Предисловие редакторов перевода
Со времен античности и вплоть до нашего времени объекты, обладающие богатой симметрией, постоянно привлекают внимание ученых. Наиболее известные и яркие примеры таких объектов — знаменитые пять Платоновых тел, красота которых непосредственно, на чувственном уровне, доступна каждому человеку. В разные эпохи эта красота вдохновляла философов, математиков, астрономов, физиков на создание как мистических, так и научных систем, эстетически созвучных правильным многогранникам по своей стройности и завершенности. В изданном в 1968 г. в русском переводе цикле лекций «Симметрия», прочитанных великим математиком XX в. Германом Вейлем, раскрыто значение исследований различных аспектов симметрии как в становлении всего современного научного мировоззрения, так и математики, в частности. Уже по этой популярной брошюре можно четко проследить два основных, дополняющих друг друга аспекта в математическом описании симметричных объектов: нахождение необходимых условий существования (в простейших случаях формулируемых в виде одного или нескольких диофантовых уравнений для основных параметров) и проблема конструктивно-геометрического описания, когда действительно существующие объекты строятся в явном виде.
С развитием теории групп и теории представлений групп спектр исследований в области симметрии чрезвычайно расширился, затронув самые различные разделы математики, физики, химии, биологии и других научных дисциплин. В этом мощном потоке за последние два десятилетия выделилось принципиально новое направление, связанное с изучением так называемых дистанционно-транзитивных графов и их различных обобщений.
Дистанционно-транзитивный граф характеризуется тем свойством, что его группа автоморфизмов действует транзитивно на множествах упорядоченных пар равноудаленных вершин графа. Простейшие примеры — это как раз графы, вершинами и ребрами которых являются соответственно вершины и ребра правильных многогранников. Интерес к таким графам объясняется тем, что они неожиданно оказались в центре внимания многих наследований в дискретной математике: спорадические простые
в
Предисловие редакторов перевода
группы, коды, исправляющие ошибки, планирование экспериментов, теоретический анализ сложности алгоритмов проверки изоморфизма графов — во всех этих разделах математики возникают структуры, имеющие различные названия, но эквивалентные понятию дистанционно-транзитивного графа. Отмеченные выше два аспекта в ходе исследования дистанционно-транзитивных графов привели к развитию нового математического аппарата, о котором можно смело сказать, что именно он лежит в основе современной комбинаторики. Этот аппарат возник на базе весьма универсального языка схем отношений, впитавшего в себя такие понятия, как кольца Шура, алгебры Гекке, когерентные конфигурации, централизаторные кольца, клеточные кольца.
В предлагаемой вниманию советского читателя монографии Э. Баннаи и Т. Ито впервые дано систематическое изложение алгебраической комбинаторики на основе рассмотрения схем отношений и последовательно изложена теория дистанционнотранзитивных графов. При этом основное внимание уделено подходу к комбинаторике, который был предложен Ф. Дельсар-том и который позволяет рассматривать с единой точки зрения многие комбинаторные проблемы.
Коротко и довольно популярно этот подход можно обрисовать так. Пусть 91— алгебра над О, порожденная матрицей смежности А дистанционно-транзитивного графа Г диаметра d. Обозначим через А, матрицу смежности графа, в котором две вершины смежны в точности тогда, когда они находятся на расстоянии I в графе Г. Тогда матрицы Ао, Аь ..., Аа составляют базис алгебры Я как векторного пространства, причем А; = щ(А), где щ(х)— некоторый многочлен степени I (0 i
d). Постулируя на аксиоматическом уровне это свойство, называемое свойством Р-полиномиальности, мы приходим к более широкому классу алгебр, также порождаемых матрицей смежности А некоторого графа Г. Такой граф уже называется дистанционно-регулярным. В другой, непосредственно комбинаторной формулировке свойство дистанционной регулярности естественно аппроксимирует однородность пар равноудаленных вершин дистанционно-транзитивного графа. Понятия дистанционно-регулярного графа и сопутствующей ему алгебры §1 оказались очень удобными для получения различных необходимых условий существования дистанционно-транзитивных графов. Эти необходимые условия тесно связаны с понятием двойственности в алгебре 91. Такая двойственность возникает в результате того, что в 91 наряду с операцией обычного матричного умножения определена операция покомпонентного, адамарова умножения. Излагаемые в этой связи в книге Э. Баннаи и Т. Ито теоремы двойственности Кавады— Дельсарта и Танаки —Крейна пред
Предисловие редакторов перевода	7
ставляют собой наиболее красивые результаты в современной алгебраической комбинаторике.
Аксиоматизация свойства, двойственного к свойству P-полиномиальности, приводит к понятию Q-полиномиальности, которое уже не допускает наглядной комбинаторной интерпретации, но играет исключительно важную роль в теории блок-схем. При этом многочлены Vi(x), фигурирующие в определении Р-полиномиальности, и двойственные им многочлены п*(х), фигурирующие в определении Q-полиномиальности, представляют собой системы многочленов, ортогональных относительно определенной дискретной меры. Это устанавливает связь между алгебраической комбинаторикой и теорией ортогональных многочленов.
Наибольший интерес представляют собой объекты, обладающие одновременно свойствами Р- и Q-полиномиальности. Основная часть известных объектов с этим свойством возникает из классических групп и классических форм над конечными полями. В книге Э. Баннаи и Т. Ито выдвинута программа классификации всех таких объектов. Первый шаг в этой программе уже реализован Д. Леонардом, который описал класс многочленов, содержащий' оДх) и v*(x). Оказалось, что этот класс составляют так называемые многочлены Аски — Вильсона, независимо открытые недавно в теории ортогональных многочленов. Такие многочлены, если рассматривать и некоторые их предельные случаи, включают в себя все «классические» ортогональные многочлены. Это указывает на глубину упомянутой выше связи между алгебраической комбинаторикой и теорией ортогональных многочленов, что лишний раз иллюстрирует единство дискретной и непрерывной математики.
Кроме того, имеется тесная связь между алгебраической комбинаторикой и теорией конечных групп. Дело в том, что каждая известная конечная простая группа, исключая спорадические группы и группы малого лиевского ранга, является группой автоморфизмов определенной (Р и Q)-полиномиальной схемы отношений. Поэтому классификация таких схем могла бы явиться основой для нового подхода к классификации конечных простых групп.
Следует отметить, что второй из упоминавшихся аспектов исследований в комбинаторике — интерпретация и конструктивное построение — в книге не развит. Однако как раз в нашей стране за последние 15 лет выработалась определенная традиция в подходах к этой тематике. Методологической основой таких подходов является соответствие Галуа между комбинаторными объектами, инвариантными относительно групп подстановок на заданном конечном множестве, и самими этими группами подстановок.
8	Предисловие редакторов перевода
После выхода книги Э. Баннаи и Т. Ито на английском языке получен ряд результатов, существенно изменивших положение дел в алгебраической комбинаторике. Это, в первую очередь, результаты П. Тервиллигера, которому удалось значительно продвинуться в классификации (Р и Q)-полиномиальных схем; полученное А. А. Ивановым ограничение диаметра дистанционно-регулярных графов; классификация кубических дистанционно-регулярных графов, полученная Н. Биггсом, А. Бо-шиером и Дж. Шейв-Тейлором, и результаты Э. Баннаи и Т. Ито, относящиеся к обоснованию конечности числа дистанционно-регулярных графов заданной валентности.
По этим причинам было решено снабдить перевод книги Э. Баннаи и Т. Ито на руский язык двумя дополнениями. Первое— дополнение авторов книги, отражающее упомянутые выше, а также некоторые другие недавние результаты, лежащие в русле материала книги. Второе — дополнение, написанное переводчиками книги совместно с М. X. Клином и содержащее обзор результатов, относящихся к использованию упомянутого соответствия Галуа. Это приложение отражает традиции советской математической школы в изучении схем отношений.
От своего имени и от имени авторов второго дополнения мы выражаем искреннюю признательность Э. Баннаи и Т. Ито, которые с готовностью откликнулись на наше предложение и в короткие сроки предоставили свое дополнение.
Ю. И. Журавлев, А. И. Кострикин
Предисловие
Цель настоящей книги — дать систематическое изложение алгебраической комбинаторики. Здесь под алгебраической комбинаторикой мы понимаем подход к комбинаторике, который был сформулирован в 1973 г. в фундаментальной диссертации Дельсарта [118] и позволил рассматривать широкий класс комбинаторных проблем с единой точки зрения. Безусловно, истоки этого подхода можно проследить в исследованиях, относящихся к различным разделам математики, проведенных задолго до Дельсарта. Один из таких истоков обнаруживается в теории групп, в частности в работе И. Шура [309], причем это направление исследований имеет столь же давнюю историю, как и теория характеров групп, и включает в себя работы Фробениуса, Шура, Бернсайда. Другой важный исток прослеживается в комбинаторике, в частности в теории схем планирования экспериментов и схем отношений, развитой Р. К. Боузом и др. Однако мы считаем, что именно в диссертации Дельсарта алгебраическая комбинаторика была осознана как объединяющее начало для частных подходов, которые в каждом из разделов математики: алгебраической теории графов, алгебраической теории кодирования, алгебраической теории блок-схем, методе колец Шура, методе матриц пересечений в теории групп подстановок и др. называются по-разному. Алгебраическую комбинаторику можно охарактеризовать как «исследование комбинаторных объектов методами теории характеров» или «теорию групп без групп»!
Эта книга основана на лекциях, прочитанных Э. Баннаи в Университете штата Огайо с сентября 1978 г. по декабрь 1982 г. Идея опубликования записей этих лекций возникла во время пребывания Т. Ито в этом университете с сентября 1980 г. по июнь 1981 г. Т. Ито привел записи лекций в тот вид, в котором они представлены в настоящей книге, используя записи лекций за предыдущие два года, сделанные Е. Ега-вой, а также добавив несколько параграфов, предназначенных для читателей, которые впервые знакомятся с этой тематикой. В книгу включен ряд результатов, полученных уже после прочтения этих лекций, а некоторые из гипотез, высказанных на лекциях, фигурируют здесь уже в виде теорем. Вообще, насколько это возможно, мы пытались отразить самые послед-
10
Предисловие
ние исследования в алгебраической комбинаторике. Однако прогресс в этой области происходит быстрее, чем ожидалось, поэтому мы опасаемся, что книга потребует переработки сразу же после того, как выйдет в свет. Тем не менее, мы решили форсировать публикацию в надежде, что она сможет помочь тем, кто начинает свои собственные изыскания в этой области. Дело в том, что оригинальные статьи разбросаны по различным журналам и сборникам, а монографическое изложение современного состояния предмета, насколько нам известно, отсутствует. Мы отдаем себе отчет, что материал книги требует шлифовки как с математической точки зрения, так и с точки зрения изложения. Выход книги в настоящем виде оправдан лишь нашей надеждой на то, что она будет стимулировать дальнейшие исследования. Сейчас мы готовим вторую часть монографии с подзаголовком «Теория Дельсарта, коды и блок-схемы», которая выйдет в ближайшие год-два. Мы с благодарностью воспримем любые замечания читателей, поскольку планируем в ближайшее время приступить к переработке и улучшению предлагаемой книги.
Мы рады возможности поблагодарить всех, кто высказал свои замечания по поводу первоначального текста, а также Ё. Егаву, предоставившего свои записи лекций, X. Еномото, внимательно прочитавшего нашу рукопись, Д. Шапиро, напечатавшую окончательный текст, Дж. Хемметера, помогавшего улучшить стиль изложения. Наконец, мы благодарны всем нашим коллегам, аспирантам и секретариату Университета штата Огайо, оказавшим нам помощь при подготовке рукописи. Э. Баннаи благодарит Национальный научный фонд за финансовую поддержку во время подготовки рукописи.
Эити Баннаи, Тацуро Ито
Указания читателю
(1)	Основные логические зависимости между параграфами:
: основная зависимость, -----: некоторая зависимость.
Ряд второстепенных зависимостей здесь не отражен.
В рамочку заключены ключевые параграфы, остальные параграфы можно опустить при первом прочтении.
(2)	В виде задач и вопросов сформулированы открытые к настоящему времени проблемы. Решение любой из них заслуживает публикации. Мы призываем читателей сообщить нам
12	Указания читателю
о полученных ими решениях. В виде задач сформулированы те проблемы, которые, как нам кажется, будут решены и по поводу которых у нас есть приблизительное представление о возможном решении. Что касается вопросов, то они не отличаются принципиально от задач, но мы не знаем, как их можно решить.
(3)	Для удобства читателя мы в список литературы включили много источников. На некоторые из них имеются ссылки в ч. I, на некоторые мы будем ссылаться в ч. II, а на некоторые может и не быть явных ссылок. Список литературы не претендует на полноту, однако поскольку авторы планируют в будущем переработать эту книгу, предложения читателей о добавлениях в список литературы будут приветствоваться.
Введение
Главным объектом исследования в I части этой монографии являются схемы отношений. Дельсарт [118] первым обнаружил возможность использования схем отношений в качестве базовых структур теории кодирования, теории блок-схем и т. д. Именно этим объясняется успех развитой им теории, а само возникновение термина «алгебраическая комбинаторика» связывают с появлением работы [118]. Помимо той роли, которую схемы отношений играют в теории Дельсарта, они сами по себе представляются важными и интересными математическими объектами, и история их изучения уже насчитывает несколько десятилетий. Мы полагаем, что они заслуживают серьезного математического исследования.
Наша монография состоит из двух частей. Часть I посвящена изучению схем отношений как таковых, и здесь они рассматриваются как чисто математические объекты. В ч. II на основе схем отношений и их непрерывных аналогов излагаются теория Дельсарта, теория кодирования, теория блок-схем и т. д.’)•
Схема отношений — это конечное множество X и семейство отношений R; на X	удовлетворяющие нескольким
аксиомам, перечисленным в § 2.2. Самая важная из аксиом состоит в том, что векторное пространство 31 над полем комплексных чисел, порожденное матрицами смежности Л; отношений Rt	является алгеброй размерности d-^-1. Та-
ким образом, произведение матриц Лг- и Л/ представимо в виде линейной комбинации матриц Л*:
d А,-А,=,^л-
Из этого вытекает ряд сильных алгебраических свойств схемы отношений. Например, если все А; — матрицы подстановки, то исходная схема отношений — это не что иное, как конечная группа. Существует и несколько других интересных способов трактовки конечных групп в терминах схем отношений (см.
*) Еще раз подчеркнем, что данная книга — это перевод ч. I. — Прим, перев.
14
Введение
пример 2.1(2) в § 2.2). Схемы отношений — намного более общие структуры, чем конечные группы, но в них так же, как и в группах, выполняется закон ассоциативности умножения, а для А, существует своего рода обратный элемент Аг.
Некоторые теоретико-групповые построения допускают обобщение на схемы отношений. Наиболее ярким примером служит аналог теории характеров, которая применительно к конечным группам была разработана Фробениусом, Шуром, Бернсайдом и др. Известно, что конечные простые группы являются фундаментальными объектами, из которых могут быть построены произвольные конечные группы. В теории схем отношений аналогичную роль играют примитивные схемы отношений. Однако по сравнению с конечными простыми группами примитивные схемы отношений настолько многочисленны, что их полная классификация нереальна и нецелесообразна. Кроме того, способ построения произвольных схем отношений из примитивных более сложен.
Во второй главе обобщения теоретико-групповых конструкций для схем отношений будут рассматриваться в наиболее общей постановке. По ходу дела явно или неявно обсуждаются теоретико-групповые аспекты. Это должно способствовать более ясному пониманию как схем отношений, так и конечных групп. Например, соотношения ортогональности для характеров конечных групп прекрасно объяснены Хохейзелем в [210] с точки зрения схем отношений. Это привело Каваду [233] к аксиоматике алгебр характеров (С-алгебр), из которой естественно выводятся все алгебраические свойства схем отношений. Примечателен тот факт, что в то время, когда Хохейзель и Кавада получили упомянутые результаты, комбинаторная концепция схем отношений еще не была сформулирована.
Во второй главе излагается материал, относящийся к теории конечных групп. Изучаются централизаторные кольца групп подстановок (§ 2.1), кольца Шура (§ 2.6); с точки зрения схем отношений интерпретируется таблица характеров конечной группы (§ 2.7), рассматриваются алгебры Нортона (§ 2.8), а также связь между примитивными и импримитивными схемами отношений (§ 2.9). Этот материал приведен, в частности, для того, чтобы облегчить специалистам по теории групп овладение комбинаторными основами теории схем отношений. Дело в том, что сами авторы занялись схемами отношений в процессе исследования групп подстановок, в частности, их централизаторных колец. Глава 2 претендует на роль систематического введения в алгебраическую теорию схем отношений, ее можно использовать в качестве учебного пособия или справочника.
Как было отмечено выше, схемы отношений являются весьма общими структурами. И именно эта общность ограничивает
Введение
15
развитие их теории. Возникает вопрос: какие же классы.схем отношений наиболее важны? Мы полагаем, что наиболее важны Р-полиномиальные и Q-полиномиальные схемы. Изучение этих классов схем отношений составляет основное содержание гл. 3.
Для читателя, который сталкивается с Р-полиномиальными и Q-полиномиальными схемами впервые, мы начнем с их определений. Р-полиномиальные схемы эквивалентны дистанционнорегулярным графам. Их легко понять и описать в комбинаторном контексте следующим образом. Р-полиномиальная схема (X, {P(}o<i<d)—это симметричная схема отношений, в которой пара (х, у) элементов х, у<=Х входит в отношение Р,
тогда и только тогда, когда расстояние между х и у в неориентированном графе (X, Pi) равно i, т. е. кратчайший путь, соединяющий хну, имеет длину i. Другое эквивалентное определение состоит в том, что существуют такие многочлены щ(х) степени I, что А1 = п! (А1) (О i d), где А, — матрица смежности отношения Ri. Третье эквивалентное условие требует, чтобы матрица пересечений й = (pfy) (0^/^d,	была триди-
агональной:
О 1
Ьо ах
Ъх
О
О
с2
а2 ’
&2
• • Cd— 1
• ®d—1 Сд i>d-\ ad
(ct #= 0, 6Z #= 0).
Эта тридиагональная матрица связана с многочленами Vi(x) следующим трехчленным рекуррентным соотношением:
6Z-if<_i (х) + aiVi (х) + cz+1uz+1 (х) = xvt (х).
В теории ортогональных многочленов хорошо известно, что наличие такой трехчленной рекуррентной формулы эквивалентно существованию меры на вещественной прямой, для которой многочлены vi(x) попарно ортогональны относительно интегрирования. Поскольку диаметр d Р-полиномиальной схемы конечен, такая мера является дискретной и отлична от нуля лишь в конечном числе точек вещественной прямой. Указанная связь между Р-полиномиальными схемами и ортогональными многочленами отнюдь не поверхностна. Так, например, кратности пи собственных значений матрицы смежности Ах интерпретируются как числа Кристоффера в формулах численного
16
Введение
интегрирования и вычисляются по формуле Кристоффера — Дарбу.
Q-полиномиальные схемы были определены Дельсартом в Ц18] как двойственные к Р-полиномиальным схемам.
Алгебра смежности (алгебра Боуза — Меснера) 91 = = <А0, А]....Ad> коммутативной схемы отношений является
полупростой и обладает однозначно определенным набором Ео, Еь Ed примитивных идемпотентов. Этот набор {£>•} образует еще один базис алгебры 91. Таким образом,
d	d
Ai^'^Pi^Ei и Ei = ТТТ Е qi Ai /-o	H
для некоторых комплексных чисел pt(j) и qi(j). Матрицы Р = = (р,(/)) и Q =(?<(/)) называются собственными матрицами алгебры 91. Эти собственные матрицы можно считать таблицами характеров схем отношений. Важное свойство алгебры 91 заключается в том, что она замкнута не только относительно обычного умножения матриц, но и относительно покомпонентного (адамарова) умножения о. То есть
d
£« о£,/ = Т%Т Е qk4Ek
fe =0
для некоторых комплексных чисел qkit. В действительности оказывается, что q^j — неотрицательные вещественные числа (условие Крейна).
Теперь ^’Полиномиальные схемы можно определить следующим образом. Одно из определений состоит в том, что £г = = jypv*(fj • |Х|) для некоторых многочленов и* степени i, где умножение адамарово. Другое эквивалентное определение состоит в том, что двойственная матрица пересечений В = (О^/^d, 0kd) тридиагональна:
О 1	О
Ь'о <
Ь\ а2 ' .
< c'd-i
' ad-l Cd
О 	<
(cj =И= О, Ь*=£ 0),
Введение
17
(а’, £>*, с’ не обязательно целые). В отличие от Р-полино-миальных схем представляется затруднительным найти эквивалентное комбинаторное определение для Q-полиномиальных схем (может быть, его просто не существует)1). Однако понятие Q-полцномиальной схемы очень существенно для определения и изучения f-схем.
Глава 3 основная в первой части монографии. Ее цель состоит в изучении Р-полиномиальных схем, в частности (Р и Q)-полиномиальных схем большого диаметра. Мы рассматриваем классификацию (Р и Q)-полиномиальных схем отношений как одну из центральных проблем в алгебраической комбинаторике. Эти схемы отношений важны в том плане, что
(1)	они дают особенно стройную основу для развития теории кодирования и теории блок-схем;
(2)	их «таблицы характеров» могут быть описаны в терминах ортогональных многочленов Аски — Вильсона [250];
(3)	они тесно связаны с большинством конечных простых групп (исключая лишь некоторые группы типа Ли малого ранга и некоторые спорадические группы).
Стремление классифицировать все (Р и Q)-полиномиальные схемы достаточно большого диаметра возникло у нас в самом начале чтения курса лекций, лежащего в основе предлагаемой книги. Сначала мы думали, что проблема классификации может оказаться безнадежно трудной. Однако по мере чтения лекций перспективы становились все более и более обнадеживающими, в основном благодаря вкладу слушателей (таких, как Д. Леонард, Е. Егава), и сейчас полная классификация представляется нам делом не столь уж далекого будущего, хотя и достаточно сложным. Один из авторов (Э. Баннаи) хотел бы поблагодарить Ричарда Аски за руководство при изучении ортогональных многочленов, которое помогло проводить исследования в этом направлении.
Типичными и важными примерами (Р и Q)-полиномиальных схем являются схема Хэмминга H(d, q) и схема Джонсона J(и, d) (детали см. в § 3.2), которые интенсивно изучаются в связи с (обычной) теорией кодирорания и (обычной) теорией блок-схем (см. [260], [118] и др.). Эти схемы строятся, исходя из групп SqeSd (сплетение симметрических групп Sq и Sa) и симметрической группы Sv соответственно. Имеются другие примеры (Р и Q)-полиномиальных схем, которые возникают из классических групп (конечных простых групп типа Ли) и классических форм над конечным полем GF(q) (билинейные, знако
*) Недавно П. Тервиллигер нашел комбинаторно-геометрическое условие того, что заданная Р-полиномиальная схема является Q-полиномиальирй См. дополнение авторов в конце книги. — Прим, перед.	'
18
Введение
переменные, эрмитовы и квадратичные формы). Их сферические функции (так же, как и разложения подстановочных характеров) исчерпывающим образом изучены Дунклом [137] — [142], Стэнтоном [349] и др. Список этих схем приведен в § 3.6. Кажется, что этот список покрывает все (Р и Q) -полиномиальные схемы большого диаметра, исключая некоторые производные от них.
Предлагается следующая программа классификации (Р и Q)-полиномиальных схем, состоящая из трех шагов.
Шаг 1. Описание всех ортогональных многочленов, которые обладают свойством (Р и Q)-полиномиальности.
Шаг 2. Описание всех реализуемых параметров для (Р и Q)-полиномиальных схем.
Шаг 3. Характеризация известных (Р и Q)-полиномиальных схем посредством их параметров р^.
Шаг 1 завершен Леонардом в форме теоремы 5.1 (§ 3.5), которая утверждает, что такие ортогональные многочлены — это многочлены Аски — Вильсона (сбалансированные гипергеометрические ряды 4<р3) либо некоторые их предельные случаи. Это самый интересный момент в ч. I. Для заданной (Р и Q)-полиномиальной схемы положим ut (х) = (l/£z) vt (х) и ы*(х) = =(l/m() v( (х), чтобы нормировать эти многочлены. Отметим, что матрица пересечений В (соответственно двойственная матрица пересечений В) определяет трехчленное рекуррентное соотношение для «Дх) (соответственно для ut(x))
(x) + aiul (х) + biui+l(x) = xu1(x)	(5.1)
(соответственно соотношение (5.2) с числами с*, а*, Ь*')
и, следовательно, {иг(х)}, {w*(x)J— ортогональные многочлены. Из (Р и ())-полиномиальности схем отношений следует, что
Ы/(0;.)=«;(б;) (/, /=о, 1,..., d),	(5.3)
где 0;- и 0‘ суть собственные значения матриц В и В соответственно. Будем исходить из ортогональных многочленов (u(. (х)}0 (. с d, (u*(x)}0< (. которые удовлетворяют равенству (5.3), где 0^ (соответственно 0*) определяются матрицей В (соотв. В). Говорят, что такие многочлены обладают свойством (Р и Q)-полиномиальности. Многочлены Аски — Вильсона (^-многочлены Рака) являются сбалансированными гипергеометрическими рядами 4фз, ортогональность которых доказана Аски и Вильсоном в [6]. Они являются, по-видимому, самым широким из известных классов ортогональных многочленов, которые выражаются с помощью базисных гипергеометрических рядов. Этот широкий и важный класс ортогональных мно-рочленов включает в себя все «классические» (непрерывные и
Введение
19
дискретные) ортогональные многочлены в качестве частных и предельных случаев. Из теоремы 5.1 становится ясно, что именно является «классическим» одновременно в теории схем отношений и в теории ортогональных многочленов.
Шаг 2 обсуждается в § 3.7, где показано, что собственные значения 0,- являются рациональными целыми числами, однако многое еще предстоит преодолеть, прежде чем будет получен окончательный результат. Обзор результатов, относящихся к шагу 3, приведен в § 3.8. (См. также § 3.6.)
Шаг 3 представляет собой проблему, которая в несколько иных формулировках имеет долгую историю во многих разделах комбинаторики, в частности в теории графов, в конечных геометриях и теории групп. Несмотря на то, что уже проделана гигантская работа, многое остается нерешенным. Последние достижения можно найти в статье Егавы [143] о H(d, q) ив статье Муна [272] о	Для других (Р и Q)-полино-
миальных схем из списка в § 3.6 задача их полной характеризации лишь посредством параметров р'^ представляется в большинстве случаев далеко не простой. В настоящее время ведется много работ по такой характеризации, иногда при дополнительных предположениях типа наличия локальных геометрических структур.
В гл. 3 основное внимание уделяется (Р и Q)-полиномиальным схемам. Интересно было бы знать, насколько категории Р-полиномиальных или Q-полиномиальных схем шире категории (Р и Q)-полиномиальных схем. Рассмотрение известных примеров и непрерывных аналогов показывает, что если диаметр достаточно большой, расхождение между этими категориями может быть очень малым. Если это так, то класс (Р и Q)-полиномиальных схем действительно очень важен. Мы надеемся, что в будущем это направление исследований может быть развито настолько, чтобы от классификации (Р и Q)-полиномиальных схем перейти к классификации конечных простых групп, о чем пока можно только мечтать.
Часть II, которая в настоящее время находится в стадии подготовки, в основном посвящена теории Дельсарта, а также теории кодирования и теории блок-схем, излагаемых на основе (Р и Q)-полиномиальных схем и их непрерывных аналогов. Мы дадим здесь краткий обзор этой части, рассмотрев несколько примеров. Такой обзор может помочь читателю осознать важность Р-полиномиальных и Q-полиномиальных схем.
(i) Обычная теория кодирования базируется на векторных пространствах над конечным полем GF(q) и их подпро-
*) О более поздних результатах см. дополнение авторов в конце книги.— Прим, перед.
20
Введение
странствах. Пусть X—векторное пространство размерности d над конечным полем GF(q). Для х = (х1? .Ха) и y = (yi, ...
уа)^Х определим расстояние д(х, у) от х до у следующим образом:
д(х, y) = #{i\Xi=£ у{}.
Для линейного подпространства У пространства X положим
s = s (У) — =# {д (х, у) | х, у е= У, х =У= у} (степень),
f = f (У) = Min {д (х, у)\х, у е У, х у}
(минимальное расстояние).
Подпространство У называется е-кодом (e = [(f—1)/2]), т. е. д(х, у) 2е + 1 для различных х, у е У. Интуитивно ясно, что степень 5 возрастает с ростом | У), а минимальное расстояние f убывает с ростом | У|. Одна из основных целей теории кодирования— сделать | У| настолько большим, насколько это возможно, при фиксированном е и сделать е настолько большим, насколько это возможно, при фиксированной мощности множества У (см. Мак-Вильямс и Слоэн [261]). Имеют место хорошо известные неравенства
/d\	/d\
(1) |y|<l+d(^-l) + [2J(^-l)2+	+
. /(	(d\	(d\ )
(2) | У |<?У|1 + d^-l)+[2J(^-l)2+...+(^e J(<7-l)eJ, где e= [(/— l)/2].
Пусть У1 —это подпространство
(х е= X | (х, у) = Е xai = 0 У у <= у).
I	r=i	J
Положим
f==f(yj.)_ 1 (сила У) и
r = s(y-L) (внешнее расстояние для подпространства У).
В этом случае У называется /-схемой и совпадает с ортогональным массивом силы t. Применив неравенства (1) и (2) к подпространству У1, получаем
(d\	( d \
(1)’ | У | > 1 + d (q - 1) + [ 2 J (q - 1)2+ ... -Ц R/2] J (q-1)^1,
. /f	(d\	/ d\ )
(2)‘ |У|>?У|1+^- l)+[2 J(?-l)2+...+[r J(?-l)rJ.
Если в одном из неравенств (1), (1)* достигается равенство, то оно достигается и во втором неравенстве. Двойственным об
Введение
21
разом равенство в одном из неравенств (2), (2)* влечет за собой равенство во втором. Подпространство У, на котором достигается равенство, называется плотным ортогональным массивом силы t (i = 2s) и совершенным е-кодом (г = е). Двойственным образом У1 является совершенным 5-кодом и плотным ортогональным массивом силы f—1 (f—l=2r).
Все рассуждения остаются справедливыми для d-й декартовой степени X некоторого (/-элементного множества для произвольного q 2, т. е. для схемы Хэмминга, которая обладает более слабой структурой, чем векторное пространство. Для произвольного подмножества У множества X уже не существует комбинаторного объекта У1, но мы по-прежнему можем рассматривать его алгебраически. Пусть а —(а0, «ь •••, аХ) — внутреннее распределение расстояний для подмножества У:
а1 = -[уу#{(х, у)еУХУ|<5(х, t/) = i} (0<i<d).
Отметим, что если У — подпространство в пространстве X, то а — весовое распределение для У. Определим вектор Ь = = (&о, bi, ..., bd), двойственный к а, следующим образом:
Ь — । у । aQ, где Q = (qi(j))—вторая собственная матрица схемы H{d,qY.
?((/)= Е
а=о	\ а / \ 1 — а /
(многочлены Кравчука)
где 2^1 — геометрический ряд. В случае подпространства У векторного пространства X — это в точности преобразование МакВильямс и b — весовое распределение подпространства У1.
Для параметров
s = # {а, | =/= 0, i = l, 2, ..., d} (степень),
f= 1 + Мах {/г| щ = «2=.. . = aft = 0} (минимальное расстояние), t - Max {h | bi = b2 = ... = bh = 0} (сила),
г ~ # {bt | bi=^, 1=1, 2, ..., d} (внешнее расстояние)
выполнены неравенства (1), (2), (1)*, (2)*, причем равенства достигаются при тех же условиях, что и выше. Подмножество У называется i-схемой и представляет собой ортогональный массив силы t. Двойственным образом У называется е-кодом, где
22
Введение
e==[(f—1)/2]. Подмножество, для которого достигается равенство в (1), (1)* (соотв. в (2), (2)*), называется плотным ортогональным массивом силы t (соотв совершенным е-кодом).
(ii) Обычная теория блок-схем исходит из схемы Джонсона J(v, k) (v/2	k). Пусть X— множество всех й-эле-
ментных подмножеств некоторого ^-элементного множества V. Для А, В<=Х определим расстояние д(А, В) от А до В по правилу
д(А, В) = k -1 А Л В |.
Для подмножества Y в X степень 5 и минимальное расстояние f определяются так же, как в п. (i), причем для |У| выполнены следующие неравенства:
/ v \
(1) тЦ J,
матрица Q = (?<(/)) схемы J(v, k) за-
— v — 1 + j \
. ,	; 1 I (многочлены Хана),
— v + k )	’
/ и где =
где e = [(f—1)/2]. Подмножество У называется е-кодом, т. е.
д(А, В) 2еД- 1 для различных А, В s У.
Вторая собственная
дается равенством
<7/(0	(~1> —
\	— k,
v
1 J и 3В2 — гипергеометрический ряд.
В этом случае множество У1 уже не может быть корректно определено, но, тем не менее, двойственное внутреннее распределение Ь, а значит, и силу t, и внешнее расстояние г можно определить алгебрически так же, как для схемы Хэмминга. При этом выполнены неравенства
(о \
ни
L 2 ]/
(2)‘
Введение
23
с теми же условиями в случае достижения равенства, как и в и. (i). Подмножество У называется /-схемой и совпадает с комбинаторной /-схемой в обычном смысле. Подмножество У, на котором достигается граница в (1), (1)* — это плотная /-схема (/ = 2$), а подмножество У, на котором достигается равенство в (2), (2)* — это совершенный е-код.
Из четырех важных параметров s, f, t, г минимальное расстояние f и сила / имеют смысл лишь для Р-полиномиальных и Q-полиномиальных схем соответственно. Действительно, эти параметры зависят от упорядочения компонент а, и bi в векторах внутреннего и двойственного внутреннего распределений соответственно, а именно от упорядочения матриц смежности At и примитивных идемпотентов Е/ соответственно. В качестве обобщения пп. (i) и (ii) определим /-схему (соотв. е-код) как подмножество У в Q-полиномиальной схеме (соотв. в Р-полиноми-альной схеме), сила (соотв. минимальное расстояние) которого не меньше чем / (соотв. чем 2е-|-1). Тогда выполнены следующие неравенства:
(1) | У Kmo + m, + .. • +ms,
(1)* | У | ma -Н -[- ... +
для каждой /-схемы У, где равенство в одном из неравенств (1), (1)* влечет за собой равенство во втором, и
(2) |У|<|Х|/^0 + kx + ...
(2)‘ | У | > | X |/(й0 + kv + ... +М
для каждого [(/—1)/2]-кода У, где равенство в одном из неравенств (2), (2)* влечет за собой равенство во втором, a ki, rm — валентности и кратности собственных значений соответственно.
Подмножество, на котором достигается равенство в (1), (1)* (соотв. в (2), (2)*), называется плотным (соотв. совершенным). Если в некоторой Q-полиномиальной схеме существует плотная /-схема, то все корни многочлена £ v* (х) содержатся в множе-i—0
стве {0*, 0*..0^}, где 0* — собственные значения матрицы В.
Двойственным образом, если в некоторой Р-полиномиальной схеме существует совершенный е-код, то все корни многочлена е
£ vt (х) содержатся в множестве {0Р 02> •••, 0Д> где 0, — соб-«=о
ственные значения матрицы В. Это обобщение теоремы Ллойда о совершенных кодах в H(d,q). Если схема отношений обладает свойством (Р и Q)-полиномиальности, то соответствующие
24
Введение
многочлены уДх), uj(x)— это многочлены Аски — Вильсона. Кроме того, показано, что многочлены
1//2|	е
£	(х) и £ о (х)
i=0	г=0
— также многочлены Аски — Вильсона. Это позволяет ожидать, что теорема Ллойда одновременно исключает возможность существования плотных /-схем и совершенных е-кодов в большинстве (Р и Q)-полиномиальных схем. В действительности совершенные е-коды (е 3) в H(d, q) полностью классифицированы, а относительно /-схем в J(v, k) известно, что для фиксированного t существует лишь конечное число пар (и, k), для которых такие схемы существуют. Это в основном сделано с помощью теоремы Ллойда.
В примерах (i), (ii) сила t интерпретируется геометрически в терминах комбинаторных блок-схем и ортогональных массивов. Однако в общем случае нет гарантии, что какая-либо геометрическая интерпретация величины t всегда возможна. Для известных (Р и Q)-полиномиальных схем имеется естественная геометрическая интерпретация величины t в терминах полурешеток (комплексов флагов) и поэтому имеется геометрическое определение /-схемы, которое в большинстве случаев совпадает с алгебраическим определением. Проблема геометрического определения /-схем в произвольных Q-полиномиальных схемах отношений остается открытой.
(iii)	Опишем другую ситуацию, когда работает аналогичная теория. Пусть X есть d-мерная единичная сфера в Rd+'. Для конечного подмножества У множества X положим s = s(y) равным
{д (х, у) | х, у е= У, х #= у},
и пусть / = /(У) — такое максимальное целое /, что
-Щ р (х) dw = -р-р У f (х)
X	хеУ
для всех многочленов f(x)=f(xi, ..., ха+1) степени не выше /, где —интеграл по X относительно обычной меры dw и |Х| — х
площадь X. Подмножество У называется сферической /-схемой. В этом случае
/ d + s \	/ d + s — 1А
(1) s ) + ( s_! )
rf + U/2]\ /d + [//2]-l\
P/2] > + l [//2J-1 )'
Введение
25
ставление имеет степень пг =
. Сфери-
Кроме того, если достигается одна из границ в (1), (1)*, то достигается и вторая. Множество У, для которого достигаются эти границы, называется плотной сферической /-схемой (t = 2s).
В третьем примере мы имеем ту же теоретическую основу, что и в предыдущих. Рассмотрим сферическое представление ортогональной группы 1). При этом i-e сферическое пред-
d -|— i \ У d 1 — 2
i )	\ i — 2
ческие функции — это многочлены Гегенбауэра
Q/ =	(х),
и они играют ту же роль, какую многочлены v*(x) играют в Q-полиномиальных схемах. Мы имеем —Q,(l). Неравенства (1), (1)* можно переписать в следующем виде:
(1) |У|<т()-|-т1+ ... +ms,
(1)* I У I Шо 4- TTli + ... 4-
Если для У достигает равенство в (1) и (1)*, то все корни многочлена 2 Q(U) лежат в множестве {(х, у) ] х, у^У, х=У=у}, 1=0
где (х, у) — обычное скалярное произведение. Этот факт использовался при классификации плотных сферических /-схем для / = 6 и для / ^ 8.
Та же техника, что и в примере (iii), работает для компактных симметрических пространств ранга 1 и для некоторых некомпактных пространств, таких, как гиперболические ряды.
Главная цель настоящей книги состоит в том, чтобы изучить общие структуры, на которых происходят те явления, которые мы видели выше, и изучить их теоретико-характерный механизм. Другая цель — это изучить подмножества У, близкие к границам (1), (1)* (или (2), (2)*). Это направление исследований включает в себя теории (плотных) блок-схем, (совершенных) кодов, (плотных) сферических схем, экстремальных множеств и др.
В этой монографии и особенно в ч. I мы в основном обсуждаем «алгебраические» или «теоретико-характерные» аспекты схем отношений и не обсуждаем большинство их «теоретикоструктурных», «геометрических» или «комбинаторных» аспектов. Это отнюдь не означает, что теоретико-структурные аспекты неважны. В теории конечных групп они играют центральную роль в классификации конечных простых групп. Представляется естественным ожидать, что структурная теория схем отношений будет играть важную роль в будущем теории схем отношений,
26	Введение
в частности, в приближающейся заключительной стадии классификации (Р и Q)-полиномиальных схем. Одна из причин, по которой мы не обсуждаем достаточно полно теоретико-структурные аспекты, состоит в том, что нам известно о готовящемся подробном обзоре по этой тематике Браувера, Коэна и Ней-майера [63]. Поэтому мы избегаем пересечений.
В ч. II мы планируем рассмотреть теорию блок-схем, теорию кодирования, теорию экстремальных множеств. В связи с этими теориями будут включены также некоторые комбинаторные или геометрические обсуждения. Мы также рассмотрим конечные подмножества на сферах и аналогичных пространствах в связи с представлением топологических (классических) групп.
Глава Г
Представления конечных групп
Параграфы с 1.1 по 1.6 посвящены элементарному и вполне стандартному введению в теорию представлений конечных групп над полем комплексных чисел. Их материал не нов. Читатель, знакомый с этой тематикой, может опустить указанные параграфы.
Эти вводные параграфы мы включили в книгу по трем причинам. (1) Мы хотим подчеркнуть, что теория представлений конечных групп служит важным истоком алгебраической комбинаторики. (2) Такое сжатое и замкнутое в себе изложение теории представлений очень полезно для студентов, не имеющих предварительных знаний по этой дисциплине. (Обычно аспиранты, которые начинают изучать комбинаторику в Университете штата Огайо, хорошо подготовлены, но им часто недостает основных знаний по теории представлений групп.) (3) Наше изложение в точности следует гл. 6 учебника по теории групп Асано и Нагао, написанного на японском языке [1]. Мы считаем, что в отношении содержания и ясности изложения этот учебник просто превосходен. Когда один из авторов настоящей книги (Баннаи) читал лекции по теории представлений в Университете штата Огайо, он очень сожалел, что этот учебник не доступен англоязычному читателю. Поэтому он приносил его в аудиторию и излагал его содержание по-английски. Мы хотели бы поблагодарить проф. Асано и проф. Нагао за разрешение включить в настоящую книгу изложение теории представлений, которое следует их учебнику иногда слово в слово.
В § 1.7 «Строгие группы подстановок» излагается новая и интересная тематика. Однако она несколько изолирована от остального материала книги. Мы включили этот параграф с тем, чтобы (1) показать, как материал предыдущих параграфов применяется к конкретным проблемам, и (2) расширить границы алгебраической комбинаторики.
§ 1.1. Представления групп
Пусть GL(n, С) — группа всех невырожденных матриц порядка п над полем С, комплексных чисел. Если G — произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется лю
28
Гл. 1. Представления конечных групп
бой ее гомоморфизм в GL{n, С)
А: а -> А (а) (Va s G), такой, что
Л(а6) = Л(а)Л(6),
Д(1) — I (единичная матрица),
Д(а-1) = Д(а)-1.
Число п называется степенью этого представления. Если гомоморфизм А инъективен, то представление называется точным.
Пример 1.1. Отображение, переводящее каждый элемент группы G в 1 е С, является представлением степени 1. Оно называется тождественным представлением группы G и обозначается через 1q.
Пример 1.2. Если а->-А(а)— некоторое представление группы G, то для каждой невырожденной матрицы Р отображение а-*- Р~1А(а)Р также является представлением этой группы.
Пусть А: а^-А(а) и В: а->-В(а)— два представления группы G. Если существует невырожденная матрица Р, такая, что
В (а) = Р-i А (а) Р (Va<=G),
то представления А и В называются эквивалентными. Тот факт, что представления А и В эквивалентны, мы будем обозначать так: А ~ В. Отношение ~ определяет классы эквивалентных представлений группы G.
Пример 1.3. Пусть Sn — симметрическая группа степени п. Для элемента
/1 2 ... п \
а = I	I е S п
\ Si s2... sn /
через Л (о) обозначим матрицу, i-я строка которой имеет вид (О, ..., О, 1, 0, ..., 0), где 1 стоит на яг-м месте. Другими сло-
вами, где
А (а) = (а^ (о))	(/, /=1, 2,	п),
Г Ь
а// (аг) == I 0
если / = st, в противном случае.
Такое отображение а->Д(а) является точным представлением группы Sn-
Пример 1.4. Пусть G — конечная группа, состоящая из элементов ai, a2l .ая, и пусть — симметрическая груййа на
§ 1.1. Представления групп
29
G. Отображение, которое ставит в соответствие элементу а е G
подстановку
at а2
а{а а2а
ап апа
^Sa,
(1.1)
является инъективным гомоморфизмом группы G в S°. С такой подстановкой (1.1) мы свяжем матрицу
Л (а) == (аг7 (а)),
где, как и в примере 1.3,
а/; (а) =
1, если aia = aj,
О в противном случае.
Тогда отображение а->-А(а) является точным представлением группы G. Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим 6(a) следующим образом:
Тогда
6(а) =
{ 1, если а = 1, (О в противном случае.
f>(alaa~'^ ... 6(а1аа“1)
6(а2аа[’1) 6(а2аа^*) ... 6(а2аа~*)
6	6 (апаа2^ • • • 6 (апаап1)
(1-2)
и, если а =/= 1, то каждый диагональный элемент равен нулю. Левое регулярное представление группы G определяется аналогично с использованием гомоморфизма
/ «1 а2 ... ап а->
\ аах аа2 ... аап
Другими словами, bfa-'aa^ 6(а~‘аа2) ... б(а“’аага) л(а)=	6(а2-‘аа2) ... 6(а-‘аа„)
6(а~1аа2) ... д(а~^аап)
Пусть <р: а->ф(а) — некоторый гомоморфизм из G в Sn, т. е. подстановочное представление группы G. Представив подстановку ф(а) в виде матрицы Л (а), как это сделано в примере 1.3, мы получим матричное представление а->Д(а).
(1-2)'
30
Гл. 1. Представления конечных групп
Пусть А: а^-А(а) — представление степени п. Говорят, что А приводимо, если существует такая невырожденная матрица Р, что
/ В (а)	0 \
P-M(a)P = (O(a) C(J (VaeG), (1.3)
где В(а) и С(а)—квадратные матрицы порядка г и « соответственно, причем r^l, s^l и r-|-s = n. Отметим, что пред-
ставления
/ В (а)	0 \
а->~А'(а) = п	,
'	\£>(а) С (а)/
/С (а) а->А"(а) —о
£>(а) В (а)
эквивалентны, поскольку Q~lA'(a)Q = А" (а) для матрицы
4 А (здесь Ir, Д — единичные матрицы
—0 7 порядка г, s соответственно).
Скажем, что представление А неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения а->В(а) и а^-С(а) являются представлениями степеней г и s соответственно.
Для заданных представлений А: а-*~А(а) и В: а->- В(а) группы G степеней п и т соответственно отображение
/ А (а)	0 \
-Ч О B(a)) <v“sa>
является представлением степени п-\-т этой группы. Такое представление называется прямой суммой представлений А и В и обозначается через А Ф В.
Представление А: а->А(а) группы G называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т. е. если найдется невырожденная матрица Р, такая, что
Р~}А(а)Р —	Ft (а)	0 F2 (а)
	0	’ Fr(a)
где каждое F(: a-+-Ft(a) (1 — 1, 2, г) является неприводимым представлением группы О.
§ 1.2. Представления унитарными матрицами
31
§ 1.2. Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
Представление А: а^-А(а) группы G называется унитарным, если для всех a^G матрица А (а) является унитарной, т. е. ‘А(а)А(а) = I. Здесь ‘А обозначает матрицу, транспонированную к А = (ац), где А — (а,;/), а ац — величина, комплексносопряженная к а,/. В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является вполне приводимым.
Матрица А называется эрмитовой, если ‘А = А, и положительно определенной, если *хАх > 0 для каждого ненулевого столбца х. Следующая лемма тривиальна.
Лемма 2.1. Пусть А — произвольная невырожденная матрица. Тогда ‘АА — положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.
Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы А найдется невырожденная верхнетреугольная матрица С, такая, что 1САС = I.
Доказательство. Пусть А —(а(/) (г, j — 1, 2...п). Тогда
а1{ = ац (i, j = 1, 2, ..., п) и ait > 0 (i=l, 2.п). Пусть
/ а а \
А = ( t- ) (а = <хн>0, а = (а12, а13.а1л),	В = (аг/)
\ a d /
(t, / = 2, 3, .... п)). Положим
Тогда
/1 О
и —(1/а)*аа + ^ — положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы А. □
Теорема 2.3. Пусть G — конечная группа. Для каждого представления F: a->-F(a) группы G найдется невырожденная верхнетреугольная матрица С, такая, что C~lF(a)C является унитарной матрицей для всех аеб.
32
Гл. 1. Представления конечных групп
Доказательство. Положим
А = £ *F(bjF(6).
Ъ е О
Тогда в силу леммы 2.1 А является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется_ невырожденная верхнетреугольная матрица С, такая, что *САС — 1> и поэтому А = (*С)_| С-1. Так как
Т(а)АР(а) = X ‘FAbd) F (bd) = А, be=G
то ЧДр)(‘С)~'С~'Р (а) — (‘С)~1С~1, т. е. ‘(C-'F (a)C)(C~'F (а)С) = = /; поэтому C~'F(a)C — унитарная матрица. □
Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство. Пусть 4: а-*-А (а)—приводимое представление конечной группы G, и пусть А (а) разлагается следующим образом:
В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица С, такая, что U(d) = С-1 А (а) С — унитарная матрица. Так как С верхнетреугольная, то U(a) имеет вид
(ПДа) V (а) \
0 ПДа))'
Поскольку fU (а) = U (а)-1 — U (а~1), мы получаем
({ЦДа) 0 \ (УДа-') V(a~')
VHoj 'GJa)/	V 0	и2 (а“')
откуда следует, что V(a) = 0. □
§ 1.3. Лемма Шура
Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть А; а^-А(а) и В; а-*--^В(а) — неприводимые представления группы G степеней п и пг соответственно. Пусть Р — такая (гпУ^п)-матрица, что
А(а)Р = РВ (a) (Va е G).
Тогда либо
(i) Р = 0, либо
(ii) m — п и Р невырожденна.
§ 1.4. Соотношения ортогональности для характеров
33
Доказательство. Допустим, что Р #= 0. Покажем, что тогда имеет место (ii). Предположим, что либо m =#= п, либо m = п и Р вырожденца. Тогда существуют матрицы Q^GL{m, С) и R е GL(n, С), такие, что
/Л 0\
QPR = I q Q I Ur~ единичная матрица порядка г), где г < max {m, п}. Так как QA(a) Q-1 • QPR = QPR  R~lB (a)R, то /Ди 0 \ / Дп Д12 A l Д2| 0 J = I 0	0 )’
где
/ A ] ] A12 \
QX(a)Q_, = l &	. I (Дн — квадратная матрица порядка г),
\ уЧ21 л22 /
/ 5ц Bj2\
R~'B(a)R — \	I (Вн — квадратная матрица порядка г).
\ £>21 022 /
Таким образом, Д21 = 0, если г < пг, и В12 = 0, если г < п. В любом случае А или В приводимо, что противоречит условию. □
Теорема 3.2. Пусть А: а^А(а) — неприводимое представление группы G. Пусть Р— такая матрица, что А(а)Р = РА(а) для всех а е G. Тогда Р = X/, где X е С .
Доказательство. Пусть X—некоторое собственное значение матрицы Р. Тогда det (X/ — Р) = О, а, кроме того,
Д (а) (Л/— Р) = (X/— Р) Д (a) (VaeG), откуда в силу леммы Шура следует, что X/ — Р = 0. □
Теорема 3.3. Пусть G — абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.
Доказательство. Пусть А: а->А(а)—неприводимое представление группы G. Поскольку А (а) коммутирует с каждой матрицей А(Ь), из предыдущей теоремы следует, что 4(а) = = Х(а)/, где Х(а)еС. Поскольку А неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1. □
§ 1.4. Соотношения ортогональности для характеров
Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.
84
Гл. 1. Представления конечных Групп
Характеры. Для квадратной матрицы А — (а»/) порядка п обозначим через tr А ее след, т. е.
trA = an + a22+ ... + a„„.
Путем прямых вычислений доказывается следующая
Лемма 4.1.
(1) tr(AB) = tr(BA),
(2) tr (Р-1ДР) — tr А для произвольной квадратной матрицы Р.
Для представления A: a->A(a) группы G положим %(а) = = trA(a). Тогда % (а) — функция, принимающая значения в множестве С и называемая характером представления А. Очевидно, что %(1) равно степени представления А. Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая
Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер.
Поскольку А (х~1ах) = А (х)-'А (а) А (х), имеет место равенство %(x~lax) = % (а). Таким образом, % принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы G. Такие функции называются функциями классов.
Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть G—группа порядка g, а A:	A (a) = (a;/(a)) и В-. а^-В{а) —
— (₽о (а))—ее неприводимые представления степеней пг и п соответственно. Для произвольной (m X «)-матрицы U = (?//) пусть
V= X А (х) UВ (х~1).
Тогда, положив у = ах, получаем
Л(а)И = X A(ax)UB(x~')= X А (у) UB (у-'а) == х е О	у s О
= X A(y)UB{y~'}B(a}.
у^а
Поскольку у, как и х, пробегает группу G, то
A(a)y = VB(a).	(4.1)
Предположим, что А и В неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура У = 0. Отсюда для (г, /)-го элемента матрицы V получаем
2 S (-^) YuvPv/1) = 0.
х & О и, v
§ 1.4. Соотношения ортогональности для характеров
35
В частности, если взять = 1 для некоторой пары p,, v и Ура = 0 в остальных случаях, то
аф (х) ₽v/ (х"1) = 0.
Пусть теперь А==В. Тогда в силу теоремы 3.2 V = M для некоторого ZeU При этом (i, /)-й элемент матрицы V равен
У Z агц(х)у|Л^/(х-1) = бг/А„	(4.2)
х S <3 |1, v
где 6п =1 и 6// = 0 для I += /. Вычислив след матрицы
V= £ A(x)UA(x~l) = KI,	(4.3)
х г а
мы получаем £(711 + 722 + ... +7»») = n^ (здесь п — степень представления А), откуда
Л — (Yu + Y22 + • • • + Tnn).	(4.4)
Пусть 7nv=l для некоторой пары р, v и уро = 0, если р+=ц или v #= о. Тогда
У, аф (х) av/ (х-1) = 6//6(lv . хе в
Тем самым мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.3. Пусть G— группа порядка g.
(1) Пусть A: a-*-A(a) = (a,7(a)) — неприводимое представление группы G степени п. Тогда
У, aijx W av/ (х ') “	•
хе О
(2) Пусть В; а-*-В(а) = ($ц(а)) — неприводимое представление, не эквивалентное представлению А. Тогда
У «ф (х) pv/ (х-1) = 0.
х е Q
Пусть %, х' — характеры представлений А и В. Положив в предыдущей теореме p = i, v = j и просуммировав по i, j, мы получаем следующую теорему.
Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров,) Пусть G — группа порядка g.
36
Гл. 1. Представления конечных групп
(1) Если % — неприводимый характер группы G, то
Z Х(х)х(х-1) = £-
X е Q
(2) Если х, %'— характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы G, то
Z Х(х)%'(х~1) = 0. х s а
Отметим, что %(а-1) = %(а) для всех а е G, поскольку теорема 2.3 утверждает, что А эквивалентно некоторому унитарному представлению U: a->~U(a) и потому
% (а-1) = tr U (а-1) = tr U (а)-1 = tr *U (а) = х (а).	(4.5)
Пусть Fi, F2, ... — представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы G и хь Хг> ••• — характеры представлений Fit F2, ... . Обозначим через Сь С2, ..., С* классы сопряженных элементов группы G, причем |Са| = /га (а = 1, 2, ..., k), и пусть пь а2, ..., ak — представители этих классов. Поскольку характеры — это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.
ь	_____
Теорема 4.4х. £ АаХ* К) X/(оа) = W-
Для функций ф, ф, определенных на группе G порядка g и принимающих значения в поле С., определим скалярное произведение (ф, ф)0 по следующему правилу:
(ф, Ф)0 = у ф(х)Ф(х->). х е а
В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо (ф, ф)0 будем писать (ф, ф). Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:
(ф, ф) = (ф, ф), (ф, + ф2, Ф) = (Ф1, Ф) + (ф2, Ф)>
(ф, Ф1 + Ф2) = (Ф> *Ф1) + (Ф> Ф2), (Ч> Ф) = (Ф> И) = Л (ф, Ф).
В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:
Теорема 4.4". Пусть хь Хг> • • • — характеры попарно неэквивалентных неприводимых представлений группы G, Тогда (Хь X/) = 5ц.
§ 1.4. Соотношения ортогональности для характеров
87
Кратности неприводимых представлений. Пусть А— некоторое представление группы G. Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению
где Fi, F2, ... — неэквивалентные неприводимые представления. Число nii называется кратностью представления Ft в A (rm = О, если Ft отсутствует), и мы записываем
А ~ miFi -f- m2F2 + • • • •	(4-6)
Пусть % — характер представления А и %,-— характер представления Fi (i =1,2, ...). Тогда
Х =	+«2X2+ ••• •	(4.7)
Если mi =# 0, то Ft и называют неприводимыми компонентами представления А и характера х соответственно.
Теорема 4.5. Пусть G— группа и % — характер некоторого ее представления. Пусть mt — кратность неприводимого характера Xt в х- Тогда
mi = (%, Xi) — j- У X (х) Х< (х).
Доказательство. Пусть разложение х в сумму неприводимых характеров имеет видХ=Хт/Х/> где гп] — кратность ху. Тогда
(X, Xi) = S mt (xt, Xz) = mi. □
Теорема 4.6. Пусть А, В — представления группы G, а х, %'— их характеры. Тогда А и В эквивалентны в том. и только том случае, когда % = %'.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты Fi в А и В определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы G вполне приводимо, представления А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда
38
Гл. 1. Представления конечных групп
л (а) =
каждое неприводимое представление Ft имеет в А и В одну и ту же кратность. Таким образом, А ~ В тогда и только тогда, когда х = х'- □
Пусть л — характер правого регулярного представления группы G порядка g. Отметим, что
g, если а= 1,
о	(4.8)
О в противном случае.
Для характера х/ произвольного неприводимого представления Fi выполняется соотношение
(л, Х<) = j X «(x)XiW = -J-n(1)Xi(l) = X<(1) х <= а
(xi(l) равно степени представления Л). Следовательно, справедлива следующая
Теорема 4.7. Пусть л — характер правого регулярного представления группы G. Тогда каждое неприводимое представление Ft этой группы входит вас кратностью fi, где ft — степень представления Ft. Таким образом,
л = £ fi%i> i
где суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы G.
Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер л' левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому л' = л.
Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в л в качестве компоненты, и поэтому G имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы G совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.
Теорема 4.8. Пусть хь Х2> ...» X/ — полный набор различных неприводимых характеров группы G. Пусть ft — степень х/ (t — 1, 2,	I), a g — порядок группы G. Тогда
g = fl + f2 + ••• + /!
и
f 1X1 (а) +/2X2 (а) + ••• +fzXz(a) = O
для 1,
§ 1.4. Соотношения ортогональности для характеров
39
Для доказательства достаточно вычислить л= £ на z=i
элементе а, используя (4.8). □
Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть G— группа, а С1 = {1}, С2, ..., Ck — ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса Са-
Щ + а, + ... + aha (hn — \ Са |).
Определим произведение Са и Св по правилу
С„Св = £ afr,	(4.9)
i.	i
где Св = + b2 + • • • + bh$, а суммирование ведется по 1 i
ha, 1 jhp. Для элемента с e C7 обозначим через t число пар (а, &)еСаХСв, таких, что ab = с. Тогда для с' = = Су имеется в точности t пар (а', Ь')^ СаХ С6, таких, что а'Ь' — с', поскольку ab = с тогда и только тогда, когда а'Ь' — с' для а' = х~'ах, b' = х~хЬх. Поэтому каждый элемент из CY появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т. е.
ft
CaCg = 52 ZagyCv.	(4.10)
Совокупность всех элементов а-1 для a е Са также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через Са'-
Тогда
f ha, если Ся = Са',
(ав1 =) п е	(4.11)
р (0 в противном случае.
Пусть F: a^F(a) — неприводимое представление группы G и f — степень F. Определим F(Ca) по правилу
F(Ca) = Z F{a).
aeCa
Тогда
F(x)-'F(Ca)F(x) = £ F(x->ax)==F(Ca),
поскольку x~xax пробегает Ca, как и а. Значит, F(Ca) коммутирует с F(x) ив силу теоремы 3.2
F(Cra) = ®„7.	(4.12)
Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим
ftaX(«a) = ®J ИЛИ ®а = ЛаХ (аа)/Л	(4-13)
40
Гл. 1. Представления конечных групп
где х — характер представления F и аа^Са. В силу (4.10)
F (Са) F (Со) = ^2 ^or^F (Cv), т. е. ®а®о= 22 ^aey®v V	V
Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству
ЛаХ(«а) MW V. M(av) f f ~~ L Zapv f
V или ___ h
X(aa)-%(aB)=£^vT^,^(av)-	<4-14)
V
Пусть хь X2, •••, X' —все различные неприводимые характеры группы G и f, — степень х<- Равенство (4.14) имеет место для каждого х<- Просуммировав (4.14) по i, получим
==ta^1'h^g (П° теореме 4-8) = ( g/ha, если Cp = Ca',
= < n	p	(no (4.11)).
(.0 в противном случае
Отсюда
I
У (aa) Xi (op') — fyxp .
i = l
Величина g/ha равна порядку централизатора (V (aa) эле-мента аа в группе G. Поскольку в силу (4.5) Xi (ap') = Xi (вр), мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть {х,}—множество всех различных неприводимых характеров группы G, и пусть {aa}—полный набор представителей классов сопряженных элементов группы G. Тогда
£ Xi (oa) Xi (ap) = 6apna> i
где na — порядок N(aa) и суммирование ведется по всем неприводимым характерам % группы G.
Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы G равно числу ее классов сопряженных элементов.
§ 1.5. Индуцированные представления
41
Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть А есть (m X п)-матрица, а В есть (п X т)-матрица. Если определитель квадратной матрицы АВ, имеющей порядок т, отличен от нуля, то т п.
Пусть хь Х2......х*—все различные неприводимые харак-
теры группы G, а йь ..., ак— полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме 4.4'
/ Xi (01) • • • Xi (ak) \ / h^i (»i) • • • AiXz («i)
Xz (az) • • • Xz (ak) / \ /iftxi (oA) • • • AaXz (aj
Поэтому I k. В силу теоремы 4.9
Отсюда следует, что k I и потому k = I. □
§ 1.5. Индуцированные представления
Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Обозначим через g и h порядки групп G и Н соответственно. Если ф— некоторая функция на G, то через фн обозначим ее ограничение на Н. В случае когда <р — функция классов на G, <рн также является функцией классов на Н. Если <р — характер некоторого представления А группы G, то фн представляет собой характер ограничения Ан представления А на Н.
По функции 0, заданной на Н, определим функцию 0° на О правилом
0°(a) = i X 0(х-‘ах),	(5.1)
XS О
полагая 0(х-1ах) = О для х~1ах, не принадлежащих Н. Отметим, что 0° является функцией классов на G, даже если 0 не является функцией классов на Н. Если а не сопряжен ни с каким элементом из Н, то 0°(а) = О.
Лемма 5.1. Пусть <р — функция классов на группе G, а 0 — функция классов на подгруппе И группы G. Тогда
(6°. ф)ц = (0. Фн)я-
42
Гл. 1. Представления конечных групп
Доказательство. Имеем
(0°. Ф)а = 7 Е 0° (а)<р(а-') = ~ £ Q(x~'ax) <р (а-1).  G	а е G х е G
Вклад в сумму дают лишь такие пары (а, х), что х~1ах^Н. Поэтому, суммируя по тем парам (а, х), для которых а = хах~1 при некотором а е Н, получаем
(0G. <Р)а=^ J У 0(й)ф(хй-1х-1) = aeff xed
=т Е e^fg_ Е фс™-1*-1)^ а<^Н \	х<=0	/
=4 Е 0(а)Ф(а-1)=(0> фя)я- □ deH
Если 0 — характер некоторого представления группы Н, то назовем 6° индуцированным характером группы G и скажем, что 0е индуцирован с 6. Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы G.
