/
Текст
«шмеше
шериамв
домрчВища
школа
Г. С. Писаренко
В.А.Агарев
А. Л. Квитка
В. Г. Попков
Э.С.Уманский
Под ре щкцисй
академика АН УССР
Г. С. Писаренко
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Сопротивление
» миевиэмв
Допущено Министерством
высшего и среднего специального
образования СССР
в качестве учебника
для студентов
машиностроительных специальностей
высших учебных заведений
—
Киев
Головное издательство
издательского объединения
«Вища школа»
1986
30 121я73
С64
УДК 539.3/.8 (075.8)
Авторскому коллективу
за учебник «Сопротивление материалов»,
опубликованный в 1979 г. (4-е издание),
присуждена Государственная премия Украинской
ССР в области науки и техники 1980 года
Сопротивление материалов / Под ред. акад. АН УССР
Писаренко Г. С,— 5-е изд., перераб. и доп.— К.:
Вища шк. Головное изд-во, 1986.— 775 с.
В учебнике освещены основные вопросы сопротив
ления материалов, отражающие современный уро-
вень науки и техники Достаточно подробно из
ложены общие методы определения перемещений
и метод сил, вопросы упругих колебаний, расчеты
при действии повторно-переменных и ударных на-
грузок. Приведены элементы теории тонкостенных
оболочек, дано большое количество детально разоб-
ранных примеров.
По сравнению с четвертым изданием обновлен и
дополнен материал по методам расчетов, обновлены
также справочные данные, включены главы «Изгиб
пластинок» и «Основы механики разрушения». Все
расчеты приведены в единицах СИ.
Для студентов всех форм обучения машинострои-
тельных специальностей технических вузов.
Табл. 30 Ил. 638. Библиогр.: 16 назв. Прил. 13.
Рецензент кафедра сопротивления материалов Киев-
ского автомобильно дорожного института.
Редакция учебной и научной литературы по машине
строению и приборостроению
Зав. редакцией О. А. Добровольский
С
2105000000—270
М211(04)—86
511—86
© Издательское объединение
«Вища школа», 1973
© Издательское объединение
«Вища школа», 1986, с изменениями
Оглавление
Предисловие . . 10
Глава 1. Введение
§ 1. Наука о сопротивлении материалов Изучаемые объекты .... 13
§ 2. Виды деформаций стержня. Понятие о деформированном состоянии
материала ...... . . . 16
§ 3. Основные гипотезы науки о сопротивлении материалов . 20
Глава 2. Геометрические характеристики плоских сечений
§ 4. Статические моменты площади. Центр тяжести площади 21
§ 5. Моменты инерции плоских фигур ...... 24
§ 6. Моменты инерции сложных сечений . . 27
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осей........... 28
§ 8. Зависимости между моментами инерции при повороте координатных
осей........................................................... 31
§ 9. Определение направления главных осей. Главные моменты инерции 33
§ 10. Графическое представление моментов инерции 35
§11. Понятие'о радиусе и эллипсе инерции . .39
§ 12. Порядок расчета . 40
Глава 3. Внешние и внутренние силы.
Метод сечений. Эпюры внутренних сил
§ 13 Классификация внешних сил................................ 42
§ 14. Внутренние силы. Метод сечений. Эпюры 44
§ 15. Эпюры продольных сил . . . 48
§ 16. Эпюры крутящих моментов 50
§ 17. Балки и их опоры . 53
§ 18. Вычисление реакций....................................... 54
§ 19. Поперечные силы и моменты в сечениях балки 56
§ 20. Построение эпюр Q и М в балках . ... . 57
§ 21. Дифференциальные зависимости при изгибе. Некоторые особен-
ности эпюр Q и М . . . . . 62
§ 22. Построение эпюр для рам ........ 70
§ 23. Построение эпюр для криволинейных стержней . 75
§ 24. Дифференциальные зависимости при изгибе плоских крнволи
нейных стержней............... . ................... 79
§ 25. Построение эпюр внутренних усилий для пространственных
стержней................................................ . 86
§ 26. Напряжения в сечении . 91
Глава 4. Растяжение и сжатие.
Механические характеристики материалов
§ 27. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Расчет иа
прочность и жесткость.......................................... 93
§ 28. Условие прочности и жесткости. Виды расчетов . ........ 98
6
Оглавление
§ 29. Испытание материалов на растяжение . . 99
§ 30. Некоторые другие виды механических испытаний . 109
§ 31. Понятие о механизме образования деформаций . . . 113
§ 32. Понятие о концентрации напряжений . .... 116
§ 33. Влияние различных факторов на механические свойства мате-
риалов . ... ... 120
§ 34. Допускаемые напряжения . ... .127
Глава 5. Расчеты на прочность и жесткость
при растяжении и сжатии
§ 35. Примеры расчетов при действии сосредоточенных сил . 130
§ 36. Учет собственного веса и сил инерции ... . .139
§ 37. Статически неопределимые конструкции . . . 147
§ 38. Расчет гибких нитей 157
Глава 6. Основы теории напряженного
и деформированного состояния
§39. Напряжения в точке....................................... 170
§ 40. Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и
главные напряжения . . 172
§ 41. Линейное напряженное состояние . . . 174
§ 42. Плоское напряженное состояние............................ 177
§ 43. Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напря-
жений ...... ................ 180
§ 44. Обратная задача в плоском напряженном состоянии.......... 184
§ 45. Объемное напряженное состояние. Напряжения на произвольной
площадке.................................. ........... . 186
§ 46. Деформации при объемном напряженном состоянии. Обобщенный
закон Гука . .... 193
§ 47. Потенциальная энергия деформации 197
Глава 7. Критерии прочности
§ 48. Задачи теорий прочности.................................. 200
§ 49. Классические критерии прочности (теории прочности) 201
§ 50. Понятие о новых теориях прочности .... 208
Глава 8. Сдвиг
§ 51. Сдвиг. Расчет на срез . ... 214
§ 52. Чистый сдвиг . . .............. 215
Глава 9. Кручение
§ 53. Напряжения и деформации при кручении. Условия прочности и
жесткости................................. . . . 227
§ 54. Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении 232
§ 55. Расчет валов иа прочность и жесткость при кручении . 233
§ 56. Кручение стержней иекруглого сечения .... 238
§ 57. Кручение тонкостенных стержней ... . . 244
§ 58. Расчет винтовых цилиндрических пружин . ... 248
§ 59. Концентрация напряжений при кручении . 255
Глава 10. Изгиб
§ 60. Нормальные напряжения при плоском изгибе прямого стержня 259
§61. Касательные напряжения при изгибе . . . 266
§ 62. Расчет на прочность при изгибе .... . . 272
§ 63. О рациональной форме сечения............................. 280
Оглавление
§ 64. Полный расчет балок на прочность 282
§ 65. Концентрация напряжений при изгибе . 284
§ 66 Дифференциальное уравнение изогнутой оси 289
§ 67. Примеры определения перемещений интегрированием дифферен
циального уравнения изогнутой оси балки 293
§ 68 Определение перемещений в балках по методу начальных пара
метров .............. .............. . 300
§ 69. Расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость 315
§ 70. Расчет па действие сил инерции при изгибе 328
Глава 11 Дополнительные вопросы теории изгиба
§ 71. О расчете составных балок ............ 330
§ 72. Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиля.
Центр изгиба ... . . 333
§ 73. Основы расчета балок на упругом основании . 340
§ 74. Изгиб балок, материал которых не следует закону Гука 346
Глава 12. Сложное сопротивление
§ 75 Сложный и косой изгиб . 352
§ 76. Изгиб с растяжением (сжатием) 359
§ 77. Изгиб с кручением 366
Глава 13. Общие теоремы об упругих системах.
Общие методы определения перемещений
§ 78. Обобщенные силы и перемещения 381
§ 79. Работа внешних сил . 385
§ 80. Работа внутренних сил . . 386
§ 81 Применение начала возможных перемещении к упругим системам 390
§ 82 Теоремы о взаимности работ и перемещений . . 394
§ 83. Общая формула для определения перемещений. Метол Alopa 396
§ 84. Перемещения, вызванные действием температуры 401
§ 85 Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина .... 403
§ 86. Применение способа Верещагина к стержням переменного сечения 408
§ 87. Потенциальная энергия деформации 409
§ 88. Теорема Кастильяио. Теорема Лагранжа 412
§ 89. Теорема о минимуме потенциальной энергии 415
Глава 14. Статически неопределимые системы
§ 90. Основные понятия и определения. Этапы расчета статически не-
опредечимой системы . 417
§ 91 Расчет простых статически неопределимых балок . 420
§ 92. Канонические уравнения метода сил . 423
§ 93. Многопролетные неразрезные балки. Уравнение трех моментов 437
§ 94. Влияние неточного расположения опор по высоте . 445
§ 95. Расчет статически неопределимых криволинейных стержней . 447
§ 96. Определение перемещений в статически неопределимых системах 450
§ 97 Контроль правильности решения статически неопределимой си-
стемы 452
§ 98. О расчете пространственных рамных систем . 454
Глава 15. Расчет плоских кривых брусьев
§ 99. Определение напряжений в кривых брусьях 457
§ 100. Расчет на прочность кривых брусьев . . 465
§ 101 Определение перемещений в кривых стержнях . 469
8
Оглавление
Глава 16. Расчет толстостенных цилиндров
и вращающихся дисков
§ 102. Толстостенный цилиндр, подверженный внутреннему и наружному
давлениям ...... 471
§ 103 Расчет составных цилиндров .... ... . 478
§ 104. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах . 481
§ 105. Примеры расчетов толстостенных цилиндров ... 485
§ 106. Расчет вращающихся дисков 489
Глава 17. Изгиб пластинок
§ 107. Общие понятия. Гипотезы теории изгиба пластинок 496
§ 108. Цилиндрический изгиб прямоугольных пластинок 498
§ 109. Чистый изгиб пластинок .... . . . 503
§ 110. Температурные напряжения в пластинках 507
§ 111. Общий случай изгиба прямоугольных пластинок . 508
§ 112. Осесимметричный изгиб круглых пластинок................. 510
§ 113. Равномерно нагруженная круглая сплошная пластинка . . 514
§ 114. Круглая пластинка, нагруженная сосредоточенной силой в центре 520
§ 115. Изгиб кольцевой пластинки 523
Глава 18. Элементы теории тонкостенных оболочек
§ 116. Введение................................................ 525
§ 117. Напряжения в осесимметричной оболочке . 526
§ 118. Распорные кольца в оболочках . . ...............532
§ 119. Краевая задача для тонкой цилиндрической оболочки 535
§ 120. Примеры учета изгибных напряжений в оболочках . 543
Глава 19. Расчет конструкций по предельным состояниям
§ 121. Основные понятия о предельном состоянии ................ 545
§ 122 Расчеты при растяжении и сжатии......................... 548
§ 123. Расчеты при кручении 552
§ 124 Расчеты при изгибе . . 556
Глава 20. Устойчивость сжатых стержней
§ 125 Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие . 560
§ 126. Формула Эйлера для определения критической силы сжатого
стержня.........................................................562
§ 127. Влияние^ условий закрепления концов стержня на величину
критической силы . .................................. . 565
§ 128 Понятие о потере устойчивости при напряжениях, превышающих
предел пропорциональности ... 569
§ 129. Расчеты на устойчивость при помощи коэффициентов уменьшения
основного допускаемого напряжения . .................573
§ 130. О выборе материала и рациональных форм поперечных сеченнй
для сжатых стержней............................................ 578
§ 131. Продольно-поперечный изгиб . 579
Глава 21. Упругие колебания
§ 132. Введение. Классификация механических колебаний . . 587
§ 133. Свободные гармонические колебания упругой системы с одной
степенью свободы ...................... .... 592
§ 134. Вынужденные колебания упругих систем с одной степенью свободы 599
§ 135. Рассеяние энергии при колебаниях . . ... 603
§ 136. Вынужденные колебания с учетом рассеяния энергии 606
§ 137. Критическая скорость вращения вала . . . . 611
^¥«1^^Я<И^р1Тги—_7ЧПМОЛеТСВОПМ|7вру1Л1М|7
Оглавление
9
§ 138. Свободные колебания системы с двумя или несколькими степе
нями свободы . . . .... 614
§ 139. Кротильные колебания валов и систем передач ...............620
§ 140. Поперечные колебания стержней с сосредоточенными массами . 622
§ 141. Колебания упругих тел с распределенными массами . . 626
§ 142. Поперечные колебания призматических стержней...............634
§ 143. Использование принципа сохранения энергии при решении задач
о колебаниях.......................... . 639
§ 144. Приближенные методы определения собственных частот колеба-
ний упругих систем . . 641
Глава 22. Сопротивление материалов
действию повторно-переменных напряжений
§ 145. Явление усталости материалов...............................652
§ 146. Методы определения предела выносливости. Диаграммы уста
лости .... ......... .... 658
§ 147. Влияние конструктивно технологических факторов на предел вы
носливости........................................................ 665
§ 148. Расчет на прочность при повторно переменных напряжениях 674
§ 149. Понятие о малоцикловой усталости материалов . . . 683
Глава 23. Расчеты на ударную нагрузку
§ 150. Расчет иа удар при осевом действии нагрузки 690
§ 151 Напряжения при скручивающем ударе 705
§ 152. Расчет на удар при изгибе ... 708
§ 153. Механические свойства материалов при ударе . 714
Глава 24. Контактные напряжения
§ 154. Основные понятия . . ...................... . 716
§ 155. Формулы для определения контактных напряжений . 717
§ 156. Проверка прочности при контактных напряжениях . 722
Глава 25. Основы механики разрушения
§ 157. Общие понятия . .... . . 727
§ 158. Хрупкое разрушение. Задача Гриффитса . 728
§ 159. Силовые критерии разрушения ... 7 42
§ 160. Оценка величины пластической зоны на продолжении трещины 738
§ 161. Методика экспериментального определения трещииостойкости
конструкционных материалов.................... ... ... 740
Глава 26. Заключение
§ 162. Современные проблемы сопротивления материалов . 742
Приложения.................. . . 748
Список рекомендуемой литературы . . 769
Предметный указатель . . ............ .... . 770
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Предисловие
Предисловие
11
Писаренко
Георгий Степанович —
профессор, доктор
технических наук,
академик АН УССР,
член Международной
академии астронавтики,
лауреат
Государственной премии
СССР (1982) и
Г осударственных
премий УССР (1969
1980).
Агарев
Виктор Андреевич —
старшин преподавате. iь,
кандидат технических
наук, laypeai
Государственной премии
УС( Р (1980)
Задачи ускорения социально-экономическо-
го развития страны, намеченные историческими
решениями XXVII съезда КПСС, предусматри-
вают всемерную интенсификацию производства
на базе новейших достижений науки и техники и
внедрения в важнейшие области народного
хозяйства революционизирующих технологий,
определяющих уровень научно-технического
прогресса страны.
Все это вызывает необходимость резко по-
высить качество подготовки научных и инже-
нерных кадров, которые способны решать новые
научные и технические задачи, стоящие перед
нашей страной на современном этапе ее раз-
вития. Успех подготовки этих кадров в зна-
чительной степени зависит от наличия соответ-
ствующих средств обучения и в частности
учебников и учебных пособий.
В нашей стране создано немало хороших
учебников по сопротивлению материалов.В пер-
вую очередь следует отметить изданный в 1898 г.
учебник профессора В. Л. Кирпичева, где гар-
монично сочетались вопросы теории и экспери-
мента. В свое время он по праву занял ведущее
место в мировой науке о сопротивлении ма-
териалов.
Особо следует указать на учебник С. П. Ти-
мошенко, впервые изданный в 1911 г. и много-
кратно переиздававшийся как в нашей стране,
так и за рубежом. По глубине и содержанию
он превзошел аналогичные курсы, изданные в
других странах, и сыграл значительную роль в
подготовке инженеров-прочнистов многих поко-
лений.
Одним из лучших учебников, созданных
после Октябрьской революции, был учебник,
написанный профессором Н. М. Беляевым на
основе теоретических и экспериментальных ис-
следований в области прочности материалов.
Квитка
Александр Львович —
ведущий научный
сотрудник,
доктор
технических наук,
лауреат
Г осударственной
премии СССР (1982) и
Государственной премии
УССР (1980).
Попков
Виктор Григорьевич —
доцент, кандидат
технических наук,
лауреат
Государственной
премии УССР (1980)
В последние годы широко известен учебник про-
фессора В. И. Феодосьева, выдержавший уже
8 изданий.
Настоящий учебник написан с учетом много-
летнего опыта преподавания курса сопротив-
ления материалов в Киевском политехническом
институте, а также использования первых четы-
рех изданий книги (1963, 1967, 1973, 1979 гг.).
Учебник имеет ряд особенностей, отличаю-
щих его от большинства учебников, ранее из-
данных другими авторами. Учитывая затрудне-
ния, которые испытывают студенты при изуче-
нии курса, и преследуя цель равномерно рас-
пределить домашние расчетно-проектировочные
работы, авторы сочли целесообразным изменить
обычно принятую последовательность изложе-
ния материала. В частности, такой раздел, как
«Геометрические характеристики плоских сече-
ний», носящий вспомогательный характер, по-
мещен в начале курса, что позволяет уже в пер-
вые дни занятий выдавать студентам домашнее
расчетно-проектировочное задание. Затем в са-
мостоятельную главу выделены вопросы по-
строения эпюр внутренних усилий — раздел,
усвоение которого вызывает у студентов опре-
деленные трудности. Особенность книги состоит
также в том, что решение основных задач
сопротивления материалов в ней излагается по
единому плану: сначала рассматривается стати-
ческая сторона задачи, затем — геометриче-
ская, физическая и, наконец, их синтез.
В настоящем учебнике нашли отражение
такие важные для студентов машиностроитель-
ных и политехнических высших учебных заве-
дений разделы, как колебания, усталость, вклю-
чая и малоцикловую, а также расчеты при
действии ударных нагрузок, освещены совре-
менные проблемы прочности, которые могут
заинтересовать учащуюся молодежь, приоб-
щающуюся к научной работе со 2—3-го года
обучения в институте. Авторы стремились соз-
дать такой учебник, который в максимальной
степени был бы интересен и полезен студен-
там. Судя по опыту использования четырех
предыдущих изданий, поставленная задача в
известной степени решена. По-видимому, этому
способствовало обилие примеров расчетов и ре-
шенных задач по всем без исключения разде-
12
Предисловие
Уманский Эммануил
Соломонович —
профессор, доктор
технических наук,
лауреат
Г ссуда рственной
премии СССР (1982) и
Г осуда рственной
премии УССР (1980)
лам курса, а также стремление в рамках сту-
денческого курса в какой-то мере отразить сов-
ременные тенденции развития учения о проч-
ности в инженерном деле.
Книга рассчитана на максимальное число
учебных часов по программе для студентов
машиностроительных специальностей техниче-
ских вузов. В то же время ею могут поль-
зоваться студенты и других специальностей, так
как материалы, предусмотренные любой про-
граммой, в компактном виде изложены в соот-
ветствующих главах и параграфах.
При подготовке пятого издания авторы
уточнили некоторые положения, внесли допол-
нения, продиктованные динамичным развитием
учения о прочности и новыми тенденциями в
методике преподавания в высшей школе. В част-
ности, авторы сочли необходимым включить
главы, посвященные расчету пластинок и осно-
вам механики разрушения.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Глава 1
Введение
§ 1. Наука о сопротивлении материалов.
Изучаемые объекты
Сопротивлением материалов называют науку об инженерных
методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов
машин и сооружений.
В процессе эксплуатации машин и сооружений их элементы
(стержни, балки, пластины, болты, заклепки и др.) в той или иной
степени участвуют в работе конструкции и подвергаются действию
различных сил — нагрузок. Для обеспечения нормальной работы
конструкция должна удовлетворять необходимым условиям прочно-
сти, жесткости и устойчивости.
Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей
и деталей выдерживать определенную нагрузку не разрушаясь.
Под жесткостью подразумевают способность конструкции и
ее элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении дефор-
мации (изменения формы и размеров). При заданных нагрузках
деформации не должны превышать определенной величины, уста-
навливаемой в соответствии с требованиями, предъявляемыми к
конструкции.
Устойчивостью называют способность конструкции или ее эле-
ментов сохранять определенную начальную форму упругого равно-
весия.
Чтобы конструкция в целом отвечала требованиям прочности,
жесткости и устойчивости, а следовательно, была надежной в
эксплуатации, необходимо придать ее элементам наиболее рацио-
нальную форму и, зная свойства материалов, из которых они будут
изготовляться, определить соответствующие размеры в зависимости
от величины и характера действующих сил.
На первый взгляд может показаться, что для надежного
сопротивления элементов конструкции внешней нагрузке достаточно
увеличить их размеры. Действительно, иногда это приводит к желае-
мым результатам. Однако в тех случаях, когда собственный вес
составляет существенную часть действующих на конструкцию нагру-
зок, увеличение размеров ее элементов, а значит и веса, не приве-
дет к повышению прочности. Увеличение размеров движущихся де-
талей механизмов й машин приводит к возрастанию сил инерции,
повышает нагрузку, а это нежелательно, поскольку также может
привести к разрушению.
14
Введение
Увеличение размеров, не вызванное требованиями надежности
работы конструкции, приводит к излишнему расходу материалов
и повышению ее стоимости. Машины и сооружения нужно строить
прочными и надежными в эксплуатации, но в то же время легкими
и дешевыми.
Сопротивление материалов решает указанные задачи прочности,
основываясь как на теоретических, так и на опытных данных,
имеющих в этой науке одинаково важное значение. В теоретической
части эта наука базируется на теоретической механике и матема-
тике, а в экспериментальной — на физике и материаловедении.
Сопротивление материалов является исключительно важной об-
щеинженерной наукой, необходимой для формирования инженеров
любой специальности. Без фундаментальных знаний в этой области
невозможно создать такие конструкции, как различного рода ма-
шины и механизмы, гражданские и промышленные сооружения,
мосты, линии электропередач и антенны, ангары, корабли, самолеты
и вертолеты, турбомашины, электрические машины, агрегаты атом-
ных станций, ракетной и реактивной техники и др.
Таким образом, сопротивление материалов — это наиболее общая
наука о прочности машин и сооружений. Однако она не исчерпывает
всех вопросов механики деформируемых тел. Этими вопросами зани-
маются и другие смежные дисциплины: строительная механика
стержневых систем, теория упругости и теория пластичности. Между
этими дисциплинами строгую границу провести нельзя. Основная же
роль при решении задач прочности принадлежит сопротивлению ма-
териалов.
При всем разнообразии видов конструктивных элементов, встре-
чающихся в сооружениях и машинах, их можно свести к сравни-
тельно небольшому числу основных форм. Тела, имеющие эти основ-
ные формы, и являются объектами расчета на прочность, жесткость
и устойчивость. К ним относятся стержни, оболочки, пластинки
и массивные тела.
Стержнем или брусом называется тело, у которого один размер
(длина) значительно превышает два других (поперечных) размера
(рис. 1, а).
В машинах и сооружениях встречаются стержни как прямоли-
нейные (рис. 1, а), так и криволинейные (рис. 1,6), как призмати-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Наука о сопротивлении материалов. Изучаемые объекты
15
ческие (рис. 1, а), так и переменного сечения (рис. 1, в). Примерами
прямых стержней являются валы, оси, балки. Примерами кривых
стержней могут служить грузоподъемные крюки, звенья цепей и др.
Стержни, у которых толщина стенки значительно меньше габарит-
ных размеров поперечного сечения, называют тонкостенными
(рис. 1, г). В настоящее время они широко применяются в строи-
тельных конструкциях, судо- и особенно в авиастроении.
Оболочка представляет собой тело, ограниченное криволинейны-
ми поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от
друга.
Поверхность, которая делит толщину оболочки на равные части,
называется срединной. По форме срединной поверхности различают
оболочки цилиндрические (рис. 2, а), конические (рис. 2, б), сфери-
ческие (рис. 2, в) и др. К оболочкам относятся неплоские стенки
тонкостенных резервуаров, котлов, купола зданий, обшивки фюзеля-
жа, крыла и других частей летательных аппаратов, корпуса подвод-
ных лодок и т. д.
Если срединная поверхность представляет собой плоскость, то
расчетный объект называют пластинкой (рис. 2, г). Встречаются
пластинки круглые (рис. 2, д), прямоугольные (рис. 2, г) и других
очертаний. К пластинкам могут быть отнесены плоские днища и
крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски
турбомашин и т. п.
Тела, у которых все три размера одного порядка, называют
массивными телами. К ним относятся фундаменты сооружений, под-
порные стенки и т. п.
В сопротивлении материалов задачи, как правило, решаются про-
стыми математическими методами с привлечением упрощающих
гипотез и использованием экспериментальных данных; решения при
этом доводят до расчетных формул, пригодных для применения в
инженерной практике.
Возникновение науки о сопротивлении материалов связывают с
именем знаменитого итальянского ученого Галилео Галилея (1564 -
1642), проводившего опыты по изучению прочности, хотя истоки
этой науки мы видим уже в творениях великого Леонардо да Винчи.
В 1678 г. английский ученый Роберт Гук (1635 1703) установил
закон деформирования упругих тел, согласно которому деформация
Рис. 2
16
Виедение
упругого тела пропорциональна действующему на него усилию.
Этот закон является основным в теории сопротивления материалов.
Быстрое развитие науки о сопротивлении материалов началось в
конце XVIII ст. в связи с бурным прогрессом промышленности
и транспорта. Проблемами прочности занимались академик Петер-
бургской академии наук Леонард Эйлер, выдающиеся русские
ученые Н. А. Белелюбский, И. Г. Бубнов, А. М. Воропаев, А. В. Гадо-
лин, X. С. Головин, Д. И. Журавский, В. Л. Кирпичев, С. П. Тимошен-
ко, Ф. С. Ясинский. Развитию сопротивления материалов содейство-
вали работы иностранных ученых Д. Бернулли, Т. Кармана, А. Ка-
стильяно, О. Коши, Ш. Кулона, Г. Ламе, А. Лява, Д. Максвелла,
К. Мора, Л. Навье, Л. Прандтля, С. Пуассона и др.
После Великой Октябрьской социалистической революции боль-
шой вклад в науку о прочности внесли советские ученые Н. Н. Афа-
насьев, Ф. П. Белянкин, Н. М. Беляев, В. В. Болотин, В. 3. Власов,
Б. Г. Галеркин, Б. Н. Горбунов, Н. Н. Давиденков, А. Н. Динник,
А. А. Ильюшин, А. Д. Коваленко, А. Н. Крылов, Н. В. Корноухов,
Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилов, П. Ф. Папкович, С. Д. По-
номарев, И. М. Рабинович, Ю. Н. Работнов, С. В. Серенсен, В. В. Со-
коловский, А. А. Уманский, В. И. Феодосьев и др.
§ 2. Виды деформаций стержня.
Понятие о деформированном состоянии материала
Реальные тела могут деформироваться, т. е изменять свою фор-
му и размеры. Деформации тел происходят вследствие нагружения
их внешними силами или изменения температуры. При деформиро-
вании тела его точки, а также мысленно проведенные линии или
сечения перемещаются в плоскости или в пространстве относительно
своего исходного положения.
При нагружении твердого тела в нем возникают внутренние силы
взаимодействия между частицами, оказывающие противодействие
внешним силам и стремящиеся вернуть частицы тела в положение,
которое те занимали до деформации.
Деформации бывают упругие, т. е. исчезающие после прекраще-
ния действия вызвавших их сил, и пластические, или остаточные,—
не исчезающие.
С увеличением внешних сил внутренние силы также увеличи-
ваются, однако до известного предела, зависящего от свойств
материала. Наступает момент, когда тело уже не в состоянии сопро-
тивляться дальнейшему увеличению внешних сил. Тогда оно разру-
шается. В большинстве случаев для величины деформаций элемен-
тов конструкции устанавливают определенные ограничения.
Основным объектом, рассматриваемым в сопротивлении материа-
лов, является стержень с прямолинейной осью.
В сопротивлении материалов изучают следующие основные виды
деформаций стержня: растяжение и сжатие, сдвиг (срез), кручение
Виды деформации стержня Понятие о деформированном состоянии материала 17
и изгиб. Рассматривают и более сложные деформации, получающиеся
в результате сочетания нескольких основных.
Растяжение или сжатие возникает, например, в случае, когда к
стержню по его оси приложены противоположно направленные силы
(рис. 3). При этом происходит перемещение сечений вдоль оси
стержня, который при растяжении удлиняется, а при сжатии укора-
чивается. Изменение А/ первоначальной длины / стержня называют
абсолютным удлинением при растяжении или абсолютным укороче-
нием при сжатии. Отношение абсолютного удлинения (укорочения)
А/ к первоначальной длине I стержня называют средним относитель-
ным удлинением на длине / и обозначают обычно еср:
_Д/
Еср I
На растяжение или сжатие работают многие элементы конструк-
ций: стержни ферм1, колонны, штоки паровых машин и поршневых
насосов, стяжные винты и другие детали.
Сдвиг или срез возникает, когда внешние силы смещают два па-
раллельных плоских сечения стержня одно относительно другого
при неизменном расстоянии между ними (рис. 4). Величина сме-
щения As называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютно-
го сдвига к расстоянию а между смещающимися плоскостями (тан-
генс угла у) называют относительным сдвигом. Вследствие малости
угла у при упругих деформациях его тангенс принимают равным
углу перекоса рассматриваемого элемента. Следовательно, относи-
тельный сдвиг
у = А«
а '
Относительный сдвиг является угловой деформацией, характери-
зующей перекос элемента. На сдвиг или срез работают, например,
18
Введение
заклепки и болты, скрепляющие элементы, которые внешние силы
стремятся сдвинуть один относительно другого.
Кручение возникает при действии на стержень внешних сил, об-
разующих момент относительно оси стержня (рис. 5). Деформа-
ция кручения сопровождается поворотом поперечных сечений
стержня относительно друг друга вокруг его оси. Угол поворота одно-
го сечения стержня относительно другого, находящегося на расстоя-
нии I, называют углом закручивания на длине I. Отношение угла за-
кручивания <р к длине I называют относительным углом закручива-
ния:
На кручение работают валы, шпиндели токарных и сверлильных
станков и другие детали.
Деформация изгиба (рис. 6) заключается в искривлении оси
прямого стержня или в изменении кривизны кривого стержня. Про-
исходящее при этом перемещение какой-либо точки оси стержня
выражается вектором, начало которого совмещено с первоначаль-
ным положением точки, а конец — с положением той же точки в
деформированном стержне. В прямых стержнях перемещения точек,
направленные перпендикулярно к начальному положению оси, назы-
вают прогибами и обозначают буквой w. При изгибе происходит
также поворот сечений стержня вокруг осей, лежащих в плоско-
стях сечений. Углы поворота сечений относительно их начальных
положений обозначаются буквой 0. На изгиб работают, например,
оси железнодорожных вагонов, листовые рессоры, зубья шестерен,
спицы колес, балки междуэтажных перекрытий, рычаги и многие
другие детали.
В результате одновременного действия на тело сил, вызывающих
различные виды указанных основных деформаций, возникает более
сложная деформация. Так, часто элементы машин и конструкций
подвергаются действию сил, вызывающих одновременно изгиб и кру-
чение, изгиб и растяжение или сжатие и др.
Описанные деформации стержня дают представление об измене-
нии его формы и размеров в целом, но ничего не говорят о степени
и характере деформированного состояния материала. Исследования
показывают, что деформированное состояние тела, вообще говоря,
неравномерно и изменяется от точки к точке.
Для определения деформации в какой-либо точке А (рис. 7)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
проведем в недеформированном теле отрезок прямой АВ, исходя-
щий из этой точки в произвольном направлении и имеющий длину
s. После деформации точки А и В переместятся и займут положения
Л, и В, соответственно, а расстояние s между ними изменится на
величину As. Отношение As/s = ecp называется средней относитель-
ной линейной деформацией отрезка АВ. Приближая точку В к точке
А, т. е. уменьшая длину отрезка s, в пределе получим
lim—=еЛв.
s ->0 * s * * В
Величина еАВ представляет собой относительную линейную де-
формацию в точке А по направлению АВ. Если известно, что
расстояние между точками А и В увеличивается, то еАВ называют
относительным удлинением, при уменьшении этого расстояния —
относительным укорочением.
В одной и той же точке А относительные линейные деформа-
ции по различным направлениям могут быть различны. Обычно
в качестве основных принимают направления, параллельные осям
выбранной прямоугольной системы координат. Тогда относительные
линейные деформации в точке обозначают соответственно через
в*. ez.
Для полной характеристики деформации в точке вводят еще
и угловые деформации. Если до деформации тела из точки А
(рис. 8) провести два отрезка АВ и АС, образующих прямой угол,
то после перемещения точек вследствие деформации тела отрезки
займут положения .Ди 71 jCj, а угол между ними изменится на
величину Z.BAC—£ВХАХСХ. Приближая точки В и С к точке А,
в пределе получим изменение первоначально прямого угла на вели-
чину
Hm^BAC-ZB.A.C^Yuc.
s-Ч)
s'-*0
Это изменение прямого угла, выраженное в радианах, называ-
ется относительной угловой деформацией в точке А в плоскости,
где лежат отрезки АВ и АС. В той же точке А относительные угловые
Деформации в различных плоскостях различны. Обычно относи-
тельные угловые деформации определяют в трех взаимно перпен-
20
Введение
дикулярных координатных плоскостях. Тогда их обозначают соот-
ветственно через уху, ухг, ууг.
Деформированное состояние в точке тела полностью опреде-
ляется шестью компонентами деформации — тремя относитель-
ными линейными деформациями ех, еу, и тремя относительными
угловыми деформациями уху, ухг, ууг.
§ 3. Основные гипотезы науки
о сопротивлении материалов
Для построения теории сопротивления материалов принимают
некоторые гипотезы относительно структуры и свойств материалов,
а также о характере деформаций. Эти гипотезы следующие:
1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что
материал сплошь заполняет форму тела. Атомистическая тео-
рия дискретного строения вещества во внимание не принима-
ется.
2. Гипотеза об однородности и изотропности. Материал пред-
полагается однородным и изотропным, т. е. в любом объеме и в
любом направлении свойства материала считаются одинаковыми.
Хотя кристаллы, из которых состоят металлы, анизотропны, но
их хаотическое расположение дает возможность считать макро-
объемы металлов изотропными.
В некоторых случаях предположение об изотропии неприем-
лемо. Например, к анизотропным материалам относятся древеси-
на, свойства которой вдоль и поперек волокон существенно раз-
личны, армированные материалы и т. п.
3. Гипотеза о малости деформаций. Предполагается, что дефор-
мации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет в
большинстве случаев пренебречь изменениями в расположении
внешних сил относительно отдельных частей тела и составлять
уравнения статики для недеформированного тела. В некоторых
случаях от этого принципа приходится отступать. Такие отступле-
ния оговариваются особо.
Малые относительные деформации рассматривают как беско-
нечно малые величины.
4. Гипотеза об идеальной упругости материала. Все тела пред-
полагаются абсолютно упругими. Отклонения от идеальной упру-
гости, которые всегда наблюдаются при нагружении реальных
тел, несущественны и ими пренебрегают до определенных пределов
деформирования.
Большинство задач сопротивления материалов решают в пред-
положении линейно деформируемого тела, т. е. такого, при кото-
ром справедлив закон Гука, выражающий прямую пропорцио-
нальность между деформациями и нагрузками.
Приняв гипотезы о малости деформаций и о линейной зависи-
мости между деформациями и усилиями, можно при решении
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Основные гипотезы науки о сопротивлении материалов 21
большинства задач сопротивления материалов применять принцип
суперпозиции (принцип независимости и сложения действия сил).
Например, усилия в любом элементе конструкции, вызванные раз-
личными факторами (несколькими силами, температурными воздей-
ствиями), равны сумме усилий, вызванных каждым из этих факто-
ров, и не зависят от порядка их приложения. Это же справедливо
и в отношении деформаций.
Перечисленные выше гипотезы, а также некоторые другие,
о которых будет сказано дальше, позволяют решать широкий круг
задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость. Резуль-
таты расчетов хорошо согласуются с данными практики.
Глава 2
Геометрические характеристики
плоских сечений
Как уже отмечалось, основным объектом, изучаемым в курсе
сопротивления материалов, является стержень.
Сопротивление стержня различным видам деформации часто
зависит не только от его материала и размеров, но и от очертаний
оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому в
настоящей главе, отвлекаясь от физических свойств изучаемого
объекта, рассмотрим основные геометрические характеристики его
поперечных сечений, определяющие сопротивление различным
видам деформаций. К ним относятся площади поперечных сече-
ний, статические моменты и моменты инерции.
§ 4. Статические моменты площади.
Центр тяжести площади
Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса),
связанную с координатными осями Oz и Оу (рис. 9). Выделим
элемент площади dF с координатами z, у. По аналогии с выра-
жением для момента силы относительно какой-либо оси можно
составить выражение и для момен-
та площади, которое называется
статическим моментом. Так, произ-
ведение элемента площади dF на
расстояние у от оси Oz
^8г = ydF
называется статическим моментом
элемента площади относительно оси
Рис. 9
О
Z
22 Геометрические характеристики плоских сечений
Oz. Аналогично dSy = zdF— статический момент элемента пло-
шали относительно оси Оу. Просуммировав такие произведения
по всей площади фигуры, получим соответственно статические
моменты относительно осей z и у.
S2=\ydF\ Sy=\zdF. (2.1)
F F
Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе
(например, см3).
Пусть z,у,—координаты центра тяжести (ц. т.) фигуры.
Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы
о моменте равнодействующей можно написать следующие выра-
жения:
Sz = Fyc- Sy=Fzc, (2.2)
где F •— площадь фигуры. Отсюда координаты центра тяжести
Sy Si
Ус==т-
(2-3)
Из формул (2.2) следует, что статические моменты площади
относительно центральных осей (осей, проходящих через центр
тяжести) равны нулю.
В качестве примера вычислим статический момент треуголь-
ника (рис. 10) относительно оси, проходящей через основание.
На расстоянии у от неё выделим элементарную площадку в виде
полоски, параллельной оси г. Площадь полоски
dF=b(y) dy.
Учитывая, что <
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Статические моменты площади. Центр тяжести площади
23
имеем
л
Sz= j ydF=^\у (h~y) dy=^--
F 0
Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой (2.2).
Очевидно, что
F=±-bh\ Ус=-^И,
следовательно.
s ^±bh.-Lh^
г>г 2 3 6 ’
Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее раз-
бивают на простые части (рис. 11), для каждой из которых извест-
на площадь Fi и положение центра тяжести z, и у,. Статический
момент площади всей фигуры относительно данной оси опреде-
ляется как сумма статических моментов каждой части:
Sz = Ftyi+ F2y2 + ... +F„yn= 2 F,y,;
(2.4)
Sy^FiZt +F2Z2+ ... +Fnzn = 2 Лг,.
i=l
По формулам (2.3) и (2.4) легко найти координаты центра
тяжести сложной фигуры:
£ F.Z. __ 1 1 „ _ Sz iF.y. i—l (2-5)
F 2 к i= 1 F 2 f i= I
Определим, например, положение центра тяжести фигуры, по-
казанной на рис. 12.
Разбиваем фигуру на два прямоугольника. Результаты вычис-
лений сводим в табл. 1.
Таблица 1
№ части фигуры Площадь F, участ- кз, см2 Координаты центра тяжести участка в системе гу, см F,z, r.,v. Zr, у<, см
г, У‘ см3
I II 20 16 1 4 7 1 20 64 140 16 —
Для всей Фигуры 36 — — 84 156 II II II 11 11 ю W й “
24
Геометрические характеристики плоских сечений
§ 5. Моменты инерции плоских фигур
Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фи-
гуры называют интеграл произведений элементарных площадей на
квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Так, моменты
инерции произвольной фигуры (рис. 13) относительно осей z и у
соответственно
1г = j y2dF; ly=\ z2dF. (2.6)
F F
Полярным моментом инерции
площади фигуры относительно дан-
ной точки (полюса О) называют
интеграл произведений элементарных
площадей на квадраты их расстояний
от полюса:
Jp=jp2dF.
F
(2-7)
Если через полюс проведена система взаимно перпендикуляр-
ных осей z и у, то p2=z2-|-y2. Из выражения (2.7) имеем
(y2 + z2)dF=^2dF+$z2dF = Jz+^. (2.8)
F F F
Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции
всегда положительны.
Центробежным моментом инерции называют интеграл произ-
ведений площадей элементарных площадок на их расстояния от
координатных осей z и у:
lzy=\zydF. (2.9)
F
В зависимости от положения осей центробежный момент инер-
ции может быть положительным или отрицательным, а также рав-
ным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади
фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы
осей положителен, так как координаты г, у всех элементов поло-
жительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90°
(рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры меня-
Рис. 14
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Моменты инерции плоских фигур
25
ется на обратный, так как в этом положении координаты z всех
элементов положительны, а координаты у — отрицательны.
Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их
положение, при котором центробежный момент инерции равен
нулю. Такие оси называют главными осями инерции. Две взаимно
перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью
симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции,
поскольку в этом случае каждой положительной величине zy dF
соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси
симметрии (рис. 14, е) и их сумма по всей площади фигуры равна
нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения,
называют главными центральными осями.
Измеряются моменты инерции в единицах длины в четвертой
степени (например, см4).
Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно
центральных осей z, у, параллельных его сторонам (рис. 15).
Для определения момента инерции относительно оси z выделим
элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллель-
ного оси z. Ширина элемента Ь, высота — dy. Следовательно,
dF=bdy,
h h
т 2
Jz=\y2dF=b J y'2dy = 2b J y2dy=-^-. (2.10)
Г Л 0
- 2
Очевидно, что
(2.П)
Заметим, что интеграл Jz не изменится, если все полоски dF=
— bdy переместить параллельно оси z, относительно которой оп-
ределяется момент инерции. Таким образом, момент инерции па-
раллелограмма (рис. 16) относительно центральной оси z, парал-
лельной основанию,
ДГ . (2.12)
Найдем момент инерции треугольника относительно оси, про-
ходящей через его основание (рис. 17).
26
Геометрические характеристики плоских сечений
Разбиваем площадь фигуры, как и в предыдущем примере, на
элементарные полоски, параллельные данной оси:
dF=b(y) dy.
Очевидно, ширина полоски, находящейся на расстоянии у от оси г,
b(y)=±(h-y).
Следовательно,
L=\y2dF=±\y2(h-y)dy==-!£. (2.13)
F О
Вычислим полярный момент инерции круга относительно его
центра, а также момент инерции относительно центральной оси.
При вычислении полярного момента инерции выделим элемен-
тарную полоску в виде тонкого кольца толщиной dp (рис. 18).
Площадь такого элемента
dF=2npdp.
Полярный момент инерции
Jp=(p2dF=2^p3dp=^=^- (2.14)
F О
Моменты инерции круга относительно центральных осей легко
найти на основании выражения (2.8):
7р = Jz -|- J у.
В силу симметрии
/г = Jy,
следовательно,
<«•'»)
Найдем осевой момент инерции кругового сектора ОАВ (рис. 19)
относительно оси г.
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Моменты инерции сложных сечений 27
Пользуясь полярными координатами р, <р, выделяем элемен-
тарную площадку dF=pd<pdp. Так как
у=р sin <р,
то
sin 2р —sin 2а
2
₽ Г 4
jz=(y2dF=^ $ р2 sin 2<p.pd<pdp=-^-|\p — а)
р а О
Для четверти круга а —0; £=л/2. Тогда /г = .пг4/16. Пола-
гая р = л, а=0, находим момент инерции полукруга.
1 =—
8
Вычислим момент инерции эллипса с полуосями а, b (рис. 20)
относительно центральной оси г.
Задачу можно решить весьма просто, если рассматривать эллипс
как проекцию наклонного круга. При этом
Х= —
У, а
Представим теперь момент инерции эллипса как сумму моментов
инерции элементарных прямоугольников высотой у и шириной dz:
, _С y'dz b5 f yldz
г J 12 — a3 J 12 ’
F F
Последний интеграл в правой части есть момент инерции круга
радиуса а относительно оси z; он равен ла4/4. Следовательно,
искомый момент инерции эллипса
г _ Ь3 ла4 лаЬ3
=-7- •
Очевидно;
I _ ла3Ь
У 4
§ 6. Моменты инерции сложных сечений
В расчетной практике часто приходится вычислять моменты
инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих
в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стерж-
ней — угловых равнобоких (рис. 21, а) и неравнобоких (рис. 21, б),
Двутавровых (рис. 21, в), швеллерных (рис. 21, а) и других — мо-
инеРиии относительно различных осей даны в таблицах
п^СТ 8509—72, 8510—72, 8239—72, 8240—72 наряду с размерами,
лещадями сечений, положениями центров тяжести и другими ха-
кчеристикаин. В сортаменте центральные оси сечений обозна-
Ются буквами х, у (рис. 21).
(2.17)
Геометрические характеристики плоских сечений
28
Рис. 21
При вычислении моментов инерции сложных сечений последние
можно разбить на отдельные простые части, моменты инерции ко-
торых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует,
что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции
составных ее частей.
Пусть, например, требуется определить момент инерции слож-
ной фигуры относительно оси г (рис. 22):
Jz=\y2dF. (2.18)
г
Разобьем фигуру на простые составляющие /, II и III, напри-
мер так, как показано на рисунке. При вычислении интеграла
(2.18) будем последовательно суммировать произведения ydF,
охватывая площади Fb F2, F3 простых фигур. Тогда
Л = j y2dF 4- J y2dF + j y2dF.
F, Fa F3
Очевидно, каждый из интегралов правой части представляет собой
момент инерции соответствующей простой фигуры. Следовательно,
(2-19)
Если в сечении есть отверстие, его обычно удобно считать
частью фигуры с отрицательной площадью. Например, сечение,
показанное на рис. 23, можно разбить на две простые части —
прямоугольник by^h и отверстие радиуса г отрицательной площади.
Тогда
bhs___nr*
12 4 ’
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осей
Пусть известны моменты инерции фигуры относительно цент-
ральных осей г, у:
Jz=\y2dF-, ]y=\z2dF-, Jzy=\zydF. (2.20)
F F F
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Моменты инерции относительно параллельных осей
Требуется определить моменты инерции относительно осей, парал-
лельных центральным (рис. 24):
A = 1yi=\^dF'^ Jziy^\^yidF. (2.21)
F F F
Координаты любой точки в новой системе z,Olyl можно выра-
зить через координаты в старых осях так:
z,=z + b; yt=y+a.
Подставляем эти значения в формулы (2.21) и интегрируем по-
членно:
Л,= JyidF= \(у + а)2 dF=\y2dF+a2\dF+2a\ydF; (2.22)
F F F F F
Jy = 5 z\dF= J (z + fe)2 dF= J z2dF+b2\ dF + 2b\zdF; (2.23)
F F F F F
^Z\yx = \ztytdF= $ (z + fe)(y4-a) dF= \zydF+ab\dF +
F F F F
~\-a\zdF+b\ydF. (2.24)
F F
Так как интегралы ]ydF=Sz и ]zdF=Sy равны нулю как ста-
г F
тические моменты относительно центральных осей, то формулы
(2.22), (2.23), (2.24) с учетом формул (2.20) принимают вид
Л=Л+а2Г;\
Jy. = Jy + b2F;
г1у1== J гу-]-Ub F.
(2-25)
(2.26)
30
Геометрические характеристики плоских сечений
Следовательно: 1) момент инерции фигуры относительно любой
оси равен моменту инерции относительно центральной оси, парал
лельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат
расстояния между этими осями;
2) центробежный момент инерции относительно любой системы
прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно
системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведе-
ние площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых
осях.
Отметим, что координаты а, Ь, входящие в формулу (2.26), сле-
дует подставлять с учетом их знака.
Формулы (2.25) показывают, что из всех моментов инерции от-
носительно ряда параллельных осей центральные моменты инерции
будут наименьшими.
Вычислим момент инерции двутаврового сечения относительно
центральной оси z (рис. 25).
Сечение, состоящее из двух одинаковых полок ЬХ5 и стенки
/г,Х<, разбиваем на эти три простые части. Тогда
Момент инерции полки относительно оси z на основании фор-
мулы (2.25)
Л = j'"= j'zi -|- F=-ir+ (-^-У bf>-
Момент инерции стенки
Искомый момент инерции двутавра
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками
Зависимости между моментами ннсрцнн при повороте коортинатных осей 31
——----------
Определим центробежный момент инерции прямоугольного
треугольника относительно осей z, у (рис. 26), совпадающих с
катетами, а также относительно центральных осей z0, у0, парал-
лельных им.
Выделим элементарную площадку в виде полоски шириной
и высотой dy. Площадь ее
dF=b(y)dy=!^bdy.
Горизонтальная координата центра тяжести полоски
Z=s-Lb(y) = ^b.
Центробежный момент инерции относительно осей z, у
h
1гу = j zydF = j hih~ bybdy=
F 0
h
(2.28)
0
Момент инерции относительно центральных осей z0, у0 на ос-
новании формулы (2 26)
= ^гу Oob0F,
причем
п __Л . д __ъ
3’ Ьо~Г-
Тогда
J ___ bh b h____ b2h2
24 2 3 3 “ 72
(2.29)
§ 8. Зависимости между моментами инерции
при повороте координатных осей
Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 27)
тносительно координатных осей z, у:
Jz—\y2dF; Jy=\z2dF; Jzy=\zydF. (2.30)
* F F
Повернем оси z, у на угол а. против часовой стрелки, считая
поворота осей в этом направлении положительным. Найдем
3‘2
Геометрические характеристики плоских сечений,
теперь моменты инерции сечения относительно повернутых осей
Z|, У,-
Jz = \yldF- Jy^z2dF; JZiU = \zlyldF. (2.31)
F F F
Координаты произвольной элементарной площадки в новых
осях z„ ух выражаются через координаты г, у прежней системы
осей следующим образом:
zt=OC = OE-\-AD = zcos аф-z/sin а; _ .
yx=BC = BD—EA=ycosa—zsin а. j
Подставим эти значения в выражения (2.31) и проинтегрируем
почленно:
J =\(у cos а—z sin a)2ri/?=cos2 a\y2dF-\-sin2 a\z2dF — sin Za^zydF-,
1 г F F F
J у = $ (z cos О.-ЕУ s»n a)2df=sin2 a\y2dF +
f f
ф-cos2 a$ z2dF-\-sin 2a zydF\ (2.33)
F F
Зг,у,— cos О.А-У sin a) (y cos a —z sin a) dF =
F
= (cos2 a —sin2 a) (zydF-\—sin 2a ( J y~dF— j z2dF\.
F 2 X/ f '
Учитывая формулы (2.30), окончательно находим
/г =/2 cos2 a \-Jy sin2 a — J2J/ sin 2a;
Jу=1г sin2 a + Jy cos2 а+/гр sin 2a;
J— Jгу cos 2a— ~(-fy— /2)sin 2a.
(2.34)
(2.35)
Отметим, что формулы (2.34) и (2.35), полученные при пово-
роте любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы
и для центральных осей.
Складывая почленно формулы (2.34), находим
Л,+Л,=-Л+Л=/Р. (2.36)
Таким образом, при повороте прямоугольных осей сумма моментов
инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции отнот
сительно начала координат.
При повороте системы осей на угол a =90°
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Определение направления главных осей. Главные моменты инерции
33
§ 9. Определение направления главных осей.
Главные моменты инерции
Наибольшее практическое значение имеют главные централь-
ные оси, центробежный момент инерции относительно которых
равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами и, v. Следо-
вательно,
Чтобы определить положение главных центральных осей несим-
метричной фигуры, повернем произвольную начальную систему
центральных осей z, у (рис. 28) на некоторый угол а0, при кото-
ром центробежный момент инерции становится равным нулю:
Л,у,--luv--0.
Тогда из формулы (2.35)
7Z1SZ1=7zy cos 2ао--sin 2ао = О,
откуда
tg2a0=-^
J у J i
(2-37)
(2.38)
Полученные из формулы (2.38) два значения угла а0 отлича-
ются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как
легко видеть, меньший из этих углов по абсолютной величине
не превышает л/4. В дальнейшем будем пользоваться только мень-
шим углом. Проведенную под этим углом (положительным или
отрицательным) главную ось будем обозначать буквой и. Напом-
ним, что отрицательные углы а0 откладываются от оси z по ходу
часовой стрелки. На рис. 29 приведены некоторые примеры обозна-
чения главных осей в соответствии с указанным правилом. На-
чальные оси обозначены буквами z и у.
Значения главных моментов инер-
ции можно получить из общих формул
(2.34) перехода к повернутым осям,
приняв а = ао;
tvs7 а0-\-]у sin2 а0 — 1гу sin 2а0;
',v ~ h sin2 а0 -|- Jy cos2 а0 ф- 1гу sin 2а0.
(2.39)
2 5-372
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
0Пределенме направления главных осей. Главные моменты ннерцнн
35
34 Геометрические характеристики плоских сечений
Преобразуем формулы (2.39) для главных центральных момен-
тов инерции, составив выражения для их суммы и разности. Оче-
видно, что
Ju + JV = L + Jy, (2-40)
lu - lv = (Л - Jу) COS 2a0 — 21 гу sin 2a0=(Л — 1 y) CQ^ , (2-41)
причем в выражении (2.41) сделана замена 1гу из формулы (2.38):
21Zy={ly — /z)tg 2a0.
Теперь из формул (2.40) и (2.41) находим более удобные выраже-
ния:
= -Г[(/г + + cos2a0]’’
L (2.42)
/г =-^- [ (-^г + /») — (J'z — 1 у) cos 2aJ •
Очевидно, что при 1г>1у момент lu>lv-
Используя формулу (2.38), можно исключить из выражении
(2.42) величину
—±л/1+ (/4/7К •
COS 2cto v \Jz — Jу)
В результате имеем
причем верхние знаки следует брать
при 1г>1у>я нижние — при 1г < 1у.
Таким образом, формулы (2.38),
(2.43) и (2.44) позволяют определять
положение главных осей и величины
главных центральных моментов инер-
ции.
Если теперь вместо произвольной
начальной системы центральных осей
zOy принять главные оси (рис. 30),
то формулы (2.34), (2.35) перехода к
/г =lu cos2 a + /„ sin2 a;
j —]u sin2 a-[-lv cos2 a;
повернутым осям упрощаются:
(2.45)
Л,9. = т(/и —sin 2a’
Важно отметить, что главные моменты инерции обладают свой-
ством экстремальности. В этом легко убедиться, продифференци-
ровав выражение для момента инерции относительно произволь-
ной оси [см. формулы (2.34)] по переменной а:
—2*-= —1г sin 2а4- 1ц sin 2а — 21гу cos 2а =
аа
= —2^1 гу cos 2а-—sin 2а) = —21ZiUi.
Отсюда следует, что производная dlZi/da обращается в нуль, когда
/г!/1=0, а это значит, что экстремальные значения имеют моменты
инерции относительно главных осей.
Учитывая, что сумма моментов инерции относительно двух вза-
имно перпендикулярных осей — величина постоянная, можно за-
ключить, что относительно одной из главных осей момент инерции
имеет максимальное значение, а относительно другой — мини-
мальное.
Отметим, что плоскости, проведенные через ось стержня и глав-
ные оси инерции его поперечного сечения, называют главными
плоскостями.
§ 10. Графическое представление
моментов инерции
,г. вычисление моментов инерции по формулам (2.45) или (2.43),
1 -44) можно заменить простым графическим построением. При этом
Р зличают прямую и обратную задачи. Первая заключается в оп-
Р Делении моментов инерции относительно произвольных цент-
Дьных осей z, у по известным направлениям главных осей и
2*
Геометрические характеристики
п.юских
сече
36
величинам главных центральных моментов инерции [формулы
(2.45)]. Во второй задаче, имеющей наибольшее практическое
значение, определяют положение главных осей и величины глав
ных центральных моментов инерции по известным моментам инер
ции Л, 1У, 1гу относительно любой системы прямоугольных цент
ральных осей [формулы (2.43), (2.44) и (2.38)].
Прямая задача. Пусть требуется определить моменты инерции
/г, ly, JZy относительно осей г, у (рис. 31, а) по известным направ
лениям главных осей и величинам /и, Jv. Для определенности
полагаем JU>JV.
Аналитическое решение лается формулами (2.45).
Графическое построение осуществляют следующим образом
Введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее i
прямоугольной системе координат. По оси абсцисс будем откла
дывать осевые моменты инерции ДДД. Jv, 1г, Jу и т. д.), а по oci
ординат — центробежные /ц6(/г!, и т. д.).
В соответствующем масштабе откладываем от начала коорди
нат О вдоль оси абсцисс (рис. 31, б) отрезки О А и ОВ, равны-
главным моментам инерции. Отрезок АВ делим пополам, так чт<
BC = CA=(Ju — Jv)/2- Из точки С радиусом С А описываем окруж
ность, называемую кругом инерции. Для определения момента
инерции относительно оси г, проведенной под углом а к главной
оси и, из центра круга под углом 2а проводим луч CD? (положи
тельные углы откладываем против часовой стрелки).
Покажем, что ордината точки £)г круга равна центробежному
моменту инерции 1гу, абсцисса — моменту инерции относительнс
данной оси z. Имеем
D2Kz = CDz sin 2а — У" 2 У- sin 2а.
(2.46]
Сравнивая формулы
(2.46) и (2.45), замечаем, что
II
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Графическое представление моментов инерции 37
Далее,
Q^ = OB-\-BC-\-CKz = lv-\—(/и — /и) +
_|--|-(/и —/р) cos 2а=-|-J„(l 4-C0S 2а)+ ~JV (1 — cos 2а)=
—Ju cos2 а + /„ sin2 а. (2-47)
Ha основании формулы (2.45) видим, что OKZ=1Z. Таким образом,
в соответствующем масштабе абсциссы точек круга инерции дают
нам значения осевых моментов инерции, а ординаты — центро-
бежных.
Чтобы получить значение момента инерции относительно оси у,
перпендикулярной к оси z и, следовательно, проведенной под по-
ложительным углом р = а + л/2 к главной оси и, проводим из центра
круга луч CD у под углом 2р=2(аЦ-л/2). Очевидно, он является
продолжением луча CDZ. Абсцисса точки Dy (отрезок ОКУ) равна
моменту инерции Jy. Ордината этой точки KyDy дает нам значение
центробежного момента инерции с обратным знаком (— 1гу), что
соответствует повороту осей на 90°.
Отметим, что двум взаимно перпендикулярным осям соответ-
ствуют две точки круга (£>г, Dy), лежащие на одном диаметре.
Проведем из точки £)г прямую (штриховая линия на рис. 31, б),
параллельную оси г, которой она и соответствует. Точка М ее пе-
ресечения с кругом называется полюсом круга инерции '. Легко
показать, что линия, соединяющая полюс с любой точкой круга,
дает направление оси, которой эта точка круга соответствует. По-
кажем, например, что прямая МА дает направление главной
оси и.
По построению угол ACDZ равен удвоенному углу а между
осями и и z. Угол DZMA, как вписанный и опирающийся на ту же
дугу ADZ, равен половине центрального угла ACDZ, т. е. а. Следо-
вательно, линия МА, составляющая с направлением оси z угол а,
параллельна оси и. Аналогично, прямая МВ параллельна главной
оси V.
Обратная задача. Пусть известны моменты инерции Jz, 1У, 1гу
площади сечения бруса относительно некоторой системы перпенди-
кулярных осей z, у (рис. 32, а). Требуется определить главные
моменты инерции и положение главных осей. Для определенности
построения примем, что Jz>ly, Jzy>0.
В геометрической плоскости (рис. 32, б) строим точки Dz и Dy,
соответствующие моментам инерции относительно осей z и у. Абс-
циссами этих точек являются осевые моменты инерции: OK.Z =
!г\ OKy = Jy\ ординатами — центробежный момент инерции Jzy,
пРичем KzDz=Jzy, K.yDy=—Jzy. Так как обе точки принадлежат
Иногда эту точку называют главной точкой или фокусом круга инерции.
плоских
сечений
38
Геометрические характеристики
одному диаметру, то, соединив их, получим центр
Из центра С описываем окружность радиусом
С круга
инерции
CD. = CD,= + Л, .
Она пересекает ось абсцисс в точках А и
этих точек — отрезки ОА и ОБ — и есть
(2.48)
В.
Очевидно,
что абсциссы
искомые главные моменты
6
Рис. 33
г
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Понятие о радиусе и эллипсе инерции
39
инерции Ju, Jv- В самом деле:
о а=о Ку+КуС+cA=jy д/(^а)2+^=
=± [(Л+jy) + V(^-^)2+4Jt];
0В^0Ку + КуС-СВ = 1У+-^^- +^=
=^[(J^ + Jy)-4(^ - Л)2 + 4Лу].
Чтобы определить направление главных осей, построим фокус
круга инерции. Для этого из точки Dz(Dy) проведем линию, парал-
лельную оси z(y), до пересечения с кругом в фокусе М. Соединяя
фокус с точками А, В круга, получим направления главных осей и
и v (рис. 32, б).
Графическое решение обратной задачи соответственно для че-
тырех случаев, изображенных на рис. 29, показано на рис. 33.
§ 11. Понятие о радиусе и эллипсе инерции
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно
представить в виде произведения площади фигуры на квадрат
некоторой величины, называемой радиусом инерции:
Л= \t?dF=F£,
F
где 4 — радиус инерции относительно оси z.
Из выражения (2.49) следует, что
(2.49)
(2.50)
Аналогично радиус инерции площади сечения относительно оси у
iy== 'Ур^- (2-5,)
Главным центральным осям инерции соответствуют главные
радиусы инерции
(2.52)
Например, для прямоугольника, изображенного на рис. 15,
главные радиусы инерции
Геометрические характеристики плоских сечений
40
денный из центра эллипса на
Построим на главных централь-
ных осях инерции фигуры эллипс с
полуосями, равными главным радиу-
сам инерции, причем вдоль оси и
отложим отрезки iv, а вдоль оси v —
отрезки 1и (рис. 34). Такой эллипс,
называемый эллипсом инерции, обла-
дает следующим замечательным свой-
ством. Радиус инерции относительно
любой центральной оси z определяет-
ся как перпендикуляр ОА, прове-
касательную, параллельную данной
оси. Для получения же точки касания достаточно провести парал-
лельно данной оси z любую хорду. Точка пересечения эллипса
с прямой, соединяющей центр О и середину хорды, и есть точка
касания. Измерив затем отрезок ОД = 4, находим момент инерции:
§ 12. Порядок расчета
Можно рекомендовать следующий порядок определения поло-
жения главных осей и величин главных центральных моментов
инерции сложного профиля, состоящего из простых частей, харак-
теристики которых легко определить:
1. Проводим произвольную систему прямоугольных координат.
Разбиваем фигуру на простые части и определяем по формулам
(2.5) положение ее центра тяжести.
2. Проводим начальную систему центральных осей z, у так,
чтобы вычислить моменты инерции частей фигуры относительно
этих осей было наиболее просто. Для этого определяем моменты
б
Рис. 35
а
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Порядок расчета
41
инерции частей фигуры относительно их центральных осей, прове-
денных параллельно осям z, у, и используем формулы перехода
к параллельным осям— (2.25) и (2.26). Таким образом получаем
значения Jy, J?y.
3. Определяем из формулы (2.38) угол наклона главных цент-
ральных осей, причем ось, проведенную под меньшим углом (поло-
жительным или отрицательным), обозначаем буквой и, а перпен-
дикулярную к ней — буквой V.
4. По формулам (2.43) и (2.44) определяем значения главных
центральных моментов инерции.
Пример 1. Для фигуры, показанной на рис. 35, определить положение
главных осей инерции, главные моменты инерции и радиусы инерции.
Положение центра тяжести этой фигуры было найдено в табл. 1. Коорди-
наты центра тяжести в "системе осей zoyD таковы: z0=2,33 см, j/0=4,33 см
Проводим начальную систему центральных осей z, у параллельно сто-
ронам уголка. Для вычисления моментов инерции относительно этих осей
разбиваем фигуру на простые части — прямоугольники I и // — и проводим
через центры их тяжести центральные оси z,, yt н z2, уг параллельно сто-
ронам
Моменты инерции каждого прямоугольника относительно центральных
осей легко определить по формулам (2.10) и (2.11):
„ 2-103 4 10-23 __ 4
Л, =--12—= |66-7 см : Л. =—{J—= 6-7 см •
8-23 4. ,и _ 2’83 ог.ч <.
J >2— |2 —5,33 см , J— pg —85,3 см ,
Моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных
осей z, у вычисляются по формулам перехода к параллельным осям — (2.25)
и (2.26). Например-
Л = Л, +F,af =166.74-20-2,672 см4=308,1 см4;
/^=Л,!П4-Лд|6, = 0 —20-2,67-1,33 см4=—71 см4.
Результаты вычислений сводим в таблицу (табл. 2).
Таблица 2
X? участка фи гу р ы 1 Площадь участка F. . см‘ Координаты центра тяжести участка в си- стеме zOy, см Г.п? ГД? Fla,b. Моменты инерции участка, см4, относи- тельно
собственных центральных осей центральных осей фигуры
41 ь, см4 У Л <4 Г, П Л,
I 20 2,67 — 1,33 142,6 35,4 — 71 166,7 6,7 0 309,3 42,1 — 71
п 16 — 3,33 1,67 177,4 44,6 -89 5,3 85,3 0 182,7 129,9 — 89
Суммируя последние трн столбца таблицы, находим моменты инерции
Фигуры относительно центральных осей z, у.
Л = 492,0 см4; /„= 172,0 см4; /г„= — 160,0 см4.
42
Внешние и внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних сил
Угол наклона главных центральных осей к осн z найдем по формуле
(2.38):
tg2a0=-^
-2-160,0
= 1,0,
172,0 — 492,0
откуда
а0 = 22’30'.
Главные центральные моменты инерции определяем по формулам (2.43)
и (2.44):
Л
= 558,3 см4;
у[(А + Л)- (A-/s)24-4J^]=^-(664,0 - 452,5) см4= 105,8 см4.
Главные центральные радиусы инерции
558,3 _
——— см = 3,94 см;
36
105.8 |
— см = 1,71 см.
Зо
Графическое решение задачи представлено на рис 35, б.
Глава 3
Внешние и внутренние силы.
Метод сечений.
Эпюры внутренних сил
§ 13. Классификация внешних сил
Внешними силами называют силы взаимодействия между рас-
сматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.
Если внешние силы являются результатом непосредственно-
го, контактного взаимодействия данного тела с другими телами,
то они приложены только к точкам поверхности тела в месте кон-
такта и называются поверхностными силами. Поверхностные силы
могут быть непрерывно распределены по всей поверхности тела
или ее части; например: давление пара в котле, ветровая и снего-
вая нагрузки, давление газа в цилиндре двигателя. Величина на-
грузки, приходящаяся на единицу площади, называется интенсив-
ностью нагрузки. Ее обозначают обычно р и измеряют в паскалях
(Па) или кратных ему единицах (кПа, МПа, ГПа). Часто на-
грузку, распределенную по поверхности (рис. 36, а), приводят к
главной плоскости (рис. 36, б), в результате чего получается на-
грузка, распределенная по линии, или погонная нагрузка. Интен-
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
у пягснфикация внешних сил 43
ивностью такой нагрузки (Н/м, кН/м, МН/м) называют величи-
нагрузки, приходящуюся на единицу длины линии. Интенсив-
ность может быть переменной по этой длине. Характер изменения
нагрузки обычно показывают в виде эпюры (графика) q.
В случае равномерно распределенной нагрузки (рис. 36, а)
эпюра q прямоугольная (рис. 36, б). При действии гидростатиче-
ского давления эпюра нагрузки q треугольная (рис. 37). Встре-
чаются эпюры q и более сложного вида: трапециевидная, сину-
соидальная и т. д.
Отметим, что равнодействующая распределенной нагрузки
численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тя-
жести
Если нагрузка распределена по небольшой части поверхности
тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которую называют
сосредоточенной силой Р (Н, кН или МН). Кроме того, встречаются
нагрузки, которые могут быть представлены в виде сосредоточен-
ного момента (пары). Моменты М (Н • м, кН • м или МН • м)
будем изображать обычно одним из двух способов, показанных
на рис. 38, а, б. Иногда момент удобно представлять в виде век-
тора, перпендикулярного к плоскости действия пары. Вектор мо-
мента условимся всегда считать правовинтовым. Чтобы отличать
его от вектора силы, линию вектора-момента делают волнистой
(рис. 38, г) или ставят две стрелки (рис. 38, в).
Встречаются такие нагрузки, которые не являются результа-
том контакта двух тел, например: собственный вес, силы инерции
движущегося тела и пр. Эти силы приложены в каждой точке
объема, занятого телом, а потому называются объемными или
массовыми силами. Собственный вес деталей или частей машин
и сооружений обычно значительно меньше других нагрузок, дей-
ствующих на них. Поэтому, если нет особой оговорки, во всем
дальнейшем изложении собственный вес принимать во внимание
не будем.
В зависимости от характера приложения сил во времени раз-
личают нагрузки статические и динамические. Нагрузка считается
статической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя бы
44
Внешние и внутренние силы Метод сечений. Эпюры внутренних сил
Рис. 38
в течение нескольких секунд) возрастает от нуля до своего ко
нечного значения, а затем остается неизменной. При этом можно
пренебречь ускорениями деформируемых масс, а значит, и силами
инерции.
Динамические нагрузки сопровождаются значительными уско
рениями как деформированного тела, так и взаимодействующих с
ним тел. При этом возникают силы инерции, которыми нельзя
пренебречь. Динамические нагрузки делят на мгновенно приложен
ные, ударные и повторно-переменные.
Нагрузка считается мгновенно приложенной, если она воз
растает от нуля до своего конечного значения в течение очень
короткого промежутка времени (долей секунды). Такова нагрузка
при воспламенении горючей смеси в цилиндре двигателя внутренне
го сгорания или при трогании с места железнодорожного состава
Для ударной нагрузки характерно то, что в момент ее прило
жения тело, вызывающее нагрузку, обладает определенной кинети
ческой энергией. Такая нагрузка получается, например, при заби
вании свай с помощью копра, в деталях механического кузнеч
него молота и т. д.
Многие детали машин (шатуны, валы, оси железнодорожных
вагонов и пр.) подвержены действию нагрузок, непрерывно и пе
риодически меняющихся во времени. Такие нагрузки называют
повторно-переменными. Они, как правило, сопряжены с циклически
повторяющимися движениями детали. Это возвратно-поступатель
ное движение штока поршня, колебания элементов конструкций
и др.
§ 14. Внутренние силы.
Метод сечений. Эпюры
Между соседними частицами тела (кристаллами, молекулами
атомами) всегда имеются определенные силы взаимодействия, ина
че — внутренние силы. Эти силы во всех случаях стремятся сохра
нить его как единое целое, противодействуют всякой попытке из
менить взаимное расположение частиц, т. е. деформировать
тело
Внешние силы, наоборот, всегда стремятся вызвать деформации!
тела, изменить взаимное расположение частиц. Следовательно, вели
чина внутренних сил, действующих между двумя какими-либо час
тицами, в нагруженном и ненагруженном теле будет различной
В сопротивлении материалов не рассматривают и не принимают
во внимание внутренние силы, действующие в теле, которое нахо
www.vokMa.spb.ra - Самолёт своими руками'
Внчтренние силы Метод сечений Эпюры________________________45
—------ "
ится в своем естественном (ненагруженном) состоянии, а изучают
и вычисляют только те дополнительные величины внутренних сил,
которые появляются в результате нагружения тела. Поэтому в даль-
нейшем, говоря о внутренних силах, будем иметь в виду именно
эти дополнительные силы взаимодействия, возникающие в резуль-
тате нагружения Внутренние силы часто называют усилиями.
Для выявления, а затем и вычисления внутренних сил в со-
противлении материалов широко применяют метод сечений.
Рассмотрим произвольное тело, нагруженное самоуравновешен-
ной системой сил. В интересующем нас месте мысленно рассечем
его некоторой плоскостью на две части А и В (рис. 39, а). При
этом само сечение теперь будет иметь две стороны: одну, принадле-
жащую части А тела (левую), и вторую, принадлежащую части В
(правую). В каждой точке обеих сторон сечения будут действо-
вать силы взаимодействия (рис. 39, б). Исходя из введенной гипо-
тезы о сплошности материала следует считать, что внутренние
силы действуют во всех точках проведенного сечения и, следова-
тельно, представляют собой распределенную нагрузку. В зависимос-
ти от формы тела и характера внешних нагрузок интенсивность
внутренних сил в различных точках может быть различна.
Следует подчеркнуть, что внутренние силы, действующие по
сечению, принадлежащему части А тела, в соответствии с третьим
законом Ньютона равны по величине и противоположны по на-
правлению внутренним силам, действующим по сечению, принадле-
жащему части В тела (рис. 39, б). Другими словами, внутренние
силы, действующие на различные части, взаимны. Как всякую
систему сил, их можно привести к одной точке (обычно к центру
тяжести сечения), в результате чего на каждой стороне сечения
получим главный вектор и главный момент внутренних сил в сече-
нии (рис. 39, в).
Стержень, в частности, рассекают обычно плоскостью, перпен-
дикулярной к оси, т. е. поперечным сечением (рис. 40, а). Если глав-
ный вектор и главный момент внутренних сил спроецировать на
ось стержня х и главные центральные оси сечения у и г, то на
каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых фак-
торов (рис. 40, б): три силы (TV, Qy, Q>) и три момента (ЛД, Му
н Л4г). Эти величины называют внутренними усилиями в сечении
стержня.
Усилие Л/ вызывает продольную деформацию стержня (растя-
жение или сжатие); Qy и Qz — сдвиг сторон сечения соответственно
в направлении осей у и z; Мх кручение стержня; Му и Мг —
З'иб стержня в главных плоскостях (zx и ух). Поэтому для уси-
• ни и моментов в сечении приняты следующие названия:
w- продольная или осевая (направленная по оси стержня)
сила;
Q.—поперечные (реже — перерезывающие) силы;
крутящий момент;
у' М, —изгибающие моменты.
46
Внешние и внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних сил
Для усилий и моментов в сечении можно дать следующие опре
деления: продольная сила N — это сумма проекций всех внутрен-
них сил, действующих в сечении, на нормаль к сечению (или на
ось стержня); поперечные силы Qy и Q? — это суммы проекций
всех внутренних сил в сечении на главные центральные оси сече
ния у и г соответственно; крутящий момент Мх (или Мкр) — эт
сумма моментов всех внутренних сил в сечении относительно oci
стержня; изгибающие моменты Му и Мг — это суммы моменте]
всех внутренних сил в сечении относительно главных центральных
осей сечения у и z соответственно.
Каждое из этих усилий или моментов, как уже указывалось
является результатом взаимодействия частей рассеченного тела
а поэтому должно быть представлено в виде двух противоположи
направленных, но равных векторов или моментов (рис. 40, б). Сове
купность величин Л/, фг и т. д., приложенных к правой сторон
сечения, заменяет действие удаленной левой части стержня н;
правую часть; совокупность усилий и моментов, приложенных |
левой стороне сечения, выражает действие правой части стержн
на левую.
Для практического вычисления усилий и моментов в сечени!
следует иметь в виду следующее: N численно равно алгебрам
ческой сумме проекций на ось стержня (на нормаль к сечению)
всех внешних сил, действующих на одну из частей (левую или пра-
вую) рассеченного стержня; Qy — то же, но на ось у; Qz — то же,
но на ось г; Л4кр численно равен алгебраической сумме моментов
относительно оси стержня всех внешних сил, действующих на одну
из частей (левую или правую) рассеченного стержня; ЛД — то же
относительно оси у, Мг — то же, но относительно оси z. К этому
выводу легко прийти, если рассмотреть равновесие каждой и-
частей рассеченного стержня. При этом сумма проекций (или мо
ментов) сил, расположенных слева от сечения, должна быть при
ложена к правой стороне сечения, и наоборот.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и
моменты в любом сечении стержня при действии любой нагрузки.
Для этого нужно:
1) найти главные центральные оси поперечных сечений стержня;
2) мысленно провести поперечное сечение стержня в том месте,
где нужно найти усилия и моменты;
3) вычислить силы N, Qy, Q? и моменты Мкр, Ми, Мг как ал-
гебраические суммы проекций и моментов внешних сил, действую-
щих на одну из частей (левую или правую по отношению к сече-
нию) рассеченного стержня (обычно на ту, где проекции и момен-
ты вычисляются проще).
В качестве иллюстрации к применению метода сечений рас-
смотрим следующий пример: найти усилия и моменты в сечении,
расположенном посредине стержня (рис. 41).
Поскольку сечение стержня представляет собой прямоугольник,
то главными центральными осями сечения будут оси симметрии
прямоугольника. Усилия и моменты в сечении находим как сум-
мы проекций и моментов сил, действующих на левую часть рас-
сеченного стержня:
^=ЮР; QU=P- Qx=0; AfKp =0;
ЛГУ=0; Л4г=-рХ-
6
Нетрудно проверить, что, вычисляя суммы проекций и моментов
сил, действующих на правую часть стержня, придем к такому же
Результату. Например,
Мг== __ iop~L_L/_|_p_L— —L pi
2 15 ' 2 6
Усилия
Различны
L
и моменты в разных сечениях одного и того же стержня
Графики (диаграммы), показывающие, как изменяются
48
Внешние н внутренние силы Метод сечении Эпюры внутренних сил
внутренние усилия при переходе от сечения к сечению, называют
эпюрами. Отметим некоторые правила, применяемые при построе-
нии эпюр:
1. Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают
так, чтобы она была параллельна или просто совпадала с осью
стержня.
2. Ординаты эпюры откладывают от оси эпюры по перпенди-
куляру.
3. Штриховать эпюры принято линиями, перпендикулярными
к базе.
4. Для усилий и моментов выбирают некоторый масштаб. Орди-
наты откладывают строго в масштабе. Кроме того, на эпюрах про-
ставляют числа, показывающие величины характерных ординат,
а в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.
§ 15. Эпюры продольных сил
Продольная (осевая) сила считается положительной, если она
вызывает растяжение, и отрицательной, если вызывает сжатие.
Внешние силы сами по себе ни положительны, ни отрицательны,
но каждая дает в выражении для N слагаемое определенного
знака.
В качестве примера построения эпюр осевых сил рассмотрим
стержень (рис. 42), нагруженный в точках А, В и С сосредото-
ченными силами Р}, Р2, Р3, направленными вдоль оси.
Приступая к построению эпюры, стержень разбивают на участ-
ки. Участком называют часть стержня между точками приложе-
ния сосредоточенных сил. Если на стержень действует распреде-
ленная нагрузка, участком называют часть стержня, в пределах
которого распределенная нагрузка изменяется по одному закону.
В рассматриваемом примере два участка — I (АВ) и II (ВС).
Чтобы построить эпюры, нужно составить выражения для осе-
вых сил в произвольном сечении каждого участка.
Выберем начало координат в крайней левой точке стержня;
ось х направим вдоль его оси. В произвольном сечении любого
участка на расстоянии х от начала координат находим осевую
силу как сумму проекций всех внешних сил, расположенных слева
или справа от рассматриваемого сечения:
/ участок (0^х<а)
слева: N(x) = Py=2 кН;
справа: N(x)=P2 — Р3=(5 — 3) кН = 2 кН;
II участок (с<%<;/)
слева: N(x)=Pt—Р2=(2 — 5) кН ——3 кН;
справа: N[x)=—Р3——3 кН.
Поскольку эти величины не зависят от абсциссы сечения, то
во всех сечениях первого участка продольная сила N=2 кН
а для любого сечения второго участка она равна — 3 кН. Откла
дывая полученные ординаты от оси эпюры, строим эпюру /V'. За
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
метим, что штриховка эпюры показывает откладываемые ординаты.
В сечениях Л, В и С на эпюре получились скачки, равные соответ-
ственно 2, 5 и 3 кН, т. е. как раз тем силам, которые приложены
к стержню в этих сечениях.
Если на стержень действуют только сосредоточенные силы,
то линии эпюры параллельны ее оси (эпюра N состоит из прямо-
угольников и имеет скачки в тех сечениях, где приложены внешние
силы). Так, нетрудно убедиться, что для стержня, изображенного
на рис. 43, эпюра будет иметь такой вид, как показано на
рисунке.
Если стержень расположен вертикально и учитывается его соб-
ственный вес, то линия эпюры наклонена к оси (для цилиндри-
ческого стержня) или криволинейна (для стержня с непрерывно
меняющимися размерами сечения).
Пример 2. Построим эпюру N для ступенчатого стержня (рис. 44) с учетом
его собственного веса. Площадь сечения верхней части стержня — Ft, ниж-
ней — F2. Удельный вес у, Н/м3.
Начало координат выбираем в точке А (на рисунке показана только
ось х). Продольную силу в любом сечений вычисляем как сумму выше-
лежащих сил (чтобы не определять предварительно реакции в опоре). Тогда
для участка АВ
N(x)==-P-yFlX;(O^x^a);
ДЛЯ ВС
Н(х)=—р_ур1а_ур2(х—ау' (ц<х^/).
Это уравнения наклонных прямых, так что эпюра N трапециевидная.
Но поскольку Площади поперечных сечений на участках различны, наклон
эпюры на участках АВ и ВС неодинаков:
tga,=yfi; tga2 = vf2.
При х=/ из второго уравнения находим наибольшее по величине
продольное усилие: N=—{P-i-yFta-(-yF2(l — с)]. Этой же величине равна н
Реакция в заделке.
50
Внешние н внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутренних сил
Пример 3. Построим эпюру N для кони-
ческого стержня от его собственного веса
(рис. 45).
При любом значении х осевое усилие в
сечении равно весу нижележащей части
конуса. Диаметр основания этой части
d(*)= *).
поэтому
эпюры будет кубической параболой, причем
Отсюда-видно, что кривая
d/V(x)| _ nyd2 2
---4F-(Z-^)'-по-
следовательно, в нижней точке эпюра касается оси. При х=0
14 макс |2
§ 16. Эпюры крутящих моментов
Деформация кручения наиболее распространена в валах. Если
нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из
моментов Мк, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня,
то из шести усилий и моментов в любом сечении остается толью
крутящий момент Мкр.
Внутренний момент Л1кр выражается через внешние Л1к: Л1К|
в сечении равен сумме внешних моментов Мк, расположенных по
одну сторону от сечения. Если стержень (вал) вращается равно-
мерно, то алгебраическая сумма всех Мк равна нулю. Поэтому
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
чпюры крутящих моментов
51
пезультат получится один и тот же, будем ли при вычислении MKf
брать сумму моментов Л4К, расположенных слева или справа от
сечения.
Крутящий момент Мкр считается положительным, если при наб-
людении с торца вдоль оси рассматриваемой части он стремит-
ся вращать сечение по часовой стрелке (рис. 46).
Рассмотрим в качестве примера построение эпюр крутящих
моментов для трансмиссионного вала (рис. 47).
Разбиваем стержень на участки /, //, III, IV. Выбираем на-
чало координат в крайней левой точке вала. Так как трением в
подшипниках пренебрегаем, то в любом сечении на участке I
х<а).
Мкр -0.
Проведя произвольные сечения с переменной абсциссой х, на
остальных участках вала получим соответственно:
// участок (а < х < 2а); Мкр = Мк| = 160 Н • м (слева);
III участок (2а<х<3а); Л4кр = AfKi-FЛ1к2 = (1604-80) Н • м =
=240 Н • м (слева);
IV участок (За<х< 5а); Л4кр =Л4к1 +Л4к2 —Л4к3 = (160-^80 — 300)
Н • м = —60 Н • м (слева);
Л4кр = —Л1К4 = —60 Н • м (справа).
Величина крутящего момента на каждом участке не зависит
от абсциссы сечения, поэтому эпюра крутящих моментов имеет вид
трех прямоугольников (рис. 47, б). В тех сечениях, где прило-
жены сосредоточенные внешние моменты Л1к, получаются скачки
на величину этих моментов. Заметим, что в месте скачка крутящие
моменты не определяют. Их вычисляют на бесконечно близких
расстояниях слева и справа от скачка.
Построенная эпюра (рис. 47, б) показывает, что хотя к валу
и приложен момент Л4к3=ЗОО Н • м, наибольший крутящий момент
в сечении равен лишь 240 Н • м. Эту величину и следует исполь-
зовать при расчете на прочность и жесткость. Направления крутя-
щих моментов в сечениях наиболее загруженной части вала —
участке III — показано на рис. 47, в.
На практике часто бывают заданы не моменты Мг, Н • м,
приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а переда-
ваемые на них или снимаемые с них мощности К, Вт, и частота
вращения вала п. Установим зависимость между этими величинами.
Как известно из курса теоретической механики, момент совер-
шает работу на угле поворота. Обозначив угловую скорость
вала «, найдем, что за время t диск повернется вместе с валом на
Угол ы/, рад:
30 ‘
момент Л4К совершит работу
м I
30 " ’
52
Внешние н внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних сил
где А — работа, Дж; Мк— момент, Н • м; п — частота вращения,
об/мин; t—время, с.
Тогда мощность (работа за 1 с)
А ппМ,
K==l ==—зо”
Отсюда следует, что
Мк = 9,549—,
к п
(3.1)
где К — мощность, Вт.
В старой технической литературе использовалась внесистемная
единица мощности — лошадиная сила (1 л. с.«736 Вт). Если и
редаваемая или снимаемая мощность равна N, л. с., то К — 736
и из выражения (3.1)
ЛЕ =9,549-736 — = 7028,8 — .
п п
(3.2)
Пример 4. Построим эпюру крутящих моментов для бруса, нагружШ
него по схеме, представленной на рис. 48, а.
Легко видеть, что нагрузка, действующая
на
стержень.
эквивалентн;
распределенным крутящим моментам тк (рис. 48, б) интенсивностью q
Н • м/м.
Брус имеет всего лишь один участок, в произвольном сечении котор'
на расстоянии х от левого конца крутящий момент
Л4кр(х)= — ткх= — qbx, (Otgx^Z);
Л1кр(0)=0; MKp(Z)=-^Z.
В результате получаем треугольную эпюру, представленную на рис. 48,
причем Л4кр макс =—qbl при x=Z.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Кялки и ОП°РЬ|.
53
§
17. Балки и их опоры
Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие
на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно
шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения
расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является
не только строительная балка, но также и вал, болт, ось желез
нодорожного вагона, зуб шестерни и т. д.
Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего слу-
чая изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в
одной плоскости, называемой силовой (на рис. 49, а — плоскость П),
причем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей
балки. Такой случай будем называть плоским изгибом '.
На расчетной схеме балку принято заменять ее осью (рис. 49, б).
При этом все нагрузки, естественно, должны быть приведены к оси
балки и силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.
Как правило, балки имеют те или иные опорные устройства —
опоры. Конструктивные формы опор весьма разнообразны. Для
расчета же их схематизируют в виде трех основных типов опор:
а) шарнирно-подвижная опора (рис. 50, а), в которой может
возникать только одна составляющая реакции — RA, направленная
вдоль опорного стерженька;
б) шарнирно-неподвижная опора (рис. 50, б), в которой могут
возникать две составляющие — вертикальная реакция RA и гори-
зонтальная реакция НА;
в) защемление (иначе жесткое защемление или заделка), где
могут быть три составляющие — вертикальная RA и горизонталь-
ная НА реакции и опорный момент МА (рис. 50, в).
Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А —
центре тяжести опорного сечения.
Балка, показанная на рис. 51, а, называется простой, или одно-
пролетной, или двухопорной, а расстояние I между опорами —
пролетом.
Консолью называется балка, за-
щемленная одним концом и не имею-
щая других опор (рис. 49, б), или
часть балки, свешивающаяся за
опоры (часть ВС на рис. 51, б;
части Л С и BD на рис. 51, в). Балки,
имеющие свешивающиеся части, на-
зывают консольными (рис 51, б, в).
Как известно, для плоской систе-
Ни Сил можно составить три уравне
из Статики для определения не-
естных реакций. Поэтому балка
етСя в^е§оЛЬНО плоск™ изгиб рассматрива-
54
Внешние и внутренние силы. Метод сечений Эпюры внутренних а
будет статически определимой, если число неизвестных опорных
реакций не превышает трех; в противном случае балка стати-
чески неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 49
и 51, статически определимы.
Балка, изображенная на рис. 52, а, называется неразрезной и яв
ляется статически неопределимой, поскольку имеет пять неизвес!
ных опорных реакций: три в опоре Л и по одной в опорах В и С
Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках D и (
(рис. 52, б), получим статически определимую шарнирную балк)
ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным урап
нениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумк
моментов относительно центра шарнира от всех сил, расположу
ных по одну сторону от него, равна нулю.
Построение эпюр для статически неопределимых балок требу<
умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока искгп
чительно статически определимыми балками.
§ 18. Вычисление реакций
Способы определения опорных реакций изучают в курсе тео]
тической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых
практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балк)
(рис. 51, а).
1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные
реакции находят из следующих уравнений равновесия:
а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю:
£Х = 0,
откуда находят НД;
б) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира!
равна нулю: I
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Вычислеинерт^-
55
%МА = °’
откуда находят RB,
в) сумма моментов всех сил от-
носительно опорного шарнира В
равна нулю:
2Мв = о,
1м
Г *|бО*Н 20кН/м
Д'
50кН-н
1м I
С
R.
Рис. 53
откуда находят RA.
2. Для контроля можно использовать или условие равенства
нулю суммы проекций на вертикаль:
2У=°.
или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-
либо точки С, отличной от А и В, т. е.
Условием £У=0 пользоваться проще, но оно дает надежную про-
верку только в тех случаях, когда к балке не приложены сосредо-
точенные моменты.
3. Перед составлением уравнений равновесия нужно выбрать
(вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить
их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция
получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее направ-
ление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию положи-
тельной.
4. В большинстве случаев нагрузка перпендикулярна к оси балки.
Тогда НА =0 и уравнением ХХ=О не пользуются.
5. Если на балку действует распределенная нагрузка, то для
определения реакций ее заменяют равнодействующей, которая равна
площади эпюры нагрузки и приложена в центре тяжести этой
эпюры.
Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки (рис. 53).
Прежде всего находим равнодействующие Р, и Р2 нагрузок, распре-
деленных на участках АС и СВ:
Р| =20-2=40 кН; Р2=^ -20-3 =30 кН.
Сила Р, приложена в центре тяжести прямоугольника, а Р2— в центре
тяжести треугольника. Находим реакции:
=60-1 4-40-1-1-30-3 + 50 — RB-5=0; RB =48 кН;
№ ~Ra -5 — 60-4-40-4 — 30-2 + 50 = 0; RA = 82 кН;
Проверка:
S Л1С = 82-2 — 60-1 -40-1 +30-1+50 — 48-3=0.
56
Внешние н внутренние силы Метод сечений. Эпюры внутренних ед.
§ 19. Поперечные силы и моменты
в сечениях балки
При плоском изгибе вся нагрузка расположена в главной плос
кости стержня ху (рис. 49, а), поэтому она не дает проекций на
ось z и моментов относительно осей х и у. Следовательно, в любо»
сечении балки
Qz=Mx—MKp =Му = 0 I
и отличными от нуля останутся только три величины: N, Qy и Мг
В дальнейшем будем обозначать их N, Q и М. Эти усилия действую-
в сечении рам и криволинейных стержней. В балках же, при на
грузке, перпендикулярной к оси, продольная сила также будет
равна нулю. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в любо»
сечении балки могут быть два усилия: поперечная сила Q и изги
бающий момент М.
Установим следующие правила знаков для Q и М в балках;!
1) поперечная сила Q в сечении положительна, если ее векторы I
стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелку!
(рис. 54, tz); I
2) изгибающий момент М в сечении положителен, если он вы-»1
зывает сжатие в верхних волокнах балки и направлен так, калI
показано на* рис. 54, а.
Отрицательные направления Q и М показаны на рис. 54, б. । I
Для практических вычислений, однако, можно рекомендоватьI
следующее: I
1. Если внешняя сила стремится повернуть балку бтносите^1ьио>|
рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то в выраженИ1Н
для Q в этом сечении она дает положительное слагаемое. Так, ре-1
акция RA (рис. 55, а) стремится повернуть балку относительна
сечения С по часовой стрелке, а силы Р и RB— против нее. Поэтому!
Рис. 54 6 Рис. 55
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
р срочные силы и моменты в сечениях балки
поперечная сила в сечении С
ИЛИ
= I------
2. Если внешняя нагрузка созда- "
еТ относительно рассматриваемого
сечения момент, вызывающий сжатие —
верхних волокон балки, то в вы-
ражении для М в этом сечении она дает положительное слага-
емое. Наиболее просто выяснить знак М для консоли. Так, на
двух верхних консолях, показанных на рис. 56, а, нагрузка
отгибает балку вверх; сжатыми оказываются верхние волокна,
поэтому изгибающий момент положителен. На рис. 56, б сжаты
нижние волокна иА1<0.
В более сложных случаях (например, рис. 55) можно мыслен-
но представлять себе, что балка освобождена от всех опор и за-
щемлена в рассматриваемом сечении. Тогда она превращается в две
консоли. Нужно рассматривать левую консоль, если изгибающий
момент вычисляется как сумма моментов сил, расположенных слева
от сечения (рис. 55, б). Тогда
Мс =M(x')—RAx,— P(x— а).
Если же М вычисляется как сумма моментов сил, расположенных
справа от сечения (рис. 55, в), то
Мс =M(x)=RB(l-x)-M.
§ 20. Построение эпюр Q и М в балках
Рассмотрим порядок построения эпюр Q и М для наиболее ха-
рактерных случаев нагружения балок.
Сосредоточенная сила на свободном конце консоли (рис. 57).
Балка имеет лишь один участок. Начало координат выбираем в
крайней левой точке А балки, ось х направляем вдоль оси балки
направо.
Вычисляем Q и М в произвольном сечении с абсциссой х. Справа
07 Рассматриваемого сечения действует только одна сила Р, поэтому
=Р; М(х) = -P-RB=—P(l —X).
Как видно из этих уравнений, поперечная сила одинакова во
ех сечениях балки, поэтому эпюра Q имеет вид прямоугольника,
ункция М(х) линейна. Для построения ее графика достаточно
лучить две точки — в начале и в конце участка:
при /сечение А) ма = -Р1',
Р х — 1 (сечение В) Мв =0.
этим данным строим эпюру М. Заметим, что положительные
ннаты эпюр Q и М откладываем вверх от базы
58
Внешние н внутренние силы Метод сечении Эпюры внутренних C(j
Рис. 57
На рис. 57 штриховой линией ABt показана балка в деформиро
ванном состоянии. Как видно из рисунка, сжаты нижние волокне
балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибающих мо.
ментов с осью балки, то эпюра М окажется как бы построение]
на сжатых волокнах.
Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, Н/м
на консоли (рис. 58). Поперечную силу и изгибающий момент в про
извольном сечении К будем вычислять как результат действие
распределенной нагрузки, расположенной слева от сечения:
Q(x)= —q-AK — —qx;
g-АК2
2
M(x)=-q-AK-LK=
2 ’
Следовательйо, поперечная сила Q(x) изменяется по закону при
мой линии, а изгибающий момент М(х) — по параболическом
закону. Для построения эпюры Q вычисляем ординаты в дву
точках:
при х—О Qa =0;
при x—l Qb — —ql
и проводим прямую. Учитывая, что эпюра М криволинейна, дД
ее построения вычисляем ординаты в трех сечениях:
при х=0 МА =0;
прих=^- Мс= —
при х=1 Мв — —~
и проводим через полученные три точки кривую.
Нагрузка интенсивностью q, Н/м, равномерно распределении
по всей длине пролета двухопорной балки (рис. 59). В данноЧ
случае необходимо сначала определить опорные реакции. Равно
действующая всей распределенной нагрузки равна ql, и линия деЧ
ствия ее проходит через середину балки. Поэтому
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
59
П^тооенне эпюр g и М в балках
ХМв=/?^-^-1- = 0: =Rbl—ql' ^ = 0,
откуда
ra=rb=-£
Вычисляя поперечную силу и изгибающий момент в произволь-
ном сечении К как результат действия сил, расположенных слева
от сечения К, получим
—<7* =-7—qx-,
M(x)^RAx-qx.f=^-x-3f.
Очевидно, что эпюра Q будет прямолинейной, а эпюра М - па-
раболической.
Для построения эпюр вычисляем:
W>=£;
Л)(0)=0;
М ________ ч? .
'2 / 2 2 8 8 ’
=0
2 2
Чтобы определить экстремальное значение изгибающего мо-
Л)/1?’ приравниваем нулю производную от изгибающего момента
х) по абсциссе х сечения: .
ql
dx ~~ ~2—qx=o.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
60 Внешние и внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних с<
Построение эпюр О и М в балках
отсюда
Так как вторая производная d2M(x)/dx2 ——q, т. е. отрица. I
тельна, то в сечении при х—1/2 имеем максимальное значение
момента:
Ммакс=Л1(//2)=-^ . I
Эпюры Q и М построены на рис. 59.
Сосредоточенная сила Р, приложенная к двухопорной балЛ!
(рис. 60). Прежде всего найдем опорные реакции:
£Мв=/?„/-^=0; RA=-^; I
£MA=Pa-RBl=0; RB=-^.
В данном случае имеем на балке два участка. I
Вычисляем Q и М в произвольном сечении К,, расположенном
на участке AC (О^х^а): I
Q(x)=/?„=-^ •
Следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы один;
ковы и эпюра Q имеет вид прямоугольника.
Изгибающий момент Л1(х) изменяется по линейному закону: 1
М(х)=/?„х=^ х.
Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участк
при х=0 МД =0;
при х—а Мс .
В произвольном сечении К2 на участке СВ (а^х^.Г), pfl
сматривая действие сил, расположенных справа от него, получй
QW=-RB=--y--, M(x)=Rb-K2B=-^(1-x).
К тому же результату мы пришли бы, рассматривая действн
сил, расположенных слева:
Q(x)^Ra-P; M(x)=Ra-AK2-P-CK2.
Как и на участке АС, эпюра Q на участке СВ также имеет Bi
прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения <ч
динат в точках С и В:
,, Ра и РаЬ
при х = а А1(; ==-р(/— °)==-7-’
при х—1 Мв =0.
В результате получаем эпюры,
представленные на рис. 60. Они по-
казывают, что при х=а функция Q(x)
терпит разрыв и на эпюре Q по-
лучается скачок, равный по абсо-
лютной величине внешней силе Р
в этом сечении:
РЬ । б'с ___ P(c+fc) _ Р/ . р.
1 I I
61
на эпюре М в этом сечении имеет
место излом (угловая точка).
Сосредоточенный момент в пролете двухопорной балки (рис. 61)
Находим опорные реакции, направив их вверх:
^mb = rai + m1=o-,
^Ma = RbI-M1=0,
отсюда
р Л<1 . п _____ ^1
К1 =---j— , --
Меняем направление RA на обратное. Отметив на участках
АС и СВ произвольные сечения и К2, записываем уравнения
для функций Q (х) и М (х):
для участка АС (О^х^а)
= М(х)=-7?лх=-^-х;
для участка СВ (а^х^.1)
Q{x)=~RB=-^.- M(x)=RB"K2B
I 1
На основании этих уравнений строим эпюры Q и М. Эпюра М
Расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку
она построена на сжатых волокнах, видим, что на участке АС
сжаты нижние волокна балки, а на участке СВ — верхние. Этому
соответствует изображенная штриховой деформированная ось
балки. В том сечении, где изгибающий момент меняет знак, на
чей будет точка перегиба.
Нетрудно видеть, что
tg a = tg [5— м>
ч. значит, прямые на эпюре М на участках АС и СВ параллельны.
Обратим внимание на то, что там, где приложен внешний мо-
ент (сечение С), на эпюре Q изменений нет, а функция М(х)
62
Внешние и внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних ci
претерпевает разрыв и на эпюре М получается скачок, равный]
по величине внешнему моменту.
В частном случае, когда момент приложен в опорном сечении!
на основании приведенных выше формул при а=0 получим эпюры!
приведенные на рис. 62.
Сосредоточенные моменты на опорах однопролетной балки
(рис. 63). Находим опорные реакции:
2Мв=/?л/+М-Л1=0; /?„=0;
2Мл = -/?в/4-Л1—Л4=0; /?в=0.
Тогда для произвольного сечения, находящегося на расстояни||
х от левой опоры,
Q(x)=Ra =0; М(х)—М = const.
Итак, в любом сечении Q = 0, а изгибающий момент постоянЛ
вдоль балки. Такой случай изгиба носит название чистого изгиба
§ 21. Дифференциальные зависимости
при изгибе.
Некоторые особенности эпюр Q и М
Установим некоторые характерные особенности эпюр Q и Лв
знание которых облегчит построение эпюр и даст возможное™
в известной степени контролировать их правильность.
- Рассмотрим какую-нибудь балку с произвольной нагрузке!
(рис. 64, а). Распределенную нагрузку условимся считать положи
тельной, если она направлена вверх (такая нагрузка дает положи
тельную составляющую для изгибающего момента в любом семя
нии).
Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов
малый элемент балки OiO2- Он находится в равновесии под дей|
ствием внешней нагрузки, поперечных сил и изгибающих моменте!
в сечениях 01 и О2 (рис. 64, б). Поскольку в общем случае Q и
меняются вдоль оси балки, то в сечении 01 имеем Q(x) и М(х1
а в сечении О2 имеем Q(x)-pdQ и M(x)-\-dM. Для вывода, ка!
всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия
равновесия выделенного элемента получим
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
п.и<Н;еРенЦиа'льные
зависимости при изгибе. Некоторые особенности эпюр Q и М
63
—(Q + dQ)=O;
2 Ма = М + Qdx + qdx^- — (М + dM) = О
Первое уравнение дает условие
(3-3)
dx 7
Из второго уравнения, пренебрегая членом qdx(dx/2), найдем
(3-4)
Из формул (3.3) и (3.4) следует, что
(3.5)
Когда на рассматриваемом участке действует, кроме того, рас-
пределенный момент интенсивностью т, Н*м/м (рис. 64, в), фор-
мула (3.4) принимает следующий вид:
(3-6)
формулы (3.3) и (3.5) при этом остаются без изменения.
Соотношения (3.3) — (3.6) называют дифференциальными зави-
м°стями при изгибе. Эти зависимости и анализ примеров преды-
дущего параграфа позволяют установить некоторые особенности
ЮР изгибающих моментов и поперечных сил:
Ог ' участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры Q
^раничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М в общем
учае наклонными прямыми (рис. 65).
64
Внешние и внутренние силы. Метод сечений Эпюры внутренних с.
Рис. 65
Рис. 66
2 На участках, где к балке приложена равномерно распрел
ленная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми
а эпюра М — квадратичными параболами (рис. 66). Поскольку
эпюру М строим на сжатых волокнах, то выпуклость парабол
обращена в сторону, противоположную направлению действия на
грузки q (рис. 67, а, б).
3. В сечениях, где Q=0, касательная к эпюре параллель»;
базе эпюры (рис. 66 и 67).
4. На участках, где Q>0, момент Л4 возрастает, т. е. слей
направо положительные ординаты эпюры М увеличиваются, а отри
цательные — уменьшаются (рис. 65, 66, участки АС и BE) ; на учаСт
ках, где Q<0, момент М убывает (рис. 65, 66, участки CL
и DB).
5. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:
а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении пр»
ложенных сил (на рис. 65 и 66 эти скачки отмечены толстым;
линиями со стрелками);
б) на эпюре М будут переломы (рис. 68), причем острие пере-
лома направлено против действия силы (см. также сечения С, I
и В на рис. 65 и сечение В на рис. 66).
6. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные момен-
ты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов (на эпю||
Q изменений не будет). Направление скачка зависит от направле-
ния внешнего момента (рис. 69). Ветви эпюры до скачка и за ни*
параллельны. Так, на рис. 69 линия АВ || CD || EF (см. также рис. 61 *
70, а). Это не относится к случаю, когда в одной точке приложен^
и сила и момент (рис. 70, б),— сила вызывает перелом и нарушая
параллельность.
7. Если на конце консоли или в концевой опоре к балке прил0-
жен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момеч
равен внешнему моменту (рис. 71, сечения В и С). Если же в коВ'
цевой шарнирной опоре или на конце консоли балка не загруже^
внешним моментом, то в них М=0, что имеет место в большинстя
случаев (рис. 65 и 66, сечения А и Е).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими pi
ПН<Ъференци^ьныс
зависимости при изгибе
Некоторые особенности эпюр Q и М
65
Рис. 67 Рис. 68
8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпю-
ры М. Значит, ординаты эпюры Q пропорциональны тангенсу угла
наклона касательной к эпюре М.
Для обоснования перечисленных свойств эпюр рассмотрим сле-
дующее. Если нет распределенной нагрузки, то
dx
Интегрируя, получаем:
Q(x)=C| = const.
Следовательно,
^- = Q=c„
откуда
М(х) = С,х+С2.
(3.7)
(3-8)
66
Внешние н внутренние силы Метод сечсиий. Эпюры внутренних
Уравнения (3.7) и (3.8) доказывают свойство 1, так как для функци
(3.7) график будет представлять собой горизонтальную прямую
а для функции (3.8) в общем случае наклонную прямую (eanj
Cj=/=O). Аналогично доказываются и остальные свойства.
Заметим, однако, что появление скачков на эпюре Q связаж
с введением условного понятия о сосредоточенной силе. Как уж
говорилось, сосредоточенной силой мы считаем нагрузку, распре-
деленную на небольшой длине. Если загрузить балку такой действи-
тельной нагрузкой, то никаких скачков на эпюре Q и переломов
на эпюре М не будет (рис. 72) Это замечание относится и к дей-
ствию сосредоточенного внешнего момента.
Рассмотрим более сложные случаи построения эпюр Q и Л|
Пример 6. Построим эпюры Q и М для простой балки, нагруженЛ
распределенной нагрузкой, из меняющейся по линейному закону (рис. 7Я
Определяем опорные реакции. Равнодействующая всей распределение'
нагрузки равна yl/2 и проходит через центр тяжести грузовой эпюры, ко
торый удален на 1/3 от правой опоры. Поэтому
Xм н =R,tl —у4=0;
Xma=rbi--£ | 1=0
Отсюда
/? - 7? - I
- т - Т I
Поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении
вычисляем как результат действия сил, расположенных слева от сед
ния К, реакции Rfi и равнодействующей распределенной нагрУ-'"
(l/2v(x)x. Из подобия треугольников ,
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
фференииальиые зависимости при изгибе
Некоторые особенности эпюр Q и М
67
Поэтому
ql qx* 2 ql QX3
6 21 ’ 6 X 61'
Из этих уравнений видно, что эпюра Q очерчена квадратичной параболой,
а эпюра М - кубической. Для их построения вычисляем ординаты в ха-
рактерных точках:
при х=0 при x=l
„ ql qxi. „ I
Q=0 при —------=0, т. e. при xo———;
° V3
n dQ qx
прнх = О — =__=o.
Следовательно, эпюра Q имеет такой вид, как показано на рис. 73, причем
в сечении /1(х=0) касательная к эпюре Q параллельна оси
Далее,
при х=0 Мл —О,
при х — I Мв —0.
При х = х0 = 1/д/3 производная
4М_ _ <?/ _
dx 6 21 о)
обращается в нуль, а
Значит, в сечении х=х0=г/-/з имеем максимум М, причем
д?
9д/з
М = —
6 V3
Пример 7. Построим эпюры Q и М для балки, показанной на рис. 74.
Определим опорные реакции:
2Л|/ =30-2,6-0,7 —50—• 2,54-40-3,5 = 0; RB =57,8 кН.
2>в =-30-2,6-1,84-ЛЛ -2,5 - 504-40-1=0; RA =60,2 кН.
Проверка:
2У=60,2 —30-2,64-57,8 — 40=118,0 —118,0=0.
Балка имеет пять участков. В произвольных сечениях каждого из них
записываем выражения для Q и М, проверяя при этом, выполняется ли
Равенство Q=dM/dx, и вычисляем Q и М в характерных сечениях.
Для участка /-'/1(0^х^0,6 м)
<?(*)= - ЗОх, Л1(х)= — ;
<2f=Q(O)=o; Mf = М0)=0;
Q^~Q (0,6) =-30-0,6 кН=,- 18,0 кН;
М. = » < /л 30 • 0,62 _. _ , ,,
m (0,6)=----------- кН-м= — 5,4 кН-м
Внешние н внутренние силы. Метод сеченни Эпюры внутренних
Для участка АЕ (0.6 м^х^1,6 м)
зох2
(?(х)=-30x4-60,2; М(х)=——|-
60.2 (х—0,6);
0Л р= Q (0,6)=(—30-0,64-60,2) кН = 42,2 кН.
МА = 41(0,6)= (- 30' в’6* 4- 0 ) кН - м = - 5,4 кН-м;
Qe = <2(1,6) = (—30- 1,64-60,2) кН = 12,2 кН
МЕп ,= 41(1,6)= [- 30 g’- 4-60,2(1,6-0,6)] кН-м = 21,8 кН-м.
Для участка ED (1,6 м 0x^12,6 м)
ЗОх2
Q (х)= -30x4-60,2; М (х)= —---------|-60,2 (х-0,6)-50;
Qu = Q (1,6) =( — 30- 1,64-60,2) кН = 12.2 кН.
[ 30.1 62 1
— 2 + 60,2(1,6 — 0,6)—50 IкН• м = — 28,2 кН-м;
Qd = Q(2,6)=( —30• 2,64-60,2) кН = —17,8 кН;
[ 3(1.9 62 1
— z.o_ +60 2(2,6 — 0.6) —50|кН-м=—31 кН-м.
Для участка DB (2,6 м^х^3.1 м)
Q(x)=( —57,84-40) кН = — 17.8 кН;
М (х)=57,8 (3,1 — х)—40 (4,1 — х)= - 17,8х-|-15,2;
MD =М(2.6)=(—17,8-2.64-15,2) кН-м=—31 кН-м;
Л1В = 41 (3,1)=(—17,8-3.1 4-15,2) кН-м = —40кН-м.
Для участка ВС (3,1 м<х<4,1 м)
Q (х)=40 кН; М (х)= —40(4,1 —х);
Мв = 41 (3,1)=—40 (4,1—3,1)=—4Q кН-м;
Мс = М (4,1)= —40 (4,1 — 4,1)=0.
Построив по этим данным эпюру Q, обнаруживаем, что в некоторо
сечении х0 на участке ED усилие Q обращается в нуль, а значит, зде<
касательная к эпюре М будет горизонтальной. Для построения эпюры 1
необходимо еще вычислить ординату 41;хс). Воспользовавшись выражение
для Qx) на участке ED, находим х0 из условия
(?(хо)= — ЗОхс 4- 60,2=0.
откуда
60,2 О П1
Xo=-^-m=2,O1 м.
Тогда
М (х0)= Г---30-2.pi2 +60>2 (2 01 _0>6)_50 | кН . м = -25,7 кН м.
По полученным данным строим эпюру Л/
Рассматривая эпюры Q, М и нагрузку на балку с точки зрения общи*
www.vokb-la.spb.nl - Самолёт своими руками
69
„нпнальные зависимости при изгибе. Некоторые особенности эпюр Q и М
дифферег^_——--------------------------------------------------
Рис. 75
Рис. 74
свойств эпюр, обнаруживаем, что построенные эпюры не содержат принци-
пиальных ошибок: например, всюду, где Q >0, момент М возрастает, а где
Q <0—убывает; в сечении Е .на эпюре М получился скачок на величину
50 кН - м; в сечениях F и С момент М=0 и т. д.
Пример 8. Построим эпюры Q и М для шарнирной балки (рис. 75).
Эта балка имеет четыре неизвестные составляющие опорных реакций —
МА, НА, RA и Re. Вследствие отсутствия горизонтальных составляющих
внешней нагрузки НЛ =0. Наличие промежуточного шарнира в точке С
дает одно дополнительное уравнение статики и превращает балку в стати-
чески определимую шарнирную
Найдем опорные реакции:
2 Л1С =20-5,5 — Re-4 + 60-2,5 = 0; RL =65 кН;
2У=/?Л —40 —60 + 65 —20 =0; RA =55 кН,
2 Мс = — М +55-2 — 40-1 =0, МА =70 кН - м.
лев
Проверка:
~МЕ = - 70+55-7,5 —40-6.5 —60-3+65-1,5 = 0.
Теперь обычным способом строим эпюру Q, а затем, определив
= — 70 кН - м; =(-70 + 55-1 кН • м = —15 кН • м;
=( — 20-3 + 65-1,5) кН • м = 37,5 кН • м,
ме-=~20-1,5 кН • м = —30 кН • м; Мл=0,
стРоим эпюру М.
Следует обратить внимание на то, что на эпюре М обязательно должна
ть нулевая ордината для того сечения, где расположен промежуточный
Гарнир (точка С).
70
Внешние и внутренние силы. Метод сечений Эпюры внутренних ci
В ряде случаев можно строить эпюры, не составляя выраже
ния Q и М для произвольных сечений участков. Достаточно лищь
вычислить величины Q и М в характерных сечениях. Для этих
случаев можно рекомендовать следующий порядок построении
эпюр:
1. Найти опорные реакции (для консоли их можно не находить).
2 По скачкам и наклонам, идя вдоль балки обязательно слева
направо, построить эпюру Q (никаких записей для этого делать
не нужно).
3. Найти характерные сечения балки. Характерными сечениями
считаются те, в которых приложены сосредоточенные силы и мо-
менты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка
а также те, в которых Q обращается в нуль.
4. Вычислить в характерных сечениях величины М и по найден-
ным ординатам построить эпюру М. При этом следует руковод.
ствоваться общими свойствами эпюр, а для консольных частей бало!
целесообразно пользоваться известными для них эпюрами (рис. 57
и 58).
§ 22. Построение эпюр для рам
Рамами называют системы, состоящие из прямолинейных стер»
ней, соединенных жесткими узлами. Вертикально расположенный
стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные —
ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимной?
поворота скрепленных стержней, т. е. в узловой точке углы между
их осями остаются неизменными.
Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждые
прямолинейный участок ее можно рассматривать как балку. По
этому, чтобы построить какую-либо эпюру для рамы, нужно по-3
строить ее для каждой отдельной балки, входящей в состав рамы;
В отличие от обыкновенных балок в сечениях стержней рамы, кроме
изгибающих моментов М и поперечных сил Q, обычно действуют
еще и продольные силы N. Следовательно, для рам нужно строит»
эпюры N, Q и М
Для N и Q сохраняются ранее принятые правила знаков:
/V>0, если продольные силы вызывают растяжение; I
Q>0, если ее векторы стремятся вращать части рассеченное
рамы (относительно точек, близких к сечению) по часовой стрелке
Для изгибающих моментов специального правила знаков не Ус
танавливают, а при составлении выражений для М(х) принимаю,
по собственному усмотрению какой-либо момент положительный
Выражения для N(x), Q(x) и М(х) записывают очень редко Ч
главным образом для тех участков, где действует распределенная
нагрузка. Чаще всего просто вычисляют значения N, Q и М в х«]
рактерных сечениях (на границах участков и в экстремальны»
точках), а затем проводят линии эпюр, учитывая их свойств!
отмеченные в § 21.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
утроение эпюр для рам
71
Рис. 76
Ординаты эпюр, как и всегда, откладываем перпендикулярно
к оси рамы, причем положительные ординаты Q и N с внешней
стороны рамы, а отрицательные — с внутренней (если, конечно,
рама такой конфигурации, что можно различить ее наружную и
внутреннюю стороны). Эпюры М условимся и для рам строить на
сжатых волокнах.
Если рама имеет более одной опоры, то прежде чем приступить
к построению эпюр, нужно обычными методами статики найти опор-
ные реакции.
Построим эпюры N, Q и М для рамы, изображенной на рис. 76.
Заметим, что ввиду отсутствия распределенной нагрузки все эпюры
будут прямолинейными.
Чтцбы построить эпюру N, нужно спроецировать силы, прило-
женные к части рамы, лежащей по одну сторону от сечения, на
ось стержня. Таким образом, для любого сечения получим М=0
на участке АВ\ N = P на участке BD (растяжение); /V=—2P на
участке ОД (сжатие). По этим данным строим эпюру /V. Она имеет
вид двух прямоугольников, расположенных на ригеле и левой
стойке.
Перейдем к построению эпюры Q.
Для любого сечения на участке АВ сумма проекций нижележа-
щих сил на сечение одинакова, равна Р и дает отрицательную вели-
чину Q, т е Q=—p Точно так же в любом сечении стержня DK
сила Q~p. Чтобы пояснить знаки Q в этом случае, на рис. 77
показаны направления векторов Q, например, в сечениях I и IV.
На рис. 77, а векторы стремятся повернуть части рассеченной рамы
пр 1тив часовой стрелки, значит здесь <2<0, а на рис 77, б — по
часовой стрелке, поэтому здесь Q>0.
В сечении //, как и в любом сечении участка ВС, сумма проек-
ни на сечение (на вертикаль) сил, приложенных к части рамы,
СпРава от сечения (т. е. одна сила Р), равна нулю. Следо-
сльно, на участке ВС усилие Q=0.
ецип Я сечеиия и вообще для любого сечения участка CD про-
4eHHHxaQbCH На сечение будет только сила 2Р, поэтому в этих се-
Q =^2/3К’ На УчвсткеДВ Q— —Р; на участке ВС Q=0; на участке CD
тремя ’ На Участке DK Q = P. Эпюра Q на этих участках представлена
прямоугольниками.
72
Внешние и внутренние силы Метод сечений. Эпюры внутренних сил
Рис. 77
Для построения эпюры М будем вычислять величины изгиЗ
бающих моментов в характерных сечениях А, В, С, D, Е и р.
Очевидно, Л4л=0. В сечении В стержня АВ (т. е. в сечении /,
бесконечно близком к В) имеем
Мв=р.АВ = -^ ,
причем от действия этого момента сжаты внешние (правые) волом
на, так как изгибающий момент, приложенный к верхней сторон!
сечения /, направлен против часовой стрелки. Поэтому на эпюре Л
из точки В откладываем с внешней стороны ординату, равную Р1/2±
и проводим прямую ab.
В сечении В стержня BD (т. е. в сечении II, бесконечно близкой
к В) имеем ту же величину:
Мв=Р-АВ = Р-^-
и сжаты вновь наружные (верхние) волокна. Такой же изгиба
щий момент будет и в сечении С:
Откладываем в сечениях В и С с внешней стороны ординаты
Р1/2 и проводим прямую btc. Продолжать эту прямую дальше
влево нельзя, так как в этом сечении на эпюре М должен быть
перелом.
В сечении D стержня DB (сечении ///) изгибающий момен!
должен быть вычислен от действия сил Р и 2Р. Приняв, например,
что для стержня DB положительным будет такой изгибающий
момент, который вызывает сжатие верхних волокон, находим, чт|
Ml)=P-AlD — 2P-CD = P-t—2Р-^=—
Знак «минус» говорит о том, что в сечении III сжаты нижние
волокна. Откладываем вниз ординату, равную Р1/2, и проводи!
на эпюре М прямую cd.
Переходим к построению эпюры на стойке DK, считая, напри
мер, что изгибающий момент положителен, если он вызывает ежа
тие внутренних (правых) волокон. Тогда в сечении IV
Md = -P-AxD+2P-CD-P-^+2P^-^~.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Построен**6 ЭПЮР ДЛЯ РИМ 73
В сечении Е на эпюре М должен быть скачок, поэтому значе-
ние М вычисляем отдельно:
в сечении V
М^Р.АХЕ + 2Р.ЕС^Р^2Р^Р1,
а в сечении VI
1щ = Р-АхЕ+2Р.ЕС1-М=Р±+2Р-±-Р1=±-Р1.
Наконец, в сечении К
Мк^Р.А,К+2Р-КС2-М=Р±-+2Р±—Р1==±-Р1.
Все моменты получились положительными. Следовательно, во
всех этих сечениях, согласно принятому для стойки DK правилу
знаков, сжаты правые волокна. Поэтому откладываем соответ-
ствующие ординаты и, проведя прямые dxex и e2k, заканчиваем
построение эпюры М.
Пример 9. Построим эпюры N, Q и М для рамы, изображенной на
рис. 78.
Поскольку эта рама не консольная, то прежде всего определим опорные
реакции. В каждом неподвижном опорном шарнире А н В будет по две
составляющие реакции: вертикальные RA и RB и горизонтальные НА и Нв.
Действительные направления этих реакций еще не известны, поэтому на-
правим их пока произвольно, например, вертикальные реакции вверх, а го-
ризонтальные— направо (почему реакции НА и RB зачеркнуты, станет ясно
позже).
Для определения четырех неизвестных RA, RB, НА и Нв кроме обыч
ных уравнений статики имеем еще условие равенства нулю суммы моментов
относительно точки С всех сил, расположенных по одну сторону от нее
(иначе говоря, равенство нулю изгибающего момента в сечении С, где есть
шарнир).
Можно выбрать различные варианты четырех уравнений статики для
нахождения реакций. Наиболее удобно рассмотреть суммы моментов от-
носительно шарниров А, В и С. При составлении уравнений принимаем во
внимание зачеркнутый вариант реакций НА и RB-.
£МВ =40-34-20- 1—7?/ -2 = 0, Ra =70 кН;
=40-14-20-1 4-Яв-2 = 0, RB = 30 кН;
X Мс = — 70-1 4-40-24-77/-2 = 0. НД= 5 кН;
лев
X Мс = — 20-1— 30-1 4“77в-2 = 0; //«=25 кН.
нрав
Реакции Ra и Нв получились положительными, значит они действи-
тельно направлены так, как было принято: RA—вверх, Нв направо;
реакции НЛ и RB отрицательны, значит, имеют направление, противопо-
ложное принятому, а именно. Н А направлена влево, a RB вниз. Изме-
ним на чертеже направление этих реакций на противоположное и будем
теперь считать все реакции положительными:
—70 кН, Нд =5 кН; RB =30 кН; Нв =25 кН
Проверим, правильно ли найдены реакции:
2^ = -//л - 204-7/в = -5-204-25=0.
=Ra — 40 — RB =70 — 40 — 30=0.
74
Внешние и внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних
Рис. 78
Теперь можно построить эпюры М, Q и N таким же способом, г jk
это было сделано в предыдущем примере, так как опорные реакции опре-,
делены и, значит, известны все внешние силы, приложенные к раме.
Прежде всего сделаем некоторые замечания относительно общего вида
эпюр Л1 и Q Поскольку распределенной нагрузки нет, эпюры М н Q будут
прямолинейными, причем эпюра Q будет состоять из прямоугольников
В точке D на ней будет скачок, а на эпюре М - перелом. В точках А, В, С и /
изгибающий момент равен нулю.
Для построения эпюры N находим, что
на участке ВК N—RB =30 кН,
» » ЕЕ N = Ha =5 кН;
» АЕ W=—= —70 кН;
» FE W=0.
По этим данным строим эпюру N.
Для построения эпюры Q вычисляем характерные ординаты:
на участке BD Q=—HB = —25 кН;
» » DK <? = — Нв 4-20 = (-25+ 20) кН=— 5 кН,
» » КЕ Q=RB =30 кН;
» FE Q = — 40 кН;
» » АЕ Q--l/A =5 кН.
По этим данным строим эпюру Q.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
рХЧпоеине эпюр для рам/5
Теперь вычисляем значения изгибающих моментов:
=НВ • 1 =25-1 кН • м = 25 кН • м (сжаты правые волокна);
д4/ =НВ -2 — 20-1 =(25-2—20-1) кН • м=30 кН • м (сжаты правые волокна);
=М/ =30 кН • м (сжаты верхние волокна);
=/7л-2—40-1 =(5-2 —40-1) кН-м=—30 кН • м (сжаты нижние во-
локна) ;
до = НА-2 = 5-2 кН • м = 10 кН • м (сжаты левые волокна);
до^, =40-1 кН - м = 40 кН • м (сжаты нижние волокна).
и строим по этим данным эпюру М.
§ 23. Построение эпюр
для криволинейных стержней
В поперечных сечениях плоского кривого бруса могут действо-
вать, как и в рамах, три внутренних силовых фактора — N, Q и М.
Наиболее часто имеют дело со стержнями, ось которых очерчена
по дуге окружности. В этом случае положение любого сечения
удобно определять при помощи полярной системы координат, тогда
продольная, поперечная силы и изгибающий момент будут функ-
циями угла <р: Af(<j>), Q(<jp) и М(<р).
Для М и Q примем обычное правило знаков (см. § 15 и 19),
эпюры М будем, как и в рамах, строить на сжатых волокнах.
В качестве примера рассмотрим плоский кривой брус, схема
которого показана на рис. 79, а. Напишем значения 7V(<p), Q(<j>)
и М (<р) для произвольного сечения С.
Чтобы получить /V (ср), нужно силы Р\ и Р2 спроецировать на
направление оси стержня в точке С, т. е. на касательную KL. Для
удобства проецирования их можно перенести мысленно в точку С
(на рис. 79, а они показаны штриховыми линиями). Тогда
W(<P)=Pi cos <р + Р2 sin <р.
Чтобы получить Q(<p), нужно спроецировать силы, приложен-
ные к части АС, на плоскость сечения, т е. на направление OS:
Q == р( sjn ф—р2 cos ф
76 Внешние и внутренние силы. Метод сеченнй. Эпюры внутренних н
При составлении выражения для изгибающего момента в произ-
вольном сечении условимся, например, считать изгибающий момент
положительным, если он вызывает сжатие волокон, лежащих с внут|
ренней стороны стержня (т. е., если он увеличивает кривизну стерж-
ня). Будем иметь
М ($)=Pi-AD — P2-CD = PiR (1 — cos q>)— PzR sin <р.
Полученные формулы позволяют строить эпюры N, Q и М. При-
мем для определенности, что Pt=P, а Р2 = 0,5Р. Тогда:
N (<p)=(cos ф+0,5 sin <р) Р;
Q(<p)=(sin<p—0,5 cos <р) Р; (ЗЛЯ
М (<р)=(1 —cos <р — 0,5 sin <р) PR.
Вычислим значения N, Q и М в нескольких сечениях (табл. 3).
Разметив ось стержня через 10°, откладываем в масштабе по
нормали к оси (т. е. по радиусу) соответствующие ординаты для
Q, N (положительные — наружу, отрицательные — внутрь) и для
М (на сжатых волокнах), соединяем концы ординат плавной кри-
вой и получаем эпюры N, Q и М (рис. 79, б).
Рассмотрим некоторые общие вопросы построения эпюр для криЬ
волинейных стержней.
К криволинейным стержням, как и к другим стержневым систе
мам, иногда бывает приложена равномерно распределенная нагруз^
ка. Для вычисления усилий и моментов от такой нагрузки полезн!
иметь в виду следующую теорему: равнодействующая равномерИ
распределенной нагрузки, приложенной к дуге любого очертания
равна произведению величины интенсивности нагрузки на длин’
хорды, стягивающей эту дугу, перпендикулярно к этой хорде и прм
ходит через ее середину. 1
Таблица 3
ч>° sin ф COS ф 0.5 sin ф 0.5 cos ф Л|<и/Р <2«н/Г Мф)/РЯ
0 0 1,000 0 0,500 1,000 -0,500 0
10 0,174 0,985 0,087 0,498 1,072 —0,324 -0,072
20 0,342 0,940 0,171 0,470 1,111 —0,128 -0,111
30 0,500 0,866 0.250 0,433 1,116 0,067 -0,116
40 0,643 0.766 0,322 0,383 1,088 0,260 -0,088
50 0,766 0,643 0,383 0,322 1,026 0,444 —0,026
60 0,866 0,500 0,433 0,250 0,933 0,616 0,067
70 0,940 0.342 0,470 0,171 0,812 0,769 0,188
80 0,985 0,174 0,498 0,087 0,672 0,898 0,328
90 1,000 0 0,500 0 0,5 1,000 0 500 3
Для доказательства рассмотрим произвольный плоский крив0
линейный стержень АСВ, загруженный равномерно распределен
ной нагрузкой интенсивности q (рис. 80).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Рис. 80
Выделим элемент дуги ds, центр которого имеет координаты х и
t/, а касательная к дуге в точке х, у образует с осью абсцисс угол а.
На этот элемент действует сила qds, составляющая которой по
оси х равна qds sin а, а по оси у — qds cos а. Но ds cos a=dx,
a ds sin a = dy, поэтому составляющие будут соответственно равны
qdy и qdx (рис. 80).
Обозначим равнодействующую нагрузки (т. е. элементарных сил
qds) через Р. Проекция Рх равнодействующей на ось х равна сумме
проекций элементарных сил qds, т. е. сумме qdy:
в о
Рх= \ qdy = q\dy = q\dy = O.
АСВ А О
Аналогично находим, что проекция равнодействующей на ось у
в 1
Рц= qdx=q\dx=q\dx = ql.
лев А о
Отсюда видно, что равнодействующая
P~Py — ql,
т- е. равна произведению величины интенсивности нагрузки на
Длину хорды I, стягивающей дугу АСВ.
1ак как Рх=0, то равнодействующая перпендикулярна к оси
’ т-е- к хорде, поскольку ось х направлена по хорде.
Теперь вычислим сумму моментов элементарных сил отноей-
ельно начала координат:
V г в в i о
^Ма = \ qdx-x+ \ qdy-y=q\xdx+q\ydy=q\xdx+q\ydy=-3^~
ЛСВ АСВ А А 0 0 2
Равщ)УСТЬ плеч° равнодействующей относительно начала координат
хр Тогда по теореме о моменте равнодействующей
Х₽===2Л1Л, или qi.Xp=sLt
ОткУДа х ~~ //о q
Ну Хо р ~ И.значит, равнодействующая проходит через середи-
РДы. Теорема доказана.
78
Внешние н внутренние силы Метод сечений Эпюры внутренних J
Рис. 81
В качестве иллюстрациД
применения этой теоремы рас-
смотрим следующий пример. |
Найдем выражения для из!
гибающего момента, попереч!
ной и продольной сил в сечения)!
кругового криволинейного стер,
жня АС (рис. 81, а), загружен!
ного на части АВ равномерно'
распределенной нагрузкой (счич
таем заданными величины q, /Я
а и Р).
В этом примере криволиней-
ный стержень имеет два участ!
ка — АВ и ВС.
В произвольном сечении £)
на участке АВ (0 <р а) вы-
числяем усилия и моменты как
результат действия нагрузки,
приложенной к дуге ADt. Рав-{
недействующая этой нагрузки!
Pl=q-ADl—2qR sin
перпендикулярна к хорде /W]
и проходит через ее середину,
следовательно, направлена поя
биссектрисе угла AODt. По-
этому при О < <р < сс (для удоб-1,
ства вычисления N и Q равно-
действующая сила Pt показана
также и в текущем сечении Dil
=-Pt sin-J- = - 2qR X I
X sin2-|- = — qR(\ —cos <p);
Q(<p)==PiCos-|-= (3.10)
= 2g/?sin-^-cos-^-= <7/?sin<p;
M(<p) = P1--2-L = 2^/?2sin2 -%-=qR2(\ — cos <p).
Усилия и изгибающий момент в произвольном сечении £)2 участ!
ка ВС (сс^ф^Р) являются результатом действия всей распред6!
ленной нагрузки. Ее равнодействующая
P2 = q-AB=2qR sin
перпендикулярна к хорде АВ и направлена по биссектрисе yrJI4
АОВ. Поэтому при а^ср^р
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
79
эпюр для криволинейных стержней
Построен^----»----------------------.----
Таблица 4
' «г sin (f cos ip 1 - COS Ф Nfq> tjR
О 0 1,000 0,000 0,000 0.000 0,000
15 0.259 0,966 0,034 —0,034 0,259 0,034
30 0,500 0,866 0,134 -0,134 0,500 0,134
45 0,707 0,707 0,293 -0,293 0,707 0,293
60 0,866 0,500 0,500 -0,500 0,866 0,500
Таблица 5
4 4 30 tn (tf—30 cosfip — 50 Niif/qK Q <p /vR M4 /qR
60 30 0,500 0,866 -0,500 0,866 0,500
75 45 0,707 0,707 —0,707 0,707 0,707
90 60 0.866 0,500 —0,866 0,500 0,866
105 75 0,966 0,259 -0.966 0,259 0,966
120 90 1,000 0,000 -1.000 0.000 1,000
W)= - - P2 sin ( e 1 K>| Я — — 2qR sin ^-sin(
Q(<p)=P 2 COS ( ф -f) = = 2qR sin -cos( <p — YY (3.1
M(w)=P2-D2K = P2R sin(<p—= 2qR2 sin ^-sin(<p— |-) .
Задавшись величинами углов аир, вычислим значения Л/(<р),
Q(«p) и Л4(ср) при различных значениях <р и построим эпюры. Зна-
чения N (<р), Q (<р) и М (<р) при а = 60°, Р=120° приведены в табл. 4
и 5, а эпюры показаны на рис. 81, б.
§ 24. Дифференциальные зависимости
при изгибе плоских криволинейных стержней
Пусть на криволинейный стержень 1 действует произвольная
нагрузка (рис. 82). Проведя два бесконечно близких сечения под
Углами ф и q>-\-dq>, выделим произвольный элемент АВ так, чтобы
в его пределах не было сосредоточенных воздействий. Положи-
тельный угол <р откладываем, как обычно, против часовой стрел-
Ки- Длина дуги выделенного элемента равна ds, радиус кривизны —г,
Антральный угол, соответствующий дуге АВ, равен dtp.
си ° Сечениях, ограничивающих элемент, действуют продольные
лы Д/ и TV-pd/V, поперечные силы Q и Q-]-dQ, изгибающие мо-
q нть! Aj и (рис. 83), заменяющие действие отброшенных
стеи стержня.
0 3,|акаТ°^Ы из®ежать несущественных, но усложняющих рассуждения вопросов
Н|чеет тХ ИЗгибающих моментов, ограничимся случаем стержня, ось которого ле
очек перегиба.
80
Внешние и внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутренние
---------------------------:-------------------------------1
При выводе зависимостей для криволинейного стержня буде^
полагать, что изгибающий момент считается положительным, если
он вызывает сжатие внутренних волокон стержня (волокон, pacnol
ложенны'х на вогнутой стороне), а распределенная нагрузка подо-
жительна, если направлена к центру кривизны.
Рассмотрим условия равновесия элемента (рис. 83) сумма
проекций всех сил на оси АВ и ОК соответственно и сумму моме
тов сил относительно точки В:
£пр. «а ль =«?+dQ)sin +(7V +d2V)cos Q sin
— N cos ~~ =0;
2 Пр на ок =(<?cos f -(N 4-dN)sin Q cos
— N sin y*- —q-AB — 0; (3.121
2MB = -(Af4-dAf)+M + Q.BC4-Af.^C + <7 • AB ^ = 0.
Учитывая, что
su/f «-ft; cos A «I;
AB = ‘2r sin
ЛС=г(1 —cos d<p)«O; BC—r- sin dtpxrdtp,
и пренебрегая произведением дифференциалов, получаем:
Qdtp-j-cW=0;
dQ — Ndy —qrdq>=0;
— dM -|- Qrdq>=0.
Разделив каждое уравнение на dtp, имеем
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
фференииальНЬ,е зависимости при изгибе плоских криволинейных стержней
^ ==—Q;
ач
^S-=N + яг\
dq
^-=Qr.
d4>
81
(3.13)
(3-14)
(3.15)
Это и есть искомые дифференциальные зависимости при изгибе
криволинейного стержня. Поскольку rdtp=ds, их можно записать
еще и в таком виде:
dN
- *
ds г
ds 4 г
(3.16)
(3-17)
(3.18)
ds
Зависимости (3.13)— (3.15) позволяют проверять правиль-
ность составления выражений для Л/(<р), Ф(<р) и Л!(<р) при изгибе,
в частности, кругового криволинейного стержня. Так, нетрудно
убедиться, что выражения (3.9) — (3.11) в рассмотренных приме-
рах составлены правильно.
Из формул (3.13) и (3.15) следует, что в сечениях, где М и N
достигают экстремальных значений, Q=0. Это обстоятельство дает
возможность в известной степени контролировать правильность по-
строения эпюр (V, Q и Л4. Так, на эпюрах рис. 79, б в сечении Е,
где ф = 0, момент Л4 = Л1М[1Н, а усилие Л^ = Ммакс. Экстремальные
значения М и N можно найти следующим образом. Из второго
уравнения (3.9) видно, что <2 = 0, когда
sin ср—0,5 cos <р=0,
т- е., когда tg <р=0,5; <p = 26G34'; sin <р = 0,447; cos <р=0,894. Под-
^а®ив эти значения sin <р и cos <р в первое и третье уравнения
м5-9), найдем:
= (1 — 0,894 — 0,5 • 0,447)Р/? =—0,118PR;
N»««: = (0,894 + 0,5 • 0,447)Р =1,118Р.
на Завис«ть (3.14) дает возможность найти экстремальные точки
ri»pe Q. в тех сечениях, где Q = Q„,ahr или Q = QW„.I,
(3.19)
гщэ Сечение находится на участке стержня с распределенной на-
Н'ЗКои, или
^=0
(3.20V
82
Рис. 84
Внешние и внутренние силы. Метод сечении. Эпюры внутреини С|,
если сечение находится на участке
стержня без распределенной наг|>уз-
ки. Вследствие этого, на рис.' 7g
например, усилие Q нигде не достиг’
нет экстремальных значений (каса-
тельная к эпюре Q ни в какой точке не
будет параллельна касательной к оси
стержня в том же сечении), так как распределенной нагрузки нет, а
N нигде не равно нулю.
Заметим, что условия ф = 0, (3.19) и (3.20) необходимы, ио не
достаточны для достижения функциями /V (х), Q (х) и М (х) экстре-
мальных значений; при выполнении их экстремума может и не
быть, но тогда на соответствующей эпюре будет точка перегиба,
причем касательная к эпюре обязательно будет параллельна оси
стержня в этом сечении.
Эпюры N, Q и М для криволинейных стержней обладают сле-
дующими свойствами [часть их вытекает из определения N, Q и М.
остальные— из формул (3.13) — (3.15)]:
1) в концевой шарнирной опоре и на свободном конце конах
ли, если они не загружены внешними моментами, Л4 = 0;
2) в сечениях, где к стержню приложен сосредоточенный мо-
мент, на эпюре М будет скачок (рис. 84), причем касательные к
эпюре до скачка и за ним параллельны;
3) в сечениях, где к стержню приложены сосредоточенные силы,
нормальные к оси стержня (т. е. направленные по радиусу), на
эпюре Q будут скачки, а на эпюрах М и N — переломы (рис. 85).
4) в сечениях, где приложены сосредоточенные силы, направ-
ленные по касательной к оси стержня, на эпюре N будут скачки,
а на эпюрах Q и М — переломы (рис. 86);
5) в сечениях, где <2 = 0, на эпюрах М и N будут экстремумы,
т е касательные к эпюрам будут параллельны касательным к оси
стержня в этих сечениях (рис. 86);
Рис. 85
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими рукам!
ж пннпиальные зависимости при изгибе плоских криволинейных стержней
дифФ^Р—--------------------------------------------------------------
83
6) в сечениях, где N=0, на эпюре Q будут экстремумы (рис. 85);
7) на участках, где Q>0, М возрастает, a N убывает в направ-
лении отсчета <р; там же, где (?<0, М убывает, a N возрастает
(рис. 85 и 86);
u gj на участках, где /V>0, Q возрастает в направлении отсчета
а где 7V<0, Q убывает (рис. 85 и 86).
Ф»
Пример 10. Построить эпюры М, Q и N для стержня, показанного на
рис. 87, а.
1. Определяем опорные реакции:
£Ма= -Rb-4 - 30-1- 20-2-10-2(1 -cos 30°)=0; /?в = 1,8 кН;
£Мв = -20-2-30- 10-2(1 + cos 30°)+Ял-4 = 0; Rfi =26.8 кН;
£Л1с=-1.8-2—Яв-2 —30—10-2(1—sin 30°)-f-26,8-2=0; WB=5 кН.
Проверка:
2%=5—10 cos 60° = 5 — 5=0;
2 У= —1,8 + 20+10 cos 30° —26,8 = 28,7— 28,6 =0,1 кН.
Погрешность в 0,4 % получилась вследствие округлений.
2. Выбираем произвольные сечения:
Ki на участке AD (0^<р^30°);
Кг ча участке DC (30°Сч’<90°);
Кз на участке СВ (90°^180°, или 0^р^90°). Очевидно, на участке ВС
удобнее пользоваться углом р=180°— <р.
Записываем для этих сечений выражения М (<р), Q (<р) и /V (<р):
участок AD
М (<р)=26,8-2 (1 —cos <р)=53,6 (1 —cos <р);
<2 (<р)=26,8 sin <р; (3.21)
N (<;)—26,8 cos <р;
участок DC
М (<р)=26,8-2 (1 —cos ср)—10-2 [1 —cos (<р—cos 30°)];
Q (<р)=26,8 sin <р— 10 sin (q?—30°); (3.22)
N (т)=26,8 cos <р—10 cos (<р—30°);
84
Внешние и внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутренний
(3.2,'i)
(3.24)
участок ВС
М (Р)= 1.8-2 (1— cos p)+5-2sin ₽;
Q (Р)= — 1,8 sin Р—5 cos Р;
N (Р)= 1,8 cos Р —5 sin р,
или, поскольку Р=180° —ф, то cos р= —cos ф, a sin p=sin ф, и тогда
М (ф)=3,6 (1 +cos ф)+ 10 sin ф;
Q (ф)= —1.8 sin ф+5 cos ф;
(V (ф)= —1,8 cos ф—5 sin ф.
Выражения (3.24) приведены для того, чтобы можно было осуществил,
проверку, так как дифференцирование ведется по углу ф, который должен
отсчитываться против часовой стрелки. Для вычислений же удобнее форму.,ц
(3.23), так как угол р острый, а ф — тупой.
3. Подставляя выражения (3.21), (3.22) и (3.23) в формулы (3.13) —
(3 15), убеждаемся в их правильности. Например, для выражений (3.24)
~4~~^Ф 3,6 sin v+’Ocos ч>)=<?(<р);
= 1,8 sin ф—5 cos ф= — Q (ф);
dtp
^~= — ।cOS Ф—5 sin ф— Л' (ф).
4. Пользуясь формулами (3.21) — (3.23), составляем таблицы значсна
М, Q и N: табл. 6 — для участка AD, табл. 7 для DC, табл. 8 — для ВС
(3.25
Таблица 6
1 2 3 4 5 6 7 ]
sin ф COS (р 1 — COS (р М (<р) = = 53,6*[4] кН-м Q (<р) = =26,8-|2| А/ (Ч^те-i — 26.8«[Я| J
кН
0 15 30 0 0,259 0,500 1,000 0,966 0,866 0 0,034 0,134 0 1,8 7.2 0 6,9 13,4 26,8 25,9 23,2 I
Откладываем вычисленные ординаты на эпюрах М, N и Q (рис. 87, б). 1
5. По веерам отложенных ординат обнаруживаем, что Q обращается
нуль только в сечении А. Значит, только для этого сечения касательные
эпюрам М и N будут перпендикулярны к радиусу стержня.
На эпюре N кривая, мысленно проведенная через вершины ординат, Д0«
раза проходит через нуль — на участке DC и на участке ВС. Пользуясь формК
лами (3.22) и (3.23), находим угловые координаты этих точек:
на участке DC
26,8 cos <ро —10 cos (фо — 30°)=0;
26,8 cos фо—10 cos 30° cos фо— 10 sin 30" sin фо=О;
18,1 cos фо=5 sin фо;
1 Здесь и далее цифры в квадратных скобках, помещенные в голов*!
таблиц, указывают значение соответствующей графы.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт cboiimi
1льные зависимости при изгибе плоских криволинейных стержней
85
Таблица 7
” 1 2 3 4 5 6 7 8
——— <Г ф —30° sin <р COS ф sinX Х(<р-30°) cosX Х(<|-30") 1 — COS ф 1 —cosX Х(<Р-ЗО°)
30 0 0,500 0,866 0 1,000 0,134 0
45 15 0,707 0,707 0,259 0,966 0,293 0,034
60 30 0,866 0,500 0,500 0,866 0,500 0,134
75 45 0,966 0,259 0,707 0,707 0,741 0,293
90 60 1,000 0 0.866 0,500 1,000 0,500
1 9 10 II 12 13 14 15
Л4(ф)= W(<p) = |H -
53.6- 7] 20- F8J =|9|-[Ю] кН-м 26.8[3J —I045J кН 26,8 [4] — 10*[6] кН
30 7,2 0 7,2 13,4 13,4 23,2 13,2
45 15,7 0,7 15,0 18,9 16,3 18,9 9,2
60 26,8 2,7 24,1 23,2 18,2 13,4 4,7
75 39,7 5.9 33,8 25,9 18,8 6,9 -0.2
90 53,6 10 43,6 26,8 18,2 0 — 5
Таблица 8
1 2 3 4 5 6 7
₽- sin 0 cos 0 1 — cos 0 3,6-|4* М(₽)= =[2)+ 10.(5] кН-и -1.8-12]
0 0 1,000 0 0 0 0
15 0,259 0,966 0,034 0,1 2,7 —0,5
30 0,500 0,866 0,134 0,5 5,5 -0,9
45 0,707 0,707 0,293 1,1 8,2 — 1,3
60 0,866 0,500 0,500 1,8 10,5 -1,6
75 0,966 0,259 0,741 2,7 12,4 — 1,7
90 1,000 0 1.000 3,6 13,6 — 1,8
I 8 9 10 II 12
р -5-(3| <? (₽)=[?]+ +(8' кН -5-[2] W(₽)=]10]+ +(н|кН
0 — 5 —5 1.8 0 1,8
1 о ял -4,8 — 5,3 1.7 -1,3 0,4
’’0 /г — 4,3 — 5,2 1,6 -2.5 —0,9
-3,5 — 48 1,3 -3,5 —2,2
75 — 2,5 — 4,1 0,9 -4,3 —3,4
90 — 1,3 — 3,0 0.5 —4,8 -4,3
0 — 1,8 0 — 5,0 — 5,0
86
Внешние и внутренние силы Метод сечений. Эпюры внутренние
tg фо =-^^-=3.62; <ро = 74°35'; sin фо = 0,964,
5
значит,
Онаке = <2 (<ро) = 26,8 sin фо—10 sin (фо—30°)= 26,8-0,964—10 sin 44°35' =*
= 18,8 кН;
на участке ВС
1,8 cos рп —5 sin Ро=0; tg Ро = О,36; ₽о = 19°45';
sin Ро=0,338; cos Ро=0,941,
значит,
Онн,. = О(Ро)= —l,8sin Po—5cosp< = —(1,8-0,338 + 5-0,941) кН= —5,3 t)
6. Откладываем ординаты Омаке и Омип И проводим кривые Зав,
(рис. 87, б).
7. Анализируем эпюры с точки зрения общих свойств:
а) в шарнирах А и В момент Л1=0;
б) в сечении С приложен момент Л1 = 30 кН-м, и на эпюре получайь
скачок на эту величину;
в) в сеченни С приложена сила 20 кН, чему на эпюре 0 отвечает ска*
на эпюрах М и N — переломы; г
г) в сечении D приложена сила 10 кН, чему на эпюре М отвечает ска*
а на эпюре 0 — перелом; И
д) в сеченни А усилие 0 = 0. и касательные в этой точке к эпюрам Ми1
вертикальны (перпендикулярны к радиусу);
е) в сечениях ф=фо и Р = Ро усилие Л=0, и иа эпюре 0 в этих сечей*
есть экстремумы; И
ж) на участке АС усилие 0>0, М возрастает, a N убывает (если »
гаться вдоль стержня в направлении отсчета ф, т. е. из точки А против чао»
стрелки); на участке СВ усилие Q<0, М убывает, a N возрастает;
з) на участке Ос^ф^фо и О^р^Ро усилие /V>0 и Q возрастает,
участке между фо и Ро усилие N<ZO и 0 убывает;
и) значения 0 и N в сечениих А и В соответствуют величинам onofl
реакций. fl
Если стержень имеет прямолинейные и криволинейные участи*
то на прямолинейных участках эпюры строят так, как для бале*
или рам, а на криволинейных,— как было показано в предыдуД
примере.
§ 25. Построение эпюр внутренних усилий
для пространственных стержней
В конструкциях встречаются стержни, оси которых не ле1
в одной плоскости, а также и плоские системы, находящиеся 1
воздействием пространственной нагрузки. В поперечных сечен
таких систем могут действовать все шесть внутренних сиЛЧ
факторов: N, Qy, Q?, Мх, Му, Мг (см. рис. 40).
С методикой построения эпюр в этом случае познакомим^ I
примере стержня, ось которого представляет собой пространст!
ную ломаную линию (рис. 88). Условимся при переходе от
wnv.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
87
чпюр внутренних усилий дли пространственных стержней
-----------------------------------------
1Я системы к другому совмещать ось х с осью рассматривае-
те тержня, соответственно располагая положительные направ-
ляя осей у и z (рис. 88, а, б).
3 Эпюры изгибающих моментов по-прежнему будем строить на
жаТых волокнах, причем ориентировать их нужно так, чтобы
С оскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того изги-
хЛю1цег° момента, для которого она построена. Знак изгибающего
бЛмента вводится произвольно и притом только в случае необхо-
имости записать соответствующее уравнение (как для плоских рам
и криволинейных стержней). Для продольных сил и крутящих мо-
ментов сохраняются прежние правила знаков. Эпюры N и Л4кр могут
быть ориентированы как угодно, но ординаты всегда откладывают
по нормали к оси стержня. Поперечные силы в сечении считаем
положительными, если их направления совпадают с положитель-
ными направлениями осей у и г.
Построение начинаем с участка АВ. Для произвольного сечения,
находящегося на расстоянии х от точки В, определяем результат
действия сил, расположенных слева от сечения (т. е. силы Р и рав-
нодействующей распределенной нагрузки q):
N=0; Qy= q(l\—x)\ (?г= — P, ЛДР = О;
Мг — (сжаты нижние волокна);
Му—Р (h—х) (сжаты левые волокна).
В сечении В (при х = 0)
W=0; Qy=-q[,- Qz=-P- Мкр = 0;
Я=-^-; МУ=Р1,.
у
У
D
г
С
По этим данным строим эпюры для участка АВ (рис. 89). Пара
момента ЛД действует в вертикальной плоскости ху, в этой плоскости
и ориентируем параболи-
УескУ*о эпюру. Пара мо-
,е||га Му действует в гори-
зонтальной плоскости xz,
Тит°И ПЛОСкОСТИ и ориен-
РУ Л]М треУгольнУю эпю-
бС^еРех°Дим к участку
степи, Р°екиию на ось
пределе”^ ТОлько рас’
Чит дг__ная нагрузка, зна-
Уг,ЧасткёйЛ И эпюРа N ,,а
Легко с прямоугольна.
а что <?* = о,
н°, эпи-. с',елователь-
Уг^ьна Ра Qy прямо-
у 1
*
х
У
У
б
л
Рис. 88
а
88 Внешние и внутренние силы. Метоц сечений. Эпюры вну1реинЛ
Момент относительно оси стержня получается только от силь
причем к верхней стороне любого сечения он приложен против
совой стрелки (смотреть снизу вверх, т. е. против направления
х). В соответствии с принятым правилом знаков для крутящих
ментов на участке ВС
Мкр=—Р11,
и эпюра Мкр здесь прямоугольна.
Эпюры изгибающих моментов Му и Мг на участке ВС прянь
нейны, поскольку распределенной нагрузки на нем нет. Следи
тельно, достаточно вычислить значения изгибающих моментов в д
сечениях, например в В и С. В сечении В момент МЛ
так как и сила Р и равнодействующая распределенной нагру
проходят через ось z этого сечения. В сечении С
Мг=Р12.
Равнодействующая распределенной нагрузки момента Мг не д
и в этом сечении, так как пересекаем ось z сечения С. По этим I
ным строим треугольник эпюры Мг (рис. 89) на сжатых волок;!
располагая его в плоскости ху, в которой действует пара изгиб!
щего момента Мг.
Для изгибающего момента Му в сечениях В и С
My = qh-^=^.
Сила Р не дает момента относительно осей у в сечениях В К
так как она параллельна этим осям. Следовательно, эпюра М
участке ВС прямоугольна. На рис. 89 прямоугольник постр*
на сжатых волокнах и располагается в плоскости xz.
Осталось построить эпюры на участке CD. На ось х проецирЯ
ся только сила Р, причем она вызывает сжатие. Поэтому здес*
N=~P '
и эпюра продольных сил прямоугольна.
В произвольном сечении участка Qz = 0, a Qy——qh, с j|
вательно, эпюра Qy прямоугольна.
www.vokb-la.spb.i-u - Самолёт сво
оение эпюр внутренних усилий для пространственных стержней
89
Момент относительно оси х полу ается только от действия q
апаллельна оси х), причем, согласно принятому правилу знаков
я крутяшиХ моментов, этот момейт отрицателен:
2 2 •
а уу/к вновь получается прямоугольной.
Поскольку эпюры изгибающих моментов Му и Мг будут прямо-
щейными, вычислим их значения только в двух сечениях —
в‘с и D:
в сечении С
р.ВС = Рк (сжаты нижние волокна);
^/=.p.AB — Ph (сжаты левые волокна);
в сечении D
/И -P-BC+qh • CD = Pli-\- qlil^, (сжаты нижние волокна);
р\1=р.АВ = Р1\ (сжаты левые волокна).
По этим данным строим прямоугольную эпюру изгибающего момен-
та Му в горизонтальной плоскости и трапециевидную эпюру изги-
бающего момента М-г в вертикальной плоскости.
Пользуясь построенными эпюрами (рис. 89), можно в любом
сечении пространственного стержня найти величины и направления
изгибающего и крутящих моментов, продольной и поперечной сил.
В качестве иллюстрации показаны усилия и моменты в сечении D
(рис. 90).
Пример II. Построим эпюры для пространственно загруженного криво-
линейного стержня (рис. 91, а), расположенного в горизонтальной плоскости.
Сечения его (например, показанное на рисунке штриховой прямоугольное)
таковы, что одна из главных центральных осей у совпадает с направлением
радиуса, проведенного в центр тяжести (ц. т.) сечения, а вторая — г — верти-
кальна. Касательная к окружности дает для каждого сечения направление
оси стержня (оси х). Сила Р вертикальна, а внешний момент М приложен
в плоскости концевого сечения А.
В данном случае, чтобы построить эпюры, нужно ввести угловую коорди-
иату q, и записать выражения для усилий и моментов. При этом проще рас-
сматривать проекцию стержня на горизонтальную плоскость (рис. 91, б).
р z тогда совпадает с точкой С и отмечена точкой в кружочке, а сила
мо С Т°ЧКОЙ и отмече,|а крестиком в кружочке; приложенный внешний
мент представлен в виде вектора-момента.
ср ассмотрев результат действия приложенных к стержню сил в текущем
ччении С, получим:
*(4>)==£X=0; <?г(ч>)=Л <?,(<р)=0;
УИг(‘Г)=2Л1г=0.
УмножаИбающип момент M=MV и крутящий А1Кр=Л1л от силы Р вычисляем,
я / па соответствующие плечи: AD = R sin q> и AE=DC=R (1—cos <p).
Несем м Ы Вь1числить составляющие М и /Икр от действия момента МЛ, перв-
ая У и ь|слеино вектор МА в точку С (рис. 91, б). Проекции этого вектора на
Дадут соответственно составляющие изгибающего и крутящего момеи-
90
Внешние и внутренние силы Метод сечении Эпюры внутренние
тов в сечении С. Придерживаясь принятого правила знаков для Л1кр и с ц
М положительным, если он вызывает сжатие в нижиих волокнах стере
получим следующее:
М (<р)—Мц (<р)=/>7? sin <р4-Л?д sin w=(PR+Ma) sin <р;
Мр(<р)=М< (<р)= — PR(l —cos <р)4-Л4л cos q=(PR + Мл)cos q> — PR.
При P=2000 H, Afz = 200 H-м, R =0,3 м
Al (<p)=800 sin <p H-m;
Л/Кр (<p)=(800 cos <p— 600) H-m.
Составляем таблицу (табл. 9) и по полученным данным строим эпюр
и МР (рис. 92).
Иногда эпюры для пространственно загруженных криволинейных стер)
строят не на проекции стержня, как это сделано па рис, 92, а в черепе*
(рис. 93).
Таблица 9
1 Ч>° 0 15 30 45 60 75 I
2 sin <р 0 0.259 0,500 0,707 0,866 0,966
3 COS (J) 1 0,966 0,866 0.707 0,500 0.259
4 800-[3] 800 773 693 566 400 207
5 AlKp= =[4| —600 200 173 93 -34 — 200 -393
6 м= = 800- 2] 0 207 400 566 693 773 । —-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими р
цкенвя
в сечении
91
§ 26- Напряжения в сечении
Как Уже говорилось (§ 14), в сечениях нагруженною стержня
Йствуют непрерывно распределенные по сечению внутренние уси-
Де приводя их к центру^ тяжести сечения, получаем главный век-
лИ р и главный момент М, проекции которых на главные централь-
Т°.е оси сечения у, z и ось стержня х дают величины N, Qy, Ог,
у Мг. Мкр, называемые усилиями и моментами в сечении. На
ис 94, а показаны распределенные по левой стороне сечения
сипия, являющиеся результатом действия правой части стержня
Гизображена_штриховой) на левую, их главный вектор R и глав-
ный момент М. Вектор R представляет собой некоторую сумму уси-
лий, распределенных по всей площади сечения.
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади dF (рис. 94, б).
В силу малости элемента можно считать, что внутренние усилия,
приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и
направлению. Тогда равнодействующая их dR будет проходить
через центр тяжести элемента dF, координаты которого равны у и г.
Следовательно, приводя эти усилия к центру тяжести элемента dF,
получим главный вектор dR и главный момент, равный нулю.
Проекциями dR на оси х, у, z будут элементарная продольная
сила dN и элементарные поперечные силы dQy и dQ>. Поскольку,
как было сказано, усилия на элементе можно считать распреде-
ленными равномерно, то, разделив величины dN, dQy и dQz на пло-
щадь dF, получим величины продольных и поперечных сил, при-
ходящихся на единицу площади:
dN . _ . т dQ,
dF ' v dF ’ z dF ’
(3.26)
<*ги величины называют напряжениями в точке у, z проведенного
сечения стержня, причем
иормальное напряже-
т~~касательное напря-
жение.
измеряют в единицах напря-
ения — паскалях (Па) и крат-
1Х ему — (Кпа, МПа).
ем н аким образом, напряжени-
отнесЗЬ1Вается внутренняя сила,
вданеНВая к единице площади
го РОН0и Точке рассматриваемо-
pj Ния-
НапРяжГДа кРоме нормальных
ть,тгСенив о и касательных
н°е и!,ассматРивают еще и пол-
апРяжение
92
Внешние и внутренние силы. .Метод сечений. Эпюры внутренних
(3.27,
__dR
P dF
т. е. величину полного усилия, приходящегося на единицу площадв
Очевидно,
В общем случае нагружения тела напряжения различны в ра,
ных точках сечения (как принято говорить, напряжения распа
делены по сечению неравномерно), но встречается также и р-с
номерное распределение напряжений.
Понятие «напряжение» играет очень важную роль в расчет,,
на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивлеь|
материалов отводится изучению способов вычисления напряжет-!,,
и и т.
Нетрудно установить общие зависимости между о и т с одц.,ц
СТОРОНЫ И Л7, Qy, Qz, Му, Мг И Л1кр — С ДРУГОЙ. ИСХОДЯ ИЗ ОП|.
делений для усилий и моментов (§ 14) и учитывая формулы (3.2т .
имеем:
\dN = \ udF; F F (3.29)
Qy— j dQy= j TydF\ (3.3#)
F F
j dQz= J ^?dF\ (3.3!)
F F
му= J zdN— J czdF\ (3.3.')
F F
Мг = yd N= $ <jydF\ (3.3SI
F F
Л4Кр = = j (ydQz—zdQy)= J {yiz — ZTy) dF= J ptdF. (3341
F F F
В последнем выражении т представляет собой полное касатя
ное напряжение в точке рассматриваемой площади:
dQ ~y/aQl + ‘lQ*._I 2 . 2
т — dF~ dF +
a p — расстояние от центра тяжести сечения до линии действия <
(рис. 94, в).
Полученные выражения (3.29) — (3.34), устанавливающиесВ
между напряжениями и внутренними усилиями, будем наз^Н
статическими уравнениями или интегральными уравнениями "
новесия. И
Хотя величины компонентов внутренних сил в любом сеЧ ,
стержня обычно легко определить, например из эпюр, однако^
практических расчетов полученные зависимости непосредстВЧ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
93
пяження в ссчеиии
ль3овать нельзя, так как закон распределения напряжений по
^чению не известен. Следовательно, задача вычисления напряже-
ce.j всегда статически неопределима. Например, зная величину
"'гибаюшего момента Му в сечении, нельзя иайти нормальные на-
11 пЯжения из формул (3.32). Все же, если, пользуясь теми или иными
оображениями, удается установить закон распределения а или т
во сечению, то по формулам (3.29) — (3.34) можно найти и сами
веЛИчины напряжений.
Выводить формулы для напряжений в стержнях будем всегда
по такой схеме:
]. Рассматриваем статическую сторону поставленной задачи,
т е. записываем те из уравнений (3.29) — (3.34), которые нужны
ддя вывода.
2. Рассматриваем геометрическую сторону задачи: на основе
опытного изучения данного вида деформации стержня и определен-
ных гипотез (в частности, гипотезы плоских сечений) устанавливаем
зависимости между перемещениями точек стержня и их положе-
нием в сечении относительно принятой системы координат. Эти
зависимости называют геометрическими уравнениями.
3. Рассматриваем физическую сторону: базируясь на экспери-
ментальном исследовании физических свойств материала, опреде-
ляем зависимость между напряжениями и деформациями (или пе-
ремещениями). Эти зависимости называют физическими уравне-
ниями.
4. Проводим синтез, т. е. совместное решение уравнений, полу-
ченных в п. 1—3, и путем исключения деформаций (или переме-
щений) получаем формулы, выражающие напряжения через усилия
или моменты в сечении.
Глава 4
Растяжение и сжатие.
Механические характеристики материалов
§ 27. Напряжения и деформации
рРи растяжении и сжатии.
асчет на прочность и жесткость
Шиуастяжение или сжатие стержня вызывается силами, действую-
Из ПИ Вдоль его оси. В этом случае в поперечных сечениях стержня
пр0,.СсГи внутренних силовых факторов возникает только один —
«я и Льная (осевая) сила N. Простейший случай растяжения стерж-
в сеЧрГ110Ра продольных сил показаны на рис. 95, а, б. Осевая сила
ТочСк 11ии является равнодействующей возникающих в каждой из
Сечения нормальных напряжений. Отсутствие поперечных
8 Ке^аст основание предположить, что касательные напряжения
Дой точке поперечного сечения равны нулю.
94
Растяжение и сжатие. Механические характеристики матерИа
Выведем формулу для определения нормальных напряжецц|
При решении этой задачи будем придерживаться указанной в §
поел ед овател ьн ости.
Рассечем стержень произвольным поперечным сенением п f
(рис. 95, в). Статическая сторона задачи выражается уже известцщ
уравнением (3.29):
)V= J odF. (4.1|
F '
Из уравнения (4.1) нельзя определить величину о, так как закон
распределения последних в точках поперечного сечения не |
вестей.
Рассмотрим геометрическую сторону задачи. При наблюден!
деформации растяжения стержня, на поверхности которого нане-
сены линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 95, а), мод(ц
отметить, что эти линии, смещаясь параллельно самим себе, остак г.
ся прямыми и перпендикулярными к оси бруса. Предполагая, ч'с
указанная картина перемещения сечений имеет место и внуц«
стержня, приходим к гипотезе плоских сечений: поперечные
ния стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и
нее, перемещаясь поступательно вдоль оси стержня. Разобьем
перь стержень на продольные (параллельные оси стержня) элементы
бесконечно малых поперечных сечений и будем в дальнейшем назы-
вать их волокнами. На основании гипотезы плоских сечений следит
заключить, что все волокна удлиняются на одну и ту же величию
и их относительные удлинения в одинаковы:
e=-y-=const. (Ав
Это аналитическое выражение геометрической стороны задачи.
Физическая сторона рассматриваемой задачи заключается в
установлении зависимости деформаций от напряжений. При упри11'
деформациях эта зависимость линейна и, как известно, называя
законом Гука:
Е=-^г, или а = £е , (В
Е L__________j
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый моДЯ
продольной упругости, модулем упругости первого рода или I
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
жеиия и деформации при растяжении и сжатии
95
Юнг Томас (1773 1829), член Лондонского Королевского
общества. Известен широким диапазоном исследований
в различных областях науки и техники. При исследовании
растяжения и сжатия впервые ввел понятие модуля упру
гости. Основоположник изучения напряжений, вызванных
ударом. Дал решение задачи о растяжении или сжатии
прямоугольного бруса.
дулем Юнга. Модуль упругости — это одна из физических констант
материала. Измеряется модуль упругости в единицах напряжения.
Учитывая постоянство модуля упругости Е для однородного
и изотропного материала, а также выражения (4.2) и (4.3), находим,
что
о = £е = const. (4-4)
Подставляя выражение (4.4) в формулу (4.1), получаем
N— J EvdF = Ес. J dF=EzF—qF, (4.5)
F F
откуда
(4.6)
Знак напряжения зависит от знака продольной силы в рассматри-
ваемом сечении. В случае сжатия напряжения считают отрицатель-
ными.
Отметим, что формула (4.6) справедлива лишь для сечений, до-
статочно удаленных от мест приложения сосредоточенных нагру-
3°к. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений но-
Ctrr сложный характер и требует более точных методов исследования.
Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других
видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории
н Ругостн широко пользуются следующим весьма важным положе-
Жает’ НОСЯ1Иим название принципа Сен-Венана: если тело нагру-
у к я статически эквивалентными системами сил, т. е. такими,
разм(^Ь1Х глав,,Ь1Й вектоР и главный момент одинаковы, и при этом
МеРам^Ы o^JiaCTH приложения нагрузок невелики по сравнению с раз-
«ия ( (|! Тела- то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложе-
Те°рет П НапРяжения мало зависят от способа нагружения. Общего
с°РаведЧе Кого доказательства принцип Сен-Венана не имеет, но его
Н Эксг1еп Вость подтверждается многочисленными теоретическими
С‘1сДУЮ|> Менгальными исследованиями. Поясним этот принцип на
Щем примере.
96
Растяжение и сжатие. Механические характеристики матери-
Барре де Сен Бенин (1797 1886), член Парижской
демин наук, один из создателей современной те.
упругости Разработал точную теорию кручения и изгц^
призматических стержней произвольного поперечь
сечения Известен также работами в области пдаг-,
чески\ деформаций, теории колебаний. Сформулнро^
принцип, существенно упрощающий постановку за^
теории упругости и сопротивления материалов.
Один и тот же стержень, закрепленный верхним концом (рис. 9fi
нагружается на свободном конце статически эквивалентными н.
грузками, равнодействующие которых выражаются величиной ве.
тора Р. Нагрхзки приложены различными способами: а—в вщ<>
сосредоточенной осевой силы; б — в виде двух сил; в — в вг>.
распределенной нагрузки. Исследования показывают, что во в .;ч
случаях в поперечном сечении, удаленном на расстояние, прен
тающее в 1,5—2 раза его поперечные размеры, напряжения npj-
тически одинаковы. В сечениях же, расположенных близко от ме а
приложения сил, величина напряжений и характер их распредели
ния различны.
Перейдем к определению деформаций стержня. Из выражен и
4.5) можно найти относительное удлинение:
/V
(4.71
В пределах призматического участка стержня длиной /, выпои
пенного из однородного материала (£ —const), в сечениях которой
действуют одинаковые продольные силы N, удлинение каждой ert
ницы длины одинаково и, следовательно, абсолютное удлинение
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
97
.««ня н деформации при растяжении и сжатии
Нагр^2______________-_________________
ЛоРмула (4-8) выражает закон Гука для абсолютных удлинений.
ппОцзведение EF в знаменателе формулы называется жесткостью
^^еречноео сечения стержня при растяжении и сжатии и имеет
размерность силы Величину c—EF/l называют жесткостью
стер^н я-
Если на рассматриваемом участке продольная сила и поперечное
сечение переменны (рис. 97, а — в), то для элемента бесконечно
малой длины dx (рис. 97, г) на основании формулы (4.8) можно за-
писать
Д' (х) dx
\(dx)— EF,X^
Полное удлинение участка длиной / получим, суммируя удли-
нения всех бесконечно малых участков:
С A' (х) dx
J EF(x>
о___________.
(4.9)
(4.Ю)
Заметим, что перемещение некоторого сечения относительно
другого равно продольной деформации участка стержня, заклю-
ченного между рассматриваемыми сечениями, и обозначается бук-
вой Z.
Растяжение и сжатие сопровождаются изменением поперечных
размеров стержня (рис. 98). При растяжении они уменьшаются,
а при сжатии — увеличиваются.
По аналогии с продольной деформацией разность соответствую-
щих поперечных размеров после деформации и до нее назовем
абсолютной поперечной деформацией:
\а = а ~а;
При растяжении поперечные деформации отрицательны, а при сжа-
ТИи положительны.
Разделив абсолютную поперечную деформацию на соответствую-
щей первоначальный размер, получим относительную поперечную
^формацию, обозначаемую е'. Относительная поперечная деформа-
°ДинДЛЯ ИзотРопных материалов по всем поперечным направлениям
-----М________________________________________________.. ,
а_____________________________________________________*- (4-И)
пр^].е>КдУ поперечной и продольной относительными деформациями
ГуКа Ргс’гом растяжении и сжатии в пределах применимости закона
°тнои Умствует постоянное отношение. Абсолютная величина этого
бУкво“С|1Ия "оснт название коэффициента Пуассона и обозначается
4 5-372
98 Растяжение и сжатие Механические характеристики матери,
Ц~|т|' <4’2)
Коэффициент Пуассона—без
размерная величина.
Учитывая, что продольна
и поперечная деформации всегда имеют противоположные знаки
получаем
с'=—це, (4.13)
или, согласно формуле (4.3),
е'=— - (4.14)
При сжатии напряжение в формулу (4.14) следует подставлять ,
знаком «минус».
Коэффициент Пуассона р наряду с модулем упругости Е харад
теризует упругие свойства материала. Для всех изотропных матерь;
лов значения коэффициента Пуассона лежат в пределах О—О..[.
В частности, для пробки р. близок к нулю, для каучука — к 0'
для стали цй?0,3. Значения модулей упругости Е и коэффициентов
р. для некоторых материалов приведены в нрил. 9.
§ 28. Условие прочности и жесткости.
Виды расчетов
Основная задача сопротивления материалов — обеспечить на-
дежные размеры деталей, подверженных тому или иному силовою
температурному или другому воздействию. Такие размеры можЛ
определить из расчета на прочность и жесткость. В большинс!
случаев основным бывает расчет на прочность.
Рассмотрим условия прочности и жесткости для случаев пр
стого растяжения и сжатия.
Отметим прежде всего, что опасность наступления разрушена
характеризуется не столько величинами внутренних усилий и
ментов в сечении, сколько величинами наибольших нормальиЯ
и касательных напряжений, а также их комбинацией, которые Д*'
ствуют в опасных (т. е. наиболее напряженных) точках сеченг*
Физически очевидно, что сколь угодно большие напряжения №
риал выдерживать не в состоянии. Поэтому величины наиболыД*
напряжений из условия надежности работы детали необхоДИ
ограничивать некоторыми допустимыми значениями. Их назывв
допускаемыми напряжениями. При растяжении и сжатии допусК .
мые напряжения обозначают соответственно [о+] и [о-]» Ц
сдвиге — (т]'. 1
1 Некоторые соображения о выборе допускаемых напряжений будут даны в
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукал
99
Гл не прочности и жесткости Виды расчетов
Если известны допускаемые напряжения и есть формулы, вы-
аюшие напряжения через усилия и моменты в сечении, то в
РаинЦипе рассчитать на прочность можно любую деталь.
ПР £ случае растяжения или сжатия стержня находят опасные
пения, в которых напряжения достигают наибольших значений
по абсолютной величине, и для этих сечений записывают условие
прочности.
I УУмакс
F
(4.15)
Омаке
При растяжении в правую часть этого условия подставляют до-
пускаемое напряжение на растяжение [о+], а при сжатии — до-
пускаемое напряжение на сжатие [<т _].
Используя условие прочности (4.15), можно решать три типа
задач:
1) по известным нагрузкам для выбранного материала найти
надежные с точки зрения прочности размеры поперечного сечения
стержня (проектировочный расчет);
2) по известным размерам и материалу детали проверить, мо-
жет ли она выдержать заданную нагрузку (проверочный расчет);
3) по известным размерам детали, материалу и схеме загруже-
ния определить допустимую величину нагрузки.
В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин
и сооружений размеры их деталей нужно выбирать так, чтобы обес-
печивалось условие жесткости. При растяжении (сжатии) условие
жесткости имеет следующий вид:
д/=2 (4^ [д/]
J EF (х) 1 1
где Л/ — изменение размеров детали;
[Д/| — допускаемая величина этого изменения.
