Introduction to Lie Algebras and representation theory

Введение в теорию алгебр Ли и их представлений

УДК 554.31 Федеральная Программа Книгоиздания России
ББК 22.144
Х18
Хамфрис Дж.
Х18 Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. / Перев. с
англ. Б.Р.Френкина. — М.: МЦНМО, 2003.— 216 с: ил.
ISBN 5-900916-79-0
Данная книга является одним из лучших пособий для изучения теории алгебр
Ли. В ней подробно излагаются основы теории: разрешимые алгебры, нильпотентные
алгебры, теоремы Ли и Энгеля, теория полупростых алгебр Ли, системы корней.
Обсуждаются классические результаты о построении полупростой алгебры Ли по ее
системе корней. Отдельные главы посвящены теории представлений и теории групп
и алгебр Шевалле.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников физико-
математических специальностей.
ББК 22.144
Translation from the English language edition: Introduction to Lie Algebras and Representa-
Representation Theory by James E. Humphreys.
Springer-Verlag is a company in the BertelsmannSpringer publisher group. All Rights Reserved.
ISBN 0-387-90053-5 (англ.) © 1978, Springer-Verlag New-York, Inc.
ISBN 3-540-90053-5 (англ.) All rights reserved.
ISBN 5-900916-79-0 © МЦНМО, перев. на русск. яз., 2003.

Оглавление
Предисловие редактора перевода 9
Предисловие 10
Глава I. Основные понятия 12
§ 1 Определения и первые примеры 12
1.1 Понятие алгебры Ли 12
1.2 Линейные алгебры Ли 13
1.3 Алгебры Ли дифференцирований 15
1.4 Абстрактные алгебры Ли 16
§2 Идеалы и гомоморфизмы 18
2.1 Идеалы 18
2.2 Гомоморфизмы и представления 19
2.3 Автоморфизмы 21
§ 3 Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли 23
3.1 Разрешимость 23
3.2 Нильпотентность 25
3.3 Доказательство теоремы Энгеля 26
Глава II. Полупростые алгебры Ли 29
§ 4 Теоремы Ли и Картана 29
4.1 Теорема Ли 29
4.2 Разложение Жордана—Шевалле 31
4.3 Критерий Картана 34
§5 Форма Киллинга 36
5.1 Критерий полупростоты 36
5.2 Простые идеалы алгебры L 38
5.3 Внутренние дифференцирования 39
5.4 Абстрактное разложение Жордана 39
§6 Полная приводимость представлений 40
6.1 Модули 41
6.2 Элемент Казимира представления 43
6.3 Теорема Вейля 44
6.4 Сохранение разложения Жордана 45
§7 Представления алгебры 5lB, F) 48
7.1 Веса и старшие векторы 48
7.2 Классификация неприводимых модулей 48
§ 8 Разложение на корневые подпространства 52

6 Оглавление
8.1 Максимальные торические подалгебры и корни 52
8.2 Централизатор подалгебры Н 53
8.3 Свойства ортогональности 54
8.4 Свойства целочисленности 56
8.5 Свойства рациональности. Выводы 57
Глава III. Системы корней 60
§9 Аксиоматика 60
9.1 Отражения в евклидовом пространстве 60
9.2 Системы корней 61
9.3 Примеры 62
9.4 Пары корней 63
§ 10 Простые корни и группа Вейля 65
10.1 Базисы и камеры Вейля 65
10.2 Леммы о простых корнях 68
10.3 Группа Вейля 69
10.4 Неприводимые системы корней 70
§ 11 Классификация 74
11.1 Матрица Картана для Ф 74
11.2 Графы Кокстера и схемы Дынкина 75
11.3 Неприводимые компоненты 76
11.4 Теорема классификации 77
§ 12 Построение систем корней и автоморфизмов 82
12.1 Построение типов А—G 83
12.2 Автоморфизмы системы Ф 85
§ 13 Абстрактная теория весов 87
13.1 Веса 87
13.2 Доминантные веса 89
13.3 Вес 8 89
13.4 Насыщенные множества весов 90
Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности 93
§ 14 Теорема об изоморфизме 93
14.1 Редукция к случаю простой алгебры 93
14.2 Теорема об изоморфизме 94
14.3 Автоморфизмы 97
§ 15 Подалгебры Картана 99
15.1 Разложение алгебры L относительно ad x 99
15.2 Подалгебры Энгеля 100
15.3 Картановские подалгебры 101
15.4 Функториальные свойства 102

Оглавление 7
§ 16 Теоремы о сопряженности 103
16.1 Группа g(L) 103
16.2 Сопряженность картановских подалгебр (разрешимый
случай 104
16.3 Борелевские подалгебры 105
16.4 Сопряженность борелевских подалгебр 106
16.5 Группы автоморфизмов 109
Глава V. Теоремы существования 113
§ 17 Универсальные обертывающие алгебры 113
17.1 Тензорные и симметрические алгебры 113
17.2 Построение алгебры ii(L) 114
17.3 Теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витта и ее следствия . . 115
17.4 Доказательство теоремы ПБВ 117
17.5 Свободные алгебры Ли 119
§ 18 Образующие и соотношения 120
18.1 Определяющие соотношения в L 121
18.2 Следствия из соотношений (S1)—(S3) 121
18.3 Теорема Серра 124
18.4 Применение: теоремы существования и единственности . 126
§ 19 Простые алгебры 128
19.1 Критерий полупростоты 128
19.2 Классические алгебры 129
19.3 Алгебра G2 129
Глава VI. Теория представлений 134
§20 Веса и старшие векторы 134
20.1 Весовые подпространства 134
20.2 Стандартные циклические модули 135
20.3 Теоремы существования и единственности 137
§21 Конечномерные модули 140
21.1 Необходимое условие конечномерности 140
21.2 Достаточное условие конечномерности 141
21.3 Серии и диаграммы весов 143
21.4 Образующие и соотношения для V(k) 143
§22 Формула кратностей 146
22.1 Универсальный элемент Казимира 146
22.2 Следы на весовых подпространствах 148
22.3 Формула Фрейденталя 150
22.4 Примеры 152
22.5 Формальные характеры 154

8 Оглавление
§23 Характеры 156
23.1 Инвариантные полиномиальные функции 156
23.2 Стандартные циклические модули и характеры 159
23.3 Теорема Хариш-Чандры 160
§24 Формулы Вейля, Костанта и Стейнберга 166
24.1 Некоторые функции на Я* 167
24.2 Формула кратностей Костанта 168
24.3 Формулы Вейля 170
24.4 Формула Стейнберга 172
Глава VII. Алгебры и группы Шевалле 178
§25 Базис Шевалле в L 178
25.1 Пары корней 178
25.2 Существование базиса Шевалле 179
25.3 Вопросы единственности 181
25.4 Редукция по простому модулю 182
25.5 Построение групп Шевалле (присоединенный тип) 183
§26 Теорема Костанта 185
26.1 Одна комбинаторная лемма 185
26.2 Частный случай: 5lB, F) 186
26.3 Леммы о коммутировании 187
26.4 Доказательство теоремы Костанта 189
§27 Допустимые решетки 191
27.1 Существование допустимых решеток 191
27.2 Стабилизатор допустимой решетки 193
27.3 Изменение допустимой решетки 195
27.4 Переход к произвольному полю 196
27.5 Обзор родственных результатов 197
Литература 200
Послесловие 206
Предметный указатель 209
Список обозначений 212

Предисловие редактора перевода
Предлагаемая вниманию читателя книга Дж. Хамфриса посвящена
полупростым комплексным алгебрам Ли и их конечномерным линейным
представлениям. Она продолжает традицию книг Н. Джекобсона «Алгебры
Ли» и Ж.-П. Серра «Полупростые комплексные алгебры Ли» (перевод ко-
которой вошел в книгу Ж.-П. Серра «Алгебры Ли и группы Ли»). Согласно
этой традиции, алгебры Ли рассматриваются как первичный и самоценный
объект и их теория строится без использования групп Ли или алгебраи-
алгебраических групп. Читатель, не желающий отягощать себя изучением теории
групп Ли и алгебраической геометрии, будет чувствовать себя очень ком-
комфортно, тем более что автор об этом специально позаботился: каждый шаг
мотивирован, изложение носит подробный характер и снабжено хорошо
продуманными примерами и упражнениями. Дж. Хамфрис известен у нас
по переводам двух других его книг «Линейные алгебраические группы» и
«Арифметические группы», также отмеченных высокими методическими
достоинствами.
От книги Н. Джекобсона настоящая книга отличается более современ-
современным характером изложения, а от книги Ж.-П. Серра — большей полнотой
и обстоятельностью. Для специалиста особый интерес могут представить
разделы, посвященные центру обертывающей алгебры и теории предста-
представлений. Наряду с формулой Вейля для характеров, доказываются формулы
Фрейденталя и Костанта для кратностей весов, формулы Стейнберга и
Брауэра—Климыка для кратностей неприводимых компонент в тензорном
произведении представлений. Теория конечномерных представлений изла-
излагается в контексте более общих представлений со старшим вектором.
Э. Б. Винберг

Посвящается памяти моих племянников
Уилларда Чарлза Хамфриса III
и Томаса Эдварда Хамфриса
Предисловие
Назначение этой книги — ввести читателя в теорию полупростых ал-
алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, с особым
упором на их представления. Предполагается хорошее знание линейной
алгебры (включая собственные значения, билинейные формы, евклидовы
пространства и тензорные произведения векторных пространств), так же
как и некоторое знакомство с методами абстрактной алгебры. Первые че-
четыре главы вполне доступны сильному студенту; однако остальные три
предполагают несколько большую подготовленность.
Будучи полезной для многих разделов математики и физики, теория
полупростых алгебр Ли привлекательна и сама по себе, сочетая опреде-
определенную глубину с достаточной завершенностью основных результатов. За
десятилетие, прошедшее после появления книги Джекобсона, появились
новые достижения даже в классических разделах теории. Я попытался
представить здесь некоторые из них, сделав предмет более доступным для
неспециалистов. Для специалиста нужно отметить следующее.
1. Широко применяется разложение линейных преобразований Жор-
дана — Шевалле с использованием торических подалгебр, заменяющих в
полупростом случае более традиционные картановские подалгебры.
2. Теорема сопряженности для картановских подалгебр доказывается
(следуя Уинтеру и Мостову) элементарными методами теории алгебр Ли
без применения алгебраической геометрии.
3. Теорема об изоморфизме вначале доказана элементарным спосо-
способом (теорема 14.2), а затем получена вновь как следствие теоремы Серра
(п. 18.3), которая дает описание в терминах образующих и соотношений.
4. В тексте и упражнениях с самого начала уделяется большое внима-
внимание простым алгебрам типов А, В, С, D.
5. Системы корней вводятся аксиоматически (гл. III) вместе с элемен-
элементами теории весов.
6. В §§ 23 и 24 представлен концептуальный подход к формуле харак-
характеров Вейля, основанный на теории «характеров» Хариш-Чандры и не за-
зависящий от формулы кратностей Фрейденталя (п. 22.3). Мы основывались
на диссертации Д.-Н. Верма и более поздней работе И. Н. Бернштейна,
И. М. Гельфанда и С. И. Гельфанда.
7. Основные конструкции в теории групп Шевалле в гл. VII следуют
лекциям Р. Стейнберга.
Мне пришлось опустить многие стандартные темы (большинство из ко-
которых, как мне представляется, больше подходят для продвинутого курса),

Предисловие 11
например когомологии, теоремы Леви и Мальцева, теоремы Адо и Ива-
савы, классификацию алгебр над не алгебраически замкнутыми полями,
алгебры Ли в случае простой характеристики. Надеюсь, что я побудил
читателя изучить эти темы по книгам и статьям, упомянутым в библиогра-
библиографии, в особенности таким, как Jacobson [1], Bourbaki [1], [2], Winter [1],
Seligman [1].
Несколько слов о технической стороне. Терминология в основном тра-
диционна, а обозначения сведены к минимальному набору, чтобы читателю
легче было наводить справки в предыдущих и последующих частях текста.
После ознакомления с гл. I—III все остальные можно читать почти в любом
порядке, если читатель готов прорабатывать немногочисленные ссылки на
другие разделы (имеются следующие исключения: глава VII зависит от
§20 и §21, а глава VI — от §17). Ссылка на теорему 14.2 относится к
(единственной) теореме в пункте 14.2 (в § 14). Некоторые параграфы за-
завершаются замечаниями, в которых указаны нестандартные источники или
материал для дальнейшего чтения, но я не пытался дать историю каждой
теоремы (исторические замечания см. в Bourbaki [2] или Freudenthal —
de Vries [1]). Список литературы в основном состоит из работ, на которые
имеются явные ссылки; более обширную библиографию см. в Jacobson [1],
Seligman [1]. В книгу включено около 240 упражнений всех степеней труд-
трудности; на некоторые, наиболее легкие, опирается основной текст.
Эта книга выросла из лекций, которые я читал на семинаре по теории
алгебраических групп, организованном Национальным научным фондом в
Баудойнском колледже в 1968 г.; мое тогдашнее намерение состояло в том,
чтобы дополнить блестящие, но неполные записки лекций Ж.-П. Серра
[2]. Очевидны и другие мои литературные долги (книгам и запискам лек-
лекций, авторами которых являются Н.Бурбаки, Н.Джекобсон, Р. Стейнберг,
Д. Дж. Уинтер и др.). Менее очевиден мой личный долг моим учителям
Джорджу Селигмэну и Натану Джекобсону, которые первыми пробудили
мой интерес к алгебрам Ли. Я признателен Дэвиду Дж. Уинтеру, который
позволил мне ознакомиться с его книгой до публикации, Роберту Л. Уилсо-
ну за многочисленные полезные замечания по первоначальному варианту
книги, Конни Энгл за помощь в подготовке окончательного варианта и
Майклу Дж.Де Райзу за моральную поддержку. С благодарностью отме-
отмечаю финансовую поддержку со стороны Курантовского института матема-
математических наук и Национального научного фонда.
Дж. Э. Хамфрис
Нью-Йорк, 4 апреля 1972 г.

Глава I
Основные понятия
§1. Определения и первые примеры
1.1. Понятие алгебры Ли. Алгебры Ли появляются «в природе» как
векторные пространства линейных преобразований, снабженные новой
операцией, которая в общем случае не ассоциативна и не коммутативна:
[х, у] = ху-ух
(операции в правой части этого равенства — обычные действия над ли-
линейными преобразованиями). Алгебраические системы такого рода можно
описать абстрактно при помощи нескольких аксиом.
Определение. Векторное пространство L над полем F с операцией
L х L^L, обозначаемой (х, у) \-^[х, у] и называемой скобкой или комму-
коммутатором элементов х и у, называется алгеброй Ли над полем F, если
выполняются следующие аксиомы:
(L1) операция коммутирования билинейна;
(L2) [х, х] = 0 для всех х Е L;
(L3) [х, [у, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 (x, y,zeL).
Аксиома (L3) называется тождеством Якоби.
Заметим, что из аксиом (L1) и (L2), примененных к элементу [х + у,
х + у], следует соотношение антикоммутативности:
(L2')[x,y] = -[y,x].
(Обратно, если char F/2, то очевидным образом из (L2') следует (L2).)
Алгебры Ли L и L' над полем F будем называть изоморфными, если
существует изоморфизм векторных пространств ср: L—>//, удовлетворяю-
удовлетворяющий соотношению ср([х, у]) =[ср(х), ср(г/)] для всех х, у ? L (и тогда ср назы-
называется изоморфизмом алгебр Ли). Также очевидно определение подалге-
подалгебры в L: подпространство К пространства L называется подалгеброй, если
для х, уеК всегда выполнено условие [х, у]еК. Тогда само подпростран-
подпространство К также является алгеброй Ли относительно исходных операций.
Заметим, что любой ненулевой элемент х Е L определяет одномерную под-
подалгебру Fx, умножение в которой тривиально в силу условия (L2).
В этой книге мы будем рассматривать исключительно алгебры Ли,
векторное пространство которых конечномерно над полем F. Это
всегда будет подразумеваться, если не указано противное. Однако

§ 1. Определения а первые примеры 13
отметим сразу, что некоторые бесконечномерные векторные пространства
и ассоциативные алгебры над F будут играть важнейшую роль при изуче-
изучении представлений (гл. V—VII). Отметим также, прежде чем переходить
к конкретным примерам, что аксиомы алгебр Ли вполне осмысленны и в
более общем случае модулей над коммутативным кольцом, но мы не будем
здесь развивать этот подход.
1.2. Линейные алгебры Ли. Если V—конечномерное векторное про-
пространство над F, то End V будет обозначать множество линейных преобра-
преобразований V^V. Оно имеет размерность п2 как векторное пространство
над F (где n = dim V) и является кольцом с естественной операцией умно-
умножения. Определим новую операцию [х, у] = ху — ух, называемую скобкой
элементов х и у. С этой операцией End V становится алгеброй Ли над F:
аксиомы (L1) и (L2) очевидны, тогда как проверка аксиомы (L3) требует
небольшого вычисления (рекомендуем читателю его сейчас и произвести).
Чтобы отличать эту новую алгебраическую структуру от прежней, ассоци-
ассоциативной, мы обозначим через gl(V) пространство End V, рассматриваемое
как алгебра Ли. Эту алгебру Ли назовем полной линейной алгеброй
(поскольку она тесно связана с полной линейной группой GLA/), со-
состоящей из всех обратимых эндоморфизмов пространства V). Мы будем
употреблять обозначение $l(V) и в случае бесконечномерного простран-
пространства V без дальнейших пояснений.
Любая подалгебра в gl(V) называется линейной алгеброй Ли. Чита-
Читатель, который предпочитает иметь дело с матрицами, а не с линейными пре-
преобразованиями, мог бы фиксировать базис в пространстве V, тем самым
отождествив &l(V) с множеством всех п х ^-матриц над F, которое обозна-
обозначается $l(n, F). Эта процедура безвредна и очень удобна для вычислений
в явном виде. Выпишем для последующих ссылок таблицу умножения в
алгебре gl(n, F) в стандартном базисе, состоящем из матриц вц (у кото-
которых в позиции (/, /) стоит 1, а в остальных 0). Поскольку eijeki = bjkeih мы
получаем, что
[eih ekl\ =
Заметим, что все матричные элементы равны ±1 или 0; таким образом, все
они лежат в простом подполе поля F.
Теперь рассмотрим некоторые другие примеры, которые наряду с gi(V)
играют основную роль в этой книге. Они распадаются на четыре се-
семейства А*, В*, Q, D^ (О 1) и называются классическими алгебрами
(поскольку соответствуют некоторым из классических линейных групп
Ли). В примерах В^—D^ будем считать, что char F^2.
А^: Пусть dim V = ?-\-1. Множество эндоморфизмов пространства V с
нулевым следом обозначим 5l(V) или $[(?+ 1, F). (Напомним, что след ма-
матрицы— это сумма ее диагональных элементов; след не зависит от выбора

14 Глава I. Основные понятия
базиса в пространстве V и потому определен для его эндоморфизма.) По-
Поскольку Тг(хг/) = Тг(г/х) и Тг(х-\-у) = Тг(х) + Тг(г/), множество 5l(V) являет-
является подалгеброй в &l(V). Она называется специальной линейной алгеброй,
поскольку связана со специальной линейной группой SLA/), состоящей
из эндоморфизмов с определителем 1. Какова ее размерность? С одной
стороны, $l(V) — собственная подалгебра в gl(l^), поэтому ее размерность
не больше (? + IJ — 1. С другой стороны, такое количество линейно не-
независимых матриц с нулевым следом можно указать явно: возьмем все ец
(///), а также все ht = еи — ei+u+{ A </</); в общей сложности получим
? + (? + IJ — (? + 1) матриц. Этот базис мы всегда будем рассматривать как
стандартный базис в sl(?+ I, F).
Q: Пусть dim V = 2?, и пусть (v{, ..., v2i) — базис. Определим не-
невырожденную кососимметрическую форму / на пространстве V посред-
посредством матрицы s=(r i J. (Можно показать, что невырожденная били-
билинейная форма, удовлетворяющая условию f(v, w) = —f(w, v), существует
лишь в четной размерности.) Симплектическая алгебра, обозначаемая
sp(V) или spB?, F), по определению состоит из всех эндоморфизмов х
пространства V, удовлетворяющих условию f(x(v), w) = —f(v, x(w)). Чи-
Читатель легко может проверить, что множество 5рA/) замкнуто относи-
относительно коммутатора. На матричном языке условие симплектичности для
т j (т, п, р, qe$l(?, F)) состоит в том, что sx = — xfs (здесь xt —
матрица, транспонированная к х), т.е. что п1 = п, pt =p и mt = —q. (Из
последнего равенства следует, что Тг(х) = 0.) Теперь легко найти базис в
spB?, F). Возьмем диагональные матрицы еа — e?+i?+i (\^i^?), общим
количеством ?. Добавим к ним все матрицы ец — ег+1Л+1 A < 1ф] ^?), об-
общим количеством ?2 — ?. Подматрице п сопоставим элементы базиса eutYl
A ^ / ^ ?) и eifi+j + вц+i A ^ / < / ^ ?), общим количеством ? + -?(? — 1), и
аналогично для р. Суммируя, получаем dim 5pB^, F) =2?2 + ?.
В?: Пусть размерность dim V = 2?+\ нечетна, а /—невырожденная
/1 0 0\
симметрическая билинейная форма на V с матрицей 5=0 0 h . Ор-
\0 U 0/
тогональная алгебра o(V) или оB?-\-\, F) состоит всех эндоморфизмов
пространства V, удовлетворяющих условию f(x(v), w) = — f(v, x(w)) (то
же требование, что и в случае Q). Если мы разобьем х на блоки так
/а Ьх Ь2\
же, как s, скажем, х= I с\ т п \, то равенство sx = — xfs превратится
\С2 р qj
в следующую совокупность условий: а = 0, ct = —Ь*2, с2 = —b\, q = —m*,
пг = —п, рг = —р. (Как и в случае Q, отсюда вытекает, что Тг(х) = 0.)
=(

§ 1. Определения а первые примеры 15
В качестве базисных элементов возьмем, во-первых, ? диагональных
матриц ец — е?+ц+1 B^i^?+\). Добавим 2? матриц, в которых нену-
ненулевыми являются только первая строка и первый столбец: е1;^_и+1 — ?;+и
и eu+i — e^_M+u A </<?). Подматрице q = —mt сопоставим (как и в
случае Q) матрицы ei+lj+i — e?+j+l?+i+{ (I ^i^j^?). Подматрице п со-
сопоставим ei+xi+j+x — ej+xi+i+x (\^l<j^?), а подматрице р—матрицы
ei+i+x,j+i — ^j+?+i,i+i (I ^j<i^?)- Общее количество базисных элементов
равно 2?2 -\-?. (Отметим, что такова же была размерность алгебры Q.)
D^: Здесь мы получим другую ортогональную алгебру. Она строится
так же, как и Вг, с теми отличиями, что размерность dim V = 2? четна, а
s имеет более простои вид К ^ J. В качестве упражнения предоставляем
читателю построить базис и проверить, что dim оB?, F) =2?2 —? (упраж-
(упражнение 8).
В заключение этого пункта упомянем еще несколько подалгебр в
gl(n, F), которые будут играть для нас важную вспомогательную роль.
Пусть t(n, F) — множество верхнетреугольных матриц (а/у), а/у = 0
при />/. Далее, пусть п(п, F)—множество строго верхнетреуголь-
верхнетреугольных матриц (uij = O при / >/). Наконец, пусть д(п, F) — множество всех
диагональных матриц. Тривиально проверяется, что каждое их этих
множеств замкнуто относительно коммутирования. Заметим также, что
i(n, F)=d(n, F)-\-n(n, F) (прямая сумма векторных пространств), причем
[д(п, F), n(n, F)] = n(n, F), а значит [t(n, F), t(n, F)] = n(n, F), см. упражне-
упражнение 5. (Если Я, К — подалгебры в L, то [Я, К] обозначает подпространство
в L, натянутое на коммутаторы [х, у], х Е Я, у Е К.)
1.3. Алгебры Ли дифференцирований. Некоторые линейные алге-
алгебры Ли возникают наиболее естественно при рассмотрении дифферен-
дифференцирований алгебр. Под F-алгеброй (не обязательно ассоциативной) бу-
будем понимать просто векторное пространство 21 над F, наделенное би-
билинейной операцией 21 х 21 —> 21, обозначение которой обычно опускается
(исключая случай алгебры Ли, когда используются квадратные скобки).
Дифференцированием в алгебре 21 мы называем линейное отображе-
отображение 8: 21^21, удовлетворяющее обычному правилу дифференцирования
произведения Ъ(аЬ) = аЪ(Ь) -\-Ъ(а)Ь. Легко проверяется, что совокупность
Der 21 всех дифференцирований алгебры 21 является векторным подпро-
подпространством в End 21. Читателю следует также проверить, что коммутатор
[8, 8;] двух дифференцирований снова является дифференцированием (хотя
их обычное произведение не всегда дифференцирование, см. упражнение
11). Таким образом, Der 21—подалгебра в ?jlBl).
Поскольку алгебра Ли L является F-алгеброй в указанном смы-
смысле, определена алгебра Der L. Некоторые дифференцирования вполне
естественно возникают следующим образом. Если х Е L, то отображение

16 Глава I. Основные понятия
у\-^[х, у] является эндоморфизмом пространства L, который мы обозна-
обозначим ad х. В действительности ad x Е Der L, поскольку можно переписать
тождество Якоби (с учетом (L2')) в следующем виде: [х, [у, z]] = [[x, у], z] +
+ [у, [х, г]]. Дифференцирования такого вида называются внутренними,
а все остальные — внешними. Разумеется, вполне возможно, что ad x = 0
при х ф 0: например, так будет в любой одномерной алгебре Ли. Отобра-
Отображение L —> Der L, имеющее вид х ь-> ad x, называется присоединенным
представлением алгебры L; во всем последующем изложении оно играет
решающую роль.
Иногда нам придется рассматривать х одновременно как элемент ал-
алгебры L и ее подалгебры К. Чтобы избежать путаницы, для действия
элемента х на L и на К будут применяться обозначения adL x и ad^ x со-
соответственно. Например, если х — диагональная матрица, то adO(rtF)(x) = 0,
тогда как adfl[(rt)F)(x) не обязано быть нулем.
1.4. Абстрактные алгебры Ли. Мы рассмотрели некоторые есте-
естественные примеры линейных алгебр Ли. Известно, что на самом деле
любая (конечномерная) алгебра Ли изоморфна некоторой линейной алге-
алгебре Ли (теоремы Адо и Ивасавы). Здесь это утверждение не доказывается
(см. Jacobson [1], гл. VI, или Bourbaki [1]); тем не менее уже на раннем
этапе будет очевидно, что этот результат верен во всех интересующих нас
случаях.
Однако иногда бывает желательно рассматривать алгебры Ли аб-
абстрактно. Например, если L — произвольное конечномерное векторное
пространство над F, то можно превратить его в алгебру Ли, положив
[х, у] = 0 при всех х, y^L. Такая алгебра Ли с тривиальным умножением
называется абелевой (поскольку в линейном случае равенство [х, у] = 0
как раз означает, что х и у коммутируют). Если L — алгебра Ли с базисом
Х\, ..., хп, то очевидно, что всю ее таблицу умножения можно восстано-
восстановить по структурным константам а\-р которые входят в выражения
п
[xh Xj]=^2 aktjXk. Более того, константы для которых i^j, восстанавли-
k=\
ваются по остальным благодаря свойствам (L2), (L2'). Обратно, можно с
самого начала задать абстрактную алгебру Ли множеством ее структурных
констант. Естественно, подойдет не всякое множество скаляров {а^}, но
минутное размышление показывает, что достаточно наложить «очевидные»
тождества, а именно, вытекающие из (L2) и (L3):
4 = о=4 + 4; $>?</+4а%+аЮ = °-
Реально нам не потребуется строить алгебры Ли столь искусственным пу-
путем. Но в качестве применения абстрактного подхода мы можем найти
(с точностью до изоморфизма) все алгебры Ли размерности не выше чем 2.

§ 1. Определения а первые примеры 17
В размерности 1 имеется единственный базисный вектор х с таблицей
умножения [х, х] = 0 (см. (L2)). В случае размерности 2 выберем в L базис
х, у. Ясно, что все произведения в алгебре L пропорциональны [х, у]. Если
все они равны 0, то алгебра L абелева. В противном случае можно заменить
х в базисе на любой вектор, кратный прежнему [х, у], а в качестве у взять
любой вектор, независимый от нового вектора х. Тогда [х, у] = ах (а^О).
Заменив у на а~{у, получаем в итоге [х, у] = х. Таким образом, существует
не более одной неабелевой двумерной алгебры Ли (читателю следует про-
проверить, что равенство [х, у] = х действительно определяет алгебру Ли).
Упражнения
1. Пусть L совпадает с вещественным векторным пространством R3.
При х, у Е L положим [х, у] равным векторному произведению х х у. Про-
Проверьте, что L является алгеброй Ли. Выпишите ее структурные константы
относительно стандартного базиса в R3.
2. Проверьте, что следующие уравнения, вместе с вытекающими из
аксиом (L1) и (L2), определяют структуру алгебры Ли на трехмерном век-
векторном пространстве с базисом (х, у, z)\ [x, y] = z, [x, z] = y, [у, z] = 0.
о. 1 густь * = ( о oJ'^=(q _i)'^=(i и) — упорядоченный базис в
5lB, F). Вычислите матрицы операторов ad x, ad h, ad у в этом базисе.
4. Найдите линейную алгебру Ли, изоморфную неабелевой двумер-
двумерной алгебре, построенной в п. 1.4. [Указание: рассмотрите присоединенное
представление.]
5. Проверьте все утверждения, сделанные в п. 1.2 относительно t(n, F),
д(п, F), п(п, F), и вычислите размерность каждой алгебры, найдя ее базис.
6. Пусть элемент хЕ$l(n, F) имеет п различных собственных зна-
значений аь ..., ап в поле F. Докажите, что собственные значения оператора
ad х — это в точности п2 скаляров щ — а1 A < /, j^ri), разумеется, не обя-
обязательно различных.
7. Пусть s(n, F) обозначает совокупность скалярных матриц (т. е.
равных единичной матрице, умноженной на скаляр) в алгебре &l(n, F). До-
Докажите, что если характеристика char F равна нулю или простому числу,
не делящему п, то gl(n, F)=sl(n, F)-\-s(n, F) (прямая сумма векторных
пространств), где [s(n, F), gi(n, F)] = 0.
8. Проверьте сделанное в тексте утверждение о размерности алге-
алгебры D^.
9. Покажите, что при char F = 0 каждая из классических алгебр
L = A?, Вг, Q, D^ равняется [L, L]. (Это снова показывает, что каждая
из этих алгебр состоит из матриц с нулевым следом.)
10. При малых значениях параметра ? между некоторыми из класси-
классических алгебр обнаруживаются изоморфизмы. Покажите, что Аь Вь С{

18 Глава I. Основные понятия
изоморфны друг другу, тогда как D{ — одномерная алгебра Ли. Покажите,
что алгебра В2 изоморфна С2, a D3 изоморфна А3. Что можно сказать о D2?
11. Проверьте, что коммутатор двух дифференцирований F-алгебры
снова является дифференцированием, а обычное произведение — не всегда.
12. Пусть L — алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем, xeL.
Докажите, что подпространство в L, порожденное всеми собственными
векторами оператора ad x, является подалгеброй.
§2. Идеалы и гомоморфизмы
2.1. Идеалы. Подпространство / алгебры Ли L называется идеа-
идеалом в L, если из того, что х Е L, у Е / следует, что [х, у] Е /. (Так как
[х, у] = —[у, х], это условие можно записать как [у, х]е1.) В теории алгебр
Ли идеалы играют роль, аналогичную роли нормальных подгрупп в теории
групп или двусторонних идеалов в теории колец, — они появляются как
ядра гомоморфизмов (см. п. 2.2).
Очевидно, что 0 (подпространство, состоящее только из нулевого век-
вектора) и сама алгебра L являются идеалами в L. Менее тривиальный при-
пример — центр Z(L) = {z е L: [х, z] = 0 для всех х Е L}. Из тождества Якоби
немедленно следует, что Z(L) действительно является идеалом. Отметим,
что алгебра L абелева, если и только если Z(L) =L. Другой важный при-
пример — производная алгебра, обозначаемая через [L, L] и аналогичная
коммутанту в группе. Она состоит из всех линейных комбинаций комму-
коммутаторов [х, у] и, очевидно, является идеалом.
Ясно, что алгебра L абелева в том и только том случае, когда [L, L] = 0.
К другому крайнему случаю, когда L = [L, L], приводит рассмотрение та-
таблицы умножения алгебры L=5l(n, F) из п. 1.2 (где пф2 при char F = 2)
или любой другой классической линейной алгебры Ли (упражнение 1.9).
Если /, /—два идеала в алгебре Ли L, то I + J = {х + у; х е I, у е J}
также является идеалом. Аналогично идеалом является и [/, /] = {^ xiHi\
Xi e/, yi Е/}. Производная алгебра [L, L] — частный случай этой конструк-
конструкции.
Рассмотрение идеалов алгебры Ли — это естественный способ анализа
ее структуры. Если в алгебре L нет идеалов, кроме нее самой и нуля, при-
причем [L, LJ/O, то L называется простой алгеброй. Условие [L, L]/0 (т.е.
что алгебра L неабелева) наложено для того, чтобы не придавать излиш-
излишнее значение одномерной алгебре. Ясно, что если L — простая алгебра, то
Пример. Пусть L = slB, F), char F^2. Выберем стандартный базис в L
в виде трех матриц (см. п. 1.2)
/О 1\ /0 0\ , /1 О

§2. Идеалы и гомоморфизмы 19
Умножение в алгебре полностью определяется равенствами
[x,y] = h, [h,x] = 2x, [h,y] = -2y.
(Отметим, что х, у, h — собственные векторы оператора ad h, соответству-
соответствующие собственным значениям 2, —2, 0. Так как char F/2, эти собственные
значения различны.) Пусть / — ненулевой идеал в L и ax-\-by -\-ch — про-
произвольный ненулевой элемент в /. Дважды применяя к этому элементу
оператор ad х, получаем — 2Ьх Е /, а применяя дважды оператор ad у, по-
получаем —2ау Е /. Поэтому если а или Ь отлично от нуля, то / содержит у
или х (char F/2) и, значит, I = L. С другой стороны, если а = Ь = 0, то
Oy^chel и поэтому hel, что снова влечет влечет I = L. Мы заключаем,
что L — простая алгебра.
В случае когда алгебра Ли L не проста (и не одномерна), можно
профакторизовать ее по ненулевому собственному идеалу /, получив
алгебру Ли меньшей размерности. Конструкция факторалгебры L/I
(где / — идеал в L) формально та же самая, что и для факторкольца:
как векторное пространство, L/I совпадает с факторпространством, а
лиево умножение определяется формулой [х +1, у + 1] = [х, у] +1. По-
Последнее определение корректно. В самом деле, из равенств х-\-1 = х' + /,
у + / = у' + / вытекает, что х'=х + и, и El, и y'=y + v, veI. Отсюда
[х', у'] = [х, у] + ([и, у] + [х, v] + [u, v]), и потому [х\ у'] + 1 = [х, у] + 1, так
как все члены в скобках принадлежат идеалу /.
Далее нам понадобится ряд связанных между собой понятий, анало-
аналогичных тем, которые возникают в теории групп. Нормализатор подал-
подалгебры (и вообще подпространства) К алгебры L определяется услови-
условием NL(K) = {х Е L: [х, /С] С/С}. Ввиду тождества Якоби NL(K) является
подалгеброй в L; ее можно описать как наибольшую подалгебру в L, в
которой К является идеалом (наиболее важен случай, когда К является
подалгеброй в L). Если K = NL(K), то подалгебра К называется само-
самонормализуемой; некоторые важные примеры таких подалгебр возникнут
ниже. Централизатором подмножества X в L называется множество
CL(X) = {xEL: [х, Х] = 0}. Опять-таки из тождества Якоби следует, что
CL(X) является подалгеброй в L. В частности, CL(L) = Z(L).
2.2. Гомоморфизмы и представления. Следующее определение не
будет неожиданным. Линейное преобразование ср: L^L' (где L и L' — ал-
алгебры Ли над F) называется гомоморфизмом, если ср([х, у]) =[ср(х), ср(*/)]
при всех х, у Е L. Гомоморфизм ср называется мономорфизмом при
Кег ср = 0, эпиморфизмом при Im ср = L' и изоморфизмом (см. так-
также п. 1.1), если ср одновременно моно- и эпиморфизм. Первое инте-
интересное наблюдение состоит в том, что Кег ср является идеалом
в L: в самом деле, если ср(х)=О, a yEL — произвольный элемент, то
ср([х, у])=[у(х), ср(г/)] = О. Также несложно проверить, что Im ср является

20 Глава I. Основные понятия
подалгеброй в Е'. Как и в других алгебраических теориях, существует есте-
естественное взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами и иде-
идеалами: гомоморфизму ф соответствует идеал Кег ср, а идеалу /— канониче-
каноническое отображение к: L^L/l, х^х + /. Проверка стандартных теорем о
гомоморфизмах предоставляется читателю в качестве легкого упражнения.
Предложение, (а) Если ср: Е^Е'— гомоморфизм алгебр Ли, то
L/Ker ср = Im ф. Если I — произвольный идеал в Е, содержащийся в
Кег ф, то существует такой единственный гомоморфизм ф: L//—>//,
такой что следующая диаграмма коммутативна (к—каноническое
отображение):
(b) Если I и J — два таких идеала в Е, что I с J, то J/I — идеал
в Е/l, а алгебра (E/l)/(j/l) естественно изоморфна факторалге-
бре E/J.
(c) Пусть I, J— идеалы в Е. Тогда существует естественный изо-
изоморфизм между идеалами (/ + /)// и //(/П/).
Представлением алгебры Ли Е называется гомоморфизм ф: E^gi(V)
(где V — векторное пространство над F). Хотя мы предполагаем, что алге-
алгебра Е конечномерна, полезно рассматривать пространства V произвольной
размерности: алгебра $l(V) определена в любом случае. Но пока надо
иметь в виду только один важный пример — присоединенное представление
ad: E^gl(E), которое было введено в п. 1.3. Оно сопоставляет элементу х
оператор ad х, где ad х(у) =[х, у]. (Образ отображения ad содержится в
Der Ecgi(E), но в данный момент для нас это не важно.) Очевидно, что
ad — линейное отображение. Проверим, что оно сохраняет коммутатор:
[ad х, ad y](z) = ad x ad y(z) — ad у ad x(z) =
= ad x([y, z]) - ad y([x, z]) = [x, [y, z]] - [y, [x, z]] =
= [х,[у, г]] + [[х, г], y]= (L2')
= [[x,y],z]= (L3)
= ad[x,
Что является ядром эндоморфизма ad? Оно состоит из всех таких эле-
элементов хGL, для которых ad x = 0, т.е. [х, у] = 0 при всех у^Е. Итак,
Кег ad = Z(L). Отсюда уже вытекает интересное следствие: если алгебра Е
проста, то Z(E) =0 и отображение ad: E^gi(E) является мономорфизмом.

§2. Идеалы и гомоморфизмы 21
Это означает, что любая простая алгебра Ли изоморфна линейной ал-
алгебре Ли.
2.3. Автоморфизмы. Автоморфизм алгебры Ли L — это ее изомор-
изоморфизм на себя. Группа всех автоморфизмов обозначается Aut L. Важные
примеры автоморфизмов возникают в случае, когда L — линейная алгебра
Ли: Lcgi(V). Если ge GLA/) —обратимый эндоморфизм пространства V,
причем gLg~{=L, то непосредственно проверяется, что отображение
x\-^gxg~{ является автоморфизмом алгебры L. В частности, если L = #l(V)
или даже 5l(V), то условие gLg~{ =L автоматически выполнено и, тем са-
самым, мы получаем большой набор автоморфизмов (см. упражнение 12).
Рассмотрим теперь случай char F = 0. Предположим, что для элемента
х е L оператор ad х нильпотентен, т. е. (ad x)k = 0 при некотором k > 0.
Тогда разложение экспоненты линейного преобразования в ряд над по-
полем С имеет смысл и над полем F, так как этот ряд будет содержать
конечное число членов:
Мы утверждаем, что exp(ad x) Е Aut L. Более того, результат остается вер-
верным, если ad x заменить на произвольное нильпотентное дифференциро-
дифференцирование 8 в L. Для доказательства применим знакомое правило Лейб-
Лейбница:
*-(ху) = V i ^х—^гт Ьп~1у.
п\v у> /^ i\ (n-i)\ y
Мы имеем (считая, что Ьк = 0)
ехр Цх) ехр Цу) = [? -\ ( ? f ) = ? ( ? Т ^ ) =
2k — 2
= 2_^ —^^ = (правило Лейбница)
п=0
п=0
= ехр Цху).
Обратимость элемента ехр 8 следует (обычным образом) из явного вы-
выражения для обратного элемента: 1 — г) + гJ — rf +... ± г\к~{, ехр 8 = 1 + т).
Автоморфизм вида exp(ad x), где оператор ad x нильпотентен, называ-
называется внутренним; подгруппа в Aut L, порожденная такими элементами,
обозначается через Int L, и ее элементы также называются внутренними

22 Глава I. Основные понятия
автоморфизмами. Это нормальная подгруппа: если ср Е Aut L, x E L,
то cp(ad x)y~l =ad ср(х), откуда следует, что ср exp(ad х)ц~1 =exp(ad ср(х)).
Например, пусть L = slB, F) со стандартным базисом (х, у, К). По-
Положим о = exp ad х • exp ad(—у) • exp ad х (тогда о Е Int L). Легко вычи-
вычислить действие преобразования о на базисе (упражнение 10): а(х) = —у,
а (у) = —х, o(h) = —h. Как следствие, преобразование о имеет порядок 2.
Заметим, что ехр х, ехр(-у) —корректно определенные элементы группы
SLB, F), состоящей из 2 х 2-матриц с определителем 1. Как отмечено в
начале этого пункта, трансформирование этими матрицами оставляет ал-
алгебру L инвариантной, так что произведение 5 = (ехр х)(ехр(—у))(ехр х)
индуцирует автоморфизм z^szs~l на L. Несложная выкладка показы-
показывает, что s = I j п)' а тРансФ°РмиРование этим элементом совпадает с
действием отображения она!.
Отмеченное явление не случайно. Пусть L C0l(V) — произвольная ли-
линейная алгебра Ли (char F = 0), а элемент xeL нильпотентен. Мы утвер-
утверждаем, что
(ехр х)у(ехр х)~{ = ехр ad x(y) при всех yeL. (*)
Для доказательства заметим, что ad x = \x + p_x, где X*, рх обозначают левое
и правое умножение на х в кольце End V (они, разумеется, коммутиру-
коммутируют и нильпотентны). Тогда из обычных свойств экспоненты вытекает, что
ехр ad х = ехр(кх + р_х) = ехр \х • ехр р_х = Хехр х • рехр(-ф откуда следует со-
соотношение (*).
Упражнения
1. Докажите, что множество всех внутренних дифференцирований
ad х, х Е L, является идеалом в Der L.
2. Покажите, что si(n, F) — это в точности производная алгебра для
gi(n, F) (см. упражнение 1.9).
3. Докажите, что центр алгебры gi(n, F) равен совокупности скалярных
матриц $(п, F). Докажите, что центр алгебры sl(n, F) равен 0, если char F
не делит п. В противном случае центр равен $(п, F).
4. Докажите, что (с точностью до изоморфизма) существует единствен-
единственная алгебра Ли над F размерности 3, производная алгебра которой имеет
размерность 1 и лежит в Z(L).
5. Пусть dimL = 3, [L,L] = L. Докажите, что L—простая алгебра.
[Вначале установите, что любой гомоморфный образ алгебры L также со-
совпадает со своей производной алгеброй.] Воспользовавшись этим фактом,
еще раз докажите, что алгебра 5lB, F), char F^2, — простая.
6. Докажите, что алгебра 5lC, F) простая, если char F ф 3 (см. упраж-
упражнение 3). [Используйте стандартный базис hu h2, etj (///). Если / —

§ 3. Разрешимые а нальпотентные алгебры Ли 23
ненулевой идеал, то / является прямой суммой собственных подпро-
подпространств для ad h\ или ad Л2; сравните собственные значения операто-
операторов ad hx, ad h2 при действии на ец\
7. Докажите, что t(n, F) и д(п, F) —самонормализуемые подалгебры в
gi(n, F), в то время как нормализатор подалгебры п(п, F) равен t(n, F).
8. Докажите, что если char F = 0, то в каждой классической линейной
алгебре Ли (см. п. 1.2) множество диагональных матриц образует само-
самонормализуемую подалгебру.
9. Докажите предложение 2.2.
10. Пусть о — автоморфизм алгебры 5lB, F), определенный в п. 2.3.
Проверьте, что о(х) = —у, а (у) = —х, о (h) = —h.
11. Пусть L=si(n, F), ge GL(n, F). Докажите, что отображение алге-
алгебры L в себя, определенное формулой х\-^ —gxtg~l (xt — матрица, транс-
транспонированная к х), принадлежит Aut L. Докажите, что если п = 2, a g—
единичная матрица, то этот автоморфизм — внутренний.
12. Пусть L — ортогональная алгебра Ли (типа В? или Df). Далее, пусть
g— ортогональная матрица, т.е. g обратима и gtsg = s. Докажите, что
формула x^gxg~l определяет автоморфизм алгебры L.
§3. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли
3.1. Разрешимость. Естественно изучать алгебру Ли L при помощи
ее идеалов. В этом пункте мы займемся построением производных алгебр.
Прежде всего определим следующую последовательность идеалов алге-
алгебры L (производный ряд):
L^=L, Lil)=[L, L], LB) =[LA), LA)], ..., L(i) =[L(i), L«~l)].
Алгебра L называется разрешимой, если L(n) =0 при некотором п. В част-
частности, абелевость влечет разрешимость, тогда как простые алгебры заве-
заведомо не разрешимы.
В определенном смысле общим примером разрешимой алгебры слу-
служит алгебра верхнетреугольных матриц t(n, F), введенная в п. 1.2. Оче-
Очевидный базис этой алгебры состоит из матричных единиц вц, где /^/; ее
размерность равна 1 + 2 + ... + п = -Ц^—-. Чтобы показать, что алгебра
L = t(n, F) разрешима, найдем ее производный ряд при помощи форму-
формулы для коммутаторов из п. 1.2. В частности, мы имеем \ей, ец] = вц при
/ < /, откуда следует, что п(п, F) с [L, L], где п(п, F) — подалгебра верхне-
верхнетреугольных нильпотентных матриц. Так как t(n, F)=d(n, F)-\-n(n, F), a
д(п, F) —абелева подалгебра, n(n, F) является производной алгеброй для L
(см. упражнение 1.5). В алгебре п(п, F) естественно определено поня-
понятие «уровня», а именно, уровень элемента ец равен / — /. В формуле для

24 Глава I. Основные понятия
коммутаторов будем предполагать, что /</, k < /. Без ограничения общ-
общности можно также считать, что / ф /. Тогда [etj, ekt\ = еа (если / = k) или О
(в противном случае). Как следствие, любой элемент еа является комму-
коммутатором двух матриц, уровни которых в сумме дают его уровень. Отсюда
следует, что LB) порождается элементами eih уровень которых больше или
равен 2, a Lw —элементами, уровень которых больше или равен 21~1. На-
Наконец, очевидно, что Lw = 0 при 21~{ > п — 1.
Теперь приведем несколько простых свойств разрешимых алгебр.
Предложение. Пусть L — алгебра Ли.
(a) Если алгебра L разрешима, то разрешимы все ее подалгебры
и гомоморфные образы.
(b) Если I—такой разрешимый идеал в L, что алгебра L/I раз-
разрешима, то разрешима и сама алгебра L.
(c) Если I и J — разрешимые идеалы в L, то идеал / + / также
разрешим.
Доказательство, (а) Если К — подалгебра в L, то из определе-
определения следует, что /С(/) cL(/). Аналогично, если ср: L^M — эпиморфизм, то
несложная индукция по / показывает, что cp(Lw) =Afw.
(b) Пусть (L/iyn) = 0. Применяя утверждение а к каноническому гомо-
гомоморфизму к: L^L/l, получаем k(L^) = 0 или L(n) с / = Кег к. Далее, если
j(m) _Q^ то из очевидного равенства (Lw)(/) =L('+/) вытекает, что L^n+m) =0.
(Примените доказательство утверждения а к случаю lSn) с /.)
(c) Одна из стандартных теорем о гомоморфизмах (предложение 2.2(с))
устанавливает изоморфизм между алгебрами (/ + /)// и //(/П/). Вторая
из них разрешима как гомоморфный образ идеала /. Значит, разрешима и
алгебра (/ + /)//. Чтобы установить разрешимость алгебры / + /, применим
утверждение (Ь) к паре / + /,/. ?
В качестве первого приложения рассмотрим алгебру Ли L и ее мак-
максимальный разрешимый идеал 5 (т. е. такой разрешимый идеал, который
не содержится ни в каком большем разрешимом идеале). Если / — лю-
любой другой разрешимый идеал в L, то из п. (с) доказанного предложе-
предложения вытекает, что S + I = S (ввиду максимальности идеала S), т.е. IcS.
Это доказывает существование единственного максимального разреши-
разрешимого идеала, называемого радикалом алгебры L и обозначаемого через
Rad L. Если L/0 и Rad L = 0, то алгебра L называется полупростой.
Например, простая алгебра является полупростой: в ней нет идеа-
идеалов, кроме нее самой и 0, и она не разрешима. Отметим, что если ал-
алгебра L не разрешима, т. е. L ф Rad L, то алгебра L/Rad L полупроста
(примените п. (Ь) доказанного предложения). Изучению полупростых ал-
алгебр Ли (над полем нулевой характеристики) преимущественно и посвя-
посвящена эта книга. (Однако попутно потребуются и некоторые разрешимые
подалгебры.)

§ 3. Разрешимые а нальпотентные алгебры Ли 25
3.2. Нильпотентность. Определение разрешимости воспроизводит
соответствующее понятие из теории групп, восходящее к Абелю и Галуа.
Наоборот, понятие нильпотентной группы было построено уже по образцу
соответствующего понятия из теории алгебр Ли. Определим последова-
последовательность идеалов алгебры Ли Е (убывающий или нижний центральный
ряд), полагая
Е° = Е, Е{=[Е,Е](=Е{{)), Е2 = [Е,Е{], ..., U =[L, 1}~1\
Алгебра E называется нильпотентной, если Еп = 0 при некотором п. На-
Например, любая абелева алгебра нильпотентна. Очевидно, что E{i) dLl для
всех /, и поэтому нильпотентные алгебры разрешимы. Обратное, одна-
однако, неверно. Рассмотрим снова алгебру L = t(n, F). Из п. 3.1 видно, что
LA) = Ll =n(n, F), L2 = [L, L1] = L1, и поэтому U =Ll для всех /^ 1. С другой
стороны, легко видеть, что алгебра М = п(п, F) нильпотентна. Действитель-
Действительно, М{ порождается элементами etj, уровень которых не меньше 2, М2 —
элементами уровня не меньше 3, ..., М1 — элементами уровня не мень-
меньше / + 1.
Предложение. Пусть Е— алгебра Ли.
(a) Если алгебра Е нильпотентна, то все ее подалгебры и гомо-
гомоморфные образы также нильпотентны.
(b) Если нильпотентна алгебра L/Z(L), то нильпотентна и ал-
алгебра Е.
(c) Если алгебра Е нильпотентна и Е ф 0, то Z(E) ф 0.
Доказательство, (а) Нужно воспроизвести доказательство утвер-
утверждения (а) предложения 3.1.
(b) Пусть EncZ(E). Тогда En+l =[E, En]c[E, Z(L)] = 0.
(c) Последний ненулевой член убывающего центрального ряда содер-
содержится в центре алгебры L. ?
Условие нильпотентности алгебры Е может быть сформулировано
по-другому: при некотором п (зависящем только от Е) ad x{ adx2...
... ad хп(у) = 0 для всех xh у е L. В частности, (ad х)п = 0 для всех х е L.
Если теперь х — элемент произвольной алгебры Ли L, то назовем х
&&-нильпотентным, если эндоморфизм ad x нильпотентен. На этом
языке предыдущее условие можно сформулировать так: если алгебра Е
нильпотентна, то все ее элементы ad-нильпотентны. Замечательно, что
верно и обратное.
Теорема (Энгель). Если все элементы алгебры Ли Е ad-нильпо-
тентны, то алгебра Е нильпотентна.
Доказательство будет приведено в следующем пункте. С помощью тео-
теоремы Энгеля легко доказать нильпотентность алгебры п(п, F), не вычисляя
ее убывающий центральный ряд в явном виде. Нам лишь потребуется сле-
следующая простая лемма.

26 Глава I. Основные понятия
Лемма. Пусть x?#l(V) — нильпотентный эндоморфизм. Тогда эн-
эндоморфизм ad х также нильпотентен.
Доказательство. Как и в п. 2.3, с элементом х можно связать
два эндоморфизма пространства End V — умножение слева и справа:
\х{у)=ху и рх(у)=ух. Эти эндоморфизмы нильпотентны, поскольку ниль-
нильпотентен элемент х. При этом очевидно, что \х и рх коммутируют. В любом
кольце (в данном случае End(End V)) сумма и разность коммутирую-
коммутирующих нильпотентов снова нильпотентны (почему?). Поэтому отображение
ad х = \х — рх нильпотентно. ?
Короткое предупреждение: матрица в gl(n, F) легко может оказаться
ad-нильпотентной, не будучи нильпотентной (пример — единичная матри-
матрица) . Читателю постоянно следует держать в уме два противоположных типа
нильпотентных линейных алгебр Ли: д(п, F) и п(п, F).
3.3. Доказательство теоремы Энгеля. Теорема Энгеля может быть
выведена из следующего результата, который интересен и сам по себе.
Напомним, что нильпотентное линейное преобразование всегда имеет хотя
бы один собственный вектор, отвечающий его единственному собственному
значению 0. Это в точности случай dim L = 1 следующей теоремы.
Теорема. Пусть L — подалгебра в gl(V), где пространство V ко-
конечномерно. Если L состоит из нильпотентных эндоморфизмов и
I//0, то существует такой ненулевой вектор veV, что L-v = 0.
Доказательство. Применим индукцию по размерности алгебры L.
Случай dim L = 0 (и dim L= 1) очевиден. Пусть КфЕ — некоторая под-
подалгебра в L. Согласно лемме 3.2 подалгебра К действует (посредством
оператора ad) как алгебра Ли нильпотентных линейных преобразований
на векторном пространстве L, а как следствие и на факторпростран-
стве L/K. Поскольку dim К < dim L, по предположению индукции в
пространстве L/K существует вектор х + КфК, аннулируемый образом
подалгебры К в gi(L/K). Это в точности означает, что [у, х]еК при всех
уЕК, тогда как хфК. Другими словами, подалгебра К не совпадает со
своим нормализатором NL(K) (см. п. 2.1).
Пусть теперь К—максимальная собственная подалгебра в L. Из пре-
предыдущего следует, что NL(K)=L, т.е. К является идеалом в L. Если
dim L/K > 1, то прообраз в L одномерной подалгебры из L/K (которая
всегда существует) будет собственной подалгеброй, строго включающей /С,
что противоречит предположению. Поэтому К имеет коразмерность 1. Это
позволяет нам записать L = /(+Fz с произвольным вектором zeL\K.
По предположению индукции пространство W={v^V: /C-u = O} не-
ненулевое. Так как К является идеалом, пространство W инвариантно от-
относительно L: если х е L, у еК, w eW, то yx-w = xy-w — [x,y]-w = 0.
Выберем вектор zeL\K, как выше. Тогда нильпотентный эндоморфизм z
(действующий теперь на подпространстве W) имеет собственный вектор,

§ 3. Разрешимые а нальпотентные алгебры Ли 27
т.е. существует такой ненулевой вектор v Е W, что z-v = 0. В итоге L • v = 0,
что и требовалось. ?
Доказательство теоремы Э н геля. По условию все элемен-
элементы алгебры L являются ad-нильпотентными. Поэтому алгебра ad Lcgi(L)
удовлетворяет условию теоремы 3.3. (Можно считать, что L/0.) Сле-
Следовательно, в алгебре L существует такой вектор х Ф 0, что [L, х] = О,
т.е. Z(L) т^О. При этом алгебра L/Z(L), очевидно, состоит из ad-ниль-
потентных элементов и имеет меньшую размерность, чем L. Индукция по
размерности алгебры L показывает, что алгебра L/Z(L) нильпотентна. То-
Тогда ввиду утверждения (Ь) предложения 3.2 нильпотентна и алгебра L. ?
Имеется полезное следствие (на самом деле равносильный вариант)
теоремы 3.3, который показывает «типичность» алгебры п(п, F). Сначала
дадим одно определение. Пусть V — конечномерное векторное простран-
пространство, dim V = n. Флаг в пространстве V—это цепочка подпространств
0 = Vq С V\ С... С Vn = V, dim Vt = /. Пусть х Е End V. Будем говорить, что
х оставляет инвариантным этот флаг, если x-VtG Vt при всех /.
Следствие. Если предположения теоремы выполнены, то в про-
пространстве V существует флаг (Vi)y инвариантный относительно L,
причем x-ViCVi_i для всех I. Другими словами, в пространстве V
существует базис, в котором все матрицы из алгебры L принадле-
принадлежат п(п, F).
Доказательство. Возьмем ненулевой вектор veV, аннулируемый
алгеброй L (он существует по теореме Энгеля). Положим Vx =Fv. Заметим,
что индуцированное действие алгебры L на пространстве W = V/V\ также
состоит из нильпотентных эндоморфизмов. Индукцией по dim V получаем,
что в пространстве W существует флаг, инвариантный относительно L. Его
прообраз в пространстве V и есть искомый флаг. ?
Закончим этот параграф типичным приложением теоремы 3.3, которое
нам потребуется позже.
Лемма. Пусть L — нильпотентная алгебра Ли, К — идеал в L.
Тогда если КфО, то /CnZ(L) /0. (Как следствие, Z(L) /0; см. утвер-
утверждение (с) предложения 3.2).
Доказательство. Посредством присоединенного представления
алгебра L действует на /С, и из теоремы 3.3 вытекает существование
такого ненулевого вектора хеК, что [L, х] = 0, т. е. х Е К П Z(L). ?
Упражнения
1. Пусть /—идеал алгебры L. Тогда каждый член производного ряда
или убывающего центрального ряда для / также является идеалом в L.
2. Докажите, что алгебра L разрешима, если и только если существует
цепочка подалгебр L = Lo D L{ D ... D Lk = 0, в которой L/+1 является иде-
идеалом в Lh а факторалгебры Li/Li+{ абелевы.

28 Глава I. Основные понятия
3. Пусть char F = 2. Докажите, что алгебра 5lB, F) нильпотентна.
4. Докажите, что алгебра L разрешима (соответственно, нильпотент-
нильпотентна), если и только если разрешима (соответственно, нильпотентна) алге-
алгебра ad L.
5. Докажите, что неабелева двумерная алгебра, построенная в п. 1.4,
разрешима, но не нильпотентна. То же для алгебры из упражнения 1.2.
6. Докажите, что сумма двух нильпотентных идеалов алгебры Ли L
также является нильпотентным идеалом. Как следствие, алгебра L имеет
единственный максимальный нильпотентный идеал. Найдите этот идеал
для каждой алгебры из упражнения 5.
7. Пусть алгебра L нильпотентна, К — ее собственная подалгебра. До-
Докажите, что NL(K) строго включает К.
8. Пусть алгебра ненулевая алгебра L нильпотентна. Докажите, что в
ней имеется идеал коразмерности 1.
9. Докажите, что любая ненулевая нильпотентная алгебра Ли L име-
имеет внешнее дифференцирование (см. п. 1.3) следующего вида. Предста-
Представим L в виде L = /(+Fx, где К — некоторый идеал коразмерности 1 (см.
упражнение 8). Тогда CL(K) /0 (почему?). Выберем п так, что CL(K) cLn,
CL(K) (?Ln=l, и пусть ze CL(K) \Ln+l. Тогда линейное отображение 8, пе-
переводящее К в 0, а х в z, и является внешним дифференцированием.
10. Пусть L — алгебра Ли, а К — такой идеал в ней, что алгебра L/K
нильпотентна и при всех х Е L нильпотентно отображение ad x\K. Докажите,
что алгебра L нильпотентна.

Глава II
Полупростые алгебры Ли
В главе I мы рассматривали алгебры Ли над произвольным полем F.
Помимо введения основных понятий и примеров, нам удалось доказать
лишь одну существенную теорему (теорему Энгеля). Фактически вся тео-
теория, развиваемая далее в этой книге, требует предположения, что F имеет
характеристику 0. (В некоторых упражнениях показано, как возникают
контрпримеры в простой характеристике.) Более того, чтобы располагать
собственными значениями оператора ad x для произвольного х (а не толь-
только для нильпотентного оператора ad x), мы будем считать поле F алге-
алгебраически замкнутым, если не оговорено противное. Можно работать и с
несколько меньшим ограничением на поле F (см. Jacobson [1] с. 107), но
здесь мы не будем этого делать.
§4. Теоремы Ли и Картана
4.1. Теорема Ли. Суть теоремы Энгеля для нильпотентных алгебр Ли
заключается в существовании общего собственного вектора для алгебры
Ли нильпотентных эндоморфизмов (теорема 3.3). Следующее утверждение
похоже по своему характеру, но требует алгебраической замкнутости: тогда
поле F содержит все нужные собственные значения. Требование char F = 0
также оказывается необходимым (упражнение 3).
Теорема. Пусть L — разрешимая подалгебра в gl(V), где про-
пространство V конечномерно. Если VФ§, то V содержит общий
собственный вектор для всех эндоморфизмов из L.
Доказательство. Применим индукцию по размерности L. Слу-
Случай dim L = 0 тривиален. Мы попытаемся воспроизвести доказательство
теоремы 3.3 (рекомендуем освежить его в памяти). Идея заключается в
следующем: A) найти идеал К коразмерности один; B) получить по пред-
предположению индукции, что для К существуют общие собственные векторы;
C) проверить, что L сохраняет пространство, состоящее из таких векторов;
D) найти в этом пространстве собственный вектор для одного элемента
z G L, удовлетворяющего равенству L = К + Fz.
Шаг A) прост. Так как подалгебра L разрешима и ее размерность
положительна, L строго включает [L, L]. В алгебре L/[L, L] любое подпро-
подпространство автоматически является идеалом в силу ее абелевости. Возьмем

30 Глава II. Полупростые алгебры Ли
в ней подпространство коразмерности 1, тогда его прообраз К — идеал
коразмерности 1 в L (содержащий [L, L]).
На шаге B) по предположению существует общий собственный вектор
veV для К (разумеется, идеал К разрешим; если К = 0, то алгебра L —
абелева размерности 1 и любой собственный вектор для базисного эле-
элемента из L позволяет завершить доказательство). Это означает, что для
хеК будет выполняться равенство x-v = \(x)v, где X: /(—>F— некото-
некоторая линейная функция. Зафиксируем X и обозначим через W (ненулевое)
подпространство
{we W: х• w = \{x)w для всех хеК}.
Шаг C) состоит в доказательстве инвариантности подпространства W
при действии подалгебры L. Предположим на время, что это сделано,
и перейдем к шагу D): записав L = /(+Fz и используя алгебраическую
замкнутость поля F, найдем собственный вектор v0 Е W для z (отвечаю-
(отвечающий некоторому его собственному значению). Тогда v0, очевидно, является
собственным вектором для всей алгебры L (и X можно продолжить до ли-
линейной функции на L с условием х • v0 = \(x)vo, xeL).
Осталось показать, что L сохраняет W. Пусть w E W, x E L. Чтобы
проверить, лежит лих-шв W, нужно взять произвольный элемент у Е К
и рассмотреть выражение yx-w = xy-w — [x,y]-w = \(у)х • w — \([х, y])w.
Таким образом, мы должны доказать, что Х([х, у]) =0. Для этого зафик-
зафиксируем w E W, х Е L. Пусть п > 0 — наименьшее целое число, для которого
w, х • w, ..., хп • w линейно независимы. Далее, пусть Wt — подпространство
в V, порожденное элементами w, x-w,..., xl~l -w (мы полагаем W0 = 0), так
что dim Wn = n, Wn = Wn+i (i ^ 0) и х отображает Wn в Wn. Легко проверить,
что любой элемент у Е /С оставляет каждое подпространство №,- инвари-
инвариантным. Мы утверждаем, что в базисе w, x-w, ..., хп~{ -w пространства
Wn элемент уеК представляется верхнетреугольной матрицей с \(у) на
диагонали. Это немедленно следует из сравнения
ух1 • w = Цу)х1 • w (mod Wt), (*)
которое мы докажем индукцией по /. Случай / = 0 очевиден. Мы имеем
ух1 • w = yxxl~{ • w = xyxl~{ • w — [x, y]xl~{ • w. По предположению индукции
yxl~l •w = \(y)xi~{ -w + w1 (w'G Wi_i)\ так как х отображает Wt_i в Wt (по
построению), сравнение (*) выполнено для всех /.
Согласно определению действия элемента у Е К на пространстве Wn, мы
имеем TrWn(y) =rik(y). В частности, это верно для элементов из К вида [х, у]
(элемент х такой же, как выше, у Е/С). Но как х, так и у сохраняют Wn, по-
поэтому [х, //] действует на Wn как коммутатор двух его эндоморфизмов;
значит, его след равен нулю. Отсюда следует, что п\([х, у]) = 0. Так как
char F = 0, мы с необходимостью получаем \([х,у])=0, что и требовалось. ?

§4. Теоремы Ли а Картана 31
Следствие А (Теорема Ли). Пусть L — разрешимая подалгебра в
&l(V), dim V = n<oo. Тогда L отображает в себя некоторый флаг в
пространстве V (другими словами, в некотором его базисе матрицы
элементов из L верхнетреугольны).
Доказательство. Применим предыдущую теорему и индукцию по
dim V. ?
Более общо, пусть L — произвольная разрешимая алгебра Ли, ср: L —>
-^$l(V) —ее конечномерное представление. Тогда алгебра cp(L) разрешима
в силу предложения 3.1 (а) и потому сохраняет некоторый флаг (след-
(следствие А). Например, если ср—присоединенное представление, то флаг
подпространств, инвариантных относительно L, — это цепочка идеалов в L,
каждый из которых имеет коразмерность один в следующем. Тем самым
доказано
Следствие В. Пусть алгебра L разрешима. Тогда существует та-
такая цепь идеалов L, О = Lo С L{ с ... С Ln = L, что dim Lt = /.
Следствие С. Пусть алгебра L разрешима. Тогда из того, что
х е [L, L], следует, что отображение adL x нильпотентно. Как след-
следствие, подалгебра [L, L] нилъпотентна.
Доказательство. Выберем флаг идеалов, как в следствии В. В бази-
базисе (xi, х2,..., хп) в L, в котором элементы (хь ..., х() порождаютLh матри-
матрицы из ad L принадлежат t(n, F). Поэтому матрицы из [ad L, ad L] = adL[L, L]
лежат в п(п, F), т.е. производной алгебре для t(n, F). Значит, эндомор-
эндоморфизм adL х нильпотентен при х е [L, L]; эндоморфизм ad[L;L] x тем более
нильпотентен, так что алгебра [L, L] нильпотентна по теореме Энгеля. ?
4.2. Разложение Жордана—Шевалле. Только в этом пункте ха-
характеристика поля F может быть произвольной. Мы сделали это
исключение, чтобы ввести очень полезное средство изучения линейных
преобразований. Читатель, может быть, помнит, что жорданова канониче-
каноническая форма для отдельного эндоморфизма х над алгебраически замкнутым
полем дает представление х в матричном виде как сумму блоков вида
"а 1 О"
а 1.
'••
.0 'а
Так как матрица diag(a, ..., а) коммутирует с нильпотентной матрицей, все
ненулевые элементы которой — единицы непосредственно над диагональю,
эндоморфизм х является суммой диагональной и нильпотентной матриц,
коммутирующих между собой. Мы можем уточнить это разложение сле-
следующим образом.
Назовем элемент хе End V (V конечномерно) полупростым, если все
корни его минимального многочлена над F различны. Эквивалентно, можно

32 Глава II. Полупростые алгебры Ли
сказать (для алгебраически замкнутого поля F), что элемент х полупрост,
если и только если он диагонализуем. Заметим, что два коммутирующих
полупростых эндоморфизма можно диагонализовать одновременно; поэто-
поэтому их сумма и разность снова полупросты (упражнение 5). Кроме того,
если элемент х полупрост и отображает подпространство W С V в себя, то
очевидно, что ограничение отображения х на W полупросто.
Предложение. Пусть V—конечномерное векторное простран-
пространство над F, х е End V.
(a) Существуют единственные элементы xs, xn e End V, удовле-
удовлетворяющие следующим условиям: x = xs+xn, где xs полупрост, хп
нильпотентен, a xs и хп коммутируют.
(b) Существуют такие многочлены р(Т), q(T) от одного пере-
переменного без свободного члена, что xs=p(x), xn = q(x). Как следствие,
xs и хп коммутируют с любым эндоморфизмом, коммутирующим с х.
(c) Если А с В с V — некоторые подпространства и х отобража-
отображает В в А, то xs и хп также отображают В в А.
Разложение x = xs+xn называется (аддитивным) разложением Жор-
дана—Шевалле эндоморфизма х или просто разложением Жордана
(жордановым разложением); xs и хп называются, соответственно, по-
полупростой и нильпотентной частями эндоморфизма х.
Доказательство. Пусть а\, ..., ak (с кратностями тх, ..., mk) —
различные собственные значения отображения х, так что характеристиче-
характеристический многочлен равен П(^~а*)т'- Если Vt = Ker(x — щ• 1)т', то V является
прямой суммой подпространств 1/ь ..., 14, каждое из которых инвариантно
относительно х. Ясно, что характеристический многочлен для х на Vt равен
(T—ai)mi. Применив китайскую теорему об остатках (для кольца F[7]), най-
найдем многочлен р(Т), удовлетворяющий следующим сравнениям по попар-
попарно взаимно простым модулям: p(T)=ui (mod (Т — а^1), р(Т) = 0 (mod T).
(Заметим, что последнее сравнение лишнее, если 0 является собственным
значением для х; в противном случае многочлен Т взаимно прост с осталь-
остальными модулями.) Положим q(T) = T — p(T). Очевидно, что у многочленов
q(T) и р(Т) нулевой свободный член, так как р(Т)=0 (mod T).
Положим xs =р(х), хп = q(x). Поскольку эти эндоморфизмы являются
многочленами от х, они коммутируют друг с другом, равно как и со всеми
эндоморфизмами, коммутирующими с х. Они также оставляют инвариант-
инвариантными все подпространства в 1/, которые инвариантны относительно х, и в
частности V;. Сравнение р(Т) =щ (mod (T — ai)mi) показывает, что ограни-
ограничение отображения xs — щ • 1 на Vt равно нулю при всех /. Следовательно,
xs действует диагонально на Vt с единственным собственным значением щ.
По определению хп =х — xs, откуда ясно, что элемент хп нильпотентен. Так
как р(Т), q(T) не имеют свободного члена, утверждение (с) становится
очевидным.