Пусть {аь а2, .... аг}—множество представителей левых смежных классов группы G по Н:
G = Hal\)Ha2U ... (J Наг.
Для представления А: а-^А(а) (а<=Н) подгруппы Н определим матрицу А°(а) так:
/ А (а}аа-^ А (ара-1) ... А (ара-1) \
да (а) = I (а2аа1 *)	(а2йа2 *) • • • (а2ааг ') I	(g 2)
\ А (а/га”1) А (агаа~‘) ... A (ара~') )
где для х, не содержащихся в Н, полагаем А(х) = 0. Это обобщение правого регулярного представления группы G. Мы покажем, что
А°: a->AG(a) (VaeG)
—представление группы G степени пг, где г = [G : Я], а п — степень А. При фиксированных а^1 ихеО множество (aixa^t[i = = 1, 2, г} содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по Н, поэтому среди матриц А (а^а^1^ i=l, 2, г, лишь одна ненулевая. Аналогично, множество {a(xa7* | k — 1, 2, ..., г} содержит по одному представителю из каждого правого смежного класа пой и среди матриц
§ 1.5. Индуцированные представления
43
A(apa^v), k=\, 2, г, также лишь одна ненулевая Обозначим (г, &)-й блок матрицы А°(а)А°(Ь) через С,*. Тогда
Cik = Е А (apof') A (ара*'}.
Покажем, что Clk — А (apba*1). Имеется единственное число se {1, 2,	г}, такое, что afaa~* е Н, и единственное число
/<={1, 2 г}, такое, что atba~'‘ <= Н. Если s = t, то Clk — — А (а;аа^‘) A = A (apba^j. Если же s У= t, то Cik — О и А (apba^1) = 0, поскольку apbcr^ = ара^1 • atba^ ф Н. В любом случае Cik — A (apba^*) и, следовательно, Аа{а)А°(Ь) = = А° (ab). Поскольку А° (а) А° (a-1) = А° (1) = I, матрица А°(а) невырожденна. Таким образом, А° является представлением группы G.
Пусть 0 — характер А, а % — характер 4°. Тогда
X(a)= ^efazaa?1) =£4 £ 6(йтгцгаГ1^1) == «'“I	<'“1 В^Н
= -£-	0(хах-1) (здесь х = bat) = 0° (а).
xtsG
Тем самым мы получим х = 6°. Назовем А° индуцированным представлением группы G и будем говорить, что А° индуцировано с А Сказанное суммирует следующая
Теорема 5.2. Пусть G — группа и Н— ее подгруппа. Пусть А — представление Н степени п, а 6 — его характер. Тогда индуцированное представление Аа имеет степень п-r, где г = [G : Н\, и характер
QG(a) = ^_ £ е(x-iax) (й = | н |).
Х<= О
Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть Н — подгруппа в G. Пусть хь Ха, Ъ — полный набор неприводимых характеров группы G, a 6j, 62, •••, 0s — полный набор не приводимых характеров группы Н. Тогда
(iX.i)h — S гifli f
в том и только том случае, когда
9? = Е г^.
44
Гл. 1. Представления конечных групп
Другими словами, если А — неприводимое представление группы G, а В — неприводимое представление Н, то В является неприводимой компонентой в Ан кратности г тогда и только тогда, когда А является неприводимой компонентой в В° кратности г.
Доказательство. Пусть (%Z)H= У, гп0г и 0?= У, skl%k. В силу леммы 5.1
г// = (0Ф’ 0/)н=(^> 0/°)о = ^г □
Пример 5.4. Пусть Н — подгруппа в G и — ее единичное представление. Тогда индуцированное представление (1н)с является подстановочным представлением группы G, действующим справа на множестве левых смежных классов H\G.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим множество а15 а2, ..., аг представителей смежных классов из H\G: G = На<Д) На2{] ... U Наг. Тогда (1Н)° отображает элемент а е G в матрицу (6где б(х) = 1, если хе Н, и 6(х) = О, если х<£Н. Как видно из примера 1.4, матрица (б^аау1)) соответствует подстановке
/ Нах На2 ... Наг \
\На{а На2а ... Нага/'
Пример 5.5. Пусть G действует транзитивно на множестве Q. Тогда соответствующее подстановочное представление содержит представление 1g в качестве неприводимой компоненты с кратностью 1.
Доказательство. Пусть Н — стабилизатор точки а е Й в группе G,
Н — {а е G | аа = а}.
Тогда имеется такое взаимно однозначное соответствие между Q и множеством левых смежных классов H\G, которое сохраняется при действии G. Поэтому в силу примера 5.4 рассматриваемое подстановочное представление — это (1н)с. Пусть m — кратность 1о в (1н)°. Тогда в силу закона взаимности Фробениуса m равно кратности 1н в (1о)я = 1н. Поэтому т = 1. □
Пример 5.6. Пусть G — группа подстановок множества Если Q распадается под действием G ровно на k орбит, то k — = (0, 1g)g, где 0 — подстановочный характер группы G.
Доказательство. Пусть Qi, ..., Q* — орбиты действия группы G. Тогда G действует транзитивно на каждой из и мы можем
§ 1.6. Произведение представлений
45
записать подстановочное представление А группы G в следующем виде:
Здесь Ai(a) — матрица, описывающая действие G на Q,, как в примере 1.3. Пусть 0, — характер представления А/. Тогда в k
силу примера 5.5 (0/, 1g) =1. Поскольку 0= £ 0/, получаем
(0, 10) = Л. □
§ 1.6. Произведение представлений
Пусть А, В — квадратные матрицы порядков пит соответственно, и пусть A = (осг/г). Определим кронекерово, или тензорное, произведение А ® В матриц А и В следующим образом:
/ аиВ ... а1пВ
4®В = (...............
\ ап1В ... аппВ
Значит, А ® В представляет собой квадратную матрицу порядка пт. Непосредственными вычислениями устанавливается следующая
Лемма 6.1. (1) tr(Л ® B) = (tr А) (tr В),
(2) если А, А.’ имеют степень п, а В, В' — степень т, то (А ® В) (А' ® В') = (АА')® (В В').
Пусть Ап a-*Ai(a) и А2: а-*Д2(а)—представления группы G. Тогда в силу леммы 6.1(2) отображение
а->Л| (а) ® А2 (а)
также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений At и А2 и обозначают через 41®А2. Пусть хь %2, % — характеры представлений 41, А2, А] ® А2 соответственно. По лемме 6.1(1)
X(a)==Xi (а)Х2(а) (VaeG), т. е. Х = Х1Х2-
Пусть Fj, F2, .... Fr — полный набор неприводимых пред-ставлений группы G, а х; — характер Ff. Отображение а(a) также является неприводимым представлением, и его характер — это х/, где xz (a) = Xi (а)- Пусть х/ = Xr-
46
Гл. 1. Представления конечных групп
Теорема 6.2. Равенство
XiX/=== ^i/vXv V
имеет место тогда и только тогда, когда
Xi'Xv У П/vXp
Доказательство.
(XiX/> Xv) = у X	Xv (а) =
ае О
= v У Xi'(а) Xv (а) X/(а) = (Xi'Xv» X/)-а <= О
Таким образом, кратность вхождения Xv в Х/Х/ равна кратности вхождения X/ в Xi'Xv □
Теорема 6.3. Пусть А — точное представление группы G и X — его характер. Пусть m — число различных значений, которые принимает х на G: ш = ф {х(а)\а е G}. Тогда каждое неприводимое представление группы G входит в
Г /
Аг = А ® ... ® А
для некоторого ге {0, 1, 2, ..., пг — 1}, где 4° = 1о.
Доказательство. Предположим, что неприводимое представление Fi не входит в Аг (г — 0, 1, ..., m — 1) Пусть х, х< — ха* рактеры А и Ft соответственно. Тогда
(Xr> Xi) = у £ X (a)r Х/ (а) = 0	(6.1)
а
для r = 0, 1, ..., tn— 1. Пусть х принимает на G значения Л], Л,2, ..., Zm. Положим Ма = {а е G |х(а) = М и Фа = = £ Xi (а)- В силу (6.1)
а е Ма
£ *аФа = 0	(6.2)
а=1
для г —0, 1, ..., т— 1. Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для Ф1; .... Фт. Поскольку det(Xa) = = П — М =# 0, эта система имеет решение Ф] = ...
i>i
... = Фт — 0.
§ 1.6. Произведение представлений
47
Пусть п — степень представления А, т. е. п = %(1). Мы можем считать, что Xi =п. Покажем, что Mj = {1}. Пусть aeAli, т. е. х(а) — п- Обозначим через Н циклическую группу, порожденную элементом а. По теореме 3.3 Ан эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы Р
81
О
Р~'А(а)Р =
(6.3)
О	е„
Пусть /г — порядок элемента а. Тогда е^—1. Взяв след в равенстве (6.3), получаем x(a) = ei + e2+ ... + ел = п. Это означает, что ei=e2 = ... = ел=1, т. е. А(а) = 1. Поскольку А точно, а = 1. Поэтому Л4( = {1} и Ф1 = Xi О) О- Полученное противоречие доказывает теорему. □
Таблицы характеров. Пусть G — группа и Ci = {!}, С2, ... ..., Ck — классы сопряженных элементов в G. Пусть xi = 1о> Хг> ..., ХЛ — неприводимые характеры группы G, а а\= 1, а2, ..., a.k — представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения {х;(а/)} таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы G, в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с 1g, а столбцы — классами сопряженности группы G, начиная с класса {1}.
С, ... С k
Xi Xi(ai) ••• Xi(«J
Xfe Xfe(ai) ••• Xfe(a0
Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы 4.4', а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.
Пример 6.4. Таблица характеров группы S4. Симметрическая группа S4 степени 4 имеет следующие классы сопряженных элементов: Ci = {!}; С2 = {2-циклы}; С3= {3-циклы}; С4 = {4-циклы}; С6= {(12) (34), (13)£24), (14) (23)}.
48
Гл. 1. Представления конечных групп
	Ci	с2	с3	С4	С5
Xl	1	1	1	1	1
Ха	1	-1	1	—1	1
Хз	2	0	—1	0	2
Хз	3	1	0	—1	-1
Хз	3	-1	0	1	-1
Упражнение. Составьте таблицы характеров групп Sn и Ап для п 5. Для этого может оказаться полезным рассмотрение индуцированных характеров, подстановочных характеров и произведения характеров.
§ 1.7. Строгие группы подстановок
Пусть Sn — симметрическая группа множества й= {1, 2, ... .п} и 0 — ее подстановочный характер. Тогда 0(х) равно числу точек, которые х оставляет на месте,
9(х) = # {« s й |«х = «}•
Для х, у Sn положим
д(х, у) = п — д(х~'у)
и назовем д(х, у) расстоянием от х до у. В действительности нетрудно проверить, что (i) д(х, z/) = 0 тогда и только тогда, когда х = у, (ii) д(х, у)~д(у, х), (iii) d(x, z)^d(x, z/) + + д(у, г).
Для подмножества X группы Sn положим
D (X) = {<? (х, у)\х, у(=Х, хф у}.
Вопрос 1. Какова наибольшая возможная мощность множества X для заданного D(X)?
Такого рода вопросы возникают для произвольного метрического пространства и ответить на них в общей ситуации очень трудно. Однако в рассматриваемом случае, когда X — подгруппа в Sn, имеется следующая теорема.
Теорема 7.1. (См. [235].) Пусть G — группа подстановок на множестве £2={1, 2, ..., п} и 6 — ее подстановочный характер. Пусть {/ь ..., 1г} = {6(х) |хе G, х =/= 1}, причем Ц < < /2 < ••• <Zlr. Тогда порядок группы G делит произведение величин (п — I,) (i—1, 2, ..., г). В частности,
IG К П at = П (п — ZJ, at^D(Q} i-l
§ 1.7. Строгие группы подстановок
49
Доказательство. Обобщенный характер % группы G — это по определению линейная комбинация характеров этой группы с целыми коэффициентами:	где	Так, напри-
i
мер, 9 — /,1 а — обобщенный характер. Поскольку произведение характеров — снова характер, произведение обобщенных характеров также обобщенный характер. В частности, произведение всех 9 — /,1о (/=1, 2, ..., г) является обобщенным характером, и мы обозначаем его через 9. Если х=#=1, то найдется такое I, что (9 — /,1с) (х) = 9(х)—/, = 0. Поэтому
«и=|	если х-1,	(71)
. 9	в противном случае.
Пусть m — кратность 1о в 9. Тогда
rn = (l0, 6)о=7 £ 10(х)6(х) (g = |G|) = хе а
г
= уП(п — li) (в силу (7.1)).
г
Поэтому g делит П (п — /£). В действительности 9 равен в силу
(4.8) характеру правого регулярного представления группы G, умноженному на (1/g) Ц (п — /г). □
i
Изучение верхней границы для |Х| при фиксированном L = = {9(x~'z/) |х, у^Х, х=/=у} впервые предложил Деза (см. [132]). Если X не является группой, то представляющаяся
Г
правдоподобной аналогичная оценка | X | Ц (п — /J, вообще /в1
говоря, неверна (см., например, [169]). Получение точной границы для |Х| в терминах L в случае произвольного подмножества X остается открытой проблемой.
Вопрос 2. Для заданного L = {/i, /2, • • •, /г} пусть X — подмножество в Sn, такое, что L= {Q(x~ly) | х, у е X, х =/= у}. При каких условиях имеет место неравенство
|Х|<П(п-/()?
/“1
Группа подстановок G называется строгой (или L-строгой) группой (подстановок), если для нее в теореме 7.1 достигается
50
Гл. 1. Представления конечных групп
равенство. Если G является L-строгой, то 6 = 11(0 — I^q)— характер ее правого регулярного представления.
Лемма 7.2. Пусть G — некоторая {0, /2, , 1г}-строгая группа подстановок на множестве Q={1, 2, ..., п), где 0</2< ••• ... < 1г. Пусть Ga — стабилизатор точки а еQ. Тогда G тран-зитивна на Q и Ga является {12—1, /3— 1, ..., 1Г—1}-строгой группой на множестве Q — {а}.
Доказательство. Пусть Q' — орбита действия группы G, содержащая точку а. Тогда | G | = | Q' | • | Ga |. Поэтому
Г	г
|Оа| = |О^|й'| = т^тД(п-//)>Д («-/,). i-2	i-2
г
А в силу теоремы 7.1 | Ga | < П(п — h)- Поэтому |Ga| = i=2
= Ц (п — Ц) и п = | Q' |. □ 1-2
Группа подстановок G на множестве Й называется точно t-транзитивной (или строго t-транзитивной), если для любых двух упорядоченных наборов (cti..at), (рь ..., fh), каждый
из которых содержит t различных элементов множества Q, существует единственный элемент a g б, такой, что a? = рг (i = 1, 2, ..., i). Группа G является точно ^-транзитивной на множестве й тогда и только тогда, когда она транзитивна на й и Ga является точно (t—1)-транзитивной на Й—{а}. Нетрудно видеть, что точно ^-транзитивная группа является {0, 1, ... ..., t—1}-строгой и, наоборот, {0, 1, ..., t—1}-строгие группы являются точно ^-транзитивными в силу леммы 7.2. При t 2 такие группы были классифицированы Цассенхаузом в 30-х годах этого века (аналогичный результат при г 4 был получен Жорданом в 70-х годах прошлого века).
Положим
F (G) = {a е Й | аа = а для всех а е G}.
Пусть G — некоторая {0, /2, 1з, ..., ZJ-строгая группа подстановок на множестве й. Предположим, что | F (Ga) | = Z2. Тогда Ga в силу леммы 7.2 является {0, /3—/2.....1г—Тг}-
строгой группой подстановок на множестве Й— F(Ga). Дадим индуктивное определение группы стандартного типа. {0, 12, 1з,	.
/Д-строгая группа подстановок на множестве Й называ
§ 1.7. Строгие группы подстановок	61
ется группой стандартного типа, если | F(Ga) | =/2 и Ga— группа стандартного типа на Q — F(Ga)1). Тогда L-строгие группы стандартного типа представляют собой обобщение точно /-транзитивных групп.
Задача 1. Классифицируйте L-строгие группы стандартного типа.
Очевидно, что /.-строгие группы транзитивны, если 0 е L (лемма 7.2), однако это уже не так, если O^L. Пусть G является L-строгой на Q, где L= {l\, I2, .... tr}, lt<Ll2<L ... < lr, тогда
(0,1 <?)<?> Л,	(7.2)
поскольку
(9, 10) =-j-g-j- £ 9(a), где 9(а)>А при а У= 1 и0(1) = |й|. а е Q
Поэтому в силу примера 5.6 на Q имеется более чем 1\ орбит действия группы G. Однако в некоторых случаях большинство этих орбит имеет длину 1.
Теорема. Пусть G — некоторая {I, /+1, .... 1-\-г—1}-стро-гая группа на £2, где г ^2. Тогда |F(G) | = / и G является точно r-транзитивной на Й— F(G).
Доказательство приведено в [222].
Теорема 7.3. Пусть G — некоторая {I, I + $}-строгая группа на Й. Тогда существует функция f(s), зависящая только от s, такая, что |/7(G) | I — f(s). В действительности можно положить f(s) — (s— 1)$' — s'2 + 1, где s' = max{ 1, [— 2 -]}.
Доказательство. Пусть 9 — подстановочный характер группы G. Тогда
0 = S i
где ^O = 1G>	^2, ... — полный набор неприводимых характе-
ров группы G. В силу примера 5.6 ай равно числу орбит G на Й. Положим а0 = k. Пусть Йь Й2, • • •,	— орбиты действия G
на Й и 9,- — подстановочный характер G на йь Тогда 9 =
’> Для того чтобы это индуктивное определение было корректным, необходимо считать единичную группу группой стандартного типа. — Прим, перев.
52
Гл. 1. Представления конечных групп
= 01 + 02 + • • • 4-0* и каждый характер 0, содержит 10 с кратностью один. Если |Q,|=/= 1, то 9< содержит некоторые нетривиальные неприводимые характеры группы G. Отсюда мы получаем
1^а1>ай — \F(G)\.	(7.3)
Из доказательства теоремы 7.1 следует, что 0 = (0 — Па) (0 — — (/4-s)l0)—характер правого регулярного представления группы G. Следовательно, (0, 1G) — 1. Из равенства (хх', 10) = = (Х> х') вытекает, что
(0-/1о, 0-(/ + s) 10)= 1, Z^-(2/4-s)a0+/(/ + S)=l, i
и поэтому
(7.4)
Поскольку £ а]^\, то (а0 —/) (ad — / — s) 0. В силу (7.2) i ф 0
ао > I. Отсюда получаем I < a0 14-s- Таким образом,
|F(G)|>ao- S at (по (7.3)) > / о
>a3— Е a? = a0—1 4-(а0“0(ao — Z — s) (по (7-4))-i 0
Элементарные вычисления показывают, что
Min {ао — 1 4- (ао — /) («о ~ I— s) | / < а0 «С I 4- s, ай е Z) =
= 14-(1-з) s'4-s'2 - 1, где s' = шах { 1,	~ 1 ] }. □
Положим в теореме 7.3 з = 2, 3. Тогда |F(G) I—1 для s = 2 и |F(G)| I — 2 для з = 3. Все Ё-строгие группы для L = {/, /4-2}, {/, /4-3} классифицированы (см. [222]).
Задача 2. Существует ли функция f(s, t), такая, что |F(G)|^/ — f(s, i) для каждой {/, 14- $, /4- /}-строгой группы G?
Пусть G является {/}-группой (т. е. каждый неединичный элемент из G оставляет неподвижными в точности / точек), причем | F(G) | =/= I. Множество 3 поточечных стабилизаторов /-элементных подмножеств из Q обладает следующими свойствами: (i) для каждого неединичного элемента a = G существует един
§ 1.8. Замечания к гл. 1
53
ственная подгруппа /7е8, такая, что а^.Н, (н) для каждой подгруппы Я е 8 и asG подгруппа сг'На принадлежит 8 и (iii) 8 ¥= {О}. Такое множество 8 подгрупп называется G-инвариантным собственным разбиением. Обратно, несложным упражнением является доказательство того, что каждая группа G с G-инвариантным собственным разбиением может быть представлена как {/}-группа, где [/' (G) |=/=/. Неразрешимые группы G с G-инвариантными собственными разбиениями классифицированы в [359].
§ 1.8. Замечания к гл. 1
Дальнейшие результаты по теории представлений конечных групп читатель может найти в любом серьезном учебнике по теории групп Вот перечень книг, которые считаются стандартными, хотя каждая из них имеет свою цель, свой уровень, свой стиль изложения и все они сильно различаются между собой: Кэртис и Райнер [108], Дорнхофф [134], Фейт [151], Горен-стейн [179], Холл [183], Хупперт [215], Айзекс [217], Серр [322].
Мы совсем не обсуждали теорию модулярных представлений конечных групп, однако связь теории модулярных представлений с алгебраической комбинаторикой является, по всей видимости, многообещающим направлением и заслуживает дальнейшего изучения. Однако исследования в этом направлении пока не начаты. На наш взгляд, в этой связи могут оказаться полезными статьи Скотта [311], [313] и Отта [290]. В частности, нам кажется, что в работе [290] в отношении к комбинаторике принята та же позиция, что и у нас.
Тема § 1.7 интересна по следующим причинам: (i) Излагаемая в нем теория не покрывается последующим обсуждением схем отношений. И здесь в основе лежит структура схемы отношений, но она имеет совершенно другие свойства, чем P-полиномиальные, Q-полиномиальные и другие схемы. Однако эта структура тесно связана с группами, что позволяет при развитии теории в этой области использовать в качестве ключевого метода представления групп. Поэтому мы предлагаем трактовать эту теорию в соответствии с точкой зрения Дельсарта и тем самым расширить границы алгебраической комбинаторики, (ii) Хотя рассматриваемая проблематика относится к теории конечных групп, представляется маловероятным, что ее решение удастся получить как прямое следствие классификации конечных простых групп. По-видимому, не удастся непосредственно воспользоваться этой классификацией для описания всех L-стро-гих групп, где L = {h, ..., lr}, h < ... < lr, причем li достаточно велико.
54	Гл. 1. Представления конечных групп
Дальнейшее изложение материала § 1.7 можно найти в статьях [222], [9], [77], [132]. Пока эта теория не развита до вполне удовлетворительного уровня. Похоже, что некоторые из самых важных результатов в этой области еще ждут своего открытия.
Строго /-транзитивные (или точно /-транзитивные) группы при t 2 классифицированы, и при t 6 не существует ни одной такой нетривиальной группы. Подмножество X симметрической группы о на множестве Q называют строго t-транзитивным подмножеством, если для любых двух /-ок (аь ..., at) и (31, ..., ₽0> составленных из различных элементов множества Q, существует единственный элемент а е X, такой, что а? = pf (1=1......i). Интересной представляется проблема о том,
существуют ли строго /-транзитивные подмножества для больших / (см. [257]).
Мы вернемся к этому предмету в готовящейся ч. II в связи с теорией экстремальных множеств.
Глава 2
Схемы отношений
Эта глава посвящена введению в теорию схем отношений.
Понятие схемы отношений является очень важным, по-види-мому, даже самым важным в алгебраической комбинаторике. На основе этого понятия удалось с единой точки зрения построить теорию кодирования, теорию блок-схем и некоторые другие теории. Систематические исследования в этом направлении были начаты Дельсартом [118], и его успех в полной мере можно объяснить тем, что он увидел в схемах отношений базовые структуры указанных теорий и всесторонне использовал их в этом качестве.
Помимо того, что схемы отношений составляют основу для ряда теорий, они сами по себе имеют богатое математическое содержание и заслуживают серьезного математического исследования-. Часть I нашей монографии (т. е. настоящая книга) написана именно с этой точки зрения, в то время как построение теории Дельсарта на основе схем отношений составит содержание ч. II.
Имеется много математических объектов, которые по существу являются схемами отношений. Отсюда и многообразие названий, обозначающих по сути дела одно и то же математическое понятие: алгебра смежности, алгебра Боуза — Меснера, централизаторное кольцо, кольцо Гекке, кольцо Шура, алгебра характеров, гипергруппа, стохастическая группа и т. д. Соответственно существует и много различных подходов к изучению схем отношений. В этой книге мы воспринимаем схемы отношений как чисто комбинаторные объекты, т. е. не делаем никаких дополнительных предположений, например по поводу действия групп.
Однако и в этом случае можно ввести схемы отношений различными способами. В этой главе мы систематически опишем большинство из них и установим связи между ними. Это вызовет в нашем изложении частичные повторения и перекрытия. Отметим, что в настоящей главе мы будем рассматривать лишь общие классы схем отношений. Изучению схем отношений с некоторыми важными, но более специальными свойствами будет посвящена гл. 3,
56
Гл. 2. Схемы отношений
В § 2.2—2.4 мы избрали стандартный и весьма естественный подход. Здесь комбинаторная структура схем отношений используется для вывода всех их алгебраических свойств. В § 2.5 трактовка совершенно иная. Мы аксиоматизируем в определенных терминах алгебраический аспект схем отношений и выводим из этих аксиом все их алгебраические свойства без предположения о существовании соответствующих комбинаторных объектов. С логической точки зрения все изложение § 2.2—2.4 перекрывается материалом § 2.5. Однако выкладки в § 2.5 более изощрены и сложны, в то время как в § 2.2—2.4 они естественны и понятны. Поэтому при первом знакомстве со схемами отношений мы рекомендуем читать § 2.1—2.5 по порядку. В то же время § 2.5 будет интересен даже читателю, имеющему представление о схемах отношений. Следует подчеркнуть важность подхода, развитого в § 2.5, для понимания двойственности в схемах отношений. Этот подход широко используется в последующем изложении, в частности при изучении Q-полиномиаль-ных схем. Любопытная черта алгебраической комбинаторики состоит в том, что некоторые понятия не удается интерпретировать в комбинаторных терминах, но они обретают реальность в алгебраическом контексте. В то же время изучение таких «фиктивных» комбинаторных структур помогает целостному пониманию предмета. § 2.6—2.11 слабо связаны друг с другом, и их можно читать независимо. Кроме того, эти параграфы при первом чтении можно пропустить, однако они необходимы для понимания последних параграфов гл. 3.
Ниже излагается содержание каждого из параграфов этой главы.
В § 2.1, следуя Виланду [394], обсуждаются централиза-торные кольца групп подстановок. Это одна из наиболее важных точек соприкосновения алгебраической комбинаторики с теорией групп. Схемы отношений определяются в § 2.2. В действительности имеет смысл выделять три уровня аксиоматизации схем отношений. Это а) симметричные схемы (Боуз — Мес-нер), Ь) коммутативные схемы отношений (Дельсарт) и с) схемы отношений без требования коммутативности, т. е. когерентные конфигурации (Д. Хигман). Эти три уровня определений обсуждаются и сравниваются в связи с некоторыми примерами, возникающими из теории групп (как в § 2.1). § 2.2—2.4 посвящены традиционному введению в теорию схем отношений. Хорошее изложение этого материала можно найти в работах Дель-сарта [118], Хигмана [197], [198], Слоэна [332] и др.
Алгебраическая структура алгебры % и понятие двойственности более подробно изучаются в § 2.5. Мы обнаружили, что в наиболее общей и отвечающей нашим целям форме двойственность схем отношений рассматривалась в старой статье
§ 2.J. Централизаторные кольца	В7
Кавады [233] в терминах коммутативных С-алгебр. Введенное Кавадой понятие С-алгебры отражает алгебраическую и аксиоматическую сущность схем отношений. Когда Кавада писал упомянутую статью, не существовало понятия (или определения) схемы отношений. Кавада доказал теорему двойственности для коммутативных С-алгебр по аналогии со знаменитой теоремой Танаки о двойственности для некомпактных топологических групп. Эта двойственность и есть, по сути дела, та двойственность коммутативных схем отношений, которая обсуждается в предыдущих параграфах, и, к нашему удивлению, большинство соответствующих выкладок содержится уже в статье Кавады, которая до последнего времени практически оставалась незамеченной. Обобщение такой двойственности на некоммутативные схемы отношений будет затронуто в § 2.10.
Достоинство теории Дельсарта [118] состоит в чисто алгебраическом определении двойственной структуры. Понятие структуры, алгебраически двойственной к схеме отношений, весьма важно, несмотря на то, что такая структура в общем случае не имеет комбинаторной интерпретации. Если же группа подстановок G содержит регулярную абелеву подгруппу Н, двойственную структуру удается реализовать комбинаторно. Возникающие в этом контексте S-кольца (кольца Шура) интенсивно и успешно изучаются в теории групп подстановок ([309], [394], [367] и т. д.). Краткий обзор этой тематики содержится в § 2.6.
В § 2.7 в терминах схем отношений интерпретируются таблицы характеров конечных групп. Интересным следствием этой интерпретации является частичное объяснение любопытного наблюдения Маккея, относящегося к таблицам характеров. Это подкрепляет нашу веру в то, что алгебраическая комбинаторика естественно обобщает теорию характеров конечных групп.
Материал § 2.8—2.9 в основном базируется на статье [79].
В §2.11 рассматриваются сферические функции подстановочных представлений, не имеющих кратностей. На этот pas. в качестве истока алгебраической комбинаторики выступает теория представлений топологических групп. Этот подход, если игнорировать топологию, оказывается эквивалентным подходу с позиций теории групп подстановок, однако последовательность рассуждений и основные акценты несколько иные.
§ 2.1. Централизаторные кольца подстановочных представлений
Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве □ = {1, 2, ..., п} и 0 — подстановочный характер. Пусть G действует на QX^ таким образом, что (а, р)“ = (ав, 0а) для а,
88
Гл. 2. Схемы отношений
рей, aeG. Обозначим через Ло,	Ad орбиты дей-
ствия G на QXQ, причем Afl = {(a, а)|аеЙ}. Эти орбиты называются орбиталями. Для лей обозначим через Аг (а) множество {р е Й |(а, р) е AJ. Тогда Л0(а) = {a}, At (а), ..., Ad(a)— орбиты действия на Й стабилизатора Ga точки а е Й в группе G, причем для всех aeG, 0 i d, имеет место равенство (Лг(а))а = Лг(аа). Положим kL = | Л(- (а) |. Отметим, что величины ^независятот выбора точки а. Пусть ^={(<1, р) |(p,a)eAJ. Поскольку *Лг — также орбита действия G, найдется такое /, что *Лг = Л/. Обозначим этот индекс / через I' и назовем Лг/ парной орбиталью к Az. Ясно, что kt = kt' и что р е Лг (а) тогда и только тогда, когда аеЛ(<(р).
Лемма 1.1. Пусть d-j- 1 —количество орбит действия группы G на ЙХП. Тогда (0, 0)o=d+l.
Доказательство. Поскольку 0(a) равно числу точек в й, которые оставляет на месте подстановка aeG, то 0(a)0(a) — число точек в ЙХП, которые оставляет на месте а. Это означает, что 02 — подстановочный характер группы G на ЙХЙ. Как показано в примере 5.6 гл. 1,
d+l=(02, 1О)О==(0, 0)о. □
Для произвольной матрицы А обозначим через Аа$ ее элемент, находящийся в строке с номером а и столбце с номером Р (Дельсарт обозначает этот элемент через Ag(a)). С каждой орбиталью А,- свяжем матрицу А,- порядка п, строки и столбцы которой занумеруем элементами из Й, такую, что
( 1, если (a, р) е Ai;
(4)	=•{ п
р (0 в противном случае.
В частности, Ао — единичная матрица 1. Назовем А, i-й матрицей смежности группы G на Й относительно А/. Легко убедиться в справедливости следующей леммы.
Лемма 1.2. (i) Пусть J — матрица порядка п, все элементы которой равны 1; тогда
d tAt = J. i<=0
В частности, Ао, At...Ad линейно независимы над "С-.
(ii) ‘A/^Aj'.
(iii) Каждая строка и каждый столбец матрицы At содержат ровно по kt единиц и
tr(Af-Al) = nkfill (i, j — 0,1...d).
§2.1. Централизаторные кольца
59
Пусть А: а-> Л (о)—подстановочное представление группы G на Q, где Л (а) — матрица-подстановка, соответствующая действию а на £2, т. е. (Л (а))„р = даар. Для произвольной матрицы X = (Л^) имеет место равенство
(Л (а) ХА (а)~% = £ 6,^6 а-> = Хаа а. ц. v	v р
Это означает, что Х = (Хав) коммутирует со всеми Л (а), ае G, тогда и только тогда, когда ХГ1>> — Хаа&а для всех а е G, а, рей. В частности, каждая Л; коммутирует со всеми Л (а), аеб. Поскольку £лг— J (лемма 1.2(1)), каждая матрица, коммутирующая со всеми Л (а), аеб, есть линейная комбинация над <С. матриц Ло, At.....Ad. Таким образом, получаем
следующую теорему.
Теорема 1.3. Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q = {1, 2, ..., п}, и пусть Л:а->Л(а)— соответствующее подстановочное представление. Пусть 31— множество всех матриц порядка п с элементами из С., коммутирующих со всеми Л (а), ае G.
Тогда 81— матричная алгебра над С, порождаемая матрицами смежности Аа, Ль Ad группы G на Q как линейное пространство над С.. В частности, dime &==*( + 1.
Назовем 31 централизаторным кольцом (алгеброй) или кольцом (алгеброй) Гекке представления А.
Пусть Fo = l0, Fi, ..., Fr — различные неприводимые представления группы G над С, входящие в А. Пусть ft и et — степень Ft и кратность F, в Л соответственно. Тогда в силу того, что представление G вполне приводимо, существует такая невырожденная матрица U (можно выбрать в качестве U унитарную матрицу), что для любого аеб
U~lA(a)U — diag(Fq(а), F{(a), .... Fx(a)..Fr(a), ..., Fr(a)).
eo	ei	er
(1.1)
Тот факт, что eQ— 1, следует из транзитивности G на Q. В силу леммы Шура (§ 1.3 гл. 1) матрица коммутирует с и-хА(а)й для всех а еб в точности тогда, когда она представима в виде diag(Afo, Mi ®Ift..................Mr®Ifr),	(1.2)
где Mt — произвольная матрица порядка ei, If{ — единичная матрица порядка ft и	обозначает кронекерово произведение Mt и If. Таким образом,	состоит из всех
матриц вида (1.2). Отсюда вытекает следующая теорема.
60
Гл. 2. Схемы отношений
Теорема 1.4. Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q, Д — соответствующее подстановочное представление и 91— его централизаторное кольцо. Пусть е0=1, ei,..., ет— кратности неприводимых компонент F0—Ig, Fi........Fr пред-
ставления Д.
Тогда
(i) dimc9l = У, е\ = d, + 1,
1=0
где d + 1 — количество орбит Ga на Q (аей).
(ii) 91 коммутативно тогда и только тогда, когда е, — 1 для всех i = 0, 1, .... г (критерий отсутствия кратностей).
Лемма 1.5. Если i' = i для всех i = 0, 1, ..., d, то 31 коммутативно. Условие i' = i выполнено тогда и только тогда, когда для каждой пары (а, (3) е А, найдется элемент а е G, такой, что аа = р и ра = а.
Доказательство. Отметим, что в условиях леммы 31 состоит из симметричных матриц, так как М,-= Д('= Д(- для базиса До, Ai, ..., Аа пространства 91. Отсюда, в частности, вытекает, что AtAj — симметричные матрицы для любых i, j. Поэтому
д/д<=<д/Ч = Ш/) = дл.
и 91 коммутативно.
Последняя часть утверждения очевидным образом следует из определения Д,. □
Замечание. Утверждение, обратное к первой части леммы 1.5, вообще говоря, неверно. На это указывает пример 2.1(2) в следующем параграфе, где на группе действуют правые сдвиги и внутренние автоморфизмы. Другим контрпримером является турнир Пэли (X, {/?г}0< г<2), гДе %= GF(q), <7 = 3 mod 4, R\ = = {(х, у)\х — у — ненулевой квадрат в GF(q)}.
Пусть Со = {1}, С{...Ck — классы сопряженных элементов
группы G. Обозначим через Сг формальную сумму элементов из Ср Сг = а1+а2+ ••• +алг> — |Ci |. Для подстановочного представления Д: а->А(а) группы G определим
А (С() = А (а,) + А (а2) + ... + A (ahi)
и назовем Д(С() матрицей l-го класса.
Лемма 1.6. Матрица . А (С,) любого класса Ct принадлежит централизаторному кольцу 91. Все матрицы классов коммутируют друг с другом,'	'
§ 2.2. Схемы отношений
61
Доказательство. Поскольку b~lab пробегает множество Сц когда а пробегает С», то
А (Ь)~1 А (Сг) А (Ь) — У, A (Ь~1аЬ) = A (Ct) для всех b е G.
В частности, Л (С,) Л (С/) = Л (С;)Л (С/). □
Теорема 1.7. ([394], теорема 29.8.) Пусть G— транзитивная группа подстановок на множестве £2. Ее централизаторное кольцо 31 коммутативно тогда и только тогда, когда оно совпадает с линейным пространством, порожденным матрицами классов.
Доказательство. Если 31 порождается матрицами классов, то в силу леммы 1.6 оно коммутативно. Обратно, предположим, что 81 коммутативно, и пусть Л(С0), Л(С1)....Л (С*)—матри-
цы классов. По теореме 1.4 et = 1 для всех i, и множество U~l%U состоит из всевозможных матриц вида
diag (Ло, ..., Лг/fy), Л«еС.
В частности, dime 31 = г1.
Пусть F0 = lo, Fi, ..., Fr— неприводимые компоненты подстановочного представления G на Й, а х/ — характер F,. Рассмотрим множество {ао=1, «ь ..., а*} представителей классов сопряженных элементов группы G. Тогда по теореме 4.4' гл. 1 строки (х/(а0), Xi(ai), •••, Xz(«*)), t = 0, 1, ..., г, линейно независимы. Поэтому при подходящей нумерации классов det (хг (d/))t. /жж0................г =И= 0.
В силу (4.12), (4.13) гл. 1 Ft (С7) = W I, где Л, = |С71, a ft — степень F(-. Подставляя в (1.1), получаем
£7-M(C/)f/ = diag(Ffl(C/)....Ff(C,)) =
= diag(<7rXo(a/)/fo....77%r(a/)/fJ.
Поскольку матрица
=diag(-J-.......т"') (Хг(«/)) diag(йо.hr)
'	'I. 1-0, 1.г	' '0	'г /
невырожденна, матрицы U~lA(Ct)U, ] = 0, 1.........г, линейно
независимы, а так как dime 31 = г-|-1, кольцо U~lW порождается матрицами U~lA(Cj)U, j = 0, 1........г. □
§ 2.2.	Схемы отношений
Пусть X —- множество мощности п и Ri (i = 0, 1, ..., d) — подмножества в XX X, обладающие следующими свойствами!
62
Гл. 2. Схемы отношений
(i)	/?0= {(х, х) |х f= X};
(ii)	XX* = tfoU ••• U/?d, Rl(]Rt=0 для i^j;
(iii)	tRi — Ri' для некоторого i' e {0, 1,	d}, где
^^{(x, y)\(y, x)^Rt}-,
(iv)	для i, j, k e {0, 1.d} число элементов z e X,
(2.1)
таких, что (x, z)^Rt и (z, y)^Rj, является константой, если (x, у) e Rk\ эта константа обозначается через pktj\
(v)	Pti = P^i Для всех 1» /»
Такая конфигурация ^ = (X, {Ri}0<i<d) называется коммутативной схемой отношений1) на X с d классами. Неотрицательные целые величины pktj называются числами пересечений схемы 96. Конфигурация 96'— (X, {Rt}n^i<d), которая обладает лишь свойствами (i), (ii), (iii), (iv), называется (некоммутативной) схемой отношений (или, следуя Д. Хигману [197], однородной когерентной конфигурацией). Схема отношений с дополнительным свойством
(vi)	i' = i
называется симметричной или схемой типа Боуза — Меснера.
По определению i-я матрица смежности А{ схемы 98— это матрица порядка |Х|, строки и столбцы которой занумерованы точками из X, причем элемент этой матрицы с номером (х, у) равен
( 1, если (х, у) е Rh
(^i)xu == I /ч
у (0 в противном случае.
А; является (0, 1)-матрицей. Нетрудно видеть, что условия (i), ..., (v) эквивалентны следующим условиям (i)', ..., (v)':
(i)' Aq — 1 — единичная матрица;
(ii)' Ло + А + •••	— J — матрица, каждый эле-
мент которой равен 1;
(iii)' tAl = At' для некоторого I' е {0, 1, ...» d};	1)'
d
(iv)'	=	для всех i, j;
(v)' AtAj = AjAt для всех i, j.
Здесь *Ai — матрица, транспонированная к А,. Схема 96 симметрична тогда и только тогда, когда
(vi)' М< = Л< для всех I.
*> Или,  другой терминологии, ассоциативной схемой, Прим, перев.
§ 2.2, Схемы отношений
63
Пример 2.1. (1) Пусть G—транзитивная группа подстановок на Q (|£2| = п) и Ao, Ai..Л-а — орбиты действия G на мно
жестве QX& Положим X = £2, /?, = Л/ (i = 0, 1, ..., d), и пусть Ai — это i-я матрица смежности. В силу леммы 1.2 матрицы At удовлетворяют условиям (i)', (ii)', (iii)'. По теореме 1.3 произведение AiA, представляется в виде линейной комбинации матриц Ak, поэтому выполнено (iv)'. Следовательно, &? = (Q, {A/}a<<<d) является (некоммутативной) схемой отношений. Схема Зв коммутативна тогда и только тогда, когда коммутативно централизаторное кольцо 31, или, что эквивалентно, если соответствующий подстановочный характер не имеет кратностей (теорема 1.4). Схема Зв симметрична в точности тогда, когда для каждой пары (х, у)^ Л, (t=0, l,...,d) найдется элемент аеб, такой, что ха — у и уа = х (лемма 1.5), т. е. когда все Л/ самодвойственны. Группа с таким свойством называется щедро транзитивной (эта терминология введена Нейманом [284]).
(2)	Пусть G — конечная группа и Со= {!}, С\, ..., Cd — классы сопряженных элементов в G. Положим X=G и определим i-e отношение Ri правилом: (х, y)^Rt, если и только если ух~1 е С,. Тогда условия (i), (ii), (iii) тривиальны, причем Ср = {а i= G la"1 еС,}. В силу соотношения (4.10) из гл. 1 имеет место равенство
С/С, = 2 где Са = 2 k	аеса
Поэтому условие (iv) выполнено, причем	Посколь-
ку Cix = х(а~1С(х) = хС/ для всех xeG, то С/С/= С/С/ и, значит, выполнено (v). Таким образом, = (G, {/?/}fl</<d) — коммутативная схема отношений с d классами. Отметим, что эта схема симметрична тогда и только тогда, когда х и х-1 сопряжены в G для всех x s G.
(3)	Пусть F — множество	мощности q (q 2) и
Х = F X F X • • • X F. Определим Ri правилом: (х, г/)е/?/
п
тогда и только тогда, когда х и у различаются ровно в i коорди-натах, т. е. когда #{/| х, =И= г/Д = i, где х==(хь х2.х„) и
y=(ylt у2.....уп). Так как сплетение симметрических групп
SqeSn, имеющее порядок (q\)nn\, действует транзитивно на каждом отношении Ri, нетрудно видеть, что 3? = (Х,	—
симметричная схема отношений с п классами (о сплетении см. книгу Холла [183], с. 96). Зв называется схемой Хэмминга и обозначается через Н(п, q).
(4)	Пусть V — множество мощности v и k — положительное целое число, такое, что k^v/2. Пусть X — множество ft-эле
64
Гл. 2. Схемы отношений
ментных подмножеств множества V
Ri правилом: (х, y)^Rt (х, у е X) тогда и только тогда, когда |хПy\ = k — I- Поскольку симметрическая группа Sv действует транзитивно на каждом отношении Rt, нетрудно видеть, что 36 —(X,	j.) ~ симметричная схема отношений с k
классами. Она называется схемой Джонсона и обозначается
через 7 (и, k).
Ниже, если не оговорено противное, мы везде будем предполагать, что 96 =(Х, {/?,}) является коммутативной схемой отношений с d классами.
Положим
(2-2)

Тогда kt равно числу точек у^Х, таких, что (х, y)^R, для фиксированной точки х s X. Положительное целое kt называется валентностью отношения Rt. Ясно, что
£0=1, ki = kf, | X | = ko -|- k\ + ... -|- k^.	(2.3)
Предложение 2.2. Справедливы следующие соотношения:
(О Po/ = 6/fe'>
(ii)	=
(iii)	=
(iv)	p^ = p^,;
(v)	£p?/=^;
(vi)	kyPl& = k&ply== kap^,',
^ii) ZPuPlka = Z P^Ptr п»0	рв0
Доказательство. Равенства (i), (ii), (iii’Y, (iv) вытекают непосредственно из определения р*.
(v)	Для фиксированной пары (х, yj^R* следует подсчитать число точек г е X, таких, что (х, z)^Ri.
(vi)	Следует подсчитать число треугольников (х, у, г), таких, что (х, y)<=Ry (х, г)е/?а, (г, у)<= Rg.
(vii)	Для произвольной пары (х, y)^Ri следует подсчитать число пар (г, w), таких, что (х, z)e/?ft, (z, w)^ Rit (w, y)^Rj.
§ 2.2. Схемы отношений
65
Пусть 91 — подалгебра в Л4„(С), порожденная матрицами смежности Ао, Ah ..Аа, где Мп(С)— полная алгебра матриц порядка « = 1X1 над С. В силу условий (iv)' и (v)' из (2.1)’ 91 является коммутативной алгеброй размерности d+1. Она называется алгеброй смежности схемы Зв или алгеброй Боуза — Меснера. В примере 2.1(1) алгебра 21 — это не что иное, как централизаторное кольцо, или кольцо Гекке, группы G на Й.
Рассмотрим левые умножения в 91 как линейные преобразования 91 и выразим их в матричной форме относительно базиса {Ао, А], ..., Аа} алгебры 91. Тогда мы получим гомоморфизм алгебры 91 в Afd+1(C). Этот гомоморфиз.м называется левым регулярным представлением алгебры 91 относительно базиса {Ло, Ai, ..., Аа}. Это представление точное, поскольку 91 содержит тождественный элемент. В силу (iv)' из (2.1)' образом матрицы Ai является ‘В,, где Bt — матрица порядка 1, у которой (/, &)-й элемент равен р}Г Таким образом, соответствие Ai->‘Bi является изоморфизмом алгебры 91. Поскольку антиизоморфизм Bt-^-tBi в силу коммутативности 91 является изоморфизмом, соответствие Л(->В( также задает изоморфизм. Тем самым мы получаем следующую теорему.
Теорема 2.3. Пусть Зв — (X, {Ri}')<i<:d} — коммутативная схема отношений с d классами. Пусть Ло, Ли ..., Ad— матрицы смежности, a p}f— числа пересечений. Положим В^^рТ}, и пусть 93—подалгебра в Md+i(C), порожденная матрицами Во, В,, ... ..., Bd. Тогда алгебра смежности 91 схемы Зв изоморфна Э, причем изоморфизм осуществляет соответствие между Л,- и Bt. В частности, матрицы А, и В, имеют один и тот же минимальный многочлен.
Матрица Bt = (р}в) называется i-й матрицей пересечений схемы Зв, а Э называется алгеброй пересечений этой схемы.
Замечание. ПустьЗв = (Х,	— коммутативная схема
отношений, и пусть р} — ее числа пересечений. Определим новые отношения Rk формулой Rt = /?((J R{-. Тогда Зв = (X, {Rt}) становится симметричной схемой отношений. Пусть р},-— числа пересечений схемы Зв. Тогда
Pkti = Рн + \i'Pn + 6ц'Рн' + ^'Ър'Рщ'-
Схема Зв называется симметризацией Зв.
Вопрос. В каком случае симметричная схема отношений может быть симметризацией некоторой коммутативной, но не симметричной схемы отношений?
бб
Гл. 2. Схемы отношений
§ 2.3. Алгебры смежности (алгебры Боуза — Меснера), соотношения ортогональности для собственных
матриц и параметры Крейна
Пусть 35 —(X,	— коммутативная схема отноше-
ний. Положим X={xi, xz, .... хп}, и пусть ех = (0, ..., О, 1, О, ..., 0)е С", где 1 стоит на i-м месте, если х = х,- е X. Пусть V— эрмитово пространство и {ех|х е X}—его ортонормиро-ванный базис. В силу (2.1 )'(iii)', (v)' матрицы смежности Ao, Ai, ..., Ла являются попарно коммутирующими нормальными матрицами. Поэтому мы можем воспользоваться хорошо известной теоремой из линейной алгебры о том, что попарно коммутирующие нормальные матрицы можно одновременно диагонализировать с помощью унитарной матрицы1). Отсюда следует, что
V = Vo + Vi + ••• + Vr (прямая сумма), (3.1) где каждое Vi — это общее собственное подпространство матриц Аа, Ai, ..., Аа. Здесь в качестве V, выбрано максимальное подпространство, обладающее этим свойством в том смысле, что если i=£i, то найдется матрица Ак, такая, что ее собственные значения на V, и Vj не совпадают. Поэтому при i =# j подпространства Vt и Vj ортогональны. Поскольку собственное подпро-d
странство матрицы 7 = X А{, отвечающее собственному значе-1=0
нию п, одномерно и порождается вектором (1, 1, ..., 1), то это пространство <(1, 1, ..., 1)> есть V, для некоторого i, и мы можем считать, что I = 0:
V„ = <(1, 1....D).	(3.2)
Пусть Ei — ортогональное проектирование V Vt, выраженное в матричной форме относительно базиса {вх|хеХ}. Тогда
Ед Ej ... -J- Ег = / и Е{Е/ = бjjEi,	(3.3)
£,° = ууу/ (~[уу7 — это ортогональное проектирование V-*V0) • (3-4) и существует такая унитарная матрица U, что
= diag (0.....0,	1......1,	0, ..., 0).	(3.5)
dim VI
11 См например, § 14 книги И. М. Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» (М.: Наука, 1971). — Прим,, перев.
§ 2.3. Алгебры смежности (алгебры Боуза — Меснера)
67
Пусть Pi(j) — собственное значение At на Vj. Тогда
(з.б) 1-0
и U~lAiU = diag(pz(0), pt(l)....рД2), ..., p{(r), ...). Так как
At— нормальная матрица, собственное значение матрицы *At на Vj равно рД]), где pt(j) — величина, комплексно-сопряженная к pt (j). Но поскольку * At = А^, мы получаем
рА1) = рДТ)-	(3-7)
Теорема 3.1. Пусть 35 = (X,	— коммутативная
схема отношений (|Х| = п) и V = Vo + ... + Vr — разложение п-мерного эрмитова пространства V в прямую сумму максимальных общих собственных подпространств матриц смежности At. Пусть Et — матрица ортогонального проектирования относительно ортонормированного базиса {(0,..., 0, 1,0,..., 0)}, где 1 стоит на j-м месте. Тогда каждая из Ei представима в виде линейной комбинации матриц Ло, Ait ..., Аа. В частности, r — d и Ео, Ei, ..., Еа являются примитивными идемпотентами алгебры смежности 91.
Доказательство. Достаточно показать, что некоторая линейная комбинация матриц Ао>	Ad имеет ненулевое соб-
ственное значение на Vi и нулевое на V/ для всех j =/= i. В силу максимальности Vi для любого / (/=# 0 найдется такое k, что рк(1)^= Pk(j)- Положим Fj = Ak — Pk(j)I. Тогда F/ имеет ненулевое собственное значение, равное Рь(Т)—Pk(j), на V, и нулевое на Vj. Поэтому П F, имеет ненулевое собственное значение на V, и нулевое на Vj	□
Пусть d
(3-8)
1=0 Положим
Р = (рД/)) ((/> О'® элемент равен рД})),
Q = (<h(j)) ((/> 0-й элемент равен <7, (/)).	(3.9)
Матрицы Р и Q имеют порядок d + 1 и называются первой н второй собственными матрицами схемы Зв соответственно. В силу (3.6) и (3.8)
PQ — QP — Л/.
(3.10)
68
Гл. 2. Схемы отношений
Для произвольных матриц А и В одного и того же размера через А°В обозначим матрицу, получающуюся поэлементным перемножением А и В, т. е. (4 оВ)ц = A^-Вц. Назовем ее ада-маровым произведением матриц 4 и В. Отметим, что
4о 4* 4[ Д- ... -|- 4d = J и 4г о Aj = t>ijA{, (3.11) и это напоминает равенства (3.3).
Для матрицы С обозначим через т(С) сумму всех ее элементов. Следующее утверждение устанавливается прямым вычислением.
Лемма 3.2. Пусть А, В — произвольные квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда tr(4 • гВ) = tr(*4 • В) = т(4 о В).
Пусть m, = dim Vi = rank Et. Положительные целые числа rm называются кратностями схемы Зв.
Предложение 3.3. Имеют место соотношения
(1X1, если i — О,
(i)	tr 4, = n
' ’	(0 в противном случае,
(ii)	т(4г) = |Х|й;;
(iii)	tr = mp,
( | X I, если i = 0,
(iv)	т (Et) = n
'	‘	( 0 в противном случае.
Доказательство, (i) устанавливается тривиально.
(ii)	Поскольку для фиксированного хеХ имеется ровно ki элементов у, таких, что (х, y)^Rit то сумма элементов в любой строке матрицы 4,- равна ki, поэтому имеет место (ii).
(iii)	Следует рассмотреть след матрицы из (3.5).
(iv)	В силу (3.4) т(£о) = |Х|. Пусть z=#=0. Применив tr к равенству E0Ei = 0, получим
0 = tr (ДДг) = т (*£0 ° £г) (по лемме 3.2) =
= т(ттт/о£г) (в силу =ПТ т
поскольку J является единицей относительно адамарова умножения. □
Предложение 3.4. Для каждого i (1 = 0, 1, ..., d) имеют место равенства
(1)	Ро(О= ь
(ii)	Pt(G) = ki,
(iii)	<7о(О=1«
(iv)	qi(0) = mt.
§ 2.3. Алгебры смежности (алгебры Боуза — Меснера)
69
Доказательство. (i) Сравним коэффициенты при Е{ в равенствах А0=^р0(1)Е1 и Ло = I = Е0 + Е, + ... + Ed.
i
(ii)	Применим т к равенству Л, = У, рг (j)Ej и воспользуемся предложением 3.3.
(iii)	Сравним коэффициенты при Л; в £'0 = (1/| X |)7 = — (1/| X |) (Лэ + Л[ + ... + АД-
(iv)	Применим tr к = (1/| X |) У, qt (/) Л, и воспользуемся предложением 3.3. □
Теорема 3.5. Пусть P — (Pi(j)) и Q = (qt(j)) — соответственно первая и вторая собственные матрицы некоторой коммутативной схемы отношений ЗЕ. Тогда
(i)	qs (Туп^ = pt (j)/k{.
(ii)	(первое соотношение ортогональности) d
v=0	1
(iii)	(второе соотношение ортогональности) d
У mvpl(v)pl(v) = \X\kfitl.
v=0
d
Доказательство, (i) Умножим равенство £^=(1/1 X |) У <7z(v) Av
на Ai в смысле адамарова умножения. В силу (3.11) Et^At — — (1/| X |) q, (i) Л;. Применяя т, получаем
т (Ej о Л,) = tr (E/At) (по лемме 3.2) =
=Лг(£уЛг) (по (2.1)' (ш)') =
= tr(pf (/)£/) (по (3.6)) =
= Pi'(j)mj (в силу предложения 3.3) =
= mjpi(j) (по (3.7)) и
т (-|4т<7/ G) Ai) = qj(i)ki (в силу предложения 3.3).
(ii) Распишем равенство PQ = |X|/ поэлементно с использованием (i).
(iii) Распишем равенство QP = |X|/ поэлементно с использованием (i). □
70
Гл. 2. Схемы отношений
В силу (3.11) 51 замкнута относительно адамарова умножения. Эту коммутативную алгебру относительно адамарова умножения мы обозначим через %.. Тогда Ао, А}, ..., 4<у— примитивные идемпотенты алгебры SL В силу теоремы 3.1 очевидно, что Et°Ej представимо в виде линейной комбинации матриц Ео, Е^, Ed:
<312>
6 = 0
где q^ — некоторые комплексные числа. (Позднее будет показано, что — неотрицательные вещественные числа.Коэффициенты q^ называют параметрами Крейна. Алгебра 51 с базисом Ей, Eit ..., Еа является двойственной к алгебре 51 с базисом Ао, А], Аа в том смысле, что
(i)	|Х|£'о = ^> единица алгебры 51.
(ii)	Ео + Ei + ... + Ed = I, единица алгебры 51.
(iii)	1Е{ = Е-> для некоторого I е {0, 1, .... d}.	(3.13)
d
(iv)	Et ° Et = тут X ЯцЕк. й-=0
(v)	Et о Et = EjO Ei.
Ср. (3.13) с (2.1)'. Свойство (3.13) (iii) вытекает из единственности системы примитивных идемпотентов алгебры 51, а это следует из одновременной диагонализации матриц А{ и того факта, что *Е0, 1Е\, ..., ‘Ed удовлетворяют (3.3), т. е. являются примитивными идемпотентами алгебры 51. Поскольку Ер = = (Е1 = Е1, перейдя к комплексно-сопряженным в равенстве (3.8), получаем	____
<7?(/) = <Ш	(3.14)
Ср. это равенство с (3.7).
Теорема 3.6.
IX I	, m,m, I	-----
(0	= m Т (Е‘ ° Е1 ° Е*=	(0 (/) (Й)‘
mk	1л । v-0 v
1	kikt	1	-----г-
1,0 p‘i “ттд;tr 1А‘А'А^=тд S
Доказательство. Вычислим след матриц в равенстве
777 ЧцЕц в (Я* • Ej) Ек.
§ 2.3. Алгебры СмеЖйосТи (алгебры Боуза — Меснера)
71
Тогда
== tr ((Е( ° Е.) Eft) (в силу предложения 3.3)= (3.15)
= т(£\о	(по лемме 3.2) =
= т(Е, ° Е,. «Е^) (в силу (3.13) (iii))=	(3.16)
== f У qi q! qk (V) (no <3-8^=
== fT7 У qi q! qk	(в СИЛУ предложения 3.3) =
V
= m~nYl^k y4-Ev (i)Pv(j)pv(k) (по теореме 3.5 (i)). (3.17) 1A I V ftv
Поскольку pvr(i) = pv(i) и kv'=kv, подставив в (3.17) v' вместо v, получаем
1	t т.т.ть 1	-----
77Г QiPk =  Гу |2 ~ У тг Pv (i) Pv (/) Pv (k).	(3.18)
I л I	IЛ I Y «V
В силу (3.16) и (3.18) справедлив п. (i). Из равенств (3.17) и (3.18) следует, что коэффициенты q^ являются вещественными числами.
(i	i) Применим т к равенству р^Ак — (AtA^ ° Ak. Тогда
I XI kk = т (М3,) о 4) = tr (А^А^ =
= У, Pi (v) Pl (v) pk (v) mv = kikikk ^-^-qv («) qv (/) qv (k).
V	V mv
Так как p* являются вещественными числами, мы получаем доказываемое утверждение. □
Следующие соотношения между дк{/ двойственны соотношениям между сформулированным в предложении 2.2.
Предложение 3.7. Имеют место соотношения
(О =
(ii) =
(iii) qit = ^,5/Г;
(iv)
Гл. 2. Схемы отношений
72
а
(v)	=
Н
(vO ^/ = ^/^ = ^7'7; d	d
(vii) Z 7“<=E
Доказательство, (i) Надо сравнить коэффициенты при Ek в равенствах EQoEt = (1,| X |) У q^.Ek и Еа о Ej — (1/| X |) 1 □ Ef = = (l/|X|)Fy.
(ii)	В силу (3.13) (v) 7*o = 7or Воспользовавшись п. (i), получаем <7?0 = 6ift.
(iii)	В силу теоремы (3.6) (i)
ql = \X\T(EioEfoE0) = T(EioEi) (в силу (3.4)) =
= tr(£(.£'7) (по лемме 3.2) =
— tr = mfiiq (по предложению 3.3).
(iv)	Транспонируем матрицы в равенстве Е^Е,= d
= (1/|Х|) Е k*=0	1
а
(v)	Просуммируем по / равенства Et о Е — (1/| X |) У, qkiiEk. '	k-0
Тогда в левой части получим
(Е,
/	\ !	/	\	V	/
= -j-yy- Qi (0) Ло ~ ДТТ ,tli Z,	(В СИЛУ пРедложения (iv)).
k
В то же время правая часть равна -р-р ?(? <7^^- Сравнивая коэффициенты при Ek, получаем требуемый результат.
(vi)	Из доказательства теоремы 3.6 следует, что T^Ef ° Е] о Е-^ — вещественные числа. Поэтому, применив комплексное сопряжение, получаем
т (£(. о Е, о Et) = т (Ег оЕкоЕ7) = т(<Е!1°Е7о Ет).
Теперь достаточно воспользоваться теоремой 3.6(i) и переписать последнее равенство в терминах параметров Крейна.
§ 2.3. Алгебры смежности (алгебры Боуза — Меснера)
73
(vii)	В силу ассоциативности адамарова умножения Ек о (Д о Д.) = (Ek о Д) о Ej. Далее
Ek ° (Ei ° Ei) = Ek ° (-|тг IL qanE^ = W X (X qaifllk^ Ei>
(Ek ° Ei) ° Ei = (jYT X qkiE^ ° Ei ~ pq7 X (X Ei’ откуда и вытекает доказываемый результат. □
Параметры Крейна являются неотрицательными вещественными числами. Этот факт был обнаружен Дунклом и Скоттом (см. [312]) в статье Крейна [240] по гармоническому анализу и теперь называется условием Крейна.
Теорема 3.8 (условие Крейна). Параметры Крейна qktj коммутативной схемы отношений 36 = (Х,	являются не-
отрицательными вещественными числами.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая лемма.
Лемма 3.9. Пусть А, В — положительно определенные (соотв. неотрицательно определенные) эрмитовы матрицы. Тогда ада-марово произведение А°В также положительно определенная (соотв. неотрицательно определенная) эрмитова матрица.
Доказательство. Доказательство того, что кронекерово произведение А® В положительно определено (соотв. неотрицательно определено), является несложным упражнением по линейной алгебре. Далее А ° В является главным минором матрицы А® В, значит, это положительно определенная (соотв. неотрицательно определенная) эрмитова матрица. □
Доказательство теоремы 3.8. Каждая из Д является неотрицательно определенной эрмитовой матрицей. В силу леммы 3.9 EioEj также неотрицательно определенная эрмитова матрица.
d
Из равенстваД ° Ef = (1/| X |) £ Р^Еь следует, что (1/| X |) qkf — собственное значение матрицы Ei°Ej и потому является неотрицательным вещественным числом. □
Во многих случаях все q^ рациональны,
Вопрос. Когда qkt иррационально?
