New York, 1956.
22. T а у 1 о г G. I., Plastic Strain in Metals, J. Inst. Met., 62, 307—324 (1938).
www. vokb- la. spb. ru
Глава 10
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИИ
10.1. ВВЕДЕНИЕ
Точное решение задачи о распределении напряжений и деформаций
вокруг цилиндрического отверстия в упругом теле при двухосном растя-
жении приводит к результатам, которые характерны для концентраций
напряжений и деформаций около надрезов вообще. Первым следствием
является то, что концентрация напряжений и деформаций исчезает на рас-
стояниях порядка нескольких диаметров отверстия и, таким образом, влия-
ние надрезов оказывается локальным. Это частный случай принципа Сен-
Вепана, который утверждает, что если в данной области приложены само-
уравновешенные силы, то напряжения, вызванные этими силами, исчезают
на расстояниях порядка наибольшего линейного размера этой области.
Поэтому локальные напряжения в конструкциях могут быть найдены путем
определения номинальных напряжений, пренебрегая надрезами, т. е. локаль-
ными нарушениями геометрической непрерывности типа галтелей или отвер-
стий, и последующего умножения номинальных напряжений на коэффи-
циент концентрации напряжений. Другой результат заключается в том, что
распределения напряжений при плоском напряженном и плоском деформи-
рованном состоянии совпадают. Исследование соответствующей задачи в пла-
стическом состоянии показывает, что концентрация напряжений ограничена
пластической деформацией, а концентрация деформаций может быть больше,
чем в упругом случае. Поэтому концентрация деформаций является более
важной величиной. Концентрация пластических деформаций отличается
не только от концентрации упругих деформаций, по, кроме того, эта характе-
ристика при плоском напряженном состоянии значительно отличается
от концентрации при плоской деформации. Концентрация пластических
деформаций может более медленно уменьшаться с расстоянием, так что
для пластической деформации принцип Сен-Венана неприменим.
Приведены результаты и для других видов концентрации напряжений,
возникающих при наличии сферических полостей, эллиптических отверстий,
трещин, при различных видах нагружения и при соприкосновении сфер.
Результаты, полученные для сферической полости, полезны для определе-
ния изменения плотности твердого раствора и полей напряжений, которые
возникают в результате искажений решетки вблизи растворенного
атома. Случай контакта сфер полезен для интерпретации испытаний на твер-
дость металлов и резин, а также для оценки срока службы шариковых
подшипников. Даны простые формулы, с помощью которых можно грубо
оцепить величину коэффициентов концентраций упругих деформаций для
различных концентраторов. Глава заканчивается указанием на то, что
концентрация деформаций мало влияет на начальную деформацию детали
и иногда на ее предельную нагрузку, но способствует разрушению. Будут
указаны также несколько путей уменьшения концентрации деформации.
10.2. НОМИНАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ И КОЭФФИЦИЕНТ
КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Многие детали конструкций и машин в первом приближении имеют вид
балок, стержней, труб или пластип. Когда сходство достаточно близкое,
напряжения и деформации в этих элементах могут быть найдены методами
www. vokb- la. spb. ru
Концентрация напряжений и деформаций
289
теории упругости и пластичности. Однако в большинстве случаев сущест-
вует большое различие между действительными условиями работы деталей
и условиями для упрощенной модели. Например, нагрузка может быть
приложена в одной точке, а не распределена по сечению, и в местах резкого
изменения размеров сечений, в которых происходит соединение деталей
или имеются уступы для их точной установки, могут быть галтели. Точный
анализ распределения напряжений и деформаций для более сложных слу-
чаев чрезвычайно труден. Поэтому вычисления обычно базируются на упро-
щенной форме детали или способе нагружения с определением номинальных
напряжений или деформаций. Влияние сосредоточенных нагрузок, отвер-
стий или галтелей рассматривается отдельно. Как мы увидим, применение
этого метода для упругого анализа напряжений возможно, так как наруше-
ния непрерывности в распределении нагрузки или наличие надрезов в попе-
речном сечении влияют лишь в ограниченной области. Отношение макси-
мального напряжения около одного из этих нарушений непрерывности
к номинальному напряжению называется коэффициентом концентрации
напряжений. Если коэффициент концентрации известен, действительное
напряжение в точке находится путем умножения номинального напряжения
на коэффициент концентрации напряжений. Концентрация деформаций
может быть учтена аналогичным образом.
Возникает вопрос, что же имеет большее значение для практики —
концентрация напряжений или концентрация деформаций, а также вопрос
о значении компонент напряжений и деформаций. Ответ зависит от того,
имеют ли дело с местной пластической деформацией, хрупким разрушением,
мало- или мпогоцикловой усталостью или же с вязким разрушением. Поэто-
му следует исследовать все составляющие напряжений и деформаций как
для упругого, так и для пластического состояний.
10.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ ВОКРУГ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОТВЕРСТИЯ ПРИ ДВУХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Задача о концентрации напряжений вокруг небольшого отверстия
в толстой пластине при двухосном растяжении (фиг. 10.1) может быть срав-
нительно просто решена. Она имеет не только практическое значение,
Ф и г. 10.1. Отверстие в толстой пластине.
но также дает представление об общем характере концентрации напряжений
и деформаций. Рассмотрим сначала упругое состояние. Допустим, что пла-
стина настолько толста по сравнению с диаметром отверстия, что деформа-
ция в осевом направлении определяется деформациями в плите на рассто-
янии, большем по сравнению с диаметром отверстия. Это допущение опреде-
19-92
www. vokb- la.spb.ru
290
Глава 10
ляет осевое перемещение в плите uz (задача 10.1):
= [Ozzoo 2тСГ^гсс] • (10.1)
Условия симметрии приводят к тому, что из всех других перемещений
остаются лишь радиальные, зависящие только от радиуса:
иг — иг(г). (10.2)
Для получения деформаций эти перемещения могут быть продифференци-
рованы и подставлены в соотношения (2.28), а затем, чтобы получить компо-
ненты напряжений, можно использовать формулы (3.25), описывающие зави-
симость напряжений от деформаций. Эти компоненты напряжений должны
в свою очередь удовлетворять уравнениям равновесия (2.14). Комбинация
всех этих уравнений приводит в конечном счете к одному дифференциально-
му уравнению для радиальных перемещений (задача 10.2)
Перемещения и, следовательно, радиальные составляющие напряжений могут
быть выражены через две постоянные интегрирования (задача 10.3):
Е г Л . , В \
Е г Л т , Е 1 ( • )
0RO “л ' 'о—5 Ч "Т’л Г“ •
°° 4 — V—2v2 1-f-V Г2
Эти уравнения полезны для решения разнообразных задач, в том числе
и задач о распределении напряжений, возникающих при горячей посадке,
о поведении толстостенного цилиндра под внутренним давлением и о разру-
шении в результате увеличения пористости, решение которых зависит от того,
как определены постоянные интегрирования. В нашем случае они находятся
путем удовлетворения граничным условиям для радиальных составляющих
напряжений: нулевое напряжение на поверхности отверстия и приложен-
ное напряжение orrtXJ при г — оа. Получаем
оее = (Тггк. (1 + yr) » (10-6)
ozz = Enzztx -f- 2vcr,
Эти формулы показывают, что радиальные напряжения монотонно возра-
стают с увеличением радиуса, в то время как окружные напряжения умень-
шаются, и оба достигают на бесконечности величины, равной значению
приложенных напряжений. Осевые напряжения оказываются постоянными
и не влияют на радиальные или окружные напряжения. Поэтому компоненты
напряжений в плоскости пластины1* одинаковы и для плоской деформа-
ции (ezz =0) и для плоского напряженного состояния (пг2 = 0). Это
является общим результатом теории упругости; см., например, Тимошенко
и Гудьер [37].
Различные данные по концентрации напряжений и деформаций при-
ведены в табл. 10.1 (задача 10.4). Но прежде чем проводить их даль-
нейшее обсуждение, мы должны перейти к пластическому состоянию. В этом
случае при рассмотрении напряжений и деформации вокруг отверстий
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и деформаций
291
Таблица 10.1
Коэффициенты концентрации напряжений и деформаций
для круглого отверстия при двухосном растяжении
Численные значения получены для коэффициентов Пуассона v=0,3
Плоское напряженное
состояние
Плеская деформация
Упругий материал
Максимальное напряжение
°00маис/а JTOO
Эквивалентное напряжение
°макс/°'оо
Максимальная деформация еее/егг<»
Эквивалентная деформация
рмакс/еоо
Жестко-и ласти ческмй материал, ха-
рактеризующийся критерием теку-
чести в виде постоянства макси-
мального касательного напряже-
ния и ассоциированным законом
пластического течения
Максимальное напряжение
(О'00)г=а/(СгГ)г=Г2
Эквивалентное напряжение
Максимальная деформация
|?00ыанс/(егг)г=г2
Эквивалентная деформация
2
2 1/1—v-f-v2
1^
2(1—v)
1 —2v
2 1/1— v-j-v2
1 —2v
4,4
3,5
1
1
г г! а
Ъ/а
1/Jn (r2/a)
1
(гг/«)2
(гг/а)2
2
2
1) Определяется по уравнению (€.5), где коэффициент 2/9 заменен на l/2(l-|-v)zf чтобы полу-
чить значение, соответствующее одноосной деформации при испытаниях на растяжение.
хорошей отправной точкой служит распределение деформаций в жестко
пластическом материале при плоской деформации. Осевые компоненты
деформаций отсутствуют. Вследствие несжимаемости материала радиаль-
ные и окружные компоненты нормальных деформаций должны быть равны
и иметь разные знаки. Используя зависимость деформаций от перемещений
и замечая, что вследствие симметрии условий окружные перемещения дол-
жны отсутствовать, находим
-^+v=°- (10-7)
Деформации могут быть пайдсны путем интегрирования и использования
граничного условия u=uz на большом радиусе г = г2 (задача 10.5)
(10.8)
Отметим, что в этом случае деформации определяются без решения задачи
о напряжениях.
Напряжения находятся из уравнений равновесия и условий пластич-
ности. Самое простое решение получается, если принять в качестве крите-
рия текучести постоянство максимальных касательных напряжений
(фиг. 0.2). Ассоциированный закон пластического течения и распределение
деформаций ограничивают напряжения элементом кривой текучести, для
которого
°ее — Отг = 2/г.
19»
www. vokb- la. spb. ru
292
Глава 10
Интегрирование уравнений равновесия совместно с этим критерием текучести
при условии, что напряжения на границе отверстия г = а равны пулю,
дает напряжения (задача 10.6)
Grr = 2к 1п — ,
( 11 гх (10’9>
Щ>о 2/Ц14-1П—).
Коэффициенты концентрации напряжений, соответствующие уравнениям
(10.8) и (10.9), приведены в табл. 10.1 и будут обсуждаться после рассмотре-
ния случая плоского напряженного состояния.
При плоском напряженном состоянии критерии текучести в виде
постоянства максимальных касательных напряжений и ассоциированном
законе пластического течения можно считать, что осевые и окружные ком-
поненты напряжений будут определять такое пластическое течение, при
котором окружные напряжения окажутся постоянными и равными от.
Интегрирование уравнений равновесия показывает, что радиальные напря-
жения действительно занимают промежуточное положение между двумя
другими. Это подтверждает высказанное ранее предположение и приводит
к следующему результату (задача 10.7):
Огг-=ОТ(1---,
o0e--crT, (10.10)
= 0.
Так как радиальные напряжения имеют промежуточную величину, ассо-
циированный закон пластического течения, соответствующий критерию
текучести в виде постоянства максимальных касательных напряжений,
показывает, что деформация будет состоять иэ осевого сжатия и окружного
растяжения, а радиальной деформации не будет. Отметим, что из симметрии
следует, что окружные перемещения должны исчезнуть, и введение урав-
нений, устанавливающих связь перемещений и деформаций, дает (зада-
ч а 10.8)
егг 0,
Евв = - егг = (Вее)г=Г2 ( . (10.11)
Упруго-пластические решения можно посмотреть у Хилла [19] или у Пра-
гера и Ходжа [33].
Рассмотренные выше концентрации напряжений и деформаций, све-
денные в табл. 10.1, иллюстрируют ряд обобщений, которые применимы также
и в более сложных случаях. Во-первых, если деталь велика по сравнению
с радиусом отверстия, то коэффициенты концентрации упругих напряжений
и деформаций постоянны. Как следует из соотношений (10.6), выражение
«достаточно велика» означает, что расстояния должны иметь порядок трех
радиусов отверстий. Это частный случай общего результата, устанавливаю-
щего, что, если ряд сил, действующих на данной границе, перераспределить
без изменения результирующей силы или момента, влияние этого перерас-
пределения исчезает на расстояниях, равных нескольким типичным разме-
рам границы. Указанный принцип, известный под названием принцип Сен-
Венана, был сначала постулирован интуитивно и до сих пор все еще под-
вергается и качественному [11] и количественному [20] рассмотрению. В дан-
ном случае этот принцип можно применять, рассматривая пластину без
отверстия, к которой в том месте, где должно быть отверстие, приложены
уравновешенные силы, как это показано на фиг. 10.2.
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и деформаций
293
Таблица 10.2
Коэффициенты концентрации напряжений и деформации
для круглого отверстия при одноосном растяжении
Численные значения получены для коэффициента Пуассона v = 0,3
Плоское на- пряженное состояние Плоеная деформация
Упругий материал
Максимальное напряжение 3 3
Эквивалентное напряжение 3 3
Максимальная деформация 3
Эквивалентная деформация Жестко-пластический неупрочняющийся материал 3 3
Максимальное напряжение 1 1
Эквивалентное напряжение 1 1
Максимальная деформация (абсолютная) —щИ 745“ = 1
Эквивалентная деформация (абсолютная) у "-2ut/t 1
В несжимаемом материале (v = 1/2) в условиях плоской деформации
концентрация деформаций бесконечна (задача 10.9).
В условиях пластической деформации коэффициенты концентрации
напряжений и деформаций зависят от геометрии детали частично вследствие
I N t t t t t t f t ft I t
Ф и г. 10.2. Влияние отверстия, которое имитируется системой самоуравновешенных сил.
упомянутой выше несжимаемости. Конечно, эквивалентное напряжение
является исключением, так как оно должно быть постоянным по пласти-
ческой области. Понятие коэффициента концентрации деформации имеет
сравнительно малую ценность, поскольку этот коэффициент зависит от мак-
роскопической геометрии детали, а не от локальной геометрии концентра-
тора напряжений.
Другим различием между упругим и пластическим случаем является
то, что для упругого решения, базирующегося на напряжениях в плоскости
www. vokb- la. spb. ru
294
Глава 10
пластины, не существует различия между коэффициентами концентрации
напряжений при плоском напряженном и плоском деформированном состоя-
ниях. В пластическом случае между этими двумя состояниями имеется
существенное различие. Теперь для расширения знаний о явлении кон-
центрации напряжений рассмотрим отверстие под действием одноосных
напряжений.
10.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ВОКРУГ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОТВЕРСТИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОДНООСНОГО
РАСТЯЖЕНИЯ
Напряжения вокруг отверстия при одноосном растяжении представ-
ляют больший интерес, чем при двухосном растяжении, так как, применяя
принцип суперпозиции (разд. 3.4), можно получить распределение напря-
жений у отверстия в упругом теле для любого другого распределения при-
ложенных напряжений (задача 10.10). Решение для одноосного растя-
жения в упругом случае более удобно провести современными методами;
для интересующихся можно указать книгу Тимошенко и Гудьера (37).
Полученные результаты выражаются через угол 6, отсчитываемый от напра-
вления растяжения:
Максимальный коэффициент концентрации напряжений равен 3. На
краях отверстия при 0 — 0 и 180° существуют сжимающие напряжения.
Эти напряжения могут привести к потере устойчивости тонкого листа.
В жестко-пластическом неупрочняющемся материале при одноосном
растяжении на бесконечности плоское напряженное состояние возникает,
если диаметр отверстия велик по сравнению с толщиной листа. При этих
условиях концентрации напряжений не будет и результирующая деформа-
ция приводит к образованию шейки в тонком листе, как показано
в разд. 7.7 (задача 10.11).
Можно принять, что в плите, достаточно толстой по сравнению с диа-
метром отверстия, существуют условия для плоской деформации. Дефор-
мация становится похожей на деформацию пластины с односторонним
надрезом в условиях плоской деформации, рассмотренную в разд. 9.8.
Как было показано в атом разделе, напряжение перед надрезом постоянно
и равно 2oT/V 3, в то время как сдвиговая деформация в деформированной
области в координатах, повернутых на 45°, равна единице. Интересно отме-
тить, что в этом случае с удлинением образца деформация не увеличивается.
Вместо этого растет деформированная область. Коэффициенты концентра-
ции напряжений и деформаций для круглого отверстия при одноосном
растяжении сведены в табл. 10.2.
Пример круглого отверстия при одноосном растяжении еще раз пока-
зывает применимость принципа Сен-Венана для упругих случаев и его
нарушение в пластических случаях. В противоположность двухосному
растяжению коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растя-
жении действительно одни и те же во всех упругих случаях. По этой причине
в литературе между ними редко проводят различие, поскольку в больший-
www. vokb- la. spb. ru
Концентрация напряжений и деформаций
295
стве случаев па бесконечности имеется по крайней мере одна свободная поверх-
ность. Опять следует упомянуть об отсутствии концентрации напряжений
в неупрочняющемся жестко-пластическом материале. Все концентрации
деформаций становятся бесконечными, так как для бесконечно длинного
образца средняя деформация равна нулю при конечной величине деформации
в узкой деформированной полосе. Стоит также заметить, что характер кон-
центрации напряжений в условиях плоской деформации и плоского напря-
женного состояния совершенно различен, и это отличие намного больше, чем
в упругом случае. Поэтому в условиях полной пластической деформации
понятие концентрации деформаций действительно неприменимо и лучше
определять деформацию непосредственно.
Представляется весьма заманчивым сделать обобщение, согласно кото-
рому коэффициент концентрации пластической деформации всегда больше,
чем упругой. Однако из рассмотрения образца для испытаний на растяжение
с галтелями на головках следует, что это вовсе необязательно. При упругой
деформации галтели вызывают концентрацию напряжений, достигающую
максимальной величины на искривленной части. Когда же разовьется пол-
ностью пластическая деформация, как показано на фиг. 7.16, присутствие
головок препятствует пластической деформации в этом месте. Таким образом,
для этого образца и коэффициент концентрации пластической деформации
(= 0) и пластический коэффициент концентрации напряжений (<; 1) меньше,
чем соответствующие упругие коэффициенты.
Рассмотренные выше распределения пластических деформаций справед-
ливы лишь для неупрочняющихся материалов, так как присутствие неболь-
шого деформационного упрочнения, как можно себе представить, приведет
к’распространению пластической деформации в соседний, еще не упрочнен-
ный материал. Поскольку реальные материалы обладают некоторой степенью
упрочнения, их поведение’будет промежуточным между поведением упругого
материала и неупрочняющегося. Решения для некоторых упрочняющихся
материалов приведеныТу Хилла [19], дальнейшие исследования опублико-
ваны в [8, 10]. Как показано Макклинтоком и Ри [29], в области, куда пла-
стическая деформация уже распространилась, достаточно удовлетворитель-
ные результаты можно получить с помощью интерполяции между упругим
решением и решением для неупрочняющегося материала. С другой стороны,
если пластическая деформация теоретически ограничена малой полосой, то
сравнительно небольшое упрочнение может привести к большим отклонениям
от решения для неупрочняющегося материала. Крайним примером служит
кручение стержня с кольцевым надрезом, в котором для случая неупрочняю-
щегося материала весь сдвиг сосредоточен в одной плоскости, содержащей
вершину надреза.
10.5. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ВОКРУГ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Напряжения около сферической полости находятся из уравнений равно-
весия и уравнений, устанавливающих связь между перемещениями и дефор-
мациями в сферических 'координатах [соотношения (2.15) и (2.29)1. Диффе-
ренциальное уравнение для перемещений имеет вид
d2ur , 2 dur 2ur _
dr2 "т" г dr r2
(10.13)
Интегрирование показывает, что перемещения должны иметь вид
(задача 10.12)
иг — + С2г.
(10.14)
www.vokb-la.spb.ru
296
Глава 10
Вместе с соответствующими граничными условиями эта формула дает пере-
мещения вокруг сферически симметричного точечного дефекта — внедрен-
ного атома в твердом растворе [уравнение (5.1)]. Напряжения (зада-
ч а 10.13) описываются соотношениями
°" = ~ (1+vp-3 + 1TZ27 ’
ECt . ЕС2
°ее— (14-v) r3 + i__2v ‘
(10.15)
Для полости в материале, находящегося под действием трехосного растяже-
ния на бесконечности, максимальный коэффициент концентрации напряже-
ний равен 3/2 (задача 10.14). Для одноосного растяжения при v — 0,3
Фиг. 10.3. Система координат, исполь-
зованная для вычисления напряжений
вокруг сферической полости.
он оказывается равным 45/22 [37]. Эти коэффициенты меньше соответствую-
щих коэффициентов для цилиндрического отверстия, что не удивительно,
так как силы, которые должны огибать отверстие, теперь могут «обтекать»
его со всех, а не только с двух сторон.
При исследовании влияния комбинированных напряжений необходимо
знать не только максимальные напряжения, но также и другие компоненты
напряжений на экваторе и на полюсе. Эти напряжения имеют вид (система
координат показана на фиг. 10.3)
д А он- lv>V _
ии ФФ 2(7 — DV)
«В - 27-15V Л
аее 2(7—5v) 0001
R 15v—3
2(7 —5v) Оо0'
(10.16)
С помощью уравнений (10.14) и (10.15) может'быть оценено изменение
межплоскостного расстояния (шага) решетки в твердых растворах [14, 16].
Предположим, что атомы растворенного вещества с радиусом а2, модулем
Е2 и коэффициентом Пуассона v2 вставлены в отверстия радиусом имею-
щиеся в растворителе с модулем и коэффициентов Пуассона Vj. Предполо-
жим, что материалы изотропны, несоответствие размеров атома и отверстия
достаточно мало, благодаря чему может быть применена обычная теория
упругости малых деформаций, а также что электрическое взаимодействие
между различными атомами не вызывает дальнейших изменений размеров.
www. vokb- la. spb. ru
Концентрация напряжений и реформаций 297
Тогда для совместимости растворенного вещества и растворителя сумма их
радиальных перемещений на обшей границе г —- а должна быть равна раз-
ности их первоначальных радиусов и радиальные напряжения па общей
границе должны быть равны. Для атома, находящегося в бесконечной мат-
рице без напряжений на бесконечности, это приводит к соотношению
(задача 10.15)
а2—а1 а3
атомов
(10.18)
в матрице
г~,, 2^1 1- 2у2 о--;- к--/
"Ч+vi £2
Приращение объема, заключенного в недеформированном состоянии внутри
сферы радиусом 1?, равное 4л7?2нг (R), приводит к объемной деформации
соответствующей сферы, равной 3ut/R или к средней линейной деформации
узлов решетки внутри сферы uT!R. Эта деформация вызвана одним внед-
ренным атомом. Можно показать, что при атомной концентрации с деформа-
ция будет увеличиваться пропорционально числу внедренных
у
.
-д ЛЯ3
Тогда окончательная средняя деформация решетки составит
с(а2- «1)/а
А, 2ЕХ 1 —2у2 •
14-vj Н2
В действительности деформация несколько больше этой, так как
конечных размеров напряжения на свободной границе конечного радиуса
падают до нуля. Если это учесть для сферы радиусом R, деформация увели-
чивается на множитель (задача 10.16) [14]
-k:'
Эшелби 114] показал также, что результат не изменяется, если атомы рас-
творенного вещества распределены случайным образом, а не сконцентриро-
ваны в центре, как принято здесь. Эти уравнения теперь можно использовать
для предсказания отклонений от эмпирических уравнений, устанавливающих,
что межплоскостное расстояние решетки I изменяется с концентрацией линей-
но 14] (закон Вегарда):
Z —с(а2 —ai)- (10.20)
Так, Фридель (16] использовал эту теорию для предсказаний отклонений
от закона Вегарда для растворов различных веществ в алюминии, меди,
серебре и золоте. Совпадение с точностью до множителя 2 было получено
в 16 случаях из 32 и также в 8 из 9 случаев, когда растворитель и растворен-
ное вещество были из одной колонки периодической системы.
Анализ напряжений для сферической полости дает также информацию
овеличипе упругой энергии, связанной с образованием частиц, выделяющих-
ся из твердого раствора. Интересно отметить, что и для круглой цилиндриче-
ской и для сферической частицы выделения или включения напряжения
и деформации внутри включения постоянны, хотя они и изменяются вне
частицы. Аналогичный результат получен Эшелби [15] для эллиптических
включений.
www. vokb- la .spb. ru
298
Глава 10
10.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ВОКРУГ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОТВЕРСТИЙ И ОСТРЫХ ТРЕЩИН
А. Упругий материал
Как можно ожидать, исходя из анализа влияния круглого отверстия,
.эллиптическое отверстие или трещина также вызовет большую концентра-
цию напряжений. Распределение напряжений при произвольном виде нагру-
жения и произвольной форме тела и трещины определить очень трудно
К счастью, совсем недавно было установлено, что вблизи вершины трещины
могут произойти по существу лишь три явления: края трещины могут рас-
ходиться или сдвигаться перпендикулярно или параллельно передней кром-
ке трещины. Это соответствует трем компонентам напряжений, показанным
Фиг. 10.4. Трещина в бесконечном твер-
дом теле.
на фиг. 10.4. Исследуя эти три вида разрушений и используя их суперпози-
цию для определения состояния при более сложном нагружении, можно
получить ценные представления о процессе разрушения. Распределение
напряжений будет дано ниже. Здесь же достаточно сказать, что концентра-
ция напряжений при растяжении и при сдвиге параллельно передней кромке
трещины даст максимум на самом конце трещины, в то время как сдвиг,
нормальный к передней кромке трещины, дает пик растяжения на одной
стороне и пик сжатия на другой стороне плоскости трещины. Приближенный
метод оценки концентрации напряжений будет дан в разд. 10.8.
Первое решение для эллиптического отверстия, которое в пределе пере-
ходит в острую трещину, дано Инглисом 122]. Решение более сложное, чем
для круглого отверстия, и проводится в эллиптических координатах, исполь-
зование которых упрощает граничные условия. Применяются эллиптичес-
кие координаты, показанные на фиг. 10.5. Общее выражение для распреде-
ления напряжений имеет довольно сложный вид, однако основной интерес
представляют напряжения на поверхности трещины, на которой действует
лишь нормальное напряжение, параллельное поверхности, о^. Эллиптиче-
ские координаты определяются через полудлину трещины с, радиус кривиз-
ны в вершине а и наклон поверхности dx-Jdx t из соотношений
ао=(~)12. ₽= — arctgfthoo/-^). (10.21)
Для очень острой трещины радиус кривизны в вершине мал по сравне-
нию с полудлиной трещины и, следовательно, координата мала по сравнению
с единицей. Поэтому максимум напряжения находится вблизи вершины
трещины, где величина 0 также мала по сравнению с единицей. Значитель-
ная концентрация напряжений возникает от нормальной <т22 о» и касательной
www. vokb- la .spb. ru
Концентрация напряжений и деформаций
299
-о21 „ компонент приложенного напряжения. В этом случае напряжение
<теео на поверхности приближенно равно
°ВРО =
2<2o022oc — 2₽П2) оо
(10.22)
«о + Р2
Распределение напряжений внутри и вокруг эллиптической неоднородности
исследовалось Эшелби [15|. Вопреки ожиданию оказалось, что, несмотря
на наличие концентрации напряжений в матрице, величина которой для
острого включения равна приблизительно отношению модулей упругости,
в самом включении концентрация напряжений отсутствует.
Фиг. 10.5. Эллиптические координаты, используемые для изучения трещин.
Распределение напряжений около поверхности трещины определить
довольно просто, рассмотрев предельный случай острой трещины (фиг. 10.4).
Три вида напряжения дают три составляющие концентрации напряжений:
симметричную относительно плоскости трещины, антисимметричную, возни-
кающую в результате сдвига перпендикулярно кромке трещины, и продоль-
ную касательную составляющую вдоль передней кромки трещины х).
Величина каждой составляющей определяется коэффициентом интенсивности
напряжений 2). Для симметричного случая 1391
X1 Г 5 0 1 30 -1
Огг =-~= -у COS -7--у COS -у- ,
У2пг L4 2 4 2 J
Kt ГЗ 6.1 36") „о,
v^Ltcos-2-+tcos^-J ’ (10-23>
А, Г1 . 0 . 1 . 301
°г8” Lts'"t+ts">-2-J
г) Антисимметричную и продольную касательные составляющие иногда называют
кососимметричной и антиплоской деформацией соответственно. В своей работе о тонких
пластинах Эрдоган и Сих [12] использовали противоположные термины, называя их про-
дольным и поперечным сдвигами (относительно трещины, а не относительно ее передней
кромки, как это принято здесь).
2) Для обозначения коэффициента интенсивности напряжений используются сим-
волы к, cJC. К =к |/л. и а ~|/2. [Вместо принятого в английском оригинале обозначения к
в русском переводе использовано более распространенное обозначение К = к ф/к-—
Прим, ред.}
www.vokb-la.spb.ru
Таблица 10.3
Коэффициенты интенсивности напряжения К (см. также [41])
Форма образца К1 А'з Источник
1 1 1 2с |— m (Г, (7со Л С f^co ЗТС [23]
Ш i 1 j l.lOoo ~[/лс ^ос С [24, 38]
ш [23]
Н 2с г~п ^ОооУГс]/ — tg-y- сх "[/яс [/ -- tg -ДД r F SIC ° Ь
J - d —L1 — Ь _ 1 |« С ^0 Goo "l/jlC tg X V V JtC Ъ X j/~ 14-0,2 cos Ооо tg г лс b [31
1 И 1 _ > 1 1J як 1,1а "|/лс 125}
«макс График см. в работе [40] [40]
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и деформаций
301
Продолжение табл. 10.3
Для антисимметричного случая [39]
Л'2 г 5 . 0 . 3 . 30 “|
Ог'=w L~TsluT+Ts,n-rJ •
К2 Г 3.0 3 - 36-1 о,.
'’"“VssL-T™ 2 -tsi,itJ • f10-24)
А2 Г 1 0,3 30 1
Эти два случая соответствуют нормальной и касательной компонентам внеш-
ней нагрузки применительно к эллиптической трещине Инглиса. В случае
антиплоской деформации, когда вершина трещины находится под действием
продольного сдвига, распределение напряжений можно найти из преобразо-
вания Шварца — Кристофеля, см., например, [21]:
к3 cos (-
О6г = —=7=
у 2.ЯГ
Л'з sin
Д/2лг
(10.25)
Коэффициенты интенсивности напряжений Kt в уравнениях (10.23) —
(10.25) зависят от способа нагружения, общей формы тела и траектории
трещины. Для трещины длиной 2с в бесконечном теле коэффициенты равны
А)-— о22со ле, А2 — o2ico лс, Аз — о2зор 1/~лс. (10.26)
В табл. 10.3 приведены различные случаи. Дополнительные примеры
даны в недавних работах Эрдогана и др. [13] и Анга и др. [2], а также в рабо-
тах, на которые ссылаются авторы. Другой метод решения основан на исполь-
зовании данных о коэффициентах концентрации напряжений для надрезов
в форме исследуемых трещин, по при конечном радиусе конца надреза.
Например, путем сравнения с решением для эллиптического отверстия в пла-
стине, находящейся под действием сдвигающих или растягивающих сил,
согласно которому максимальное напряжение оРВмакс расположено около
конца надреза с радиусом а, получаем (задача 10.17)
М __аР₽макг "|/ла , „ /4 0 от
“1 2 ’ **-2— ^р₽макс г «ГСЯ’ (1U.Z7)
www.vokb-la.spb.ru
302
Глава 10
Аналогично для надрезов при продольном сдвиге с максимальным напря-
жением Огзмакс на вершине надреза радиуса а имеем (задача 10.18)
^3 = 023 макс Кла. (10.28)
Формулы (10.27) и (10.28) справедливы не только для трещин в бесконечной
среде, но также и для других случаев, поскольку они получены для локаль-
ного распределения напряжений в вершине трещин или надрезов. Поэтому
они могут быть использованы для оценки интенсивностей напряже-
ний в вершине трещины по данным о концентрации напряжений, и на-
оборот.
Теперь вернемся к подробному рассмотрению характера напряжений
перед трещиной при симметричном случае растяжения. Вильямс отметил, что
на данном радиусе максимальные значения касательных напряжений полу-
чаются под углом 90°, а максимальные эквивалентные напряжения — под
углом 70° по отношению к направлению трещины. Следовательно, пластиче-
ская деформация скорее возникает на любой стороне трещины, чем непосред-
ственно перед пей. Причина возникновения максимальных эквивалентных
напряжений по сторонам трещины заключается в том, что радиальные состав-
ляющие напряжений непосредственно перед трещиной равны окружным.
На первый взгляд это может показаться противоречащим тому факту, что
на самом конце трещины радиальные составляющие напряжений должны
быть равны нулю. Однако детальное исследование распределения напряже-
ний для эллиптической трещины свидетельствует об очень быстром возраста-
нии радиального напряжения с удалением от поверхности и достижении
значения, равного окружному напряжению. В условиях плоской деформации
это двухосное растяжение в области перед трещиной приводит также к появ-
лению высоких поперечных напряжений. Следовательно, высокое трехосное
растяжение в области перед надрезом, которое наблюдалось в случае пластич-
ности (разд. 9.6), не способствует проявлению пластических свойств материа-
ла. Склонность к хрупкому разрушению можно характеризовать максималь-
ным значением растягивающих напряжений, максимальным нормальным
напряжением, перпендикулярным радиальной линии, или максимальной
величиной расширения (объемной деформации) па определенном радиусе
от вершины трещины. Первая из этих величин достигает максимума под
углом 60° от плоскости трещины, в то время как две другие достигают мак-
симума в плоскости трещины.
Б. Пластичный материал
Распределение развитых пластических деформаций в неупрочняющемся
материале, содержащем трещину, коренным образом зависит от того, яв-
ляется ли трещина внутренней или внешней (фиг. 10.6). Как указывалось
в разд. 9.8, в случае внутренней трещины деформация постоянна в полосе,
которая расширяется в процессе испытаний. В случае внешней трещины
деформация распределена в области между трещинами и увеличивается
с удлинением образца. Для острой трещины не возникает условий плоского
напряженного состояния, так как толщина материала всегда велика по срав-
нению с нулевым радиусом кривизны.
Точное упруго-пластическое решение получено лишь для случая про-
дольного сдвига, т. е. параллельно передней кромке трещины. Как показано
на фиг. 10.7, для низкого уровня напряжений зона пластической деформации
имеет круглую форму и лишь касается вершины трещины. Максимальный
радиус от вершины надреза до конца зоны пластической деформации, кото-
рый совпадает с линией надреза, приближенно может быть выражен через
глубину трещины с, приложенное на бесконечности напряжение о2Эт и пре-
www. vokb- la .spb. ru
Концентрация напряжений и деформаций
305
дел текучести материала при сдвиге k (задача 10.19)
2 : К1
*
•^макс — С
(10.29)
Внутри пластической зоны распределение деформации зависит от деформа-
ции, соответствующей пределу текучести при сдвиге k!G (задача 10.20),
следующим образом:
k п
Тге = -^4- (10.30>
При более высоких уровнях напряжений пластическая зона становится про-
долговатой и ее протяженность может быть определена путем численного.
Ф и г. 10.6. Различие полей пластического течения для внутренней и внешней трещин
в условиях плоской деформации.
интегрирования или в некоторых случаях выражена.через эллиптические
интегралы [6, 281.
Если учесть, что направления касательных напряжений определяют ряд
свободных от напряжений поверхностей с различными радиусами в вершине..
Фиг. 10.7. Зона пластической деформации'при продольном сдвиге для упруго-пла-
стического пеун роли яющегося материала.
концентрация напряжений у надреза конечного радиуса при продольном
сдвиге может быть найдена из формул (10.29) и (10.30). Соответствующие
www. vokb- la .spb. ru
304
Глава 10
концентрации напряжений и деформаций оказываются равными (з а д а-
ч а 10.21)
У 23 макс __ с °23qj °23 макс мл о л \
О23оо/б ° к ' п23сс Щз<»
Отметим, что, как и для случая отверстия при двухосном растяжении, кон-
центрация напряжений и деформаций больше не является постоянной.
При увеличении приложенных напряжений концентрация деформаций уве-
личивается, а концентрация напряжений уменьшается. Такое наблюдение
привело Нейбера [31] к выводу, что коэффициент концентрации напряжений
или деформаций в упругом состоянии является среднеквадратичной величи-
ной из коэффициентов концентрации напряжений и деформаций в пласти-
ческом состоянии. Этот результат справедлив в данном случае (зада-
ч а 10.22), хотя, как мы могли видеть из случая растяжения образца с галте-
лями, рассмотренного в разд. 10.4, результат теряет общность при приближе-
нии к случаю развитых пластических деформаций.
При упруго-пластическом растяжении получено лишь небольшое число
численных решений, которые не дают распределений деформации или описа-
ния пластической зоны на конце острой трещины [1, 9, 17, 18, 27, 361. Ряд
решений основан на допущении, что распределение пластических деформа-
ций идентично упругим, но, судя по результатам, полученным при сдвиге,
это допущение, скорее всего, недостаточно обосновано.
10.7. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Задача определения деформаций и напряжений в двух соприкасающихся
телах впервые была решена Герцем в 1881 г., но более удобное решение дано
Тимошенко и Гудьером [37]. В этом решении рассматриваются два тела,
поверхности,
Фиг. 10.8. Соприкосновение сферических тел.
которые локально можно представить в виде сфер
имеющие
с радиусами 7?! и R4, как это показано на фиг. 10.8. Радиус площади контакта
равен
„ _ -.71 \
Г 4 Hl + R2 I El Е2 /
(10.32)
а деформация двух тел равна
2 Щ у 16 7?1 ) -
(10.33)
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и. деформаций
305
Максимальное напряжение в центре контакта равно 3/2 от среднего напря-
жения
чр
°33 мане = 2пл2 ' (10.34)
В пластичном материале пластическая деформация зависит от эквивалентных
напряжений. Максимальное значение эквивалентных напряжений достигает-
ся на оси, проходящей через центр контакта, и ниже поверхности примерно
на 1/2 радиуса области контакта. Эквивалептпое напряжение для v = 0,3
составляет 0,62 от максимального напряжения в центре области контакта.
В хрупких материалах разрушение зависит от величины максимальных рас-
тягивающих напряжений, которая совпадает с радиальным напряжением
на границе круглой области контакта. Это приводит к появлению круглой
трещины при вдавливании сферического наконечника *). Величина макси-
мальных растягивающих напряжений равна максимальным напряжениям
в центре, умноженным на (1 — 2v)/3.
Характер анализа напряжений в этом случае существенно отличается
от анализа обычного типа, который применяется в теории упругости, посколь-
ку геометрия нагружения, в частности радиус контактной области, зависит
от величины нагрузки. Поэтому задача становится нелинейной и распределе-
ние напряжений зависит как от упругих постоянных, так и от нагрузок.
Тимошенко и Гудьер также приводят уравнения для соприкосновения
эллипсоидальных поверхностей. Случай сферического шарика в сферическом
седле может быть рассмотрен путем изменения знака радиуса кривизны /?2
в приведенных выше уравнениях.
10.8. ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИЙ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГОМ СОСТОЯНИИ
Точному исследованию было подвергнуто лишь сравнительно небольшое
число из многих возможных видов концентраторов деформаций. Вместо этого
было получено несколько точных решений, проведена их экспериментальная
Фиг. 10.9. Обозначении для приближенного вычисления концентрации напряжений.
проверка с помощью метода фотоупругости и затем на основании полученных
результатов сделаны оценки концентрации деформаций для разнообразных
практических случаев [30, 32, 34, 35J. Для получения приближенной оценки
1) Эксперименты на стеклах и бериллии показывают, что радиус трещины пример-
ло на 20% больше радиуса контактной поверхности; см. Turner D. N., Smith Р. D.,
R о t s е у W. В., J. Amer. Ceram. Soc., 50, № 11 (1967).— Прим. ред.
20—92
www.vokb-la.spb.ru
306
Глава 10
результаты большинства исследований можно представить в виде эмпириче-
ской формулы.
Рассмотрим ряд концентраторов напряжений, представленных на
фиг. 10.9. У каждого из них имеется радиус кривизны а. в вершине надреза
и характерный размер, которым может быть половина толщины оставшегося
материала, полудлина центральной трещины, длина односторонней трещины
или высота уступа. Обозначим наименьшее из этих размеров через с. Тогда
коэффициент концентрации напряжений или деформаций приближенно
равен
^маке, ~ ~ 1 +(0,5 2) 1/ - . (10.35)
С1ЮМ ^НОМ ' а
Как следует из соотношений (10.21) и (10.22) для случая концентрации напря-
жений у эллиптического отверстия при плоском напряженном состоянии,
множитель точно равен 2. Для галтелей с большим радиусом и при изгибе
и кручении численный коэффициент следует выбирать в нижнем конце диапа-
зона. В случае растяжения, в частности для труб с кольцевым надрезом, его
следует выбирать в верхнем конце. Нижние значения коэффициента отве-
чают также случаю больших углов между двумя сторонами надреза. Несмо-
тря на такую неопределенность, соотношение (10.35) дает удобную прибли-
женную оценку концентрации упругих напряжений и деформаций (з а д а-
ч а 10.23).
10.9. ЭФФЕКТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Концентрация деформаций приводит к увеличению общей деформации
деталей, влияет на их несущую способность и облегчает их разрушение.
Влияние концентрации деформаций на полную деформацию исследова-
лось весьма поверхностно, возможно вследствие незначительности этого
эффекта. Рассмотрим, например, диаграмму растяжения образца с попереч-
ным отверстием, показанную на фиг. 9.2. Увеличение упругого удлинения
несколько большее, чем это можно было бы получить, считая, что деформации
и напряжения распределены равномерно в каждом сечении (зада-
ч а 10.24). В качестве второго примера можно указать на дополнительный
прогиб заделанной консольной балки, возникающий вследствие искажения
ее основания, что приводит к повороту балки, эквивалентному дополнитель-
ному увеличению длины балки лишь на (16/15л) (1 — v2) d, тр,е d — диа-
метр балки [7]. Увеличение прогиба может приобрести важное значение,
когда оно происходит вследствие роста трещины. Такое увеличение может
представить опасность, если оно способствует возникновению потери устой-
чивости или такому изменению частоты собственных колебаний элемента
конструкции, что он начинает вибрировать на частотах, близких к критиче-
ской. Однако это представляется маловероятным, поскольку если небольшая
дополнительная деформация (вследствие присутствия отверстия) изменяет
собственную частоту до критической или вызывает потерю устойчивости, то
это означает, что, по-видимому, конструкция (с обычными запасами прочно-
сти) уже была достаточно близка к этим предельным условиям и без
отверстия.
Хотя отверстие и снижает, как этого и следует ожидать, предел упруго-
сти, до достижения предельной нагрузки увеличение полного удлинения
образца вследствие пластического течения мало, как это показано на фиг. 9.2.
Влияние концентрации деформаций на предельную несущую способность
элемента никогда не превышает влияния уменьшения площади и даже меньше
в тех случаях, когда пластическое стеснение под действием выступов приво-
дит к возникновению в минимальном сечении трехосного напряженного
состояния и^замедлению пластической деформации.
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и деформаций
307
С другой стороны, концентрация деформаций способствует разрушению,
даже когда возникает пластическая деформация. Это явление маскируется
тем обстоятельством, что для материалов, которые могут деформироваться
пластически, пластическая деформация замедляет разрушение по сравне-
нию с теми материалами, которые пластически деформироваться не могут.
Однако для данного материала отверстие или надрез приводят к уменьше-
нию деформации до разрушения, как это будет показано в гл. 13, посвящен-
ной вязкому разрушению.
10.10. УМЕНЬШЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ
Конечно, концентрация деформаций может быть уменьшена устранением
входящих углов, имеющих в вершине малый радиус кривизны. В некоторых
авиационных компаниях это считается настолько важным, что рабочим
Ф и г. 10.10. Примеры, иллюстрирующие возможность уменьшения концентрации напря-
жений посредством создания более плавного перехода жесткости сечения вдоль оси
детали.
а — до обработки; б — после обработки.
вообще запрещают иметь инструмент с острыми кромками. В пластичных
материалах коэффициент концентрации деформаций будет тем меньше, чем
больше их упрочнение. Когда для точной установки детали необходим уступ,
влияние концентрации напряжений можно уменьшить путем применения
выточки за уступом, как показано на фиг. 10.10. Аналогичным образом
материал может быть удален и за резьбой винта. Галтель также может
быть подрезана или сделана эллиптической формы, чтобы наибольший
радиус кривизны находился около конца, где в противном случае концен-
трация напряжений была бы наибольшей [51.
10.11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вычисления несущей способности деталей обычно базируются на номи-
нальных напряжениях, полученных путем анализа деталей упрощенной
формы, так что концентрациями деформаций у галтелей, надрезов, отверстий
и других резких изменений сечений пренебрегают. По аналогии с принципом
Сен-Вснана в упругой области такие местные изменения дают локальные
эффекты, которые можно описать, используя понятие о коэффициентах кон-
центрации напряжений. Величина концентрации напряжений или деформа-
20*
www. vokb- la .spb. ru
308
Глава 10
ций в упругой области может быть выражена через радиус кривизны а
в вершине надреза и характерный размер с, например глубину надреза,
полудлину трещины или половину толщины сечения в плоскости трещины,
смотря по тому, что меньше:
£мак£ ~ £макс ~ 1 (0 5 2) |/— . (10.35)
Еном °ном г а
Хотя концентрация деформаций снижает предел упругости детали, воз-
никающая пластическая деформация вначале настолько локализована, что
она почти не вызывает заметных изменений диаграммы сила — деформация.
Концентрация напряжений ограничена пластической деформацией, но кон-
центрация пластических деформаций часто выше, чем в случае упругости.
Концентрация деформаций оказывает малое влияние на общую деформа-
цию или предельную нагрузку. Концентрация напряжений в упругой обла-
сти может быть снижена с помощью соседних отверстий или надрезов, кото-
рые приводят к эффективному снижению жесткости уступов.
Данные табл. 10.1 и 10.2 показывают, что величина коэффициентов кон-
центрации напряжений и деформаций для круглого отверстия при одноосном
и двухосном растяжении зависит от того, имеет ли место концентрация напря-
жений или концентрация деформаций, условие плоского напряженного или
плоского деформированного состояния, упругая или пластическая деформа-
ция. Величины этих коэффициентов зависят также от конкретных составляю-
щих напряжений или деформаций. Распределения напряжений и деформа-
ций вокруг сферической полости, рассмотренные в разд. 10.5, дают представ-
ление об искажениях решетки в твердых растворах.