Напомним, что расчет по условию жесткости всегда следует
Дополнять расчетом на прочность. Если условие жесткости выпол-
иено, а условие прочности не удовлетворяется, то задачу необхо-
димо решать из условия прочности.
Аналогично ведут расчет на прочность и жесткость при других
дах простых деформаций стержня. Соображения о расчете на
н чпость при сложных напряженных
(4.16)
состояниях изложены в гл. 7.
§ Испытание материалов на
УстойРИ пР°ектировйнии и расчетах
^'^ОСТЬ а Пая<О1Гтг\П
-..........
Писания
,ел1Ых
растяжение
4»
на прочность, жесткость и
3 °сть элементов механизмов, машин и сооружений необхо-
Ст1ать свойства материалов. Поэтому материалы испытывают
- ”^ение> сжатие, сдвиг, кручение, изгиб и твердость. Подроб-
а,’::л всех видов механических испытаний, а также приме-
прн этом машин и приборов приведены в специальных
100
Растяжение н сжатие Механические характеристики матери;
курсах и руководствах к лабораторным работам по сопротивлению
материалов (см., например, [1]). Ограничимся лишь кратким опи-
санием некоторых распространенных видов механических испита
ний и получаемых при этом результатов.
Одним из основных видов испытаний материалов является испы-
тание на растяжение, так как при этом обнаруживаются наиболее
важные их свойства. Из испытуемого материала изготовляют спе-
циальные образцы. Чаще всего их делают цилиндрическими
(рис. 99, а); из листового металла обычно изготовляют плоек*
образцы (рис. 99, б).
В цилиндрических образцах должно быть выдержано соотноше-
ние между расчетной длиной образца /о и диаметром do- у длинны!
образцов /0= 10do, у коротких l0=5d0. Эти соотношения мож»?
выразить в несколько иной форме. Учитывая, что
</°= = ЫЗл^о.
где Fq — площадь поперечного сечения образца, получаем
для длинного образца
l0=ll,3^F~0;
(4.П)
для короткого образца
/о = 5,65л/Го- (4JS|
Чтобы соблюсти подобие при испытаниях, эти соотношения нуй^
выдерживать и для плоских образцов.
В качестве основных применяют образцы с диаметром d0= J
при этом рабочая длина /о=Ю0 мм. Допускается примени Я
образцов и других диаметров при условии, что рабочая длина
/0= 1О<7о или /o=5do- Такие образцы называются пропоШ
нальными.
Диаграммы растяжения. Для испытаний на растяжение ПР'
няют разрывные машины, позволяющие в процессе испытания
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
101
ьатание материалов на растяжение
„пять усилия и соответствующие им деформации образца. По
д ' м данным строят первичную диаграмму растяжения, в которой
по оси ординат откладывают усилия, а по оси абсцисс — соответ-
ствуют116 им удлинения. Диаграмма растяжения может быть полу-
чена и автоматически при помощи специальных диаграммных аппа-
ратов. Характер диаграммы растяжения зависит от свойств испы-
туемого материала. Типичный вид такой диаграммы для малоугле-
родистой стали изображен на рис. 100
Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а
также соответствующие им стадии деформирования образца.
От начала нагружения до определенного значения растягиваю-
щей силы имеет место прямая пропорциональная зависимость меж-
ду удлинением образца и силой. Эта зависимость на диаграмме вы-
ражается прямой ОА- На этой стадии растяжения справедлив
закон Гука.
Обозначим силу, при которой закон пропорциональности пре-
кращает свое действие, через Рпц. Этому значению силы на диа-
грамме соответствует точка А. Напряжение, вызванное силой Pnii,
называется пределом пропорциональности и вычисляется по формуле
„ р>
°™- Го ’
Таким образом, пределом пропорциональности называется на-
пряжение, после которого нарушается закон Гука.
Как уже указывалось, деформация называется упругой, если она
полностью исчезает после разгрузки. Допустим, что постепенно по-
вышая нагрузку Р, будем при каждом ее значении проводить пол-
ную разгрузку образца. Пока сила Р не достигнет определенной
величины, вызванные ею деформации будут исчезать при разгрузке.
Процесс разгружения при этом изобразится той же линией, что и
нагружение.
Обозначим через РуП наибольшее значение силы, при котором
образец еще не дает при разгрузке остаточной деформации. Этому
значению на диаграмме соответствует точка В, а упругой стадии
Растяжения образца — участок диаграммы ОВ
Наибольшее напряжение, до которого остаточная деформация
Ри разгрузке не обнаруживается, называется пределом упругости.
напряжение вызывается силой Руп и определяется по формуле
(4-19)
(4.20)
Зак0 Редел упругости является характеристикой, не связанной с
точКиГука- Точка В может располагаться как выше, так н ниже
бдИз Эти точки, а следовательно и значения напряжений опц и оуп,
PI и Друг к другу и обычно различием между ними пренебрегают.
Растя^Ле точки -4 при дальнейшем растяжении образца кривая
Точки с™ становится криволинейной и плавно поднимается до
где наблюдается переход к горизонтальному участку CD,
102
Растяжение и сжатие Механические характеристики материалJ
называемому площадкой текучести. На этой стадии растяжения удл J
нение образца растет при постоянном значении растягивающей силы
обозначаемой через Рт. Такой процесс деформации, называемый
текучестью материала, сопровождается остаточным (пластическим)
удлинением, не исчезающим после разгрузки.
Таким образом, пределом текучести от называется наименьшее
напряжение, при котором деформация образца происходит при
постоянном растягивающем усилии. Величина предела текучести
вычисляется по формуле
G'=~W- (4-21)
Начало пластической деформации соответствует наступлению
некоторого критического состояния металла, которое можно об-
наружить не только по остаточным деформациям, но и по другим
признакам. При пластической деформации повышается температура
образца; у стали изменяются электропроводность и магнитные свой-
ства; на полированной поверхности образцов, особенно плоских,
заметно потускнение, являющееся результатом появления густой
сетки линий, носящих название линий Чернова (линий Людерса).
Последние наклонены к оси образца приблизительно под углом
45° (рис. 101, а) и представляют собой микроскопические неров-
ности, возникающие вследствие сдвигов в тех плоскостях кристал-
лов, где действуют наибольшие касательные напряжения. В резуль-
тате сдвигов по наклонным плоскостям образец получает остаточные
деформации. Механизм образования их упрощенно показан на
рис. 101, б.
После стадии текучести материал вновь приобретает способность
увеличивать сопротивление дальнейшей деформации и восприни-
мает возрастающее до некоторого предела усилие. Этому отвечает
восходящий участок DE (рис. 100) кривой растяжения, называемый
участком упрочнения. Точка Е соответствует наибольшему усилию
Рмакс которое может воспринимать образец.
Напряжение, соответствующее максимальной силе P„aKC, назы-
вается временным сопротивлением ов или пределом прочности оп-
Его вычисляют по формуле
(4.22)
До этого момента удлинения распределялись равномерно по всей
длине /о образца, площади поперечных сечений расчетной части
образца изменялись незначительно и также равномерно по длине
Поэтому для вычисления о1Щ, оуп, от и ов в расчетные форму-пь'
вводилось первоначальное значение площади Ео-
После достижения усилия Рмакс при дальнейшем растяжени^
образца деформация происходит, главным образом, на небольшой
длине образца. Это ведет к образованию местного сужения в виД
шейки (рис. 102) и к падению силы Р, несмотря на то что напРйл
жение в сечении шейки непрерывно растет. Падение растягиваю^
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам!
103
утаиие материалов на растяжение
Ь1 Р наблюдается лишь при испытании
САСазна в машине, ограничивающей скорость
нарастания деформации. При нагружении
путем подвешивания грузов разрушение
произойдет при постоянной нагрузке, но со
в~е возрастающей скоростью деформации.
Обозначив через Рк величину растягиваю-
щей силы в момент разрыва, получим
Рис. 101
Ок" Fo
Рк
(4-23)
Определяемое таким образом напряжение
при разрыве образца весьма условно и не
может быть использовано в качестве харак-
теристики механических свойств стали. Ус-
ловность состоит в том, что получено оно
делением силы в момент разрыва на перво-
начальную площадь поперечного сечения
образца, а не на действительную его площадь
при разрыве, которая значительно меньше
начальной вследствие образования шейки.
Основными характеристиками упругости
и прочности материа-
лов, используемыми в практических расчетах, являются предел
упругости Оуп, предел текучести от и временное сопротивление (пре-
дел прочности) ов (опч) - Для малоуглеродистой стали, имеющей
площадку текучести, например для стали Ст2, эти характеристики
следующие: оуп = 200 МПа, от = 2204-260 МПа, ов=340ч-420 МПа.
Для металлов, не имеющих площадки текучести, предел теку-
чести определяют условно как напряжение, при котором остаточная
Деформация составляет величину, установленную ГОСТом или тех-
ническими условиями. По ГОСТ 1497—84 величина остаточной де-
формации составляет 0,2 % от измеряемой длины образца. Условные
пределы текучести отмечают нижним индексом в соответствии с за-
данной величиной деформации, например: о0.2.
Учитывая, что практически трудно установить начало отклоне-
ния от закона пропорциональности и начало появления первых
остаточных деформаций, вводят также понятия условных предела
пропорциональности и предела упругости.
Условным пределом пропорциональности называют наименьшее
Дпряжение, при котором отклонение от линейной зависимости
еЖду напряжением и деформацией достигает некоторой величины,
Устанавливаемой техническими условиями (например 0,002 % от
измеряемой длины образца).
«н *СЛовным пределом упругости называют наименьшее напряже-
ли ’ ПРИ КОТОРОМ остаточная деформация достигает заданной ве-
Егс)ИНЫ ^°^ычно 0.001—0,05 % от измеряемой длины образца).
Ной Отмечают нижним индексом в соответствии с заданной величи-
°статочной деформации (например, cio.ooi и оооб)-
104
Растяжение н сжатие Механические характеристики материалов
Рис. 102
Важнейшие механические характеристики некоторых широко
применяемых материалов приведены в прил. 2—8.
Разгрузка и повторное нагружение. Как уже было сказано, если
при усилии растяжения, вызывающем напряжение не выше пре-
дела упругости, прекратить нагружение, а затем разгружать обра-
зец, то процесс разгрузки изобразится на диаграмме линией, прак-
тически совпадающей с линией нагрузки. После окончательной
разгрузки образца его удлинение полностью исчезнет. Повторное
нагружение на диаграмме пойдет по той же линии ОВ, полученной
при первом нагружении образца.
Иначе будет, если к началу разгрузки напряжение в образце
превышает предел упругости. Произведя разгрузку, например, после
достижения силой значения, изображаемого ординатой точки М
(рис. 100), заметим, что процесс разгрузки на диаграмме описы-
вается уже не кривой, совпадающей с кривой OABCDM нагружения,
а прямой MN, параллельной прямолинейному участку ОА диаграм-
мы. Удлинение А/', полученное образцом до начала разгружения,
при разгрузке полностью не исчезнет. Исчезнувшая часть удлинения
на диаграмме изобразится отрезком А/уГ„ а оставшаяся отрезком
А/6- Следовательно, полное удлинение образца за пределом упру-
гости состоит из двух частей — упругой и пластической:
А/' = А/(ц А/6.
Так будет вплоть до разрыва образца. После разрыва упругая
составляющая полного удлинения в обеих частях образца (отрезок
А/уп) исчезает. Оставшееся удлинение изображается отрезком А/о.
Будем вновь нагружать образец, который был растянут силой,
вызвавшей в нем напряжение выше предела текучести, а затем
разгружен. При этом окажется, что линия повторного нагружения
почти совпадает на диаграмме с линией разгрузки MN. Предел
пропорциональности повысится и станет приблизительно равным
тому напряжению, до которого первоначально был растянут обра-
зец. При дальнейшем увеличении растягивающей силы кривая диа-
граммы совпадет с MEF. Часть диаграммы, расположенная левее
линии NM, окажется отсеченной, т. е. начало координат переместит-
ся в точку N. Остаточное удлинение после разрыва будет меньше,
чем в образце, не подвергавшемся предварительной пластической
деформации.
Таким образом, предварительная вытяжка за предел текучести
изменяет некоторые механические свойства стали — повышает пре-
дел пропорциональности и уменьшает остаточное удлинение после
разрыва, т. е. делает ее более хрупкой. Изменение свойств материи*
ла в результате деформации за пределом текучести называется я0’
клепом. В некоторых случаях явление наклепа нежелательно и еГ°
www.vokb-la.spb.ru -
Испытание материалов на растяжение J05
__—----- ' ~—————————————— -
стремятся устранить, в других же, наоборот, наклеп полезен и его
создают искусственно.
Относительное удлинение и сужение после разрыва. Полное
удлинение, полученное образцом перед разрушением, уменьшится
после разрыва, так как в частях образца исчезнут упругие дефор-
мации. Относительным удлинением после разрыва б называют отно-
шение в процентах приращения расчетной длины образца после
разрыва к его первоначальной длине:
6=-^-- ЮО %. (4.24)
/о
Относительное удлинение после разрыва характеризует пластич-
ность материала. В зависимости от величины этого удлинения ма-
териалы делят на пластичные и хрупкие. Для первых можно услов-
но принять 6>5 %, а для вторых — 6<5 %. К пластичным ма-
териалам относят малоуглеродистую сталь, медь, свинец и другие,
а к хрупким — закаленную сталь, чугун, стекло, камень, бетон и др.
Например, для углеродистой стали марки Ст2 относительное удли-
нение после разрыва 6«31 %.
Относительное сужение образца после разрыва Ф определяется
делением абсолютного уменьшения площади поперечного сечения
в шейке на первоначальную площадь и выражается в процентах
от начальной площади поперечного сечения:
‘И=-ф^-100 %.
Л)
(4.25)
Чем больше относительное сужение после разрыва, тем пластичнее
материал. Например, для мягкой углеродистой стали марки Ст2
4^ = 554-65 %.
Относительное удлинение 6 и относительное сужение V являются
характеристиками пластичности материала. Они в определенной
степени условны, так как приращение длины, в формуле (4.24) и
уменьшение площади поперечного сечения образца в выражении
(4.25) относят к первоначальной длине и первоначальной площади
поперечного сечения. В действительности пластическая деформа-
ция развивается на непрерывно изменяющейся длине образца. Обо-
значая через dl приращение длины I образца в данный момент ис-
пытания, находим так называемое истинное относительное удли-
нение:
е
(4-26)
ПАесь 'о и /,
1 Скольку
соответственно начальная и конечная длины образца.
Аа=/о + Д/ и 6=-^-,
1о
106 Растяжение и сжатие. Механические характеристики материалов
ТО
е=1п /с+—=1п(1+б).
*0
Разлагая правую часть этой формулы в ряд по степеням б, получим
е^1Г1(1+б)=б-4+4----------- ]
Как видим, при малых значениях б условная и истинная деформа-
ции практически совпадают. Так, уже при 6=10 % истинное удли-
нение е=9,95 %.
Аналогично можно определить истинное поперечное сужение:
Е.
ф=— ( -^L=]ri _2<_=1п 0°—=1п !—. (4-271
J F Fk Fb-&F 1-V V >
F„
Как показывают опыты, при пластической деформации объем тела
не изменяется:
F о(о = А к/к>
или
/- _ FB
/о А '
Отсюда следует, что Ф = е.
Работа деформации. Кроме названных уже характеристик ме-
ханических свойств материала диаграмма растяжения дает возмож-
ность определить еще и энергетические его характеристики.
Величина площади диаграммы растяжения в координатах Р — А/
характеризует работу, затраченную на разрыв образца. Это можно
показать следующим образом.
Пусть некоторой растягивающей силе Р соответствует деформа-
ция Л образца (рис. 103). Дадим силе Р бесконечно малое прираще-
ние dP, при этом деформация получит приращение d'K. Очевидно,
работа внешних сил на этом перемещении
dA=(P+dP)dK^PdK.
Работа, затраченная на растяжение образца до удлинения Z.1,
A=jpdZ. (4-28)
о
Как видно из рис. 103, интеграл представляет собой площадь
OABCDMNO диаграммы растяжения. Работа, затраченная на раз-
рыв образца, будет равна всей площади OABCDEFGO диаграммы
растяжения.
В пределах упругости полная работа деформации выражается
площадью треугольника (рис. 104, а):
л (4.29)
Луп— . V
wwiv.vokbla.spb.ru - Самолет своими р
Цспытан11е
материалов на растяжение
107
разделив полную работу деформации А на объем рабочей части
боазца, получим удельную работу деформации, т. е. работу, затра-
ченную на деформирование единицы объема материала:
~ А
Суп— у
(4.30)
п™;1°рмулу (4-ЗС) значмие а из н»)"
РА/ ое
ЙУ,,== 2Fo/o 2
(4-31)
Удельная работа деформации в пределах упругости выражается
площадью треугольника на диаграмме о—е (рис. 104, б).
Удельная работа деформации характеризует способность мате-
риала сопротивляться ударному действию нагрузки: чем больше
удельная работа деформации до разрыва, тем лучше материал
сопротивляется ударным нагрузкам.
Диаграмма растяжения в координатах о — е. Вид диаграммы
растяжения в координатах Р — А/ зависит не только от свойств
материала, но и от размеров испытуемого образца.
Чтобы получить диаграмму, характеризующую только механи-
ческие свойства материала, первичную диаграмму растяжения пе-
рестраивают в координатах о—е. Ординаты такой диаграммы по-
лучают делением значений растягивающей силы на первоначаль-
ную площадь поперечного сечения образца (о = P/Fo), а абсцис-
сы — делением абсолютных удлинений расчетной части образца на
первоначальную ее длину (е=А///0). В частности, для характерных
точек диаграммы ординаты вычисляют по формулам (4.19) — (4.23).
Диаграмма в координатах о — е, соответствующая первичной
диаграмме (рис. 100), изображена на рис. 105, а. Точкам О, А, В,
С, D, Е, F первичной диаграммы соответствуют точки О, а, Ь, с,
е, f диаграммы о—в.
Из диаграммы о — е видно, что
tg а=—=£, (4.32)
т. е. модуль упругости при растяжении равен тангенсу угла накло-
на прямолинейного участка диаграммы к оси абсцисс.
Площадь диаграммы напряжений о—е в соответствующем мае
штабе равна удельной работе деформации.
Нисходящий участок ef диаграммы носит условный характер, по
скольку действительная площадь поперечного сечения образца
после образования шейки и первоначальная площадь, по которо!
определяют ординаты диаграммы, значительно отличаются друг or
друга. Деля величину силы на действительную площадь попереч
ного сечения образца, можно получить значения истинных напряже-
ний и построить соответствующую диаграмму (рис. 105, а — штри
ховая линия).
Так как после образования шейки относительная продольная
деформация распределяется по длине образца неравномерно, тс
истинные диаграммы принято строить в таких координатах: от
носительное сужение Ч7 поперечного сечения в шейке — истинно
напряжение S, где Чг = (£0—Fr)/£o, S = Pt/Ft, a Pt и Ft— соответ
ственно усилие и наименьшая площадь поперечного сечения в дан‘
ный момент испытания.
Кривая истинных напряжений при растяжении малоуглероди-
стой стали представлена на рис. 105, б. Точке В соответствует на-
чало возникновения остаточной деформации и истинное напряжение
являющееся пределом текучести. Точке Е отвечает наибольшая
сила Рнжс, которую выдержал образец во время испытания. По
ней определяется величина истинного временного сопротивлений
Х„. Деформация образца от начала растяжения до момента, отв<
чающего точке Е, равномерна по длине образца. Абсцисса точки
Е (Чг£) представляет наибольшее равномерное сужение. Точка К Дй‘
граммы соответствует моменту разрыва образца. Ее абсцисса пРед
ставляет собой наибольшее сужение сечения Ч\, а ордината
истинное сопротивление разрыву SK. Как видно из истинной диагр?’
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
мы, сопротивление пластическому деформированию растет вплоть
до момента разрушения.
Для определения механических характеристик на практике ис-
пользуют условные диаграммы растяжения в координатах о—е.
Построение диаграмм истинных напряжений значительно сложнее,
и служат они главным образом целям теоретических исследований.
Заметим еще, что площадка текучести есть у сравнительно не-
многих металлов — малоуглеродистой стали, латуни и некоторых
отожженных марганцовистых и алюминиевых бронз. Большинству
же металлов свойственен постепенный переход в пластическую об-
ласть. Для сравнения на рис. 106 изображены диаграммы растя-
жения нескольких металлов: кривая 1 бронзы (ов = 247 МПа,
6=36 %), 2—углеродистой стали (<тв = 358 МПа, 6 = 38 %);
3~ никелевой стали (ов = 715 МПа, 6 = 54 %) и 4— марганцо-
вистой стали (ов=916 МПа,6 = 30 %).
Разрыв образцов из хрупких металлов происходит при весьма
незначительном удлинении и без образования шейки. На рис. 107
приведена диаграмма растяжения серого чугуна СЧ 28, типич-
ная для таких материалов. Диаграмма не имеет выраженного на-
чального прямолинейного участка. Однако, определяя деформации
в чугунных деталях, все же пользуются формулой, выражающей
закон Гука. Значение модуля упругости Е находят как тангенс угла
уклона прямой, проведенной через начальную точку О диаграммы
соответствующую напряжению, при котором определяют
Формацию. Такой модуль называют секущим.
§ 30.
Механ
Некоторые другие виды
ических испытаний
Чем СПЬ)Тания на сжатие, несмотря на их простоту, проводят реже,
На растяжение. Объясняется это следующим.
гост ЛЯ Частичных материалов модуль упругости Е, предел упру-
и и предел текучести при сжатии примерно те же, что и при рас-
по
Растяжение и сжатие. Механические характеристики матерная,
/О- •v>,°
Рис. 110
Рис. 109
тяжении. Напряжение, соответствующее разрушающей силе, при
сжатии пластичных материалов получить нельзя, так как образец
не разрушается, а превращается в диск и сжимающая сила по-
стоянно возрастает. Характеристики, аналогичные относительному
удлинению и относительному сужению при разрыве, при испы-
тании пластичных материалов на сжатие также нельзя получип
Испытанию на сжатие подвергают главным образом хрупкие
материалы, которые, как правило, лучше сопротивляются сжатию,
чем растяжению, и применяются для изготовления элементов, рабо-
тающих на сжатие. Для их расчета на прочность необходимо знать
характеристики материала, получаемые при испытании на сжатие
Испытание материалов на сжатие проводят на специальных прес-
сах или универсальных испытательных машинах. Для этого изго-
товляют образцы в виде цилиндров небольшой высоты (обычно oi
одного до трех диаметров) или кубиков. Трение, возникающее во
время испытания на сжатие между плитами машины и торцами об-
разца, существенно влияет на результаты испытания и на характер
разрушения. Цилиндрический образец из малоуглеродистой стали
принимает при этом бочкообразную форму (рис. 108). Диаграмма
сжатйя, полученная испытанием образца из такого материала, изо-
бражена на рис. 109. На рис. 110, а показан характер разрушении
образца из камня под действием сжимающих усилий Р при наличии
сил трения между плитами машины и торцами образца. Если?
уменьшить силы трения, нанеся слой парафина на торцы образа2-
разрушение произойдет иначе (рис. НО, б): образец даст трещины,
параллельные направлению сжимающих сил, и расслоится. Ка*
образец из камня, разрушается бетонный образец. ’
Разрушение при сжатии чугунного образца происходит вслед
ствие сдвига одной части образца относительно другой (рис. П*Ь|
Диаграмма сжатия чугуна показана на рис. 112.
Древесина, являющаяся анизотропным материалом, при сжа
тии, как и при растяжении, обладает различной прочностью в з<
висимости от направления сжимающей силы по отношению к н
правлению волокон. На рис. 113 изображены диаграммы сжвти?
двух кубиков из древесины одной породы. Кривая 1 иллюстрир”
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
111
сжатие кубика вдоль волокон, а кривая 2 — поперек волокон. При
сжатии вдоль волокон древесина значительно прочнее, чем при
сжатии поперек волокон. При сжатии вдоль волокон образец раз-
рушается вследствие сдвига одной части относительно другой, а при
сжатии поперек волокон древесина склонна к прессованию и не
всегда удается определить момент начала разрушения.
В табл. 10. приведены значения временного сопротивления при
сжатии некоторых материалов
Таблица 10
Материал сж. МПа Материал еж, МПа
Чугун серый обыкно- венный Гранит .... Кирпич . . ... Бетон Текстолит Гетинаке 600 1000 120-260 8-30 7—50 130 250 150 180 Сосна (прн 15 % вл аж ногти): вдоль волокон . поперек волокон . . . Дуб (прн 15 % влаж- ности) : вдоль волокон ... поперек волокон 40 5 50 15
Определение твердости материалов. В некоторых случаях для
оценки величины временного сопротивления можно воспользова-
ться косвенным методом, в частности измерением твердости,
т ВеРДостью материала называют способность оказывать сопро
б'1ение механическому проникновению в его поверхность другого,
е твердого тела. Для определения твердости чаше всего в по-
топГ,ОСТЬ матеРиала с определенной силой вдавливают тело (инден-
ног В В11де шарика, конуса или пирамиды. По размерам получен-
отпечатка судят о твердости испытуемого материала.
явг]Я аибо,пее распространенным способом определения твердости
£)‘ стся способ Бринелля. Стальной закаленный шарик диаметром
ДейсС’ *14) вдавливается в испытуемый образец (изделие) под
мен ТВием нагрузки Р, приложенной в течение определенного вре-
н- После удаления нагрузки измеряется диаметр отпечатка,
112
Растяжение и сжатие Механические характеристики матери-
Рис. 114
оставшегося на поверхности образца. Число твердости по Бринелле
НВ определяется, делением нагрузки Р, кгс, на площадь поверх^
ности сферического отпечатка, мм2, и может быть вычислено п
формуле
2Р
нв=----------. 9 ,
nD (D—yjD2—d2)
где Р — нагрузка, кгс;
D - диаметр шарика, мм;
d — диаметр отпечатка, мм.
Число твердости выражается в кгс/мм2, хотя обычно единицу к-
указывают.
Если твердость измеряют шариком 0 = 10 мм под нагрузкой
Р — 3000 кгс с выдержкой 1=10 с, то число твердости по Бр:
неллю сопровождают обозначением НВ, например 300 НВ. Пр
других условиях определения твердости число твердости сопроьи
ждают индексами в следующем порядке: диаметр шарика, нагр}
ка и продолжительность выдержки. Например, 200 НВ 5/250/JO
означает число твердости по Бринеллю (200) при испытании шарг
ком £> = 5 мм под нагрузкой Р=250 кгс, приложенной в течеИ
1=30 с.
Если твердость материала НВ^450 кгс/мм2, то определить л
вдавливая шарик, нельзя в связи с заметной деформацией посла
него. В этих случаях вместо шарика вдавливают алмазный конр
(по Роквеллу) или алмазную пирамиду (по Виккерсу). Применяют
и другие способы. Например, твердость определяют по высоте
скока бойка, падающего с определенной высоты на поверхно<:>
испытуемого материала; по периоду качаний маятника, упирая
щегося в поверхность материала.
Твердость, полученная различными методами, при помощи сл
циальных таблиц может быть переведена в твердость по Бринеллю
Определение твердости — весьма распространенное испытани-
что объясняется его чрезвычайной простотой. Твердость м°>к
определять и непосредственно в условиях производства на г0Т°в
изделиях, так как остающиеся отпечатки во многих случаЯЯ >
портят изделия.
Опытным путем установлено, что для некоторых материале0 .
ществует определенная связь между числом твердости по Брине
и временным сопротивлением при разрыве. Например, для маЛ?Л'^.
родистой стали ов « 0,36 НВ; для стальных отливок ов = (0,34-0,4)
для серого чугуна <тв=(НВ— 40)/6.
(4.33)
www.xokb la.spb.ги - Самолет своими
113
механизме образования деформаций
(Тоияти£3---—---—— -------------
21 Понятие о механизме
Образования деформаций
Различные виды механических испытаний металлов дают лишь
инее представление о характере упругой и пластической де-
ВНрМации. Приведем краткое и упрощенное изложение современ-
представлений о процессах, происходящих в металлах при
таких деформациях.
Как известно, металлы имеют кристаллическую структуру. При
твердевании металла в расплаве одновременно возникает мно-
го центров кристаллизации, вследствие чего рост каждого кристалла
стеснен соседними. В результате технический металл состоит из
большого числа кристаллов неправильной огранки, называемых
кристаллитами или кристаллическими зернами. Относительно друг
друга кристаллические зерна ориентированы самым различным об-
разом. Вместе с тем в каждом из них атомы расположены совер-
шенно определенно и образуют так называемую кристаллическую
решетку, состоящую из повторяющихся одинаковых ячеек.
Атомы электрически нейтральны, так как отрицательные заряды
электронов, вращающихся вокруг ядра, нейтрализованы его поло-
жительным зарядом. В металлах при достаточном сближении ато-
мов возникает возможность отрыва валентного электрона одного
атома положительно заряженным ядром другого, у этого — следую-
щим и т. д. Таким образом, часть валентных электронов начинает
перемещаться вокруг ядер всех взаимодействующих атомов. Эти
электроны называются свободными, поскольку не связаны с опре-
деленными атомами. Металл можно представить себе как постройку
из нейтральных атомов и ионов, находящихся в атмосфере электрон-
ного газа, который как бы стягивает ионы. Связь между атомами,
осуществляемая электростатическими силами в результате взаимо-
действия положительных ионов и электронного газа, называется
ЛеГ£гД>Щ ческой. Поскольку эти атомы по своей природе одинаковы,
то расположиться они должны на таких расстояниях друг от друга
и в таких точках пространства, где действующие на них силы при-
яжения и отталкивания были бы равны В результате происходит
кономерное расположение атомов, наблюдаемое в кристалличе-
ской решетке.
кристаллическую решетку образуют воображаемые линии и
потаг00™’ пРоходящйё через точки пространства, в которых рас-
Как аются ионы металла. Более правильно эти точки определить
не ЦентРы наиболее вероятного расположения ионов, так как те
ПОс Таются неподвижными, а колеблются около этих центров.
Нанбо21*1116 обь1чно называют узлами кристаллической решетки.
явлЯ10Лее Распространенными типами таких решеток металлов
ческаяТСя кУбическая объемноцентрированная (рис. 115, а), куби-
Упа гранецеитрированная (рис. 115, б) и гексагональная плотно-
РавнОванная (рис. 115, в). В них атомы находятся в устойчивом
есии и обладают минимальной потенциальной энергией.
114
Растяжение и сжатие. Механические характеристики мат<
При деформации металла расстояния между атомами под д;,,
ствием внешних сил изменяются по определенным направлени .
линии и плоскости, проходящие через атомы, искривляются, крист ’
лическая решетка искажается. Так как при этом равнодействующи,
сил притяжения и отталкивания между атомами уже не равны нулц
то в решетке будут действовать внутренние силы, стремящи! ।
вернуть атомы в положение равновесия. Зависимость между малыми
смещениями атомов и силами взаимодействия с известной степени)
приближения можно считать линейной. Суммарно это проявляли
в линейной зависимости между смещениями точек тела и внешним»
силами, выражаемой законом Гука.
При устранении внешних сил атомы вновь занимают свои пре>:
ние места в кристаллической решетке, вследствие чего происходя;
упругое восстановление формы металлического тела. Так объ'
няется упругая деформация.
Если внешние силы увеличиваются, то возрастают и внутренние
Тогда в зернах металла происходит смещение одной части относ*
тельно другой, называемое скольжением. Исследованиями устав-
лено, что оно происходит по плоскостям и направлениям, вг • >
которых атомы располагаются наиболее плотно. В каждой из Н|
сталлических решеток, изображенных на рис. 115, одна таг'11
плоскость заштрихована, а направления скольжений указаны стр**
ками. Важной характеристикой этих плоскостей и направлений я*
ляется величина сдвигающего напряжения т, вызывающего ска|1’
жение.
Рассмотрим механизм образования пластической деформацШ
пределах одного кристалла с совершенной кристаллической ред-
кой, упрощенная модель которой изображена на рис. 116, а.
Пусть в такой решетке верхний слой атомов смещается °т
сительно нижнего по плоскости А—А. Если предположить, чТ° в
процессе сдвига кристаллическая решетка не искажается, т. е
частях ее выше и ниже плоскости А — А расстояния между атомЧ
остаются неизменными, то можно прийти к выводу, что все ат
верхнего слоя смещаются относительно нижнего одновременно
одну и ту же величину.
www.vokb-la.spb.ru -
115
„о.янизме образования деформаций
noHjlMi--------------
Рис. НО
Пока взаимное смещение и (рис. 116, б), возрастая, остается
меньше половины расстояния между атомами (а/2), силы взаимо-
действия между ними препятствуют сдвигу. Как только это сме-
шение превысит расстояние а/2, силы взаимодействия начинают
способствовать смещению решетки в новое устойчивое положение
равновесия. Пластическая деформация произойдет в результате
смещения части решетки на расстояния, кратные а (рис. 116, в).
Наименьшая пластическая деформация соответствует смещению
на а. В результате таких смещений каждый предыдущий атом за-
нимает место последующего, все атомы оказываются на местах,
присущих данной кристаллической решетке. Кристалл сохраняет свои
свойства, меняя лишь конфигурацию.
Точные теоретические расчеты, основанные на подобной карти-
не деформации, позволяют определить максимальные касательные
напряжения, которые должны возникнуть в кристалле, чтобы по-
явилась пластическая деформация. В действительности она начинает
образовываться при напряжениях в сотни раз меньших, чем дает
теория. Такое расхождение между теоретическим и действительным
сопротивлением сдвигу в кристаллах объясняется тем, что переход
атомов из одного положения в другое совершается не одновре-
менно, а во времени, подобно волне, с местными искажениями
Решетки, называемыми дислокациями.
На рис. 117, а показана так называемая краевая дислокация.
д1еРХНяя часть решетки сдвинута относительно нижней на одно
Жат°мное расстояние, причем зафиксировано положение, когда
поя Г 0Хватил еще не всю плоскость скольжения. В результате
к0стИЛОСь искажение решетки: одна вертикальная атомная плос-
ь верхней половины не имеет продолжения в нижней.
н°вец Метим> что реальные кристаллы либо с самого своего возник-
Ия с°Держат дислокации, либо имеют какие-то иные несовер-
Жен Ва и в них дислокации образуются уже при низких напря-
сДвига. Поэтому-то при низких напряжениях дислокации
^астиСЯ ЧеРез клисталлическую решетку, отчего и происходит
вЬ1йдетЧеская деформация кристалла. После того как дислокация
Наружу кристалла, форма его изменится, но структура оста-
116
Растяжение и сжатие Механические характеристики матерИ|
Рис. 117
нется прежней (рис. 117, б). Возникают новые дислокации и дВ1).
жутся через кристалл. Суммарно результат этих скольжений в зер.
нах проявляется в виде пластической деформации образца.
Перемещение дислокации через кристалл можно уподобить дви-
жению складки по ковру. Когда складка пройдет через весь ковер,
он будет несколько сдвинут. Сила, необходимая для перемещения
складки, существенно меньше той, которая нужна, чтобы сдвинуть
весь ковер целиком.
Так теория дислокаций объясняет механизм образования пласти-
ческих деформаций и расхождение между теоретической и действи-
тельной прочностью металлов.
При массовой пластической деформации дислокации, двих.,
щиеся в кристаллической решетке по пересекающимся плоскости?
образуют неподвижные пороги, поэтому перемещение дислокации
тормозится. Суммарно это проявляется в виде упрочнения металл
после определенной пластической деформации.
Появление сдвигов в кристаллической решетке, приводящих к
пластической деформации, не исключает искажений криста л лич.
ской решетки, соответствующих упругим деформациям. Это по"
тверждается тем, что при любой стадии деформации образца, вплоть
до разрыва, полная деформация состоит из упругой и пластической.
Повышение сопротивления движению дислокаций приводит *
увеличению прочности металла. Этого достигают введением в мета"-
лы специальных примесей, термической обработкой, наклепом и т. п
В настоящее время сделаны первые шаги по созданию металл*
не имеющих дефектов кристаллической решетки. Получены бе?
дислокационные нитевидные металлические кристаллы («Усь1*
обладающие очень высокой прочностью, приближающейся к теор*'
тической.
§ 32. Понятие о концентрации напряжений
qfO
Теоретические и экспериментальные исследования показали.
равномерное распределение напряжений по площади поперек а
сечения растянутого или сжатого стержня, которое дает Ф°П|Ь
(4.6), будет только в тех случаях, когда по длине стержня по ,
ные сечения постоянны или изменяются весьма плавно.
изменения площади поперечного сечения вследствие наличия
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
117
о концентрации напряжении
-----------------------
1Х отверстий, выкружек, канавок и надрезов приводят к
Равномерному распределению напряжений, вызывают концентра-
^пряжений. На рис. 118, а показан график распределения
н^ягиваютих напряжений в сечении полосы, ослабленном круг-
Р8^ отверстием, а на рис. 118, б —в сечении, ослабленном полу-
J углыми выкружками.
^Отметим, что изображенная здесь и в дальнейшем картина кон-
итрапии напряжений несколько упрощена, но в основном верно
Сражает сущность происходящих явлений. Точные исследования
° называют, что напряженное состояние в местах концентрации
Пцест более сложный характер.
1 факторы, вызывающие концентрацию напряжений (отверстие,
натре3 и т. п.), называют концентраторами напряжений. Макси-
мального значения напряжения достигают в непосредственной
близости от него (например, у края отверстия или выкружки) и
ограничиваются весьма небольшой частью площади поперечного
сечения, т. е. имеют местный характер. Поэтому напряжения у
мест концентрации и называют местными.
Остановимся на некоторых понятиях и определениях, встре-
чающихся при расчетах на прочность в случае концентрации на-
пряжений.
Номинальным напряжением называют напряжение, вычислен-
ное на основе предположений об отсутствии концентрации напря-
жений.
В рассмотренных примерах (рис. 118, а и б) номинальное напря-
жение вычисляется как среднее напряжение в ослабленном сечении
пластины:
си=—
где Д'
г
— площадь ослабленного
нетто.
Иногда под номинальным на-
вь|Е>КеНием понимают напряжение,
ногИС 1енное 1,0 площади F сплош-
та ° п°перечного сечения без уче-
стця Уменьшения ла счет отвер-
л Ту площапь называют
брутто Ю попеРечного сечения
F
В
тИя Bc‘'i4ae весьма малого отверс-
тия °л°се номинальные напря-
^•34) ’ Вь*численные по формулам
*4 35), будут практически
с
(4.34)
— продольная сила в ослабленном сечении;
сечения, называемая площадью
Рис. 118
(4.35)
118
Растяжение и сжатие Механические характеристики
матер*
одинаковы. В других случаях в величине напряжений может бЬ1,
существенная разница. Поэтому, используя понятие номинально
напряжения, необходимо установить, на базе какого поперечь^1
сечения оно вычислено.
Теоретический и эффективный коэффициенты концентрат,
напряжений. Количественной характеристикой концентрации напр"
жений является коэффициент концентрации а, равный отнощени1
наибольшего местного напряжения омакс к номинальному напря^1
нию он:
Смаке
Сн
Чаще всего
(4.36)
коэффициенты концентрации напряжений опреде,-
ют методами теории упругости, основанными на предположен! i
об однородности, изотропности и совершенной упругости материа-
Такие коэффициенты называются теоретическими коэффициентемц
концентрации.
Величина местных напряжений зависит от вида и размер
концентратора. Например, чем меньше радиус отверстия или вы-
кружки в полосе, тем больше максимальные напряжения отличаю. ।
от номинальных. В случае весьма малого радиуса отверстия в поло
(рис. 118, а) у краев отверстия наибольшее напряжение раин
трем номинальным (а = 3), а у краев полукруглых выре: b
(рис. 118, б) —примерно двум номинальным (а = 2). Надрез!
острыми входящими углами дают еще большие коэффициент
концентрации напряжений у вершин углов. Для некоторых распр*
страненных концентраторов напряжений в полосе прямоугольна
поперечного сечения значения теоретических коэффициентов к
центрации приведены на графике рис. 119, а в стержнях кругла
поперечного сечения — в табл. 11. Более подробные данные о тЛ
ретических коэффициентах концентрации напряжений привод»!
в справочниках по расчету на прочность и в специальных курсах.
Определив расчетом номинальное напряжение и зная коэфф"*
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
119
о концентрации напряжений
роия^—------
концентрации напряжений для данного концентратора, на-
и"тят максимальное напряжение в месте концентрации:
₽ао»- (4-37)
0уа*с
С концентрацией напряжений приходится считаться при кон-
уировании и расчете на прочность деталей машин Следует по
Ложности избегать глубоких выточек, выкружек, резких пере-
в°„ов сечений, около которых возникает концентрация напряже-
’ способствующая в известных условиях преждевременному
’ щению материала. Нужно также стремиться к тщательной
бработке поверхностей деталей, особенно изготовленных из высо-
к прочных закаленных сталей. Даже мелкие следы от шлифоваль-
ного круга могут снизить предел прочности твердозакаленной стали
при растяжении на 10—20 %.
Теоретические коэффициенты концентрации напряжений зависят
от геометрии концентратора и не отражают свойств реальных ма-
териалов. Совместный учет геометрии концентратора и свойств
материалов осуществляется так называемыми эффективными (дей-
ствительными) коэффициентами концентрации напряжений, ко-
торые определяют, испытывая образцы из данного материала до
разрушения. Они представляют собой отношения предельной на-
грузки образца без концентратора напряжений к предельной на-
грузке такого же образца с концентратором напряжений. При ста-
тической нагрузке
*=НЬ (4.38)
где Р| разрушающая нагрузка образца без концентратора напря-
жений;
Рц —- разрушающая нагрузка образца с концентратором напря-
жений.
Таблица II
Вид концентратора напряжения
СТ ржК?^Г,ЛаЯ выточка при отношении радиуса к диаметру
0,1 . .
0,5 .. .
1,о..........;;;........................... .
Га.1тель 2’0.............................................
при^отношении радиуса галтели к диаметру стержня
0,125....................
0,25 .
чех °-5 ..................... ' ::.:: ::: :
2СтРая прямым углом........................ ...
иТвеРстНе Разная выточка . ......... ....
пе₽жня о |При отношении диаметра отверстия к диаметру
от о . 0,33 ...................................
на поверхности изделия.....................
2,0
1,6
1,2
1,1
1,75
1,50
1,20
1,10
2,0
3,0
2,0
1,2—1.4
120
Растяжение и сжатие. Механические характеристики
^4>и,
На прочность пластичных и хрупких матепц
лов концентрация напряжений влияет по-разНо.3
Существенное значение при этом имеет так>
характер нагрузки. Если материал пластичш
(диаграмма напряжений имеет площадку Tejj
чести значительной протяженности) и нагру31?
статическая, то при увеличении последней р^'
наибольших местных напряжений приостанавщ
вается, как только они достигнут предела тед
чести. В остальной части поперечного сечен»
напряжения будут еще возрастать до величин
предела текучести от, при этом зона пластично г,
Рис. 120 у концентратора будет увеличиваться (рис. 12 ц
--------------- Таким образом, пластичность способствует bi.
равниванию напряжений. На этом основании принято считай,
что при статической нагрузке пластичные материалы мало чуе
ствительны к концентрации напряжений. Эффективный коэффц
циент концентрации для таких материалов близок к единице. Пи
ударных и повторно-переменных нагрузках, когда деформации ।
напряжения быстро изменяются во времени, выравнивание напри
жений произойти не успевает и вредное влияние концентрами
напряжений сохраняется. Поэтому в расчетах на прочность учти
вать концентрацию напряжений необходимо.
Для однородного хрупкого материала неравномерность распре
деления напряжений из-за концентрации сохраняется на всех ста
днях нагружения и при статических нагрузках. В местах действа
максимальных напряжений начинается разрушение материала
тем образования трещин). Особенно чувствительна к кониени
торам закаленная сталь и тем больше, чем выше ее характерис.и
прочности. Эффективный коэффициент концентрации напряжен*
для хрупких однородных материалов весьма близок к теоретИ
скому. Следовательно, для хрупкого материала в расчетах на пря-
ность при статических нагрузках можно пользоваться теоретик
скими коэффициентами концентрации напряжений.
§ 33. Влияние различных факторов
на механические свойства материалов
ОТ МН ''
Механические характеристики материалов зависят _
факторов. На свойства металлов и сплавов существенное влИW
оказывают химический состав, технология их получения, термЧ
ская и механическая обработки, условия эксплуатации — темПЧ
тура, среда, характер нагрузки и др. ,л,
В последние годы получили развитие новые виды техники: Р _
тивная авиация, ракетная техника, атомные реакторы и ДР 1
меняемые в них материалы подвергаются действию высоких т ‘
ратур, высоких скоростей нагружения, агрессивных жидких ><
образных сред, радиоактивных, особенно нейтронных, проникгЧ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт свои
121
язЛцчнь1Х факторов иа механические свойства материалов
рднян^_Р--------------------------------------
чений- Для работы в этих условиях создают новые специальные
,,зЛ\ы и композиционные материалы.
СП1Ниже рассматривается влияние некоторых факторов на механи-
е характеристики наиболее важных в машиностроении мате-
цсС 10В __ сталей, чугуна, алюминия, различных сплавов.
Р'^Вчияние скорости деформации. При увеличении скорости на-
. станин нагрузки, и следовательно скорости роста напряжения
Реформации, все материалы, находящиеся в пластическом состоя-
*1 .Ц обнаруживают общую тенденцию к увеличению сопротивляе-
мости деформированию. Чем выше скорость деформирования, тем
выше предел текучести и временное сопротивление. Особенно сильно
зависят от скорости нагружения механические свойства пластмасс
н ДРУГИХ органических материалов. У металлов влияние скорости
нагружения заметно проявляется лишь при значительной разнице
в скоростях.
Сравнение результатов статических и динамических испытаний
малоуглеродистых сталей на растяжение при нормальной темпера-
туре "(рис. 121) показывает следующее:
I) кривая / динамического растяжения лежит выше кривой 2
статического растяжения;
2) максимум диаграммы для динамической нагрузки смещается
в сторону начала диаграммы;
3) временное сопротивление при динамической нагрузке повы-
шается, но меньше, чем предел текучести;
4) модуль упругости при динамической нагрузке практически
не изменяется.
Влияние технологических факторов. Конструкционные стали, из
которых изготовляют элементы конструкций, можно получить
литьем пли прокаткой, ковкой, штамповкой и волочением. Механи-
ческие свойства стали одного и того же состава весьма сильно изме-
няются в зависимости от способа ее получения и обработки.
При литье заготовок возможно образование различных внут-
Р нних дефектов в виде пустот, раковин и включений, снижающих
Р°ЧНОсть изготовленных из заготовок деталей. В связи с этим тре-
скимСЯ ТЩательный контроль качества таких деталей рентгенов-
Ультразвуковым или каким-либо другим способом.
ХаРак КаТКа делает сталь анизотропной. Прокатанная сталь имеет
проКатернУю СТРУКТУРУ- У которой зерна, вытянутые в направлении
стали И’ °бразуют своего рода волокна. Механические свойства
8 напп напРаВлении прокатки существенно отличаются от таковых
Таким раалении. перпендикулярном к ней. Образцы, вырезанные
0Кааывя ?азом’ что их ось совпадает с направлением прокатки,
3икУлярЮГСЯ более прочными, чем те из них, ось которых перпен-
Предр? к ^‘апРавлению прокатки.
ТекУчест ap/nejlbHa« вытяжка в холодном состоянии за предел
{р°чнОсти (наклег1) очень сильно повышает предел текучести и
Териал Ст ’ Но снижает остаточное удлинение после разрыва. Ма-
н°вится более упругим и прочным, но менее пластичным.
122
Растяжение и сжатие
Механические характеристики матиЛ
Волочение в холодном состоянии, представляющее собой вытя (
ку с обжатием, еще сильнее влияет на механические свойства стали
Стальная проволока и стальные ленты, полученные волочени*
весьма прочны.
Токарная обработка, обработка поверхности роликами, обдч
ка дробью, хромирование, никелирование, алитирование, азо;,[.
вание и другие виды поверхностной обработки могут оказать cjn
ственное влияние на прочность деталей, особенно работающих п
переменных напряжениях.
Влияние термической обработки. Закалка стали значительна >
вышает ее твердость, предел текучести и предел прочности, но ска
но снижает пластичность. Модуль упругости стали закалка пр»
тически не меняет. Если нужна высокая поверхностная тверд'»'1
с сохранением других свойств стали, используют поверхности'
закалку токами высокой частоты. Для малоуглеродистых стала
этой целью применяют цементацию увеличение в поверхнсхт*
слое углерода с последующей закалкой. При этом закалив?'
только науглероженный поверхностный слой, а основная часть *
териала сохраняет свойства малоуглеродистой стали.
Для устранения наклепа используют отжиг. Чтобы выроыя'
и улучшить структуру, а также улучшить механические сво
стали, применяют нормализацию. Подробно эти виды термине I
обработки рассматриваются в металловедении.
Влияние температуры. Многие детали современных машин J
пример, паровых и газовых турбин, реактивных двигателей и w.
работают при высоких температурах, достигающих 800— Ю-Д
Испытания показали, что все механические характеристики
лов существенно изменяются в зависимости от температуры- j
На рис. 122 приведены диаграммы напряжений УглеР°к1(,
стали при различных температурах, а на рис. 123 — графи
висимости предела текучести, временного сопротивления и
сителыюго удлинения при разрыве от температуры. В И*1 цг
температур 150 250 °C временное сопротивление достигавши
большего значения, а относительное удлинение после Pa3,J
www.vokb-la.spb.ru - С амолет своими р
наименьшего; сталь, как говорят, становится синеломкой. При
более высоких температурах прочность углеродистой стали быст-
ро падает, поэтому выше 350—400 °C такую сталь не приме-
няют.
При повышении температуры также существенно уменьшается
модуль упругости Е (рис. 124), а коэффициент Пуассона несколько
возрастает. Так, при возрастании температуры от комнатной до
500 °C коэффициент Пуассона увеличивается с 0,28 до 0,33.
Углеродистые стали при высоких температурах сильно окисля-
ются, на их поверхности образуется окалина. В связи с этим при-
меняют специальные жаростойкие и жаропрочные стали, содер-
жащие различные легирующие добавки. Жаростойкостью назы-
вается свойство материала противостоять при высоких температу-
рах химическому разрушению поверхности, а жаропрочностью —
способность сохранять при высоких температурах механические
свойства. В настоящее время созданы специальные сплавы, а также
металлокерамические материалы, надежно работающие при темпе-
ратурах до 1000 °C.
и Ползучесть. При высоких температурах существенное значение
РостТ ЯВЛение ползучести материалов (крип), заключающееся в
На пластической деформации с течением времени при постоянном
времеЖеНИИ’ Не вызываю111ем пластических деформаций при кратко-
му ИНН?М Д^ствии нагрузки. В зависимости от величины напряже-
чесТи ТемпеРатуры деформация, происходящая в результате ползу-
МатеРиа°ЖеТ п,1®° прекратиться, либо продолжаться до разрушения
«ой те^ИС’ 125' а приведены кривые ползучести стали при постоян-
а На рисПеР-УРе для различных напряжений О!<О2<Оз<О4 <Os,
В°Разли 25. 6 — кривые ползучести при постоянном напряжении,
Из сРа*ч"ь,х температурах, причем Т\ < Г2< Гз< 1\<_ Т5. Как видно
^Перд. еиии графиков, увеличение напряжения при постоянной
рКазЬ1ва УРе и повышение температуры при постоянном напряжении
КоР°сть 1 0Динаковое влияние на ползучесть материала, а именно —
ползучести увеличивается.
ИЗ Точных
124
Растяжение и сжатие. Механические характеристики матер*
Рис. 125
a
Отдельные участки кривых рис. 125 характеризуют различы,.
скорости нарастания деформации. Рассмотрим, например, криву» 4
Вертикальный отрезок Оа изображает удлинение, полученное то
час после нагружения. Участок ab — это участок неустановивпк-яо
ползучести, так как скорость ее здесь со временем убывает. Преи
линейный участок Ьс называется участком установившейся полз
чести, характеризующейся ее постоянной скоростью. Участок •/
характеризует возрастание скорости ползучести, заканчивающее!
разрушением образца (точка d).
Остальные кривые ползучести отличаются от кривой 4 тем ч
у них отсутствует тот или иной участок. Так, кривые /, 2 и 3 и»
бражают случаи, когда ползучесть не вызывает разрушения (на к»* 1
отсутствует участок cd). Кривая 5 не имеет участка уста нови ви?.’’
ползучести (точки b и с слились). Эта кривая соответствует Я
чаю, когда период неустановившейся ползучести сменяется С 1'
периодом с возрастающей ее скоростью, который заканчивал
разрушением. Граница между этими двумя периодами определ>|г
точкой перегиба Ь. Ж
Пределом ползучести называется наибольшее напряжение, >
котором скорость или деформация ползучести при данной тем
туре за определенный промежуток времени не превышает уст
ленной величины (например, скорости 0,0001 %/ч или дефоРмй'
1 % за 10 000 ч).
Если предел ползучести определяют по величине деформ<1 ,
то обозначают его буквой о с тремя числовыми индексами-' Р у
нижними и одним верхним. Первый нижний индекс отра»а
данное удлинение (суммарное или остаточное), %; второй ня
индекс — заданную продолжительность времени испытан •
верхний индекс температуру, °C. Например, запись Оо2/(у
чает предел ползучести при допуске на деформацию ОД
100 ч испытания при температуре 700 °C. При этом нео
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими р
125
различных факторов иа механические свойства материалов
рдИЯНИ^-------------- -—------------------------------
—1. %/ч; верхний — температуру испытания, °C.
— это предел ползучести при скорости ее 1X
дополнительно указать, по суммарной или остаточной деформации
определялся предел ползучести.
В случае определения предела ползучести по скорости ползуче-
сти его следует обозначать буквой о с двумя числовыми индексами:
одним верхним и одним нижним. Нижний индекс отражает заданную
скорость ползучести, %/ч; верхний — температуру испытания, °C.
Например, — это предел ползучести при скорости ее 1X
ХЮ’5%/ч при температуре 600 °C. При этом необходимо допол-
нительно указать время испытания, за которое была достигнута
заданная скорость ползучести.
Детали, работающие при высоких температурах, рассчитывают
на ползучесть специальными методами с использованием экспери-
ментальных данных, характеризующих ползучесть материала.
Целью таких расчетов является определение пределов ползучести.
По результатам экспериментального определения скорости пол-
зучести |/0 при растяжении образцов строят графики в логарифми-
еских координатах Igo — lg Vo- Экспериментальные точки хорошо
Руппируются около некоторой прямой (рис. 126, а).
^метим, что у некоторых материалов (свинца, бетона, высоко-
и1япИ'ИеРНЬ1х материалов и др.) ползучесть наблюдается и при нор-
дН0й температуре.
т^ль ИТелЬная ПРОЧНОСТЬ- В случае высокой температуры и дли-
прн Ного воздействия нагрузки наблюдается разрушение материала
зенНда,1РЯЖении> величина которого меньше временного сопротив-
Необх МагеРиала при данной температуре. В связи с этим возникает
Pl Димость определять длительную прочность материалов.
вающ е^ом длительной прочности называется напряжение, вызы-
<Д’Вця е Разрыв образца после заданного срока непрерывного дей-
напряжения при определенной температуре. Обозна-
и*|ДекСа*1Реде-п Длительной прочности буквой о с двумя числовыми
и- Верхний индекс дает температуру испытания, °C, ниж-
126
Растяжение и сжатие. Механические характеристики
ний •— заданную продолжительность испытания до разрушения ч
Последнюю можно обозначать числом часов или цифрой 10 с поКа
зателем степени. Например, или — предел длительно"
прочности за 1000 ч испытания при температуре 700 °C.
Испытания на длительную прочность заключаются в том, ЧТо
образцы подвергают различным напряжениям при определенной
температуре и узнают время до их разрыва. Результат представляют
в виде графика (рис. 126, б). Имея кривую длительной прочности
материала, можно определить разрушающее напряжение по задан-
ной продолжительности службы детали при данной температуре
Наоборот, по заданному напряжению можно определить время д(|
разрушения. Например, деталь, изготовленная из материала, дЛя
которого кривая длительной прочности изображена на рис. 126, б.
при напряжении 30 МПа и температуре 500 °C разрушится
через 2550 ч.
Результаты экспериментального определения длительной проч-
ности удобно представлять в логарифмических координатах 1g о —
lg t, где они достаточно хорошо аппроксимируются прямыми
(рис. 126, а).
Отметим, что чем меньше разрушающее напряжение, а значит
больше время до разрыва, тем меньше относительное удлинение
при разрыве, т. е. материал становится более хрупким. Это явление
называется охрупчиванием. Для ряда материалов (например, для
высокополимеров) указанный эффект проявляется и при комнатной
температуре.
Релаксацией напряжений называется уменьшение их с течениея
времени вследствие ползучести в нагруженной детали при неизмен
ной ее полной деформации. У большинства металлов релаксация
заметна лишь при высоких температурах (рис. 127). Для иллюстра
ции этого явления приведем следующие примеры.
Между разведенными концами разрезанного стального кольев
вставим пластинку (рис. 128). Вследствие деформации кольца в не«
возникнут напряжения и концы кольца, стремясь сблизиться, с боль
шой силой сожмут пластинку. Если это соединение выдержать
которое время при высокой температуре, то в кольце произоиД^
релаксация напряжений, сила зажатия пластинки уменьшится, и
можно будет легко вынуть.
Известно, что начальная затяжка болтов, работающих 2,
высокой температуре, с течением времени ослабевает и это вызы
необходимость их подтягивать.
Влияние низких температур. На механические свойства ’
торых материалов существенно влияют низкие температуры-^^.,
является это в том, что материалы, пластичные при норма-
температуре, становятся хрупкими при низких темпе'ратуРаХ’
кие материалы называют хладноломкими.
Хладноломкость характерна для металлов, имеющих кР,,сгеКрГ
ческую решетку в виде обьемноцентрированного куба или —
тональную. К числу их относится большинство черных меч 1
www.vokb-la.spb.ru
в частности стали, а также цинковые сплавы. Проявляется хладно-
ломкость как при статическом действии нагрузки, так и, в особен-
ности, при динамическом. В качестве примера на рис. 129 приведены
графики изменения предела текучести, временного сопротивления,
относительного удлинения и сужения при статических испытаниях
углеродистой стали в области низких температур.
Металлы, кристаллизующиеся в системе куба с центрированными
гранями (медь, алюминий, никель, серебро, золото и др.), не обна-
руживают хладноломкости ни при каком понижении температуры.
Например, алюминий при температуре жидкого азота (—196 °C)
увеличивает прочность приблизительно в 2 раза, увеличивая одно-
временно относительное удлинение в 4 раза. Аналогично ведут себя
Медь и никель. Многие сплавы алюминия, меди, а также некоторые
Стали не обладают свойством хладноломкости.
§ 34. Допускаемые напряжения
— 1^аК УЖе указывалось, детали машин и других конструкций
удовлетворять условию прочности и жесткости. Размеры
необходимо подбирать такими, чтобы под действием при-
ДЬ1х нагрузок они не разрушались и не получали деформаций,
' ^-ix допустимые. В большинстве машиностроительных
За Не Д0|,Ускаются, как правило, остаточные деформации.
... 1етные остаточные деформации появляются в пластичных ма-
когда напряжения достигают предела текучести. Разру-
Наступает, когда напряжения достигают величины времен-
д°лжны
Деталей
•1ожец|-
пр₽В1„ Л "а1
^Х7Ю,Ц“
Тр/ *“ЧС | >
rwi да мыс । riI ciixz I uviiimrmix
гУт бь1^Р°тивления; при этом деформации хрупкого материала мо-
П1асТи ь незначительными. Итак, для деталей, изготовленных из
н°г° материала, опасным напряжением можно считать пре-
128
Растяжение и сжатие. Механические характеристики матери.
дел текучести, а для деталей из хрупкого материала - времени
сопротивление.
Естественно, что эти напряжения не могут быть приняты в ка
честве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы
эксплуатационных условиях действующие напряжения всегда бЬ17
меньше предела упругости. Таким образом, допускаемое напря^
ние может быть определено по формуле
fal=~ (4.39)
где о° — опасное напряжение (от или ов);
п — коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколы.,
раз допускаемое напряжение меньше опасного.
Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от
стояния материала (хрупкое или пластичное), характера прилож?
ния нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная
и некоторых обших факторов, имеющих место в той или иной cie
пени во всех случаях. К таким факторам относятся:
а) неоднородность материала, а следовательно, различие его
ханических характеристик в малых образцах и в деталях;
б) неточность задания величин внешних нагрузок;
в) приближенность расчетных схем и некоторая приближенногд
расчетных формул.
Указанные факторы и учитывают коэффициентом запаса про»
ности и, который иногда называют основным.
Величина запаса прочности зависит от того, какое напряженй
считать опасным.
Для пластичных материалов в случае статической нагр} и1
опасным напряжением, как уже сказано, следует считать прей',
текучести, т. е. о° = о,, а п = пт. Тогда
(4JD)
[а]==^_=_21
L J п Пт
На основании данных длительной практики конструирования, Р*
чета и эксплуатации машин и сооружений величина запаса про4
ности н, для стаЛей при статической нагрузке принимается равИ
1,4—1,6. Очевидно, меньшие значения пт следует брать в тех
чаях, когда материал более однороден, лучше изучены его свопе1
полнее учтены нагрузки, точнее метод расчета и расчетные с'с
Для хрупких материалов при статических нагрузках опас
напряжением является временное сопротивление и тогда
|О)=Л1=^ (<•<"
J п пв
Принимают, что запас прочности ив = 2,5-^3,0. , ,
Допускаемые напряжения [о], получаемые по формулам 1
и (4.41), называют обычно основными допускаемыми напряэМ
В связи с тем что временное сопротивление определить
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими ру
^касмые напряжения
129
(4.42)
। преДел текучести, и, к тому же, в производственных условиях
4 средний не всегда можно получить, иногда и для пластичных ма-
П°пцалов при определении допускаемых напряжений исходят из
временного сопротивления, пользуясь формулой
g этом случае, учитывая, что временное сопротивление превышает
предел текучести на 50 70 %, запас прочности пв для пластичных
материалов принимают равным 2,4—2,6. Эту величину для пластич-
ных материалов берут несколько меньшей, чем для хрупких, по-
скольку пластичные материалы, как правило, более однородны по
своим физическим и механическим свойствам.
Иногда допускаемые напряжения на растяжение обозначают че-
рез [од], а на сжатие — через [о ]. Хрупкие материалы лучше
сопротивляются сжатию, чем растяжению, и для них [о ]>[о+].
Для сталей и большинства других пластичных материалов можно
принять [о+]=[о_] и обозначать допускаемые напряжения в таком
случае через [о] без индекса.
Выбор величины допускаемых напряжений весьма важен, так
как от правильного установления их значения зависит прочность
и безопасность проектируемой конструкции, а также экономическая
сторона расчета — количество затрачиваемого материала. Поэтому
установлением величины допускаемых напряжений для основных
марок материалов, применяемых в машиностроении и строительном
деле, занимаются государственные нормирующие органы. Они из-
дают соответствующие нормы, которыми и следует руководствова-
ться в обычных условиях проектирования. По мере улучшения
качества материалов и уточнения методов расчета допускаемые
напряжения повышают. Ориентировочные величины основных до-
пускаемых напряжений, принятых в настоящее время для наиболее
Распространенных материалов, приведены в приложении 10. В тех
случаях, когда нет данных о допускаемых напряжениях для того
ИЛи иного материала, вопрос об их величине приходится решать
11а основании изложенных выше соображений и рекомендаций.
Остановимся кратко на составлении условий прочности в наибо-
• часто встречающихся случаях.
Ь пластичных материалах при статической нагрузке концентра-
ч Напряжений незначительно влияет на прочность, поэтому в ка-
(но ВС ад,1ствУюшего рабочего напряжения можно принять среднее
1л, ИНальное) в опасном сечении и записать условие прочности
Дующим образом:
1 * (4.43)
В
ных СлУчае однородных хрупких материалов (например, закален-
Ц<ЯТп*еЙ) при статической нагрузке необходимо учитывать кон
напряжений и расчет на прочность вести по наибольшим
130
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и с>^
местным напряжениям. В этом случае условие прочности запищ*
ся так: 1
К вопросу о выборе величин допускаемых напряжений мы будем
неоднократно возвращаться, рассматривая условия прочности црн
различных деформациях.
Глава 5
Расчеты на прочность и жесткость
при растяжении и сжатии
§ 35. Примеры расчетов
при действии сосредоточенных сил
Рассмотрим некоторые задачи на растяжение и сжатие.
1. Определим диаметр стержня постоянного поперечного сечения
длиной /=0,6 м (рис. 130). Материал стержня — сталь СтЗ, модуль
упругости £=2-105 МПа. Построим также эпюру перемещени
сечений стержня и определим изменение его общей длины.
Прежде всего строим эпюру продольных усилий, из которой
видно, что стержень имеет три участка. В крайних действуют
растягивающие усилия N t—N Ш—Р=\^. кН, а в среднем — усиль
сжатия Nц=‘2Р = 24 кН.
Так как проектируемый стержень должен быть постоянно!
поперечного сечения, то подбирать последнее нужно по большему
по абсолютной величине усилию, действующему в средней чаете
Выражение для напряжения в поперечных сечениях этого участь
запишется следующим образом:
Условие прочности имеет вид
оц<[о],
или
откуда
Для стали марки СтЗ допускаемое напряжение [о] на растяжек
и сжатие одинаково. При статической нагрузке его можно п.ри
равным 160 МПа (см. прил. 10).
www.vokb-la.spb.ru -
131
при действии сосредоточенных сил
Рис.
Подставляя числовые значения, получим площадь поперечного
сечения стержня:
—м2= 1,5-10~4 м2= 1,5 см2
160
и его диаметр:
d=^J-^F = 1,13ЛП?5 см =1,38 см.
Диаметр необходимо увеличить до ближайшего большего, при-
нятого согласно ГОСТу. Следует взять d= 14 мм (F= 1,54 см2).
Отметим, что расчет на прочность при сжатии является доста-
точным только для коротких стержней, в частности для стальных
круглых,когда (//J) <20. При сжатии же длинных стержней может
произойти потеря устойчивости ’. В нашем случае указанное выше
условие для сжатой части стержня выполняется.
Определим перемещение сечений стержня. Примем, например,
за начало отсчета левый конец стержня (сечение Д), условно считая
его неподвижным. Напомним, что перемещение любого сечения от-
н°сительно начала отсчета равно изменению длины участка стержня
Ме>кду неподвижным и рассматриваемым сечениями.
На первом участке перемещение сечения, находящегося на рас-
тении х от левого конца стержня (//3))»
ЕЕ ’
нРи х=()
^==0;
ПРИ х =
3
$• счеты сжатых стержней на устойчивость излагаются в гл. 19.
132
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и ей.
------------------------------------------------
р1_
, 3 12-10~3-0,6 - о 1П_5 ПППТО
Лв=—тг=—=----------:---------м = 7,8-10 м = 0,0078 см.
в EF 3-2-105-1.54-10~'
На втором участке (~4
О
2
— l) перемещение сечения x
О
р-4 2р
--------
EF
I
при x=—
о
, -4
0,0078 см;
£/
2 /
при Х — ~1
о
л -
Л<? EF
2Pi
-—±-=-0,0078 см.
EF
2 ,
участке, где — Z^x^Z,
2р4 , р(*
EF
EF
N, = 2P;
На третьем
Р4
2
при х=— I
о
Zc=-^4-=-0,0078 см; I
3£г
при х—1
p_L 2Р — Р —
у _ 3 ___3_ _____з__0
EF EF + EF ~U-
Эпюра перемещений представлена на рис. 130. В данном случае
длина всего стержня не изменится, так как перемещение его nps
вого конца относительно левого оказалось равным нулю.
2. Построим эпюры продольных сил, нормальных напряжени •
относительных деформаций и перемещений для ступенчатого стер*
ня (рис. 131).
Стержень состоит из трех участков. В пределах первого из
в сечении, находящемся на расстоянии х от закрепленного ко
(O^x^Z), продольная сила, нормальное напряжение и относит
ное удлинение не зависят от координаты х, т. е. от положения сече
и имеют следующие значения:
2Р _ 4Р . _ а __ 4Р
1.5F ~ 3F ’ Е 3EF '
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт ci
133
расчетов при действии сосредоточенных сил
Примни-----------------------:-------------
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от закреплен-
ного конца стержня,
4 Рх
Следовательно, перемещения изменяются по линейному закону.
В начальной и конечной точках участка они имеют следующие зна-
чения:
при х=0
>-Л=0;
при Х=1
Г'В
API
3EF '
Аналогично на втором участке (/<х<3/)
Л.' — on 2Р Р __ а _ Р
II 2Р, О— 2F ~ F ' Е EF '
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от закреп-
ленного конца стержня,
л (х)=. 4Р> _ Р(х-1)
3EF EF
D
начале второго участка, при х—1,
3EF ’
В к°нце участка, при х=3/,
3EF ’
ре^к «минус» указывает на то, что рассматриваемое сечение пе-
<ЩаеТСЯ в напРавлении к сечению, принятому за начало от-
134
Расчеты иа прочность и жесткость при растяжении
На третьем участке (3/^х^4/)
N"i~P' °~~F' е= EF ’
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от конца д
Х^(х)=
2Р1
3EF
Р(х-31)
EF
В начале третьего участка, при х = 3/,
, 2Р1
с~ 3EF ’
в конце третьего участка, при х = 4/,
X pl
D 3EF ’
Эпюры N, о, е и X изображены на рис. 131. Эпюра позволяет опр
делить изменение расстояния между любыми двумя сеченияги
стержня, следовательно, и изменение длины любого его участка.
Определим, например, изменение длины второго участка стеюжкч
Для этого из перемещения сечения в конце участка (сечение С)
нужно вычесть перемещение сечения в начале участка (сечение fii
В результате получим
А/ — 2pl 4Pl 2pl
1вс 3EF 3EF EF '
Знак «минус» показывает, что длина рассмотренного учаси<-
уменьшилась.
3. Проверим прочность ступенчатого стержня круглого попереч-
ного сечения (рис. 132). Материал стержня -закаленная высы.'
углеродистая сталь с временным сопротивлением ов=900 МП*
Стержень растягивается силами Р—80 кН.
В связи с резким изменением поперечного сечения стержня в '
пикает концентрация напряжений. Так как закаленная сталь V
ствительна к ней, то проверку прочности нужно проводить по н*
большим местным напряжениям. Чтобы найти эти напряжен*
нужно знать коэффициент концентрации напряжений. После,яЬ'
зависит от отношения радиуса галтели к меньшему диаме I-
стержня. В нашем случае r/d = 5/20 = 0,25. По табл. 11 теорети 1
ский коэффициент концентрации напряжений а =1,2.
Рис. 132
www.vokb-la.spb.ru
135
расчетов при действии сосредоточенных сил
У
Номинальное напряжение вычисляем по меньшей площади попе-
речного сечения стержня:
Л'1-"- МПа = 255 МПа.
С мин ______ Ю~4
4
Наибольшие местные напряжения найдем на основании формулы
(4.37):
0макс=абн= 1,2-255 МПа=306 МПа.
Запас прочности
«»=——=-—-=2,95.
Омаке оОЬ
Для хрупких материалов при статической нагрузке принимают,
как уже отмечалось, коэффициент запаса прочности пв = 2,54-3.
Коэффициент запаса прочности рассматриваемого стержня лежит в
указанных пределах, т. е. стержень при данной нагрузке имеет до-
статочный запас прочности.
4. Определим размеры поперечных сечений стержней АВ и ВС
кронштейна (рис. 133, а), предназначенного для крепления блока,
пРи помощи которого будут подниматься грузы весом Q = 20 кН,
а также поперечное сечение подвески BD блока. Стержень АВ и
подвеска BD (в верхней части) имеют круглое поперечное сечение,
атериал — сталь СтЗ. Стержень ВС будет изготовлен из сосны и
н^еет квадратное поперечное сечение. Определим также вертикаль-
е перемещение узла В кронштейна.
Конструкция кронштейна позволяет при расчете приближенно
тать крепления стержней к стенке и соединение их между собой
Рнирными. Расчетная схема кронштейна изображена на рис. 133, б.
6м Р(’жде всего определим усилие в подвеске блока и равную
СилУ, действующую на узел В. Так как при подъеме груза Q
прИдТ°Р°й ветви троса, переброшенного через блок, должна быть
цеб °*ена сила, равная весу поднимаемого груза Q (если пре-
тРением), то в сечении подвески будет действовать усилие
'"<Q = 40 кН.
136
Расчеты на прочность и жесткость при напряжении и С>К£
К узлу В кронштейна, следовательно, приложена сила £== д,
=40 кН.
Для стали СтЗ допускаемое напряжение на растяжение [оп
= 160 МПа, для сосны допускаемое напряжение на сжатие
= 12 МПа. Модуль упругости для стали £с = 2 • 105 МПа, для cj
ны £л=104 МПа.
Найдем необходимую площадь поперечного сечения подвесу
BD. Нормальное напряжение в подвеске определяется по формуДе
Запишем условие прочности:
° НК 14
откуда необходимая площадь поперечного сечения подвески
М.
1а]
"’=2-5
Определяем диаметр подвески:
d,= л/-^ > 1,13л[2~,5= 1,78 см = 17,8 мм.
V л
Примем ближайший больший стандартный диаметр d=18 к*
(£=2,54 см2).
Так как предполагается, что стержни прикреплены к стене и
соединены между собой шарнирами, а нагрузка приложена в у'«.т
(к шарниру), то стержни будут испытывать только продольны»
(растягивающие или сжимающие) усилия. Чтобы определить их
рассмотрим равновесие узла В (рис. 133, в), к которому приложен
вертикальная нагрузка £ и две неизвестные силы ЛУ и Ns, дейстг-»»
щие соответственно со стороны стержней АВ и ВС и направлении
вдоль их осей.
При определении неизвестных усилий в стержнях обычно при-
нято считать их растянутыми и соответственно этому направлять
векторы сил от узла. Знак «плюс» в решении для усилия бук
подтверждать правильность сделанного предположения о нанрл*
лении усилия, а знак «минус» укажет на то, что в действительно»
усилие направлено противоположно и соответствующий стер**.
сжат. Полагая оба стержня растянутыми, следует усилия Nz и
направить так, как показано на рис. 133, в.
Для равновесия узла В в плоскости достаточно, чтобы сум
проекций всех сил, приложенных к узлу, на координатные оси х
равнялась нулю. Направим координатные оси, как показано
рис. 133, в. Тогда
2 Х= — N2— Ns cos <х = 0;
X У= — Р— Ns sin а=0.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт ct
счетов при действии сосредоточенных сил
При»2-^------------“--------------------------
Отсюда находим:
кН= —56,6 кН;
^з — sin <х-у2
^-)-^кН = 40 кН,
л/2 7 2
д2= — AM'O-s а =
е стержень АВ растянут, а стержень ВС сжат
Т Из условия прочности стержня АВ
1 J
определяем необходимую площадь его поперечного сечения:
£2>-^-=^М^м2 = 2’5 см2‘
В данном случае она оказалась равной площади поперечного
сечения подвески. Следовательно, диаметр стержня АВ должен быть
равен диаметру подвески, т. е. J=18 мм.
Необходимая площадь поперечного сечения деревянного стержня
ВС
г Nn 56.6-10 3 2 л-7 2
£з=КГ=—— м =47 см •
Сторона квадрата поперечного сечения
а=-\/47 см = 6,85 см.
Округляя до ближайшего целого числа, принимаем а = 70 мм
(/=40 см2).
Определим вертикальное перемещение шарнира В кронштейна.
Стержень АВ удлинится на величину
A/,— Nib. 40- 1,5 пне
2 —-----------------------м = 0,118 см.
2-106-103-2,54-10 ~4
Стержень ВС укоротится на величину
А/з=-Д2/з_ 56,6-1,5^ „„.f.
:——------ м = 0,245 см.
СдГз 104-103-49-10 ~4
оппУчИТЫВая’ что Деформации малы, перемещения узла В можно
Чио оПИть бедующим образом. Предположим, что стержни в шар-
“ Разъединены. От точки В направо, в направлении стержня
Вв’"°УЛОжим его удлинение ВВ', а в направлении ВС — укорочение
Мас1||С?еР>кня ВС (Рис- 133, б, г). На рис. 133, г это показано в
Схем Та^е. значительно большем, чем масштаб длины стержней на
Падет конструкции. Положение шарнира В после деформации сов-
Равн С Гочкой |,ересечения дуг, описанных из точек А и С радиусами,
Деф0 1Ми новым длинам АВ' и СВ" стержней. Вследствие малости
РМаций стержней дуги можно заменить перпендикулярами, вос-
138 Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сж
.—
ставленными в точках В' и В" к направлениям АВ и ВС. Тощ
Bt пересечения перпендикуляров определит новое положение у3
В после деформации кронштейна. Отрезок BBi изобразит полщ*
перемещение узла В, а отрезок B'Bt = Sy—вертикальную состав
ляющую этого перемещения.
Приведенное здесь построение дает возможность легко устань
вить аналитическую зависимость между перемещениями точки В
удлинениями стержней. Вертикальное перемещение узла (рис. 133 L
бу=В'В, = В, b + ЬВ' =—
tga
Д/з
sin а
Подставляя числовые значения, получим
6F= (0,118+-^|^-)см = 0,46 см.
Пример 12. Определить наибольшую величину груза Q, который момл
быть безопасно подвешен к узлу В стержневой подвески (рис. 134). Стержщ
подвески изготовлены из стали Ст2, для которой допускаемое напряжение ф
растяжение [а]—140 МПа. Диаметр стержней d=2 см.
Наибольшее безопасное нормальное усилие, которое можно допустить •
каждом стержне подвески,
Д'—|cr] F= l40-103 кН = 44 кН.
Наибольшую допускаемую величину груза Q найдем, рассматривая ра»-
новесие узла В. Приравняем к нулю сумму проекций на вертикальную w
всех сил, действующих на узел В:
£ У= — Q + 2Wcosa=0.
Отсюда
Q = 2N cos a = 2-44-0,866 кН = 76,2 кН.
Пример 13. Определить, какой должна быть площадь поперечного сечен
деревянной колонны из сосны с модулем упругости (см. прил. 9)
(рис 135), чтобы опускание верхнего конца колонны не превышало [Д/|—U-*
Для определения площади колонны запишем условие жесткости:
Д/=-^-<|Дф
где N=P.
Отсюда Л
£|Д'1 J
Подставляя числовые значения, получим
30- 10 3-2 п о |л З 2 ол 2
---------- м2 = 3-10 м =30 см .
104-2-10~3
Проверим, будет ли выполняться условие прочности при
данной "
www.vokb-la.spb.ru - Само.
шали поперечного сечения. Допускаемое напряжение на сжатие для сосны
[о_]=12 МПа (см. прил. 10). Напряжение, вызванное силой N,
о=—= 30-10 - МПа=10 МПа<|о. |=12 МПа.
F 3-10“3
Условие прочности выполняется
§ 36. Учет собственного веса и сил инерции
Собственный вес материала элементов конструкций, а также силы
инерции движущихся частей машин и механизмов являются внеш-
ними нагрузками, распределенными по объему. Ниже рассмотрены
некоторые задачи определения напряжений и перемещений при
действии таких нагрузок.
Учет собственного веса. В машиностроении, как правило, влия-
ние собственного веса не учитывается, так как машиностроительные
детали имеют сравнительно небольшие размеры, при которых влия-
ние собственного веса невелико. Однако в ряде инженерных кон-
струкций собственный вес — это одна из основных нагрузок. В слу-
чае расчета канатов шахтных подъемников, штанг бурильных
Устройств, устоев мостов, стен зданий, плотин влияние собственного
веса учитывать необходимо.
Предположим, что прямой стержень постоянного поперечного
сечения большой длины закреплен верхним концом и нагружен на
ободном конце силой Р (рис. 136, а). Определим закон изменения
^одольных усилий и напряжений в поперечных сечениях стержня,
г«1ак>Ке перемещения сечений по длине стержня, учитывая влияние
ветвенного веса.
Ко сечении стержня, находящемся на расстоянии х от свободного
»., ’ продольная сила
гд‘*)~₽ + тГх, (5.S)
J вес единицы объема материала.
Чецн ^большее значение сила имеет в верхнем закрепленном се-
Эпюра продольных усилий изображена на рис. 136, б.
Нормальное напряжение в сечении стержня на расстоянии >
от свободного конца получим, разделив усилие N (х) на площа^
сечения:
JV(x) Р .
О =----4-ух.
(5.3)
Наибольшего значения нормальное напряжение достигает в верхи ।
закрепленном сечении, которое в этом случае будет опасным:
Омакс=="Тг4“ Т^-
Г
В этой формуле первое слагаемое представляет собой напряжение
от силы Р, второе — от собственного веса. Эпюра нормальных н
пряжений приведена на рис. 136, в.
Условие прочности для опасного сечения запишется следующие
образом:
Омаке = ^+т/<[о]. (5-Э
Из выражения (5.5) получим формулу для подбора площади
поперечного сечения стержня при расчете на прочность с учет»
влияния собственного веса:
/>______Р____ (5-6)
[о]—Т/ ’
Если нагрузки на конце стержня нет, т. е. Р=0, то напряя
ние в опасном сечении, вызванное только собственным весом, t
гласно выражению (5.4),
Омаке — Те-
Условие прочности принимает следующий вид:
,^г . (5-8)
Т/<[о]. 1
Отсюда можно определить длину стержня, при которой наПРи^кень
только от собственного веса достигает допускаемого и стер ,
не может нести полезной нагрузки. Эту предельную донус
длину найдем из условий (5.8), сохранив в нем знак раве
т
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
141
К -гневного веса и сил инерции
учет^-—-————
собственного веса может произойти разрыв стержня. Это бу-
и случае, когда имаКс в выражении (5.7) достигнет величины
ДеТ Внного сопротивления. Длина стержня, при которой он разры-
вРеМД от собственного веса, называется критической. Ее получим
60 формулы (5.9), заменив допускаемое напряжение временным
Противлением материала:
(5.Ю)
*К -у
Предельная и критическая длины не зависят от площади попереч-
кого сечения стержня.
Подсчитаем, например, критическую длину для стали марки Ст2, у которой
О,=360 МПа. Вес единицы объема стали
т=7,85-104 Н/м3.
Подставляя в формулу (5.10) числовые значения, получим
360 лсол л с
^=~7.85 -104-10 ^458° МЖ4’6 КМ-
В рассматриваемом стержне (рис. 136, а) определим перемещение
сечения, находящегося на расстоянии х от свободного конца. Пере-
мещение равно удлинению части стержня, расположенной выше
этого сечения.
В сечении стержня, находящемся на расстоянии g от свободного
конца (рис. 136, а), имеем Л'(£) = РуЕЕ,. По формуле (4.9) при
f=const находим
»»= ( ( JC±i3^L=^L+^(,2_^). (S.11)
J J t-ii Ll /.L
X x
Удлинение Af стержня (или равное ему перемещение X нижнего
конца стержня) получим из выражения (5.11), положив х=0:
М-Р! । v/2
(5.12)
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой удли-
ие стержня от силы Р, второе от собственного веса.
(5 1э\ИТЫВая’ что полный вес стеРжня Q — yPi> вместо выражения
будем иметь
. Q/
(5-13)
BecJaKHM образом, абсолютное удлинение стержня от собственного
eecv Такое же, как удлинение от сосредоточенной силы, равной
1цен.^ТеРжня и приложенной в его центре тяжести. Эпюра переме-
ни сечений изображена на рис. 136, г.
СТеРх<еР>Кень Равного сопротивления. При расчете на прочность
I Ия постоянного сечения с учетом собственного веса во всех
142 Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и <•
--------------------------------------------------------------__
сечениях стержня, кроме опасного, напряжения оказываются
допускаемого, т. е. материал недогружен (см., например, рис. 136 ?
Однако можно спроектировать стержень такого переменного с
чения, у которого во всех поперечных сечениях напряженно
будут одинаковыми и равными допускаемому. Такой стержек
называется стержнем равного сопротивления растяжению или ежа
тию. Установим закон изменения площади его поперечного сеченш
Пусть стержень сжимается силой Р (рис. 137). Необходимая
площадь верхнего сечения
/?0=='Ы’’ <5-Н)
Площадь поперечного сечения на расстоянии х от верхнего кон-
ца стержня обозначим через F (х), а вес части стержня длиной х —
через Q(x). По условию напряжение в этом сечении должно равня-
ться допускаемому. Уравнение равновесия части стержня длиной
запишется так:
P+Q(x)=[o|F(x). (5.15)
Перейдем к следующему сечению, отстоящему от первого на
расстоянии dx. Площадь этого сечения будет F(x) dF(x), а вес
части бруса, расположенной выше сечения, составит Q (x)-}-yF (x,(h
В этом сечении напряжение также должно быть равно допускае-
мому. Условие равновесия части бруса длиной x-f-dx запишется
следующим образом:
P+Q (x)-f-yF(x)c/x=[o][F (х)dF (х)]. (5.16)
Вычитая выражение (5.15) из выражения (5.16), получаем
yF (х) rfx=[o] dF (х), (5-17)
или, разделяя переменные:
dF{x)_ ydx
F(*) — [о]
Проинтегрировав это выражение, найдем
lnF(x>g+C.
Отсюда
е<х)_Л+с
—О
Постоянную интегрирования С-найдем из условия, что при *1
F(x)==Fq. Тогда из формулы (5.18) получим
F° ~ & гм заК*}*'
Подставляя в формулу (5.18) значение ec=F0, наиде соПро
изменения площади поперечного сечения стержня равного
тивления:
УХ
F(x) = Foe|0' -
(5.19)
www.vokb-la.spb.ru - С амолет
143
' Лственного веса и сил ннерцин
----------------------------------------------------
Наибольшая площадь в месте закрепления (х=1)
" _IL
,. =foe|01,
Г#8*с
чИ с учетом выражения (5.14):
_______£_gVT.
F «ВВС JqJ
Найдем полный вес Q бруса равного сопротивления. Проще всего
сделать это, исходя из условия равновесия всего бруса:
^_|_Q=[o] Fмакс-
(5.20)
Отсюда
Q =[о] Fмакс Р-
Учитывая формулу (5.20), получаем
0=Р(е|о|-1).
Легко определить и укорочение стержня. Так как во всех попе-
речных сечениях напряжения постоянны и равны допускаемому, то
и относительная деформация е по длине стержня равного сопротив-
ления постоянна и равна . Абсолютное укорочение стержня
Д/=е/=-^-/. (5.21)
Ступенчатый стержень. Стержень, состоящий из отдельных участ-
ков (ступенек) с постоянной площадью поперечного сечения в пре-
делах каждого участка, занимает промежуточное место между
стержнем постоянного поперечного сечения и стержнем равного
сопротивления. В ступенчатом стержне материал используется
лучше, чем в стержне постоянного сечения, но менее эффективно,
чем в стержне равного сопротивления. Последнее полностью оку-
пается простотой изготовления ступенчатого стержня. Поэтому
такие стержни имеют большее распространение, чем стержни рав-
ного сопротивления. В виде ступенчатых стержней иногда изготов-
ляют опоры мостов.
но ^^11енчать1е стержни следует проектировать так, чтобы в опас-
м сечении, находящемся в конце каждой ступеньки, напряжения
нИяНЯлись Допускаемому. Очевидно при этом во всех других сече-
напряжения будут меньше допускаемого.
ка °7авим формулы для подбора площади поперечного сечения
ступеньки (рис. 138).
Му^^Щадь поперечного сечения первой ступеньки найдем по фор-
(5-22)
К '
Кинему концу второй ступеньки приложена сила, равная Fi [о].
Гда аналогично
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и
144
Рис. 137
Рис. 138
(5.23)
г __ г I [О]
/2— ТП— I
М—т/2
Учитывая формулу (5.22), получим
Fz=----------------• (5 24)
(J«| —vZ,)(Io|—v/2)
К нижнему концу третьей ступеньки приложена сила, равная F2j.-.
Для площади поперечного сечения третьей ступеньки формула за-
пишется следующим образом:
р —
k|- yh ’
Подставляя значения F? из формулы (5.24), получим
(5.25)
Ft=----------------------
([a]—yh) (1 о |—т/2) Co]—т/з)
Очевидно, для площади поперечного сечения п-й ступеньки формула
будет иметь следующий вид:
р _.
Q°|—tz0 Н—Yfe) (t°l—tz3)...([oJ—т/„)
Если длины всех ступенек одинаковы, то
/|=/2 = /з= • • • = (п = • • • = /т=—,
(5-26)
где т — число ступенек в брусе;
I общая длина бруса.
Тогда
Р
(5.2П
.. то41*11'
Учет сил инерции. Под силой инерции материальном
движущейся с ускорением, понимают силу, равную по ве-пИ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
145
бСТВенног° веса и сил инерции
-яедеиию массы точки на ее ускорение. Направлена сила инер-
пР°и3 сторону, обратную ускорению В реальном теле, которое
и,|И рассматривать как совокупность материальных точек, силы
МОЖоции распределены по объему тела. Они складываются с другими
И псзками и оказывают влияние на величину возникающих в нем
Н ряжений и деформаций. Часто силы инерции являются основны-
н нагрузками на Движущиеся детали.
"И При решении задач с учетом сил инерции пользуются принципом
’Аламбера, который состоит в том, что уравнениям движения точки
j пи системы точек) можно придать вид уравнений равновесия,
ели к действующим заданным силам и динамическим реакциям
связей присоединить силы инерции.
Определение напряжений и деформаций при действии сил инер-
ции рассмотрим на примере расчета тонкого [/г<(г/20)] кольца
(рис. 139, а), свободно вращающегося вокруг центральной оси.
Пусть угловая скорость вращения кольца
ял -I
Ш 30 С ’
где л — частота вращения.
Для тонкого кольца можно считать, что все его точки находятся
на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном его среднему
радиусу г.
Так как центростремительное ускорение направлено к оси враще-
ния, то силы инерции направлены от нее.
На элемент кольца длиной, равной единице, действует сила инер-
ции в виде центробежной силы, величина которой (интенсивность)
9=~<о2г, (5.28)
где г —средний радиус кольца;
F — площадь поперечного сечения;
Т— вес единицы объема материала.
Таким образом, действие на кольцо центробежных сил анало-
ГИчно действию равномерного внутреннего давления интенсив-
ностью q. Вследствие круговой симметрии системы и нагрузки в попе-
речных сечениях изгибающие моменты и поперечные силы во всех
ечениях равны нулю.
146
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и
Для определения продольных усилий N, действующих в noriei
ных (радиальных) сечениях кольца, рассмотрим равновесие по*
вины кольца (рис. 139, б). На половину кольца действуют две Си °"
N, приложенные в проведенных сечениях, и силы инерции интенсй!
ностью q.
Согласно теореме, доказанной в § 23, равнодействующая pacnJ
деленной нагрузки интенсивностью q равна произведению q на
метр, перпендикулярна к диаметру и действует по оси, проходяц.Д
через его середину, т. е. по оси у. Условие равновесия половиц
кольца при проецировании сил на ось у запишется следующим
разом:'
2N — q2r=O,
откуда
N = qr.
Нормальное напряжение в поперечном сечении кольца
N qr
F~ F ’
Подставляя значение q согласно формуле (5.28), получим
g
(5-29)
(5.30)
(5.31)
ИЛИ
(5.32)
Напряжение в кольце можно выразить через его окружную скорость
V. Учитывая, что v = ur, из выражения (5 31) будем иметь
O=JL^_ (5.33)
g
Формулами (5.31) и (5.33) можно пользоваться для приближу
ного (если пренебречь влиянием спиц) определения напряжения в
ободе маховика.
Напряжение не зависит от площади поперечного сечения калы»
Из условия прочности
(5-34
определяем допускаемую величину окружной скорости:
(5-35)
Относительное удлинение по окружности кольца в соответств*1
с законом Гука и с учетом выражения (5.31)
(5-36)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими ру
147
енного веса и сил инерции
учет^^-------------------
,атривая геометрическую сторону деформации (рис. 139, в),
щи в том, что относительное удлинение по окружности коль-
убеДи*’ отНОсительному удлинению радиуса:
ца РаБ
Е==" 2лг r г
Найдем радиальные перемещения и точек средней линии кольца.
На основании формул (5.37) и (5.36)
ff=_JL-(oV3.
Д = gE
(5.37)
(5.38)
§ 37. Статически неопределимые конструкции
Статически неопределимыми называются такие конструкции, в
элементах которых при помощи только одних уравнений статики
определить усилия невозможно. Кроме уравнений статики для рас-
чета таких систем (конструкций) необходимо использовать также
уравнения, содержащие деформации элементов конструкций.
Схемы некоторых статически неопределимых конструкций изо-
бражены на рис. 140: а — стержневой подвески; б — стержня, за-
крепленного обоими концами; в — стержневого кронштейна; г —
составного кольца; д — железобетонной колонны, состоящей из
бетона с включенной в него арматурой (стальными стержнями);
е— шарнирно-стержневой системы.
Все статически неопределимые конструкции имеют дополни-
тельные, или так называемые «лишние», связи в виде закрепле-
ний, стержней либо других элементов. Лишними такие связи на-
зывают только потому, что они не являются необходимыми для
обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяе-
мости, хотя постановка их диктуется условиями эксплуатации.
Чо условиям прочности и жесткости конструкции лишние связи мо-
гут оказаться необходимыми.
В статически неопределимых конструкциях число неизвестных,
подлежащих определению, больше, чем число уравнений статики,
оторые могут быть для этой цели использованы. Разность между
слом неизвестных и числом уравнений статики определяет число
• Шних неизвестных, или степень статической неопределимости
конструкции. При одной лишней неизвестной конструкция назы-
Т(1чТся °Дин раз статически неопределимой, при двух — дважды ста-
ИоеСКИ неопРеДелим°й и т- Д- Конструкции, изображенные на рис.
Оди’, °' г—е, имеющие по одной дополнительной связи, являются
fle Раз статически неопределимыми, а конструкция, представ-
статая На рис. 140, в, имеющая две лишние связи,— дважды
рИЧески неопределимой.
Дедиешение статически неопределимых задач. Статически неопре-
и С}кМЬ1е конструкции, элементы которых работают на растяжение
атие, будем рассчитывать, решая совместно уравнения, полу-
148
Рис.
ченные в результате рассмотрения статической, геометрической и
физической сторон задачи. При этом будем придерживаться си
дующего порядка:
1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равьи
весия отсеченных элементов конструкции, содержащие неизвестн1«г
усилия.
2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в и
формированном состоянии, устанавливаем связи между деформа-
циями или перемещениями отдельных элементов конструкции. Пет.
ченные уравнения называются уравнениями совместности дефор-
маций.
3. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука вы-
ражаем перемещения или деформации элементов конструкции чере-
действующие в них неизвестные усилия. В случае изменения те*’
пературы к деформациям, вызванным усилиями, добавляются тем-
пературные деформации.
4. Синтез. Решая совместно статические, геометрические и физи-
ческие уравнения, находим неизвестные усилия
Рассмотрим примеры расчета некоторых простейших статически
неопределимых конструкций. .
1. Пусть к стержню, закрепленному обоими концами, приложе
осевая сила Р (рис. 141, а). Определим усилия, возникающие в ни
ней и верхней частях стержня.
Статическая сторона задачи. Поскольку сила Р действует вД
оси стержня, на его концах могут возникнуть только вертикаль
составляющие реакций и /?в). Направим их произвольно —
как показано на рис. 141, а.
Для системы сил, действующих по одной прямой линии, м
составить лишь одно уравнение равновесия:
Следовательно, задача один раз статически неопределима.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
149
неопределимые конструкции
„метрическая сторона задачи. Так как концы стержня жестко
* плены, то его общая длина не изменяется. Следовательно,
з/То. <5-4°)
Физическая сторона задачи. В поперечных сечениях верхней
стержня действуют усилия NAc=Ra> а в поперечных сечениях
чаСТней —- усилия NBC— — Rr. Используя закон Гука, выразим де-
формации через эти усилия:
рАСа I N всЬ _ RaQ________Rub
r EF EF EF
Синтез. Подставляя выражение (5.41) в уравнение (5.40), по-
лучим
Ra°
EF EF
или после сокращения на EF:
RAa=RBb.
Решая совместно уравнения (5.39) и (5.42), получим
(5.41)
(5-42)
Окончательная эпюра продольных сил представлена на рис. 141, б.
2. Подобрать площади поперечных сечений трехстержневой под-
вески, расчетная схема которой изображена на рис. 142, а. Длина
среднего стержня /1 = 1,5 м, угол между осью среднего стержня и
осями боковых стержней а = 30°. Все стержни из стали марки Ст2.
Площади поперечных сечений боковых стержней /?2 = Г3. Подвеска
в узле А будет нагружаться вертикальной силой Р=80 кН.
Из расчетной схемы конструкции, а также из допущения о том,
ЧТО шарниры в узлах идеальные, следует, что при нагружении под-
вески в узле А силой в стержнях будут возникать только осевые
усилия, в данном случае— растягивающие.
Подбор площади поперечного сечения стержня при растяжении
нроектировочный расчет) проводят по условию прочности
150
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении н
о=-у<[о],
откуда, если известно усилие N, определяют необходимую площа
F>—
Найдем усилия в стержнях подвески. Конструкция один
статически неопределима, так как имеет одну лишнюю связь. ₽::
Статическая сторона задачи. Условие равновесия узла (рй1.
142, б) выражается двумя уравнениями статики:
S X=W3 sin a — N? sin сс = О;
S Y=Ni+N-2 cos a-\-Ns cos а—P=0.
Из первого уравнения следует, что N? = N3- В результате остаетс
одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:
M + 2/V2COS а=Р. (5.43)
Геометрическая сторона задачи. Так как система симметричн,,
относительно оси среднего стержня и боковые стержни растягивают
ся одинаковыми силами, то узел А при деформации подвеск
опустится по вертикали на какую-то величину б. Новое положение
узла будет Д| (рис. 142, в). Все стержни удлинятся и займут поло
жение, показанное на рис. 142, в штриховыми линиями. Удлинена
среднего стержня, очевидно, будет Д/1 = б. Удлинения боковь.
стержней получим, если из точек В и D радиусом, равным ВА
(или DA), проведем дуги через точку А и сделаем засечки на новых
длинах стержней BAi и DAi. Вследствие того, что упругие удлинена
очень малы по сравнению с длинами стержней (на рис. 142, в для
наглядности удлинения сильно увеличены), можно считать, что
углы а между осями стержней не изменяются, а проведенные дуги
заменить перпендикулярами, опущенными из узла А на новые на-
правления стержней. Тогда, как видно из рисунка,
cos а.
Физическая сторона задачи. Удлинения стержней выразим nt
закону Гука через действующие в них усилия:
д/.=4#-; (5,4
EF\ EFi
Синтез. Подставляя значения Д/1 и Д/2 из выражений (5-45)
выражение (5.44), получим
-Д£-=-ЙМоз«.
СГ? С.Г \
Выразим N? через Д'г.
N-2= N* cos “•
EFi/h
www.vokb-la.spb.ru - Самол
определимое конструкции
151
или
Д', cos а, (5.47)
а
П'Р EF2
C2=—t----жесткости соответственно среднего и бо-
где Ci /, »2
«их стержней.
К Внеся выражение (5.47) в уравнение (5.43), будем иметь
M+2VJV'“S2“ = -P’
откуД2
Р
Ni сг 2
I д-2 — cos а
' Cl
Учитывая выражение (5.47), получим N?.
Р — cos а
С1
(5.48)
Л?2 = С,
] Д-2 — cos2 а
Cl
(5.49)
Усилия Ni и Д/2 оказались зависящими от соотношения жест-
костей стержней. Поэтому в проектировочном расчете вычислить
их можно, только задавшись отношением жесткостей. В этом за-
ключается одна из особенностей расчета статически неопределимых
стержневых систем.
В случае одинаковых материалов стержней задаются не отно-
шением жесткостей, а отношением площадей поперечных сечений,
которое, разумеется, устанавливает и определенное отношение
жесткостей стержней.
Примем Fi/Fz—k. Тогда, учитывая, что h=li cos а, получим
•S.—-^2/1 _ EF2I2 cos а_ cos а
с' h£Fi~ i2EF2k ~ k ‘
Теперь усилия в стержнях М (5.48) и Ni (5.49) определятся
Кими выражениями:
A',a;__Р
1 +-j£- cos3 а
cos2 а
^ + 2 cos3 а ’
g
“’Числим эти усилия, приняв, например, k=2:
*+Д8бб3== 48,5 кН.
^J30-0,8663 1 о о 1Д
2(’+0,8663)~ 8,2 К '
(5.50)
(5.51)
152
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и
Подберем площади поперечных сечений стержней, исходяI
предположения, что напряжение в среднем стержне равно дОп д
каемому напряжению [о]= 140 МПа. Тогда
Ft =-^-=48-5' м2 = 3,46 см2,
[ст] 140
Площади поперечных сечений боковых стержней, согласно прц^
тому отношению, получим такими:
Г2=-§-=-§-= 1,73 см2.
Напряжения, с которыми будут работать эти стержни,
он = О1и=^=4^Т^-МПа = 105 МПа.
Эти напряжения меньше допускаемого, т. е. стержни имеют те
точный запас прочности.
Если из условия прочности определить площади поперечив
сечений боковых стержней Е2, а затем, согласно принятому отношь
нию, взять Fi = 2F-2, то напряжение в среднем стержне окажет
больше допускаемого. Таким образом, этот второй вариант подГюра
площади поперечных сечений следует отбросить.
Отметим, что в рассматриваемой статически неопределимой
конструкции нельзя получить равнопрочность всех ее элементов.
Начальные и температурные напряжения. Свободная сборка
статически неопределимых систем возможна лишь при весьма теч
ном изготовлении их элементов. В противном случае сборку •
нуждены осуществлять с приложением усилий, вызывающих
формации элементов, поэтому в них после монтажа системы бул
напряжения, называемые начальными или монтажными. В ста я
чески определимых конструкциях неточность размеров элемеш
не требует приложения усилий при монтаже и в элементах не в
никают начальные напряжения.
В элементах статически неопределимых систем усилия и нал!
жения возникают также при изменении температуры. , s
1. Предположим, что стержни конструкции, рассмотренной
предыдущем примере, изготовлены с заданными площадями п '
речных сечений Ft и Р2=Рз и средний стержень оказался к°Р°ч
величину А (рис. 143, а). Если величина А незначительна по ср^
нению с длинами стержней, то, приложив определенные Ус^у(
можно все три стержня соединить в узле, который займет
сборки какое-то положение А (рис. 143, б). Очевидно, при
средний стержень будет растянут, а боковые сжаты. Опр»
монтажные усилия в стержнях. ,
Статическая сторона задачи. Уравнения равновесия уз-л
143, в) следующие:
Sx = Ni sin а — Аз sin а=0;
www.vokb-la.spb.ru -
Из первого уравнения находим, что А2 = Аз- Остается одно уравне-
ние с двумя неизвестными:
д',—2Аг cos а=0. (5.52)
Геометрическая сторона задачи. Из приведенного на рис. 143, б
построения следует, что
д/2=(Д —A/,) cos а. (5.53)
Физическая сторона задачи. По закону Гука
а/2 = ^.
СГ| Ег2
(5.54)
Синтез. Подставляем значения А/, и А/2 из выражений (5.54)
в выражение (5.53), имеем
EF,
= (д
/у.л д
EFt J
cos а.
Выразим Л/2 через А, и А:
E/dcosa-
или
с2(д---COS а.
п
еся Л'2 в уравнение (5.52), получим
1 "2сг( Л —cos2 а = 0.
а находим растягивающее усилие в среднем стержне:
(5.55)
154
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и '
Сжимающие усилия в боковых стержнях определим на осноп
уравнения (5.52):
/V.__ 1 / I
2 cos а ’ (5.5j
Усилия в стержнях зависят как от отношения жесткостей, Так
от величины А.
Пусть в рассматриваемой конструкции (рис. 143) все стер»,
изготовлены из стали (Е=2-105 МПа). Площади поперечных сеЗ
ний стержней Fi=3 см2, Е2 = Ез=2 см2; проектная длина стер^
/1=2 м, углы наклона крайних стержней а=30°. После соединен^'
крайних стержней оказалось, что средний стержень короче, ч«»
это необходимо для свободной сборки, на величину А=0,15 гМ
Найдем усилия и напряжения, возникшие после сборки конструкцН|
По формуле (5.55) находим растягивающее усилие в средщ
стержне:
22.1tf.ltf.2.10-4.0,866 0 866g
^ = 1|22И^.2.1О^.О,866.2 -/°-15-10" КН=20’9 “Н-
1 +2 2.2.^.10а.3.10 °’866
Сжимающие усилия в боковых стержнях, согласно выражению
(5.56),
Л/2 = /Уз=_^-кН =12,06 кН.
Соответственно напряжения в стержнях
О1=-^-=^^ МПа=69,7 МПа;
Л^= 12.06.10 3 МПа= —60>30 МПа.
2
°2 °3 F2 2-10 4
Таким образом, сравнительно небольшая неточность, допушен‘
ная в длине стержня при изготовлении, вызывает большие начаяь
ные (монтажные) напряжения 1
2. Определим температурные напряжения в стержне АВ (Ри
144) длиной I и площадью поперечного сечения F. Модуль упр
гости материала Е, коэффициент линейного температурного РаС 'т
рения а. Стержень закреплен плотно между двумя стенками и нагр
так, что на конце А температура его повысилась на ТА, на ко
В — на Тв, а по длине стержня она изменяется по закону
7'(х)=Ъ+”^^- (5‘571
При п = 0 изменение температуры по длине стержня постоя^ „
равно Тв, при и=1 температура изменяется линейно, при
по закону параболы второго порядка и т. д.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
неопрелел»мые конструкции_
" неделим реакции закреплений
„пяжения в стержне.
11 с атическая ст°Рона задачи. При
пении температуры стержень
П°БУ ггся удлиниться. Этому пре-
сТРеМруют жесткие опоры, в резуль-
пЯТСТчего возникают реакции, на-
таТ1.«жные вдоль оси стержня
С 144)-
- я системы сил, направленных
£дной прямой, можно составить
одно уравнение равновесия:
2Х==/?л-/?в=о,
155
Рис. 144
откуда
Ra=Rb=R- (5.58)
Следовательно, задача один раз статически неопределима. Осевая
сила в стержне N = —R.
Геометрическая сторона задачи. Вследствие закрепления концов
стержня его длина не изменяется:
Д/=0. (5.59)
Физическая сторона задачи. Укорочение свободного стержня,
вызванное продольными силами, равными реакциям закреплений,
(5.60)
Удлинение свободного стержня вследствие нагрева определим
следующим образом. На расстоянии х от конца А стержня выделим
элемент длиной dx, для которого повышение температуры Т (х) может
считаться постоянным. Температурное удлинение этого элемента
Adxr=a Т (х) dx = a(^TA+^^xn^dx.
(5.61)
(5.62)
Температурное удлинение всего стержня найдем, проинтегри-
Вав выражение (5.61) по длине стержня:
п о
Ное изменение длины стержня выразится так:
Т„-ТА
4/'^+Д/г=—(5.63)
Синтез. Подставив выражение (5.63) в формулу (5.59), получим
'-Л' /
+а/(^+^р)=0, (5.64)
156
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении
откуда находим реакции опор:
*=+'++т)" (5.«)
и напряжения:
N R / т- । ТВ—ТА\ г
° F F а\Тл+ п + 1 ) Е• (5.66)
При п=0 последние две формулы переходят в формулы д-
случая равномерного нагрева стержня по длине на /\.Т=ТВ: 'л
R=aATEF и о=—аЕМ.
Рассмотрим числовой пример. Определим осевую силу и напря
жения в стальном стержне, если /=80 см, F=20 см2, £=2- Ю5 МП-
а= 125-10“7, ТА~ 10 °C, 7'д=55 °C. Температура по длине стержня
изменяется по закону параболы второго порядка (л=2).
Подставляя числовые значения в формулы (5.65) и (5.66|
найдем
Л/= —125-ПГ7( 10+ 55-J-10-)2-105-20-10 4 МН= —125 кН;
=4= - г-мПа= -62,5 МПа.
F 20-104
Заметим, что при понижении температуры в системе, подобнсй
изображенной на рис. 144, возникают растягивающие напряжения.
На основании рассмотренных в параграфе примеров можно от
метить следующие особенности статически неопределимых констру.
ций, которыми они отличаются от статически определимых:
1. Распределение усилий между элементами статически неопр
делимых конструкций зависит от жесткостей этих элементов. Ed и
увеличить жесткость какого-либо из них, то он примет на себя бо.
шее усилие. Изменяя соотношение жесткостей элементов констр'/
ций, можно любым образом менять распределение усилий в них.
2. В статически неопределимых конструкциях при изменении
температуры ее элементов по сравнению с температурой, при Я
торой осуществлялась сборка конструкций, возникают усилия и не
пряжения. v
3. В элементах статически неопределимых конструкций м°-
существовать усилия и напряжения при отсутствии внешней
грузки. Эти усилия и напряжения, называемые начальными 1
тажными), появляются при сборке конструкции. Начальные
пряжения или создаются с определенной целью (например, заТЯ
болтов, прессовая посадка), или возникают вследствие нето
изготовления отдельных элементов конструкций. ,
4. В статически неопределимых конструкциях в общем слЯ
во всех элементах одновременно нельзя получить напряжения,
ные допускаемым. При проектировании таких конструкций это
дует иметь в виду.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
157
38 Расчет гибких нитей
вершенно гибкой называется нить, которая способна сопротив-
L я только растяжению. Из шести компонентов внутренних сил
'1ЯТЬперечных сечениях такой нити только осевая растягивающая
в п° не равна нулю. В инженерной практике широко распростра-
сила сИстемы, которые с известным приближением могут рассмат-
НеНЬаться как гибкие нити. Таковы воздушные линии электрических
рИВвОдов, провода телеграфной сети, контактные провода электри-
пР°1ИрОванных железных дорог и трамваев, цепи висячих мостов,
^ осы канатных дорог и кабелькранов и т. п.
точки подвеса нити могут находиться на одном или на разных
.ровнях (рис. 145).
J При расчете на прочность длинных гибких нитей, кроме других
нагрузок, существенное значение имеет их собственный вес. Пусть
весомая гибкая нить постоянного поперечного сечения подвешена
в двух точках, расположенных на разных уровнях (рис. 145, б)
или на одном уровне (рис. 145, а). Под действием собственного веса
нить провисает по некоторой кривой.
Введем следующие обозначения:
/1 — расстояние между точками А и В подвеса нити;
/ — пролет, равный горизонтальной проекции расстояния 1г,
h — разность уровней точек подвеса нити;
f — удаление нити от прямой АВ, соединяющей точки подвеса нити,
измеренное посредине пролета;
L — длина неподвешенной нити;
q — интенсивность нагрузки на единицу длины нити.
В случае одинакового уровня точек подвеса величина f является
удалением низшей точки нити от горизонтальной линии АВ и назы-
вается стрелой провисания. Нагрузка q может быть не только соб-
ственным весом, но и включать в себя другие нагрузки, например
вес льда при обледенении проводов, давление ветра. Эти нагрузки
предполагаются также равномерно распределенными по длине нити.
Ь случае, когда нагрузка состоит из собственного веса нити, ее
интенсивность
где о
чп — вес единицы длины провода;
(5.67)
158
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и с
у — вес единицы объема материала;
F —- площадь поперечного сечения нити.
При обледенении проводов
9 — ?п + 9л,
где — вес льда на единице длины провода.
Толщину корки льда в зависимости от климатического
принимают равной 0,5 2,5 см.
Райоца
Перечисленные нагрузки действуют в вертикальной плоскости
давление же ветра на провод — в горизонтальной плоскости. Ин
тенсивность его qB определяют, умножая давление ветра р на пл0
щадь диаметрального сечения единицы длины провода:
qB=pd,
или
qB = kaqCKd, (5.69)
где £=1,2— аэродинамический коэффициент;
а = 0,85— коэффициент неравномерности ветра;
qn — скоростной напор;
d — диаметр провода с учетом его увеличения за счет об-
леденения.
Выражая qCK, Н/м, через скорость ветра v, получаем
qB = 0.636Л/. (5 70)
Здесь скорость ветра v — в метрах в секунду, а диаметр провод
d — в метрах.
Суммарную интенсивность нагрузки на провод найдем в резуль-
тате геометрического сложения вертикальной и горизонтальной на-
грузок:
<7 = \/(^+<7л)2 + ?в -
(5.71)
При этом, естественно, плоскость действия суммарной нагрузи
совпадающая с плоскостью провисания нити, не будет вертикально-
На практике провисание нити чаще всего бывает небольшим
таким, при котором длина нити по кривой провисания мало отЛ
чается от длины пролета (обычно не более чем на 10 %) Огран^
чимся рассмотрением только таких пологих нитей. В этом
упрощения расчетов с достаточной степенью точности можно
тать, что нагрузка, действующая на подвешенную нить, равно
но распределена не по длине.нити, а по длине линии АВ, с0
няющей точки подвеса (рис. 146, а). _ сГи
Для удобства вычислений эту нагрузку q заменяем стати
эквивалентной нагрузкой q, распределенной вдоль пролета »•
видно,
ql^=ql\.
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
<5-72>
Статическая сторона задачи. Рассмотрим равновесие нити. Так
как нить предполагается совершенно гибкой, то растягивающие
усилия в каждом поперечном сечении должны быть направлены
по касательной к кривой провисания нити. В точках прикрепления
эти усилия равны реакциям опор. Обозначим последние соответствен-
но через ТА и Тв. Выберем начало координат в левой точке подвеса
нити и направим оси координат так, как показано на рис. 146, а.
Заменяя реакции опор их горизонтальными и вертикальными
составляющими, запишем уравнения равновесия нити:
%х=-нА+нв=о-
^Y=-RA-RB+ql=O;2
-HAh + RAl-3^=0.
Из уравнений (5.73) следует, что
иа-=Нв=н-,
(5.73)
(5.74)
(5.75)
(5.76)
h
2 -
Так
Ре це как из тРех уравнений равновесия нельзя определить четы-
еСТНЫХ (" А, Ra, Нв и 7?в), то задача является один раз ста-
ра и неопределимой.
(рис. |4б°тРим равновесие части нити, отсеченной любым сечением
160
Расчеты на прочность н жесткость прн растяжении и
2У= —RA-\-qx-}-Ty (х)=0.
Отсюда с учетом формулы (5.75) получаем
Л (%)=//;
Ty(x)=H±-+q{±— х)
(5.77)
(5-78)
Как видно из выражения (5.77), горизонтальная составляют
растягивающего усилия в любом поперечном сечении нити постоя311
на и равна величине Н. Усилие Н называется горизонтальным на
тяжением нити.
Таким образом, растягивающее усилие в произвольном сечении
нити
Т (х)+ T‘i (х)=д/^+[ Н±- + q( х)] (5.79)
Как видно, наибольшее растягивающее усилие Гмакс действует в
высшей точке подвеса нити (при х=0):
Тмакс=д///2+(-^-+/Лу)*. В
Для пологих нитей различие между наибольшим растягивающим
усилием, действующим у более высокой точки подвеса, и натяж«
нием Н невелико. Поэтому с достаточной для практики точностью
можно считать, что растягивающее усилие в нити постоянно и равта
величине натяжения Н. По этой величине обычно и ведут расче
нити на прочность.
Выясним форму кривой провисания нити. С этой целью залп
шем уравнение для изгибающего момента в каком-либо сечении
(рис. 146, б). Поскольку нить совершенно гибкая, то во всех ее се
чениях изгибающий момент равен нулю:
ЛЦх)=/?„х-7Д/-^-=0. (5-80)
С учетом формулы (5.75) получим
<м"
откуда
т. е. кривая провисания нити выражается квадратичной пара
Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку Р
деленной равномерно по длине нити, а не по пролету, то
провисания будет цепной линией. Формула (5.82), являясь ,
членом разложения уравнения цепной линии в ряд МакМ>Р
www.vokb-la.spb.ru -
епеням х, дает для пологих нитей хорошее приближение при ре-
шении практических задач.
Определим возможные положения низшей точки кривой прови-
саНия нити. Координаты этой точки обозначим через х=а, y—f'
(рис. 147, а). В ней у имеет экстремальное значение. Для определе-
ния его возьмем производную от выражения (5.82):
g=^-+-7—<583>
н приравняем ее к нулю:
£+т~1Н0- <5-84>
Отсюда найдем значение абсциссы, определяющее положение низ-
шей точки:
Х=а=т+1Г- <5-85>
Низшая точка кривой провисания нити всегда находится ближе к
более низкой точке подвеса.
Подставляя выражение (5.85) в формулу (5.82), найдем экстре-
мальное значение ординаты, т. е. величину наибольшего провиса-
ния нити:
, Hh1 . h
8Н 2<?/2 2
(5.86)
Будем различать три характерных случая расположения низшей
чки кривой провисания нити:
' Низшая точка кривой провисания находится в пределах про-
т- е- а<1 (рис. 147, а). Согласно выражению (5.85), это бу-
иметь место, когда
2Л '
axjy Низшая точка кривой провисания лежит вне пролета, т. е.
(Рис. 147, б). Это будет при условии
2h
(5.87)
(5.88)
162
Расчеты на прочность и жесткость прн растяжении и ]
-----------------------------------------------
3. Низшая точка кривой совпадает с более низкой точкой
веса, т. е. а — 1 (рис. 147, в). Необходимое условие для этого с/10*1'
, VJiy4an
H—SL.
" 2h ‘ (5.89)
Во всех трех случаях координаты а и f низшей точки oripenf.„
ются по формулам (5.85) и (5.86). 4 • я-
Установим зависимость между натяжением Н и величиной f
Посредине пролета х = //2, а y—h/2 + f (рис. 145, б). Подставив
эти значения координат в формулу (5.82), получим
с
1 ЯН ’
(5.90)
или
j (5.91)
Выразим натяжение нити Н через наибольшее провисание f
Из формулы (5.86), решая квадратное уравнение относительно на
тяжения Н, получим
Я=-^-[Г—^-± л/ПГ —й)] (5.92)
Если низшая точка кривой провисания лежит в пределах проле
та, то перед корнем следует брать знак «минус», если вне пролета-
знак «плюс», так как в первом случае натяжение Н меньше, чем
во втором, что видно из сравнения выражений (5.87) и (5.88).
Геометрическая сторона задачи. Установим связь между длине.,
подвешенной нити, пролетом и величиной характеризующей про
висание нити. Длина элемента кривой, как известно,
______________ 2 ±
dS =~\fdx3 dy2— [ 1 + (-лг) ] 2 dx-
Если нить пологая, то величина (dy/dx)2 мала по сравнению с еди-
ницей. Раскладывая выражение [1 -\-{dy/dx)2]' 2 в ряд по форму
бинома Ньютона и ограничиваясь первыми двумя членами раз ложе
ния, получим
“ z J p-i]
Подставляя сюда dy/dx из выражения (5.83) и интегрируя по в
длине пролета, будем иметь
$_( г 1 . И
Л И 1 ‘ 2 \ 2W I Н ) \ 2411 21
Подставляя на основании формулы (5.91) H=ql2/8f, получИ
S==/+A.r+2L | (59J
1 4 3 l + 21 ‘ I
www.vokb-la.spb.ru - ‘ ямо.
163
j43 геометрических соображений удлинение AS нити длиной L
после3 подвески
-/.-/-hgr+f-i- <5-ee>
" (Ьизическая сторона задачи. Установим также физические за-
нэсти, выражающие изменение длины нити от растягивающего
вИСИця и от изменения температуры. Как указывалось, для пологих
'СИ й растягивающее усилие можно принять равным натяжению
и^При определении удлинений длину нити заменим длиной 1\, что
"’ таточно точно при малом провисании. Тогда упругое удлинение
от растяжения
Hl, . HI
— ef EF cos р
Температурное удлинение нити определяется по формуле
bSr=<^ (Г-П)=^-(Г-Гё),
где То — температура в момент подвешивания нити;
Т° — температура, для которой производится расчет
Суммарное изменение исходной длины нити
Д5=Д5Н+Д5Т =—-j—
п ЕС cos р cos р '
(5.97)
(5.98)
нити.
(5.99)
Формулы (5.96) и (5.99) выражают одну и ту же величину —
удлинение подвешенной нити. Приравняв правые части этих ра-
венств, найдем, что
l==1+^-t7t+—--------—-------— (5.100)
____24// 21 EF cos р cos р ' '
Уравнение (5.100) совместно со статическим уравнением (5.90)
позволяет определить натяжение нити Н и стрелу провисания [.
Определив из уравнения (5.100) натяжение нити Н, можем по
сеРмУле (5.79) вычислить растягивающее усилие в произвольном
ностьИИ Нити’ а значит> и Т'макс- Зная последнее, проверяем проч-
Н_____ . ,
с F |о];
етом формулы (5.91) получаем
0=: qP
[о]. (5.101)
К°т°Рая Р Счете нитей удобно ввести понятие удельной нагрузки у,
°THeceiJ ПРедставляет собой интенсивность погонной нагрузки q,
у^. q ’ k площади поперечного сечения нити:
'г'
164
Рис. 148
Если действует только собственный вес, удельная нагрузка сов
падает с удельным весом материала нити.
С учетом сказанного условие прочности можно записать так-
(5.102
Г°1-
Заметим, что при расчете электрических проводов сечение нити
определяется из электротехнических соображений, а затем выпол-
няется проверочный расчет.
Приведем расчетные формулы для часто встречающегося случая
нити с точками подвеса, расположенными на одном уровне (рис
148, а), т. е. при cos 0=1.
В этом случае Л=0, реакции в точках подвеса одинаковы:
= Rв= ql/2, наибольшее провисание [ будет посредине пролета
Как и ранее, оно связано с натяжением формулами (5.90) и (5.9 I
г Ч? .
1 8Н ’
Н=^- (5.103)
Уравнение совместности деформаций (5.100) принимает вид
Влияние изменения температуры и нагрузки на напРЯмОя<еТ
и стрелу провисания нити. В процессе эксплуатации нить
подвергаться воздействию различных нагрузок и температур-
ним, как изменяются напряжения и стрела провисания
изменении этих факторов С этой целью рассмотрим два с 1
нити: /п-е и н е (рис. 149).
-----------------------------------------—
Пусть в гд-м состоянии температура равна Тт, погонная нагруз-
-<7П, а стрела провисания — при этом натяжение Нт =
ка а напряжение в нити om = Hm/F.
^при изменении температуры и нагрузки в n-м состоянии до
пыиин Тп и стрела провисания станет fn, натяжение Hn — qnl2/8fn,
Напряжение on==//n/F.
Установим зависимость между напряжениями и стрелами прови-
ния нити для указанных двух состояний.
Задача легко решается, если записать выражение для длины нити
I к моменту подвеса через параметры обоих состояний. Если точки
подвеса нити находятся на одном уровне, то на основании уравнения
/5 104), исходя из параметров т-го и n-го состояний, соответ-
ственно получим
(5J05)
£=/+-^Г->-«/(П-7’8). (5.106)
Правые части этих двух выражений, представляющие одну и
ту же величину — длину нити к моменту подвеса, равны между
собой. Следовательно,
Отсюда, обозначая qm/F = ym; qn/F=yn и учитывая, что Нт/F=от;
Fn/F=o„, находим
yll2E
(5.107)
Эту зависимость иногда называют уравнением состояния нити.
его можно переписать также в виде
о’—
°"----(5.108)
и выразить напряжения через стрелы провисания:
’ Оп~ 8fT’
-- X-----5“
24о*
о„
рис. 149
166
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и п
------<*а' ИЦ
то уравнение (5.108) можно записать так:
f.T [й,+4«Г(Г^П)- £•<-]/.-4--Чг=о- (Ми,
Чтобы получить уравнения состояний для нитей, подвешены
на разных уровнях (рис. 148, б), в качестве исходной формул
длины L следует взять формулу (5.100). Тогда уравнение состояни
(5.107) примет вид я
у I Е cos р
1’п
24а'
пт-*^-^+аЕ (Гт-Т°,
(5.110)
Выразив, как и выше, напряжения через стрелы провисания
получим
(П-Гт)_____3_
cos р 64
7-Z\ =0. (5.111)
//,„ cos р J 64 Г. cos р ' I
Выведенные выше кубические уравнения могут быть решены
любым известным методом, в том числе и графическим.
При графическом решении, например, уравнения (5.109), имею-
щего вид
fl —afn—b=0,
где а и b - - известные числа, запишем его так:
fl=afl + b. (5.112)
В прямоугольных координатах строим графики y=fl и У~
=afn-f-b (рис. 150). Очевидно, что абсцисса точки пересечения
кубической параболы с прямой дает действительный корень урав-
нения, а значит, и искомую стрелу. Два других корня кубического
уравнения мнимые.
В случае необходимости уточнить полученное графическим спо
собом решение можно применить способ Ньютона:
где
F (fl) = Гл - afn - b-
F' (fl)=3fl-a.
Понятие о критическом пролете^Р^
четом на прочность нужно также у
вить, при каком состоянии нити в неи
максимальное напряжение. Оно ***4
быть: (ra^-qC-
а) при наибольшей нагрузке \
и умеренный ветер или отсутстви
леда, но сильный ветер);
www.vokb-la.spb.ru -
167
ГИбк^»нтеЧ
при самой низкой температуре без гололеда.
т к как наибольшая нагрузка не совпадает во времени с наи-
13 низкой температурой, то для расчета важно установить, какое
6°** состояний будет опасным. Выясним влияние нагрузки и
и3 э оатуры на напряжения в зависимости от длины пролета нити.
теМИсхоДИМ из уравнения состояния (5.107). В случае весьма малых
петов, положив в этом уравнении 1—0, найдем, что
гт-п),
е при малых пролетах изменение напряжения зависит главным
Боазом от температуры. С уменьшением температуры Т° напряже-
ния «л растут и наибольшие напряжения в нити имеют место при
низшей температуре.
Рассмотрим теперь случай весьма больших пролетов. Разделив
уравнение (5.107) на /2 и положив получим
Оп=— °"'-
Т-л
Следовательно, если пролеты велики, то изменение напряжения в
основном зависит от нагрузки на нить. Наибольшие напряжения
будут действовать при максимальных нагрузках.
Найдем такую длину пролета, при которой напряжения в нити
одинаковы в обоих опасных состояниях, т. е. как при наибольшей
нагрузке, так и при наиболее низкой температуре. Такой пролет
называется критическим (/кр).
Пусть Тп соответствует температуре гололеда, т. е. 7^ = 7?OJI
(обычно 7?ол=—5 °C), при этом уп = умакс; Т°т соответствует низ-
шей температуре, т. е. 7’т = 77Ии; на нить в этом случае действует
только собственный вес, так что ут = у\.
При / = /кр, согласно определению,
°л = иП1 = [о].
Внося эти данные в выражение (5.107), находим, что
[о]~у/ Пол Пии) {J- |
Тмак< — Y?
Вит^°Г10ставляя расчетный пролет с критическим, можно устано-
нИе ’ пРи каких условиях в нити действует наибольшее напряже-
течп ак> если /</кр, то наибольшее напряжение будет при низшей
РатУРе. В случае />/кр опасное состояние будет при наиболь-
еа(0]ПРимсР ’4. Многожильный медный провод сечением F — 120 мм2 подвеши
на Т Г1Ри гсмпературе То = 15 С к опорам, расположенным на одном уровне
Расстоянии 1=100 м.
чТоУпРеделить: а) какую стрелу провисания ft> необходимо дать проводу,
' напряжение в наиболее опасном состоянии равнялось допускаемому;
168 Расчеты на прочность н жесткость при растяжении и г '
------------------------------------------------------------------__
б) высоту точек подвеса провода, чтобы расстояние его низшей точк
земли было не менее 6 м.
Расчет провода провести для следующих случаев:
1) температура Т‘,'ол=—5 “С; при этом провод кроме собственного
нагружен слоем льда толщиной 1 см (гололед), а также горизонталь^8
давлением ветра р = 240 Па;
2) температура Т^м,— —40 °C; действует только собственный вес пром.
3) температура Па«с=+40 °C; действует только собственный вес п^’
вода. ₽°-
Первый и второй случаи могут оказаться опасными с точки зрения ппОи
ности провода. В третьем случае может образоваться наибольшая стрел
провисания, по которой следует определить минимальную высоту точек под
вешнвания провода
В соответствии с сортаментом проводов многожильный медный провод
сечением £=120 мм2 имеет диаметр d = 14,2 мм и вес погонного метра его
^„=10,9 Н/м. Модуль упругости материала провода £=1,3-10“ Па, коэффц
циент линейного температурного расширения а = 17-10~6 1/°С. Допускаемое
напряжение для провода [а] = 80 МПа.
Найдем нагрузку в первом случае Для определения веса льда необ
ходимо знать внутренний и наружный диаметры ледяного покрова. Внутрен
ннй диаметр его равен диаметру провода, т. е. d = l,42 см; наружный диаметр
D при толщине ледяной оболочки I см будет £> = 3,42 см. Площадь попереч-
ного сечения ледяного покрытия провода
n(O2-d2) 3,14 (3,422—1.422) 2 2
4 4
При удельном весе льда уа = 9- 103 Н/м3 нагрузка от льда на погонный
метр провода
9-103-76
9л=Тл£л=-----jpf-Н/м =6,84 Н/м.
Давление ветра иа погонный метр обледеневшего провода
94л. Ч 49
9в=рР=^рН/м=8,21 Не-
полную нагрузку на погонный метр обледеневшего провода найдем гео
метрическим сложением суммарной вертикальной и горизонтальной нагрузок:
=-\/(9nT^)2 + ^=\/U0,904-6,84)24-8,212 Н/м = 19,6 Н/м.
Выясним, в каком из первых двух состояний провода напряжения в нем
будут большими. Для этого находим
уМакс=-^^-= jS’o- 4 Н/м3 = 16,3-I04 Н/м3;
10 9
Т|=-Г27^тН/м’=9.08-104 Н/м3.
По формуле (5.113) определяем длину критического пролета:
24-17-10 6[ —5—(—40)1,
(16.32 — 9,082) 10s
м =
-о __т-о ,
- гол • мин,
Уйакс —УТ
= 70,6 м«71 м.
КрНТВ
Так как действительная длина пролета Z=i00 м больше дли сацсИ
ческого пролета, то большее напряжение в проводе о„а№ будет ПР тОяН(|И
мальной нагрузке (9>,акс=19,6 Н/м и 7?ол=—5 °C), т. е. в первом и-
Приняв оиакс = |о], найдем стрелу провисания провода в этом состо
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
гибких нитей
169
q^l! '9-6-10°2 25л м
/' 8-1.2-10-4-80- 10h 2,54
Определим, какую стрелу провисания нужно дать проводу при подве-
пивании Для этого воспользуемся зависимостью (5.109), приняв qm=qKltKt.=
==19,6 Н/м; /„=/,=2.54 м, П = ТГ°ОЛ= -5 °C; qn = q„=l0,9 Н/м; П = Г8=
= 15 °C; fn—fo-
Подставляя числовые величины в уравнение (5.109), получим уравнение
для определения f0:
«-[2Я’+|-17- IO1-К* OSf ,]
3-10,9-100’ _п
"(гГ1.2-Ю ’-1,3-10" U
Проведя вычисления, будем иметь
$—5,41$ — 3,28=0.
Решая уравнение, выясняем, что
$ = 2,58 м.
Найдем теперь, какую стрелу провисания получит провод при 7'^аКс = 40 °C.
Для этого вновь воспользуемся зависимостью (5.109), приняв qm=q„ =
= 10,9 Н/м; /„=$=2,58 м; 7^ = 72=15 °C; 9я = 9„ = 10,9 Н/м; Т° = Пакс =
=40 °C; /„=$.
Подставив числовые значения, получим
й 1’-ю *. к»*<40- ю>-64.зд3;'2°:’;0|-У,.3.,0,|] ь-
3-10,9-100’
64-1,2-10 ’-1,3-1011-0’
или
fl—7/3 — 3,28=0.
Решив уравнение, найдем, что
Л = 2,85 м.
Стрела провисания в третьем случае больше, чем после подвешивания
(при 7-8=15 °C), а также больше, чем в первом случае. Очевидно, она больше
стрелы провисания, которую будет иметь провод и во втором случае (при
ГК.„=— 40 "С).
Для того чтобы низшая точка провода находилась на расстоянии не ме-
нее 6 м от земли, нужно точки подвеса расположить не ниже 6 м-|-2,85 м =
—8,85 м
170 Основы теории напряженного и деформированного о
---------------------------------------------—
Глава 6 1
Основы теории напряженного
и деформированного состояния
§ 39. Напряжения в точке
Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела
при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное
расположение частиц, а возникающие при этом напряжения Пре.
пятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев
некоторой малой величиной.
В соответствии с гипотезой о сплошности материала следует
считать, что каждая частица тела в сколь угодно малой окрест
ности имеет бесконечное множество других частиц, окружающих
ее по всем направлениям. Расположенная в данной точке частица
по-разному взаимодействует с каждой из этих соседних частиц.
Поэтому в одной и той же точке по разным направлениям напря-
жения различны и только в очень редких случаях они одинаковы по
всем направлениям.
Исследуя напряженное состояние тела в данной точке А, в
окрестности ее обычно выделяют элемент в виде бесконечно малого
параллелепипеда (рис. 151, а), который в увеличенном масштабе
показан на рис. 151, б, где начало координат совмещено с точкой Л,
а координатные оси направлены вдоль соответствующих ребер,
так что грани параллелепипеда перпендикулярны к направлениям
декартовых осей х, у, г. К этим граням приложены внутренние
силы, заменяющие воздействие удаленной части тела. Обозначим
полные напряжения на гранях элемента через рх, ру, рг. Здесь ин-
дексы обозначают нормаль к площадке, на которой действует на-
пряжение. Ввиду малости выделенного элемента можно считать,
что напряжения на каждой его грани распределены равномерно
Полные напряжения на гранях элемента представляют нормаль-
www.vokb-la.spb.ru -
и и касательными составляющими — проекциями полных на-
НрЯжений на координатные оси (рис. 151, в).
Н Нормальные напряжения обозначают буквой о с индексом, со-
ответствующим направлению нормали к площадке, на которой они
действуют. Касательные напряжения обозначают буквой т с двумя
индексами: первый соответствует направлению нормали к площад-
ке, а второй направлению самого напряжения. Так, на площадке,
перпендикулярной к оси х, действуют напряжения ох, тху и тхг; на
площадках, перпендикулярных к осям у и г, имеем оу, тух, ту2,
бг, т«, ЪУ (рис. 151, в).
Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда,
выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действуют
девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей
квадратной матрицы:
Вх Тхр тх2
Ъух
^zx TZy Ог
где в первой, второй и третьей строках расположены составляющие
напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных к
осям х, у, г. Эта совокупность напряжений называется тензором
напряжений.
Далее будет показано, что если известен тензор напряжений,
т- е. совокупность напряжений на трех взаимно перпендикулярных
площадках, то можно вычислить напряжения на любых площадках,
проведенных в окрестностях точки.
введем правило знаков для компонентов напряжений. Нормаль-
1е напряжения, как уже указывалось в гл. 4, считаем положитель-
С)^МИ’ если они вызывают растяжение, и отрицательными — если
с п УСТЬ направление внешней нормали v к площадке совпадает
(решительным направлением какой-либо координатной оси
эТод‘ *52, а)_ Тогда положительное нормальное напряжение на
нап ПЛ0|Цадке (на рисунке это ох) также совпадает с положительным
пдОцавлением координатной оси. Касательные напряжения на такой
с°отвр;1Ке СЧитают положительными, если они направлены в сторону
В ед Тствующих положительных направлений координатных осей.
тельщ,ае’ Ког'1а внешняя нормаль к площадке совпадает с отрица-
*м направлением координатной оси (рис. 152, б), все три со-
172
Основы теории напряженного и деформированного с
------------------------—----------------—-
ставляющие напряжения на площадке считают положительн
если они направлены в сторону отрицательных направлений с
ветствующих координатных осей.
Итак, в соответствии с этим правилом, компоненты напряжР
на рис. 152, а, б положительны. Заметим также, что все напряжен*^
на гранях элемента, изображенного на рис. 151, в в осях х и Ия
положительны.
§ 40. Закон парности касательных напряжений.
Главные площадки и главные напряжения
Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях
элементарного параллелепипеда, независимые. В этом легко убеди-
ться, составив условия равновесия элемента в отношении его вра-
щений (рис. 151, в). Для этого приравняем к нулю сумму моментов
всех сил, приложенных к граням элемента, относительно осей х
У, г:
2 Мх=0; 2 М#=0; 2 Мг=0.
Составим уравнение моментов относительно оси z. Силы, па-
раллельные этой оси и пересекающие ее, в уравнение не войдут.
Моменты сил axdydz на двух гранях, перпендикулярных к оси х,
уравновешиваются, равно как и моменты сил aydxdz на верхней и
нижней гранях элемента. Таким образом, получаем rxydydzdx-
—Tyxdxdzdy=G. Отсюда следует:
^ху == ^ух-
Аналогично из двух других уравнений находим:
^yz — T^zy , TZx — Txz -
Итак, имеем равенства
_ . _ __ т _т (6.1)
1ху— 1ух> lyz— ^гу* Lxz— izx> '
называемые законом парности касательных напряжений. Он гласит
касательные напряжения на двух любых, но взаимно перпенж
кулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пер^
сечения площадок, равны по величине. При этом они стрем
повернуть элемент в разные стороны. Следовательно, благодаря свои
ству парности касательных напряжений число независимых ко
центов напряжений в каждой точке тела уменьшается с девя
шести. ме-
При изменении ориентации граней выделенного элемент (
няются также действующие на его гранях напряжения. ‘ РиаПря-
можно провести такие площадки, на которых касательные е.
жения равны нулю. Площадки, на которых касательных на
ний нет, называются главными площадками, а нормальные
жения на этих площадках — главными напряжениями. В § 4и1леют’
показано: как бы ни было загружено тело, в каждой его точке
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
173
ти касательных напряжений
крайней мере, три главные площадки, причем они взаимно
ся. 'Хдикулярны. Следовательно, в каждой точке могут действо
пеРП и три главных напряжения и они тоже взаимно перпендику-
вать Направления, параллельные главным напряжениям, назы-
лярньг главными направлениями напряжений или главными осями
^данной точке.
в равные напряжения условимся обозначать <л, о2 и 03; при этом
н1сксы следует расставлять так, чтобы выполнялось неравенство
(6-2)
о,>°2>03’
г]0Нимать это неравенство следует в алгебраическом смысле. По-
тому. если, например, одно из главных напряжений равно нулю,
-ругоё (растягивающее) составляет 60 МПа, третье (сжимающее)
_LHo— 140 МПа, то их обозначают так:
О|=60 МПа; 02 = 0; о3= —140 МПа.
Таким образом, в точках нагруженного тела можно выделить
элементарные параллелепипеды, на гранях которых действуют
только нормальные — главные напряжения.
Напряженное состояние, в котором только одно главное напря-
жение отлично от нуля, а два других равны нулю, называется
одноосным или линейным (рис. 153, а). Если два главных напря-
жения отличны от нуля, а одно равно нулю, то такое напряжен-
ное состояние называется двухосным или плоским (рис. 153, б).
Когда все три главных напряжения отличны от нуля, имеем трех-
осное, или объемное, напряженное состояние (рис. 153, в).
Кроме того, различают однородные и неоднородные напряжен-
ные состояния. В однородном напряженном состоянии напряжения
одинаковы в каждой точке какого-либо сечения и всех параллель-
ных ему сечений. В случае однородного напряженного состояния
Размеры выделенных элементов не играют никакой роли, так так
напряжения одинаковы во всех точках одной (любой) грани и, сле-
довательно, равномерно распределены по каждой грани.
В неоднородном напряженном состоянии элемент следует по-
‘ гать бесконечно малым. Тогда предположение о равномерном
с,1РеДелении напряжений по его граням выполняется с точностью
малых второго порядка.
174
Э.1(
1Ноц
касательных напряге,
положения площадок
______________ -J Нд
Основы теории напряженного и деформированного
Следовательно, независимо от того, однородное или неодно
ное напряженное состояние будет во всем теле, выделенные
менты рассматриваем пребывающими в однородном напряжен31'
состоянии.
При расчете элементов конструкций на прочность опреде„
экстремальные значения нормальных и кягятрльныт *°т
в точках нагруженного тела, а также г ___
которых они действуют. Решая такую задачу, полагают, что
пряжения на гранях параллелепипеда, выделенного в точке, извес»
ны и требуется найти напряжения на любых площадках, Пров(
денных в окрестности точки. Она легко решается из рассмотреци
равновесия части параллелепипеда, отсеченной данной площадкой*
Наиболее просто решить поставленную задачу, если первоначачь-
ный элемент выделен главными площадками, а исходными являются
главные напряжения.
§ 41. Линейное напряженное состояние
Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии,
можно выделить в окрестности некоторых точек стержня, работаю
щего на изгиб или сложное сопротивление, но главным образом на
растяжение или сжатие.
Рассмотрим призматический стержень, испытывающий проста
растяжение (рис. 154, а). Как указывалось, в сечениях, достаточно
удаленных от точек приложения сосредоточенных сил, напряжения
распределяются равномерно. В поперечных сечениях (вообще го
воря, произвольной формы) нормальные напряжения (см. § 27)
N Р
°° Fo Л> '
Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти
сечения являются главными площадками.
Перейдем теперь к определению напряжений в неглавных, на'
клонных площадках. В дальнейшем элемент, находящийся в линеи
ном (а также и в плоском) напряженном состоянии, будем изо Р
жать в виде плоской фигуры (рис. 154, б). т
Пусть внешняя нормаль па к проведенной площадке состав
с осью стержня (а следовательно, и с линией действия ПР •
женной силы) угол а. Условимся считать угол а положитель
если он отсчитывается против часовой стрелки. Очевидно, таКОрр0-
угол а составляет площадка с поперечным сечением стержня-^^ ь
ведем также наклонные оси xi, у\, направляя ось у\ по нор
площадке, а ось xi — вдоль площадки. кр2т-
Проведенную таким образом наклонную площадку ” п0.1
кости будем обозначать (а)-площадкой, а действующие на fi вр-
ные, нормальные и касательные напряжения — ра, оа, т“- й ч
числения этих напряжений применим метод сечений. СчиТ ’од| -
наклонная площадка рассекла стержень на две части, отброс
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
175
из них, например верхнюю, и рассмотрим равновесие оставшейся,
нижней части.
Осевая сила в сечении N — P представляет собой равнодей-
ствующую полных напряжений ра. Считаем, что они направлены
параллельно осевой силе и равномерно распределены в точках про-
веденного сечения, площадь которого
° cos а '
Следовательно,
(6-4)
paF а — N -
Отсюда
N N
Ра=-=—=-— cos а = оо cos а. (6.3)
Проецируя ра на нормаль па и на плоскость сечения, получим
выражения для нормальных и касательных напряжений на наклон-
ной площадке (рис. 154, в):
°-=Ра cos а;
Та=Ра sin а,
или с учетом (6.3):
0a=oecos2 а; (6.5)
r°=-y-sin2a. (6.6)
ложДлЯ напРяжений на наклонных площадках можно принять из-
°сям Н/Н°е в § 39 правило знаков, но применительно к наклонным
Касзт ис' '35 а, б). Отметим, что при повороте осей на 90° знак
Р ельного напряжения меняется на обратный.
НсхОлСлУчае линейного и плоского напряженного состояния обычно
)Кенид.Т из более простого правила знаков для касательных напря*.
ТеЛьнь касатель,*ое напряжение на площадке считают положи-
ИецТа‘М' если оно стремится повернуть рассматриваемую часть эле-
С1Релк °Тн°сительно любой точки, взятой внутри ее, по часовой
1 На рис. 154, в напряжения оа и та положительны.
Рис. 155 Рис. 156
Как видно из формул (6.5) и (6.6), при а=0 в поперечных сече-
ниях стержня (рис. 154, а, площадка /) та=0, а оа=о0, т. е. имеет
наибольшее значение. При а = — (рис. 154, а, площадка //) oQ и та
равны нулю.
Аналогично можно показать, что во всех сечениях, параллель-
ных оси стержня, нормальные и касательные напряжения равны
нулю. Таким образом, при простом растяжении (сжатии) в каждой
точке тела главные площадки перпендикулярны и параллельны его
оси, а главные напряжения на них соответственно
при растяжении
Д' „л-
О|=О(| = -?г-; О2 = оз=и,
Го
при сжатии
си — ог = 0; оз=—оо.
Из выражения (6.6) видим, что касательные напряжения до-
стигают своей наибольшей величины при а=±45°, причем
т —о>
la макс— •
Пример 15. Определить нормальные и касательные напряжения на нс
клонных площадках для элементов, показанных на рис. 156. а—в
Для элемента на рис. 156, а О|=аг — 0; аз =—50 МПа; 0=30°, 01
о„=—50 cos* 2 30° =—37,5 МПа;
50
т„==---— sin 60° = —21,7 МПа.
" _ =С.
Для элемента, показанного на рис. 156, б, о, = 50 МПа; as—
a=—30" и, значит,
а« =50 cos2 (—30°)=37,5 МПа,
то=|~ sin ( —60°)= — 21,7 МПа.
2 ____50 МП
Для элемента, показанного на рис 156, в, а> = О2=0; Оз —
а = —30°, следовательно,
оа= — 50 cos2 (-30")= - 37,5 МПа;
50
т„=—у sin(—60”)=21,7 МПа.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими ру
177
^^апряженное состояние_______________
42 Плоское напряженное состояние
п и исследовании напряженного состояния элементов конструк-
* аиболее часто приходится иметь дело с плоским (двухосным)
111111 яженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе
на^сукн°м сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся не
сколько подробнее.
*- Все определения и правила, которые были введены в предыду-
параграфе, остаются в силе и для плоского напряженного
^стояния Поскольку, однако, здесь имеются два отличных от нуля
спавНых напряжения, необходимо уточнить условие для отсчета
Г'гчов, характеризующих наклон площадок. Будем считать, что
этот угол всегда отсчитывается от направления алгебраически
большего из двух отличных от нуля главных напряжений до нор-
мали к наклонной площадке, причем всегда берется острый угол,
но с учетом его знака.
Определим напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим
элемент (рис. 157), грани которого являются главными площад-
ками. По ним действуют положительные напряжения О| и о2, а
третье главное напряжение оз=0 (главное направление, соответ-
ствующее Оз, перпендикулярно к плоскости чертежа).
Проведем сечение /—/, которое определит площадку (а), харак-
теризуемую положительным углом а. Напряжения оа и т„ по этой
площадке будут вызываться как действием оь так и действием о2.
Применяя принцип суперпозиции, т. е. рассматривая данное плос-
кое напряженное состояние как наложение двух ортогональных
одноосных напряженных состояний, можем записать
0о = 0'-|-О"-
гДе и Та— напряжения, вызванные действием oi;
оа и т" — напряжения, вызванный действием о2.
Чтобы вычислить Оа и Та, воспользуемся непосредственно фор-
мами (6.5) и (6.6):
°«==O| cos2 а;
tu"Ysln 2«-
Уче^Ля опРеделения о" и т" следует
1еНИ(1Ь’ ЧТо па образует с направ-
в п М °2 Угол 90° — а. Тогда, имея
^ДУ, что sin 2[—(90°- а)] =
Поду?‘п 2«; cos2[—(90°—а)] = sin2a,
, °2 sin2 а-
TSin 2а.
178
Основы теории напряженного и деформированного |
Сложив, найдем, что
2 1 -2
cFa = ni cos a-|-O2 sin a;
6T1 -(J2 • Г*
та~—-—sin 2a.
(6.7)
(6.8)
Напомним, что сжимающие главные напряжения подсгавх
в эти формулы со знаком «минус», а угол а отсчитываю/1
алгебраически большего главного напряжения.
Воспользуемся формулами (6.7) и (6.8) для нахождения
пряжений на площадке, перпендикулярной к площадке (а). у/’
вимся такую площадку обозначать (Р). Нормаль пр к ней (рИс 157
сечение //—//) образует с направлением cti угол
р=_(90°-а).
Формулы (6.7) и (6.8) верны для любых а. Подставив в них
вместо а указанное значение р, будем иметь
• 9 । 2
op = oi sin a-f-02 cos a;
тр = — P|-?.2 sin 2a.
(6.9)
(6.10)
Совокупность формул (6.7) — (6.10) дает возможность нахо-
дить напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклон
ным площадкам, если известны главные напряжения. Проведем
анализ этих формул.
Складывая левые и правые части равенств (6.7) и (6.9), обна
руживаем, что
Оа + ор = о1+о2, (6.П)
т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикх
лярным площадкам не зависит от наклона этих площадок и рав
сумме главных напряжений. Иначе это свойство может быть сф°1
мулировано так: сумма нормальных напряжений по двум вззи'
перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к
ну этих площадок.
Из формулы (6.8) или (6.10) видим, что, как и в 0ДН0<лнаИ.
напряженном состоянии, касательные напряжения достигают^^
большей величины при а = ±45°, т. е. по площадкам,
к главным площадкам под углом 45°, причем
_ О1 —<*2
Та макс — g
Сравнивая формулы (6.8) и (6.10), находим, что
Тр- Та*
Это равенство выражает закон парности касательных
Знак «минус» в (6.13) соответствует введенному в nuJ—
знаков для касательных напряжений, согласно которому
тельные касательные напряжения стремятся повернуть э
часовой стрелке.
на клоненН'--
(6.12)
(6.13)
напря*е5’
§39 Л*'
ому п° т *0
www.vokb-la.spb.in -
179
,чг,пяженяое состояние
нец выясним, при каком наклоне площадок действующие
**аЬ иормальные напряжения имеют экстремальную (наиболь-
по наименьшую) величину. Для этого продифференцируем
^-^жение (6.7) по а и приравняем производную к нулю:
ВХ« —- —2oi cos a sin а-|-2о2 sin а cos а = —(oi —о2) sin 2а = 0.
"da'
Отсюда или
С1==°2’
или
sin 2а=6.
В первом (частном) случае (равномерное всестороннее растя-
жение в плоскости) из формул (6.7) —(6.10) получаем
Оо==0р==оь та=т₽=0.
Это значит, что любая площадка здесь главная. На всех этих
площадках действуют одинаковые напряжения.
Во втором (общем) случае имеем
а=0°; а=90°.
Но площадки, характеризуемые этими углами,— главные площадки.
Таким образом, приходим к заключению, что экстремальными
для нормальных напряжений оа будут величины главных напряже-
ний, причем
макс == О j,
поскольку при а = 0 вторая производная
~ —2 (oi — о2) cos 2а
отрицательна, и
®« иин — О2,
т»к как при а = 90°
I
I 3НачВСеХ 1|аклонных площадках нормальные напряжения имеют
пНия. промежуточные по величине между щ и о2.
^Рал ВеДем тепеРь еще Два сечения (рис. 157): сечение 111—Ill,
НаЛеЛЬПОс I—и сечение IV—IV, параллельное //—//. Посколь-
Плщца'Ражсвное состояние элемента однородное, напряжения по
?.Кам’ образованным сечениями ///—111 и IV—IV, будут та-
Чце е’ как соответственно по площадкам (а) и (Р). Поэтому
выделенный четырьмя сечениями из элемента ABCD
а), будет иметь вид, показанный на рис. 158, б. Оба
180
Основы теории напряженного и деформированного сдЗ
элемента определяют одно и то же напря-
женное состояние, но элемент ABCD
представляет его главными напряжения-
ми, а элемент abed напряжениями на
наклонных площадках.
В теории напряженного состояния
можно разграничить две основные задачи.
Прямая задача. В точке известны положения главных площадок
и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нор
мальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным
под заданным углом а к главным. Иначе говоря, дан элемент аЬО
(рис. 159) с действующими по его граням главными напряжениями
требуется найти напряжения на гранях элемента UifciCidb
Обратная задача. В точке известны нормальные и касательные
напряжения, действующие в двух взаимно перпендикулярных пло-
щадках, проходящих через данную точку; требуется найти главные
направления и главные напряжения. Иначе говоря, дан элемент
OibiCidi (рис. 159) с действующими по его граням нормальными
и касательными напряжениями; нужно определить положение эле
мента abed, т. е. угол «о, и найти главные напряжения.
Обе задачи можно решать как аналитически, так и графическ
§ 43. Прямая задача
в плоском напряженном состоянии. Круг напряжении
Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (6.7)
Проанализируем напряженное состояние, воспользовавШи
простым графическим построением. Для этого введем в расе
ние геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольн
ординатным осям о и т, т. е. по оси абсцисс будем отклад
значения главных напряжений, а также напряжений оа и <ш
оси ординат значения та и тр. Порядок решения опишем
мере напряженного состояния, изображенного на рис. lov
Выбрав для напряжений некоторый масштаб, отклады
оси абсцисс (рис. 161) отрезки
ОА ==оь
0В — О2
www.vokb-la.spb.ru - Само
в плоском напряженном состоянии. Крут напряжений
Мор Христиан Отто (1835—1918), профессор. Разработал
графоаналитический метод построения упругой линии в
статически определимых и статически неопределимых си-
стемах. Создал теорию расчета статически неопределимых
систем методом сил и, в частности, разработал метод рас-
чета неразрезных балок с помощью уравнения трех момен-
тов. Предложил представлять напряженное состояние в
точке при помощи кругов. Разработал теорию прочности
для материалов, различно сопротивляющихся растяжению
и сжатию.
j4a АН как на диаметре строим окружность с центром в точке С.
Построенный круг носит название круга напряжений или круга
Мора.
Координаты точек круга соответствуют нормальным и касатель-
ным напряжениям на различных площадках. Так, для определения
напряжений на площадке, проведенной под углом а (рис. 160),
из центра круга С проводим луч под углом 2а до пересечения с
окружностью в точке Da (положительные углы откладываем про-
тив часовой стрелки). Докажем, что абсцисса точки (отрезок
ОКо) равна нормальному напряжению оа, а ордината ее (отрезок
КА) — касательному напряжению та.
Радиус круга
ОА—ОВ 0| — а2
2 — 2 ’
Поскольку центр круга С лежит посредине между точками Л и В, то
0С~—ОЛ-род 0|4-02
2 2
Далее,
182 Основы теории напряженного и деформированного С0(
Тогда абсцисса точки Da
OKa=~OC~+Cl<a=-G,^-G2 +-°~-cos 2а = о, 1+-c°s-2g +
+ 02 -1 ~c^s -2—= о 1 cos2 а + о2 sin2 а.
Из треугольника CDaKa ордината точки Da
KJK = R sin 2а = ° ~0? sin 2а. (6 j5
Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотрение
найдем, проведя луч под углом 2р = 2[а+(л/2)]=2а+л и пц-
чив в пересечении с окружностью точку £)р. Очевидно, ордина
точки £)р
W₽=-ra;=—£if^sin2a=Tp (6.16)
и, наконец, абсцисса точки £)р
07(р = ОС"—СЛр=-^4^-----?'Т~~' cos 2a = О) sin2 a 4-о2 cos2 а=и,
(6.17)
Сравнивая формулы (6.14), (6.15) с формулами (6.7), (6.Н
видим, что действительно
O/Ca^^Oa, — Ta,
что и требовалось доказать.
Следует подчеркнуть, что две точки круга — Da и £>р, характе-
ризующие напряжения на двух взаимно перпендикулярных пло-
щадках (а) и (Р), всегда лежат на концах одного диаметра DaD$-
Построенный круг Мора полностью описывает напряжен)
состояние элемента, изображенного на рис. 160. Если менять уш
а в пределах от —90° до 4-90°, то наклонные площадки (а) и '
займут последовательно все возможные положения, а точки
Df. опишут полный круг. В частности, при а=0, когда грани q
ет станут главными площадками и по ним будут действовать^^
www.vokb-la.spb.ru - Само
адача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений
из точки Da линию, парал-
161)—горизонталь], до пере-
енИя, что и на гранях элемен-
напр?*л точка Da совпадает с А
Ta,ic 161>- а с В
,Р Как и в слУчае кРУга инерции,
„ м на круге напряжений поло-
НаИ ие полюса. Для этого из какой-
точки круга проведем прямую,
л „аллельную нормальному напря-
пар до на площадке, которой эта
^чка соответствует. Так, проведя
печную оа [в нашем примере (рис.
сечения с кругом, найдем искомый полюс — точку М. Если бы
этом мы исходили из точки Dp, то следовало провести линию,
параллельную напряжению о₽, т. е. вертикаль.
Как и при рассмотрении кругов инерции, можно показать, что
линия, соединяющая полюс М с любой точкой круга, параллельна
"направлению нормального напряжения на площадке, которой эта
точка соответствует. Так, например, линия МА параллельна глав-
ному напряжению о>. Действительно, Z. DaMA = -|-Z. DaCA = сс,
т. е. он соответствует углу между нормалью к площадке fe и направ-
лением о,. Очевидно, что линия МВ параллельна направлению
главного напряжения 02.
183
▼ Пример 16. На главных площадках действуют растягивающие напря-
жения 90 МПа и 60 МПа. Требуется найти нормальные и касательные на
пряжения по граням элемента, одна из которых наклонена к горизонтали
под углом 20° (рис. 162, а).
Произвольным образом обозначаем площадки (а) и (Р) (например, так,
как показано на рисунке) и проводим нормаль па. Тогда будем иметь <ц =
=90 МПа; о2 —60 МПа; пз=0; о,— —70°. Угол а отрицательный, так как
здесь ои отсчитывается по часовой стрелке.
Решая данную прямую задачу аналитически, по формулам (6.7) - (6.9)
находим: х
°==oi cos* 1 2 a+e2 sin2 а=90-0,1174-60-0,884 МПа=63.6 МПа;
of>=olSIn2a4-O2cos2a=90-0,8844-60-0,117 МПа=86,6 МПа;
2а=-5Ц^.(_0.643) МПа=-9,65 МПа.
Учитывая знаки вычисленных напряжений, показываем напряжения на
Ранях элемента abed (рис. 162, а).
1 Рафическое решение приведено иа рис. 162, б. Проведя измерения, полу-
пи координаты точек Da (3,18 см; —0,485 см) и (4,33 см; 0,485 см)
ченеЯ В ВИДУ принятый масштаб (1 см — 20 МПа), приходим к тем же зна
напряжений, которые были вычислены ранее.
j —— -----------------------------------------------------
^йатьсеТИМ’ что одноосное напряженное состояние может рассмат-
6УДет Л Как частный случай плоского. При этом круг напряжений
^Учае р°х°Дить через начало координат (рис. 163). Наконец, в
hfi (Пг{^вномерного всестороннего растяжения (01 = 02) или сжа-
й1( У>ке^°3 * * 6^ в плоскости круг Мора превращается в точку. Тогда,
Указывалось ранее, все площадки будут главными.
184
Основы теории напряженного и деформированного с
§ 44. Обратная задача
в плоском напряженном состоянии
тр на
элемент
величин
При практических расчетах наиболее часто удается опреп₽
(теоретически или экспериментально) нормальные и касател*^
напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных Н1Л
щадках. Пусть, например, известны напряжения оа, то, а
взаимно перпендикулярных площадках выделенного
(рис. 164, а). По этим данным требуется определить
главных напряжений и положение главных площадок.
Сначала решим эту задачу графически. Для определенное;
примем, что оа>ор, а та>0. В геометрической плоскости в систем
прямоугольных координат о — т нанесем точку Оа с координатами
oQ, та и точку Dp с координатами Ор, Тр (рис. 164, б). Как указывало
при рассмотрении прямой задачи, точки Da и Dp лежат на кощ;-/
одного диаметра. Следовательно. соединив их, находим центр кру
га — точку С—и радиусом CDa = CDp проводим окружности
Абсциссы точек ее пересечения с осью о отрезки ОА и Об
дадут соответственно величины главных напряжений о( и ог.
Для определения положения главных площадок найдем полюс
и воспользуемся его свойством. С этой целью из точки Da проведем
линию параллельно линии действия напряжения оа, т. е. горизонталь
Точка М пересечения этой линии с окружностью и является полю-
сом. Соединяя полюс М с точками А и В, получим направления
главных напряжений oi и ог соответственно. Главные площадки
перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжешь
На рис. 164, а внутри исходного элемента выделен элемент, огра-
ниченный главными площадками. На гранях элемента показаны
главные напряжения о( и о2.
Используем построенный круг напряжений для получения ана
литических выражений главных напряжений щ и о2, соответствую-
щих отрезкам О А и ОВ. Имеем:
о, = ОА=ОС + СА;
02 — ОВ — ОС — СВ.
(6.18)
Очевидно,
Oa + ap . (6-1®1
СА = CB = CDa = -yJcKl+^Kl = +
Подставляя выражения (6.19) и (6.20) в выражения
получим:
oi -легь+д/рьр.) +4 ;
Рис- 164 Q д
Самол
ИЛИ
Gl=-j- ^а+Ор4--^/(Оа—Ор)2+4Та
•Т? — Оа4* Пр \/(оа — Ор)2 -f- 4т2
(6.21)
Учитывая принятое правило знаков, найдем выражение для
тангенса угла наклона главного напряжения oi к оси о. Из чертежа
следует, что
МКр________МК$____ —тд
АК$ О А—ОК? 0| — пр
Таким образом.
tgao=
Hl —Пр
(6.22)
та формула и определяет единственное значение угла а0, на ко-
торый нужно повернуть нормаль па, чтобы получить направление
тоораически большего главного напряжения. Напомним, что от-
ке Р ельномУ значению а соответствует поворот по часовой стрел-
ва’1ЛледУет обратить внимание и на то, что если одно из главных
тЫь Лени^’ вычисленных по формулами (6.21), окажется отрица-
и 0 НЬ1М> а другое положительным, то их следует обозначать не oi
цат ’ а °' и оз". Если же оба главных напряжения окажутся отри-
адьными, то <т2 и о3.
Пример 17. Но граням элемента (рис. 165, а) действуют показанные
напРяжения. Нужно найти главные напряжения и соответствующие им глав-
НЫе направления.
Если обозначим площадки так» как показано иа рисунке, то
°’==100 МПа; Ор=-80МПа;
а5==-50 МПа; тя = 50 МПа.
По формуле (6.21) находим, что
п। =у к» + оН "(-У + 44 ]=у [ 100—80 +
f V(I00 + 80 4 4-502]М11а-у (20 ф206)МПа = 113 МПа.
о3=у(20 — 206) МПа =—93.0 МПа.
По формуле (6.22)
. —т« —( — 50) 50 л
tgao- (j|j пз (_8()) 1дз , .
ао=14°32'.
Этот угол откладываем от горизонтали (направление па) против ч.» <
стрелки и получаем направление т; направление о. перпендикулярно к
На рис. 165 выполнено также графическое решение задачи в соответсг
с изложенным планом
§ 45. Объемное напряженное состояние.
Напряжения на произвольной площадке
В общем случае напряженного состояния при произволу
ориентации элементарного параллелепипеда, выделенного в ,
ности точки нагруженного тела (см. рис. 151, а, в), на ег°я^ци
действуют шесть независимых компонентов тензора напР]ЧНС.
<Тх, Щ, тх,Л Тгх, Тух. Считая эти напряжения исходными.
напряжения на произвольной площадке АВС, проведенной
ности точки (рис. 166). и у.
Нормаль v к площадке составляет с координатными ос
углы, косинусы которых для краткости обозначим вели
т, п: (6--
cos (v, x)=l; cos (у, у)=т\ cos (v, z)=n.
www.vokb-la.spb.ru - Само
187
аженное состояние Напряжения на произвольной площадке
-—------------------------------------------
—
проведенной площадке АВС проекции полного напряжения
На динатные оси х, у, z обозначим соответственно через pvx,
р, на К 0Ни легко определяются из условий равновесия выделен-
Р'Т’ ^'рТырехгранника (рис. 166, б). Заметим, что в соответствии
него 11 1М в § 39 правилом знаков компоненты напряжений на
с вве|5й б положительные.
РиСппиР*авняем к НУЛЮ проекции на координатные оси всех сил,
приложенных к элементу:
__.Q. pvxdFx— axdF х XyXdF у x^xdF z==Oj
vy-=O; pvydFv—xxydFx GydFy xxydF ?=0;
v^^O; pVzdFv xxxdFx XyZdFy c?dF г = 0.
Здесь через dF,, dFx, dFy и dF? обозначены площади граней элемен-
та нормали к которым соответственно совпадают с направлениями
v х, у> т- е- площади треугольников АВС, АОВ, АОС и ВОС.
Очевидно, что
(6.24)
.f^-=cos (х, v)=/, cos (у, v)—m, -^-=cos (z?v)=n.
Тогда из выражений (6.24) находим
р,г=о,/+тУхт + тглгг,
р,1=Тх!,/-Ьо!/т4-тгуп; (6.25)
Р\г == Txz/~ЬтУг/П-|-Ог/г.
Полное напряжение на площадке
P.=Vpl+p^+p?z - (6.26)
Нормальное напряжение на произвольной площадке найдем,
составив сумму проекций на нормаль v составляющих полного
Спряжения:
H'^PvxCos (x7v)4-pvy cos (y?v)-|-Pvz cos (z, v).
C Учетом выражений (6.25) и (6.23) получим
ОгП2 _|_ 2хху1т + 2хуггпп 2xIxnl.
(6.27)
188
Основы теории напряженного и деформированное
По известным полному и норма„
напряжениям легко найти касате
напряжение на площадке: '
т^ = д//^—Ov • (6.^.
Таким образом, по известным Ко
нентам напряжений на трех взаимно nS
пендикулярных площадках можно оппЗ
лить напряжения на любой площа
проведенной через данную точку.
Определение главных напряжений
положений главных площадок. В частиц*
случаях линейного и плоского напряжен
ных состояний главные напряжения и положения главных площ?^
были определены (см. § 41, 42). Решим теперь эту важную з
в общем случае напряженного состояния.
Рассмотрим в окрестности точки элементарный четырехгщ.
ник (рис. 167). Составляющие напряжений на координатных л
щадках известны. Пусть площадка АВС — главная. Нормал
v является главной осью. Она составляет с направлениями с и
у, z углы, косинусы которых соответственно обозначим, как
нее, через /, т, п. Поскольку касательное напряжение на п н<
площадке отсутствует, то полное напряжение на ней pv направит
вдоль нормали и является главным нормальным напряжением нг
площадке. Обозначим его через о. Тогда проекции этого напряжена
на оси координат
pvx = o/; pvy = am; рхг = оп.
С другой стороны, проекции полного напряжения на плош" ке
выражаются через напряжения на координатных гранях элемент
формулами (6.25). Из них с учетом выражения (6.29) имеем
(ох — о) I + тухт + т„«=0;
Тху1 4- (оу — о) ГП 4- ТгуП = 0;
Txz/4"Ty2/7?4-(oz — О) П = 0.
(6.30)
Система (6.30) представляет собой три однородных УРа
относительно неизвестных I, т, п, определяющих положение
ной площадки. Нулевые решения 1=т=п=0 невозможны в
известного соотношения между направляющими косинуса •
/2 + щ24-п2=1.
Ненулевые решения системы (6.30) имеют место тоЛьК'?тоВ G
случае, когда определитель, составленный из коэффини
искомых неизвестных, обращается в нуль:
Ох — СТ Хух ^zx
Т^ху Оу О ^zy
Txz Гуг Gz — G
(6.32'
= 0.
www.vokb-la.spb.ru -
Само
' ачРяя<екное состояние Напряжения на произвольной площадке
189
раскрывая определитель (6.32), получаем следующее кубическое
ротаж относительно нормального напряжения о
п.юшаДке-
дз_/|о2+/2°_'^э =
гДе коэффициенты
= + +
/2 = 0дОу + °У°г “Ь О;
/3=що/т?+2тхут^
п — т2 — т2 — т2 •
□ х ixi/ ^yz— Izx»
2'2 2
zx Gx^yz Gy^zx ОгТХу.
(6.33)
(6.34)
в силу симметрии элементов определителя (6.32) относительно
его главной диагонали решение уравнения (6.33) дает три действи-
тельных корня, представляющих собой три главных напряжения,
действующих на трех главных площадках. Как указывалось (§ 40) ’
они обозначаются через щ, 02 и оз, причем алгебраически О1>ог>
>о3. Для определения направления какой-либо главной оси, на-
пример первой, в уравнения (6.30) подставляют значение соответ-
ствующего главного напряжения, т. е. О|, и из любых двух уравнений
находят соотношения между косинусами углов:
t ml L.
—=аг, -------—о,.
m И|
Подставляя эти величины в (6.31), находят
»| = ± - 1------.
Vl + ai+b.
после чего
^=А1И1; mi=b1/2|.
(6.35)
(6.36)
Аналогично определяют направляющие косинусы второй и
третьей главных осей. Легко показать, что три главные площадки
заимно перпендикулярны.
лавные напряжения в точке данного нагруженного определен-
выб °бРазом тела имеют стационарные значения, не зависящие от
°₽а пеРвоначальной системы координатных осей х, у, z, т. е.
С.1епНТа11Ии в пространстве выделенного исходного параллелепипеда.
эт0го°Вагельно> корни уравнения (6.33), а значит и коэффициенты
°сей уРавнения, инвариантны к выбранной системе декартовых
I • т- е. при повороте осей не изменяются. Итак,
c°nst; /2 = const; /3 = const. (6.37)
Ге’1эоп1ИЧИны называются первым, вторым и третьим инвариантами
Ура° Напряжений.
3аПцса внение (6.33), поскольку его корни равны о(, 02 и Оз, можно
ь также в виде
1 ')(о — о2)(о_ Оз) = 0.
(6.38)
190
Основы теории напряженного и деформированного г?|
Раскрыв скобки, замечаем, что инварианты тензора наппЯ
выражаются через главные напряжения в более простом виде- еНи
/1 = oi + 02 4- оз;
/2 = О|О2-|-О2Оз-|-ОзО1;
/3 = 01020,3-
(6.39)
Отметим, что при исследовании напряженного состояния в то
мы пренебрегли весьма малыми различиями напряжений на &
конечно близко расположенных параллельных площадках, а так
объемными силами как малыми высшего порядка. Рассматрцв
равновесие элемента, эти малые усилия нужно учитывать.
Формулы для напряжений на произвольной площадке сущр
ственно упрощаются, если в качестве исходного выбрать элемен
тарный параллелепипед, ограниченный главными площадками.
Совместим координатные оси х, у, г с главными направлениям
/, 2, 3 (рис. 168, а) и вычислим напряжения на произвольнс
площадке АВС, нормаль к которой v (рис. 168, б) составляет
главными осями углы ai, аг, аз. Тогда
/=cosai; zn = cos аг; n = cosa,3.
Из формул (6.25) следует, что
pvi = oi cos ai; /?v2 = O2 cos аг; /м —о3 cos аз. (04
Полное напряжение на площадке
щ. = д/(О| cos ai)24-(°2 cos «2)2 + (оз cos a3)2 . (6.41)
Нормальное напряжение на площадке определяем из выражения
(6.27):
ov — Cl I cos2 ai 4- 02 COS2 a2 4~ o3 cos2 a3. (6-42)
Наконец, касательное напряжение на основании формул (6.28)
(6.41) и (6.42) принимает вид
rv = \/(oi cos ai)24-(o2 cos а2)24"(оз cos а3)2 — о2 .
Напряжения на различных площадках в общем случае трехме
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
ного напряженного состояния можно определить также при помощи
KDyroB напряжений. Пусть известны величины главных напряжений
н положения главных площадок. Требуется определить нормальное
и касательное напряжения на произвольной площадке. Вначале
рассмотрим площадки, параллельные одному из главных напряже-
нии, например оз (рис. 169, а). Нормали к таким площадкам лежат
в плоскости ху и составляют с направлением о3 угол а3 = л/2.
Пусть угол между нормалью к площадке и направлением oi будет
а (рис. 169, б). Тогда а> = а, а2=(л/2)— а и из формул (6.40) и
(6.42) имеем
pol=O| cos а; ра2 = ог cos(-2----—°2 sin а;
Ра.<=0; (6.44)
05,|=оа=0| cos2 а-|-О2 sin2 а.
Касательное напряжение на площадке можно определить из
(6.43). Однако проще спроецировать на направление х, проекции
Полного напряжения ра\ и pa%. Имеем
tsm,~та=ра1 sin а_ра2 cos аsin 2а. (6.45)
На ^ак видно из (6.44) и (6.45), главное напряжение оз не влияет
Сопряжения на площадках, параллельных направлению оз-
1е;]Д0Ватсльно> напряжения на всевозможных площадках, парал-
£' Hbix о3, можно изобразить графически при помощи круга Мора
точноОСГР°еННОГО На главных напряжениях щ и о2 (рис. 170).
г-павн ТЗК Же напРяженное состояние на площадках, параллельных
сгрор^У. напряжению oi, описывается точками окружности £/( no-
lo, ПоНои на °2 и оз. Наконец, совокупность точек окружности
сосТо С]Р°енн°й на напряжениях oi и оз, описывает напряженное
ТоцК(1 ае всех сечений, проведенных в элементе параллельно ог-
1„, ' О2 и Оз на рис. 170 являются центрами окружностей Lh
/^'/соответственно.