§4. Теоремы Ли а Картана 33
Осталось лишь доказать утверждение о единственности в (а). Пусть
х = 5 + п — другое такое разложение, так что xs — s = n — хп. Из утвержде-
утверждения (Ь) следует, что все эндоморфизмы в этом равенстве коммутируют.
Суммы коммутирующих полупростых (соответственно нильпотентных) эн-
эндоморфизмов снова полупросты (соответственно нильпотентны), тогда как
полупростым и нильпотентным одновременно может быть лишь нулевой
эндоморфизм. Отсюда с необходимостью следует, что s = xs, n = xn. ?
Чтобы показать полезность разложения Жордана, рассмотрим один
частный случай. Возьмем присоединенное представление алгебры Ли gl(l^),
где пространство V конечномерно. Если элемент xGgl(V) нильпотентен,
то тем же свойством обладает и ad x (лемма 3.2). Аналогично, если эле-
элемент х полупрост, то полупрост и элемент ad x. Мы проверим это
таким образом: выберем базис (иь ..., vn) в V, в котором матрица х име-
имеет вид diag(ab ..., ап). Пусть {е^} — стандартный базис в $l(V), который
соответствует (vu ..., vn) (см. п. 1.2): eij(vk)=bjkvi. Тогда простое вычисле-
вычисление (см. формулу (*) в п. 1.2) показывает, что ad х{ец) = (а( — а^)ец. Таким
образом, матрица ad х диагональна в выбранном базисе для gi(V).
Лемма А. Пусть xeEnd V (dim 1/<оо), x = xs+xn — разложение
Жордана. Тогда ad x = ad xs + ad xn — разложение Жордана для ad x
(в End(End V)).
Доказательство. Мы видели, что эндоморфизм ad xs полупрост, а
эндоморфизм ad хп нильпотентен; они коммутируют, так как [ad xs, ad xn] =
= ad[xs, xn] = 0. Теперь применим часть (а) предыдущего предложения. ?
Вот еще один полезный факт:
Лемма В. Пусть 21 — конечномерная V-алгебра. Тогда Der 21 со-
содержит полупростые и нильпотентные части (в End 21) всех своих
элементов.
Доказательство. Пусть о, vG2i — полупростая и нильпотент-
ная части элемента 8 е Der 21 соответственно. Достаточно показать, что
о G Der 21. Если а е F, то положим 21а = {х е 21: (8 — а • \)kx = 0 для неко-
некоторого k (зависящего от х)}.
Тогда 21 — прямая сумма подалгебр 21а, отвечающих собственным зна-
значениям эндоморфизма 8 (и о), причем о действует на 21а как скалярное
умножение на а. Для любых а, Ь Е F можно проверить, что 2la2U С 21а+^, с
помощью общей формулы:
для х, у Е 21. (*)
(Эта формула легко проверяется индукцией по п.) Если теперь хЕ21а,
у Е 21&, то о(ху) = (а + Ь)ху, так как ху е %[а+ь (возможно, равняясь нулю);
с другой стороны, (ох)у + х(оу) = (а + Ь)ху. Поскольку сумма 21 = Ц 21а

34 Глава II. Полупростые алгебры Ли
(Ц обозначает прямую сумму векторных пространств) прямая, о является
дифференцированием, что и требовалось. ?
4.3. Критерий Картана. Теперь мы готовы к тому, чтобы получить
мощный критерий разрешимости алгебры Ли L в терминах следов неко-
некоторых ее эндоморфизмов. Очевидно, что L будет разрешима, если алгебра
[L, L] нильпотентна (это обратное утверждение к следствию 4.1С). В свою
очередь, теорема Энгеля утверждает, что алгебра [L, L] нильпотентна, если
(и только если) все операторы ad[L L] x, xЕ[L, L], нильпотентны. Поэтому
сначала мы выведем критерий нильпотентности эндоморфизма в терминах
следов.
Лемма. Пусть АсВ— два подпространства в gl(V), dim 1/<оо.
Положим М = {хegi(V): [х, В]сА}. Предположим, что для некоторо-
некоторого хеМ выполнено свойство Тг(ху) = 0 при всехуеМ. Тогда элемент х
нильпотентен.
Доказательство. Пусть x = s + n (s = xs, n = xn) —разложение
Жордана для х. Выберем базис иь ..., vm в 1/, в котором 5 имеет матрицу
diag(ab ..., ат). Пусть Е—векторное подпространство F (над простым
полем Q), порожденное собственными значениями аь ..., ат. Нам надо
показать, что 5 = 0, что равносильно равенству Е = 0. Поскольку про-
пространство Е конечномерно над Q (по построению), достаточно показать,
что двойственное пространство Е* — нулевое, т. е. что любая линейная
функция /: E^Q нулевая.
Для данной функции / пусть у — тот элемент в gi(V), матрица которого
в выбранном базисе равна diag(/(ai), ..., f(am)). Если {etj} — соответ-
соответствующий базис в gl(l^), то, как мы видели в п.4.2, ad s(etj) = (at — а^е^,
ad y(eij) = (/(#;) — f(uj))eij. Теперь пусть r(T) e FG) —многочлен без сво-
свободного члена, удовлетворяющий условиям г(аг — aj) = f{at) — f{aj) для
всех пар /, /. Существование такого многочлена следует из интерполя-
интерполяционной теоремы Лагранжа; неоднозначности в заданных значениях нет,
поскольку из равенства а{ — а} = ak — at следует (ввиду линейности /), что
f(at) - f(a,j) = f(ak) - f(at). Ясно, что ad у = r(ad s).
Согласно лемме 4.2А, элемент ad 5 — полупростая часть элемента ad x,
и ее можно представить как многочлен от ad x без свободного члена (пред-
(предложение 4.2). Поэтому ad у тоже является многочленом от ad x без сво-
свободного члена. По предположению ad x отображает В в Л, откуда следует,
что ad у(В) с Л, т.е. уеМ. Используя предположение Тг(ху) = 0, полу-
получаем ^2 OLif{o<i) = 0. Левая часть равенства — это Q-линейная комбинация
элементов из Е; применяя /, получаем ^2 f(ctiJ — 0- Так как /(а,) — раци-
рациональные числа, отсюда вытекает их равенство нулю. Поскольку щ поро-
порождают Е, функция / должна быть тождественным нулем. ?
Перед тем как сформулировать наш критерий разрешимости, приведем
одно полезное тождество: если х, у, z — эндоморфизмы конечномерного

§4. Теоремы Ли а Картана 35
векторного пространства, то
Чтобы его проверить, воспользуемся равенствами [х, y]z = xyz — yxz,
х[у, z] = xyz — xzy и свойством следа Tr(y(xz)) = Tr((xz)y).
Теорема (Критерий Картана). Пусть L — подалгебра в &l(V), где
пространство V конечномерно. Предположим, что Тг(хг/)=0 при
всех х е [L, L], у е L. Тогда L разрешима.
Доказательство. Как отмечено в начале п.4.3, достаточно доказать,
что алгебра [L, L] нильпотентна, или, равносильно, что все х Е [L, L] —
нильпотентные эндоморфизмы (лемма 3.2 и теорема Энгеля). Для это-
этого применим предыдущую лемму к нашему случаю: пространство V — из
условия теоремы, A = [L, L], B = L, тогда М = {хegi(V): [x, L]c[L, L]}. Яс-
Ясно, что LcM. По нашему предположению Тг(ху) = 0 при х Е [L, L], yeL.
Но чтобы вывести из леммы нильпотентность любого элемента х Е [L, L],
нам требуется более сильное утверждение: Тг(ху) = 0 при х Е [L, L], у еМ.
Если теперь [х, у] — один из образующих в [L, L], a z Е М, то вышепри-
вышеприведенное тождество (*) показывает, что Tr([x, //]z) = Tr(x[//, z]) =Tr([//, z]x).
По определению множества М мы имеем [г/, z]e[L, L], и правая часть равна
нулю по предположению. ?
Следствие. Пусть L — такая алгебра Ли, такая Tr(ad x ad у) = О
d/ш всех х е [L, L], // Е L. 7Ъгда алгебра L разрешима.
Доказательство. Применяя теорему к присоединенному предста-
представлению алгебры L, получаем, что алгебра ad L разрешима. Поскольку
Ker ad = Z(L) разрешима, и L разрешима (предложение 3.1). ?
Упражнения
1. Пусть L=si(V). Используя теорему Ли, докажите, что Rad L = Z(L);
выведите отсюда, что алгебра L полупроста (см. упражнение 2.3). [Нуж-
[Нужно заметить, что Rad L лежит в любой максимальной разрешимой под-
подалгебре В алгебры L. Выберите такой базис в 1/, что B = LC\t(n, F), и
заметьте, что матрицы, транспонированные к матрицам из В, также соста-
составляют максимальную разрешимую подалгебру в L. Выведите отсюда, что
Rad LcLnd(n, F), а затем —что Rad L = Z(L)\
2. Покажите, что доказательство теоремы 4.1 проходит в ненулевой
характеристике при условии, что dim V < char F.
3. Это упражнение показывает, что теорема Ли может быть неверна в
случае ненулевой характеристики. Рассмотрим р х р-матрицы
х =
0
0
0
1
1
0
0
1
6".'.
. 0
. 0
1
0
= diag(O, 1, 2, 3 р- 1).

36 Глава II. Полупростые алгебры Ли
Проверьте, что [х, у] = х, т. е. х и у порождают двумерную разрешимую
подалгебру L в gl(p, F). Проверьте, что у х, у нет общего собственного
вектора.
4. При р = 2 упражнение 3 показывает, что у разрешимой алгебры Ли
эндоморфизмов над полем ненулевой характеристики производная алге-
алгебра не обязательно состоит из нильпотентных эндоморфизмов (см. след-
следствие 4.1С). Для произвольного р постройте контрпример к следствию С
следующим образом: возьмите L E&l(p, F), как в упражнении 3. Постройте
прямую сумму векторных пространств М = L + Fp и превратите ее в алге-
алгебру Ли, где Fp — абелева подалгебра, умножение в L — обычное и действие
подалгебры L на Fp задано. Проверьте, что алгебра М разрешима, но ее
производная алгебра (=Fx + Fp) не нильпотентна.
5. Пусть эндоморфизмы х, у G End V коммутируют. Докажите, что
(х + y)s = xs + ys и (х + у)п = хп + уп. Покажите на примере, что это может
быть неверно, если х, у не коммутируют. [Сначала покажите, что из полу-
полупростоты (соответственно нильпотентности) эндоморфизмов х, у следует
полупростота (соответственно нильпотентность) суммы х + у.]
6. Проверьте формулу (*) в конце п. 4.2.
7. Докажите теорему, обратную к теореме 4.3.
8. Заметим, что предположение теоремы 4.3 (и ее следствия) достаточно
проверить для х, у, пробегающих базисы алгебры [L, L] и L соответствен-
соответственно. Для примера из упражнения 1.2 проверьте разрешимость с помощью
критерия Картана.
Замечания
Доказательства здесь следуют книге Serre [1]. Систематическое ис-
использование разложения Жордана в линейных алгебраических группах
восходит к книге Chevalley [1]; см. также Borel [1], где существенное вни-
внимание уделяется аддитивному разложению Жордана в алгебрах Ли.
§5. Форма Киллинга
5.1. Критерий полупростоты. Пусть L — произвольная алгебра Ли.
Если х, у G L, то положим х(х, у) = Tr(ad x ad у). Тогда х — симметрическая
билинейная форма на L, которая называется формой Киллинга. Форма
х также ассоциативна в том смысле, что х([х, у], г) =х(х, [у, z]). Это
следует из тождества, приведенного в п. 4.3: Tr([x, y]z) = Tr(x[//, z]) для
эндоморфизмов х, у, z конечномерного векторного пространства.
Следующая лемма пригодится нам позже.
Лемма. Пусть I — идеал в L. Если х — форма Киллинга на L, axi —
форма Киллинга на идеале I (рассматриваемом как алгебра Ли), то
Х/ = Х/Х/.

§ 5. Форма Киллинга 37
Доказательство. Во-первых, вспомним простой факт из линейной
алгебры: если W — подпространство конечномерного векторного про-
пространства V, а ф — эндоморфизм, отображающий V в W, то Tr ср = Тг(ср|г).
(Чтобы убедиться в этом, дополним базис пространства W до базиса
в V и посмотрим на получившуюся матрицу ср.) Если теперь х, у el,
то (ad x) (ad у)—эндоморфизм пространства L, отображающий L в /,
поэтому его след х(х, у) совпадает со следом хДх, у) эндоморфизма
(ad a:)(ad у)\/ = (ad/ a:)(ad/ у). П
В общем случае симметрическая билинейная форма C(х, у) называется
невырожденной, если ее радикал S равен нулю, где 5 = {хеL: C(х, у)=0
для всех у е L}. Из ассоциативности формы Киллинга следует, что ее ради-
радикал— не просто подпространство: 5 является идеалом алгебры L. Как
известно из линейной алгебры, невырожденность формы можно проверить
таким образом: выберем базис х{, ..., хп в L. Тогда форма х невырожден -
на, если и только если п х ^-матрица с элементом x(xt, xj) в позиции (/, /)
имеет ненулевой определитель.
В качестве примера вычислим форму Киллинга для алгебры 5lB, F),
используя стандартный базис из примера 2.1, который мы упорядочим как
(х, h, у). Соответствующие матрицы выглядят так:
/О -2 0\ /00 0'
ad /г = diagB, 0, -2), adx= 0 0 1, ad*/=(-l 0 0
^ ' ' ;' V0 0 0У V 0 2 0,
/0 0 4\
Поэтому матрица формы х равна I 0 8 0 J, а ее определитель равен —128,
и, следовательно, форма х невырожденна. (Это остается верным, если
char F/2.)
Напомним, что (ненулевая) алгебра Ли называется полупростой, если
Rad L = 0. Это равносильно требованию, что у L нет ненулевых абелевых
идеалов: действительно, любой такой идеал должен лежать в радикале,
и обратно, радикал (если он ненулевой) содержит такой идеал, а именно
последний ненулевой член производного ряда для Rad L (см. упражне-
упражнение 3.1).
Теорема. Пусть L— (ненулевая) алгебра Ли. Тогда L полупроста,
если и только если ее форма Киллинга невырожденна.
Доказательство. Предположим вначале, что Rad L = 0. Пусть 5 —
радикал формы х. По определению Tr(ad x ad у) = 0 при всех xeS, у е L
(в частности, при у e[S, S]). По критерию Картана (п.4.3) подалгебра adL 5
разрешима, поэтому и алгебра 5 разрешима. Но мы заметили выше, что
5 — идеал в L, поэтому 5 с Rad L = 0 и форма х невырожденна.
Обратно, пусть 5 = 0. Чтобы доказать полупростоту алгебры L, до-
достаточно установить, что любой абелев идеал / в L содержится в 5.

38 Глава II. Полупростые алгебры Ли
Предположим, что xeI, у Е L. Тогда композиция ad x ad у задает отобра-
отображение L —> L —> I и (ad х ad уJ отображает L в [/, /] = 0. Это означает, что
эндоморфизм ad x ad у нильпотентен, откуда следует, что 0 = Tr(ad x ad у) =
= х(х, у), т.е. /с5 = 0. (Эта часть доказательства остается верной и в
ненулевой характеристике (упражнение 6).) ?
Из доказательства следует, что всегда 5 с Rad L; однако обратное
включение не всегда верно (упражнение 4).
5.2. Простые идеалы алгебры L. Сначала дадим определение. Алге-
Алгебра Ли называется прямой суммой идеалов 1и ..., It, если L = I{+...+It
(прямая сумма подпространств). Из этого условия вытекает, что [/ь /;-]с
С It П /;- = 0 при 1ф] (так что алгебру L можно считать полученной из ал-
алгебр /; путем задания лиевых произведений покомпонентно на внешней
прямой сумме векторных пространств /,). Мы будем писать L = 1{ ф... ф/^.
Теорема. Пусть алгебра L полупроста. Тогда в ней существуют
такие простые идеалы L{, ..., Lt, что L = L{ ф... ф Lt. Любой простой
идеал алгебры L совпадает с одним из Lt. При этом форма Киллинга
на Li является ограничением формы х на Lt x Lt.
Доказательство. Вначале пусть / — произвольный идеал в L. То-
Тогда множество I1- = {х Е L: х(х, у) = 0 для всех yEL} также является иде-
идеалом ввиду ассоциативности формы х. Критерий Картана, примененный к
алгебре Ли /, показывает, что идеал /П/х алгебры L разрешим (следова-
(следовательно, нулевой). Так как dim / + dim /x =dim L, мы получаем L = I®I±.
Теперь проведем индукцию по размерности dim L, чтобы получить ис-
искомое разложение алгебры L в прямую сумму простых идеалов. Если у L
нет ненулевых собственных идеалов, то L уже проста и доказательство за-
закончено. В противном случае пусть L{ — минимальный ненулевой идеал;
согласно предыдущему абзацу L = L{^L^-. Как следствие, любой идеал
в L{ является идеалом и в L, поэтому алгебра L{ полупроста (а тогда и
проста ввиду минимальности). По той же причине алгебра L^ полупроста;
по предположению индукции она распадается в прямую сумму простых
идеалов, являющихся идеалами и в L. Отсюда получаем разложение для L.
Теперь мы должны показать, что это разложение единственно. Ес-
Если / — любой простой идеал в L, то [/, L] — идеал в /, ненулевой вви-
ввиду условия Z(L) = 0; отсюда вытекает, что [/, L] = /. С другой стороны,
[/, L] = [/, Li]0...0[/, Lt], поэтому все слагаемые, кроме одного, должны
равняться нулю. Пусть [/, Lt] = I. Тогда IcLt и I = Lt (поскольку подалге-
подалгебра Lt проста).
Последнее утверждение теоремы следует из леммы 5.1. ?
Следствие. Если L алгебра полупроста, то L = [L, L] и все идеа-
идеалы и гомоморфные образы алгебры L полупросты (или равны нулю).
При этом каждый идеал в алгебре L является суммой некоторых ее
простых идеалов.

§ 5. Форма Киллинга 39
5.3. Внутренние дифференцирования. Невырожденность формы
Киллинга имеет еще одно важное следствие. Перед тем как его сформу-
сформулировать, напомним результат упражнения 2.1: ad L является идеалом в
Der L (для любой алгебры Ли L). Доказательство основано на простом
наблюдении:
[8, adx] = ad(8x), xeL, Ь е Der L. (*)
Теорема. Если алгебра L полупроста, то ad L = Der L (т.е. любое
дифференцирование в ней является внутренним).
Доказательство. ПосколькуL полупроста, Z(L) = 0. Поэтому L —>
-^ad L — изоморфизм алгебр Ли. В частности, 714 = ad L обладает невыро-
невырожденной формой Киллинга (теорема 5.1). Если D = Der L, то, как мы толь-
только что отметили, [Д М]сМ. Отсюда следует (по лемме 5.1), что хм явля-
является ограничением формы Киллинга xD алгебры D на 714 х 714. В частности,
если / = 714Х —подпространство в Д ортогональное к 714 относительно фор-
формы xD, то из невырожденности формы хм следует, что 1Г\М = 0. Как /, так
и 714 являются идеалами в Д а значит, [/, 714] = 0. Если теперь 8 Е /, то с
учетом (*) мы получаем ad(8x) = 0 для всех х Е L, что в свою очередь вле-
влечет равенство 8х = 0 (xeL), так как отображение ad взаимно однозначно.
Следовательно, 8 = 0. Отсюда заключаем, что / = 0, Der L = 714 = ad L. ?
5.4. Абстрактное разложение Жордана. С помощью теоремы 5.3
можно ввести абстрактное разложение Жордана в произвольной полупро-
полупростой алгебре Ли L. Напомним (лемма 4.2В), что если 21 — любая F-алгебра
конечной размерности, то Der 21 содержит полупростые и нильпотентные
части всех своих элементов при разложении в End 21. Как следствие, по-
поскольку Der L совпадает с ad L (см. п. 5.3), а отображение L —> ad L взаимно
однозначно, по каждому элементу х Е L однозначно восстанавливаются та-
такие элементы s, n^L, что ad x = ad 5 + ad n — обычное разложение Жор-
Жордана элемента ad x в End L. Это означает, что x = s + n, где [s, n] = 0,
элемент 5 является ad-полу'простым (т.е. ad 5 полупрост), а элемент п
является ad-нильпотентен. Будем писать s = xs, n = xn и (в виде некоторой
вольности языка) назовем s я п полупростой и нильпотентной частя-
частями элемента х.
Внимательный читатель возразит здесь, что обозначение xs, xn двусмы-
двусмысленно в случае, когда L — линейная алгебра Ли. В пункте 6.4 мы покажем,
что только что полученное абстрактное разложение элемента х на самом
деле согласовано во всех таких случаях с обычным разложением Жордана.
Пока же мы удовлетворимся замечанием, что это верно в частном случае
L=sl(V) (пространство V конечномерно). Действительно, пусть x = xs -\-xn
в End V (обычное разложение Жордана), xeL. Поскольку хп — ниль-
потентный эндоморфизм, его след равен нулю, и потому хп Е L. Отсюда
вытекает, что xs также имеет нулевой след, и потому xseL. Далее, элемент

40 Глава II. Полупростые алгебры Ли
adfl[(v) xs полупрост (лемма 4.2А), поэтому adL xs тем более полупрост; ана-
аналогично adL xn нильпотентен, и [adL xs, adL xn] = adL[xs, xn] = 0. Остается
использовать единственность абстрактного разложения Жордана в L.
Упражнения
1. Докажите, что если алгебра L нильпотентна, то ее форма Киллинга
тождественно равна нулю.
2. Докажите, что алгебра L разрешима, если и только если [L, L] лежит
в радикале формы Киллинга.
3. Пусть L — двумерная неабелева разрешимая алгебра Ли (см. п. 1.4).
Докажите, что ее форма Киллинга не является тождественным нулем.
4. Пусть L — трехмерная разрешимая алгебра Ли из упражнения 1.2.
Вычислите радикал ее формы Киллинга.
5. Пусть L = slB, F). Вычислите базис алгебры L, двойственный к стан-
стандартному относительно формы Киллинга.
6. Пусть char F = р ф 0. Докажите, что алгебра L полупроста, если
ее форма Киллинга невырожденна. Покажите на примере, что обратное
неверно. [Профакторизуйте алгебру 5lC, F) по модулю ее центра при
char F = 3.]
7. Вычислите детерминант формы х для 5lC, F) в стандартном базисе.
На какие простые числа он делится?
8. Пусть L = L{® ... 0 Lt — разложение полупростой алгебры Ли L в
сумму ее простых идеалов. Покажите, что полупростая и нильпотентная
части элемента х Е L — это суммы полупростых и нильпотентных частей
его компонент в идеалах Lt.
Замечания
Даже в простой характеристике из невырожденности формы Киллин-
Киллинга вытекают весьма сильные утверждения о структуре алгебры Ли. См.
Seligman [1], Pollack [1], Kaplansky [1].
§6. Полная приводимость представлений
В этом параграфе все представления конечномерны, если не ого-
оговорено противное.
Мы намереваемся изучать полупростую алгебру Ли L с помощью ее
присоединенного представления (см. §8). Оказывается, алгебра L постро-
построена из экземпляров алгебры 5lB, F); чтобы изучить присоединенное дей-
действие этой трехмерной подалгебры, нам потребуется точная информация
о ее представлениях, которая и будет дана ниже в § 7. Вначале мы дока-
докажем важную общую теорему (принадлежащую Вейлю) о представлениях
произвольной полупростой алгебры Ли.

§6. Полная приводимость представлений 41
6.1. Модули. Пусть L— некоторая алгебра Ли. Часто бывает удобно
использовать язык модулей наряду с (эквивалентным) языком предста-
представлений. Как и в других алгебраических теориях, здесь имеется естествен-
естественное определение. Векторное пространство V с дополнительной операцией
L х У—> V (обозначаемой (х, v)^x-v или просто xv), называется L-mo-
дулем, если выполнены следующие условия:
(Ml) (ax + by)-v = a(x-v)+b(y-v),
(М2) х • (av + bw) = а(х • v) + b(x • w),
(M3) [xy]-v = x-у-v — у-x-v (x, уe L; и, шеК; a, beF).
Например, если cp: L^gi(V) — представление алгебры L, то V можно рас-
рассматривать как L-модуль с операцией x-v = y(x)(v). Обратно, для данного
L-модуля V это уравнение определяет представление cp: L—»0[(V).
Гомоморфизм L-модулей — это такое линейное отображение ср: У—>
—> W, что ф(х•v)=x-ф(у). Ядро такого гомоморфизма будет L-подмодулем
в 1/ (и все стандартные теоремы о гомоморфизмах устанавливаются без
труда). Если ф является изоморфизмом векторных пространств, мы на-
называем его изоморфизмом L-модулей; в этом случае говорят, что два
модуля соответствуют эквивалентным представлениям алгебры L. Не-
Неприводимым называется такой L-модуль V, у которого имеется ровно
два L-подмодуля (он сам и 0); как следствие, мы не рассматриваем
нульмерное векторное пространство как неприводимый L-модуль.
Однако мы относим к неприводимым одномерное пространство, на котором
действует L (быть может, тривиально). Модуль V называется вполне при-
приводимым, если он является прямой суммой неприводимых L-подмодулей,
или, что равносильно (упражнение 2), если каждый L-подмодуль W в V
имеет дополнение W (т.е. такой L-подмодуль, для которого V=W ф W).
Разумеется, прямую сумму произвольных L-модулей W, W можно очевид-
очевидным образом превратить в L-модуль, положив х • (w, w') = (x-w,x- w'). Все
эти понятия хорошо известны; они применимы и при dim l/ = oo. Разуме-
Разумеется, термины «неприводимые» и «вполне приводимые» с равным успехом
можно применять и к представлениям алгебры L.
Пусть дано представление ф: L—»0[(V). Ассоциативная алгебра (с еди-
единицей), которую ф^) порождает в End V, оставляет инвариантными те же
подпространства, что и L. Поэтому все обычные утверждения о модулях
над ассоциативными кольцами (например, теорема Жордана—Гёльдера)
выполняются и для L. Для применения в дальнейшем напомним хорошо
известную лемму Шура.
Лемма (Шур). Пусть представление ф: L^>gl(V) неприводимо. То-
Тогда среди эндоморфизмов пространства V только скаляры комму-
коммутируют со всеми отображениями ф(х) (xeL).
Сама алгебра L является L-модулем (он соответствует присоединен-
присоединенному представлению). Его L-подмодули — это в точности идеалы; поэтому

42 Глава II. Полупростые алгебры Ли
если алгебра L проста, то она неприводима как L-модуль, а если полупро-
полупроста, то вполне приводима (теорема 5.2).
Приведем ряд стандартных способов изготовления одних L-модулей из
других (это пригодится нам ниже). Пусть V—некоторый L-модуль. Тогда
двойственное векторное пространство V* можно превратить в L-модуль
(называемый двойственным или сопряженным), если при /еР, veV,
xgL положить (х• f)(v) = — f(x• v). Аксиомы (Ml), (M2) почти очевидны,
так что проверим лишь (МЗ):
([х, y
Если 1/, W—два L-модуля, то пусть V®W—тензорное произве-
произведение над F соответствующих векторных пространств. Напомним, что
если пространства V и W имеют базисы соответственно (иь ..., vm) и
(wi, ..., wn), то в пространстве V®W имеется базис, состоящий из тп
векторов Vi®Wj. Возможно, читатель знает, как вводится структура модуля
на тензорном произведении двух модулей над группой G: для образую-
образующих v®w нужно положить g- (v^w) = g-v®g-w. «Дифференцируя»
это равенство, получаем корректное определение для случая алгебр Ли:
x-(v®w)=x-v®w + v®x-w. Как и выше, решающее значение имеет
проверка аксиомы (МЗ):
[х, y]-(v®w)=[x, y]-v®w + v®[x, y]-w =
К тому же результату приводит разложение (х • у — у • х) • (v 0 w).
Пусть V—векторное пространство над F. Существует стандартный
(и очень полезный) изоморфизм векторных пространств V* ® 1/^End V,
при котором образующему вида f®v(fEV*,vEV) соответствует эндомор-
эндоморфизм, отображающий w E V в f(w)v. Стандартное рассуждение (с исполь-
использованием двойственных базисов) показывает, что мы определили эпимор-
эпиморфизм V* 0 1/^End V, а так как оба пространства имеют размерность п2
(n = dim V), он обязан быть изоморфизмом.
Если теперь V (а тогда и V*) является L-модулем, то способ, изло-
изложенный выше, превращает и V* ®V в L-модуль. В силу описанного изо-
изоморфизма пространство End V также можно рассматривать как L-модуль.
Соответствующее действие алгебры L на End V можно описать и непо-
непосредственно: (x-f) (v) =x-f(v) —f(x-v),xeL, feEnd V,veV (проверьте!).
Более общо, если даны два L-модуля V и W, то L действует естественным
образом на пространстве Hom(l/, W) линейных отображений по правилу

§ 6. Полная приводимость представлений 43
(х • /) (v) = х • f(v) — f(x • v). (Это действие возникает из изоморфизма между
НотA/, Г) и |/*®Г)
6.2. Элемент Казимира представления. В §5 с помощью критерия
разрешимости Картана (в терминах следа) мы доказали, что полупро-
полупростая алгебра Ли L имеет невырожденную форму Киллинга. Более общо,
пусть алгебра L полупроста, а ср: L^$l(V) — ее точное (т.е. взаимно
однозначное) представление. Определим на алгебре L симметрическую би-
билинейную форму |3(х, у) =Тг(ф(х)ф(у)). Форма C ассоциативна благодаря
тождеству (*) из п. 4.3, и, как следствие, ее радикал 5 является идеалом
в L. Кроме того, форма [3 невырожденна: действительно, ввиду теоремы 4.3
алгебра cp(S) =S разрешима, и потому 5 = 0. (В частном случае ф = ad фор-
форма C совпадает с формой Киллинга.)
Пусть теперь алгебра L полупроста, C — любая невырожденная сим-
симметрическая ассоциативная билинейная форма на L. Если (хь ..., хп) —
базис в L, то существует однозначно определенный двойственный базис
(Уи ..., Уп) относительно формы [3, удовлетворяющий условию [3(хь у})=Ьц.
Если xeL, то можно записать [х, xt] = ^2 ацх-} и [х, yi] = Y ЬцУг С уче-
том ассоциативности формы [3 получаем aik = J^ аф(х^, yk) =|3([x, xt], у и) =
= P(-[xh x], yk)=p(xh -[x, yk}) = -J2 bk$(Xi, yj) = -bki.
i
Пусть ф: L^gl(V) — некоторое представление алгебры L. Положим
сфФ) =S ф(хОф(//О ^ End 1/ (как и выше, xt, yt пробегают двойствен-
i
ные базисы относительно формы C). Используя тождество (в End V)
[х, yz] = [x, y]z + y[x, z] и тот факт, что aik = —bki (как и выше, xeL),
получаем
ij(f(Xi)(f(yj) = 0.
Другими словами, сф(р) является эндоморфизмом пространства V,
коммутирующим с (f(L).
Подытожим предыдущие замечания. Пусть ср: L^qI(V) — точное пред-
представление с (невырожденной!) формой следа C(х, у) =Тг(ф(х)ф(у)). В этом
случае, зафиксировав в алгебре L базис (хь ..., хп), обозначим сф(C) про-
просто через сф и назовем его элементом Казимира для ср. Его след равен
Y^ Тг(ср(л;/)ср(*//)) = Yl Pte> ///) = dim L ф 0. Если при этом представление ф
/ i
неприводимо, то в силу леммы Шура из п. 6.1 элемент сф является скаляром
(равным dim L/dim 1/, что вытекает из предыдущей фразы); мы видим, что
в этом случае сф не зависит от выбранного нами базиса в пространстве L.

44 Глава II. Полупростые алгебры Ли
Пример. Пусть L=$lB, F), 1/=F2, cp — тождественное отображение
L^gl(V). Пусть, далее, (х, h, у) — стандартный базис в L (см. п. 2.1).
Легко видеть, что двойственный базис относительно формы следа име-
/О /О Г\ \
ет вид (у, /г/2, х), так что сЦ)=ху-\- l/2h2 + ух= ( „ ч/9/' Отметим, что
3/2 = dim Z/dim V.
Если представление ср более не предполагается точным, то требует-
требуется небольшая модификация. Будучи идеалом в L, Кег ср является суммой
простых идеалов (следствие 5.2). Пусть L' обозначает сумму остальных
простых идеалов (теорема 5.2). Тогда ограничение представления ср на L'
является точным представлением, и мы можем выполнить предыдущее
построение (используя двойственные базисы в L'); полученный элемент
пространства End V также называется элементом Казимира для ср и обо-
обозначается сф. Ясно, что он коммутирует с cp(L) =cp(Z/) и т.д.
Замечание напоследок: часто удобно считать, что мы работаем с точным
представлением алгебры L, что равнозначно изучению представлений ее
(полупростых) идеалов. Если алгебра L проста, точными будут все модули,
кроме одномерного (на котором L действует тривиально) и нулевого.
6.3. Теорема Вейля.
Лемма. Пусть ср: L^>gl(V) — представление полупростой алгебры
Ли L. Тогда cp(L) csi(V). В частности, L действует тривиально на
любом одномерном L-модуле.
Доказательство. Используем равенство L = [L, L] (см. п.5.2), а
также тот факт, что sl(V) — производная алгебра для gl(l^). ?
Теорема (Вейль). Пусть ср: L^gi(V) — (конечномерное) предста-
представление полупростой алгебры Ли, 1//0. Тогда представление ср вполне
приводимо.
Доказательство. Начнем с частного случая, когда в V
имеется L-подмодуль W коразмерности один. Поскольку согласно лемме
алгебра L тривиально действует на V/W, можно обозначить этот модуль
через F, не опасаясь путаницы. Получаем точную последовательность
O^W^V^F^O. Индукцией по dim W можно свести теорему к случаю
неприводимого L-модуля W. А именно, пусть W — собственный
ненулевой подмодуль в W. Тогда имеется точная последовательность
О —> W/W —> V/W —> F —> 0. По предположению индукции эта последова-
последовательность «расщепляется», т.е. в V/W существует одномерный L-подмо-
L-подмодуль (скажем, W/W), дополнительный к W/W'. Отсюда получаем другую
точную последовательность: 0—>W7—>W'—»F—»0. Ситуация аналогична
исходной с тем различием, что dim W < dim W. По индукции получа-
получаем (одномерный) подмодуль X, дополнительный к W в W: W = W ф X.
Но V/W' = W/W'®W/W. Следовательно, V=W®X, поскольку сумма
размерностей слагаемых равна dim V и при этом Wn X = 0.

§ 6. Полная приводимость представлений 45
Теперь мы можем считать модуль W неприводимым. (Без потери общ-
общности можно также принять, что L действует на V точно.) Пусть с = сЦ)—
элемент Казимира для ср (см. п. 6.2). Поскольку с коммутирует с cp(L), с в
действительности является эндоморфизмом L-модуля V; в частно-
частности, c(W) cW и Кег с является L-подмодулем в V. Поскольку L действует
на V/W тривиально (т.е. cp(L) отображает V в W), это верно и для с (как
линейной комбинации произведений элементов из у(х)). Поэтому с имеет
нулевой след на V/W. С другой стороны, по лемме Шура с действует как
скаляр на неприводимом L-подмодуле W; этот скаляр не равен 0, иначе
выполнялось бы равенство Ti>(c) = 0, вопреки доказанному в п. 6.2. Как
следствие, Кег с является одномерным L-подмодулем в V и имеет триви-
тривиальное пересечение с W. Мы получили искомое дополнение к W.
Теперь мы готовы взяться за общий случай. Пусть W — произ-
произвольный ненулевой подмодуль в V: О—>W—»У—>V/W—»0. Далее, пусть
(Hom(P, W)) — пространство линейных отображений У—» W, рассматри-
рассматриваемое как L-модуль (см. п. 6.1). Обозначим через У подпространство в
Hom(l/, W), состоящее из тех отображений, которые действуют на W как
умножение на скаляр. Оно является L-подмодулем: если f\w = a • \w, то при
х е L, w е W мы имеем (х • /)(w) = х • f(w) — f(x • w) = а(х • w) — а(х • w) = О,
а значит x-f\w = O. Пусть теперь W — подпространство в У, состоящее
из тех /, которые аннулируют W. Из предыдущих выкладок следует, что
W также является L-подмодулем, причем L отображает V в W. При этом
"V/W имеет размерность 1, поскольку /еУ определяется (по модулю W)
скаляром f\w. Мы приходим к ситуации O^W^y^F^O, уже разо-
разобранной выше.
В соответствии с первой частью доказательства, У имеет одномер-
одномерный подмодуль, дополнительный к W. Пусть его порождает отображе-
отображение /: У—» W. После умножения на ненулевой скаляр можно считать, что
fw=\w. Алгебра L аннулирует/, если и только если 0 = (x-f)(v) =x-f(v) —
— /(х-и), т.е. /является L-гомоморфизмом. Тогда Кег /—под-
/—подмодуль в V. Так как / отображает V в W, а на W действует как lw, мы
получаем, что V = W ф Кег /, что и требовалось. ?
6.4. Сохранение разложения Жордана. Теорема Вейля, разумеется,
играет решающую роль при изучении представлений полупростой алгебры
Ли L. Здесь мы дадим ей более непосредственное применение, показав с ее
помощью, что абстрактное разложение Жордана (см. п. 5.4) согласовано
со всевозможными линейными представлениями алгебры L.
Теорема. Пусть Lcgi(V)—полупростая линейная алгебра Ли
(пространство V конечномерно). Тогда L содержит полупростые и
нилъпотентные части всех своих элементов при разложении в &l(V).
Как следствие, абстрактное и обычное разложения Жордана в L
совпадают.

46 Глава II. Полупростые алгебры Ли
Доказательство. Второе утверждение вытекает из первого, по-
поскольку разложение Жордана каждого типа единственно (см. пп.4.2, 5.4).
Возьмем произвольный элемент х Е L с разложением Жордана х =
= xs+xn в gi(V). Нужно показать, что xs, xn лежат в L. Поскольку
adx(L)cL, ввиду предложения 4.2С мы получаем, что adxs(L)cL и
ad xn(L) cL, где ad = adfli(y). Другими словами, xs, xn eNgl{v)(L) =N. Это
подалгебра Ли в $l(V), в которой L является идеалом. Нам было бы до-
достаточно показать, что N = L, но это, к сожалению, неверно: например,
скаляры лежат в N, но не в L, поскольку Lcsl(V) (лемма 6.3). Поэто-
Поэтому нужно заключить xs, xn в некоторую подалгебру, меньшую чем /V, а
затем показать, что она совпадает с L. Если W—произвольный L-подмо-
дуль в V, положим Lw = {у е gl(V): y(W) С W и Tr(y\w) = 0}. Например,
Lv=sl(V). Поскольку L = [L, L], алгебра L заведомо содержится во всех
таких Lw. Пусть L' — пересечение подалгебры N со всеми подпростран-
подпространствами Lw. Очевидно, L' — подалгебра в N, содержащая L как идеал
(но, отметим, не содержащая скаляров). Можно утверждать и больше:
если xeL, то элементы xs, хп также содержатся в Lw, а потому и в L'.
Осталось доказать, что L = L'. Так как L' — конечномерный L-модуль,
в силу теоремы Вейля (см. п. 6.3) можно записать L' = L + M для некото-
некоторого L-подмодуля М, где сумма прямая. Но [L, L']cL (поскольку L' CN),
поэтому действие алгебры L на М тривиально. Пусть W—произвольный
неприводимый L-подмодуль в V. Если у Е М, то [L, у] = 0, и в силу леммы
Шура у действует на W как скаляр. С другой стороны, Tr(y\w)=0, так
как у Е Lw. Поэтому у отображает IF в 0. По теореме Вейля V является
прямой суммой неприводимых L-подмодулей, так что на самом деле у = 0.
Это означает, что М = 0, L = L'. ?
Следствие. Пусть L — полупростая алгебра Ли, ср: L -^&l(V) — ее
(конечномерное) представление. Если x = s + n—абстрактное раз-
разложение Жордана элемента xeL, то ср(х) =cp(s) +<р(п)—обычное
разложение Жордана элемента ф(х).
Доказательство. Алгебра cp(L) порождается собственными век-
векторами отображения ad9(L) (f(s), поскольку это верно для L по отноше-
отношению к ad s; следовательно, элемент ad9(L) cp(s) полупрост. Аналогично эле-
элемент ad^) (f(n) нильпотентен и коммутирует с ad9(L) (f(s). Соответственно
(f(x)=(f(s)-\-(f(n) — абстрактное разложение Жордана элемента ср(х) в по-
полупростой алгебре Ли cp(L) (см. п. 5.4). Применив предыдущую теорему,
получаем искомый результат. ?
Упражнения
1. Выразите элемент Казимира присоединенного представления алге-
алгебры L=slB, F) через ее стандартный базис (см. упражнение 5.5). Сделай-
Сделайте то же для стандартного (трехмерного) представления алгебры 5lC, F),

§ 6. Полная приводимость представлений 47
предварительно вычислив двойственные базисы относительно формы сле-
следа.
2. Пусть V—некоторый L-модуль. Докажите, что V является прямой
суммой неприводимых подмодулей, если и только если каждый его L-под-
модуль имеет дополнение.
3. Докажите, что если алгебра L разрешима, то каждое ее неприводимое
представление одномерно.
4. С помощью теоремы Вейля дайте другое доказательство равен-
равенства ad L = Der L для полупростой алгебры L (теорема 5.3). [Для 8 Е Der L
превратите прямую сумму F + L в L-модуль по правилу х-(а,у) =
= @, аЪ(х) +[х, у]). Затем рассмотрите дополнение к подмодулю L.]
5. Алгебра Ли L, для которой Rad L = Z(L), называется редуктивной.
(Примеры: абелевы алгебры, полупростые алгебры, $l(n, F).) Докажите
следующие утверждения.
(a) Если алгебра L редуктивна, то L вполне приводима как ad L-модуль.
[Если ad L ф О, воспользуйтесь теоремой Вейля.] Как следствие, L равна
прямой сумме подалгебр Z(L) и [LL], где алгебра [LL] полупроста.
(b) Если L — классическая линейная алгебра Ли (см. п. 1.2), то L по-
полупроста. [См. упражнение 1.9.]
(c) Если алгебра L вполне приводима как ad L-модуль, то она редук-
редуктивна.
(d) Если алгебра L редуктивна, то вполне приводимы все ее конечно-
конечномерные представления, в которых образ центра состоит из полупростых
эндоморфизмов.
6. Пусть L — простая алгебра Ли, а [3(х, у) и у(х, у) — две симме-
симметрические ассоциативные билинейные формы на L. Докажите, что если
формы р и у невырожденны, то они пропорциональны. [Примените лемму
Шура.]
7. Позже мы увидим, что алгебра si(n, F) в действительности проста.
С помощью этого факта и упражнения 6 докажите, что форма Киллинга х
на si(n, F) связана с обычной формой следа по формуле х(х, у)=2п Тг(ху).
8. Произвольная алгебра Ли L действует (посредством ad) на алгебре
(L(g)L)*, которую можно отождествить с пространством всех билинейных
форм [3 на L. Докажите, что форма C ассоциативна, если и только если
L-[3 = 0.
9. Пусть L' — полупростая подалгебра в полупростой алгебре Ли L.
Если х Е L', то разложение Жордана элемента х в U совпадает с его раз-
разложением Жордана в L.
Замечания
Доказательство теоремы Вейля основано на работе Brauer [1]. Пер-
Первоначальное доказательство было совершенно иным и использовало

48 Глава II. Полупростые алгебры Ли
интегрирование по компактным группам Ли, см. Freudenthal, de Vries [1].
В теореме 6.4 мы следовали Bourbaki [1].
§7. Представления алгебры s[B, F)
В этом параграфе (как и в §6) все модули предполагаются конеч-
конечномерными над F. Через L обозначается алгебра 5lB, F) со стандартным
базисом
/О 1\ /0 0\ , /1 0\
х - Vo о.
(пример 2.1). Тогда [h, x] = 2x, [h, y] = —2y, [x, y] = h.
7.1. Веса и старшие векторы. Пусть V—произвольный L-модуль.
Поскольку элемент h полупрост, в силу следствия 6.4 он действует на
V диагонально. (Так как поле F предполагается алгебраически замкну-
замкнутым, все соответствующие собственные значения принадлежат F.) Отсюда
возникает разложение модуля V в прямую сумму собственных подпро-
подпространств 1/х = {v G V: h-v = Xu}, X G F. Конечно, подпространство 1/х можно
определить (как нулевое) и когда X не является собственным значением
эндоморфизма, представляющего h. В случае когда Vx/0, мы называем X
весом элемента h в пространстве V, а 1/х — весовым подпространством.
Лемма. Если v g V\, то х • v G 14+2 и у -v ? Vx-2-
Доказательство. Мы имеем h • (х • v) =[h, x]-v + x-h-v = 2x-v +
-f Xx • v = (X + 2)x • и, и аналогично для у. ?
Замечание. Из леммы вытекает, что элементы х, у представляются
нильпотентными эндоморфизмами модуля V; но это следует уже из теоре-
теоремы 6.4.
Поскольку dim V < 00, а сумма V= Ц 1/х — прямая, должно существо-
XGF
вать такое подпространство V^^O, что 1/х+2 = 0. (Согласно лемме тогда
х• v = 0 при всех ug 1/х.) Любой ненулевой вектор в 1/х с таким X называ-
называется старшим вектором веса X.
7.2. Классификация неприводимых модулей. Предположим те-
теперь, что V — неприводимый L-модуль. Выберем старший вектор, скажем
v0 G V\, положим u_i =0, vt = (\/И)у1 -v0 A^0).
Лемма. Справедливы равенства:
(а)
(Ь)
Доказательство. Равенство (а) вытекает из повторного примене-
применения леммы 7.1, тогда как (Ь) верно по определению. Чтобы доказать (с),
применим индукцию по /. Случай / = 0 очевиден (так как мы положили

§7. Представления алгебры slB, F) 49
v_i = 0). Заметим, что
ix-Vi=x-у-Vi_i = (по определению)
= [х, y]-vi_{+y-x-vi_{=h-vi_{+y-x-vi_{ =
= (k-2(i-\))vi_l+(k-i + 2)y-vi_2 = (ввиду (а) и предпо-
предположения индукции)
_i= (ввиду (Ь))
Теперь разделим обе части равенства на /. П
В силу формулы (а) все ненулевые элементы vt линейно независимы.
Но dim 1/<оо. Пусть т — наименьшее целое число, для которого ьтф
/0, vm+{ = 0; ясно, что vm+i = 0 при всех / > 0. Вместе формулы (а)—(с)
показывают, что подпространство в V с базисом (v0, V\, ..., vm) является
ненулевым L-подмодулем. Поскольку модуль V неприводим, это подпро-
подпространство совпадает с V. При этом в упорядоченном базисе (v0, v{, ..., vm)
можно в явном виде выписать матрицы эндоморфизмов, представляю-
представляющих х, у, h; отметим, что h представляется диагональной матрицей, а х
я у — соответственно верхней и нижней треугольными нильпотентными
матрицами.
При внимательном взгляде на формулу (с) открывается неожиданный
факт: при i = m-\-\ левая часть равна 0, а правая — (k — m)vm. Посколь-
Поскольку vm ф 0, то мы заключаем, что X = т. Другими словами, вес старшего
вектора равен неотрицательному целому числу (на единицу меньше,
чем dim V). Назовем его старшим весом для V. При этом в силу форму-
формулы (а) каждый вес \х имеет кратность 1 (т.е. dim 1/^=1, если l/^^O); как
следствие, поскольку V однозначно определяет X (X = dim V — 1), старший
вектор v0 единствен в V (с точностью до ненулевого скалярного множите-
множителя). В итоге доказана
Теорема. Пусть V— неприводимый модуль над L = siB, F).
(a) Относительно h модуль V является прямой суммой весовых
подпространств V^ \х = т, т — 2, ..., —(т — 2), —т, где т+\= dim V
и dim Vp = 1 для каждого \х.
(b) В V имеется (с точностью до ненулевого скалярного множи-
множителя) единственный старший вектор, вес которого (называемый
старшим весом для V) равен т.
(c) Действие алгебры L на V выражается приведенными фор-
формулами, если базис выбран как выше. Как следствие, существует
(с точностью до изоморфизма) не более одного неприводимого
L-модуля каждой возможной размерности т+ 1, т>0. ?
Следствие. Пусть V—произвольный {конечномерный) L-модуль,
L=siB, F). Тогда все собственные значения эндоморфизма h на V
целые, и каждое встречается с той же кратностью, что и проти-

50 Глава II. Полупростые алгебры Ли
воположное. При этом в любом разложении модуля V в прямую сум-
сумму неприводимых подмодулей число слагаемых равно dim l/0 + dim V{.
Доказательство. При V = 0 доказательство не требуется. В осталь-
остальных случаях запишем V с помощью теоремы Вейля (п. 6.3) как прямую
сумму неприводимых подмодулей. Последние описаны в предыдущей тео-
теореме, и первое утверждение следствия очевидно. Для доказательства вто-
второго заметим, что каждый неприводимый L-модуль встречается ровно один
раз, причем с весом 0 или 1 (но не с обоими). ?
Для целей этой главы доказанная теорема и ее следствие вполне доста-
достаточны. Однако было бы неразумно закрывать эту тему, не выяснив, суще-
существуют ли неприводимые 5lB, F)-модули со всеми возможными старшими
весами т = 0, 1, 2, ... Конечно, мы уже знаем, как строить соответствую-
соответствующие модули в малых размерностях: тривиальный модуль (размерность 1),
естественное представление (размерность 2), присоединенное представле-
представление (размерность 3). Для произвольного т^О с помощью формул (а)—(с)
из леммы 7.2 можно определить неприводимое представление алгебры L на
(т+ 1)-мерном векторном пространстве над F с базисом (v0, vu ..., vm),
которое обозначается V(m). Как обычно, (легкая) проверка этого утвер-
утверждения предоставляется читателю (упражнение 3). (Общую теорему су-
существования см. ниже в п. 20.3.)
Еще одно замечание: симметрию в структуре пространства V(m) можно
сделать более очевидной, применив сказанное об экспоненциаль-
экспоненциальных отображениях в п.2.3. Пусть ср: L^gi(V(m)) — неприводимое
представление со старшим весом т. Тогда (р(х), ср(у) — нильпотентные
эндоморфизмы (ввиду предыдущих формул), и мы можем определить ав-
автоморфизм пространства V(m), положив т = ехр ср(х) ехр у (—у) ехр ср(х).
Мы вправе считать, что т > 0, так что представление точное (посколь-
(поскольку алгебра L проста). Из п.2.3 видно, что трансформирование эндомор-
эндоморфизма ф(й) посредством т равнозначно применению к ср(й) отображения
exp(ad ф(х)) exp(ad ф(—у)) exp(ad ф(х)). Но алгебра (f(L) изоморфна L, по-
поэтому можно провести вычисление, как в п.2.3. Вывод: тф(/г)т~1 = — ф(й),
или -сф(й) = —ф(й)*с. Мы сразу видим, что т отображает базисный вектор vt
веса m — 2i в базисный вектор vm_i веса —(m — 2i). (В п. 2.3 мы ограничи-
ограничились частным случаем т=\.) Более общо, если V—любой конечномерный
L-модуль, то т переставляет его положительные и отрицательные весовые
подпространства.
Упражнения
В этих упражнениях L = siB, F).
1. С помощью теоремы Ли докажите существование старшего векто-
вектора в произвольном конечномерном L-модуле. [Рассмотрите подалгебру В,
которую порождают h и х.]

§7. Представления алгебры slB, F) 51
2. Алгебра M=$lC, F) содержит L в виде подалгебры матриц, у кото-
которых последняя строка и последний столбец нулевые. Представьте М как
прямую сумму неприводимых L-модулей (рассматривая М как L-модуль,
соответствующий присоединенному представлению):
1/AH 1/AH
3. Проверьте, что формулы (а)—(с) из леммы 7.2 на самом деле опре-
определяют неприводимое представление алгебры L. [Чтобы показать, что они
определяют представление, достаточно показать, что структурные уравне-
уравнения для х, у, h выполнены и для соответствующих им матриц.]
4. Неприводимое представление алгебры L старшего веса т допус-
допускает следующую «естественную» реализацию. Пусть X, Y—базис дву-
двумерного векторного пространства F2, на котором L действует обычным
образом. Далее, пусть R = F[X, Y] — алгебра многочленов от двух пере-
переменных. Распространим действие алгебры L на М по правилу дифферен-
дифференцирования: z- fg=(z- f)g + f(z • g) при z G L; /, gGM. Покажите, что такое
определение корректно, причем R превращается в L-модуль. Затем пока-
покажите, что подпространство однородных многочленов степени т с базисом
Хт, X,m~l Y, ..., XYm~\ Ym инвариантно при действии алгебры L и непри-
водимо со старшим весом т.
5. Пусть char F = p > 0, L=slB, F). Докажите, что представление V(m)
алгебры L, построенное как в упражнениях 3 и 4, неприводимо, пока стар-
старший вес т строго меньше р, но приводимо при т = р.
6. Разложите тензорное произведение L-модулей 1/C), 1/G) в сумму
неприводимых подмодулей
1/DH 1/FH 1/(8H 1/A0).
Попробуйте вывести общую формулу для разложения произведения
V(m)®V(n).
7. В этом упражнении мы построим некоторые бесконечномер-
бесконечномерные L-модули. Пусть XgF — произвольный скаляр, a Z(X) — векторное
пространство над F с бесконечным счетным базисом (v0, vu v2, ... ).
(a) Докажите, что формулы (а)—(с) из леммы 7.2 определяют на Z(X)
структуру L-модуля и каждый его ненулевой L-подмодуль содержит хотя
бы один старший вектор.
(b) Пусть X + 1 = / — неотрицательное целое число. Докажите, что vt —
старший вектор (например, для Х = —1, / = 0). Отсюда возникает гомомор-
гомоморфизм L-модулей Z([i) -^>Z(X), \i = \ — 21, отображающий v0 в vt. Покажите,
что ф является мономорфизмом, причем оба L-модуля Im cp, Z(X)/lm cp
неприводимы (но Z(X) не будет вполне приводимым при / > 0).
(c) Пусть Х+ 1 не является неотрицательным целым числом. Докажите,
что модуль Z(X) неприводим.

52 Глава II. Полупростые алгебры Ли
§8. Разложение на корневые подпространства
В этом параграфе L обозначает полупростую алгебру Ли. Мы на-
намереваемся подробно изучить ее строение с помощью присоединенного
представления. Нашими основными инструментами будут форма Киллин-
га и теоремы из пп. 6.4, 7.2 (которые существенно опираются на теорему
Вейля). Читателю полезно иметь в виду для наглядности частный случай
L = slB, F) (и вообще sl(n, F)).
8.1. Максимальные торические подалгебры и корни. Если алге-
алгебра L состоит только из нильпотентных (т.е. ad-нильпотентных) элементов,
то она и сама нильпотентна (теорема Энгеля). В противном случае можно
найти элемент х Е L с ненулевой полупростой частью xs в абстрактном раз-
разложении Жордана (см. п. 5.4). Это показывает, что в L имеется ненулевая
подалгебра, состоящая из полупростых элементов (например, натянутая
на х). Назовем такую подалгебру торической. Следующая лемма имеет
некоторое сходство с теоремой Энгеля.
Лемма. Любая торическая подалгебра в L абелева.
Доказательство. Пусть Т—некоторая торическая подалгебра.
Нужно показать, что ad7-x = 0 для всех хеТ. Поскольку отображение
ad х диагонализуемо (ad x полупросто, a F алгебраически замкнуто), фак-
фактически нужно показать, что у adj- x нет ненулевых собственных значений.
Предположим противное: пусть [х, у] = ау (пф 0) для некоторого ненуле-
ненулевого элемента уеТ. Тогда сам элемент adr у(х) = —ау будет собственным
вектором для adj- у с собственным значением 0. С другой стороны, можно
записать х как линейную комбинацию собственных векторов отображения
adj- у (при этом элемент у также полупрост); после применения adj- у к х
может остаться лишь комбинация собственных векторов, отвечающих не-
ненулевым собственным значениям. Но это противоречило бы предыдущему
выводу. ?
Зафиксируем максимальную торическую подалгебру Я в L, т.е. та-
такую, которая не содержится ни в какой большей торической подалгебре.
(Обозначение Я не так естественно, как Т, но более традиционно.) Напри-
Например, если L = sl(n, F), то легко проверить (упражнение 1), что в качестве Я
можно взять множество диагональных матриц (со следом 0).
Поскольку подалгебра Я абелева (по предыдущей лемме), adL Я пред-
представляет собой коммутирующее семейство полупростых эндоморфизмов
алгебры L. Согласно известному результату из линейной алгебры их мож-
можно одновременно диагонализовать. Другими словами, L является пря-
прямой суммой подпространств La = {x^L: [h, x] = a(h)x для всех ЛеЯ},
где а пробегает Я*. Отметим, что Lo — это просто CL(H), централизатор
подалгебры Я; он содержит Я согласно лемме. Множество всех ненуле-
ненулевых элементов осЕЯ*, для которых La/0, обозначается Ф; его элементы

§8. Разложение на корневые подпространства 53
называются корнями алгебры Е относительно Я (и их количество конеч-
конечно). В этих обозначениях мы получаем разложение на корневые под-
подпространства (или разложение Картана):
Например, если Е=$1(п, F), то читатель заметит, что (*) соответствует
разложению алгебры Е по стандартному базису (см. п. 1.2). Далее мы
намерены, во-первых, доказать, что H = CL(H), затем подробнее описать
множество корней и, наконец, показать, что Ф полностью описывает L.
Начнем с нескольких простых замечаний о разложении на корневые
подпространства.
Предложение. Для любых а, ре Я* выполняется включение
[La, Lp] cLa+p. Если х е Еа, а^О, то оператор ad x нильпотентен.
Если а, [Зе Я* и а + р/0, то подпространство Еа ортогонально к Lp
относительно формы Киллинга х на Е.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из тождества
Якоби: если хеЕа, у е Lp, he Я, то ad h([x, у]) = [[h, х], у] + [х, [h, у]] =
= a(h)[x, y] + $(h)[x, y] = (aL + fi)(h)[x, у]. Второе утверждение непосред-
непосредственно вытекает из первого.
Чтобы доказать оставшееся утверждение, найдем элемент h e Я, для
которого (<х + р)(й) т^О. Тогда если хеЕа, уеЕ$, то ввиду ассоциа-
ассоциативности формы Киллинга х([й, х], у) = — х([х, h], у) = —х(х, [h, у]), а
значит a(h)x(x, у) = — р(Л)х(х, у) и (а + р)(Л)х(х, //) =0. Как следствие,
х(х,у)=0. П
Следствие. Ограничение формы Киллинга на E0 = CL(H) невыро-
невырожденно.
Доказательство. Из теоремы 5.1 мы знаем, что форма х невы-
рожденна. С другой стороны, согласно предложению алгебра Ео ортого-
ортогональна ко всем Еа (а е Ф). Если элемент z е Ео также ортогонален к Lo, то
x(z, E) = 0, откуда 2 = 0. ?
8.2. Централизатор подалгебры Н. Нам потребуется следующий
факт из линейной алгебры, доказываемый тривиально.
Лемма. Если х, у—коммутирующие эндоморфизмы конечномер-
конечномерного векторного пространства, причем эндоморфизм у нильпотен-
нильпотентен, то и ху нильпотентен; в частности, Тг(ху) =0.
Предложение. Пусть Я — максимальная торическая подалгебра
в Е. Тогда H=CL(H).
Доказательство разобьем на шаги. Положим С = CL(H).
1. Алгебра С содержит полупростые и нилъпотентные части
своих элементов. Сказать, что х принадлежит CL(H) — означает ска-
сказать, что ad х отображает подпространство Я алгебры Е в 0. Согласно

54 Глава II. Полупростые алгебры Ли
предложению 4.2, операторы (ad x)s и (ad х)п также обладают этим свой-
свойством. Но согласно п. 5.4, (ad x)s = ad xs и (ad x)n = ad xn.
2. Все полупростые элементы из С лежат в Я. Если элемент х по-
полупрост и коммутирует с Я, то Я + Fx (ясно, что это абелева подалгебра
в L) является торической подалгеброй: сумма коммутирующих полупро-
полупростых элементов снова полупроста (см. п. 4.2). Так как Я—максимальная
торическая подалгебра, Я + Fx = Я, и потому х Е Я.
3. Ограничение формы у. на И невырожденно. Пусть x(h, Я)=0
для некоторого h Е Я; нужно показать, что h = 0. Если элемент х Е С ниль-
потентен, то из равенства [х, Я] = 0 и нильпотентности отображения ad x
вытекает (ввиду предыдущей леммы), что Tr(ad x ad у) = 0 при всех уеН,
т. е. х(х, Я) = 0. Но тогда из утверждений 1 и 2 следует, что x(h, С) = 0, а
значит, /г = 0 (согласно следствию из предложения 8.1 ограничение фор-
формы х на С невырожденно).
4. Алгебра С нилъпотентна. Если элемент х^С полупрост, то хЕЯ
ввиду утверждения 2 и оператор adc х (=0) заведомо нильпотентен. С дру-
другой стороны, если хеС нильпотентен, то оператор adc x тем более нильпо-
нильпотентен. Пусть теперь х^С произволен, x = xs +xn. Поскольку xs, xn лежат
в С ввиду утверждения 1, оператор adc x равен сумме коммутирующих
нильпотентных операторов и потому сам нильпотентен. По теореме Энге-
ля алгебра С нильпотентна.
5. Выполнено равенство ЯП[С, С] = 0. Поскольку форма х ассо-
ассоциативна и [Я, С] = 0, то х(Я, [С, С])=0. Теперь применим утвержде-
утверждение 3).
6. Алгебра С абелева. В противном случае [С, С]/0. Ввиду утвержде-
утверждения 4 С нильпотентна, и по лемме 3.3 мы имеем Z(C) П[С, С]^0. Пусть
z Ф 0 лежит в этом пересечении. Ввиду утверждений 2 и 5 элемент z не
может быть полупростым. Поэтому его нильпотентная часть п не равна 0
и ввиду утверждения 1 лежит в С, а потому и в Z(C) согласно предло-
предложению 4.2. Но тогда из нашей леммы следует, что х(п, С)=0, вопреки
следствию 8.1.
7. Выполнено равенство С = Я. В противном случае С содержит нену-
ненулевой нильпотентный элемент х ввиду утверждений 1 и 2. Согласно лемме
и шагу 6 мы имеем х(х, у) = Tr(ad x ad у) = 0 при всех у ?С, что противо-
противоречит следствию 8.1. ?
Следствие. Ограничение формы х на Я невырожденно.
Это следствие позволяет нам отождествить Я с Я*: элементу ср Е Я*
отвечает (единственный) такой элемент /ф ^Н, что ср(й) =х(/ф, К) для всех
h^H. Тогда Ф отвечает подмножеству {ta; a E Ф} в Я.
8.3. Свойства ортогональности. В этом пункте с помощью формы
Киллинга мы получим более точную информацию о разложении на корне-
корневые подпространства. Мы уже видели (предложение 8.1), что x(La, Lp) = 0,

§8. Разложение на корневые подпространства 55
если а, C Е Я*, а + C ^ 0; в частности, х(Я, La) = 0 для всех a E Ф, так что
(предложение 8.2) форма х имеет невырожденное ограничение на Я.
Предложение, (а) Множество Ф порождает Я*.
(b) ?с/ш а Е Ф, то —а Е Ф.
(c) Пусть а Е Ф, х Е La, г/ ЕL_a. 7Ъгда [х, г/] = х(х, г/)/а (где ta таково,
как в п. 8.2).
(d) ?с/ш аЕФ, то пространство [La, L_a] одномерно с образую-
образующим ta.
(e) Справедливо соотношение а(/а) = х(/а, /а) /0 d/ш аЕФ.
(f) ?с/ш а е Ф, а ха — любой ненулевой элемент в La, то суще-
существует такой элемент yaeL_a, что элементы хЛ, уЛ, /га = [ха, уЛ]
порождают трехмерную простую подалгебру в L. Ее изоморфизм с
г/о с\ * л*
5lB, F) задают формулы ха^ i^0 QJ, уа^ ^ QJ
(g) Справедливы равенства ha = а ; йа = — й_а.
Доказательство, (а) Если Ф не порождает Я*, то (по двойственно-
двойственности) существует такой ненулевой элемент h Е Я, что <х(й) = 0 для всех а Е Ф.
Но это означает, что [Л, La] = 0 при всех а Е Ф. Поскольку [Л, Я] = 0, отсюда
в свою очередь следует, что [h, L] = 0, т.е. /zeZ(L)=0, что невозможно.
(b) Пусть осЕФ. Если —а^Ф (т.е. L_a = 0), то x(La, Lp)=0 при всех
[3 ЕЯ* (предложение 8.1). Поэтому x(La, L) =0, вопреки невырожденности
формы х.
(c) Пусть а Е Ф, х Е La, г/ Е L_a. Возьмем произвольный элемент /г Е Я.
Поскольку форма х ассоциативна, х(/г, [х, //]) =х([/г, х], у) =a(h)x(x, у) =
= x(/a, h)x(x, у) =х(х(х, //)/а, Л) =х(/г, х(х, //)/а). Это означает, что подал-
подалгебра Я ортогональна к [х, у] — х(х, y)ta, а значит [х, у] = х(х, y)ta (след-
(следствие 8.2).
(d) Шаг (с) показывает, что ta порождает подалгебру [La, L_a], ес-
если она ненулевая. Пусть О/xeL. Если х(х, L_a) = 0, то х(х, L) = 0 (см.
шаг (Ь), что невозможно, поскольку форма х невырожденна. Поэтому най-
найдется 0^//EL_a, для которого х(х, у)^0. Ввиду шага (с) мы получаем,
что [х, у\ф0.
(e) Пусть a(/a) = 0, так что [ta, х] = 0 = [ta, у] при всех х Е La, у е L_a.
Как и на шаге (d), можно при этом выбрать х, у так, что х(х, у) =0. По-
После умножения одного из этих элементов на скаляр можно считать, что
х(х, у) = \. Тогда [х, y] = ta ввиду утверждения (с). Следовательно, подпро-
подпространство S в L, натянутое на х, у, ta, является трехмерной разрешимой
алгеброй, 5 = adL 5с&l(L). Как следствие, отображение adL 5 нильпо-
т е н т н о при всех 5 Е [5, S] (следствие 4.1 А), поэтому отображение adL ta
одновременно полупросто и нильпотентно, т.е. adL ta = 0. Это означает, что
ta Е Z(L) = 0, вопреки выбору ta.