Для эллиптического отверстия распределение напряжений на поверхно-
сти предпочтительнее записывать в эллиптических координатах, определен-
ных через полудлину трещины с, радиус кривизны а и наклон поверхности
dx2Idxi:
“«Ч’Г)1'2’ ₽-arctg(tha0/-g-) . (10-21)
Под действием нормальных о22~ и касательных напряжений о21а, нормаль-
ные напряжения на поверхности острой трещины около се конца (сс0, JJ 1)
даются выражением
2аоо22х> —2[}о21 эо
а? — р2 ’ (10.22)
Перед острой трещиной напряжения могут быть выражены через симме-
тричную, антисимметричную и продольную касательную составляющие
напряжений, имеющих особенность вида 1/[/7Г Например, для трещины
под действием растягивающих напряжений нормальные напряжения в пло-
скости трещины будут равны [из соотношений (10.23)]
КI
Огт = 000 = -ГТ^- ;
где коэффициент интенсивности напряжений Кг выражается через приложен-
ные на бесконечности напряжения и полудлину трещины с следующим
образом:
кг — п22оо Клс. (10.26)
Приведены полные уравнения для всех составляющих вблизи вершины
трещины, а также значения коэффициентов интенсивности напряжений для
других условий нагружения (табл. 10.3). Связь между коэффициентами
интенсивности напряжений и коэффициентами концентрации напряжений
для аналогичных надрезов с конечным радиусом кривизны устанавливается
соотношениями (10.27) и (10.28).
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и дефор маци-
309
Для острых надрезов при продольном сдвиге для напряжений, уровень
которых мал по сравнению с пределом текучести при сдвиге к, зона пласти-
ческой деформации в вершине надреза имеет круглую форму, а максимальная
протяженность зоны равна
В^-е (^)‘ g. <10.29)
Внутри этой зоны деформация равна
v=(4)4- <1и-3°)
В этом случае, когда приложенные напряжения низки, пластическая дефор-
мация стеснена упругой областью; коэффициент концентрации напряжений
в упругой области равен среднеквадратичной величине из коэффициентов
концентрации напряжений и деформаций в пластической зоне.
Для случая контакта двух сферических тел приведены соотноше-
ния (10.32) — (10.34); они удобны для последующего применения к задачам
испытаний на твердость и вопросам контактной усталости подшипниковых
шариков.
ЗАДАЧИ
10.1. Вывести соотношение (10.1) для осевой деформации на бесконеч-
ности, возникающей при двухосном напряженном состоянии.
10.2. Вывести уравнение (10.3) для упругих перемещений.
10.3. а) Проинтегрировать уравнение (10.3) и получить радиальные
перемещения.
б) Вывести соотношения (10.5) для напряжений, выраженных
через две постоянные интегрирования.
10.Вы вести значения для коэффициентов концентрации напряжений
и деформаций в упругой области при плоской деформации, приведенных
в табл. 10.1.
10.5. Вывести соотношения (10.8) для деформаций вокруг отверстия
в жестко-пластическом материале при двухосном растяжении в условиях
плоской деформации.
10.6. Вывести формулы для напряжений (10.9) вокруг цилиндрического
отверстия в материале под действием двухосного растяжения в условиях
плоской деформации; принять, что течение происходит в соответствии с кри-
терием текучести, выраженным в виде постоянства максимальных касатель-
ных напряжений.
10.7. Получить формулы для напряжений (10.10) в условиях плоского
напряженного состояния, используя в качестве критерия текучести постоян-
ство максимального касательного напряжения и ассоциированный закон
пластического течения.
10.8. Вывести формулы для деформаций (10.11), соответствующие зада-
че 10.7.
10.9. Дать физическое объяснение, почему концентрация деформаций
в условиях плоской деформации становится бесконечной, когда коэффициент
Пуассона приближается к Примером такого состояния деформации слу-
жит толстостенный резиновый вакуумный шланг фиксированной длины.
10.10. Показать, как напряженное состояние вокруг отверстия с произволь-
ным распределением напряжений на бесконечности может быть получено
путем суперпозиции напряженных состояний, описываемых формулами
(10.12).
10.11. Нарисовать эпюру деформаций, возникающих в листе, содержа-
щем отверстие, при двухосном растяжении в условиях плоского напряженно-
го состояния. Проверить правильность вашего ответа, получив решение для*
www.vokb-la.spb.ru
310
Глава 10
нижней границы для всего образца, включая недеформированные области.
Если ни один другой вид деформации не совместим с полным решением для
нижней границы, вы получаете единственное распределение деформаций.
10.12. Вывести уравнения (10.13) и (10.14) для перемещений вокруг сфе-
рической полости при двухосном растяжении.
10.13. Вывести соотношения (10.15) для напряжений, выраженных через
постоянные интегрирования в уравнении для перемещений.
10.14. Показать, что для сферической полости в упругом материале
при равномерном трехосном растяжении силами, приложенными на бес-
конечности, максимальный коэффициент концентрации напряжений равен 3/2.
10.15. Вывести соотношение (10.17) для радиальных перемещений вокруг
внедренного атома в твердом растворе.
10.16. Получить поправку для сфер конечного радиуса [форму
ла (10.19)].
10.17. Получить соотношение (10.27) между коэффициентом интенсив-
ности напряжений для острой трещины и максимальным напряжением около
конца эллиптического отверстия [26].
10.18. Вывести соотношения (10.28) между коэффициентом интенсив-
ности напряжений и коэффициентом концентрации напряжений вблизи
вершины закругленного надреза при продольном сдвиге.
10.19. Вывести формулу (10.29); для этого:
а) Показать, что в пластической области па фиг. 10.7 допущение
постоянства касательных напряжений, нормальных к радиальным линиям,
удовлетворяет уравнениям равновесия и условию пластичности.
б) Показать, что на границе пластической зоны напряжение
в точности совпадает с напряжением в упругом материале, когда конец
трещины находится в центре пластической области, при условии, что коэф-
фициент интенсивности напряжений выбран соответствующим образом [281.
10.20. Показать, что внутри пластической зоны на фиг. 10.7 распределе-
ние деформаций описывается формулой (10.30). (Указание: исходя из
упруго-пластической границы, определить относительные перемещения
вдоль соседних радиальных линий.)
10.21. Вывести соотношения (10.31) для концентрации напряжений
и деформаций у трещины при продольном сдвиге.
10.22. Показать, что среднее квадратичное значение из коэффициентов
концентрации напряжений и деформаций в пластической области (10.31)
равно коэффициенту концентрации упругих деформаций для такой же формы
надреза.
10.23. Оценить концентрацию деформаций в консольной балке высо-
той 45,7 мм и длиной 203 мм, имеющей на конце, там где она соединена
с опорой высотой 102 мм, галтель радиусом 6,4 мм (измерения, проведен
ные методом фотоупругости, дали коэффициент 1,65).
10.24. Вычислить увеличение упругого удлинения стержня, изображен-
ного на фиг. 9.2, вследствие уменьшения сечения на соответствующей длине.
Могут ли быть проведены дальнейшие эксперименты?
10.25. В разд. 9.6 было установлено, что добавление материала не может
снизить предельной нагрузки детали. Показать, что путем добавления мате-
риала можно уменьшить прочность хрупкой детали, которая разрушается,
когда максимальные напряжения достигнут критической величины.
10.26. Используя принципы суперпозиции, показать, как коэффициент
интенсивности напряжения для внутренней трещины в бесконечной пластине
может быть получен из выражения, приведенного в табл. 10.3 для коэффи-
циента интенсивности напряжений от действия пары сил Р, приложенных
к поверхности трещины на расстоянии а от центра трещины.
10.27. Приготовьте образцы из кремниевой замазки, содержащие надрез
или отверстие. Для получения сетки на их поверхности вдавите в них решет-
www.vokb-la.spb.ru
Концентрация напряжений и деформаций 311
ку. Оцените концентрацию деформаций для данной формы надрезов, считая
материал упругим. Сравните полученный результат с вашими наблюде-
ниями.
10.28, Расплющите кусок модельной глины, в котором было отверстие.
Нанесите сетку на поверхность путем надавливания проволочной решетки.
Растяните или сожмите пластину и сравните возникшую концентрацию
деформаций с предсказанной для упругого и пластичного материалов. Как
вы думаете, будет ли концентрация меньше или больше?
10.29. Показать, что для отверстия при одноосном растяжении макси-
мальные эквивалентные напряжения возникают па поверхности отверстия.
(Если хотите, можете использовать правдоподобные аргументы.)
ЛИТЕРАТУРА
1. А 11 е n D. N., Southwell R. V., Relaxation Methods Applied to Engineering
Problems — XIV Plastic Straining in Two-Dimensional Stress Systems, Phil. Trans.
Roy. Soc. (London), A242, 379—414 (1950).
2. A n g D. D., F о 1 i a s E. S., Wil 1 i ams M. L., The Bending Stress in a Cracked
Plate on an Elastic Foundation, J. Appl. Meeh., 30, 245—251 (1963).
3. ASTM, Fracture Testing of High-Strength Sheet Materials, ASTM Committee on Fracture
Testing of High-Strength Testing Materials, Bull. ASTM, 29—40 (Jan. 1960).
4. Rarrett C. S., Structure of Metals, 2nd cd., McGraw-Hill, New York, 1952; имеет-
ся перевод 1-го изд.: Барретт Ч. С., Структура металлов, Металлургиздат,
1948.
5. R е г к с у D. С., Reducing Stress Concentrations with Elliptical Fillets, Proc. Soc.
Exp. Stress, Anal., 1, 2, 56—60 (1944).
6. В i 1 b у В. A., Cottrell A. H., Swindon К. H., The Spread of Plastic
Yield from a Notch, Proc. Hoy. Soc. (London), A272, 304—314 (1963).
7. В г о w n J . M., Hall A. S., Bending Deflection in a Circular Shaft Terminating
in a Semi-Infinite Body, J. Appl. Meeh., 29, 86—90 (1962).
8. Rudiansky B., Mangasarian O. L., Plastic Stress Concentrations at
a Circular Hole in an Infinite Sheet Subjected to Equal Biaxial Tension, J. Appl. Meeh.,
27, 59—64 (1960).
9. Christensen R. H., D e n к e P. H., Crack Strength and Crack Propagation
Characteristics of High-Strength Metals, ASD Tech. Rept. 61-207. Aeronautical Systems,
Div., US Air Force, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1961.
10. Davis E. A., Extension of Iteration Method for Determining Strain Distributions
to the Uniformly Stressed Plate with a Hole, J. Appl. Meeh., 30, 210—214 (1963).
11. Donnell L. H., About St. Venant’s Principle, J. Appl. Meeh.. 29, 752—753 (1962).
12. E rd ogan F., Sih G. C., On the Crack Extension in Plates under Plane Loading
and Transverse Shear, Trans. AS ME, J. Basic. Eng., D85, 519—527 (1963); русский
перевод: Эрдогап, Сих, О развитии трещин в пластинках под действием попе-
речной силы, Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Д, № 4,
49 (1963).
13. Е г d о g a n F., Т unccl О., Paris Р. С., An Experimental Investigation
of the Crack Tip Stress Intensity Factors in Plates under Cylindrical Bending, Trans,
A SME, J. Basic Eng., D84, 542—546 (1962); русский перевод: Эрдогап. T у п -
сел. Пэрис, Экспериментальное исследование коэффициентов интенсивности
напряжений вблизи конца трещин ири цилиндрическом изгибе пластины. Труды
Американского общества инженеров-механиков, серия Д, № 4, 157 (1962).
14. Eshclby J. D., Distortion of a Crystal by Point Imperfections, J. Appl. Phys.,
25, 255 261 (1954).
15. Eshclby J. D., The Determination of the Elastic Field of an Ellipsoidal Inclusion
and Related Problems, Proc. Roy. Soc. (London), A241, 376—396 (1957).
16. Friedel J., Deviations from Vegard’s Law, Phil. Mag., Series 7, 46, 514—516
(1955).
17. Harper G. N.. A n g A.. A Numerical Procedure for the Analysis of Contained
Plastic Flow Problems, Civil Engineering Structural Research Series № 266, Univ. Illino-
is, Urbana, 1963.
18. Hendrickson J. A., Wood D. S., Clark D. S.. The Initiation of Brittle
Fracture in Mild Steel, Trims. ASM, 50, 656—681 (1958).'
19. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity. Clarendon Press, Oxford, England,
1950; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности, Гостсх-
издат, 1956.
20. Н о г v а у G., Some Aspects of St. Venant’s Principle, J. Meeh. Phys. Solids, 5, 77—
94 (1957).
www.vokb-la.spb.ru
312
Глава 10
21. Н u 1 t J. A. H., McClintock F. A., Elastic-Plastic Stress and Strain Distri-
butions Around Sharp Notches Under Repeated Shear, IX Congres International de
Mecanique Appliquee. Acte», Vol. 8, 1957, pp. 51—58.
22. Inglis C. E„ Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners,
Trans. Naval Arch., 60, 219—230 (1913).
23. Irwin G. R., Analysis of Stresses and Strains near End of a Crack, J. Appl. Meeh.,
24, 361—364 (1957).
24. Irwin G. R., Analytical Aspects of Crack Stress Field Problems, Theor. and Appl.
Meeh. Dept,, Rept. 13, Univ. Illinois, Urbana. 1962.
25. 1 r w i n G. R.. Crack Extension Force for a Part-Through Crack in a Plate, J. Appl.
Meeh., 29, 651—654 (1962).
26. Irwin G. R., Kies J. A., Sm i I h H. L., Fracture Strengths Relative to Onset
and Arrest of Crack Propagation, Proc. ASTM, 58, 640—660 (1958).
27. Jacobs J. A., Relaxation Methods Applied to Problems of Plastic Flow., Phil.
Mag., 41, 349—361 (1950).
28. К о s к i n e n M. F., Elastic-Plastic Deformation of a Single Grooved Flat Plate Under
Longitudinal Shear. Trans. ASME. J. Basic Png., D85. 585—594 (1963); русский
перевод: К о с к и п е п. Упруго-пластическая деформация плоской пластины
с одиночным надрезом при продольном сдвиге, Труды Американского общества инже-
неров-механиков, серия Д, А» 4, 127 (1963).
29. McClintock F. A., Rhee S. S., On Effects of Strain-Hardening on Strain
Concentrations, Proc. 4th US Nat. Con. Appl. Meeh.. 1962, pp. 1007—1013.
30. N e и b e г H-, Кerhspannnngslehre, 2nd ed.. Springer, Berlin, 1959; имеется перевод
1-го изд.: Нейбер Г.. Концентрация напряжений. ОИТИ, 1947.
31. N euber И., Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatical Bodies
with Arbitrary Non-Linear Stress-Strain Law. J. Appl. Meeh., 28, 544—551 (1961).
32. Peterson R. E.. Stress Concentration Design Factors, Wiley, New York, 1953.
33. Prager W., H о d g e P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley, New York.
1951; русский перевод: Il рагер В., Ходж Ф. Г., Теория идеально пласти-
ческих тел. ИЛ, 1956.
34. Roark R. .1., Formulas for Stress and Strain. McGraw-Hill, New York, 1954.
35. С а н и п Г. H., Распределение напряжений около отверстий, изд-но «Наукова
думка», 1968.
36. S t i m р к о и L. D., Eaton D., The Extent of Elastic-Plastic Yielding at the
Crack Point of an Externally Notched Plane Stress Tensile Specimen, ARL Tech. Rept-.
24, Aeronautical Res. Lab. Wright-Patterson Air Force Base. Ohio, 1961; см. также
W il liams M. L-, Some Observations Regarding the Stress Field near the Point
of a Crack. Proc. Crack Propagation Symp., The College of Aeronautics, Cranfield, Vol.
1. 1961, pp. 130—165.
37. T i ni о s h с и k о S., G о о d i e r J. N., Theory of Elasticity, McG raw-TIill, New
York, 1951.
38. W i g g 1 e s w о r t h L. A., Stress Distribution in a Notched Plate. Matbematika,
h. 76—96 (1957).
39. Will i a m s M. L., On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack,
J. Appl. Meeh.. 24, 109—114 (1957).
40. W i n n c D. H., Wundt В. M., Application of the Griffith-Irwin Theory of Crack
Propagation to Bursting Behavior of Discs Including Analytical and Experimental
Studies, Trans. ASME, 80. 1643—1658 (1958).
41. Paris P., Sih J., Fraclun; Toughness Tesling, ASTM, 1965; русский перевод:
Прикладные вопросы вязкости разрушения, изд-во «Мир», 1968, стр. 64.
www. vokb- la .spb. ru
Глава 11
ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
Остаточными напряжениями называются напряжения, которые имеются
в материале при отсутствии нагрузок или изменений температуры. Они могут
быть связаны с микроструктурой материала. В макромасштабе их возникно-
вение может быть обусловлено металлургическими превращениями. Даны
примеры возникновения остаточных напряжений в результате неравномер-
ной пластической деформации или ползучести, обработки металла давлением
или изменений температуры.
Отмечается, что остаточные напряжения оказывают такие яге воздей-
ствия, как и любые другие напряжения, за исключением того, что они могут
исчезать в результате небольшой релаксации или пластической деформации.
Приведены различные методы измерения остаточных напряжений, затем рас
смотрены методы устранения этих напряжений.
11.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Система напряжений, внутренне удовлетворяющая условиям равно-
весия при отсутствии внешних нагрузок или градиентов температур,
называется остаточными напряжениями. Остаточные, напряжения могут
быть разбиты на две большие, иногда взаимно перекрывающиеся
группы.
Макроскопические остаточные напряжения действуют в больших объе-
мах, простирающихся на макроскопические размеры детали. Эти напряже-
ния возникают в результате деформации детали, рассматриваемой как кон-
тинуум, и будут обсуждаться в следующих разделах.
Микроскопические остаточные напряжения действуют в малом объеме
и обычно ограничены участками материала, где уже неприменимо представ-
ление о деформации, протекающей в однородном континууме. Поэтому пра-
вилт.пое представление о микроостаточных напряжениях требует знакомства
с особенностями структуры. В самом малом масштабе причиной микрооста-
точных напряжений могут быть внедренные атомы растворепного вещества
или отдельные дислокации, как это рассматривается в разд. 10.5 и 4.4.
Упрочнение, которое возникает в результате взаимодействий этих напряже-
ний, обсуждается в разд. 5.2. В несколько большем масштабе остаточные
напряжения вызываются скоплениями дислокаций, границами сброса, гра-
ницами наклона, возникшими при деформации, двойниками деформации
и другими дефектными конфигурациями, возникающими при бездиффузион-
ных сдвиговых превращениях. Эти конфигурации и их остаточные напряже-
ния играют фундаментальную роль при пластической деформации, при
образовании трещин хрупкого разрушения, при росте усталостных трещин
и эффекте Баушингера.
В материалах, содержащих неоднородности, однородная деформация
матрицы затруднена жесткими частицами или выделениями. Деформирова-
ние матрицы приводит к эффекту лобового сопротивления на неоднородно-
стях во время деформации. Когда деформация прекращается, возникают
www.vokb-la.spb.ru
314
Глава 11
остаточные напряжения. Эти остаточные напряжения, обусловленные неод-
нородностями, являются промежуточными между макроскопическими и мик-
роскопическими остаточными напряжениями х).
11.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ТЕРМИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ
ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
Остаточные напряжения могут быть созданы намеренно или случайно
во время сборки конструкций. Например, при сборке каркаса здания, как
показано на фиг. 11.1, небольшое несовпадение заклепочных отверстий может
Ф и г. 11.1. Возникновение
остаточных напряжений
в результате несовпадения
отверстий при сборке.
быть исправлено с помощью конического штифта,
забиваемого через отверстия сопрягаемых деталей,
чтобы совместить эти отверстия и заклепать
соседние. Другим примером может служить изго-
товление балок из предварительно напряженного
железобетона, когда до заливки бетоном арматура
подвергается растяжению. После затвердевания
бетона снятие нагрузок с арматуры приводит
к возникновению в бетоне напряжений, распреде-
ление которых показано па фиг. 11.2. Бетон
может теперь выдержать большие изгибающие
моменты как вследствие предварительного изгиба
в противоположном направлении, так и потому,
что он работает в режиме сжатия, в котором диапа-
зон упругих напряжений больше. Третьим при-
мерой остаточных напряжений, возникающих при
сборке, являются напряжения при прессовой или
горячей посадке, например когда диск насажи-
вается на вал, диаметр которого несколько больше,
чем отверстие в диске. Это осуществляется или
путем прямой нанрессовки, или путем нагревания диска и охлаждения вала
до тех пор, пока не будет устранена разность диаметров, последующих сборки
и выравнивания температур. Радиальных сжимающих напряжений на поверх-
ности раздела может оказаться достаточно, чтобы при работе пе потребова-
лось дополнительного крепления этих двух деталей [301.
Нагрузки, достаточно большие для того, чтобы вызвать пластическую
деформацию, могут привести к возникновению остаточных напряжений,
если эпюра напряжений упругости во время разгрузки не совпадает с эпюрой
напряжений в пластической области под нагрузкой. Соответствующие при-
меры для случаев изгиба и кручения приведены в гл. 8.
Остаточные напряжения могут возникнуть в результате ползучести или
изменяющейся во времени деформации под нагрузкой. И опять условием
образования остаточных напряжений при ползучести является отличие рас-
пределения напряжений при ползучести от распределения напряжений упру-
гости под действием той же самой нагрузки. В этом случае снятие нагрузки
приведет к наложению напряжений упругости, которые не смогут полностью
уничтожить исходных напряжений, и в результате возникнут остаточные
напряжения. Такие остаточные напряжения приобретают особое значение
для материалов, используемых при высоких температурах. Эти материалы
часто имеют значительную пластичность при повышенных температурах
х) Удобно различать четыре вида остаточных (внутренних) напряжений: напря-
жения, возникающие в системе взаимосвязанных тел; напряжения, уравновешивающиеся
в областях порядка размера тела; напряжения, уравновешивающиеся в областях порядка
размеров зерен материала; напряжения (искажения), уравновешивающиеся в областях
порядка размеров межатомных расстояний.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
315
и весьма ограниченную при низких температурах. Поэтому при охлаждении
они могут разрушаться от действия остаточных напряжений.
Часто причиной остаточных напряжений является обработка металлов
давлением. Остаточные напряжения, возникающие при формовке листового
материала путем изгиба с единым радиусом кривизны, можно проанализиро-
вать с помощью теории изгиба пластин, описанной в разд. 8.5. Рассмотрим,
например, пластину из неупрочняющегося материала, изгибаемую до тех пор,
Ф и г. 11.2. Остаточные напряжения в балке на предварительно напряженного железо-
бетона.
пока пластическая деформация не пройдет почти по всему сечению. Исполь-
зуя систему координат, показанную на фиг. 8.13, получаем из решения
задачи 8.29, что напряжения
огуз = 2от/|'3 и ст и = а,/ ГЗ,
а приложенный момент
2И31 = (№2/4)(2ош//3).
Разгружение может быть представлено как приложение изгибающего момен-
та противоположного знака. Если считать процесс упругим, то дополнитель-
ные напряжения будут равны обычным напряжениям при упругом изгибе,
определяемым по формулам (8.21) и (8.22). Результирующие остаточные
напряжения на выпуклой поверхности составят (задача 11.1)
ОЗЗ= UBZj/3, О']! = (стт’ /3) (Зт 1). (11.1)
Так как это напряженное состояние соответствует точке внутри поверхности
текучести, представляется оправданным допущение о наличии упругого
состояния при разгружении. Условия, при которых пластической деформа-
ции противоположного знака возникать не будет или она прекратится при
повторном нагружении, рассматривались Ходжем [151.
Другие процессы обработки металла давлением, например волочение
или выдавливание на токарно-давильном станке, аналитически еще не про-
анализированы, хотя они и исследовались экспериментально. Один из этих
процессов, а именно вытяжка натронной гильзы, дал толчок к проведению
большинства из ранних исследований остаточных напряжений, поскольку
патронные гильзы часто разрушались в результате коррозии при одновре-
менном действии остаточных напряжений [31. В трубах с большим попереч-
ным сечением такого типа, как это показано на фиг. 11.3, остаточные нап-
ряжения могут достичь достаточно большой величины, чтобы вызвать
самопроизвольное разрушение. В полосах и прутках, полученных путем про-
катки, характер остаточных напряжений сильно зависит от глубины обжатия.
www.vokb-la.spb.ru
316
Глава 11
Как видно из фиг. 11.4, при слабом обжатии пластическая деформация не
проникает на все сечение и поэтому поверхность остается сжатой, а цен-
тральная часть — растянутой. При более сильном обжатии пластическая
•I1 и г. 11.3. Продольная трещина, возникшая на внутренней поверхности трубы под
действием остаточных напряжений [16].
деформация идет по всему сечению. Хотя точный анализ провести нельзя,
тем не менее удалось установить, что для большинства процессов обработки
Расстояние ст оси, мм
Обжатие 1,23 %
Ф и г. 11.4. Изменение знака остаточных напряжений при увеличении степени об-
жатия [6]; см. также [4].
металлов давлением, включая прокатку, вытяжку и выдавливание, па
поверхности возникают растягивающие остаточные напряжения. Болдуин [4]
www. vokb- la .spb. ru
www. vokb- la. spb. ru
Остаточные напряжения
317
показал также, что глубина проникновения пластической зоны зависит от
отношения диаметра валков к диаметру заготовки и что при малом диаметре
валков имеется тенденция к появлению сжимающих остаточных напряжений,
а при большом диаметре — растягивающих. Возможно, что при больших
валках пластическая зона проникает глубже, потому что в этом случае
меньше возможность для выдавливания материала из-под валка.
Сжимающие остаточные напряжения, возникающие при слабой прокат-
ке или вытяжке, оказываются полезными во многих случаях, при которых
•Ф и г. 11.5. Остаточные напряжения в шатунной шейке коленчатого вала диаметром
240 мм, обкатанной роликом при давлении 8,5 кг!мм? [16].
Вн. д.— внешний диаметр.
возможно разрушение. Сжимающие остаточные напряжения могут быть
получены и другими способами, например поверхностной обкаткой, как
показано на фиг. 11.5, или дробеструйной обработкой — процессом, при
котором чугунные или стальные шарики направляются на поверхность
с помощью струи воздуха. Дробеструйная обработка является одним из
самых важных промышленных методов изготовления деталей с полезными
остаточными напряжениями, подвергавшихся интенсивным исследованиям.
Примеры влияния некоторых факторов на величину и глубину проникнове-
ния остаточных напряжений приведены на фиг. 11.6. Библиография и описа-
ние технологии процессов содержатся в [17, 251.
Остаточные напряжения могут возникнуть и при обработке резанием.
Согласно данным комитета Американского общества металлургов (ASM) [2],
на глубине до нескольких сотых миллиметра существуют остаточные сжимаю-
щие напряжения, возрастающие с увеличением глубины резания и затупле-
ния резца. Однако тщательными измерениями [14] установлено, что на самой
поверхности имеются растягивающие напряжения, которые несколько глуб-
же переходят в сжимающие. Как показал Дьяченко [10], остаточные напря-
жения меняют знак при промежуточных скоростях резания отчасти вслед-
ствие влияния, которое оказывают на остаточные напряжения термические
напряжения.
Шлифовка является таким видом обработки, при котором тепловые
эффекты выражены более ярко. В работе [И] найдено, что при шлифовке
www.vokb-la.spb.ru
318
Глава 11
стали SAE 1020 возникают растягивающие остаточные напряжения. С дру-
гой стороны, согласно данным [29], на самой поверхности имеются сжимаю-
щие напряжения, а на больших глубинах — умеренные растягивающие
напряжения (фиг. 11.7). Авторы объясняют изменение знака напряжений
совместным действием тепловых и механических эффектов.
Фиг. 11.6. Влияние диаметра дроби и давления воздуха на распределение остаточных
напряжений в стали с твердостью 7ГЯС = 42 [18].
Кривая Диаметр дроби, ММ Давление воздуха, кг/смЪ
1 1 Беа обдува
0,3 2. 1
3 0,6 3,5
4 1,7 3,5
5 3,2 6.3
Появление остаточных напряжений может быть вызвано также изме-
нениями температуры, если они достаточно велики и достаточно локализо-
ваны для возникновения пластической деформации. Например, применяя
электроиндукцнонный нагрев, можно внезапно нагреть поверхностный слой
стали и затем быстро охладить внутреннюю часть тела, как показано на
фиг. 11.8. Если поверхностный слой достаточно тонок, основной материал
ниже слоя препятствует перемещениям параллельно поверхности. Для
неупрочняющегося материала с коэффициентом линейного расширения а.
и пределом текучести при одноосном растяжении от изменение температуры,
необходимое для возникновения пластической деформации (получено
в разд. 8.6), равно
АТ1 = (1 — у) отАЕа. (8.27)
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
319*
Остаточные напряжения, возникающие в результате изменения температуры
на Д7', составляют
ОГ1 =
1--V
для
Для
<А7'<
Еа
ЬТ> 2(1-p:)tT-
Еоо
2 (1 —v) ат
Еа
(8.28)
АаЛД
С помощью этих уравнений можно
резания на величину остаточных
частично предсказать влияние скорости
напряжений (задача 11.2).
Напряжение,кг/мм2
-40-30-20 -10 О W 203040
Фиг. 11.7. Влияние условий шлифовки на остаточные напряжения в стали AISI 52100*
с твердостью Й7?с=59 [29].
а— мягкий шлифовальный круг, подача 0,025 .маг, б — твердый шлифовальный круг, подача 0,05 лии.
а
В качестве следующего примера влияния термического удара на остаточ-
ные напряжения рассмотрим данные, приведенные в таблице. Меньшие оста-
Влияние закалки на механические свойства и величину остаточных
напряжений в стали С34 (0,34% С) [5,16]
Термообработка Предел текуче- сти Пр, 2, Предел прочно- сти, кг/мм2 Сужение, % Предел выносли- вости, Остаточные напря- жения на поверх- ности, кг/мм2
продоль- ное на- правле- ние попереч- ное на- пр а вл с- ние
Охлаждение с печью с 593° С 34,6 64,0 54 27,8
Закалка в масло (80° С) с 38,4 66,2 54 29,9 - -20,3 -20,4
593° С
Закалка в ледяной воде с 36,2 67,0 54 32,8 -31,5 -31,5
593° С
Закалка в соляной ванне (—20° С) с 593° С 35,1 66,0 55 33,8 -33,8 -31,5
точные напряжения при закалке в масло возникают не только в результате
более высокой температуры, до которой образец охлаждается, по также
и в результате более низкого коэффициента теплопроводности па поверхно-
сти, так что температурный градиент в стали получается не столь резким,
как в случае закалки в соляной ванне.
Примером использования для повышения прочности остаточных напря-
жений, возникающих в результате неоднородной термической деформации,
может служить закаленное стекло. Процесс заключается в охлаждении
www. vokb- la. spb. ru
320
Глава 11
стеклянных пластин в струе воздуха. Поверхность затвердевает, что приво-
дит к деформации все еще горячей внутренней части. После охлаждения
внутренней части возникают сжимающие остаточные напряжения
(~14 кг!мм2) на поверхности и низкие растягивающие напряжепия внутри
пластины. Поскольку почти все дефекты, приводящие к потере прочности,
Фиг. 11.8. Остаточные напряжепия, возникающие при термическом ударе.
расположены на поверхности (гл. 12), их рост не происходит до тех пор,
пока внешние силы не приведут к появлению на поверхности растягивающих
напряжений, превышающих остаточные сжимающие напряжения.
11.4. МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЕ И ХИМИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ
ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Как упоминалось в разд. 11.2, остаточные напряжения в твердых телах
могут возникнуть в результате различий в форме и плотности фаз и матрицы,
из которой эти фазы выпадают. Когда из твердого раствора выпадает новая
Фиг. 11.9. Величина и глубина проникновения остаточных напряжений, возникающих
при различных обработках поверхности [1].
1 — азотирование; е — поверхностный наклеп, HRC = 40; -5 — поверхностный наклеп, HRp = €4.
4 — шлифовка, ННС = 30.
фаза, возникающие остаточные напряжения будут влиять на энергию,
необходимую для активации реакции [7]. Кроме того, новая решетка может
иметь некоторые кристаллографические связи со старой, так что могут
возникнуть как касательные, так и нормальные напряжения.
Остаточные напряжения могут возникнуть в результате неоднородных
превращений в металле образца. Например, превращение аустенита в мартен-
сит влечет за собой заметное увеличение объема. Так как внутренняя частя
образца охлаждается, а превращение продолжается, результирующее рас-
www.vokb-la.spb.ru
Оста точные напряже> i ия
321
ширение приводит к растяжению поверхности, которое достаточно велико,
чтобы возникли трещины.
При наличии окисляющей атмосферы поверхность стали может быть
обезуглерожена, что приводит к уменьшению объема и создает тенденцию
к возникновению растягивающих остаточных напряжений в топком слое,
где происходит процесс обезуглероживания. Если температура достаточно
высока, ползучесть может привести к релаксации этих напряжений, но
охлаждение с печью с 850° С не может дать достаточ-
ной релаксации, возможно, вследствие фазовых пе-
реходов во время охлаждения [9]. Другим методом
получения остаточных напряжений является
азотирование, при котором нагрев в атмосфере
аммиака приводит к образованию нитридов и тем
самым к упрочнению и некоторому разбуханию
стали. Как показано на фиг. 11.9, могут возник-
нуть остаточные напряжения порядка 100 кг1мм2.
Практически все процессы гальванопластики
приводят к остаточным напряжениям — иногда
к растягивающим, иногда к сжимающим. Примеси
и условия плакировки (например, температура,
' плотность тока и pH — водородный потенциал)
оказывают заметное влияние па остаточные напря-
жения. Пример влияния примесей приведен на
фиг. 11.10. При хромировании растягивающие
остаточные напряжения могут достичь величины,
Фиг. 11.10. Увеличение
остаточных напряжений
в никелевой пластине в ре-
зультате загрязнения же-
лезом хлоридо-сульфидпой
ванны [21].
достаточной для возникновения трещин.
Более известной формой остаточных напряже-
ний являются напряжения, возникающие при
изменении содержания влаги в древесине, когда
неровная сушка может привести к остаточным
напряжениям, достаточным для раскалывания или
расщепления дерева, а также для его коробления.
Аналогично потеря пластификатора из полимеров
1 — пластина после плакировки;
2 — после отжига в течение
3 час при 190° С.
может повлечь появление значительных остаточных напряжений, что
имеет большое значение для хрупких полимеров.
Интересным использованием остаточных напряжений является химико-
механическое упрочнение стекла, основанное на некоторых химических
эффектах и известное как кемкор-процесс. В поверхностном слое стекла
некоторые ионы замещаются другим типом ионов. Соответствующая термо-
обработка приводит к возникновению новой фазы, сопровождающейся уве-
личением объема, что создает сжимающие остаточные напряжения в тонком
поверхностном слое. Эти напряжения могут достичь величины порядка
70 кг!мм2 и придать стеклу чрезвычайную стойкость к механическим повреж-
дениям, как будет рассмотрено в разд. 12.5.
11.5. СЛОЖНЫЕ ИСТОЧНИКИ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В большинстве случаев остаточные напряжения возникают при одно-
временном действии ряда причин. Например, при литье, сварке и термообра-
ботке вообще остаточные напряжения могут возникать вследствие как фазо-
вых переходов, так и температурных градиентов. При ковке вклад вносят
и пластическая деформация и температурные градиенты. Ряд других приме
ров приведен Хорджером [16], и нет ничего необычного в том, что остаточные
напряжения могут иметь порядок предела текучести, как, например, при
закалке (см. данные, приведенные в таблице).
21-02
www. vokb- la. spb. ru
322
Глава 11
11.6. ИЗМЕРЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Остаточные напряжения обычно измеряют по величине деформации,
возникшей во время удаления части материала, или по упругой деформации
кристаллической решетки, определенной рентгеновским методом.
На фиг. 11.11 показаны различные механические методы измерения
остаточных напряжений. В основном они заключаются в измерении измене-
ний формы или деформации детали в результате удаления части металла.
Ф и г. 11.11. Схематическое изображение методов измерения остаточных напряжений [2].
Зная механическую деформацию, можно вычислить напряжения, которые
были в удаленном металле. Когда удаляется ряд слоев материала, необ-
ходимо иметь в виду, что удаление одного слоя изменяет напряжения
в оставшейся части. Это изменение необходимо учитывать при вычислении
исходных напряжений.
Когда преобладают одноосные напряжения, как, например, в рельсе
(фиг. 11.11,а), достаточно измерять лишь изменения длины прорези.
В листе, где может иметь место двухосное напряженное состояние
(фиг. 11.11,6), напряжения могут быть определены путем измерения дефор-
мации вырезок при условии, что напряжение постоянно по толщине. Более
элегантным методом является измерение деформаций в окрестности отвер-
стия, просверленного в плите (фиг. 11.11,в). Когда остаточные напряжения
изменяются по толщине, грубое представление о величине изгибающих
остаточных напряжений может дать расслоение листа (фиг. 11.И,г). Более
тщательные измерения требуют последовательного удаления слоев, как это
показано на фиг. 11.11,6.
Для стержня, когда присутствуют только продольные напряжения,
достаточно проводить измерения изменений длины при обточке (фиг. 11.11,е).
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
323
Более точный результат получается при сверлении центрального отверстия
и последующего измерения деформаций при постепенном растачивании отвер-
стия или обточке поверхности, причем деформация измеряется на поверхно-
сти, которая не подвергается обработке (фиг. 11.11,ж и а). Когда оболочка
достаточно тонка, могут применяться методы,
показанные на фиг. 11.И,w и к.
В качестве иллюстрации одного из этих
методов определения остаточных напряжений
рассмотрим сечение балки, показанной на
фиг. 11.12. Благодаря остаточным напряже-
ниям в слое, который должен быть удален,
действует сила dF3. В оставшейся части сече-
ния, как показано на фиг. 11.12, существует
уравновешивающая сила и момент. При усло-
вии, что дополнительной пластической дефор-
мации не возникает, процесс удаления слоя
можно представить себе протекающим как бы
в две стадии: сначала слой удаляется без
изменения формы, а затем снимаются упомя-
нутые сила и момент, необходимые для сохра-
нения формы оставшегося металла, что в ре-
зультате приводит к изменению формы, как
показано на фиг. 11.12. Остаточные напряже-
ния в удаленном слое (dh < 0) выражаются
через изменение радиуса кривизны (зада-
ч а 11.3)
j _ _______i2JAf31__ 6о33 dh ... „
а \ /ii ) Ebh3 Е№ "
Увеличение напряжений в точке ,т2 в резуль-
тате релаксации изгибающего момента и силы
в удаленном слое толщиной dh равно
doss (^, x2) = Е de33 (й, х2) =
o33(fe, h) dh 3)
Ф и г. 11.12. Деформация, возни-
кающая в результате удаления
слоя, в котором имелись остаточ-
ные напряжения.
= £'(.r2 — h/2)d
Исходные напряжения в только что удален-
ном слое находятся путем интегрирования по последовательным слоям dh,
которые были удалены с самого начала [23] (задача 11.1);
п a, E^fd(i!Rt)\ Ех2 е г2 dfl/fl,) „ ... ..
aS3(fe0, + _ \h—^dh. (11.4)
* т —л2 1
ho
Отметим, что первый член положителен, так как dh -< 0. Анализ других
методов дан в [2, 13] *).
Другим методом измерения остаточпых напряжений, который иногда
более удобен, хотя и менее точен, является измерение нормального давления,
необходимого для начала вдавливания наконечника прибора для измерения
твердости в поверхность тела [28]. Недостаток этого Метода заключается
в том, что разнообразные напряженные состояния на поверхности могут
одинаковым образом способствовать появлению пластичности под действием
нормального давления (задача 11.5). Но не все эти напряженные состоя-
ния представляют одинаковую опасность, выражающуюся, например,
J) Обзор методов расчета остаточных напряжений см. также в книге: Бир-
гер И. А., Остаточные напряжения, Матагив, 1963. - Прим. ред.
21*
www. vokb- la. spb. ru
324
Глава 11
в изменении пластичности при приложении дополнительного одноосного
напряжения (задача 11.6).
Единственным совершенно перазрушающим методом измерения остаточ-
ных напряжений в металлах является применение рентгеновских лучей, что
позволяет получить непосредственно упругие деформации решетки. Напри-
мер, напряжения в направление ач на поверхности могут быть найдены
Фиг. 11.13. Измерения остаточных напряжений
рентгеновским методом.
путем получения дифракционных картин от двух наборов кристаллографиче-
ских плоскостей, одного — параллельного поверхности и другого — состав-
ляющего достаточно большой угол с поверхностью, как показано на
фиг. 11.13. Межплоскостные расстояния определяются из уравнения Брэг-
га — Вульфа
dg — пк!2 cos 03; dti — пК!2 cos 9,[,. (11.5)
Разность между этими расстояниями и периодом переформированной решет-
ки d0 дают деформации е33 и Используя правило для преобразования ком-
понент деформаций, можно получить соотношение между двумя измерен-
ными деформациями и компонентой нормальной деформации еп на поверх-
ности. Считая материал изотропным и применяя соотношение линейной упру-
гости между напряжениями и деформациями, получаем (задача 11.7)
_ Г (ефф —е3з) _ Е (<1ф— d3)
°fl (1 + v) sin2 ip (1-j-v) do sin2 ip ’ 1'0
Повторив эту процедуру еще дважды, чтобы получить три нормальные состав-
ляющие на поверхности пластины, можно определить напряженное состояние
в целом.
При выводе предыдущих уравнений было сделано допущение о возмож-
ности использования изотропных упругих постоянных. Однако это не совсем
справедливо, поскольку жесткость зерен изменяется в зависимости от ориен-
тации зерна. Подобное явление может быть частично скомпенсировано путем
экспериментального определения множителя £7(1 -]- v) в формуле (11.6).
Чувствительность этого метода порядка 0,7 кг/мм3, и, хотя он в большинстве
случаев применим для отожженных материалов, усовершенствованная мето-
дика дает возможность измерять напряжения даже в закаленных сталях.
Дополнительная информация о рентгеновском методе измерения напряжений
содержится в [261.
11.7. ЭФФЕКТЫ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Эффекты, вызываемые остаточными напряжениями, такие же, как в слу-
чае любых других напряжений, за исключением того, что они могут быть
устранены с помощью сравнительно незначительной пластической деформа-
ции. Остаточные напряжения могут вызвать деформацию и разрушение,
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
325
ускорить определенные фазовые переходы, коррозию и увеличить внутреннее
трение.
В упругой области остаточные напряжения могут увеличить тенденцию
к потере устойчивости. Рассмотрим, например, плиту, показанную на
фиг. 11.14, в которой имеют место высокие растягивающие остаточные
напряжения в центре и сжимающие напряжения по краям. Эта плита будет
скручиваться более легко, чем плита без остаточных напряжений, так как
при больших прогибах пластины края будут иметь благоприятные условия
для удлинения, а центральная часть для сжатия, что приведет к снятию оста-
точных напряжений. Соответствующее уменьшение энергии деформации
Ф и г. 11.14. Стержень, в котором име-
ются остаточные напряжепия, имеет
тенденцию к потере устойчивости при
кручении.
Ф и г. 11.15. Влияние остаточных напряже-
ний па диаграмму крутящий момент — отно-
сительный угол закручивания [8].
J — без предварительного закручивания; 2 — после
большого предварительного закручивания в проти-
воположном направлении; <рт — относительный угол
закручивания, соответствующий пределу текучести
будет стремиться скомпенсироваться увеличением энергии деформации сдви -
гом при скручивании. Поэтому потеря устойчивости может наступить
раньше.
Остаточные напряжения приводят к появлению пластической деформа-
ции при более низких значениях приложенной нагрузки, как это показано
па фиг. 11.15 (задача 11.8). Это в свою очередь ведет к более ранней
потере устойчивости стержней в упруго-пластической области [22|. Аналогич-
но остаточные напряжения способствуют ползучести материалов, но их
влияние исчезает, когда величина неупругой деформации достигает упругой.
Одним из самых значительных эффектов остаточных напряжений является
искривление деталей в процессе обработки. Удаление слоев, содержащих
остаточные напряжения, приводит к тому, что деталь не находится больше
в равновесии, соответствующем ее первоначальной форме. Это является
основой методов измерения остаточных напряжений, рассмотренных
в разд. 11.G.
Остаточные напряжепия также облегчают разрушение, в частности те
виды разрушения, которые происходят при сравнительно малой пластиче-
ской деформации или при большей пластической деформации, возникающей
при малой общей деформации образца из-за присутствия надрезов. Это отно-
сится к усталостному разрушению, коррозионному разрушению под напря-
жением и к хрупкому разрушению.
Остаточные напряжения влияют на затухание колебаний вследствие
повышения общего уровня напряжений в точке, где может легко начаться
www. vokb- la. spb. ru
326
Глава 11
движение дислокаций под действием небольших дополнительных осцилли-
рующих нагрузок. Возникающее движение дислокаций приводит к устране
нию остаточных напряжений.
11.8. УСТРАНЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Остаточные напряжения могут быть устранены в результате пластиче-
ской деформации или ползучести, достаточно больших, чтобы скомпенсиро-
вать упругие деформации, соответствующие остаточным напряжениям. Это
иллюстрируется примером, приведенным на фиг. 11.16. Если холоднотяну-
тый стержень разгрузить после растяжения до деформации 0,006, то остаточ-
ные напряжения почти исчезнут. Как правило, деформация при растяжении
Реформация
Ф и г. 11,16. Влияние устранения оста-
точных напряж ений при 482° С на пре-
дел текучести холоднотянутой стали
с 0,45% С [20].
I — холоднотянутая сталь; 2 — после снятия
остаточных напряжений.
порядка 2пт/Е приводит к устранению
остаточных напряжений (э а д а ч а 11.9).
Отсутствие снижения предела текучести
в материале после устранения остаточ-
ных напряжений (фиг. 11.16) показы-
вает, что деформация ползучести ока-
залась достаточной для устранения ос-
таточных напряжений (задача 11.14).
В присутствии превращений, таких,
как при отпуске, релаксация остаточ-
ных напряжений может быть более
резкой [19].
Остаточные напряжения могут быть
устранены с помощью повторного на-
гружения, как указывалось в конце
разд. 11.7 [5]. Основная часть релакса-
ции проходит на нескольких первых
циклах [24]. При амплитудах напряже-
ний, соответствующих проделу выно-
сливости, величина релаксации равна
30—50% [5, 12, 24]. В мягких матери-
алах возможна дальнейшая релаксация
остаточных напряжений.
11.9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Остаточными напряжениями назы-
ваются напряжения, которые имеются
в материале при отсутствии нагрузок или изменений температур. В микро-
масштабе они возникают вследствие анизотропии пластической деформации
отдельных зерен, наличия включений и присутствия дислокаций.
В макромасштабе остаточные напряжения могут возникнуть при вынуж-
денной подгонке деталей при сборке, под действием нагрузок, приводящих
к неравномерной пластической деформации или ползучести, при обработке
металла давлением, при неравномерных изменениях температур, которые
достаточно велики, чтобы вызвать пластические деформации или ползу-
честь, и вследствие объемных изменений при металлургических и химиче-
ских процессах. При возникновении остаточных напряжений при термообрр
ботке, сварке или ковке некоторые из этих источников напряжений действуют
совместно. Величина макроскопических остаточных напряжений может
достигать предела текучести материала.
Эффекты, к которым приводят остаточные напряжения, такие же, как
и в случае любых других напряжений, разница состоит лишь в том, что
их можно устранить путем незначительной релаксации или пластической
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
327
деформации. Остаточные напряжения могут вызвать деформацию или при-
вести к ее увеличению при потере устойчивости, при пластическом течении
или ползучести. Помимо этого, они вызывают изменение размеров детали
при обработке резанием. Остаточные напряжения могут способствовать
металлургическим превращениям, а также, как будет показано позже,
коррозии, что может привести к разрушению.