74
Гл. 2. Схемы отношений
Следующий пример является одним из немногих известных случаев, когда некоторые иррациональны. Пусть Г — обобщенный шестиугольник на 126 вершинах. А именно, пусть И — эрмитово пространство размерности 3 над полем GF(32). Тогда оно содержит 63 неизотропных одномерных подпространства. Назовем их точками и обозначим множество всех точек через
Имеется 63 неупорядоченные тройки {хь х2, х3}, такие, что х,- (i = l, 2, 3)—неизотропные одномерные подпространства в V и Xi ортогонально х( (z #= /). Назовем такие тройки прямыми, и пусть Х2— множество всех прямых. Определим отношение смежности между точками и прямыми по включению. Тогда мы получим обобщенный шестиугольник r==XiU^2- Матрица пересечений графа Г (см. гл. 3, § 3.1) имеет вид
	0 1 .	... 0	
в =	3 0 . . 2 0	0 .	(порядка 7),
	0 . .	.01. . 0 3 ..20	
и минимальный многочлен матрицы В равен х(х2—9) (х2 — — 6) (х2 — 2). Первая собственная матрица имеет вид
1 1	3 76	6 3	12 д/б	24 0	48 —2 V6	32 —4
1	V2	-1	-3 д/2	—4	2 72	4
1	0	-3	0	6	0	—4
1	-72	-1	3 V 2	—4	—2 72	4
1	- д/6	3	— -у/6	0	2 76	—4
1	-3	6	-12	24	-48	32
147 —49 Тб"
144
Тогда
mtm2 ^12
— иррациональное число (для проверки этого надо воспользоваться теоремой 3.6(1)).
§ 2.4. Формула для пи
75
§ 2.4. Формула для т,
Пусть 38 —(X,	~ коммутативная схема отноше-
ний с d классами. В этом разделе обсуждаются формула Биггса для trit, теорема Фрейма и условие абсолютной границы.
Следующая теорема по существу установлена Биггсом в [38] и дает нам метод вычисления кратностей т, по информации о матрице пересечений В/. Будем говорить, что вектор х стандартный, если его первая компонента равна единице.
Теорема 4.1. Пусть Зв = {Х,	— коммутативная
схема отношений с d классами. Пусть Р = {pi(j)) и Q = (qi(j)) — первая и вторая собственные матрицы схемы Зв, и пусть k{ и mt — ее валентности и кратности. Пусть vt- = (рп (I), px(i), ... ..., pd(i)> и u,= (р0(z)rkn, рД1) ’ Pd(A kd) — строки. полученные стандартизацией i-й строки матрицы Р и i-го столбца матрицы Q соответственно. Тогда
Г 17^(z)|2 v=0
(ii) если u — стандартный общий левый собственный вектор матриц Bj (j = Q, 1. •••, d), такой, что uBj = pt (z)u, то u = uz; если — стандартный общий правый собственный вектор матриц Bt (j = 0, 1, ..., d), такой, что. B/v = рД1)* v, то v = vz.
Доказательство, (i) Этот пункт непосредственно следует из первого соотношения ортогональности.
(ii) Рассмотрим левое регулярное представление алгебры смежности Я. Если в качестве базиса в 91 мы выберем {Ло, Ль ..., Ad}, то образом Л/ в этом представлении будет матрица *Ву. Если же в качестве базиса 91 выбрать {Ео, Е„ ..., Ed}, то образ Л, — это diag (р, (0), р,(1), ..., Pj(d)). Поскольку (Ео, Elt ..., Е<г)Р==(Л0, А\, ..., Ad), мы получаем
rB, = B-,diag(p/(0)> рД1), .... Pl(d))P и потому
S/<P = <Pdiag(p/(O), Р/(1), ..., p,(d)).	(4.1)
Это означает, что z-й столбец матрицы ‘Р является правым собственным вектором матрицы В/, соответствующим собственному значению P/(i).
Умножая равенство (4.1) на !Q справа и слева, мы получаем tQB/ = diag (р, (0), р, (1)........р, (d)) fQ.	(4.2)
76
Гл. 2. Схемы отношений
Поэтому z-я строка (<?г(0), <?;(!), ..., qi(d)) матрицы 'Q является левым собственным вектором матрицы В;, соответствующим собственному значению P/(z). В то же время по теореме 3.5 имеет место равенство
-^-(<7/(0)> <?г (1), .... <?<(</)) = иг. i
Пусть и — общий левый собственный вектор матриц Bt, такой, что uBz = р,-(z) и для всех /. Поскольку и/г (O^fe^d) линейно независимы, можно записать u= £ Умножая на В,-, мы ft
получаем p(z) £ Kkuk = £ A,*pz (£) ufe, и потому	(0 = ^Р/(^)
ft	k
для всех /. Однако поскольку detP=H=O при =# О, это означает, что l — k и и является скалярным кратным иг. Характеризация вектора tNi доказывается аналогично. □
В случае когда алгебра пересечений §3 порождается некоторой матрицей В,, векторы щ и v, (z = 0, 1, ..., d) определяются по одной лишь этой матрице В,. Такая ситуация имеет место для Р-полиномиальных схем (гл. 3, § 3.1). Важным следствием теоремы 4.1 является тот факт, что величина |Л’|/(щ, v,) должна быть целым числом. Это условие целочисленности часто оказывается полезным для доказательства несуществования некоторых схем отношений.
Следующее условие целочисленности получено Фреймом в [153] (теорема 4.2 (iii) принадлежит Виланду). В приводимом доказательстве мы следуем Виланду [394].
Теорема 4.2. Пусть Зв = (X, {Pi}a<i<d)— коммутативная схема отношений с d классами. Положим | X| = п, и пусть ki, mi— валентности и кратности схемы Зв. Тогда справедливы следующие утверждения-.
(i)	Рациональное число
d
является целым.
(ii)	Если все элементы pt(i) первой собственной матрицы Р рациональны, то q является квадратом, причем предположение о рациональности pi(j) обязательно выполнено, если все кратности mt (i =# 0) различны.
(iii)	Для любого простого р и любого положительного целого z
делится на р1} {nkt\nkt делится на р1}.
78
Гл. 2. Схемы отношений
к А{ — Pi(j) Ef. Тогда поскольку А° = А, и E^~Ej, мы по-/
лучаем, что pt(j)a = Pt(j) для всех i, j, откуда и следует, что все pi(j) рациональны.
(iii)	Мы воспользуемся следующей теоремой:
Теорема*. Пусть А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка, элементы которых являются алгебраическими целыми. Тогда i-й элементарный делитель матрицы А делит i-й элементарный делитель матрицы АВ.
За доказательством теоремы* мы отсылаем читателя к любой книге, где изучается теория элементарных делителей над дедекиндовыми областями, например [108], разд. 22. (Отметим, что элементарные делители — это уже не числа, а, вообще говоря, идеалы.) Применим эту теорему к (4.3). Тогда i-й элементарный делитель матрицы diagfmo, ть ..., та) делит i-й элементарный делитель матрицы diag(nfeo, nk\, ..., nkd). Таким образом, справедлив п. (iii). □
Теорема 4.3. Если все кратности пц (i=H=0) коммутативной схемы отношений совпадают между собой, то совпадают и все валентности kt (i =/= 0).
Доказательство. Положим пи = т. (i = l, 2, ..., d). В силу теоремы 4.2
— целое число. Поскольку т и п взаимно просты в силу ра-d
венства п = 1 + tnd, то nid делит П kv, Однако среднегеоме-
V = 1
трическое величин kv не больше среднеарифметического, значит, Й, l/d	d
I /	V=]
d
Поэтому md = n kv, а это имеет место, лишь если kv—m (v= 1, .... d)/n
Следующая теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.3.
Теорема 4.4. Если валентности kt (i = l, 2) коммутативной схемы отношений с двумя классами различны, то различны и кратности mt (i = 1, 2).
§ 2.4. Формула для mi
79
Замечания. (1) Предположение о коммутативности в условиях теоремы 4.4 излишне, так как схема отношений с не более чем четырьмя классами всегда коммутативна.
(2) Теорема 4.4 доказывается прямыми вычислениями следующим образом. Пусть
/О	1	0 \
В = I k	Л	р, I
\ О k — Л — 1 k — р.)
— матрица пересечений схемы отношений с двумя классами. Тогда
q = (Л — р.)2 + 4 (k — р),
f 1 Л — ц ± д/<7
le2J~ 2
( т\ 1 Г _______ I -т; 2fe + (И — 1) (X — Ц) 1
( m2 J 2 (.	V <7	)
k\ — k, t k(k-X-l) Kn 	-	•
Поэтому если mx = m2, то 2k + (n — 1)(Л — p) = 0. Это означает, что 0 < р — K = 2k/(n—1)<2 и потому р — X=l, k = = (п~1)/2.
(3) В силу теоремы 4.4 и теоремы 4.2 (ii) если у коммутативной схемы отношений с двумя классами все кратности mi (i 0) различны, то q является квадратом. Но имеется большое число примеров коммутативных схем отношений с более чем двумя классами, у которых все валентности k, (z =И=0) различны, но q не является квадратом. Рассмотрим, например, первую группу Янко порядка 175 560, действующую транзитивно на 266 точках. Подстановочный характер не имеет кратностей и стабилизатор точки имеет 5 орбит длин k0 = 1, kt =11, k2 = = 110, &3 = 132, k\ — 12. В этом случае схема, получаемая построениями, описанными в примере 2.1(1), коммутативна и имеет следующую матрицу пересечений:
0
11
1
0 1
10 4 5
6 5
1
11
0
80
Гл. 2. Схемы отношений
Ее кратности — это т0 = 1, тх = 76, т2 = 77, тз = 56, /?г4 = = 56. Значит, q = З2- 5- 112 - 192 не является квадратом, хотя все ki различны.
Мы рассмотрим условие абсолютной границы для примитивных коммутативных схем отношений [277]. Пусть Зв = = (Х, {Ri}1<i<d) — коммутативная схема отношений с d классами. Для начала мы вкратце обсудим примитивность и импримитивность схем отношений (детали будут рассмотрены в разд. 2.9). Пусть Г\ = (Х, Rt)—граф с множеством вершин X и множеством ребер Rt. Путь (в графе Г() длины s из х в у — это по определению такая последовательность вершин хо = = X, Х1, ..., Xs-l, Xs = у, ЧТО (xv, -V'v+|)e/?,' ДЛЯ V = 0, 1, ... ..., s — 1. Говорят, что схема Зв примитивна, если все графы Г, связны (i= 1, 2, ..., d), т. е. если для любых различных х, у е X в графе Г, существует путь из х в у.
Предложение 4.5. Для произвольного фиксированного i (z = 1, 2, ..., d) определим отношение ~ на множестве X правилом: х ~ у тогда и только тогда, когда в существует путь из х в у. Тогда ~ является отношением эквивалентности, которое представляет собой объединение некоторых отношений Rj.
Доказательство. Отметим, что в графе Г, путь длины s из хв у существует тогда и только тогда, когда элемент (х, у) матрицы А'1 отличен от нуля. Поскольку Al является линейной комбинацией матриц До, Дь • ••, Ad, то отношение ~—это объединение тех Rj, для которых матрица смежности Д, имеет ненулевой коэффициент в разложении Al для некоторого s.
Проверка транзитивности отношения ~ тривиальна. Поскольку | X | конечна, в графе существует петля, т. е. такая последовательность х0 = х, х1г ..., xs_i, xs = x (s^2), что (xv, х7+1)еГг (v = 0, 1....s—1). Это означает, что До вхо-
дит в линейное разложение матрицы Al относительно базиса До, Д1; ..., Ad. Поэтому отношение ~ содержит Rn. Так как р° = Д.Л то вхождение Д„ в Д® означает, что Д,, входит в линейное разложение Д® относительно базиса До, А„ ..., Ad. Таким образом, отношение ~ содержит Rp. □
Следующая теорема доказана Камероном, Гёталсом и Сейделом [79].
Теорема 4.6. Пусть Зв~(Х, {Ri}n^i^d)— коммутативная схема отношений с d классами, До, А{, ..., Аа — матрицы смежности схемы Зв « Еъ •••, Ed— примитивные идемпо
§ 2.4. Формула для mi
81
тенты алгебры смежности 91. Тогда следующие три условия эк-бивалентны:
(i)	Зв импримитивна.
(ii)	При подходящем упорядочении индексов 1, 2, d существует такой индекс s (0 < s < d), что AiAj является линейной комбинацией Ао, А{....Л5 для всех i, j (О z s, О /^s).
(iii)	При подходящем упорядочении индексов 1, 2, ..., d существует индекс t (О < / < d), такой, что адамарова произведение Е(°Е] является линейной комбинацией Ей, Е[, Et для всех i, j	О I).
Доказательство. Предположим, что Зв импримитивна. Тогда некоторый граф Г; является несвязным. В силу предложения 4.5, если подходящим образом упорядочить индексы 1, 2......d,
S
то (J Rx будет отношением эквивалентности (0 <s < d). По-v=0
этому при подходящем упорядочении элементов множества X
S
Е A4 = Iq®Jp,	(4.6)
V=0
где р — Е (мощность каждого из классов эквивалентно-
V = 0
сти), q = \X\/p (число классов эквивалентности), IQ — единичная матрица порядка q и 7Р — матрица порядка р, каждый элемент которой равен 1. Положим
м = Е Av.
v=0
Тогда в силу (4.6) мы получаем
М2 = рМ, М ° М = М, М =/= I и М J. (4.7)
Если вычислять М2, исходя из равенства М= Е Av и исполь-v=0
зуя соотношение AtA-= Y. PifAk, то получим k
d / s \
м2= Е ( Е
fe=0 М. /=0	' /
s
В силу (4.7) коэффициент Е Ркц при Ak равен нулю для k > s.
i. / = 0
Поскольку p-у неотрицательны, из этого следует, что = О для O^z^s,	s < k, а значит, AtAj является линейной
комбинацией матриц Лд, Лр .... Л? для О i s,
82
Гл. 2. Схемы отношений
Из равенства (4.7) следует, что (1/р)Л4 — идемпотент алгебры 91. Поэтому (1/р)М является линейной комбинацией примитивных идемпотентов Ео, Е}, .Ed с нулями и единицами в качестве коэффициентов. При подходящем упорядочении индексов 1, 2, d мы можем считать, что
t
^M=^EV (Q<t<d).
v=0
Причиной вхождения Ео в приведенную сумму является то, что /	S	X
т(Л4)=И=0 (поскольку Л1=£ Hv), в то время как т(£\,) = 0 \	v=0	/
при v =И= 0 (в силу предложения 3.3). Если вычислять t
((1/р) Л1) ° ((1/р) Л1), исходя из равенства (1/р)/И=£ Ev и ис-v=0
пользуя
Ei ° Ei= “ПТ £ 4‘>Е/1’ k
то получим
(у Л1)°("р Л1) =W S ( S ^ii\Ek-fe-o \г, /=о	/
Так как ((1/р) М) ° ((1/р) М) — (1/р2) М в силу (4.7), то коэффи-t
циент S <7?/ ПРИ равен нулю при k > t. Поскольку <?*. не-i. i-o
отрицательны, согласно условию Крейна, получаем равенства <7^ = 0 для 0<z</, 0	t < k. Отсюда следует, что
Et ° Et — линейная комбинация Ео, Е}....Et для 0=0^/,
0^/^/. Таким образом, из условия (i) следуют (ii) и (iii).
Предположим, что выполнено условие (ii). Ясно, что Г; несвязен при 0 zз.
Пусть выполнено (iii). Сначала мы покажем, что
О i t
для всех
z (О
(4.8)
i ;С О-
Обозначим через Хо, Л]......все различные числа из множества {<7/(v)|v = 0, 1.....d}, соответствующего выражению
d
Et = (1/| X I) S qi(v)Av, и положим v=0
(/ = o, 1, .... r),
§ 2.4. Формула для mi
83
где суммирование ведется по всем v, таким, что <7i(v) = Xz. Обозначим через адамарово произведение h экземпляров матрицы Et. Тогда
£? = —Ц-У МФ. 1*1 Ь
(й = 0, 1,
Так как det(%^)o<z л<г=А0, матрица Ф; является линейной комбинацией матриц Ео, Et, El, ..., Eri (0^/^г). Однако по предположению (iii) каждая матрица ^ — линейная комбинация матриц Ео, Е{, Et, поэтому их линейной комбинацией будет и матрица Ф; (0^/^г). Далее,
Г
Е^= E{ = Et = -jy-j-i=r-
и, следовательно, До—линейная комбинация матриц^, 5(,..., Et. Поскольку Е^—примитивный идемпотент, то E^ = Et для некоторого j (O^j^i), что доказывает (4.8).
Условие (iii) эквивалентно тому, что <7^ = 0 для 0 i I, 0^/^/, / < k. Более того, при этом условии <7^ = 0 для 0 i "СЛ	t < j. Это вытекает из того, что <7* =
= {т^т^ q^k в силу предложения 3.7(iv) и что 0 i t в силу (4.8). Значит,
ГЕ £^о(Е £^ = ТТГЕ ( Е = \V-0	/ \v»0	/	\i, /“0	/
г t / d .
=-ixtS EfE^/)^3 k—0 i=o \/=0	/
= _[4t ( E mi ) E (по пРеДл0Жению 3.7 (v)). \i = 0	/ fe-0
t	i
Поэтому M — p £ Ev удовлетворяет (4.7) для p = \X\/^lm{. v-0	<=0
Так как MoM = M, то матрица М — линейная комбинация матриц До, /41, •••, с нулевыми и единичными коэффициентами. Значит, после подходящего упорядочения индексов 1,2,...
3
,.., d мы можем считать, что М =	(0 < s < d). Причина
v«=o
того, что До входит в приведенную сумму, состоит в том, что
84
Гл. 2. Схемы отношений
tr М. У= 0, a tr /1 v = 0 для v #= О. Поскольку М2 = рМ и все величины р* неотрицательны, матрица А.А, является линейной комбинацией До, Ai As для О С i С s, О С j s. Таким образом, условие (iii) влечет за собой (ii). □
Дальнейшие свойства примитивных коммутативных схем будут обсуждаться в § 2.9. Следующая лемма играет ключевую роль в условии абсолютной границы.
Лемма 4.7. Пусть А и В —матрицы одного и того же порядка и ранга m и I соответственно. Тогда
( пг + h — 1 \
(i) ранг матрицы А° А ° ... о А не превосходит I	I
h
для h — 1, 2, ...,
(ii) ранг матрицы А ° В не превосходит ml.
Доказательство. Обозначим через Ah адамарово произведение h экземпляров матрицы А. Пусть пространство строк матрицы А порождается вектор-строками аь а2, ..., ат. Поскольку
( Е Оа/) ° ( Е dj-a/j = Е М,а, ° а,-
при покомпонентном умножении °, то пространство строк матрицы Ан порождается векторами а^а^» ... °a,ft (1 m, 1 г2 т, . .., 1 ih т). Поэтому ранг матрицы Ah
/ т h — 1 \
не превосходит I	I, т. е. числа способов выбрать h
элементов из т, допуская повторения.
Пункт (ii) может быть доказан аналогично. □
Теорема 4.8. Пусть 3? = (Х, {Ri}0<i<d) — коммутативная схема отношений с d классами, пц — ее кратности (1 = 0, 1, . . ., d), a qklf— параметры Крейна. Тогда для фиксированных i и j
Е ( -^тДт, + 1), если i = j,
v mzm/(	если i =£ j,
причем суммирование ведется по тем индексам k, для которых qktj положителен.
Доказательство. Так как Et ° Е, = (1/| X |) Е то k
rank (Е{ ° Ej) = Е rank£ft= Е mk.
k: Чц>0	fe:<7*>0
§ 2.4. Формула ДЛЯ Д7(
85
Применив лемму 4.7 к произведению Et°Ej, мы получаем доказываемое утверждение. □
Теорема 4.9. (Условие абсолютной границы.) Пусть 38 —{X, {Ei}0<1<d)— симметричная схема отношений с d классами, и пусть Ш/ (7 = 0, 1, ..., d) — ее кратности. Предположим что Зв примитивна. Тогда для каждого mt (i— 1, 2, ..., d)
l*l< я + T i •
\ d /	\ d — 1	/
Доказательство. Пусть Eo, Ex....... Ed — примитивные идем-
потенты соответствующей алгебры смежности, а Е1} — адамарово произведение h экземпляров матрицы Et. Будем говорить, что Et является компонентой Е^, если Е; входит в линейное разложение Е1} относительно базиса Ео, Е{, ..., Ed.
Поскольку схема 38 примитивна, каждая матрица Е,- является компонентой матрицы Е* для некоторого h (0^.h^.d) в силу теоремы 4.6 (iii) и условия Крейна. Обозначим через Nh множество таких индексов j, что Е; является компонентой Е^, но не является компонентой Elt для 0 I h — 1. Тогда jV0 = {0}, d
Nx = {i} и {0, 1, ..., d} = U Nh (объединение непересекаю-л=о
щихся подмножеств).
Поскольку^1 симметрична, Е] содержит Ео = (1/|Х|)7 в качестве компоненты. Поэтому каждая компонента матрицы Е^~2 является также и компонентой матрицы Е). Таким образом,
У — У rank Е, rank Е1} — rank Е?-2
(2 С h с d)
и потому
1*1 = Е Е
/1-0 ' (= Nh
d
rank Ео + rank Е. + У, (rank Eht — rank Е^-2) —
= rank Ed -j- rank E4~}
nit + d — 1 \	/ 1п{ d — 2 \
d 7+\	d-\	)
□
(по лемме 4.7 (i)).
Замечание. (4) Пусть 38 = (К, {Ег}0</<^) — симметричная схема отношений. Если примитивный идемпотент Е,- порождает
86
Гл. 2. Схемы отношений
ее алгебру смежности как алгебру относительно адамарова умножения, то 3S может быть реализована так, чтобы X было подмножеством единичной сферы в т,-мерном евклидовом пространстве (ml = rank£J), а /?, (О i d)— отношениями, задаваемыми расстоянием. В такой реализации равенство в условии абсолютной границы из теоремы 4.9 достигается тогда и только тогда, когда X— плотная сферическая 2г/-схема (см. ч. II). Все плотные сферические 2г/-схемы при d ^3 расклассифицированы [27], [28], и они существуют редко. В § 2.8 мы будем обсуждать случай d = 2.
(5) Если 36— несимметричная схема, то удается получить лучшую границу для |X| в терминах произвольной фиксированной кратности mi (i=#0), чем в случае симметричных схем.
Вопрос. Каково разумное условие абсолютной границы в случае несимметричных коммутативных схем отношений?
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр
В § 2.3 мы наблюдали некоторую двойственность между алгебрами 81 и 81, а именно параметры Крейна ведут себя так, как будто существует схема отношений, для которой qktj— числа пересечений (это двойственность Дельсарта [118]). Еще до Дельсарта Кавада [233], формулируя конечный аналог двойственности Танаки, пришел к понятию С-алгебр, которые с алгебраической точки зрения суть то же самое, что мы сейчас называем коммутативными схемами отношений. Мы вкратце повторим материал § 2.3, следуя работе Кавады [233].
Пусть 81 — алгебра над С, обладающая как линейное пространство базисом *о, *1, ..., Xd. Эта алгебра с выделенным базисом х0, х\, ..., xd называется С-алгеброй (алгеброй характеров), если выполнены следующие условия:
(I) 31 — коммутативная алгебра, т. е. d
Xtx( = У p^xk, где Р^ = р*{. И “О
(II) 81 обладает единичным элементом e = xQ, т. е. PQj = 6jk. (Ill) Каждое число р* вещественно.
(IV)	Существует подстановка i'-»i/(t = 0,l, ..d), такая, что (i')' = i и pkj — pyj,, т. е. отображение xz->xr(i —0, 1, .... d) может быть продолжено до автоморфизма алгебры 31.
(V)	= где fe(>0 для всех i, j.
(VI)	Отображение х;-*-/гг (i — 0, 1, ..., d) является линейным представлением алгебры 31.
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр
87
Для того чтобы указать выделенный базис х0, х1; xd, мы будем использовать для С-алгебры 21 обозначение 21 = = {х, | и sC I ;С d}.
Примером С-алгебры является алгебра смежности 21 коммутативной схемы отношений с матрицами смежности <4> в качестве выделенного базиса; двойственная алгебра 21 с матрицами пЕ( в качестве базиса также является С-алгеброй. Именно по этой причине 21 с алгебраической точки зрения ведет себя так же, как 21, хотя в общем случае Й не обладает структурой схемы отношений, т. е. не реализуется {0, 1}-матрицами.
Ниже будем предполагать, что Й = <х,|0 i d> является С-алгеброй. Отметим сначала следующее:
(а)	в силу (V) отображение определено однозначно;
(Ь)	0' = 0 в силу (II) и (V);
(с)	fe0=l в силу (II) и (V);
(d)	kt — kf в силу (IV) и (V).
Предложение 5.1. Имеет место равенство k^p^ — k^p^y.
Доказательство. Выразим (хах$) xY = (xaxV') х$ в виде линейной комбинации элементов х0, х{..... xd и сравним коэф-
фициенты при х0. Тогда
и
(*«М хр = ( £ хр = р^,Х{) + ... = p^fepXc + ...,
откуда и получается требуемое равенство. □
Перепишем равенство из предложения 5.1 в следующем виде:
Пусть Bt — матрица порядка d-f-l, которой элемент (/, й) равен р^, и пусть К = diag (д/Т,	’ •• > Тогда
(5.1) означает, что
=	(5.2)
Пусть 23 — подалгебра в Afd+i(C), порожденная Вй, Вх, ... ..., Bd. Левое регулярное представление алгебры 21 относительно базиса {х0, xY......xd} задает изоморфизм между
алгебрами 21 и 23 путем сопоставления элементу хг матрицы *В{. Поскольку 23 коммутативна, антиизоморфизм Bi^^Bi является изоморфизмом. Тем самым справедлива
88
Гл. 2. Схемы отношений
Теорема 5.2. Пусть % = (х{ 10 i d) — некоторая С-алгебра. Тогда она изоморфна подалгебре 23 из Afd+i(C), порожденной (J’=0, I..............d), причем изоморфизм реализуется
установлением соответствия между х{ и матрицей В{.
В частности, 23 коммутативна и потому К~1ВД (i = 0, 1, ... ..., d) — нормальные матрицы, которые в силу (5.2) коммутируют между собой. Следовательно, существует унитарная матрица U, такая, что
= diag(P/(0), Pz(1), •••> PM (i = 0, 1....d).
(5.3) Поскольку х0 — единичный элемент, Во — единичная матрица, а значит,
ро(О = 1 (i = 0, 1, ..., d).	(5.4)
В силу (5.2) и (5.3) мы получаем
Pi (/) = Pi' (/)•	(5.5)
Пусть Р — матрица, (/,/)-й элемент которой равен pt(J). Назовем Р собственной матрицей алгебры 21. Тогда Р невы-рожденна, поскольку и~хК~{В^и (i = 0, 1, ..., d) линейно независимы. Пусть vz — строка матрицы Р с номером i, т. е. V/ = (po(O> Pi (0> •••> Ра(0). Очевидно, что v0, Vj.vd линейно
независимы.
Предложение 5.3. Столбец zv, (i = 0, 1, ..., d) является общим правым собственным вектором матриц Во, В^ ..., Вл, и каждый общий правый собственный вектор этих матриц с точностью до скалярного множителя совпадает с некоторым из *vi.
Доказательство. В силу (5.3) отображение Да: Вг->р,(а) (i = 0, 1, ..., d) задает линейное представление алгебры 23. Мы хотим показать, что для каждого линейного представления Л алгебры 23
Д (В^ у = В* v (i = 0, 1.....d),	(5.6)
где у = (Д(В0), Д(В,), .... Д(О и Д(В0)=1.
Применим Д к BiBj= У, рцВц. Тогда Д(Вг)Д(в/) = k
= У р5Д(Вд.), а это означает, что Д(В,/ у = В* у. Поскольку k
Во — единичная матрица, Д(В0)=1. Это доказывает (5.6).
Если мы положим Д = Да> то v = va, а в силу (5.6) *уа— общий правый собственный вектор матриц Во, Bt, ..., Bd, т. е.
Pi (a)' va = В/ va,	(5.6)'
где Va = (po(a), pi (a), ...» p4(a)), p0(a,)=l.
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта Для С-алгебр 89
Пусть Fi — матрица проектирования, имеющая порядок d+l и заданная формулой F/va = 6Z(/v0 (a = 0, 1, .... d). Тогда
FiFt =	(5.7)
Fo + -Fi + ••• + Fd — I— единичная матрица, а в силу (5.6)' d
B^^p^F,.	(5-8)
/-0
Поскольку Р = (р;(/))—невырожденная матрица, каждая из Fj является линейной комбинацией матриц Во, Blt Bd:
d
= <5-9)
i-0 d
где п = У, kt.
1=0
Очевидно, что %, zVi, ..., Чд — это с точностью до скалярного множителя все общие правые собственные векторы матриц Fo, Fi, ..., Fd и, следовательно, также с точностью до скалярного множителя это все общие правые собственные векторы матриц Во, Bi, ..., Bd. □
Пусть & — некоторое линейное представление алгебры S. Положим v = (A(S0), ..., A(Bd)). Тогда, согласно (5.6), fv является общим собственным вектором матриц Во, Bi, ..., Bd и из предложения 5.3 следует, что v совпадает с некоторым va. Это означает, что все линейные представления алгебры 8 исчерпываются представлениями Aa: 5Z-►₽/(«) (a = 0, 1, ..., d). Поскольку 91 аг S, мы, допуская вольность в использовании обозначения Ла, получаем следующее
Предложение 5.4. Имеется ровно d -|- 1 линейных представле-
ний алгебры Я. Все они имеют вид Ла: хд->р,(а) (a = 0, 1 ... .... d).
В силу (VI) мы можем предполагать, что Ло: Xt-^-kt, т. е. что
Pi(Q) = k{ (t = 0, 1, ..., d).	(5.10)
Пусть е0, ех, ..., ed — идемпотенты алгебры 91, соответствующие матрицам Fo> ^i> • ••, Fd из 93. Тогда
eiei — &iiei и е0 + ei + ... + ed = х0,	(5.7)'
d
Xi = ^Pi(j)eit	(5.8)'
d	d
e,=-J-У, <M/) где п=У kt.	(5.9)'
90
Гл. 2. Схемы отношений
В силу равенств (5.8)' и (5.9)' имеем
PQ = QP = n/, где р = (Р/(/)) и Q = (<?,(/)).	(5.11)
Замечания. (1) В силу (5.9)' и (5.11) мы получаем Ла’. Sag.
(2) Предложение 5.4 эквивалентно утверждению о том, что алгебра 91 полупроста (см. [108]). Изложим прямой путь доказательства полупростоты алгебры 91. Пусть 3 — произвольный ненулевой идеал алгебры 91. Выберем некоторый ненулевой эле-
d	d
мент Х=£о,-Х|е3- Пусть x=£azx('. Тогда i-0	t=0
хх = I aflikt I x0 + члены c xh ..., \f-0	/
и, следовательно, хх есть ненулевой элемент из 3. Поскольку (yz) = yz для всех у, ze9l, то хх = хх = хх. Поэтому, заменив, если это необходимо, х на хх, мы можем с самого начала считать, что х = х. Тогда х2 = хх^=0, х4 — х2х2 0, ..., и потому идеал 3 не является нильпотентным. Таким образом, 91 полупроста, и предложение 5.4, а также равенства (5.7)', (5.8)', (5.9)' следуют из общей теории полупростых алгебр.
Для матриц Р и Q справедливы соотношения ортогональности.
Теорема 5.5. Пусть 91 — некоторая С-алгебра с базисом х0, х\, ..., Xd и примитивными идемпотентами во, е^ .... еа. Пусть
d	d	d
х1=^р‘ ю ef’ и т X qt ХР где k{-i-o	i-o	i-o
Тогда
(i)	qt = р{ где kt = р{ (0) и m, = (0) (ms =/= 0 для /«0, 1, .... d).
(ii)	(первое соотношение ортогональности)
d
Ку	fill
v—c
(iii)	(второе соотношение ортогональности)
а	____
Е mvp{(v)p{(v) = nkfii}.
V-0
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр
91
Доказательство. Выразим произведение хгх/ в виде линейной комбинации элементов х0, хь xd и рассмотрим коэффициент при х0:
xtXf=(Еpi (v) (Еpi'*v)=
= E Pt <v) Pl'	pi' (v) Xa =
v	a, v
=4'(^Epi^pH^,nv)Xo+4jieHbi c xi> •••> xd-
С другой стороны,
Х(.х? = £ ptxA == 6 Jszx0 + члены с x,, xd. k
Отсюда мы получаем второе соотношение ортогональности.
Перепишем второе соотношение ортогональности в матричной форме:
fP diag(/n0, tnx, .tnd) P — n- diag (ka, kx, kd). (5.12)
В силу (5.11) и (5.12)
Q = diag(-^-,	diag(ma, «1> • ••, m<z)- (5.13)
Сравнивая (z, /)-й элемент в матрицах из левой и правой частей равенства (5.13), мы получаем (i). Поскольку в силу (5.11) det Q =# 0, из (5.13) следует, что т, =# О для z = 0, 1, d. Подставив (5.13) в равенство PQ — nl, мы получим
Р diag (-г-,	..., -L.VР = п diag Г—, —, ..., —'j.
ь \ feo kt fed /	& \ m0 mi md)
(5.14)
Сравнивая (z, /)-ый элемент в матрицах из равенства (5.14), мы получаем первое соотношение ортогональности. □
Полагая i = j в первом соотношении ортогональности, получим
/ 4
Следствие 5.6. т{ = п / у-1	(z) I2 > 0.
' v-0 V
Теорема 5.7. В обозначениях теоремы 5.5 ь ь d
Pit "= “Т1 Ё (0 <7V (/) <7V (Л).
92
Гл. 2. Схемы отношений
Доказательство. Выразим произведение х,х; в виде линейной комбинации элементов Хо, Xi.........Xd и сравним коэффициенты.
В силу теоремы 5.5(i)
x‘xi = (^Pl (V)	*9 =
= X Pf (v) Pi (v) ev = ~n~ E E Pl	pi qv Xk =
V '	k V
k^kl ’Г-,	1	
=----- > > —	(0 <7v (/) <7v (*) Xk-
п	mt
k v v
С другой стороны,
Отсюда следует, что
. klk i V“4 1	—
Pkii = —L E 7У qv qv (/) qv	<5-1 5>
Перейдя к комплексно-сопряженным в равенстве (5.15), мы в силу вещественности и tnv получаем требуемое равенство. □
Предложение 5.8. Числа pktj удовлетворяют соотношениям (i) — (vii) из предложения 2.2.
Доказательство. Соотношения (i) — (iv) непосредственно вытекают из определения С-алгебр. Соотношение (vi) доказано в предложении 5.1. Выразив Xk(xiXj) = (xkxt)xj в виде линейной комбинации элементов х0, Xi, ..., Xd и сравнив коэффициенты, мы получим (vii). Поэтому нам необходимо лишь показать, что d
(v)	=
Положив 1 = 0 в следствии 5.6 и воспользовавшись (5.10), мы получим, что
щ0=1.	(5-16)
Положив / = 0 в теореме 5.5(i) и воспользовавшись (5.10), (5.16), получаем
qa(i)=l (г = 0,1......d).	(5.17)
Поскольку е0 = q0 (z) xit i
e0 = — (xo + Xj + ... + xd).	(5.18)
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр
93
Выразим х(-е0 в виде линейной комбинации элементов х0, х1( ... •••> xd:
Xieo = Pt (j) e0 = pt (0) e0 =	(x0 + xt + • •. + xd)
в силу (5.10), (5.Г8). С другой стороны, d	d d
E^
/=0	fe=0 J'=O
Таким образом, мы получаем (v). □
Пусть 91 — множество всех линейных отображений алгебры 91 в С.. Поскольку эти линейные отображения определяются своими значениями на базисе х0, *1, •••, xd, 91 можно отождествить с множеством всех отображений из {х0,	..., xd} в С'.
При этом 91 становится алгеброй над С., т. е. (fg)(xt) = = f(Xi)g(xt) для f, ge%. С каждым линейным представлением Аа: Xi-+Pi(a) мы свяжем линейное отображение Аа, определенное так:
Аа: Xi qa (z) = та\а	(5-19)
Поскольку матрица Q = (qa(i)) невырожденна, отображения А’, А*, ..., А^ линейно независимы и потому образуют базис в Й.
Теорема 5.9. Пусть 91 = (xf | 0 < i < d) — некоторая С-алгебра и Р = (р{ (/)) — собственная матрица алгебры 91. Пусть Q = — (Яь (/)) ~ матрица, задаваемая равенством PQ — QP = nl, где I — единичная матрица. Тогда Й с базисом Да: Xi^qa(t) (а = = 0, 1, ..., d) является С-алгеброй, собственной матрицей которой служит Q.
Алгебра Й с базисом Да называется двойственной С-алгеброй (или сопряженной С-алгеброй) алгебры 91.
Доказательство. Пусть fa — элемент из Й, заданный правилом
fa:xt-+6ai (z = 0, 1...d).	(5.2 J)
Тогда f0, fi...fd — примитивные идемпотенты из Й, т. е.
fafl — &a$fa и fo + fi + . • • + fd = id a, (5.21)
94
Гл. 2. Схемы отношений
где idg — отображение х{ —>1 (г = 0, 1, <..d), являющееся единицей в! В силу (5.19)
d
Д; = рЕ<7а(Р)/₽.	(5.22)
Поскольку PQ = nl, d	d
^=-7	(р) др’где п=Е т» (5-23)
Р-0	»-0
причем соотношение п = У, mt получается из рассмотрения i
(О, О)-элемента в равенстве QP = nI с учетом соотношений ?z(0) = mz и ро(О = 1.~
(I)	Очевидно, что Я — коммутативная алгебра. Пусть
d
<5-24>
Y=»0 d
т. е. <7a(z)pp (z) = 2 Для всех z. „	v=0
(II)	До —единичный элемент в Й, поскольку ро(О = 1> в силу (5.17).
(III)	Выразив Д’Др в виде линейной комбинации отображений Д‘, Д*.....Д* и используя (5.22) и (5.23), получим соотно-
шение, которое аналогично (5.15), а именно
ГПпГПо	1 ---'-----
<7^ =-------Pv(a)Pv(P)Pv(Y).	(5-25)
П v-0
Так как pv (a) pv (0) pv (у) = pV' (a) pv' (0) pv'(у) в силу (5.5), то d
=-T-L £ Pv (a)Pv (0)Pv (Y).	(5.26)
П v-0
Из (5.25) и (5.26) следует, что q^ — вещественное число.
(IV)	Поскольку pkit вещественны, для каждого линейного представления Да: xt -* pt (а) отображение xt -* рг (а) можно продолжить до линейного представления алгебры Я. В силу предложения 5.4 это представление совпадает с одним из представлений До, Д1.....Да, скажем с Да, т. е.
Да: xt pt (а) или pz(a) = pz(a).	(5.27)
Соответствие а->8 задает подстановку на {0, 1, ...» d), причем a = a для всех а.
§ 2.5. Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр 95
В силу следствия 5.6 и равенства (5.27)
та = та.	(5.28)
Далее,	______
A* (xj =	(согласно (5.19)) =
= та 4- р{ (а) (согласно (5.27)) =
— qa(i) (по теореме 5.5 (i) и равенству (5.28)).
Поэтому	___ _________________
b’a-x(-+qa(i), т- е- Ра(О = Ра(О- (5-29)
Из (5.25), (5.26), (5.27) и (5.28) получаем
ql& — —-— X ~2 Pv (a) Pv (₽) Pv (у) = Д	ГС».
V V
т„тл v—' 1---------- ,	,,
=------- У -72 Pv (а) Pv (Р) pv (Y) = <?«₽•
n C-J k‘
V v
Отсюда мы получаем условие (IV).
(V)	<7°а₽ =	pv(a) pjp) pv(°) (в силу (5.26)) =
« v
mamB V 1	-----
= „ L fe7Pv(a)Pv(₽)(no (5.10), (5.27)) =
V
т„тл n
= —Te°PeMe 5-5 (П)) = баД«а
и ma > 0 в силу следствия 5.6. d
(VI)	Поскольку А’= Е <7a(0)fe, где f , fv ..., fd — прими-р=о
тивные идемпотенты из Я,
<рг: А^ -> qa (i) — линейные представления
алгебры ?I (i = 0, 1, .... d). (5.30)
В частности, линейным представлением является <рр:А*->
-> qa (0) = та, что завершает доказательство теоремы. □ Согласно (5.30), С-алгебра, двойственная к Й, обладает базисом <р‘, который определяется правилом
Фг:Аа-*Рг(«) = Да(х<).	(5-31)
96
Гл. 2. Схемы отношений
Вычислим ф*ф* следующим образом:
Ф-Фу (А*) = Ф* (А*) Ф* (Д’) (по определению произведения ф’ф/’) =
= Да(хг)Да(Х/) (в силу (5.31)) =
= Да(х(х/) (по предложению 5.4) =
= Аа (Е = Е р^а (xj = Е р№ (л;).
Отсюда мы получаем, что d
<₽*ф)= ЕоР|,Фъ	(5-32)
и, значит, верна следующая
Теорема 5.10. (Теорема двойственности.) Пусть ЭД— некоторая С-алгебра с базисом х0, х|; . .., xd, и пусть ЭД с базисом До, ..., Д</ является С-алгеброй, двойственной к ЭД. Пусть ЭД с базисом фр, ..., ф^ есть С-алгебра, двойственная к ЭД. Тогда ЭД изоморфна ЭД как С-алгебра, причем изоморфизм реализуется установлением соответствия между xt и ф^_
Теоремы 5.9 и 5.10 называют двойственностью Кавады — Дельсарта.
Пусть ЭД — алгебра смежности схемы отношений 36 = — (X, {Ri}o<t и Ео, Е\, ..., Ed— ее примитивные идемпотенты. Тогда ЭД с базисом Ai является С-алгеброй, а алгебра ЭД с базисом nEi, определенная в § 2.3, изоморфна С-алгебре, двойственной к ЭД, поскольку равенства (5.21) — (5.24) выполнены по отношению к адамарову умножению с заменой fa и Да на Аа и пЕа соответственно.
В § 2.3 операции tr, т играли ключевую роль в доказательстве соотношений ортогональности. Эти операции допускают следующую удобную интерпертацию в терминах С-алгебр.
Пусть ЭД — некоторая С-алгебра с базисом Хо, хь ..., xd и во, е\. ..., ed—ее примитивные идемпотенты. Определим uiypoeo умножение ° в ЭД правилом xt °Xj = 6(/X„ и пусть ЭД — алгебра, получающаяся из векторного пространства ЭД, когда оно снабжено шуровым умножением. Тогда, поскольку (nez) ° (пе^ = = У, (пеХ в силу (5.9)' и (5.24), ЭД с базисом, пе0, пеъ ...
k
..., ned изоморфна С-алгебре, двойственной к ЭД. Далее, пусть До (соотв. фо) —линейное представление ЭД (соотв. ЭД): xt^kit
§ 2.6. S-кольца и группы подстановок
97
т. е. £/-=•> 6/э (соотв. /ге,->/«,, т. е. x£->6i0). Определим операции tr и т правилами
tr (х) = П<Ро (X) (XG®)>
т (х) = пА0 (х) (х е 91).
Тогда очевидным образом справедливо предложение 3.3. Более того, справедлива лемма 3.2:
tr (х • у') = tr (х' • у) = т (х ° у), где х' = У, с{хс для х = У С[Х{. i	i
Если С-алгебра 91 возникла из схемы отношений, она обладает следующими свойствами:
(i) (условие целочисленности) pkit и т( — целые числа и
(ii) (условие Крейна) qktl ^0.
Вопрос. Пусть 91 является С-алгеброй, для которой pkif неотрицательны. В каком случае все qktj также неотрицательны?
В § 2.9 мы рассмотрим С-алгебры, для которых р^ и неотрицательны, и обсудим их С-подалгебры и С-факторалгебры.
С-алгебры, для которых В = (р^) тридиагональна (/=0=0), т. е. р^ = 0 при |/ —fe|^2, представляют особый интерес и называются алгебрами Р-полиномиального типа (см. § 3.6). Если для С-алгебры Р-полино.миального типа все р^ неотрицательны, то что можно сказать о Bz = (p^)?
§ 2.6. S-кольца и группы подстановок с регулярными подгруппами
В § 2.3 мы заметили, что параметры Крейна q^ ведут себя так же, как числа pklf некоторой схемы отношений Зв, а в предыдущем параграфе мы указали причину такого поведения. В этом параграфе мы покажем, что если Зв возникла из группы подстановок, обладающей регулярной абелевой подгруппой, то действительно существует схема отношений, для которой <7Z/ являются числами пересечений.
Пусть X— конечная группа и Х$,	Ха — непустые под-
множества из X, обладающие следующими свойствами:
(0)	••• UXd, Х1-(Н/=0 (/=#/);
(i)	Х„ = {!};
(ii)	если ХГ‘ = {а <= Х\ а~' е Xt}, то XV = Xv для некоторого /';
d
(iii)	Х,Х, = £ c* Xft, где Ха= У а.
k=0	а^х„
98
Гл. 2. Схемы отношений
Из свойства (iii) следует, что с*, — целые числа. Пусть ©— подалгебра в С [X], порожденная Хо, Хь ..., Xrf, где С[Х]— групповое кольцо группы X над полем комплексных чисел. Такая алгебра ® называется S-кольцом (кольцом Шура) над X. В силу (iii) dim© = d4- 1- Пусть Rt — отношение на X, определенное правилом
(х, y)^Rt тогда и только тогда, когда //х“'еХ;.	(6.1)
Правое действие группы X сохраняет R,. Из свойств (0) — (iii) следует, что 96 = 96 (S) = (X, {Л()о^ /^а) является (некоммутативной) схемой отношений. Соответствие между Х; и А, задает антиизоморфизм между ® и алгеброй смежности схемы 96, где А, — матрица смежности, соответствующая Ri. Если группа X абелева, то каждое S-кольцо ® над X является С-алгеброй, а 96(®)—коммутативная схема отношений.
Пусть G— транзитивная группа подстановок на множестве Q (|Q| — п) и И — стабилизатор точки «eQ в группе О. Пусть Ло, Л1, Ad —орбиты действия группы G на QX& где Ло — диагональ. Пусть Лг = (Лг и Л, (а) = {р е й| (а, р) е AJ. Тогда 96 = (Q, {Ajo^ t < d) — (некоммутативная) схема отношений и числа пересечений задаются равенством
рц = #{уеЛ((о), такое, что реЛДу)} при р е Ak (а).
(6.2)
Предположим, что G содержит подгруппу X, обладающую тем свойством, что она транзитивна на Q и ни один ее неединичный элемент не оставляет неподвижной ни одну точку из Q. Такая группа подстановок называется регулярной. Зафиксируем точку а е Q. Тогда для каждой точки рей существует единственный элемент b е X, такой, что аь = Р, т. е. разложение элемента b на циклы имеет вид
6 = (аР ...)... .	(6.3)
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между Q и X. Отождествив Хсйс помощью соответствия (6.3), мы получаем транзитивное действие G на X:
Ь8 = (арг ...)... еХ	(6.4)
для Ь = (ар ...)... е X и g^G. Поэтому
Ьг = сеХ тогда и только тогда, когда аЬе = ас (6.5) для b е X, geG. В частности,
ba = Ьа для b, а = X.	(6.6)
Орбиты действия подгруппы H = Ga на £2 —это Л,, (а)—{а}» Aj (а), .... Ad(a). Пусть Хо, Хь ..., Xd — соответствующие ор
§ 2.6. S-кольца и группы подстановок
99
биты действия Н на X. Тогда
(6.7)
Мы можем показать, что Хо, Xi, ..., Ха обладают свойствами (0) — (iii). Условия (0) и (i) выполняются очевидным образом. Поскольку
аь е Л( (а) <=>а е Аг (ай) = Ar (a)boab еЛ;'(а), то выполняется условие (ii). Для b е Xk имеем
сг/ = #{(х, £/) АП XX/1 = &} = I ЛХ/|-
Так как Xi = {х еX | (ab, ах 'ь) е Аг}, то X7rb — {z^X\ {аь, а2) е Аг}. Отсюда вытекает, что
= pfh	(6.8)
из чего вытекает свойство (iii). Тем самым мы получаем такую теорему:
Теорема 6.1. Пусть G—транзитивная группа подстановок на конечном множестве Q, имеющая регулярную подгруппу X. Пусть Н — стабилизатор точки осей и A0(a), Ai(a), ... ..., Ad(a) — орбиты действия Н на Q. Отождествим X с Q, и пусть Xi — орбита действия Н на X, соответствующая Л;(а). Тогда ® с базисом Хо, Хь ..., Xd является S-кольцом над X, где Xi= а. Если R.; определяется равенством (6.1), го о s
{некоммутативная) схема отношений (A,	i:<d) изоморфна
схеме (Q, {At-}o< i <d), причем изоморфизм осуществляется соответствием между Ri и Л;. Кольцо © изоморфно алгебре смежности схемы, (Q, {Л(}), причем изоморфизм осуществляется установлением соответствия между X, и Ас, где Ас — матрица смежности, отвечающая Аг.
Сравните теорему 6.1 со следующим предложением, где предположение о существовании регулярной подгруппы опущено.
Предложение 6.2. Пусть G — конечная группа и Н — подгруппа в Q. Пусть Н = Най, Нах......Нап-\ — левые смежные
классы группы G по Н и Н НЬ$Н, НЬ\Н, ..., HbdH — двойные смежные классы G по Н. Рассмотрим действие G на множестве ^1—{Нао, На\, ..., Han-i}. Пусть 91 — алгебра смежности {некоммутативной) схемы отношений Зв, определяемой этим действием, и пусть Ai — матрица смежности схемы Зв, соответствующая смежному классу HbiH, который представляет собой орбиту действия Н на й. Тогда 21 изоморфна eRe как алгебра.
100
Гл. 2. Схемы отношений
причем изоморфизм осуществляется посредством соответствия между At- и Хг, где R — групповое кольцо группы G над С,
e = T#T £ а и Xi ==7^7 £ а' ае Н	а НЬ{Н
Доказательство. Элемент е является идемпотентом, т. е. е2=е и eR задает подстановочное представление G на Q, поскольку {е, ealt ean-i)—это базис eR. Пусть Homo(e/?, eR) — множество всех линейных отображений из eR в eR, коммутирующих с действием группы G. Такие линейные отображения определяются образами элемента е, а поскольку е2 = е, все эти образы содержатся в eRe. Следовательно, Ното(е/?, е/?)={фа|ае ^eRe}, где фа:	для xeseR, и соответствие между а и <ра
задает антиизоморфизм алгебр eRe и Homo(e/?, eR), поскольку Ното(е/?, eR) действует справа. Отметим, что eRe обладает базисом Хо — е, Xi, ..., Xd.
Выразим правые действия групп G и Homo (eR, eR) в виде матриц относительно базиса {е, eai.....ean-i} в eR. Тогда
Homo (eR, eR) изоморфна по теореме 1.3 алгебре смежности Я. Поскольку фх(.:е~>Х( = У, еаа, где суммирование ведется по представителям левых смежных классов аа е HbiH, то 0-е строки в Фхг и Ai совпадают. Так как элементы алгебры Я определяются своей 0-й строкой, получаем <рх1 = А,. □
Замечание. Подалгебру eRe = Homo (eR, eR) можно рассматривать как иное определение алгебры смежности или, другими словами, алгебры Гекке (некоммутативной) схемы отношений, возникающей из группы подстановок.
Пусть X — конечная абелева группа. В силу теоремы 3.3 из гл. 1 каждое ее неприводимое представление имеет степень 1. Пусть У — множество всех неприводимых представлений группы X. Для Ла, Лр е У определим произведение ЛаЛв по формуле (ЛаЛр) (а) = Ла(а)Лр(а) для а<=Х, Тогда ЛаЛв— также неприводимое представление группы X и, значит, У становится абелевой группой. (В действительности хорошо известно, что У изоморфна X.) Она называется группой характеров группы X. Для заданного S-кольца ® над X мы хотим построить S-кольцо ©* над У, такое, что числа пересечений pkit схемы отношений $?(©*) совпадают с параметрами Крейна схемы 3?,(<5). А именно, мы докажем следующую теорему.
Теорема 6.3. (Двойственность для S-колец над абелевыми группами.) Пусть —некоторое S-кольцо над конечной абелевой группой X и У — группа характеров группы X. Пусть ~ — отношение эквивалентности на Y, определенное правилом-.
§ 2.6. S-кольца и группы подстановок
101
А0~Ар тогда и только тогда, когда ограничения Аа и Ар на <S совпадают. Если Уо> ..., Уа — соответствующие классы эквивалентности и — £ Аа> то подалгебра ©* в С [Г], ЛаеУ£
порожденная Yo,	Yd, является S-кольцом с тем свой-
ством, что dim <5 = dim <5*, а числа пересечений схемы 35 (<5*) суть параметры Крейна схемы 35 (&) (&* называется S-кольцом, двойственным к <©).
Доказательство. Будем пользоваться обозначениями из § 2.5.
Начнем с общего замечания. Пусть 91—некоторая С-алгебра с базисом xq, Xi, ..., Ха и ео, вь ..., еа — ее примитивные идемпотенты. Определим на 91 шурово умножение о правилом
xt0 xi — bijXf.	(6.9)
Тогда, как мы видели в конце § 2.5, имеет место равенство (пег) о (пв/) = уь.} (nej,	(6.10)
и алгебра (nei\G^.i^.d) как алгебра относительно шурова умножения изоморфна двойственной С-алгебре 91 ={А*10id}, причем изоморфизм задается посредством соответствия между net и AJ.
Пусть <5 есть S-кольцо над конечной абелевой группой X (|Х| = п) и Хо, %!...Xd — базис в <5. Групповое кольцо С [X]
группы X является С-алгеброй с базисом {а|аеХ}. Пусть С [X]* — алгебра на векторном пространстве С [X] с шуровым умножением. Тогда а°Ь = баЬа для a, b е X. Кольцо <5 является подалгеброй как в С [X], так и в С [X]*, т. е. <5 замкнуто как относительно обычного, так и относительно шурова умножений. Пусть во, et, ..., еп_| — примитивные идемпотенты алгебры С[Х]. Тогда примитивные идемпотенты для беС[Х] могут быть записаны в виде es0, est...esd, где
es,— Z еа	(6.11)
в е
И
SoUSiU...U$d = {O, 1, ...» n-1), S,nS/=0 (/¥=/).
Примитивные идемпотенты для <S е С [X]’ — это Хо, X....Xd.
Тогда <5 = (nest 10 I d} е С [X]’ является двойственной С-алгеброй к <5 = (Хг| 0 d) S С [X]. В силу (6.10)
d
(neSi) о (neSj) = qku (nesj,	(ЪЛО)'
102
Гл. 2. Схемы отношений
где <7^ — параметры Крейна схемы отношений 36(@), связанной с <5.
Пусть У — группа характеров группы X. Тогда С-алгебра, двойственная к С [X],— это С [У] с базисом {Д*|ДаеУ}. Алгебра С [%]* с шуровым умножением ° изоморфна С [У], причем изоморфизм устанавливается с помощью соответствия между пег и Д’. Этот изоморфизм переводит nest в Уг, где у,= Е д;,	(б.п)'
а е S j
и справедливо равенство а
V,-=£o	(в-io)”
Поскольку Д‘(а) = Да(а) в силу (5.19), то Д’ является характером группы X и потому У = [Д’, Д*........Д*_,}. Так как
d
пе0 = У, х = У Хг, элемент е0 содержится в б и потому можно х s X >=0
считать, что в (6.11) esa = е0. Тогда Yo = До — единичный характер X.
Поскольку = равенство Y~' = Y<- следует из (6.10)". Поэтому подалгебра в С [У], порожденная элементами Yo, Yp ..., Yd, является S-кольцом. В силу (6.10)" числа пересечений схемы $?(©*) суть параметры Крейна схемы 36 (@).
Пусть------отношение эквивалентности на У, определенное
правилом: Да ~ Дв тогда и только тогда, когда ограничения Да и Дв на © совпадают. Тогда классы эквивалентности — это Уо, Уь ..., где У;= {Да|аеSJ, посколькуДа(ер) = бар и Да(ехг) = = 1 или 0 в зависимости от того, содержится а в Si или нет. Это завершает доказательство теоремы. □
Как прямое следствие теоремы 6.3 мы получаем такую теорему:
Теорема 6.4. Пусть G— транзитивная группа подстановок на конечном множестве Q, имеющая регулярную нормальную подгруппу. Пусть — параметры Крейна схемы отношений, задаваемой действием G на £1 Тогда существует схема отношений, для которой числа пересечений суть параметры q^.
Пример 6.5. Пусть О —группа подстановок на Q, обладающая нормальной элементарной абелевой подгруппой X = Epi порядка р1. Тогда G = X X Ga — полупрямое произведение
§ 2.7. Интерпретация таблицы характеров конечной группы 103
группы X на Ga, и стабилизатор Оа (а е Q) является подгруппой группы GL(l, р). Пусть {Ga = fу е GL(I, p)\y^Ga}- Рассмотрим группу подстановок д=Х\1ва на Q, отождествляя Q с X. Тогда числа пересечений р* схемы отношений, задаваемой действием G на Q, совпадают с параметрами Крейна р*. схемы отношений, задаваемой действием G на Q.
Доказательство. Пусть Aq = {0}, Xlt ...,	— орбиты дей-
ствия Ga на Л’. Пусть X — группа характеров группы X. Группа *Ga действует на X по правилу Д*а(х) = Д(ха) (АеХ, аеба, хеХ). Пусть Хо = {До}, Х1г ..., Хг — орбиты действия ‘Ga на X, где До—- единичный характер группы X. Пусть ~ —отношение эквивалентности на X, определяемое так:Д~Д' тогда и только тогда, когда ограничения Д и Д' на <5 = = (Х0, Хь ..., Xd) совпадают. Тогда Хо, Xt....^ — классы
эквивалентности, поскольку
Со скалярным умножением ( , ) на X связан изоморфизм <р: х —><рх между X и X, где <рх(у) = (х, у) для х, у<^Х. Поскольку (х‘а, у) — (х, уа) для а е Ga, отображение <р коммутирует с действием *(За, т. е. <р/ = (<рх)й для 6 = 'as {ва. Тем самым мы можем отождествить действие fGa на X с ее действием на X. □
О приложениях S-колец см. 394], гл. IV.
§ 2.7. Интерпретация таблицы характеров конечной группы
Пусть G—конечная группа, а С3={1}, Сь ..., Cd— ее классы сопряженных элементов. Пусть Fa: a->Fa(a) (a = = 0, 1, ..., d)—полный набор попарно неэквивалентных неприводимых представлений группы G, причем х«— характер Fa. Мы можем считать, что Го —единичное представление 10.
Пусть ао= 1, at, ..., аа — представители классов сопряженных элементов, а Т — таблица характеров группы G, т. е. матрица порядка d-j-1, у которой (а, г)-й элемент равен
Г = (Ха(а,)).	(7.1)
Как мы видели в § 1.6 гл. 1, произведение	является
представлением группы G, и его характер равен ХаХВ- Таким
104
Гл. 2. Схемы отношений
образом,
(7.2) р у=0
d
XaXp = S caf$y-	(7-3)
1 v =o
Множеством вершин графа представлений, связанного с Fa, по определению является множество {0,1...............d},	и для
Р, V е {0, 1, ..., d} из 3 в у идет ровно ориентированных ребер.
сг-  ~3>===В р	г
cjp ориентированных ребер.
В случае, когда велико, мы будем просто писать число с^в возле стрелки, ведущей из р в у.
Если с?р = с0у=1, то мы будем пользоваться следующим упрощенным изображением:
о—----------О
Р	г
Пусть Wa — матрица порядка d1, у которой (р, у)-й элемент равен с?₽:
(7.4)
Она называется матрицей инцидентности графа представлений, связанного с Fa. Мы докажем следующую теорему.
Теорема 7.1. Пусть G — конечная группа, Т — ее таблица характеров, а IFO, Wt, ..., Wd — матрицы инцидентности всех графов представлений группы G. Тогда каждый столбец матрицы Т является общим правым собственным вектором матриц Wo, Wi, ..., Wa, и каждый общий правый собственный вектор этих матриц с точностью до скалярного множителя совпадает
§ 2.7. Интерпретация таблицы характеров конечной группы 105
с некоторым столбцом матрицы Т. {Если собственные векторы выбирать стандартными, то с точностью до упорядочения строк и столбцов таблица характеров Т группы Q однозначно определяется матрицами U70, Wi, ..., Wd.)
Прежде чем доказывать эту теорему, дадим необходимые определения и докажем одно вспомогательное утверждение. Следующим образом определим отношение Rp
{х, у) е R; тогда и только тогда, когда //г'еС,, (7.5)
и подстановку i -> i':
Ce = {x^G\x~^Ci}.	(7.6)
Тогда 3B=(G, {/?Jo <<<</) является коммутативной схемой отношений (см. § 2.2, пример 2.1(2)), причем ее валентности равны
^ = |^|.	(7.7)
Обозначим через С, формальную сумму элементов из Ср
Сг= Е а.	(7.8)
а е С;
Тогда, как мы видели в § 2.2, пример 2.1(2), имеет место равенство d
СгС/= £ р*,Ск,	(7.9)
k =о
где р^~ числа пересечений схемы ЗВ. Пусть 91 — алгебра, порожденная Со, Сь ..., Cd над полем комплексных чисел (91 является подалгеброй группового кольца группы G). В силу (7.9) алгебра 91 с базисом {Со, Ci, ..., Cd} и алгебра смежности схемы ЗВ изоморфны как С-алгебры. В силу равенств (4.12), (4.13) из гл. 1 отображение
(f = x(l))	(7.10)
является линейным представлением 91 для каждого неприводимого характера %. Пусть Р — {pt(a)) — собственная матрица алгебры 91. Тогда в силу предложения 5.4 линейное представление (7.10) совпадает с некоторым представлением Аа: С/->р,(а). В силу первого соотношения ортогональности для характеров различные неприводимые характеры задают различные линейные представления (7.10) алгебры 91. Поэтому при подходящем упорядочении индексов 1, 2, ..., d мы можем считать, что
^4^- = Р#(а) (fo = XaU))>	(7-П)
/9
106
Гл. 2. Схемы отношений
Т. е.
diag ......^-)rdiag(^......kd) = P. (7.12)
Подставляя (5.13) и (7.12) в равенство PQ = nl, получаем
dMA
• > Т diag (k0, ..., kd) *T diag (yj-, • • •
, jj-) diag (m0,
md) = nl.
(7.13)
Первое соотношение ортогональности для характеров представляет собой равенство
Г diag (^, ku ..., k^'f—nl.	(7.14)
Подставив (7.14) в (7.13), получаем
(diag (-yk ..., А.))2 • diag(/no.md)=I,
т. е.
=	(7.15)
Равенства (7.12), (7.15) и (5.13) дают следующую теорему.
Теорема 7.2. Пусть G — конечная группа, а Т — ее таблица характеров. Пусть Зв — схема отношений, определяемая условиями (7.5) и (7.6), а Р = (р,(а)), Q = (Pi(a)), kt, mt —первая и вторая собственные матрицы, валентности и кратности схемы Зв соответственно. Тогда
7 = diag(V^, Vmt.......V^) Р diag ..............=
==diag(-J=, -U, .... -t=YQ-ym,	у md J
Кроме того, мощности классов сопряженных элементов равны ko, ki, ..., kd, а степени неприводимых характеров равны ^/пг{, .... ^md.