просек Н° показать, что напряженное состояние на площадках,
•нощих все три главные направления, изображаются точ-
Основы теории напряженного и деформированного
ками Da, расположенными
штрихованной области (рИс ® *•<
Как видно из рис. 170, наибо, 1
нормальное напряжение в 1Ь*и*’
равно главному напряжению0"*’"
а наименьшее—главному н *'
жению оз. Очевидно, что точ”^
характеризующей напряженно?^
ном напряженном состоянии
жение
стояние площадки, в которой д
ствует тмакс, будет точка О Д?
170), так как она имеет наибе
шую ординату. Эта точка л( \
на окружности определяет?
углом а = 45° и имеет ординап
равную радиусу большого крч
Следовательно, при любом o6vw
наибольшее касательное наир
_ _Oi—Оз
С м акс — q
(6.46)
и действует на площадках, параллельных главному напряжение о
и наклоненных под углом 45° к главным напряжениям и о
Известный интерес, особенно при изучении пластических дефор
маний, представляет касательное напряжение, действующее п
площадке, равнонаклоненной ко всем главным направлениям Та-
кая площадка называется октаэдрической, поскольку она параллель-
на грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нор-
маль к этой площадке образует равные углы с главными наврав
лениями:
«I =аг = аз = а.
Учитывая, что всегда
cos2 cxi -j-cos2 аг + cos2 аз — 1,
получаем
cos2 а=-^-.
Тогда из формул (6.42) и (6.43) находим:
--------О| +02 +Оз .
С*ОКТ____
3
(6-*7)
О|02 — 020,3 — ОзО1 —
Т(ЖТ-
= -у д/(О1—О2)24-(О2 —Оз)2 + (Оз —G1)2
Это касательное напряжение называется октаэдрическд
жение Оокт представляет собой как бы среднее напряжен
ного трехосного напряженного состояния.
www.vokb-la.spb.ru - Самод
193
С ТОкт 33-
. напряженнее состояние. Напряжения на произвольной площадке
теории пластичности оказалось удобным вводить в расчеты
° „зываемую интенсивность напряжений оъ связанную с т_-_ «о.
такн
виенмостыо
—Токт
6,=^ у2
выраженную через главные напряжения формулой
ц.11! — -------
— л/01 4- 02-Ь 03 — 0102 — О2Оз — О3О 1 =
о<— »____________________.___________
_,J^L-y/(oi— ог)24~(о2 — оз)2 + (оз — Oi)2 .
В заключение отметим, что все зависимости и способы
задач, описанные в этом и предыдущих параграфах гл. 6, верны
для напряженных состояний, соответствующих как упругим, так и
пластическим деформациям.
(6.48)
решения
(6.49)
§ 46. Деформации при объемном
напряженном состоянии.
Обобщенный закон Гука
Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при
объемном и плоском напряженных состояниях, будем в соответ-
ствии с основными гипотезами и допущениями предполагать, что
। материал следует закону Гука, а деформации малы.
Изучая простое растяжение — сжатие, мы выяснили, что отно-
сительная продольная деформация
е=-2-
£ ’
а относительная поперечная деформация
(6.50)
Э™ Два равенства выражали закон Гука (зависимость между
Формациями и напряжениями) при простом растяжении или сжа-
• Т- е. при линейном напряженном состоянии. Здесь установим
Исимости между деформациями и напряжениями в общем случае
ДдНого напряженного состояния.
б°бщенный закон Гука. Рассмотрим деформацию элемента
Разы' ВЬ|бРав этот элемент в виде прямоугольного параллелепипеда
сгву^ами аХЬХс (рис. 171). По граням параллелепипеда дей-
Чт0? т главные напряжения о(, ог, Оз (для вывода предполагаем,
ИзМеСе 0Ни положительны). Вследствие деформации ребра элемента
ь «Ют свою длину и становятся равными а-}-Да; Ь-ф-ДЬ; с-фДс.
Личины
MJl
I. а+Да
а
Рис. 171
Основы теории напряженного и деформированного c<v>
— ----------- —-----------
ез=-^
\ь
К2=Т
называются главными
линениями и представляют
собой относительные уДЛи.
нения в главных направде.
ниях.
Применяя принцип су.
перпозиции, можно запи-
сать
является
то, при-
где е> — относительное удлинение в направлении пь вызванное
действием только напряжений oi (при о2 = оз=0);
е" — удлинение в том же направлении, вызванное действием
только 02;
е(" — удлинение, вызванное действием оз-
Поскольку направление Oi для самого напряжения О|
продольным, а для напряжений ог и оз — поперечным,
меняя формулы (6.49) и (6.50), находим, что
е"=—И— . е"'=— р—.
Сложив эти величины, будем иметь
61 =-у---p-j— ц~-=~ [о( — р (о2 4- оз)].
С L L L
Аналогично получим выражения и для двух других
удлинений. В результате
главных
61 ==-g-[oi — р (о24-о3)];
е2=-|-[О2 —Р (Оз4-О|)];
бз=-g- [оз — р (о 1 4- О2)].
(6.51)
для и30'
Формулы (6.51) выражают обобщенный закон Гука
тропного тела, т. е. зависимость между линейными деформация
и главными напряжениями в общем случае трехосного напря^^
него состояния. Заметим, что сжимающие напряжения подстаи-^^
в эти формулы со знаком «минус». Из формул (6.51) легко
чить формулу закона Гука для плоского напряженного состо
Например, для случая ог=0:
ei=~(Gi — ро3);
С
62 = —z- (о 14- оз);
с
ез=-^-(оз —РО1).
(6-52)
www.vokb-la.spb.ru - < амолет своими
им при объемном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука
дефор^^_-Х---—------------------------------
195
Роберт Гук (1635—1703) — английский ученый-энциклопе-
дист, член Лондонского королевского общества.
Научное творчество Гука охватывает многие разделы есте-
ствознания. Изучая давление воздуха, разработал теорию
капиллярности и поверхностного натяжения жидкости.
Занимался теорией планетарных движений, высказал идею
закона всемирного тяготения, предвосхитив этим во многих
чертах небесную механику И Ньютона. В 1678 г. открыл
закон пропорциональности между силой, приложенной к
упругому телу, и его деформацией Это линейное соотно-
шение между силой и деформацией известно как закон
Гука—фундаментальный закон, на котором получи ча
свое дальнейшее развитие наука о сопротивлении мате
риалов.
Выражения (6.51) справедливы не только для главных дефор-
маций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно
перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформа-
циях влияние сдвига на линейную деформацию представляет собой
величину второго порядка малости. Так, относительные удлинения
в направлении действия напряжений оа и о₽ (рис. 171, б)
Еа==="ТГ (Оа |1Ор),
(6.53)
£₽ = “^г(Ор—|1Оа).
Объемная деформация. Установим связь между относительным
изменением объема fv и главными напряжениями.
До деформации элемент занимал объем V0=abc. В деформиро-
ванном состоянии его объем
Мо+Да)(Ь + ДЬ)(с4-Дг)==аЬс(1 +-у-) (*+^) f’+v) =
(1 Ei) (1 е2) (1 Бз)= Vo (1 + В| ~Т 62 4“ Ез 61Е2 4“ ЕгЕз 4“ Е3Е1 4“
+ 6,6263).
Пог. ЧИТь1вая незначительную величину относительных деформаций,
Те едними четырьмя членами можем пренебречь. Тогда относи-
Ьн°е изменение объема
—Е14_Е2 4_Ез-
g
^оц,иЬ1^а3ив rjiaBHbIe удлинения через главные напряжения при по-
г<^Формул (6.51) , получим
ч
£ (О1 4_О24~°з)-
(6.54)
7»
196 Основы теории напряженного и деформированного
г
г
Рис. 172
В частности, при ра£
Ока.
:"₽,
мерном всестороннем' ,
тии, когда О|=О2==Оз==.
ev=
___Р_
К ’
где
Е
3(1-2р) ’
объемной di
К
(6.55)
Величина К называется модулем
формулы (6.54) видно, что при деформации тела, материал которой
имеет коэффициент Пуассона (1 = 0,5 (например, резина), объ?м
тела не меняется.
Пример 18. Брус плотно, но без напряжения вставлен между двумя nir.n.
движными стенками и подвергается сжатию равномерно распределении^
по горизонтальным граням силами Р (рис. 172). Пренебрегая трением ме'хвц
брусом и стенками, найти силы давления его на стенки и изменение его рц?
меров, если Е и р материала бруса известны.
Напряжения сжатия, которые возникают в продольном направлгщш
являются следствием эффекта Пуассона и стесненности деформации, т t
представляют собой вторичный эффект, вызванный действием напряжешь
в вертикальном направлении. Поэтому предполагаем, что они по величин
меньше, чем вертикальные. Учитывая это, вводим для напряжений обюиц.
чения, указанные на рис. 172 (это будут главные напряжения, так как т в гр»
них бруса, очевидно, отсутствуют). Тогда имеем:
„ N Р
О|=0; аг=~—. аэ--—
Через N обозначено давление стенок на брус. Поскольку по условию зглзчи
размер I не изменяется, е2 = 0. Из второй формулы (6 51)
C2=-g- (аг — роз)=0,
т. е.
рР
аг = ра3=---—.
Ы
Значит,
N = — йЛо2 =
Далее:
.. . Ь\х р(1 +р)Р
— ---^Г-(О2“|-Оз) —-.
\/г = Езй=-^(аз —ра2)=—(1-
Относительное изменение объема по формуле (6.54)
1-2р/„ цР Р\ -(1-2р)(1+р)п
T~ -----------Ы? = Ь1Ё р' “
а изменение объема бруса
Ph
XV=e. V = e.,W/z=-(l-2p)(I+p)-=r-.
www.vokb-la.spb.ru - Само
197
. энергия деформации
ротен^!^------------------------------------
47 Потенциальная энергия деформации
Потенциальной энергией деформации называется энергия, ко-
накапливается в теле при его упругой деформации. Когда
т°Рдействием внешней статической нагрузки тело деформируется,
поД приложения внешних сил перемещаются и потенциальная
т°Чргия положения груза убывает на величину, которая численно
’на работе, совершенной внешними силами. Энергия, потерянная
Ра® ними силами, не исчезает, а превращается, в основном, в по-
ВНцЦиапьную энергию деформации тела. Остальная, незначитель-
те часть рассеивается, главным образом, в виде тепла за счет раз-
личных процессов, происходящих в материале при его деформации.
' Потенциальная энергия деформации U накапливается в обра-
тимой форме — в процессе разгрузки тела она снова превращается
в энергию внешних сил или в кинетическую энергию. Величину по-
тенциальной энергии деформации, приходящуюся на единицу объема
(I см3) тела, называют удельной потенциальной энергией дефор-
мации и обозначают и. В разных точках тела величина и может быть
различной.
Величину потенциальной энергии деформации можно легко
вычислить на основе закона сохранения энергии. Поскольку при
статической нагрузке кинетическая энергия системы остается неиз-
менной, то приращение потенциальной энергии деформации U равно
уменьшению потенциальной энергии положения внешних сил U,,:
и=иП.
Уменьшение потенциальной энергии внешних сил численно рав-
но работе АР, совершенной ими при деформации:
Un=AP.
Таким образом, потенциальная энергия деформации численно
Равна работе внешних сил, затраченной при упругой деформации
тела:
1-Л
———22
(6.56)
198
Основы теории напряженного и деформированного
-------------------------------------
В случае простого растяжения или сжатия стержня (рис
на основании формулы (4.29)
Удельная потенциальная энергия
РД/ _ — ае
2FI 2 ‘
(6.57)
Имея в виду, что е = -^~, получим для удельной потенциально
энергии выражение
(6.581
Вычислим теперь удельную потенциальную энергию в общем слу-
чае объемного напряженного состояния. Для этого вырежем э„.
мент в виде кубика с длинами ребер, равными единице (рис. 174
грани которого являются главными площадками. На этих площ
ках действуют главные напряжения oi, 02 и оз- Поскольку площа"
граней равны единице, то действующие в них усилия численн.
равны oi, 02 и 03. Они производят работу на тех перемещения?
которые получают грани вследствие деформации рассматриваемое
элемента. Перемещения в данном случае численно равны главны-
удлинениям еь е2, е3, так как ребра имеют единичную длину.
Таким образом, на основании формулы (6.57)
(6-59)
Такое суммирование работ главных напряжений возможно, г
скольку главное напряжение о( производит работу только на пе
мешении е>, 02 на перемещении е2 и оз на перемещении г
Подставив выражения ei, ег и ез из формул (6.51) в формул'.
(6.59), найдем, что
u = gg [erf + 02 + Оз — 2g (0102 -|- O2O3 -f- O3O1)].
(6.60)
Удельная потенциальная энергия формоизменения. При деф'Г
мации элемента (рис. 174) изменяются, вообще говоря, как ®
объем, так и форма (из кубика он превращается в параллел
пед). В соответствии с этим можно считать, что полная уделы’
потенциальная энергия деформации
. (6.61)
где uv— удельная потенциальная энергия изменения объема,
энергия, накапливаемая за счет изменения объема, । |
«Ф удельная потенциальная энергия формоизменения,
энергия, накапливаемая вследствие изменения Ф
элемента. •
Непосредственное вычисление затруднительно, поэтому М
сначала uv. Это можно сделать, исходя из предположения
www.vokb-la.spb.ru -
199
.ияльная энергия деформации
Потен]^____-----------
в различных элементах при действии разных главных напряже-
чТ? величина uv будет одинаковой, коль скоро у элементов будет
нИИнаковое изменение объема 8V.
о;1ИКроме рассматриваемого элемента (назовем его А) введем еще
помогательный элемент А'. Пусть А' — тоже единичный кубик,
В по граням его действуют одинаковые главные напряжения о( =
Н°п5==оз==о'. Для этого элемента, согласно формулам (6.54),
с I С
Но, очевидно, элемент А' при деформировании меняет только свой
объем, форма же его не изменяется (остается кубической). Поэтому
и$,==0 и, значит,
, 3(1-2ц)_/ »2
“т=2£ ( ’ •
Выберем величину о’ такой, чтобы e'v=eb т. е. чтобы
Д!=МО'=-4^(о, + ог+аэ).
Отсюда
, .ai + Рг+Рз
3
Поскольку у обоих элементов изменения объема одинаковы, на
основании принятого предположения можно утверждать, что
и..— —3(1—2р) (ст, 4-ог + аз)2
V “v~ 2Е-----------9 ’
т. е.
^=-4г^(О| + О2 + О3)2 - (6.62)
Теперь, согласно формуле (6.61),
U^ = U~uv.
ПодСТавив сюда значения и и uv из формул (6.60) и (6.62), после
ементарных преобразований получим окончательно, что
U<t> (°' + °2 + 03 — °।°2 — 0203 ~ °3° 1) =
+ ц (6.63)
1 — °2)2 “Ь (°2 — Оз)2 + (о3 — о 1)2].
5цевт° и есть искомое выражение для удельной потенциальной
Ргии формоизменения.
Критерии
200
Глава 7
Критерии прочности
§ 48. Задачи теорий прочности
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка пп
ности детали по известному напряженному состоянию. Наибо *
просто эта задача решается для простых видов деформации, в час?
ности для одноосных напряженных состояний, так как в этом слуп
значения предельных (опасных) напряжений легко установит
экспериментально. Под опасными напряжениями, как уже указы
валось, понимают напряжения, соответствующие началу разруще(Шя
(при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных
деформаций (в случае пластического состояния материала). Tat
испытания образцов из данного материала на простое растяже..„е
или сжатие позволяют без особых трудностей определить значения
опасных напряжений:
СГ° = <ГТ ИЛИ О° = (Тв.
По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напря
жения [о+] при растяжении или |о~| при сжатии (см. § 34), обей
чивая известный коэффициент запаса против наступления вреде..;,
ного состояния. Таким образом, условие прочности для одноосного
напряженного состояния (рис. 175, а) принимает вид
ai^[o+] или |оз1 <fo_].
Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при c".cv
ном напряженном состоянии, когда в точках детали два или
три главных напряжения <Т|, о2, оз не равны нулю (рис. 175, । I
В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того *
материала опасное состояние может иметь место при различны'
предельных значениях главных напряжений о?, Ог, о8 в зависимое^
от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установи
предельные величины главных напряжений очень сложно не тол
из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого об
испытаний. (
Другой путь решения задачи заключается в установлении к|р
рия прочности (критерия предельного напряженно-деформиР^^
ного состояния). Для этого вводят гипотезу о преимушеств а(0Т,
nniJCILJUU ИЯ ПППГШПГТк MQTPriUQna ТГУГП ыпы uwnrn гЬя КТО О Э- nOJ
влиянии на прочность материала того или иного фактора: п°соСТОя
что нарушение прочности материала при любом напряженном
нии наступит только тогда, когда величина данного ФаКТОдЦен»,с
стигнет некоторого предельного значения. Предельное сТи'
Лгц/т-ппо ппшишоть uovnnciT о «а пр ...
фактора, определяющего прочность, находят на основании “г
легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда п&'вцедеН1'
также результатами опытов на кручение. Таким образом, Hanpo
критерия прочности позволяет сопоставить данное сложи
www.vokb-la.spb.ru - Cai
Рис. 176
Рис. 175
ценное состояние с простым, например с одноосным растяжением
(рис. 176), и установить при этом такое эквивалентное (расчетное)
напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент
запаса.
Под коэффициентом запаса в общем случае напряженного со-
стояния понимают число п, показывающее, во сколько раз нужно
одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния
оь 02, оз, чтобы оно стало предельным:
о?=по|; О2 = «О2; оз = по3.
Выбранная указанным образом гипотеза часто называется ме-
ханической теорией прочности. Ниже рассмотрены некоторые из
таких теорий.
§ 49. Классические критерии
прочности (теории прочности)
Критерий наибольших нормальный напряжений | первая (1)
теория прочности]. Согласно этой теории, преимущественное влия-
ние на прочность оказывает величина наибольшего нормального
напряжения. Предполагается, что нарушение прочности в общем
С1Учае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее
нормальное напряжение достигает опасного значения о°. Последнее
^танавливается при простом растяжении или сжатии на образцах
Данного материала.
ЙИиУсловие нарушения прочности при сложном напряженном состоя-
вид
|0з1=оо_. (7.1)
Условие прочности с коэффициентом запаса п следующее:
“ЛИ
(7.2)
202
КрнтеРИ11 ,
где
М=-^-
Таким образом, критерий наибольших нормальных напряг
из трех главных напряжений учитывает лишь одно — наибопьеНи!*
полагая, что два других не влияют на прочность.
Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не от
жает условий перехода материала в пластическое состояние и
при некоторых напряженных состояниях удовлетворительные
зультаты лишь для весьма хрупких материалов (например
камня, кирпича, керамики, инструментальной стали и т. п.).
Критерий наибольших линейных деформаций |вторая (||) Тео
рия прочности!. Согласно этой теории, в качестве критерия про^.
ности принимают наибольшую по абсолютной величине линейную
деформацию. Предполагается, что нарушение прочности в общем
случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольша>
линейная деформация емакс достигает своего опасного значения f
Последнее определяется при простом растяжении или сжатии об
разцов из
Таким
Р»
ДЛЯ
данного материала.
образом, условие разрушения следующее:
Смаке---С ,
(7-3)
а условие прочности —
|емакс1С[е]=-^-.
Используя обобщенный закон Гука [формулы (6.51)J, выразим
условие прочности (7.4) в напряжениях. Пусть наибольшее относи
тельное удлинение будет еь Тогда
еМакс=£1 =-£-[oi — р, (02 + 03)].
При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого на
пряжение [о], мы тем самым для наибольшего относительного ул-
нения допускаем величину
[«!=<•
(7 4)-
Подставим выражения для емакс и [е] в условие прочности I
Тогда
-g- [01 — р (о2 + оз)] С —-,
или
Oi —р(о2 + озХ[о].
Как видно из условия прочности (7.5), в этой теории с ;'‘в^е ИД'
мым напряжением нужно сравнивать не то или другое гла
www.vokb-la.spb.i’ii
203
up критерии прочности (теории прочности)
----
^еНие, а их комбинацию. Эквивалентное напряжение в этом
Оз кв И
(7-6)
Плотная проверка этой теории указывает на согласующиеся
qe случаев результаты лишь для хрупкого состояния материала
в оимер, для легированного чугуна и высокопрочных сталей по-
низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории
Юности в виде (7.5) недопустимо для материалов, не следующих
^оиу Гука или находящихся за пределами пропорциональности.
Й Критерий наибольших касательных напряжений [третья (III)
опия прочности]. Здесь в качестве критерия прочности принята
величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой
теории предполагается, что предельное состояние в общем случае
наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение тмакг
достигает опасного значения т°. Последнее определяется при дости-
жении предельного состояния в случае простого растяжения.
Условие разрушения имеет вид
Ткгкс = ТО; (7.7)
условие прочности —
т«акс<[т]==^-. (7.8)
Так как согласно выражению (6.46)
Тике=у-(о 1 — оз), a T°=-i-o°,
ТО условия разрушения и прочности (7.7), (7.8) можно выразить
через главные напряжения так:
Oi—оз=о°;
(7.9)
(7.10)
Таким образом, эквивалентным напряжением по третьей теории
ляется разность алгебраически наибольшего и наименьшего
•’авных напряжений:
= —Оз
(7.Н)
Тами^еТЬЯ теоРия прочности в общем хорошо подтверждается опы-
тк€ рДЛя материалов, одинаково работающих на растяжение и сжа-
По Достаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего
ТЬ1 Личине главного напряжения о2, которое, как показывают опы-
те.^ азывает также некоторое, хотя во многих случаях и незначи-
Q°e. влияние на прочность материала.
что критерий наибольших касательных напряжений
Рассматривается как условие начала образования пласти-
(остаточных) деформаций. Последние являются результа-
204
^E!2^po4hJ
том скольжения слоев атомов в кристалле по определенным коц
лографическим плоскостям. Это становится возможным в случае^*84'
да на указанных плоскостях скольжения касательные напряг
достигают некоторой предельной величины. ения
Таким образом, в качестве критерия, определяющего насту
ние текучести материала, можно принять величину наибольп
касательного напряжения. егс
Считая предельным состоянием наступление текучести, из
ства (7.9) имеем
О|—Оз = от. (7.12)
Это условие достаточно удовлетворительно описывает начало плас
тической деформации для многих металлов и сплавов.
Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения
(четвертая (IV) теория прочности!- В качестве критерия прочности
в этом случае принимают количество удельной потенциальной энер-
гии формоизменения, накопленной деформированным элементом.
Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем сл,
чае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная п
тенциальная энергия формоизменения достигает своего предельно
значения. Последнее можно легко определить при простом растяж₽
нии в момент текучести.
Условие наступления текучести —
11ф — (Пф)т-
Условие прочности —
(7-13)
(7.14)
Предполагая, что закон Гука справедлив вплоть до наступления
предельного состояния, можно потенциальную энергию формонзме
нения в общем случае напряженного состояния записать, согласж
выражению (6.63), в виде
Кф [of фО2 фОз— (0|024-020з4_0з01)].
При простом растяжении в момент текучести(oi = oT; 02=03—1
имеем
<7Л'’
Следовательно, условие (7.13) после подстановки выраЖен
(7.15) и (7.16) преобразовывается так: ?
O? 4_oi4-O3— (о | О2 -J- O2O3 -f" O3O() — От,
ИЛИ
— [(oi —о2)2 4~(<>2 — Оз)24-(°з — О|)2]— от.
(7-l8)
www.vokb-la.spb.ru
205
Условие прочности будет следующим:
—О2)2 + (О2 — оз)2 + (оз — о()2] -^- = [о].
(7.19)
Следовательно, эквивалентное напряжение по четвертой теории
Заметим, что o3Kbiv совпадает с выражением (6.48) для интенсив-
ности напряжений о,.
(7.20)
Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных
материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.
Появление в материале малых пластических деформаций четвертой
теорией определяется более точно,' чем третьей.
Следует отметить, что выражение (7.20) с точностью до постоян-
ного множителя совпадает с выражением для касательного напря-
жения то|(т на октаэдрической площадке, равнонаклоненной к трем
главным направлениям (см. § 45). Поэтому расчетные уравнения
четвертой теории прочности можно получить исходя из критерия
постоянства октаэдрических касательных напряжений:
^ОКТ ^[т<>кт|-
Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности
от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука,
и дает возможность установить условия начала не только пласти-
ч«ских деформаций, но и разрушения.
Критерий Мора основан на предположении, что прочность мате-
риалов в общем случае напряженного состояния зависит главным
Разом от величины и знака наибольшего Oi и наименьшего оз глав-
, х напряжений. Среднее по величине главное напряжение, как
с азывалось выше, лишь незначительно влияет на прочность. Опыты
^ыми, никелевыми и чугунными трубками показывают, что
12 Р^ность, связанная с тем, что не учитывается ог. не превышает
HjS' 5 %. Исходя из этого предположения, можно любое напряжен-
rjjaс°стояние изобразить одним кругом Мора, построенным на
ных напряжениях oi и о3.
ПРИ данных °' и °з прочность материала нарушается, то_
’ Построенный на этих напряжениях, называется предельным.
. * 4 соотношение между главными напряжениями, получим для
данного материала семейство предельных окружностей (рис. 177)
Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения
в область сжатия сопротивление разрушению увеличивается. Этому
соответствует увеличение диаметров предельных окружностей пс
мере движения влево.
Огибающая ABCDE семейства предельных кругов ограничивав
область прочности (рис. 177). Точка С соответствует всестороннем',
равномерному растяжению. Так как при равномерном всесторон
нем сжатии материал способен, не разрушаясь, выдержать очень
большие напряжения, то огибающая слева остается незамкну
той.
При наличии предельной огибающей рассчитать прочность вес-
ма просто. По найденным в опасной точке детали значениям глав
ных напряжений о( и о3 строят круг. Прочность будет обеспечена
если он целиком ляжет внутри огибающей. Будем увеличивать
пропорционально величины главных напряжений до тех пор, пока
круг, изображающий данное напряженное состояние, коснется пре
дельных огибающих. Отношение радиусов полученного таким об-
разом предельного круга и начального определит коэффициент за
паса.
На практике обычно небольшой участок огибающей строят на
основании двух опытов — на растяжение и сжатие, причем предел
ные кривые заменяют прямыми линиями, касательными к окрУ*
ностям (рис. 178). Допускаемое напряженное состояние можно по
лучить, уменьшив масштаб чертежа в п раз (п коэффициент за
паса). На рис. 179 показано допускаемое напряженное состояв
для небольшого участка огибающей.
Легко получить условие прочности для промежуточного на^сЯ
женного состояния (оь о3), центр круга которого Оз располага
между точками О( и Ог (рис. 179). Проведем прямые OiMi,
и О3М3, соединяющие центры и точки касания окружностей
бающими линиями, а также прямую О\а, параллельную '
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рука*
207
sup критерии прочности (теории прочности)
Kjiacc»i^_22_—!---------------:;------------------------------
р!з подобия треугольников получим следующие зависимости:
_7>77ъ ОзМз—О,м, 0Ot—0Оз
ОзЬ или —= —-_
OiMt-OM OCh+VOi
Заменив отрезки линий значениями соответствующих напряжений,
будем иметь
О,-д3-1°+1—1-°+1~(<т' +°3) .
lo+i+io-i
После преобразования, вводя знак неравенства, получаем усло-
вие прочности:
Дэквм = о'—[^Оз^|о+1-
(7-21)
При одинаковом сопротивлении материала растяжению и сжатию
([о+]=[о ]) огибающая на указанном участке проходит парал-
лельно оси абсцисс и расчетная формула (7.21) совпадает с форму-
лой (7.10), полученной по третьей теории прочности.
Основанная целиком на опытных данных, теория Мора в общем
не нуждается в дополнительной экспериментальной проверке.
Однако построение предельных огибающих для каждого материала
может быть произведено в результате ряда сложных опытов с плоски-
ми и объемными напряженными состояниями, что, собственно, и
ограничивает ее применение. Кроме того, эта теория, как уже отме-
чалось, не учитывает влияния на прочность промежуточного глав-
ного напряжения 02.
О применимости той или иной теории прочности для практи-
ческих расчетов можно сказать следующее.
Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растя-
гивающих напряжений или удлинений и путем среза за счет наи-
больших касательных напряжений. При этом разрушение отрывом
может происходить при весьма малых остаточных деформациях или
вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет
место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разру-
шение) . Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, от-
ражающие разрушение отрывом, можно применять лишь для мате-
риалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую
ории прочности, хорошо отражающие наступление текучести и
Р 3Рушение путем среза, надлежит применять для материалов,
Годящихся в пластическом состоянии.
ру еоРия прочности Мора позволяет установить сопротивление раз-
тЯжеНИЮ МатеРиалов. обладающих разными сопротивлениями рас-
руиеНию и сжатию. При этом ветвь АВ (рис. 177) характеризует раз-
еиие от среза, а ветвь ВС — от отрыва.
нЬ1м ЭК как пеРвая и вторая теории прочности страдают существен-
нее неДостатками, то в настоящее время утверждается мнение о
рас елагельн°сти их применения. Таким'образом, для практических
т°в следует рекомендовать четвертую (или третью) теорию
208
КРитернипр^,,^
прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся раст
жению и сжатию, и теорию Мора для материалов, различно с
проявляющихся растяжению и сжатию, т. е. для хрупких материй
лов (для них в настоящее время пока еще применяют и вторую
теорию прочности).
Следует подчеркнуть, что состояние материала (хрупкое или пЛа
стическое) определяется не только его свойствами, но и видом на
пряженного состояния, температурой и скоростью нагружения
Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных
условиях нагружения и температуре ведут себя, как хрупкие, в то же
время хрупкие материалы в определенных напряженных состоя-
ниях могут вести себя, как пластичные. Так, например, при напря-
женных состояниях, близких к всестороннему равномерному рас
тяжению, пластичные материалы разрушаются, как хрупкие. Такие
напряженные состояния принято называть «жесткими». Весьма
«мягкими» являются напряженные состояния, близкие к всесторон-
нему сжатию. В этих случаях хрупкие материалы могут вести себя,
как пластичные. При всестороннем равномерном сжатии материалы
могут выдержать, не разрушаясь, очень большие давления.
Следует отметить, что перечисленные теории прочности непри-
менимы для расчета прочности в случае всестороннего сжатия
(oi = <Г2 = Оз =—р). Влияние типа напряженного состояния может
быть учтено приближенно при помощи диаграмм механического
состояния, которые рассматриваются ниже.
§ 50. Понятие о новых теориях прочности
Условия перехода материала в предельное состояние, а также
условия прочности по различным теориям были выражены через
главные напряжения <Т|, 02, Оз, которые являются инвариантами на-
пряженного состояния.
Для трехмерного пространства, направив оси координат по глав-
ным направлениям, указанные условия можно представить в виде
некоторых предельных поверхностей
F(oi, о2, оз)=0; (7.22)
Так, предельная поверхность, соответствующая условию появления
массовых пластических деформаций по теории удельной потении
альной энергии формоизменения [см. формулу (7.18)], имеет bi
(oi—ог)2-|-(о2 — Оз)2-|-(оз — oi)2 — 2о? = 0. *
Предельная поверхность (7.23) представляет собой
цилиндр с осью, равнонаклоненной к координатным осям (рис-
и радиусом г=д/(2/3) от. Для плоского напряженного состояИ^^’
когда одно из главных напряжений равно нулю, условие (
дает эллиптическую предельную кривую (рис. 180, б). )ЛсТ
Критерию наибольших касательных напряжений соо‘^ветСТдмЫ.
предельная поверхность в виде правильной шестигранной при
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими
о новых теориях прочности
(10^1—----------------------
209
Рис. 180
исанной в цилиндр (7.23).
критерию наибольших нормаль-
ых напряжений соответствует
с ребром, равным о0.
Заметим, что все точки, рас-
полбженные внутри области,
ограниченной предельной по-
верхностью, соответствуют на-
пряженным состояниям с коэф-
фициентом запаса, большим
единицы. Напряженные состоя-
ния, представленные точками,
лежащими вне этой области,
имеют коэффициент запаса, меньший единицы.
Недостатки рассмотренных теорий, а также появление новых
материалов, явились стимулом для разработки новых теорий проч-
ности. Большинство из них основано на выборе такой формы пре-
дельной поверхности, при которой можно наиболее полно учесть
особенности сопротивления данного класса материалов в условиях
сложного напряженного состояния.
Рассмотрим некоторые новые теории.
Теория Ягна. Ю. И. Ягн предложил предельную поверхность
(7.22) принять в виде полинома второй степени, симметричного по
отношению ко всем трем главным напряжениям:
0|—ог)2-|-(02 — о3)2 + (оз — О|)24"а(о1Ч_°2 + 0з)2 +
+ ЧО1 + <12 + <Тз) = С, (7.24)
где постоянные, а, b и с для данного изотропного материала должны
определяться из опытов на одноосное растяжение и сжатие и на
чистый сдвиг.
Установив допускаемые напряжения |о], [<т_] и [т] соответственно
при растяжении, сжатии и сдвиге, находим выражения для по-
стоянных:
а=ЛЫ222Ь1[о I . h 6[т]г(|р] —[о]) . f г 12
Из приведенного ясно, что теория Ю. И. Ягна позволяет учесть
т одинаковое сопротивление материала растяжению и сжатию, а
сопротивление материала сдвигу. При определенных соотно-
(7Э4\*Х межДУ введенными постоянными а, b и с из выражения
и ' 4) можно получить ряд энергетических критериев, в том числе
Ритерий удельной потенциальной энергии формоизменения.
сЧ(1т е°Рия Писаренко и Лебедева. Г. С. Писаренко и А. А. Лебедев,
Собцая’ что наступление предельного состояния обусловлено спо-
Тац ОсТью материала оказывать сопротивление как касательным,
прОчи нормальным напряжениям, предложили искать критерии
Сост 0Сти в виде инвариантных по отношению к напряженному
ЧнИЮ функций касательных напряжений и максимального
210
КРитериипргац, J
нормального напряжения. Предложен, например, критерий
дующей линейной форме:
тОКт + Щ1О1<т2.
в tie
(7-25)
Выражение для токт дается формулой (6.47). Константы
и т2 материала можно выразить через предельные напряжения
О- при одноосном растяжении и сжатии. Тогда условие (7 25i
примет вид
Хтокт4-(1 - X) oi <о°.
(7.26)
где
Для материалов, находящихся в пластическом состоянии,
= о° , Х=1 и выражение (7.26) преобразуется в расчетное урав
нение теории формоизменения. Для идеально хрупкого материала
Х=0 и выражение (7.26) преобразуется в уравнение для I теории
прочности. При 0<Х^1 (подавляющее большинство реальных
материалов) предельная поверхность (7.26) представляет собой
равнонаклоненную к главным осям фигуру, в которую вписана
шестигранная пирамида, соответствующая упрощенной теории
прочности Мора [условие (7.21)].
Экспериментальная проверка рассмотренной теории показала,
что критерий (7.26) хорошо согласуется с результатами испытаний
широкого класса конструкционных материалов.
Диаграммы механического состояния (критерий Я- Б. Фридма-
на). Влияние типа напряженного состояния на характер нарушения
прочности материалов приближенно можно учесть при помощи
диаграмм механического состояния. Последние строят на основании
следующих положений.
1. В зависимости от типа напряженного состояния материалы
могут разрушаться от растягивающих напряжений или удлинении
путем отрыва либо от касательных напряжений путем среза. Со
ветственно этому различают две характеристики прочности —
противление отрыву S(1T, которое представляет собой величину ВД
мальных напряжений на поверхности разрушения в первом ^У4 ’
и сопротивление срезу тк, представляющее собой величину к
тельных напряжений во втором случае. па
2. Обе характеристики прочности (5ОТ и тк) не зависят от
напряженного состояния.
3. Кривая деформации материала в координатах Тмакс"'Ч|
также не зависит от напряженного состояния. (..,ц
4. Нарушение прочности путем отрыва описывается теорией
больших относительных удлинений так:
(7.2''
ОэквИ = ОI Ц (О2 Ч- Пз) = 5от,
новых теориях прочности
211
рушение прочности второго ви-
0 ^.теорией наибольших касатель-
^0Х напряжений следующим обра-
зом-
«Ц2£3=Т1(
Тмакс 2
(7.28)
Диаграмма механического состо-
яния состоит из двух диаграмм
, ис. 181)—собственно диаграммы
механического состояния (слева) и
кривой деформации в координатах
диаграммы по оси ординат откладывают наибольшее касатель-
ное напряжение тмякс, а по оси абсцисс — наибольшее эквивалентное
растягивающее напряжение по второй теории прочности (оЭКви)-
На диаграмму наносят предельные линии, соответствующие пределу
текучести тт при сдвиге, сопротивлению срезу тк и сопротивлению
отрыву Sot- Отклонение линии сопротивления отрыву вправо выше
предела текучести (рис. 181) соответствует возрастанию сопротив-
ления отрыву с появлением остаточных деформаций.
Для характеристики типа напряженного состояния вводят коэф-
фициент «мягкости», представляющий собой отношение наибольше-
го касательного напряжения в точке к наибольшему эквивалентному
растягивающему напряжению:
а—-3“^*
^экв II
(7.29)
Различные напряженные состояния, таким образом, при возрас-
тании нагрузки изображаются на диаграмме лучами, тангенсы
углов которых равны соответствующему значению а. Например:
при всестороннем растяжении (О1 = о2=оз) тмакс=0, сс=О и луч
совпадает с осью абсцисс; при простом растяжении (oi=o; о2 =
=оз=0)
Чкс=_2_- Оэкв11 = о и а=у-;
пРи простом сжатии (О|=о2=0; оз=—о)
Чкс=^_; o9KBii = po; сс=-^--
Синимая ц=0,25, находим, что сс=2.
Го Усматривая лучи, отвечающие различным типам напряженно-
р,,с°Ст°яния материала, можем приближенно установить вид раз-
ения и выбрать, таким образом, подходящую теорию прочности.
<ИМеР, ЛУЧ 1 на диаграмме пересекает раньше всего линию со-
Ивления отрыву. Следовательно, материал разрушится путем
I еа без предшествующей пластической деформации. Луч 2 пе-
212
к и
ресекает сначала линию текучести, а затем линию сопротивл
отрыву. Следовательно, при данном напряженном состоянии naHB*
шение произойдет путем отрыва, но с предшествующей пластичной
деформацией. Для напряженного состояния, соответствую^®
лучу 3, после пластической деформации разрушение произой °
путем среза. В тех случаях, когда лучи, изображающие то или
сложное напряженное состояние, пересекают прежде всего ливС
сопротивления отрыву, расчет прочности следует производить
теории Мора, второй или первой теориям прочности. Если же вьГ*
чале лучи пересекают линию предела текучести, то расчет прочност
надлежит проводить по третьей или четвертой теориям прочности
Таким образом, диаграммы механического состояния с известным
приближением отражают зависимость формы разрушения от вида
напряженного состояния. Приближенность построения заключается
в том, что предел текучести и сопротивление разрушению непост.
янны. Лучи, изображающие напряженные состояния, прямы лишь
до достижения предела текучести.
Пример 19. На гранях элемента (рис. 182), вырезанного из цилиндр,,
ческой стенки резервуара, действуют напряжения oi = 150 МПа, Ог=75 МГ
вз—С. Резервуар изготовлен из малоуглеродистой стали марки СтЗ. Д.,..,
каемое напряжение на растяжение [о] = 160 МПа. Проверить прочность стенцч
Так как материал находится в пластическом состоянии, то для pars, п
прочности следует применить четвертую или третью теорию.
Условие прочности по четвертой теории при оз=0 имеет вид
Пэки lV = VOl+°2~ОЮ2 <|<4 (73fi)
Внося в выражение (7.30) значения о, и 02. находим, что
п,кв lv = д/1502 + 752- 150 • 75 МПа = 129,9 МПа < [о] = 160 МПа.
По третьей теории прочности условие прочности следующее:
О»! ||1 = О|—пз^[<т},
или
сЭкв |п= 150 — 0 < 160.
Как видно из расчета, прочность стенки обеспечена.
Пример 20. В опасной точке чугунной детали на гранях eb"^ie^J s
элемента (рис. 183) напряжения оа=5 МПа; ор =—25 МПа; то— _
=26 МПа. Проверить прочность, если допускаемое напряжение на Г^-
жение [о + ]=35 МПа, а допускаемое напряжение на сжатие [о ~]='z
Определяем главные напряжения (см. § 44):
=у [°« + op +V(^-<’p)2 + 4t2 ]=у [-20 + д/302 + 4 - 262 ] МПа =20 МП'
оз = у [оа + <т - д/(оа-ор)2 + 4т2 ]=у [ - 20 - т/зО2 + 4^ ] МПа =
= — 40 МПа.
сжатая*
Так как материал различно сопротивляется растяжению и C)-.c:,TF
проверку прочности проведем по теории Мора. Заданное напряженно^^^
ние располагается на предельной диаграмме (см. рис. 179) между
www-vokb-la.spb.ni - Самолет своими
213
новых теориях прочности
-------—-----------------
Рис. 182 Рис. 183 Рис. 184
растяжением и простым сжатием. Следовательно, для расчета прочности можно
применить формулу (7.21):
Пэк»м = «Я----? пз<[о+].
[о_]
Имеем
35
аэи>и = 20-Ь^о 40=31,7 МПа<35 МПа.
По теории наибольших относительных удлинений, учитывая, что 02 = О,
имеем
Сэкб 11=с । — роз [о].
Для р=0,25 уравнение принимает вид
о,к. п=204-0,25-40 =30 МПа <35 МПа.
Пример 21. По граням элемента (рис. 184), выделенного в опасной точке
стержня, испытывающего деформацию изгиба, напряжения
Ор = 0;
та = т; Тр =---Т.
Определить эквивалентные (расчетные) напряжения по четырем теориям
прочности.
Вычисляем главные напряжения в опасной точке по формулам (6.21):
°' (°+V°2+4t2);
°3=-g-(a—"\/o24-4r2 ).
Тогда эквивалентные напряжения и условия прочности примут следующий вид:
а) по первой теории
°гэкв1=о1=2.(о4-д/а24-4т2) sg [о]; (7.31)
5) по второй теории
Оэкв „ = с, _ и (О2 + Оз) = _Цр!_ „ +2+м_ _|_ 4т2 |„| (7 32)
Или, принимая р=0,3, находим, что
и=0,35о 4- 0,65 д/о2+4т2 < [<*];
(7.33)
214
в) по третьей теории
Оэкв 111=0! —аз= д/о24-4т2 5^ [о];
г) по четвертой теории
Oskb IV—"2"[(О| —Оз)2 +(оз — Оз)г4"(оз — О|)2) — Зт2 [о].
Глава 8
Сдвиг
§ 51. Сдвиг. Расчет на срез
С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести компонен-
тов главного вектора и главного момента внутренних сил отличны
от нуля только поперечные силы Qy или Qz. С достаточной степенью
приближения деформация сдвига или среза практически может быть
получена в случае, когда на рассматриваемый брус с противополо"
ных сторон на весьма близком расстоянии друг от друга действую’
две равные силы, перпендикулярные к оси бруса и направленные в
противоположные стороны. Примером такого действия сил на бр,-
может быть разрезание ножницами прутьев, полосы и т п. (рис. 12е
Вообще же на практике сдвиг в чистом виде получить трудно, так как
обычно деформация сдвига сопровождается другими видами л
формаций и чаще всего изгибом.
Установим формулы для напряжений и деформаций, необхмн
мые при расчете на срез элементов конструкций, имеющих форму
бруса. Известна внешняя нагрузка Р, в частности для случая, пре;
ставленного на рис. 185. Используя метод сечений, находим, ч
на участке Ьс поперечная сила
Qy=P. (8J)
Опуская в дальнейшем индекс при Q, установим связь между П0‘
перечной силой и напряжениями, действующими в рассматриваемом
сечении. Из уравнения (3.30)
J -tdF=Q.
F
Рис. 185
Рис. 186
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими р
Расчет на срез
Сдви^-------------
215
(8.3)
Принимая касательные напряжения т равномерно распределен-
1 по площади поперечного сечения F (рис. 186), на основании
Сражений (8.1) и (8.2) будем иметь Q = P=rF, откуда
ВЬ»г
р
Допущение о равномерности распределения касательных напря-
ний по сечению весьма условно. Однако это допущение во мно-
случаях себя оправдывает и поэтому в инженерной практике
г широко пользуются при расчете болтов, заклепочных соедине-
ний шпонок, сварных соединений и других деталей.
§ 52. Чистый сдвиг
При расчете ряда элементов конструкций встречается частный
случай плоского напряженного состояния, когда на четырех гранях
прямоугольного элемента действуют только касательные напряже-
ния (рис. 187, а). Такое напряженное состояние называется чис-
тым сдвигом.
Найдем величину и направление главных напряжений при таком
напряженном состоянии. Для этого воспользуемся построением кру-
га напряжений (рис. 187, б). Поскольку в данном случае
Оа— ор — 0, та — - т, Тр — т,
то, построив круг напряжений, находим, что
Oi = —о3=т, (8-4)
а главные площадки наклонены к граням элемента под углом 45°.
Третья главная площадка совпадает с ненагруженной фасадной
гранью элемента, следовательно
°2=0. (8.5)
Рассмотрим деформацию элемента abed (рис. 187, а). Посколь-
ку по граням элемента нет нормальных напряжений, то вдоль
граней нет и удлинений. В то же время диагональ ас, совпадающая
направлением oi, удлиняется, а диагональ bd, совпадающая с
управлением сжимающего напряжения о3, укорачивается. В ре-
У-льтате квадрат abed превращается в ромб a'b'c'd'.
и3м,аким образом, деформация чистого сдвига характеризуется
ле енением первоначально прямых углов. Более наглядное представ-
грНИе„° Деформации элемента можно получить, закрепив одну из
вОа еи (Рис. 188). Малый угол у, на который изменяется пер-
^Чальн° прямой угол, называегся углом сдвига или относитель-
с’двигом. Из рис. 188 следует, что
ВАВХ.
6аютелачинУ абсолютного смещения грани обозначают As и назы-
аисолютн.ым сдвигом.
216
Из треугольника ВАВ\ следует, что
tgT~T>
Учитывая малость угла, можно считать, что
, As
tgv=—
тогда
As
Т=----•
а
(8-6)
Закон Гука при чистом сдвиге. Зависимость между нагрузкой
и деформацией при сдвиге можно проследить по так называемой
диаграмме сдвига (рис. 189). Для пластичных материалов она
аналогична диаграмме растяжения. На диаграмме показаны харак
теристики прочности — тпц, тт, тв.
Экспериментально диаграмму сдвига можно получить при скру
чивании тонкостенной трубы (рис. 190). Действительно, мысли
выделенный элемент стенки трубы (ячейка ортогональной сет
предварительно нанесенной иа поверхности трубы) находив
условиях чистого сдвига, характеризуемого напряженным coCLr
нием, показанным на рис. 188. Рассматривая деформацию
элемента в пределах упругости, найдем, что между
сдвигом и касательными напряжениями, действующими по гр
элемента, согласно диаграмме сдвига (рис. 189), существуе
нейная зависимость, которая может быть выражена формул0
(8.7)
у=—, или т = 6у,
G
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
217
q___коэффициент пропорциональности, который называется
^Аилем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода
(еряется в МПа (или Па). Значения модуля G для некоторых
й сериалов приведены в прил. 9.
"а Для изотропных материалов между модулем упругости G при
7ге и модулем упругости Е при растяжении существует опреде-
в я зависимость. Для ее получения рассмотрим деформацию
лееМента, претерпевающего чистый сдвиг (рис. 188). Найдем сна-
Эала удлинение диагонали АС, длина которой
y=—, поэтому
(8-8)
законом Гука [формулы
рассматривая геометрическую картину деформаций, получим
Д/=С.С2=СС, cos(-J—J-) ^СС, cos 45°=-^.
Тогда относительное удлинение диагонали
Д/ _ As_____ 1 As _ tg -у_-у
f=_F_^OV2~2 a~ 2 ~~2~-
По закону Гука для чистого сдвига
__т
t— 2G
Теперь воспользуемся обобщенным
(6.51)]. Главное напряжение о( действует в направлении диагона-
ли АС Поэтому относительное удлинение е диагонали есть не что
иное, как главное удлинение е1 при плоском напряженном состоя-
нии, представленном чистым сдвигом. Учитывая зависимость (8.4),
из первой формулы (6.52) находим, что
E==e,==±F~T (8-9)
Сравнивая формулы (8.8) и (8.9), получаем искомую зависимость:
G=_JL_
2(1+д)
(8.10)
Ря 1/3-ь 1/4 получим G =(0,3754-0,4) Е.
апишем выражение для перемещения одной грани относитель-
(абсолютного сдвига As) при чистом сдвиге. Обозначая
р'ас1Цадь гРани равнодействующую сдвигающую силу Q = Ft и
1Учим)ЯНИе междУ сдвигаемыми гранями через а (рис. 188), по-
G GF '
т e.
As=~-. Qa
-__~ог~
(8 11)
218
Формула (8.11) выражает закон Гука для абсолютного с
Потенциальная энергия деформации рассматриваемого Э1ДВИГа
при чистом сдвиге леМенТа
rj_ ______ Q2a
и~ 2 — 2GF ’
а удельная потенциальная энергия
G _ Q2c Q
V 2CF-aF 2FG '
Т. е.
__ т
2G ' (8.12)
Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом
сдвиге. Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию
чистого сдвига (рис. 187, а). Касательные напряжения на гранях
элемента равны т, допускаемое напряжение для материала при
растяжении — [о].
Как указывалось ранее, главные напряжения при чистом сдвиге
О1=т; ог = 0; оз=—т.
Условие прочности составим по второй, третьей
теориям:
а) по второй теории
О| — ро3^[о].
Подставляя значения главных напряжений, находим
Правая часть формулы (8.14) представляет собой
напряжение при чистом сдвиге:
и четвертой
(8.13)
(8.14)
допускаемое
(8.15)
Для металлов р,—0,25-4-0,42. Следовательно, по второй теории
прочности
[т]=(0,7-4-0,8)[о];
б) по третьей теории прочности
Oi —оз<[о],
или
т—(—т)^[о],
откуда
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
е допускаемое напряжение при сдвиге
t =0,5 [о];
в) по четвертой теории прочности
в-’ + оГ— О|Оз<[о].
рнеСя значения главных напряжений, получим
о
Следовательно,
219
(8.18)
(8.19)
(8.20)
Полученные величины допускаемых напряжений применяют так-
же при расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию
среза (болтов, заклепок, шпонок и т. д.). Отметим, что для плас-
тичных материалов наиболее подходит формула (8.20), получен-
ная на основании четвертой теории прочности. При использовании
этой формулы для допускаемых напряжений на растяжение следует
принимать соответствующие значения. Например, для стали марки
СтЗ допускаемое напряжение на растяжение и сжатие [о] = 160 МПа.
Тогда
г =0,6-160=96 МПа100 МПа.
Условие прочности на сдвиг (срез) может быть записано в
обычном виде:
гикс=^<[т]. (8.21)
Величина допускаемых напряжений на срез [т] зависит от свойств
^атериала, характера нагрузки и типа элементов конструкции.
Основания для выбора допускаемых напряжений [т] даны выше, а
значения величин допускаемых напряжений на срез для некоторых
МатеРиалов применительно к заклепочным и сварным соединениям
Риведены в прил. 11.
В качестве примера рассмотрим расчет болтового соединения,
Риведенного на рис. 191.
Эт Оилы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга.
п препятствует болт, на который со стороны каждого листа
(ри ^Югся распределенные по контактной поверхности силы
•пень 91’ ° 11 Равнодействующие последних, равные Р, направ-
п0 противоположно (рис. 191, а). Усилия стремятся срезать болт
<Твуег°СКОСТИ Раздела листов т — п, так как в этом сечении дей-
чц/кГ наибольшая поперечная сила Q = P (рис. 191, в). Считая,
асательные напряжения распределены равномерно, получим
220
Рис. 191
Таким образом, условие прочности болта на срез принимает ви
4Р ^-г 1
nd2
Отсюда можно найти диаметр болта:
(8.22)
Следует отметить, что силы Р, приложенные к болту, стремятся
также изогнуть его. Однако изгибающий момент мал и вызванными
им нормальными напряжениями можно пренебречь, тем более что
при увеличении внешних сил разрушение произойдет путем среза
При расчете болтовых, заклепочных и других подобных соеди-
нений следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам
соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих по-
верхностей. Под смятием понимают пластическую деформацию,
возникающую на поверхностях контакта.
Расчет на смятие также проводят приближенно, поскольку закон
распределения давления по поверхности контакта точно не известен.
Обычно принимают криволинейный закон распределения (рис 192),
считая, что давление q по диаметру d изменяется пропорционально
изменению проекции площадки dF цилиндрической поверхности н
диаметральную плоскость:
q dF
<7i dFi
Тогда максимальное напряжение смятия на цилиндрически’'
поверхностях
Р
Осм — г »
КОЙ'
где F\„ представляет собой площадь проекции поверхности
такта на диаметральную плоскость (рис. 191, г):
FcM=df>.
Условие прочности на смятие имеет следующий вид:
°™ — [Осм].
(8.23)
(8.24)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Допускаемые напряжения на смятие устанавливают опытным
путем и принимают равными [осм]=(24-2,5) [о_].
На основании зависимости (8.24) получим
Р
6|о<„|
Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на
смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший,
округлив его до стандартного значения.
Учитывая, что болты и заклепки ослабляют листы, последние
проверяют на разрыв в наиболее ослабленных сечениях. В случае
одного болта (рис. 191) условие прочности будет иметь вид
o=-L_=—Jр—
Fm„ 6(b-d)
(8.25)
Пример 22. Определить необходимое число заклепок диаметром d=23 мм
для прикрепления раскоса фермы, состоящего из двух уголков 90 X 56X8,
к фасонному листу (косынке), имеющему толщину f> — l,2 см (рис. 193).
Растягивающее усилие в раскосе N=300 кН, материал — СтЗ, отверстия
для заклепок продавлены
Полагая, что усилия между заклепками распределяются равномерно,
и имея в виду, что они испытывают двойной срез (одновременно по двум
сечениям), число заклепок i определим из условия прочности на срез:
4
или нз условия прочности на смятие:
п А/
ifid
—ОоУчнтыва» ПРН этом> что Для стали можно принять [т]= 100 МПа и осм] =
280 МПа, найдем:
а) из расчета на срез
300-10 3 ________
2^-(т] ^,00-
222
б) из расчета на смятие
. ту _ зоо-ю-3 _
Ы [ос„] 1,2-2,3-10-4-280 '
Принимаем, что число заклепок Т = 4.
В расчете на смятие фигурировала толщина фасонного листа 6=12
так как суммарная толщина полок двух уголков 26=1,6 см, а следователе?
напряжение смятия в заклепках в местах контакта с уголками будет мецЫ'
чем в месте контакта с косынкой (предполагается, что материал заклеив
мягче, чем материал соединяемых элементов). "
Пример 23. Вал передает крутящий момент MKf = 27 кН-м при помои
шлицевого соединения (рис. 194). Диаметр вала D=80 мм, внутренний ди
метр d=68 мм, высота шлица h=6 мм, ширина шлица Ь — 12 мм, дли
соединения 1 = 100 мм. Число шлицев 1=6. Определить напряжение среза
смятия шлица.
Полагая, что все шлицы нагружены одинаково, найдем усилие, прихо-
дящееся на одни шлиц:
д.< 27-2
Р —,п г с кН = 132,35 кН.
d . 6,8-10-6
~21
Напряжение среза
'--ТГ- l'X;tl0.i МПа.
Напряжение смятия
Pi 132,35-10 3
~ lh~ 0,1-6-10-3
МПа =220,5 МПа.
На срез принято (также условно) рассчитывать и некоторые
сварные соединения. Изготовляя металлические конструкции, как
известно, часто применяют сварку электрической дугой. Если выбор
конструкции соединения, материалов и технологии сварки сделан
правильно, то сварное соединение по надежности не уступает за-
клепочному при действии как статических, так и динамических на-
грузок. В то же время, соединение элементов конструкций с помошью
сварки имеет целый ряд преимуществ, основное из которых
экономичность.
Наиболее распространены стыковые соединения и с помои
угловых, или валиковых, швов. Стыковые соединения примем
когда листы находятся в одной плоскости. При толщине ли
6^8 мм кромки их не обрабатывают (рис. 195, а)\ при ^аз-
кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V- 8,
ный шов, рис. 195, б); при б 20 мм кромки скашивают с двух с
(Х-образный шов, рис. 191, в). Расчетную толщину шва прини
равной толщине листа 6, наплывы не учитывают. <
Соединения с помощью угловых швов делают, когда ли
раллельны ити перпендикулярны. Сюда относятся нахлес^оВ0Г"
соединения, с накладками и тавровые. Если направление аетс
шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов на^азВа1,,,с
обовым (торцевым). Швы, параллельные усилию, носят
www.vokb-la.spb.ru Самолет своими
223
Ч11СТыйД^
фланговых (боковых). Применяются также косые швы (рис. 196),
направленные под углом к усилию. На рис. 197 показано нахлесточ-
ное соединение листов лобовыми швами, на рис. 198 — соединение
с накладками, приваренными фланговыми швами, а на рис. 199 —
тавровое соединение.
I Если не учитывать наплывы, то в разрезе угловой шов имеет
форму равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 200, а).
Разрушение шва будет происходить по его минимальному сечению
MCD (рис. 200, б), высота которого
°=6cos 45° «0,76.
Расчетная площадь сечения шва F3=al=0,7bl, где I— расчет-
Ная длина шва.
Сварные соединения, как и заклепочные, условно рассчиты-
^к,т в предположении равномерности распределения напряжений
На Сечению шва- табл. 12 приведены некоторые значения допус-
цоемых напряжений для сварных соединений. Данные этой таблицы
Из СтЗ^ЫТЬ использовань1 только для конструкций, изготовленных
U
на е останавливаясь на расчетах всех видов швов, рассмотрим
L Римерах расчет только лобовых и фланговых, т. е. таких швов,
е> главным образом, должны сопротивляться действию каса
у Ь1Х напряжений.
сОс.г.Читывая, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению,
ВЛЯ|°Шей нормальных напряжений в лобовом шве пренебре-
11 Рассчитывают его условно на срез, предполагая, что каса-
224
Таблица 12
Вид напряжения Обозначение допускаемого напряжения Допускаемое напряжение, МПа -
Ручная сварка электродами с тонкой обмазкой Автоматически t— " ручная свапЛр,!а ЭЛеКТРХ1зкойОЛ'Г<*
Растяжение Г _ 1 100 1зо~~~
Сжатие 1°»1 по 145
Срез 1т,] 80 по
Примечание. Индекс «э» означает, что изделия свариваются электрической дугой
(8.26)
тельные напряжения равномерно распределены по площади сечения
(рис. 201). При этом для нахлесточного соединения в расчет
вводят оба шва — верхний и нижний. Тогда, предположив, что ра-
ботают оба шва с общей площадью опасного сечения Fs=2al1=
= 1,4б/т, где /т — расчетная длина торцевого шва, запишем условие
прочности шва:
Р______Р_
т~ Г, ~ 1.46/,
Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество
ухудшается, действительную его длину увеличивают по сравнению
с расчетной на 10 мм, т. е.
/ =/т+ Ю мм,
где I — действительная длина шва (на рис. 201 1=Ь).
Отметим, что вследствие незначительной деформативности мате-
риала шва в направлении действия силы лобовые швы жесткие,
поэтому они разрушаются при весьма малых остаточных деформа-
циях и плохо сопротивляются действию повторно-переменных и
ударных нагрузок.
Более распространены на практике фланговые швы. Они отно-
сятся к вязким, так как разрушаются лишь после значительных оста-
точных деформаций. Фланговые швы всегда ставят парами; эти
Рис. 202
Рис. 201
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
225
ЧнстыйсД£^.
вы работают на срез в биссекторных сечениях (рис. 202). Площадь
среза каждого шва
A=0.rS(/-10).
условие прочности на срез принимает вид
Р
Т== 1,46 (/-Ю)
(8.27)
Пример 24. Определить необходимые размеры фланговых швов, соединяю-
щих полосы (рис. 202). Растягивающая сила P—t40 кН, а допускаемое напря-
жение на срез для металла шва [тэ]=/70 МПа; 6=7 см; б\=0.8 см; Ь = 10 см;
bi = l2,5 см.
Из условия прочности (8 27) определяем необходимую длину шва:
Р / 140-10 3 \
Z=1^]+O,G' М = К 1.4.1.10 <П0 +°-01) М=0-'01 м = 10-' см-
Пример 25. Найти необходимую длину h и I? фланговых швов (рис. 203),
соединяющих равнобокий уголок № 5 с косынкой, при действии нагрузки
Р — 60 кН. Принимаем, что [т,|=90 МПа.
Условие прочности на срез двух швов имеет вид
Т= ;/, + /2) 6 cos 45" С (8’28)
где б — толщина полки уголка.
Общая длина швов при 6 = 5 мм
, . , Р 60-Ю-3
'+ 2^6 cos 45" |т,Г5- 10 '’-0,7-90 М — °’ В 9
м = 19 см.
Чтобы обеспечить одинаковые условия работы обоих швов, следует соот-
ношение длин швов выбрать обратным соотношению расстояний ht н ft2,
определяющих положение центра тяжести уголка, через который проходит
I h
сила Р, т е. При Л1 = 3.6 см и Лг=1,4 см
/г Щ
I, 1,4 19
-р- = -g-j ~ 0,4; /2=——ж 13,5 см; /, = 19—13,5 = 5.5 см.
О 3,0 1,4
В заключение рассмотрим пример расчета врубки, используемой
Для соединения деревянных элементов конструкций. Древесина
анизотропна, т. е. ее механические характеристики зависят от на-
равления силовых воздействий относительно ориентации продоль-
л волокон '. Вследствие этого допускаемые напряжения для раз-
(таб*ЫХ напРавлений действия сил приходится принимать разными
вДоль ^Редел прочности для сосны вдоль волокон 40, поперек — 5 МПа, для дуба
волокон 50, поперек 15 МПа
8 5 372
226
Рис. 203
Рис. 204
Таблица 13
Вил напряжения Обозначение допускаемого напряжения Допускаемо, напряжение МПа
Сосна Дуб
Растяжение [о] 10 13
Сжатие вдоль волокон и смятие торца |(?Сж] 12 15
Смятие во врубках вдоль волокон [о™] 8 11
Смятие перпендикулярно к волокнам
(иа длине > 10 см) 2,4 4,8
Скалывание во врубках вдоль волокон м 0,5 1,0 0,8 1,4
Скалывание во врубках поперек волокон МэО" 0,6 0,8
Изгиб К] 12 15
Скалывание при изгибе [т„] 2 2.8
Пример 26. Рассчитать соединение стропильной ноги со стропильной
затяжкой (рис. 204). Угол между осями стропильной ноги и затяжки a=4v
Сила, действующая вдоль стропильной ноги, N=50 кН. Материал — сосна,
допускаемое напряжение на смятие вдоль волокон — 8 МПа. Сечение стро
пильной ноги h~X.b =20 у. 20 см.
Конец затяжки испытывает скалывание вдоль волокон под действием го-
ризонтальной проекции Hi силы N:
/Vi=JVcos30<’ = 50-0,866 =43,3 кН.
Длину х затяжки, выступающую за врубку, определим из условия
_ N<
Тмакс— j-.
Гсъ
N,
Ьх
Принимая [т]=0,8 МПа, находим площадь скалывания:
₽ . Л/, 43,3-10“3 2 пп,л1 2 2
---------------м =0,0541 м =541 см2,
[т 0,8
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
ЧИСТЫЙ^1
227
тогда
см—27,1 см.
*==Т 20
Необходимая площадь смятия врубки
F =43,3~10 3 м2 = 5,41 • 10 J м2 = 54,1 см2.
Fr"' |осм] 8
Глубина врубки
Примем i/ = 3 см.
Глава 9
Кручение
§ 53. Напряжения и деформации при кручении.
Условия прочности и жесткости
Как уже указывалось (§ 2), деформация кручения вызывается
парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси
стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении
стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только
один — крутящий момент AfKp (рис. 205). Как показывают опыты,
поперечные сечения при кручении поворачиваются одно относитель-
но другого вокруг оси стержня, при этом длина стержня не меняется.
Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.
Рассматривая кручение вала (например, по схеме, приведенной на
рис. 206), легко установить, что под действием скручивающего
момента, приложенного к свободному концу, любое сечение на рас-
стоянии х от заделки поворачивается относительно закрепленного
сечения на некоторый угол ц> — угол закручивания. При этом чем
больше скручивающий момент AfK, тем больше и угол закручивания.
Зависимости (p=f(/VfK), называемые диаграммами кручения, мож-
но получить экспериментально на соответствующих испытательных
Машинах с помощью специального записывающего устройства.
Фимерный вид такой диаграммы (полученной при постепенном
Увеличении нагрузки вплоть до разрушения) для вала длиной /, из-
ловленного из пластичного материала, показан на рис. 207.
Рассматривая диаграмму кручения, нетрудно убедиться, что она
0 некоторой степени подобна диаграмме растяжения: характерные
Участки и точки аналогичны тем, которые наблюдаются на диаграм-
ме,, Растяжения: Afnil — момент, до которого сохраняется прямоли-
Мр Ная зависимость между нагрузкой и деформацией; AfT — мо-
вьНТ- Соответствующий началу текучести; Мв — крутящий момент,
Зывающий разрушение.
228
В дальнейшем в этом параграфе при выводе формул для напря
жений и угла закручивания нас будет интересовать участок диаграм-
мы кручения, отвечающий работе материала в пределах пропорцис
нальности, т. е. начальный прямолинейный участок, характеризую-
щий линейную зависимость между крутящим моментом и углом
закручивания, что имеет место при нормальной работе валов.
Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях стержня,
рассмотрим прежде всего статическую сторону задачи. Поскольку
Мкр единственный внутренний силовой фактор в поперечном сече-
нии, можно предположить, что здесь действуют только касательные
напряжения. Тогда пять интегральных уравнений (3.29) — (3.33)
тождественно обращаются в нуль, а уравнение (3.34) принимает вид
pTdF=MKf, (9.1)
F
где т — касательное напряжение, действующее на элементарной
площадке dF, расположенной на произвольном расстоянии р от
центра сечения (рис. 208, б).
Характер распределения напряжений по сечению выясним, рас-
смотрев геометрическую картину деформации вала при кручении.
Для этого на поверхности круглого вала нанесем сетку, состоя
из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой па-
раллельные круги (рис. 208, а). После приложения скручивающего
момента наблюдаем следующее: образующие цилиндра превра-
щаются в винтовые линии, т. е. линии одинакового наклона к оси
стержня, параллельные круги не искривляются и расстояние межА?
ними практически остается неизменным; радиусы, проведенные в
торцовых сечениях, остаются прямыми. Полагая, что картина, на
блюдаемая на поверхности стержня, сохраняется и внутри, прихо
дим к гипотезе плоских сечений: сечения, плоские до деформацИ ь
остаются плоскими при кручении круглого стержня, поворачивая
одно относительно другого на некоторый угол закручивания. (
Рассмотрим некоторый участок вала длиной dx (рис. 209),
деленный из исследуемого вала (рис. 206); вал подвержен деист
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
. и деформации ври кручении. Условия прочности и жесткости
229
иваюшего момента AfK, вызывающего в поперечных сечениях
сьрУч^нНие крутящие моменты AfKp. Пусть угол поворота сечения
относительно неподвижного будет ср, тогда угол поворота
т " я п — п, расположенного на расстоянии dx, будет
Следовательно, угол закручивания участка стержня длиной dx
^Рассмотрим в связи с этим деформацию прямоугольного эле-
нта ab'd'c бесконечно малой толщины, выделенного у поверхности
Так как радиусы остаются прямыми, то отрезок О'Ь', повора-
Б^ваясь в плоскости поперечного сечения на угол закручивания dq>,
Займет положение О'Ь. При этом образующая ab' переместится в но-
вое положение ab, составив с первоначальным угол у. Совершенно
аналогично образующая cd' перейдет в положение cd. Так как длина
этих отрезков практически неизменна, то .деформация прямоуголь-
ного элемента ab'd'c состоит в изменении первоначально прямых
углов на величину угла у. Таким образом, рассмотренный элемент
находится в условиях чистого сдвига и, следовательно, на его гра-
нях действуют касательные напряжения (рис. 209, 210).
В силу сказанного угол у является углом сдвига (относительный
сдвиг) и
, Ь'Ь
Учитывая, что ab'—dx, a bb' — rdcp, угол сдвига на поверхности
скручиваемого стержня можно представить в виде
T=r-i (9.2)
Величина dy/dx является относительным (погонным) углом закру-
чивания (измеряется в см 1) и обычно обозначается через 0. Учиты-
вая это, формулу (9.2) можно записать так:
Т==6г. (9.3)
Если мысленно представить себе аналогичный элемент, выделен-
ный внутри стержня на произвольной цилиндрической поверхности
Радиуса р (рис. 209), то аналогичные рассуждения приведут к за-
ключению, что угол сдвига
VP==0p. (9.4)
Теперь рассмотрим физическую сторону задачи, устанавливаю-
Ую связь между напряжением и деформацией. Поскольку элемент
по"утывает ЧИСТЬ1Й сдвиг» то с Учетом выражений (9.4) и (8.7)
r' = G(-)p. (9.5)
нЬ1еФ°РмУ-лы (9.4) и (9.5) показывают, что углы сдвига и касатель-
зак Напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному
(ри°Н^ пРямо пропорционально расстоянию р точек от центра сечения
• а). Очевидно максимальные напряжения будут у поверх-
ности стержня, при р=г. Таким образом, выражение (9.5) можно
переписать в виде
Тг === Тмакс = GF)f.
Подставляя выражение (9.5) для касательного напряжения в
уравнение (9.1), будем иметь
MKf = Ge\ p2dF = G@Jp.
F
Отсюда получим формулу для относительного угла закручивания
круглого стержня:
(9.6)
___ dtp Мкр
dx GJP ’
где GJP — жесткость сечения стержня при кручении, Н-м ; „
Jp — полярный момент инерции круглого стержня, коТ<?Рг\
для сплошного стержня диаметром d, как известно (s
выражается формулой /p=nd'1/32, а для трубчат
стержня с внутренним диаметром dB и наружным «и
г Л (£?н —dg) ZldH / < 4’
32 —
Здесь a—dB/dK.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
231
рння и деформации при кручении. Условия прочности и жесткости
--------------------“--------------:----------------
Зная выражение (9.6) относительного угла закручивания, мож-
записать формулу для определения взаимного угла закручивания
Н° tv сечений, расположенных на расстоянии I:
двух
г_М<р_
GJr
о
Если в пределах цилиндрического участка стержня длиной /
крутящие моменты в сечениях не изменяются, то
Ф = ®/= GJP
Мкр/
(9-7)
формулу (9.7), устанавливающую связь между силовым факто-
ром при кручении (Л4Кр) и соответствующей деформацией кручения
(углом ф), часто называют законом Гука при кручении.
Для определения касательного напряжения т в любой точке сече-
ния стержня достаточно в формулу (9.5) подставить выражение для
0 по формуле (9.6). Тогда
Л1крР
(9.8)
Максимальное касательное напряжение, действующее на пери-
ферии сечения стержня,
(9.9)
М,гГ
^макс “ д Wp ’
где
Ц/р=А-см3
Г
Эта величина называется полярным моментом сопротивления.
Для сплошного круглого сечения
16
и
= (9.Ю)
ла ' '
Изложенная теория применима и для трубчатого круглого сече-
Ния. В этом случае
а").
16
Т«акс = !ДМК|, z g । । у
(у-Ч)
т
Ч(1 аким образом, максимальное касательное напряжение в скру-
аемом круглом стержне пропорционально крутящему моменту
Кр и обратно пропорционально кубу наружного диаметра стержня.
232
Установив формулу для определения максимального касат i
ного напряжения при кручении, можно записать уравнение цпЛь'
ности при кручении:
т„. — _ Мкр <-11
•'Макс W'p
(9.12)
где |т| — допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге)
Отсюда полярный момент сопротивления вала 1
tv/ Мкр
|т| •
(9.13)
Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость
ограничивая погонные углы закручивания некоторой допускаемой
величиной [0]:
(jjp
(9.14)
откуда полярный момент инерции вала определится формулой
(9.15)
§ 54. Анализ напряженного состояния
и разрушения при кручении
Из анализа общей формулы (9.8) для касательных напряжений!
видно, что напряжения в плоскости сечения вала распределены
неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейном.)
закону от нуля в центре сечения до максимума на его периферии
(рис. 211, а). В продольных сечениях, проходящих через ось вала,
по закону парности касательных напряжений возникают такие же
по величине касательные напряжения (рис. 211, б). В элементе ма-
териала, мысленно выделенном из наружных слоев стержня сече-
ниями, параллельными и перпендикулярными к образующим (рис. 212),
по граням будут действовать только касательные напряжения
В сечениях, наклоненных к оси, будут также и нормальные напря-
жения, как об этом подробно указывалось при рассмотрении напря-
женного состояния элемента, находящегося в условиях чистого
сдвига. Наибольшие нормальные напряжения действуют на главны
площадках, которые, как известно, наклонены под углом 45° к пло-
щадкам чистого сдвига [при кручении под углом 45° к оси ва
(рис. 212)].
Таким образом, при кручении круглых валов опасными
стать как касательные напряжения, возникающие в попере111
и в продольных сечениях вала, так и нормальные напряжения,
никающие в площадках под углом 45° к первым. В связи с этим
рактер разрушения вала будет зависеть от способности матери^
сопротивляться действию касательных и нормальных напряже
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими ру
Так, если материал плохо сопротивляется касательным напряже-
ниям (действию сдвига), то первые трещины разрушения возникают
по образующим в местах действия наибольших касательных напря-
жений. Например, в случае кручения деревянных валов с продоль
ным расположением волокон трещины разрушения ориентированы
вдоль образующей (рис. 213), поскольку древесина плохо сопротив-
ляется действию касательных напряжений вдоль волокон. Если же
материал плохо сопротивляется растягивающим напряжениям, как
например чугун, то трещины разрушения при кручении пройдут по
линиям, нормальным к действию главных растягивающих напря-
жений (рис. 214), т. е. по винтовым линиям, касательные к кото-
рым образуют угол 45° с осью стержня. Стальные валы на практике
часто разрушаются по поперечному сечению, перпендикулярному к
оси вала. Этот вид разрушения обусловлен действием в поперечном
сечении касательных напряжений.
§ 55. Расчет валов на прочность
и жесткость при кручении
Для проектирования можно рекомендовать следующий порядок
расчета валов на прочность и жесткость при кручении.
По схеме вала и действующим на него скручивающим моментам
строят эпюру крутящих моментов по отдельным участкам (§ 16).
ь,бирают материал для рассчитываемого вала и определяют для
ЭТо,'о материала допускаемое напряжение [т]. Записывают условие
прочности (9.12) для участка вала с максимальным значением кру-
яЩего момента (согласно эпюре моментов).
„Если вал достаточно длинный и по отдельным его участкам
^иствуют существенно разные по величине крутящие моменты, то
п следует конструировать ступенчатым. Диаметр вала каждой сту-
нн рассчитывают, исходя из той же формулы (9.12), но значения
с^тяЩегО момента при этом берут разные для разных участков в
ГВс ствии с эпюрой крутящих моментов.
234
кРу ч< ।
Учитывая, что для сплошного круглого вала W7p=nd3/16, мож
из выражения (9.13) записать расчетную формулу для диамет*10
вала: '*1;|
(9.16)
Определяя диаметр полого вала, из конструктивных соображе
ний задаются соотношением между размерами внутреннего и нару^
ного диаметров, т. е. коэффициентом a=dB/dK, а затем, учитывая
выражение (9.11), из выражения (9 13) находят величину наруж
ного диаметра вала:
л / 16Л1«Р
V л[т|(1-а«) • (9.17)
Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал
на жесткость по формуле (9.14). Допускаемый относительный угол
закручивания вала принимают следующим: при статической на-
грузке [0°]=О,3° на каждый метр длины вала; при переменных на-
грузках [0°]=О,25°, а при ударных нагрузках [0°]=О,15°. Учитывая,
что формула (9.14) выражает угол закручивания в радианах, при-
веденные допускаемые значения углов нужно перевести в радианы,
умножив их на л/180. Если при проверке окажется, что условие
жесткости (9.14) удовлетворяется, то на этом обычно и заканчи-
вают расчет вала. В противном случае размеры вала нужно подо-
брать из условия жесткости (9.15):
G[0| •
Подставляя в эту формулу выражение полярного момента инерции,
найдем, что для сплошного вала
32Л1,Р
бл|6] ’
(9.18)
для полого вала
dK / 32М.Ф ~ (9.19)
V бл |0] (1 - а4) '
Иногда при расчете вала известна передаваемая им мощность А>
заданная в киловаттах, и частота вращения п в оборотах в минут)-
В этом случае скручивающие моменты в расчетных формулах можн°
выразить непосредственно через мощность К и частоту вращения и.
исходя из формулы (3.1):
Мк=9549 — Н-м. <9-20,|
п
Ранее, когда мощность W задавалась в лошадиных силах, сКРУ
чивающие моменты определялись по формуле (3.2):
Л4К = 7028,8 — Н-м. (9,21)
п
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими pi
235
лов на прочность и жесткость при кручении
расчет^-----------------------------------
Пример 27. Найти мощность в киловаттах, передаваемую валом, если
диаметр сплошного вала d — 150 мм, частота вращения вала п — 120 об/мин,
модуль сдвига G —8,4 -10' МПа и угол закручивания участка вала длиной
7 5м равен 1/15 рад
Из уравнения (9.7)
С nd'
GJp<f 32 ф 8,4-104л-0,15’ „
—----—=----------=—л;-.-,-;»—МН-м=37150 Н-м.
л,«р / I 32-7.5-15
Тогда, применив формулу (9.21), определим передаваемую мощность:
М„,п 37150-120 D о п
N = —— кВт = 465,8 кВт.
N 9549 9549
Пример 28. Из условия прочности и жесткости определить диаметр сплош-
ного вала (рис. 215) при следующих значениях передаваемых шкивами момен-
тов: Mi—0,6 кН-м; M-i=0,8 кН-m; Мз=2 кН-m; Mt=0,6 кН-m. Допускаемое
напряжение [т]—20 МПа. Допускаемый угол закручивания [&]= 1 /4°/м, или
[8] = л/(/80-4) м_|. Модуль упругости стали при сдвиге G=8-l(r МПа.
Строим эпюру крутящих моментов. Наибольший момент действует на
участке 2—3.
Л1Кр ИВ11С=Л(1 + Л12=(0,64-0,8) кН-м = 1,4 кН-м.
Подберем диаметр вала сначала из условия прочности, для чего вос-
пользуемся формулой (9.16):
V 16-1,4-10 3
л-20
mss0,07 м = 7 см.
Теперь подберем диаметр вала из условия жесткости, используя формулу
(9.18):
32М.Р
Сл [0]
/32-1,4-10*'-180-4
V 8-10’л5 * * 8 *
msk0,08 м = 8 см.
Из двух найденных значений диаметров следует принять больший
(«7 = 8 см), найденный из условия жесткости.
Теперь определим относительный угол закручивания вала по отдельным
участкам, пользуясь формулой (9.6). Подставляя в эту формулу значения /И,,,
Для разных участков, найдем, что
0, _ 0,6-10 3-32 _ .
GJP -8-104-n(8-10-2)4 “ ’
О М,ги 1,4-10“3-32
=— —
GJ„ 8-10’-л(8-10 2)4 4,35 ’10 3:
0,6-10 3-32
GJP 8-104-л (8-10“2)4
1,86-10-л-
Зная относительные углы закручивания по отдельным участкам, можно
построить эпюры О; и углов (р по длине вала (рис. 215). Эпюра углов за
кРучивания <р построена при /,= /„=50 см и /„,=90 см. При этом одно из
сечений принято неподвижным (на рис. 215 это сеченне /). Поскольку в пре-
делах каждого участка 0 = const, то угол закручивания на каждом участке
изменяется по линейному закону н
<Рг_,=е,/,= 1.86-10 3-0,5 рад=0,93-10“3 рад;
/=<Рг_,4-Ч>з- г=(0,93-10 3 4-2,18-10~3) рад=3,10-10 3 рад.
236
----------------------------------------------------------Кру^Я
i—<f2— |~Ьфз—гТфг = 0,93-10 3 + 2,18-10 3—1,67-10“3) рад=
= 1,43-10-3 рад. f
Пример 29. Определить, на сколько процентов увеличится наибол'
напряжение вала при кручении, если в валу сделано аксиальное отвеЬи1ее
dc = 0,4dK (а=0.4). аеРстЛ
На основании формул (9.10) и (9.11), полагая d„=d, получим напряже
сплошного н полого валов: ' H ,s
_ 16Л4кр _
Т"ам~ nd3 ~Т<’
!6Л4кр
Т"акс“ nd3(l-a4) ~Т"-
Искомая разница в напряжениях
nd3
16MKP
-100 =
(ОЛГ
•100 «2,6 %
Пример 30. Заменить сплошной вал диаметра d — ЗОО мм полым paei^.
прочным валом с наружным диаметром d„=350 мм. Найти внутренний Диа-
метр полого вала dc и сравнить веса этих валов.
Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равны.
16Л4кр 16Л1кр
тмакг_-
Отсюда определим коэффициент а:
Внутренний диаметр полого вала
dB = ad„=0,78-350 = 273 мм.
Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:
л(£Й-Д1)-4 d^-d2 3502 — 2732 „
---4^1----=—^2—=-------5НД2---=0,о34.
d2
3002
Из примеров 29, 30 видно, что изготовление пустотелых валов,
т. е. валов, у которых малонагруженная внутрення часть удаляет-
ся,— весьма эффективное средство снижения затрат материала, а
следовательно, и облегчения валов. При этом наибольшие напрЯ’
жения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от мак-
симальных напряжений в валу сплошного сечения при том же на-
ружном диаметре. Так, в примере 29 за счет сверления при
==dB/dH=0,4, дающем облегчение вала на 16 %, максимальные
напряжения в наружных волокнах полого вала возросли всего на
2,6 %. Во втором случае равнопрочный пустотелый вал, но с не
сколько большим наружным диаметром (350 мм) по сравнению
сплошным валом (300 мм), оказался легче сплошного на 53,4 л
Эти примеры наглядно свидетельствуют о рациональности при1,
нения пустотелых валов, что широко используется в некоторы
областях современного машиностроения, в частности в мот°Р
строении.
В качестве примера статически неопределимого стержня, под-
верженного кручению, рассмотрим круглый стержень, защемленный
обоими концами и нагруженный скручивающим моментом Мк в не-
котором сечении С (рис. 216, а). Построим эпюру крутящих момен-
тов и вычислим диаметр стержня.
При такой нагрузке в защемлениях возникают реактивные мо-
менты и Мв в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня.
Статическая сторона задачи. Из условия равновесия стержня
SMx=M?14-MB-MK=0 (9.22)
видим, что задача один раз статически неопределима.
Геометрическая сторона задачи. Так как оба конца защемлены,
то угол поворота сечения В относительно А равен нулю:
<₽в-л = Фв_с + фс—>1=0- (9.23)
Физическая сторона задачи. Используя формулу (9.7), запишем
выражение для углов закручивания:
4>c-^a = ^ г^в'>а . (9.24)
IJ J р
Синтез. Внося формулы (9.24) в выражение (9.23), получим
<рв __ _ Мвь (Л4К —Мв)с_0
GJP “Г GJ„
Отсюда с учетом уравнения (9.22)
ЛС — м„а
о —-
о Тб ’
(9.25)
найдем, что
(9.26)
Мкь
Э аТб
П|оры крутящих моментов показаны на рис. 216, б.
бели а>Ь, то 7Икр маКс=А1в и на основании формулы (9.16)
(9.27)
16аЛ1к
(а. Т б) л [т]
238
§ 56. Кручение стержней некруглого сечения
В инженерной практике довольно часто кручению подвергаю?
стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное СЯ
липтическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоек*1
сечений неприменима, так как сечения искривляются (деплапируЮт\Х
Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить
тодами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет
возможности их изложить, приведем здесь только некоторые окон
нательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях произвол
ного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные ца
пряжения при кручении направлены по касательной к контуру.
Наибольшие касательные напряжения, погонные и полные угды
закручивания по аналогии с кручением стержней круглого
принято определять по формулам
сечения
т -М>
1макс--—
Кр _
М<р/
С/к
(9.28)
(9.29)
б/.
(9.30)
Здесь /к и WK — некоторые геометрические характеристики, кото-
рые условно называют моментом инерции при кручении и моментом
сопротивления при кручении, см4 и см3 соответственно.
Наиболее часто встречаются стержни прямоугольного сечения.
В этом случае распределение касательных напряжений имеет вид.
показанный на рис. 217. Наибольшие напряжения возникают у по-
верхности посредине длинных сторон прямоугольного сечения (в точ
ках С и D). Определяются они по формуле (9.28), где
UZK = a/ife2. (9.31)
Здесь h — длинная сторона прямоугольного поперечного сечения,
b — короткая его сторона.
Напряжения, возникающие у поверхности сечения посредине
коротких сторон (в точках Л и В), меньше. Их можно выразить
через Тмакс следующим образом: .
т=утмакс. (9.32)
Для определения относительного угла закручивания прямоугоДЬ'
ного сечения в формуле (9.29) принимают
/К = ₽М3 (9.33)
Коэффициенты а, у и £, зависящие от отношения h/b, даны в табл. 1
Там же приведены данные по кручению некоторых других некруг-пЬ'
сечени'й.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёте
239
КРУ^
стержней некруглого сечення
Рис. 219
Запишем условия прочности и жесткости для прямоугольного
сечения.
— Мкр <-- ГТ1.
Тмакс— ahf)2
О_____Мк£— <101.
fihb'G J
(9.34)
(9.35)
При кручении стержней, имеющих форму равнобедренной тра-
пеции, приближенное значение наибольших касательных напряжений
и угла закручивания можно получить, рассчитывая стержень с сече-
нием эквивалентного прямоугольника. Последний строится следую-
щим образом (рис. 218): из центра тяжести С трапеции опускают
перпендикуляры СВ и CD на боковые стороны и затем прово-
дят вертикали через точки В и D. Полученный прямоугольник abed
и будет тем эквивалентным сечением рассматриваемого трапеце-
идального стержня, к которому должны быть применены формулы
(9.28) — (9.33).
При кручении стержней эллиптического поперечного сечения
максимальные касательные напряжения возникают в крайних точ-
ках, лежащих на малых полуосях (рис. 219). В этом случае
\v/ nb2h
K 16 ’
гДе b и h — соответственно размеры малой и большой осей эллипса.
Наибольшие напряжения в наружных точках сечения на большой
полуоси
Т' Z—Умакс
т *
где m=h/b.
Условный момент инерции при кручении для эллипса
Ц^^(^ + Ь2). (9.36)
Значения /к и 117к для некоторых некруглых поперечных сечений
"Риведены в табл. 14.
Ко tCJIH скРучивается стержень сложного незамкнутого сечения,
1 °Рое можно разбить на части с /к, и WKi, то для него
К==7к' +/к2 + Лз+.. .+Л„ = 2Л„ (9.37)
Таблица 14
Форма сечения Момент инерции при кручении /к. см' - Момент сопротивления при кручении W'k. см Точки с наибольшими каса~ельными напряжениями Мкр Тмйкс = W'x Примечание
Посредине длинных h Ь а ₽ V
-с: Ук = р/163 UZK —а/162 Мкр Тмакс—деГ- : посредине коротких сторон Т — уТмакс; в углах напряжения равны нулю 1 1.5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 со 0,208 0,231 0,239 0,246 0,256 0,267 0,282 0.299 0,307 0,313 0,333 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 1 0,859 0,795 0,753 0,745 0,743 0,743 0,743 0,743
ь
Як= 1.74
я/ift
"м
1ГК =2/ioftofii
U/кЗ = 2/106062
В наружных точках
малых полуосей
М..
1W nh'h
~ 16
Л=
_ h"ib 6 62
/162+66, — 6f — 6
Посредине длинной
стороны
Мх
Т,“¥Г’
посредине короткой
стороны
Т2 1Г«2
Во внутренних углах имеет мес-
то высокая концентрация напря
жении, достигающих предела те-
кучести материала.
При наличии закруглений ради-
уса г коэффициент концентрации
в наружных точках
больших полуосей
242
Круч,
где i — 1; 2; 3;...; п — номера простейших частей, на которые п.
бито сечение. !
Так как угол закручивания для всего сечения и всех его част
один и тот же: 11
о ALp МКр|
GA G7«i
Л4К[,П
G/«„
то крутящий момент распределяется между отдельными частями
сечения пропорционально их жесткостям:
МКР|=Л1КР4^; мкр2-мкр-^;.--; MKfn=MKV-^.
J к A Ju
Соответственно наибольшее касательное напряжение в каждой части
(/) сечения
_ МИр( /Икр / /к» \ /Икр / Ум \
““ Г„ ~ 1ГкД Л /к \ )
Наибольшего значения напряжение т достигает для того элемента,
у которого /и/^к( максимально:
_/Икр / JKI \ __ /Икр
~ Л \ Гм Лакс-W’
(9.38)
где
(9.39)
Пример 31. Стальной стержень прямоугольного сечения передает крутя
щий момент М, (ООО Н-м Найти размеры сечения стержня, если известно
что допускаемое напряжение на кручение |т]=40 МПа, а отношение сторон
h/b = 2,5.
Из условия прочности
__ /Икр . .
Тмакс — * |Т]
находим момент сопротивления кручению стержня:
Гк=_|1Г=^(Г“м3=0'25'1(:' 4 м3=25 см3- I
а, зная соотношение сторон сечения Л/Ь=2,5 и беря из табл. 14 соответ
ствующее значение а=0,256, размеры сечения найдем из формулы (9-ч
U4 = ato)2 = 2,5afe3.
Отсюда
ь== V = V ^57о5256 см=3-38 см: *=2,56 = 2,5-3,38 см =
=8,45 см.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
чение стержней некруглого сечения
Пример 32. Найти наибольшее касательное на-
пряжение и угол закручивания для стального стерж-
н11 длиной 5 л, имеющего поперечное сечение, по-
казанное на рис. 220,а. Стержень скручивается
моментами М = 500 Н • м, приложенными к обоим
его концам.
Для вычисления напряжений и деформаций в
стержне при кручении профиль его необходимо раз-
бить на отдельные элементы (рис. 220, б). Наиболь-
шее напряжение вычисляют ио формуле (9.28):
Мкр
Т.акс— •
где
«4 =
\ "ki / макс
Вычислим геометрические характеристики, входящие
95
а
Рис. 220
в последние формулы:
Для части / сечеиия стержня А|=45 мм; bt =35 мм; hi/bi = 1,285; /ki =
= pft,fc3. В табл. 14 при h\/b\ = 1,285 находим, что.а1 = 0,221; Pi=0,172. Тогда
= aiAibi =0,221-4,5-3,52 см3=12,2 см3;
Л1 = ₽|Л|Ь?=0,172-4,5.3,53 см4=33,2 см4;
Л, 33,2 _ __
U7Ki 12,2 СМ 2’ 2 СМ’
Для части 2 сечеиия стержня /г2=80 мм; Ь2= 10 мм; Л2/Ь2=8. Аналогично
1^к2 = а ft2fc2 = 0,307-8-12 см3 = 2,5 см3;
/к2 = Р2А2^=0,307-8-13 см4=2,5 см4;
Тк2 ,
СМ-
95
Для части 3 сечения стержня А3=95 мм; />з = 20 мм; А3/Ь3=—=4,75.
Поступая аналогично предыдущему, найдем, что
1^,з= ash3bl = 0,288-9,5-22 см3=10,9 см3;
Аз = РзА3Ьз=0,288-9,5-23 см4 = 21,9 см4;
Аз 21,9
Ж^1адсм==2 см-
Таким образом,
^к=/«|+/и2+/кз=33,24-2,54-21,9 см4 = 57,6 см4.
Наибольшее отношение соответствует части 1 сечения, поэтому
наибольшее касательное напряжение т будет посредине длинных ее сторон.
Находим:
Ai/W1,! =2J2 См3 = 21,2 См3’
т-.кс=-^-= МПа=23,6 МПа.
X. 1 • IV
Угол закручивания стержня
ф== Мкр/ 500-10 -6-5
т----——-—у-рад=0,0542 рад.
8-I04-
244
§ 57. Кручение тонкостенных стержней
Переходя к рассмотрению кручения тонкостенных стержней
метим, что методы их расчета зависят от того, открытый или
мкнутый профиль имеет их поперечное сечение.
за-
за-
Замкнутые профили. Рассматривая кручение замкнутых Тон
стенных профилей (рис. 221), будем считать толщину стенки стеран
настолько малой, что касательные напряжения по ней можно nD Я
пять одинаковыми, равными напряжениям посредине толщины стен
ки и направленными по касательной к средней линии стенки.
Из тонкостенного замкнутого стержня вырежем элемент (рис. 2221
двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми dx н
двумя произвольными меридиональными сечениями. Составляя
сумму проекций на ось х стержня всех сил, приложенных к элемен-
ту, находим
t6 = ti6i =const. (9.40)
Момент силы r&ds, воспринимаемый элементом профиля длинен
ds (рис. 221), относительно произвольной точки О
dMKp = T:f>rds.
Учитывая, что rds представляет собой удвоенную площадь эте
ментарного треугольника (на рис. 221 заштрихован), т. е.
rds = 2dcn,
и поэтому
с/Мкр = 2тбйы, (9.41)
интегрируя последнее выражение по всему контуру с учетом условия
(9.40), получим величину крутящего момента, действующего в се-
чении:
МКр=2т6Ы, (9-42)
где о — площадь, охватываемая средней линией тонкостенного се-
чения.
Из формулы (9.42) получим, что
2ю6 ’
(9.43)
Формула (9.43) впервые получена Бредтом.
Если толщина профиля по контуру неодинакова, то максима-^
ное напряжение в тонкостенном профиле определяется форм)
(9.44)
Л1кр
2 (1)6мин
где бмин — минимальная толщина стенки профиля.
Чтобы определить относительный угол закручивания т0НК°51Ни.
ного стержня, рассмотрим потенциальную энергию дефор
www.Aokb-la.spb.i u - Самолёт своими
накопленную в элементарном объеме тонкостенного стержня с раз-
мерами ds, dx, 6. Учитывая, что при кручении имеет место чистый
сдвиг, на основании формулы (8.12) имеем
dU=-£rbdxds.
Полную энергию деформации однородного стержня длиной /
получим, проинтегрировав последнее выражение по длине I и по
замкнутому контуру:
Подставляя выражение тб. из формулы (9.42) в правую часть по-
следней формулы, найдем
[)_ М.|7 X. ds
2G(2io)2 6 '
Выражая эту же энергию через работу внешнего скручивающего
момента Мк=Мкр на искомом угле закручивания, т. е.
U=А~ Мк<р —
2 2 ’
и приравнивая правые части последних формул, найдем, что
Лч ds
4G<o2 7 б ’
Относительный угол закручивания
6==&фт-- (9.45)
Эту формулу можно представить в принятых выше обозначе-
Иях для кручения:
6 =
246
При постоянной по длине контура s толщине
е= 4Gc,?6
<9-46)
Рассматривая, например, кручение тонкостенной трубы-(рис. 223\
при 6 = const будем иметь "
J О О
По формулам (9.43) и (9.46) найдем
Т = М'1' • — Мкр
2л/?2б ’ 2я/?'6б ’
Открытые профили. Определяя при кручении напряжения и
деформации в тонкостенных стержнях открытого профиля типа
швеллера, двутавра (рис. 224) или уголка, можно воспользоваться
теорией расчета на кручение стержней прямоугольного сечения
В этом случае незамкнутый профиль разбиваем на прямоугольные
элементы, толщина которых значительно меньше их длины. Как вид-
но из табл. 14, для таких прямоугольных элементов (при Л/£>> 10)
коэффициенты аи₽ равны 1/3. Тогда для составного профиля на
основании выражений (9.33) и (9.37)
= (9-47)
Здесь введен коэффициент т], учитывающий схематизацию реально-
го профиля:
для уголкового сечения т] == 1,00;
» двутаврового » 1]=1,20;
» таврового » т] = 1,15;
» швеллерного » г)=1,12.
В тонкостенных открытых профилях длину элемента обычно при-
нято обозначать через s, толщину стенок — через 6. Тогда, заменяя
в формуле (9.47) h на s, а b на 6, получим
Л = 6.4 (9.48)
Угол закручивания определится по формуле (9.30), а наибольшее
касательное напряжение, которое возникает на участке, имеюШеМ
наибольшую толщину стенки бмакс,— по формуле (9.28). При этом
для длинных прямоугольников
— бмакс*
макс
Тогда
________ Мкрбмакс
Т м а кс —_j
Jk Л
Рассмотрим примеры расчета тонкостенных стержней открыт
профиля.
(9.49)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими pi
Пример 33. Определим максимальное напряжение и угол закручивания
стержня длиной 900 мм (рис. 225) с поперечным сечением в виде равнобокого
уголка 50у50у5, который подвергается действию скручивающего момента
MKV- 50 Н-м. Модуль сдвига материала стержня G=8-1011 МПа.
Максимальные касательные напряжения возникают посредине полок
(концентрация напряжений во входящем угле не учитывается). Эти напря-
жения определим по формуле (9.49):
т ------ /Икрбмвкс
1-макс —----------
/к
где
/« = S,'s,= l —5- (5-0,53 + 4,5-0,53) см4=0,4 см4;
«5 о
Тыакс
М.рбуацс
“ Л
50-10 6-0,5-10~*
0.4-10 6
МП а = 62,5 МПа.
Угол закручивания стержня найдем по формуле (9.30):
Ч>=
Мкр/
G/к
50-10 6-0,9
8^16^6,4-10 8 ==0-140625 Рад=8°3'.
Пример 34. Определить напряжения и погонный угол закручивания сталь-
ной трубы, разрезанной вдоль образующей (рис. 226). Наружный диаметр
трубы d„ = 90 мм, внутренний d„=85 мм. Труба находится под действием
скручивающего момента М*=50 Н-м. Модуль сдвига материала G =
= 8-10' МПа.
Сравнить полученные напряжения и угол закручивания с напряжениями
и углом закручивания сплошной трубы.
Касательные напряжения в разрезанной трубе определим по формуле
(9.49):
т _ ЛМ
Р ~Т~'
где
Здесь s развернутая длина средней линии сечения трубы.
Тогда
s63=-^- п-8,75-0,25’ см4 = 0,143 см4,
О о
М
/к
50-10 ь-0.25-10
0,143-10 3
2
-МПа =87,5 МПа.
248
Напряжения в сплошной трубе определятся по формуле (9.43);
50-10 6-4
Л1 ww .V - т
Т<"= 2<„6 = 2л-8,75-10 '-0,25-10 2МПа = 1-66 МПа-
Погонный угол закручивания разрезанной трубы
„ 50-10 ь ,
Н"6Л =8?10'-0.143 Й0 " Рад/М =0-437 Pa^/M-
Погонный угол закручивания неразрезанной трубы найдем из форму1Ь|
Akps 50-10 6-л-8,75-10 2 _ ,
4G<.)26 —4-8-101 [л/4 (8,75-10 2)2|2 0.25-10 2 рад/м —°-000475 Рад/м
Таким образом, в сплошной трубе при кручении напряжения меньие в
52,5 раза, а угол закручивания в 920 раз, чем в трубе, разрезанной вдоль
образующей.
§ 58. Расчет винтовых цилиндрических пружин
Винтовые пружины — наиболее распространенный в технике тип
пружин. Чаще всего их изготовляют из стальных стержней (про-
волоки) круглого поперечного сечения. Они подвергаются действию
растягивающих или сжимающих сил.
Точный расчет на прочность винтовых пружин достаточно сло-
жен, так как проволока винтовой пружины может испытывать одно-
временно кручение, сдвиг и изгиб. Однако при малых углах наклона
витков влиянием изгиба можно пренебречь.
Пусть цилиндрическая винтовая пружина со средним диаметром
D=2R (рис. 227), имеющая п витков и диаметр d поперечного се-
чения проволоки (стержня) пружины, подвергается растяжению
центрально приложенной силой Р. Чтобы установить расчетные
формулы для напряжений в пружине, разрежем ее на две части по
любому витку плоскостью, проходящей через ось цилиндра, обра-
зованного витками. Применяя метод сечений (удаляя мысленно
нижнюю часть пружины), рассмотрим условие равновесия оставшей-
ся (верхней) ее части (рис. 228). Очевидно, влияние отброшенной
части пружины на рассматриваемую верхнюю может быть учтено
приложением к месту разреза витка поперечной силы
Q = P
и крутящего момента
MKf = PR.
Считая, что приближенно угол наклона витка равен нулю, моЖ^
остальными силовыми факторами (продольной силой, изгибаю^
моментом) пренебречь. _
Таким образом, в рассматриваемом сечении пружины действу
две группы касательных напряжений:
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
249
1) напряжения от среза, равномерно распределенные по сечению:
Q _ 4Р
— F — nd 2
(9.50)
2) напряжения от кручения, максимальное значение которых
„ ___Мкр___16ГЛ
Тмакс—
(9.51)
Распределение напряжений т' от среза показано на рис. 229, а,
а напряжений т" от кручения — на рис. 229, б.
Как видно из картины распределения напряжений, в точке Л
сечения витка на внутреннем радиусе пружины касательные напря-
жения т' от действия поперечной силы и максимальные напряжения
т" от крутящего момента по направлению совпадают. Поэтому
максимальные напряжения в пружине
^макс 1 -р Тмакс
4Р । 16Р/?
ж!2 + nd1
ИЛИ
т — 16РЯ
‘макс------—
ла
(9.52)
Во многих случаях при расчете пружин большого среднего ра-
диуса R, изготовленных из тонкой проволоки, при d/4R<^\ напря-
жения от кручения т£акс значительно выше, чем напряжения среза
и последние можно не учитывать. Тогда максимальные напряже-
на в винтовой пружине с достаточной степенью точности опреде-
ляются по формуле
(9.53)
Заметим, однако, что при расчете мощных винтовых рессор,
с Kl1x, например, как применяемые в железнодорожном подвижном
Сгане, следует пользоваться формулой (9.52), поскольку напряже-
250
4m —1 0,615
4/n—4 ' m
Kpj
ния от среза здесь существенны из-за относительно большого
чения d/R. Опыт эксплуатации пружин показывает, что первые ЗНа
тины при разрушении, как правило, появляются с внутред^'
стороны витка, где действуют наибольшие суммарные касатечь^
напряжения. я
Выводя формулу (9.52), мы не учитывали, что на внутрецн -
и наружной поверхностях витков радиусы кривизны различ
В некоторых случаях, учитывая это, вместо формулы (9.52)
определения наибольших касательных напряжений использе''Я
следующую, более точную формулу: - ‘
_ 16РЯ
Ь МЭ КС —
ла
где
___________
Нетрудно убедиться, что поправочный коэффициент в скобках
увеличивается с уменьшением т: например, при т —10 он равен
1,14; а при т—4 этот коэффициент составляет ~1,4.
Определяя перемещение Л. пружины (растяжение или осадку),
обычно принимают во внимание только кручение витков. Рас
смотрим деформацию кручения мысленно выделенного из пружины
элементарного отрезка ds ее витка (рис. 230), временно предполо-
жив остальную часть пружины абсолютно жесткой. В сечениях
А и В элемента проведем радиусы витка в плоскости, перпендику-
лярной к оси пружины, продлив их до пересечения с осью пружины.
Полученные при этом отрезки АС и ВС' будут радиусами пружины.
По этим радиусам витка направим абсолютно жесткие стержни,
прикрепленные к сечениям А и В витка. Силы Р, растягивающие
пружину по оси, можно считать приложенными к концам С и С
стержней АС и ВС'.
В описанных условиях элемент пружины испытывает деформа-
цию кручения. Если считать сечение А неподвижным, то сечение b
повернется относительно А на угол dtp, который определяется по
формуле
M^ds
d{P- GJP
где
MKp=PR;
г __ Jttf
р — 32 J -ГЫЙ
Вследствие поворота сечения «жесткий» радиус ВС', поверн)
на тот же угол г/<р, «перенесет» точку приложения силы Р в н
положение С". Отрезок СС" характеризует часть деформации Р
тяжения витой пружины, определяемую закручиванием рассма Р
ваемого участка ds витка, т. е.
С'С" = d).fvRd<p.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
винтовых цилиндрических пружин
Так как в действительности скру-
„аются все витки пружины, имеющие
46uiVK) Д-1ИНУ s> т0 полное перемещение
° ного конца пружины относительно
Дорого определяется формулой
’-J
(S) (») («)
учитывая, что приближенно длина
стержня пологой цилиндрической пру-
жины с числом витков п
J ds=2nRn,
деформацию пружины определим по формуле
K=.J^-2nRn,
или, подставляя MKf = PR и Jp=nd‘‘/32:
64Р/?3и 8РР3п
~ Gd' Gd'
251
(9.54)
Формулы (9.53) и (9.54) позволяют проверить прочность и опре-
делить удлинение (или осадку) цилиндрической винтовой пружины.
Допускаемые напряжения на срез при расчете стальных пружин
выбирают в зависимости от диаметра проволоки пружины; обычно
для закаленной пружинной стали
т)=500 МПа при d=6 мм;
[т]=400 МПа при d= 10 мм;
т]=350 МПа при d= 12 мм.
Для хромоникелевых сталей при растяжении пружин с диаметром
проволоки 12—16 мм принимают [т] = 700 МПа. Для фосфористой
бронзы с модулем упругости при сдвиге G=4,4-10’ МПа при
"<16 мм берут [т]=130 МПа. Такие допускаемые напряжения
«огут быть приняты при постоянных нагрузках.
Часто, рассчитывая амортизационные пружины (пружины для
умягчения резких толчков), за основу берут величину энергии Т,
оторую должна поглощать пружина (рессора) во время эксплуа-
нации. При этом исходят из того, что между перемещением I пружины
силой Pt действующей на нее, в пределах упругости существует
Р’имолинейная зависимость. Поэтому потенциальную энергию де-
°Р^ации пружины можно выразить формулой
р^__32Р2Я3л
2 Gd’
с
Другой стороны, из формулы (9.53) через напряжения можно
Разить крутящий момент:
55: РР _ TwaKflld
“ 16 '
252
-----------------------------------------------—
Тогда потенциальную энергию, накапливаемую в пружине, та
можно выразить через напряжения: ’ к>Ке
U
2nRn nd2 _2
— 77 л Тмакс-
4G 4
Но так как 2nRn длина стержня (проволоки) пружины, a nd2/4
площадь его сечения, то
2nRn^L=V
4
представляет собой объем материала пружины. Учитывая это по
тенциальную энергию пружины можем представить формулой I
т2
11_ ‘макс I/
U~^G~V- (9-55)
Таким образом, задаваясь предельной величиной напряжения
тМакс=[т], можно вычислить объем пружины, необходимый для по-
глощения заданной величины энергии Т, с тем чтобы не было пре-
вышения допускаемого напряжения:
T=U=l£v,
откуда
(9.56)
Конструируя пружину по найденному объему, следует выбрать
ее размеры (R, dun) с таким расчетом, чтобы при проверке осадки
пружины зазоры между витками не закрывались.
В заключение отметим, что кроме рассмотренных цилиндриче-
ских пружин постоянного сечения с пологим наклоном витка суще-
ствует много других конструкций витых пружин: конические, призма-
тические и различные фасонные (параболические, двойные кониче-
ские, бочкообразные и др.). При этом шаг пружины может быть
как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только круг-
лой, но и прямоугольной формы. Методы расчета таких пружин
достаточно сложны и рассматриваются в специальной литературе-
Пример 35. Предохранительный клапан диаметром dK — 75 мм д сЯ
открываться при давлении пара р=0,6 МПа, иметь возможность подним
на высоту ).а = 20 мм. Диаметр проволоки стальной пружины d = l? щкое
ний диаметр витка пружины 2R=60 мм. При отсутствии нагрузки шаг
пружины t= 17 мм; 0=8-10* МПа.
Определить необходимое число витков пружины п, с тем~ что°с]1Сд.тч1
максимальном поднятии клапана еще оставался запас на дальнейшее ^сеЯце
не менее 7.2 = 15 мм. Найти также начальное сжатие пружины А, и напр
т при полном открытии клапана.
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
253
еТ винтовых цилиндрических пружин
Сила, поднимающая клапан,
шй , л (7.5-10 2)2
р = п—-—=0,6-10' -----------кН = 2,65 кН.
г г 4 4
При этой силе пружина, согласно формуле (9.54), имеет следующую перво-
начальную осадку:
64РЯ3л 64-2,65.10 З(3-1О )3л п по_„
X1 ~ Gd4 8-Ю4 (1,2-10 2)" 0,00276л м 0,276л см.
Полная осадка пружины в нагруженном состоянии складывается из Ль
требуемого подъема Ло и запаса Л2. Эта сумма должна равняться разности
шага пружины и диаметра проволоки пружины, умноженной на число витков,
т. е.
Л> + Лв + Л2 = л(/-^).
или
0.276л + 2 +1,5=л (1,7 — 1.2),
откуда
3,5 1А
,!‘“7Г224~~6 витков-
Предварительная осадка пружины
Ai = 0,276л =0,276-16 см=4,4 см.
Наибольшее напряжение в пружине при полном открытии клапана найдем,
связав выражения для Л и тмакс- Из формулы (9.54)
п. M*G
MR^n '
Подставляя это значение Р в формулу (9.53) для хмакС, найдем напряжение
при полном открытии клапана:
AdG 6,4.1,2.10 4-8-104 Mr, аЛГ,
Т“а“ 4/?2лп 4 (3-10-2)2-16л МПа«339 МПа.
Пример 36. Винтовая пружина изготовлена из проволоки диаметра d =
= 4 мм. Внутренний диаметр пружины Dt—46 мм. В напряженном состоянии
зазор в свету между витками h = l мм; G =8-10* МПа. Определить, какая
потребуется сила для сжатия пружины, чтобы зазор исчез.
Средний диаметр пружины
D~2R = Di 4-d=(46-J-4) мм = 50 мм.
Зазор закроется, если осадка одного видка будет равна ему, т е.
, , 64Р/?3
откуда
р Gd'h 8-107 (0,4-10“2)4 0,1 • 10-2 н ОпК1„-2 ,, оп с „
Р-647Г=----------64(2,5-10-^--------кН=2,05-10 кН=20,5 Н.
Пример 37. Две пружины 1 и 2 (рис. 231), свитые из проволоки одина-
кового диаметра d-К) мм и имеющие одинаковое число витков п — 10,
сжимаются штоком клапана. Высота наружной пружины 1 в свободном
состоянии на а=60 мм больше, чем внутренней пружины 2. Найти усилие,
осадку и напряжение каждой пружины, если радиус осевой линии витка на-
254
Круч,
Рис. 231
ружной пружины Ri=50 мм, внутренней R2 = 3q
усилие Р = 4 кН и модуль упругости при сдвиге Л*.
= 8-1& МПа. е С =
Обозначим через Pi и Р2 усилия, приходящиеся
каждую. из пружин. Из уравнения равновесия клав На
следует, что
^X = Pi + P2-P=0.
Т « (9-57)
I аким образом, задача одни раз статически неопредели
Второе уравнение, необходимое для определения ИС1(а
мых неизвестных Pi и Р2, получим из условия совмести™-0
деформаций: Ти
Xi = а.
(9.58)
где Xt и Л2 — величины осадки соответственно наружной и внутренней пружин
под действием сил Pi и Р2 соответственно:
. 64PiRln
K'—Gd*
(9.59)
. 64P2R?n
л2=—
Подставив выражения для Л] и Х2 в формулу (9.58), будем иметь
64P17?3n &4P2R32n ,
G? Gd* *"C'
или в числовом выражении:
64Pi (5-10“2)3-10 64Р2 (3-10-2)3-10
8-104-103 (1 • 10-2)4
откуда
125P, — 27P2 = 75.
Решая это уравнение
писать в виде
Pi + P2=4,
найдем
Pi = 1,2 кН; Р2=2,8
Определим осадку пружин. Для наружной пружины, согласно равенству
(9.59),
, 64PtR3n 64-1,2-10~3 (5-10-2)3 10
Л1=—тгд—=---------о ,„4,, 2ч4 --м=0,12 м=12 см.
8-104-103 (1 • 10-2)4 + 6'10 2-
(9.60)
совместно с уравнением (9.57), которое следует пере-
кН.
G? 8-104 (1 • 10~2)4
Для внутренней пружины
, 64Р2Р2п 64-2,8-1О-З(3-1О-2)3 10 с
Gd* ~ 8-104 (1-10 2)4 м - 0,06 м - 6 см.
Касательные напряжения, возникающие в витках наружной и внутренн^
пружин, согласно формуле (9.52), соответственно
16Р.7?,
Tl nd3
16Р2Р2
Т2== nd3
16-1,2-10“3-0,05
3,14(1 -Ю"2)3
16-2,8- Ю“3-О,ОЗ
3,14(1 -10“2)3
0,01
4-0,05
0,01
4-0,03
) МПа =321 МПа.
Л МПа=463 М№
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
НИИ напряжений при кручении
255
§ 59, Концентрация напряжений при кручении
Концентрация напряжений, или местное увеличение напряжений,
чывается резким изменением очертаний детали (наличием надре-
Вя отверстия, резьбы и т. п.).
3d’Величина наибольшего напряжения при кручении в зоне кон-
итрапии (пик напряжения) выражается как произведение номи-
иального напряжения тн на коэффициент концентрации ат:
0-61)
Здесь тн вычисляется по формулам сопротивления материалов, в
частности, для вала круглого сечения
Тн=2^г; (9.62)
ат представляет собой отношение максимального напряжения в зо-
не концентрации, вычисленного в предположении совершенной упру-
гости материала, к номинальному напряжению, т. е.
Тмакс
ат=-------
тм
Как указывалось ранее, он называется теоретическим коэф-
фициентом концентрации и определяется методами теории упру-
гости или экспериментально (поляризационно-оптическим методом,
тензометрированием, по методу аналогий).
Заметим, что коэффициент концентрации напряжений для вы-
точки (или надреза) при данной ее глубине и размерах детали зави-
сит главным образом от кривизны поверхности по дну выточки.
Для иллюстрации влияния формы выточки на концентрацию
напряжений рассмотрим случай паза (шпоночной канавки) с резко
очерченными углами (рис. 232). Опыты, проведенные с полым ва-
лом наружного диаметра г/н = 254 мм и внутреннего с?в= 147 мм,
с глубиной паза h = 25,4 мм и шириной 6=63,5 мм при различ-
ных радиусах р выкружки в углах, показали, что наибольшие на-
пряжения в закругленных углах равны наибольшим напряжениям
в таком же валу без паза, умноженным на коэффициент концентра-
ции значения которого приведены в табл. 15.
Как видно из табл. 15, концентрация напряжений может быть
значительно снижена увеличением радиуса закругления в углах.
Рассмотрим второй типичный пример концентрации напряжений
пРи кручении валов переменного сечения, с которыми часто при-
Таблица 15
Р. мм 2,54 5,08 7,62 10,16 12,70 15.24 17,78
сст 5,4 3.4 2,7 2,3 2.1 2,0 1,9
Рис. 235 Рис. 236 Рис. 237
хо пися встречаться в машиностроительной практике. Если диаметр
вала по его длине меняется постепенно, то формулы, полученные для
определения напряжений в цилиндрических валах, позволяют оде
нить максимальные напряжения с достаточной степенью точности
Если же изменение диаметра происходит резко — так, как показано
на рис. 233, то в точках т в начале закругления имеет место высо-
кая концентрация напряжений. При этом величина наибольшей
напряжения зависит от отношений p:d и D:d, где р— радиус за-
кругления, a D и d диаметры сопрягаемых цилиндрических час
тей вала. Как показывают опыты, основанные на применении элек
троаналогии, картина распределения касательных напряжении п
кручении в зоне концентрации, т. е. в месте сопряжения двух ди
метров, имеет примерно такой вид, как показано на рис. 234 Л
случая D/d~\,2 и 2p/d=0,l. Зависимости (2p/d) при разн
значениях отношения D : d приведены на рис. 235. я
Из анализа графиков рис. 235 видно, что в некоторых ДУ4
при определенном соотношении диаметров D'.d и малых Рад g^-гь
закругления р коэффициенты концентрации напряжений могут
больше трех. Для пластичных материалов при статических н Ь ь
ках концентрация напряжений не представляет опасности, п° г
ку за счет текучести в зоне концентрации происходит nepep?-cl1'
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
257
р1|це (выравнивание) напряжений. В валах же, изготовленных
• хрупких однородных материалов, например из закаленной стали,
11 счет концентрации напряжений в местах закругления двух
3,сЖных диаметров даже в случае статических нагрузок возможно
‘явление трещин, которые могут привести к разрушению вала,
роэтому, конструируя детали из хрупких материалов, необходимо
^читывать концентрацию напряжений даже при статическом при-
ложении нагрузки. Что же касается влияния концентрации напря-
жений при повторнопеременных нагрузках, то оно, как будет по-
юзано в гл. 21, имеет существенное значение даже для пластичных
материалов.
В заключение рассмотрим случай концентрации напряжений
вокруг малого радиального отверстия в полом тонкостенном валу
при кручении (рис. 236). Двумя парами взаимно перпендикулярных
площадок, наклоненных под углом 45" к образующим вала, выделим
вокруг отверстия некоторый элемент (рис. 237). Эти площадки для
рассматриваемой задачи кручения, как было установлено, являются
главными, а поэтому по граням рассматриваемого элемента abed
будут действовать только нормальные напряжения, равные по ве-
личине, но разные по знаку. Абсолютные значения их, как известно,
равны касательным напряжениям, определяемым в соответствую-
щих точках поперечного сечения по формулам теории кручения.
Анализируя напряженное состояние рассматриваемого элемента
и полагая, что отверстие мало, а стенки вала тонкие, легко убеди-
ться, что это напряженное состояние аналогично тому, какое имеет
место для тонкой пластинки с малым отверстием, растянутой в
одном направлении некоторым напряжением о=т и сжатым та-
ким же по величине напряжением в направлении под углом 90"
к первому.
Таким образом, задача об определении величины концентрации
напряжений у радиального отверстия в стенке скручиваемого труб-
чатого вала сводится к определению концентрации напряжений в
пластинке с отверстием, подверженной во взаимно перпендикуляр-
ных направлениях действию растяжения и сжатия напряжениями
°=т.
Как указывалось выше, в зоне концентрации напряжения у от-
нерстия малого диаметра, сделанного в пластинке, растягиваемой
водном направлении (рис. 238, а), значение максимальных растяги-
Бающих напряжений в точках т в три раза выше напряжений, дей-
Ствующих на контуре пластинки, т. е. а = 3. В то же время в точках
”• Расположенных под углом 90°, возникают сжимающие напряже-
Ия» примерно равные по абсолютной величине действующим на кон-
г-’Ре пластинки растягивающим напряжениям. Очевидно при сжатии
‘Пастинки в перпендикулярном направлении с напряжением о на-
ряжения в точках тип будут равны указанным на рис. 238, б.
случае плоского напряженного состояния, при котором по взаимно
Ряендикулярным направлениям действуют напряжения о и —о,
к это имеет место при кручении (рис. 237), в рассматриваемых
258
Кру.
Рис. 238
точках тип напряжения будут суммироваться, т. е. напряжения
в точках т
О'Макс == Зо + о = 4о,
а напряжения в точках п
оМнн= —Зо —О— — 4о.
Таким образом, имея в виду, что в местах концентрации макси
мальное напряжение вычисляется по формуле
Омаке === ОС gOh,
а в нашем случае
Он — ст—т
Мкр
получим
п —Ла — Л
имакс—-‘тО —Ч ~ .
Значит в рассматриваемом случае (рис. 236) коэффициент кон
центрации напряжений
ат=4.
Такое высокое значение коэффициентов концентрации при крУ'
чении валов с отверстием (часто такие отверстия делают для смазки)
обязывает особенно осторожно подходить к выбору размеров ва
лов, изготавливаемых из хрупких материалов. Для снижения кон
центрации напряжений в машиностроительной практике при*о
дится прибегать к различным технологическим мерам: сглаживани
резких переходов, закруглению кромок (у отверстий) и т. п.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
альные напряжения при плоском изгибе прямого стержня
259
рлава Ю
0згиб
к 60. Нормальные напряжения
рри плоском изгибе прямого стержня
Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки (рис. 239, а).
0з шести внутренних силовых факторов, которые могут действовать
в ее поперечных сечениях в общем случае изгиба, при чистом изгибе
отличен от нуля только изгибающий момент М. Ось балки деформи-
руется в плоскости, совпадающей с силовой (на рис. 239 — в плос-
кости чертежа). В § 17 были указаны условия, необходимые для того,
чтобы изгиб был плоским. Настоящий параграф посвятим выводу
формулы для вычисления напряжений в любой точке сечения.
Пока не будем вводить никаких ограничений в отношении формы
и расположения силовой плоскости (за исключением того, что си-,
ловая плоскость должна проходить через ось стержня).
Согласно общему плану (§ 26), начнем вывод с рассмотрения
статической стороны задачи. Проведем поперечное сечение m — m
на произвольном расстоянии х от начала координат (рис. 239, а).
В плоскости сечения (рис. 239, б) проведем координатные оси у и
z\ ось у совместим с силовой линией (линией пересечения силовой
плоскости с плоскостью сечения), а ось z проведем на произволь-
ной пока высоте, но перпендикулярно к оси у. Ось х направим пер-
пендикулярно к плоскости сечения. Выделим в сечении элемент
площади dF, координаты которого у и г. В общем случае на элемент
могли бы действовать напряжения о и т. Однако при чистом изгибе
все усилия и моменты, связанные с касательными напряжениями,—
Qu, Q? и Л4кр — равны нулю. На основании выражений (3.29) -
(3.34) можно принять, что касательных напряжений в сечении нет
и на элемент dF будет действовать только усилие odF—dN. Поэто-
му из всех формул (3.29) — (3.34) останутся только три:
N=\odF; My—\uzdF; Mz=\ WdF- (10.1)
F р F
Но в данном случае в сечениях балки действует только один изгн-
авший момент, так что
^=0; Ми=0-, Мг=М. (10.2)
зависимостей (10.1) и (10.2) получаем
JodF = 0. J cszdF — O; j oydF=M. (10.3)
F F
ДрдРеРех°Дя к геометрической стороне задачи, рассмотрим картину
^формаций той же балки (рис. 240). Опыты, поставленные на
п^ичных (например, резиновых) моделях, позволяющих легко
лучить значительные деформации, показывают, что если на по-
9»
верхность модели нанести прямоугольную сетку линий (рис. 240, с)
то при чистом изгибе она деформируется (рис. 240, б) следующим
образом:
а) продольные линии искривляются по дуге окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
б) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными
волокнами под прямым утлом.
На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе
поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются
так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки. Следователь-
но, при чистом изгибе, как и при растяжении (сжатии) и кручении
круглых стержней, будет справедлива гипотеза плоских сечений.
Замеряя расстояние между аналогичными точками контура ка-
ких-либо двух сечений, можно обнаружить, что при деформации эти
расстояния изменяются. Так, оказывается, что а,<а и az>a
(рис. 240, а и б). Значит, верхние продольные волокна балки укора-
чиваются, а нижние — удлиняются. Но можно найти и такие волок-
на, длина которых при изгибе остается неизменной (av = a). Сово-
купность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, на-
зывается нейтральным слоем (н. с.). Волокна, принадлежащие ней-
тральному слою, до деформации лежат в одной плоскости, а в де-
формированном состоянии образуют некоторую цилиндрическую по-
верхность. В обоих случаях каждое поперечное сечение пересекает-
ся с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной,
линией (н. л.) сечения.
При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендику-
лярным к силовой плоскости, а значит, нейтральная линия перпен-
дикулярна к силовой линии в сечении. Будем считать, что 0е1’ z
(рис. 239, б) проведена в сечении так, что она совпадает с нейтраль
ной линией (но положение последней по высоте сечения пока ней
вестно).
Выделим элемент двумя смежными поперечными сечениями №
тип. — п, отстоящими друг от друга на расстоянии dx (рис- 24 о
и, приняв во внимание гипотезу плоских сечений, рассмотрим
деформированное состояние (рис. 241, б). Сечения т — т и и
WWW.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
261
матьные напряжения при плоском изгибе прямого стержня
стаются плоскими и поворачиваются на угол dtp. Элемент aobo ней-
°па1ьного слоя превращается в дугу а'Ь', с радиусом р, а волокно
b находящееся на расстоянии у от нейтрального слоя,— в криво-
линейное волокно atbt с радиусом кривизны р+у. Относительное
удлинение этого волокна
ait,.— ofc
S ab
Ho a\b, =(p+У) dtp и ab = dx, поэтому
(p+vW-dx
dx
(Ю.4)
Чтобы упростить это выражение, рассмотрим волокно а^Ьо, при-
надлежащее нейтральному слою Его длина aobo = dx После дефор-
мации оно превращается в дугу aob'o=pdtp. Но волокна нейтраль-
ного слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому
dx=t>dtp. (10.5)
Подставив выражение (10.5) в выражение (10.4) и сократив на dtp,
получим
(10.6)
Следовательно, рассмотрение геометрической стороны задачи пока-
зало, что относительная продольная деформация пропорциональна
расстоянию волокна от нейтральной оси.
Чтобы записать закон Гука, выражающий физическую сторону
задачи, нужно выяснить, в каком напряженном состоянии нахо-
дится волокно ab. На торцевой поверхности волокна (площадка dF
на рис. 239, б), как уже
было сказано, касательных
напряжений нет. В силу
закона парности нет их
также и в сечениях, парал-
лельных оси балки. Что же
касается нормальных на-
пряжений, выражающих
взаимодействие рассмат-
риваемого волокна с со-
СеДними волокнами, то
предполагается, что во-
л°кна не давят друг на
Друга, и значит, эти напря-
жения равны нулю. Таким
образом, волокно ab на-
°дится в линейном на-
пряженном состоянии —
спытывает простое растя-
^ение или сжатие. Поэто-
У Для него закон Гука
следует записать в виде
Переходя к синтезу, исключим е из формул (10.6) и
В результате будем иметь
(Ю.8)
Подставляя зависимость (10.8) в третье уравнение (10.3) и учиты-
вая, что Е и р как величины, независящие от положения элемента
dF в сечении, можно вынести за знак интеграла, получим
—( y*dF=M.
Вспомнив, что , y2dF=Jz представляет собой момент инерции се-
чения относительно оси z, можем последнюю формулу записать
в виде
Наконец, подставив формулу (10.9) в выражение (10.8), найдем,
что
Это и есть искомая формула, дающая возможность вычислять нор-
мальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее
сечения.
Осталось только установить, где в сечении расположена ось
z—нейтральная линия сечения. Чтобы ответить на этот вопрос,
внесем значение о из формулы (10.10) в первые два уравнения
(10.3):
— ( ydF=0; —yzdF=0.
Jz J Jz J
F F
Поскольку M/iz ^t=0, a
ydF = Sz',\ yzdF = Jyz,
f г
то
S; = 0;
Jy; = 0.
(10.10
(10.12)
wviv.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукам
нЫе напряжения при плоском изгибе прямого стержня
----------------------------------------------
263
основании равенства (10.11) заключаем, что ось z ней-
ятьная линия сечения — проходит через центр тяжести (ц. т.) по
^печного сечения. Силовая плоскость проходит через ось балки, а
ПиаЧит, силовая линия (ось у} проходит через центр тяжести сече-
Зця Равенство (10.12) показывает, что оси у и z— главные цент-
ачьиые оси сечения. Этим определяется положение нейтральной
5инии сечения.
Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных
центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная
иаия сечения совпадет с другой главной центральной осью. Ина-
че говоря, если силовая плоскость совпадает с одной из главных
плоскостей стержня, то нейтральный слой совпадает с другой главной
плоскостью.
Заметим, что часто индекс z в обозначении момента инерции опус-
кают, помня, однако, что J вычисляется относительно нейтральной
линии сечения.
Теперь проанализируем полученные результаты.
Формула (10.9) в проведенном выводе была вспомогательной, од-
нако она имеет и большое самостоятельное значение. Ее можно трак-
товать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает дефор-
мацию (кривизну нейтрального слоя 1/р) с действующим в сечении
моментом.Произведение EJ носит название жесткости сечения при
изгибе, Н-м? Из формулы (10.9) видно, что если балка изготов-
лена из однородного материала (Е—const) и имеет постоянное се-
чение (/ = const), то при чистом изгибе (М — const) ось ее искрив-
ляется по дуге окружности (l/p = const, и, значит, p = const).
Формула (10.10) показывает, что, какую бы форму и размеры
ни имело сечение, напряжения в точках нейтральной линии равны
нулю. Величина о линейно возрастает по мере удаления от нейтраль-
ной линии. При этом напряжения оказываются постоянными по ши-
рине сечения (вдоль линии y=const). Следовательно, эпюра о для
любых сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии, всегда
будет иметь вид, представленный на рис. 242. Все волокна, распо-
ложенные выше нейтральной линии, окажутся сжатыми, а ниже ее
Растянутыми. Если же изгибающий момент будет иметь противо-
положный знак, то верхние волокна будут растягиваться, а ниж-
Ние — сжиматься.
264
И3'Ч
Наибольшей величины (омакс) напряжения достигают в волокнах
наиболее удаленных от нейтральной линии, т. е. в случае сим-
метрии сечения относительно горизонтальной оси z при y—±h/2.
Подставляя это значение в формулу (10.10), для абсолютной вели-
чины напряжения получаем
.. Л
М-
Самаке— j
Обозначим отношение через W и назовем его осевым момен-
том сопротивления, м3. Тогда
м
W
Омаке
(10.13)
Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то ней-
тральная линия смещена по отношению к середине высоты сечения
(рис. 243) и напряжения омакс в крайних верхних и Омакс в крайних
нижних волокнах не будут одинаковыми:
М . , __ М НО 14)
Самаке— » Омаке— \ ’
где
w= ] . W = 1
//макс У макс
(10.15)
Характер распределения нормальных напряжений в поперечном
сечении наглядно представлен на рис. 244.
Полученные результаты позволяют сделать некоторые вывод
о рациональной форме сечения при чистом изгибе. В отличие от г<, '
стого растяжения — сжатия при изгибе, как и при кручении, 113
пряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал, РаС
положенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэто J
в целях е.го экономии и снижения веса конструкции для дета\ь1’
работающих на изгиб, следует, выбирать такие формы сечения, чт
большая часть материала была удалена от нейтральной л
Идеальным с этой точки зрения является сечение, состоящее из Д
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
дльные напряжения при плоском изгибе прямого стержня
|4оР^_ —— ------------‘---------------------------------
265
зких прямоугольников (рис. 245, а). Реально такое сечение невыпол-
нимо, так как эти два прямоугольника должны быть связаны между
собой, чтобы представлять одно сечение. Из практически встречаю-
пихся профилей наиболее близко к идеальному двутавровое сечение
Л,ИС. 245, б).
Изгибающий момент, который сечение способно выдержать без-
опасно, пропорционален W. Величина наибольшего действующего
в сечении напряжения о„аи должна быть ограничена значением
[о], и тогда из формулы (10.13) допускаемый момент
[Л1]=омаКс^=[о] W. (10.16)
Расход же материала пропорционален площади сечения F. Следова-
тельно, чем больше отношение W/F, тем больший изгибающий
момент выдерживает сечение с заданной площадью (т. е. заданным
весом стержня) и тем меньше материала уйдет на изготовление
стержня, выдерживающего заданный изгибающий момент. Поэтому
отношение W/F может быть принято за критерий, оценивающий
качество профиля.
Основываясь на этом критерии (или просто обратив внимание
на то, какая часть материала расположена вблизи нейтраль-
ной линии), легко убедиться, что сечение, показанное на рис. 246,
рациональнее сплошного круглого, а расположения двутавра и
прямоугольника, показанные на рис. 247, а, при вертикальной си-
ловой плоскости выгоднее, чем показанные на рис. 247, б.
Все формулы настоящего параграфа получены для случая чис-
того изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы при-
водит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют
свою силу, так как поперечные сечения не остаются плоскими, а ис-
кривляются; продольные волокна взаимодействуют друг с другом,
давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном, а в
плоском напряженном состоянии. Однако практика расчетов пока-
зывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечениях
кроме М действует еще N и Q, можно пользоваться формулами,
выведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается
весьма незначительной.
266
Йзги6
§ 61. Касательные напряжения при изгибе
При поперечном изгибе, когда в сечениях бруса действует q
и М, возникают не только нормальные напряжения о, но и каса
тельные напряжения т.
Получим формулу для определения т в простейшем случае по-
перечного изгиба балки. Как уже указывалось (§ 26), задача об опре.
делении напряжений всегда статически неопределима и требует рас.
смотрения трех сторон задачи. Однако можно принять такие гипо-
тезы о распределении напряжений, при которых задача станет стати-
чески определимой. Тогда необходимость в привлечении геометри-
ческих и физических уравнений отпадет и достаточно рассмотреть
одну только статическую сторону задачи. Так именно и будет обсто-
ять дело с выводом формулы для т при изгибе.
Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного
сечения (рис. 248, а).
Двумя близкими поперечными сечениями A|Bi и А2В2 выделим
элемент балки (рис. 248, б) длиной dx. Как видно из эпюр, в обоих
сечениях Q и М положительны, причем в сечении /l|Bi
Q = Q(x); Л4=Л4(х),
а в сечении А2В2
Q = Q(x'); M = M(x) + dM.
Таким образом, в проведенных сечениях действуют нормальные и
касательные напряжения. Нормальные напряжения на левом и пра-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
267
(10.17)
Касательиые напРяжения ПРИ изгибе
м торнах выделенного элемента на основании зависимости (10.10)
определяются формулами
с"^™±™-у.
° /, ' А
Введем два предположения о характере распределения касатель-
ных напряжений в балках прямоугольного сечения:
|) т всюду параллельны Q;
2) во всех точках сечения на данном уровне (i/=const) т одина-
ковы (т. е. т постоянны по ширине и зависят только от расстояния
точки до нейтральной линии).
Эти предположения справедливы, если b<^h.
Отсечем часть элемента балки, проведя горизонтальную плос-
кость т, — т2 на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 248, в, д).
Очевидно в гранях AiA2m2m,, CiC2n2«i и AA2C2Ci вообще нет ни-
каких напряжений, так как эти грани являются- частью наружной
поверхности балки. Вычислим равнодействующую нормальных на-
пряжений, распределенных по грани AiCVumi. На элементарную
площадку dF — bdt], проведенную параллельно нейтральной оси z
на расстоянии т] от нее (рис. 248, г), действует элементарная осевая
сила dNi = a'dF=(М (х) т]//г) dF. Тогда искомая равнодействующая
F
(10.19)
Так как J r\dF=Sz(y) представляет собой статический момент
F
площади, заключенной между уровнем у и краем балки, то
^1=^^5г(у). (10.18)
Аналогично.в грани A2C2n2m2 равнодействующая нормальных
напряжений о"
7 г
Величина Хг (у) будет, очевидно, такой же, как и для первого сече-
ния.
В грани п\П2т2т[ действуют нормальные напряжения, поскольку
при поперечном изгибе волокна давят друг на друга. Однако этими
°Рмальными напряжениями пренебрегают как несущественными
Ля расчета на прочность. Кроме того, согласно закону парности
^зсательных напряжений, здесь непременно возникнут и напряжения
Рччем они направлены так, как показано на рис. 248, д.
Чт0 ,к как РазмеР грани П|/г2т2т| элемента мал, можно считать,
да т равномерно распределены по этой грани и, следовательно,
°т усилие
Запишем теперь условие равновесия параллелепипеда AtA с г
п1П2ГП2т1: 1 '~-
ZX = N2 — Ni-dT = 0.
Внося сюда найденные величины усилий, получаем
|M(x)+<W,S,(y) M(x)S,(y) rbdx =
или
. , dMSz (у)
xbdx =----
J 2
Разделив это равенство на b dx li учитывая, что dM/dx = Q, нахо.
дим окончательно, что
QS,(y)
Ь]г
(10.20)
Выведенная формула впервые была получена Д. И. Журавским
и носит его имя. Несмотря на то, что положенные в основу ее вывода
гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений
(при h/b>2), на практике ею можно пользоваться для любых се
чений, кроме тех мест в сечении, где есть узкие прямоугольники,
расположенные перпендикулярно к Q — полки двутавра, швеллера.
Для произвольного сечения (рис. 249) величины, входящие в
формулу (10.20), имеют следующие значения: Q = Q(x)— абсолют-
ная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются ка
сательные напряжения; J?— момент инерции этого сечения относи-
тельно его нейтральной линии; b = b (у)— ширина сечения на уров-
не, где определяют т; S? (у)—абсолютная величина статического
момента относительно нейтральной линии той части площади F (у),
которая заключена между линией, где определяют т, и краем се-
чения.
Формула (10.20) дает, таким образом, только величину т. Что
касается направления т, то в соответствии с исходными допуше
Журавский Дмитрий Иванович (1821 —1891). и3ве<?Тель
русский ученый и инженер. Вывел формулу каса^г
ных напряжений при изгибе. Спроектировал и п°т1)0СТЙ
ряд уникальных металлических конструкций, в час
металлический шпиль Петропавловского собора.
wwwAokb-la.spb.i-u - < амолет своими
269
ниями оно считается параллельным Q и направленным в сторону его
действия.
Построим эпюру т для прямоугольного сечения (рис. 250). Про-
ведем линию тп, параллельную нейтральной линии и удаленную от
нее на произвольное расстояние у, и найдем величины т в точках
этой линии. Линия тп отсекает площадь F(y) = b (h/2 — у). Статиче-
ский момент этой площади
5г(у)=/?(у) Уцт=ь(4-------------------^)] =
Подставляя в формулу Журавского (10.20) найденное значение
Si (у), а также Jz = Wz3/12, получаем
3 Q/, 4у2\
2 йД К2 Г
(10.22)
Переменная у входит во второй степени, следовательно, эпюра г
бУдет параболической. В наиболее удаленных от нейтральной ли-
нии точках y=±h/2 и т=0. Для точек нейтральной линии у = 0 и
(10.23)
2 bh 2 F ’
этим данным и построена эпюра т на рис. 250.
г Для круглого поперечного сечения (рис. 251) введенные выше
ВкП0тезы ° характере распределения касательных напряжений не
^нолняются. Однако с достаточной степенью точности можно по-
в ать> что вертикальную составляющую касательных напряжений,
чикающих в поперечном сечении на уровне у от нейтральной
В(,тИи, можно вычислить по формуле Журавского. Проводя соот-
СТвующие вычисления S2 (у), для круглого сечения получим
(10.24)
у
R
М2
270
Изгиг
Рис. 251
Как видим, эпюра т вновь
лучается параболической. В Нй°'
более удаленных от нейтралЬ1Л
линии точках А (у— ±R) т=0. На ”
большее касательное напряжена
будет в точках нейтральной лини6
(«7 = 0):
т — 4 @—1 33 —
Тмакс- 3 F
(Ю.25)
Пример 38. Построить эпюры изменения нормальных и касательных на-
пряжении по высоте поперечного сечения двутавровой балки № 12, если в
сечении действуют изгибающий момент М = 2 кН-м и поперечная сила Q —
= 10 кН
По таблице сортамента (прил. 1) находим основные размеры профиля
(рис. 252), момент инерции площади поперечного сечения /г=350 см4 и стати-
ческий момент площади половины этого сечения S»a«<. = 33,7 см3.
Нормальные напряжения в точках поперечного сечения, находящихся на
расстоянии у от нейтральной линии (по .пиши mm), определяем по формуле
(10.10):
Му
а = —г—
Максимальные по абсолютной величине напряжения будут при y„L„ —h 2.
Вычислим их:
2-103-6-102 „„ МГ1
а™. =---- [0 и-----МПа 34.28 МПа.
Эпюра напряжений о приведена на рис. 252 слева от профиля сечения.
Касательные напряжения в точках поперечного сечения на расстоянии у
от нейтральной линии определяем по формуле Журавского (10 20):
QS. (у)
т Ыг
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими ру
• сателы|Ые напряжения при изгибе
271
Для построения эпюры касательных напряжений вычислим т в несколь-
ких характерных точках: а) в крайних волокнах (по линии АВ)-, б) в месте
сопряжения полки со стенкой (в точках 1 и 2), причем будем считать, что
точки 1 и 2 расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по
разные стороны от этой границы (для ясности это место на рис. 252 вынесено
отдельно); в) в точках нейтральной линии.
Для точек линии АВ статический момент S. ((/)=£, (Л/2)=О, так как
линия АВ не отсекает никакой площади. Таким образом, в точках линии АВ
напряжение т = 0.
Для точки / ширина сечения Z)=6,4 см, статический момент равен стати-
ческому моменту полки. С достаточной точностью полку можно считать пря-
моугольником с размерами bXt. Тогда
S,fe/)=Sr.™«»=fc/(y--0 =6,4-0,73 (6—0,365) см3=26,3 см3.
Касательное напряжение в точке 1
10-10~3-26,3-10 6
Т|~ 6.4-10“2-350-10~ "
МПа= 1,18 МПа
Для точки 2 статический момент остается практически тем же, но ширина
сечения с!=0,48 см Поэтому касательное напряжение в точке 2
10.10-3-26,3-10 6
0,48-10 2-350-10“ 8
МПа = 15,67 МПа.
Следовательно, при переходе от точки / к точке 2 касательное напряжение
резко возрастает.
Для точек нейтральной линии ширина сечения d = 0,48 см, а статический
момент следует взять для половины сечения. Очевидно, это будет наибольшая
величина для данного сечения — 5г м,Кс- Тогда
МП.=20.И МП..
На основании этих данных строим эпюру т для нижней половины сечения.
Для верхней половины в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра
будет симметричной. Эпюра т приведена на рис. 252 справа от профиля.
Построенная эпюра условна, так как дает верные значения т только для
точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные на-
пряжения в стенке возрастают ввиду того, что место сопряжения полки со
стенкой является источником концентрации напряжений.
Формула (10.20) и рассмотренные примеры позволяют сделать
некоторые общие заключения о распределении касательных напря-
жений в сечениях при поперечном изгибе:
1) вид эпюры т зависит от формы поперечного сечения балки;
2) в крайних наиболее удаленных от нейтральной линии точках
всегда равны нулю;
3) наибольшей величины касательные напряжения для боль-
инства видов сечений достигают на нейтральной линии сечения,
"Ричем
^=-2^, (10.26)
ома1<с — статический момент половины площади сечения.
272
------Изгиб
Эту формулу можно представить и в виде
т -k Q
F (Ю.27)
Здесь k коэффициент, зависящий от формы сечения. Для прямо
угольника k= 1,50; для круглого сечения £=1,33;
4) формулой Журавского можно пользоваться для вычисления
касательных напряжений в любых точках массивных профилей
Соображения об определении касательных напряжений при из-
гибе балок тонкостенных профилей изложены в § 72.
§ 62. Расчет на прочность при изгибе
В предыдущих параграфах этой главы были получены формулы
для вычисления о и т при плоском изгибе балок. Эти формулы дают
возможность составить условия прочности, необходимые для про-
верки и подбора сечений деталей, работающих на изгиб. Чтобы
получить эти условия, выясним, в каком напряженном состоянии
находятся элементы стержня, испытывающего плоский изгиб. Для
конкретности рассмотрим балку, изображенную на рис. 253.
На рис. 253, а показана схема балки и нагрузка, а также по-
строены эпюры Q и М. На рис. 253, б изображен фасад балки,
У ряда точек ее поперечного сечения выделены элементарные кубики,
одна из граней которых совпадает с плоскостью поперечного сече-
ния. На рис. 253, в для примера показано сечение А — А и выделен-
ные в нем элементы 3 и 13.
Элементы 1, 2, 12, 13 и 14 выделены у крайних точек сечений.
Здесь т=0, о = омакс и элементы испытывают простое растяжение
или сжатие, т. е. находятся в линейном напряженном состоянии
(рис. 254, а).
Элементы 6, 7 и 8 выделены у точек нейтрального слоя, где o=Q,
а т = тмакс, поэтому в их гранях действуют только касательные на-
пряжения и, следовательно, они испытывают чистый сдвиг (рис-
254, б).
В вертикальных гранях элементов 3, 4, 5, 9, 10 и 11, выделенных
у произвольных точек балки, действуют и о и т, поэтому элементы
находятся в плоском напряженном состоянии (рис. 254, в).
Величины и направления о и т зависят от величины и направ
ления М и Q в рассматриваемом сечении и от положения элемента
по высоте сечения. Направления напряжений определяются непо
средственно на основании эпюр Q и М. При этом нужно помнить,
что эпюры М строят на сжатых волокнах. Поэтому элементы 1> '
10, 14 и 11 испытывают сжатие, а элементы 9, 12, 13, 4, 2 и
растяжение. q
Чтобы выявить направление т, обращаем внимание на знаКйие
в соответствующих сечениях. Например, в сечении А—• Л
Q отрицательно, а следовательно, стремясь повернуть обе
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
рассеченной балки против часовой стрелки, Q действует на левую
сторону сечения вверх (рис. 253, в). Так именно и будут направлены
г в правой грани элемента 3; в остальных гранях направления т
определяются законом парности касательных напряжений.
Величины напряжений могут быть найдены по формулам, полу-
ченным в предыдущих параграфах:
а) для элементов 1, 2, 12, 13 и 14
„ _ М
Омаке — —— ,
б) для элементов 6, 7 и 8
f _ QS? маке .
1макс--~---= R — ,
Ju г
В) для элементов 3, 4, 5, 9, 10 и //
о—_ QSz (у)
J ’ г-~ГБ~-
Если балка имеет, например, прямоугольное сечение с размера-
ми. показанными на рис. 253. в, то 6 = 5 см; 6=10 см; Т=50 см2;
fe=l,5;
М7=='^Г“см3=83'3см3; /=-^^-см4=417 см4.
Т°гда для элементов 2 и 14 (|М| = 18 кН-м)
МПа=216 МПа;
444 элемента 7 (|Q|=19 кН)
274
Рис. 254
а б
„ __ 1,5-19-10 3 .ЛГ7 с _
тумаке— ™ 1П_4 МПа—5,7 МПа;
ом • IU
для элемента 3 (М = 4,8 кН-м; |Q|=19 кН)
у = 3 см; 5=(5-3)5 (з+-см3=40см3;
4,8-10 3-3-10~2
— 417-10"*
МПа=34,5 МПа;
19-10“3-40-10“6
5-10 2-417-10"“
МПа=3,7 МПа
и т. д.
Таким образом, при поперечном изгибе балки материал ее на-
ходится в неоднородном плоском напряженном состоянии. Условие
прочности должно быть записано для так называемой опасной точ-
ки балки, т. е. той точки, где материал находится в наиболее на-
пряженном состоянии. Опасной будет одна из следующих трех то-
чек: а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей
величины; б) точка, где касательное напряжение достигает наи-
большей величины; в) точка, где о и т, хотя и не принимают наи
больших значений, но в своей комбинации создают наиболее невы-
годное сочетание, т. е. наибольшее эквивалентное напряжение по
принятой для расчета теории прочности. При этом таких точек мо-
жет оказаться несколько.
Первая точка расположена в крайних волокнах того сечения, где
изгибающий момент имеет наибольшее значение (например, точки
2 и 14 на рис. 253). Напряженное состояние в такой точке линейное
(рис. 254, а) и условие прочности запишется в виде
(10.28)
Вторая точка находится на нейтральной линии того сечения,
где поперечная сила наибольшая (на рис. 253 это точка 6 и в°°ош„
любая точка на участке нейтрального слоя, где Q = QWaKc)- В та е
точке наблюдается чистый сдвиг (рис. 254, б) и поэтому Усл0
прочности примет вид
(10-29)
опреле’
напРя'
___С?макс*$макс_ . Qnbkc г 1
1 макс — 77 — & 7 Т .
___________bj___________Г
Что касается третьей точки, то положение ее не столь
ленно. Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
расчет
на прочность при изгибе
275
ценное состояние (рис. 254, в), при котором главные напряжения
рассчитывают по формулам:
Oi 2
02=0;
(10.30)
Оз =
Внося эти величины в выражения для эквивалентных напряже-
ний по различным теориям прочности [(7.2), (7.6), (7.11), (7.20),
(7.21)1, получаем условия прочности:
Оэкв 1=-^-[о+ д/о24-4тг [о]; (10.31)
оэкв н — 2ио4- ^ил/°г4-4тг < [°]; (10.32)
Оэкв 111= д/°24-4Т2 < [°]: (10.33)
^экв iv == “I- Зт [су]; (10.34)
Оэкв м — 2 о 1 -у о 4- 4т < [о], (10.35)
где т= 1 .
[o-j
Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется
пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV тео-
риям [формулы (10.33) и (10.34)].
Практика применения и расчета балок показала, что в подав-
ляющем большинстве реальных случаев опасной является крайняя
точка того сечения, где М = Л1макс. Поэтому практически провероч-
ный расчет балок на прочность состоит в следующем:
1) находят опасное сечение, т. е. сечение, в котором действует
наибольший по абсолютной величине изгибающий момент;
2) по таблице или вычислением определяют момент сопротив-
ления W сечения относительно нейтральной линии сечения;
3) применяют только одно условие прочности (10.28), которое
поэтому и называется основным.
По этой схеме для большинства профилей (круглого, прямо-
угольного, двутаврового и других сечений) легко выполним и пре-
мировочный расчет; при этом условие прочности (10.28) записы-
^ется в виде
UZ ^макс
[°]
пРеделив необходимый момент сопротивления балки и приняв
определенный профиль поперечного сечения, подбирают его размеры,
ассмотрим некоторые примеры расчета балок по основному усло-
11,0 прочности.
276
Пример 39. Для балки (рис. 255),
считая заданными размеры I, D и d
и величину допускаемого напряже-
ния [с], найти допускаемую нагруз-
ку И-
Опасное сечение будет, очевид-
но, в заделке, причем Ммаяс = Р1.
Момент сопротивления в данном
случае
«у лДЗ / d
W=^l~a^ а=~р
Опасными точками в балке
будут верхняя и нижняя точки
сечения у заделки. Записывая для
них условие прочности, получаем
32Р/
Смаке--------у [о .
л£)3(1—а4) 1 1
Отсюда находим допускаемую нагрузку: Рис. 256
Пример 40. На балку (рис. 256) действует нагрузка 100 кН, равномерно
распределенная по пролету. Материал балки СтЗ([а]=/60 МПа). Требуется
подобрать различные варианты сечений. На чертежах горизонтальными осе-
выми линиями показаны нейтральные линии.
Опасным будет сечение посредине пролета, где
ql2 У1'1 Pl ЮО-1.6 ,, „„ „
=-----=—-—= — =----------кН • м = 20 кН • м.
—g—g-----------
Опасными точками будут точки этого сечения, наиболее удаленные от ней-
тральной линии. Условие прочности для них следующее:
М„акс 20-103 . 1СЛ
Смаке— п..-----[о]—160 МПа.
г г
Отсюда находим необходимую величину момента сопротивления:
20-Ю3 3
liBO'К)6 М = 125‘10 6м3=125см3
Найденные размеры сечения обычно округляют до ближайших стандарт-
ных, поэтому фактический момент сопротивления IV' может отличаться от
Играем. В результате напряжение в опасной точке будет отличаться от |с] *'•
следовательно, будет иметь место перенапряжение (б„>0) или иедонапря
жение (С„<0), где
Аймаке Ломакс
6о= Смакуй] 1(Х) % = W |№ % = ^-W 100 %
1°1 Ломакс W
При расчетах на прочность отклонение расчетных напряжений от ДО
пускаемых должно быть в пределах ±5 % величин допускаемых напряжено^
Чтобы сравнить веса балок различных вариантов сечений, учитывая ч
веса пропорциональны площади F сечения, вычислим также и величину F. Д
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
pac-K‘T
на прочность прн изгибе
277
большей наглядности полученные расчетом размеры поперечных сечений будем
округлять до ближайших больших целых чисел, а для стандартных профилей
брать ближайший профиль с большим моментом сопротивления.
Перейдем к вычислениям:
I. Для сечення, показанного на рис. 256, а.
1Г=^->125 см3; d^ \ — см = 10,83 см.
32 ул
Принимаем d = 11 см=110 мм, тогда
№==—^—=130,5 см3; 6„^-!25-Т 13()-5 6 * * * ЮО % = -4.2 %,
F = —г— см2 =95,0 см2.
4
2. Для сечения, показанного на рис. 256, б,
b-(2bf 2 , , ,,--
W=—63>125 см3; 6>Vi87,5 см=5.72 см.
6 3
Принимаем b=f> см =60 мм; тогда
9
№=—-63 см3= 144 см3;
125— 144
б„=-------100% = —13,2%; F = 6-12 см2 = 72 см2.
3. Для сечения, показанного на рис. 256, в,
№=—-^—=4-Л3 >125 см3; fe>V375 см=7,21 см.
Принимаем 6 = 7,5 см = 75 мм; тогдах
№=-1- 7.5’ См3= 140,5 см3; 6„= J 25^0-5 t(Х> % = _ 11 %;
F=7,5-I5 см2= 112,5 см2.
4. Рассмотрим сечение в виде двутавра (рис. 256, г). Принимаем двутавр
Ns 18, тогда
№=IV',= I43 см3; б«=^Д=^-Ю0% = -12,6%; F=23,4 см2.
1»3
5. Для сечения, показанного на рис. 256, <5, приемлемыми оказываются
профили № 50 и 55, первый из которых дает незначительное перенапряжение
(1.6 %), а второй имеет заметный избыток прочности (16,7 %). Останавли-
ваемся на двутавре Ns 50. Для него
№=№,= 123 см3, б„= 12у^3'23 ЮО % = 1,6 %; £=100см2.
6. Для сечения в виде двух двутавров (рис. 256, е) подходящим про-
филем в сортаменте будет двутавр № 14. У этого сечения
№=2Гг = 2-81,7см3= 163,4 см3; бо=^-^3-4 100 % = -23,5 %;
f=2-17,4 см2=34,8 см2.
278
Чз1иб
7. Для сечения, показанного на рис. 256, ж. нейтральная линия (она г.
. .., „ .. ' ° РЗС
положена на стыке двух профилен) не совпадает с неитралыюи линией каж
го профиля. Поэтому момент сопротивления всего сечения не равен ссм
моментов сопротивления It7, каждого профиля, а должен быть вычислен дед*
нием момента инерции сечения на расстояние от нейтральной линии до край
них волокон (т. е на высоту одного профиля):
W
где hi, Fi, J, я II, соответственно высота, площадь, момент инерции н момс>-
сопротив |еиия одного двутавра.
Возьмем двутавр Хе 12. Для него
^=Л^±^.Н.71см3 = 1466 см<
Легко убедиться, что меньший профиль не подходит
Таким образом,
6„=-!Д^^-100,,о = -14.7%; /' = 2-14,7 с.м2 = 29,4 см2.
146,6
8. Для сечения в виде двух равнобоких уголков (рис. 256, з) момент с.
противления равен сумме моментов сопротивления каждого профиля. Но в
таблицах сортамента для уголков значения W нет. Поэтому определяем
момент сопротивления сечения как
где J,, b, zo имеют тот же смысл, что и в таблице сортамента (опасными
точками будут нижние концы уголков).
Указать непосретствепно, какой именно профиль нужно взять, трудно,
поэтому рассмотрим два варианта сечений:
для уголка 140X140X12
«7=2—^-—см3= 119,3 см3;
14 — 3,9
дл я уголка 160 X 160 X 10
Последний вариант с точки зрения прочности лучший Получаем
К’=132см), 7=2-31,4 см2=62,8 см2; />„= ‘^g32 100% = —5.3 %.
Таблица 16
Сечениг на рис 256 Не дос т a i ок иди избыток прочности. % Площадь сечения см2 Относительный вес
а 4,2 95,0 4,06
б 13,2 72,0 3.08
в н.о 112,5 4,81
г 12,6 23,4 1,00
д 1,6 100,0 4.27
е 23,5 34,8 1,49
ж 14,7 29 4 1,26
3 5,3 62.8 2,65
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
расчет на прочность при изгибе 279
-------------------------------------------------’ ~
Таким образом, определены размеры всех сечений и задача решена.
Различные формы сечений дали разные избытки прочности и площади сече-
ний, а следовательно, и веса балок
Приведем сводную таблицу результатов (табл. 16), которая позволит
судить о том, какие из полученных сечений рациональны для данной балки,
а какие нет. Числа последнего столбца показывают, во сколько раз балка с
данным сечением тяжелее двутавровой балки (рис. 256, г), вес которой полу-
чился наименьшим и поэтому принят за единицу.
Заканчивая исследование напряжений в балке при изгибе, сде-
лаем еще некоторые замечания и дополнения.
При изгибе балки (рис. 257, а) в точках определенного попереч-
ного сечения п — п, взятых на различных расстояниях от нейтраль-
ной оси, мы находили нормальные напряжения о и касательные т.
Для балки прямоугольного поперечного сечения эпюры напряжений
о и т приведены соответственно на рис. 257, бив. Кроме того, в
каждой из этих точек по напряжениям о и т вычисляли главные на-
пряжения: растягивающие сп и сжимающие о3. Эти напряжения
действуют на площадках, наклон которых к плоскости поперечного
сечения изменяется от точки к точке. Изменение величины главных
напряжений по высоте балки может быть представлено в виде эпюр
о, и оз. Для той же балки эти эпюры приведены на рис. 257, г, д.
В каждой точке по высоте балки по напряжениям о и т (или
о, и оз) могут быть вычислены также максимальные и минимальные
касательные напряжения, которые действуют в сечениях, накло-
ненных под углом 45° к сечениям с главными напряжениями Oi и оз в
этой точке. Эти касательные напряжения вычисляются по формуле
или, учитывая зависимости (10.30), по формуле
^макс=: уо24-4т2 .
МИИ Z ’
Эпюры значений максимальных и минимальных касательных напря-
жений для рассматриваемой балки приведены на рис. 257, е, ж.
Отметим, что в точках, взятых на нейтральной линии, абсолют-
ные значения т, oi, 03, тмакс, тмни одинаковы. При одном и том же
2S0
Рис. 259
масштабе для всех напряжений ординаты эпюр этих напряжений
посредине высоты балки также отинаковы.
Проверяя прочность балки, определяют величины главных на-
пряжений В ряде случаев важно знать также и направления глав-
ных напряжении во всех точках балки. В частности, это необхо-
димо при конструировании железобетонных балок, в которых арма-
туру нужно располагать в направлении наибольших растягивающих
напряжений.
Рассмотрим направления главных напряжений в различных точ-
ках какого либо сечения / (рис. 258). Тонкими линиями показаны
направления о1, а толстыми то. Продолжим направление ел для
точки 2 до пересечения со смежным сечением в точке 2'. В этой точке
определим вновь направление рассматриваемого главного напря-
жения и, далее поступая аналогичным образом, получим ломаную
1инию 2 — 2' 2" — 2"'. В пределе эта ломаная линия обратится
в кривую, касательная к которой совпадает с направлением рас-
сматриваемого главного напряжения в точке касания. Эта кривая
называется траекторией главного напряжения. Направление траек-
торий главных напряжений зависит от вида нагрузки и условии
закрепления балки. Очевидно, через каждую точку балки проходят
две траектории главных напряжений (соответственно со и то). пере-
секающиеся между собой под прямым углом.
В железобетонных балках арматуру обычно стремятся распола-
гать примерно в направчении траекторий главных растягивающих
напряжении (рис. 259).
§ 63. О рациональной форме сечения
В §60 настоящей главы были сделаны некоторые замечания ор
ционалыюи форме сечения при чистом изгибе. Здесь на основе ра
смотренных примеров расчета па изгиб эти замечания будут неско
ко расширены. При этом мы отвлекаемся от каких-либо констр)
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолет своими
о рациональной форме сечения 281
—-—----------------------------------------------------------------
тивных или технологических соображений, связанных с формой
сечения той или иной конкретной детали, и считаем сечение рацио-
нальным, если оно обеспечивает прочность данной балки при ми-
нимальном ее весе, т. е. при минимальной площади сечения.
В ряде случаев кроме формы сечения большое значение имеет
и его расположение — ориентировка относительно силовой плоскос-
ти. Как видно из табл. 16, наиболее рациональным является двутав-
ровое сечение, поставленное так, чтобы его нейтральная линия сов-
падала с осью, относительно которой h — Хуже будет сече-
ние, составленное из двух двутавров, поставленных рядом или один
на другой. Значительно хуже сечения из двух равнобоких уголков
и прямоугольное сечение. Нерационально круглое сечение, так как
вес балки такого сечения почти в 4 раза превышает вес двутавровой
балки, имеющей ту же прочность. Поэтому выбор круглого сечения
может быть оправдан только конструктивными или технологиче-
скими соображениями (например, для вращающихся деталей), при-
чем в таком случае выгоднее ставить полое сечение. Совершенно
нерационально сечение, ориентированное так, что нейтральная линия
совпадает с осью /мии (варианты в и д на рис. 256 и в табл. 16).
Заметим также, что если в условии прочности
М ^-i 1
Омак —
максимальное напряжение близко к допускаемому, то это не озна-
чает еще, что сечение подобрано удачно, так как при другой форме
сечения и значительно меньшем омакс балка может оказаться намного
легче.
Изложенные выводы получены из рассмотрения данных приме-
ра 40. Эти выводы справедливы для любой балки, работающей на
плоский изгиб и изготовленной из пластичного материала, поскольку
характер нагрузки и схема балки влияют только на величину расчет-
ного изгибающего момента.
Для балок из хрупкого материала полученные рекомендации
теряют силу, так как у него допускаемое напряжение на растяже-
ние о+] значительно меньше допускаемого напряжения на сжатие
1°-1- В этом случае нецелесообразно применять сечения, нейтраль-
ная линия которых является осью симметрии сечения и, следова-
тельно, максимальные напряжения в растянутой и сжатой зонах оди-
наковы. Рационально такое сечение, у которого омакс в растянутой
3°не значительно меньше омакс в сжатой зоне. Добиться этого поло-
жения можно, выбирая такую форму сечения,
У которой нейтральная линия была бы сдвинута
сторону растянутой зоны. Пример такого
еЧения и соответствующая ему эпюра о по-
азаны на рис. 260.
В настоящем параграфе были рассмотрены
. которые вопросы, связанные с рациональной
Рмой сечения балки. Если же говорить о
рациональности балки в целом, то следует иметь в виду, что М и
Q неодинаковы в различных сечениях. Поэтому размеры, подобран
ные по опасному сечению, окажутся излишне большими для других
сечений балки. Это обстоятельство побуждает в целях экономии
веса и материала применять балки переменного сечения. Основы
расчета таких балок рассмотрены в § 69.
§ 64. Полный расчет балок на прочность
Все рассмотренные примеры расчета на прочность при изгибе
относятся к тем случаям, когда опасной является одна из точек
крайних волокон балки (рис. 253, б) и напряженное состояние в ней
линейное (рис. 254, а). Как уже отмечалось, в подавляющем боль-
шинстве практически важных случаев этого расчета достаточно.
Однако, хотя и редко, но встречаются случаи, когда опасная
точка принадлежит нейтральному слою. В ней материал испытывает
чистый сдвиг (рис 253, б и 254, б), и для расчета следует пользо
ваться условием прочности (10.29). Такое положение может быть
тогда, когда при больших поперечных силах в сечениях балки дей-
ствуют незначительные изгибающие моменты, например, при ко-
ротких пролетах и значительной поперечной нагрузке.
Пример 41. На балку (рис. 261) действует равномерно распределенная
нагрузка q 120 кН/м. Пролет 1=70 см, сечение балки двутавровое, материал
СтЗ (]о]=160 МПа; |т| =100 МПа).
Подберем сечение из условия прочности по нормальным напряжениям:
Мкии ___. . ।
Оч | О р
Наибольший изгибающий момент будет в среднем сечении балки
ql! 120-0,7-’ „ ,.
М„ак. =—^—=----------5----кН • м — 7,35 кН • м.
8 8
Из условия прочности
г= |о| ~ 160-103 м', = 46’10 6 м3=46см3.
По таблице сортамента подбираем двутавр № 12. у которого 1Г=58,4 см ,
а 7 = 350 см4.
SL
2
Проверим прочность по касательным напря
жеииям. Условие прочности, согласно формуле
(10.29), имеет вид
Т«»«с = —Yj (Т|-
Наибольшая поперечная сила будет в опор
пом сечении:
л ql 120-0,7 „ .„ ,.
Qva.i— 2 — 2 кН — кН.
Ширина сечения по нейтральной линии, т
толщина стенки двутавра, 6 = 0,48 см (в 5?Р е
меите оиа обозначена буквой d). Далее по та
сортамента находим, что 5вак<- = 33,7 см.
ставляя числовые величины в условие прочн
получим
wviv.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
283
й расчет балок на прочность
42-10 - 33,7-Ю* 6
Тма“ — 0.48-10 г-350-10 *
МПа = 84,25 МПа<(т|= 100 МПа.
Таким образом, размеры сечения балки удовлетворяют условиям прочности
как по нормальным, так и по касательным напряжениям.
Пример 42. Требуется подобрать двутавровое сечение для балки, пока-
занной на рис 262, а. Материал СтЗ [о|= 160 МПа; [т|=/Р0 МПа
Построив эпюры Q и М, заключаем, что опасными могут оказаться такие
точки балки:
а) крайняя точка (рис. 262, б, точка /) сечения С;
б) точка, расположенная в месте соединения стенки с полкой (рис 262, б,
точка 2) в сечении справа от опоры А,
в) точка, лежащая на нейтральной линии этого же сечения (рис 262, б.
точка 3).
Подберем поперечное сечение балки, считая опасной точку 1 в сечении С.
Из условия прочности (10 28) имеем
По таблице сортамента находим подходящий профиль № 33. у которого
U7 = 597 см3. Тогда напряжение в точке /
96-10~3
о.акс = _п7 , в МПа = 160,8 МПа.
о У / • I и
Это больше допускаемого, но перенапряжение составляет всего 0,5 %.
Далее находим геометрические характеристики двутавра № 33, необхо-
димые для проверки прочности в точках 2 и 3 сечения А. Согласно таблице
сортамента
7 = 9840 см4; 5макс=339 см3;
ширина сечения стенки, соответствующая точкам 2 и 3, rf=0,7 см Находим
S.,о.,.<„ = 14-1,12-15,94 см3 = 250 см3
Проверяем прочность в точке 3 сечйия балки непосредственно справа ог
опоры А. По условию прочности (10.29). учитывая, что <2„акс = 191,4 кН. на-
ходим:
191.4-10 3-339-10 с
O,7-To~s-984O-10 3 МПа =94-2 МПа<[т]= 100 МПа.
Тмакс
фмакс^макс
ы
Проверяем прочность в точке 2 этого же сечения Материал СтЗ пластич-
ный, поэтому пользуемся условием прочности (10 31) по четвертой теории:
Цэ.п iv = д/о^-фЗт2 [о].
В сечении действуют*
М=87,1 кН-м и Q = QMa„= 191,4 кН
Поэтому в точке 2
Му 87,1 -10* (16.5—1,12
7 9840-10 3
10 2
——МПа = 136.1
МПа,
__^мак<-5по.<к«
W
°-. а = V°2 + 3t2 = од/ 1 +3^1 = 136.1 у! 4-3-0,259 МПа =
= 181,4 МПа>[о|=160 МПа.
284
Таким образом, в данной балке опасной оказывается точка 2 сечения
справа от опоры А, причем перенапряжение в ней составляет около 14 %
что недопустимо. Поэтому вместо профиля № 33 следует принять профить
№ 36.
В балках с тонкостенным сечением (двутавр, швеллер) опасной
может оказаться точка, расположенная в месте соединения стенки
с полкой. Это происходит в тех случаях, когда к балке приложена
значительная поперечная нагрузка, причем есть сечения, в которых
М и Q одновременно велики. Одно из таких сечений и будет опасным.
Таким образом, если балка имеет тонкостенное сечение и к ней
приложена значительная поперечная нагрузка, то необходимо про-
изводить полный расчет на прочность (типовой расчет приведен
ниже). Если расчет проектировочный, то сначала можно подобрать
сечение по основному условию прочности (10.28), а затем произвести
проверку по всем условиям прочности.
§ 65. Концентрация напряжений при изгибе
При изгибе, как и при растяжении или кручении, в местах рез-
кого изменения формы или размеров поперечных сечений наблю-
дается концентрация напряжений. Если нагрузка статическая, то
концентрация напряжений в деталях из пластичного материала не-
опасна благодаря перераспределению напряжений в зоне концентра-
тора вследствие текучести. В случае же хрупких материалов, когда
не приходится рассчитывать на ограничение максимальных напря-
жений, так как уровень последних будет определяться временным
сопротивлением материала, при расчете детали на прочность нужно
учитывать концентрацию напряжений.
В зависимости от степени резкости нарушения призматическо
формы стержня или сплошности материала будет та или иная сте
пень концентрации напряжений, т. е. местного повышения напр-
жений.
На рис. 263 приведены эпюры нормальных напряжений, во3 ,
кающих в стержне при отсутствии концентрации напряже
(рис. 263, а) и при наличии концентрации (рис. 263, б). В поел
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими рукал:
нем случае вследствие резкого изменения сечения вала в крайних
волокнах сечения действуют максимальные напряжения
Омаке CWm»
где o„ — M/W=Pl/W—номинальные напряжения при отсутствии
концентрации;
а — теоретический коэффициент концентрации,
величина которого зависит от соотношения
диаметров d и D сопрягаемых участков
стержня, а также от радиуса закругления
г в месте сопряжения этих участков.
Значения а в зависимости от d/D и г рассчитываются методами
теории упругости и приводятся в справочной литературе в виде
соответствующих графиков или таблиц. В частности, для круглой
галтели при отношениях D/d='i и 1,5 на рис. 264 приведен график
зависимости теоретического коэффициента концентрации ос от
отношения r/d.
Рассмотрим и другие типичные случаи концентраторов напряже-
ний, встречающихся при изгибе.
Двусторонняя внешняя выточка (рис. 265). С увеличением глу-
бины двусторонней симметричной выточки коэффициент концентра-
ции приближается к своему предельному значению. При этом в силу
так называемого закона затухания, согласно которому чем больше
Максимальное напряжение в месте концентрации, тем резче зату-
хание напряжений при удалении от наиболее напряженной зоны,
сУЩественное влияние на коэффициент концентрации оказывает
только кривизна у дна выточки. Форма выточки в остальной ее части
Мало влияет на коэффициент концентрации. Учитывая последнее и
принимая, что выточка имеет форму гиперболы, формулу для опре-
деления максимальных напряжений, выведенную методами теории
Упругости для случая чистого изгиба (рис. 266), можно представить
286
Изгиб
Л/
в виде
4 “ ЛЕ
омакс- Он-----------Р--------------, (10.37)
3[\Л +(т" ')”гс*влЛ1 |
где oH = 3M/2a2d — номинальное напряжение (без учета концентра-
ции). На рис. 267 изображена зависимость наибольшего напряже-
ния от а/p, а на рис. 268 — кривые теоретического коэффициента
концентрации а для различных соотношений H/h в зависимости
от p/h.
Круглые и продолговатые отверстия в очень широком стержне
(рис. 269). Предполагается, что большая ось отверстия совпадает
с осью стержня или перпендикулярна к ней. На рис. 269 даны гра"
фики распределения напряжений для случая, когда //р=25. При
перемещении от дна выточки вдоль ее контура, а также вдоль оси У
напряжения быстро убывают. Напряжения, показанные штриховок
линией, соответствуют результатам, полученным на основании эле
ментарной теории изгиба с учетом ослабления стержня в результа
высверливания отверстия. Для наибольшего напряжения, возникаю-
щего у дна выточки, формула может быть записана в виде
Омакс = О„ (1 + , (10-38)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
где
„ ЗМ/ .
6 — толщина стержня.
Зависимость наибольшего напряжения от t/p представлена на
рис. 270. Для круглого отверстия омакс = 2о„. Когда продолговатое
отверстие расположено параллельно оси стержня, концентрации
напряжений около отверстия нет.
Глубокая внешняя кольцевая выточка на теле вращения
(рис. 271). Наибольшее напряжение при изгибе возникает у дна вы-
Трики, где материал испытывает плоское напряженное состояние.
*»а рис. 271 показано распределение напряжений сц, о2 и оз в точках
ио поперечному сечению в месте выточки, а на рис. 272 дано распре-
деление напряжений щ и а2 у дна выточки в зависимости от отноше-
ния а/p при различных коэффициентах Пуассона.
Весьма распространенным концентратором в машиностроитель-
°и практике являются различного рода поперечные отверстия в
^алях круглого сечения, работающих на изгиб. Величина коэффи-
ента концентрации в данном случае зависит от отношения диа-
7Ра поперечного отверстия d к диаметру детали D. Зависимость
>эФфициента концентрации a=f(d/D) приведена на рис. 273.
288
Распространенными концентраторами напряжений есть также
различного рода мелкие выточки на круглых деталях, приводящие
к ступенчатости стержня. Величина коэффициента концентрации
в данном случае зависит главным образом от отношения радиуса
закругления г к меньшему диаметру ступенчатого стержня (диа-
метру выточки d). На рис. 274 приведен график зависимости а =
=f(r/d) для рассматриваемого случая.