Самым общим методом измерения остаточных напряжений является
наблюдение изменения деформации вблизи области, откуда путем травле-
ния, фрезерования, сверления или вытачивания произведено удаление
материала. Непосредственно остаточные напряжения могут быть измерены
по деформации кристаллической решетки. Другим методом служит измере-
ние изменения твердости, за меру которой принимается давление, необходи-
мое для начала внедрения наконечника прибора для измерения твердости.
Остаточные напряжения снимаются с помощью небольшой долговремен-
ной деформации, имеющей порядок деформации, необходимой для достиже-
ния предела текучести. Эти деформации могут быть вызваны равномерным
растяжением, повторным нагружением (которое в некоторых случаях приво-
дит к ползучести) или путем нагрева до такой степени, что возникает пол-
зучесть.
ЗАДАЧИ
11.1. Вывести формулы (11.1) для остаточных напряжений на поверх-
ности пластины.
11.2. Как с помощью формул (8.28) предсказать влияние скорости реза-
ния на величину остаточных напряжений? (См. [10].)
11.3. Вывести соотношение (11.2) для поверхностных напряжений,
выраженных через изменение радиуса кривизны удаленного поверхностно-
го слоя.
11.4. Вывести интегральное уравнение (11.4) для точки под поверхно-
стью, принимая во внимание изменение напряжений в этой точке при удале-
нии предыдущего слоя.
11.5. Найти различные состояния остаточных напряжений в поверхно-
стном слое, которые приводят к одному и тому же нормальному давлению,
необходимому для начала внедрения наконечника прибора для измерения
твердости.
11.6. Найти два различных напряженных состояния, обладающих
одинаковой способностью вызывать пластическую деформацию под нормаль-
ным давлением, тогда как при добавлении одноосного напряжения зта спо-
собность становится различной.
11.7. Вывести формулу (11.6) для остаточных напряжений в зависимо-
сти от изменения межплоскостного расстояния кристаллической решетки.
11.8. а) Доказать влияние остаточных напряжений на положения точки
начала отклонения от линейности на диаграмме крутящий момент — угол
закручивания (фиг. 11.15).
б) Получить кривую, показанную на фиг. 11.15, для случая кручения
стержня после большого предварительного закручивания.
11.9. Показать, что деформапия порядка 2сТ/Е устраняет остаточные
напряжения в стержнях.
11.10. Обсудить влияние твердости на величину остаточных напряже-
ний, используя данные фиг. 11.17.
11.11. Сравнить величину остаточных напряжений, приведенных в таб-
лице, со значениями, вычисленными с помощью идеализированного анализа
[формула (8.28)]. }
11.12. Фукс и Матсон [12] рассматривают случаи остаточных напряже-
ний, возникших при закручивании карданного вала, применяемого в военных
автомобилях. Диаграмма деформация — напряжение при сдвиге для этого
www. vokb- la. spb. ru
328
Глава 11
материала, которая была получена по диаграммам крутящий момент — угол
закручивания способом, изложенными в разд. 8.3, показана на фиг. 11.18.
Вал имел длину 1,829 м, диаметр 57,1 мм и был изготовлен из стали
SAE 9262 с прокаливаемостыо по Джомини J5e =25 лмс *). Вал был обточен,
закален без обезуглероживания, отпущен па твердость IIRC — 49 и подверг-
нут обдуву чугунной дробью диаметром 1,4 мм, соответствующей глубине
Фиг. 11.17. Влияние твердости на распределение напряжений [18].
Символ Твердость Я«с Поверхностный наклеп Диаметр отпечатка» Давление воздуха, 7£г.'.МЛ1.И
• 31,52 Без обработки 0.0 0
□ 31 Большой 1.0 35
о 52 ?> 1,0 35
отпечатка 0,35 мм на полосе из материала С2 II]. В результате в тонком
поверхностном слое возникло двухосное остаточное напряженное состояние.
Остаточные напряжения были получены путем закручивания вала па 90°
и разгрузки. Какой величины будут остаточные напряжения при таком
предварительном закручивании? При проведении анализа пренебречь оста-
точными напряжениями, возникшими после обдувки дробью. Упругая отдача
составляла около 52°; распределение действительных остаточных напряже-
ний показано на фиг. 11.19.
’) Оценка прокаливаемости при торцевой закалке стандартного образца произ-
водится по числу Джомини I, равному расстоянию вдоль образца, на котором твердост],
принимает заданную величину, в данном случае HRC — 50.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
()статочные на пряжения
329
11.13. Объяснить влияние обдувки дробью на остаточные касательные
напряжения в карданном валу, рассматриваемые в задаче 11.12. Можно
ли ожидать совпадения с результатами, приведенными на фиг. 11.19?
Фиг. 11.18. Диаграмма касательное напряжение — угол закручивания для стального
торсиона 12].
По оси абсцисс отложен угол закручивания на длине 4,829 .м при диаметре 57,1 леи.
11.14. Оцепить порядок величины остаточных напряжений до и после
снятия напряжений в соответствии с фиг. 11.16. Оценить порядок величины
скорости ползучести, если деталь находилась при температуре отпуска
около 30 мин.
Фиг. 11.19. Остаточные напряжения в торсионе 112].
Карданный вал 557 испытан па базе 100 000 циклов при напряжении 0—8,8 кг/ллН. Не разрушился.
1 — по измерениям остаточных напряжений; 2 - расчетная кривая по данным одзавмсимости между
крутящим моментом и утлом закручивания-
11.15. Двутавровая балка случайно расщепилась вдоль стенки [23],
как показано на фиг. 11.20.
а) Каково должно быть распределение продольных напряжений?
б) Принимая во внимание граничные условия па конце балки и прин-
цип Сен-Венана, дать эскиз распределения касательных напряжении в стен-
ке, там где она соединяется с полкой. Какую величину поперечных нормаль-
ных напряжений можно ожидать в стенке около конца, исходя из уравнений
равновесия?
в) Как нужно изменить метод прокатки, чтобы устранить эти остаточ-
ные напряжения?
11.16. Намотать вокруг карандаша спирали из скрепки для бумаги
и из пружинной проволоки. Будут ли они скручиваться или раскручиваться
www.vokb-la.spb.ru
'330
Глава 11
при отжиге в пламени спички? Проверить это экспериментально. Что про-
изойдет при кручении (фиг. 11.21)? Какое отношение рабочей части к длине
Фиг. 11.20.
закручивающих рычагов следует выбрать, чтобы наблюдать наибольшее
отклонение? Можно ли дать количественную теорию полученным резуль-
татам?
ЛИТЕРАТУРА
Дополнительные сведения об остаточных напряжениях содержатся в [2, 4]. Наибо-
лее представительный набор примеров дан Хорджером [16]; в представленной им библио-
графии имеется около двухсот наименований. Введением для определения остаточных
напряжений может служить книга Хайндлхофера [13]. В книге Осгуда [22] хорошо соче-
таются вопросы теории и практики, особенно применительно к конструкциям; в [17]
содержится библиография по остаточным напряжениям, всего 1500 наименований.
1. А 1 m е n I. О., Peened Surfaces Improve Endurance of Machined Parts, Metal Proa.
43, 209—215, 270 (1943).
2. ASM, Residual Stresses, Metal Prog., Second Supplement to 1948 Metals Handbook,
68, 2A, 89—96 (1955).
3. ASTM, AIME, Symposium on Stress Corrosion Cracking of Metals, Philadelphia, 1945.
4. Baldwin W. M-, Residual Stresses in Metals, Proc. ASTM, 49, 539—583 (1949).
5. Buhler H., Bucliholtz II., The Effect of Residual Stress on the Dynamic
Bending Strength. Mittell. Forschungs-Inst., Dortmund, 3, № 8, 235—248 (1933).
6. Buhler H., Bucliholtz H., Effect of Reduction and Cross Section by Cold
Drawing on Residual Stresses in Rods, Arch. Eisenhiittenwes., 7, 427—430 (1934).
7. Cohen M., Nucleation of Solid State Transformations, Trans. Metall. Soc. AIME,
212, 171—183 (1958).
8. Crandall S. H,, Dahl N. C. (eds.), An Introduction to the Mechanics of
Solids, McGraw-Hill, New York, 1959.
’9. Dickie H. А.. Дискуссия к статье: Hankins G. A., Becker M. L., Effect
of Surface Conditions Produced by Heat Treatment on the Fatigue Resistance of Spring
Steels, J. Iron Steela. Inst., 124, 387—460 (1931).
10. Дьяченко П. E., Подосенова H. А., Упрочнение и остаточные напря-
жения в гильзах конструкционной стали. Вестник машиностроения, 34, 45 (1955).
11. F г i s с h J., Th о in s е n Е. G., Residual Grinding Stresses in Mild Steel, Trans.
ASME, 73, 337—346 (1951).
12. Fuchs H. O., Mattson R. L., Measurement of Residual Stresses in Torsion
Bar Springs, Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 4, 1, 64—73 (1946).
13. H eindlhof er K,, Evaluation of Residual Stress, McGraw-Hill, New York, 1948.
14. Henriksen E. K., Hidden Troublemakers-Residual Machining Stresses, Tool
Engineer, 38, 92—96 (1957).
15. H о d g e P. G., Shakedown of Elastic-Plastic Structures, в книге: Residual Stress
in Metals and Metal Construction, Osgood W. R. (ed.), Reinhold, New York. 1950,
pp. 1—21.
16. H orger О. J., Residual Stresses, в книге: Handbook of Experimental Stress Analy-
sis, II e t e n у i M. (ed.), Wiley, New York, 1950, pp. 459—578.
17. Huang T. C., Bibliography on Residual Stress, Special Publ. 125, SAE, 1954.
18. Lessclls J. M., В г о d г i c k R. F., Shot-Peening as Protection of Surface
Damaged Propeller Blade Materials, Int. Conf, on Fatigue of Metals, Inst. Meeh. Engrs.,
London, 1956, p. 617—627.
19. M a 1 о о f S. R., E г a г d H. R., Steele В. К., Дискуссия к статье: Sny-
der H. J., The Effect of Quenching and Tempering on Residual Stresses in Manganese
Oil Hardening Tool Steel, Trans. ASM, 45, 605—616 (1953).
20. Nachtman E. S., Residual Stresses in Cold Finished Steel Bars, Meeh. Eng., 77,
886—889 (1955).
21, Noble H. J., цитируется no ASM, 1955.
www.vokb-la.spb.ru
Остаточные напряжения
331
.22. Osgood W. R., The Effect of Residual Stresses on Column Strength, Proc, of the
1st US Nat. Con. Appl. Meeh., ASME, New York, 1952, p. 415—418.
23. Osgood W. R. (ed.), Residual Stresses in Metals and Metal Construction, Reinhold
Publ. Corp., New York, 1954.
24. Ross A. S., Morrow J., Cycle-Dependent Stress Relaxation of A286 Alloy,
Trans. ASME, J. Basic Eng., D82, 654—660 (1960).
2t>. SAE, Manual on Shot-Peening, SAE Special Pub. 84, 1952.
26. SAE, The Measurement of Stress by X-Rays, Subcommittee on X-ray Procedures Divi-
sion IV. Residual Stresses, of the Iron and Steel Techn. Committee, SAE, 1960.
27. SAE Handbook, Soc. Automotive Engrs., New York, 1964.
28. S e 11 v S. K., Lapsley J. T., Thomsen E. G., Stresses Alter Hardness,
Meeh. Eng., 79, 1127—1129 (1957).
29. Tarasov L. P., H у 1 e r W. S., L e t n e r H. R.. Effect of Grinding Conditions
and Resultant Residual Stresses on the Fatigue Strength of Hardened Steel, Proc. ASTM,
57, 601-622 (1957).
30. Timoshenko S., Strength of Materials, Part II, 2nd ed., Van Nostrand, New York,
1941; русский перевод: Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, изд-во
«Наука», 1965.
www. vokb- la. spb. ru
Глава 12
ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
12.1. ВВЕДЕНИЕ
Когда твердое тело подвергается действию возрастающей нагрузки, оно
может разрушиться. В данной главе рассматривается простейший случай,
а именно хрупкое разрушение стеклообразных тел, которое почти не сопро-
вождается неупругой деформацией. Согласно Гриффитсу, хрупкое разруше-
ние происходит вследствие присутствия в теле мелких трещиноподобных
дефектов. Хотя прочность идеальных стеклообразных тел, атомы которых
удерживаются первичными связями, очень высока, большая концентрация
напряжений у острых трещин может снизить эту прочность до обычно наблю-
даемой низкой величины. Сначала рассматривается случай одноосного напря-
женного состояния, затем, следуя Гриффитсу, будет обсуждено явление
хрупкого разрушения под действием двухосных напряжений и получена
поверхность хрупкого разрушения. Исходя из этих результатов, выведем
условия хрупкого разрушения при трехосном напряженном состоянии.
Будут представлены экспериментальные подтверждения теории и дока-
зательства присутствия трещин, определяющих громадное снижение проч-
ности. Кроме того, окажется возможным дать некоторые правдоподобные
объяснения причин образования таких трещин.
Проблема длительной прочности и замедленного разрушения т), обуслов-
ливающих снижение прочности при продолжительном действии нагрузки,
будет рассмотрена как для стеклоообразных материалов, так и вкратце для
сталей (в случае сталей наиболее обычным примером замедленного разруше-
ния является разрушение, обусловленное водородной хрупкостью).
Будут описаны явления, связанные с быстро движущимися трещинами,
например ускорение распространения трещины, предельная скорость рас-
пространения трещины и искажение полей напряжения вследствие движения
трещин.
Затем будет описано строение изломов стекла и их связь со скоростью
распространения трещины. Это позволит устанавливать очаг разрушения,
направление распространения трещины и до некоторой степени скорость
се распространения.
Наконец, мы рассмотрим масштабный эффект, который является след-
ствием существования трещин, приводящих к хрупкому разрушению.
12.2 ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ПРИ ОДНООСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Когда тело подвергается действию возрастающих нагрузок, возникающие
напряжения па определенной стадии нагружения достигнут величины, доста-
точной для разрыва тела. Если разрыв произойдет прежде, чем образец
утонится до нулевой толщины, то этот процесс называют разрушением-,
если величина остаточной деформации, предшествующей разрушению, мала,
то разрушение называют хрупким. Эксперимент показывает, что хрупкое
разрушение происходит без каких-либо заметных предшествующих явлений
*) В оригинале для этих обоих понятий используется термин static fatigue (стати-
ческая усталость). Этот термин редко употребляется в отечественной практике. В нашей
литературе такие разрушения принято называть при повышенных температурах «длитель-
ный», а при комнатных — «замедленными».— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
333
и распространяется поперек плоскости максимальных растягивающих напря-
жений со скоростями порядка скорости звука в среде, претерпевающей раз-
рушение. Неорганические стекла, полимеры и металлы с объемноцентриро-
ванной кубической решеткой подвержены хрупкому разрушению при тем-
пературах, которые достаточно низки, чтобы протекание пластических или
вязких видов деформации было затруднено.
Прежде чем перейти к теории хрупкого разрушения, интересно посмо-
треть, насколько велика может быть прочность твердых тел. Хотя для неко-
торых простых случаев, например для ионных кристаллов, возможно точное
вычисление сил сцепления [52], приближенная оценка проще и намного яснее.
Рассматривая кривую изменения сил взаимодействия между атомами кри-
сталла, например приведенную на фиг. 1.8 и апроксимированную половиной
синусоиды
n = ncsin ?^ = ocsin 2ле, (12.1)
можно оценить теоретическую прочность (силы сцепления) идеального кри-
сталла, приравнивая наклон кривой при е —0 модулю упругости. Это дает
Более точная оценка идеальных сил сцепления, полученная при использова-
нии более реального закона изменения межатомных сил, дает величину,
изменяющуюся от 0,05 до 0,1 ^(задача 12.2). Для большинства твердых
тел с первичными связями модуль упругости имеет порядок 10® кг/сл?. Это
хорошо согласуется с прочностью 10s кг/см*, вычисленной по теплоте испаре-
ния переходных металлов. Однако очевидно, что наблюдаемые обычно значе-
ния прочности от 103 до 10* кг!сл? для большинства выпускаемых промышлен-
ностью хрупких моталлов далеко не соответствуют идеальной прочности.
Это несоответствие было разрешено Гриффитсом [20], который показал,
что при разрушении тела напряжения не обязательно должны достигать
теоретической прочности по всему объему тела, а только лишь в вершине
острой и узкой трещины. Он показал, что такая трещина в пластине может
стать нестабильной при сравнительно низких номинальных напряжениях
и начать увеличиваться в длину, приводя по мере своего продвижения
ко все большему разрушению пластины.
Чтобы избежать допущений о радиусе кривизны в конце трещины,
обусловливающей сравнительно низкую прочность, Гриффитс положил
в основу анализа критерия хрупкого разрушения энергетический метод.
Можно предложить более удовлетворительный и простой вывод, чем вывод
Гриффитса, если принять, что различие между наблюдаемой макроскопиче-
ской прочностью и теоретической прочностью при растяжении перекры-
вается действием длинной острой трещины, приводящим к концентра-
ции напряжений у ее вершины. Поэтому, если очень острая трещина
(радиус кривизны в вершине р = а имеет порядок межатомного расстояния)
длиной 2с расположена так, что ос плоскость нормальна к направлению одно-
осных растягивающих напряжений а0 в пластипе с модулем упругости Е.
локальное растягивающее напряженно в вершине трещины, действующее
перпендикулярно плоскости распространения трещины, дается соотноше-
нием Инглиса [27] [см. (10.35)]
о- о0(1 + 2]/|). (12.3)
Зогда критерием хрупкого разрушения будет достижение локальным паиря-
ткенисм величины теоретической прочности, например
0,1£^п0 (1 + 2 у £) .
www.vokb-la.spb.ru
334
Гласа 12
После преобразования получаем, что в присутствии очень острой и длинной
трещины макроскопическая прочность составляет
<12Л>
Этот вывод дан Орованом [35]. Результат немного отличается от оригиналь-
ного результата Гриффитса. Гриффитс вывел условие хрупкого разрушения
из энергетических соображений, согласно которым разрушение произойдет,
когда при бесконечно малом удлинении трещины будет выделяться больше
упругой энергии, чем это требуется для удельной энергии образования
новых поверхностей. В этот момент скорость освобождения упругой энергии
напряженной пластины в результате продвижения трещины как раз доста-
точна, чтобы уравновесить скорость увеличения поверхностной энергии,
и с этого времени распространение трещины становится самоподдерживаю-
щимся процессом.
Напряжение разрушения оказывается равным
<*- . (12.5>
Увеличение длины трещины сверх исходной длины 2с приводит к возникно-
вению все возрастающей силы, обусловливающей дальнейшее нестабильное
распространение трещины.
Поверхностная энергия а может быть оценена из закона изменения сил
сцепления (12.1). Для хрупких тел она имеет порядок 103 эрг!см2. Поэтому
формула (12.5), полученная Гриффитсом, хотя и отличается по виду, даег
те же значения, что и формула (12.4). Энергетический метод и метод напряже-
ний, использованные для получения уравнений хрупкого разрушения, будут
рассмотрены в конце следующего раздела.
Анализ Гриффитса и Орована применим для случая плоского напряжен-
ного состояния. В реальном материале ширина этих трещин, по-видимому,
пе очень велика по сравнению с размером главной оси 2с их поперечного сече-
ния; скорее всего в плане трещины имеют форму диска или монеты. Задача
о концентрации напряжений у трещин в виде диска в бесконечном твердом
теле решена Заком [41] и Снеддоном [44]. Они показали, что в этом слу-
чае критерий Гриффитса изменяется лишь па небольшой множитель, зави-
сящий от коэффициента Пуассона V. Тогда
12.3. ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ПРИ ДВУХОСНОМ И ТРЕХОСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
В большинстве случаев напряженное состояние в детали оказывается
более сложным, чем одноосное. Поэтому интересно исследовать условие
хрупкого разрушения при двухосном и трехоспом напряжением состоянии.
В 1924 г. Гриффитс [21] дал реицшие для двумерного случая. При этом он
принял, что плоскости трещин одинаковых размеров параллельны направле-
нию, в котором напряжения отсутствуют, а в остальном их ориентация слу-
чайна. Он рассмотрел одну из этих трещин с произвольной ориентацией 9
по отношению к оси о2 (фиг. 12.1) в двухосном поле напряжений <ц и о2
и вычислил максимальное значение напряжений у кромки трещины в зави-
симости от угла 6. Затем он постулировал, что разрушение наступит, когда
максимальное локальное напряжение на периферии трещины достигнет
значения ос для случая одноосного растяжения [формула (12.2)]. Тем самым
он установил, что если наименьшее напряжение находится в диапазоне
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
335
—3tf0 < п2 <01, то разрушение происходит, когда алгебраически большее
напряжение nt достигнет величины
<12-7>
как если бы напряжение о2 не присутствовало совсем. Если же о2 нахо-
дится в диапазоне п2<— Зо0, то разрушение происходит, когда
(задача 12.16)
(oi — сг2)2 + 8о0(сгН-О2)==0. (12.8)
Соотношение между и сг2 показано графически на фиг. 12.2. Если снять
условие, что плоскости всех трещин параллельны оси, вдоль которой
Фиг. 12.1. Элементарный кубик с гриф-
фитсовской трещиной, находящийся в усло-
виях двухосного напряженного состояния.
напряжения отсутствуют, то можно ожидать, что граница разрушения будет
идти по пунктирным линиям. Это следует из того, что, когда третье напряже-
ние а3 равно нулю, разрушение в области вне пунктирной линии будет
всегда происходить от трещин, нормали к плоскостям которых находятся
в плоскостях 2, 3 или 1, 3. Важным выводом является также то, что прочность
хрупкого материала при одноосном сжатии примерно в 8 раз больше его
прочности при растяжении. Другие дефекты приводят к иным результатам
(задачи 12.3 и 12.4).
В случае разрушения при трехосном напряженном состоянии опять
желательно найти трещину с наиболее критической ориентацией. По-види-
мому, разумно принять, что такая трещина будет параллельна оси промежу-
точного главного напряжения. Так как нормальные напряжения, параллель-
ные плоскости трещины, почти не приводят к концентрации напряжений,
разрушение будет определяться максимальным и минимальным главными
напряжениями. Поэтому, используя теорию для случая двухосного напря-
женного состояния, можно сконструировать поверхность разрушения
(фиг. 12.3), обладающую тройной осевой симметрией. До тех пор пока
напряжения о2 и о8 больше, чем —За0, разрушение происходит, когда сц
достигнет критического значения о0.
Эксперименты Бриджмена (12] качествснпо согласуются с условием
разрушения при трехосном напряженном состоянии. Бриджмен провел
эксперименты с небольшими цилиндрами из стекла пирекс при гидростатиче-
ском сжатии, причем осевое давление постепенно снималось путем постепен-
ного осаживания опорной плиты пресса. Разрушение всегда происходило,
www.vokb-la.spb.ru
336
Глава 12
когда чистое осевое напряжение все еще оставалось сжимающим. Когда
эти результаты пяти экспериментов были обработаны в соответствии с усло-
вием разрушения (12.8) (при этом необходимо было иметь в виду, что для
Фиг. 12.2. Хрупкое разрушение при двухосном напряженном состоянии.
указанных опытов о2 = аз), оказалось, что значения о0 достаточно хорошо
совпадают с прочностью пирекса при растяжении, которая в зависимости
Ф и г. 12.3. Трехмерная геометрическая фигура, представляющая условие хрупкого
разрушения при трехосном напряженном состоянии.
Напряженное состояние, которому соответствует точка, расположенная вне фигуры, приводит к раз-
рушению.
от состоянии поверхности изменяется от 1,4 до 14 кг/мм2 18]. Вычисленные
значения о0 приведены в табл. 12.1.
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
337
Таблица 12.1
Эксперименты Бриджмена по определению прочности пирекса при трехосном сжатии
Номер эксперимента кг/лш2 -.= O3, K2/jWJW2 <?0, KS/ALH2 Замечания
1 — — — Стекло и силовой стержень не соприкасаются
2 — 190 —247 0,1 Необработанная поверхность, неправильный излом
3 —140 -252 0,4 Необработанная поверхность, излом нормален к Gj
4 —154 —276 0,44 Шлифованная и полированная поверхность, излом нормален К Oj
5 —24,5 —266 24,5 Оплавленная поверхность, излом нормален к о.
Условие хрупкого разрушения для случая трехосного напряженного
состояния следует использовать с осторожностью, так как в некоторых
случаях оно неприменимо. Например, иногда все поверхностные трещины
на стекле могут быть расположены так, что их плоскости будут перпендику-
лярны поверхности, что делает давление, нормальное к поверхности, несу-
щественным параметром (задача 12.5).
В проведенном анализе разрушения при сложном напряженном состоя-
нии предполагалось, что трещипы под действием гидростатического давления
не смыкаются и поэтому не передают нормальных или касательных поверх-
ностных сил. В действительности можно ожидать, что трещины под давле-
нием смыкаются, начинают передавать некоторые нормальные и касательные
напряжения и изменять тем самым условия разрушения. Макклинток
и Уолш [311 видоизменили решение Гриффитса [21], учтя влияние нормаль-
ных сил и сил трения на поверхностях трещины. Сделав допущение о смыка-
нии трещин уже при наличии незначительных сжимающих напряжений и о ра-
венстве коэффициента трения единице, они нашли, что кривая разрушения
при двухосном напряженном состоянии имеет вид, показанный на фиг. 12.4.
Эта модифицированная кривая разрушения лучше согласуется с опубли-
кованными результатами разрушения горных пород, чем кривая Гриффитса.
Теперь можно провести более критическое обсуждение и метода напряже-
ний и энергетического метода, которые использовались для получения усло-
вий хрупкого разрушения.
Условие хрупкого разрушения Гриффитса, выведенное из энергетических
соображений, является лишь необходимым, но не достаточным условием.
Оно устанавливает, что в окрестности трещины должна присутствовать
энергия, необходимая для создания новых поверхностей, но одно это не
гарантирует распространения трещины. Так, например, распространение
сдвиговой трещины в своей плоскости приводит к достаточному выделению
упругой энергии, чтобы она стала нестабильной по Гриффитсу [20]; однако
сдвиговая трещина никогда не распространяется в своей плоскости, а скорее
распространяется по траектории S-образной формы через плоскости макси-
мальных растягивающих напряжений [17]. С другой стороны, метод
напряжений устанавливает, что разрушение начнется, когда локальные
растягивающие напряжения у дефекта достигнут величины теоретической
прочности. Это не только необходимое, но и достаточное условие 2). Условие
х) В зависимости от способа приложения внешней нагрузки необходимые и доста-
точные условия могут дать разные значения критических нагрузок. См., например,
Berry J. Р., Some Kinetic Considerations of the Griffith Criterion for Fracture., J. Meeh,
and Phys, of Solids, 8, 194 (1960), а также W n u k M., Criteria of Ductile Fracture Initiated
by a Pressurized Penny-Shaped Crack, Trans. AS ME, 90, Series F, 1 (1968).— Прим. ped.
22—92
www.vokb-la.spb.ru
338
Глава 12
напряжений применимо также для предсказания разрушения при двух-
осном напряженном состоянии, а также момента начала разрушения и направ-
ления разрушения, если может быть найдено поле напряжений вокруг
трещины сложной формы.
Фиг. 12.4. Влияние сил трения на поверхности гриффитсовской трещины па прочность
при сжатии хрупких материалов (коэффициент трения принят равным единице) [31].
с/с0 — отношение прочности при сжатии в случае всестороннего давлении к прочности при сжатии
при атмосферном давлении; р/с0 — отношение всестороннего давления к прочности при сжатии
при атмосферном давлении.
Принято, что трещина смывается сразу после приложении поперечного напряжения.
1 — модифицированный критерий Гриффитса; 2 •— критерий Гриффитса.
Данные Хандина и Хагера [231: Л ойлкрикский песчаник; А влирфорксний доломит; V блерсний доло-
мит; у суикский кварцит. Данные Брсдтхауэра [11]; — вирджинский известняк; х кпипский базальт;
• рашспрингский песчаник; о чикский извсетянк: ф белый доломит. Данные Робертсона [39]: Q барр-
ский гранит; 0 шиферный сланец; ф пирит; [j блерскнп доломит; новошотлапдский известняк.
Как следует из фиг. 12.3, хрупкое разрушение при гидростатическом
(т. е. равномерном трехосном) сжатии не возникает. Условия этого типа
создаются у конца очень острого резца из карбида вольфрама, когда он цара-
пает поверхность стекла под действием своего собственного веса. При наложе-
нии гидростатического давления (величина которого легко может достичь
www. vokb- la. spb. ru
Хрупкое разрушение
значения, равного идеальной прочности па растяжение; задача 12.6)
сдвиговые напряжения, возникающие при царапании, могут оставить цара-
Ф и г. 12.5. Стружка (Л), возникающая при
царапании предметного стекла микроскопа
очень острым резцом из карбида вольфрама.
пину на поверхности стекла и дать длинные стружки, получающиеся
в результате текучести, без последующего разрушения, как это показано
па фиг. 12.5 128, 40].
12.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТЕОРИИ ГРИФФИТСА
Для проверки своей теории Гриффитс [20] наносил трещины известной
длины па большие тонкостенные стекляппые колбы и затем разрушал их под
действием внутреннего давления. Разрушающие напряжения оказались
обратно пропорциональными корню квадратному из длины трещины, в то
время как коэффициент пропорциональности был очень близок к множителю
в формуле (12.7). Чтобы показать, что предельная прочность хрупкого мате-
риала при отсутствии трещин действительно имеет ту же величину, что
и теоретическая прочность, Гриффитс провел испытание на изгиб только что
полученных стеклянных стержней и обнаружил, что их прочность превышает
700 кг/мм2. Такую же высокую прочность получил Орован для слюды, когда
ее кромки были свободны от действия напряжений [34].
Хотя механизм образования трещин в хрупких телах, не имеющих
трещин в исходном состоянии, до сих пор полностью не выяснен, ясно, что
для того, чтобы эти материалы имели равномерно низкую прочность, с кото-
рой мы сталкиваемся в повседневной практике, они должны содержать ряд
сравнительно больших трещин. Однако очень просто показать, что даже эти
малопрочные материалы становятся очень прочными, если испытывать весьма
малые образцы, поскольку вероятность нахождения в них трещин будет
меньше. Андерегг [2] испытывал нити из известковонатриевого стекла одного
и того ;кс диаметра, но различной длины (от 5 до 1560 мм). Его результаты
приведены в табл. 12.2 и находятся в согласии с гипотезой о вероятностном
распределении трещин различных размеров.
Присутствие ослабляющих трещин на поверхности стеклянных пластин
было продемонстрировано более наглядно путем воздействия на нагретую
поверхность паров натрия [5, 61 или расплавленной соли щелочных металлов
[181. В обоих случаях тонкий поверхностный слой толщиной порядка 0,025 мм
превращался в стекло с намного большим коэффициентом расширения, чем
основное стекло. При последующем охлаждении в результате различной
степени сжатия па поверхности образовывалась сетка трещин, имеющих
сильное сходство с трещинами на высохшей грязи. Началом для этой сетки
трещин (фиг. 12.6) послужили трещины Гриффитса, так как на стекле, кото-
рое было предварительно протравлено HF для удаления тонкого поверхно-
стного слоя и которое не содержало гриффитсовских трещин, сетки трещин
не образовывалось.
WW$(okb -la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
340
Глава 12
Таблица 12.2
Изменение прочности стеклянных нитей
в зависимости от их длины [2]
Длина нитей, мд Диаметр нитей, мм Предел прочности при растяжении, кг/мм^
5 13,0 150
10 13,5 122
20 12,5 121
45 13,0 115
90 12,7 76
183 12,7 87
1560 13,0 72
Попытки наблюдения трещин под световым микроскопом не имели успе-
ха, возможно потому, что раскрытие поверхностных трещин с эллиптическим
поперечным сечением, достаточно опасных, чтобы привести к уменьшению
Фиг. 12.6. Сетка поверхностных трещин,
образовавшаяся при плавлении эвтектики
солей КМОЭ и LiN03 на поверхности стек-
ла (181-
прочности до 1% от идеальной, должно быть слишком мало, чтобы оно могло
быть разрешено (задача 12.7). Неуспешным было и применение методов
электронной микроскопии, очевидно, вследствие трудности изготовления
реплик, которые проникали бы в существующие поверхностные трещины.
12.5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСЛАБЛЯЮЩИХ ТРЕЩИН
Причина возникновения ослабляющих трещин все еще полностью
не ясна. Гриффитс [20] обнаружил, что свежевытяпутые стеклянные нити
при старенип теряют свою прочность. Известно также, что прочность стек-
лянных нитей и пластин сильно меняется в результате очень высоких напря-
жений, возникающих при контакте с твердыми телами [18, 20]. Механиче-
ские свойства стекла ухудшают включения, возникающие при адгезии пыли
на поверхности затвердевающего стекла [26]. Наблюдалось [331, что отжиг
сверхпрочных тонких стеклянных нитей, которые перед этим были вытянуты
из расплава, уменьшает их прочность даже при отсутствии механических
повреждений. С другой стороны, известно [10], что такой отжиг приводит
к некоторому увеличению плотности. Более того, эксперименты по вдавли-
ванию индентера в гладкую поверхность свежего излома массивной стеклян-
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
341
ной плиты показывают, что для разрушающих напряжений существует
определенная верхняя граница, равная 210 кг/мм2 (что значительно ниже
идеальной прочности), и что отжиг зтой поверхности не снижает верхней
границы [8].
Все это приводит к следующему возможному объяснению: тонкие нити,
вытягиваемые из расплава, охлаждаются очень быстро, сохраняя пере-
охлажденную высокотемпературную структуру с меньшим порядком распо-
ложения и координацией атомов, в которой нарушения атомных связей рас-
пределены но всей структуре без концентрации нескольких связей в одном
месте. Результатом является высокая изотропная прочность. Нет данных,
подтверждающих, что высокая прочность этих нитей возникает вследствие
выравнивания «цепочек» при вытяжке, как однажды предполагалось, или
Фиг. 12.7. Электронная микрофотогра-
фия поверхности разрушения стекла (пи-
рекс) [48].
Видна тонная ячеистая структура»
в результате закалочных напряжений [3]. Если стекло охлаждается медлен-
но или если закаленное стекло стабилизируется, то оказывается, что уплот-
нение с увеличением степени координации атомов начинается сразу во многих
местах. Когда эти уплотненные области сомкнутся, атомные связи на грани-
цах раздела окажутся искаженными и растянутыми в большей степени, чем
в высокотемпературной структуре, в результате чего в этих промежуточных
областях может оказаться больше сильно растянутых связей.
Электронно-микроскопические наблюдения поверхностей разрушения
в вакууме обнаружили тонкую ячеистую структуру с размерами в диапазоне
от 30 до 300 А [48]. Типичная структура показана па фиг. 12.7. Возможно,
что к выводу о существовании этих ячеек можно было прийти из эксперимен-
тов по вдавливанию. Более того, нельзя считать неразумным предположение,
что более подвижные ионы натрия мигрируют в стекле и накапливаются
в этих более сильно напряженных промежуточных областях. Это могло бы
объяснить существование верхней границы прочности при вдавливании
в сплошное стекло. Кроме того, известно, что ионы натрия играют важную
роль в коррозии стеклянной поверхности под действием паров воды [13].
Поэтому вполне вероятно, что слабый соединительный слой ионов между
уплотненными областями подвергается предпочтительному действию водя-
ных паров, которые и разрушают поверхность. Таким путем на свободных
поверхностях могут возникнуть более опасные и, возможно, более длинные
трещины. Высокое сопротивление старению плавленого кварца может ока-
заться следствием отсутствия таких трещин.
Однако эксперименты обычно показывают, что опасные трещины, обу-
словливающие большую часть случаев разрушений стекла, возникают
в результате механических повреждений, получаемых или в процессе изго-
товления, или при эксплуатации. Это становится ясным из того обстоятель-
ства, что прочность почти всех стеклянных предметов может быть существен-
www. vokb- la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
342
Глава 12
но повышена (десятикратное повышение является обычным), когда тонкий
поверхностный слой стравливается плавиковой кислотой. Такая высокая
прочность сохраняется при отсутствии новых механических повреждений
или химической коррозии.
В результате недостаточной полировки стеклянные пластины часто
бывают очень непрочными. Когда поверхности таких пластин слегка протрав-
ливаются разбавленной плавиковой кислотой, становятся видимыми боль-
шие полировочные трещины, как это показано на фиг. 12.8. Эта простая про-
цедура используется в качестве быстрого метода проверки качества поли-
ровки.
Многие стеклянные предметы, имеющие номинальную прочность от
0,7 до 7 кг/мм2, могут быть существенно упрочнены в результате сознания
Ф и г. 12.8. Шлифовочные трещины, про-
явленные легким травлением плавиковой
кислотой недостаточно хорошо отполиро
ванной поверхности стекла (пирекс) и при-
водящие к разрушению при вдавливании.
на их поверхности сжимающих остаточных напряжений, возникающих при
закалке. Таким путем можно создать остаточные напряжения до 14 кг!мм2.
Величина сжимающих напряжений часто ограничена прочностью стекла,
когда оно еще не полностью охлаждено, а поверхность находится под дей-
ствием растягивающих напряжений. Эти затруднения отсутствуют в новом
методе получения остаточных сжимающих напряжений на поверхности
посредством ионного обмена и соответствующей термообработки, в котором
растягивающие напряжения па поверхности не возникают. Остаточные
сжимающие напряжения на поверхности составляют в этом случае 70 кг/мм2,
и стеклянные изделия становятся чрезвычайно стойкими к механическим
повреждениям |такое стекло получило название «кемкор» (Chemcor)l.
12.6. ЗАМЕДЛЕННОЕ РАЗРУШЕНИЕ
Когда стекло подвергается действию постоянных напряжений, величина
которых иногда даже ниже ожидаемых средних напряжений разрушения
при быстром нагружении (10~5 сек-1), то по истечении определенного перио-
да времени, зависящего от уровня напряжений, разрушение все же проис-
ходит. Так, например, при увеличении времени нагружения от 34 сек до
34 час наблюдалось уменьшение прочности при изгибе стеклянных пластин
па 70% 125]. При отсутствии механических повреждений длительное нагру-
жение при напряжениях, меньших 30% кратковременной прочности, не вы-
зывает разрушения и дает своего рода предел выносливости. Уменьшение
времени нагружения от 10 до 10'2 сек приводит примерно к двукратному
увеличению прочности натриевого стекла [9]. Явление падения разруша-
ющего напряжения при длительном воздействии нагружения называется
замедленным разрушением. Эксперименты показывают, что этот эффект
исчезает при отсутствии водяных паров и в вакууме.
www. vokb- la. spb. ru
.Ж?'' • ’
’ www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
343
Эксперименты Чарлза [13J показали, что вода вызывает коррозию поверх-
ности стекла, действуя на слабо связанные ионы натрия в структуре стекла,
что в свою очередь играет роль катализатора при воздействии ионов гидро-
окисла на связи кремния с кислородом. Такое воздействие ускоряется под
действием растягивающих напряжений, и скорость процесса определяется
скоростью диффузии ионов натрия к центрам воздействия. Поэтому наибо-
лее напряженная область в вершине гриффитсовской трещины становится
местом, где коррозия наиболее опасна. Когда длина трещины увеличится
до размера, удовлетворяющего критерию разрушения Гриффитса при дан-
ном уровне напряжений, наступает быстрое разрушение.
Так как этот процесс основан на диффузии ионов натрия в структуру
стекла, его скорость, которая может быть оценена по времени, проходящему
между моментом приложения нагрузки и разрушением, должна сильно
зависеть от абсолютной температуры в соответствии с законом Больцмана.
Хорошее подтверждение этого было получено путем сравнения энергии акти-
вации U,, = 18,8 ккал/молъ процесса длительной прочности с величиной
.20 ккал!молъ для энергии активации диффузии иона натрия в структуре
натриевого стекла. Отсутствие замедленного разрушения при температуре
жидкого азота [29] и в вакууме после полного прокаливания [9] говорит
в поддержку этой теории.
На практике разрушение в результате длительного статического нагру-
жения часто вызывает недоумение. Иногда стеклянные изделия низкого
качества находили разрушившимися, когда они не находились под дей-
ствием явно выраженных напряжений. В этих случаях причиной разрушения
могло быть постепенное увеличение наиболее длинной трещины, происхо-
дящее под действием остаточных или термических напряжений. Чтобы
предотвратить подобные разрушения, все стеклянные изделия сложной фор-
мы обычно подвергают полному отжигу.
Аналогичный процесс замедленного разрушения встречается также
в сталях, где он является следствием пересыщения водородом и известен
под названием «водородная хрупкость»1). Хотя сам процесс водородного
охрупчивания окончательно далеко не ясен, очевидно, что избыток водорода,
захваченного в стали, имеет тенденцию к сегрегации и образованию трещин
даже без присутствия приложенных напряжений, приводя к охрупчиванию
стали [15, 47]. Особенно восприимчивыми к водородной хрупкости оказы-
ваются детали, подвергавшиеся злектрополировке.
12.7. ЯВЛЕНИЯ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН
Если уравнение Гриффитса удовлетворено и трещина в действительно
хрупком материале начнет распространяться, то концентрация напряжений
вследствие удлинения трещины непрерывно возрастает и выделяющаяся упру-
гая энергия превышает поверхностную энергию на все большую величину,
так что процесс разрушения ускоряется и за короткий промежуток времени
достигает очень высокой скорости. Упрощенный анализ, проведенный
Моттом [32], показывает, что максимальная скорость хрупкого разрушения
ограничивается скоростью, с которой может видоизменяться само поле
упругих напряжений.
Первые исследования этой задачи [16, 30, 511, в которой рассматри-
валась некоторая форма распространяющейся трещины или поля напряже-
ний, показали, что при увеличении скорости трещины максимальные напря-
’) Помимо прочих факторов, па характеристики замедленного разрушения суще-
ственно влияет величина запаса упругой энергии. См., например, Фридман Я. Б.,
Зилова Т. К., Дроздовский Б. А., Петрухина Н. И., Оценка меха-
нических характеристик с учетом кинетики деформации и разрушения, Заводская лабо-
ратория, 11 (1960).— Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
344
Глава IS
женин сдвигаются в стороны от плоскости трещины. Это вызывает тенденцию
к ветвлению и замедлению быстрых трещин. Крэгг [16] нашел, что пре-
дельная скорость трещины составляет 0,66 скорости распространения попе-
речных колебаний х). На фиг. 12.9 показаны примеры ветвления трещин,
возникающих от ударов в край стеклянной пластины, сила которых посте-
пенно увеличивается. Очень прочные нити дают аналогичный эффект, иногда
полностью рассыпаясь при внезапном освобождении упругой энергии.
Ф и г. 12.9. Разрушение стеклянных пластин при ударе лезвием ножа по левой кромке
пластины [42J.
Сила удара увеличивается от о к г.
Анализ Крэгга показывает, что быстро движущаяся трещина может
быть в некоторой степени самораспространяющейся, поскольку движущее
напряжение для такой трещины имеет меньшую величину. Этим можно
объяснить неожиданные наблюдения Шардина [42] и сотрудников, обнару-
живших, что быстро распространяющаяся трещина замедляется редко, она
или продолжает движение, или внезапно останавливается. Когда такая
трещина, движущаяся в поле очень низких напряжений, встречает препят-
ствие или твердую фазу, ее скорость моментально падает и трещина
1) Малая величина предельной скорости, полученная Краггом, связана с ограниче-
ниями, наложенными на баланс энергии в вершине трещины прп выводе величины этой
скорости. Подробнее об этом см.: Atkinson С., Eshelby J. D., The Flow of Ener-
gy into the Tip of a Moving Crack, Intern. J. Fracture Mechanics, 4. Л» 1 (1968).— Прим. ped.
www. vokb- la. spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
345
внезапно останавливается, поскольку дальнейшее распространение требует
большего уровня напряжений.
Как показали более поздние решения [1,14], предельная скорость рас-
пространения трещины равна скорости волн Рслся (к = 0,92 с2; см. разд. 6.7).
Эксперименты Шардина [42] привели к выводу, что отношение скорости
распространения хрупкой трещины к скорости поперечных волн зависит
от состава стекла. Наибольшее отношение (0,614) найдено для чистого
стекла из плавленого кварца. Когда состав изменялся, особенно при введе-
нии РЬО, отношение быстро снижалось примерно до 0,38. Так как плав-
леный кварц является одним из наиболее совершенных упругих тел, отно-
шение скоростей должно было быть близким к 0,614. Уменьшение отноше-
ния с введением добавок наводит на мысль о появлении в вершине трещины
определенной неупругой деформации, приводящей к поглощению энергии.
Это находится в качественном согласии с возрастающей величиной необра-
тимой пластической деформации на поверхности стекла, обработанной
парами щелочных металлов [18].
Удивительно, что последние теории не в состоянии предсказать ветвле-
ния трещин. Кроме того, сингулярность напряжений, необходимая для
распространения трещин, зависит от скорости различным образом. К сожа-
лению, ни одним из авторов не проведено сравнения ни имеющихся решений,
ни результатов экспериментов, так что вопрос остается нерешенным. Чита-
тель может составить свое собственное мнение по приведенным авторами
ссылкам на известную им литературу.
12.8 ПОВЕРХНОСТИ ИЗЛОМОВ
Поверхности изломов хрупкого разрушения несут на себе определен-
ные характерные следы, которые представляют громадный интерес для
воспроизведения процесса разрушения и определения условий, при которых
оно происходит.
На фиг. 12.10, а дано грубое изображение поверхности излома фиг. 12.11,
являющегося типичным изломом стержня, разрушившегося при растяжении.
Отчетливо видны три различные области. С таким изломом можно сопоставить
типичную кривую зависимости скорости распространения трещины от рас-
стояния (фиг. 12.10, б). Область А представляет зеркально гладкую поверх-
ность, в которой трещина становится нестабильной и начинает ускоряться,
все еще распространяясь с медленной скоростью. По мере увеличения скоро-
сти поверхность делается грубее и принимает при переходе в область В все
более матовый вид, если смотреть невооруженным глазом. Максимальная
скорость достигается быстро, и область В переходит в область С, где трещи-
на распространяется с установившейся скоростью. Когда будут достигнуты
высокие скорости, упомянутое выше искажение поля напряжений застав-
ляет участки фронта трещины случайным образом отклоняться вверх и вниз
от плоскости распространения трещины. Эти отклонения от плоского разру-
шения затем соединяются сравнительно резкими ступенями, образуя радиаль-
ные прямые линии, обычно называемые вторичными ступеньками или рубца-
ми т) (D на фиг. 12.10).
Рубцы наблюдались также и при медленном разрушении материалов
типа пластмасс и желе, что часто можно объяснить изменением направле-
ния максимальных растягивающих напряжений во время разрушения. Поэто-
му скоростной эффект является не единственной причиной возникновения
этих узоров на поверхности разрушения. Дальнейшее искажение поля
напряжений при более высоких скоростях трещины приводит к многочис-
J) Подробная терминология изломов и линий на них приведена в книге: Фрид-
ман Я. Б., Гордеева Т. А., Зайцев А. М., Строение и анализ изломов метал-
лов, Машгиз, 1960.— Лрим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
346
Глава 12
лонным разветвлениям, о которых уже упоминалось раньше. Направление
рубцов служит удобным сродством нахождения очага разрушения сложного
излома. Небольшие возмущения нор-
мальных напряжений часто остав-
ляют заметные следы на фронте раз-
рушения, очерчивая его изображение
2,0 3,0 4,0 5,0
ММ
Ф и г. 12.10.