Приступим теперь к доказательству теоремы 7.1.
Переписав равенство (7.3), используя соотношение
Ха(аг) = -^=<7а(0	(7.16)
из теоремы 7.2, получим
—т==-• “/== 4a(i)Qpfy = X А~~ уша	р “ V/n¥
§ 2.7. Интерпретация таблицы характеров конечной группы
107
т. е.
Ча (0 <7р (0 = Е	c“^v (О-	(7.17)
y=0	V
Сравнивая (7.17 )с (5.24), мы заключаем, что
лвд/.±.?1[	(7.18)
“Р V тат.р ^аР'	'	'
Пусть Ва — матрица, (£, у)-й элемент которой равен Тогда в силу (7.18)
^a = -7^diag(-4=-, ...» -jL=-')Ba.
Vma \ут0 У md J
• diag(V/n0, л/та). (7.19)
Применив предложение 5.3 к двойственной С-алгебре 91, убеждаемся, что столбцы матрицы ‘Q являются общими правыми собственными векторами матриц Во, ..., Bd и с точностью до скалярного множителя это все общие правые собственные векторы матриц Во......Bd. В двойственной С-алгебре 91 соот-
ношения (5.5) и (5.27) приобретают вид
М7) = ??(/) и qjj) = qt(j'),	(7.20)
а это означает, что комплексное сопряжение индуцирует подстановку на множестве строк, а также на множестве столбцов матрицы Q	Таким образом, множество столбцов ма-
трицы ‘Q совпадает с множеством столбцов матрицы fQ. Поэтому столбцы матрицы Т являются общими правыми собственными векторами матриц Wo, Wd, а в силу теоремы 7.2 и равенства (7.19) эти столбцы с точностью до скалярного множителя исчерпывают все общие правые собственные векторы матриц U^o, Wd- Это завершает доказательство теоремы 7.1. □
Пусть G — группа, порожденная элементами х, у, z с определяющими соотношениями х1 — ут — zn = xyz. Хорошо известно (см. [105]), что G конечна тогда и только тогда, когда (1//) + (1/иг) +(1/и) > 1, т. е. когда (/, пг, п) есть одна из троек (2, 2, л), (2, 3, 3), (2, 3, 4) или (2, 3, 5). Такие группы G называются бинарными полиэдральными группами (бинарной ди-эдральной, тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной группами неответственно), причем G/T. А4, S4, As соответственно, где Z — центр группы G. Каждая бинарная полиэдральная группа G обладает неприводимым представлением F
108
Гл. 2. Схемы отношений
степени 2. Недавно Дж. Маккей [268] заметил, что граф представлений группы G, связанный с F, является диаграммой Дын-кина евклидова типа Dn, Ё&, ё7, ёв соответственно.
^о—о — о--------о—о Рл
с>	хо
п+1 вершин
о—о —о—о—о
I о I о
6
возникает как граф представлений, связанный с неприводимым представлением степени 2 некоторой циклической группы. Таким образом, здесь присутствуют все диаграммы Дынкина евклидова типа без кратных ребер.
Наблюдение Дж. Маккея было обобщено в [187] на конечные группы, имеющие точное самодвойственное представление степени 2. А именно, показано, что граф представлений любой подгруппы из SU2(C), связанный с естественным представлением степени 2, является одним из следующих: Ап, D„, Е6, ё7, ё8. Кроме того, показано, что ряд других диаграмм Дынкина евклидова типа с кратными ребрами возникает в качестве графов представлений некоторых двумерных конечных линейных групп
§ 2.7. Интерпретация таблицы характеров конечной группы
109
над полями, нерасщепимыми относительно этих групп (см. [187], [224] и др.).
Вопрос. (1) Какие графы могут быть графами представлений? В частности, какие графы могут быть графами представлений для групп, обладающих представлением малой степени?
Обсудим дальнейшие свойства таблицы характеров.
Из соотношений (5.5) и (5.27) следует, что комплексное сопряжение индуцирует подстановку как на строках, так и на столбцах матрицы Р. Пусть С-алгебра 31 возникла из коммутативной схемы отношений № = (X, {^}0<J <d)- Тогда все числа целые. Пусть L — поле, порожденное всеми р((/) (0 i d, 0 I d) над полем рациональных чисел. Рассмотрим подгруппу Н группы Галуа поля L над полем рациональных чисел. Предположим, что каждый элемент из Н коммутирует с комплексным сопряжением -. Поскольку веер* рациональны, для каждого линейного представления Да: х«-»-рг(а) алгебры 31 и элемента ое Я отображение	х, —>pt (а)° может быть про-
должено до некоторого линейного представления алгебры 81. Из предложения 5.4 следует, что Д£ = Др для некоторого р, т. е. о индуцирует подстановку л(о) на множестве {0, 1, ..., d}, такую, что
pt (а)° = Pi (ал <а)) для всех i, а.	(7.21)
Предположим, что
все 7* рациональны.
Тогда, применяя аналогичные рассуждения к двойственной алгебре 81, мы приходим к существованию такой подстановки р(ст) на множестве {0, 1....d}, что
Qi (а)° = Qi (аР (а)) Для всех I, а.	(7.22)
В силу следствия 5.6 и равенства (7.21)
/nz=/niJt(0),	(7.23)
и, двойственным образом,
(7.24)
Из теоремы (5.5) (i), равенств (7.22), (7.23), (7.24), а также предположения о том, что о коммутирует с комплексным сопряжением, заключаем, что
Pi («)° = Рц> (о) (а) для всех I, a.	(7.2g)
по
Гл. 2. Схемы отношений
Пусть а действует на Р =(pi(j)) по правилу = (р<(/)0). Тогда он индуцирует подстановку л (о) на множестве строк матрицы Р и подстановку р(ст) на множестве ее столбцов:
р» = (Рг (/"(о))) = л (о) Р = (р.р (0) (/)) -= Рр (о), где л (ст) и р (ст) —матрицы подстановки, соответствующие л (ст) и р(ст). Таким образом,
л (ст) = Рр (ст)Р-1, а потому
tr л (ст) = tr р (ст).	(7.26)
Отсюда следует, что число строк матрицы Р, неподвижных относительно л (ст), равно числу ее столбцов, неподвижных относительно р(ст). В силу (7.26)
У, tr л (ст) = У tr р (ст), а е Н	а е Н
а, согласно примеру 5.6 из гл. 1, это означает, что действие группы Н определяет одно и то же число орбит на строках и на столбцах матрицы Р. Тем самым мы доказали следующую теорему.
Теорема 7.3. Пусть Р =	— собственная матрица схемы
отношений Зв. Пусть L — поле, порожденное всеми pi(j) над полем рациональных чисел, а Н — некоторая подгруппа группы Галуа поля L над полем рациональных чисел, коммутирующая с комплексным сопряжением. Предположим, что все параметры Крейна рациональны. Тогда для действие Ра = (pi(j)a) индуцирует подстановки на строках и на столбцах матрицы Р, причем соответствующие им подстановочные представления эквивалентны. В частности,
(i)	ст оставляет на месте одинаковое число строк и столбцов матрицы Р;
(ii)	действие подгруппы Н определяет на множестве столбцов матрицы Р столько же орбит, сколько и на множестве строк этой матрицы.
Пусть Зв— коммутативная схема отношений, получаемая из группы G с помощью (7.5), (7.6). Тогда в силу (7.15), (7.18) из того, что все с?, — целые числа, следует, что q^ рациональны. Значит, для Зу справедлива теорема 7.3. Такая схема отношений Зв обладает следующим дополнительным свойством:
(iii)	р,(/) содержатся в поле циклотомических чисел.
Это следует из выражения (7.11) и из того факта, что все значения характеров конечной группы содержатся в поле циклотомических чисел (см. (6.3) в гл. 1).
112
Гл. 2. Схемы отношений
(Vi и V/ перпендикулярны друг другу при i =Н= /) и
( и, если и е Vit
иЕ{ =	.. , ..
(О, если и е Vj (]=£t)-
Пусть А:а->А(а)— подстановочное представление группы G: хаА (а) — если ₽ = а“ (аЕ Q, ае G).	(8.2)
По теореме 1.3 алгебру 31 составляют матрицы, коммутирующие со всеми А(а) для йе6. Пусть Нош(1/, V)—множество линейных отображений из V в V. Рассматривая А (а) и £, как элементы Нот (У, V) (забывая о базисе X пространства V), мы будем использовать следующие обозначения:
иА (а) = иа (a^G, u е V), uEt = uni (и е V).
Подпространство Vt инвариантно относительно действия группы G, поскольку для и е Vt, a^G имеет место иа = —ип.а=(иа)п. е Vi- Пусть Fz: а —> Fi (а) — представление группы G, задаваемое действием G на Vt. Тогда
А~Г0 + Л+ ... +Fd,	(8.4)
и Fo, Fp ..., Fd — неэквивалентные между собой неприводимые представления группы G, поскольку 6 = Хо + Xi + • • • + Xd> где х« =/= X/ (1 =/= /)• Мы можем считать, что х< — характер представления F{. Таким образом, X; соответствует Комплексносопряженный характер х< соответствует Ei = E'?. Это следует из того, что если (uh и2, .... иг} — базис V\, диагонализирующий А (а), такой, что ulA(a) = klui (kt^C), то {йь й2, .... йг} является базисом Иу, таким, что йг А (а) = А,;й;, где й — строка, комплексно-сопряженная к и.
Пусть V 0 V — тензорный квадрат пространства V, т. е, п2-мерное векторное пространство с соотношением
( S ®	=== ^аНр («а ® ®р)
для ка, цр^С, ua, up е V. Определим на V®V эрмитову форму < , > таким образом, что {х®у\х, у X} является орто-нормированным базисом. Тогда
u2®v2) = (ul, u2)(vi, v2)	(8.5)
для ut, Vi^V (i=l, 2). Аналогично V ® V ® V становится эрмитовым пространством, таким, что («j ® ® wlt u2®v2® w2)== = (uit u2)(vv v2)(wit w2) для u{, Vi, Wi^V (i = 1, 2).
Группа G действует на V <8) V по правилу
(u <3> v) a — (ua) ® (pe)	(8.6)
§ 2.8. Алгебры Нортона и группы подстановок
113
для и, v е V, а е G. Тензорное произведение V, ® V/ (т. е. подпространство в V®V, порожденное всеми u®t> для и е V,, v е V/) инвариантно относительно действия G и задает представление Ft ® Fj группы G. (Для доказательства этого удобно выбрать в Vi и V/ базисы, диагонализирующие действие а на этих подпространствах, и проверить, что след действия а, а <= G, равен х/(а)х/(а).)
Лемма 8.2. Е{ является матрицей Грама множества векторов {хЯ/1 х е X}, т. е.
(Ei)xy—(xne уп^ для х, уеХ,
где (Et)xy есть (а, р)-й элемент матрицы Et, такой, что х = ха, у = х?, (а, р е Q).
Доказательство. Так как хП{ и уЯ{ являются строками матрицы Е{ с номерами а и ₽, то (хЯ{, Уп^ = (EtEt)xy. Однако *Е1 = Е1 и E2i = Eit откуда и вытекает доказываемое равенство. □
Пусть — линейное отображение из V{ ® Vj в Vk, определенное следующим образом:
о*,: и ® v (и ® v, хя. ® х^ хЯк (ueVt, оеУ,). (8.7)
Предложение 8.3. Пусть qktj— параметры Крейна схемы Зв. Тогда
(i) о*/ = 0 в том и только том случае, когда q^ — O',
(“)	(х^ ® х^ = для хе X.
Доказательство, (i) Для ueVi, veV{, weVk
{(U®v)<y*j,	ХЯ{}(°> *„/)<“>> Xnk}‘
Пусть w и хЯ1г — векторы, комплексно-сопряженные к w и хЯк. Тогда хЛ/=хЁк = хЕь = х^ и (w, xn^ = (f>,	=	\)-
Отсюда вытекает, что
<(а<8>о)ст*» w) = x^x{u’ x^{v’ хя^> х^) =
= У, (и®у®гй, хП.®Хл,®Хп,} —
х е X '	‘
= /«®а®й), У. хл ® хл ® хлД.
\	‘	1 V
114
Гл. 2. Схемы отношений
Следовательно,
т* =0 тогда и только тогда, когда У, хп.<8>хл ®хя =0. (8.8) х е X г I *
Однако
/ У Хл.®Хя.®Хя, У Уп. ® Уп . ®	==
\х s X ‘ I « у г X 1 I */
= ^ЯЛХя/’ ^я/)0Ч- *Ч> =
= Е У(£/Ы£/Ы£Х (в СИЛУ леммь1 8.2) = х, у е л
= 2 х (А ° В, °	’ (Е,. В, ° Et) =
m, — (по теореме 3.6(1)).
Таким образом,
У, х„ ® х„ ® х = 0 тогда и только тогда, когда q'f. — 0. (8.9) xsX П1 Я/ Я£	°	’
Из (8.8) и (8.9) мы получаем п. (i) доказываемой леммы.
(ii) Положим х = ха (а е Q) и рассмотрим строку с номером а в матрице (1/n) q^Ek = (Et о Е^ Ek. Тогда
i	= х (В,. £,) Е. = ( £ (В,. В,)„ jA В, =
\у^х	J
= У (Ei)Xy (Е/)Ху yEk = У е= X
= ^х{хпе yn^{xnj, Уя^Уяу (по лемме 8.2), откуда и вытекает требуемый результат. □
Для и, osVj определим произведение и*» по формуле и * v — (и<8) v) а‘-г	(8.10)
Относительно этого умножения Vi становится коммутативной (но не ассоциативной) алгеброй. Эта алгебра ввиду предложения 8.3 нетривиальна в случае, когда q\t =/= 0, и называется алгеброй Нортона.
Пусть Wц — подпространство в Vi®Vp порожденное множеством {хл,- ® xnj|х еX). Для хеХ и аеб имеем
(хя/ ® хЯ/) а — (xnia) ® (хЯ/й) = (хдя,) ® (х«Я/) = У^ ® Ул1г где у = х^, х = ха и р = а“. Таким образом, Wц инвариантно относительно действия G. Отображение из в V* ком
§ 2.8. Алгебры Нортона и группы подстановок
115
мутирует с действием G, так как для xg X получаем
(хя. ® х ) qkl}xaa (по предложению 8.3) =
~’^qktxank==(Kxani ®хаЯ/)а*/ (в силу предложения 8.3 и так как ха е X) =
— (хпр ® хяуа) о* = (хя< ® хЯ/) аокг
Если =£= 0, то в силу леммы Шура неприводимое представление группы G, задаваемое ее действием на Vk, входит в представление, задаваемое ее действием на W{l. Так как Wu s Vi <S> Vj, характер ik входит в XzXy в случае, когда о* 0, т. е. когда дкц =/= 0. Пусть i = /. Тогда W и = Sym2(E;), где Sym2(l/Z) — подпространство в Vi<8>V{, порожденное векторами u®v -j- v®u (u,	Значит, если дк. 0, харак-
тер Хь входит в Sym2%j, а последний является характером представления, связанного с действием на 5ут2(У(). Это завершает доказательство теоремы 8.1. □
Предложение 8.4. Пусть W{j — подпространство в Vi®Vj, порожденное xni®xnj (х & X). Тогда оно изометрично вложено в V посредством G-отображения (т. е. отображения, коммутирующего с действием группы G)
d х^^хП1^~Х^х^ k =0
В частности, образом этого отображения является сумма тех Vk, для которых gkf =/= 0, и потому dim W it. = rank (Ez ° Е^.
Доказательство. Рассматриваемое отображение в силу предложения 8.3 есть сумма yln/q^o^ по тем/г, для которых gkt ф 0, и коммутирует с действием G. Это отображение является изометрией, поскольку
®	y^i ® Ул]} ~ ^л,>	(Длр Ул.]'} =
=(Et)Xy (Е])ху (по лемме 8.2) = (Et °Е])Ху = d	d
=тХ =	(по лемме 8-2> =
k =0	k =0
116
Гл. 2. Схемы отношений
так как x^k, ynk^.Vk и Vn ± Vi для /г =Н=/. Размерность Wy равна У, ink — rank (Et ° Ej). □
k- ЧУ °
Вопросы. (1) В какой мере верно обращение теоремы 8.1? Другими словами, найти условия, при которых Vk принадлежит Vi ® Vj, но не принадлежит Wy. (Может быть, Wy содержит почти все неприводимые компоненты пространства V, ® У/?)
(2)	Можем ли мы вычислить (%k, х(Х/)> исходя из заданных параметров Крейна? Имеются результаты относительно нижней границы для (Хй> Х>Х/)> однако, по-видимому, хороших границ пока не найдено (см. [313]).
Замечание. (1) Обращение теоремы 8.1 в общем случае неверно. Контрпримером является действие S2d на J (2d, d) (пример 2.1 (4)) при X; = x(2rf-1, 11 и у, = = х(2</-2, 2>, где Х^1’ ‘2.— неприводимый характер группы S/ (/ = /, + /2 + •• •
... + /г), соответствующий диаграмме Юнга типа [/1; /2, ... .... Q-
Следствие 8.5 к теореме 8.1. В обозначениях теоремы 8.1 (XpX^^^^I^.^O},
где Н — стабилизатор точки а (аей) в группе G.
Доказательство. (х. xj„ = (1„, Щ)н = (1„, Х?Х,)„ = (1«, Х7%у)0 в силу закона взаимности Фробениуса. Поскольку 1« = 0 = Хо + х1+ ••• + Xd, требуемый результат вытекает из теоремы 8.1. □
Вопросы. (3) (Камерон, Гёталс и Сейдел). Каков комбинаторный вариант закона взаимности Фробениуса? Камерон, Гёталс и Сейдел обсуждали некий аналог закона взаимности Фробениуса в работе [78].
Замечания. (2) Схема отношений , определяемая действием G на Q, является симметричной тогда и только тогда, когда подстановочный характер 0 не имеет кратностей и каждая неприводимая компонента % характера 0 принимает на G значение в поле вещественных чисел (поскольку %. = х~, где Et = E'i). Как видно из примера 2.1(i). схема симметрична тогда и только тогда, когда G щедро транзитивная группа подстановок, т. е. когда для любых различных а и ₽ из й найдется элемент а из G, такой, что а“ = р, ра = а.
§ 2.8. Алгебры Нортона и группы подстановок
117
(3)	Пусть G — щедро транзитивная группа подстановок на множестве Q = {1, 2,	п}. Предположим, что она прими-
тивна и имеет ранг 3, т. е. соответствующая схема отношений примитивна и имеет 2 класса. Пусть 0 = 1 + Xi + Х2 — подстановочный характер, где хь %2 — различные неприводимые характеры группы G. Так как G примитивна, q2n =0= 0 в силу теоремы 4.6(iii), и очевидно, что =0= 0. Значит, по теореме 8.1 1 + Х2 является компонентой характера Sym2xi. Таким образом,
п = 1 + Xi (1) + Х2 (1) < Xi (1) + (Sym2x,) (1) =
= Xi (1) + у Xi (1) (Xi (1) + 1) = у Xi (1) (Xi (1) + 3).
Так как xi (1) = dim V] = /пь то
п тх (пгх + 3).	(8.11)
Это не что иное, как условие абсолютной границы (следует положить d — 2 в теореме 4.9). Кроме того, если <?}] =/= 0, то х, является компонентой характера Sym2xi, откуда следует неравенство
+	(8.12)
Это новая граница, полученная Неймайером, может быть доказана непосредственно, исходя из того, что п = rank(£'1 °Ех), и из леммы 4.7. Так как Wtt s Sym2^) и dim Wxx = = rank(E1°Ei) в силу предложения 8.4, равенство в (8.12) имеет место тогда и только тогда, когда гапк(Е'1^Е'1) = = (1/2)mi (тх + 1), т. е. когда Wn = Sym2(Vi).
(4)	В начале этого параграфа мы предположили, что ЗВ возникает из группы подстановок G на множестве Q, однако и без этого предположения лемма 8.2, предложение 8.3 и предложение 8.4 справедливы для произвольной коммутативной схемы отношений.
Задачи. (1) Как отмечено в замечании (4) § 2.4, хорошо-известно, что равенство в (8.11) имеет место тогда и только тогда, когда существует плотная сферическая 4-схема (см. ч. II). Плотные сферические 25-схемы для $	3 расклассифи-
цированы Баннаи и Дамереллом [27], [28]. Однако классификация плотных 4-схем пока не завершена. Итак, требуется классифицировать такие схемы.
(2) Классифицировать примитивные симметричные схемы отношений с двумя классами (т. е. примитивные сильно регулярные графы), такие, что >0, которые обеспечивают равенство в (8.12). Единственный известный пример — это J(y, 2)
118
Гл. 2. Схемы отношений
(пример 2.1(4)); /	°	1	0	\
fii = | 2 (о — 2) п — 2	4 I,
\	0 v — 32 (о — 4) /
Собственные значения	k = 2 (и — 2)	-2	п — 4
Кратности	m0 = 1		т2 = v — 1
q222 = 1 ¥= 0 и п =	= i '”2 (т- + 1)'
Следствие 8.6 к теореме 8.1. В тех же обозначениях, что и в теореме 8.1, пусть Ео, Е\, ..., Ed — примитивные идемпотенты алгебры смежности схемы Зв, и пусть Eh обозначает h-ю степень Е{ относительно адамарова умножения. Будем говорить, что Ej — компонента матрицы Е1}, если Е{ входит в представление Eh в виде линейной комбинации матриц Ео, Е}, ..., Ed.
(i) Если Е] — компонента Е1}, то является компонентой х*.
(ii) Пусть Зв примитивна. Тогда для любых j, i (i 0) характер X/ является компонентой %h для некоторого h (0 /г d).
Доказательство, (i) Матрица Е; является компонентой матрицы Ei°Ek для некоторой компоненты Ек матрицы Е^~1. Таким образом, q!ik 0. В силу теоремы 8.1 является компонентой XiXfe- Поскольку х& является компонентой х?-1 по предположению индукции, Х7- является компонентой X?.
(ii) по теореме 4.6 (iii) Е^ является компонентой в Eh для некоторого h (О^/i^d). В силу п. (i) X/ является компонентой X/. □
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
Пусть G — группа подстановок на множестве Q (|й| = п). В этом параграфе мы везде предполагаем, что G действует на Q транзитивно. Группа G называется импримитивной, если существует такое подмножество S множества Q, что
S = Sa или SПSa = 0 для всех аеб (9.1) и
1 <|S|<n, где Sa = {aa|aeS}. Такое подмножество S называется нетривиальным блоком. Семейство {Sa|aeG} задает разбиение
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
119
множества Q и называется системой импримитивности. Если нетривиальные блоки отсутствуют, группа G называется примитивной.
Предложение 9.1. Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q (| Q | = п) и Н — стабилизатор точки а («ей) в группе G. Тогда группа G примитивна в том и только том случае, когда Н— максимальная подгруппа в G.
Доказательство. Предположим, что G импримитивна и обладает системой импримитивности S. Пусть S, S е2 — блок, содержащий точку а, и К = {а е G |S° = S}. Тогда К — подгруппа з G н G > К> Н.
Предположим, что Н не максимальна и ft- подгруппа в G, такая, что G'>K.>H. Положим S = (a“las/(}. Так как 1<|/С:/7|<|б:/У|, то 1 < I S | < п. Предположим, что имеет место S П Sg з р, где g G. Тогда р = аа — abs для некоторых а, Ь<=К. Поэтому bga~'1 зН, g^b~}Ha<=K и, следовательно, Sg = S. □
Теорема 9.2 [329]. Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q (|Q| = п) и Ло, Л], ..., Лд— орбиты действия группы G на множестве Q X И, где Ло — диагональ. Пусть Г, — ориентированный граф с множеством вершин Q и множеством ребер Л.,. В этом случае группа G примитивна тогда и только тогда, когда каждый граф Г; (1 i d) связен, т. е. для любых а, рей (а Р) существует такая последовательность вершин ао = а, оц, ..., ar-i, ar = Р, что (av, av+i) е еЛ, (0 v г—1). (Такая последовательность называется путем длины г из а в р в графе Г/.)
Доказательство. В первую очередь отметим, что при рассмотрении связности графа Г, мы можем пренебречь ориентацией его ребер. Это следует из предложения 4.5, однако в нашем случае имеется непосредственное и простое доказательство. В силу конечности множества Q существует петля а0, он, ..., аг, где ао = а,, (av, av+i)e Л,, а поскольку G транзи-тивна на Л>, мы можем считать, что ao = a, ai = р. Тогда ац аг, ..., аг — это путь из р в а.
Предположим, что G импримитивна, и пусть S — нетривиальный блок. Выберем произвольные различные вершины а, р из S, и пусть (а, Р)еЛ;. Точка ра, где а е Н — Ga, содержится в S, поскольку S П 5а э а, и потому S = Sa э ра. Так как Н транзитивна на Л; (а) = {у | (а, у) е Л;}, множество Az(a) содержится в S. Повторяя эти рассуждения, мы заключаем, что любой путь в графе Г(, начинающийся в а, заканчивается в точке из S и, следовательно, граф несвязен
120
Гл. 2. Схемы отношений
Предположим, что некоторый граф Г* несвязен. Пусть S — компонента связности графа Г,-. Тогда 1 <|S|< п. Если в графе Г, существует путь из а в р, то в нем существует также путь из а“ в ра для а е G. Поэтому S“ — также компонента связности графа Г, и, следовательно, либо S П = 0, либо S = Sa. Это завершает доказательство теоремы. □
Короче говоря, группа G примитивна тогда и только тогда, когда примитивна схема Й? = (Я, {Л;}0<г<г/).
Замечание. (1) [173] Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q и Ло, Ль ..., Л</ — орбиты действия G на Q X Тогда граф Г> = (Q, Л() связен в том и только том случае, когда группа G порождается стабилизатором Ga и элементом a е G, такими, что (а, аа) е Л/.
Пусть Mi и М2— квадратные матрицы. Мы будем писать Mi ~ М2, если Mi может быть преобразована в М2 одновременным переупорядочением строк и столбцов, т. е. если P~lMiP = М2 для некоторой матрицы подстановки Р.
Теорема 9.3. Пусть 3? = (Х, {/?Jo < z < d) — коммутативная схема отношений. Пусть А/— матрица смежности отношения Ri, a Ei — примитивный идемпотент алгебры смежности §1 (0
i d). Пусть ркц и qkt — числа пересечений и параметры Крейна соответственно. Тогда следующие условия (i) — (v) эквивалентны между собой'.
/ * * \
(i)	А{ ~ I q I для некоторого i (i 0);
5	t
(ii)	X Ai — P X Ei ~ ® Jp для некоторых s, t (1 s d—1, > = 0	i=0
1), где Iq — единичная матрица порядка q = t	s
— У mt и Jp — матрица порядка p = X kit целиком состоящая 1=0	i“0
из единиц;
(iii)	p’fj — 0 для	0 js, s + 1 k d (1 s
- 1);
(iv)	p* = 0 для 0z 0 ^ /'t + 1 k d (1 t
— 1);
(v)	существует матрица E{ (i 0), у которой для некоторых х, у (х -А~ у) строки с номерами х и у совпадают.
Число s в (ii) и (iii) одно и то же, число t в (ii) и (iv) также одно и то же. Предполагается, что условия (ii), (iii), (iv) выполняются при подходящем упорядочении индексов 1, 2, ..., d для матриц А, и при другом подходящем упорядочении индексов 1,2,..., d для матриц Ei,
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
121
Доказательство. Прежде всего, заметим, что, применив операции т (см. § 2.3) и tr к равенству (ii), мы получаем s	t
p=^k( и	Импликации (ii)=>(i), (iii), (iv) три-
i=o	1=0
виальны. В силу предложения 4.5 условие (i) влечет за собой (ii).
(iv)=>(ii). Предположим, что выполнено (iv). Положим t	/ *
М = р У Eit где р = га/ У mt. Тогда из доказательства теоремы 1=0	' i=0
$
4.6 следует, что М = У At и
1=0
М2 = рМ, М о м = м,	1
*М = М и каждый диагональный элемент матрицы М равен 1. J
(9.2)
Нетрудно видеть, что если матрица М удовлетворяет условиям (9.2), то М ~ lq ® Jo-
(iii)=>(ii). Предположим, что выполнено (iii). Положим $
М = У А(. Тогда, применяя рассуждения, аналогичные ис-1=0
пользованным в доказательстве теоремы 4.6, нетрудно показать, что М удовлетворяет условиям (9.2) и, следовательно, М ~ Iq® Jp.
(ii) => (v). Предположим, что выполнено (ii). Тогда у мат-t
рицы У Et совпадают строки с номерами хну для некоторых 1 = 0
различных хну. Поэтому существуют вектор ех = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) с единицей на х-м месте и вектор е!/ = (0, ..., 0, 1, t	t
0, ..., 0) с единицей на у-м месте, такие, что ех У Et = е„ У Et. i=0	i=0
Пусть Vi — образ проектирования Ei. Тогда ViЛ V/ — {0} (i ¥= j). Поэтому ехЕ, = eyEt (0 i t) и строки матрицы Et с номерами хну совпадают.
(v)=>(ii). Предположим, что выполнено (v). Пусть ~ есть отношение эквивалентности на X, определенное правилом:
х ~ у тогда и только тогда, когда у Е, совпадают строки с номерами хну. (9.3)
Мы хотим показать, что ~ является объединением некоторых d
отношений Ri	Пусть Et = — q{ (а) Аа. Тогда
а=о
(х, г)-й и (у,г)-й элементы матрицы Et равны соответственно
122
Гл. 2. Схемы отношений
(1/л) <?,•(«) и (1/«)^(Р), где (x,z)^Ra и (y,z)^R$. Следовательно, для (x,!/)ei?v в матрице Ei строки с номерами х и у совпадают тогда и только тогда, когда равенство <?,(«)= qt(Р) эквивалентно наличию точки z, такой, что (л-,г)е/?а, (у, z)e е т. е. если
q{(a) = qt (р) всякий раз, когда ¥= 0.	(9.4)
Условие (9.4) не зависит от выбора пары (х, y)eT?Y. Поэтому ~ является объединением некоторых отношений Ri (0 i s) и, следовательно,
S	Jq ® J р'
1=0
Если s = d, то у Et все строки совпадают между собой, а в силу равенства ‘Ei = Е, это означает, что у Е, все столбцы совпадают между собой, что противоречит тому, что i #= 0. Это завершает доказательство теоремы. □
Коммутативная схема отношений Зв = (X, {/?4}о<<г) называется импримитивной, если выполнено одно из условий (i) — (v) в теореме 9.3. Нетрудно заметить, что ориентированный граф Г/, определенный отношением /?,, несвязен тогда и только тогда, когда матрица смежности 4, удовлетворяет условию (i) из теоремы 9.3. $
Пусть схема Зв=(Х, {/?Jo<z<d) импримитивна и £ Л, ~ 1=0
'"'Iq(8)Jp> Тогда U Ri — отношение эквивалентности. Класс (-0
$ эквивалентности S отношения U R{ называется блоком. Оче-f-0
видно, что |S| = p=S^p Полный набор 2 классов эквива-»-0
s
лентности отношения U Ri называется системой импримитив-i-0
t
ности. Очевидно, что | 2 |= п/р — q — гщ. Для каждого бло-
Х=0
ка S схема отношений Зв0 = (S, {R{)r <;<s) на множестве S называется подсхемой отношений схемы Зв.
Мы определим также факторсхему отношений Зв/Зв^ схемы отношений Зв на системе импримитивности S.
Теорема 9.4. В обозначениях теоремы 9.3 пусть Зв = — (X, {R{}o^,^а) — импримитивная коммутативная схема отно-
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
123
шений с системой импримитивности S. При этом s	i
Е Ai = P Е Ei = Iq<8Jp, i-0	i=0
где строки и столбцы матриц упорядочены в соответствии с блоками системы S. Пусть ~—отношение на {0, 1, 2, ..., d}, определяемое правилом-, i ~ / тогда и только тогда, когда P!ta 0 для некоторого 0 а $. Оно является отношением эквивалентности. Пусть То, Т\, .... Тг — соответствующие классы эквивалентности и D{ = Е Аа- Тогда r—t и существует a — I'i
такая матрица i(Di) порядка q, что Di = (l/p)i(Z)()® JP, а матрицы (l/p)i(Di) (0 i /) являются матрицами смежности некоторой схемы отношений на множестве S. (Эта схема называется факторсхемой отношений для Зв.) Кроме того, Ео, Ei, ..., Et — примитивные идемпотенты алгебры, порожденной Dq, Di, ..., Df.
Доказательство. В первую очередь заметим, что 3
для	поскольку *М = М и *М = Е А?. Так как
i=0
р‘ш=1 и fe/P/a = в силу предложения 2.2 отношение ~ рефлексивно и симметрично. Пусть p!ia =£ 0 и р^=0=О (0 а s, О р s'), т. е. существуют точки w, х, у, г, для которых верна следующая диаграмма:
Тогда (х, z) е /? для O^y^s и потому р^, =0= 0. Таким образом, отношение ~ транзитивно.
Класс эквивалентности, содержащий 0 — это {0, 1,	$},
поэтому мы можем считать, что
То ={0,1......$}.	(9.5)
Так как p‘ia = р\,а„ то i' ~ /' в случае, когда i ~ j, и потому 7^^{Р'| р е TJ также является классом эквивалентности. Зна-ЧИТ*	Т^ = ТГ для некоторого в,	(9.6)
124
Гл. 2. Схемы отношений
М.ы хотим показать, что для любых двух блоков Si и S? справедливо следующее утверждение:
Если (х0, yo) е Ra для (хя, уя) е S, X S2, то для каждой точки х е S, найдется некоторая точка (9.7) i/sS2, такая, что (х, у) е/?а.
Пусть (х, х0) е /?р (0<р<«) и (х, у0) е Ry. Тогда О и потому 0, т. е. существует точка у е X, такая, что (х, у) е Ra и (у, уя) е/?р. Поскольку O^p^s, то у еS2.
В силу (9.7) для любых двух блоков Si, S2
{а | Ra f| (Si X S2)	0} = Tt для некоторого i. (9.8)
Это означает, что у матрицы Dt= У Ах (хь х2)-й и (1 €— Т
G/i> &2)-й элементы совпадают, если х}, у/ содержатся в одном блоке (/=1,2). Отсюда мы получаем, что
^ = 7i(^)®/P	(9-9)
для некоторой матрицы (l/p)i (£>,), все элементы которой равны либо 0, либо 1.
Если кронекерово произведение С ® Jp является линейной комбинацией матриц Аа (O^a^d), где С — некоторая матрица порядка q, то в силу (9.8) коэффициенты при Аа и Лр совпадают, если а, реЛ (О^&^г). Следовательно, С ® 7 р является линейной комбинацией матриц Dk (0 k г). В частности, DtDj —	Jp является линейной комбина-
цией матриц Dk (O^fe^r). В силу (9.5), (9.6) Do — Iq®Jp и *Ог = De. Таким образом, матрицы (l/p)i(Z)i) (0 i г) удовлетворяют условию (2.1)' и потому являются матрицами смежности некоторой схемы отношений на множестве S.
Из доказательства теоремы 9.3 следует, что у матриц Ei (О i /) строки с номерами х и у совпадают, если х и у находятся в одном блоке. Так как *М = М и *М — р У, Eq, то для 0^;^ / и потому у матрицы Ei — Eq (0< ^ / ^ /) столбцы с номерами х и у совпадают, если х, у нахо
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
125
дятся в одном блоке. Следовательно, в матрице Et (хьх2)-й и (*/ь*/2)-й элементы совпадают, если х/, у, содержатся в одном блоке (/ = 1, 2). Это означает, что существует такая матрица i(£i) порядка q, что 5(- =(1/р) i(£'i) ® JP. Таким образом, Ei = = ()/п) S di («) Л, является линейной комбинацией матриц Dj
(О <: / г) для 0 г Л
Пусть — алгебра, порожденная матрицами (О^г^г) Поскольку Dt = (1/р) i (Dp ®)JP, мы можем определить отображение i из 21о в Л4,(С) (полная алгебра матриц порядка q) с помощью формулы £> = (l/p)i(Z))®/p для De?l0. Тогда нетрудно убедиться, что i—изоморфизм алгебр. Поскольку (1/р) i(Z)J (0<i<г) являются матрицами смежности некоторой схемы отношений, алгебра ?(0 есть С-алгебра с базисом (1/р)£\ (О i г). В силу (5.4) матрица (l/p)D0 является суммой примитивных идемпотентов алгебры 210. Однако (1/р)£)0 = (1/р)[q®]p= — У*, Et. Следовательно, Et (0 i t) составляют полный набор 1=0
примитивных идемпотентов алгебры 910 и r — i. Этим завершается доказательство теоремы. □
Пример 9.5. Пусть G — импримитивная группа подстановок на конечном множестве X (предполагается, что G транзитивна на X), и пусть S — соответствующая система импримитивности. Пусть At (1 = 0, 1....d)— орбиты группы G на множе-
стве ХУ(Х. Предположим, что схема отношений Зв = — (X, {AJo<r<<i) коммутативна. Ясно, что в этом случае схема Зв импримитивна u S — ее система импримитивности. Фактор-схема отношений для Зв совпадает со схемой, возникающей при рассмотрении действия G на S.
Доказательство. Пусть 7\ (0 i t)—классы эквивалентности на {0, 1, ..., d}, определенные в теореме 9.4, и пусть К — {а е G |S“ = S0} для S Тогда
U U A,(a)— U Sa для некоторого блока Se2. □ aeS0 /е Tj	ае К
Замечание. (2) Величина d всегда ограничена некоторой функцией от s и t (см. [79]).
Вопрос. (1) Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q и 9 = 1 + X] + •••	— соответствующий под-
становочный характер, где X/—различные неприводимые характеры группы G. Можно ли выяснить, примитивна группа G или нет, пользуясь информацией лишь о характерах xf (0
Например, если нам известна та часть таблицы ха
126
Гл. 2. Схемы отношений
рактеров Т группы G, которая соответствует неприводимым компонентам %0, Хь •••, Х<* подстановочного характера группы G на Q, можем ли мы установить, примитивна G или нет?
Мы переформулируем теорему 9.4 в терминах С-алгебр. Пусть §1 есть С-алгебра с базисом хо, Xi, ..., Xd, и пусть ео, е\, ... ..., еа — ее примитивные идемпотенты. Мы отождествляем С-алгебру Й, двойственную к §1, с С-алгеброй <ие,|0 i d) относительно шурова умножения : xt°,Xj — 6,/х(-. Будем пользоваться обычными обозначениями:
xtxf = £ pk xk, (пе{) о (ne,) = У qku К	К
Х{=^р1 (j) es, пе{ = '£ql (/) xjt ]	i
k.	= p°..r = p.{G), tn, = q°.~ =<7.(0) и n= У k.= У tn,, i ii i	iiit	i i i i
Далее будем предполагать, что
и <7^>0.
Пусть Т s {0, 1,	d}. Обозначим через (х^аеТ) вектор-
ное пространство, порожденное векторами ха (аеТ). Если Т удовлетворяет следующим условиям:
(I)	ркц = 0 для i, j k<£T, т. e. x/x/ Е^ха|а s T) для i, j<=T,
(II)	OeT,
(III	) i' e T для i e T,
to (xa | а e T) является С-алгеброй с базисом {ха |а е Т}. В этом случае (ха|аеГ) называется С-подалгеброй в 21. Она называется собственной, если {0} cz Т cz {0, 1,	d}.
Из условий (I), (III) следует (II), поскольку Рйц' — ^1 ¥= 0.
Лемма 9.6. Из условия (I) следует (III).
Доказательство аналогично доказательству равенства (4.8), поскольку (xalaeT) замкнуто относительно умножения как в 21, так и в Й. □
Лемма 9.7. (i) Пусть (ха | а е Г) есть С-подалгебра. Тогда элемент х = У ха удовлетворяет равенствам хх = рхи х ° х = ае Т
= х, где р= У ka.
аеГ
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений 127
(ii) Если х е 21 (х =Н= 0) удовлетворяет условиям хх = ах и хо х = Ьх для некоторых а, ЬеС, то х = а У, еа = b У, ха а е (J	а е Т
для некоторых подмножеств U, Т множества {0, 1,	d}, при-
чем (ха | а Т) и (пеа | а е (7) являются С-подалгебрами в ЭД и 21 соответственно. Кроме того,
п=( У ( £ mA иа = Ь У 6а. \ае Т / \ае У /	ае Г
Доказательство, (i) Равенство х° х = х тривиально. Равенство хх = рх следует из (5.18), поскольку (х^аеТ) является С-алгеброй.
(ii) Равенство хх = ах означает, что (1/а)х является идем* потентом в 21 и потому (1/а)х= У еа для некоторого U, а ра-а е U
венство х°х = Ьх означает, что (\/Ь)х является идемпотентом в ЭД, так что (1/6) х== У ха для некоторого Т. Поскольку а <= Т
предполагается, что ркц неотрицательно, из равенства хх = = ах вытекает, что <ха|ае Т) замкнуто относительно умножения в 21 и, следовательно, является С-подалгеброй в силу леммы 9.6. Аналогично (пеа | а е U) является С-подалгеброй в 21.
Применим линейное представление хг -»6г алгебры 21 к равенству хх — ах. Тогда а = Ь У ka. Применим линейное предает
ставление nez—алгебры 21 к равенству х°х = Ьх. Тогда Ь = (а/п) У та. □
а е U
d
Поскольку У xt — пе0, С-подалгебра (хо|аеЛ алгебры 2 является собственной тогда и только тогда, когда элемент У х,. а е Т отличен от х0 и от neG. Двойственным образом С-подалгебра (пеа|а el/) алгебры ЭД является собственной тогда и только тогда, когда элемент У пе., отличен как от пе0, так и от пх0. а е U
Таким образом, как следствие леммы 9.7 мы получаем такую теорему:
Теорема 9.8. Пусть 21 — некоторая С-алгебра, обладающая тем свойством, что р^ 0,	0. Она обладав! собственной
С-подалгеброй тогда и только тогда когда двойственная к ней алгебра 21 обладает собственной С-подалгеброй
Сравнивая сказанное выше с теоремой 9.3. получаем еле дующий вариант теоремы 9.4 применительно к С-алгебрам
128
Гл. 2. Схемы отношений
Теорема 9.9. Пусть 21 есть С-алгебра, обладающая тем свойством, что р* 0, q^ О, и пусть (ха | а е Т\ — ее С-под-алгебра. Пусть ~ есть отношение на множестве {0,1, .... d], определяемое правилом: i ~ j тогда и только тогда, когда piia^bQ для некоторого а^Т. Тогда ~ является отношением эквивалентности. Пусть То — Т, Т}, ..., Тt — соответствующие классы эквивалентности и хт,— У, ха. Векторное пространст-a^Ti
во, порожденное хт{ (z = 0, 1,..., I) над С, является (i) С-алгеброй с базисом (i/p)xri и умножением, индуцированным из 21; (ii) С-подалгеброй в 21 с базисом {пеа |ct е U}, где У, ха = р У еа ае Т	а е U
и р= У &а. При ътом С-алгебра (ii) двойственна к С-алгебре (i). а еГ
Далее, при a^Tt имеем хахт = Кхт, где ХеС. Таким образом, {ххт | х е 21} является векторным пространством, порожденным хт{ над С.
(С-алгебра (i) называется С-факторалгеброй С-алгебры 21 и обозначается через 21/<ха| а е Т).)
Доказательство. Из условий (I), (II), (III) на Т следует соответственно, что отношение ~ транзитивно, рефлексивно и симметрично.
Пусть хг= У ха. Тогда хт = р У еа и (nejaet/) явля-a е Т	a е U
ется С-подалгеброй в 21 в силу леммы 9.7. Идемпотенты алгебры 21 имеют вид xv = У ха для некоторого V S {0, 1, ...
a <= V
..., d}. Пусть хуа, xyf, ••., xvs — примитивные идемпотенты алгебры (nea|aet7) относительно умножения в Э- Единицей в (nea|aet/) относительно умножения в 21 является элемент (\/р)хт= У еа. Таким образом, (1/р) ху.хт = ху,
Поскольку e$xT = G для (5 ф U и ху.хт = рху(> множество {ххг |х е 21} линейно порождается элементами ху0, Ху , ... ..., Xys. Это означает, что хахт = Хху1 для ael'i, поскольку xvxT = pxVi и р^ 0. Следовательно, У, — класс эквивалентности отношения ~. Так как (nea\a<=U) является С-под-d
алгеброй в 21, элемент пе0 = У х( содержится в (nea\a^U).
Поэтому УоU V\ U ... U Vs = {0, 1, ..., d}. Значит, s — t и 1/1- = = Tt.
Если t ~то i'~ j'. Поэтому множество {a'jaeT} является классом эквивалентности отношения Мы обозначим
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений 129
этот класс эквивалентности через Те. Тогда
(? (? Хг/) = X 7 Хт + • • • • \ а «=	/
Отображение (1/р) хт,-»(1/р) У, ка— это ограничение пред-'	“ е Л-
ставления xa->-ka алгебры 21 на ((1/р) хт{ | i = 0, 1,	f). Та-
ким образом, мы получаем С-алгебру (i).
Параметр п для С-алгебры (i) равен
Z=0 а <=	а U
причем равенство вытекает из леммы 9.7. Поскольку
a<=Tt I <s U
элемент первой собственной матрицы С-алгебры (i) равен
7 Е	(9.10)
a <s Ti
Поскольку et (i g t/)- это линейная комбинация элементов хт{, имеет место равенство qt (а) = <7г- (Р) для а, ре/у Поэтому (г> /)‘й элемент во второй собственной матрице равен
qt (а) (аеГ,).	(9.11)
Значит, вторая собственная матрица алгебры (i) совпадает с первой собственной матрицей алгебры (ii) и, следовательно, С-алгебра (ii) двойственна к С-алгебре (i). □
Замечание. (3) Первая и вторая собственные матрицы С-факторалгебры {(1/р)хт( 10 i f) алгебры 51 задаются равенствами (9.10) и (9.11) в терминах параметров р,(/) и <?/(/) С-алгебры Я. В частности, степени и кратности равны krjkr^ и пг>, где kr. — У ka.
1 а е T-t
Рассмотрим линейное отображение ха -> (1/^т0) хахт0 из С-алгебры Я = (xj 0<a<d) в ее С-факторалгебру ((1/^т0) хтг| O^z^Z). Это гомоморфизм алгебр. В силу теоремы 9.9 хахт0 — ^ахт1 для некоторого Z„gC, где a^Tt. Применив линейное представление xa->ka, получаем Za = kakrjkr^ Значит, этот гомоморфизм переводит ха в {kaJkr^XT^ где ае7(.
130
Гл. 2. Схемы отношений
Пусть 91 = <ха 10 а d^ и 91' = (x't | О i d'} — две С-алгебры. Пусть ф — гомоморфизм из 91 в 91', обладающий тем свойством, что ф(х0) = х' и ф(-ка) = цах' Для некоторого положительного	и некоторого i (O^a^d). Такое отобра-
жение ф называется гомоморфизмом С-алгебр. Пусть Tt = — {а | ф (xa) = p.ax'}. Мы можем считать, что все подмножества Tt (O^z<J/) непусты. Тогда (ха |а е То) является С-подалгеброй в 91, а <(1/£г0) хт{ | 0< i есть С-факторалгебра 9I/^xa| аеТу
Мы хотим показать, что ф ((1/£г ) хг ) = х^ (0^/^/)- Положим ф (J\/kхт ) = у(.х' (yz > 0). Поскольку (у у] | 0 i является образом ((1/&г0) хт^, это С-алгебра. В силу и. (vi) определения С-алгебр отображение Y;*,->Y/Yi^/i будет линейным представлением алгебры (уу\ | 0 i Гу так как (у,х;) ‘ ’ (Yrxr) = Y/Y,^-Vo + • • • • Отображение уу^уф^ также является линейным представлением. Согласно предложению 5.4, векторы (yoyX> • • •> YzY^«) и (yX> , Ytty — это строки первой собственной матрицы С-алгебры (уу^ 10 i />. В силу соотношений ортогональности для собственных матриц эти векторы должны совпадать и, следовательно, yt = 1 для всех i. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 9.10. Пусть 91 = ^ха| 0 d} и 91' = (х\ 10 ^z d'^ — две С-алгебры, такие, что их структурные константы и двойственные структурные константы неотрицательны.
(1) Пусть ф — гомоморфизм С-алгебр 91->9Г. Тогда Кегф и 1шф — эго С-подалгебры в 91 и 91' соотв., причем 91/Кегф и Im ф изоморфны как С-алгебры. Здесь Кет ф = (ха | ф (ха) = р.ах'> и Im ф = (х\ | ф (ха) = рах' для некоторого а). Точнее, пусть Т( = {а | ф (ха) = рах'1 и kT = У, ka, где ka — валентности ал-гебры 91. Тогда 91/Кегф = ((1/&г0) хт{ | Tt =# 0> и соответствие между (\/kTyr -и х\ задает изоморфизм между 91/Кегф г/1тф.
(2) Пусть 91] = (ха | а е 3) и 9l2 = (ха | а е Т} — две С-подалгебры в 91. Тогда 911912/912 и 9l1/(9l1 Q 912) изоморфны как С-алгебры, где 9Ц f] 912 = (ха| а (= S П Г) и 911912 = (х7|р£|3 =# 0 для некоторых а е S, 0 е Г).
Пусть 91 = (ха| 0 d) есть С-алгебра и 91 = 910 => 91 j щ> ... ... =2 91г = {хо} — последовательность ее С-подалгебр. Если в 91 не существует С-подалгебр 93, таких, что 91{ гэ 93 => 9Ii+1 (z = 0, 1, ..., г — 1), то эта последовательность называется композиционным рядом алгебры ’ 91, а С-факторалгебры 91//91/+1
§ 2.9. Примитивность и импримитивность схем отношений
131
(г = 0, 1, ..., г — 1)называются композиционными факторами. Композиционные факторы не имеют собственных С-подалгебр. В силу конечности d существование композиционных рядов у 31 очевидно. В силу следующей теоремы множество композиционных факторов определяется однозначно с точностью до изоморфизма.
Теорема 9.11. (Рао, Рой-Чоудхури, Сингхи [297].) Пусть 31 есть С-алгебра, у которой структурные константы и двойственные структурные константы неотрицательны, и пусть
31 = 210 21]	21г и 31 = So St о ... з 8S
— ее композиционные ряды. Тогда r = s, причем	и
S^/S (/ = 0,1..........г — 1) изоморфны как С-алгебры для
подходящей подстановки ст на множестве {0, 1, ..., s}.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по dim 31. Мы можем считать, что 21, =# S,. Тогда 21 = 21^, и 31/311 ss 3V(St (] n3it), 31/33, ~ 3iI/(3i1 П 231).
Пусть S3— собственная С-подалгебра в 31. Обозначим через Comp (53) множество ее композиционных факторов, допускающее повторения, т. е. в нем имеется столько экземпляров данной С-факторалгебры, сколько раз она встречается в качестве композиционного фактора (для одного композиционного ряда). В силу предположения индукции Comp (S3) не зависит от выбора композиционного ряда. Тогда (во всех множествах допускаются повторения)
{23Z/SZ+11 0 < i < s - 1} = {21/S,} U Comp (St) =
- {21/S,, S,/(St П 2li)} U Comp (21, f| 23,) =
= {21/23,, 21/21,} U Comp (21, f) St) =
- {21/21,, 2l,/(2lI П 23t)} U Comp (21, f] 23t) =
= {2I/2IJ U Comp (21,) =
= {ВД+,|	- I}- □
Замечание. (4) Пусть S8 = (X, {/?,}о<г< а) — коммутативная схема отношений и 21 — алгебра смежности схемы 36. Пусть 21 = 21о	211	21г — композиционный ряд алгебры 21. Тогда
существует последовательность 36 = 38о гэ 38 \ о ... дэ 38, = = (W,£o) подсхем отношений в 38, такая, что факторы 38i!38i+\ (1 = 0, 1, ..., г—1) имеют в качестве алгебр смежности 2li/5Iz+i. В частности, 38il38i+\ примитивны. Мы можем назвать приведенную выше последовательность композиционным
132
Гл. 2. Схемы отношений
рядом схемы 36, а факторы 36tl36t+\ — композиционными факторами схемы 36.
Было бы очень приятно, если бы композиционные факторы 36tl36w определялись схемой отношений однозначно с точностью до изоморфизма. Однако, вообще говоря, это неверно. Например, обобщенный 6-угольник на 126 вершинах (см. вопрос в § 3.3) двудолен, но его половинные схемы примитивны и не изоморфны между собой.
Естественно задать следующий
Вопрос. (2) Пусть S — система импримитивности схемы 36. В каком случае для 3^ S2 е S подсхемы отношений (S1( {/?Jo<i<s) и (S2, {#i}o<i<s) изоморфны?
§ 2.10.	Двойственность Танаки — Крейна для некоммутативных схем, отношений
Начнем с двойственности Танаки [368] для компактных групп. Пусть G — компактная группа, a G' — множество всех ее конечномерных представлений:
G' = {D\D. G ->GL (п, С) — гомоморфизм топологических групп}.
Мы	будем	различать эквивалентные,	но	не	совпадающие
представления. Множество G' допускает следующие	операции:
(i)	(тензорное произведение);
/Р]	0 \
(ii)	Di + Z>2 = I л n I (прямая сумма);
X V 2z2 /
(iii)	P~l (ii) (iii)DP для каждой невырожденной матрицы Р (переход к эквивалентному представлению);
(iv)	D (комплексное сопряжение).
Представлением множества G' называется такое отображение A: D-+A(D) из G' в множество матриц над С, что D и A (D) имеют одну и ту же степень, причем
(i) Л(Р1®Р2) = Л(Р1)®Л(Р2),
/ Л (DA 0 \
(ii) Л (Z), + D2) = Л (DJ + Л (Р2): Ц о Л (В2)
(iii) A(P~]DP) = P~lA(D) Р,	2
(iv) Л(Р) = Л(Р).
Пусть G" — множество всех представлений множества G’. Определим произведение представлений Ль Л2еб" формулой Л ]Л2 (D) = Л, (Л)Л2(Р)~ и снабдим G" самой слабой топологией, для которой функция Ь: Л-»Л(1>) из G" в полную группу мат-
§ 2.10. Двойственность Танаки—Крейна
133
риц Md(C), где d—степень D, является непрерывной для всех D е G'. Тогда произведение AiA2 снова является представлением G', a G" становится относительно этого умножения компактной группой.
Теорема двойственности Танаки. Пусть G — компактная группа. Тогда G и G" изоморфны как топологические группы (устанавливается соответствие между хе G и А е G", такими, что A (D) = D (х) для всех D е G').
Приведем теорему двойственности Танаки в формулировке Крейна [240]. Начнем с определения алгебры Крейна (или алгебры квадратных блоков) (см. [193], разд. 30). Пусть Я — коммутативная алгебра над _С: с мультипликативной единицей е, и пусть существует такое отображение х->х из Я на Я, что для всех х, у е Я и Ae Q. выполняются следующие равенства: хфу = хфу, Zx = Xx, ху = ху, х — х, где X — число, комплексно-сопряженное к Л. Пусть Я имеет базис (как линейное пространство), который является объединением попарно непе-ресекающихся множеств {«’Д’ | 1 j nv, 1 k nv|, где v пробегает непустое множество индексов N, а каждое nv — положительное целое число (| N | может быть как конечным, так и бесконечным). Каждому множеству[uty | 1	1
поставим в соответствие квадратную матрицу t/v = = (um)i</<nv,	с элементами из Я. Матрица Uv называ-
ется блоком, а число nv — порядком блока Uv. Положим <2/= = {{7v|veM}. Пусть <2/ обладает следующими свойствами:
(i) <2/ содержит матрицу (е) порядка 1, где е — единичный элемент из Я.
(ii) для любого блока Uv порядка nv существует унитар-ная матрица 3 порядка nv, такая, что 3-1{7.у3е<2/, где t/v = = («Ю Для = («$);
(iii) для любых двух блоков U = UW V = Uv,^aU порядков тип соответственно существует унитарная матрица S(U> (i) (ii) (iii) * V) порядка тп, такая, что
U ® V = (S<u’ F))~‘ (W7, ® ... ® Wr) S<u- F>
для некоторых W, е <U (i= 1, ..., г);
(iv) в разложение произведения U ® V в п. (iii)' блок (е) входит не более одного раза, причем он входит в это разложение тогда и только тогда, когда V = S-1US для некоторой унитарной матрицы S;
134
Гл. 2. Схемы отношений
(v)	для каждого блока	е
е
U-Pv	i <fc<nv :
e
где Ul = ‘Uv = (u^.
Тогда QI называется алгеброй Крейна или алгеброй квадратных блоков.
Замечание. (1) Вторая часть условия (iv), а именно требование того, чтобы блок (е) входил в разложение произведения U ® V из и. (iii) тогда и только тогда, когда V = S-'OS для некоторой унитарной матрицы S, может быть опущена, поскольку она вытекает из остальных условий (i).... (v).
Пусть G— компактная группа и N — множество всех ее конечномерных неприводимых унитарных представлений с точностью до эквивалентности. Отметим, что каждое неприводимое представление компактной группы эквивалентно некоторому унитарному представлению конечной размерности. Для каждого v е N зафиксируем представление группы G унитарными матрицами х^(«$(х))1</<%.	Обозначим через U„
матрицу («$)i < i^n , 1 < k <п • Пусть Я = Я(О)—множество всех конечных линейных комбинаций и<$ (ve 1V, 1 j nv> 1 k	с комплексными коэффициентами. Для f, g е Я
определено произведение fg как результат покомпонентного умножения, и пусть J—комплексно-сопряженное к f. Тогда Я является алгеброй и {uty [ v е N, 1 j nv, 1 k — ее базис. Алгебра Я с блоками t/v (v = N) становится алгеброй Крейна и называется алгеброй Крейна группы G.
Для произвольной алгебры Крейна Я пусть Н%—множество мультипликативных линейных функционалов <р: Я—>-.С] (это значит, что ф(х«/) = ф(х)ф(«/) и ф =/= 0). Дляф, определим произведение фф формулой
%
фФ (М(д>) = X ф («(/2) Ф («$)•
Г"1
Ясно, что фф является элементом из Н%. Снабдим Н% самой слабой топологией, для которой функция Л: ф->ф(х) из Н% в С является непрерывной при всех хеЯ. Тогда становится топологической группой. Пусть Ga — множество мультиплика-
§ 2.10. Двойственность Танаки — Крейна
188
тивных линейных функционалов ср на 4L, таких, что ср(х) = ср(х). Тогда Gj[ становится компактной подгруппой группы Н%.
Теорема двойственности Крейна. Пусть 21 — алгебра Крейна. Тогда она и алгебра Крейна 2l(G?l) группы изоморфны как алгебры Крейна.
Теорема двойственности Танаки — Крейна. Пусть G — компактная группа и 31 = 31(G)—ее алгебра Крейна. Тогда G и Ga изоморфны как топологические группы, причем изоморфизм осуществляется установлением соответствия между .re G и £ е G?[, где x,{f) = f (х) для всех f <= 21.
Непосредственно из теоремы двойственности Танаки — Крейна следует, что компактная группа определяется своими неприводимыми унитарными представлениями.
Мы сформулируем двойственность Танаки — Крейна для (некоммутативных) схем отношений. Пусть Я? — (Х,	< i^d)—
(не обязательно коммутативная) схема отношений, и пусть До, Д1,	Д</—ее матрицы смежности, а 31—алгебра, по-
рожденная матрицами До, Дц ..., Да над С (алгебра смежности или алгебра Боуза — Меснера). Тогда dime 21 = d Д- 1.
Покажем, что 31 полупроста. Пусть 3 — произвольный нетривиальный левый идеал в 31. Для 0 =/= Д е 3 матрица ‘АА содержится в 3. В общем случае, если Д 0, то ‘АА — ненулевая неотрицательно определенная эрмитова матрица. Таким образом, (*АД)* является ненулевым элементом в 3 для каждого целого k, т. е. 3 не может быть нильпотентным. Поэтому 31 не содержит нетривиальных нильпотентных левых идеалов, а значит, полупроста.
По теореме Веддербёрна ') алгебра 31 является прямой суммой подалгебр Cv, каждая из которых изоморфна полной матричной алгебре Mnv (С) над С (0 v г):
21 = Со®С1ф...фСг, CV^M%(C),
Г
где dimc2l = 4Z+ 1 = X п1- Алгебра 21 вполне приводима, т. е. v=0
существует такая невырожденная (унитарная) матрица 3 е е Мп (С) (« = I X |), что
3->ДЗ = diag^Ap (Д), А, (Д), ... А, (Д), .... А,. (Д).А, (Д))
«о	ег
_________ (10.1)
‘) Эта теорема известна также как теорема Веддербёрна — Артина.— Прим, перев.
§ 2.10. Двойственность Танаки — Крейна	137
и Н^# — множество всех линейных мультипликативных функционалов на 21*. Тогда Н,Л# отождествляется с множеством Y — {Ло, At, ..., Ad} установлением соответствия между <pz е е Н.,.# и At е Y, где ф; (и) = и для всех и е 21*. Для ф и ф из Н^# определим произведение фф формулой
nv
фф («(V)) = ф («%>) ф («$)•
Тогда фф является линейной комбинацией элементов из Н^#, и эта структура алгебры на Н%# изоморфна исходной структуре алгебры на Y в алгебре смежности §1. Говоря точнее, если Ai, А/, Аь — элементы из Y, соответствующие функционалам фг, ф/, фй, то
d
Pii^k
тогда и только тогда, когда d
Ф/Ф/ = Др?/Ф*.
Доказательство. (1) Для каждой матрицы	отобра-
жение взятия значения и->и(А^ (V«e2I*) является линейным мультипликативным функционалом на 21*. Мы хотим доказать обратное, а именно что для любого линейного мультипликативного функционала <р на 21* существует единственная матрица Л,- е Y, такая, что ф(ы) = ы(Л/) (V«e2l*).
Пусть ut — функция из У в С, определяемая равенством ui{Aj) = 6tj (^Aj^Y). Тогда uQ, щ...... ud — примитивные
идемпотенты алгебры 21*. Для каждого идеала 3 в найдется такое подмножество L множества {0, 1......d}, что 3
порождается функциями ut для i е L. Таким образом,
3 = (uJzeT>={ue2l#|«(4y)==0 (V/^L)},
т. е. имеется взаимно однозначное соответствие между идеалами 3 из 21* и подмножествами L множества {0, 1, ..., d}, такое, что 3 есть множество функций и е 21*, которые равны нулю вне L. Для ie{0, 1, ..d} положим 9?fi={«e2(* | «(Xz)=0}. Тогда ЗИо, 2^1.—это все максимальные идеалы алгебры 21*.
Пусть ф — линейный мультипликативный функционал на 21*. Его ядро — максимальный идеал алгебры 21* и потому совпадает с одним из 2Ч(. Отсюда следует, что ф есть отображение взятия значения на элементе Д/, ф(и) = ы(Л/) (V«e2I*). (В исходной теореме двойственности Танаки — Крейна из-за
138
Гл, 2. Схемы отношений
сложности топологии необходимы длинные и громоздкие рассуждения для доказательства того, что функция <р, где <р (й) = = <р(и), является отображением взятия значения на элементе. Мы отсылаем читателя к дополнению С из книги [193].)