Кроме концентрации нормальных напряжений при изгибе в нс
которых случаях приходится иметь дело с концентрацией каса-
тельных напряжений, в частности при поперечном изгибе угол-
ковых, швеллерных, тавровых и двутавровых балок. В данном слу-
чае концентрация напряжений обусловливается резким изменением
толщины элементов сечения балки в месте соединения полки со
стенкой. Как показывают детальные исследования картины рас-
пределения касательных напряжений при изгибе, например в балке
двутаврового сечения, фактическое распределение касательных на-
пряжений не отвечает картине, приведенной на рис. 275, а, полу-
ченной на основании расчетов по формуле (10.20). По линии 1 Л
совпадающей с осью симметрии сечения, распределение касательных
напряжений будет с достаточной точностью изображаться гра-
фиком рис. 275, б. По линии же 2—2, проходящей у самого края
стенки, распределение напряжений в случае малого радиуса за
кругления в месте сопряжения стенки с полкой будет представля^
ться кривой, показанной на рис. 275, в. Из этого графика видно,
в точках входящих углов сечения касательные напряжения те0"
тически достигают очень большой величины. На практике эти в
дящие углы скругляют, напряжения падают и их распределение
точках линии 2—2 примерно представляется кривой, приведен
на рис. 275, г. ~
Во всех случаях снизить концентрацию напряжении м сеЧе-
вводя соответствующие плавные переходы от одного размера
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
концентрация напряжений при изгибе 289
яия к другому, закругляя углы, уменьшая жесткость более мас-
сивной части детали в месте перехода и т. н.
Если при статическом изгибе концентрация напряжений не пред-
ставляет собой опасности, особенно для элементов конструкций,
изготовленных из пластичных материалов, то в случае динамических
и повторно-переменных нагрузок вопросам концентрации должно
уделяться особенно большое внимание (см. гл. 21).
§ 66. Дифференциальное уравнение
изогнутой оси
В предыдущих параграфах были рассмотрены вопросы, относя-
щиеся к расчету балок на прочность. В большинстве случаев прак-
тического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также
производить расчет их на жесткость. Под расчетом на жесткость
мы донимаем оценку упругой податливости балки под действием
приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного се-
чения, при которых перемещения не будут превышать установлен-
ных нормами пределов. Для выполнения такого расчета необхо-
димо научиться вычислять перемещения точек балки под действием
любой внешней нагрузки. Такое умение необходимо также для рас-
чета статически неопределимых балок.
Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки
(рис. 276) под действием нагрузки, расположенной в одной из
главных плоскостей инерции (в плоскости хОу), искривляется в
той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновре-
менно получают поступательные перемещения. Искривленная ось
балки называется изогнутой осью или упругой линией. На рис. 276
и 277 изогнутая ось изображена цветной кривой линией.
Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпен-
дикулярному к оси балки, называется прогибом балки в данном се-
чении и обозначается буквой w. На рис. 276 и 277 центр тяжести
произвольного сечения, взятого на расстоянии х от начала коор-
динат, переместился по вертикали из точки в точку О? на рас-
стояние O1O2. Это перемещение и является прогибом балки w (х) в
сечении с абсциссой х. Наибольший прогиб называется стрелой
прогиба и обозначается буквой /.
Угол В, на который каждое сечение поворачивается по отноше-
нию к своему первоначальному положению, называется углом по-
в°р а сечения. Угол поворота также может быть определен как
Угол между касательной к упругой линии и осью х (рис. 277).
Заметим, что длина изогнутой оси, принадлежащей нейтраль-
ному слою, при искривлении бруса не изменяется, следовательно,
При этом происходит смещение ее точек также и в направлении оси х
'Перемещение O1O.3 на рис. 278). Однако в большинстве случаев
Мщения V настолько малы, что ими можно пренебречь.
Условимся оси координат всегда располагать следующим обра-
начало координат помещать на левом конце балки, ось х на-
Равлять по оси балки вправо, а ось w — вверх.
Прогиб w будем считать положительным, если перемещение
соответствующей точки происходит вверх, т. е. в направлении оси w.
Угол поворота 0 будем считать положительным при повороте се-
чения против часовой стрелки.
В связи с малостью деформаций балок можно полагать tg0«;0.
Так как тангенс угла поворота есть производная от ординаты про-
гиба:
4®.=^, (>0-39)
то с достаточной степенью точности можно считать угол поворота
0 (х) в данном сечении равным производной прогиба w (х) по
абсциссе сечения:"ч
\ (,0-40)
Таким образом, для определения деформации балки в ее произволь-
ном сечении необходимо прежде всего получить уравнение упругой
линии
щ = Т(л).
Исходя из физической природы изогнутой оси бруса, можем
утверждать, что упругая линия должна быть непрерывной и глад-
кой (не имеющей изломов) кривой, следовательно, на протяжении
всей оси бруса должны быть непрерывны функция w и ее первая
производная. Прогибы и углы поворота и являются перемещениям"
сечений балок при изгибе. Деформация того или иного участка бал-
ки определяется искривлением его изогнутой оси, т. е. кривизной.
Так как влияние поперечной силы на кривизну мало, то и в оО1це‘
случае поперечного изгиба уравнение (10.9) можно записать в ви^
l = М (х (10.41)
р (х EJ (х)
Из курса высшей математики известно такое уравнение кривизны
плоской кривой:
wvw.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
не изогнутой оси
291
Навье Луи Мари Анри (1785—1836), член французской
Академии наук, ученый в области Механики и математики,
один из основоположников теории упругости. Первым ввел
понятие о напряжении, разработал полную теорию из-
гиба призматического стержня, установил положение ней-
тральной линии при изгибе, дал формулу для кривизны
упругой линии. Вывел уравнения изгиба пластин. Его перу
принадлежит первый курс сопротивления материалов
(1826).
d2w
(10.42)
Теперь для получения дифференциального уравнения изогнутой
оси остается приравнять правые части выражений (10.41) и (10.42),
выяснив предварительно вопрос о знаке.
Если изгибающий момент положителен, то упругая линия своей
вогнутой стороной обращена вверх (рис. 279, а) и, следовательно,
при принятом направлении координатных осей кривизна k= 1 /р
считается положительной. При отрицательном изгибающем моменте
кривизна также отрицательна (рис. 279, б). Если бы ось w была
нами направлена вниз, то при положительном изгибающем моменте
кривизна была бы отрицательной (рис. 279, в), а при отрицательном
моменте — положительной (рис. 279, г).
Сохраняя принятое нами направление оси w вверх, имеем соот-
ветствие между знаком момента и знаком кривизны, поэтому можем
просто приравнять правые части равенств (10.41) и (10.42). Тогда
(10.43)
Если бы ось w была направлена вниз, то в правой части следовало
бы поставить знак «минус».
Полученное уравнение называется точным уравнением изогнутой
°Си бруса. Оно является нелинейным дифференциальным уравне-
нием второго порядка, интегрирование которого, как известно, пред-
ъявляет значительные трудности. В связи с этим и так как в подав-
'/Я101Цем большинстве рассматриваемых на практике задач прогибы
а1ы, точное уравнение (10.43) заменяют приближенным уравне-
нием уравнением для малых перемещений.
В знаменателе уравнения (10.43) стоит сумма двух слагаемых:
10*
292
cl2w М (х)
dx2 ЕЦх ’
‘ + (^)’='+1К!«- 1
При малых деформациях величина второго слагаемого во много па
меньше первого. Действительно, при расчете обычных машинострои
тельных или строительных элементов нормы допускаемого прогиба
составляют 1/100—1/1000 пролета в зависимости от условий работы
балки, а получающиеся при этом углы поворота не превышают 1°
Даже приняв больший предел для прогиба (/=//100), наибольшую
величину тангенса 0 получим следующей:
tg©~tg 1°«0,02.
Таким образом, значение tg2 О не превышает 0,0004, т. е. весьма
мало по сравнению с единицей. Этими величинами и можно прене-
бречь без ощутимой для практических целей ошибки. Тогда полу-
чим упрощенное дифференциальное уравнение упругой линии:
(10.44)
в котором величина изгибающего момента М (х) вычисляется для
недеформированной балки. В дальнейшем уравнение (10.44) будем
называть основным дифференциальным уравнением упругой линии
(для малых деформаций). С его помощью можно вычислять переме-
щения в балках при любых условиях нагружения.
Решая задачу аналитическим методом, углы поворота 0 (х и
прогибы w (х) вычисляют последовательным интегрированием ос-
новного дифференциального уравнения (10.44). Проинтегрировав
уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота 0(х):
е«ЧНт7^+С' <'»«'
содержащее одну произвольную постоянную С. Интегрируя второй
раз, находим выражение для прогиба w (х):
w (х)= dxi dx+Cx+D, (10.46)
J J El (х) j
содержащее две произвольные постоянные С и D. Значения постоян-
ных С и D определяют из условий закрепления балки следующим
образом:
а) если балка имеет на конце
заделку (рис. 280), то прогиб и угол
поворота в ней равны нулю:
шй = 0; ©й = 0; (10-47)
б) для балки на двух шарнирных
опорах (см. рис. 277) равны нулю
прогибы на этих опорах:
вул = О;. глй = О. (10-48)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
ПиФФеРенциальное
уравнение изогнутой оси
293
Заметим, что уравнение упругой линии иногда удобно записать
в иной форме, считая заданным не момент М (х), а нагрузку q (х).
Вспомнив, что d2M (x)/dx2 = q (х), и продифференцировав уравнение
(10.44) два раза, получим
(10.49)
Уравнение упругой линии в форме (10.49) применяют при рас-
чете балок на упругом основании и при рассмотрении колебаний
балок.
§ 67. Примеры определения перемещений
интегрированием дифференциального уравнения
изогнутой оси балки
Рассмотрим несколько примеров определения деформаций балок
методом непосредственного интегрирования основного дифферен-
циального уравнения (10.44), а затем установим правила построе-
ния эпюр углов поворота и прогибов, которые необходимы при ис-
следовании деформированного состояния балок при сложной систе-
ме нагрузок.
Определим 0макс и и>макс для консоли постоянного поперечного
сечения с сосредоточенной силой Р на свободном конце (рис. 280).
Изгибающий момент в сечении х будем вычислять как результат
действия внешних сил, расположенных слева от сечения:
Л1(х)= — Рх.
Подставляя выражение для М (х) в уравнение (10.44), получаем
d2w Рх
dx? ~ EJ~ ’
Интегрируем дважды:
—+С;
2EJ ' ’
Jg-+Cx + Z).
0 (х)=
W (х) =
Для определения постоянных С и D имеем граничные условия:
1) при х=/ и> = 0;
2) при х = / 0 = 0.
Из второго условия
eW=—g-+c=o,
откуда
Р1г
2EJ
*°гда
W (х)=__________I__tL
' &EJ ' 2EJ
(10.50)
294
Изгиб
Из первого условия
Р11 I Р12 , . ГЛ
6EJ 2EJ l+D—0,
откуда
Pl3
D== 3EJ ' (Ю.51)
Окончательные уравнения про-
гиба и угла поворота следующие-
w(x) = — ^(х3 —3/2х 4- 2/3) =
= -0/[2~3Т+(т) ]: <‘0.52)
e«=-i-^2-'2)=
^-(Т)2]- 00-53)
Упругая линия балки (10.52) представляет собой параболу третьей
степени.
Теперь можно определить w„aKC и ©макс Как легко убедиться,.
w„aKC и 0макс имеют место на свободном конце балки в точке А
(при х = 0). Следовательно,
Г Р13 wMaKC —Гл— 3£/ , (10.54)
0 -0 — -EL- Омаке и л 2£/ . (10.55)
Отрицательное значение fA показывает, что прогиб происходит
в направлении, противоположном направлению оси w (т. е. вниз).
Положительный угол поворота ©л показывает, что поворот сечения
происходит против часовой стрелки.
Сравнивая выражения (10.50), (10.51) для произвольных по-
стоянных с выражениями (10.55), (10.54) для 0(0) и w (0), убеждаем-
ся, что С равно углу поворота на свободном конце консоли (при
х = 0), a D равно прогибу свободного конца консоли (при х=0).
Построим эпюры прогибов и углов поворота для простой балки
постоянного сечения (рис. 281), несущей сплошную равномерную
распределенную нагрузку q.
Опорные реакции
Изгибающий момент в произвольном сечении
Составляем дифференциальное уравнение изогнутой оси:
1 / <?/ qx2\
dx2 EJ \ 2 2 ) ’
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
flримеры определения перемещений
295
Интегрируя его дважды, получаем
0 W==-57=:_4f:rx2 6£Г%3 + С;
& & = 12£/ х3 24ЁГ x* + Cx + D-
(10.56)
(10.57)
Граничные условия следующие:
1) на левом конце прогиб равен нулю, т. е. при х=0 w = 0;
2) на правом конце прогиб равен нулю, т. е. при x = l w = 0.
Первое условие дает ш(0) = £) = 0. (10.58)
Второе условие дает
w (Г)=
ql4
12EJ
у/1
24EJ
\-Cl=G,
откуда
С= ——
ь 24£/
(10.59)
Подставив вычисленные значения произвольных постоянных в
уравнения (10.56) и (10.57), получим уравнение изогнутой оси:
« <f)!+ Ш'| <
и уравнение углов поворота:
© (у)—. dw — ч1*2
k ’ dx 4EJ GEJ 24EJ
=—ий['-6(т)!+1(т)Т <IMI’
Для построения эпюр (-) (х) и w (х) вычислим углы поворота по
концам балки, а также прогиб посредине пролета w(l/2)=f. Углы
поворота на опорах найдем из уравнения (10.61). При х=0 полу-
чим величину угла поворота на левой опоре:
ол = е(0) = -^-. (|о.б2)
На правой опоре, т. е. при х=1.
Сравнивая значения произвольных постоянных С и D с выраже-
ниями для 0(0) и ш (0), вновь убеждаемся, что они соответственно
Равны углу поворота и прогибу на той опоре, где находится начало
Координат:
c=0(O)=g. Z)=w(0)_0
Отметим, что таким будет геометрический смысл произвольных по-
стоянных на участке, примыкающем к началу координат, для любой
°алки при произвольной нагрузке.
г!1(|__________________________________________________Изг|<б
Подставив в уравнение (10.60) х=//2, вычислим величину про-
'иба:
—----------
L £ ~~~ 384 £/ 1 (1 о-6 з)
Из уравнения (10.60) упругой линии заключаем, что балка изги-
бается по кривой, являющейся параболой четвертого порядка. Так
как изгибающий момент на всем протяжении балки положителен
(го, значит, всюду сжаты верхние волокна и, следовательно, балка
изгибается выпуклостью вниз.
Вычислив величины прогибов в различных сечениях, отклады-
ваем их в определенном масштабе вниз от базисной линии. Соеди-
нив концевые точки отложенных отрезков кривой, получаем эпюру
прогибов w. Эпюра прогибов в принятом масштабе изображает
(изогнутую ось рассматриваемой балки.
Для построения эпюры 0 отложим вычисленные значения 0Л и
0fl от базисной линии вниз и вверх соответственно. Из условия сим-
метрии балки и нагрузки заключаем, что сечение на оси Симмет
рии (т. е. при х = 1/2) не поворачивается. Значит,
р(4-)-°.
В соответствии с уравнением (10.61) эпюра углов поворота
должна-быть очерчена параболой третьего порядка. Строим эпюру
по точкам (рис. 281), вычислив промежуточные ординаты:
При этом параболическая кривая на левой половине балки обращена
вогнутостью вверх, а на правой — вниз.
Рассмотрим еще один случай определения перемещений. Для
простой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной
[Силой Р в точке С (рис. 282), необходимо:
а) найти уравнения упругой линии и углов поворота;
б) вычислить прогибы в точке С и посредине пролета, а также
определить положение и величину стрелы прогиба f;
в) вычислить углы поворота сечений в точках А, В и С;
г) построить эпюры О. М. 0 и w, приняв Р=180 кН, / = 6 м,
। а=2,2 м, /г=46 470 см4, £ = 2-105 МПа.
Предоставим читателю возможность самостоятельно решить
1 этот пример. Укажем лишь, что на каждом из участков балки
при интегрировании дифференциальных уравнений упругой лини
будут получены по две произвольные постоянные: Ci, Di и Си, Си-
Для их определения к двум опорным условиям балки
|и>(0)=(); к>(/)=0
I
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
должны быть добавлены условия плавного и непрерывного сопря-
жения участков АС и СВ в точке С при х=а:
0 (п)лев == 0 (o)npaiij W (о)лев == W (о)прав-
Эти дополнительные условия выражают отсутствие разрыва и от-
сутствие излома упругой линии балки под силой Р.
Для самоконтроля приводим окончательные уравнения проги-
бов и углов поворота:
для участка АС
w (х)= 6£// (а2 + 2аЬ х2)- (10.64)
0 (х)= -^ц^ + 2аЬ-3х^ (10.65)
для участка ВС
W (х) = GEJi +(°2+2/2^ х+*3 3/х21: (10.66)
0(х) = --6§r(«24-2/2-e/x+3x2). (10.67)
Эпюры Q, М, 0, w изображены на рис. 283.
Воспользуемся результатами этого примера для того, чтобы опре-
делить абсциссы сечений с наибольшим прогибом и величины f при
Различных положениях груза Р на балке. Наибольший прогиб будет
иметь место в сечении х/, где
®(x/)=-g-=O. (10.68)
Чри а>Ь это сечение находится на участке АС.
298
Изгиб
Приравняв к нулю уравнение (10.65), получим
(10.69)
Исследуем, как будет меняться абсцисса сечения с наибольшим
прогибом при перемещении силы Рот середины балки к правой опоре
При Ь—^0 абсцисса Xf = //д/3 = 0,577/. Значит, даже в предельном
случае, когда груз Р подойдет к опоре В, точка F с наибольшим
прогибом будет находиться от середины балки на расстоянии всего
I = 0,577/ —0,5/ =0,077/
I «5
Заметим, что на таком же расстоянии от середины пролета находится
наибольший прогиб и в случае, когда балка на двух опорах нагруже-
на моментом, действующим над одной из опор (см. рис. 62).
Подставив выражение (10.69) в уравнение (10.64) для упругой
линии на участке АС, получим формулу для wMaKC—f-
VFF=
= Р Ь(а2+2аЬ')^ РЬ /1П7Л1
9\/3 EJ а + b 9y'3EJ I ' 4
Прогиб посредине пролета найдем из уравнения (10 64), подста-
вив х = //2:
“’(-5-) = ^ТЙ7(°!+2“''-т) <|0-7|>
Анализ формул (10.69) и (10.64) показывает, что даже при />->0
разница между прогибом посредине балки и максимальным проги-
бом не превышает 3 %. Следовательно, прогиб балки посредине про
лета w (//2)=f (//2) приблизительно равен наибольшему прогибу f.
Это заключение применимо при действии на балку любых нагрузок,
вызывающих изгиб в одну сторону.
Во многих случаях построение эпюр w и 6 возможно и без со-
ставления аналитических выражений для прогибов и углов пово-
рота по участкам, достаточно лишь вычислить прогибы и углы по-
ворота для некоторьх характерных сечений. При построении же
эпюр следует пользоваться правилами, которые могут быть полу
чены на основе анализа дифференциальных зависимостей, существу-
ющих между w, 0, М и Q. Запишем эти зависимости в удобной для
анализа форме.
Из уравнения (10.44) с учетом выражения (10.40) находим, что
de(x) М(л-) / jо,72)
dx EJ
Продифференцировав уравнение (10.72) по х и учтя зависимость
dM/dx = Q, получим
d2e _ Q(x) /10.73)
dx2 EJ ‘ V
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Примеры определения перемещений 299
Таким обраюм, имеем две группы дифференциальных зависимостей:
_dV__ dx М(х) EJ ’ dw __ dx = ©«; (10.74)
d-e = dJ? QM . EJ ’ d2w dx2 M (x) EJ ’ (10.75)
аналогичных зависимостям, на основании которых были получены
правила для построение эпюр Q и М (§21).
Выражения (10.74), (10.75), а также сопоставление построенных
эпюр позволяют установить общие для любых балок зависимости
между эпюрами w, ©, Q и М, которые будут в дальнейшем служить
правилами построения эпюр. Укажем наиболее важные из этих
правил:
1. Так как М (х) представляет собой диаграмму производной
эпюры углов поворота ©, то ординаты эпюры М пропорциональны
тангенсу угла наклона касательной к эпюре 0. В сечениях, где
М (х)=0, касательная к кривой © = Е(х) должна быть параллельна
оси абсцисс (рис. 281 и 283, сечения А и В). Скачку на эпюре
моментов соответствует угловая точка на эпюре 0 (рис. 287, сече-
ние С, рис. 290, сечение D).
2. Если изгибающий момент равен нулю на протяжении какого-
либо участка балки, то на этом участке эпюра 6 прямоугольна,
а эпюра w прямолинейна, но, вообще говоря, наклонна (рис. 290,
участок DE).
3. На участках, где действует постоянный момент (на участках,
находящихся в условиях чистого изгиба), эпюра © прямолинейна
и наклонна, а эпюра w— параболическая (рис. 290, участок BD).
Здесь обнаруживается противоречие с изложенным выше утвер-
ждением, что при чистом изгибе кривизна постоянна (k— 1/р =
= М/Е1 = const) и балка изгибается по дуге окружности. Причина
этого кроется в приближенности дифференциального уравнения
упругой линии, которым мы пользуемся для вывода уравнения
(10.72). Строго говоря, при чистом изгибе балка изгибается по дуге
окружности, которая в пределах малых деформаций с весьма боль-
шой точностью может быть представлена квадратичной параболой.
4. Вторая производная прогиба
jEw М(х)
dx2 ~ EJ
имеет знак момента Если момент положителен (сжаты верхние
подокна), то вогнутость на эпюре w будет обращена в сторону поло-
жительных w (вверх) При отрицательном моменте вогнутость пара-
болы обращена вниз. Так как ординаты эпюр изгибающих моментов
Мы условились откладывать со стороны сжатых волокон (§ 20), то
вогнутость эпюры прогибов w всегда обращена в ту сторону, с ко-
торой расположены ординаты эпюры изгибающих моментов. В се-
чении, где действует сосредоточенный момент М, имеем точку пере-
гиба упругой линии (рис. 287, точка С).
300______________________________________________________Изгиб
5. Вторая производная угла поворота
d2e <2 (х)
dx? EJ
имеет знак поперечной силы. Если Q положительна, то выпуклость
на эпюре © будет обращена вниз (рис. 283, участок АС; рис. 290,
участки АС и СВ). При Q<0 выпуклость направлена в сторону
оси w, т. е. вверх (рис. 283, участок СВ). В сечении, где Q меняет
знак, на эпюре © имеем точку перегиба (рис. 283, сечение С).
6. На тех участках балки, где эпюра М изменяется по линей-
ному закону (участки АС и СВ, рис. 283), эпюра © будет квадра-
тичной параболой, а эпюра w — параболой третьего порядка.
7. Так как © представляет собой график изменения по длине
балки тангенсов углов наклона касательных к упругой линии, то
можно утверждать следующее:
а) на участках, где в направлении оси х прогиб w возрастает,
угол наклона © положителен (рис. 283, участок FB), при уменьше-
нии w углы наклона © отрицательны (рис. 283 и 290, участки Л С);
б) в сечениях, где © = 0, касательная к эпюре w горизонталь-
на, т. е. здесь на эпюре w получается аналитический максимум или
минимум (рис. 283, сечение F).
8. В тех сечениях, где на балке расположены промежуточные
шарниры (рис. 290, сечение С), на эпюре углов поворота будут
скачки. На эпюре w в этих сечениях получаются переломы, т. е.
угловые точки, в которых скачкообразно изменяется угол наклона
касательной к эпюре w.
Перечисленные особенности эпюр позволяют по самому их виду
установить, не допущены ли принципиальные ошибки при построе-
нии. Несколько примеров построения эпюр рассмотрено в следую-
щем параграфе. В дальнейшем всегда будем пользоваться этими
общими правилами.
§ 68. Определение перемещений в балках
по методу начальных параметров
Определение перемещений методом непосредственного интегри-
рования дифференциального уравнения упругой линии в случае
балок с большим количеством участков сопряжено со значительными
трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании
дифференциальных уравнений, а в технике определения произволь-
ных постоянных интегрирования — составлении и решении систем
линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям
нагружения разбивается на п участков, то интегрирование диффе'
ренциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произ-
вольных постоянных. Добавив к двум основным опорным условиям
балки 2 (п— 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех
участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для опре
деления этих постоянных.
-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Задача становится очень трудоемкой уже при и = 3. Для умень-
шения большой вычислительной работы, связанной с определением
произвольных постоянных интегрирования, в настоящее время раз-
работан ряд методов. К ним относится и метод начальных парамет-
ров, позволяющий при любом числе участков свести решение к оты-
сканию всего двух постоянных — прогиба и угла поворота в начале
координат.
Вывод общих уравнений и примеры их применения. Рассмотрим
некоторую часть балки длиной h (рис. 284, а), проведя сечения
в точках К и L. На рис. 284, б изображен этот отрезок, нагружен-
ный следующими наиболее часто встречающимися нагрузками:
а) сосредоточенным моментом М в сечении с абсциссой а;
б) сосредоточенной силой Р в сечении с абсциссой Ь;
в) нагрузкой, распределенной по закону трапеции от сечения с
абсциссой с до сечения с абсциссой d, интенсивностью
? + (х— с),
гДе k — тангенс угла наклона р касательной к эпюре нагрузки
(Рис. 284, а):
tg p=.fo~fr =/
d — c
г) кроме того, по концам рассматриваемой части балки прило-
жены поперечные силы и изгибающие моменты, заменяющие дей-
ствие мысленно отброшенных частей балки.
____________________________________________________Изги6
_-_——
При выводе уравнений направления всех нагрузок выберем та-
кими, чтобы они вызывали положительные изгибающие моменты
Заметим также, что на рассматриваемом отрезке может быть не-
сколько сосредоточенных моментов и сосредоточенных сил, а также
несколько участков распределенной нагрузки. Мы показали на балке
по одному из перечисленных силовых факторов лишь с целью упрос-
тить дальнейшие выкладки.
Чтобы резко сократить число неизвестных произвольных посто-
янных, сведя решение к определению только двух постоянных
интегрирования, необходимо обеспечить равенство соответствую-
щих постоянных на всех участках балки. Это равенство может быть
только тогда, когда в уравнениях- моментов, углов поворота и про-
гибов при переходе от участка к участку повторяются все члены
предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращают-
ся в нуль на левых границах своих участков. Для обеспечения этих
условий при составлении дифференциальных уравнений упругой
линии и их интегрирования должны соблюдаться следующие пра-
вила:
1. Начало координат необходимо выбирать в крайней левой
точке рассматриваемой балки и делать его общим для всех участков.
2. Выражение для изгибающего момента М (х) составлять, вы-
числяя моменты сил, расположенных слева от рассматриваемого
сечения.
3. При включении в уравнения внешнего сосредоточенного мо-
мента М его нужно умножать на множитель (х— п)°, равный еди-
нице. Здесь а — абсцисса точки, где приложен момент М.
4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в се-
чении x = d, рис. 284, б) ее продлевают до конца рассматриваемого
сечения, а для восстановления действительных грузовых условий
вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления. «До-
полнительную» и «компенсирующую» нагрузки будем показывать
на чертежах штриховыми линиями.
5. Интегрировать уравнения на всех участках следует, не рас-
крывая скобок.
Итак, выбрав начало координат в крайней левой точке рассмат-
риваемого отрезка балки (в точке /<), составим выражение для из-
гибающего момента М (х) в произвольном сечении крайнего пра-
вого (V) участка с соблюдением пп. 2—4 указанных правил. При
этом условимся разбивать трапецеидальную нагрузку на тре-
угольную и равномерно распределенную. Изгибающий момент за-
пишется так:
| k (л~с)3 k (x~d> (10.76)
Рассматривая чертеж балки (рис. 284, б), легко убеждаемся в
том, что выражение для изгибающего момента на IV участке лег
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров 303
получить ИЗ уравнения (10.76), вычеркивая члены, учитывающие
нагрузку, появляющуюся лишь на V участке.
Действительно, выражение для изгибающего момента на IV
участке имеет вид
М (х)=Мо + Qox + М (х - а)0 + Р (х - b) + qc -^#-+k
2. 6
(10.77)
Полезно запомнить, что выражения (х— а), (х — Ь\ (х —с), ...
. . . , (х—/) могут быть только положительными величинами. Если
окажется, что (х—/)<0, то это означает, что соответствующая на-
грузка расположена справа от рассматриваемого сечения и такое
слагаемое должно быть вычеркнуто из уравнения.
Изгибающий момент Мо и поперечная сила Qo> действующие в
сечении, совпадающем с началом координат, называют статиче-
скими начальными параметрами.
Составим дифференциальное уравнение упругой линии на участ-
ке V:
Л^И.=А-[Л<„+ел+Л)(х_а)« + Р(х_(,)+
+ (10.78)
Интегрируем обе части равенства, не раскрывая скобок. Тогда
получаем
е (х)=^1Д_=_^_ ГMoX_|_ Qo м {х-а)+ р
(10.79)
Интегрируя вторично, находим
w (х)=дЬ IМ° 4+ 4+М Яс
*— J L v О £.4
~Я* klT-+k + (10.80)
Дифференциальное уравнение упругой линии на IV участке
запишется так:
[Мо+QoX+м - а>°+р 6)+±Lf£-+
4-fe Iх~с)3 J. (10.81)
Проинтегрировав его дважды, получим
е (х)г МоХ+QDA+M(x_a)+p
304___________________________________________________Ичж.
+ qc -^+k ^-+ с„]; (10.82)
w [Mo 4+ Qo 4+M -^"+ p Ч^Г~+
+ l~C/vx~h D/vJ- (10.83)
Теперь можно показать, что соблюдение правил составления
и интегрирования уравнений упругой линии обеспечило равен-
ство произвольных постоянных на IV и V участках. Действительно
положив в выражениях (10.79) и (10.82) x = d, из условий плавного
сопряжения участков получим
е (d)„ = -jj- [лы + Qc + М (d - а) + Р qc -^^+
+ A-^^-+C/v] = 0(d)v=^7-[Mod + Qo4+A,(cf-c) +
+ p^^+qcSd^qi(d-^+k{d-e^k(d-dl + Cvy (W84)
Следовательно, Civ~Cv.
Положив x—d в уравнениях (10.80) и (10.83), из условия не-
прерывного сопряжения участков w (d)lv — w (d)v найдем, что и
D iv = До-
выполнив аналогичные операции для остальных участков, за-
ключаем, что соответствующие произвольные постоянные равны на
всех участках рассматриваемого отрезка балки:
С, = Сп = Сш = C,v= с v= с- (10.85)
D,= DII = DIII = DIV= DV = D. (10.86)
Геометрический смысл этих двух постоянных интегрирования
установим, рассматривая уравнения углов поворота и прогибов на
первом участке. Вычеркивая в уравнениях (10.79) и (10.80) слага*'
мые, учитывающие нагрузки, приложенные на II—V участках,
получим уравнения для первого участка:
eW==J^L=^_fM°x+Q0^+C]; (10.87)
ww=ef[Mo4+Qo4+Cx+£)]- (,088)
Подставив в эти уравнения х—0, найдем:
0(O) = 0o = C/£J; (10.80)
w(O)=wo=D/EJ. (,0-90)
Следовательно, произвольные постоянные С и D равны соответ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
305
ственно углу поворота и прогибу в начале координат. Прогиб
и угол поворота 0о являются начальными параметрами.
Подставив значения С и D в уравнение (10.80), получим общее
выражение для прогиба в произвольном сечении балки:
о» (Х)=Wo+еох+-L- [мп 4+ Qo 4+ м +р +
, п (х~с)4 п (x-d)4 , (х-с)5 , (x-df 1 /10 014
+ <7с 24 ^-24^ + *=—120------k~120-J’
Для случая нескольких моментов и сил, а также нескольких
участков распределенной нагрузки уравнение записывают в сле-
дующей форме:
W (х)=йУо + ©ох + ^7- LJ + 2₽-^ч-2 + 2*-^ а Мо 4+ Со -^5^- + (х-с)4 у (x-rf)4 , 4! х—1 Qa 41 1 Д! V /, (x-df 1 5! Г (10.92)
Уравнение (10.92) обычно называют универсальным уравнением
упругой линии. При этом имеют в виду, что это уравнение приме-
нимо для любых расчетных схем балок.
Дифференцируя уравнение (10.92), получаем уравнение углов
поворота сечений:
e(x)=e„+-JrpMI,-i-+Q„£+
+ 2р^+
+ 2*^--
(10.93)
В уравнения (10.92) и (10.93) подставляют только те нагрузки,
которые расположены слева от рассматриваемого сечения. Знаки
слагаемых определяются знаком соответствующих силовых фак-
торов.
Таким образом, определение перемещений по методу начальных
параметров сводится в первую очередь к определению величин на-
чальных параметров Qo, Л4П, ©о, №о- Статические начальные пара-
метры Qo и Л1о находят из условий равновесия балки. Геометриче-
ские начальные параметры 0П и ы>0 определяют из условии на опо-
рах. Уравнения (10.92) и (10.93), выведенные для произвольного
отрезка балки, пригодны и для всей балки в целом. Начало коорди-
нат, как правило, будем выбирать в крайней левой точке балки.
Рассмотрим примеры определения перемещений в балках по ме-
тоду начальных параметров.
В консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
•‘а половине длины (рис. 285, а), определим прогибы в сечениях
балки с абсциссами х — а и х—2а.
Запишем уравнение упругой линии для правого участка балки.
Так как распределенная нагрузка обрывается в точке С, продлим
ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку
такой же интенсивности (рис. 285, б). Уравнение упругой линии
в общем случае будет иметь вид
w (x)=ayo + ©ox + -Jj- [^0Qo9 4!°—] (10.94)
Из условий равновесия балки определяем статические начальные
параметры:
Д4о = Мл=--^; Q0 = RA—qa. (10.95)
Так как начало координат совпадает с заделкой, то геометриче-
ские начальные параметры — прогиб и угол поворота в начале коор-
динат — равны нулю:
wo = O; ©о=0. (10.96)
Подставив в уравнение (10.94) найденные значения начальных
параметров, получим уравнение упругой линии в окончательном
виде:
<|0-97)
Положив в выражении (10.97) х=2а, получим формулу Д-пя
прогиба свободного конца консоли:
7 qa*
WB~ ~ 24 EJ ’ ' *
Положив в выражении (10.97) х=а, получим формулу для про
гиба в точке С:
Wr=_____Я*-. (10.98)
8£/ ₽1йМ
В балке, нагруженной, как показано на рис. 286, оп редел
прогиб и углы поворота в точках С и D.
WWW.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
307
Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участ-
ка балки (участка BD, где /^х^5//4), предварительно продлив
распределенную нагрузку до конца балки и приложив компенси-
рующую нагрузку:
(10")
Уравнение (10.99) записано с учетом того, что статические началь-
ные параметры нам уже известны:
q0=-/?4=-v^; мо=о.
о
Для определения геометрических начальных параметров имеем
опорные условия:
при х = 0 и.'(())=и.'л = О,
при x=L w (l)=wB = 0.
Из первого опорного условия следует, что
Wq=wA = 0.
Второе опорное условие дает
Г 6--У1
[-f ЩД]- о.
откуда
Теперь уравнение упругой линии для участка балки BD примет
вид
w (х)=—!—I э75/3— х-L.qi zl 1_1L ql -----Q (_2) i_
V ' EJ L 384 8Z3l' 8 4 31 4 4! +
] (10.100)
Чтобы найти перемещение точки D, достаточно положить в этом
Уравнении х=5/4/. Тогда
_L f +_L(_L\ W = _ -о 11
24 V 4 J ^24^ 4 ) J EJ 1536 EJ U’1* EJ ’
308
Изгиб
t. e.
wD= —0,11(10.101)
Чтобы вычислить перемещение точки С, нужно записать урав-
нение упругой линии для того участка, где находится эта точка.
Так как она лежит на границе / и // участков, запишем уравнение
упругой линии для первого участка. С этой целью в уравнении
(10.100) нужно вычеркнуть слагаемые, соответствующие нагрузкам,
появляющимся лишь на // и /// участках. Другими словами, в
уравнение должен войти лишь один силовой фактор —
Ra—у
Таким образом, уравнение упругой линии на первом участке
имеет вид
W (Х)=*ЁГ[ 384 ql '
Положив здесь х = получим формулу для прогиба точки С:
-^--^«0,056-^-.
768 El Е1
Чтобы вычислить угол поворота какого-либо сечения балки, не-
обходимо иметь выражение для угла поворота на соответствующем
участке балки. Уравнение углов поворота для участка BD получим
дифференцированием уравнения (10.100):
7 . x3 1
8 q 3! J"
(10.102)
wc — w
57 ,з 7 , хг . 11 . (х-/)2 „ \ 1
384^ 8 2! + 8 ql 2! 9 3!
Положив здесь х=5/4/, получим формулу для угла поворота се
чения D-.
1 / з \3 | 1 / 1 \31 ql3 . 215 ql3
6 \ 4 ) -Г 6 V 4 ) ] EJ 384 EJ
следовательно,
eD=-o,56-g-.
з
(10.103)
-0,56-^-,
(10.104)
Уравнение углов поворота для первого участка (участка ЛС)
получим дифференцированием уравнения (10.102):
е(х)=
-L.L57 /3_.L
EJ L 384 4 8 4 2! J
(10.105)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками'
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
309
Отсюда при х=//2 получаем формулу для угла поворота в сече-
нии С:
р, /_ 57 7 \ <//3 = 15 ql* лоп
°C U\2/ \ 384 8-2-22 ) EJ 384 EJ ~U’Udy £/ '
Расчет на жесткость при изгибе. Овладев методикой определения
прогибов и углов поворота, можно перейти к проверке жесткости
балок, а также к подбору размеров сечения балок из условия жест-
кости.
Обозначив абсолютное значение максимального прогиба балки
через f, а допускаемую стрелу прогиба через [f], получим условие
жесткости балки:
(10.106)
Допускаемые величины прогибов устанавливают на основании экс-
периментальных и эксплуатационных данных.
Пример 43. Для балки, нагруженной на расстоянии а=4 м от левой опоры
сосредоточенным моментом М = 120 кН-м (рис. 287), построить эпюры попе-
речных сил, изгибающих моментов, углов поворота сечений и прогибов, а
также подобрать двутавровое сечение из условий прочности и жесткости;
[с]=160 МПа; [/]= (1/600)1; Е=2-1О МПа.
Определив опорные реакции, строим эпюры поперечных сил и моментов.
Перемещения характерных сечений будем определять в соответствии с
рекомендованным выше порядком решения. Записываем уравнение прогибов
для участка СВ;
w (x)=wo + eux+-i-Гял М
| «3! Z!
- 60 (х-4)=J.
Начало координат совмещено с левой опо-
рой А, следовательно, и.'о=и'^ = О. В со-
ответствии со вторым опорным условием
— wK — 0.
Из уравнения (10.107) прн 1=6 м
имеем .
щ(/) = 60/+-±-|Д--60 (7 —4)2 J =0,
откуда
г, 80
6о=----(10.108)
Подставив выражение (10.108) в урав-
нение (10.107), запишем уравнение упру-
гой линии на участке СВ в окончательном
виде:
, . 1 Г on . Юх3
(х)=—=у — 80х-(---х--
EJ L 3 (10.109)
— 60 (х—4)2j.
Уравнение упругой линии на участке
АС запишется так:
w(x)=4-(~80x+jt~)=
= [-^(24-х2)] (ЮНО)
] = що-|-6ох + ±[-^--
(10.107)
310
Изгиб
е(х)
Продифференцировав уравнение (10.109), получим уравнение углов по-
ворота на участке балки СЁ:
~ Г-80+ 10х2 — 120 (х-4)1.
tJ L J
Для построения эпюры 0 необходимо вычислить углы поворота на грани-
цах этого участка:
Я Я 14) -80+10-4’_80
6с-6(4)-
(10.111)
(10.112)
1 40
ев = 6 (6)=—[-80+10-62— 120 (6 - 4)]=-^.
с J L.J
Так как в решении размеры балки принимались в метрах, а силы
в килоньютонах, то для получения угла поворота в радианах величины £ н /
надо брать в килопаскалях и метрах в четвертой степени соответственно.
Дифференцируя уравнение (10.110), получаем уравнение углов поворсга
на участке АС:
ем=тг(~80+10х2;
Углы поворота на границах этого участка уже известны. Таким образом,
можно построить эпюру в1.
На границах участка откладываем ординаты
Ял = во=—gj— рад и 6c = -gg- рал-
Вершины этих ординат в соответствии с уравнением (10.112) соединяем пара
болической кривой. Так как Q>0, то парабола 0 должна быть обращена
выпуклостью вниз (см. п. 5. § 67). В точке А касательная к эпюре должна
быть параллельна оси абсцисс (см. п. 1). Аналогично проводим построение на
участке СВ.
Для построения эпюры прогибов вычислим наибольший прогиб. Он
место в сечении, где 6 (х)=0. Запишем это условие:
е (Х,)=_2_(_8о+ ioxf)=o,
CJ
откуда
х/ = 2,83 м.
В этой точке прогиб имеет экстремальное значение Вычислим
чину стрелы прогиба, подставив в выражение (10 110)
Г 28.3/ол ооо2. 9,43-16 150,9
f=-W(24 - 2,83)M=---------gJ—M =----—м.
имеет
вели-
м = —
кило-
Прогиб будет выражен в метрах, если £ и /, как было указано,— в
паскалях и метрах в четвертой степени. в
Для построения эпюры прогибов необходимо еще вычислить прогио^
точке С, являющейся точкой перегиба для эпюры прогибов (в этой точке
эпюре моментов меняется знак). Полагая в уравнении (10.110) х=4 ".
лучим
, х 40 (24—42) 320 106
= w (4)= --------gj— = - 3gg м = м.
1 На эпюрах в и w отложены ординаты, полученные после окончательного
расчета; / = 7780 см4.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
31 1
Откладываем вычисленную ординату вниз от базисной линии. В соответ
ствии с уравнениями (10.109) и (10 НО) эпюра прогибов должна быть очер
чена на обоих участках кубическими параболами. На участке АС момент
М>0, поэтому парабола обращена вогнутостью вверх; на участке СВ момент
Л1<0 и парабола обращена вогнутостью вниз (п. 4).
Перейдем к подбору сечения балки из условия жесткости. Условие жест
кости (10.106) принимает вид
с I 150,9 I ...
/=|~Ё7-|М<Л.
откуда
150,9
|/]Е ’
При £=2-105 МПа = 2-108 кПа и допускаемой стреле прогиба |/J = //600 =
= 6/600 — 0,01 м необходим момент инерции
J = м4 = 7545-10 8 м4 =7545 см4.
По каталогу сортамента (прил. !) находим, что нужен двутавр № 30а, момент
инерции которого J = 7780 см4.
Необходимо проверить прочность выбранного двутавра № 30а, момент
сопротивления которого 1Г=518 см3. Вычисляем наибольшее напряжение:
5?8:~й) 6 МПа =1 м’5 МПа<[п)= 160 МПа
Следовательно, прочность балки обеспечена
Расчет балок с промежуточным шарниром. Полученные выше
универсальные уравнения упругой линии и углов поворота были
найдены из рассмотрения участка KL (рис. 284, б), на котором бал-
ка не имеет промежуточных шарниров, нарушающих плавность
изогнутой оси. Поэтому, рассматривая всю балку в целом и остав-
ляя общее для всех участков начало координат, применить эти урав-
нения к непосредственному определению перемещений на участке
SF балки, расположенном правее шарнира S, нельзя. В этом случае
определить перемещения можно, лишь рассматривая балку по частям
(отдельно часть CS и отдельно — SF).
Можно, однако, показать способ обобщения уравнений метода
начальных параметров и для случая балки с промежуточным шар-
ниром (рис. 284). С этой целью, записав дифференциальные урав-
нения для участков BS и SF, проинтегрируем их дважды:
для участка BS
j w (х, ____ М (х) .
dx2 ~ EJ ’
6 (х)=_^_= ( dx+ Cjl;
dx J EJ
(10.113)
(10.114)
312
Изгиб
для участка SF
d2w (х) М (х)
dx2 ~ Е1 '
е«=Лг— J-T^ + C-p: (10.115)
w(x)=j dx^ dx + CnpX + Dnp. (10.116)
Вследствие наличия шарнира углы поворота слева и справа от
точки S будут отличаться на некоторый угол а. Для того чтобы
установить связь между постоянными Сл, Dn и Cnp, Dnp, составим
условия сопряжения участков в точке S:
цу(5)л = ш(х)пр; (10.117)
0(д)л + а = 0(д)пр. (10.118)
Подставляя в равенства (10.117) и (10.118) соответствующие зна-
чения w (s) и ©(д) из выражений (10.114), (10.116) и (10.113),
(10.115), при x=s получим
Сл + а = Спр; (10.119)
G$ -I- Dn — Спр$ ~Ь Dnp. (10.120)
Из равенств (10.119) и (10.120) находим
£>пр=-ад4-Ол. (10.121)
Подставив равенства (10.119) и (10.121) в уравнения (10.115)
и (10.116), сможем записать уравнения углов поворота и прогибов
на участке SF в таком виде:
©W = J + G + (10.122)
iw(x)=jdx dx + Слх + £>л + а (х—s). (10.123)
Так как было установлено, что левее шарнира S произвольные
постоянные С и D на всех участках одинаковы и представляют со-
бой соответственно угол поворота и прогиб в начале координат,
заключаем, что для сечений правее шарнира в универсальное урав
нение прогибов следует ввести дополнительный член а (х — s), а в
уравнение углов поворота — член а. Итак, при наличии шарнира
слева от рассматриваемого участка уравнение (10.92) для этого
участка принимает вид
w (л)=шо + 0о* + «(*—s)-|—[л(о 77+Q0-^-+2М 21°^
(10.124)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
313
Рис. 288
Рис. 289
Взаимный угол наклона а является дополнительной неизвест
ной величиной в универсальных уравнениях для w (х) и 0 (х). Как
и начальные параметры wo и ©о, его определяют из опорных условий.
В зависимости от вида расчетной схемы балки возможны два
основных варианта дополнительных опорных условий:
1. Условие равенства нулю прогиба на правой опоре (рис. 288).
Отсюда определяют только угол а.
2. Условие равенства нулю прогиба на опорах В и С (рис. 289).
Угол а здесь определяется совместно с 0 путем решения системы
двух алгебраических уравнений.
Пример 44. Для балки (рис. 290) построить эпюры Q, М, 0 и w; подо-
брать двутавровое сечение из условий прочности и жесткости, если М =
= 160 кН-м; а=2 м; |о)= 160 МПа; ff|= 10 мм.
Вычислив опорные реакции МЛ, RA и RB, строим эпюры Q и М Для по-
строения эпюр 0 и w необходимо прежде всего вычислить их значения на
границах всех участков.
Запишем универсальное уравнение упругой линии (10.124) для крайнего
правого участка балки DE, учитывая, что геометрические начальные параметры
0о и u'c равны нулю:
№(х)=а(х—о)+-А-[— мв ----------------
ИН]
~М-----21---Г (10.125)
Значение взаимного угла поворота сечений в шарнире С (ас) — найдем
из условия равенства нулю прогиба в сечении над правой опорой В:
wh = w (2а) = 0.
Уравнение для прогиба в сечении В получим нз выражения (10.125), вы-
черкнув последнее слагаемое и положив х = 2а:
m , 1 Г „ 4аг , М 8а3 I „
= w (2а) = аа +-— [ -М ~+ — — ] =0,
откуда
2 Ма
а^з~ЁГ (10.126)
Подставив выражение (10.126) в уравнение (10.125), получим окончатель
ное уравнение упругой линии для участка балки DE:
314
Изгиб
1 Г 2
,,х2 . М х
2! а 3! а 3!
М (х—2а'3
-Л/
(•0.127)
Из уравнения (10.127) мож-
но получить уравнения для всех
остальных участков.
Уравнения углов поворота
для всех участков получим диф-
ференцированием уравнений уп-
ругой линии на соответствующих
участках
Предоставляем читателю воз-
можность самостоятельно про-
вести все указанные вычисления
и построить эпюры 6 и W. Для
самоконтроля на рис. 290 при-
ведены эпюры прогибов и углов
поворота.
Перейдем к подбору сечения
балки Наибольший изгибающий
момент Л4„м(. = М = 160 кН-м
Из условия прочности
AU. 160-10”3
м
160
= 10 Зм3 = 1000 см
а
которого
11о сортаменту принимаем двутавр № 45, для
1231 см3, 7=27696 см".
Проверим, выполняется ли условие жесткости. Находим численное зна
чение стрелы прогиба:
25 Ма2 25 160-10 -2
f== <jy. =--------=-------———— ------—s м =0,012 м ~ 1,20 см.
' 1 2 24 £7 24 2-10 -27 696-10 “
Условие жесткости (10 106) не удовлетворяется:
f==l,20 см>[)] = ! см.
Следовательно, размеры поперечного сечения балки необходимо увеличить,
исходя из условия жесткости:
25 160-10 3-2~
(10.128)
f 24 2-10‘-Л ‘ ......
Из выражения (10.128) находим, что
одьг.!^ м<=х334,10 6 м4 =33400см4
По сортаменту принимаем двутавр № 50 (7 = 39 727 см4)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость
315
§ 69. Расчет балок переменного сечения
на прочность и жесткость
До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение
которых оставалось постоянным по длине. Такие стержни, особенно
при значительной их длине, нельзя считать рациональными с точки
зрения веса и расхода материала, так как размеры сечения под-
бираются по усилиям, действующим в опасном сечении, в осталь-
ных же сечениях получается весьма значительный избыток проч-
ности. Кроме того, по конструктивным соображениям стержни,
работающие на изгиб, часто имеют конусность, отверстия, выточки,
ступеньки и т. д. В силу указанных причин на практике широко
распространены стержни непостоянного по длине сечения.
С точки зрения расчета на прочность и жесткость все такие
стержни можно разделить на три основные группы:
а) стержни, имеющие местные изменения формы и размеров
сечений (рис. 291, а);
б) стержни ступенчато-переменного сечения (рис. 291, б);
в) стержни, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине раз-
меры (иногда и форму) сечений (рис. 291, в).
Разумеется, есть много деталей, в которых сочетаются различ-
ные виды нарушения размеров и формы сечений. В этом случае
при расчете на прочность и жесткость следует учитывать все особен-
ности, присущие тому или иному виду нарушения формы и разме-
ров. Перейдем к рассмотрению каждой группы в отдельности.
Местные изменения формы и размеров сечений. Отверстия, вы-
точки и прочие нарушения формы и размеров сечений вызывают
резкое и значительное изменение картины распределения напря-
жений и деформаций. Однако это возмущение носит местный харак-
тер и на напряженное и деформированное состояние стержня в
целом влияет незначительно. Поэтому, определяя прогибы и углы
поворота сечений, отверстия и прочие нарушения не учитывают.
При расчете на прочность касательные напряжения не принимают
во внимание, а основное условие прочности записывают для опас-
ной точки, расположенной в одном из ослабленных сечений, так
как здесь может иметь место концентрация напряжений (§ 65).
В зависимости от чувствительности материала к концентрации
условия прочности будут иметь различный вид, а именно: для вы-
сокопластичных материалов (малоуглеродистых сталей, меди, алю-
миния) и хрупких неоднородных материалов (чугунов) концентра-
цию можно не учитывать и условие прочности записывать в обыч-
ном виде:
(10.129)
Ц^я однородных хрупких материалов (высокопрочных закаленных
сталей)
(10.130)
316
Изгиб
Рис. 291
где а — теоретический коэффициент концентрации, определяемый
по справочным таблицам (§ 65).
В обеих формулах W — это момент сопротивления ослабленного
сечения.
Пример 45. Палец (неподвижная ось), изготовленный из легированной
стали 20Х (о,=600 МПа), имеет размеры, указанные на рис. 292, а, и нагру-
жен силой 4 кН. Посредине пальца есть отверстие диаметром 3 мм для смазки.
Требуется проверить прочность, если коэффициент запаса прочности п, = 1,6,
и найти прогиб посредине. Расчетная схема пальца и эпюра изгибающих
моментов показаны на рис 292.
Опасным будет ослабленное сечение, в котором действует М =4-10 “2 кН-м.
Опасной точкой, строго говоря, будет точка а (рис. 292), однако для расчета
удобнее принять в качестве опасной условную точку Ь, что, очевидно, не
внесет в расчет заметной погрешности.
Момент инерции ослабленного сечения
J ' /бр 1ОТВ,
где
/бр=-^~^—Г| см4 =0,228 см4;
64 L \ 1,5 / J
[03-0 З53 1
- ’ —4-0,3-0,35 -0,5752 см4=0,072 см4,
причем /отв вычислено для двух прямоугольников размерами 0,3X0,35 см.
Таким образом,
7 = 0,228—0,072 см4 = 0,156 см4.
Тогда момент сопротивления для определения напряжений в точке b
W
J 0,156
~ 0,750 — 0,750
см3—0,208 см3.
При заданном запасе прочности допускаемое напряжение
[о]=— = -^-МПа=375 МПа.
Пт 1,6
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
»асчет балок переменного сечении на прочность и жесткость
317
Вычислим номинальное напряжение в опасной точке Ь:
а„=—=-4^°0 г'!р° / МПа = 192 МПа.
эдг U,Zvo • IV
Так как рассматриваемая опасная точка находится возле конструктив-
ного концентратора — отверстия для смазки, то наибольшее напряжение
должно быть вычислено с учетом концентрации напряжений Величину тео
ретического коэффициента концентрации а находим по графику рис. 273,
где при Д/£) = 0,3/1,5 = 0,2 коэффициент а = 1,87.
Вычислим максимальное напряжение и проведем проверку прочности:
ОиВкс=схои=-1,87-192 МПа =359 МПа <375 МПа.
Следовательно, прочность обеспечена.
Переходим к определению прогиба. Пользуясь универсальным уравнением
упругой линии (10.92), для крайнего правого участка получаем
. , „ .1 Г 2х3 2(х-2? 2(х-6)3 1
№М = 60х^-тг[-ё------------ё----------—].
Из условия, что прогиб на правой опоре (х=8 см) равен нулю, получаем
уравнение для определения начального параметра:
I 2
Пп-в+т—— (8*-63-23)=0.
LJ о
Отсюда
Теперь для определения прогиба посредине пролета получаем выражение
w (4)=/=©о4+-^-|-(43 - 23),
C.J о
откуда при Е=2,0-105 МПа = 2-108 кПа и / = 7вр=0,228 см4 найдем, что
т. е.
) = 0,064 мм и
f 0,064 1
/ 80 — 1250
Ступенчатые стержни. В местах сопряжения участков с раз-
личными размерами сечений возникает концентрация напряжений.
Если материал чувствителен к ней, то нужно применить условие
прочности (10.130) ко всем сечениям на границах участков. Если
же материал нечувствителен к концентрации напряжений, то нужно
применить условие прочности (10.129) к нескольким вероятным
опасным сечениям.
Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно
или пользоваться общими методами, изложенными ниже (гл. 13),
или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть
последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалент-
ным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости. Рассмот-
рим обоснование такой замены на примере произвольной многосту-
пенчатой балки (рис. 293, а). Расчленим балку на части постоянного
318
Нагиб
сечения (рис. 293, б), приложив в местах разрезов соответствующие
внутренние силовые факторы — Q и М.
Дифференциальное уравнение упругой линии для первой части
имеет вид
d2w (х) М (х)
dx’ — EJ, '
Аналогично для всех последующих призматических частей
d2w (х) М (х) . d2w (х) М (х)
dx2 ~ EJ, ’ ’ ' ’ ’ dx’ — £7„ ’
Преобразуем заданную ступенчатую балку в эквивалентную
балку постоянного сечения с моментом инерции /0, равным моменту
инерции одного из участков балки, например первого. Умножив
числитель и знаменатель правой части последнего дифференциаль-
ного уравнения (10.132) для произвольного участка п на Jo, по-
лучим
Мз
Рис. 293
НИН
d2w(x) _ Л1(х)Л) _
dx’ EJ „J о
__M(x)Jn ____М(х)
~ EJ. J„ — EJe
(10.133)
где коэффициент при-
3
ведения.
Отсюда следует, что,
умножив изгибающие мо-
менты каждой части балки
на соответствующие коэф-
фициенты приведения и
заменив момент инерции
/„ моментом инерции /о,
получим балочки одинако-
вого сечения с моментом
инерции /о, упругие линии
которых тождественны уп-
ругим линиям соответству-
ющих частей заданной
ступенчатой балки.
Так как изгибающие
моменты находятся в ли-
нейной зависимости от на-
грузок, то для каждой час-
ти балки вместо умноже-
ния на коэффициент при-
ведения изгибающих мо-
ментов можно умножить
на этот коэффициент все
нагрузки этой части вместе
с внутренними усилиями-
Q и М в торцевых сечениях
(рис. 293, в).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
расчет балок переменного сечения на прочность н жесткость
319
Соединяя теперь отдельные разрезанные части, получаем экви-
валентную балку постоянного сечения. Эта балка нагружена при-
веденными внешними нагрузками (т. е. нагрузками, измененными
в раз); в местах сопряжения частей балки действуют допол-
нительные силы AQ и моменты ДЛ1. Величина этих дополнительных
нагрузок определяется разностью приведенных внутренних силовых
факторов, приложенных к левой и правой сторонам сечения:
AQi = Qr (₽2-р.);
A(?2=Q2 (Рз—Р2);
АЛЬ =Mt (Р2 — Pi);
дМ2 = М2(р3-р2). (10.134)
Таким образом, получена эквивалентная балка (рис. 293, г),
упругая линия которой полностью совпадает с упругой линией за-
данной ступенчатой балки. Для любого участка этой эквивалентной
балки упругая линия определяется интегрированием дифферен-
циального уравнения
d2w___ M,fl (х)
dx2 ~ EJB
(10.135)
где Мпр (х) — момент от приведенных внешних нагрузок и допол-
нительных нагрузок AQ и ДЛ4.
Для определения перемещений в полученной эквивалентной бал-
ке можно использовать универсальное уравнение упругой линии
(10.92). .
Пример 46. Определить углы поворота опорных сечений и прогибы для
трехступенчатой балки, лежащей на двух опорах (рис. 294, а). Отношение
моментов инерции сечений отдельных ступеней балки Л : J2 ; J 3 = 1: 3 : 2.
Определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментов и
поперечных сил. Разрезаем балку на три части в местах сопряжения ступеней.
На рис. 294, б изображены отдельные части балки, находящиеся под дей-
ствием внешних сил и внутренних усилий Q н М в местах разрезов.
Приведем заданный ступенчатый брус к эквивалентному брусу постоянной
жесткости с моментом инерции /п, равным моменту инерции Д сечения его сред-
ней части. Коэффициенты приведения следующие:
fc-A-a. (10.136)
Умножаем на всех участках заданные нагрузки, а также Q и М в сечениях
разрезов на соответствующие коэффициенты приведения р„. Все три части с
приложенными к ним приведенными нагрузками показаны на рис. 294, в.
Теперь составим их в один брус постоянной жесткости EJ0=EJi, приложив в
сечениях сопряжений добавочные силы AQi, AQg н добавочные моменты
AMi и ДМ2.
Вычисляем добавочные силы:
2 4 2 4
AQ,=V Р —2Р=——- Р, или Д01=4р(1-3)=--^Р;
О О о
320
Изгиб
4<-n
или
Вычисляем добавочные мо-
менты:
7 14
AM. = ~—Ра ~7Ра=- ^ра>
О 3
7 14
или ЛМ, =—Ра(1 — 3)= —£ра;
О о
8 4
ЛМг = 4Ра---Ра = -^- Ра, или
ЬМ2=^Ра |)==4Р"’
Эквивалентная балка с при
ложеиными к ней нагрузками
изображена на рис. 294, г Что-
бы убедиться в правильности
произведенных подсчетов загруз-
ки эквивалентной балки, прове-
ряем, соблюдены ли условия ее
равновесия:
£МЛ)=ЗРа + 4-Р-2а + Р-За +
«5
+ -| Р-4а + ЗР-5с— ^Р-Ьа-
_^+>_(г,Н_
Перейдем к определению пе-
ремещений при помощи метода
'2^'3
начальных параметров Возьмем сечеиие на крайнем правом участке н ...ем
для него уравнение упругой линии:
W (х)—Ы>о + 6ох4—
CJ2
14 „ (х—2л)3
4 Ра (Х~4а)2 I 5Р *- -
3 2 + 6
(*~Д)3 4 (х —2а)3 (х—За)3____1_ (х—4а)3
В 3 6 6 6 6
ЗР-Ц^
(10.137)
Начальные параметры находим из опорных условий: при х=0 w (0)=0. следо-
вательно, шо = 0; при х=/ = 6а w (Z) = 0. Используем условие для определе
ния второго начального параметра во:
.<0.^+ Г-4го-<^+4Р11-!^-+5₽-«-
^*2 L Z О Z \ о
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
321
расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость
3п(М3 4 (4а)3 п (За)3 р (2а)3 >ла31 „
3/б зР~6 р—6------Т~6------аРТГ°’
откуда
Ра2
ео=-10.584^-. (10.138)
Г, J 2
Для определения угла поворота вв правого конца балки продифферен-
цируем уравнение упругой линии (10.137) для крайнего правого участка балки
(5а^х^6а) и в полученное таким образом уравнение для в(х) подставим
х—1~6а. Получим
6в=е (6а) = 6о+~-1— Г Ра (6а-2а)+Д- Ра (6а-4а) + 5Р -
L о о 2
_ чр 4 „ (6а —2а)2 (6а-3а)2 Р (6а -4а)2
2 3 2 2 6’2
зр (6а—5а)2
2 ]’
откуда находим, что
ев = 8,92-^-.
t.J2
(10.139)
Определим, для примера, прогибы в местах приложения внешних нагру-
зок Р| и Рг (т. е. в сечениях х=а и х—За).
При х=а
. , „ . KD а3 Г 10,58 +0,83 1 „ 3 9,75Ра3
w (а) = е„а + 5Р - =-------------у------- Ра3 =------—-----.
6с/г L EJ2 J EJ2
При х = 3а
w (3а)=6о3а
'4 Ра аг , (За)3 (2а)3
3 EJ2 ’ 2 6EJ2 6EJ2
(- 10,58-3- 2,33 + 22,5 - 4 - 0,222) —^-ЗОРс3
3 0LJ2 t.J2 EJ2
Определение линейных и угловых перемещений любых других сечений
балки также не представляет каких-либо затруднений.
Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами се-
чений. Если размеры сечения стержня непрерывным образом изме-
няются по длине, то формулы, полученные на основании гипотезы
плоских поперечных сечений, становятся, вообще говоря, неверны-
ми (как и сама гипотеза). Однако некоторые точные решения теории
Упругости показывают, что в том случае, когда угол наклона обра-
зующей поверхности стержня к его оси невелик (не превышает 15—
20°), с достаточной для инженерной практики точностью можно
принимать распределение нормальных напряжений по высоте сече-
ния прямолинейным. Тогда, естественно, можно пользоваться обыч-
ным условием прочности и дифференциальным уравнением упругой
Пинии, т. е.
<|0-|40)
11
5-372
322
Изгиб
d2w М (х)
dx2 EJ (х)
(Ю.141)
Касательные же напряжения более чувствительны к наклону обра-
зующих поверхности стержня, поэтому формула Журавского в при-
менении к стержням переменного сечения дает значительные по-
грешности.
Расчет на прочность и жесткость стержней переменного сечения
осложняется тем обстоятельством, что момент сопротивления и мо-
мент инерции сечения являются функциями абсциссы х сечения.
На это указывают и обозначения в формулах (10.140) и (10.141).
Последнюю формулу можно записать в несколько измененном виде.
Обозначим через /0 момент инерции какого-либо сечения (обыч-
но наибольшего или наименьшего) и введем понятие приведенного
изгибающего момента:
(10.142)
(10.143)
(10.144)
МФ(х)=ЛЦх)-А-
J
Тогда, умножив на Jo числитель и знаменатель правой части фор-
мулы (10.141), получим
d'2w М„р (х)
dx2 EJo
Эта формула по своему внешнему виду совпадает с формулой
(10.135), но входящие в формулы величины Мпр (х) имеют различ-
ный смысл.
Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине
размерами сечений являются балки равного сопротивления изгибу,
во всех сечениях которых максимальное напряжение равно допус-
каемому, т. е.
Z ч |Л1 (х)| Г 1
Омакс (х) W (х)—
Отсюда получают уравнение для определения размеров балки рав-
ного сопротивления:
r(x)=2w±).
Задавшись какой-либо формой сечения (причем таким образом,
чтобы размеры его определялись только одним параметром), из
уравнения (10.144) находим закон изменения этого параметра по
длине балки. Тем самым определяем размеры всех сечений. Для
нахождения перемещений можно пользоваться дифференциальным
уравнением упругой линии (10.143).
Найдем форму консоли равного сопротивления изгибу. Сечение:
прямоугольное с постоянной шириной b и переменной высотой
(рис. 295)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
расчет балок переменного сечеиия Иа прочность и жесткость
Рис. 295
Обозначим высоту балки в произвольном
сечении через h(x). Тогда
W (х)= bh^x} ,
кроме того, очевидно,
|Л4 (х)| =Рх.
Поэтому, согласно уравнению (10.144),
bh2 (х)_ Рх
6 [о]
откуда
323
Рис. 296
Следовательно, высота рассматриваемой балки равного сопро-
тивления будет изменяться по параболическому закону (рис. 295, б).
При этом
Заметим, что в окрестности концевого сечения (х=0) изгибаю-
щие моменты малы, поэтому высоту сечения следует определять
из условия прочности по тмакс:
, _ з р
тмакс_—
откуда
2Ь|т| •
Построенная балка параболического очертания наиболее рацио-
нальна с точки зрения экономии материала, однако из-за слож-
ности формы не удовлетворяет технологическим требованиям. По-
этому на практике применяют не балки равного сопротивления,
а близкие к ним ступенчатые стержни.
И*
324
Изгиб
Аналогично обстоит дело и в случаях двутаврового, круглого
и других видов сечений. Есть один вид балок равного сопротив-
ления с весьма простым очертанием, который получил широкое
распространение в листовых рессорах, — это балки прямоугольного
сечения с постоянной высотой h и переменной шириной Ь (х).
Найдем форму балки равного сопротивления изгибу для схемы,
показанной на рис. 296, а. Сечение балки прямоугольное с постоянной
высотой h и переменной по длине шириной Ь(х).
В силу симметрии для определения формы балки достаточно рас-
смотреть только левую половину пролета. Тогда
М (х)=-|- х; W (х)=-Ц^.
Подставляя эти выражения в формулу (10.144), получим
6Рх г I
2b (х) h2 ~
откуда
л=[о| х'
Ширина сечения меняется по линейному закону, и, следовательно,
балка имеет вид, представленный на рис. 296, б. Максимальная
ширина Ьо будет посредине пролета:
bu~b ( 2 ) — 2Л2[oj •
Определим наибольший прогиб f этой балки. Согласно выраже-
ниям (10.142) и (10.143), имеем
d2w___ М„р (х)
</х2 £/о ’
где
В данном случае
I Ь(,1г3 I СИ— b
^0-—, Цх)—— ,
так что
Jo bo______I
J (x) b (x) 2x
и, значит,
.. , x P I _ Pl
Mnp(x)— 2 x-2x— 4 .
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость
325
На рис. 296, б показаны эпюры М и Q, а также эпюра приведен-
ных изгибающих моментов.
Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии
для левой половины пролета имеет вид
Pl
dx2 4EJB
Дважды интегрируя его, получаем
»’«=-йгНР+с*+4
Для нахождения постоянных С и D используем симметрию
упругой линии (она показана штриховой линией на рис. 296, а):
ш(о)=е(4-)=о.
Отсюда
С= D = 0.
О
Тогда
значит,
w (_L\=-_L- (Л- .L—«L_L\
\ 2 / Е/о \ 8 4 8 2 7
и, следовательно,
Если бы балка имела постоянное сечение, то из условия проч-
ности мы нашли бы, что она будет прямоугольного очертания в
плане (балка с постоянной шириной Ьо на рис. 296, б показана
штриховым контуром). Для такой балки максимальный прогиб
р Р/3
48£/0 ’ (10.145)
Таким образом, балка равного сопротивления имеет вдвое мень-
ший вес, чем балка постоянного сечения, а максимальный прогиб
ее в полтора раза больше, т. е.
^ = 1,5Д. (10.146)
В заключение отметим, что у опор ширина сечения b должна
бЬ1ть определена из условия прочности по тмакс. Но размер b полу-
чается незначительным, и обычно прочность у концов обеспечи-
326
Изгиб
вается конструктивным устройством, необходимым для опирания
балки.
Расчет обычной листовой рессоры (рис. ^97, г), состоящей из
пакета листов, приводится к расчету только что рассмотренной
балки. Будем рассуждать следующим образом.
Разрежем балку равного сопротивления (рис. 297, а) на полосы,
как показано на рис. 297, б, а затем сложим одинаковые полосы
шириной t/2. В результате получим п полос шириной
Ьп.
п *
изображенных на рис. 297, в. Сложив эти полосы вместе, получим
представленную на рис. 297, г листовую рессору.
Если все листы соединить между собой (например, сварить или
склепать), то получится балка постоянной ширины t и переменной
высоты сечения. В рессорах же листы не связаны друг с другом
(хомуты, имеющиеся в рессорах, служат для того, чтобы рессора
не рассыпалась) и имеют возможность свободно проскальзывать
относительно друг друга. Кроме того, приближенно можно считать,
что при деформации все полосы получают одинаковую кривизну.
Тогда сумма полос, находящихся в рессоре, с точки зрения напря-
жений и деформаций будет эквивалентна сумме полос, показанных
на рис. 293, б, т. е. балке равного сопротивления постоянной вы-
соты и переменной ширины (рис. 293, а). Поэтому для такой рессоры
условие прочности (учитывается, что bo = in) имеет вид
Омакс = (10.147)
а наибольший прогиб [см. равенство (10.146)]
/=1,5Г = 1,5-^-, (10.148)
ЧоГ. JQ
где
, boh3 tnh3
Jo=—Го— =—ГГГ“ -
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость
327
Для рессоры, показанной на рис. 294, а, соответствующая балка
равного сопротивления имеет форму треугольника (рис. 294, б) и,
очевидно,
Р13 .
I ~~ 3EJ0 '
Mix) 6Р1
Омакс— — tnh2
Поэтому условие прочности имеет вид
6Р1
tnh* 1 2
а
f-1 r Pl" - рр
I ’ 3EJ0 2EJn ’
(10.149)
(10.150)
Заметим, что рессоры изготовляют из высокопрочных сталей, так
что обычно величина [ст] достигает 400 МПа и выше. Что касается
прогиба рессор, то на практике (главным образом из-за трения
между листами) он получается несколько меньше, чем у соответ-
ствующей балки равного сопротивления, поэтому в формулах
(10.148) и (10.150) вместо коэффициента 1,5 принимают р =
= 1,24-1,40.
Пример 47. Рессора (рис 296. 297} длиной 100 см, состоящая из семи
полос сечением 60 X 8 мм, нагружена силой Р=7,5 кН. Требуется проверить
прочность рессоры ([о] =450 МПа) и найти максимальный прогиб.
В данном случае ft = 0,8 см; / = 6 см; /=100 см; Р = 7,5 кН; п = 7. Тогда
, tnh3 6-7-0.83 < . <
Jo=—12~=-------12----см4 = 1,79 см4.
По условию прочности (10.147)
ЗР1 3-7.5-Ю'3-!
Омакс— 2tnh2 — 2-0,06-7(0,8-10-2)2 МПа=418 МПа<450 МПа.
Следовательно, рессора прочная.
Далее, пользуясь формулой (10.148) и заменяя в ней коэффициент 1,5 на
Р, находим, что
Р13
48EJ0 (*’25 : *-40> 48-2,1-106-1,79-10-“ М
=(1,25-е-1,40)4,16-10 2 м=(1.25-=-1,4) 4,16 см = 5,24-5,8 см,
т. е. наибольший прогиб лежит в пределах 52—58 мм.
В заключение отметим, что приведенный способ расчета листо-
вых рессор в известной мере условен, так как:
1) не учитывает трения между листами рессоры;
2) в действительности листы рессоры соприкасаются друг с дру-
гом не всюду, а только в отдельных точках, вследствие чего кривиз-
на листов при деформации неодинакова, а значит, и напряжения
в них различны.
328
Илгиб
§ 70. Расчет на действие
сил инерции при изгибе
Расчет на изгиб с учетом сил инерции приходится проводить
в том случае, когда элементы конструкций в процессе эксплуатации
испытывают большие ускорения, вызывающие значительные инер-
ционные усилия. Классическим примером деталей, прочные размеры
которых следует выбирать из условия расчета на изгиб с учетом
сил инерции, являются спарники локомотивов и шатуны двигателей.
Рассмотрим спарник АВ (рис. 299), соединяющий два колеса,
одно из которых (Oi) является ведущим и на него передается вра-
щающий момент от машины. В точках А и В спарник присоединен
к колесам при помощи цилиндрических шарниров; расстояния АО2
и ВО\ равны радиусу кривошипа г; диаметр колеса - £); длина
спарника /; локомотив двигается с постоянной скоростью v.
Участвуя в переносном движении вместе с локомотивом с посто-
янной скоростью v, спарник, не имея ускорений, не будет испыты-
вать инерционных усилий. Ускорение он получит только в процессе
относительного движения. Так как в этом движении точки А и В
спарника перемещаются одинаково, описывая в одной плоскости
окружности радиуса г, то это движение будет плоским и поступа-
тельным. Следовательно, все точки спарника будут иметь те же
скорости и ускорения, что и точки А и В.
Точка А движется вместе со вторым колесом, описывая окруж-
ность радиуса г. При постоянной скорости движения локомотива
угловая скорость вращения колеса <о постоянна. Следовательно,
тангенциальное ускорение точки А равно нулю, а центростремитель-
ное ускорение wn, направленное от точки А к точке О2, равно ю2г.
Любой элемент спарника испытывает такое же ускорение, направ-
ленное параллельно О?А.
Определяя изгибающие моменты в спарнике, необходимо к рав-
номерно распределенным силам инерции, интенсивность которых
_ vF yF 2
<7и = wn = СО г,
g g
прибавить его собственный вес. При этом наиболее опасным поло-
жением спарника, очевидно, будет крайнее нижнее, т. е. положение,
в котором нагрузка от сил инерции суммируется с нагрузкой от
собственного веса. Тогда полная нагрузка q на единицу длины
спарника
q = yF+^<i>2r = yF (1+-~)-
При выборе расчетной схемы спарник в данном случае надо рас-
сматривать как балку, шарнирно опертую в точках Л и В и на-
груженную равномерно распределенной нагрузкой q.
Наибольший изгибающий момент будет, как известно, посредине
пролета:
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Расчет иа действие сил инерции при изгибе
329
8 О \ g )
а наибольшее напряжение в опасном сечении
____ Ломакс В 1 । <д2Г \
Омаке— — w- g — j.
Кроме инерционных нагрузок и собственного веса, вызывающих
изгиб, спарник при работе подвергается действию осевой силы, ко-
торая также должна быть учтена в расчете на прочность. Условие
прочности при совместном действии изгиба и осевой силы приведено
в § 76.
Подобным же образом можно выполнить и расчет шатуна
(рис. 300), шарнирно скрепленного в точке А с кривошипом ОА,
вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью о>.
Если кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то
точка А шатуна испытывает только центростремительное, а точка
В — только тангенциальное ускорение. Все промежуточные точки
шатуна, расположенные между А и В, имеют и то и другое ускоре-
ния. Ограничимся учетом только центростремительного ускорения.
При таком положении, когда кривошип составляет с шатуном
угол 90°, направление центростремительного ускорения перпенди-
кулярно к оси шатуна. Естественно предположить, что центробеж-
ные силы инерции везде перпендикулярны к оси шатуна и по длине
его меняются от q = qKaKc в точке А до q = 0 в точке В. Это пред-
положение тем ближе к истине, чем больше длина шатуна по сравне-
нию с длиной кривошипа.
Составляя расчетную схему, шатун следует рассматривать как
балку АВ на двух шарнирных опорах А и В с нагрузкой, распре-
деленной по закону треугольника (см. рис. 73). Максимальный из-
гибающий момент, как известно, будет в сечении на расстоянии
х = //д/3 от точки В:
М .. ..
4 J макс-----,
ОуЗ
а максимальное напряжение
Ломакс
макс — —
330
Дополнительные вопросы теории изгиб
Учитывая, что
Fy 2
^мак<--- Ь) Г,
И
найдем
_ Ч-^I2 FyParr
U м а кс — — -
9^3 W 9g-^VF
Заметим, что в рассмотренных случаях, определяя напряжения
в спарнике и в шатуне, мы из всех возможных положений, непре-
рывно меняющихся в процессе эксплуатации, выбирали положение
рассчитываемого элемента, соответствующее опасному положению
Помимо нормальных напряжений, вызванных изгибом, при рас-
чете шатуна на прочность следует учитывать также и действие осе-
вой силы (см. гл. 20).
Глава 11
Дополнительные вопросы
теории изгиба
§ 71. О расчете составных балок
В строительной практике, а также в самолетостроении, судо-
строении и т. д. встречаются балки, однородные в отношении ма-
териала, но не представляющие собой монолитного стержня. Это
главным образом сварные (рис. 301) и клепаные (рис. 302) балки
двутаврового сечения. Такие балки состоят из трех основных частей:
двух поясов и стенки. Стенка / представляет собой вертикальный
лист (рис. 301 и 302). Пояса 2 сварной балки (рис. 301) —это го-
ризонтальные листы большей по сравнению со стенкой толщины.
Пояс клепаной балки в свою очередь состоит из нескольких дета-
лей — поясного листа 2 и поясных уголков 3 (рис. 302).
Отдельные части составной балки скрепляют в одно целое при
помощи соединительных элементов. Соединительным элементом
сварной балки есть сварной шов 3 (рис. 301). В клепаной балке
соединительными элементами являются поясные заклепки 4, а так-
же заклепки 5, соединяющие поясные листы с поясными уголками
(рис. 302).
При расчете на прочность составных балок нужно удовлетворить
следующим требованиям:
1. Сечение в целом должно иметь необходимую прочность.
2. Листы поясов, а особенно стенки составных балок представ-
ляют собой тонкостенные элементы и способны при сжатии (пояса)
или при сдвиге (стенки) терять устойчивость, коробиться. Чем
меньше толщина листов и чем больше длина свисающей части
с поясных листов, тем меньшую нагрузку может выдержать
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками
балка без опасности коробления листов. Поэтому необходимо огра-
ничивать величину с (рис. 301 и 302) и не принимать для листов
слишком малую толщину. Чтобы предотвратить потерю устойчи-
вости стенки, ставят уголки или ребра жесткости.
3. Соединительные элементы должны обладать достаточной проч-
ностью.
Первый вопрос решается методами, изложенными в предыдущей
главе, и сводится к расчету сечения по омаКс, к определению толщи-
ны стенки из расчета по тмакс и, в ряде случаев, к проверке сечения
по теориям прочности в месте перехода стенки в полку..
Второй вопрос, как и вообще подробный расчет составных балок,
излагается в специальных курсах (например, в курсе металлических
конструкций). Здесь же остановимся только на расчете соедини-
тельных элементов.
Двумя близкими сечениями выделим элемент dx сварной балки
(рис. 303, а). Пусть в левом сечении поперечная сила и изгибающий
момент равны Q и М, а в правом — Q-j-dQ и M-}-dM. Тогда по
формуле (10.18) нормальное усилие в левом сечении пояса
N ,
где Sn — статический момент пояса относительно нейтральной ли-
нии сечения.
В правом сечении пояса
Нормальные усилия в правом и левом сечениях пояса отли-
чаются на величину
Cf/Vn c!MS„
J
Усилие dN„ стремится сдвинуть пояс относительно стенки, в пР
зультате чего сварные швы, прикрепляющие пояс к стенке (их два)
работают на срез как фланговые швы. Условие прочности для
имеет вид (§52)
rfA'.. !
Если обозначить через Лш катет шва (рис. 303, б), то площадь
среза
dFcp = 2-0,7hl„dx.
Тогда касательное напряжение в опасном сечении шва
__ dN„ Sn dM
dFcp 2-0,7/гш/ dx
Ho dM/dx=Q, поэтому окончательно условие прочности для шва
примет следующий вид:
«"-о
Заметим, что найденная выше разность усилий в двух сечениях
пояса относится к тому случаю, когда расстояние между этими се-
чениями равно dx. На единицу же длины пояса нормальное усилие
получает приращение, Н/м,
dNn _ dMS„
dx dxJ ’
ИЛИ
щ=-^. (П.2)
Часто применяют не сплошные, а прерывистые (шпоночные) швы
(рис. 304). Рассмотрим шпоночное сварное соединение.
На рис. 300 1Ш — длина шпонки, а — шаг шва. Расчетная длина
шпонки с учетом непровара будет 1Ш — 1 см. На участке АВ длиной
а в поясе развивается разность нормальных усилий
д/у„ = (7/а=_2^_.
Рассчитывая шпонку на это усилие, получим
т==_____________<( .
2-0,7/гш (/„,— !)/ э|‘
(11.3)
(П.4)
В клепаной балке (рис. 305) усилие A/Vn воспринимается поясной
заклепкой /. Эта заклепка должна быть рассчитана на срез и смя
тие. Поскольку заклепка двусрезная, площадь среза Еср = 2(л^/
Расчетная площадь смятия Fm = t„d или Fm=2t^rd. Обычно тол
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
О расчете
составных балок
333
Рис. 304
Рис. 305
шина стенки t„ меньше удвоенной толщины полки уголка. Поэтому
будем считать Fm = tcld.
Условия прочности на срез и смятие для поясных заклепок имеют
вид
т (Н.5)
о nd I
4
Осч = (11.6)
* см IcrCLJ
Заклепки 2, соединяющие поясные листы с уголками, расчету
не подлежат, так как они имеют те же диаметр d и шаг а, что
поясные, а нагрузка на них меньше, поскольку в формуле (11.3)
вместо Sn для них нужно принимать S£==Sn— Хуг, где Хуг— ста-
тический момент уголков.
§ 72. Касательные напряжения
при изгибе балок тонкостенного профиля.
Центр изгиба
Допущения, положенные в основу вывода формулы (10.20), в
достаточной степени соответствуют действительности, если ширина
сечения b мала по сравнению с высотой (размером, перпендикуляр-
ным к нейтральной линии сечения). Так, во всех сечениях, показан-
ных на рис. 306, ширина тп на уровне, где определяются касатель-
ные напряжения, мала по сравнению с h. В этих случаях формула
(10.20) дает верные результаты. Если сечение представляет собой
тонкостенный профиль (рис. 306, в, г, д), то в полках ширина сече-
ния тхП\ значительна и картина распределения касательных напря-
жений здесь существенно меняется: они не только переменны вдоль
средней линии полки т\П\, но и направление их становится не па-
раллельным, а перпендикулярным к усилию Q.
Заметим, что в полках будут действовать и касательные напря-
жения, параллельные Q. Однако эти напряжения настолько малы
334
Дополнительные вопросы теории изгиба
по сравнению с касательными напряжениями, параллельными сред-
ней линии полки (будем обозначать их тп), что их можно совсем не
принимать во внимание.
Получим формулу для вычисления касательных напряжений т„
в полках тонкостенных профилей.
Для определенности проведем вывод на примере балки двутавро-
вого сечения. На рис. 307, а показана балка, ее схема и эпюры
Q и М. Двумя близкими поперечными сечениями Л|В1 и АгВ?
выделим элемент балки длиной dx (рис. 307, б).
Проведем в сечении балки AlBiDlEi в нижней полке линию
т\П\ на произвольном расстоянии z от оси у. В точках этой линии
будут действовать о и тп. Сейчас нас интересуют лишь касательные
напряжения т„.
Учитывая, что полка узкая (t мало по сравнению с Ь), примем
следующие допущения:
1) во всех точках линии т.\П\ касательные напряжения одина-
ковы, т. е. тп постоянны по толщине полки и зависят только от
расстояния z до вертикальной оси;
2) всюду в полке т„ параллельны средней линии полки.
Отсечем часть элемента балки, проведя через т\П\ вертикаль
ную плоскость, параллельную оси балки (рис. 307, б и в), и ра
смотрим только те напряжения, которые действуют в гранях от
ченной части полки и дают усилия, проецирующиеся на ось
wwiv.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиля . 335
—------- - • - - - - . _ _ _
Нормальные напряжения приводят к усилию Ni. Согласно фор-
муле (10.18),
Л1 (х) S (Z)
= Т,
Здесь
S(z)-(-f—г)'(т~J-). (11.7)
т. е. S(z)—статический момент площади AiCi/n^i относитель-
но нейтральной линии. Он является функцией координаты z.
В грани А2С2т2П2 нормальные напряжения приводятся к усилию
^[A1(x)+dAf]S(z) '
причем, очевидно, величина S (z) такая же, как и для первого се-
чения.
В грани п\т\т2П2, согласно закону парности касательных напря-
жений, возникнут напряжения
Т'—Тп.
В силу первого допущения т' считаем равномерно распределен-
ными по толщине полки t, а в силу малости размера П|Л2 =
~mim2=dx можно считать, что т' распределены равномерно и по
длине dx грани П\гП{т2П2. Площадь этой грани равна tdx, поэтому
действующие в ней касательные напряжения приводятся к усилию
dT=T'tdx—r„tdx.
Направление т' должно быть таким, чтобы усилие dT уравно-
весило разность
dN = N,~N 1^ S(z) M (x) S (z) _ dM-S (z)
Jz J, h
Если в уравнение равновесия
Xx = dT—dN=O
подставим выражение для dT и dN, то получим
тМх=
Разделив последнее равенство на tdx и имея в виду, что dM/dx=
= Q, получим
• (11.8)
Напряжения тп всегда образуют единый поток с касательными
Напряжениями т в стенке профиля (рис. 308). Последние же опре-
деляются по формуле Журавского и направлены в сторону Q.
Рис. 308
Формула (11.8) для касательных напряжений тп в полках и
формула (10.20) для касательных напряжений т в стенке дают воз-
можность вычислить касательные напряжения в любой точке тон-
костенного профиля и построить полную эпюру касательных напря-
жений. При этом обычно пренебрегают уклоном полок в дву-
таврах и швеллерах и считают, что полка имеет постоянную, ука-
занную в сортаменте, толщину t. Кроме того, пренебрегая закругле-
ниями, эпюру т доводят до полок, а эпюру тп, пренебрегая наличием
стенки,— до оси профиля.
Пример 48. Построить полную эпюру касательных напряжений для сече-
ния двутавровой балки № 20, в котором действует поперечная сила Q=100 кН
(рис. 309).
По сортаменту находим, что /=1840 см’; S = 104 см3, и вычисляем стати
ческий момент полки относительно нейтральной линии:
S„o.,K„ = W (у—0=10-0,84 02—2^0 см3 = 80.47 см3.
Тогда касательные напряжения в месте соединения стенки с полкой
QSПОЛКИ
Т|= нГ~
100-10 3-80,47-10 6
1840-10 8-0,52-10 2
МПа =84,1 МПа
и наибольшие касательные напряжения в точках нейтральной линии
Тмакс —
QS
Jd
100-10 104-10'6
1840-10 8-0,52-10 2
МПа = 108,7 МПа.
По этим данным строим параболическую эпюру т для стенки.
Для построения эпюры касательных напряжений тп в полках двутавра
обратим внимание на то, что, согласно выражениям (11.7) и (118),
Координата г точки, где определяется т„, входит в это выражение в перво
степени, значит, эпюра т„ будет прямолинейной.
Непосредственные вычисления проведем по формуле (11.8). Для к₽
полки S(fe/2)=0. а значит, т„=0. Для середины полки (г=0)
S(0)=y Sn<u„»=40.2 см3;
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками..
Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиля
337
Q~2“ Ополки
И
100-10 ’• 40,2-10 6
1840-10 ”-0.84-10^
МПа = 26 МПа
По этим данным строим треугольную эпюру т» на правой половине полки.
На ее левой половине эпюра будет симметричной, так как статические моменты
по абсолютной величине там такие же, как и на правой половине полки.
Очевидно, такой же вид имеет эпюра и для нижней полки.
Наличие касательных напряжений в полках тонкостенных профи-
лей приводит к тому, что в крайних волокнах балки, где действуют
наибольшие нормальные напряжения омакс, напряженное состояние
будет плоским, а не линейным (рис. 310). Поэтому в таких балках
вероятной опасной точкой будет не произвольная точка крайних
волокон, а та точка, где —Тп. макс* Условие прочности для этих
балок следовало бы писать не в обычном виде
(11.9)
а с использованием теорий прочности, что имеет смысл для нестан-
дартных профилей, особенно при наличии широкой полки.
Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей
могут существенно изменить характер напряженного состояния
стержня и вид его деформации.
Если сечение имеет две оси симметрии и силовая плоскость про-
ходит через одну из них (например, у двутавра), то в нем возникают
касательные напряжения, показанные на рис. 311, а (см. также
рис. 310). Эти напряжения дают равнодействующие усилия Т(т и Т„
(рис. 311, б). В силу симметрии полок относительно вертикальной
оси усилия Т„ взаимно уравновешиваются на каждой полке.
Иначе обстоит дело в том случае, когда главная центральная
ось сечения, перпендикулярная к нейтральной линии, не является
338
Дополнительные вопросы теории изгиба
Рис. 312
осью симметрии (рис. 312). Касательные напряжения в стенке и,пол-
ках здесь приводятся к усилиям и Тп, показанным на рис. 312, б
(как и раньше, вертикальными касательными напряжениями в пол-
ках пренебрегаем). Поперечная сила Q, являющаяся равнодей-
ствующей этих усилий,
Q — Tcr,
очевидно, будет направлена вертикально вниз, но она уже не будет
проходить через центр тяжести сечения, так как две силы Т„ дают
еще и пару сил. Сила Q сместится на некоторое расстояние гс
(рис. 312, б), пересекая нейтральную линию в точке С.
Чтобы найти zc, воспользуемся тем, что момент равнодействую-
щей относительно какой-либо точки равен сумме моментов состав-
ляющих относительно этой же точки. Будем вычислять моменты
относительно точки С.
Тогда получим
2Mc=Q(Zc+f)-
откуда
Эта формула не дает еще окончательного ответа на вопрос о поло-
жении точки С, поскольку она выражает координату z( не только
через геометрические, но также и через силовые факторы. Чтобы
исключить последние, вычислим усилие Тп-
На элемент полки dz (рис. 312, а) действует элементарное усилие
dT„=Tutdz. Следовательно,
Ь — г
T" — t T„dz.
—{zo—d)
Пользуясь выражением (11.8):
Ти (h -t)=0.
(119)
QS(z)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиля
339
и учитывая, что
S(z)=(fc-z0-z)/-^-,
получим
b —zc
T„=Q-^~ $ (b—z0 — z)dz=—Q W-Jl-x
-(z,-d) M
b — Zf)
X(b — zo—zf\ =9!^^.
-fa-d)
Внеся последний результат в формулу (11.9), получим окончательно
Выясним теперь, какое значение имеет смещение равнодействую-
щей Q относительно центра тяжести сечения. Для наглядности рас-
смотрим один из простейших случаев, когда на консоль швеллер-
ного сечения действует вертикальная нагрузка Р (рис. 313, а),
причем силовая плоскость совпадает с одной из двух главных плоско-
стей стержня (плоскостью ху). Эта нагрузка вызывает в сечениях
балки переменные по длине изгибающие моменты М(х)=Рх и по-
перечную силу Q(xy)~P (рис. 313, б). В сечениях появляются каса-
тельные напряжения: т — в стенке и тп — в полках. Поперечная
сила Q (х)=Р, являющаяся равнодействующей касательных усилий,
в любом сечении смещена относительно геометрической оси стержня
(оси х) на одно и то же расстояние zo + zc.
Таким образом, участок балки, заключенный между концевым
и произвольным сечениями (рис. 313, б), находится под действием
Сил Р, Q (х)—Р и момента М (х)— Рх. Эта система сил удовлетво-
! Ряет всем условиям равновесия, кроме одного. Здесь сумма момен-
тов относительно оси х не равна нулю. Но рассматриваемый
Участок балки находится в равновесии. Значит, в сечении х должен
действовать еще один силовой фактор, обеспечивающий выполнение
340 Дополнительные вопросы теории изгиба
также и этого условия равновесия. Таким фактором будет, очевидно
крутящий момент MKf—P (z0-f-zc), направленный, как показано на
рис. 313, б. Следовательно, несмотря на то что нагрузка пересе-
кает ось х, балка будет не только изгибаться, но и скручиваться
Опыты подтверждают это (рис. 313, в).
Как известно, открытые тонкостенные профили плохо работают
на кручение. Кроме того, если балка заделана так, что депланация
сечения в заделке становится невозможной, то будет иметь место так
называемое стесненное кручение, при котором в поперечном сечении
возникают не только касательные, но и значительные нормальные
напряжения. Поэтому желательно принимать меры, устраняющие
кручение в балках прокатного профиля. Обычно по этой причине
ставят симметричное сечение из двух швеллеров. Если же профиль
один, а нагрузка значительна, то ее нужно выносить из главной
плоскости так, чтобы она проходила через точку С (на рис. 313, б
такое положение нагрузки показано пунктиром; на рис. 313, г дан
один из возможных вариантов конструктивного оформления выне-
сения нагрузки). В этом случае участок балки длиной х полностью
уравновешивается силами Р, Q(x)=P и моментом М (х)=Рх\ кру-
чения не будет. Поэтому точка С называется центром изгиба
(иногда — центром жесткости). Центры изгиба всех сечений балки
расположены на прямой, которая называется осью жесткости
балки (рис. 313, б).
К балке может быть приложено несколько сил. Тогда, чтобы
не было кручения, все они должны пересекать ось жесткости. Поло-
жение последней определено, если известно положение центра из-
гиба в сечении. Если сечение имеет две (или больше) оси симметрии,
то центр изгиба лежит на пересечении этих осей, т. е. совпадает
с центром тяжести сечения. Так будет, например, в двутавровом
сечении.
Пример 49. В качестве примера применения формулы (11.10) определим
положение центра изгиба для швеллера № 18а. Согласно сортаменту, h—18 см,
fe = 7,4 см, d — 0,51 см, 7=0,93 см, 7=1190 см4.
Тогда
l(h-tf(b-df |= ( O^-IW 0.26)см=2.7 см.
§ 73. Основы расчета балок
на упругом основании
Рассмотрим балку (рис. 314), опирающуюся на сплошное упрУ_
гое основание, реакция которого на балку в каждой точке може
быть с известным приближением принята пропорциональной упру
тому прогибу w в этой точке. Это предположение соответствуй
модели, в которой упругое основание представляет собой на Р
не связанных между собой упругих пружин.
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими руками?!
Основы расчета балок на упругом основании
341
Рис. 314
Обозначив коэффициент пропорциональности буквой а и пред-
положив, что упругое основание по всей длине балки однородно,
получим, что интенсивность реакции основания равна —aw, где
коэффициент а имеет размерность |сила/(длина)5).
Таким образом, полная распределенная нагрузка р (х), дей-
ствующая на балку, будет состоять из заданной внешней распре-
деленной нЙгрузки q (х) и неизвестной реакции упругого основания
aw (х):
р (x)=q (х)—aw (х). <11.11)
Для удобства положительное направление оси прогибов и распре-
деленной нагрузки принято вниз.
Расчет балки на упругом основании является статически неопре-
делимой задачей, так как одних уравнений равновесия (2Л=0
и т. д.) недостаточно для определения закона изменения интенсив-
ности реакции основания по длине балки. Интенсивность реакции
основания связана с деформацией балки, поэтому для решения зада-
чи сначала найдем уравнение упругой линии балки.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси для балки постоян-
ного поперечного сечения на упругом основании в соответствии
с выражением (10.49) можно, учитывая принятые направления про-
гибов w и интенсивности нагрузки q, записать так:
~^-=-ZF^W-aw W1- (11.12)
Ограничимся рассмотрением участка балки (рис. 315), на кото-
ром отсутствует внешняя распределенная нагрузка. Дифференци-
альное уравнение для этого случая упрощается. Получим
(,,.13)
Поместим начало координат в крайнюю левую точку рассматри-
ваемого участка, направив ось w вниз, и обозначим прогиб, угол
поворота, изгибающий момент и поперечную силу в этом сечении
соответственно через wo, 0о, Af(l и Qo- Все эти величины являются
начальными параметрами.
Приведем уравнение (11.13) к виду, удобному для интегрирова-
ния, обозначив £J/a=Z?/4. Отсюда
342
Дополнительные вопросы теории изгиба
т. е. характеристика L измеряется в единицах длины (см). В урав-
нении (11.13) независимую переменную х заменим безразмерной
абсциссой
(П.15)
Тогда уравнение (11.13) с учетом выражений (11.14) и (11.15) при-
водится к виду
-^-4-410=0. (11.16)
Напишем общий интеграл этого уравнения в такой известной
форме:
w=Aef cos £4~ВеЕ sin cos sin |. (11.17)
Последовательно продифференцируем это выражение по £, при-
няв во внимание дифференциальные зависимости между w, 0, Q,
М и соотношение (11.15):
ш' = 0Т=ЛеЕ (cos с — sin |) + ВеЕ (cos £4-sin £)—
— Ce~l (cos £4-sin g)4-De~E (cos g — sin £); (11.18)
w,z=---^j-- = -2HeE sin g-BeEcosg-Ce~Esin £ +
+ De ~5 cose); (11.19)
w'" —---Qyy- = —2 fHeE(cos 14-sin £)—Be1 (cos £ — sin £)—
— Ce-E(cos g—sin £)—De~E (cos £4-sin £)]. (11.20)
Выразим произвольные постоянные А, В, С и D через началь-
ные параметры Wo, ©о, Qo и Мо, положив для этого в уравнениях
(11.17) — (11.20) |=0:
w0=А 4- С\
LQo^A + B-C + D-, (11.21)
ГМо==(-2В + 2П)£/;
£30О = (2Л — 2В —2С—2D) EJ.
Решая систему (11.21) четырех линейных алгебраических урав-
нений, получаем
Л — Wo I Z.00 L3Qf. .
2 1 4 8EJ ’
в= Z.0O L?M0 L3QB .
4 4EJ 8EJ ’ (11.22)
г Wo L3Q< .
с —• 2 4 8EJ ’
п L6c . L2M0 L3Q„
4 1 4EJ 8EJ ’
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Основы расчета балок на упругом основании
343
Крылов Алексей Николаевич (1863—1945), лауреат Госу-
дарственной премии СССР. Герой Социалистического
Труда, академик, выдающийся советский ученый-матема-
тик, механик, кораблестроитель. Автор глубоких исследо-
ваний в области кораблестроения, статики и динамики
стержней. Разработал метод расчета балок на упругом
основании.
Подставив эти выражения произвольных постоянных в формулы
(11.17) — (11.20) для w, 0, М и Q, найдем:
w (x)=w0Yt (^) + Ь0оУ2 (£)--~~Y3 (£)---У4 (11.23)
0 (х)=0оУ, £)---L-^~ У2 (£)-y3 (g)-^p- У4 (g); (11.24)
M{x)=M0Yy (g) + £Q0y2^)4-a£2w0y3^)+aL3©oy4^); (11.25)
Q(x)=QoyI (g)+aZ.woy2a)+aL20(ly3©-y-M„y4(g). (11.26)
Здесь через Уь У2, Уз, У4 обозначены функции А. Н. Крылова
У1 (|)=ch I- cos &=-|-(е' + е“Е) cos
y2(S)=-|-(ch £ sin B+sh |cos g)==-j-[(eE+e-5) sin g4-(e5—e~E)cos £];
r3©=-j-sh £ sin j-|-(eE—e~E)]sin g; (11.27)
®=T<ch ^sin sh £ cos £)='|-[(е*+е~Е)й'п £—
—(eE—e~E) cos £].
Заметим, что при дифференцировании функций Крылова полу-
чаются следующие простые, но очень важные для практического
применения зависимости:
6У(=-4У4; £У^=Уь
^-Уз=У2; £У$=Уз- (11.28)
Сокращенные таблицы функций А. Н. Крылова приведены в прил. 12.
Дополнительные вопросы теории изгиба
I
I
344
I ----------
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I Рис. 316
Перейдем к выводу общИх
уравнений для w, 0, М и Q
при действии произвольных
распределенных или сосредо-
точенных внешних нагрузок
Пусть на отрезке х балки
(рис. 316) действуют верти-
кальная сосредоточенная си-
ла Р, в точке с абсциссой Ь,,
сосредоточенный момент М, в
точке с абсциссой а, и равно-
мерно распределенная на-
грузка интенсивности qt на
участке от х = с до х = d.
Для вывода воспользуем-
ся принципом независимости
действия сил, а также будем
-------------------------------- считать перемещения малы-
ми. Сначала допустим, что
все внешние нагрузки на участке х равны нулю, тогда общий
интеграл, или прогиб w(x), будет функцией начальных параметров
и абсциссы х по формуле (11.23). Пусть теперь все начальные
параметры равны нулю, но действуют сосредоточенные нагрузки
Р, и Mt. Вдумываясь в геометрический и статический смысл
факторов Pi и Mt (рис. 316), легко видим, что их можно при-
нять за новые статические начальные параметры и вновь опреде-
лить w (х) по формуле (11.23), подставив
Мц = Мг, Qo=—Pi-
При этом за начало координат следует принять не точку О, а соот-
ветственно расположению каждого силового фактора точки с
| абсциссами а, и bt. Поэтому аргументами функций Крылова Fi, Yi,
Y3, Y4 будут расстояния от рассматриваемого сечения до новых
силовых факторов Р, и Mi, т. е. отрезки (х—о,), (х—Ы) и т. п.
1 Если сил и моментов несколько, то вводят их суммы. При рас-
| пределенных нагрузках суммы превращаются в интегралы от эле-
ментарных силовых факторов qdt\, а при нескольких участках рас*
пределенных нагрузок — в суммы интегралов.
1 Ограничимся рассмотрением случая действия равномерно рас-
| пределенной нагрузки. Тогда в результате интегрирования с учетом
зависимостей (11.28) получим простую формулу
1 d d
J Z7y4(g_n)dn=-^r.(g-n) I ^-|r,(g-d)-h(g-4
j c c (11.29)
Таким образом, при одновременном действии всех перечислен
ных силовых факторов и начальных параметров полный интегр
w (х) можно представить так:
Самолёт своими руками..
www.vokb-la.spb.ru
Основы расчета балок на упругом основании 345
к/(х)=^оГ. (~) + 0oZ.y2 (-y^+lb’W'273 (т~) +
+ Q0L3r.(-f-) + L2S МУз(-^-)-Е3£ Р.У4(-^) +
^^.(^-у.^)]}. (11.30)
Обобщив аналогичным образом выражения для 0 (х), М (х) и
Q (х), получим следующие универсальные уравнения метода на-
чальных параметров для балки на упругом основании:
е (х)=80У, рИ0ЛУ2 (-^-) + QoL2y3 (-f-) +
+ ccL W4 (-^-) + L £ МУ2(-^~-)-P2S /’<уз(-^~)-
- L3 2 ч. [ У. ( ) - У4 (-^-)]}; (11.31)
М(х)=М>У| (-^-) + СоРУ2 (-^) + а£2и>0Уз (~г) +
+ аР380У4 (-f-)+ 2><У. 2 Р‘У2 (~Л^)+
+ L2 ^.[Уз (__£_)_у3 (-^-)]; (,Е32)
Q (^)= СоУ1 ^4-аЛк>оУ2 у—^-|-аЛ20оУз f-)—
Теперь вычисление w (х), 0 (х), М (х) и Q (х) в каком угодно сечении
балки на упругом основании не представит затруднений, если из-
вестны начальные параметры Wo, 0о, Qo и Мо- В каждом конкретном
случае начальные параметры можно определить из концевых усло-
вий балки. Эти условия для различных случаев закрепления балки
представлены в форме таблицы (табл. 17), при составлении которой
предполагалось, что начало координат совмещено с левым концом
балки.
В таблице через М (/) и Q (Г) обозначены внешние сосредото-
ченные момент и сила на правой опоре. Если на свободных концах
балки внешние силы и моменты отсутствуют, то необходимо поло-
жить
4 = Q()=A1/ = QZ=O.
346
Дополнительные вопросы теории изгиба
Таблица 17
Условия закрепления Перемещения и силовые факторы для
левого конца балки правого конца балки левого конца (х=0) правого конца (х=/)
W (СВ Н(0) М/0) 0(о> <»(0 е .1) М (/) 0(0
Свободен Оперт » Заделан Свободен Оперт Заделан Оперт Заделан » 0 0 0 0 Мп Мо Мо Мо Мо Qt> <2о Q<> 0 0 0 0 0 0 0 0 13? 1 1 Q
В результате анализа данных таблицы заключаем, что при вы-
боре начала координат на левом конце однопролетной балки два
начальных параметра всегда известны. Для определения двух
остальных параметров нужно решить систему двух алгебраических
уравнений, составляемую из условий закрепления правого конца
балки.
§ 74. Изгиб балок, материал которых
не следует закону Гука
Изложенные ранее расчеты на прочность и жесткость при изгибе,
основанные на гипотезе плоских сечений и законе Гука с одинако-
вым модулем упругости на растяжение и сжатие, не исчерпывают
всех случаев, с которыми приходится встречаться конструкторам.
Известно, что закон Гука справедлив, пока напряжение не пре-
вышает определенной величины, называемой пределом пропорцио-
нальности, а в некоторых случаях расчеты на прочность приходится
проводить при более высоких напряжениях, с учетом пластических
деформаций. Кроме того, и в пределах упругости зависимость между
напряжениями и деформациями у ряда материалов нелинейна, т. е.
не подчиняется закону Гука. К таким материалам относятся чугун,
камень, бетон, некоторые пластмассы. У некоторых материалов,
подчиняющихся закону Гука, модули упругости при растяжении
и сжатии различны. Поэтому в последнее время расчеты на прочность
во всех указанных случаях приобретают все большее значение.
Расчеты на прочность с учетом пластических деформаций будут
рассмотрены в гл. 19. Здесь ограничимся лишь определением нор-
мальных напряжений при изгибе балки прямоугольного попереч-
ного сечения, материал которой не следует закону Гука на протя-
жении всего процесса нагружения, причем зависимости между на-
пряжениями и деформациями различны при растяжении и сжатии
Рассмотрим также случай изгиба при различных модулях упругости
для растяжения и сжатия. Опыты показывают, что и в указанных
случаях гипотеза плоских сечений справедлива.
Пусть балка подвергается чистому изгибу. Если предположить,
как и прежде, что волокна при изгибе не давят друг на друга’
„ww.vokb-la.spb.ru - Самолй своими руками
Изгиб балок, материал которых не следует закону Г>ка
347
Рис. 318
материал балки будет находиться в состоянии простого растяжения
и сжатия.
Диаграммы растяжения и сжатия, записанные для материалов,
не следующих закону Гука (чугунов, камней и др.), показывают, что
напряжения растут медленнее деформаций и отставание роста
напряжений от роста деформаций значительнее при растяжении,
чем при сжатии (рис. 317). В этом случае нейтральная линия попе-
речного сечения не проходит через его центр тяжести, а смещается
в сторону центра кривизны оси балки.
На основании гипотезы плоских сечений и указанного характера
диаграммы растяжения (сжатия) материала можно изобразить эпю-
ры относительных удлинений и нормальных напряжений (рис. 318)
в поперечном сечении балки. Если обозначить радиус кривизны
нейтрального слоя через р, то относительное удлинение волокна,
находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 319),
выразится известной зависимостью
е =
Р
Для определения относи-
тельных удлинений волокон
балки, а затем нормальных на-
пряжений необходимо устано-
вить положение нейтральной
оси поперечного сечения, ра
диус кривизны нейтрального
слоя и выразить аналитически
Или графически связь между
Деформациями и напряжени-
ями.
Проведем какое-либо попе-
речное сечение балки, перпен-
дикулярное к ее оси. При изгибе
балки парами сил внутренние
(11.34)
348
Дополнительные вопросы теории изгиба
силы упругости в поперечном сечении должны привестись также к
паре, следовательно, проекция нормальных усилий на ось х (рис. 319)
равна нулю, а момент их относительно нейтральной оси z равен изги-
бающему моменту.
Таким образом, получим следующих два уравнения статики:
J odf = 0;
F
2/Иг=\ uydF — М=0.
Так как dF—bdy, то соответственно
ftl Й2
b + aCKydyj=M.
О о
(11.35)
(11.36)
(11.37)
Для многих материалов зависимость между напряжениями и
деформациями при растяжении и сжатии может быть с достаточной
точностью представлена степенным законом
Ер— fepOp \ Есж— ^сж Осж, (11.38)
где kp, /гСж, пит — величины, характеризующие физические свой-
ства материала.
Учитывая формулу (11.34) для относительной деформации, из
зависимостей (11.38) выразим нормальные напряжения следующим
образом:
Эти зависимости и уравнения (11.36) и (11.37) позволяют опреде-
лить положение нейтральной оси, величину радиуса кривизны, а
также напряжения ор и оСж-
Подставив формулу (11.39) в уравнение (11.36), получим
а выполнив интегрирование, будем иметь
—И—(JH-Ya,-------И—(Л^\" К,=0. (И-ОТ
Затем, подставив формулу (11.39) в уравнение (11.37), найдем, чтО
tvww.vokb-la.spb.ru Самолёт своими руками?!
Изгиб балок, материал которых не следует закону Гука
349
1 . I
h, — "1 —
4 (мг)"
о О
и после интегрирования получим
1 ।
--Л-Гь (~Г~)П Л' + 9-'lГ 6 = (11-41)
2м +1 X *М> / 2/п +1 \ k„p / 7
Имея в виду, что h\-\-hi = h, из уравнений (11.40) и (11.41)
найдем р, hi и Л2, а затем по формулам (11.39) —напряжения ор
И СТсж-
Можно решить и обратную задачу — определить наибольший
допускаемый изгибающий момент по допускаемому напряжению на
растяжение [ор] или сжатие [осж]. Для решения этой задачи за-
пишем по формулам (11.39) напряжения растяжения и сжатия в
крайних волокнах балки, находящихся на расстояниях h\ и /г2 от
нейтрального слоя:
На основании этого выражения (11.40) и (11.41) представим в
следующем виде:
Кроме того, из формул (11.42) следует, что
Л, _ a7fep
/12 <?2 ^сж
(11.43)
(11.44)
(11.45)
Присоединив к последним трем уравнениям равенство h\ -\-hz=
~h, можно вычислить по допускаемому напряжению [<Т|] или [о2]
положение нейтральной оси и допускаемое значение изгибающего
момента. По предельным значениям напряжений может быть опре-
делен предельный изгибающий момент, величина которого соот-
ветствует достижению предельного значения одним из напряжений
в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах в области рас-
тяжения или сжатия.
Подобно тому, как это сделано для балки прямоугольного попе-
речного сечения, можно решить задачу и для других простых сечений,
Например состоящих из прямоугольников (таких, как двутавр,
Тавр и т. п.).
Рассмотрим еще определение нормальных напряжений при из-
гибе в случае, когда материал следует закону Гука, но модули
Упругости при растяжении и сжатии различны. Пусть £р — модуль
350
Дополнительные вопросы теории изгиба
упругости материала при растяжении, Есж — при сжатии. Для та-
ких материалов обычно Есж> Ер. Эпюра нормальных напряжений
в сечении балки для этого случая изображена на рис. 320.
Для волокон, расположенных на расстоянии у от нейтрального
слоя, в области растяжения и сжатия
Ор — Ер И Осж—Ecw
р р
Из равенства (11.36) следует, что
/г2
§ Gpdy—— Qcwdy.
о о
(11.46)
(1147)
Подставив вместо стР и осж их выражения (11.46), будем иметь
Л) /is
^ydy==-^^ydy,
О о
(11.48)
откуда после интегрирования и сокращения на 1 /2р получим
Ephl = ЕсжЛг,
(11.49)
или
А? ; : £Сж
hl Е„ ’
Принимая во внимание, что hi-\-hi = h, найдем
Л2=——
(11.50)
Таким образом, положение нейтральной оси определено.
Теперь найдем напряжения в крайних волокнах балки в об-
ласти растяжения ор и в области сжатия Осж- Из эпюры напряже-
ний следует, что суммарная растягивающая сила 7VP в зоне растя-
------------------------------- жения и сжимающая сила М?»
в зоне сжатия поперечного се-
чения определяются следующи-
ми выражениями:
Л/ Opbhl д/ .
'»₽— j ’ — 2
(11.51)
Действуют эти силы на расстоя-
нии (2/3) h, и (2/3) от ней-
трального слоя. Так как усилия
в поперечном сечении приводят
Изгиб балок, материал которых ие следует закону Гука
351
Ся к паре сил, то Np = NctK. Плечо пары равно (2/3) h. Изгибающий
момент может быть записан как момент пары сил, равный растяги-
вающей или сжимающей силе, умноженной на плечо пары:
м=^Р-|-Л; M=NCK-j-h.
Учитывая выражения (11.51) и (11.50), будем иметь
Cpbhih opbh2 у] Ест .
3 3 V^p + у/Ес»
Ccmbhih _ СсМ.2 ylE,,
3 3 Vfp + у[Ёсж
(11.52)
откуда
(11.53)
Пользуясь этими формулами, можем по изгибающему моменту
найти наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, если
известно отношение модулей упругости.
Представим формулы (11.53) в несколько ином виде. В соответ-
ствии с выражениями (11.50) имеем
____ hi
I Ер hi р ₽сж
V Ест hi h} Ер
р
Внеся это отношение в формулы (11.53), получим
<"и>
««•»>
В таком виде формулы удобны для вычисления напряжений в
случае, когда в крайних волокнах балки измеряются относитель-
ные деформации при помощи тензометров.
352
Сложное сопротивление
Глава 12
Сложное сопротивление
Под сложным сопротивлением подразумевают различные комби-
нации ранее рассмотренных простых напряженных состояний брусьев
(растяжения, сжатия, сдвига, кручения и изгиба).
В общем случае нагружения бруса (рис. 321) в поперечных се-
чениях могут действовать шесть компонентов внутренних сил — N
Qy, Qz, Му, Мг, Мкр, связанных с четырьмя простыми деформа-
циями стержня — растяжением (сжатием), сдвигом, кручением и
изгибом.
Чего-либо принципиально нового задачи сложного сопротивле-
ния при достаточно жестких брусьях не вносят, так как совместное
действие указанных усилий приводит к напряженному состоянию,
которое можно получить суммированием напряженных состояний,
вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности.
Умея определять нормальные и касательные напряжения в различ-
ных точках стержня, а также главные напряжения, можно по той
или иной теории прочности проверить прочность данного стержня.
Аналогично могут быть изучены деформация или перемещение бруса
путем соответствующего сложения перемещений, получаемых при
отдельных более простых нагружениях.
Принцип суммирования действия сил применим во всех случаях,
когда деформации малы и подчиняются закону Гука.
На практике одновременное действие всех силовых факторов
встречается редко. Чаще приходится иметь дело с различными ком-
бинациями их, которые и рассмотрим ниже.
§ 75. Сложный и косой изгиб
Сложный изгиб вызывается силами или моментами, расположен-
ными в разных плоскостях, проходящих через ось балки
(рис. 322, а). Такой изгиб называется также неплоским изгибом,
так как изогнутая ось балки не является плоской кривой.
Если все нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной плос-
кости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб
называется косым (рис. 323, а).
Как в случае неплоского, так и в случае косого изгиба, наиболее
удобно приводить изгиб к двум плоским. Для этого нагрузки, дей-
ствующие в произвольных продольных силовых плоскостях, нужно
разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях
ху и xz, где оси у и z главные оси инерции сечения (рис. 322 и
323). Таким образом, схемы нагружения брусьев при сложном и
косом изгибе могут быть представлены так, как показано на
рис. 322, б и 323, б соответственно.
При сложном изгибе в поперечных сечениях бруса в общем слу-
wmv.vokb-la.spb.ru - С амолёт своими руками?!
Сложный и косой изгиб 353
чае возникают четыре внутренних силовых фактора: Qz, Qy, Мг и
Му. Проводя расчет на прочность при сложном изгибе, обычно
пренебрегают влиянием касательных напряжений.
Вычислим напряжения в некоторой точке (у, г) произвольного
поперечного сечения, расположив ее для определенности в первом
квадранте (рис. 324, а). Направления главных осей показаны на
рисунке. Изгибающие моменты будем считать положительными, если
они вызывают в точках первого квадранта растягивающие напря-
жения.
Исходя из принципа суперпозиции, найдем напряжения в ука-
занной точке, рассматривая два плоских изгиба. Пусть вначале
действует только момент Af?. Тогда нормальное напряжение в точке
М,у
О =---“-
1,
Если действует только момент Му, то напряжение
tfZ/_ Мчг
ly
Очевидно, что при одновременном действии обоих изгибающих мо-
ментов напряжения
п Мгу . М,г (12.1)
° 1'1’
Формула (12.1) позволяет определить нормальные напряжения
в любой точке поперечного сечения при сложном, или, как говорят
еще, пространственном изгибе. Изгибающие моменты и координаты
12
5-372
354
Сложное сопротивление
точек, в которых определяют напряжения, подставляют в эту фор-
мулу со своими знаками.
В случае косого изгиба (рис. 325) изгибающие моменты Мг и Му
связаны зависимостями
Мг—М cos а;
MU=M sin а, (12.2)
где М — изгибающий момент в данном сечении в силовой плос-
кости р— р (рис. 325).
Тогда, используя формулу (12.1), будем иметь
& Му cos a j Mz sin а
J г Jy
ИЛИ
а = (12.3)
\ /z Jy /
Уравнение нейтральной линии при сложном изгибе в любом
поперечном сечении получим из формулы (12.1), положив о=0 и
обозначив координаты точек нейтральной линии через t/o и го
(рис. 324, б). Тогда
р= Мгуп___।__М^, (12.4)
Л J у
Это уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей
через начало координат (центр тяжести О сечения). Положение
нейтральной линии характеризуется ее угловым коэффициентом
‘к₽=-^=—йЧ- о2-6»
<С() •»lz J у
В общем случае сложного (пространственного) изгиба углы
5V5V5V.5okb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Сложный и косой изгиб
355
Рис. 326
наклона нейтральных линий вдоль оси бруса не остаются постоян-
ными, а изменяются в соответствии с изменением соотношения
величин изгибающих моментов Мг и Му, как это следует из выра-
жения (12.5).
Если в некотором сечении бруса, где действуют изгибающие
моменты Мг и Му (рис. 326, а), нужно найти положение нейтраль-
ной линии, то удобно для наглядности сначала показать положение
силовой линии р — р. Наиболее просто выполнить это, построив
векторную диаграмму моментов (рис. 326, б), которая показывает
направление результирующего вектора-момента М и, следователь-
но, определяет угол а наклона его плоскости действия (силовой
линии р — р):
Му
tg а
(12-6)
Теперь выражение (12.5) для угла наклона нейтральной линии
с учетом формулы (12.6) можно представить так:
tg ₽=-------tg а.
Jy
(12-7)
Анализируя это выражение, находим, что в отличие от плоского
(прямого) изгиба при сложном изгибе нейтральная и силовая линии
В общем случае (когда Jz=/=Jy) не будут взаимно перпендикулярны.
При косом изгибе в соответствии с формулами (12.2) отношение
изгибающих моментов Му и М? постоянно по всей длине бруса
(MJ//M2 = tg а). Поэтому из выражения (12.7) следует, что и угол
₽ наклона нейтральной линии также постоянен. Значит, поперечные
сечения бруса, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг парал-
лельных друг другу нейтральных линий, как и при простом плоском
изгибе. Искривление оси бруса при этом происходит в одной плос-
12*
356
Сложное сопротивление
кости п п, нормальной к направлению нейтральной линии
(рис. 325). Эта плоскость называется плоскостью изгиба.
Проверку прочности следует проводить в тех сечениях, где из-
гибающие моменты Му и Мг одновременно велики. Таких сечений
в общем случае сложного изгиба может быть несколько.
Если опасное сечение известно, то в нем нужно отыскать опасные
точки. Наглядное представление о распределении напряжений
о (Му) и о (Л12) по поперечному сечению бруса дают соответствующие
эпюры, представленные на рис. 326, б. Для построения эпюры сум-
марных напряжений ох необходимо провести базис эпюры перпен-
дикулярно к нейтральной линии. Так как из формулы (12.1) следует,
что эпюра о линейна, то для ее построения, кроме известной нулевой
точки, достаточно вычислить какую-либо одну ординату, например
для точки А. Очевидно, наиболее напряженными точками сечения
будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии точки А
и В (рис. 326, б). В данном случае в точке А действует наибольшее
растягивающее, а в точке В — наибольшее сжимающее напряжение.
Таким образом, условия прочности для опасных точек имеют вид
aMaKC==Oyq==J^+J^<[o + j; (12.8)
„ ____ _ М,уц । M.jZu i
Омин OB ——- Е I ^5 [О— ]-
->г Jy
В случае косого изгиба, когда направления изгибающих мо-
ментов такие, как показано на рис. 324, а, наибольшие растягиваю-
щие напряжения возникают в точке В, а наибольшие сжимающие —
в точке D (рис. 324, б). Условия прочности принимают вид
Омакс=Св = М.ЙКС <[о+1; (12. Ю)
с... = с„ = - М..„ (-*^+ <12-10
В частности, для прямоугольного сечения
Jy Jy
Wy;
Wz,
У в Ус
поэтому формулы (12.10), (12.11) можно упростить так:
ЛЛ / sin а . cos а \ .
Омаке—О в — 'У* макс ( ~г
(12.12)
лл / sin а . cos а \ г i
Омни о£) /ИмаКС цу у^;|О — ].
В общем случае неплоского изгиба условие прочности принимает вид
Омакс
Му
Wy
мг
СМ-
(12.13)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
JJJJ
ту
Аналогично проверяется прочность в точке, где действуют наи-
большие сжимающие напряжения.
Подбор сечений при неплоском изгибе — задача более сложная,
чем при простом плоском изгибе. При ее решении необходимо сна-
чала задаться отношением моментов сопротивлений и находить
сечения методом подбора.
Заметим, что, если нужно найти касательные напряжения при
неплоском изгибе, последние можно определить по формулам
ОЛ- . Q,SV
J,b ’ Jyh '
Определяя перемещения, также исходим из принципа независи-
мости действия сил и вычисляем перемещения в каждой из главных
плоскостей. Сохраняя прежнее обозначение прогиба в направлении
главной оси у через w и обозначая прогиб в направлении главной
оси z через v, дифференциальные уравнения прогибов в плоскостях
XZ и ху запишем в виде
£7,=-^-=^; £Л=-^-=Л12.
ах* J ах
Пользуясь указанными дифференциальными уравнениями, непо-
средственным их интегрированием или по методу начальных пара-
метров можно получить перемещения. Кроме того, перемещения
могут быть определены энергетическими методами, которые рас-
смотрим ниже.
Значение полного прогиба f сечения определится как гео-
метрическая сумма прогибов v и w:
(12.14)
В качестве примера вычислим прогиб свободного конца консоли,
^груженной силой Р, как показано на рис. 327. Раскладывая силу
р по направлениям осей, получим составляющие:
Pu=Pcosa; P2 = Psina. (12.15)
358
Сложное сопротивление
Рис. 328
На основании формулы (10.54) определяем прогибы в главных
плоскостях (рис. 327, в):
Р /3 р 13
v=~4^r- (,2’6)
Полное перемещение
ОС у J z J у
Определим направление полного прогиба f, для чего найдем угол
между отрезком ОО3 и осью у:
tg Z O,OO3-^=^-=tga^. (12.18)
Ш Су/ у J у
Сравнивая формулы (12.18) и (12.7), замечаем, что угол между
плоскостью изгиба и осью у по абсолютной величине равен углу
между нейтральной линией сечения и осью г. Отсюда следует, что
полный прогиб при косом изгибе перпендикулярен к нейтральной
линии сечения (рис. 327, в). Очевидно, отклонение полного прогиба
от силовой плоскости тем больше, чем больше отношение lz/iy
Заметим, что, когда Jz = Jy (это имеет место для круглого сече-
ния любого правильного многоугольника), суммарный прогиб лежит
в силовой плоскости. В этих случаях косой изгиб невозможен.
Пример 50. Деревянный прогон сечения 16у 20 см (рис. 328, б) свободно
опирается на стропильные фермы (рис. 328, а), расстояние между которыми
3 м Прогон нагружен вертикальной равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности q=4 кН/м. Уклон верхнего пояса стропил фермы 1:2. Опре-
делить наибольшие напряжения сжатия и растяжения в сечении балки, указать
точки сечения, где они имеют место, и найти полный прогиб среднего сечения
балки.
Максимальный изгибающий момент, который будет посредине балки.
п/* 2 3 * * * * * 4 • З2
М„вкс=——=—°—кН-м = 4,5 кН-м.
8
Составляющие этого момента, действующие в главных плоскостях инерции
(относительно осей z и у), определим по формулам
М, = —Мкмс cos а= —4,5-0,894 кН - м = —4,025 кН • м;
Л4„ = —M„ahc sin а= —4,5-0,447 кН - м = —2,012 кН - м.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Сложный и косой изгиб 359
Угол наклона нейтральной линии п- п определится из формулы (12.7)
так:
/ 1 h2 1 -902
tg₽ = --7^tKa=- --^г= 0.7813= -tg 38“
j у и z' iu
Наибольшими будут напряжения сжатия в точке В и растяжения
в точке D, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:
Мг Му ( Мг Му\ 6 /4,025-10-3
ов— г -Ь 16-20-10 4\ 20-Ю-2 +
2012-10 3\
+ 16 10 - )МПа=~6-12 МПа
В точке D, очевидно, будет такое же по величине напряжение растя-
жения:
оо= 6,12 МПа.
Наибольший прогиб имеет место посредине пролета Определится он по
формуле
1Л=-^С
' 384EJ ’
в которую вместо интенсивности распределенной нагрузки должны подстав-
ляться ее составляющие в направлении главных осей.
qy = q cos ct = 4-0,894=3,576 кН/м;
q, = q sin a = 4-0.447 = 1,788 кН/м,
а также моменты инерции относительно главных осей z и у. Составляющие
прогиба тогда
5<у,,/4 5-3,576-10 3-34-12 — 0,35 см.
384£// 384-I04-16-203-10 8 Г
5</./4 5-1,788-10 3-34-12 = —0,28 см,
384£7f/ 384-104-16’-20-10 8 М
а полный прогиб найцем как геометрическую сумму указанных составляю-
щих прогиба:
+ га2 = д/о,282 4- 0,352 см - 0,45 см.
Прогиб / лежит в плоскости, перпендикулярной к нейтральной линии.
§ 76. Изгиб с растяжением (сжатием)
Расчеты нй совместное действие изгиба и растяжения можно
свести к следующим двум основным видам:
а) расчеты на действие продольно-поперечных нагрузок;
б) расчеты на внецентренное растяжение (сжатие)
Отдельно должен быть рассмотрен изгиб с растяжением (сжатием)
кривого бруса.
Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. Если
ча балку действуют и продольные и поперечные нагрузки, Пересе-
360
Сложное сопротивление
Рис. 329
кающие ось бруса, то в общем случае (рис. 329, а) в поперечных
сечениях возникают изгибающие моменты Мг и Му в двух плос-
костях, поперечные силы Qz и Qy, а также продольная сила N
(рис. 329, б). Таким образом, в этом случае будет сложный изгиб с
растяжением или сжатием. Нормальное напряжение в произволь-
ной точке сечения
N I М> „ I М«
а-—+-7ГУ+-7Г2-
(12.19)
Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в ко-
торой вычисляют напряжения, подставляют сюда с их знаками.
Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил,
можно считать, что напряженное состояние в опасной точке линей-
но. Следовательно, условие прочности имеет простейший вид:
Омаке < [о]. (12.20)
Если сечение имеет две оси симметрии и выступающие углы,
то опасной будет одна из угловых точек. Напряжения в ней опреде-
ляют по формуле (12.19) или же так *:
(12.21)
N__, М, Ми
F ' W, — ’
Знаки в этой формуле комбинируют по смыслу или на основе со-
поставления с формулой (12.19).
В случае плоского изгиба в главной плоскости уОх с растяже-
нием (сжатием) трехчленная формула превращается в двучленную:
Эти формулы применяют при расчете на прочность плоских рам
и арок малой кривизны. Опасными в этом случае являются те
сечения, где действует наибольший изгибающий момент.
1 При изгибе со сжатием применять приведенные формулы можно лишь к корот
ким стержням большой жесткости, так как в случае тонкого длинного стерЖ*1
возможна потеря устойчивости (см гл. 20).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с растяжением (сжатием) 361
При расчете брусьев с поперечным сечением произвольной фор-
мы для определения опасной точки сечения необходимо прежде всего
установить положение нейтральной линии. Способ определения по-
ложения нейтральной линии описан ниже при рассмотрении вне-
цснтренного растяжения.
Пример 51. Подобрать двутавровое сечение плоской стальной рамы
(рис. 330, а) при [о|= 160 МПа.
Определив опорные реакции и построив эпюры Л1_, и N (рис. 330, б, в),
обнаруживаем, что опасным является сечеиие правой стойки, в котором
Л1„лкс = 57 кН-м; Л'=—63,9 кН.
Опасные точки в этом сечении находятся слева (рис. 330, г), так как
здесь арифметически складываются напряжения от Л1. и /V. В соответствии с
формулой (12.22) условие прочности запишется так:
57.10 3 КЗ о. I п 3
‘ --МПа<160 МПа (12.23)
UZz г
Условие прочности содержит две неизвестные величины №г и F. В боль-
шинстве случаев напряжения о, от изгиба больше, чем от продольной силы,
поэтому при подборе сечения можно вначале опустить второе слагаемое и
иайти приближенное значение W7? из расчета на изгиб:
S7.1П—Л
W? > ° ‘„--м3=356-10~6 м3=356 см3.
160
Затем по сортаменту (прил. 1) нужно выбрать двутавр с моментом сопротив
ления, несколько большим, чем W. Выбираем двутавр № 27, для которого
№,=371 см3, Г=40,2 см2.
Далее проверяем прочность выбранного сечения, вычисляя максимальные
нормальные напряжения по формуле (12.22).'
ома11с=-^———|— 4- Ml la=( 153,6-|-15,9) МПа= 169.5 МПа.
о/ 1 • 1U • 1(J
Перенапряжение составляет
169,5—160
160
100 %~6 %>5 %,
поэтому необходимо увеличить размер сечения, приняв по сортаменту сле-
дующий больший номер двутавра — № 27а, для которого
№г = 407 см3; f=43,2 см2.
362 Сложное сопротивление
Внецентренное растяжение (сжатие) прямого бруса. Внецентрен-
ное растяжение (сжатие) представляет собой частный случай слож-
ного изгиба с растяжением (сжатием), при котором брус растяги-
вается силами, параллельными оси бруса, так что их равнодействую-
щая не совпадает с осью бруса (рис. 331), а проходит через точку р,
называемую полюсом силы.
Пусть на брус произвольного сечения действует одна сила Р
параллельная оси бруса и пересекающая любое поперечное сечение
в точке р (рис. 331). Координаты этой точки в системе главных
осей сечения обозначим через ур и zp, а расстояние этой точки до
оси х, называемое эксцентриситетом,— через е. В любом попереч-
ном сечении при такой нагрузке действуют следующие внутренние
силовые факторы: N = P- My=Pzp, Мг = Рур.
Таким образом, напряжения в произвольной точке сечения будут
складываться из напряжений осевого растяжения силой N и напря-
жений от чистого изгиба моментами Му и Мг:
(12.24)
Внеся сюда вместо N, Му и Мг их значения, получим
(,225)
• \ * * Z /
Этой формуле можно придать несколько иной вид, выразив глав-
ные моменты инерции через радиусы инерции:
'=т(1+^2|4Ы
(12.26)
Для определения опасной точки при сложном профиле целе-
сообразно построить нейтральную линию сечения. Опасной в се-
чении будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии.
Уравнение нейтральной линии получим, приравняв к нулю пра-
вую часть уравнения (12.26) и обозначив координаты точек на ней-
тральной линии через уо и Zq.
->-z0+-^-t/0=-l.
(12.27)
Полагая в этом уравнении поочередно zo = O и t/o = O, найдем отрез-
ки у„ и z„, отсекаемые нейтральной линией на осях у и z (рис. 332)
ZH =
‘1
Zp
У* =
(12.28)
Из. зависимостей (12.28) следует, что нейтральная линия пере-
секает координатные оси в точках, принадлежащих квадрантУ>
противоположному тому, в котором находится точка р.
Теперь, проведя параллельно нейтральной линии касательные
к контуру сечения, найдем наиболее напряженные точки А и Д в
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Изгиб с растяжением
(сжатием)
363
Рис. 332
растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 332). Напряжения в этих
точках и условия прочности имеют вид
омакс=од = _С_ (1 + -^-zz -|-
Г \ 1г /
омин=ой = 7- (1 +-(12.29)
Здесь гА, уА и —ze, —ув — координаты точек А и В соответственно.
Эпюра напряжений о приведена на рис. 332. Для прямоугольного
сечения условие прочности удобнее представить в следующем виде:
(12.30)
Формулы (12.29) и (12.30) справедливы и в случае действия
сжимающей силы Р, если нет опасности возникновения продоль-
ного изгиба.
Ядро сечения. Хотя до сих пор мы изображали нейтральную
линию проходящей через сечение, в общем случае она может про-
ходить и вне его. Действительно, если сила Р приложена в центре
тяжести, то нейтральная линия проходит в бесконечности, так как
Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно.
По мере увеличения эксцентриситета е (рис. 333) нейтральная
Линия будет приближаться к сечению и при некотором положении
силы Р (на рис. 333, например, при положении Аз) впервые коснется
к >нтура сечения. При дальнейшем увеличении эксцентриситета
Нейтральная линия пересекает сечение, причем нормальные напря-
364
Сложное сопротивление
жения в сечении будут обоих знаков: по одну сторону от нейтраль-
ной линии — растягивающими, а по другую — сжимающими.
Представляет интерес установить область таких удалений силы
Р от оси, при которых нормальные напряжения по всему попереч-
ному сечению будут одного знака. Такая область называется ядром
сечения. Это важно для брусьев из материалов, плохо сопротив-
ляющихся растяжению (например, для кирпичной кладки, бетона
и серого чугуна).
Итак, ядром сечения называется область вокруг центра тяжести
поперечного сечения, которая обладает следующим свойством: если
впецентренно приложенная нагрузка расположена, в области ядра,
го нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения
имеют один знак.
Для построения ядра сечения будем задаваться различными
положениями нейтральной линии, касательными к контуру сечения,
и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы
Р по следующим формулам, вытекающим из выражения (12.28):
Ур =---zp=—^~- (12.31)
Ун *н
Вычисленные координаты определяют точки, лежащие на границе
ядра сечения.
Чтобы облегчить построение ядра сечения, используем следую
гцее свойство нейтральной линии: при повороте нейтральной линии
вокруг некоторой фиксированной точки А контура сечения точка
приложения силы перемещается вдоль некоторой прямой. Для обо-
снования этого свойства достаточно подставить в уравнение (12.27)
кдординаты точки А (у0А, z0A), лежащей на нейтральной линии.
Получим
zp^ уРум = _ 1 (12.32)
(у 1g
Действительно, уравнение (12.32) при z0A — const является уравне-
нием прямой относительно координат точек приложения силы
р — (j/р» zp).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с растяжением (сжатием) 365
Таким образом, для построения ядра сечения какой-либо фигуры
нхжно провести несколько положений нейтральной линии, совпадаю-
щих со сторонами сечения, а также касающихся его выступающих
точек.
Построим, например, ядро сечения для прямоугольника ABCD
(рис. 334). Совместим вначале нейтральную линию со стороной
CD (положение 1 — 1). Очевидно, в этом случае
ь
= ZH—CC.
Тогда из выражений (12.31)
УЪ=
ь_
6
У«
Здесь учтено, что
•2\ D __ bh3 _ h3 .
F ~ I2bh 12 ’
Z₽=—^=0.
Л _ hb3 _ b2
F \2bh 12 ‘
А
Таким образом, координаты точки 1' ядра сечения определены.
Совместим теперь нейтральную линию со стороной AD (поло-
жение 2 — 2). Имеем
h
У и— 00 > .
Тогда координаты точки 2’ ядра
У₽ = 0;
zp=------
12
h_
6
Аналогично определяются координаты точек 3' и 4', соответствую-
щих положениям нейтральной линии 3 — 3 и 4 — 4.
Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на
другую она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка
приложения силы перемещается по прямой, образуя контур ядра.
Таким образом, ядро сечения будет ромбом с диагоналями, равными
одной трети соответствующей стороны сечения.
Пример 52. Для круглого сечения построить ядро сечения (рис 335)
В круге все центральные оси — главные. Поэтому при касании нейтраль
ной линии / — / в любой точке А точка /' лежит на диаметре, также про-
ходящем через точку Л, и ее координаты следующие:
и __________i2 _ R2 R
Ур У. -R 4R 4 ' Zp~°-
Можно, очевидно, сделать вывод, что благодаря симметрии сечеиия
ядро сечения также будет кругом с радиусом"
R
Построение ядра сечения для двутавра (рис. 336), швеллера (рис. 337) и
треугольника (рис. 338) рекомендуем читателю выполнить самостоятельно.
366
Сложное сопротивление
§ 77. Изгиб с кручением
Круглые валы. Силы, действующие на валы (давление на зубья
шестерен, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов и т. п.),
вызывают в поперечных сечениях валов следующие внутренние си-
ловые факторы: Мкр=Л4х; Му; Мг; Qy и Qz. Таким образом, в любом
поперечном сечении одновременно возникают нормальные напряже-
ния от изгиба в двух плоскостях, а также касательные напряжения
от кручения и изгиба.
Для расчета вала в первую очередь необходимо установить
опасные сечения. С этой целью должны быть построены эпюры из-
гибающих моментов Му, Мг и крутящего момента Мх.
Нагрузки, действующие на вал, разлагаем на составляющие
вдоль координатных осей (рис. 339), а затем строим эпюры: от сил
Plz, Piz, Рпг — эпюру МУг ОТ сил Piy, Pty, . . ., Рпу- ЭПЮру Мг
(рис. 339, бив).
При изгибе вала круглого или кольцевого сечения в каждом
из его сечений имеет место прямой изгиб под действием резуль-
тирующего изгибающего момента (рис. 340)
+ Ml.
(12.33)
Вектор момента М в разных сечениях может иметь различные на-
правления, в силу чего даже при отсутствии распределенных на-
грузок эпюра М может быть криволинейной (рис. 339, г). Для общего
случая это легко показать аналитически.
Пусть Mb = a-\-bx; Mz=c-\-dx (a, b, с, d — постоянные коэффи
циенты). Тогда
М — д/(а + ^х)2+(с+
Выражение, стоящее под радикалом, лишь в некоторых частных
случаях является полным квадратом (например, при а = с=0).
wwv.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с кручением
.—------ _
а в большинстве случаев эпюра
криволинейна, причем
т < \-с2 + (j\fb2+d2 ) х.
Это позволяет строить эпюры М
упрощенным способом, несколько
завышая значения суммарного из-
гибающего момента М на участках
между переломами эпюры: вели-
чины суммарного изгибающего
момента М вычисляют лишь для
тех сечений, в которых на эпюрах
Му и Mz есть переломы. Эти вели-
чины откладывают в масштабе по
одну сторону от оси на эпюре М
и соединяют прямой линией.
Далее строим эпюру Л4кр = Мх
(рис. 339, д) и ищем опасные сече-
ния, в которых одновременно вели-
ки М и Л4кр. Сопоставляя эпюры,
находим, что опасным будет сече-
ние 1—1 или 2—2.
Теперь в опасном сечении нуж-
но найти опасные точки. Легко
определяем положение нейтраль-
ной линии (Р = а) и строим эпюры
367
нормальных напряжений о от результирующего изгибающего мо-
мента М (рис. 341), которые изменяются пропорционально расстоя-
нию точек от нейтральной линии. Очевидно, опасными являются
точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной линии,— в них
одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные
напряжения имеют наибольшие значения:
_М_^ + М\ /19 44^
макс ~ ----г---’ (12.34 )
тмакс=-^ , (12.35)
У наиболее опасной точки В выделим элемент (рис. 342). По
четырем его граням действуют касательные напряжения, а к двум
из этих граней приложены еще и нормальные напряжения. Осталь-
ные две грани свободны от напряжений. Таким образом, при изгибе
с кручением элемент в опасной точке находится в плоском напря-
женном состоянии. Совершенно аналогичные напряжения на гранях
мы имели в изгибаемом брусе (гл. 10), поэтому здесь главные
Напряжения нужно определять по тем же формулам:
-+ Vo2 + 4t2 ); о2=0; о3=-^-(о —д/о24-4т2 ).
(12.36)
368
Сложное сопротивление
Рис. 340
Разница между выражениями (10.30) и (12.36) лишь в том, что в
последнем случае касательные напряжения вызываются крутящим
моментом, а при изгибе они вызывались поперечной силой.
Заметим, что в данном случае сложного напряженного состоя-
ния влиянием касательных напряжений от поперечных сил прене-
брегаем, так как они значительно меньше касательных напряжений,
вызванных кручением.
Для проверки прочности элемента, выделенного у опасной точки,
нужно, выбрав соответствующую теорию прочности, воспользо-
ваться одной из формул § 62, например формулой (10.35) или
(10.34):
по теории Мора
1т । 14- т I 2 . . 2 г т
Оэкв м = —2— о Ч—— V° + 4т < [°J;
по IV теории
оэкв iv = V°2 + 3t2 С [о].
(12.37)
(12.38)
Подставляя в формулы (12.37), (12.38) выражения (12.34),
(12.35) для напряжений и учитывая, что WP=‘2W, получим
^экв М й/ 1^1*
Оэкв IV = J[о.
(12.39)
(12.40)
Числители этих формул представляют собой приведенные момен-
ты, действие которых эквивалентно совместному действию трех
моментов (согласно принятой теории прочности) Следовательно,
М,Р м =+-1±^ д/^Р + М2+М2 ;
M„piv = \/о75М? + М2 + Л1? = \/м'/+0,75/С .
(12-41)
(12.42)
В случае необходимости подобным же образом можно получить
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с кручением
369
формулы для приведенных моментов и по другим теориям проч-
ности.
Нетрудно заметить, что теперь условия прочности (12.37),
(12.38) можно заменить одной простой формулой
___ Л1цр г
Оэкв--- [О
(12.43)
Таким образом, при совместном действии изгиба с кручением
стержни круглого сечения рассчитывают на изгиб от приведенного
момента А4цР.
Решая неравенство (12.43) относительно И/, получаем формулу
для определения момента сопротивления:
Г >-7^7- (12.44)
п|
и диаметра круглого вала:
d > 'п--' (12.45)
V л[°1 V [с] '
Заметим, что приведенные формулы полностью применимы и к
стержням кольцевого сечения.
Рассмотрим простейший пример расчета вала на изгиб с кру-
чением.
Пример 53. На вал (рис. 343) насажены три зубчатых колеса. Колеса
нагружены силами Р,=4000 И; Р-г=3000 Н, РЛ=2000 Н, причем сила Р,
вертикальна, а силы Pi и Рз горизонтальны. Диаметры зубчатых колес следую-
щие: Dt = 100 мм; Di=300 мм; Dt = 250 мм. Допускаемое напряжение |<т] =
=60 МПа. Подобрать диаметр вала по четвертой теории прочности.
Заменим действующую нагрузку статически эквивалентной системой сил.
Перенесем силы Pt, Р? и Рз иа ось вала, заменяя каждую из них силой,
приложенной в точке В, С или D соответственно, и скручивающей нарой сил
М, =— Р|Оь М?=~2 P.-Di\ Мз=-~- P3D3 соответственно. Таким образом, полу-
чаем расчетную схему (рис. 343). На схеме указаны как значения приложен-
ных внешних нагрузок (Р,. Л4К|), так и величины вызванных ими опорных
реакций.
Рассматривая отдельно силы в горизонтальной и вертикальной плос
костях (рис. 344, а и б), строим эпюры изгибающих моментов. Для построе
ния суммарной эпюры моментов М вычисляем ординаты в характерных точ
ках по формуле (12.33):
в сечении В
М-^[м[+мТ =V1602+502 Н-м = д/28100 Н-м= 167,6 Н-м.
в сечении С
М = у/4402 | 562,52 Н-м = д/бГоосЙГ Н-м = 714,2 Н-м;
в сечении D
М = 6402 + 2502 Н-м = Л472100 Н-м = 687,1 Н-м.
Эпюра М, построенная по этим данным, приведена на рис. 344, в. Как
указывалось ранее, на участках ВС и CD такая эпюра имеет завышенные
значения ординат (действительные значения показаны штриховой линией).
L
370
Сложное
сопротивление
Рис. 343
Рис. 344
Рассматривай действующие иа вал моменты, строим эпюру крутящих
моментов (рис. 344, г).
Сопоставляя эпюры М и Л4кр, находим, что опасным является сечение
/—/, расположенное слева от точки С, где одновременно действуют М =
= 714,2 Н-м и Мкр = 250 Н-м.
Согласно IV теории прочности, приведенный момент вычислим по формуле
(12.42). Получим
Мпр = 0,75-2502 + 714.22 Н-м =д/556881,25 Н-м =746.3 Н-м.
Подставляя приведенный момент в формулу (12.44), находим требуемый
осевой момент сопротивления:
М„р 746,3-10 6 з з
, =--------------м,’= 12,44 см
[о 60
и, положив W'ssO.lrf’, вычисляем необходимый диаметр вала:
d \/10W = V>0-12,44 см = V 124,4 см = 4,99 см.
Округлив до ближайшего стандартного диаметра принимаем d — 50 мм-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с кручением 371
Брус прямоугольного сечения. На практике часто встречаются
стержни некруглого сечения, подверженные действию крутящих и
изгибающих моментов. В качестве примера рассмотрим брус прямо-
угольного сечения (рис. 345, а), нагруженный силами Pi и Р2, вы-
зывающими в поперечных сечениях изгибающие моменты Му и М2,
а также поперечные силы Qy и Q?.
Расчет выполняем в такой последовательности. Раскладываем
заданные нагрузки (силы Pi и Р2) на составляющие вдоль коорди-
натных осей и приводим их к оси вала; при этом получаем в попереч-
ных сечениях, в плоскостях которых находятся точки приложения
сил. внешние скручивающие моменты MK1=Mix и МК2=М2х-
Полученная таким образом расчетная схема представлена на
рис. 345.
Для того чтобы установить положение опасного сечения, строим
эпюры изгибающих моментов Му и Мг, а также эпюру крутящих
моментов Л4кр (рис. 345, б).
Сопоставление эпюр показывает, что наиболее опасным является
сечение 1—1 бруса, расположенное левее точки приложения силы
Р2- В этом сечении действуют наибольшие изгибающие моменты Мг,
Му и максимальный крутящий момент Л4кр. Чтобы проверить проч-
ность бруса, нужно в опасном сечении найти опасную точку, вы-
числить для нее эквивалентное напряжение (по одной из теорий
прочности) и сопоставить его с допускаемым напряжением.
Для нахождения опасной точки сечения строим эпюры напря-
жений от всех силовых факторов (рис. 346, б — е): ох (Мг); ох (Му);
Тгх (Сг); Тух (Qy)» Т (Л4кр).
Рис. 345
372
Сложное сопротивление
Рис. 346
Эпюра т (Л4кр) для длинной стороны контура имеет максимум,
который обозначим т>ак (Мкр). Наибольшую ординату эпюры т (Мкр)
на короткой стороне обозначим т' (Л4кр). Эти напряжения можно рас-
считать по известным формулам кручения брусьев прямоугольного
сечения (гл. 9):
Тмакс (Л4кр)==Т£ = Тг — —. (12.46)
Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно по-
казывают, что в отличие от круглого сечения в рассматриваемом
случае наибольшие нормальные напряжения ох и наибольшие каса-
тельные напряжения т (Q) и т (Мкр) имеют место не в одной и той же
точке.
Следовательно, для выявления самой опасной точки в сечении
нужно сопоставить эквивалентные напряжения в нескольких опас-
ных точках. Обычно считают достаточным рассмотреть три точки
сечения: одну угловую точку (Д или С), одну точку посредине длин-
ной стороны прямоугольника (L или Т) и одну точку посредине ко-
роткой стороны прямоугольника (5 или /<).
Элемент, выделенный в окрестности точки С (при принятых на
рис. 346, а направлениях Му и ЛЬ), находится в условиях простого
растяжения напряжениями, равными сумме нормальных напряже-
wnv.vokl>-la.spb.ni - Самолёт своими руками
Изгиб с кручением
373
ний от Му и Мг. Поэтому условие прочности для этой точки должно
быть записано как для случая линейного напряженного состояния:
= (12.47)
Элемент в окрестности точки А также находится в условиях ли-
нейного напряженного состояния — простого сжатия, так как ол от-
личается от ос только знаком. Если материал бруса имеет разные до-
пускаемые напряжения для растяжения и для сжатия, то проверять
прочность по формуле (12.47) необходимо в каждой из этих точек.
Элементы в окрестности точек L и К находятся в плоском напря-
женном состоянии, и, следовательно, главные напряжения в них, как
и в круглом брусе, можно вычислить по формуле (12.36). В общем
случае касательные напряжения, входящие в формулу (12.36), сле-
дует вычислять как от действия крутящего момента Мкр, так и от
действия поперечных сил:
Мкр 3
Xl ahb2 — 2 bh ’
Однако касательные напряжения от поперечных сил Qy и Qz, как от-
мечалось, обычно бывают малы, а поэтому в большинстве случаев
их влиянием можно пренебречь.
Для вычисления эквивалентных напряжений в точках L и К под-
ставляем значения нормальных и касательных напряжений в фор-
мулы (12.37) и (12.38). Одновременно получим и соответствующие
условия прочности (по IV теории и по теории Мора):
в точке L
°- "= +3 (40 < м <12-49>
°-”-" = + 4 (40 < и <12-50)
в точке К
422-^-+-4^л/Ш+4 6^0 <М(12.52)
Знаки моментов при подстановке их в уравнения (12.49) —
(12.52) не имеют значения, так как в эти формулы входят квадраты
Моментов.
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только в
Результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех
Точках (С, L и К) по формулам (12.47) и (12.49) — (12.52), причем
374
Сложное сопротивление
в каждом отдельном случае положение наиболее опасной точки
зависит от конкретного соотношения величин моментов Мх,
и Мг. Для иллюстрации методики расчета рассмотрим числовой
пример.
Пример 54. Проверить прочность бруса (рис. 345, а) по IV теории проч-
ности, если силы, действующие на брус, таковы: Pi = 7,21 кН; Р?=13,4 кН
с осью у они составляют углы а1=33°4Г и а2 =2б''34‘; размеры поперечного
сечения h — 12 см; Ь = 8 см; длины участков 1}=300 см, lz = 200 см. Сила Р
приложена к рычагу, прикрепленному в торцевом сечении бруса. Длина
рычага d — 100 см. Допускаемое напряжение \а\ = 140 МПа.
Расчетная схема почти совпадает с рассмотренной ранее (рис. 345, б).
Вычисляем составляющие нагрузок вдоль координатных осей:
Pis, = Pi cos а, =7,21-0,832 кН = 6 кН,
Рг* = Ps cos а2=13,4-0,894 кН=12 кН;
Pi, = Pi sin а, =7,21-0,555 кН = 4 кН;
Р2г = Р2 sin а2= 13,4-0,477 кН =6 кН.
Приведя нагрузки к оси, получаем скручивающие моменты:
Л4«₽| = —Pis, (rf+y) + P„ А=(—6-1,06 + 4-0,04) кН-м = —6,2 кН-м;
Л)кр2= —Р8„у+Р!,у=(—12-0,06 + 6-0,04) к11-м=— 0,48 кН-м.
Эпюры крутящих и изгибающих моментов построены на рис. 347.
Сопоставление эпюр показывает, что опасным является сечение с абсцис-
сой х = /|=300 см; действующие в этом сечении моменты
ЛД = 6,68 кН-м; Му —8 кН-м; Л+=12кН-м.
В соответствии с формулами (12.47), (12.49) и (12.51) составам условия
прочности для трех опасных точек С, L и К сечения (значения коэффициентов
а и у приведены в табл. 14 —§ 56). Получим
(тёт^+-®^)МПа-<,1-7+93-8>мп"“ I
= 135,5 МПа <140 МПа;
- I
-л/(тетЧ‘+ 3( ftJbX'os')' МП.-ШМП.<140МПа;
6,68-10-3 \2
0,231-0,12-0,082 /
МПа =
= 69,9 МПа <140 МПа.
Таким образом, наиболее опасной является точка С, но и в ней эквивалент-
ное напряжение меньше допускаемого. Прочность бруса обеспечена.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с кручением
375
Общий случай действия сил на брус.
В качестве примера более общего
случая сложного сопротивления рас-
смотрим расчет коленчатого вала. Для
него в ряде сечений имеет место одно-
временное действие осевых сил, крутя-
щих и изгибающих моментов.
Исследуем случай работы наиболее
простого вала — вала, имеющего только
одно колено. Вал (рис. 348, а) состоит
из шатунной шейки 3, двух щек 2 и двух
коренных шеек 1, опирающихся на ко-
ренные подшипники. Все необходимые
6,68 ши|||7Ц1 и
rijjKHn
(^)кН-п
размеры вала указаны на чертеже.
На шатунную шейку 3 со стороны шатуна действует под углом
а = 15° к горизонтальной оси у сила Р2=10 кН. Момент этой силы
относительно оси вращения уравновешивается крутящим моментом
М на маховике. Вес маховика 0 = 5 кН.
При заданных условиях необходимо определить размеры сече-
ний вала и шатунной шейки, а также назначить размеры прямо-
угольного сечения щек в зависимости от большего из диаметров
по соотношениям h = 1,250; b — Ofih, после чего провести провероч-
ный расчет на прочность. Принять допускаемые напряжения |о|=
= 80 МПа. Расчет вести по IV теории прочности.
От заданной конструкции переходим к расчетной схеме. Прежде
всего необходимо определить реакцию в подшипниках, а также
376 Сложное сопротивление
скручивающий момент на маховике. Для этого разложим силу р2
на горизонтальную и вертикальную составляющие (Р2у и Р2г):
Р2у=Р2 cos а = 10 • 0,966—9,66 кН;
Р2г = Р2 sin а= 10-0,259 = 2,59 кН.
Реакции в опорах также можно представить в виде двух проек-
ций — RAy, RAz и RBy, RBz. Их величины находим из уравнений рав-
новесия
2 M^O!/1 = 9,66-16 —Дйу-43 = 0; /?йу = 3,59 кН;
2 М{^}= -9,66-27 + ЯЛ,,-43=0; РЛу = 6,07 кН;
5-12 + 2,59-16-Яйг-43=0; Рйг = 2,36 кН;
2 м(йхОг) = 5-55-РЛг-43-2,59-27 = 0; RAz=4,77 кН;
У, Мх=—Л4 + 9,66-9 = 0; Л4 = 86,9 кН-см=0,869 кН-м.
Переходим к построению эпюр изгибающих моментов. Вычислим
ординаты эпюры моментов Му (в плоскости хОг):
для / участка (0<+^12 см)
МДх)=—5х; МД0) = 0; М„(12)= -60 кН-см = — 0,6 кН-м;
для II участка (12 см^х^23,5 см)
М.,(х) = — 5х + 4,77(х—12); М,(12)= — 60 кН-см = —0,6 кН-м;
М, (23,5)=—62,6 кН-см =-0,626 кН-м;
для III участка (0^х^9 см)
МДх)=—5-23,5 + 4,77-11,5=62,6 кН-см = —0,626 кН-м;
для IV участка (23,5 см^х^28 см)
Л1Дх)=-5х + 4,77(х- 12); Му (23,5)= -62,6 кН-см =
= —0,626 кН • м;
ЛД(28) =—63,7 кН-см=—0,637 кН-м;
для V участка (28 см^х^32,5 см)
Му (х)= —2,36 (55—х); Му (28)= —63,7 кН-см= —0,637 кН-м;
Му (32,5) =—53,1 кН-см=— 0,531 кН-м;
для VI участка (0^х^9 см)
М,,(х)= —2,36-22,5= —53,1 кН-см=- 0,531 кН-м;
для VII участка (32,5 см^х^55 см)
Mv(x)= — 2,36(55—х); (32,5)=—53,1 кН-см=—0,531 кН-м;
МД55)=0.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Изгиб с кручением
377
Откладывая вычисленные ординаты, строим эпюру Му (рис. 348, б).
Аналогично вычисляем ординаты и строим эпюры изгибающих
моментов Мг и Мх, действующих в плоскостях хОу и yOz, а также
эпюру крутящих моментов Мкр.
В результате сопоставления эпюр устанавливаем, что опасными
являются следующие сечения:
для вала — сечение у нижнего конца левой щеки (рис. 349),
причем
Л4кР=0,869 кН-м; Му = 0,626 кН• м; Мг = 0,698 кН-м;
для щек — нижнее сечение левой щеки (рис. 350), причем
Мг = 0,869 кН-м; Му = 0,626 кН-м; Мкр = 0,698 кН • м;
А = 0,23 кН;
для шатунной шейки — среднее ее сечение, причем
Мкр = 0,323 кН-м; Му= 0,637 кН-м; Мг = 0,971 кН-м.
Определение диаметров вала и шатунной шейки. Расчет на
прочность круглого бруса при изгибе с кручением по IV теории
производится по формуле (12.40), откуда
Ум;+Мгг+0.75Мкр М.„
1<т| [о]
(12.53)
При [о]=80 МПа вал должен иметь момент сопротивления
Ц7 У0.6262 +0,6982 +0,75-0,8692
80- К)3
м'*=15-10 6 м3=15см3.
Приняв приближенно IV«O,1Z)3, найдем диаметр вала:
fi>V10№=VT0-T5 cm=VT50 см «5,31 см.
378
Сложное сопротивление
Шатунная шейка должна иметь момент сопротивления
||у>''0.д7-+0.971Ч0.75.0.3г.У ~ , 4 да с„3;
тогда ее диаметр
d>V10~14,92 см rs 5,31 см.
Назначаем для шатунной шейки и вала одинаковый диаметр
сечения: d=D=54 мм.
Проверочный расчет теки. В соответствии с условием задачи
подбираем размеры сечения щеки такими: h= 1,25£) = 1,25-54=
= 67,5r?68 мм; 6=0,6/zrs41 мм. Переходя к проверке прочности
принятого сечения щеки, вычислим его геометрические характе-
ристики:
/г=-^-= 4J12’8* -=Ю7,4 см4; 1Гг=31,6 см3;
^ = -^-=—^^—=39,0 см4; 19,0 см3.
Проверять на прочность в опасном сечении прямоугольную щеку,
работающую на изгиб с кручением (рис. 350), следует в нескольких
точках — К, S и L.
В точке К по формуле (12.51)
—=л/(^)’ + 3(^) = I
=+3 (°-бз° дя1 I
= Л'2145,58 МПа —46,4 МПа.
В точке S по формуле (12.49)
—=л/Ш+3ЬО- I
= 1
= ^3126,04 МПа=55,9 МПа.
В точке L по формуле (12.47)
М , М„ (0,869-10 3 , 0,626-10 ’Ыи-
Оэкв п ц/2 + 31,6-Ю 6 ' 19,0-10 1 /М
^(27,54-32,8) МПа = 60,3 МПа<[о].
Таким образом, самой опасной является точка L, но и в ней наи-
большее нормальное напряжение меньше допускаемого.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Изгиб с кручением
379
Оценка влияния поперечных
и продольных сил. Учет про-
дольных и поперечных сил при
подборе сечения чрезвычайно
усложнил бы расчет. Так как
дополнительные напряжения от
действия поперечных сил обыч-
но невелики, то при подборе
сечения ими пренебрегаем. На-
иболее просто оценить их влия-
ние, проверяя сечение после его
подбора.
В опасном сечении вала
(рис. 349) кроме учтенных при
подборе сечения моментов Мх,
Му и Мг действуют еще попе-
речные силы Qy — 6,07 кН и
= 0,23 кН. Наибольшие ка-
сательные напряжения от этих
сил будут соответственно в точ-
ках К и L'.
в точке К
Рис. 351
Гу Г409 7^0.п-» МПа=3,54 МПа;
° Г о о, W • Z, / • 1U
в точке L
Т — 4 Q' _ 4 0,23-10 3 мп niQ.
Тг макс — -д—р——— £ jq-4 М11а=0,134 МПа.
Опасную точку сечения найдем, определив положение нейтраль-
ной линии. Последняя перпендикулярна к плоскости действия ре-
зультирующего изгибающего момента
М = -^М2у+м1 = д/0,6262 + 0,6982 кН - м =0,938 кН • м.
Направление нейтральной линии легко определить графически
(рис. 351), так как оно совпадает с направлением вектора М.
Опасной точкой в сечении является точка S (рис. 351). Есте-
ственно, что в этой точке касательные напряжения TyS) и тг* будут
значительно меньше вычисленных выше максимальных значений.
Примем приближенно и с некоторым запасом, что в опасной точке
3 к касательным напряжениям т$ от крутящего момента Мк:
Мк _ 0,869-10 3-16
Wp 3,14-5,4’-10 6
МПа=28,2 МПа
Добавляется следующее касательное напряжение т$ от поперечных
сил Qy и Qz:
TS « 0,7 (ту макс —Тг макс)» 2,4 МПа.
Вычислим эквивалентное напряжение в точке S по IV теории:
380
Сложное сопротивление
СГэкв IV —
= д/(15945-'о 0" + 3(28-2 + 2-4)2 МПа= И
= д/б0,62 + 3• 28,22 МПа = 80,4 МПа.
Эквивалентное напряжение в той же точке без учета влияния
поперечных сил
v's = д/б0,62 + 3-28,22 МПа «77,9 МПа.
Следовательно, если учесть действие поперечных сил, то напря-
жения увеличатся на
80,4 — 77,9 । o/^q о/
————1UO /о~3 /0.
В опасном сечении щеки (рис. 350) действует только поперечная
сила ^=6,07 кН; поперечная сила Qz=0. Поперечная сила Qy не
дает касательных напряжений в наиболее опасной точке сечения L.
Поэтому рассмотрим ее влияние в точке Si, где вызванные ею каса-
тельные напряжения достигают наибольшей величины:
т 3 Qy 3 6,07-10 3 мг1а —397 МПа
у 2 F 2 6,8-4,1-JO"4 М МИа
и совпадают по направлению с касательными напряжениями от воз-
действия крутящего момента Л4кр. Величина последних
,. Мкр _ 0,698-10 3 МП«—9R 7 МПа
трмакс- ahb2 - 0>236.618.4>12.10-6 МИа —М11а’
Вычислим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:
Оэкв (У=л/а2 + 3(т, + т, макс)2 = Л/32,82+3 (3,27 +25,7)2 МПа =
=д/з597 МПа =60 МПа.
В той же точке напряжения без учета Qy нами уже вычислены:
о£р = 55,9 МПа.
Таким образом, поперечные силы увеличивают напряжения в точке
Si на
6О’бГр~"100 %==7’6 %•
Если в сечении действует осевая сила, изгибающие моменты в
главных плоскостях и крутящий момент, то условие прочности,
например, no IV теории, в точке К (рис. 350) имеет вид
+++4)"+3(v->-)4M. (**>
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Обобщенные силы и перемещения______
Аналогично в точке S
381
(12.55)
В рассматриваемом опасном сечении щеки действует продоль-
ная растягивающая сила А = 0,23 кН. Вызываемое ею нормальное
растягивающее напряжение
п \ МПа ^0,083 МПа
°* Г 6,8-4,1-10 1
настолько мало, что им можно пренебречь.
Глава 13
Общие теоремы об упругих системах.
Общие методы
определения перемещений
§ 78. Обобщенные силы и перемещения
Одной из важнейших задач сопротивления материалов является
оценка жесткости конструкции, т. е. степени ее искажения под дей-
ствием нагрузки, смещения связей, изменения температуры. Для
решения этой задачи необходимо определить перемещения (линей-
ные и угловые) любым образом нагруженной упругой системы (бал-
ки, рамы, криволинейного стержня, фермы и т. д.). Та же задача
возникает при расчете конструкций на динамические нагрузки и
при раскрытии статической неопределимости системы. В последнем
случае, как уже отмечалось, составляются так называемые уравне-
ния совместности деформаций, содержащие перемещения опре-
деленных сечений.
В предыдущих разделах рассматривались некоторые частные
способы определения перемещений, удобные при решении простей-
ших задач. Ниже излагается общий метод определения перемещений
в стержневых системах, в основе которого лежат два основных
принципа механики: начало возможных перемещений и закон со-
хранения энергии.
Как известно из теоретической механики, работа постоянной
силы Р на перемещении А по ее направлению равна произведению
величины силы на указанное перемещение:
4 = РД.
В задачах сопротивления материалов и строительной механики
внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно
представляет собой группы сил. Выражение для работы группы по-
стоянных сил также можно представить в виде произведения двух
382
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
величин:
Л = РАр, (13.1)
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется
обобщенной силой, а ДР зависит от перемещений и называется
обобщенным перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую
нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распре
деленную нагрузку), а под обобщенным перемещением — тот вид
перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.
Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся обобщен-
ных сил и перемещений.
1. На рис. 352 показана обобщенная сила, состоящая из двух
равных по величине противоположных сил Р, приложенных в точках
А и В и направленных по одной прямой. Предположим, что точки
приложения сил переместились в направлении ВА на отрезки Ai и
Д2. Очевидно, работа системы постоянных сил на этих перемеще-
ниях
Д=РД,—РД2 = Р(Д,-Д2)=РДр, (13.2)
где Др— А|— Л2=Л/ — изменение расстояния I между точками при-
ложения сил.
Следовательно, в данном примере Р — обобщенная сила, а из-
менение Д/ длины отрезка АВ — обобщенное перемещение.
2. Пусть группа сил состоит из пары сил, момент которой М=Ра
(рис. 353). Допустим, что элемент АВ повернулся на угол d@-
Пути, пройденные силами пары по направлению их действия,
AAt = OAde; BB\ = OBdP).
Суммарная работа обеих сил
А = Р-АА\-РР-ВВ\ = Р (OA+OB)dQ==PadQ=MdP>. О3-3>
Следовательно, если обобщенной силой является момент М пары,
то обобщенным перемещением будет угол поворота dQ. „
Легко также показать, что при действии на элементы АВ и
(рис. 354) двух равных и противоположно направленных пар
моментом М обобщенной силой является момент пары М, а обобщен
www.vokblll.spb.nl - Самолёт своими руками?!
Обобщенные силы и перемещения
383
ным перемещением — изменение угла <р между элементами АВ
и CD. Иначе:
Др=С?01 4-d©2-
Условимся в дальнейшем обобщенные перемещения (как линей-
ные, так и угловые) какого-либо сечения стержня обозначать бук-
вамы Д или 6 с двумя индексами. Первый индекс отмечает точку и
направление перемещения, второй — указывает причину, вы-
звавшую искомое перемещение. Например, АРР обозначает переме-
щение точки приложения силы Р по направлению ее действия, вы-
званное этой же силой (рис. 355, а). На рис. 355, б изображена
консоль, нагруженная на свободном конце сосредоточенным момен-
том. Очевидно, угол поворота сечения, где приложен момент, сле-
дует обозначить через Амм. Здесь первый индекс указывает пере-
мещение по направлению момента М, т. е. угол поворота.
Для обозначения полного перемещения точки, вызванного не-
сколькими усилиями, при Д сохраняется только первый индекс.
Так, полный изгиб и угол поворота сечения В балки, показанной
на рис. 356, следует обозначить соответственно через ДР и Дм, про-
гиб сечения С — через Дс.
Рассматривая достаточно жесткие линейно-деформируемые кон-
струкции (т. е. системы, деформации которых следуют закону Гука),
можно на основании принципа независимости действия сил опреде-
лять полные перемещения точек как сумму перемещений, вызванных
отдельными нагрузками.
Для показанной на рис. 356 балки прогиб и угол поворота
сечения В можно записать в виде
Лр=ДРР +ДР(3 +ДРЛ1; (13 4)
Л и — Д МР-|- AMq + Амм,
гДе Дрр— перемещение точки В по направлению силы Р от силы Р;
ДРС — то же от силы Q;
АРМ — то же от момента Л4;
А,МР—перемещение сечения В по направлению пары М (угол
поворота) от силы Р;
&mq — то же от силы Q;
ДИЛ1 — то же от пары М.
Рис. 357
Перемещение, вызванное единичной силой (Р=1) или единич-
ной парой (М = 1), будем обозначать буквой 6 и называть удель-
ным. При этом условимся считать единичные силы или пары, вы-
зывающие перемещение б, безразмерными.
Если единичная сила Р—\ вызвала перемещение 6Р, то на осно-
вании принципа независимости действия сил полное перемещение,
вызванное силой Р,
АР=Р6Р. (13.5)
Из выражения (13.5) легко установить единицу удельного переме-
щения:
. । _ единица обобщенного перемещения
I р единица обобщенной силы
(13.6)
Заметим, что нагрузку, действующую на сооружение, обычно
обозначают буквами Р, М, X и т. д. с числовыми индексами (на-
пример, Х|, Х2, . . .). В этих случаях буквенные индексы при А или б
заменяют соответствующими числовыми, т. е. вместо АЛ1 пишут Ai
(Аг, 612, • • ) -
На рис. 357 показаны обозначения перемещений свободного кон-
ца рамы под действием различных усилий (Р, Xt, Х2, Хз). Полные
перемещения сечения С в горизонтальном и вертикальном направле-
ниях (т. е. в направлениях сил Xt и Х2), а также угол поворота (пе-
ремещение по направлению Х3) соответственно можно представить
в виде
А|=А|Л>-|-Х|6ц -|-Л2б12-|-Лз6|з;
Аг — А2р4- Х1621 -|- Л2622 + Хзд-гз',
Аз = А3р + Х163| +X2632-I-X3633.
(13.7)
Здесь
Х|бц=Ац; Х2б|2=А|2; Л3613—Ai3; . . . ;
Xid/ni Am<.
Для оценки единицы перемещений 6,ш умножим последнее равен
ство на Хт. Тогда выражение
XmXibmi — Х„,Д
mi
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
работа внешних сил
385
будет измеряться в единицах работы (Дж). Отсюда единица пере-
мещения
Дж
|Xm][X,J-
Например, в формуле (13.7)
[6|.з]=
Дж
|Х,].[Х3|
Дж = 1
Н-Дж Н ‘
§ 79. Работа внешних сил
При деформировании конструкции различные ее точки переме-
щаются. Перемещаются также точки приложения внешних сил.
В результате этого внешние силы совершают работу.
Вычислим работу некоторой обобщенной силы Р, приложенной
к любой упругой линейно деформируемой системе (рис. 358, а).
Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной ве-
личины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь
силами инерции перемещаемых масс. Такая нагрузка в дальнейшем
именуется статической.
Пусть в данный момент силе Р соответствует обобщенное пере-
мещение Л. Бесконечно малое приращение силы на величину dP
вызовет бесконечно малое приращение перемещения cfA. Очевидно
элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно
малыми второго порядка,
dA=(P+dP)db&Pd&.
Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной
силой Р, вызвавшей обобщенное перемещение Д,
PdA. (13.8)
А
Интеграл (13.8) представляет собой площадь диаграммы Р — Д
для данной конструкции (рис. 358, б).
В линейно деформируемых системах перемещения пропорцио-
нальны величине силы (закон Гука):
Д = Р6РР, (13.9)
где брр— перемещение, вызванное силой Р — 1.
Дифференцируем выражение (13.9):
с/Д = 6Р6рр.
Подставляя полученное выражение в формулу (13.8), найдем, что
р
^! = 6ppJ PdP=^f-.
О
13
5-372
386
Общие теоремы об упругих системах Общие методы определения перемещений
Рис. 358
Рис. 35«
Учитывая выражение (13.9), окончательно получим
Л==^=-(13.10)
Таким образом, действительная работа при статическом дей-
ствии обобщенной силы на упругую систему равна половине произ-
ведения окончательного значения силы на окончательное значение
соответствующего ей обобщенного перемещения (теорема Клапей-
рона).
В случае статического действия на упругую систему нескольких
обобщенных сил (рис. 359) Pi, Р2, .... Рп работа деформации равна
полусумме произведений окончательного значения каждой силы на
окончательное значение соответствующего суммарного перемещения:
/>=4-2
(13.11)
и не зависит от порядка нагружения системы.
§ 80. Работа внутренних сил
При упругой деформации тела во всех деформируемых элементах
развиваются внутренние силы — силы упругого сопротивления. Они
также совершают работу. Вначале определим работу внутренних
сил упругости при деформировании плоской стержневой системы.
Двумя смежными сечениями выделим из стержня элемент длиной
ds (рис. 360). В общем случае для плоского изгиба действие уда-
ленных частей стержня на оставленный элемент выражается равно-
действующими осевыми силами N, поперечными Q и изгибающими
моментами М. Эти усилия, показанные на чертеже сплошными
линиями, по отношению к выделенному элементу являются внеш-
ними.