а — схематическое изображение излома
стержня диаметром 6 мм, разрушенного
при растяжении;
б — скорость трещины в различных точ-
ках излома [43],
Фиг. 12.11. Фокус разрушения
стержня.
Обратите внимание на линии Вальне-
ра на зеркальной поверхности излома.
на различных стадиях разрушения (Е на фиг. 12.10, а) 1). В пластинах, кото-
рые отожжены неполностью и имеют небольшие сжимающие напряжения на
Ф и г. 12.12. Вторичные ступеньки (рубцы) 1 и ступеньки (волны) 2.
а— на поверхности излома стеклянной пластины с остаточными сжимающими напряжениями на
поверхности; б — на поверхности излома пластины, разрушившейся при изгибе вокруг оси, лежащей
в плоскости пластины.
поверхности, фронт разрушения продвигается более быстро в центре и отстает
на поверхности, оставляя выпуклые следы на изломе, которые называются
ступеньками или волнами (фиг. 12.12, а). Когда пластина разрушается при
*) Эти следы нс нужно путать с линиями Вальнера. которые возникают при взаимо-
действии фронта трещины с упругими волнами, вызываемыми разрушением. Такие
линии перерезают фронт разрушения под различными углами в зависимости от места
их возникновения; они были использованы Смекалом [43] для определения скорости
разрушения (см. фиг, 12,11).
www.vokb-la.spb.ru
www. vo kb-J a. spb. ru
Хрупкое разрушение
347
изгибе вокруг оси, лежащей в ее плоскости, ступепьки («волны») становятся
антисимметричными, как показано на фиг. 12.12, 6. Но своей природе руб-
цы и ступеньки пересекаются под прямыми углами друг к другу.
Другие более сложные виды разрушения дают на изломах те же самые
основные следы г). Изломы при разрушении под действием термических
напряжений часто очень гладкие. Это является следствием неравномер-
ного поля напряжений, позволяющего разрушению идти медленно и. воз-
можно, с помощью диффузии водяных паров из атмосферы. Разрушение,
которое распространяется скачками, оставляет лишь ступеньки. Поверхно-
сти хрупкого разрушения пластмасс содержат, помимо указанных, и неко-
торые другие интересные следы. На фиг. 12.13 показана поверхность излома
Ф и г. 12.13. Гиперболы на поверхности из-
лома плексигласа.
Осиошгос разрушение началось в нижнем правом
углу.
полиметилметакрилата (плексиглас). Гиперболы на поверхности являются
доказательством образования трещип впереди главного фронта разрушения.
Они возникают при взаимодействии главного фронта разрушения и рас-
пространяющегося фронта локального разрушения, которое, очевидно,
начинается в фокусе гиперболы. Эти гиперболы дают направленное отраже-
ние преимущественно красного и зеленого цветов, что выражено весьма
отчетливо при небольшом увеличении.
12.9. МАСШТАБНЫЙ ЭФФЕКТ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Уже давно известно, что прочность тонких стеклянных нитей или
металлических проволок обычно намного больше, чем прочность толстых
стержней. В материалах, подверженных хрупкому разрушению, такой
масштабный эффект особенно заметен. Это, очевидно, является следствием
того, что прочность хрупких материалов определяется напряжением, умно-
женным на корень квадратный из длины наиболее опасной трещины, и с уве-
личением размера образца растет вероятность нахождения в нем опасных
трещин. Влияние длипы видно из данных табл. 12.2. Рейнкобер [38] показал
наличие этого эффекта при разрыве нитей из кремниевого стекла сначала
на две части, затем каждой оставшейся части и т. д.; каждый раз полу-
чалась все большая прочность. Здесь следует отметить, что наблюдавшееся
Гриффитсом [20] и Андербсргом [2] большое увеличение прочности с умень-
шением диаметра и долгое время объясняемое ограничением размера трещи-
J) Картина линий на изломах при различных видах пагружспия систсматпзирована
в работе: Солнцев С. С.. Анализ разрушения стекол пн траекториям трещин и стро-
ению изломов, Заводская лаборатория, № 6 (1965). Определение разрушающих напря-
жений по виду излома рассматривается в работе: Солнцев С. С., Анализ трещин
и строение изломов стекла. Заводская лаборатория, № 10 (1968). — Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
www. vokb- la. spb. ru
348
Глава 12
ны в результате уменьшения диаметра нитей, является результатом, как
было показано Отто [37], различной молекулярной структуры независимо
от случайно возникших трещин. Отто показал, что тонкие нити, которые
обязательно должны были быть вытянуты из более горячего расплава, обла-
дают намного более прочной структурой, чем толстые, вытянутые из более
холодного. Он показал также, что нити различных диаметров, вытянутые
из того же самого высокотемпературного расплава, были одинаково проч-
ными.
Количественная теория масштабного эффекта в хрупких материалах
зависит от характера распределения трещин в материале. В некоторых
хрупких материалах, таких, как неорганические стекла, трещины образуют-
ся лишь на свободных поверхностях; в других, например в чугуне, они
равномерно распределены по объему; в полимерах имеются различные типы
трещин на поверхности и в объеме. В длинных проволоках из вязкого мате-
риала важным параметром может быть длина, так как шейка может возник-
нуть в любом месте вдоль длины, однако это требует взаимодействия всех
элементов в сечении. Для удобства изложения рассмотрим случай, когда
трещины распределены по площади. Решение для случая зависимости от дли-
ны или объема может быть получено соответствующей заменой переменных.
Поэтому предположим, что на единицу площади поверхности приходит-
ся g (5) dS трещин, которым соответствует прочность в диапазоне от S
до S -f- dS 2). Вероятность того, что разрушение будет иметь место на беско-
нечно малой площади 6Л при напряжении меньше равна
81
б<р = 6Л J g (S) dS. (12.9)
о
Вероятность того, что при напряжении, меньшем разрушения не будет,
равна
Si
1 —6qp = l—ЙЛ J g(S)dS. (12.10)
о
Если на всей поверхности образца имеется п бесконечно малых площадок
(п -- Л/6Л), вероятность Ф того, что ни на одной из них не произойдет раз-
рушения при напряжении, меньшем , равна произведению всех отдельных
вероятностей, поскольку события являются независимыми:
S1
1-ф^(1-бф)и = [1-6Л 5 g(S)dS]A/BA. (12.11)
о
Если размеры элементов выбирать все меньшими и меньшими, то число п
в пределе увеличится до бесконечности и вероятность разрушения при.
напряжении меньше составит (задача 12.8)
Si
ф(51) = 1-ехр [-Л j g(5)d5] . (12.12)
о
Заметим, что при Si -> оо показатель степени становится все более отри-
цательным, так что Ф (S^ -* 1. Это необходимо, так как любая поверх-
ность с площадью Л при достаточно высоких значениях приложенных
напряжений должна разрушиться. Более того, для данных напряжений
вероятность разрушения по мере увеличения сечения увеличивается до еди-
г) Здесь символ S использован для обозначения напряжений, так как а потребуется
для обозначения среднего квадратичного отклонения.
www. vokb- la. spb. ru
Xрупкое разрушение
349
ницы. Это и является статистической формулировкой масштабного эффекта
при хрупком разрушении.
Характерное распределение прочности g (5) для поверхностных трещин
в различных стеклах получено Аргоном [7] с помощью шарикового инден-
тера. Результаты для оконного стекла, приведенные на фиг. 12.14, являют-
-ся типичными в том смысле, что имеется мало больших трещин, но много
малых, хотя пик присутствует не всегда.
Аналогичные выводы для большого
числа стекол получены Суковым [46].
В больших образцах разрушение
определяется лишь самыми большими
трещинами. Поэтому интерес представ-
ляет лишь самая нижняя часть распре-
деления прочности на фиг. 12.14. Ниже
So = 8-1010 дии/см* распределение мо-
тнет быть аппроксимировано следую-
щим образом:
g(S) = а [(5-5г)/(А0-5г)Г, (12.13
где St л 4,8-1010 дин/см1 м п 2,0.
Соответствующее распределение вероят-
ности прочности образца может быть
найдено путем подстановки соотноше-
ния (12.13) в уравнение (12.12) и интег-
рирования от Si до чтобы получить
вероятность отсутствия разрушения
при напряжении меньше Sp.
л f пА (51— ^/)п+г1
Ф(51) = 1-ехр .
(12.14)
Чтобы получить частотную кривую,
уравнение (12.14) может быть продиф-
ференцировано по St и затем среднее
Фиг. 12.14. Характерное распределе-
ние прочности оконного стекла [7].
По оси ординат отложено g (S)< т. е. отноше-
ние числа трещин па 1 см2 it напряжению
в динах на 1 еж2.
значение прочности, среднеквадратичное отклонение и асимметрия могут
быть найдены описанным ниже способом. Для вычисления интегралов
используем факториал или гамма-функцию в виде
х! = Г (.г 4-1) — рхе~‘' dp.
о
(12.15)
.В то же время данное распределение прочности удобно выразить через т~
^«+1 и площадь Ао:
rf .S-A-, у. [(4)’>
\ Л'п—-S'; J тА0 (S — S'i)
(12.16)
Тогда средняя прочность образцов с площадью поверхности А при постоян-
ном напряжении равна
J Sf(S)dS-.Si-', (S0-Si) (А)1”". (12.17)
Если Ад в первом приближении есть наибольшая прочность, до которой со-
отношение (12.13) соответствует принятому распределению, то Лй является
www. vokb- la. spb. ru
350
Глава 12
площадью образца со средней прочностью <50 и наименьшей площадью
поверхности образца, до которой применима эта теория экстремальных
величин. В этом и заключается смысл введения Ло.
Фиг. 12.15. Зависимость между наименьшим значением прочности и показателем
степени т для распределения экстремальных величин.
ГГи левой оси ординат отложена разность средней и минимальной прочности в среднеквадратичных
отклонениях, по правой — множитель в соотношении (12 Л 8).
Среднеквадратичное отклонение прочности образца с площадью А равно
(7,s -
J/ [ (S-S)4(S)dS = (SQ-
1 /т
т-1 . (12.18)
Величина, на которую средняя прочность превышает минимальную, пока-
зана па фиг. 12.15, и, наконец, асимметрия распределения прочности образ-
цов равна
f (S-S?f(S)dS
°S J
bl
(3/m) ! —3 (2,'m) ! (1/m) ! - -2 [(1;m) !]2
1<2-m) ! —[(1/m) ’Pl3''2
(12.19)
как это показано на фиг. 12.16.
Формулы (12.17) и (12.18) дают количественную информацию о вели-
чине масштабного эффекта. Предположим, например, что нас интересуют
свойства детали с площадью поверхности А2 при равномерном поле напря-
жений, которые мы должны определить ио данным лабораторных испыта-
ний геометрически аналогичных образцов с площадью поверхности А-,
также при равномерном распределении напряжений. Различие в средней
прочности равно
1 _______1 (''11/-'1г) (12 9Q\
Ol " 3 f (2;m)l ~~
Г [(l/m)!|2
Отношение среднеквадратичных отклонений для двух размеров составит
а2/а1=(Л1/>12)1/т, (12.21)
Величина этого масштабного эффекта графически изображена на фиг. 12.16
для отношения площадей Л^!ЛХ — 100. Заметим, что для обычных значений
www. vokb- la. spb. ru
Хрупкое разрушение
351
т от 2 до 6 средняя прочность при переходе от мепыпих образцов к большим
уменьшается на несколько стандартных отклонений.
Масштабный эффект, если он выражен достаточно ярко, можно исполь-
зовать для оценки параметров в распределении экстремальных величин.
Для этого надо сначала определить влияние размера или на среднее значение,
или на среднеквадратичное отклонение и найти соответствующее значение
Ф и г. 12.16. Влияние размера площади сечения образца на среднеквадратичное откло-
нение и среднюю прочность при отношении площадей поверхности Й2/Л| = 100.
показателя т из фиг. 12.14. После того как это сделано, наименьшая проч-
ность Si может быть определена по среднему значению прочности 5 и сред-
неквадратичному отклонению прочности о из формулы (12.17). В принципе
можно оценить т из асимметрии, но на практике редко бывает, чтобы данных
было достаточно для сравнительно точной оценки.
12.10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хрупким разрушением называется внезапное разделение напряженно-
го тела на две или более частей без какой-либо поддающейся измерению
неупругой деформации. Этот вид разрушения сопровождается минимальным
поглощением энергии и при скоростях разрушения, близких к скорости зву-
ка в той же самой среде, становится самоподдерживающимся.
Хрупкое разрушение является следствием присутствия в материале суб-
микросконичсских трещин с атомарно острыми концами, где концентрация
напряжений превышает способность тела сопротивляться этим напря-
жениям.
В 1920 г. Гриффитс [20] вывел условие хрупкого разрушения, извест-
ное под его именем, установив, что бесконечно острая эллиптическая тре-
щина с главной полуосью с, нормальной к направлению одноосных растяги-
вающих напряжений о0, находящаяся в плите с модулем упругости Е,
может достичь точки своей нестабильности. В этой точке увеличение поверх-
ностной энергии, необходимой для роста трещины, может быть получено
за счет энергии упругой деформации тех частей напряженной плиты, через
www. vokb- la. spb. ru
352
Глава 12
которые распространяется разрушение. Номинальные напряжения в этой
точке равны
п0 = |Л2аЛ7лс, (12.5)
где а — удельная поверхностная энергия. Номинальное напряжение ст0 для
разрушения может быть получено более просто, исходя из концентрации
напряжений вокруг эллиптической трещины длиной 2с с атомарно острым
радиусом кривизны а, если принять, что концентрация напряжений в вер-
шине трещины достигла идеальной прочности нс = 2ла/а = Е/2л при
номинальных напряжениях а0, т. е.
Of- — f (Jr / Я С\ с\\
Но «5 ~ у - . (12-3)
Трещины, присутствующие обычно в стеклах промышленных марок, огра-
ничивают прочность стекол величиной порядка 7 кг!мм2. Высокие прочности
могут быть получены путем наложения сжимающих остаточных напряжений,
которые препятствуют росту поверхностных трещин.
Если топкая пластина со случайно ориентированной трещиной под-
вержена двухосному нагружению с главными напряжениями Gj и о2, хруп-
кое разрушение произойдет, когда напряжения в некотором месте вблизи
вершины трещины достигнут величины идеальной прочности. Граница раз-
личных комбинаций СУ1 и ст2, приводящих к хрупкому разрушению, показана
на фиг. 12.2.
Отсюда можно сделать важный вывод о том, что прочность идеально
хрупкого материала на сжатие в восемь раз превышает его прочность на рас-
тяжение.
Рассмотрение смыкания эллиптических трещин под действием сжимаю-
щих сил и связанной с этим передачи нормальных и касательных напря-
жений через поверхности трещин приводит к лучшему совпадению теории
и результатов экспериментов по разрушению горных пород под действием
сил давления.
Хотя прямое наблюдение большинства так называемых гриффитсовских
трещин все еще невозможно, накоплены очень веские доказательства их при-
сутствия, особенно в связи с недавними экспериментами по созданию напря-
жений на поверхности стекол путем диффузии ионов щелочных металлов.
Проведенные недавно опыты по прочности свежих поверхностей стекла
также обогатили наши представления об образовании трещин, установив
связь между идеальной прочностью и прочностью механически поврежден-
ных поверхностей. С достаточной определенностью установлено, что наибо-
лее опасная трещина в хрупких стекловидных материалах является резуль-
татом механических повреждений.
Стекло может разрушиться в процессе длительного нагружения при
напряжениях, меньших его прочности при кратковременном нагружении,
если поверхностные трещины могут постепенно увеличиваться в результате
коррозии под напряжением в присутствии паров воды. Это явление известно
как замедленное разрушение и проявляется в виде запаздывания момента
разрушения по отношению к моменту приложения нагрузки. Аналогичный
процесс возникает в сталях, когда пересыщение водородом приводит к обра-
зованию трещин в результате сегрегации водорода. Это явление известно
под названием водородная хрупкость.
Когда хрупкие трещины становятся нестабильными и переходят
в конечную стадию разрушения, их скорость, достигает значительной доли
от скорости звука в этой среде. При определенных условиях, особенно при
высоком уровне напряжений, фронт трещины расщепляется на ряд рас-
ходящихся фронтов.
www. vokb- la. spb. ru
Хрупкое разрушение
353
На поверхностях хрупких изломов имеется ряд характерных линий,
которые позволяют проследить разрушение к месту его возникновения
и дают некоторую информацию о его скорости на различных стадиях и о на-
пряженном состоянии, приведшем к разрушению.
Можно ожидать, что хрупкие материалы содержат в себе или на по-
верхности целую систему трещин. Хотя в случае равномерного распределе-
ния напряжений разрушение вызывает самая опасная трещина, неоднород-
ное поле напряжений, а также различный размер образцов могут привести
к разной прочности в зависимости от того, какая трещина будет расположена
наиболее благоприятно для того, чтобы вызвать разрушение при каждом
напряженном состоянии. Отсюда возникает зависимость прочности от разме-
ра напряженной области. Возможен статистический подход к проблеме
хрупкого разрушения, дающий зависимость между плотностью трещин
и распределением прочности образцов.
ЗАДАЧИ
12.1. При удалении примесей из простых жидкостей с целью затруд-
нить образование центров парообразования было обнаружено, что жидкость
может выдерживать без разрушения большое гидростатическое растяжение
(отрицательное давление).
Считая разрушением жидкости начало нестабильности роста пузырька,
получить выражение для идеальной прочности идеально чистой жидкости
(с нулевым давлением паров), анализируя равенство между поверхностной
энергией пузырька и работой гидростатических сил растяжения. Оценить
полученные результаты, задавшись разумными значениями параметров,
имеющих отношение к задаче. Насколько ваши оценки сравнимы с идеаль-
ной прочностью твердых тел?
12.2. Используя приближенное соотношение для напряжений между
слоями атомов
п = Л [(г0/г)2 —(гс/г)91,
где г0 — равновесное расстояние между двумя слоями атомов иг — рас-
стояние при действии напряжений, вывести выражение для теоретической
прочности как функцию модуля упругости, функцией которого является
и постоянная А.
12.3. Мел часто содержит поры приблизительно сферической формы.
В бесконечном теле под действием одноосных растягивающих напряжений
в точках А н В сферической полости возникает концентрация напряжений
(фиг. 12.17). Считая, что разрушение при растяжении наступает, когда
составляющая растягивающих напряжений равна К, вычислить и начертить
границу области разрушения для двухосного напряженного состояния.
12.4. Чугун, являющийся хрупким материалом, при двухосном напря-
женном состоянии имеет границу области разрушения, показанную на
фиг. 12.18. Какой наибольший крутящий момент может выдержать полый
чугунный цилиндр диаметром 50 мм с толщиной стенки 2,5 мм?
12.5. В случае хрупкого разрушения при трехосном напряженном
состоянии, когда трещины ориентированы случайным образом, промежуточ-
ное напряжение оч обычно не имеет никакого значения. Однако в стеклах
трещины часто расположены перпендикулярно поверхности, что делает
любое напряжение, нормальное к поверхности, несущественным парамет-
ром. Предложить метод получения трехосного сжатия, при котором самое
отрицательное напряжение о3 действует нормально к поверхности, что
делает п2 существенным параметром.
12.6. Вставной резец из карбида вольфрама, который царапал поверх-
ность стеклянной плиты, изображенной на фиг. 12.5, весил 25 г. Используя
23—92
www.vokb-la.spb.ru
354
Глава 12
эти данные и зная ширину основной царапины (фиг. 12.5), оценить гидро-
статическое давление у вершины вставного резца. Объяснить, почему при
дальнейшем увеличении давления образуются дополнительные трещины.
12.7. Показать, что атомарно острая эллиптическая трещина, дающая
коэффициент концентрации 100, не может быть разрешена оптическим
микроскопом. Отметим, что наименьшее разрешаемое расстояние в поле зре-
ния микроскопа равно 7JN. А., где Л — длина волны используемого света,
a N. А. = п sin а — числовая апертура объектива, дающего световой конус
с углом при вершине 2а (здесь п — показатель преломления среды между
Фиг. 12.19.
образцом и объективом). Для самых лучших увеличивающих объективов N. А.
близка к единице. [У казание: используйте формулу (12.3).]
12.8. Показать, что, когда А/8А оо, пределом выражения (12.11)
является соотношение (12.12).
12.9. Стеклянные медицинские шприцы изготавливаются на автомати-
ческом станке следующим образом:
а) Концы отрезков трубки размягчают и слегка развальцовывают
путем быстрого вращения (фиг. 12.19, а).
б) Операция развальцовки заканчивается с помощью оправки, как
показано на фиг. 12.19, б. Некоторые из получающихся трубок имеют"
сильно подрезанные входящие узлы (фиг. 12.19, в). Трубки оказались
www.vokb-la.spb.ru
Хрупкое разрушение
355
настолько хрупкими, что развальцованные края откалывались еще до пере-
дачи трубок на обычный отжиг. Но после отжига их прочность значительно
улучшалась, хотя они все еще обладали склонностью к преждевременному
Целлофановая
ленту
Ф и г. 12.20.
хрупкому разрушению при использовании. Обсудить возможные причины
этого разрушения и дать рекомендации, которые могли бы увеличить проч-
ность трубок.
12.10. Определить прочность мела при изгибе. Исходя из этого, оценить
прочность мела при кручении и подтвердить это экспериментально. Чтобы
нагрузить мел крутящим моментом, используйте
устройство, показанное на фиг. 12.20. Объяснить
форму поверхности излома. Сравнить результаты
с результатами задачи 12.3 и с теорией Гриффитса.
12.11. Надрезать различным образом образцы
из мела. Оценить коэффициенты концентрации на-
пряжений и, исходя из них, прочность при изгибе
и кручении (использовать устройство, показанное на
фиг. 12.20). Отметить довольно ярко выраженный
масштабный эффект.
12.12. Путем резкого нагружения вызвать хруп-
кое разрушение силиконовой замазки. Можно ли
указать очаг разрушения? Если есть сомнения, то
умышленно нанесите небольшую насечку или прило-
жите к образцу изгибающий момент. Обратите вни-
мание па узоры на поверхности излома и их отно-
шение к положению очага разрушения.
12.13. Определить сопротивление разрушению
силиконовой замазки, изготовив из нее образец в виде
Фиг. 12.21.
гантели и подве-
шивая к нему гири постепенно увеличивающегося веса.
12.14. Из тонких полосок бумаги изготовить образцы для испытаний
на растяжение и склеить их с целлофановой лентой, чтобы их можно было
нагружать. Измерить прочность при растяжении как функцию длины
образца. Поддерживая минимальное сечение неизменным, сделать на бумаж-
ных образцах надрезы различной остроты. Составляет ли потеря прочности
ту величину, которую можно ожидать, исходя из коэффициента концентра-
ции напряжений? Повторить эксперимент с целлофановой лентой. Объяснить
каждый случай разрушения. Почему целлофановая лента имеет большую
чувствительность к надрезу? Как будут себя вести геометрически подобные
образцы больших размеров?
23*
wv/w. Vokb- la. spb. ru
356
Глава 12
12.15. Стержень из хрупкого материала, находящийся под действием
продольных напряжений, содержит трещину в форме диска радиусом с
(фиг. 12.21). Плоскость трещины нормальна к оси стержня. Предположим,
что, когда радиус трещины увеличится на de, упругая энергия сферы радиу-
сом с и толщиной de превращается в энергию свободной поверхности и что
работа внешних сил и передача тепла отсутствуют. Допустим, что началь-
ная энергия упругой деформации на единицу объема сферы та же, что и при
отсутствии трещины. Найти значение с, необходимое для начала самопроиз-
вольного роста трещины радиусом с.
12.16. Вывести условия Гриффитса (12.7) и (12.8) для хрупкого разру-
шения при сложном напряженном состоянии.
а) Выбрать оси координат, как показано на фиг. 12.22. Пусть для
удобства (01 ста)/2 — о и (щ — 0г)/2 = т. Выразить напряжение вблизи
вершины трещины через эти переменные и угол g = 20, используя соотно-
шение (10.22) для концентрации напряжений вокруг эллиптической тре-
щины
2«о [п-r r cos H~r2₽Tsm g
б) Проще всего сначала найти угол, под которым напряжение имеет
наибольшую величину для данного 'значения р. Показать, что для него
I = р/«0-
в) Чтобы исключить g, надо подставить предыдущий результат в выра-
жение для Стив и затем найти точку на трещине, где напряжение макси-
мально (не отбрасывать пи одного из верных решений).
г) Подставить полученный в п. (в) результат в выражение для (Tgg, что-
бы исключить р. Затем приравнять теоретической прочности.
д) Начертить полученную границу области разрушения, взять за коор-
динатные оси главные напряжения. Показать, что она совпадает с границей,
определяемой соотношением (12.8) и приведенной на фиг. 12.2.
www. vokb- la. spb. ru
Хрупкое разрушение
357
ЛИТЕРАТУРА
Общий критический обзор разрушения твердых тел дан Орованом [36]. Разрушение
стекол, и в частности замедленное разрушение, рассмотрено в гл. 3 и 4 книги Стэнуорта
145]. Более поздний обзор статей по теории хрупкого разрушении Гриффитса примени-
тельно к стеклам и о ее развитии за последние 40 лет дап Андерсоном [4]. Необходимые
сведения по статистике вообще и о ее применении к вопросам хрупкого разрушения
в частности содержатся в работах [19, 22, 24, 49, 50].
1. Akita Y., Ikeda К., Stress Field for a Propagating Slit at Constant Speed,
Transp. Tech. Res. Inst., Rept. 37, Tokyo, 1959.
2. Anderegfi F. O., Strength of Glass Fibers, Ind. Eng. Chem., 31, 290—298 (1939).
3. A n d e r s о n O. I,., Cooling Time of Glass Fibers, J. Appl. Phys., 29, 9—12 (1958).
4. A n d e r s о n O. L. The Griffith Criterion for Glass Fracture, в книге: Fracture,
Averbach B. L., et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., and Wiley, New
York, 1959, pp. 331—353; русский перевод: Андерсон О. Я., Критерий Гриф-
фитса при разрушении стекла, в книге: Атомный механизм разрушения, Металлург-
иадат, 1963, стр. 331.
5. A n d г a d е Е, N., Т s i е n L. С., On Surface Cracks in Glasses, Proc. Roy. Soc.
(London), A159, 346—354 (1937).
6. Argon A. S., Surface Cracks on Glass, Proc. Roy. Soc. (London), A250, 472—482
(1959).
7. A r g о n A. S., Distribution of Cracks on Glass Surfaces, Proc. Roy. Soc. (London)
A250, 483—492 (1959).
8. Argo n A. S., IT о r i У., О г о w a n E., Indentation Strength of Glass, J. Am.
Ceramic. Soc., 43, 86—96 (1960).
9. В a k e г T. C., Preston F. W., The Effect of Water on the Strength of Glass
J. Appl. Phys., 17, 179—188 (1946).
10. Bateson S., Critical Study of the Optical and Mechanical Properties of Glass
Fibers, J. Appl. Phys., 29, 13—21 (1958).
11. Bredthauer R. D., Strength Characteristics of Rock Samples under Hydrostatic
Pressure, Trans. ASME, 79, 695—708 (1957).
12. В r i d gm a n P. W., The Effect of Hydrostatic Pressure on the Fracture of Brittle
Substances, J. Appl. Phys., 18, 246—258 (1947).
13. Charles R. J., Dynamic Fatigue of Glass, J. Appl. Phys., 29, 1657—1662 (1958).
14. С о t t e г c 1 1 B., On the Nature of Moving Cracks, J. Appl. Meeh., 31, 12—16 (1964).
15. С о t t e r i 1 1 P-, The Hydrogen Embrittlement of Metals, Progress in Materials
Science, Vol. 9, Chalmers, King (eds.), Pergamon Press, London, 1961.
16. C raggs J. W., On the Propagation of a Crack in an Elastic Brittle Material J.
Meeh. Phys. Solids, 8, 66—75 (1960).
17. Erdogan F., Sih G. C., On the Crack Extension in Plates Under Plane Loading
and Transverse Shear, Trans. ASME, J. Basic Eng., D85, 519—527 (1963); русский
перевод: Эрдоган, Сих, О развитии трещин под действием продольной и попе-
речной нагрузок, Труды Американского общества инженеров-механиков, <№ 4 49
(1963).
18. Ernsberger F. М., Detection of Strength Impairing Surface Flaws in Glass
Proc. Roy. Soc. (London), A257, 213—223 (1960).
19. Fisher J. C-, Hollo m о n J. H., A Statistical Theory of Fracture, Trans.
AIME, 171, 546—561 (1947).
20. Griffith A. A.. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids, Phil. Trans. Roy
Soc. (London), A221, 163-198 (1920).
21. G r i f f i t h A. A., The Theory of Rupture, Proc. 1st Int. Con. Appl. Meeh. (Delft),
1924, pp. 55—63.
22. G umbel E. J., Statistical Theory of Extreme Values and Some Practical Applica-
tions, National Bureau of Standards, Appl. Math. Scries, № 33, 1954.
23. H a n d i n J.. Hager R. V., Experimental Deformation of Sedimentary Rocks
under Confining Pressure: Tests at Room Temperature on Dry Samples, Bull. Am. Assn.
Petroleum Geologists, 41, 1—50 (1957).
24. H о c 1 P. G., Introduction to Mathematical Statistics, 2nd. ed., Wiley, New York
1954.
25. H о 1 1 а и d A. J., Turner W. E. S., The Effect of Sustained Loading on the
Breaking Strength of Sheet Glass, J. Soc. Glass Tech., 24, 46—57 (1940).
26. II о 1 1 о w a у D. G., The Strength of Glass Fibers, Phil. Mag., 4, 1101 — 1106 (1959).
27. Inglis С. E., Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Comers
Trans. Inst. Naval Arch., 55, 219—230 (1913).
28. J о о s P., Uber die Mikroharte von Glasoberflachen, Z. Angew. Phys., 9, 556—561
(1957).
29. Kropschol R. II., Mikesell R. P., Strength and Fatigue of Glass at Very
Low Temperatures, J. Appl. Phys., 28, 610- -614 (1957).
30. McClintock F. A., S u k h a t m e S. P., Travelling Cracks in Elastic Materials
under Longitudinal Shear, J. Meeh. Phys. Solids, 8, 187—193 (1960).
www. vokb- la. spb.ru
358
Глава 12
31. McClintock F. A., Walsh J. В., Friction on Griffith Cracks in Rocks Under
Pressure, Proc. 4th U.S. Nat. Cong. Appl. Meeh., Vol. 2, 1962, pp. 1015—1022.
32. Mott N. F., Brittle Fracture in Mild Steel Plates, Engineering, 165, 16—18 (1948).
33. Murgatroyd J. B., The Strength of Glass Fibers, Part II, The Effect of Heat
Treatment on Strength, J, Soc. Glass Tech., 28, 388—405 (1944).
34. О г о w a n E., The Tensile Strength of Mica and the Problem of the Technical
Strength, Z. Phyzik, 82, 235—266 (1933).
35. Or owan E., The Mechanical Strength Properties and the Real Structure of Crystals,
Z. Kristallo graphic, 89, 327—343 (1934).
36. Orowan E., Fracture and Strength of Solids, Hep. Prog. Phys., 12, 185—232 (1949).
37. Otto W. H., Relationship of Tensile Strength of Glass Fibers to Diameter, J. Am.
Cer. Soc., 38, 122—124 (1955).
38. Reinkober O., The Tear Strength of Thin Quartz Filaments, Physik. Z., 32,
243—250 (1931).
39. Robertson E. C., Experimental Study of the Strength of Rocks, Bull. Geol. Soc.
Am., 66, 1275—1314 (1955).
40. Ryschkewi tch E., The Plasticity of Brittle Materials, Indust. Diamond Rev.,
6, 339—344 (1946); переведено из Glastech. Ber., 20, 166—174 (1942).
41. S a ck R. A., Extension of Griffith’s Theory of Rupture to Three Dimensions, Proc.
Phys. Soc. (London). 58, 729—736 (1946).
42. Schardin H., Velocity Effects in Fracture, в книге: Fracture, AverbachB-E.,
et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., and Wiley, New York, 1959, pp. 297—330;
русский перевод: III a p д и п X., Исследование скоростей разрушения, в книге:
Атомный механизм разрушения, Металлургиздат, 1963, стр. 297.
43. S m е k а 1 A. G. Dynamics of the Brittle Tensile Fracture of Cylindrical Glass Bars,
Sitzungsberichte (Osterreichische Akademie der Wissenschaften), 161, 361—373 (1952).
44. S n e d d о n I. N., The Distribution of Stress in the Neighborhood of a Crack in an
Elastic Solid, Proc. Roy. Soc. (London), A187, 229—260 (1946).
45. Stanworth J. E., Physical Properties of Glass, Oxford Univ. Press, London,
1950, pp. 65—115.
46. Sucov E. W., New Statistical Treatment of Ball Indentation Data to Determine
Distribution of Flaws in Glass, J. Am. Cer. Soc., 45, 214—218 (1962).
47. T e t e 1 m a n A. S., The Hydrogen Embrittlement of Ferrous Alloys, Fracture in
Solids, AIME Conference Series, Vol. 20, Intersci., New York, 1963, pp. 671—708.
48. Warshaw I., Structural Implications of the Electron Microscopy of Glass Surfa-
ces, J. Am. Cer. Soc., 43, 4—9 (1960).
49. W e i b u 11 W., A Statistical Theory of the Strength of Materials, Ingeniors Vetens-
kaps Akademien, Handlingar, № 151, 1939.
50. W e i b u I 1 W., The Phenomenon of Rupture in Solids, Ingeniors V'etenskaps Akade-
mien, Handlingar, 153, 1939.
51. Y о f f e E. H., The Moving Griffith Crack, Phil. Mag., 7th Ser., 42, 739—750 (1951).
52. Z w i с к у F., Cleavage Strength of Rock Salt, Physik. Z., 24, 131—137 (1923).
www.vokb-la.spb.ru
Глава 13
ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
13.1. ВВЕДЕНИЕ
В отличие от хрупкого разрушения при пластическом разрушении
до разрушения может возникнуть большая остаточная деформация. Предель-
ный случай разделения образца на две части в результате вязкой или пласти-
ческой деформации, продолжающейся до тех пор, пока площадь попереч-
ного сечения не уменьшится до нуля, называется разрывом а). Если произой-
дет заметная пластическая деформация, но образуется поверхность излома
и величина деформации меньше, чем при разрыве, процесс называют плас-
тическим разрушением 2). Сначала будут рассмотрены нагрузки и удлине-
ния, которые можно ожидать при разрыве гладких и различным образом
надрезанных образцов, исходя из теории пластичности, а затем некоторые
механизмы образования пор и трещин, возникающих в пластичных мате-
риалах перед их разрывом. Сюда относятся и нарушение сплошности вокруг
дислокаций при трехосном напряженном состоянии, и рост пустот у вклю-
чений или других неоднородностей, и еще необъясненный рост мелких
трещин. Другим видом разрушения, которое может произойти даже после
значительной пластической деформации, является скол кристаллов по
определенным плоскостям кристаллической решетки, который будет рассмот-
рен в гл. 14.
Так как разрушение начинается при определенной комбинации напря-
жений и деформаций, анализ простых случаев, основанный на рассмотре-
нии цилиндрических пор, приводит к критерию разрушения, который зна-
чительно сильнее зависит от всей предыстории напряжений и деформаций,
чем условия пластичности. Он указывает также на сильную зависимость
разрушения от анизотропии включений, около которых происходит рост
пор, и от отношения размера образца к расстоянию между включениями.
При очень больших концентрациях деформаций, возникающих при
наличии трещин, пластическое разрушение может произойти при номиналь-
ных напряжениях ниже предела текучести. Тогда, даже если материал
и пластичный, конструкция разрушается хрупко в том смысле, что общая
величина пластической деформации до разрушения мала. Будет предложен
механизм такого разрушения для простого случая трещины при продольном
сдвиге и даны примеры применения этих результатов для других практиче-
ских случаев, включая растяжение.
13.2. РАЗРЫВ
Непрерывное растяжение образца может привести к постепенному умень-
шению площади поперечного сечения до исчезающе малой величины. Такой
процесс называется разрывом (rupture). Если разделение образца на две
части произойдет при меньшем удлинении, чем это необходимо для разрыва,
процесс называется разрушением (fracture). Когда происходит разрушение,
*) В отечественной литературе отсутствует специальный термин для разрушения
при 100%-ном сужении шейки. Более правильным было бы относить этот случай не к раз-
рушению, а к одному из видов нарушения прочности.— Прим. ред.
®) Существует также равноправный термин «вязкое разрушение». — Прим. ред.
www. vokb- la. spb. ru
Таблица 13.1
Формулы для максимальной пагрузки Рмаьс и удлинения D при разрыве для пластичных материалов с пределом текучести ат
и пределом прочности при растяжении аь [21]
Образец
Результат
Источник
Условия: при t/an 1
для м = 0, р = 0, ^./^>8,67(2/1/3)^-^
ат
(формулы для других случаев см. в [21])
[13]
для р/ап<е{п’w)/2—1
Рмакс = (W) (2""г) [ (1+)In (1 +7Г) ]
для р/ап > —1
ап
Л
для со < — , р/ап <0,2
[21]
www. vokb- la. spb. ru
У словил: при tian 1
> (2/УЗ) (<Ть/<Тт)
2оь \
Уз)
(аге0
Z) — ап
F1. определяется формулой (13.7)
[21]
Задача 13.1
Образец
Результат
Источник
www.vokb-la.spb.ru
У слови я: при t/an 1
ограничения на as;an неизвестны, см. [14]
1
{2ant) для р/лп<у, о)<141°
D = t
Условия: rt/rn > 3,20
Рмакс — 2,9 (оьлг^) для р = 0, w = 0 (при условии пластичности Треска)
D неизвестно
Условия: при t/nn > 1
ограничения на as/a:i неизвестны
Ммакс = —4" j (1,38) для ы<(88", p/fln = 0
<чакс=^'у^“) ДЛЯ P/ar* = 0>17’ W<G2°
Разрыва не происходит
[34]
[48, 34]
[Ю]
Продолжение табл. 13.1
Образец
Результат
Источник
Условия: при t/an 1
[И]
www.vokb-la.spb.ru
asian > 1,39 ( — ] Fl для р/а„^О, а = бО°
\ /
ПЛ ( \ ГА ОСЛ
Ломакс— ~j ^’2®)
^макс уменьшается примерно линейно с р/а
Ломакс (1,16)
Разрыва не происходит
для со <60°, р/яп = О
п вплоть до величины
длясо<98°, р/вл = 0,25
Условия: при t/an < 1
ограничения на es/en неизвестны
/ arF \
^макс = 1,07 [СТЬ—) Для Р/°п<0,1, ш< 141°
Разрыва не происходит. Момент для случая двустороннего надреза по приведен, но
может быть получен из приведенных выше данных
Условия: ограничения отсутствуют
^макс —
Разрыва не происходит
[91
Пластическое разрушение
363
то величина, на которую удлинение при разрушении оказывается меньше
удлинения разрыва, является мерой чувствительности к разрушению.
В принципе может произойти разрыв и монокристаллов, сдвиг которых
происходит лишь в одной плоскости скольжения. Тогда после достижения
максимальной нагрузки деформация локализуется в одной плоскости так,
что две части образца просто сдвигаются одна по другой, как это показано
на фиг. 4.31 для кристалла цинка. В этом случае удлинение при разрыве
определяется ориентацией системы плоскостей скольжения.
Можно также вычислить удлинение разрыва и для поликристаллов.
В действительности вычисления сделаны для сравнительно малого числа
случаев даже для неупрочняющихся материалов. Одним из таких случаев,
для которого можно вычислить удлинение разрыва, является растяжение
образца с односторонним надрезом в условиях плоской деформации, рас-
смотренное в разд. 9.6 и 9.8. Попеременный сдвиг в двух активных плоско-
стях скольжения дает удлинение при разрыве, равное минимальной толщи-
не образца (задача 13.1). Наилучшие из имеющихся результатов
для других надрезанных образцов из деформационно неупрочняющегося
материала сведены в табл. 13.1. Заметим, что, как правило, удлинение разры-
ва надрезанных образцов составляет от половины до удвоенной величины
минимального размера образца. Если материал деформационно упрочняется,
то в результате увеличения области пластической деформации удлинение
будет больше. Например, вспоминая результат задачи 7.6, видим, что равно-
мерное удлинение при растяжении материала, упрочняющегося в соответ-
ствии с законом о = ще", равно показателю степени п.
При однородном сжатии, изгибе или кручении разрыв произойти не
может, так как поперечное сечение никогда не станет исчезающе малым.
13.3 МЕХАНИЗМЫ ПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Хрупкое разрушение и разрыв являются предельными формами разру-
шения. Между ними лежит пластическое разрушение, определяемое как
разделение тела в присутствии некоторой пластической деформации, но при
наличии ясно выраженной поверхности разрушения и при меньшем удли-
нении, чем в случае разрыва. Иногда, как, например, в стали при низкой
температуре, пластическая деформация ограничивается деформацией по гра-
ницам зереп, которая необходима для слияния хрупких трещин скола
в отдельных зернах. Такое разрушение более подробно рассматривается
в гл. 14. Здесь же будут описаны случаи, в которых определяющую роль
играет макроскопическая пластическая деформация.
А. Возникновение пластического разрушения
Иногда при испытаниях на растяжение диаграмма нагрузка — дефор-
мация перед самым разрушением резко идет вниз. Если испытание пре-
рвать, не доводя до разрушения, то в сечении можно обнаружить внутреннюю
трещину типа показанной на фиг. 13.1. Более тщательное исследование
часто обнаруживает раскрытие пустот у окисных включений (фиг. 13.2).
В стали первопричиной могут быть трещины в сравнительно хрупком пер-
лите [36]. Другой причиной могут явиться границы зерен, содержащие при-
меси или включения (разд. 14.4).Некоторые из этих дефектов присутствуют
с самого начала деформации, они присущи исходному металлу. Другие
возникают лишь после прохождения значительной пластической деформа-
ции, тогда начало разрушения определяется напряжениями на хрупких
элементах.
Иногда разрушению предшествует такая чрезвычайная локализация
деформации, что механизм окончательного разрушения никак с ней не свя-
www.vokb-la.spb.ru
364
Глава 13
зан. Пример показан на фиг. 13.3, где интенсивный сдвиг происходил в диаго-
нальной плоскости. По счастливой случайности разрушение отклонилось
от этой плоскости, оставив доказательства интенсивности сдвига. Другим
Ф и г. 13.1. Внутренняя трещина
в шейке растянутого образца из
технически чистой (99,9%) элек-
тролитной меди в состоянии по-
ставки [30].
Размер указан неверно, должно
быть 0,1 ЛМ1
примером служит излом дисперсионно-
твсрдеющего сплава, показанный на
фиг. 13.4. Здесь кручение привело к пе-
ремещениям, нормальным к плоскости
сечения. Разрывы в метках на поверх-
ности свидетельствуют о том, что отно-
сительная деформация в полосах сколь-
Фиг. 13.2. Поры, возникшие
у включений в медном образце
па фиг. 13.1 [30|.
жения больше 4. Вполне вероятно, что в полосах скольжения происходит
деформационное разупрочнение сплава, возможно, вследствие старения. При
Ф в г. 13.3. Срез при разрушении медного образца на фиг. 13.1 с образованием конуса
и чашечки [31].
а — после полировки; б — после травления.
таких больших деформациях разрушение в полосах скольжения возникает
с помощью нескольких механизмов. Если это так, то, как только скорость
упрочнения станет достаточно низка, чтобы могли возникнуть такие высокие
www.vokb-la.spb.ru
Пдиетическое разрушение
305
концентрации деформации, для разрушения потребуется лишь небольшая
дополнительная деформация образца. Критической точкой этого процесса
Фиг. 13.4. Полосы скольжения и трещины около надреза в алюминиево-цинковом
сплаве 7075-Т6.
Сдвиг в направлении нормали к плоскости страницы.
является тогда не само разрушение, а деформация, необходимая для умень-
шения скорости упрочнения до критической величины. Этот способ обра-
зования трещин будет зависеть главным образом от деформации, а пе от
напряжений.
Фиг. 13.5. Образование трещины от дислокации в пузырьковой модели при двухосной
деформации.
Диаметр пузырьков 1,0 ,м.м.
Интересно рассмотреть вопрос о том, может ли начаться разрушение
в чистых металлах, в которых пет других дефектов, кроме дислокаций.
Различные возможности такого процесса будут обсуждаться в гл. 14, а здесь
мы рассмотрим предельный случай: раскрытие полости от единственной
дислокации при двухосной деформации, как это показано на пузырьковой
модели кристалла, приведенной на фиг. 13.5 [24]. Необходимая деформация
www. vokb-la. spb. ru
366
Глава 13
составила в этом случае несколько процентов, что меньше, чем следует
из соображений идеальной прочности совершенной решетки. После образо-
вания трещины разрушение быстро развивалось с помощью других дислока-
ций, расходящихся от трещины и приводящих к раскрытию полости. Во вся-
ком случае, контролирующим параметром здесь является высокое трехос-
ное напряжение.
Б. Развитие пластического разрушения
Если начало пластического разрушения является следствием возникно-
вения трещин в хрупких фазах или у включений, то развитие разрушения
является более критической фазой, чем его возникновение, так как тре-
щины вскоре притупляются, превращаясь в ряд небольших пор. Количе-
ственно эта задача будет рассмотрена в следующем разделе, а здесь доста-
точно сказать, что рост и соединение пор будут определяться величиной
Ф и г. 13.6. Тонкие трещины в центре образца из алюминия 1100 с двусторонним надре-
зом 126].
дальнейшей пластической деформации и поперечными напряжениями, кото-
рые стремятся раскрыть поры вместо того, чтобы позволить им вытягиваться
в длинные безопасные продольные нити. Если направление главных напря-
жений изменяется, важное значение приобретет и поворот пор. Условия
разрушения будут зависеть в первую очередь от предыстории напряжений
и деформации, а не от их текущих значений, как это имеет место при течении.
Когда начало разрушения обусловлено чрезвычайно локализованной
концентрацией деформаций, возникающей в результате деформационного
разупрочнения, то развитие разрушения является простым продолжением
его возникновения. Рассмотренные выше случаи происходили при сдвиге,
но возможно, что этот процесс приводит также к росту очень тонких трещин
при растяжении, что наблюдалось Пеймарком [26] в алюминиевых образцах
с двусторонним надрезом (фиг. 13.6). Паттик наблюдал также тонкие тре-
щины в железе [30]. Их малая толщина указывает на высокое приращение
длины трещины на единицу удлинения. Механизм роста таких острых трещин
еще не ясен. На атомном уровне любое движение дислокаций под действием
напряжения у вершины трещины будет приводить к затуплению трещин,
что дает макроскопически тупые трещины, если при этом отсутствуют иные
механизмы роста трещин (задача 13.2). Паркер обнаружил поверхно-
сти разрушения, совпадающие с направлением скольжения [29].
В масштабе континуума величина напряжений и деформаций вокруг
вершины трещины при одноосном растяжении еще не установлена, но опять
www.vokb-la.spb.ru
-S
www.vokb-la.spb.ru
Пластическое разрушение
367'
можно ожидать затупления трещин, если только деформационное разупроч-
нение не приведет к высокой локализации пластической деформации. Если
это затупление конца трещины имеет место, то вид разрушения будет
зависеть от деформации, которая приводит материал к критическому
состоянию упрочнения или разупрочнения.