56 Глава II. Полупростые алгебры Ли
(f) Для данного элемента ха О фха G La, найдем такой элемент уа G L_a,
2
что x(xa, */a) = ———. Это возможно ввиду утверждения (е) и того факта,
что х(ха, L_a) /0. Положим Ла = а Тогда [xa, ya] = ha ввиду утвер-
9 9rvf/ \
ждения (с). При этом [йа, ^а]=^тт[4, ха]= ., °/ха = 2ха и аналогично
a(ra) a(ra)
[ha, уа] = —2уа. Таким образом, элементы ха, ул, ha порождают трехмерную
подалгебру в L с той же таблицей умножения, что и в 5lB, F) (пример 2.1).
(g). Напомним, что ta определяется условием x(ta, h)=a(h) (heH).
Это показывает, что ta = —t_a, и наше утверждение вытекает из способа
определения ha. ?
8.4. Свойства целочисленности. Для данной пары корней а, —а
(предложение 8.3(Ь)) пусть Sa=siB, F) — подалгебра в L, построенная,
как в предложении 8.3(f). Благодаря теореме Вейля и теореме 7.2 у нас
есть полное описание всех (конечномерных) 5а-модулей, что позволяет
описать и adL Sa.
Фиксируем аеФ. Вначале рассмотрим подпространство М в L, поро-
порожденное подалгеброй Н вместе со всеми корневыми подпространствами
вида Lca (cg/7*). В силу предложения 8.1 это 5а-подмодуль в L. Вви-
Ввиду теоремы 7.2 веса элемента ha на М целочисленны, а именно, равны 0
и 2c = ca(ha) (для таких ненулевых значений с, что Lca/0). Как след-
следствие, все значения с здесь кратны 1/2. При этом 5а действует тривиально
на Ker a, a Ker a — подпространство коразмерности 1 в Я, дополнитель-
дополнительное к F/za. С другой стороны, сама подалгебра Sa является неприводимым
Sa-подмодулем в М. Вес 0 для ha появляется только в подпространствах
Ker a и Sa. Следовательно, все четные веса, встречающиеся в 714, равны 0
и ±2. Это показывает, что 2а—не корень, т.е. удвоенный корень ни-
никогда не является корнем. Но тогда и A/2)ос не может быть корнем,
поэтому 1 не является весом для ha в М. Ввиду следствия 7.2 мы имеем
М = H + Sa, а значит, dim La= 1 (таким образом, Sa однозначно определя-
определяется как подалгебра, которую La и L_a порождают в L) и среди кратных
корня а корнями являются лишь ±<х.
Теперь изучим действие подалгебры Sa на корневых подпростран-
подпространствах Lp, [3 ф ±<х. Положим /С =5^ ^р+«х- Согласно предыдущему абзацу
каждое корневое подпространство одномерно и ни одно из значений
Р + /ос не равно 0; поэтому К является 5а-подмодулем в [ с одномер-
одномерными корневыми подпространствами для различных целочисленных весов
Р(йа)+2/ (где /gZ таково, что |3 + /aG<?). Ясно, что 0 и 1 не могут од-
одновременно быть весами такого вида, и ввиду следствия 7.2 модуль К
неприводим. Старший (соответственно младший) вес должен равняться
(соответственно Р(йа) — 2г), где q (соответственно г) — наиболь-

§8. Разложение на корневые подпространства 57
шее целое число, для которого р + qa (соответственно р — га) является
корнем. При этом веса модуля К образуют арифметическую прогрессию с
разностью 2 (теорема 7.2), и поэтому корни р + /ос образуют серию (а-се-
рию, порожденную корнем р) р — га, ..., р, ..., р + qa. Отметим также,
что (Р — га)(Ла) = — ф + да)(/га), или fi(ha) = r — q. Наконец, заметим, что
если а, р, а + реФ, то ad La отображает Lp на La+P (лемма 7.2), т.е.
В итоге получаем
Предложение, (а) Если a e Ф, то dim La = 1. Как следствие, Sa = La +
+ L_a + На(На = [Ьа, L_a]), и для данного ненулевого элемента xaeLa
существует единственный такой элемент yaeL_a, что [хЛ, ya] = ha.
(b) Если аеФ, то среди произведений корня на скаляры являются
корнями только а и —а.
(c) Если а, р G Ф, то Р(йа) G Z и р — Р(Ла)а G Ф. (Числа Р(йа) называются
числами Картана.)
(d) ?с/ш а, р, а + реФ, mo [La, Lp] = La+p.
(e) Пусть а, р G Ф, р / ±а. Далее, пусть г, q — наибольшие целые чи-
числа, для которых р — га, р + qa соответственно являются корнями.
Тогда р + /aG Ф я/ш —r^i^q и Р(йа) = r — q.
(f) Алгебра Ли L порождается корневыми подпространствами La.
8.5. Свойства рациональности. Выводы. В этом пункте L — полу-
полупростая алгебра Ли (над алгебраически замкнутым полем F характеристи-
характеристики 0), Я— ее максимальная торическая подалгебра, Ф с Я* — множество
корней в L (относительно Я), L = H+ Ц La — разложение на корневые
подпространства.
Так как ограничение формы Киллинга на Я невырожденно (след-
(следствие 8.2), мы можем перенести ее на Я*, положив (у, b)=x(tr, t$) при
всех у, 8еЯ*. Мы знаем, что Ф порождает Я* (предложение 8.3(а)), по-
поэтому в Я* можно выбрать базис аь ..., а/, состоящий из корней. Любой
?
корень р G Ф можно единственным образом представить в виде Р = 5^ ^аь
где ct G F. Мы утверждаем, что на самом деле сг g Q. Чтобы убедиться в
этом, потребуются некоторые факты из линейной алгебры. Для каждого
?
] = 1, ..., I мы имеем ф, a7) = Y1 ?/(аь <х;-) и после умножения обеих частей
2 2(Р, ay) * 2(a/, ay) ^
на получаем -Л?-—v = ). -т ^ci- ^T0 равенство можно считать
(ay, ay) (ay, ay) fr{ (ay, ay)
системой ? уравнений от ? неизвестных ct с целыми (тем самым и ра-
рациональными) коэффициентами (ввиду предложения 8.4(с)). Поскольку
(ось •••, oil) — базис в Я*, а форма невырожденна, невырожденна и ма-
матрица (ah a7) (I </, j^?); тогда это верно и для матрицы коэффициентов

58 Глава II. Полупростые алгебры Ли
нашей системы уравнений. Мы заключаем, что система имеет единственное
решение в Q, что и доказывает наше утверждение.
Итак, мы показали, что Q-подпространство Eq в Я*, натянутое на все
корни, имеет Q-размерность ^ = dimF Я*. Верно даже большее: напомним,
что если X, [LEH*, то (X, ц)=х(*х, У = Е <*(*х)а(У =Е(а> ^)(а> И)> гДе
сумма взята по а ? Ф. В частности, для |3 ? Ф мы имеем (|3, C) = ХХа' РJ-
Разделив на (C, (ЗJ, получаем =J^ 2. Правая часть этого равен-
равенства принадлежит множеству Q, так как '? G Z по предложению 8.4(с).
Следовательно, ([3, [3) е Q, а тогда и (а, [3) е Q. Как следствие, все скаляр-
скалярные произведения векторов в Eq рациональны, и мы получаем невыро-
невырожденную форму на Eq. Как и выше, (X, X) = ХХа> ^J' поэтому величина
(X, X) при X G Eq является суммой квадратов рациональных чисел и, зна-
значит, положительна (кроме случая Х = 0). Таким образом, полученная форма
на Eq положительно определенна.
Пусть теперь Е — вещественное векторное пространство, получаемое
при замене основного поля Q на R: E = R(?)qEq. Форма продолжается
на Е естественным образом и остается положительно определенной в силу
предыдущих замечаний, т. е. Е превращается в евклидово пространство.
В множестве Ф содержится его базис, и dimM E = ?. Основные факты о
множестве Ф собраны в следующей теореме: см. предложения 8.3(а), (Ь)
и8.4(Ь), (с).
Теорема. Пусть L, Я, Ф, Е таковы, как выше. Тогда
(a) Множество Ф порождает Е и не содержит 0.
(b) Если а е Ф, то —а е Ф, но никакое другое произведение скаляра
на а не является корнем.
(c) Если а, [3 g Ф, то [3 - ?^а G Ф.
(d) ?слна,реФ, то ^4
В терминах гл. III теорема утверждает, что Ф является системой кор-
корней в вещественном евклидовом пространстве Е. Таким образом, мы уста-
установили соответствие (L, Я) ь-> (Ф, Е). Полная классификация пар (Ф, Е)
дана в гл. III. Позже (в гл. IV и V) мы увидим, что на самом деле соответ-
соответствие взаимно однозначно, а видимая зависимость множества Ф от выбора
подалгебры Я несущественна.
Упражнения
1. Пусть Z — классическая линейная алгебра Ли типа А^, В^, Q или D^
(см. п. 1.2). Докажите, что множество всех диагональных матриц в L явля-

§8. Разложение на корневые подпространства 59
ется максимальной торической подалгеброй размерности ?. (Ср. упражне-
упражнение 2.8.)
2. Для каждой алгебры из упражнения 1 найдите корни и корневые
подпространства. Как записываются всевозможные элементы ha в базисе
для Я, приведенном в п. 1.2?
3. Пусть L — одна из классических алгебр. Вычислите в явном виде
ограничение формы Киллинга на максимальную торическую подалгебру,
описанную в упражнении 1.
4. Пусть L = slB, F). Докажите, что каждая максимальная торическая
подалгебра в L одномерна.
5. Пусть алгебра L полупроста, Я—ее максимальная торическая под-
подалгебра. Докажите, что подалгебра Я самонормализуема (т.е. H = NL(H)).
6. Найдите базис в $1(п, F), двойственный к стандартному (относитель-
(относительно формы Киллинга). (Ср. упражнение 5.5.)
7. Пусть алгебра L полупроста, Я—ее максимальная торическая под-
подалгебра, hGЯ. Покажите, что подалгебра CL(h) редуктивна (в смысле
упражнения 6.5) и в Я содержатся элементы h, для которых CL(h)=H. Для
каких h в sl(n, F) это справедливо?
8. Для $1(п, F) (и других классических алгебр) вычислите в явном виде
системы корней и числа Картана. В частности, докажите, что все числа
Картана а'? , а/±[3, для si(n, F) равны 0 или ±1.
9. Докажите, что все трехмерные полупростые алгебры Ли имеют ту же
систему корней, что и 5lB, F), и как следствие изоморфны ей.
10. Докажите, что не существует полупростых алгебр Ли размерностей
4, 5 и 7.
11. Пусть (а, Р) > 0. Докажите, что а — р е Ф (а, р е Ф). Верно ли обрат-
обратное?
Замечания
Использование максимальных торических подалгебр вместо более
традиционных (но эквивалентных) картановских подсказано параллель-
параллельной теорией полупростых алгебраических групп: см. Borel [I], Seligman [2],
Winter [1].

Глава III
Системы корней
§9. Аксиоматика
9.1. Отражения в евклидовом пространстве. На протяжении этой
главы мы работаем в фиксированном евклидовом пространстве Е, т. е.
конечномерном векторном пространстве над R, наделенном положитель-
положительно определенной симметрической билинейной формой (а, C). Отраже-
Отражение в пространстве Е геометрически представляет собой обратимое ли-
линейное преобразование, которое оставляет на месте точки некоторой ги-
гиперплоскости (подпространства коразмерности 1) и отображает каждый
ортогональный ей вектор в противоположный. Ясно, что отражение ор-
ортогонально, т.е. сохраняет скалярное произведение в Е. Каждый не-
ненулевой вектор а определяет отражение оа с плоскостью отражения
Ра = {|ЗеЕ: ф? а) = 0}. Разумеется, ненулевые векторы, пропорциональ-
пропорциональные а, порождают то же отражение. Для него легко выписать явную фор-
формулу: оаф)=р— ^' °/ а. (Действительно, тогда а отображается в —a, a
(а' а) 2C а)
все точки из Ра остаются на месте.) Поскольку число будет часто
встречаться, мы обозначим его (C, а). Отметим, что функция ф, а) линейна
лишь по первому переменному.
Отметим следующий факт, который будет полезен в дальнейшем.
Лемма. Пусть конечное множество Ф порождает простран-
пространство Е, причем все отражения оа (аеФ) переводит Ф в себя. Тогда
если отражение о е GL(E) переводит Ф в себя и оставляет на месте
все точки некоторой гиперплоскости Р в Е, а некоторый ненулевой
вектор аеФ отображает в противоположный, то о = оа (и Р = Ра).
Доказательство. Пусть т = ооа(=оо~1). Тогда т(Ф) = Ф, т(а) =а
и т действует тождественно на подпространстве Ra, так же как и на фак-
торпространстве E/Roc. Поэтому все собственные значения отображения т
равны 1 и его минимальный многочлен делит (Т — \)? (^ = dim E). С другой
стороны, поскольку множество Ф конечно, векторы [3, т(C), ..., т^ф) ф ? Ф,
k ^ Card Ф) не могут быть все различны. Поэтому некоторая степень ото-
отображения т оставляет [3 на месте. Выберем k настолько большим, что xk
оставляет на месте все C G Ф. Так как Ф порождает Е, мы получаем, что
xk = 1; поэтому минимальный многочлен отображения т делит Tk — 1. В со-

§9. Аксиоматика 61
четании с предыдущим шагом это показывает, что т имеет минимальный
многочлен Т- I = НОJ\(Tk- 1, (Т- \)?), т.е. т=1. ?
9.2. Системы корней. Подмножество Ф евклидова пространства Е на-
называется системой корней в Е, если выполнены следующие аксиомы.
(R1) Множество Ф конечно, порождает Е и не содержит 0.
(R2) Если a G Ф, то из кратных корня а в Ф содержатся только ±<х.
(R3) Если a G Ф, то отражение оа оставляет множество Ф инвариант-
инвариантным.
(R4) Если а, р е Ф, то (р, а) е Z.
Эти аксиомы несколько избыточны: так, равенство Ф = —Ф вытека-
вытекает как из аксиомы (R2), так и из (R3). В литературе иногда опускают
аксиому (R2), и множество, которое мы назвали «системой корней», то-
тогда упоминается как «приведенная система корней» (см. упражнение 9).
Отметим, что замена скалярного произведения в Е на кратное ему с по-
положительным коэффициентом не затрагивает аксиомы, поскольку в них
входят только отношения скалярных произведений.
Пусть Ф — система корней в Е. Обозначим через W подгруппу в GL(E),
порожденную отражениями оа (аеФ). Согласно (R3) подгруппа W пере-
переставляет элементы множества Ф, которое согласно (R1) конечно и поро-
порождает Е. Это позволяет нам отождествить W с подгруппой симметрической
группы на Ф; в частности, группа W конечна. Она называется группой
Вейля для Ф и играет исключительно важную роль в последующем изло-
изложении. Следующая лемма описывает ее трансформирование некоторыми
автоморфизмами пространства Е.
Лемма. Пусть Ф— система корней в ? с группой Вейля W. Если
о g GL(E) оставляет множество Ф инвариантным, то ооао~{ =оо(а)
для всех а е Ф, причем ф, а) = (оф), о (а)) для всех а, р е Ф.
Доказательство. Поскольку оаф) Е Ф, мы получаем, что
ооао-{(оф))=ооаф)еФ. Но тогда оф - (р, а)а) =оф) - (р, а)о(а). Так
как оф) пробегает Ф вместе с р, отображение ооао~{ оставляет Ф инва-
инвариантным, при этом оставляя на месте точки гиперплоскости о(Ра) и ото-
отображая о(а) в —о(а). По лемме 9.1 справедливо равенство ооао~{ =оо(а).
Но тогда, сравнив предыдущее уравнение с уравнением оо^(оф)) =о(Р) —
— (оф), о(а))о(а), мы получаем и второе утверждение леммы. ?
Имеется естественное определение изоморфизма между системами
корней Ф, Ф; в соответствующих евклидовых пространствах Е, Е;: назовем
(Ф, Е) и (Ф;, Е;) изоморфными, если существует изоморфизм векторных
пространств (который может не быть изометрией) ср: Е^Е;, отобража-
отображающий Ф на Ф;, причем (срф), ср(ос)) для каждой пары корней а, реФ.
Отсюда сразу следует, что оф(а)(фф)) =ср(ааф)). Таким образом, изомор-
изоморфизм систем корней индуцирует естественный изоморфизм групп Вейля:
GI—хроооср-1. Ввиду предыдущей леммы автоморфизм системы Ф — то

62
Глава III. Системы корней
же самое, что автоморфизм пространства Е, оставляющий множество Ф
инвариантным. В частности, можно рассматривать W как подгруппу в
Aut Ф (см. упражнение 6).
Полезно использовать не только а, но и av = -. Назовем Фу =
(а, а)
= {av; аеФ} двойственной (или обратной) системой для Ф. Это дей-
действительно система корней в Е, причем ее группа Вейля канонически изо-
изоморфна группе W (упражнение 2). (Возвращаясь к §8, мы видим, что a
соответствует ta, а av соответствует ha при отождествлении Я с Я* с по-
помощью формы Киллинга.)
9.3. Примеры. Назовем ? = dim Е рангом системы корней Ф. При ? ^ 2
можно просто изобразить Ф на рисунке. При ?= 1 ввиду (R2) имеется лишь
один вариант, обозначаемый А{:
Разумеется, это действительно система корней (с группой Вейля по-
порядка 2); в теории алгебр Ли она соответствует алгебре 5lB, F).
Ранг 2 предлагает больше возможностей. Четыре из них изображены на
рис. 1 (на самом деле других возможностей нет). В каждом случае читателю
следует непосредственно проверить выполнение аксиом и определить W.
х k
x a
В2
Рис. 1

§9. Аксиоматика 63
9.4. Пары корней. Аксиома (R4) резко ограничивает возможные
углы между парами корней. Напомним, что косинус угла 8 между вектора-
векторами а, р G Е определяется формулой ||а||||р|| cos 8 = (а, р). Следовательно,
(Р, а) = ^^ = 2Ш cos 9 и ^а' Р^Р' а) =4 cos2 9- ПослеДнее выражение
равно неотрицательному целому числу; но 0 ^ cos2 8^1 и (ос, р), (р, а)
имеют одинаковый знак, поэтому все возможности при а^±р и ||р|| ^ ||<х||
исчерпываются следующей таблицей 1.
Таблица 1
<«>Р>
0
1
-1
1
-1
1
-1
<Р>«>
0
1
-1
2
-2
3
-3
6
к/2
к/3
2к/3
к/4
Зк/4
к/6
5к/б
IIPIlVllocH2
не опр.
1
1
2
2
3
3
Читатель заметит, что как раз эти углы и отношения длин изображе-
изображены на рис. 1. (В случае А{ х А{ можно изменить масштаб на одной оси,
обеспечив равенство ||а|| = ||р||.) Из таблицы 1 усматривается следующий
простой, но очень полезный критерий.
Лемма. Пусть а, р— корни, не пропорциональные друг другу. Если
(а, Р) > 0 (т. е. угол между а и р острый), то а — р является корнем.
Если (а, р) < 0, то а + р является корнем.
Доказательство. Второе утверждение вытекает из первого (при-
(примененного к —р вместо р). Поскольку значение (а, р) положительно тогда
же, когда и (а, р), из таблицы 1 видно, что одна из величин (а, р), (р, а)
равна 1. Если (а, р) = 1, то ор(а) =а — реФ в силу (R3); аналогично, если
(Р, а) = 1, то р — а G Ф и потому ор_а(Р — а) = а — р G Ф. П
В качестве приложения возьмем пару не пропорциональных друг дру-
другу корней а, р. Рассмотрим а-серию, порожденную корнем р, которая
состоит из всех корней вида р + /ос (/GZ). Пусть г, q G Ъ+ — наиболь-
наибольшие целые числа, для которых р — га G Ф, р + qa G Ф соответственно. Если
Р + /а ф Ф при некотором / G [—r, q], то в этом отрезке найдутся такие чи-
числа р, s, p <s, что р + ра^Ф, р + (р+ 1)а^Ф, р + E — 1)а^Ф, р + 5а^Ф.
Но тогда из леммы следует, что одновременно выполняются неравенства
(а, р + pat) ^ 0, (а, р + so) ^ 0. Это невозможно, поскольку р < s и (а, а) > 0.
Как следствие, oi-серия, порожденная корнем р, не прерывается от
Р — га до р + qai. Поскольку оа прибавляет или вычитает из каждого корня
вектор, кратный а, а-серия инвариантна относительно оа. Геометрически
очевидно, что оа просто переворачивает строку (читатель без труда найдет

64
Глава III. Системы корней
алгебраическое доказательство). В частности, оа(р + да) =р — га. Левая
часть равна р — (р, а)а — qa, и в итоге мы получаем г — q = (р, а) (см. пред-
предложение 8.4(е)). Отсюда немедленно следует, что длина серий корней не
превосходит 4.
Упражнения
Если не оговорено противное, Ф обозначает систему корней в Е
с группой Вейля W.
1. Пусть Е'— подпространство в Е. Докажите, что если отражение оа
оставляет Е' инвариантным, то либо аЕ Е', либо Е' сРа.
2. Докажите, что Фу — система корней в пространстве Е с груп-
группой Вейля, естественно изоморфной группе W\ покажите также, что
(av, pv) = (р, а), и изобразите Фv на чертеже для случаев Аь А2, В2, G2.
3. Покажите, что в таблице 1 порядок элемента оао$ в группе W равен
соответственно 2, 3, 4, 6 при 6 = л/2, л/3 (или 2л/3), л/4 (или Зл/4), л/б
(или 5л/б). [Заметьте, что оаор — поворот на угол 26.]
4. Докажите, что группы Вейля для А{ х Аь А2, В2, G2 — группы ди-
диэдра порядков 4, 6, 8, 12 соответственно. Докажите также, что если Ф —
любая система корней ранга 2, то ее группа Вейля совпадает с одной из
перечисленных.
5. Покажите на примере, что a — р может быть корнем даже при
(а, Р) < 0 (см. лемму 9.4).
6. Докажите, что W — нормальная подгруппа в Aut Ф (группе всех
автоморфизмов системы Ф).
7. Пусть a, p порождают подпростран-
подпространство Е' в Е. Докажите, что Е' П Ф — си-
система корней в Е'. Аналогично докажите,
что Ф П (Za + Zp) — система корней в Е'
(должна ли она совпадать с Е'ПФ?). Бо-
> лее общо, пусть Ф' — непустое подмноже-
Р ство в Ф, причем Ф' = —Ф' и если а, р Е Ф',
а + р ЕФ, то а + р еФ;. Докажите, что Ф'—
система корней в подпространстве, кото-
которое оно порождает в Е. [Используйте та-
таблицу 1.]
8. Найдя серии корней в G2, проверьте
соотношение г — q = (р, а).
9. Пусть Ф — множество векторов в ев-
евклидовом пространстве Е, удовлетворяющее лишь аксиомам (Rl), (R3),
(R4). Докажите, что векторы, пропорциональные корню аЕФ и при-
принадлежащие Ф, могут равняться лишь ±l/2a, ±<x, ±2<х. Проверьте, что
{аЕФ: 2а ф Ф} — система корней. Пример такой системы см. рис. 2.
Рис. 2

§ 10. Простые корна а группа Вейля 65
10. Пусть а, р G Ф, причем а-серия, порожденная корнем р, име-
имеет вид р — га, ..., p + ga, a р-серия, порожденная корнем а, имеет вид
а-г'р, ..., а+ <7/|3. Докажите, что q(r+\)/(% p) =q'(r' + l)/(a, а).
11. Пусть с — положительное вещественное число. Если в Ф имеют-
имеются корни, квадрат длины которых равен с, то все они составляют систему
корней в натянутом на них подпространстве. Опишите варианты, возника-
возникающие на рис.2.
Замечания
Преимущество аксиоматического подхода к системам корней (см.
Serre [2], Bourbaki [2]) состоит в том, что его результаты применимы
одновременно к алгебрам Ли, группам Ли и линейным алгебраическим
группам. Исторические замечания см. в Bourbaki [2].
§ 10. Простые корни и группа Вейля
В этом параграфе Ф обозначает систему корней ранга ? в ев-
евклидовом пространстве Е с группой Вейля W.
10.1. Базисы и камеры Вейля. Подмножество А в Ф называется ба-
базисом, если
(81) А является базисом в Е,
(82) каждый корень р можно записать в виде Р = Х1 ^«а (<*Е Д), где
коэффициенты ka целые, все одновременно неотрицательные или неполо-
неположительные.
Корни из А тогда называются простыми. Ввиду (В1) мы имеем
Card А = ? и выражение для р в (В2) единственно. Это позволяет нам
определить высоту корня (относительно А) равенством htp=^ ka.
ocGA
Если все коэффициенты ka неотрицательны (соответственно все ka непо-
неположительны), то мы называем корень р положительным (соответственно
отрицательным) и пишем р у 0 (соответственно р -< 0). Множества поло-
положительных и отрицательных корней (относительно А) будут обозначаться
соответственно Ф+ и Ф~ (очевидно, Ф~ = —Ф+). Если а и р — положитель-
положительные корни, причем а + р является корнем, то а + р, очевидно, положителен.
На самом деле А определяет частичный порядок в простран-
пространстве Е, согласованный с обозначением а >>- 0: будем считать, что \х -< X,
если и только если X — \х является суммой положительных корней (или,
что равносильно, простых корней), или \х = \.
Единственный изъян в определении базиса — отсутствие гарантии его
существования. Во всех примерах 9.3 корни, обозначенные через а
и р, составляют базис (проверьте!). Заметим, что угол между аир тупой
[либо прямой], т. е. (а, р) ^ 0. Это не случайно.
Лемма. Если А является базисом для Ф и а, р е А, причем а/р, то
(а, р) < 0 и а — р не является корнем.

66 Глава III. Системы корней
Доказательство. Пусть (а, C) > 0. Так как по предположению а ф C
и заведомо аф —C, разность а —C является корнем согласно лемме 9.4. Но
это противоречит условию (В2). ?
Наша цель состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема. Система корней Ф имеет базис.
На самом деле, доказательство даст конкретный метод построения
всех возможных базисов. Для каждого вектора у Е Е пусть Ф+(у) = {а Е Ф:
(у, а) > 0} — множество всех корней, лежащих с «положительной» сторо-
стороны от гиперплоскости, ортогональной к у. Объединение конечного множе-
множества гиперплоскостей Ра (а Е Ф) не может заполнить Е (это элементарный
факт из евклидовой геометрии; предоставляем читателю сформулиро-
сформулировать строгое доказательство). Назовем вектор уЕЕ регулярным, если
у Е Е — U Ра, и сингулярным в противном случае. Для регулярного век-
аеФ
тора у очевидно, что Ф = Ф+(у) U —Ф+(у). Исследуем этот случай. Назовем
корень осЕ Ф+(у) разложимым, если а = рх +[32 для некоторых C,- Е Ф+(у),
и неразложимым в противном случае. Теперь достаточно доказать сле-
следующее утверждение.
Теорема'. Пусть вектор у Е Е регулярен. Тогда множество А(у)
всех неразложимых корней из Ф+(у) является базисом в Ф, и все ба-
базисы получаются таким способом.
Доказательство состоит из ряда шагов.
1. Каждый корень в Ф+(у) является неотрицательной Ъ-линейной
комбинацией корней из А(у). Допустим, что некоторый корень аЕ Ф+(у)
нельзя записать в таком виде; выберем а так, чтобы значение (у, а) бы-
было наименьшим возможным. Ясно, что сам корень а не может принад-
принадлежать множеству А(у), поэтому a = Ci+C2 ф/Е Ф+(у)), откуда следует,
что (у, а) = (у, [3i) + (у, C2). Но каждая из величин (у, C,) положительна,
поэтому Ci и р2 являются неотрицательными Z-линейными комбинациями
корней из А(у) (иначе получаем противоречие с минимальностью величины
(у, а)), а тогда это верно и для а. Это противоречие доказывает исходное
утверждение.
2. Если а, C Е А(у) м а/р, то (а, C) ^ 0. В противном случае а и [3
заведомо не пропорциональны и по лемме 9.4 разность а —C является кор-
корнем. Как следствие, а —[3 или [3 — а принадлежит Ф+(у). В первом случае
a = f3 + (a — C), откуда вытекает разложимость вектора а; во втором случае
разложим вектор C = a + (C — а). Это противоречит предположению.
3. Множество А(у) линейно независимо. Пусть Y1 f"aa = 0 (осЕ А(у),
гяе1). Разделяя индексы а, соответствующие положительным и отрица-
отрицательным значениям ra, мы можем записать ^5aa = ^/pC (sa, t$ > 0,
а и [3 пробегают непересекающиеся множества). Положим г = ^2 saa.
Тогда (е, е) =Y^ sjp(a, [3) < 0 согласно шагу 2, а значит, е = 0. Поэтому

§ 10. Простые корна а группа Вейля
67
0 = (у, г) = J2 5«(т> а)> и как следствие, все sa равны нулю. Аналогично
все /р равны нулю. (В действительности это рассуждение показывает, что
любое множество векторов, лежащих строго с одной стороны от
некоторой гиперплоскости в Е и попарно образующих тупые углы,
обязано быть линейно независимым.)
4. Множество Д(у) является базисом для Ф. Так как Ф = Ф+(у)и
U —Ф+(у), условие (В2) выполнено ввиду шага 1. Мы также получаем, что
А(у) порождает Е, откуда с учетом шага 3 вытекает утверждение (В1).
5. Каждый базис А системы Ф имеет вид А(у) для некоторого
регулярного вектора у е Е. Для данного базиса А найдем такой вектор
у Е Е, что (у, а) > 0 при всех а Е А. (Это возможно, поскольку пересече-
пересечение «положительных» открытых полупространств, соответствующих про-
произвольному базису в Е, непусто (упражнение 7).) Ввиду утверждения (В2)
вектор у регулярен и Ф+ сФ+(у), Ф~ С —Ф+(у) (поэтому в обоих случаях
имеет место равенство). Так как Ф+ =Ф+(у), множество А состоит из не-
неразложимых элементов, т.е. Ас А(у). Но Card A = Card A(y) =?, а значит,
А = А(у). ?
Теперь полезно ввести некоторые термины. Гиперплоскости Ра (а Е Ф)
разбивают Е на конечное множество областей; связные компоненты до-
дополнения Е — U Ра называются (открытыми) камерами Вейля в Е. Как
а
следствие, каждый регулярный вектор у Е Е при-
принадлежит ровно одной камере Вейля, обозначае-
обозначаемой ?(у). Равенство ?(у)=?(у') в точности озна-
означает, что у, у' лежат по одну сторону от каждой из
гиперплоскостей Ра (а Е Ф), т. е. что Ф+(у) = Ф+(у')
или А(у) = Д(у'). Это показывает, что камеры Вей-
Вейля находятся в естественном взаимно одно-
однозначном соответствии с базисами. Положим '
?(А) = ?(у) при А = А(у) и назовем <?(Д) фун-
фундаментальной камерой Вейля относительно А.
Множество (?(Д) открыто, выпукло (как пересече-
пересечение открытых полупространств) и состоит из всех
векторов у Е Е, удовлетворяющих неравенствам (у, а) > 0 (а Е Д). В слу-
случае ранга 2 легко нарисовать соответствующую картинку; на рис. 3 это
сделано для типа А2. Здесь имеется шесть камер; заштрихованная камера
является фундаментальной относительно базиса {а, C}.
Ясно, что группа Вейля отображает одну камеру Вейля в другую; а
именно, о(?(у)) =?(оу), если oG#h вектор у регулярен. С другой сто-
стороны, W переставляет базисы: о отображает А в множество о(Д), ко-
которое снова является базисом (почему?). Эти два действия группы W в
действительности согласованы с указанным выше соответствием между
Рис. 3

68 Глава III. Системы корней
камерами Вейля и базисами; выполнено равенство о(А(у)) = А(оу), по-
поскольку (оу, оа) = (у, а).
10.2. Леммы о простых корнях. Пусть А — фиксированный базис
в Ф. Докажем несколько очень полезных лемм о поведении простых корней.
Лемма А. Если корень а положительный, но не простой, то при
некотором [3 е А вектор а — [3 является корнем (обязательно поло-
положительным).
Доказательство. Если (а, C) ^ 0 при всех [3 Е А, то можно при-
применить замечание в скобках из шага 3 п. 10.1. Получаем, что множество
A U {а} линейно независимо, но это невозможно, поскольку А уже явля-
является базисом в Е. Поэтому (а, [3) > 0 для некоторого [3 Е А, и тогда а — [3 Е Ф
по лемме 9.4 (ее можно применить, так как [3 и а не могут быть пропорци-
пропорциональными). Положим а= ^2 kyy (все ky неотрицательны, некоторое ky
уел
положительно при у^|3). Вычитая [3 из а, получим Z-линейную комбина-
комбинацию простых корней, в которой хотя бы один коэффициент положителен.
Тогда и все коэффициенты положительны в силу единственности выраже-
выражения из условия (В2). ?
Следствие. Каждый корень [3 е Ф+ можно записать в виде а{+...
... + ak (сх/ЕД не обязательно различны), где каждая частичная
сумма <xi +... + ос,- является корнем.
Доказательство. Применим лемму и индукцию по ht [3. ?
Лемма В. Пусть а—простой корень. Тогда оа переставляет по-
положительные корни, отличные от а.
Доказательство. Пусть [3 е Ф+ - {а}, C = X) ^rT (&T G ^+)- ^с-
но, что [3 и а не пропорциональны. Поэтому ky ф 0 для некоторого у / а.
Но коэффициент при у в выражении оа(C) =C — (C, а)а равен именно ky.
Другими словами, вектор оа(C) имеет хотя бы один положительный ко-
коэффициент (относительно А) и потому положителен. При этом оа(C) ^а,
поскольку а является образом вектора —а. ?
Следствие. Положим Ь = - ^ Р- Тогда оа(8) = 8 — а яра всех а Е А.
^ р>-о
Доказательство. Утверждение очевидно из леммы. ?
Лемма С. Пусть векторы <хь ..., ос* принадлежат А (и яе обяза-
обязательно различны). Положим ог = ощ. Если корень oi...ot_{(at) отри-
отрицателен, то для некоторого индекса l^s<t выполнено равенство
O\...Ot = Gi...Gs_iGs+i...Gf_i.
Доказательство. Положим [3/ = о/+1...о/_1(а/), 0 ^ / ^ t — 2, ftt_{ =
= otf. Поскольку [Зо ^< 0 и [3/_i >>- 0, можно найти наименьший индекс s, для
которого ps >- 0. Тогда oa([3s) =[3s_i -< 0, и ввиду леммы В мы имеем [3S =as.
В общем случае (лемма 9.2) если oG#, то ao(a) =ооаа~1; поэтому, в

§ 10. Простые корна а группа Вейля 69
частности, os = (os+i...ot_i)ot(ot_i...os+i), откуда вытекает утверждение
леммы. ?
Следствие. Если o = ox...ot— выражение элемента oG# через от-
отражения, отвечающие простым корням, причем t минимально воз-
возможное, то o(at) -< 0.
10.3. Группа Вейля. Теперь мы готовы доказать, что W осуществляет
просто транзитивную перестановку базисов системы Ф (или, что равно-
равносильно, камер Вейля) и порождается «простыми отражениями» относи-
относительно любого базиса А (т.е. отражениями оа, аЕ Д).
Теорема. Пусть Д — базис системы Ф.
(a) Если вектор у е Е регулярен, то существует такой элемент
oG#, что (о(у), а)>0 для всех аЕД (т.е. W действует транзи-
тивно на множестве камер Вейля).
(b) Если Д' — другой базис для Ф, то о(А') = Д для некоторого
oeW (т.е. W действует транзитивно на множестве базисов).
(c) Если а— произвольный корень, то существует такой элемент
oeW, что о(а) Е Д.
(d) Группа W порождается отражениями оа (а Е Д)
(e) Если о(Д) = A,oeW, то о = 1 (m.e.W действует на множестве
базисов просто транзитивно).
Доказательство. Пусть W — подгруппа в W, порожденная всеми
оа (а Е Д). Докажем для W утверждения (а)—(с), а затем покажем, что
(a) Положим 8 = - J2 а и возьмем о Е W с наибольшим возможным
^ а>-0
значением (о(у), 8). Если корень а простой, то, разумеется, o^o^W, и
ввиду выбора о мы имеем
(о(у), Ь) > (оао(у), Ь) = (о(у), о«(8)) = (о(у), 8 - а) = (о(у), 8) - (о(у), а)
(следствие из леммы 10.2В). Поэтому (о(у), а) > 0 при всех аЕД. Так
как вектор у регулярен, равенство (о(у), а) = 0 не может выполняться ни
при каком а, поскольку тогда у был бы ортогонален к о а. Поэтому все
неравенства строгие. Значит, о(у) лежит в фундаментальной камере Вейля
?(Д), и о отображает ?(у) в ?(Д), что и требовалось.
(b) Поскольку группа W согласно шагу (а) переставляет камеры Вей-
Вейля, она (транзитивно) переставляет и базисы системы Ф.
(c) Ввиду утверждения b достаточно доказать, что каждый корень при-
принадлежит хотя бы одному базису. Так как корни, пропорциональные а,
равны ±ос, гиперплоскости Рр (C^±а) отличны от Ра. Поэтому существу-
существует вектор у Е Ра, у ф Рр для всех [3 ф ±а (почему?). Выберем у; достаточно
близко к у, чтобы выполнялись условия (у;, а)=?>0 и |(у;, Р)| >е для
всех р ф ±а. Очевидно, что тогда а принадлежит базису Д(у;)-

70 Глава III. Системы корней
(d) Чтобы установить равенство W = W, достаточно показать, что
W содержит все отражения оа(а?ф). Используя шаг (с), найдем та-
такой элемент oeW, что р = о(ос)еД. Тогда ор = оо(а) = ооаа~1, а значит,
(е) Пусть о(Д) = Д, но о/ 1. Если записать о как произведение ми-
минимального числа простых отражений (что возможно согласно утвержде-
утверждению (d)), то получаем противоречие со следствием из леммы 10.2С. ?
Леммы 10.2 позволят нам более подробно выяснить смысл того факта,
что W порождается простыми отражениями.
Если элемент oG# выражен как oai...ащ(а( е Д) с минимальным t,
то назовем такое выражение приведенным и положим ?(о) = t это дли-
длина элемента о относительно базиса Д. По определению ^A)=0. Длину
можно определить и другим способом. А именно, пусть п(о) — количество
положительных корней а, для которых о (а) -<< 0.
Лемма А. Для всех oG# справедливо равенство ?{о) =п(о).
Доказательство. Проведем индукцию по ?(о). Случай ?(о) = 0
тривиален: тогда о = 1 и п(о) = 0. Пусть лемма верна для всех таких xG#,
что ?(\) <?(о). Запишем о в приведенной форме как о = оа{...ощ и положим
oL = oit. Согласно следствию из леммы 10.2С мы имеем о(а) -<< 0. Тогда ввиду
леммы 10.2В справедливо равенство п(ооа) =п(о) — 1. С другой стороны,
?(ооа) =?(а) — 1 <?(а), и по предположению индукции ?(ооа) =п(ооа).
Соединив эти утверждения, получаем ?(о) =п(о). ?
Теперь посмотрим более внимательно на просто транзитивное действие
группы W на множестве камер Вейля (утверждения (а) и (е) теоремы).
Следующая лемма показывает, что замыкание (?(Д) фундаментальной ка-
камеры Вейля относительно Д является фундаментальной областью для
действия группы W на пространстве Е, т. е. каждый вектор из Е экви-
эквивалентен относительно W ровно одному вектору из этого множества (см.
упражнение 14).
Лемма В. Пусть X, ^е?(Д). Если о\ = \х для некоторого oG#,
то о является произведением простых отражений, оставляющих
на месте X; как следствие, \ = \i.
Доказательство. Проведем индукцию по ?(о). Случай ?(о) = 0
очевиден. Пусть ?(о) > 0. По лемме А отображение о должно переводить
некоторый положительный корень в отрицательный; значит, о не может
перевести все простые корни в положительные. Пусть оа ^< 0 (а е Д). Тогда
0 > (\х, оа) = (о^, а) = (X, \х) > 0, поскольку X, [i e ?(Д). Как следствие,
(X, [х) = 0, oaX = X, (ooa)X = [jl. Ввиду леммы 10.2В (и леммы А) мы имеем
?(ооа) =?(а) — 1, поэтому можно применить предположение индукции. П
10.4. Неприводимые системы корней. Система Ф называется не-
неприводимой, если ее нельзя разбить на две подсистемы так, что каждый
корень из одной подсистемы ортогонален каждому корню из другой.

§ 10. Простые корна а группа Вейля 71
(В п. 9.3 системы Аь А2, В2, G2 неприводимы, а система А{ х А{ — нет.)
Пусть А — базис системы Ф. Мы утверждаем, что система Ф непри-
водима, если и только если А нельзя разбить указанным образом.
С одной стороны, пусть Ф = Ф1 иФ2, где (Фь Ф2) = 0. Если базис системы А
не содержится целиком в Ф! или Ф2, то мы получаем ее искомое разбиение;
но из включения АсФ1 следует, что (А, Ф2) = 0 и (Е, Ф2) = 0, посколь-
поскольку А порождает Е. Значит, условие «если» выполняется. Обратно, пусть
система Ф неприводима, но А = А{ U А2, где (Аь А2) =0. Каждый корень
эквивалентен простому (теорема 10.3(с)), поэтому Ф = Ф!иФ2, где Ф,—
множество корней, имеющих эквивалентный корень в А,-. Напомним, что
из равенства (а, [3) = 0 следует, что оаор = о$оа. Поскольку элементы оа
(а G А) порождают W, из формулы для отражения видно, что каждый
корень из Ф; получается из некоторого корня, лежащего в Аь путем
прибавления и вычитания элементов из А,-. Поэтому Ф, лежит в подпро-
подпространстве Еь порожденном множеством Аь и мы видим, что (Фь Ф2) = 0.
Как следствие, Ф{=0 либо Ф2 = 0, а значит А{ = 0 либо А2 = 0.
Лемма А. Пусть система Ф неприводима. При частичном упоря-
упорядочении -< имеется единственный максимальный корень [3 (при этом
если а ф [3, то ht a < ht [3, и ([3, а) > 0 для всех а е А). Если [3 = Y^ ^аа
(а G А), то все коэффициенты ka положительны.
Доказательство. Пусть корень [3 = J2 ^«а (а ? А) максимален от-
относительно указанного упорядочения; ясно, что C >>- 0. Рассмотрим разби-
разбиение А = Ai U А2, где А{ = {а е А: ka > 0} и А2 = {а е А: ka = 0}. Пусть
множество А2 непусто. Тогда (а, [3)^0 для любого аеА2 (лемма 10.1);
поскольку система Ф неприводима, по крайней мере один корень a G А2
не ортогонален множеству Аь а значит (а, а;) < 0 для некоторого а; G Аь
Тогда (а, C) < 0. Как следствие, C + а является корнем (лемма 9.4), вопреки
тому, что корень [3 максимальный. Значит, множество А2 пусто и все ka по-
положительны. Наше рассуждение показывает также, что (а, [3) > 0 при всех
а? А (причем (а, C) > 0 хотя бы для одного а, так как А порождает Е).
Пусть теперь C; — другой максимальный корень. К нему можно приме-
применить предыдущее рассуждение; получаем, что выражение для C; включает
(с положительным коэффициентом) хотя бы один корень a G А, для кото-
которого (а, [3) >0. Отсюда ф', [3) > 0, и [3 — C; является корнем (лемма 9.4),
если только C;/[3. Но если [3 —C; — корень, то либо C^<р;, либо C; -<$, что
невозможно. Значит, корень [3 единствен. ?
Лемма В. Пусть система Ф неприводима. Тогда W действует на
пространстве Е неприводимо. В частности, W-орбита произволь-
произвольного корня а порождает Е.
Доказательство. Орбита произвольного корня порождает (нену-
(ненулевое) ^-инвариантное подпространство, так что второе утверждение
вытекает из первого. Что касается первого, то пусть Е; — ненулевое

72 Глава III. Системы корней
подпространство в Е, инвариантное относительно W. Его ортогональ-
ортогональное дополнение Е" также ^-инвариантно. Тривиально проверяется, что
если а? Ф, то либо а? Е', либо Е' сРа, поскольку аа(Е') = Е' (упражне-
(упражнение 9.1). Таким образом, из условия а ф Е' вытекает, что а е Е", т. е. каждый
корень лежит в одном из этих подпространств. В результате Ф разбивается
на ортогональные подмножества, и одно из них обязано быть пустым. Так
как Ф порождает Е, Е' = Е. ?
Лемма С. Пусть система Ф неприводима. Тогда в ней встреча-
встречается не более двух длин корней, причем все корни одинаковой длины
эквивалентны относительно W.
Доказательство. Если а, [3 — произвольные корни, то не все эле-
элементы о(а) (о G W) ортогональны к |3, поскольку о(а) порождают Е (лем-
(лемма В). Пусть (а, C) т^О. Мы знаем (см. п.9.4), что возможные отношения
квадратов длин корней а и [3 суть 1, 2, 3, 1/2, l/З. Из этих двух замеча-
замечаний легко следует первое утверждение леммы, поскольку при наличии трех
длин корней появилось бы и отношение 3/2. Пусть теперь корни а, C име-
имеют равную длину. Заменив один из них на ^-эквивалентный (как выше),
можно считать их не ортогональными (и различными: иначе все доказано!).
Согласно п. 9.4, отсюда в свою очередь вытекает, что (а, C) = (C, а) =±1.
Заменив [3 (если нужно) на —C = ор(C), можно считать, что (а, C) = 1. Сле-
Следовательно, (оаороа)([3) =оаор([3-а) =оа(-C-а + |3) =а. ?
В случае неприводимой системы Ф с двумя различными длинами корней
будем говорить о длинных и коротких корнях. (Если все корни равной
длины, то принято все их считать длинными.)
Лемма D. Пусть система Ф неприводима, с двумя различными
длинами корней. Тогда максимальный корень C из леммы А длинный.
Доказательство. Пусть a G Ф. Достаточно показать, что (C, C) ^
^ (а, а). Для этого заменим вектор а на ^-эквивалентный, лежащий в
замыкании фундаментальной камеры Вейля (относительно А). Поскольку
[3 — а У 0 (лемма А), мы заключаем, что (у, [3 — а) > 0 для любого у е ?(Д).
Применив этот результат к случаям у = |3 (см. лемму А) и у = а, получаем
(Р,Р)^(Р,а)^(а,а). ?
Упражнения
1. Пусть Фу—двойственная система к Ф, Av = {av; aG А}. Докажите,
что Av — базис для Фу. [Рассмотрите камеры Вейля для Ф и Фу.]
2. Пусть А—базис для Ф. Докажите, что множество {Za + Zf3)f^
(а ф C в А) является системой корней ранга 2 в подпространстве, которое
а, C порождают в Е (ср. упражнение 9.7). Обобщите результат на произ-
произвольное подмножество в А.
3. Докажите, что каждая система корней ранга 2 изоморфна одной из
перечисленных в п. 9.3.

§ 10. Простые корна а группа Вейля 73
4. Непосредственно проверьте следствие из леммы 10.2А для случая G2.
5. Пусть oG# можно записать как произведение t простых отражений.
Докажите, что t имеет такую же четность, что и ?(о).
6. Определим функцию sn: W^{±\}, положив sn(o) = (— 1)^(о). До-
Докажите, что sn является гомоморфизмом (ср. случай А2, где группа W
изоморфна симметрической группе 5?ъ).
7. Докажите, что пересечение «положительных» открытых полупро-
полупространств, соответствующих произвольному базису уь ..., у^ в Е, непусто.
[Пусть 8/ — проекция вектора у/ на ортогональное дополнение подпро-
подпространства, порожденного остальными векторами из базиса. Рассмотрите
Т = Е >*&, где все г,- > 0.]
8. Пусть А — базис системы Ф, а ф C — простые корни, ФаР — система
корней ранга 2 в ЕаР =Ма + МC (см. упражнение 2 выше). Группа Вейля #^р
для ФаР порождается ограничениями та, тр отражений оа, ар на ЕаР и мо-
может рассматриваться как подгруппа в W. Докажите, что «длина» элемента
группы #^р (относительно та, тр) совпадает с длиной соответствующего
элемента группы W.
9. Докажите, что в W имеется единственный элемент о, отображающий
Ф+ в Ф~ (относительно А). Докажите, что любое приведенное выражение
для о должно включать все оа (осе Д). Исследуйте ?(о).
?
10. Пусть дан базис А = {<хь ..., ос*} в Ф. Положим X = J2 /*№ (kt G Z,
все ki неотрицательны или все kt неположительны). Докажите, что либо
вектор X кратен корню (возможно, равен 0), либо существует такой элемент
i
oG#, что оХ = Е fyaLi, где среди коэффициентов k[ имеются и положи-
тельные, и отрицательные. [Набросок доказательства: если вектор X не
кратен корню, то ортогональная ему гиперплоскость Рх не содержится в
U Ра. Возьмем jjl G <^х — U ^а- Затем найдем oG#, для которого все
осе* аеФ
значения (а/, о\х) положительны. Тогда 0 = (X, \х) = (оХ, о\х) = ^ kfa, o\i).]
11. Пусть система Ф неприводима. Докажите, что система Фу также
неприводима. Если длина всех корней в системе Ф одинакова, то это вер-
верно и для Фу (и тогда системы Ф и Фу изоморфны). С другой стороны,
если в системе Ф имеются две длины корней, то это верно и для Фу;
но если корень а длинный, то av короткий (и наоборот). С помощью
этого факта докажите, что Ф имеет единственный максимальный корот-
короткий корень (относительно частичного порядка -<<, определяемого бази-
базисом А).
12. Пусть XG<?(Д), причем оХ = Х для некоторого oG#. Докажите, что
о=1.

74 Глава III. Системы корней
13. Докажите, что все отражения в группе W имеют вид оа(аЕ Ф). [Если
вектор в гиперплоскости отражения не ортогонален никакому корню, то в
группе W его оставляет на месте лишь тождественное отображение.]
14. Докажите, что в пространстве Е каждая точка ^-эквивалентна не-
некоторой точке в замыкании фундаментальной камеры Вейля относительно
базиса А. [Продолжите частичный порядок на Е, положив \± -< X в случае,
если X — [I является неотрицательной R-линейной комбинацией простых
корней. Пусть [IЕ Е; рассмотрите отображение о Е W, для которого X = о\х
относительно этого частичного порядка.]
Замечания
Здесь дан расширенный вариант изложения, содержащегося в Serre [2].
§11. Классификация
В этом параграфе Ф обозначает систему корней ранга ?, W—
ее группу Вейля, А — базис системы Ф.
11.1. Матрица Картана для Ф. Фиксируем упорядочение простых
корней (<хь ..., ос*). Матрица ((аь <х;-)) тогда называется матрицей Кар-
Картана системы Ф. Ее коэффициенты называются числами Картана.
Примеры. Для систем ранга 2 матрицы Картана имеют вид
^2 ОЛ. л . ( 2 -П. ^ . ( 2 -2Y ^ . ( 2 -
v-3 2
А,хА,:(»°); А,: (_?->); Вг: (_? ">); G,: (
Конечно, матрица зависит от выбранного упорядочения, но это не очень
существенно. Важно то, что матрица Картана не зависит от выбора бази-
базиса А благодаря тому факту (теорема 10.3(Ь)), что на совокупности базисов
группа W действует транзитивно. Матрица Картана невырожденна, как и
в п. 8.5, поскольку А является базисом пространства Е. Оказывается, она
полностью характеризует систему Ф.
Предложение. Пусть Ф' с Е' — другая система корней с бази-
базисом А' = {а[, ..., а'г}. Если (ab <х;-) = (a-, a;-) при 1 < /, / <?, то биекция
QLi i—> а- продолжается (единственным образом) до изоморфизма
ср: Е^Е;, отображающего Ф на Ф; и удовлетворяющего условию
(ф(<х), ф(Р)) = (а, р) для всех а, р е Ф. Как следствие, матрица Карта-
Картана определяет систему Ф с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Поскольку А (соответственно А;) является
базисом в пространстве Е (соответственно Е;), существует единствен-
единственный изоморфизм векторных пространств ф: Е^Е;, отображающий ос,-
в а- A^/^^). Если а, р Е А, то из нашего предположения следует,
что оф(а)(срф)) =оАЮ =Р' - Ф', «')«' = Ф(Р) - ф, а><р(о) =<р(р - ф, а)а) =
= (р(оя([3)). Другими словами, для каждого абД коммутативна следующая

§11. Классификация 75
диаграмма:
Соответствующие группы Вейля W, W порождаются простыми отраже-
отражениями (теорема 10.3(d)), поэтому отображение о^сроооср является
изоморфизмом группы W на W, причем оа отображается в оф(а) (осе Д).
Но каждый корень [3 G Ф эквивалентен относительно группы W простому
корню (теорема 10.3(с)), скажем, р = о(ос) (aGA). Отсюда в свою оче-
очередь ф(р) = (ф о о оф~1)(ф(а)) G Ф'. Как следствие, ф отображает Ф на Ф';
при этом формула отражения показывает, что ф сохраняет все числа Кар-
тана. ?
Это предложение показывает, что в принципе возможно восстановить
систему Ф по ее числам Картана. На самом деле не слишком трудно соста-
составить практический алгоритм для определения всех корней (или только по-
положительных корней). Возможно, наиболее удачный подход—рассмотреть
серии корней (см. п. 9.4). Начнем с корней высоты 1, т.е. простых
корней, и рассмотрим пару различных простых корней ос,-, <х;-. В а;--серии,
порожденной корнем аь число г равно 0 (ос, — <х;- не является корнем ввиду
леммы 10.1), поэтому число q равно — (ah <x;-). Это, в частности, позволяет
нам выписать все корни а высоты 2, а тогда и все числа (а, а7). Для каждо-
каждого корня а высоты 2 можно легко найти число г в ос;--серии, порожденной
корнем а, поскольку а;- можно вычесть не более одного раза (почему?). То-
Тогда определяется и q, так как мы знаем величину разности г — q = (ос,-, а7).
Повторив этот процесс достаточное число раз, мы в итоге получим все
положительные корни, как показывает следствие из леммы 10.2А.
11.2. Графы Кокстера и схемы Дынкина. Если а, р — различные по-
положительные корни, то, как мы знаем, (а, Р)(р, а) =0, 1,2 или 3 (см. п. 9.4).
Назовем графом Кокстера системы Ф граф с ? вершинами, в котором /-я
и/-я вершины (///) соединены (аь а;-)(а;-, а,) ребрами1. Примеры:
А{ х А{: о о
А2: о о
Do • о о
439 '. u ^^
1 Обычно граф Кокстера определяется несколько иначе. А именно, число ребер, соединя-
соединяющих /-ю вершину с /-й, равно т — 2, где т— порядок произведения aaioaj. Это приводит
к тому, что при (а/, а/)(а/, щ) = 3 число ребер равно 4, а не 3, как у автора. Однако схема
Дынкина определяется всегда так же, как у автора. (Прим. ред.)

76 Глава III. Системы корней
Если все корни — равной длины, то граф Кокстера однозначно определяет
числа (at, oij), поскольку в этом случае (аь а;-) = (<х;-, а,). При наличии раз-
разных длин корней (например, в случае В2 или G2) граф Кокстера не говорит
нам, какая из двух вершин соответствует короткому простому корню, а
какая длинному, если эти вершины соединены двумя или тремя ребрами.
(Однако можно показать, что граф Кокстера полностью определяет группу
Вейля: суть в том, что он определяет порядки произведений ее образую-
образующих, см. упражнение 9.3.)
Когда в графе Кокстера для Ф встречается двойное или тройное ре-
ребро, мы можем добавить стрелку, указывающую на более короткий из двух
корней. Эта дополнительная информация позволяет восстановить числа
Картана; полученная фигура называется схемой Дынкина для Ф. (Как и
граф Кокстера, она зависит от нумерации простых корней.) Например:
Другой пример: если дана схема
(которая в действительности соответствует системе корней F4), то читатель
легко восстановит матрицу Картана
11.3. Неприводимые компоненты. Напомним (см. п. 10.4), что си-
система Ф неприводима, если и только если Ф (или, что равносильно, А) не
разбивается на два собственных ортогональных подмножества. Ясно, что
система Ф неприводима, если и только если ее граф Кокстера свя-
связен (в обычном смысле). В общем случае граф Кокстера имеет несколько
связных компонент; пусть А = А{ U ... U At — соответствующее разбиение
базиса А на взаимно ортогональные подмножества. Если А,- порождает
подпространство Еь то ясно, что Е равно ортогональной прямой сумме
Ei0...0Ef. При этом очевидно, что Z-линейные комбинации элементов
из Аь являющиеся корнями (обозначим их множество через Ф,), образуют
систему корней в Е,-; ее группа Вейля — это ограничение на Et подгруппы
в W, порожденной всеми элементами оа (а? А/). Наконец, каждое из под-
подпространств Е; инвариантно относительно W (так как если а^Аь то оа
действует на Et тривиально). Поэтому (простое) рассуждение, которое по-
потребовалось в упражнении 9.1, немедленно показывает, что каждый корень
лежит в одном из Eh т. е. Ф = Ф1 U ... U Ф*.

§11. Классификация 77
Предложение. Система Ф распадается (единственным образом)
в объединение неприводимых систем корней Ф, (в подпростран-
подпространствах Е; пространства Е), причем Е = Е1ф...фЕ/ (ортогональная
прямая сумма).
11.4. Теорема классификации. Из п. 11.3 мы видим, что достаточно
классифицировать неприводимые системы корней или, что равносильно,
связные схемы Дынкина (см. предложение 11.1).
Теорема. Пусть Ф— неприводимая система корней ранга ?. Тогда
ее схема Дынкина— одна из следующих (во всех случаях количество
вершин равно ?):
D,
1-2
о
1-2
о
1-3
1-\'
О -с
?-1
?-2
?
?
"-"---о
?
Е8
12 3 4
2 1 '=: 2
В случае типов А^—D^ на ^ наложены ограничения, чтобы избежать
повторений. В таблице 2 представлены матрицы Картана, соответствующие
указанной нумерации простых корней. Из вышеприведенных схем видно,
что схема Дынкина восстанавливается по графу Кокстера во всех случаях,
кроме В^ и Q. Напротив, системы В^ и Q имеют один и тот же граф

78
Глава III. Системы корней
Кокстера и различаются относительным количеством коротких и длинных
простых корней. (На самом деле эти системы корней двойственны друг
другу, см. упражнение 5.)
Таблица 2. Матрицы Картана
А,:
2-1 0 0\
-1 2-1 0 О
0-1 2-10 ... 0
0 0 0 0 ... -1 2/
/2-1 0
-1 2-1
0-1 2-1
2-1 0 ..,
-1 2-10
В,:
О 0 0 ... -1 2 -1
\ 0 0 0-2 2/
О 0 0 ... -1 2 -2
О 0 0 ... 0-1 2У
/2-1 О
-1 2 -1
О
0 0 ... -1 2 -1 0 0
0 0 -1 2-1-1
0 0 0-1 2 0
\ 0 0 0-1 0 2/
2
0
-1
о
о
о
/ 2
о
-1
о
о
о
о
о
о
2
0
-1
о
о
о
2
0
-1
о
о
о
о
-1 0 С
0 -1 С
2 -1 С
-1 2 -1
0
0
-1
0
2
0\
о
о
о
-1 9 -1
-1 2/
Е7:
-1 -1 2 -1
-1 2 -1
-1 2 -1
0
0
-1 2
0 -1
0\
о
о
о
о
о
-1
У
2
0
-1
0
0
0
0
2
-1
0
0
0
2
0
-1
0
0
0
-1
2
-1
0
-1 0
0 -1
2 -1
-1 2
0 -1
0 0
0 0
0 0N
-2 0
2 -1
-1 2
0
0
0
-1
2
-1
0
\
/
0
0
0
0
-1
2
-1
/¦» .
о\
0
0
0
0
-1
2У
( 2
v-з
-1
Доказательство теоремы. Идея доказательства состоит в том,
чтобы сначала классифицировать возможные графы Кокстера (независимо
от относительных длин корней), а затем посмотреть, какие схемы Дынкина
при этом получаются. Поэтому мы просто применим элементарную евкли-
евклидову геометрию к конечным множествам векторов с попарными углами,
предписанными графом Кокстера. Так как нас не интересуют длины, здесь
удобнее работать с множествами единичных векторов. Для большей гиб-
гибкости ограничимся лишь следующими допущениями: Е — евклидово про-
пространство (произвольной размерности), 21 = {еь ..., гп} — множество из
п линейно независимых единичных векторов, причем (eh е;-) ^ 0 (i^j) и
4(еь ?уJ = 0, 1, 2 или 3 (///). Такое множество векторов будем называть

§11. Классификация 79
(для краткости) допустимым. (Пример', элементы базиса системы кор-
корней, разделенные на их длины.) Сопоставим множеству 21 граф Г точно
так же, как мы сделали это в случае простых векторов из системы корней,
т.е. соединим вершины / и / (///) посредством 4(еь ?7J ребер. Наша бли-
ближайшая задача — найти все связные графы, соответствующие допустимым
множествам векторов (в их числе—все связные графы Кокстера). Разо-
Разобьем наше рассуждение на шаги, первый из которых очевиден. (Граф Г не
предполагается связным, пока не будет указано противное.)
1. Если удалить некоторые из векторов гь то оставшиеся векто-
векторы также образуют допустимое множество. Его граф получается
из Г удалением соответствующих вершин и всех инцидентных им
ребер.
2. Число пар вершин в графе Т, соединенных хотя бы одним ре-
п
бром, строго меньше чем п. Положим е = 5^ е*. Поскольку векторы zt
линейно независимы, е/0. Поэтому 0< (е, е) =п + 2 ХХ?ь ?/)• Пусть /, / —
ку-
пара (различных) индексов, для которых (еь е;-) ^0 (т.е. вершины / и / со-
соединены). Тогда 4(еь ?7J = 1,2 или 3; как следствие, 2(еь е;-) ^ — 1. Ввиду
предыдущего неравенства число таких пар не может превосходить п—\.
3. Граф Г не содержит циклов. Цикл являлся бы графом Г' допу-
допустимого подмножества 2Г в 21 (см. шаг 1), что противоречило бы свойству
из шага 2 после замены п на Card 21'.
4. В заданной вершине графа Г может начинаться не более трех
ребер. Пусть ее21, а (различные) векторы щ, ..., r\k связаны с этой вер-
вершиной (одним, двумя или тремя ребрами), т.е. (е, 7);) < 0. Ввиду шага 3
никакие два вектора 7)ь т);- не соединены между собой, поэтому (т),, т);-) =0
при 1ф]. Поскольку множество 21 линейно независимо, в линейной обо-
оболочке векторов е, т)ь ..., t\k имеется единичный вектор т)о, ортогональный
k
к т)ь ..., т)ь очевидно, что (е, тH) ф 0. Так как е = ^(е, т)/)т)/, мы заключаем,
/=о
k k k
что 1 = (е, е) = ХХ?> "tyJ- Как следствие, ХХ?> ^У < ^ и S 4(е, У\д2 < 4. Но
значение 4(е, т],J равно количеству ребер, соединяющих е с т],- в графе Г.
5. Единственный связный граф Г допустимого множества % со-
содержащий тройное ребро, имеет вид <> <> (граф Кокстера G2).
Это непосредственно вытекает из шага 4.
6. Пусть подмножеству {еь ..., е^}с21 соответствует подграф
в Г вида о о • • • о о (простая цепь). Если 2Г = B1 — {еь ..., ?^})U
/г
U {s}, e = Y^ Ъ\> то множество 2Г допустимо. (Его граф получа-
ется из Г сжатием простой цепи в точку.) Линейная независимость

80
Глава III. Системы корней
множества 21' очевидна. По предположению 2(еь е/+1) = —1 (\ ^i^k — 1),
так что (е, е) = k + 2 ХХ?ь Sj) = k — (k — 1) = 1, т. е. е — единичный вектор.
*¦</
Любой вектор T]G2l—{si, ..., ?&} соединен не более чем с одним из век-
векторов еь ..., zk (согласно шагу 3), поэтому (т), е) =0 либо (т), е) = (т), ?;)
при X^i^k. В любом случае 4(т], sJ = 0, 1,2 или 3.
7. Граф Г яе содержит подграфов вида
Допустим, что какой-то из этих подграфов содержится в Г; согласно ша-
шагу 1 он является графом допустимого множества. Но шаг 6 позволяет нам в
любом случае заменить простую цепь на вершину, получая (соответствен-
(соответственно) следующие графы, невозможные ввиду шага 4:
8. Связный граф Г любого допустимого множества совпадает с
одним из следующих:
щ
Действительно, ввиду шага 5 тройное ребро имеется лишь в графе <^=
Связный граф с более чем одним двойным ребром содержит подграф
запрещенный ввиду шага 7. Таким образом, может встретиться только од-
одно двойное ребро. Кроме того, если двойное ребро присутствует, то граф Г

§11. Классификация 81
не может содержать «вилку» (точку разветвления): о ^с^^\ (снова
ввиду шага 7), и остается единственная возможность — второй из нарисо-
нарисованных графов (циклы запрещены согласно п.З). Пусть, наконец, граф Г
имеет только простые ребра; если нет вилок, то Г является простой цепью
(опять-таки ввиду невозможности циклов). Вилок может быть не более од-
одной (см. шаг 7), и единственная оставшаяся возможность — это четвертый
из изображенных графов.
9. Единственными связными графами второго типа из шага 8
являются граф Кркстера F4 о » <> о и граф Кокстера
р q
В„(=С„) о о • • • о <> о. Положим ? = Y1 *?ь r\ = Yl Щ- По
i=\ i=\
предположению 2(еь e/+i) = — 1 =2(r)br);+i). Остальные пары ортогональ-
ортогональны, поэтому (е, е) = J2 i2 ~ J2 Щ + 1) = ^— , Ofy *)) = ^?— Кроме
2 2
того, поскольку 4(ер, zqJ = 2, (е, r\J =p2q2(ep, zqJ = ^—^—. Из неравенства
Шварца вытекает (поскольку е, г) заведомо линейно независимы), что
(е, г)J < (е,е)(т),т)) и ?^ < Р<Р+1)^+0> а значит (/7 _ 1)(^ - 1) < 2.
Имеются следующие возможности: p = q = 2 (что приводит к F4), p=l
(^ произвольно), q=\ (р произвольно).
10. Единственными связными графами четвертого типа из ша-
шага 8 являются граф Кркстера Dn о о . . . о ^^^° ц граф
Кокстера Еп (п = 6, 7 или 8)
»• • • о. Положим ? = '
у] = J2 Щь ^ = J2 ^i- Ясно, что векторы е, т), ^ линейно независимы и вза-
взаимно ортогональны, причем ф не лежит в их линейной оболочке. Как и на
шаге 4, получаем отсюда, что cos2 0i +cos2 82 + cos2 83 < 1, где 0Ь 02, 8з —
углы между ф и е, т), ? соответственно. Аналогично шагу 9, после замены
р на р — 1 получаем, что (е, е) = ^—^—-; такие же равенства справедливы
у гл 2 л (е> ФJ /I |\ (р— 1J(ео_1, фJ 1/2(р-1J
для т), (,. Отсюда cos^ 81 = \ тч , (ф, ф) = — -г^\—— = т -7- hr
(е, е) (е, е) 4\р(р-1)
= ^г— = - ( 1 ). Аналогичные выкладки можно проделать и для 82, 0q.
2р 2\ р) г
Суммируя, получаем неравенство - ( 1 hi hi J < 1, или
р q r w
(Это неравенство, кстати, имеет долгую историю в математике.) Поменяв

82 Глава III. Системы корней
обозначения, можно считать, что l/p^ l/q^ lA (^ 1/2; если р, q или г
равняется 1, то мы возвращаемся к типу Ап). С учетом неравенства (*) по-
получаем, что 3/2 > 3/г > 1, а значит г = 2. Тогда \/p+\/q>\/2, 2/q > 1/2
и 2 < g < 4. Если g = 3, то \/р > 1/6 и р < 6. Поэтому остаются следую-
следующие возможные тройки (р, q, г): (р, 2, 2) = Drt; C, 3, 2) = Е6; D, 3, 2) = Е7;
E, 3, 2) = Е8.
Изложенное рассуждение показывает, что все связные графы допусти-
допустимых множеств векторов в евклидовом пространстве можно найти среди
графов Кокстера типов А—G. В частности, к одному из этих типов дол-
должен принадлежать и граф Кокстера системы корней. Но во всех случаях,
кроме В?, Q, граф Кокстера однозначно определяет схему Дынкина, как
отмечено вначале. Теорема доказана. ?
Упражнения
1. Проверьте матрицы Картана из таблицы 2.
2. Вычислите определители матриц Картана (в случае типов А^—D^
примените индукцию по ?). Правильный ответ:
А*:*+1; В,: 2; Q: 2; D,:4; E6: 3; Е7: 2; Е8, F4hG2:1.
3. С помощью алгоритма из п. 11.1 найдите все корни системы G2. Сде-
/2-1
лайте то же для С3: [ -1 2-1
V 0 -2 2у
4. Докажите, что группа Вейля системы корней Ф изоморфна прямому
произведению групп Вейля ее неприводимых компонент.
5. Докажите, что каждая неприводимая система корней изоморфна сво-
своей двойственной, с тем исключением, что В^ и Q двойственны друг другу.
6. Докажите, что если одна схема Дынкина содержится в другой (на-
(например, Е6 в Е7 или Е7 в Е8), то это верно и для соответствующих систем
корней.
Замечания
Наше доказательство теоремы о классификации следует книге Jacob-
son [1]. Несколько иной подход см. в Carter [1]. В Bourbaki [2] сделан
упор на классификацию групп Кокстера, важным примером которых слу-
служат группы Вейля систем корней.
§12. Построение систем корней и автоморфизмов
В § 11 были найдены все возможные (связные) схемы Дынкина (непри-
(неприводимых) систем корней. Остается показать, что каждая схема типов А—G
действительно принадлежит некоторой системе корней Ф. После этого мы
вкратце рассмотрим группу Aut Ф. Для классических линейных алгебр Ли