(2) Пусть <р(. е Hi[# — отображение взятия значения и на элементе А£ для At е Y: <рг (и) = и (А£) (Vu е 21*). Мы хотим d
показать, что <р/р, = X Р//Фь> гДе Ркц ~ числа пересечений 1 k =о '	1
алгебры 21.
Применим v-e неприводимое представление Av=(«£$) к ^А/— d
= У и рассмотрим элемент (а, 0). Правая часть равна & «о
d	d
go Pk£^ (Ak) = go p^k («$)
по определению функции <pft, в то время как левая часть равна
(Л, И<) \ И,))« = Д “5 W “3 (А) =
d
по определению произведения «Р/Ру- Таким образом, У, p*fl>k =
= <₽,<₽/,-и это завершает доказательство теоремы 10.1. □
Ниже мы сформулируем соотношения ортогональности для (некоммутативных) схем отношений. Введем следующие обозначения. Пусть
/	г	\
Z ~ diag fe0I 2, ej 2> erI 21. I порядка £ nv = d + 1 I,
I n0 1	r) \	V=0	/
где 11 — единичная матрица порядка l, и
T = diag {&0, k£.kd},
где kt — это /-я валентность (некоммутативной) схемы отношений S5 — (X,	т- е- ki==P'ii'- Кроме того, положим
'j-=(“SA)k(Д»:-<'+>)
f == (цМ (Лг))(г1> ₽)1 р
§ 2.10. Двойственность Танаки—Крейна
139
где тройки (v, а, р)— это лексикографически упорядоченные номера строк (0 v г, 1 а nv, l^p^nv), a i — номера столбцов (O^i^d). Тогда имеет место следующая
Теорема 10.2. (Соотношение Шура.)
(i) *РгР* = пТ (n = | X |), пг. е.
J Р) U<f5“	= nk^11'
(ii) F*T~UF = nZ~\ m. e.
Z гШ “Я (л<) — f-0 1	V
Доказательство. В силу (10.1) Sdiag(A0, Ai, •••, А,.......An ..., A^S"1
'---*—'	'—-—'
°	ei	er
представляет собой тождественное отображение из §1 в §1. Применяя это отображение к А^, и вычисляя след, получаем
1г(М.)-Дмг(ММ'))-
Поскольку tr (Л(Л/0 = nkt&ij и
выполняется соотношение (i). Соотношение (ii) непосредственно вытекает из равенства fFZF* — пТ. □
Сравните теорему 10.2 с теоремой 3.5.
Следствие 10.3. и№ (0<v<r,	1 < i < п , 1 < k < п
являются линейно независимыми функциями на Y = = {Ло, Л], ..., Ad}.
Доказательство. В силу теоремы 10.2 матрица F денна. Отсюда получается линейная независимость
невырож-семейства

Теорема 10.4. Имеет место равенство г п
p« = -^i t мЯ(А)“й(<)“т-)-v ®0 а, р, Y—1
140
Гл. 2. Схемы отношений
Доказательство. Применим тождественное отображение
Sdiag(До, Д1( .... Д]..Дг, .... Ar)S"‘
'Г  ----*---'	—7-----'
0	е1	ег
d
к Л1Д.Л;,= X	И вычислим след. □
m =0
Ср. теорему 10.4 с теоремой 3.6.
Замечания. (2) Если алгебра смежности 21 коммутативна, то nv=l для всех v = 0, 1, .... г, и мы получаем двойственность Кавады — Дельсарта. Точнее говоря, мы должны несколько изменить упомянутую здесь двойственность с тем, чтобы получить точную форму двойственности Кавады — Дельсарта. А именно, пусть 21# = где определяется правилом (Л;) = (ev/Azt.) и<$ (Лг.) (а не 21# = {«<*>)), и пусть = = {40> где определяется правилом фг- (#<$) = (6z/ev) “*<$ (А) (а не Н	где ф(. определяется формулой ф(-(«*$) =
= “8 (Л))-
(3) Пусть G — конечная группа и Н — ее подгруппа. Пусть S3—(некоммутативная) схема отношений, возникающая из транзитивного действия G на множестве Н\ G. Алгебра смежности 21 схемы S3 изоморфна алгебре Гекке C(H\G/H) (см. § 2.11). Тогда исходная двойственность Танаки — Крейна — это в точности наша двойственность для С (H\G/H), ограниченная на случай /7=1.
(4) Кавада в [233] доказал свою теорему двойственности для С-алгебр. Нашу теорему двойственности также можно сформулировать для алгебр, которые не обязательно возникли из (некоммутативных) схем отношений.
Вопрос. (1) Как сформулировать аналогичную теорему двойственности для H\G/H, где G — бесконечная компактная топологическая группа, a Н — ее замкнутая подгруппа?
Замечания. (5) Мы хотим обсудить импримитивность и некоторой факторсхемы некоммутативной схемы отношений S3 = ~(Х, {/?z}o<z<d). Пусть Ai (z — 0, 1, ..., d}— матрицы смежности схемы S3, a ркц и kt—числа пересечений и валентности этой схемы. Как и в теореме 9.3, следующие три условия эквивалентны:
/ * * \
(i) A,	I для некоторого i (i =А= 0);
§ 2.10. Двойственность Танакн — Крейна
141
(ii) X Аа~1ч&]р Для некоторого подмножества Т oz а е Т
с: {0, 1, .... d}, такого, что ОеГ и 2	| Т | d—1, где р =
== Е Ьа и q = \X\lp\
а е Т
(iii) — 0 (I, j ^Т, kq^T) для некоторого подмножества Гс{0, 1,	d}, такого, что ОеГ и 2^|7’|^d—1. Под-
множества Т в условиях (ii) и (iii) совпадают. Если одно из сформулированных выше условий выполнено, схема ЗВ называется импримитивной. В этом случае U Ra становится отно-аеТ
шением эквивалентности, а множество S соответствующих классов эквивалентности называется системой импримитивности. Если S е S, то (S, {/?а}ае7-) становится подсхемой отношений схемы отношений ЗВ.
Пусть Т — подмножество из условия (ii), a S — система импримитивности, связанная с Т. Факторсхема отношений на S может быть определена лишь в случае, когда S нормальна. Система S называется нормальной, если условие (9.7) выполнено для любых различных Si.	или, что эквивалентно,
если
AfX = АД а,	(Ю.з)
\ае Т / \а = !'	/
для всех 1 = 0, 1, ..., d. Отметим, что (х, //(-элемент (Sb S2)-блока в А, ( У, Аа^ (соответственно в ( У, Ла) А,^ есть сумма элементов строки х (соответственно сумма элементов столбца у) (Sp 52)-блока в А,, причем эта сумма равна либо 0, либо А = У р‘ (соответственно либо 0, либо А= У р^Д. Как и
аеГ *“ \	аеТ ’
в теореме 9.4, пусть ~ обозначает отношение эквивалентности на множестве {0, 1....d}, определенное правилом:/~/тогда
и только тогда, когда р'1а =/= 0 для некоторого а е Т, и пусть То — Т, Ти ..., Tt— соответствующие классы Эквивалентности. Если Т нормальна, то
А,( Е Да) = А( У Л Л	(10.4)
\ае Г )	\^(=Т{ р)
для некоторого А, где Tt — класс эквивалентности, содержащий i. Пусть D, = У, Аа. Если Т нормальна, то с помощью дока-a е Т
зательства, аналогичного доказательству теоремы 9.4, мы получаем, что
D/^iPiWp,	(10.5)
142
Гл. 2. Схемы отношений
где строки и столбцы перераспределены в соответствии с блоками системы S, a (l/p)i(Di) (0 i 1)— матрицы смежности некоторой схемы отношений на S, которая называется фактор-схемой отношений схемы Зв. Если предположить, что на ЗВ импримитивно действует группа G и S — система импримитивности, то S всегда нормальна и соответствующая факторсхема отношений — эта та схема, которая возникает при рассмотрении действия группы G на S.
(6) Чтобы обобщить замечание (5), рассмотрим факторал-гебры некоммутативной С-алгебры 31 = <хг |0 i dy, т. е. С-алгебры с некоммутативным умножением. С-алгебра | i е е Ту (Ое Т) называется нормальной, если выполняется равенство (10.3) с заменой At и Ла.на к, и ха. Если выполняется (10.4), то С-факторалгебра §[/<x;|Ze Ту может быть определена как /(1/р) xr.|0<Z<A, где р= £ ka и хт .= L ха- 06-
'	11	'	ае=Т	‘ а е=Т{
ратно, если ((1/р) хт{ 10 i является некоммутативной С-алгеброй, то должно выполняться (10.4). Для коммутативных С-алгебр (10.3) выполняется автоматически, а из условий р?У^О и pfy^O следует (10.4) (теорема 9.9), однако, к сожалению, пока мы не можем найти хорошее условие типа условия Крейна 0 даже для алгебры смежности <Л,|0 i
dy некоммутативной схемы отношений. Трудность возникает из-за того, что примитивные идемпотенты алгебры <Лг|0
I dy уже не определяются однозначно (<Л,|0 sgZ i dy полупроста) и не являются неотрицательно определенными эрмитовыми матрицами. Поэтому мы хотели бы поставить следующие вопросы.
Вопросы. (2) Существует ли для некоммутативных С-алгебр условие типа условия Крейна, которое гарантирует существование С-факторалгебр по нормальным С-подалгебрам?
(3) Имеется ли другое разумное определение некоммутативных С-алгебр, при котором С-факторалгебры по нормальным С-подалгебрам всегда существуют?
§ 2.11. Сферические функции подстановочных представлений без кратностей
Пусть G — транзитивная группа подстановок на конечном множестве Q (|й| = п), и пусть Н — стабилизатор точки а (а ей). В этом параграфе мы всюду предполагаем, что подстановочный характер 1ц не имеет кратностей, т. е.
1я = Хо + Х1 + ••• 4-Xd>	(П.1)
§ 2.11. Сферические функции подстановочных представлений
143
где 1С — Хо, а хо, Хь • ••, Ха — различные неприводимые характеры группы G. Пусть С (H\G) — множество всех левых //-инвариантных функций из G в поле комплексных чисел Cj
С (H\G) — {f: G ->Clf (ax) = f (x) для всех a <= //}. (11.2)
Отождествив смежные классы H\G с множеством Q, мы можем рассматривать С (H\G) как множество функций из Q в Q. Оно обладает естественной структурой векторного пространства и становится эрмитовым пространством, если рассматривать на нем форму
хеО
Группа G действует на C(H\G) по правилу fa(x) = f (ха-1).
Это действие G сохраняет эрмитову форму: (Г, ga> = (h g).
(U-3)
(П.4)
(П-5)
Для произвольного подмножества S из G обозначим через <ps его характеристическую функцию:
( 1, если фс (*) == 1 л
6 v ( 0, если
xeS, х <= G — S.
(П-6)
Тогда {д/^Фяа} является ортонормированным базисом в C(H\G) и G индуцирует на {д/я Фяа) транзитивную группу подстановок.
Поскольку Фях=<Ряха’ действия G на H\G и на С (H\G) подобны, причем подобие осуществляется установлением соответствия между Их и <рях. При этом 1ц — характер группы G, отвечающий действию на C(H\G). Пространство C(H\G) разлагается в прямую сумму попарно ортогональных неприводимых G-инвариантных пространств IZz:
C(//\G) = y0 + Vi+ ... + Vd, V{ IV,	(11.7)
где Vi отвечает характеру x* группы G. Элементы из Vi называются сферическими функциями, связанными с х>-
Предложение 11.1. Для каждого существует единственная с точностью до скалярного множителя ненулевая сферическая функция f, связанная с х«, такая, что fa — f для всех а^Н. Такая функция f называется зональной сферической функцией, связанной с хд
144
Гл. 2. Схемы отношений
Доказательство. Разложим Vi в сумму неприводимых H-wpo-странств. Тогда тождественное представление группы Н возникает ровно один раз, поскольку в силу закона взаимности Фробениуса (1Я, Х/)я = (1я, Х,)=1. □
Пусть {fi, fz...fm) —ортонормированный базис в Vi, при-
чем fi — зональная сферическая функция. Пусть F: a-+F(a)— представление группы G унитарными матрицами относительно базиса {f^l^j^m} и Fif{a) есть (г,/)-й элемент матрицы ^(ц):
Л/(«) = {/?>//)	(Н.8)
(G действует на С (H\G) справа).
Теорема 11.2. Пусть F: а-> (Fi/fa))—представление группы G, отвечающее действию на подпространстве V{, относительно ортонормированного базиса ..., fm этого пространства, где fi = fi для всех а^ Н.Тогда множество {д/т F^ | 1	т}
образует ортонормированный базис пространства Уг и Рц = — 'kfi, где | Л, | = 1/д/т-
Доказательство. Пусть Ф: f—>Ф^— линейное отображение из Vi в С (H\G), задаваемое формулой
=	(11-9)
Тогда Ф инъективно, поскольку множество | х е G) порождает пространство Vi в силу его неприводимости. Так как Ф коммутирует с действием G, оно ввиду теоремы 3.2 из гл. 1 является скалярным отображением (следствие леммы Шура), т. е. Ф/ = kf. Поэтому из (11.8) и (11.9) мы получаем, что Fii = Kfj и
^/>= |4т £
Значит, т
xeG/-l	xeG
так как F(x) — унитарная матрица. Таким образом,| Л, . □
у т
Пусть со = Fu = kfi> т- е-
P(x) = (fr	(11.10)
§ 2.11. Сферические функции подстановочных представлений 14S
где Д е V{, (Ц, fl)= 1 и f" — f{ для всех ае Н. Тогда и — сферическая функция, связанная с и характеризующаяся тем, что
и(1)=1 (здесь 1 — единица группы G), иа==и для всех а^Н.	(И-И)
Функция и называется стандартной зональной сферической функцией, связанной с Пусть и/, и/ — стандартные зональные сферические функции, связанные с и %/. Так как V, и Vj ортогональны, то
cd/)=~6z/,	(11.12)
где tn{ = dim Vj. Пусть С (H\G/H) — множество двусторонне //-инвариантных функций из G в С:
C(H\G/H) = {f: G—> С | f (axb) — f (х) для всех a, b е И}. (11.13)
Тогда стандартные зональные сферические функции и0, Ир ..., cod образуют ортогональный базис в С (H\G/H). При этом С (H\G/H) можно рассматривать как множество функций из множества двойных смежных классов H\G)H в С-
Теорема 11.3. Пусть ьн — стандартная зональная сферическая функция, связанная с %i. Тогда для .te G
®i(*) = -p7T 2
а е Н
Доказательство. Пусть {ft, fz, ..., fm}—ортонормирован-ный базис пространства Vi, где ft — зональная сферическая функция. Если а е Н, то в силу (11.8)
m f/)-
Поскольку	fk)fk, то
m
/Мг‘. fz>. (ii.i4) /» 1
/
Мы утверждаем, что
1, если / = k = 1,
п	(И.15)
О в противном случае, '
|Я| X — { веЯ	>
146
Гл. 2. Схемы отношений
Так как функция X 7“ Я-инвариантна, то в силу предло-аеН
жения 11.1 X f? = V( Для некоторого %е.С.. Если j = 1, то а^Н '
% = |Д|; следовательно, в этом случае (11.5) справедливо. Если j #= 1, то f^ = 0, поскольку подпространство в V/, ортогональное к fi, инвариантно относительно действия Н. Поэтому, если /#= 1, то % = 0. Тем самым равенство (11.15) доказано.
Если просуммировать равенства (11.14) по всем а^Н, то в силу (11.15) вклад в сумму будут давать лишь члены, для которых j = k = 1; поэтому
-|4т У Xz(ax_1) = 0r‘- A>e®/W (в силу (11.10)). □ а е Н
Пусть C(G)— множество функций из G в _С.. Для f, g ^C(G) определим свертку f*g функций f и g равенством
(f*g)(X) = X f(xy~l)g(y).	(11.16)
у е G
Проверьте, что для свертки выполнен закон ассоциативности, т. е. что
(f * g) * h = f * (g * h).
Предложение 11.4. 6(G) относительно операции свертки становится алгеброй. Эта алгебра изоморфна групповому кольцу группы G над С, причем изоморфизм задается установлением соответствия между <рх u х е G, где
( 1, если х = у, Фх Ы = 1 п
(0 в противном случае.
Доказательство. Достаточно проверить, что <рх «	= срху. □
Множества С (H\G) и С (H\G/H) замкнуты относительно свертки. С (H\G/H) называется кольцом Гекке (алгеброй Гекке). Его единицей служит элемент (1/| Н |)<ря.
Для <р еС (H\G/H) определим линейное отображение 7Ф из С (H\G) в С (H\G) формулой
М) = ф*Л	(11-17)
Из ассоциативности свертки следует, что
/Ф.ф = /ф/ф.	(11.18)
Кроме того, коммутирует с действием G, т. е.
l?(fa) = I?(f)a Для ц(11.Г9)
§ 2.11. Сферические функции подстановочных представлений
147
Теорема 11.5. (i) Пусть
{1^4*= С (H\G/H)} s Hom (С (H\G), С (H\G)).
Тогда кольцо Гекке C(H\G/H) и 3 изоморфны как алгебры, причем изоморфизм устанавливается соответствием между <р и /ф. В частности, пусть G — Ha0H[J НахН U .. . (J HadH, где а0=1, и пусть = (1/1 Н |)<рна{н- Тогда	состав-
ляет базис 3-
(ii) Рассмотрим подстановочное представление группы G на множестве {фна | а е G). Пусть А,— это i-я матрица смежности, соответствующая Н-орбите {<рна\На HatH}. Тогда матричное выражение отображения /ф(. относительно базиса {фяа} является матрицей смежности с номером i'. Таким образом, 3 изоморфна алгебре смежности и 3 совпадает с множеством всех линейных отображений из С (H\G) в С (H\G), которые коммутируют с действием G, т. е.
3 = Homo(C(tf\G), С (H\G)).
(iii) Сферические функции являются общими собственными функциями всех элементов идеала 3. В обозначениях из (11.7) пусть	для Q^f^Vi. Тогда Ло, Ль .Ад—
полный набор линейных представлений 3.
Доказательство, (i) Указанное соответствие в силу (11.18) задает гомоморфизм алгебр, и оно инъективно, поскольку
/ф(-рщ-Фн)=<р*-|-^уФн==Ф:/:0 для ф7$=0‘
(ii) Из теоремы 1.3 и соотношения (11.19) следует, что 7Фг принадлежит алгебре смежности, связанной с действием G на {<Рна}- Поскольку /ф/ (фуу) = <рна{н, первый столбец матрицы /Фг совпадает с первым столбцом матрицы смежности с номером I' в матричном выражении относительно базиса {фЯа}. Так как элементы алгебры смежности определяются своими первыми столбцами, то 19( является матрицей смежности с номером i'.
(iii) В силу леммы Шура каждый элемент из 3 — это отображение на Vi, задаваемое скалярной матрицей. Вторая часть утверждения следует из предложения 5.4. □
Теорема 11.6. Пусть со— стандартная зональная сферическая функция, связанная с ц. Тогда для <р еС(H\G/H)
Ф*<о = (о*Ф==|О|6(ф)<о,
где а(ф) = -г|г^ ф(х"1)(о(х) = (ф, со).
x<sQ
148
Гл. 2. Схемы отношений
Доказательство В силу теоремы 11.5 (iii) для некоторого леС выполняется равенство /ф(со) = лсо. В силу (11.11) со (1) = 1 и, следовательно, X =/„ (со) (1) = (ф * со) (1) = У, <р(х)ш(х-1)-х е G
По (11.10)	____
<в (х-1) = ® (х)-	(11.20)
Отсюда вытекает, что X = | G | • (ср, со). Кольцо Гекке C(H\G/H) изоморфно алгебре смежности 3> которая коммутативна. Поэтому ср * со = со* ср. □
Следствие 11.7. (i) Пусть a>t — стандартная зональная сферическая функция, связанная с %г. Тогда mta)i/\G\ (O^i^d) являются примитивными идемпотентами кольца Гекке C(H\G/H), где т, — степень характера
(ii) Пусть (pt (/)) — первая собственная матрица группы G на {срЯа}. Тогда
х е Нар!
Доказательство, (i) Это утверждение очевидно ввиду равенства (11.12) и теоремы 11.6.
(ii) Будем пользоваться обозначениями теоремы 11.5. Согласно предложению 5.4, р,/(/) = Лу (7Фг). Поскольку — =<р; * соу = | G |(фг, со;)сор собственное значение Л/(/<pz) матрицы /ф< на V/ равно | G |(фо <*>/)• Таким образом,
Рг (/) = I G Кфс, = У <р1(х)ш/(х-1)= £ № G	На^Н
= -|7тТ S -ртуХ/М (в силУ те°Ремы П-3) = х е На^Н
а <= Н
1=1
х^На^Н
Теорема 11.8. (Формула сложения.) Пусть о — стандартная зональная сферическая функция, связанная с уу. Тогда
— У и (хау) = с» (х) со (у)
а<^ Н
для х, y^G.
§ 2.11. Сферические функции подстановочных представлений
149
Доказательство. Для фиксированного у обозначим через fy элемент из C(H\G/H), определяемый равенством
fy(x) = -~ У- <Л(ха^-
а<= Н
Для каждой зональной сферической функции <р
<₽> = -|4т £ М*)<Р (*"') = |G||/z| Е ®(ход)<р(х-1) = гей	хеО
а <= Н
= IG I I Д-! Е0^43^2-1^ <здесь z = xa) =
z^G а^Н
= ТД7 Е	=
z^G
= ТДТ Е	(здесь /==?#) =
t<= G
=-рту (<р * <в) (у) = (<р, со) со (у) (в силу теоремы 11.6).
Согласно (11.12), {fy, <р> = 0, если ср =/= со. Поэтому fv = Хсо для некоторого X е .С.. Поскольку со (1) = 1,
z=^ (1)=дттт Е Q и)=® (у)-не Н
Таким образом, [и(х) = со(у)со(х), что и требовалось доказать. □
Отождествляя Q с множеством H\G = {Нхй, Нхх, ..., Нхп_{\ (х0=1), положим
f(a) = f(x) (а=Яхей)	(11.21)
для f еС(H\G). Пусть Ло, Л]......Ad — орбиты действия G на
Q XQ:
Лг (a0) = {а е Q | (ао, а) е Лг} = {а е Q | а = Нх s HatH}, где а0 = Д и H\G/H = {На0Н, На^Н.......HadH} (а0=1).
Лемма 11.9. Пусть <рг = (1/| Н |)<ря.а чя- Тогда, если f е C(H\g) и а е Q, то (<рг * f) (а) =	£ f (р).
(₽. al s
150
Гл. 2. Схемы отношений
Доказательство. Пусть а = Нх. Тогда
(<Р< * f) (а) = £ <рг (xy~l) f (у) =	£	ylp/:(t/) =
=w X rw= X HP)
У ^{У\ (Ну. Нх) e= Лг}	(3, а) е Л(
(здесь $ = Ну). □
Теорема 11.10. Пусть <вг — стандартная зональная сферическая функция, связанная с Для х е HatH положим <вг (/) = = <вг (х) и иг = (<вг (0), <вг (1).<вг (d)). Тогда
Pi (!) «г = игВР
где Bf = (ps.t) есть j-я матрица пересечений и P — fj), (г)) — первая собственная матрица. В частности,
°>i (j) = -^- Pj (i) и Pj (i) Ч = В/уг,
где vt = (koa>i (0), М/(1). •••> kd<ot(d)).
Доказательство. Поскольку <вг является собственной функцией матрицы смежности /ф/, отвечающей собственному значению pi'(t), мы получаем <р/ * со, = рц (г) со,, и потому для а = = Нх <= HasH
Pi' (О (s) = Pi' (г) СО, (а) = (<Р/ * со,) (а) =
= X сог (0) (в силу леммы 11.9).
(₽, а) е= Лу
Пусть do = Н. Тогда сог (0) = сог (t) для таких 0, что (оо, 0) S еЛ( и (0, а) еЛ,, а число этих 0 равно pstj. Поэтому а
pj,(i)a>i(s)=^la>{(f)pstj. Применив комплексное сопряжение, получаем
____ d ________
Pi V) («) = Eo (t) Psit>
поскольку pstj = pslt. Отсюда следует, что p! (г) u; = Вейлу теоремы 4.1 такой вектор цг — единственный с точностью до скалярного множителя. Так как <вг(0) = 1, то
(/) = т- Pi (О-
Ki
Теперь окончательный результат вытекает из теоремы 4.1. □
§ 2.12. Замечания к гл. 2
151
О сферических функциях на компактных метрических пространствах см. [88], [320], [174] и др.
§ 2.12.	Замечания к главе 2
Насколько нам известно, современное определение и наименование схем отношений (для симметричных схем отношений) было впервые предложено Боузом и Симамото [54] в 1952 г., а их алгебраические свойства были затем подробно изучены Боузом и Меснером в [52] (за дальнейшим обсуждением истории схем отношений мы отсылаем читателя к разд. 7.1 книги Дембовского [129]). Однако по существу те же самые понятия и идеи совершенно независимо и несколько раньше возникли во многих других разделах математики, в частности в работах Шура [310], Хохейзеля [210] и Кавады [233], а также при изучении «гипергрупп» (ссылки на ранние работы по гипергруппам см. в [303]).
Мы полагаем, что диссертация Дельсарта [118] до сих пор остается самым блестящим каноническим текстом для изучения схем отношений. Кроме того, к настоящему времени имеется несколько вводных книг и статей, таких, как [119], [82], [332]. В теории конечных групп подстановок это понятие изучалось под названием централизаторных колец (алгебр), колец (алгебр) Шура или колец (алгебр Гекке). § 2.1 как раз и является введением в теорию централизаторных колец конечных транзитивных групп подстановок, а наше изложение основывается на книге Виланда [394]. Эта книга содержит превосходное и основательное изложение указанной тематики, и мы рекомендуем ее для дальнейшего чтения. Методы колец Шура и централизаторных колец применяются, например, при доказательстве того, что некоторые примитивные группы подстановок дважды транзитивны, и при изучении групп подстановок некоторых специфических степеней, как это сделано в работе Виланда [394], гл. 5, для групп степени 2р.
Кроме того, этими методами интенсивно изучаются группы подстановок ранга 3 и сильно регулярные графы. Эти исследования вдохновляются открытием нескольких спорадических простых групп как групп подстановок ранга 3 (см. [194], [329], [330], [213] и др.).
Аксиоматизация основы метода централизаторных колец в изучении групп подстановок привела Хигмана [197] к понятию когерентной конфигурации. Эта статья Хигмана содержит исследование алгебраических аспектов обсуждаемого предмета, и гл. 2 настоящей книги местами частично ее повторяет. Когерентная конфигурация И8 = (Х, {/?г}о< i<a) — это объект, обладающий свойствами (i), (ii), (iii), (iv), приведенными В
152
Гл. 2. Схемы отношений
(2.1),	но не свойством (v), причем свойство (i) ослаблено и имеет следующий вид:
(i)' Диагональ А = {(х, х) |х е X} является объединением некоторых (непересекающихся) отношений из множества Ro, Ri,   , Rd-
Когерентная конфигурация, обладающая свойством (i) (А = /?о),’ называется однородной. Таким образом, мы имеем следующие три класса схем отношений:
(а)	симметричные схемы отношений (Боуз и др.),
(Ь)	коммутативные схемы отношений (Дельсарт),
(с)	когерентные конфигурации (Хигман)
и следующие соотношения между ними: (a)cz(b)cz(c).
Условие Крейна <??/> 0 (теорема 3.8) было впервые обнаружено Дунклом и Скоттом (см. [312]) в работе Крейна по гармоническому анализу и, независимо, открыто Дельсартом в [118]. Современное доказательство этого условия, использующее лемму 3.9 (которая восходит к Шуру), предложено Дельсартом [118] и Биггсом [40].
Теорема 4.1(i) упомянута в работе Биггса [40]. Формула, приведенная в работе Отта [290], с. 88, в точности совпадает с формулой в этой теореме. В данной книге алгебраическая теория схем отношений развивается лишь с использованием теории нормальных матриц, но с этой целью мы также могли бы систематически использовать теорию полупростых алгебр (см. [108]), как это сделано в работе Хигмана [197]. Теоремы 4.2 и 4.3 взяты из книги Виланда [394], а теорема 4.6—из статьи Камерона, Гёталса и Сейдела [79]. Изложение леммы 4.7, а также теорем 4.8 и 4.9 основывается на статье Ней-майера [277]. Условие абсолютной границы будет вновь изучаться в ч. II, уже с точки зрения сферических схем.
Похоже, что статья Кавады [233] до последнего времени оставалась незамеченной теми, кто изучает схемы отношений и группы подстановок. Появление этой статьи было инспирировано работой Хохейзеля [210], где с конечной группой G была связана коммутативная схема отношений, как это сделано в примере 2.1 (2), и были выведены все соотношения между параметрами этих схем. На этом пути, в частности, были получены соотношения ортогональности для таблицы характеров группы G. Кавада [233] выделил, из работы Хохейзеля абстрактное понятие схемы отношений, которое назвал С-алгеброй (алгеброй характеров), и вывел соотношения для параметров С-алгебр. В этой же работе Кавада рассматривал С-подалгебры и С-факторалгебры. Теорема 9.9 восходит к нему. Рао, Рой-Чоудхури и Сингхи [297] для С-алгебр, которые возникли из схем отношений, использовали термин «параметрическая схе
§ 2.12. Замечания к гл. 2
153
ма». Они рассматривали композиционные ряды и композиционные факторы таких С-алгебр.
Пример 2.1(2) можно несколько обобщить, если вместо группы G рассмотреть квазигруппу Q. А именно, пусть Q — квазигруппа, т. е. на Q задана бинарная операция, удовлетворяющая условиям левого и правого сокращения (вообще говоря, в ней нет единицы и не выполнен закон ассоциативности). Пусть Mult(Q)— группа подстановок на множестве Q, порожденная левым и правым умножениями L(a), R(a) для asQ в симметрической группе на множестве Q, где
L(a): х->ах, R (а): х—>ха (x s Q).
Тогда Mult(Q) действует транзитивно на множестве Q и схема отношений, построенная так, как это сделано в примере 2.1(1), является коммутативной. Если Q — группа, то эта схема отношений совпадает со схемой примера 2.1(2). Более подробно об этом см. в [226] и [340].
S-кольца (кольца Шура) впервые возникли в работе Шура [309] и были развиты Виландом в [394], гл. 4. Первоначально эти кольца использовались для изучения примитивных групп подстановок, имеющих регулярные подгруппы, однако большая часть результатов справедлива и для примитивных схем отношений, на которых действуют регулярные группы. Основы теории S-колец были изучены Тамашке в серии его статей (см. [376]). Большая часть соотношений в этой теории совпадает с соотношениями, приведенными Д. Хигманом [197]. Мы рекомендуем читателям гл. 4 книги Виланда [394].
Маккей [268] сделал интересное замечание относительно таблиц характеров конечных групп (первоначально оно было анонсировано на летней школе по конечным группам в Санта-Крус, проводимой Американским математическим обществом в 1979 г.).
Замечание Маккея:
(1) Графы представлений некоторых конечных подгрупп G группы SU2 (С) (относительно представления степени 2) задаются диаграммами Дынкина евклидова типа Ап, Dn, Ее, Ё7, Е& (которыми исчерпываются все диаграммы Дынкина евклидова типа без кратных ребер).
(2) Для такой группы G каждый столбец ее таблицы характеров является собственным вектором матрицы инцидентности указанного графа представлений.
(Это одно из многих важных и вызывающих интерес замечаний Маккея, относящихся к различным вопросам.) Некоторые обобщения и разъяснения были даны Хаппелем, Прейзером
154
Гл. 2. Схемы отношений
и Рингелем в [187] и Стейнбергом [357]. В § 2.7 мы дали объяснение п. (2), т. е. показали, что столбцы таблицы характеров любой конечной группы G определяются однозначно как множество стандартных векторов, являющихся собственными для всех графов представлений. Ясно, что таблица характеров группы G определяет разложение произведения Обратно, из нашего объяснения механизма п. (2) следует, что, исходя из информации о разложениях произведений можно однозначно восстановить таблицу характеров. Этот факт хорошо известен в теории конечных групп (см. [108]). Двойственность Кавады — Дельсарта — это не что иное, как применение этого механизма к коммутативным схемам отношений. По всей вероятности, возникновению здесь расширенных диаграмм Дын-кина до сих пор не дано внутреннего объяснения, хотя фактически имеется много объяснений. Интересной проблемой является определение того, какого типа графы возникают в качестве графов представлений конечных групп. К замечанию Маккея может иметь отношение статья Галлагера [161].
Знаменитая теорема Брауэра [56], [57] утверждает, что Q(V1) является полем разложения для любой группы G, т. е. все неприводимые представления группы G над ,С. реализуются над полем Q(V0> где е = Min{t е Af| а‘ = 1 для всех аеб}—экспонента группы G. Ясно, что все элементы таблицы характеров группы G лежат в поле q(V1)- Тот факт, что эти элементы лежат в поле циклотомических чисел, был известен до работы Брауэра [56] (см. [108], разд. 41А). Многие примеры наводят на мысль о том, что все элементы собственных матриц Р и Q схем отношений содержатся в поле циклотомических чисел, но мы не знаем, всегда ли это верно. Эта проблема была поставлена Нортоном в Обервольфахе в мае 1980 г. Положительный ответ на этот вопрос означал бы, что теория схем отношений могла бы быть очень схожей с теорией групп.
Содержание § 2.8 и 2.9 взято из статьи [79] с присоединением некоторого дополнительного материала.
Задача. Пусть G — транзитивная примитивная группа подстановок на множестве Q и 0= 1 + %! +•••+ Ха ~ подстановочный характер без кратностей, т. е. Хо=1» Xi> ••> Ха— различные неприводимые характеры группы G. Описать все группы G, обладающие тем свойством, что (i = 0, 1, d) входит в %1‘, но не входит в для / < i (или %г (г = 0, 1, ..., d) входит в 8ушгХ1, но не входит в Sym^, j < г).
Как видно непосредственно из теоремы 8.1 (i) (или (iii)), эта проблема представляет собой специфический случай (тео-
§ 2.12. Замечания к гл. 2
155
ретико-групповой вариант) классификации Q-полиномиальных схем (см. гл. 3). Ее, кроме того, можно рассматривать как двойственный вариант проблемы классификации дистанционнотранзитивных графов (см. [305]). Алгебры Нортона (§ 2.8) имеют отношение к недавним работам [341], [180] и др., касающимся исследования и построения некоторых конечных простых групп в виде групп автоморфизмов неассоциативных алгебр.
Материал § 2.10 заимствован из статьи Баннаи [20]. Мы признаем, что он не слишком глубок по содержанию и носит формальный характер.
Работа с исходной двойственностью Танаки — Крейна для компактных групп и ее обобщением на случай локально компактных групп затруднительна ввиду сложной топологии. Нами руководило желание получить общую теорему двойственности для некоммутативных схем отношений, которая включала бы в себя двойственность Кавады — Дельсарта для коммутативных схем, т. е. двойственность между обычным и адамаровым умножением в алгебре SI.
В § 2.11 мы объясняем связь между алгеброй Гекке (определенной на пространстве С (H\G) //-инвариантных слева функций на G) и алгеброй смежности подстановочного представления без кратностей группы G на множестве Q = H\G. Эти результаты получены в теории представлений топологических групп. Поскольку в этой книге мы пренебрегаем топологическими аспектами, результаты становятся весьма тривиальными, но мы считаем, что этот параграф поможет читателю при изучении статей [137], [138], [139], [349], [351] и др. Теорема 11.2 известна как теорема Петера — Вейля для компактных топологических групп. Здесь наше изложение основывается на книге Такеути [363], которая является хорошим учебником для тех, кто читает по-японски. Нам представляетя, что статьи Картана [88], Сельберга [320], Годемана [174] являются фундаментальными в данной области. В ч. II мы вернемся к сферическим функциям на компактных симметричных пространствах ранга 1.
Глава 3
Дистанционно-регулярные графы и (Р и ф)-полиномиальные схемы
Эта глава является центральной в первой части этой работы. В предыдущей главе обсуждались свойства схем отношений общего вида и было выявлено их богатое математическое содержание. Однако чрезмерная общность ситуации препятствует развитию теории. Многообразие примеров схем отношений, которым мы располагаем, не оставляет надежд на возможность их классификации. И здесь естественно возникает вопрос:
Какие классы схем отношений наиболее важны?
С комбинаторной точки зрения наиболее естественным представляется класс Р-полиномиальных схем. Соответствующий термин был впервые введен в работе Дельсарта [118], однако стоящее за ним понятие было известно и раньше под названием дистанционно-регулярного графа. Эти объекты неоднократно изучались с различных точек зрения. Другим важным классом представляется класс Q-полиномиальных схем, впервые введенный в работе Дельсарта [118]. Понятие Q-полиномиальной схемы является алгебраическим и его не удается адекватно сформулировать на комбинаторном языке. И все же оно не менее важно, чем понятие Р-полиномиальной схемы, в особенности для развития теории блок-схем. Цель настоящей главы состоит в изучении схем отношений, обладающих Р-полиномиальными и/или Q-полиномиальными свойствами. Завершается глава формулировкой программы их классификации.
Выбор свойств Р- или Q-полиномиальности в качестве наиболее важных обусловлен не столько логикой, сколько вкусом и взглядами. И тем не менее эта глава, как, впрочем, и вся книга, написана в надежде убедить читателя в важности этих свойств. Во-первых, приведенный в § 3.6 список известных Р-и/или Q-полиномиальных схем настолько хорош, что вызывает мечты о полной классификации таких схем для достаточно большого диаметра. Во-вторых, Р- или Q-полиномиальные схемы представляются нам столь же интересными в нашей ситуации, как полупростые группы Ли в теории групп Ли или конечные простые группы в теории конечных групп (вне зависимости
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
157
от отношения к существующим в настоящее время доказательствам классификационной теоремы для конечных простых групп). В-третьих, имеются необыкновенно важные связи между ними и многими другими разделами математики, в частности теорией ортогональных многочленов (см. введение). Связь с последними наиболее ярко проявляется в теореме Леонарда (§ 3.5, теорема 5.1), которая показывает, что ортогональные многочлены с (Р и Q) -полиномиальными свойствами суть многочлены Аски — Вильсона и некоторые их предельные случаи.
Мы хотели бы прокомментировать размещение материала в гл. 3. С первого взгляда у читателя может сложиться впечатление, что параграфы в этой главе между собой не связаны. Это в какой-то мере верно, так как между методами, используемыми в разных параграфах, имеются принципиальные различия. Однако можно проследить следующую связующую нить.
В § 3.1 вводятся понятия Р-полиномиальности и Q-полино-миальности. В § 3.2 обсуждаются два важных основополагающих примера. В § 3.3 обсуждается ситуация, когда имеет место лишь Р-полиномиальность (без предположения о Q-полиноми-альности). В § 3.4 рассмотрена ситуация, когда имеются две Р-полиномиальные структуры. В § 3.5, а также в последующих параграфах рассматриваются схемы отношений, обладающие свойством (Р и Q) -полиномиальности. (Мы бы хотели рассмотреть схемы отношений с двумя Q-полиномиальными структурами, однако пока не имеем такой возможности. В связи с этим в § 3.7 мы изучаем (Р и Q)-полиномиальные схемы, обладающие дополнительной Q-полиномиальной структурой.) Более подробное содержание каждого параграфа приведено ниже.
В § 3.1 мы определяем дистанционно-регулярные графы и показываем, что они эквивалентны Р-полиномиальным схемам в смысле Дельсарта. В следующем параграфе обсуждаются два наиболее важных примера, а именно схемы Хэмминга Н(п, q) и схемы Джонсона J(v,k). Описаны параметры этих схем и соответствующие ортогональные многочлены.
В § 3.3 доказано несуществование некоторых дистанционнорегулярных графов, которые соответствуют определенным экстремальным случаям; в первую очередь, эти результаты касаются графов Мура. Кроме того, здесь дан обзор большого числа проводимых в последнее время исследований в этом направлении, а также приводится обзор возможных подходов к этой тематике.
В § 3.4 изучаются схемы отношений, которые имеют по меньшей мере две Р-полиномиальные структуры. Показано, что такие схемы отношений обладают весьма специфическими свойствами.
158
Гл. 3. Дистаициоино-регулярные графы
В § 3.5 мы исследуем (Р и Q)-полиномиальные схемы, т. е. схемы отношений, обладающие как Р-полиномиальной, так и Q-полиномиальной структурами. Здесь наиболее глубоким результатом является доказанная совсем недавно теорема Леонарда (теорема 5.1) о том, что ортогональные многочлены, которые обладают (Р и Q)-полиномиальными свойствами, в действительности совпадают с многочленами Аски — Вильсона (включая некоторые их предельные случаи). Многочлены Аски — Вильсона представляют собой класс дискретных ортогональных многочленов, который включает в себя все «классические» ортогональные многочлены. Мы предлагаем называть классическими и все те ортогональные многочлены, которые фигурируют в теореме Леонарда (т. е. многочлены Аски — Вильсона и их предельные случаи). Это указывает на то, что (Р и Q)-полиномиальные схемы являются схемами отношений «классического» типа и исключительно важны в классе схем отношений. Такие схемы отношений тесно связаны со схемами, получаемыми из классических форм и групп. В дальнейшем изложении теорема 5.1 будет использована при исследовании проблемы реализуемости, т. е. при решении вопроса о том, какие многочлены, обладающие свойством (Р и Q)-полиномиальности, могут соответствовать схемам отношений (в § 3.7). Здесь мы приводим самые последние результаты на эту тему.
В § 3.6 приводится список известных (Р и Q)-полиномиальных схем отношений. Мы надеемся, что этот список покрывает (почти) все (Р и Q)-полиномиальные схемы отношений, диаметр d которых достаточно велик.
В § 3.7 в предположении о том, что d достаточно велик, мы описываем (Р и Q)-полиномиальные схемы, обладающие двумя Q-полиномиальными структурами. Как следствие этого результата мы получаем, что все собственные значения 0г и 0*, а также все параметры qkn (и, конечно же, р*/) (Р и 0)-полиноми-альной схемы, отличной от обычного n-угольника и с достаточно большим значением d, являются рациональными величинами. Мы полагаем, что эта информация весьма полезна при решении проблемы реализуемости для (Р и Q)-полиномиальных схем. Кроме того, упомянут ряд гипотез, касающихся дальнейших исследований в этом направлении.
В § 3.8 дается обзор современного состояния проблемы характеризации известных (Р и Q)-полиномиальных схем отношений посредством их параметров. Мы имеем достаточно оснований считать, что окончательная классификация (Р и Q)-полиномиальных схем, по крайней мере при достаточно большом значении d, явлйется делом не слишком отдаленного будущего. Обсуждается большое число воаможных направлений дальнейших исследований.
§3.1. Дистанцнонно-регуЛярнЫе Графы
159
§ 3.1. Дистанционно-регулярные графы и Р-полиномиальные схемы
Пусть Г —связный неориентированный граф с множеством Вершин X (|Х[ — п). Путь длины г из х в у (х,у^Х)—это такая последовательность вершин х0 = х, Xi, ..., xr-i, xr — у, что (xi, xi+i)—ребро графа Г. Расстояние от х до у, равное минимуму длин путей из х в у, будем обозначать через д(х,у), причем д(х, х) полагаем равным нулю. Нетрудно проверить, что д(х,у) удовлетворяет аксиомам метрики. Диаметр графа Г, равный максимуму расстояний между его вершинами, будет обозначаться через d. Пусть Pi— отношение на множестве X, определенное следующим образом: (х, у)^Д тогда и только тогда, когда д(х,у)=1. В случае когда Р? = (Х, является схемой отношений, граф Г называется дистанционнорегулярным. Ясно, что в этом случае схема симметрична. Если группа автоморфизмов графа Г действует транзитивно на каждом отношении Pi (0 i d), то Г называется дистанционно-транзитивным. Очевидно, что если граф Г дистанционно-транзитивен, то он и дистанционно-регулярен. Отметим, что схемы отношений в примерах 2.1(3), 2.1(4) гл. 2 возникают из дистанционно-транзитивных графов.
Симметричная схема отношений Дв = (X, P?i}o<z<a) называется Р-полиномиальной схемой относительно упорядочения Ра, Pi, ..., Pd, если существуют такие многочлены щ(х) степени i с комплексными коэффициентами (0 i d), что А, = Vz(4i), где Ai — матрица смежности отношения Pi. Ниже, в (1.2) мы покажем, что при этом Vi(x) имеет вещественные и, более того, рациональные коэффициенты.
Тридиагональную матрицу
а0 Ci	0.
&о ах .
Ъх . .
• • ca-i • ad—1 cd 0	bd_i ad
будем обозначать через *	С]	...	Cd—\	Cd
' а0	at	...	ad_]	ad
.b0	bi	...	bd-t	*.
160
Гл, 3. Дистанционно-регулярные графы
Предложение 1.1. Пусть 36 = (Х, {RJo <(<<«) — симметричная схема отношений. Пусть Ait Bi = (p{i) и P = (pi(j)) — матрица смежности отношения Rt, матрица пересечений отношения Rt и первая собственная матрица схемы 36 соответственно. Тогда условия (i), (ii), (iii) и (iv) эквивалентны между собой.
(i)	Пусть Г = (X, Ri)— граф, множества вершин и ребер которого совпадают с X и Ri соответственно. Пусть д(х,у)— расстояние между х и у в графе Г. Тогда d(x,y}=i в том и только том случае, когда (х, у) е Ri, т. е. Г дистанционно-регулярен.
(ii)	Bi является тридиагональной матрицей, внедиагональные элементы которой отличны от нуля-.
*	1	^2 ... Cd_x Cd
Bl = S 0 а, а2 ... ad_i
(bt^0, Cj^O).
ad '
* .
. k bi b2 ... bd__i
(iii)	Схема 36 является Р-полиномиальной относительно упорядочения Ro, Ri, ..., Ra, т. e.
A^VitAi) (i==0, 1, ..., d)
для некоторых многочленов Vi(x) степени i.
(iv)	Матрица P удовлетворяет следующим соотношениям:
Pi(i) = Vi@i) (h i =	1- •••> d)
для некоторых многочленов v, (x) степени i, где 0; = pi (j).
При этом многочлены Vi(x) (i — 0, 1, ..., d) в n. (iii) и (iv) совпадают; матрица Bi называется матрицей пересечений дистанционно-регулярного графа Г, числа 0О = k, 0Ь ..., 0d называются собственными значениями графа Г, a k — валентностью графа Г.
Доказательство. (i)=>(ii). Пусть выполняется (i). В силу неравенства треугольника р’ц = 0, если [i — /|^ 2, а в силу связности графа Г имеем р» У= 0 для |i — /|= 1. Отсюда следует, что Bi — ipii)— тридиагональная матрица, в которой внедиагональные элементы отличны от нуля.
(ii)=>(i). Пусть выполняется (ii). Будем пользоваться индукцией по I. Пусть Ri(x)— {у\(х,у)^ R,}. Тогда для </е е Ri(x) множество Ri-i (x)f) Ri (у) непусто; поэтому д(х, у) i. В то же время для y^Ri(x) множество R/(x)ARi(z/) пусто при j jC i — 2; поэтому д(х, у) i.
(ii) =>(iii). Пусть имеет место (ii). Тогда, так как Д,Дг = = S PuAf, то-
= Ь^А^ -Т агЛ/ + ci+1XJ+1 (O^i^d—1),	(1.1)
§ 3.1. Дистанционно-регулярные графы
161
где 6-1 = 0, b0 = k, До — 0, Ci = 1. Пусть i>o(x)=l, vi(x) — x и Vi(x)—многочлен степени i, определяемый следующим рекуррентным соотношением:
xvl(x) = bi_lvi_i(x) + aivi(x) + ct+lvi+l(x)	— 1).
(1-2)
Тогда Vi(Л[) = Ai.
(iii) => (ii). Если справедливо (iii), то многочлен xVj(x) является линейной комбинацией многочленов аг+,(х), аг(х), ... ..., v0(x). Поэтому AtAi — линейная комбинация матриц Ai+1, А,, ..., До> причем коэффициент при Ai+l отличен от нуля. Это означает, что ри = 0, если /^i + 2, и рц =/= 0, если / = i+ 1. Поскольку Зв симметрична, величины p\t и р\, обращаются в нуль одновременно. Таким образом, ри = 0, если | i — j |	2, и piz #= 0, если | i — /1 = 1.
(iii)o(iv). Пусть Ео, Е\, ..., Ed— примитивные идемпотенты алгебры смежности схемы Зв. Положим 0/= щ (/)• Тогда А{ = У, 9,Д/. Для произвольного многочлена v (х) справедливо равенство v (AJ = У v (0Z) Ej. Пусть выполняется (iii). Тогда i
At — vt (z^) = У vt (0y) Et и потому pt (/) = (0Д Если же имеет i
место (iv), то At = У Pi (/) Es = £ vt (0;) Ef = vt (Д). □ i	i
Замечание. (1) Связный неориентированный граф Г с множеством вершин X обычно называют дистанционно-регулярным [38], если выполнено следующее условие:
(ДР) Для любых неотрицательных целых i и / число p{t вершин г, таких, что d(x,z) = 1, д(г, z/) = i, зависит только от i и /, но не зависит от конкретного выбора вершин х, у, таких, что д(х, у) = j.
С первого взгляда такое определение дистанционной регулярности кажется более слабым, чем сформулированное выше, однако в действительности они эквивалентны.
Предположим, что Г удовлетворяет условию (ДР). Пусть Ri — отношение на X, определенное правилом: (х, у)е/?г тогда и только тогда, когда d(x,y)=i. Пусть At — матрица смежности отношения Ri. Тогда из условия (ДР) следует, что для AiAj выполняется соотношение (1.1) и A[Ad = ba—iAa—x + adAd-Отсюда вытекает, что А, = vz(Ai) и Уа+|(А|) = 0, где vd+\ (х) = = (х — ad)vd(x)—bd-ivd-i(x). Матрица Ai порождает алгебру размерности 1, для которой множество Ао, Ai.........Ad слу
162
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
жит линейным базисом. Таким образом, выполняется условие (2.1)' из гл. 2.
Пусть ЗВ = (Х, {/?(}(><! <<г) — симметричная схема отношений и Et (i = 0, 1, ..., d)— примитивные идемпотенты алгебры смежности 21. Схема 36 называется Q-полиномиальной относительно упорядочения Ео, Ei......Ed, если существуют такие
комплексные многочлены vt(x), что Е, = (1/| X I) (Ех • | X |) и у*(х) имеет степень i при адамаровом умножении в 21. Ниже, в (1.2)* будет показано, что v*t(x) имеют вещественные коэффициенты. Пусть ^/ — параметры Крейна схемы 96 и В[ — Пусть Q = (7( (/)) —вторая собственная матрица схемы 36. Как и в предложении 1.1, следующие свойства (ii), (iii), (iv) эквивалентны между собой.
(ii)	Вх является тридиагональной матрицей, внедиагональные элементы которой отличны от нуля:
1 *	1	с2	...	Cd-\	Crf |
B| = { 0	а*	а2	•••	<4-i	ad }.
( m	b*	b*2	...	b*d-\	* J
(iii)	36 является Q-полиномиальной схемой относительно упорядочения Ео, Еь ..., Ed, т. е.
Е( = —ц’(Е,- |Х|) (i = 0, 1, .... d)
для некоторых многочленов уДх) степени I, где умножение матриц адамарово.
(iv)	Q удовлетворяет соотношениям
Qi (j) = v'i (0/)	(i, / = 0, 1..d)
для некоторых многочленов vt(x) степени i, где
0/ = <71 (/)•
Многочлены У/(х) в условиях (iii) и (iv) одни и те же и удовлетворяют рекуррентному соотношению
ху, (х) = b'i-iVt-i (х) + a\vt (х) + С(+1у’+1 W (0 < i < d — 1),
(1-2)’
причем у0(х)=1, У|(х) = х.
В ч. II мы определим сферические /-схемы в Q-полиномиаль-ных схемах и покажем, что определенные в таком общем виде /-схемы совпадают с ортогональными таблицами силы / и с обычными /-схемами в случаях, когда в качестве Q-полино
§3.1. Дистанционно-регулярные графы
163
миальной схемы рассматриваются схемы H(n,q) и J(v, k) соответственно.
Вопросы. (1) Можно ли дать комбинаторное определение Q-полиномиальных схем?
(2) Можно ли дать теоретико-групповое определение Q-полиномиальных схем, возникших из щедро транзитивных групп подстановок?
Предложение 1.2. Пусть SB = (X, {Ri}:><i<,d) есть Р-полино-миальная схема относительно упорядочения Ro, Ri> ...» Rd-Пусть
*
^ = (₽{/)={ О
.k
1 с2 ...
й! а2 ...
bi b2 ...
Cd ad ’
*.
— матрица пересечений отношения R\, ki — валентность Ri и k — k\. Тогда
(i)	at 4- bt + ct = k (0 i d), причем c0 = bd = 0;
(ii)	kt — kbib2 ... bt_x[c2c3 ...Ct (2^i^d);
(iii)	k > bi > b2 > ... > bd_i,
(iv)	1 < c2 < с3 C ... < cd.
Доказательство. Равенства (i) следуют из предложения 2.2(v) гл. 1. В силу предложения 2.2(vi) гл. 1 имеет место равенство kipij=kjpii и, таким образом, ktb t = ki+lci+l. Воспользовавшись индукцией по i, приходим к справедливости равенства (ii). Для доказательства неравенств (iii) рассмотрим граф Г с множеством вершин X и множеством ребер Ri. Пусть д(х, у)—расстояние между вершинами х и у в этом графе. Для вершин х, у, таких, что д(х, y)=i, величина &, = ри+1 равна числу вершин w, таких, что d(x,w)= 1 и д(у, w) = i -j- 1. Рассмотрим вершину геХ, для которой d(x,z) = i— 1, d(z, у) — 1. Тогда d(z,w)^i, поскольку d(x,w)= 1, и d(z,	так как
d(w, у) = i + 1. Поэтому d(w,z)—i. Отсюда следует, что bi не превосходит числа bi-i, равного числу вершин w, таких, что д(х, w) — 1, d(w, z)= i.
Для доказательства неравенств (iv) также рассмотрим вершины х, у графа Г, такие что д(х, у)= i. При этом О = pu-i (i^d—1)— число вершин w, таких, что d(x,w)= 1 и d(w, у)= I— 1. Выберем вершину геХ, для которой д(х, z) = = i+l, д(у, z)==l. Тогда d(w,z)^i, поскольку d(w, у) =
—1, и d(w, z)^i, так как д(х, w) — 1. Поэтому d(w,z)=i. Значит, Ci не превосходит числа с<+1, равного числу вершин w, таких, что д (х, w) == 1, d(w, z) == i. □
164
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Вопросы. (3) Пусть
'	Si	5г	$з
*1 1... 1а... а В... В...
О at а2 ............................
<k bi b2 ...........................
— матрица пересечений некоторого дистанционно-регулярного графа. Имеется ли какое-либо соотношение между si, s2, S3, ...? Например, верно ли, что si s2 s3 ...? Имеется ли какое-либо соотношение между числами а— 1, р — а, ...? Например, верно ли, что а—1 р — а^...? Аналогичные вопросы можно сформулировать относительно последовательности k, bi, b2, ... (см. [169], [371], [373]).
(4)	Пусть £? = (Х,	есть Q-полиномиальная схема
относительно упорядочения Ео, Et, ..., Ed и q^— параметры Крейна. Пусть
J	*	1	С2	...	Cd~i	cd
=	=	1	°	а1	а2	•••	ad-1	ad [.
I	, •	. *	, *
(	m	b\	b2	...	bd-i	*
В каком случае имеют место неравенства rn^bi"^ Ь2"^ ... ...>bd-i и 1 с2 Сз^ ... ^ Сй? Если эти неравенства справедливы, то кратности nit в силу соотношения mi — — mb*b2 ... bi-i/c2C3 ... а обладают свойством унимодальности, т. е. т — гщ^-т^ ... ^mit и	> ...
(В действительности при этом выполняется более сильное свойство логарифмической выпуклости).
Известны контрпримеры к неравенствам для параметров а (см. замечание (2) в § 3.2), однако и в этих контрпримерах унимодальность mt имеет место. Возможно, свойство унимодальности имеет место для кратностей mi в произвольной Q-no-линомиальной схеме при достаточно больших значениях d (см. гипотезу (1) в § 3.1).
Теорема 1.3. Пусть 3S — (X, {Ri}b<i<d) есть Р-полиномиаль-ная схема, kt (0 i d) — валентности, k = k{ и mt (0 i d) — кратности собственных значений. Тогда в обозначениях предложения 1.1 выполняются следующие условия'.
(i)	0О = &, 0,, ..., 0d — различные вещественные числа, являющиеся собственными значениями матрицы Bt, причем ^—k (0<i<-d);
(ii)	clvi(x) = (x — a(_1)vl_l(x) — bi_2vi^2(x) для 2^i^d u v0(x)= 1, Vi(x) = x;
§3.1. Дистанционно-регулярные графы
165
(iii)	если vd+i(x) — многочлен степени d+U определенный формулой vd+x(x) = (x — ad)vd(x) — bd_ivd_i(x), то
Vd+dx) = -z~r±—Z-(* —0о)(* —0i) ••• (*~0</) =
С2С3 ... Cj
d
= (х —0О) £ У/(х);
t=0
d
(iv)	£ vi(0v)vl(0v)mv = nkfiil-
v«=0
(v)	(формула Кристоффеля — Дарбу)
i
El /ч ,4 ci+i vi+i^vi(y'>~oi(x')°i+t(y') W (У) = -*-------------------±--------—---------±-----
i—0
для 1 = 0, 1, ..., d, где cd+i = 1;
(vi) m,. =
nkd °d+l(ei)ad(ei)
(0 < / < d),
где n = |X| и vd+x(x) — многочлен, являющийся производной многочлена vd+x(x).
Доказательство, (i) В силу предложения 1.1 (iv) Р= (14(0/)). Поскольку Р невырожденна, все числа 0О, 01....0rf различны.
Так как Mi==Xi, то Г = 1, а отсюда ввиду формулы (3.7) гл. 2 получаем 0, = 0/. Наконец, воспользовавшись равенством (5.3) гл. 2, заключаем, что 0, = pi (i) является собственным значением матрицы Вх.
Из предложения l.l(iv) следует, что kt = vt(k). Согласно (1.2), ‘(ko, ki, ..., kd) является правым собственным вектором матрицы В\, соответствующим собственному значению k. По теореме Перрона — Фробениуса (которую можно найти в любом серьезном курсе линейной алгебры) все собственные значения матрицы Bi по абсолютной величине не превосходят k. Для удобства читателя мы приведем здесь доказательство этого утверждения. Пусть Вхх = 0х. Предположим сначала, что каждая компонента вектора х неотрицательна. Тогда очевидно, что 0^0. Пусть xo = ‘(ko, ki, ..., kd), и выберем наибольшее из таких чисел с > 0, что каждая компонента вектора хо — сх неотрицательна. Тогда все компоненты вектора Вх (х0 — сх) неотрицательны. Однако В1(х0 — cx)=fe(x0— (0/fe)cx), поэтому Q/k 1. Пусть теперь х имеет как положительные, так и отрицательные компоненты. Выберем наибольшее по абсолютной величине число с, такое, что каждая компонента вектора Хо — сх неотрицательна. Тогда все компоненты вектора В1(хо —сх) неотрицательны. Однако Bi(x0 — cx) = k(xo— — (0//г) сх) и потому |0/£|	1.
166
Гл. 3. Дистаициоиио-регуляриые графы
(ii)	Это свойство следует из соотношения (1.2).
(iii)	Пусть 0 — собственное значение матрицы и *(х0, х1( xd)— ее правый собственный вектор, соответствующий 0. Мы можем предположить, что х0=1, поскольку если х0 — 0, то х0 = Xi — ... = xd = 0, что приводит к противоречию. В силу (1.2) х( = и((0) (0<i<d) и Qxd = bd_{xd_i + + adxd, т. е. t>d+i(0) = (0 — ad)xd — bd^lxd_l = Q. Поэтому 0O, 0h ..., 0d являются корнями многочлена vd+l(x). Так как старший коэффициент многочлена vd+i(x) равен 1/с2с3 ... cd, то
Vd+i(x) = 77——— (х — 0О)(х — ©О ... (х —0d). с-2^3 ••• Cd
Суммируя равенства 0и( (0) = b^v^ (0) + apt (6) + с1+Р1+1 (0) (О d — 1) и Qvd (0) = bd_iVd_i (0) + advd(0), мы получаем, что d	d
eZ vt(e) = k Еме), 1=0	i=0
поскольку	ct=^k. Если 0 =/= k, то 0 является корнем
d
многочлена Za/W и> следовательно, 1=0
d	1
ЕМ*) = —---------77 (* - 01) (* - 62) ••• (x-0d).
v2^3 • • • I'd
(iv)	Это равенство вытекает из второго соотношения ортогональности (теорема 3.5 (iii) гл. 2).
(v)	(лг)(у) — Ui(x)ui+1(z/) =
=	{(X — Я<) vt (х) — bt-iVi-i (г)} vt (у) —
ci + l
---{(у - ai) vt (у) — 6/-1V/-1 (*/)} Vi (х) = , + 1
= -г— (X - у) vt (х) Vt (у) + {vt (х) vt_i (у) - Vi_, (х) Vi {у)}. с/+1	с1+1
Так как, согласно утверждению 1.2(ii), bi-i/ki = ci/ki~\, то
1 о м о	P^i	_
—t Vi (х) vt (у)- kt	x_y
ci viWvi-l(y) — vi-t(x)°i(y) ki-i	x~v
для 0	1 d, где o-i (x) = 0 и c<j+i 1. Суммируя no i от 0
до l, получаем требуемое соотношение.
§3.1. Дистаицйоийо-регулярные графы
167
(vi)	Переходя в равенстве (v) к пределу при у, стремящемся к х, получаем
i
X 4? М2 = W V{ М - V'1 Vi+i -3> 1—0
так как
V/+1 (*) vt (у) — vi (г) vt+i (у) =
= (У/+1 (*) — »z+i (i/)) (У) — (Pl W — (у)) vl+t (у).
По теореме 4.1 гл. 2 п	п
т1 = -------------=--------------.
Sz7l'”w,‘
V-0	v=o
В силу (1.3)
Е <0л2=i^v'd+i v* - v'a (0;) Vd+i (0^-v-0
По п. (iii) последнее равно
v'd+l (ej vd(et),
и мы получаем требуемый результат. □
Замечания. (2) Число mt в теореме 1.3(vi) —это кратное 0, как собственного значения первой матрицы смежности А[.
(3)	Выберем а и b так, чтобы а < 0, <_ b (O^z^d), i определим весовую функцию о>(х) по следующему правилу:
w(x) =
т{, если х = 0( (O^z^d), О в противном случае.
Для вещественных функций f(x), g(x), определенных на отрезке [а, 6], положим
ь	а
(f, g) = \f(x)g (х) w (г) dx -= f (0,) g (0f) т{.
a	Z=0
Тогда по теореме 1.3(iv) имеет место равенство (vit ц;) = = nkibt, и потому	V{(x) —• ортогональные многочлены,
связанные с весовым распределением w(x)dx. При этом mt называются числами Кристоффеля (см. [361], [148] и др.).