Все сказанное выше должно показать, что, по-видимому, никогда
не будет предложено единственного критерия пластического разрушения,
а, скорее всего, их будет несколько в зависимости от различных комбинаций
напряжений, деформаций и, возможно, их предыстории. Рассмотрим один
из них, а именно критерий разрушения в результате роста пор, после чего
возвратимся к наблюдениям и описаниям разрушения в большем масштабе.
13.4. ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ РОСТА ПОР
В качестве отправной точки для анализа роста пор расе* отрим металл,
содержащий большое число цилиндрических пор на расстоянии I друг
от друга. Допустим, что вначале поры достаточно далеки друг от друга,
так что они не взаимодействуют замет-
ным образом. Их рост можно опреде-
лить, исследуя рост одной поры в ци-
линдре, диаметр которого равен сред-
нему расстоянию между порами, как по-
казано на фиг. 13.7, в то время как
длина и диаметр цилиндра изменяются
в соответствии с макроскопической дефор-
мацией металла.
Когда отношение радиуса поры к рас-
стоянию между ними увеличится в доста-
точной степени, например в F раз, можно
принять, что поры стали достаточно близки
друг к другу, чтобы начать взаимодей-
ствовать. Затем быстро последует разру-
шение в результате местных разрывов.
Множитель F должен иметь порядок отно-
шения исходного расстояния между
порами к их радиусу, которое для доста-
точно прочного металла достигает несколь-
ких сотен. Степень повреждения можно вы-
разить через отношение приращения ради-
уса а поры к диаметру всего элемента,
так что разрушение произойдет при пов-
реждении 1], равном единице. Приращение
жение расположения цилиндриче-
ских пор.
повреждения составит
А] = — d In (a/Z)/ln F.
(13.1)
Нужно выразить скорость повреждения через составляющие напряже-
ний и приращений деформаций в образце как едином целом. Если состав-
ляющие поперечных напряжений равны, сечения пор будут оставаться
круглыми и их рост может быть исслсдовап сравнительно просто. Измене-
ние расстояния между порами, если пренебречь изменением плотности при
росте пор, может быть выражено через любую из компонент деформаций
на бесконечности:
- -dc“/2 = -*J2. (13.2)
Определение изменения радиуса требует анализа деформаций вокруг поры
при двухосном растяжении, аналогичного пластическому анализу, прове-
денному в разд. 10.3, но при произвольной осевой деформации, соответ-
368
Глава 13
ствующей растяжению образца как единого целого. Более удобно восполь-
зоваться условием пластичности Мизеса и ассоциированным законом пласти-
ческого течения, чем применять условие пластичности в виде постоянства
максимальных касательных напряжений. Оказалось, что ироще всего найти
поминальные радиальные напряжения, необходимые для данной окружной
деформации. Из уравнений равновесия и соотношений между напряжениями
и деформациями следует
Ogg 2(7 / derr degf) \ (13 3)
дг ~ г ~ 3r ' * de 1 ( 1
Отношения между приращениями деформаций находятся путем интегриро-
вания уравнений, устанавливающих зависимость между деформациями
Фиг. 13.8. Осевая деформация, необходимая
для разрушения образца в соответствии с фор-
мулой (13.56) при коэффициенте относительно-
го роста пор Г — 100.
(13.5а)
и перемещениями. После введения окружной деформации у отверстия (^Еееа =
= dal а) приращения деформаций принимают вид (задача 13.3)
derr = — [(deOo)о + dezz/2] a*/r2 — dt.J2,
deco = [(^Eoo)a т d&zz!2] a?/rs — dezz!2.
Подстановка этих уравнений и формул, определяющих эквивалентные
напряжения и деформации, в соотношение (13.3), последующее интегриро-
вание, дальнейшее решение относительно приращения окружной деформации
на поверхности поры и подстановка полученного результата вместе с форму-
лой (13.2) в формулу (13.1) дают скорость повреждения (задача 13.4)
Ф] _ Уз sh [Узо“/(о2—°^)1
de.zz 2 In F
Это выражение может быть непосредственно проинтегрировано, и если компо-
ненты напряжений постоянны, то деформация при разрушении будет
” y§sh[y^/(o--o£)]’ ‘ ’
Уравнение (13.56) показывает очень сильную зависимость деформации при
разрушении от величины поперечных напряжений. Эта зависимость пред-
ставлена в виде графика на фиг. 13.8.
Когда все три главные компоненты деформации имеют различную
величину, поры становятся более или менее эллиптическими. Анализ для
вязкого материала дан Бергом [3]. Путем сравнения вязкого и пластическо-
го решения для круглых пор была получена оценка для пластических
пор с неодинаковыми компонентами поперечных напряжений ваа и ст^.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическое разрушение
369
Влияние деформационного упрочнения было учтено приближенным образом
с помощью показателя п в выражении о = ще'1. Полученные приближенные
уравнения для повреждения и деформаций разрушения, аналогичные урав-
нениям (13.5), имеют вид [24]
sh[(l-n)(P”+P“)/(2a/V3)J
de (1—п)1п/'гЬ
и при постоянном отношении напряжений
1 _________(1- -'О 1п/ г;,__
" sh [(1-«) (<т^ + о^)/(2ч/Уз)] *
(13.6а)
(13.66)
При трехосном растяжении имеет место сильное влияние упрочнения в связи
с присутствием в уравнениях гиперболического синуса. Пример поверхно-
сти разрушения для некоторого неупрочняющегося материала приведен
Фиг. 13.9. Зависимость деформации раарушения от среднего нормального напряжения
в гипотетическом прокатанном слябе.
Виды разрушения обозначаются по направлению оси пор и направлению роста, который становится кри-
тическим при следующих произвольно принятых коэффициентах роста для каждого вида разрушения:
FWT — 40, FTW — 80, Ftl — 120, FjT = 20, Ff w = 30, FWJ = 60. (Первый символ в индексе —
для оси пор, второй — для направления критического роста.)
на фиг. 13.9. Три главные компонентытдеформации отложены в одной пло-
скости в треугольной системе координат, что возможно вследствие допуще-
ния о несжимаемости материала. Отношение среднего нормального напря-
жения к эквивалентному напряжению нанесено в виде третьей координаты.
Следует подчеркнуть, что эта поверхность сконструирована для предысто-
2 4—92
www.vokb-la.spb.ru
370
Глава 13
рии нагружения с постоянным отношением главных напряжений. В боль-
шинстве случаев, например при образовании шейки на растягиваемом образ-
це, отношение напряжений изменяется во время испытаний, и поэтому
уравнение для скорости повреждения нужно интегрировать, принимая
во внимание предысторию напряжений. Более того, если направление глав-
ных напряжений изменяется, поворачиваются также и оси эллиптических
пор, что будет влиять на процесс слияния пор [24].
Несмотря на свои ограничения, критерий пластического разрушения
в результате роста пор ценен тем, что и он и критерий Гриффитса для хруп-
кого разрушения дают предельные случаи, с которыми могут сравниваться
другие механизмы пластического разрушения.
13.5. РАЗРУШЕНИЕ ГЛАДКИХ ОБРАЗЦОВ
А. Виды разрушения
Примеры различных видов разрушения при испытаниях на растяжение
гладких образцов приведены на фиг. 13.10. Сначала будет рассмотрено
разрушение с образованием конуса и чашечки, фиг. 13.10, б, так как они
Ф и г. 13.10. Типичные вицы изломов при растяжении образцов [7].
а — кованое железа (рваный излом имеет следы шлака); б — термообработанная легированная стал,
(идеальный излом конусом и чашечкой); в — термообработанная легированная сталь (розеточное разру-
шение); г — термообработанный дуралюмип (разрушение срезом); д —серый чугун (зернистый излом)-
является одним из наиболее часто встречающихся разрушений пластичных
металлов. Как упоминалось в разд. 7.7, деформация но сечению шейки
растянутого образца распределена сравнительно равномерно, но поперечные
и соответствующие большие осевые напряжения возникают в центре, так
что если только пе имеется особой склонности для начала разрушения на
поверхности, оно начнется в центре, как показано на фиг. 13.1. Сначала
разрушение распространяется к поверхности образца примерно нормально
к направлению максимальных растягивающих напряжений. Когда трещина
приближается к поверхности, конфигурация оставшейся неразрушенной
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
11 ла ст ич еское разру шел, не
371
части образца становится аналогичной случаю растяжения пластины с одно-
сторонним надрезом, допускающей возникновение деформации сдвига еди-
ничной величины в обеих из двух плоскостей, идущих от вершины трещины
под углом 45° к направлению трещины (см. разд. 9.6 и 10.6). Если материал
не может сопротивляться такой деформации при одновременном действии
нормальных напряжений, равных половине деформирующего напряжения,
трещина распространяется вдоль плоскости под углом 45е к оси образца,
что приведет к излому с образованием чашечки и конуса, показанному на
на фиг. 13.10,6. Было высказано предположение, что разрушение путем среза
с образованием конуса и чашечки является следствием адиабатического
Ф и г. 13.11. [33].
а-—пластическое разрушение при кручении алюминиевого силана 2024-Т4 (размеры выражены
в дюймах); б — хрупкое разрушение при кручении.
нагрева образца, но ранние сообщения об исчезновении области разрушения
срезом при испытаниях на жесткой машине не были подтверждены поздними
исследованиями. Например, образцы из малоуглеродистой стали, растяги-
ваемые так медленно, что адиабатический нагрев в течение процесса разру-
шения был пренебрежимо мал, деформировались так же, как и образец,
показанный на фиг. 13.3.
Если материал может выдержать сдвиг и нормальные напряжения
на плоскости под углом 45э к оси образца, то деформация будет происходить
так, как показано на фиг. 9.14 (при некотором наложении окружной дефор-
мации). Это приводит к разрушению двойной чашечкой, возникающему
в результате разрыва оставшегося материала [32].
Разрушение посредством кажущегося среза (apparent shear) J) может
произойти в образцах, которые перед разрушением дают сравнительно
малую шейку (фиг. 13.10, г). В действительности, помимо касательного
напряжения, в плоскости разрушения имеется нормальное напряжение,
действующее перпендикулярно плоскости трещины. Такой вид разрушения
более вероятен в образцах, вырезанных из листа или плиты, в которых
в результате прокатки возникает анизотропия свойств, хотя причины раз-
рушения не известны.
В сравнительно хрупких материалах разрушение может идти нормально
к направлению максимальных растягивающих напряжений не только в цент-
ре, но и по всему сечению образца, как это имеет место для чугунных образ-
цов (фиг. 13.10, 6).
Длинные цепочки включений, расположенные в осевом направлении,
могут в результате роста пор дать изломы в плоскостях, параллельных оси
J) Обычно в этом случае используется термин «разрушение путем среза». Автор вво-
дит попятив «кажущегося среза», учитывая наличие нормальных напряжений на поверх-
ности разрушения.— Прим. ред.
24*
www. vokb- la. spb. ru
372
Глава 13
образца. Примерами такого осевого разрушения являются шиферное
и розеточное разрушения, показанные на фиг. 13.10, айв. После того как
произойдет фактическое расщепление образца, поперечные напряжения исче-
зают, осевая несущая способность образца падает и наступает немедленное
разрушение по типу кажущегося среза. Шиферное разрушение может встре-
чаться в холоднотянутой проволоке даже без присутствия очевидных вклю-
чений.
Обычным типом разрушения при кручении является срез по плоскости,
нормальной к оси образца, как показано на фиг. 13.11, а. Характер ранних
областей излома искажается трением поверхностей трещины по мере ее про-
движения внутрь образца, но область окончательного разрушения н центре
имеет матовый вид. В более хрупких материалах наблюдается винтовой
излом, как показано па фиг. 13.11, б, что свидетельствует о преобладающем
влиянии нормальных напряжений. Преимуществом испытаний образцов
на кручение по сравнению с растяжением является то обстоятельство,
что деформация и напряжения при кручении имеют наибольшую величину
на поверхности образца, так что можно наблюдать начало разрушения
с помощью микроскопа. Без сомнения, дальнейшие исследования характера
этого разрушения будут весьма полезны.
Б. Влияние сложного напряженного состояния
Влияние поперечных напряжений па начало появления трещин при
разрушении чашечкой и конусом было исследовано Ужиком [37], который
обнаружил, что устранение поперечных напряжений в центре образца
путем высверливания в образце осевого
Ф и г. 13.12. Среднее напряжение
в зависимости от деформации
в центре образца, находящегося
под гидростатическим давлением [51.
отверстия малого диаметра изменяет вид
разрушения от разрушения с образованием
чашечки и конуса к разрушению срезом.
Более основательное исследование влия-
ния давления проведено Бриджменом [5|,
который прикладывал к образцу гидро-
статическое давление во время его испыта-
ния на растяжение. Как и следовало ожи-
дать, им обнаружено, что высокое давление
оказывает сравнительно малое влияние на
предел текучести материала, но приводит
к заметному увеличению сужения. Действи-
тельно, эффект так велик, что образец в
шейке суживается до величины, при которой
кривизна приводит к такому среднему нор-
мальному напряжению в центре шейки,
которое больше, чем при испытаниях при
атмосферном давлении (фиг. 13.12). Оче-
видно, предыстория пластической деформа-
ции каким-то способом привела к зажив-
лению дефектов образца, так что, даже
когда напряжения в центре образца становятся растягивающими, раз-
рушения не происходит до тех пор, пока не пройдет дальнейшая дефор-
мация, которая еще больше, чем деформация, необходимая для разрушения
образца при атмосферном давлении. Окончательное разрушение имеет
тенденцию к срезу, а не к разрушению с образованием чашечки и конуса.
Оба этих результата совместимы с разрушением, обусловленным ростом пор,
рассмотренным в разд. 13.4. При таких испытаниях достигалась не только
*) Этот вид разрушения иногда носит название «древовидного».— Прим, перев.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическое разрушение
373
высокая степень наклепа, но также и заметная анизотропия, которую можно
было ожидать вследствие возникновения внутри зерен поликристалличе-
ского материала предпочтительной ориентации. Заметное увеличение пла-
стичности может привести к предположению, что если материал наклепать
при высоком гидростатическом давлении, то могут быть улучшены и другие
свойства, например сопротивление усталостному разрушению.
Влияние различных напряженных состояний на деформацию и разруше-
ние может быть экспериментально просто проведено при испытаниях на рас-
тяжение и кручение. Интерпретация результатов не очень проста, так как
кручение приводит к повороту многих пор, которые могут расти. Это ясно
продемонстрировано Бакофеном и др. [2], которые показали, что растяже-
ние меди, предварительно подвергнутой деформации кручения, дает винто-
вой излом типа «волчье ухо», а обратное кручение с целью свести суммар-
ный угол закручивания к нулю восстанавливает обычный вид разрушения *).
Данные испытаний на кручение и растяжение приведены в табл. 13.2. Как
и можно было ожидать, эквивалентные деформации не совпадают.
Таблица 13.2
Сравнение деформаций разрушения при растяжении
и кручении |121
Материал Предел прочно- сти, кз/мм£ Экв ива лентная пластическая деформация
растя- жение кручение
Алюминий 1100-0, отжиг при 349° С 9,1 2,62 7,3
Латунь 60-40 после прокатки 3,9 0,68 0,51
Алюминиевый сплав 7075-Т6 59,0 0,37 0,34
Сталь 4340, закалка в масле с 826° С, отпуск при 201° С 190 0,52 0,16
Простого объяснения различия этих результатов не существует, и, вероя-
ятно, здесь действует несколько механизмов разрушения. При деформаци-
онном разупрочнении двойники иногда локализуются в одном месте, приводя
к большей деформации, чем вычисленная по результатам общих измерений,
но неизвестно, имеет ли место это явление в данных испытаниях.
Перейдем теперь к двухосному растяжению. При исследовании тонко-
стенных медных трубок, нагруженных осевой силой и внутренним давле-
нием, Дэвис [8] получил результаты, приведенные в табл. 13.3. Локальное
сужение сопровождалось разрушением по окружности, и, следовательно,
отношение главных напряжений при разрушении было более близким
к отношению при плоской деформации, чем приведенное в таблице отноше-
ние номинальных главных напряжений. Поэтому разделение результатов
на две группы не вызывает удивления (задача 13.5). Очевидно, имеет-
ся также анизотропия. Терри и Маккларен [35] для изучения разрушения
при двухосном растяжении в высокопрочных листовых материалах исполь-
зовали образцы специальной крестообразной формы. Полученные результа-
ты приведены в табл. 13.4. Присутствие любого поперечного напряжения
заметно уменьшает эквивалентную пластическую деформацию при разру-
шении, особенно для относительно более пластичных материалов. Однако,
*) Исчерпание пластичности ио направлению нагружения и полное ее сохранение
при нагружении по другим направлениям демонстрируется эффектными испытаниями
на растяжение и кручение двойных образцов, см. Фридман Я. Б., 3 и л о в а Т. К.,
Демина Н. И., Изучение пластической деформации и разрушения методом накатан-
ных сеток, Оборонгиз, 1962.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
374
Гл ива 13
Таблица 13.3
Влияние сложного напряженного состояния на локальную
эквивалентную пластическую деформацию
при разрушении меди |8[
Окружное напря- жение На правлен не трещины _р Б
Осевое напряжение
0 По окружности -0,33 —0,51 0,85
» » —0,06 —0,73 0,88
3/8 » » —0,02 -0,76 0,89
» » 0,02 —0,69 0,81
3/4 Продольное 0.12 —0,38 0,53
1 » 0,18 —0,40 0,60
2 » 0,20 —0,29 0,49
Та£лица 13.4
Эквивалентная пластическая деформация при разрушении высокопрочных
листовых материалов (максимальное главное напряжение
перпендикулярно направлению прокатки) [35]
Материал Предел прочности, кг /дин% Отношение осевого напряжения к поперечному Эквивалентная пластическая деформация, % Число образцов
Алюминий 2014-Т6 49 1 : 0 11, 13 2
1 : ’/2 2,5—4,5 3
1 : 1 5—9 5
Титан B-120VCA 127—138 1 : 0 7—14
1 : V2 2,1—2,3 3
1 : 1 3-6 3
Высокопрочная сталь. 272—200 1 : 0 3—20 6
5Сг, Mo, V
1 : 1;-> 3,5-4,5 3
1 : 1 Г)—-t 3
Пизкопрочпая сталь, 151 — 161 1 : 0 25, 28 2
5Сг, Mo, V 1 : 1/2 3; 4,5 2
1 : 1 5—6 3
Самозакаливающаяся 207 1 : 0 3—9 4
сталь Х-200 1 : V2 1—4,5 2
1 : 1 2—5 4
как это ни странно, большее поперечное напряжение приводит к большей
эквивалентной пластической деформации (хотя и к меньшей максимальной
главной деформации). Ценность этих различных механических испытаний
была бы значительно выше, если бы они сопровождались металлографиче-
скими исследованиями.
Используя образцы с двусторонним надрезом из алюминиево-цинкового
сплава 7075-Т6 в условиях плоской деформации, Неймарк [261 установил,
что эквивалентная деформация при разрушении уменьшается с ростом сред-
них нормальных напряжений, как это показано в табл. 13.5.
Другой способ получепия поперечного растяжения состоит в припаива-
нии твердым припоем тонкого слоя из мягкого материала между двух жест-
ких стальных блоков. При отрыве этих блоков друг от друга в испыты-
ваемом пластичном материале возникает напряженное состояние с боль-
вюй степенью трехосности, что может привести к разделению блоков в резуль-
тате слияния серии пор в испытуемом материале [251.
Экстремальный случай трехосности получен динамическим способом
О’Брайеном и Дэвисом 127]. Они взрывали заряд на одной стороне толстой
www. vokb- la.spb.ru
Пла г пшческое ра л/»у темне
375
плиты, создавая том самым волну сжатия с крутым фронтом и медленным
спадом. Эта волна сжатия распространялась через плиту, отражалась от ее
свободной стороны в виде волны растяжения и приводила к возникновению
Таблица 13.5
Эквивалентная пластическая деформация
при разрушении алюминиевого сплава 7075-Т6 [26]
Вид испытания Среднее нор- мальное напря- жение, кг/льпЗ Эквивалентная пластическая _р деформация е
Кручение 0 0,48
Без надреза 38,5 0/14
Надрез, 120° 82,5 0,22
Надрез, 90е 103 0,20
плоской волны растяжения. Если максимальное напряжение растяжения
в плоской волне достигает величины (Ц в материале с эквивалентным дефор-
мирующим напряжением <7Т, то поперечное напряжение растяжения, необ-
ходимое для движения плоской волны, равно cFj — ог.
О'Брайен и Дэвис установили, что для ряда алюминиевых сплавов
от медноалюминиевого сплава 2024-ТЗ и алюминия промышленной чистоты
и до монокристаллов высокой степени чистоты напряжение, необходимое
для разрушения путем раскрытия серии пор, во всех случаях составляло
около 140 кг/мм2, даже если начальные пределы текучести различались
в 5000 раз. Имеются по крайней мере две причины этой замечательной
постоянности напряжения разрушения. Во-первых, очень сильная волна
сжатия, проходящая по материалу, вызывает пластическую деформацию
и весьма значительное деформационное упрочнение. Во-вторых, тот факт,
что уровни напряжений почти постоянны, может быть следствием актива-
ции одного механизма разрушения, общего для всех исследованных сплавов
алюминия. Этим механизмом, например, может оказаться рост сначала
трещин, а затем пор от отдельных дислокаций (фиг. 13.5) или от пересечений
расщепленных дислокаций.
В заключение можно сказать, что вследствие наличия разнообразных
механизмов в разрушении общего правила для учета влияния давления
на величину эквивалентной деформации при пластическом разрушении,
по-видимому, дать нельзя. Большие средние или поперечные давления
способствуют замедлению разрушения, однако могут существовать и исклю-
чения.
13.6. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К НАДРЕЗУ
При испытаниях на растяжение сужение площади поперечного сечения
является полезной мерой пластичности, причем 100%-ное сужение соот-
ветствует чистому разрыву. В присутствии надреза большие местные дефор-
мации могут дать виды разрушения, рассмотренные в предыдущем разделе,
даже когда удлинение и, возможно, максимальная нагрузка ниже значений,
приведенных в табл. 13.1, для чистого разрыва. Поэтому мы сравним харак-
теристики образца, в котором имеется надрез, с характеристиками стан-
дартного образца из жестко-пластического неупрочняющегося материа-
ла, предел текучести которого равен пределу прочности испытываемого
материала. В качестве стандарта используется предел прочности при растя-
жении, так как, прежде чем нагрузка достигнет максимальной величины,
можно ожидать некоторого деформационного упрочнения. Коэффициент
нагрузки Fl и коэффициент деформации Fv надрезанных участков опреде-
www. vokb- la.spb.ru
376
Глава 13
ляются следующим образом [211:
р ___Фактическая максимальная нагрузка
ь LСтандартная нагрузка ’
р ___ Фактическое удлинение в надрезе при разрушении (13.7)
D Стандартное удлинение при разрыве
Чувствительность к надрезу часто определялась по величине отношения
максимальной нагрузки надрезанного образца к максимальной нагрузке
ненадрезанного образца с той же площадью минимального поперечного
сечения, но такой способ может давать неправильное представление (зада-
ч а 13.6).
Установлено, что для чистого алюминия коэффициенты деформации
и нагрузки для различных надрезов лежат в диапазоне от 0,7 до 1,2. Для образ-
ца с односторонним надрезом из сплава 7075-Т6 коэффициенты деформации
близки к нулю. Для образца, линейные размеры которого увеличены в 10 раз,
коэффициент нагрузки падает от 0,65 до 0,44. Этот масштабный эффект
имеет для разрушения большое значение. При определении сопротивления
деформации размер конструкции можно не учитывать. Однако при опреде-
лении сопротивления разрушению возможен определенный масштабный
эффект, так как из двух геометрически подобных образцов больший имеет
меньший коэффициент нагрузки или деформации. Это соображение может
иметь существенное значение при использовании результатов лабораторных
испытаний для оценки сопротивления разрушению больших изделий. Как мы
увидим в разд. 13.7, если пластическое разрушение происходит при номи-
нально упругих условиях, масштабный эффект может быть предсказан теоре-
тически. При полностью пластических условиях деформирования для теоре-
тического предсказания коэффициентов нагрузки и деформации знания рас-
пределений напряжений и деформаций недостаточно. Поэтому при исполь-
зовании этих коэффициентов для оценки характеристик деталей из разных
материалов или различной формы нужно все результаты видоизменять в све-
те современных количественных представлений о влиянии на разрушение
различных факторов.
13.7. МЕХАНИКА УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
При особо неблагоприятных сочетаниях геометрии и материала может
возникнуть сравнительно малая зона пластической деформации (например,
у вершины трещипы), которая всецело окружена и контролируется одним
из стандартных видов распределений напряжений упругости в особой точке,
рассмотренных в разд. 10.6. Поэтому разрушение, которое зависит от напря-
жений и деформаций в пластической области, будет определяться коэффи-
циентом интенсивности напряжений (и его предысторией), который контро-
лирует пластическую зону. Идеально, вокруг трещины существует ряд
областей, причем каждая из пих дает граничные условия для следующей,
как показано на фиг. 13.13. На больших расстояниях действуют приложен-
ные напряжения номинальной величины и материал находится в упругой
области. Ближе к вершине трещины имеет место концентрация напряжений,
распределение которых выражается через три коэффициента интенсивности
напряжений, как было рассмотрено в разд. 10.6. Еще ближе имеется пласти-
ческая область, величина напряжений и деформаций в которой будет зависеть
от сингулярности напряжений окружающего упругого поля некоторым еще
неизвестным образом. Наконец, следуют области, где материал становится
неоднородным, сначала вследствие границ зерен, затем субзерен и, наконец,
дислокаций и атомов. Трудность заключается в том, что эти области могут
перекрываться. Например, номинальные напряжения могут быть настолько
высоки, что пластическая зона будет слишком велика, чтобы ее можно
www. vokb- la. spb. ru
Пластическое разрушение
377
Иены и
электронный газ
I «Г7с/и ।
Зерна,
включения,
пустоты
Упруго -
пластическое
поле
Ю'1
Особая точка
упругого поля
|—j—*j
Переходная
область
[*- 10 см ♦)
Плоское дегрормира-
ванное состояние
Ф и г. 13.13. Конец трещины в различном масштабе.
Номинальные'
напряжения
•*100 см Н
было рассматривать как простую особую точку упругого поля, потому
что на нее в свою очередь оказывают влияние границы образца. С другой
стороны, пластическая зона может быть настолько мала, что на нее замет-
ное влияние оказывает структура материала. В первом случае требуется
оптимальное упруго-пластическое решение, во втором случае при изучении
разрушения следует попытаться исходить только из распределения упругих
напряжений независимо от описания, которое могло бы быть получено
из деформации субзерен.
Даже в тех случаях, когда существуют отдельные области с простым
распределением напряжений, известных решений мало. Для роста трещины
в упруго-пластических условиях получено лишь решение для трещины при
продольном сдвиге (параллельно трещине и ее передней кромке). Это являет-
ся предельным случаем кручения круглого стержня с кольцевым надрезом
или трещиной, растущей из шпоночной канавки в вале.
www. vokb- la.spb.ru
378
Глава 13
До того как трещина начнет расти, распределение напряжений и дефор-
маций такое, как получено в разд. 10.6. Имеется зона пластической дефор-
мации, простирающаяся перед трещиной на расстояние R. Внутри этой
зоны в точке, отстоящей от конца трещины на расстояние г, деформация
выражается через деформацию на пределе текучести при сдвиге ут — k!G
с помощью соотношения
у (10.30)
В деформационно неупрочняющемся материале разрушение не может зави-
сеть от напряжений, поскольку они постоянны по всей пластической зоне.
Более того, при чистом сдвиге степень трехосности напряженного состояния
не изменяется в процессе деформации. В качестве первого приближения
можно принять, что разрушение зависит лишь от деформации и что разру-
шение произойдет, когда деформация достигнет критической величины. Так
как в вершине острого надреза, где г = 0, деформация всегда бесконечна,
этот критерий разрушения показывает, что разрушение должно произойти
при произвольно низком уровне напряжений. Эта бесконечная деформация
имеет место в исчезающе малой области. Фактически же для разрушения
путем роста пор необходимо, чтобы деформация достигла некоторой крити-
ческой величины в области, сравнимой с расстоянием между зародышами
пор. С другой стороны, если разрушение происходит в результате чрезмер-
ной деформации в полосах скольжения внутри зерен, критическая дефор-
мация должна произойти в области, включающей большую часть зерна.
Линейный размер таких областей может быть назван структурным парамет-
ром материала ps. В качестве простого постулата, совместимого с этими
соображениями, примем, что разрушение произойдет после того, как пласти-
ческая деформация разрушения уу пройдет во всех точках отрезка прямой
ps непосредственно перед фронтом трещины. Из формул (10.29) и (10.30),
дающих распределение деформаций для низкого уровня приложенных
напряжений, получим напряжение для начала движения трещины из надреза
глубиной с (задача 13.7)
Оазэо = к Kpg [(7}‘/7т) + 1 J/c. (13.8)
После того как трещина начала расти из исходного надреза [если только
соотношение (13.8) еще применимо], то, поскольку необходимое для ее роста
напряжение будет падать, трещина немедленно должна стать нестабильной.
Но при выводе этого соотношения было принято, что нагрузка была прило-
жена в то время, когда трещина или надрез имели фиксированную длину.
В действительности же при пластической деформации в точке перед трещи-
ной деформация оказывается меньше, если большая часть нагрузки была при-
ложена в процессе роста трещины (задачи 13.15 и 13.16). Поэтому рас-
пространение трещины прекратится до тех пор, пока не произойдет дальней-
шее увеличение нагрузки. Процесс деформации при начальном нагружении,
деформация в результате роста трещины и дальнейшее увеличение дефор-
мации вследствие прироста нагрузки, необходимого для подготовки образца
к следующему приросту трещины, показаны на фиг. 13.14. В конце концов
наступает момент, когда прирост деформации вследствие роста трещины
становится достаточным, чтобы довести деформацию материала на протя-
жении одного структурного параметра ps перед трещиной до деформации
разрушения. Теперь трещина становится нестабильной, так как она может
расти без дальнейшего увеличения приложенных напряжений. Можно
найти численное значение радиуса пластической зоны, при котором это
может произойти. Очень хорошее приближение для радиуса пластической
зоны получается путем вычисления длины трещины в момент нестабиль-
ности, когда трещина подвержена действию постоянной силы. В этом случае
www. vokb- la. spb. ru
Пластическое разрушение
379
возможно точное решение, но оно приводит к весьма сложному выражению.
И в случае надреза под действием возрастающей нагрузки и в случае надреза
под действием постоянной силы при низком уровне напряжений полезная
Ф и г. 13.14. Накопление деформации в процессе роста трещины.
J — прирост деформации в результате дальнейшего цягружспил; 2 — прирост деформации в результате
роста трещины.
приближенная формула для радиуса пластической зоны имеет вид [19]
Ii = ps exp []/ 2уР/ут — 1 ].
(13.9)
При низком уровне напряжений напряжение в момент нестабильности равно
(задача 13.8)
|/р.,ехр(1/ 2?у/тт—1)
Оозсе Оут ~-------- - (13.10)
Когда пластическая деформация стремится к нулю, более точное прибли-
жение, чем даваемое формулой (13.10), показывает, что напряжение неста-
бильности падает до напряжения начала движения, и оба они аппроксими-
руются уравпепием Гриффитса — Орована (12.4) для случая хрупкого раз-
рушения (задача 13.9). Коэффициент интенсивности напряжений
в упругой области
Л’3 = <723® V лс (10.26)
•описывает распределение напряжений в области вершины трещины, которое
приводит к нестабильному распространению трещины. Этот коэффициент
может быть использован совместно с данными табл. 10.3 для нахождения
напряжения разрушения образцов различной формы, если уровень напря-
жения достаточно низок, гак что радиус пластической зоны будет мал
по сравнению с длиной трещины или расстоянием до границы образца. В этом
случае протяженность пластической зоны находится непосредственно из уп-
руго-пластического анализа, как описано в разд. 10.6.
Соответствующие решения механики разрушения для случая растяже-
ния еще не получены. Прямая аналогия, полученная заменой касательных
напряжений и деформаций сдвига на нормальные, по-видимому, дает хорошее
www.vokb-la.spb.ru
Фиг. 13.15. Рост трещины до начала нестабильности [19].
а23оо/Л — отношение номинального напряжения к пределу текучести; cfpg — отношение длины трещины
к структурному параметру материала. Теоретический анализ для сдвига, происходящего го схеме а
(кривые I, 3, 4), выполнен при отношении пластической деформации при разрушении к деформации
текучести Ту/Тт = 10 и 20. Экспериментальные результаты получены при двухосном растяжении, про-
Е/
исходящем по схеме б; ps = 0,1 леч ± 20%, от принято равным 17,5 кг/мм2, 25 ± 20%.
1 — кривые начала нестабильности [уравнение (13.10)1; 2— экспериментальные результаты; 3 тео-
ретические кривые роста трещины при возрастающих напряжениях для 7^/7т = 10; 4 — кривая начала,
движении трещины при возрастающих напряжениях для 7^/^ — 10 [уравнение (13.8)].
S:
Толщина Ь, мм
Ф и г. 13.16. Зависимость радиуса пластической зоны в момент начала нестабильности
от толщины листа алюминиево-ципкового сплава 7075-Т6 [1].
Пс — радиус пластической зоны в момент нестабильности.
www. vokb- la. spb. ru
Пластическое разрушение
381
соотношение для трещин в фольге и тонких листовых материалах 119, 21].
Как показано на фиг. 13.15, характер первоначального стабильного роста
трещин с последующей нестабильностью и близкое совпадение нестабиль-
ности при возрастающей нагрузке с нестабильностью при срезе постоянной
силой показывают, что теория описывает основные особенности пластиче-
ского разрушения при поминальных напряжениях ниже предела теку-
чести.
Для более толстых листов и пластин, после того как толщина станет
больше, чем радиус пластической зоны, возникают условия плоской дефор-
мации. Вероятно, поперечные напряжения заметно уменьшают дефор-
мацию разрушения, что в свою очередь приводит к уменьшению пластической
зоны, необходимой для разрушения. Пример этого приведен на фиг. 13.16,
где пластическая зопа вычислена с помощью приближенной формулы,
аналогичной формуле (10.29):
/?^=с(о/оь)2. (13.11)
В то же самое время, когда протяженность пластической зоны становится
меньше толщины материала, форма разрушения изменяется от косого к пря-
мому излому, оставляя, возможно, лишь небольшие участки среза вблизи
поверхностей листа.
В условиях плоской деформации критерий разрушения будет зависеть
как от нормальных напряжений, так и от деформации, принятой в теории,
которая привела к формуле (13.9). В ожидании дальнейших теоретических
разработок необходимо проводить сопоставление результатов по такому
параметру, как приближенный размер пластической зоны, вычисленный
из формулы (13.11), или по коэффициенту интенсивности напряжений Ki
в предположении, что упруго-пластическая область достаточно мала по срав-
Таблица 13.6
Параметры сингулярности ноля напряжений, используемые
для описания разрушения 1)
Наименование Обозначение Определение через А'х Источник
Коэффициент интенсивности напряжений в особой точке fcj, SKi К, «1 А^/Д/л Ki —Ai/угл [17] [1] [39]
Номинальный радиус пласти- ческой зоны В (1/л) (А,/^)2 [20]
Эквивалентная поверхностная энергия а, у Для плоского напряженного состояния Kf/2E Для плоской деформации Kf (1 - у2)/2Е [15, 28]
Сила, движущая трещину (ско- рость освобождения энергии упругой деформации) G, $ Для плоского напряженного состояния КУЕ Для плоской деформации А2 (1 - т2)/А [17]
1) Исходя из I<i = оот iznc для трещины длиной 2с в бесконечной плите, где (oqq)p = g ‘
— Ki/ У2лг плюс член порядка го. Индекс 1 относится к трещине при растяжении, индекс с —к кри-
тической величине в момент начала нестабильного роста трещины.
www. vokb- la. spb. ru
382
Глава 13
нению с размерами образца, так что между границами пластической обла-
сти и кромками образца может существовать соответствующая сингуляр-
ность напряжений в упругой области. Другие параметры приведены в табл.
13.6. Приближенные размеры R пластической зоны и соответствующие коэф-
фициенты интенсивности напряжений Ki для ряда материалов приведены
в табл. 13.7.
Таблица 13.7
Характеристики поля напряжений при нестабильном разрушении [17]
Материал Предел текуче- сти, кг/мм2 Толщина, ZUt Темпера- тура, °C я]£, МЛ1 к1е, Кг/мм?>3 Тип раз- рушении
Полиметплметакрп- 7,0 1,27 Комнатная 0,14 4,7 Отрыв
лат литой го рячетянутый 0,89-1,4 11,9—15,1
2024-ТЗ 33,0 0,81 » 13,0 195 Срез
6,4 » 11,2 195 »
101,6 » 12,5 208 Отрыв
7075-Т6 47,5 0,81 1,98 119 Срез
19,05 » 2,24 126 Отрыв
Пруток 51 .и.и 126 »
Малоуглеродистая 73,5 19,05 -80 2,03 188 »
сталь (судовая 70,0 25,4 —40 1,7-2,18 163—181
сталь С, Амери- канское бюро 25,2 19,05 0 28,7 232 Срез
судоходства) Роторная сталь 70,5 152,4 Комнатная <25 <626 Отрыв
NiMoV 62,5 152,4 » 46—G1 755—880 »
Сталь 4340 161 6,4 » 0,71 240 »
Сталь 6150 182 19,05 » 8,1 940 50%-miii
срез
1) 1<1г вычислено по формуле (1/л) (а'1(_/о0 г)2.
13.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для неупрочняющегося материала удлинение до разрыва равно от поло-
вины до двух минимальных размеров детали. Деформационное упрочнение^
ползучесть или вязкое течение могут привести к увеличению этой величины.
Максимальная нагрузка для разрыва пластических материалов определяется
полностью пластическим распределением напряжений и для образцов с раз-
личной формой надреза может быть от одного до трех раз больше нагрузки,,
которую выдерживают гладкие образцы с той же самой площадью минималь-
ного сечения.
Пластическое разрушение происходит путем раскрытия и слияния пор,
возникающих у включений или других неоднородностей, путем роста тонких
трещин, путем деформационного разупрочнения и образования интенсив-
ных полос скольжения или (при очень высоких трехосных напряжениях)
путем роста пор, возникающих от дислокаций или их пересечений. Теория
пластического разрушения, оспованная на росте пор, показывает, что такое
разрушение зависит от предыстории деформации и гидростатической состав-
ляющей напряжений, от отношения размеров образца к расстоянию между
включениями и от анизотропии включений.
Различные механизмы и макроскопические распределения напряжений
и деформаций приводят к разнообразным формам макроскопического раз-
рушения: чашечка и конус, срез, отрыв, розетка и шиферный излом.
www.vokb-la.spb.ru
Пластическое разрушение
383;
Чувствительность к надрезу достаточно пластичных материалов может
быть оценена путем их сравнения с идеальным пластичным материалом.
При больших концентрациях деформаций, как, например, в вершине тре-
щины, пластическое разрушение может произойти при номинальных папря
жениях, меньших предела текучести.
Если допустить, что разрушение при продольном сдвиге произойдет,
когда в области ps материала (деформация текучести которого при сдвиге
равна ут) произошла суммарная деформация у/, то при сдвиге трещина дли-
ной с станет нестабильной, когда касательное напряжение п231» достигнет
критической величины
<*2300 = Gy-n Ps [exp (К2уР/ут— 1)]/с. (13.10)
Эта тенденция трещины к нестабильности может быть описана с помощью
приближенного размера пластической зоны или коэффициента интенсивно-
сти напряжений окружающего упругого поля Kt- Типичные значения этих
параметров приведены в табл. 13.7.
ЗАДАЧИ
13.1. Показать, что для образца с односторонним надрезом из неупроч-
няющегося пластического материала в условиях плоской деформации удли-
нение до разрыва равно минимальной толщине образца.
13.2. Показать, что при растягивающих напряжениях, действующих
поперек трещины, движение дислокации от вершины трещины или к вер-
шине приведет к затуплению трещины.
13.3. Вывести соотношения (13.4) для приращения деформации вокруг
цилиндрического отверстия при осевой деформации df.zz.
13.4. Вывести формулу (13.5а) для прироста повреждения на единицу
осевой деформации, возникающего в результате роста цилиндрических пор
в пластичном материале.
13.5. Найти отношения главных составляющих напряжений, ожида-
емых во время образования круговой шейки в тонкостенной трубке типа
испытанных Дэвисом (табл. 13.3).
13.6. Показать, что для некоторых конфигураций образцов отношение
их максимальной пагрузки к максимальной нагрузке гладких образцов с той
же площадью минимального поперечного сечения может превышать единицу,
в то время как соответствующее отношение для других форм образцов не мо-
жет превышать единицы. Поэтому отношение, равное единице, не является
достаточным доказательством отсутствия чувствительности к надрезу.
13.7. Получить формулу (13.8) для номинальных напряжений, необхо-
димых для начала пластического разрушения в вершине надреза при про-
дольном сдвиге.
13.8. Вывести соотношение (13.10) для номинальных напряжений, необ-
ходимых для нестабильного роста трещины при продольном сдвиге в упруго-
пластическом неупрочняющемся материале, исходя из формулы (13.9).
13.9. /(остаточно точное выражение для пагрузки в момент перехода
к нестабильности имеет вид
Огз» = Сут ]/ps [охр (И Ц-2^/ут— 1)]/с.
Показать, что в предельном случае, когда пластическая деформация стре-
мится к нулю, напряжения для начала роста и начала нестабильности ста-
новятся равными друг другу и соответствуют напряжениям, которые можно
было бы ожидать для хрупкого материала. Какие дополнительные допуще-
ния необходимы?
www. vokb- la. spb. ru
384
Глава 13
13.10. Что можно сказать, исходя из данных табл. 13.2, о механизмах,
приводящих к разрушению четырех материалов, для которых и приведены
эти результаты?
13.11. Вычислить увеличение сужения в шейке в результате действия
давления 9800 кг/см2 для данных Бриджмена, приведенных на фиг. 13.12.
13.12. Начертить график зависимости коэффициента нагрузки от разме-
ра образца для одного из материалов, перечисленных в табл. 13.7. При каком
уровне напряжений эта кривая потеряет силу?
13.13. Показать, сколько явлений пластического разрушения можно
проимитировать при испытаниях на пластилине, в котором имеются отвер-
стия, пробитые, возможно, с помощью выпрямленной скрепки для бумаг.
13.14. а) Чему равен вектор Бюргерса дислокации, показанной на
фиг. 13.5?
б) Почему ширина дислокации (т. е. число сильно смещенных пузырь-
ков) будет возрастать под действием двухосного растяжения [24]?
в) Рассмотреть влияние растворенных атомов на идеальную прочность
совершенной решетки.
13.15. Влияние предыстории нагружения и геометрии на склонность
к разрушению может быть проиллюстрировано путем рассмотрения пре-
дельного случая кручения жестко-пластического стержня. Рассмотрим два
пути нагружения, каждое из которых начинается со стержня длиной I
и диаметром D и оканчивается при закручивании концов стержня на угол 0
и обтачивании центральной части стержня длиной Z/2 до диаметра D/2.
В первом случае стержень сначала закручивается на угол 0 и затем обтачи-
вается до окончательных размеров. При втором пути стержень сначала
обтачивается, а затем закручивается на угол 0. Нарисовать зпюру рас-
пределения деформаций в минимальном сечении для каждой истории нагру-
жения. Нарисовать эпюру распределения напряжений в момент, когда в каж-
дом случае начинается пластическая деформация. Что приводит к разруше-
нию с большей вероятностью, закручивание с последующим ростом надреза,
или рост надреза с последующим закручиванием?
13.1С. Стремление деформации в области перед трещиной, растущей
при продольном сдвиге, оставаться постоянной, как показано с помощью
аналогии в задаче 13.15, заменяется для деформации тенденцией к росту
с увеличением трещины в результате перераспределения напряжений внутри
пластической зоны и некоторых перемещений на ее границе по мере распро-
странения зоны пластической деформации. Оказывается, что результирующее
приращение деформации в точке непосредственно перед трещиной дли-
ной с, когда трещина растет при постоянном напряжении (в первом при-
ближении R/c остается постоянным), равно [22]
dy= (1 J- — 4-In ——) de. (а)
* х<— с \ с ' х^—с) ' >
Чтобы определить первоначальную стабильность трещины, применить кри-
терий разрушения из разд. 13.7 как до, так и после прироста трещины на de
при постоянном приложенном напряжении. Показать, что для точки ps
перед соответствующим концом трещины разность деформаций равна
В качестве примера предлагается рассмотреть материал, [обладающий
по меньшей мере малой пластичностью, например у//ут — 2, так что фор-
мула (10.30) в момент начала роста трещины дает R/ps = 2. Показать, что
соотношение (б) дает уменьшение деформации для трещин, больших 6,5ps,
поэтому эти трещины вначале стабильны. Представить процесс нагружения
на графике зависимости R/c (или приложенного напряжения) от длины
www. vokb-la .spb.ru
Пластическое разрушение
385
трещины и сопоставить его со способом нагружения, которого придержива-
лись для вывода формулы (13.8), для того же самого окончательного значе-
ния R/с и длины трещины. Отметить, что критерий разрушения показывает,
что дальнейшее разрушение для одного способа будет происходить само-
произвольно, а для другого — нет.
ЛИТЕРАТУРА
Хорошим введением в механику разрушения остается обзор Орована [28]. Кот-
трелл [6] показал роль включений при пластическом разрушении. Обзор методов испыта-
ний па разрушение и корреляции полученных результатов с решениями механики разру-
шения дан Ирвином [16] и в обзоре Американского общества испытания материалов [1],
Вопросы пластического разрушения в результате роста тонких трещин, механики раз-
рыва и механики пластической деформации вокруг трещин отражены в соответствующих
работах, ссылки на которые приводятся в тексте.
1. ASTM, Fracture Testing of High Strength Sheet Materials, Bull. ASTM, .N" 243, 29—
40 (1960).
2. Back of en W. A., S h a I e r A. J., H u n d у В. В,, Mechanical Anisotropy
in Copper, Trans. ASM, 46. 655—680 (1954).
3. Berg C. A., The Motion of Cracks in Plane Viscous Deformation, Proc. 4th US Nat.
Con. Appl. Meeh., Vol. 2, 1962, pp. 885—892.
4. Bishop J. F. W., On the Complete Solution to Problems of Deformation of a Pla-
stic-Rigid Material, J. Meeh. Phys. Solids, 2, 43—53 (1953).
5. В r i d g m a n P. W., Studies in Large Plastic Flow and Fracture, McGraw-Hill,
New York, 1952; русский перевод; Бриджмен П. В., Исследование больших
пластических деформаций и разрыва, ИЛ, 1955.
6. Cottrell А. Н., Theoretical Aspects of Fracture, в книге: Fracture, Aver-
bach В. L., et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., find Wiley, New York, 1959,
pp. 20—53; русский перевод: Атомный механизм разрушения, Металлургиздат, 1963.
7. Cowdrey I. Н., Adams R. G., Materials Testing, Wiley, New York, 1935.
8. Davis E. A., Increase of Stress with Permanent Strain and Stress-Strain Relations
in the Plastic Flow of Copper under Combined Stresses, Trans. ASME, 65, A187—A196
(1943).
9. Ford IL, Lianis G., Plastic Yielding of Notched Strip under Conditions of
Plane Stress, Z. Ang. Math. Phys., 8, 360—382 (1957).