§ 12. Построение систем корней и автоморфизмов 83
(см. п. 1.2) проверяется, что они имеют системы корней типов А^—D^, чем и
устанавливается существование таких систем; разумеется, предварительно
нужно доказать полупростоту этих алгебр (см. § 19). Но прямое постро-
построение системы корней также не представляет труда, причем выясняется и
структура ее группы Вейля.
12.1. Построение типов А—G. Нам предстоит работать во всевоз-
всевозможных пространствах Шп с обычным скалярным произведением. Через
Si, ..., гп будем обозначать ортонормированный базис в Шп. Целочислен-
Целочисленную линейную оболочку этого базиса назовем (по определению) решеткой
и обозначим /. В качестве Е всегда будем брать пространство Rn (или его
подходящее подпространство с индуцированным скалярным произведени-
произведением), а в качестве Ф — множество всех векторов заданной длины (или длин)
в решетке / или тесно связанной с ней подгруппе / в Е.
Поскольку группа / (и /) дискретна в обычной топологии простран-
пространства Шп, а множество векторов одной или двух заданных длин компактно
(замкнуто и ограниченно), множество Ф заведомо конечно. Будем считать,
что оно не содержит 0. В каждом случае будет очевидно, что Ф порожда-
порождает Е (фактически будет указан в явном виде базис для Ф). Отсюда следует
свойство (R1). Выбор длин сделает очевидным и условие (R2). Для про-
проверки (R3) достаточно убедиться, что отражение оа (а Е Ф) отображает Ф
снова в /, поскольку тогда оа(Ф) автоматически состоит из векторов задан-
заданных длин и (R3) вытекает из (R4). Что касается свойства (R4), то обычно
бывает достаточно выбрать длины так, чтобы их квадраты делили 2, по-
поскольку (а, C) Е Z при всех а, C Е /.
После этих предварительных замечаний рассмотрим по отдельности
случаи А—G. Проверив свойства (Rl)—(R4) намеченным выше способом,
читатель должен убедиться, что полученная матрица Картана совпадает с
приведенной в таблице 1 (см. п. 1.14).
Случай А^ (О 1): пусть Е обозначает ^-мерное подпространство в R?+\
ортогональное вектору s{+ ... + si+{. Положим // = /ПЕ, а в качестве Ф
возьмем множество всех таких векторов осе/', что (а, а) =2. Очевидно,
что Ф = {zi — ?/, / ф']}. Векторы а,- = е,- — е/+1 A ^ / ^ ?) линейно независи-
независимы, причем S/ - ?/ = (s/ - s/+i) + (s/+i - s/+2) +... + (sy_i - sy) при i<j, откуда
видно, что они составляют базис в Ф. Ясно, что мы получаем матрицу
Картана А^. Наконец, заметим, что отражение относительно ос, переста-
переставляет индексы /, /+1, а прочие оставляет на месте. Таким образом, оа.
отвечает транспозиции (/, /+ 1) в симметрической группе S?i+\\ она поро-
порождается такими транспозициями, и мы получаем естественный изоморфизм
между W и 5?i+\.
Случай В^: пусть Е = М^, Ф = {аЕ/: (а, а) = 1 или 2}. Легко проверить,
что система Ф состоит из векторов ±е,- (с квадратом длины, равным 1) и
Ej), 1ф] (с квадратом длины, равным 2). Множество из ? векторов

84 Глава III. Системы корней
Si — ?2, ?2 — ?3, ••-, ?*-i — ?*, ?* линейно независимо; короткий корень равен
et = (б,- — ?/+i) + (?/+i — ?/+2) +... + (e*-i — e*) + e*. Аналогичное выражение
получаем для длинного корня zt — е;- или zt + е;-. Ясно, что матрица Картана
для этого (упорядоченного) базиса имеет вид В^. На множестве {еь ..., г?}
группа W действует как группа всех перестановок и перемен знака, по-
поэтому она изоморфна полупрямому произведению групп (Z/2Z)* и 5?t (где
вторая группа действует на первой).
Случай Q (?^3): при ?^2 систему корней Q наиболее удобно рас-
рассматривать в качестве двойственной к В^ (причем В2 = С2), см. упражне-
упражнение 11.5. Читатель может непосредственно проверить, что в пространстве
Е = М^ множество всех векторов ±2et и всех векторов ±(гг ±е;-), 1ф], обра-
образует систему корней типа Q с базисом {е{ — е2, ..., ?^_i — е?, 2е?}. Разуме-
Разумеется, группа Вейля здесь изоморфна группе Вейля системы В^.
Случай D^(О 4): пусть Е = R1, Ф = {а е I: (а, а) = 2} = {±(ei ± sy), / ф/}.
В качестве базиса возьмем ? линейно независимых векторов Z\— ?2, ...
... , ?^_i — ег, ?^_i +е? (получая систему D^). Группа Вейля здесь—это
группа перестановок и перемен знака в четном количестве позиций на
множестве {еь ..., е?}. Поэтому группа W изоморфна полупрямому про-
произведению групп (Z/2Z)^-1 и 5?t.
Случаи Е6, Е7, Е8: мы знаем, что Е6 и Е7 можно канонически отожде-
отождествить с подсистемами в Е8 (упражнение 6 из § 11), поэтому достаточно по-
построить Е8. Это не совсем просто. Пусть Е = М8, У7 = / + Z i-(z\-\-... +?8)),
/" — подгруппа в У7, состоящая из всех элементов вида ^2 с^ + -(?i + ...
... +?8), таких что число J2 ci четно. (Проверьте, что это подгруппа!)
Положим Ф = {аеГ': (а, а) =2}. Легко видеть, что Ф содержит (оче-
1 8
видно) векторы =Ь(е/ =Ье7-), 1ф\, а также (менее очевидно) - J2(~^)k{i)si
z i=\
(где k(i) = 0, 1 по модулю 2). Можно проверить, что все скалярные
произведения здесь принадлежат Z (это нужно проверять, поскольку
мы работаем в большей решетке, чем /). В качестве базиса возьмем
-(?i+?8-(?2 + ...+?7)), ?i+?2, S2-S1, ?3-?2, ?4~?з, ?5-^4, ?6-^5, ?7-
(Его упорядочение соответствует матрице Картана для Е8 из таблицы 1
(см. п. 11.4).) Приглашаем читателя наглядно представить себе действие
группы Вейля, порядок которой, как можно показать, равен 21435527.
Случай F4: пусть E = R4, /; = / + zQ(si +?2 + ?3 + ?4)), Ф = {aG /;:
(а, а) = 1 или 2}. Тогда Ф состоит из всех векторов ±eh всех векторов
±(е,- ± ?7), 1ф'и а также всех векторов ±-(?! ± ?2 ± ?3 ± ?4), где знаки мож-
можно выбирать независимо. Можно проверить, что все числа (а, [3) целые.
|-

§ 12. Построение систем корней и автоморфизмов 85
В качестве базиса возьмем < е2 — ?з> ?з — ?4, ?4, о(?i ~ ?2 — ?з — ?4) г- Здесь
группа W имеет порядок 1152.
Случай G2: мы уже построили G2 в явном виде в §9. При абстрактном
подходе можно взять в качестве Е подпространство в R3, ортогональное к
?1+?2+?з, и положить /'=/пЕ, Ф = {осЕ/': (а, а) =2 или 6}. Таким образом,
Ф = ±{?1— ?2, г2 — ?з, ?i— ?3, 2^ — ?2 — ?з, 2е2 —?i—?3, 2e3 — ?i— ?2}- В качестве
базиса возьмем е{ — е2, — 2ei +?2 + ?3. (Как действует группа ^?)
Теорема. Для каждой схемы Дынкина (и матрицы Картана) ти-
типов А—G существует неприводимая система корней с такой схемой.
12.2. Автоморфизмы системы Ф. Мы намереваемся дать полное опи-
описание группы Aut Ф для каждой системы корней Ф. Напомним, что ввиду
леммы 9.2 группа W является нормальной подгруппой в Aut Ф (упражне-
(упражнение 9.6). Пусть Г = {о е Aut Ф: о(А) = А}, где А — фиксированный базис
в Ф. Очевидно, Г является подгруппой в Aut Ф. Если т е Г П W, то т = 1 вви-
ввиду простой транзитивности группы W (теорема 10.3(е)). Далее, если т —
произвольный элемент из Aut Ф, то, очевидно, т(А) также является бази-
базисом для Ф. Поэтому существует элемент oG#, для которого от(А) = А
(теорема 10.3(Ь)), и, значит, теГ#'. Как следствие, Aut Ф является по-
полупрямым произведением групп Г и W.
Для всех т е Aut Ф и всех а, [3 е Ф мы имеем (а, [3) = (т(а), тф)). По-
Поэтому каждый элемент т G Г определяет автоморфизм (в очевидном смы-
смысле) схемы Дынкина системы Ф. Если т действует на схеме тривиально,
то т = 1 (так как А порождает Е). С другой стороны, каждый автомор-
автоморфизм схемы Дынкина очевидным образом определяет автоморфизм систе-
системы Ф (см. предложение 11.1). Таким образом, можно отождествить Г
с группой автоморфизмов схемы Дынкина. Описание групп Г очевидно
при взгляде на список схем Дынкина из п. 11.4; вместе с другими полез-
полезными сведениями о неприводимых системах Ф оно собрано в таблице 3.
Таблица 3
Тип
А*
В*, С*
Е6
Е7
Е8
F4
G2
Количество
положительных
корней
V 2 )
е
e-t
36
63
120
24
6
Порядок
группы W
(?-\-1)!
2г?\
2?~11\
27345
210345-7
21435527
2732
223
Строение „
группы W
Уг+i {Ъ/2Ъ){?^2)
(Z/2Z/ х Уг 1
y/LiA/L) х<у? \Z/2Z (?>4)
Z/2Z
1
1
1
% 1

86 Глава III. Системы корней
(Нетождественные автоморфизмы схемы существуют лишь в случае един-
единственной длины корней, когда схема Дынкина совпадает с графом Коксте-
ра, поэтому здесь можно использовать и термин автоморфизм графа1.)
Упражнения
1. Проверьте детали построений из п. 12.1.
2. Проверьте таблицу 4.
Таблица 4. Максимальные длинные и короткие корни
Тип
в^
Q
Е6
Е7
Е8
F4
G2
Длинный корень
ai + а2 + ... + qli
оц + 2а2 + 2а3 + ... + 2а/
2а1+2а2 + ... + 2а,_1+а,
ai + 2а2 + 2а3 + За4 + 2а5 + а6
2ai + 2а2 + За3 + 4а4 + За5 + 2а6 + а7
2ai + За2 + 4аз + 6а4 + 5а5 + 4аб + За7 + 2с
2оц + За2 + 4а3 + 2а4
3ai + 2a2
Короткий корень
ai + а2 + ... + оц
oci -\- 2ос2 -\-... -\- 2ос^_ 1 + ос^
^8
ai + 2а2 + За3 + 2а4
2ai + a2
3. Пусть система ФсЕ удовлетворяет условиям (Rl), (R3), (R4), но
не (R2), см. упражнение 9.9. Пусть при этом система Ф неприводима в
смысле §11. Докажите, что Ф является объединением систем корней ти-
типов В„, С„ в Е (n = dim Е, п > 1), причем длинные корни из Вп являются
короткими корнями в Сп. (В литературе это называется неприведенной
системой корней типа ВС„.)
4. Докажите, что длинные корни из G2 образуют систему корней в Е
типа А2.
5. Допустимо ли при построении Q определить Ф как множество всех
векторов из / с квадратом длины 2 или 4? Ответ объясните.
6. Докажите, что отображение a i—> —а является автоморфизмом си-
системы Ф. Попробуйте определить, для каких неприводимых систем Ф оно
принадлежит группе Вейля.
7. Опишите группу Aut Ф для случая, когда система Ф не является
неприводимой.
Замечания
Изложение здесь следует Serre [2]. Дополнительные сведения о кон-
конкретных системах корней можно найти в книге Bourbaki [2].
Однако в случаях В2(=С2), F4 и G2 нетривиальный автоморфизм графа не является
автоморфизмом схемы Дынкина, так как он меняет ориентацию кратных ребер. (Прим. ред.)

§ 13. Абстрактная теория весов 87
§13. Абстрактная теория весов
В этом параграфе излагается та часть теории представлений полупро-
полупростых алгебр Ли, которая использует только систему корней. (Все это не
потребуется до гл. VI.) Здесь Ф — система корней в евклидовом простран-
пространстве Е с группой Вейля W.
13.1. Веса. Пусть Л — множество всех таких элементов X е Е, что
(X, a) G Ъ (а G Ф). Назовем его элементы весами. Поскольку (X, а) = } ' °/
(а, а)
линейно зависит от X, множество Л является подгруппой в Е, содержа-
содержащей Ф. Обозначим через Лг решетку корней (т. е. подгруппу в Л, которую
порождает система Ф). Она является решеткой в Е в стандартном смысле:
это целочисленная линейная оболочка некоторого R-базиса в Е (а именно,
любого множества простых корней). Зафиксируем базис АсФ и назовем
вес X G Л доминантным, если все числа (X, а) (а G А) неотрицательны, и
строго доминантным, если они положительны. Пусть Л+ — множество
всех доминантных весов. На языке п. 10.1 это означает, что Л+ — множе-
множество всех весов, лежащих в замыкании фундаментальной камеры Вейля
?(А), а Л П <?(Д) — это множество строго доминантных весов.
Пусть Д = {<хь ..., ос*}. Тогда векторы -—^— также образуют базис
(ot/, oi/)
в Е. Пусть ХЬ...,Х^ — двойственный базис (относительно скалярного
произведения в Е): ———^-=8^. Поскольку все значения (X/, а) (аеД)
(а/, а/)
неотрицательные целые, X/ являются доминантными весами. Назовем их
фундаментальными доминантными веса-
весами (относительно Д). Заметим, что о/Ху =
= Ху — 8у<Х/. Для произвольного X G Е (например,
для любого веса) положим тг = (X, ос,-). Тогда
0 = (Х — Y^ mih, а) Для любого простого кор-
корня а, а значит (X — ^ mi^i, а) = 0 и X = X] щ\-
Следовательно, Л является решеткой с ба-
базисом (Хь 1 </<?), причем ХеЛ+, если и
только если все mt неотрицательны. (См.
рис.4, тип А2.) Рис. 4
Из элементарных свойств решеток следует,
что Л/Лг — конечная группа (она называется фундаментальной груп-
группой системы Ф). Это можно непосредственно увидеть следующим образом.
Пусть 0Li = J2 w>ijh (тцеЪ). Тогда (аь а^) = ^ щ(^, oik)=mik. Другими
словами, матрица Картана описывает преобразование базиса. Чтобы вы-
выразить Ху через аь нужно лишь обратить матрицу Картана; определитель
последней—целое число (см. упражнение 11.2), и он измеряет индекс

88 Глава III. Системы корней
подгруппы Лг в Л. Например, для типа А{ имеем а! =2ХЬ (Это единствен-
единственный случай, когда простой корень доминантен, — по причинам, которые
/ 2 —1\
станут понятны позже.) Для типа А2 матрица Картана равна (_, „Ь
поэтому oil =2Xi — Х2 и а2 = — Xi +2X2. После обращения получаем -L Л,
следовательно Xi = ^Bai +a2) и Х2 = -(ai +2a2). Вычисляя определители
о о
матриц Картана, получаем следующий набор порядков фундаментальных
групп Л/Лг для неприводимых систем:
А<:*+1; В,, Q, Е7: 2; D<:4; Е6: 3; Е8, F4, G2: 1.
После некоторой дополнительной работы удается явно выразить X/ че-
через а7-. Для удобства читателя эти сведения собраны в таблице 5, хотя,
строго говоря, в дальнейшем они не понадобятся. Точную структуру фун-
фундаментальной группы можно найти путем вычисления элементарных дели-
делителей или вывести из таблицы 5, коль скоро последняя известна (упраж-
(упражнение 4).
Таблица 5
/)a/+i +... + ion]
B?: X/ = ai + 2a2 + ... + (/ - l)a/_i + /(a/ + a/+i + ... + сщ) (i < ?)
Q : X/ = ai + 2a2 + ... + (/ - l)a/_i + /(оц +... + cl?-i +
D^ : X/ = ai + 2a2 + ... + (/ - l)a/_i + 1{щ + ... + a^_2 + \/2(? - 2)a/)
X^_i = l/2(ai + 2a2 + ... + (? - 2)o^_2 + l/2?aL?-i /2(? 2))
X? = l/2(ai + 2a2 + ... + (? - 2)a^_2 + l/2(* -
(Ниже ^2 qiOLi сокращенно обозначается через (q\, ..., qi).)
E6: Xi = 1/3D, 3, 5, 6, 4, 2); X2 = A, 2, 2, 3, 2, 1);
X3 = 1/3E, 6, 10, 12, 8, 4); X4 = B, 3, 4, 6, 4, 2);
X5 = 1/3D, 6, 8, 12, 10, 5); X6 = 1/3B, 3, 4, 6, 5, 4)
E7: Xi = B, 2, 3, 4, 3, 2, 1); X2 = 1/2D, 7, 8, 12, 9, 6, 3);
X3 = C, 4, 6, 8, 6, 4, 2); X4 = D, 6, 8, 12, 9, 6, 3);
X5 = 1/2F, 9, 12, 18, 15, 10, 5); X6 = B, 3, 4, 6, 5, 4, 2);
X7= 1/2B, 3, 4, 6, 5, 4, 3)

• 13. Абстрактная теория весов
Е8: Xi = D, 5, 7, 10, 8, 6, 4, 2); Х2 = E, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 3);
Х3 = G, 10, 14, 20, 16, 12, 8, 4);
Х4 = A0, 15, 20, 30, 24, 18, 12, 6);
Х5 = (8, 12, 16, 24, 20, 15, 10, 5); Х6 = F, 9, 12, 18, 15, 12, 8, 4);
Х7 = D, 6, 8, 12, 10, 8, 6, 3); Х8 = B, 3, 4, 6, 5, 4, 3, 2)
F4: Xi = B, 3, 4, 2); Х2 = C, 6, 8, 4); Х3 = B, 4, 6, 3); Х4 = A, 2, 3, 2)
G2: Xi = B, 1);X2 = C, 2)
13.2. Доминантные веса. Группа Вейля W системы Ф сохраняет ска-
скалярное произведение в Е и потому оставляет множество Л инвариантным.
(На самом деле мы уже сделали более точное наблюдение: оДу =Х;- — 8^.)
При изучении представлений часто встречаются орбиты весов при действии
группы W. Ввиду леммы 10.3В и упражнения 10.14 можно утверждать сле-
следующее.
Лемма А. Каждый вес эквивалентен относительно W ровно од-
одному доминантному весу. Если вес X доминантен, то о\<\ для всех
oG#, а если он строго доминантен, то оХ = X лишь при о = 1.
Как подмножество в Е, Л частично упорядочивается отношением
X >>- \х, означающим, что X — \х является суммой положительных корней
(см. п. 10.1). К сожалению, это упорядочение не очень тесно связано
со свойством доминантности; легко построить пример, когда корень \х
доминантен, [jl^<X, но корень X не доминантен (упражнение 2). Однако
следующая лемма показывает, что доминантные веса не очень плохо себя
ведут по отношению к -<<.
Лемма В. Пусть ХеЛ+. Тогда количество доминантных весов
[i-<\ конечно.
Доказательство. Поскольку X + \хЕЛ+, а X — jjl является суммой
положительных корней, 0 < (X + \i, X — \i) = (X, X) — (\i, \i). Как следствие,
\i лежит в компактном множестве {хеЕ: (х, х) < (X, X)}, пересечение
которого с дискретным множеством Л+ конечно. ?
13.3. Вес 5. Напомним (следствие из леммы 10.2В), что S = - Ja
^ а>-0
и О/8 = 8 — а, A ^ / ^ ?). Разумеется, 8 может и не принадлежать решетке
корней Лг (см. тип А^, но 8 всегда лежит в Л. Более точно, справедлива
i
Лемма А. Выполняется равенство 8 = ^ Х;-, так что Ь является
/=1
(строго) доминантным весом.
Доказательство. Поскольку о,-8 = 8 —ос,-=8 — (8, ос^ос/, то (8, ос,-) = 1
A ^i^i). Но 8 = ^.(8, ос,-)Х; (ср. п. 13.1), и лемма доказана. ?
Следующий вспомогательный результат потребуется в п. 13.4.

90 Глава III. Системы корней
Лемма В. Пусть [леЛ+, v = o~1[jl (oGf). Тогда (v + 8,
<([i + 8, (ji + 8), причем равенство достигается лишь при v = \i.
Доказательство. Мы имеем: (v + 8, v + 8) = (o(v + 8), o(v + 8)) =
= (ц + о8, ц + о8) = (ц + 8, ц + 8)-2(ц, 8-08). Поскольку [леЛ+, а 8-08
является суммой положительных корней (см. леммы 13.2А и 13.3В), пра-
правая часть не превосходит ([л + 8, [л + 8), причем равенство достигается лишь
при (\х, 8 — о8) = 0. Тогда (\i, 8) = (\i, 08) = (v, 8) и (\i — v, 8) = 0. Ho \i — v
является суммой положительных корней (см. лемму 13.2А), а корень 8
строго доминантен, поэтому [i = v. ?
13.4. Насыщенные множества весов. Особую роль в теории пред-
представлений играют некоторые конечные множества весов, инвариантные
относительно W. Назовем подмножество П в Л насыщенным, если для
всех X Е П, а Е Ф и для всех / между 0 и (X, а) вес X — /а также лежит
в П. Прежде всего заметим, что каждое насыщенное множество автома-
автоматически инвариантно относительно W, поскольку оаХ = Х —(X, а)а, a W
порождается отражениями. Мы говорим, что насыщенное множество П
имеет старший вес X (X Е Л+), если X Е П и \х -< X при всех \х е П.
Примеры. A) множество, состоящее только из 0, является насыщен-
насыщенным и имеет старший вес 0; B) множество Ф всех корней полупростой
алгебры Ли с добавлением нуля также является насыщенным.
В случае неприводимой системы Ф ввиду леммы 10.4А имеется един-
единственный максимальный корень (относительно фиксированного базиса А),
так что этот корень является старшим весом для П (почему?)
Лемма А. Насыщенное множество весов, имеющее старший вес X,
обязательно конечно.
Доказательство. Применим лемму 13.2В. ?
Лемма В. Пусть множество П насыщенно и имеет старший вес X.
Если [хеЛ+ и [х-<X, то \ieU.
Доказательство. Пусть ^j/ = ^ + Y^ kaaeU (kaeZ+). (Важное
ocGA
замечание: мы не предполагаем, что вес \х' доминантен.) Покажем, что
можно уменьшить одно из значений ka на единицу, оставаясь в множе-
множестве П (отсюда в конечном счете вытекает, что [лЕП). Разумеется, мы
начнем с того, что вес X сам имеет вид такого \if. Пусть теперь \х ф \у!, так что
некоторое значение ka положительно. Из неравенства (^2 kaa, ^2 kaa) > 0
^ а а '
получаем, что \S2 ^Л Р] >0 Для некоторого р, удовлетворяющего усло-
а
вию р Е А с &р > 0. Как следствие, величина (^2 ^«а> Р/ положительна. Так
как вес \х доминантен, значение (\l, p) неотрицательно, и потому ([У, р) > 0.
В силу определения насыщенного множества теперь можно вычесть р из [У,
оставаясь в множестве П. Тем самым &р уменьшается на единицу. ?

§ 13. Абстрактная теория весов 91
Из леммы В очень четко вырисовывается строение насыщенного мно-
множества П со старшим весом X: П состоит из всех доминантных весов,
меньших либо равных X в смысле частичного упорядочения, а также экви-
эквивалентных им относительно W. В частности, для данного X е Л+ существует
не более одного такого П. Обратно, для данного ХеЛ+ можно опреде-
определить П просто как множество всех доминантных весов, меньших либо рав-
равных X, вместе с эквивалентными им относительно W. Из инвариантности
множества П при действии группы W можно вывести, что оно насыщенно
(упражнение 10), и ввиду леммы 13.2А его старший вес равен X.
В заключение этого параграфа докажем неравенство, существенное для
применения формулы Фрейденталя (§22).
Лемма С. Пусть Множество П насыщенно и имеет старший
вес X. Если [хеП, то ((л + 8, (л + 8) < (Х + 8, Х + 8), причем равенство
достигается лишь при [i = X.
Доказательство. Ввиду леммы 13.3В достаточно рассмотреть слу-
случай доминантного веса \l. Положим \х = \ — к, где к является суммой
положительных корней. Тогда (Х + 8, Х + 8) —(^ + 8, ^ + 8) = (Х + 8, Х + 8) —
-(Х + 8-к, X + 8-7i) = (X + 8, л)+ G1, ji + 8) > (Х + 8,7с)^0, где неравенства
вытекают из доминантности корней [jl + 8 и Х + 8. Равенство выполнено
лишь при 7i = 0, поскольку вес Х + 8 строго доминантен. ?
Упражнения
1. Пусть Ф = Ф1 U ... U Фе — разложение множества Ф на неприводи-
неприводимые компоненты, причем А = А{ U... U Де. Докажите, что Л распадается в
прямую сумму А{ 0... 0 Ле; что можно сказать о Л+?
2. Покажите на примере (скажем, для А2), что возможен случай
3. Проверьте некоторые данные из таблицы 5 — например, для F4.
4. С помощью таблицы 5 покажите, что фундаментальная группа в слу-
случае А^ — циклическая порядка ? + 1, а в случае D^ изоморфна группе Z/4Z
при нечетном ? и группе Z/2Z х Z/2Z при четном ?. (Легко запомнить, к
какому случаю что относится, поскольку А3 = D3.)
5. Пусть А' — любая подгруппа в Л, содержащая Лг. Докажите, что
подгруппа Л' инвариантна при действии группы W. Тем самым мы получа-
получаем гомоморфизм ср: Aut Ф/W —> Aut(A/Ar). Докажите его инъективность,
а затем покажите, что — 1 е W, если и только если Лг D 2Л (см. упражне-
упражнение 12.6). Покажите также, что — 1 ^W в точности для следующих (не-
(неприводимых) систем корней: Аь В^, Q, D^ {? четно), Е7, Е8, F4, G2.
6. Докажите, что корень, принадлежащий неприводимой системе Ф,
доминантен, если и только если это старший корень либо (при наличии
корней разной длины) максимальный короткий корень (см. п. 10.4 и упраж-
упражнение 10.11).

92 Глава III. Системы корней
7. Докажите, что если еь ..., г? — тупоугольный базис в евклидо-
евклидовом пространстве Е (т.е. все величины (еь е;-) неположительны при 1ф]),
то двойственный базис будет остроугольным (т.е. все величины (е*, е*)
неотрицательны при ///). [Сведите ситуацию к случаю ? = 2.]
8. Пусть система Ф неприводима. Не используя данных из таблицы 1,
докажите, что каждый вес X/ имеет вид ^2 QijOij, где все Цц — положи-
j
тельные рациональные числа. [Выведите из упражнения 7, что все qVl
неотрицательны. Из неравенства (kh X,-) > 0 получите, что qu > 0. Затем
покажите, что если qi} > 0 и (<х;-, ak) < 0, то qik > 0.]
9. Пусть X G Л+. Докажите, что корень о(Х + 8) — 8 доминантен только
при о = 1.
10. Докажите, что если ХеЛ+, то множество П, состоящее из всех
доминантных весов ^jl —< X и ^-эквивалентных им, является насыщенным,
как утверждается в п. 13.4.
11. Докажите, что каждое подмножество из Л содержится в единствен-
единственном минимальном насыщенном множестве, конечном, если данное подмно-
подмножество конечно.
12. Для системы корней типа А2 выпишите действие каждого элемента
группы Вейля на Xi и Х2. С помощью этих данных определите, какие веса
принадлежат насыщенному множеству, имеющему старший вес Xi Ч- ЗХ2.
Сделайте то же самое для типа G2 и старшего веса Xi +2X2.
13. Назовем вес X е Л+минимальным1, если из условий [леЛ+, ^jl -< X
следует, что [i = X. Покажите, что каждый смежный класс по Лг в Л содер-
содержит ровно один минимальный вес. Докажите, что вес X минимален, если
и только если его ^-орбита насыщена (со старшим весом X), а также
если и только если ХеЛ+ и (X, а) =0, 1, —1 для всех корней а. Опреде-
Определите (с помощью таблицы 5) ненулевые минимальные веса для каждой из
неприводимых систем Ф. Ответ дается следующей таблицей:
Q:
Замечания
Материал этого параграфа частично взят из текста и упражнений в
книге Bourbaki [2], гл. VI, § 1, No. 9—10 (и упражнение 23). Но мы сделали
несколько больше, чем делается обычно, вне рамок теории представлений,
чтобы подчеркнуть роль системы корней2.
АВ русской литературе это называется микровесом. (Прим. ред.)
2Имеется в виду абстрактная теория весов, развитая в этом параграфе. (Прим. ред.)

Глава IV
Теоремы об изоморфизме
и сопряженности
§14. Теорема об изоморфизме
Вернемся в ситуацию гл. II: L — полупростая алгебра Ли над алге-
алгебраически замкнутым полем F характеристики О, И — ее максимальная
торическая подалгебра, ФсЯ* — множество всех корней алгебры L отно-
относительно И. В пункте 8.5 мы показали, что рациональная оболочка систе-
системы ФвЯ* имеет размерность ^ = dimF Я* над Q. Расширив основное поле
от Q до R, получаем ^-мерное вещественное векторное пространство Е,
натянутое на Ф. При этом симметрическая билинейная форма, двойствен-
двойственная к форме Киллинга, продолжается на Е, превращая его в евклидово
пространство. Тогда теорема 8.5 утверждает, что Ф — система корней в Е.
Наша цель в этом параграфе — доказать, что две полупростые алгебры
Ли с одинаковой системой корней изоморфны. Фактически мы сможем
доказать более точное утверждение, позволяющее построить и конкретные
изоморфизмы.
14.1. Редукция к случаю простой алгебры.
Предложение. Пусть L — простая алгебра Ли, подалгебра И и
система Ф такие же, как выше. Тогда Ф — неприводимая система
корней в смысле п. 10.4.
Доказательство. Предположим противное. Тогда Ф = Ф1 иФ2, где Ф1
и Ф2 ортогональны. Если аеФь (ЗеФ2, то (а + р, а)/0, (а + р, Р)/0, поэто-
поэтому а + р не может быть корнем и [La, Lp] = 0. Следовательно, подалгебра К
в L, порожденная всеми La (а^Ф^, поэлементно коммутирует со все-
всеми Lp (p G Ф2); как следствие, К— собственная подалгебра в L, поскольку
Z(L) = 0. Далее, в нормализаторе подалгебры К содержатся все La (осе Ф\),
тогда и все La (аеФ), а значит и L (предложение 8.4(f)). Следовательно,
К—собственный ненулевой идеал в алгебре L, что противоречит ее про-
простоте. ?
Пусть теперь L — произвольная полупростая алгебра Ли. Тогда L
представляется единственным образом как прямая сумма простых идеалов
L\ 0... 0Lf (теорема 5.2). Если И — максимальная торическая подалгебра
в L, то Н = Н{ 0...0Я,, Yj\^Hi=Li^H (см. упражнение 5.8). Очевидно, что
Hi — торическая подалгебра в Lt при любом /, в действительности мак-

94 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
симальная: любая большая торическая подалгебра в Lt автоматически
будет торической в L, при этом она поэлементно коммутирует с Я7 (J ф г)
и вместе с ними порождает торическую подалгебру в L, большую чем Я.
Пусть Ф,- обозначает систему корней алгебры Lt относительно Нг в веще-
вещественном векторном пространстве Et. Если аЕ Фь то мы вправе считать а
линейной функцией на Я, положив <х(//;-) =0 при ]ф1. Очевидно, что тогда
а — корень алгебры L относительно Я, причем La с Lt. Обратно, если a Е Ф,
то [Ht, Ьа]ф0 при некотором / (иначе Н поэлементно коммутирует с La),
поэтому LacLi и а\н. —корень алгебры Lt относительно Н. Изложенное
показывает, что Ф можно представить в виде Ф1 U... U Фь и соответственно
Е = Е{ ф... ф Et (см. п. 11.3). Из предыдущего предложения получаем
Следствие. Пусть L — полупростая алгебра Ли с максимальной
торической подалгеброй Н и системой корней Ф. Если L = L{®...
... ф Lt — ее разложение на простые идеалы, то Я,- = Я П Lt является
максимальной торической подалгеброй в Lh а соответствующая
(неприводимая) система корней Ф, имеет естественное вложение
в Ф, причем Ф = Ф1 U... U Ф/ является разложением системы Ф на не-
неприводимые компоненты.
Проблема характеризации полупростой алгебры Ли посредством ее си-
системы корней сводится ввиду этого следствия к случаю простой алгебры
(и неприводимой системы корней).
14.2. Теорема об изоморфизме. Вначале выберем достаточно малое
множество образующих в L.
Предложение. Пусть L— полупростая алгебра Ли, Я— ее мак-
максимальная торическая подалгебра, Ф — система корней в L относи-
относительно Я. Зафиксируем в Ф базис А (см. п. 10.1). Тогда L порождает-
порождается (как алгебра Ли) корневыми подпространствами La, L_a (осе А);
или, эквивалентно, L порождается произвольными ненулевыми кор-
корневыми векторами ха е La, ya e L_a (a e A).
Доказательство. Пусть [3—произвольный положительный ко-
корень (относительно А). Согласно следствию леммы 10.2А корень [3 мож-
можно записать в виде C = <xi +... + as, где a/ E Д и каждая частичная сумма
(*!+...+а,- является корнем. Мы знаем также (предложение 8.4(d)), что
если у, 8, у + 8ЕФ, то [Lr, Ls] = Lr+s. С помощью индукции по 5 легко
убедиться, что Lp лежит в подалгебре, порожденной в L всеми подалгебра-
подалгебрами La (a Е А). Точно так же, если [3 отрицательно, то Lp лежит в подалгебре,
порожденной в L всеми L_a (aE А). Но L = H+ Ц La и Я= ХЛ^«, L_a],
откуда и следует наше утверждение. аеФ аеФ ?
Если 0 ф ха Е La, 0 ф уа Е L_a (a Е Д) и [ха, уа] = ha, то будем называть
{*<х, Уа} или {ха, уа, ha} стандартным множеством образующих для L.
Напомним, что ha — единственный элемент в [La, L_a], на котором а при-
принимает значение 2.

§ 14. Теорема об изоморфизме 95
Пусть каждая из пар (L, Я) и (Z/, Я') состоит из простой алгебры
Ли и ее максимальной торической подалгебры. Мы хотим доказать, что
изоморфизм соответствующих (неприводимых) систем корней Ф, Ф' инду-
индуцирует изоморфизм между L и Z/, отображающий Я на Я'. По определению
изоморфизм Ф —> Ф' индуцирован изоморфизмом Е —> Е' соответствующих
евклидовых пространств, который не обязательно является изометрией.
Однако аксиомы систем корней остаются справедливыми при умножении
скалярного произведения в Е или Е' на положительное вещественное чи-
число. Поэтому мы вправе считать, что изоморфизм Ф —> Ф' порожден
изометрией евклидовых пространств. Теперь заметим, что изоморфизм
ф __> ф' единственным образом продолжается до изоморфизма векторных
пространств ф: Я* —>#'* (поскольку Ф порождает Я*,аФ' порождает Я'*).
В свою очередь ф индуцирует изоморфизм к: Н^Н', если с помощью
формы Киллинга отождествить пространства Я, Н' с двойственными. Бо-
Более конкретно, если а^а' обозначает данное отображение Ф—»Ф', то
K(ta) = t'a,, где ta и t'a, с помощью формы Киллинга отождествлены с а, а'.
Поскольку данный изоморфизм между Ф и Ф' порождается изометрией
между соответствующими евклидовыми пространствами, из соотношения
ha = 2ta/(oi, а) следует также, что к(ка) = h'a,.
Так как Я, И1 — абелевы алгебры Ли, к можно даже рассматривать
как изоморфизм алгебр Ли. Хотелось бы продолжить его до изоморфизма
L^L' (который мы также обозначим к). Если такое продолжение суще-
существует, то нетрудно понять, что подалгебра La должна отображаться
на Lfa при всех a G Ф. Тогда возникает вопрос: насколько возможно опреде-
определить заранее элемент из L'a, в который отображается данный ха Е La? Ясно,
что выбор всевозможных х'а, (a; E Ф;) не вполне произволен: а именно, если
хЛ, Хр, ха+р удовлетворяют условию [ха, хр] = ха+р, то должно выполняться
равенство [х'а,, х'р,] = х'а,+р. Это приводит к мысли, что нужно сосредото-
сосредоточиться на простых корнях, где выбор можно делать независимо.
Теорема. Пусть L, L' — простые алгебры Ли над F с максималь-
максимальными торическими подалгебрами Я, И' и системами корней Ф, Ф;
соответственно. Предположим, что существует изоморфизм меж-
между Ф и Ф; {обозначаемый a^a;), который индуцирует изоморфизм
к: Н^Н'. Зафиксируем базис АсФ, тогда А/ = {а/; аЕ А} будет ба-
базисом в Ф;. Для каждого аЕА выберем произвольные (ненулевые)
ха Е La, x'a, E L'a, (т. е. выберем произвольный изоморфизм алгебр Ли
7ia: La—>?„,). Тогда существует единственный изоморфизм к: L^U,
продолжающий к: Н^Н' и все ка (аЕ А).
Доказательство. Единственность изоморфизма к (если он суще-
существует) устанавливается немедленно: ха (а Е А) определяет единственный
элемент уа eL_a, для которого [ха, ya] = ha, а ввиду предыдущего предло-
предложения алгебра L порождается совокупностью всех хл, уа (аЕ А).

96 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
Идея доказательства существования несложна. Если алгебры L и L' по
существу одинаковы, то их прямая сумма L ф// (полупростая алгебра Ли с
двумя простыми идеалами L, L') должна включать подалгебру D, которая
напоминает «диагональную» подалгебру {(х, х); хе L} в LфL и изоморфно
отображается на L при проектировании на каждое из прямых слагаемых.
Такую подалгебру D в L ф L' легко построить: пусть, как и выше, ха (а Е А)
определяет единственный элемент //aEL_a, для которого [ха, ya] = ha, и,
аналогично, х'а, (а' Е А') определяет у'а, Е ?'_а/. Пусть D порождается эле-
элементами ха = (ха, л?,), уа = (уа, у'Л,), К = (Ла, к'Л,) для всех а Е А.
Главная трудность состоит в том, чтобы показать, что D — соб-
собственная подалгебра; могло бы оказаться, что она содержит элементы
вида (ха, х'а,) и (ха, 2х'а,), где ха ?La, x'a, ^L^ для каких-то корней а, а'. То-
Тогда подалгебра D целиком содержала бы L' и L, а следовательно, и L ф L'
(читатель легко может это проверить). Невозможность такой ситуации
трудно усмотреть непосредственно, поэтому изберем окольный путь.
Поскольку идеалы L, L' просты, системы Ф, Ф; неприводимы (пред-
(предложение 14.1). Поэтому в системах Ф, Ф; имеются однозначно опреде-
определенные максимальные корни [3, C; (относительно А, А;). Эти корни, разу-
разумеется, соответствуют друг другу при данном изоморфизме Ф —> Ф; (лем-
(лемма 10.4А). Возьмем произвольные ненулевые элементы x^L^,x'^L'^ и
положим х = (х, х') ?L®L'. Пусть подпространство М в L(&L' натянуто
на все элементы вида
ad */ai ad г/а2... ad yam(x), (*)
где а/ Е А (повторения допускаются). Очевидно, что элемент (*) лежит в
1р_^а.ф1р,_^а/; поэтому подпространство Mn(Lp®Lp,) одномерно, и
значит, М — собственное подпространство в LфL'.
Мы утверждаем, что подалгебра D оставляет подпространство М
инвариантным. Нужно проверить это для ее образующих. Элемент ad j/a
(а Е А) оставляет М инвариантным по определению. Это верно и для ad ha,
как показывает несложная индукция, основанная на том факте, что [h, ya]
и уа пропорциональны. С другой стороны, в случае простого а мы знаем,
что ad xa коммутирует с ad yy при всех простых у, кроме случая у = а,
поскольку а —у не является корнем при у /а (лемма 10.1). Поэтому, при-
применяя ad xa к (*), мы можем переставить его со всеми ad yr, кроме ad уЛ.
В последнем случае появляется дополнительное слагаемое (содержащее
ad ha). Но мы уже учли слагаемые такого рода. Поскольку ad xa(x) =0
при всех а Е А (а + C ф. Ф, так как [3 — старший корень), в итоге получаем,
что М инвариантно относительно ad xa.
Теперь очевидно, что D — собственная подалгебра: иначе под-
подпространство М оказалось бы собственным ненулевым идеалом в L®L',

§ 14. Теорема об изоморфизме 97
но такими являются лишь идеалы L, L' (теорема 5.2), заведомо не совпа-
совпадающие с М.
Мы утверждаем, что проектирования подалгебры D на первое и
второе слагаемое в L®L' являются изоморфизмами алгебр Ли. Из
общих соображений эти проектирования являются гомоморфизмами ал-
алгебр Ли, и они сюръективны ввиду предыдущего предложения и способа
определения подалгебры D. С другой стороны, пусть D имеет ненулевое
пересечение с подалгеброй L (т.е. с ядром проектирования на второе слага-
слагаемое). Это означает, что D содержит такой элемент (w, 0), что ш^О; тогда
D содержит и все элементы (ad zar.. ad zas(w), 0), ос, е Д, za = xa или ya.
Эти элементы образуют ненулевой идеал в L (согласно предложению),
который должен совпадать с L (так как алгебра L проста). Как следствие,
D содержит L. По симметрии D содержит Z/, а тогда и L ® Z/, что неверно.
Наконец заметим, что изоморфизм L—>//, построенный с помощью D,
отображает ха в х'а, (а Е Д) и ha в h'a,, a потому совпадает с и на Я. Это и
было обещано. ?
Теорема легко распространяется на полупростые алгебры (упражне-
(упражнение 1). Отметим, что есть и иной, более результативный подход к дока-
доказательству теоремы об изоморфизме, основанный на предыдущем предло-
предложении. А именно, зададим L в явном виде образующими ха, уа, ha и
соотношениями, выбранными так, что все их коэффициенты зависят
только от системы корней Ф. Тогда любая другая простая алгебра L' с
изоморфной системой корней автоматически будет изоморфна алгебре L.
Это доказательство будет действительно дано позже (§ 18), после неко-
некоторой подготовки; оно не столь элементарно, но имеет то преимущество,
что одновременно приводит и к теореме существования для полупростых
алгебр Ли.
14.3. Автоморфизмы. Теорема об изоморфизме оказывается весьма
полезной при доказательстве существования автоморфизмов полупростой
алгебры Ли L (здесь Я, Ф таковы, как раньше): каждый автоморфизм си-
системы Ф определяет автоморфизм подалгебры Я, который можно продол-
продолжить на L. В качестве полезного примера возьмем отображение, меняющее
знак каждого корня. Оно заведомо лежит в Aut Ф (см. упражнение 12.6),
и индуцированное отображение о: Н^Н переводит h в —h. В частно-
частности, o(ha) = — (йа), а этот элемент согласно предложению 8.3(g) совпадает
с й_а. Чтобы применить теорему 14.2, потребуем, чтобы элемент ха ото-
отображался в — уа (осЕ Д). (Отметим, что единственный элемент 2ELa, для
которого [—уа, z] = h-a, равен —ха.) Согласно теореме о продолжается до
автоморфизма алгебры L, отображающего ха в — уа (осеД). Из преды-
предыдущего замечания в скобках тогда вытекает, что уа отображается в — ха
(осеД). При этом о имеет порядок 2, поскольку о2 оставляет на месте
образующие алгебры L. В итоге получаем

98 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
Предложение. Пусть алгебра L такова, как в теореме 14.2, но
не обязательно проста. Зафиксируем (ненулевой) элемент ха е La
(осе Д), и пусть yaeL_a удовлетворяет условию [ха, ya] = ha. Тогда
L обладает таким автоморфизмом о порядка 2, что о(ха) = —уа,
а(уа) = -ха (a G Д), о(Л) = -Л (Л е Я).
Для случая L = slB, F) автоморфизм о уже был рассмотрен в п. 2.3.
Группа Вейля W системы Ф отвечает за большинство ее автоморфиз-
автоморфизмов (см. п. 12.2). Теорема 14.2 обеспечивает наличие соответствующих
автоморфизмов алгебры L, продолжающих действие группы W на Я. Яс-
Ясно, что продолжение автоморфизма о Е W на L должно отображать Lp
в LoP. (Разумеется, соответствующие скалярные множители можно за-
задать разными способами.) Мы можем дать и прямое построение тако-
такого автоморфизма алгебры L, основанное на рассмотрениях п. 2.3 и не
зависящее от теоремы 14.2. Достаточно сделать это для отражения оа
(аЕ Ф). Поскольку элемент ad хр (C Е Ф) нильпотентен, корректно опреде-
определен внутренний автоморфизм та = exp ad xa • exp ad(—ya) • exp ad xa. Здесь,
как обычно, [хЛ, уЛ] = кЛ. Как действует та на Я? Положим Я = Кег аф
ф FAa. Очевидно, что та(А) = /г для всех /г Е Кег а, тогда как та(/га) = — Аа
(см. п. 2.3). Поэтому та и оа совпадают на Я. Как следствие, та отобража-
отображает Lp в LOaP.
Такой способ представления отражений (а тем самым и произвольных
элементов из W) посредством элементов из Int L имеет один неустрани-
неустранимый недостаток: в общем случае он не делает W подгруппой в Int L (см.
упражнение 5).
Упражнения
1. Обобщите теорему 14.2 на случай полупростой алгебры L.
2. Пусть L=slB, F), а Я, И' — любые две максимальных торических
подалгебры. Докажите, что L обладает автоморфизмом, отображающим Я
наЯ7.
3. Докажите, что подпространство М в L(&L', введенное при доказа-
доказательстве теоремы 14.2, в действительности совпадает с D при подходящем
выборе элементов х я х'.
4. Пусть автоморфизм о таков, как в предложении 14.3. Всегда ли вер-
верно, что о(ха) = —уа, если [ха, ya] = ha, но корень а не обязательно простой?
5. Рассмотрим простую алгебру 5lC, F) типа А2. Покажите, что под-
подгруппа в Int L, порожденная автоморфизмами та из п. 14.3, строго больше,
чем группа Вейля (в данном случае 5?ъ). [Рассмотрите Int L как группу
матриц и вычислите в явном виде х\.\
6. С помощью теоремы 14.2 постройте подгруппу T(L) в Aut L, изо-
изоморфную группе всех автоморфизмов схемы Дынкина системы Ф (см.
п. 12.2).

§ 15. Подалгебры Картана 99
7. Для каждой из классических алгебр (см. п. 1.2) покажите, как
выбрать элементы ha Е Я, отвечающие базису системы Ф (см. упражне-
упражнение 8.2).
Замечания
Доказательство теоремы 14.2 взято из книги Winter [1]. Автоморфизм о
из п. 14.3 потребуется в §25 для построения «базиса Шевалле» алгебры L
(см. также упражнение 25.7).
§15. Подалгебры Картана
В § 14 мы доказали, что пара (L, Я), состоящая из полупростой алгебры
и ее максимальной торической подалгебры, с точностью до изоморфизма
определяется системой корней Ф. Однако могло бы оказаться, что другая
максимальная торическая подалгебра W соответствует совершенно иной
системе Ф'. (Конечно, во многих случаях это исключается с помощью клас-
классификации из § 11, поскольку dim L = rank Ф + Card Ф. Однако типы В^, Q
в этом отношении неразличимы!)
Покажем, что алгебра L уже определяет систему Ф. Для этого, разуме-
разумеется, достаточно показать, что все максимальные торические подалгебры
в L сопряжены относительно Aut L. Это будет сделано в § 16, причем
в более общем случае произвольной алгебры Ли L, когда аналогом то-
торической становится картановская подалгебра. Этот более широкий
контекст на самом деле упрощает доказательство, позволяя использовать
специфические свойства разрешимых алгебр Ли. В настоящем парагра-
параграфе мы подготовим необходимый аппарат; здесь поле F может иметь
произвольную характеристику, если не оговорено противное. Ради
технического удобства мы все же предполагаем алгебраическую за-
замкнутость поля F, но и это условие можно ослабить: основные резуль-
результаты требуют лишь, чтобы значение Card F было «не слишком мало» по
сравнению с dim L.
15.1. Разложение алгебры L относительно ad x. Напомним, что (см.
п.4.2) если teEnd V (где V—конечномерное векторное пространство),
то V является прямой суммой всех подпространств Va = Ker(/ — a • 1)т,
где т — кратность корня а в характеристическом многочлене для t. Ка-
Каждое Va инвариантно относительно эндоморфизма t, а ограничение по-
последнего на Va равно сумме скаляра а и нильпотентного эндоморфизма.
В частности, это относится к действию элемента х в присоединен-
присоединенном представлении алгебры Ли L. Положим L= Ц La(ad x) =L0(ad x) ф
aGF
®L*(ad x), где L*(ad x) обозначает сумму тех La(ad x), для которых а/0.
Более общо, если К—подалгебра в L, инвариантная относительно ad x,
то можно записать /C = /C0(ad x) ®/(*(ad x), даже если хфК.

100 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
Лемма. Если a, bef, то [La(ad x), L&(ad x)]cLa+&(ad x). Как след-
следствие, L0(ad х) является подалгеброй в L, и если char F = 0, а^О, то
каждый элемент в La(ad x) является &&-нильпотентным.
Доказательство. Мы применим частный случай формулы из до-
доказательства леммы 4.2В:
(ad х - а - Ь)т [у, z] = J2 G)[(ad х ~ а)'{у)> (ad х ~ ЬУ'
i=0
Как следствие, если у G La(ad x), z G L&(ad x), то при достаточно больших
т все слагаемые в правой части равны 0. ?
15.2. Подалгебры Энгеля. Согласно лемме 15.1 подпространство
L0(adx), где xgL, является подалгеброй в L. Следуя Барнсу (D.W.Barnes),
назовем ее подалгеброй Энгеля. Следующие две леммы сыграют главную
роль в нашем исследовании картановских подалгебр.
Лемма А. Пусть К— подалгебра в L, а элемент zeK таков, что
подалгебра L0(ad z) минимальна в множестве всех L0(ad x), хеК.
Пусть К С L0(ad z). Тогда L0(ad z) С L0(ad x) для всех хеК.
Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент х G К и рас-
рассмотрим семейство {ad(z + cx); CG F} эндоморфизмов алгебры L. Посколь-
Поскольку подалгебра /C0 = L0(ad z) содержит /С, она инвариантна относительно
этих эндоморфизмов, поэтому они индуцируют эндоморфизмы факторпро-
странства L/Kq. Как следствие, характеристический многочлен эндомор-
эндоморфизма ad(z + cx) можно представить как произведение f(T, c)g(T, с) его
характеристических многочленов на Ко и L/Ko соответственно (с пере-
переменным Т). Если r = dim Ко, n = dim L, то можно записать f(T, с) = Гг +
+ fi(c)Tr-l+...+fr(c),g(T, с) = Tn-r + gl(c)Tn-r-l+...+gn_r(c). Перейдя
на матричный язык, читатель увидит, что коэффициенты /;(с), gi(c) явля-
являются многочленами от с степени не выше /.
Нулевое собственное значение эндоморфизма ad z по определению
встречается только в подпространстве Ко- Положив с = 0, видим, что gn_r
не является тождественным нулем на F. Поэтому можно найти сколь-
сколько угодно различных скаляров, не являющихся корнями для gn-r\ пусть
си ..., сг+х обладают этим свойством. Сказать, что gn_r(c)^0, — озна-
означает потребовать, чтобы 0 не был собственным значением для ad(z + сх)
на факторпространстве; в этом случае L0(ad(z + cx)) лежит в подпро-
подпространстве /Со. Но последнее минимально по условию, и поэтому
L0(ad z) =L0(ad(z + ctx)) при 1^/^r+l. Это в свою очередь означа-
означает, что ad(z-\-Cix) имеет на L0(ad z) лишь нулевое собственное значение,
т. е. что f(T, Ci) = V'. Поэтому каждый из многочленов /ь ..., fr (степени не
выше г) имеет г+ 1 различных нулей сь ..., сг+{. Как следствие, все эти
многочлены тождественно равны 0.

§ 15. Подалгебры Картана 101
Итак, мы показали, что L0(ad(z + cx)) D Ко при всех ceF. Поскольку
элемент х произволен, теперь можно заменить его на х — z и положить
с=\, получив в результате L0(ad x) DL0(ad z). D
Лемма В. Если подалгебра К в L содержит подалгебру Энгеля, то
NL(K) =K. В частности, подалгебры Энгеля самонормализуемы.
Доказательство. Пусть КDL0(ad x). Тогда ad x при действии на
Nl(K)/K не имеет нулевого собственного значения. С другой стороны,
это действие тривиально, поскольку из того, что х Е К, следует включе-
включение [NL(K), x] с К. Вместе это означает, что K = NL(K). ?
15.3. Картановские подалгебры. Картановская подалгебра ал-
алгебры Ли L — это нильпотентная подалгебра, совпадающая со своим
нормализатором в L. Недостаток этого определения в том, что оно не
гарантирует существования таких подалгебр (и действительно, над ко-
конечными полями этот вопрос до сих пор не выяснен полностью). Если
алгебра L полупроста и char F = 0, то максимальная торическая подалге-
подалгебра Я абелева (и, значит, нильпотентна). При этом NL(H) = Я, так как
где [Я, La] = La при аЕ Ф. Таким образом, в этом случае картановские под-
подалгебры действительно существуют (и играют важную роль). Справедлива
и более общая
Теорема. Пусть Я— подалгебра алгебры Ли L. Тогда Я— карта-
картановская подалгебра, если и только если она является минимальной
подалгеброй Энгеля (как следствие, картановская подалгебра все-
всегда существует).
Доказательство. Вначале предположим, что Я = Lo(ad г) являет-
является подалгеброй Энгеля в L; она самонормализуема по лемме 15.2В. Если
при этом Я не включает строго никакую другую подалгебру Энгеля, то
выполнены предположения леммы 15.2А при Я = /С, а значит Я = L0(ad z) С
С L0(ad х) для всех х Е Я. В частности, тогда элемент ad# x нильпотентен.
По теореме Энгеля алгебра Я нильпотентна. Обратно, пусть Я—карта-
Я—картановская подалгебра в L. Так как она нильпотентна, Н cL0(ad х) при всех
х^Н. Мы хотим, чтобы при каком-то х выполнялось равенство. Предполо-
Предположим противное и рассмотрим минимально возможную подалгебру L0(ad z),
zeH. Снова можно применить лемму 15.2А, и мы получим L0(ad x) D
D L0(ad z) при всех х^Н. Это означает, что в индуцированном представле-
представлении подалгебры Я на ненулевом векторном пространстве L0(ad z)/H все
ее элементы действуют как нильпотентные эндоморфизмы. Как следствие
(см. п. 3.3), Я аннулирует некоторый ненулевой вектор у + Н; другими сло-
словами, существует элемент у фН, для которого [Я, у] с Я. Это противоречит
предположению об самонормализуемости подалгебры Я. ?

102 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
Следствие. Пусть алгебра L полупроста (char F = 0). Тогда кар-
тановские подалгебры в L—это в точности ее максимальные то-
торические подалгебры.
Доказательство. Перед формулировкой теоремы мы отметили, что
все максимальные торические подалгебры являются картановскими подал-
подалгебрами. Обратно, пусть Я— картановская подалгебра. Заметим, что если
х = xs + хп — разложение Жордана элемента х Е L, то L0(ad xs) с L0(ad x):
если элемент у аннулируется некоторой степенью оператора ad xs, то он
аннулируется и степенью оператора ad x, поскольку ad xn нильпотентен и
коммутирует со всеми ad xs. Заметим также, что если элемент xeL по-
полупрост, то оператор ad x диагонализуем и L0(ad x) = CL(x). Согласно
теореме картановская подалгебра Я является минимальной подалгеброй
Энгеля и имеет вид L0(ad x). Ввиду ее минимальности и предыдущих заме-
замечаний // = L0(ad xs) = CL(xs). Но очевидно, что CL(xs) содержит максималь-
максимальную торическую подалгебру. Мы уже знаем, что она является картановской
подалгеброй, а тогда, в свою очередь, и минимальной подалгеброй Энгеля.
Как следствие, Я является максимальной торической подалгеброй. ?
В качестве следствия из доказательства отметим, что максимальная
торическая подалгебра в полупростой алгебре Ли (char F = 0) имеет
вид CL(s) для некоторого полупростого элемента s (см. упражне-
упражнение 8.7). Такой элемент 5 называется регулярным полупростым.
15.4. Функториальные свойства.
Лемма А. Пусть ср: L^L'—эпиморфизм алгебр Ли. Тогда если
П— картановская подалгебра в L, то ср(#) — картановская подал-
подалгебра в L'.
Доказательство. Ясно, что подалгебра ср(//) нильпотентна. Поло-
Положим А = Кег ф и отождествим L' с L/A. Если х-\- А лежит в нормализаторе
подалгебры Я + Д, то xeNl(H -\-А). Но П + А содержит картановскую
подалгебру (а тем самым, по теореме 15.3, и минимальную подалгебру
Энгеля), поэтому Н + А самонормализуема (лемма 15.2В). Следователь-
Следовательно, хеН + А, т.е. подалгебра ср(#) самонормализуема. ?
Лемма В. Пусть ср: L^L'—эпиморфизм алгебр Ли, П'—кар-
П'—картановская подалгебра в L', /С = ф~1(Я/). Тогда любая картановская
подалгебра Я в К является картановской подалгеброй и в L.
Доказательство. По предположению подалгебра Я нильпотентна.
Согласно предыдущей лемме ср(#) является картановской подалгеброй в
ф(/() =Я;, поэтому ф(Я) =Н' (поскольку картановская подалгебра являет-
является минимальной подалгеброй Энгеля). Если элемент xeL лежит в норма-
нормализаторе подалгебры Я, то ф(х) лежит в нормализаторе подалгебры ф(Я), а
значит ф(х) Е ф(Я) и х Е Я + Кег ср. Но Кег ср с К (по построению), поэтому
х Е Я + К С /С. Тогда х Е NK(H) = Я, поскольку Я — картановская подалге-
подалгебра в К. ?

§ 16. Теоремы о сопряженности 103
Упражнения
1. Докажите, что полупростой элемент в 5l(n, F) регулярен, если и толь-
только если все его собственные значения различны (т. е. его минимальный
многочлен совпадает с характеристическим).
2. Пусть алгебра L полупроста (charF = 0). Докажите с помощью
упражнения 8.7, что все разрешимые подалгебры Энгеля в L картанов-
ские.
3. Пусть алгебра L полупроста (char F = 0) и элемент х Е L полупрост.
Докажите, что элемент х регулярен, если и только если х лежит ровно в
одной картановской подалгебре.
4. Пусть Н — картановская подалгебра в алгебре Ли L. Докажите, что
Н—максимальная нильпотентная подалгебра в L, т.е. она не содержит-
содержится ни в какой другой нильпотентной подалгебре. Покажите, что обратное
неверно.
5. Покажите, как провести доказательство леммы 15.2А, если о поле F
известно лишь, что его мощность превышает dim L.
6. Пусть алгебра L и ее подалгебра L' полупросты (char F = 0). Дока-
Докажите, что каждая картановская подалгебра алгебры L' лежит в некоторой
картановской подалгебре алгебры L. [См. упражнение 6.9.]
Замечания
Изложенный подход к картановским подалгебрам восходит главным
образом к работе Barnes [1], где введено понятие подалгебры Энгеля. См.
также Winter [1].
§16. Теоремы о сопряженности
В этом параграфе F предполагается алгебраически замкнутым
полем характеристики 0. Мы намереваемся доказать, что в произволь-
произвольной алгебре Ли L над полем F все картановские подалгебры сопряжены
относительно группы внутренних автоморфизмов Int L (порожденной все-
всеми отображениями exp ad х, где элемент х Е L является ad-нильпотентным).
В случае полупростой алгебры L это означает, что все максимальные тори-
ческие подалгебры сопряжены; как следствие, L однозначно определяется
(с точностью до изоморфизма) своей системой корней относительно лю-
любой максимальной торической подалгебры1. В качестве вспомогательного
шага мы докажем также, что все максимальные разрешимые подалгебры
в L сопряжены.
16.1. Группа S'(L). Пусть L—алгебра Ли. Назовем элемент xeL
строго ad-нильпотентным, если х Е La(ad у), где у Е L и а — ненулевое
вероятно, автор хотел сказать, что L однозначно определяется системой корней. (То, что
L определяет систему корней, было доказано в п. 14.2.) (Прим. ред.)

104 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
собственное значение отображения ad у. Этот термин оправдан тем, что
такой элемент х должен быть ad-нильпотентен (см. п. 15.1). Пусть «yK(L)
обозначает множество всех строго ad-нильпотентных элементов в L, а
S(L) — подгруппу в Int L, порожденную всеми операторами exp ad x,
хе<Ж(Ц. (Отметим, что множество «yK(L) инвариантно относительно
Aut L; поэтому подгруппа S(L) нормальна в Aut L.)
Нам удобнее работать с S'(L), а не со всей группой Int L, посколь-
поскольку подгруппа S{L) имеет более хорошие функторные свойства. (На самом
деле для полупростой алгебры L в итоге окажется, что S(L) = Int L; см.
п. 16.5). Например, если К—подалгебра в L, то заведомо сЖ(К) dJ/(L).
Это позволяет определить подгруппу &(L; К) в &(L), порожденную всеми
операторами exp adL x, xejY(K). Тогда &(К) получается просто как огра-
ограничение <o(L; К) на К. Напротив, между Int К и Int L такой прямой связи
нет, поскольку для элемента х Е К с нильпотентным оператором ad^ x мы
не можем ничего сказать об adL x.
Ясно, что если ср: L^L'—эпиморфизм и yeL, то cp(La(ad у)) =
= L^(ad tf(y)). Отсюда у(Л(L)) = Л(Lf).
Лемма. Пусть дан эпиморфизм ср: L^U. Если о' e?(L'), то су-
существует оператор о е S(L)t для которого следующая диаграмма
коммутативна'.
Доказательство. Достаточно доказать это в случае о' = exp adL/ xf,
x'E«yK(L'). Ввиду предыдущего замечания х; = ф(х) хотя бы для одного
х Е J/(L). Для произвольного z E L имеем
(фоехр adL x)(z)=cp(W[x, z]+-[x, [x, z]] + .
= cp(z) + (x\ 9(z) + ^[x;, [xf, tf(z)]] + ... ) =(exp adL, /ocp)^).
Другими словами, наша диаграмма коммутативна. ?
16.2. Сопряженность картановских подалгебр (разрешимый
случай).
Теорема. Пусть алгебра L разрешима и S(L) — группа, опреде-
определенная в п. 16.1. Тогда любые две картановские подалгебры Ни П2
в L сопряжены относительно S(L).
Доказательство. Применим индукцию по dim L. Если dim L = 1
(или алгебра L нильпотентна), то утверждение тривиально. Пусть алге-
алгебра L не нильпотентна. Так как она разрешима, в ней имеются ненулевые

§ 16. Теоремы о сопряженности 105
абелевы идеалы (например, последний ненулевой член производного ряда);
пусть А — один из них, с наименьшей возможной размерностью. Положим
L' = L/A, а каноническое отображение ср: L^L/A обозначим х\-^х'. Со-
Согласно лемме 15.4А подалгебры Н[ и Я2 будут картановскими подалгебра-
подалгебрами в (разрешимой) алгебре L'. По предположению индукции существует
оператор о'Е <?(//), отображающий Н[ на Я2. Тогда диаграмма из лем-
леммы 16.1 будет коммутативна при некотором о Е S(L). Это значит, что о ото-
отображает К\ = ср~1(Я/1) на /B = ср~1(Я2'). Но тогда Я2 и a (Hi) являются кар-
картановскими подалгебрами в /С2. Если /С2 не совпадает с L, то в силу пред-
предположения индукции найдется такой оператор т' Е ?'(К<2), что \'о(Нх) =Н2.
Но <^(/С2) состоит из ограничений элементов из &(L; /C2) dS(L) на /С2; по-
поэтому если т Е S(L) при ограничении на /С2 дает т', то хо(Н{) =Я2, что и
требуется.
Если же L = /С2 = o(/d), то в действительности /d = /С2 и L = Я2 + Л =
= #1+Л. В этом случае мы должны явно построить автоморфизм алге-
алгебры L (что требуется только в этом месте доказательства!). Ввиду тео-
теоремы 15.3 картановская подалгебра Я2 имеет вид L0(ad x) для подходя-
подходящего элемента х Е L. Поскольку идеал А инвариантен относительно ad x,
то А = A0(did x) ф/l*(ad x) (см. п. 15.1), причем каждое слагаемое инвари-
инвариантно относительно действия L = H2+A. Ввиду минимальности идеала А
либо A = A0(ad x), либо A = Л*(ас1 x). В первом случае мы получили бы
А сЯ2, L = H2, что невозможно, поскольку алгебра L не нильпотентна. По-
Поэтому A = Л*(ас1 x), откуда очевидным образом следует, что A = L*(ad x).
Поскольку L = H{ +Л, можно записать x = y + z, где уеНи z<GL*(adx).
В свою очередь положим z = [x, z'\ z/EL;,(ad x), используя обратимость
оператора ad х на L*(ad х). Так как идеал А абелев, (ad z'J = 0, поэтому
exp ad z; = lL + ad z'\ применительно к х это приводит к равенству x — z = y.
Поэтому подалгебра Я = /.о^ у) также должна быть картановской в L.
Поскольку уеН{, мы заключаем, что НэНи а значит Н = Н{ (так как
это минимальные подалгебры Энгеля). Поэтому подалгебра Н{ сопряжена
с Я2 посредством exp ad z'.
Остается заметить, что exp ad z' не лежит в S'(L): действительно,
z1 можно записать как сумму строго ad-нильпотентных элементов zt из
^=L*(adx), но последние «коммутируют» (идеал А абелев), поэтому
exp ad z' = Ц exp ad zt e S(L). ?
16.3. Борелевские подалгебры. Для перехода от разрешимого слу-
случая к общему мы используем борелевские подалгебры алгебры Ли L,
т. е. — по определению — ее максимальные разрешимые подалгебры. Если
мы сумеем показать, что любые две борелевские подалгебры в L сопря-
сопряжены относительно <o(L), то ввиду теоремы 16.2 будут сопряжены и все
картановские подалгебры в L.