Внутренние силы препятствуют развитию деформации, вызывае-
мой внешними силами, равны им по величине и обратны по направ-
лению. На рис. 360 равнодействующие внутренних сил показаны
штриховыми линиями.
Учитывая направления внутренних сил по отношению к дефор-
мации, вызванной внешними силами, можно утверждать, что при
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими руками?!
нагружении тела суммарная работа внутренних сил всегда отри-
цательна.
Вначале вычислим работу, совершенную отдельно внутренними
осевыми силами, поперечными силами и изгибающими моментами.
Пусть элемент испытывает действие только осевых сил N, равно-
мерно распределенных по сечению (рис. 361). Удлинение элемента
в результате этого
где EF — жесткость поперечного сечения на растяжение — сжатие.
Работа постепенно возрастающих от нуля до величины /У внут-
ренних сил на этом перемещении выразится формулой
dWN= —{-N\ds =-----(13.12)
Как указывалось, работа внутренних сил отрицательна, поэтому
в формуле (13.12) поставлен знак «минус».
Рассмотрим теперь элемент, находящийся под действием изги-
бающих моментов (рис. 362). В результате изгиба сечения тп и
т\П\ повернутся на углы dE). Моменты внутренних сил (показан-
ные штриховыми линиями) на указанных перемещениях совершат
работу
dW.,=
м
-L Md& —MdQ = -~Md<p,
где dtp = 2d© — взаимный угол поворота
было показано в гл. 10,
d«p=dsJ-=ds м Mds
р El EJ
Таким образом,
dw _
М 2EJ ‘
Вычислим, наконец, работу постепенно______t_______..... ___
Них поперечных сил Q (рис. 363, а). Как указывалось, поперечные
13*
(13.13)
сечений элемента. Как
(13.14)
возрастающих внутрен-
388
Общие теоремы об упругих системах Общие методы определения перемещений
Рис. 362
силы являются равнодействующими распределенных в точках се-
чения касательных напряжений т. Последние в любой элементарной
площадке dF, параллельной нейтральной линии (рис. 363, б), со-
гласно формуле Журавского, таковы:
QS,
Jrb '
где 5г — статический момент относительно нейтральной оси z части
сечения, заключенной между уровнем полоски и краем сечения.
На основании закона Гука взаимный сдвиг двух соответствую-
щих площадок dF, взятых на торцах тп и (рис. 363, в),
yds=-^-ds.
Следовательно, работа внутренних элементарных сил xdF при их
нарастании от нуля до окончательного значения
—'—rdFyds=—fl
Интегрируя в пределах сечения F, получим работу сил сдвига:
d - Н dF=-5#dF = - 5 4,!r=
F F F
= (13.15)
у 2GF ' '
где ky = (F/J?) j (Si/ti^dF — коэффициент, зависящий от формы по-
г перечного сечения;
GF — жесткость поперечного сечения стержня
при сдвиге.
Для прямоугольного сечения by.h
с 1.1. i bhd с Ыг /, iy \
f = S,=— (1---$-);
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим» рукам»..
Работа внутренних сил 389
h
О
Аналогично определяются значения коэффициента k и для других
сечений. Например, для кругового сечения /г = 32/27, для прокат-
ных профилей приближенно k = F/F,, где Fc — площадь стенки.
В случае чистого сдвига касательные напряжения распределяют-
ся равномерно по сечению:
_ <2
Т F
Следовательно,
dWQ= — rydsdF =—YrFyds=—. (13.17)
z Z Z £(jr
При одновременном действии осевых и поперечных сил, а также
изгибающих моментов полную работу можно получить как сумму
работ отдельных составляющих. Это объясняется тем, что работа
каждого из этих усилий на перемещениях, вызываемых остальными
силами, равна нулю. Например, при удлинении, вызванном силами
N, поперечные сечения остаются плоскими и параллельными, а
потому пары М и силы Q работы не производят. Аналогично силы N
не производят работы на перемещениях, вызванных силами Q и
парами М.
Таким образом, в рассмотренном случае полная элементарная
работа внутренних сил
dW= M^s Nids k Qds
2EJ 2EF Л 2GF ' (13.10)
Интегрируя выражение (13.18) в пределах всего стержня и сум-
мируя по всем стержням системы, получим формулу для работы
внутренних сил в случае плоского изгиба:
г—2$^-2 <13|9>
0 0 0
Когда стержень подвергается деформации кручения, в сечениях,
ограничивающих выделенный элемент длиной ds, действуют крутя-
щие моменты Акр (рис. 364), являющиеся по отношению к элементу
внешними. Моменты сил упругости равны по величине моментам
Мкр и направлены в противоположные стороны. Взаимный угол
поворота сечений тп и т\П\
drr.—
GJK ’
гДе GZK — жесткость поперечного сечения стержня при кручении.
390 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
Таким образом, при кручении элементарная работа постепенно
возрастающих внутренних сил
I dirKp=-4-MKpd<p=------(13.20)
Полная работа внутренних сил при кручении стержня
।
Наконец, в общем случае действия сил на брус в сечениях имеем
шесть силовых факторов'(рис. 365): осевую силу N, поперечные
I силы Qy и Qz, крутящий момент Л4кр, изгибающие моменты Мы и Мг.
I Учитывая, что работа каждого из этих усилий на перемещениях,
I вызванных остальными усилиями, равна нулю, получаем следую-
щую формулу для работы внутренних сил (сил упругости):
N2ds
2EF
Myds
2EJ,
Mlds
2EJr
Mifds
2 GA
С b <&s
ы 2GF J 2GF
s
(13.22)
Заметим, что выражение (13.22) справедливо также и для кри-
волинейных стержней малой кривизны.
I § 81. Применение начала
возможных перемещений
к упругим системам
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом
механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем.
Применительно к ним этот принцип можно сформулировать сле-
дующим образом: если система находится в равновесии под действи-
ем приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних
сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы
равна нулю, т. е.
SPAm+^m = 0, (13-23)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Применение начала возможных перемещений к упругим системам
391
где Pi — внешние силы;
Д)т — возможные перемещения этих сил;
SPAm — работа внешних сил;
Wim — работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного пере-
мещения величина и направление внешних и внутренних сил оста-
ются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать
не половину, а полную величину произведения соответствующих
сил и перемещений.
Учитывая малость деформаций и их линейную зависимость от
нагрузок, в качестве возможных перемещений можно принимать
упругие перемещения, вызванные любым видом нагрузки и проис-
ходящие без нарушения связей. Работа внешних и внутренних сил
на возможных перемещениях называется возможной или виртуаль
ной работой.
Покажем, как определяется возможная работа внешних и вну-
тренних сил, на примере плоской системы. Рассмотрим два состоя-
ния какой-либо системы, находящейся в равновесии (рис. 366).
В состоянии а система деформируется обобщенной силой Ра
(рис. 366, а), в состоянии b — силой Рь (рис. 366, б).
Очевидно перемещения состояния b можно рассматривать как
возможные для состояния а, и наоборот, перемещения состояния а
являются возможными для состояния Ь.
Поэтому работа сил состояния а на перемещениях состояния
б ИсД равно как и работа сил состояния b на перемещениях со-
стояния а(Аьа\ будет возможной. Указанные работы внешних сил
соответственно
A ab — Р a^ab't
А Ьа — Р b^ba-
(13.24)
Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния а
на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния b. С этой целью
рассмотрим произвольный элемент стержня длиной cfs в обоих со-
стояниях. Для плоского изгиба действие удаленных частей на эле-
мент выражается системой усилий Na, Qa, Ма (рис. 367, а). Внутрен-
392
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
ние усилия, действующие
на элемент, имеют направ-
ления, противоположные
внешним, и показаны штри-
ховыми линиями. На рис.
367, б показаны внешние
усилия Nb, Qb, Мь, дей-
ствующие на элемент ds
в состоянии Ь. Деформа-
ции элемента, вызванные
этими усилиями, показаны
на рис. 368.
Очевидно удлинение
элемента ds, вызванное
силами Nb,
(&ds)b=-^
Работа внутренних осевых сил Na на этом возможном перемещении
- Na (Mds)b =--- (13.25)
Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами Mt,
,, , Mhds
{d^b=^j-.
Работа внутренних изгибающих моментов Ма на этом перемещении
- Ма (d<p)fr = _ (1326)
Взаимный сдвиг граней элемента, вызванный поперечными си-
лами Qb,
Работа внутренних поперечных сил Qo на этом перемещении
-Qa(yds)b=-k-^^. (13-27)
Суммируя выражения (13.25), (13.26) и (13.27), получаем воз-
можную работу внутренних сил, приложенных к элементу ds стержня,
на перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагруз-
кой, отмеченной индексом Ь:
dWOb = — Mo(d(p)b — Na (Ads)b — Qa (yds},.
(13.28)
или
(13.29)
, ,vz MaM ds Na^bds , QaQbds
dWab— EJ Er k GE
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, а
затем по всем стержням системы, получим полное значение возмож-
ной работы внутренних сил:
Wab=— 2 | Na (Ads)b +2 Ма (dtp} +2j Qn .
(13.30)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими р.’
Применение
начала возможных перемещений к упругим системам
393
Запишем его в более удобном виде:
У С MuMbds у [ NaNtds у С , Q„Qhds
Wat,— Zj J EJ Zu) EF Zj J k ce
s s s
(13.31)
Внеся теперь в уравнение (13.23) выражения для возможной
работы внешних сил [первую из формул (13.24)] и внутренних сил
[формулу (13.30) или (13.31)], получим общее выражение начала
возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:
2 Рj Na (Ads)/.-f~y, Qa (yds)b J —О,
s S s
(13.32)
или
^PtAab— (13.33)
I J ILJ J IL Г j kJ Г |
S S S
Иными словами, если упругая система находится в равновесии,
то работа внешних и внутренних сил в состоянии а на возможных
перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом Ь, равна нулю. Выражения (13.32) и (13.33)
применимы и для стержня малой кривизны. Аналогичные выраже-
ния легко составить и для общего случая нагружения стержня.
Если в качестве возможных принять действительные перемеще-
ния Да, вызванные заданной нагрузкой Ра, то выражение (13.33)
примет вид
Нетрудно видеть, что, разделив выражение (13.34) на два, по-
лучим
~2 (13.35)
т. е. А представляет собой действительную работу внешних сил
в процессе статической деформации [см. формулу (13.11)], а
s S S
— работу внутренних сил [см. формулы (13.19)].
Таким образом,
(13.36)
(13.37)
А + 1Т=0,
т- е. суммарная работа внешних и внутренних сил при статическом
Деформировании упругой системы равна нулю. Отсюда следует, что
Действительные значения работы внешних и внутренних сил равны
До величине и обратны по знаку.
394 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
§ 82. Теоремы о взаимности работ
и перемещений
Рассмотрим произвольную упругую систему, например балку,
в двух состояниях. В первом состоянии (рис. 369, а) пусть дей-
ствует обобщенная нагрузка, отмеченная индексом /; перемещения
соответствующих точек системы будут Дн, A2i, ..., А,|.
Во втором состоянии (рис. 369, б) система нагружается обобщен-
ной нагрузкой, отмеченной индексом 2, а перемещения соответ-
ствующих точек системы от этой нагрузки будут Д|2, А22, .... Л,2.
Напишем выражение возможных работ внешних и внутренних
сил для обоих состояний системы, взяв для первого состояния в ка-
честве возможных перемещения, вызванные силами второго состоя-
ния, а для второго — перемещения, вызванные силами первого.
На основании формулы (13.33) для первого состояния
PiAi2-S[^ k Q'^s ] =0, (13.38)
для второго состояния
e^.]=0. (i3.3S>
S s s
Так как выражения для работ внутренних сил одинаковы, то
на основании уравнений (13.38) и (13.39) приходим к равенству
PiAi2=P2A2i. (13.40)
Выражение (13.40) носит название теоремы о взаимности работ
(теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом: возмож
ная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1 на переме
щениях состояния 2 равна возможной работе внешних (или внут-
ренних) сил состояния 2 на перемещениях состояния /
Применим теорему о взаимности работ к частному случаю на-
гружения, когда в обоих состояниях системы приложено по одной
единичной обобщенной силе Р\ = 1 и Р2=1 в точках / и 2 (рис. 370).
На основании формулы (13.40)
Р|612=Р262|,
а так как Pi = P2—\, то
612 = 621-
(31-41)
Выражение (13.41) носит название теоремы о взаимности пере-
мещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемете
ние точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное
действием второй единичной силы, равно перемещению точки при
ложения второй силы по ее направлению, вызванному действием
первой единичной силы.
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Теоремы о взаимности работ и перемещений
395
Рис. 370
Рис. 371
Теоремы о взаимности работ и перемещений имеют большое зна-
чение в общей теории исследования напряженного и деформирован-
ного состояния стержней, пластинок, оболочек и других расчетных
объектов. Их применение существенно упрощает решение многих
задач строительной механики, а также производство опытов по
определению перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ, определим прогиб Д21
балки посредине пролета при действии на опоре момента М
(рис. 371, а).
Используя второе состояние балки — действие в точке 2 сосредо-
точенной силы Р (рис. 371, б) — по формуле (10.65) при а—Ь = 1/2
и х=0 найдем угол поворота опорного сечения:
л Р/2
12 16EV ’
Согласно теореме о взаимности работ,
Л1Д12 = РД21,
откуда
д21==Л1^-=—(13.42)
у
Пример 55. Определить прогибы точек 1, 2 и 3 вала, нагруженного силой Р
в точке С (рис. 372).
Вместо того чтобы устанавливать прогибомеры в указанных точках, как
это показано на рис. 372, а, на основании теоремы о взаимности перемещений
достаточно установить прогибомер в точке С, а силу последовательно прикла-
дывать в точках 1, 2 и 3 (рис. 372, б). Измеренные при этом в точке С.прогибы
равны искомым.
Пример 56. Показать, что при нагружении балки с консолью (рис. 373, а)
моментом М, приложенным на расстоянии 1/-^3 от левой опоры А, консоль
ВС остается неподвижной.
Если нагрузить балку в опорном сечеиии В моментом М (рис. 373, б), то
максимальный прогиб на участке АВ будет в сечении D, находящемся на
расстоянии от опоры А. Следовательно, угол поворота этого сечения
равен нулю (6D=0).
396
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
Рис. 373
Если момент М приложить в сечении D (рис. 373, б), то на основании
теоремы о взаимности перемещений иа опоре В угол поворота сечения будет
равен нулю (вв=0). Консоль ВС остается неподвижной, так как ее переме-
щение, очевидно, может произойти только в результате поворота опорного
сечения В, а он отсутствует.
§ 83. Общая формула
для определения перемещений.
Метод Мора
Рассмотрим вначале произвольную плоскую стержневую систему
(балку, раму, ферму и т. п), нагруженную заданными силами Р
(рис. 374, а). Усилия в произвольном сечении системы обозначим
через МР, QP, NР. Пусть требуется определить перемещение (обоб-
щенное) любой точки т системы по направлению I — I.
Введем вспомогательное состояние (рис. 374, б), представляющее
собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой
(обобщенной) Х,= 1, приложенной в той же точке т и по тому же
направлению, по которому надлежит разыскать перемещение А(7>
Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния, вы-
званные действием единичной силы Х=1, обозначим через М-,
Q„ М.
Применим начало возможных перемещений для вспомогатель-
ного состояния, принимая в качестве возможных действительные
перемещения заданной системы. Согласно формуле (13.33),
1 • А,р—S
M,Mpds
EJ
MiNpds । V
EF
Q Qpds
GF
(13.43)
Выражение (13.43) является общей формулой для упругого пере-
мещения плоской стержневой системы.
Если исходить из выражения начала возможных перемещении
в форме (13.32), то общую формулу для упругого перемещения
можно записать в виде
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
Общая формула для определения перемещений. Метод Мора
М (Д^)р+2 5
397
(13.44)
В общем случае действия сил (см. рис. 361) формула для пере-
мещения содержит шесть слагаемых:
У г / мтуР Ж мкрм^
A,p=2j J Е]у + EJ, + GA
1_Ь W
GF
+ Кг GF ~ EF
(13.45)
Индексы у, z в формуле (13.45) обозначают главные оси, индекс
«кр» — крутящий момент. Заметим, что общая формула (13.45) при-
менима и для кривых стержней малой кривизны.
Формулы (13.43) и (13.45) впервые были получены Мором.
Определение перемещений по этим формулам часто называют мето-
дом Мора. Отметим, что метод Мора является самым общим методом
определения перемещений стержневых систем. Его значение особен-
но велико при расчете статически неопределимых систем.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках,
рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных деформа-
ций и деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые
вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (13.43) для плос-
кой системы принимает вид
M.Mpds
EJ
(13.46)
При пространственном нагружении, согласно формуле (13.45),
_УГ[ MVWpds , Г MtM'pds , Г MPM^ds 1
,Р ^Lj EJy + ) ЕЛ GJK г
5 S S
(13.47)
Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми
стержнями, то в формуле Мора сохраняется лишь член, содержа-
щий продольную силу:
(13.48)
Формула (13.48) носит название формулы Максвелла.
Можно указать следующий порядок определения перемещений
По методу Мора:
1. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единич-
ной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение.
Определяя линейные перемещения, в заданном направлении при-
кладывают единичную силу, определяя угловые перемещения,—
единичный момент.
398
Общие теоремы об упругих системах Общие методы определения перемещений
2. Для каждого участка системы выписывают выражения сило-
вых факторов в произвольном сечении заданной (МР, NР, QP) и
вспомогательной (М, М, Qi) систем.
3. Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей
системы). В соответствии с указанным, при расчете плоских балок,
рам и арок исходят из формулы (13.46), при расчете ферм — из
формулы (13.48).
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак,
то это означает, что его направление совпадает с направлением
единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действи-
тельное направление искомого перемещения противоположно направ-
лению единичной силы.
Рассмотрим примеры применения метода Мора для определения
перемещений в стержневых системах.
Пусть требуется определить прогиб посредине пролета и угол
поворота на опоре шарнирно опертой балки (EJ = const), нагру-
женной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью ч
(рис. 375, а), а также исследовать влияние поперечных сил на мак-
симальный прогиб.
1. Для определения прогиба посредине пролета нагружаем в
этом месте вспомогательную балку (рис. 375, б) единичной сосреД0
точенной силой. В произвольном сечении первого участка ба л к
(0<х<//2)
www.vokb-la.spb.ru
Самолет своими р;
Общая формула для определения перемещений. Метод Мора 399
Л4Р(х)=-^х--^-;
ЛГ| (х)=-±~х.
Учитывая симметрию, получим
L t
A|P==2\ -^lxW)dx = -Lf
J £/ EJ ' 2 V 2 2 )d 384 EJ '
и о
Учтем влияние касательных напряжений на искомый прогиб,
предполагая, что балка имеет прямоугольное сечение Очевидно
при 0<х<//2
Q₽W=-7—W
QiW=4"-
На основании равенства (13.43) прогиб, вызванный действием
поперечных сил,
t I
2 __ 2
лЯ, = 2 ( k = 2<г ( (JL—nyX dx=k q(2 —
1P 2 J R GF GF } 2 \ 2 qX) ax 8GF
о 0
2 qP
5 EF ’
При этом учтено, что коэффициент формы для прямоугольного се-
чения
6=1,2; a G
Е ~ 3 F
2(l+f0 ~ 8 С
Суммируя выражения для перемещений, находим, что
Д
ip
5___ql*_
384 EJ
2 ql2 _ 5 g/4 /. ? ft2 \
5 EF 384 EJ \1-rZ’D p )'
Второй член в скобках, отражающий влияние поперечной силы,
при h/l —1/10 равен 0,026. Следовательно, прогиб, вызванный по-
перечной силой, составляет менее 3 % прогиба, вызванного изгибаю-
щими моментами.
2. Для определения угла поворота опорного сечения вспомога-
тельную балку нагружаем единичным моментом (рис. 375, в). При
О^х^/ имеем
«,W=fz-4-;
400 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещение
Mi (х) Mp(x)dx_
EJ ~
(13.49)
Положительный знак указывает на то, что поворот совпадает с на-
правлением единичного момента.
Определим вертикальное перемещение узла В шарнирно-стерж-
невой системы (рис. 376, а), состоящей из двух одинаковых стерж-
ней АВ и ВС постоянного поперечного сечения. Вспомогательная
система показана на рис. 376, б.
Вырезая узел В и рассматривая его равновесие, легко находим
усилия в стержнях для обоих состояний:
Стержень Np Ni
АВ р 1
ВС — Р - 1
На основании формулы (13.48)
A„-S^-=2-g-- (13.50)
Пример 57. Расположенная в горизонтальной плоскости рама АВС
(рис. 377, а) состоит из двух стержней одинакового круглого поперечного се-
чения. Определим вертикальное перемещение точки С. Вспомогательная систе-
ма показана на рис. 377. б.
Перемещение Л,,,определим исходя из формулы (13.45). Для произвольных
сечений двух участков имеем:
для / участка (О^х^а)
МР=Рх; MPKf = 0;
М,=х; М?р = 0;
для // участка (О^х^/)
Мр=Рх; М^ = Ра;
Mi=x; М1Р = а;
, ( M\Mpdx , f M'PMVdx (° Px2dx , f Px2dx ,
Д-- J5 EJ + )s GJp \ EJ + )0 £7
C Pa2dx _ £(«3 + /3) РагI (13.51)
J GJp ~ 3EJ GJp ’
° -4
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
Перемещения, вызванные действием температуры 401
§ 84. Перемещения, вызванные
действием температуры
Допустим, что произвольный элемент ds стержня нагрет внизу
до температуры Т„, а вверху — до Тв (рис. 378, а, б). Обычно
предполагается, что по высоте сечения температура изменяется по
линейному закону, тогда сечения бруса перемещаются, оставаясь
плоскими.
Удлинения нижнего и верхнего волокон (рис. 378, б) соответ-
ственно
^ds„ = aTHds; (13.52)
Ads0==a7'Brfs,
где а — коэффициент линейного расширения.
Удлинение по оси бруса (среднее удлинение)
Msc=a T"~tr‘ ds. (13.53)
Взаимный угол поворота сечений элемента ds, вызванный не-
равномерным нагревом элемента,
(d0)r=—Ms’ = а ds. (13.54)
Пусть теперь требуется определить перемещение (обобщенное)
произвольной точки k системы в любом направлении z — г, вызван-
ное действием температуры. С этой целью нагружаем всномога-
тельное состояние системы единичной силой (обобщенной) Х,= 1
(рис. 378, в). Применяя начало возможных перемещений для вспо-
могательного состояния и считая возможными действительные пе-
ремещения, вызванные действием температуры, на основании фор-
мулы (13.44) находим
д.г =2 j И №>)т + S j MAz/sc- (13.55)
5 S
После подстановки формул (13.53) и (13.54) получим
402 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
Д.г= £ j Ма -bzi.fr Z j Ma Т-+Т‘- ds. (13.56)
Формула (13.56) применима и для брусьев малой кривизны
В фермах, где действуют только продольные усилия, температур!
ные перемещения определяются по формуле
&,т=^№аТ1, (13.57)
Г Ч- Г
где Т — в------температура на оси стержня, постоянная по его
длине. Суммирование проводят по всем стержням фермы.
Знак перед первым членом в формуле (13.56) зависит от выбора
правила знаков для изгибающего момента. Если считать изгибаю-
щий момент положительным, когда он направлен так, как показано
на рис. 379, а, то перед первым членом в формуле (13.56) сохра-
няется знак «плюс». Иногда изгибающий момент считают положи-
тельным, если он направлен, как показано на рис. 379, б. Тогда
перед первым членом в формуле (13.56) берут знак «минус».
Напомним, что в статически определимых системах температур-
ные перемещения не вызывают усилий /V, Q и М в элементах
системы.
В случае действия нагрузки и температуры на плоскую систему
общая формула для перемещений представляет собой сумму членов
формул (13.43) и (13.56):
Д,=Д,Р+Д1Т= 2 J —^;-- + 2 j Ма-Г-'-|Г-^ +
S S
+ 2 J Ма ds. (13.58)
Пример 58. Определить горизонтальное и вертикальное перемещение, а
также угол поворота свободного конца стальной консоли (рис. 380. а), вы-
званные неравномерным нагревом. Длина балки 1 — 2 м, высота сечения
h = !0 см. а. —118-10 Начальная температура балки Т«=5 "С; затем
нижнее волокно нагрето до температуры 55 °C, а верхнее охлаждено до тем-
пературы —5 °C.
Очевидно расчетные температуры волокон следующие:
Т„ = 55 —5=50 ®С;
7»=—5-5=-10 °C.
Вспомогательные состояния для определения вертикального и горизон-
тального перемещений и угла поворота показаны на рнс. 380. б — г. Имев
М) = —(/—х); 7^=0;
ЛЪ=0; И2= — 1;
ЛГ3=1; ЛГ,=О.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими р
Перемещения» вызванные действием температуры
403
Рис. 379
Рис. 380
Следовательно, на основании формулы
а) прогиб
л f л7 Т«-Тс . Т„-Т.
Д)Г= \ м'°-----;---dx= — а
3 п
о
(13 56)
С Т'н Л ,2
] U—х) dx = — а----------Г,
о
или после подстановки значении,
. 118-10~7-60-4-104
Л|г=----------—-----------см= —1,42 см;
2-10
б) горизонтальное перемещение
dx = —а
+ Т. , 118-ИГ7-40-200
—----1 =------------------см = — 0,047 см;
в) угол поворота
I I
Л (ти Тн-Т, . Т„~тЛ . a(T„—Tt) .
Дзт= \ Л43а--------dx=a---------\ dx=-----i-----—I;
J Л h J
0 0
Дзг
118-10~7-60-200
10
рад=0,0142 рад.
Агт= Nio.-—
о
h
h
2
§ 85. Вычисление интегралов Мора
по способу Верещагина
Вычисление интегралов Мора существенно упрощается, если од-
на из эпюр (в действительном состоянии или единичном) прямоли-
нейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих
из прямых брусьев, так как при этом эпюры от единичной нагрузки
(сосредоточенной силы или пары) всегда ограничены прямыми ли-
ниями '
404 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
Вычислим интеграл ) M,MPdx для случая, когда эпюра от задан-
I
ной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной _
прямолинейна (рис. 381). Обозначим через Q площадь эпюры Мр;
с — ее центр тяжести, Мс — ордината эпюры от единичной нагруз-
ки под центром тяжести эпюры МР. Очевидно, что MPdx=dQ
представляет собой дифференциал площади эпюры Мр, а
М,—х tg а.
Тогда искомый интеграл
MtMPdx=tg а xdQ. (13.59)
i i
Интеграл в правой части равенства (13.59) представляет собой
статический момент площади эпюры МР относительно оси О — О:
xdQ =xcQ,
i
где хс — абсцисса центра тяжести эпюры Мр.
В таком случае
^М.Мpdx — tg axcQ — 0.Mc, (13.60)
I
так как
Хс tg а=Мс.
Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади
эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от
единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры
от заданной внешней нагрузки.
Общая формула (13.46) перемещений для систем из прямоли-
нейных элементов принимает вид
Л - У
Л,р EJ
(13.61)
Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла
Мора был предложен А. Н. Верещагиным и носит название способа
Верещагина. Вычисления по этой формуле проводят по участкам,
на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна быть
прямолинейной (рис. 382). В тех случаях, когда обе эпюры прямо-
линейны, можно умножать площадь любой из них на ординату
другой под центром тяжести первой.
Если эпюра МР имеет сложный вид, то ее нужно разбить на
простые фигуры (рис. 383), для которых легко определить площадь
и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умно-
жают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответ-
ствующей площади. _Ординаты в этом случае удобно обозначать
вместо MCk буквами т]*, где k = l; 2; ....
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
щычиглеиие
интегралов Мора по способу Верещагина
405
Рис. 382
Рис. 381
Рис. 383
Таким образом,
А.р= 2
Г=|...
(13.62)
При учете крутящих моментов в общем случае нагружения зна-
менатель формулы (13.61) в соответствующем члене содержит жест-
кость на кручение GJK. _
Если эпюры МР и М, противоположны по знаку, то результат
умножения эпюр имеет знак «минус».
Способ перемножения эпюр по Верещагину широко применяют
при расчете рамных конструкций (конструкций, у которых углы
в месте сопряжения отдельных стержней, жесткие до деформации,
остаются жесткими после нее).
Рассмотрим некоторые примеры применения способа Верещагина
для определения перемещений в различных стержневых системах.
Определим прогиб в точке D и угол поворота сечения В консоли
(рис. 384, а). Соответствующие вспомогательные (единичные)
состояния показаны на рис. 384, б, в.
Строим эпюры изгибающих моментов МР и М,. Прогиб в точке
В по Верещагину
дл£,
EJ
На участке АВ площадь Q =(1/6) qa3. Центр тяжести этой пло-
щади, ограниченной квадратичной параболой вида q (а—х)2/2
(Рис. 384, а), находится на расстоянии (3/4) а от точки В, в чем легко
Убедиться, применив формулу (2.3). Ордината вспомогательной
эпюры Mei =(7/4)а. На участке BD Q = 0. Итак,
EJ 6 4 24 EJ ’
406 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
_____
Для определения угла поворота вспо-
могательную систему нагружаем единич-
ной парой. Очевидно Л1с2=1. Следова-
тельно, угол поворота сечения В
. у ОМс2 _ 1 да3
Zj ej EJ 6 6EJ'
Определим полное перемещение точки
С рамы, изображенной на рис. 385, а,
приняв, что £/ = const. Для определения
полного перемещения A = CCi вычислим
предварительно перемещения указанной
точки в вертикальном и горизонтальном
направлениях.
Чтобы определить вертикальное пере-
мещение точки С, раму во вспомогатель-
ном состоянии нагружаем силой Х1 = 1,
направленной вертикально (рис. 385, б).
Основная эпюра Л1р_показана на рис. 385, г,
вспомогательная Alt — на рис. 385, д.
Имеем
Д|Р=£-^. I
Вычисления проводим по участкам:
для участка СВ Qi—Ml; гр =4-;
для участка АВ Qz—Mh; т]2==/.
Следовательно,
л Ml"2 , Mh-l Ml ( I ,h\
Д|р El EJ EJ \2~^~/'
Для определения горизонтального перемещения вспомогатель-
ную систему нагружаем в точке С горизонтальной силой Х2=1
(рис. 385, в). Эпюры М2 показаны на рис 385, е.
Очевидно, на участке СВ ордината тр=0, а на участке АВ
ордината т)2=Л/2. Следовательно,
д _ Mh2
^2Р EJ 2EJ
Полное перемещение точки С рамы
Д= д/д?Р-|-Д2р
Определим изменение расстояния между точками А и В ДлЯ
рамы, показанной на рис. 386, а. Эпюра изгибающих моментов от
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина
407
заданной нагрузки МР показана на рис. 386, б. Во вспомогательном
состоянии нагружаем систему обобщенной нагрузкой, соответствую-
щей искомому перемещению (рис. 386, в) '. Такой нагрузкой являют-
ся единичные сосредоточенные силы, приложенные в указанных точ-
ках. Эпюры МР и Л4| построены на сжатых волокнах. Имеем
Мс=а.
Следовательно,
Л (2МС Рба
EJ ~~ 8EJ ’
Определим опускание свободного конца ломаной консоли круг-
лого поперечного сечения, нагруженной на участке АВ вертикаль-
ной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 387, а). Эпюры
изгибающих и крутящих моментов для основного и вспомогатель-
ного состояний изображены на рис. 387, б, г. Эпюры крутящих
Моментов расположены в горизонтальной плоскости, а их ординаты
изображены штриховыми линиями.
Вычисления проводим по участкам:
д । Ча< 3 . I 1 ,22,. 1 оа2 ,
'Р EJ 6 4 + EJ 2 qal Т а =
(д' . /3 \ . да31
\ 8 3 /’Г 2GJP
ча
EJ
Для сокращения количества рисунков здесь н в некоторых примерах в даль
нейшем эпюры строим непосредственно на осях стержней, т. е. схемы нагрузочных
состояний и эпюры совмещаем на одном рисунке.
408
Общие теоремы об упругих системах Общие методы определения перемещений
§ 86. Применение способа Верещагина
к стержням переменного сечения
Чтобы применить метод Мора для определения перемещений
в стержнях переменного сечения, преобразуем формулу (13.46)
следующим образом:
м
2 1-1^- 2 ( (13.63,
J ~ J J—* * о
( I
где /(х)— момент инерции произвольного
сечения;
/о—момент инерции определенного
(характерного) сечения.
Обозначим Л4р[/о//(х)] = Л4Пр и назовем
эту величину приведенным изгибающим мо-
ментом в текущем сечении. Тогда интеграл
Мора можно записать в виде
Д.р=$ --Л^0"Г dx- (13.64)
/
Применяя к формуле (13.64) способ
Верещагина, находим, что
Рис. 388
. (13.65)
где Qn₽ — площадь эпюры Л4пр, т. е. площадь
приведенной эпюры;
Мс — ордината единичной эпюры под
центром тяжести приведенной эпю-
ры.
Определим прогиб свободного конца и
угол поворота сечения В консоли перемен-
ного сечения (рис. 388), если
wtvw.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Применение способа Верещагина к стержням переменного сечения 409
где /о — момент инерции сечения в месте защемления.
Текущая ордината эпюры Мг равна — Р (I—х). Приведенные
ординаты постоянны, так как
Мпр = мр j (х)
Для определения прогиба строим вспомогательное состояние
(рис- 388, б). Очевидно
йпр=Р/2;
fi„pMi __ Pl'
А1Р— ££> 2£Л> ’
Чтобы определить угол поворота сечения В, нагружаем балку
во вспомогательном состоянии сосредоточенным моментом Х2=1
(рис. 388, в). Учитывая, что эпюра Мч имеет два участка, получаем
£2пр=Р/-^=-^-; М2=1;
д йнрАТг _ Р1г
El„ 2EJ„ '
§ 87. Потенциальная энергия деформации
Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не
исчезает, а трансформируется в потенциальную энергию, накапли-
ваемую в упругом теле. Следовательно, величина накопленной по-
тенциальной энергии деформации определяется величиной работы
внешних сил. Эта энергия проявляется в виде работы, совершаемой
при разгрузке внутренними силами. Снимая, например, часть гирь,
приложенных к балке (рис. 389), заметим, что балка несколько вы-
прямится и приподнимет оставшиеся гири. Таким образом, упругое
тело способно аккумулировать механическую энергию, которую
можно вернуть при разгрузке.
Пренебрегая при статическом нагружении изменениями кинети-
ческой энергии системы, а также потерями энергии на внутрен-
ние трения, изменение температуры, магнитные и электрические яв-
ления, которые имеют место при деформации, можно утверждать,
что уменьшение потенциальной энергии грузов равно потенциаль-
ной энергии деформации, накопленной упругой конструкцией, т. е.
U = UP, (13.66)
где U — приращение потенциальной энергии дефор- ------------
мации;
Пр— уменьшение потенциальной энергии грузов. '—Л
Уменьшение потенциальной энергии грузов чис- I.
ленно равно работе внешних сил при нагружении Рис. 389 -ЕД
тела. Следовательно, потенциальная энергия де
410 Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
формации численно равна работе внешних сил при нагружении
системы или работе внутренних сил, совершенной в процессе
разгружения.
На основании формулы (13.22) потенциальная энергия деформа-
ции в общем случае нагружения бруса
(13.67)
Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации
является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных
перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными
силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда
положительна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и
целиком определяется окончательными значениями усилий и пере-
мещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадра-
тичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу
независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энер-
гия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сум-
ме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки
в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении
потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда пере-
мещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное дей-
ствием другой силы, равно нулю.
Пример 59. Определить величину потенциальной энергии деформации,
накопленную в шарнирно-стержневой системе (рис. 390), нагруженной в узле
В вертикальной силой Р. Стержни АВ и ВС имеют одинаковые размеры и из-
готовлены из одного материала.
Рассматривая равновесие узла В, легко находим, что стержни растяги-
ваются одинаковыми силами:
Р
Ni = N 2=—р— -
д/З
Следовательно, потенциальная энергия деформации системы
(13.68)
(13.69)
С другой стороны, на основании формулы (13.10) потенциальную энергию
деформации можно представить как половину произведения силы, приложен-
ной в узле, на вертикальное перемещение узла ДР, т. е.
U=-t-PAp.
(13.70)
www.vokbla.spb.ru Самолет своими
Заметим, что, сравнивая формулы (13.69) и (13.70), можно найти пере-
мещение точки В по направлению силы:
2 Р1
3 EF
Пример 60. Определить потенциальную энергию, накопленную при дефор-
мации балки постоянного прямоугольного сечения b'X.h, нагруженной, как
показано на рис. 391.
Будем исходить из формулы (13.67), сохранив члены, соответствующие
плоскому изгибу. Получим
( М2 (х) dx , f Q2(x)dx
J 2EJ J 2GF
i i
(13.71)
Вычисления проводим по участкам. Выражения для изгибающих моментов
н поперечных сил в произвольных сечениях участков имеют следующий вид:
для / участка (0^x<Ja)
М(х)=-^-х; Q(x)=-^~;
для II участка (а<х^/)
М(х)=-у-(1-х); Q(x)=—у-.
Следовательно,
0 0a
, - С ( Pl ) dX _ PW P2ab _PW 3 P2ab
+ J 2GF 6ЕЛ 2GFI 6EJI .5 GFl ’ 11
a
так как для прямоугольного сечения fe=l,2. Подставив в формулу (13.72)
6=0,4£; 7=-^—; F — bh,
найдем, что
2PW А 3
и ЁЬЕЦ V + 4 ab )
Последний член в скобках, выражающий влияние поперечной силы, при
обычных размерах балок не превышает 2—3 %. В связи с этим прн изгибе
412
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений I
балки влиянием поперечной силы при вычислении потенциальной энергии
обычно пренебрегают.
Желая вычислить прогиб балки в месте приложения нагрузки, предста-
вим потенциальную энергию деформации балки в виде
(>3.73)
и, сравнивая выражения (13.73) и (13.72), пренебрегая в последнем влиянием
поперечной силы, найдем прогиб в сечении В:
PaJb2
^=-зёл~- (13’74)
§ 88. Теорема Кастильяно.
Теорема Лагранжа
Пусть упругая система статически нагружена произвольной на-
грузкой Q и некоторой обобщенной силой Р (рис. 392). Вычислим
потенциальную энергию, накопленную при деформации системы.
С этой целью для удобства примем следующий порядок нагружения.
Вначале нагружаем систему силой Р. Перемещение точки прило-
жения силы по ее направлению и от ее действия обозначим ДРР. За-
тем прикладываем нагрузку Q. В результате дополнительной де-
формации сила Р получит перемещение ДР0. Полное (обобщенное)
перемещение точки приложения силы
Др=Дрр+Др(2- (13.75)
Очевидно накопленная потенциальная энергия деформации чис-
ленно равна работе внешних сил:
U=±-PbPP+P&PQ+UQQ, (13.76)
где Uqq — энергия, накопленная в результате деформирования
системы только силами Q, численно равная работе сил Q на вызван-
ных ими перемещениях.
Второй член в формуле (13.76) не содержит 1/2, так как на пере-
мещении ДР0 сила Р, выполняя работу, не изменяла своего значе-
ния. Так как ДРР=РбРР, то формулу (13.76) можно записать в виде
U=-^P28pp+P/\pq+Uqq. (13.77)
Продифференцируем выражение (13.77) по силе Р с учетом ра-
венства (13.75):
-^-:=7>6РР+Др<з—Дрр+Др<г — Др-
Таким образом,
а ЭР
&р~ дР ’
(13.78)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа 413
—- —" " ' " ' ' ' " ’ ' ~
Перемещение точки приложения обобщенной силы по направле-
нию ее действия равно частной производной от потенциальной
энергии деформации по этой силе (теорема Кастильяно).
Заметим, что, согласно формуле (13.77), вторая производная от
потенциальной энергии по обобщенной силе
(13-79>
и имеет существенно положительную величину.
Для плоской стержневой системы, исходя из общей формулы
(13.67), потенциальную энергию деформации запишем в виде
и=
М2 (s)ds , f № (s) ds f , Q2 (s) ds
2EJ ' J 2EF } R 2GF
s s
(13.80)
где M (s), N (s'), Q (s) — усилия в сечении стержня.
Применяя правило дифференцирования по параметру, находим,
что
л _ dU ___ Г M(s)ds дМ s) , С N (s') ds dN (s) .
’ р~ OP ~ J EJ дР + J EF дР +
S S
+ \k-QLdFd~d(lpS ' (,3-81>
S
или, если пренебречь влиянием осевых и поперечных сил на вели-
чину перемещения,
,\ — f М s) ds дМ (s) /14 сот
J EJ ~Р~~ (13.82)
S
Чтобы определить линейное или угловое перемещение в точке,
где по условию задачи сила отсутствует, в этой точке следует при-
ложить соответствующую фиктивную обобщенную силу. Далее,
написав выражение для потенциальной энергии от системы сил,
включая указанную фиктивную силу, следует взять его производную
по этой фиктивной силе и в полученном выражении для перемеще-
ния положить фиктивную нагрузку равной нулю.
Пример 61. Определить по способу Кастильяно угол поворота свобод-
ного конца консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
(рис. 393, а).
В указанном сечении балкн в качестве фиктивной нагрузки приклады-
ваем момент Ми (рис. 393, б). Угол поворота сечения А, согласно формуле
(13.78),
ел-Д.ме—^г-
M<x)dx дМ(х)
EJ дМ"
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
q -— ------------------------------------.—_
Имеем
дМЮ_. 1.
() 2 ' дМ"
Принимая ЛГ°=О, получаем
ql3
6EJ ‘
Отметим, что общая формула (13.45) для вычисления перемеще-
ний в стержневых системах, не требующая написания выражений
потенциальной энергии и их дифференцирования, вытеснила из
расчетной практики способ Кастильяно. Однако последний является
общим способом определения перемещений в нестержневых си-
стемах (пластинках, оболочках и деталях, все три измерения кото-
рых имеют один порядок).
Выразив потенциальную энергию деформации в функции неза-
висимых перемещений Ai, Аг, .... Ап, можно показать, что частная
производная от потенциальной энергии по любому перемещению
равна силе, действующей по направлению перемещения, т. е.
dU _р
д&, ‘
(13.83)
Эта теорема была установлена Лагранжем.
Пример 62. Симметричная шарнирно-стержневая система нагружена в
узле В вертикальной силой Р (рис. 394). Определить величину силы Р, если
опускание узла равно Ер.
Введем обозначения: а, — угол наклона стержня к вертикали; /, — длина
стержия; £,£, — жесткость поперечного сечения стержня. Стержни, равно на-
клоненные к вертикали, имеют одинаковые жесткости.
Легко видеть, что удлинение i-ro стержия
А, = ДР cos а,,
а усилие в нем
Г, - А,£.£.
I.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Теорема о минимуме потенциальной энергии______
Потенциальная энергия деформации системы
V Г,Л, V л г V cos2
(7= 2j —2~= 26 21.
Дифференцируя по Др, находим:
<56/ . V cos2 a,E.F,
—Т. —•
415
§ 89. Теорема о минимуме
потенциальной энергии
Рассмотрим произвольную статически неопределимую систему
(рис. 395, о), усилия в элементах которой только из уравнений рав-
новесия определить нельзя. Так, опорные закрепления изображенной
балки дают шесть реакций, а уравнений равновесия для произ-
вольной плоской системы сил можно составить только три. Превра-
тим систему в статически определимую, удалив соответствующее
число связей. В данном примере (рис. 395, б) отброшены три свя-
зи — шарнирно-подвижные опоры В, С и D. Действие отброшенных
связей заменим соответствующими реакциями Xit Х2, Хз и т. д.,
которые будем рассматривать как независимые друг от друга внеш-
ние нагрузки.
Вычислим по способу Кастильяно перемещения Ai, Д2, Аз точек
приложения сил Xi, Х2, Х3,... по направлению их действия. Очевидно,
Л - ди д - ди
1 дХ, ’ Лг дХ2 '
ди
дХ
где U—U(Xt, Х2, Хз, ..., Р)—потенциальная энергия деформации
системы.
Так как эти перемещения равны нулю, то
-^-=0- -^-=0-
I дХ, ’ дХ2 U’ дХз
0; ...
(13.84)
Уравнения (13.84) —необходимое условие экстремума функ-
ции U. Легко видеть, что этот экстремум является минимумом. В са-
мом деле, согласно формуле (13.79), вторые производные функции
Д по Xlt Х2, Хз
-°"- -дхГ=^ 1хг=6зз;
(13.85)
Перемещения 6ц, б22, 633— существенно положительные величины,
а положительный знак вторых производных свидетельствует о том,
что условия (13.84) являются условиями минимума функции (7.
416
Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
I11II
ч
Р
lull
Рис. 395
__я а \р
г 4 ПЛТ1 в С { р
' U
б
Таким образом, приходим к теореме о минимуме потенциальной
энергии: в статически неопределимых системах лишние неизвест-
ные усилия принимают такие значения, при которых потенциаль-
ная энергия деформации имеет наименьшее значение (теорема Мена-
бреа). Эта теорема известна также как теорема о наименьшей ра-
боте, так как вместо потенциальной энергии можно говорить о чис-
ленно равной ей работе внешних сил.
Пример 63. Пользуясь теоремой о минимуме потенциальной энергии,
определить реакцию шарнирно-подвижной опоры бруса малой кривизны,
изображенного на рис. 396. Брус нагружен сосредоточенным моментом в опор-
ном сечении В.
Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы
о минимуме потенциальной энергии деформации
-^-=0 (13.66)
ОЛ
Так как U = \ У то формула (13.86) принимает вид
J г-rj
( М ^ds______dM^ =0. (13.87)
J EJ дХ
is
И меем
М — М + XR sin <р; — R sin <р; ds=Rdtp.
о л
Внеся эти значения в формулу (13 87), получим уравнения для опреде-
тення реакции Л:
2—
S(M-±XR sin <р) R sin ф Rd<[
тп———— •
о
м+лт? Т=0;
4М
nR
Знак «минус» в выражении для X указывает, что первоначально вы
бранное направление для реакции следует изменить на противоположное.
На основании изложенной теоремы можно заключить, что при
добавлении каких-либо связей потенциальная энергия всегда умень-
шается.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
417
Основные понятия и определения
Глава 14
Статически неопределимые системы
§ 90. Основные понятия и определения.
Этапы расчета статически
неопределимой системы
Как уже указывалось, статически неопределимыми называются
системы, силовые факторы в элементах которых только из урав-
нений равновесия твердого тела определить нельзя. В таких систе-
мах больше связей, чем необходимо для равновесия. Таким образом,
некоторые связи оказываются в этом смысле как бы лишними, а
усилия в них —лишними неизвестными. По числу лишних связей
или лишних неизвестных усилий устанавливают степень статиче-
ской неопределимости системы.
В § 37 были рассмотрены простейшие случаи статически неопре-
делимых систем, элементы которых испытывали лишь осевое растя-
жение или сжатие. В настоящей главе рассмотрим более общие
случаи, причем основное внимание уделим статически неопредели-
мым балкам и рамам.
На рис. 397, а показана шарнирно опертая балка — система
статически определимая и геометрически неизменяемая. Все три
реакции (ДЛ, НА, RB) определяются из трех условий равновесия
плоской системы сил. Используя метод сечений, легко найти сило-
вые факторы Q, М в любом сечении балки.
Добавим еще одну связь, например шарнирно-подвижную опору
в сечении С (рис. 397, б). Хотя в результате этого система стала
более прочной и жесткой, однако с точки зрения геометрической
неизменяемости эта связь лишняя. Теперь из трех уравнений рав-
новесия четыре реакции (/?,, НА, RB, Rc) определить нельзя. Таким
образом, балка, изображенная на рис. 397, б, один раз статически
неопределима.
На рис. 398, а показана дважды статически неопределимая балка.
Для определения пяти реакций есть лишь три уравнения равнове-
сия. Следовательно, система содержит две лишние связи. Она мо-
жет быть образована, например, из консоли (рис. 398, б) постанов-
кой шарнирно подвижных опор в сечениях В и С.
В конструкциях часто встречаются статически неопределимые
балки с ломаной осью — рамы. В отличие от ферм, где стержни
соединены между собой шарнирами и нагружены силами, приложен-
ными в узлах, рамы имеют один или несколько жестких узлов.
В жестком узле торцы соединяемых стержней не имеют относитель-
ных поступательных перемещений, а также относительных поворотов.
Рамные конструкции могут состоять как из прямолинейных, так
и из криволинейных элементов. На рис. 399 показана дважды ста-
тически неопределимая плоская рама. В этом случае, как и в пре-
•4 5-372
418
Статически неопределимые
дыдущем, для определения пяти реакций внешних связей имеем
только три уравнения равновесия.
Рамы могут быть нагружены вполне произвольной нагрузкой
любым образом ориентированной.
Статическая неопределимость может быть результатом не только
введения дополнительных внешних связей, но также и условий
образования системы. Рассмотрим раму, показанную на рис. 400, а
Очевидно реакции НА, RB внешних связей (опор) легко опреде
лить из уравнений равновесия. Однако после этого условия равно
весия не позволяют определить все силовые факторы в ее элементах
Разрежем раму на две части и рассмотрим равновесие одной из
ее частей (рис. 400, б). Действие отброшенной части на оставленную
заменено в каждом сечении разреза тремя силовыми факторами
осевой силой N, поперечной силой Q и изгибающим моментом М
Таким образом, их трех уравнений равновесия надлежит опреде
лить девять неизвестных усилий. Система, следовательно, шесть
раз статически неопределима. Она состоит из двух замкнутых
бесшарнирных контуров, каждый из которых трижды статически
неопределим.
Отметим, что постановка шарнира на оси стержня (рис. 401, а)
обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении и, следо
вательно, снижает степень статической неопределимости на единицу
Такой шарнир называют одиночным. Очевидно рама, показанна:
на рис. 401, а, пять раз статически неопределима.
Шарнир, включенный в узел, где сходятся п стержней (рис. 401, в)
снижает степень статической неопределимости на п—1, так ка<
заменяет собой столько же одиночных шарниров (рис. 401, г)
Такой шарнир называется общим. Рама, изображенная н;
рис. 401, б, четыре раза статически неопределима.
Для определения степени статической неопределимости плоски:
систем можно пользоваться формулой
s = 3k — ш, (14.1
где s — степень статической неопределимости
k — число замкнутых контуров в прел
положении полного отсутствия шар
ниров;
ш — число шарниров в пересчете на оди
ночные.
Основание (земля) рассматривается ка>
шм.
б
Рис. 397
/?4
шип
йшп
В
5
Рис. 398
а
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
стержень. Так, например, рама, приведенная на рис. 400, имеет
четыре замкнутых контура; у каждого шарнира указано соответ-
ствующее число одиночных шарниров, при этом группа стержней,
жестко связанных между собой (не разделенных шарнирами),
принимается за один стержень.
Итак, в рассматриваемом случае k — 4, ш = 1+2+1 + 1 + 1 =6.
Следовательно, s = 3-4— 6=6.
Как уже отмечалось в § 37, для определения усилий в статиче-
ски неопределимых системах дополнительно к уравнениям статики
составляют так называемые уравнения совместности деформаций.
В самом деле, лишние связи накладывают определенные ограни-
чения на перемещения тех сечений, к которым они приложены. Это
обстоятельство и используют для составления дополнительных урав-
нений, которые вместе с уравнениями статики позволяют определить
все силовые факторы в элементах системы.
Рассмотрим этапы расчета статически неопределимой системы:
1. Устанавливаем степень статической неопределимости, т. е.
число лишних связей или лишних усилий.
2. Удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически
определимой, которая называется основной системой. Выбор лиш-
них связей зависит от желания расчетчика, так что для одной и
той же статически неопределимой исходной системы возможны раз-
личные варианты основных систем. Однако нужно следить за тем,
чтобы каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональ-
ный выбор системы упрощает расчет.
Таким о'бразом, основной системой называется любой из стати-
ки определимых вариантов рассматриваемой системы, получен-
1и освобождением ее от лишних связей.
о- Загружаем основную систему заданной нагрузкой и лишними
-^известными усилиями, заменяющими действие удаленных связей.
кая система называется эквивалентной системой.
14*
420
Статически неопределимые системы
Кирпичев Виктор Львович (1845 1913), профессор, За
ведующии кафедрой сопротивления материалов, первый
ректор Киевского политехнического института Внес боль-
шой вклад в развитие науки о сопротивлении материалов
особенно в расчет статически неопределимых систем Его
учебники, лекции, статьи сыграли большую роль в разви-
тии науки о прочности материалов в России в конце
XIX и начале XX века.
4. Для эквивалентности основной системы с исходной неизвест-
ные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформация ос-
новной системы не отличалась от деформации исходной статически
неопределимой. Для этого приравнивают к нулю перемещения точек
приложения неизвестных усилий по направлению их действия. Из
полученных таким образом уравнений определяют значения лишних
неизвестных.
Определять перемещения соответствующих точек основной си-
стемы можно любым способом, однако лучше всего общими метода-
ми — методом Мора или способом Верещагина.
Найдя лишние неизвестные усилия, определение реакций и по-
строение эпюр внутренних силовых факторов, а также подбор сече-
ний и проверку прочности проводим обычными способами.
Указанная схема расчета носит название метода сил, поскольку
в качестве основных неизвестных здесь выбирают усилия лишних
связей.
§ 91. Расчет простых статически
неопределимых балок
В качестве примера рассчитаем балку, один конец которой за-
щемлен, а другой оперт на шарнирно-подвижную опору (рис. 402, а).
Защемление левого конца, эквивалентное трем стержням, дает
три реакции, шарнирно-подвижная опора — одну реакцию.. Всего
требуется определить четыре "реакции. Следовательно, балка один
раз статически неопределима. Для построения основной системы
нужно устранить одну связь.
В качестве лишней связи выберем шарнирно-подвижную опору-
Основная система, полученная в результате удаления лишней связи,
представляет собой консоль.
Нагружаем основную систему заданной распределенной на-
грузкой, а вместо отброшенной опоры прикладываем неизвестную
реакцию Rb—Xi (рис. 402, б). В дальнейшем лишние усилия будем
обозначать буквой X независимо от того, сила это или момент.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
421
р счет простых статически неопределимых балок
Полное перемещение точки В основной системы (от заданной на-
пузки и лишнего неизвестного усилия) по направлению Xlt т. е. по
направлению удаленной связи (рис. 402, б), должно быть равно
нулю, так как в точке В исходная балка не имеет прогиба. Таким
образом, дополнительное уравнение перемещений имеет вид
Д,=0. (14.2)
Полный прогиб Д( можно представить как сумму прогибов от
внешней нагрузки Д1Р= — qE/&EJ (рис. 402, в) и неизвестной ре-
акции Дн = Х\Р/ЗЕ1 (рис. 402, г). (Методы определения Д|Р и Дн
приведены в гл. 10 и 13). Тогда уравнение (14.2) запишется в виде
А, — Д |р+ Д| 1 =0,
или
।
8Е/ Г ЗЕ/
Отсюда искомая реакция
Теперь из уравнений статики легко вычислить остальные реак-
ции, а затем обычным способом построить эпюры изгибающих мо-
ментов и поперечных сил. На рис. 403 приведены эпюры Q и М,
а также значения реакций опор. Проверка прочности или подбор
сечения проводятся обычным путем.
Напомним, что вид основной системы зависит от того, какие
связи (усилия) выбраны в качестве лишних. Так, выбрав в качестве
лишнего усилия опорный момент Мл, получим основную систему,
заменив защемление шарнирно-неподвижной опорой (рис. 404, о).
Здесь основная систем-a, кроме заданной нагрузки, загружается не-
известным моментом Л4л=Х1, величина которого определится на
основании уравнения перемещений (14.2). Под в этом случае сле-
дует понимать полный угол поворота сечения А.
На рис. 404, б показана основная система, полученная в предпо-
ложении, что в качестве лишней неизвестной принята реакция Рл.
Такое устройство опоры препятствует повороту и горизонтальному
перемещению, но допускает вертикальное перемещение. В этом слу-
чае уравнение перемещений (14.2) выражает равенство нулю в
основной системе вертикального перемещения (прогиба) точки А.
Наконец, основную систему можно получить и постановкой про-
межуточного шарнира в каком-либо сечении (рис. 404, в). Таким
путем получаем статически определимую шарнирную балку. Здесь
Уже удалена не внешняя, а внутренняя связь. Так как постановкой
ЩаРнира ликвидируется изгибающий момент в данном сечении бал-
ки, то дЛя восстановления утраченных связей прикладываем два
Рявных и противоположно направленных момента Л1 = Х1, пред-
ъявляющих собой действие друг на друга отделенных шарниром
астей балки. Уравнение перемещений (14.2) в этом случае представ-
422
Статически неопределимые системы
Рис. 402 Рис. 403
ляет собой равенство нулю взаимного угла поворота сечений пра-
вой и левой частей балки, примыкающих к шарниру (рис. 404, г):
д1=е7ев+еу₽ав=о, (14.3)
поскольку в исходной балке эти сечения образуют одно сечение.
Отметим, что при построении основной системы в качестве лиш-
них связей нельзя принимать элементы, реакции которых могут
быть определены непосредственно из уравнений равновесия, напри-
мер горизонтальную реакцию НА опоры на рис. 403.
Пример 64. Балка АВ, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой!
(рис. 405, а), опирается по концам на шарнирные опоры, а посредине пролета!
подпирается пружиной (упругой опорой). Определить усилие, сжимающее пру-
жину; построить эпюру изгибающих моментов, если податливость пружинил
т. е. ее осадка от единичной силы (см. §58),
64Я3п
“ ~О^~ '
Рассматриваемая система один раз статически неопределима. В качестве
лишнего неизвестного усилия примем реакцию пружины В соответствие
с этим на рис. 405, б построена основная система. Чтобы она деформировалась
как заданная балка, прогиб точки С балки должен быть равен осадке]
точки С пружины. Другими словами, взаимное перемещение точек С и С',,
т. е. Д|, должно быть равно нулю.
Уравнение перемещения, следовательно, можно записать в виде
Ai=Aii-bA1P=0,
где А|/>= —(5/384Х9/1 /EJ) — перемещение точки ,С основной системы от задан-
ной нагрузки у;
Д,, =(Х|/3/48£Л+ Х — взаимное перемещение точки С балки и точки С' пружи|
ны только от сил Х|, причем перемещение точки С' пружины
www.vokbla.spb.ru - Самолёт своими
расчет простых
статически неопределимых балок
423
Л=аЛ'|.
Положительные направления
сил X,.
Таким образом.
перемещений соответствуют направлениям
48Е/ аА| 384 Е/ -0-
Отсюда
. . 48Е/а ’
1+ —р------
При абсолютно жесткой пружине а=0 и
У 5 ,
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на рис. 405, в построены
для последнего случая.
§ 92. Канонические уравнения метода сил
Дополнительные уравнения перемещений, выражающие равен-
cfBo нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных, удоб-
но составлять в так называемой канонической форме, т. е. по опре-
деленной закономерности.
424 Статически неопределимые системы
Вначале рассмотрим систему, один раз статически неопределимую
(рис. 406, а). В качестве лишней связи выберем шарнирно-подвиж-
ную опору В. Тогда, нагрузив основную систему заданной нагрузкой
и лишней неизвестной силой Xt (рис. 406, б), мы должны приравнять
нулю полное перемещение точки В основной системы по направле-
нию X,:
Ai=Ai(/’. Х1)=0. (14.4)
Вычисляя Ai, применим принцип независимости действия сил:
Д1 =Д1Р-|-Ап,
где А1Р — перемещение от заданной нагрузки (рис. 406, в);
Аи — перемещение от силы Xt.
Если 6ц — перемещение по направлению X, от силы Xi — 1 (рис.
406, д), то
А11 =611X1
и уравнение перемещений (14.4) примет вид
6цХ1+А1Р = 0. (14.5)
Это каноническая форма уравнения перемеще-
ний для один раз статически неопределимой
системы. Из формулы (14.5)
X,
Л ir
би
(14.6)
Для системы с двумя лишними связями,
как, например, на рис. 407, а, дополнительные
уравнения перемещений сечения А основной
системы (рис. 407, б) имеют вид
Д,=0; Д2 = 0.
Рис. 407
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
с конические уравнения метода сил
Кап и _ —---—------
425
где
д —д, (Р, Ль Лг) — полное перемещение точки А по направ-
лению Л] от заданной нагрузки и лишних
неизвестных усилий Ль Х2;
д = Д2(Р, Яь Х2) — полное перемещение точки А по направле-
нию Л2 от указанных нагрузок.
Исходя из принципа независимости действия сил, запишем пере-
мещения А1 и Д2 в виде сумм перемещений, вызванных отдельно
каждой из неизвестных сил Ль Л2 и заданной нагрузкой Р. Исполн-
яя введенные ранее (см. § 78) обозначения перемещений, находим,
что
д, = Дп +Д12 + A ip—0;
д2=Д21 + А22 + Д2р=0.
(14-7)
Полное перемещение можно записать как произведение удель-
ного перемещения 6,*, вызванного действием единичной силы,
на величину соответствующей обобщенной силы:
Ац=6цЛь Д12 = 612^2; А<*—6,/гЛ/г-
Таким образом, уравнения (14.7) принимают вид
бцЛ1 4" 612Л2 + Ajp=O;
621^1 -Г 822^2 4~А2р = 0.
(14-8)
Это каноническая форма уравнений перемещений для системы, два
раза статически неопределимой.
По аналогии можно записать в канонической форме уравнения
перемещений для любой п раз статически неопределимой системы:
finA'i -}-б12Л2-|-.. .-f-8inXn-|-A1p = 0;
621Л1 -|-622X2 +-. .-Т б2пХп 4- Д2р =0;
(14.9)
8п1Л| -(- 6,12X2-р- • -4" 6ппХп 4" Апр — 0.
Перемещения Д1Р и 6,к, входящие в канонические уравнения,
чаще всего определяют по методу Мора или по способу Верещагина.
При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил
пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты,
определяя перемещения в балках прямоугольного попереч-
ного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине
пролета h/l 1 /5, поперечные силы учитывать обязательно. При рас-
чете статически неопределимых рам с большими значениями указан-
ного отношения (Л//> 1 /5) ошибка, вызванная неучетом интегралов
продольных и поперечных сил, также становится существенной,
особенно для высокой рамы. Следует иметь в виду, что в реальных
Однако,
426 Статически неопределимые системы
---_--
балочных, рамных и арочных конструкциях отношение h/l обычно
меньше 1/10. Поэтому при определении перемещений в общей фор-
муле Мора вполне допустимо сохранять интеграл, учитывающий
лишь изгибающие моменты.
Для определения перемещений строим эпюры изгибающих мо-
ментов (см., например, рис. 406) в основной системе отдельно от за-
данной нагрузки (состояние Р) и от каждой единичной силы: Xi = l
(состояние 1); Х2=1 (состояние 2); ...; Х„=1 (состояние п). Ор-
динаты соответствующих эпюр обозначим, как обычно, через Л4Р,
МI, Л4г, • - - , АТп-
Тогда на основании формулы (13.46) находим
Л f M.Mpds А f M2Mpds
Л1,,—J —Ё7 ; EJ
s s
М„М pds
EJ
Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы и назы-
ваемые главными коэффициентами канонических уравнений, опреде-
ляют следующим образом:
_ С MtMtds „ f M-Mids f MnM„ds
622 = J—ЁГ~•
s s s
Очевидно эти перемещения положительны.
Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индексы и на-
зываемые побочными коэффициентами, определяют по формулам
612 —
EJ
6|.з =
М! M.ds
EJ
&ik = J
М M,.ds
EJ
M\Mids
Они могут быть положительными или отрицательными, а также
равными нулю.
На основании теоремы о взаимности перемещений
6ik = f>ki-
Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисле-
ния перемещений удобно проводить по способу Верещагина. На-
пример, для статически неопределимой балки, показанной на
рис. 406,
Л,/,_ EJ
рр
о
/2
6,,=—ЁГ
МрР=^1-,
Мс1=^1.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
КЯноНИчсскне
уравиения метода сил
427
Следовательно,
5 . я I3
\,р"='"4+ EJ ’ 11 ЗЕ/
Из формулы (14.6)
В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть
и влияние температуры, порядок расчета остается прежним. Сво-
бодные члены канонических уравнений при этом представляют собой
перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок,
но и от изменения температуры:
611X1 + 612X2+- • -+6inXn +А1Р +А17- =0;
................................................. (14.10)
бп1Х. +6П2Х2+. • -+6ППХ„ +АпР +АпГ =0,
где А,г—перемещения в основной системе по направлению силы
Xi, вызванные изменением температуры.
Определив коэффициенты 6,* и свободные члены Д,-Р и Д1Т, из
системы линейных уравнений (14.10) находим значения лишних
неизвестных усилий X,, Х2, .... Хп. Далее обычным способом строим
эпюры внутренних усилий /V, Q, М в' элементах системы. Иногда
строить эпюры удобно методом сложения эпюр МР с эпюрами
Л41, М2, .... Мп, предварительно умноженными на значения Xt,
Х2...Хп-.
М = М,Х1+М2Х2+.. -+МР;
Q = QiXi + Q2X2+.. -+Qpj
М = N 1X1 +Л/2Х2+.. -+N Р.
Существенно отметить, что буквенный вид канонических урав-
нений остается неизменным при любом возможном варианте основ-
ной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геомет-
рический смысл перемещений. Например, при выборе в качестве
лишних неизвестных внутренних сил в каких-либо сечениях коэф-
фициенты в канонических уравнениях представляют собой соответ-
ствующие взаимные перемещения сечений по направлению лишних
неизвестных усилий.
На рис. 408 показана трижды статически неопределимая плос-
кая рама (а) и два варианта основной системы (бив). Для любой
трижды статически неопределимой системы канонические уравнения
имеют вид
^11Л1 + б12Х2 + б13Хз + А1Р=0;
+ 622X2 + 623X3 +Д2Р = 0; (14.11)
31 х 1 + 632Х2 + 633X3 + ДЗР = 0.
428
Статически неопределимые системы
При выборе основной системы по первому варианту (рис. 408, б)
уравнения (14.11) выражают требования равенства нулю переме-
щений сечения А по направлениям Х2 и Х3.
Второй вариант основной системы (рис. 408, в) образован раз-
резом ригеля. Так как в плоской системе в сечениях действуют,
вообще говоря, три силовых фактора (осевая сила, поперечная сила и
изгибающий момент), то к сторонам разреза следует приложить
в качестве лишних неизвестных указанные силовые факторы
Х2, Хз, выражающие взаимное действие обеих частей системы друг
на друга в данном сечении. При таком выборе основной системы
уравнения (14.11) выражают равенство нулю полных взаимных
перемещений сторон разреза по направлениям лишних неизвестных.
Например, третье уравнение системы (14.11) означает равенство
нулю перемещения по направлению Х3, т. е. взаимного угла поворота
сторон разреза под действием заданной нагрузки и лишних неиз-
вестных усилий.
Принимая в качестве лишних неизвестных внутренние усилия,
во многих случаях можем значительно упростить расчет. Например,
если исходная система симметрична (по конфигурации и располо-
жению жесткостей), то основную систему выгодно строить также
симметричной, поскольку при этом некоторые побочные коэффи-
циенты канонических уравнений будут равны нулю. Так, при рас-
чете симметричной рамы, показанной на рис. 408, а, основную си-
стему целесообразнее получить разрезом горизонтального стержня
(ригеля) посредине (рис. 409, а). При этом основная система будет
также симметричной. Тогда в числе лишних неизвестных будем
иметь симметричные усилия Xt, Лз_и кососимметричные Х2. Эпюры
изгибающих моментов от усилий Xi = l, Х2== 1 и Хз=1 показаны
на рис. 409, б — г Заметим, что эпюры Mi и М3 симметричны,
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
конические уравнения мет да сил
429
эпюра Мг кососимметрична. Перемножение симметричной эпюры
„а кососимметричную дает в результате нуль.
И Определим перемещение 612 = 621. Пользуясь способом Вереща-
гина, получим
6.2--Е7<-т4+44) =°- <14.12)
Аналогично
623 = 632=0.
Таким образом, система уравнений (14.11) упрощается и прини-
мает вид
611X1 + 613X3-|-А|р =0;
622X2 4" Л2р ~ °!
631X1 + АззХз +АЗР =0.
(14.13)
Если при этом заданная нагрузка Р кососимметрична (рис.
408, а), то эпюра МР также кососимметрична (рис. 409, а) и пе-
ремещение А1Р=АЗР=О. Тогда из первого и третьего уравнений
(14.13) следует, что симметричные усилия в месте разреза равны
нулю:
Х,=0; Х3 = 0.
Заметим, что когда нагрузка симметрична, то эпюра МР также
симметрична и Д2Р = 0. Тогда из второго уравнения (14.13) следует,
что кососимметричное усилие Х2 = 0.
Пример 65. Построить эпюры силовых факторов в элементах рамы, по-
казанной на рис. 410, а. Рама нагружена равномерно распределенной нагруз-
кой q, приложенной к горизонтальному стержню (ригелю).
Легко видеть, что система дважды статически неопределима. На рис.
410, б—г показаны некоторые возможные варианты эквивалентной системы.
Дли расчета примем вариант, показанный на рис. 410, б. Чтобы определить
два лишних неизвестных усилия X, и Х2, воспользуемся каноническими урав-
нениями (14.8):
Рис. 410
430
Статически неопределимые системы
Для определения перемещений 61к, Д р рассматриваем основную систему,
отдельно нагруженную заданной нагрузкой и каждой единичной силой Х| = С
Х2=1 (рис. 411, а). Так как стержни прямолинейные, то удобно применить для
определения перемещений способ Верещагина. Эпюры изгибающих моментов
Мр, М|, Л12 показаны иа рис. 411, б.
Для определения Д|р и Д2Р площади эпюр Мр перемножаем на ординаты
эпюр Л1| и Л12, соответствующие центрам тяжести эпюр Мр:
д
,р E,J, 6 8EJ •
. _J_______ql3 3 ql'
2P EiJi 6 4 8EJ
Здесь и дальше для простоты принято h = l и Е|/, = Е212 — ЕЕ
—Перемещения 6ц и 622 получаем аналогичным умножением эпюр
на Л1| и М2 на Л12:
би
1 1 h2 2 4 I3
= -±rhl-h+-^-r
EiJi E2J? 2 3 3 EJ
t 1 I2 2 , I3
622 E,Jt 2 3 ' -ЗЕ/ ’
Наконец, 6i2 определяем перемножением эпюр Mt и Л12:
1 I I3
C.\Jl itJ
Подставляя значения перемещений в канонические уравнения, получаем
4 v , 1 v____Q1.
yX,+yX2- -g,
4 xi+4-*2=--Г
z о о
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Канонические уравнения метода сил
431
Отсюда
х,=4 : Х2=-т,?/-
Знак «минус» в выражении для Х2 показывает, что первоначально вы-
бранное направление этой силы (рис. 410, б) следует изменить на противо
положное.
Рассматривая теперь эквивалентную систему, т. е. статически опреде-
лимую основную систему под действием заданной нагрузки и найденных сил
X, и Х2, легко построить окончательные эпюры внутренних силовых факто-
ров и составить условия прочности элементов рамы.
Окончательные эпюры изгибающих моментов, поперечных и осевых сил
приведены на рис. 412.
Подберем прямоугольное сечение для стержней рамы, если q —10 кН/м,
/=2 м. Материал стержней Ст2, [о| = 140 МПа, [т|—90 МПа. Отношение
высоты а к ширине b сечения составляет 2 : 1
Как видно из эпюр внутренних усилий (рис. 412), в опасном сечении
3 4
Л1„а«с=25 ?/2=4,3 кН - м; QMaKC=y <// = 11,43 кН;
/У=^-=0,715 кН.
ZO
Так как осевая сила незначительна, то размеры сечения
только из условия прочности на изгиб:
М„акс 4.3-10-3 з 6 -
=———м3 = ЗО,6-1О“6 м3=ЗО,6 см3
подбираем
Поскольку
IY/ c?b а3
о~—ТГ’
то, округляя, получаем
V12-30.6 см» 7,2 см; fe = -|-=3,6 см; №=31,1 см3.
Наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении опреде-
лится как сумма напряжений от действия изгибающего момента и осевой
силы:
°макс
_ Ммакс А/ / 4,3-10 3 0,715 >
W + F \ 31,1 -10 6 + 7,2-3,6-10
МПа =
=(1384-0,276)МПа = 138,3 МПа<140 МПа.
432
Статически неопределимые системы
Наибольшее касательное напряжение
3-11,43-Ю 3
тма« = „ МПа =6,55 МПа<90 МПа.
z г / ,z -0,0- 10
Пример 66. Рассчитать однопролетную раму (рис. 413), нагруженную
горизонтальной силой Р посредине левой стойки. Для простоты вычислений
принимаем, что h=l; ЕД,=£2/2= E3J3 — EJ.
Система, представляющая собой один замкнутый контур, трижды стати-
чески неопределима. Для образования основной системы следует удалить
три связи. Различные варианты эквивалентной системы показаны на рис.
413, б г. Принимая во внимание симметрию рамы, в качестве основной
системы целесообразно принять симметричный вариант, показанный иа рис.
413, а. В этом случае лишними неизвестными будут усилия в разрезе.
Для определения лишних неизвестных усилий воспользуемся каноии
ческими уравнениями (14.11):
6нХ| + 612X2+613X3 + Д |Р = 0;
621X1 + 622X2+ 623X3+А 2,, =0;
631X1 + 632X2+ 633X3 +А за=0.
В этих уравнениях перемещения 6 и Л представляют собой соответствующие
взаимные перемещения сторон разреза
Чтобы определить перемещения, применим способ Верещагина. На рис
414 показаны эпюры изгибающих моментов для основной системы от задай
ной нагрузки и от единичных обобщенных сил X, = 1, Х2 = 1, Хз = 1 Отметим,
что эпюры Л41 и М3 симметричные, а эпюра Л12 — кососимметричная. Как
указывалось, побочные коэффициенты, определяющиеся перемножением сим-
метричной эпюры на кососимметричную, равны нулю. В силу этого 612 =
= 621=6; 623 = 632=0.
Канонические уравнения принимают вид
6цХ|+6|зХз + Л|;,=0; (14.14)
631X1 +6ззХз + ЛЗР = 0;
622Х2 + Д2/,=0. (14.15)
Перемножая соответствующие эпюры, находим, что
. _ 1 Ph2 5 5 Ph3
IP £,J, 8 6 h~ 48 EJ '
_ 1 Ph2 I Ph3
2P~ ЕД, 8'2“ 16EJ ’
I Ph2 PE2
3P~ E,J, 8 ’ - 8EJ •
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
хх 1 h2
613=631 = ____
Е3/3 2
h2
EJ
t>22 =
I
E,J,
ll, 1 hl I . 1 ?l2 I 7 h3
2 2 E2J2 2 2 E3/3 8 3 12 EJ '
Л _ h , I . h ЗЛ
33 E,J, + E2J2 + E3/3 ~ EJ
Подставив в уравнения (14 15) и (14.14) найденные значения 6 и Д,
получим
2 5
3 48
~~hX,+X3=-±Ph;
о Z4
~~Х ' Р/;3 о
•2 EJ Х2+~16Ё7=°-
Отсюда X, =0,187 Р, Х2=—0,107 Р, Х3=0.021 Ph.
На рис. 415 показана эквивалентная система и построены эпюры М,
Q, М.
434
Статически неопределимые системы
Рассчитаем прямоугольную раму (рис. 416, а), состоящую из
двух одинаковых поперечин и двух стоек. Рама нагружена двумя
равными и противоположно направленными силами, приложенными
посредине поперечин. Внутри рамы температура Ti, а снаружи —
Т2; Ti>T2. Жесткость поперечин EJ\, стоек — EJ2.
Рама, образующая замкнутый контур без шарниров, трижды
статически неопределима. Задачу можно существенно упростить,
используя симметрию системы и нагружения. Выберем симметрич-
ную основную систему, разрезав одну из стоек по оси симметрии
(рис. 416, б). В месте разреза приложим систему усилий Хь Х2,
Х3. Как указывалось, вследствие симметрии нагрузки поперечная
сила Х2 = 0.
Рассечем теперь раму по оси А — А (рис. 416, д). Учитывая
симметрию системы относительно оси В — В, из условий равнове-
сия сразу определяем силу Хз-
2Х3 = Р; Х3=-^ -
Остается определить лишь один статически неопределимый фак-
тор X,. Каноническое уравнение перемещений имеет вид
61 IX1 + Д! р + Д, р = О,
где Д|р +Д1Т = Д,р?- — взаимный угол поворота сторон разреза,
вызванный действием нагрузки Р и температуры Т.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
^ионические уравнения метода сил
435
Температурные перемещения определяем по формуле (13.56):
$ Nka--Tu-±-T* dx+^ J Мка Т"~Т* dx,
I I
где —Г"Г—= Г' 2^~-------средняя температура нагрева элемента;
Тн—ТВ = Т\— Т2— разность температур крайних волокон.
Если деформации элемента dx от действия температуры и еди-
ничных силовых факторов одного знака, то подынтегральные вы-
ражения положительны. Если в пределах участка температура по-
стоянна, то
+ Mkdx)=c£ (лГ*2д±?к/ +
Здесь Qt= j Mkdx — площадь эпюры Мк.
Для определения перемещений строим эпюры МР, Mi (рис. 416, в,
г). Эпюра TVi равна нулю. Пользуясь способом Верещагина, на-
ходим
Л „2 pi2, pfi
Л|р ЕЛ 8 4Е7, ’
Д1Г=-2а (/1+/2)-^к.
Здесь в правой части поставлен знак «минус», так как при Tt>T2
внутренние волокна элементов рамы удлинены, а в единичном со-
стоянии (рис. 416, г) —сжаты. Далее,
следовательно.
Р/i Т.—Т,
-17^+2аЕ(11-Н2)Д±7-И
В случае Ц=12 = 1 и Ц=]2 = ]
1 jg-4-аЕ/
Г.-Г;
h
Рис- 416, е—з приведены эпюры внутренних силовых фак-
торов для случая Т}-Т2 = 0, Р^О.
436
Статически неопределимые систему
Пример 67. Рассчитать ферму, изображенную на рис. 417, а, в предполо-
жении, что все стержни изготовлены из одного материала и имеют одинако-
вые сечения. Стержни 5 и 6 общего узла не имеют.
Легко видеть, что система один раз статически неопределима. Основная
система, полученная разрезом стержня 6, показана на рис. 417, б. Лишнее
неизвестное усилие X, определяем из канонического уравнения, которое в этом
случае выражает равенство нулю взаимного смещения сторон разреза:
4“Л|р = 0,
Так как в элементах фермы действуют только осевые усилия, то пере-
мещения 6ц и Д|Р определяем (см. § 83) по формулам
6
6"=2j гс ; (14.16)
1 1
б
Ai₽=2j -EF • (14.17)
где Nt— усилия в стержнях от нагрузки Х( = 1;
NP— усилия в стержнях от заданной нагрузки.
Для определения усилий Np н N, рассматриваем основную систему в со-
стоянии Р (рис. 417, в) и в состоянии 1 (рис. 417, г).
Вычисления удобно вести при помощи таблицы (табл. 18). Знак «минус»
при N, и N р показывает, что в соответствующем стержне усилие сжимающее.
В таблице не приведены жесткости, так как для всех элементов они одинаковы.
Таким образом,
Дц>—--------—--------(5 + 4 д/2);
Таблица 18
№ стерж ня Длина стержня, 1 N, Ир WiNpl Ж
1 а 2 2Р —Payfi а
2 а 2 Р О а Т
3 а ^1- 1 0 0 а У
4 а 2 2Р — Ра ^2 0 |<м
5 а^2 1 — 2Р д/2 — 4Ра а^2
6 a^j2 1 0 0 а^2
I — — — -Ра^ (5 + 4 д/2) 2а(1+д/5)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Рис. 417
, 2а(» -Ьл/2)
On— EF
Подставив эти значения в каноническое уравнение, находим
X, = 5 + 4 . р«1,56Р. S
2(2+л/2)
§ 93. Многопролетные неразрезные балки.
Уравнение трех моментов
Неразрезными называют балки, лежащие более чем на двух опо-
рах и не имеющие промежуточных шарниров.Такие балки, широко
применяемые в различных конструкциях, принадлежат к числу
статически неопределимых.
На рис. 418 показана балка, опирающаяся на т шарнирных
опор. Одна из опор делается-шарнирно-неподвижной для восприя-
тия осевой нагрузки, остальные — шарнирно-подвижными, что дает
возможность балке свободно изменять свою длину с изменением
температуры.
Опоры принято нумеровать слева направо, обозначая крайнюю
левую номером 0; номер пролета определяется номером принадле-
жащей ему правой опоры.
При опирании на т шарнирных опор имеем столько же верти-
кальных реакций. Так как условий равновесия можно составить
только два, то такая система (т — 2) раза статически неопре-
делима.
Как видно, число лишних связей, а следовательно, и лишних
Реакций, равно числу промежуточных опор. Иногда крайняя опора
выполняется в виде защемления. В этом случае степень статической
^делимости Увеличивается на единицу по сравнению с шарнир-
Для получения основной системы можно освободиться от всех
промежуточных опор, заменив их действие неизвестными реакциями
к’о. ’ приложенными к основной системе дополнительно
Мещен^0^ НЙГРуЗКе (Рис‘ 419)- Дополнительные уравнения пере-
А'=0; Д2 = 0; ...; Ди _2=0
438
Статически неопределимые системы
Рис. 419
Рис. 420
выражают условия равенства нулю прогибов в точках прикрепления
промежуточных опор. Однако такой способ расчета громоздок,
поскольку в каждое уравнение перемещений входят все искомые не-
известные усилия. Значительно выгоднее строить основную систему
постановкой шарниров в сечениях над всеми промежуточными опо-
рами (рис. 420). Лишними неизвестными в этом случае будут изги-
бающие моменты в опорных сечениях балки.
Таким образом, эквивалентная система представляет собой ряд
простых шарнирно опертых балок, нагруженных заданной нагруз-
кой и неизвестными изгибающими моментами
Mi =Xi; Л12 = Х2’, • • - ; Afn+i — An+ii • • ,
приложенными в сечениях, где поставлены шарниры. Направления
моментов для определенности приняты положительными.
При таком выборе основной системы действие заданной нагрузки
распространяется только на пролет, где она приложена: влияние
ее на другие пролеты выражается опорными изгибающими момен-
тами Mi.
Составим теперь дополнительные уравнения перемещений. Они
выражают собой равенство нулю перемещений опорных сечений по
направлениям действия неизвестных моментов Mi.
В самом деле, каждая двухопорная балка основной системы поД
действием заданной нагрузки и опорных моментов дефор ми руетсЯ
независимо от других. Это значит, что торцы двух смежных бале*’
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
щногопролет^
неразрезные балки
Уравнение трех моментов
439
чек примыкающих к одной опоре, например п-й (рис. 421), могут
п0В’ернуться на HeKOTOPwe улы Лпев и Д-в. Так как в исходной
статически неопределимой системе каждая пара таких сечений пред-
ставляет собой одно сечение, то из условий сплошности их взаимный
угол поворота должен быть равен нулю. Отсюда для каждой про-
межуточной опоры
д = Д,Г +Ап₽ав =0-
(14.18)
Поскольку основная система состоит из отдельных, не связанных
между собой двухопорных балочек, то для раскрытия условия (14.18)
следует рассмотреть только два пролета основной системы, примы-
кающих к п-й опоре (рис. 422).
Запишем условие (14.18) в каноническом виде:
1 Ал- I + бпп Ал + бн.л + I An + I + Д „р = 0.
(14.19)
Для определения перемещений 6 и Д, входящих в уравнение
(14.19), строим эпюры изгибающих моментов в основной системе
отдельно от заданной нагрузки (рис. 422, а) и от каждой из лишних
неизвестных, равных единице (рис. 422, б—г). Площади эпюр от за-
данной нагрузки на n-м и (n-f-l)-M пролетах обозначим соответ-
ственно через Qn и R„+i, а расстояния центров тяжести этих площа-
дей от левой и правой опор своего пролета — через ап, bn, an+i и
Ь«+1 соответственно.
Применяя способ Верещагина и полагая, что на протяжении
каждого пролета балка имеет постоянное сечение, получаем
Л-'--П7£1"-г+-ЕЬта"+'ТГ: <14.20)
б„.п. ,=—!—k.. i._L_ _к_- Е1„ 2 3 6£/„ ’ (14.21)
=—-1—к. ।. I * /"+ । 2 _ Eh 2 3 1 £/„ + 1 2 3 - Z" н 3£/„ /п + 1 1 3£/„ + 1 ’ (14.22)
„.| | _ 1 /п + 1 | 1 /п + 1
£/" + ' 2 ' 3 ~ б£/„+1
Внося выражения (14.20) —(14.23)
адедующее уравнение:
(14.23)
в формулу (14.19), получаем
(14.24)
440
Статически неопределимые системы
Поскольку при таком выборе основной системы все лишние неиз
вестные представляют собой изгибающие моменты в опорных сече-
ниях балки, то в уравнении (14.24) принято вместо X, писать М.
Таким образом,
(14.25)
Уравнение (14.25) называется уравнением трех моментов. Со-
ставляем их столько, сколько вводим шарниров, образовывая ос
новную систему. Чтобы написать эти уравнения, достаточно в форму-
ле (14.25) дать индексу п последовательно значения 1, 2, 3 и т. AJ
соответствующие номерам промежуточных опор. В каждое из такШ
уравнений входит не более трех неизвестных опорных моментов'
Мп, Mn + i, а в первое и последнее уравнения — только п<1‘
два неизвестных момента. Решение системы легко выполнить меТОч
дом последовательного исключения неизвестных.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
А1„огопролетиь|е неразрезные балки
Уравнение трех моментов
441
Для балки постоянного поперечного сечения (/=const) уравне-
ние трех моментов упрощается так:
Af„_i/n4-2AJ„ (/« + /л-п)+Л1п+|/п+1 =
(14.26)
Рассмотрим примеры составления уравнений трех моментов. На
рис 423 изображена двухпролетная балка. Система один раз ста-
тически неопределима. Уравнение трех моментов следует написать
один раз для промежуточной опоры /.
Полагая в уравнении (14.26) п = 1, имеем
M0/.+2Mi (/(+/2) + Al2/2=-6 + . (14.27)
Поскольку крайняя левая опора шарнирная и не нагружена со-
средоточенным моментом, то
Л1о=0.
Момент на крайней правой опоре равен моменту от нагрузки, при-
ложенной к консоли. Следовательно,
М2=-^1
2
Очевидно,
£ h 2
а'=у(/1+с); 6i=|(/i+d);
Q2=l_£/£/ 4^.
3 8 42 |2 ’
a2 = ft2=k
2 ’
Таким образом, уравнение (14 27) принимает вид
2Л1> (Л+/2)= -6 l'+c + +-^-/2.
Отсюда легко найти момент Мь
442
Статически неопределимые Систем
Рис. 423
Рис. 424
Если левый конец балки защемлен (рис. 424, а), то защемление
можно заменить дополнительным пролетом бесконечно большой
жесткости или бесконечно малой длины (рис. 424, б). Уравнения
трех моментов для 1-й и 2-й опор следующие:
M0/,+2M, (/i+/2)+m2/2=-6(-^+-^-) ;
Mi/2-f- 2Af2 М si?,— —6 (—
' *2 *3
Очевидно,
й,=й2=о; йз=-^-;
аз = ^з=-^-; Л4з=0.
Кроме того, в первом уравнении системы следует положить 1\ =01
Тогда
2Mil2+M2l^0-,
Mtl2 + 2Mfa + /3)= -6 -М.
1о
Аналогично поступаем, если защемлен правый конец балки.
Определив опорные моменты, вычисление реакций, построение
эпюр изгибающих моментов и поперечных сил проводят обычным
способом.
Вначале определяют реакции опор каждой простой балочк*1
от заданной нагрузки и опорных моментов. Обозначим эти реакци*
для и-го пролета через А„ и В„ (рис. 425, а). Очевидно, что
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
многопролсп^
нсразрезные балкн. Уравнение трех моментов
443
В„=В°п- Мп 1Мп~. (14.28)
где Ал, В'п — реакции только от заданной нагрузки на пролете.
Полная реакция промежуточной опоры п (рис. 425, б)
Rn = Bn+An+l = R°n- УИ" ---------М„-Мп+, . (14.29)
•л In 1- I
Здесь /?° = В°4~Ап+1 — реакция опоры п, вызванная действием за-
данной нагрузки, приложенной к пролетам 1„ и Zn+i.
После определения реакций строят эпюры Q и М для каждой
двухопорной балочки основной системы.
Окончательную эпюру изгибающих моментов легко построить
также как сумму эпюр моментов от нагрузки и от опорных моментов,
причем последняя эпюра имеет вид ломаной линии, соединяющей
отрезки, отложенные над опорами и равные опорным моментам
(см. пример 68).
Можно рекомендовать следующий порядок расчета неразрезной
балки. После нумерации опор и пролетов (опор — с нуля, проле-
тов — с единицы) под исходной балкой изображают основную систе-
му, нагруженную заданной нагрузкой и неизвестными опорными мо-
ментами. Далее строят эпюры М для отдельных балочек основной
системы только от заданной нагрузки на пролетах. Вычисляют пло-
щади Q, эТИх эпюр и координаты a,, bt их центров тяжести. Для каж-
дой промежуточной опоры выписывают уравнение трех моментов,
ешая полученную таким образом систему уравнений, определяют
еизвестные опорные моменты. Затем определяют реакции и строят
РУ поперечных сил и изгибающих моментов. Последнюю эпюру,
на УказЬ1Валось> можно построить как сумму эпюр моментов от
грузки и от опорных моментов.
Пример 68. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для
алки, изображенной на рис. 426, а.
Для простоты вычислений принято q=2P/l. Эквивалентная система пока
на на рис. 426. б, причем защемление левого конца балки заменено допол-
ителвным пролетом. Имеем
Q-=£23 = Q;
444
Статически неопределимые системы
ст <?/3 Р? I. 1
fi4 = -j2- = —g-а,-Ь<--.
Составляем уравнения трех моментов для трех промежуточных опор
(п = 1, 2, 3):
2Af,+M2=-^-P/. (п = 1);
О
Л41+4Л12 + Л(з=-|-Р/, (п = 2); (И.ЗО)
О
Pi
M2 + 4M3 + Mt=--. (n = 3).
Очевидно момент М4 равен опорному моменту нагрузки, приложенной
к консоли, т. е.
Р1
4
(14.31)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
Многопролетные
неразрезные балки. Уравнение трех моментов
445
Рис. 427
Решая систему уравнений (14.30) с учетом выражения (14.31), получаем
Л), = —0.168Р/, М2=—0.038Р/; Л1<= —0.053Р/.
Отрицательные значения моментов свидетельствуют о том, что в действи-
тельности они направлены противоположно указанным на рис. 426, б.
Реакции опор (рис 427) определяем по формулам (14.28) и (14 29)
Л 2 = 0,5/> + 0,1ЗР = 0,63Р;
В2 = 0.5Р — О, I ЗР = 0.37Р;
Д3= = 0015р>
Вз = - M3-t - =0,015Р;
At=~ql-----^-=0.803Р;
о I
+ =2.20Р
О I
Полные реакции опор
Р| = Л2 = 0,63Р;
Р2=В2 + Л3=0,36Р
/?з = Вз + Л4 = 0,82Р.
Р4 = В4 = 2,20Р.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов приведены на рис. 426, в
§ 94. Влияние неточного расположения
опор по высоте
р
° рассмотренных уже случаях предполагалось, что все опоры
СмХОДЯтся на одном уровне. На практике, однако, нередки случаи
еЩения опор от проектного уровня.
д статически определимых системах смещения опор не вызывают
Из 0Лнительных усилий в конструкции. В неразрезных же балках
читТ ИХ статнческ°й неопределимости эти смещения вызывают зна-
четЬ1ЛЬНЬ1е начальные напряжения, которые, как показывают рас-
> зависят от величины смещения опор и жесткости балки,
446
Статически неопределимые систем.
Рис. 428
Рис. 429
возрастая в прямой пропорциональности от величины указанных
факторов.
Пусть (п—1), п и (п-|-1)-я опоры получат смещения по верти-
кали соответственно на уп-\, уп, Уп+t (рис. 428). В результате этого
в основной системе участки 1п и /„+i повернутся на углы
—и е„+,= , (14.32)
которые будем считать положительными в случае поворота по ча-
совой стрелке.
Легко видеть, что такое смещение вызывает взаимный угол по-
ворота торцовых сечений у н-й опоры
Дпс 4-1
Следовательно, каноническое уравнение (14.19) при расчете на
смещение опор принимает вид
6„,„_ iX„ _! + 6ППХ„ 4-6„,п+|Х„+! + Алс = 0 (14.34)
и выражает требование равенства нулю взаимного угла поворота
торцовых сечений у п-й опоры, вызванного действием всех лишних
неизвестных и смещением опор.
Внося в уравнение (14.34) значения 6 из уравнений (14.21)
(14*.23) и Алс из выражения (14.33), при . .=const полу-
чаем следующее уравнение трех моментов:
(14.33)
M„_i/n + 2M„(/„4-/„+1)+M„+i/„+1 = -6£J(en + 1-e„). (14.35)
Для определения опорных моментов, возникающих вследствие
смещения опор, составляют и решают уравнения типа (14.35).
Заметим, что начальные напряжения, возникающие от смешения
опор, могут быть использованы для выравнивания напряжении о
заданной нагрузки.
1 Индекс «с» при \ указывает, что причиной обобщенного перемещения я(
ляется смещение опоры.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
В ияние неточного расположения опор по высоте
447
Пример 69. Определить напряжения, возникающие в стальном валу,
установленном в трех подшипниках (рис. 429, а), при смещении вниз на 2 мм
крайнего правого подшипника. Диаметр вала d~4 см. Расстояние между
подшипниками 1=50 см. Подшипники рассматривать как шарнирные опоры.
Эквивалентная система показана на рис. 429, б, в. Так как крайние опоры
шарнирные, то
Мо=М2 = О;
кроме того,
©1 = 0.
Следовательно, уравнение трех моментов, полагая в уравнении (14.35) п=1,
можно записать в виде
2ЛЙ-2/=-6£Уе2.
откуда
EJ
л», = -|,5 е2.
Так как
02=Т-Г’
то
Наибольшее напряжение в сечении над опорой /
Омаке — — 0,75Еу — 48 МПа.
§ 95. Расчет статически неопределимых
криволинейных стержней
Статически неопределимые системы, содержащие криволинейные
стержни, рассчитывают по методу сил в такой же последователь-
ности, как и системы, рассмотренные в предыдущих параграфах.
В этих случаях, однако, перемещения, входящие в канонические
Уравнения, нельзя вычислять по способу Верещагина. Для этой цели
Рекомендуется применять метод Мора.
В качестве примера рассмотрим круговое кольцо постоянного
поперечного сечения, растягиваемое двумя равными и противопо-
ложно направленными силами (рис. 430, а).
Как замкнутая система, кольцо трижды статически неопреде-
лимо. Однако использование симметрии при выборе основной си-
стемы существенно упрощает решение.
Выберем основную систему, разрезав кольцо по сечению Л а
*рис- 430, б). Из условий симметрии следует, что поперечная сила
448
Статически неопределимые
^темы
Рис. 430
в этом сечении
Х2=0.
Разрезав кольцо на две части по оси AtA2 (рис. 430, в), из усло-
вий равновесия отсеченной части находим, что осевая сила Х3=
= Р/2. Остается только определить неизвестный изгибающий момент
в сечении А2. Окончательная эквивалентная система показана на
рис. 430, г.
Каноническое уравнение перемещений, выражающее условие ра-
венства нулю взаимного угла поворота граней разреза, имеет вид
б 11 Л) + А|р = 0.
Коэффициенты этого уравнения определим по способу Мора, сна-
чала рассматривая основную систему под действием заданной на-
грузки, а затем — под действием лишнего неизвестного единично-
го момента (рис. 431). Влиянием осевых и поперечных усилий пре-
небрегаем. Очевидно,
г .
J EJ
S
s f MiMids
611 = J ’ EJ~
Учитывая симметрию в состояниях Р и 1 основной систе:
(рис. 431, а, б), при вычислении перемещений Д1Р и бц можно ог[
ничиться рассмотрением одной четверти кольца. Имеем
MP = -ф-(1 -COS ф), ( f-) ;
M, = l.
Положительное направление для изгибающего момента при«ч
такое, при котором наружные волокна растянуты. Таким обра9
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Итак, изгибающий момент в сечениях Л
МА = — 0.182Р/?
и направлен в сторону, противоположную ранее принятой. В произ-
вольном сечении кольца изгибающий момент
М (ф)= -^-(1 —cos <р) — МА =0,5Р/?(1 —cos <р)—О,\82PR.
450
Статически неопределимые систо
Наибольший изгибающий момент действует в сечениях В, При
<р=л/2, и составляет величину
Мв =0,318/’/?.
Поперечная сила Q(<p)=0,5/’ sin tp, осевая сила N (<р)=0,5/> cos
На рис. 432 показаны эпюры внутренних силовых факторов в сече-
ниях кольца.
§ 96. Определение перемещений
в статически неопределимых системах
После определения лишних неизвестных усилий перемещения
в статически неопределимых системах можно найти обычными спо-
собами. При этом следует пользоваться методами, которые в каждом
частном случае наиболее просто приводят к результату. Например,
прогибы и углы поворота сечений статически неопределимых балок,
несущих сложную нагрузку, удобно определять по методу началь-
ных параметров. Способ Мора, являющийся универсальным, при-
меним, конечно, во всех случаях. Им широко пользуются при опре-
делении перемещений в балках, рамах и фермах. Н
Вычисляя перемещения по формуле Мора
(14.36)
нагрузки
следует рассмотреть заданную систему под действием
(окончательные эпюры силовых факторов М, N и Q статически не-
определимой системы), а также под действием единичного силового
фактора, соответствующего искомому перемещению (единичны?
эпюры Mi, Ni, Q,). Если при этом единичную нагрузку прикладывать
непосредственно к заданной статически неопределимой системе, Ч
каждый раз для построения единичных эпюр М„ Nit Q, вновь при
дется решать статически неопределимую задачу. Однако этого можно
избежать, если учесть, что исходная статически неопределимая си-
стема и основная статически определимая, нагруженная заданными
силами и найденными лишними неизвестными, полностью тождес1’
венны по условиям работы. Поэтому, определяя какие-либо переМ<
щения, мы вправе прикладывать единичную нагрузку к основно*
статически определимой системе. Последняя может быть выбрав
по любому возможному варианту.
В качестве примера вычислим взаимные перемещения точек
А2 и Bi, В2 соответственно в горизонтальном и вертикальном напрДт
лениях для рамы (см. рис. 416) без учета действия температур.
www.5 okb-la.spb.rti - Самолёт своими р
перемещений в статически неопределимых системах
Определен»^---»___-----------------------------------------
451
ределим только перемещения, вызванные изгибом, так как переме-
щениями от продольных деформаций и сдвига можно пренебречь.
На рис. 433, б показаны составляющие суммарной эпюры изгибаю-
щих моментов в виде, удобном для применения способа Верещагина.
Для определения взаимного перемещения в горизонтальном на-
правлении точек Д,, Да прикладываем к основной системе в этих точ-
ках (рис. 433, в) единичные силы Х,= 1. Перемножая эпюру М
на М и принимая, что = находим
Ад-а—А,
г/
1 / Рб I
EJ \ 162
Pl1 I с, Р(г / \ _ Р/3
8 2 " 32 4 ) ~ MEJ ’
Чтобы определить взаимное вертикальное перемещение точек В\ и
Bi, прикладываем к основной системе в этих точках две единичные
силы (рис. 433, г) Хк=\. Перемножая эпюру М на Мк, находим,
что
л. — л — 1 ( Р1" 1 р? 1 о । z' Pl 5 р1'
' в‘ к EJ \ 16 2 16 6 ’2-*“ 8 16 ’2) 192 EJ
Отметим, что в случаях действия на статически неопределимую
систему температуры к перемещениям основной системы, нагружен-
ои найденными лишними неизвестными, следует добавить чисто тем-
ературные перемещения. При этом формула (14.36) примет вид
S
М,М Tds у»
N,NTds , у С ,, Q.Qrds
EF +J GF
S
2j J J м,а T" hT‘ ds,
Где N о
ных, об т’ Чт— внутренние силовые факторы от лишних неизвест-
15» Условленных действием температуры.
(14.37)
452 Статически неопределимые системы
§ 97. Контроль правильности решения
статически неопределимой системы
Окончательные эпюры A, Q и М подлежат обязательной провер-
ке. Проверяют при этом условия равновесия и деформаций.
Для проверки условий равновесия следует вырезать узел или ка-
кую-либо часть системы и удостовериться в ее равновесии, т. е. в
выполнении условий равенства нулю суммы проекций или моментов
всех внешних и внутренних сил, приложенных к этой части:
2 Рх=О; 2 Ру=О-, S М=0.
При этом нужные величины следует брать непосредственно из окон-
чательных эпюр.
Рассмотрим, например, как должны быть проверены условия
равновесия для эпюры изгибающих момецтов, показанной на
рис. 434. Вырежем узлы В и С (рис. 435). Действие отброшенных
частей рамы на узлы заменим соответственно изгибающими момен-
тами МВА, Мвс, МВЕ и Мсв, MCD. Направления моментов со-
ответствуют расположению эпюр на сжатых волокнах.
Из условия равновесия узла В следует, что
М ВА + М ВЕ М вс — 0.
Из условия равновесия узла С вытекает, что моменты Мсв и
МСЕ) должны быть равны по величине и обратны по направлению.
Аналогично можно проверить эпюры N и Q.
Отметим, что проверка условий равновесия не является доста-
точной, так как проверка правильности построения эпюр по найден-
ным значениям лишних неизвестных усилий не дает оснований для
суждения о правильности самих величин.
Общим контролем является проверка выполнения условий не-
разрывности деформаций. При этом следует убедиться, что оконча-
тельные эпюры согласуются с условиями опорных закреплений и
неразрывности контура.
Так как в заданной статически неопределимой системе переме-
щение по направлению любой лишней связи равно нулю, то произ-
ведение окончательной эпюры изгибающих моментов на эпюру мо-
ментов любого 4-го состояния основной системы должно равняться
нулю, т. е.
MiMds _р (14.38)
S
В качестве основной системы 4-го состояния лучше всего выби-
рать систему, отличную от принятой при расчете. Количество пр^'
верок условий деформаций должно равняться числу лишних связей-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
453
ДППШШЖ
Проведем в качестве примера проверку условий деформаций
для рамы, рассмотренной в § 92 (пример 66). Окончательная эпю-
ра М приведена также на рис. 436, а.
Вычислим взаимные перемещения граней разреза ригеля в го-
ризонтальном направлении. Для этого следует перемножить эпюру
М на единичную эпюру АД (рис. 436, б). При умножении часто
удобно заменить эпюру М ее составляющими:
М~МР -1- Х|Л41 -j- .
Получим
EJAi = jMtMds = - + 2-°-^7Р/|2 |_/г — 0,021 Ph-2h ^- =
s
^w(-o,104 4-0,125 - 0,021)=Ph3(-0,I25 4-0,125)=0.
Теперь проверим, равен ли нулю угол поворота сечения D ис-
ходной системы. С этой целью, умножая эпюру М на единичную
эпюру м3 основной системы (рис. 436, в), находим умноженный на
о Угол поворота:
£70Д3==\^ M3MdsJo
S
Десь pjQ—жесткость поперечного сечения какого-либо элемента
Ь|- Так как в бесшарнирной системе Л13= 1, то
Статически неопределимые
454
£4A3=Z j M~ds.
Интеграл в правой части представляет собой площадь эпюры Л]
умноженную на отношение /0/7. Он называется приведенной пл0’.
щадью эпюры М.
Таким образом, для замкнутых бесшарнирных контуров приве-
денная площадь эпюры моментов равна нулю, т. е.
2 j J^ds = O. (14.39)
В нашем случае, учитывая, что Z = const, получим
= —0,535 %.
Е7Дз = +2 0,1------О,О21РЛ-Зй) =Рй2 (-0,125 +
+ 0,187 - 0,063) = Ph2 (- 0,188 + 0,187) = - 0,001 Ph2.
Так как при расчете системы лишние неизвестные вычисляются
с определенной точностью, то и результаты проверки, естественно,
имеют некоторую погрешность — искомые перемещения отличаются
от нуля. Поэтому при проверке рекомендуется отдельно вычислять
сумму положительных и отрицательных членов. Если разница меж-
ду обеими суммами, выраженная в процентах к меньшей из них,
невелика (до 5 %), то результат расчета можно считать удовлетво-
рительным. В нашем случае
0.188 + 0,187
0,187
Аналогично осуществляется контроль правильности расчета
неразрезной балки.
§ 98. О расчете пространственных
рамных систем
В общем случае действия сил на брус (см. гл. 12) в поперечных
сечениях имеем шесть внутренних силовых факторов (рис. 437) —
A, Qy, Qz, Мх, Му и Мг. Для неподвижного прикрепления сечения
нужно наложить шесть связей, усилия в которых могут быть найде-
ны из шести уравнений равновесия твердого тела. Количество свя-
зей в пространственных системах, превышающее указанное число,
дает степень статической неопределимости. Так, пространственная
рама, изображенная на рис. 438, а, шесть раз статически неопреде;
лима, так как для определения двенадцати неизвестных реакция
можно составить только шесть условий равновесия. Один из вари-
антов основной статически определимой системы показан
рис. 438, б. Для определения шести неизвестных усилий решзе
шесть канонических уравнений обычного вида (см. § 92).
www.vokb-Ia.spb.i-u - Самолёт
Показанная на рис. 439, а пространственная рама 24 раза ста-
тически неопределима. Это легко обнаружить по числу разрезов,
которые необходимо сделать, чтобы получить основную систему
(рис. 439, б), причем каждый разрез освобождает шесть связей.
В машиностроительных конструкциях встречаются плоские ра-
мы, работающие на пространственную нагрузку. На рис. 440, а по-
казана плоская рама с защемленными концами, нагруженная пер-
Пендикулярно к плоскости рамы.
На основании принципа взаимности можно показать, что в плос-
ких системах, нагруженных перпендикулярно к плоскости системы,
силовые факторы, характеризующие работу рамы в ее плоскости,
4длНЬ1 НУЛЮ- Следовательно, из шести неизвестных усилий (рис.
’б) три равны нулю, т. е. Х4 = Х5=Л6=0.
•это обстоятельство существенно упрощает расчет плоских рам,
Сгруженных пространственной нагрузкой. Любую нагрузку можно
к Зл«жить на составляющие в плоскости рамы и перпендикулярные
ней. Используя принцип независимости действия сил, можно рас-
456
Статически неопределимые
<и«см„
Рис. 441
считать систему отдельно от на-
грузок в плоскости рамы и от п< р.
пендикулярных к ней.
В качестве примера рассчитаем
раму, показанную на рис. 440
Чтобы использовать ее симметрию
образуем основную систему раз’
резом стержня ВС посредине
(рис. 441). Такой вариант выгод-
нее изображенного на рис. 440, в.
Из соображений симметрии ос-
новной системы следует, что ко-
сосимметричные силовые факторы в сечениях разреза (крутящий
момент Xz и поперечная сила Хз) равны нулю. Неизвестный изги-
бающий момент Xi легко определить из канонического уравнения
перемещений
611X1 -Т А)Р — 0.
Для определения перемещений строим в основной системе эпюры
изгибающих и крутящих моментов для Р-го (рис. 442, а) и единич-
ного Xi = l (рис. 442, б) состояний. Эпюры крутящих моментов
заштрихованы штриховыми линиями.
Перемещения определяем по формулам Мора для пространствен-
ного случая действия сил, причем пренебрегаем влиянием осевых
и поперечных сил. Получаем
д1Р=£ J J J (14.40)
s s S
MylM!l\ds
Е1Я
EJ,
ALiALi ds
GJ*
.(14.41)
Учитывая, что единичные эпюры ограничены прямыми линиями,
перемещения А1Р, бц можем определить по способу Верещагина.
Получим
A ip—
। 96 i /, 1 о_______1 9 —
EJ, 8 3 2 GJ* 8 2
<?/? (i । c \
= —24E7rV+6-G7T—)'
б"Чг+>Чг(’+2>4Ч-
cJ i UJk cJi \ h /
Таким образом,
I 4-6 CJ|
A,P rf GJ* I, q(\
би 24 £/, /2 P 24 ’
+ GJ* I,
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт
где
1+6
₽ =
1 + 2
EJ i /2
£/, /2
G/, /.
Окончательные эпюры изгибающих и крутящих моментов показаны
на рис. 443.
Глава 15
Расчет плоских кривых брусьев
§ 99. Определение напряжений в кривых брусьях
В различных конструкциях часто встречаются брусья с криво-
линейной осью. К ним относятся грузоподъемные крюки, проушины,
Звенья цепей, ободы шкивов и колес, арки и т. п. Оси этих брусьев —
Плоские кривые. Брусья же с пространственной кривой осью встре-
чаются редко и здесь не рассматриваются.
В поперечных сечениях плоского кривого бруса в общем случае
меются три внутренних силовых фактора — N, Q и М. Правила
р* определения и построения их эпюр для кривых брусьев рассмот-
ри в § 23. В § 24 выведены дифференциальные зависимости
(3.13) — (3.15) между внутренними силовыми факторами и нагруз-
кой.
В настоящей главе рассмотрим определение напряжений и пере-
мещений в кривых брусьях, а также расчет их на прочность. При
этом ограничимся рассмотрением брусьев, имеющих продольную
плоскость симметрии (рис. 444), в которой и действуют внешние на-
грузки. В силу симметрии перемещения точек оси бруса также будут
происходить в этой плоскости.
Исследования показывают, что при изгибе распределение нор-
мальных напряжений в поперечном сечении, а также величина мак-
симальных напряжений в кривом брусе иные, нежели в балке с пря-
мой осью. При прочих равных условиях это различие тем больше,
чем больше отношение высоты h поперечного сечения к радиусу /?
кривизны его оси (рис. 444).
В связи с указанным обстоятельством принято различать брусья
малой кривизны, у которых й//?< 1/5, и брусья большой кривизны,
у которых /г/7?^1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормаль-
ные напряжения с достаточной для инженерных расчетов точностью
можно определять по формулам (10.10), (10.13), выведенным для
балок с прямой осью. Подсчеты максимальных напряжений по этим
формулам для бруса прямоугольного сечения при Л//? = 1/15 дают
разницу в 2 % по сравнению с напряжениями, вычисленными по
более точным формулам, которые будут получены ниже. При h/R^
= 1/10 разница возрастает до 3,5 %, а при h/R=\/^ она достигает .
7 %
Вывод формулы для нормальных напряжений при изгибе бруса
большой кривизны. Рассмотрим случай чистого изгиба кривого бр}'
са (рис. 444). Для прямого стержня мы сначала предположили иеиз
вестным положение нейтрального слоя, а затем выяснили, что °ь
находится на уровне оси стержня. Здесь также предположим, чТ°
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
нейтральный слой имеет неизвестный пока радиус кривизны г„,
вообще говоря, отличный от радиуса R оси стержня.
Вывод формулы для напряжений о при изгибе проведем по той
же схеме, которая применялась для бруса с прямой осью, и в основу
его положим те же гипотезы: гипотезу плоских сечений и гипотезу
о том, что продольные волокна не давят друг на друга.
Проведем в сечении оси у иг, как показано на рис. 444. Ось г сов-
падает с нейтральной линией сечения, положение ее пока не опре-
делено. Положительным принимаем направление оси у к центру
кривизны бруса.
Для получения уравнений статической стороны задачи рассечем
кривой брус на две части каким-либо поперечным сечением, напри-
мер ab (рис. 444), и выделим в сечении элемент площади dF, на-
ходящийся на расстоянии у от нейтральной линии (рис. 444 и
445, а). На элемент действует усилие odF. Из условий (10.2) и
(Ю.З) при /V = 0, Мг — М получим
J odF=Q; J csydF=M.
F F
Условие = ozdF=0 удовлетворяется автоматически в силу
F
имметрии сечения относительно оси у.
Рассматривая геометрическую сторону задачи, выделим из кри-
и°10 бруса (рис. 444) двумя бесконечно близкими сечениями ab
[d элементарный участок, которому соответствует до деформации
На°л После деформации угол между этими сечениями изменится
проНекотоРУю величину А (dtp) (рис. 445, б). Наблюдая деформацию
чейИЗВОЛЬНОГо BOJIOKHa расположенного на расстоянии у от
тРального слоя и имеющего до деформации длину (r„—y) d(p,
(15.1)
460
Расчет плоских кривых 6pytJ
легко заметить, что вследствие деформации под нагрузкой за счет
взаимного поворота сечений ab и cd рассматриваемое bojiokhq удл1
нится на величину у\ (dy). Тогда относительное удлинение выбран
ного произвольного волокна, очевидно,
i/А !du>)
Ь (»„—y)d<r ’ (15.2)
Физическую сторону, как и для балки, если пренебречь давле-
нием продольных волокон друг на друга, можно выразить форму-
лой Гука:
о — Ег.
Подставляя в эту формулу выражение е, согласно формуле (15.2),
будем иметь
с _ £А (d<p) у
d<f '’„—j/
(15.3)
Эту формулу, очевидно, нельзя непосредственно использовать
для определения нормальных напряжений при чистом изгибе кри
вого бруса, поскольку в ней пока неизвестны радиус г„ нейтраль-
ного слоя и изменение угла A (dtp). Для определения гк и Д (tZtp)
воспользуемся двумя условиями (15.1). Из первого условия имеем
f vdF = =0.
J dtp J г„— у
F F
Так как в этом выражении ЕД (dtp)/dtp^=O, то
F
Второе условие соответственно запишется в виде
J =М. (15.5)
F F " '
Интеграл в последнем уравнении можно записать так:
t/'dF
Г«—У
J -y2+;i~r"y dF= - J (у_ -AiK- ) dF=
F " F ' '
= —( ydF'+rA (15.6)
J J г„ — у
f F
Первый интеграл в правой части уравнения (15.6) представляет
собой статический момент Sz площади поперечного сечения относи
тельно нейтральной оси г, т. е. F (— е) (рис. 444, б), а второй интЯ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
Опреде^нм
напряжений в кривых брусьях
461
согласно выражению (15.4), равен нулю. Учитывая это, вы-
шние (15-6) можно записать так:
г =-Sz=-(-е)Л
) '.-У
(15-7)
где е__расстояние от центра тяжести сечения кривого бруса до
нейтральной оси;
р___площадь сечения бруса.
Очевидно интеграл в левой части выражения (15.7) всегда вели-
чина положительная, а это означает, что статический момент Sz —
величина отрицательная. Так как статический момент равен произ-
ведению положительной величины F на координату е центра тяжести
площади F относительно нейтральной оси г, то из этого следует,
что е—всегда координата отрицательная. Поэтому можно утвер-
ждать, что при изгибе кривого бруса нейтральная ось всегда смеще-
на от центра тяжести сечения к центру кривизны бруса.
В дальнейшем в формулах, содержащих е и Sz, имеем в виду их
абсолютные величины.
Подставляя выражение (15.7) в условие (15.5), получим
E^d.±eF=M,
dip
откуда
£A(rf<p) М
dtp eF
(15.8)
Учитывая выражение (15.8), формулу (15.3) для определения
напряжений теперь можно представить в виде
---Му_____
еЕ(г«~у) ’
(15.9)
или
п=-_ Му
S1(r4 — y) ’
где М — изгибающий момент в сечении;
— статический момент площади сечения кривого бруса отно-
Ительно нейтральной линии.
о Из анализа формулы (15.9) видно, что, как и в балке с прямой
3арЮ’ ноРмальное напряжение по ширине сечения одинаковое (не
От Ис„ит от 2) и изменяется только с изменением расстояния точки
и "еитРадьн°й линии. По высоте сечения напряжения в кривом брусе
еня,°тся по гиберболическому закону (рис. 446, б). Наибольшие
462
Расчет плоских кривых брусьев
Рис. 446 Рис- 447
по абсолютной величине напряжения будут в крайних точках сече-
ния, находящихся у вогнутой поверхности бруса.
Абсолютные величины напряжений в крайних точках сечения
кривого бруса,согласно выражению (15.9), определяются по форму-
лам
Mhi
FeRt ’
Mh
FeR.
(15.10)
где Ri и Rz — соответственно радиусы кривизны внутреннего и
внешнего волокон кривого бруса; >
hi и —расстояния от нейтральной линии до этих волокон
(рис. 444).
Знаки напряжений легко установить по направлению изгибаю-
щего 'момента в сечении.
Определение положения нейтральной оси в кривом брусе при
чистом изгибе. Для определения по формулам (15.9) и (15.10) на-
пряжений в кривом брусе при изгибе нужно прежде всего опреде-
лить величину е (расстояние от нейтрального слоя до центра тяжес-
ти) или радиус г„ нейтрального слоя, поскольку
е = /?-гн, (15-11)
где R — радиус слоя, содержащего центры тяжести сечений крю
вого бруса.
Покажем, как определяется положение нейтрального слоя, 1!®
примере бруса прямоугольного поперечного сечения высотой h *1
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
определе>"^^^
в кривых брусьях
463
шириной
(15.4):
b (рис. 447). Для этого будем исходить из
уравнения
г _УЁ£_=О.
) ги~У
F
Введем в этом уравнении следующую замену переменных (рис. 447):
Г = гн — У, или У = г« — г
Тогда уравнение (15.4) может быть переписано так:
С Л—— dF=O, или Гн —F=0,
F F
откуда
Учитывая, что
F=bh, dF=bdr,
будем иметь
г - bh h 11 (15.13)
2.303 !g % '
Здесь 2,303 — модуль перехода к десятичным логарифмам.
Воспользовавшись рядом
получим
464
Расчет плоских кривых брусьев
В первом приближении
Второе приближение дает
12/? L 15 \ 2R J J
Пользуясь формулой (15.12), аналогичным путем можно найти
выражение для е в случае иных форм поперечного сечения кривого
бруса.
Пример 70. Определим положение нейтрального слоя для двутаврового
сечения (рис. 448).
Учитывая обозначения на рис. 448, величину е для двутаврового сечения
можно определить по формуле
Ь\Н\ +6262 +ЬзЬз
(15.14)
R L. . . А 1 1„
b'1П—1П 621пИ
Положив здесь 62 = 62 = 0 или 6i=6i=0, получим эксцентриситет е
для таврового сечения.
Положение центра тяжести сечения найдем по формуле
F b ihi + 6262 + Ьзйз
(15.15)
Пример 71. Определим эксцентриситет нейтральной линии для трапецие-
видного сечения (рис. 449)
dF=b(r)dr.
Ширину сечения Ь(г) на произвольном
расстоянии г находим из подобия треуголь-
ников:
61—6 (г) _ Г —/?|
6)—62 6
откуда
. , > , . bi — bi bi — bi
Hr)=61+—^—Ri--------—г.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
ОпрсДелен,,е "алРнжеНИЙ в кривых брусьях
465
Рис. 449
Тогда
Рис. 450
/?2 /?2 R,
F R R R
<1г\
R Rs Rs
Sdr I i R2 С , n n 1
——=lnr I = ln-^—; \ dr = R2— R| = h.
R R R.
Пользуясь формулами (15.11) и (15.12), находим, что
^>1+^2 ,
R ~^~h
(bt /г 2 ^') 1П"^7-^Ь' ~~b^
(15.16)
Положение центра тяжести сечения определяется по формуле
b i 2fev
b +-Ь2
которую нетрудно получить, разделив статический момент сечения относитель-
но основания на площадь.
Из общей формулы (15.16), положив fei=0 или fe2=0, находим величину
эксцентриситета соответственно расположенных треугольных сечений.
Для круглого полого сечения (рис. 450) аналогично можно получить
§ 100. Расчет на прочность кривых брусьев
в при изгибе кривого бруса кроме изгибающего момента
про ПеРечном сечении действует и продольная сила, то расчет на
факЧНость веДут, учитывая напряжения от обоих этих силовых
торов. Касательные напряжения за крайне редкими исключения-
'т°нкостенные сечения) не оказывают заметного влияния на
4b6
Расчет плоских кривых брул^
прочность, и их обычно не определяют, хотя в случае необходимости
можно найти их приближенно по формуле Журавского.
Для стержней малой кривизны условие прочности имеет тот же
вид, что и для балок:
Омакс = -^/+ (15.18)
Для стержней большой кривизны на основании формулы (15.9)
условие прочности запишется так:
°макс—~s7r (15.19)
При этом нужно рассматривать сечения, в которых суммарные
напряжения от изгибающего момента и от продольной силы имеют
наибольшие значения. В этих сечениях опасной будет одна из край-
них точек. Для этих точек в формулу (15.19) нужно подставить
y — h\ или у — h2 и соответственно г — R\ или r = R2.
В проектировочном расчете бруса большой кривизны для опре-
деления размеров поперечного сечения можно воспользоваться
условием прочности при изгибе балки с соответствующей формой
поперечного сечения, а затем, несколько увеличив полученные
размеры, проверить прочность бруса по условию (15.19). Если брус
большой кривизны изготовлен из материала, имеющего различные
допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие (некоторые
чугуны, пластмассы и т. п.), то условие прочности должно вы-
полняться для крайних точек сечения как в растянутой, так и в
сжатой областях.
Пример 72. Пластмассовое кольцо прямоугольного сечения hyh под 1
вергается действию равномерного внешнего давления р МПа (рис. 451) Тре
буется определить допустимую величину давления для двух вариантов ма
териала:
а) винипласт с пределом прочности на растяжение ofe=54 МПа и преде-1
лом прочности на сжатие ос*=90 МПа;
б) волокнит с пределом прочности на растяжение огл—30 МПа. на сжа-
тие 0^=120 МПа.
Дано: Ь — 8 мм; Ri = 10 мм; R>=30 мм; 8=2 мм.
Вычислим допускаемые напряжения. Принимая коэффициент запаса
прочности л = 3 (для хрупкого материала), получим:
для винипласта
|о+]=у МПа = 18 МПа;
[ст. |= — МПа = 30 МПа;
для волокнита
30 120
[о+|=^МПа= 10 МПа; [о-]=— МПа = 40 МПа.
о <5
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
расчет на прочность кривых брусьев
Перейдем к определе-
нию усилий и моментов.
Рассмотрим произвольное
сечение, проведенное под
углом <р к горизонтали.
Точка О — центр тяжести
этого сечейия — лежит на
осевой дуге кольца, радиус
которой
в 5!±£г 1±зс„_
= 2 см.
Равнодействующая нагруз-
ки, расположенной по пра-
вую сторону от сечения,
P = pb- 2/?2siny.
Вычисляя момент си-
лы относительно точки О
и проецируя силу на каса-
тельную к дуге в этой
точке, получаем
467
Рис. 451
M(<p) = Pflsin у = pf>/?2fl(l — cosq>); -
N(s>)= — Р sin = —pbRt (1 —cos q>).
Изгибающий момент и осевая сила достигают наибольшей величины
в сечении АВ, где <р = л, причем
м«а«с=2рЬад = 2р-0,8-3.2- 10 е =^9,6- 10~ep МН • м;
-Р-0,8.3-2-10-"= -4,8- 10-*р МН.
Высота сечения h-=R2—R, = (3—1) см = 2 см и h/R = l>l/5, поэтому
необходимо пользоваться условием прочности для кривого бруса. Поскольку
осевая сила в опасном сечеиии АВ сжимающая, а материал кольца хрупкий,
применяем условия прочности (15.19) к двум вероятным опасным точкам —
/1 И D.
Радиус гв нейтрального слоя при чистом изгибе находим по формуле
(15 13):
h
• + —
2,303 1g--—
1-Д
2Я
2
1 S
2,303 lg^
2
2,303-0,477
см = 1,82 см.
Эксцентриситет нейтральной линии при чистом изгибе
е==^~ги =(2—1,82)см = 0,18 см.
Площадь сечеиия
f=№ = 0,8.2 см2 =1,6 см2.
468 Расчет плоских кривых 6py£beg
Статический момент сечения относительно нейтральной линии
S = Fe= 1.6- 0,18 см3 = 0,288 см3.
Расстояния от нейтральной линии и от центра кривизны для точки А
уА = гк — /?|=(1,82—1) см = 0,82 см; r.4=Ri = I см;
для точки В
Ув= Rz—г„=(3 —1,82) см = 1,18 см; rB=R2=3 см.
Тогда
Мм„ул Л^„акс 9,6- 10~6р-0,82-10“2 4,8-10-’р
"А SRt + F 0.288-10 1 • 10 : 1,6-10 4
= — 27,4р —Зр=— 30,4р МПа;
Миякув 9,6-10 6р-1,18-10 2 4,8-10-’р_
SRz F 0,288-10 6-3-10~’ 1,6-Ю”4
= I3,lp-3p=I0,lp МПа.
Кроме того, при г — гк
N
у=0 и "аУ - —Зр
F
По этим данным для наглядности иа рис. 451 построена эпюра о.
Теперь запишем условия прочности и определим допустимую величи
ну р:
в случае винипласта для точки А
30,4р^30 и р^0,99 МПа;
для точки В
10,1р<18 и р<1,78 МПа.
В случае волокиита для точки А
30,4р<40 и р<1,32 МПа;
для точки В
10,1р<10 и р<0,99 МПа.
Таким образом, если кольцо изготовлено из винипласта, то Рмп~ ^,99
и опасной является точка А, если же оно волокнитовое, то Рдо|1 = ®'®" ,ги-
и опасной является точка В. Следовательно, несмотря на заметное РазД
чие в механических характеристиках винипласта и волокиита. величина ИЯ
получается в обоих случаях одинаковой и равной примерно 1,0 МПа.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
469
(15.20)
Определение перемещений в кривых стержнях
S 101. Определение перемещений
В кривых стержнях
Определять перемещения в кривых стержнях необходимо для
проверки их жесткости, а также при решении статически неопреде-
лимых задач. Как в случае стержней малой, так и большой кривиз-
ны для определения перемещений удобно воспользоваться методом
Мора- В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольными
деформациями и деформациями сдвига. Тогда в случае плоского
изгиба формула Мора будет иметь тот же вид, что и для балок:
2 Г M,Mrds
J EJ
s
В случае плоского изгиба бруса большой кривизны деформа-
ция элемента от действия усилий МР и NP (рис. 452, а, б) также
состоит из удлинения A (ds) отрезка ds оси и относительного пово-
рота dO сечений, ограничивающих элемент. Взаимный угол поворо-
та сечений, вызванный изгибающими моментами, как следует из
выражения (15.8),
Mpda> Mpds
dQ'=-ES~==-ESb-
Угол поворота сечений, вызванный осевыми силами NP, возникаю-
щий вследствие неодинаковой длины волокон элемента (рис. 452, б),
dQ2=-^L
EFR0
Полный угол поворота сечения
ESR0
Удлинение осевого
Угол d©,.
(15.21)
EFRd
элемента, вызванное поворотом сечений на
A (ds),=eid©, =-^-е, =-^- -
Удлинение осевого элемента в результате действия осевых сил
A (ds\ Pds
' EF ‘
Иодное удлинение осевого волокна
A (ds)=д (ds)1 + д (ds)2 = . (15.22)
Подставляя формулы (15.21) и (15.22) в выражение (13.44),
аходим общую формулу для определения перемещений бруса боль-
°и кривизны:
470
Расчет плоских кривых брусье|1
Рис. 452
. Vfr м'м л I . Л'..-Vp , . kQQP , 1
Д.Р 2j J [ £$£ + £££ ££ rfS+ С£ rfSJ-
(15.23)
Обычно влиянием поперечной силы пренебрегают. Тогда последнее
слагаемое в формуле (15.23) исключается.
В качестве примера вычислим угол поворота свободного конца
бруса большой кривизны, выполненного в виде четверти кольца по-
стоянного сечения (рис. 453, а). Вспомогательное состояние пока-
зано на рис. 453, б.
В произвольном сечении, определяемом полярным углом ф, внут-
ренние силовые факторы для действительного и вспомогательного
состояний следующие:
МР = Р/? sin ф; = —Psin ф; QP = P cos ф; (о<фС
Mi = 1;
Mi=0;
Qi=0.
Согласно формуле (15.23), искомое перемещение
.MiMpdq
ES
MtN pRdtf
EF
л
2
PR sin фс?ф —
о
1 (
ES J
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
едепеиие перемещений в кривых стержнях
471
(15.24)
Как было уже показано (см. § 99), для кривого бруса прямоугольно-
го поперечного сечения в первом приближении можно принять
г «///12/?. Тогда
„ bhJ _ J
S^Fe^ ,2/? R
и формула (15.24) принимает вид
PR2
A ip— Ej
Для бруса малой кривизны, согласно формуле (13.46), искомое
перемещение
2 _ 2
. f MiMpds __ 1 f - л — PR
Ajp — j j PR sin ipdtp .
о о
(15.25)
Глава 16
Расчет толстостенных цилиндров
и вращающихся дисков
§ 102. Толстостенный цилиндр,
подверженный внутреннему
и наружному давлениям
Цилиндр следует считать толстостенным, если толщина его стен-
и больше одной десятой среднего радиуса цилиндра.
ок - И Расчете тонкостенных цилиндров предполагается, что в
а ружном направлении напряжения постоянны по толщине стенки,
„Реальном вообще отсутствуют. Эти допущения неприемлемы
^толстостенных цилиндров.
Нах Усмотрим цилиндр с внутренним радиусом и и наружным г2,
р2 , ДЯц1иися под действием внутреннего давления р\ и наружного
Напря С 454). Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок
оси* СНИЯ и Деформации также симметричны относительно его
АяЩимиМЯ Сечениями> перпендикулярными к оси цилиндра и нахо-
кольцо /Ся ДРУГ от друга на расстоянии, равном единице, вырежем
1Рис. 454). В этом кольце выделим элемент abdc двумя плос-
-172
Ра чет T( icToneiriiHx и индров и вращающихся диск ]
костями, проходящими через ось цилиндра и обра.
зующими между собой угол d& (рис. 455, а), и двумя
соосными цилиндрическими поверхностями с радиу.
сами г и r-\-dr (рис. 455, б). Нормальные напряжения
на цилиндрической поверхности элемента, имеющей
радиус г (радиальные напряжения), обозначим через
ог; на радиусе r-\-dr напряжения получат прираще-
ния и будут равны о, + do,. Нормальные напряжения
на плоских гранях (тангенциальные, или окружные
напряжения) обозначим через ств.
Указанные на рис. 455, б направления напряже-
ний считаются положительными и соответствуют
растяжению элемента по двум взаимно перпенди-
Р1К 1,4 кулярным направлениям.
Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагру-
зок перекашиваться элемент не будет и касательных напряжений
по его граням нет. Поэтому нормальные напряжения ог и ов будут
главными напряжениями.
Статическая сторона задачи. Умножая напряжения на площади
граней, получим действующие на элемент усилия (рис. 455, в):
o,rd& — на внутренней цилиндрической грани; (or-f-dor) (r-\-dr) dQ-
на наружной цилиндрической грани; o^dr—на боковых гранях.
Так как все силы лежат в одной плоскости и пересекаются в
одной точке, то для равновесия элемента суммы их проекций на две
взаимно перпендикулярные оси должны равняться нулю. Ось х на-
правим по биссектрисе угла еЮ, ось у перпендикулярно к ней.
Условиями равновесия будут
£А=0; 2У=0.
Благодаря симметрии элемента второе условие удовлетворяется
тождественно, а первое после подстановки выражений для усилий
имеет следующий вид:
2Х— — arrdO+(ог 4- dor) (r-f-dr)d& — 2^ oodr sin =0.
После раскрытия скобок получим
— arrdO 4- o,rdQ -\-darrdC) 4- o,drdC) 4- do,drdQ — 2овдг sin
wwv.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
473
н11ый UH.1HH ip. ПО верженным внутреннему н наружному давлениям
______________________________________________________________________
В последнем уравнении взаимно уничтожаются члены ±о,где
Вследствие малости угла de/2 принимаем, что sin (^0/2) == d0/2-
отбрасываем член высшего порядка малости dordrde и делим остав-
шиеся члены на drde. После этого получим
r^--bof-oe=0. р61)
Уравнение (16.1) содержит два неизвестных напряжения о и о
Для их определения, придерживаясь общего плана решения стати-
чески неопределимых задач, рассмотрим еще геометрическую и фи-
зическую стороны задачи. *
Геометрическая сторона задачи. Деформация элемента симмет-
рична относительно оси и поэтому вызовет радиальные перемещения
всех точек цилиндра (рис. 455, г). Обозначим радиальное пере-
мещение цилиндрической поверхности радиуса г через и, тогда
перемещение цилиндрической поверхности радиуса r-\-dr будет
и+du. Абсолютное радиальное удлинение элемента dr будет равно
du, а относительное удлинение
du
^г = ~Г-
dr
(16.2)
Относительное удлинение в тангенциальном (окружном) направ-
лении на радиусе г найдем следующим образом. Длина элемента по
окружности цилиндрической поверхности радиуса г после его при-
ращения на величину и равна (r + u)d0. Вычтя из последней на-
чальную длину rt/0, получим абсолютное приращение длины эле-
мента на радиусе г в окружном направлении:
(r±u)d<d~ rd® = ud6.
Разделив абсолютное удлинение на первоначальную длину rd0,
получим окружное относительное удлинение:
(16.3)
Физическая сторона задачи. В случае ^с^^^Г°со^асио
«ения, которому подвергается рассматриваем!:, между собой
закону Гука, напряжения и деформации связаны между сооои
бедующими зависимостями:
sT~p-(f-' + pee); oH = -j-^5-(ee + psr)-
Считывая формулы (16.2) и (16.3), получаем
=—§ /du . и \
(16.4)
474
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся диJ
Подставляя выражения (16.4) в уравнение (16.1), для опред„'
ления перемещения и получим линейное дифференциальное уравне
ние второго порядка с переменными коэффициентами (уравнений
Эйлера):
dyu । 1 du и „
dr* 1 г dr rl
(16.5)
Записав это уравнение в виде
d Г । d(ur) 1 _п
dr [ г dr ]
и интегрируя его по г последовательно два раза, найдем общее ре
шение уравнения:
и — Аг-\~В —.
(16.6)
Подставляя решение (16.6) в формулы (16.4), получим выра-
жения для напряжений в точках на расстоянии г от оси цилиндра:
Пе = Т^[(1+рИ + ±^в] •
(16.7)
(16.8)
Постоянные интегрирования А и В находим из условий для аг на
внутренней и наружной поверхностях цилиндра. На внутренней по-
верхности (г=Г1) эти напряжения равны внутреннему давлению,
т. е. ог=—р\, а на наружной поверхности (г = га)—наружному
давлению: ог=—р2-
Для определения постоянных А и В, согласно уравнению (16.7),
получим следующих два уравнения:
~bi==tA? ;
1 —в L Г| J
-"г=Т^г[<1+^—!7Г-В I
Решая эти уравнения относительно А и В, найдем, что
1 —в r>pi—rlp2 .
Е r'i — ri
1+p r'trl (р, — р2)
Н--- Г г2 г'2
L Г1 — Г\
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
475
ный цилиндр, подверженный внутреннему и наружному давлениям
Т7>лстостен------------------------------------------------------
Подставляя значения постоянных в выражения (16.6), (16.7)
/16 8) получим формулы для определения радиального переме-
/16 8), получим формулы для определения радиального
щения и напряжений (формулы Ламе):
I— В CiPi—Нр2 . 1+в r?ri(pi—Ps) 1 .
г-г ;
Г2 Г1 Е
/2 2
Г2 — Г}
(16.9)
Г?₽|-Г2Р2 р2) 1 .
Ог =----Л 3
,2
.2____2
(16.10)
r'ipi — r'ipi । rfd(pi— p-г)
h ri-rl
1
(16.11)
Сложив левые и правые части выражений для о, и он, убедимся
в том, что сумма радиального и окружного напряжений — величи-
на постоянная:
ог-)-ов=const.
Относительная деформация рассматриваемого кольца в направле-
нии, параллельном оси цилиндра, также постоянна на любом ради-
усе, т. е.
Вг= —^-(Or4-Oe) = COnst.
На основании этого цилиндр можно рассматривать как составлен-
ный из отдельных колец, нанизанных на ось. Поперечные сечения
Цилиндра при деформации остаются плоскими.
В случае, когда цилиндр кроме радиальных давлений восприни-
мает еще и продольную силу Л' (например, при наличии днищ), в его
перечных сечениях возникает напряжение
= ____ N
F n(rl — r\) '
(16.12)
eno ВыРажению/(16.9) для радиальных перемещений добавляется
катаемое
(16.13)
Ряжения а, и при этом не изменяются.
пРяженСТИМ’ ЧТ° ВСе приведенные формулы для деформаций и на-
ных От ии °г> и ог справедливы для сечений, достаточно удален-
пРяжен1НИ1Ц’ вблизи закрытых торцов цилиндра деформации и на-
ия несколько искажены вследствие влияния днищ.
476
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
ДИсКов
Рассмотрим два частных случая нагружения цилиндра.
1. Цилиндр нагружен только внутренним давлением, а нару^
ное давление отсутствует или мало и им можно пренебречь, т е
pi=p; р2=0 Формулы (16.9) (16.11) для напряжений и радиаль
ного перемещения принимают следующий вид;
<|6|Ч
____ г 1 / 1 | Г2 \
e ri-r? \ 1+ Г2/ Р’ (16.15)
и— 1ц г'р г-4- ‘+»1 r'rip 1
U~ E г1-ЦГ + —Е~ rl-Ц У
Напряжение ог всюду сжимающее, а ов — растягивающее. Наи-
большие значения о, и ов будут у внутренней поверхности цилиндра
(при г = Г1):
(о,),
—р;
(o^=l±^p,
(16.17)
где
k =
Г|
гг
Радиальное перемещение у внутренней поверхности
внутреннего радиуса)
(увеличение
(16.18)
Напряжения и перемещение у наружной поверхности цилиндра
следующие:
(oe)f_f!— 1—ft2 Р'
-Ц- -р.
Е \-7 '
(16.19)
(16.20)
Эпюры напряжений <тг и для РаС
сматриваемого случая при отношени
k = r\/n — 0,5 приведены на рис. 456,
Напряжения изменяются по гипербол
ческому закону. Наиболее опасной
www.vokb-la.spb.ru
Самолет
своими
477
сцный цилиндр, подверженный внутреннему и наружному давлениям
ТолсТО<
зрения прочности является точка, лежащая у внутренней
поверхности цилиндра.
П Определим допускаемое внутреннее давление в цилиндре при
паничном увеличении толщины стенки. Полагая г2^оо и при-
нимая в формулах (16.17) Л=0, получим (о,)г==Л| = — р; (nh)r=r=p
Используем, например, третью теорию прочности:
п ш =О1 — °з<[о]-
ОэквШ
в рассматриваемом случае
01=(ав),=„=р и о3=(ог)г=Г1 = —р
и это условие прочности принимает вид
2р<[о].
откуда
2
Цилиндр с весьма толстой стенкой не допускает внутреннего дав-
ления, большего определенной величины. Таким образом, увеличе-
ние толщины стенки цилиндра не всегда является эффективным
способом увеличения прочности.
2. Цилиндр нагружен только внешним давлением: р2=р\ pi=O.
В этом случае формулы (16.10) и (16.11) для напряжений и фор-
мула (16.9) для перемещений принимают следующий вид:
U --------1~~ В rip __________ 1 + ц rjr'ip 1
Е гг — г? Е ri — Ц г
(16.21)
(16.22)
(16.23)
Нс1ПРяжения сжимающие, причем по абсолютной величине
°г' а Радиальное перемещение направлено к оси цилиндра (ра-
Усь1 уменьшаются).
внутренней поверхности цилиндра (г = п)
<°ek = _ 2
l~k2p'
Е ~Г^Р-
(16.24)
(16.25)
478
Расчет толстостенных цилиндров и врашающихся д
У наружной поверхности цилиндра (г = г2)
(аг)г_Г! = -р;
(ов)г=Г!=-т^гр; (16.2б)
и'=« =-т(-СТ— ^р- <16-27)
Эпюры напряжений ог и ов при /г = Г|/г2=0,5 приведены ца
рис. 456, б. Наибольшего по абсолютной величине значения напря.
жение ое достигает у внутренней поверхности цилиндра. Как и в
случае внутреннего давления, наиболее опасной является точка у
внутренней поверхности цилиндра.
Уменьшение наружного радиуса сплошного цилиндра (без внут-
реннего отверстия) получим, положив в формуле (16.23) п =0 и
г—г?. Тогда
-И).
(16.28)
§ 103. Расчет составных цилиндров
Прочность цилиндра, работающего при внутреннем давлении,
с увеличением толщины стенки возрастает только до определенного
предела. Выше было показано, что даже при бесконечно большом
наружном радиусе внутреннее давление в цилиндре не может превы-
шать определенной величины. Исходя из расчета на прочность по до-
пускаемым напряжениям и воспользовавшись третьей теорией пре
ности, мы пришли к выводу, что ни при каком увеличении толщивд
стенки цилиндра его нельзя изготовить на давление, большее, чем
р—[а]/2. Объясняется это тем, что с увеличением радиуса напряже-
ния о, и ое быстро убывают и материал наружных слоев цилиндр
работает малоэффективно. Распределение напряжений можно улу
шить, разгрузив внутренние слои за счет более интенсивного исполь-
зования наружных. Для этого нужно сделать цилиндр составный-
составных цилиндров
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
II
479
---------- -----------------------------------------
один цилиндр на другой с натягом (обычно с помощью горя-
«») в таких цилиндрах величина допускаемого внутрен-
че(1 давления может быть значительно больше, чем в цельном ци-
НеГ°/1ое Подобным образом изготовляют орудийные стволы.
/1ИНПпи посадке одного цилиндра на другой с натягом окружные
пяжения он во внутреннем цилиндре становятся сжимающими,
Нй11 наружном — растягивающими (рис. 457, а). Если такой состав-
3 й цилиндр подвергнуть внутреннему давлению, то в нем возникнут
Н°волнительные растягивающие окружные и сжимающие радиаль-
ные напряжения (рис. 457, б). Эти напряжения определяются по
Формулам (16.14) и (16.15) как для цельного цилиндра. Окружные
напряжения от внутреннего давления будут складываться с напря-
жениями от посадки в наружном цилиндре и вычитаться из них во
внутреннем цилиндре. Радиальные напряжения от внутреннего дав-
ления и от давления посадки складываются в обоих цилиндрах.
Суммарные эпюры напряжений после приложения давления будут
иметь вид, представленный на рис. 457, в. Характерным для них
является скачок на эпюре ое и перелом в эпюре о, на радиусе контак-
та цилиндров.
Рассмотрим расчет составных цилиндров. Прежде всего найдем
зависимость давления рс по контактной поверхности от величины
имевшейся до посадки разности б между наружным диаметром внут-
реннего цилиндра / и внутренним диаметром наружного цилинд-
ра II (рис. 458). Эта разность представляет собой величину на-
тяга.
Поскольку после посадки одного цилиндра на другой наружный
радиус внутреннего цилиндра и внутренний радиус наружного стано-
вятся одинаковыми, то очевидно, что сумма абсолютных величин
радиальных перемещений обоих цилиндров на радиусе поверхности
контакта, вызванных контактным давлением, должна быть равна
половине натяга, т. е.
(16.29)
II
" б
- 2
Так как величина натяга б весьма мала по сравнению с разме-
рами радиуса поверхности контакта, то при вычислении перемеще-
_^и будем считать, что г2/=
r\u~rQ (рис. 458).
НОЦ^б°ЗНаЧИМ ЧеРе3 *1 = П/Гс от-
Лин еНИе внУтРеннего радиуса ци-
к Радиусу поверхности
н°ШеаниТеак Э Чере3 k2 = Ге/Г2 ~ ОТ’
такта Радиуса поверхности кон-
ЛиндраК НаружномУ радиусу ци-
Части В большинстве случаев
Тавных цилиндров изго-
480
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
товляют из одного материала, будем для общности при рещД 1
задачи вначале полагать эти материалы различными.
Контактное давление р будет наружным для внутреннего
линдра и внутренним для наружного цилиндра. Абсолютную ве/
чину радиального перемещения внутреннего цилиндра на к--"
ной поверхности найдем по формуле (16.27):
контак1.
£i
('6.30)
а наружного — по формуле (16.18):
(16.31)
Подставляя значения этих перемещений в уравнение (16.29)
будем иметь
/ ц-л? / * В
Решая уравнение относительно рс, получаем
6
____________ 2
Гс (l+rf
тН;—г?-
£.
(16.32)
(16.33)
1 +ki
В случае одинаковых материалов сопрягаемых цилиндров последняя
формула упрощается и принимает вид
Рс 2rc (1 +*?)(!-^)+(l+fe|)(l-fef)
Напряжения, вызванные давлением рс, определяются по форм?
лам (16.21), (16.22) для внутреннего цилиндра и по форму-’13'1
(16.14), (16.15) для наружного.
Отметим следующее обстоятельство. Величину натяга опреД^
ют, измеряя диаметры.сопрягаемых деталей микрометрическими
струментами или другими точными приборами. Поверхности
талей никогда не бывают абсолютно гладкими: на них всегда
следы обработки — так называемые гребешки, которые сминаю^
при запрессовке. Вследствие этого действительная величина навде.
несколько меньше измеренной, а действительное контактное Д
ние меньше определяемого по формуле (16.32) или (16.33)
Кроме этого следует иметь в виду, что формулы (16.32) и I
справедливы лишь в том случае, когда ни в одной из сопРяГн0с 1
деталей напряжения не превышают предела пропорциональна
При появлении же пластических деформаций контактное Ла 0>
будет меньше, чем определяемое по этим формулам. Найти е
но методами теории пластичности.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
481
,пНыс напряжения в толстостенных цилиндрах
ТелчДДД-------------------------------
104. Температурные напряжения
§ тоЛстостенных цилиндрах
Если толстостенный цилиндр нагревается неравномерно, то в нем
тяются температурные напряжения, которые суммируются с
п°ЯрЯжениями, вызванными давлением.
нацасто температурное поле симметрично относительно оси ци-
ндоа и постоянно по его длине. При этом условии также можно
Л (тать, что поперечные сечения, лежащие на достаточном рас-
стоянии от концов цилиндра, остаются плоскими и деформация е2
постоянна.
Для решения температурной задачи можно воспользоваться тем
же методом, который был применен при расчете цилиндра на дей-
ствие внутреннего и внешнего давлений. При этом уравнение рав-
новесия (16.1) не изменится. Геометрические соотношения (16.2) и
(16.3) также сохранятся. Несколько иными будут физические за-
висимости.
Обозначим через Т повышение температуры, зависящее от ра-
диуса г, а через а — температурный коэффициент линейного рас-
ширения.
Воспользуемся обобщенным законом Гука, добавив к деформа-
циям, обусловленным напряжениями, температурные
Тогда для ег, «г, получим следующие формулы
расширения.
£г=^(ог- цпг цое)-}-сс7' = const;
Е'= F ^°г ~ ~ 11Пе) + аТ'
е«=£(°е —BOz fioQ + ccT-
Решая эти уравнения относительно напряжений,
-2Ц) К1 * * * * * — М-)е* + вЕ<- + Ре« —(! +и)а7'|;
0 _ р
'—(Т+^-ад [(1 —р)Е, + ц£е + р£г —(1 +ц)аТ];
°8 а~игт--2ц)К1—+gEf+и£г~(1 + ^а^-
выражая в этих формулах деформации через перемещения:
(16.34)
найдем, что
(16.35)
= и
ИГ " -
I
вп°4не ')ДУЛЬ упругости Е зависит от температуры. Здесь это не учитывается, что
цИли1]>11^СТ,1МО’ если разность температур внутренней и наружной поверхнос
1110 пРи Д'33 !1^всл,|ка. В таком случае модуль Е следует брать равным его значе-
. Редней температуре стенки цилиндра.
S}’2
482
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
Диск(
и затем подставляя полученные значения для о, и ой в уравнены
равновесия (16.1)
и о г । (г
г — + ог —ой = 0.
получим следующее дифференциальное уравнение для перемещу
ния и:
d2u 1 du и ____ 14~ р dT
dr2 ' г dr г 1 — р dr
(16.36)
Из этого уравнения может быть определено перемещение, если из
вестей закон изменения температуры Т(г) по толщине стенки ци
линдра.
Последнее уравнение можно представить в виде
d
dr
d(ur) 1
dr J
1+м dT
1 — p dr
Интегрируя это уравнение два раза по г, найдем общее решение:
U=1_J±E_( aTrdr+Ar+
г 1 —р J г
(16.37)
Постоянные А и В определяются из условий для о, на внутрен-
ней и наружной поверхностях цилиндра. Так как эти поверхности
свободны от нагрузки, то
(Ог)г=г =0 и (ог)г=гг = 0.
Подставляя в выражение (16.35) для ог деформации er=du/^rli
Ъъ = и/г, а затем полученное решение (16.37) для и, будем иметь
’-- 7Ь[ т±ТЛ^'Г"!'+ ^-4+^е'] (1в.»>
Г1
Приравнивая это выражение к нулю при г = Г] и г = г2, полу4** 1”
два уравнения для определения А и В, решая которые, найдем, 4
A =i+JxJ-2pL 1—С aTrdr-iie;
> - р ri-r? J
ri Д
в=_1+н-----^1—( aTrdr.
1-р г!-гт J
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
ат\рнь|е напряжения в толстостенных цилиндрах
483
Посте подстановки этих значений в формулы (16.35) получим
£ Г 1 г \ гуТ г si г —1- 2 2 г — И Г2 . f ctT г ii rl
•г > ЕЛ» л * / |
Or — । — в L г Г| r^ri-d) J J Г|
____-—Г—a.Trdr-\——С aTrdr — ат] ;
__ -—Г { ( aTr dr-\-(\—|i) — ссТ] .
1 —Ц L Г2 — Г1 J J
(16.39)
(16.40)
(16.41)
В последнем выражении неизвестна величина ez. Если цилиндр
имеет возможность свободно расширяться, то ez можно найти из
условия, что продольная сила в поперечном сечении равняется
нулю, т. е.
W = j j ozr dr d<f = O, (16.42)
0 r.
или
\ czr dr=O.
(16.43)
Подставляя сюда значение oz из выражения (16.41), найдем:
г2
^г~~г2^г2 \ aTr dr. (16.44)
г>
Окончательное выражение для oz следующее:
__ Е / 2 Г \
aTrdr — aT^ .
(16.45)
Вычислить J aTrdr и определить напряжения можно, если изве-
СТерЗакон изменения температуры Т(г) по толщине стенки цилиндра,
зак аиб°лее простым и часто применяемым в технических расчетах
7'*=^НуМ изменения температуры является линейный закон. Пусть
верхи обозначает превышение температуры внутренней по-
линей°СТи цилинДРа над температурой наружной поверхности. Тогда
РазитНЫИ закон изменения температуры по радиусу цилиндра вы-
Ся формулой
1б»
(16.46)
484
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
Подставив это выражение в формулы (16.39), (16.40), (16.45) дл
напряжений и выполнив интегрирование, получим:
_ ЕаТ*
3(1-|*)(Г2-л)
ЕаТ*
в 3(!-|л)(Г2-Г,)
ЕаТ* [о 2(rj-r?)~|
z 3(1—p)(r2 — п) L ri —fi J
У внутренней поверхности цилиндра (при r=rt)
(а,)г=г,=0;
/ \ /а ЕаТ* Г -2. 2(d-r?)l
(oe)r=r, -(o2)r=r, - 3() _Ц)(Г2_Г1) [ Зг, rl--r—j .
У наружной поверхности цилиндра (при г = г2)
(оЛ=Г! = 0;
/а /а ЕаТ* Г q 2<г>—п) 1
(®е)г=г2— (Ог),=Г!— ] •
(16.47)
(16.48)
(16.49)
(16.50)
(16.51)
Эпюры распределения напряжений по толщине стенки цилиндра
с отношением /г = Г|/г2—0,5 при р = 0,3 представлены на рис. 459, о.
Иногда принимают, что в толстостенных цилиндрах температура
изменяется по логарифмическому закону, устанавливаемому теорией
теплопередачи:
7’(г) = -^—1п —.
, Г2 Г
(16.52)
Подставив это выражение в формулы (16.39), (16.40), (16.45) и вы-
полнив интегрирование, получим
a
Рис. 459
б
Ог=—
2(1-ц)1п —
= „g?r. [i-inZl-
2(1-B)ln^-L
www.vokb-la.spb.ni
Самолёт своими
485
иные напряжения в толстостенных цилиндрах
[fieparjP__----------------------------------------
(16.55)
У внутренней поверхности цилиндра
(Ог)г = п -'°’
ч ЕаТ*
r I
у наружной поверхности
(16.56)
(Ог),=г2—°;
, , х ____ ЕаТ* Г | 2г? , Г2~1
(ов)г^-(^)г^ 2(1_)1П^[1 r|-rf nJ-
П
(16.57)
Эпюры распределения напряжений по толщине стенки цилиндра
с отношением &=г1/г2=0,5 при ц=0,3 в случае изменения темпе-
ратуры по логарифмическому закону представлены на рис. 459, б.
Отметим, что вблизи торцов цилиндра напряжения, определя-
I емые полученными формулами, могут иметь место лишь в том слу-
чае, если торцы будут нагружены поверхностной нагрузкой, изме-
няющейся в соответствии с формулой для oz.
§ 105. Примеры расчетов толстостенных цилиндров
1. Толстостенный цилиндр подвергается внутреннему давлению
I Pi = 100 МПа и наружному р2=60 МПа. Исследуем, как будут
I изменяться напряжения ог и ои с изменением толщины стенки ци-
линдра, характеризуемым величиной отношения внутреннего радиуса
I к наружному /г = Г1/г2-
Напряжения определяются по формулам (16.10) и (16.11), кото-
рые в данном случае удобнее записать, введя отношение fe = ri/r2:
I С.2- fe2Pl—Р2 Pl— Р? Г|
1-е2 1-Е2 г2 ’
(16.58)
— fe2Pi—Рг Pi—Р2 г?
1-Е2 “Г 1-Е2 Г2 •
(16.59)
L ^Ри изменении толщины стенки цилиндра напряжение о, оста-
I я сжимающим и плавно изменяется по гиперболическому закону
I ьv Учения —pi у внутренней поверхности до значения —р2 у на-
1 ы^Ной (рис. 460, а).
вычисления напряжений ое у внутренней поверхности ци-
I н4ра (г = Г|) и у наружной (г = гг) формулу (16.59) можно записать
486
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
соответственно так:
(ое)г=Г1=т^г[(1+/г* 2)р1—2pi] ;
(°e)r= г =-j-zp-[2/j2P'— О+^Рг]
Подставляя сюда различные значения k, можем вычислить на-
пряжения ое у внутренней и наружной поверхностей цилиндра при
заданных значениях pi и р2.
На рис. 460, б — е показаны эпюры ое при значениях 6=0,707.
£=0,655; 6 = 0,578; /г = 0,446; 6=0,354.
2. Стальная труба с внутренним диаметром 2ri=40 мм подвер-
гается внутреннему давлению р=250 МПа. Определим толщину
S стенки трубы по четвертой теории прочности, если допускаемое
напряжение для стали [о]=500 МПа.
Опасными являются точки трубы у внутренней поверхности
где главные напряжения имеют следующие значения:
O1=oe=^4Lp=4±Fp; °6,601
Г2 — И 1—К
О2 = ог = 0; о3 = о,= — р.
Условие прочности по четвертой теории
Оэкв1У = ~ °2)2 + (О| _ S3)2 + (°2 ~ °з)2 С [о]
после подстановки напряжений из формул (16.60) принимает
оэкв iv = — оеог4-о2 <[о], (16,611
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
„лсртов толстостенных цилиндров
487
(16.62)
откуда
(jo 2 __р2) — 2'о 2k2 + ([о]2 — Зр2) = 0.
решая относительно k2, получаем
Так как Р2<1, то перед корнем следует взять знак «минус». Тогда
Толщина стенки трубы (55 — 20) мм = 35 мм.
3- Найдем оптимальную величину давления рс натяга составного
Цилиндра из условия равнопрочности внутреннего и наружного
Цилиндров и величину допускаемого внутреннего давления pi. Дано:
П = 40 мм; г2 = 1 Ю мм; гс = 80 мм; [о] = 600 МПа. Расчет выполним
0 четвертой теории.
^Напряжения во внутреннем цилиндре будут наибольшими при
Г—Г| и такими согласно формулам (16.14), (16.15) и (16.24):
) . -_ Г2“ЬГ| 2гс | 9 1 q С7
,г r'~y~z~r~ Р' ~ г2_ггРс L31pi—2,67рс.
(16.63)
К)г
наружном цилиндре напряжения будут наибольшими при
и такими согласно формулам (16.14), (16.15), (16.17):
rc==TTZ7f( 1—-v) Pi—Рс= — 0,136pi— рс;
488 Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся ди
(оеп)г г =7Z7( 1+-4-) р,—~>Р' =
‘2 * | * ' С / » 9 F(.
=0,44p1+3.25pt.
Условие равнопрочности по четвертой теории имеет вид
М - (ои1) (ог1) + (ог1)2 = \[(ое11)2 - (он11) (огИ) + (ог11)2 ’
Подставив выражение напряжений через давления, освободив,
шись от радикалов и приведя подобные члены, получим
3,74р? — 13,62pipc — 7,68р2 = 0.
Решив это уравнение относительно рс, найдем, что
pi = 4,12р(..
(16.64)
Оптимальная величина давления рс определяется условием проч
ности
Vfaei)2 —(°ei)(°ri) + (ori)2 =[°J-
Используя формулы (16.63) для о,, и ов, и зависимость (16.64)
получим
(1,31 • 4,12 —2,67)2р2 + (1,31 • 4,12—2,67)р24,122р2 = [о],
откуда находим, что рс = 114,5 МПа.
Допускаемое внутреннее давление
р, = 4,12рс = 4,12 • 114,5 МПа = 472 МПа.
4. Стальная труба с внутренним диаметром 2rt =4 см и наружным
2г2 = 8 см нагревается так, что температура внутренней поверх
ности 7, =300 °C, а наружной 74 = 200 °C. Определим температур-
ные напряжения в трубе, считая, что по толщине стенки темпера-
тура изменяется по линейному закону. При расчете примем Е=2-10
МПа; р = 0,3; а=125-10 7. Превышение температуры внутренне11
поверхности над наружной 7'* = 74— 74 =100 °C.
По формуле (16.50) находим окружное и осевое напряжена*1
у внутренней поверхности трубы:
(он)г = г = (о2),=г,
ЕаТ*
3(1 — н)(о> — п)
зг, -
2-106.125-К) 7-100
“ 3(1-0,31(4-2)
(3-2
2У_2П МПа =-199 МПа.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
489
расчетов толстостенных цилиндров
---------------------------
По фоРмУле (16.51) находим напряжения ое и ог у наружной
поверхности:
2 (г?,— г
,2_г?
П 10^. 125-ю 7-Ю0
£<х7~* Г з
3(1 —ц) (Г2 —T1)L
-[3-2-2(дР] МПа-158 МПа.
зц—о.з 4—2)
В ДРУГИХ точках поперечного сечения трубы напряжения можно
вычислить по формулам (16.47) — (16.49).
§ 106. Расчет вращающихся дисков
Вращающиеся диски широко применяют в паровых и газовых
урбинах, в компрессорах, вентиляторах и машинах химической
промышленности. Диски подвергаются нагрузкам, вызывающим их
растяжение и изгиб, а также действию высоких температур. Суще-
ственное значение имеют центробежные силы. Обычно нагрузки и
температурное поле симметричны относительно оси диска, вслед-
ствие чего и напряжения являются функциями только расстояния
от оси вращения.
Ограничимся рассмотрением диска постоянной толщины, нагру-
женного силами, параллельными его срединной плоскости и равно-
мерно распределенными по его толщине. Рассмотрим также нагрев
диска при линейном законе изменения температуры вдоль радиуса.
Будем считать, что диск тонкий и вследствие этого напряжения
по его толщине не изменяются, а в направлениях, параллельных
оси, вообще отсутствуют (о2 = 0). В такой постановке задача об
определении напряжений в диске относится к так называемой плос-
кой задаче теории упругости, а именно — к задаче о плоском напря-
женном состоянии
Рассмотрим вращающийся диск постоянной толщины А, имею-
щий центральное отверстие (рис. 461, а). Дополнительно к обо-
значениям рисунка примем следующие: у/д — удельная масса
Н1ИЙ центральное отверстие (рис. 461, и).
значениям рисунка примем следующие: y/g— удельная
материала диска; ю — угловая скорость вращения.
Как и в рассмотренном уже случае расчета толстостенного ци-
‘ 1ндРа, вырежем мысленно элемент диска двумя меридиональными
носкостями, угол между которыми в срединной плоскости равен d&,
(рщВУМЯ цилинДРическими поверхностями радиусов г и r-\-dr
Сил’ приложенных по граням элемента (рис. 462, б), на
пре нт Действуют силы инерции в виде центробежной силы, рас-
Денной по всему объему и приводящейся к равнодействующей
'Д to г=Art/© dr ы2г.
Эта *
вДольИЛа Также лежит в срединной плоскости диска и направлена
Радиуса от оси вращения.
490
Расчет толстостенных цилиндров и вращающих,-
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось х, совпа-
дающую с биссектрисой угла d6, получаем уравнение равновеси
в следующем виде;
r _^__|_Or_Oe+_rtl)V=0. (16.65)
Это уравнение отличается от уравнения равновесия (16.1) полу-
ченного при расчете толстостенного цилиндра, только слагаемым
(y/g) со2г2, обусловленным действием центробежных сил. Геометри
ческие и физические уравнения не отличаются от уравнений (16.2) -
(16.4), полученных для толстостенного цилиндра.
Дифференциальное уравнение для радиальных перемещений то-
чек диска в этом случае примет вид
1 dll__и = 1-М2 У м2г (16.66)
dr г dr г Eg'
Это дифференциальное уравнение отличается от уравнения (16-5)
лишь правой частью. Записав его в виде
<1 Г 1 <1 иг 1 _ _ I—т 2 (16.67
dr [ г dr J Eg I
и проинтегрировав последовательно два раза, найдем, что
и-А<г + ^-----!—L^<o2r3. О6’68'
1 г SE g
Внеся это решение в выражения (16.4) для напряжений, полу
Ог=Л+4--------— со2г2; (,6’б9)
г 8 g
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими pi
Г ^^пряи1аютчхся дисков
В _ I + Зц у
„ —V- 8
0е>
491
(16.70)
2 2
СО Г ,
ё
Bt.
гДе
—Л1, а В
Я" 1-н
Постоянные А и В (а следовательно, А и В\) определяются из
личных условий. Чаще всего известны радиальные напряжения
'^наружном и внутреннем контурах диска. Тогда при r=rt ог —
J а при г==Г2 ог=оГг. В соответствии с выражением (1669) эти
у^овия дают два уравнения:
в 3 + в Т ,,2-2.
+ И 8 £ "
. 3 + Н -ГЮ2Г2
о, =/ + И 8 ё
решая которые относительно А и В,
л г‘ П А п 1 з+п у
А — о*Г2 2 2 °r, 1 _ Г2 —Ti 8 g
о О г‘Л з + ц у
5- Г2_Г? °- у 2 иг Г2 — П 8 g
найдем:
<0 Г|Г2-
(16.71)
(16.72)
(16.73)
Если на наружном и внутреннем контурах диска напряжения от-
сутствуют, т. е. аг =0 и оГ1 = 0, то
/=2iT70’(r'+r
б=-^|^-^-со2г?г1 (16.74)
Подставляя последние значения Л и В в формулы (16.69) и (16.70),
получаем:
Пг^-_3~Ер. У 9 / 9 1 9 '>'2 ,2\-
8 Y 7'+Г2----------7------Г )’
6 8 ё °2 [(3 + н) (14-Зр.) r2j.
вдагая для краткости
-L±^=m.
Рм>лы (16.75) и (16.76) можно написатЬ так:
о-7)-₽7
гс ['+*’(' +7)-тН
(16.75)
(16.76)
(16.77)
(16.78)
(16.79)
492
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
-------—— ----------------— —-------—
Напряжение ог положительно и, как нетрудно убедиться, ддЛ
гает наибольшей величины при р = дk — . Тогда
(ог)макс = с(1 к) . (16.80)
Напряжение ое при всех значениях р также положительной д0
стигает наибольшей величины у внутреннего края диска (при р=£)-
(он)«акс=с[2+(1 -m)k2]. (16.81)
Сравнивая формулы (16.80) и (16.81), убеждаемся, что (ов) Ма11
всегда больше (ог)маКс. Поэтому при проверке прочности диска по
энергетической теории формоизменения условие прочности должно
быть записано в виде
Оэкв IV — (обмане — С [2 + (1 - ni) fe2|C[o|.
(16.82)
В случае хрупких материалов проверку следует проводить по
теории Мора, которая при Оз = ог = 0 приводит к той же формуле
(16.82).
Характер распределения напряжений ог и ое вдоль радиуса дис-
ка с отверстием при k = 0,2 и р = 0,3 показан на рис. 461, б.
Формулы для напряжений в сплошном диске (без отверстия)
можно получить из формул (16.69) и (16.70), если принять во вни-
мание, что на оси диска (при г=0) напряжения должны иметь
конечные значения. Для выполнения этого условия постоянную В
следует положить равной нулю, и тогда формулы примут следующий
вид:
Ог = А------
8 g
(16.83)
о А-------(16.84)
° 8 g
Постоянную А найдем из граничных условий на наружном кон-
туре (при г—г2). Если диск подвергается действию только инер-
ционных сил собственной массы, вызванных его вращением, а внеш-
няя нагрузка на наружном контуре отсутствует, т. е. о„=0, то.
согласно формуле (16.83),
(16.85)
« g
Подставляя это значение/l в формулы (16.83) и (16.84), имеем:
Ог = С(1-р2); (16.86)
ое = с (1 — щр2). (1
Оба напряжения положительны при всех значениях р и увеЛ1^
чиваются по мере приближения к оси диска. На оси диска, при
(Ог)маке — (ор)макс — О
(16.88)
3 + м
8
ю2Г2.
g
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
раСчет вращающихся дисков
493
По найденным напряжениям легко определить перемещения и
деформации в диске
Наибольший интерес представляет радиальное перемещение и
равное ему увеличение радиуса. Согласно выражению (16.3),
„ = еег. (16.89)
Так как
то
у=-^(ов-цо,). (16.90)
Для определения перемещения на наружном контуре и равного
ему увеличения радиуса в формулу (16.90) нужно подставить г = п,
ов—ое .. и Gr=Gr /
В случае неравномерного нагрева диска к напряжениям, вызван-
ным центробежными силами его собственной массы и контурными
нагрузками, прибавляются температурные напряжения.
Определим отдельно температурные напряжения. Ход решения
этой задачи аналогичен ходу только что рассмотренной. Уравнение
равновесия получим из уравнения (16.65), положив w—0. Оно будет
таким же, как в случае расчета толстостенного цилиндра [фор-
мула (16.1)]
г^ + ог-ов = °- (16.91)
Относительные деформации с учетом температурного расширения
определяются следующими выражениями:
£г=-^(ог —И<щ) + а7',
, (16.92)
(ое—+
Решая совместно эти уравнения относительно напряжений, по-
лучаем
°г==~72^Не' + 11ее — (1 +н) «7];
(16.93)
е== [ев+ цег — (1 + pi) аЦ
Учитывая выражения (16.2) и (16.3), будем иметь
(16.94)
494
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся дИ(J
Обозначим Т* = Т<2—Т\ (см. рис. 461, а). При линейном цЛ
нении температуры вдоль радиуса диска Т= Т* (г — r,)/(r2 — Jj]
последние выражения принимают вид
Е
Г2—Г\
(16.95)
----(Д-^аТ*-!—^-
dr ' ' Г2—П
(16-96)
° 6 1 — ц2
Модуль упругости и коэффициент Пуассона полагаем постоянными
не зависящими от температуры и равными их значениям при сред.’
ней температуре диска.
Подставляя формулы (16.95) и (16.96) в уравнение равновесия
(16.91), получаем следующее дифференциальное уравнение ддя
определения перемещений в температурной задаче:
d2u , 1 du и
dr ~ г2
Записав уравнение в виде
d Г 1 d{ur) I _ 1 +ц ау*
dr L г dr ] Г2—и
аТ*.
(16.97)
(16.98)
и проинтегрировав его последовательно дважды, получим решение
для перемещения:
и = С\г +-^Ч- + аТ*г2.
г 3 (Г2 — и)
Подставив это решение в формулы (16.95) и (16.96) для напряжений,
будем иметь
. D
(16.99)
ое=
Т* с
^=ТУаЕг-
2 Г* р
—-------аЕг,
3 Г2 —/Г
(16.100)
(16.101)
D
где
Е
Т—D,.
аТ*г\
1 — ц ~ ‘ 1 г 2 — п
Постоянные С и D могут быть определены из граничных условИ
при г=Г| напряжение ог =0,при г = гя напряжение о, =0.
Если вращающийся диск нагревается неравномерно, то на Д
жение от центробежных сил и температурные напряжения сле ' г,
суммировать. В случае линейного изменения температуры ® 3
радиуса, сложив правые части выражений (16.69) и (16.19 Ь
также выражений (16 70) и (16.101), будем иметь
Т* --аЕг-
Г 8 g 3(г2 —г,)
(16.1°2)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
495
вращающихся дисков
________________
, L 1 +3р
,2-2
__Л____r „ afr,
00--Л г~ 8 £ 3 Г2- Г|
К^А-{-С, L — новые постоянные, которые также
определяются из граничных условий.
(16.103)
Пример 73. Найдем напряжения во вращающемся и неравномерно нагре-
том диске постоянной толщины с центральным отверстием. Наружный диаметр
диска th = 500 мм. диаметр отверстия th = 100 мм, толщина диска h-Ю мм
и частота вращения п - 3000 об/мин. На единицу длины наружного контура
диска при этом числе оборотов действуют центробежные силы обода и лопаток
рг = 0,1 МН/м, внутренний контур диска считать свободным. Температура
у внутреннего контура Т\—200 °C, а у наружного Т2 =300 °C и изменяется
вдоль радиуса по линейному закону Материал диска — сталь с Е = 2- 1С?‘ МПа;
ц = 0.3; <р = 78,5 кН/м3; а = 125 10~7.
Вычислим суммарные напряжения от центробежных сил и от неравномер-
ного нагрева. Для этого воспользуемся формулами (16.102) и (16.103). Под-
считаем входящие в эти формулы величины:
3 + 1* Y г_ 3,3 78,5
~~8 £ “ ~ 8 9,81
3,14-3000
30
= 325 МПа/м2;
Т* 100
зБ^Га£= 3(25-5)--10 125-10~7-2-105=416 МПа/м;
77^-аЕ ;А г 125-10 7-2- 10г, = 833 МПа/м
«5 Г2—П 3(25 — о)-10~2
Подставив эти величины в формулы (16.102) и (16.103), получим
п' = Л' + ~^—325г2 —416г,
°е=К—------187г2 —833г.
Постоянные К и L найдем из граничных условий:
при г = п=5 см
я'=о,,=0;
при г = г2 = 25 см
ог==п Р,2 о,1О
’ <’"=-}р-=^-МПа=10 МПа.
Эти
Условия дают следующих два уравнения:
10 1г । I.
+ ~Д2+ 325 • °-25 — 416 • 0,25;
0 = £, L
г 7) Д5? 325 • 0,052 - 416 • 0,05,
496
Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
ДИс*0|,
иди
625- 10 4 /<+/.=83 945-10“4;
25- К)' /< + /. = 540-10 4
Решив уравнения, найдем, что к _
= 139 МПа, a L = — 2935 • 10 4 МПа •
Уравнения для определения напря.
женин принимают следующий вид: '
щ=139- 2935^‘°---------325г2 —416г;
о е= 139 + 293 = '----187г2- 833г. W
Вычислим напряжение ст, при среднем
значении радиуса
г i + п 5 25
Гер=—2—=—— см = 15 см.
Получим
(2935-10 4 \
139---0L55-----325-0,152 —416-0,15JМПа=56 МПа
Напряжения ов вычислим при г = г =5 см, г = гср=15 см и г = гг 25 «
(2935•10 4 \
*39 + ~~0 05 2-187 • 0,052 — 833 • 0.05 1 МПа = 214 МПа,
( 2935- ю 4 \
139-1-7TR5----- -187-0,152 — 833 - 0,15 ) МПа = 23 МПа;
и, ю /
( 2935 -10 4 \
139 4-0 252----187 ’0,252 833 0,25 I МП а = - 80 МПа
Эпюры напряжений показаны на рис. 463
Глава 17
Изгиб пластинок
§ 107. Общие понятия.
Гипотезы теории изгиба пластинок
Пластинкой (рис. 464) называют тело, ограниченное двум^
плоскостями, расстояние между которыми h (толщина пластинки)
мало по сравнению с размерами этих плоскостей. Плоскость, Ч
торая делит везде толщину пластинки пополам, называется cpedIJ
ной плоскостью. Линия пересечения срединной плоскости с огра11 _
чивающими пластинку боковыми поверхностями образует контьт
пластинки.