10. Green A. P., The Plastic Yielding of Notched Bars Due to Bending, Quart. J. Meeh.
Appl. Math., 6, 223—239 (1953).
11. Green A. P., H un d у В. В., Initial Plastic Yielding in Notch Bend Tests, J.
Meeh. Phys. Solids, 4, 128—144 (1956).
12. Halford G. R., Morrow J., Low Cycle Fatigue in Torsion, Proc. ASTM,
62, 695—709 (1962).
13. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Univ. Press, London, 1950,
p. 250; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности. ГТТИ,
М., 1956.
14. Hill В., On Discontinuous Stress States with Special Reference to Necking in Thin
Sheets, J. Meeh. Phys. Solids, 1, 19—30 (1952).
15. Irwin G. R., Fracture Dynamics, Fracturing of Metals, ASM, Novelty, Ohio, 1948,
pp. 147—166.
16. Irwin G. R-, Fracture Mechanics, Structural Mechanics, Goodicr J. N.,
Hoff N. J. (eds.), Pergamon Press, London. 1960, pp. 557—594.
17. Irwin G. R., Kies J. A., Smith H. L., Fracture Strength Relative to Onset
and Arrest of Crack Propagation, Proc. ASTM, 58, 640—660 (1958).
18. Levin E., Indentation Pressure of a Smooth Circular Punch, Quart. J. Appl. Math.,
13, 133—137 (1955).
19. McClintock F. A., Ductile Fracture Instability in Shear, J. Appl. Meeh.. 25,
581—588 (1958).
20. McClintock F. A., Discussion of Irwin (1960), Trans. ASME J. Basic Eng.,
82D, 423—425 (1960); см. также дискуссию в Mat. Res. Stand.. 1, 277 -279
(1961).
21. McClintock F. A., On Notch Sensitivity, Welding J. Res. Suppl., 26, 202—208
(1961).
22. McClintock F. A., Effects of Root Radius, Stress, Crack Growth and Rate on
Fracture Instability, Proc. Roy. Soc., A285, 58—72 (1965).
23. McClintock F. A., Kaplan S. M., Berg С. A., Ductile Fracture by Hole
Growth in Shear Bauds, 1965 (не опубликовано).
24. McClintock F. A,, O’ D a у W. R., Biaxial Tension, Distributed Dislocation
Cores, and Fracture in Bubble Rafts, Доклад на Международной конференции по раз-
рушению в Сепдас, Япония, 1965.
25—92
www.vokb-la.spb.ru
386
Глава 13
25. М о f f a 11 W. G., Wulff J., Tensile Deformation in Fracture of Brazed Joints.
Welding J. Res. Suppl., 42, 115s—125s (1963).
26. N e i m а г к J. E., The Initiation of Ductile Fracture in Tension, докторская диссер-
тация, MIT, Cambridge, Mass., 1959.
27. O’Brien J. L., Davis R. S., On the Fracture of Solids under Impulsive Loading
Conditions, Response of Metals to High Velocity Deformation, Am. Inst. Mining, Met,
find Pet. Eng., Metallurgical Conferences, Vol. 9, Interscie., New York, 1961, pp. 371 —
388.
28. О г о w a n E., Fracture and Strength of Solids, Rept. Prog. Phys., 12, 186—232 (1949).
29. Parkct E. R., Brittle Behavior of Engineering Structures, Wiley, New York, 1957,
p. 67.
30. Puttick К. E., Ductile Fracture in Metals, Phil. Mag., 4, 964—969 (1959).
31. Put tick К. E., Shear Component of Ductile Fracture, Phil. Mag., 5, 759—762
(1960).
32. Rogers H. C., Tensile Fracture of Ductile Metals, Trans. Met. Soc. AIME, 218,
498—506 (1960).
33. R о s s S. T., S e r n k a R. F., J о m i n у W. E., Some Relationships between
Endurance Limit and Torsional Properties of Steel, Trans. ASM, 48, 119—148 (1956).
34. S h i e I d R. T., On the Plastic Flow of Metals under Conditions of Axial Symmetry.
Proc. Roy. Soc. (London), A233, 267—286 (1955).
35. Terry E. L., McClaren S. W., Biaxial Stress and Strain Data on High
Strength Alloys for Design of Pressurized Components, Tech. Doc. Rept. № ASD-TDR-
62-401, Air Force Systems Command, Office of Technical Services, US Depart, of Com-
merce, Washington 25, D.C., 1962.
36. Tipper C. F., The Fracture of Metals, Metallurgia, 39, 133—137 (1949).
37. Ужик Г. В., Сопротивление отрыву и прочность металлов, Изд-во АН СССР
1950.
38. W а 1 s h J. В., Mackenzie А. С., Elastic-Plastic Torsion of a Circumferentially
Notched Bar. J. Meeh. Phys. Solids, 1, 247—257 (1959).
39. Williams M. L., On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack,
J. Appl. Meeh., 24, 109—114 (1957).
www. vokb-la. spb. ru
Глава 14
ПЕРЕХОДНЫЕ ВИДЫ РАЗРУШЕНИЯ
14.1. ВВЕДЕНИЕ
Хрупкие разрушения конструкций причиняли иногда огромный ущерб.
Торговые суда в холодных водах разламывались на две части, находясь
в гавани (фиг. 14.1), мосты рушились, взрывались трубопроводы и газохра-
нилища. Хотя количественное предсказание хрупкого разрушения еще
невозможно, о многих его особенностях имеется достаточно хорошее пред-
ставление.
Некоторые металлы с объемноцентрированной кубической решеткой,
например малоуглеродистая сталь и вольфрам, и стеклообразные материалы
Ф н г. 14.1, Танкер Т2. разрушившийся у пристани.
типа неорганических стекол и полимеров при повышенных температурах
или низких скоростях деформации будут деформироваться пластически
или вязко. Однако при низких температурах, или высоких скоростях дефор-
мации, или при наличии надреза детали из этих материалов могут разрушать
ся хрупко.
Рассмотрев сначала более простой случай неорганического стекла, пока-
жем, что переход от пластического состояния к хрупкому определяется
очень быстрых! увеличением коэффициента вязкости с понижением темпе-
ратуры.
Далее обсуждаются различные механизмы возникновения трещин в кри-
сталлических материалах в результате пластической деформации и описы-
ваются условия хрупкого распространения трещины. Исследуется влияние
на температуру хрупкого перехода (порог хладноломкости) таких факторов,
как скорость деформации, надрезы, трехосность напряженного состояния
и т. д. Соответствующие закономерности описаны с помощью удобного
графического представления, известного как схема Иофф»е.
Кратко рассмотрены поверхности изломов и показано, как их особенно-
сти могут быть использованы для прослеживания разрушения до места его
25*
www. vokb-la .spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
388
Глава 14
возникновения. В последнем разделе обсуждаются обычные инженерные
испытания, применяемые для определения температуры, при которой проис-
ходит переход от пластического разрушения к хрупкому. Обсуждение
сопровождается некоторыми данными для целого ряда обычных сталей.
14.2. ИЗМЕНЕНИЕ ВИДА РАЗРУШЕНИЯ СТЕКЛООБРАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Явление изменения вида разрушения стеклообразных материалов
в результате действия некоторых факторов является одним из простейших
и поэтому будет рассмотрено первым.
Механические свойства многих стеклообразных материалов могут быть
достаточно хорошо описаны с помощью идеализированной модели, состоящей
из пружины и демпфера. Одним из двух простейших путей моделирования
материала, обладающего упругостью и вязкостью, является последователь-
ное соединение пружины и демпфера, дающее модель, известную как .модель
Максвелла. В этом модели упругая характеристика пружины представляет
юновенный модуль упругости материала, а коэффициент вязкости г] отражает
его стационарную вязкость при растяжении. Если такой материал одноосно
деформируется со скоростью deldt, напряжения в материале будут удов-
летворять дифференциальному уравнению
1 da । о de
Е dt ' т] di
(14.1)
Допустим, что внутри или на поверхности идеального тела Макс-
велла содержатся эллипсоидальные трещины круглые в плане. Хрупкое
разрушение в таком материале может произойти при высоких скоростях
деформации, когда времени для значительного изменения формы эллипсо-
идальной трещины путем вязкой деформации недостаточно. Однако если
коэффициент вязкости очень мал, то трещины изменят свою форму, прежде
чем у их вершин сможет произойти концентрация упругой деформации.
Поэтому произойдет не разрушение, а разрыв материала путем уменьшения
сечения до толщины пита.
Эти эффекты могут быть описаны количественно с помощью формулы
(14.1). Если это уравнение переписать для конечных приращений деформа-
ций, напряжений и времени (А₽, Ао и At соответственно) и считать, что
начальное состояние материала ненапряженное, то
р Де Да Да
AZ 1)/Е Д<
(14.2)
Если время нагружения At f\'E, то первым членом в правой части
соотношения (14.2) можно пренебречь и получить чисто упругое нагруже-
ние. Следовательно, для времени нагружения, намного меньшего i\'E, мате-
риал будет себя вести как идеально упругий. В этом случае прирост локаль-
ных напряжений определяется концентрацией напряжений у трещины,
и, если это локальное напряжение достигнет значения теоретической проч-
ности на растяжение, возникнет хрупкое разрушение (разд. 12.2). И наобо-
рот, если величина ч\!Е намного меньше At, то можно пренебречь вторым
членом в правой части уравнения (14.2) и получить уравнение Ньютона
для вязкого течения. Оно показывает, что при очень малых скоростях дефор-
мации времени для релаксации упругих деформаций всегда достаточно.
13 этом случае вязкая деформация будет изменять форму и ориентацию
трещин, делая их неэффективными, а хрупкое разрушение — невозможным.
Из этих соображений следует, что хрупкое разрушение стеклообразных
материалов определяется относительной величиной постоянной времени
нагружения (за меру этой величины удобно брать величину, обратную скоро-
сти деформации) и величиной т\/Е — временем релаксации материала. Время
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды разрушения
38S
релаксации, будучи пропорциональным коэффициенту вязкости, является
функцией, сильно зависящей от температуры:
(44.3)
где т]0 — постоянная, имеющая размерность коэффициента вязкости: и„ —
энергия активации молекулярного процесса, определяющего величину
вязкой деформации.
Поскольку время релаксации быстро убывает с увеличением температу-
ры, то для данной скорости деформации в некотором диапазоне температур
постоянная времени нагружения станет сравнимой со временем релаксации,
и вид разрушения будет меняться от хрупкого к разрушению путем раз-
рыва. Температура, при которой изменение вида разрушения происходит
наиболее быстро, называется температурой хрупкого перехода J). На прак-
тике температуру хрупкого перехода часто определяют, строя график зави-
симости энергии, поглощаемой в процессе деформации до разрушения,
от температуры, и находят температуру, соответствующую наиболее быстро-
му изменению энергии. Температура перехода является функцией скорости
нарастания напряжений: она будет уменьшаться при меньших скоростях
и увеличиваться при больших.
Изложенные представления об изменении вида разрушения справедливы
лишь для случая одноосного растяжения. Если напряженное состояние
трехосное, то оно не будет способствовать вязкой деформации, облегчая
в то же время хрупкое разрушение. Поэтому трехосность напряженного
состояния имеет большое значение. Можно ожидать, что трехосное растя-
жение приведет к увеличению температуры перехода, в то время как трехос-
ное сжатие будет понижать температуру хрупкого перехода. Во многих
практических случаях разрушение начинается на свободной поверхности.
Тогда самое большее, к чему может привести надрез, будет состоять в уве-
личении среднего главного напряжения. По, как мы уже установили, сред-
нее главное напряжение оказывает на хрупкое разрушение малое влияние.
Поэтому, когда разрушение начинается на поверхности, основное влияние
надреза выражается не столько в создании трехосности, сколько в простом
увеличении скорости местной деформации. Если разрушение возникнет
под поверхностью, тогда трехосность напряженного состояния, создаваемая
надрезом, имеет большое значение.
14.3. ИЗМЕНЕНИЕ ВИДА РАЗРУШЕНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Некоторые кристаллические материалы, у которых деформирующее
напряжение быстро увеличивается с уменьшением температуры и возра-
станием скорости деформации, обнаруживают изменение вида разрушения,
аналогичное охрупчиванию стеклообразных материалов, рассмотренному
выше. К этой категории материалов относятся металлы с объемпоцентриро-
ванной кубической решеткой, например железо и вольфрам, и ионные соли
типа NaGl, АдС1 и MgO. Другой и, возможно, более общей чертой этих
материалов является их способность к сколу вдоль хорошо известных
кристаллографических плоскостей. Хотя изменение вида разрушения в этих
материалах аналогично охрупчиванию стеклообразных материалов, основ-
ные механизмы возникновения и распространения разрушения заметно
отличаются друг от друга.
В структурно стабильных (или по крайней мере метастабильных) стек-
лообразных материалах дефекты такого типа, существование которых было
г) В отечественной литературе используется также термин «критическая темпера-
тура хрупкости».— Прим, перев.
www.vokb-la.spb.ru
390
J 'лава 14
принято при изложении материала предыдущего раздела, могут возникнуть
лишь при механическом повреждении или химической коррозии, но не
в результате самого процесса деформации. Идеальные стеклообразные мате-
риалы поэтому будут или разрушаться хрупким образом, когда номиналь-
ные напряжения в них достигнут теоретической прочности, или вязко дефор-
мироваться и затем разрываться. В обоих случаях энергия, поглощенная
до разрушения, будет большой. Анализ изменения вида разрушения, основан-
ный на энергетических соображениях, не применим. В кристаллических
материалах, в которых наблюдается изменение вида разрушения, имеется
дополнительная возможность образования дефектов типа микротрещин
в процессе скольжения или двойникования. Поэтому эти материалы чувстви-
тельны к хрупкому разрушению при сравнительно низких уровнях напряже-
ний вне зависимости от начального совершенства материала. После того как
в процессе пластической деформации появились такие дефекты, возникнове-
ние хрупкого или пластического разрушения определяется тем, будут
ли удовлетворены условия для распространения разрушения, т. е. выров-
няет или нет дальнейшая пластическая деформация концентрацию
напряжений на дефектах еще до того, как локальные условия будут удов-
летворять критерию распространения хрупкого разрушения. Следователь-
но, в этих материалах имеют место две различные фазы процесса разруше-
ния, а именно фаза возникновения трещин и фаза распространения трещин,
которые будут рассмотрены отдельно в следующих разделах.
14.4. ОБРАЗОВАНИЕ ТРЕЩИН ПОСРЕДСТВОМ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Было обнаружено и проанализировано большое число механизмов
образования трещин путем пластической деформации. Механизмы, которые
мы здесь рассмотрим и которые вряд ли исчерпывают все возможности,
будут объединены в два класса: образование трещин в результате скопления
дислокаций и при пересечении двойников.
А. Возникновение трещин в результате образования скопления дислокаций
1. Скопление дислокаций у сильного препятствия. Концентрация
напряжений у скопления дислокаций, возникающего при остановке
группы краевых дисклокаций жестким препятствием, была рассмотрена
Фиг. 14.2. Возникновение микротрещин при слиянии дислокаций в вершине скопле-
нии [33, 34, 41].
в разд. 4.11. Зинер [411 нашел, что, когда число дислокаций в скоплении
возрастает, головные дислокации скопления могут сблизиться настолько, что
они сольются вместе и образуют трещину, как это изображено на фиг. 14.2.
Стро [33, 34] количественно рассмотрел это явление и показал, что, как
www. vokb-la. spb. ru
Перелойные виды разрушения
391
только две лидирующие дислокации сольются вместе, атомарная микро-
трещина в поле высоких растягивающих напряжений может непрерывно
расти, пока все оставшиеся дислокации скопления не сольются в одну тре-
щину, как показано на фиг, 14.2, б.
При количественном исследовании этой модели Стро [33] нашел, что
скопление из п краевых дислокаций (фиг. 14.3) не только в п раз увеличи-
вает величину приложенного касательного напряжения в голове скопления
(разд. 4.11), но и приводит к концентрации нормальных напряжений в пло-
щадках, располагающихся выше и ниже плоскости скольжения. Эта послед-
няя концентрация напряжений также пропорциональна п (фиг. 14.3). Если
Ф и г. 14.3. Скопление дислокаций у границы зерна И.
В точке В возникает концентрация как касательных, так и нормальных напряжений.
касательное напряжение, приложенное в плоскости скольжения р в направ
лении скольжения q, равно стрд и если имеет место напряжение трения ор,Р
которое дислокации необходимо преодолеть для осуществления движения,
тогда максимальное нормальное напряжение ап у препятствия в точке Б,
согласно Стро, равно
- / 0 \
тр=я(Ор5 Орд)-
(14.4)
Это напряжение возникает при скоплении у препятствия п дислокаций
и действует на площадке, составляющей угол 20° с направлением отрицатель-
ной оси у (фиг. 14.3). Если трещина возникла под действием таких нормаль-
ных напряжений, то напряжения не только должны быть равны теорети-
ческой прочности, но также не должны слишком быстро затухать, поскольку
для роста возникшей трещины из окружающего упругого поля напряжений
должно поступать достаточно энергии деформации, чтобы восполнить затра-
ты энергии на образование поверхностей трещины. Стро показал, что для
поля напряжений вокруг вершины скопления дисклокаций указанное обсто-
ятельство действительно имеет место. Следовательно, условие возникновения
трещип состоит в требовании (разд. 12.2)
_ _ 2лсх Е
П^°С = ~Г= •
(14.5)
Если пренебречь временно силой трения, то окажется, что для возникно-
вения трещины необходимо такое число дислокаций п, которое примерно
равно отношению теоретической прочности к пределу текучести при растя-
жении сгт, т. е.
п ~ ос/щ.. (14.6)
www. vokb-la. spb. ru
392
Глава 14
Для металлов с объемноцентрированной решеткой это отношение составляет
около 300 и не превышает 1000.
Хотя нормальные напряжения, возникающие у скоплений дислокаций,
имеют наибольшую величину в плоскости, составляющей угол 70° с плоско-
стью скопления, трещины могут возникнуть путем скола по плоскости
спайности кристалла. Если материал поликристаллический, напряже-
ние, необходимое для возникновения трещины, будет зависеть от размера
зерна, так как размер зерна определит длину скопления и, следовательно,
величину концентрации напряжений.
О и г. 14.4. Возникновение трещины в результате образования скопления дислокаций
внутриядерна размером d.
Рассмотрим зерно с дислокационным источником, расположенным
в центре зерна в точке А (фиг. 14.4). Если число дислокаций, остановивших-
ся у границ зерна в точках В и В' равно п, их поля напряжений будут дей-
ствовать противоположно полю напряжений в источнике И. Когда суммар-
ное касательное напряжение, возникшее в результате образования скопле-
ния дислокаций, сравняется с приложенным напряжением, источник пре-
кратит работу. Из анализа Эшелон и др. 19] известно, что влияние п дисло-
каций скопления на больших расстояниях примерно такое же, как и одной
гигантской дислокации мощностью пЪ, расположенной вблизи вершины
скопления на расстояния между первой и последней дислокациями.
Из этого соотношения можно вычислить касательное нетто-напряжевсие.
которое может удерживать в равновесии п дислокаций внутри зерна диамет-
ром d.
Это напряжение равно (задача 14.1)
°™ — оРд - d (14.0
Исключение числа п из соотношений (14.4) и (14.7) и использование форму-
лы (14.5) дает следующее условие для образования трещины в поликристал-
ле с диаметром зерна d:
Орд Орд -
iGa
1/3(1— v)d '
(14.8)
При минимальном нормальном напряжении о3 (фиг. 14.5) найденная
разность касательных напряжений по формуле (14.7) выражается через глав-
www. vokb-la .spb.ru
Переходные виды разрушения
393
ные напряжения следующим образом:
от — <т£д-= у [oi —°з —о°] - у (14.8а)
где ст0 — напряжение трения при движении дислокаций, получаемое при
испытаниях на растяжение; множитель q равен 0 для чисто гидростатиче-
ских напряжений и 2 для чистого сдвига. Условия возникновения трещины
Фиг. 14.5. Скопление дислокаций в зер-
не в условиях трехосного напряженного
состояния.
скола путем пластической деформации в пределах зерна могут быть полу-
чены путем объединения уравнений (14.7), (14.8) и (14.8а):
-= ое ф |/
16Ga
1/3(1- v)d
(14.9)
Oo-r^d-1/*,
где К имеет величину порядка 10® дин •слг-3'2, если ст0, (j^id выражены в еди-
ницах системы СГС.
Обсуждение соотношения (14.9) и его применений будет сделано позднее,
после того как в разд. 14.5 будут рассмотрены условия распространения
трещины.
Зарождение трещин в результате образования скопления дислокаций
предполагает, что отсутствует возможность уменьшения концентрации напря-
жений путем скольжения или двойникования в окрестности вершины скоп-
ления дислокаций и что образование трещины является единственно воз-
можным выходом.
Джонстон и др. [15] наблюдали такие трещины вдоль границы двух
кристаллов окиси магния (фиг. 14.6), подвергнутые сжатию при комнатной
температуре. На этой фотографии оставшиеся дислокации в скоплениях
проявляются в виде ямок травления, полученных соответствующим трави-
телем, и ясно видны микротрещины, проникающие в соседнее зерно.
При деформации крупнозернистого железа высокой чистоты при комнат-
ной температуре Макмахон [21] обнаружил, что многие карбидные частицы
по границам зерен разрушились, очевидно, в процессе распространения
в матрице полосы Чернова — Людерса. Типичный случай показан на
фиг. 14.7. По-видимому, разрушение частиц произошло в результате
концентрации напряжений у скопления дислокаций, а не под действием
напряжений, возникающих от растягивающих сил, вызванных деформацией
окружающего феррита (задача 14.2). В этом случае недеформируемые
карбидные частицы, находящиеся на границах зерен, вероятно, могут при-
www. vokb- la. spb. ru
394
Глава 14
способиться к деформации матрицы лишь путем разрушения. Однако на
незагрязненных границах зерен концентрация напряжений у скоплений
дислокаций может быть снята путем скольжения в одном или другом зерне.
Фиг. 14.6. Образование микротрещиц
в конце скопления дислокаций в поли-
кристаллическом MgO [15].
Наклонные ряды ямок травления в нравом
верпе являются скоплениями дислокаций. Две
горизонтальные полосы в зерне со светлыми
ямками травления представляют собой ми-
кротргтипы скола.
Образование выделений по границам зерен может привести к хрупкости
в результате образования трещин по границам зерен [1]. При обычных испы-
таниях малоуглеродистой стали образование трещин также связано с пла-
стинками перлита, но лишь после деформаций порядка единицы.
Фиг. 14.7. Расколотая карбидная частица на границе зерпа в деформированном
образце из железа высокой чистоты: [21].
2. Скопление дислокаций у сидячей дислокации. Коттрелл [51 предложил
другой механизм зарождения трещин в результате образования скопления
дислокаций в объемноцентрированной кубической решетке. Как показано
на фиг. 14.8, в соответствии с этим механизмом необходимо объединение
www. vokb- la. spb. ru
’ > - - • *ЧЙЙ
>-w •«. * , . г <
$£ 5? >
•ЭДвц »
Переходные виды разрушения
395
двух дислокаций, движущихся в пересекающихся плоскостях скольжения,
чтобы образовать нескользящую (сидячую) дислокацию, которая служит
Ф и г. 14.8. Возникновение микротрещпп при
пересечении двух плоскостей скольжения
в о. ц. к. решетке под действием растягивающих
напряжений в направлении [001] [5].
препятствием для остальных дислокаций. Электронно-микроскопическое
исследование тонких железных фольг показало, что такие сидячие дислокации
ф и г. 14.9. Возникновение микротрещины при сдвиге части границы наклона.
котя и многочисленны, но сравнительно коротки [4]. Более того, вычислениями
Стро [371 установлено, что эти дислокации могут распадаться под воздействием
Фиг. 14.10. Скол в монокристалле цинка;
увеличено примерно в 10 раз [11].
скопления дислокаций, прежде чем поле напряжений станет достаточно
большим для образоваиия трещины. Поэтому представляется маловероят-
ным, чтобы этот механизм играл большую роль.
www.vokb-la.spb.ru
396
Глава 14
3. Скопление дислокации в виде малоугловой границы наклона. Если
малоугловая граница наклона сдвигается так, как это показано на фиг. 14.9,
или, наоборот, малоугловая граница наклона образуется при построении
краевых дислокаций в вертикальный ряд в ходе скольжения по параллельным
плоскостям, то в конце границы наклона может возникнуть высокая концент-
рация напряжений. Если локальные нормальные напряжения достигнут
уровня теоретической прочности и если концентрация напряжений с расстоя-
нием затухает не слишком быстро, то может возникнуть трещина, как это
показано па фиг. *14.10 для кристалла цинка. Этот вид зарождения трещин
является весьма общим в неоднородно деформированных гексагональных
металлах, а также в монокристаллах ионных соединений типа окиси магния.
Рассматривая этот механизм, Стро [36] вычислил ориентационную зависи-
мость прочности на растяжение кристаллов цинка, которая хорошо согла-
суется с экспериментальными результатами [7].
Б. Образование трещины при пересечении деформационных двойников
При достаточно высоких напряжениях во многих структурах высокой
симметрии возможно образование деформационных двойников. Когда грани
цы таких двойников пересекаются - может возникнуть высокая концентрация
Ф и г. 14.11. Возникновение трещин при пересечении двух деформационных двойни-
ков [14J.
а - схематическое изображение процесса; б - образование трещины в кремнистом железе.
1 — первичный двойник; 2 — вторичный двойник; 3 — трещина.
напряжений. Это особенно справедливо для кристаллов с объемноцентриро-
ванной решеткой, где деформация сдвига в полосе двойника достигает вели-
чины l/[z 2 (в а д а ч а 14.3). Поэтому если распространение двойника пре-
рвется другим двойником, встретившимся на пути первого, как изображено
на фиг. 14.11, то большие перемещения посредством сдвига через полосу
двойника могут привести к возникновению трещины. Такие трещины были
обнаружены многими исследователями. Так, Халл |14] наблюдал образова
ние трещин с помощью этого механизма в монокристалле твердого раствора
железо — кремний. Весьма примечательно, что, несмотря на большое число
имеющихся обычно пересечений двойников, лишь некоторые из них приводят
к возникновению трещин. Это свидетельствует о том, что в большинстве
случаев концентрация напряжений уменьшается посредством различных
процессов, приводящих к скольжению внутри или вне двойников, прежде-
чем может возникнуть трещина.
www. vokb- la. spb. ru
Переходные виды разрушения
397
14.5. ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ
Образование трещин путем пластической деформации не приводит
к автоматическому разрушению большой детали, так как условия образо-
вания трещины и ее распространения могут быть различными. В монокри-
сталлах (если найдется достаточно сильное препятствие для возникновения
Ф и г. 14.12. Трещина скола в крупнозернистом феррите, продеформированном на 8%
при —195° С [13].
трещины в результате скопления дислокапий или если она возникает при
пересечении двух деформационных двойников) при наличии растягивающих
напряжений образовавшаяся трещина почти всегда бывает достаточной
длины, чтобы удовлетворить условию Гриффитса для распространения тре-
щины (конечно, если трещина не встретит препятствий, способных остановить
и затупить ее в результате пластической деформации). С другой стороны,
в поликристаллических материалах возникшая трещина скола, по-види-
мому, будет остановлена границей зерна, особенно в тех местах, где ориента-
ция плоскостей спайности при переходе в соседнее зерно подвергается боль-
шим скачкообразным изменениям.
После того как трещина остановлена у границы зерна, у верщины
ее может произойти некоторая пластическая деформация и затупить трещину.
На фиг. 14.12 показано расколотое зерно в малоуглеродистой стали, проде-
www.vokb-la.spb.ru
t? JSf $ g
1
398
Глава 14
формированной при —195° С. Отчетливо видна локальная пластическая
деформация в вершине трещины. Для распространения трещины от одного
зерна к другому до окончательного разрушения необходимо, чтобы упругой
энергии, которая освобождается при распространении трещины, было доста-
точно не только для образования новых поверхностей трещины, но также
и для компенсации всей дополнительной работы разрушения. Другими слова-
ми, энергия образования ступенчатых поверхностей скола и работа пластиче-
ской деформации в точках, где изменяется направление распространения
трещины, должны быть почерпнуты из упругой энергии, освобождающейся
при движении трещины. При определенных условиях, когда пластическая
деформация ограничивается тонким слоем на поверхности излома, можно рас-
сматривать локальную работу разрушения на единицу поверхности как
разновидность псевдоповерхностной энергии а', которая должна быть при-
бавлена к поверхностной энергии а в уравнении Гриффитса [25]. Однако,
поскольку удельная работа разрушения обычно равна 10е—107 эрг/см
и на два или три порядка больше поверхностной энергии а (табл. 13.6
и 13.7), последней можно пренебречь по сравнению с работой разрушеция,
что дает следующее соотношение между напряжением о при одноосном растя-
жении и размером трещины с, которое должно выполняться при распростра-
нении трещины:
о== (14.10}
Для поликристаллических материалов, где начальный размер трещины равен
среднему диаметру зерна, величину с можно заменить на d.
Изучение хрупкого разрушения стальных пластин [24] показало, что
толщина пластически продеформированного слоя на поверхности излома
выражается в долях миллиметра (0,2—0,4 зки). Такая зона пластической де-
формации настолько близка к размерам зерна, что континуальная теория пла-
стичности, рассмотренная в разд. 13.7, здесь неприменима [20]. Более того,
Типпер [38] установила, что процесс распространения трещины в этих
случаях не является непрерывным и что впереди главного фронта разруше-
ния внутри пластической зоны могут возникать новые микротрещины. Поэто-
му, когда основной фронт разрушения продвигается по этим трещинам,
происходит слияние ряда микротрещин частично путем скола и частично
путем пластической деформации.
14.6. ПАРАМЕТРЫ, ОКАЗЫВАЮЩИЕ ВЛИЯНИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ
ВИДА РАЗРУШЕНИЯ
Исследование экспериментальных результатов, аналогичных представ-
ленным на фиг. 14.13, показывает, что при равномерном растяжении суще-
ствуют три режима разрушения. При комнатных и более высоких темпера-
турах разрушение при медленном растяжении является совершенно пласти-
ческим и происходит после относительного сужения площади поперечного
сечения образца примерно на 50%. В области А, являющейся верхней
областью режима I, деформирующее напряжение настолько низко, что кон-
центрация напряжений вокруг скоплений дислокаций всегда может быть
снята путем скольжения в соседних зернах. В области В режима I происходит
крутой подъем нижнего предела текучести и, следовательно, повышается
напряжение трения при движении дислокаций ос. Разрушению в этой области
все еще предшествует большое сужение площади поперечного сечения, и оно
начинается как пластическое. Однако по мере распространения разруше-
ния появляется тенденция к разрушению путем скола. Вблизи низкотемпе-
ратурной границы области В на поверхности образца могут быть обнару-
жены неподвижные микротрещины и излом становится кристаллическим
www. vokb- la. spb. ru
Переходные виды разрушения
399
везде, кроме очага разрушения. На низкотемпературной границе этого
режима, по-видимому, начинает удовлетворяться уравнение (14.9).
Однако возникающие микротрещины ограничены размером зерен
и не могут распространяться, пока уровень напряжений не повысится
Ф и г. 14.13. Температурная зависимость механических свойств при растяжении от вида
излома и наличия микротрсщип в крупнозернистой (й = 0,1 лл) стали Е [13].
Д после деформации на 10%; Д после разрушения; ВТ— комнатная температура.
в результате деформационного упрочнения и не будет удовлетворено условие
распространения трещины (14.10). Это граница режима I.
В режиме II предел текучести с понижением температуры продолжает
быстро расти. Частота возникновения трещин увеличивается, и необходимо
лишь-неболыпое повышение уровня напряжений вследствие деформационного
упрочнения, чтобы трещины начали распространяться. Наблюдается резкое
падение относительного сужения площади поперечного сечения. Температура,
соответствующая этому скачку пластичности, называется температурой
хрупкого перехода. В этом режиме, включающем области С, D и Е, наблюдае-
мое число неподвижных микротрещин сначала возрастает, а затем падает
по мере того, как растет напряжение трения при движении дислокаций о0.
Вблизи нижней границы этого режима начинают одновременно удовлетво-
www. vokb- la. spb. ru
400
Глава 14
ряться условия для возникновения и распространения трещин. Это проис-
ходит в результате быстрого увеличения напряжения трения при понижении
температуры. Приложенное напряжение оказывается теперь достаточно боль-
шим, чтобы первая микротрещина начала немедленно распространяться.
Условие (14.9) поэтому становится не только условием для начала разруше-
ния, но также и условием для распространения разрушения. Петч [271
провел эксперименты на малоуглеродистой стали, технически чистом и спект-
рально чистом железе при температуре жидкого азота и установил, что сопро-
тивление хрупкому разрушению всегда удовлетворяет условию типа (14.9),
как показано на фиг. 14.14 (задача 14.4).
В режиме III, который представлен на фиг. 14.13 областью F, микро-
трещин больше не наблюдается. Разрушение здесь происходит внезапно
Ф н г. 14.14. Зависимость сопротивления отрыву (хрупкому) разрушению от размера
зерен при температуре 77° К [27].
• малоуглеродистая сталь: о технически чистое железо: Д спектрально чистое железо.
и сопровождается лишь незначительной пластической деформацией в виде
двойников. Трещины, приводящие к разрушению, по-видимому, возникают
в результате пересечения двойников. В этом режиме макроскопический предел
текучести выше напряжения, необходимого для двойникования, и поэтому
скольжение и образование микротрещин в результате скопления дислокаций
больше не наблюдаются, т. е. соотношение (14.9) больше не является опре-
деляющим.
Как можно видеть из формул (14.9) и (14.10), в крупнозернистых образ-
цах границы между режимами I и II (температура хрупкого перехода),
а также между II и III сдвинутся по температурной шкале вверх, в то время
как для мелкозернистых образцов они будут смещаться вниз.
При исследовании влияния размера зерна на предел прочности Лоу [17]
обнаружил (фиг. 14.15), что для зерен размером меньше критического, удов-
летворяющим уравнениям (14.9) и (14.10), разрушению всегда предшествует
некоторая пластическая деформация. При размере зерен больше критиче-
ского разрушение происходит, когда уравнение (14.9) удовлетворяется без
какой-либо макроскопической пластической деформации, хотя, по-видимому,
некоторая микроскопическая пластическая деформация в отдельных зернах
имеет место. При этом было замечено, что уравнение (14.10) всегда удовлет-
воряется прежде уравнения (14.9) и разрушение зависит от образования
трещин в соответствии с этим последним уравнением (14.9).
Известно, что увеличение скорости деформации приводит к росту напря-
жения трения, т. е. к тому же эффекту, который дает понижение темпера-
туры. Десятикратное увеличение скорости деформирования эквивалентно
понижению температуры примерно на 15° С.
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды разрушения
401
Присутствие больших напряжений при трехосном растяжении снижает
величину q [см. (14.8а)] и делает скольжение возможным только при больших
напряжениях т. е. оказывается возможным одновременное удовлетворение
уравнений (14.9) и (14.10). Отсюда следует увеличение температуры хрупкого
перехода. Два последних фактора объясняют изменение вида излома
в области В на фиг. 14.13. По мере того как происходит медленное распро-
странение пластического разрушения, сопровождающегося образованием зон
интенсивной пластической деформации, может возникнуть напряженное
состояние с высокой степенью трехосности, которое повышает локальную
Ф п г. 14.15. Зависимость пределов текучести и прочности малоуглеродистой стали
от размера зерна при температуре 77° К [17].
_ 1/8
Две точки на оси ординат (d = 0) соответствуют сопротивлению скола монокристалла.
А предел прочности; О предел текучести; □ деформация при разрушении.
температуру хрупкого перехода и делает возможным разрушение сколом. Как
только начнется быстрое хрупкое разрушение, высокая скорость дефор-
мации в ограниченной пластической зоне в конце распространяющейся тре-
щины оказывается достаточной для поддержания распространения разру-
шения сколом. Если распространение этого разрушения прекратится, оно
не может опять начаться хрупким способом, пока дальнейшая интенсивная
пластическая деформация и некоторое пластическое разрушение не повысят
степень трехосности до необходимого высокого уровня, как это наблюдалось
Фелбеком и Орованом [10] и показано на фиг. 14.16.
Сильное влияние скорости деформации на температуру хрупкого пере-
хода может быть легко продемонстрировано путем сравнения температуры
хрупкого перехода при медленном испытании на растяжение (фиг. 14.13)
с температурой перехода при ударных испытаниях надрезанных образцов
ТПарпи из той же стали, результаты которых приведены на фиг. 14.17.
Результаты наблюдений Потта и Коттрелла Ц6] процесса разрушения
при медленном изгибе надрезанных образцов ПТарпи находятся в хорошем
соответствии с данными Хана, Авербаха, Оуэна и Коэна [13]. Потт и Кот-
трелл показали, что при всех температурах разрушению предшествует неко-
торая пластическая деформация в вершине надреза. В то время как при 100° К
эта пластическая деформация идет путем двойникования и почти неизмеримо
мала, она составляет почти 100% при комнатной температуре и распростра-
1/4 26—92
www.vokb-la.spb.ru
402
Глава 14
няется на все узкое сечение образца. На фиг. 14.18 показано, как при изгибе
надрезанного образца пластическое разрушение переходит в хрупкое раз-
рушение сколом.
Влияние примесей, особенно примесей внедрения, таких, как атомы
углерода, на температуру хрупкого перехода весьма существенно. Было
Ф и г. 14.16. Поверхность излома плиты из судовой стали, демонстрирующая скачкооб
разное распространение трещины [10].
показано, что при медленном испытании на растяжение железа, очищенного
зонной плавкой, относительное сужение при температуре жидкого гелия
может достичь 90% [32]. Очень сильное повышение температуры хрупкого
Ф и г-. 14.17. Влияние содержания углерода на ход кривых температурной зависи-
мости работы разрушения [29].
перехода с увеличением содержания углерода, обнаруженное при испыта-
ниях надрезанных образцов Шарли, показано на фиг. 14.19. Вполне очевид-
но что это влияние должно проявляться главным образом в связи с упроч-
нением, возникающим в результате блокировки возможных источников
скольжения, которые могли бы потенциально снимать концентрацию напря
жений вблизи отдельных скоплений дислокаций. Другие примеси, которые
не очень эффективно влияют на верхний предел текучести, но приводят тем
не менее к некоторому упрочнению за счет образования твердого раствора,
могут, как показано на фиг, 14.19, дать аналогичный, но менее сильный
эффект, чем углерод. Полезное влияние оказывает лишь титан и марганец.
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды разрушения
403
Большие дозы облучения частицами высоких энергии, например нейтро-
нами, могут привести к увеличению напряжения трения при движении
дислокаций ц0 и, следовательно, к повышению температуры перехода. Уилсон
и Биллингтон [40] наблюдали, что при дозе облучения нейтронами 2,5 -1019 см~2
температура хрупкого перехода корпусной стали увеличилась на 80° С.
Имеют место и другие, менее очевидные эффекты. Напряжение трения о0,
а также удельная работа разрушения а сильно зависят от пласти-
ческой деформации, т. е. если соотношения (14.9) и (14.10) не могут быть
удовлетворены в самом начале пластической деформации, то в процессе
Ф и г. 14.18. Изменение вида разрушения от пластического к разрушению путем скол;г
при температуре 290е К [16].
развития деформации этим уровнениям удовлетворить труднее. Это проис-
ходит потому, что пластическая деформация с сопутствующими ей изгибом
и поворотом решетки нарушает плоскости спайности и резко увеличивает
работу хрупкого разрушения.
Наличие эффекта увеличения сопротивления сколу после некоторой
пластической деформации было показано Гилманом [12], который измерил
удельную работу разрушения для ряда переформированных и деформирован-
ных кристаллов и обнаружил значительное увеличение работы разрушения
последних. В этом так же заключается причина снижения температуры
хрупкого перехода в результате предварительной пластической деформации
при достаточно большом гидростатическом сжатии. Однако при ударных
испытаниях надрезанных образцов предварительная пластическая дефор-
мация довольно часто приводит к повышению температуры хрупкого пере-
хода- Причиной этого, по-видимому, является повышение деформирующего
напряжения вследствие упрочнения наряду с высокой степенью трехосности
напряженного состояния. Уильямс и Хью [39] обнаружили, однако, пони-
жение температуры хрупкого перехода с увеличением степени паклепа
(ср. также разд. 14.7),
Для облегчения сравнения все эти эффекты сведены в табл. 14.1. Можно
утверждать, что любой зффект, который приводит к повышению деформи-
рующего напряжения без большого увеличения а', повышает температуру
хрупкого перехода.
Совершенно очевидно, что в инженерной практике желательно держать
температуру хрупкого перехода по возможности низкой. Поэтому необхо-
димо избегать любых острых углов или надрезов, которые при неизбежных
перегрузках могут привести к увеличению трехосности и скорости деформа-
ции и, следовательно, поднять температуру хрупкого перехода до опасного
уровня. Малоуглеродистые стали могут оказаться предпочтительными
но сравнению с более прочными сталями с высоким содержанием углерода,
но с большей температурой хрупкого перехода. Когда же и малоуглеродистые
26*
www.vokb-la.spb.ru
Глава 14
стали не отвечают требованиям низкотемпературного применения, становятся
необходимыми; Сталине высоким содержанием марганца или даже нержа-
Ф п г. 14.19. Влияние химического состава на среднюю температуру хрупкого пере-
хода [29].
См, замечание к задаче 14.5.
веющие стали. Последние, обладая грапецентрированной кубической решет-
кой, не датот’изменения вида разрушения. Процессы пластической обработки
Таблица 14.1
Факторы, оказывающие влияние на температуру хрупкого перехода Т п
Высокая скорость деформации Увеличивает деформирующее напря- жение Повышает Тп
Высокая концентрация промыш- ленных примесей То же То же
Большая трехосность напряжен- ного состояния Требует приложения больших нор- мальных напряжений » »
Деформационное старение Повышает предел текучести » »
Предварительная пластическая де- формация Приводит к увеличению упрочнения (увеличивает а') х) Понижает Тц
Увеличивает деформирующее напря- жение х) Повышает Т1:
Радиационное повреждение Увеличивает дефорштруюшее напря- жение Повышает Тп
1) Эти два эффекта предварительной деформации сравнимы по величине и часто являются приди-
ной противоречивых результатов.
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды разрушения
405
с присущими им высокими составляющими гидростатических сжимающих
напряжений, например прокатка и волочение, полезны, так как приводят
к повышению удельной работы разрушения а' и снижению температуры
хрупкого перехода; однако увеличение деформирующего напряжения делает
эти материалы более чувствительными к надрезу.
Всякий раз, когда это возможно, желателен малый размер зерна, посколь-
ку он ограничивает размер трещин, которые могут образоваться путем пла-
стической деформации.
Установлено, что сварные конструкции часто разрушаются при нормаль-
ных эксплуатационных условиях без заметной пластической деформации,
хотя исходный материал имел достаточно низкую температуру хрупкого
перехода. В таких случаях начало разрушения происходит вблизи сварных
швов. Роки и др. [30] показали, что термомеханические условия вблизи
швов, а именно высокая температура при сварке и термические напряжения,
вызывают весьма нежелательное охрупчивание структуры. Поэтому мате-
риалы необходимо подвергать оценочным испытаниям на образцах, которые
проходят обработку, характерную для процесса изготовления изделия.
Изменения вида разрушения присущи тем материалам, в которых предел
текучести резко растет с уменьшением температуры и которые сравнительно
легко переходят к хрупкому разрушению. Это разрушение, однажды начав-
шись, может распространяться при очень малой величине работы сопутствую-
щей пластической деформации. Предел текучести металлов с гранецентри-
рованпой кубической решеткой малочувствителен к изменению температуры,
и вид разрушения этих металлов не меняется.
14.7. СХЕМА ИОФФЕ’)
Состояния материала, отраженные на фиг. 14.13, были представлены
Иоффе [6] в виде очень удобной схемы, носящей его имя и показанной
на фиг. 14.20. Здесь кривая <гт есть изменение начального предела текучести
Фиг. 14.20. Схема Иоффе для объяснения повышения температуры хрупкого перехода
в результате увеличения предела текучести от.
Размер зерна d постоянен, от — предел текучести; аот — сопротивление отрыву.
я зависимости от абсолютной температуры. Прямой о0т изображено сопро-
тивление отрыву стали при низких температурах при отсутствии общей
пластической деформации. Рассмотрение причин возникновения трещин пока-
’) Рассматриваемая схема принадлежит А. Ф. Иоффе [см. Журнал русского физико-
химического общества, 56, 491 (1924)]. В оригинале приведенная схема названа именем
Н. Н. Давиденкова, с чем нельзя согласиться, так как схема Давиденкова строится
в Других координатах и отличается от схемы Иоффе. В механике материалов разрушение
сколом называется отрывом, а сопротивление хрупкому разрушению — сопротивлением
отрыву; см. Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Оборонгиз, 1952,—
Прим. ред.
1/а 26—92
www.vokb-la.spb.ru
406
Глава 14
зывает, что для достижения приложенным напряжением величины сопро-
тивления отрыву о0т далее при отсутствии общей пластической деформации
необходима небольшая величина местной пластической деформации. Эти
две кривые (от и аот) пересекаются при температуре хрупкого перехода 71)*1.
Ниже Т’г? напряжение в образце станет равным сопротивлению отрыву
до достижения напряжения общей текучести и поэтому произойдет хрупкое
разрушение. Выше температуры Т(к сначала будет достигнут предел теку-
чести и поэтому произойдет большая или меньшая пластическая деформация.
Как указывалось ранее, увеличение скорости деформации, большая степень
трехосности напряженного состояния, наличие примесей и радиационное
повреждение — все это приводит к повышению предела текучести. Вслед-
ствие максимальной трехосности в вершине бесконечно острой трещины
может произойти трехкратное увеличение от, в результате чего кривая от
смещается в положение кривой от, Пересечение кривых <тог и а? происходит
при более высокой температуре /д’, т. е. температура изменения вида раз-
рушения увеличивается от Т’И’ до 7'r’. С другой стороны, предварительная
пластическая деформация при умеренных температурах увеличивает работу
разрушения от а до а' и, следовательно, сопротивление отрыву от оОт до пог,
уменьшая тем самым температуру хрупкого перехода при обычных измене-
ниях от. Уменьшение размера зерна приводит к увеличению сопротивления
отрыву.
14.8 ФРАКТОГРАФИЯ
На поверхностях хрупких изломов кристаллических материалов типа
железа и ионных кристаллов имеются характерные следы, помимо узоров,
рассмотренных при обсуждении хрупкого разрушения стеклообразных мате-
риалов. Имеются волнистые и перьевые узоры (линии волн и рубцов; рубцы
Ф и г. 14.21. Микрофотография очага разрушения стали 4340 |22].
в стали более известны под названием шевронный узор). Эти линии помогают
устанавливать очаг разрушения. Более ярко они выражены в мелкозерни-
стых поликристаллпческих материалах, где влияние кристаллической при-
роды материала менее заметно. Например, на фиг. 14.21 показан очаг хруп-
кого разрушения стали 4340, а на фиг. 14.22 приведена фотография поверх-
ности излома стальной плиты с хорошо развитым шевронным узором, указы-
вающим на очаг разрушения. Исследования излома отдельных зерен или,
что более удобно, поверхностей излома монокристаллов обнаруживают нали-
чие ряда рубцов (перьевых узоров), которые являются ступеньками скола,
идущими нормально к фронту трещины. Эти ступеньки образуются при
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды разрушения 407
соединении различных участков фронта трещины, распространяющихся
в нескольких параллельных плоскостях отрыва. Когда фронт трещины
встречает границы двойника с малыми углами разориентировки или когда
помимо растяжения (перпендикулярно плоскости трещины) имеется крутя-
щий момент, то для предотвращения скручивания плоскостей отрыва возни-
кает новый набор ступенек отрыва. Обычно такие ступеньки сливаются,
образуя одну большую ступеньку. Иногда меныпие ступеньки противополож-
ного знака будут взаимно уничтожать друг друга. Эти следы иногда назы-
вают речным узором, так как трещины-притоки соединяются в направлении
Ф и г. 14.22. Шевронный узор па поверхности излома стальной плиты (слегка умень-
шено) [31].