168
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
(4)	Положим
/?,(х) = с2с3 ... сг(и0(х) + »1(х)+...+»г(х)) (Z = 2, .... d)
и F0(x)=l, Fi(x) = x+1. Тогда Ft(x) удовлетворяет рекуррентному соотношению
Pt (х) = (х — k + bt_i + ct) Fi_i (x) —
— bi_lci_lFl_2(x) (Z = 2, ..., d). (1.4)
Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 1.3(iii), показывают, что (х— /г)Л(х) является минимальным многочленом тридиагональной матрицы
*	1	...	С/—1
«О	а.	...	at_x	+ bt ?.
. k	b ।	...	bx_x	*	-
В частности, (x — k) Fd (x) = c2c3 ... cdvd+x(x). d
Поскольку 0, (i #= 0) есть корень многочлена У, vt (х), из i=0
теоремы 1.3 (iii) следует, что
^d^z)^—^"d-1 (0i)/c2 Cd-\ (Z =/= 0).
Тогда формула для mx- в теореме 1.3 (vi) может быть следующим образом переписана в терминах Fd(^j) и /\/-1(9;):
т nkbi  ьч-\с2 ••• Cd-1
m0= 1.
(Z 0),
(1.5)
Равенство mo = 1 непосредственно следует из n. (vi) теоремы 1.3, а также из равенств vd(k) = kd и
d	d
v'd+1 (k) = (k — 0j) ... (k — 0d) = E vt (k) =Xkt = n.
z=0	i-0
(5)	Пусть fi(x) — многочлен степени Z с вещественными коэффициентами, который определяется следующим рекуррентным соотношением:
fi(x) = (Alx-)-Bi)fi_l(x)-Cifi_2(x) (Л>0, Сг>0),
где fo(x)=C>O и fi (х) — Дх + В, причем А > 0. Тогда все корни многочлена f,(x) вещественны и различны. Пусть ai > > а2 > ... > а,— корни многочлена fi(x). Тогда в открытом интервале (a/,’a;-i) (2 Z) имеется корень многочлена fi-i(x) (это легко доказать индукцией по Z). В частности, все корни многочленов щ(х) и Л(х) вещественны и различны.
§ 3.1. Дистанционно-регулярные графы
169
(6) Пусть
' * 1
Bi — - 0 ах /г Ь[
. •  Cd_[ cd  • • ad_i ad ••• bd_i *)
—- произвольная тридиагональная матрица, диагональные элементы которой неотрицательны, внедиагональные отличны от нуля, а сумма элементов в произвольном столбце равна k (заметим, что существование соответствующей схемы отношений не предполагается). Пусть vi(x)—многочлены степени I, определенные в теореме 1.3(ii). Тогда (х— k)Fd(x)—минимальный многочлен матрицы Bj и все корни этого многочлена вещественны и различны (замечания (4), (5)). Матрица Vi(Bi) имеет вид
О ... О 1 0 ... О
О kt О
О
(1.6)
(1 в i-м столбце первой строки, a kt — в r-й строке первого столбца), ki = vi{k). Алгебра, порожденная матрицей В\, является С-алгеброй с базисом u0(Bi), Ui(Bi), ..., ца(В1). Таким образом, формально теорема 1.3 справедлива для матрицы Вь
(7) Пусть Ui{x) — {\/ki)vt{x). Тогда в силу теоремы 4.1 гл. 2 если 0/ — собственное значение матрицы Вь то строка (ио(0/), И1(0/),	Ud(0/)) является левым собственным век-
тором матрицы Bi, соответствующим 0/. В частности, и,(х) удовлетворяет рекуррентному соотношению
xui(x) = ciul_x (х) 4-агиДх) + biUi+{ (х)	1), (1.7)
где uo(x)= 1, Ui(x)= (l/fei)x.
Вопрос. (5) Если в замечании (6) Bi— матрица пересечений некоторой Р-полиномиальной схемы, то
рее элементы матрицы щ(В1)
для i = 0,	.... d неотрицательны. (1.8)
170
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Каким условиям должны удовлетворять элементы a,, bt, а для того, чтобы матрица Bt в замечании (6) обладала свойством (1.8)?
Предложение 1.4. Валентности kt (0 i d) дистанционнорегулярного графа обладают свойством унимодальности, т. е, существует такое число io, что
^1	1	^х’о-1-2	•••
Доказательство. Поскольку ki= ((c(+i)/fe()fe;+i= (bi-\/ct)kt_b и в силу предложения 1.2 с( с,+1, bi_\ bt, последовательность {kt} обладает свойством логарифмической выпуклости, т. е.	+ Отсюда вытекает свойство унимодаль-
ности. □
Гипотезы. (1) Кратности собственных значений т, (0
i d) произвольной Q-полиномиальной схемы обладают свойством унимодальности.
(2) Кратности собственных значений пг, (0 i d) дистанционно-регулярного графа обладают свойствами унимодальности в случае, когда диаметр d достаточно велик по сравнению с валентностью, причем пи упорядочены так, что 0о > 01 > 02 > • • • > 0<s-
Если бы для Q-полиномиальной схемы выполнялись неравенства bi-i^bi и щ Cf+1, то гипотеза (1) была бы верна. Для малых d имеются контрпримеры к гипотезе (2). Однако если рассматривать т, как числа Кристоффеля в свете теоремы 1.3, то гипотеза (2) получает некоторое основание. А именно, числа Кристоффеля классических ортогональных многочленов обладают свойством унимодальности.
Имеется гипотеза о том, что если d достаточно велик (см. § 3.6), то Р-полиномиальные схемы, отличные от 2.0^ (двойного накрытия нечетного графа Ofc) и от ^-аналога последнего (см. § 3.7), являются Q-полиномиальными. Если она верна, то из справедливости гипотезы (1) следует справедливость гипотезы (2).
В обозначениях теоремы 1.3 имеет место следующее
Предложение 1.5. Пусть S8 — (X, {/?Jo<i<d) есть Р-полино-миальная схема. Тогда если 0г и 0/ алгебраически сопряжены над полем рациональных чисел, то mt = nij. В частности, для всех i справедливо неравенство # {nif\ = пц} # {0/1 0< алгебраически сопряжено с 8< над полем рациональных чисел}.
3.2. Схемы Хэмминга Н(п, q) и схемы Джонсона / (a, k)
171
Доказательство. Поскольку все коэффициенты многочленов t»d+i(x) и Vd(x) рациональны, из теоремы 1.3(vi) следует, что rrij = mi, если 0/ алгебраически сопряжено с О,- над полем рациональных чисел. □
Предположим, например, что т, обладают свойством строгой унимодальности, т. е. m0 < mt <z ... <.mk и mk+\ > > mfe+2 > ... > тл для некоторого k. Тогда для каждого mt существует не более одного т,, такого, что i =#= j и т, = т/. В силу предложения 1.5 многочлен Vd+i(x) разлагается в произведение многочленов степени не выше двух над полем рациональных чисел. Это дает очень сильное условие на матрицу пересечений Bt.
Теорема 1.6. Пусть G действует дистанционно-транзитивно на множестве X, т. е. G действует транзитивно на множестве X и 95 —(X, {/?J0<z<d) является Р-полиномиальной схемой, где Ri (0 i d)—орбиты действия G на Х\Х. Пусть /о + ... -f-%d — подстановочный характер, причем — неприводимые характеры группы G. Тогда	Пусть
он — стандартная зональная сферическая функция на X, связанная с %i. Положим and) — ti>t(x) для (х0, х)е Rj, где хо — фиксированная точка. Тогда со((/) = (1//г/)щ(0,), где Qi = p1(i) и иДх) — многочлены, определенные в теореме 1.3.
Доказательство очевидным образом вытекает из теоремы 11.10 гл. 2 и предложения 1.1 (iv). □
§ 3.2. Схемы Хэмминга Н(п, q) и схемы Джонсона J'(v, k)
Схема Хэмминга Н(п, q). Пусть F — множество мощности q (q ^2) и X = Fn есть п-я декартова степень F. Хэммингово расстояние между двумя точками x = (xi, ..., хп) и у = = (z/i...уп) из множества X по определению равно
д(х, y) = # {i\xt =£ yt, l<i<n}.	(2.1)
Пусть Ri есть i-e отношение расстояния на X, т. е.
Rt = {{x, у)^Х'Х.Х\д(х, y) = i}-	(2.2)
Тогда 95 — (X, {/?;}, <( <d) — симметричная схема отношений, называемая схемой Хэмминга H(n,q) длины п над F. Пусть G — экспоненцирование группы Sq при помощи группы Sn (абстрактно изоморфное сплетению этих групп), имеющее порядок (ql)nnl. Тогда G действует на множестве X дистанционно-тран
172
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
зитивно, т. е. G транзитивна на каждом Rt (0 i п). Матрица пересечений В\ имеет вид
В1 = < о
1
9-2
i ... п
*(9 — 2)	... п(9 —2) >•
.n(9~1) («— 1)(9— 0 ••• (« —0(9—0 •••	*
(2-3)
Вычислим собственные матрицы Р, Q и покажем, что P=Q. Снабдим F структурой абелевой группы, скажем циклической группы порядка q. Пусть F*— группа характеров группы F. Тогда ц:	порождает F* и F* является циклической группой
порядка q (здесь а — образующая F, а £ — примитивный корень степени q из единицы).
X = F X ... X F является регулярной подгруппой группы G.
Пусть
Х1 = {х — (хх.x„)«=X|d(x0> x) = i},	(2.4)
где х0 = (0, 0, ..., 0). Тогда Хо, Хь ..., Х„ порождают S-кольцо S над X, где X, = У, х. Покажем, что двойственное S-кольцо S’ изоморфно S.
Пусть Y — группа характеров группы X. Тогда
Г = ГХГХ...ХГ.
п
Лемма 2.1. Пусть г]а (1 а ^/)— произвольный неединичный элемент в Р. Тогда
Z П1 (М)П2(х2) ... т]/(х/) = (— 1/,
где суммирование ведется по xi^F—{0}, ..., х/ е F—{0}.
Доказательство. В силу соотношения ортогональности для характеров группы F
Z П1 (м) Т]2 (*2) • • • П/(*/) = П ( Z Па (*Г) =(—1/. □
X е=К-{0}	а=1 Uef-(O) )
1<а</
Предложение 2.2. Для Д = (т)1, П2...Пл)е^ пусть i —
число индексов а, таких, что т]а отлично от тождественного

3.2. Схемы Хэмминга Н(п, д) и схемы Джонсона I (и, k)
173
Доказательство. Пусть S = {а|т]а— нетождественное представление} (|S| = i). Применим лемму 2.1, упорядочивая элементы х = (х:, ...,	в соответствии с числом / индексов
а, таких, что а е S и ха =/= 0. □
Пусть У/ — множество элементов Д — (гд, т]п)е У, таких, что
# {а |т]., — нетождественное представление, l^a^n} = i. (2.5)
Тогда в силу теоремы 6.3 гл. 2 множество Yo, Yi, ..., Yn порождает двойственное S-кольцо ©*, где Y; = У, Д. Сравнивая деу,-
(2.4) и (2.5), замечаем, что отображение, переводящее X, в Y,-, задает изоморфизм © в ©* В силу предложения 5.4 гл. 2
X(Xfe) = pfe(i) (ДеУ().	(2.6)
Введем следующие многочлены Кравчука (см. [361]): k
К^ = ^Пя-^(и}(П~и\	(2-7)
Многочлен КДи) имеет степень k относительно переменной и.
Теорема 2.3. Пусть Р = (рД1)) и Q = (qk(i)\—собственные матрицы схемы Хэмминга Н (п, у). Тогда
Pk (i) = Pk (i) = Kk (0-
Доказательство очевидным образом следует из предложения 2.2, равенства (2.6) и того факта, что © = ©*. □
Нетрудно проверить, что многочлены Кравчука могут быть представлены в следующем виде (см. (2.10)):
k /
КЛ«) = £(-<?)'j(“).	(2-8)
Многочлены щ(х) в теореме 1.3 отличаются от КДи) всего лишь аффинным преобразованием, а именно
Vi(x) = Ki(u) (х = Kl(u) = (q — l)n~qu). (2.9)
Производящая функция многочленов КДи) имеет следующий вид:
Е Kk(u)tk = (l + (q-\)tr~u(l-()u.	(2.10)
ft-o
174
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Пусть rFs — гипергеометрический ряд
	..., а	\=у (щ);.. . (ar)f X* \(bi)i ... (bs)i 11’	v	'
где	f д(а+ 1) ... (a + x— 1), /=1, 2	 <“>' = ( 1,	i = 0.	<2I2)
Тогда	(n \	.	( —k, —и n \
Чтобы показать это, достаточно подставить
в равенство (2.8). f—k, —и q \
В силу теорем 1.6 и 2.3	п 1 </ — 1 ) является стан-
дартной зональной сферической функцией <ou(fe) подстановочного представления G = на множестве X.
Схема Джонсона J (v, k). Пусть S — множество мощности v и X = {Т cz S| | Т\ = k} (fe ц/2). Расстоянием между Т\, Т2 е еХ назовем величину
k - | Г, Л Т21.	(2.14)
Пусть Ri есть i-e отношение расстояния на X, т. е.
Ri = {(Ti> Т2)\\Т\(]Т2\ = к-1}.	(2.15)
Тогда <% = (X, {Ri}0<i<k) — симметричная схема отношений, называемая схемой Джонсона J(v,k). Матрица пересечений В{ имеет следующий вид
Bi =
'	*	1	...	i2 ...	/г2
= . О	и — 2	...	—	... k(v — 2k) >.
,/г(ц — fe) (fe —1)(ц —fe — 1) ... (fe —i) (ц —fe — г) ...	*
(2-16)
Пусть G — симметрическая группа на множестве S. Тогда она естественным образом действует на X и это действие дистанционно-транзитивно.
Наша цель состоит в нахождении собственных матриц Р, Q. Здесь ситуация не столь проста, как в случае схем Хэмминга,
3.2. Схемы Хэмминга Н(п, д) н схемы Джонсона J(v, k)
175
поскольку G не имеет регулярных подгрупп. Пусть = = {Т a: S] | Т| = г). Тогда G естественным образом действует на причем это действие транзитивно. Пусть л,— подстановочный характер, отвечающий действию G на В частности, X = ^(S) и Jife — подстановочный характер действия G на X. Отметим, что л, (а)—число элементов в 5s, (S), которые а составляет на месте.
Лемма 2.4. (лг, n/)0 = i+l (О^/^/^р/2).
Доказательство. Так как — подстановочный характер действия G на (S) Х^*/(S), то (л/( Я/)о = (1, л^Лу)о = (число орбит действия G на (S) X (S)) = i + 1 • □
Теорема 2.5. Пусть Хо = 1<з — единичный характер и — —	(1	у/2). Тогда
(i) х0, Х[.. %1о/2]— различные неприводимые характеры
группы G;
(ii) = Хо + Xi + • • • + X/ (0 < i < v/2).
Доказательство. Предположим, что хо, Xi.....X*-i—раз-
личные неприводимые характеры группы G и л,_1 = хо +. i+ Xi + •  • + X‘-i- Для 1	— 1 имеем
(лу, Х/) = (лг, л,) — (лг, Л/_|) = (/ + 1) — / (по лемме 2.4)= 1.
Поэтому л(- содержит х/ с кратностью единица для 1 j
—1. Так как G транзитивна на	то, кроме того,
(л», Хо) = 1- Поскольку (л,, л() = i + 1, разность л/ — л;_! должна быть неприводимым характером, отличным от каждого х/ (О i—1). Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по i. □
Х< — неприводимый характер, отвечающий диаграмме Юнга следующего вида:
I
Полное описание неприводимых характеров группы G можно найти в работе Джеймса и Кербера [225] (первоначально описание получено Фробениусом, Юнгом и др.).
176
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Теорема 2.6. Для 1 i v/2, 1 j v/2 имеет место соотношение
(Xi, XiX/)==
1, если | i — /|^1, за исключением случая I— j— v/2; О, если | i — j | > 1 или если i = j = v/2.
Доказательство. Можно считать, что i /. Подсчет числа G-орбит на множестве (S)X #\(S)X ^j(S) дает формулу
		r4i + 2,	если	0<	i<j	^v/2,	
Л^Лу) 1	<	4i'+ 1,	если	0<	i = l	< v/2,	(2.17)
		,4г,	если	1	n = i	= ц/2.	
Поскольку (л0, Л/Л,) =	i + 1 (0		C i	j	v/2),		
		c3i + 1,	если	0<	i<j	<u/2,	
(Xi, «/«/) =	<	3i,	если	0<	i = j	< v/2,	(2-18)
		,3i- 1,	если	1 =c	i = i	= v/2.	
Применяя (2.18) к равенству Х*Х/ =	— л^л,—
— л^у^, получаем требуемое соотношение. □
Следствие из теоремы 2.6. Пусть q^. — параметры Крейна. Тогда q!u = 0, если | i — /1 > 1 или если i = j = v/2. В частности, J (v, k) является Q-полиномиальной схемой.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 8.1 гл. 2. □
Одна из возможностей определения р((/) состоит в использовании следствия 11.7 гл. 2:
х На^Н
где Н — стабилизатор подмножества То е (S) и HaiH = — {х е G11 То П T'o I = k — г). Этот метод может быть реализован путем подсчета двумя способами мощности множества
{(х, G) <= HatH X (S) | Ux = U}.
При одном способе подсчета мы получаем £ л>(х), однако х^На.Н
для подсчета другим способом требуются довольно громоздкие суммы биномиальных коэффициентов. Здесь мы воспользуемся несколько иным подходом, состоящим в применении сферических функций (см. [141Д,
3.2. Схемы Хэмминга Н(п, q) и схемы Джонсона I (a, k)
177
Пусть Xi есть i-я координатная функция, т. е. для Т = S = = {1.2.....и}
(2.19)
( 1, если i е Т, хг(Т) = 1 п
I. О в противном случае.
Рассматривая xt как элемент множества функций C(^(S)) из ^(S) в С, получаем, что Ц xt — характеристическая функция множества Т, где	(S). Поэтому ( Ц xj Т <=	(S) I
( i е Т	У
является базисом в C(^,(S)). Группа G действует на C(^/(S)) по следующему правилу: fa (Т) = f (Та~!) для feC^^S)) и Т	Это действие на базисе J Ц хД подобно действию
Ье=т J
на ^j(S) и поэтому имеет тот же подстановочный характер af. Поскольку координатная функция х, является элементом из C(^ft(S)), каждое C(&j(S)) естественным образом вкладывается в C(^(S)) для 0 j k. Ниже мы будем рассматривать C(^/(S)) (0 k) как подпространство в С(Л(5)) относительно этого вложения.
Пусть D — оператор формального дифференцирования d
0-У4--
L-i дх, «_Л	•
(2.20)
Пусть
V/ = kerDnC(^/(S)).	(2.21)
Предложение 2.7. V/ — пространство сферических функций, соответствующих %,.
Доказательство. D отображает С(^/(5)) в C^^JS)). Покажем, что это отображение «на». Для T^ S пусть хт обозначает П х{. Зафиксируем Uo^	Положим
«еГ
У1= Z хт и Z(=	£ ху.
|ТПУо| = >	14/ПС/о
Ts^/(S)
Тогда D (у/) = (о — 2/ + 2 + г) гг + (/ — г) гг_и Поэтому

(—а + /)< Vi-'-*
Поскольку D коммутирует с действием G, C(^j(S))IV} изоморфно C(^/_i(S)) как G-пространство. Поэтому характер группы G на Vf равен а( —	q
178
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Для TsS пусть о,(Т)—фундаментальная симметрическая функция степени i от переменных xit j е Т.
Лемма 2.8. (i) Dui(T) = ( | У] — i+ 1) а,_1 (Т).
(ii) Для непересекающихся подмножеств Т, U множества S положим
/ = 0
при / min {| Т |, | U |}. Тогда Df = 0.
Доказательство. Пункт (i) проверяется непосредственно. Докажем (ii). В силу (i)
Df = £ (-1/ (I UI - / + l)f (| T | - j +	(T) a,_t (U) +
t-o
+ E(-i)‘(li/l-j+nt+iUT|-/ + i)/_1ot(T)o/_1_l(U) = t-0
= E (-DS+1 (It/ I - / + l)s+i (I T | - / + l)/_sos (П al_s_l (U) + s=0
+ S (-1/ Q t/ I - J + 1U1 (I T | - j + !)/_, 0t (T)	(U) = 0. □
<-o
Пусть To — фиксированная точка из ^(S) и И — стабилизатор То в G. Подгруппа Н имеет порядок kl(v — &!). Положим в лемме 2.8(ii) Т — То, U — S—То. Тогда f является //-инвариантной и потому представляет собой зональную сферическую функцию, соответствующую %/.
Теорема 2.9. Пусть (я/— стандартная зональная сферическая функция, соответствующая ц, и пусть — значение на элементе T^&>k(S), таком, что | То П Т\ = k— i- Тогда
f—i, —v — 1 + j \ _„ + i .Д
(Этот многочлен называется многочленом Хана Q, (z; —v + k — 1, —k— 1, k), где
/ —У> —j> / 4- a + p + 1	\ \
Qi^^Qily, a. P. АЭ = зЦ_^	; 1 J.J
Доказательство. Положим в лемме 2.8 (ii) Т = Т0, U =S — To. Тогда значение -Of (То) Oj_f (S — То) на подмножестве Т е (S), / k — i \ / i \
таком, что | То Г)Г | = £ — i, равно I	Заменяя I
3.2. Схемы Хэмминга И (п, д) и схемы Джонсона J (у, k)
179
на j — t, получаем
/-О	' •/	•/м/
и
f (То) = (—l)7(v —
Таким образом,
®/(O = ®/(7’) = f(7’)/f(7’o) =
__ 1 (« — * — / + 1)/_/ , . ..
(П-Й-/ + 1)/	1 + vj_t)G)•
Поскольку (v-k-i+l)j_t (-1/ (v~ k — 7'4-1)/	(-v + £)f’
(i-t)l	( J /!(*-/-/+!)<
и так как Q) = (— l)f . to
,	(-Й + i),	/ — I, —j, k — j + 1	\
Ю (;•)=	.. ' 3F2	, L L .	• ,	1 • (2.22)
(-*)/ 5 V — v + k, k — i — /+ Г 7 v ’
Применим к (2.22) при a =—v — 1 -]- j, b = —i, c = —v + k, d — —k, n = j следующую формулу:
f—n, a, b
*F\c, d ;
_(d~ b)n ( ~n, c-a, b Wn 3 2\c, l-|-6 — d — n’
(2.23)
(cm. [170], c. 187, (2.7); [10], c. 22) и получим требуемый результат. □
Следствие теоремы 2.9. Пусть P = (pi(j))! Q =(^(1)) — собственные матрицы схемы J(v,k), и пусть kt и т,- — валентности и кратности. Тогда

и - 2/ + 1 <
V —/4- 1 I j)'
180
Гл. 3. Диставциоийо-регулярные графы
Доказательство. (1) Валентность kt — это количество Т’е таких, что |7’оП7’| = & — I. Кратность /и/— это степень х/.
(2) В силу теоремы 11.10 гл. 2 рг (/)/&г = (i). а в силу теоремы 3.5 гл. 2 qj(i)ltrij —	□
Теорема 2.10. (1) Пусть ЕДи)— многочлен степени 21 относительно и, задаваемый формулой
Et(u) = £ (~1)‘-г
г=о
,/— i, — k Д-и, v — k — u+l
=(-4/И-*, i ; 1
k —	— u\f V ~ k + l — и
i — l)\ t JI t
(Эти многочлены называются многочленами Эберлейна или двойственными многочленами Хана, см. [118], с. 64.) Тогда собственная матрица Р = (рД])) задается равенством рД]) = ЕД]'). Можно выразить ЕДи) также следующим образом:
k — u\/v — k — u\ / —г, —i, —и
i /\ i	J3^2\fe — i — иД-1, v — i—u — k-\-V
(2) Многочлены иДх) в теореме 1.3 задаются равенством сДх) — Et (и) (х — и2 — (v + 1)ы + k (у — fe)).
Доказательство. (1) Применив равенство (2.23) при п = г, а — —v — 1 + /, b = —j, с = —k, d = —v k, получим, что
( —i, — v — 1 + j, —j Pi(f) = ki3F2[_kt _u + fe
(-V + fe + i)i p (	-j, v + l-i — k^	\
1 (—v + k)i 3 2 V — k, v Д- 1 — i — j — k' J ’
(2.24)
Применив (2.23) к (2.24) при n = i, a — —j, b = и1—j — k, c = —k, d = v -j-1 — i — j — k, получим равенство о, (i} = k + ib- .
\-i)l p -fe+/> v+l-j-k \ (v-i-i-k + lh 3 2\—k, 1	’	)‘
3.2. Схемы Хэмминга Н(п, q) и схемы Джонсона J (и, k}
181
Так как
. I' k \
ki (—° + & + j)i (— 1)//(—° 4"&)i (° — 1 — j — & + 1)< = ( О* г- J >
то pt (j) = Et (j). В силу (2.22)
. l-fe + О/ „	k-j+1, -j . \
Pz(j) i	_ £- _ j j,	J’
Применив (2.23) при n = i, a — k~j+\, b = —j, c — k — — ( — /+ 1, d = —v + k, получаем второе выражение для Et (и).
(2) Из первого выражения для Е((и) следует, что £/(«) является многочленом от (k — и) (о — k — и + 1) и, значит, от х = (fe — и) (о — k — и -|- 1) — k. Пусть Et (и) = Fi (х). Тогда Ft (х) является многочленом степени I и Ft (0/) = pt (j) = vt (6Z) (О
i d), где Qj — Ei(j) — (k — j) (v — k —/+ 1) — k — собственные значения матрицы В} (О /=Cd). Поскольку многочлен ГДх)— vt (х) имеет степень не выше d и по меньшей мере d + 1 корней, мы получаем, что Ft (х) = vt (х). □
Пусть <7^ — параметры Крейна схемы /(о, k) и В\ = (q{i)~ двойственная матрица пересечений. В силу следствия теоремы 2.6 матрица В\ тридиагональна:
< ... с;
а\ ... ad
b’t ... *
(2.25)
где m = tnx = v — 1, d = k. Вычислим af, c*f, b*. Пусть и’(х) — многочлен степени j, задаваемый равенством
хи* (х) =	(х) + а*и* (х) + b*tuj+i (х)	(2.26)
для 1 С / d — 1 и u*Q (х) = 1, и* (х) = (l/т) х. Тогда в силу варианта предложения 1.1 (iv) для Q-полиномиальных схем и замечания (7) к § 3.1 получаем и’(0‘) == (l/mj (z), где 0* = (z) — собственные значения матрицы В\. Так как, согласно следствию теоремы 2.9, (1//П/) qt (i) = (l/^t) Pl (j) = Qf (z), to u* (0*;) =	(z),
где Qi (у) = Qi(y\ — v + k— 1, —k—1, &) —многочлен Хана степени j относительно у. Положим
*=(’-0(1 -т^тг)-	(2-27)
Тогда
u'iW^Qity) (O^f^d),	(2.28}
182
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
поскольку 0] = (о — 1)(1 — ui/fe(o — fe)) и «у (9,) = Q/(О для 0
Известно, что в общем случае многочлены Хана Q^y) — = Qf(y, а, 0, N) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:
— yQi (У) = S/Q/-1 (У) — (st + tf) Qf (у) + tjQf+i(у)	(2.29)
для всех у, если 0 Л7 — 1, и для у = 0, 1,2, .... У в случае, когда / = N, где
_z i(i + P) (/ + <* +0 + ^ + 1) , (/ + « + 0+1)(/ + а+1) (ЛГ-j) Sf (2/ + а + Р)(2/ + а + Р +1) ' 1< (2/ + а + 0 + 1) (2/ + а + 0 + 2) (см. [232], с. 34).
В нашем случае мы можем проверить равенство (2.29) непосредственно, поскольку знаем, что Qj(y) в силу (2.26) и (2.28) удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению, а также определить коэффициенты этого соотношения, полагая у = 0, 1,2. Переписывая (2.29) в терминах х и и*(х) при а = = —vk— 1, 0 = —k—1, М = мы приходим к следующей теореме:
Теорема 2.11. Пусть
*
(ГП
С[ ... Cj а* ... a'd Ь\ ... *
— двойственная матрица пересечений (<7^) схемы /(и, k). Тогда
р (р -1)	р(р-1)
°! k(v~ k) r f~ k(v-k) SP где
_ / (fe - j +1) (P - fe - / + 1) у _ (P-/ + !)(P-fe-j)(fe-/)
1	(p-2/ + 2)(p-2/+1) ’	(P - 2/ + 1) (P - 2/)
Замечания. (1) a* = 0 (/= 0, 1, .... d), если v = 2k.
(	2) В J(u, k) выполняется неравенство b] >6*+i, однако неравенства Q^c*+i, вообще говоря, неверны.
§ 3.3. Графы Мура и другие экстремальные случаи
В этом параграфе изучаются Р-полиномиальные схемы, или, другими словами — дистанционно-регулярные графы. Если в дополнение к Р-полиномиальной структуре предположить наличие другой Р-полиномиальиой структуры или Q-полиномиальной
§ 3.3. Графы Мура и другие экстремальные случаи
183
структуры, удается найти сильные ограничения на параметры такой схемы (см. § 3.4 и § 3.5). Однако при наличии лишь Р-полиномиальной структуры общая классификация представляется очень сложной. Поэтому мы рассматриваем весьма ограниченные, но очень важные «экстремальные» классы схем и проводим классификацию некоторых из них. Мы надеемся, что использованные здесь методы найдут применение при дальнейших исследованиях Р-полиномиальных схем.
Пусть Г — дистанционно-регулярный граф валентности k и диаметра d, имеющий п вершин. Обхватом g графа Г называется минимум длин его циклов. Тогда
п < 1 + k + k (k - 1) + k (k - I)2 + ... + k (k - l)d-1 (3.1)
и g<2d+l.	(3.2)
Замечание. Оценка (3.1) имеет порядок kd, в то время как условие абсолютной границы (теорема 4.9 гл. 2) имеет порядок тй!&\
Пусть В — матрица пересечений графа Г. Тогда нетрудно показать эквивалентность трех условий:
(i)	в (3.1) достигается равенство;
(ii)	в (3.2) достигается равенство;
	' * 1
(iii) В =.	0	0
	k k — 1
1	...	1	1	'j
О ... О k— 1 I. k-\ ... k-l * I
Если дистанционно-регулярный граф Г удовлетворяет любому из трех приведенных выше эквивалентных условий, то он называется графом Мура.
Теорема 3.1. Пусть Г — граф Мура валентности k и диаметра d. Тогда либо (i) k = 2, либо (ii) d = 2 и k = 2, 3, 7, 57.
Если k — 2, то Г является (2d + 1)-угольником. Если d = 2 и & = 3, то Г — граф Петерсена, т. е. граф Оз (п = 10). Если d = 2 и k = T, то Г — граф Хоффмана — Синглтона, возникающий из действия группы Оз (5) на смежных классах по подгруппе А? (п = 50). В случае d — 2 и k =57 проблема существования и единственности остается открытой (п = 3250), однако известно, что если такой граф Г существует, то он не является дистанционно-транзитивным [2] и его полная группа автоморфизмов содержит группу нечетного порядка в качестве подгруппы индекса не выше двух (Г. Хигман, неопубликовано). Теорема 3.1 доказана в работе Хоффмана — Синглтона [204] для случая d = 2, 3 и в работах [29], [ 111 ] для d 3,
184
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Доказательство теоремы 3.1. Доказательство разбивается на несколько шагов. Шаги 1, 2 и 3 состоят в вычислении собственных значений и кратностей с использованием соотношений (1.4), (1.5). Для рассматриваемого случая они принимают следующий вид:
Fl(x) = xFl_1(x)-(k- l)Fz_2(x) (2<i<d),	(3.3)
где Fo (x) = 1 и Fi (x) = x + I, nk (k - I)*"1
tn, —----—-------------- (0, Ф k).
(*-0/)^(0O^-i(0/)
(3-4)
Шаг 1. Пусть
x
- (fe - 1)
1\
OF
Тогда рекуррентное соотношение (3.3) можно записать следующим образом:
(Ft-(x), Fi_1(x)) = (Fi_1(x), Fz_2(x))T =
= (F1(x), F0(x))T‘-1= (1, 0)Г‘ + (1. 0)T<-1 (2<z<rf).
(3-5)
Пусть X, pt — собственные значения матрицы Т. Тогда
Л + pi = х, Zpi = s2, где s = -у/и — 1.	(3.6)
Собственными векторами матрицы Т являются (X, 1) и (pi, 1). Поскольку
(1, O) = (l/(Z-pi))(Z, l)-(l/(Z-pi))(pi, 1),
равенство (3.5) принимает вид
Ft (х)=—(Л— V—ц< (ц + - (0 < i < d).	(3.7)
Пусть X == s • ф и pi = s • е~^~х ф. Тогда
х = Л pi = 2s cos qp,	(3.8)
и в силу (3.7)
«Л-1 .
W = sin + Dqp + sinrfqp}. (3.9)
Шаг 2. Пусть 0i > 02 > ... > 0d— корни многочлена Fj(x), И пусть 0/ = 2s cos ф,. Покажем, что
/ЭХ	/ЭХ	/о I
<зло>
§ 3.3. Графы Мура й Другие экстремальные случай
185
Действительно, Fd(x) имеет знаки (—1/ 1 и (—1/ при х — 2s cos (in/(d +1)) и х = 2s cos (z'jx/d) соответственно. Это следует из того, что s sin (d + 1) <p + sin dtp равно (— I)'-1 sin (zn/(d + 1)) при q> = in/(d + 1) и (—l)‘s sin (zn/d) при tp-in/d. Кроме того,
lim{s sin (d+ l)<p+ sin dtp} = (— l)ds(d + l) + (— l)d-1d. ф->Л b111 v
Теперь для обоснования (3.10) достаточно воспользоваться теоремой о среднем.
Шаг 3. Пусть 0— корень Fd(x). В силу (3.10) мы можем считать, что 0 = к + р — 2s cos ф, где 0 < ф < л. Тогда и, полагая в (3.7) z = d, получаем Xd(X4-l) — pd(p+1) = 0, т. е.
=	(3.11)
Поэтому
- т£И(£Г'	“
= {т (Н + 1) - (Н + 1)} = -1 н"-1 (и + 1). (3.12)
Взяв в (3.6) производную по х, получаем 7/р + Хц' = 0, V + ц' = 1 и, следовательно,
(3.13)
Вычислим значение производной выражения (3.7) (z = d) в точке 0, учитывая, что Fd(0) = O:
Л(0) =	{(d + 1) kdk' + dXd-1Z' - (d + 1) ndpi' - dpid~'n'} =
= (х2ц)Л(^+о ^+1+^d+(d+1) pd+i+di/j
(в силу (3.13)) =
= 7Г-^Л2 f(d + 1) Л + d + (d + 1) P “7- + d^-J4
d	(в силу (3.11)) =
= (Л-J(iz + 1)	Л + H) +	+ И + 2)} =
id
= (9.-Д(и+1) (<M + ') (3 + *) + k - 2)
(в силу (3.6)). (3.14) С учетом (3.12) и (3.14) получаем
F'd(0) Fd-. (0) = ^^i-{(2d + 1) (0 + k) + k - 2).
186
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Отсюда в силу (3.4) следует, что кратность 9 как собственного значения А (матрицы смежности графа Г) равна
/71(0) =
nk
~g
__________4s2 - е2 (fe _ 9) (е + fe +
(g = 2d +1).
(3.15)
Шаг 4. Покажем, что при d 3 и k 25= 3 выполнены неравенства
/п(01)</п(0г) (1 = 2,3......d-1),
/7i(0d)</n(0z) (i=2, 3......d-1).
Мы можем рассматривать /п(0) в (3.15) как йепрерывную функцию от 0 на отрезке [—2s, 2s]. Для произвольного вещественного числа у уравнение /тг(0) = у имеет не более двух решений. Отсюда следует, что график функции // = /тг(0) унимодален на отрезке [—2s, 2s], Таким образом, для обоснования (3.16) достаточно показать, что
пг (0!) < т (0d_i), т (0d) < т (02).	(3.17)
Неравенство /п(0Д< /тг(02) тривиально, так как
/п(0)=^-а (0)6(0) и a(0d)<a(02), 6(0d)<6(02), где
а (0) = (4s2 - 02)/(/г2 - 02), b (0) = 1/( 1 + -.
Для доказательства того, что /n(0i) < m(0d_i), нам потребуется более точные, чем в (3.10), границы для 01 и 0d—i, а именно
л	2 те	Зл	2 те	,п 1
d + 1 < ‘Pl < 2d + 1 ’ 2d + 1 Л — <Pd-1 < d + 1	(3‘18'
Неравенство (3.18) нетрудно вывести из теоремы о среднем. Поскольку т (0)—унимодальная функция и
“ 2s cos 2ТГГ < 0“-' < 2s cos w < 0i’
для доказательства неравенства /n(9i) < m(0d-i) достаточно показать, что
tn (2s cos 2а) < пг (— 2s cos За) (а = n/(2d -ф 1)).	(3.19)
Разность /71(—2s cos За)— /n(2scos2a) имеет тот же знак, что и sin2 За | fe2 — 4s2 cos2 2а -ф fe g 2 (k — 2s cos 2a)} —
— sin2 2a | k2 — 4s2 cos2 За -ф - ~ 2 (k -ф 2s cos 3a) j.	(3.20)
§ 3.3. Графы Мура и другие экстремальные случаи
187
Поскольку
sin2 За — sin2 2а = sin2 За cos2 2а — sin2 2а cos3 За = sin а sin 5а
и
sin2 За cos 2а — sin2 2а cos За — ,	t г* । п • 9 За • о * 5<х • а
= sin а sin 5а + 8 sin2 sin2 а sin sin , z	2	2
выражение (3.20) равно
sin a sin 5а f k2 -]- —~ - — 4s2 —
I g
2s (k - 2) g
, . , За . .а
4 sin' sin а sm -у
5а
c°s-2-
(3-21)
А так как a л/7, то . . , За . .а 4 sin' — sin а sin --------------------------?—=-------- < 0,35;
5а cos —
отсюда вытекает, что выражение (3.21) не превосходит величины
• к ( (.2 I (fe - 2) * л 2	2,7s (k - 2) )
sin a sin ба | k2 + -—j-2-4s2--------------— J,
которая положительна, поскольку k 3 и g 7. Тем самым неравенство (3.16) доказано.
Шаг 5. Допустим, что d 25= 3 и k 3. Согласно предложению 1.5 и неравенствам (3.16), th + 0d—рациональное число. Поскольку Fa(x)— приведенный многочлен, все 0, (0 i d) — алгебраические целые числа. Следовательно, 01 +	— целое число.
В силу рекуррентного соотношения (3.3)
(3.22)
поэтому
(3.23)
В силу (3.10)
6z + Bd_z<0.	(3.24)
Из (3.23) и (3.24) мы получаем, что —1 < 0z + Qa~i < 0 (0 < i < d), а это противоречит (3.22) . Отсюда следует, что d — 2 или k = 2.
188
Гл. 3. Дистаиционно-регуляриые графы
Шаг 6. Допустим, что d — 2 и k #= 2. Тогда в силу (3.3)
F2.(x) = x2 + x-(fe-1).	(3.25)
Поскольку п = 1 + А2 и g = 5, выражение (3.15) принимает вид . fe (fe3 + 1) (4fe — 4 —е2)	, fi.
m(0) — (й-8) (6Й-2 + 58) •	(3126'
Так как 02 < — 0(, то a(02)<a(0!), b (02) < Ь (0,), откуда т(02)< < т (0(), где т (0) = (Ал/5) а (0) Ь (0) при
а (0) = (4А — 4 — 02)/(А2 — О2),	&(0) = 1/(1 +-4Й)-)-
Следовательно, корни многочлена Fz(x) рациональны и потому 14-4 (А— 1)—квадрат. Положим /2 = 14-4(А—1). Тогда А = = (t2 4- 3)/4 и 0 =(Z—1)/2 является корнем Fztx). Равенство (3.26) принимает вид
/54-/44-6/3- 2/24-(9-32т)/- 15 = 0,	(3.27)
где /п = т(0) — целое число. Значит, t делит 15, т. е. t = 1, 3, 5, 15, откуда А = 1, 3, 7, 57. Этим завершается доказательство теоремы 3.1. □
Другим экстремальным случаем является дистанционно-регулярный граф с матрицей пересечений
to II 	А		'*	1	1	...	1	А" 0	0	0	...	0	0 .А	А — 1	А — 1	...	А	—	1	♦.	
Это частный случай обобщенных d-угольников, характеризуемый свойством s = t = А — 1.
Система инцидентности (P,L,I) называется обобщенным d-угольником, если
(1)	каждый элемент из Р инцидентен в точности t 4- 1 элементам из L,
(ii)	каждый элемент из L инцидентен в точности s 4- 1 элементам из Р,
(iii)	соответствующий двудольный граф с множеством вершин PU L имеет диаметр d и обхват 2d.
Геометрия смежных классов группы с BW-парой, группа Вейля которой изоморфна диэдральной группе порядка 2d, представляет собой обобщенный d-угольник [152].
Теорема (Фейт и Хигман [152})- Пусть (Р, L,!) — обобщенный d-угольник с параметрами s, t. Тогда либо (P,L,f)— обычный многоугольник, либо d = 2, 3, 4, 6, 8 или 12. Если, кроме
§ 3.3. Графы Мура и другие экстремальные случаи
189
того, s > 1 и t > 1, то d — 2, 3, 4, 6 или 8, и в случае, когда d — 3, 6, 8, не содержащий квадратов сомножитель числа st равен 1, 1, 2 соответственно.
В частности, если s = t > 1, то d == 2, 3, 4 или 6 (см. также [331], [38]).
Пусть Г — дистанционно-регулярный граф с матрицей пересечений
' *	1	1	...	1 с
В—	0	0	0	... О k — cf.
.k k — 1 k— 1 ... k — 1	* .
Г называется обобщенным графом Мура. Если с = 1, то Г — граф Мура. Если c=k, то Г — обобщенный d-угольник. Пусть k = 0О, 61, ..., 6d (6i > 6x+i)—собственные значения матрицы В и m(8i)—кратность 6, как собственного значения матрицы смежности А. Тогда выполняются следующие неравенства:
m (0Д < пг (61) < пг (6d_ 0 < пг (62) < пг (6d_2) ... пг (6Z) <
<m(6d-i) <m(6i+1)<
причем равенство m(8i) = m(8a-i) справедливо тогда и только тогда, когда Г — либо обобщенный d-угольник, либо нечетный граф О4 [31]. Это усиленный вариант свойства унимодальности, и, в частности, все 0,- являются рациональными, за исключением случаев, когда Г — обобщенный d-угольник (собственные значения О4 рациональны). Воспользовавшись этим фактом, Дамерелл и Георгиакодис показали, что диаметр такого графа не превосходит пяти [114].
Система инцидентности (P,L,1) называется геометрией Мура диаметра d, если
(i)	каждый элемент из Р инцидентен в точности t -|- 1 элементам L;
(ii)	каждый элемент из L инцидентен в точности s -|- 1 элементам из Р\
(iii)	любые два различных элемента из Р соединяет единственный неприводимый путь длины не больше, чем d (неприводимый путь длины г, соединяющий р, q^P — это такая последовательность р — ро, /ь pi, I2, Р2..Pr-\, Ir, Pr — q, что
все элементы р,- е Р и е L различны, a h инцидентен и p,_i и pi). Геометрия Мура (Р, L, I) индуцирует на множестве Р дистанционно-регулярный граф с матрицей пересечений
{* 1	1	...	1
0	$ — 1 s—1...S—1
(^+ l)s	st	si	....	st
1 <
а+i)s-1
♦
190
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Доказано, что если диаметр такого графа больше чем 2, то он совпадает с обычным (2d + 1)-угольником (см. [158] для d = 3, [115] для d > 12, [112] для 12 d > 4 и [159] для d — 4).
Теорема. (Фуглистер — Дамерелл — Георгиакодис.) Пусть (P,L,I)— геометрия Мура диаметра d. Тогда либо (P,L,I)— обычный (2d + 1) -угольник, либо d = 1, 2.
Методы, использованные при доказательстве этой теоремы, достаточно сложны и носят теоретико-числовой характер.
Обобщенная геометрия Мура диаметра d — это система инцидентности (P,L,{), обладающая свойствами (i), (ii), (iii)', где (i) и (ii)—те же, что и для геометрий Мура, a (iii)' — это следующее свойство:
(iii)' в графе, индуцированном на множестве Р, любые две вершины, находящиеся на расстоянии меньше чем d друг от друга, соединены единственным кратчайшим путем, а любые две вершины, находящиеся на расстоянии d друг от друга, соединены в точности с различными кратчайшими путями.
В этом случае граф, индуцированный на множестве Р, является дистанционно-регулярным графом с матрицей пересечений
Обобщенные геометрии Мура как частные случаи включают в себя геометрии Мура (с —1) и обобщенные л-угольники (d = п/2 и c = t 1, если п четно; d = (п — 1)/2 и с — 1, если п нечетно). Для обобщенной геометрии Мура при s = l граф, индуцированный на Р, является обобщенным графом Мура. Представляется возможной классификация обобщенных геометрий Мура достаточно большого диаметра, однако к настоящему времени окончательный результат удалось получить лишь для очень частных случаев (см. [302] для c = s + 1).
Задача. (1) Классифицировать обобщенные геометрии Мура.
Пусть Г — дистанционно-регулярный граф с матрицей пересечений
	Г* 1	2	3	...	d—1	с '
В 0Q	?	 л- о аг 1 о аг 1 ° ю	1 ♦ 4* о 1 • • со ° 1
§ 3.3. Графы Мура и другие экстремальные случай
191
Схема Хэмминга Н (d, 2) является примером такого графа при c = k = d. Еномото [145] и Егава [143] охарактеризовали H(d,2) их параметрами. Поэтому любой граф Г с приведенным выше массивом пересечений при с = k = d изоморфен H(d, 2). Известно еще два примера при (k, d, с) = (23, 3, 3), (22, 3, 6), которые возникают из групп Матье М2з и М22-
Задача. (2) Классифицировать дистанционно-регулярные графы с приведенной выше матрицей пересечений.
При c = d эта проблема представляется не слишком сложной.
Проблема классификации дистанционно-регулярных графов малой валентности k интересна с точки зрения следующих гипотез.
Гипотезы. (1) Пусть k — произвольное заданное целое число (k 3). Если d достаточно велико, скажем d dn(k), то не существует дистанционно-регулярного графа диаметра d и валентности k. В частности, существует лишь конечное число дистанционно-регулярных графов валентности k.
(2) Пусть Г — дистанционно-регулярный граф валентности k, диаметра d и обхвата g. Тогда d Cokg, где с0 — абсолютная константа. (Тервиллигер [371] доказал, что d^(\/2)(k — — l)(g—0+1 Для двудольных дистанционно-регулярных графов. Имеются некоторые дальнейшие связанные с этой гипотезой работы Тервиллигера. См. также § 3.9.)
Существует лишь 12 дистанционно-транзитивных графов валентности 3 ([383], [42], [329], [330], [402]), кроме того, описаны дистанционно-транзитивные графы валентности 4 ([329], [330], [296], [336], [337], [338]). Недавно Камерон [76] доказал справедливость гипотезы (1) для дистанционно-транзитивных графов. При этом использовался результат Камерона, Прай-гер, Саксла и Зейтца [83], который опирается на классификацию конечных простых групп. Однако не известно даже, конечно ли число дистанционно-регулярных графов валентности 3. (Имеется в точности 8 двудольных дистанционно-регулярных графов валентности 3, см. [221].)*)
Пусть Г — дистанционно-регулярный граф диаметра d с матрицей пересечений t
в = < о	о
k — 1
1	...	1	с<+1	...	cd
0	...	0	я,+!	...	ad
k — 1	...	k —	1	bt+t	...	* 
) Современное состояние этой проблематики отражено в дополнении авторов в конце книги. — Прим, перев.
192
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Вопрос. Пусть d, k — произвольные заданные диаметр и валентность. Насколько большое значение может принимать /?
Рассмотрим граф, группа автоморфизмов которого действует транзитивно на множестве путей длины t. Такие графы называются t-транзитивными [38]. (Здесь мы не предполагаем дистанционной транзитивности.) Если /-транзитивный граф имеет валентность 3, то t 5 [383]. /-транзитивные графы интенсивно исследовались Гардинером [164], [165], [168], Вейссом [388] и др. Недавно Вейсс [390], опираясь на классификацию конечных простых групп, доказал, что при / ^ 8 не существует /-транзитивных графов.
§ 3.4. Схемы отношений, имеющие несколько Р-полиномиальных структур
В этом параграфе изучаются схемы отношений, имеющие по меньшей мере две Р-полиномиальные структуры. Мы покажем, что возможности для параметров таких схем строго ограничены.
Пусть Зв = (X, {P/}0<I<d) есть Р-полиномиальная схема относительно упорядочения Ро, Рь ..., Ра- Граф Г на множестве X, связанный с Рь является дистанционно-регулярным, т. е. (х, i/)eP; тогда и только тогда, когда д(х, y)=i. В некоторых случаях схема Зв является Р-полиномиальной относительно другого упорядочения Ро, PS], Ps2, ..., Р5 .
Примеры 4.1. (1) Схема отношений обычного л-угольника является Р-полиномиальной относительно Ро, Ps, Pas, ... при (n, s)= 1.
(2)	Пусть Зв = (X, {Pf}0<f<fe_1) — схема Джонсона J(2k — 1, k—1). Граф, соответствующий отношению Pfe_|, является дистанционно-транзитивным, а значит, дистанционно-регулярным. Этот граф называется нечетным графом Ok. Графу Ok соответствует упорядочение Ро, Rk-o Ro Pfe-2- Ра> Р^-з> •••> а его матрицей пересечений служит
'*	1	1	2	2	3	3	... •
- 0	0	0	0	0	0	0	... .
.k	k — 1	fe-1	k — 2	k — 2	fe-3	fe-3	....
(3)	Пусть 93 — (X, {Р/}0<г<„) — схема Хэмминга Н (п, 2). Если л четно,- в дополнение к естественному упорядочению схема Зв имеет иную Р-полиномиальную структуру относительно упорядочения Ро, Rn_lt R2> Rn_3> R4, Rn_5,	Rn_4, R3, Rn_2,
§ 3.4. Схемы отношений
193
Rn. Граф, связанный с имеет следующую матрицу пересечений:
*	1	2	3	...	п'
<0	о	о о	...	о -.
-п	п—\	п — 2	п — 3	...	*.
(Если п нечетно, то граф, соответствующий отношению Rn-i, является несвязным.)
(4)	Пусть SS — (X,	есть Р-полиномиальная схема
относительно упорядочения Ro, Ri, ... . Предположим, что матрица пересечений, связанная с отношением Ri, имеет вид
*
в, = < о
. k
1 с2 ... Cd_\
О 0 ... О bi b2 ... bd_i
Cd
аа
(ad > 0).
Пусть Г — дистанционно-регулярный граф на множестве X, связанный с отношением Ri. Определим двойное антиподальное накрытие Г графа Г следующим образом: Г — это граф с множеством вершин
х = {о, 1} X X
и с множеством ребер
{((г. х), (j, y))f=XXX\i=£j и (х, у) е= PJ.
Он является двудольным дистанционно-регулярным графом и имеет диаметр 2d-|- 1. Его матрица пересечений — это
*	1 • •.	cd—i	cd	ad	bd_l	...	bi	k |
<0	0...	0	0	0	0	...	0	ok
• k	bi ...	bd_i	ad	cd	cd_y	...	1	*)
Для каждой вершины графа Г имеется единственная вершина, находящаяся от нее на расстоянии 2d -ф 1. Таким образом, Г является импримитивным и его производный граф совпадает с Г.
Пусть Г = Го U Г, — разбиение графа Г на доли, т. е. графы Гг (г = 0, 1) имеют в качестве вершин множества {(t, х)|х<=Х} и две вершины в Гг смежны тогда и только тогда, когда они находятся на расстоянии 2 в графе Г. Граф Г, является дистанционно-регулярным и называется половинным графом графа Г. Отождествляя естественным образом вершины графов Го и Г, мы приходим к упорядочению Ro, R2, Ri, Ro.....Ro, Ro, Ri-
Применив этот метод к графу Ок, мы получим естественное упорядочение схемы Джонсона J(2k—1,^—1),
194
Гл. 3. Дистаиционйо-регуЛярные графы
Теорема 4.2. Пусть SB = (X, {/?z}0 Cl- d) есть Р-полиномиальная схема относительно упорядочения Ro, R^ R2, .... Пусть pktj— числа пересечений схемы SB. Предположим, что граф на множестве X, соответствующий отношению Ri, не является обычным п-угольником.
(1) Если SB есть Р-полиномиальная схема относительно иного упорядочения, то этот новый порядок — один иэ следующих:
(I) Ro, Rz> Ri, R& •••> Rs, R3, Rt,
(I)	Ro, Rd, Rl’ Rd—l’ R2, Rd—2’ R3, Rd-3, • • •',
(III)	Ro, Ra, R2, Rd-2’ Ri, Rd-i.....Rd-3, Rs, Rd-3, Rs,
Rd-i, Ri',
(IV)	Ro, Rd-l, R2, Rd-3’ Ri’ Rd—5’ •••’ Rs, Rd—i’ R.3’ Rd—2’ Ri’ Rd,
(2)	SB имеет не более двух Р-полиномиальных структур.
(3)	Пусть Г — граф на множестве X, соответствующий отношению Ri, и В — матрица пересечений этого графа. Тогда
(I)	имеет место тогда и только тогда, когда
* 1 Са .. • Ca-i с а
В = < 0 0 0... О ad '
(fld>Oy,
b{ b2 ... bd_{ *>
(II)	имеет место тогда и только тогда, когда pfd = O для ] = 2, 3, ..., d;
(III)	имеет место тогда и только тогда, когда
р|3 = 0 и, если d — З, то граф, соответствующий R3, связен, р^ = 0 и р3ы (pjj + р]2 — р32) = р\2, причем если d = 4, то граф, соответствующий Rit связен,
' * 1 с2
•	• • Cl Cl + l Cl+2
В = <0 О о
... 0 at+1 0
-k ь, b2
•	• • bl b[+l bi+2
cd-l 0 bd-i
ok
*
где al+l произволен, a pfd = O (/=#0, 2) при d = 2l-\- 1^5, и
'♦ 1
B = < 0 0
. k b{
c2 • • • cl-l 0 ... 0 z»2 • • • bi-i
cl cl + l cl+2 at al+i 0 bi «z+i b[+2
Cd-l k'
0 ok
bd-i *'
где at > 0, a/+1 >0, a p^d — ^> (j 0, 2) для d = 2l^e.
§ 3.4. Схемы отношений
195
(IV)	имеет место тогда и только тогда, когда

*	0	с2	...
о	о	о	...	о
k	bx	b2	...	bt^i
Cl at bi
bi-i О
С/-1
b\ О
1
k
О
*
при произвольном ai для d = 21 и
' * 1
в=< О
сг  ct-i Q ... О bz •  • bi^i
о
. k bi
ci bt bi^t ...bi k' at at 0 ...00’ bi ct ct_i ... 1 *.
при ai> 0 для d = 21 + 1.
Замечания. (1) Упорядочения (I) и (II) двойственны друг другу, т. е. если поменять ролями первое и второе упорядочения, то первое окажется упорядочением типа (II) (соотв. (I)) в терминах второго, если второе имеет тип (I) (соотв. (II)) в терминах первого упорядочения. Упорядочения (III), (IV) являются самодвойственными.
(2)	Упорядочение (I) получается путем построения двойного антиподального накрытия (пример 4.1 (4)).
(3)	Если обладает Р-полиномиальной структурой типа (IV), то граф Г, соответствующий Ri,— антиподальное накрытие дистанционно-регулярного графа, матрицей пересечений которого служит
'*	1	с2	...	Ct-i	Ct	+ bl'
• 0	0	0	... 0	а/
. k	Ь\	Ь2	...	bi_।	.
при d == 21
и
* 1 с2
ООО
. k bi b2
. . . С/_(	Cl	j
... 0 ai + bi г при d = 2/-J-l.
... bt_i	*	)
(4)	Условие pfd — O (j — 2, 3, ..., d) в теореме 4.2(3) (П) можно заменить условием pfd — 0 (/ — 2, 3...d— 1). Анало-
гично условие р^ — Ъ (/=/=0,2) в (3) (III) можно заменить условием pfd = 0 (/=/= 0, 2, d).
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 4.2, сформулируем ряд вспомогательных лемм. В дальнейшем Я? — (X, {Pj0</<d) — это Р-полиномиальная схема относительно упорядочения Ро, Pi, Рг, .....
196
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Лемма 4.3. Если	то kt<kl+l для j^i. Если
ki>ki^i, то kl+l для j^i.
Доказательство следует из неравенств (iii), (iv) предложения 1.2 и соотношения ki+\/ki — bi/Ci+\. □
Лемма 4.4. Пусть
Тогда
* 1
В[ —' 0 at '.k bi
с2 ... cd
а2 ... ad
Z>2 • • • * <
(1) ct^bi
(2) kt^ki
для i + j d, для i j d — i.
Доказательство. (1) Выберем тройку x, у, z таким образом, чтобы (х, у)е/?г, {у, и (х, z)^ Ri+i. Тогда
(X) П/?! (^) S ^/+1(z) п /?!(«/)>
где Rk(x) = {y е= Х| (х, у)е Rk}. Поэтому	т. е. cj<6/.
(2)
ft/-l _ £ bi bi+l ci 1 ci ci-i
bi-\
ci+\

(в силу (1)). □
Лемма 4.5. (Тейлор — Левингстон [370].) Если ki k2, то либо d 3, либо k\ — 2.
Доказательство. В силу лемм 4.3 и 4.4
k0<ki<k2< ... < kia~ ... = k]t> ... >kd-\>kd, (4.1) где jo d — io. В нашем случае io — 1, поэтому
= ^2 =	=^d-l>	(4.2)
откуда следует, что bi = ci+i для i — 1.d — 2. Из этих равенств, а также неравенств bj bj+t, с,..c/+i вытекает, что
bi = b2— ... — bd_2 = с2 = с3 = ... =Cd_p (4.3)
Положим bi — b. ki = k.
Пусть d^4. Покажем, что b делит k. Для х е X выберем у, z таким образом, чтобы у е (х), z е /?3 (х) и (у, z) е R2. Тогда Ri (у) fl Ri {z) <= Ri (у) fl R2 U). Однако | R{ (у) fl (?) I = c2 = = bi =| Ri (y) A R2 (x) |. Поэтому предыдущее включение оказывается равенством:
/ШЛЯ1(г) = /Ш(1ед.	(4.4)
§ 3.4. Схемы отношений
197
Аналогично
Rl<y)(]Ri(z) = Ri(Z)(]R2(x).
(4-5)
Из равенств (4.4), (4.5) следует, что для х^Х множество {Я1 (У) Л /?1 (г) I (у, 2) 6= /?! (х) х /?з (X) Л R1}
задает разбиение Ri(x). Значит, Ь делит k = |/?2(х) |.
Покажем теперь, что k^3b — 1. Для х^Х выберем y^R{(x) и z^R2(xj таким образом, чтобы (у, z) R,. Тогда R\ (У) Л Ri (z) содержится в объединении R, (у) Л /?2 (*) — {?} и Ri (z) Q /?! (х) — {у}. Поэтому а{ < — 1 + с2 — 1, т. е. k — b — 1 < <26-2.
Поскольку b делит k и k < 36—1, мы получаем fe = 26, а значит, а2 = k — b2 — с2 = 0. В силу приведенной ниже леммы а, = 0. Однако а( = k — 6 — 1 = 6 — 1 и, следовательно, 6 = 1, k = 2. □
Лемма 4.6. (Гардинер [169].) В обозначениях леммы 4.4 пусть а( #= 0. Тогда ai =#= 0 для 1 < i < d — 1.
Доказательство. Для хеХ выберем г/е/?г(х) и ze/?i+l(x) таким образом, чтобы (у, z) е Rr. Множество Rt (у) Л Ri (z) непусто в силу предположения о том, что а, 0. Пусть w е Ri (у) Л Л Ri (z). Тогда либо w е Rt (х), либо w е Ri+l (х). Если w е Rt (х), то, рассмотрев тройку (х, у, w), замечаем, что at =0=0. Если же weRi+l(x), то выберем вершину и е Rt (х), такую, что (и, у) е Ri-i- Рассмотрев тройку (u, z, w), получаем, чтоаг=/=0. □
Доказательство теоремы 4.2(1). Пусть /?0, R\, R'2..Rd —
второе упорядочение и R'{ == R (i = 1, 2, ..., d). Если d<3, то утверждение теоремы тривиально. Поэтому предположим, что d 4.
Шаг 1. Докажем сначала следующие утверждения:
R\ = R2, Rd_x или Rd,	(4.6)
Ri=R'd, если R\ = R? и Ra^R'd’ если R'i^Rd-г (4-7)
В силу леммы 4.5 k't < fe', т. е. kSi < /гй, где k'. и k. — валентности R\ и Rt соответственно. По лемме 4.3 kt < kSi < kt для i < Si < j < $2, если Si < s2, и fej < kSl < fe/ для i > Si > j > s2, если Si > s2. Однако в силу леммы 4.4(2) валентностями, меньшими чем fe' = fe.?i, могут быть лишь k'o^]. и k'd. Отсюда вытекает, что $! = 2, d — 1 или d и Rt = R'd, если Sj = 2, и Rd = R'd, если $! = d — 1.
198
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Шаг 2. Пусть R' = R2. Покажем, что (I) имеет место. Введем следующее обозначение:
Ri oR/{(х, у) е X X X | существует z е X,
такой, что (х, z) е и (х, //) е Ry}. (4.8)
В силу неравенства треугольника
R»°R/S U Rk (r = min{/ + /> d}),	(4.9)
R\i-i\ ^RtoRj, Ri+^RtoRj, если z‘ + /<d.
Такие же включения имеют место и для Ry ° Ry. В дальнейших рассуждениях мы часто будем пользоваться этими включениями.
Так как R'd_l s R'd °R'l — R, ° R2 s R, U R2U R3~R'd U U R3, to R'd-^Rv а так как R2 s R' ° R\ = R2°R2 s Ro U U R2U UR3UR4 = ^UR^U^U^_1UR4. to R' = R4. Проводя такие рассуждения для ^-i°^p	.....приходим к упорядочению Ro, R2, R4, R6,	R5, R3, Rl.
Шаг 3. Пусть R, = Rd_r В силу (4.7) R'd = Rd- Покажем, что имеет место (IV). Соотношения R^-i — R\ и ^-2~Ra-2 следуют из включения
Rj °	= Rj ° Rd_{ =>Rd\J Rd_2 = R'd U Rd_2.