Пластинки, у которых толщина не превышает одной пятой ме
шего размера ограничивающих плоскостей, относятся к тояЧ
Такие пластинки широко распространены в технике. Это пл°с
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?т
497
понятия Гипотезы теории изгиба пластинок
—------------------------------
|Ца и крышки резервуаров,
Д пекрытия зданий, плоские участ
П обшивки крыла самолета и т. д.
Поперечные нагрузки, т. е. си-
перпендикулярные к средин-
Л й плоскости пластинки, а также
н°мСНты вызывают ее изгиб. При
'том в поперечных сечениях плас-
тинки в общем случае возникают
изгибающие моменты, поперечные
силы, растягивающие (сжимаю-
щие) силы, крутящие моменты
и соответствующие им нормальные и касательные напряжения.
Усилия и моменты в пластинках принято относить к единице
.тины того сечения, в котором они действуют. Эти погонные усилия
измеряют в ньютонах на метр (Н/м), а погонные моменты — в нью-
тон-метрах на метр (Н-м/м).
Основное значение при расчете пластинок на прочность имеет
величина изгибающих моментов, точнее, нормальных напряжений
изгиба. Напряжения, вызванные остальными внутренними силовыми
факторами, бывают сравнительно малыми и существенного влияния
на прочность не оказывают. Их обычно не определяют.
Прямоугольные пластинки принято рассматривать в прямоуголь-
ной системе координат х, у, z, располагая оси х и у в срединной
плоскости (рис. 464).
При изгибе пластинки различные ее точки получают перемеще-
ния, которые зависят от величины внешних сил, геометрических
размеров и характера закрепления пластинки, а также от свойств
материала, из которого она сделана. Перемещения точек срединной
плоскости по перпендикулярам к этой плоскости, т. е. параллельные
оси г, называют прогибами и обозначают w. Они зависят от коорди-
нат точек х и у. w = w (х, у). Поверхность, в которую превращается
срединная плоскость при изгибе пластинки, называется срединной
поверхностью. Функция прогибов w = w (х, у) одновременно явля-
ся функцией, описывающей срединную поверхность пластинки.
л Сли пластинка закреплена так, что при изгибе ее противопо-
горизЫе КРая не МОГУТ сближаться, то в закреплениях возникают
усил °Нтальные реакции и в пластинке появляются растягивающие
Растя И напРяжения> равномерно распределенные по толщине.
Ной п ИВающие (сжимающие) напряжения возникают и в свобод-
ВеРхно ЯСтинке> когда искривленная при изгибе ее срединная по-
Вт°ромСТЬ Не РазвеР™вается в плоскость. Как в первом, так и во
гиба. р5лУчае величина этих напряжений зависит от величины про-
‘’Реьыщ. СЛеДования показали, что если максимальный прогиб не
(снимаюТ Одноя пятой толщины пластинки, то растягивающие
^о*но пп“1Ие2 напряжения малы по сравнению с изгибными и ими
НЬ1Х расчРСНебРечь’ не выходя за пРеДелы допустимой для инженер-
ен08 погрешности.
498
Изгиб n.i-
Тонкие пластинки, у которых №<(1/5)//, называются жесткиД
При расистах жестких пластинок можно пользоваться принцЯ
сложения (независимости) действия сил. Например, если пла.-пД
при изгибе растягивается или сжимается силами, не зависяцЯ
от изгиба, то нормальные напряжения от изгиба и растях^?
(сжатия), вычисленные независимо друг от друга, суммируют, J
в подобных случаях в балках. ’ '
В дальнейшем рассматриваются только жесткие пластинки.
Точная теория изгиба пластинок, исходящая из основных ура^
нений теории упругости, весьма сложна. Ее методами пока penj/
только некоторые простейшие задачи. В связи с этим возникла 3
обходимость в приближенной теории расчета пластинок, которец
основываясь на ряде допущений, давала бы близкие к точные
но более простые решения важнейших практических задач,
теория создана работами многих ученых в первой половине XIX и
Приближенная теория изгиба пластинок, которая называется
технической теорией пластинок, базируется на следующих двр
основных гипотезах (гипотезах Кирхгофа):
1. Точки пластинки, расположенные до ее изгиба на прямч|
нормальной к срединной плоскости, при изгибе остаются на этой ш
прямой, которая поворачивается, оставаясь нормальной к изогнуты
срединной поверхности. Эта гипотеза аналогична гипотезе плосшг
сечений в теории изгиба балок и часто называется гипотезой прямы
нормалей.
На основании гипотезы прямых нормалей установлен линейтй
закон изменения по толщине пластинки нормальных напряжен)!
изгиба и касательных напряжений кручения и получены формрн
для углов поворота и прогибов.
2. Слои пластинки, параллельные срединной плоскости, не давя»
друг на друга. Из этой гипотезы следует, что в любом сеченм
пластинки, параллельном срединной плоскости, нормальные напря
жения равны нулю и каждый элемент слоя пластинки, параллельно»1
срединной плоскости, в общем случае изгиба находится в плоско*
напряженном состоянии.
Кроме этих гипотез и ограничения величины прогиба, прини
мают, что материал пластинки однородный, изотропный, а возни
кающие напряжения меньше предела пропорциональности и П'
этому напряжения и деформации связаны между собой законе*
Гука.
§ 108. Цилиндрический изгиб
прямоугольных пластинок
Цилиндрическим изгибом называется такой изгиб, при КОТ°Р°
срединная плоскость пластинки переходит в цилиндрическую повсР-
ность.
Примером цилиндрического изгиба является изгиб Д-чи1'
пластинки (й>3а), которая шарнирно оперта длинными сторону
wtvw.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими р
499
«гский изгиб прямоугольных пластинок
долинЛР^—.--------------------------
пы не препятствующие их сближению, и нагружена распре-
1,3 °Пной’нагрузкой, не изменяющейся в направлении длинной сто-
де-1еНпластинки, т. е. когда р=р(х) (рис. 465). Изогнутую поверх-
р°1,ь1 такой пластинки, за исключением узких полосок вдоль сво-
н0СТЬь.х боковых кромок, можно считать цилиндрической с образую-
6(>;1И ' параллельными длинным сторонам. Кривизна пластинки
шиМче’ниях, параллельных координатной плоскости yz, равна нулю.
в С сти.м, что в этом случае цилиндрического изгиба отпадает ука-
ое ограничение величины прогиба, так как переход срединной
заосКости в цилиндрическую поверхность происходит без ее растя-
жения. Прогибы могут быть того же порядка, что и толщина пластин-
f При больших прогибах может возникнуть нелинейность, связан-
ная с изменением положения сил, которые вызывают изгиб.
Очевидно, для цилиндрического изгиба при данной нагрузке
прогиб w является функцией только координаты х, т. е. w = w (х), и
внутренние усилия в сечениях также зависят только от х. Поэтому
можно ограничиться рассмотрением изгиба любой элементарной
полоски, выделенной двумя поперечными сечениями, перпендикуляр-
ными к оси у, за исключением узких полосок по коротким сторонам
пластинки (рис. 466, а).
Будем рассматривать полоску, ширина которой равна единице.
Изгиб такой полоски подобен изгибу балки. Единственное, но суще-
ственное отличие заключается в том, что при изгибе балки попереч-
ные деформации ничем не стеснены. Вследствие этого форма контура
поперечного сечения искажается: в зоне действия растягивающих
напряжений ширина сечения уменьшается, а в зоне действия сжи-
мающих — увеличивается (рис. 466, б). При цилиндрическом изгибе
пластинки поперечные деформации мысленно выделенной полоски
произойти не могут вследствие взаимодействия с соседними по-
лосками. Если на поверхностях пластинки нанести линии, парал-
500
-------------------
лельные оси х (рис. 466 щ
при изгибе расстояния ’ м ’ * *
ними не изменяются. Это
что у поверхности пластинкиЯ
носительные деформации в 01
правлении оси у равны нулю НЛ
гипотезы прямых нормалей
дует, что в любом слое пластин?
параллельном срединной плоек
ти, ‘относительные деформации
направлении оси у также рЙВ1,в
нулю. Взаимодействие полосок
приводит к тому, что в пластинке
возникают напряжения не тольк
в сечениях, перпендикулярных к
оси х, но и в сечениях, перпенди-
кулярных к оси у (рис. 466, б)
Следовательно, слои пластинки
параллельные срединной плоскости, испытывают плоское (двух-
осное) напряженное состояние.
Выделим из рассматриваемой полоски сечениями, перпенди-
кулярными к координатным осям хну, элемент пластинки, имеющий
в плане размеры dx и dy (рис. 466, а). Этот элемент в деформирован
ном при изгибе виде изображен на рис. 467.
Запишем выражение для относительной деформации в слое,
находящемся на расстоянии z от срединной плоскости. По аналогии
с изогнутой балкой (см. § 61) из рассмотрения рис. 467 получим
е _= tp»+z)de—Р,ае _ z (17.1)
* pxd6 р,
где рх — радиус кривизны срединной поверхности. Кроме того,
е,=0. (>7.2)
Так как напряженное состояние плоское, то по закону Гука
(17.3)
ЕИ— Е И £
Из (17.1) — (17.4) получим
Оу=рох;
z Е
G „ = -----.
Рх 1-Р
При малых прогибах кривизну 1 /рх можно заменить
водной прогиба (см. § 67):
1 d2w
Рх — dx2
(17.4)
(17.5)
(17.6)
второй про"3
(17-7)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
мй изгиб прямоугольных пластинок
--------- ---------------
501
(17.8)
(17.9)
Тогда
Ez d w.
0*^= dx'
Ez d’w
04/=="ll'TzV- dx2
Формулы (17.8) и (17.9) показывают, что напряжения ох и оу
няются по толщине пластинки по линейному закону в зависи-
и3"е от z и по разные стороны от срединной плоскости имеют раз-
м0С знаки. Они, как и в балках, связаны с изгибающими моментами
Н]^дуЮщими интегральными статическими зависимостями:
л/2
— oxzdz; (17.10)
-h 2
Л/2
My=\a«zdz- (17.П)
-Л/2
В отличие от балок при изгибе пластинок индексы изгибающих
моментов соответствуют направлениям тех напряжений, которыми
они создаются. Изгибающие моменты будем считать положитель-
ными, если они стремятся изогнуть элемент пластинки выпуклостью
вниз.
Подставив в зависимости (17.10) и (17.11) выражения напря-
жений (17.8) и (17.9), получим следующие дифференциальные
уравнения:
Мх=_____
dx'2 '
где
Eh'
12(1 -j?)
(17.12)
(17.13)
(17-14)
ч еЛИЧИна & называется жесткостью пластинки при цилиндри-
°л изгибе или, короче, цилиндрической жесткостью.
собо^7130”0 (17.12) и (17-13), моменты Мх и Му связаны между
и следуЮщей зависимостью:
Р (17.15)
Запишем, уравнение (17.12) в таком виде:
лл1
dxl (17.16)
:м, что вместо
EJ здесь бере^
жесткость пласти?
пки EJ. При и==.(1';
22=_______________________________________________Изп^бпЯ
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравн
.изогнутой упругой поверхности пластинки. От соответствую Л
уравнения изогнутой оси балки оно отличается те
кости поперечного сечения балки при изгибе
цилиндрическая жесткость D. Цилиндрическая
ки D больше жесткости поперечного сечения ба.
величина D больше EJ примерно на 10 %.
Если пластинку разрезать на полоски, то ее жесткость уменьщи
ся (прогибы пластинки увеличатся), хотя нагрузка, приходящая<?
на каждую полоску, останется той же, что и в сплошной пластин!
Это связано с тем, что поперечные сечения отдельных балок-iJ
лосок будут деформироваться так, как показано на рис. 466, б а
сплошной пластинке при цилиндрическом изгибе такая деформацц-
произойти не сможет без нарушения целостности пластинки. Сте<
ненность деформации в пластинке и становится причиной ее пс.
вышенной жесткости по сравнению с эквивалентными (по размерам!
балками-полосками.
Таким образом, вычисление прогибов пластинки при цилиндри-
ческом изгибе сводится к интегрированию уравнения (17.16).
Если пластинка несет только поперечную нагрузку, причем «
длинные края свободно оперты, то составление выражения для и:
гибающего момента от внешней нагрузки не представляет труд-
ностей. Не представляет трудностей также интегрирование диффе-
ренциального уравнения (17.16).
Внося в уравнения (17.8) и (17.9) выражения кривизны
через изгибающие моменты и цилиндрическую жесткость, получен-
ные соответственно из зависимостей (17.12) и (17.13), будем имет
формулы для напряжений:
z.
(17.17)
„ _ мх ___________ Мц
к й3/12 ’ А3/12
Напряжения ох и оу имеют наибольшие значения при z=+hx
(Ох)макс = ± . 2 ' — ; (о!/)макс = ± (1Лl
л /о л /о
Согласно зависимости (17.13), цилиндрический изгиб в чистом
виде по всей длине пластинки может возникнуть только в том слу
чае, когда к боковым (коротким) сторонам пластинки приложены
моменты Му=рМх, величина которых вдоль оси х изменяется так же
как изменяются моменты Мх. Если же моментов Му нет, то около
боковых кромок форма упругой поверхности пластинки нескольк
отклоняется от цилиндри'ческой.
Пример 74. Прямоугольная пластинка с размерами а = 20 см, Ъ—
толщиной h — 10 мм, свободно опертая по двум длинным сторонам
нагружена равномерным давлением р — 400 кПа; материал пластинки —
Е=2-105 МПа; и —0,3. Определить максимальное напряжение и проги •
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
ipcKHM изгиб прямоугольных пластинок
---- " ~
реакции опор и погонный изгибающий
омент определяются так же, как для
обычных балок.
Цзгибающии момент в текущем се-
чении
ра рхг
М^-Гх 2
(17.19)
503
Наибольший изгибающий момент воз-
никает в середине пролета:
ра2 _400- 103-(20- 10~2)2
(Мх)макс • g g
= 2 103 Н м/м.
Максимальное напряжение рис ^gg
(Сх)».-с=Л^= 6'2' С— |2~ '°7 Па=120 МПа.
(Ох/макс (1 • 10 )
Прогиб вычислим по дифференциальному уравнению (17.16), подставив
в него выражение изгибающего момента М* в текущем сечении (17.19):
d2w_____I ( ра рхг \
d?" D \ 2 * 2 )
После двукратного интегрирования уравнения получим
w — Ct + С2Х---—
pax3
12
pxi \
24 )
Постоянные интегрирования Ct и С2 определим по граничным условиям:
10 = 0 при х = 0 и ш = 0 при х=а. Согласно первому условию Ci=0, тогда
но второму условию Ci=pa3/2iD.
После подстановки постоянных интегрирования будем иметь выражение
для прогиба в таком виде:
™ = 2^D а3х — 2ах3 + х“).
Максимальный прогиб (при х = а/2)
[0,
5
384
ра“
D
Подставляя числовые значения, определим цилиндрическую жесткость:
D=„ Eh3
12(1-р2)
2- 105- 106 (1 • 10~2)3
12(1—О,З2)
= 1,83-104 Н-м;
максимальный прогиб:
о. 5 400-103 (20-10-2)4 плсс _3
а’»акс=-------------------—=0455.10 > м = 0,455 мм.
384 1,83-104
§ 1^9. Чистый изгиб пластинок
И*
РомЧистым изгибом пластинки называется такой изгиб, при кото-
Орц В° Rcex 66 поперечных сечениях поперечная сила отсутствует,
этом в двух взаимно перпендикулярных сечениях действуют
504
Изгиб плаг.
Рис. 469
только изгибающие моменты, а в остальных сечениях, как ,т,
будет выяснено далее, кроме изгибающих моментов, возникают е
и крутящие моменты.
Рассмотрим чистый изгиб, который происходит при нагруж J
свободной (незакрепленной) пластинки погонными моментами
и т2, равномерно распределенными по краям пластинки (рис. 469, ।
Предположим вначале, что на пластинку действуют толь
моменты mi (рис. 469, б). Поскольку искривление пластинки в
чениях, перпендикулярных к оси х, ничем не стеснено, ее можно р
сматривать как совокупность отдельных полосок, выделенных >
чениями, перпендикулярными к оси у, каждая из которых дефор!
руется как балка. Следовательно, в этом случае напряженное с
стояние будет линейным (оу=0).
Для напряжений о* и кривизны срединной поверхности в сече
ниях, перпендикулярных к оси у, справедливы формулы теори
изгиба балок:
о<т,) =
т,
й3/12
mi
E(h'/\‘2)
(17.20)
(17.2D
Кривизну срединной поверхности в плоскостях, перпендику>’
ных к оси х, можно определить, используя зависимость между '
формациями е* и еу в произвольном слое пластинки. Так как напр
женное состояние линейное, то
е______we (I7.221
В предыдущем параграфе из геометрических соотношений j
относительной деформации ех получено выражение ez=z/p>-
аналогии, очевидно, Ey = zl$y. Подставляя эти выражения Д ™
мации в формулу (17.22), получим
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!
505
или
(П.24)
Аналогично определяются напряжение и кривизны при нагру-
жении моментом т?.
При совместном действии моментов mi и т% напряжения и кри-
визны суммируются:
mi
Ож~ Л’/12
П12
Z Оу —----------------2.
У ftJ/12
(17.25)
Максимальные значения напряжений будут при z= ±А/2. Кри-
визны в сечениях пластинки
1 Рх d2w дх2 П1\ — gzri2 _ Eh3/12 12 Eh' (m. — pm2); (17.26)
_1 Ря д2и> дуг ГИ2 —р.Ш| Eh3/12 12 Eft3 (m2 — pmi). (17.27)
Наличие момента т? уменьшает кривизну в сечении пластинки,
перпендикулярном к оси у, а наличие момента mt — в сечении,
перпендикулярном к оси х.
Рассмотрим напряжения в сечении, нормаль к которому па об-
разует угол а с осью х (рис. 470, а).
величину напряжений в этом сечении на любом уровне при z =
'~'const можно определить по формулам для плоского напряжен-
г° состояния (см. § 42):
°"aaoxCos2 а + оу Sin2a=^^ + cos 2а;
4=^^, . о
р— sin 2а.
п°-'1Уч>имТаВНВ В эти Ф°РМУЛЫ значения напряжений о* и оу (17.25),
(17.28)
(17.29)
506
Изгиб плас
Напряжения о„ и t„v линейно изменяются по толщине пластин
и имеют разное направление выше и ниже срединной плоское?*'
Следовательно, напряжения о„ (17.28) создают изгибающий момеИ
V2
М„= j o„26/z=£L±^L+Z^icos2a,
-Л/2
а напряжения t„v (17.29) —крутящий момент
Afnv = J Tnvzdz= т'~тг sin 2а.
— Л/2
(«7.30)
(17.31)
Моменты Мп и Mnv показаны на рис. 470, б. Наибольший крутя-
щий момент возникает в сечении, наклоненном под углом а=45
к осям х и у.
(7ИлУ)макс
пи — тг
(17.32)
2
Искривление срединной поверхности пластинки в сечениях, пер-
пендикулярных к осям у и х, характеризуется радиусами кри-
визны рх и ру. Эти радиусы называются главными радиусами кри-
визны-, один из них имеет максимальное, а второй минимальное
значение. Радиусы кривизны в других сечениях имеют промежуточ-
ные значения.
Выражение (17.31) для крутящего момента в наклоненных к
осям х и у сечениях свидетельствует о том, что при изгибе моментами
Ш\ и т2 происходит скручивание пластинки по всем направлениям,
за исключением главных направлений, параллельных осям х и у.
Рассмотрим два частных случая чистого изгиба.
1. Сферический изгиб. Если ко всем сторонам пластинки прило-
жены одинаковые погонные моменты т\=т2 = т, то из формул
(17.30) и (17.31) следует, что во всех ее поперечных сечениях
изгибающий момент одинаков и равен приложенному, т. е. М=М'
а крутящий момент равен нулю. Из выражений (17.26) и (17.27)
следует, что кривизна в двух взаимно перпендикулярных направ-
лениях одинакова и срединная поверхность пластинки получается
сферической с радиусом сферы Рх = р{/=7?- Кривизна сферической
поверхности пластинки, согласно (17.26) или (17.27), связана
моментом т зависимостью
-L-=_lg-(l_u)m= т О7-33’
R Eh3 [ D(l+g) '
Таким образом, независимо от формы пластинки в плане г
нагружении ее по всему контуру погонными моментами т постоя11
интенсивности срединная плоскость пластинки превращается в
рическую поверхность. Это превращение неминуемо сопровожД3
деформациями растяжения и сжатия в срединной плоскости. 1аК
деформациями-и соответствующими им напряжениями можно >‘1^
небречь при малых прогибах и только при этом условии счи
напряжения в сечениях пластинки чисто изгибными.
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолет своими pi
%niibie напряжения в пластинках
----——-----------------------
О Цилиндрический изгиб. Если
1аЛ 17.26) » (17.27).
507
m2 = pmi, то, согласно форму-
1 —=0. (17.34)
Eh 12 D р, ' /
Р» /
Упругая поверхность пластинки имеет прямолинейные образую-
е параллельные оси у, следовательно, срединная плоскость
Частники переходит в цилиндрическую поверхность. В этом блучае
справедливы все положения, установленные при рассмотрении ци-
пиндрического изгиба.
§ ЦО. Температурные напряжения
в пластинках
При равномерном изменении температуры незакрепленной плас-
тинки форма ее не изменяется и напряжения не возникают.
Если пластинка разделяет две области различных температур,
то для тонкой пластинки с достаточной точностью можно считать,
что по толщине пластинки температура изменяется линейно от
/, на одной поверхности до t2 на другой. Тогда изменение темпе-
ратуры по толщине пластинки можно выразить следующей форму-
лой:
t=t0 + — Z,
(17.35)
где t0=-' 1---температура срединной плоскости;
At = (i —12— перепад температур по толщине;
z — расстояние от срединной плоскости.
Первое слагаемое в формуле (17.35) отражает равномерное
изменение температуры всей пластинки, не изменяющее ее формы,
второе слагаемое учитывает изменение температуры по толщине
пластинки, которое вследствие такого же изменения температур-
ных деформаций вызывает изгиб пластинки по шаровой поверх-
ности. Очевидно, относительные температурные деформации у по-
верхностей пластинки будут аД//2 и —аД//2 (а — температурный
°эффициент линейного расширения). Те же деформации можно
Разить через радиус шаровой поверхности, по которой проис-
одит изгиб пластинки: h/IR и —h/ZR. Следовательно, кривизна
'7>== аД/
* (17.36)
кен^с‘Пи края пластинки совершенно свободны, а прогиб по срав-
НцкИю с толщиной пластинки мал, то такое искривление не вызовет
Нц напряжений. В случае заделанных краев по контуру долж-
03никнуть реактивные моменты, величину которых можно опре-
" ить исходя из следующих рассуждений.
508
Изгиб пла(
выполнено. Величина момента щ и
(17.36) а
Ранее было показано, что равномерное распределение момецт
по контуру пластинки вызовет изгиб по шаровой поверхно<3
Можно интенсивность моментов выбрать так, чтобы вызвали Й'
ими кривизна была равна по величине и противоположна по зна^
кривизне, обусловленной линейным изменением температуру
толщине пластинки. При одновременном действии этих моментов*10
температуры пластинка останется плоской и края ее не повернутся I
условие закрепления будет "
основании формул (17.33) и
т. £>(1+в)а-Д?
й
Соответствующие значения
жений
6m 6£> (1 + ц) <хД/ _
Пмакс—--------------------
(17.37)
максимальных температурных напря-
аД/ Е ., _ „
й2 й3 — 2 ' 1—и (17.38)
Напряжения эти не зависят от толщины пластинки, но так как при
более толстых пластинках можно ожидать больших разностей тем-
ператур Д/=/1—/а, то в толстых пластинках температурные на-
пряжения опаснее, чем в тонких.
Формулой (17.38) можно пользоваться также для определения
температурных напряжений в различных оболочках (в стенках и
днищах котлов, в стенках труб и т. д.).
§ 111. Общий случай изгиба
прямоугольных пластинок
В предыдущих параграфах этой главы рассмотрены простые
случаи изгиба прямоугольных пластинок — цилиндрический и чис-
тый. В этих случаях изгиба внутренние силовые факторы в попереч
ных сечениях пластинки определяют, как в балках,— непосред-
ственно через внешнюю нагрузку, а прогибы — интегрированием
простого дифференциального уравнения второго порядка.
В общем случае изгиба прямоугольных пластинок дело обстоит
значительно сложнее. Внутренние силовые факторы и прогибь
являются функциями двух независимых переменных х и у в пРяМ^
угольной системе координат. Совместное рассмотрение уравнен
статики, геометрических и физических зависимостей позволяет в
разить все внутренние силовые факторы через функцию пР°!'з.е.
w (х, у). Отыскание этой функции сводится к интегрированиюДИФ^
ренциального уравнения четвертого порядка в частных произв
ных с постоянными коэффициентами. Это основное дифферендиа-
ное уравнение технической теории изгиба пластинок имеет еле j
щий вид:
д4и> , q । д4ш ,_ р 07-3®'
дх* дх2ду1 + Оу'- ~ D ’
где р — интенсивность поперечной нагрузки.
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими
й изгиба прямоугольных пластинок
064^5^—-----------------------
509
искание функции w (х, у), которая удовлетворяла бы урав-
Оть 17зд) и граничным условиям пластинки, является слож-
ней1110 дачей. Обычно выражения для прогибов, а затем для усилий
ной за^нт0В получаются в виде бесконечных рядов.
и Мп я часто встречающихся видов нагрузки и опорных устройств
оугольных пластинок составлены таблицы коэффициентов, ко-
nPnf’ необходимы для расчета на прочность и жесткость. Таких
т°Рь в справочной литературе достаточно. Для примера в табл. 19
Т ведены четыре схемы пластинок с разными опорными устрой-
п₽И„мИ Приведены также коэффициенты kt и k2 для вычисления
СТ ксимального прогиба и наибольшего изгибающего момента при
равномерно распределенной нагрузке р соответственно по формулам
Мт=кгрЬ‘. (17.40)
Коэффициент Пуассона у. = 0,3.
формулами (17.40) и таблицей коэффициентов можно пользо-
ваться и для приближенного расчета пластинок, нагруженных дав-
лением р(х, у), которое плавно изменяется от точки к точке, со-
храняя знак и не очень сильно изменяясь по величине (рис. 471, а).
В этом случае пластинку считают нагруженной некоторой осред-
Таблица 19
а т а а а а
1 1 о 1 1 1 1 1 1 7ГТ777Г777ГТ7ГГ7777ГТ7? ' 111 схема Л
1 схема —1 11 схема ZWWz/z/////z7zzz IV схема
k k k. k. k, k. *2
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2 3 4 5 ОС 0,0443 0,0616 0,0770 0,0906 0,1017 0,1106 0,1336 0,1400 0.1416 0,1422 0,0479 0,0626 0,0753 0,0862 0,0948 0,1017 0,1189 0,1235 0,1246 0,1250 0,0138 0,0191 0,0227 0,0251 0,0267 0,0276 0,0279 0,0282 0,0284 0,0284 0,0517 0,0612 0,0714 0,0784 0,0821 0,0829 0,0832 0,0833 0,0833 0,0833 0,053 0,049 0,045 0,042 0,035 0,030 0,047 0,063 0,077 0,089 0,101 0,142 0,122 0,115 0,109 0,101 0,090 0,081 0,098 0,109 0,114 0,118 0,122 0,125 0,0200 0,0239 0,0271 0,0277 0,0296 0,0301 0,0307 0,0309 0,0310 0,0310 0,0312 0,2004 0,1476 0,1106 0,0865 0,0850 0,0850 0,0848 0,0847 0,0846 0,0845 0,0845
ь защ4 3 Н И я: ^сли о/Ь<1. то для схем (II) и (IV) в формулах (17.40)
Не1ИемЛеннь ,енить на а. 2. Свободно опертые края отмечены штриховыми линиями,
'’’'•«Ют Имйот косую штриховку, совершенно свободные края особых отметок
510 Hains пла ’
ненной постоянной нагрузкой рср, определяемой так, чтобы суммаь
ная сила, действующая на пластинку, осталась неизменной. Ести
нагрузку, распределенную вдоль короткой стороны пластинки г
треугольному закону и постоянную вдоль длинной стороны пласту*
ки (рис. 471, б), заменить равномерно распределенной (1/2)р„ и
вычислить wMaKc и Л4Макс по формулам (17.40), то ПО сравнению'
точным решением ошибка в величине наибольшего прогиба состав it
менее 1,5 %, а в величине наибольшего изгибающего момента, 0
значит и напряжения,— менее 9 % (в сторону занижения).
§ 112. Осесимметричный изгиб
круглых пластинок
Детали в виде круглых пластинок постоянной толщины наход г
широкое применение в технике (плоские днища и крышки резерв] i
ров, фланцы, диафрагмы и т. д.).
Осесимметричный изгиб круглой пластинки происходит, если н
грузка и условия закрепления симметричны относительно оси
проходящей через центр пластинки. При осесимметричном изи1’
все величины являются функцией только текущего радиуса г.
Инженерная теория расчета круглых пластинок при осесиммг
ричном изгибе основывается на общих гипотезах и допушеии®
сформулированных в § 107.
Приведем вывод основных уравнений теории осесимметричв
изгиба круглых пластинок, рассматривая три стороны этой зада1'
уравнения статики, геометрические и физические зависимости.
Статическая сторона задачи. Двумя осевыми сечениями, fil
веденными под углом d6, и двумя центральными цилиндрическ*^
поверхностями радиусов г и r-\-dr выделим из пластинки (рис-'
элементарную призму. На выделенный элемент действуют следу101
силы (рис. 472, б): равнодействующая внешней распределе'
нагрузки prdOdr, перпендикулярная к срединной плоскости плз'
ки; в сечении цилиндрической поверхностью радиуса г изгиба
момент Mrrd6-, в сечении поверхностью радиуса r-\-dr
Mrrd0 4- d (Mrrd0); в этих же сечениях будут поперечные
соответственно равные QrdO и QrdO-}-d (QrdO); в осевых се
тангенциальные моменты Mvdr. Поперечные силы в осевых се4
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
явны нулю, так как каждая плоскость осевого сечения является
плоскостью симметрии. Таким образом, на элемент действует про-
странственная система сил и моментов.
Из шести уравнений статики в данном случае устанавливают
связь между силами и моментами только два уравнения: уравнение
проекций сил на ось z и уравнение моментов относительно оси у,
которую проведем в срединной плоскости пластинки касательно к
окружности радиуса r-\-dr w перпендикулярно к биссектрисе угла
dQ (рис. 472, б). Остальные уравнения равновесия удовлетворяются
тождественно по условиям симметрии сил и моментов.
Проецируя все силы на ось симметрии z, получим
2 Z=prdMr+QrdQ—[Qrde + d (QrdO)]=O,
или
d(Qrd&)—prdGdr.
Постоянную величину df) можно вынести за знак дифференциро-
вания, и она сокращается. Тогда
J(Qr
dr =РГ- (17.41)
Сил -erPJ-РУЯ уравнение (17.41), можно определить поперечную
ча и ”° ее можно найти и проще—из уравнения равновесия
ДиУса гПластинки> вырезанной цилиндрической поверхностью ра-
р
мом’,С,Мвим второе уравнение равновесия элемента, взяв сумму
ов относительно оси у:
-
у Mrrde + [М rrdO 4- d (Mrrd&)] + QrdQdr—MedrdO +
Ka. Пол^и^РеГая величиной prdQdr (dr/2) как малой высшего поряд-
У чим
Л1с== ~~Qr.
(17.42)
512
Из1 нц
После определения поперечной силы Q в уравнении (17.42
нутся неизвестными два изгибающих момента Мг и Мп.
Геометрическая сторона задачи. В осевом сечении пластш
на расстоянии г от оси симметрии рассмотрим элемент dr
сечения (рис. 473).
Нормаль к срединной плоскости на расстоянии г, занимавши
деформации положение АВ, повернется на угол <р и займет г-;.:,,
ние AtBi (рис. 474). Нормаль CD на расстоянии r-\-dr поверь
на угол <р4-^Ф и займет положение CiDi. Радиально расположу
волокно KL, находящееся на расстоянии z от срединной плохое
удлинится при этом на величину
К1L1 — К L = [ d г + z (<р + dtp) — z <р] — d г=zd q>.
Относительное удлинение в радиальном направлении
e, = -^z.
dr
Окружное (или тангенциальное) относительное удлинение I.'
ке К волокна, перпендикулярного к плоскости чертежа, т. е.
тельного к окружности радиуса г, определим, сравнивая Дй*
этой окружности до и после деформации. До деформации
окружности была 2лг, после деформации стала 2n(r4~z<p). <V
относительное удлинение
2л (г +zq>)—2лг
е° — 2лг
(17
или
^г.
При изучении изгиба балок была установлена зависимость*''
углом поворота сечения и прогибом балки [(10.40)]. Для
пластинок в соответствии со схемой, изображенной на Р,,с
аналогично получим
dw
ИЛИ
dw= — qd г.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
ричный изгиб круглых пластинок
«минус» здесь поставлен по-
^Н0цто с уменьшением прогиба
то«У> п поворота нормали <р воз-
. f ут1*
Ритмическая сторона задачи. По
Гука для плоского напряжен
заК° состояния (§ 46) в любом слое
Остинки при 2 = const (рис. 475)
HOPMaJIbHbie НаПРЯЖеНИЯ °' " "
выражаются через с™™-
^еформаиии следующими
м остями:
бг
И ое
относительные
зависи-
513
(17.46)
^-г-(ег + нее);
-в
ае=-ГГ7’(Ее+иеД (17’47)
Синтез. Рассмотрим совместно полученные статические, гео-
метрические и физические зависимости. Подставив в (17.46) и
(17.47) выражения относительных деформаций (17.43) и (17.44),
будем иметь
(I7.4S)
(17.4»)
Эти выражения показывают, что напряжения о, и ое изменяются
по толщине пластинки линейно, пропорционально расстоянию от
срединной плоскости z. Для погонных изгибающих моментов спра-
ведливы равенства, аналогичные (17.10) и (17.11):
Л/2
М'= j o,zdz\ (17.50)
-Л/2
Л/2
J onzdz.
З^енив
(|7-48) ,
'^=п (
! в (17.50) и (17.51) напряжения о, и
и (17.49) и выполнив интегрирование,
(17.51)
ое их выражениями
получим
(17.52)
(17.53)
а так>ке<О0устного рассмотрения выражений
17 ’-372 ' ...................
1 (17.48) и (17.52),
и (17.53) получим формулы для напряжений:
514 Изгибу,. ,
М, М„
hs/i2 г и °0- Л’/12 z- (>7.54)
Максимальной величины напряжения достигают у поверхност
пластинки, при z==±ft/2:
(Ол)макс — zt
6Л1,
л-
,О())макс — it
6Л1е
h2
Подставив выражения (17.52) и (17.53) для моментов в ура
некие равновесия (17.42), после элементарных преобразован^
придем к дифференциальному уравнению второго порядка относи
тельно функции <р (угла поворота нормали к срединной плоскости)
42<Р , 1 <г Q
dr2 ' г dr г D
(17.56)
Это уравнение можно записать в таком виде:
После двукратного интегрирования уравнения (17.57) получим
Ф=С1Г+-^------Qdrjdr. (17.58)
Поскольку интенсивность погонной поперечной нагрузки Q может
быть определена заранее и обычно имеет простое выражение, то
вычисление интегралов, входящих в формулу (17.58), не представ
ляет трудности. Произвольные постоянные Ci и Сз определяются из
граничных условий в каждом конкретном случае.
Интегрируя выражение для функции угла поворота нормали в
соответствии с зависимостью (17.45), получим выражение
функции прогиба:
w—— $ (pdr-1-Сз. (17.59)
Постоянная интегрирования Сз определяется из граничных услови»
для прогиба.
Изложенный порядок расчета и полученные зависимости РаС(
смотрим подробнее применительно к расчету сплошных и кольн₽вь1'
пластинок.
§ 113. Равномерно нагруженная круглая
сплошная пластинка
Рассмотрим сплошную пластинку, нагруженную равномерно Р
пределенной нагрузкой р, перпендикулярной к срединной плоек
и каким-то способом закрепленной по всему контуру раДиУ|
(рис. 476, а). и Ц
Прежде всего составим выражение для поперечной си.
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт
Рис. 476
о нагружс>|Иая круглая сплошная пластинка
равн£^5!^-—-"-'
ппая входит в правую часть урав-
котор /|у58) для утла поворота
ненИЯ ф.
Н°РВь1Делив из пластинки цилиндри-
ю центральную часть, имеющую
ЧеСпиус г (рис- 476, б), и приравняв
сумму проекций на верти-
капьную ось ’ действующих на нее
£ил, получим
pjTfi_Q.2nr=0,
откуда
(?=)-<- (17-60)
Внеся это выражение поперечной силы Q в уравнение (17.58), после
выполнения интегрирования получим
«=--(йг+С‘г+^- <|7-6|>
В сплошной пластинке при г=0, т. е. на оси симметрии, угол
поворота нормали ф (17.61) равен нулю. Из этого условия следует,
что Сг=О и выражение (17.61) станет таким;
рг3
16D
Изгибающие моменты Мг и Ме определяются соответственно
выражениям (17.52) и (17.53), а максимальные напряжения —
формулам (17.55).
Подставив выражение (17.62) для ф в зависимость (17.59) и
выполнив интегрирование, получим функцию для определения
прогиба в следующем виде:
—-^-+С3. (17.63)
Постоянные Ci и С3 определяют из условий закрепления пластинки
граничных условий).
ассмотрим равномерно нагруженную пластинку при двух спо-
тикеХ Зак11епления по контуру, которые часто встречаются на прак-
защемлена (рис. 477, а). Тогда при
<р=0 и прогиб w=0. Из выражения
(17.62)
Ч>
по
по
ш==
г==п к°нтуру пластинка
(17 поворота нормали
Ь2) при r = R и ф=0
16D
Чодстяп
нце д Ив это значение Ct в К11
я Угла поворота нормали:
Ч>=г_РГ
^o~(R2~r2).
17.
(17.62), получим следующее выраже-
(17.64)
Внеся функцию <р (17.64), а также ее производную d(p/rfr
(17.52) и (17.53), будем иметь для изгибающих моментов формулу
ЛЕ=-£-[(1 + м) /?2-(3 + и) г2];
(>7.65)
Л1в=-^-[(1 +Н) R2-(1 +3р) г2]. (17.66)
У контура пластинки изгибающие моменты имеют такие знамени
ЛЕ-----М6=-----------(17.67)
На оси симметрии
Мг=Ме=?1+У. (17.68)
Эпюры Мг и Мп приведены на рис. 477, б.
После подстановки значения С] в формулу (17.63) для прогиба
будем иметь такое выражение:
w=_£^______Pg-2-.^ ।
64£> 32£> Э-ЬЗ.
Из условия, что при r=R прогиб w = 0, найдем
Сч= PRi
3 64D ‘
Выражение для прогиба станет таким:
№=££L^r2 + J^
64П 32D 64£>
Его можно записать в более удобной для вычислений форме:
Максимальный прогиб в центре пластинки
и, — pRt
wMaKC-
(17-70)
wviv.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими
517
нагруженная круглая сплошная пластинка
По контуру пластинка шарнирно оперта (рис. 477, в). В этом
2- и r = R изгибающий момент Л4,=0 и прогиб w=0. Из
с-пУч^еНия (17.52) для Мг следует, что
Подставив в (17.71) функцию ср (17.62) и ее производную
а затем приняв r—R, получим уравнение для определения
из’которого найдем:
3+и pr2-
i6£)
Внеся это значение Ci в (17.62), будем иметь следующее вы-
ражение для угла поворота:
р ( 3+|Л п2 3
<?=Т№-('Г+Г7?г г
Подставив функцию <р (17.72) и ее производную dtf/dr в зави-
симости (17.52) и (17.53) для изгибающих моментов, получим
(17.72)
Л4в=-^-[(34-И)/?2 — (1+Зр) г2].
У контура пластинки изгибающий момент
Мв=^)Р*
в 8
На оси симметрии
^, = 44 .(3+и) pR2
6 16
Эпюры Мг и Мв приведены на рис. 477, г.
Функция (17.63) для прогиба после подстановки
«ачения для Ci станет такой:
___3+м pR2 , Г
1+к 32£> + Сз.
Из v
условия, что при r=R прогиб w = 0, получим
Сз=-JL+ц рр>
т * + м ~64£>
* Орд^
ДЛя прогиба будем иметь следующее выражение:
W ==~'ёт~—_______£^--г2+ 5+j._____рВ1_
1-Н< 32£» 14-и 64£> ‘
(17.73)
(17.74)
(17.75)
(17.76)
найденного
(17.77)
518
Максимальный прогиб в центре пластинки (при г=0
__ 5 + ц pR“
“,макс- 1 + и 64D ’ (17.78)
Сопоставляя эпюры Мг и Мв в двух рассмотренных CJ]V
(рис. 477, а и 477, б), можно сделать следующие выводы п
заделанном крае пластинки максимальный изгибающий Мо. ₽
возникает у защемления, а при шарнирно опертом — на оси
метрии. Величина максимального момента в шарнирно онеп^
пластинке приблизительно в 1,5 раза больше, чем в пластиике°
жестким защемлением по контуру.
Пример 75. Определить необходимую толщину h крышки цилиндп.
(рис. 478), а также вычислить ее максимальный прогиб. Диаметр цилш
D = 2R=400 мм; давление в цилиндре р = 2 МПа; материал крышки — ста-
р=0,3; Е — 2-10'' МПа; допускаемое напряжение [о]р = [с]сж = 160 МПа.
Прежде всего необходимо выбрать расчетную схему. Если цилиндр Д1,
статочно жесткий, а крышка поставлена без мягкой прокладки, то мо,.н
считать, что край пластинки жестко защемлен, и принять расчетную счмт
изображенную на рис. 477, а.
При наличии мягкой прокладки, а также в случае большой податливости
стенок цилиндра можно считать, что контур пластинки шарнирно закрет-ен
и принять расчетную схему по рис. 477, б. В действительности, очеви- ц
будет иметь место промежуточный случай, т. е. упругая заделка. В связи с этик
целесообразно рассмотреть оба предельных случая. Выполним два соответ
ствующих расчета.
I. Крышка (пластинка) по контуру защемлена (рис. 477, а). В яои
случае опасная точка будет у внутренней поверхности крышки возле зашех
ления (при r = R). В цилиндрическом и осевом сечениях, проведенных через
эту точку, величины изгибающих моментов (рис. 477, б)
/лл\ рЯ2 м Pr2
(Мг)макс— R , Afe— Ц
О о
Напряжения в рассматриваемой точке,
имеют следующие значения:
согласно формулам (17.55)
, . _ 6pR2
(Ог)макс— —
_ 6pR2
(О(|)макс-р —g^2
Так как материал пластичный, используем критерий прочности наибо»
ших касательных напряжений. Учитывая, что oi=(or)Mal«; аг=(о<^» ’ ° "
= ог=0, получим условие прочности:
Оэкв 1 i 1 — О| — Оз =
Отсюда найдем необходимую толщину крышки:
6-2-106(200-10~3)2
8-160-106
0,0194 м«20 мм.
Максимальный прогиб крышки будет в ее центре (при г=0)
деляется по формуле (17.70):
Он
ЬУмакс
PR'
64D '
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
|Но нагруженная круглая сплошная пластинка
519
При заданных числовых значениях Е, h, pi, р
я р находим
Eh3 2-10" (20-10 У . 4fi ,о5 н м
0=°'12(1-р9) 12 (1 —0,3й) ,'46’И Н’м
и величину прогиба:
Так как наибольший прогиб мал по сравнению с толщиной пластинки,
то применение теории расчета жестких пластинок оправдано.
2. Крышка по контуру шарнирно аакреплена (рис. 477, в). В этом случае,
как видно из эпюр изгибающих моментов М, и Мв (рис. 477, г), наибольшее
значение моменты имеют на оси симметрии пластинки (при г=0):
Ми»=(ЛТ)макс — (Л4в)м«кс — — jg
Опасная точка будет у наружной поверхности крышки на оси симметрии.
Напряжение в этой точке
/Имаке 6(3+р)р₽2
о„а„- л2/6 16АТ
Как и в первом случае, условие прочности будет иметь вид
6(3+рр/?2
Оэкв 111 = <J|—Оз =-- j----== [ОJ.
Из этого условия находим толщину пластинки:
, -. / 6(3 + и)рЛ2 / 6-3.3-2-Ю6(200-10“3)2 ____ „
h~ V ' — Д/ ' ' « 0,025 м=25 мм
П>И 16-160-ю6
Итак, толщина шарнирно опертой пластинки требуется большая, чем затем
ленной.
Максимальный прогиб крышки в ее центре найдем но формуле (17.78):
п, _ PR* 5 + ц
“'макс--,
647) 1+ц
Подставляя числовые значения, получим
0=—2-10"(25-Ю-3)3_ 5
12 12(1—
Максимальный прогиб крышки
2-106 (200-10 3)4 (5 + 0,3) 0 7| |0_3
64-2,86-10s (1+0,3)
Несмотря на большую толщину крышки
Н-м.
м = 0,71 мм.
Несмотря на большую толщину крышки максимальный прогиб ее вдвое
ольще, чем в случае защемления по контуру. При этом он также мал по
Равненню с толщиной пластинки.
520
§ 114. Круглая пластинка, нагруженная
сосредоточенной силой в центре
Рассмотрим пластинку, нагруженную сосредоточенной сип I
центре и каким-то способом закрепленную по всему К01 и 6
(рис. 479).
Так же, как в предыдущем параграфе, определим интецс
ность поперечной силы Q в цилиндрическом сечении радиуса В
Из уравнения равновесия выделенной этим же сечением центра '
ной части пластинки получим
Q=-^.
2лг
Подставив это значение Q в уравнение (17.58), после выполнения
интегрирования будем иметь
Ч>=----(2 1пг-1) + С.г+-^.
оли г
В центре пластинки (при г = 0) угол наклона нормали <p=Q
Так как lim г In г = 0, то Сг = 0. Тогда выражение для <р станет такие
8^(2 !nr-l)+С,г.
(17.79)
Изгибающие моменты Мг и Мо определяются по выражениям
(17.52) и (17.53), а максимальные напряжения по формулам
(17.55).
Подставив функцию (17.79) для угла поворота в зависимость
(17.59) и выполнив интегрирование, получим функцию для прогибе
ш=-£^-(1пг-1) —^-Г2 + С3. (17.80)
Постоянные С, и Сз определяются из граничных условий.
Рассмотрим пластинку при двух наиболее часто встречающих^
случаях закрепления.
1. /7 ласт инка защемлена по
туру (рис. 480, а). Тогда при г-
угол поворота нормали <р = 0 и про
гиб ю = 0. Из выражения (•' J
приг = /?и<р = 0 получим уравнен*
для определения Ci:
C1=-^-(2 1n/?-l). (I?-80
оли ,
После подстановки этого зна।
ния С, в (17.79) функция *jj
угла поворота <р примет следу10
вид:
<17р
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
521
пластинка, нагруженная сосредоточенной силой в центре
Подставив в (17.52) и (17.53) функцию ф (17.82) и ее производ-
ную dq/dr, получим выражение для изгибающих моментов:
M,=-£-[;l + ll)ln-*—ф (17.83)
М.=£[(1+|1)1пф-и). О™*)
На контуре эти моменты получаются равными следующим вели-
чинам:
М0=-ц-£-.
4л v 4л
(17.85)
Выражения (17.83) и (17.84) дают в центре пластинки беско-
нечно большие значения изгибающих моментов, а следовательно,
ч напряжений. Этот результат является следствием сделанного пред-
положения, что сила Р сосредоточена в одной точке. На практике
этого не бывает. Сила Р всегда распределена по какой-то площадке
сли принять, что сила распределена по кругу малого радиуса, то
Напряжения получают конечное значение, величина которого за-
исит от радиуса этого круга.
пл '5гПоРь' и Л4е приведены на рис. 480, б (штриховые линии у оси
астинки соответствуют силе, сосредоточенной в точке).
что П0СТавление ЭПЮР и ме (Рис- 477> 6 и 480> б) показывает,
кд Г1РИ сосредоточенной нагрузке, приложенной в центре пластин
чем*10 Заш-емленному контуру возникают моменты, вдвое большие,
по ПпТ НагРУ3ки той же величины, но равномерно распределенной
Детинке.
с-пепг?5СТавив в (17.80) значение С, (17.81), получим для прогиба
ду,°Щее выражение:
(17.86)
522
Изгиб
Постоянную Сз найдем
при r=R прогиб ш = 0.
16л©
Подставив это значение
Рг2 . г . Р
W —-------In----------
8л© R ~ 16л©
Прогиб в центре пластинки
из
Из
условия, что по заделанному кон
уравнения (17.86) получим g
в выражение (17.86), получим
(А*2 —г2).
(17.87)
Шмакс~ 16л© • (17.88)
Этот прогиб в четыре раза больше, чем от нагрузки той же вели-
чины, но равномерно распределенной по пластинке.
2. Пластинка свободно оперта по контуру (рис. 480, в). Тогя-
при r=R изгибающий момент Л4г = 0 и прогиб ш=0. Из выражения
для Мг (17.52) следует, что
Подставив сюда функцию ф (17.79) и ее производную dq/dr и затв
приняв r — R, получим следующее уравнение для определения I .
—^[2 (Ц-И) In /? + (! -р)]+(1 + р) С, =0.
Из этого уравнения найдем С©
c'=w(2l"«+4^)-
Функция для угла поворота ф (17.79) после подстановки зна-
чения С} (17.89) будет иметь такой вид:
Ф=^(1п «-+—L_). (17.90)
4л© \ г 1+в /
Подставляя в (17.52) и (17.53) функцию <р (17.90) и ее производ-
ную dy/dr, получим следующие выражения для изгибающих i*fl
ментов:
7И«=-£-[<1 + »)1п-5-+(1-р)]. (|7в
На контуре пластинки
л1в=(1-р)-£-. (,7-531
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
523
„лиевой пластинки
--------------
метим, что изгибающий момент Ме на контуре свободно опер-
^дстинки больше, чем в защемленной, и противоположно на-
гой р|зГИбающие моменты, вычисляемые по формулам (17.91)
пР0В7 92), в центре пластинки обращаются в бесконечность по при-
11 ^ указанной выше. Эпюры Мг и Л4еприведены на рис. 480, г.
ч1|Нпнеся в выражение (17.80) значение постоянной (17.89), полу-
нМ дЛя прогиба такую формулу:
С — 16л© \ "
(17.94)
Постоянную Сз найдем из условия, что на опертом контуре (при
r^=R) прогиб ш=0. Из (17.94) получим
___pg 3+ц
16 л© 14- Р
Подставляя это значение С3 в (17.94), будем иметь
Ргг (<) 1 п ___3±Р_А । рг? 3+р
W~ 16л© \ R 1+и 7"1” 16л© 1+р ’
Максимальный прогиб в центре пластинки
Р/?2 3+
16л© 1+ц
(17.95)
(17.96)
(17.97)
Этот прогиб примерно в два с половиной раза больше прогиба
пластинки, защемленной по контуру.
§ 115. Изгиб кольцевой пластинки
Пусть кольцевая пластинка, имеющая внутренний радиус а и
дружный Ь, каким-либо способом закреплена по внешнему кон-
туру и нагружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 481, а).
тавим выражение для поперечной силы, входящей в дифферен-
циальное уравнение (17.58) для угла поворота нормали. Для этого
делим кольцо, имеющее внешний радиус г (рис. 481, б), и составим
^Равнение его равновесия:
^2лг-л(г2-а2)р = 0.
Отсюда
ра2
в 2 2г ’
Ни₽ п эт° выражение в уравнение (17.58) и выполнив интегрирова-
’ изучим
РГ3 2 Г
'^+~ад“(21ПГ~1) + С,Г+ г ’ (17‘98)
524
Рис. 481
Интегрируя выражение (17.98), согласно (17.59), найдем фи»
цию прогиба:
W=~MD-----£Й~(1пГ-1)----^^-Cslnr+Cs. (17.89
Произвольные постоянные Ci, Сч и С3 находим из граничных
условий на внутреннем и внешнем контурах пластинки. Рассмотри-
например, кольцевую пластинку, защемленную по наружному кс
туру, радиус которого Ь (рис. 481, в):
1) при г—а момент Л4г = 0 и, согласно (17.52),
2) при r=b угол поворота, определяемый по (17.98), равен
нулю;
3) при г=Ь прогиб ш = 0.
Из первых двух условий получим два уравнения, из которы
найдем постоянные С\ и Ci. Затем из третьего условия, использ
выражение (17.99), определим С3.
После подстановки значений С> и Сч в уравнение (17.98) мо*'
определить изгибающие моменты по зависимостям (17.52) и (!'*’
Эпюры изгибающих моментов, вычисленных при Ь = 3а и * 1
приведены на рис. 481, г.
www.vokb-la.spb.ru
Самолёт
CBOI1IV
525
—
гдава
Элементы теории
тонкостенных оболочек
е Цб. Введение
S R пазличных областях техники широко применяются такие де-
и элементы конструкций, которые с точки зрения расчета их
талИ чнОсть и жесткость могут быть отнесены к тонким оболочкам.
аа цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые
6 ялоны, купола зданий, герметические перегородки в самолетах
подводных лодках, аппараты химического машиностроения, части
корпусов турбин и реактивных двигателей и т. д.
Рассмотрим элемент оболочки (рис. 482). В общем случае в се-
чениях, которыми выделен элемент, действуют погонные (отнесен-
ные к единице длины сечения) усилия (рис. 482, а) и моменты
(рис. 482, б): нормальные усилия А) и N2', касательные (сдвигаю-
щие) усилия S, и S2; поперечные силы Qt и Q2; изгибающие моменты
Mi и М2; крутящие моменты AfiKp и А/гкр. Исходные дифференциаль-
ные уравнения для расчета оболочек, полученные с учетом всех
этих усилий и моментов, оказываются настолько сложными, что
интегрирование их даже для простейших задач связано с большими
математическими затруднениями.
Во многих же частных случаях исходные дифференциальные
уравнения и решения задачи существенно упрощаются. Этого мож-
но достичь, во-первых, учитывая характер самой задачи. Если обо-
лочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична
относительно оси оболочки, то задача называется осесимметричной
и в этом случае во всех сечениях, образованных плоскостями, про-
ходящими через ось симметрии, и в ортогональных к ним сечениях
A1'«P=Al2Kp=Sl=S2 = O; Qi = O (или Q2 = 0). (18.1)
Во-вторых, если вид оболочки, характер нагрузки и закреплений
к Тем пли иным соображениям позволяют прийти к выводу, что ка-
е-либо усилия или моменты всюду малы по сравнению с осталь-
526
Элементы теории тонкостенных
ними усилиями и моментами, то принимают допущение, Что
усилия и моменты равны нулю. Например, часто полагают ЭТи
Ml=M2=MiKp=M2KP = 0; Q, = Q2=0,
и в результате приходят к так называемой безмоментной Тео
оболочек.
Еще более упрощаются уравнения и их решения, если сочетают
оба указанных обстоятельства — рассматривается осесимметп СЯ
ная задача в безмоментной теории оболочек. Тогда выполняют
все равенства (18.1) и (18.2). 'tfi
§ 117. Напряжения в осесимметричной оболочке
Рассмотрим резервуар (рис. 483), представляющий собой осе-
симметричную оболочку. В ней меридиональные сечения срединной
поверхности образуют плавные кривые, не имеющие изломов. Тол-
щина h оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами
кривизны. Свободный край резервуара закреплен так, что на ней.
могут действовать только усилия, касательные к меридиональным
кривым. Тогда можно считать, что оболочка находится в безмомент
ном напряженном состоянии, для которого справедливы равенства
(18.2)
Пусть резервуар заполнен (частично или полностью) газом
жидкостью или сыпучим веществом. Давление р, МПа, в этом случае
может меняться по высоте (т. е. вдоль оси резервуара), но, очевид-
но, будет одинаковым во всех точках плоскости, перпендикулярной
к оси резервуара. Тогда оболочка будет находиться не только в без-
моментном, но и в осесимметричном напряженном состоянии.
Выделим прямоугольный криволинейный элемент ABCD оболоч-
ки (рис. 483), проведя два близких осевых сечения и два ортогональ-
ных к ним и к поверхности оболочки сечения (последние сечения
представляют собой две конические поверхности с вершинами на оси
резервуара). Длины граней элемента обозначим через ds\ ud$2-
Согласно равенствам (18.1) и (18.2), в гранях элемента действу^
только нормальные погонные усилия М и N-г и соответствующие
напряжения о, и о2 (растягивающие в случае внутреннего давл® г
и сжимающие — в случае внешнего). Следовательно, грани эле
та — главные площадки.
В гранях АВ и CD усилия N? могут отличаться на величину
усилия же /Vi в гранях ВС и AD в силу осевой симметрии одИ H1j.
вы. Поскольку Nt это усилие, приходящееся на единицу доТЙ(1
то на все сечение ВС приходится полное усилие Ntds?. Это
сится и к другим граням элемента. пр
Элемент ABCD срединной поверхности оболочки вместе
ложенными к нему усилиями и давлением изображен на и в„
Точка О - центр элемента, точки О, и б)2 — центры главных 3
срединной поверхности, ОО\ нормаль к поверхности эЛ
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
Рис. 483 Рис- 484
Главные радиусы кривизны срединной поверхности обозначены че-
рез pi и р2, причем pi — радиус широтной кривизны, а р2 — радиус
меридиональной кривизны. Очевидно
dsj^pidtpr, ds2 = p?d(p2- (18.3)
Запишем условие равновесия элемента, приравняв к нулю сумму
проекций всех сил на нормаль к элементу. Рассматривая рис. 484
и 485, получаем
ZNidsz sin |-jV2tfsi sin ^--^(Nz + dN?) ds^ sin —pr/sir/s2=O.
Слагаемое dN?dsi sin (rty2/2) имеет более высокий порядок ма-
лости, и им можно пренебречь. Далее, учитывая малость углов d(pt
и аф2 и соотношения (18.3), находим, что
sin fill— dtf, 1 rfs, ,и dtf2 1 ds2
2 2 2 р, ' SIn 2 ~2 Р2 '
Подставив эти выражения в уравнение равновесия и разделив его
USids?, получим
Л__।
Р. («8-4)
•1иями^?леНИе (18-4) устанавливает зависимость между двумя уси-
для 0 '*| 11 Л/2. Поскольку, однако, неизвестных усилий два, то
ных Рвения их одного уравнения недостаточно. Дополнитель-
Поэтом Внений равновесия для элемента составить больше нельзя.
обо-’ючк ^ПИШем Уравнение равновесия (сумму проекций на ось
и 486) .у пР°извольной конечной части Л1С1В1 оболочки (рис. 483
MajibHoij Й Часть отсекается конической поверхностью AiDiBlt нор-
По Кон сРеДинной поверхности оболочки, по контуру Л1В1.
П°гонные сечения Л|В| (по окружности радиуса г) действуют
Усилия Д/2. На единице длины контура получается верти-
Рис. 485 Рис. 486
кальная проекция Nz cos а, где а — угол наклона меридиональной
кривой к оси резервуара. Поэтому результирующее вертикальное
усилие от действия Nz направлено вверх и равно A^cosa^nr
Вертикально вниз действуют сила давления рлг2, вес Q* жидкости
(или сыпучего вещества), заключенного в объеме Л1С1В1, и вес Q
части резервуара Л|С|В|. Тогда из условия равновесия
2 cos а-2лг—рпг3 — Q» — Qp—О
££-1—(18.5)
2 cos а 2лг cos а
Уравнения (18.4) и (18.5) дают возможность найти все усилия
в осесимметричной безмоментной оболочке. В сопротивлении ма
териалов принято эти уравнения записывать в напряжениях.
Приняв предположение о том, что изгибающие и крутящие мо-
менты в оболочке отсутствуют, допускаем тем самым, что по толщине
ее напряжения распределяются равномерно (как при простом рас
тяжении — сжатии). Поэтому (рис. 487)
/V=o.fc-l=o/z. (18.6)
Кроме того, в сопротивлении материалов для меридиональных
напряжений и радиусов кривизны приняты обозначения от и р-
а не 02 и р2; для широтных величин — о( и р, вместо oi и рь В соот-
ветствии с этим
M=ozh; Л/2=отй. (,8’7)
Подставив эти выражения в уравнения (18.4) и (18.5) и учтя
мечания в отношении индексов, получим
। (Ут Р
pt ' pm h
pr I Фж + Qp
2/i cos a 2лгЛ cos a
(18.9)
Формула (18.8) носит название формулы Лапласа;
(18.9) иногда именуется уравнением равновесия зоны или
уравнением зоны. Напряжение о„ называется мерндиона 1
нормальным напряжением, о, — окружным (широтным, кольцевым)
нормальным напряжением.
Поскольку оболочка тонкая, то вместо радиусов pz, рт и г средин-
ной поверхности оболочки в формулы (18.8) и (18.9) можно под-
ставлять соответствующие радиусы наружной или внутренней по-
верхностей.
Следует обратить еще внимание и на то, что в задаче о расчете
резервуара удалось получить формулы для напряжений, не рассмат-
ривая геометрической и физической сторон задачи, т. е. задача ока-
залась статически определимой. Это — результат того, что мы сразу
постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки —
считали их постоянными.
Как уже отмечалось, напряжения от и ct являются главными
напряжениями. Что касается третьего главного напряжения, направ-
ление которого нормально к поверхности оболочки, то на одной из
поверхностей резервуара (наружной или внутренней — в зависи-
мости от того, с какой стороны действует давление на резервуар)
оно равно р, а на противоположной — нулю. В тонкостенных оболоч-
ках всегда о„, и oz значительно больше р и, значит, величиной треть-
его главного напряжения по сравнению с ои и о( можно пренебречь,
т. е. считать его равным нулю.
Таким образом, будем полагать, что материал оболочки на-
ходится в плоском напряженном состоянии. Тогда для расчета на
прочность в зависимости от состояния материала следует пользо-
ваться соответствующей теорией прочности. Например, применив
теорию прочности, условие прочности запишем так:
— omot <[о]. (18.10)
Рассмотрим примеры расчета безмоментных оболочек.
(рис баллон заполнен газом, давление которого равно р
этом случае вследствие центральной симметрии
___
°' = О.
1 °Эт0м
V на основании формулы (18.8)
Р
~/Г’ или (У = -РК
2/i '
530
Элементы теории тонкостенных об
Рис. 489
Рис. 490
Таким образом, главные напряжения
pR
О1— °2-~2h- 08.11)
Условия прочности по первой, третьей и четвертой теориям проч
ности приводятся к виду
ОэквП =-^-^[о]. (18.12)
Цилиндрический баллон заполнен газом, давление которп
равно р (рис. 489).
Здесь
Pt — R', (>,.,= ОС.
Тогда из формулы (18.8)
Ci I Ст Р
R оо h ’
т. е.
(18.13)
Чтобы найти от, проведем сечение а — о и рассмотрим РавВ0®^
любой из частей цилиндра. В результате, пользуясь формулой (1
и полагая в ней Qw = Qp = 0 и а = 0, получим
п _ PR (18-Н1
От- 2/г •
Следовательно, кольцевые напряжения о, вдвое больше меР^ь
нальных от. Поэтому, например, у клепаного резервуара пред
ный шов должен быть в два раза прочнее поперечного. ф
Заметим, что полученные результаты верны только для цен Р
ной части цилиндра, так как те его части, которые при*’
к днищам, не могут быть рассчитаны по безмоментной теор
дробнее об этом сказано ниже).
Резервуар в виде шарового сегмента (рис. 490) н
жидкостью (или сыпучим веществом) с плотностью у.
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
531
в осесимметричной оболочке
-------~
иМ полярный угол <р, определяющий положение произволь-
„„S л- Тогда
90°"<1!’ Р< —Pm==^’ r=Rsin(p; H = R(cos<p—cos 0);
a^H=yR (cos Ф~ cos ₽)
P Из уравнения Лапласа следует, что
0.+«<=^=^(С“ф-СЮ|!)'
Теперь воспользуемся уравнением (18.9). Величина Qx равна
v жидкости в объеме шарового сегмента АСВ:
Bc'-J
Q*=vVacb =У-^~п^с (3R — Нс).
Высота шарового сегмента
/7с=/?(1— cos ф).
Поэтому
Q«=^-R3 (1 — cos ф)2 (2 4-cos <p).
Подставляя в уравнение (18.9) выражения для р, г, QK, а и
пренебрегая весом резервуара Qp, получаем
14-cos <p-ycos2 <р
3 (14-cos <р)
о - v/?2
fl
И
O|=J£L
(18.15)
(18.16)
2 cos2 <р4~2 cos <р— 1 cos р
3 (1 + с os <j>) 2
^^Максимальная величина напряжений получается в точке С, где
(18.17)
0mMa№ = n<,,3K — }'R2 (1 —COS P)
2/i
краю оболочки (<p=p)
2-£OsP-COS-P
on 1 -f- cos p ' '
^уПоКольцевь1е напряжения становятся сжимающими.
11 (рис °4qT ВИДе шаРового сегмента радиусом R и толщиной стенки
Вес . изготовлен из материала плотности у.
кУпола Материала, соответствующего единице площади поверхности
о _ ’ Его составляющая, нормальная к поверхности,
^ае?0^^^ C°S<₽
ль Давления, приложенного к поверхности. Внутри же
532
Элементы теории тонкостенных ол
Рис. 491
Qp — Я$асв—уЬ$Асв>
купола давление равно нулю
что в уравнении Лапласа сла/3*
полагать р= — qn, а в уравнен^
зоны р—0. 11
Учитывая, что р/=рт==р
уравнения Лапласа находим ’ **3
om + crz = ^-=— ytfcosqx (i8jS)
Чтобы получить дополнитель-
ное уравнение, вычислим вес части
АСВ резервуара:
где площадь боковой поверхности шарового сегмента АСВ
S ACB—2nRH c=2nR2 (1 —cos <р).
Значит,
Qv — 2nyhR2 (1 —cos ф).
Подставив теперь в формулу (18.9) выражение для Qp и
r = R sin ф; а=90° — ф; р=0,
а также учтя (знаком «минус»), что в сечении АВ вес части АСВ
вызывает сжатие, получим
(18.20)
(18.21)
„ — УВ
т 14-COS<P
Тогда из уравнения (18.19)
a, = yR l-cos<p-COS>
Меридиональные напряжения всюду сжимающие и возрастают
по мере удаления от вершины купола к краю. Кольцевые напряжения
в верхней части купола отрицательны (сжимающие); при <р=51
они обращаются в нуль, а при <р>51°50' становятся растягива
щими. Полученные результаты верны, если опорное УстР0ИпЯВ.
купола такое, что в нем могут возникать только реакции, напр
ленные по касательной к меридиональной кривой.
.§ 118. Распорные кольца в оболочках
До сих пор мы рассматривали оболочки, меридиональные v
которых представляли собой плавные кривые с непрерывно я3^.еорци
щейся кривизной. Расчет такой оболочки по безмоментнои
(если толщина оболочки мала) дает вполне приемлемые ‘
тики результаты. „ од н?
Теперь исследуем влияние переломов меридиональном кр & ц
напряженное состояние оболочки. Пусть в некотором сечеии
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
в оболочках
533
(рис. 492) оболочка имеет перелом, так что касательные к меридио-
нальной кривой слева и справа от точки А образуют между собой
,тол не 180°, а 180°—(а, -|-а2). Рассмотрим меридиональные на-
пряжения от, и ога? (рис. 493) в сечениях В — В и С — С, бесконеч-
но близких к Л — А (эти сечения образованы коническими поверх-
ностями OiBB и ОцСС, нормальными к срединной поверхности
оболочки). Погонные усилия в этих сечениях равны om>h\ и
(рис. 494), где h\ и /г2— толщины частей 1 и 2 оболочки.
Из условия равновесия кольца ВВСС следует, что
от,й| cos ai2n.r = om/i2 cos а22зтг,
от,/ц cos “1 = от/г2 cos а2. (18.22)
Таким образом, проекции усилий om,/ii и о„2Л2 на ось оболочки
взаимно уравновешиваются. Иная картина будет с проекциями этих
усилий на плоскость А—А (рис. 494). Складываясь, они дадут
погонное радиальное усилие
4=am,h\ sin ой 4-om2ft2 sin a2. (18.23)
Усилие q можно рассматривать как местную нагрузку, сжимаю-
щую оболочку. Эта нагрузка может вызвать в оболочке значитель-
ные изгибные напряжения. Чтобы уменьшить изгиб, в резервуарах
асто устанавливают кольца жесткости, или распорные кольца
'Рис. 495), которые и принимают на себя радиальные усилия q.
В 1 аспорное кольцо нагружено по схеме, показанной на рис. 496.
‘1ем возникают только сжимающие напряжения, и условие проч-
nD Ти ДЛя кольца имеет вид
___
(18.24)
радиус оси кольца; FK — площадь поперечного сечения
q определяется по формуле (18.23).
ГДе /?к —
К0;Ма, а ,
обод0 Ог^а вместо распорного кольца создают местное утолщение
ЧайкцЧКИ (Рис- 497), загибая края днища резервуара внутрь обе-
р
НЫе н и °болочка испытывает внешнее давление, то меридиональ-
нряжеция будут отрицательными (сжимающими) и, согласно
534
Элементы теории тонкостенных
формуле (18.24), радиальное усилие q получится также отрицатель-
ным, т. е. направленным наружу. Тогда кольцо жесткости будет
работать не на сжатие, а на растяжение. При этом, очевидно, уело,
вие прочности (18.24) останется тем же.
Заметим, что распорное кольцо не уничтожает совсем, а лишь
уменьшает изгибные напряжения. При наличии кольца причиной
появления изгиба в оболочке является различие радиальннх
перемещений в сечении по кольцу и в соседних с кольцом попереч-
ных сечениях оболочки (от сжатия диаметр кольца и прикреплен-
ной к нему оболочки должен уменьшаться, а в соседних с кольцом
сечениях от действия растягивающих широтных напряжений диа-
метр оболочки должен увеличиваться).
Рассмотрим цилиндрический резервуар со сферическими днища-
ми (рис. 498), наполненный газом, давление которого равно р, МПа.
Требуется определить толщины стенок и площадь сечения кольца,
считая допускаемые напряжения известными.
Толщину hi стенки днища находим из формулы (18.12):
Принимая четвертую теорию прочности и пользуясь формулами
(18.10), (18.13) и (18.14), записываем условие прочности для обе
чайки:
ОэквIV —
рУ рУ р2г2
4hl hl 2hl
2 [о] •
Тогда меридиональное напряЖеНЙ
днище
о =-*£-
т‘ 2h\ ’
а в обечайке
<14
535
заЯача для тонкой цилиндрической оболочки
Подставляя эти значения в формулу (18.23) и учитывая, что в
* случае ai=90° — а, а2 = 0, находим погонное радиальное
приложенное к распорному кольцу:
усилие- к
_£^-cos а.
«= 2
Наконец, считая, что радиус кольца /?к«г, из формулы (18.24)
пределяем необходимую площадь поперечного сечения кольца:
__ pRr cos а
Ft— [О] 2 (о]
§ 119. Краевая задача
ДЛЯ тонкой цилиндрической оболочки
Рассмотрим'одну из простейших задач моментной теории обо-
лочек: по краю тонкой полубесконечной цилиндрической оболочки
(рис. 499) равномерно распределены погонные поперечные силы Qo
и изгибающие моменты Л4(); кроме того, на оболочку действует
постоянное внутреннее давление р; требуется найти перемещения
точек оболочки и напряжения в ней.
Эта задача имеет некоторое самостоятельное значение, и, кроме
того, полученные в ней результаты в следующем параграфе будут
использованы для нахождения местных изгибных напряжений.
Выделим из оболочки полубесконечную полоску единичной ши-
рины (рис. 499 и 500, а), которой соответствует малый централь-
ный угол
(18.25)
В концевом сечении на полоску действуют усилие Qo и момент
л - по поверхности — давление р, по продольным краям — погон-
ные широтные усилия Л/S, переменные вдоль края.
Введем оси координат w и х: ось w направим от оси оболочки по
Радиусу, ось х по образующей (рис. 500, а). Распределенную по
'Р^ти и по продольным краям нагрузку можно привести к
°еи°шН°^ нагРУзке Ч (х)> действующей в плоскости wx параллельно
МеНуЬ1Делив в окрестности произвольной точки А (рис. 500, а) эле-
ес.1и Полоски, длина которого равна единице, и считая, что q (х)>0,
НагРузка действует от оси оболочки наружу, получим
V (x) + q2.
#ЧИтЫвяо
и малость угла <р и формулу (18.25), будем иметь
^2A/|.l.sin_S_=/V1(p=A!-;
Z к
‘1‘1
536
Элементы теории тонкостенных go
Н |Сс /У Итак,
’w^‘
11 Y II__________\__ Распределенная нагрузка q(x
IL0 dl ) также Qo и Mo вызывают плосК1)й
XVr zZ/ / изгиб полоски В ПЛОСКОСТИ wx. ЭТН
уг^уу____________/ полоску можно назвать балкой-полос^
г I кой и в дальнейшем обращаться с ней
’ как с полубесконечной балкой (рРс
Рис 499 500, а) прямоугольного сечения 1 хь
' _______________ ' Рассматривая изгиб балки-полоски
необходимо учесть, что, прогибаясь
она взаимодействует с соседними полосками. Одна сторона этого
взаимодействия учитывается слагаемым — Ni/R в выражении
(18.26) для погонной нагрузки q(x). Но оказывается еще, что в
результате этого балка-полоска становится более жесткой на изгиб
в плоскости по сравнению с обычной балкой." Выясним, почему это
происходит и каким образом должно быть учтено.
При изгибе обычной балки форма ее поперечных сечений из
меняется, так как размеры их по ширине, т. е. в направлении, па-
раллельном оси z, в сжатой части балки увеличиваются, а в растяну
той — уменьшаются (штриховые линии на рис. 501, б). Не изме
няется только ширина нейтрального слоя. В балке-полоске из-за
взаимодействия ее с соседними полосками такого изменения попе
речного сечения произойти не может. Это взаимодействие привод!
к возникновению напряжений препятствующих изменению раз
меров в направлении, параллельном оси z, вследствие чего ег=0.
Таким образом, в балке-полоске, в отличие от обычной балки, кром.
напряжений о* в поперечном сечении (рис. 501, а), будут еше и
напряжения в продольных сечениях, перпендикулярных к ны
тральному слою (рис. 501, б). Наличием напряжений о? и объяс
няется увеличение жесткости на изгиб балки-полоски.
Каждый бесконечно тонкий слой материала балки, параллель-
ный нейтральному, находится в плоском напряженном состоянии
(рис. 501, в). Это обстоятельство и необходимо учесть при выводе
дифференциального уравнения упругой линии балки-полоски.
Дифференциальное уравнение изгиба для балки-полоски можно
получить таким же способом, как и для обычной балки (см. § 66).
При этом статическая и геометрическая стороны задачи выражаются
теми же зависимостями (10.3) и (10.6), что и в случае обычной
балки, а именно:
а) статическое уравнение —
\^ydF=M(x)-, (18.27)
геометрическая зависимость —
(18.28)
I ^п^3ическая сторона задачи (связь между напряжением ох в
^о-тос ЧНом сечении и относительной деформацией еЛ) для балки-
ГуКа Ки выражается на основании формул обобщенного закона
j с учетом того, что ег=0:
М-~-=0, ИЛИ Ог = |ДОх.
538
Элементы теории тонкостенных об
Из этих формул находим нужную нам зависимость
£
Ех-
(’8.29)
выражения (18.28) и (18.29) в уравнение (1827)
---2
1 —в
Подставив
получим
£ d2w (
1 — ц2 dx2
lit j dFy2 = M (х).
Для балки-полоски с размерами сечения 1ХЛ элемент площад,
dF= 1 -dy. Тогда
+ Л/2
,-Ч ЧУ S
— Л/2
(18.30)
(18.31)
или после вычисления интеграла —
__£___Ё- <w(X) м м
1-ц2 12 dx2
С введением обозначения для цилиндрической жесткости I)
(см. § 108) дифференциальное уравнение изгиба балки-полол
запишется так:
Г. Л4 / \
Дважды дифференцируя по х обе части этого уравнения и учи
тывая, что d2M (x)/dx2 = q (х), получаем уравнение в следующей
виде:
____________
Таким образом, для балки-полоски дифференциальное уравнени
упругой линии будет иметь вид
р d'w (х)_ N (18-32)
1 dx' ~Р R ’
Теперь выразим кольцевое усилие М оболочки через проп’
балки w(x) (рис. 500, а). Одновременно w(x) является и
ным перемещением точек оболочки (рис. 502) вследствие деи1ей1
Qo, Мо и р. Это перемещение вызывает в широтном направ-
относительное удлинение
__2л [£ 4- (х)]— 2яЦ w (х) (18-3^
2л/? ~ R я в 0^'
Считая, что меридиональных напряжений растяжени
лочке нет, получим кольцевое напряжение ,,
Gt = E^t=~W (х)
ацача для тонкой цилиндрической оболочки
Краен^_----—-------------- --------------
наконец, кольцевое усилие
Eh , ,
-у W-
Внеся это выражение в уравнение
полУчИМ
р у- W=р-
Уравнение (18.36) идентично уравнению (11.12) (см. §73),
опИсываюшему изгиб балки на упругом основании, если принять
й=у- (18.37)
Поэтому преобразуем уравнение (18.36) так, как это делалось в
§73.
Разделив уравнение (18.36) на D, учтя выражение (18.30) и
введя обозначение
fl_ Wза-Е8).
с~ V W ’ (18.38)
получим
(18.39)
Очевидно величина а измеряется в см *, поэтому переменная
s=ax (18.40)
будет безразмерной. Примем ее за новую независимую переменную.
Поскольку
rfW) 3(1 —ц* 2 3) dW)
dJC dg4 R2h2 ’
To Уравнение (18.39) окончательно запишется в виде
^гЦ-4вд(£)=±^_. (18.41)
^егко проверить, что частным решением этого уравнения будет
~Eh- (»8.42)
в т2|ЛН°Р°дное же уравнение, соответствующее уравнению (18.41),
3апИсН°СТи совпадает с уравнением (11.16), и его общий интеграл
(18.4иВается в виде (11.17). Поэтому общий интеграл уравнения
) будет иметь вид
(L_
'"g£~+e~E (Л cos Ц-В sin g)4-(Ccos £ + Disin |). (18.43)
540
Элементы теории тонкостенных об
Здесь четвертая постоянная обозначена Di, а не D, чтобы не пут.
ее с цилиндрической жесткостью. q|
С физической точки зрения очевидно, что в сечениях, бескон
но удаленных от рассматриваемого края оболочки, влияние Q
Мо должно исчезать и w(oo) должно быть конечной величин"
Этому противоречит последнее слагаемое в выражении (I843?
которое из-за множителя е5 неограниченно возрастает на бесконе
ности. Поэтому следует положить
С=£)1=0.
Тогда
W COS + в sin (18.44)
Воспользовавшись известными дифференциальными зависи
мостями для балок (где жесткость EJ заменена цилиндрически
жесткостью D):
©d-v da>
dx d£
M=D^-=Da2-^
dx1 dtf
Q = D^Dn‘^.
из формулы (18.44) получим следующие выражения для углов
наклона упругой линии, изгибающих моментов и поперечных сил:
0 = ое f [Л (cos £ + sin £)4~В (cos £ —sin g)];
M = Da2e 1 (2A sin £ — 2B cos £);
Q = Da3e~ * [2A (cos £ - sin £) + 2B (cos I + sin |)]. i1 1 ‘
Выразим теперь постоянные А и В через Qo и Мо- Поскольк
(см. рис. 500, б)
Af0=Ail5=o; Qo = QI==c,
то, положив в последних двух формулах (18.45) £=0, получи I
— 2BDa2 = M0;
Da3 {2A+2B)=Q0,
откуда
Подставив найденные значения коэффициентов в вь1Р
(18.44) и (18.45), найдем окончательно:
www.vo
адача для тонкой цилиндрической оболочки
Крае^.
---cos li + aAlo (cos sin £)];
Eh 2aL>
I_(cos g+sin g)+2aMo cos g];
8=^20^
.__Le-4<?osin £ + °M0(cos g+sin £)];
Л1 a
o^e'MCHcos g—sin £) — 2aM0sin g],
(18.46)
(18.48)
ничем а дается формулой (18.38), g — формулой (18.40).
Полученные формулы представляют решение поставленной
задачи, так как дают возможность вычислить в любом поперечном
сечении оболочки радиальное перемещение w, угол наклона © де-
формированной образующей к оси оболочки, погонный изгибающий
момент М и погонную поперечную силу Q. Положительные направ-
чения этих величин совпадают с положительными направлениями
©о, ©о, мо н Qo (на рис. 500, б шо>0, Л4о>0, Qo>0, а ®о<0).
Исследовав изгибные напряжения в балке-полоске, выделенной
в тонкостенной цилиндрической оболочке, мы получили решение и
для всей оболочки. Напряжения ох в балке-полоске являются из-
гибными напряжениями от в меридиональном направлении обо-
лочки (в поперечных ее сечениях), а напряжения о2 — изгибными
напряжениями О/ в широтном направлении (в продольных сече-
ниях). Эпюры от и Ct показаны на рис. 503. Напряжениям от соот-
ветствует изгибающий момент М, а напряжениям о, — момент М\.
Ранее было показано, что о/ = р,от- Тогда, очевидно,
М| = |лЛ4. (18.47)
В продольных сечениях оболочка также подвергается растяже-
нию или сжатию (в зависимости от того, изнутри или извне дей-
^вует давление).
Максимальные напряжения определяют по формулам
®«.а«С==Л.-
„ ___ । Mi 1 ТУ।
U/M8KC---- 1 £~" ’
гАе
F = bft,
6М> . м
6 ’
, Так ЧТО
°'1|‘аас=:ЛМ_ _
IL ’
Р^ие сюда величины Mi и М можно найти по формулам
Л (18.35) после того, как по формулам (18.46) вычислены
Мея же максимальные напряжения н выбрав ту нли иную
Рочностн, можно провести расчет на прочность. Прн этом
нужно обращать внимание на выбор правильного знака в форму»
ДЛЯ О’/ макс*
Выясним теперь, насколько далеко от края оболочки распростр
няется влияние краевых моментов А4о- Сделаем это на следуюиеч
числовом примере.
Пример 76. Стальная труба (Е-2-10'‘ МПа, ц=0,3) радиусом R=4u
с толщиной стенки h = 2 мм находится под действием равномерного внут(>~
него давления р=2,5 МПа и краевых моментов Мо—33,3 П-м/м (рис. г.
Построим эпюры изменения максимальных меридиональных и кольца-
напряжений вдоль оси трубы.
В отсутствии краевых моментов всюду было бы
От ==0,
о, =-!—-= 2д24 МПа = 50 МПа. '
Полагая в формулах (18.46) Qo = O, получаем
‘(cosg-smg);
, (18.50
М = Мое 5 (cos ij+sin g) .
и, согласно формулам (18.48), (18.35), (18.38), (18.30) и (18.47), у вИУт™
поверхности
6М 6М0 _Е, t , . сч
Отмакс=-^2-=—^5— е '(cos +sin g),
6цМ , Е pR , 6Мо / 1 — р2 sin'
= -V"+Rw=~ir+flOmMa-V з с (cos5 (18.'
Подставив числовые значения р, R, Мо, h и р, получим
О1 макс = 50 + 42,5 е 6 cos g - 12,5еsin g=25 (2 +1,7е“£ cos 5-°-5г (1‘ *
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
ляча для тонкой цилиндрической оболочки
^ряевая,^--------
' Наконец, согласно формулам (18.40) и (18.38),
X (CM)=“S
543
- Ri-h-- = —4'-0'2- E = 0,6955.
3(1—и2) V3-0.91
Пользуясь таблицами функций е 1 (cos g+sin 5), е * cos g и е 5 sin Е
6'1 20 и прил. 13), вычисляем значения (^т макс И О/ макс ДЛЯ рЯДЗ ЗНЗЧСНИЙ
*/табл* 20) и по этим данным строим эпюры, показывающие изменение по
* мне оболочки максимальных меридиональных и кольцевых напряжений в
точка* у внутренней поверхности в поперечных и продольных сечениях обо-
лочки (рис. 504).
Таблица 20
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jf СМ Е е~ cos g e'“^sin | (3)+|4! От каке ~ =50.(5 I 7-(3J 0.5-|4] 2+R1- -]8' Ofыцкс== =25.(9]
0 0 1,000 0 1,000 50,0 1,700 0 3,700 92,5
0,21 0,3 0,708 0,219 0,927 46,4 1,204 0,110 3,094 77,4
0,49 0,7 0,371 0,329 0,700 35,0 0,631 0,165 2,476 61,9
0.76 1,1' 0,151 0,297 0,448 22,4 0,257 0,148 2,109 52,7
1,04 1,5 0,016 0,222 0,238 11,9 0,027 0,111 1,916 47,9
1,32 1,9 -0,048 0,141 0,093 4,7 —0,082 0,071 1,847 46,2
1.60 2.3 — 0,067 0,075 0.008 0,4 — 0,114 0,038 1,848 46,2
1,88 2,7 — 0,061 0,029 -0,032 — 1,6 —0,104 0,014 1.882 47,0
2,15 3,1 — 0,045 0,002 — 0,043 -2,2 —0,076 0,001 1.923 48,1
2,43 3,5 -0,028 —0,011 — 0,039 -2,0 — 0,048 0,006 1,958 49,0
2,71 3.9 -0,015 —0,014 -0,029 — 1,5 —0,026 — 0,007 1,981 49,5
2,99 4.3 -0,005 — 0,013 — 0,018 —0,9 — 0,008 — 0,007 1.999 50,0
3,27 4,7 0,000 —0,009 — 0,009 -0,4 0,00 —0,004 2,004 50,1
3,54 5,1 0,002 — 0,005 — 0,003 —0,2 0,003 — 0,003 2,000 50,0
3,82 5,5 0,003 —0,003 0,000 0 0,005 — 0,002 2,008 50,2
4,10 5,9 0,003 — 0,001 0,002 0,1 0,005 — 0,001 2,006 50,2
Эти эпюры показывают, что приложенные к краю оболочки из-
гибающие моменты (Ио оказывают влияние на напряженное состоя-
иие оболочки только в непосредственной близости от места их при-
•ожения На достаточном же удалении от края напряжения практи-
об ки совпадают с теми, которые получаются в результате расчета
6ысГКИ П° безмоментной теории. Наличие в оболочке местных
вЫч Р^атухающих изгибных напряжений обычно называется крае-
пРедеч сказанное относится и к действию поперечных сил Qo, рас-
* енных по краю оболочки (см. рис. 499).
§ 12q j-»
вог ' и₽имеры учета изгибных напряжений
очках
’а в обо^Ь‘Аущем параграфе было введено понятие краевого эффек-
те, к0‘ °чках, что во многих случаях упрощает расчет конструк-
| э-Н;Фиче РЫе По своей Расчетной схеме могут быть отнесены к ци-
йСт°ятепСКИм оболочкам. Прн этом большое значение имеет то
• ьство, что, хотя формулы (18.46) и другие были получены
www.voк₽яяя
544
Элементы теории тонкостенных 0(
в предположении, что цилиндрическая оболочка полубескоц
их, очевидно, с успехом можно применять и для конечных обоЛ4’''’
если только длина последних заметно превышает размеры
занятой краевым эффектом. 3°!!
Допустим, что к тонкостенному длинному цилиндру (рис
в сечении А — А приложена равномерно распределенная по Пе'
метру сечения нагрузка интенсивностью q, МПа. В данном cav^
краевой эффект симметричен относительно линии АА Поэтому- I
а) нагрузка q распределяется поровну на левую и правую ча
цилиндра, т. е. (см. рис. 499) Ти
Qo=-f.
причем начало координат считаем помещенным в точке О (рис. 50
б) касательная к упругой линии балки-полоски в сечении Л — /
параллельна оси цилиндра, т. е. (см. рис. 500)
©o = 0|s=o = O.
Тогда из второго уравнения (18.46) находим, что
Мо = ^-,
4а
где
а =
Подставляя значения Qo и Мо в формулы (18.46), получаем
(здесь р = 0)
w =-----—
-^77 е (cos £ + sin g);
4in^:
М=-^-е 6(cos£ — sin £);
(18.53)
0 =
Q=-~e Ecos£.
Отсюда, в частности для сечения А — А (£=0),
f_^3/2.
№„аке-Ш0- 8^—~2Г V« И "1* / ( »
4с 4^3(1-(?) lg4g
Максимальные напряжения вычисляются по формулам 'тоНь '
Пусть на тонкостенную трубу (рис. 506) посажено ^рн
кольцо, площадь поперечного сечения которого равна Р«>
его имеет модуль упругости Ек.
Ч
ры уч^та^изгибныхнапряжений в оболочках
Если обозначить через q радиальное усилие, возникающее между
к0ПЬцом и трубой, а через 6 — натяг (разность между наружным
радиусом трубы и внутренним радиусом кольца до посадки), то из
условия совместности деформаций должно быть
| I Гамаке! == 6,
где = ----увеличение радиуса кольца после запрессовки;
©макс — максимальный прогиб трубы.
Труба находится в условиях, близких к условиям предыдущего
примера, поэтому шмак. определяется формулой (18.54). Подставив
выражения для wK и шмакс в условие совместности деформаций,
получим
6,
| откуда определяем q. После этого по формулам (18.55) и (18.47)
, находим изгибающие моменты, а затем по формулам (18.48) опре-
деляем напряжения. Перемещения найдем по формуле (18.54).
Глава 19
Расчет конструкций
По предельным состояниям
§ 121. Основные понятия
пРедельном состоянии
Расчеты на прочность отдельных стержней, балок и конструкций,
Смотренные в предыдущих разделах курса, основаны на оценке
цДчНости материала в опасной точке. При таких расчетах наиболь-
вИсе н°Рмальные, касательные или эквивалентные напряжения (в за-
Чо^ости от вида напряженного состояния и принятой теории проч-
ка и) в опасном сечении и в опасной точке сравниваются с допус-
напряжением. Если наибольшие расчетные напряжения не
нчвают допускаемых, то считается, что надлежащий запас проч-
37?
546
Расчет конструкций по предельным состои
ности конструкции этим обеспечивается. Такой способ расчет
прочность называют расчетом по допускаемым напряжениям w
Метод расчета на прочность по допускаемым напряжён ।
бесспорно, обеспечивает прочность конструкции, однако во.мн *
случаях не позволяет рационально использовать все ее возм^
ности и часто приводит к завышенному весу.
При расчете по допускаемым напряжениям опасным, или Пп_
дельным, состоянием конструкции считается такое ее состояли
при котором наибольшее напряжение хотя бы в одной точке
териала конструкции достигает опасной величины — предела тек\
чести (для пластичного материала) или временного сопротивления
(для хрупкого материала). Состояние всей остальной массы мате
риала во внимание не принимается.
Между тем при неравномерном распределении напряжений (на-
пример, при изгибе, кручении) в статически неопределимых кон-
струкциях, изготовленных из пластичных материалов, появление
местных напряжений, равных пределу текучести, в большинстве
случаев не является опасным для всей конструкции. Практика
показывает, что при появлении местных пластических деформаций
конструкция еще может удовлетворять предъявляемым к ней требо-
ваниям и для перехода ее в предельное состояние требуется даль-
нейшее возрастание нагрузки. Таким образом, в действительное?!,
конструкция обладает запасом прочности, большим, чем при расчет?
по допускаемым напряжениям.
В связи с этим недостатком метода расчета на прочность по
допускаемым напряжениям возникла необходимость в новом подхег.:
к оценке прочности конструкций. Был предложен метод расчета кон
струкций по предельному состоянию.
Под предельным состоянием конструкции понимают такое w
состояние, при котором она теряет способность сопротивляться
внешним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым
эксплуатационным требованиям.
Приведем некоторые примеры, характеризующие предельны*
состояния.
Испытания слабоармированных железобетонных балок показ
вают, что как только напряжения в арматуре достигают пР^де"^
текучести, балка сильно и необратимо провисает (т. е. получает баз
шие остаточные деформации), а также покрывается большим ко-
чеством трещин. Ясно, что дальнейшая эксплуатация такой а
невозможна, хотя для ее разрушения и требуется еще нек0Т(£
увеличение нагрузки. Таким образом, железобетонная балка
ходит в предельное состояние, как только напряжения в арМ <
достигают предела текучести.
Стальные стержневые конструкции могут превратиться в ки м
тически изменяемые после образования достаточного чИС"'1Д(цяЯ
называемых пластических шарниров, т. е. появления в стер
таких сечений, во всех точках которых напряжения равны пр^К
текучести. Однако в некоторых типах конструкций этот пр
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим
понятия О предельном состоянии
----—--------------------
547
может протекать таким образом, что после образования первых
пластических шарниров (задолго до превращения этих конструкций
в кинематически изменяемые) дальнейшая эксплуатация их делается
невозможной из-за возникших значительных остаточных деформа-
ций. В этих случаях имеют место предельные состояния конструкций.
Различают три вида предельных состояний:
а) первое предельное состояние — по несущей способности
(прочности, устойчивости и выносливости прн переменных напря-
жениях) ;
б) второе предельное состояние — по развитию чрезмерных де-
формаций (прогибов, перекосов и др.);
в) третье предельное состояние — по образованию или раскры-
тию трещин.
Расчеты по предельным состояниям широко применяются при
проектировании строительных конструкций и сооружений. Все боль-
шее распространение методы этих расчетов получают и в машино-
строении, причем и здесь сказывается их прогрессивная роль: они
позволяют вскрыть резервы прочности, не используемые при рас-
четах по допускаемым напряжениям. Расчет по предельным состоя-
ниям дает возможность уменьшить вес конструкций.
Здесь будут рассмотрены некоторые примеры расчетов по несу-
щей способности конструкций из пластичных материалов, которые
чисто? ПЛОшадкУ текучести на диаграммах растяжения, сжатия и
Ро„^ЛощадкУ текучести имеют диаграммы напряжений малоугле-
иерИСТЬ1Х сталей и некоторых других материалов (рис. 507). Напри-
ДелаКРИВая На диагРамме напряжений алюминия (рис. 508) за пре-
РасчеИ деасТвия закона Гука имеет очень слабый наклон и прн
тах ее можно принять за горизонтальную прямую.
того с Ь1 Угостить расчеты, диаграммы растяжения, сжатия и чис-
Мая Двига Для пластичных материалов схематизируют так, что пря-
"Рямгр11'°На ГУ*<а непосредственно сопрягается с горизонтальной
Равец'1 без плавного перехода (рис. 509). Этим самым принимается
г°Ризп В° МеждУ пределами пропорциональности и текучести. Длина
Риал нтального участка диаграммы не ограничивается, т. е. мате-
^агРа '11Тается не упрочняющимся, идеально пластичным. Такая
( Ма носит название диаграммы Прандтля.
548
Расчет конструкций по предельным сосДИ
Указанная схематизация достаточно точна для материалов
алюминия и вполне допустима для материалов, имеющих диагпа^И
с ограниченной длиной площадки текучести (рис. 507). Это выте 14
из следующих соображений. При наличии такой площадки текуКЭет
ти, как, например, у мягких углеродистых сталей, величина отв
тельного удлинения в начале упрочнения Ed в несколько раз пое/
тает величину относительного удлинения ес в начале появле[]
пластической деформации. Поэтому даже при неравномерном Н
чальном распределении напряжений (изгиб, кручение, наличие м?
центраторов), но дальнейшем последовательном распространени
пластической зоны с выравниванием напряжений, предела текучести
они достигнут одновременно по всему сечению раньше, чем начнет
ся упрочнение материала в точках с наибольшей пластическо
деформацией. Таким образом, предельное состояние, определяемое
значительной пластической деформацией, наступит до нача-а
упрочнения материала и предельная нагрузка может быть вычисле
на по пределу текучести.
Для сложного напряженного состояния, как указывалось в гл. F
предложены различные теории перехода материала в пластическое
состояние. Наиболее просто расчеты выполняются при использс
вании теории пластичности Сен-Венана. Согласно этой теори-
пластическое состояние материала при сложном напряженном со-
стоянии наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения
достигают предельного значения — предела текучести при сдвиг?
Тмакс1 *^ Тт. (19.1)
Приведенными выше положениями и будем пользоваться в даль-
нейшем.
§ 122. Расчеты при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии напряжения по площади поперек
ного сечения стержня распределяются равномерно. Вследствие этот
расчет на прочность статически определимых систем по допускаемы-
напряжениям и по предельному состоянию дает один и тот же р
зультат. В случае статически неопределимых систем результа
расчета различны.
Покажем это на примерах. .ИМ
Определим запас прочности трехстержневой подвески (рис. о
нагруженной силой Р. Площади поперечных сечений стержне
наковы. Материал пластичный с пределом текучести от- стаТц
Расчет по допускаемому напряжению. Задача один Ря3 r^f
чески неопределимая. Ее решение рассмотрено в § 37. При *
коэффициент /?=1 и тогда из формул (5.50) и (5.51) полу4
1 (»9-2)
М, =---------Р\
I + 2 cos3a
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт cboumi
Очевидно всегда Ni> Nv — Nz, т. е. большее усилие возникает
в среднем стержне. Следовательно, в среднем стержне будет и наи-
большее напряжение:
/У, _ 1 Р
° F 14-2 cos3 a F
(19.4)
Запас прочности при расчете по допускаемому напряжению
__о,___(I +2cos3 a) Feb
т о____Р
(19.5)
Расчет по предельному состоянию. Предельное состояние кон-
струкции будет характеризоваться исчерпанием несущей способ-
ности, которое наступит тогда, когда во всех стержнях напряжения
Достигнут предела текучести. Найдем предельную нагрузку для
конструкции.
Так как напряжения в стержнях при упругой работе их неодина-
ковы (в среднем стержне больше, чем в крайних), то предела теку-
«ти напряжения достигнут не одновременно во всех стержнях. Вна-
чале при нагрузке Р1т наступит пластическая деформация в сред-
ем стержне. Усилие в нем
(19.6)
'*1T==oTF.
этом, согласно выражению (19.2),
T=t(4~2 cos3 a) oTF. (J97)
CTPvk0CJle ,1оявления пластического течения в среднем стержне кон-
Haij)VllHn е,це сохраняет способность воспринимать возрастающую
Hpag КТ- При этом усилие в среднем стержне остается постоянным
нУсиН° ^1т- Конструкция превращается в статически определимую,
Уз,1а в крайних стержнях определяются из условия равновесия
2 cos а
(19.8)
550
Рис. 512
Расчет конструкций по предельным Состоц^
Исчерпание несущей способности конструКи
наступит, когда и в крайних стержнях напря^*1
ния достигнут предела текучести. Соответст»6
ющая этому моменту нагрузка -
Рщ, = oTf + 2FoTcosa = (1 + 2cosa) oTF. (19 9)
Запас прочности при расчете по предельному
состоянию 5
_ ЫР_ (' +2 cos “)
n"v~ о — р
(1910)
Очевидно, что ппр > лт. Например, при а = 3(р
Лпр/г1т= 1.19. Таким образом, расчет по предель-
ному состоянию позволил обнаружить скрытый
запас работоспособности конструкции.
Определим запас прочности трех ступенчатого бруса (рис. 512),
изготовленного из пластичного материала.
Расчет по допускаемому напряжению. Задача один раз стати-
чески неопределимая. Условие равновесия имеет следующий вид:
/?л+Яй-2Р=0. (19.11)
Деформации участков бруса должны удовлетворять условию
Mi + Д/2+Д/з = 0,
или
(19.12)
__ Рца__R В° I Рао __ п
EF 2EF 'Г EF
Отсюда следует, что
Подставляя значения РА в выражение (19.11), найдем, что
= (19'3)
Реакция верхнего закрепления
«,-р.
и g
Участки / и II бруса сжаты усилием N, =
участок III растянут усилием Nm = (6/5) Р. у , , Г’
Наибольшие напряжения возникают в поперечных сечения
него участка. Эти напряжения
N‘" 6Р
111 F 5F '
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своим
етЫ при растяжении и сжатии
551
(19.16)
3 пас прочности по пределу текучести
г,
^Т" Сщ 6 Р
расчет по предельному состоянию. Прежде всего выясним, какое
состояние для рассматриваемой системы предельное. Из выполнен-
ного выше расчета следует, что в пределах упругости о/п > о, > о„.
Поэтому при возрастании нагрузки предела текучести сначала до-
стигнут напряжения в верхнем участке. Это состояние не приведет
к исчерпанию несущей способности системы, так как нижние участ-
ии, находящиеся еще в упругом состоянии, будут сопротивляться
возрастающей нагрузке. Усилие, воспринимаемое верхним участком,
при этом постоянно:
Участки 1 и II сжаты силой
NI = NII = PB = 2P—Ra = 2P — otF. (19.18)
При дальнейшем возрастании нагрузок Р пластическое состояние
наступит в нижнем участке I, где напряжения больше, чем в участ-
ке //. Этот момент и соответствует исчерпанию несущей способ-
ности системы, так как средний участок, находясь между пласти-
чески деформированными областями, не встретит возрастающего
сопротивления перемещению.
Таким образом, предельное состояние системы характеризуется
участках.
(19.17)
появлением текучести одновременно в верхнем и нижнем
Предельную нагрузку найдем из условия
О, = — ч — 2Р"р —От£ _ „
I. F F «Т-
Отсюда
P«v~OtF.
Запас прочности системы, нагруженной силами Р,
ИппД-fsE__ОтТ
Р ~ Р ’
(19.19)
(19.20)
F
(19.21)
н0 Сог,оставляя формулы (19.16) и (19.21), видим, что запас проч-
наПр” Оказался большим, чем в случае расчета по допускаемому
552
Расчет конструкций по предельным остзд
§ 123. Расчеты при кручении
При кручении стержней с круглым поперечным сечением Ка
тельные напряжения в упругой области пропорциональны расст^
ниям точек сечения от оси стержня (рис. 513) и определяются051
формуле 110
Л4К
т=—Р,
Jp
(19.22)
а
Т 1
Тмаке = _^Г‘• (19.23)
Когда крутящий момент увеличивается, то пластические дефор.
мации появляются не сразу по всему поперечному сечению, а посте-
пенно,по мере роста момента распространяются от наиболее удален-
ных точек к оси стержня. Вследствие этого расчеты на прочность по
напряжениям в наиболее опасных точках и по предельному состоя
нию дают различные результаты даже в статически определимы:
системах. Расчет по предельному состоянию и в этом случае по-
зволяет обнаружить дополнительные резервы прочности.
Рассматривая кручение в пластической области, будем предпо-
лагать, что зависимость между касательными напряжениями и от-
носительным сдвигом для материала соответствует идеализирован
ной диаграмме с неограниченным горизонтальным участком (рис. 514)
При некотором значении крутящего момента Mt=ttWp напря
жения тмакс в наиболее удаленных точках сечения достигнут пр<
дела текучести. Вследствие роста напряжений во всех точках, ле-
жащих ближе к оси, стержень сохранит способность воспринимать
возрастающий крутящий момент. С дальнейшим увеличением по
следнего рост напряжений приостанавливается в тех точках, где они
достигли предела текучести, в остальных же точках, образующих
так называемое упругое ядро, напряжения возрастают. Эпюра
напряжений, соответствующая этому состоянию стержня, приведена
на рис. 515, а. Упругое ядро Имеет радиус гь „
Когда пластическая зона охватит все сечение, несущая сп°с0
ность стержня будет исчерпана, так как в дальнейшем он буд
закручиваться без увеличения крутящего момента. Эпюра напря
со°т'
пр»
7 В ВИД6
„„ КОТОР0”
’ j я ве-
2ЯРSep*”*
относительно оси с* г
|ентарнь1'
ний при этом состоянии стержня изображена на рис. 515, б.
Вычислим величину предельного крутящего момента М,
ветствующего исчерпанию несущей способности стержня
Выделим в поперечном сечении элементарную площадку
кольца шириной dp (рис. 515, в). Величина площадки^на
действуют касательные напряжения тт, составит dF = ~
личина момента от этих напряжений
будет тт2лр2г/р.
Крутящий момент в сечении равен сумме всех элем1
моментов внутренних сил. Поэтому
www.vokb-Ia.spb.ru - СамолРг своими
КРУЧе -___________-_________________________________________ 553
£
2
Л1пр=тт2л $ p2dp,
о
ИЛИ
I — т 2^1
"Р-Тт 12 •
Величина
~ 1Ир(пл)
Л),
(19.24)
(19.25)
называется пластическим моментом сопротивления при кручении.
Тогда
(19.26)
Найдем отношение предельного момента Л1„р и момента Л4Т, при
т°ром в сечении впервые возникнут напряжения текучести:
Л1’==~~^- (19.27)
Подставив значения Wp (ПЛ)=яс?3/12 и — nd3/16, получим
4
(19.28)
Н-1И
М„ 4
Р==ТМТ = 1.33Мт.
554
Расчет конструкций по предельным
Таков скрытый запас работоспосок
ности круглого стержня, Обнару*
ваемый при переходе от расчета **'
допускаемым напряжениям к ра °
чету по предельному состоянию.
У скручиваемых стержней кодь
цевого поперечного сечения рас~
пределение напряжений в упруГод
стадии ближе к равномерному, по.
этому разница в запасах прочности
обнаруживаемая при расчете по
предельному состоянию и по до-
пускаемым напряжениям, будет мень-
шей.
В качестве примера рассмотрим
стержень круглого поперечного се
чения, концы которого жестко защемлены (рис. 516, а). В про
межуточном сечении стержня приложен закручивающий момент Мк.
Определим запас прочности при расчете по допускаемому напря-
жению и по предельному состоянию.
Расчет по допускаемому напряжению. Раскрываем статическую
неопределимость задачи при упругом состоянии материала. Обо-
значив реактивные моменты через МА и Мв, получим уравнение
равновесия в таком виде:
МА + МВ=МК. (19.30)
Деформации должны удовлетворять следующему условию:
(£ = (£, + <£„ = О,
или
МАа ___ Мк2а
GJP ~ GJP
(19.31)
Отсюда
М,-2М„. О’®
Решая совместно уравнения (19.30) и (19.32), найдем, что
мА=м1кг=^-мк-, MB = MllKf = ±-MK.
Эпюра крутящих моментов показана на рис. 516, б.
Наибольшие касательные напряжения будут на участке /•
ЛЬ-р _ МА __ 2М, _ 32ЛЦ
W„ W„ nd* 3 3nd3
3 16
www.vokb la-splMni - Самолёт своими
(19.33)
(19.34)
скручиваю-
ГдС.,рти^ кручении_____________________________________________555
Ведя расчет по допускаемым напряжениям, имеем
32М <fTijr_
Тмакс ЗлД’ J Пт
Отсюда запас прочности по пределу текучести
• Зш/31т
Тиакг 32
Расчет по предельному состоянию. При увеличении
щего момента наибольшие напряжения на первом участке достигнут
предела текучести и затем зона текучести будет распространяться
к оси стержня. Когда текучесть охватит все сечение, реактивный
момент МА достигнет своего предельного значения. Его величина
= («л) • (19.35)
или
лД3
Ми пр |2 (19.36)
Это состояние не будет предельным для всего стержня, так как
второй участок, находящийся в упругом или в упруго-пластическом
состоянии (с упругим ядром), сохранит способность оказывать
сопротивление возрастающему моменту Мк- Несущая способность
стержня исчерпается, когда и на втором участке зона пластич-
ности распространится по всему сечению. Реактивный момент Л4В
рри этом достигнет своего предельного значения
Мв„р = гтГр(пл), (19.37)
или
Мввр = тт~. (19.38)
Эпюра крутящих моментов в предельном состоянии стержня изо-
бражена на рис. 516, в.
Предельное значение скручивающего момента для всего стержня
аидем из условия равновесия (19.30):
Мк пр = Л1 .
F А пр I IVIВ пр>
Ил« с учетом выражений (18.36) и (18.38):
пр = Тг21£.
6 ‘
-j
апас прочности
= -М* „р ттлД3
М« ~ ’
•р
ЭаПасКИМ °бразом, расчет по предельному состоянию показал, что
прочности стержня значительно выше, чем тот, который дает
(19.39)
(19.40)
556
Расчет конструкций по предельным ск.
---------------------------
расчет по допускаемому напряжению [формула (19.34)]. Отц0|
ние этих запасов прочности ппр/пт=1,78. е'
Следует отметить, что расчеты по несущей способности впоч
приемлемы при действии постоянных крутящих моментов.
§ 124. Расчеты при изгибе
В поперечных сечениях балки при изгибе нормальные напряже
ния в упругом состоянии материала распределяются неравномерно
линейно изменяясь по высоте балки (рис. 517, а). Наибольшие нор’
мальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии
точках поперечного сечения определяются по формуле
_ М
Смаке—
При расчете на прочность по допускаемым напряжениям запас
прочности определяется как отношение предела текучести материала
к наибольшему напряжению. Этим самым за опасное принимается
состояние балки, соответствующее достижению наибольшими нор-
мальными напряжениями в опасных сечениях предела текучести.
Такое состояние лишь условно можно считать опасным. Балка еще
сохраняет способность воспринимать увеличивающийся изгибаю-
щий момент.
Определим величину предельного изгибающего момента в случае
чистого изгиба. Рассмотрим вначале балку, поперечные сечения ко
торой имеют две оси симметрии. Пределы текучести при растяжении
и сжатии будем считать одинаковыми.
После появления текучести в наиболее удаленных от нейтральной
оси точках сечения при дальнейшем увеличении изгибающего момен-
та пластическое состояние материала распространяется в направо
нии к нейтральной оси. До полного исчерпания несущей способ-
ности балки в ее поперечных сечениях будут две зоны — пласти-
ческая и упругая (рис. 517, б). Предельное состояние наступит, когда
текучесть распространится по всему поперечному сечению, так как
после этого дальнейшая деформация балки происходит без увели-
чения изгибающего момента. Эпюра нормальных напряжений в по^
перечном сечении для предельного состояния изображена
рис. 517, в. В рассматриваемом поперечном сечении образуется та
называемый пластический шарнир, который передает постояин
момент, равный предельному изгибающему моменту.
Предельный момент можно вычислить как сумму моментов
носительно нейтральной оси сил a^dF в поперечном сечении (рис. 51 >
МПр= CrydF = o^ \ ydF—oT2SKaKC,
г £
где 5макс — статический момент площади половины попер®*Ж
сечения относительно нейтральной оси.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
раСЧСы "Рн ”згибе
(19.43)
(19.45)
Опасная величина изгибающего момента при расчете по допус-
каемым напряжениям
Величину 25Макс принято называть пластическим моментом со-
противления и обозначать Wki. Тогда
Mnp = 0TU7na. (19.42)
Для прямоугольного поперечного сечения, имеющего ширину b
и высоту ft,
рис. 517
4
зона
Я=отЦ7.
Отношение
Mu__ Wk
м w (19.44)
характеризует степень увеличения запаса прочности балки при пере-
ходе к расчету по предельному состоянию. В случае балки прямо-
угольного сечения
. -
w Wi76~1,5-
Для двутавровых прокатных балок в среднем Wn„/ W = 1,18.
Ьсли сечение балки имеет только одну ось симметрии в плоскости
«агрузки (рис. 518) , то в предельном состоянии нейтральная ось
пройдет через центр тяжести поперечного сечения. Положение
на Т^альн°й оси определяется из равенства нулю суммы проекций
Ось балки всех сил crdF, распределенных по ее сечению:
rTar== J ordF+ \ (-oJdF=0,
T F,
гДе p
p' площадь растянутой зоны сечения;
0Тс площадь сжатой зоны.
юДа получаем
l'l~-P г\
2~~0, или F\ = F2,
т. е. в предельном состоянии нейтральная ось сечения должна де
лить его площадь пополам.
Предельный изгибающий момент
М„р= c^ydF— OrdyF-}- $ ( —От)( —t/)rf/7 В * *=oT(Sp4-SOK), (19.46)
F F, F2
где Sp — статический момент растянутой зоны сечения относитель
но нейтральной оси;
5СЖ - абсолютная величина статического момента сжатой зоны
сечения относительно той же оси.
В этом случае пластический момент сопротивления
№™ = SP + S™-
(19.47)
Приведенные рассуждения относительно определения предель-
ного состояния, эквивалентного образованию пластического шар-
нира в поперечном сечении балки, строго говоря, справедливы только
для чистого изгиба, когда нет касательных напряжений. Опреде
ление предельного состояния с учетом поперечной силы более слож
но. Этот вопрос здесь не выясняется.
Рассмотрим пример расчета балки на изгиб по допускаемым
пряжениям и по предельному состоянию без учета влияния попер
ной силы.
Балка прямоугольного поперечного сечения, защемленная^
концам, несет равномерно распределенную по длине нагрузку 11
сивности q (рис. 519, а). Определить наибольшую интенСИ&а11ря-
этой нагрузки, допустимую согласно расчету по допускаемым Jcf
жениям и по предельному состоянию при одном и том же
прочности п.
Расчет по допускаемым напряжениям. Балка статическ
пределима. Ее расчет существенно упрощается благодаР
це<>
сгм'
IMI1?
559
(19.48)
(19.50)
изгибе
трии. Используя методы гл. 14, легко находим лишние неизвест-
ме.е и строим эпюру изгибающих моментов (рис. 519, а). Наиболь-
нЬ значение изгибающий момент имеет в опорных защемленных
Illvt
сечениях:
]2
При увеличении нагрузки q максимальные напряжения в этих же
сечениях прежде всего достигнут предела текучести. Принимая
запас прочности по пределу текучести равным п, найдем наибольшую
допустимую интенсивность нагрузки из условия прочности:
. (19.49)
U’ ’ п
Учитывая, что W=bh2/6, a MMaKC=qil2/12, получаем
п От bh*
Расчет по предельному состоянию. После появления пластиче-
ских деформаций в наиболее удаленных от нейтральной оси точках
опорных сечений дальнейший рост нагрузки приведет к образованию
в этих сечениях пластических шарниров, а изгибающий момент
при этом достигнет предельного значения Л4пр. Теперь уже балка
работает как шарнирно опертая, к которой на опорах приложены
постоянные моменты (рис. 519, б)
Млр=отМ7пл = От^-. (19.51)
При дальнейшем росте нагрузки эти моменты сохраняют свое
значение и задача становится статически определимой. В пролет-
ных сечениях величины изгибающих моментов будут возрастать,
пока посредине пролета момент не станет равным той же величине
Мир, т. е. пока не образуется пластический шарнир. При этом три
пластических шарнира расположатся на одной прямой, поэтому
дальнейший рост нагрузки невозможен. Несущая способность балки
исчерпается.
Условие равенства изгибающих моментов в опорных сечениях и
°сРедине пролета имеет вид
8 Л4пр — Л4Пр,
ТкУда находим, что
Ш * (19.53)
Приравнивая правые части формул (19.51) и (19.53), найдем:
Ч^4О
/2 '
(19.52)
(19.54)
560
Расчет конструкций по предельным состоя.
Принимая запас прочности равным п, получим наибольш
допустимую интенсивность нагрузки:
<7чр . От bh2 I Я
09.55)
Отношение наибольших допустимых нагрузок при расчетах
предельному состоянию и по допускаемым напряжениям 0
^-=2.
Расчет по предельным состояниям часто позволяет вскрыть до.
волнительные резервы прочности. Как указывалось выше, он полу-
чил широкое распространение при расчете строительных конструк-
ций и находит все большее применение в машиностроении. Однако
этот метод не следует считать универсальным, полностью заменяю-
щим расчет по допускаемым напряжениям.
Расчет по предельному состоянию с определенным запасом проч-
ности не гарантирует от появления местных пластических дефор-
маций. Последнее еще допустимо при постоянных нагрузках, кото-
рые имеют место преимущественно в строительных конструкциях.
При переменных нагрузках, на которые чаще всего приходится рас-
считывать машиностроительные конструкции, появление пласта
ческих деформаций во многих случаях недопустимо. Поэтому в та-
ких случаях следует вести расчет по допускаемым напряжениям.
Глава 20
Устойчивость сжатых стержней
§ 125. Устойчивое и неустойчивое
упругое равновесие
Проводя расчеты на прочность и жесткость при различных Де
формациях, мы полагали, что во время деформации любой систем
имеет место единственная заранее известная форма равновес
В действительности же в деформированном состоянии равнов
между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упруг0
может быть не только устойчивым, но и неустойчивым. .
Упругое равновесие будет устойчивым, если деформир°ва“
тело при любом малом отклонении от состояния равновесия *
мится возвратиться к первоначальному состоянию и возврату
к нему после удаления внешнего воздействия, нарушившего
начальное равновесное состояние. Упругое равновесие неуст01'
если деформированное тело, будучи выведено из него какИ^ а'тЬся
воздействием, приобретает стремление продолжать деформиро^^
в направлении данного ему отклонения и после удаления
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
561
ив°е и неустойчивое упругое равновесие
в исходное состояние не воз-
Гоа^ется. Между этими двумя се-
вра йМИ равновесия существует
СТ° ходное состояние, называемое
Этическим, при котором деформи-
^ваиное тело находится в безраз-
чном равновесии: оно может со-
хранить первоначально приданную
MV форму. н0 может и потерять
от самого незначительного воз-
действия.
Устойчивость формы равновесия
деформированного тела зависит от р
величины приложенных к нему на- ис~__________________________
грузок. Например, если силы, сжи-
мающие стержень, невелики, то первоначальная форма равновесия
остается устойчивой (рис. 520, а). При возрастании величин при-
ложенных сил достигается состояние безразличного равновесия,
при котором наряду с прямолинейной формой стержня возможны
смежные с ней слегка искривленные формы равновесия (штриховые
линии на рис. 520, б). При-дальнейшем самом незначительном уве-
личении нагрузки характер деформации стержня резко меняется —
стержень выпучивается (рис. 520, в), прямолинейная форма равно-
весия перестает быть устойчивой. Это означает, что нагрузки пре-
высили критическое значение.
Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости
первоначальной формы тела, называется критической и обозна-
чается через Ркр.
Можно утверждать, что достижение нагрузками критических
значений равносильно разрушению конструкции, так как неустой-
чивая форма равновесия неминуемо будет утрачена, что связано с
практически неограниченным ростом деформаций и напряжений.
Особая опасность разрушения вследствие потери устойчивости за-
ключается в том, что обычно она происходит внезапно и при низких
качениях напряжений, когда прочность элемента еще далеко не
исчерпана.
, До момента наступления критического состояния упругие де-
Рмации по величине весьма незначительны и нарастание их про-
кри°Дит П0чти незаметно для глаза. Но с момента наступления
фоп н,Ческого состояния до момента разрушения остаточные де-
прин Дии наРастают крайне быстро, и практически нет времени
°бРазТЬ меРы п0 предотвращению грозящей катастрофы. Таким
Аобц'-°М’ ПРИ РаСчете на устойчивость критическая нагрузка по-
ОпРел РазРУшающей при расчете на прочность. Для обеспечения
Рнл(-)Реленного запаса устойчивости необходимо, чтобы удовлетво-
ь Условие
(20.1)
562 Устойчивость сжаты»
-----------------------------------------------------—
Здесь
(20.2
где Р — действующая нагрузка;
пу — коэффициент запаса устойчивости.
Следовательно, чтобы рассчитывать сжатые стержни на уст |
чивость, необходимо изучить способы определения критических и-*
грузок Ркр. d'
Из всего многообразия расчетов на устойчивость упругих систем
подробно рассмотрим лишь случай потери устойчивости при еж
длинного тонкого стержня, или так называемый продольный изгиС
§ 126. Формула Эйлера для определения
критической силы сжатого стержня
Предположим, что под действием силы Р, величина которой н
сколько превышает критическую силу Ркр, стержень с шарнир
закрепленными концами (рис. 521, а) слегка изогнулся (рис. 521,6)
Отнесем искривленную ось стержня к прямоугольной системе коо
динат, выбрав начало координат в точке О.
Предположим, что критическая сила Ркр не вызывает в стержь
напряжений, превышающих предел пропорциональности, и что ра-.
сматриваются только малые отклонения от прямолинейной форм
Тогда для определения критической силы можно воспользоватьг
приближенным дифференциальным уравнением (10.44) упруго
линии:
Е/мин-^#=±М(х). (20-3)
ах
Здесь /мии наименьший момент инерции сечения стержня.
В расчет принимается наименьшая жесткость стержня EJw*
так как очевидно, что прогиб произойдет перпендикулярно к о*
наименьшей жесткости, если остальные условия для изгиба во
плоскостях одинаковы, как в рассматриваемом случае.
В отличие от поперечного изгиба при продольном в правой ча
этого уравнения следует ставить знак «минус», так как абсолют
величина изгибающего момента
|М (х)| = |Рш|, *20'
а знак прогиба всегда противоположен знаку второй nPOH3B°^ go-
т. е. знаки момента М (л) и второй производной d?w/dx пр
положны при любом направлении w.
Подставив в уравнение (20.3) выражение (20.4) для изги
щего момента, получим
EJ
ь J МИМ ^2 /СК/,
www.vokb-la.spb.ru Самолёт своими
jyia Эйлера Д'Ля определения критической силы сжатого стержня
563
(20.6)
(20.7)
(20.8)
„ _ —— w — 0.
f/мин
О'
Введя обозначение
_р_=/г2,
перепишем уравнение (20.6) так:
d^_x-k2w=0.
dx2
Мы получили однородное линейное дифференциальное уравне-
ние, общий интеграл которого, как известно, представляется гар-
монической функцией
W=A sin kx-\-B cos kx. (20.9)
Постоянные интегрирования А и В должны быть подобраны так,
чтобы удовлетворять граничные условия
®(х)|х=с = 0; w(%)|x=/ = 0.
Из первого граничного условия следует, что В=0, т. е.
I ш(х)=Л sin kx. (20.10)
I Из второго условия получаем
71sin£/ = 0. (20.11)
Если допустить, что А=0, то прогиб будет тождественно равен
нулю, т. е.
ги(х)=О.
с Это решение соответствует одной из возможных форм равновесия
сжаТ0Г0 стержня, а именно — прямолинейной форме. Нас же инте-
ресует значение силы Р, при которой становится возможной другая
форма равновесия — криволинейная. Так как /1=7^0, то при искрив-
ленной форме стержня должно выполняться равенство
sin fe/=o.
корень этого уравнения kl может иметь бесконечное множество зна-
Чен«й: 0, л, 2л, .... ил, т. е.
^=пл,
। п
— произвольное целое число.
ствиднако пеРвь1Й корень /г/=0 отпадает, так как он не соответ-
Ует исходным данным задачи. Таким образом,
k р__2 9
т Л2. (20.12)
гАа из уравнения (20.7) получим выражение для сжимающей силы:
(20.13)
564
______________________________Устойчивость сжатых стержЛ
Эйлер Леонард (1707—1783), академик Петерб\пг 1
академии наук, великий математик, механик, физик
астроном. Научные интересы Эйлера относились кп » "
основным областям естествознания, к которым можно б
применить математические методы. Написал трактат
механике, в котором впервые изложил динамику точки"”
помощью математического анализа и ввел понятие сщ
инерции. Развивая вариационное исчисление, исслечоват
формы кривых, которые принимает тонкий гибкий стер
жеиь при различных условиях его загружения, дал вывщ
формулы для критической нагрузки сжатого стержня
Разрабатывал проблему поперечных колебаний стержней
Труды Эйлера оказали большое влияние на развитие ма-
тематики и механики второй половины XVIII и начала
XIX в.
Уравнение (20.13) представляет собой формулу, впервые полу
ценную Эйлером.
Практически нас интересует наименьшее значение продольной
сжимающей силы, при котором становится возможным продольный
изгиб. Наименьшее значение критической силы Ркр получим при
П = 1 и kl = 3l'. I
П П^Е/ыцн
Гкр— —р
(20.14)
Возвращаясь к уравнениям (20.10) и (20.12), получим уравнение
изогнутой оси стержня при малых деформациях:
w (х)==Л sin —.
Наибольший прогиб стержня wMaKC=f при sin (плх//)=1. Тогда
w (x) = wMaKc=f—А. Следовательно, уравнение упругой линии сжа-
того стержня имеет вид “
г . ппх
w—f sin ——.
(20.15)
График этой зависимости показан на рис. 522.
Максимум w имеет место при таком значении х, для которое
-^=0,
dx
dw х пп „ плх п .. _nnx п
т. е. ———f—— cos——=0, или cos——=0.
dx ' I I I
naBeH
Наименьшее значение аргумента, при котором косинус р
нулю, будет л/2, значит плх//=л/2, откуда
_ I (20-1^
27’
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолет
Если п = 1, то х=1/2, а максимум w имеет место посредине
стержня, что соответствует так называемому основному случаю,
показанному на рис. 521.
Из соотношения (20.16) или из уравнения (20.15) и рис. 523
следует, что п представляет собой число полуволн синусоиды, рас-
полагающихся на длине изогнутого стержня.
§ 127. Влияние условий закрепления
концов стержня на величину
критической силы
в§ 126 рассмотрен так называемый основной случай нагружения
и закрепления концов сжатого стержня — стержня с шарнирно опер-
тыми концами. Как было показано, после потери устойчивости на
Длине стержня укладывается только одна полуволна (п=1).
Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня:
Стержень длиной / заделан одним концом и сжат продольной
силой, приложенной к свободному концу (рис. 524, а). Сравнивая
^с- 524, а и б, видим, что изогнутая ось стержня, заделанного
Ним концом, находится в таких же условиях, как и верхняя поло-
а стержня длиной 21 с шарнирно закрепленными концами. Таким
ги^' кРитическая сила для стержня с одним заделанным, а дру-
Ог, свободным концом такая же, как и для стержня с шарнирно
^Ртыми концами при длине 1 = 2/, т. е.
(2/)! ~ 4/2
| л2£7,ян
При ЭТо
nOjlv °м изогнутая ось стержня (рис. 524, а) имеет вид половины
ув°лны синусоиды.
(20.17)
2. Стержень длиной /, у которого оба конца жестко заделаны
(рис. 525). После потери устойчивости стержня вследствие симмет
рии средняя его часть длиной Z/2 работает в тех же условиях, что и
стержень при шарнирно опертых концах. При этом образуются дрр
полуволны: средняя длиной Т = //2 и две крайние половинки пол-
волны длиной 1/2.
Критическую силу в этом случае находим из уравнения (20.14)
при L—1/2-.
Ркр = _ (20.18)
3. Стержень длиной I заделан одним концом и шарнирно оперт
на другом (рис. 526). После потери устойчивости правая часть СВ
стержня имеет вид полуволны синусоиды. Из сравнения рис. 526 и
524, б находим, что участок СВ длиной L = G,ll находится в таких же
условиях, как и стержень с шарнирно закрепленными концами
Значит,
(20.19)
yj ______ Л г£7мин
кр— (0,7/)2 3
Соотношения (20.14), (20.17) — (20.19) можно объединить в
одну формулу
(20.20)
р n2EJ МНИ
где v/=/np — приведенная длина стержня;
I — фактическая длина стержня;
v — коэффициент приведения длины. ।
Таким образом, различные случаи опирания и нагружения
ня приводятся к основному случаю введением в формулу р«н-
так называемой приведенной длины /np = v/. Это понятие в
было введено Ф. С. Ясинским.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
567
,гловий закрепления концов стержия на величину критической силы
-----------------------------------------------
гл3 формулы Эйлера (20.20) видно, что критическая нагрузка
гит от наименьшей жесткости EJMm, длины стержня I и коэф-
зави^*1 _
^И1р]аНрис. 527 приведены значения v для рассмотренных стержней.
ко такие расчетные схемы на практике редко встречаются в
стом виде. Чаще закрепления концов бывают упругими. Наиболее
чИспространены следующие случаи упругого закрепления концов:
Ра а) один конец стержня жестко заделан, а другой упруго оперт;
б) оба конца упруго заделаны.
рассмотрим первый случай (рис. 528). После потери устойчи-
вости упруго опертый конец стойки перемещается в вертикальном
направлении на величину fB; при этом возникает упругая реакция
Эта реакция пропорциональна отклонению fB:
RB=cfe’
где с — коэффициент упругости опоры В.
Составим дифференциальное уравнение упругой линии сжатого
стержня после потери устойчивости:
£7Мив $= ЫР(1в - w)-cfB (1-х). (20.21)
Разделив почленно на Е1ыт и обозначив, как обычно,
Р ч» — Ь2
получим
^k*(fB-W)—-^-(1-х),
ИЛИ
568
Устойчивость сжатых ст
~—эзя
Общий интеграл этого дифференциального уравнения
w = C sin kx-\-D cos kx+fp ^1
*кр / < кр
Для определения постоянных интегрирования
нагрузки имеем такие граничные условия:
при х=0
w (0)= wA = 0;
~=0(О)=6„ = О;
при х=/
(20.23)
критической
(20.24)
(20.25)
И
(20.26)
Используя граничное условие (20.-24), из уравнения (20.23)
находим
Чтобы применить граничное условие (20.25), вычислим произвол
ную от перемещения w.
^-=kC cos kx — kD sin kx-\--£— fB ,
их Гкр
откуда при x=0 находим
Г кр
или
Подставив полученные выражения для произвольных постоян
ных в формулу (20.23), получим окончательное уравнение изогну
той оси сжатого стержня:
" <*>“ sin ‘*-4’ ')“s ь+/« (‘ —к')+
+ ^х. <2йг”
/кр
Граничное условие (20.26) используем, чтобы получить опр^
ляющее уравнение для нахождения критической нагрузки. Поло
в уравнении (20.27) х — 1, находим, что
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
„словно закрепления концов стержня на величину критической силы
рлИЯ1^__-----------------------------------------------------------
569
ИЛИ
sin kl
kPf-V
откуДа
с
p*f>
cos kl=Q,
(20.28)
Если это уравнение решить, т. е. определить наименьший ко-
рень k, то тем самым можно найти значение критической нагрузки,
так как
k*EJ МИИ*
Рассмотрим два предельных случая. Положив с=0, получим
tg/,/=«>, т. е. Л/=у-,
и приходим к такой расчетной схеме стержня, когда один конец
(левый) - жестко заделан, а другой (правый) свободен. Величина
критической силы
D 2EJ мин _ лг£/ МИН
Гкр— (2/ji 4/2 •
Положив с = оо (очень жесткая опора), получим определяющее
уравнение
tgW=W; т. е. k/=4,493=-^-.
Величина критической силы
Р — мни
'₽—W’
что дает формулу для стержня, один ко,нец которого заделан, а дру-
гой шарнирно оперт.
Таким образом, если коэффициент упругости опоры с меняется
от нуля до бесконечности, то это можно учесть коэффициентом при-
БсДения v, который при этом соответственно изменяется от 2 до 0,7.
$ 128. Понятие о потере устойчивости
Ри напряжениях, превышающих предел
Р°порцИональности
н0г0ВЫВОд Ф°РМУДЬ1 Эйлера основан на применении дифференциаль-
мУлойРаВНения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой фор-
ПокаИ мо«но лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е.
Uteg кРитическое напряжение (напряжение сжатия, соответствую-
Ритической силе) не превышает предела пропорциональности:
°ПЦ. (20.29)
570
Устойчивость сжатых г»
------------------ ер>*не
Ясинский Феликс Станиславович (1856 —1899), прОфе
известный русский ученый в области устойчивости с
ней и стержневых систем. Исследовал точное рещ 4
дифференциального уравнения продольного изгиба
_ d» вв
понятие «приведенной» длины стержня. Ему также
надлежит глубокие исследования по оптимизации про^"
ных профилей и теории пространственных ферм
Действительно, если прямолинейная форма стержня остается
устойчивой и при напряжениях, превышающих предел пропорцио-
нальности, то дифференциальное уравнение (20.3), предполагаю-
щее справедливость закона Гука, уже непригодно.
Выведем формулу для критического напряжения окр. В соответ-
ствии с выражениями (20.29) и (20.20)
_ _ Ркр _ _ л‘Е
кр F Flylf ( у/ J
Здесь г2=«мин =/мин/Т — квадрат наименьшего из главных радиусов
инерции стержня;
£=F6p— площадь брутто поперечного сечения
стержня.
Введя безразмерную величину
(20.30)
(20.31)
называемую гибкостью стержня, окончательно получим
л2£
G кр ^2
(20.32)
т. е. критическое напряжение стержня зависит только от упРУ
свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня (
Функциональная зависимость (20.32) представляет собой в
изменение формулы Эйлера. В системе координат окр — э’1а '
симость может быть представлена гиперболической кривой, g
ваемой гиперболой Эйлера. В качестве примера приведем V .
график (рис. 529) для стержня из стали марки СтЗ, для
модуль упругости £=2,1 • IО5 МПа, предел текучести <Тт=™и
а предел пропорциональности олц = 200 МПа. График поКа3^ецн
что по мере возрастания гибкости стержня критическое наПРя3^ос
стремится к нулю, и наоборот, по мере приближения гЯноСт^
стержня к нулю критическое напряжение стремится к бесконе
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
571
о потере устойчивости
пон^2_—-— -------------
Однако из условия (20.29) применимости формулы Эйлера в
ответствии с формулой (20.32) имеем
л2£ Со
-------^=: °ПЦ»
бкр-~ К
и> следовательно,
<20-33>
Значит формула Эйлера становится непригодной при гибкости
стержня, меньшей предельного значения Z,ipen, зависящего только
от свойств материала, т. е. в рассматриваемом случае при
100.
__ I 3,14g-2,l • 10s
Х<Хпред у 200
То же можно получить и графически. Если на оси ординат (окр)
отложить величину предела пропорциональности (о,щ = 200 МПа)
и провести из полученной точки К прямую, параллельную оси
абсцисс, то она в пересечении с гиперболой Эйлера даст точку М,
абсцисса которой и есть Znpc/;. Слева от точки М гипербола Эйлера
показана штриховой линией, так как здесь она дает значения на-
пряжений, большие предела пропорциональности, т. е. не соответ-
ствующие условиям ее применимости.
Однако явление продольного изгиба продолжает существовать
и за пределом упругости. Опытным путем установлено, что дей-
ствительные критические напряжения для стержней средней и малой
гибкости (Х<Хцред) ниже значений, определенных по формуле Эй-
лера. Таким образом, в этом случае формула Эйлера дает завышен-
ные значения критической силы, т. е. всегда переоценивает дей-
ствительную устойчивость стержня. Поэтому использование форму-
ы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом
Упругости, не только принципиально неправильно, но и крайне опас-
но по своим последствиям.
1 еоретическое решение задачи об устойчивости за пределом про-
порциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпири-
ескими формулами, полученными в результате обработки большого
оличества опытных данных.
По С. Ясинский собрал и обработал обширный опытный материал
че[ПР°ДОЛьн°мУ изгибУ стержней, в результате
Ний СОставил таблицу критических напряже-
тер в зависимости от гибкости для ряда ма-
фовЛЛОв и предложил простую эмпирическую
)НецИ"ЛУ для вычисления критических напря-
J^3a пределом пропорциональности:
а— Нк.
(20.34)
РЬ1х'1^!Ия коэффициентов а и b для некото-
атериалов даны в табл. 21.
«Л • -|
Щ00
100
О
Рис. 529
Т
---д
V 5
50 100 150Л
572
Устойчивость сжатых гт.
——----------—------_геР>кн.
Для чугуна пользуются параболической зависимостью
окр=а — 6Л4-с12,
(20.35)
где с = 0,53.
Таблица 21
Материал ° 1
МПа
Ст2, СтЗ 100 310 1,14
Ст5 . . 100 464 3,26
Сталь 40 90 321 1,16
Кремнистая сталь 100 589 3,82
Дерево (сосна) НО 29,3 0,194
Чугун . 80 776 12,00
По этим данным для каждого материала при 0<Х<ХП()ед можно
построить график зависимости критических напряжений от гибкости
стержня.
При некотором значении гибкости (обозначим его Хо) величина
окр, вычисленная по формуле (20.34) или (20.35), становится равной
предельному напряжению при сжатии, а именно: для пластичных
материалов
ОКр — От,
а для хрупких материалов
окр = ов. (20.36)
Стержни, у которых 1<Ло, называют стержнями малой гиб-
кости. Их рассчитывают только на прочность.
В рассматриваемом примере (рис. 529) часть графика критиче-
ских напряжений за пределом пропорциональности (при 40<Х<
< 100) представит собой слегка наклоненную прямую SM, а часть
(при 0<Л<40) — горизонтальную линию NS. Следовательно,
график oKp=f(A) для стали СтЗ состоит из трех частей: гипербол
Эйлера при 100, наклонной прямой при 40<Х<100 и почт
горизонтальной прямой при Z<40. Наклонная прямая SM соОГ(
ветствует напряжениям между пределом пропорциональности
пределом текучести. Горизонтальная прямая SN соответст .
напряжению, равному пределу текучести.
mvw.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
573
р<^гына устойчнвость________________________
129. Расчеты на устойчивость
пи помощи коэффициентов уменьшения
основного допускаемого напряжения
Можно считать, что центрально сжатые стержни теряют свою
„сущую способность от потери устойчивости раньше, чем от потери
прочности, так как критическое напряжение всегда меньше предела
текучести или предела прочности:
где 0° = <jT — для пластичных материалов;
0°=ов — Для хрупких материалов.
Необходимо напомнить, что для стержней малой гибкости (Л<
<Ло) трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолиней-
ной формы стержня, как это имеет место для стержней средней и
большой гибкости. Несущая способность стержней малой гибкости
определяется прочностью материала.
Критическое напряжение для центрально сжатых стержней сред-
ней и большой гибкости представляет, пожалуй, большую опасность,
чем предел текучести для пластичных материалов или предел проч-
ности для хрупких материалов при простом растяжении. Очевидно,
что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня
нельзя допустить возникновения в нем критического напряжения,
а следует принять соответствующий запас устойчивости.
Чтобы получить допускаемое напряжение на устойчивость, нуж-
но выбрать коэффициент запаса пу. Тогда
(20.37)
Коэффициент запаса на устойчивость всегда принимают несколь-
ко больше основного коэффициента запаса на прочность (ну>п).
То делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд об-
Тоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения
/кимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня),
дЛсобствУют продольному изгибу, в то время как при других видах
^Формации эти обстоятельства почти не сказываются. Коэффициент
Чу аса Устойчивости для сталей выбирают в пределах 1,8—3,0; для
чТо^1а — в пределах 5,0—5,5; для дерева — 2,8 ... 3,2. Заметим,
Меньшие значения пу принимают при большей гибкости.
кае^ОГ1УСкаемое напряжение на устойчивость [о]у = окр/ну и допус-
св^06 напряжение на прочность при сжатии [о_]~о°/п взаимно
аны. Составим их отношение:
i
1 или
— [о_].
0° n, J
(20.38)
574
Устойчивость сжатых Ст1
Обозначив
Ркр п
<5° Лу
<Р.
получим
i I (20.3SJ
Здесь ф — коэффициент уменьшения основного Допускаемог
напряжения при расчете на устойчивость. Этот коэффициент д
каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости
и представить в виде таблицы или графика зависимости ф от В
Значения коэффициента ф для сталей, чугуна и дерева приведены
в табл. 22. Пользуясь аналогичными таблицами, можно достаточно
просто рассчитывать стержни на устойчивость.
Таблица 22
Гибкость. А. Коэффициент ф Г ибкость. Коэффициент ф
Ст2. СтЗ, Ст4 Ст5 Чугун Дерево Ст2, СтЗ, Ст4 Ст5 Чугуи Дерево
0 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,98 0,97 0,99 но 0,52 0,43 0.25
20 0,96 0,95 0,91 0,97 120 0,45 0,36 -— 0,22
30 0,94 0,92 0,81 0,93 130 0,40 0,33 — 0,18
40 0,92 0,89 0,69 0,87 140 0,36 0,29 — 0,16
50 0,89 0,86 0,57 0,80 150 0,32 0,26 0,14
60 0,86 0,82 0,44 0,71 160 0,29 0,24 -_ 0,12
70 0,81 0,76 0,34 0,60 170 0,26 0,21 — 0,11
80 0,75 0,70 0,26 0,48 180 0,23 0,19 — 0,10
90 0,69 0,62 0,20 0,38 190 0,21 0,17 — 0,09
100 0,60 0,51 0,16 0,31 200 0,19 0,16 — 0,08
Составим условие устойчивости сжатых стержней:
о <|<.|, I20*
Так как
о = ~а [о]у = ф[о ],
л бр
то условие устойчивости принимает вид
N , (20-41)
о-=—<ф[о_].
Г6р
При расчете на устойчивость местные ослабления сечения п^сч£
чести не изменяют величину критической силы, поэтому в
ные формулы вводится полная площадь Др поперечного ,.,
Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых
ней -- проверочный и проектировочный.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
575
иа устойчивость
Проверочный расчет сжатых стержней. Порядок проверочного
рта на устойчивость при использовании таблицы коэффициен-
РлвЧ<Г следующий:
т° исходя из известных размеров и формы поперечного сечения,
деляем наименьший осевой момент инерции /мии, площадь F6p,
°пРисл'яем минимальный радиус инерции
1«и«
7 МИН
ГбР
и гибкость
_yl .
|'мкн
2) по таблице находим коэффициент <р и вычисляем допускаемое
напряжение на устойчивость по формуле
|0|у.=ф[о_];
3) сравниваем действительное напряжение а = Р/F6p с допускае-
мым напряжением [оу] на устойчивость:
о<[о]у
Пример 77. Проверить на устойчивость сжатую деревянную колонну
(рис. 530) квадратного поперечного сечения (а = 15 см) длиной 1=5 м, если
основное допускаемое напряжение МПа, а сжимающая сила Р=
= 100 кН
Определяем следующие величины:
площадь —
f=as=225 см* 1 2 * ч;
момент инерции —
а4 154
/=-|2-=-^-см4 = 4210 см’;
радиус инерции —
1~ ~у -р- — —-—=4,34 см;
F /12
приведенную длину —
/n₽==v/ = 0,7/ = 0,7.5 м=3,5 м=350 см;
Гибкость —
W
У
350
‘ 4,34 ~80’6-
П° табл. 22 интерполяцией находим, что
ч’г=0 48— 0,38 „
’ е-----------— 0,6 = 0,474.
Рис. 530
10
Устойчивость сжатыу .
СТерМ!Ней
576
Тогда
|с]у = <р|о ]—0,474-10,0 = 4,74 МПа;
Р 100-10 3
°=-f=-22g.l0 < МПа = 4'44 МПа-
Так как о =4,44 МПа<4,74 МПа, то устойчивость колонны обеспе
ч®на
Проектировочный расчет. В расчетной формуле на устойчив
Р ^-Г 1 г = Р
О —-----О , ИЛИ Гбо^-----------, /ол .
<pF6p <р |«| (20-42)
имеются две неизвестные величины — коэффициент ф и иском
площадь брутто Ffip поперечного сечения. Поэтому при подбое”
сечений приходится пользоваться методом последовательных при
ближений, варьируя величину коэффициента ф. Обычно в первой
попытке берут ф| =0,54-0,6. Принимая какое-либо из этих значе-
ний ф|, определяют требуемую площадь Е6р и подбирают сечение
Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое
значение ф(. Если ф( значительно отличается от фЬ то и напряжение
отличается от допускаемого. Тогда следует повторить расчет, т. е.
сделать вторую попытку, приняв среднее по величине значение
между ф| и ф':
<pi + ч-Г
2
ф2
(20.43)
В результате второй попытки устанавливают ф£. Если требуется
третья попытка, то
ф3==ф£±Ч1
и т. д. Обычно при подборе сечений требуется не более двух-тре*
попыток.
Пример 78. Подобрать по сортаменту двутавровое поперечны’
стержня длиной 5 м. находящегося под действием центральной
нагрузки 320 кН. Оба конца стержня защемлены. Материал — СтЗ-
допускаемое напряжение |<т ]=160 МПа.
Определяем расчетную длину стержня:
Znp = vZ=0,5-500 см = 250 см.
Подбираем поперечное сечение путем последовательных приближении^^
Первая попытка: принимаем <pi =0,5; требуемая плошадь
сечения
Р
4>|о 1
0,5-1.6-10^ M° = 4-‘° 3 м2 = 40см2'
5V4V^V.Vol*b-lii.Spb.11
577
на устойчивость
<р( =0,69
По сортаменту подбираем двутавр № 27 с площадью F=40,2 см2 и минималь-
ным радиусом инерции =2,54 см. Гибкость стержня
. /пе 250 — gg 5
2,54 9Ъ,&-
По табл. 22 при линейной интерполяции
0,69 — 0,60 ПА1Л.^
----—----8,5=0,614 ф>1 =0,5.
ГТ « 0,5 + 0.614 п,„
Перейдем ко второму приближению, приняв ф2=--------g-----«0,557.
Необходимая площадь поперечного сечения стержня
320
^0,557^--10^-М^-3-6'10'3 М -36
По сортаменту подбираем двутавр № 24а с площадью F=37,5 см2 и минималь-
ным радиусом инерции /„„„=iy=2,63 см. Гибкость стержня
^МИН
-250—95
2.63 ~95'
По табл. 22 находим коэффициент
$=0,69 - 0,69 7~0,60 5 =0,645 »<р2 = 0,557.
Переходим к третьему приближению, приняв
0,557 + 0,645
фз=------2-------~ 0,60.
Вычисляем необходимую площадь:
320
Г=--------—---— м2 = 3,33-10-3 м2=33,3 см2.
0,60-1,6-10s о
По сортаменту подбираем двутавр № 24 с площадью F=34,8 см2 и минималь-
ным радиусом инерции 1яви=г,=2,37 см. Гибкость стержня
f-"P — 250 — Ю5
«„„„ 2,37
Для Л = 105 коэффициент
<Р=0,60 — °-60770'52 5=0,56. * I
10
Вычисляем напряжение:
Р 320-10 ,3
————— МПа=164 МПа.
0,56-34.8-10 4
Перенапряжение составляет
160 /0~ ’ /0
Окончательно принимаем для стержня двутавр № 24.
I
578
Устойчивость сжатых стер
§ 130. О выборе материала и рациональных форм
поперечных сечений
для сжатых стержней
Для стержней большой гибкости (Х^2.пред), когда критически
напряжения не превышают предела пропорциональности материи'
ла, модуль упругости Е является единственной механической ха
рактеристикой, определяющей сопротивляемость стержня потеХ
устойчивости. В этом случае нецелесообразно применять сталь по
вышенной прочности, так как модули Е для различных сталей прак.
тически одинаковы.
Для стержней малой гибкости применение специальных высоко-
сортных сталей целесообразно, так как в этом случае повышение
предела текучести стали увеличивает критические напряжения
а следовательно, и запас устойчивости.
С экономической точки зрения наиболее рациональна такая фор-
ма поперечного сечения стержня, при которой величина наимень-
шего радиуса инерции при определенной площади является наи-
большей. Для удобства сравнения различных сечений введем без
размерную характеристику
*мнн
которую можно назвать удельным радиусом инерции. Ниже приве
дсны значения § для некоторых сечений: Е
Трубчатое сечение (а1 =0,95 4-0,8) 2,25 1,04
Трубчатое сечение (а =0,74-0,8) . 1,2 1,00
Уголок . 0,5 —0,3
Двутавр 0,41 0,27
Швеллер 0,41 —0,29
Квадрат 0,289
Крут 0,283
Прямоугольник (h = 2b) 0,204
d„'
Анализ данных показывает, что наиболее рациональны трУ
чатые тонкостенные сечения. Столь же рациональны и коробчат
тонкостенные сечения. Однако следует заметить, что при п1)О<*,0
ровании тонкостенных трубчатых и коробчатых сечений необход
предусматривать постановку диафрагм (ребер жесткости) на or
деленных расстояниях по длине стержня. Эти диафрагмы пр
ствуют появлению местных деформаций (короблений стенок) -
именее рациональны сплошные прямоугольные сечения.
При расчете сжатых стержней на устойчивость следует стр^л
ться к тому, чтобы они были равноустойчивыми во всех на,1РвцУ<
ниях. Для этого проектировать сечения надо так, чтобы гЛ
www.vokb-Ia.spb.ni - Самолет
„ материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней 579
Oj>^£££.----- -------------------------------------------------------
енты инерции были по возможности одинаковыми. Трубчатые
{1иЯ рациональны и с этой точки зрения. Этому критерию удовле-
сеЧрЯЮт также квадратные и круглые сечения. Нерационально
тВ°менять двутавровые сечения и сечения в виде прямоугольника.
пРИ0днак° если приведенные длины в главных плоскостях различны,
и главные моменты инерции также следует проектировать разны-
т° с теМ чтобы величины гибкостей стержня в обеих главных плос-
" стих были одинаковыми или хотя бы близкими между собой.
Р и не удается сделать гибкости одинаковыми, то расчет следует
ести по максимальной гибкости.
g 131. Продольно-поперечный изгиб
Изгиб прямого бруса называется продольно-поперечным, если
в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты как от
продольных, так и от поперечных нагрузок (рис. 531). При расчете
на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечных
сечениях вычисляют с учетом прогибов оси бруса:
|Mn| = |M| + ISw.,|, (20.44)
где М> полный изгибающий момент;
М момент от поперечной нагрузки;
Stwn - дополнительный изгибающий момент от действия осевой
силы S.
Вычисление полного изгибающего момента М„ осложняется тем,
что в данном случае принцип независимости действия сил неприме-
ним. Действительно, полный прогиб w„ можно рассматривать со-
стоящим из прогиба w, возникающего от действия одной только
поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба ш„— w, вызван-
ного силой S. Совершенно очевидно, что если осевые силы сжимаю-
щие, полный прогиб больше прогиба от одной только поперечной
нагрузки.
Точный способ расчета. Рассмотрим точный метод определения
величины изгибающего момента М„. Пусть на консольную балку
Рис. 532) действуют сжимающая сила S и поперечные нагрузки:
Рис. 532
580
Устойчивость сжатых с,
'1н
момент Мо и сила Ро, приложенные на свободном конце, coBnan»J
щем с началом координат. ’*'
В этом случае дифференциальное уравнение (10.44) упруГо^
нии запишется так:
d2w„(x) _ М„(х)
dx2~-~EJ~' (20.45)
где М„ (х) — полный изгибающий момент в произвольном сеч. и
балки.
При составлении выражения Мп (х), подставляемого в прав
часть уравнения (20.45), для изгибающих моментов, вызванных ,
перечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков
момент от сжимающей силы S записывается со знаком «минус», j
как d^w/dx1- и w всегда имеют противоположные знаки. Для naiuei
случая выражение (20.44) нужно представить так:
Мп (х)=М (х)— 5аул=Мо + Л>х+5 (к>о— wn). (20.46)
Продифференцировав выражение (20.46) по х дважды, получим
(20.47)
dx2 dx‘
Подставив сюда выражение для dfwtjdx2 из уравнения (20.45
запишем
(20.48)
(20.49)
d2M„ (х) _<• М„ (х)
dx2 EJ
Введя обозначение
_3_-
EJ * ’
получим дифференциальное уравнение для изгибающих момент
+m(x)=o. (20-5())
Общий интеграл уравнения (20 50) будет следующим:
Мп (х)=А coskx^-B sin kx. (20-54
Продифференцировав уравнение (20.51) по х, получим УР®
нение для поперечных сил:
Qn (х) = — Ak sin kx-\-Bk cos kx.
Физический смысл постоянных интегрирования установим,
сматривая начальные условия:
при х=0
Мп(0)=Л;
Qn(0) = Bk.
(20-"^
(20-S4
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
изгиб
начальные значения Л4Г
назовем начальными
11 паметрами и обозначим че-
д|н и Q„ соответственно.
Т^да уравнение изгибающих
моментов при продольно-
онеречн°м изгибе примет
М„(х) = MhCOS kx +
। Cisin kx. (20.55)
T k
Чтобы получить общее
уравнение для изгибающих
моментов при действии сжи-
мающей силы и различных
581
сосредоточенных или распре-
деленных внешних нагрузок, Рис- 533
можно применить метод на-
чальных параметров. Действительно, уравнение (20.55) составлено
с учетом одновременного действия продольной силы и поперечных
нагрузок, и, значит, здесь может быть применен принцип незави-
симости и сложения действия сил.
Рассмотрим балку, нагруженную следующими поперечными на-
грузками (рис. 533): силами Ро и Р,, моментами Мо и М„ распре-
деленной нагрузкой <7,. Приложим также сжимающую осевую силу S.
Чтобы найти выражение для изгибающих моментов М„(х)
на крайнем правом (т. е. V) участке балки, будем рассуждать
следующим образом. Сначала допустим, что все нагрузки (Р(, М, и
*?). за исключением начальных, отсутствуют. Тогда момент Л1„ (х)
выразится в функции от начальных параметров MH, QH и абсциссы х
во формуле (20.55). Пусть теперь начальные параметры равны нулю,
но действуют сосредоточенные нагрузки Р, и АП Вдумываясь в гео-
метрический и статический смысл этих силовых факторов, приходим
выводу, что их можно принять за новые начальные параметры,
переместить начало координат соответственно расположению
х силовых факторов — в точки с абсциссами а, или bt соответ-
(2(Кч\°' Т°гДа аргументами тригонометрических функций в формуле
эо) будут отрезки
(х-ь,)
И \ '
авнение для изгибающих моментов примет вид
Р,
cos k (х~а<Н—p-sin k (x — bi). (20.56)
сУммьСи~ и моментов на участке х несколько (т), то нужно ввести
ы- Тогда получим
Л] / х ™ т
* М cos k (х — а<)4- 2 k (х—bi).
(20.57)
582
Устойчивость сжатых
При действии распределенных нагрузок q (х) второе слагаемое п
вращается в интеграл от элементарных силовых факторов
(рис. 533): Vt ,<
а
-2- sin k (х—т]) dr]=-^-[cos k (х—d)—cos k (x—c)]. (20 5^
c
Учитывая одновременное действие всех перечисленных силовы
факторов, в том числе и начальных параметров Л1„ и Q„t полуЧИ!^
универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном
изгибе:
А4ц (х)=Мн cos йх-Ь-^-зш kx + У, М cos k (х—а,)4-
4- 2 -у-sin k(x — fe,)4~ 2 -^-[cosAi(x—di)—cos fe(x—g)]. (20.59)
Продифференцировав это уравнение no x, получим уравнение для
поперечных сил:
Qn(x)= — Muk sin kx-\- Q„ cos kx— У M,k sin k (x —a,)4~
4- У P, cos k (x—b,)— У -jplsin k (x— d,)—sin k (x — c,)]. (20.60)
Порядок применения этих уравнений к решению задач принципиаль
но тот же, что и в рассмотренных случаях применения метода на-
чальных параметров (см. гл. 10).
Начальные параметры определяются из краевых условий балки.
В общем виде эти условия можно представить так:
а) для шарнирно опертой балки
Л1„ (0) —- (0); 1*;^
М,(/)=М„(/) (20-62’
при отсутствии внешних моментов на концах балки М (0)=М (/)=®
б) для консольной балки с левым защемленным концом
Мп(/) = МК(/); (2О-63)
Q„(0) = QH(0); (20-б4)
в) для консольной балки с защемлением справа
Mi (0) = Мн (0);
<?n(/) = QH(/)- (20'ii
Напоминаем, что здесь М (0), М (/) и Q (/) — моменты а пОр^ки
ные силы в концевых сечениях балки только от поперечной нагр Ур.
Условия (20.64) и (20.66) вытекают из того, что в заделК^И
дольная сила S не дает поперечной составляющей, так как ка
ная к оси балки здесь горизонтальна.
После того как найдены начальные параметры Мн и
определить полный изгибающий момент Мп в любом сечении
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
583
^лльно-поперечный изгиб
чная величины изгибающих моментов, можем вычислить наиболь-
шее нормальное напряжение:
5 , Мп макс
W (20.67)
Для определения прогибов воспользуемся уравнением (20 44)
откуда получим ’ >'
, . М„(х) — М(х)
Wn W= 5
(20.68)
Пример 79. Приняв для балки (рис. 532) следующие нагрузки: S=100P(,;
Me=2Pol; Ра=2,5 кН, определить наибольшие нормальные напряжения в
сечении В, если 1=200 см. Поперечное сечение квадратное площадью F=
= ЮУ<10 см2; J = a'/12=835 см4; W=a3/6=167 см3; Е=2-105 МПа.
Составляем уравнения моментов и поперечных енл:
(x)=M„ cos kx-)- — Q„ sin kx;
Qn (x)= — MKk sin Q„ cos kx.
Граничные условия рассматриваемой балки следующие:
М„(0)=Мо=2Р<)/; Qn(0=Q(Z)=Po.
Из первого граничного условия находим М„ (0):
М„(0)=М„=2Рв1.
Второе граничное условие дает
Он (Г)=—2PBlk sin kl-pQ,. cos kl=P0,
откуда
n Pu+2PBlk sin kl
Wh —--------—-------.
cos kl
Теперь запишем окончательное выражение для М„ (х):
-у-+2Рс/ sin kl
М„ (x)=2Pol cos kx)--------—-----sin kx.
cos kl
Так как нас интересует изгибающий момент М„ в сечении В, то при
100-2,5-10'3
--------------- м
2-105-835-10 ~8
= 3,873-10~3 см
sin W=sin 200fe = sin 0,775 = 0,700;
cos kl — cos 200fe = cos 0,775 = 0,713;
tg W = tg 2006 = tg 0,775 = 0,983
найдем, что
Л1"(Л=МВ=2РО/
cos W+ /'-L-i-sin w)tg fe/1 =20,35 kH-m.
Наибольшие напряжения вычисляем no формуле (20.67):
==25+121.9 МПа = 146,9 МПа.
I
584
Устойчивость сжатых г»
—-——---------------—-2Д»<ч.е
Приближенный расчет. В практических расчетах широко
пространены приближенные способы решения, основанные на до '
щении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке приП^
мает форму синусоиды, т. е.
w(x)^f sin -у-. (20.69)
При наличии продольной силы также приближенно принимают,
что
wn(x)fvfn sin-у-. (20.70)
Это предположение позволяет получить практически достаточно
точные результаты для шарнирно опертых балок при действии по-
перечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если
деформация балки оказывается симметричной относительно ее сере-
дины, где wn (//2)»fn.
Дифференциальное уравнение упругой линии
d2w (х)_ М (х)
dx2 EJum
(20.71)
при продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения
(20.46) запишется так:
d2w„ (х) __ М (х) Sw„ (20 72)
dx2 EJ EJ
Исключив из уравнений (20.71) и (20.72) М (х) и учтя допущения
(20.69) и (20.70), находим, что
(sin 2г)= —Srf”sin ПГ (20-73)
ал \ i j ej I
Тогда после дифференцирования
= (20-74)
Введем обозначение
I2 ~-
(20.75)
и назовем Р3 эйлеровой силой. Эта сила численно равна^ Ркр> о11^
деХяемому по формуле (20.14). Из уравнения (20.74) найдем ву<.
жение для прогиба посредине пролета балки при совместном Д
ствии продольной и поперечной нагрузок:
Применяя эту формулу, следует иметь в виду, что эйлерова
введена выражением (20.75) чисто формально. Поэтому в
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт cboi
реками
585
дельно-поперечный изгиб
критической нагрузки Ркр сила Рэ должна вычисляться по фор-
оТ;1е (20.14) при любой гибкости балки (даже меньшей предельной) ,
вычисляя эйлерову силу, момент инерции следует брать относитель-
той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна
Нпноскости действия поперечной нагрузки.
15 Выражение (20.76) обычно применяют и при других типах опор-
ных закреплений сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова
сила должна вычисляться по формуле (20.20):
/?э— (V/)2 ’
Выражение (20.76) дает удовлетворительные результаты, когда
сжимающая сила S не превышает О.бРкр.
Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны про-
гибам, получим простую формулу для приближенного определения
величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:
.. М
/Илмакс l—S/Р, ’
Тогда для вычисления наибольших напряжений, согласно выраже-
ниям (20.67) и (20.77), получим формулу
_ S , м
On макс F -Г W(\_S/pj
(20.77)
(20.78)
Пример 80. Вычислить максимальный момент и наибольшее нормальное
напряжение в балке, показанной на рис. 534. Поперечное сечение балки —
двутавр № 10; для него F—12 см2; 'Х/г=39,7 см3; 1г = 198 см4.
Вычисляем Р, по формуле (19.75):
Р,
л2Е1
~Т~
3,14-2-10®-198-10~®
62
-кН =108,46 кН.
Вычисляем момент посредине пролета для случая поперечного изгиба:
«(4)-
\ г / 4 4
а затем по формуле (20.77) находим наибольший момент при продольно
поперечном изгибе:
4 (т) 1^0.85 кН'М==~1~5^84 “Н-м = 5-9 “Н-м-
Р, 108,46
Наибольшие напряжения вычисляем по формуле (20.67):
о-.^-85'10 I 5,9-10 МПа—219 4 МПа
,^^^12-10 « + 39,7-10 6 МПа —219,4 МПа.
|,3гиб1^епеление Д°пУскаем°й нагрузки при продольно-поперечном
Чость^ ^асчет нз продольно-поперечный изгиб обладает той особен-
что напряжения при увеличении нагрузки возрастают зна-
чительно быстрее последней (рис. 535). (График на рисунке построен
по формуле (20.78) в соответствии с данными примера 80). Такая же
нелинейная зависимость напряжений от нагрузки имеет место в лю-
бой задаче продольно-поперечного изгиба.
Из графика следует, что если для пластичного материала напря-
жения Омакс в стержне равны допускаемым напряжениям [о], то
обеспечен запас прочности по напряжениям:
(20.79)
Казалось бы, что при этом прочность сжато-изогнутой балки обес-
печена. Однако из графика также следует, что в этом случае коэффи-
циент запаса по нагрузкам значительно меньше п, т. е.
пр=-£-<п. (20.80)
Г [о]
Это означает, что достаточно незначительного увеличения нагруз-
ки (на величину Рт — /э(о|), чтобы напряжения достигли предела те-
кучести, а это практически соответствует разрушению балкн. Отсюда
необходимо сделать вывод, что расчет сжато-изогнутых балок сле-
дует вести не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой
нагрузке
[/>]=_£_ ' (20.81)
1 J п '
Понятно, что при этом напряжения амакс будут значительно меньи»
допускаемых напряжений [о].
Таким образом, для определения допускаемой нагрузки н
ходимо сначала найти величину опасной (разрушающей) натРУ^
Рг. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (20.6'1
(20.78), если предположить, что предел пропорциональности
дел текучести совпадают. При применении формулы (20.67) с в^..
лением Мп по точному способу задача решается методом п fcC.
вательных приближений, при этом целесообразно воспользо
построением графика, подобного изображенному на рис. W эТС. с
меняя формулу (20.78), результат можно найти скорее. Дл j
достаточно решить квадратное уравнение относительно Рт-
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими
Классификация механических колебаний 587
Глава 21
УпрУгие колебания
к 132. Введение. Классификация
Механических колебаний
Изучение колебательных процессов имеет важное значение для
различных разделов механики, физики и техники. Вибрация соору-
жений и машин, электромагнитные колебания в радиотехнике и
оптике, звуковые и ультразвуковые колебания — все эти не похожие
друг на друга процессы объединяются методами математической
физики в одно общее учение о колебаниях.
Рассмотрим механические колебания, с которыми приходится
иметь дело в машиностроении и строительном деле. Изучение этих
колебаний очень важно для решения задач прочности при перемен-
ных напряжениях.
Кратко остановимся на основных понятиях и зависимостях,
которыми придется оперировать в настоящей главе.
Чтобы то или иное тело способно было совершать колебания, ему
необходимо иметь определенную массу и упругость. Если упругое
тело (нагруженная балка, скрученный вал или деформированная
рессора) будет выведено из положения равновесия какой-либо по-
сторонней причиной (ударом, внезапно приложенной силой), то сила
упругости этого тела в новом положении уже не уравновесится на-
грузкой и возникнут колебания.
Все колебательные процессы, с которыми приходится встреча-
ться в технике, можно классифицировать по внешним признакам,
форме того закона, по которому некоторая величина, участвующая
в процессе, изменяется со временем. Такую классификацию можно
назвать кинематической.
Различают два класса колебательных процессов: периодические
и непериодические. В теории существенное значение имеет промежу-
точный класс почти периодические колебания.
периодическим называется такой процесс, при котором колеб-
’ 1цаяся величина, взятая в любой момент времени, через опреде-
Че'1Нь,и отрезок времени Т (период) имеет то же значение. Математи-
)(лКое определение периодической функции следующее: функция
п0стНазывается периодической с периодом Т, если существует такая
°янная величина Т, для которой
юбом значении переменной t.
Uhh, Периодическими функциями называются все остальные функ-
Ьс) Удовлетворяющие указанному условию.
। ти периодическая функция определяется условием
mice
588
при любом t, где т и е — определенные постоянные величины п
личина т, которая, вообще говоря, есть функцией е, называет6
почти периодом. Очевидно, что если е очень мало по сравнению СЯ
средним значением модуля функции f। (t) за время t, то почти nenj
дическая функция близка к периодической. р 10
Среди класса периодических колебаний огромную роль играют
гармонические, или синусоидальные, колебания, при которых изме
нение физической величины со временем происходит по синусоиде
(или косинусоиде).
Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодиче
ских. Наиболее часто из непериодических колебаний встречаются
затухающие (или нарастающие) синусоидальные движения. Коле-
бания, происходящие по закону затухающей синусоиды, или, как
иногда их называют, затухающие гармонические колебания, пока-
заны на рис. 536, а и математически представляются выражением
х—А ~8‘ cos (со/-К<р),
где А, <р, 6 и со — постоянные величины; t — время.
Нарастающие гармонические колебания показаны на рис. 536, б
Математически они описываются последним выражением с той раз-
ницей, что должен быть изменен знак на обратный у величины 6.
Строго говоря, о таких колебаниях следовало бы сказать: затухаю-
щие (или нарастающие) колебания близки к гармоническим при
достаточно малом значении 6. Поэтому название «затухающие
синусоиды» или «затухающие периодические колебания» не совсем
логично, так как гармонические колебания не могут затухать. Но
название это обычно принято и мы также будем им пользоваться.
Перечисленные внешние признаки колебательных процессов, ко
нечно, недостаточны для их систематизации и анализа. Поэтому
целесообразно классифицировать колебания по основным физиче-
ским признакам рассматриваемых колебательных систем.
Вообще упругая система может давать колебания разных типов
Например, струна или балка во время колебаний могут принимать
различные формы, зависящие от числа точек перегиба, разделяюши)
длину элемента. При исследовании колебательных движений упрУ
гих систем важно знать, какое число независимых параметр
определяет положение системы в каждый данный момент време «
Число таких параметров называется числом степеней свободы.
В простейших случаях положение системы может быть опр
лено только одной величиной. Такие системы называются систе
с одной степенью свободы.
Рассмотрим простейший случай, изображенный на РиС' ме
Если устройство таково, что возможны только вертикальные п
щения груза Q, и если масса пружины мала по сравнению yg>
чиной массы груза Q, то систему можно рассматривать каК„иМисТеМ'*
одну степень свободы. Положение такой колебательной пер£-
может быть определено одним параметром— вертикальны
мещением груза.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
589
Классификация механических колебаний
Вреде H>1 j—-----------------------
Системой с двумя или несколькими степенями свободы назовем
ю систему, положение которой в произвольный момент времени
Т2 лет быть охарактеризовано двумя или несколькими независимыми
М°паметрами. Двумя степенями свободы, например, обладает не-
сомая балка, несущая две массы (рис. 538, а). В качестве незави-
в 1Х параметров могут быть приняты перемещения масс т\ и п?2
С отношению к положению равновесия.
П° рассматривая поперечные колебания балки, можно постепенно
„едичивать число степеней свободы, присоединяя к балке сосредо-
точенные массы. В пределе получается балка с распределенной
по всей длине массой (рис. 538, б) — система с бесконечным числом
степеней свободы. При этом прогиб в любой точке балки меняется
по особому закону. С одной стороны, прогиб балки при колебаниях
является функцией абсциссы х, а с другой — непрерывной функцией
времени t.
Классифицируя механические колебания по другим признакам,
различают следующие четыре типа возможных колебаний: собствен-
ные, вынужденные, параметрические и автоколебания.
Собственными (свободными) называют колебания, возникающие
в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения («толч-
ков»), вызывающего у точек системы начальные отклонения от по-
ложения равновесия или начальные скорости, и продолжающиеся
затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливаю-
щих равновесие.
Классическим примером собственных колебаний упругой системы
являются вертикальные колебания груза, подвешенного к концу
пружины (рис. 537), если верхний конец ее закреплен, а груз пер-
воначально оттянут вниз и затем отпущен.
590
Рис. 539
При собственных колебан
ях характер колебательное'
процесса в основном опреде Г°
ется только внутренними сила
системы, зависящими от Мн
физического строения. Нео?
ходимая энергия, обеспечива
ющая процесс колебаний, поступает извне в начальный момен
возбуждения колебаний. !
Наибольшее значение отклонений, т. е. амплитуда колебаний
и скорость собственных колебаний, определяется из начальных
условий. При этом период колебаний (время одного полного коле-
бания) или частота колебаний, т. е. величина, обратная периоду
зависит от самой системы. Эта величина является определенной
для данной системы и называется собственной частотой колеба-
ний системы.
Собственные колебания могут происходить не только около по-
ложения устойчивого равновесия, но и по отношению к устойчивому
движению, например крутильные колебания равномерно вращаю-
щегося вала.
Вследствие наличия сил сопротивления колебательному движе-
нию (сопротивление среды, в которой происходит движение, трение
в подшипниках, трение в сочленениях конструкции, силы внутрен-
него трения в материале) во всех реальных механических системах
собственные колебания всегда затухают. В этом заключается важ-
ная особенность собственных колебаний по сравнению с другими
типами колебательных движений.
Для упрощения при теоретическом исследовании собственных
колебаний в начале решения задачи силами сопротивления обычно
пренебрегают.
Вынужденными называют колебания упругой системы, происхо
дящие при действии на систему (на протяжении всего периода коле
баний) заданных внешних периодически изменяющихся возмужаю
щих сил, которые действуют непрерывно независимо от колебании
системе. Характер процесса при этом определяется не только свои
ствами системы, но также существенно зависит от внешней силы.
Примером вынужденных колебаний системы могут служить п
речные колебания балки (рис. 539), служащей опорой для элек L
двигателя, если у него вращающиеся массы не вполне уравнов^
ны. Период вынужденных колебаний равен периоду изменениЯьНы'
мущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний от начал
условий не зависит. рт.
В отличие от собственных вынужденные колебания не 3aT^onpH
хотя имеют место силы сопротивления. Это объясняется тем, 1
вынужденных колебаниях в систему со стороны возмущают^ 10.
непрерывно подводится энергия, которая и расходуется на в
ление имеющихся в системе сопротивлений. >
В известных условиях, когда частота возмущающих сил
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим)
591
ение Классификация механических колебаний
совпадает с частотой собственных колебаний рассматриваемой
иЛСтемы, вынужденные колебания сопровождаются значительным
,Иасто опасным) увеличением амплитуд, вызывающим недопустимые
пЯ конструкции деформации. Это явление, как известно, носит
название резонанса.
Параметрическими называют колебания упругой системы, в про-
се которых периодически меняются физические параметры си-
стемы, т. е. величины, характеризующие массу системы или ее жест-
кость. Существенной особенностью параметрических колебаний
является то, что внешние силы влияют не непосредственно на коле-
бательное движение, а на физические параметры системы.
Таким образом, параметрические колебания отличаются от вы-
нужденных видом внешнего воздействия. При вынужденных коле-
баниях извне задана сила или какая-либо другая величина, вызы-
вающая колебания, а параметры системы при этом остаются постоян-
ными. Параметрические колебания вызываются периодическим из-
менением извне какого-либо физического параметра системы. Так,
например, вращающийся вал некруглого сечения, имеющий относи-
тельно различных осей сечения различные моменты инерции, кото-
рые входят в характеристику жесткости при изгибе, испытывает по-
перечные колебания (см. с. 592) в определенной плоскости благодаря
переменной жесткости, периодически изменяющейся за каждый обо-
рот вала. Изменение физического параметра вызывается внешними
силами. В приведенном примере внешним фактором является двига-
тель, осуществляющий вращение вала. Параметрические колебания
не затухают при наличии сил сопротивления. Поддержание пара-
метрических колебаний происходит за счет подвода энергии внеш-
ними силовыми воздействиями, изменяющими физические пара
метры системы.
Автоколебаниями, или самоколебаниями, упругой системы назы-
вают незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними
силами, характер воздействия которых определяется самим коле-
бательным процессом.
Автоколебания возникают в системе без внешнего периодиче-
ского воздействия. Характер колебаний определяется исключительно
Устройством системы. Источник энергии, покрывающий потери ее
системе при колебаниях (главным образом на тепло), обычно
1 С1?ВЛяет неотъемлемую часть системы.
НЫх 3 сказанного следует, что автоколебания отличны от собствен-
вре .К°Ле®ания, поскольку последние являются затухающими, в то
бан Я КЭК автокш1ебания не затухают. С другой стороны, автоколе-
цц£;ИЯ Сличаются от вынужденных и от параметрических колеба-
силд Так как и те и другие так или иначе вызываются внешними
к°лебИ’ хаРактеР действия которых задан. В этом смысле авто-
кар ания могут быть названы также самовозбуждающимися, так
ИсТо Р°Цесс колебаний здесь управляется самими колебаниями.