106 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
Лемма А. Пусть В— борелевская подалгебра в L. Тогда B = NL(B).
Доказательство. Пусть хЕNL(B). Тогда В + Fx — подалгебра в L,
причем разрешимая, так как [В + Fx, В + Fx] С В. Поскольку подалгебра В
максимальна, хЕ В. ?
Лемма В. Если Rad L^L, то борелевские подалгебры в L и в по-
полупростой алгебре Ли L/Rad L находятся в естественном взаимно
однозначном соответствии.
Доказательство. Поскольку Rad L — разрешимый идеал в L, мы
заключаем, что В + Rad L — разрешимая подалгебра для любой борелев-
ской подалгебры В, и поэтому Rad LcB. Отсюда непосредственно следует
утверждение леммы. ?
Из леммы В вытекает, что существен лишь случай полупростой
алгебры L. В этой ситуации пусть Я—картановская подалгебра, Ф —
система корней в L относительно Я. Фиксируем базис А, а вместе с
ним и множество положительных корней. Положим N(A) = Ц La, В (А) =
а>-0
= H + N(A). Мы знаем, что тогда В (А) будет подалгеброй в L с производ-
производной алгеброй N( А). При этом алгебра N( А) нильпотентна: если х Е La
(аУО), то для корней положительной высоты (относительно А) примене-
применение ad х к корневым векторам увеличивает высоту не менее чем на единицу;
это заставляет убывающий центральный ряд сходиться к нулю. Как след-
следствие, подалгебра В(А) разрешима. На самом деле мы утверждаем, что
В (А) — борелевская подалгебра: действительно, пусть К — про-
произвольная подалгебра в L, строго включающая В(А). Тогда подалгебра /С,
будучи инвариантной относительно ad Я, должна включать La при неко-
некотором а ^< 0. Но тогда К включает и простую алгебру 5а; как следствие, К
не может быть разрешимой.
Лемма С. Пусть алгебра L полупроста, с картановской подал-
подалгеброй Н и системой корней Ф. Для каждого базиса А с Ф подал-
подалгебра В (А) является борелевской в L (и называется стандартной
относительно Н). Все такие подалгебры сопряжены относитель-
относительно S'(L).
Доказательство. Осталось доказать лишь второе утверждение.
Напомним (см. п. 14.3), что отражение оа, действующее на Я, можно про-
продолжить до внутреннего автоморфизма та на L, который (по построе-
построению) принадлежит S(L). Ясно, что этот автоморфизм отображает В (А)
в В(оаА). Учитывая, что группа Вейля порождается отражениями и дей-
действует на базисах транзитивно, мы видим, что S'(L) транзитивно действует
на борелевских подалгебрах, стандартных относительно Я. ?
16.4. Сопряженность борелевских подалгебр.
Теорема. Все борелевские подалгебры произвольной алгебры Ли L
сопряжены относительно

§ 16. Теоремы о сопряженности 107
Следствие. Картановские подалгебры произвольной алгебры Ли L
сопряжены относительно S'(L).
Доказательство следствия. Пусть И, И' — две картановские
подалгебры в L. Каждая из них, будучи нильпотентной (а потому и разре-
разрешимой), лежит хотя бы в одной борелевской подалгебре, скажем в В и В'
соответственно. По теореме существует такой оператор o^S'(L), что о(В) =
=В'. Так как о(Н) и И1 являются картановскими подалгебрами в разреши-
разрешимой алгебре В', по теореме 16.2 существует оператор т'Е <?(?'), для кото-
которого т/о(Я)=Я/. Но i' является ограничением на В' некоторого оператора
x?<f(L; B')<z?(L) (см. п. 16.1), так что в итоге то(#)=#', ioe?(L). ?
Доказательство теоремы. Проведем индукцию по dim L. Случай
dim L= 1 тривиален. Ввиду леммы 16.1 и леммы 16.3В с учетом предполо-
предположения индукции можно считать, что алгебра L полупроста. Фиксиру-
Фиксируем некоторую стандартную борелевскую подалгебру В (относительно неко-
некоторой картановской подалгебры). Достаточно показать, что любая другая
борелевская подалгебра В' сопряжена В относительно S(L). Если ВпВ' =
= В, то доказывать нечего (так как тогда В' = В по свойству максимально-
максимальности). Поэтому, используя спуск по dim(B П В'), будем считать, что если пе-
пересечение борелевской подалгебры с В (или с подалгеброй, сопряженной В)
имеет большую размерность, то эта борелевская подалгебра сопряжена В.
1. Вначале предположим, что ВГ\В' ^0. Возможны два случая.
Случай (i): множество N' нильпотентных элементов в ВпВ' со-
состоит не только из нуля. Поскольку алгебра В стандартна, N' являет-
является подпространством и производная алгебра для ВГ\В' состоит из ниль-
нильпотентных элементов. В свою очередь, отсюда следует, что N' является
идеалом в ВпВ'. Разумеется, N' не является идеа-
идеалом в L, поэтому его нормализатор К— собственная I
подалгебра в L. %
Теперь покажем, что ВпВ' строго содержится / Ч
и в В П К, и в В' П К. В самом деле, рассмотрим дей- с с,
ствие множества N' на В/(ВпВ'), индуцированное
отображением ad. Каждый элемент x<EN' действу-
действует на этом векторном пространстве нильпотентно, и ВПК В' пК
по теореме 3.3 найдется ненулевой смежный класс \^ /
у-{-(ВпВ'), который они все аннулируют, т. е. такой, ВпВ'
что [х, у] е В П В', у ф В П В'. Но элемент [х, у] лежит I
и в [В, В], поэтому он нильпотентен; как следствие,
[х, y]eN' и ye NB(N') =ВПК, тогда как у ф В П В'. Рис. 5
Аналогично В Г\В' строго содержится в В' ПК.
С другой стороны, ВПК и В' ПК — разрешимые подалгебры в К.
Пусть соответственно С, С — содержащие их борелевские подалгебры
в К (рис.5). Поскольку /C/L, ввиду предположения индукции существует

108 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
такой автоморфизм о Е <o(L; К) С S'(L), что о(С') = С. Так как ВпВ' — соб-
собственная (ненулевая) подалгебра как в С, так ив С, второе индуктивное
предположение обеспечивает существование такого т Е ${L), что хо(С') С
С В (т. е. т отображает на В борелевскую подалгебру из L, содержащую
о{С) = С). Наконец, В П то(В') D то(С') П то(В') D то(В' П /С) 2 то(В П В'),
так что размерность алгебры ВпВ' меньше, чем размерность алгебры ВП
Пт.о(В'). Снова применяя второе индуктивное предположение, мы видим,
что алгебра В сопряжена zo(B') относительно S'(L), и случай (i) разобран.
Случай (и): в алгебре ВпВ' нет ненулевых нильпотентных эле-
элементов. Заметим, что любая борелевская подалгебра в L содержит полу-
полупростые и нильпотентные части своих элементов ввиду предложения 4.2(с)
и леммы 16.ЗА. Это сразу показывает, что ВГ\В' = Т является ториче-
ской подалгеброй. Теперь используем тот факт, что В — стандартная бо-
борелевская подалгебра, скажем В = В(А), N = N(A), B = H + N. Поскольку
[В, B] = N и TnN = 0, мы получаем, что NB(T) = СВ(Т). Пусть С — некото-
некоторая картановская подалгебра в СВ(Т); тогда, в частности, С нильпотентна и
TcNCb{t)(C) = C. Если neNB(C), te Тс С, то (ad t)kn = O для некоторого k,
поскольку подалгебра С нильпотентна. Но эндоморфизм ad t полупрост,
поэтому k=\ и/iG СВ(Т). Таким образом, NB(C) =NCb{t)(C) = С. Будучи
нильпотентной и самонормализуемой в В, подалгебра С является карта-
новской (и содержит Т). Благодаря теореме 16.2 мы знаем, что С — мак-
максимальная торическая подалгебра в L, сопряженная Н относительно <о(В)
(а тем самым и относительно &{L)). Поэтому без потери общности можно
теперь считать, что ТсН.
Предположим, что Т = Н. Ясно, что В' ^Н, поэтому В' содержит хотя
бы одно подпространство La, где а ^< 0 относительно А. При отображении
та (см. лемму 16.3С) В' переходит в борелевскую подалгебру В", пересече-
пересечение которой с В содержит И + L_a; поэтому из второго индуктивного пред-
предположения вытекает, что подалгебра В" сопряжена В, что нам и требуется.
Пусть теперь Т строго содержится в И. Либо В' содержится в CL(T),
либо нет. В первом случае можно применить первое индуктивное пред-
предположение, поскольку dim CL(T) < dim L (T^O и Z(L) = 0). А именно,
поскольку HcCL(T), в CL(T) существует борелевская подалгебра В",
содержащая Н. Ввиду предположения индукции найдется эндоморфизм
oe?(L; CL(T)) c?(L), отображающий В' на В". Как следствие, В"
является борелевской подалгеброй в L, включающей Я, и ввиду второго
индуктивного предположения сопряжена В относительно S'(L).
Осталось рассмотреть случай В' (jtCL(T). Тогда ad T имеет общий соб-
собственный вектор х Е В' и существует элемент tET, для которого [t, x] = ах,
где число а рационально и положительно. Положим S = H + Ц La, где
осЕФ пробегает те корни, для которых a(t) рационально и положитель-
положительно. Ясно, что 5 является подалгеброй в L (и xeS). Кроме того, легко

§ 16. Теоремы о сопряженности 109
видеть, что подалгебра 5 разрешима (см. доказательство леммы 16.3С).
Пусть В" — борелевская подалгебра в L, которая включает 5. Поскольку
В" П В' D Т + Fx D Т = В' П В, мы получаем, что dim(B" П Б') > dim(B П Б').
Аналогично В" HBdHDT, поэтому dim(B" ПВ)> dim(B' П5). Применив
к последнему неравенству второе индуктивное предположение, мы видим,
что подалгебра В" сопряжена В. (В частности, очевидно, что подалгебра В"
стандартна относительно картановской подалгебры, сопряженной Я.) Те-
Теперь можно применить второе индуктивное предположение к первому не-
неравенству (поскольку подалгебра В" стандартна), и мы получаем, что под-
подалгебра В" сопряжена В'. Тогда и подалгебра В сопряжена В'.
2. Мы разобрали все случаи, когда ВпВ'^0. Теперь посмотрим, что
случится, если В П В' = 0. Тогда dim L > dim В + dim В'; так как подалге-
подалгебра В стандартна, как мы знаем, dim В > A/2) dim L, так что подалгебра В'
должна быть «достаточно малой». Более конкретно, пусть Т—максималь-
Т—максимальная торическая подалгебра в В'. Если Т = 0, то подалгебра В' состоит из
нильпотентных элементов; следовательно, В' нильпотентна (теорема Эн-
геля), а также самонормализуема (лемма 16.ЗА), т.е. В' — картановская
подалгебра. Но это невозможно, так как мы знаем из следствия 15.3, что
все картановские подалгебры в L являются торическими. Поэтому Т^О.
Если Но — максимальная торическая подалгебра в L, содержащая Т, то В'
имеет ненулевое пересечение с любой стандартной борелевской подалге-
подалгеброй В" относительно Яо. Следовательно, согласно первой части дока-
доказательства подалгебра В' сопряжена В" и dim В' = dim В" > A/2) dim L,
вопреки «малости» подалгебры В'. ?
Следствие 16.4 позволяет приписать произвольной алгебре Ли L над
F численный инвариант rank L (называемый рангом), а именно, размер-
размерность картановской подалгебры в L. Если алгебра L полупроста, то rank L
совпадает с rank Ф, где Ф — система корней в L относительно любой мак-
максимальной торической (т. е. картановской) подалгебры.
Полезно отметить одно побочное следствие теоремы о сопряженности
борелевских подалгебр. Пусть алгебра L полупроста и имеет картановскую
подалгебру И и систему корней Ф. Мы утверждаем, что любая борелев-
борелевская подалгебра В в L, содержащая И, стандартна. Действительно,
пусть о(В(А)) =В, где А — некоторый базис в Ф, o?L<o(L). Поскольку
Н и о(Н) — картановские подалгебры в В, они сопряжены относительно
&(L; В) cS'(L) (теорема 16.2) и можно считать, что о(Н) =Н. Тогда ясно,
что если а >>- 0, то оа является корнем и o(La)=Laa. При этом переста-
перестановка корней под действием о сохраняет суммы, так что о (А) = А; снова
является базисом в Ф и подалгебра В = В(А') стандартна.
16.5. Группы автоморфизмов. Пусть алгебра L полупроста, Н—ее
картановская подалгебра с системой корней Ф и фиксированным бази-
базисом А. Если т — автоморфизм алгебры L, а В = В(А), то, разумеется, х(В)

ПО ГлаваIV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
также является борелевской подалгеброй в L, поэтому при некотором ав-
автоморфизме oi ? <f(L) она возвращается в В (теорема 16.4). Поскольку Я
и oix(H) — картановские подалгебры в L (следовательно, и в В), в силу
теоремы 16.2 найдется автоморфизм g2 ? <^(L; B)cS'(L), отображающий
о{х(Н) в Я и сохраняющий В. Так как автоморфизм о2о{х сохраняет и Я,
и В, он индуцирует автоморфизм системы Ф, сохраняющий А. Все та-
такие автоморфизмы известны нам из п. 12.2: нетождественные возникают
из нетождественных автоморфизмов схемы Дынкина, которые существуют
(для неприводимой системы Ф) лишь в случаях А^ (?> 1), D^, E6. Пусть
р — соответствующий автоморфизм алгебры L (см. упражнение 14.6). По-
Поскольку р не совсем единствен, можно подобрать скаляры са так, чтобы
автоморфизм po2oix отображал ха в саха (ауО), уа в с~1уа и как след-
следствие ha в ha (а тогда и все элементы h в себяI. В итоге получаем,
что т отличается от элемента группы S'(L) • F(L) (где F(L) — группа схем-
схемных автоморфизмов алгебры L) лишь на диагональный автоморфизм,
т. е. тождественный на Я и скалярный на каждом корневом подпростран-
подпространстве La.
Можно доказать (см. Jacobson [1], с. 278), что диагональный авто-
автоморфизм всегда внутренний; его фактическое построение показывает, что
он лежит в <o(L). При этом произведение Aut L = Int(L) • T(L) оказы-
оказывается полупрямым (Jacobson [1], гл. IX, упражнения), и как следствие,
<o(L) = Int(L). Кроме того, в книге Джекобсона читатель найдет подробное
описание групп автоморфизмов различных простых алгебр Ли.
Упражнения
1. Докажите, что группа S'(L) тривиальна, если и только если алгебра L
нильпотентна.
2. Пусть алгебра L полупроста, Я—ее картановская подалгебра, А —
базис системы корней Ф. Докажите, что любая подалгебра в L, состоящая
из нильпотентных элементов и максимальная с этим свойством, сопряжена
относительно S(L) подалгебре /V(A), производной алгебре для В (А).
3. Пусть Ф — замкнутое множество корней (в том смысле, что из
того, что а, Р ? Ф, а + |ЗеФ следует, что а + |ЗеФ), причем ФП(—Ф) = 0.
Докажите, что Ф содержится в множестве положительных корней относи-
относительно некоторого базиса в Ф. [Используйте упражнение 2.] (Это упражне-
упражнение относится к теории систем корней, но проще выполняется с помощью
алгебр Ли.)
4. Покажите, как можно упростить доказательство теоремы 16.4 в слу-
случае L = 5lB, F).
Поскольку числа са не указаны, эти условия выполнены при любом выборе р. (Прим.
ред.)

§ 16. Теоремы о сопряженности 111
5. Пусть алгебра L полупроста. Если ее полупростой элемент регуля-
регулярен, то он принадлежит лишь конечному множеству борелевских подал-
подалгебр. (Обратное также верно, но доказывается труднее и требует опреде-
определения регулярности не только для полупростых элементов из L.)
6. Пусть алгебра L полупроста, L = H + \J La. Подалгебра Р в L на-
называется параболической, если она содержит некоторую борелевскую
подалгебру. (В этом случае подалгебра Р самонормализуема в силу лем-
леммы 15.2В.) Фиксируем базис АсФ и положим В = В(А). Для каждого
подмножества А'сА пусть /^(А') — подалгебра в L, порожденная все-
всеми La (a G А или —a G А) вместе с Н.
(a) Докажите, что Р(Д') — параболическая подалгебра в L (которая
называется стандартной относительно А).
(b) Проверьте, что каждая параболическая подалгебра в L, содержа-
содержащая В(А), имеет вид /^(А') для некоторого А' с А. [Используйте следствие
из леммы 10.2А и предложение 8.4(d).]
(c) Докажите, что каждая параболическая подалгебра в L сопряжена
относительно S(L) одной из подалгебр Р(Д')-
7. Пусть L=siB, F) со стандартным базисом (х, h, у). При се F пусть
х(с) = ехр ad(cx), у (с) = ехр ad(cy). При с/0 определим внутренние авто-
автоморфизмы w(c)=x(c)y(—c~l)x(c), h(c) = w(c)w(\)~l (=w(c)w(—l)). Вычи-
Вычислите матрицы автоморфизмов w(c), h(c) в указанном базисе и покажите,
что все диагональные автоморфизмы (см. п. 16.5) в L внутренние. Отсюда
получите, что Aut L = Int L = S(L).
8. Пусть алгебра L полупроста. Докажите, что пересечение двух бо-
борелевских подалгебр В, В' в L всегда содержит картановскую подалгебру.
Доказательство достаточно трудное; вот одна из возможных схем.
(a) Пусть N, N' — идеалы нильпотентных элементов в В, В' соответ-
соответственно. Тогда N = B±, N' = B/J~, где J_ обозначает ортогональное допол-
дополнение относительно формы Киллинга на L.
(b) Следовательно, В = ^ = (N + (NnN')I- = (N + (BnN')I- =N± П
П (В± +Nf±) =Bn(N + B')=N+ (В ПВ').
(c) Заметим, что алгебра А=ВГ\В' содержит полупростые и нильпо-
тентные части своих элементов.
(d) Пусть Т — максимальная торическая подалгебра в Л. Найдем Т-ия-
вариантное дополнение А1 к А П/V в А. Тогда А1 состоит из полупростых
элементов. Так как алгебра B/N абелева, [Т, А'] = 0 и как следствие, А' = Т.
(e) Соединив (Ь) и (d), получаем B = N+T; значит, Т—максимальная
торическая подалгебра в L.]
Замечания
Доказательство теоремы 16.4 содержится в книге Winter [1] (и отчасти
следует идее Дж.Д.Мостова); см. также Barnes [1]. Большинство прежних

112 Глава IV. Теоремы об изоморфизме и сопряженности
доказательств использовало аналитические методы (для F = C) или же све-
сведения из алгебраической геометрии: см. Bourbaki [3], гл. VII, Chevalley [2],
Jacobson [1], Seminaire «Sophus Lie» [1], Serre [2]. Подробное рассмотре-
рассмотрение групп автоморфизмов можно найти в Jacobson [I], Seligman [I].

Глава V
Теоремы существования
§17. Универсальные обертывающие алгебры
В этом параграфе F может быть произвольным полем (если не
оговорено противное). Мы сопоставим каждой алгебре Ли L над F
ассоциативную алгебру с единицей (вообще говоря, бесконечномерную),
которую L порождает настолько «свободно», насколько возможно при со-
сохранении соотношений коммутирования в L. Эта универсальная оберты-
обертывающая алгебра служит основным орудием теории представлений. Хотя
ее можно было ввести уже в первой главе, мы это до сих пор откладывали,
избегая неблагодарной задачи: доказать теорему Пуанкаре—Биркгофа—
Витта. Но сейчас это стало действительно необходимым. Читателю реко-
рекомендуется временно забыть всю специальную теорию полупростых алгебр
Ли.
17.1. Тензорные и симметрические алгебры. Вначале введем ряд
алгебр, определяемых универсальными свойствами. (Более подробно см.
Ленг [1], гл. XVI.) Фиксируем конечномерное векторное пространство
V над F. Пусть Г°Т/= F, PV=V, T2V=V(g)V, ..., TmV = 1/0... <g> V
(т экземпляров) ... Положим ТA/) = Ц W и введем ассоциативное
произведение, которое определено на однородных образующих простран-
пространства %{V) очевидным правилом (v{ 0...0vk)(w{ <8>...<8>wm) = Vi ®...®vk®
0w{0...0wme Tk+m V. Тогда Т( V) превращается в градуированную
ассоциативную алгебру с единицей, которую порождает (вместе с еди-
единицей) произвольный базис в V. Назовем ее тензорной алгеброй на V.
Она является универсальной ассоциативной алгеброй с п образующими
(n = dim V) в следующем смысле: для каждого F-линейного отображения
ф: V —> 21 (где 21 — ассоциативная алгебра с единицей над F) существует
такой единственный гомоморфизм F-алгебр ф: X(V)—»21, что фA) = 1 и
следующая диаграмма коммутативна (/ — включение):

114 Глава V. Теоремы существования
Пусть теперь /— (двусторонний) идеал в X(V), порожденный всеми
элементами вида х^у — у^х (x,yeV). Назовем 6A/) =ТA/)// сим-
симметрической алгеброй на V; каноническое отображение обозначим
о: T(l/) -^6A/). Заметим, что образующие идеала / лежат в T2V; отсюда
очевидно, что / = (/ П Т2 V) ф (/ П Г3 V) ф... Следовательно, отображение о
инъективно на T°V=F, TlV=V (что позволяет отождествить V с подпро-
оо
странствомв 6A/)), и 6A/) наследует градуировку из ТA/): 6A/) = Ц SlV.
Цель факторизации по / именно в том, чтобы заставить элементы из V
коммутировать; в результате алгебра 6A/) оказывается универсальной
(в определенном выше смысле) по отношению к линейным отображениям
из V в коммутативные ассоциативные F-алгебры с единицей. Если при
этом (хь ..., хп) — произвольный базис в V, то алгебра 6A/) канонически
изоморфна алгебре многочленов от п переменных над F с базисом, состо-
состоящим из единицы и всех мономов xi{i). ..xi{t), t^\, 1 < /A) < ... < i(t) < п.
Читатель легко проверит, что описанные построения выполнимы даже
для бесконечномерного пространства V.
Для случая char F = 0 отметим один частный факт, который понадобится
много позже (в §23). Симметрическая группа 5?т действует на TmV путем
перестановки индексов в тензорах V\ 0 ... 0 vm (vt G V). Элемент из TmV,
инвариантный относительно действия S^m, называется однородным сим-
симметрическим тензором порядка т. Например, тензор х0у-\-у0х име-
имеет порядок 2. Далее зафиксируем базис (хь ..., хп) в 1/, тогда произведения
xi{{) 0... ®xi{m) (I < /(/) < п) образуют базис в TmV. Для каждой упорядо-
упорядоченной последовательности 1^/A)^ /B) ^ ... ^ i(m) ^ n определим сим-
симметрический тензор
Y^ X ®
(определение корректно, поскольку т!/0 в F). Образы таких тензоров
в SmV не равны 0 и, очевидно, образуют там базис, поэтому тензоры ви-
вида (*) в свою очередь должны порождать дополнение к InTmV в TmV.
С другой стороны, тензоры вида (*), очевидно, порождают пространство
всех симметрических тензоров порядка т (обозначим его Sm V С Тт V). Мы
заключаем, что о определяет изоморфизм между векторными простран-
пространствами SmV и SmV, а тогда и между пространством всех симметрических
тензоров 6A/) и 6A/).
17.2. Построение алгебры ii(L). Вначале дадим абстрактное опре-
определение для случая произвольной алгебры Ли L (которая может быть и
бесконечномерной, в противоположность нашему обычному соглашению).
Универсальная обертывающая алгебра для L — это пара (Я, /), где Я—
ассоциативная алгебра с единицей над F, а /: L^il—линейное отобра-

§ 17. Универсальные обертывающие алгебры 115
жение, удовлетворяющее условию
при х, у Е L, причем выполнено следующее: для любой ассоциативной
F-алгебры 21 с единицей и любого линейного отображения /: L —> 21, удо-
удовлетворяющего условию (*), существует такой единственный гомоморфизм
алгебр с единицей ср: 11 —> 21, что ср о / = у.
Легко доказывается единственность такой пары (Я, /). Если дру-
другая пара B3, /') удовлетворяет тем же условиям, то имеются гомоморфизмы
ср: И^%3, ф: ЯЗ^Д. В силу определения существует единственное отобра-
отображение (показанное штрихами), которое делает диаграмму коммутативной:
Но для этого годится и 1И, и фоср, поэтому фоср= 1И. Аналогично фоф= 1Ш.
Нетрудно установить и существование нужной пары (Я, /). Пусть
T(L) — тензорная алгебра над L, а / — двусторонний идеал в T(L), поро-
порожденный всеми элементами вида х®у — у®х — [х, у] (х, у ЕL). Положим
ii(L) =T(L)//, и пусть к: T(L) —> 2l(L) —канонический гомоморфизм. За-
Заметим, что /С Ц PL, поэтому к изоморфно отображает T°L = F в ii(L) (как
следствие, ii(L) во всяком случае содержит скаляры). Совсем не очевид-
очевидно, что л; отображает T{L = L в ii(L) изоморфно; это будет доказано позже.
Как бы то ни было, мы утверждаем, что (lt(L), /) —универсальная оберты-
обертывающая алгебра для L, где /: L^il(L) — ограничение отображения к на L.
Действительно, пусть отображение у: L^2i таково, как в определении.
В силу универсального свойства алгебры X(L) существует гомоморфизм
алгебр ср;: T(L) -^21, который продолжает/ и отображает 1 в 1. Посколь-
Поскольку у обладает свойством (*), все элементы вида х®у — у®х — [х, у] лежат в
Кег ф;, поэтому ф; индуцирует такой гомоморфизм ср: ii(L) —> 21, что ф оi=j.
Его единственность очевидна, поскольку 1 и Im / вместе порождают ii(L).
Пример. Пусть алгебра L абелева. Тогда упомянутый идеал / поро-
порождается всеми элементами вида х®у — у0х и потому совпадает с иде-
идеалом / из п. 17.1. Это означает, что ii(L) совпадает с симметрической
алгеброй &(L). (Поэтому отображение /: L^il(L) в этом случае инъ-
ективно.)
17.3. Теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витта и ее следствия. До
сих пор мы узнали очень мало о строении алгебры 1L(L), а именно, что она
содержит скаляры. Для краткости положим T = T(L), & = &(L), il = il(L);

116 Глава V. Теоремы существования
аналогично, будем писать Тт, Sm. Определим фильтрацию на X,
положив Тт = Т°ф Р 0...0 Тт, и пусть Um =к(Тт), U_{ = 0. Ясно, что
UmUp С Um+P я Umc Um+i. Положим Gm = Um/Um_{ в смысле векторных
пространств; тогда умножение в Я определяет билинейное отображение
Gm х Gp —> Gm+/?. (Такое определение корректно; почему?) Оно очевид-
очевидным образом продолжается до билинейного отображения 0 х 6^6,
оо
0 = Ц Gm, превращая 0 в градуированную ассоциативную алгебру с
единицей.
Так как тт; отображает Тт в Um, определена композиция линейных ото-
отображений фт: Тт -^ Um^ Gm = Um/Um-\. Она сюръективна, поскольку
лG^ — Гт_!) = Um — Um-\. Как следствие, отображения фт вместе опреде-
определяют сюръективное линейное отображение ср: Х^б (переводящее 1 в 1).
Лемма. Отображение ср: Х^б является гомоморфизмом алгебр.
При этом фG) = 0, так что ф индуцирует гомоморфизм о алгебры
& = %/1 на в.
Доказательство. Пусть хеТт, у еТр — однородные тензоры. По
определению произведения в 6 имеем ср(ху) =ф(х)ф(//), поэтому отобра-
отображение ф мультипликативно на X. Пусть х®у — у0х (х, у GL) — типичный
образующий в /. Тогда к(х®у — у®х) е U2 по определению. С другой сто-
стороны, к(х0у — у0х)= к([х, у]) е U{, а значит, ц(х®у — у®x) e UjU{ = 0.
Как следствие, / с Кег ср. ?
Основной результат об алгебре ii(L) заключается в следующей тео-
теореме; она (а также ее следствие С) называется теоремой Пуанкаре—
Биркгофа—Витта (или теоремой ПБВ). Ее доказательство будет при-
приведено в п. 17.4.
Теорема. Гомоморфизм о: 6^6 является изоморфизмом алгебр.
Следствие А. Пусть W— некоторое подпространство в Тт, при-
причем каноническое отображение Tm^Sm индуцирует изоморфизм
между W и Sm. Тогда k(W) является дополнением для Um_{ в Um.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму (все отображения кано-
канонические)
Qm
sm
В силу предыдущей леммы (и определений) она коммутативна. Так как ото-
отображение 6): C^6 является изоморфизмом (согласно теореме), нижняя
последовательность стрелок отображает W сТт изоморфно на Gm. Пере-
Переходя к верхней последовательности, получаем искомый результат. ?

§ 17. Универсальные обертывающие алгебры 117
Следствие В. Каноническое отображение L—>il(L) инъективно
{так что L можно отождествить с i{Lj).
Доказательство. Это частный случай W = Тх(=L) следствия А. ?
Мы допустим, что алгебра L может быть бесконечномерной. Прак-
Практически для наших целей достаточно рассматривать алгебры со счетным
базисом.
Следствие С. Пусть (хь х2, х3, ... ) — любой упорядоченный базис
в L. Тогда элементы xi{{)...xi{m)=K(xi{{) 0... ®xi{m)), meZ+, i(\)^iB)^...
... ^i(m), вместе с единицей составляют базис в il(L).
Доказательство. Пусть W— подпространство в Тт, натянутое на
все элементы вида х1{{) 0... 0xi(m), /A) < ... < i(m). Очевидно, что W изо-
изоморфно отображается на Sm, и ввиду следствия А подпространство k(W)
является дополнением к f/m_i в Um. П
Базис построенного вида в ii(L) будем кратко называть ПБВ-базисом.
Следствие D. Пусть Н—подалгебра в L, и ее упорядоченный ба-
базис (hu h2, ... ) содержится в упорядоченном базисе (йь ..., хь ... )
алгебры L. Тогда гомоморфизм И(Н) —>il(L), индуцированный вложе-
вложением П—>L—>il(L), сам является вложением, причем il(L) является
свободным И(Н)-модулем со свободным базисом, состоящим из всех
элементов вида xi{{)...Xi{m), i(\) </B) <... ^i(m), вместе с 1.
Доказательство очевидно из следствия С. ?
Отметим один частный факт, который понадобится много позже.
Следствие Е. Пусть char F = 0. В обозначениях п.\7Л композиция
канонических отображений Sm^SmL^Um является (линейным) изо-
изоморфизмом между SmL и дополнением подпространства Um_{ в Um.
Доказательство. Применим следствие А при W = Sm. ?
17.4. Доказательство теоремы ПБВ. Фиксируем в L упорядоченный
базис (хх;ХеП). Это позволяет отождествить & с алгеброй многочле-
многочленов от переменных zx (Xefi). Для каждой последовательности индексов
И = (Xi, ..., Xm) (m называется ее длиной) положим zs = zXl... zXm G Sm
и xs = xXl 0... 0xXm G Tm. Назовем последовательность Е возрастаю-
возрастающей, если Xi ^... ^Xm при данном упорядочении в С1; будем считать, что
пустая последовательность 0 возрастающая, причем z0 = \. Тогда мно-
множество {zs: ? возрастает} является базисом в &. Градуировке & = Ц Sm
соответствует фильтрация Sm = S° ф... ф5т. В последующих леммах за-
запись X < Е означает, что X < \х для всех [xgS.
Лемма А. Для каждого meZ+ существует единственное такое
линейное отображение fm\ L®Sm^&, что
(Ат) fm(xx (8) zs) = zxzs при X < Е, zs e Sm;
(Bm) fm(xx (8) zs) - zxzs g 5^ npw k^m, zs G S^;
(Cm)/m(xx(g)/m(xlJL(g)zr))=/m(xlJL(g)/m(xx(g)zr))+/m([xx,xlJL](g)zr) при всех
ZT G Sm_i.

118 Глава V. Теоремы существования
При этом ограничение отображения fm на L®Sm_i совпадает
Доказательство. Заметим, что если доказано условие (Вт), то все
слагаемые в (Ст) корректно определены. Заметим также, что ограниче-
ограничение отображения fm на L®Sm_i автоматически удовлетворяет условиям
(Ат_{), (Bm_!), (Cm_i) и в силу утверждаемой единственности должно
совпадать с fm-\. Существование и единственность отображения fm мы до-
докажем индукцией по т. При т = 0 имеем zs = 1; поэтому можно положить
/о(*х® 1) =zx (и продолжить линейно на L®S0). Ясно, что условия (Ао),
(Во), (Со) выполнены, причем из (Ао) видно, что наш выбор /0 — един-
единственно возможный.
Предположив существование единственного отображения /т_ь удо-
удовлетворяющего условиям (Am_i), (Bm_i), (Cm_i), покажем, как продол-
продолжить fm_i до fm. Для этого достаточно определить /m(xx 0zs) для возра-
возрастающих последовательностей ? длины т.
В случае X ^ ? условие (Ат) будет выполнено, лишь если мы поло-
положим /m(xx®zs) = zxzs. Если неравенство X < ? не выполнено, то первый
индекс \l в ? строго меньше чем X, поэтому ? = (\i, T), где, разумеется,
[I^ Т и Т имеет длину т—\. Ввиду условия (Ат_{) мы имеем zs = z^zT =
= fm-\(x[l®zT). Поскольку [i^ T, то fm(x^®zT) =z[lzT уже определено, так
что левая часть соотношения (Ст) принимает вид /m(xx0^s)- С другой сто-
стороны, из (Bm_i) следует, что fm(xx0zT) =fm_{(xx0zT)=zxzT (mod Sm_{).
Это означает, что правая часть соотношения (Ст) уже определена:
Предыдущие замечания показывают, что определить отображение fm
можно, и только одним способом. При этом условия (Ат) и (Вт) оче-
очевидным образом выполняются, так же как и (Ст) при \i<X, \i^T. Но
[х^, хх] = —[хх, х^], так что условие (Ст) выполнено и при X < \l, X < Т. Оно
справедливо и при X = \i. Остается рассмотреть случай, когда условия X ^ Т
и [jl^ Т не выполнены. Положим Т=(\, Ф), где v^Ф, v<X, v<[jl. Для удоб-
удобства обозначений будем писать xz вместо fm(x 0 2) при х G L, z G 5m.
Из предположения индукции следует, что xlxzr = xlJL(xvz^) =xv(xlJLz*) +
+ [^, ^v]^*, и ПРИ этом ^^ф =^^ф +^ (ш G Sffl_2) ввиду условия (Вт_2).
Так как v < Ф и v < \i, мы получаем, что (Ст) можно применить уже к
Xx(Xv(z^Zy)). По предположению индукции можно также применить (Ст)
к xx(x^w), а тогда и к xx(xv(x^z^)). В итоге
Вспомним, что X и [л в этом рассуждении не менялись местами. Если
переставить их в (*) и вычесть полученное уравнение из исходного, то мы

§ 17. Универсальные обертывающие алгебры 119
получим (с помощью тождества Якоби):
, [xv, л;х]];гФ =
Этим доказано соотношение (Ст), а тогда и вся лемма. П
Лемма В. Существует представление р: L—>g[(C), удовлетворя-
удовлетворяющее условиям
(a) p(xx)zs = 2xzs яри X < Е;
(b) p(xx)zs =2xzs (mod Sm), вела E имеет длину т.
Доказательство. Согласно лемме А найдется линейное отображе-
отображение /: L 0 ?5 —> ©, удовлетворяющее условиям (Ат), (Вт), (Ст) при всех т
(поскольку /т ввиду единственности совпадает с fm_\ на L®Sm_i). Други-
Другими словами, & превращается в L-модуль (условие (Ст)), который в силу
условий (Ат) и (Вт) имеет представление р со свойствами (а) и (Ь). ?
Лемма С. Пусть te Ттп1 = К?гк, где к: Т^Я—каноническое ото-
отображение. Тогда однородная компонента tm степени met лежит в
ядре I канонического отображения Т^б.
Доказательство. Запишем tm как линейную комбинацию базис-
базисных элементов х^щ A ^/^г), где каждая последовательность Е(/) имеет
длину т. Гомоморфизм алгебр Ли р: L—»0[(C), построенный в лемме В, в
силу универсального свойства алгебры Я продолжается до гомоморфизма
алгебр (который мы также обозначим р) Т^End 6, причем /с Кег р. По-
Поэтому p(f) =0. Но единица под действием гомоморфизма p(f) отображается
в многочлен, старший член которого ввиду леммы В является линейной
комбинацией элементов z^ (I ^/^r). Значит, эта линейная комбинация
равна 0 в 6, и /mG/, что и требовалось. ?
Доказательство теоремы ПБВ. Пусть tE Tm, к: T^lt—кано-
T^lt—каноническое отображение. Нужно показать, что из условия K(t) e Um-\ выте-
вытекает, что tel. Но если te Tm, Ti(t) e Um_{, то K(t) =K(t') для некоторого f e
е Тт_ i; следовательно, t — t'eJ. Применим лемму С к тензору t — t' еТтГ\]\
однородная компонента степени т равна t, и мы получаем tel. ?
17.5. Свободные алгебры Ли. Возможно, читателю знаком способ
задания групп образующими и соотношениями. В § 18 мы применим ана-
аналогичный метод для построения полупростых алгебр Ли. Здесь потребуется
понятие свободной алгебры Ли.
Пусть L — алгебра Ли над F, порожденная множеством X. Скажем,
что алгебра L свободна над X, если любое отображение ср множества X
в алгебру Ли М продолжается единственным образом до гомоморфизма
ф: L —> М. Читатель легко проверит единственность такой алгебры L
(с точностью до единственного изоморфизма). Что касается существо-
существования, то возьмем векторное пространство V с базисом X, построим

120 Глава V. Теоремы существования
тензорную алгебру X(V) (рассматриваемую как алгебра Ли относитель-
относительно скобки), и пусть L — подалгебра Ли в X(V), натянутая на X. Если дано
произвольное отображение ср: Х^М, то сначала продолжим его до линей-
линейного отображения V^Mcii(M), затем (канонически) до гомоморфизма
ассоциативных алгебр %{V) —>il(M), который является и гомоморфизмом
алгебр Ли (его ограничение на L будет искомым гомоморфизмом ф: L—»М,
поскольку ф отображает порождающее множество X в М).
Заметим, что если алгебра L свободна над множеством X, то векторное
пространство V можно превратить в L-модуль, просто сопоставив каждому
элементу хеХ элемент алгебры Ли gi(V) и канонически продолжив это
отображение.
Наконец, если алгебра L свободна над^Г, a R— идеал в L, порожденный
элементами /;- (где / пробегает некоторое множество индексов), то назовем
L/R алгеброй Ли с образующими xt и определяющими соотношениями
fj = 0, где х( — образы в L/R элементов из X.
Упражнения
1. Докажите, что если dim L < оо, то ii(L) не имеет делителей нуля.
[Указание: используйте тот факт, что соответствующая градуированная ал-
алгебра 6 изоморфна алгебре многочленов.]
2. Пусть L — двумерная неабелева алгебра Ли (см. п. 1.4), причем
[х, у] = х. Получите прямое доказательство инъективности отображения
/: L —> il(L) (т. е. покажите, что / П L = 0).
3. Пусть xeL. Продолжим ad x до эндоморфизма алгебры il(L), поло-
положив ad х(у) =ху — ух (yEii(L)). Докажите, что если dim L < оо, то каждый
элемент алгебры il(L) лежит в конечномерном L-подмодуле. [Проверьте,
т
что если х, хи ..., хт eL, то ad х(х{...хт) = J2 %iX2... ad x(Xi)...xm.]
4. Пусть L — свободная алгебра Ли над множеством X. Докажите, что
алгебра il(L) изоморфна тензорной алгебре на векторном пространстве с
базисом X.
5. Опишите свободную алгебру Ли над множеством Х = {х}.
6. Как используется теорема ПБВ при построении свободных алгебр Ли?
Замечания
При изложении теоремы ПБВ мы следовали книге Bourbaki [1]. Другой
подход см. в Jacobson [1].
§18. Образующие и соотношения
Теперь мы можем продолжить изучение полупростой алгебры Ли над
алгебраически замкнутым полем F характеристики 0. Наша цель — полу-
получить представление алгебры L образующими и соотношениями, зависящи-

§ 18. Образующие а соотношения 121
ми только от системы корней Ф, тем самым доказав и существование, и
единственность полупростой алгебры Ли с данной системой корней. В этом
параграфе, вопреки нашему обычному соглашению, алгебры Ли могут
быть и бесконечномерными.
18.1. Определяющие соотношения в L. Пусть L — полупростая ал-
алгебра Ли, Н—ее картановская подалгебра, Ф — соответствующая систе-
система корней, Д = {ось ..., о^} — ее фиксированный базис. Напомним, что
(J) =2(otj, 0Lj)/(cLj, oij) =oii(hj) (hj = ha.). Фиксируем такое множество обра-
образующих xt e La., tji e L_a., что [xt, tji] = ht.
Предложение. Во введенных обозначениях алгебра L порожда-
порождается множеством образующих {xh yh ht\ 1 ^i^?}, которые удовле-
удовлетворяют по крайней мере следующим соотношениям:
E1) [A,-, A,-] = 0(U/,/<*);
E2) [xh yt] = hh [xh yj] = O при [ф]\
E3) [Ы,Х1]=A)Х1,[Ы, уА = -A)УГ,
(S-) (ad ^)/
Доказательство. Из предложения 14.2 вытекает, что L порождает-
порождается уже элементами xt и г/у. Соотношение (S1) очевидно, так же как и (S2),
поскольку oii — oij• ф.Ф при 1ф] (лемма 10.1). Соотношение (S3) очевид-
очевидно. Рассмотрим теперь (S"^); для (S^)рассуждение аналогичное. Так как
1ф], вектор qlj — at не является корнем и а—серия, порожденная корнем а;-,
состоит из элементов а;-, а7+аь ..., ау + ^аь где —q = (i) (см. п. 9.4 или
предложение 8.4(е)). Поскольку ad xt последовательно отображает х-} в
корневые подпространства для а;- + аь а;- + 2аь ..., мы получаем (S^). П
Отметим, что соотношения из этого предложения содержат константы,
зависящие только от системы корней. Серр доказал, что они составляют
полную систему определяющих соотношений для L (теорема 18.3, см. ни-
ниже). В качестве первого шага к доказательству теоремы Серра мы изучим
алгебру Ли (возможно, бесконечномерную), которая определяется лишь
соотношениями (S1)—(S3).
18.2. Следствия из соотношений (S1) — (S3). Фиксируем систему
корней Ф с базисом Д = {аь ..., а^}. Число Картана (у) будем кратко
обозначать сц. Возьмем свободную алгебру Ли L (см. п. 17.4) с 3? образую-
образующими {х(, у и ht\ l^i^l}. Пусть К— идеал в L, порожденный следующи-
следующими элементами: [hh h}\ [xh У}] — ЬцК1ч [hh х}] — СцХ}ч [hh У}] + Сцу}. Положим
Lo = L/K, и пусть образующие переходят при факторизации в элементы х-г,
yt, hi. (В общем случае dim Lo = оо.)
Проблема в том, что алгебра Lo определена чересчур абстрактно (из
сказанного не видно, например, что она не тривиальна). Чтобы изучить Lo
более конкретно, попробуем построить для нее подходящее представле-
представление. Для этого мы применим прообраз той конструкции, которая сыграет

122 Глава V. Теоремы существования
важнейшую роль в гл. VI, так что рекомендуем читателю внимательно сле-
следить за последующим рассуждением.
Как было отмечено в п. 17.5, модуль над алгеброй L строится без труда:
нужно лишь сопоставить каждому из Ы ее образующих некоторое линей-
линейное преобразование. Пусть V—тензорная алгебра (т.е. свободная ассо-
ассоциативная алгебра) над векторным пространством с базисом (v{, ..., v?).
Забудем об умножении и для простоты обозначений будем писать vir..vit
вместо vi{ 0... ®vit. Эти тензоры (вместе с 1) образуют в V базис над F.
Далее, определим следующие эндоморфизмы пространства V:
7гг1=0,
,- • vh... vh = -(chj +... + chj)vh... vh,
\yj-vir..vit=VjVh...vit,
\ Xj • vh... vit = vh (Xj • vir.. vit) - bhj(ci2j +... + chj)vir.. vir
Это действие продолжается (единственным образом) на всю алгебру L и
дает ее представление ф: L—»0[(V).
Предложение. Пусть Ко = Кег ф. Тогда К С Ко, т. е. ф пропускается
через Lo, тем самым превращая V в Ьо-модуль.
Доказательство. Заметим, во-первых, что hj действует на V диа-
диагонально (в выбранном базисе), так что ф(/^) и ф(/г7) коммутируют, т.е.
[hh hj]^K0- С другой стороны, ф(//7) — это просто левое умножение на Vj.
(ВСЮ СЛОЖНОСТЬ ВНОСИТ ЛИШЬ Xj.)
Положив в формулах для действия j = i\, получаем хг -у} • vi2...vit —
-у} • xt • vi2...vh = -bjt(ci2i +... + c?)vi2...vh = bjihi • vi2...vh. ^ Кроме того,
(Xit/j — tjjXi) -1=0 = bijhi • 1. Следовательно, [xh i)j] — b^hi G Ko-
Далее, (htyj — tjjhi) • 1 = ht • Vj = —CjiVj = —Cjitjj • 1. Аналогично (htyj —
- tjjhi) • vh... vh =ht • VjVh... vh + (chi + ... + chi)VjVh... vh = -c^ • vh... vh.
Следовательно, [hi, y^\ + c/7//;- G Ko-
Переходя к последнему шагу, предварительно заметим, что
hi • Xj • vh... vh = -(chi +... + c? - Cji)Xj • vh... vh. (*)
Это доказывается индукцией по t. При t = 0 мы считаем, что vi{...vit = l,
и обе части обращаются в нуль. Предположение индукции означает, что
Xj • vi2... v-H является собственным вектором для hi с собственным значени-
значением —(ci2i +... + citi — Cji). Ясно, что при умножении этого вектора слева на vt
мы получим другой собственный вектор для ht, с собственным значением
—(ci[i-\-...-\-citi — cji). Отсюда и из определений легко следует соотноше-
соотношение (*).

§ 18. Образующие а соотношения 123
С помощью (*) получаем (hiXj — Xjhi) -1=0, (hiXj — Xjhi) • vi{... vit =
= (-(chi +:.. + chi - с a) + (chi +... + chi))Xj • vh... vh = CjiXj • vh... vh. Таким
образом, [hi, Xj] — CjiXj e Ko- В итоге RcR0. П
Теорема. Пусть Ф—система корней с базисом {<хь ..., ос*}, а
Lo—алгебра Ли с образующими {xhyhht\ l^i^?} и соотноше-
соотношениями (S1)—(S3). Тогда элементы hi составляют базис (-мерной
абелевой подалгебры H(zL0, причем L0 = Y + Н + Х (прямая сумма
подпространств), где Y (соответственно X) — подалгебра в Lo,
порожденная элементами уг (соответственно х().
Доказательство разобьем на шаги, используя построенное вы-
выше представление ср: L0^gi(V): если х—образ в Lo элемента xeL, то
1
1. J2 1~й/ П Кег ф = 0. Если h = J2 ajhj и ф(^) = 0, то и собственные зна-
чения — J2 а\сц A ^i^f) этого отображения равны 0. Но матрица Кар-
тана (сц) системы Ф невырожденна, поэтому все а} равны нулю, т. е. h = 0.
2. Каноническое отображение L^L0 является изоморфизмом
между Yl FAy и Yl FA;-. Это непосредственно вытекает из шага 1.
3. Подпространство Yl Fjc7- + Yl ^9j + J2 FA;- в L изоморфно ото-
отображается в Lo. Фиксируем /. Ввиду соотношений (S1)—(S3) мы имеем
[xi, У(] = Ы, [hi, Xi] = 2Xi, [hi, yi] = —2yi; поэтому Fxt + Fyt + Fht—гомоморф-
Fht—гомоморфный образ алгебры siB, F). Но последняя проста, и при этом ht^0 (шаг 2).
Значит, алгебра Fxt + Fyt + Fht изоморфна алгебре siB, F). Далее, множе-
множество {Xj, уj, hj\ 1 ^j^l} линейно независимо, так как его элементы не
равны нулю и удовлетворяют соотношениям (S1)—(S3) (см. собственные
значения отображения ad hj). Это доказывает свойство 3.
4. Подпространство Я = ^ Fhj является 1-мерной абелевой под-
подалгеброй в Lo. Это вытекает из шага 2 и соотношения (S1).
5. Если [xi{...xit\ обозначает [xi{, [xi2, ...[xit[, xit]...]\, то [hh [xi{...
... xit]] = (ci{j +... + citj)[xir..xit], и равенство сохраняется при заменеxt
на yt и Сц на —Сц. При t= 1 это соотношение (S3). Общий случай легко
доказывается по индукции с помощью тождества Якоби.
6. Если t^2, то [yt, [xir..Xit]]eX, и аналогично для Y. Ввиду соот-
соотношения (S2) мы имеем [yh xi]=—bijhi, и случай t = 2 очевиден из (S3) и
тождества Якоби. Легко проводится и индукция по t.
7. Подпространство У -\-Н -\-X является подалгеброй в Ео и пото-
потому совпадает с Ео. Это подалгебра ввиду шагов 4, 5 и 6. Но в ней содер-
содержится множество образующих для Ео, и потому У + Н -\-Х совпадает с Ео.
8. Сумма E0 = Y + Н + Х прямая. Действительно, из шага 5 видно, как
разложить Ео в сумму собственных подпространств отображения ad П; с
учетом шагов 1 и 2 эта сумма прямая. ?

124 Глава V. Теоремы существования
Разложение Lo = Y-\-Н-\-Х удобно описывать в терминах «весов» (если
использовать язык §20). ПриХеЯ* положим (L0)x = {/gL0: [h, t] = \(h)t
при всех ЛеЯ}. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что
H=(L0H. При этом все ненулевые векторы X с ненулевым (L0)x имеют вид
?
Х = ^ км (kt GZ), где либо все kt неотрицательны (в этом случае пишем
Х>-0), либо все kt неположительны (пишем Х^<0). Тогда X=J2(L0)-K и
Х-<0
18.3. Теорема Серра. В п. 18.2 мы изучили строение алгебры Ли Lo,
определяющие соотношения которой сводятся к (S1)—(S3). Теперь спро-
спросим, что произойдет, если наложить условия «конечности» (S^), (S^) из
п. 18.1. Положим Хц = (ad Xi)~cii+l(Xj), //;7 = (ad */*)~С/7+1(*//) (i^j)- (Подра-
(Подразумеваются элементы из Lo.)
Лемма. В алгебре Lo из п. 18.2 выполнены равенства ad хк(уц) =0
(l^k^i) при любых i ф /.
Доказательство. Случай (а): кфг. Тогда [xk, yt] = O ввиду соотно-
соотношения (S2), так что ad xk и ad yt коммутируют. Следовательно, ad хк(уц) =
= (ad yi)~Cji+l ad xk(y^). Если k=j, то этот элемент равен (ad yi)~cii+x(hj).
Но ввиду (S3) мы имеем ad yi(hj) = Сцуг. Если этот элемент не равен ну-
нулю, то и Cji не равно нулю (и отрицательно, поскольку 1ф]), но тогда
—Cji + 1 >2. Как следствие, (ad yi)~c'li+l{hj) =0. Если же k^j, то [xk, */;-] = 0
в соответствии с соотношением (S2), и мы получаем тот же результат.
Случай (b): k = i. Из доказательства теоремы 18.2 мы знаем, что 5 =
= Fxt + Vyt + Vht — подалгебра в Lo, изоморфная slB, F). Поэтому можно
сказать кое-что о присоединенном действии подалгебры 5 на Lo. Хотя
размерность алгебры Lo может оказаться бесконечной, здесь можно не-
непосредственно применить некоторые рассуждения из §7. В частности, по-
поскольку / ф i, мы заключаем, что [х(, у}] = 0, так что у1 — «старший вектор»
для 5 «веса» т = —сп (поскольку [hh У}] = —с}1у}). Нетрудная индукция по t
показывает, что ad x,(ad yiYiyj) = t(m — t+ l)(ad yiY~l(yj). Поэтому при
t = —Cji + 1 правая часть обращается в 0. ?
Прежде чем формулировать теорему Серра, упомянем об одной полез-
полезной конструкции. Назовем эндоморфизм х бесконечномерного векторного
пространства V локально нильпотентным, если каждый элемент из V
аннулируется некоторой его степенью. В этом случае х нильпотентен на
каждом конечномерном подпространстве W в V, так что можно опреде-
определить exp(x\w). Ясно, что ехр(х|^) и ехр(х|^/) совпадают на Wn W, так что
мы можем «сшить» все такие отображения, получив автоморфизм «ехр х»
пространства V.
Теорема (Серр). Фиксируем систему корней Ф с базисом А =
= {<хь ..., о^}. Пусть L— алгебра Ли, порожденная 3? элементами

§ 18. Образующие а соотношения 125
{xh yh hi'. \^i^?}, которые подчинены соотношениям (SI), (S2),
(S3), (S+), (S~) из п. 18.1. Тогда L является (конечномерной) по-
полупростой алгеброй с системой корней Ф, причем картановская
подалгебра порождается элементами ht.
Доказательство разобьем на шаги. По определению L = Lo/K, где
алгебра Lo такова, как в п. 18.2, а К—идеал, порожденный всеми элемен-
элементами xtj, уц Aф']). Ради простоты обозначений вначале мы будем работать
в Lo. Пусть / (соответственно /) — идеал в X (соответственно в Y), по-
порожденный всеми элементами Хц (соответственно уц). (Таким образом, К
включает идеалы /, /.)
1. Множества I и J являются идеалами в Lo. Достаточно рассмо-
рассмотреть / (случай / аналогичен). С одной стороны, уц — собственный вектор
для ad hk(\ ^k^?) с собственным значением —cjk + (с/7 — \)cik. Поскольку
ad hk(Y) с Y, ввиду тождества Якоби ad hk(J) с/. С другой стороны, со-
согласно предыдущей лемме ad хк(уц) = 0. Ясно, что ad xk отображает Y в
Y -\-Н (см. п. 18.2); соединив это утверждение с тождеством Якоби и тем
фактом, что ad hk(J) С/, получаем, что ad xk(J) С/. Наконец, ad L0(J) С/,
снова ввиду тождества Якоби (так как xk, yk порождают Lo).
2. Справедливо соотношение /( = / + /. По определению / + /С/С. Но
ввиду шага 1 / + /—идеал в Lo, содержащий все элементы Хц, уц, а К —
наименьший такой идеал.
3. Справедливо соотношение L = N~ +H + N (прямая сумма подпро-
подпространств), где N~ = Y/J, N = X/l, а подпространство Н отожде-
отождествлено со своим образом при каноническом отображении L0^L.
Применим шаг 2 и разложение в прямую сумму L0 = Y + Н -\-Х (теоре-
(теорема 18.2).
4. Подпространство Yl ^xi + Y1 F/г, + Yl ^Di отображается в L
изоморфно. Это доказывается аналогично шагу 3 доказательства тео-
теоремы 18.2, поскольку И отображается в L изоморфно (см. предыдущий
шаг). Как следствие, можно отождествить xh yh hi с элементами из L
(которые порождают L).
5. Если ХеН*, то пусть Lx = {xeL: [h, x] = X(h)x при всех heH}.
Тогда H = L0, N=Y^ L^, N~ = Y^ Lt (см. замечания в конце п. 18.2),
Х>-0 Х-<0
причем все пространства Lx конечномерны. Это ясно из шагов 3 и 4.
6. При 1 < / ^? эндоморфизмы ad xt и ad yt локально нильпотентны
в L. Достаточно рассмотреть ad xt при фиксированном / (в силу симме-
симметрии). Пусть М—подпространство в L, состоящее из всех элементов,
которые аннулируются какой-либо степенью отображения ad xt. Если эле-
элемент xgM (соответственно у^М) аннулируется отображением (ad хг)г
(соответственно (ad Xi)s), то (ad xt)r+s аннулирует элемент [х, у] (см. лем-
лемму 15.1). Значит, в действительности М — подалгебра в L. Но при всех k

126 Глава V. Теоремы существования
мы имеем xk^M (ввиду соотношений (S^)) я yk^M (ввиду (S2), (S3)).
Эти элементы порождают L, поэтому М = Е, что и требовалось.
7. Оператор x/ = exp(adx/) exp(ad(—*//)) exp(ad^) (при 1 ^i^i)— кор-
корректно определенный автоморфизм алгебры Е. Это вытекает из ша-
шага 6 и замечаний перед теоремой.
8. Если X, \l е Я* и о\ = \х (oG#, где W — группа Вейля для Ф),
то dim Lx = dim Е^. Достаточно рассмотреть случай, когда о = оа. — про-
простое отражение, поскольку W порождается простыми отражениями (тео-
(теорема 10.3(d)). Автоморфизм \{ алгебры L, построенный на шаге 7, на ко-
конечномерном пространстве Lx + Е^ совпадает с обычным произведением
экспонент, и мы заключаем (как в конце п. 7.2), что т,- меняет местами Lx
и Е^. Как следствие, dim Lx = dim L^.
9. Если \^i^?, mo dim Ещ = 1, причем dim Eka. =0 для целых
k^O, 1, — 1. Это очевидно для Ео, а тогда ввиду шага 4 и для L.
10. Если <хеФ, то dimLa=l, но Eka = 0 при &/0, 1, —1. Каждый
корень ^-сопряжен простому корню (теорема 10.3(с)), и остается ис-
использовать шаги 8 и 9.
11. Если Lx ф 0, то либо \ е Ф, либо X = 0. В противном случае X явля-
является ненулевой целочисленной линейной комбинацией простых корней с
коэффициентами ±1 и 0. Ввиду шага 10 вектор X не кратен простому
корню. Согласно упражнению 10.10 некоторый ^-сопряженный к нему
вектор оХ имеет и строго положительный, и строго отрицательный коэф-
коэффициент. Это означает, что LoX = 0 (см. шаг 5), вопреки результату шага 8.
12. Справедливо соотношение dim L = ^ + Card Ф < оо. Ввиду шага 5
это вытекает из шагов 10 и 11.
13. Алгебра Е полупроста. Пусть А — абелев идеал в L; нужно по-
показать, что А = 0. Поскольку идеал А инвариантен относительно действия
ad Я, мы заключаем, что А = (АпН) + ^2(Ап Еа) I так как Е = Н+ J2
Если La с А, то [L_a, La]c А. Тогда L_a с А, я А содержит экземпляр про-
простой алгебры 5lB, F) (см. шаг 4). Это невозможно, поэтому на самом деле
А=АпН сН, а значит [La, А] = 0 (аеФ) и Л с f| Ker а = 0 (элементы а,-
порождают Я*).
14. Подалгебра Я является картановской, а Ф — системой корней
для Е. Алгебра Я абелева (значит, и нильпотентна) и при этом самонор-
самонормализуема (ввиду разложения в прямую сумму Е = П+ ^2 La J, т. е. Я
является картановской подалгеброй. Ясно, что Ф — соответствующая си-
система корней. ?
18.4. Применение: теоремы существования и единственности. На-
Наши усилия, наконец, вознаграждены.

§ 18. Образующие а соотношения 127
Теорема, (а) Пусть Ф—некоторая система корней. Тогда суще-
существует полупростая алгебра Ли с системой корней Ф.
(Ь) Пусть L, И — полупростые алгебры Ли с картановскими под-
подалгебрами Я, П' и системами корней Ф, Ф' соответственно. Пусть
также дан изоморфизм Ф —> Ф', переводящий данный базис А в ба-
базис А!, и ему соответствует изоморфизм к: Н^Н' (см. п. 14.2).
Каждому а е А (а' е Д') сопоставим произвольный ненулевой эле-
элемент xaeLa (x'a, gL^,). Тогда существует единственный изоморфизм
к: L^L', продолжающий к: Н —> Н' и отображающий ха в х'а, (аеДI.
Доказательство. Утверждение (а) непосредственно вытекает из
теоремы 18.3. Докажем утверждение (Ь). Ясно, что достаточно рассмо-
рассмотреть алгебру L, построенную в теореме 18.3, взяв в качестве ха, уа и
ha = [Xa, Уа] выбранные там образующие (осеД). Положим h'a,=K(ha)
и возьмем (единственный) элемент у'а,, удовлетворяющий соотношени-
соотношениям [x/a,,y'a,] = h/a, при всех ос'еД'. Так как ф^ф', то выбранные эле-
элементы из L' удовлетворяют соотношениям Серра (см. п. 18.1). В силу
теоремы 18.3 существует единственный гомоморфизм к: L^L', при ко-
котором ха, уа, ha (сне А) переходят в х'а,, у'а,, h'a, соответственно. Он
является продолжением заданного гомоморфизма к: П^П'. Поскольку
dim L = dim И + Card Ф = dim H' + Card Ф; = dim L\ то к: L^L' является
изоморфизмом. ?
Упражнения
1. Используя представление алгебры Lo на V (предложение 18.2), до-
докажите, что алгебры Ли X, Y из теоремы 18.2 являются свободными над
множествами элементов xt, yt соответственно.
2. Если rank Ф= 1, то условия (S^), (Sjj) бессодержательны, поэтому
L0 = L=slB, F). Найдя подходящий базис для V в п. 18.2, покажите, что
пространство V изоморфно модулю Z@), построенному в упражнении 7.7.
3. Докажите, что идеал К алгебры Lo в п. 18.3 содержится в каждом
ее идеале конечной коразмерности (т. е. L — наибольшая конечномерная
факторалгебра для Lo).
4. Докажите, что любое отношение включения между схемами Дынки-
на (например, Е6 с Е7 С Е8) индуцирует естественное отношение включения
между соответствующими полупростыми алгебрами Ли.
Замечания
По существу теорему 18.2 доказали (независимо) Шевалле и Ха-
риш-Чандра (см. Harish-Chandra [1]), упрощения принадлежат Джекобсо-
ну (см. Jacobson [1]). Теорема Серра, вместе со следствиями относительно
1 Пункт (Ь) теоремы уже был доказан (другим способом) в п. 14.2. (Прим. ред.)

128 Глава V. Теоремы существования
существования и единственности, содержится в книге Serre [2]. См. также
Varadarajan [1].
§19. Простые алгебры
Как и в § 18, F— алгебраическое поле характеристики 0. В этом
параграфе собраны различные факты о простых алгебрах Ли над F (многие
из них уже упоминались в упражнениях). В соответствии с теоремой клас-
классификации существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна простая
алгебра Ли с каждой из систем корней А^ (О 1), В^ (О 2), Q (ОЗ), D^
(О 4), Е6, Е7, Е8, F4, G2. Мы дадим достаточно полное описание классиче-
классических типов А—D, так же как и G2. Что касается остальных исключитель-
исключительных алгебр, то нас увели бы далеко в сторону предварительные сведения
о йордановых алгебрах и т.п. (см. замечания ниже).
19.1. Критерий полупростоты. Теоретически мы можем проверить
алгебру Ли на полупростоту, вычислив ее форму Киллинга (теорема 5.1);
на практике это часто можно сделать гораздо проще. Сначала дадим
определение (см. упражнение 6.5). Алгебра Ли L^O называется ре-
дуктивной, если Rad L = Z(L). Два крайних случая—это абелевы и
полупростые алгебры. Промежуточный случай — 0^(Ю- Пусть теперь ал-
алгебра L редуктивна, но не абелева, так что алгебра L' = L/Z(L) полупроста.
Тогда ad L = ad L' действует вполне приводимо на L (см. п. 6.3). Положим
L = M®Z(L), где М — некоторый идеал. Тогда [L, Ц = [М, М]сМ. Но [L, L]
при каноническом отображении переходит в Z/, поэтому L = [L, L]®Z(L).
Из этих замечаний вытекает первое утверждение следующего предло-
предложения.
Предложение, (а) Пусть алгебра L редуктивна. Тогда L = [L, L]®
®Z(L), причем подалгебра [L, L] либо полупростая, либо нулевая.
(Ь) Пусть Lcgi(V) (пространство V конечномерно) — ненулевая
алгебра Ли, действующая на пространстве V неприводимо. Тогда L
редуктивна и dim Z(L)< 1. Если при этом Lcsi(V)f то алгебра L
полупроста.
Доказательство. Нам осталось доказать утверждение (Ь). Пусть
5 = Rad L. По теореме Ли все элементы из 5 имеют общий собственный
вектор в V. Пусть, скажем, s-v = \(s)v (seS). Если х е L, то из условия
[s, x]eS следует, что
s • (x-v)= \(s)x • v + X([s, x])v. (*)
Поскольку L действует неприводимо, все векторы из V можно получить,
многократно применяя элементы из L к v и составляя линейные комбина-
комбинации. Поэтому из (*) вытекает, что матрицы всех элементов 5 Е 5 (в под-
подходящем базисе пространства V) треугольны, причем на диагонали всюду

§ 19. Простые алгебры 129
стоит X(s){. Однако коммутаторы [S, L]cS имеют нулевой след, поэтому X
обращается в нуль на [5, L]. Возвращаясь к (*), заключаем, что s Е S дей-
действует на пространстве V как скаляр X(s). Как следствие, S = Z(L) (так
что алгебра L редуктивна) и dim 5^1. Пусть, наконец, Lcsi(V). Так как
si(V) не содержит ненулевых скаляров (char F = 0), 5 = 0 и алгебра L по-
полупроста. ?
19.2. Классические алгебры. Мы ввели классические алгебры в
п. 1.2. Чтобы избежать повторений, мы всегда рассматриваем алгебры А^
при ? ^ 1, В^ при ? ^ 2, Q при ^ ^ 3, D^ при ^ ^ 4 (см. упражнение 1.10 и
классификацию в § 11). Поскольку gi(V) =si(V) + (скаляры), a gi(V) дей-
действует на V неприводимо (и даже транзитивно2), очевидно, что и si(V) дей-
действует неприводимо. Это прототип доказательства полупростоты алгебр В^,
Q, D^, которое мы проведем, используя критерий из предложения 19.1.
(Мы уже отметили в п. 1.2, что эти алгебры состоят из эндоморфизмов
с нулевым следом, так что нужно проверить только их неприводимость.)
Заметим, что любое подпространство в 1/, инвариантное относительно
подалгебры Lcgi(V), инвариантно также относительно (ассоциативной)
подалгебры в End V, которую порождает L вместе с единицей. Поэтому мы
докажем, что каждая из алгебр В^, Q, D^ действует неприводимо при есте-
естественном представлении, если сумеем получить из 1 и L все эндоморфизмы
пространства V посредством сложения, умножения на скаляры и обычного
умножения. Скаляры мы получаем из 1. Из диагональных матриц, указан-
указанных в п. 1.2, мы тогда получим все возможные диагональные матрицы.
Затем, умножая остальные элементы базиса (например, вц — е/7, 1ф]) на
подходящие матрицы вида diag@, ..., 1, ..., 0) A в 1-я позиции), мы по-
получим, как читатель без труда проверит, все недиагональные матричные
единицы ец.
Изложенное рассуждение показывает, что все классические алгебры
полупросты. В каждом случае ясно, что ^-мерная подалгебра Я, натяну-
натянутая на диагональные матрицы (см. п. 1.2), является торической и равна
своему централизатору в L. Поэтому подалгебра Н — максимальная тори-
ческая (т.е. картановская). Остальные базисные элементы, описанные в
п. 1.2, — это корневые векторы, поэтому легко отыскать соответствующее
множество простых корней, тем самым показав, что L — простая алгебра
указанного типа.
19.3. Алгебра G2. В главе VI мы увидим, что простая алгебра ти-
типа G2 имеет (точное) неприводимое представление матрицами 7 х 7, и это
наименьшая возможная степень. Оказывается, представляющие матрицы
1 Нужно выбрать базис из векторов вида х\ • х^ •... • х^ • v, вместе с каждым таким вектором
содержащий вектор х^ •... • х^ • v. (Прим. ред.)
2Имеется в виду, что gi(V) • v = V для любого v ф 0. (Прим. ред.)

130 Глава V. Теоремы существования
лежат в L0 = oG, F), т.е. простой алгебре типа В3. Поскольку dim Lo = 21,
a dim G2 = 14, не очень трудно (используя наши знания о системе корней)
представить G2 непосредственно как подалгебру L в Lo.
Как и в п. 1.2, стандартный базис для L можно выразить через матрич-
матричные единицы ers A < г, 5 < 7). Здесь нам будет удобно считать, что индексы
/, /, k, ... пробегают значения 1, 2, 3. Напомним, что Lo имеет картанов-
скую подалгебру Яо с базисом (rfb d2, d^), rf/ = ^+i,/+i — ^/+4,/+4- На роль
картановской подалгебры в L мы наметим // = {J^ щй^'. J2 ai = 0}- Разу-
Разумеется, dim Я = 2.
В алгебре G2 имеется шесть длинных корней, которые составляют си-
систему типа А2 (упражнение 12.4). Соответственно выберем в Lo корневые
векторы gi_j (i^j) относительно Но следующим образом:
^1,-3 = ^3,-1=624-675,
§2,-3=^3,-2 = 634-676-
В качестве коротких корней в L относительно И возьмем g±t (/= 1, 2, 3):
i2 - 651) - (e37 - 646),
- 66i) - (e27 - e45),
- (e26 - e35).
Заметим, что каждый из двенадцати перечисленных векторов в действи-
действительности является общим собственным вектором для ad Я и ни один из
них не принадлежит централизатору подалгебры Я. Пусть пространство L
натянуто на Я и эти двенадцать векторов. Из следующих уравнений вы-
вытекает, что L замкнуто относительно ком мути р о в ания. Их
проверка не требует слишком большого труда (количество различных слу-
случаев можно сократить, используя транспонирование):
, B)
D)
\gh &] =^Т ('' A k Различны). E)

§ 19. Простые алгебры 131
Знаки в E) можно определить из уравнений [gb g2] = 2g_3, [g{, g3]= — 2g_2,
[§2, ёз] = ^ё-\ (и уравнений для транспонированных матриц).
Из сказанного вытекает, что L является 14-мерной алгеброй Ли, Н —
ее картановской подалгеброй (размерности 2), причем L состоит из ма-
матриц с нулевым следом. Из классификационной теоремы ясно, что если
алгебра L полупроста, то ее системой корней может быть только G2. По-
Поэтому ввиду предложения 19.1 остается лишь проверить, что L действует
неприводимо на V= F7. Обозначим канонический упорядоченный базис в V
через (vq, vu v2, v3, v_u v_2, v_3). Матрица diag@, 1, 2, —3, —1, —2, 3) со-
содержится в Я, и все ее собственные значения различны. Поэтому любое
подпространство W^O в 1/, инвариантное относительно L, должно содер-
содержать хотя бы один из канонических базисных векторов. Заметим теперь,
что g±t отображает v0 в вектор, кратный vTi, a vTJ — в вектор, кратный v±k
(/, /, k различны). Кроме того, git_j • Vj = vh git_j • v_t = — v_j. Как следствие,
W содержит все базисные векторы, а значит W=V, что и требовалось.
Интересно также реализовать простую алгебру типа G2 как алгебру Ли
Der (? (см. п. 1.3), где (? — восьмимерная неассоциативная алгебра (алге-
(алгебра Кэли или алгебра октав). Во-первых, необходимо описать (?. Пусть
(еь е2, в3) — обычный ортонормированный базис в пространстве F3 (на-
(наделенном скалярным произведением v-w). В этом пространстве имеется
также векторное произведение v x w = —(w x v), подчиненное правилам
ег х ег = 0 (/= 1, 2, 3), ех х е2 = е3, е2 х е3 = еи е3х ех =е2. Как векторное
пространство, (? является суммой двух экземпляров пространства F3 и двух
экземпляров пространства F. Однако для удобства мы будем записывать
элементы из ? как 2 х 2-матрицы ( , j, где a, b E F и v, w E F3. Мы
складываем их и умножаем на скаляры по правилам для матриц. Однако
произведение в ? определяется более сложным способом:
a v\fa' v'\ _ / act' —v-w' av' + b'v + wxw'
w b)\w' b') ~ \a'w-\-bwf + v x vf bb' — w-v'
Билинейность этой операции очевидна, поскольку умножение скаляров в F,
а также скалярное и векторное произведения в F3 билинейны.
Фиксируем в (? базис (си ..., с8), где
1 (Г\ fO 0\ n _ @ ei\ n _/0 О
О
) 0=1,2,3).
Легко проверяется таблица умножения для ? (таблица 6). Заметим, что
с{ +с2= [q j J играет роль единицы алгебры ^. Стандартное вычисление
коммутаторов ее' — с'с (с использованием элементов базиса и таблицы 6)
показывает, что подпространство (?0, порожденное всеми коммутаторами,

132 Глава V. Теоремы существования
имеет коразмерность 1 и базис (с{ — с2, с3, ^4» С5, С6, с7, Cs), являясь до-
дополнением к прямой, проходящей через С\ + с2. При этом (?0 совпадает с
подпространством всех элементов из ?, имеющих нулевой «след» (Ь = —а).
Согласно правилу умножения любое дифференцирование в (? аннулирует
«константы» (кратные вектору с{ +с2). С другой стороны, дифференциро-
дифференцирование, очевидно, оставляет (?0 инвариантным и потому полностью опреде-
определяется своим ограничением на (?0.
Cl
С<2
сз
С\
С5
Сб
Cl
С8
Cl
Cl
0
0
0
0
Cq
с7
cs
C<2
0
C<2
сз
C\
C5
0
0
0
сз
сз
0
0
-cs
Cl
— C2
0
0
Таблица
C\
C\
0
C8
0
-cq
0
-C2
0
6
Cb
C5
0
-c7
Cq
0
0
0
—c<2
Cq
0
Cq
-Cl
0
0
0
-сь
C\
Cl
0
Cl
0
-Cl
0
C5
0
-сз
C8
0
C8
0
0
-Cl
-Ci
сз
0
Положим L = Der (?. Ввиду предыдущих замечаний L действует на (?0
точно (а на F(ci +с2) — тривиально). Обозначим через ср: L^$lG, F) со-
соответствующее матричное представление (выбрав базис в (?0, как выше).
Теперь главная проблема — показать, что подалгебра L не слишком мала;
фактически для этого потребуется найти определенные дифференцирова-
дифференцирования в (?. Так как в системе корней типа G2 длинные корни образуют систе-
систему типа А2, подалгебра L должна содержать экземпляр алгебры 5lC, F).
Для xesiC, F) определим эндоморфизм Ь(х) пространства (? по прави-
(а w\ /0 -xUw)
1 JH
JH /\ о J (матРица х транспонирована к х). Непосред-
Непосредственно проверяется, что Ъ(х) является дифференцированием,
нетривиальным (следовательно, точным) представлением алгебры 5lC, F).
Через М обозначим его образ, а через И — образ диагональной подалге-
подалгебры. (Заметим, что ср(М) лежит в оG, F), а ср(//) совпадает с прежней кар-
тановской подалгеброй в G2.) Легко проверить, что все матрицы в $1(8, F),
коммутирующие с Я, имеют вид diag(ab a2, a3, x, a4, a5, a6), где xeglB, F),
и что такая матрица представляет дифференцирование алгебры (?, только
если она лежит в Н. Следовательно, Н является своим централизато-
централизатором в L. Поскольку Z(M) = 0, мы получаем также, что Z(L) = 0.
Чтобы доказать, что L — простая алгебра типа G2, нам нужно найти
и другие дифференцирования алгебры (? (отвечающие коротким корням),
а затем, используя их, показать, что L действует на ?0 неприводимо. На
самом деле мы выбрали базис в (?0 таким образом, что матричное предста-
представление ф алгебры L совпадает с рассмотренным ранее (в о G, F)). Тот факт,

§ 19. Простые алгебры 133
что прежняя алгебра L состоит из образов дифференцирований алгебры ?,
допускает прямую (но утомительную!) проверку. Альтернативный подход
состоит в том, чтобы определить в терминах самой алгебры ? некоторые
дифференцирования (называемые «внутренними»), а затем показать, что
они отвечают матрицам, рассмотренным ранее. Это включено в упражне-
упражнения (см. упражнение 6).
Упражнения
1. Докажите, что если L — алгебра Ли, причем алгебра [L, L] полупро-
полупроста, то L редуктивна.
2. Проведите в подробностях рассуждение, намеченное в п. 19.2.
3. Проверьте утверждения, сделанные относительно (?0 в п. 19.3.
4. Проверьте, что отображение Ь(х), xeslC, F), которое определено в
п. 19.3, является дифференцированием алгебры (?.
5. Проверьте, что алгебра Кэли удовлетворяет «законам альтернатив-
альтернативности»: х2у = х(ху), ух2 = (ух)х. Докажите, что в любой алгебре 21, удовле-
удовлетворяющей законам альтернативности, эндоморфизм следующего вида в
действительности является дифференцированием: [ка, Х&] + [Ха, р&] + [ра, Рь]
(a, b G 21, Ха — левое умножение на а в 21, рь —правое умножение на b в 21,
скобки обозначают обычный коммутатор эндоморфизмов).
6. Детально проведите рассуждение, завершающее п. 19.3.
Замечания
Тите построил пять исключительных алгебр единым способом; детали и
ссылки см. в книгах Jacobson [2], Schafer [1]1. В характеристике р аналоги
простых алгебр Ли, рассмотренных здесь, изучались в книге Seligman [1],
см. Kaplansky [I], Pollack [1]. Наше построение алгебры G2 как подалгебры
в оG, F) восходит к Seminaire «Sophus Lie» [1], Expose 14. (Однако там
имеются ошибки в формулах.)
м. также Винберг, Горбацевич, Онищик [1]*. (Прим. ред.)