Покажем, что
R'2 = R2.	(4.10)
Поскольку R2 о R'i = R2 о	<= Rd_3 (J Rd_2 {jRdi[)Rd =
U Rd_2 U R{ U R'd, МЫ имеем R2 о R' s Rd 3 (J R'd_2 (J R'. Отсюда следует, что либо (R2 ° R') fi R'd_2 =# 0, либо (R2°R'l') ПЯ1 ¥= 0. Значит, R2 — R'd_3 или R2. Предположим, что R2 = R'd_3^R2. Тогда R'2 s R'd_3 оR'_1 = R2 о /?1 c= /?i j R2 (j R3 = R'd_i (j R'd_з и Ry Таким образом, = Так как уже доказано соотношение Ri = R'd-i’ которое двойственно к = то, меняя ролями первое и второе упорядочение и используя те же самые рассуждения, мы получаем, что R'2 — Rd-3 или R2- Поэтому, если R2¥=R'^ то R'2 = R3 = Rd_3- То есть d = G и упорядочение таково:
Rq> R5, Ra> Rz> Rt> Ri> ^e-	(4.11)
Покажем, что (4.11) невозможно. Так как 7?5о/?5 = = R' ° R's Ro U R5 П R t> то = р325 = 0. Отсюда в силу леммы 4.6 следует, что Рц = 0. Если либо Ь4^2, либо с6^2, то в силу
§ 3.4. Схемы отношений
199
р[1==0 существует тройка х, у, геХ, такая, что (х, у) R., (х, z'jeR. и (у, z) е R2, а это противоречит тому, что р25 = 0. Значит, 64 = с6=1. В силу предложения 1.2 65 = с5=1, следовательно, k = а5 4- Ь5 + с5 = 2 — противоречие. Таким образом, имеет место (4.10).
Так как R'_3 <= R'd^ □ R'2 = R, ° R2 <= Rt (J R2 U R3 — R'^ U UR2UR3, то R'd_3 = R3- Поскольку R3 s R'° R2 = Rd^t° R2^ sZ?d_3U/?d_2U/?d_1U/?d = /?d_3U/?d_2U/?iU^d> заключаем, что R'3=Rd_3- Проводя аналогичные рассуждения применительно к Rd_2°R2, R'2°R2, Rd^3°R'2, R3 ° R2.. получаем упорядоче-
ние Ro, Rd_lt R2, Rd-i, R4, Rd-5’ •••> Ri’ Rd-i’ Ri’ Rd-2’ Rl> Rd'
Шаг 4. Пусть R\ — Rd- Если R'2 = Rv то, меняя ролями Ri и R't на шаге 2, мы получаем упорядочение Ro, R{, R2, R3, ..., или, в терминах R'l, — Ro, R2, R4, R'6..R'5, R'3, R'r To есть
упорядочение Ro, R', R2, R3, ... в терминах R, имеет вид Ro, Rrf, Rr R^ip R2, . . . Пусть теперь R' #= R,. Покажем, что при этом имеет место (III).
Так как R, °R' = R, °Rd s Rd_l (JRd = Rd_{ U R, и R'#= Rp to R1°RjsRd_1. При г #= 0,	справедливо включение
R'oR' = R'_1UR-+1. откуда Ri = R'd и Rd_, = R^_,. Снова покажем, что выполняется (4.10), т. е. что R'2 — R2.
Поскольку R2 ° Rj=R2 ° Rd s Rd_2 U Rd_x U Rd=Rd_2 U R'd^ U R\, либо R2 = Rd_2, либо R2 = R2- Предположим, что R2 == R'd_2¥=R2-Тогда R' S R'd_2 ° R'd = R2 ° R, S R, U R2 U R3 == R'd U R^_2 U Rs, t. e. R'2= Rs- В СИЛУ двойственности (R' — Rd, R, — Rd) либо R!2—Rd_2, либо R2 = R2. Отсюда следует, что R'2 = R3 = Rd-2, d = 5 и упорядочение имеет вид
Ro. R5. Rs, R2. R4. Ri-	(4.12)
Покажем, что (4.12) невозможно. Применяя лемму 4.4(2) к и k'p получаем, что k2 = k3. Так как R5 ° R5 = R\ ° R, s Ro U R5 U R3 и r3oR3=r;or;sr0ur5ur3ur2ur4. to p^p^p^o. Отсюда в силу леммы 4.6 вытекает, что />^ = 0. Исходя из информации о числах kt и р*. и из предложения 1.2, получаем, что
' * 1
= о
. k k — 1
с2 b2 k а2 0 п4 0 “• Ь2 Ь3 1 *.
200
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
При этом валентности равны 1, k, k(k—l)/c2, k(k— 1)/с2, b3k (k — \)/сАс2 и b3(k — \)/с^с2. По лемме 4.3 k2 = k3 fe4, поэтому b3/c4^. 1. Отсюда вытекает, что k5 = b3(k — 1)/с4с2< k = ki- Упорядочение Ro, Рр R2, R3, R4, R5 в терминах R't имеет вид Ro, R'5, R'y R'2, P', R'{, что в точности совпадает с (4.12). Таким образом, k'5<k'{. Поскольку k'5 = klt k\ — ky это противоречит неравенству k3<kv Поэтому имеет место (4.10) и R'2 = R2.
Так как R'd_2 s R'd ° R2 — Rt ° R2 S P[ U R2 U P3 = R'd U R2 U P3, to R'd_2 = R3- А так как R'3 s R\ ° R2 = Rd ° R2 s Rd_2 U Rd_{ U Rd = = Pd_2UPd_1UP', to R'3 = Rd~2- Проводя аналогичные рассуждения применительно к R'd_{ ° R'2, R2 ° R2, R'd_2 ° R'., R'3° R2, ..., приходим к упорядочению Ro, Rd, R2, Rd_2, Ri, Rd-ь • Rd-ь Ro’ Rd-3’ R3’ Rd—I’ Ri-
Доказательство теоремы 4.2(2). Предположим, что ЗВ имеет три Р-полиномиальные структуры Ro, Rt, R2, .. .; Ro, Р', R2, ...; р D" р/х /<0, /\1, ’ • • • •
Шаг 1. Исследуем отдельно случай d = 3. Подходящим образом меняя ролями упорядочения, получаем, что имеется лишь два вида троек Р-полиномиальных структур: одно из упорядочений — это Ро, Р1, Рг, Рз, а оставшиеся — либо
(А)	Ро, Рг> Rs< Ri и Ро, Рз, Pi> Рг, либо
(В)	Ро, Р2, Рз, Р[ и Ро, Рз, Рг, Pi-
Можно считать, что первое и второе упорядочения имеют вид Ро, Ri> Ri’ R3 и Ро, Р?, Рз, Ri соответственно. Так как P2°P2S sP0UP2UP3, то р22 = 0, поэтому по лемме 4.6 р[1 = о.
Предположим, что имеет место случай (А). Тогда в силу леммы 4.4(2) fe| = fez = k3. Поэтому
f* 1 k— 1	1
B1 = s0 0
. k k — 1
0	k— 1 >.
1 *
Отсюда в силу предложения 1.2 (iv) получаем, что k = 2 и ЗВ — обычный п-угольник.
Предположим, что имеет место случай (В). Так как Р3° Р3 s P0U Р3 U Р2, то р33 = 0. В силу леммы 4.4(2) имеет место равенство k2 — ky а следовательно, Ь2 = су Но из р^3 = 0 и с3 = й вытекает, что b2 = k, а это противоречит тому, что с2 > 0.
Теперь предположим, что d~^4.
§ 3.4. Схемы отношений
201
Шаг 2. Пусть второе упорядочение Ро, R'x, R'2, ... имеет вид Ro, Ri> ^4..Rs> ^з> Л- Для третьего упорядочения в силу
теоремы 4.2 (1) имеет место включение R'( {Р2, ^г-i» R'd}-Если R" = R'2, то в терминах первого упорядочения R" = Rv Поэтому d = 4 или 5 и третье упорядочение — одно из следующих:
Ro. Ri,	Ri>	Ro,	Rii
Ro, Ri,	Ri’	R3’	Ri‘>
Ro, Ri,	Ri’	Ri>	Ri>	P3.
Однако в терминах второго упорядочения они приобретают вид Ro, R2’ Ri’ R3’ Ri’ Ro’ Ri’ Rr R& R^ Ro> R& Rp Rf Rs’ Ri-Отсюда вытекает, что возможен лишь случай d = 4, а третье упорядочение — это Ra, Rit Rx, Р3, R2. Согласно лемме 4.5, kx < k2, k'x < k'2, k" < k", t. e. kx<k2<ki<kl — противоречие.
Если R'x=R'd_x, то R" = Ry Поэтому d — 4 и третьим упорядочением является Rq, Ry R2, Rx, Ry Однако в терминах второго упорядочения это RQ, R'3, R'v R'*, R2— противоречие.
Если же R" ~R'd, то R" = RX — противоречие.
Шаг, 3. Так как упорядочения (I) и (II) двойственны, осталось рассмотреть случай, когда второе и третье упорядочения в терминах первого упорядочения имеют тип (III) и (IV) соответственно. Поскольку Rx = Rd_x = R'd_x, то третье упорядочение в терминах второго упорядочения имеет тип (IV). Таким образом, Rd = Rd= R'd — Rx — противоречие.
Доказательство теоремы 4.2 (3)
Шаг 1. Пусть 36 обладает Р-полиномиальной структурой типа (I). Тогда Rx ° R2 s Rx_2 (J Ri U Ri+i (i<d—l). Отсюда получаем
p'V = 0	(0<i<d-2).	(4.13)
Так как B2= (l/c2) (В* ——/гВ0), то
Q
№~^aW+a-ai}	(0<i<rf-l).	(4.14)
В силу (4.13) и (4.14) получаем а2 = а4 = ... = 0 и =а3 = ... за исключением ad. По лемме 4.6 равенство <г2 = 0 влечет за собой ах = 0. Так как R^\ ° R2 Э Rd, то p2d_x =& 0, поэтому в силу (4.14) ad 0.
Обратно, предположим, что д ”0 (0 i d— 1) и ad > 0. Тогда, применяя метод двойного антиподального покрытия, изложенный в примере 4.1 (4), заключаем, что 36 обладает Р-полиномиальной структурой типа (I).
202
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Шаг 2. Предположим, что 3? обладает R-полиномиальной структурой типа (II). Так как (I) и (II) двойственны, то а' = 0 для матрицы пересечений, связанной с отношением R' = Rd. Поэтому (Rd о Rd) fl Rd = 0 и, следовательно, Rd о Rd = Ro U Ri» т. е. pfd = ®
Обратно, пусть Rd о Rd s Ro (J R( U Rd, t. e. pfd=O (2</< d— 1). Так как
(u RiWdSU Rd-i v-0	/	t—0
И
/ /	\	i
I U Rd-i I ° Rd — U (Ri ° Rd ° Rd) — \/-0	/	/ = 0
/	Z/+1 \ / /
S|J R<°(RoU/?iU/?d)s(U RJU(U Rd-i
i»=0	\/»=0 ✓ \i = 0
получаем
Rd ° Rd ° Rd £= Ro U Ri U Rd-i U Rd»
Rd ° Rd ° Rd ° Rd — Ro U Ri U R2 U Rd-\ U Rd,
Rd ° Rd ° Rd ° Rd ° Rd — Ro U Rl U R2 U Rd-i U Rd—\ U Rd
и т. д. Таким образом, чтобы покрыть все Х%Х, требуется произведение d экземпляров Rd. Это означает, что (X, Rd) — дистанционно-регулярный граф относительно упорядочения Ro, Rd» Rj, Rd—I, R-2’ Rd-i...
Шаг 3. Предположим, что 3S обладает R-полиномиальной структурой типа (III). Так как Rd °Rd s Ro URd U Ri, to
Pfd = °-	(4-15)
Если d = 3, больше нечего доказывать. Если d = 4, то />^ = 0 и
Ри = ^Ыаз-а2-^') + а2}.	(4-16)
так как В2 = (1/с2) (Bf — а1В1 —/гВ0) и В3 — (1/с3) (ВХВ2 — а2В2 — — bxBi). Отсюда следует, что Ь3 (ах 4- а2 — а3) = а2.
Пусть d>4. Так как R2 ° R2 sR0 URd U R2 U Rd-i U Rt, to p22 = 0. По лемме 4.6 a1 = 0. В силу неравенства треугольника для (X, R') соотношение (Rz о А?2) f] /?ж = 0 выполняется для i=^=l, /4-1> если d = 2/4-1, и для i=£l—1, I, /4-1, если d = 2l. Таким образом,
( при / =4= /, /4-1»
P<+i = 0S
"2t	( при i^l, /± 1,
если d = 214- 1, л о,	(4-13)'
если d = 2l.	'
§ 3.4. Схемы отношений
203
Из соотношений (4.13)', (4.14) и равенства a1 = a2==ad = 0 получаем at — 0 при z =И= / + 1, если d — 21 4- 1, и при i Ф I, /4-1, если d — 21. Если d — 2l, то Rt_t о R2 3 Rt и Rl+] ° R2 = Rt+2-Поэтому р121_{>0, P2t+i > 0’ и мы получаем at > 0, а/+1>0. Поскольку (III) самодвойственна, то а'=>0 для матрицы пересечений относительно R'y — R^ Поэтому Rd ° Rd = Ru U R2.
Обратно, предположим, что Rd о Rd с Ro (J R2 U Rd- Кроме того, предположим, что az = 0 (z=4=/4-l)> если z/ = 2/4-1^5, at — 0 (/ =4= I, 14- 1), at > 0, al+l > 0, если d = 2/^6. В силу (4.14) выполнены соотношения (4.13)', а кроме того, pl2l_} > 0, р2^, >0, если d = 21. Отношение R2 — это «отношение расстояния 2» в графе (X, Rd), т. е. (х, у) е R2 тогда и только тогда, когда х и у находятся на расстоянии 2 в графе (Л', Rd). Рассмотрение множеств
Rd°Ri’ Ri ° /?2>	2 °/?2> Ri ° Ri’ Rd—4 ° Ri’ •••
приводит к следующим отношениям расстояния в графе (X, Rd): Ro, Rd, Ri, Rd-i> Rt, Rd-.... где	средние члены этой после-
довательности имеют вид
..., Ri-i, Ri+2, Ri+i, Rt, Rt+з, Ri-i, •••> если l нечетно и d = 2/4- 1,
..., Ri-2, Rt+з, Rt, Rt+i, Ri+2, Rt-i...если l четно и
d = 2l+ 1,
..., Rt-3, Rt+3’ Rt-i’ Rt+i’ Rt’ Rt+i’ Rt-i’ Rt+i’ если / нечетно и d = 21,
.... Rz+4, Rt-i’ Rt+i’ Rt’ Rt+i’ Rt-i’ Rt+3’ Rt-3’ если l четно и d = 2l.
Таким образом, граф (X, Rd) дистанционно-регулярен в случае, когда d 5.
Предположим, что d = 3 и R3 о R3 s Ro U R2 U R3, t. e. pf3 = 0» Тогда очевидно, что граф (X, R3) имеет диаметр 3 и является дистанционно-регулярным. Пусть d=4, pf4=0 и	р\2—‘ Р%) =
— р\г Тогда в силу (4.16) выполняется равенство р^4 = 0. Таким образом, R4 о Rt s Ro U R2 U Ri- В силу неравенства треугольника имеется включение R2 о R4 R2 (J R3 (J Ri и, следовательно, граф (X, Ri) имеет диаметр 4 и является дистанционнорегулярным.
Шаг 4. Предположим, что 36 обладает Р-полиномиальной структурой типа (IV). По лемме 4.4(2) k^^.kd_t и
Так как = и	то	Ввиду предложе-
ния 1.2 (ii)
204
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
а в силу леммы 4.4(1) bt/Cd-i^ 1. Отсюда, а также из того, что ki = ka-i, следует, что
6/ — Cd—i ДЛЯ
(4.17)
Пусть d>4. Так как Rd_x° Rd_xftRx = 0, то р^£1==0, поэтому в силу леммы 4.6 имеем ах = 0. Поскольку bx = kx— 1, а, согласно (4.17), cd_x = bx — kx—1, мы получаем bd_x=l. Поэтому kd = bd_xkd_xlcd = kx/cd и число kx/cd должно быть целым. Однако по предложению 1.2(iv) cd'^cd_x = kx— 1, и, следовательно, cd = kx, ad = 0. Так как (А\ ° АУ П ^;+i = 0 при / =4= / — 1, /, если d = 21, и при i =/= I, I ± 1, если d = 21 4- 1, то
р'+‘ = 0
при при
Z #= / — 1, I, если d = 21, 1^=1, /±1, если d = 2/4- 1. (4-13)
Ввиду (4.13)" и (4.14) равенство ax — ad = 0 влечет за собой at == 0 при I #= I, если d = 21, и при I #= I, I 4- 1, если d = 21 4- 1. Если rf = 2/4- 1, то Rt-^R^Ri и Rt+X ° R2 Э Rl+2, т. е. Р2 z-! > 0 и p^i2+! > 0. В силу (4.14) at > 0 и а1+х > 0.
Пусть d = 3. Так как (/?2 ° /?2) f) R3 = 0, то р12 = 0 и потому в силу (4.14) ax = a2-j-a3. Ввиду (4.17) имеем 61 = с2; таким образом, получаем
*
Bi = < 0 . k
1 k — ах — 1
ai	а2
k — ах — 1 ах — а2 4- 1
k — ах 4- а2'
ai — а2 •
*
Как и в (4.16), имеем р|3 = -^- (о^ — а2) (2а( — 2а2 — k 4- 1). Если ах > а2, то 2ах — 2а2 — k 4- 1	0, что противоречит тому, что
bx = k —- ах — 1 0 Ь2 — ах — а2 4- 1. Значит, ах = а2.
Обратно, пусть bx = cd_t (0 i d — 1) и at = 0 (Z =4= /, если d = 2l\ i =/= I, /4-1, если d = 2/4-l). Предположим, что в случае d = 21 4- 1 имеют место неравенства at >0, zzz + 1 >0. Тогда kd=l и потому граф (/V, Rx) импримитивен, причем блок импримитивности составляет пара {х, у}, где у — единственная вершина, находящаяся на расстоянии d от х. Для фиксированной вершины х0 пусть х находится на расстоянии / от х0. Тогда единственная антиподальная к х вершина у находится на расстоянии d — i от вершины х0, поскольку Rx° Rd^ Rd-i-
§ 3.4. Схемы отношений
205
Таким образом, матрица пересечений, вид
0
1
1
связанная с Л’^. имеет
0
Так как B{Bd=^ p\dBt = Bd_v получаем
Если применить подстановку
/0
\0
1
d — 1
2	3	4 ... d — 3
2 d~3 4 ...	3
d — 2 d—\ d — 2	1
к строкам и столбцам матрицы Bd-i, то получим тридиагональ-ную матрицу. Следовательно, граф (X, Rd-\) дистанционно-регулярен, что завершает доказательство теоремы 4.2. □
Тип (II) двойствен к типу (I), а тип (IV) при at — а1+1 = 0 может быть построен как антиподальное накрытие графа типа (I).
Вопросы. (1) Связан ли тип (III) с типом (I) в каком-либо смысле? Существуют ли примеры, имеющие тип (III), для большого диаметра? Можно ли с геометрической точки зрения объяснить сосуществование двух Р-полиномиальных структур типа (III)?
(2) Как определить схемы отношений, имеющие две Q-поли-номиальные структуры (Пока нам не известно, сколько Q-полиномиальных структур могут сосуществовать в схемах отношений.)
206	Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Замечание. (5) Схема Хэмминга Н (п, q) (п 3) имеет две Р-полиномиальные структуры (а именно типа (IV)) лишь в случае q = 2 и при четном п. Так как в схеме Н(n, q) имеет место равенство pkit = qkit, то же утверждение справедливо и для Q-полиномиальных структур схемы H(n,q).
Схема Джонсона J (v, k) (k 3) обладает двумя Р-полино-миальными структурами в точности, когда либо v = 2k 1 (дополнительная структура реализуется на графе O*+i), либо (v, /г) = (6,3), и двумя Q-полиномиальными структурами лишь при (у, &) = (6,3) (см. § 3.7). (7(6,3) является примером типа (III) при d — 3.)
Об известных (Р и Q)-полиномиальных схемах с несколькими Р- или Q-полиномиальными структурами и большими диаметрами см. § 3.6. О (Р и Q)-полиномиальных схемах, обладающих несколькими Q-полиномиальными структурами, см. § 3.7.
§ 3.5.	(Р и Q) -полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
Это центральный параграф в ч. I. Здесь исследуются параметры (Р и Q)-полиномиальных схем и доказывается теорема Леонарда [250], которая утверждает, что ортогональные многочлены, обладающие свойством (Р и Q)-полиномиальности, являются многочленами Аски — Вильсона, включая некоторые их предельные случаи. Это завершает реализацию первого шага в программе классификации (Р и Q)-полиномиальных схем, которая намечена во введении.
Пусть Зв = (Х,	есть (Р и Q)-полиномиальная
схема относительно упорядочения Ао> ..., Ad матриц инцидентности и упорядочения Ео, Еь ..., Еа примитивных идемпотентов. Пусть Bi и Bi суть i-я матрица пересечений и i-я двойственная матрица пересечений соответственно, где
'* I	с2 ... cdy
0 Ц] а2 ... ad .k by	b2 ... * 
•	1	...	c'a
0	a]	a*	.	a*
tn	b'x	6*	...	•
(с, Ф 0, bt Ф 0)
« Ф 0, b\ 0).
Пусть kit tnt (0 C i C d — валентности и кратности собственных значений соответственно, и пусть k = k{ и m = /n1. Пусть 8Г 8] (0 < z < d) — собственные значения матриц Bit Bt. Тогда
§ 3.5. (Р и Q) -полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
207
= и Bt = v’^B^, где vz(x), v*t(x)— многочлены степени z, удовлетворяющие следующим соотношениям:
xvt(x) ==	+ ctiVilx) + cl+ivt+i(x) (O^i^d — 1),
xvd(x)==bd_1vd_l(x) +advd(x) для x = 9; (0</<d)
и
XV* (x) = b*-^-' (x) + a>*z (x) + <+1o;+1 (x) (0 < i < d — 1),
xv*d (x) = 6*_1o*_1(x)4-a*p* (x) для x = 9’ (0</<d),
причем v_j (x) — v*_x (x) = 0, v0 (x) = o* (x) = 1. Отметим, что fe = 90> m = 9j и /jz = vz(90), mz = u*(9*). Пусть
uz(x) = oz(x)/fez и ui(x) = v*i(x)lmi.
Тогда
(“.(в,). “,(»,)...“Л»,», ш “i(«;)..............»;и))
— левые собственные векторы матриц Вх, Вх, соответствующие собственным значениям 9/( 9J, причем uz (х), и* (х) удовлетворяют соотношениям
и{ (9о) =1 (0 С i < d)>
хи{ (х) = biui+l (х) + atut (х) + czuz_! (х)
xud (х) = adud (х) 4- cdud_x (х) для х = 9у
«Ж) = 1
хи* (х) = Ь*и*+1 (х) + а*и. (х) + с*«;_1 (х)
хи* (х) = а* и’ (х) + с*и*-! (х) для х = 9*
(0<z<d-1), (5.1)
(0<z<d— 1), (5.2)
(0</<d)
При U_J (x) = u*_{ (x) = 0. гл. 2 многочлены u.(x),
Кроме того, в силу теоремы 3.5(1) и* (х) удовлетворяют соотношениям
для 0 i d, 0^/^d.	(5.3)
По определению базисный гипергеометрический ряд — это
( а1......аг+1,	_ у (at; <?)< • •  (ar+i, q)i xf
r+1<PrUi, .... br	Zu (6i; q)t...(br, q)t(q; q)t
H r	'	/«о
где
((1 — a)... (1 — aq*-1), если f=l, 2, ..., n(a> 4t	еслц =
(5.4)
(5-5)
208
Гл. 3. Дистанциоиио-регулярные графы
Теорема 5.1. (Леонард [250].) Пусть d — целое число ^3 либо бесконечность °о. Пусть иДх), и*(х) (0 i d) — многочлены степени i, удовлетворяющие (5.1), (5.2), (5.3) для некоторых вещественных чисел
alt bt, ct
ае bit ct
(bt 0 для 0 i d — 1, bd = 0,
ct =/= 0 для l^z^d, co = O), (b\	0	для	0	i	d — 1, b*d = 0,
c‘	0	для	1	i	d, cQ = 0)
и
0p 0* (0(. =4= 0y, 0* =/= О* для i =/= f),
где i и j изменяются от 0 do d. Тогда имеет место один из следующих случаев (I), (IA), (IB), (II), (ИА), (ПВ), (ПС), (IID) или (Ill):
/ q~l, s*q‘+i, q~y, sqy+1 \
(I) u/(x) = 4<p3l	; q, q I (0<z<<0,
\rxq, rtf, r3q	/
где x= p, (y) = 00 + h(l — qy) (1 — sqy+i)/qy, ss* — rxr2r3 и одно из rt (i= 1, 2, 3) равно q~d~l, если d< oo,
0Z = p (z)
(0<z<^),
A(1 — ri<7)(l-r2<?)(l — r3<7)	,
'o —	i _ s*q2	• °d — u>
(I — ql) (r, — s*q‘) (r2 — s*q‘) (r3 — sV) s‘(l — s*<72'+1)(1 ~s*q2i)
hq (1 — ql) (s — (rxr2 + r2r3 + /зП) ql)
(l^i^d- 1),
если s* =/= 0, (1 <zsCd- 1), если s* = 0,
c0 = 0,
cd
h(\—qd) (г, — 5*дЛ) (r2 — s'qd) s*qd (1 - s*q2d)
(r3 = q-d^),
если s* ^4= 0 и d <
h(l — qd) (sq — ri — r2) (r3 =• Q-'*-1), если s* = 0 и d<
°°, oo.
Для получения и* (x), 0J, b*p с* следует поменять ролями (0O, й, s) и (0g, h*, s’) и сохранить rv r2, r3, q.
Допустимы следующие предельные случаи:
. (А) й->-0, lists' и hr2^-r'2 при s* = г3 = 0;
(В) й->0, hs-^s', ^hr^-i-r^ и	при s* = г^ = 0,
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
209
А именно,
С q~l, q~y	s'	X
(IA) ut (x) = 2<P! I ; q, — qu+l).
\ rxq	r2	/
где x— н (z/) = 0q — $'</(1 — qy), =q~d~{, если d < oo,
0Z = H (i), bt = — r'2qi+i (1 — r^i+1), c, = q (1 — ql) (s' — r/^, и
(q~l, q~y	s'	X
^(x) = 2<Pi(	; q, — qt+l J.
\ W	r2	/
где x = p* (y) = 0q + h* (1 — qy)!qy,
0> H*(0-	= A‘r'(l-r^/s'qw,
ct = й* (1 — ql) (r'2 — s'q^fs'q21.
OB)
где x = н (z/) = 0O — s'q (1 — qy),
0/ = H (0>	= rq2i+2, Ci = q(l— ql) (s' — rql),
где x=h‘(z/)==0; + A‘(1-^)M
0: = ц*(О, 6‘=-A7/sV, с*= — /г*(1—у!)/у1.
(П) Мх) = ^3(
i + 1 + s‘, — у, у + 1 + s ft + 1» f2 + 1, r3 + 1
(0<z<4 где x — ц (у) = 0O + hy (y + 1 + s)> s + s’ = n + r2 + r3, одно из rt (i = 1, 2, 3) равно — d — 1, если d < oo, 0, = p, (/) (Os^z ^d), a _ /) O’ +1 + $>) 0 ~H + ri) (»+ 1 + z2) (t 4-1 + f3)
Oi ~	(2i + 1 + s*) (2/ 4- 2 4- s‘)
(l<z<d— 1),
< h (1 4- rd (1 4- r2) (1 4- r3)	,	_
O0 —	24Г?	’ °d — 0>
_ hi (i 4- s* — fi) (t 4- s* — r2) (t 4- s* — r3)	/1 -- . -- . n
ci~ (2z 4-1 4-s*) (2i4-s’)	— 1),
c.=0.	+	+	{r^_d_iV
еслц d <; 00,
210
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
А. я излучения и](х), 0*, Ь\, с\ следует поменять местами ^0U, h," s. и (0’, h’, s"), сохранив при этом r{, г2, г3.
Допустимы следующие предельные случаи'.
(А)	й*->0, й’$*h*r3-^s‘r,
(В)	й->0, hs-+s', hr3-+s',
(С)	(й, й*)->(0, 0), (hs, йУ)->($', s*'), (й’г2, йг3)->(г',
(D)	й = й’->0, (hs, hs*)->(s', s*'), (^hr^ ^/hr2, hr3) -* "*(<> 4 гз)-
А именно,
( — i, — У> У + 1 + «	\
(IIA) uJx) = 3F2	* ;	; 1 ),
X '1 T b f2T 1	/
где x = |i (y) = 0O + hy(y + 1 + s), одно из r{ (i—l, 2) равно — d— 1, если d < oo,
0< = Ц (0> bt=h (i + 1 + Г[) (i + 1 + r2), Ci = hi (i + П + r2 — s), и
u\ (u) = 3F2
— i, i + 1 + s, —y ri + 1> r2 + 1
где x = ц* (у) = 0J + s*'y,
t*___ s*' (< + 1 + ^) (<’ + 1 + >~i) (< + t + <a)
(2i + 1 + a) (2/+ 2 + s)
>»___ s*' (1 + ri) (1 4~ <a) l«________p
°0	2 + s * °d — u>
(1 </<d- 1),
*___ — s*'i (< 4~ $ — ri) G 4~ $ — г a)
ci ~	(2i 4-1 4- a) (2Z 4- S)
_ n	~ s*'d (d + s- rt)
Co~U’ Cd~ 2d + s
(1 1),
(r2 = — d — 1), если d < <x>.
(ПВ) Формулы, двойственные к (ПА).
/ — i, — и «'с*' \
(ПС) ut(x) = 2Fi{ Г1+1 ;
где х = ц (у) = 0О + s'у, г{ = — d—1, если d < оо,
0/ = р (г), Ь( = (г + 1 +/i) Ct — i(r~ s's*')/sf'.
Для получения и* (х), 0*, Ь\, с* следует поменять ролями (0О> s') и (0О\ S-').
I
(IID) щ (х) = ^ (- i)t (- t/){±	,
t-0
еде x = (i(^) = 0o + s>, 0, = p(Z), b^r/s*', ci = — s'i.
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда 211
Для получения и*(х), 0*, 6’, с"{ следует поменять ролями (0О, О и (0J, S*').
(Ш) Для 0<z<d
J (2i + 2 - s’)
bt = ) 2h (Z +1 - s’) (Z +1 - r3)
(2i + 2 — s’)
—2hi (i — s’ + r3)
(i четно),
(z нечетно), (i четно),
Ci —2Л (i — s* — ri) (1 — s* — r2)	.
-----1-------------------- (I нечетно),
где s + •$* = — гх — г2 + г3, одно из rt (z = 1, 2) равно — d — 1, если d четно, r3 = d+l, если d нечетно.
( 0O + 2hi	(i четно),
4	10O — 2h (i + 1 — s) (z нечетно),
(— i i + 2 —s* — j j + 2 — s \ 2 ’	2’2’	2	]
rt + 1 r2 + 1	- r3 + 2	’ 1 I ~
2’2’2	'
(—1 + 2 Z + 2 — s* — / + 2	/ + 2 — s ч
2	2	2	2	|
П 4~ 3 r2 + 3	— r3 + 2	’ I
2’2’2	/
(z четно, j четно), x — Z Z + 2 — s* — /4-1	/4-1 — s \
12’	2’2’2	1
= Л Г1 + 1 Г2 + 1 _Гз + 2	; 1 +
\	2’2’2	/
i *4“ 2 i -jp 2 — s* / “b t / + 3 “ s \
2		2		2	’	2	.	1 1
Г14-3	r24-3	- r3 4- 2	’ I
2’3’2	'
(z четно, j нечетно),
(z нечетно, j четно),
212
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
' — i + 1 i 4- 1 — s' — / + 1	/4-1 — s
/	2	2	2	2
«7 (6/)== ЛI Г| + 1 Га+ 1	-г34-2
\	2’2’2
/—i 4~1 <4-3 — s* — / 4~ ' /4-3 — s
(/4-1-Л (/4-1—s) г. |	2	’	2’2’	2
(Г,4-1)(Г2 4- 1)	4 31 г. 4-3	г24-3	- г34-2
\	2’2’	2
(/ нечетно, j нечетно).
Для определения Ь], с*, 0’, и\ (0’) следует поменять ролями (0О> s) « (0о> Л*, $*) и сохранить гр г2, г3.
Обратно, в каждом из случаев (I), (IA), (IB), (II), (ПА), (ПВ), (ПС), (IID) и (III) при bt^=0 (i=£d), bd = 0, с{ Ф 0 (/#= 0), c(j = 0,	0 (/ =/= d), b*d = 0, с* О (; 0), с* = 0, 01 0^
(I j), 0‘=4= 0) (i j) выполнены условия (5.1), (5.2), (5.3).
Замечания. (I) (II) является предельным случаем для (I) при q, стремящемся к I. А именно, пусть
{q-Wh-*h', (q — \)2 h*h*',
LiZ-L^r' (Z=1>2, 3) q — 1	q — 1	‘	'
при q-> 1 в (I). При этом мы получаем (II). (Ill) является предельным случаем для (I) при q, стремящемся к —1. А именно, пусть
(<7+1)й->й', (<7+1)л’->л*',	4tt->s’'>
q "Г *	ч "Г 1
г 1 4“ 1 / Г2 4- 1 Z г3 — I , <7 4-1 ~*г1’ <?4-1 >г2’ <7 4-1 >г-
при q-*-—1 в (I). При этом мы получим (III).
(2)	В теореме 5.1 выражения для bt, b\, с{, с* записаны отдельно при i = 0, d и при Is^zs^d— 1. Дело в том, что знаменатели выражений, использующихся для	— 1, могут ока-
заться нулевыми, если мы просто положим в них i = 0, d. Отметим, что в теореме 5.1 в силу условия 0 У=0,, 0* =#0* (/ ¥= /, 0 «О’, j^d) знаменатели выражений для bt, Ьг(, ct, с'отличны от нуля.
Может показаться, что выражения для 6(., b\, ct, с] при I i d — 1 остаются справедливыми и для i = 0, d, если рас
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
213
сматривать i как непрерывную переменную и вычислять пределы при i, стремящемся к 0, d. Однако в общем случае это неверно. Например, рассмотрим выражения типа (ИВ) при (s', s’; rb г2) = (—4, — 2d— 1; — d—у, — d— 1), которые действительно возникают в производном графе антиподального графа Н (2d, 2). Тогда ci = i (0 i d — 1) и са — 2d, поэтому общее выражение с, = I становится неверным при i — d.
(3)	Предположим, что и(. (х) и и’ (х) возникли из (Р и Q)-no-линомиальной схемы. Тогда ^ = £*=1, 6О = 0О и 6* = 0*. Поэтому h, h*, 0Q, 0* записываются в терминах q, r}, r2, r3, s, s*.
(4)	Типы (IB) и (IID) существуют лишь при d = oo.
(5)	Многочлены и. (х) и и* (х) в (1) называются многочленами Аски — Вильсона [6], которые, если рассматривать н их предельные случаи, содержат все «классические» ортогональные многочлены.
Может показаться, что многочлены, обсуждаемые в теореме 5.1, не обязаны быть ортогональными. Хорошо известно, что многочлены щ(х) степени i (0 i d) являются ортогональными многочленами относительно некоторой дискретной весовой функции на вещественной прямой, отличной от нуля только в точках {0о, 01, ..., 0д}, тогда и только тогда, когда они удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению
хи{ (х) = btu{+1 (х) + aiU{ (х) + ctUi^ (х)
(0<z<d- 1) (ы_1(х) = 0),
xud(x) = adud(x) + cdud_!(x) для х = 0,
где 0/ (0 j d) являются собственными значениями тридиа-гональной матрицы
* Cj ... Cd_j cd
«0 at ... ad_t ad •
 b0 bt ...	♦
и biCi+i > 0 (0 i d—1). Таким образом, если в условиях теоремы 5.1 везде потребовать выполнения соотношений
6A+i>° и %-i>°	1),
то все рассматриваемые многочлены будут ортогональными. Известно также, что значение весовой функции в точке 0/ является числом Кристоффеля mi и в условиях теоремы 5.1 величина т, задается равенством
т1=ь'йь\ •••	••• 4
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда 215
Положим в (5.7) 1—1. Тогда (Л1П — Л!*,) [0*]’ [6/JI = 0 для Поэтому М11 = М*. для	Положив ]=1
в (5.7), получим = для 1 i d. Поэтому ^ = ^4^ = = Л111 = Л1’1 и суммирование по t в (5.7) ведется от 2 до min (Л /).
Положим в (5.7) z = 2. Тогда M22 = M*j2 для 2^/^d. Положив / = 2в (5.7), получаем Mi2 = M22 для 2^i^d. Значит, Mi2 = М22 = М22 = М*2 и суммирование по t в (5.7) ведется от 3 до min(z, /). Продолжая этот процесс, приходим к равенству Mdd — M*dd. Полагая Mt — Mit = M*t для	t j d,
приходим к искомым выражениям для u((x) и и*(х).
(ii) Поскольку u*(0j)=l, то Л10=1. Выразим хи*(х) как линейную комбинацию [х],. Тогда коэффициент при [х]* равен + Mt_l Для 0 t i + 1. Сравнивая коэффициенты при [х]* в равенстве (5.2), мы получаем требуемый результат для 0 i d — 1, 0 t i + 1.
Если i = d, то из (5.2) следует, что 0*, 0’.Qd являются
корнями xud (х) — adud (х) — cdud_l (х), т. е.
С [х];+1 = xud (х) — adud (х) — с*и* _1 (х)
для некоторого с 0. Поэтому если xud (х) и adud (х) + cdud_1 (х) представлены в виде линейных комбинаций от [х],, то коэффициенты при [х]’ для	в них совпадают. Тем самым
наше утверждение доказано.
(iii) Надо положить / = в п. (ii). □
Предложение 5.3. Условие (5.2) выполняется тогда и только тогда, когда
*• = —L-, 6’=0,
о VjAfj d
..__________PzL+i
{M., .	M. ,	M. .	1
для 1 I d — 1, 0 t i — 1 >
M. i	M.	M. .
----(1 + adt) -Д4	h Crf, t-1 ~M ~\-xdt — ^	(=5^)
216
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
для 0 t d — 2 (только когда d < <х>). со = °-
' {м2	(* + ef — в(| ) «j +ei) vi(0j+i t,;j}
для 1 i d — 1,
a' = ^-b'-c]
для	где v, = 0,— 0. ., v* = 0* — 0? .
Il	l“l I	I
0. . — 0. , .
Xit ~ Vi+2 (0i	0/+l) V/+l (0/-l	0i)'
Аналогичные условия имеют место для (5.1) с заменой (&;, с\, а\, 0*, V., V/, ait, xit) на (be ct, at, 0f, vt, v’, a*t, <z), где
^=v,u0;-0;+.)-v^(0^-0;)-
Доказательство. Пусть (Iit) обозначает равенство
s; ie,+.L+<p,],+e;p,i,+-т^ (e Л-.
в предложении 5.2 (ii). Из (/01) следует, что b*0 — ^r- Рассмотрим (7Z/), (/z <+1), (It /+2) как систему уравнений для b*, а*, с*. Из выражений (/z f+1) — (0(. — 0Z) (Iполучим равенство (Ji, /+I):
b*tvi+i [0(.+ 1]t + ct (- vz) [©,_,], =
= v/+i[0d/+i + ("aJ7^7 Mt' eZ-Sji, ) t0^'
Рассмотрев (]t,<+2)— (0j_i—6<)(Л.<+i)> получим равенство (^,/+2)1 *Jvi+1 (v/+I + vz) [6/+i]t =
§ 3.5. (Р и <Q) -полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
217
что и представляет собой требуемое выражение для Ь*. Выражение (#) следует из того, что b*d = 0.
Разрешая систему уравнений (It0), (7n), (Ii2) относительно ftp с*, а*, получим требуемые выражения для с*, а*. Для получения с* достаточно разрешить (7dl).
Обратно, (7/. ;+1) вытекает из	и В свою оче-
редь (Л, г+1) следует из (7Z,/+1) и Таким образом, (7^) следует из (7/0), (7ц) и всех □
Замечание. (6) Чтобы упростить формулировку предложения 5.3, можно считать v_t, vd+1, v*+1 неопределенными символами. Тогда выражения для ft., ft*, ср с*, справедливые при	1, остаются справедливыми также приг = 0, d.
Лемма 5.4. Следующие три условия эквивалентны-.
viv*t-i~v*tvt-i==Ni (O<z<zo,	где
у{ — константа, не зависящая от I;
(ii) ai,	at, t-i-2
(iii) xt, t-i-2~ xt. t-t-2 (О^г'^г'о’ * +
Доказательство. Применим индукцию по z’o, используя равенства
°t. t-i-2	°t, t-i-2~
0C s< Z+I
Xt, i — l—2 ~ * Xi, t-i-2 = S (yi-Ft-s ~ Vt-rf-s) -
s=0 Z+l
-^^t-i-yt-s-vt-i-yt-sy □
Предложение 5.5. Если имеют место условия (5.1), (5.2) и (5.3), то справедливы равенства-.
(О vzv‘-i — vJvz-z==Yz (0<i<d— 1, /
где у{ — константа, не зависящая от t.
(ii) о/+1 ,/ = а;+1 г = -1	(0<z<d- 1).
°7-н. z-i~ai+i, i—i = ® (l^Z^d 1), az+i. t = CT‘z+i.t
218
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
(iii) т/+1 t = т;+1> t = 0	(0 < i < d - 2),
ТЖ. Ж==ТЖ. i-i == v»+iv*+i -	0	О.
тж. t = <h, t	(0</</<d-l).
Доказательство. Равенства, содержащие ст(.+1 t, ст*+1 t, т/+1 t, T*+i t (t — i, i — 1), проверяются непосредственно.
Выражения для b* и bp приведенные в предложении 5.3,
дают равенство
a/+i, t —
Mt+l
Mt+2
— (1 4- аг«)
Mt
Mt+l
+ а{, t-t
Mt..,
+ *и
(5.8)
и двойственное равенство .^+‘ -(1 4. Mt+2 к
Мц-з 4	1
*\ Mt , lt> Mt+l н
\ Mt+,
I, *4-1/ Mt + 2
Mt_, , _»
1 Mt + 4
Mt I «
M/+I +t'- 4
(5.8)’
о
для 2 --C i "C d — 1, 0 -C t "C i — 2, поскольку
„ I0<+ih ifyb+2 i+b‘~ ie<]«+> lOr+.h+i '
В силу леммы 5.4 достаточно показать, что
аж, t °i+i.t	1).
Мы воспользуемся индукцией по парам (i + 1 — t, t). Предположим, что равенство и{+1 t = о^+1 t выполнено для i + 1 — — t^i0. В силу леммы 5.4 т/+1 t ~ тж. < для z + 1 — /<J0. Подставив в (5.8) и (5.8)* z = z0 и / = 0, получаем равенство CT/»+i о = <+1 о'^ подставив в (5.8) и (5.8)* i = io + 1 и t = \, получаем oii+2 j = afo+2 r Повторяя эти рассуждения, приходим к равенству о-+1 t = а*+1 t для z’+l —/<z’0+l. □
Предложение 5.6. Пусть выполнены условия (5.1), (5.2) и (5.3). Тогда (v( + v3)/v2 = (v* + v3)/v‘. Если
,	<7V2~V1	^2-^'
Л ~ q2 - 1 ’ Л “ q2 - 1 ’
<7(‘7V1-V2)	...	4(<?v‘-v;)
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
219
то выполнены равенства
4l-='kqi-'1 + И<7_<+1 (l<z<d), v* = AV-1 + g*<ri+1 (l<i<d).
В случае когда q = ±1, приведенные выше равенства означают* что
vt= limj + 1Ч“'+‘)>
v* = lim (ZV-1 +
<?-*± i
где A, Z*, ц, ц* рассматриваются как функции от q.
Доказательство. Равенство (v, + v3)/v2 = (v^ + v3)/v2 вытекает из того, что а3 0 = о* 0.
Мы будем доказывать равенства для v и vi, пользуясь индукцией по I. При i = 1, 2 и 3 эти равенства очевидны. Положив в (5.8) t = 0, получаем
<тг+1.о = -^ п " Мх ----------Г~----- М
Л4Г-(1+<Тг’ ° лТ; + аг'0 Л17+Тг'*
для 2 i d— 1. Положим в (5.9) i = 2. Тогда получаем
^=iti±l	(5Л0)
Предположим, что рассматриваемые равенства выполнены для vf и у* (0^/^i). Тогда
(О<л</<о (5.П)
Из (5.10) и (5.11) следует, что числитель в правой части соотношения (5.9) равен
М. (<? + 1)	— 1) 1 . (? + oG?*-1 —1) t i «
м2	-------(Mtf-gg’),
а знаменатель равен числителю, умноженному на (qi+l— l)/q(q‘~l— 1). Отсюда получаем, что
Поскольку с<+1.о = (9/— 0j)/(vi+1 + 0* — 8о), мы получаем требуемое равенство для vi+1. А так как <т*+1 0 = сг<+1 0 = в7(<7г“* — l)/(?‘+1 — 1), мы получаем и требуемое равенство для v,+1. □
220
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
В доказательстве предложения 5.6 мы использовали равенство а3 а = (г* 0, а не всю информацию из предложения 5.5. Если же воспользоваться большей информацией из предложения 5.5, то в случае, когда vyv* =/= v*vp предложение 5.6 можно доказать быстрее следующим образом. Перепишем равенство
— vjvz-1 = Y) в следующем виде:
vt-i	Vi
vt-i vt vt-ivt
и просуммируем no t от i до i + 1. Тогда
v*-i <+i	(	1	1
---------------= у. I---------------------
V/-1 V/+i	V/V/+1
Левая часть равна y2/v(-ivz+i, поэтому если yj =/= 0, то
У2 Vf-ц + vf_i Yi	v.
Положим <7 + -^- =-у-. Тогда
V*+1 — qvf = j- (vz — qvt_i) =
= -^тг(^2 — q^i)
и аналогично
vi+i - vz = qi+l (v2 — у vi) .
Следовательно, vz+1 = Xql + [iq~l. Двойственным образом получаем равенство v*+1 = k*ql + путем решения уравнения (“ Y2)/(- V,) = К+1 + v^O/vJ.
Предложение 5.7. Пусть выполнены условия (5.1), (5.2) и (5.3). Тогда девять параметров 0Q, 0р 02, 03, 0’, 0‘, 0*, М} и М2 определяют однозначно все 0г, 0‘, М..
Доказательство. Параметры 0г и 0* определены в силу предложения 5.6. Полагая / = 0 в предложении 5.3, мы определим все Ь( н Ь*, поэтому ввиду предложения 5.2 (iii) определены всё Mt. □
i § 3.5. (P и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
221
Предложение 5.8. Условия (5.1), (5.2), (5.3) выполняются тогда и только тогда, когда справедливы соотношения
Ut (х) = g Mt [0Д; [х]t, и\ (х) = £ М([0Jt [ xj’ (0 < I < d),
0’ = 0* + (f7‘	(0 < i < d),
" q (? —i)
+ V-!)(/-'-1)(у-‘+и)
. (______J_______A|, _ i J_ j »•_ ph* 1
* ((«z + OG'-1-!) M2 ql-\ Ml	ql J
(1 <d - 1),
60 = (K + p) Mi ’ bd = °’
» _ __(<?'— 1)(Х(7г~' + ц) (Xtzf+ p)
1	(? — i) (х?2'-1+ц) (х<?2'~2 + p)
(<7 + 1) (Xt?1 + p) M2 &q‘ 1 + p Mi	f
(1 </<d- 1),
cJ = O,
(g'-pfa^. (q — О qd~l
~qd '
X<z2d-2 + P
* Л*	1 ♦	*
ai=Q0-bl-ci
________l______ Mi_
(? + l)(?d-l-l) M2
(г = 0),
-----—+Kk*-^-=O	(#0) q — I Mt	qa
(только в случае d < oo),
а также двойственные соотношения для 0*, bt, ct, at, полу* чаемые заменой вхождений (0О, X, ц) на (0‘, X*, ц‘). Здесь девять параметров 0О, 0р 02, 03, 0‘, 0*, 0’, d (из которых первые восемь — вещественные числа и d — положительное целое число ^>3) произвольны за тем лишь исключением, что числа b(, b*, ср с'., 0р 0J, которые заданы выше в терминах этих девяти параметров, должны подчиняться условиям: bt =/= О, 5*=/= 0 (0id—1), bd = b*d = 0, с(=/=0, с* 0 (l^z^d), С] == cj = 0 и 0г =/= 0Z, 0* =/= 0^ (I =/= j, 0 < I, j d).
Доказательство. Пусть справедливы (5.1), (5,2), (5.3). Как это сделано при доказательстве предложения 5.7, подставим
222
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
0Р 0*z из предложения 5.6 в предложение 5.3 при t = 0. Тогда b\, ct, с*, ар а* выразятся в терминах q, X, X*, ц, ц*, ЛТр М2, что и дает требуемый результат. В силу предложения 5.2 определены и(х), и*(х), М{. Соотношение (#0) следует из (#) в предложении 5.3 при / = 0.
Обратное утверждение доказывается прямой проверкой путем обоснования независимости выражений для bt, b*t в предложении 5.3 и сведения (#) в предложении 5.3 к (#0) с использованием (5.11) и следующих соотношений:
Mi+i [9/li	ql~x (q — I)2
. f------1 —_ —!—L	n* — 4	 □ (5.12)
l(<7 + 1) (ql~' - 1) M2 ql — I Mt	q* J
Замечание. (7) В предложении 5.3 выражения для bt, b*, cit с] при 1	— 1 остаются справедливыми и при г = 0, d,
если считать v_p <р vd+1, vd+1 неопределенными символами. В предложении 5.8, чтобы получить выражения для b{, b*, ct, с*, мы используем специфические равенства для v* из предложения 5.6.
При этом случаи i = 0, d требуют отдельного рассмотрения, так как знаменатели в результирующих выражениях могут обратиться в нуль. Тем не менее в предложении 5.8 выражения для bt, b*, cv с\ при 1 i sg: d—1 остаются справедливыми и при i = 0 (соответственно i = d) до тех пор, пока соответствующие знаменатели отличны от нуля при i = 0 (соответственно при i = d).
Завершение доказательства теоремы 5.1.
Случай I. q =/= ±1 и цц* =/= 0.
Пусть
1	q	_ q *	IX#	IX
h —---—гЦ, h =------2—Г Ц > 5 =--2--> 8=-----г —•
q — 1	q — 1	q2 Ц	q2 ц
(5.13) Тогда
0г = 0о + Л(1-<7г)(1-8<7г+1)М
0;=0; + a‘(i-<7')(i-8-<7z+W.	( }
Пусть f , х _ x(x — q)	_ х(х — q2)	1
IW— q(q+\)(q-\) M2 q2 (q - 1) M,-*"
+	- W).	(5.15)
§ 3.5. (Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда
223
Тогда
—r^9/+1) (1
(Х^	+ р.) (kq + р)
^ = ТТГ/(<7)’
(5.16)
а соотношение (#0) из предложения 5.8 эквивалентно равен' ству
f (<7d+1) = 0 (если d < оо).	(5.16)'
Так как ХА’х—	= ((? — I)2/?) hh* (q3ss*x—1), то
x(x-q)	Mt	x (x — q2) 1 ,
/W q(q+V)(q- 1) M2	q2 (q - 1) M,
+ q 'qr~ hh* (x — ?) (x — <72) (q3ss*x — 1).	(5.15)'
Пусть
f (x) = hh" (1 - r,x) (1 - r2x) (1 - r3x).	(5.15)"
Тогда
ss* = r1r2r3,	(5.17)
одно из чисел rt (7=1, 2, 3) равно q~d~l (если d < оо) и bi (двойственным образом й() выражается требуемой формулой в силу (5.16).
Согласно (5.15)' и предложению 5.8,
...................  7^ f(AY	(5Л8) (Xq2i ] + р)(х/ 2 + р) ( s) \sqj
Даже если s = 0, многочлен lim s2x?f (1/sx) корректно определен и (5.18) выполнено, если правую часть в этом случае рассматривать как предел при s->0. В силу (5.15)" и (5.18) получаем требуемое выражение для с{ (двойственным образом и для Ci). Для cq (двойственным образом для cd) полагаем r3 = q~d~l в (5.17) и проводим вычисления, используя то, что
Выразив и{(х) (двойственным образом ui (х)) в терминах новых параметров й, h , 0О, 0q, s, s , rit r2, r3, q, нетрудно проверить, что мы получили многочлены Аски — Вильсона.
Случай IA. q ± 1, X 0, ц = 0, Х’ = 0, ц‘ 0 и ^^(l/^+l))^/^.
224
Гл. 3 Дистаициоийо-реГулярйЫе графы
Исходя из выражений для 0,-, 0/ из предложения 5.8 вместо (5.14) и (5.15) получаем, что
0, = 0O — s'qll—ql) (s' ———гг а\
1	q(q~\) )	(5.14IA)
0* = 0o+ft’(l-<7W.
f ( \ _ x(x — q)	Mt _ х(х — q2) 1 _
q (q + 1) (q - 1) М2 q2 (q - Al,
= -^-Й*(-Г2)х(1 -Г,Х)	(5.15 IA)
для некоторого г} и ненулевого г2- Это можно реализовать, полагая $ = г3 = 0 и устремив h, hs, hr2 к 0, s , г2 в (5.14), (5.15). Поэтому и( (х), 0г, b{, с(, ut (х), 0,, bi, с( могут быть получены из (I), если положить s =г3 —О и устремить h, hs, hr2 к О, f г
5 , Г2-
Случай IB. </=/=±1, А =/= О, у = 0, А‘ = 0, у* =/= О и 1/М, = (!/(<?+D)(M,/M2).
Равенство (5.15) принимает вид
(5.15IB)
при подходящем Г\Г2. Это можно получить, если положить в (5.15) s = г3 = 0 и устремить h, hs, ^/hrx, ^hr2 к 0, s , r\, r2. Полагаем г =/= Г\Г2.
Случай IC. q =/= ± 1, АА* =/= 0.
Заменим q на \/q. Тогда А и у меняются ролями и мы вновь возвращаемся к случаю I.
Случай ID. <7 =/= ± 1, А = 0, у =/= 0, А* =/= 0, у* = 0.
Заменим q на 1/д. Тогда возвращаемся к случаям IA и IB.
Поскольку A + g = V]=/=0 (соответственно А* + у* = vl=/=0)> одно из чисел А, у (соответственно А*, у*) отлично от нуля. Таким образом все случаи при q =/= ± 1 рассмотрены.
Случай II. q= 1, V] =/= v2> vi =/= v2-
Пусть в (5.14) q стремится к 1. Поскольку
(q — l)2/i = —<?2 (q^ — y2)/(q + 1) и
(s — l)/(? — 1) = — {(<?4 — 1) v, — (q3 — q) v2}/(f (t/v, — v2) (q — 1),
получаем
lim(?- l)2/t = -^-TV2, ltm^- = --(2v'-~V2)	(5.19)
,-*1	2	fl-*!?-1	v,-v2	4	>
§ 3.5. (Р и Q) -полиномиальные схемы. Теорема Леонарда 225
Поэтому (5.14) принимает вид
ег = е0 + л'г- (г + 1 + Z), 0;=0; + й’'*(« + 1 + А (5.14 II)
_ 2(2v1~V2) s.z = _ 2 (2VI ~ V2)
Vl—V2 ’	V| — Vj
Положим в (5.15)' x = ql+' и устремим q к 1. Тогда
lim f (<z'+1) =	- (г - 1) -A- + h'h-'i (i - 1) (i + 4 + s' + s")
(5.15 II)'
для всех целых l. Положим
g(z) = limf (?'+1).
<?->!
Отметим, что h'h ' #= 0, поскольку vj Ф v2 и v( #= v%- Так как g(i) является многочленом третьей степени относительно г, положим
g(x) — h'h*'{x + 1 + r'i) (х + 1 + Гг)(х + 1 + Гз)- (5.1511)"
Рассмотрим предел Xql + ц = (q—1) h (sq‘+2 — l)/q при <?->l. Тогда (5.16) примет вид
bi = h' (2i + 1 + s') (2f + 2 + s') S (1 =Cг’ =C d —
fto=T(2T?r^0)-	<5-16 '
Кроме того, g(tZ) = O (если d < оо).	(5.16 II)'
Рассмотрев коэффициент при х2 в g(x) и используя тот факт, что g(d) = 0, получаем
s + s = г। + г2 + 1"з>	(5.17 II)
одно из г< (1=1, 2, 3) равно — d— 1 (если d < оо).
Мы хотим показать, что при q ->• 1 выражение (5.18) принимает вид
г* —	+ s' ~	+ Z ~ r'^	+ s'~ r'^
1	(2; + 1 + s') (2/+ s')	I).
(5.18 II)
226
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Так как limf(<? l) = g(—i— 1), то
3	3
lim ft = ft (4 — г) <?->1 а»1 Ч 1	й=1
для всех г. Пусть (соответственно оу) (/ = 0, 1, 2, 3) — фундаментальные симметрические функции степени / от переменных (га — !)/((? — 1) (соответственно га) (а=1, 2, 3). Тогда
3	i	з
lim £ (-1)а(уЕт)аог3-а= Ё (—1)а'аПз-а q ->1 а=0	4	17	а=о
для всех г. Разрешая эти уравнения (( = —!, 0, 1) относительно оа, получаем равенство
limffa — ffa (a=l, 2, 3).
<7->l
Поскольку (ra — l)/(<7— 1) И ra (a=l, 2, 3) являются корнями многочленов
3	3
Z/	t\3— а а V1 /	1\3-а ' а
(—1)	0?3-а* И L (—0	°3-аХ
а=0	а=о
соответственно, то
lim r.«-^'==r'a (а = 1,2,3).
<7->1 <7-*
Значит, , _	з
lim (s?')3 f (—= h'h*' ft (ra — г — /)> <7->l	\ sq J	а=1
и мы получаем (5.18 II), замечая, что lims=l. Аналогично c*d
<7->1 вычисляется при стремлении q к 1 в случае I.
Таким образом, все получается из случая I, если q, (q-l)2h, {q-\Yh\ (s — \)Kq- 1), (s’- l)/(? - 1), (r, - l)/(? - 1), (r2 — !)/(<?— 1), (r3 — 1 )/(q— 1) стремятся к 1, h', h*', s', $*', rtf гз соответственно.
Пусть a — функция от q, такая, что lim (1 — a)/(l — q) = a'.
<7->l
Тогда
lim n’’	=	(5-2°)
<7->l (1 — q)1
Поэтому
(q~l, s*qt+i, q~!, sql+' \
lim 4фз I	; q, q =
«ч-i \ rxq, r2q, r3q	7
_ (—i, i + 1 + s", —i,j+\+s' \ = 4r31	, -	,	,	; 1 I.
\	Гг-ф-!, Гз-p 1	/
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем 227
Случай ПА. у == 1, V) =4= v2, vi = v2-
Пусть в случае II v2 стремится к При этом равенства (5.1411), (5.15П)', (5.15П)", (5.16П), (5.16II)', (5.17II) и (5.18 II) примут требуемый вид, если положить й*'-> О, ,Ч Ч	*	*"	,4 /	*« /	*/ / Z *Z\	»Z / Z
ns -> vi = s , п гз-> s (заметим, что п (s s ) — h (ri+ Ч-тг + гз))- При выводе выражения для с, воспользуемся тем, что (s — гз)->(г1+ г2 —« ) (так как s' + s = + гг + гз)-
Случай ПВ. <7=1, vi = v2> vi #= v2-
Пусть в случае II v2 стремится к vp Это можно реализовать следующим образом: h ->0, h s ->v1 = s , йгз->« (отметим, что h (s + s ) = й (n + r2 + гз))-
Случай ПС. <7=1, V] = v2> v* = v2> М\1^М2 ф l/Alp
Пусть в случае II v2 и v2 стремятся к V] и vi соответственно. Это реализуется следующим образом: (й', й’/)->(0, 0), (й s , h s ) -> (s , s ), (й r2, п гз) ->1/2, г3). При получении выражения для с{ воспользуемся тем, что йй (s —Гг) •
s —r3) = hh (ггГз-М (Л — s )) (г2гз — s s )•
Случай I ID. <7=1, vj = v2, v* = v2>
Пусть в случае II v2 и v2 стремятся к V! и vi соответственно. Это можно реализовать следующим образом: й' = й*'—>0, (h's', h's*')(s', s”), (V^ r(, ^h' r'2, h'rQ-^(r"i, r2, гз)-
Случай III. q = — 1.
Пусть в случае I <7 стремится к —1. Это реализуется так: <?-> —1, (<7+1)й-^й', (<7 + 1) й*->й*', (s-!)/(<?+ 1)-s', (s- !)/(<?+ 1)-^/', (г,+ !)/(<?+1)-^и, (г2+ 1)/(<?+ 1)-^Г2, (Гз -!)/(<?+ 1)-^гз.
Это завершает доказательство теоремы 5.1. □
§ 3.6. Список известных (Р и (?)-полиномиальных схем
В этом параграфе мы приводим список известных (Р и Q)1-полиномиальных схем, имеющих достаточно большой диаметр. При этом основной акцент делается на представлениях чисел пересечений через параметры ортогональных многочленов Аски — Вильсона, приведенных в теореме 5.1. Мы также обсуждаем импримитивные С-алгебры, обладающие свойством (Р и Q)-полиномиальности, чтобы исследовать Р-полиномиальные и Q-полиномиальные структуры в импримитивных (Р и Q)-полиномиальных схемах,
Ниже приводятся основные известные (Р и Q) -полиномиальные схемы, имеющие достаточно большой диаметр. Числа bt, ct, q> r\,	r8, s, s* те же, что и в теореме 5.1 (здесь s, s*', r't
228
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
в предельных случаях обозначаются через s, s*, п). Указывается также тип в соответствии с теоремой 5.1. В общем случае диаметр обозначается через d, но для производных схем антиподальных схем и половинных схем двудольных схем символ d используется для исходной схемы отношений, поэтому диаметр производной схемы и половинной схемы обозначается через [ВД•	.
Отметим, что числа пересечений b(, ct (соответственно bi, Ci) в общем случае зависят от Р-полиномиальной структуры (соответственно Q-полиномиальной структуры), а все выражения в теореме 5.1 зависят как от Р-полиномиальной, так и от Q-полиномиальной структур. Если у данной схемы имеется несколько Р-полиномиальных или Q-полиномиальных структур, мы приво
дим их все.
Как показано ниже в этом же параграфе, импримитивная (Р и Q)-полиномиальная схема является либо двудольной, либо антиподальной, причем половинные схемы двудольных схем и производные схемы антиподальных схем также (Р и Q)-полиномиальны. В случае когда указанная в списке схема импримитивна, мы включали в список также соответствующие половинную и производную схемы.
(I)
(i) Схема Джонсона J (v, d):
Г] = — vd—1, г2 = —d — 1, s=— v — 2, s* =—v (v — l)/d (у— d). (HA)
При u = 2d-|- 1 схема J (у, d) обладает еще одной Р-полиномиальной структурой, которая в терминах исходной структуры имеет вид Ро, Rd, Rlt Rd^i, R2, Rd-z> ••• и соответствует нечетному графу Od+1:
г\ = — 2d — 3, r2=—d — 1, r3 = d4-l,
s = 2d + 3, s‘ = 2d + 2.	(III>
При v = 2d схема / (и, d) антиподальна.