СИстемНИК Доп°лнительной энергии, поддерживающей колебания
ы> находится вне упругой системы. Например, энергия воз-
592
Упругие kojw.
душного потока, набегающего на вибрирующие части самол
вызывает особый вид автоколебаний, называемый флаттером
Кроме указанной классификации колебаний, принято также п
личать колебания по виду деформации упругих элементов констп
ций. В частности, применительно к стержневым системам различ^
продольные, поперечные и крутильные колебания. " 7
К продольным колебаниям относят такие колебательные движ
ния системы, в частности упругого стержня, при которых перемеще
ния всех точек направлены вдоль оси стержня; при этом имеет мест
деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при
кого рода колебаниях нормальные напряжения распределены рав
номерно по поперечному сечению. Следовательно, продольные ко-
лебания иначе можно назвать колебаниями растяжения — сжатия
Поперечными колебаниями называют колебания изгиба, при ко-
торых основные компоненты перемещений (в данном случае проги
бы) направлены перпендикулярно к оси стержня. Напряженное
состояние при поперечных колебаниях, очевидно, такое же, как и
при статическом изгибе балок. Поэтому поперечные колебания иначе
можно назвать изгибными колебаниями.
Крутильными называют колебания стержней, сопровождаемые
переменной деформацией кручения. С этими колебаниями в машино-
строении приходится иметь дело главным образом при анализе де-
формаций различного рода валов, работающих преимущественно
на кручение.
При рассмотрении тонкостенных конструкций, в частности кон-
струкций самолета, часто приходится иметь дело с колебаниями сме-
шанного типа, при которых одновременно имеют место напряженные
состояния изгиба и кручения, так называемые изгибно-крутильные
колебания.
§ 133. Свободные гармонические колебания
упругой системы
с одной степенью свободы
Задача о гармонических колебаниях системы с одной степенью
свободы рассматривается в курсе теоретической механики. В кач
стве упругой системы обычно рассматривают груз, подвешенн
к вертикально расположенной пружине (рис. 540). I £.
Дифференциальное уравнение колебаний груза весом Q (ПР м
брегая массой пружины) можно получить, пользуясь пРинЦаПЬ
д’Аламбера. Приравнивая к нулю сумму проекций на вертик
ную ось всех сил, действующих на груз, получаем
Q + cx— (Q—2-х)=0,
откуда
— х + сх=0,
g
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
вне гармонические калебання упругой системы с одной степенью свободы 593
(21-1)
производная перемещения груза по
(21-2)
„ есь с жесткость пружины, численно равная
силе, вызывающей растяжение пружины,
равное единице длины;
g — ускорение силы тяжести;
йст — статическая деформация растяжения пру-
жины под действием подвешенного груза
весом Q.
Рис. 540
Уравнение (21.1) имеет, очевидно, следующее общее решение,
устанавливающее зависимость между ординатой х груза и време-
нем t:
х=А cos sin со/,
(21.3)
где w — круговая частота собственных колебаний; а Л и В
постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. За
начало отсчета перемещений выбирается положение груза, соответ-
ствующее состоянию равновесия.
Если заданы начальная координата груза х0 и начальная скорость
vo=x при / — О, то из уравнения (21.3) определяются постоянные
интегрирования:
Л=х0; В = -^-. (21-4)
Полагая xo = osina и vo/(a = acosa, уравнение (21.3) можно
представить также в виде
x==«sin (wf-f-a);
"РИ этом амплитуда колебаний
Или
НазьеЛИЧИна + а носит название фазы колебаний, а величину а
быТьВак)т сдвигом фазы. На основании выражений (21.4) а может
0пРеделено из условия
«о
594
y2Ly Ие к<Меб,ч
Из уравнения (21.2) круговая частота собственных колеб-
определится формулой
(21.5)
Имея в виду, что Q/g представляет собой массу т подвешенно
груза Q, круговую частоту можно также представить так:
Напомним, что под круговой частотой подразумевается число ко-
лебаний, совершаемых в течение 2л с.
Зная круговую частоту колебаний, можно найти период колеба-
ний Т (время одного полного колебания) по формуле
(21.6)
Величина, обратная периоду колебаний, определяет число коле-
баний в единицу времени (секунду) и носит название секундной
частоты:
г__ I _
' — Т ~~ 2л ’
Секундная частота колебаний обычно выражается в герцах; число
герц равно числу колебаний в секунду.
В качестве реальной упругой колебательной системы с одной
степенью свободы может служить система, состоящая из упругого
тонкого стержня, верхний конец которого жестко закреплен, а к
нижнему подвешен груз. Очевидно в том случае, когда масса стерж-
ня значительно меньше массы груза, данная система ничем не отли-
чается от ранее рассмотренной (рис. 540). Поэтому для нахождения
частоты, периода и амплитуты собственных колебаний груза, под
вешенного к упругому стержню, можно пользоваться полученным
выше формулами для груза, подвешенного к пружине. Прн эт
необходимо установить жесткость стержня, эквивалентную ж
кости с пружины. се.
При растяжении стержня длиной / и площадью поперечного
чения F абсолютное удлинение стержня, как известно, определи
формулой
fi =-2L
°ст EF ‘
я едИ
Усилие, соответствующее статической деформации 6СТ, РаВН
нице, представляет собой искомую жесткость:
EF (2'7)
с=~-
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
iup гармонические колебания упругой системы с одной степенью свободы 595
Свобод-—----------------------------------------------------------------
ла на основании выражения (21.5) собственная частота колеба-
нийподвешенного груза Q
(1) =
(21-8)
Имея в виду, что Q/g представляет собой массу груза, можно запи-
сать
(0 =
ЕЕ
ml
(21.9)
Из формул (21.8) и (21.9) видно, что частота свободных колеба-
ний системы возрастает с увеличением жесткости, или, что то же,
с уменьшением статической деформации, вызываемой данным гру-
зом. Легко убедиться, что груз, подвешенный к упругому стержню,
обладает значительно более высокой собственной частотой колеба-
ния, чем тот же груз, подвешенный к податливой пружине.
Отношение частот собственных колебаний груза, прикреплен-
ного к двум различным стержням, обратно пропорционально корню
квадратному из отношения статических удлинений стержней.
Пример 82. Определить собственную частоту колебаний груза весом Q =
=0,2 кН, подвешенного к концу стального стержня длиной 40 см и площадью
поперечного сечения F=1 см2, при модуле упругости материала Е=2х
ХЮ МПа=2-1& кПа.
Круговая частота колебаний, согласно формуле (21.8),
с” ’ = 1570
V9.81 -2-108-10-"
0,2-0,4
с
Таким образом, соответствующая частота колебаний груза
~^-=7?~5,7|)4 Гц = 250 Гц.
2л 2-3,14
Пример 83. Определить, как изменится частота собственных колебаний
груза Р, если от первого способа крепления его перейти ко второму, разрезав
пружину на две равные части и закрепив груз посредине (рис. 541).
Частота колебаний груза, подвешенного на пружине.
1?ст --А =-----—----
Gr4 с
где с — жесткость пружины;
R — средний радиус витка пружины;
п — число витков;
г — радиус проволоки пружины;
б — модуль упругости при сдвиге.
Для первой схемы
596
Во второй схеме каждая часть пружины будет обладать большей жесткости
Gr4-2 „
С2=-да-=2с-
В первом случае перемещение груза
Во втором случае каждая половина пружины воспримет нагрузку Р/2. ПозЯИ
перемещение груза
. Р Р б,
2 2с2 2-2ci 4
Частота колебаний груза, подвешенного на пружине по первой схеме,
,____1 1 -> / gci
'' 2л V 6, 2л V Р ’
Частота колебаний груза, подвешенного по второй схеме,
f 1 Л/ g = 1 Л/g-4ci
1 2л V 62 2л V р
Соотношение частот колебаний
т. е. при замене способа подвеса груза частота увеличится в два раза.
1fl j
Пример 84. Найти период колебаний груза Q, подвешенного на жест>
нити (рис. 542), пренебрегая трением в блоке. Жесткость верхней и ним
пружин соответственно ct и Ct. с
Определяем перемещение статически подвешенного груза Q. Это леРилН
щение складывается из удлинения верхней пружины 6„ под действием с
2Q н удлинения иижней пружины б„ под действием силы Q, т. е. оПУс
груза Q
бет = + бн ~~~—I—~~=—(С| ~t~2cs).
Cl Cz ClCs
Тогда период колебаний
gC|C2
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
гармонические колебания упругой системы с одной степенью свободы 597
Изложенная выше теория расчета продольных колебаний может
распространена также и на случаи расчета поперечных и кру-
бь,т*’нь1Х колебаний. Например, рассматривая невесомую балку с
тИ ой степенью свободы, получим уравнение движения в виде (21.1).
поэтом случае вместо переменной х следует принять перемещение
“ а в направлении, перпендикулярном к оси, т. е. прогиб ш. Вы-
Г жения дЛЯ собственной частоты и периода колебаний сохраняют
^ежний вид (21.5) и (21.6). При этом 6СТ представляет собой
р0Гиб под грузом Q при статическом его приложении.
п[ для случая, изображенного на рис. 543,
Q13
5сг=:аУст— 3£/
Пример 85. Определить частоту собственных поперечных колебаний сталь-
ного вала диаметром d = 50 мм. несущего диск весом Q = 1 кН (рис. 544).
Собственная частота поперечных колебаний рассматриваемой системы с
одной степенью свободы определится по формуле (21.5):
где бег — статический прогиб вала в месте расположения диска:
QdW 1-0,42-0,62-64
6СТ_(йст_ — 3-2-10в-3,14-0,054-1
м=3,12-10 4 м.
Подставляя полученное значение 6СТ в формулу частоты, будем иметь
9,81 । -I
-— -----т с =177 с
3,12-10-4
Примером упругой системы, способной совершать крутильные
колебания, может служить диск, сопряженный со стержнем по
схеме, показанной на рис. 545. Если к диску в его плоскости прило-
жена и внезапно удалена пара сил, то возникнут свободные коле-
бания кручения стержня вместе с диском.
Обозначим крутильную жесткость вала (скручивающий момент,
необходимый для закрутки вала на один радиан) через c = Gncf4//-32
’ — диаметр стержня, I— его длина), а полный угол закручи-
ния стержня — через <р. Крутящий момент в циклически закручи-
емом при колебаниях стержне в произвольный момент времени
с\?ет С(Р- Пренебрегая силами инерции массы стержня по сравнению
Me ассоя Диска и приравнивая крутящий момент в стержне к мо-
уг)аТУ Сил инерции диска, получаем следующее дифференциальное
нение движения диска:
I dp +с<р = О,
гДе j
Дику момент инерции диска относительно оси стержня, перпен-
п«Рной к плоскости диска.
(21.10)
598
У"ГУГне Кадес
Вис. 544 Рис. 545
Для круглого диска постоянной толщины диаметром D с удель.
ным весом его материала у
nD'hy _ QD2
~ 32д — 8д ’
где Q — вес диска.
В случае диска переменной толщины h (р)
0/2 .
О
Обозначая w2 = c/J, уравнение (21.10) можно переписать в виде
(2М):
общее решение которого
<р=Д cos sin to/.
Отсюда видно, что период колебаний кручения рассматриваемой
системы
Для стержня постоянного сечения диаметром d период и частота
колебаний соответственно
7=
32Л
(21.1»
32// . f_ 1
Gud4 ’ ' Т
Полученный результат применим также и к системам с .((ТЬ
вращающимися дисками (рис. 546). Действительно, если заКРрИдо
диски один относительно другого, а затем мгновенно снять
женные внешние моменты, то диски начнут совершать крут
колебания навстречу друг другу. При этом некоторое пР°мег0
ное сечение вала останется неподвижным. Положение эт
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
родные гармонические колебания упругой системы с одной степенью свободы 599
Ь1ваем°г° узлового сечения т — т можно найти из условия
н2венства частот колебаний обоих дисков с примыкающими к ним
РааСтками вала длиной а и Ь, для которых применимы формулы
gl.ll):
— * / nGd4
2л ' / 32/2Ь ’
откуда
а
где и J2 — моменты инерции соответственно первого и второго
ДИСКОВ.
Используя последнее соотношение, а также имея в виду, что
= найдем
Тогда период и частота крутильных колебаний системы, согласно
формулам (21.11), в которых вместо I следует подставить выражение
для а (или Ь), будут следующими:
Т=2л
32J,J2l
nOd\J, + J,)
Заметим, что рассмотренная колебательная система имеет боль-
шое практическое значение, так как она является прототипом коле-
бательной системы, к которой могут приводиться многие упругие
системы, встречающиеся в инженерном деле, в частности валы с дву-
мя вращающимися массами.
§ 134. Вынужденные колебания упругих систем
с одной степенью свободы
Если принять, что кроме постоянной силы тяжести груза Q
р • рис. 540) на него действует периодическая возмущающая сила
н' то в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе свобод-
ней КОлебаний будем иметь случай вынужденных колебаний. Урав-
еГоИе Этих колебаний получим из выражения (21.1), прибавляя к
-^РРавой части силу Р (/):
LT* + cx=P(t).
(21.12)
ля все члены уравнения на Q/g, получаем
(21.13)
600
Упругие кОД|
Рассмотрим частный случай, когда сила Р (f) пропорционач
cos pt, т. е. когда период силы Т1—2л/р, а частота ft=p/2n L
Обозначив
P q —= q cos pl,
приведем уравнение (21.13) к виду
x4-w2x = 9cosp/. (21.Л)
При медленном изменении Р (t), т. е. при р, малом по сравнению
с со, можно пренебречь членом х, содержащим ускорение в урав
нении (21.14), и тогда получить статическую деформацию
q cos pt
(2Ы5)
Для определения динамической деформации нужно решить днф-
ференциальное уравнение (21.14). Это решение, как известно, можно
получить, если к решению однородного уравнения (21.1)
х=А cos (1>/4*й sin tot (21.16)
прибавить частное решение уравнения (21 14)
х —С cos pt. (21.17)
Подставляя частное решение (21.17) в дифференциальное урав-
нение (21.14) и учитывая
х— —рС sin pt;
х~ —р2С cos pt,
найдем, что
—р2С cos pt-\-to2C cos pt=q cos pt.
Отсюда после сокращения на cos pt получим
C (to2—p2} — q,
т. e. амплитуда
r=____1___
ч?—р2 ’
Тогда общее решение уравнения (21.14) окончательно
х=А cos mt + В sin tot -f- cos Pt-
(21.18)
примет виД
(21.19)
Первых два слагаемых правой части уравнения (21.19) хаРхаЮ1
ризуют свободные колебания, которые обычно быстро заТ^1]11ес>1
последнее слагаемое характеризует вынужденные установив^^
колебания системы, которые происходят с частотой внешней
тающей силы. АорМУ-1^
Амплитуда С вынужденных колебаний, как следует из *
(21.18), зависит от частоты этих колебаний р. Отношение ам
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим
^eHHbie колебания упругих систем с одной степенью свободы
601
статической деформации (21.15) определяет так называемый
^ффициент нарастания колебаний £:
С q _ 11)2
6=-^ ы2-р2 ’ <ч2 <Й2—р=
(21.20)
Р~
или
0-----7^’
(21.21)
где
2л . т_ 2л
т.=—, I——
11 р w
Из формулы (21.20) следует, что при малом отношении р/<»
коэффициент р близок к единице и амплитуда вынужденных коле-
баний лишь немного отличается от статической деформации.
Когда же частота вынужденных колебаний приближается к частоте
собственных колебаний системы, амплитуда вынужденных колеба-
ний стремится к бесконечности т. е. при р/ь>->-1 амплитуда С->~<х>.
При р—<i> имеем состояние резонанса. Соответствующая частота
возмущающей силы называется критической.
Рассматривая выражение (21.20), графическое изображение ко-
торого представлено на рис. 547, видим, что при частоте возмущаю-
щей силы р, большей собственной частоты со колебаний системы, т. е.
при р>со, амплитуда С динамического перемещения уменьшается
и при р>со делается очень малой по сравнению со статическим пере-
мещением. В этом случае груз Q можно рассматривать как непо-
движный.
При р<со вынужденные колебания и возмущающая сила на-
ходятся в одной фазе, т. е. сдвиг фаз а = 0. Это значит, что в момент,
к°гда колеблющийся груз (см. рис. 540) достигает своего наиболь-
шего отклонения, предположим, вниз, возмущающая сила получает
наивысшее значение в этом же направлении. При р>со разница в
т Зах вынужденных колебаний и возмущающей силы составляет
ичину а~л, т. е. колебания происходят в противофазе с воз-
УЩающей силой. Это значит, что в то время, когда возмущающая
Ший Имеет максимальное значение в направлении вниз, колеблю-
Кое Я ГРУ3 достигает своего максимального отклонения вверх. Та-
баНиЯВЛение можно хорошо понять на примере вынужденных коле-
ОсУщ Математического маятника (рис. 548), возбуждения которого
Пери СТВляют путем горизонтального возвратно-поступательного
Ч^еского перемещения точки подвеса с различной частотой.
Факт() еНие маятника, колеблющегося в одной фазе с возмущающим
Фазе с М> пРиведено на Рис- 548, а; колебание маятника в противо-
Ам ВозмУ1Нающей силой показано на рис. 548. б.
^ИтьПлитУДУ собственных (независимых) колебаний можно опре-
из общего решения (21.19) при рассмотрении начальных
условий. Так, полагая, что в начальный момент (при t=0) переме-
щение и скорость равны нулю, т. е. (х)/=о=О и (х)с=о=О, из уравнения
(21.19) будем иметь
В=0; А =-------
ы —р
Подставляя найденные значения в уравнение (21.19), окончательно
получаем
х = - ~у (cos pt — cos со/). (21.22)
w —р
В начале действия возмущающей силы возникают вынужденные и
свободные колебания одной амплитуды.
Если частота возмущающей силы приближается к частоте соб
ственных колебаний, имеет место биение. Пусть
<о—р=2А.
Тогда уравнение (21.22) при
Д=-|-(<0—р)
будет иметь вид
2р (р + <о)/ (р — со)/
Х =----sin '— sin —--——
со -р2 2 2
=------22_sin(-A)rsin-^±^ =_2^B^_sin (21-23)
co2-p2 V ' 2 co2-p2 2
пИжения
т. e получим уравнение синусоидального колебательного дв
с периодом
7-=2n:-£±^-=-^—
2 р + *о
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
.^денные
колебания упругих систем с одной степенью свободы
603
рис. 549___________________
и переменной амплитудой
____________________— sin ZA,
о— ,.,2_п2
период изменения которой, или период биения, характеризуется
величиной
Графическое представление колебания с биением приведено на
рис. 549. Из последней формулы следует, что период биения увели-
чивается с приближением частоты возбуждения р к частоте собствен-
ных колебаний со и становится равным бесконечности в случае резо-
нанса (при р = со). В последнем случае, когда p->-w и А->-0, урав-
нение (21.23) может быть представлено так:
2^/Л . (р + ы)лг
2Л(Ытр)51П 2
sin pt.
(21.24)
Ч‘
т. е. амплитуда с течением времени возрастает безгранично. Заме-
тим, что последнее заключение справедливо только при отсутствии
в колебательной системе сил сопротивления. Таких реальных коле-
бательных систем не существует.
§ 135. Рассеяние энергии при колебаниях
св рРе>Кде всего рассмотрим колебания системы с одной степенью
ни°н °АЫ (Рис' 550) в случае, когда силы сопротивления при колеба-
ния ПР°ПоРциональны скорости движения. Для получения уравне-
ДицДВИЖения гРУза воспользуемся принципом д’Аламбера (условия
на Мического равновесия груза рассматриваем при отклонении его
Расстояние х от положения статического равновесия):
гле а
__коэффициент пропорциональности;
сила трения, пропорциональная скорости (действующая в
q направлении, обратном движению).
том Да дифференциальное уравнение колебаний системы с уче-
Сеяния энергии можно представить в виде
604
Piic. 550
x + 2nx + co2x = oT~
где <2,«)
01.26)
Обозначая
2 2 2
(01=10 —n ,
(21.27)
общее решение дифференци-
ального уравнения (21.25)
можно представить так:
х = е "'(Л sin + cos'wuij
(21.28)
где e=2,718.
Из этого уравнения следует, что период колебаний рассматри
ваемой системы с затуханием
2 л 2 л
(21.29)
т. е. он зависит от затухания, характеризуемого коэффициентом п.
Общее решение (21.28) может быть представлено также и так:
x—iie п‘ sin (ю|/4-ф)>
(21.30)
где 21 и ф — некоторые постоянные, которые зависят от началь-
ных условий и могут быть найдены таким же путем, как в § 133
При п<<(о разность между круговой частотой <щ системы с за-
туханием и собственной частотой <о, т. е. е —он—<о, является ве-
личиной второго порядка малости, поэтому период Т будет мало
отличаться от периода собственных колебаний
у» 2л
It) ’
т. е. можно считать, что небольшая сила сопротивления не влияет
на период (частоту) колебаний системы.
Рассматривая решение (21.28), видим, что из-за множителя е
амплитуда колебаний с течением времени убывает. Постоянные
тегрирования А и В, входящие в решение, определим из началь й
условий. Так, полагая в начальный момент (при 1 = 0) х—л
х = хо, из уравнения (21.28) найдем, что
В=х0; А = (х0 4- пх0).
<01
Подставляя эти данные в уравнение (21.28), получаем
x=e~nt |^-^-sin <i>i/4-Xo (cos sin Ы|/)|.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
605
' еяние энергии при колебаниях
В частном случае, когда 71=0, т. е. когда
. «*£.=0,
пОследнее уравнение примет вид
cos <o,L (21.31)
Графически зависимость (21.31) представлена на рис. 550. Уравне-
ния верхней и нижней огибающих приведенной затухающей вибро-
граммы соответственно х = хпе'"' и х— — хое~п1. Точки mi, m2, m3,...
касания огибающей к виброграмме имеют координаты времени
j=0; t = T; t=^2T и т. д., а точки т{, т2, т3, ... касания к нижней
огибающей кривой — координаты t = T/2; /=ЗТ/2 и т. д. При этом
указанные точки не совпадают с точками крайних перемещений
системы из положения равновесия. Легко убедиться, что вследствие
затухания время перемещения системы из среднего положения к
следующему крайнему положению меньше времени, необходимого
для возвращения из крайнего в следующее среднее положение.
Степень затухания колебаний системы зависит от величины по-
стоянной п (характеристики затухания). Амплитуда колебаний после
каждого цикла уменьшается в отношении
е-я':1,
что видно из уравнения (21.31), т. е. уменьшение амплитуды соот-
ветствует геометрической прогрессии. Действительно, последова-
тельные амплитуды при / = 0; t=T‘, t — 2T и т. д. имеют значения
0о=х0; ai=X(le~nT-, а2 =Хое~2пТ; ...;
ней амплитуде через один период
.=—£*__= хое-'"'т —е^т
а*+‘ хпе~(*+|)п/
—=—--------—е пТ- й2___хое--------= и т д
“° хо Oi Хое пТ
Отношение какой-либо амплитуды колебаний к непосредственно сле-
дующей за —" ------------------------------------
“О.= £|_
fli аг ’ '
Откуда
аь
°4+1
епГ=пТ = Ь.
(21.32)
нИя^еличина называется логарифмическим декрементом затуха-
ла,, Колебаний и обычно является основной характеристикой зату-
ая колебаний.
сущ Технике, в частности в машиностроении, величина декремента
Них СТвенно отличается от единицы и составляет, например для та-
Рчд КОлебательных систем, как турбинные лопатки, величину по-
606
Кроме сил сопротивления, пропорциональных скорости дви
ния, затухание колебаний (демпфирование) в реальных констп
циях может обусловливаться и другими причинами, в частности К
терями на рассеяние энергии в самом материале упругого элеме^
системы, т. е. потерями гистерезисного типа, величина которых п Та
зывается, зависит уже не от скорости, а от амплитуды колебаний
Другим распространенным источником потерь энергии при колеб^
ниях является рассеяние энергии за счет сил трения в сочленения
элементов конструкции, утечки энергии в фундамент и т. д.
Здесь мы лишены возможности останавливаться на расчете кол'
баний элементов конструкций с учетом различных видов рассеяни
энергии 1 и ограничимся лишь случаем вынужденных колебаний
когда рассеяние энергии пропорционально скорости.
§ 136. Вынужденные колебания
с учетом рассеяния энергии
Рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы при наличии сил сопротивления, пропорциональных ско-
рости. Уравнение движения для такого случая получим, если в дг
полнение к силе сопротивления S = ax на груз в вертикальном н~
правлении (рис. 550) будет действовать некоторая периодическая
сила Р sin pt. Обозначив
получим уравнение движения для данного случая, добавляя в при
вую часть уравнения свободных колебаний с затуханием (21.25)
член q sin pt. При этом
x-j-2nxrj-o)2x = q sin р/. (21.33)
Общее решение этого уравнения найдем, если к решению (21.25'1
х — е ~п1 (Л sin cos <oi/) (21.34)
однородного уравнения прибавим частное решение
х— К sin pt-\-L cos pt. (21-35)
Тогда, имея в виду, что
х = Кр cos pt — Lp sin pt-,
x= — Kp2 sin pt — Lp2 cos pt,
----------- 0
1 Детально этот вопрос освещен в монографиях Г. С. Писаре*1 к уСС?
бания упругих систем с учетом рассеяния энергии в материале». К., ^зд ,Юд1-1 yfCl
1955 и «Рассеяние энергии при механических колебаниях». К., Изд-во а
1962.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
607
еННые колебания с учетом рассеяния энергии
вставляя выражения х, х и х в дифференциальное уравнение
I ГзЗ), а затем приравнивая коэффициенты при sin pt и cos pt пра-
1 •• и левой частей, получим
1 2Кр п + £о>2 = 0;
^Kp^-2Lpn + KM2 = q.
аЯ совместно полученную систему двух уравнений относительно
I неизвестнь,х постоянных К и L, найдем, что
д(^-р2) .
L" (ы2 — р2У+4р?п2
Тогда общее решение уравнения (21.33) может быть представлено
в виде
х=е (A sin Ю1/4-В cos w,/)———2^п d cos pt-\-
(b>—py + 4p^n2
i___9 ---sin pt.
+ (w2 —p2)24-4p2n2
(21.36)
Первые слагаемые, имеющие множитель е со временем умень-
шаются (затухают), два других слагаемых, пропорциональных q,
характеризуют вынужденные колебания; они со временем не зату-
хают.
Период незатухающих колебаний тот же, что и период возму-
щающей силы:
7,=-?2_
p '
? их амплитуда пропорциональна величине возмущающей силы,
та амплитуда, как легко убедиться, зависит также от характе-
ристики п затухания, а также от соотношения периода собственных
^ебаний
<0
Г|ериода Т\ возмущающей силы
Сли ввести следующую замену:
'-—-^дрп *
sina;
(21.37)
^sid^p2) v
“ =21 cos a>
. ^1н^жДенные колебания можно представить несколько проще:
(c°s a sin pt — sin a cos sin (pt — a). (21.39)
(21.38)
608
v
Амплитуда 81
(21.37) и (21.38)
вынужденных колебаний на
определится из выражений
основании
УРавнение
4д'гр2п2
|(<п2-р2)2 + 4п2л’]2
<?2(<о2—р2)2
И2 sin2 а;
• у 9
|(ш2-р2)2 + 4р2п2|2 =И C°S
V
складывая которые и решая относительно VI
находим
1,2
л _ У4р2р2п2+/(ы2—р2)2 ____________д
" ,.2 _2>2.._2_2
(21.40)
(o>2-p2)2+4pW
Угол сдвига фаз а на основании тех же уравнений (21.37) и
(21.38) можно определить делением первого из них на второе:
<2|Л|>
При <о>р угол а положительный и меньше л/2, т. е. 0<а<л/2
Из уравнения (21.39) следует, что при этом вынужденные колебания
отстают по фазе от возмущающей силы. Когда <о<р, л/2<а<л.
т. е. вынужденные колебания отстают больше чем на а = л/2. Когда
w = p, tga=oo, т. е во время колебательного движения система
занимает свое среднее положение в тот момент, когда возмущающая
сила достигает максимального значения.
Анализируя выражение для амплитуды вынужденных коле-
баний, имея при этом в виду, что
4 Q ’
находим
G)2
eg
Q
д __ gPQ Р _
о2 Qcg с
(21.42)
где бет — перемещение, которое возникло бы при статическом при-
ложении максимального амплитудного значения возмущающей сил .
Имея в виду формулу (21.42) неделя числитель и знаменать
выражения (21.40) для амплитуды VI на квадрат круговой част
собственных колебаний со2, получаем
где у=2п/<о— коэффициент, зависящий от величины
(21-43)
силы сопр°-
:цту^а
|е1Л£'
тивления. й
При очень большом периоде вынужденных колебаний аь -
вынужденных колебаний приближается к статическому пер
нию ($1>6„). При Т^Т и малом затухании 'Л -+<х>.
ясдениые колебания с учетом рассеяния энергия
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Я
2
(21.44)
Р
О)
О)
Рис. 551
Рис. 552
Как указывалось, при расчетах амплитуд вынужденных колеба-
ний удобно пользоваться коэффициентом нарастания амплитуды
колебаний р, представляющим собой отношение амплитуды 'Й
вынужденных колебаний к статическому перемещению 6СТ:
‘21
На основании уравнения (21.43) выражение для коэффициента р,
очевидно, будет
₽=
Ут^
4ргп2
Представив p = f (p/w) графически при различных значениях у
(рис. 551), получим так называемые резонансные кривые, наглядно
иллюстрирующие зависимость амплитуды вынужденных колебаний
от соотношения частот (периодов) свободных и вынужденных коле-
баний при различных демпфирующих характеристиках системы,
определяемых значением коэффициента у.
Графическое представление величины сдвига фазы a = f\ (р/ы)
при различных значениях коэффициента у приведено на рис. 552.
Из этих диаграмм видно, что в области, близкой к резонансу, имеет
«есто очень резкое изменение фазы вынужденных колебаний в том
случае, если затухание мало.
Пример 86. Электродвигатель весом 4 кН, делающий п = 1000 об/мин,
установлен на двух швеллерах, консольно заделанных в стене. Подобрать
сечение швеллеров, если расстояние от стены до центра тяжести двигателя
,==/ м, вертикальная составляющая центробежной силы, возникающая от
неуравновешенности двигателя, равна Р sin где амплитуда центробежной
силы Р составляет 25 % веса двигателя.
Сечение швеллеров должно быть таким, чтобы собственная частота коле-
аний системы примерно на 30 % была больше частоты возмущающей
силы, т. е.
Пс== 1,3и= 1,3-Ю00= 1300 колеб./мин,
или
сос==2^£. 3,14-1300 ,
^0~=------30—с =,36с ’
а возникающее напряжение не превышало допускаемого |о]=100 МПа.
610
__________________________________________________ Упругие колнц
Колебательную систему, представляющую собой мотор на швеллеп
достаточной степенью точности можно рассматривать как систему с '>а3!’ с
степенью свободы, для которой собственная частота может быть опв<>п°ДНо®
по формуле (21.5):
<0с= Л/-Г- =136 с '
V ®СТ
откуда
и 981
6ст——5-=----т; см = 0,053 см.
ы? I362
С другой стороны, статический прогиб двух консольно закреплении
швеллеров х
6CT=f= 3£.2/г
Отсюда определим момент инерции одного швеллера;
Q/3 4-13
*г~ 6£6ет ~ 6-2-108-5,3-10 4
6,29 -106 м4=629 см4.
Согласно таблице сортамента, ближайший по размерам швеллер № 16 t
моментом инерции
Д=747 см4.
Для швеллеров № 16 частота собственных колебаний системы
/ £-ЗЕ-2Д _./ 9,81-6-108-2-7,47-10-6 _ ,
— V^qF-= V—--------------4Т---------с -,47с
или
30ыс 30-147
пс =--——---------«1400 колеб./мин,
л 3,14
что выше частоты возмущающей силы на
1400-1000 о/_ л0/
----—-------100 %-40 %.
Проверим напряжения, возникающие в швеллерах, с учетом вибрадиои
ной нагрузки. Напряжения в швеллерах (под действием веса мотора)
Ммаке <2/ 4-10-3
С*ст' "Г
w2
МПа =21,6 МПа.
2«7г 2-9,34-К) 5
Коэффициент нарастания амплитуды колебаний, согласно выра*еиИ
(21.20),
Тогда величина напряжения с учетом динамичности
PI I-I0-3-!
Оо = р—=2,04 ——— ------Ц-МПа =±11 МПа.
2U4 2-9.34-10 5
Максимальное напряжение в швеллере
Омане=Ост + о0=(21,6 + 11.0) МПа=32,6 МПа<(о|=100 МПа.
www.vokb-Ia.spb.i4i - Самолст
611
еская скорость вращения вала
------------------------------
g 137- Критическая скорость вращения вала
р!з практики эксплуатации машин известно, что вращающиеся
пь1 при некоторых вполне определенных для данной машины
ва’ х оборотов, попадая в резонанс, становятся динамически
4 остойчивыми; при этом могут возникать большие поперечные
НДебания. Число оборотов, при котором обнаруживается указанное
явпение резонанса, называется критическим. Легко показать, что
критическая скорость для вала соответствует числу оборотов вала
в секунду, равному собственной частоте его поперечных колебаний.
Для доказательства рассмотрим вращение вертикального вала
с одним диском посредине (рис. 553, а).
Предположим, что центр тяжести С диска отстоит от его оси на
расстоянии е (при посадке дисков на вал избежать эксцентриси-
тета е практически не удается). При вращении такой системы на вал
будет действовать центробежная сила, вызывающая его изгиб:
Г=-^-о>2 (w 4-е),
где со угловая скорость вращения вала;
w прогиб вала в месте посадки диска.
Найдем реакцию сил упругости вала в месте приложения центро-
бежной силы:
P=cw,
где с — изгибная жесткость вала, которая, например, для вала по-
стоянного сечения при размещении диска посредине между опорами
(21.45)
Из условия равновесия очевидно, что Т = Р. Подставляя вместо
' и Р их выражения, получим следующее уравнение для опреде-
ления ш:
Q
~в~ (ю 4- е) о2=cw.
последнего уравнения
g/jfe_ е
4^1 ’
Ь> Q 1
^Мея в виду [см. формулу (21.26)], что
Q
пРедсТяв
ВЛяет собой квадрат собственной частоты
ь,с»Кц0Чных колебаний вала, уравнение (21.47)
L ПеРеписать так:
C =
(21.46)
(21.47)
e
Рис. 553
612
(21-48)
Из этого уравнения видно, что прогиб вала w быстро увели
вается с приближением значения угловой скорости вращения вдИ
и к собственной частоте <>>,. поперечных колебаний вала. Крит Н
ская скорость вращения вала е
(21.49)
При этом знаменатель в выражении (21.48) равен нулю, а поэтому
прогиб теоретически равен бесконечности, т. е. должен безгранично
увеличиваться вплоть до разрушения вала. В действительности же
из-за имеющихся в системе потерь энергии, которые в приведенном
расчете не учитывались, на практике при попадании вала в резонанс
прогибы не всегда принимают значения, опасные для эксплуатации.
Интересно отметить, что при скоростях вращения вала, больших
критических, амплитуда колебания вала существенно уменьшается,
колебания затухают. Опыты показывают, что при to>wc центр
тяжести диска располагается между линией, соединяющей опоры,
и искривленной осью вала (рис. 553, б). В этом случае уравнение для
определения прогиба будет иметь вид
-О- (w — ё) о>2 = cw.
откуда
е_______е
eg ~ <4 ‘
со2
(21-50)
Отсюда видно, что с увеличением скорости вращения вала проги
уменьшается и приближается к эксцентриситету е, т. е. при очей
больших скоростях центр тяжести диска достигает линии, соедини
щей опоры, и изогнутый вал вращается вокруг центра тяжест
диска.
Пример 87. Определить диаметр вала турбогенератора мощност^*
= 73,6 кВт, несущего посредине пролета длиной 1=100 см диск ^рртое
= 1,50 кН, в двух случаях: 1) для жесткого вала с критическим числе>
выше п=3000 об/мин на 35 %; 2) для гибкого вала с критичес с массо^
оборотов ниже рабочего числа в три раза. Массой вала по сРаг<Ш^п„ Е^^
диска пренебречь. Дано: эксцентриситет е = 0,01 см: о]—SO М
Х/05 МПа. Ганий систеМь1
Для первого случая определяем собственную частоту колео
, пп 3,14-3000 _| _|
<ож = а>,р= 1,35-—=1,35-—-----с =424 с .
www.vokb-hi.spb.ru СамолЗт своими
613
ческа я скорость вращения вала
Диаметр жесткого вала находим из выражения
(1)ж
откуда
4 / <b24QZ3 _ / 4242-4-1,5-10~3-13 о,г,„_2
И= — = V —-—-— ---------г------- м =8,75-10 2 м=8,75 см.
° V 3gEn V 3-9,81-2-105-3,14
Его максимальный прогиб при колебаниях
---= -737^7—-7— м = 1,22-10 4 м = 1,22-10 2 см.
0 =
Нормальные напряжения от изгиба
6Edf 6-2-106-8,75-Ю-2-1,22-10 ’ „ 1ООАДЛ
---~-------------------75-------------МПа = 12,8 МПа.
I2
Касательные напряжения, вызванные скручиванием,
Мкр 9549М 9549-73,6-IO"6-16 МГ1 , о „дгл
т= -г7г =-----зз----=-------7--------------- МПа = 1,8 МПа.
Wp 2,4 „ 3,14 (8,75-10-2)3 3000
16
с
Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности
Оэк»1н=л/о2 + 4т2 =-\/12,824-4-1,82 МПа = 13,3 МПа<[о]=80 МПа.
Во втором случае собственная частота колебаний системы с гибким валом
ы лн 3,14-3000 .
<1)г=(,жр=т=ж-=-^г-с ' = 105
Диаметр гибкого вала
d= 4 / цг4(?/3 _ 4 / 1052-4-1,5-10~3-1
V 3gEn — V 3-9,81 -2-10*.3,14
Динамический прогиб
м=4,35-10-2 м=4,35 см.
е
г~—х?
1=
0,01-Ю”2 ,
-----75—гтг м = 1,13-10
м=1,13-10-2 см.
Нормальные напряжения от изгиба
о= GEdf 6-2-10s-4,35-10~2-1,13-10"
МПа=5,9 МПа.
7^ 1
Касательные напряжения кручения
9549N 9549-73,6-10 6-16 „„ , „ „„
ц7-------73----—--------------------------МПа = 14,6 МПа.
” л° „ 3,14(4,35-10 2)33000
16
Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности
°э“» ш= д/о2 + 4т2 _ -^5 92-1-4.14,6г МПа =29,8 МПа <[о]=80 МПа
______________________________________________УпРУгие крЛрб:
§ 138. Свободные колебания системы с двумя
или несколькими степенями свободы
Системой с двумя, тремя и т. д. степенями свободы называет
как указывалось выше, такая система, положение которой в люк”’
момент времени может определяться соответственно двумя, тпр°И
и т. д. независимыми параметрами. я
Типичными колебательными системами такого рода, часто встпр
чающимися в машиностроении, являются вал с несколькими Дис
ками (рис. 554), совершающий крутильные колебания, балка с це
сколькими сосредоточенными массами (рис. 555), совершающая по
перечные колебания, и т. п. В первом случае движение описывается
углом поворота вокруг продольной оси вала, а во втором верти-
кальным перемещением сосредоточенных масс в направлении, пер-
пендикулярном к оси балки. Примером колебательной системы, в
которой движение массы определяется одновременно линейным
смещением и углом поворота, может служить кузов автомобиля,
схема которого приведена на рис. 556.
Рассматривая колебания упругих систем с несколькими степе-
нями свободы, дифференциальные уравнения движения во многих
случаях можно получить, как и в случае систем с одной степенью,
свободы, пользуясь принципом д’Аламбера.
Движение массы т в пространстве рассмотрим в координатной
системе xyz. Составляя уравнения равновесия к равнодействующим
X, У и Z всех внешних сил, действующих на массу и направленных
соответственно вдоль осей х, у и z, необходимо добавить силы инер
ции. Составляющие сил инерции на направлениях х, у, z равны со-
ответственно — тх, —ту, —mz. Тогда уравнения движения будут
X — тх 0; Y—my=0; Z — mz—0
(21.51)
Если рассматривается система из нескольких масс, свободных в про-
странстве, то уравнения (21.51) должны быть написаны для каждой
массы системы.
Теперь рассмотрим применение принципа д’Аламбера для
ставления уравнения движения колебательной системы (рис. 55/. Ь
состоящей из двух масс mi и т^ и двух пружин с жесткостями ci н 2
Будем полагать, что указанные массы могут перемещаться без тр
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
ния только в горизонтальном направлении вдоль оси х. Перемеще-
ние первой массы обозначим через второй — через х2.
В процессе колебания на массу mi в качестве внешних сил дей-
ствуют сила CiXi натяжения первой пружины и сила с2 (х2—Xi)
натяжения второй пружины. Силами сопротивления пренебрегаем.
Тогда, пользуясь принципом д’Аламбера, уравнение движения пер-
вой массы
X—mtx=0
запишем в виде
— cix(-|-с2 (х2 — х()—m।Х| == О,
или
QmiXi + ciXi —с2(х2—Xi)—0. ( 21.52 )
На массу т2 действует только сила натяжения второй пружины
~е2(х2 —Х|),
3 Уравнение движения будет
£йХг + с2(х2—Xi)=O.
(21.53)
сп.^СЛи система имела не две, а три или более последовательно
Чиненных масс, то уравнение движения для каждой из масс со-
«ил аЛ° ТРИ или более неизвестных координат. Так, например,
°пп1 *пРУ™сти пружины, действующие на i-ю массу, полностью
^Делятся смещениями х, |, х, и х<+1 (рис. 557, б).
восп°СТавляя дифференциальные уравнения движений, можно было
°льзоваться и другим методом.
МО>К| ИСтвительно, при рассмотрении той же колебательной системы
Чру^0 было бы считать, что имеются две связанные между собой
"'/Д|ХНЬ1 ^>ИС’ н)> к°торые подвергаются действию сил инерции
МаСс / и —тгх2, приложенных соответственно в местах удаленных
' очки / и 2). Тогда первая пружина нагружена силой —mtXi —
616
—/П2Х2, а вторая — силой — m2X2. При этом перемещение
массы, равное удлинению первой пружины,
первой
Xl
— mixi — mzxi
Cl
По-
а перемещение второй массы определится суммарным удлиненно
обеих пружин: *
т2х2 —miXi—т2х2 т2х2
Х2 — X j----—--------------------.
С2 с2
Несколько преобразовав последние уравнения, окончательно
лучим
Х|С|4-Щ|Х|+щ2Х2 = 0, (21.54)
Х2С|С24-С2 (щ,Х| +<712X2)4-^1^2X2 = 0. (21.55)
Полученная система уравнений движения (21.54) и (21.55) экви-
валентна системе уравнений (21.52) и (21.53), но отличается своей
структурой.
Заметим, что второй способ в задачах рассмотренного типа гро-
моздок, так как смещение, например, концевой точки зависит от
сил инерции всех масс, а следовательно, выразится через вторые
производные от смещений всех точек.
Кроме указанных двух способов, существует третий, наиболее
общий способ, основанный на применении известных из теорети
ческой механики уравнений Лагранжа второго рода, которые при
отсутствии сил сопротивления и внешних возмущающих сил имеют
вид
d ( ST \ аг ди
dt \ дх, ) дх, 3
(1 = 1, 2, 3, . . ., П)
где Т и U — соответственно кинетическая и потенциальная энергия
системы. и.
Применяя уравнения Лагранжа для составления уравнении д
жения рассматриваемой двухмассовой системы, прежде всего за
шем выражения кинетической и потенциальной энергии этой спет
т 7И|Х| , ГП2Х2
1 ~~ 2 ’ 2
,, _ CtXi сг (хг—Х|)у
V 2'2
Соответствующие производные, входящие в уравнение
такие:
(21.56)
дТ дТ
-^—=Ш2Х2\ -
0X1 ох2 0X1
о; =0;
дхг
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Свобод^!.
колебания системы с двумя или несколькими степенями свободы
617
d (Л-Л — т\х.\-, — (~^—\ — т2х2;
dxt ' dt \ дх2 /
al
J^-=C|X| — с2(х2—Xi); —=с2(х2—X|).
dxi 1
Тогда уравнение (21.56) применительно к рассматриваемому слу-
чаю примет вид
miXi + ciXl ~С2 (х2—Х|)=0; т2х2-]-с2 (x2—Xi)=0.
Заметим, что уравнения, полученные из уравнений Лагранжа,
всегда совпадают с уравнениями, полученными способом, основан-
ным на использовании принципа д’Аламбера. В некоторых случаях,
в частности для систем цепной структуры типа рассматриваемой,
по соображениям простоты выкладок следует пользоваться первым
способом; при расчете изгибных колебаний оказывается более
удобным второй.
Итак, предположим, что уравнения движения системы с двумя
степенями свободы одним из рассмотренных способов получены.
Пусть эти уравнения имеют вид (21.52) и (21.53):
miXi + ciXi — с2 (х2—Х|)=0;
( Z 1.0 / )
т2х2-)~С2 (х2—xi) = O.
Решение системы этих двух линейных дифференциальных урав
нений с постоянными коэффициентами можно искать в следующей
форме:
X|=Ai sin (о/-рос);
x2 = A2 sin (а>/-|-ос),
(21.58)
где X|, А2, со и а — постоянные, которые нужно выбрать так, чтобы
Удовлетворялись уравнения (21.57). Подставляя решения (21 58) в
Уравнения (21.57), получим
WiA.iO)2 -р С|А| —с2 (Х2— Х|) = 0;
^wsW-Pc2 (Л,2 — Z,i) = O,
или
(2159
A|C2 + X2(c2-m2(o2) = 0.
и ч^Г,авнения (21.59) содержат три неизвестных: амплитуды Х|, Л2
нельзТотУ 10 Из этих двух уравнений найти указанные три величины
РасСмЯ’ °Днако из них можно определить частоту. Действительно,
теЛЬ1] атРивая систему уравнений (21.59), видим, что случай колеба-
Равеи<>10 Движения, когда Я.1=/=0 и Л2=#=0, возможен тогда, когда
°Th<v. нУЛю определитель указанной системы однородных уравнений
>тельно и л т_ е. когда
618
C|-f-c2 — mi(oz — c2
— C2 C2 —/n2d)2
=0.
Написав этот определитель в развернутом виде, после
ваний получим
преобРазо-
а>4- pl+£^+^W + _£l£=L_==o.
\ mi П22 / пит?
Это уравнение является квадратным относительно со2, и легко по
казать, что оно имеет два действительных положительных корня-
^2___ I / <Г 4~Сг с? \_ 1 / Ci-j-сг Сг \2 С|С; _
1 2 \ mi m2) V 4 у щ т2 / mim2 '
.,2 I / ci+cs । с2 \ , —, / I ( ci-f-Сг । c2 \ cic2
V тг
Соответственно могут быть получены и две собственные частоты:
(21.60)
Получившийся в соответствии с выражениями (21.60) двухчас-
тотный колебательный процесс в общем виде следует записать так:
Х|=Лц sin (o)|/-}-ai)4-Z.|2 sin (w2/ + a2); i ЛM
x2 === A2| sin((O|/ -|- ct।) -J- X22sin(<o2/ -|- ot2).
Здесь первый индекс у амплитуды Л показывает номер координаты,
а второй номер слагаемого в строке, или номер частоты.
Амплитуды колебаний связаны отношением, определяемым из
первого или второго уравнений системы (21.59):
Л 2 C i 2 _ Xg Сг
Л, Сг К, Сг — т-гог
или в соответствии с принятой индексацией
Z.21 Ci+C2 — тко(
х 21 =-----=-------------:
?-• 1 Сг
^гг Сг
Х22 =— =------------- .
Л12 c2 — т2ыг
Тогда уравнения (21.61) могут быть записаны в виде
xi =А| । sin (<oi/ + «i) + ^i2 sin (со2/ + а2);
х2 — х2|Х| j sin (со, / -f-ос।)-f-x22?i12 sin (<o2Z -)-cc2).
www.vokb-Ia.spb.ra - Самолет
619
F бодные к°ле^ания системь1 с двумя или несколькими степенями свободы
эТом собственные частоты о>> и сог, а также отношения амплитуд
* Р хгг зависят от параметров колебательной системы. Что касается
х2'чений амплитуд Лц и Л21, а также углов сдвига фаз oil и аг, то
зН должны быть определены из четырех начальных условий, вы-
°Н>каюших значения смещений и скоростей обеих масс в начальный
момент времени.
В случае, когда движение системы вызвано ударом по массе щ2,
что соответствует следующим начальным условиям при t=0:
Х|(0)=0; х2(0) = 0;
;,(0)=0; х2(О)=ио,
и3 уравнений (21.62) получим
Xu sin а> ф-Л)2 sin а2=0;
X2)Xn sin ai +х22Л|2 sin а2 = 0;
Хит cos ai 4-Л|2Ы2 cos аг = О;
у.21Кц<й| cos a, -}-x22A.i2ft>2 cos a2 = Vo.
Отсюда, поскольку <0|, <02, X21 и x22 известны, находим, что
____r. _n. a ____ Co 1 , л ___ Vo I
ai=a2 — u, An—----------------------, Л|2 = —->-.
<"l X2I—X22 <i)2 X22— X21
Подбирая искусственным образом начальные условия так, чтобы
амплитуда Л|2=0, можно получить одночастотные колебания, опи-
сываемые одной гармоникой:
*п=Лц sin (со114-a 1);
Х21=ХЯ1Х|| sin (со11-f-a 1).
Колебания, описываемые одной гармоникой, называются пер-
выми нормальными колебаниями. Поскольку величина х2| отношения
амплитуд не зависит от начальных условий, то рассматриваемые
одночастотные колебания характеризуются вполне определенным
^отношением амплитуд, зависящим только от параметров системы.
бани“)ВаТеЛЬН°’ Х21 опРеделяет перву>о нормальную форму коле-
Х22^Т>°Рая Ф°Рма колебаний, очевидно, определится отношением
При~~^2/^12 в том случае, когда начальные условия выбраны такими,
банцК0ТОРЬ1х ^и=0 и осуществляются вторые нормальные коле-
я> описываемые формулами
l2s=bi2sin W-|-a2);
*22^.. , . , (21.64)
422A12 Sln _|-a2).
*'ИслоМеТим’ что число нормальных форм колебаний и равное ему
к°лебаСо6ственных частот совпадает с числом степеней свободы
тельной системы и что две нормальные формы колебаний
(21.63)
620____________________________________ Упругие КОЛЫШИ
ортогональны, т. е. имеет место соотношение
tn |Х| |Х| 2 tn2k2{ Х22 =0.
Установив общие принципы определения основных параметп
колебаний упругих систем с несколькими степенями свободы, пеп
йдем к рассмотрению важнейших видов колебаний, часто встречаю
щихся в инженерном деле.
§ 139. Крутильные колебания валов
и систем передач
Представим себе механическую систему, состоящую из упругого
вала с насаженными на него дисками (рис. 558, а), совершающую
крутильные колебания. Пусть /|, /2, /з, - А— моменты инерции
масс дисков относительно оси вала, a <pi, 4)2, <рз, ..., <рп -углы
поворота дисков при колебании; с,, с2, Сз, .... сп — жесткости
различных участков вала при кручении:
Г - GJ'
I,
Здесь /, — длина соответствующего участка.
Поскольку щ, с2, Сз, • - • представляют собой крутящиеся моменты,
вызывающие закручивания соответствующих участков вала на один
радиан, то Ci(<pi— <рг); с2 (у>2—фз); •••—крутящие моменты,
возникающие в сечениях при взаимном повороте первого и второго
дисков на угол <pi—<р2, второго и третьего— на угол <р2—фз и т. д
(рис. 558, б).
Пренебрегая моментом инерции массы вращающегося вала по
сравнению с моментами инерции /ь /2, - вращающихся масс
дисков, кинетическую энергию колеблющейся системы можно пред-
ставить в виде
7'=у-Лф2+-£-Аф2+-|-/зфз4-. - • (21.Р5)
Потенциальная энергия рассматриваемой системы с п степев*1
свободы за счет упругой деформации вала
г; V1 МфЛ)*
или
. бб )
(ф|— <P2)2 + 4-C2(sP2 — фз)2+-|-Сз(фз — ф4)2+ (2
Пагран*2
Подставляя выражения (21.65) и (21.66) в уравнение •’ с^г,г
(21.56), получим следующие дифференциальные уравнения
ных крутильных колебаний вала:
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
пьные колебания валов и систем передач
Рис. 559
рис. 558
(21.67)
(21.68)
будем иметь
(21.69)
Подставляя решения (21.68) в уравнения (21.67),
/Л1«2 — с, (X,— Х2)=0;
(Аг—Л3)=0;
Ф| = Х| cos (ы/4-Чг); ф2=Л2со5(о/4-У), ...
/2ф2 + Сг(ф2 —фз) —Ci (ф|— фг)=О;
/зфз+Сз (фз —ф4)—С2 (ф2 — фз)=0;
Jn — |фп— I + Сп— | (ф„ _-1 ф„) Сп — 2 (фп — 2 — фп
Jпфп Сп — I (фп — I фп ) 0.
CtfVt'Vzl
Складывая эти уравнения, получим /|ф|+/2Ф2+.. .-|-/лфп=О,
откуда
+ /2Ф2 + Лзфз+• • .+ Дфп=const,
т. е. момент количества движения системы вокруг оси вала при сво-
бодных колебаниях остается постоянным.
В дальнейшем этот момент количества движения будем прини-
мать равным нулю. Этим самым исключаем из рассмотрения любое
вращение вала как твердого тела и рассматриваем только колеба-
тельное движение, вызываемое скручиванием вала.
Пользуясь общими методами решения полученной системы диф-
ференциальных уравнений (21.67), решение ищем в виде
I Jjc
Дли-1 Чив из этих уравнений Л| и Х2, получим частотное уравнение
1 тОпРеделения со\
'Ним В С,1У,|ае тРех Дисков (рис. 559) система уравнений (21.69)
______________________________________________________Упругие к
7iX|W2— Ci (Xi—Хг)=О;
/гХго)2 + С । (Х| —Хг)— Сг (Хг— Хз) = 0; ^2| у л,
IзХз<в2 + С2 (Хг — Хз) = 0.
Сложив эти уравнения, получим
/|Х| -ЬМг + Мз^О. (21 71}
Из первого и третьего уравнений системы (21.70) найдем, что
. —С1Х2 . >, =_____C2'f-'2_
Z,~/lt02-C1 ’ W-C2- (21.72)
Подставляя выражение (21.72) в формулу (21.71), будем иметь
/l/2/з ,,4 //1/2 + /1/3 । /2/3+/1/3 \,,2 । ц । I । 1 \ п _
“ V----с.----+-----Т,---Г +(7|+/2 + /з) = 0. (21.73)
Решая это уравнение относительно ы2, можно получить два кор
ня со2 и col, соответствующие двум главным видам колебаний. Под
ставляя найденные значения uj и <02 в уравнения (21.72), получим
значения отношений амплитуд Х|/Х2 и Х2/Х3 для двух главных видов
колебаний и тем самым установим состояние системы во время ко-
лебаний. Указанные два вида колебаний для трехмассовой системы
представлены на диаграммах / и II (рис. 559) соответственно для
одноузловой и двухузловой форм колебаний.
В случае четырех вращающихся масс уравнение частоты получрм,
приравняв к нулю определитель уравнений (21.67) при п =4. Ре-
шая его, получим четыре корня уравнения, из которых один вслед
ствие свободного вращения вала как твердого тела вокруг его оси
окажется равным нулю, а остальные три (отличные от нуля) дадут
частоты трех главных колебаний рассматриваемой системы.
§ 140. Поперечные колебания стержней
с сосредоточенными массами
С поперечными колебаниями стержней весьма часто приходится
встречаться в машиностроении, и в частности в турбостроении, г
применяются валы с прямолинейной осью, несущие ряд Дис
Поскольку такие валы имеют значительные пролеты, то весьма ва
определить критические скорости вращения этих валов, что
но с изучением их поперечных колебаний. <
Изучение поперечных колебаний валов начнем с рассмотр^о
упругой балки на двух опорах, несущей произвольное колич
сосредоточенных (точечных) масс mi, т2, .., т„ (рис. 560)-^^И I
Решая поставленную задачу, воспользуемся вторым сп ^щей
(см. § 138), согласно которому к упругой системе, не облаД
массой, необходимо приложить силы инерции —nuw\\ ’еме
— mnwn, где wt, w2.... wn — соответственно поперечные
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
еречные колебания стержней с сосредоточенными массами
ниЯ (прогибы) оси балки в месте приложения масс ть т2,..., тп,
.......wn — вторые производные этих перемещений по времени.
2 Выражения для указанных перемещений могут быть обобщенно
представлены в каноническом виде:
— miWifiii — m2W26i2—- •mnwn6i„;
„о== — miwi62i — m2W2f>2-2—... — mnwnf>2n',
ivz ...... .......
ц| = — miwi6ni — m2W2f>n2—- -mnwnt)nn,
где — перемещение в направлении i, вызванное единичной си-
лой, действующей в направлении k.
Эти коэффициенты при изгибе определяются по методу Мора:
623
(21.74)
С ММ ,
J EJ '
о
где Mt (х) и Mk (х) — изгибающие моменты, вызванные соответ-
ствующими единичными силами
Pi=— miWi=l; Рк= ~tnkwk=\.
Эти коэффициенты могут быть вычислены также при помощи
формулы Верещагина:
—ёу—,
где (>, — площадь эпюры Mj_ (или части М,);
Мск — ордината эпюры Мк, расположенная против центра тя-
жести площади £2,.
Напомним также, что, согласно теореме о взаимности перемеще-
ний (теореме Максвелла),
^й=6и-
Основная система уравнений (21.74) в простейшем случае для
колебательной системы с одной степенью свободы приводит к одному
Уравнению с одним неизвестным:
w | ".
' miWiOii,
эквивалентно известному уравнению
^+6^=0,
П°СК0льку
ЯпЛигг
бОц “стемы с двумя степенями сво-
На основании уравнений (21.74)
Рис. 560
получим систему двух уравнений с двумя неизвестными функци 1
прогиба wi и W‘>:
Wi = —rniWidu —
W-2= ——m2U>2&22-
При решении системы уравнений (21.74) функцию прогиг»
можно принять в виде а
w, = X, sin (ш/+ а\
Подставляя это выражение в основные уравнения (21.74), получим
следующую однородную систему алгебраических уравнений относи-
тельно неизвестных амплитуд X, и частот со,:
Xi (Щ|6цсо2—1)“ЬХгШгйы^2Ч- Ч-ХпЩп6|П<о* — 0;
X| tn 1621 со~ Ч~ Х2 (Ш2622Ч) —1 )Ч~---Ч-ХпШпболЧ) =^01
..................................................... (21.75)
Xitn16П ।со2 Ч-Хг/Игбпгсо2Ч- - -Ч~^-п (win6n«co 1)=0.
При наличии колебаний амплитуда X,- не обращается в нуль, если
определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений
(21.75), равен нулю, т. е.
/П|6||СО2— 1 /П2612СО2 («СО
Ш | 62 tTl2^22^ — 1 f^n^2n W
fTl 1 со2 Щгбпгю2 1
(21.76)
Написав этот определитель в развернутом виде и обозначив через
а, коэффициенты при различных степенях со, получим частотное
уравнение n-й степени для квадрата частоты со:
1 -cz,co24-(Z2CO4 -а3со6Ч-. • -Ч-(- I)" ажо2" = 0. (2,77)
Из уравнения (21.77) получим
(СО| > С02>- - •> <оп).
Тогда общее решение системы уравнений можно записать так-
wt = Хи sin (со11Ч- cti)Ч~Х»2 sin (co2^4~et2)4~- - .Ч”^«п sin (сов/Ч~
или в развернутом виде:
wi =Хц sin (coi/-l-a1)4-Xi2 sin (со2/Ч-аг)Ч-- • -Ч-^ы sin (сол/Ч"ап)’
пу2 = Х2| sin (coiZ4-“i)4-^22 sin (со2/Ч~“г)Ч~• • -Ч-^2п sin (соп/Ч-®").’
пУп = Х„| sin (оц/Ч-аОЧ-^пг sin (со2/Ч~а2)Ч-- • -Ч-^nn sin (со„/Ч-0^’
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
625
е колебания стержней с сосредоточенными массами
^еречн^.--;-------------------------------------
Таким образом, в каждом направлении i= 1, 2, . .п происходят
бания с большим спектром частот.
к0’1^ частном случае системы с двумя степенями свободы уравнения
(2175) примут вид
(ди б 1111)2 —1) + 120)2=0;
? ltn,62iw2 + 7-2 (m2622co2 — 1) = 0.
Определитель (21.76) при этом будет
Ш.биСО — 1 "126.20) =о.
m2622co2—1
| Записав определитель в развернутом виде, найдем частотное урав-
нение
и4 (611622 — 612) mitn2 — со2 (6цШ| +622^2)+ 1 =0,
откуда первая и вторая частоты колебаний определятся соответ
ственно формулами__________________
“•= V^11622 l6?2m2j[6ll+622 ^r+
+ ^/(би + бгг-^у-) — 4 611622 — 6?г)-^-] ;
д! 1 2—Гби+622—-
’ 2(611622 — 6?у) Ш2 L
- "\/( 6!, + 622 - 4 (6,, 622 - 6Ь)
Пример. 88. Определить собственную частоту колебаний балки (рис. 561),
несущей три одинаковых сосредоточенных груза массой m каждый.
Прежде всего определим перемещения уточек приложения грузов под
Действием единичных сил Р| = 1, Р?=1 и Рз=1- С этой целью построим
эпюры изгибающих моментов от указанных единичных сил (рнс. 562). Поль-
зуясь формулой Верещагина, найдем перемещения от единичных нагрузок:
6ii~ 633=75fe; 622 = 243 ft; 621 = 612 = 632 = 623— 117ft; 613 = 631 = 51 k.
где
»з
9-1296£/ '
Имея значения б,„, составим определитель, аналогичный выражению
l^mkia2— 1 Н7огйш2 117mftio2 243mftco2 — 1 51 mA: co2 117mftio2 = 0.
Slmftco2 I17mftG>2 75mka>2— 1
Записав полученный определитель в развернутом виде, найдем vdM
ние частоты:
77 760 (mfcco2)3-12 096 (mW)2 + 393 mW - 1 =0.
Это уравнение имеет следующих три корня, соответствующих трем значениям
собственных круговых частот колебаний рассматриваемой упругой системы
5,692 Г EJ
22,05 ( EJ
0)2 1 V ~тГ <21-81)
36,00 1 <оз=—j— у f EJ (2Ш)
§ 141. Колебания упругих тел
с распределенными массами
Поперечные колебания струны. Выведем дифференциальное ура6'
нение поперечных колебаний струны. Для этого рассмотрим откло
нение струны, закрепленной в точках А и В (рис. 563, а)- Первона
чальное ее натяжение пусть будет Р. Будем считать отклоне
незначительным, а изменением усилия натяжения Р при этом И
небрежем, т. е. P = const. Длина струны I. С1(.
Полагая, что при отклонении все точки струны находятся в
кости ху, рассмотрим элемент струны, имеющий массу dm', к°н т()Ч.
точки его х и x-\~dx. Проведем касательные к струне в кРа,1Н1| 0 а и
ках элемента; углы наклона касательных к оси х соответственно
сц (рис. 563, б). Считаем их также малыми.
Составляющая натяжения по оси Оу в точке х
У= — Р sin а.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим
I ция упругих тел с распределенными массами
а в точке x + dx
}^дУ^Р sin “ь
g СИЧУ МИЛОСТИ Углов можно принять, что
ду .
sin а дх ’
627
Sy , д2у ,
sinai^tg а‘ — о* + дх2 dx'
Сумма проекций натяжений на ось у составляет
Д’5^’
Чтобы найти уравнение движения, нужно, следуя принципу
’Дламбера, эту силу приравнять силе инерции элемента струны,
равной dm (d2y/dt2\ что дает
dm^=P^dX- (2L83)
Обозначив через Q вес всей струны, для dm получим следующее
выражение:
dm=-Q-dx,
si
где g ускорение силы тяжести. Тогда уравнение (21.83) примет
вид
jfy __ Pgl д2у
& Q дх2 •
Обозначая
М 2
(21.84)
выражение (21.84)
° IF'
запишем так:
(21.85)
° и есть уравнение плоских поперечных колебаний натянутой
ТРУНЬ1.
,еперь задача состоит в том, чтобы отыскать у как функцию от
Х и /, т. е.
(*, О-
ЭТа .
Функция должна удовлетворять:
' Дифференциальному уравнению (21.85);
I ' гРаничным условиям, т. е. при х— 0 и х = 1 ордината t/ = 0,
или
F=(0,/)=0; F (I, 0=0; (21.86)
3) начальным условиям, т. e. при t—0 она должна обращаться
в заданную функцию прогибов:
F(x, 0)==f(x). (21.87)
Кроме того, частная производная по t при 1 = 0 должна обра-
щаться в заданную функцию v (х) (начальная скорость):
=v (х). (21.88)
Условие (21.87) означает, что в начальный момент, т. е. при /=0,
струна имеет заданную форму, например такую, какую она при-
мет, если будет оттянута штифтом S (рис. 564). В момент 1=0
штифт убирают и струна начинает свои колебания.
Условие (21.88) означает, что в начальный момент все точки
струны имеют заданную скорость, в частности могут находиться и
в состоянии покоя, как это имеет место в случае, показанном на
рис. 564.
Решение уравнения (21.85), следуя методу Фурье, ищем в виде
у=ХТ, (21.89)
где X и Т — соответственно функции х и t:
X=h(*Y
Продифференцировав выражение (21.89) по х и /, получим
д2у -Y в’т 8*у — т д*х
dt2 dt2 ’ дх2 дх2 ’
После подстановки этих выражений в уравнение (21.85) послед
примет вид
Х^-^Т^
dt2 dx2
или
a? (21-9°)
Т dt2 X dx2 ’
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
629
ия упругих тел с распределенными массами
---------------------------------
павнивая правую и левую части последнего уравнения к одной
ПЫРхе постоянной величине —k2, получим два уравнения:
И
_ k2 у
dx2 а2
(21.91)
dt2
стНые решения этих двух обыкновенных дифференциальных урав-
црний следующие:
y1=cos kt~, 7’2=sin kt;
k iz k
V. =COS--x; A2=Sin — X.
Л| a a
(21.92)
В этом легко убедиться, подставив их в уравнение (21.91).
Из функции (21.92) cos (k/a) х следует исключить как выражение,
не удовлетворяющее первому из условий (21.86), так как оно не
обращается в нуль при х=0. Чтобы sin {k/a) х равнялся нулю при
х=/, нужно, чтобы kl=ana, откуда k—ann/l, где п — целое число.
Равенство kl = ann называется уравнением периодов или уравне-
нием частоты. Оно получается непосредственно из граничных
условий.
Теперь нмеем два частных решения уравнения (21 85):
ил апл , -пл апл ,
j/i=sm — xcos —у—7; #2 = sin — xsin —— t.
(21.93)
Умножив каждое из этих решений на неопределенные коэффициенты
Ли В и сложив эти два решения, получим общее решение в виде
* мл ( я апл j I d •„ апл , \ /01
у—sir —х cos —-—t + Bn sin —-—1\, (21.94)
или, полагая
Д __апл п . апл
/1"— cos —у— т„; Вп = Сп sin —-— тп,
ГДе Сп в тп — постоянные, уравнение (21.94) запишем в виде
y=CriSin-~xcos-^(Z—т„). (21.95)
Полученное уравнение характеризует движение как периодиче-
°е> т- е. колебательное. Период колебаний
Т,
_2л 21
апл ап
(21.96)
Частота колебаний
(21.97)
___ап
П Т" 21
Ри п -_1 - / " ° \
1 струна колеблется в основном тоне (с одной полуволной).
630
При n—2 струна колеблется, образуя две полуволны, при
с тремя полуволнами (рис. 565). °
Характер колебаний, которые струна совершает в действит
ности, зависит от начальных условий. Например, струна будет ке,Яь'
баться только в основном тоне, если при /=0 она имела фо°''е’
первой кривой (п = 1) и все ее точки были в покое. Если же нача^
ная форма струны иная, то кроме основного тона появляютс 1Ь
обертоны, так как колебания струны представляют совокупноеИ
налагающихся друг на друга отдельных колебаний. Уравнен^
движения примет в этом случае такой вид:
\? / л ла , . ла А - лх
у — Zj ( COS П Sin п ——t Isin П ~j- .
п
(21.98)
Для окончательного решения задачи нужно из начальных ус,,10.
вий (21.87) и (21.88) определить коэффициенты А и В уравнения
(21.98).
Из условия (21.87)
(у)/=о= 2 A. sin(х),
п =0
а из условия (21.88)
п=0
(21.99)
(21.100)
Здесь f (х) и v (х)— функции, заданные в интервале от 0 до /.
Равенства (21.99) и (21.100) требуют разложения этих функций в
ряды, члены которых представляют собой тригонометрические функ-
ции углов, кратных лх//. Эта задача решается методом Фурье, кото-
рый, как известно, заключается в том, что равенство (21.99) умно-
жают на sin т (пх/l) и интегрируют по всей длине от 0 до /. В резуль-
тате этого интегрирования получают
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своим)
631
Ляння упругих тел с распределенными массами
——
плх . тлх ,
——sin —-—dx.
(21.101)
——dx = 0,
(21.102)
о
чЛены правой части этого равенства, кроме одного, обращаются
^улЬ> так как при
f "Z^-sin
I Sin —j—bill
0
a при =
ПЛХ cin
sm—J—sin
тлх , I
-rdx=T-
(21.103)
Для доказательства равенств (21.102) и (21.103) вспомним, что
cos (a —0) = cos а cos 0-f-sin а sin 0;
cos (а + 0) = cos a cos 0 —sin а sin 0;
2 sin a sin 0 = cos (a —0) —cos (a + 0).
Тогда
i i i
S, лх nx . If (n — m) лх , If (n4-zn)nx ,
sin n — sin m — dx — — \ cos -—dx—— \ cos -——dx.
n oo
Рассмотрим второй интеграл правой части этого равенства. Он пред-
ставляет собой площадь, ограниченную кривой
»=cos(n-f-/n)-Y-
’’ ординатами х=0 и х—1. Если п-\-т — четное число, то кри-
ая имеет вид, показанный на рис. 566, а, если n-f-m — нечетное
ч»010 ВИД на Рис’ 566. б. Площади отдельных частей в обоих слу-
ях взаимно уничтожаются. Интеграл
hos(n-m) ™
о I
обращается в нуль для всех значений п=^=т, а при п = т его
ел”чина равна I.
Чденаким образом, в правой части равенства (21.101) только один
По ’ с°Держащийся в равенстве (21.103), не обращается в нуль. Он
оказанному равен Ап1/7., откуда
2 Г
""Т \f(x)sin-^-dx.. (21.104)
о
632
llllinillllllllHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHl
яя»
dx
a
Рис. 567
6
Аналогично
i
В 2 Г t \ riTix i
n=------ \ V (x) Sin —;—ax.
алп J 7 I
0
(21.105)
С помощью этих равенств вполне можно определить ряд (21
а вместе с тем и движение струны.
.98)
Продольные колебания стержней. Перейдем к рассмотрению к01е.
баний призматических стержней, обладающих в отличие от струны
значительной поперечной жесткостью. Прежде всего напомним, что
различают три типа колебаний: продольные, поперечные и кру-
тильные.
При продольных колебаниях все частицы стержня движутся па
раллельно его оси (рис. 567, а). Сжатие и растяжение поочередно
следуют друг за другом как во времени, так и в пространстве.
Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня.
С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участ
ка колеблющегося стержня. Сечения а и b (рис. 567, б), ограни
чивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются
Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть
выражено как u=f (х, f). Это уравнение указывает на наличие в
стержне относительных перемещений отдельных его поперечных се-
чений. Если сечение а перемещается на и, а b — на u-\-(du/dx)dx
то относительное удлинение в сечении а элемента dx (рис. 567, в)
ъ — ди/дх. Тогда осевая сила в сечении а
Na = EF-^L.
дх
В сечении Ь, расположенном на бесконечно близком расстоянии d*,
осевая сила
Nh = No+^E-dx = EF Г4^+4- (“W]-
' дх дх ' дх \ дх J ]
Равнодействующая этих усилий должна быть равна силе инери
элемента, величина которой при массе стержня т и длине / буДе
Тогда уравнение движения
EF^(^\dx=EL^Ldx.
дх \дх / I дб
(21.1°^
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
633
Р бания упругих тел с распределенными массами
ploc.no сокращения на dx и замены m/lF на р (плотность мате-
рНала)п^Учим
£ Р
(21.107)
Это уравнение замечательно тем, что выражаемое им движение не
зависит от размеров стержня. Если положить
р
то получим уравнение, совпадающее по форме с уравнением (21.85)
движения струны:
л2 —
dt дх*
(21.108)
Поэтому формулы, полученные при рассмотрении колебаний стру-
ны, могут быть автоматически использованы для расчета продоль-
ных колебаний стержней. При этом только потребуется подставить
соответствующее значение для коэффициента а.
Крутильные колебания стержней. При колебаниях кручения
какого-нибудь, например цилиндрического, стержня движение лучше
всего охарактеризовать волнистой линией, вычерчивая ее на раз-
вернутой поверхности стержня (рис. 568, а).
Пусть сечение на расстоянии х закручивается относительно не-
подвижного сечения на угол <р, а сечение на расстоянии x-\-dx —
на угол <p + (d<p/<?x)dx (рис. 568, б). Тогда величина относитель-
ного угла закручивания элемента длиной dx будет дц>/дх и крутящие
моменты в обоих поперечных сечениях — соответственно
и GJp(-^+^dx\.
в* р \ дх дхг )
Приравнивая равнодействующую этих крутящих моментов к мо-
менту инерции вращения элемента длиной dx, равному р/р(б2<р/д/2) dx,
ОлУчим уравнение движения
634
которое после сокращения на Jр и dx примет вид
G^S-=P^L
дхг р sd ’
(21-109)
Обозначая G/p через а2, вновь получаем уравнение в форме
лебания струны: Ко’
^-=а2^
dt2
(21.110)
Поэтому и в данном случае формулы, выведенные при рассмотрении
колебаний струны, остаются в силе.
дх2 ’
§ 142. Поперечные колебания
призматических стержней
При выводе дифференциального уравнения поперечных колеба
ний стержня рассмотрим динамическое равновесие участка dx, вы-
деленного из произвольно закрепленной балки, предположим по
схеме, показанной на рис. 569, а.
Пользуясь принципом д’Аламбера, спроецируем на ось w силы,
действующие на рассматриваемый элемент (рис. 569, б), и прирав-
няем их к нулю:
Q — q,dx — Q —dx — О,
(21.1П)
(21-112)
откуда
0Q
где Q — поперечная сила;
q, — интенсивность сил инерции массы балки, направленных
параллельно оси прогибов w;
г d2w
Здесь F площадь поперечного сечения стержня;
р — плотность материала. „ eS1
Подставляя выражение (21 112) в уравнение (21.111), нагД
уравнение поступательного движения элемента колеблют
стержня в виде
Р __ aQ (2l-,,3)
Р де <1Х ент
Кроме поступательного движения, рассматриваемый эле.
вершает также вращательное движение в плоскости wx. Для в I
уравнения движения элемента с учетом его вращения выра3
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт
рчные колебания призматических стержней
(1ол££5—-------------------------------------
635
рис- 5®®
--------------------------------------------------------------------------------
между осью элемента и осью х, зависящий не только от поворота
поперечного сечения 0, но и от сдвига у, следующим образом:
^-=0+у. (21.114)
дх
Известны зависимости между изгибающим моментом М в попе-
речном сечении и углом поворота 0 этого сечения:
(21. 115)
а также между поперечной силой Q и углом сдвига у, который в на-
шем случае отрицательный:
Q=-kyFG, (21.116)
где k — коэффициент формы сечения. На основании зависимости
(21.114) выражение для Q, согласно формуле (21.116), можно запи
гать в виде
Q==~kFG (-ТГ-0)- (21.117)
Момент инерции вращения массы рассматриваемого элемента
y2dm=~-^ y2pF(x)dx=pJ-^-dx. (21.118)
F F
циЛЧи™вая выражение (21.118) и рассматривая, пользуясь прин-
6vn М Д’Аламбера, динамическое равновесие вращения стержня,
УДем иметь
Qcfr_ дм ,
~^~dx=-pJ-^-dx. (21.119)
п 01
(21 Уравнение (21 119) на dx и учитывая формулы (21.115J и
*'), запишем его в виде
^c(^_e)_£7№.+ p/«L=0. (21320)
_______________________________________________________ УпРУгие коЛеб
-------•-еба"И1|
Продифференцировав последнее уравнение по х, получим
I гг \ г/ ^36 । I s3e п
\дх2 дх / дх3 r dxdt2 l2,-12()
Переписав уравнение (21.113) с учетом выражения (21 ц7ч
виде 1 в
r. d2w
l)F^r
kFG
'd2w д& \
. дх2 дх )
(21-122)
и исключая из уравнений (21.121) и (21.122) угол 0, легко получит
дифференциальное уравнение свободных поперечных колебании
стержня постоянного сечения.
Действительно, определив из уравнения (21.122)
г-, <5* 1 w EJ —-г- р/ (н o4w epf^-h d*w 0.
дх* kG > dx2dt2 ' дб kG dt“
д& р d2w d2w
~дГ~ kG dt2 йх2 ’
а также выразив д3@/дх3, д3®/дхдЕ и подставив их в уравнение
(21.121), окончательно получим
(21.123)
Если пренебречь силами инерции вращения элемента, а также
влиянием па прогиб поперечной силы, как это обычно и принято в
инженерной практике при рассмотрении поперечных колебаний
тонких длинных стержней, то уравнение (21.123) существенно
упростится и его можно будет записать в виде
ry j д'ш . с д W_/
EJ —г+рг
йх4 f dt2
или
dt2 "Г dx*
(21.124)
(21.125)
где
I EJ (21-12®)
представляет собой скорость распространения волны дефор
по стержню. 5) св0-
Простейшим периодическим решением уравнения (^* ваемос
бодных поперечных колебаний стержня является так на3 шеГося
главное колебание, в котором функция прогиба колебл
стержня изменяется с течением времени по гармоническому
1—--------:---------- Г21-<2/)
w=<p(x)sin (<й/ + а). ' „гй-
Функция (х), устанавливающая закон распределени а£1Ся
мальных амплитудных отклонений точек оси стержня, на
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
637
(21.128)
(21.129)
Рис. 570
иные колебания призматических стержней
——-----------------------------
имей главного колебания или собственной формой. Собственных
колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное мно-
^тво, и каждой из них соответствует определенное значение час-
* которая называется собственной частотой. Эти частоты и
т0 ветствующие им собственные формы определяют с помощью
с°аВнения собственных форм и краевых условий задачи.
'Р Для получения уравнения собственных форм подставим выраже-
ние (21-127) в уравнение (21.124). После сокращения на sin (toZ-f-a)
ролучим
Л* 4<р (х)=0,
<fx‘
где
к " EJ
Уравнение (21.128) имеет четыре независимых частных решения:
cos kx; sin kx; ch kx; sh kx,
а его общее решение может быть записано так:
ф(х)=Л cos kx-\-B sin kx-{-C ch kx-{-D sh kx.
(21.130)
Четыре произвольные постоянные А, В, С и D следует подбирать
так, чтобы функция <р(х) удовлетворяла условиям закрепления кон-
цов стержня.
В обычных случаях число краевых условий равно числу произ-
вольных постоянных — по два на каждом конце. Все они выражают-
ся равенством нулю двух из следующих четырех величин:
Ф(х); <р'(х); <р"(х); <р"'(х),
пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота (геомет-
рические условия), изгибающему моменту и поперечной силе (ди-
намические условия) при х = 0 и х=1. Выполняя эти условия, по-
учим четыре однородных уравнения, из которых найдем соотноше-
ия между А, В, С, D и частотные уравнения для определения
^венных частот колебаний рассматриваемой системы.
На *ак, например, для стержня на двух опорах (рис. 570, а) условия
Концах следующие: при х = О
Ч>//(х) = 0; при х=1 <р(х) =
3 ’ <P'W = O.
^кшем эти условия, исходя из фор-
(21.130):
| с~0; В sin klA-D sh kl = 0;
— В sin kl-\~D sh kl=0.
’Чда
______________________________________________У»РУгие
A=C=D=O
И
В sin kl =0.
Так как для нетривиального решения В#=0, то
sinfe/=0. (21.131)
Выражение (21.131) и будет уравнением частоты для рассматри
ваемого случая поперечных колебаний балки, свободно опирающейся
своими концами. Из уравнения (21.131) следует, что
k,l —in (i = 1,2,3,...),
но так как
(™=рП
то собственные круговые частоты колебаний рассматриваемой балки
ГЁ7 12л2 ГЁ7
со =/г, / 1 - - - L / 11
V т Z2 V т
а частоты колебаний в герцах
(21.132)
(21.133)
Для собственных форм колебаний балки, согласно формуле
(21.130), получим уравнение
<р( (х)=В, sin —у—,
(21.134)
где i=l, 2, 3, ...
Первые три собственные формы графически представлены
рис. 570, б.
Общее решение дифференциального уравнения (21.125) ПРИ
нительно к рассматриваемой балке на двух опорах имеет вид
оо
w (х, /) = 2 (°- cos sin со,/) sin
i= 1
Коэффициенты alt b, находят из начальных условий, выра*
щихся соотношениями
w (х, 0)=ы (х); w (х, 0) — v (х),
имеющими место в момент t=0, где и (х) и v (х)—некоТ0^реДе'
данные функции переменной х, определяющие начальное Ра<еЛ^ны>
ление по оси стержня поперечных отклонений и скоростей оТД
его элементов
www.vokb-la.spb.ru - Самолет
639
льзовапие принципа сохранения энергии прн решении задач о колебаниях
143- Использование принципа
ЬоХРанеНИЯ эне₽гии
СрИ решении задач о колебаниях
go многих случаях при решении задач колебаний систем удобно
ходить из рассмотрения принципа сохранения энергии системы.
Так рассматривая простейшую колебательную систему с одной сте-
енью свободы (см. рис. 537), легко убедиться, что кинетическая
иергия такой системы во время колебаний (массой пружины пре-
небрегаем) составляет величину
r==s^-z
' 2g
где
dx
Потенциальная энергия системы состоит из потенциальной энергии
деформации пружины и потенциальной энергии груза, зависящей
от его положения.
При любом перемещении х нижнего конца пружины растягиваю-
щая сила в пружине будет (6СТ-Ьх)с, а соответствующая потенциаль-
ная энергия, накапливаемая при этом в пружине,
(21.135)
где 6СТ — деформация пружины под действием статически прило-
женного груза Q.
Энергия пружины в положении равновесия, т. е. при х=0,
2 ’
Следовательно, увеличение потенциальной энергии в пружине при
еРемещении на величину х
~ U"= с6„х +^= Qx
„ Потенциальная энергия, обусловленная положением груза при
РемеЩении его на величину х, уменьшится на величину
(21.136)
^ДЙ L
TfHn На основании последних двух равенств полное изменение по-
За Иальной энергии колебательной системы при перемещении гру-
а величину х
2 ’
(21.137)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
640
."'’К
Благодаря тому, что груз Q всегда уравновешивается на
ной растягивающей силой, возникающей при статических раст a’lfc-
ниях 6Ст, окончательное выражение (21.137) для потенциальной Я>*е
гии системы будет то же, что и для случая, когда Q=0 и уллии*1^'
пружины равно х. : i >
Пользуясь принципом сохранения энергии и пренебрегая
рями энергии в системе при колебаниях, следует положить, что Т?
ма кинетической и потенциальной энергии системы остается’ постп М
ной, т. е.
ТU — const,
или
Q '2 । ех2 ,
— х +— =const.
(21.138)
Величина постоянной в правой части равенства (21.138) зави-
сит от начальных условий. Так, например, полагая, что при /=о
перемещение х = ху, а начальная скорость %о —О, будем иметь
Q । сх2______сх%
W -------------Г' (21-139)
Уравнение (21.139) показывает, что при колебаниях сумма кине-
тической и потенциальной энергий остается равной начальной энер
гии деформации. При этом, когда колеблющийся груз находится
в своем крайнем положении и его скорость равна нулю, вся энергия
системы состоит только из потенциальной энергии деформации. При
х=0, т. е. когда груз проходит среднее положение, скорость до-
стигает своего наибольшего значения и вся энергия системы состоит
из кинетической энергии. На основании уравнения (21.139) имеем
Q (х )макс CXq ,„1 |40)
2g 2 • '
Последнее уравнение можно использовать для вычисления частот
колебаний системы. Как уже отмечалось, в , ___
простое гармоническое движение, т. е. можем положить, что
х=Хо COS wt; (х)макс= Х()(0.
Подставляя значения х и (х)макс в
Qxpto2_cxl
2g ~ 2 '
откуда
,,2. _ eg
Q
Это совпадает с ранее полученной формулой (21.2). э(]ер-
Описанный способ, основанный на принципе сохранена
гии, весьма часто используют для решения различных инж оТрець1-
задач колебаний, в том числе более сложных, чем здесь рас
(21.И0
•372
641
в- зование принципа сохранения энергии при решении задач о колебаниях
I ------—-----------‘----------------------------------
g заключение заметим, что изложенный здесь энергетический
I оД может быть использован для получения дифференциального
"е енения колебаний рассматриваемой системы с одной степенью
'^боДЫ- Действительно, продифференцировав уравнение (21.139),
Гнайдем. что
I 0^2хх+с-х-—О-
26
I птсюДа получим ранее найденное дифференциальное уравнение
движения (21.1):
I С*—|-сх=0,
g
I ИЛИ
|;+<о2х=о,
да
I 2_ eg
Iй " Q ’
Сказанное здесь применительно к колебательной системе с одной
(степенью свободы справедливо также и по отношению к упругим
колебательным системам с несколькими и с бесконечным числом сте-
I теней свободы.
И 144. Приближенные методы определения
собственных частот колебаний
упругих систем
Способ Релея. При рассмотрении колебаний упругих систем с
-- ,дн°й и с несколькими степенями свободы мы, как правило, прене-
'панном’'случае имеем бегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся
- —п есРедоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных
риебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 537). и в слу-
|ае крутильных колебаний диска на валу (рис. 545), и в случае
авнение (21.140), получаеМ гПеРечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. 555),
в Других случаях. Хотя эти упрощения во многих практических
’Учаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения,
м не менее для некоторых технических задач желательно более
ГаДьно
рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить
,иЯние принятых упрощений на получаемое значение частоты ко-
лкий упругой системы, воспользуемся приближенным методом
^Приближенность метода состоит в том, что при его применении
некоторые допущения относительно конфигурации колеба-
Е 110й упругой системы во время колебания. Частоту колебаний
'’особу Релея определяют из баланса энергии системы.
642
Проиллюстрируем применение метода Релея на примере
баний груза, подвешенного на пружине (рис. 571). ' 'If
При допущении, что масса пружины мала по сравнению с мае
подвешенного груза Q тип колебания груза не может существен°И
зависеть от массы пружины и с достаточной точностью можно ПпН°
нять, что перемещение ее поперечного сечения на расстоянии п
закрепленного конца то же, что и в случае невесомой пружин
т. е. равно
/ ’
где / — длина пружины; х — перемещение груза Q.
Если перемещение, согласно принятому допущению, не зависит
от массы пружины, то, очевидно, потенциальная энергия системы
такая же, как и в случае, если бы пружина была невесомой.
Кинетическую энергию системы определим следующим образом.
Пусть q — вес единицы длины пружины. Тогда масса элемента пру-
жины dr] будет qdr\/g, а соответствующая кинетическая энергия
Полная кинетическая энергия пружины, очевидно,
т _ ( AV =_L_
‘~ J 2S k I dt ) 1 2g k dt ) 3 •
о
Это значение кинетической энергии пружины следует прибавить
к кинетической энергии груза
т _ Q f dx \2
l4—W\dt ) •
Тогда полная кинетическая энергия, подлежащая учету при коле-
бании системы,
г=г. + Д=^г(»!('2+4-)-
В то же время полное изменение потенциальной энергии системы
при перемещении груза на величину х, согласно уравнению •
е=<-.
Условие сохранения энергии должно быть записано в виде
1 ( dx У ] ql \ । сх2 схо (21-^2)
2g k dt ) V + з 2 ~ 2 •
Сравнивая это уравнение с уравнением (21.139), можем ,‘веццы-х
что для оценки влияния массы пружины на период с°пру>кины
колебаний нужно к весу груза Q прибавить одну треть веса I
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Это заключение, полученное при допущении, что вес пружины очень
нал по сравнению с грузом, можно с достаточной степенью точности
использовать и для случаев, когда вес пружины того же порядка,
что и вес груза. Так, для ql=0,5Q ошибка приближенного решения
составляет 0,5 %, а для ql=Q - около 0,75 % и для ql = 2Q —
около 3 %.
В качестве второго примера рассмотрим колебания груза, рас-
положенного посредине балки (рис. 572).
Следуя методу Релея и полагая, что вес ql балки мал по
сравнению с весом Q груза, с достаточной точностью можно допус-
тить, что кривая прогибов балки при колебании имеет такую же
форму, как и кривая статических прогибов. Тогда, обозначая че-
рез / перемещение груза Q при колебании, получим перемещение
любого элемента qdx балки на расстоянии х от опоры:
_ _4 уЗ
w=f - [3 • (21.143)
Кинетическая энергия самой балки
//2
} 2g \dt p ) aX~ 35 2g \dt )
0
Кинетическая энергия груза
U .£ ( dl f
2g k dt )
I
ОгДа полная кинетическая энергия колеблющейся системы
„ Q+S<?/
(21.144)
Потенциальная энергия деформации балки при изгибе
G = . M'dx
___________________________________________^^е6аИ11в
или, учитывая, что
dx
а на основании выражения (21.143)
d2w 24 fx
dx2 I3
получим
,, f EJ (d2u>\j л f EJ (24 c V j 24EJ &
)—JT A <21.145»
0 0
Условие (21 138) сохранения энергии тогда примет вид
г+„.^к(А)’+^г_сик,.
Дифференцируя последнее уравнение по t, найдем, что
Q+35v£Z о d2f df , 2-24EJ f df _n
2g dt2 dt+ I3 ' dt ’
откуда после сокращения получим
d2f , 48£J g
dt2 + ? Ir, i_17 rA
(Q + 35^‘)
или, вводя понятие приведенного прогиба 6пр:
в+й’л'
6""- «и '* (2| |46)
дифференциальное уравнение колебания груза на балке с учетом ее
массы можно представить в виде
(21.147)
dt2 Е,ч, 1
Отсюда частота v собственных колебаний груза, согласно выраже
нию (21.6),
Из формулы (21.146) следует, что для учета массы балки пр
определении частоты или периода свободных колебаний следует.
ку считать невесомой, а к весу груза прибавлять 17/35=0,486 в
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
U ибли>кеннь1е методы определения собственных частот колебаний упругих систем
645
ба.пки- Величина (17/35) (yFl/g) называется приведенной массой
балки-
В заключение рассмотрим случай поперечных колебаний грузов,
сВнзанных с балкой, лежащей на двух опорах (см. рис. 560). Пред-
п0ложим, что кинетическая энергия системы обусловлена только по-
ступательным перемещением грузов, а потенциальная — только из-
гибом балки. Далее полагаем, что колебания всех точек оси балки
происходят с одной частотой и находятся в одной фазе, тогда сво-
бодные колебания сечения балки с абсциссой х в функции времени
можно описать синусоидальным законом
Ф (х, О = w W sin (со/ + а),
где w (х) — уравнение кривой максимальных отклонений от равновес-
ного состояния, определяющее форму колебаний.
Имея в виду, что скорость перемещения точек оси балки опреде-
лится выражением
е(х, 4/)= w (х)ю cos (ш/ +а),
максимальное значение скорости запишем в виде
Счакс ~~ б)Щ (х),
а кинетическая энергия, соответствующая максимальной скорости,
Т ^|0|макс [ /Т^2^2|макс [ > /Пп^пмакс
ИЛИ
i=n
2 m,(w,?G)2), (21.148)
i= ]
где Wi — амплитуда перемещения сечения балки в месте располо-
жения сосредоточенной i-й массы.
Значение максимальной потенциальной энергии деформации из-
гиба балки, которое будет при наибольшем отклонении балки, опре-
делится выражением
П 1 f г, Г d2W (х) I2
PJ dx (21.149)
о
Приравнивая выражения (21.148) и (21.149), найдем следующую
°сновную формулу Релея для квадрата частоты:
(21.150)
646
Упругие колебания
В случае непрерывного распределения массы суммирование в зна-
менателе последней формулы заменяется интегрированием:
“2=—--------------• (21-151)
) mw2dx
о
Поскольку в рассмотренном случае форма колебаний балки при-
нята была приближенно в виде синусоиды, то формула (21.150)
дает приближенное значение частоты. Когда же известна действи-
тельная форма w (х) колебаний, то формула (21.150) дает точное
значение частоты. Вообще же уравнение функции прогиба w(x)
заранее не известно и им обычно приходится задаваться. При выборе
формы кривой необходимо стремиться отразить хотя бы примерно
форму колебаний и соблюдать граничные условия задачи (в нашем
случае условия на опорах).
Практически вместо того чтобы задаваться формой колебаний,
задаются некоторой статической нагрузкой и определяют форму
упругой линии, которую и принимают за форму колебаний. Этот
способ удобен тем, что граничные условия всегда будут удовлетво-
рены автоматически, какой бы ни была выбрана нагрузка. Прини-
мая нагрузки в виде какой-либо системы сил Pt, Р?, ... , Рп, потен-
циальную энергию изгиба можно выразить через работу внешних
сил:
i—n
и=4-2
*=1
где wt — прогибы, вызываемые принятой системой нагрузки.
Тогда формула (21.150) примет вид
,9 (21.152)
(о =--------. '
I — п
У, т,ш?
i=\
Вообще говоря, за систему сил Р, целесообразно принять
тическую нагрузку Pi = mtg. Тогда на основании выражения (21
получим
фак-
.152)
ы2 = —
У, т,и/,2
(21.153)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Приближенные методы определения собственных частот колебаний упругих систем 647
Пример 89. Определить наименьшую собственную частоту двухопорной
балки, несущей три одинаковых груза массой ш (см. рис. 561).
При решении поставленной задачи примем синусоидальную форму коле
баний:
, . . лх
w (Х)=а sin —j- .
Это выражение удовлетворяет условиях! на концах балки. Действительно, при
х=0 и х=1 прогиб и изгибающий момент отсутствуют, т. е. ш(х)=0 и
d2ui/dx2=0, в то же время угол поворота и поперечная сила не равны нулю,
т. е. dw/dx=£0 и d3ia/dx3#=0.
Для определения частоты воспользуемся формулой (21.150).
Поскольку
/ d2w \2 / ал2 . лх \2 , л4 . л лх
I —г* I = I--ып------I =а ——sin --,
\ dx2 / \ I2 I ) I' I
то числитель формулы (21.150)
Г / d2w \2 ( с> г л* . 1 лх aWEJ
J E1VdZ) djc= 1 Ela -Fs,n —dx^~lp— (2,J54)
о 0
Чтобы определить знаменатель формулы (21.150), нужно вычислить зна-
чения прогибов балки в местах расположения грузов, т. е. значения ш (х) при
х=//6; х=1/7 и х=(5/6)(:
лх
wt —a sin -j—=д sin
a
7
. лх
u>t = a sin ——=a sin
a.
Тогда знаменатель формулы (21 150)
(21.155)
Подставляя выражения (21.154) и (21.155) в формулу (21.150), определим
квадрат частоты:
d^El
2l3^-ma!
л“Е1
3ml3
Частота
(21.156)
648
Упругие колебания
Заметим, что полученное значение частоты, определенное приближенны^
энергетическим методом Релея, мало отличается от точного ее значения, опре
деляемого формулой (21.80).
Способ Ритца. При использовании способа Релея делается опре-
деленное допущение относительно формы упругой линии колебаний
стержня. Выбор этой формы равносилен введению некоторых доба-
вочных ограничений, которые приводят сложную систему к системе
имеющей только одну степень свободы. При этом указанные доба-
вочные ограничения могут только увеличить жесткость системы, что
дает несколько преувеличенное значение частоты по сравнению с
фактическим ее значением.
Более точные значения основной частоты, а также частот высших
видов колебаний можно получить, пользуясь методом Ритца, ко-
торый является дальнейшим развитием метода Релея.
При использовании метода Ритца в уравнение упругой линии,
представляющей вид колебаний, вводят несколько параметров, ве-
личины которых выбирают таким образом, чтобы частота основного
типа колебаний была минимальной.
Так, например, рассматривая поперечные колебания стержня,
задаемся функцией прогиба стержня в виде ряда
(21.157)
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям. Под-
ставляя выражение (21.157) в формулу Релея (21.151), легко убе-
димся, что результат зависит от конкретного выбора коэффициентов
ai, а2, аз (а точнее — от отношений a2/ai, Us/a2 и т. п.).
Согласно способу Ритца, указанные коэффициенты должны быть
выбраны так, чтобы формула (21.151) давала наименьшее значение
для частоты о. Условием минимума, очевидно, будет следующее ра-
венство:
w (x)=aiwt (x)-ha2W2 (х)+ • • •,
\ mn'"dx
о
или
t tnw^dx-^— t EJ ( ) dx— ( EJ ( \ dx-^—{ mw2dx—&
J da, J \ dx' / J \ dx" ) da, J
0 0 о 0
Деля это уравнение на
получим
j mw2dx и учитывая формулу (21-*
о
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
Приближенные методы определения собственных частот колебаний упругих систем 649
(21.158)
Очевидно, таких уравнений будет столько, сколько членов в ряду
(21 157). Эти уравнения однородные и линейные относительно ко-
эффициентов щ, а2, аз, ... ап. Приравнивая определитель указан-
ной системы уравнений нулю, получим частотное уравнение.
Способ позволяет определить не только низшую частоту, но и
значения высших частот, хотя и с меньшей точностью. При этом
можно определить столько частот, сколько слагаемых принято в вы-
ражении (21.157).
Пример 90. Определить способом Ритца низшую частоту поперечных
колебаний консольно закрепленного стержня переменного сечения (рис. 573),
имеющего толщину, равную единице, а высоту, меняющуюся по линейному
закону
h(x)=-^-ho.
В этом случае
bh' (х) hi 3 phQ
1=-----L-L-—- —.-X, m=——х.
12 12Z3 /
Для приближенного решения примем, что
ш(х)=О|Ш1 (х)+а2ш2 (х)Ч----=а, (1—+ а2-у-^1—у-) 1------------(21.159)
Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи:
при х=1 ш, (х)=0; dw, (x)/dx=O.
Принимая в выражении (21.159) два члена разложения и подставляя их
в уравнение (21.158), получаем
——{ io/3' [ (a>_2a2)2+~7-(°i— 2а2)а2+6в21 —<,|3р “ТГ
да, I 12Z 15 J Е \30
JO!®. 0
105 280 /J
Дифференцируя это выражение по at и по аг, найдем следующую систему
уравнений:
650
Упругие колебания
Приравнивая к нулю определитель, составленный из коэффициентов этих
уравнений, получим уравнение частоты, решая которое, найдем, что
2,66Л0
““ /2
(21.161)
Эта формула дает ошибку 0,1 % по сравнению с точным решением рассмат
риваемой задачи, данным Кирхгофом, согласно которому
2,657/г0 ГЁ
I1 V Зр ’
Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Буб-
новым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для
приближенного решения различных задач статики и динамики
упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение
этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях
стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным
уравнением
£[и(х)^]_т^=0.
(21.162)
Решение этого уравнения, как известно, можно получить, пред-
ставляя функцию прогиба w в виде произведения двух функций,
одна из которых X является функцией только координаты сечения,
а вторая Т —только времени:
w=X(x)T(t).
Подставляя это выражение в уравнение (21.162), получаем два урав-
нения для определения функций X и Т. Первое из них имеет вид
^[£;М"0-]-тЛ=0-
Согласно способу Бубнова - Галеркина, действительную кривую
прогиба X (х) заменяют некоторой приближенно выбранной функцией
V (х), удовлетворяющей граничным условиям закрепления и ортого-
нальной к исходному дифференциальному оператору. Для этого
образовывают интеграл
J {[£/ (х) Ч"'(х)]" -mu/Ч' (х)} Ч' (х) dx=0. (21.163)
о
Отсюда, в частности, может быть получена формула Релея (21.151)-
I
5 [EJ (х) V" (х)|" V (х) dx
$ тЧ'! (х) dx
о
Если принять Чг (х) в виде
w,Av.vokb la.spb.ni Сатитлет своими
приближенные методы определения собственных частот колебаний упругих систем 651
|_'If(x)=Qi% (x)4-q24f2 (х)-|-- (21.164)
и рассмотреть каждое из слагаемых (х) как возможное перемеще-
ние, то вместо равенства (21.163) получится соотношение, выражаю-
щее равенство нулю виртуальной работы:
j {[£/ (х) Т* (x)]"-mw* I 2 (x)J Ч* (х) Дх=0. (21.165)
о
Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых имеет
принятое выражение (х).
Каждое из уравнений (21.165) однородно и содержит неизвест-
ные значения коэффициентов щ, а2, а3, ... в первой степени. Прирав-
нивая к нулю определитель полученной таким образом системы одно-
родных уравнений (21.165), получим частотное уравнение.
Пример 91. Определим способом Бубнова — Галеркина низшую частоту
поперечных колебаний консоли переменного сечения (рис. 573), имеющей
толщину, равную единице; высота изменяется по линейному закону
. , , х . he з pho
h(x)=—he; J—-------rx ; m———x.
I 12/3 Ч I
Для приближенного решения поставленной задачи по способу Бубнова —
Галеркина примем:
V (*)=a,V, Ю+агЧ'г (х) + - - • =О1 -yj + о2 у (1 -уУ + - • •
Выбранная функция, очевидно, удовлетворяет граничным условиям зада-
чи:
при х—1
Чг(х)=0; V,'(x)=0;
при х=0 -л
EJV,"(x)=0 и Е/Ч'Г(х)=О.
Дифференцируя Ч'(х) два раза, умножая на £/(х) = (£Ло/12/3)х3 и вновь
дифференцируя два раза, будем иметь
(EJ (х) V" (х)Г =-yL | (а,-2а2) х+6
Подставляя полученное выражение в уравнение (21.165), получим
I
HEho Г, о > , 6а2х3 ] ь>2рЛо Г Л .
— (а, -2а2) х +_— ]-----------— [ а,х (1 -у) +
О
UEh( Г 6а2х2 1 <o2p/ic Г / х \2
— [(«i-2«2)x+-—I----------L_leix(l-y) +
652
Сопротивление материалов действию повторно-переменных напряжен^
Выполняя указанное интегрирование, после преобразования будем иметь
такую же систему однородных уравнений, как н (21.160) по способу Рнтца
Приравнивая к нулю определитель системы, получим уже известную формулу
(21.161) для определения частоты
Глава 22
Сопротивление материалов
действию повторно-переменных
напряжений
§ 145. Явление усталости материалов
Сопротивление материалов действию нагрузок, меняющихся во
времени по величине или по величине и знаку, существенно отли-
чается от сопротивления действию статической нагрузки. При этом
под действием переменных нагрузок элементы конструкций разру-
шаются при значительно меньших напряжениях, чем под действием
статических нагрузок. Типичным примером детали, испытывающей
переменные нагрузки, является шток поршневой машины, знак на-
пряжений в котором меняется в соответствии с изменением направ-
ления движения поршня.
Практикой установлено, что если элемент конструкции много-
кратно подвергать переменному нагружению определенного уровня,
то после некоторого числа перемен напряжений в нем появится
трещина, которая постепенно будет развиваться. В конце концов
деталь разрушится, не дав при этом заметных остаточных дефор-
маций даже в том случае, когда ее материал высоко пластичен.
Число циклов до появления первой трещины и до полного раз-
рушения стержня будет тем больше, чем меньше напряжение. Ха-
рактерно, что разрушение материала под действием повторно-пе
ременных нагрузок может произойти при напряжениях ниже предела
текучести. Разрушение материала под действием повторно-перемен
ных напряжений называется разрушением от усталости.
Вообще же усталостью материалов (в частности, металлов) н
зывают явление разрушения в результате постепенного накопле
в них повреждений, приводящих к возникновению усталостной Р
щины при многократном повторении нагружений.
Способность металлов сопротивляться разрушению при
ствии повторно-переменных напряжений называется вынослив
материала. имеет
Изучение вопросов усталости в сопротивлении материале оСи
чрезвычайно большое значение. Такие ответственные детали, к
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
филенке усталости материалов
653
Рис. 574
Рис. 575
железнодорожных вагонов, коленчатые валы, шатуны моторов,
гребные винты, клапанные пружины, воздушные винты, поршне-
вые пальцы и многие другие детали, выходят из строя главным об-
разом вследствие разрушений усталостного характера.
Усталостное разрушение наблюдается при наличии одной из
следующих двух особенностей приложения нагрузки:
1) многократного приложения нагрузки одного знака, например
периодически изменяющейся от нуля до максимума (рис. 574, а);
2) многократного повторения нагрузки, Рериодически изменяю-
щейся не только по величине, но и по знаку (знакопеременной на-
грузки), когда на выносливость материала одновременно оказывают
влияние и повторность и переменность нагружения. При этом раз-
личают изменение нагрузки по симметричному циклу (рис. 574, б)
и изменение нагрузки несимметричное (рис. 574, в, г).
Для разрушения от усталости недостаточно переменности на-
пРяжений. Необходимо также, чтобы напряжения имели определен-
нУю величину.
Максимальное напряжение, при котором материал способен
Сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом
Исле повторений переменных напряжений, называется пределом
Ь|Носливости или пределом усталости.
Излом детали от усталости имеет характерный вид (рис. 575).
а нем почти всегда можно наблюдать две зоны. Одна из них (Л) —
/*аДкая, притертая, образованная вследствие постепенного разви-
я трещины; другая (В) — крупнозернистая, образовавшаяся при
°нчательном изломе ослабленного развившейся трещиной сечения
654
Сопротивление материалов действию повторно-перемени
детали. Зона В х хрупких деталей имеет крупнокристал
а у вязких — волокнистое строение. ноское.
Остановимся кратко на механизме явления усталости
Вес металлы, применяемые в технике, являются поликп
ческими веществами, состоящими из отдельных зерен и не nnpTaJIJ114'
ляющими того однородного монолита, каким считают матео ^СТав'
гласно основным гипотезам сопротивления материалов. Зепн^1 Со'
нических металлов представляют собой совокупность криста ТеХ
имеющих неправильную огранку, которые обычно называют ЛЛ°В’
талантами. Поликристалличность материала и неизбежная его^С
однородность приводят к тому, что под действием тех или и
нагрузок в отдельных зернах возникают перенапряжения и созда ЫХ
ся возможности появления микротрещин. При этом в случае напп
жений, вызванных статическими нагрузками, подобные микрото
щины не опасны. Если же напряжения переменны во времени то
имеет место тенденция к развитию микротрещин, приводящая в ко
нечном итоге к усталостному излому детали.
Кроме указанной гипотезы, существует и несколько другой под-
ход к объяснению физической природы явления усталости. В част-
ности, возникновение усталостных трещин можно объяснить ис-
черпанием способности кристаллических зерен сопротивляться
сдвигу.
Зерна большинства металлов состоят из ряда элементарных ку-
биков с размерами сторон 3-10-8— 6-10~8 см. Кубики, в свою
очередь, состоят из системы взаимодействующих между собой ато-
мов, расположенных в строго определенном для данного материала
порядке, образуя так называемую пространственную атомную ре-
шетку. Форма и размеры элементов последней зависят от сил
взаимодействия атомов и определяют характерные свойства данного
вещества.
Деформация материала обычно связана с искажением кристал-
лической решетки и изменением межатомных расстояний. При этом
в случае небольших напряжений взаимодействие между атома
не нарушается и при последующих разгрузках указанные искала;
решетки исчезают. Если же напряжения большие, то в КРИС^'ЯМ,
ческих зернах пластичных материалов по некоторым плоек
которые называются плоскостями скольжения кристаллита, г
исходят необратимые сдвиги. Сдвинутые относительно цИР.
группы атомов уже не образуют единой атомной решетки. р
шееся при этом новое образование оказывается более ПР° пьНых
результате усиления плоскостей скольжения внутри
зерен. Теперь для его разрушения требуется большее Уси,п е (раз-
Однако упрочнению при сдвигах сопутствует разупрочн ^дегся
рыхление). Поэтому процесс сдвига обязательно сопров^е со3да-
появлением зон, где атомные связи нарушаются, a новые
ются. Проявляется это в том, что образовываются ьцвИЯХ
микротрещины, каждая из которых в определенных Ус71 е1диН°*’'
пример, при соседстве нескольких зерен, ослабленных
655
v<-t<oi°cth материалов
;---------------------
Сервисен Сергей Владимирович (1905 1977). лауреат
Государственной премии СССР, академик АН УССР, из-
вестный ученый в области механики, ведущий эксперт по
вопросам прочности и анализу разрушения конструкций.
Разработал критерии усталостной прочности материалов
и несущей способности элементов конструкций с учетом
характера цикла напряжений, вида напряженного состоя-
ния и конструктивно-технологических факторов. Один из
основоположников развития в нашей стране науки о со-
противлении материалов при повторно-переменных на-
грузках.
может явиться очагом развития усталостной трещины, приводящей
в конечном итоге к разрушению от усталости.
Таким образом, из сказанного видно, что механизм образования
трешин при повторно-переменных нагрузках весьма сложен и не
может считаться полностью изученным.
Из несомненных положений теории усталости можно отметить
следующие:
I) процессы, проходящие при повторно-переменных нагрузках
в металле, носят резко выраженный местный характер;
2) из двух видов напряжений — нормальных и касательных -—
решающее влияние на процессы усталости до образования первой
трещины включительно имеют касательные напряжения, вызываю-
щие пластические сдвиги и разрушение.
Развитие усталостной трещины, несомненно, может ускоряться
при наличии растягивающих напряжений как у пластичных, так и,
в особенности, у малопластичных и хрупких материалов типа чугу-
на, в которых появление трещины отрыва значительно повышает
чувствительность к растягивающим напряжениям.
Образование трещин чаще всего наблюдается в зернах, лежащих
чиже к поверхности детали. Объясняется это тем, что поверх-
*СТные слои материала в известной степени имеют следы повре-
« различными технологическими операциями при обработке
ади (внутренние напряжения, следы механической обработки),
Пе Г°ВОРЯ Уже о тех случаях, когда наружные слои при повторно-
изгилНнь1х нагрузках испытывают наибольшие напряжения (при
и кручении).
оу ц РеДел выносливости определяют экспериментально. Он зависит
Спосол°Г° РЯда факторов, в частности, от формы и размеров детали,
Э ее обРаботки, состояния поверхности детали, вида напря-
Ч0(1 Го еоетояния (растяжение — сжатие, кручение, изгиб и т. п.),
п изменения нагрузки во времени при испытаниях и т. п.
Ч н Рассмотрении сопротивления материалов действию перемен-
иряжений в большинстве случаев инженерной практики пред-
Рис. 576
полагается, что эти напряжения представляют собой периодические
функции времени р = f (/) с периодом, равным Т.'
Совокупность всех значений напряжений за время одного периода
называется циклом напряжений (рис. 576, а).
На усталостную прочность в основном влияют максимальные
рмаКс и минимальные рмин напряжения цикла. Кроме них в сопро-
тивлении материалов вводят понятие постоянного, или среднего,
напряжения цикла р (рис. 576, б):
(22.1)
и понятие об амплитуде ра цикла, характеризующее переменность
напряжений:
Рмакс4“Рмин
Pq~ 2
__ Рмакг рыцн
Ра— 2
(22.2)
Среднее напряжение может быть как положительным, так и
цательным, амплитуда же цикла определяется абсолютной 2)
(без учета знака). В соответствии с выражениями (22.1) и (
/Эмакс— Рс I pat Рмнн—Рс ра- .
Удвоенная величина амплитуды колебаний напряжени
вается размахом цикла. Отношение минимального „наПР|ВаеТсЯ
цикла к максимальному с учетом знаков этих напряжений на
___________ в0СТЬ ticJ
1 В настоящем учебнике нс рассматриваются расчеты на вь,ноС^1<ций-
действием случайных переменных нагрузок, встречающихся в ряде кон и
своими
657
|еЯ1,е усталости материалов
актеристикой цикла или коэффициентом асимметрии цикла,
обозначается буквой г, т. е.
Рмим
? Рывке
(22.3)
Наиболее опасным является так называемый симметричный
циКЛ, КОГДа Рмакс=— Рмин И рс = 0, При КОТОрОМ
/7м ин |
Предел усталости при симметричном цикле является минималь-
ным для данного типа деформации и обозначается через р_|. В слу-
чае напряжения, изменяющегося от нуля до максимума, т. е. при
отнулевом, или пульсирующем, цикле, когда рмнн=0,
=о,
Рывке
а предел усталости, соответствующий данному циклу, обозначается
через ро.
При p=const, т. е. когда действует постоянная статическая
нагрузка, ркям=рМ11Н=р и характеристика цикла
Г—-Р"."" =j£L—|
Рывке Р
В самом общем случае предел выносливости, полученный при
характеристике цикла г, обозначают рг, предел выносливости, по-
лученный при каком-то определенном значении г, предположим при
г=—0,5, обозначают соответственно р-о.5-
Циклы, имеющие одинаковые характеристики г, называются
подобными. Характеристика цикла, или коэффициент асимметрии,
может меняться от — оо до ею.
Значения коэффициентов асимметрии цикла для различных ви-
дов циклов приведены в табл. 23. Очевидно, для полного суждения
характере действия циклической нагрузки кроме характеристики
Ма г должно быть известно хотя бы максимальное или минималь-
е напряжение цикла.
ИлтИ заключение заметим, что в частных случаях, когда речь будет
I пРи ° ноРмальных или касательных напряжениях (в первом случае
При Циклическом растяжении — сжатии или изгибе, во втором
д0 Циклическом кручении), буква р в принятых выше обозначениях
tooTRHa быть заменена соответственно на сг или на т при сохранении
>KtlJ етствующих индексов. Так, например, при циклическом растя-
~ сжатии или изгибе вместо рмакс, рМнн, рс и ро должны со-
ДоСти Тве,1но фигурировать омакс, омин, ос и оа, тогда предел уста-
М₽р при характеристике цикла г будет обозначаться ог, а напри-
Рн симметричном цикле, т. е. при г — — 1, будет о_|. В случае
658
Сопротивление материалов действию повторно переменных
Таблица 23
Вид цикла
Рмлкс. рын* Рыакс 4-рииц Р= г р«акс —риин Р- 2 г. р*"
рыакс :=рмкн 0 рс == Рмакс === Рмнн >0 рс=0 г=+1
Рмакс 0 Рыны 0 Р->0 Рс¥=0 °<р<+1
Рмакс >0 Рмин=0 Рс=: 1/2рмакс Pa = 1 /2рмакс р=0
Рмакс 0 Рмин <С0 р, >0 р«=/=0 - 1<т<0
Рмакс ~~~ Рмин 0 Рмин <С 0 Ре = 0 Ра —Рмакс г = -1
Риакс^О» рмцн<С0 рмакс 1 Рмин 1 р< <0 р«^0 — оо <г< —1
Рмакс ==0 Рмин Рс= 1/2рМИН Ра — 1/2 1рмин 1 г = ±оо
Рмакс <^0 Р«ин<10 р< <0 Ра=/=0 + 1<Г<+00
Рмакс ^^Рмни <^0 Рс == Рмакс == Рмин 0 Ро^О г= + 1
кручения с циклическим изменением напряжений характерны
напряжения цикла будут соответственно обозначаться через гмаю
тМин, тс, та, а предел выносливости — через тг, т i, т0 и т. Д-
§ 146. Методы определения
предела выносливости.
Диаграммы усталости.
Чтобы определить предел выносливости того или иного аТ()
риала, нужно на соответствующей испытательной машине н ецее
партию образцов из данного материала в количестве не
www.vokb-la.spD.i
659
и определения предела выносливости. Диаграммы усталости
—L-----------------------------------------
|2 шт Для этого чаще всего берут гладкие цилиндрические
6^а3цы диаметром 7—10 мм.
° пределы выносливости материала при выбранной характеристи-
никла г, разумеется, будут различными в зависимости от вида
к формации, при которой испытывают образцы, т. е. в зависимости
того, при переменных напряжениях растяжения — сжатия, пере-
менном кручении, изгибе или в условиях сложного напряженного
состояния их испытывают. Поэтому, ставя перед собой цель полу-
чения предела выносливости, следует заранее указать, при каком
виде деформации и характере изменения напряжений за цикл тре-
буется определить предел выносливости.
В соответствии с поставленными требованиями выбирают необ-
ходимую испытательную машину. Для испытания материала на
выносливость при переменном растяжении —- сжатии можно взять
машину, схема которой приведена на рис. 577.
В лабораторных условиях симметричный цикл осуществить проще
всего. Схема простейшей установки для определения предела вы-
носливости при ротационном изгибе в случае симметричного
цикла показана на рис. 578. При вращении образца его наруж-
Сопротивление материалов действию повторно-переменных
-Л^Р^Жений
А.Веллер (1819 1914), основоположник Научного и
усталости материалов, создатель первых машин ю - 6HhR
ДЛЯ НСПы
тания сопротивления материалов повторно-перемен
нагрузкам. Ым
ные волокна будут испытывать попеременно то растяжение (когда
они расположены снизу), то сжатие (при повороте образца на 180)
Число оборотов в минуту наиболее распространенных усталост-
ных машин обычно порядка 3000 (50 Гц). Поэтому испытание на
усталость с целью получения предела выносливости требует продол-
жительного времени, исчисляемого неделями непрерывной работы
машины. За последнее время во многих случаях при исследовании
выносливости материалов и конструктивных деталей применяют
более быстроходные машины— 100... 500 Гц, а в некоторых слу-
чаях и 20 000 Гц (ультразвуковые частоты). В последнем случае
для испытания требуются только десятки минут.
При испытании партии образцов с целью получения предела вы-
носливости необходимо давать такие нагрузки на отдельные образ-
цы, чтобы они разрушались, выдержав различное число циклов
нагружения.
Обработка полученных экспериментальных данных обычно со
провождается построением кривой усталости, которая в литературе
часто называется кривой Веллера (рис. 579). Кривую усталости
строят по точкам в координатах числа циклов N и напряжения
Каждому разрушившемуся образцу на диаграмме соответству
одна точка с координатами N (число циклов до разрушения) и Рна«
(напряжение), т. е. кривая усталости представляет собой ФУНК
Релакс == f (Л^). боДЬ"
Порядок установления нагрузок на испытуемые образцы в
шинстве случаев принимают ниспадающим, т. е. на первый
зец дают нагрузку, значительно превышающую предел вь1Н0^‘?кают
ти, а нагрузку на последующие образцы постепенно с ер.
Разумеется, каждый из менее нагруженных образцов °Уде иНят и
живать все большее и большее число циклов. Может быть и
другой порядок установления нагрузок. бразЦ°Б'
Строя кривую усталости по точкам разрушившихся 579,
легко убедиться, что, например при испытании стали ( падает>
кривая /), при высоком уровне напряжения кривая крУ асиМпто-
а по мере снижения их крутизна уменьшается и крива
661
jj тояы определения предела выносливости Диаграммы усталости
чески приближается к
т,'которой горизонтальной
Я пямой, отсекающей на
си ординат отрезок, вели-
чиной которого и опреде-
пйется предел выносли-
вости. Ордината точки на
кривой, где последняя прак-
тически начинает совпа-
дать с указанной асимп-
тотой, соответствует такому напряжению, при котором образец
не разрушится, пройдя число циклов, соответствующее заранее
заданной величине, так называемой базе испытания No.
Нетрудно понять, что за базу испытания No как раз и прини-
мают то число циклов, при котором правый конец кривой усталости
проходит практически параллельно оси абсцисс. Исходя из этого,
базой испытания на выносливость называется наибольшее число по-
вторно-переменных нагрузок, существенное превышение которого не
должно приводить к усталостным разрушениям испытываемого
образца при данном напряжении.
Для черных металлов (стали, чугуна и т. п.) за базу испытаний
обычно принимают 10 млн. циклов, а для цветных (меди, алюминия
и т. п.) — число, в 5—10 раз большее. Из рассмотрения характера
усталостной кривой для цветных металлов (рис. 579, кривая 2) вид-
но, что на большом участке она спадает весьма постепенно, т. е. кри-
вая стремится к асимптоте медленно, поэтому и приходится в дан-
ном случае за базу испытания принимать большее число циклов.
Вообще для таких металлов можно говорить только о некотором
условном пределе усталости. Условным пределом усталости на-
зывается максимальное напряжение, при котором не происходит раз-
рушения при осуществлении определенного наперед заданного числа
Циклов, соответствующего той или иной принятой базе испытания.
В связи с тем что по кривой усталости, построенной в коорди-
Натах N — или, что то же самое, N — и (рис. 580, а), часто бы-
ает затруднительно определить предел выносливости, применяют
а Других способа построения диаграмм усталости.
Первый способ заключается в том, что по оси абсцисс отклады-
,, J01 Величи,1У, обратную числу циклов (рис. 580, б). Предел уста-
v ти тогда определяют как ординату в месте пересечения кривой
адости с осью напряжений.
вп Т°РОЙ способ основан на представлении результатов испытаний
К,^ Логарифмических (рис. 580, в) или логарифмических (рис. 580, г)
Пред “атах. Как видно из чертежа, критерием для суждения о
^еле усталости здесь является перелом кривой.
Заключение отметим, что, согласно многочисленным экспери-
оцре "Тьным данным, для некоторых материалов можно заметить
’^Нь Леннь1е соотношения между пределами выносливости при раз-
х видах деформации и, в частности, между пределами вы-
носливости при изгибе ои_1, кручении т-i и растяжении — сжат
а°_| при симметричных циклах. 1
Для гладких образцов эти соотношения приблизительно слепт
ющие: для стали o*Li = 0,7o-i; для чугуна o*Li = С),65о-,; для сталей
и легких сплавов т . i =0,55а_г, для чугуна т_ । =0,8о1_1.
Имея величину временного сопротивления ов, пределы выносли-
вости стали при симметричном цикле можно приближенно найти
по следующим эмпирическим соотношениям соответственно для рас-
тяжения — сжатия, изгиба и кручения:
o-i=0,28on; о-i— 0,40ов; r_i— 0,22ов (22.4)
Для цветных металлов наблюдается менее устойчивое соотношение
между пределом усталости и временным сопротивлением; согласно
опытным данным, в этом случае ои । =(0,244-0,50) ов.
Диаграмма предельных напряжений. Чтобы охарактеризовать
сопротивляемость материала действию переменных напряжений с
различной асимметрией цикла, строят так называемую диаграмму
предельных напряжений (рис. 581). В ней по оси ординат отклады-
вают наибольшее омакс и наименьшее о„вв напряжения цикла, а по
оси абсцисс — среднее напряжение цикла ос (диаграмма Смита)
Их предельные значения ог.„с, аГт, о,с определяются при данной
характеристике цикла опытным путем в результате построения кри-
вых усталости.
Обычно начинают с симметричного цикла (г — — 1)- Предельным
напряжением в этом случае будет предел выносливости о-ь Следо-
вательно,
O-l..t = O-b о (, о 1с = 0.
Этому циклу на диаграмме соответствуют точки А и А', лежать
на оси ординат. де.
Испытав партию образцов из данного материала при оПР )М
ленном значении характеристики цикла л = омВВ/омакс, °ПР
наибольшее и наименьшее значения напряжений, при к
материал работает на пределе выносливости сч, т. е.
о, 4-0,
=аг; 0r ог=——— •
Нанесем на диаграмму точки М и N, абсцисса которых Р^м об'
а ординаты — соответственно оГи„с и аГт,. Поступая подо
разом для ряда других значений г, получаем точки Alit 11
и т. д.
663
Соединяем линиями все точки, изображающие максимальные
и минимальные предельные напряжения циклов. Очевидно правая
крайняя точка диаграммы (точка D) соответствует циклу, при кото-
ром оМакс = омин = ос, г=1, т. е. постоянной нагрузке. Предельным
напряжением в этом случае является предел прочности материала.
Следовательно, абсцисса и ордината точки D равны пределу проч-
ности материала. Таким образом, ординаты точек линии AD соот-
ветствуют пределам выносливости материала при различных зна-
I чениях коэффициента асимметрии циклов.
Легко убедиться, что лучи, проходящие через начало координат
диаграммы предельных напряжений, являются геометрическим мес-
т°м точек, характеризующих циклы с одинаковым коэффициентом
асимметрии г=о„ин/омакс. Действительно,
Р == 2омаКс 2
°C Омаке + Омнн 1 4” г
Для определения предела выносливости материала при данном
ведЧСНи?1 коэффициента асимметрии г нужно вычислить по при-
чени 1н°н формуле угол р и провести луч под этим углом до пересе-
g” с линией AD', ордината точки пересечения равна величине о,-
cion СлУчае циклического кручения диаграмма строится по одну
д.,я от оси ординат и имеет такой вид, как показано, например,
д онструкционной стали на рис. 582.
Ч)орл агРамму предельных напряжений можно строить также в
^ватИЛаТах о0— Ос (диаграмма Хейя), т. е. по оси ординат откла-
«ПряЬ пРеДельную амплитуду о„ цикла, а по оси абсцисс — среднее
I Дсение ос цикла (рис. 583). На этой диаграмме прямая, про-
веденная из начала координат под некоторым углом, также харак-
теризует никлы с одинаковой асимметрией, так как
2
tgP
Омаке Ом ин
Ос Омаке Ч” Омин I
2
Таким образом, при постоянном р оказывается постоянным и коэф-
фициент асимметрии г.
В случае плоского или объемного напряженного состояния со-
противление усталости можно охарактеризовать, исходя из соот-
ветствующих гипотез прочности, согласующихся с эксперименталь
ними данными.
Для исследования действительного поведения материала в усло-
виях сложного напряженного состояния, например при сочетании
изгиба с кручением, используют специальные испытательные ма-
шины, позволяющие одновременно нагружать образец перемен-
ными изгибающим и крутящим моментами.
По результатам испытаний, полученным при различных сочета-
ниях переменных о и т, строят диаграммы в координатах оо— т“
или в относительных величинах oH/o_i и та/т_ ь Точки таких див
грамм определяют напряженные состояния, характеризуемые
личинами о„ и то при сложном напряженном состоянии. ТипиЧ
диаграмма для конструкционных сталей, построенная по экс V
ментальным данным, показана на рис. 584 (кривая /). Она с0° оВ
ствует дуге окружности. Для высокопрочных сталей и Ч^К(1М
экспериментальные данные располагаются ближе к эллипти
дугам (рис. 584, кривая 2). „хпоиност”
В случае симметричного цикла с соблюдением синхр г.пав-
и синфазности напряжений условие прочности в амплитуд тедь-
ных напряжений в соответствии с гипотезой наибольших
ных напряжений запишется так:
(о|)а —(Оз)а = О-|. СЛОВ,1е
Исходя из теории прочности энергии формоизменения,
прочности можно записать в виде
665
тоД11’ определения предела выносливости Диаграммы усталости
|(01)я —(P2)<d24“[(o2)a-—(o3)of +[(Оз)о—(oi)o]2 =201.!. (22.5)
для сложного напряженного состояния, характеризуемого сов-
местным действием растяжения и кручения или изгиба и кручения,
^оправкой на соотношение величин пределов выносливости усло-
ие прочности выражается так:
Тп =О
(22.6)
Последнее условие совпадает с ранее приведенной эксперимен-
тально полученной зависимостью, характеризующейся в коорди-
натах Оп/о-ь то/т_| дугой круга.
§ 147. Влияние конструктивно-
технологических факторов
на предел выносливости
На величину предела выносливости образцов или деталей, изго-
тавливаемых из того или иного материала, кроме характеристики
цикла влияет целый ряд различных факторов. К ним относятся фор-
ма образца, размеры, состояние поверхности, среда, в которой про-
исходят испытания, температура испытаний, режим циклического
силового воздействия (тренировка, паузы, перегрузки, частота на-
гружения и т. п.), предварительная внутренняя напряженность ма-
териала и др.
Для выяснения влияния того или иного фактора в качестве эта-
лона принят предел усталости р-.\, полученный испытанием на воз-
духе при симметричном цикле партии гладких полированных об-
разцов диаметром 7—10 мм. Тогда влияние различных факторов на
выносливость может быть оценено отклонением предела выносли-
вости р' । партии рассматриваемых образцов от предела выносли-
вости р । эталонных.
Влияние концентрации напряжений. Наиболее важным факто-
₽ом, снижающим предел выносливости, является концентрация на-
ряжений, вызванная резким изменением сечения детали. Концент-
гаторами напряжений на практике являются шпоночные канавки,
ворстия в детали, нарезки на поверхности, малые радиусы за-
|РУглений в местах резкого изменения размеров сечений и т. п.
вчентрация напряжений, как правило, содействует зарождению
ИОв Лостн°й трещины, которая, развиваясь, приводит в конце кон-
к Разрушению детали.
Г1оказывакгг опыты, в случае действия переменных напряже-
ПРедел выносливости с концентрацией напряжений больше,
<‘астное от деления предела выносливости гладкого образца на
t t, Тический коэффициент концентрации напряжений ао (см. § 33),
666
Сопротивление материалов действию повторно-переменных
--------------------------------------------
Такое расхождение объясняется тем, что теоретический
фициент концентрации ссо отражает характер распределения0^
пряжений лишь для идеально упругого материала. В реальны На'
материалах за счет пластических деформаций в микрообласти \
концентрации напряжения несколько перераспределяются и гССТа
живаются. Учитывая это, наряду с теоретическим коэффИцИенГЛа'
концентрации при рассмотрении вопросов усталости использг°М
понятие эффективного, или действительного, коэффициента к
центрации, представляющего собой отношение предела выносТ*
вости гладкого образца без концентрации напряжений к преде
выносливости образца с концентрацией напряжений, имеющей
такие же абсолютные размеры сечений. Эти коэффициенты в дадь
нейшем обозначены ~
для нормальных
а_| .
так:
напряжений
k°~ «
для касательных
напряжений
kx=-^-,
Т-|к
где а-i и т_| — пределы выносливости гладких образцов;
о-ik и т_|к — пределы выносливости образцов с концентрацией
напряжений.
В дальнейшем все рассуждения будем вести применительно к
нормальным напряжениям, имея в виду, что для касательных на-
пряжений все сказанное останется в силе, только следует индекс «о»
при коэффициентах заменить на «т».
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений имеют
меныние значения, чем коэффициенты концентрации ап, определяе-
мые теоретическим путем в предположении «упругого» распреде
ления напряжений. .
Количественная оценка указанной разницы коэффициентов о.
и а„ может быть получена введением так называемого коэффиииеи
чувствительности материала к концентрации напряжений:
<7а = j -
Зная коэффициенты чувствительности qo, для которых в спра^
ной литературе имеются соответствующие графики (рис. об Ь к0Н.
но по ао определить значения эффективных коэффициен
центрации: 7>
еитра11*11'
Очевидно для материала, не чувствительного к , т. е
напряжений, т. е. при <7о=0, /г„=1. Когда до=Ь Й"^ац’ии 1,2
материал обладает полной чувствительностью к конце и
пряжений.
£о = 1 +<7О (ао —1).
Qe
0,8
0,6
ОА
0,2
Рис. 585
концентрации напряжений,
не только от механических
самой детали, а также рас-
86.мпа
конструктивно-технологических факторов на предел выносливости
С/,00 ООО 800
Как видно из графиков (рис. 585), чувствительность металла к
концентрации напряжений зависит прежде всего от его свойств. При
этом чем выше прочность стали, тем выше ее чувствительность к
концентрации напряжений. Поэтому применение высокопрочных ста-
тей при переменных напряжениях не всегда оказывается целесооб-
разным.
Чувствительность металла к концентрации напряжений у круп-
нозернистых сталей меньше, чем у мелкозернистых. Металлы и спла-
вы с неоднородной структурой, такие как, например, серый чугун,
имеют пониженную чувствительность к концентрации напряжений
вследствие того, что структурная неоднородность является внутрен-
ним источником концентрации напряжений и снижает предел вы-
носливости гладких образцов, поэтому внешние концентраторы
Уже мало снижают предел выносливости.
Коэффициенты чувствительности к
как показывают эксперименты, зависят
свойств, но и от конструктивной формы
'^Деления в ней напряжений.
ВлИЯ11ие концентрации напряжений в расчетах деталей машин,
'ввергающихся действию переменных напряжений с асимметрич-
м Циклом, следует учитывать на основе экспериментальных дан-
так как теоретически этот вопрос пока не решен.
т Согласно экспериментальным данным, полученным на лабора-
в.1иНь1х образцах небольшого сечения, отношение предельных ам-
щитУД гладких образцов и образцов с концентрацией, соответствую-
Js| 0дномУ и тому же среднему напряжению ос, не зависит от
д^Дитуды цикла. Это обстоятельство используют для расчета
машин на выносливость при асимметричных циклах.
'•сии еНкУ влияния концентрации напряжений при изгибе с кру-
Ьо(ъ.ем обычно осуществляют на основании соответствующих уста-
1 Ь|х испытаний на машине, позволяющей создавать одновремен-
668
Сопротивление материалов действию повторно переменных и 1
--------------------- -----------------------
ное нагружение образца крутящими и изгибающими моментам
различном их соотношении. На рис. 586 представлены резут*1 П^и
экспериментов при синфазном изменении нормальных и касат< ать’
напряжений при симметричном цикле (o-iK, т-1к — пределу Hblx
носливости при симметричном цикле для образцов с концентпа< BbIJ
только при изгибе и только при кручении соответственно; о т Иси
предельные амплитуды для образцов с концентрацией при од'нов"
менном действии изгиба и кручения).
Рассматривая рис. 586, видим, что большая часть экспериме
тальных данных вполне отвечает эллиптической зависимости
2
I =1.
2
(22.8)
т. e. такой же зависимости, как и при отсутствии концентрации
напряжений.
Влияние размеров (масштабный фактор). Эффективность кон-
центрации напряжений связана с абсолютными размерами сечения
детали, а именно: с увеличением размеров детали при сохранении ее
геометрического подобия значения эффективных коэффициентов кон-
центрации напряжений увеличиваются.
Как показывают результаты экспериментов, при увеличении диа-
метра образца свыше 30 40 мм дальнейший рост эффективных
коэффициентов концентрации практически прекращается. Можно
полагать, что по достижении некоторого размера сечения эффектив-
ный коэффициент не отличается от теоретического, т. е. kB = a„. Для
легированных сталей с пределом прочности ов^1200 МПа равен-
ство указанных коэффициентов при средних уровнях концентрации
напряжений ап—2-?3 достигается уже при г/ = 40-?50 мм. Что
касается углеродистых сталей, то там предельный размер, после
которого feo — сся, оказывается значительно большим.
Абсолютные размеры сечений детали наряду с влиянием на эф-
фективность концентрации напряжений оказывают существенное
влияние и на пределы выносливости образцов без концентрации
напряжений. При этом с ростом абсолютных размеров сечении пре
делы выносливости понижаются. Отношение предела выносливое
детали размером d к пределу выносливости лабораторного образ^
подобной конфигурации, имеющего малые размеры (do=7-rlu
называют коэффициентом влияния абсолютных размеров
и обозначают применительно к нормальным напряжениям
сечения
так:
(22.9)
---------------------> сечения
концентрацией напряжен
(22.1°)
р —
° («->)«. ’
Коэффициенты влияния абсолютных размеров
определять и на образцах с i—няпо
случае
(g-i-)d
г конструктивно-технологических факторов на предел выносливости
ртИЯНИ!.-—---------------------------------------------
I цчеМ деталь РазмеРом и образец малого размера do должны
I Ак|ть геометрически подобны.
I Для расчета элементов машин с учетом влияния размеров детали
I к при наличии концентраторов напряжений, так и без них суще-
I ^вуют специальные графики типа приведенных на рис. 587 (здесь
I С кала d — логарифмическая), полученные на основании экспери-
I центов- Здесь кривая 1 соответствует детали из углеродистой стали
без источника концентрации напряжений, а кривая 2 — детали из
I Зегированной стали (о„ = 1000 -j-1200 МПа) при отсутствии кон-
I центрации напряжений и углеродистой стали при наличии умерен-
I цой концентрации напряжений. Кривая 3 соответствует детали из
I зегированной стали при наличии концентрации напряжений, а кри-
I вая 4 — любой стали при весьма большой концентрации напряже-
I цИй типа нарезки.
Как показывают эксперименты, при увеличении диаметра до
I 150—200 мм снижение пределов выносливости образцов при рота-
ционном изгибе (см. рис. 578) может достигать 30—45 %. Опытные
данные свидетельствуют о малом влиянии абсолютных размеров на
выносливость при однородном напряженном состоянии — растяже-
нии — сжатии. При кручении, как и при изгибе, снижение преде-
лов выносливости с ростом размеров детали проявляется в большей
степени. Это следует отнести за счет влияния градиента напряжения.
Снижение пределов выносливости с ростом абсолютных разме-
ров сечений детали можно объяснить также влиянием следующих
факторов:
1) уменьшения механической прочности материала по мере уве-
личения диаметра заготовок даже при условии соблюдения их над-
. лежащей термической обработки;
2) изменений свойств поверхностного слоя после механической
обработки, поскольку эти изменения оказываются различными при
разных размерах детали;
3) неоднородности механических свойств и напряженности раз-
(личных зерен в связи с поликристаллической структурой металла и
вытекающего отсюда повышения вероятности более раннего уста-
I Устного разрушения с ростом размеров детали; этот фактор, по-
I В|,Димому, является главным.
I Падение прочности с ростом размеров особенно сильно выражено
•^Однородных металлов, например у серого чугуна: с увели-
I * ием размера с 5—10 до 50 мм снижение ов и о-i для него мо-
L Достигать 60—70 %. Исходя из вероятности усталостного раз-
ор ения, которую следует считать пропорциональной количеству
1|ЛСных дефектов на единицу обьема наиболее напряженного слоя
ha ajl-na, можно установить влияние абсолютных размеров сечения
WP°4l!oCTb- На рис. 588 представлены эпюры напряжений при
гРяж ДЛЯ °бразц°в различных диаметров без концентрации на-
на1] ений. Заштрихованная зона представляет собой слой, в котором
|ЧетЯ>Кения превышают предел выносливости o~iP (который полу-
I я при однородном распределении напряжений), определенный
669
либо при растяжении сжатии, либо при изгибе на образцах до-
статочно большого размера. Из рис. 588 видно, что с ростом диаметра
образца растет объем опасно напряженного слоя, а следовательно
и вероятность разрушения от усталости, приводящая к снижению
пределов выносливости. При увеличении диаметра образцов с 7 до
150 мм снижение предела выносливости для углеродистой стали до-
стигает 45 %.
Объяснение зависимости пределов выносливости от размеров се-
чений, как и других закономерностей и характеристик усталости,
дают статистические теории усталости. Эти теории освещают во-
просы изменения эффективных коэффициентов концентрации в за-
висимости от величин градиентов напряжений и абсолютных раз
меров.
Гипотезы, объясняющие ослабление эффективности концентрации
напряжений по сравнению с тем, которое должно вытекать из
распределения напряжений в упругой области, и зависимость коэф-
фициентов k„, kT от ряда факторов (размеров, свойств материала и
т. д.), высказанные различными авторами, не позволяют пока вы-
числять значения этих коэффициентов для различных случаев рас-
четной практики исходя из первичных свойств металла. Поэтому Дл
расчета деталей машин следует использовать экспериментальи
данные, применяя в случае необходимости интерполяцию.
Сопротивление усталости материала оценивается по пределу
носливости (о i)do, определяемому на гладких лабораторных
цах малого диаметра, а для суждения о прочности детали пРив0^т11
менных напряжениях необходимо знать ее предел вь1"оС"™0Ного
(о _|K)d. Поэтому вводят дополнительное понятие эффе^{ лЯе-
коэффициента концентрации напряжений детали (ko)d, опрцд
мого по формуле
(2ZJI)
eHTpa*1*”1
Коэффициент (kB)d учитывает суммарное влияние коНВ едвЛя'
напряжений и абсолютных размеров на выносливость и
рпня»|,е конструктивно-технологических факторов на предел выносливости
671
ется по данным испытаний образцов и моделей различных сечений.
Если эффективный коэффициент концентрации (fer)j определяет-
ся на образцах достаточно большого диаметра d (после которого
дальнейшее увеличение его размеров влияет на величину (k^d не-
значительно) , то
(Р- l)t!t . <O -l)rf _______________ (feg)d
(o-ik)<< (£„)<< (O-ikIj (еДг
Заметим, что степень влияния концентрации напряжений на пре-
делы выносливости зависит от вида напряженного состояния. При
циклическом кручении, например, эффективные коэффициенты кон-
центрации оказываются обычно более низкими, чем при изгибе для
одних и тех же конструктивных форм (рис. 589 и 590). Соотношение
между коэффициентами при изгибе и кручении, представленными
на рис. 589 и 590, можно выразить приближенной формулой
*= 1 +0,6 (k„- 1). (22.12)
Что касается эффективного коэффициента концентрации при рае-
жжении — сжатии, то его величина обычно равна или несколько
превышает коэффициенты концентрации при изгибе (рис. 589 и
I а^1).
Влияние состояния поверхности. В большинстве случаев поверх-
остные слои элемента конструкции, подверженного действию
клИческих нагруЗОК> оказываются более напряженными, чем вну-
т^‘Н11ие (в частности, это имеет место при изгибе и кручении). Кроме
> поверхность детали почти всегда имеет дефекты, связанные
в0^Чес1Вом механической обработки, а также с коррозией вследствие
КакДеиствия окружающей среды. Поэтому усталостные трещины,
Чей Правнло, начинаются с поверхности, а плохое качество послед-
^Фиводит к снижению сопротивления усталости.
0ценЛиянве состояния обработанной поверхности на выносливость
6ьСВается коэффициентом 0, который равен отношению предела
сливости испытываемого образца с определенной обработкой
РХности к пределу выносливости тщательно полированного об-
разца. Зависимость коэффициентов 0 от предела прочности ов для
различных видов обработки приведена на рис. 592, где кривая 1
соответствует полированным образцам, 2— шлифованным, 3 -
образцам с тонкой обточкой; 4 — с грубой обточкой; 5 — с наличием
окалины. Как видим, предел выносливости стальных образцов при
грубой обточке снижается на 40 %, а при наличии на поверхности
окалины — на 70 %.
Вредное влияние микронеровностей поверхности во многих слу-
чаях смягчается пластической деформацией, вызываемой в поверх-
ностном слое механической обработкой и распространяющейся на
некоторую глубину, зависящую от режимов резания и, в частности,
от величины подачи. При грубой обточке она может достигать 1 мм
и более, а при шлифовании и полировании измеряется сотыми долями
миллиметра и микрометрами. Пластическая деформация поверхност-
ного слоя может повысить предел выносливости на 10—20 %
На предел выносливости существенное влияние оказывает кор-
розия. Это влияние будет различным в том случае, когда металл,
подвергавшийся коррозии до испытания на усталость, не подвер
гается ей при испытаниях, и в случае, когда металл подвергается
коррозии во время испытаний. В обоих указанных случаях, особенн
во втором, коррозия вызывает резкое снижение пределов выносл
вости (до 70 80 %). При этом снижение предела выносливо
при наличии коррозии тем более сильно выражено, чем выше пр
прочности металла и чем больше последний склонен к КОРР^
Влияние коррозии при расчете можно учесть коэффициент
представляющим отношение предела выносливости ст—i J" г0
рованного образца к пределу выносливости o-t полиро ^иЯ
образца, т. е. 0к = ок i/o ь Влияние коррозии в процессе оМ из-
на предел выносливости стальных образцов при ротацио я(1Ие
гибе показано на рис. 593, где кривая 1 характеризует ^ицй;
коррозии в пресной воде при наличии концентрации наП^,орскоИ
2 — в пресной воде при отсутствии концентрации или втс,,тСтви*1
воде при наличии концентрации; 3 в морской воде при
концентрации.
конструктивно-технологических факторов па предел выносливости
673
Причиной столь резкого снижения выносливости вследствие
корР°31П! являются коррозионные повреждения поверхности, вы-
зывавшие значительную концентрацию напряжений, а также
ослабление сопротивления образованию трещин.
Уменьшить влияние состояния поверхности на усталость можно
соответствующими технологическими методами обработки, приво-
дящими к упрочнению поверхностных слоев. К числу таких методов
относятся: наклеп поверхностного слоя путем накатки роликом,
обдувки дробью и т. и.; химико-термические методы азотирова-
ние, цементация, цианирование; термические поверхностная за-
калка токами высокой частоты или газовым пламенем. Указанные
методы обработки приводят к увеличению прочности поверхностного
слоя и созданию в нем значительных сжимающих остаточных на-
пряжений, затрудняющих образование усталостной трещины, а
потому влияющих на повышение предела выносливости.
При наличии концентрации напряжений помимо глубины слоя
и его абсолютных размеров существенное влияние на эффект упроч-
нения оказывают уровень концентрации напряжений и градиент на-
пряжений у поверхности. Эффект упрочнения растет с увеличением
концентрации.
Влияние пауз. На предел выносливости имеют влияние паузы
(перерывы в нагружении). При этом в одних случаях влияние
пауз незначительно, в других число циклов до разрушения увели-
чивается за счет пауз на 15 20 %. Увеличение числа циклов тем
больше, чем чаще паузы и чем они длительнее (последний фактор
влияет слабее).
Влияние перегрузок. Влияние, перегрузок, т. е. нагрузок выше
предела выносливости, это влияние зависит от характера перегруз-
ки. При малых перегрузках до определенного количества циклов
предел выносливости повышается, при больших перегрузках после
определенного числа циклов — понижается.
Влияние тренировки. Если приложить к образцу напряжения
Умного ниже предела выносливости и затем постепенно повышать
Ве;1Ичину переменной нагрузки, то сопротивление усталости
чожно значительно повысить. Это явление, называемое тренировкой
Сериала, широко используется в технике.
Упрочнение можно получить при сравнительно кратковремен-
Ых трецИровках (порядка 50 000 циклов), но значительных пере-
"Узках. Опыты показывают, что если вначале действует меньшая,
« атем большая перегрузка, то выносливость материала оказывается
а "1ее высокой, чем в том случае, когда сначала действует большая,
а?ем меньшая перегрузка.
л лияние температуры. С повышением температуры предел вы-
Ких Нв°СТи обычно падает, а с понижением ее — растет как у глад-
I вбразцОВ1 так и у образцов с концентраторами.
СТали Г,РИ температуре выше 300 °C наблюдается понижение
репа"03 Усталости примерно на 15 20 % на каждые 100 °C повы-
1 55 температуры. Правда, у ряда сталей при повышении темпера-
Г S «2
674
Сопротивление материалов действию повторно переменны» u
-------------------------------------------------------—------------------------------------------------------ЛЛ^Р^ений
туры от 20 до 300 °C предел усталости повышается. Однако
повышение, по-видимому, связано с физико химическими пп ЭТ°
сами, происходящими при одновременном влиянии нагрева я °Цес'
менных напряжений.-------------------------------------пере-
При повышенных температурах даже при очень большом
циклов кривая усталости не имеет горизонтального участка ЧтСле
для гладких образцов даже при 100 млн. циклов горизонталь аК"
участок не наблюдается. Влияние концентрации напряжений*4**
повышением температуры в общем уменьшается, однако для с
сталей, по-видимому, опять-таки за счет физико-химических процес3
сов чувствительность к надрезу сплава увеличивается. При темп
ратурах порядка 500 600 °C в стали начинаются процессы ползу
чести, имеющие место также и при переменных нагрузках даже пои
симметричном цикле.
При понижении температуры с 20 до —190 °C предел выносли-
вости у некоторых сталей увеличивается более чем вдвое, хотя удар-
ная вязкость их при этом понижается.
Это еще раз указывает на принципиальное отличие между уста-
лостным и хрупким разрушениями путем отрыва при статических
и ударных нагрузках.
§ 148. Расчет на прочность
при повторно-переменных напряжениях
В случае простых видов деформации при изменении напряжении
в детали по симметричному циклу запас прочности при действии,
например, нормальных напряжений можно вычислить по формуле
„ _(р~ iA
° Оа
где (о-1К)а — предел выносливости детали при растяжении — сжа-
тии или при изгибе;
оо - номинальные фактически действующие знакоперемен-
ные напряжения.
Для расчета на прочность при переменных нагрузках в слУ4
сложного напряженного состояния можно использовать соотв
ствующие теории прочности. При этом для материалов в пла
ческом состоянии, как известно, применяют третью и четвер
теории прочности. В рассматриваемом случае эти теории до
быть записаны в виде
O-l
L
a
(22-13)
(22.I4)
В соответствии с экспериментальными данными У0^10® ^изги^
ности в форме эллиптической зависимости (см рис. 584) 11^етали
и кручении выражается формулой (22.6), а применительно
раСМет на прочность при повторно-переменных напряжениях
675
достаточно больших размеров с концентрацией напряжений —
формулой___________________
(<т— lK)ri
I (т -l«)d .
т2а,
(22.15)
цЛи
0а
(<1- 1к) Л
1.
(22.16)
Тогда, имея в виду, что n0=(o_iK)d/oo— коэффициент, характери-
зующий запас прочности только по нормальным напряжениям,
и л1=(т_1к)£1/то — коэффициент, характеризующий прочность толь-
ко по касательным напряжениям, на основании соотношения (22.16)
будем иметь
J_=J_. J_
n2 n2„ n?
откуда запас прочности п при сложном напряженном состоянии,
например при совместном действии изгиба и кручения, определится
формулой
(22.17)
Определяя запасы прочности при асимметричных циклах для
любого вида циклического нагружения (изгиба, растяжения — сжа-
тия, кручения), исходят из схематизированной диаграммы предель-
ных напряжений для образцов без концентрации напряжений
(рис. 594).
Аналитическое выражение кри-
вой предельных напряжений в ко-
ординатах Омаке — Ос МОЖНО ПреД-
отавить уравнением прямой, про-
ходящей через две точки А и В
с координатами (0, о i) и (оо/2,
и записать в виде
°иакс = О_1 -|-OC tg а,
г4е, согласно рис. 594,
'g a=r-_°o—g-i
Т <?о/2
‘ОгДа
с
«аКс = о t _|_ До—О-| Ос — о_ , _}_
2
+ (1^2£^£о V
Оо /
676 Сопротивление материалов действию повторно-переменных напрЯ)к Ч
Обозначая
Таблица 24
щ 2и__।—а(
о,. МПа %, о» ’ (22.18) запишем уравнение кривой преде ных напряжений для образца б концентрации напряжений так- 3
350-550 520—750 700—1000 1000—1200 1200—1400 0 0,05 0,10 0,20 0.25 0 0 0.05 0.10 0,15
°маКс = (Т-| +(1 — У,) 0С. (22.19)
напряжений соответствующее урав.
При действии касательных
нение имеет аналогичный вид:
Тмакс — Т —1~Ь(1 Ч^т)тс. (22 20)
Значения Ч7,, и Ч\ для ряда сталей при различных видах де-
формации в зависимости от предела прочности приведены в табл. 24.
Учитывая влияние на предел выносливости при асимметричном
цикле различных факторов, в том числе концентрации напряжений,
абсолютных размеров сечения, состояния поверхности и т. д., ис-
ходят из экспериментально установленных закономерностей, за-
ключающихся в том, что отношение предельных амплитуд напря-
жений гладкого образца и рассматриваемой детали остается по-
стоянным независимо от величины среднего напряжения цикла.
На основании этого можно построить схематизированную диаграм-
му предельных напряжений для детали (рис. 595).
Это построение можно получить также, исходя из следующих
аналитических представлений. В соответствии с выражением (22.19)
предельная амплитуда напряжений образца выражается формулой
Рис 595
Рис. 596
www.vokb-la.spb.ru - Само лет своими
т на прочность при повторно-переменных напряжениях
раС^__________________________________________________
677
„ ==О.макс — Oc = [0-l+(l —'PJCe] —CTC = G-t—'J'oOc,
Ос
предельная амплитуда напряжений для детали (oOK)d на основании
Неотмеченной закономерности о влиянии различных факторов
только на переменную составляющую напряжений будет в (&„),/ раз
„еньше, т. е.
> g°_______
(бокМ (kB)d (ka)-!
р-i —
(22.21)
Тогда уравнение кривой предельных напряжений для детали может
быть записано в виде
(<’«axc)d + Oc Ос+ + pjJOc- (22.22)
Предположим, что деталь в опасной точке подвергается дей-
ствию переменных напряжений с коэффициентом асимметрии г, при-
чем известны соответственно омакс и ос цикла. Как отмечалось выше,
все циклы, соответствующие r= const, лежат на одной прямой.
По указанным данным на диаграмме рис. 596 заданное напряженное
состояние характеризуется точкой М. Следовательно, все точки, ле-
жащие на луче, проведенном из начала координат через данную точ-
ку М, имеют коэффициент асимметрии, равный г. Точка пересечения
этого луча с кривой усталости имеет ординату, равную пределу вы-
носливости (о,к),л Следовательно, коэффициент запаса
п — °* — _ °" — °°
в” О»»ке О?
где (o,K)rf — предел выносливости детали при асимметричном цикле;
<г»акс=ам—максимальное напряжение детали.
При пересечении луча 0D с прямой АВ предельных напряжений
в точке N максимальное напряжение омакс совпадает с максималь-
ным предельным напряжением a“=(arK)d, т. е.
°макс=Ол'.
(22.23)
С другой стороны, на основании уравнения (22.23),
(22.24)
у.,
Ос
qAI
------ 0-1
о? 7ГТ
От
С|°Да находим абсциссу точки N:
0-1
V,
(*Л
(kn)d (оч-о")+VX
678
Сопротивление материалов действию повторно переменных
--------------------------------------------
Поскольку ол' — Ос1 = Оа, последняя формула преобразуется так-
рЛ'__ О |СТЛ1
Подставляя полученное выражение ст/' в формулу (22.24), най
выражение максимального предельного напряжения для’ дет "
(ординату точки /V):
г N / \ О—|(УЛ1
Самаке — СГ —(Огк\/
(k„)doa 4- V0o?'
о
Тогда окончательное выражение для запаса прочности будет еле
дующим:
о"
по=----
Аналогично при кручении
(22.25)
Пх =-------!---г- (22.26)
(*.)d To +VtTcA' '
Если асимметрия цикла очень велика, то роль переменных на-
пряжений при оценке прочности может оказаться несущественной и
расчет следует проводить по предельному состоянию, как при ста-
тической нагрузке. В связи с этим наряду с запасом прочности по
усталости (формулы (22.25), (22.26) | следует определять запас
прочности и по несущей способности при статическом нагружении.
Аналогично проводят расчет и при сложном напряженном со-
стоянии. При асимметричном цикле коэффициент запаса при пере-
менных нагрузках определяется по формуле (22.17), в которой
мп и п, вычисляются соответственно по формулам (22.25) и (22.26).
Запас прочности по статической несущей способности определяют
по методике, изложенной в гл. 19. При этом прочность оценивается
по наименьшему из запасов по усталости и по статической несущей
способности.
Величина запасов прочности при расчете на выносливость з
висит от точности определений усилий и напряжений, от однор
ности материалов, качества технологии изготовления детали
других факторов. При повышенной точности расчета (с шиР »
использованием экспериментальных данных по определению У ‘ _
напряжений и характеристик прочности), при достаточной оД^Р^
ности материала и высоком качестве технологических пР°^есс чНоСти
нимается запас прочности п—1,3 4-1,4. Для обычной т0„ ([ на-
расчета (без надлежащей экспериментальной проверки усил
пряжений) при умеренной однородности материала »— ’аЛ‘ьцой
При пониженной точности расчета (отсутствии экспериме мате-
проверки усилий и напряжений) и пониженной однородно ,
риала, особенно для литья и деталей значительных разм р
= 1,7 4-3,0.
своими
расчет
на прочность при повторно-переменных напряжениях
679
Наиболее достоверные данные о необходимых запасах прочности
етали могут быть установлены на основе результатов натурных ис-
пытаний деталей или опыта эксплуатации машин с деталями этого
типа.
Пример 92. Шатун поршневого двигателя, представляющий собой стер-
жень круглого сечения, вдоль оси подвержен повторно-переменным нагрузкам,
меняющимся без ударов от P„aal = + 200 кН до Р„и„ = +50 кН. Стержень
имеет радиальное отверстие 0 3 мм, материал стержня — сталь 12ХНЗА с
такими характеристиками прочности- а,=950 МПа, а,—720 МПа, <J_,=
— 430 МПа и +„=0,1. Поверхность шатуна грубо шлифованная. Требуется
определить его диаметр из расчета на выносливость и полученные размеры
сопоставить с найденными из расчета на статическую нагрузку, равную мак
симальной нагрузке цикла.
В рассматриваемом примере требуется произвести так называемый проек-
тировочный расчет, т. е. по известным усилиям, действующим на деталь,
определить ее размеры.
Устанавливаем опасное сечение вала. Таким следует принять сеченне в
месте радиального отверстия.
Поскольку соотношение размеров шатуна и радиального отверстия не
известно, то ие известна н величина Поэтому, имея в виду, что этот коэффи
цнент при малых отверстиях и крупных деталях машин составляет величину,
близкую к двум, задаемся значением теоретического коэффициента концен
трации а„- 2.
Пользуясь графиком рнс. 585, находим коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений: прн а„=2 и а.=920 МПа коэффициент q„=O,77.
Пользуясь формулой (22.7), определим эффективный коэффициент кон
центрации-
*.= !+<ц,(ао-1)= Ц-0.77 (2-1)= 1,77.
Из графика рис. 592 по кривой 3 находим коэффициент, учитывающий
качество обработки поверхности: J5 =0,82.
Задаемся коэффициентом, учитывающим размеры стержня: е=0,8.
Эффективный коэффициент концентрации детали с учетом размеров и
состояния поверхности
= L’g 2,70.
Ер U,o • U.OZ
Примем запас прочности п = 2,1.
Определим сечение шатуна из формулы (22 25) :
о-i O-iF
пс—---------------- ---------------------------------
o)d Оа + + /L ч Рывке Рмнм . 1|Г Рмакс + Рмин
(Л a)d 2 г » о 2
откуда
р Г , Рмакс Рмин . |.f Рмакс + Р м ИИ 1
о~ Г')"--------2------+ И"-----2------J =
Г 2.70 ^±^1 м2=10,5-!0-4
Определяем диаметр стержня из формулы F=nd2/4'.
,4-10,5-10
3,14
3,7 • 10 2 м =37 мм.
680 Сопротивление материалов действию повторно переменных напря
Проверим значение ранее принятого коэффициента, учитывающего I
лютные размеры, для чего воспользуемся графиком рис. 587. Согласно й^с°'
графику, при d=37 мм с=0,81, т. е. величина в оказалась близкой к эт<м*у
принятому значению е=0,8. Ранее
Находим диаметр шатуна нз статического расчета, т. е. из условия
= /?Ma«/F<|O |: НЯ0-а«е =
nd2 7’„ак< 0,2
> макс v,4, 2 . 1 -7 in—4 2
г=—~4,17-10 м;
4 Р + 1] 480
/ ЛР / 4 17.10 4
d = ~\ ----= ~\ —’ ---- м=2,31-10“2 м=23,1 мм.
ул V 3,14
Примем d=24 мм, т. е. диаметр оказался в 37/24=1,54 раза меньше
чем в случае расчета с учетом переменности нагрузки.
Пример 93. Шток водяного насоса, представляющий собой ступенчатый
круглый стальной стержень (рис. 597), подвергается повторно-переменному
растяжению — сжатию усилиями, сопровождающимися динамическим прило-
жением нагрузки с характеристикой цикла г — —0,5. Материал штока мало
углеродистая сталь с временным сопротивлением ов=400 МПа, пределом
текучести о^=330 МПа и пределом усталости при симметричном цикле о_ =
—204 МПа. Поверхность стержня обработана резцом. Определить допускае-
мые усилия, действующие на шток.
В данном случае речь идет о проверочном расчете. Имеются размеры
детали, необходимо установить допускаемую нагрузку при заданной харак-
теристике цикла. За расчетное следует принять опасное сеченне, находящееся
в месте сопряжения двух диаметров.
Определим теоретический коэффициент концентрации: прн p/d=5/50 =
=0,1 можно принять аа=1,6 (см. § 32)
По графику рнс. 585 находим коэффициент чувствительности к концентра
цин напряжений: </о=0,39.
Определяем действительный коэффициент концентрации.
/г„= 1 +<7„(аа—1)= 1 +0,39 (1,6— 1)= 1,234.
По графику рнс. 587 находим коэффициент влияния абсолютных раз
меров: е=0,75.
Коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности, определим
по графику рнс. 592: 0=0,875. ,
Принимаем коэффициент запаса прочности с учетом динамичности I
гл. 23) равным «.=3. _ ,и-
Находим эффективный коэффициент концентрации напряжении для Д
Определяя амплитуду напряжений нз формулы
О-1
Л^Оо + Ч7 щ
получим
_ о 1 1
оо
г
на прочность при повторно переменных напряжениях
Ф60
Рис. 598
Ф50
Рис. 597
Имея в виду, что для рассматриваемого материала (о„=400 МПа), согласно
табл. 24, коэффициент Ч;„=0, по последней формуле найдем, что
р°= Л;\-=:тт1гмПа~40 мпа-
П и <yd J * 1,88
Определяем допускаемые усилия, действующие на шток:
амплитудное значение усилия
„ _ nd2 14’(5-10-2)2 7ОС u
Pa=Foo=—~—0О=------------— 40 МН = 78,6 кН;
4 4
среднее значение усилия
= Ри 4~-= 78,6 кН=26,2 кН;
1 — г 1+0,5
максимальное усилие
Рмакс=Ра + Рс=(78,6 + 26,2) кН = 104,8 кН;
минимальное усилие
Р^к=Р^ксг=— 0,5-104,8 кН = —52,4 кН.
Пример 94. Вращающийся круглый полый вал (рис. 598) в опасном сече-
нии, ослабленном отверстием для смазки (0 3 мм), испытывает переменный
изгиб с моментом М = 1,5 кН-м. Одновременно вал подвергается переменному
кручению с коэффициентом асимметрии г——0,25 и М,.гыж = 1,8 кН-м.
Диаметры вала: наружный D = 70 мм, внутренний d— 35 мм. Материал —
сталь 45 (о„ = 700 МПа; сц=320 МПа; с ,=300 МПа; г ,=180 МПа).
Поверхность вала шлифованная. Определить запас прочности вала.
Определим номинальные напряжения в валу от изгиба и кручения:
М 32М
^г.-Г-ПГ
^макс
32-1,5-10 3
3?14(70-10-У(1-0,5УМПа=47’3 МПа:
682
Сопротивление материалов действию повторно переменных мяПп
----------------------------------------------------?£^НИЙ
оЛ = оМЛМ.=47.3 МПа; о<=0;
16-1,8-10 3
3,14 (70-10 ’3)3(1 — 0,54) МПа=28,3 мПа
Тмн„ = гт„аКс=—0,25-28,3 МПа=—7,1 МПа;
Тмаке Тми .. 28,3 + 7,1 .... ,,,
т„=—-—------=----------МПа = 17,7 МПа;
Тыакс + Тмин 28,3 — 7,1 ,лг,
тг=—-—------=————— Л'1Па = 10,6 МПа
Определим коэффициенты концентрации при изгибе. При 0/0=3/70=
= 0,04 коэффициент концентрации ц, при изгибе (см. § 65, рис 273) ц,=2 5
Согласно графикам (рнс. 585), коэффициент чувствительности к концентра-
ции напряжений //„=0,65. Эффективный коэффициент концентрации при
изгибе
k„= 1 +</„(а„- 1 = 1 +0,65 (2.5—1) =1,975.
Коэффициент, учитывающий абсолютные размеры, согласно графикам
(см. рнс. 587), можно принять равным е=0,70; коэффициент, учитывающий
состояние поверхности вала (см. рис. 592, кривая 2), р=0,92. Тогда эффек
тивный коэффициент концентрации вала
\ k° *’975 ,
е₽ 0.70-0,92
Определим запас прочности на изгиб.
О-i 300 о п_
(Л + о0++са, ~ 3,1 -47,3 + 0 -2,С°
Определим коэффициенты концентрации при кручении. Теоретическим
коэффициент концентрации примем а,—3; коэффициент чувствительности к
концентрации напряжений примем тот же, что н при изгибе, т. е. </t = </n=0'™
Тогда эффективный коэффициент концентрации при кручении
1 +<7(,(а1 —1)=1 +0,65 (3—1) = 2,3.
Принимая, как н при изгибе, t =0,70 и р=0,92, получаем
ь 9 3
Определим запас прочности при крученнн:
п — т 1 180
(fet)aTo + 'F,T,. 3,60.17,7 + 0,05-10,6 2'77'
Определим общий запас прочности при совместном действии перем
изгиба н кручения:
n„nT 2,05-2,77
,_____ = 1,65
V«l+«? \/2Л)52 + 2,772
Таким образом, общий коэффициент запаса прочности оказался
тельно меньше запаса прочности отдельно на изгиб и на кручение.
значИ'
р011ятие о малоцикловои усталости материалов
683
g 149. Понятие о малоцикловой усталости
материалов
Во многих реальных инженерных конструкциях наблюдается
па3р}шение после относительно небольшого числа циклов нагруже-
рия, исчисляемого несколькими тысячами повторений. Разрушение
после малого числа циклов нагружения от так называемой мало-
цикловой усталости обычно происходит при значительной (около
1 %) пластической циклической деформации в макрообъемах рас-
сматриваемого элемента конструкции.
Расчеты элементов конструкций на малоцикловую усталость ба-
зируются на экспериментальных данных изучения закономерностей
сопротивления деформированию и разрушению при циклическом
упруго-пластическом деформировании, а также исследованиях ки-
нетики неоднородного напряженно-деформированного состояния и
накопления повреждений в зонах концентрации — местах вероят-
ного разрушения. Ниже приведены основные понятия и некоторые
результаты изучения кинетики деформирования и разрушения ма-
териалов при циклическом упруго-пластическом деформировании.
Сопротивление материалов циклическому упруго-пластическому
деформированию обычно изучают при однородном напряженном
состоянии, используя два основных вида нагружения. При первом
в процессе циклического деформирования постоянной сохраняется
амплитуда напряжений, при втором — амплитуда деформации. Эти
виды соответственно называют мягким и жестким нагружением.
Мягкое нагружение. Диаграмма циклического деформирования
при мягком нагружении в случае одноосного растяжения — сжатия
(рис. 599) построена в относительных координатах б = о/от; ё=е/ет-
Здесь в качестве предела текучести от обычно принимают предел
пропорциональности в исходном полуцикле, обозначаемом нуле-
вым; ел — относительная деформация, соответствующая пределу
текучести (пропорциональности). Для описания последующих полу-
Пиклов удобно пользоваться координатами S=S/oT; е = е/ет, начала
к°торых берутся в точках, соответствующих началу разгрузки в
каждом полуцикле.
После исходного деформирования ОАВ и разгрузки ВС, ревер-
кпвного деформирования CDL и разгрузки LM образуется, вообще
веря, незамкнутая петля упруго-пластического деформирования
еРвого полуцикла; ее ширина обозначена через 6(|). При дальней-
повторении нагружения и разгрузки получим кривые цикличе-
Hv Г° сформирования в различных полуциклах и соответствующие
Петли шириной
Проход к нелинейному участку диаграммы в /г-м полуцикле на-
НацАается пРи напряжениях и деформациях, равных и е$А), а в
ильной системе координат — при и еу\ Эти величины яв-
ей пределами текучести (пропорциональности) в данном полу-
е и соответствующими им деформациями.
684
Рис. 599
В зависимости от свойств материала в процессе циклического
упруго-пластического деформирования пределы текучести (пропор-
циональности) и форма кривых деформирования могут изменяться.
Так, для большого количества металлов и сплавов при растяжении
образца напряжением, превышающим предел текучести (пропорцио-
нальности), при последующей разгрузке и реверсивном деформи-
ровании, т. е. при сжатии, предел текучести (пропорциональности)
оказывается ниже исходного. Это явление, названное эффектом
Баушингера, наблюдается не только при растяжении — сжатии, но
и при других видах напряженного состояния.
Для объяснения эффекта Баушингера был предложен ряд моде-
лей. Наиболее вероятной причиной изменения пределов упругости,
пропорциональности и условного предела текучести при реверсив-
ном нагружении, по-видимому, являются остаточные ориентиро-
ванные микронапряжения, возникающие в предшествующей плас-
тической деформации. Они и способствуют более раннему возникно-
вению пластической деформации при повторной нагрузке другого
знака.
Модель Мазинга — одна из первых моделей. Он рассмотрел ре
версивное деформирование поликристаллического образца в пр
положении, что зерна, обладая анизотропией свойств, различ
образом ориентированы по отношению к деформирующей нагР^сти'
деформируются по-разному и имеют различные пределы текУ ла
Эта модель позволила установить следующую зависимость "Р^н0Г0
текучести при первом реверсивном нагружении для симметри
цикла от величины исходного напряжения в нулевом полу
т. е. от степени предшествующей деформации: .
<7тО={?°)-2, (22‘
или в координатах S — е:
S9} = 2.
(22.28)
своими
685
6<’>
ka '
пуками-'!
(22.29)
Понятие о малоцикловой усталости материалов
Зависимость (22.27), однако, как показали многочисленные экс-
перименты, не выполняется для многих материалов. Значения ST для
некоторых материалов приведены в табл. 25.
Таблица 25
Материал S, а ₽ А k*
——— Сталь: 45 (нормализованная) 1,13 0 3,55 20—30
1Х18Н9Т (аустенизация) 1,66 0,15 — 1,13 10
ЗОХГС (отжиг) 1,61 0,03 — 0,90 —
ЗОХГС (закалка, отпуск 680 °C) 1,34 — 0,01 1.2 —
ЗОХГС (закалка, отпуск 360 °C) 1,60 — 0,10 0.86 —
теплоустойчивая 1,45 — 0,02 1,93 —
Сплав: В96 (естественное старение) 1,84 0,4 — 1,15
АК8 (искусственное старение) 1,67 0,28 — 1,35 —
Сказанное относится к первому полуциклу. При последующем
циклическом деформировании сопротивление материалов упруго-
пластическому деформированию изменяется, что ведет к изменению
предела текучести (пропорциональности) С увеличением числа
циклов эта характеристика может возрастать или убывать в зависи-
мости от свойств материала (рис. 600, линия / соответствует сплаву
Д16, 2— стали ЗОХГСА). Изменяется она и в зависимости от степе-
ни исходного деформирования е(0). Однако для практических расче-
тов обычно принимают, что предел текучести (пропорциональности)
не зависит от числа циклов и от степени исходного деформирования.
Основным параметром в исследованиях малоцикловой усталости
при мягком нагружении является ширина петли гистерезиса 6(2л~б
Для нечетных и 6<2л) для четных полуциклов (рис. 599). Ширина пет-
ли за данный полуцикл — пластическая (остаточная) деформация
за полуцикл, а разность ширины петель в двух соседних полуциклах
характеризует накопленную за цикл одностороннюю пластическую
Деформацию.
Для разных материалов кинетика изменения ширины петли с
числом циклов различна. Для циклически упрочняющихся материа-
сплавы В96, Д16Т,
лов (например, сталь 1Х18Н9Т, алюминиевые
АДЗЗ, АК8) ширина петли с числом циклов
Уменьшается, а накопленная в процессе
Циклического деформирования пластиче-
ская деформация стремится к некоторой
Редельной величине. Эксперименты по-
бывают, что для таких материалов изме-
ение ширины петли с числом полуцик-
‘°в хорошо описывается зависимостью
О 40
Рис. 600
686
Сопротивление материалов действию повторно-переменны» и
---------------------------—------------------
где параметр а>0 зависит от материала и исходной деформ
возрастая с ростом последней. В первом приближении, однакоЦИИ'
считают постоянным. ' • ег«
При симметричном цикле нагружения ширина петли в пео
полуцикле зависит от величины начальной деформации е(0> и
дела текучести ST и, как показывают эксперименты, может быть пп£е
ставлена выражением
Лб)=д / до)
(22.30)
где А константа материала, характеризующая сопротивление
деформированию в первом полуцикле.
В случае циклически разупрочняющихся материалов (например
теплостойкие стали, чугуны) ширина петли с числом полуциклов
увеличивается, а также увеличивается суммарная деформация
Зависимость ширины петли от числа полуциклов достаточно хорошо
описывается выражением
(22.31)
где р — константа материала, зависящая от степени исходного де
формирования. Ее также в первом приближении можно принять
постоянной.
Для некоторых материалов константы а, р, А приведены в табл. 25.