Глава VI
Теория представлений
В этой главе L обозначает полупростую алгебру Ли (над алгебраически
замкнутым полем F характеристики 0), Я—фиксированную картановскую
подалгебру в L, Ф — систему корней, А = {<хь ..., ос*} — базис вФ, f —
группу Вейля. Наша главная цель — изучение конечномерных L-модулей
(хотя встретятся и некоторые бесконечномерные). Ввиду теоремы Вейля о
полной приводимости ведущую роль в конечномерном случае играют не-
неприводимые модули.
§20. Веса и старшие векторы
20.1. Весовые подпространства. В случае конечномерного L-моду-
ля V из теоремы 6.4 следует, что Я действует на V диагонально: V = Ц 1/х,
где X пробегает Я*, а 1/х = {v Е V'. h-v = \(h)v при всех h Е Я}. Подпро-
Подпространство 1/х корректно определено и для произвольного пространства V;
если Vx/0, мы называем его весовым подпространством, а X — весом
пространства V (более точно, весом подалгебры Н на V).
Примеры.
1. Превратив саму алгебру L в L-модуль посредством присоединенно-
присоединенного представления, мы видим, что весами являются корни а Е Ф (с весовым
подпространством La размерности 1), а также 0 (с весовым подпростран-
подпространством Я размерности ?).
2. Если L=siB, F), то линейная функция X на Я полностью определя-
определяется своим значением \(h) на базисном векторе h; так что фактически мы
уже использовали веса в § 7. (Рекомендуем читателю снова просмотреть
этот параграф.)
Если dim l/=oo, то нет никакой уверенности, что V окажется суммой
своих весовых подпространств (упражнение 2). Тем не менее, сумма V
всех весовых подпространств 1/х — всегда прямая: по существу это до-
доказывается так же, как линейная независимость собственных векторов
линейного преобразования, отвечающих различным собственным значе-
значениям (упражнение 1). При этом V является L-подмодулем в V, ввиду
того что La (a E Ф) переставляет весовые подпространства. А именно, если
х Е La, v Е V-к, h Е Я, то h • х • v = х • h • v + [h, x] • v = (k(h) + a(h))x • v, т. е. La
отображает Vx в l/x+a. В итоге установлена

§20. Веса и старшие векторы 135
Лемма. Пусть V—произвольный L-модуль. Тогда
(a) La отображает Vx в 1/х+а (\еН*, аЕФ);
(b) сумма V = Y1 ^х является прямой, и V является L-подмоду-
хе#*
лем в V;
(c) если dim V < oo, mo l/= 1Л
20.2. Стандартные циклические модули. По определению старший
вектор (веса X) в L-модуле 1/— это ненулевой вектор v+ Е 14, который ан-
аннулируется всеми подпространствами La (для a >>- 0, или, что равносильно,
для аЕ Д). Разумеется, это понятие зависит от выбора базиса Д. Напри-
Например, если алгебра L проста, а [3 — старший корень в Ф относительно Д
(лемма 10.4А), то любой ненулевой элемент в Lp является старшим век-
вектором присоединенного представления алгебры L; очевидно, что других
старших векторов в этом случае нет. Если dim V = oo, то старший вектор не
обязательно существует. Напротив, если dim 1/ < оо, то борелевская
подалгебра (см. п. 16.3) В(Д) = Я + Ц La имеет общий собственный
а>-0
вектор (который аннулируется всеми подпространствами La, a >>- 0) благо-
благодаря теореме Ли, и он является старшим вектором в указанном смысле.
При изучении конечномерных неприводимых L-модулей полезно рас-
рассмотреть вначале более широкий класс L-модулей, порожденных старшим
вектором. Если V = il(L)-v+ для старшего вектора v+ (веса X), то бу-
будем кратко говорить, что модуль V является стандартным циклическим
(веса X) и называть X старшим весом для V. Строение такого модуля
легко описать. Фиксируем ненулевой элемент xaELa (<хУ0) и возьмем
(единственный) элемент //aEL_a, для которого [xa, ya] = ha. Нам вновь
потребуется частичное упорядочение, введенное в § 10 для евклидова про-
пространства Е, но вполне применимое и для Я* (X У \х, если и только если
X — [I является суммой положительных корней (X, [ЛЕЯ*)). Утверждение (Ь)
следующей теоремы оправдывает название «старший вес» для X.
Теорема. Пусть V — стандартный циклический L-модуль со
старшим вектором v+ e V\. Пусть при этом Ф+ = {рь ..., f3m}. Тогда
(a) V порождается векторами yl^...yl^m-v+ (/7eZ+); как след-
следствие, V является прямой суммой своих весовых подпространств;
?
(b) веса в V имеют вид \х = \ — Y^ &№ (ki ?^+), т- е. удовлетворя-
ют условию \l~<\;
(c) dim 1/х = 1, и если \х Е Н*, то dim V^ < oo;
(d) каждый подмодуль в V является прямой суммой своих весовых
подпространств;
(e) L-модуль V неразложим, имеет единственный максимальный
(собственный) подмодуль и соответственно единственный непри-
неприводимый фактормодуль;

136 Глава VI. Теория представлений
(f) каждый ненулевой гомоморфный образ модуля V также явля-
является стандартным циклическим модулем веса X.
Доказательство. Мы имеем: L = N~ -\-В, где N~ = Ц La и В = В(А).
а-<0
Из теоремы ПБВ (следствия 17.3С и 17.3D) вытекает, что il(L) • v+ =
= il(/V~)ilE) • и+ = H(/V~) • Fu+ (поскольку и+ — общий собственный век-
вектор для В). Алгебра ii(N~) имеет базис, состоящий из мономов yl^...yl^m,
откуда следует утверждение (а).
Вектор
& — $m'v+ (*)
имеет вес X — J2 */Р/ (лемма 20.1 (а)). Выразив каждый корень C7- как неот-
/
рицательную Z-линейную комбинацию простых корней (как в § 10), полу-
получаем утверждение (Ь).
Очевидно, что имеется лишь конечное число векторов вида (*), для ко-
i
торых Y^ i$j равняется заданному вектору Y1 &/<*/. Ввиду утверждения (а)
/=i
они порождают весовое подпространство V^, где \х = \ — ^ ^щ. При этом
единственный вектор вида (*) с весом \i = \ — это сам v+, откуда следует
утверждение (с).
Чтобы доказать утверждение (d), возьмем подмодуль W в V и запи-
запишем w G W как сумму векторов vt G Ущ, принадлежащих различным весам.
Нужно показать, что все векторы vt лежат bIF.B противном случае возь-
возьмем соответствующий вектор w = V\ +... + vn с минимальным значением п,
п > 1; тогда векторы vt не принадлежат подмодулю W. Найдем элемент
hGЯ, для которого \L\(h) ф^(й). Тогда вектор h-w = J2 \^i(h)vi лежит в W,
так же как n(h-[Li(h)-l)-w = (|л2(/г) - ^i (h))v2 +... + (ц„(Л) - ^i (h))vn ф 0.
Из выбора элемента w вытекает, что v2 G W, что невозможно.
Мы заключаем из утверждений (с) и (d), что каждый собственный под-
подмодуль в V лежит в сумме весовых подпространств, отличных от 1/х, так
что сумма W всех таких подмодулей по-прежнему не совпадает с V. Как
следствие, V имеет единственный максимальный подмодуль и единствен-
единственный неприводимый фактормодуль. Далее, V не может быть прямой суммой
двух собственных подмодулей, так как оба они лежат в W. Этим доказано
утверждение (е).
Наконец, утверждение (f) очевидно. ?
Следствие. Пусть L-модулъ V такое, как в условии теоремы, и
при этом неприводим. Тогда v+ — единственный старший вектор
в V с точностью до ненулевого скалярного множителя.
Доказательство. Если w+ — другой старший вектор, то il(L) • w+ =
= V (поскольку модуль V неприводим). Следовательно, теорема одинаково
применима ико+,икш+. Если вектор w+ имеет вес Х;, то V -< \ и X ^< V

§20. Веса и старшие векторы 137
(ввиду утверждения (Ь)), а значит Х = Х'. Но тогда (согласно утвержде-
утверждению (с)) вектор w+ пропорционален v+. ?
20.3. Теоремы существования и единственности. Мы хотим пока-
показать, что для каждого X е Я* существует единственный (с точностью до
изоморфизма) неприводимый стандартный циклический L-модуль старше-
старшего веса X, который может быть и бесконечномерным. Доказать един-
единственность нетрудно (рассуждение аналогично доказательству теоре-
теоремы 14.2, но менее сложно).
Теорема А. Пусть V, W— стандартные циклические модули
старшего веса X. Если V и W неприводимы, то они изоморфны.
Доказательство. Образуем L-модуль X=V®W. Если и+, w+ —
старшие векторы веса XbV,W соответственно, то пусть х+ = (v+, w+) eX,
так что х+ — старший вектор веса X. Порожденный им (стандартный ци-
циклический) L-подмодуль в X обозначим Y, и пусть р: Y —>У, р': Y -^W —
отображения, индуцированные проектированием модуля X на первое и вто-
второе слагаемое. Очевидно, что р, р' являются гомоморфизмами L-модулей;
поскольку р(х+) = и+, р'{х+) = w+, ясно также, что Im р = V, Im p' = W.
Согласно теореме 20.2(е), V и W изоморфны как неприводимые фактор-
модули стандартного циклического модуля Y. ?
Теперь рассмотрим проблему существования. Оставляя в стороне
все связанное с неприводимостью, приходим к следующему вопросу: как
вообще можно построить стандартный циклический модуль? Усматривают-
Усматриваются два пути к его решению, которые приводят к одинаковым результатам.
Во-первых, рассмотрим построение индуцированного модуля
(аналогичное приемам, применяемым в теории представлений конечных
групп). Оно основывается на наблюдении, что стандартный циклический
модуль, рассмотренный как 5-модуль (как и выше, В = В(А)), содержит
одномерный подмодуль, натянутый на данный старший вектор. Соответ-
Соответственно начнем с одномерного векторного подпространства Лх с бази-
базисом v+ и определим действие алгебры В на Dx по правилу [h+^2 хЛ • v+ =
= h • v+ =\(h)v+ для фиксированного ХеЯ*. Читатель может легко убе-
убедиться, что эта операция превращает /)х в 5-модуль. Разумеется, /)х точно
так же является и И(В) -подмодулем, так что можно образовать тензорное
произведение Z(X) =il(L) ®щВ) Аи которое становится модулем над алге-
алгеброй il(L) при ее естественном (левом) действии.
Мы утверждаем, что модуль Z(X) — стандартный циклический ве-
веса X. С одной стороны, ясно, что 1 ®v+ порождает Z(X). С другой стороны,
этот вектор ненулевой, поскольку il(L) является свободным И(В) -модулем
(следствие 17.3D) с базисом, состоящим из 1 и всевозможных мономов
г/рг.. г/р^. Следовательно, 1 ®и+ — старший вектор веса X. Для краткости
обозначим его v+.

138 Глава VI. Теория представлений
Эта конструкция делает также очевидным, что если N~ = Ц La, то Z(X)
a-<0
как ii(N~)-модуль изоморфен ii(N~). Точнее, ii(L) =ii(N~) ®il(B) (теоре-
(теорема ПБВ), так что Z(X) =ii(N~) ® F (как левые ii(N~)-модули).
Можно также задать Z(X) образующими и соотношениями. Для это-
этого возьмем, как и выше, ненулевые элементы ха Е La (a)-0), и пусть
/(X) — левый идеал в il(L), порожденный всеми ха (а >>- 0) вместе со всеми
ha — Х(йа) -1 (аЕ Ф). Заметим, что эти образующие идеала /(X) аннулируют
старший вектор v+ модуля Z(X). Значит, это верно и для всего /(X), и суще-
существует канонический гомоморфизм левых 1L(L) -модулей 1L(L)//(X) —»Z(X),
который отображает смежный класс единицы в старший вектор v+. Снова
используя ПБВ-базис в il(L), мы видим, что это отображение переводит
смежные классы алгебры И(В) в одномерный модуль Fu+, откуда следует,
что оно взаимно однозначно. Иначе говоря, il(L) -модули Z(X) и Я(Х)//(Х)
изоморфны.
Теорема В. Пусть ХеЯ*. Тогда существует неприводимый стан-
стандартный циклический модуль V(k) веса X.
Доказательство. Модуль Z(X) (построенный выше) является
стандартным циклическим веса X и имеет единственный максимальный
подмодуль Y(k) (теорема 20.2(d)). Следовательно, модуль V(k) =Z(k)/Y(k)
является неприводимым и стандартным циклическим веса X (теоре-
(теорема 20.2(е)). П
Остаются две главные проблемы: A) определить, какие из моду-
модулей 1/(Х) конечномерны; B) для таких 1/(Х) точно определить, какие веса \х
в них встречаются и с какими кратностями. Следующие параграфы посвя-
посвящены решению этих проблем.
Упражнения
1. Докажите, что если V—произвольный L-модуль, то сумма его ве-
весовых подпространств — прямая.
2. (а) Пусть неприводимый L-модуль V имеет хотя бы одно (ненулевое)
весовое подпространство. Докажите, что V является прямой суммой своих
весовых подпространств.
(b) Пусть V—неприводимый L-модуль. Докажите, что V имеет (нену-
(ненулевое) весовое подпространство, если и только если для всех veV под-
подмодуль il(#) • v конечномерен, а также если и только если для всех veV
конечномерен подмодуль 21 -v, где 21—подалгебра с единицей, порожден-
порожденная в Д(Я) произвольным элементом h Е Н.
(c) Пусть L=slB, F) со стандартным базисом (х, у, К). Покажите, что
элемент 1 — х необратим в алгебре lt(L) и потому лежит в каком-то мак-
максимальном левом идеале /. Положим V = il(L)/l, тогда V является непри-
неприводимым L-модулем. Докажите, что образы всех элементов 1, h, /г2, ...

§20. Веса и старшие векторы 139
линейно независимы в V (так что dim V = oo). Для этого используйте со-
соотношение
Г 0 (mod
;— \)rhs = <
_y,s= .0 (mod/), r>s,
(х i)n -i B),rM (mod/)> r = S-
Получите как следствие, что V не имеет (ненулевых) весовых подпро-
подпространств.
3. Опишите веса и старшие векторы естественных представлений ли-
линейных алгебр Ли типов А^ — D^, рассмотренных в п. 1.2.
4. Пусть L=siB, F), ХеЯ*. Докажите, что модуль Z(X), построенный
как в упражнении 7.7, для Х = Х(й) изоморфен модулю Z(X) из п. 20.3.
Докажите, что dim 1/(Х) < оо, если и только если Х(й) — неотрицательное
целое число.
5. Для [jl G Я* пусть <^([л) — количество различных множеств неотри-
неотрицательных целых чисел ka (ос^О), для которых \i= Y^ kaa. Найдя базис
а>-0
для Z(X)ll, докажите, что dim Z(X)ll = «^(X — [i).
6. Докажите, что левый идеал /(X), введенный в п. 20.3, порождается
уже элементами хл, ha — Х(йа) • 1 с простыми а.
7. Не используя построение индуцированного модуля в п. 20.3, дока-
докажите, что /(X) nil(N~) =0, откуда следует, что /(X) — собственный иде-
идеал в il(L). [Покажите, что аналогичный левый идеал /;(Х) — собственный
в И(В) и при этом /(X) =il(N-)r(k) по теореме ПБВ.]
8. Докажите, что для любого натурального числа d количество различ-
различных неприводимых L-модулей V(k) размерности не выше чем d конечно.
Отсюда получите, что число неизоморфных L-модулей размерности не вы-
выше чем d конечно. [Если dim V(k) < оо, рассмотрите V(k) как 5а-модуль
для каждого а >>- 0; заметьте, что Х(йа) G Z и что V(k) содержит 5а-подмо-
5а-подмодуль размерности Х(йа) + 1.]
9. Проверьте следующее описание единственного максимального под-
подмодуля У(Х) в Z(X) (см. п. 20.3): если ugZ(X)ijl, \-yi=J2 caa (caGZ+),
a>-0
то заметим, что вектор YI х°а 'v имеет вес X (положительные корни рас-
а>-0
положены в произвольном фиксированном порядке) и потому отличается
от старшего вектора v+ скалярным множителем. Докажите, что если этот
множитель равен 0 при любом возможном выборе чисел са (см. упраж-
упражнение 5), то veY(\). Обратно, докажите, что У(Х) является линейной
оболочкой всех таких весовых векторов v для весов [jl^X.
10. Старший вектор w+ веса \х в Z(X) индуцирует гомоморфизм L-мо-
L-модулей ср: Z(\i) ^Z(X), образ которого им порождается. Докажите, что го-
гомоморфизм ф инъективен.

140 Глава VI. Теория представлений
11. Пусть V—произвольный конечномерный L-модуль, ХеЯ*. По-
Постройте в L-модуле W = Zi(k) 0 V цепь подмодулей W = W{ D W2 D ...
... D Wn+l = 0 (n = dim V), в которой модуль Wi/Wi+l изоморфен Z(X + Xf),
где Хь ..., Xrt— веса модуля V в подходящем порядке (взятые с кратно-
стями).
Замечания
Вопрос существования весовых подпространств в бесконечномерных
модулях рассмотрен в заметке Lemire [1]; оттуда взято упражнение 2. Мо-
Модули Z(X) подробно исследуются в работе Verma [1] и позже в работах
Бернштейна, И.Гельфанда и С.Гельфанда [1], [2], [3]. Верма, в частности,
показал, что пространство L-гомоморфизмов Z([i) —> Z(X) имеет размер-
размерность над F либо 0, либо 1, и получил достаточное условие для второго
случая. Затем указанными выше тремя авторами была доказана (предпо-
(предполагавшаяся) необходимость этого условия. См. Dixmier [1], гл.7.
§21. Конечномерные модули
21.1. Необходимое условие конечномерности. Пусть V—конечно-
V—конечномерный неприводимый L-модуль. Тогда V имеет хотя бы один старший
вектор (однозначно определенного веса X), который порождает весь мо-
модуль V (ввиду неприводимости). Следовательно, модуль V изоморфен 1/(Х)
(теоремы А и В из п. 20.3).
Если oil—простой корень, то пусть St (=Sa.) — соответствующий
экземпляр алгебры 5lB, F) в L. Тогда V является также (конечномер-
(конечномерным) модулем над St, а старший вектор относительно L будет старшим
и относительно St. В частности, имеется старший вектор веса X; его вес
относительно картановской подалгебры Ht С St полностью определяется
скаляром \(hi), hi = har Но тогда из теоремы 7.2 следует, что Х(/г,) —
неотрицательное целое число. Доказана
Теорема. Если V— конечномерный неприводимый L-модуль со
старшим весом X, то Х(/гг) — неотрицательное целое число (l^i^i).
Из п. 7.2 вытекает и более общий факт: если V — любой конечномер-
конечномерный L-модуль, [i—его вес, то \i(hi) = (\i, а() еЪ при \^i^?. Поэтому
веса конечномерного модуля являются и «весами» в смысле абстрактной
теории, развитой в § 13, так что далее мы можем пользоваться всеми ее
результатами. Заметим, что на языке § 13 старший вес X в конечномерном
модуле V(k) называется доминантным. Чтобы избежать недоразуме-
недоразумений, мы будем и далее называть весами все элементы из Я*, а линейная
функция X, для которой все Х(/г,) (а тогда и все Х(йа)) целые, будет назы-
называться целочисленной. Если все Х(/гг-) — неотрицательные целые числа, то
назовем функцию X доминантной целочисленной. Как следствие, мно-

§21. Конечномерные модула 141
жество Л всех целочисленных линейных функций является решеткой в Я*
(или, что равносильно, в вещественном евклидовом пространстве, поро-
порожденном корнями) и содержит решетку корней. Как и в § 13, множество
доминантных целочисленных линейных функций обозначается Л+.
Пригодится и еще одно обозначение: если V— некоторый L-mo-
дуль, то ПA/) будет обозначать множество всех его весов. В случае
V = V(k) будем писать П(Х).
21.2. Достаточное условие конечномерности.
Теорема. Если ХеЯ* — доминантный целочисленный вес, то не-
неприводимый L-модуль V= V(\) конечномерен и группа W действует
на множестве его весов П(Х), причем dim V^dim VO[JL при oG#.
Следствие. Отображение X\-^V(k) индуцирует взаимно одно-
однозначное соответствие между Л+ и классами изоморфных конечно-
конечномерных неприводимых L-модулей.
Доказательство следствия. Вытекает из предыдущей теоре-
теоремы ввиду теоремы 21.1 и теорем А, В из п. 20.3. ?
Доказательство теоремы. Будет удобно начать с некоторых
сведений о коммутаторах в 1L(L). Фиксируем в L стандартные образующие
{*i, Уг}-
Лемма. В il(L) выполняются следующие тождества при k^O,
1 </,/<?
(с) [xb*/f+1]=-(?+!)</?(?• 1-Л,)-
Доказательство. Тождество (а) вытекает из того, что <х;- — ос,- при
1ф'1 не является корнем (лемма 10.1).
Тождество (Ь) докажем индукцией по k. В случае k = 0 имеем [А;-, yi] =
= —0Li(hj)yi (см. п. 18.1). В общем случае левая часть равна
= -ка^у'у^у^-а^у^ = -{k + l)ai(A7-)^+1
с учетом индуктивного предположения для предпоследнего шага.
Докажем тождество (с). Мы имеем [xh yl?+{]=xiyl*+{ —y^+{Xi=[xh У]\у\-\-
+yi[Xi, yf] = hiyf-\-yi[Xi, y\\ Теперь применим индукцию по k и формулу (Ь)
(заменив k + 1 на k). D
Доказательство теоремы разобьем на шаги. Его идея состоит в том,
чтобы показать, что группа W действует транзитивно на множестве весов
модуля V, и потому это множество конечно (см. доказательство теоре-
теоремы 18.3). Для удобства обозначим представление алгебры L, соответству-
соответствующее модулю V, через ср: L^gl(V). Фиксируем старший вектор v+ в V
(веса X) и множество mi = 'k(hi), I ^i^?. По предположению mt — неот-
неотрицательные целые числа.

142 Глава VI. Теория представлений
1. Справедливо равенство y™i+l • v+ = 0. Пусть w = y™i+l • ^+. Согласно
утверждению (а) из леммы, xrw = 0 при 1ф]. С другой стороны, ввиду
утверждений (Ь) и (с) мы имеем
едт'+| • v+=fil+lxl ¦ v+ - (т, + 1)г/Г' • (m>v+ - m,v+) = 0,
т.е. XfW = 0. При w^Ob V нашелся бы старший вектор веса X —(т; + 1)а;^
т^Х, вопреки следствию 20.2.
2. При \^i^? модуль V содержит ненулевой конечномерный
Si-модуль. Подпространство, натянутое на и+, уг • и+, у\ • и+, ..., */™' • и+,
инвариантно относительно у{ согласно шагу 1. Оно также инвариантно
относительно ht, поскольку каждый из этих векторов принадлежит некото-
некоторому весовому подпространству; поэтому оно инвариантно и относительно
xt, что вытекает из утверждения (с) (и индукции по индексу k).
3. Модуль V является суммой конечномерных S-подмодулей.
Пусть V обозначает сумму всех таких подмодулей в V. Тогда V ф 0
согласно шагу 2. С другой стороны, пусть W—любой конечномерный
Si -подмодуль в V. Линейная оболочка всех подпространств xaW (аеФ)
заведомо конечномерна и при этом St-инвариантна. Поэтому подпростран-
подпространство V инвариантно относительно L, и V = V ввиду неприводимости V.
4. При \^i^? отображения ф(^) и ф(^) являются локально нилъ-
потентными эндоморфизмами модуля V (см. п. 18.3). Действительно,
если veV, то ввиду шага 3 v лежит в конечной сумме конечномерных
S[-подмодулей (следовательно, в конечномерном 5/-подмодуле). На таком
модуле (f(xt) и ф(г/;) нильпотентны (см. п. 6.4).
5. Отображение S; = exp ф(х;) exp (f(—t/i) exp Ф(х;) корректно опре-
определено и является автоморфизмом модуля V. Это непосредственно
следует из шага 4 (снова см. п. 18.3!)
6. Если \i— некоторый вес в V, то s^V^) = VGi[l (о,- — отражение
относительно ос,-). Подпространство V^ лежит в конечномерном St-под-
St-подмодуле V (см. шаг 3), a Si\Vi совпадает с автоморфизмом т, построенным
в п. 7.2; наше утверждение следует теперь из сказанного в п. 7.2.
7. Множество весов П(Х) инвариантно относительно W, и
dim V^dim VO[L ((леП(Х), oeW). Так как элементы оь ..., о? поро-
порождают W (теорема 10.3(d)), это утверждение вытекает из шага 6.
8. Множество П(Х) конечно. Из леммы 13.2В очевидна конечность
множества функций ^-эквивалентных всем доминантным целочисленным
линейным функциям [jl^<X. Но это множество включает П(Х), что видно из
теоремы 20.2 в сочетании с шагом 7.
9. Размерность модуля V конечна. Мы знаем из теоремы 20.2, что
dim Vp конечно для всех [леП(Х). Вместе с шагом 8 это доказывает наше
утверждение. ?

§21. Конечномерные модула
143
21.3. Серии и диаграммы весов. Мы остаемся в конечномерной си-
ситуации, V=V(k), ХеЛ+. Пусть [леП(Х), аеФ. Лемма 20.1 показывает, что
подпространство W, порожденное в V всеми весовыми подпространства-
подпространствами V^+i* (i€%), инвариантно относительно Sa. Из п.7.2 и теоремы Вейля
о полной приводимости вытекает, что веса в П(Х) вида \i + ia образуют
связную строку (си-серию, порожденную весом \х, что обобщает понятие
а-серии, порожденной корнем [3 в присоединенном представлении). При
этом отражение оа переворачивает эту строку. Если строка состоит из
[i — га, ..., [i, ..., [i + qa, то r — q = (\i, а). Отсюда ввиду п. 13.4 вытекает
Предложение. Если \еЛ+, то множество П(Х) насыщенно в смы-
смысле п. 13.4. Как следствие, необходимое и достаточное условие, при
котором [ieA принадлежит множеству
П(Х), заключается в том, чтобы вес \х и все
W-эквивалентные ему веса были -< X.
При rank Ф ^ 2 все это легко увидеть, на-
нарисовав диаграмму весов. Например, пусть L =
= 5lC, F) (тип А2) с фундаментальными доми-
доминантными целочисленными линейными функция-
функциями (см. п. 13.2) Хь Х2. На рис.6 показана диаграм-
диаграмма весов для 1^(Х), X = 4Xi +3X2. Точками обозна-
обозначены веса. Здесь показаны и кратности, которые
возрастают от 1 до 4 (кратность dim l/x возра-
возрастает на 1 при переходе от одной «оболочки» к следующей внутренней,
пока оболочки не становятся треугольниками, и тогда кратность стабили-
стабилизируется) . Простое поведение кратностей — специфическая черта типа А2
(Antoine, Speiser [1]). Для других систем корней ситуация может оказаться
гораздо сложнее; подробное обсуждение кратностей см. в §22 ниже.
21.4. Образующие и соотношения для F(X). Переход от моду-
модуля Z(X) к его гомоморфному образу V(k) можно описать более точно в
случае, когда X — доминантная целочисленная функция. Далее в тексте это
не потребуется, но представляет самостоятельный интерес. Фактически мы
воспроизведем часть доказательства теоремы 21.2.
Вспомним, что согласно п. 20.3 модуль Z(X) изоморфен 1L(L)//(X), где
/(X) — левый идеал в 1L(L), порожденный всеми элементами ха (<х>^0) и
всеми ha — Х(йа) -1 (аеФ). Эквивалентно, /(X) является аннулятором стар-
старшего вектора в Z(X). Фиксируем теперь доминантную целочисленную ли-
линейную функцию X, и пусть /(X) — левый идеал в 1L(L), который аннулирует
старший вектор в 1^(Х). Включение /(Х)с/(Х) индуцирует каноническое
отображение Z(X) =1L(L)//(X) —> 1/(Х) =1L(L)//(X). При доказательстве те-
теоремы 21.2 мы видели, что у™1+1 ?/(Х), 1 ^ / ^?, где mt = (X, а,).
Теорема. Пусть \еА+, т, = (Х, ос,-) A </<?). Тогда идеал I(к) вместе
Рис. 6
со всеми y
™i+l
порождает /(X).

144 Глава VI. Теория представлений
Доказательство. Допустим, что мы умеем доказывать конеч-
конечномерность модуля V'(\) =il(L)///(X), где /'(X) — левый идеал, натя-
натянутый на /(X) и все элементы y™i+l. Если модуль 1^(Х) ненулевой, то он
стандартный циклический и потому неприводимый (теорема 20.2(d) с уче-
учетом теоремы Вейля о полной приводимости). Но из включения /'(X) С/(Х)
вытекает, что 1/(Х) является гомоморфным образом для 1^'(Х), а значит
1/'(Х) = 1^(Х). Как следствие, /'(X) =/(Х), что и требовалось.
В свою очередь, конечномерность модуля 1^(Х) будет доказана, ес-
если мы сумеем представить его как сумму конечномерных St -подмодулей
A < / < ?), поскольку тогда можно применить доказательство теоремы 21.2.
Для этого достаточно показать, что каждый элемент у{ локаль-
локально нилъпотентен на У(к) (для xt это, разумеется, очевидно, поскольку
условие [I + koii -< X не может выполняться при всех k ^ 0). По предположе-
предположению смежный класс единицы в 1^(Х) аннулируется подходящей степенью
элемента у( (а именно, тг + 1). Из теоремы 20.2 мы знаем, что 1^'(Х) по-
порождается смежными классами всех уч...ун A ^ij^?). Из последующей
леммы вытекает, что если элемент у\ аннулирует (т.е. отображает в /;(Х))
смежный класс такого монома, то //f+3 аннулирует смежный класс более
длинного монома yiQyi{...yir После этого локальная нильпотентность эле-
элемента у( доказывается индукцией по длине мономов, начиная с 1.
Лемма. Пусть 21— ассоциативная алгебра над F, и пусть у, ze^i.
Тогда \uk, z]= ( л )\и, z]uk~{ + ( _ )\и, \и, z]]uk~2 + ...+\и, \и, ..., \и, z]... 11.
L%y ' J VI/ \ V i
Доказательство проводится индукцией по k. В случае & = 1 име-
имеем тождество [у, z] = [y, z]. Индуктивный переход не составляет труда и
предоставляется читателю. ?
Чтобы применить эту лемму, положим 2l = lt(L), а в качестве у, z возь-
возьмем корневые векторы, принадлежащие двум отрицательным корням. Мы
знаем, что (ad yY(z) = 0, поскольку длина серий корней не превосходит 4,
и полученное в лемме тождество сводится к соотношению
[yk, z] = k[y, z]yk~l + (кЛу, [У, z]]yk~2+ (кЛ[у, [у, [у, z]]]yk~\ П
Упражнения
1. Читатель может проверить, что до сих пор мы использовали лишь
транзитивность группы W на базисах системы Ф, но не простую
транзитивность (теорема 10.3(е)). С помощью теории представлений
проведите другое доказательство, а именно: существует конечномерный
неприводимый модуль 1^(Х), для которого все величины (X, а) (осеД)
различны и положительны. Если oG# сохраняет Д, то оХ = X, а значит
о=1.

§21. Конечномерные модула 145
2. Нарисуйте диаграмму весов для случая В2, X = Xi + Х2 (в обозначениях
гл.III).
3. Пусть ХеЛ+. Докажите, что 0 является весом модуля 1^(Х), если и
только если X является суммой корней.
4. Вернемся к модулю Z(X), построенному в п. 20.3. С помощью лем-
леммы 21.2 найдите некоторые его старшие векторы при ХеЛ: покажите, что
смежный класс элемента у™1+х, mi = (X, а,), является старшим вектором,
если значение т( неотрицательно (см. упражнение 7.7.)
5. Пусть V — точный конечномерный L-модуль, A(V) — подгруппа
в Л, порожденная его весами. Тогда A(V) DAr. Покажите, что так получа-
получается любая подгруппа в Л, включающая Лг.
6. Пусть V= 1^(X), ХеЛ+. Докажите, что V* как L-модуль изоморфен
V(—oX), где oG# — единственный элемент в W, отображающий А в —А
(упражнение 10.9, а также упражнение 13.5.)
7. Пусть V = 1/(X), W= V([l), где X, [леЛ+. Докажите, что n(V®W) =
= {v + v'; v G П(Х), v' G П([л)} и что dim(l/(g) W)v+V/ равняется
Y^ dim 14-dim Гп/.
В частности, X + \i имеет кратность 1, так что V(k + \i) входит ровно один
раз как прямое слагаемое в V ®W.
8. Пусть Хь ..., Х^ — фундаментальные доминантные веса для системы
корней Ф в L (см. п. 13.1). Покажите, как построить 1/(Х) для произвольно-
произвольного X G Л+ в виде прямого слагаемого в подходящем тензорном произведении
модулей V^Xi), ..., VQ^i) (допускаются повторения).
9. Докажите лемму 21.4 и выведите из нее лемму 21.2.
10. Пусть L = sl(?+\, F), причем Н = д(?-\- \, F)nL — картановская
подалгебра. Пусть \хи ..., ^+1 — координатные функции в Н относительно
стандартного базиса в gl(?+\, F). Тогда J^ ^ = 0 и \lu ..., \l? образу-
образуют базис в Я*, а элементы {<Х; = ^ — ^+i; I ^i^?} составляют базис А
для системы корней Ф. Проверьте, что W действует на Я*, переставляя
элементы ]хг\ в частности, отражение относительно а/ переставляет jjl^-
с [jl/+1 и оставляет на месте остальные \ij. Покажите также, что фунда-
фундаментальные доминантные веса относительно А имеют вид Х^ = \i\ +... + \ik
(\^k^?).
11. Пусть V=F?+{ L = si(V). Возьмем картановскую подалгебру Я и
базис А = (ось • • •, oil) системы Ф, как в упражнении 10. Цель этого упраж-
упражнения— построить неприводимые L-модули Vk (\^k^?) со старшим ве-
весом \k.
(a) При k = 1 модуль Vi = V неприводим со старшим весом Хь
(b) В тензорном произведении k ^ 2 экземпляров модуля V пусть Vk —
подпространство кососимметрических тензоров: если (иь ..., v?+{) —

146 Глава VI. Теория представлений
канонический базис в к, то базис в Vk состоит из ( ] векторов
V к J
[vh, ...,vik]=^2 sn(n)vKih)®... 0vK{ik), (*)
где /i < i2 < ... < ik- Покажите, что вектор (*) имеет вес \Li{ +... + \iik.
(с) Докажите, что L оставляет подпространство Vk инвариантным и что
все веса \Li{ +... + \iik (i{ < i2 < ... < 4) различны и эквивалентны относи-
относительно W. Получите отсюда, что подпространство Vk неприводимо и имеет
старший вес Х^. (См. упражнение 13.13.)
Замечания
Теорема 21.4 более или менее общеизвестна; наше изложение осно-
основано на добавлении к работе Verma [1]; см. также Harish-Chandra [1];
диаграммы весов для А2 появились в работе Antouine, Speiser [1]; см. так-
также Belinfante, Kolman [1] и Samelson [1].
§22. Формула кратностей
В этом параграфе все модули предполагаются конечномерными.
Пусть \l g Я* — целочисленная линейная функция. Положим ее крат-
кратность в V(k), ХеЛ+, равной Ш\{\к) =dim 1^(Х)^ (=0, если \х не является
весом для V(k)). При фиксированном X пишем просто т(\х). Наша цель —
вывести рекуррентную формулу Фрейденталя для тх([л), вычислив след
элемента Казимира на V^X)^; поскольку такой элемент действует на V(k)
как ненулевой скаляр, мы можем тогда восстановить dim V^X)^.
22.1. Универсальный элемент Казимира. Вспомним введенное в
п. 6.2 понятие элемента Казимира сф представления алгебры L, которое
использовалось в доказательстве теоремы Вейля о полной приводимости.
Имея теперь в распоряжении il(L), мы можем осуществить «универсаль-
«универсальную» конструкцию такого рода.
Рассмотрим присоединенное представление алгебры L, форма следа
которого есть форма Киллинга х. Из § 8 легко усмотреть естественный
способ построения двойственных базисов относительно х. Мы знаем, что
если а, C — произвольные линейные функции на Я, то подпространство La
ортогонально к Lp, исключая случай f$ = — а (предложение 8.1). Мы зна-
знаем также, что ограничение формы х на Я невырожденно. Поэтому можно
поступить следующим образом. Выберем в Я некоторый базис, например
стандартный базис (hi, ..., hi) (относительно А), и пусть (k\, ..., ki) —
двойственный к нему базис относительно ограничения х на Я. Теперь возь-
возьмем в каждом из La (a G Ф) ненулевой вектор ха, и пусть za — (единствен-
(единственный) элемент в L_a, для которого x(xa, za) = 1. Ввиду предыдущих заме-
замечаний базисы (hh 1 < / < ?; хЛ, а е Ф) и (kh 1 < / < ?; za, a G Ф) двойственны

§22. Формула кратностей 147
относительно k. Предостережение: не перепутайте ха, za с нашим обыч-
обычным выбором пары ха, уа, при котором [ха, ya] = ha. На самом деле здесь
[*а, z*\ = ta = [(<*, а)/2]Ла (предложение 8.3(с)).
По определению, элемент Казимира для ad — это эндоморфизм ал-
i
гебры L, имеющий вид cad = ^ ad ht ad kt + ^2 ad xa ad za. Такая кон-
струкция может подсказать читателю, что нужно рассмотреть элемент
?
cL = Y^ hiki+ Y^ xaza eil(L). Если отображение ad продолжено (един-
ственным образом) до гомоморфизма ассоциативных алгебр ad: il(L) —>
—> End L, то ad cL — не что иное, как cad. По этой причине мы назовем cL
универсальным элементом Казимира для L. Нетрудно видеть, что cL
не зависит от выбора базиса в L (упражнение 2). Рассуждение из п. 6.2
показывает, что для любого представления ср алгебры L оператор cp(cL)
коммутирует с cp(L) и, как следствие, в случае неприводимого ср действует
как скаляр.
Выясним, как оператор (f(cL) связан с элементом Казимира сф. Это
легко сделать, если алгебра L проста, так что с этого случая мы и начнем
(см. упражнение 6.6).
Лемма. Пусть L— простая алгебра Ли, f(x, у) и g(x, у) — невыро-
невырожденные симметрические ассоциативные билинейные формы на L.
Тогда найдется такой ненулевой скаляр а, что f(x, у) = ag(x, у) при
всех х, у е L.
Доказательство. Каждая из форм (будучи невырожденной) опре-
определяет естественный изоморфизм векторных пространств L и L* по фор-
формуле x\-^s, где s(y)=f(x, у) или g(x, у). Ассоциативность гарантирует,
что в действительности это изоморфизмы L-модулей (вспомним из п. 6.1,
как можно превратить L* в L-модуль). Как следствие, композиция одного
из этих отображений и обратного к другому дает изоморфизм L-модулей
к: L^L. Но L-модуль L неприводим (ввиду простоты), и ввиду леммы
Шура к является умножением на скаляр. Иначе говоря, существует такой
элемент 0 ф а Е F, что если f(x, у) = g(z, у) при всех у е L, то z = ах. ?
Пусть ср: L—»0[(V)— представление простой алгебры L. Случай
cp(L)=O тривиален. В противном случае представление ср точное (так
как Кег ср — идеал в L), поэтому форма f(x, у) =Тг(ср(х)ср(г/)) на L не-
вырожденна. При этом она ассоциативна, и те же свойства имеет форма
Киллинга, поэтому она в силу леммы равна а/, где а — ненулевой скаляр.
В частности, для данного базиса в L двойственный базис относительно х
получается умножением на \/а векторов базиса, двойственного относи-
относительно /. Это показывает, что y(cL) = (\/а)сц>. То есть, элемент Казимира
представления ср — ненулевое кратное образа универсального эле-
элемента Казимира.

148 Глава VI. Теория представлений
Пусть, наконец, алгебра L полупроста. Мы отметили в п. 6.2, что
различные простые идеалы в L ортогональны друг другу относитель-
относительно х. Отсюда ясно, что двойственные базисы в предыдущих рассуждениях
можно построить как объединения аналогичных двойственных базисов
в простых компонентах алгебры L (относительно их форм Киллинга,
являющихся ограничениями формы х). Следовательно, cL = cL{ +... -\-cLt
(L = L\ 0... 0 Lt), и если ср — представление алгебры L, то каждый эле-
элемент (f(cL.) пропорционален соответствующему ст (cp; = cp|L.), причем пред-
представление (fi при любом / либо тривиально, либо точно. Таким образом,
элемент (f(cL) снова очень тесно связан с сф, хотя и не обязательно про-
пропорционален ему. В частности, мы снова показали, что (f(cL) коммутирует
с ср(Х). Точное значение скаляра, определяющего (f(cL), для неприводимого
представления ср будет определено ниже.
22.2. Следы на весовых подпространствах. Фиксируем неприводи-
неприводимый L-модуль V= V(k), X G Л+, и пусть ср — соответствующее представле-
представление. Фиксируем также двойственные базисы в L относительно х, выбран-
выбранные в п. 22.1. В этом пункте нам предстоит вычислить для каждого веса \х
в V след эндоморфизма ф(ха)ф(,га) на подпространстве V^. Он определен
корректно, поскольку (f(za) отображает V^ в У^_а, а затем ф(ха) отобра-
отображает V[L_a снова в Vp.
Поскольку мы работаем только с одним корнем а, можно применить
теорию представлений алгебры Sa (§7). Однако потребуются некото-
некоторые модификации, поскольку мы работаем с нестандартным базисом
(ха, za, ta); он связан со стандартным базисом (ха, уа, ha) по формулам
za = [(a, а)/2]уа, ta = [(а, а)/2]Ла. Пусть (и0, vu •••, vm) — базис непри-
неприводимого Sa-модуля со старшим весом т, использованный в формулах
(а)—(с) леммы 7.2. Будет удобно заменить этот базис на (w0, ..., wm), где
Wi = i\[(aL, a)l/2l]Vi. После такой подстановки получаем
(а;) U • Wi = (m- 2/)[(a, 0L)/2]wr,
(W) za'Wi = wi+l (wm+l=0)\
(c;) xa • Wi = i(m - i + l)[(a, a)/2]^_b (w_{ = 0).
Следовательно,
xaza • wt = (m- i)(i + l)[(a, a)/2]wh A)
Пусть теперь \l — любой такой вес в 1/, что \l + а не является
весом. Тогда (см. п. 21.3) a-серия, порожденная весом \l, состоит из
весов [l, [L — OL, ..., [L — maL, где m = (\i,a). В последующем рассужде-
рассуждении [I, a, m фиксированы. Представление алгебры Sa на сумме весо-
весовых подпространств W =V[l-\- V[L_a +... + V[L_ma является прямой суммой
неприводимых представлений (теорема Вейля), каждому из которых со-
соответствует серия весов, инвариантная относительно оа. Более точно,
пусть щ @^/<[т/2]) обозначает число таких составляющих со стар-

§22. Формула кратностей
149
шим весом (\1 — /ос)(ha). Тогда (\i — /ос) =п0 + ... -\-щ. В свою очередь,
щ = m(\L — /а) — m(\L — (I — 1)а). Для четного т это схематически пока-
показано на рис. 7.
\L-CL
П(т-2)/2 • • •
[i-(m-2)aL
— та
щ
Рис. 7 m четно
Для каждого фиксированного k, O^k^т/2, мы хотим вычислить след
оператора cp(xa)cp(za) на V[L_ka. Пусть O^i^k. В типичном неприводимом
5а-слагаемом пространства W со старшим весом m — 2i = (\i — ia)(ha) век-
вектор wk-i порождает весовое подпространство для веса \i-ka (в прежних
обозначениях). Если в формуле A) заменить т на т — 21 и / на k — i, мы
получим:
(f(xa)(f(za)wk-i = (m-i-k)(k-i+ l)[(a, а)/2]ш^-. B)
Количество Sa-слагаемых со старшим весом т — 21 в пространстве W
равно rii, поэтому матрица отображения cp(xa)cp(za) (ограниченного на
Vk-ya) B некотором базисе из собственных векторов имеет щ диагональ-
диагональных элементов вида B). Меняя / от 0 до k, получим для (p(xa)(p(za)
диагональную матрицу порядка m(\i — ka) = п0 +... + nk со следом
/=o
к (а> а)
- /a) - m([i - (I - l)a))(m - / - k)(k - I + 1)
(а, а)
/=o
— m)(m — 2i
(а, а)
C)
/=o
Последнее равенство вытекает из того, что коэффициент при m(\i — /a)
равен величине (a, a)/2, умноженной на (m — i — k)(k — i-\-\) — (m — i —
— k — 1) (k — i) = m — 2i. (Читателю следует непосредственно проверить

150 Глава VI. Теория представлений
крайний случай i = k.) Теперь вспомним, что m/2 = (\i, a)(a, а), так что
соотношение C) принимает вид
k
Тг^_йа cp(xa)cp(za) = Y^ m(V- 1u)(\l~*a> <*)• D)
i=0
Получен ответ для весов \i — ka из верхней половины «лестницы» на
рис.7. Можно ожидать аналогичного поведения и в нижней половине, так
как отражение оа меняет местами верх и низ; в частности, m(\i — ia) =
= m([i — {m — i)a) при т/2<i^m. Воспроизводя предыдущее рассуждение
при фиксированном k, m/2 <k^m, получаем
/=0
(Нужно суммировать до т — k, но (f(za) аннулирует вектор веса \i — ka в
5а-слагаемом пространства W, имеющем старший вес \х — (т — k)a.)
Заметим, однако, что при т/2 <i^m мы имеем (\i — /a, a) + (\i —
— (m — /)a, a) = B[i — ma, a) = 0, поскольку т = 2([i, a)/(a, a). Следова-
Следовательно,
ia)([i — ia, a) +m(\L — (m — i)a)([i — (m — i)a, a) = 0. F)
Отсюда видно, что к E) можно добавить некоторые пары слагаемых: k и
т — k, k+\ и m — (k+l), k + 2 и m — (k + 2) и т.д. (Заметим, что если
т = 21, то в силу F) выполняется равенство (\х — ia, a) = 0.) Иначе говоря,
соотношение E) сводится к D) при произвольном k.
Наконец, если нас интересует произвольный вес v пространства V,
образуем a-серию, порожденную весом v, и пусть последнее слагаемое
v + ka играет роль \х в предшествующих формулах. Так как m(\i) = 0 в
случае V^ = 0, после некоторых ухищрений соотношение D) принимает
следующий вид для произвольного
ia, a). G)
/=о
22.3. Формула Фрейденталя. Пусть ср, V таковы, как в п. 22.2,
diml/>l. Рассмотрим универсальный элемент Казимира (см. п. 22.1)
г
cL = Y^ hiki+Yl x*z*- Поскольку представление ср неприводимо, (f(cL)
i=\ осе*
является умножением на скаляр, скажем с. Фиксируем вес \i в V. Мы
хотим вычислить Tr^ (f(cL) =cm([i).
Прежде всего, ф(й/) — это умножение на \i{hi) в V^, и аналогич-
аналогично для (f(ki). Пусть t^eH удовлетворяет условиям \i(h) =x(t[jL, h) при

§22. Формула кратностей 151
всех h G Н (как в §8). Положим t[l = J2 ai^i\ тогда по определению
i
[i(hi) =Y^ cijx(hj, hi) и [i(ki) = Y^ cijx(hj, kt)) =at (в силу двойственности).
Следовательно, (\i, \l) = J^ aiujx(hj, hi) = ^2 yL(hi)[i(ki), а значит
J2 4 (8)
Вместе с формулой G) из п. 22.2 это приводит к равенству
1а, а). (9)
Заметим, что оба слагаемых m(\i)(\i, а) и m(\i)(\i, —а) появляются при
суммировании (и взаимно уничтожаются), так что можно опу-
опустить индекс i = 0.
Мы утверждаем, что формула (9) остается верной при произвольном
^). В этом случае она принимает вид
Действительно, если [л^П(Х), то для любого аеФ веса вида \i-\-ioi (если
они существуют) должны появляться в серии весов при всех положи-
положительных или при всех отрицательных /. В последнем случае слагаемое,
соответствующее весу а, равно 0; это верно и в первом случае, что можно
показать аналогично доказательству формулы F) из п. 22.2.
Предыдущие рассуждения на самом деле показывают, что при каждом
фиксированном a G Ф и при любом \ieA мы имеем
Y^ /а, а)=0. A0)
/= —оо
Как следствие,
оо
-1а, -a) =m([L)([L, а) +^ т(ц + /а)(ц + /а, а). A1)
Подставляя A1) в (9) (суммирование следует начинать с /= 1, как отмечено
после формулы (9)), получаем в итоге
а>-0 а>-0 /=1

152 Глава VI. Теория представлений
Полагая S = - ^a (см. п. 13.3), можно записать это соотношение в виде
^ а>-0
оо
ст([1) = ([1, [i + 2b)m([i)+2 ^ ^ т(ц + /а)(ц + /а, а). A3)
а>-0 /=1
Единственный изъян этой формулы в том, что она все еще включает с. Но
имеется частный случай, когда m(\i) известно, а именно т(к) = 1. Кроме
того, т(к + /а) = 0 для всех положительных корней а и всех / ^ 1. Поэтому
из уравнения A3) можно получить, что с = (X, X + 28) = (X + 8, X + 8) — (8, 8).
(На самом деле нетрудно вычислить с и непосредственно; см. упражне-
упражнение 23.4.) Эти результаты можно объединить в формуле Фрейденталя.
Теорема. Пусть V= V(k) — неприводимый L-модулъ старшего веса
\, ХеЛ+. Если ^еЛ, то кратность m([i) веса \х в V определяется
рекуррентной формулой
((Х + 8, Х + 8)-(^ + 8, ц + 8))т(^)=2 ^ ]Г т(ц + /а)(ц + /а, а). A4)
а>-0 /=1
Следует еще отметить, что формула Фрейденталя дает эффектив-
эффективный метод вычисления кратностей, начиная с т(Х) = 1. Лемма 13.4С с
учетом предложения 21.3 показывает, что при [леП(Х), [л^Х величина
(Х + 8, X + 8) — ([i + 8, [i + 8) не равна 0; поэтому m([i) = 0, если эта вели-
величина равна 0 и [i^X. Как следствие, т(\х) известно, как только известны
все т([л + /Х), />1, Х)-0, т.е. как только известны все m(v), [jl^v^X.
(Конкретные примеры приведены ниже.)
На практике эффективность применения формулы Фрейденталя мож-
можно повысить за счет того, что веса, эквивалентные относительно группы
Вейля, имеют одинаковую кратность (теорема 21.2). Существуют ком-
компьютерные программы, которые выполняют соответствующие вычисления.
Отметим, что нормировка скалярного произведения произвольна, посколь-
поскольку т(\х) возникает как частное.
22.4. Примеры. Чтобы применить формулу Фрейденталя в конкретном
случае, нам нужно уметь явно вычислять билинейную форму на Л. Выше
использовалась «естественная» форма (двойственная к форме Киллинга),
но ввиду предыдущих замечаний ее можно нормировать путем умножения
на любой подходящий скаляр. Один популярный способ состоит в том,
чтобы сделать квадраты длин всех корней равными 1, 2 и 3, причем наи-
наименьший должен равняться 1 (для каждой неприводимой компоненты в Ф).
Можно также использовать скалярное произведение, участвовавшее в по-
построении систем корней в § 12.
Пример 1. Пусть L = slC, F), Ф = {±аь ±а2, ±(oci +а2)}, А = {аь а2},
а1=2Х1-Х2,а2 = -Х1+2Х2,Х1 = A/3)Bа1+а2),Х2 = A/3)(а1+2а2). Нало-
Наложим условие (ос,-, <Х;) = 1, так что (<хь <х2) = —1/2, (Хь X,) = l/З и (Хь Х2) = 1/6.

§22. Формула кратностей
153
Положим X = Xi +3X2. Тогда формула Фрейденталя дает список кратностей,
содержащийся в таблице 7. Для удобства читателя приведены и другие
сведения. Веса сгруппированы по «уровням»: вычисление величины m(\i)
требует данных лишь более высоких уровней. Читателю следует нарисо-
нарисовать диаграмму весов наподобие рис.6 из п.21.3.
Таблица 7
ГХ-ОС!
1Х-ОС2
Г X — OCi — 0С2
1 X - 2а2
ГХ-а1-2а2
< X — 2<Xi — OL2
{ X - За2
Г X - 2<xi - 2а2
1 X — ai — За2
( X — ai — 4ос2
< X - 2ai - За2
[ X - Зон - 2а2
Г X - 2ai - 4a2
1 X — Зон — За2
Г X — 3ai — 4a2
1 X - 4ai - За2
{X — 4ai — 4a2
га(^л)
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
(^L + 8, ^L + 8)
28/3
25/3
19/3
13/3
16/3
7/3
13/3
19/3
4/3
7/3
13/3
1/3
7/3
4/3
1/3
1/3
7/3
4/3
^x = m{k\ +/П2Х2
Х1+ЗХ2
-Xi+4X2
2Xi+X2
2X2
3Xi-X2
Xi
-2Х1+ЗХ2
4Xi - 3X2
-X1+X2
2Xi - 2X2
3Xi - 4X2
-x2
-ЗХ1+2Х2
Х1-ЗХ2
-2Xi
-Xi - 2X2
-4Xi+X2
-ЗХ1-Х2
Пример 2. Пусть L — простая алгебра типа G2. Ее система корней
построена в явном виде в п. 12.1). Напомним, что он — короткий корень,
а а2 — длинный, так что Xi =2ai +a2, X2 = 3ai +2a2. В таблице 8 приве-
приведены некоторые сведения, получаемые с помощью формулы Фрейденталя.
Вес m{ki +m2X2 здесь кратко обозначается через mim2. Строки индекси-
индексируются старшим весом X, столбцы — доминантным весом [л, а пересечение
строки X со столбцом \L содержит число тх([л) (если оно не равно нулю).
Рекомендуем читателю проверить для себя какую-либо часть таблицы.

154
Глава VI. Теория представлений
00
10
01
20
11
30
02
21
40
12
31
50
03
22
00
1
1
2
3
4
5
5
9
8
10
16
12
9
21
10
1
1
2
4
4
3
8
7
10
14
11
7
19
01
1
1
2
3
3
6
5
7
12
9
7
16
20
1
2
2
2
5
5
7
10
8
5
15
11
1
1
1
3
3
5
7
6
4
11
Таблищ
30
1
1
2
2
3
6
5
4
9
02
1
1
1
2
4
3
3
7
i8
21
1
1
2
3
3
2
6
40
1
1
2
2
1
4
12
1
1
1
1
3
31
1
1
1
2
50
1
0
1
03
1
1
22
1
22.5. Формальные характеры. Пусть Л с Я*, как и выше,— ре-
решетка целочисленных линейных функций, V= V(k), X еЛ+. Рассмотрим
формальную сумму весов [леП(Х), в которой каждый вес \х появляет-
появляется m(\i) раз. Обозначение «jjl + v», однако, для такой суммы не подходит,
поскольку уже имеет конкретный смысл в Л. Поэтому введем группо-
групповое кольцо для Л над Z, которое обозначается Z[A]. По определению
это свободный Z-модуль с базисными элементами е(к), которые взаимно
однозначно соответствуют элементам ХеА, и их сложение обозначает-
обозначается е(к) + е(\х). Этот модуль становится коммутативным кольцом, если
положить e(\)e(\i) = e(k + \L) и продолжить по линейности. (Это кольцо
имеет единицу: е@).) Группа W действует на Z[A] естественным образом,
переставляя е(к): ое(к) = е(оХ).
Далее, целесообразно определить формальный характер chy(x), или
просто chx, модуля V(k) как элемент Yl wx([i)e([i)GZ[A]. (Так как
тх(\Jl) = 0 при [л ^ П(Х), суммирование можно распространить на все \хе А.)
Например, если L=slB, F), то формальный характер модуля V(k) име-
имеет вид chx = е(Х) + e(k — а) + e(k — 2а) +... + e(k — та), т = (X, а). Более
общо, если V—произвольный (конечномерный) L-модуль, то ввиду тео-
теоремы Вейля и классификации из §21 имеется по существу единственное
разложение V=V(k{)i
1 V(kt), X/ G A+. Поэтому chy = J2 cnx, можно
назвать формальным характером модуля V. Отметим, что любой элемент
oG# оставляет chy инвариантным, поскольку переставляет весовые под-
подпространства в каждом неприводимом слагаемом модуля V (теорема 21.2).
Знание характера chy в действительности позволяет найти неприводи-
неприводимые составляющие модуля 1/, как показывает следующее

§22. Формула кратностей 155
Предложение А. Пусть элемент f=Yl c(^)eQ^> CQ^) ^^> инвари-
хел
антен относительно действия группы W. Тогда f можно записать
единственным образом как Ъ-линейную комбинацию элементов chx
Доказательство. Ясно, что f=Yl CQ^) ( J2 е(о\)). Для каждого
хел+ vox J
такого ХеЛ+, что с(Х)^О, множество доминантных весов ^jl —< X конечно
(лемма 13.2В). Пусть Mf— совокупность всех таких \х (для всех таких X),
тогда множество Mf также конечно. Пусть элемент X е Л+ — максимальный
со свойством с (к) /0. Положим // = / — c(X)chx; тогда /' заведомо удовле-
удовлетворяет условиям предложения. Мы знаем, что все доминантные веса \х,
фигурирующие в chx, удовлетворяют условию \х -< X, поэтому все они лежат
в Mf. Это показывает, что Mf/ cMf. Включение строгое, так как \фМ^.
Проводя индукцию по Card(Af^), можно считать, что /' записывается в нуж-
нужном виде; тогда и / имеет требуемый вид. Чтобы начать индукцию, заметим,
что случай Card(Af/) = 1 тривиален: тогда единственный доминантный вес,
фигурирующий в /, — это какой-то микровес X, поэтому / = c(X)chx, где
chx = J2 ^(оХ). Доказательство единственности предоставляется читателю
(упражнение 8). ?
Умение перемножать формальные характеры приносит пользу, как по-
показывает следующее
Предложение В. Пусть V, W—(конечномерные) L-модули. Тогда
спУ0Г = chy • ohw.
Доказательство. С одной стороны, способ, которым определяется
действие алгебры L на V®W (см. п. 6.1), показывает, что веса в V®W
имеют вид X + [jl (X, \х — веса в V, W соответственно), причем каждый вес
появляется с кратностью Yl mv(K)mw(K') (см. упражнение 21.7). Но
то же самое мы получим, формально умножив chy на chr. ?
Упражнения
1. Пусть X G Л+. Докажите без обращения к формуле Фрейденталя, что
тх(Х — ku) = 1 при а е А и 0 < k < (X, а).
2. Докажите, что cL лежит в центре алгебры 1L(L) (см. п. 23.2). [Вос-
[Воспроизведите выкладку из п. 6.2, опустив ср.] Покажите также, что cL не
зависит от выбора базиса в L.
3. В примере 1 из п. 22.4 найдите ^-орбиты весов, тем самым проверив
непосредственно, что ^-эквивалентные веса имеют одинаковую кратность
(см. теорему 21.2). [См. упражнение 13.12.]
4. Проверьте кратности, указанные на рис.6 в п.21.3.
5. С помощью формулы Фрейденталя и сведений об А2 из примера, при-
приведенного в п. 22.4, вычислите кратности весов модуля 1^(Х), X = 2Xi +2X2.