продвижения фронта трещины. Они также помогают определять место
начала разрушения. На фиг. 14.23 показан речной узор на поверхности
разрушения поликристаллического железа, а на фиг. 14.24 — ступеньки
скола на поверхности разрушения кристалла NaCl.
14.9. ИСПЫТАНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ СКЛОННОСТИ
МЕТАЛЛА К ХРУПКОМУ РАЗРУП1ЕНИЮ
Для решения технических задач часто бывает необходимо оценить чув-
ствительность различных материалов к хрупкому разрушению. Несомненно,
что простое испытание на растяжение для этой цели не годится. Однако
введение в цилиндрический образец острого кольцевого надреза создает
высокую местную скорость деформации и приводит к возникновению трех-
осного напряженного состояния, причем оба зти явления способствуют
хрупкому разрушению.
Наиболее часто для исследования хрупкого разрушения пластичных
в нормальных условиях материалов используются ударные испытания *).
Массивный маятник поднимается на определенную высоту и затем освобож-
дается, производя при своем падении удар по стандартному призматиче-
скому образцу (1x1x5 см), закрепленному в виде консольной балки
(испытание по Изоду) или установленному на опорах для нагружения
!) Методы оценки способности материала противостоять развитию в нем трещин
(чувствительность к трещинам) рассмотрены в книге: Дроздовский Б. А., Фрид-
ман Я. Б., Влияние трещин ла механические свойства конструкционных сталей, Метал-
лургиздат, i960.— Прим,, ред.
26*
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
www.vokb-la.spb.ru
Переходные виды, разрушения
409
по схеме трехточечного (поперечного) изгиба (испытание по Шарпи). Эти
образцы на своей растягиваемой поверхности могут иметь стандартный
надрез, увеличивающий скорость деформации и степень трехосности. При
других ударных испытаниях падающий маятник производит удар вдоль
оси цилиндрического образца с кольцевым надрезом, растягивая его (ударное
растяжение). Во всех случаях энергия, поглощенная в течение деформации
Фиг. 14.25. Зависимость работы разрушения от температуры для 12 сталей, полу-
ченная при испытаниях образцов Шарпи с V-образным надрезом [3].
Состав и свойства сталей см. в табл. 14.2.
и разрушения образца, измеряется по изменению потенциальной энергии
маятника. Такие ударные испытания были проведены при различных тем-
пературах и для различных материалов.
Полученные кривые зависимости энергии, поглощенной во время разру-
шения, от температуры испытаний ясно показывают температуру, при кото-
рой происходит изменение вида разрушения. Этим способом удобно иссле-
довать влияние различных факторов на температуру хрупкого перехода.
На фиг. 14.25 приведена зависимость работы разрушения от температуры
для малоуглеродистых сталей, полученная по результатам ударных, испы-
таний образцов Шарпи с V-образным надрезом. Химический состав и резуль-
таты испытаний на растяжение приведены в табл. 14.2.
Для некоторых случаев практического использования материала счи-
тается достаточным, если работа разрушения при ударном нагружении
образца Шарпи равна 2,1 кгм. При этом возможна эксплуатация материала
несколько ниже температуры хрупкого перехода. Как уже упоминалось,
разрушение после некоторой пластической деформации может быть пласти-
ческим или происходить путем отрыва. Разрушение отрывом обычно
достигает высоких скоростей распространения и расходует при своем раз-
витии меньше энергии, чем пластическое или волокнистое разрушение,
www.vokb-la.spb.ru
410
Глава 14
Таблица 14.2
Химический состав и результаты испытаний на растяжение сталей,
указанных на фиг. 14.25
Сталь i) c Mn Si p s Ni Al Cu Cr Mo Sn N
A 0,26 0,50 0,03 0,012 0,039 0,20 0,012 0,03 0,03 0,006 0,003 0,004
В 0,18 0,73 0,07 0,008 0,030 0,05 0,015 0,07 0,03 0,006 0,012 0,005
С, 0,24 0,48 0,05 0,012 0,026 0,02 0,016 0,03 0,03 0,005 0,003 0,009
D 0,22 0,55 0,21 0,013 0,024 0,16 0,020 0,22 0,12 0,022 0,023 0,005
E 0,20 0,33 0,01 0,013 0,020 0,15 0,009 0,18 0,09 0,018 0,024 0,005
F 0,18 0,82 0,15 0,012 0,031 0,04 0,054 0,05 0,03 0,008 0,021 0,006
G 0,20 0,86 0,19 0,020 0,020 0,08 0,045 0,15 0,04 0,018 0,012 0,006
H 0,18 0,76 0,16 0,012 0,019 0,05 0,053 0,09 0,04 0,006 0,004 0,004
N 0,17 0,53 0,25 0,011 0,020 3,39 0,077 0,19 0,06 0,025 0,017 0,005
<2 0,22 1,13 0,05 0,011 0,030 0,05 0,008 0,13 0,03 0,006 0,018 0,006
Продолжение табл. 14.2
Сталь 1) Состояние Предел текуче- сти, Предел пюочно- сти, кг /мм2 Удлине- ние на базе 50 мм, % Удлине- ние па базе 200 мм, % Относи- тельное сужение, % Твердость по Рок- веллу (шкала В)
A После прокатки 25,2 41,3 41 34 58 60
ви » 22,4 40,2 44 34 64 61
Вн » нормализации 25,2 34,9 44 34 63 60
c » прокатки 25,2 45,5 39 30 56 67
»K » 26,3 45,5 .—. 30 54 —
D„ » нормализации 24,5 42,0 — 32 59 —
En » прокатки 21,0 39,9 —. 32 56 —
E„ » нормализации 24,5 40,2 — 31 56 —
F » прокатки 23,8 42,7 — 31 62 —
G 29,0 49,0 — 28 56 —
H » 25,2 44,4 42 30 63 70
N » 40,6 56,0 35 26 65 84
Q » закалки и отпуска 32,2 50,4 45 23 62 81
1) Стали А, В и С полуспокойпые, D, F, G и
Н полностью раскисленные.
Е кипящая.
которое, как указывалось в разд. 13.3, может представлять собой разрыв
малых объемов. Поэтому, хотя начальной стадии разрушения отрывом
(так же как и распространению трещины при пластическом разрушении)
может предшествовать значительная работа пластической деформации,
в неоднородно напряженных зонах разрушения, возникающего путем
отрыва, трещина удлиняется и быстро распространяется в ранее неде-
формированном материале. По этой причине часто проводят исследования
вида изломов и строят график зависимости процента пластического разру-
шения в изломах образцов Шарпи от температуры испытаний. Это позволяет
установить температуру хрупкого перехода по виду излома, которая обычно
примерно на 100° С выше температуры хрупкого перехода, определенной
по работе разрушения при испытаниях надрезанных или ненадрезанных
образцов (ср. Tf и Td на фиг. 14.13).
В том случае, когда необходимо быстро провести испытание свойств
материалов, призматический стержень можно надрезать пилой, зажать
в тиски и разрушить ударом молотка. По форме разрушенного образца
и виду излома можно судить о склонности материала к хрупкому разру-
шению.
www. vokb- la. spb. ru
Переходные виды разрушения
411
Для изучения влияния на хрупкое разрушение одной только скорости
деформации необходимо получить хрупкое разрушение образца без большой
предварительной пластической деформации. В стальных образпах это можно
осуществить путем создания на поверхности твердого азотированного слоя.
Разрушение будет начинаться в этом слое и достигать в нем большой ско-
рости, достаточной для того, чтобы в мягком материале разрушение происхо-
дило хрупко путем отрыва [231.
14.10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Некоторые материалы, претерпевающие обычно пластическое разруше-
ние, могут при определенных условиях температуры и нагружения дать
резкое изменение вида разрушения от пластического к достаточно хрупкому.
К этой категории материалов относится большинство стеклообразных мате-
риалов и некоторые конструкционные металлы, главным образом с объемно-
центрированной, а нс грапецептрировапной кубической решеткой.
В стеклообразных материалах изменение вида разрушения определяется
быстрым ростом коэффициента вязкости с уменьшением температуры, так
что материал, который свободно деформируется при повышенной темпера-
туре, приобретает склонность к хрупкому распространению трещинопо-
добных дефектов, когда состояние материала изменяется от вязкого до
упругого.
В материалах с объемноцентрированной кубической решеткой, для
которых наблюдается большое увеличение предела текучести при пониже-
нии температуры и увеличении скорости деформации, становится возмож-
ным хрупкое распространение трещин вдоль плоскостей {100}. В этих
материалах дефекты также могут возникать путем пластической деформации.
Скопления краевых дислокаций у сильных препятствий, например у границ
зерен, могут привести к появлению у препятствий очень высоких нормаль-
ных напряжений. Если эти нормальные напряжения не могут быть сняты
локальной пластической деформацией, то возможно возникновение трещин,
когда нормальные напряжения достигнут величины теоретической проч-
ности, а энергии деформации, освобождающейся при появлении трещины,
будет достаточно для образования ее поверхностей. В поликристалличе-
ских материалах, где размер диаметра зерна d ограничивает размер дисло-
кационного скопления, условие, накладываемое на величину растягивающего
напряжения гц, необходимого для возникновения трещины, имеет вид
<l<h = о0 + Kd-l'\ (14.9)
где q — множитель, связанный со степенью трехосности напряжений;
пв — напряжение трения при движении дислокаций, определяемое при
растяжении; К — постоянная материала, имеющая порядок 10® дин-слт3'2.
Помимо скопления дислокаций, которое может иметь различные формы,
к зарождению трещин приводят также напряжения, связанные с пере-
сечением деформационных двойников.
Как только микротрещина пересекла зерно, ее дальнейшее распростра-
нение связано с хрупким разрушением, если выполнено видоизмененное
условие Гриффитса
(Ea'/dy/z, (14.10)
где а' — эффективная удельная работа разрушения, которая включает
работу на соединение трещин скола в соседних зернах. Как можно видеть
из табл. 13.7, эта величина на несколько порядков больше действительной
поверхностной энергии а.
При высоких температурах предел текучести имеет малую величину.
Концентрация напряжений вокруг скоплений дислокаций может всегда
быть снята с помощью местной пластической деформации, и хрупкого раз-
рушения не произойдет. При низких температурах предел текучести при
www. vokb- la. spb. ru
412
Глава. 74
сдвиге может быть настолько высок, что пластическая деформация начнется
путем двойникования; это приводит к зарождению трещин в результате
пересечения двойников и к последующему хрупкому разрушению. В проме-
жуточном диапазоне температур, где идут процессы возникновения трещин
и снятия напряжений путем локальной пластической деформации, возможен
переход от хрупкого разрушения к пластическому. Средняя температура
этого узкого диапазона температур называется температурой хрупкого пере-
хода. Увеличение скорости деформации, упрочнение за счет образования
твердого раствора, деформационное упрочнение (для надрезанных образцов)
или радиационное упрочнение приводят к увеличению деформирующего
напряжения и тем самым к повышению температуры хрупкого перехода.
Малый размер зерна ограничивает размер дефектов и поэтому понижает
температуру хрупкого перехода. При благоприятных условиях искажение
решетки в результате пластической деформации может дать полезный эффект,
приводящий к отклонению и затуплению трещин и затрудняющий их про-
движение.
Линии на поверхностях хрупких изломов делают возможным установ-
ление очага разрушения. Они называются шевронным и речным узорами.
Первые из них имеют определенное сходство с линиями рубцов (перьевыми
линиями) на изломах стекла. В металлах с объемноцентрированной кубиче-
ской решеткой разрушение происходит отрывом в плоскости {100} каждого
зерна, что дает блестящий кристаллический излом.
Чувствительность конструкционных материалов к хрупкому разруше-
нию обычно оценивается при ударных испытаниях надрезанных образцов,
в которых созданы экстремальные условия для скорости деформации и для
возникновения трехосного напряженного состояния. Изменение темпера-
туры испытаний позволяет установить температуру хрупкого перехода,
которая практически для всех целей должна быть достаточно высокой, чтобы
материал можно было использовать для производства изделия. Некоторые
условия конструирования требуют от материала лишь работы разрушения,
равной 2,1 кгм, при ударных испытаниях образцов Шарпи. Температура,
при которой работа разрушения равна 2,1 кгм, обычно лежит ниже темпера-
туры хрупкого перехода, определенной на основании результатов ударных
испытаний при различных температурах. Б ряде случаев, например при
сварке, микроструктура материала может измениться радикальным образом,
что приведет к изменению свойств материала, который имел хорошие харак-
теристики при ударных испытаниях. Поэтому испытания необходимо про-
водить на образцах, прошедших термообработку, типичную для техноло-
гии изготовления данного изделия.
ЗАДАЧИ
14.1. Следуя соображениям, предшествующим формуле (14.7), вывести
соотношение между касательным нетто-напряжением и числом дислокаций
внутри зерна диаметром d.
14.2. Разрушение карбидной частицы, как показано на фиг. 14.7, может
быть связано с растягивающими напряжениями, возникающими при сдвиге
вследствие пластической деформации матрицы, как показано на фиг. 14.26.
Если критическое макроскопическое сопротивление матрицы сдвигу равно
к и карбидная пластинка считается абсолютно жесткой, найти отношение
длины пластины к ее ширине, которое дает критическое растягивающее
напряжение в центре пластинки. Подставив разумные значения к и ос,
вычислить отношнеие l[w. Сравнив эту величину с фотоснимком на фиг. 14.7,
сделать ’заключение о справедливости принятого механизма разрушения.
14.3. Вычислить деформацию сдвига внутри двойника в объемноцентри-
рованной кубической решетке, показанного на фиг. 1.18.
www. vokb- la. spb. ru
Переходные виды разрушения
413
14,4. Определить напряжения трения при движении дислокаций для
малоуглеродистой стали, данные о сопротивлении отрыву которой приведены
на фиг. 14.14. Сравнив наклон прямой на
этой фигуре с коэффициентом К в формуле
(14.9), вычислить величину а. Дает ли это
разумную величину?
14.5. Бак для бензина предназначен
для использования в климатических усло-
виях, где температура может меняться от
—34,5 до 38° С, он должен быть изготовлен
с помощью сварки. В качестве возможного
материала для бака рассматриваются две
марки стали; а) сталь 1018, содержащая
0,18% С, 0,68% Мп, 0,02% Р, 0,01% S,
0,08% Si; б) высокомарганцевая сталь
типа М, содержащая 0,16% С, 1,30% Мп,
0,10% Р, 0,024% S и 0,024% Si. Используя
данные фиг. 14.19, решить, приемлемы ли
зти стали. Обсудить имеющийся риск и оп-
ределить, какие следует провести проверки
и дополнительные испытания. (Замеча-
ние: исходный состав стали, использо-
ванный для получения данных, приведен-
ных на фиг. 14.19, следующий: 0,30% С, Фиг. 14.26.
0,30% Si, 1,00% Мп, остальное Fe. Началь-
ная температура хрупкого перехода, полученная по результатам испыта-
ний образцов Шарпи с V-образным надрезом, составляла 4° С.)
ЛИТЕРАТУРА
1. Adcock F., Bristow С. A., Iron of High Purity, Proc. Roy. Soc. (London),
A153, 172-200 (1936).
2. Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. T., Thomas D. A. (eds.),
Fracture, Proc. Int. Conf., Swampscott, MIT Press and Wiley, New York, 1959.
3. Broodberg A., Davis H. E., Parker E. R., Troxell G. E., Causes
of Cleavage Fracture in Ship Plate-Tests of Wide Notched Plates, Welding J. Res. Suppl.,
27, 186—199 (1948).
4. Carrington W., Hale F. K., McLean D., Arrangement of Dislocations
in Iron, Proc. Roy. Soc. (London), A259, 203—227 (1960).
5. С о 11 r e 11 A. H., Theory of Brittle Fracture in Steel and Similar Metals, Trans.
AIME, 212, 192—203 (1958).
6. Давиденков H. H., Динамические испытания металлов, ОНТИ, 1936.
7. Deruyttere A., Greenough G. В., The Criterion for the Cleavage Fracture
of Zinc Single Crystals, J. Inst. Met., 84, 337—345 (1956).
8. Drucker D. C., Gilman J.J. (eds.), Fracture of Solids, Met. Soc. AIME conf.
20, Intersci., New York, 1963.
9. Eshelby J. D., Frank F. C., Nabarro F. R. N., The Equilibrium of
Linear Arrays of Dislocations, Phil. Mag., 42, 351—364 (1951),
10. F e I b e c k D. К., О г о w a n E., Experiments on Brittle Fracture of Steel Plates,
Welding J. Res. Suppl., 34, 570s—575s (1955).
11. Gilman J. J., Mechanism of Ortho Kink Band Formation in Compressed Zinc
Monocrystals, J. Metals, 6, 621—629 (1954).
12. Gilman J. J., Direct Measurement of the Surface Energies of Crystals, J. Appl.
Phys., 31, 2208—2218 (1960).
13. H a h n G. T., Averbach B. L., Owen W. S., Cohen M., Initiation of
Cleavage Microcracks in Polycrystalline Iron and Steel, в книге: Fracture, Averbach
et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., and Wiley, New York, 1959, pp. 91—116;
русский перевод: Хан Дж. Т., Авербах Б. Л., Оуэн В. С., Коэн М.,
Возникновение микротрещин скола в поликристаллическом железе и стали, в книге:
Атомный механизм и разрушения, Металлургиздат, 1963, стр. 109.
14. Hull D., Twinning and Fracture of Single Crystals of 3% Silicon Iron, Acta Met.,
8, 11—18 (1960).
2 7—92
www.vokb-la.spb.ru
414
Глава 14
15. Johnston Т. L., Stokes R. J., Li С. H., Crack Nucleation in Magnesium
Oxide Bi-Crystals Under Compression, Phil. Mag., 7, 23—24 (1962).
16. К n о t t J. F., Cottrell A. H., Notch Brittleness in Mild Steel, J. Iron Stell
Inst., 201, 249—260 (1963).
17. Low J. R., The Relation of Microstructure to Brittle Fracture, Relation of Properties
to Microstructure, ASM, Novelty, Ohio, 1954, pp. 163—179.
18. Low J. R., Review of the Microstructural Aspects of Cleavage Fracture, в книге:
Fracture, Averbach B. L., et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass, and Wiley,
New York, 1959, pp. 68—90; русский перевод: Л оу Дж. Р., Обзор особенностей
микроструктуры при разрушении сколом, в книге: Атомный механизм разрушения.
Металлургиздат, 1963. стр. 84.
19. Low J. R., The Fracture of Metals, Progress in Material Science, Vol. 12, Chal-
mers, King (eds.), Pergamon Press, New York, 1963.
20. McClintock F. А., дискуссия к работе: Gilman J. J., Physical Nature
of Plastic Flow and Fracture, в книге: Plasticity: Proc. 2nd Symp. Naval Struct. Meeh.,
Lee E. H., Symands P. S. (eds.), Pergamon Press, London, 1960, pp. 43—99.
21. McMahon C., Micromechanisms of Cleavage Fracture in Polycrystalline Iron,
докторская диссертация, MIT, Cambridge, Mass., 1963.
22. McMillan C., Pelloux R. M. N., The Analysis of Fracture Surfaces by Ele-
ctron Microscopy, Boeing Sci. Res. Labs. Rpt. Dl-82-0469, 1962.
23. N e w h о u s e D. L., Wundt В. M., A New Fracture Test for Alloy Steels, Metal
Prog., 77, 81—83 (1960).
24. О г о w a n E., Notch Brittleness and the Strength of Metals, Trans. Inst. Engrs.
Shipbuilders Scotland, 89, 165—215 (1945).
25. О г о w a n E., Fracture and Strength of Solids, Hept. Prog. Phys., 12, 185—232 (1948).
26. Parker E. R., Brittle Behavior of Engineering Structures, Wiley, New York, 1957.
27. P e t ch N. J., The Cleavage Strength of Polycrystals, J. Iron Steel Inst., 174, 25—
28 (1953).
28. P e t c h N. J., The Fracture of Metals, Progress in Metal Physics, Vol. 5, Chal-
mers, King (eds.), Pergamon Press, New York, 1954, pp. 1—52; русский перевод:
Петч H. Д., Разрушение металлов, в книге: Успехи физики металлов, выл. 2.,
Металлургиздат, 1958, стр. 7.
29. Rinebolt J. A., Harris W. J., Effect of Alloying Elements on Notch Tough-
ness of Pearlitic Steels, Trans. ASM, 43, 1175—1214 (1951).
30. Rockoy К. C., Ludley J. IL, M ylonas C., Exhaustion of Extensional
Ductility Determined bv Reversed Bending of Five Steels, Proc. ASTM, 62, 1120—1133
(1962).
31. Shank M. E., A Critical Survey of Brittle Failure in Carbon Plate Steel Structure-
Other than Ships, Welding Res. Council Bulletin Series, № 17, New York, 1954.
32. Smith R. L., Rutherford J. L., Further Considerations on the Ductility
of Iron at 4,2° K, Acta Met., 5, 761—762 (1957).
33. Stroh A. N., The Formation of Cracks as a Result of Plastic Flow, Proc. Hoy. Soc.
(London). A223. 404-414 (1954).
34. Stroh A. N., The Formation of Cracks in Plastic Flow II, Proc. Roy. Soc. (London).
A232, 548—560 (1955).
35. Stroh A. N., A Theory of the Fracture of Metals, Advances in Physics, 6, 418—465
(1957).
36. S t г о h A. N., Cleavage of Metal Single Crystals, Phil. Mag., 3, 597—606 (1958).
37. Stroh A. N., Crack Nucleation in Body Centered Cubic Metals, в книге: Fracture,
Averbach B. L., et al. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., and Wiley, New
York, 1959, pp. 117—122; русский перевод: Стро A. H., Зарождение трещин
в металлах с объемноцентрированной кубической решеткой, в книге: Атомный меха-
низм разрушения, Металлургиздат, 1963, стр. 138.
38. Т i р р е г С. F., Report of Conference on Brittle Fracture in Steel Plates, 24, British
Iron and Steel Research Association, Cambridge, England, 1945.
39. Williams T. R. G., Hughes D. H., The Effect of Plastic Deformation and
Strain Aging on the Transition Temperature of Mild Steel, Metallurgic, 63, 233—237
(1961).
40. Wilson J. C., Billington D. S., Effect of Nuclear Radiation on Structural
Materials, Problems in Nuclear Engineering Pergamon Press, London, 1955, pp. 97—106.
41. Zener C., Micro Mechanism of Fracture, Fracturing of Metals, ASM, Novelty, Ohio,
1949, pp. 3—31.
www.vokb-la.spb.ru
Глава 15
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ
15.1. ВВЕДЕНИЕ
Диплом об окончании технического института не может гарантировать
успешного применения знаний, почерпнутых из учебников и лабораторной
практики, для решения реальных инженерных задач, включая правильное
использование материалов. В большой степени умение справиться с прак-
тическими задачами зависит еще от интеллекта молодого инженера, от его
способности оценить несметное число противоречивых и часто скрытых
факторов, от его уменья отбросить с помощью обоснованных и простых вычис-
лений все не относящиеся к делу побочные эффекты и, следовательно, от его
способности выявлять определяющие факторы. Этому должно помочь рас-
смотрение ряда характерных случаев, которые получили точное или прак-
тическое решение в прошлом. Хотя не должно бы быть недостатка в лучших
образцах таких решений, практически не все из них попадают в печать из-за
опасений, что описание трудностей, встретившихся на пути к правильному
решению, может повредить репутации заинтересованной организации.
Ниже будет рассмотрено несколько решений различных технических
задач. Первая задача относится к выбору величины предварительного натя-
жения болтов толовки шатуна, с тем чтобы соединение не расходилось под
действием рабочих нагрузок и чтобы при эксплуатации не возникала стати-
ческая пластическая деформация или усталость. Вторая задача большего
масштаба — в ней рассматриваются трудности выбора и оценки материалов
для сверхвысокопрочных корпусов ракетных двигателей на твердом топливе.
В третьей задаче предлагается решить, должен ли быть принят в эксплуата-
цию сосуд давления, отправленный к месту установки без необходимого дре-
нажного отверстия, если это отверстие просверлено и нарезано резьбой на
месте, где не могли быть проведены последующие контрольные испытания.
Четвертая задача посвящена закручиванию и раскручиванию винтовых
пружин при снятии внутренних напряжений и тем сложностям, с которыми
связано правильное предсказание величины этого эффекта. В пятой задаче
рассматривается эксплуатационное разрушение рабочего колеса турбины
и подробно исследуются причины разрушения. Решение других задач пре-
доставлено читателям.
15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО
НАТЯЖЕНИЯ БОЛТОВ ГОЛОВКИ ШАТУНА В ДВИГАТЕЛЯХ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
На головки шатунов двигателей внутреннего сгорания во время каж-
дого цикла действуют большие силы инерции. В хорошо рассчитанной кон-
струкции для предотвращения вибрации и износа болты головки шатуна
должны быть предварительно натянуты. Необходимо, чтобы сила предва-
рительного натяжения была по крайней мере такой, чтобы даже при наи-
большей рабочей нагрузке на подшипник между головкой и шатуном не воз-
никало зазора. В некоторых случаях болты рассчитываются с настолько
малым запасом, что перенапряжение недопустимо, если только болты не
будут пластически деформироваться во время сборки или эксплуатации.
Условия нагружения болтов дополнительно усложняются циклическим
27*
www.vokb-la.spb.ru
416
Глава 15
характером сил, действующих на подшипник, и невоспроизводимостью момен-
тов трения, возникающих во время сборки на резьбе болта и опорных поверх-
ностях. Эти фрикционные моменты могут быть довольно большими, и их
влияние на величину предварительного натяжения трудно предсказать.
Эта задача, которая кажется простой и ясной, в действительности пред-
ставляет значительную сложность и оказывается весьма типичной. Ниже
будет рассмотрен расчет болта головки шатуна для дизельного двигателя
«Марк II» фирмы «Ровер Компани». Расчет основан на анализе, проведенном
Эссексом [3] для этой фирмы, и является частью его дипломной работы в Бир-
мингемском университете.
А» Конструкционные требования
На фиг. 15.1 приведены чертежи поршня, шатуна и головки (а), а также
болта А головки шатуна (б). К болту предъявляются следующие требо-
вания: обеспечить отсутствие расхождения соединений при работе двига-
теля, не разрушаться от усталости, обладать воспроизводимыми механиче-
скими свойствами в реальных условиях сборки. Будут рассмотрены два
а
Ф п г. 15.1.
а — эскиз шатуна, показывающий положение болтов А головки шатуна и характерные размеры;
б —- чертеж болта головки шатуна с уменьшенным диаметром стержня болта.
вида болтов: один — с тонким стержнем с целью уменьшения вероятности
появления трещин от впадины профиля резьбы, а другой — стандартный
и более дешевый.
Б. Анализ сил, действующих на головку шатуна
Первым шагом в решении будет определение нагрузок, действующих на
головку шатуна в условиях эксплуатации. Эти нагрузки состоят из инер-
ционной составляющей, возникающей вследствие вращения массы и воз-
вратно-поступательного движения деталей, и составляющей давления, воз-
никающей в результате сгорания топлива в цилиндре. Силы давления всегда
www. vokb- la .spb. ru
Исследование практических случаев
417
действуют между шатуном и коленчатым валом, в то время как силы инерции
действуют также на головку шатуна. Можно показать, что максимальная
сила на головке шатуна возникает в начале хода всасывания, когда давление
в цилиндре лишь немного ниже атмосферного. Поэтому в расчет нужно
принимать только силы инерции.
Если масса деталей, совершающих возвратно-поступательное движе-
ние, исключая шатун, равна , а центр тяжести шатуна длиной I и массой
находится на расстоянии х от подшипника шатуна, максимальная сила,
действующая на головку шатуна, может быть
выражена через угловую скорость вращения вала 0
и длину Я плеча коленчатого вала (задача 15.1)
2F — R& [(л?! + mzx!l) (1 + R/Г) 4~m2 (1 — xll)]. (15.1)
Следует отметить, что не вся сила, вычислен-
ная по формуле (15.1), приходится на болт: зна-
чительная часть ее тратится на снятие давления
сжатия соединяемых деталей. Чтобы определить
распределение сил между болтом и соединяемыми
деталями, возникающее под действием силы F,
необходимо сначала определить относительную
жесткость болта и соединяемых деталей. Жесткость
болта должна быть примерно равной AiEJLi,
где и Li— соответственно площадь попе-
речного сечения, модуль упругости и активная
длина (от головки болта до точки где-то между
первой и второй нитками резьбы, находящейся
под гайкой). Жесткость соединяемых деталей
может быть определена или экспериментально,
или путем рассмотрения эквивалентного активного
поперечного сечения, как показано на фиг. 15.2.
Фиг. 15.2. Силовые линии
в соединяемых деталях [3].
Е (Л,+А)
*21а
Пусть жесткости болта и соединяемых деталей будут кл и к2. Под действием
силы предварительного натяжения PTj болт удлинится на некоторую вели-
чину, а соединяемые детали сожмутся на небольшую величину. Если теперь
к головке шатуна приложить переменную силу 2F, то в результате изме-
нения размеров болта и соединяемых деталей на одинаковую величину сила
сжатия соединяемых деталей уменьшится, а расстягивающее усилие в болте
возрастет. Следовательно, увеличение нагрузки на болт составляет лить
определенную часть F' от силы F и зависит от относительной жесткости болта
и соединяемых деталей *):
F’lk^F—F'ykz- (15.2)
Регламентированные условия сборки должны быть таковы, чтобы при наи-
меньшем допустимом крутящем моменте и наибольшем трении соединение
оставалось сжатым:
Рь>/’-Г = ^(1+Л1/й2). (15.3)
В. Влияние резьбы и трения под головкой болта
Если при сборке используется ключ с динамометрической рукояткой,
то возможно, что момент будет известен с точностью до 10%. При получении
предварительного натяжения этот момент должен преодолеть не только
геометрический бесфрикционный момент на резьбе болта, но также момент
трения в нагруженной резьбе и момент трения между торцевой поверхностью
х) Анализ такой задачи имеется в книге: Феодосьев В. И., Избранные задачи
и вопросы по сопротивлению материалов, изд-во «Наука», 1967.— Прим. ред.
www.vokb-la.spb.ru
418
Глава 15
гайки и опорной поверхностью. Для гайки с шагом резьбы р, диаметром
dt, углом профиля резьбы р, коэффициентами трения в резьбе и на торцевой
поверхности Д и ff и средним диаметром торца dj приложенный момент
равен (задача 15.2)
м=Гт. 4 ь=Pd {fi) 4+Pi-ff 4 • (15-4>
При использовании поверхностной смазки нормально загрязненных поверх-
ностей коэффициенты трения могут изменяться от 0,15 до 0,30. Если затя-
гивающий момент установить достаточно большим, чтобы обеспечить пред-
варительное натяжение при наибольшем коэффициенте трения, то в тех слу-
чаях, когда коэффициент трения невелик, будет иметь место перегрузка.
Г. Прочность
Рассмотрим сначала требования, предъявляемые к стержню болта.
Для безотказной работы пластическая деформация болта под действием
дополнительных динамических нагрузок должна быть достаточно мала, чтобы
соединение оставалось плотным. Хотя здесь и допускается некоторая пла-
стическая деформация при первом нагружении, более простым достаточным
условием плотности соединения является отсутствие пластической деформа-
ции при действии полной нагрузки, возникающей из рассмотренных выше
нагрузок сжатия и крутящих моментов (задача 15.3):
Наконец, переменная, составляющая F'/2 пульсирующей нагрузки, в соче-
тании со средней силой предварительного натяжения, моментом затягивания
гайки и средним значением пульсирующей силы F72 не должна приводить
к усталостному разрушению. Примем вновь простое достаточное условие
надежности, которое может быть пересмотрено, если деталь окажется кри-
тической. Таким условием, основанным на максимальной амплитуде напря-
жений (та)макс в любой плоскости скольжения, на критерии пластичности
в виде постоянства максимального касательного напряжения тмакс в любой
плоскости на любой части цикла и пределе выносливости аг, является (зада-
ч а 15.4)
VVTTiPlf + 1в (!=«!)
Для лучшей оценки значения каждого из членов соотношений (15.5) и (15.6)
их члены выражены через отношения соответствующих нагрузок к прочно-
сти болта.
Д. Численное решение
Для рассматриваемого двигателя известны следующие численные зна-
чения параметров:
^«1 т2 у) = 1,36 кг, (~у“) т» = 0,84 кг,
5^ = 3650 об!мин, 7? г- 44,5 жи, /=178 лл;
2л
резьба — мелкая SAE (Американского общества автомобильных инже-
неров), для которой pl^dt ss 0,04, dfld,, ss 0,92, Р = 30°;
отношение диаметра стержня болта к номинальному диаметру резьбы (бе-
рется из разумного чертежа, будет проверено позже) djdn = 0,7;
отношение диаметра торца гайки к диаметру резьбы dfldt — 2;
www.vokb-la.spb.ru
Исследование практических случаев
419
отношение площади болта к площади соединяемых деталей (исходя из
разумного чертежа) равно 0,4;
отношение площади сечения стержня болта к площади соединяемых
деталей (из приведенных выше данных ) равно 0,2;
материал: <уь = 101 кг!мм2, о012 = 90,3 кг]мм2, Ci = 41,3 кг/мм2.
Из этих данных / (/) = 0,21 -4- 0,39 для / — 0,15 0,3 и пульсирующая
нагрузка, действующая на болт, равна 840 кг.
Момент затягивания должен быть достаточно высоким, чтобы обеспе-
чить соединение при наибольшем коэффициенте трения согласно соотноше-
ниям (15.3) и (15.4). Если момент установлен на 10% выше этой величины,
то вследствие неопределенности в сборке приложенный момент может ока-
заться выше еще на 10%. Если трение на торце гайки ниже принятого, пред-
варительное натяжение будет больше. Возникает вопрос, какое из условий
будет более критическим — при низком трении по резьбе, приводящем
к наибольшей предварительной нагрузке, или при высоком трении по резьбе,
дающем наибольший крутящий момент. Также трудно сказать, что более
опасно, пластическая деформация [уравнение (15.5)] или усталость [уравне-
ние (15.6)]. Численные вычисления показывает, что при высоком трении
по резьбе усталость несколько более опасна; отсюда следует, что площадь
сечения стержня болта должна быть 28 мм2 (задача 15.5).
В связи с опасностью усталостного разрушения около впадин профиля
резьбы необходимо ввести коэффициент уменьшения прочности при перемен-
ных нагрузках. Считая радиус дна впадины резьбы равным 0,05 мм и учиты-
вая большой угол зацепления и нечувствительность к надрезу, получаем для
этого коэффициента значение около 2. Коэффициент снижения прочности не
нужно вводить в те члены уравнения, которые соответствуют общей пластич-
ности, так как местная пластическая деформация сместит среднюю нагрузку
к другим областям поперечного сечения. В действительности вполне воз-
можно, что ползучесть в дне впадины резьбы под действием переменных
нагрузок снизит среднюю нагрузку до величины, которая даже ниже, чем
средняя нагрузка болта. Однако для простоты мы этим эффектом прене-
брегаем.
При нагрузках, необходимых для затягивания гайки при любых воз-
можных значениях коэффициента трения, уравнения для пластичности и уста-
лости показывают, что впадины резьбы опасности не представляют. В этом
случае стержень болта может быть более жестким, что потребует меньшей
предварительной нагрузки и приведет к снижению касательных напряжений
даже за счет некоторого увеличения переменной нагрузки. Действительно,
необходимый диаметр стандартного болта оказывается меньше, чем болта
с обточенным стержнем, для которого de/dn = 0,7 (задача 15.6).
При рассмотрении задачи становится ясно, что большая величина напря-
жений затяжки обусловлена большой (часто неопределенной) величиной
коэффициента трения. Тщательная смазка во время сборки и прямое измере-
ние длины болта с целью определения предварительной нагрузки приведет
к заметному снижению необходимых размеров. В то же время возрастет зна-
чение усталости. В том случае, когда решающим фактором является вес,
необходимо предпринять более точный анализ, дополненный контрольными
испытаниями.
15.3. РАЗРАБОТКА СВЕРХПРОЧНЫХ КОРПУСОВ ДЛЯ РАКЕТНЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
Хорошо известно, что в ракетостроении излишний вес конструкции
сильно ограничивает дальность действия ракет. Поэтому, например, корпуса
ракетных двигателей на твердом топливе должны быть достаточно прочными,
чтобы выдержать давление, возникающее при сгорании топлива, и быть не
www.vokb-la.spb.ru
420
Глава 15
тяжелее, чем это абсолютно необходимо. Такие корпуса могут быть изготов-
лены из сверхвысокопрочпой стали с применением довольно специфической
технологии, чтобы они могли работать при расчетных напряжениях свыше
140 кг! мм?. Б следующих разделах будут рассмотрены конструкционные
соображения и специальные задачи, возникшие при испытаниях полномас-
штабных корпусов, изготовленных фирмой «Пратт-Уитни». Работа выпол-
нена Шейком и др. [81.
А. Описание конструкции корпусов и метода их изготовления
На фиг. 15.3 показаны отдельные части корпуса перед его окончатель-
ной сборкой. Рассматриваемый здесь корпус имеет примерно 1829 лыи
в длину и 1015 мм в диаметре, номинальная толщина стенки цилиндрической
J Ф и г. 15.3. Полномасштабный корпус, подготовленный для сборки [8].
Центральная цилиндрическая часть, выдавленная на токарно-давильном станке, не имеет продольных
швов. Деталь слева представляет собой уплотнение для проведения испытаний. Нолпак слева имеет
уплотняемый фланец, выполненный за одно целое с обечайкой; юбка на эллипсоидальном днище выпол-
нена также за одно целое с обечайкой. Удлиняющая юбочная секция далеко справа приваривается
к юбке па эллипсоидальном днище.
части 1,8 мм. Как видно из фиг. 15.3, конструкция сохраняется по возмож-
ности простой, чтобы избежать концентрации напряжений и возможных
дефектов изготовления. Основная цилиндрическая часть бесшовная, выдав-
ленная на токарно-давильном станке из кованого кольца с таким же внутрен-
ним диаметром. Эллипсоидальное днище справа и днище с фланцем слева
откованы и выточены из целых заготовок. Таким образом, а) окружные
напряжения в цилиндрической части всегда действуют в сплошном материале,
б) сравнительно простая форма обеспечивает достаточно точное определе-
ние напряженного состояния в стенках и в) устранены сложные сварные
швы, приводящие к возникновению остаточных напряжений и зародышевых
трещин.
Для изготовления корпусов использовалась специальная инструменталь-
ная сталь вакуумной плавки следующего химического состава: 0,42% С,
0,29% Мп, 0,96% Si, 5,17% Сг, 1.35% Мо, 0,52% V при <0,021% Р
и <0,006% S.
Эксплуатационные испытания материала были проведены на цилиндри-
ческих сосудах меньших размеров, для которых после ряда изменений
конструкции были достигнуты постоянно высокие значения рабочих давле-
ний. Некоторые из этих значений превышали 210 кг!мм2.
Полномасштабные корпуса изготовлялись с большой тщательностью,
выдавливание на токарно-давильном станке проводилось в три стадии с про-
www.vokb-la.spb.ru
www. vokb- la .spb. ru
Исследование практических случаев
421
межуточными циклами отжига в специальной атмосфере. И в цилиндриче-
ской части и в выточенных секциях были сняты остаточные напряжения
перед их сваркой в атмосфере инертного газа электродом из основного
металла. Сварку производили без предварительной прихватки свариваемых
секций благодаря их тщательной подгонке. После сварки корпуса остаточ-
ные напряжения снимались в специальной атмосфере2) с охлаждением
на воздухе. Затем после тщательного дефектоскопического контроля рентге-
новским, магнитным порошковым и флуоресцентным методами корпуса были
закалены путем нагрева в восстановительной атмосфере и выдержки при
1010° С в течение 30 мин с охлаждением на воздухе; последующий двойной
отпуск проводился в воздушной атмосфере при 566° С в течение 2 час с охлаж-
дением на воздухе. В процессе такой обработки поверхности корпусов были
умышленно обезуглерожены на глубину от 0,076 до 0,127 мм, чтобы обеспе-
чить некоторую поверхностную вязкость.
Окончательная проверка внутренней поверхности сосуда без покрытий
обнаружила четыре выпуклости материала, причиной которых могло быть
несовершенство оправки, использованной при выдавливании. Некоторые
из этих поверхностных выпуклостей были удалены шлифовкой на глубину
примерно 0,127 мм от поверхности.
Б. Разрушение при полномасштабных испытаниях и исследование
причин разрушения
Один из полномасштабных корпусов был испытан по программе,
приведенной на фиг. 15.4. Корпус разрушился в процессе нагружения гид-
ростатическим давлением при напряжении 126 кг/мм2, после того как он
Фиг. 15.4. Программа испытаний па разрушение полномасштабного ракетного кор-
пуса [8].
в течение короткого времени перед этим выдержал напряжение 151 кг!мм2.
Катастрофический характер разрушения отчетливо виден из фиг. 15.5.
Такое неприятное преждевременное разрушение немедленно привлекло
пристальное внимание. Анализ изломов и прослеживание хода разрушения
по шевронному узору на изломе показали, что очагом разрушения послу-
жила одна из выпуклостей, которая была сошлифована. В этой сошлифо-
ванной области, где был нарушен тонкий слой окисла, возникли корро-
зионные язвины; это произошло, очевидно, во время гидростатических
испытаний.
*) Состав авторами не указан.
www.vokb-la.spb.ru
422
Глава 15
На фиг. 15.6 показаны изломы, на которых видны шевронные линии,
расходящиеся от очага разрушения на внутренней поверхности сосуда.
Металлографическое исследование этой области обнаружило присутствие
вокруг некоторых коррозионных язвин мелких трешин (фиг. 15.7). Вопрос
Ф и г. 15.5. Остатки разрушившегося полномасштабного ракетного корпуса [8J.
На обломках центральной части видны грузы, служащие для удержании обломков в положении, удоб-
ном для фотографирования.
о том, могли ли такие трещины существовать до испытания, был решен
исследованием других выпуклостей, которые не были удалены шлифовкой.
На фиг. 15.8 представлена микрофотография поперечного шлифа через такой
Ф и г. 15.6 [8].
д — внутренние поверхности разрушившегося полномасштабного ракетного корпуса. Стрелками указан
очаг разрушения. На вставке показаны обломки, соединенные в месте нахождения очага разрушения;
б — излом в области очага разрушения ракетного корпуса.
дефект, который оказался складкой, возникшей при выдавливании. Травле-
ние 1%-ным ниталем, проведенное для выявления обезуглероженного поверх-
ностного слоя, убедительно показало, что такие дефекты (с их обезуглеро
женными поверхностями), как на фиг. 15.8, присутствовали еще до испыта-
ний, в то время как трещины вокруг коррозионных язвин на фиг. 15.7
должны были возникнуть после обезуглероживания, т. е. во время испыта-
ний. Поскольку эти тонкие трещины были обнаружены не рядом с язвинами,
а довольно далеко от них, коррозия под напряжением была исключена.
www. vokb- la .spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
л
www. vokb- la. spb. ru
w'ww. vokb? lajfspb. ru
Исследование практических случаев
423
Это дало возможность, однако, высказать предположение, что во время
испытаний могло иметь место замедленное разрушение. Рабочая среда и дли-
тельный график испытаний позволяют подозревать водородное охрупчива-
ние. Как следует из химического анализа материала, содержание водорода
составляет лишь несколько частей на миллион, что в общем то не может
объяснить столь катастрофическое падение прочности. Однако такое отсут-
ствие водорода (по данным анализа) не является достаточно веской причиной,
«Д и г. 15.7. Микрофотографии поверхности
вблизи очага разрушения [8].
Виден край коррозионной язвины и две тонкие
трещины» Протравлено 1%-ным ниталем.
Фиг. 15.8. Поперечный шлиф
«неисправленной» выпуклости на
внутренней поверхности разру-
шившегося корпуса.
Протравлено 1 %-ным ниталем. Виден
обезуглероженный слой.
чтобы исключить этот механизм охрупчивания. Возможно, что местная
концентрация водорода была достаточно высока, чтобы вызвать рост тре-
щины и дальнейшее охрупчивание материала.
Согласно Троиано Ill], диффузия водорода сильно облегчается в при-
сутствии гидростатических растягивающих напряжений типа тех, которые
Ф п г. 15.9. Растрескивание в областях с высоким трехосным растяжением в резуль-
тате водородного охрупчивания [11].
Следует отметить, что локализация гидростатических растягивающих напряжений у острого надреза
также вызывает там образование трещин.
возникают у вершины острого надреза. Высокая концентрация водорода
может тогда привести к образованию трещин, как это показано на фиг. 15.9.
Как и для замедленного разрушения, для возникновения трещин в случае
водородного охрупчивания необходимо некоторое время, в течение которого
происходит диффузия (в данном случае водорода к трещине). Это время
диффузии определяется абсолютной температурой; оно обратно пропорцио-
нально множителю Больцмана e^!kT (гл. 1). где иа — энергия активации
диффузии водорода, которая, согласно Троиано 111], может значительно
уменьшиться в присутствии гидростатических напряжений. Продолжитель-
ность такого периода диффузии может изменяться от 10 до 30 мин при 26° С
и от 1 до 5 час при —32° С. Уменьшение прочности, связанное с образованием
трещин, достигает 70%, т. е. сталь с пределом: прочности 157 кг!мм1 (при
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
•Ш
www.vokb-la.spb.ru
424
Глава 15
однократном статическом нагружении) в результате охрупчивающего дейст-
вия водорода может снизить прочность до 52 кг!мм*.
Вескими признаками водородной хрупкости следует признать наличие-
мелких трещин вокруг коррозионных язвин, а также то обстоятельство,
что при прежних оценочных испытаниях, проводимых для выбора конструк-
ции, разрушение всегда начиналось с внутренней поверхности, подвержен-
ной действию воды. Были достаточные основания считать, что, в частности,
при натурных испытаниях гальванический эффект между областью с пони-
женным потенциалом и ее окружением может привести к достаточно высо-
кой концентрации ионов водорода, которые могут диффундировать в сталь
под действием локальной концентрации напряжений у коррозионных язвин.
Таким образом, в очагах разрушения концентрация водорода в материале
могла быть выше нормальной, в связи с чем и возникли трещины, обнаружен-
ные на микрофотографии фиг. 15.7.
В. Испытания для определения причин преждевременного
катастрофического разрушения
Изложенная выше теория была подвергнута проверке путем изготов-
ления и испытания ряда модельных сосудов. Ниже приводятся результаты
этих испытаний.
а. Сосуды без защитного покрытия разрушились при окружных напря-
жениях от 157 до 179 кг/мм2 с задержкой по времени от ИЗ до 1046 мин’
очаг разрушения находился на внутренней поверхности сосуда.
Фиг. 15.10 [8].