Наконец, в случае циклически стабильных материалов (напри-
мер, среднеуглеродистые и аустенитные стали) ширина петли упру-
го-пластического гистерезиса практически не зависит от числа цик
лов деформирования. При различной ширине петель в четных и
нечетных полуциклах происходит одностороннее накопление дефор-
мации. Для таких материалов, стабилизирующихся при определен-
ном числе полуциклов k = k*, ширина петли определяется по формуле
(22.29) при k = k*.
Заметим, однако, что деление материалов на циклически упроч-
няющиеся, стабильные и разупрочняющиеся носит несколько услов-
ный характер, так как поведение определенного материала при
циклическом деформировании зависит от температуры, его исход-
ного состояния (наклеп, термообработка) и других факторов Н
пример, наклеп предварительное пластическое деформирование
при комнатной температуре - ведет к циклическому разупрочне
нию. То же имеет место и при закалке. Так что в нестабильн
состоянии материал циклически разупрочняется. В то же время в с
бильном состоянии (отжиг) наблюдается циклическое упрочне
Пластические свойства материала после определенного 4 *
циклов нагружения характеризует суммарная пластическая
мация, накопленная за k полуциклов. Она связана с ширинок
в четных и нечетных циклах (см. рис. 599) выражением
^) = е((»_ -W_|_ j (-1)*6(*\ (22‘32)
fe=l
роцЯтие о малоцикловой усталости материалов
687
уКесткое нагружение.
gaK уже указывалось,
весьма распространенным
методом изучения сопро-
тивления материалов цик-
тческому упруго-пласти-
ческому деформированию
являются испытания при
постоянных амплитудах де-
формации — жесткое на-
гружение (рис. 601; а
сплав В96, б — сталь
1Х18Н9Т). При таких ис-
пытаниях за счет пере-
распределения упругой и
пластической составляю-
щих деформации макси-
мальные напряжения от
цикла к циклу могут из-
меняться.
Кинетика изменения
максимальных напряже-
ний зависит от свойств
материала и находится в
соответствии с поведением
различных групп материа-
лов при мягком нагруже-
нии. Так, в испытаниях
Циклически упрочняющихся материалов при жестком нагружении
амплитуда напряжения вначале возрастает. Интенсивность воз-
растания с увеличением числа циклов уменьшается. После сравни-
тельно небольшого числа циклов амплитуда напряжений становится
практически постоянной на большей части долговечности вплоть до
Разрущения Размах установившегося напряжения иногда называют
«асимптотическим» размахом или размахом «насыщения». Пред-
полагают, что каждому размаху деформации соответствует опре-
деленный «асимптотический» размах напряжения. Он берется при
Числе циклов, равном половине разрушающего, т. е. при средней
Долговечности.
В испытаниях циклически разупрочняющихся материалов при
фиксированной циклической деформации напряжения от цикла к
иклу постепенно снижаются. Однако и в этом случае процесс срав-
Ительно быстро затухает и можно говорить о существовании пре-
. явного асимптотического размаха напряжений, зависящего от раз
а*а циклической деформации.
Разрушение при циклическом упруго-пластическом деформи-
еаВании- Сопротивление разрушению при циклическом деформиро-
Ии материала существенно зависит от характера нагружения
688
Сопротивление материалов действию повторно переменных напп
--------------------------:-------------------------РЛкенив
(мягкое или жесткое) и циклических деформационных свойств эт
материала.
При мягком нагружении циклически разупрочняющихся
стабильных металлов накапливаются пластические дефорМаЛ1и
которые могут привести к двум типам разрушения квазиста ’
ческому и усталостному. Квазистатическое связано с возрастав/11
остаточных деформаций до уровня, соответствующего разруШен М
при однократном статическом нагружении. Разрушение устачос*0
ного характера связано с накоплением -повреждений, образована
прогрессирующих трещин при существенно меньшей пластическо*'
деформации. Возможны и промежуточные формы разрушения ко
гда образуются трещины усталости на фоне заметных пластических
деформаций.
Циклически упрочняющиеся материалы разрушаются только от
усталости. Для них кривая усталости в интервале числа циклов
102 — 10“ достаточно хорошо описывается эмпирическим уравнением
ooM‘=const,
(22.33)
где Ос - амплитуда напряжения;
р — показатель степени;
N — число циклов до разрушения.
Для квазистатического разрушения в качестве критерия перехо
да в предельное состояние принимают величину накопленной де
формации ёв при циклическом нагружении, соответствующую раз
рушению при однократном статическом нагружении.
На основании выражения (22.32),
Й=|
(22.34)
С учетом выражений для ширины петли, зная циклические пара-
метры материала, из формулы (22.34) можно определить для за-
данной амплитуды напряжений число циклов до разрушения.
При жестком нагружении нет накопления деформаций, что ис
ключает возможность квазистатического разрушения. В этом слу
чае все материалы разрушаются по усталостному типу с образе
нием трещин. и.
Эксперименты с различными материалами показали, что за®
мости между размахом пластической деформации за цикл '
и числом циклов до разрушения в двойных логарифмических K°°Lr0
натах близки к линейным. Это явилось основанием для следу у
эмпирического выражения между циклической долговечност
и размахом пластической деформации за цикл (формула Мэнс
Коффина):
еплЫт=М,
где m и М — константы материала.
689
ронятие ° малоиикловои усталости материаюв
Показатель степени т для большинства материалов можно при-
ять приблизительно равным 0,5. Постоянную М легко определить
* предположении, что формула (22.35) справедлива и при однократ-
ны нагружении до разрушения, т. е. при /V = I/4 и епл = ев, где
__ истинная деформация при статическом разрыве. Тогда М =
1(1/2) ев и
гХ-5=-г^-
(22.36)
q учетом выражения (4.27) для истинной деформации формула
(22.35) принимает вид
ean..,=4-en.T = 4-ln-riv-W °-5. (22.37)
Уравнения (22.35) и (22.37) можно считать основными зависи-
мостями для оценки долговечности при малом числе циклов нагруже-
ния, когда преобладающее значение имеет сопротивление материа-
ла пластическим деформациям. С увеличением числа циклов до раз-
рушения, т. е. с уменьшением размаха пластической деформации,
упругая часть деформации становится соизмеримой с пластической.
В связи с этим предложены критерии малоциклового разрушения
в упругих и суммарных деформациях.
Опыты с многими материалами показывают, что в области дол-
говечности 10- 106 циклов имеет место следующая зависимость:
(22.38)
где еу — размах упругой деформации за цикл, вычисленной в ре-
зультате деления размаха асимптотического напряжения
(соответствующего циклической долговечности N) на
модуль упругости Е;
f-их - постоянные материала.
Зависимость между размахом полной деформации и циклической
долговечностью можно получить из уравнений (22.35) и (22.38) :
е=с1Ц| + еу = MN-m 4- W ~ х.
В области малых долговечностей упру-
я составляющая деформации незначи-
пьна, основное значение имеет пласти-
сКая деформация, а суммарная асимп-
чеТИч£ски приближается к прямой пласти-
составлЯ|°Щей (рис. 602). При
n.lgbUJHX долговечностях роль убывающей
зиа веской деформации становится не-
w4HTejlbnofi, в то время как упругая
лНд°Рмация вследствие малого наклона
еу сохраняет высокое значение;
L Ия суммарной деформации асимпто-
(22.39)
690
Сопротивление материалов действию повторно переменных
-------------------------- ----------------------------г!₽®*ы<й
тически приближается к прямой упругой деформации. Перехо
точка между двумя кривыми для большинства материаловДНая
ходится в области 104 циклов. На"
При использовании критерия (22.39), как показали
ты, константы следует принять такими:
т—0,6; х=0,12; Л4 = е2'6; £ = 3,5<тв,
где ов — предел прочности.
Следовательно,
эксперимен-
(г \°-6
М Л'“+3.5-^Л<(224С|
Предельную упругую деформацию можно выразить также через
параметры кривой усталости: предел усталости <т_| при выбранном
базовом числе циклов /Уб и показателе степени кривой усталости р
Подставляя эти значения в выражение (22.33), найдем значение
константы в правой части уравнения:
Оо^=о
Следовательно, амплитуда напряжения и условная упругая дефор-
мация
<то=а_|МЛГ'*;
еоу=-^да-»*.
(22.41)
Уравнение кривой усталости при жестком нагружении прини-
мает вид
ео=еОпЛ + еОу=-|-’п-Г=дГ^ 05 4--^-(22.42)
Эмпирические формулы (22.41) и (22.42) позволяют с достаточной
точностью оценить долговечность материалов в довольно широком
диапазоне перемен упругопластических деформаций.
Глава 23
Расчеты на ударную нагрузку
§ 150. Расчет на удар
при осевом действии нагрузки
С явлением удара приходится иметь дело в том случае, к°
скорость рассматриваемого элемента конструкции или соприка я.
шихся с ним частей в очень короткий промежуток времени и о
ется на конечную величину. Получающиеся при этом большие
рения (замедления) приводят к возникновению значи ‘ нОм
инерционных сил, действующих в направлении, противопо-
www.vokb-Ia.spb.ru -
Самолёт своими руками
691
расчеТ на УЛЯР П₽" осевом действии нагрузки
напРаВлению УскоРений, т. е. в направлении движения тела. В случае
даюшего груза величина силы удара (динамической силы Рл)
иОжет быть вычислена по формуле
(23.1)
где Q — вес падающего груза;
g — ускорение свободного падения;
/(/)— ускорение падающего груза после соприкосновения его
с препятствием.
Однако определение силы удара Ра (/) по формуле (23.1) весьма
затруднительно, так как не известно время соударения, т. е. время,
в течение которого скорость движущегося тела снижается от своего
максимального значения в момент соприкосновения с ударяемым
телом (начало удара) до нуля после деформации последнего (конец
удара). В связи с указанными трудностями, определяя напряжения
в элементах упругих систем, вызываемые действием ударных на-
грузок (динамические напряжения), в инженерной практике обыч-
но пользуются так называемым энергетическим методом, основанным
на законе сохранения энергии. Согласно этому методу полагают, что
при соударении движущихся тел уменьшение запаса кинетической
энергии их равно увеличению потенциальной энергии деформации
соударяющихся упругих тел.
Вывод расчетных формул для определения динамических напря-
жений проведем на примере простейшей системы (рис. 603), со-
стоящей из вертикально расположенного упругого призматического
стержня с жесткостью c — EF/l и некоторого груза Q. Полагаем
при этом, что удар неупругий в том смысле, что при соударении
падающий груз не отскакивает от стержня, а движется вместе с ним,
и, следовательно, в стержне не возникают упругие волны. Кроме
того, данная система обладает одной степенью свободы.
Рассмотрим два случая:
1) груз Q прикладывается к стержню статически, т. е. нагрузка
Медленно нарастает от нуля до своего максимального значения
(Рис. 603, а) и сжимает стержень на величину 6СТ;
2) груз падает с некоторой высоты И и, ударяя по стержню,
Издает в нем сжатие 6д>6ст (рис. 603, б).
Изменение деформации при ударном действии нагрузки Q по
Равнению с деформацией при статическом приложении той же на-
РУзки может быть охарактеризовано коэффициентом динамичности
(23.2)
гДа динамическую деформацию через статическую можно выра-
1 Формулой
Мст. (23.3)
692
Расчеты на ударную
Рис. 603
Учитывая линейную связь между На
нием и деформацией, а также принимая Ря>Ке'
ковыми модули упругости при статическДИНа'
ударном действии нагрузки, что с достатоМ •
степенью точности подтверждается экспеп ЧН°Я
том, по аналогии с последней формулой мс?*611'
установить связь между статическим и —
ским напряжениями:
Динамиче-
Од — ^дОст»
где
„ _ Q
Ост— г
(23.4)
(23.5)
— напряжение, возникающее в стержне при сжатии силой, равной
весу падающего груза.
Чтобы использовать формулу (23.4), нужно определить коэффи-
циент динамичности ka. При этом будем исходить из общепринятого
в теории удара допущения, что связь между усилиями и деформация-
ми сохраняется одной и той же как при статической, так и при
динамической нагрузках, т. е.
С Рст
6ст = —
6 = Л
д С ’
(23.6)
(23.7)
где Per — статическая нагрузка, равная весу падающего груза (в на-
шем случае PcT = Q} ',
Рл — динамическая нагрузка, представляющая собой силу инер-
ции ударяющего тела в первый момент его соприкосно-
вения со стержнем.
Изменение кинетической энергии падающего груза численно рав-
но работе, совершенной им при падении и деформировании стержня.
7’=(2(//-|-бд), (23.8)
а потенциальную энергию деформации упругого тела при УДаР^’
накопленную за счет уменьшения потенциальной энергии падаю
го тела, учитывая выражение (23.7), устанавливающеесвязь ме
усилием и деформацией, можно' представить формулой
U _ • р Л __£Й_ (23-9)
Пользуясь законом сохранения энергии и пренебрегая п0^прИ
энергии, вызываемыми местными пластическими деформация
соударении тел, а также инерцией массы ударяемого стер ж
но записать
т=иа.
www.vokb-Ia.spb.ru Самолет своими
раСЧет на удар при осевом действии нагрузки
693
На основании выражений (23.8) и (23.9)
^Й_=0(//4-бд). (23.10)
2
Имея в виду, что b„ = Q/c, уравнение (23.10) можно предста-
вить так:
fi2—2бстбд — 2бстЯ=0.
Отсюда можно определить динамическую деформацию:
| йя^бст± + (23.11)
Поскольку знак «минус» в этой формуле не соответствует физиче-
ской стороне рассматриваемой задачи, следует сохранить знак
«плюс».
Записав формулу (23.11) в виде
6д=бсТ (14- д/ 1+4^-) (23Л2)
и сопоставив ее с формулой (23.3), находим выражение для коэф-
фициента динамичности:
fea=I+д/ 14--^-- (23.13)
Имея в виду, что H—v2/2g (и — скорость падающего груза в начале
удара), коэффициент динамичности можно представить формулой
+ <2314>
Если учесть, что
QH _ То
6" 1 ох ’
у Сбег
т° коэффициент динамичности ka можно также записать и так:
(23.15)
To~QH — кинетическая энергия падающего груза к моменту
соударения;
— потенциальная энергия деформации подвергающе-
гося удару упругого стержня, которая накаплива-
ется в нем при статическом действии силы, равной
весу ударяющего груза Q, т. е.
U =—Об — Q2 — о2*
<7ст 2 оост 2с 2EF
(23.16)
694
Расчеты
Если /7 = 0, т. е. сила прикладывается внезапно, то, СОГл
выражению (23.13), коэффициент динамичности Ад=2. Поско^110
высота падения груза Н всегда значительно больше бст, то в б
шинстве случаев определения коэффициента динамичности в вь *Ь
жениях под корнем единицей по сравнению со вторым слагаем^
можно пренебречь. Тогда на основании выражения (23.13) получи
kn
27/
бет ’
или, согласно формуле (23.15),
4
(23.17)
тв
йГ’ (23-18)
Имея выражение (23.13) для коэффициента динамичности, на-
пряжение при ударе на основании зависимости (23.4)
формулой
определим
(Тд — ЙдСТст — Ост
или
Од — (Тст
Q . 2QHE
F V IF
Аналогично определяем и усилие при ударе:
(23.19)
(23.20)
(23.21)
Изложенная приближенная теория расчета на удар имеет опре-
деленные пределы применения. Они обусловлены скоростью падаю-
щего груза к моменту удара и жесткостью конструкции, что выража-
ется в формулах (23.13) или (23.15) отношением 2/7/бст или To/Ua-
Так, если
бет t/CT^= ’
то ошибка расчета не превышает 10 %. Учет массы ударяемой кои
струкции расширяет пределы применения приближенной теории.
Из анализа формул (23.19) и (23.20) видно, что при равномер
распределенных напряжениях, одинаковых во всех сечениях стеР Q
ня, величина динамических напряжений зависит не только от
щади F его поперечного сечения, как это имеет место в случае %
ствия статической нагрузки в статически определимых си жН0
но и от длины I и модуля упругости Е материала стержия, т. е'завиСят
сказать, что динамические напряжения в стержне при УдаР^еМ бОль-
как от объема, так и от качества его материала. При этом ^оЛЬще
ше объем упругого стержня, подвергающегося удару 'чеР1я?кенИя'
«энергоемкость» стержня), тем меньше динамические напр
Расчет «а удар при осевом действии нагрузки
695
а
Рис. 604
как известно, от деформа-
зникающие в нем, а чем больше
I ВоДУ-пь УПРУГОСТИ материала стержня,
| м динамические напряжения больше.
т до сих пор предполагалось, что
I тержни по всей длине имеют одина-
I Совые сечения. Именно для таких
I 1'1-ержне^ справедливо все сказанное
I 0 роли объема стержня при оценке
I динамических напряжений.
Картина оказывается несколько
I иной в стержнях, отдельные участки
| которых имеют различную площадь
! поперечного сечения. В этом случае
(рис. 604, а) наибольшее номинальное
напряжение в стержне (без учета кон-
центрации) будет в месте наименьшей
площади (в месте выточки). Зависит оно,
гибкости всего стержня, а не только его ослабленной части. Пони-
зить динамические напряжения в этом случае можно двумя путями:
1 увеличением поперечного сечения в месте выточки или уменьшением
I площади поперечного сечения утолщенной части стержня и, следо-
। вательно, повышением податливости всего стержня в целом, что при-
водит к снижению максимальных динамических напряжен "
I выточки. Если изготовить весь стержень постоянного
равного диаметру выточки d2, ’
деформативность стержня, а
ческое напряжение <тд.
Таким образом, снижение напряжений при ударе может быть
достигнуто увеличением объема путем уничтожения выточки, т. е.
I выравниванием напряжений по различным сечениям, или уменьше-
нием объема материала за счет уменьшения площади утолщенной
части, что приводит к увеличению деформативности.
Сказанное удобно проиллюстрировать на примере определения
Максимальных динамических напряжений, возникающих в трех
типах стержней при продольном ударе грузом Q, падающим с одной
1 ” той же высоты Н.
I Пусть соотношения между отдельными размерами стержней сле-
дующие:
A i
И
Для определения напряжений в каждом из стержней восполь-
I Уемся общей формулой
I ^йакс -Йд ((Уст)макс== 7?д »
Г"Ш|
б
б
напряжений в месте
_______________________о диаметра,
то при этом существенно увеличится
следовательно, уменьшится динами-
бет
бет =£
, E„F„ ’
696
Расчеты на УДарнуюнд^^
расчет на удар при осевом действии нагрузки
п — число ступеней.
Для ступенчатого стержня (рис. 604, а)
Для стержня постоянного сечения с размерами утолщенн ’
части ступенчатого стержня (рис. 604, б) *11
(6„)6=-gb.
Для стержня постоянного сечения, равного минимальному се
чению ступенчатого стержня (рис. 604, в), имеем
/А ) = = ш
Тогда соотношения между деформациями отдельных стержней
очевидно, будут следующими;
/а > •/'A_v-65„k= ( 1—В+-&4:1:-£.
(23.22)
Пренебрегая в выражении (23.17) единицей по сравнению с кор-
нем, что при большой высоте падения И и малой статической де-
формации 6СТ можно допустить, выражение для коэффициента дина-
мичности приближенно можно записать в виде
2/7
бет
-~й формулой и учитывая выражения (23.22), получим
----------------------------- ---------длЯ рассматри-
Лд
Пользуясь ЭТОЙ т_, „
соотношения между коэффициентами динамичности
ваемых случаев:
а.
(^д)о*(^д)б"(^д)е а(]__р)_|_р ‘
Исходя из выражений
(Пд)с= (^д)с (Пст)о= (^д)о api >
(23-23)
697
Предположим, например, что коэффициенты а и £ имеют следую-
числовые значения:
£-=0,5; р=£-=0,4.
a- f, н /1
Тогда по формуле (23.24) найдем следующее соотношение:
(дд)0:(ад)б:(Од)в= U7:1:1,41.
Таким образом, видим, что наибольшее напряжение возникает в
^ержне с выточкой (рис. 604, а), а наименьшее — в стержне по-
стоянного максимального сечения (рис. 604, б). В стержне же мини-
мального сечения, постоянного по длине (рис. 604, в), напряжение
имеет некоторое промежуточное значение.
Результаты проведенного анализа имеют существенное практи-
ческое значение. Прежде всего этот анализ показывает, что харак-
тер сопротивления стержней удару качественно резко отличается от
сопротивления их статической нагрузке. При статическом сжатии
утолщение одной части стержня не вызывает изменения напряжений
в сечениях другой части; при ударе оно повышает их. Местное
уменьшение площади поперечного сечения на небольшой длине
стержня резко повышает напряжение.
Для снижения напряжений надо стремиться главным образом
к увеличению податливости стержня путем увеличения его длины,
добавления буферной пружины, замены материала другим, с более
низким модулем упругости, выравнивания площадей поперечного
[сечения с целью получить все участки стержня одинаковой ми-
нимальной площади сечения. Вот почему, конструируя стержни,
I работающие на удар, надо добиваться постоянной площади сечения
по всей их длине. Местные утолщения допустимы лишь на неболь-
ших участках длины; местные выточки небольшой протяженности
крайне нежелательны. Если при таких условиях сконструировать
''остаточно прочный стержень не удается, необходимо удлинить его
н-1и равномерно увеличить его площадь.
Условие прочности при ударе имеет вид
От
Пг
(е>д)б— (^д)б(°ст)б—(Me ’
(Од)в-(£д)в(Ост)„-(Лд)„ --(*д)„
и учитывая соотношение (23.23), получим
(од)с:(од)б-(од)е= д/ аг(1 _р)_рар 1
Jj Lвеличину коэффициента запаса пт можно было бы выбрать рав-
L Величине основного коэффйциента запаса при статическом дей-
f^Hii нагрузки (1,4—1,6), так как динамичность уже отражена в
|р]()Четнь1х формулах коэффициентом /гд. Однако ввиду некоторой
енности изложенного метода расчета этот коэффициент при-
I М*01 не«<олько большим (пт=2).
&0го1ы Рассмотрели расчет динамических напряжений в
/93-2^ '<*атия- Однако все приведенные формулы будут
v Bbl и Для ударного растяжения, в частности для
н«ого на рис. 605.
в случае удар-
' также спра-
в частности для случая, по-
698
Рис. 605
Рис. 606
Рис. 607
Рис. 608
Пример 95. Груз Q весом 50 Н, прикрепленный к стальной проволоке диа-
метром 3 мм (рис. 606), свободно падает от точки А с ускорением g. Найти
напряжение в проволоке, когда ее верхний конец внезапно остановлен. Мас-
сой проволоки пренебречь.
Напряжение в точке А после внезапной остановки проволоки получим по
формуле (23.20) при длине проволоки 1=Н:
<2 / 2Q/7/7 = 4-0,05-10 3 / 4-2-0,05-10 3-2,1-10г'
F + V FI л(0,3-10~2)2 + V л (0,3-10 2)2
= (7,08+1720) МПа «1727 МПа.
Так как кинетическая энергия падающего тела увеличивается в той же
пропорции, что и объем проволоки, то напряжение не зависит от высоты па
дення груза Q
Пример 96. Определить величину динамических напряжений, возникающих
в стержнях подвески (рис. 607) при падении груза Q=0,25 кН с высоты
Н — 1 см Площадь поперечного сечения медных наклонных стержней АС и ВС
F„—0,2 см2. площадь поперечного сечения стального стержня Fr—0,25 см.
длина стального стержня 1С=2,4 м; длина наклонных стержней 1„=2 м.
Динамические напряжения в стальном стержне определяются по формуле
Од = kjficr-
Находим значения величин, входящих в эту формулу:
(0^=-^=^'*° 4 М11а=10МПа;
Г с V,<cO • 1U
(о„)м = cos 30D 2-0,2-10 «.0 866 МПа 7,2 MI 1а’
Л - /ж > . , 2 " ( °-25-10 3-2А- +
" ( + cos 30“ F.,F< + cos2 30“ к 2-105-0,25-Ю-4
+
0,125-Ю~3-2 \
1-105-0,2-10 4-0,75/
м=28,7-10~3
см;
своими
руками.'!
699
= 9,4.
Напряжения в стержнях
(од)с=£д (о<-т)с=9,4 • 10 МПа =94 МПа,
(Пд)м = Мост)» =9,4-7,2 МПа=67,7 МПа.
На практике встречаются такие случаи, когда на основании по-
лученных формул динамические напряжения найти нельзя. К числу
таких задач может быть отнесена, например, задача об определении
напряжений в стальном канате, поднимающем груз Q со скоростью v
при внезапном торможении подъемника (рис. 608).
Обозначим свободную длину каната в момент остановки через I
и площадь поперечного сечения его через F.
Пренебрегая массой троса и полагая на основе закона сохране-
ния энергии, что кинетическая энергия движущегося груза пол-
ностью превращается в потенциальную энергию деформации троса,
получим следующее уравнение для определения наибольшего удли-
нения 6 троса:
££б2 ££б?т _ Qv‘
21 21
откуда, имея
Q=£F А-,
получим
1г (6-М2 =
Отсюда
- 2£ + Q(6-6eT),
в виду, что
Qu2
2g
6 = 6ст+ .
V EFg
Следовательно, при внезапной остановке растягивающие напря-
жения возрастают в отношении
(23.25)
700
Расчеты ма ударную
расчет на удар при осевом действии нагрузки
Пример 97. Определить напряжение в стальном канате, опускающР
весом Q=45 кН со скоростью р = / м/с в случае внезапной остановки гр{,э
мент, когда груз опустится на 18 м. Сечение каната F = 16 см2 модель в М°~
гости 1,05-К? МПа. ' у ь Упру.
Вычислим статическую деформацию каната:
W--------4S.IO-.I8 ,_0.48!.,0-,
EF 1,05 • 105-16 • 10
Согласно формуле (23.25), коэффициент
= 1 4- = 1 4- , ' ,---- =5,6
V6crg д/0.482-10 2-9,81
и динамические напряжения
, . Q сс45-10-’ п
<Тл=ЛдСст=kn —т-=5.6------— МПа = 157,5
F 16-10
Получившиеся высокие напряжения при резком торможении могут при-
вести к обрыву подъемного каната, что необходимо учитывать.
м =0.482 см.
динамичности
МПа.
Пример 98. Решить предыдущую задачу при условии, что между тросом
и грузом помещена пружина, которая под действием груза 45 кН дает стати-
ческое удлинение 12 см.
Статическая деформация упругого элемента (каната и пружины 6Г-.)
6(.T = 6JT4-6?T=(0,4824-12) см= 12.482 см.
Подставляя значение бет в формулу (23.25), найдем, что
1
v
*д=1 +
== = . -г ~т~ ________,____=1,92.
'б^Г /12,482-10 “2-9,81
Динамическое напряжение в канате
О 45. Ю-3
On=feBOer=feA-^-=1.92 ,“_4 МПа = 54 МПа.
г 1О-10
Как видим, включение пружины между канатом и грузом существенно
(почти в 3 раза) снизило динамические напряжения при резком торможении
груза. В данном случае пружина явилась тем амортизатором, который часто
применяют в технике для смягчения толчков, а следовательно, и уменьшен!
возникающих при толчках динамических напряжений.
Учет массы стержня, испытывающего удар. В некоторых случа’
масса стержня может оказать существенное влияние на динам
ские напряжения, возникающие в стержне, подверженном деист
ударных нагрузок. пр0.
Для учета влияния инерции массы ударяемого стержня ^0.
цессе удара следует различать два .этапа. Первый начинаеТСдЛЬную
мента соприкосновения падающего груза, имеющего максим тие
скорость v, со стержнем и заканчивается, когда произойдет t)i>
материала, за счет чего скорость груза снизится до велич
а верхний конец ударяемого тела приобретет за это вре ° ^рИ?ке-
скорость 0|. Второй этап начинается с момента совместного
ния груза и конца подвергаемого удару стержня.
I Если в момент начала второго этапа удара
ерхний конец ударяемого стержня будет иметь
I ВкороСТЬ U|’ то’ предположив, что скорость после-
%юШиХ (нижележащих) сечений стержня умень-
' Дается по линейному закону, достигая нулевого
рачения в нижнем сечении стержня, найдем ско-
I пость движения произвольного сечения стержня на
расстоянии х от нижнего сечения (рис. 609) в этот
момент.
t,(x)=V|-y-.
Кинетическая энергия массы участка dx, на-
ходящегося на расстоянии х от нижнего конца,
Тогда полная кинетическая энергия всего стержня определится
выражением
т yF 7 Г г. . yFl к?
^7] хах~ 3 2g’
о
Обозначив собственный вес стержня через Qc, кинетическую энер-
гию в начальный момент второго этапа можем выразить формулой
tQ у2,
Г 3 2g •
Таким образом, если в момент начала первого этапа удара падаю-
'щий груз обладал кинетической энергией Qv2/2g, то потеря энергии
® начала второго этапа за счет местных пластических деформаций
2g
или
Рис. 609
(23.26)
__ / Qpi । 1 QcO?
\ 2g 3 2g
2g
(23.27)
С дРУг°й стороны, эту же потерю кинетической энергии можно
^Разить, исходя из того, что скорость груза в первый этап удара
Меняется на величину v — щ, вследствие чего кинетическая энер-
у Падающего груза уменьшается на величину (Q/2g)(v — щ)2.
^Рясмый стержень за первый этап удара получит запас кинети-
й энергии (Qc/3)-[(0 — vi)2/2g]. Тогда суммарная потеря кинети-
Ри ^°и энергии падающего груза, выраженная через величину поте-
пергии груза и запасенной энергии стержня,
руками?!
703
702
Расчеты на ударную narpV3liy
на удар при осевом действии нагрузки
Учитывая, что v^/^g^H и HQ — To, а также обозначая Qq/Q =
или
Приравняв правые части выражений (23.27) и (23.28), бупе
иметь • 1
О Г 2 2
~2g L v ~Vl .
Отсюда определим величину скорости груза в момент начала второго
этапа удара:
(23.28)
==р. формулу для определения коэффициента динамичности пред-
ставим в виде
1 Qc
Г Q
О
и2 —2u VI 4-^1
(23.31)
а максимальное напряжение в стержне, испытывающем удар,
V
] , I Qc '
| 1+т&
Энергия удара стержня, характеризуемая
запасенной системой в начальный момент
определится формулой
Qvi ,_1 QcPi
2g + 3 2g
0 /1+-!--%-
= -2FV+3 Q
или окончательно:
Т =
Qu2
+ 3 QJ
кинетической энергией,
второго этапа удара,
(23-30)
г--- . согласно закону сохранения энергии и бу-
дет трансформирована в потенциальную энергию деформации упрУ'
Поэтому полученное выражение (23.30) и должно быть
(23.15) для определения коэффи'
Энергия Т при ударе
ДЪ1 ч---ж _
того стержня. Поэтому
подставлено вместо То в формулу
циента динамичности, т. е.
или
1 +
(23.29)
или
2EFH
1+±-^
V 3 Q
Из последних формул видим, что если значение коэффициента р
(отношение веса ударяемого стержня к падающему грузу) не мало
по сравнению с единицей, то энергия удара Т меньше величины
7o=Qv2/2g, т. е. учет массы стержня снижает расчетное напряже-
ние при ударе.
Удар стержня о жесткую плиту. В некоторых случаях приходит-
ся определять напряжения в ударяющем теле, в частности, рассчи-
тывая шток ковочного молота. При этом наиболее опасным для проч-
1 нести штока является момент окончания ковки, когда проковы-
наемое изделие почти не деформируется и вся энергия удара по-
мещается штоком. Схематически этот случай показан на рис. 610,
Где некоторый призматический стержень длиной / поперечного сече-
ния F и веса Q падает с высоты Н и ударяется о жесткую плиту А.
Скольку плита не деформируется, то весь запас кинетической
нергии T0 = QH, накопленной падающим стержнем к моменту со-
Марения, целиком перейдет в потенциальную энергию деформации
аДающего стержня.
*ак как характер сил инерции массовый (они действуют на каж-
iT° единицу объема), то при ударе стержня о плиту в каждом его
ц еНии динамические напряжения по величине будут разными.
,,ВеРхнем сечении они равны нулю, а в последующих (нижележа-
о х) нарастают по линейному закону, достигая максимума у ниж-
7 сечения. Динамическое напряжение в произвольном сечении х
л«нР>КНя <РИС- 61 О через максимальное напряжение в нижнем се-
I !и может быть выражено так:
704
Расчеты на
«*rpy3li>
X
Пл (х— (<7д)макс
/
F
Рис. 610 Рис. 611
Величина потенциальной энергии д
формации под действием сил инеп
ции в элементе стержня длиной dx
на расстоянии х может быть выра
жена следующим образом:
Тогда энергия деформации всего стержня
I 2
И V Т (Од)иакс „2j_(Ол)»««с С! .......
U*~ J 2£? Xdx-FL (23-32)
о
Зная запас кинетической энергии То падающего стержня и пре-
небрегая потерями энергии на местное смятие при ударе, трение
о среду, деформацию плиты и т. п., примем, что Ua — T0, откуда на
основании формулы (23.32)
(А< iF=Tv.
Максимальное напряжение при ударе
(23.33)
Учитывая, что Tu=yFlH, получим
(Од)макс= \6EyH . (23.34)
Так как высота падения груза Н может быть выражена через
скорость в момент удара по известной формуле H=v2/2g, то макси-
мальное напряжение при ударе может быть выражено также фор-
мулой
(Од)макс— О
Преобразовав формулу (23.33) иначе, получим
6£ГС
FI
(23.35)
Из сопоставления формул (23.35) и (23.20), пренебрегая^®
следней членом Q/F, найдем, что динамические напряжения *г0
ряющем стержне будут такие, как будто он получил удар оТ ^раВце-
стержня с кинетической энергией, в три раза большей по „сТкуЮ
нию с энергией рассматриваемого стержня, падающего на
плиту.
.vol
la.
Самолёт своими руками?!
Напряжения прн скручивающем ударе 705
-——' ' ' ““
§ 151. Напряжения при скручивающем ударе
В случае ударного кручения (рис. 612) можно из энергетического
баланса (U—T) вывести формулу для определения максимального
напряжения, аналогичную той, которая была получена при продоль-
ном ударе:
(Тд)макс = &дТсг, (23.36)
где, как и прежде,
1+V'+'f-
Здесь бет — перемещение точки соударения в направлении удара под
действием статически приложенной силы Q. Пренебрегая деформа-
цией кривошипа и полагая, что вследствие малости перемещения
проекция на вертикаль перемещения точки соударения равна длине
дуги, бет можно вычислить по формуле
бст=<р/? R R,
xj J р \jj р
т. е.
Gl„ ’
где Q — вес падающего груза;
I — длина вала;
(23.37)
R - радиус кривошипа.
Если к кривошипу внезапно приложен крутящий момент, т. е.
высота падения груза И=0, то коэффициент динамичности [см. фор-
мулу (23.13)] ka =2.
В машиностроении ударное кручение чаще всего вызывается не
падением тех или иных грузов, а силами инерции масс при больших
ускорениях последних. Это имеет место главным образом при тор-
можении быстровращающихся валов, несущих маховики.
Определять напряжения и деформации стержней, находящихся
нод действием скручивающих ударных
’Кении или сжатии, целесообразно из
Рассмотрения потенциальной энергии
^Формации скручиваемого стержня.
Потенциальная энергия деформации
еРжня при скручивающем ударе мо-
ет быть представлена в виде
нагрузок, как и при растя-
Рис. 612
b-
706
Расчеты на ударную НагРу3|(у
где Ма — динамический крутящий момент;
<рд — соответствующий угол закручивания вала длиной I.
Вообще говоря, Л4Д обычно не известен. Известна кинетическая
энергия То соответствующей массы маховика, вызывающей удар,
ное кручение. Так, например, при резком торможении вала, несущего
маховик на некотором расстоянии от места торможения, участок вала
между тормозом и маховиком будет испытывать ударное кручение
При этом, зная начальный запас энергии маховика и конечный пос-
ле его торможения, можно найти ту часть кинетической энергии То
которая превращается в потенциальную энергию деформации и’
вала. Определяя возникающие в этом случае напряжения, их выра-
жают не через действующий при этом крутящий момент Л1Д, а через
энергию деформации или равную ей кинетическую энергию
Так как
_ мд
Тмакс — цу
где Wp — момент сопротивления для круглого вала:
wp=
Л(Т
16 ’
то
Мд
— 16
Тогда потенциальная энергия деформации вала может быть выраже-
на через максимальное напряжение формулой
t/д
___ Т^кеЛ2^6/ Тиаас/Г
— 162-2G/P 4G
где I — длина скручиваемого участка вала;
F — площадь поперечного сечения его.
Пренебрегая различными потерями энергии, можно принять, что
Ua = То.
Тогда напряжение при ударном кручении может быть определено
по формуле
т — 2-у/ г°с «'Макс — V IP ’ (23-38)
где кинетическая энергия маховика
J — полярный момент инерции массы маховика;
Q — вес маховика.
Цачря>ке,,ия ИРИ скручивающем ударе
707
Пример 99. Диск диаметром D —
— 20 см и весом Q—0.5 кН, насаженный
на вал АВ длиной 1-1 ми диаметром
d=6 см (рис. 613), вращается с по-
стоянной угловой скоростью, соответ-
ствующей п = 120 об/мин. Определить
величину наибольших касательных на-
пряжений в валу в тот момент, когда
конец А внезапно останавливается
(крутящий удар). Массой вала прене-
бречь. Модуль сдвига G—8-10‘‘ МПа.
Рис. 613
Для определения максимального напряжения при ударном крученнн вос-
пользуемся формулой (23.38):
где
£ г__ QR2 (лп\2 QD' / лп\г_ 0.5-0,22-3,14?- 120г
° 2И 4g \ 30/ 16g V 30/ 16-9,81-900
= 2,01-10 2 кН-м,
nd2 3,14(6-10” 2)2
4 ~ 4
м2=28,26-1 О’”4
м2.
Подставляя полученные значения в формулу для тмаКс, найдем, что
Тмакс — 2
2,01-10 ~'i-8-10
1-28,26-10 4
МПа=47,6 МПа.
Пример 100. Работающая на сжатие винтовая пружина изготовлена из
стальной проволоки квадратного сечения Ь=6 мм. Средний диаметр витка
пружины D — 12 см, число витков п — 18. Определить величину статической
нагрузки, которая сожмет пружину на 'к=2.5 см. Предполагая, что тот же
груз падает на непогруженную пружину с высоты Н — 10 см, определить
осадку пружины и наибольшее касательное напряжение при ударе.
G — 8-10' МПа.
Вес груза определим из выражения статической осадки пружины:
K^R.
(jJ к
Имея в виду, что
Л=₽Л63; Мкр=/?(?; /=2л/?п.
осадку можно представить формулой
QR2-2nRn
Gfihb3 '
откуда определится вес груза Q:
п IGfihb3 2,5-10 2-8-104-0,141 (6-10“3)4
V 2л/?3п ~ 2-3,14 (6-1О~4)3-18
МН=15 Н.
Согласно табл. 14 (с. 240), при ft/fc = l (h = b) коэффициент р = 0,141.
708 Расчеты на ударную нагруЭКу
Определим величину осадки пружины при динамическом приложении rnv
за Q=15H в случае падения его с высоты /7=10 см:
Лд = Лл6„, (23.39)
где
V2// / 2-10
1+-Т— = 1 + Л/ 1+-?т-=4
©ст V
Подставляя значение kR и 6СТ — Л в формулу (23.39), найдем величину Хд:
Хд = ^дА=4*2,5 см—10 см.
Определим максимальную величину динамических напряжений кручения
в витке пружины:
Тд = ^дТст,
где
Тст — Тмакс
'Икр
W, = ahb2 = ab3
Для квадратного сечения, согласно табл. 14, коэффициент а=0,208. Тогда
QR 15-10~6-6-10~г
ab3 ~ 0,208(6-10 3)3
МПа = 20 МПа,
а максимальное динамическое напряжение
т 6дтС1=4-20 МПа=80 МПа.
§ 152. Расчет на удар при изгибе
Рассматривая теорию удара, вызывающего изгиб, будем пола-
гать, что, как и ранее, в процессе удара во всех его фазах движение
конструкции происходит без потерь энергии на нагрев за счет тре-
ния о среду, на местные пластические деформации и т. п. Поэтому,
определяя деформации и напряжения при изгибающем ударе, при-
дем к формулам, аналогичным выражениям для ударного растяже-
ния или сжатия. Применительно к случаю динамического изгиба
указанные формулы соответственно примут вид
с23-4*’
Од = /гдост; (23.41)
ka=l + ^l \+^~ , (23.42)
V /ст
где /ст — статический прогиб в месте удара, зависящий от схемы на
гружения и условий опирания. еП.
Так, например, для балки с длиной пролета /, шарнирно за^^
ленной по концам и испытывающей посредине пролета уДаР
дающего с высоты Н груза Q (рис. 614),
Расчет на удар при изгибе
х _ W (а х __2L
(/ст/макс— 4g£y . <Ост>акс— 4ц7 -
Для консоли, испытывающей удар от
груза Q, падающего на ее свободный
конец,
(f х __QL
(/ст/макс-
। - Q'
гмакс •
709
Подставляя значения в формулу
для коэффициента динамичности (23.42),
находим Ад, а затем по формулам
(23.41) и (23.40) находим динамические напряжения и деформации.
Так, для балки на двух опорах динамические напряжения определят-
ся по формуле
(Од)макс
L 4 QI fi , I , , 96HEJ \
— Ад(ост)макс——(1 4—у 1 + Q/3 j-
Обозначая QH = Tn (энергия ударяющего тела к моменту начала
удара), последнюю формулу можно представить в виде
х________QL
\vn;MaKC — .
96Го£/
(23.43)
а условие прочности в этом случае запишется так:
( \ _ Q1
(Од)макс— —
&6T0EJ
Q2P
где ид — запас прочности с учетом динамической нагрузки.
Сопротивление балки ударным нагрузкам зависит как от момента
сопротивления, так и от ее изгибной жесткости. Чем больше подат-
ливость (деформируемость) балки, тем большую кинетическую энер-
гию удара она может принять при тех же допускаемых напряжениях.
Наибольший прогиб балки получится тогда, когда во-всех ее сече-
ниях наибольшие напряжения будут одинаковыми, т. е. если это
будет балка равного сопротивления изгибу. Поэтому рессоры и де-
лают в форме балок равного сопротивления.
Вычисляя напряжения при ударе, мы считали, что вся энергия
УДара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого
Тела. В действительности же некоторая ее часть расходуется на
Местные деформации, происходящие в зоне удара. При более или
Ченее значительной массе ударяемого тела эта поправка может
казаться существенной.
В расчетах напряжений при ударе {формула (23.41) { не учиты-
6алась также масса ударяемого тела, которая после прихода в со-
прикосновение с ударяющим телом приобретаег определенные
Уморения и тем самым влияет на возникающие в балке динамиче-
710
Расчеты на ударную иагру^.
ские напряжения. В некоторых случаях учет массы упругой системы
испытывающей удар, может оказаться также весьма существенным'
В качестве примера рассмотрим случай удара при изгибе
(рис. 614). Пусть в момент удара груз Q имеет скорость и, а балка
неподвижна. В течение очень короткого промежутка времени все
элементы балки приобретают некоторую скорость, а скорость гру3а
тем временем несколько уменьшается.
Можно считать, что в этот период удара ось балки остается прак-
тически прямой, а уменьшение скорости груза происходит за счет
местных деформаций как балки, так и самого груза. Этот период
окончится тогда, когда скорость груза и приобретенная скорость
балки сравняются и будут иметь одну и ту же величину сц. После
этого начнется изгиб балки под действием груза Q, движущегося
со скоростью vi вместе с получившим удар сечением балки, как бы
прикрепленным к грузу.
В этот второй период удара, когда имеет место деформация уже
всей балки, кинетическая энергия груза и движущейся балки пере-
ходит в потенциальную энергию изгиба. Для вычисления этой энер-
гии необходимо знать скорость груза vi и скорость остальных се-
чений балки по ее длине.
Кинетическая энергия груза и балки до удара равна кинетиче-
ской энергии падающего груза Qv2/2g. В конце первого удара
кинетическая энергия груза будет Qv2/2g. Полагая, что при ударе
балка гнется по той же кривой, что и при действии статической
сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине пролета ее, ки-
нетическую энергию балки в конце первого периода удара можно
определить следующим образом.
Уравнение изогнутой оси шарнирно опертой балки, статически
нагруженной посредине пролета, легко представить в виде
m=-I_(3/2x—4х3),
где f=Ql3/48EJ — стрела прогиба балки.
Если под действием удара среднее сечение балки переместится
на величину юмакс от положения статического равновесия, то сечение
на расстоянии х от левого конца (рис. 614) переместится на
w=^^(3/2x —4х3).
Скорость движения этого сечения при ударе
v = dw^ 1 (3/2% _ 4л.3)
dt I' v '
Тогда кинетическая энергия элемента балки длиной dx определИ
ся так:
= yFdx_ Г dw^ 1 [2х _ 4%3) 1 2
2g 2g L dt I3 k J
расчет иа удар при изгибе
711
а кинетическая энергия всей балки
'/2 2 2
„. of yF ( dWuwc \ 1 /о/2„ _ 17 yFl / dwmK \
Гб^ J 1Г\ dt ) X~qX > Х~'35~2Г\ di )'
О _______________
2
• <23Л4>
В конце первого периода удара, когда скорость сечения балки
в месте удара
dt
— V\,
кинетическая энергия балки определится формулой
т _ 17 у" Л
Тб 35 2g V
Таким образом, потерянная при ударе кинетическая энергия Т\
может быть вычислена по формуле
=11 +i^)] <2з«>
С другой стороны, эту же энергию можно вычислить иначе. Дей-
ствительно, кинетическая энергия, потерянная грузом за счет изме-
нения скорости на величину vi — v, будет
V(u-Ul)2‘
В то же время кинетическая энергия балки, приобретенная за счет
изменения скорости на величину (oi—0), равна
J7 yFl
35 2g
(0 —щ)2.
Поэтому суммарная кинетическая энергия груза и балки, соответ-
ствующая потерянной скорости груза и приобретенной скорости
балки, может быть вычислена по формуле
v2~2vv^ +
М’+£^)]-
Поскольку правые части формул (23.45) и (23.46) выражают
°Дну и ту же энергию, то их можно приравнять, т. е.
^'юда определим скорость груза щ вместе с балкой в конце первого
апа удара:
712 Расчеты на ударную Нагпур.
Vl 1+^’ '35 Q (23.47)
Имея скорость Vi, можно вычислить кинетическую энергию сис
темы (груза с балкой), которая должна полностью перейти в упру,
гую энергию деформации балки:
у Qy2 , 17 у Fl u'i
2g 35 2g 1 2g
Подставляя в эту формулу vt согласно формуле (23.47), получим
т Qv2 1 _ То
~ 2g , 17 УН ’
.35 Q * '35 Q
17 у Fl
35 Q
(23.48)
поскольку
7'o-QH=-g. (23.49)
Тогда формула (23.43) для определения максимального динами-
ческого напряжения в балке при ударе с учетом массы балки долж-
на быть записана в виде
Подставляя вместо Т его значение согласно формуле (23.48). по-
лучим
т. е. в этом случае коэффициент динамичности
(23.50)
Рассматривая выражения (23.48) и (23.50), видим, что если от^
ношение yFl/Q не мало по сравнению с единицей, то энергия уд Р
Т заметно меньше величины T0 = Qu2/2g, т. е. учет массы бал ।
снижает расчетные напряжения в балке при ударе, а неучет ма »
по-видимому, идет в запас прочности. Вообще же анализ поелед
формулы показывает, что одна и та же кинетическая энергия, е
сенная ударяющей массой, будет вызывать разные динамич ^еМ
напряжения в зависимости от массы ударяемой балки, при это
больше масса последней, тем напряжения будут меньше.
-------Iblisnbiu Си руками?!
www.vokb-la.bpo.i u
расчет на удар при изгибе
713
Пример 101. Определить напряжения и осадку рессоры автомобиля, если
его колесо с небольшой скоростью попадает в канаву глубиной Н = 200 мм.
Нагрузка на рессору Р=7 кН. Рессора представляет собой балку равного
сопротивления Состоит рессора из 11 листов, длина ее 1=1020 мм. Ширина
листа Ь = 65 мм, высота h = 6 мм. Модуль упругости материала рессоры
Е=2.11& МПа.
Определим статическую деформацию рессоры:
&PI3 рР/312 рР/3
48£7fl “ 48£пМг3 ~ 4Enbh3 '
где р некоторый коэффициент (Р= 1,20-=-1,40), учитывающий степень при-
ближения практически выполненной рессоры к балке равного сопротивления.
Подставляя в последнюю формулу известные величины и принимая р=1,35,
находим, что
РР/3
AEnbh3
1,35-7-10 3-1,023
4-2,1 • 105-11 -65-10 3(6-10-!)3
м «7,7-10 гм = 7,7 см.
Статическое напряжение
Pl-б ЗР1
3-7-10 ~3-1,02
Осг=—-----------------х-=-------—~—т—1-----т МПа = 417 МПа.
inbh2 2nbh2 2-11-65-10~3 (6-10-3)2
Определяем коэффициент динамичности:
^-«3,5.
7,7
М^ЯКС
Осадка рессоры при попадании колеса автомобиля в канаву
/л = Wcr = 3,5-7,7 см =27 см.
Определяем динамическое напряжение:
од=6до„ = 3,5-417 МПа= 1460 МПа.
Пример 102. Определить динамические нормальные напряжения в сталь-
ном стержне при его падении с высоты Н = 10 см таким образом, что, оставаясь
горизонтальным, он ударяется концами о жесткие опоры. Длина стержня
1=100 см, диаметр d = l см, удельный вес материала у = 7,8-104 Н/м3.
В данном случае динамические напряжения не могут быть определены
через коэффициент динамичности k3 по приведенной выше методике. По-
этому, решая задачу, будем исходить из того, что вся кинетическая энергия
Т, запасенная падающим стержнем до достижения им опор, полностью пере-
йдет в энергию деформации U стержня при его ударе (потерями энергии на
смятие в местах контакта стержня с опорами и на трение о среду пренебре-
гаем), т. е.
и=т.
Полагаем, что в момент удара стержень будет нагружен силами инерции
</< массы стержня, равномерно распределенной по его длине. Эти силы не-
известны, поскольку неизвестны ускорения, какие будут иметь место при ударе
стержня. Поэтому для определения потенциальной энергии деформации вос-
пользуемся формулами потенциальной энергии в стержне, нагруженном рав
номерио распределенной нагрузкой:
I
.. [ М2 (*) С1Х
J 2£7 ’
о
714
где
Расчеты на УДариую»^^
.. / \ чЛ Ч^2
М (х)=-^-х—^-.
Определим кинетическую энергию стержня:
T=HQ = HFly=O,\ "С1.'*0 ) 1-7,8-Ю4 Дж=0,612 Дж.
4
Тогда потенциальная энергия деформации
^-dx
} 2EJ
о
1 f q2l2
2EJ J 4
о
dx =—-----
240/:/ ’
или
q?F
<7,г-15-64
4,25 -10 ~5 ql
U 240EJ 240-2-10"л(1-102)4
Определяем интенсивность инерционной равномерно распределенной на-
грузки q, нз условия T=U, или 0,612 = 4,25-10 5^2:
q.=
__Р:61-2 Н/м = 120 Н/м.
4,25-10~s
Тогда максимальный изгибающий момент
q,P 120-12
Л4ма«- g - 8
Н-м = 15 Н-м.
Определяем максимальное динамическое напряжение в падающем стержне:
/ \ Л4ыакс 15-32 __ МП
(ад)«« - -^7— л(|.10-2)3 Па - 1 оЗ МПа.
§ 153. Механические свойства материалов
при ударе
Для проверки способности материала сопротивляться ударным
нагрузкам применяют особый вид испытаний ударным изгибом —
определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти испыта-
ния проводят на маятниковых копрах (рис. 615). На рис. 616 пока
заны применяемый при испытании образец и направление УдаР
бойка маятника. Разность высот положения маятника до и п0^
удара позволяет вычислить работу А, израсходованную иа р г
шение образца. пяботы
Ударной вязкостью материала КС называется величина Расече.
разрушения образца, отнесенная к площади его поперечного
ния в месте надреза:
кс А G(ht-h2)
F F
(23-50
-------гь |., snb ru - Самолёт своими руками?!
www.vokb-ia.spo.» и
Механические свойства материалов при ударе
Тимошенко Степан Прокофьевич (1878—1972), академик
АН УССР, член национальной АН США, иностранный
член АН СССР, выдающийся ученый в области механики,
в работах которого сочетаются высокие научный уровень
и инженерная направленность. Своими многочисленными
трудами внес огромный вклад в развитие теории упругости
и сопротивления материалов. Решил задачу о концентрации
напряжений вблизи отверстий, развил теорию устойчивости
упругих систем, исследовал изгиб, кручение, колебания и
удар стержня. Развил теорию пластин и оболочек. Автор
классических учебников по сопротивлению материалов.
Хотя данные об ударной вязкости не могут быть использованы
при расчете на прочность, но они позволяют оценить особое качество
металла - его склонность к хрупкости при динамических нагруз-
ках в условиях сложного напряженного состояния в области над-
реза и решить вопрос о применимости того или иного материала для
данных условий работы. Именно в таких условиях работают многие
детали машин, имеющие отверстия, канавки для шпонок, разные
входящие углы и т. п.
Низкая ударная вязкость служит основанием для браковки ма-
териала. Стали, применяемые для изготовления деталей, работаю-
716
Расчеты на ударную >^гпу^у
Таблица 26
Материал О». МПа 6
%
Сталь мелкозернистая . Сталь крупнозернистая 375 345 35,3 36,9 72,2 66,7
Ударная
ВЯЗКОСТЬ
Дж/м2 ’
13,1-105
2,6-105
щих при динамических нагрузках, должны иметь ударную вязкость
не менее 8 • 10° — 106 Дж/м\
Ударная вязкость одной и той же стали зависит от ее структуры
причем зависимость эту при статических испытаниях обнаружить
невозможно. В табл. 26 приведены результаты определения ударной
вязкости для мелкозернистой и крупнозернистой сталей марки Ст2
(0,15 % углерода). Эти стали, имеющие почти одинаковые пласти-
ческие свойства при статических испытаниях, сильно отличаются по
ударной вязкости.
При низких температурах большинство черных металлов стано-
вятся хрупкими, ударная вязкость их также снижается. Для та-
ких металлов ударными испытаниями с постепенным понижением
температуры удалось установить так называемую критическую тем-
пературу хрупкости — температуру, при которой происходит резкое
уменьшение ударной вязкости металла. Критическая температура
хрупкости различных металлов различна. Ниже этой температуры
металл становится непригодным для работы при динамических воз-
действиях.
Ударная хрупкость может появляться и при повышенных тем-
пературах. Например, ударная вязкость углеродистых сталей зна-
чительно снижается в интервале температур 200—550 °C (рис. 617).
Глава 24
Контактные напряжения
§ 154. Основные понятия
Деформации и напряжения, возникающие при взаимном нажатии
двух соприкасающихся тел, называют контактными. Вследств
деформации в местах соприкосновения элементов конструкции пер
дача давлений происходит по весьма малым площадкам. Ма*еР й.
вблизи такой площадки, не имея возможности свободно •де<В gjgj.
роваться, испытывает объемное напряженное состояние (РиС меСТ.
Как показывают расчеты, контактные напряжения имеют яВН°меСта
ный характер и весьма быстро убывают по мере удаления °тнаПря-
соприкосновения. Несмотря на это, исследовать контактные
------------------Самолёт своим..
Основные понятия
жения и деформации необходимо для
решения вопросов прочности многих
ответственных деталей. К таким де-
талям относятся, например, шарико-
вые и роликовые подшипники, зуб-
чатые колеса, элементы кулачковых
механизмов, колеса подвижного сос-
тава, рельсы, шаровые и цилиндри-
ческие катки и т. д.
Впервые правильное решение
основных случаев сжатия упругих
тел дано методами теории упру-
гости в работах немецкого физика
717
Г. Герца, относящихся к 1881 —1882 гг. Дальнейшее развитие
контактной проблемы принадлежит главным образом советским
ученым.
Ниже приведены некоторые результаты, полученные методами
теории упругости при следующих предположениях:
1) нагрузки создают в зоне контакта только упругие деформа-
ции, следующие закону Гука;
2) площадки контакта малы по сравнению с поверхностями со-
прикасающихся тел;
3) силы давления, распределенные по поверхностям контакта,
нормальны к этим поверхностям.
§ 155. Формулы для определения
контактных напряжений
Сжатие шаров. В случае взаимного сжатия силами Р двух шаров
с радиусами /?1 и R2 (рис. 619) образуется круглая площадка кон-
такта, радиус которой определяют по формуле
а=0,88
1 1
£. + £г
_L+J_
R, Ri
(24.1)
rjle £| и Е2— модули упругости материалов шаров.
Нормальные (сжимающие) напряжения на площадке контакта
Распределены по полусфере. Наибольшее из них имеет место в центре
^ощадки контакта:
°3== ~ |омаКс| = ~ 1,5-^7
ла
4 р (R.+Rtf .
(Е1+£г)2 R',Rl ’
а Других главных напряжения в центре площадки
—0,8|<тмаКс|.
(24.2)
718
Контактные Hanp^B.
Беляев Николай Михайлович (1890—1944), член-корр
пондент АН СССР, известный советский ученый-механ
Изучал теорию контактных напряжений. Решил зада '
об устойчивости призматических стержней под действи "
продольных переменных сил. Известен работами в об част
пластических деформаций, явлений ползучести н релакс-
ции материалов при высоких температурах. Автор из
вестного фундаментального учебника по сопротивлению
материалов.
Таким образом, в наиболее напряженной точке площадки кон-
такта материал испытывает напряженное состояние, близкое к рав-
номерному сжатию. Благодаря этому в зоне контакта материал
может выдержать без появления остаточных деформаций весьма
большие давления (см. § 49). Вычислим, например, напряжение
омакс в центре площадки контакта, при котором впервые появляются
остаточные деформации. Воспользуемся для этого четвертой теорией
прочности:
д/ -у К01- o2)2+(62—оз)2+(о3 — о,)2]=от.
Подставив значения главных напряжений, найдем, что
0,2Омаке — От, ИЛИ Омаке — 5от-
Для закаленной хромистой стали, употребляемой для шариковых
подшипников, вместо предела текучести примем величину предела
пропорциональности олц~1000 МПа. Следовательно, оМакс=
= 5000 МПа.
Наиболее опасная точка расположена на оси z на глубине, при-
мерно равной половине радиуса площадки контакта. Главные на-
пряжения в этой точке
о, = о2= —0,18о„акс; (24.3)
Оз^ 0,8оМакс,
где Омаке — наибольшее напряжение в центре площадки контакта,
определяемое по формуле (24.2).
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
Тмакс = -^Чр-= 0,31 Омаке.
о поЛУч1,гЛ
Изменяя в формуле (24.2) знак при /?2 на обратный, ^кую
значение омакс в случае давления шара на вогнутую сфери
поверхность (рис. 620):
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
руками.'
формулы для определения контактных напряжений
Омаке
4р E'jE'i (/?i-/?2)* '
(f.+ft)2
719
(24.5)
При взаимном давлении шара и плоскости (рис. 621), приняв
/j,= oo, находим
Омаке = 0,388 -\/ 4Р —- - - -1.- . (24-6)
Омаке , о у t (£i+£2)2
Сжатие цилиндров. При взаимном нажатии двух цилиндров с
параллельными образующими равномерно распределенной нагруз-
кой интенсивности q, Н/м (рис. 622) площадка контакта имеет
вид узкого прямоугольника, ширина которого определяется по фор-
муле
(24.7)
Наибольшее напряжение сжатия, действующее в
площадки контакта,
точках оси
Омакс^ 1,27-^0,418-л/20-£,/?г -gZ+jE.
ь ' V 4 Е,+Е2 R,R? •
(24.8)
Анализ напряженного состояния показывает, что опасная точка
расположена на оси z на глубине, равной 0,4 ширины площадки
I—-------------------------------------------------2^,,тактн^пря>кеННя
контакта. Главные напряжения в этой точке имеют следующие
значения:
01 — 0,180Омакс»
02=: О,2880макс; (24.9)
0з = —0,780смакс*
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
Тмакс=== 0,3о макс- (24.10)
Изменяя в формуле (24.8) знак при R2 на обратный, получим
напряжения в случае давления цилиндра на деталь с вогнутой ци-
линдрической поверхностью. Такие напряжения действуют между
цилиндрическим шарниром и балансирами (рис. 623).
При взаимном давлении цилиндра и плоскости, приняв в фор-
муле (24.8) /?2=о°, находим, что
Омакс — 0,418 ~1/ —
V R Е,+Е2
(24.11)
Приведенные выше формулы получены при р = 0,3 Однако для
практических расчетов они пригодны и при других значениях коэф-
фициента Пуассона.
Общий случай контакта двух тел. Приведем формулы для обшего
случая контакта двух тел из одинакового материала.
Предполагается, что оба тела в точке касания имеют обшУю
касательную плоскость АВ и общую нормаль г, вдоль которой на
правлены силы Р (рис. 624). Обозначим радиусы кривизны в точК
касания первого тела pi и pf, второго тела рг и р2, пР,|ЧюТ
piCpi, р2<р2- Напомним, что главными кривизнами называ
наибольшую и наименьшую кривизны, расположенные в двух вза
но перпендикулярных плоскостях, проходящих через центр кРиВ
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
721
формулы для определения контактных напряжений
НЬ1. Радиусы кривизны считаются положительными, если центры
кривизны лежат внутри тела. Обозначим через угол между глав-
ными плоскостями кривизны тел, в которых лежат меньшие радиу-
сы pi и Р2-
В общем случае площадка контакта представляет собой эллипс
с полуосями
(24.12)
(24.13)
где р — коэффициент Пуассона.
Значения коэффициентов а и ₽ приведены в табл. 27 как функ-
ции вспомогательного угла Чг, вычисляемого по формуле
cos =
(24.14)
Таблица 27
Ц/о а Р а Р
20 3.778 0,408 60 1,486 0,717
30 2.731 0,493 65 1,378 0,759
35 2,397 0,530 70 1,284 0,802
40 2,136 0,567 75 1,202 0,846
45 1,926 0,604 80 1,128 0,893
50 1,754 0,641 85 1,061 0,944
55 1,611 0,678 90 1,000 1,000
При этом знак числителя в формуле (24.14) выбирают так, чтобы
c°s Чг был положительным.
Наибольшее напряжение сжатия в центре площадки контакта
^макс — 1,5----“ .
лао
(24.15)
Наиболее опасная точка расположена на оси z на некоторой глу-
Ине, зависящей от отношения (b/а) полуосей эллиптической пло-
щадки контакта. Однако наибольшее касательное напряжение в
фасной точке почти не зависит ог указанного отношения размеров
•”ощадки, и можно принять, что
макс 0,32(7макс-
(24.16)
24 5-372
722
Контактные
2!^<ження
Из приведенных формул видно, что контактные напряжения за
висят от упругих свойств материалов и не являются линейной функ
цией нагрузки, с ростом сил нарастая все медленнее. Это объясняет
ся тем, что с увеличением нагрузки увеличиваются и размеры пло-
щадки контакта.
§ 156. Проверка прочности
при контактных напряжениях
Учитывая «мягкость» напряженного состояния в опасных точ-
ках (все три главных напряжения сжимающие), проверку прочности
при контактных напряжениях следует производить по третьей или
четвертой теориям прочности [формулы (7.10), (7.19)]:
Оэкв ш==О1 озС[о];
Оэкв IV = -у -у [(о,— О2)2 + (о2 — Оз)2 + (Оз — О|)2] <[о].
Внося в эти формулы значения главных напряжений в опасной точ-
ке, выраженные через наибольшее напряжение о макс в центре пло-
щадки контакта, условия прочности можно записать в следующем
виде:
Оэкв== ЩОмакс^^ [о], (24.17)
откуда
Омаке <-£-[о] = [о]кОНт. (24.18)
Здесь [о]конт—[о]/щ — допускаемое значение для наибольшего на-
пряжения в месте контакта.
Значения коэффициента т в зависимости от отношений полу-
осей эллиптической площадки контакта и выбранной теории проч-
ности приведены в табл. 28.
Можно рекомендовать следующий порядок расчета на прочность
элеме! тов конструкции в местах контакта: 1. Определить главные радиусы кривизны контактирующих тел (Рь Рь Р2, Р'2) и угол <р между _ , „о главными плоскостями криви Таблица 28 „„„ одного и другого тела.
ь а <7>кс 111 т — IV m = - 2. Вычислить по формулу (24.12) и (24.13) с Учетом ФОР мулы (24.14) размеры эллиптической площадки копт 3. Определить по фор^ (24.15) наибольшее напря _ сжатия Омаке в центре пл контакта. В случае кругло
1 (круг) 0,75 0,50 0,25 0 (полоса) 0,620 0,625 0,649 0,646 0,600 0,620 0,617 0,611 0,587 0,557
wwwVokb-Ia.spb.ru Самолет своими руками
[Проверка прочности при контактных напряжениях
723
^оугольнои площадок контакта Омаке находят непосредственно из
формул (24.2) или (24.8), не определяя размеров площадки.
4. Расчет на прочность производят по формуле (24.18). Значе-
ние коэффициента т берут из табл. 28. При этом рекомендуется
исходить из четвертой теории прочности.
Допускаемые наибольшие напряжения в месте контакта [о|КОнт
для роликовых и шариковых подшипников из хромистой стали при-
нимают до 3500—5000 МПа, для рельсовой стали — до 800—
1000 МПа. В табл. 29 приведены значения допускаемых наиболь-
ших давлений на площадке контакта при первоначальном контакте
по линии (т= 0,557) и статическом действии нагрузки. В случае
первоначального контакта в точке значения (о)КОНт следует увеличить
в 1,3—1,4 раза.
Таблица 29'
Марка металла Временное сопротивление <тв, МПа Твердость по Бринеллю, НВ Допускаемое наибольшее давление на площадке контакта 1о]«ОИт. МПа
Сталь:
30 480-600 180 850—1050
40 570 700 200 1000-1350
50 630—800 230 1050—1400
50Г 650—850 240 1100—1450
15Х 620- 750 240 1050-1600
20Х 700-850 240 1200 -1450
15ХФ 1600 1800 240 1350- 1600
ШХ15 — — 3800
Чугун:
СЧ21 960 180- 207 800 -900
СЧ 24 1000 187—217 900—1000
СЧ28 1100 170 241 1000- 1100
СЧ32 1200 170 241 1100—1200
СЧ 35 1300 197 255 1200—1300
СЧ38 1400 197—255 1300 1400
Пример 103. Упорный шариковый подшипник с плоскими кольцами без
желобов (рис. 625) статически сжат силами Q=6,4 кН.
Определить размеры площадки контакта между шариком и кольцом и
величину наибольшего напряжения на этой площадке; проверить прочность.
Диаметр шарика rf=15 мм, число шариков «=20, коэффициент неравномер-
ности распределения нагрузки между отдельными шариками подшипника —
0,8. Материал шариков и колец — хромистая сталь, допускаемое значение
наибольшего напряжения в месте контакта [о]ко><т=3500 МПа, модуль упру-
гости £'=2,12-10ь МПа.
Учитывая неравномерность распределения нагрузки между отдельными
шариками, найдем наибольшее усилие, сжимающее шарик, по формуле
Р 0.81 ~ 0,8-20 КН 0,4 КИ
Справочник машиностроителя. М., Машгиз, 1955, т. 3, с. 482.
724
Контактные
к
ШАА I V////A
В местах соприкосновения колец н шариков
(рис. 625, точки К) образуется круглая площадка
радиус которой, согласно формуле (24.1),
a = 0.88
Рис. 625
/2PR
Е
0.4-10 ’-1,5-10 2
м = 0,0268 см.
2.12-105
При этом Ri = <1/2 = 0.75 см; /?2=оо;
= Ег = Е. Величина наибольшего напряжения
на этой площадке на основании формулы (24 2)
о„кс=1,5-Ч=--------1,5'°’4' --—МПа=2б57 МПа.
nJ2 3,14 (0,0268-10~2)2
Следовательно, а»акс<[а]к ОНТ»
Пример 104. Цилиндрическое ходовое колесо крана передает на рельс
давление Р~70 кН (рис. 626). Диаметр наружного обода колеса D=700 мм.
Радиус поперечного сечения головки рельса г=300 мм. Определить размеры
площадки контакта и наибольшее напряжение на этой площадке. Модуль
Е = 2-10ъ МПр, коэффициент Пуассона р=0,3.
В соответствии с указанным выше порядком расчета выпишем главные
радиусы кривизны:
для колеса pi =350 мм, р( = оо;
для рельса рг = 300 мм, р2 = оо.
Угол между главными плоскостями, содержащими pi н р2, как легко уви-
деть нз чертежа, <р=л/2. Тогда из формулы (24.14) находим:
1 1
Pl Р2
cos 4f = у-
4-4=0.077-
pi ’ р2 35 30
Следовательно, вспомогательный угол Чг=85,5°.
Из табл. 27, произведя линейную интерполяцию, находим значения коэф
фнциентов а, р:
а =1,055; р = 0,950.
По формулам (24.12) и (24.13) определяем размеры полуосей эллиптиче-
ской площадки контакта:
a = 1.055
ft =0,950
105 ( 0,35 + O,3o)
3-0,91-70-10~3 пк/._
м=0.566 см;
3-0,91 -70-10~3 __,Л
м=0,510 см.
Наибольшее напряжение на площадке контакта
о«а«с=1,5-^г=---------— •.70'10. 3---- МПа=1160 МПа.
nab 3,14(0,566-10 2)(0,51 -10 2)
www.vokb-la.spb.ru - С амолет своим..
725
Проверка прочности при контактных напряжениях
Пример 105. Предполагая статическое действие нагрузки для радиального
однорядного шарикового подшипника (рис. 627), определить размеры эллипти-
ческой площадки контакта наиболее нагруженного шарика с дорожками ка-
чения внутреннего и наружного колец н наибольшее напряжение на пло-
щадке контакта. Размеры подшипника: внутренний диаметр е/ = 130 мм,
наружный диаметр D =280 мм, ширина В =58 мм, диаметр шарика 4Ш==44,5 мм.
Радиус наименьшей окружности дорожки качения внутреннего кольца /?„ =
= 80 мм. Радиус наибольшей окружности дорожки качения наружного кольца
/?н=125 мм. Радиус поперечного профиля дорожкн качения г=23.4 см.
Наибольшее расчетное давление на шарик Р=40 кН. Материал шариков н
колец - хромистая сталь. Модуль упругости £=2,12-105 МПа, коэффициент
Пуассона р = 0,3. Допускаемое значение для наибольшего напряжения в
месте контакта (о)к,Жт = 5000 МПа.
Главные раднусы кривизны поверхностей тел в точках Ct н С2 их перво-
начального касания равны;
для шарика
pi =-5-=22,25 мм; р( =-i-rf„, = 22,25 мм;
£ л
для внутренней дорожки качения
Р2=— г=— 23,4 мм; p2 = /?»=80 мм;
для наружной дорожки качения
рг= — г— — 23,4 мм; рг=— /?»= —125 мм.
Вначале рассмотрим соприкосновение шарика с внутренней дорожкой
качения. Формула (24.14) при p<=pf принимает вид
J_____1_
cos V= ±—-------------у----j- . (24.19)
Pl Р' Р2 Р2
Подставим значения кривизны. Тогда
cos +_________-0.0427-0,0125
~ 0,0895 -0,0427 + 0.0125 ’
Следовательно, Ч/=21"25'.
726
Контактные напряжения
Пользуясь табл. 27 и производя линейную интерполяцию, находим что
а = 3,629, 0 = 0,420
Согласно выражениям (24 12) и (24.13), определяем-размеры площадки
касания:
а—а.
ЗР (1 - р2)
ЗР(1-М2)
= 3,1
3-0,91-40-10 J
59,3-2,12-10s м~ °-740<М;
= 0.420-0,206-10 2 м=0,087 см.
Максимальное напряжение на площадке контакта
о«аке = 1.5-Д-=--------1 5'40;10 ------= МПа = 2970 МПа.
nab 3.14(0.740-10 2) (0,087-10 2)
Совершенно аналогично в месте контакта шарика с внешней дорожкой ка-
чения имеем
-0,04274-0,0080 п ОГ1С.
cos Чг = ±----------------------= 0,895.
0,0895 — 0,0427 — 0,0080
Отсюда Ч'=26°30'.
Из табл. 27 находим, что
а = 3,097; 0 = 0,463.
Тогда
о=
3-0.91 -40- 10J n,on
---------г------- м = 0.732 см.
2,12-105-38,8
^0,4634/ З-О.^-40-lO » 109 см
V 2.12-10“ • 38,8
Наибольшее напряженно на площадке контакта
о««кс=-^-=-------------1,5-40-10--------- МПа = 2400 МПа
nab 3,14 (0.732-10~2) (0,109-10~2)
Как внднм, наиболее опасной является точка Сг _ дочус'
Для шариковых подшипников из закаленной хромистой CTa(l1Hi-i 1П =
каемое значение наибольшего напряжения на площадке контакта |
= 5000 МПа. Следовательно, прочность обеспечена
www^JMaIpb^Ca>io.i₽Tсвоими руками?!
Общие понятия 727
Глава 25
Основы механики разрушения
§ 157. Общие понятия
Механика разрушения, или теория трещин, как составная часть
науки о прочности твердого тела образовалась сравнительно не-
давно (примерно, в последние 20 лет), и занимается она изучением
законов разделения твердых тел на части под действием внешних
силовых факторов и других причин.
Разрушение может быть частичным и полным. Частичное раз-
рушение тела характеризуется повреждением материала за счет воз-
никновения в нем отдельных трещин или распределенных по объему
дефектов, понижающих его прочностные свойства. При полном
разрушении происходит разделение тела на части. Следовательно,
разрушение является наиболее характерным показателем наруше-
ния прочности твердого тела.
Различают два вида разрушения — пластическое и хрупкое.
Пластическое разрушение происходит после существенной пласти-
ческой деформации, протекающей по всему объему тела или его
значительной части, и является результатом исчерпания способ-
ности материала сопротивляться пластической деформации. Хруп-
ким называется разрушение, происходящее без пластической де-
формации. Различают также квазихрупкое разрушение, при кото-
ром имеет место некоторая пластическая зона перед краем трещины.
Квазихрупкое разрушение происходит в наиболее ослабленном
сечении при напряжении выше предела текучести, но ниже предела
прочности. При хрупком разрушении скорость распространения
трещины составляет 0,2—0,5 скорости звука, т. е. достаточно вели-
ка, а излом имеет кристаллический вид. При пластическом разруше-
нии скорость трещины мала и составляет не более 0,05 скорости
звука, а излом имеет волокнистый вид.
Важное место в теории разрушения занимает усталостное раз-
рушение, которое происходит вследствие постепенного развития
трещины при повторно-переменном циклическом нагружении. Уста-
лостное разрушение, как об этом уже было сказано (см. гл. 22),
возникает в результате накопления в материале необратимого по-
вреждения под действием многократного приложения повторно-пере-
менных нагрузок. При этом трещины в материале начинают разви-
ваться задолго до полного разрушения независимо от того, плас-
тическое это будет разрушение или хрупкое.
Особенно большое практическое значение в инженерном деле
имеет изучение хрупкого разрушения конструкций, которое проис-
ходит от быстрого распространения трещин при средних напряже-
ниях ниже предела текучести, кажущихся в связи с этим безопас-
ными. Последнее свидетельствует о том, что рассмотренных до этого
классических методов расчета на прочность по упругому и пласти-
728
Основы механики разруШення
ческому состояниям недостаточно. Вот почему практически необхо-
димо дополнить классические методы новыми методами расчета на
прочность, учитывающими законы зарождения и развития трещин,
а также ввести новые характеристики материала, по которым
могла бы оцениваться его трещиностойкость.
Заметим, что для построения теории разрушения только элемен-
тарных методов сопротивления материалов недостаточно. Основы
этой теории базируются на методах теории упругости и теории
пластичности.
§ 158. Хрупкое разрушение.
Задача Гриффитса
Практика эксплуатации реальных деталей показывает, что из-за
концентрации напряжений, неточности сборки, влияния среды и т. п.
стадия разрушения, состоящая из возникновения и развития тре-
щины, начинается задолго до исчерпания несущей способности
детали. При этом прочность материала детали не реализуется.
В результате постепенного роста трещины длительность процесса
разрушения от начала до полного разрушения занимает 90 %
времени «жизни» детали и более. Вот почему практически инте-
ресно не столько наличие трещины, сколько скорость ее роста в тех
или иных условиях. В связи с этим основная задача механики раз-
рушения — изучение прочности тел с трещинами, геометрии трещин,
а также разработка критериев несущей способности элементов
конструкций с трещинами.
В развитии трещины различают три простейших типа смещения
ее берегов относительно друг друга в соответствии с действием
различных внешних нагрузок (рис. 628). При деформации растяже-
ния (схема /) возникает трещина отрыва, когда ее поверхности сме-
щаются (расходятся) в направлениях, перпендикулярных к поверх-
ности трещины; при деформации поперечного сдвига (схема //) по-
верхности берегов трещины смещаются поперек ее передней кромки; при
нагрузке по схеме /// образуются трещины продольного сдвига,
при котором точки поверхности трещины смещаются вдоль ее перед-
ней кромки. Очевидно, если на тело с трещиной действует про-
извольная нагрузка в области применимости закона Гука, на
„ww.vokMa.spb.ru Самолет своими
Хрупкое разрушение. Задача Гриффитса
729
основании принципа суперпозиции
любое смещение берегов развива-
ющейся трещины можно представить
в виде суммы приведенных трех
типов смещений.
Итак, хрупкое разрушение свя-
зано с возникновением в материала
трещин, инициированных дефектами
в структуре материала, состоянием
поверхности в результате обработки
или коррозии, действием повторно-
переменных нагрузок (усталостные
трещины) ит. п. Возникшие трещины
сначала развиваются во времени
медленно, а потом — быстро. Рост
трещин со временем может происхо-
дить и при постоянной нагрузке.
Первые основополагающие ис-
следования о развитии хрупких тре- ---------------------------
щин связывают с именем А. Гриффитса, который рассмотрел усло-
вия развития единичной трещины в пластине бесконечных раз-
меров и единичной толщины, находящейся в условиях одноосного
растяжения (рис. 629). При этом требовалось установить, при
каком значении внешнего напряжения о = окр, приложенного к пла-
стине на бесконечности, трещина с начальной длиной 21 станет
неустойчивой, т. е. начнет быстро распространяться при постоянном
внешнем напряжении о.1
Для расширения трещины нужно затратить некоторую работу
на преодоление сил взаимодействия соседних слоев. Обозначим
через -у работу, необходимую для образования единицы новой по-
верхности. Тогда поверхностная энергия рассматриваемой пластины,
обусловленная образованием трещины,
1'==4у/. (25.1)
Значение у (плотность поверхностной энергии) можно считать
константой материала. Ее определяют экспериментально.
Потенциальная энергия деформации пластины в связи с обра-
зованием в ней трещины уменьшается на величину
Ц7 лсУ
Е
(25.2)
Представляющую собой разность потенциальных энергий дефор-
мации пластины без трещины и с трещиной в виде вытянутого
зллипса.
. Длину трещины, при которой начинается ее неустойчивое развитие, иазы-
101 критической длиной
15 5-372
730
Основы механики разруШенНя
Исходя из закона сохранения энергии, А. Гриффитс предложил
следующую формулировку критерия разрушения: трещина начин (е
распространяться в том случае, когда при вариации ее длины 6/>|j
приращение поверхностной энергии компенсируется соответствую
щим количеством потенциальной энергии деформации (полаг,- ки
что другие виды энергии отсутствуют):
(25.3)
где с учетом (25.1) и (25.2)
6Г=~(4у/)6/=4у6/;
по2/2
Е
6Г =
2п1с2 г.
-Ё~Ы (25.4)
Приращение поверхностной энергии 6Г — величина положительная:
она характеризует увеличение внутренней энергии тела, в то время
как приращение потенциальной энергии деформации величина
отрицательная, так как эта часть энергии выделяется телом (благо-
даря релаксации напряжений в связи с появлением новых, свобод-
ных от нагрузки поверхностей тела). Подставляя (25.4) в (25.3),
получим
2?----2f^-=0.
Отсюда находим
(25.5)
о —
(25.6)
В случае плоской деформации (когда ег=0) в последней форму-
ле следует модуль упругости Е заменить на Е/(1—р2). Тогда
(25.7)
о —
(1-н2)/ ‘
Для наглядности изменение соотношений энергий, входящих в сла-
гаемые (25.3), с увеличением длины трещины приведено в виде
графиков (рис. 630). Максимальному значению полной энергии
соответствует критическая длина трещины /к.
Формулы (25.6), (25.7) определяют критическое напряжение,
при котором происходит самопроизвольный, без дополнительной
работы внешних сил, рост имеющейся в теле трещины длиной •
Зависимость приложенного напряжения о от длины трещины при
ведена на рис. 631. 0
Рассмотренная теория Гриффитса не учитывает докритическ
роста трещины, наблюдаемого экспериментально. Однако эта те°Р
заслуживает большого внимания, поскольку она позволяет выра
хрупкую прочность через физические и механические свО‘ а
материала, показывает, что максимальная разрушающая нагру
www.vokb-la.spb.ru Самолёт своими
Хрупкое разрушение Задача Гриффитса
731
I
Рис. 630
имеет место не при возникновении трещины, а после достижения ею
некоторых критических размеров. Последнее свидетельствует о том,
что существуют безопасные, неразвивающиеся трещины, которые,
однако, могут перейти в опасные за счет охрупчивания материала,
в результате понижения температуры, динамического действия на-
грузки, старения материала и т. п.
Таким образом, из теории Гриффитса следует, что наличие в той
или иной детали трещины — еще не свидетельство немедленного
выхода детали из строя. В принципе, возможно по критическому
значению длины трещины и характеру внешней нагрузки, вводя
соответствующий запас на наличие трещины, устанавливать допуск
на размер трещины, с которой деталь может работать заданное
время. Поскольку не каждая трещина опасна, механика разруше-
ния может развиваться как наука, создающая надежные методы
защиты конструкций от хрупкого разрушения.
Теорию Гриффитса можно применять также для металлов и
сплавов, обладающих некоторой пластичностью. В этих случаях
следует учитывать энергию, которая расходуется на пластическое
Деформирование. Как показывают опыты, пластическая деформация
Развивается вблизи вершины трещины в сравнительно тонком слое,
окаймляющем ее. Толщина слоя пластически деформированного
Металла зависит от условий нагружения, свойств материала и может
составлять от нескольких десятков микрометров до десятых долей
Миллиметра.
Е. Орован и Д. Ирвин на основе концепции энергетического ба-
ланса Гриффитса предложили дополнительно учесть энергию плас-
тического деформирования, введя в формулу (25.6) вместо истинной
^Дельной поверхностной энергии у эффективную поверхностную
25*
руками
732
Основы механики разрушения
энергию Тэф = т + тР, где ур - работа пластического деформирова-
ния при образовании единицы поверхности.
Таким образом, условие квазихрупкого разрушения металлов
принимает вид
У (25-8)
Опыты показывают, что для сталей ур« 103у. Следовательно, в
(25.8) можно пренебречь величиной у и принять уЭф«уР. Заметим
что ур~200 Дж/м2, а у~0,1 Дж/м2.
§ 159. Силовые критерии разрушения
Процесс разрушения материала сосредоточен в малой окрест-
ности вершины трещины, где весьма высока концентрация напря-
жений, обусловленная малым радиусом закругления. Напряженное
состояние в этой области при различных схемах нагружения на
основе методов теории упругости можно в общем виде представить
следующей формулой:
у 2л г
(25.9)
где t, j=x, у.
Величина К, зависящая от вида нагружения, величины нагрузки
и формы трещины, называется коэффициентом интенсивности на-
пряжений (размерность К — сила/длина 3/2). В зависимости от вида
нагрузки (см. схемы рис. 628) коэффициенты интенсивности напря-
жений отмечают соответственно индексами I, II или III, т. е. Ки Ки,
/Ст, гиб — полярные координаты с полюсом в вершине трещины
(рис. 632); ftj — некоторая функция угла 0.
В частности, при плоском напряженном состоянии для нагрузки
по схеме I формулы (25.9) имеют вид
О /. . о .
— ^1—sin —sin
30 \ .
2 ) ’
www.vokbla.spb.ru - Самолёт своими руками
Силовые критерии разрушения
733
Ki 6 /, , . О - 30 \
cos Т (1+s,n Т Sln —) •
(25.10)
К1 6-0 30
Т>У= —7^- COS — sin — cos — .
\,2лг z z z
Перемещения и и v точек в направлении осей х и у соответственно
определяются формулами
2Ki
и=------
1-м
1+в
(25.11)
В случае плоской деформации, когда ег=0, в формулах (25.11)
следует заменить (1 — р)/(1+ц) и 1/(1 + ц) на величины 1—2ц и
1 — р. соответственно.
Эпюры напряжений около вершины трещины отрыва (0^0^ л)
в декартовых и полярных координатах показаны на рис. 633 а, б.
По определению коэффициент интенсивности напряжений около
вершины трещины при плоской
деформации
К\ = Кт д^лг оу(г, 0), (25.12)
г-И)
что следует из анализа напряжен-
ного состояния у вершины тре-
щины. Так, при растяжении плас-
тины с трещиной длины 2/, рас-
положенной посредине ширины
пластины (см. рис. 632), этот
анализ позволяет установить вы-
ражение для нормального напря-
жения в сечении пластины в
окрестности трещины:
о^ = о—- Jit--, (25.13)
гДе х — координата, отсчитывае-
мая от середины трещины, г—
^=х— I. У вершины трещины, при
*-►/, г->-0, напряжения неогра-
ниченно возрастают по величине.
Подставляя эти значения в (25.12)
н вычисляя предел, находим:
^1 = 0 .
Рис. 633
734
Основы механики разрущенни
Аналогично можно получить выражения для коэффициентов ин-
тенсивности напряжений Ап и Аш соответственно схемам нагруже-
ния II и III на рис. 628. Таким образом, имеем:
Ai = o ;
К11 = тд/л/ ; (25.14)
Аш=т л/ .
В линейной механике разрушения исходят из предположения
Д. Ирвина, что трещина будет распространяться тогда, когда вели-
чина коэффициента интенсивности напряжений достигнет крити-
ческого значения, характерного для данного материала. Так, кри-
терий развития трещин нормального отрыва имеет вид
Ai = Aic. (25.15)
Аналогично записывают два других критерия Ащ, Auic для трещин
поперечного и продольного сдвига:
Aii = Anc; Ain = Aiiic.
Критические значения коэффициентов интенсивности напряже-
ний определяют экспериментально. Методика их определения регла-
ментируется соответствующими стандартами.
Критерий Ирвина (25.15) в литературе называют силовым, так
как он основан на анализе напряженного состояния в вершине
трещины.
Для пластин ограниченных размеров при различных видах
нагружения и расположения трещин критические значения Ак,
Ащ, Анк определяются следующими формулами:
(25.16)
где fiK, /пк, fuiK — некоторые поправочные коэффициенты. Выраже-
ния для fiK даны в табл. 30.
Можно показать, что силовой критерий разрушения эквивален-
тен энергетическому критерию Гриффитса.
В теле с симметричной трещиной длиной 21 при ее развитии
в каждую сторону на величину 6/ освобождается упругая энер-
гия —2(д№/дГ)61. Обозначив освободившуюся енергию —dw/"1
на единицу площади через G, получим
6Г = 2С6/. (25J7)
С другой стороны, на образование новых поверхностей требуете”
энергия
6Г=4у6/, (2518)
Z^v.vokl,-laspbLi Самолёт своими руками?!
Силовые критерии разрушения
735
Таблица 30
ч
736
Основы механики разруц1еНйя
Продолжение табл, зо
Вид нагружения
и расположения трещин
Схема расположении
грешим и нагрузок
Поправочная
функция
Цилиндрическая труба диа-
метром 2R и толщиной II
под внутренним давлением
р при продольной сквозной
трещине
/2
14-1,61 -L_
/?//
где, как и ранее, через у обозначена поверхностная энергия, от-
несенная к единице площади. Таким образом, из (25.17) и (25.18)
имеем
G 2y. (25.19)
Поток энергии в вершину трещины при ее продвижении можно
вычислить как работу, необходимую для «закрытия» трещины, ис-
ходя из следующих соображений.
Представим себе мысленно, что на продолжении трещины
(рис. 634) имеется разрез, на поверхности которого действуют
напряжения, возникающие в зоне концентрации от воздействия
внешней нагрузки. Тогда искомый поток энергии при продвижении
трещины на единицу длины мысленного разреза, согласно схеме
рис. 634, определится выражением
।
Сц= — § oy2vdx, (25.20)
о
где нормальное Напряжение оу и перемещение v в случае плоской
деформации берутся из формул (25.10) и (25.11) соответственно
Рис. 634
а
б
i
www.vokb-la.spb.ru
Самолёт своими рукам
Силовые критерии разрушения 737
(2522)
Подставляя (25.21) и (25.22) в (25.20) и производя интегриро-
вание, получим
Gl = ^-^-Ki (25.23)
для плоской деформации и
01=-^ (25-24)
для плоского напряженного состояния.
Итак, имеем две эквивалентные формулировки критерия раз-
рушения:
1) энергетическую, согласно которой предполагается, что тре-
щина может распространяться тогда, когда интенсивность осво-
бождающейся энергии G достигает критического значения
Gic = -^-=2y = const; (25.25)
2) силовую, согласно которой трещина может развиваться при
достижении коэффициентом интенсивности /< своей критической
величины
Кс= const. (25.26)
Эта эквивалентность вытекает из формул (25.23) и (25.24) для
плоской деформации и плоского напряженного состояния соответ-
ственно:
Gic^ Glc==_^_ (25.27)
Формулы (25.27) справедливы для идеально хрупкого разруше-
ния. В действительности, как указывалось, у большинства металлов
в малой области вершины трещины из-за пластических деформаций
проявляются нелинейные свойства материала. Однако вследствие
малости области пластической деформации (где проявляются не-
линейные эффекты) по сравнению с длиной трещины полагают,
что размеры этой области и степень происходящей в ней пласти-
ческой деформации контролируются коэффициентом интенсивности
К и пределом текучести о0.2- Поэтому для квазихрупкого разруше-
ния оставляют в силе оба критерия разрушения Кс и Gc, полагая, что
они зависят от характера сопротивления материала пластической
Деформации.
Итак, соотношения (25.25) и (25.26) в линейной механике раз-
рушения являются основными. С их помощью можно рассчитывать
предельные состояния элементов конструкций с трещиной, а также
Основы механики разрущеНия
оценивать механические свойства материала и его способности
тормозить развитие трещин.
В общем случае нагружения, когда возможны смещения бере-
гов трещин относительно друг друга одновременно по трем рассмо-
тренным схемам (см. рис. 628), получаем
G K?i4—К?п=Gi + Gn + Gm (25.28)
для плоской деформации и
G=± (К?+ М 4- К?п)== Gi + Gu + Gni (25.29)
для плоского напряженного состояния.
§ 160. Оценка величины пластической зоны
на продолжении трещины
Энергетический критерий для нестабильного развития трещины,
выраженный условием (25.25), с учетом (25.14) можно записать в
виде
_ Ate _ Q _ GnJll
GIc==-^=2Yc—у-
(25.30)
где ус — критическая энергия деформации, необходимая для обра-
зования свободной поверхности трещины при наличии пластических
деформаций.
Приведенное ранее выражение (25.12) для коэффициента ин-
тенсивности напряжений с учетом выражения (25.13) позволяет при-
ближенно определить протяженность пластической зоны гт на про-
должении трещины. Так, при оу = от для напряженного состояния,
характеризуемого коэффициентом интенсивности /С|, в пластине
неограниченных размеров
или с учетом выражения Kt = o у/яГ.
Для пластины конечной ширины
(25.31)
(25.32)
(25.33)
Тогда половина длины трещины с учетом пластической зоны
/т_/+гт=/[1+Л(^-)!]_
(25.34)
www.vokb-la.spb.ru
- Самолёт своими руками
739
Опенка величины пластической зоны на продолжении трещины
Пользуясь величиной /т, по приведенным ранее формулам можно
определить Ки, а затем и перемещение v у вершины трещины.
Для плоского напряженного состояния при г=гт, <Э = л получим
(25.35)
Удвоенная величина v равна раскрытию трещины 6 (рис. 635):
d = 2^=r = 2(l-p)^ZA/T^|^Zy (25.36)
В случае хрупкого разрушения при о<от раскрытие трещины
приближенно можно определить по формуле
6=-4-л/. (25.37)
от£
Расчетные значения б, получаемые по формуле (25.37) при 0,8от,
подтверждаются экспериментально.
В случае плоского деформированного состояния вследствие того,
что v и б мёньше, протяженность пластической зоны снижается в
несколько раз по сравнению с таковой при плоском напряженном
состоянии.
Следует иметь в виду, что размеры пластической зоны у вершины
трещины для одного и того же материала зависят от степени де-
формации вдоль переднего края трещины. В то же время степень
стеснения деформации зависит от толщины образца, с увеличением
которой напряженное состояние изменяется от плоского, при кото-
ром ог = 0, к объемному при плоской деформации, когда oz = p(ox-|-
-)oj. При этом на боковой поверхности плоского образца в отсут-
ствии здесь внешнего давления всегда имеет место плоское напря-
женное состояние, а потому размеры пластической области у сво-
бодной поверхности образца всегда больше, чем в средней части.
Пластическая зона впереди вершины трещины в достаточно тол-
стом плоском образце приблизительно имеет форму катушки (рис. 636).
740
Основы механики разруШецНя
Поскольку в средней части образца
напряженное состояние объемное, а сле-
довательно, более жесткое, чем в зоне
трещин, примыкающих к боковым по-
верхностям, то сопротивление разруще.
нию в этой области будет меньше, а
потому и фронт продвижения трещин
будет выдаваться вперед, имея языко-
подобный вид. Для образцов различной
----------------------толщины соотношение пластических об-
ластей впереди трещины различно. В связи с этим изменяется величи-
на энергии, затрачиваемой на разрушение, а следовательно, суще-
ствует зависимость от толщины образца характеристик трещино-
стойкости — коэффициента интенсивности напряжений Дс (рис. 637)
и интенсивности освобождающейся энергии Gc. Как видим, с увели-
чением толщины образца значение Дс (а следовательно, Gc) умень-
шается и стремится к своему предельному, асимптотическому зна-
чению Кс при объемном напряженном состоянии в условиях плос-
кой деформации.
§ 161. Методика экспериментального определения
трещиностойкости конструкционных материалов
Предельное равновесие трещиноподобных дефектов в конструк-
ции при заданных условиях эксплуатации определяется сопротив-
лением разрушению (трещиностойкостью) материала, из которого
она изготовлена. В качестве меры трещиностойкости применительно
к наиболее опасным и распространенным трещинам нормального
отрыва чаще всего используют критическое значение коэффициен-
та интенсивности напряжений Лл<, соответствующее моменту старта
трещины при соблюдении в ее вершине условий плоской деформа-
ции.
Для определения характеристики Kic данного материала исполь-
зуют специальные компактные образцы СТ (рис. 638) с трещиной,
удовлетворяющие следующему размерному требованию:
2
В (№-/)> 2,5 , (25.38)
где I — длина трещины; В — толщина образца; (ш—/)— ширина ра'
бочей части образца; о0,2 — предел текучести.
Трещину в образце выращивают из устья узкой щели при цикли-
ческом нагружении образца. Режим выращивания и длина трещины
должны соответствовать определенным требованиям, обеспечиваю-
щим получение достоверных значений характеристики.
Нагружая образец возрастающим усилием, регистрируют диа“
грамму «нагрузка Р — смещение берегов трещины V». Критиче-
ский коэффициент интенсивности напряжения Ки испытуемо1-0
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
741
Методика экспериментального определения трещиностойкости
материала рассчитывают по нагрузке Р, соответствующей на диа-
грамме Р — v старту трещины, с использованием некоторой, за-
висящей от конфигурации образца функции его размеров и длины
трещины:
где
(25.39)
1 (')=29'6 (i)“-|85'6 (v)'^665’7 (£)“-1017 (£)“+
+638'9(v),S-
Если полученная таким образом величина 7\jc удовлетворяет раз-
мерному требованию (25.37), то она считается искомой характери-
стикой материала. В противном случае необходимо повторить испы-
тания на образцах увеличенных размеров.
Поскольку значение нагрузки на диаграмме Р — v не зависит от
места измерения смещений, то последние целесообразно измерять
вблизи точек приложения нагрузки или вблизи средней точки линии
фронта трещины. По синхронно регистрируемым диаграммам Р— vp
можно дополнительно к силовой характеристике Kic определять и
Деформационную 6jc характеристику трещиностойкости материала.
Такой подход позволяет комплексно, с единых методических по-
зиций, оценивать трещиностойкость материала как в хрупком, так
И в пластическом состояниях. Отметим, что описанная методика
определения характеристики Kic строго обоснована только при
испытании хрупких материалов, разрушающихся в линейно-упругой
области.
742______________________________________________Заключенне
_____--—
Глава 26
Заключение
§ 162. Современные проблемы
сопротивления материалов
В предыдущих главах изложены основные положения курса
сопротивления материалов, составляющие комплекс правил и ме-
тодов для решения простейших задач прочности в инженерном
деле.
В то же время на практике приходится решать более сложные
задачи, часто требующие проведения специальных исследований.
Будущие инженеры-механики, практическая деятельность которых
в той или иной степени связана с вопросами прочности конструк-
ций, должны представлять себе те научные проблемы, которые
стоят перед учеными и инженерами-прочнистами на современном
этапе технического прогресса. Эти проблемы сводятся к тому, чтобы
при проектировании и расчете на прочность и жесткость той или
иной реальной детали, на которую действуют известные по величине
силовые и тепловые нагрузки, был выбран наиболее подходящий
материал с точки зрения оптимальной работы в будущей детали
с учетом условий ее эксплуатации, чтобы при этом деталь была
минимального веса и имела оптимальные конструктивные формы и
технологию ее обработки.
Ниже остановимся на основных научных проблемах в области
прочности, диктуемых уровнем современного технического прогресса
человечества и перспективами его динамичного развития в ближай-
шие годы.
Прежде всего необходимо отметить, что в современных условиях
развития науки и техники, когда появляются новые классы ранее
не известных материалов, обладающих часто специфическими свой-
ствами, взгляды на такие материалы и оценку их сопротивления
изменились. Создание многих материалов, и в первую очередь ком-
позиционных,— дело не только материаловедов, но и в не меньшей
степени прочнистов, потому что во многих случаях приходится,
строго говоря, конструировать прочный материал, рациональным
образом располагая составляющие композиции. При этом многие
материалы создаются с наперед заданными свойствами, обеспе-
чивающими их оптимальную работу в той или иной детали с учетом
условий ее эксплуатации и характера силовых и тепловых нагру-
зок.
Существенно изменилось и представление о современных проб-
лемах прочности. В настоящее время такие проблемы возникают,
как правило, в связи с реализацией общегосударственных программ
по использованию новейших открытий в области физики, механики,
биологии и других естественных и технических наук. Это, например.
www.vokb-la.spb.ni - Самолёт своими
Современные проблемы сопротивления материалов 743
программы, связанные с использованием энергии расщепления атом-
ного ядра, а также с освоением космоса. Именно в этих областях
мы сталкиваемся с чрезвычайно тяжелыми эксплуатационными
условиями работы элементов конструкций как в отношении интен-
сивности воздействия внешней среды и уровня силового и теплового
нагружения, так и в отношении характера изменения этих воздей-
ствий во времени.
Обобщая условия, порождающие проблематику в области проч-
ности, мы имеем основание утверждать, что в подавляющем боль-
шинстве эти проблемы возникают при создании машин, аппаратов
и конструкций, некоторые элементы которых работают в экстремаль-
ных условиях, а их прочность определяет в конечном итоге надеж-
ность и долговечность всего агрегата.
К числу экстремальных условий, существенным образом интен-
сифицирующих разупрочнение материалов в эксплуатации, отно-
сятся достаточно высокие температуры (до 3000—4000 К), пони-
женные и весьма низкие температуры (до температуры жидкого
гелия — около 4 К), интенсивное радиационное облучение, высоко-
температурные газы (продукты сгорания), содержащие химически
активные примеси, металлические расплавы и морскую воду, а
также сочетание одновременно действующих различных перечис-
ленных факторов.
Экстремальными следует считать также условия, при которых в
эксплуатации протекают неустановившиеся режимы силового и
теплового воздействий, в том числе периодические или случайные
импульсные нагрузки и резкие теплосмены, т. е. фактически усло-
вия, которые имеют место в реальной эксплуатации большинства
стационарных энергетических установок, летательных аппаратов,
различного типа турбомашин, корпусов надводных и подводных
кораблей, химических установок, трубопроводов, двигателей вну-
треннего сгорания, подвижного состава железнодорожного транс-
порта, землеройных машин и т. п. Во многих из этих объектов при-
эксплуатации сложно сочетаются самые различные факторы, ока-
зывающие неблагоприятное влияние на прочность и долговечность
наиболее ответственных элементов конструкций.
Заметим, что классические методы сопротивления материалов без
специальных исследований, главным образом экспериментальных,
не позволяют учесть влияние многочисленных факторов, сопутствую-
щих реальным условиям эксплуатации, при решении вопросов проч-
ности тех или иных элементов конструкций и прогнозировать их
долговечность. В связи с этим можно указать те вопросы и проблемы,
стоящие перед прочнистами, решение которых вызывается настоя-
тельными требованиями, запросами современного технического про-
гресса нашей страны.
Прежде всего внимание должно быть уделено накоплению экс-
периментальных данных о физико-механических свойствах различ-
ных материалов в условиях, максимально приближенных к эксплуа-
тационным — экстремальным для данного класса материалов, что-
_______________________________________________Заключение
бы получить уравнения состояний материала при заданных условиях
силового и теплового воздействий.
Отметим, что простейшим выражением уравнения состояния
характеризующего поведение материала под действием статически
прикладываемой нагрузки, является графическое представление
зависимости деформации испытуемого образца материала от на-
грузки в виде диаграммы растяжений Р — Ы или в относительных
координатах—диаграммы напряжений о — в. В других случаях
это будут графические или аналитические зависимости исследуемых
характеристик прочности или деформативности от тех или иных фак-
торов (времени, температуры, асимметрии цикла, интенсивности
облучения и т. п.).
Необходимость проводить в первую очередь экспериментальные
исследования различных аспектов сопротивления материалов обу-
словлена тем, что разупрочняющее влияние перечисленных выше
факторов, имеющих место в эксплуатации, нельзя учесть расчетным
путем. Чтобы правильно учесть влияние этих факторов на показа-
тели конструктивной прочности материалов, нужно поставить соот-
ветствующие хорошо продуманные экспериментальные иссле-
дования по методикам, разработка которых часто представляет
самостоятельный научный интерес. К тому же установить соответ-
ствующие аналитические критериальные зависимости можно только
на основе большого количества экспериментальных данных о свой-
ствах материала. Получают их при испытаниях изготовленных из
этого материала специальных образцов в тех или иных условиях
силового и теплового воздействий заданной длительности и режима
изменения этих воздействий во времени.
Следует иметь в виду, что исследовать прочностные и деформа-
ционные свойства любого материала — это значит изучать его по-
тенциальные возможности, чтобы выявить специфические свойства
и условия, при которых использование данного материала в кон-
струкции было бы оптимальным. В других случаях нужно выявить
те дополнительные модификации технологического и конструкцион-
ного характера, которые существенным образом скажутся на улуч-
шении важнейших физико-механических свойств материала, а сле-
довательно, и на повышении их прочности и долговечности при
эксплуатации в тех или иных условиях.
Конкретизируя сказанное, приведем перечень вопросов по проб-
лемам прочности, подлежащих решению в ближайшие годы.
К числу таких вопросов относятся следующие:
1. Исследование прочности при высоких температурах жаро-
прочных и тугоплавких материалов при простом и сложном напря-
женном состояниях как при статических кратковременных и дли-
тельных нагрузках, так и при повторно-переменных нагрузках и
теплосменах. Особое внимание при этом должно быть обращено на
изучение длительной прочности и выносливости материала при
неустановившихся режимах силового и теплового воздействия (ра3'
дельно и совместно).
www.vokb-la.spb.ru - Самолет своими
Современные проблемы сопротивления материалов 745
2. Изучение основных механических характеристик прочности
и пластичности конструкционных материалов при пониженных и
низких температурах при статических, повторно-переменных и
импульсных нагрузках с учетом конструкционно-технологических
факторов для установления уравнений состояния материалов и
обоснования критериев предельного состояния и прочности тех или
иных типичных элементов конструкций, работающих в условиях
низких температур.
3. Изучение влияния реакторного облучения на кратковремен-
ную и длительную прочность и пластичность, а также на другие
механические свойства конструкционных материалов при раз-
личных видах силового и теплового воздействий, установление
уравнений состояния различных материалов и получение критериев
их прочности, учитывающих эффект влияния радиационного облу-
чения.
4. Изучение влияния агрессивных сред (металлических распла-
вов, продуктов сгорания, морской воды и др.) на механические
свойства конструкционных материалов при длительных статических
и повторно-переменных нагрузках в условиях нормальных и высо-
ких температур с целью выявить эффект разупрочнения материалов,
обусловленный влиянием среды, а также выбрать оптимальные за-
щитные покрытия исследуемого материала.
5. Изучение влияния различного рода покрытий тугоплавких
материалов и их сплавов на показатели прочности и пластичности
этих материалов при высоких температурах, чтобы оптимизировать
тип покрытия и технологию его нанесения для различных условий
эксплуатации элементов конструкций из тугоплавких и жаропроч-
ных материалов с покрытием.
6. Исследование характеристик конструкционной прочности ком-
позиционных материалов для оптимизации их состава и прочности
объектов из композиционных материалов, установления критериев
предельного состояния типовых изделий из композиционных ма-
териалов и разработки методов их расчетов.
7. Исследование конструкционной прочности хрупких материа-
лов типа стекла и ситалла с целью создать рациональные инже-
нерные конструкции, в которых бы в наиболее полной мере были
реализованы характерные положительные свойства (низкий удель-
ный вес и высокая прочность при сжатии) этих материалов.
8. Дальнейшее развитие механики разрушения и прежде всего
теории трещин, а также живучести различного типа инженерных
конструкций, имеющих трещины, и установление критериев пре-
дельного состояния таких конструкций, а также прогнозирование
Их долговечности.
9. Вопросы усталости, и в первую очередь малоцикловой уста-
лости, совершенствование методов испытания на усталость, обо-
снование деформационных критериев малоцикловой усталости,
Установление физической модели накопления повреждений при по-
вторно-переменных нагрузках, кинетики развития усталостных
26
5 372
746
Заключение
трещин в тех или иных условиях нагружения, статический аспект
усталости, а также разработка инженерных методов расчета эле-
ментов конструкций на прочность при повторно-переменных напря-
жениях с учетом различных факторов (вида напряженного состоя-
ния, конструктивно-технологических особенностей, температуры,
начальной напряженности и т. п.).
10. Вопросы расчета напряженно-деформированного состояния
как в упругой, так и, особенно, в упругопластической области эле-
ментов конструкций сложных форм под действием внешних на-
грузок (в том числе изменяющихся во времени) и неравномерного
нагрева, вызывающего большие термические напряжения, при широ-
ком использовании современной вычислительной техники.
11. Исследование предельных состояний элементов конструкций
при сложных напряженных состояниях и сложных траекториях
нагружения.
12. Исследование физических аспектов прочности материалов
и элементов конструкций при широком использовании электронной
микроскопии, рентгеноструктурного анализа, фрактографии, ультра-
звуковой дефектоскопии и т. п.
13. Изыскание методов оценки накопления поврежденности ма-
териала и установления динамики изменения повреждаемости по
мере наработки часов в процессе эксплуатации высоконапряженных
ответственных элементов конструкций.
Можно было бы указать и более частные вопросы, представ-
ляющие значительный научный интерес и большую практическую
ценность для технического прогресса.
Исследование конструктивной прочности рулонированных тон-
костенных и толстостенных оболочек типа газопроводных труб и
корпусов атомных реакторов. Здесь имеются в виду как разработка
теории расчета таких систем, так и экспериментальное исследование
их напряженно-деформированного состояния (в том числе в упруго-
пластической области) и разрушения под действием силовых нагру-
зок и теплосмен при неравномерном нагреве, а также малоцикловой
усталости. Цель — установить их предельное состояние и разрабо-
тать метод расчета таких объектов на прочность применительно к
тем или иным условиям их эксплуатации.
Исследование конструктивной прочности лопаток газовых турбин
с учетом влияния факторов, сопутствующих реальным условиям
их эксплуатации, и др.
Изучение прочности дисков различных типов турбомашин в поле
центробежных сил при нормальных, низких и высоких температу-
рах, в том числе при неравномерном нагреве по радиусу, а также
малоцикловой повторно-переменной нагрузке за пределами упру-
гости.
Расчет на прочность сопловых аппаратов ракетных двигателей.
Исследование прочности высоконапряженных элементов двига-
телей внутреннего сгорания, подвергнутых действию силовых и теп-
ловых напряжений
^Hvw. vokb-la.spb.ru - Самолёт своими
Современные проблемы сопротивления материалов 747
Изучение напряженного состояния, прочности и разрушения
обшивки летательных аппаратов.
Исследование напряженного состояния, предельной несущей
способности и прочности (включая малоцикловую) корпусов глубо-
ководных аппаратов с учетом среды.
Исследование конструктивной прочности деталей землеройных
машин с учетом неустановившихся динамических нагрузок, пони-
женных температур и т. п.
Решением перечисленных проблем занимаются многочисленные
научные коллективы академических и отраслевых институтов как
в нашей стране, так и за рубежом, а также многочисленные коллек-
тивы соответствующих кафедр высших учебных заведений страны.
В этой связи большое поле деятельности открывается для сту-
дентов-механиков, все более широко привлекаемых к участию в
научно-исследовательской работе кафедр.
26*
Приложения
Сортамент прокатной стали
Уголки равнобокие (по ГОСТ 8509— 72)
Обозначения:
b — ширина полки;
d — толщина полки,
1 — момент инерции;
i — радиус инерции;
го— расстояние от центра тяжести до наружной грани полки
Номер профиля Размеры, мм Площадь сечения F, см2 Jx, см* 'х- см Gfo макс, см ixo макс, см •,До_м^н, ty0 мин, см /Х|, см* 20. СМ Масса 1 м, кг
b d
5 50 3 2,96 Ли 1,55 11,3 1 95 2,95 1,00 12,4 1,33 2,32
4 3,89 9,21 1,54 14,6 1,94 3,80 0,99 16,6 1 38 3,05
5 4,80 11,20 1,53 17,8 1,92 4,63 0,98 20,9 1,42 3,77
5,6 56 4 4,38 13,1 1,73 20,8 2,18 5,41 1.Н 23,3 1,52 3,44
5 5,41 16,0 1,72 25,4 2,16 6,59 1,10 29,2 1,57 4,25
g
о
X
6,3 63 4 4,96 18,9 1,95 29,9 2,45 7,81 1,25 33,1 1.69 3,90
5 6,13 23,1 1,94 36,6 2,44 9,52 1,25 41,5 1,74 4,81
6 7,28 27,1 1,93 42,9 2,43 11,20 1,24 50,0 1,78 5,72
7 70 4,5 6,20 29,0 2,16 46 0 2,72 12,0 1,39 51 0 1,88 4,87
5 6,86 31,9 2,16 50,7 2,72 13,2 1,39 56,7 1,90 5,38
6 8,15 37,6 2,15 59,6 2,71 15,5 1,38 68,4 1,94 6,39
7 9,42 43,0 2,14 68,2 2,69 17,8 1,37 80,1 1,99 7,39
8 10,70 48,2 2,13 76,4 2,68 20,0 1,37 91,9 2,02 8,37
7,5 75 5 7,39 39,5 2,31 62,6 2.91 16,4 1,49 69,6 2 02 5,80
6 8,78 46,6 2,30 73,9 2,90 19,3 1,48 83,9 2,06 6,89
7 10,1 53,3 2,29 84,6 2,89 22,1 1,48 98,3 2,10 7,96
8' 11,5 59,8 2,28 94,6 2,87 24,8 1,47 113 2,15 9,02
9 12,8 66,1 2,27 105 2,86 27,5 1,46 127 2,18 10,10
8 80 5,5 8,63 52,7 2,47 83,6 3,11 21,8 1,59 93,2 2,17 6,78
6 9,38 57,0 2,47 90,4 3,11 23,5 1,58 102 2,19 7,36
7 10,8 65,3 2,45 104 3,09 27,0 1,58 119 2,23 8,51
8 12,3 73,4 2,34 116 3,08 30,3 1,57 137 2,27 9,65
9 90 6 10,6 82,1 2,78 130 3,50 34,0 1,79 145 2 43 8,33
7 12,3 94,3 2,77 150 3 49 38,9 1,78 169 2,47 9,64
8 13,9 106 2,76 168 3,48 43,8 1,77 194 2,51 10,9
9 15,6 118 2,75 186 3,46 48,6 1,77 219 2,55 12,2
10 100 6,5 12,8 122 3,09 193 3,88 50,7 1,99 214 2,68 10,1
7 13,8 131.'- 3,08 207 3,88 54,2 1,98 231 2,71 10,8
8 15,6 147 3,07 233 3,87 60,9 1,98 265 2 75 12,2
10 19,2 179 2,05 284 3,84 74,1 1,96 333 2,83 15,1
12 22,8 209 3,03 331 3,81 86,9 1,95 402 2,91 17,9
14 26,3 237 3.00 375 3,78 99,3 1,94 472 2,99 20,6
16 29,7 264 2,98 416 3,74 112,0 1,94 542 3,06 23,3
11 110 7 15,2 . 176 3,40 279 4,29 72,7 2,19 308 2,96 11,9
— 8 17,2 198 3,39 315 4,28 81,8 2,18 353 3,00 13,5
Продолжение прил. 1
СП
Номер лрофнл Я Размеры, мм Площадь сечения F, см2 lx. CM* cm макс, CM4 макс, ^1/0 M^H, мин, CM* Масса
b d CM CM 1 m, кг
12,5 125 8 9 10 12 14 16 19,7 22,0 24,3 28,9 33,4 37,8 294 327 360 422 482 539 3,37 3,86 3,85 3,82 3,80 3,78 467 520 571 670 764 853 4,87 4,86 4,84 4,82 4,78 4,75 122 135 149 174 200 224 2,49 2,48 2,47 2,46 2,45 2,44 516 582 649 782 916 1051 3,36 3,40 3,45 3,53 3,61 3,68 15,5 17,3 19,1 22,7 26,2 29,6
14 140 9 10 12 24,7 27,3 32,5 466 512 602 4,34 4,33 4,31 739 814 957 5,47 5,46 5,43 192 211 248 2,79 2,78 2,76 818 911 1097 3,78 3,82 3,90 19,4 21,5 25,5
16 160 10 И 12 14 16 18 20 31,4 34,4 37,4 43,3 49,1 54,8 60,4 774 844 913 1046 1175 1299 1419 4,96 4,95 4,94 4,92 4,89 4,87 4,85 1229 1341 1450 1662 1866 2061 2248 6,25 6,24 6,23 6,20 6,17 6,13 6,10 319 348 376 431 485 537 589 3,19 3,18 3,17 3,16 3,14 3,13 3,12 1356 1494 1633 1911 2191 2472 2756 4,30 4,35 4,39 4,47 4,55 4,63 4,70 24,7 27,0 29,4 34,0 38,5 43,0 47,4
18 180 И 12 38,8 42,2 1216 1317 5,60 5,59 1933 2093 7,06 7,04 500 540 3,59 3,58 2f28 2324 4,85 4,89 30,5 33,1
20 200 12 13 14 16 20 25 30 47,1 50,9 54,6 62,0 76,5 94,3 111,5 1823 1961 2097 2363 2871 3466 4020 6,22 6,21 6,20 6,17 6,12 6,06 6,00 2896 3116 3333 3755 4560 5494 6351 7,84 7,83 7,81 7,78 7,72 7,63 7,55 - 749 805 861 970 1182 1438 1688 3,99 3,98 3,97 3,96 3,93 3,91 3,89 3182 3452 3722 4264 5355 6733 8130 5,37 5,42 5,46 5,54 5,70 5,89 6,07 37,0 39,9 42,8 48,7 60,1 74,0 87,6
22 220 14 16 60,4 68,6 2814 3175 6,83 6,81 4470 5045 8,60 8,58 1159 1306 4,38 4,36 4941 5661 5,93 6,02 47,4 53,8
25 250 16 18 20 22 25 28 30 78,4 87,7 97,0 106,1 119.7 133,1 142,0 4717 5247 5765 6270 7006 7717 8177 7,76 7,73 7,71 7,69 7,65 7,61 7,59 7492 8337 9160 9961 11 125 12 244 12 965 9,78 9,75 9,72 9,69 9,64 9,59 9,56 1942 2158 2370 2579 2887 3190 3389 4,98 4,96 4,94 4,93 4,91 4,89 4,89 8286 9342 10 401 11 464 13 064 14 674 14 753 6,75 6,83 6,91 7,00 7,11 7,23 7,31 61,5 68,9 76,1 83,3 94,0 104,5 111,4
V/ х0 У 8510 -72
d j 1 ил к и исравноиикие i i
»
ь
о
*
о
*
□
□
Обозначения:
В — ширина большей
b — ширина меньшей
d — толщина полки;
J — момент инерции;
i — радиус инерции;
^о, </о — расстояние от
полки;
полки;
центра тяжести до наружных граней полок
и
Номер профиля Размеры, мм Площадь сечения F, см2 Л, см1 см ^*’4 СМ4 Чь см J И МИИ, см4 МИК, СМ Угол наклона оси и, tg а J *1» СМ4 hi- СМ4 хо, см ус, см Масса 1 м, кг
в ь d
5,6/3,6 56 36 4 3,58 11,4 1,78 3,7 1,02 2,19 0,78 0,406 23,2 6,25 0,84 1,82 2,81
5 4,41 13,8 1,77 4,48 1,01 2,66 0,78 0,404 29,2 7,91 0,88 1,86 3,46
3
з
2
=
Продолжение прил. 1
Номер Размеры, 4М Площадь сечения F, см2 Л. У1 1У' J и И ИЯ« СМ4 in МНИ| Угол наклона ,хч ^7 Ли, I/O, Масса
профиля в ь d см4 СМ СМ4 см СМ оси и, tg а СМ СМ см СМ 1 м кг
6,3/4 63 40 4 5 6 8 4,04 4,98 5,90 7,68 16,3 19,9 23,3 29,6 2,01 2,00 1,99 1,96 5,16 6,26 7,28 9,15 1,13 1,12 1,11 1,09 3,07 3,72 4,36 5,58 0,87 0,86 0,86 0,85 0,397 0,396 0,393 0,386 33,0 41,4 49,9 66,9 8,51 10,8 13,1 17,9 0,91 0,95 0,99 1,07 2,03 2,08 2,12 2,20 3,17 3,91 4,63 6,03
7/4,5 70 45 5 5,59 27,8 2,23 9,05 1,27 5,34 0,98 0,406 56,7 15,2 1,05 2,28 4,39
7,5/5 75 50 5 6 8 6,11 7,25 9,47 34,8 40,9 52,4 2,39 2,38 2,35 12,5 14,6 18,5 1,43 1,42 1,40 7,24 8,48 10,9 1,09 1,08 1,07 0,436 0,435 0,430 69,7 83,9 112 20,8 25,2 34,2 1,17 1,21 1,29 2,39 2,44 2,52 4,79 5,69 7,43
8/5 80 50 5 6 6,36 7,55 41,6 49,0 4 2,56 2,55 12,7 14,8 1,41 1,40 7,58 8,88 1,09 1,08 0,387 0,386 84,6 102 20,8 25,2 1,13 1,17 2,60 2,65 4,99 5,92
9/5,6 90 56 5,5 6 8 7,86 8,54 11,18 65,3 70,6 90,9 2,88 2,88 2,85 19,7 21,2 27,1 1,58 1,58 1,56 11,8 12,7 16,3 1,22 1,22 1,21 0,384 0,384 0,380 132 145 194 32,2 35,2 47,8 1,26 1,28 1,36 2,92 2,95 3,04 6,17 6,70 8,77
10/6,3 100 63 6 7 8 10 9,59 11,1 12,6 15,5 98,3 113 127 154 3,2 3,19 3,18 3,15 30,6- 35,0 39,2 47,1 , 1,79 1,78 1,77 1 75 18,2 20,8 23,4 28,3 1,38 1,37 1,36 1,35 0,393 0,392 0,391 0,387 198 232 266 333 49.9 58,7 67 6 85,8 1,42 1,46 1,50 1,58 3,23 3,28 3,32 3,40 7,53 870 9,87 12,10
11/7 ПО 70 6,5 8 11,4 13,9 142 172 3,53 3,51 45,6 54,6 2,00 1,98 26,9 32,3 1,53 1,52 0,402 0,400 286 353 74,3 92,3 1,58 1,64 3,55 3,61 8,98 10,90
12,5/8 125 80 7 8 10 12 14,1 16,0 19,7 23,4 227 256 312 365 4,01 4,00 3,98 3,95 73,7 83 100 117 2,29 2,28 2,26 2,24 43,4 48,8 59,3 69,5 1,76 1,75 1,74 1,72 0,407 0,406 0,404 0,400 452 518 649 781 119 137 173 210 1,80 1,84 1,92 2 00 4,01 4,05 4,14 4,22 11,0 12,5 15,5 18,3
14/9 140 90 8 18,0 364 4,49 120 2,58 70,3 1,98 0,411 727 104 2 03 4,49 14,1
10 22,2 444 4,47 146 2,56 85,5 1,96 0,409 911 245 2,12 4,58 17,5
16/10 160 100 9 22,9 606 5,15 186 2,85 НО 2,20 0,391 1221 300 2,23 5,19 18,0
10 25,3 667 5,13 204 2,84 121 2,19 0,390 1359 335 2,28 5,23 19,8
12 30,0 784 5,11 239 2,82 142 2,18 0,388 1634 405 2,36 5,32 23,6
14 34,7 897 5,08 272 2,80 162 2,16 0,385 1910 477 2,43 5.40 27,3
18/11 180 НО 10 28,3 952 5,80 276 3,12 165 2,42 0,375 1933 444 2,44 5,88 22,2
12 33,7 1123 5,77 324 3,10 194 2,40 0,374 2324 537 2,52 5,97 26,4
20/12,5 200 125 11 34,9 1449 6,45 446 3,58 264 2,75 0,392 2920 718 2 79 6,50 27,4
12 37,9 1568 6,43 482 3,57 285 2,74 0,392 3189 786 2,83 6,54 29,7
14 43,9 1801 6,41 551 3,54 327 2,73 0,390 3726 922 291 6 62 34,4
16 49,8 2026 6,38 617 3,52 367 2,72 0,388 4264 1061 2,99 6,71 39,1
25/16 250 160 12 48,3 3147 8,07 1032 4,62 604 3,54 0,410 6212 1634 3,53 7,97 37,9
16 63,6 4091 8,02 1333 4,58 781 3,5 0,408 8308 2200 3,69 8,14 49,9
18 71,1 4545 7,99 1475 4,56 896 3,49 0,407 9358 2487 3,77 8,23 55,8
20 78,5 4987 7,97 1613 4,53 949 3,48 0,405 10410 2776 3,85 8,31 61,7
Продолжение прил. 1
СП
Балки двутавровые (по ГОСТ 8239—72)
h — высота балки;
b — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
Обозначения:
J — момент инерции,
W — момент сопротивления;
i — радиус инерции;
S — статический момент полусечения
Номер профиля Размеры, мм Площадь сечения F, см2 см4 №.. см1 1,. см S,. см3 /у, см4 см 1и, см Масса 1 м. кг
а ь d t
10 100 55 4,5 7,2 12,0/ 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1,22 9,46
12 120 64 4,8 7,3 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38 11,5
14 140 73 4,9 7,5 17,4 572 8*1,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55 13,7
16 160 81 5.0 7,8 20,2 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1,70 15,9
18 180 90 5,1 8,1 23,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1,88 18,4
18а 180 100 5,1 8,3 25,4 1430 159 7,51 89,8 114 22,8 2,12 19,9
20 200 100 5,2 8,4 26,8 1840 184 8,28 104 115 23,1 2,07 21,0
20а 200 НО 5,2 8,6 28,9 2030 203 8,37 114 155 28,2 2,32 22,7
22 220 но 5,4 8,7 30,6 2550 232 9,13 131 157 28,6 2,27 24,0
22а 220 120 5,4 8,9 32,8 2790 254 9,22 143 206 34,3 2,50 25,8
24 240 115 5,6 9,5 34,8 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37 27,3
24а 240 125 5.6 9,8 37,5 3800 317 10,1 178 260 41,6 2,63 29,4
Приложения
27 270 125 6,0 9,8 40,2 5010 371 Н,2 210 260 41,5 2,54 31,5
27а 270 135 6,0 10,2 43,2 5500 407 11,3 229 337 50,0 2 80 33,9
30 300 135 6,5 10,2 46,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69 36,5
30ц 300 145 6,5 10,7 49.9 7780 518 12,5 292 436 60,1 2,95 39,2
33 330 140 7.0 11,2 53,8 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79 42,2
36 360 145 7,5 12,3 61,9 13 380 743 14,7 423 516 71 1 2,89 48,6
40 400 155 8,3 13,0 72,6 19 062 953 16,2 545 667 86.1 3.03 57,0
45 450 160 9 14,2 84,7 27 696 1231 18,1 708 808 101 3,09 66,5
50 500 170 10 15,2 100 39 727 1589 19,9 919 1043 123 3,23 78,5
55 550 180 II 16,5 118 55 962 2035 21,8 1181 1356 151 3,39 92,6
60 600 190 12 17,8 138 76 806 2560 23,6 1491 1725 182 3,54 108
Ш веллеры (по ГОСТ 8240 72)
Обозначения:
h—высота швеллера;
Ь — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
I — момент инерции;
W — момент сопротивления;
i — радиус инерции;
S — статический момент полусечения,
2о — расстояние от оси у до наружной грани стенки
Номер профиля Размеры, мм Площадь сечения F, см2 h, СМ4 Г„см’ 1х, см Sxi ем’ см* Ws, см3 6. СМ 2о, СМ Масса 1 м, кг
h ь d t
5 50 32 4,4 7,0 6,16 22,8 9,1 1,92 5,59 5,61 2,75 0,954 1,16 4,84
6,5 65 36 4,4 7,2 7,51 48,6 15,0 2,54 9,0 8,7 3,68 1,08 1,24 5,90
Продолжение прил, 1
Номер профиля Размеры, мм Площадь сечения F, см2 Л, см4 см5 ii, см 3„сма 1„ см* см tjf, см 2о. СМ Масса 1 м, кг
h ь d t
8 80 40 4,5 7,4 8,98 89,4 22,4 3,16 13,3 12,8 4,75 1,19 1,31 7,05
10 100 46 4,5 7,6 10,9 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,46 1,37 1,44 8,59
12 120. 52 4,8 7,8 13,3 304 50,6 4,78 29,6 31J 8,52 1,53 1,54 10,4
14 140 58 4,9 8,1 15,6 491 70,2 5,60 40,8 45,4 и,о 1,70 1,67 12,3
14а 140 62 4,9 8,7 17,0 545 77,8 5,66 45,1 57,5 13,3 1,84 1,87 13,3
16 160 64 5,0 8,4 18,Ь 747 93,4 6,42 54,1 63,6 13,8 1,87 1.80 14,2
16а 160 68 5,0 9,0 19,5 823 103 6,49 59,4 78,8' 16,4 2,01 2,00 15,3
18 180 70 5,1 8,7 20,7 1090 121 7,24 69,8 86 17,0 2,04 1,94 16,3
18а 180 74 5,1 9,3 22,2 1190 132 7,32 76,1 105 20,0 - 2,18 2,13 17,4
20 200 76 5,2 9,0 23,4 1520 ,152 8,07 87,8 113 20,5 2,20 2,07 18,4
20а 200 80 5,2 9,7 25,2 1670 167 8,15 95,9 139 24,2 2,35 2,28 19,8
22 220 82 5,4 9,5 26,7 2110 192 8,89 НО 15J • 25,1 2,37 2,21 21,0
22а 220 87 5,4 10,2 28,8 2330 212 8,99 121 187 30,0 2,55 2,46 22,6
24 240 90 5,6 10,0 30,6 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,60 2,42 24,0
24а 240 95 5,6 10,7 32,9 3180 265 9,84 151 254 37,2 2,78 2,67 25,8
27 270 95 6,0 10,5 35,2 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47 27,7
30 300 100 6,5 11,0 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52 31,8
33 330 105 7,0 11,7 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59 36,5
36 360 ПО 7,5 12,6 53,4 10 820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68 41,9
40 .400 115 8,0 13,5 61,5 15 220 761 15,7 444 642 73,£ 3,23 2,75 48,3
Приложение 2
Пределы прочности некоторых материалов
Материал Предел прочности, МПа, при Материал Предел прочности, МПа, при
растяжении сжатии растяжении сжатии
Чугун серый: ель вдоль волокон 65 35
обыкновенный 140 180 600—1000 » поперек » — 4
мелкозернистый 210-250 до 1400 дуб вдоль волокон 95 50
Пластмассы: бакелит 20—30 80 100 » поперек » Камни: — 15
целлулоид 50—70 — гранит 3 120-260
текстолит 85—100 130—250 песчаник 2 40—150
гетинакс 150-170 150—180 известняк — 50-150
бакелизированная кирпич 7,4—30
фанера 130 115 бетон — 5 -35
Дерево (при 15 % влажности): каменная кладка на растворе 0,2-0,5 2,5 -9
сосна вдоль волокон 80 40
» поперек » — 5
г.vokb-la.spb.ru - Самолет своими руками.'
П риложение 3
Механические характеристики чугуна
Марка чугуна Предел прочности, МПа. при Твердость по Бринеллю, НВ Предел выносливости, МПа, при
растяжении о. сжатии Ств изгибе Ов кручении т. изгибе кручении т_|
СЧ 12 120 500 280 __ 143—229
СЧ 15 150 650 320 240 163 -229 70 50
СЧ 18 180 700 360 — 170—229 — —
СЧ 21 210 750 400 280 171—241 100 80
СЧ 24 240 850 440 300 187—2'17 120 100
СЧ 28 280 1000 480 350 170—241 140 НО
СЧ 32 320 1100 520 390 187—255 140 НО
СЧ 35 350 1200 560 400 197—269 150 115
СЧ 38 380 1400 600 460 207 269 150 115
ВЧ 40-10 400 1600—1700 — 480—510 156 -197 150—170 198
ВЧ 50-1,5 500 1860—2000 — 740 790 187 -255 230—270 170—210
ВЧ 60-2 600 2040—2290 — 660—810 197 -269 170 -230 150-160
Примечание Предел текучести ст для ВЧ 40 10 составляет 300, для ВЧ 50-1,5 — 380 и для ВЧ 60 2 — 420 МПа
Приложение 4
Механические характеристики углеродистых конструкционных сталей
Ов От Тт Относительное удлинение б. %, Ударная вязкость КС, a-i сЛ i Т*-|
Марка стали не менее при 1 — 10d кДж/м
МПа
МПа □
10 340 210 140 31 2400 160-220 120 150 80-120 I
20 420 . 250 160 25 — 170—220 120-160 100 130 %
25 460 280 23 900 190— 250 — — (Т I
30 500 300 170 21 800 200 270 170—210 НО -140 S
35 540 320 190 20 700 220-300 170-220 130—180 п
40 580 340 19 600 230-320 180-240 140- 190 =
45 610 360 220 16 500 250-340 190 250 150-200 с £
50 640 380 — 14 400 270—350 200—260 160-210 ГТ г
55 660 390 —— 13 — — — S я
60 690 410 — 12 — 310—380 220-280 180-220
20Г 460 280 —- 24 — — — —
ЗОГ 550 320 — 20 800 220-320 — —
50Г 660 400 — 13 400 290-360 — —
20Х 800 650 — 11 600 380 — 170-230
40Х 1000' «00 —- 10 600 350—380 250 225
45Х 1050 850 — 9 500 400 500 — —
ЗОХМ 950 750 —. 11 800 310 -410 370 230
35ХМ 1000 85Q. — 12 800 470—510 — —
40ХН 1000 800 390 11 700 400 290 240
50ХН 1100 900 — 9 500 550 — —
40ХФА 900 750 —- 10 900 380-490 — —
38ХМЮА 1000 850 14 900 420 550 —. —
12ХНЗА 950 700 400 11 900 390—470 270 320 220—260
20ХНЗА 950 750 — 12 1000 430 -450 300—320 245-255
ЗОХНЗА 1000 800 — 10 800 520 700 — 320—400
40ХНМА 1000 950 — 12 1000 500 700 — 270 380
зохгСа 1100 850 — 10 500 510-540 500-535 220-245
Примечания: 1 Пределы выносливости получены на полированных образцах. 2. При использовании сталей по
ГОСТ 380—71 следует учесть примерное соответствие марок
Сталь СтЗ соответствует стали 20;
» Ст4 » стали 25;
» Ст5 » стали 35;
» Стб » стали 45
г. vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими
Приложение 5
Механические характеристики жаропрочных сплавов
Вид сплава п„ СУЭ.2 СГ 1 Е б 4’ КС
МПа % кДж/м2
Аустенитные стали ЭИ734 ЭИ589 ЭИ590 1000 918 - 1020 765 856 600 795 336-408 — 172 000 211 000 20 15 31-44 25 15-25 40 49 300 300 1000
Стали на никелевой основе при 20 °C ХН77ТЮ ЭИ826 ВЖ98 1000 1050 750 600 720 388 367 388 310 194 000 204 000 25 10 40 28 12 800 200
Стали на железоникелевой основе при 20 °C ХН35ВТЮ ЭП105 ХН35ВТР 1350 950 800 940 700 450 — 223 000 190 000 214W0 14 10 20 15 29 13 35 350-700 250 1000
Титановые сплавы в отожжен- ном состоянии ВТ5 ОТ4 770 800 720 680 459 388-438 107 000 110 000 8,5 13 40 25-50 400 400
Ниобиевые сплавы ВН-2 при в в в в 7=20 °C 7= 1200 °C 7= 1600 °C 650-750 180—200 40-50 530-700 110—120 20 480 112 000 109 000 107 000 25—30 30 35 50-60 60—70 100 100 2700
Молибденовые сплавы ВМ-1 при в в в в 7=20 °C 7= 1200 °C 7= 1600 °C 760 250 60 500 200 400 500 328 000 259 000 212 000 25 22 55 55 90 100 20
П родолжение прил. 5
Вид сплава Марка сплава <7. По 2 П_ 1 Е б У КС,
МПа % кДж/м2
Танталовые сплавы Та+ 10 % 1Г при 7 = 20 °C 600 480-500 — 184 000 36,0 96 —
7=1250 °C Та+ 10 % 1Г при 7 = 1500 °C 185 150 100 85 — 155 000 147 000 45,0 50-53 94 95 —
Вольфрамовые сплавы В В-2 при 7 = 1000 "С , » 7=1500 °C » » 7-2000 °C 200 240 140- 150 80-85 — — 360 000 340 000 280 000 45 48 48 -58 60-70 80 90 90 -95 95-96
Приложение 6
Механические характеристики пружинных сталей
Сталь Растяжение Сжатие Предел выносливости То пружины при пульсирующем
Пв От Опц Е т« Tr G
МПа цикле, МПа
Среднеуглеродистая 1500-1600 1000-1200 750-900 2.1-105 850-1100 600- -800 8,1 • 104 500-650
Высокоуглеродистая 1450—1700 950 -1350 800-1000 2,0-10s— —2,2 •10s 1 100—1400 650—900 7,6-104 — -8.3-1O4 500—700
Хромованадиевая 1600 1750 1500 1600 900 1000 2,01-10s 1700-1300 950-1000 8,0-Ю4 550- 600
Кремнемарганцевая 1600 1700 1400-1500 900 950 2,05- 10 s 1350 950 1000 7,6-104 500-550
Кремневанадиевая 1400 1500 950 1050 600 650 2,3-10s 1200—1250 900 8,3-Ю4 450 500
Примечание. Предел выносливости пружины дан при симметричном цикле =О,6то; диаграмма предельных напря-
жений для пружины характеризуется коэффициентом ’Ктда0,2.
П риложение 7
Механические характеристики некоторых цветных металлов
Сплавы Материал Марка (Тт ИВ Область применения
МПа
Медные Латунь Латунь алюминиевая Латунь марганцевая Бронзы оловянные Бронза алюминиевая Бронза кремневая Л 68 ЛА77-2 ЛМц58-2 БрОЮ БРОФЮ-1 БрА5 БрКЗ 91; 520 140; — 156; - 140; - 160; 500 320; 660 400; 650 400; 700 250; - 200; 300 380; 400 250; — 55; 30 55; 12 40; 10 И; - - 3 65; 4 10-20 55; J50 60; 170 85; 175 80; - 80; 100 60; 200 Трубы, проволока, листы Трубы, трубки конденсатор- ные Прутки, листы Арматура Шестерни, подшипники Ленты, полосы Литье
Алюми- ниевые Нормальный дуралюмии Дуралюмин повышенной прочности Алюмнниево-магниевый сплав Д1 Д6 АМг 110; 240 50; 380 100; ^10 210; 420 180; 500 180; 250 18; 15 8; 20 6; 23 45; 113 50; 125 45; 60 Трубы, прессованные профили Трубы, профили Трубы, листы
Примечание. Первые цифры даны для мягкого состояния материала, вторые — для твердого.
Приложение 8
Механические характеристики основных типов пластмасс
Материал Характеристика Плотность, кг/м1 Предел прочности <тв при Е G о 1 —
растяжении сжатии изгибе
МПа
Стеклопласты На основе ткани, нитей, ориентированных 1400—1850 260-400 100—300 130—150 18 000-22 000 3500—4000 0,22—0,25
в двух взаимно перпендику- лярных направлениях 1700 1900 300-500 230-460 24 000 35 000 0,25—0,28
Текстолиты На основе хлопчатобумаж-
Древесные ных тканей 1300—1400 60 НО 130—150 90-160 6000-10 000 2500 0,25-0,30
На основе древесины 1200-1400 140-220 120-155 165-220 12 000—34 000 800-2500 0,25 0,30
пластики Гетинакс На основе бумаги, пропи- танной фенолформальде-
Фнбра гидной смолой На основе спец сортов бу- 1300 1400 70—100 — 80-140 10 000-18 000 800- 2500 0,20—0,30
маги 1100-1250 65 -100 80-140 60-95 7000 0,20 0,30
Волоки ИТ Наполнители; хлопковые очесы, асбоволокно, стек-
ловолокно 1350—1900 30 130 110—130 40—100 5000 8500 0,25 0,30
Термореактив- Наполнители: древесная,
ные пресс по- рошки кварцевая мука, слюда 1400-1900 35 60 150 -180 50-80 — — 0,3-0,4
Органическое На основе полимеров
стекло метакриловой кислоты 1180 71-92 — 99-153 2900- 4100 — 0,1-0,16
Термопласты Линейные полимеры 920 2100 12-80 — 12-100 150-700 —— 0,15—0,2
Пенопласты Неармнрованные 60 220 0,4-4,2 0,17—4,5 0,7-5,0 37 200 15-19
Фторопласт 4 — 2100 2300 14-25 20 11 14 470 850 —
Капрон Литье 1140 35-70 60—80 45-70 1400 2000 450-480
Поликапролактам 1140 60—80 70 80 90 700 -1050
Полиамид-68 — ИЗО 45 50 45-50 70 90 1200 —
Винипласт — 1380—1400 40-60 80-160 90 3000 4000
Полиэтилен НД — 1380—1400 25-35 28—40 30 550 880 —
Полистирол блочный — 1050-1070 35 100 95 100 1200 -3200 — —
I.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
764
Приложения
Приложение 9
Модули упругости и коэффициенты Пуассона
Материал Модуль упругости, МПа Коэффициент Пуассона ц
Е G
Чугун серый, белый (1,154-1,60) 106 4.5-104 0,23 0,27
» ковкий 1,55-10" — —
Стали углеродистые (2,04-2,1) 10® (8,04-8,1). 104 0,24 0,28
» легированные (2,1 : 2,2) 10® (8,04-8,1) 104 0.25 0.30
Медь прокатанная 1.1-10® 4,0-104 0.31-0,34
» холоднотянутая 1,3-10s 4.9-IO4 —
» литая 0,84-10s — —
Бронза фосфористая катаная Бронза марганцовистая 1,15-105 4,2-104 0,32—0,35
катаная Бронза алюминиевая литая 1,1-10® 1,05-10® 4,0-10’ 4,2-Ю4 0,35
Латунь холоднотянутая (0,914-0,99) 103 (3,54-3,7) l О4 0,32 - 0,42
Латунь корабельная катаная 1,0-10® — 0,36
Алюминий катаный Проволока алюминиевая 0,69-10® (2,64-2,7) Ю4 0.32—0,36
тянутая 0,7-10® — —
Дуралюмин катаный 0,71-10® 2.7-Ю4 —я
Цинк катаный 0,84-10® 3,2-104 0,27
Свинец 0,17-10® 0.70-104 0,42
Лед 0,1-10® (0,284-0,3) 104 —
Стекло 0,56-10® 2,2-Ю4 0.25
Гранит 0.49-10® — —
Известняк 0.42-10® — —
Мрамор 0,56-10® — —
Песчаник 0,18-10® —
Каменная кладка из гранита Каменная кладка (0,094-0,1) 10® — —
из известняка 0,06-10® — —
Каменная кладка из кирпича Бетон при пределе прочности, МПа (0,027 4-0,030) 10® — —
10 (0.1464-0,196) 10® .— 0.16—0,18
15 (0,164 4-0,214) (0® — 0,16—0,18
20 (0.1824-0,232) 10® — 0,16- 0,18
Дерево вдоль волокон » поперек » (0,14-0,12)10® (0,0054-0,01) 10® 0,055-104 —
Каучук 0.00008-10® — 0,47
Текстолит Гетинакс (0,064-0,1) 10® (0,14-0,17) 10® —
Бакелит (24-3) 103 — 0,36
Висхомлит (ИМ-44) (404-42) 102 — 0,37
Целлулоид (14,34-27,5) IO2 — 0,33 0,38
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Приложения
765
Приложение 10
Ориентировочные значения основных допускаемых напряжений на растяжение
и сжатие
Материал Допускаемое напряжение МПа, иа
растяжение сжатие
Чугун серый в отливках 28—80 120-150
Сталь Ст2 h Ю
» СтЗ 160
» СтЗ в мостах 140
» машиностроительная (конструкцией-
ная) углеродистая 60 250
Сталь машиностроительная (конструкцией-
ная) легированная 100—400 и выше
Медь 30- -120
Латунь 70 140
Бронза 60 120
Алюминий 30 80
Алюминиевая бронза 80 -120
Дуралюмин 80 150
Текстолит 30- -40
Гетинакс 50- -70
Бакелизированная фанера 40 50
Сосна вдоль волокон 7-10 10—12
» поперек » — 1,5—2
Дуб вдоль волокон 9—13 13—15
» поперек » —- 2—3,5
Каменная кладка до 0,3 0,4—4
Кирпичная » до 0,2 0,6—2,5
Бетон 0.1 -0,7 1,0—9
Приложение 11
1
Допускаемые напряжения на срез для заклепочных и сварных соединений
Тнп соединения Напряжение иа срез, МПа
Заклепочное:
основные элементы из стали 20 100
заклепка в рассверленных отверстиях (класс В) 140
заклепка в продавленных отверстиях (класс С) 100
Сварное:
сварка ручная, электроды с тонкой обмазкой 80
сварка ручная, электроды с толстой обмазкой НО
автоматическая сварка НО
766
Приложения
Приложение 12
Таблица функций акад. А. Н. Крылова для расчета балок постоянного сечения
на упругом основании
Е к, Г. Ь ь
0 1 0 0 0
0,010 1,0000 0,01000 0,00005 0,00000
0,020 1,0000 0,02000 0,00020 0,00000
0,05 1,0000 0,0500 0,0013 0,00002
0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002
0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,0014
0,30 0,9987 0,2999 0.0450 0,0045
0,40 0,9957 0,3997 0,0800 0,0107
0,50 0,9895 0,4990 0,1249 0,0208
0,60 0,9784 0,5974 0.1798 0,0360
0,70 0,9600 0,6944 0,2444 0,0571
0,80 0,9318 0,7891 0,3186 0,0852
0,90 0,8931 0,8804 0,4021 0,1211
1,00 0.8337 0,9668 0,4945 0,1659
1,10 0,7568 1,0465 0,5952 0,2203
1,20 0,6561 1,1173 0,7035 0,2852
1,30 0,5272 1,1767 0,8183 0,3612
1,40 0,3656 1,2217 0,9383 0,4490
1,50 0,1664 1,2486 1,0620 0,5490
л/2 0,0000 1,2546 1,1507 0,6273
1.60 — 0,0753 1,2535 1,1873 0,6615
1,70 — 0,3644 1,2322 1,3118 0,7863
1,80 -0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,90 — 1,1049 1.0888 1,5464 1,0727
2,00 — 1,5656 0,9558 1,6490 1,2325
2,10 — 2,0923 0.7735 1,7359 1,4020
2,20 — 2,6882 0,5351 1,8018 1,5791
2,30 — 3,3562 0,2335 1,8408 1,7614
2,40 — 4,0976 — 0,1386 1,8461 1,9461
2,50 -4,9128 — 0,5885 1,8105 2,1293
2,60 — 5,8003 — 1,1236 1.7256 2,3065
2,70 — 6,7565 — 1,7509 1,5827 2,4725
2.80 — 7,7759 —2,4770 1,3721 2,6208
2,90 —8,8471 — 3,3079 1,0838 2,7443
3,00 —9,9669 — 4,2485 0,7069 2,8346
3,10 -11 1119 — 5,3023 0,2303 2,8823
3,20 —12,2656 —6,4711 -0,3574 2,8769
3,30 —13,4048 — 7,7549 - 1,0678 2,8068
3.40 — 14,5008 -9,1507 — 1,9121 2,6589
3,50 — 15,5198 — 10,6525 —2,9014 2,4195
3,60 — 16,4218 -12,2508 —4,0459 2,0735
3,70 — 17,1622 — 13,9315 — 5,3544 1,6049
3,80 — 17.6875 — 15,6761 —6,8343 0,9969
3,90 — 17,9387 — 17,4599 — 8,4909 0,2321
4,00 — 17,8498 — 19.2524 — 10,3265 -0,7073
4,10 — 17,3472 — 21,0160 — 12,3404 — 1,8392
4,20 — 16.3505 — 22,7055 — 14,5274 — 3,1812
4,30 — 14,7722 — 24,2669 — 16.8773 —4,7501
4,40 — 12,5180 — 25,6373 -19,3743 — 6,5615
4.50 — 9,4890 — 26,7447 — 21,9959 — 8.6290
4,60 —5,5791 — 27,5057 —24,7117 — 10,9638
——
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Приложения
767
Продолжение прил. 12
Е, Ъ Y,
4,70 — 0,6812 —27,8274 — 27,4823 —13,5732
4,80 — 5,3164 — 27,6052 — 30,2589 — 16,4604
4,90 — 12,5239 —26,7239 — 32,9814 —19,6232
5,00 21,0504 — 25,0565 — 35,5775 — 23,0525
5,10 30.9997 — 22,4661 —37,9619 — 26,7317
5.20 42,4661 —18,8057 — 40,0350 —30,6346
5,30 55,5317 — 13,9201 — 41,6826 — 34.7246
5,40 70,2637 — 7,6440 — 42,7727 — 38,9524
5,50 86,7044 — 0,1901 — 43,1593 — 43,2557
5,60 104,8687 — 9,7544 — 42,6775 — 47,5558
5,70 124,7352 21.2199 — 41,1454 — 51,7563
5,80 146,2448 34,7564 — 38,3640 — 55,7429
5,90 169,2837 50,5203 — 34,1198 — 59,0363
6,00 196,1881 70,6079 — 27,4846 —62,7889
6,10 221,8019 91,4992 — 19,4005 — 65,1503
6,20 245,5231 112,5249 — 10,2356 — 66,4981
2л 267,7468 133,8725 0 — 66,9362
6,30 272,2487 138,4120 2,2886 — 66,9175
6,50 324,7861 198,1637 35,7713 —63,3105
7,00 413,3762 386,8072 180,1191 — 13,2842
7,50 313,3700 580,6710 423,9858 133,6506
5/2л 0 643,9927 643,9926 321,9964
8,00 — 216,8647 628,8779 737,3101 422,8713
8,50 — 1479.3701 241,4136 981,0984 860,3917
9,00 —3691,4815 — 1010,8800 834,8607 1340,3007
Зя — 6195,8239 — 3097,9120 0 1548,9560
9,50 —6660,9594 — 3581,4756 — 250,9959 1539,7410
10,0 —9240,8733 —7616.1462 — 2995,7095 812,3636
Т1 =ch g cos У2=у (ch g sin g+sh I cos g);
У2=у sh g sin F4=-i-(cht; sin £ —sh g cos g)
Приложение IS
Таблица значений функций rji, цг, Цз
£ 4» 42 Пт e ni 42 Чз
0 1,0000 1,0000 — 1,0000 0.7 0,6997 0.0599 —0,3708
0,1 0,9907 0,8100 — 0,9003 1/4л 0,6448 0,0000 — 0,3224
0.2 0,9651 0,6398 — 0,8024 0,8 0,6354 —0,0093 —0,3131
0,3 0,9267 0,4888 — 0.7077 0,9 0,5712 —0,0657 0,2527
0,4 0,8784 0,3564 — 0,6174 1,0 0.5083 — 0,1108 0,1988
0.5 0,8231 0,2415 — 0,5323 1,1 0,4476 — 0,1457 — 0.1510
0,6 0,7628 0,1431 — 0,4530 1.2 0.3899 -0,1716 -0,1091
768
Приложения
Продолжение прил. 13
1 ’ll П2 ’13 § ’ll 43
1.3 0,3355 —0.1897 — 0,0729 4.2 — 0.02042 0,00572 0,00735
1,4 0,2849 —0.2011 — 0,0419 4,3 —0,01787 0,00699 0,00544
1.5 0,2384 —0,2068 — 0,0158 4,4 —0,01546 0.00791 0,00377
1,2 0,2079 —0,2079 0,0000 4,5 — 0,01320 0,00852 0.00234
1.6 0,1959 —0,2077 0,0059 4,6 —0,01112 0.00886 0,00113
1,7 0,1576 —0,2047 0,0235 4,7 —0,00921 0,00898 0,00011
1,8 0,1234 —0.1985 0,0376 6/4л -0,00898 0,00898 0,00000
1,9 0,0932 —0,1899 0,0484 4,8 -0,00748 0,00892 —0.00072
2,0 0,0667 — 0,1794 0,0563 4,9 — 0.00593 0,00870 -0,00139
2,1 0,0439 —0.1675 0,0618 5,0 —0,00455 0,00837 —0,00191
2,2 0,0244 —0,1548 0,0652 5,1 — 0,00334 0,00795 -0,00230
2,3 0,0080 — 0,1416 0,0668 5,2 — 0.00229 0,00746 -0,00259
3/4 л. 0,0000 —0.1340 0,0670 5,3 — 0.00139 0,00692 — 0.00277
2,4 —0,0056 —0,1282 0,0669 5,4 —0,00063 0,00636 —0,00287
2,5 —0,0166 —0,1149 0,0658 7/4 л —0,00000 0,00579 -0,00290
2,6 —0,0254 —0,1019 0,0636 5,5 0,00001 0,00578 —0,00290
2,7 — 0,0320 — 0,0895 0,0608 5,6 0,00053 0.00520 — 0,00287
2,8 —0,0369 —0,0777 0,0573 5,7 0,00095 0,00464 —0.00279
2,9 — 0,0403 —0,0666 0,0534 5,8 0,00127 0,00409 — 0,00268
3,0 — 0,04226 -0,05632 0,04929 5,9 0,00152 0.00356 0,00254
3.1 — 0,04314 —0,04688 0.04501 6,0 0.00169 0,00307 —0,00238
Л —0.04321 —0,04321 0,04321 6,1 0.00180 0,00261 —0,00221
3,2 — 0,04307 —0,03831 0,04069 6,2 0,00185 0,00219 — 0,00202
3,3 — 0,04224 — 0,03060 0,03642 8/4л 0,00187 0,00187 —0,00187
3,4 — 0,04079 —0,02374 0,03227 6,3 0,00187 0,00181 —0,00194
3.5 — 0,03887 — 0.01769 0,02828 6,4 0,00184 0,00146 —0,00165
3,6 —0,03659 —0,01241 0,02450 6,5 0,00179 0,00115 —0,00147
3,7 — 0,03407 —0.00787 0.02097 6,6 0,00172 0,00087 — 0.00129
3.8 —0,03138 -0,00401 0,01770 6,7 0,00162 0,00063 —0,00113
3,9 —0,02862 -0,00077 0,01469 6,8 0.00152 0,00042 - 0,00097
5/4л — 0,02786 0,0000 0,01393 6.9 0,00141 0,00024 -0,00082
4,0 — 0,02583 0,00189 0,01197 7,0 0,00129 0,00009 —0,00069
4,1 — 0,02309 0.00403 0.00953 9/4л 0.00120 0,00000 —0,00060
ij, =e~E(cos g+sin g); tj2= — e"E(siii g —cos g); 43=— e Ecosg.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Список рекомендуемой литературы
1 Афанасьев А М., Марьин В А. Лабораторный практикум по сопротивлению
материалов.— М.: Наука, 1975. 287 с.
2. Беляев Н М. Сопротивление материалов. — 15-е изд. М.: Наука, 1976 — 607 с.
3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов.— М.: Высш, шк., 1975 —
654 с.
4. Когаев В. Л. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени.
М.: Машиностроение, 1979,— 232 с.
5. Махутов Н. А. Сопротивление материалов конструкций хрупкому разрушению.—
М : Машиностроение, 1973.— 200 с.
6. Морозов Е. М. Введение в механику развития трещин.— М.: Моск, инж.-физ ин-т
1977.—92 с.
7. Писаренко Г. С. и др. Сопротивление материалов.— 4-е изд., перераб и доп.—
К.: Вища шк. Головное нзд-во, 1979. 694 с.
8. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при
сложном напряженном состоянии.—К: Наук думка, 1976.—416 с.
9. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С Уравнения и краевые задачи теории
пластичности и ползучести; Справ, пособие.— К.; Наук, думка, 1981.— 496 с.
10. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях:
В 2 т./Под общ. ред. Писаренко Г. С.— К.: Наук, думка, 1980. Т. 1. 535 с.:
Т. 2 771 с.
11. Серенсен С. В. Сопротивление материалов усталостному разрушению.—М.:
Атомиздат, 1975.— 191 с.
12. Сопротивление материалов / Под общ. ред. Смирнова А Ф.— 3-е изд.— М.:
Высш, шк., 1975 — 480 с.
13. Трощенко В. Т. Усталость и неупругость металлов.— К.: Наук, думка, 1971.—
268 с.
14. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М : Наука, 1979.— 559 с.
15. Филин А. Б. Прикладная механика твердого деформируемого тела: В 2 т —
М.: Наука —Т. I. 1975. 832 с.; Т. 2. 1978. 616 с.
16 Шнейдерович Р Н. Прочность при статическом и повторно-статическом нагру-
жениях. - М.: Машиностроение, 1968.— 344 с.
Предметный указатель
Автоколебания 591
Амплитуда колебаний 590
- — вынужденных 590
— напряжений цикла 656
Анизотропные тела 20
Гибкость стержня 570, 575
Гипербола Эйлера 570
Гипотеза плоских сечений 94. 260
Гука закон 97, 217, 231
— — обобщенный 193- -195
Балка 53, 259
— консольная 53
— многопролетная (нсразрезная) 437
— на упругом основании 340
—, подбор сечений 275, 280
—, — поперечного сечения 314
—, проверка прочности 273- 275, 282
— равного сопротивления 322—327
— составная 330—333
— статически неопределимая 420—423
Болт 219, 220
Бринелля способ 111, 112
Брус 14. 15
— большой кривизны 458—471
— малой кривизны 416, 458
Бубнова—Галеркина метод 650
Вал, критическая скорость вращения 611
— полый 234- -236
— трубчатый 231, 244, 247
Верещагина способ 403, 404, 408, 409
Вес собственный, учет при растяжении —
сжатии 139 144
Взаимность перемещений 394, 395
— работ 394, 395
Винтовая пружина, расчет на прочность
и жесткость 248 254
Виток пружины 248. 250
Выносливость 652
- , предел 653, 658- 662
—, —, влияние конструктивно-техноло-
гических факторов 665
Выточка, влияние па напряжение 695
Вязкость разрушения 714
— ударная 714—716
Декремент колебаний логарифмический 605
Депланация 238
Деформация в точке 19, 193 - 196
- изгиба 289
— кручения 227
линейная 19, 97
— объемная 193—195
остаточная 101, 103
— пластическая 102, 105
— поперечная 97
— продольная 96
— растяжения- сжатия 93- 98
— сдвига 17, 215, 216
— , совместность 149.
— угловая 19
— упругая 16, 101
Диаграмма истинная 107— 109
— напряжений 107 109
— растяжения 100—104
— механического состояния 210
— сжатия 109 III
— предельных напряжений 662
Динамические нагрузки 44
Диск вращающийся 489
Дислокация 115
Длительная прочность 125
Жесткость поперечная стержня при
изгибе 263
— — — — кручении 230
растяжении, сжатии 97
— — сдвиге 388
Жесткость стержня 97
Журавского формула 268
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Предметный указатель
771
Задача статически неопределимая 147,
417
Заклепка, расчет на срез 219
—. — на смятие 220
Закон Гука (см Гука закон)
парности касательных напряжений 172
Запас прочности по предельным состоя-
ниям (нагрузкам) 551. 555, 559
— усталостной прочности 674- 678
устойчивости 561. 562, 575
Затухание колебаний 588 590
Зона пластичности 547, 548. 553, 556
Изгиб балок из материалов, не следую-
щих закону Гука 346 351
, гипотезы 259, 260
- , главные напряжения 275
— , дифференциальные зависимости 63,
298, 299
— , касательные напряжения 266—271
— косой 352
. нормальные напряжения 259. 262
— , перемещения 289
— плоский 259
— - криволинейного стержня 458
поперечный 266
— продольно-поперечный 579
— продольный 562
— с кручением 366
— с растяжением, сжатием 359
— чистый 259—261
—,энергия потенциальная 409- 412
Излом усталостный 653. 654
Инварианты тензора напряжений 189
Интенсивность нагрузки 42
напряжений 193
Испытание материалов на растяжение
99—109
— на сжатие 109, НО
Кастильяно теорема 412, 413
Колебания, амплитуда 590
— вынужденные 590. 599. 606, 608
— затухающие 588
— крутильные 592, 620
— , период 587, 594
— поперечные 592
— продольные 592
— собственные 589, 590
— , фаза 593
— , частота 594
Консоль 53
Контактные напряжения 716
Концентрация напряжений 116- 120
— - при изгибе 284 289
при кручении 255—259
при растяжении, сжатии 116-120
Коэффициент асимметрии цикла 657, 658
— динамичности 691, 692
запаса прочности 128
— интенсивности напряжений
концентрации напряжений 118, 119
- теоретический 118
- — — эффективный 119
масштабный 668
— приведения длины 566
- Пуассона (поперечной деформации)
97. 98
— упругого основания 340—346
— чувствительности 666, 667
Кривая ползучести 123, 124
усталости 660
Кривой стержень 457
Кристаллическая решетка 113, 654
Критерии прочности 200— 208
Критическая сила 561
— скорость вращения вала 611
Критическое напряжение 569, 570
Круг инерции 36
напряжений (Мора) 180 186
Кручение за пределом упругости 552
— стержня круглого поперечного сече-
ния 227 -237
некрупного поперечного сечения
238-243
— —, потенциальная энергия деформа-
ции 245
— — тонкостенного замкнутого профиля
244 246
---— открытого профиля 246—248
— с изгибом 366
Ламе задача 475
Лапласа уравнение 528
Линии Чернова—Людерса 102
Линия нейтральная 260, 354, 355, 362
— упругая 292
— —, дифференциальное уравнение 292
Максвелла формула 397
Малоцикловая усталость 683
Масса приведенная 645
Масштабный фактор 668
Материал анизотропный 20
— изотропный 20
— пластичный 105, 106
—, характеристики механические 99, 100
— , — —, таблицы 757 765
— хрупкий 105
Метод Верещагина 403, 404, 408, 409
— графического определения напряже-
ний в окрестности точки 180 186,192
моментов инерции 35—39
— Мора 396
Релея 641
— сечений 44 —48
— сил 420
, канонические уравнения 423
Модуль объемной деформации 196
772
Предметный указатель
- упругости 94, 95
— — сдвига 217
— —, таблицы для материалов 764
Момент изгибающий 56—90
— — предельный 559
— инерции главный 33—35
— осевой 24
— — полярный 24
центробежный 24
— крутящий 50—53
— сопротивления осевой 264
— — — пластический 558
— — полярный 230, 231
— — — пластический 553
Мора интеграл 397
— круг (напряжений) 180—186
— теория прочности 205 208
Нагрузка 42—44
— динамическая 44
— допускаемая 550, 554, 558
— критическая 562
— мгновенно приложенная 44
— объемная 43
поверхностная 42
— повторная 44
— рогонпая 42, 43
— постоянная 42
— • предельная 102, 545, 551, 555, 559
— - — расчетная 547, 551, 555, 559
— равномерно распределенная 43
— разрушающая 102, 546
— сосредоточенная 43
— статическая 43
— ударная 44, 690
— фиктивная 413
— циклическая 652, 653
Наклеп 104
Накопление повреждений 652
Напряжение в наклонных сечениях 174—
192
— главное 172
-динамическое 690 —694, 704
— допускаемое 98—99
— — для заклепочных соединений 218-
221
— сварных соединений 222 225
— — на растяжение (сжатие) 127, 128
— — на смятие 221
— —, таблицы 765
— касательное 91, 219
- контактное 717
— критическое 570
- меридиональное 528
— местное 117
начальное 152
— номинальное 117
- нормальное 91
окружное 472, 475
—октаэдрическое 192
—от собственного веса 140
— приведенное (эквивалентное) 201 205
— при внецентренном растяжении и сжа-
тии 362
— при изгибе 259 270
— — — косом 354—356
кручении 227—232
— — растяжении и сжатии 93 95
— ударе 690—694, 703
— расчетное 201
— сдвига 215
— смятия 221
— температурное 154
Напряженное состояние двухосное (плос-
кое) 177—186
— - одноосное (линейное) 174 177
трехосное (объемное, простран-
ственное) 186—193
Натяг 479
Натяжение нити 160
Начало возможных перемещений 390—
393
Независимость действия сил 21
Неопределимость статическая 147, 417
Неразрезная (многопролетпая) балка
54, 437
Нейтральная ось 260
Нейтральный слой 260
Обобщенный закон Гука 193—195
Оболочка 525 -545
—, безмоментная теория 526
, расчет распорных колец 532
— сферическая 529
— цилиндрическая 530. 535
Объемная деформация 194, 195
Однородность напряженного состояния
173
Опорные реакции 54, 55
Опоры стержней 53, 54
Основная система 419
Остаточная деформация 101, 103
Остаточное относительное сужение 102,
105, 106
удлинение 101, 105, 106
Ось инерции 24
— — главная 25, 33 - 35
— — центральная 25, 28 30
Ось стержня изогнутого 289, 291
, дифференциальное уравнение
291
нейтральная 260
— — при внецентренном сжатии (растя-
жении) 362, 363
— — — косом изгибе 354, 355
Относительная деформация поперечная
97
— — продольная 97
Относительное изменение объема 195
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!
Предметный указатель
773
Относительный сдвиг 215
Отрыв 207
Парность касательных напряжений 172
Перемещение, вызванное температурой
401 403
обобщенное 381
— общая формула (см. Метод Мора)
396, 397
— при изгибе 289, 291, 292, 300 -315
— кручении 229 231
растяжении — сжатии 131, 132
Период колебаний 587, 594
Пластина 15
круглая 15
прямоугольная 15
Пластическая деформация 102.104, 114
Пластический момент сопротивления осе-
вой 558
— — — полярный 553
— шарнир 556, 559
Пластмассы, механические свойства 757,
763 765
Плоское напряженное состояние 177—
186
Площадка текучести 102
Площадки главные 172
— октаэдрические 192
Поверхность срединная 526
Подбор сечеиня 130, 221, 234, 275—280
Ползучесть 123—125
Полюс круга инерции 37
— — напряжений 183
Поперечная сила 56, 57, 266
Потенциальная энергия 409, 410
Предел выносливости 653. 658 —662
— ползучести 124
— пропорциональности 101
— прочности 102
—текучести 102
упругости 101
Предельная нагрузка 102, 545; 551, 555,
559
Предельное состояние 546
, расчеты при растяжении и сжа-
тии 548551
— , — - изгибе 556— 560
—, •— — кручении 552—556
Приведенная длина 566
Приведенный момент 368
Принцип возможных перемещений 390
— д’Аламбера 592
наименьшей работы 415, 416
— независимости действия сил 21, 352
Сен-Венана 95
— суммирования (суперпозиции) 352,
353
Проба ударная 714
Проверка прочности 98, 99, 218, 233,
234, 274, 275
Провисание нити 157, 160
Прогиб балки 289, 293
Продольная сила 44-48
Продольно-поперечный изгиб 579
Продольный изгиб 562
Пространство напряжений 208
Профили прокатные, сортамент 748—756
Пружина винтовая цилиндрическая 248
Пуассона коэффициент 97, 98
Работа внешних сил 385
деформации 385—390
— удельная 107
Равновесие безразличное 561
неустойчивое 560
— устойчивое 560
Радиус инерции 39, 40
кривизны 290, 462
Разрушение от отрыва 207
— сдвига 207
пластическое 207
— усталостное 652—654
•— хрупкое 207
Рама 417 419, 454- 457
Растяжение внецентренное 362 —365
Расчет на выносливость 655—679
----жесткость 9, 93, 99, 130, 218 233
272, 315
— — устойчивость 560—562, 573
по допускаемым нагрузкам 545
— напряжениям 200, 546, 548,
550, 554, 558
— — предельному состоянию 547
— статически неопределимой копструк
ции 417
Реакции связей 54, 55
Реакция опорная 54, 55
основания 341
Резонанс 591, 601
Резонансные кривые 609
Релаксация напряжений 126
Релея метод 641
Рессора 322—327
Ритца метод 648
Роквелла способ 112
Сварные соединения 222 225
Свободные (собственные) колебания 589,
590
Сдвиг 214
абсолютный 215
—, закон Гука 216—218
— относительный 215
—, потенциальная энергия деформации
218
, практические расчеты 219—226
, условие прочности 218
чистый 215
Сен-Венана принцип 95
Сечение, метод 44 48
— опасное 99, 275
774
Предметный указатель
Сжатие 109, 362
— внецентренное 362
Сила взаимодействия 44
внешняя 42
— внутренняя 44
— возмущающая 590
— инерции 139, 328
— критическая 562
— обобщенная 382
— объемная 43
— поверхностная 42
- поперечная 46, 56
— продольная 46
— сосредоточенная 43
— фиктивная 413
центробежная 489
Система канонических уравнений метода
сил 423, 425
— основная 419, 420
— пространственная 86
- — определимая 419
статически неопределимая 417
Сложное сопротивление 352
Слой нейтральный 260
Смятие 220
Совместность деформации 147
Соединения болтовые и заклепочные
219—222
— сварные 222—225
Сопротивление временное 102
— истинное 108
— материалов, задачи 13
— —, история 15, 16
— — , современные проблемы 742—747
Сортамент прокатной стали 748—756
Состояние напряженное линейное 174—
177
- — объемное 186—193
— — плоское 177—186
— «ластичное 207
— предельное 546
хрупкое 207
Спарник, напряжения 328
Сплошность тела 20
Способ Верещагина 403, 404, 408, 409
Срединная поверхность 489, 496, 512,
526
Срез 214
Сталь, характеристики механические 758,
759
Статический момент 21
Стержень 14
— большой кривизны 458 471
—, гибкость 570, 575
из разнородных материалов 349—351
— малой кривизны 417, 458
— переменного сечения 315
— призматический 259
равного сопротивления 322 ч
— сжато-изогнутый 359, 579
— составной 330
— ступенчатый 143, 3(7
Стрела провисания нити 157
Сужение местное 102
— остаточное относительное 105
— после разрыва 105
Твердость по Бринеллю 111, 112
— — Роквеллу 112
Текучесть 101, 102
Температура, влияние на механические
свойства 122, 123
Температурные напряжения 154, 481,
493, 494
Теорема взаимности работ и переме-
щений 394
— Кастильяно 412
— Лагранжа 412
о минимуме потенциальной энергии
415
— трех моментов 437
Теория оболочек 525
— пластин 496
— пластичности 200, 203, 204
Теория прочности (предельных состоя-
ний) 200
— — вторая 202
— — Мора 205
— — первая 201
— Писаренко и Лебедева 209
--- третья 203
---Фридмана 210
------ четвертая 204
— — Ягна 209
Траектории главных напряжений 280
Трещины 546. 727—741 '*
Угол закручивания 227—231
— — относительный (погонный) 229
— поворота сечения балки 289
— сдвига 215, 216, 229
Удар 690
поперечный (изгибающий) 708
— продольный (растягивающий, сжи-
мающий) 690
— скручивающий 705
Ударная вязкость 714
Удлинение абсолютное 96
— остаточное 104
относительное 96, 105
— упругое 101, 103
Упрочнение 102
Упругость 101
—, модуль 94, 95
, предел (см. Предел упругости)
Уравнение дифференциальное изгиба
289, 292
изогнутой оси стержня 291
— Лапласа для тонкостенных сосудов 528
www.vokb-la.spb.ni - Самолёт своими руками?!
Предметный указатель
775
— трех моментов 437
Уравнения канонические метода сил
423—425
Усилия внутренние 44
Условие прочности при изгибе 274
------— — с кручением 368
— — — кручеини 232
— — продольно-поперечном изгибе
586
------растяжении и сжатии 129, 130,
140
— — — сдвиге 219
— устойчивости 561
Усталость, предел 653, 658. 661
—, явление 652
Устойчивость сжатых стержней 560
Фактор концентрации 665
масштабный 668
Флаттер 592
Формула Верещагина 404
— Журавского 268
— Кастильяно 412
— Ламе 475
— Лапласа 528
— Мора (интеграл перемещений) 397
— Эйлера 562—565
— - , пределы применимости 569—572
Ясинского 571
Характеристика цикла 657. 658
Характеристики (геометрические) сече-
ний 21
— пластичности 105
Хрупкость 110
Центр изгиба (центр жесткости) 340
— тяжести сечеиия 23
Центральные оси 25, 28—30
Центробежный момент инерции 24
Циклы напряжений асимметричные (не-
симметричные) 657, 658
— — знакопеременные 653, 657, 658
— — знакопостоянные 658
— — пульсирующие 658
— — симметричные 657, 658
Цилиндр постоянный 471
— составной 478
— —, температурные напряжения 481
— толстостенный 471
тонкостенный 530. 535
Частота колебаний 594
Чернова линии 102
Число оборотов критическое 611, 612
Чистый изгиб 259—261
— сдвиг 215
Шарнир пластический 556
— промежуточный 54
Шатун, напряжения 329, 330
Шейка (сужение) 102
Эйлера формула 562—565
Эксцентриситет приложения силы 362
363
774
Сж<
— в
Сил
— Е
В
— В
— и
: Сопротивление
материалов
— с-
-ф
— Ц
Сис-
си
— О'
- п
— с
Сло.
Сло
Смя
Сов!
Сое,
21
— CI
Соп|
— и
— м
Учебник
Георгий Степанович Писаренко
Виктор Андреевич Агарев
Александр Львович Квитка
Виктор Григорьевич Попков
Эммануил Соломонович Уманский
Издание пятое,
переработанное и дополненное
Под редакцией академика АН УССР
Г. С. Писаренко
Редактор Г. В. Елисеева
Художественное оформление
и редактирование Ю П. Щепкина
Технический редактор А. И. Омоховская
Корректор Н. В. Волкова
Сор,
Coci
17
— п.
П|
Х|
Спа|
Силс
Спо<
Сре;
52
Сре?
Стал
75
Стат
Стер
б<
—. ।
— и:
— м
- ш
— П]
Р-
с>
Информ, бланк № 9477
Сдано в набор 30 06 84 Подп в печать 30 09 86
Формат 60х90*/|в. Бумага оф с N° 2 Лит гарн
Офс. печать Печ л 48,5 Кр.-отт 95.5 Уч изд. л.
46.09 Тираж 40 000 экз. Изд № 6841 Зак
5 872. Цена 2 р 40 к
Головное издательство издательского
объединения «Внща школах. 252054. Киев 54
ул Гоголевская. 7
Oiпечатано с пленок Головного предприятия
республиканского производственного
объединения «Полиграфкнига». 252057, Киев-57.
Довженко. 3 в Харьковской княжной фабрике
«Коммунист», Харьков, ул Энгельса. 11
wvw.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими руками?!