156 Глава VI. Теория представлений
В частности, проверьте, что dim V(k) = 27, причем вес 0 входит с кратно-
кратностью 3. Нарисуйте диаграмму весов.
6. Пусть алгебра L имеет тип G2. С помощью таблицы 2 из п. 22.4
определите все веса и их кратности для V(k), X = Xi +2X2. Докажите, что
dim 1/(X)=286. (См. упражнение 13.12.)
7. Пусть L = slB, F). Отождествим тк{ с числом т. С помощью пред-
предложений А и В из п. 22.5, а также теоремы 7.2 выведите формулу Клеб-
ша—Гордана: если п < т, то V(m) 0 V(n) = V(m + п) ф l/(m + я — 2) ®...
... ф У(т —я) (всего п+ 1 слагаемое). (См. упражнение 7.6.)
8. Докажите утверждение о единственности в предложении 22.5А.
Замечания
Доказательство формулы Фрейденталя взято из работы Jacobson [1];
см. также Freudenthal [1] и Freudenthal—de Vries [1]. О вычислительных
аспектах см. Agrawala, Belinfante [1], Beck, Kolman [1], Krusemeyer [1],
Burgoyne, Williamson [1]. Другой алгоритм показан в статье Demazure [1].
Данные, представленные в таблице 2, взяты из работы Springer [1].
§23. Характеры
Наша цель — доказать теорему Хариш—Чандры о «характерах», ас-
ассоциированных с бесконечномерными модулями Z(X), X Е Я* (см. п. 20.3).
С помощью этой теоремы в § 24 будет получено простое алгебраическое
доказательство классического результата Вейля о характерах конечномер-
конечномерных модулей. Предварительно мы докажем в п. 23.1 теорему Шевалле о
«подъеме» инвариантов (представляющую и самостоятельный интерес).
Все эти результаты не зависят от формулы Фрейденталя (см. п. 22.3).
23.1. Инвариантные полиномиальные функции. Если V—конеч-
V—конечномерное векторное пространство, то симметрическая алгебра 6A/*) (см.
п. 17.1) называется алгеброй полиномиальных функций на V и обознача-
обозначается ty(V). Фиксировав в V* базис (/ь ..., /„), можно отождествить ty(V)
с алгеброй многочленов от п переменных /ь ..., fn. В этом пункте мы рас-
рассмотрим ЩЬ) и ЩН).
Поскольку решетка весов Л порождает Я*, многочлены от X ЕЛ поро-
порождают ф(Я). С учетом процедуры поляризации (упражнение 5) для этого
достаточно и степеней Х^ (X ЕЛ, k EZ+). Теперь рассмотрим группу W, ко-
которая действует на Я* и тем самым на ф(Я). Пусть ф(Я)^ —подалгебра,
состоящая из полиномиальных функций, инвариантных относительно всех
о Е W\ это алгебра W-инвариантных полиномиальных функций на Я.
(Например, если L = slB, F), X — фундаментальный доминантный вес, то
ф(Я)^ как алгебра с единицей порождается элементом X2.) Пусть Sym /
обозначает сумму всех различных функций, ^-эквивалентных функций

§23. Характеры 157
Ясно, что совокупность всех функций Sym \k (ХеЛ+, &
порождает ф(Я)^, так как каждый из весов ХеЛ эквивалентен относи-
относительно W доминантной целочисленной линейной функции (лемма 13.2А).
Пусть теперь G = Int L — группа, порожденная всеми автоморфизмами
вида exp ad x, где элемент х нильпотентен. Тогда G действует естественным
образом на ty(L) по формуле (of)(x) = f(o~lx) (о е G, fety(L)). Совокуп-
Совокупность инвариантных элементов функции обозначим *P(L)G. Это G-инва-
риантные полиномиальные функции на L.
Много примеров G-инвариантных полиномиальных функций можно
построить с помощью теории представлений следующим образом. Пусть
ср: L^gi(V) — неприводимое (конечномерное) представление алгебры L
со старшим весом X е Л+. Далее, пусть z e N = Ц La, g = exp ad z. Onpe-
а>-0
делим новое представление ср°: L^gi(V) по правилу ц°(х) =ср(о(х)), xeL.
(Проверьте, что действительно выполнено условие ср°([х, у]) = [ф°х, ц°у].)
Очевидно, что ф° также неприводимо. Если v+ G V — старший век-
вектор, а C — любой положительный корень, то cp°(xp)(u+) — cp((l+adz +
+ +... J (xp) j (v+) = 0, поскольку элемент в скобках все еще при-
принадлежит множеству N. При этом ср°(h) (v+) = ср(й + [z, Л]) (v+) = ф(й) (и+) =
= \(h)v+, так как[г, /z]GjV и ф(Л^)(и+) =0. Другими словами, v+ — старший
вектор веса X и для нового представления, так что представления ф и ф°
эквивалентны (т.е. соответствующие L-модули на V изоморфны
(см. п. 20.3)). Пусть фо: V^V—изоморфизм этих L-модулей, так что
фо(ф(х)(и)) =ф°(фо(и)) для всех veV. Фактически это просто изменение
базиса в V, и последнее уравнение показывает, что матрицы операторов
ф(х) и ф°(х)=ф(ох) (в фиксированном базисе) подобны. В частности,
они имеют одинаковый след. Если &eZ+, то отсюда вытекает, что функ-
функция x\-^Tr((f(x)k) инвариантна относительно о. Но это полиномиальная
функция: элементы матрицы ф(х) — линейные функции на L, элементы ма-
матрицы (f(x)k являются многочленами от них, а след матрицы (f(x)k — сумма
таких многочленов. Отметим также, что инвариантность функции следа не
зависит от первоначального выбора базиса (или положительных корней)
и даже от выбора подалгебры Я, так что отображение x\-^Tr((f(x)k) в
действительности инвариантно относительно всех образующих группы G
(см. упражнение 16.2), а тогда и относительно G.
Теперь мы можем сопоставить ty(L)G с ^(H)w (что и составляет цель
наших рассуждений). Любая полиномиальная функция на L, будучи огра-
ниченой на Я, является полиномиальной функцией на Я: это становится
очевидным, если базис в Я расширить до базиса в L, а / записать как
многочлен от элементов двойственного базиса. Если функция / является
G-инвариантной, то она, в частности, инвариантна относительно каждого

158 Глава VI. Теория представлений
из внутренних автоморфизмов та (аЕ Ф), построенных в п. 14.3. Но та|я —
это отражение оа, а такие отражения порождают W, так что f\H Еф(Я)^.
В результате получаем гомоморфизм алгебр 8: *P(L)G ^ф(Я)^.
Теорема (Шевалле). Гомоморфизм 8 сюръективен.
Доказательство (Стейнберг). Ввиду предыдущих замечаний до-
достаточно показать, что каждый многочлен Sym \k (X Е Л+, k E Ъ+) лежит в
образе гомоморфизма 6. Для этого применим индукцию вверх по частич-
частичному упорядочению в Л+, начав с минимального веса X — возможно, с 0.
(Напомним, что по лемме 13.2В количество доминантных весов, предше-
предшествующих данному, конечно.) Так как вес X минимален, никакой другой
вес jjl E Л+ не может оказаться весом неприводимого представления ср со
старшим весом X. Ввиду теорем из пп. 20.2, 21.2 все веса представле-
представления ф эквивалентны X относительно W и имеют кратность 1. Получаем,
что х\-^Тг(ср(х)к) является G-инвариантной полиномиальной функцией /,
ограничение которой на Н равно Sym \k. Значит, Sym X^ = 9(/).
Чтобы провести индуктивный переход, фиксируем X Е Л+, k E Z+. Пусть
ф снова обозначает неприводимое представление старшего веса X, а / —
функцию x^Tr((p(x)k). Тогда /|# = Sym X^ + Y^ c([L, k) Sym \ik (теоре-
(теорема 21.2), где мы суммируем по [л^Х, [jleA+. Все слагаемые, включающие
[л^Х, можно поднять в ?ft(L)G по предположению индукции, и в итоге
можно поднять и Sym \k. ?
Сделаем еще одно замечание относительно *P(L)G. Назовем встре-
встречавшуюся выше полиномиальную функцию х \-^ Tr((f(x)k) многочленом
следа. Если x = xs+xn — жорданово разложение элемента х, то ср(х) =
= (f(xs) -\-(f(xn)—(обычное) жорданово разложение элемента ср(х) (см.
п. 6.4). Поскольку ф(х5) и ср(хп) коммутируют, в биномиальном разложе-
разложении элемента (<p(xs) +(p(xn))k все слагаемые, кроме (f(xs)k, нильпотентны
и потому имеют след 0. Следовательно, многочлен следа полностью
определяется своими значениями на полупростых элементах алгебры L.
Доказательство теоремы Шевалле в действительности показывает, что 8
отображает подалгебру Tc^(L)G, порожденную многочленами следа,
на ty(H)w. На самом деле отображение 8|<г инъективно, а не толь-
только сюръективно: действительно, равенство 8(/) = 0 означает, что f\H = 0.
Каждый полупростой элемент из L лежит в некоторой максимальной то-
рической подалгебре и (см. п. 16.4) сопряжен относительно G некоторому
элементу из Н. Как следствие, / обращается в нуль на всех полупро-
полупростых элементах из L, а значит / = 0 (ввиду предыдущих замечаний).
С помощью элементарных сведений из алгебраической геометрии (см.
дополнение на с. 164) можно непосредственно показать, что отображе-
отображение 6 и нъ екти вн о; как следствие, ^(L)G порождается много-
многочленами следа. (Нам, однако, эти факты не потребуются.) В п.23.3
мы позволим себе явно выписать 8, но читатель может легко проверить,

§23. Характеры 159
что ход рассуждений по существу не зависит от инъективности отобра-
отображения 8.
23.2. Стандартные циклические модули и характеры. Пусть 3 —
центр алгебры il(L), т.е. множество элементов, коммутирующих со всеми
элементами xeii(L) или, что равносильно, со всеми xeL. Любой авто-
автоморфизм о: L ^ L продолжается единственным образом до автоморфизма
алгебры 1L(L); в частности, G = Int L действует на 1L(L), отображая 3 на
себя. В п. 23.3 потребуется следующая
Лемма. Подалгебра 3 совпадает с множеством всех G-инвари-
антных элементов в il(L).
Доказательство. С одной стороны, 3 коммутирует со всеми
нильпотентными элементами х Е L, поэтому 0 = [х, z] = ad x(z) (z E 3) и
exp ad x(z) = z. Как следствие, все элементы о ? G оставляют z на месте.
Обратно, пусть G оставляет на месте элемент xElt(L). Фиксируем корень
осЕФ и возьмем 0^xaELa. Пусть n = adxa. Предположим, что п*^0,
но n/+1 =0. Тогда возьмем t-\-1 различных скаляров аь ..., at+{ в F (это
возможно, так как множество F бесконечно). По предположению, эле-
элемент 1 + а^п + (af /2\)п2 +... + (а^/ п)п* оставляете на месте A </< t+ 1).
Определитель
1
1
п\
at+l
2
2f "
t
' 7Г
t
at+\
отличается лишь множителем B! 3!... t\)~{ от определителя Вандермон-
да Yl(ai ~ aj) 7^0. Поэтому мы можем найти скаляры fcb ..., fo/+1, удо-
/>/ /+i
влетворяющие условию п = J^ bt(exp щп). (Строго говоря, это следует
/=i
сделать в пространстве эндоморфизмов (конечномерного) L-подмодуля
в ii(L), порожденного элементом х, см. упражнение 17.3.) В частно-
частности, ad ха(х) = Yl bi exp(ad aixa){x) = (Y^ bt)x. Поскольку оператор ad xa
нильпотентен, J^ bt = 0 и, значит, [ха, х] = 0. Но элементы ха порождают
алгебру L, поэтому х коммутирует со всеми элементами из L и, следова-
следовательно, хеЗ, что и требовалось. ?
Отметим, что универсальный элемент Казимира cL (см. п. 22.1) ле-
лежит в Ъ'- нужно воспроизвести выкладку из п. 6.2, устранив из нее ср.
Спросим теперь, как действует 3 на бесконечномерном модуле Z(k),
ХеЯ*, который был построен в п. 20.3. Пусть v+ — старший вектор
в Z(k) и ze3- Заметим, что h • z • v+ =z- h • v+ =\(h)z • v+ (йеЯ), то-
тогда как xa • z • v+ = z • xa • u+ = 0 (xa E La, a >- 0). Следовательно, z • v+ —
другой старший вектор веса X; согласно теореме 20.2 он должен равняться
скалярному кратному вектора и+, скажем X\(z)v+- Полученная функция

160 Глава VI. Теория представлений
Хх: 3 —> F является гомоморфизмом F-алгебр и называется характером,
соответствующим весу X.
Ясно, что множество всех векторов в Z(X), на которые zg3 действует
как умножение на Xx(z), инвариантно относительно il(L) и содержит и+,
следовательно, совпадает со всем Z(X). Значит, элемент zg3 действует
как умножение на Xx(z) на любом подмодуле в Z(X) (а также на любом
гомоморфном образе модуля Z(X)).
Оказывается, не все характеры Хх (X еЯ*) различны. Чтобы найти точ-
точные условия равенства характеров, назовем веса X, \leH* связанными
(записывается Х^[л), если Х + 8 и \х + Ъ эквивалентны относительно W
(здесь 8 — полусумма положительных корней, как в п. 13.3). Ясно, что свя-
связанность является отношением эквивалентности. Здесь нам потребуются
лишь целочисленные линейные функции (т.е. элементы из Л). Возьмем
такие ха е La (a У 0), уа е L_a, что [ха, уа] = ha.
Предложение. Пусть ХеЛ, осе Д. Если целое число т=(\, а) не-
неотрицательно, то смежный класс элемента у™+{ в Z(X) является
старшим вектором веса X — (т + 1)а.
Доказательство. Используем формулы из леммы 21.2 и тот факт,
что ha - (X, a) • 1 g /(X) (см. п. 20.3). ?
Следствие. Пусть X G Л, a G А, [л = оа(Х + 8) — 8. Тогда Хх = Х^-
Доказательство. Поскольку оа переставляет положительные кор-
корни, отличные от а, и отображает а в —а (лемма 10.2В), оа8 — 8 = — а.
Следовательно, (i = aa(X + 8) — 8 = oaX — a = X — ((X, a) + l)a. По предполо-
предположению (X, a) G Z. Если это число неотрицательно, то предыдущее пред-
предложение показывает, что Z(X) содержит гомоморфный образ модуля Z([i)
(отличный от 0), следовательно Хх = Хи ВВИДУ предыдущих замечаний. Если
значение (X, а) отрицательно, то (\i, a) = (X, a) — 2((Х, a) + 1) = —(X, a) — 2
неотрицательно (кроме случая (X, a) = — 1, когда \i = X и доказательство
не требуется). Поэтому можно применить предложение, заменив X на \l, и
снова Хх = Хи- п
Следствие показывает, что две целочисленные линейные функции, свя-
связанные простым отражением, определяют один и тот же характер. Посколь-
Поскольку отношение связанности транзитивно, а W порождается простыми от-
отражениями (теорема 10.3(d)), мы можем усилить доказанное утверждение.
Следствие. Пусть X, \х е Л. Если \~\i, то хх = Хи-
Это — легкая половина теоремы Хариш-Чандры (см. п. 23.3)). Мы уви-
увидим ниже, как распространить ее на все веса X, \ieH*, но фактически в
книге потребуется лишь целочисленный случай.
23.3. Теорема Хариш-Чандры.
Теорема (Хариш-Чандра). Пусть X, \ieH*. Если Хх = Х^ то ^lJL-
Настоящий пункт посвящен доказательству этой теоремы. По существу
его идея не очень трудна, но требуется тщательность в работе с много-

§23. Характеры 161
численными отображениями. Вначале фиксируем подходящий базис в L,
скажем {ht, \^i^?; ха, уа, ауО}, где ht = hai, Д = {аь ..., а*}. Постро-
Построим ПБВ-базисы для il(L) и Д(Я), отвечающие упорядочению, при котором
вначале идут элементы уа, затем ht, затем ха. Определим линейное отобра-
отображение !;: il(L) —>il(#), отобразив каждый базисный моном от Аь ..., h? в
себя, а остальные элементы базиса — в 0.
Пусть v+ — старший вектор неприводимого модуля V(k), ХеЯ*. По-
Посмотрим, как на него действует элемент z E 3 (выраженный через указан-
указанный ПБВ-базис). Если в мономе YI У* П ^?' П *i" некоторое/а положи-
а>-0 / а>-0
тельно, то он аннулирует вектор v+, а если все /а равны 0, но некоторое ia
положительно, то он отображает вектор v+ сначала в кратный ему, а за-
затем в вектор меньшего веса. Поэтому в собственное значение хЛг) вносят
вклад лишь те мономы, в которых ia = 0 = /а для всех а. Отсюда непосред-
непосредственно вытекает, что (!; то же, что и выше):
(Отображение X: Н ^ F канонически продолжается до гомоморфизма ас-
ассоциативных алгебр1 il(H) -^ F.) Отметим, что ограничение отображения !;
на 3 является гомоморфизмом алгебр в силу соотношения (*).
В поле зрения должен когда-то появиться и элемент 8. Это происходит
следующим образом. Отобразив каждое hi в hi — 1, построим линейное ото-
отображение Н —»il(//). Это гомоморфизм алгебр Ли (все лиевы произведения
равны 0), поэтому он продолжается до гомоморфизма r\\ il(#) —> il(#).
Ясно, что г]—автоморфизм (обратный к нему отображает ht в й/Н-1).
Пусть ф: 3 —>il(//) — результирующий гомоморфизм г) о ?|3. Напомним (см.
п. 13.3), что 8 = ^ X/ (X/ — фундаментальные доминантные веса в Л), по-
этому 8(й/) = 1. Как следствие,
Поэтому
) BЕЗ, ХеЯ*). (**)
В сочетании с соотношением (*) это означает, что Xx(z) = (Х + 8)(фB)).
Пусть теперь функция X — целочисленная. Согласно второму след-
следствию из п. 23.2, все эквивалентные веса о(Х + 8) совпадают на ф(г); это
равносильно тому, что \l = X + 8 принимает одинаковые значения на всех
элементах, ^-эквивалентных ф(^). Поскольку это верно для всех ХеЛ и
отождествить й(Н) = &(Н) с алгеброй полиномиальных функций на Н*, то Х(ср)
при ф G й(Н) — это не что иное, как значение функции ср в точке X. (Прим. ред.)

162 Глава VI. Теория представлений
как следствие, для всех [леЛ, каждая линейная функция принимает од-
одно и то же значение на всех элементах, ^-эквивалентных ф(г). Но тогда
W оставляет ф(г) (?ЕЗ) на месте. Можно заменить здесь Д(Я) симме-
симметрической алгеброй 6(Я), поскольку алгебра Я абелева (пример 17.2).
В итоге заключаем, что ф отображает 3 в &(H)W (совокупность элемен-
элементов из ©(Я), инвариантных относительно W).
Мы показали, что если X Е Я*, то хЛг) = (^ + &)(фB))> z ? 3- При этом
элемент ф(г) инвариантен относительно >^, поэтому правая часть не изме-
изменится, если заменить Х + 8 на о(Х + 8). Следовательно, если \~\i (\i связано
с X посредством о), то хЛ2)=хЛ2)- Это показывает, что второе след-
следствие из п. 23.2, как было там отмечено, можно распространить
на все X, [ieH*.
Мы видели, что хЛг) = (^ + 8)(ф(^)), ХеЯ*. Предположим, что Хх = Х^-
Тогда Х + 8 и [i + Ь совпадают на элементе фC), лежащем в &(H)W. Чтобы
доказать теорему Хариш-Чандры, нужно показать, что Х + 8 и \i-\-b экви-
эквивалентны относительно W. Ввиду нижеследующей леммы достаточно
доказать, что фC)=©(Я)^.
Лемма. Пусть ХьХ2еЯ* принадлежат различным W-орбитам.
Тогда Хь Х2 принимают различные значения на некотором элементе
Доказательство элементарно и использует лишь конечность
группы W. Вначале выберем некоторый многочлен в ©(Я), на кото-
котором Xi не обращается в 0, но равны нулю все остальные элементы,
^-эквивалентные Хь так же как и ^-эквивалентные Х2. (Почему та-
такой многочлен существует?) Сложив образы этого многочлена, получим
элемент из &(H)W, на котором обращается в нуль Х2, но не Хь
Осталось доказать, что ф отображает 3 на &(H)W. Введем для этого
еще одно отображение. Вспомним, что &{L) можно отождествить с про-
пространством симметрических тензоров в X(L), которое является
дополнением к ядру / канонического отображения к: T(L) —> il(L) (след-
(следствие 17.3Е). Пусть G = Int L, как в п. 23.1; G действует на T(L). Очевидно,
что &(L) и / инвариантны относительно действия группы G, поэтому ли-
линейный изоморфизм к: &(L) —»il(L) в действительности является изомор-
изоморфизмом G-модулей. Обозначим через (S(L)G подпространство (на самом
деле подалгебру) элементов, инвариантных относительно G. Из леммы 23.2
следует, что к отображает 6(L)G на 3 =ii(L)G. (Предупреждение: к явля-
является не гомоморфизмом алгебр, а лишь линейным отображением.)
Получаем следующую картину: (S(L)G A3 ^&{H)W. Поразительно ее
сходство с предметом изучения в п. 23.1: *P(L)G ^ф(Я)^. На самом де-
деле можно даже отождествить (канонически) L с L*, Я с Я* с помощью
формы Киллинга (невырожденной на L и на Я), причем действие групп G
и W согласовано с такими отождествлениями. В результате получаем диа-

§23. Характеры 163
грамму
К сожалению, она не коммутативна. Чтобы увидеть, как обстоит дело,
обратимся к простому примеру.
Пример. Рассмотрим L=siB, F) со стандартным базисом (х, у, К).
Двойственный базис (х*, у*, h*) можно с помощью формы Киллинга
отождествить с (A/4)//, A/4)а:, A/8)/г) (упражнение 5.5). Если X — фун-
фундаментальный доминантный вес (Х=1/2а), то X отождествляется здесь
с /г*, причем X2 порождает ?ft(H)w. Поскольку X является старшим весом
в обычном представлении алгебры L, нетрудно вычислить (упражне-
(упражнение 1), что многочлен следа h*2 -\-х*у* равен 0~1(Х2). При отождествлении
*P(L)G с 6(L)G он превращается в симметрический тензор A/б4)(/г®/г) +
+ (\/32)(х®у + у®х). При отображении к этот элемент переходит в
A /64)/г2 + A /32)ху + A /32)ух еЗ- Чтобы затем найти образ этого элемен-
элемента при действии ф, выразим его через ПБВ-базис (который соответствует
упорядочению у, h, х) как A/б4)/г2 + B/32)ух + A/32)/г. Отображе-
Отображение \ переводит его в A /64)(/г2 Ч- 2/г), а т) — в ^-инвариантный элемент
A/64)(h2 — 1). В ^(P)w получаем X2 — 1/64. Следовательно, построенная
диаграмма не коммутативна. Однако отклонение измеряется инвариантом
(в данном случае 1/64) меньшей «степени», чем исходный элемент.
Этот пример подсказывает, как завершить доказательство сюръектив-
ности отображения ф (для 5lB, F) это действительно доказательство!).
Во-первых, отождествим ty{L)G с (S(L)G и ^(H)w с &(H)W. Далее, оче-
очевидно, что если многочлен в &(Н) инвариантен относительно W, то это
верно и для его однородных составляющих. Поэтому достаточно поднять в
3 однородные многочлены; в частности, можно применить индукцию
по степени (константы поднимаются тривиально).
Отображения 8 и \ о к теперь по существу совпадают (вспомним, как
определялось каждое из них); мы лишь должны выразить «симметриче-
«симметрический» элемент к([) в ПБВ-базисе, прежде чем применять отображение !;.
При этом появляются новые слагаемые. Однако если / имеет степень k,
то 7i(/) является суммой слагаемых вида X\...xk вii(L) (xt — элементы фик-
фиксированного базиса в L), поэтому ясно, что новые слагаемые, полученные
при коммутировании, имеют вид X\...Xj, где / < k.
Отображение г) (переводящее ht в ht — 1) не влияет на члены старшей
степени в многочленах из &{Н). Благодаря этому мы можем восстановить
исходный однородный элемент в &(H)W с точностью до членов младших

164 Глава VI. Теория представлений
степеней, если обойдем вокруг диаграммы, применив сначала 8, затем к,
затем ф. Члены младших степеней лежат в фC) по предположению индук-
индукции, что и завершает доказательство. ?
Дополнение. В этом параграфе один факт остался недоказанным: что
отображение ограничения ty(L)G-^^(H)w инъективно (см. п.23.1).
Этот факт несуществен для доказательства теоремы Хариш-Чандры, но
опустить его доказательство было бы неправильно. Его можно просто
сформулировать в терминах плотности в контексте (аффинной) алгебраи-
алгебраической геометрии.
Пусть А = Vй (аффинное пространство)] здесь мы игнорируем струк-
структуру векторного пространства на А. Далее, пусть F[r] = F[7\, ..., Тп] —
кольцо многочленов от п неизвестных. Если /—идеал в F[T], то поло-
положим УA) = {х = (х\, ..., хп) G A: f(x) = 0 при всех /G/}. Введем топологию
на А, объявив множества вида УA) замкнутыми; ясно, что 0 и А за-
замкнуты, и легко проверить, что замкнуты конечные объединения и произ-
произвольные пересечения замкнутых множеств (например, воспользуемся тем,
что У\У^ I*) =П УA*))- Эта топология на А называется топологией
^ а ' а
Зарисского. (В случае F = R или С множество, замкнутое в топологии
Зарисского, замкнуто и в обычной топологии на Fn, но обратное неверно.)
Если f(T) g F[7"], то функция хь-> f(x) (A—> F) называется полиномиаль-
полиномиальной функцией на А. Ясно, что если F наделено топологией Зарисского как
одномерное аффинное пространство, то такая функция непрерывна. Хоро-
Хорошо известно, что на А тождественно равен нулю лишь нулевой многочлен
(поскольку F бесконечно).
Подмножество в А называется неприводимым, если его нельзя по-
покрыть двумя замкнутыми множествами, каждое из которых его не покры-
покрывает. (Из неприводимости следует связность, но не обратно.)
Лемма. Пространство А неприводимо.
Доказательство. Пусть А = УA{) U ^(h) и оба замкнутых мно-
множества собственные. Тогда А/0, /2/0. Пусть /е/ь gG/2 — ненулевые
многочлены. Тогда fg^O, но fg тождественно обращается в нуль на А, что
невозможно. ?
Следствие. Любое непустое открытое множество в А плотно.
Доказательство. Пусть U—непустое открытое множество. Ес-
Если U не плотно, то в А имеется такое непустое открытое множество V,
что U Г\ V = 0; тогда замкнутые подмножества А — U, А — V являются соб-
собственными и покрывают А, вопреки лемме. ?
Теперь вернемся к ситуации §23: алгебра L полупроста, И—картанов-
ская подалгебра и т.д. Фиксируем базис в L, отождествив L с ^-мерным
аффинным пространством (n = dim L), a ty(L) — с алгеброй полиномиаль-
полиномиальных функций в определенном выше смысле. В этом базисе ad x предста-

§23. Характеры 165
вляется п х я-матрицей, элементы которой — линейные (а значит, полино-
п
миальные) функции на L. Пусть теперь Т—переменное, а рх(Т) = ^2 Ci(x)Tl
/=о
(xeL) — характеристический многочлен для ad х. Ясно, что все сг — по-
полиномиальные функции на L.
Назовем ^-рангом алгебры L наименьшее целое число т, для ко-
которого ст не является тождественным нулем, а элемент xeL назовем
р-регулярным, если ст(х)^0. Иначе говоря: элемент х является р-ре-
гулярным, если и только если 0 имеет наименьшую возможную кратность
как собственное значение отображения ad x. Ясно, что элемент х является
р-регулярным, если и только если таков xs (поскольку у них один и тот же
характеристический многочлен); как следствие, существуют р-регулярные
полупростые элементы. Ясно, что множество М всех р-регулярных элемен-
элементов в L открыто; поскольку оно открыто и непусто, оно также плотно
(согласно предыдущему следствию).
Если элемент х Е L полупрост, то он лежит в максимальной тори-
ческой подалгебре и сопряжен относительно G некоторому элементу
из Н (по теореме сопряженности). Но мы знаем, что если h E Я, то
dim CL(h) >^ = rank L; мы знаем также, что в Н имеются элементы (на-
(называемые регулярными), для которых dim CL(h) =? (см. п. 15.3). Так
как р-регулярные полупростые элементы существуют, они совпадают с
регулярными полупростыми элементами (и т = ?). Но с регулярным по-
полупростым элементом не коммутирует никакой нильпотентный элемент,
кроме нуля. С учетом предыдущего абзаца, если элемент х является р-ре-
гулярным, то x = xs. Это позволяет нам описать М как множество
всех регулярных полупростых элементов.
Пусть /<G*P(L)G, /|# = 0. Тогда, в частности, / обращается в нуль
на плотном множестве &, поэтому / = 0. Как следствие, отображение
6: <P(L)G -^<#(H)W инъективно.
Упражнения
1. В примере 23.3 проверьте, что многочлен следа определен корректно.
2. Для алгебр типов А2, В2, G2 выразите в явном виде образующие ал-
алгебры ^(H)w через фундаментальные доминантные веса Хь Х2. Покажите,
как можно поднять некоторые из них в 3 с помощью алгоритма из этого
параграфа. (Отметим, что в каждом случае ^(H)w — алгебра многочленов
с ? = 2 образующими.)
3. Покажите, что предложение 23.2 остается верным, когда X — произ-
произвольная линейная функция на Я, если только (X, а) — целое число.
4. С помощью формулы (*) хЛ2) =М?Сг)) из п. 23.3 непосредствен-
непосредственно вычислите значение универсального элемента Казимира cL (см. п. 22.1)
на 1/(Х), ХеЛ+: (Х + 8, Х + 8) - (8, 8). [Вспомните, как связаны ta и ha и

166 Глава VI. Теория представлений
соответственно za и уа. Запишите cL, используя упорядочение ПБВ-бази-
са, и примените выведенное в п. 22.3 равенство (\i, \i) =^2 \i(hi)\i(ki) для
произвольного веса \l.] l
5. Докажите, что любой многочлен от п переменных над F (char F = 0)
является линейной комбинацией степеней линейных многочленов. [Приме-
[Примените индукцию по п. Разложите (Т{ + аГ2)/г, а затем, используя рассуждение
с определителем Вандермонда, покажите, что k-e степени линейных мно-
многочленов при п = 2 порождают пространство нужной размерности.]
6. Докажите, что если ХеЛ+, то все элементы \l, связанные с X,
удовлетворяют условию \х-<\ и потому появляются в качестве весов
bZ(X).
7. Пусть ?> =[1L(L), lt(X)] — подпространство в 1L(L), порожденное все-
всеми элементами вида ху — ух (х, у Eil(L)). Докажите, что il(L) являет-
является прямой суммой подпространств Э и 3 (что позволяет продолжить )(х
на il(L), положив его равным 0 на Э). [Вспомним из упражнения 17.3,
что il(L) является суммой конечномерных L-модулей и, следовательно,
вполне приводимым L-модулем, так как алгебра L полупроста. Покажите,
что 3 — сумма всех тривиальных L-подмодулей в il(L), а Э совпадает с
пространством всех ad x(y), xeL, yEii(L), и это последнее дополнитель-
дополнительно к 3-]
8. Докажите, что решетка весов Л плотна в топологии Зарисского в Я*
(см. дополнение), если отождествить Я* с аффинным ^-пространством.
Получите отсюда другой способ распространить второе следствие из п. 23.2
на все X, \х Е Я*.
9. Покажите, что каждый гомоморфизм F-алгебр х- 3 —> F имеет вид )(х
для некоторого ХеЯ*. [Рассмотрите х как гомоморфизм &(H)W -^V и
покажите, что его ядро порождает собственный идеал в ©(//).]
10. Докажите, что отображение ф: 3 -^ &{H)W не зависит от выбора А.
Замечания
Доказательство Стейнберга теоремы Шевалле из п. 23.1 содержится в
работах Verma [1] и Varadarajan [1]. Изложение работы Хариш-Чандры о
«характерах» см. в Bourbaki [3], Harish-Chandra [1], Seminaire «Sophus
Lie» [1], Expose 19, Varadarajan [1], Verma [1]. В работе Chevalley [5] по-
показано, что &(H)W — полиномиальная алгебра.
§24. Формулы Вейля, Костангпа и Стейнберга
Сохраним обозначения из § 23. С помощью теоремы Хариш-Чандры
(см. п. 23.3) мы получим несколько замечательных формул для характеров
и кратностей в конечномерных L-модулях. (Короткий путь, не использую-
использующий §23, см. ниже в дополнении.)

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 167
24.1. Некоторые функции на Н*. В п.22.5 для ХеЛ+ были введены
формальные характеры chx модулей V(k): chx = Y1 тх(^М(л), гДе
элементы e(\i) образуют базис группового кольца Z[X]. Было бы полез-
полезно определить формальные характеры и для бесконечномерных модулей
Z(X), но бесконечные формальные суммы неудобны в обращении. Вза-
Взамен мы введем более разумный формализм. Можно рассматривать Z[A]
как множество функций из Л в Z (равных 0 вне конечного множества);
читатель легко проверит, что произведение превращается в свертку:
H+
Пусть X— пространство всех функций / из Я* в F, носитель которых
(множество всех таких ХеЯ*, что /(X) /0) лежит в конечном объедине-
объединении множеств вида ^Х — J2 ^Л &aeZ+ >. (Разумеется, такое множество
^ a>-o J
состоит из всех весов, встречающихся в модуле Z(X), X еЯ*.)
Короткое размышление показывает, что пространство X замкнуто от-
относительно свертки; это превращает его в коммутативную ассоциативную
F-алгебру, содержащую формальный характер chy любого стандартного
циклического L-модуля.
Возможно, иногда читателю удобнее представлять /еХ как формаль-
формальную комбинацию (с коэффициентами из F) элементов ХеЯ*. Что отве-
отвечает прежнему элементу е(Х)? Ясно, что это характеристическая
функция ех(Х) = 1, ех(^) =0 при [jl/X. Заметим, что г0 — единица коль-
кольца X и что ?х *?ц = ?х+ц- Группа Вейля W действует на Z(X) по формуле
(o~{f)(k) =/(oX); в частности, о(ех) =?ох-
Теперь нужно ввести еще два полезных элемента кольца X. Во-пер-
Во-первых, пусть р(Х) — количество множеств неотрицательных целых чисел
{ka, аУО}, для которых — Х=^ kaa. Разумеется, р(Х) = О, если X не
а>-0
лежит в решетке корней. Отметим, что p = chz@) (упражнение 20.5); в
частности, р е X. Назовем р функцией Костанта (она отличается от
функции разбиения Костанта лишь знаком элемента X). Далее, положим
q'= П (?«/2 — ?-a/2) (гДе символ произведения YI обозначает свертку в X).
а>-0
Назовем q функцией Вейля.
Теперь докажем ряд простых лемм о различных функциях, определен-
определенных выше. Для каждого положительного корня а пусть fa(—k(x) = 1 при
всех &eZ+, в остальных случаях /а(Х) = 0. (Можно символически пред-
представить /а как ?0 + ?-<х + ?-2а + • • • ) Ясно, что /а G X.
Лемма А. Справедливы следующие соотношения
(а)р=П /.;
а>-0
(Ь) (?0-?-а)*/а = ?0;

168 Глава VI. Теория представлений
(с) </ = ?5* П (ео -?-«)¦
а>-0
Доказательство. Формула (а) непосредственно следует из опре-
определения свертки. Для доказательства формулы (Ь) запишем формально
(ео — е_а) * (?о + ?-а + ?-2а + • • • ) = ?о> поскольку все остальные слагаемые
сокращаются. (Легко доказать это строго.) Докажем формулу (с). По-
Поскольку b=J2 9а' ?s = П ?«/2- Но (е0 - е_а) * ?а/2 = ?а/2 - ?_а/2, откуда сле-
а>-0 Z а>-0
дует нужный результат. ?
Лемма В. Если oeW, ?{о) такое, как в п. 10.3, то oq = (—\)i{a)q.
Доказательство. Достаточно доказать это равенство для случая,
когда о = оа — простое отражение, т.е. ?(о) = \. Но оа переставляет по-
положительные корни, отличные от а, и отображает а в —а (лемма 10.2В),
поэтому oaq = —q. ?
Лемма С. Справедливы соотношения g*p*?_s = ?o.
Доказательство. Соединив три утверждения леммы А, получаем
a>-0 a>-0 a>-0
Лемма D. Справедливы соотношения chZ(X)([i) =p(\i — \) = (р*?х)([л).
Доказательство. Первое равенство очевидно (см. упражне-
упражнение 20.5), так же как и второе. ?
Лемма Е. Справедливы соотношения g*chz(x) =?x+8-
Доказательство. Соединим леммы С и D. ?
Коэффициент (—1)*(о) (oG#), который появляется в лемме В, далее
кратко обозначается sn(o). Напомним, что если алгебра L принадлежит
к типу А^, то группа W изоморфна симметрической группе J^+i и sn(o)
совпадает со знаком перестановки о (+ для четных, — для нечетных).
24.2. Формула кратностей Костанта. Теперь попробуем выразить
формальный характер chx конечномерного модуля V(k) (ХеЛ+) как
Z-линейную комбинацию некоторых характеров ch^), а затем упростить
результат с помощью лемм из предыдущего пункта (а также теоремы
Хариш-Чандры).
Пусть Ш1Х обозначает совокупность всех L-модулей 1/, имеющих сле-
следующие свойства (для фиксированного ХеЯ*):
A) V является прямой суммой весовых подпространств (относитель-
(относительно Я);
B) центр 3 алгебры ii(L) действует на V как умножение на скаляры
Xx(z) (ze3);
C) формальный характер модуля V принадлежит кольцу X.
Конечно, этим критериям удовлетворяют все стандартные циклические
модули веса X, а также их подмодули (которые, как известно, не всегда

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 169
являются суммами стандартных циклических подмодулей). В самом деле,
множество Ш1Х замкнуто относительно взятия подмодулей, гомоморфных
образов и (конечных) прямых сумм. Ввиду теоремы Хариш-Чандры (см.
п. 23.3) 9ЯХ =97^ в точности тогда, когда веса Хи(л связаны.
Лемма. Пусть VeTl^. Тогда V обладает хотя бы одним старшим
вектором (если V^O).
Доказательство. Если а)-0, а \х — некоторый вес модуля V, то
ввиду свойства C) элемент [л + йане будет весом для V при всех достаточ-
достаточно больших k eZ+. Отсюда очевидно, что для некоторого веса \х никакой
элемент \l + а (а У 0) не будет весом; тогда максимален любой ненулевой
вектор в Vp. ?
Для каждого X Е Н* положим 8(Х) = {\х Е Н*: [л ^< X и [л ~ X}. Напомним
(см. п.23.2), что запись \i~\ означает, что \х-\-Ь и Х + 8 эквивалентны отно-
относительно W. В следующем ключевом результате вступает в игру теорема
Хариш-Чандры, ограничивая возможные старшие веса композиционных
факторов модуля Z(X).
Предложение. Пусть ХеЯ*. Тогда
(a) Z(X) обладает композиционным рядом;
(b) каждый композиционный фактор модуля Z(X) имеет вид V(\i),
где (jie8(X), а модуль V([i) определен как в п. 20.3);
(c) 1/(Х) встречается среди композиционных факторов моду-
модуля Z(X) лишь один раз.
Доказательство, (а) Если модуль Z(X) неприводим, то Z(X) = V(k)
и доказательство не требуется. В противном случае Z(X) имеет ненулевой
собственный подмодуль V, который лежит в Ш1Х. Поскольку dim Z(X)X = 1,
элемент X не является весом для V. По предыдущей лемме V имеет стар-
старший вектор (скажем, веса \i ^ X) и потому содержит ненулевой гомоморф-
гомоморфный образ W модуля Z(\i). В частности, )(х = Х^ поэтому \~\i (по теореме
Хариш-Чандры) и jjl G G(X). Рассмотрим теперь Z(k)/W и W. Каждый из
этих модулей — стандартный циклический (и лежит в SDTX), но либо име-
имеет меньше весов, связанных с X, чем имел модуль Z(X), либо имеет те
же веса, но с меньшими кратностями. Повторяя предыдущее рассужде-
рассуждение для Z(k)/W и W, получаем новые подмодули и гомоморфные образы
подмодулей с меньшим количеством весов, связанных с X, либо с меньши-
меньшими кратностями этих весов. Очевидно, что после конечного числа шагов
процесс закончится, т.е. будет построен композиционный ряд для Z(X).
(b) Каждый композиционный фактор модуля Z(X) лежит в Ш1Х и соглас-
согласно лемме обладает старшим вектором, а потому должен быть стандартным
циклическим (ввиду неприводимости). Ввиду п. 20.2 каждый композици-
композиционный фактор изоморфен некоторому V(\i). Мы уже видели, что тогда
элемент \х должен принадлежать 8(Х).
(c) Это утверждение очевидно, поскольку dim Z(X)X = 1. ?

170 Глава VI. Теория представлений
Из предложения вытекает равенство chZ(X) =chy(X) + J
Z+), где сумма берется по jjl G G(X), \i^\. По-прежнему считая
X G Я* фиксированным, упорядочим элементы из 8(Х) как (\хи ..., ^),
наложив лишь условие, что если ^--<[iy, то /</. (В частности, Х = ^.)
Согласно предложению, все характеры chz(li> > в свою очередь можно вы-
выразить как Z-линейные комбинации функций chy^.), /^/ (коэффициент
при chy^.) равен 1). Поэтому полученная система t уравнений имеет тре-
треугольную матрицу (при заданном упорядочении) с единицами на диагонали;
в частности, ее определитель равен 1, поэтому она имеет целочисленную
обратную и все спуAХ.) можно выразить как Z-линейные комбинации функ-
функций chz(ll.), /</, причем коэффициент при chz(li>.) равен 1. (Конечно, теперь
некоторые коэффициенты могут быть отрицательными.)
Следствие. Пусть ХеЯ*. Тогда chy(X) является Ъ-линейной комби-
комбинацией J2 ciy^chzfo) (сумма по [леб(Х)), причем с (к) = 1.
Применим теперь это следствие к частному случаю, когда X — до-
доминантная целочисленная функция, chx = chy(X). Тогда раз-
размерность dim V(\) конечна и o(chx) =chx для всех oG# (теорема 21.2).
Как выше, выразим chx в виде Y1 ^(Н-H^^) (^G0(X)), где с(к) = \. По
лемме 24.IE мы имеем ^/*chx = J^ ^(^1M^+5, а по лемме 24.1В полу-
получаем o(q * chx) =a(q) * o(chx) =sn(o)q * chx (oG#). С другой стороны,
o(J2 с(\*)?у.+ь) = Y1 c(H-)?o(ia+8)- Так как W транзитивно переставляет функ-
функции (i + 8 (где \х связано с X), а с(к) = 1, мы непосредственно получаем,
что c([i)=sn(o) при o'^ + S) =Х + 8. Следовательно,
* chx = ^2 sn(o)?o(x+5). (*)
Наконец, применив к этому уравнению лемму 24.1С, получаем chx =
= q * р * ?_5 * Chx = р * ?_5 * ( J2 Sn(o)?o(x+5)) = р * ( ]Г Sn(o)?o(x+5)_5) =
= J2 Sn(o)p*?o(x+5)_5.
Теорема (Костант). Пусть XgA+. Тогда кратности весов моду-
модуля V(k) выражаются формулой
Достоинством этой формулы является то, что кратности выражены в
явном виде. Однако на практике часто бывает проще воспользоваться ре-
рекуррентным методом Фрейденталя (§22), так как суммирование по группе
Вейля в случае высокого ранга становится весьма обременительным.
24.3. Формулы Вейля.
Лемма. Справедливо соотношение q= J2 sn(o)?oS.

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 171
Доказательство легко провести непосредственно, но вместо этого
мы применим формулу (*) из п. 24.2. Если Х = 0, то, разумеется, chx = ?0 и
правая часть соотношения (*) принимает вид J2 sn(o)?oS. ?
Теорема (Вейль). Пусть ХеА+. Тогда
sn(o)?o5J *chx= ^2 sn(o)?o(x+5).
Доказательство. Применим формулу (*) из п.24.2 и предыдущую
лемму. ?
Формула характеров Вейля фактически говорит, что можно вычи-
вычислить chx как частное двух простых алгебраических сумм в Z(X). На
практике это «деление» оказывается весьма трудоемким, и метод Фрей-
денталя (см. §22) обычно быстрее приводит к цели. Однако из формулы
Вейля можно вывести чрезвычайно полезную формулу для размерно-
размерности модуля V(k) (ХеА+), обозначаемой далее deg(X). Ясно, что deg(X) =
поскольку 1/(Х) — прямая сумма весовых подпространств.
Это как раз сумма коэффициентов в формальной сумме Y1 m\(v)e(v)
V-
GZ[A]. В терминах функций это сумма значений функции chx.
Теперь рассмотрим подалгебру Хо С X, порожденную характеристическими
функциями ?х (ХеЛ). Тогда можно определить гомоморфизм v: Хо —> F,
сопоставляющий функции / G Хо сумму ее значений. Наша задача —
вычислить u(chx) как функцию от X. К сожалению, применяя v к ал-
алгебраической сумме типа Yl sn(o)?Eg, мы получаем 0, поэтому нужно
действовать окольным путем. Для произвольного ХеА+ положим ради
краткости со(Х + 8) = J2 sn(o)?o(x+8)-
Отображение е i—> (X, а)?х (для фиксированного корня а) продолжается
до эндоморфизма да алгебры Хо, который в действительности является
дифференцированием. Эндоморфизм д = П да в общем случае диффе-
а>-0
ренцированием уже не будет, но может рассматриваться как дифферен-
дифференциальный оператор. Формула Вейля означает, что &)(8) *chx = co(X + 8).
Здесь б)(8) — функция Вейля (ранее обозначавшаяся q), которая равна
?_б* П(?а~1) (см- лемму 24.1А(с)). Умножим это выражение на chx и
а>-0
применим д (используя правило умножения дифференцирований да), за-
затем v. Большинство слагаемых исчезнет, поскольку v(sa— l)=0. Оста-
Останется лишь слагаемое y(9co(8))y(chx), которое по формуле Вейля равно
у(9со(Х + 8)). Это позволяет выразить deg(X) = u(chx) в виде частного.
Короткое размышление показывает, что v(de^) = П(Ъ, ос); анало-
а>-0
гично v(deGs) = П (о8, а) = YI (&> о~{а). Но вспомним, что количество
а>-0 а>-0

172 Глава VI. Теория представлений
положительных корней, переходящих в отрицательные под действием
о, равно ?(о~{) =?(о) (см. лемму 10.ЗА), так что полученное выраже-
выражение равняется sn(o) П (8, a), sn(o) = (—1)^(о). Иначе говоря, u(cta(8)) =
а>-0
= ]Г sn(o)v(dsob) = ]Г sn(oJ П(8, а) = Card(^) П(8» <*)• Такое же
оеУР оеУР а>-0 а>-0
рассуждение в случае б)(Х + 8) приводит к Card(y^) П(^ + ^> °0- Образо-
а>-0
вав частное, получаем следующее
Следствие. Пусть ХеЛ+. Тогда deg\= Ц(к + Ъ, а)/ П(^а)-
а>-0 ' а>-0
Полезно заметить, что после умножения числителя и знаменателя на
2 /
П мы получаем deg(X) = П (X + 8, а) / П (8, а) (частное двух це-
а>-0 (а' а) а>-0 / а>-0
лых чисел). Но (Х + 8, а) = (Х + 8, av), где av — двойственный корень.
В свою очередь, так как Av — базис системы Фу (упражнение 10.1), можно
записать av = Y C/a)<*^, откуда следует, что (Х + 8, a) = Y ^(^ + й> а,) =
/ i
— X] с^ (mi + 1) (гДе ^ = X] mi^d • Поэтому нужно лишь вычислить числа с^
i i
(упражнение 7).
Примеры. В случае типа А{ мы имеем Xi = -a = 8, так что формула
принимает вид deg(X) =m+ 1, Х = тХь см. теорему 7.2.
Сосредоточимся теперь на случае ранга 2. Пусть Х = т1Х1+т2Х2.
В случае типа А2 положительные корни равны ab a2, а!+а2. Соот-
Соответственно знаменатель полученной дроби равен 1-1-2, а числитель
(т{ + 1)(т2 + \)(т{ +т2 + 2). В случаях В2 и G2 вычисления аналогичны
(в случае В2 возьмем короткий корень в качестве а2, а в случае G2 — в
качестве <xi в соответствии с § 11). Подведем итог (упражнение 7):
(А2) ^(m1
(В2) ^(т{ + 1)(т2 + \)(т{ +т2 + 2)Bт1 + т2 + 3),
(G2) |j(mi + I)(m2
В случае G2 имеем deg(X2) = 14. Поскольку X2 = 3ai +2a2 — старший
корень, мы опознаем в V(k2) модуль, отвечающий присоединенному пред-
представлению. Далее, deg (Xi) =7 и V(k\) — это (?0 (подпространство элемен-
элементов со следом 0 в алгебре Кэли (см. п. 19.3)).
24.4. Формула Стейнберга. Соединив формулы Костанта и Вейля,
мы сможем получить явную формулу (найденную Стейнбергом) для чи-
числа вхождений модуля 1/(Х) в тензорное произведение 1^(Х;) 0 ^(Х/;). Если
Х;, Х"еЛ+, то по теореме Вейля о полной приводимости конечномерных

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 173
L-модулей (см. п. 6.3) можно записать V(k') 0 V(W) как прямую сумму не-
некоторых модулей V(k), каждый из которых появляется п(к) раз (если V(k)
совсем не появляется, то положим п(к) = 0). Как следствие, формальный
характер тензорного произведения равен ^ ft(X)chx. С другой стороны,
хел+
мы доказали в (п. 22.5), что этот формальный характер равен chX/ *chX//.
Значит,
chX/*chX//=^Ai(X)chx. A)
X
Как и раньше, обозначим выражение Yl sn(°)?o(lx+8) (^^Л+) через
). Умножив обе части равенства A) на б)(8) и применив формулу
Вейля (см. п. 24.3) соответственно для X", X, получаем
chX/ * co(X" + 8) = 2^ az(X)co(X + Ь). B)
x
Теперь запишем chX/ в виде ^ ^х'СН-N^ и заменим mX/([i) его значением
из формулы Костанта (см. п. 24.2). Уравнение B) примет вид
V V <т(п}п(и -к^_о(х/ + 8))?1Х*б)(Х// + 8) = У^ az(X)co(X + 8). C)
Используя явное выражение для 6)(Х" + 8), получаем
^ n(X)sn(o)?o(x+5).
D)
Чтобы сравнить правую часть равенства D) с левой, сделаем замену
переменных. В правой части заменим X на v, где о(Х + 8) =v + 8 и получим
8)?v+5. E)
В левой части заменим \х на v, где т(Х/; + 8)+[jl = v + 8, и придем к выра-
выражению
Пусть теперь вес v доминантный. Тогда вес o(v + Ь) —Ь не может
быть доминантным, за исключением случая о= 1 (упражнение 13.9). По-
Поэтому если оф\, то n(o(v + 8) —Ь) =0, а это означает, что коэффициент
при ?v+5 в выражении E) равен п(\). Ввиду F) доказана

174 Глава VI. Теория представлений
Теорема (Стейнберг). Пусть X', X" еЛ+. Тогда количество вхожде-
вхождений модуля V(k), ХеЛ+, в У(У) ® У(У) определяется формулой
Эта формула (как и формула Костанта) имеет вполне явный вид, но
отнюдь не легка в применении, если группа Вейля велика. В упражнении 9
выведена формула, которая часто оказывается более практичной.
Упражнения
1. Дайте прямое доказательство формулы характеров Вейля (см.
п. 24.3) для типа Аь
2. С помощью формулы размерности Вейля покажите, что точный не-
неприводимый конечномерный L-модуль наименьшей возможной размерно-
размерности имеет старший вес X/ при некотором /, 1 ^i^?.
3. С помощью формулы Костанта проверьте некоторые из кратностей,
указанных в примере 1 п. 22.4, и сравните chx из этого примера с выраже-
выражением, которое дает формула Вейля.
4. Сравните формулу Стейнберга для частного случая Ai с формулой
Клебша—Гордана (упражнение 22.7).
5. С помощью формулы Стейнберга разложите G2-модуль V(k\) 0 1/(Х2)
на неприводимые составляющие. С помощью формулы Вейля проверьте,
что сумма их размерностей действительно равна dim V(k\) • dim 1/(Х2).
6. Пусть L = slC, F). Вес \ = m{k\ -\-1ri2k2 кратко обозначим (mb т2).
С помощью формулы Стейнберга проверьте, что 1/( 1,0) ®1/@,1) = 1/@,0) ф
01/A, 1).
7. Проверьте формулы степени в п. 24.3; выведите такую формулу для
типа С3. Как в общем случае можно найти числа с)а)?
8. Пусть X G Л, причем оХ = Х для некоторого о ф 1 из W. Докажите, что
J2 sn(°)?o(x) = 0. [Используя тот факт, что X лежит в замыкании, но не во
о(Х)=Х
внутренности некоторой камеры Вейля, найдите отражение, оставляющее X
на месте, и докажите, что его стабилизатор имеет четный порядок.]
9. Цель этого упражнения — получить новое разложение тензорного
произведения, основанное на явном знании весов одного из сомножителей.
Как и в п.24.4, рассмотрим уравнение B) сЬХ/*б)(Х/;+8)= Y1 я(Х)со(Х+8).
хел+
Замените в левой части chX/ на J2 тх'(^)?х и приведите ее к виду
хел
^2 sn(o) ^2 /7v(X)s;o(x+x"+8b учитывая, что W переставляет весовые под-
оенг х
пространства в 1/(Х;). Затем покажите, что правую часть равенства B)
можно привести к виду Yl sn(o) Y1 п(^)го(к+ъ)- Если некоторый элемент
oew хел+

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 175
о ф 1 из W оставляет \х на месте, то пусть t([i) = 0, а в противном случае
/([i) = sn(o), где о(\х) —доминантный вес. Выведите тогда из упражнения 8,
что
chX/*chX//= Y^ rnv(k)t(k + 'k" + 8)ch{x+x"+8}-8,
где фигурные скобки означают единственный доминантный вес, эквива-
эквивалентный данному.
10. Используя подход из упражнения 9, проработайте еще раз упраж-
упражнения 5 и 6.
11. Проверьте, что (в обозначениях из упражнения 6) 1/A, 1H1/A,2) =
=* 1/B, 3) 0 1/C, 1) 0 1/@, 4) 0 1/A, 2) 0 1/A, 2) 0 1/B, 0) 0 1/@, 1).
12. Используя формулу Стейнберга, покажите, что 1/(Х) может вой-
войти как слагаемое в 1/(XJ 0 1/(Х") лишь при таких X, которые имеют вид
jji + X", где [iGlT(X/). Выведите из упражнения 9, что если все такие ве-
са \i + X" доминантны, то V(\i + X") входит в тензорное произведение
и его кратность равна тХ/([л). Используя эти факты, найдите разложение
для 1/A, 3) 0 1/D, 4) в случае типа А2 (см. пример 1 из п. 22.4).
13. Пусть сумма положительных корней равна к. Покажите, что начи-
начиная с некоторого п выполняется равенство тпЪ(пЬ — к) =р(—к).
Замечания
Первоначальные доказательства Вейля использовали интегрирование
по компактным группам Ли; позже Фрейденталь нашел более алгебраич-
ное доказательство (но не столь прозрачное); см. Freudenthal, de Vries [1],
Jacobson [1], Samelson [1]. Наш подход восходит к работе Verma [1] и
близко следует более поздней работе Бернштейн, И. Гельфанд, С. Гель-
фанд [1]. Первоначальное (довольно сложное) доказательство формулы
Костанта см. в Kostant [1], а упрощающие замечания — в Cartier [1]. Фор-
Формула Стейнберга строго выведена в Steinberg [1]. Подход к тензорным
произведениям, намеченный в упражнении 9, восходит к Brauer [2] (ср.
Климык [1]), а упражнение 12 основано на Kostant [1].
Дополнение. При доказательстве формул Вейля и Костанта мы ис-
использовали результат из §23 относительно центральных характеров. Ви-
Видимо, этого нельзя избежать, если доказывать предложение 24.2 для всех
ХеЯ*. Но фактически нам требуется лишь случай целочисленных
весов, когда всю необходимую информацию несет не только весь центр ал-
алгебры 1L(L), но уже элемент Казимира. Возможность получить отсюда до-
доказательство стала ясной из работы В. Г. Каца [1] о формулах Макдональда
(см. Garland, Lepowsky [1]). Однако следует подчеркнуть, что содержание
§23 существенно в некоторых вопросах теории бесконечномерных пред-
представлений (например, в работе Хариш-Чандры по дискретным сериям).

176 Глава VI. Теория представлений
Вот подробная схема такого доказательства формулы Вейля.
1. Напомним из п. 22.1 построение элемента Казимира c = cL в 1L(L):
г
c = Y^ hiki+ Y^ XA, где базисы в L, двойственные относительно формы
/=1 осе*
Киллинга, выбраны специальным образом. (На самом деле любой их выбор
приводит к тому же элементу с.) Как отмечено в п. 23.2, элемент с лежит в
центре алгебры 1L(L) и потому действует как скаляр на любом стандартном
циклическом модуле.
2. Вычислим скаляр, представляющий элемент с на стандартном ци-
циклическом модуле старшего веса ХеЯ*, порожденном старшим вектором
v+ (см. упражнение 23.4). Если а -<< 0, то za • v+ = 0, а если a >>- 0, то можно
записать xaza = zaxa + ta, где ха • v+ = 0 и потому xaza • v+ = ta • и+ = (X, a)u+.
С другой стороны, в начале п. 22.3 было показано, что J2 М
Собрав все это вместе и вспомнив, что 28 = ^ а, получаем, что с действует
а>-0
на v+ как скаляр (X, X) + ]Г (X, а) = (X, X) + 2(Х, Ь) = (X + 8, X + 8) - (8, 8).
а>-0
3. Теперь мы можем доказать вариант предложения 24.2. Пусть Z —
стандартный циклический модуль старшего веса ХеЛ. Мы утверждаем,
что Z имеет композиционный ряд с композиционными факторами ви-
вида V([i), где [i -< X удовлетворяет условию
Поскольку решетка Л дискретна, а множество элементов \х Е Е с услови-
условием (*) компактно, лишь конечное множество весов \х для Z удовлетворяет
этому условию. Пусть d = J2 dim Z^ (сумма по всем таким \х); так как ве-
весовые подпространства в Z конечномерны, d конечно. Проведем индукцию
по d.
Пусть d=\. Если модуль Z включает собственный ненулевой под-
подмодуль W, то он является суммой весовых подпространств (см. п. 20.2)
и потому обладает старшим вектором некоторого веса \х-<\, \х^\. Со-
Согласно шагу 2, элемент с действует на этот старший вектор как скаляр
([1+8, [!+&)-(&, 8), а на Z —как скаляр (Х + 8, Х + 8)-(8, 8). Значит, ц удо-
удовлетворяет условию (*) вопреки тому, что d= 1. Другими словами, модуль Z
неприводим, поэтому Z=1/(X) (см. п. 20.3) и доказательство завершено.
Аналогично проводится индуктивный переход. Если модуль Z приво-
приводим, то он содержит собственный подмодуль W, который является стан-
стандартным циклическим с некоторым весом \х -< X, удовлетворяющим усло-
условию (*). Применяя индуктивное предположение к стандартным цикличе-
циклическим модулям Z/W и W, получаем композиционные ряды нужного типа,
которые вместе дают искомый композиционный ряд для Z.

§24. Формулы Вейля, Костанта а Стейнберга 177
4. Как и в п. 24.1, с помощью формальных характеров можно предста-
представить модуль как «сумму» его композиционных факторов. Сократим обо-
обозначение chy(X) до chx и chz(x) до chx. Фиксируем ХеЛ+ и рассмотрим
(конечное) множество весов ^еЛ, удовлетворяющих условию (*). Можно
упорядочить это множество как (\lu ..., \it), где из ^ -ф;- вытекает /</.
Тогда с учетом шага C) можно записать: cry = ^ ссцс\\щ (ац е Z+, аи =1).
KI
Если положить пц = 0 при / >/, то матрица (а^) будет верхнетреугольной с
единицами на главной диагонали и потому обратимой над Z. Как следствие,
все функции ch^. можно выразить как Z-линейные комбинации функций
ct? , /</. Отсюда
Y^ (**)
где сумма взята по весам \l^\, удовлетворяющим условию (*), и мы по-
полагаем с (к) = 1.
5. Как и в п. 24.1, можно вывести различные формулы, связывающие
функции р, q, ch^. Отметим, что элемент oG# оставляет функцию chx
инвариантной (теорема 21.2) и при этом oq = sn(o)q (лемма 24.1В).
6. Чтобы вывести формулу Вейля (или Костанта), начнем с форму-
формулы (**) (см. выше). Достаточно показать, что если с(\х) /0, то \х имеет вид
{л = О(Х + 8) — 8 (о G W), причем c(\i) = sn(o). (Тогда доказательство завер-
завершается точно так же, как в п. 24.2, 24.3.) Умножив обе части формулы (**)
на q и применив лемму 24.IE, получаем g*chx = X] ?(^)?ц+8- Применим
о G W к обеим частям этого уравнения. Левая часть умножается на sn(o),
а правая принимает вид J^ с(^)еоA1+5). Как следствие, множество весов
[jl + 8, для которых с(\х) т^О, инвариантно относительно >^, и коэффициен-
коэффициенты в заданной орбите отличаются на множитель ±1. Перепишем уравнение
в терминах сумм по ^-орбитам и воспользуемся тем, что с(\) = 1:
q * chx = ^2 sn(o)?o(x+5) + 5.
Осталось убедиться, что сумма 5 пуста. Предположим противное. По-
Поскольку каждая ^-орбита в Л пересекает Л+ (лемма 13.2А), найдется
такой вес [i^<X, [л^Х, что [1 + 8еЛ+, причем выполнено соотношение (*).
Но в этой ситуации можно применить доказательство леммы 13.4С,
получая [i = X, что невозможно.

Глава VII
Алгебры и группы Шевалле
Мы сохраняем обозначения из предыдущих глав: L — полупростая ал-
алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики О, Я —
картановская подалгебра, Ф — система корней.
В этой главе мы увидим, как построить алгебру L и ее неприводимые
представления «над Z», что всегда было более или менее понятно в случае
классических алгебр. Фактически мы продвинемся гораздо дальше и смо-
сможем построить группы Шевалле и их представления над произвольными
полями. Это обширная тема, о которой мы сможем дать читателю лишь
первоначальные сведения.
§25. Базис Шевалле в L
25.1. Пары корней. В п. 25.2 мы докажем, что алгебра L имеет базис,
которому отвечают целочисленные структурные константы. Но сначала,
имея в виду равенство [ха, Хр] = саРха+р, мы должны установить ряд фактов
о парах корней а, C, для которых а + C также является корнем. В следую-
следующем предложении фигурирует только система корней Ф (но не L).
Предложение. Пусть а, C — линейно независимые корни, причем а-
серия, порожденная корнем Ь, имеет вид [3 — га,..., [3,..., [3 + qa. Тогда
(a) ф, a) = r-q;
(b) в строке встречаются корни не более двух различных длин;
(c) если а + ?еФ, то Г+1
Доказательство. Соотношение (а) было доказано в п. 9.4 (а также
в предложении 8.4(е) с помощью представлений алгебры 5lB, F)).
Докажем утверждение (Ь): Ф' = (Za + Zf3) П Ф — система корней ранга 2
(в подпространстве, которое порождают в Е корни а, [3); см. упражне-
упражнение 9.7. Если система приводима, то она принадлежит к типу А{ х Аь
т.е. Ф; = {±а, ±|3}, и доказывать нечего. Если же она неприводима, то
Ф; = А2, В2 или G2, откуда следует наше утверждение (можно также при-
применить лемму 10.4С).
Утверждение (с) можно доказать, рассмотрев системы корней ранга 2
(упражнение 1). Однако имеется геометрическое рассуждение, применимое

§25. Базис Шевалле в L 179
в общей ситуации. Во-первых, из утверждения (а) вытекает, что
, <7(а + р, а + Р) _ 2(р, а) ¦ <?(а + р, а + Р) _
( ' (Р,Р) ~Я («, а) + (р,р)
_2(р,а) , g(ot,ot) 2<?(а, р) _ , ,
-(а,а)+1 (р,р) (р,р) -W.«;+
Множители последнего произведения обозначим через Л, В. Нужно по-
показать, что какой-то из них равен 0. Ситуация н е симметрична по а, C,
поэтому нужно выделить два случая.
Случай (i): (а, а) > ф, р). Тогда \ф, а)| < |(а, р)|. Поскольку а, [3 неза-
независимы, мы знаем (см. п. 9.4), что (C, а) (а, C) =0, 1,2 или 3. Ввиду пре-
предыдущего неравенства ([3, а) = — 1, 0 или 1. В первом случае Л = 0, что и
требовалось. В противном случае ф, а) > 0, поэтому ф + ос, C + а) стро-
строго больше, чем ([3, C) и (а, а). Поскольку а + реФ, из утверждения (Ь)
следует, что (а, а) = ф, C). Аналогично ф + 2а, C + 2а) > (C + а, C + а), и
утверждение (Ь) влечет условие C + 2а ^ Ф, т. е. g = 1, а значит 5 = 0.
Случай (и): (а, а) < ф, [3). Тогда (а + р, а + р) = (а, а) или ф, р) (вви-
(ввиду (Ь)), откуда в обоих случаях мы получаем (а, р) < 0 (и потому (а, Р) < 0).
Далее, ф —ос, р —ос) > ф, Р) >(а, а), поэтому р — а^Ф (снова ввиду (Ь)), т.е.
г = 0. Как и выше, (а, C) (р, а) = 0, 1,2 или 3, однако здесь | (а, р) | < | (р, а) |,
откуда следует, что (а, р) = — 1, 0 или 1. Но мы знаем, что (а, р) < 0, поэтому
(а, C) = — 1. Ввиду утверждения (а) мы имеем а = — (В, а) = , п[ = , [,
N r/ Nr 7 (а, Р) (а, а)
а значит В = 0. П
25.2. Существование базиса Шевалле.
Лемма. Пусть ос, р — независимые корни. Возьмем элементы
xaeLa, x_aeL_a, ^ля которых [ха, x_a] = ha, и произвольный эле-
элемент XpGLp. 7bada вела а-серия, порожденная корнем р, имеет вид
Р~ га, ..., р + ^a, то [х_а, [ха, хр]] = ^/(г+1)хр. (Определение элемента йа
см. в предложении 8.3.)
Доказательство. Если a + р^Ф, то q = 0 и [ха, хр] = 0, поэтому
обе части рассматриваемого равенства равны 0. В общем случае можно
использовать присоединенное представление алгебры Sa (=slB, F)) на L,
подобно тому как использовалось произвольное представление в п. 22.2.
А именно, 5а-подмодуль в L, порожденный элементом хр, имеет размер-
размерность r + q+ 1 (число корней в a-серии, порожденной весом р) и старший
вес r-\-q. В обозначениях леммы 7.2 элемент хр является (ненулевым)
кратным вектора vq, и последовательное применение отображений ad xa
и ad x_a умножает vq (значит, и хр) на скаляр q(r-\-1). D
Предложение. Корневые векторы ха еLa (cue Ф) можно выбрать
так, чтобы выполнялись следующие условия:
(а) [ха, х_а] = /га;

180 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
(b) если а, р, а + р е Ф, [ха, Ха] = саРха+р, то саР = -с_а,_р.
Яра любом таком выборе корневых векторов скаляры саР (а, р,
а + [ЗеФ) автоматически удовлетворяют условию
(c) с^ = ^(г+ 1) ^а ^' |* ^ , где р — га, ..., р + да составляют а-
серию, порожденную корнем р.
Доказательство. Напомним (предложение 14.3), что алгебра L
обладает автоморфизмом о порядка 2, отображающим La в L_a (a G Ф) и
действующим на Я как умножение на — 1. Для произвольного ненулевого
xaeLa элемент х_а = — о(ха) GL_a не равен нулю, причем х(ха, х_а)/0
(х—форма Киллинга). При замене ха на сха (cgF) это значение умно-
умножается на с2. Поскольку поле F алгебраически замкнуто, при подходящем
выборе ха можно получить любое заданное ненулевое значение. Возь-
Возьмем х(ха, х_а) =2/(а, а). Согласно предложению 8.3(с) в этом случае
[ха, x_a] = /za (=2/а/(а, а)). Если для каждой пары корней {а, —а} вы-
выбрать {ха, х_а} таким образом, то условие (а) будет выполнено.
Пусть теперь а, р, а + реФ, так что [ха, xp] = caPxa+p для некото-
некоторого caP G F. Применив к этому уравнению автоморфизм о, получаем
[-*-«, -A:_p] = -capA:_a_p. С другой стороны, [х_а, х_р] = с_а>_рх_а_р, от-
откуда вытекает условие (Ь).
Выбрав корневые векторы {xa, aG Ф}, для которых выполняются усло-
условия (а) и (Ь), рассмотрим ситуацию, когда а, р, а + реФ (как следствие,
а и р, а тогда также ta и /р (см. п. 8.2), линейно независимы). Посколь-
Поскольку /a+p = ta + tp, из условия (а) вытекает, что [caPxa+p, caPx_a_p] = ^р/га+р =
2с2
^(^а + ^р)- ^ Другой стороны, ввиду условия (Ь) левая часть
= 7r
^ос ~г р, ос
также равняется -[[ха, хр], [х_а, х_р]] = -[ха, [хр, [х_а, х_р]]] + [хр, [ха, [х_а,
^-p]]] = [^a, [-^p, [*-р, х_а]]] + [хр, [ха, [х_а, х_р]]]. Пусть р-серия, порожден-
порожденная корнем а, имеет вид а —г;р, ..., a + q'fi. Тогда к каждому слагаемому
можно применить предыдущую лемму (умножив a, p на — 1, что не вли-
влияет на г, q, r', q'), и мы получим: q'(r' + l)[xa, x_a] + q(r+ l)[xp, x_p] =
. , 2^(r+1) , Г ..
= ггта-\—'\ оч ta. Сопоставив эти коэффициенты с полученными
(а, а) (р, р) р
выше, с учетом линейной независимости элементов ta и ta получаем усло-
условие (с). ?
Теперь мы готовы к тому, чтобы построить базис Шевалле для L.
По определению это любой базис {ха, аеФ; hh 1 </<-?}, в котором эле-
элементы ха удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предыдущего предложения и
hi = h0L. для некоторого базиса А = {аь ..., о^} системы Ф.
Теорема (Шевалле). Пусть {ха, аеФ; ht, I ^i^?} — базис Шевал-
Шевалле в алгебре L. Тогда соответствующие структурные константы
лежат в Ъ. Более точно,

§25. Базис Шевалле в L 181
(a) [Л,-, Лу] = О, l^ij^i;
(b) [hh xa] = (а, а/>л:а, 1 < / < i, a e Ф;
(c) [ха, х_а] = Ла является Z-линейной комбинацией векторов
Ль..., Л*;
(d) ?с/ш а, р — независимые корни, р — га, ..., р + да составляют
QL-серию, порожденную корнем р, то [ха, хр] = 0 npw q = 0 и [ха, х$] =
= ±(г+1)ха+р яра а + реФ.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно, а (Ь) вытекает из то-
того, что a(hi) = (а, а,-). Что касается (с), то вспомним, что двойственные
корни av =2a/(a, a) образуют систему корней с базисом Av = {aj7, ..., a/}
(упражнение 10.1). При отождествлении Я и Я* с помощью формы Кил-
линга элемент ta соответствует a, a ha соответствует av. Поскольку каждый
корень av является Z-линейной комбинацией элементов из Av, каждый
элемент ha является Z-линейной комбинацией элементов йь ..., ht. На-
Наконец, утверждение (d) вытекает из утверждения (с) предыдущего предло-
предложения в сочетании с утверждением (с) предложения 25.1. ?
Читателю может показаться странным, что в определении базиса Ше-
валле мы потребовали выполнения равенства сар = —с_а>_р, а не сар = с_а,_р.
Однако эта асимметрия неизбежна. В самом деле, пусть выполнено усло-
условие (а) последнего предложения. Можно показать, применяя подходящим
образом тождество Якоби, что capC_a>_p = — (r+ 1J. Но это означает, что
условие (d) теоремы не могло бы выполняться при отсутствии условия (Ь)
предложения. (Таков был первоначальный ход рассуждений Шевалле.)
Читателю следует проверить (упражнение 2), что из базисов классических
алгебр, приведенных в п. 1.2, можно получить базисы Шевалле. Досто-
Достоинством теоремы Шевалле является единообразное доказательство суще-
существования базисов Шевалле; кроме того, она показывает, каким образом
из системы корней возникают структурные константы.
25.3. Вопросы единственности. Единствен ли базис Шевалле? Ес-
Если базис А фиксирован, то элементы ht полностью определены. С другой
стороны, можно варьировать выбор элементов ха. Например, можно за-
заменить ха на r](a)xa (аеФ). Тогда [r)(a)xa, т)(—а)х_а] = г)(а)г)(—а)йа. Чтобы
выполнялось условие (а) предложения 25.2, необходимо равенство
7)(aO)(-a) = l. (*)
Если а, р, а + реФ, то [г)(а)ха, г)(р)хр] = г)(а)г)(р)[ха, Хр] = сарГ)(а)г)(р)ха+р =
р р
р, где с'^= °Y p\ • Аналогичная выкладка с использо-
использованием (*) показывает, что для выполнения условия (Ь) предложения 25.2
( )
(**)
, a)( + )
мы должны иметь также с *= /\ /ОГ , т-е-
аР т)(а)т)(Р)

182 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Очевидно и обратное: для изменения элемента ха можно использовать лю-
любую функцию т): Ф —> F, удовлетворяющую условиям (*) и (**).
Более тонок вопрос о знаках. Мы имеем [ха, х$] = ±(г+ 1)ха+р
(а, р, а + реФ), но при выводе этого равенства не был выбран плюс
или минус. Это не случайно, в чем читатель может убедиться, заменив в
/О 0 1\ /0 0 -1\
базисе Шевалле для 5lC, F) матрицу 0 0 0 на 0 0 01: нет причин
\0 0 0/ \0 0 0/
предпочесть один выбор другому. Существует алгоритм согласованного
выбора знаков, основанный на знании лишь системы Ф, и это приводит к
новому доказательству теоремы об изоморфизме (см. пп. 14.2,
18.4) (см. замечания к этому параграфу). Конечно, такое доказатель-
доказательство будет содержать логический круг, если не установить независимым
образом существование автоморфизма о!
Отметим, что можно также доказать существование алгебры L
(см. п. 18.4), построив таблицу умножения явно и затем проверив тожде-
тождество Якоби. Такое доказательство было проведено Титсом (см. ниже заме-
замечания); хотя по своему характеру оно «элементарно», но весьма длинно по
сравнению с доказательством, основанным на теореме Серра (см. п. 18.4).
25.4. Редукция по простому модулю. Целочисленная линейная обо-
оболочка L(Z) базиса Шевалле {ха, hi} — это решетка в L, независимая
от выбора базиса А. Она даже является алгеброй Ли над Z (в очевид-
очевидном смысле) относительно операции коммутирования, унаследованной
из L (замкнутость гарантируется теоремой 25.2). Пусть ?p=Z/pZ —
простое поле характеристики р. Тогда определено тензорное произве-
произведение L(?p) =L(Z) ®z?p: это векторное пространство над ?р с базисом
{xa0l, Л/0 1}. Операция коммутирования в L(Z) при этом индуцирует
естественную структуру алгебры Ли на L(?p). Таблица умножения по су-
существу та же, что и в теореме 25.2, нужно лишь профакторизовать целые
числа по модулю р.
Если К—некоторое поле, содержащее ?р, то L(K) =L(?P) ®?рК =
= L(ZHzK наследует из L(?P) и базис, и структуру алгебры Ли. Таким
способом мы сопоставим паре (L, К) алгебру Ли над К, структурно по-
похожую на L. Назовем L(K) алгеброй Шевалле. Хотя алгебра L(Z) и
зависит от выбора корневых векторов ха, она, как легко видеть (упраж-
(упражнение 5), определяется алгеброй L с точностью до изоморфизма (над Z);
аналогично алгебра L(K) зависит (с точностью до изоморфизма) только
от пары (L, К).
Чтобы проиллюстрировать эти замечания, рассмотрим L =$[(?+ 1, F).
Ясно, что в стандартном базисе (см. п. 1.2) L(K) имеет ту же таблицу
умножения, что и sl(?-\-1, К). Поэтому L(K)=5l(?+ 1, К). Единственное
реальное изменение при переходе от F к К состоит в том, что алгебра ЦК)

§25. Базис Шевалле в L 183
может не быть простой: она имеет одномерный центр из скалярных
матриц, если char К делит ?+ 1 (ср. упражнение 2.3 и упражнение 8 ниже).
25.5. Построение групп Шевалле (присоединенный тип).
Предложение. Пусть аеФ, meZ+. Тогда (ad ха)т/т\ переводит
решетку L(Z) в себя.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый элемент ба-
базиса Шевалле отображается снова в L(Z). Мы имеем (ad xa)(hi) = [ха, hi] =
(ad x )m
= —(oL,oii)xaeL(Z) и ^—(hi) = 0 при всех m>2. Аналогично
(adxa)(x_a)=/zaeL(Z). Кроме того, (ad^) (x_a) = l[Xaj ha] = -xaeL(Z)
и р— (х_а) = 0 при всех т > 3. Разумеется, р— (ха) = 0 при m > 1.
Остается рассмотреть базисные элементы хр, [3 / ±<х. Если [3 — га,..., [3 + да
составляют а-серию, порожденную корнем [3, то роль числа г для кор-
корней C + а, C + 2а, ..., C + да играют (соответственно) г + 1, г + 2, ..., г -\- q.
Следовательно,
,
, ч . (г+ 1)(г + 2)... (г + т) / п о, j ЛЧ
(хр) = ± —-^ ^ -Ц+т* (или 0, если [3 + ma ^ Ф).
Коэффициент с точностью до знака совпадает с биномиальным коэффи-
циентом ( J, так что правая часть является целочисленным кратным
вектора xp+ma. ?
Значение этого предложения в следующем. Присоединенному пред-
представлению алгебры L в качестве модуля соответствует она сама. Решет-
(ad xa)m
ка L(Z) инвариантна относительно р—, а потому и относительно
exp ad ха = 1 + ad ха + -—^- +... (сумма конечна, поскольку опера-
оператор ad xa нильпотентен). По отношению к базису Шевалле можно рас-
рассматривать Int L = G как группу матриц. Подгруппа, порожденная всеми
exp ad cxa (аеФ, cgZ), оставляет решетку L(Z) инвариантной и потому
состоит из целочисленных матриц (с определителем 1). В частности, если
р — простое число, а ?р — простое поле из р элементов, то редукция всех
матричных элементов по модулю р дает группу матриц над ?р, которая
действует на алгебре Ли L(?p) как группа автоморфизмов и обозначает-
обозначается G(FP).
Более общо, пусть Т—переменное. Группа, порожденная всеми ма-
матрицами вида exp ad Txa (аеФ), состоит из матриц с элементами в Ъ[Т\
(и определителем 1). Если Т принимает значения в произвольном поле К,
содержащем ?р, то мы получаем группу матриц G(K) над К. Такая группа
называется группой Шевалле (присоединенного типа). Для конечно-
конечного поля К эта группа конечна и (за немногими исключениями) проста;

184 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
доказав это, Шевалле смог предъявить несколько семейств конечных про-
простых групп, неизвестных ранее.
Упражнения
1. Докажите предложение 25.1 (с) путем рассмотрения систем корней
ранга 2. [Заметьте, что один из корней а, C можно считать простым.]
2. Как получить базисы Шевалле из базисов классических алгебр, ука-
указанных в п. 1.2? [См. упражнение 14.7.]
3. С помощью доказательства предложения 25.2 дайте новое доказа-
доказательство для упражнения 9.10.
4. Докажите, что если в каждой компоненте системы Ф встречают-
встречаются корни только одной длины (т. е. Ф имеет неприводимые компоненты
типов A, D, Е), то в теореме 25.2 все элементы сар равны ±1 (когда
а, р, а + реФ).
5. Докажите, что различный выбор базисов Шевалле для L приводит к
изоморфным алгебрам Ли L(Z) над Z. («Изоморфизм над Z» определяется
так же, как и над полем.)
6. Пусть положительные корни алгебры типа В2 обозначены а, C, а + C,
2C + а. Проверьте, что для базиса Шевалле выполнены следующие равен-
равенства (с указанными знаками + и —):
[Лр, хр] = 2хр; [хр, ха] = ха+р,
[яр, ха] = —2ха; [хр, ха+р] = 2х2р+а,
[Лр, ха+р] = 0; [хр, х_а_р] = -2х_а,
[Лр, х2р+а] = 2х2р+а; [хр, х_2р-а] = — х_а_р,
[па, Хр] = — Хр; [ха, х_а_р] = х_р,
[Ла, ха] = 2ха; [ха+р, х_2р_а] = х_р,
[Ла, ха+р] = ха+р; [Ла, х2р+а] = 0.
7. Пусть F = C. Фиксируем в L базис Шевалле. Пусть И обозначает
R-подпространство в L, натянутое на элементы \f^-\hi (I ^i^?), xa — х_а
и л/^Т(ха + х_а) (аеФ+). Докажите, что эти элементы составляют базис
для L над С (т. е. L = L' 0м С) и что подпространство L' замкнуто относи-
относительно коммутирования (т.е. L' является алгеброй Ли над Ж). Покажите,
что форма Киллинга х' на L' совпадает с ограничением формы хи от-
отрицательно определенна. (Z/ — это «компактная вещественная
форма» алгебры L, которая соответствует компактной группе Ли).
8. Пусть L = sl(?-\-\, F), а К — любое поле характеристики р. Если
р\{?+ 1), то алгебра ЦК) проста. Если р = 2, ?= 1, то алгебра ЦК) раз-
разрешима. Если ?> 1, р | (?+ 1), то Rad ЦК) = Z(L(K)) состоит из скалярных
матриц.