а —- типичный очаг разрушения с изменением окраски излома при доступе воды к стенке сосуда; б —
типичный очаг разрушения без изменения окраски, когда поверхность защищена от контакта с водой
с помощью грунтовки.
б. Покрытие внутренней поверхности охряной грунтовкой (ochre Here-
site) повышает разрушающее окружное напряжение до 183 кг/мм*-, очаг
разрушения все еще находится на внутренней поверхности сосуда.
в. Покрытие внутренней поверхности грунтовкой при доступе воды
к внешней поверхности приводит к разрушению при 168 кг!мм* спустя
945 мин по окончании приложения нагрузки; очаг разрушения расположен
на внешней поверхности сосуда.
г. Сосуд, покрытый изнутри и снаружи защитной грунтовкой, выдер-
жал четыре цикла нагружения водой до напряжений 192 кг! мм2, каждое
из которых в среднем продолжалось 9 час с промежутками между циклами
примерно вдвое большей длительности. Наконец, сосуд был заполнен маслом,
причем напряжение повышалось от 192 кг!мм2 ступенями через каждый час,
пока не произошло окончательное разрушение при напряжении 222 кг!мм2
после 45-минутной выдержки при этом напряжении.
При незащищенных поверхностях сосуда очагу разрушения соответ-
ствует область с измененной окраской, как показано на фиг. 15.10, я, в то
время как при защищенных поверхностях участок очага разрушения не харак-
теризуется таким изменением окраски, как это следует из фиг. 15.10, б.
www. vokb- la. spb. ru
www. vokb- la «spb. ru
Исследование практических случаев
425
Таким образом, первоначальная гипотеза водородного охрупчивания
'была подтверждена экспериментально, и натурные испытания оставшихся
ракетных корпусов были произведены с использованием масла в качестве
рабочей жидкости. Эти корпуса нагружались четыре раза, сначала до
154 кг/мм2, а затем до 168 кг/мм2, каждый раз с 3-минутной выдержкой
при этих напряжениях. Исследования корпусов не выявили следов повре-
ждения (задача 15.7).
Как показали испытания на растяжение плоских образцов, вырезан-
ных из обломков разрушившегося корпуса, предел прочности материала
•составлял 168—192 кг/мм2, причем образец, содержавший «неисправлен-
ную» выпуклость, обнаружил наибольшую прочность (иь —196 кг/мм2).
Таким образом, дефектные области оказались прочнее основного материала,
а «исправление» дефекта практически привело к ослаблению материала.
В заключение заметим, что во время процесса совершенствования этих
сосудов другой заинтересованной группой было предложено иное решение,
заключающееся в использовании более дешевых конструкций из пластика,
армированного стекловолокном, и не только, в области ракетостроения,
но также и для изготовления более обычных сосудов давления [4].
15.4. О ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ МОДИФИКАЦИИ «НА МЕСТЕ»
СОСУДОВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ ГАЗА ПОД ДАВЛЕНИЕМ
Как это нередко бывает в инженерной практике, ошибки конструиро-
вания обнаруживаются лишь при монтаже. В данном случае не были пре-
дусмотрены дренажные отверстия в днищах сосудов давления (что требуется
нормами на конструкции котлов) диаметром 203 мм и длиной 6,1 м, изго-
товленных из стали 1041 толщиной 19,1 мм и предназначенных для хране-
ния газа под давлением 210 кг!см2. То обстоятельство, что сосуды устанав-
ливались на верху здания из предварительно напряженного железобетона,
делало возвращение цилиндров к изготовителю дорогим мероприятием.
Было бы более практичным просверлить и нарезать резьбой отверстия
диаметром 19,1 мм на месте установки. Однако в этом случае после сверле-
ния и нарезки отверстий не могли быть проведены контрольные испытания
•сосудов давления, как это требуют соответствующие правила. Поэтому
возникает вопрос, стоит ли продолжать монтаж, полагая, что отверстия
могут быть просверлены и нарезаны на месте. Если это так, то какие необ-
ходимо принять меры предосторожности и какие надо провести испытания,
чтобы обеспечить безопасность сосудов давления?
Прежде всего надо установить, существует ли серьезная опасность
для жизни. Если да, то не имеется иной альтернативы, как принять все
разумные меры, чтобы устранить эту опасность. В юридическом смысле
понятие «все разумные меры предосторожности» включает в себя и возвра-
щение сосуда изготовителю, чтобы полностью удовлетворить требованиям
норм для сосудов давления.
Если принять, что опасность для жизни может быть устранена путем
применения соответствующей защиты, то возникает вопрос, имеется ли
достаточная вероятность разрушения, и особенно хрупкого разрушения.
‘Следовательно, окончательный вопрос сводится к тому, приведет ли свер-
ление и нарезка отверстий после контрольного испытания к значительному
увеличению вероятности разрушения.
Возможно, что при циклическом нагружении возникнет усталостная
трещина и что такая трещина будет расти, пока не произойдет хрупкое
разрушение. Поэтому должна быть оценена вероятность роста усталостной
трещины, исходя из номинальных напряжений вблизи отверстия, концентра-
ции напряжений у отверстия и дополнительной концентрации в результате
появления мелких поверхностных трещинок и острых углов при нарезке
www. vokb- la. spb. ru
42G
Глава 15
резьбы. В любом случае рост трещины, ведущий к хрупкому разрушению,
недопустим.
Для определения вероятности хрупкого разрушения желательно было бы
иметь для данного материала график зависимости радиуса пластической
зоны от толщины пластины типа, показанного на фиг. 13.16, для наимень-
шей из ожидаемых температур эксплуатации. Если необходимый радиус
пластической зоны будет велик по сравнению с толщиной пластины, можно
быть уверенным в появлении интенсивной пластической деформации, кото-
рая приведет к появлению утечки и падению давления еще до катастрофи-
ческого разрушения. Однако такие данные для этой стали пока отсут-
ствуют. В связи с этим и в свете опыта прошлого оказывается целесообразным
вести расчет, исходя из работы разрушения образцов Шарпи с V-образным
надрезом, равной по крайней мере 2,1 кгм. Заметим, что здесь не учиты-
вается важный фактор толщины материала. Подобный учет был осуществлен
эмпирическим путем в связи с разрушением больших инженерных конструк-
ций типа кораблей и газохранилищ, которые имели сравнимые толщины.
В справочнике по металлам [1] приводятся данные ио химическому
составу сталей, работе разрушения образцов Шарпи из некоторых сталей
и по влиянию изменений в их химсоставе на температуру хрупкого перехода.
Из этих данных температура перехода оценивается примерно в —34° С,
что ниже ожидаемой температуры эксплуатации, хотя и не очень.
Следует испытать образцы из аналогичных поковок, позаботившись, чтобы
отбирались образцы наименее благоприятной ориентации, скорее всего
в направлении действия окружных напряжений.
Увеличение опасности разрушения сосуда в результате сверления
и нарезки резьбы после контрольных испытаний, по-видимому, довольно
незначительно. При не вполне благоприятных условиях механической обра-
ботки может увеличиться вероятность возникновения трещин. Поэтому
было бы ошибочно рассчитывать сосуд в предположении идеальной обра-
ботки поверхности. Другим фактором является возможность возникно-
вения вокруг отверстия сжимающих остаточных напряжений, которые будут
препятствовать росту усталостных трещин. Однако этот эффект также срав-
нительно невелик и не учитывался в первоначальной конструкции.
Б заключение отметим, что для правильно сконструированного сосуда
представляется маловероятным возникновение опасности разрушения в связи
с изменением последовательности операций. Тем не менее, чтобы последствия
возможного нарушения прочности оказались менее катастрофическими
и позволили избежать юридической ответственности, существующие
нормы для сосудов давления должны твердо выполняться. Моральная ответ-
ственность требует более тщательной проверки материала и конструкции,
а также непрерывных усилий, направленных на то, чтобы наши представ-
ления о хрупком разрушении получили количественное выражение.
Б данном случае, взвесив все изложенные выше соображения, было
принято решение произвести переделку бака на месте установки.
15.5. ИЗМЕНЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПРУЖИН В РЕЗУЛЬТАТЕ СНЯТИЯ
ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Чтобы уменьшить остаточные напряжения изгиба, возникающие при
изготовлении пружин, и тем самым увеличить предел упругости при кру-
чении, пружины подвергают операции снятия остаточных напряжений.
Если пружины при этом изменяют свою форму, то их термическую обра-
ботку нужно проводить до операции окончательного контроля. Оконча-
тельную наладку автомата для изготовления пружин нельзя осуществить
до тех пор, пока не будет подвергнута термической обработке контрольная
партия пружин. Так как время наладки часто велико по сравнению с раба-
www.vokb-la.spb.ru
И сследоватше практических случаев
427
чим временем автомата, дополнительная задержка на ожидание резуль-
татов термообработки может оказаться весьма дорогостоящей. В случае
известных материалов и формы пружин изготовители нередко на основании
собственного опыта знают, какую поправку надо дать на изменение формы.
Однако при переходе на новый материал желательно иметь метод расчета,
позволяющий предсказать поведение пружин из этого материала. В каче-
стве примера уменья предсказывать свойства может служить сообщение
Риммера [61 о том, что при снятии остаточных напряжений пружины, изго-
товленные из рояльной проволоки, стремятся стать более жесткими (т. е.
уменьшаются в диаметре), в то время как пружины, изготовленные из нержа-
веющей стали, имеют тенденцию к раскручиванию.
Ф и г. 15.11. Остаточные напряжения, возникающие при навивке пружин из деформа-
ционно неупрочняющегося (а) и упрочняющегося (б) материалов.
Рояльная проволока, согласно условиям ASTM А228-51, содержит от 0,7
до 1% С, от 0,2 до 0,6% Мп и после волочения имеет предел прочности при
растяжении 175—350 кг/мм* и предел упругости 105—245 кг!мм*. Марка
исследованной нержавеющей стали не указана, но нержавеющая сталь 18-8
имеет предел прочности при растяжении 112—231 кг!мм* и предел упру-
гости 42—180 кг/мм*.
Скручивание или раскручивание пружин при термообработке является
следствием остаточных напряжений. В принципе различное поведение двух
материалов может быть следствием различия в распределении остаточных
напряжений или различия в реакции на снятие остаточных напряжений.
Маловероятно, однако, что различие в реакции имеет важное значение,
поскольку в обоих материалах скорость релаксации остаточных напряжений
вследствие первичной ползучести будет тем выше, чем больше напряжения.
Поэтому кажется более разумным ожидать, что в случае одного поведения
пружины после термообработки максимальное остаточное напряжение имеет
один знак, а в случае другого поведения — другой. В качестве предвари-
тельной гипотезы мы допустим, что различие в поведении пружин является
следствием различных модулей деформационного упрочнения двух материа-
лов, особенно если нержавеющей сталью является сталь 18-8.
В качестве первого приближения примем, что пружины изготовлены
из проволоки квадратного сечения, пластически продеформированы на поло-
вину расстояния до нейтральной оси и что деформационное упрочнение
имеется в одном случае (фиг. 15.11, б) и отсутствует в другом (фиг. 15.11, а).
Вызывает некоторое удивление то обстоятельство, что отношения остаточных
напряжений во внешнем слое к максимальным остаточным напряжениям
противоположного знака в точке Л/4 в этих двух случаях точно равны друг
ДРУГУ (задача 15.8). То, что это больше, чем простое совпадение, можно
показать, проведя такой же анализ для пружин, пластически продеформи-
рованных полностью по всему сечению (задача 15.9). По-прежнему
www.vokb-la.spb.ru
428
Глава 15
отношения остаточных напряжений противоположных знаков для дефор-
мационно упрочняющегося и неупрочняющегося материалов будут равны.
Однако следует отметить, что отношения остаточных напряжений изме-
нятся с изменением глубины области пластической деформации. Это приводит
к необходимости исследовать возможные различия глубины области пласти-
ческой деформации.
Если две проволоки одного размера из материалов с одинаковыми
модулями упругости навиты на одинаковые оправки, то материал с меньшим
пределом упругости будет пластически продеформирован на большую глу-
бину. Более того, про деформированный на большую глубину материал будет
иметь внутри большие остаточные напряжения того же знака, что и напря-
жения при первоначальном нагружении (фиг. 15.12, б). Однако в случае
более жесткого материала, когда зона пластической деформации менее глу-
бока, остаточные напряжения будут иметь знак, противоположный знаку
-Ф и г. 15.12. Влияние глубины проникновения пластической деформации на знак макси-
мальных остаточных напряжений.
первоначальных напряжений (фиг. 15.12, а). В первом случае снятие оста-
точных напряжений будет оказывать то же действие, что и приложение
напряжений противоположного знака, и пружина будет стремиться раскру-
чиваться. Во втором случае пружина стремится завиться еще более туго.
Так как пределы упругости и прочности при растяжении нержавеющей
стали ниже, чем у рояльной проволоки, то пружина из нержавеющей стали
будет стремиться развиться, а из рояльной проволоки — завиться, что
и наблюдалось в действительности.
Проведенный выше анализ показывает, что важен не столько материал,
сколько отношение диаметра проволоки к диаметру пружины и что пру-
жина из любого материала может или развиваться, или завиваться в зави-
симости от диаметра предварительной спирали. Это подтвердили и мастера,
изготовляющие пружины. Таким образом, можно, по-видимому, считать,
что найдено разумное объяснение различного поведения двух материалов.
•Остается, однако, предсказать скорость и величину раскручивания или скру-
чивания, исходя из релаксации напряжений или скорости первичной ползу-
чести материала во время снятия остаточных напряжений и действительной
величины остаточных напряжений, ожидаемых в круглой проволоке. Дан-
ных о скорости первичной ползучести в зависимости от температуры и уровня
напряжений для количественного анализа недостаточно, хотя можно найти
нужные соотношения, исходя из уравнений состояния (5.22), (5.24). Когда
такие соотношения будут найдены, зто явится стимулом для получения
необходимых данных о первичной ползучести, чтобы определить константы
в указанных уравнениях.
Приведенный выше анализ основан на допущении пластической изотро-
пии. Однако можно ожидать, что холоднотянутая проволока может обла-
дать ярко выраженным эффектом Баушингера, и поэтому при навивке пла-
www.vokb-la.spb.ru
Исследование практических случаев
429
стическая деформация в сжатой зоне возникнет почти тотчас же после изгиба.
Это приведет к сильному искажению распределения остаточных напряже-
ний, что окажет свое влияние на рассмотренные выше явления (задача
15.10).
15.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЧИНЫ ЭКСПЛУАТАЦИОННОГО
РАЗРУШЕНИЯ РАБОЧЕГО КОЛЕСА ТУРБИНЫ
Необходимая надежность паровых турбин для центральных электро-
станций обычно обеспечивается интенсивным контролем качества деталей
и материала до, во время и после изготовления. В результате этого аварии
таких турбин очень редки. Однако, несмотря на все меры предосторожности,
Фиг. 15.13. Фотография разрушив- Фиг. 15.14. Пространственный чер-
шегося колеса турбины (электростан- теж части колеса турбины, на нота-
ция в Таннерс-Крик) после отделе- ром видно сечение через центр паза
ния его от вала [5]. в ободе колеса турбины, где нача-
лось разрушение [5].
аварии иногда все же происходят. Так, например, в январе 1953 г. после
двух лет эксплуатации секция турбины низкого давления блока № 1 элек-
тростанции в Таннерс-Крик фирмы «Индиана энд Мичиган электрик компани»
внезапно начала сильно вибрировать. В передней станине, в которой нахо-
дились подшипник № 1, упорный подшипник, гидравлический цилиндр
и регулирующее устройство, появилась трещина. Возникшая утечка масла
привела к возникновению пожара внутри станции. Разрушившаяся турбина
была частью турбины низкого давления, работавшей при скорости 1800 об/мин,
которая в свою очередь являлась третьей ступенью агрегата общей мощ-
ностью 125 000 кет. То обстоятельство, что конструкция турбины была
весьма обычной и все особенности конструкции базировались на испытанной
и апробированной технологии, причем многие идентичные на вид турбины
работали вполне удовлетворительно,— все это сделало эту аварию весьма
загадочной. В связи с этим ниже обсуждается доклад Ренкина и Сегуина
[5] о результатах исследования, предпринятого для выяснения причин этого
разрушения.
После снятия кожуха турбины было обнаружено (как видно из фиг. 15.13),
что часть ротора первой ступени турбины низкого давления отсутствует.
2 8—92
www. vokb- la. spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
430
Глава 15
Очевидно, что она оторвалась и расплавилась за счет фрикционного тепла
во время остановки турбины. Расплавленный металл частично рассеялся
и частично затвердел на обломках разрушившегося ротора.
А. Предварительное исследование
Предварительный анализ показал, что разрушение началось от двух
отверстий под штифты в пазу колеса турбины, в который вставляются лопат-
ки турбины (фиг. 15.14). Наличие шевронных линий на начальном участке-
Направление вращения
Фиг. 15.15. Чертеж колеса первой ступени турбины с указанием линии разрушения [5].
1 — паз для лопатки; 3 — шевронные линии; з — линия разрушения; 4 — разрушение конусом под
углом 45° и чашечкой вдоль линии CD; 5 — вал.
поверхности излома от А до В (фиг. 15.15), хорошо видимых на фотографии
(фиг. 15.16), указывают на то, что здесь разрушение происходило быстро
и хрупким образом. Последняя стадия разрушения (от С до D) прошла
Фиг. 15.16. Часть поверхности радиального излома колеса турбины, показанного
ка фиг. 15.15, с шевронным узором [5].
пластически в виде среза вдоль плоскости, составляющей угол 45° с пло-
скостью колеса турбины. Металлографическое исследование показало, что
на хрупкой части излома АВ имеется довольно толстый слой окислов и что
разрушение является в основном межзеренным. В месте пластического
разрушения С — D слой окислов отсутствует. Это приводит к заключению,
www. vokb- la. spb. ru
www. vokb- la. spb. ru
Исследование практических случаев
431
что разрушение на участке АВ произошло на более ранней стадии и что
колесо турбины значительное время работало с радиальной трещиной,
пока под действием увеличившихся напряжений часть колеса не отделилась
сначала в результате деформации ползучести и наконец путем быстрого
пластического разрушения.
Были проверены диаграммы регистрации процесса работы турбины,
в частности те, которые имели отношение к эксцентриситету ротора, но ничего
необычного обнаружено не было до начала очень сильной вибрации, кото-
рая, несомненно, возникла после того, как оторвалась часть колеса тур-
бины. Собственные частоты колебаний идентичного запасного ротора были
перепроверены лишь для того, чтобы убедиться, что частота вращения
ротора была намного ниже любой собственной частоты колебаний.
Некоторое указание на наличие значительных остаточных напряжений
было получено (в какой-то степени ненамеренно) в результате удаления
прямоугольного куска колеса, содержащего начальную часть излома (пока-
зан пунктиром на фиг. 15.15). Прежде чем первый радиальный разрез достиг
перепускного отверстия, кусок отломился от остального колеса, завершив
отсечение и оставив зазор 1,6 мм. Это позволило установить, что величина ос-
таточных окружных растягивающих напряжений составила 7,25—17,5 кг!мм2.
Б. Детальное исследование
Чтобы установить реальную причину аварии или совокупности причин,
была выполнена серия проверочных и контрольных экспериментов, дубли-
рующих условия разрушения.
1. Предыстория поковки для ротора турбины. Ротор турбины был
изготовлен из низколегированной хромомолибденовованадиевой стали, про-
шедшей термообработку в соответствии с программой, приведенной на
фиг. 15.17. Он прошел все металлургические испытания и механический
контроль качества. Содержание поглощенных газов — водорода, азота
и кислорода — было примерно 0,5, 50 и 60 частей на миллион соответственно.
Испытания на ползучесть до разрушения, проведенные на образцах из
поковки до и после разрушения, дали почти идентичные результаты и, как
показано на фиг. 15.18, не выявили серьезного ослабления или влияния
старения 1). Однако, как следует из фиг. 15.19, полная деформация до разру-
шения материала ротора при ползучести при 538° С примерно на 1—2%
меньше. Это, как будет ясно из дальнейшего, было одной из причин разру-
шения.
Металлографические исследования материала разрушившегося колеса
при высоком увеличении показали наличие хорошо заметной пленки по
границам зерен (фиг. 15.20), отсутствовавшей в исходной стали. Чтобы про-
верить, действует ли механизм охрупчивания по границам зерен, были про-
ведены ударные испытания образцов Шарпи из материала колеса турбины.
При сравнении результатов этих испытаний с результатами испытаний по
Шарпи исходного материала значительной разницы обнаружено не было.
Параллельно проведенные исследования влияния старения при различных
температурах показали, что пленка на границах зерен состоит из карбида
железа и образуется постепенно при повышенных температурах. Отсюда
был сделан вывод, что в материале ротора не произошло никаких металлур-
гических изменений, которые могли бы вызвать разрушение.
2. Напряжения в роторе. Напряжения, возникающие в роторе под
действием центробежных сил, показаны на фиг. 15.21. Очевидно, что
х) Кривые длительной прочности па фиг. 15.18 основаны на параметре Ларсона —
Миллера, который аналогичен скорости модифицированной температуры Макгрегора
и Фишера, рассмотренной в разд. 5.10 в связи с механическим уравнением состояния.
Температура Т дана в градусах Ренкина, а время t в часах.
28*
www.vokb-la.spb.ru
432
Глава 15
и радиальные и окружные номинальные напряжения при возникновении
разрушения имели умеренную величину (~3,85 кг!мм2). Влияние концен-
трации напряжений у двух отверстий паза для лопаток показано на
фиг. 15.22. В условиях ползучести концентрация напряжений у надрезов
обычно может быть выравнена и главное значение приобретают не мак-
симальные напряжения у отверстий, а возникающие между отверстиями
о
о
юо
200
300
Температура,°C
600 800 1000
Измельчение
400
500
БОО
Отпуск
700
Охлаждение овечью
Многократный
стабилизирующий
отпуск
Фиг. 15.17. Программа термической обработки поковки ротора для электростанции
в Таннерс-Крик [5].
Выдержка после
тки
Отжиг для
повышения вязкости
Нормализация
Предварительная грубая механическая
Обработка
на твердый
раствор
Быстрое охлаждение для обеспечения
высокой жаропрочности
средние локальные напряжения. Они равны примерно 9,8 кг!мм2, что было
подтверждено исследованиями методом фотоупругости. Как следует из
фиг. 15.18. при этом уровне напряжений продолжительность жизни образца
до разрушения весьма велика (около 700 лет), так что никакой опасности
эти напряжения не представляют. Исходя из этого и учитывая отсутствие
каких-либо затруднений с многими идентичными турбинами (включая одну
из них, скорость которой была случайно превышена на 50%), было сделано
заключение, что разрушение не могло быть результатом действия напряже-
www. vokb- la. spb. ru
100 70 50 40 30 го гм 7
~~чГ~
О о ° \ оо -
о»
X
Хч\хъ<' \ о
а 1 1 1 ! 1
S 26 27 28 25 30 31 32 33 34 35 36 31 38 3S ~40 S <лл
£ 7Л -
с: Cs 50 40 30 20 10 7 г — "*’**.. ** *
*-. ° ° ’•’Ш о °
/ / /
б* 1 1 1 1 1 1
’6 27 28 25 30 31 32 33 34 35 36 37 38 33 40 Pzo=T(20+lgt)-103
Фиг. 15.18. Результаты испытаний на ползучесть круглых стержневых образцов изпо-
ковки ротора [5].
п — до эксплуатации; б — после эксплуатации; О образцы диаметром 6,4 зон; • образцы диаметром
4,1 мл.
Фиг. 15.19. Удлинение при «разрыве» от ползучести при 538° С образцов из стальной
поковки для ротора и ожидаемый диапазон удлинений для данного материала [5].
1 — ожидаемый диапазон; 2— образцы из ротора, разрушившегося в процессе службы; з — образцы
из того же материала до службы.
www.vokb-la.spb.ru
434
Глава 15
ний, существующих при нормальной работе. Из анализа поверхности излома,
из исследования колебаний и из опыта работы других турбин был сделан
Фиг. 15.20. Микрофотография, пока-
зывающая наличие пленок по границам
зерен в материале колеса турбины [5].
напряжений, показанное на фиг.
вывод, что усталость материала также
не могла быть причиной разрушения.
3. Остаточные напряжения. По-
скольку металлургическими исследова-
ниями и анализом напряжений установ-
лено, что качество материала и рабочие
напряжения не являются причиной
разрушений ротора турбины, было пред-
принято тщательное исследование оста-
точных напряжений, обнаруженных при
отсечении куска колеса. Для исследова-
ний было использовано колесо второй
ступени турбины. На него были на-
клеены 26 тензодатчиков и остаточные
напряжения были измерены путем сня-
тия с колеса девяти концентрических
колец. По изменениям деформации было
получено распределение остаточных
5.23, давшее в месте начала разруше-
ния величину остаточных окружных напряжений порядка 7 кг!мм*.
Сложив .это остаточное напряжение с напряжением 3,85 кг/мм2 от центробеж-
Ф и г. 15.21. Вычисленные значения центробежных напряжений в колесе первой ступе-
ни [5].
1 — окружные напряжения; г — радиальные напряжения; 3 профиль колеса турВины.
трации 2,54, получаем напряжение около 28 кг/мм2. Из фиг. 15.18 следует,
что при таком напряжении и температуре 516° С продолжительность жизни
будет 16 000 час, что равно 2 годам эксплуатации турбины.
4. Моделирование условий разрушения. Чтобы подтвердить гипотезу
об ответственности остаточных напряжений за разрушение, нужно было
получить хрупкое разрушение при определенных условиях службы. С этой
www.vokb-la.spb.ru
Исследование практических случаев
435
целью были подготовлены образцы для испытаний на растяжение с боковыми
отверстиями, идентичными существующим в колесе турбины. Они были
испытаны при температуре эксплуатации, но разрушились пластически.
Растяжение листовых образцов с острыми надрезами также не дало хрупкого
•Фиг. 15.22. Окружные напряжения по центру пазов для лопаток, определенные методом
фотоупругости [5].
разрушения. Дополнительные испытания на статический изгиб при темпе-
ратуре эксплуатации и эксперименты с образцами, которые подвергали
действию повторных термических ударов, не дали хрупкого разрушения.
Стало ясно, что необходимо также имитировать фактор времени. Тогда
Фиг. 15.23. Измеренные остаточпые напряжения в колесе второй ступени турбины [5].
а — окружные напряжения; б — радиальные напряжения.
были подготовлены образцы, которые точно воспроизводили детали колеса
турбины вплоть до моделирования центробежных сил, действующих со
стороны лопаток турбины. Образцы были предварительно нагружены до
напряжения несколько выше 28 кг 1мм2 и помещены в печь для исследования
ползучести. Было обнаружено, что при напряжении 30 кг/мм2 через 3000 час
от наружного отверстия началось хрупкое межзеренное разрушение, как
28*
www. vokb- la .spb. ru
436
Глава 15
это видно на фиг. 15.24. Поверхности излома были покрыты слоем окисла
и имели совершенно такой же вид, как и хрупкие изломы, наблюдавшиеся
в действительности.
Ф и г. 15.24 [5].
а — фотография, повязывающая возникновение трещин в образце, имитирующем обод колеса турбины..
после испытания в течение 3000 час при температуре 516° С; б — микрофотография конца трещин
в образце а.
В. Заключение
Исследованиями было установлено, что ускоренное межзеренное разру-
шение путем ползучести, предшествующее окончательному разрушению,
обусловлено необычайно высокими остаточными напряжениями, не устра-
ненными обычным методом снятия остаточных напряжений, на которые
накладываются эксплуатационные напряжения. Между завершением
радиального разрушения и окончательным пластическим разрушением про-
шло некоторое время (достаточное для образования толстого слоя окислов).
Реальная причина возникновения остаточных напряжений с какой-
либо определенностью установлена быть не может. Вероятнее всего, что
начальная термообработка с целью устранения остаточных напряжений была
неэффективной. Рассмотрены, однако, и другие возможности возникновения
остаточных напряжений. Определенные трудности, возникающие с дрена-
жем конденсата из уплотнений регулятора (в результате просачивания пара
из пабивки сальников вала), приводят к тому, что во время падения нагрузки,
когда производится отсечка пара, имеется возможность натекания некоторой
части этого конденсата назад в турбину и охлаждения первого ротора.
Тот факт, что такие затруднения имели место и были устранены в других
аналогичных турбинах, в которых не наблюдались подобные поломки,
заставляет видеть в этом вероятную причину разрушения. Вследствие этого
разрушения был введен более жесткий контроль уровня остаточных напря-
жений в роторах турбин. Здесь же следует отметить, что очень малая дефор-
мация до разрушения при ползучести увеличила опасность разрушения,
поэтому применение более пластичной стали, несомненно, окажется весьма
полезным.
В докладе о первоначальном исследовании остается не вполне выяс-
ненным одно обстоятельство. Было сделано допущение, что остаточные
напряжения будут продолжать действовать и в условиях ползучести. Однако
в действительности даже деформации до разрушения около 1?4 вполне доста-
точно для релаксации напряжений в 21 кг/мм2 между двумя отверстиями.
Поэтому совпадение подсчитанного двухлетнего срока службы с действи-
тельным кажется не совсем обоснованным. По-видимому, более вероятно,
www. vokb- la .spb. ru
www.vokb-la.spb.ru
Исследование практических случаев
437
что напряжения в промежутке между отверстиями действительно быстро
релаксируют при одновременном увеличении концентрации напряжений на
внешних границах отверстий. Но в любом случае ясно, что присутствие
исходных остаточных напряжений оказалось решающим и основные выводы
исследователей остаются неизменными.
ЗАДАЧИ
15.1. Исходя из фиг. 15.1, вывести уравнение (15.1) для максимальной
силы, действующей на головку шатуна.
15.2. Вывести соотношение (15.4) для затягивающего момента, необхо-
димого для получения силы предварительного натяжения болта PL.
15.3. Вычислить эквивалентные напряжения в болте, показанном на
фиг. 15.1, который подвергнут действию силы предварительного натяже-
ния PL, затягивающего момента М и переменной нагрузки F', и записать
результат в виде соотношения (15.5).
15.4. Вывести уравнение, связывающее допустимую амплитуду пере-
менных напряжений с величиной средних напряжений, и записать получен-
ное соотношение в виде соотношения (15.6).
15.5. Проведя количественные вычисления, показать, что усталость
вместе с высоким трением в резьбе приводит к более жестким условиям,
требующим, чтобы площадь сечения стержня болта была 28 мм2.
15.6. Показать, что для болтов с диаметром стержня, равным номи-
нальному диаметру резьбы, касательные напряжения от крутящего момента
будут меньше, чем в случае болта с уменьшенным диаметром стержня, и, сле-
довательно, допускают меньший номинальный диаметр.
15.7. Достаточно ли при окончательных натурных испытаниях ракетных
корпусов достичь напряжений 168 кг/мм2, чтобы считать падежной длитель-
ную эксплуатацию при таких рабочих напряжениях?
15.8. Исходя из фиг. 15.11, показать, что отношение остаточных напря-
жений во внешнем слое к максимальным остаточным напряжениям противо-
положного знака внутри сечения проволоки одно и то же при изгибе двух
квадратных проволок, имеющих одинаковые модуль упругости и предел
текучести, но различные коэффициенты деформационного упрочнения, если
глубина зоны пластической деформации достигла половины расстояния до-
нейтральпой осп.
15.9. Показать, что вывод задачи 15.8 не изменится, когда пластиче-
ская зона достигнет нейтральной оси.
15.10. Рассмотреть изменения в распределении остаточных напряжений
в результате эффекта Баушингера и установить, как это может изменить
результаты дискуссии о скручивании и раскручивании пружины при сня-
тии остаточных напряжений.
15.11. В качестве материала для обивки автомобиля и защиты головы
от повреждений предполагается использовать вспененный полистирол.
Имеются следующие результаты испытаний этого материала.
Испытание на сжатие: модуль упругости 0,56 кг/мм2,.
предел пропорциональности 0,014 кг/мм2, предел текучести 0,0175 кг/мм2.
Материал деформационно упрочняется до напряжения 0,0245 кз/мм2 при
сжатии до */е первоначальной высоты, коэффициент Пуассона в области
пластического точения ~0, разрушение отсутствует.
Испытание на растяжение: модуль упругости
1,75 кг/мм2, предел пропорциональности 0,028 кг/мм2, предел прочности
0,0525 кг/мм2, удлинение при разрушении в 1,3 раза больше линейно упру-
гого удлинения, разрушение хрупкое.
Испытание на кручение: хрупкое разрушение перпенди-
кулярно оси закручивания.
www. vokb- la .spb. ru
438
Глава 15
Испытание на твердость: при статическом нагружении
твердость составляет 0,0175 кг!мм\ при нагружении падающим грузом
с высоты 254 ллг она равна 0,088 кгм!см? (по объему отпечатка).
а) Какие характеристики желательно иметь для материала обивки?
б) Какую конструкцию обивки ив этого или другого более подходящего
материала можно предложить?
в) Объяснить связь между различными приведенными характеристи-
ками материала. Насколько эти соотношения сравнимы с аналогичными
соотношениями для металлов?
Фиг. 15.25.
j — гайка с мелкой резьбой диаметром 34.9 мм (сильно затягивается ключом с рукояткой 61 еж);
2— дополнительное уплотнение; 3—нейлоновое уплотнение; 4—оправка для образца.
15.12. Поршень прибора для испытаний при высоком давлении, пока-
занный на фиг. 15.25, изготовлен из нержавеющей стали 420 и имеет твер-
дость HRC 28. По расчету поршень допускал рабочие давления 70 кг!мм2,
но при эксплуатации потребовалось, чтобы он создавал также сжимающее
усилие на приспособлении для испытаний, что требует дополнительного
усилия в 1800 кг. После нескольких испытаний поршень изогнулся. Было
решено, что поломка произошла вследствие несоосности поршня и цилиндра
испытательной машины. Был заказан новый поршень стоимостью 75 долл.
После немногих испытаний поршень опять начало «заедать» и сравнеиие
с прямой призмой показало, что он изогнут.
а) Что случилось? Обоснуйте ваше предположение и исключите другие
возможные гипотезы (желательно количественно).
б) Каким образом можно обеспечить удовлетворительную работу
поршня?
15.13. Винт из высокопрочной стали разрушился, прежде чем была
достигнута предельная нагрузка, по-видимому, в результате концентрации
www.vokb-la.spb.ru
Исследование практических случаев 439
напряжений во впадинах резьбы. Чтобы облегчить условия работы винта,
некоторые винты диаметром 6,4 мм были обезуглерожены в течение 2 час
в потоке влажного водорода (1 см3/сек) при 705° С (полученный при этом
обезуглероженный слой показан на фиг. 9.11). Затем винты были закалены
в масле и отпущены на твердость ИRc 40. Для контроля другие винты под-
вергались такой же термической обработке, но без обезуглероживания.
При испытаниях на растяжение два обезуглероженных винта разрушились
при нагрузке 3180 и 3270 кг, в то время как четыре контрольных винта раз-
рушились при нагрузке от 2720 до 2810 кг.
а) Предсказать глубину обезуглероженного слоя, исходя из коэф-
фициента диффузии, взятого из справочника [9], уравнений диффузии и допу-
щения. что концентрация углерода на поверхности равна нулю.
б) Преследовалась ли цель повышения разрушающей нагрузки? Если
нет, следует ли проводить обезуглероживание в дальнейшем на большую
или меньшую глубину?
в) Обсудить любые другие преимущества и недостатки этого метода
применительно к винтам.
ЛИТЕРАТУРА
1. ASM, Metals Handbook, 8th ed., Lyman T., (ed.), ASM Novelty, Ohio, 1961.
2. De Forest D. R., Schabtach C., G rob el L. P., Seguin B. R.,
Investigation of the G enerator Rotor Burst at the Pittsburgh Station of the Pacific Gas
and Electric Company, ASME Preprint № 57-A-280, 1957.
3. E s s e x G. S., An Investigation of the Forces in Conn-Rod Cap Bolts and Their Mem-
bers, дипломная работа, Birmingham Univ. England, 1960.
4. Modern Plastics Co., Filament Winding Goes Commerical, Modern Plastics, 39, 94—96,
194—200 (1961).
5. R an kin A. W., Seguin B. R., Report of the Investigation of the Turbine
Wheel Fracture at Tanners Creek, Trans. ASME, 78, 1527—1546 (1956).
'6. Rimmer S. M., The Springhack of Coiled Springs, Meeh. Eng., 80, April, 74—76
Nov., 140-142 (1958).
7. Schabtach C., F о g 1 e m a n E. L., Rankin A. W., W i n n e D. H.,
Report of the Investigation of Two Generator Rotor Fractures, Trans. ASME, 78, 1567—
1584 (1956).
8. S h a n k M. E., Spaeth С. E., Cooke V. W., Coyne J. E., Solid Fuel
Rocket Chambers for Operation at 240,000 psi and Above; Metal Prog., 76, 74—81
(November 1959); 84—92 (December 1959).
9. Smithells С. J., Metals Reference Book, 3rd ed., Vol. 2, Intersci., New York,
1962, p. 556.
10. Tack С. E., Fracture, Meeh. Eng., 85, 43—46 (1963).
11. T г о i a n о A. R., Hydrogen Crack Initiation and Delayed Failure in Steel, Trans.
AI ME, 212, 528—536 (1958).
www.vokb-la.spb.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................... 5
Предисловие к американскому изданию . . . . ..................... 7
Часть I
ФИЗИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛОВ
Глава 1. Структура и механизмы деформации твердых тел.................... 11
1.1. Введение ...................................................... 11
1.2. Механические явления в твердых телах...................... 11
1.3. Межатомные связи и тепловое движение ............ 1&
1.4. Структура кристаллов и дефекты ........ '22
1.5. Механизмы деформации .............. .... 29
1.6. Микро- и макроструктура материалов................. . . . . 31
1.7. Состояние вопроса.............................................. 34
1.8. Заключение .................................................. 36
Задачи 38-
Глава 2. Напряжение и бесконечно малая деформация........................ 42
2.1. Введение .................................................... 42
2.2. Определение напряжения ............................... 42
2.3. Преобразование компонент напряжения......................... 44
2.4. Уравнения равновесия ......................................•. 47
2.5. Моментные напряжения ... 49
2.6. Определение деформации......................................... 50
2.7. Преобразования компонент деформации.......................... 54
2.8. Понятие о тензоре ............................................ 55-
2.9. Измерение деформации........................................... 57
2.10. Выражение работы через деформацию и напряжение................ 58
2.11. Заключение.................................................... 59
Задачи 61
Глава 3. Основные уравнения для малых упругих деформаций........ . . 64
3.1. Введение....................................................... 64
3.2. Вид уравнений, связывающих напряжения и деформации............. 65
3.3. Влияние симметрии на соотношения между упругой деформацией
и напряжением ..................................................... 68
3.4. Единственность распределений упругих напряжений................ 72
3.5. Величина упругих коттстапт.................................... 73
3.6. Фотоупругость, пьезоэлектричество и магнитострикция .... 77
3.7. Заключение............................................. . . 19
Задачи 80
Глава 4. Механика дислокаций............................................ 82
4.1. Введение................... . ........................... 82
4.2, Геометрия дислокаций............. . ................... . 83
4.3. Движение дислокаций в кристалле ............................... 88
4.4. Поле напряжений вокруг дислокации.............................. 91
4.5. Энергия упругой деформации, «линейное натяжение» и «масса» дисло-
кации ............................................................. 93
4.6. «Сила», действующая на дислокацию.............................. 96
4.7. Критическое напряжение, необходимое для движения дислокации . . 99
4.8. Пересечение дислокаций ....................................... 102
4.9. Дислокационные реакции .... ........ 105
4.10. Размножение дислокаций....................................... 109
4.11. Границы кручения и наклона; скопления дислокаций ..... 114
www. vokb- la .spb. ru
Оглавление 441
4.12. Виды пластической деформации, отличные от скольжения............ 116
4.13. Образование и подвижность точечных дефектов в решетке........... 118
4.14. Роль термической активации в процессе пластической деформации . 121
4.15. Заключение ..................................................... 123
Задачи 127
Глава 5. Пластическая деформация кристаллических материалов ...... 132
5.1. Введение ....................................................... 132
5.2. Структурное упрочнение кристаллических материалов............ 133
5.3. Деформационное упрочнение в монокристаллах, ориентированных
для единичного скольжения................................... . 140
5.4. Деформационное упрочнение при множественном скольжении .... 146
5.5. Роль термической активации в .деформационном упрочнении .... 151
5.6. Запасенная энергия деформационного упрочнения................... 157
5.7. Роль бездиффузионных превращений, поверхностных пленок и границ
зерен в деформационном упрочнении................................. 158
5.8. Эффект Баушингера....................... ... ...... 161
5.9. Механическая нестабильность................................... 163
5.10. Механическое уравнение состояния . ........... ....... 167
5.11. Данные о прочности металлов и сплавов ... ........ 171
5.12. Заключение .................. .'.... . . ... 172
Задачи 174
Часть II
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ
Глава 6. Основные уравнения механики сплошной среды........................ 181
6.1. Введение........................................................ 181
6.2. Идеализация механического поведения.......................... 181
6.3. Пластическое течение под действием сложного напряженного
состояния ........................................................ 183
6.4. Влияние пластической деформации на эквивалентное деформирующее
напряжение........................................................ 186
6.5. Соотношения между напряжением и приращением пластической
деформации ....................................................... 190
6.6. Определяющие уравнения ползучести.............................. 197
6.7. Анализ динамических напряжений . . ................... . 198
6.8. Заключение ................................................... 201
Задачи 204
Глава 7. Деформация растяжения и сжатия................. ... .... 208
7.1. Введение...................................................... 208
7.2. Упругое растяжение анизотропных материалов . . 208
7.3. Начало пластической деформации ... ... 209
7.4. Локализация пластической деформации . . . ... 210
7.5. Конечная деформация ................................... .... 214
7.6. Максимальная нагрузка при растяжении ... 217
7.7. Образование шейки............................................... 218
7.8. Распределение деформации и напряжений в шейке круглого образца . 221
7.9. Пластичность материала ....................................... 223
7.10, Результаты ..................................................... 224
7.11. Нестабильность при растяжении и сжатии ......................... 227
7.12. Заключение...................... . . ......... . . 230
Задачи 231
Глава S. Изгиб и кручение................................... ...... 236
8.1. Введение........................................................ 236
8.2. Кручение твердых цилиндрических стержней ....................... 236
8.3. Определение соотношения между напряжениями и деформациями
по зависимости крутящего момента от угла закручивания........... 240
8.4. Изгиб балок с симметричным поперечным сечением............. 241
8.5. Изгиб пластин................................................... 245
8.6. Тепловые эффекты в изотропных материалах ............... . . 247
8.7. Заключение...................................................... 249
Задачи 250
www.vokb-la.spb.ru
442
Оглавление
Глава 9. Приближенный анализ напряжений.............................. . . 255
9.1. Введение....................................................... 255-
9.2. Энергетические методы теории упругости .................... 255
9.3. Предельная нагрузка при пластичности........................... 258
9.4. Принцип виртуальной работы...................................... 259
9.5. Теоремы предельного состояния................................... 200
9.6. Применения теорем предельного состояния .......... 263-
9.7. Гранины предельных нагрузок для задач при плоской деформации . . 270
9.8. Единственность напряженного и деформированного состояний . . . 273-
9.9. Менее точное приближение для предельной нагрузки................ 276
9.10. Заключение ..................................................... 279
Задачи 281
Глава 10. Концентрация напряжений и деформаций............................ 288
10.1. Введение.................................................. 288
10.2. Номинальное напряжение и коэффициент концентрации напряжений . 288
10.3. Распрсдслспие напряжений и деформаций вокруг цилиндрического
отверстия при двухосном растяжении................................. 289
10.4. Распределение напряжений и деформаций вокруг цилиндрического
отверстия под действием одноосного растяжения...................... 294
10.5. Концентрация напряжений и деформаций вокруг сферической
полости ........................................................... 295
10.6. Распределение напряжений и деформаций вокруг эллиптических
отверстий и острых трещин....................................... 298
10.7. Контактные напряжения..................................... 304
10.8. Оценка концентраций напряжений в упругом состоянии ... 305
10.9. Эффекты концентрации напряжений............................ 306
10.10. Уменьшение концентрации деформаций........................ 307
10.11. Заключение .................................................. 307
Задачи 309
Глава II. Остаточные напряжения...................................... 313
11.1, Введение ....................................................... 313
11.2. Классификация остаточных напряжений ....................... . . 313-
11.3. Механические и термические источники остаточных напряжений . . 314
11.4. Металлургические и химические источники остаточных напряжений . 320;
11.5. Сложные источники остаточных напряжений .................. 321
11.6. Измерение остаточных напряжений............................ 322
11.7. Эффекты остаточных напряжений.............................. 324
11.8. Устранение остаточных напряжений ............................... 326
11.9. Заключение ..................................................... 326
Задачи 327
Глава 12. Хрупкое разрушение.............................................. 332
12.1. Введение........................................................ 332
12.2. Хрупкое разрушение при одноосном напряженном состоянии .... 332
12.3. Хрупкое разрушение при двухосном и трехосном напряженном состоя-
нии ............................................................... 334
12.4. Экспериментальное подтверждение теории Гриффитса ............... 339
12.5. Возникновение ослабляющих трещин................................ 340
12.6. Замедленное разрушение.......................................... 342
12.7. Явления, сопровождающие распространение трещин ................. 343
12.8. Поверхности изломов............................................. 345
12.9. Масштабный эффект и статистические аспекты хрупкого разрушения . 347
12.10. Заключение..................................................... 351
Задачи 353
Глава 13. Пластическое разрушение......................................... 359
13.1. Введение........................................................ 359
13.2. Разрыв ......................................................... 359
13.3. Механизмы нластического разрушения ...................... 363
13.4. Пластическое разрушение в результате роста пор ................. 367
13.5. Разрушение гладких образцов..................................... 370
13.6. Чувствительность к надрезу ..................................... 375
13.7. Механика упруго-пластического разрушения........................ 376
13.8. Заключение ..................................................... 382
Задачи 383
www.vokb-la.spb.ru
Оглавление
443-
Глава 14. Переходные виды разрушения.................................. 387
14.1. Введение................................................... 387
14.2. Изменение вида разрушения стеклообразных материалов........ 388
14.3. Изменение вида разрушения кристаллических материалов....... 389
14.4. Образование трещин посредством пластической деформации .... 390
14.5. Процесс распространения трещины............................ 397
14.6. Параметры, оказывающие влияние на изменение вида разрушения . . 398
14.7. Схема Иоффе................................................ 405
14.8. Фрактография ................................................... 406
14.9. Испытания, применяемые для оценки склонности металла к хрупкому
разрушению.......................................................... 407
14.10. Заключение..................................................... 411
Задачи 412
Глава 15. Исследование практических случаев ............................... 415
15.1. Введение........................................................ 415
15.2. Определение оптимальной величины предварительного натяжения
болтов головки шатуна в двигателях внутреннего сгорания............. 415
15.3. Разработка сверхпрочных корпусов для ракетных двигателей иа твер-
дом топливе..............................,.......................... 419
15.4. О целесообразности модификации «на месте» сосудов для хранения
газа под давлением ................................................. 425
15.5. Изменение размеров пружин в результате снятия остаточных
напряжений.......................................................... 426
15.6. Исследование причины эксплуатационного разрушения рабочего
колеса турбины ..................................................... 429
Задачи 437
www. vokb- la .spb. ru