§26. Теорема Костанта 185
9. Докажите, что в случае алгебры L типа А^ группа Шевалле присо-
присоединенного типа G(K) изоморфна PSL(^+ 1, К) = SL(^+ 1, К) по модулю
скаляров (которые являются корнями степени ?+ 1 из единицы в К).
10. Пусть L — алгебра Ли типа G2, К — поле характеристики 3. До-
Докажите, что в ЦК) имеется семимерный идеал М (рассмотрите короткие
корни). Опишите представление алгебры ЦК) на L(K)/M.
11. Докажите, что группа Шевалле G(K) действует на ЦК) как группа
автоморфизмов алгебры Ли.
12. Является ли базис алгебры G2, указанный в п. 19.3, базисом Ше-
Шевалле?
Замечания
Все идеи этого параграфа выросли из плодотворной статьи Шевал-
Шевалле [3]. Наше изложение следует запискам лекций Стейнберга [2], кото-
которые служат лучшим источником по всем вопросам, связанным с группами
Шевалле. В работах Carter [1], [2], Curtis [1] рассмотрены конечные груп-
группы Шевалле. Алгоритм выбора знаков в базисе Шевалле описан в книге
Samelson [1], с. 54. Подход к теореме существования, основанный на де-
детальном (но элементарном) анализе знаков, см. в статье Tits [1].
§26. Теорема Костанта
Пусть L, Н, Ф, А таковы, как раньше. Фиксируем в L базис Ше-
Шевалле {ха, а е Ф; hi, 1 < / < ?}•
Чтобы построить группы матриц, отвечающие произвольным предста-
представлениям ф алгебры L (а не только присоединенному), мы должны работать
в алгебре 1L(L). Идея состоит в том, чтобы в произвольном (конечномер-
(конечномерном) L-модуле построить решетку, аналогичную L(Z) и инвариантную от-
относительно всех (р(х™)/т\. Эта конструкция будет использовать «Z-фор-
му» алгебры il(L), которая окажется не чем иным, как подкольцом с еди-
единицей в il(L), порожденным всеми элементами х™/т\ (осе Ф).
26.1. Одна комбинаторная лемма. Вспомним формулу для биноми-
ального коэффициента: ( J =— —-^ -. Ьсли здесь заменить
п на элемент х коммутативной ассоциативной F-алгебры (с единицей), то
полученное выражение снова корректно определено. Его можно обозна-
чить ( , 1, k eZ+. Выполняется и известное тождество для биномиальных
коэффициентов:
п+\\ (п\ ( п
Лт s ( П\ Л ( П\ С\ U
Как обычно, мы полагаем A = 1 и 11=0 при отрицательных к.
\U/ \к J

186 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Лемма. Пусть Ти ..., Т?— переменные, f = f(T{, ..., Т?)— такой
многочлен над F, что f{nu ...,n?)eZ при всех пи ..., n?eZ. Тогда
г rv . * . (ТА /Т2\ (Т?\
I является Ъ-линеинои комбинацией многочленов , , ... , ),
\Ь\) \Ь<2/ \biJ
где bu...,b?eZ+ и bi не превосходит степени f как многочлена от Tt.
Доказательство. Прежде всего отметим, что предположение вы-
выглядит обоснованным, поскольку
Т
принимает целочисленное значение, если подставить вместо Тг целое чи-
число. Заметим также, что указанные многочлены составляют F-базис для
ЦТ,,..., Тг].
Доказательство проводится индукцией по ? и по степени многочлена /
относительно Т?. Если /—константа, то она должна быть целочислен-
ным кратным константы 1 = f M, и доказывать нечего. В общем случае
положим f=Yl fk{T\, ..., T?_i)l ), где г равно степени многочлена /
k=o \ « /
относительно Т? и fk(T\, ..., 7^_1)gF[7, ..., Т?_{]. В обеих частях по-
последнего равенства формально заменим Т? на Т?+{ и вычтем одно из
другого. Ввиду тождества (*) правая часть полученного равенства равна
Y^ fk(T\, ..., Т?_х)[ 1 ), а в левой части стоит многочлен, удовлетво-
k=o \/г — 1 /
ряющий первоначальному предположению относительно /. Повторим этот
процесс г раз; тогда все коэффициенты справа обратятся в нуль, кро-
ме коэффициента при /Г(ГЬ ..., Т?_{), равного f l J = 1. Многочлен fr
удовлетворяет предположению относительно / (он принимает целочи-
целочисленные значения на 1/~х), но имеет на одно переменное меньше. По
индукции получаем, что fr можно выразить требуемым образом. При этом
f — fr(T\,...,Ti_i)( ?) удовлетворяет первоначальному предположению
относительно /, но имеет степень меньше чем г относительно Т?, и можно
снова применить индукцию, что и завершает доказательство. ?
26.2. Частный случай: #1B, F). В этом пункте мы рассмотрим част-
частный случай L=siB, F), используя стандартный базис Шевалле х, у, h.
Следующая лемма и ее следствие дают в этом случае доказательство тео-
теоремы Костанта; позже мы на этой основе рассмотрим общий случай.
Лемма. Если а, сеЪ+, то в ii(L) выполняется следующее равен-
равенство:
a,c) , ,
)(c-k)V
h-a-
c\a\~ 2-" (a-k)\\ k )(c-k)

§26. Теорема Костанта 187
Доказательство. Если а = 0 (соответственно с = 0), то правая
часть равна хс/с\ (соответственно уа/а\). Если а = с=\, то уравнение
принимает вид ху = ух + h (равенство верно). Для общего случая прове-
проведем индукцию по а и с. Пусть сначала с=\; индукцией по а получаем
хуа = хуа~{ у = уа~{ ху уа~2 1о)У = Уах , ya~{h ya~{h
а\ (а-\)\а (а-1)! а (а-2)!V }a а! а\ а(а-2)!
а(а-2)\ а(а-З)! а! (а-1)! (а-2)! а! (a-l)!v 7'
Теперь применим индукцию по с, используя тождество (*) из п. 26.1 и тот
факт, что xf(h) =f(h — 2)х для любого многочлена f(T) (проверьте это для
многочленов Тт индукцией по т\ см. ниже лемму 26.3D). ?
Следствие. Если b G Z+, то ( 1 принадлежит подкольцу в И(Е),
порожденному всеми элементами хс/с\ и уа/а\ (a, ceZ+).
Доказательство. Это очевидно при b = 0, поэтому можно прово-
проводить индукцию по Ь. Возьмем в лемме а = с = Ь, тогда правая часть рав-
(h\ , t,1 yb~k (h-2b + 2k\ xb~k ,
на ( j + }_^ -jr—Try ( , J тт—тту (и принадлежит указанному под-
подкольцу в il(L)). Пусть k < b. Ясно, что многочлен ( ) от перемен-
V к J
ного Т принимает в целых точках целые значения, и по лемме 26.1 его мож-
можно записать как Z-линейную комбинацию многочленов ( . J, где / ^ k (<b).
В свою очередь, индукция по b показывает, что ( . ) принадлежат указан-
указанному подкольцу в И(Е), и как следствие ему принадлежит и f J. П
26.3. Леммы о коммутировании. Вернемся к общему случаю. При
любом a G Ф в качестве стандартного базиса трехмерной простой под-
подалгебры 5а можно взять часть заданного базиса Шевалле в L. Поэтому
результаты п. 26.2 можно свободно применять в ситуациях, где фигурируют
лишь ±ос. Главную проблему теперь составляют пары линейно независи-
независимых корней.
Лемма А. Пусть V,W— два Е-модуля, А, В — подгруппы в них. Ес-
Если А, В инвариантны относительно всех эндоморфизмов xfjt\ (a e Ф,
t e Z+), то это верно и для А 0 В с V 0 W.
Доказательство. Напомним, что xOL-(v0w)=xOL-v0w-\-v0xOL-w.
С помощью биномиального разложения получаем, что
((
k=0 V '
Если v e A, w e В, то каждое слагаемое правой части лежит вЛ®5. ?

188 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Следствие. Пусть L(Z) (как и в п. 25.4) обозначает Ъ-линейную
оболочку базиса Шевалле, выбранного в L. Тогда при аеФ, teZ+
(ad x У
эндоморфизм -——^- оставляет инвариантным произведение L(Z) (8>
Доказательство. Применим предложение 25.5 и лемму А. ?
Подмножество Ф в Ф называется замкнутым, если из того, что
а, C G Ф, а + |ЗеФ, следует, что а + |ЗеФ. Примеры. Ф; Ф+; множество
всех элементов /а + /C G Ф, где /, / ^ 0; а, C — линейно независимые корни.
Лемма В. Пусть Ф — замкнутое множество корней, причем
ФП(—Ф) = 0. Далее, пусть X—подколъцо с единицей в ii(L), поро-
порожденное всеми элементами xljt\ (аеФ, teZ+). При любом упоря-
дочении множества Ф множество произведений П j^ (взятых в
данном порядке) составляет базис Ъ-модуля X.
Доказательство. Ясно, что F-линейная оболочка всех подпро-
подпространств La (аеФ) является подалгеброй X в L; применив теорему ПБВ
к 11(Х), мы видим, что указанные произведения составляют базис для X
над F. Поэтому достаточно показать, что при разложении по базису все ко-
эффициенты лежат в Z. Назовем Yl t<* степенью произведения YI "Д-
X
Если хеХ не является скаляром, то х = с П -^- + (слагаемые степени не
выше, чем J2 ^), гДе O^cgF, причем остальные слагаемые степени t=^2 ta
включают последовательности, отличные от (. ..ta...). Посредством при-
присоединенного представления X действует на L(g)...(g)L (t экземпляров).
В частности, рассмотрим х-((х_а0... 0х_а) 0 (х_р0... 0х_р) (8)...), где
Ф = (а, C, ...). Какова компонента этого элемента в //®... 0// (относитель-
(относительно стандартного ПБВ-базиса)? Непосредственно проверяется, что первое
слагаемое в х, а именно П -^, дает c((ha<8>... 0ha) 0 (йр®... ®йр) (8)...).
yu0L
Однако остальные слагаемые YI ~^т в *> примененные к тому же элементу,
не дают ненулевой компоненты в Я(8)... (8)Я: либо множителей слиш-
слишком мало (X] ^a<Z] О» либ° Zl uol = Y^ t<*, H0 множители «неправильно
распределены».
Согласно следствию из леммы А, элемент х сохраняет L(Z) (8)... ®L(L)
(t экземпляров). При этом L(Z) не зависит от выбора базиса А, поэтому
можно считать, что а (первый элемент в Ф) — простой корень. Эле-
Элементы /гр с простыми корнями [3 составляют базис свободного Z-модуля
Н(Ъ) =L(Z) ПЯ, поэтому их всевозможные тензорные произведения соста-

§26. Теорема Костанта 189
вляют базис свободного Z-модуля Н(Ъ) ®... (g)//(Z). С другой стороны, мы
только что показали, что c((ha ®... ® ha) ® (йр 0... 0 йр) 0... ) G #(Z) 0...
... ®//(Z). Отсюда ясно, что ceZ. Теперь можно повторить рассуждение
для элемента х-с[] -Д GX. Индукция по числу слагаемых завершает
доказательство. ?
Для удобства любое произведение элементов вида -?,( \ ) (/, k G Z,
/GZ+) в il(L) будем называть мономом, а сумму встречающихся в нем
чисел t — его высотой.
Лемма С. Пусть а, р G Ф, ?, meZ+. Тогда —^-гт является Ъ-ли-
неинои комбинацией элементов -^-\ \ и мономов высоты меньше
чем k + т.
Доказательство. При а = р доказывать нечего. При а = — р наше
утверждение вытекает из леммы 26.2. В остальных случаях а и р неза-
независимы и можно применить лемму В к множеству корней вида /<х + /р
(/, /^0), представив данный моном как Z-линейную комбинацию монома
ту-^ и других мономов. Остается показать, что последние имеют высоту
меньше чем k + m. Но из теоремы ПБВ (см. п. 17.3) уже вытекает, что
-^--^ = тт-т + (F-линейная комбинация элементов ПБВ-базиса степени
т\ k\ k\ m\
меньше чем k + m). Так как мы используем мономы, кратные элементам
ПБВ-базиса, доказательство завершено. ?
Лемма D. Пусть а, р е Ф, f(T)ef[T] (Т—переменное). Тогда при
всех keZ+ выполняется равенство xkj(h$) =f(hp — ka(h^))x^.
Доказательство. Достаточно (ввиду линейности) разобрать слу-
случай, когда / имеет вид Тт; тогда наше утверждение принимает вид
Если k или т равно 0, то это очевидно. Если k = m=\, то xahp = hpXa —
— а(/гр)ха = (йр — а(/гр))ха, что и требовалось. Проведем индукцию по k и т.
При фиксированном k из равенства (*) для всех показателей меньших,
чем т, сразу следует это равенство для т. Поэтому (*) верно при k = 1 и
произвольном т. В свою очередь, выполнение равенства (*) для показате-
показателей меньших, чем k и произвольного т (или /) влечет его справедливость
для данного k и произвольного т. ?
26.4. Доказательство теоремы Костанта. Фиксируем упорядочение
(ось •••, 0Lm) в Ф+. Будем обозначать наборы из т или ? неотрицатель-
неотрицательных целых чисел через А = (аь ..., ат), В = (Ьи ..., Ьг), С = (си ..., ст).

190 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Определим в ii(L) следующие элементы:
Отметим, что всевозможные Л5 составляют базис над F в Д(Я): по суще-
существу этот факт содержится в замечании из п. 26.1 о многочленах. В сочета-
сочетании с теоремой ПБВ это показывает, что всевозможные элементы fAhBec
составляют F-базис в il(L).
Теорема (Костант). Пусть il(L)z—подкольцо с единицей в il(L),
порожденное всеми элементами вида xljt\ (осеФ, teZ+). Далее, пусть
53— решетка в il(L) с Ъ-базисом, состоящим из всех элементов вида
fAhBec. Тогда 53=il(L)z.
Доказательство заключается в соединении предшествующих ре-
результатов. Прежде всего, ( l ) elt(L)z при всех / ввиду следствия из лем-
леммы 26.2. Поэтому 53 = il(L)z.
Труднее доказать обратное включение. Достаточно показать, что все
«мономы» (в смысле п. 26.3) лежат в 53, так как они порождают Z-модуль
il(L)z. Применим для этого индукцию по «высоте». Мономы высоты 0
включают только множители вида ( 'Ми ввиду леммы 26.1 лежат в 53.
В общем случае леммы 26.ЗС и 26.3D (вместе с индуктивным предположе-
предположением) позволяют нам записать любой моном как Z-линейную комбинацию
других мономов, в которых множители, включающие x'_as, h's и x^s, идут в
TkTm (m + k\ Tk+m
предписанном порядке. Далее, из тождества ——г = — вы-
r r k\ т\ \ т ) (k + m)\
текает, что каждый элемент ±ха появится хотя бы в одном слагаемом
каждой такой суммы. Доказательство завершается применением леммы
26.1 и леммы 26.3D. ?
Упражнения
1. Пусть L=slB, F), a (v0, v{, ..., vm) — построенный в п.7.2 базис не-
неприводимого L-модуля V(m) старшего веса т. Докажите, что Z-оболочка
этого базиса инвариантна относительно 1L(L)Z. Пусть (w0, wu ..., wm) —
базис в V(m), использованный в п. 22.2. Покажите, что Z-оболочка эле-
элемента wt не инвариантна относительно ii(L)z.
2. Пусть XgA+сЯ* — доминантная целочисленная линейная функ-
функция. Рассмотрим модуль Z(X) из п. 20.3 с неприводимым фактормодулем
V(\) = Z(\)/Y(\). Покажите, что кратность веса \х в 1/(Х) можно эффек-
эффективно вычислить с помощью теоремы Костанта следующим образом: если
v+ — старший вектор в Z(X), то всевозможные векторы fA • v+, для кото-
которых ^ ai(xi = \ — [i, составляют F-базис весового подпространства для \х
в Z(X). (См. лемму 24.ID.) В свою очередь, если Y^ ^i^i = Y^ ^аь то вектор

§27. Допустимые решетка 191
?с/л 'v+ кратен вектору v+ с целым коэффициентом пСА. Получаем цело-
целочисленную d х rf-матрицу {пса) (где d—кратность веса \х в Z(X)), ранг
которой равен тх([л) (см. упражнение 20.9I. Чтобы ее вычислить, доста-
достаточно знать структурные константы базиса Шевалле. Выполните подобное
вычисление для типа А2, взяв небольшое значение \ — \i.
Замечания
Теорема 26.4 появилась в работе Kostant [2]; здесь мы воспроизвели
доказательство из Steinberg [2]. О «схематическом» подходе к затронутым
вопросам см. Chevalley [4], Borel [2]. Упражнение 2 основано на работе
Burgoyne [1].
§27. Допустимые решетки
Сохраняются обозначения из §26. С помощью теоремы Костанта мы
построим допустимую решетку в произвольном конечномерном L-моду-
ле и опишем ее стабилизатор в L. Редукция по простому модулю тогда
даст линейные группы и линейные алгебры Ли над полем простой харак-
характеристики, что обобщает конструкцию групп и алгебр Шевалле из §25.
27.1. Существование допустимых решеток. Из теоремы Костанта
(или предшествующих лемм) вытекает, что если N+ = Ц La, N~ = Ц La,
a>-0 a-<0
то каждая из алгебр ii(N~), ii(H), ii(N+) имеет «Z-форму», Z-базис кото-
которой состоит из всех fA, hB, ес (соответственно). Обозначим эти подкольца
через i?, И°, U+. Тогда ilz (=il(L)z) равняется Д^Д^.
Отметим для дальнейшего, что мы определили решетку М в конеч-
конечномерном векторном пространстве V над F как Z-оболочку базиса в V
(над F). Поскольку char F = 0, конечно порожденный Z-подмодуль в V
автоматически является свободным Z-модулем конечного ранга. Следова-
Следовательно, решетку в V можно охарактеризовать как конечно порожденную
подгруппу, которая порождает V над F и имеет Z-ранг, не превосходя-
превосходящий dimF V.
Лемма. Пусть d е Ъ1 и S с Ъ1 — конечное множество, не содержа-
содержащее d. Тогда существует такой многочлен f(Tu ..., Tt) над F, что
f(Zl)cZ, f(d) = \ uf(S)=O.
Доказательство. Пусть d = (du ..., di). Для &gZ+ положим
fk(Tu ...,Т?) = Ц( l l , так что fk(Z?)cZ (см. лемму
26.1), fk(d) = 1. В «ящике» в Ъ1 с центром в d и стороной 2k функция fk за-
заведомо равна нулю вне d. Поэтому достаточно выбрать k настолько боль-
большим, чтобы этот «ящик» охватил конечное множество S, и взять / = fk. ?
1 Целочисленность (в рассматриваемом случае нулевой характеристики) здесь не нужна.

192 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Теорема. Пусть V—конечномерный L-модуль. Тогда
(a) любая подгруппа в V, инвариантная относительно ilz, явля-
является прямой суммой своих пересечений с весовыми подпростран-
подпространствами;
(b) модуль V содержит решетку, инвариантную относительно ilz.
Доказательство, (а) Пусть 714—подгруппа в V, инвариантная
относительно ilz. Для каждого веса \х в V положим d(\i) = (\i(hi), ...
..., \i(hi)) GЪ1. Фиксируем в V произвольный вес X. Согласно предыдущей
лемме существует такой многочлен / от ? переменных над F, что f(I/) с Z,
f(d(\)) = \, f(d([i)) = O дляц^Х вПA/). Положим u = f(hu ..., ht). Ввиду
леммы 26.1 мы имеем ueil%. Ясно, что и действует на V как проекция
на 1/х. В частности, если вектор v лежит в 714, то его 1/х-компонента u-v
также лежит в 714.
(Ь) Ввиду теоремы Вейля о полной приводимости можно считать, что
V = V(k) (XgA+), т.е. что модуль V неприводим. Пусть v+ G V—стар-
V—старший вектор (веса X). Положим М =11^ -v+. Поскольку v+ аннулируется
всеми элементами Z-базиса {ес} в ilj, кроме единицы, SX\ • v+ =Zv+. Кро-
Кроме того, 11^ • v+ =Zv+, так как ( 1 ) действует на v+ как умножение на целое
ЧИСЛО
bi\
Иначе говоря, iiz • v+ =Я^Я^Я^ • v+ =11^ • (Zv+) =714, так что подгруппа М
инвариантна относительно ilz. Из этого рассуждения видно так-
также, что MnV\ = Zv+. Мы знаем, что все функции fA, кроме конечного
их числа, аннулируют вектор v+, поэтому подгруппа М конечно по-
порождена. При этом М порождает V над F, так как Я^" содержит
F-базис для Д(ЛГ) и ii(N~) -v+ = V.
Осталось убедиться, что Z-ранг решетки М не превосходит dimF V.
Предположим противное, и пусть г — наименьшее число, для которо-
которого найдутся г векторов в М, линейно независимых над Ъ и зависимых
г
над F. Пусть Y1 <ВД = 0 (a*GF, 0/u/GAf). Найдется такое ueil%, что век-
тор u-V\ имеет ненулевую 1/х-компоненту: иначе вектор vx порождал бы
ненулевой собственный il(L) -подмодуль неприводимого модуля V. С дру-
другой стороны, 1/х-компонента каждого вектора u-Vi A</<г) лежит в М
(ввиду утверждения (а)) и потому является целочисленным кратным век-
вектора v+, скажем mtv+ (поскольку AfnVx=Zy+). Таким образом, если
^2 aiVi = 0, то ^2 ui(u-Vi)=0, а значит ^2 ЩЩ = § (но т^О). Следователь-
/ Г х / Г ч Г
НО, 0 = mi (^2 aiVi ) — (S aimi 1^1 =Z] CLi(miVi — niiVi). ВеКТОрЫ Ш^О^— Щ(О\
лежат в 714 и, очевидно, независимы над Z, но зависимы над F.

§27. Допустимые решетка 193
Это противоречит минимальности числа г и доказывает, что решетка М
инвариантна относительно ilz. ?
Решетка М в конечномерном L-модуле V, инвариантная относитель-
относительно ilz, называется допустимой. Она существует согласно утвержде-
утверждению (Ь) последней теоремы; на самом деле из его доказательства видно,
как построить такую решетку (наименьшую возможную среди содержащих
данный старший вектор, если модуль V неприводим). Из утверждения (а)
вытекает, что М= Ц (М П V^). Разумеется, если V совпадает с L (в слу-
чае представления ad), то, как мы уже видели (см. п. 25.5), допустимой
решеткой будет Z-оболочка базиса Шевалле.
27.2. Стабилизатор допустимой решетки. Пусть V—конечномер-
V—конечномерный L-модуль. Чтобы избежать тривиальностей, будем считать его точ-
точным (иначе говоря, мы избавляемся от тех простых идеалов в L, которые
действуют на V тривиально). Тогда легко видеть, что Z-оболочка мно-
множества ПA/), которую мы обозначим A(V), лежит между Л и решеткой
корней Лг (упражнение 21.5).
Используя теорему 27.1, выберем в V допустимую решетку М. Пусть
Lv — ее стабилизатор в L, HV = H nLv. (Ниже мы покажем, что Lv зави-
зависит только от V, но не от выбора решетки М, так что наше обозначение
корректно.) Очевидно, что L(Z) с Lv и множество Lv замкнуто относи-
относительно операции коммутирования. Элемент h Е Н оставляет решетку М
инвариантной, если и только если Х(й) GZ при всех ХеП(У) (или ЛA/)):
это вытекает из утверждения (а) теоремы 27.1. Как следствие, включе-
включения ЛэЛA/)эЛг индуцируют обратные включения Н(Ъ) cHv СЯО, где
H0 = {heH: \(h)eZ при всех XeAJ, a #(Z)=#nL(Z) ^Z-оболочке
всех ha, осеФ). Как следствие, Hv является решеткой в И. Наша цель —
показать, что Lv — допустимая решетка в L. Первым шагом станет сле-
следующая общая лемма. (Ее можно сформулировать как утверждение об
ассоциативных алгебрах, но нам требуется лишь частный случай.)
Лемма. Если и Eil(L), x E L, то
(adx)\ ч А, п/ хп~1 х1
1(и) = У (-1) ^
л! у ' ^у ' («-/)!/!
eii(L).
Доказательство. При п=\ равенство принимает вид ad x(u) =
= хи — их, что верно по определению. Применим индукцию по п:
(ad*)" _ad
п\
()) (

194 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
После замены индекса i\-^i— 1 вторая сумма принимает вид
хп~1
i)\U(i
} (п - i)\U(i - \)\п'
При 0 <i <n, объединяя i-e слагаемые первой и второй сумм, получаем
n(n-l-i)\ii.
|
Но величина в скобках равна ггру- Нулевое и п-е слагаемые равны
— и и (— \)пи —, как и требовалось. ?
Предложение. Множество Lv является допустимой решеткой в
L-модуле L. При этом LV = HV+ Ц Zxa; как следствие, Lv зависит
aG*
только от V (фактически от A(V)), но не от выбора решетки М.
Доказательство. Мы знаем, что L(Z) =Я(Z) +Ц Zxa cLv, и
заведомо HvcLv. С другой стороны, предыдущая лемма гарантирует
г (adxa)m .
инвариантность множества Lv относительно всех р— (следователь-
(следовательно, относительно iiz). Это позволяет записать множество Lv как сум-
сумму его пересечений с Н и La (утверждение (а) теоремы 27.1), поэтому
Lv = Hv + U(LvnL0l), причем ZxacLynLa. Предложение будет доказано,
если мы убедимся, что последнее включение является равенством при всех
аеФ.
Пусть линейное отображение ср: La^H задано правилом х\-^[х_а, х]
(образ кратен ha). Оно инъективно, поскольку dim La = 1 и [x_a, La]/0.
Рассмотрим ограничение отображения ср на LvnLa. Его образ лежит
в Hv (так как множество Lv замкнуто относительно коммутирования и
Hv = LvnH), а тогда и в F/za П Ну. Последняя группа (бесконечная) ци-
циклическая, как пересечение решетки в Я с прямой. Как следствие,
группа LvnLa также циклическая. Поскольку в ней содержится хл, най-
дется образующий вида —х„ (п е Z+). Тогда -— ~ ( — ) = -^ Е Ly
п 2\ \п) п
(поскольку множество Lv стабильно относительно ilz), и в свою очередь
/ х \^(X— \ 2х
— ad — -z3l = —f E Ly (так как Ly замкнуто относительно коммути-
V п J \ n J п
2 1
рования). Но тогда -т Е -Z, откуда следует, что я=1. Это показывает,
п п
что LvnLa = Zxa, как и требовалось. П
В качестве примера рассмотрим алгебру L=slB, F) со стандартным
базисом (х, у, h) и ее обычное двумерное представление 1/=F2. Оче-
Очевидно, что базис {A, 0), @, 1)} порождает допустимую решетку, причем

§27. Допустимые решетка 195
Lv = Z/г + Ъх + Ъу (=L(Z)). С другой стороны, взяв L(Z) в качестве до-
допустимой решетки в L (для трехмерного представления ad), мы получим
Lv = Z( - J + Zx + Z//. Эти крайние случаи соответствуют двум возможным
решеткам весов Л, Лг для системы корней Ai (упражнение 4).
27.3. Изменение допустимой решетки. Пусть V=V(k) (ХеЛ+)—
неприводимый L-модуль. Какими способами можно выбрать в нем до-
допустимую решетку? Ввиду теоремы 27.1 (а) такая решетка должна со-
содержать старший вектор и+, а потому включает допустимую решетку
Д~ .v+=iiz-v+, использованную в доказательстве теоремы 27.1 (Ь). По-
Поскольку V определяет вектор v+ с точностью до скалярного множителя, в
наших рассуждениях можно зафиксировать и+, а минимальную допусти-
допустимую решетку ilz • v+ обозначить через Afmin. Теперь нам требуется узнать,
для каких других допустимых решеток пересечение с 1/х равно Zv+.
Напомним понятие двойственного (или контрагредиентного) модуля:
это векторное пространство 1/*, двойственное к 1/, причем L действует по
правилу (x-f)(w) = —f(x-w) (xeL,weV,fe V*). Если подпространство X
в V* инвариантно относительно L, то легко видеть, что это верно и для со-
соответствующего подпространства X1- в V. Как следствие, модуль V* также
неприводим. На самом деле можно определить его старший вес (упражне-
(упражнение 21.6): пусть oG# отображает А в —А (а тогда и Ф+ в Ф~), и пусть
ш? V — ненулевой вектор веса оХ. Тогда w — это «минимальный вектор»,
аннулируемый всеми элементами х_а. Разумеется, dim VoX = dim l/x = 1, по-
поэтому вектор w по существу единствен. Возьмем базис в 1/, состоящий
из ш и других весовых векторов, и рассмотрим линейную функцию /+,
двойственную к w. Тогда /+ является старшим вектором в V* веса —оХ, и
V**±V(-6k).
Пусть теперь М — допустимая решетка в V. Положим М* = {/ Е V*:
f(M) CZ}. Если М является Z-оболочкой некоторого базиса в 1/, то ясно,
что М* будет Z-оболочкой двойственного базиса. Значит, это решетка, и
m\J 'J ; \\m\J
E Z. Ясно также, что включение М{ сМ2 допустимых решеток в V инду-
индуцирует обратное включение М\ D М%.
Зафиксируем, как выше, вектор v+ (а тем самым и решетку Afmin). Тогда
имеется канонический способ выбрать минимальный вектор в Уо\ПМт1п.
А именно, заметим, что отражения Вейля, построенные на шаге 5 в доказа-
доказательстве теоремы 21.2, — это преобразования модуля V, представляющие
элементы из 1L(Z): в частности, о отображает Zv+ на Mminn Vox. Мож-
Можно взять в качестве w образ вектора и+, а затем, как и выше, выбрать
/+ Е V^oX (элемент базиса, двойственного к базису в Afmin). Немедленно
получаем, что Mmin П V^oX = Z/+.

196 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
Пусть теперь М — любая допустимая решетка в V, пересечение ко-
которой с V\ равно Zu+. Предшествующее рассуждение показывает, что
Mr\Vax = ZiW, а тогда М* П VloX = Z/+. Значит, если М пробегает сово-
совокупность всех допустимых решеток в V указанного типа, то М* пробегает
аналогичную совокупность допустимых решеток в 1/*, но включения ме-
меняют направление. Это показывает, что множество М* имеет верхнюю
и нижнюю грань, а тогда это верно и для М. (Для ad мы ранее дока-
доказали это другим способом, рассматривая двойственные решетки только
для Н)
Предложение. Пусть V=V(k), \eA+, v+ — старший вектор, и
пересечение некоторой допустимой решетки с Vx равно Zv+. Тогда
эта решетка
(a) включает Mmin=iiz • v+;
(b) лежит в решетке Мтах, которая двойственна подходящей ре-
решетке (Af*)min в I/*.
27.4. Переход к произвольному полю. Пусть ?р — простое поле ха-
характеристики р, К — его расширение. Если V—точный L-модуль, то его
веса порождают решетку между Аг и Л, которую мы обозначили A(V). Вы-
Выберем допустимую решетку М в V со стабилизатором LV = HV+ Ц Zxa в L,
аеФ
где Hv = {heH: \(h)eZnpn всехХеЛA/)} (см. п.27.2).
Пусть 1/(К) = М ®z К, LV(K) = Lv ®z К. Поскольку Lv изоморфно под-
подгруппе в End M (и замкнуто относительно операции коммутирования),
LV(K) можно отождествить с подалгеброй Ли в gl(I/(K)) (=End V(K)).
При этом включение L(Z) —> Lv индуцирует гомоморфизм алгебр Ли
L(K) —»Ly(K), который инъективен на Ц Кха, но может иметь ненулевое
ядро в Н(Ъ) 0z К = Я(К). Чтобы увидеть, как все это работает, вспомним
сказанное об алгебре 5lB, F) в п. 27.2. Если р = 2 и V = L (присоединен-
(присоединенное представление), то h® I GL(K) отображается в 2f - 0 1) =0eLv(K).
При этом умножение в L(K) отличается от умножения в LV(K): напри-
например, в первом случае [h, х] = 2х = 0, тогда как во втором - х\ =х/0.
С другой стороны, при р>2 отображение L(K) —> LV(K) является изо-
изоморфизмом (при любом выборе решетки весов ЛA/)=Л или Лг); см.
упражнение 5.
Эти рассуждения показывают, что каждый точный L-модуль V поро-
порождает посредством гомоморфизма ЦК) —> LV(K) модуль 1^(К) над L(K),
который может и не оказаться точным (если некоторый идеал в L(K),
обязательно центральный, лежит в Я(К)). Следует подчеркнуть, что (во-
(вопреки обозначениям) это зависит от выбора допустимой решет-
решетки М в V.

§27. Допустимые решетка 197
Что здесь является аналогом группы Шевалле G(K), построенной в
п. 25.5? Поскольку решетка М инвариантна относительно -^ (т. е. от-
ф(хаУ , ТХ
носительно , где ср — рассматриваемое представление алгебры L),
определен соответствующий оператор в 1^(К), который мы обозначим xaJ
/ 1\ гл ± » (Ха®1) п
(где хаго = 1). Отметим, что если t<p, то xaj действует как -—-——. При
это обозначение не имеет смысла. Во всяком случае, xaJ = 0 при до-
оо
статочно больших t, поэтому можно записать 9аA) = ^ xa>t G End(l/(K)).
t=0
При этом ясно, что 8аA) имеет определитель 1, т.е. принадлежит груп-
группе SLA/(K)). Более общо, мы можем определить автоморфизмы 0а(с)
модуля 1^(К), образовав выражение J2 ,, и затем приравняв пере-
передо *•
менное Т элементу се К. Группа GV(K), порожденная всеми элемента-
элементами 0а(с) (аеФ, сеК), называется группой Шевалле типа A(V). Этот
тип называется присоединенным при ЛA/)=ЛГ и универсальным при
ЛA/)=Л. Как и выше, GV(K) на самом деле зависит от выбора решет-
решетки М.
27.5. Обзор родственных результатов. Описанные конструкции по-
порождают много вопросов, и не все они решены. Чтобы дать читателю
некоторое представление о нынешней ситуации, перечислим ряд резуль-
результатов (без доказательства).
1. С точностью до изоморфизма, группы GV(K) и LV(K) зависят от
решетки весов A(V), но не от самого модуля V или от выбора решет-
решетки М. (Последняя, однако, влияет на то, как действуют GV(K) и LV(K)
на 1^(К).) Если A(V) dA(W), to существует канонические гомоморфизмы
GV(K) —> GW(K), LW(K) -^LV(K). Как следствие, группы Шевалле универ-
универсального типа (ЛA/)=Л) «накрывают» все остальные, тогда как группы
присоединенного типа «накрываются» всеми остальными.
2. Пусть V= V(k), ХеЛ+, M = Mmin. Тогда 1^(К) — циклический модуль
над GV(K), порожденный вектором v 0 1, v G М П V^. Как следствие, 1^(К)
имеет единственный максимальный Gv(К)-подмодуль, а потому и един-
единственный неприводимый гомоморфный образ («старшего веса» X). С дру-
другой стороны, если М = Мтах, то 1/(К) имеет единственный неприводимый
подмодуль «старшего веса» X.
3. Если ХеЛ+ удовлетворяет условию О^Х(й/) <р A ^i^?), p = char К,
то утверждения из предыдущего абзаца верны и после замены GV(K)
на LV(K) (или ЦК)); полученные р? неприводимых модулей неэкви-
неэквивалентны и исчерпывают (с точностью до изоморфизма) неприводимые
«ограниченные» ЦК)-модули.

198 Глава VII. Алгебры а группы Шевалле
4. Композиционные факторы модуля 1^(К), рассматриваемого над
GV(K) или LV(K), не зависят от выбора допустимой решетки.
Упражнения
1. Докажите, что Если М — допустимая решетка в модуле V, то МП V^
является решеткой в V^ для каждого веса \х в V.
2. Докажите, что любая допустимая решетка в L, включающая L(Z) и
замкнутая относительно коммутирования, имеет вид Lv. [Воспроизведите
доказательство предложения 27.1; см. упражнение 21.5.]
3. Если М (соответственно N) — допустимая решетка в V (соответ-
(соответственно в W),to M®N — допустимая решетка bV®W (cm. лемму 26.ЗА).
Используя этот факт и отождествив (как L-модули) V* 0 V и End V (см.
п. 6.1), докажите (не применяя лемму 27.2), что в предложении 27.2 ре-
решетка Lv инвариантна относительно всех (ad xa)m/m\.
В следующих упражнениях L=siB, F) и веса отождествляются
с целыми числами.
4. Пусть V= V(k), ХеЛ+. Докажите, что LV = L(Z) при нечетном X и
LV = Z (-) +Zx + Zy при четном X.
5. Докажите, что если char К>2, то ЦК) —> LV(K) является изомор-
изоморфизмом при любом выборе модуля V.
6. Пусть V=V(k), ХеЛ+. Докажите, что группа GV(K) изоморфна
SLB, К) в случае A(V) =Л и PSLB, К) в случае A(V) =ЛГ.
7. Докажите, что если 0 ^ X < char К, V= V(k), то 1^(К) неприводим как
ЦК) -модуль.
8. Фиксируем ХеЛ+. Тогда минимальная допустимая решетка Mmin
в V(k) имеет Z-базис (v0, v{, ..., vx), для которого верны формулы из лем-
леммы 7.2:
Покажите, что соответствующая максимальная допустимая решетка Мта
имеет Z-базис (w0, ..., шх), wo = vo, действие на котором имеет вид
Получите как следствие, что vt=( . W. Как следствие, [Мтах: Afmin] =
=п(Г

§27. Допустимые решетка 199
9. Сохраним обозначения из упражнения 8. Пусть М — любая допусти-
допустимая решетка, Mmax DM D Мт1п. Тогда М имеет Z-базис (z0, zu ..., zx), где
zi = aiwi (uiEZ), ao = a-K = 1. Определим числа bh ct формулами xi-zi = bizi_i
(bo = 1), у -Zi = CiZi+i (cx = 1). Покажите, что ct = ±fcX-/ и что П bt =X!.
10. Сохраним обозначения из упражнения 8. Пусть М — подгруппа в
Мтах, включающая Afmin, с Z-базисом (w0, axwu ..., ахшх). Найдите необ-
необходимые и достаточные условия на аь при которых М является допустимой
решеткой. Исследуйте возможные варианты для случая Х = 4.
Замечания
Значительная часть материала взята из лекций Steinberg [2], см. так-
также Borel [2]. О некоторых недавних работах см. Burgoyne [I], Burgoyne,
Williamson [1], Humphreys [1], [2], Jantzen [1], [2], Шаповалов [1], Verma [3],
Wong [1]. Упражнения 8—10 предложены М. Элмером (M.Elmer).

Литература
Agrawala V. К. Belinfante J. G. F.
[1] Weight diagrams for Lie group representations: A computer implemen-
implementation of Freudenthal's algorithm in ALGOL and FORTRAN // BIT 9
A969). P.301—314.
AntoineJ.-P. SpeiserD.
[1] Characters of irreducible representations of the simple groups. I. General
Theory //J. Mathematical Physics 5 A964). P 1226—1234. II. Application
to classical groups. Ibid. P. 1560—1572.
Barnes D. W.
[1] On Cartan subalgebras of Lie algebras // Math. Z. 101 A967). P.350—
355.
Beck R. E., Kolman B.
[1] A computer implementation of Freudenthal's multiplicity formula //
Indag. Math. 34 A972). P.350—352.
Belinfante J. G. F, Kolman B.
[1] A Survey of Lie Groups and Lie Algebras with Applications and Com-
Computational Methods. Philadelphia: SI AM, 1972.
Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И.
[1] Структура представлений, порожденных векторами старшего веса //
Функц. анализ и прил. 5 A971), № 1. С. 1—9.
[2] Differential operators on the base affine space and a study of ^-modules //
Lie groups and their representations (Proc. Summer School, Bolyai Janos
Math. Soc, Budapest, 1971). New York: Halsted, 1975. P. 21—64.
[3] Об одной категории ^-модулей // Функц. анализ прил. 10 A976), №2.
С. 1—8.
Borel A.
[1] Linear Algebraic Groups. New York—Amsterdam: W.A.Benjamin, 1969.
(Notes taken by Hyman Bass).
(Имеется перевод: Б op ель А. Линейные алгебраические группы. М.:
Мир, 1972.)
[2] Properties and linear representations of Chevalley groups // Seminar on
Algebraic Groups and Related Finite Groups (The Institute for Advanced
Study, Princeton, N.J., 1968/69). Berlin-Heidelberg-New York: Springer-
Verlag, 1970. (Lecture Notes in Math, 131).
Bourbaki N.
[1] Groupes et algebres de Lie. Paris: Hermann, 1960. Chap. 1.
(Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1976.
Главы I—III.

Литература 201
[2] Groupes et algebres de Lie. Paris: Hermann, 1968. Chap. 4—6.
(Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972.
Главы IV—VI.)
[3] Groupes et algebres de Lie. Paris: Hermann, 1975. Chap. 7—8.
(Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1978.
Главы VII—VIII.)
Brauer R.
[1] Eine Bedingung fur vollstandige Reduzibilitat von Darstellungen ge-
wohnlicher und infinitesimaler Gruppen // Math. Z. 41 A936). S.330—
339.
[2] Sur la multiplication des caracteristiques des groupes continus et semi-
simples // С R. Acad. Sci. Paris, 204 A937). P. 1784—1786.
Burgoyne N.
[1] Modular representations of some finite groups // Representation theory
of finite groups and related topics (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXI,
Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970). Providence, R.I.: Amer. Math.
Soc, 1971. P. 13—17.
Burgoyne N., Williamson С
[1] Some computations involving simple Lie algebras // Proc. 2nd Symp.
Symbolic & Alg. Manipulation, ed. S.R.Petrick. New York: Assn. Com-
Computing Machinery, 1971.
Carter R. W.
[1] Simple groups and simple Lie algebras // J. London Math. Soc. 40
A965). P. 193—240.
[2] Simple Groups of Lie Type. London—New York—Sydney: John Wiley
& Sons, 1972.
Cartier P.
[1] On H.Weyl's character formula // Bull. Amer. Math. Soc. 67 A961).
P. 228—230.
(Имеется перевод: Картье П. О формуле характера Вейля // Мате-
Математика. Сборник переводов 6 A962), №5. С. 139—141.)
Chevalley С.
[1] Theorie des groupes de Lie. Т.П. Groupes algebriques. Paris: Hermann
& Cie, 1951. (Actualites Sci. Ind. № 1152).
(Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 2. Алгебраические
группы. М.: ИЛ, 1958.)
[2] Theorie des groupes de Lie. Т. III. Theoremes generaux sur les algebres
de Lie. Paris: Hermann & Cie, 1955. (Actualites Sci. Ind. № 1226).
(Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли. Т.3. Общая теория
алгебр Ли. М.: ИЛ, 1958.)

202 Литература
[3] Sur certains groupes simples // Tohoku Math. J. B) 7 A955). P. 14—
66.
(Имеется перевод: Шевалле К. О некоторых простых группах // Ма-
Математика. Сборник переводов 2 A958), № 1. С.З—53.)
[4] Certains schemas de groupes semi-simples // Seminaire Bourbaki 6.
Paris: Soc. Math. France, 1995. P. 219—234.
[5] Invariants of finite groups generated by reflections // Amer. J. Math. 77
A955). P. 778—782.
Curtis С W.
[1] Chevalley groups and related topics // Finite simple groups (Proc. In-
Instructional Conf., Oxford, 1969). London: Academic Press, 1971. P. 135—
189.
Demazure M.
[1] Une nouvelle formule des caracteres // Bull. Sci. Math. B) 98 A974).
P. 163—172.
Dixmier J.
[1] Algebres Enveloppantes. Paris—Brussels—Montreal: Gauthier-Villars
Editeur6 1974. — English translation. Enveloping Algebras. Amsterdam:
North-Holland Publishing Co., 1977.
(Имеется перевод: Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алге-
алгебры. М.: Мир, 1978.)
Freudenthal H.
[1] Zur Berechnung der Charaktere der halbeinfachen Lieschen Gruppen.
I // Indag. Math. 16 A954). P. 369—376. II. Ibid. P. 487—491. III. Ibid
18A956). P.511—514.
Freudenthal H., de Vries H.
[1] Linear Lie Groups. New York: Academic Press, 1969. (Pure and Applied
Mathematics 35).
Garland H., Lepowsky J.
[1] Lie algebra homology and the Macdonald-Kac formulas // Invent. Math.
34 A976), №1. P. 37—76.
Harish-Chandra
[1] Some applications of the universal enveloping algebra of a semi-simple
Lie algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 70 A951). P.28—96.
Humphreys J. E.
[1] Modular representations of classical Lie algebras and semisimple groups
//J. Algebra 19 A971). P. 51—79.
[2] Ordinary and modular representations of Chevalley groups. Berlin-
Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1976.

Литература 203
Jacobson N.
[1] Lie Algebras. New York-London: Interscience Pubblishers, 1962. (Inter-
science Tracts in Pure and Applied Mathematics, № 10).
(Имеется перевод: Джекобе он Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.)
[2] Exceptional Lie Algebras, New York: Marcel Dekker Inc., 1971. (Lecture
Notes in Pure and Applied Mathematics).
Jantzen J. C.
[1] Zur Charakterformel gewisser Darslellungen halbeinfacher Gruppen und
Lie-Algebren // Math. Z. 140 A974). P. 127—149.
[2] Kontravanante Formen auf induzierten Darstellungen halbeinfacher Lie-
Algebren // Math. Ann. 226 A977). P. 53—65.
Кац В. Г.
[1] Бесконечномерные алгебры Ли и г)-функция Дедекинда, Функц. ана-
анализ и прил. 8 A974), № 1. Р. 77—78.
Kaplansky I.
[1] Lie Algebras and Locally Compact Groups, Chicago: University of
Chicago Press, 1995. (Chicago Lectures in Mathematics).
(Имеется перевод: Капланский И. Алгебры Ли и локально компакт-
компактные группы. М.: Мир, 1974.)
Климы к А. У.
[1] Разложения прямого произведения неприводимых представлений по-
полупростых алгебр на неприводимые представления // Украинский ма-
математический журнал 18 A966), №5. С. 19—27.
Kostant В.
[1] A formula for the multiplicity of a weight // Trans. Amer. Math. Soc. 93
A959). P. 53—73.
(Имеется перевод: Математика. Сборник переводов 6 A962) № 1.
С. 133—152.
[2] Groups over Z // Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc.
Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965). Providence: Amer. Math.
Soc, 1966. P.90—98.
Krusemeyer M. I.
[1] Determining multiplicities of dominant weights in irreducible Lie algebra
representations using a computer // BIT 11 A971). P. 310—316.
Lang S.
[1] Algebra. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1965.
(Имеется перевод: Ленг С. Алгебра, М.: Мир, 1968.)
Lemire F. W.
[1] Existence of weight space decompositions for irreducible representations
of simple Lie algebras // Canad. Math. Bull. 14 A971). 113—115.

204 Литература
Pollack R. D.
[1] Introduction to Lie Algebras. Kingston, Ont.: Queen's University, 1969.
(Notes by Gordon Edwards. Queen's Papers in Pure and Applied Mathe-
Mathematics, №23).
Samelson H.
[1] Notes on Lie Algebras. New York: Van Nostrand Reinhold Co., 1969.
(Van Nostrand Reinhold Mathematical Studies №23).
Schafer R. D.
[1] An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Academic Press,
1966. (Pure and Applied Mathematics 22).
Seligman G. B.
[1] Modular Lie Algebras. New York: Springer-Verlag, 1967. (Ergebnisse
der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 40).
[2] Rational Methods in Lie Algebras // New York: Marcel Dekker, Inc.,
1976.
Seminaire «Sophus Lie».
[1] Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes de Lie. Paris: Ecole
Norm. Sup., 1954—55.
(Имеется перевод: Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология
групп Ли. М.: ИЛ, 1962.)
Serre J.-P.
[1] Lie Algebras and Lie Groups. New York—Amsterdam: W.A.Benjamin,
Inc., 1965. (Lectures given at Harvard University).
[2] Algebres de Lie semi-simples complexes, New York—Amsterdam:
W.A.Benjamin, Inc., 1966.
(Имеется перевод обеих книг: Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли.
М.: Мир, 1969.)
Шаповалов Н. Н.
[1] Об одной билинейной форме на универсальной обертывающей алге-
алгебре комплексной полупростой алгебры Ли // Функц. анализ и прил. 6
A972), №4. С.65—70.
Springer Т. А.
[1] Weyl's character formula for algebraic groups // Invent. Math. 5 A968).
P. 85—105.
Steinberg R.
[1] A general Clebsch-Gordan theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 67 A961).
P. 406-407.

Литература 205
[2] Lectures on Chevalley groups, mimeographed lecture notes. New Haven,
Conn.: Yale Univ, 1968.
(Имеется перевод: Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.:
Мир, 1975.)
Tits J.
[1] Sur les constantes de structure et Ie theoreme d'existence des algebres
de Lie semi-simples // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. A966), №31.
P. 21—58.
Varadarajan V. S.
[1] Lie Groups, Lie Algebras, and their Representations. Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall, Inc., 1974.
Verma D.-N.
[1] Structure of certain induced representations of complex semi-simple Lie
algebras, Yale Univ., dissertation, 1966: cf. Bull Amer. Math. Soc. 74,
160-166 A968).
[2] Mobius inversion for the Bruhat ordering on a Weyl group // Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. D), 4 A971) P. 393—398.
[3] Role of affine Weyl groups in the representation theory of algebraic
Chevalley groups and their Lie algebras // Lie groups and their repre-
representations (Proc. Summer School, Bolyai Janos Math. Soc, Budapest,
1971). New York: Halsted, 1975. P. 653—705.
Winter D. J..
[1] Abstract Lie Algebras, Cambridge, Mass.—London: M.I.T. Press,
1972.
Wong W. J..
[1] Irreducible modular representations of finite Chevalley groups // J. Al-
Algebra 20 A972). P. 355—367 A972).
Литература, добавленная при переводе1
Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л.,
[1] Строение групп и алгебр Ли. Итоги науки и техники. Совр. пробл.
матем. Фунд. напр. ВИНИТИ, 1990. С. 5—253.
Ссылки в тексте на литературу из этого списка помечены звездочкой *.

Послесловие A994)
Каждое переиздание этой книги давало мне возможность исправлять
опечатки и ошибки, отмеченные внимательными читателями. Самое су-
существенное изменение сделано во втором издании, когда было включено
дополнение к §4. Если бы сегодня я начал с чистого листа, то несомненно
сделал бы по-другому целый ряд вещей — больших и малых. Если, напри-
например, говорить об обозначениях, то сейчас для полусуммы положительных
корней чаще используется р, чем 8. Но в обращении уже находится много
экземпляров прежних изданий, и я счел недопустимым нарушать соответ-
соответствие с ними.
Если структурная теория, развитая в гл. I—V, мало изменилась за про-
прошедшие 25 лет, то в теории представлений произошел настоящий всплеск
новых достижений. Сохранились ее основы, которые изложены в гл. VI
с ориентацией в первую очередь на классическую конечномерную теорию
Картана и Вейля. Однако по ходу дела я ввел ряд терминов и обозначе-
обозначений, вместо которых уже давно приняты другие. Так, вместо «стандартных
циклических модулей» теперь говорят о «модулях старшего веса», при-
причем универсальные модули этого класса называются «модулями Верма».
Последние обычно обозначаются М(Х), а не Z(X) причем неприводимый
фактор обозначается ЦХ). Конечно, из-за разветвленности теории Ли в
ней нередко сталкиваются различные способы обозначения (особенно для
систем корней), так что при работе с литературой студенту приходится к
ним привыкать.
Данная книга включает наиболее существенный материал по теории
полупростых алгебр Ли в чисто алгебраической форме. Эта теория — осо-
особенно классификация простых алгебр Ли с помощью схем Дынкина —
красива сама по себе, независимо от иных причин для ее изучения. Но
читателю полезно знать о выдающихся достижениях последних десятиле-
десятилетий, в чем-то опирающихся на эту теорию. Хотя на одной-двух страницах
невозможно по-настоящему осветить эти достижения, краткий обзор был
бы полезен. Приведенные ниже ссылки относятся обычно к книгам, а не
к многочисленным оригинальным статьям; последние хорошо отражены в
ежегодных предметных указателях журнала Mathematical Reviews. При-
Принеся извинения за неполноту, перечислим некоторые вопросы, наиболее
тесно связанные с алгебрами Ли.
BGG1 -категория б\ Она состоит из конечнопорожденных весовых мо-
модулей, на которых данная борелевская подалгебра действует локально
конечно. Эта категория включает модули Верма и неприводимые модули
старшего веса ЦХ) для каждого X, а также проективные и инъективные
объекты. С помощью БОО-резольвенты конечномерного модуля ЦХ),
Сокращение от I. Bernstein, I. Gelfand, S. Gelfand.

Послесловие 207
состоящей из модулей Верма, можно придать более содержательный
смысл выводу формулы Вейля для характеров, приведенному в этой кни-
книге. Кроме того, мы встречаемся с БGG-взаимностью при рассмотрении
фильтрации Янцена и формулы суммы. См. J. C.Jantzen, Modeln mit
einem hochsten Gewicht, Lect. Notes in Math., Vol.750, Springer-Verlag,
1979.
Гипотезы Каждана—Люстига. Предположительная формула ха-
характеров для всех L(a) появилась в основополагающей работе D. A.Kazh-
dan, G. Lusztig, Representation of Coxeter groups and Hecke algebras,
Invent. Math. 53 A979), 165—184. Вскоре она была (независимо) до-
доказана в работах Бейлинсона—Бернштейна и Брылинского—Кашивары
с помощью целого фейерверка технических приемов. В ряде областей
теории представлений приобрело исключительное значение применение
алгебр Гекке.
Примитивные идеалы в обертывающих алгебрах. Соединив теорию
некоммутативных колец и алгебраическую геометрию с теорией предста-
представлений полупростых алгебр Ли, удается получить глубокие результаты о
строении универсальных обертывающих алгебр. См. J. Dixmier, Algebres
enveloppantes, Gauthier-Villars, 1964 и J. C.Jantzen, Einhuullende Alge-
bren halbeinfacher Lie-Algebren, Springer-Verlag, 1983.
Представления групп Ли. Методы теории алгебр Ли, о которых шла
речь выше, обеспечили решающее продвижение во многих областях тео-
теории представлений полупростых (и редуктивных) групп Ли. См., например,
J.C.Vogan, Jr., Representation of Real Reductive Lie Groups, Birkhauser,
1981.
Представления алгебраических групп. Многие факты из теории по-
полупростых алгебр Ли можно перенести на полупростые алгебраические
группы произвольной характеристики. Представления в характеристике р
имеют нечто общее с бесконечномерными представлениями в характери-
характеристике 0. См. J. C.Jantzen, Representation of Algebraic Groups, Academic
Press, 1987.
Конечные группы типа Ли. Теория Ли существенна для понимания
структуры этих групп, а также их обычных и модулярных представлений.
См. R.W. Carter, Finite Groups of Lie Type: Conjugancy Classes and Com-
Complex Characters, Wiley, 1985.
Алгебры Каца—Муди и вершинные операторы. Если в соотношениях
Серра из § 18 заменить матрицу Картана на «обобщенную матрицу Кар-
тана», то мы получаем новые классы, бесконечномерных алгебр Ли. Эти
алгебры и их представления имеют глубокие связи с математической фи-
физикой, комбинаторикой, теорией модулярных функций и т.д. См. V G. Кае,
Infinite Dimensional Lie Algebras, Vertex Operator Algebras and the
Monster, Academic Press, 1988.

208 Послесловие
Квантовые группы. Появившись в пионерской работе Дринфельда
и Джимбо в середине 80-х, квантованные обертывающие алгебры ны-
ныне вошли в обиход математики и математической физики, См., например,
G.Lusztig, Introduction to Quantum Groups, Birkhauser, 1993 и J.Fuchs,
Afftne Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press,
1992.
Комбинаторика, геометрия и т. д. Системы корней и корневые ре-
решетки, а также соответствующие группы Кокстера (в частности, группы
Вейля) играют существенную роль не только в теории алгебр Ли, но и
во многих других вопросах, таких как формулы Макдональда, колчаны и
представления конечномерных алгебр, теория особенностей, кристаллы и
квазикристаллы и т.д. См., например, J. H. Conway, N.J. Sloane, Sphere
Packings, Lattices, and Groups, Springer-Verlag, 1993.

Предметный указатель
Автоморфизм алгебры Ли, 21
внутренний, 21
— графа, 86
— диагональный, ПО
— схемы Дынкина, 85
алгебра, 15
— Кэли, 131
— Ли, 12
абелева, 16
абстрактная, 16
исключительная, 128
классическая, 13
линейная, 13
полная, 13
специальная, 14
нильпотентная, 25
ортогональная, 14, 15
полупростая, 24
производная, 18
простая, 18
разрешимая, 23
редуктивная, 47, 128
с образующими и определяю-
определяющими соотношениями, 120
свободная, 119
симплектическая, 14
— октав, 131
— симметричная, 114
— тензорная, 113
— универсальная обертывающая,
114
— Шевалле, 182
Базис ПБВ, 117
— системы корней, 65
— Шевалле, 180
Вектор регулярный, 66
— сингулярный, 66
— старший, 48, 135
вес, 48, 87
— доминантный, 87
— минимальный, 92
— старший, 90, 135
— строго доминантный, 87
— фундаментальный доминантный,
87
веса связанные, 160
выражение элемента приведенное, 70
высота корня, 65
Гиперплоскость, 60
гомоморфизм алгебры Ли, 19
— модулей, 41
граф Кокстера, 75
группа автоморфизмов схемы Дын-
Дынкина, 85
— Вейля, 61
— линейная полная, 13
специальная, 14
— фундаментальная системы кор-
корней, 87
— Шевалле, 183, 197
Дифференцирование алгебры Ли, 15
внешнее, 16
внутреннее, 16
длина в группе Вейля, 70
Идеал, 18
изоморфизм алгебр Ли, 12, 19
— модулей, 41
— системы корней, 61
Камера Вейля, 67
фундаментальная относитель-
относительно А, 67
кольцо групповое, 154
коммутатор, 12
константы структурные, 16
корень, 61

210
Предметный указатель
— алгебры Ли, 53
— длинный, 72
— короткий, 72
— неразложимый, 66
— отрицательный, 65
— положительный, 65
— простой, 65
— разложимый, 66
кратность веса, 146
критерий Картана, 35
— полупростоты, 37, 128
Лемма Шура, 41
Матрица верхнетреугольная, 15
строго, 15
— диагональная, 15
— Картана, 74
— ортогональная, 23
— скалярная, 17
микровес, 92
многочлен следа, 158
множество векторов допустимое, 79
— весов насыщенное, 90
— замкнутое, 164
— корней замкнутое, ПО, 188
— образующих стандартное, 94
модуль (L-модуль), 41
— вполне приводимый, 41
— двойственный, 42
— неприводимый, 41
— сопряженный, 42
— циклический стандартный, 135
мономорфизм алгебр Ли, 19
Нормализатор, 19
носитель, 167
Область фундаментальная, 70
отображение каноническое, 20
отражение, 60
Плоскость отражения, 60
подалгебра, 12
— борелевская, 105
стандартная, 106
— картановская, 101
— параболическая, 111
стандартная, 111
— самонормализуемая, 19
— торическая, 52
максимальная, 52
— Энгеля, 100
подмножество неприводимое, 164
подпространство весовое, 48
представление алгебры Ли, 20
присоединенное, 16
точное, 43
эквивалентное, 41
пространство весовое, 134
Радикал алгебры Ли, 24
— формы билинейной, 37
разложение Жордана, 32
абстрактное, 39
— Жордана—Шевалле, 32
— Картана, 53
— на корневые подпространства, 53
ранг алгебры Ли, 109
— системы корней, 62
р-ранг, 165
решетка, 83
— допустимая, 193
— корней, 87
ряд нижний центральный, 25
— производный, 23
— убывающий, 25
Свертка, 167
ос-серия, порожденная корнем р, 57,
63
весом [i, 143
система корней, 58, 61
двойственная, 62
неприводимая, 70
обратная, 62
скобка, 12, 13
след, 13
сумма прямая идеалов, 38
схема Дынкина, 76
Тензор кососимметрический, 145
— симметрический однородный, 114

Предметный указатель
21]
теорема Вейля, 44, 171
— Костанта, 170, 190
— Ли, 31
— о сопряженности, 104, 106
— об изоморфизме, 95
— Пуанкаре—Биркгофа—Витта,
116
— Серра, 124
— Стейнберга, 174
— Хариш-Чандры, 160
— Шевалле, 158, 180
— Энгеля, 25
теоремы существования и единствен-
единственности, 127, 137
тождество Якоби, 12
топология Зарисского, 164
Факторалгебра Ли, 19
флаг, 27
форма билинейная ассоциативная,
36
невырожденная, 37
— Киллинга, 36
формула Вейля, 171
— Клебша—Гордана, 156
— кратностей Костанта, 170
— Фрейденталя, 152
функция Вейля, 167
— Костанта, 167
— полиномиальная, 156
инвариантная, 156, 157
— целочисленная, 140
доминантная, 140
Характер, 160
— формальный, 154
Центр алгебры Ли, 18
— универсальной обертывающей
алгебры, 159
централизатор, 19
Часть нильпотентная, 39
— полупростая, 39
числа Картана, 57, 74
Элемент нильпотентный, 25
— р-регулярный, 165
— Казимира, 43
универсальный, 147
— полупростой, 39
— регулярный полупростой, 102
— строго нильпотентный, 103
эндоморфизм локально нильпотент-
нильпотентный, 124
— нильпотентная часть, 32
— нильпотентный, 21
— полупростая часть, 32
— полупростой, 31
эпиморфизм алгебр Ли, 19

Список обозначений
[х, у] 12
End V 13
0l(V) 13
QL(V) 13
gi(n, F) 13
A^ 13
sl(V) 13
sl(n, F) 13
Tr 14
SLA/) 14
Q 14
*p(V) 14
sp(n, F) 14
B^ 14
о(У) 14
о(я, F) 14
D* 15
t(n, F) 15
n(n, F) 15
3(я, F) 15
Der2t 15
Z(L) 18
NL(K) 19
CL(X) 19
IntL 21
L(/) 23
Rad L 24
Ll 25
x(x, r/) 36
Cy 43
Ф 52
t« 54
Л. 55
Sa 56
E 58
E 60
P« 60
(a, p) 60
Ф 60
oa 60
w
av
Фу
G2
Д
hta
У
Ф+
Ф"
А(т)
€(Д)
5
«(о)
sn(o)
Ее, Е7, Е8
F4
Г
Л
лг
л+
X,
F(L)
La(ad x)
fi(L)
J/{L)
S(L; K)
N(A)
B(A)
1(V)
6A/)
6(У)
U(L)
ПБВ
€
1/x
Z(X)
61
62
62
62
65
65
65
65
65
66
67
67
68
70
70
73
77
77
85
87
87
87
87
98
99
103
104
104
106
106
113
114
114
114
115
116
131
131
134
137

Список обозначений 213
/(X) 138
У(Х) 138
V(k) 138
U(V) 141
П(Х) 141
m\([i) 146
m([L) 146
cL 147
Z[A] 154
e(X) 154
chx 154
chy 154
156
156
157
3 159
Xx 159
X-^x 160
M 165
f*B 167
e(X)
P(X)
<?(X)
ЭЛх
9(X)
deg(X)
L(Z)
L(K)
G(K)
H(L)z
tf(Z)
/W min
Mmax
LV(K)
Gv(K)
167
167
167
167
168
169
171
178
182
182
183
190
193
193
195
196
196
197

Джеймс Хамфрис
Введение в теорию алгебр Ли и их представлений
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 01.08.2003 г. Формат 60 х 90 Уш. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 13,5. Тираж 1000 экз. Заказ №
МЦНМО
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Отпечатано в ФГУП «Полиграфические ресурсы».
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241—72—85. E-mail: biblio@mccme.ru