(1)' Производная схема антиподальной схемы J(2d,d):
d ,	d 1	,	,
П =----Г-1, r2 = ~--------2", r3 = -d-l,
s = — d--1~, s‘ = — d— 1.
(ii) Обобщенная схема Джонсона ((/-аналог схемы Джонсона)!
§ 3.6. Список известных (Р и Q) -полиномиальных схем
229
Пусть V — векторное пространство размерности и над GF(pf), и пусть X — множество d-мерных подпространств в V (d v/2). Определим i-e отношение Ri на X по следующему правилу:
(х, у) е Rt <=> dim (х П у) — d — i.
Тогда 36 —(X, {Ri}o^i^d} есть Р-полиномиальная схема отношений при естественном упорядочении /?0, Rb Rd в
6/ = pH2<+»(pf(d-O_ 1)(pf(O-d-0_	_ 1)2>
c/=(pfz-l)2/(pf-l)2.
Полная группа проективных коллинеаций PFL(v,pf) действует на 36 дистанционно-транзитивно. Говорят, что 36 имеет тип A0-i(pf). Числа пересечений bi, с, могут быть записаны так, как это делается в теореме 5.1(1), при
q = pf,	r2 = q-v+d-1,
s = q~v~2, r3 = s* = 0.
Таким образом, 36 является также и Q-полиномиальной.
(iii) Схемы отношений двойственных полярных пространств-. Пусть V — одно из следующих векторных пространств с не-
вырожденной формой:				
Обозначение	Размерность	Поле	Форма	е
Bd(pf)	2d + 1	GF(p')	квадратичная	0
Cd(pf)	2d	GF(p')	симплектичес-кая	0
Dd(pf)	2d	GF(p')	квадратичная (индекса Вита d)	-1
2Dd+1(pf)	2d+ 2	GF(pf)	квадратичная (индекса Вита d)	1
гА^)	2d+ 1	GF(p2')	эрмитова	1/2
M2d_,(pf)	2d	GF(p2f)	эрмитова	-1/2
Пусть X — множество максимальных рполне изотропных подпространств в V. Каждый элемент иа X имеет размерность d. Определим t-е отношение Ri на X следующим образом:
(х, у) s Ri dim (х Л у) = d — i.
230
Гл. 3. Дистаициоиио-регуляриые графы
Тогда ^ = (А’,	есть Р-полиномиальная схема отно-
сительно упорядочения Ро, Pi, • ••> Rd и
^ = ^+e+1(?d-Z-l)/(?-D.
Ci = (ql- 1 )/(<?- 1),
где q— порядок поля. Схема 3? допускает дистанционно-транзитивное действие групп PVO(2d + 1, pf), PrSp(2d,pf), P£0+(2d,pf), PrO~(2d + 2,pf), PTU(2d + 1, pf) и PVU(2d,pf) соответственно. Числа пересечений bt, с, могут быть записаны в виде, принятом в теореме 5.1(1), при
ri = q~d~l, s=—q~d~e~2, r2 = r3 = s* = 0.	(I)
Таким образом, 96, кроме того, является Q-полиномиальной схемой.
Схема 2A2d-i (pf) обладает еще одной Р-полиномиальной структурой, которая в терминах исходной структуры имеет вид Ео, Ed, Ei, Ed_i, Е2, Ed_2,
q=-pf, S = p^d+»', n = -r2 = p-^f, Z = r3 = 0. (I)
Схема Da(pf) является двудольной.
(iii)' Половинная схема двудольной схемы Dd(pf)'-
q = p2f, ri = p-f(d+2), r2 = p-f(d+1>, s = p~2fid+i\ s'= r3 = 0.
(I) (П)
(0) Обычный п-угольник:
ri = —l/q, r2=\./^/q, r3 = —\/-y/q, s = s‘=l/q, (I) где d = [n/2], a q— некоторый примитивный корень n-й степени из единицы.
0) Схема Хэмминга H(d, q):
r = q(q— 1), ri = — d — 1, s = s* = —q. (II C)
Если p = 2 и d четно, то H (d, q) обладает еще одной Р-полиномиальной структурой, которая в терминах исходной структуры имеет вид Ро, Rd-\, Ri, Rd-з, Ra, Rd-5..Pi, Rd, и еще
одной Q-полиномиальной структурой Еа, Ed_\, Е2, Ed_3, Eit Ed-5.....Pi> Rd-
Г[ = — d— 1, r2 = — —y-, r3==~~^~~, s = s* = d+l. (Ill)
Схема H{d, 2) является двудольной и антиподальной.
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем
231
(i') Половинная схема двудольной схемы H(d,2):
Г1 = ~-----1, г2 = -4~4-’ * = -<*-!• (ПА)
Если d нечетно (d = 2e+ 1), то половинная схема двудольной схемы Я(2е+1, 2) обладает дополнительной P-полиномиальной структурой вида Ro, Rd, Rj, Rd_t, R2, Rd_2, ... и дополнительной Q-полиномиальной структурой вида Ео, Е2, ЕА, ... ..., E:i, Е{. Первой Q-полиномиальной и второй ^-полиномиальной структурам соответствуют параметры
г, = — 2е — 2, r2 = — е— 1, r3 = e4-l, s = s* — 2e-\-2. (Ill)
Первой Р-полиномиальной и второй Q-полиномиальной структурам соответствуют параметры
s = s’=—е —-у- (II) Второй Р-полиномиальной и второй Q-полиномиальной структурам соответствуют параметры
=	---1, г2 = -4------4 s* = -d-l. (ПВ)
(i") Производная схема антиподальной схемы H(d,2)-.
П = -4-1’ г2 = -4----------Г’ *’=-<*-!• (ПВ)
Если d нечетно, то производная схема антиподальной схемы H(d,2) изоморфна как схема отношений половинной схеме двудольной схемы H(d, 2).
Если d четно, то производная схема антиподальной схемы (соответственно половинная схема двудольной схемы) H(d,2) является двудольной (соответственно антиподальной) и половинная схема производной схемы антиподальной схемы H(d, 2) изоморфна как схема отношений производной схеме половинной схемы двудольной схемы H(d, 2).
(i"') Производная схема антиподальной схемы в п. (i') (d — = 2е, четно), которая изморфна половинной схеме двудольной схемы в п. (i") (d = 2е, четно):
__ е 1	_ е ,	1
Г\ 2	2 ’ Г2 2 Гз — е~' 2 ’
s = s* = -e-l. (II)
(ii)	Схема отношений билинейных форм (обобщенная схема Хэмминга):
232
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Пусть X — множество матриц размера dy^n над полем GF(pf) (d^n). Определим t-е отношение R, на X следующим образом:
(х, у) (= Ri о rank (х — у) = I-
Тогда Зв = (Х, {/?Jo<i<d) есть Р-полиномиальная схема относительно естественного упорядочения Rn, Rt...Rd и
Группа, порожденная сдвигами, а также левыми и правыми умножениями на матрицы, действует на Зв дистанционно-транзитивно. Числа пересечений bi, с, могут быть записаны гак, как это сделано в теореме 5.1 (I), при
q = pf, rt = q~d~l, r2 = q~n-', r3 = s = s’ = 0.	(I)
Значит, является также и Q-полиномиальной схемой.
(iii)	Схема отношений знакопеременных билинейных форм:
Пусть V — векторное пространство размерности п над GF(pf). Пусть X — множество билинейных знакопеременных форм на V (кососимметричных матриц, если р нечетно) и d = = [п/2]. Определим i-e отношение R, на X по правилу
(х, у) е Ri о rank (х — у) = 2i.
Отметим, что ранг всегда четен. Тогда Зв = (X, {PJo</<d) является Р-полиномиальной схемой отношений при естественном упорядочении Ро, Pi, • Rd и
^ = p4f, (pfM-pf)(pHn-2;'- D/(p2f-Pf)(pf+ 1),
Группа, порожденная преобразованиями х-+*аха (а е eGL(n, д’)) и хх + у (у^Х), действует на ^ дистанционно-транзитивно. Числа пересечений bi, ct могут быть записаны так, как сделано в теореме 5.1(1), при
_ П+2	_ Я+1
<7 = p2f, rx = q 2 , r2 = q 2 , r3 = s = s* = 0.	(I)
Таким образом, схема Зв является также и Q-полиномиальной.
(iv)	Схема отношений эрмитовых форм:
Пусть V—векторное пространство размерности d над GF(p2f). Пусть X — множество эрмитовых форм на V (эрмитовых матриц). Определим i-e отношение Рг на X по правилу
(х, у) е Ri о rank (х — у) — i-
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем
233
Тогда Зв = (Х, {PJo<z<a) есть Р-полиномиальная схема отно сительно естественного упорядочения Ro, Rt, .... Rd и
Группа, порожденная преобразованиями х->(аха (a^GL(d, р2!)) и х-^-х-\-у (у^Х), действует на X дистанционно-транзитивно. Числа пересечений bi, с, могут быть записаны в том же виде, что и в теореме 5.1(1), при
q = —pf, ri = q~d~l, r2 = —q~d~l, r3 = s = s* = 0.	(I)
Таким образом, схема Зв является также и Q-полиномиальной.
(v)	Схема отношений квадратичных форм (см. [144]):
Пусть V—векторное пространство размерности п—1 иад GF(pf). Пусть X — множество квадратичных форм на V (симметричных матриц, если р =/= 2) и d = [п/2]. Определим i-e отношение Ri на X по правилу
(х, у) е Rt о rank (х — у) — 21 — 1 или 21.
Здесь ранг понимается в обычном смысле, если р #= 2, а в противном случае он определяется следующим образом. Пусть Q — квадратичная форма, т. е. Q(ax) = a2Q(x), и пусть £ — билинейная форма, ассоциированная с Q, т. е.
Р(х, у) = Q (х + у) — Q (х) — Q (у).
Пусть
Г (₽) = {v е V | Р (у, w) = 0 для V w е V},
V(Q) = {ue 1/(Р) j Q (и) = 0}.
Тогда rankQ = dim V/V(Q).
Зв — (X, {Pjo<z<d) является Р-полиномиальной схемой отношений при естественном упорядочении Ro, plt ..., Rd, а числа пересечений b,, с, те же, что в п. (II) (Ш), т. е. как для схемы отношений знакопеременных билинейных форм «-мерного векторного пространства над GF(pf). В частности, Зв является Q-полиномиальной схемой отношений. GL(n—1, pt) при естественном действии на X сохраняет ранг. Полная группа автоморфизмов схемы Зв действует иа X не дистаициоино-транзитивно.
Замечания. (1) Поясним, почему мы говорим, что приведенный выше список содержит основные (Р и Q)-полиномиальные схемы:
(I)	Список содержит все известные примитивные (Р и Q)-полиномиальные схемы достаточно большого диаметра. Если
234
Гл. 3. Дистаициоино-регуляриые графы
(Р и Q) -полиномиальная схема импримитивна, то композиционные факторы (см. § 2.9) обладают примитивной (Р и Q)-полиномиальной структурой и, следовательно, содержатся в списке. Ниже мы увидим, что композиционные факторы (Р и Q)-полиномиальной схемы могут быть получены последовательным рассмотрением половинных схем двудольных схем и производных схем антиподальных схем.
Кроме того, ряд схем можно получить применением к схемам отношений из нашего списка переходов к производным схемам антиподальных схем и/или к половинным схемам двудольных схем, а также обратных переходов к схемам отношений из нашего списка.
(ii)	Могут существовать схемы отношений с теми же параметрами, что и приведенные в списке (при этом их алгебраические свойства совпадают, хотя комбинаторно они неизоморфны). См. статью Егавы [143] для схем Н(п, 4).
Мы предполагаем, что если дополнить список некоторыми родственными схемами в смысле п. (i) и (ii), то он покроет все (Р и Q)-полиномиальные схемы.
(2)	Все схемы отношений в списке (II) самодвойственны, т. е. первая и вторая собственные матрицы совпадают (поскольку s = s*), в то же время числа bt, Ci для схем в списке (I), вообще говоря, не являются целыми, следовательно, эти схемы не самодвойственны.
Пусть 3? — (Х,	{Р,}о< <<d) — схема отношений из списка
(I) (ii), (iii). Группа Aut(^) представляет собой группу Ше-валле G, расширенную некоторыми внешними автоморфизмами, причем G действует на графе (X, Pi) дистанционно-транзитивно. Стабилизатор точки из X в группе G — это максимальная параболическая подгруппа Р, соответствующая отбрасыванию указанных ниже вершин в диаграммах Дынкина:
о---о- ... -о— X —о— ... -о--о
о-о-о— .. • —о—о= М
Поэтому схемы в списке (I) (ii), (iii) могут быть описаны, исходя из подстановочного представления группы G на множестве X = P\G. С другой стороны, схемы в списке (II) (ii) — (iv) можно по существу проинтерпретировать следующим образом:
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем
235
Пусть P — Gj-U] (Р £> Uj) — разложение Леви. Тогда действие Р на Uj и задает дистанционно-регулярные графы в списке (II).
(3)	Импримитивными являются следующие схемы из списка: J (2d, d) (антиподальная), Da(pf) (двудольная), H(d, 2) (двудольная и антиподальная), половинная от двудольной схемы Н(2е, 2) (антиподальная) и производная от антиподальной схемы Н(2е, 2) (двудольная).
J(2d-{- l,d)— единственная в списке схема, обладающая двумя Р-полиномиальными структурами и единственной Q-полиномиальной структурой. 2A2d-i (pf)—единственная в списке схема, обладающая двумя Q-полиномиальными структурами и единственной Р-полиномиальной структурой. Следующие схемы в списке обладают двумя Р-полиномиальными и двумя Q-полиномиальными структурами: Н(2е, 2), половинная от двудольной схемы И (2е -j- 1, 2), изоморфная производной от антиподальной схемы Н(2е 1, 2). Отметим, что (Р и Q)-полиномиальная схема имеет не более двух Р-полиномиальных структур (см. § 3.4) и не более двух Q-полиномиальных структур (см. § 3.7).
4)	Риманово многообразие М называется 2-точечно однородным, если для каждых (х,у), (w,z)^MXM, таких, что d(x, у) = d(w, z), существует автоморфизм creAutM, такой, что х° — w, у° = z.
Теорема [386]. {компактное 2-точечно однородное пространство} — {компактное симметрическое пространство ранга 1}.
Теорема [379], см. [190]. {некомпактное 2-точечно однородное пространство} = {некомпактное симметрическое пространство ранга 1}.
Грубо говоря, понятия 2-точечно однородного пространства и симметрического пространства ранга 1 соответствуют Р-полиномиальной и Q-полиномиальной структурам (возникающим из действия группы) соответственно.
Таким образом, в непрерывном случае наличие одной из структур (Р-полиномиальной или Q-полиномиальной) влечет за собой наличие второй, согласно сформулированным выше теоремам.
Гипотезы (1) Если d достаточно велико, каждая примитивная Р-полиномиальная схема обладает Q-полиномиальной структурой и наоборот, т. е. {примитивная Р-полиномиальная схема} = {примитивная Q-полиномиальная схема}.
(2)	Если схема отношений обладает (Р и Q)-полиномиальной структурой и достаточно большим диаметром, то она содержится в списке, приведенном в начале параграфа, либо родственна схемам из этого списка в смысле замечания 1 (i), (ii).
236
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
В доказательстве гипотезы (2) выделяются три шага. Первый шаг, т. е. теорема 5.1, закончен в работе Леонарда [250]. Второй шаг состоит в нахождении реализуемых параметров. Мы надеемся, что большинству из них соответствуют известные схемы отношений. Заключительный шаг состоит в характеризации схем отношений их параметрами. (Для схем H(n,q) и /(и,£) при v > 4k характеризация завершена. См. [143], [272]1).) Второй шаг будет еще обсуждаться в § 3.7, а третий шаг — в § 3.8.
Мы хотели бы, чтобы это направление развилось настолько, чтобы стало возможным провести классификацию таблиц характеров, соответствующих конечным простым группам — это старая тема, изучавшаяся Брауэром, см. [59].
Пусть G — конечная группа и CQ — {1}, С], ..., Cd — ее классы сопряженных элементов. Определим отношение /?, на G правилом
(х, у) е=	e=Cz.
Тогда 36 = 36(G) = (G, {Ri}o^i^d) является схемой отношений и 36 (G) примитивна тогда и только тогда, когда G проста. Была проведена большая работа для того, чтобы охарактеризовать группы их таблицами характеров (например, для G^Sn, Ап см. [273], [225]).
Задача. (1) Охарактеризовать схему отношений 36(G) посредством ее параметров (т. е. таблицей характеров).
В качестве первого шага можно рассмотреть схему отношений 36 (G) для G = Sn, Ап.
Замечания. (5) Если в гипотезе (1) отбросить требование примитивности, то к ней имеются следующие контрпримеры. Пусть 36— схема отношений с матрицами смежности А; и примитивными идемпотентами Е,. Пусть 36 — двудольное расщепление 36, т. е. матрицами смежности 36 являются At и АТ, где
/Ai 0\	_	/0 ЛД
Ai о aJ и Л/ =1л< О/'
(6.1)
Тогда примитивными
ЕТ, где
Е+____l(E{
2
идемпотентами схемы
36 являются Et,
—ЕЛ £,)• <6'2>
’) Недавно схемы J[у, k) были полностью охарактеризованы, см. дополнение авторов в конце книги. — Прим, пврев.
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем 237
Если Зв обладает Р-полиномиальной структурой, то упорядочение должно быть таким: At, АГ, At, АГ, • • • при подходящем переупорядочении матриц Az. Если Зв обладает Q-полиномиальной структурой, то упорядочение должно быть следующим: Ео> ЕГ, Е}, Ез, .   при подходящем упорядочении идемпотентов Et. Пусть ркц, qbn — числа пересечений и параметры Крейна схемы Зв. Можно убедиться в справедливости следующих двух утверждений. Схема Зв является Р-полиномиальной относительно At, АГ» At, АГ, • ••, если и только если схема Зв является Р-полиномиальной относительно Ао, Аь А2, А3, ... и pu = 0 (i =# d), p^d ¥= 0. Схема Зв будет Q-полиномиальной относительно Et, ЕГ> Е}, Ез, ..., если и только если схема Зв Q-полиномиальна относительно Ео, Еь Е2, Е3, ... и q{i = Q (f=/=d), q\d =/= 0. Например, пусть Зв = Ок, нечетный граф, и Зв = 2.Ок, двойное накрытие (см. § 3.4, пример 4.1 (4)). Тогда Зв есть Р-полиномиальная схема, не являющаяся Q-полиномиальной.
(6)	Схема Джонсона J(v, d) имеет «/-аналог Av_1(</), однако нечетный граф Od+1 в J (2d1, d) не имеет «/-аналога в Ам(</). Это происходит из-за того, что векторное пространство размерности 2d -ф 1 содержит три попарно непересекающихся подпространства размерности d, например, (щ, и2, ..., ud), (Vi, v2, ..., vd), (щ + Ui, u2 + v2, ..., ud + ud), где щ, u2, .... ud, Up u2, ..., vd линейно независимы. Тем не менее, как показано ниже, двойное накрытие 2.Od+l графа Od+1, которое является одновременно двудольным расщеплением графа Od^.{, имеет «/-аналог. В отличие от 2.Od^ «/-аналог 2.Od+1 не является антиподальной схемой.
Пусть V — векторное пространство размерности 2d-(-l. Пусть X (соответственно У) — множество подпространств V размерности d (соответственно размерности d-f-l). (X и У — это «/-аналоги /(2^4-1, d).) Граф с множеством вершин XU У и множеством ребер {(а, Р) | а е X, ₽ е У, a S ₽} является двудольным и дистанционно-транзитивным графом диаметра 2d 4- 1. Числа пересечений равны c2l_{ = c2l = (q{ —!)/(</— 1), Ь21_[ = b2i = (qd+i —- ql)l(q — 1). В силу теоремы 5.1 эта схема не является Q-полиномиальной.
(7)	Пусть Зв является Q-полиномиальной схемой относительно упорядочения примитивных идемпотентов Ео, Е1; ..., Ed. Пусть а/, bi, Ci — двойственные числа пересечений: E]°Et = = (1/1X ))(&’-iEz_i 4- a'iEt 4- Cf+JEz+i). Тогда Зв есть Q-полино-миальная схема относительно упорядочения Ео, Е2, Е4, ..., Е5, Е3, Ei, если и только если at— 0 (i = 0, 1, ..., d— 1) и
238
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
аа=/=0. Доказательство непосредственно следует из рассмотрения произведений FjoFio ... оЕ\. Как показано в замечании (5), двудольное расщепление такой Q-полиномиальной схемы также является Q-полиномиальной схемой. Таким образом, схема 2A2a-i(pf) и половинная схема двудольной схемы Н (2е + 1,2), изоморфная производной схеме антиподальной схемы Н(2е -ф 1,2), имеют двудольные расщепления, которые обладают Q-полиномиальной структурой. Отметим, что двудольное расщепление схемы 2A2a-i(pf) уже не является P-полиномиальной схемой, поскольку для единственной Р-полиномиальной структуры схемы 2A2d_](pf) числа ai отличны от О (см. замечание (5) в § 3.6). С другой стороны, половинная схема двудольной схемы Н(2е-\-\,2) (изоморфная производной схеме антиподальной схемы Н(2е-\- 1,2)) имеет двудольное расщепление (изоморфное двойному антиподальному накрытию), которое изоморфно H(2e-j-l,2) и, очевидно, является (Р и Q)-полиномиальной схемой.
(8)	Двойными антиподальными накрытиями графов Od+i и их (/-аналогами исчерпываются известные Р-полиномиальные схемы достаточно большого диаметра, не обладающие Q-полиномиальной структурой. Двудольные расщепления схемы ?A2el-i(pf) — единственные известные Q-полиномиальные схемы достаточно большого диаметра, не обладающие Р-полиномиальной структурой.
Мы уже обсуждали половинные схемы двудольных и производные схемы антиподальных (Р и Q)-полиномиальных схем без детального объяснения. Здесь мы исследуем их систематически. Отправной точкой является следующая теорема.
Теорема 6.1. (Биггс — Гардинер — Смит, см. [335].) Пусть £& = (Х, {Pjoc/cd)—импримитивная Р-полиномиальная схема отношений при естественном упорядочении и отлична от обычного п-угольника. Тогда дистанционно-регулярный граф Г == (X, Pi) либо двудолен, либо антиподален:
Доказательство. Пусть Р( (х) = {у е X | (х, у) е Р,}. Пусть S — некоторый нетривиальный блок. Тогда, согласно определению блока,
S = Ро (х) U Ре, (х) U Р(2 (х) U • • • U Ris (х)
для некоторых ip г2, ..., is, которые не зависят от выбора xeS. Можем считать, что 1 < q < i2 <  Если ii = d, то Г — антиподальный граф. Поскольку i] > 1 для / = /р i2,   •> is, в Р/(х) отсутствуют ребра, т. е. а;- = 0. Теперь cf af bf = = и поэтому одно из Cj, Ь/ больше или равно двум. Поскольку c/+i с, и bj~i ^bj в силу предложения 1.2, одно из
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем
239
чисел bj-i, с/+1 больше или равно двум. Это означает, что R/(x) содержит пару вершин, находящихся на расстоянии 2 друг от друга. Таким образом, h — 2 и, следовательно, Z2=4, t3=6...
т. е. Г — двудольный граф. □
Пусть Г — двудольный дистанционно-регулярный граф с разбиением Г = Г1 (J Гг. Тогда если в Г, вершины х и у соединены ребром в точности тогда, когда д(х, у) = 2 в графе Г, то Г, становится дистанционно-регулярным графом. Он называется половинным графом графа Г и обозначается через Г'. Два половинных графа графа Г имеют одни и те же параметры, но не всегда изоморфны. Примером является обобщенный 6-угольник на 126 вершинах (см. § 2.3).
Вопрос. (1) В каком случае половинные графы двудольного дистанционно-регулярного графа изоморфны?
Пусть Г — антиподальный дистанционно-регулярный граф. Пусть х ~ у тогда и только тогда, когда либо д(х, у) = 0, либо д(х, у) = d. Пусть Г = Г/~. Тогда если в графе Г вершины х и у соединены ребром в том и ^только том случае, когда в Г имеется ребро между х и у, то Г становится дистанционно-регулярным графом. Граф Г называется производным графом графа Г.	_
Роль графов Г' и Г аналогична роли в теории групп коммутанта [G, G] и факторгруппы по центру G/Z соответственно.
Таким образом, проблема классификации Р-полиномиальных схем сводится к классификации примитивных Р-полиномиаль-ных схем (гипотеза (1)) и решению следующей задачи.
Задача. (2) Для заданного известного дистанционно-регулярного графа Г
(а)	определить все дистанционно-регулярные графы П, такие, что П' = Г,
(Ь)	определить все дистанционно-регулярные графы Д, такие, что Д = Г.
(П, Д играют роль, аналогичную роли группы автоморфизмов простой группы и расширения простой группы с помощью мультипликатора Шура соответственно.)
Чтобы изучить Q-полиномиальные структуры в импримитив-ных (Р и Q)-полиномиальных схемах, введем С-алгебры Р-по-линомиального типа и Q-полиномиального типа. Пусть 91 = =	есть С-алгебра. Ниже мы везде будем пред-
полагать, что
и ^/>0,
240
Гл. 3. Дистаициоино-регуляриые графы
Говорят, что 21 симметрична, если х>-= xt для всех I, или, что эквивалентно, если ее собственные матрицы состоят лишь из вещественных чисел. Симметричная С-алгебра 21 называется алгеброй Р-полиномиального типа относительно упорядочения базиса Хо, Xi, •••, Xd, если xt = vi(xi) для многочленов vi(x) степени i (O^i^d). Как и в предположении 1.1, 21 имеет Р-полиномиальный тип тогда и только тогда, когда
XiX, = ^_1xJ_1 + aixi4-ci+1vi+1 (0<t<d),	(6.3)
где bt-i > 0 (l^i^d), c1+i>0 (O^i^d—1) и 6_i = = Cd+i = 0. Двойственным образом С-алгебра Q-полиномиаль-ного типа определяется с помощью примитивных идемпотентов е0, ei...ed и шурова произведения. Другими словами, С-ал-
гебра имеет Q-полиномиальный тип, если и только если двойственная к ней С-алгебра имеет Р-полиномиальный тип.
Если 21 обладает С-подалгеброй (хДссе/-) при Т = {0, 2, 4, ...}, то Р-полиномиальная структура называется двудольной. Если 21 имеет С-подалгебру <ха|аеГ> при Т= {0, d}, то Р-полиномиальная структура называется антиподальной. Двудольная и антиподальная Q-полиномиальные структуры определяются аналогично.
Предложение 6.2. Пусть 21 = (xt |0 i d) есть С-алгебра Р-полиномиального типа относительно упорядочения базиса х0, Xi.....xd. Предположим, что ри^О и	для всех i, j, k.
Пусть (хв | р е Т) — собственная С-подалгебра в 21. Тогда Т = {0, а, 2а, За, ...) для некоторого ае{2, d, d/s, (2d-J- 1 )/(2s-J- 1), 2d/(2s + 1)}.
Пусть В — тридиагональная матрица
*	1	с2	...	cd_]	cd
 0	а}	а2	...	ad_i	ad	>,
- k	b}	b2	...	bd_!	*
где at, bh ct определены в (6.3). Тогда 21 обладает С-подалгеброй (хр | ₽ «= Г) при (i) а = 2, (ii) a = d, (iii) а = d/s, (2d +1 )/(2s+1), 2d/(2s -j- 11 соответственно, если и только если
(i)
а2 = а4 = ... = 0 и а! = а3 = ...,
(ii)
*	1 t?2
В = * 0 ci]
... ct bt ... at at ... bt ct
...	b2	6]	k	'
...	a2	at	0	”
...	Cg	I	*	f
(d = 2/ + 1),
> k bl Ьг
§ 3.6. Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем
241
*	1 С2
В = \ 0 ах а2
• •• <4-i
.. • at_r
D,
. k bt b2
Ct bt_] at at-l bt Ct-I
... b2 1 k'
. . . a2 Я] O’
... c2 bi *-
(d = 2t),
(iii)
Da
	' * 1	c2 ... b2	bi		1	C2 .	.. b2	bi	c2a
в = <	0 ах		Я1	0	<21	a2 .	• • a2	<21	0
	. fe bi	62 ... c2	1	ba	bi	b2 .	.. c2	1	Ь2а.
где каждый блок Di имеет			вид						
	1 c2	... ct bt	. . .	b2	b\	cia			
Dt —	a.i a2	... at at	. . .	a2	<21	0	(« =	2/ +	1).
	bi b2	... bt ct	• • •	C2	1	bio			
1 c2 .	 • ct-l cla-t bt^i	... b2 bl Cia
Dt = ai a2 ..	 • at-l at at-l	... a2 at 0 (a = 2t),
bi b2 ..	•  bt_i bia_t ct-l	... c2 1 b{a
а «хвост» матрицы В имеет вид
... 1 с2
... ах а2
— bi b2
... 1 с2
... at а2
... bi b2
... 1 с2
... ах а2
... bi b2
... b2 bl ... а2 ai ... с2 1
• •  С(а-3)/2 •  • <2(а-3)/2 . . . Ь(а-Э)/2 . . . С(а-2)/2 . . . Я(а-2)/2 • • • Ь(а-2)[2
С(а-1)/2
<2(а-1)/2 + 6(а-1)/2
*
С а!2 + Ьа!2
<2а/2
*
k '
О 
* .
2d + 1 \
2S + 1 ) ’
2d \
2s 4- 1 )
соответственно. (Отметим, что (i) и (ii) являются частными случаями (iii) при а = 2 и а = d соответственно.)
Доказательство. В обозначениях теоремы 9.9 гл. 2 пусть (-~-хт{ | 0 i t'j есть С-факторалгебра 91/(хр| 0 е Т). Пусть Т = {О, di, а2, ...} (О < а] < а2 < ...). Рассмотрим равенство х&хт = f-xri при 6 = <х2 —cq. В силу того что ра₽ неотрицательны, Т{ содержит б, at 4-6, а2 4-6, .... Поэтому 7'/П7’эа2 и, рледовательцо, Tf — Г. Так как Г = э a2 — а(, то а2 — cq = а}.
242
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Повторяя эти рассуждения применительно к f> = at — ai_i (i = 3, 4, ...), получаем аг = ш при а! = а.
Рассмотрим равенство х1хг = %хт1 для 7\ и некоторого АеС, где Т\ — блок, содержащий 1. Выразим, используя (6.3), левую часть этого равенства в виде линейной комбинации от х2. Из правой части следует, что коэффициент при х, равен константе А при ('еЛ и нулю при 1фТх. В силу трехчленного рекуррентного соотношения (6.3) и того факта, что bi, Ci положительны, мы получаем, что
^, = {3 ± 1 1Э ^Г}П{0, 1, 2, ..., d}.
Кроме того,
ар = 0 (₽е7),
( 1 = Ci = ср+1 — b^_i (р <= Т), если а > 2,
( Ci -j- bi = с3 + b3 = ..., если а = 2,
где рассматриваются лишь те числа 0 + 1, которые содержатся в множестве {0, 1, 2, ..., d}. Если а = 2, то а2 = а4 = ... = О и ai — а3 == ... .
Рассмотрим произведение xtxr,. Поскольку хххт, = (1/А) х\хт и Xi = bQx0 + atxr + с2х2, то произведение хххт, является линейной комбинацией от хт, Хт, и некоторого хт,- Сравнивая коэффициенты при xit получаем
7’2={₽±2| ₽еГ)Л{0, 1, 2......d},
и
(	= ар ± 1 (₽ е Т),	если а >	3,
( щ + bi — а2 + с2 = а4 + = а5 + с5 =	..., если а — 3,
{с2 = ср+2 = 6р-2 (0 е Т),	если а > 4,
с2 + Ь2 = с6 + Ье = с10 + &ю =	..	•,	если а = 4,
где рассматриваются лишь те числа 0±1, 0 ± 2, которые принадлежат множеству {0, 1, 2, ..., d}.
Случай 1. Предположим, что a = d/s для некоторого положительного целого числа s. Рассмотрим произведение XiXy(._1 для z=l, 2, ..., [а/2], как это сделано выше. Для каждого i определяется множество
Л = {₽±/|реТ}П{0, 1,2.......d}.	(6.4)
Выразив X\Xt{_i в виде линейной комбинации от хт, хтх, ... ..., хт( и сравнив коэффициенты, получим требуемый вид матрицы В’
244
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Согласно теореме 9.9 гл. 2, С-факторалгебра 91/<ха|аеТ>— это
(6.7)
для некоторого разбиения То = Т, Ту ..., Tt множества {0, 1, ... ..., d}. Кроме того, хахт = кахт1 для некоторого лаеС (V«s е TJ. Двойственная С-алгебра для факторалгебры 91/(ха | а е Г) — это
(пеа | а е 77) а: 91.	(6.7')
Векторные пространства, на которых определяются С-алгебры из (6.7) и из (6.7)', совпадают. В частности, |77|— 1-|-/. Двойственным образом С-факторалгебра Й/<пеа| а е 77>— это пец. | 0 i < с= Й	(6.8)
для некоторого разбиения U0 = U, Uy ..., Us множества {О, 1, ..., d}. Кроме того, еа°еи = у,аеи1 для некоторого pa е С (уае Ui). Двойственная С-алгебра к факторалгебре Й/(пеа|а е а Д — это
(ха |а е= Г) с 91.	(6.8)'
Векторные пространства, на которых определены С-алгебры (6.8) и (6.8)', совпадают. В частности, |Т|= 1 -|-s.
Теперь предположим, что 91 является С-алгеброй P-полиномиального и Q-полиномиального типов. Тогда имеет место следующая
Теорема 6.3. Пусть 91 = <х»[ О i d) есть С-алгебра (Р и Q)-полиномиального типа относительно естественных упорядочений Xi и е{. Предположим, что рц^О и	для
всех i, j, k. Предположим, что d достаточно велико, скажем, d 45, а также что 91 не изоморфна алгебре смежности никакого обычного п-угольника. Если	— собственная
С-подалгебра в 91, то
либо Т = {0, 2, 4, ...}, либо Т = {0, d}.
Доказательство. Предположим, что Т не равно ни {0, 2, 4, ...}, ни {0, d}. В силу предложения 6.2 имеем a— d/s, (2d + + l)/(2s -j- 1), 2d/(2s + 1). Кроме того, Т — {0, а, 2а, За, ...} и
Cg + 1 =	= 1, Яр = О (Р е= Т).
Пусть В—тридиагональная матрица, определенная в предложении 6.2, и пусть 0г (O^i^d) — ее собственные значения. Тогда многочлены иДх) (0^7 <^г7) определяются равенством (5.1). Заметим, что pt (I) = kjuf (0;). Определим0, и я*(х)двойст
§ 3.6. Список известных (Р н Q)-полиномиальных схем
245
венным образом. Отметим, что qs (i) = nij и\ (0*). Кроме того, в силу теоремы 5.5 (i) гл. 2 имеет место (5.3). Таким, образом, мы можем применить теорему 5.1 и описать 6г, ct как параметры многочленов Аски — Вильсона.
Если выражения для bt, ct имеют тип (I) из теоремы 5.1, то bi = f (q‘)/g (<?') и ct = d (q‘)/e (q‘) для подходящих многочленов f (x), g(x), d(x), e(x) степени не выше 4. Так как ср+1 = = 6р_1=1 для р е Т, то
d(^+1) = 6(^+1)
для р е Т. Поскольку #= 0О (/=1,2, ..., d), получаем ql 0 (i=l, 2, ..., d).
Значит, если [d/2]	5, т. е. если | Т |—1^5, то
f(x) = g(x), d(x) = e(x),
и поэтому bi = Ci=l. Так как ав = 0 (РеД то k = 2, т. е. С-алгебра §1 возникает из обычного п-угольника.
Для остальных выражений bi, ci из теоремы 5.1 теми же методами можно показать, что k = 2 при [d/a]	5, т. е.
]7"|—1 5=5. Поэтому можно предположить, что [d/a] < 5.
Рассмотрим факторалгебру 9I/(xp | р е Т). Двойственной к ней С-алгеброй является С-подалгебра (пер | р е U} сг Й, где U определено в (6.5). Размерность 9I/(xB I Р е Г) = (xrt | 0 С * Д равна 1 + [а/2] в силу (6.4). Поэтому |С|= 1-|-[а/2]. Так как d 45 и [d/a]	4, мы получаем [а/2]	5. Рассуждения,
примененные выше к Т, можно применить и к С. Тогда мы получим U = {0, 2, 4, ...} и, следовательно, [a/2] = [d/2], т. е. а = d. □
Условие d 45 в теореме 6.3 является довольно произвольным. Предполагается, что его можно существенно ослабить.
Если Р-полиномиальная структура двудольна, т. е. Т = = {0, 2, 4, ...}, то 11/| = 1 -]- t = 2, поэтому, согласно теореме 6.3, С = (0, d}, т. е. Q-полиномиальная структура анти-подальна. С-алгебра <ха|аеГ) является алгеброй Р-полино-миального типа относительно упорядочения х0, Хг, х4, ... . Рассмотрим двойственный базис реий> реих, , peus- Так как U = = {0, d} и еа ° еи = цаеу. (а е Ut), воспользовавшись индукцией по I, получаем, что
'n(efoec/) = cc/ =ef+
/ dx	М
p(ezoe£/) = e^ = e/	[i = ~2 )•
246
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
(Для вычисления коэффициента р во втором равенстве системы (6.9) следует воспользоваться линейным представлением пег->--+mt алгебры €.) Таким образом, <ха|аеТ> является алгеброй Q-полиномиального типа относительно упорядочения реи0, рещ,  , peus (s = [d/2J), заданного в (6.9).
Если Р-полиномиальная структура антиподальна, т. е. Т = = {0, d}, то, применив индукцию по i, получаем, что
' Х;ХГ = Хт. = X; + Xd_z
/	(6.9/
1 ( d\ y-XiXT = XTi = Xi	—J.
Поэтому С-факторалгебра ((1/р) хт{ 10 i (t — [d/2]) является алгеброй Р-полиномиального типа относительно упорядочения хт0, хте ..., xrt, заданного в (6.9)'. Рассмотрим двойственный базис {пеа |а е U}. Так как | U |= 1 + t — 1 + [d/2], то в силу теоремы 6.3 получаем U — {0, 2,4, ...}, т. е. Q-полиномиальная структура двудольна. Кроме того, подалгебра (xrt | 0 i Q-полиномиальна относительно упорядочения neo, пе2, пе$, ....
Так как схема отношений является Р-полиномиальной схемой (соответственно Q-полиномиальной схемой) тогда и только тогда, когда ее алгебра смежности имеет Р-полиномиальный тип (соответственно Q-полиномиальный тип), мы получаем такой результат.
Теорема 6.4. Пусть 35 —(X, {Pz)o<i<d)—импримитивная Р-полиномиальная схема относительно упорядочения Ло, Ль Д2, ... матриц смежности, а также Q-полиномиальная схема относительно упорядочения Ео, Е\, Е2, ... примитивных идемпотентов. Если 35 не есть обычный п-угольник, то верно одно из следующих утверждений:
(t) Р-полиномиальная структура двудольна, а Q-полиномиальная структура антиподальна. Половинные схемы двудольных схем являются Р-полиномиальными относительно упорядочения Ло, А2, Л4, ... и Q-полиномиальными относительно упорядочения Еа -f- Ed, Е\ + Ed-\, Е2 -|- Ed-2, ....
(i‘) Р-полиномиальная структура антиподальна, а Q-полиномиальная структура двудольна. Производная схема антиподальной схемы является Р-полиномиальной относительно упорядочения A0 + Ad, Ai+Ad-i, А2 + Аа-2, ... и Q-полиномиальной относительно упорядочения Ео, Е2, Ел, ... .
Теорема 6.4 справедлива без условия d 45, поскольку имеется ее короткое доказательство с использованием теоремы 6.1, из которой следует, что импримитивная Р-полиномиаль-
§ 3.7. Рациональность собственных значений
-.247
ная структура либо двудольна, либо антиподальна, т. е.
Т = {0, 2, 4, ...} или 7 = {0, dl-
Если Т = {0, d}, то | U | == 1 + t = 1 + [d/2], Это влечет за собой [/ = {0,2,4,...}. Если Т = {0, 2, 4, ...}, то |[/|=1+/=2. Отсюда И = {0, а} для некоторого а (а > [d/2]). Так как фактор-алгебра 91/(<?а | а е U) имеет размерность 1 + s = | Т |, то U = {0, d} в силу предложения 6.2.
Из предложения 6.2 и теоремы 6.3 ясно, что любая импри-митивная Р-полиномиальная схема отношений обладает свойством двудольности и/или антиподальности, но это, вообще говоря, неверно для Р-полиномиальных С-алгебр. Для того чтобы Р-полиномиальная С-алгебра обладала свойством двудольности и/или антиподальности, необходимо, чтобы она была также и Q-полиномиальной.
Вопрос. (2) Верно ли, что в произвольной импримитивной Q-полиномиальной схеме отношений собственный блок U э 0 обязательно имеет вид {0, 2, 4, ...} или {0, d}?
§ 3.7. Рациональность собственных значений (Р и С)-полиномиальных схем
В этом параграфе мы покажем, что все собственные значения 0! для (Р и Q)-полиномиальных схем рациональны. Кроме того, мы опишем возможные параметры (Р и Q)-полиномиальных схем, обладающих двумя Q-полиномиальными или двумя Р-полиномиальными структурами.
Начнем с двух вспомогательных лемм.
Лемма 7.1. Пусть fi(x), gi(x) (i — 1, 2) — многочлены степени не выше четырех из кольца ,С [х] многочленов над полем комплексных чисел С, такие, что fi(x) и gi(x) взаимно просты для i= 1, 2. Предположим, что существуют ненулевые числа q,<= (t — 1, 2), такие, что дУ 1 (v = 0, 1..32) и
81 (<1Т)
8г G2)
(v = 0, 1,
., 33).
Тогда если fi(x)/g{(x) (Z = 1, 2) не является константой, то существуют и (х), v (х) е С [х], сеС и К, ц eZ (1 <л^4, 1 у, 4), для которых либо
(i) q* = q%, (x) = и (Xх), g, (x) = v (xx), Ц (x) = cu (Xм), gz (x) = 5= CV (Xм),
248
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
либо
(ii) q\= 1/q^, f}(x) = u(xK), g1(x) = v(xx), f2(x) = cxru(l/x>*)> g2(x) = cxrv (l/x^), где r = max {degf2(x), degg2(x)}.
Доказательство. Пусть
fi W g2 («/) — £i (x) f2 (У) = S Ci/y1.
1,1-0
По условию, если положить x = q^, y = q2, то приходим к равенствам
;ЁоС(.;.<7^ = О (v = 0, 1...24).
Рассмотрим эти равенства как систему уравнений относительно Сц. Если определитель матрицы
(0<v<24, 0</<4, 0</<4)
отличен от нуля, то все с{/ равны нулю. Это означает, что fi(x)/gi(x) = f2(y)/g2(y) для всех х, у, т. е. f{(x)/g{(х) — константа.
Предположим, что det (q{vq'2v)v (/.= 0. Так как рассматриваемый определитель — это определитель Вандермонда, мы получаем равенство qiq'2 = q^q1^ для некоторых различных пар индексов (/,/) и (/',/) (0 < I, j, i', j' < 4, (j,	j')), t. e.
В этом равенстве i =/= i' и / =И= поскольку по предположению qy Ф 1 (v=l,2......32).	Если i — i' и f — j имеют различные
знаки, то возьмем вместо q2, f2(x), g2(x)
42 =	f2(x) = xrf2(y), g2(x) = xrg2(-|),
где r =.max {deg f2(x), degg2(x)}_. Тогда q2, h (x), g2 (x) удовлетворяют условиям леммы, т. е. f2(x) и g2(x) — взаимно простые многочлены степени не выше четырех из С [х], q2 ¥= 1 (v= = 1,2, ..., 32) и
(’“°'1......33>-
Таким образом, достаточно доказать равенства (i) в предположении, что I — I' и /' — / имеют один и тот же знак. Положим A = |t — i'| и ц = | /' — j |. Тогда 1 Л =С 4, 1^ц^4 и <?* = <?!). Предположим, что % и и — взаимно простые числа. Найдется у е Q, такое, что q{ = q^, q2 = qK. (Для этого следует
§ 3.7. Рациональность собственных значений	249
выбрать ?оеС, такое, что	При этом = для не-
которого g, 1. Поскольку Лир взаимно простые числа, аЛ + Ьц = 1 для некоторых целых а, Ь. Тогда д1 = (£ьдоУ и q2 = = (^о)Ч В этом случае равенства f t (q^i ) == h (^Ж (?г) принимают вид
2W1 (О
(<п № (<н
(v = 0, 1,
., 28).
Здесь для f(x)eCW и положительного целого п через fw(x) обозначается многочлен, определяемый следующим правилом: pm (х) = f (хл).
Многочлен (х) gW (х) — g^1 (х) /W (х) имеет степень не выше 28 и обращается в нуль в точках x = qv (v = 0, 1, ..., 28), которые отличаются друг от друга. Поэтому этот многочлен тождественно равен нулю, т. е.
ffr’ (х)	f™ (х)
Й|И1 (X)	gf] (х)
как рациональные функции. Из этого равенства следует, что cf М (х) = fW (х) и eg'111 (х) = g№ (х) для некоторого се С. Здесь мы пользуемся тем, что если f(x) и g(x) —взаимно простые многочлены, то f|n'(х) и g|zl'(x) также взаимно просты в С [х]. Поэтому
cfi (х^) = f2 (хк), Cg1(x»‘) = g2(x*).
Так как Лир — взаимно простые числа, то из равенства cft (хц) = = f2(xA-) следует, что Л(хц) и f2(xK) являются многочленами от лЛ1*, т. е. существует такой многочлен w(x), что fi (х) = и (хк) и f2 (х) = си (хи). Аналогично g{ (х) = v (хк) и g2 (х) = cv (хц) для некоторого v (х) е С [х].
Предположим, что Л и р не являются взаимно простыми. Тогда Л = р или (Л, р) = (2,4), (4,2). Сначала предположим, что Л = р. Тогда
<72 = C<7i для некоторого £, такого, что £*•=!.
Можем считать, что £ — примитивный корень степени Л из единицы. Из равенств (?^Ж (^^) =/2	(^2V)(v==0’ • • •
8), где q^ — q^t следует, что
Л W/g-i (x) = f2 (x)/g2(x)
как рациональные функции, в то время как из равенств
(v=°« •••> 8)
250
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
следует, что
fi (x)/gtx = f2 (Zx)/g2 (£x)
также как рациональные функции. Тем самым мы получаем cfi (х) — f2(x), cgj(x) = g2(x) и c'fl(x) = f2(Zx), c'gt (х) = g2 (Zx) для некоторых ненулевых с, с’ е С. Если с #= с', то свободные члены в fj и в g{ (/=1,2) равны нулю, что противоречит предположению о взаимной простоте и gt. Поэтому с = с’. Самый младший член в f2 равен ах/гХ для некоторого а е С и неотрицательного целого числа k. Из равенства f2(x') = f2(Zx) следует, что если 0 — корень многочлена f2(x), то £0, £20, ... ..., £х-|0 также его корни. Поскольку Z — примитивный корень степени Л. из единицы, f2(x) является многочленом от Xх, т. е. /2 (х) — си (хх) для некоторого многочлена п(х)еС[х]. Аналогично g2(x) = cv (хх) для некоторого многочлена v (х) еС [х].
Теперь предположим, что (Л., ц) = (4,2). Так как случай q9 = q2 уже разобран, будем считать, что <?2 = — <7?.
Тогда из равенства
fi^/gim-fd^/g.m (v=o,i,.... 12)
следует, что fi(x)/gi(x)=f2(x2)/g2(x2). Из равенств
fl (4r+')/gi (<7Г+1) = f2 (- <7Г+2Ж (- <7Г2) (V = о, 1.12)
вытекает, что (x)/g-, (х) = f2 (— x2)/g2 (— х2). Поэтому мы получаем cf, (х) = Мх2), cgi (x) = g2(x2) и cfl(x) = f2(— х2), cgjx) = = g2(—x2) для некоторого ненулевого с е С. Таким образом, f2 (х2) — f2 (— х2) и потому f2(x) = cu(x2) для некоторого многочлена и(х)еС[х]. Аналогично g2(x) = cv (х2) для некоторого многочлена v (х) е С [х]. Это завершает доказательство леммы. □
Лемма 7.2. Пусть ft(x), gt(x) (i = 1, 2) — многочлены степени не, выше четырех из С [х]. Предположим, что существует ненулевое число С, такое, что
fi (v)/gi (v) = f2 (q-)/g2 (<Г) (v = 0, 1, . .., 24).
Тогда либо (i) ft(x)/gi(x) (i = 1, 2) —константа, либо (ii) q— одно из чисел ± 1, со* 1, ± V — 1 > где со3 = 1, со =^= 1.
Доказательство. Пусть
4
ft (х) g2 (у) — gi (х) f2 (у) = Z СцХ^1.
1,1-о
§ 3.7. Рациональность собственных значений
251
Полагая х = v, у — qv, получим равенства 4
c(lv‘qlv = 0 (v = 0, 1,	24),
i, j—o
где 0° по определению считается равным 1. Рассмотрим записанные выше равенства как систему уравнений относительно ctj. Если определитель матрицы
(y‘q'v)v, a,j} (0<v<24, 0 i < 4, 0 С j С 4)
отличен от нуля, то все ctj равны нулю и потому ft(x)/g’1(x)= = f2(y)/g2(y)f т. е. fi(x)/gi(x) — константа.
Покажем, что если det (v‘qlv)v, а, п — 0, то ^=±1, со*1, ± V— 1. Более точно, мы покажем, что
det (v‘<7/v)v, (х, /) = (213141)5 q™ {(</4 — 1) («у3 — I)2 (q2 - I)3 (q - I)4}25.
(7-1)
Обозначим через Nr матрицу размера (г4-1)Хб, в которой (у, i)-fl элемент равен v‘ (O^v^r, 0^t^4), и пусть Qr = diag(l, q, q2.....qr). Тогда матрица (vz<y/v)v, ц,/> равна
(^, QrNr, Q2rNr, Q3rNr, Q%), где r = 24.
Вычтем (v— 1)-ю строку из v-й (v= 1, 2, ..., г). Тогда j-й блок QrNr рассматриваемой матрицы преобразуется в блок, в котором (v, i)-fl элемент равен v‘<7/v — (v— l)f<7/(v-1> (v= 1, 2, ... удалим 0-ю строку (v = 0) и 0-й столбец (/==/ = 0) (мы проводим разложение определителя по нулевому столбцу), (мы проводим разложение определителя по нулевому столбцу) Будем продолжать эту процедуру до тех пор, пока не удалим 0-е, 1-е, ..., 4-е строки и столбцы. Тогда 0-й блок Nr исчезает, внеся в вычисляемый определитель вклад, равный 2!3!4!, а /-и блок QrNr (/=1,2, 3, 4) преобразуется таким образом, что его (v, i)-H (v = 5, 6, г) элемент станет равным
Viqlv _ 5 (v - 1)‘ q! <v-» + 10 (v — 2)f qi № — 10 (v — 3)' qt <v-s> + + 5 (v — 4) ‘q! (v-4> — (v — 5)‘ q! (v-5).
Этот (v, 0'й элемент записывается в виде
qi (v-5) {(<?/_ 1)5 V1 + f., vt-1 + fl2 v/-2 + ... + fu (qi)}, где ftk(x) — некоторый многочлен, определяемый индексами i и k. Вычтем (i— 1)-й столбец, домноженный на fa(q‘) / (q‘— I)5, из z-го столбца в /-м блоке. Тогда (v, i)-ft элемент примет вид
<7/(v~5’ {(qi — 1)5 v' + gii{ql')vi-2 + gi3{qi}v1-2 + ... + gidq1)}, где giktx)—некоторый многочлен, определяемый индексами i и k. Такого сорта преобразования столбцов продолжаем до тех пор, пока (v, i)-fi элемент j-го блока не окажется равным
252
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
ql (v-5) f^qi—1)5 v' (v = 5, 6,	г). Подводя итог, заключаем,
что /-Й блок QrNr (j = I, 2, 3, 4) преобразуется к виду (<7/— 1)S •
•	5, где
1 5 52 53 54
ЛГГ_5 = 1 6 62 63	•
1 г г2 г3 г4
Поскольку Nr-5 и Air—5 преобразуются к одной и той же матрице
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	2	21	0	0
1	3	6	31	0
1	4	12	24	41
1		г!	г!	г!
		(г - 2)!	(г - 3)1	(г-4)!
с помощью преобразования столбцов, заключаем, что матрица Л1Г_5 с помощью преобразований столбцов может быть преобразована к матрице Nr-5- Таким образом, /-Й блок QrNr (/=1,2, 3,4) преобразуется к виду (q1 — l)sQ/_5Afr_5 с помощью преобразований строк и столбцов, а следовательно,
4
det (Nr, QrNr, Q2rNr, Q3rNr, Q4rNr) = 213141 П (q1 - l)25 det Qr-5 •
• det (Nr-s, Qr-sNr-s, Q2r-5Nr-5, Q?_5Alr_5).	(7.2)
Многократно применяя равенство (7.2), мы получим (7.1). □
Приведенное выше доказательство равенства (7.1) получил Нозава.
Замечания. (1) При доказательстве леммы 7.1 мы вместо равенства (q^/gi (<?(’) == f2 (fli) использовали лишь то, что
(v = 0, 1, .... 33).
Поэтому лемма 7.1 верна даже в случае, когда gi((?)') = 0. Аналогичное замечание справедливо и по отношению к лемме 7.2.
(2) В качестве чисел А, р. в лемме 7.1 могут быть выбраны минимальные числа, такие, что q\ — q$ или <7* =!/<?£.
§ 3.7. Рациональность собственных значений
253
Пусть 38— некоторая (Р и Q) -полиномиальная схема достаточно большого диаметра d, скажем d 34. В этом параграфе мы зафиксируем упорядочение Ло, Ль Ad матриц смежности, такое, что 38 является Р-полиномиальной относительно этого упорядочения. Пусть матрица пересечений В\ имеет вид
*
В, = < О
 &о
1	•  • Cd
ах а2 ... ad Ьх Ь2 ... * .
Числа пересечений bt, сх могут быть представлены в виде, приведенном в формулировке теоремы 5.1, однако ясно, что это выражение зависит от упорядочения множества {£/} примитивных идемпотентов алгебры смежности. Пусть 38 есть Q-полино-миальная схема относительно упорядочения Ей, Ех, ..., Ed. Отметим, что для величин bt, с,- может быть несколько выражений даже при фиксированном упорядочении Ло, Ах............Ad
и фиксированном упорядочении Ео, Ех, ..., Ed. Однако, как будет показано ниже, в случае, когда диаметр d достаточно велик (d^34), выражения для bt, ct однозначно определяются упорядочениями Ло, Ль ..., Ad и Ей, Ех, ..., Ed-
Если схема 38 обладает Q-полиномиальной структурой относительно упорядочения Ео, Ех, ..., Ed и числа пересечений bt, Ct записываются в виде выражений, приведенных в п. (I) теоремы 5.1, то
bi = f (<?'),	= d (ql)/e (ql) (1 < i < d - 1),	(7.3 I)
где
f (x) = h (1 — s'qx) (1 — rxqx) (1 — r2qx) (1 — r3qx),
g (x) = (1 — s'qx2) (1 — s'q2x2),
d (x) =	(1 — x) (/-! — s'x) (r2 — s'x) (r3 — s'x),
e (x) = (1 — s*x2) (1 — s'qx2)
и ss* = rxr2r3. (В случае когда s* = 0, в выражении для d(x) следует взять предел.) Все собственные значения 04 матрицы Л1 и все двойственные собственные значения 0* матрицы Ех (Q'l = ql(l)') вычисляются по формулам
Будем говорить, что приведенные выше выражения имеют тип I с параметрами
(q-, h, h*\ s, a; ru rs, r»).
254
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Аналогично выражения типа Т (7 = IA, II, ПА, ПВ, ПС, III) определяются в соответствии с типом выражения для bt, а в теореме 5.1. Например, выражения типа II — это
=	ct = d(i)/e(i) (1	1),	(7.3П)
где
f (х) = h (х + 1 + s’) (х 4- 1 + rt) (х + 1 + r2) (х + 1 + r3),
g (x) = (2x 4- 1 4- s‘) (2x 4- 2 4- s’),
d (x) = hx(x + s* — rt) (x 4- s‘ — r2) (x 4- s* — r3),
e (x) = (2x 4- s’) (2x 4- 1 + s’)
и s 4- s’ = Г; 4- r2 4- Собственные числа 0г = p,t (i), 0* = q{ (i) имеют вид
0(. = 0O 4- hi (i 4-1 + $)> 0* = e; + h'i (/4-14- «*).
Отметим, что в выражениях типа I и IA
q‘^ 1 (i = l, 2, ..., d),	(7.4)
поскольку в противном случае 0о = 0;, что приводит к противоречию.
Замечание. (3) В выражениях (7.31), если s* =£ 0, то справедливы равенства
d (х) = qs*2x4f (l/qs*x), е (х) = qs*2g (\[qs*x).
Следующая лемма тривиальна, но полезна.
Лемма 7.3. Имеется взаимно однозначное соответствие между упорядочениями множеств {EJ и {0,}, которое устанавли-d
вается равенством At = У, 0^.
1=0
Лемма 7.4. Все параметры, фигурирующие в выражениях для величин bi, а в теореме 5.1, являются алгебраическими над полем Q рациональных чисел.
Доказательство. Собственные значения матрицы А/ алгебраические, поэтому алгебраическими являются все элементы первой собственной матрицы Р. Так как PQ = п!, то и элементы второй собственной матрицы являются алгебраическими. Следовательно, как 0* = qt (i), так и 0£ являются алгебраическими. В силу предложения 5.6
q + = (9s — + 91 — бо)/(02 91)«	(7*5)
§ 3.7. Рациональность собственных значений
255
Поэтому q алгебраическое (хотя не обязательно алгебраическое целое) число.
Предположим, что выражение для bi, а имеет тип I. Разрешая уравнения
ql (0Z - е0)/( 1 - <7‘) — Л — W+1 (»'=!, 2)
относительно h и hs, заключаем, что h и s — алгебраические числа. Двойственные рассуждения показывают, что алгебраическими являются числа h* и s*. В предложении 5.8 числа М/ (/= 0, 1, ..., d) алгебраические, так как и,(х)—многочлены с рациональными коэффициентами. Из равенств (5.15)' и (5.15)" следует, что гь г2, гз— алгебраические числа.
Для выражений остальных типов доказательства проводятся аналогично. □
Прежде чем исследовать кратные Q-полиномиальные струк туры, изучим обычные п-угольники.
Лемма 7.5. Пусть выражения для bi, ct имеют тип I. Пусть d^3. Предположим, что либо f(x)/g(x), либо d(x)/e(x) в выражениях (7.31)—постоянная функция. Тогда 9В— обычный п-угольник и f (х) = g(x) — (1 — х2) (1 — qx2), d (х) = е(х) = (1 — — х2)(1 — (1/<7) х2), qn=l (n = 2d или 2d 4-1).
Доказательство. Предположим, что f (x)/g (х) — постоянная функция. Полагая х = 0, получаем f (x)/g (х) = h. В силу замечания (7) из § 3.5, если §(!)#= О, то bn = f (\)/g (1) = h. Та« как bi = f (q1)/g (ql) = h (Is^z's^d— 1) и bn > bf, TOg(l) = 0. t. e. s*q=1 либо s*q2=\..
Поскольку у многочленов f(x) и g(x) одни и те же корни
{s*q, rtf, rtf, rtf) = {y/s'q, —y/s*q, *Js*q, —^/s*q}.
Предположим, что s*q2=\.. Тогда s*q—\./q равно одному из чисел ±^s*q, ±x/s*q, т. е. ± 1/x!q, ± 1, что противоречит тому, что q ф ± 1. Поэтому s*q — 1 и
{1, rtf, rtf, rzq} ={1, —1,	—ЛЙ}-
Отсюда следует, что
J f (х) = g (х) = (1 — х2) (1 — qx2), |d(x) = e(x) = (l-x2)[l —у*2).
256
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Поскольку d 3, имеют место равенства 1 = Ci = с2 = h. По теореме 5.1
b0 = h (1 — r^) (1 — г2<7) (1 — г3<7)/(1 — s’<72)
и потому 60 = 2. Из того что bd = 0, следует, что либо q2d = 1, либо q2d+i = 1.
Предположим, что d(x)/e(x)— постоянная функция. Тогда s*^=0. Полагая х = 0, заключаем, что d (х)/е (х) = hqs. Так как корни многочленов d(x) и е(х) совпадают, то
{1, ri/s*, r2/s*, r3/s*} = {± 1/s*q, ± 1 д/s*}-
В частности, s*q=\ или s*=l. Если s*q=l, то {1, r}q, r2q, /s'?} == {±	± V*?} и потому f (xVg’(x) — постоянная функция.
Если же s* = 1, то {1, г1; г2> ^з} = {± 1/д/<7, ± 1}- Отсюда вытекает, что f (x)/g(x) — постоянная функция. □
Предположим, что схема 3?, кроме того, обладает Q-полиномиальной структурой относительно упорядочения Е'о, Е\, . . . ... , E'd. Мы не исключаем возможности Et — Е\, так как может существовать более одного выражения для чисел bi, с, при фиксированных Р-полиномиальной и Q-полиномиальной структурах. Пусть для схемы ЗВ с Q-полиномиальной структурой относительно Eq, Ei, ..., Ed (соответственно с Q-полиномиальной структурой относительно Е'о, Е\, ... , E'd} выражения для bi, ct имеют тип Т (соответственно Т'). Мы используем черту для обозначения параметров и многочленов в выражениях для bt, с, относительно упорядочения Е', Е\, ..., E'd. (Мы используем это обозначение лишь в этом параграфе, и его не следует путать с комплексным сопряжением.) Например, если и тип Т, и тип Т'— это I, то в первом и втором выражениях фигурируют параметры
(<7; h, h*\ s, s’; r{, r2, r3), (q; h, h*’, s, s’; rit r2, r3),
а в (7.31) фигурируют многочлены (f (x), g(x)-, d(x), e(x)), g(xy, d(x), e(x)).
Лемма 7.6. Пусть d 34 и выражение для bt и с, имеет относительно упорядочения Ео, Elt ..., Ed тип I. Тогда каждое выражение величин bt, с, относительно упорядочения Е'}, Е', ... ..., E'd также имеет тип I. Если, кроме того, ЗВ не является обычным п-угольником, то для некоторых X, у, (X, у = 1, 2)
258
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
матриц Р, Q принадлежат Л и, в частности, все элементы каждого примитивного идемпотента Е, принадлежат К. Для произвольного автоморфизма о из группы Галуа поля К над Q схема 36 является, кроме того, Q-полиномиальной относительно упорядочения Е°, Е°, ..., Ed и выражения для параметров bi, с,, схемы 36 относительно этой Q-полиномиальной структуры имеют тип I с параметрами
(<7а; №, h*°: s°, s*°; г4/, r°, r°).
В силу леммы 7.6 число равно одному из чисел ±q±{ q±2, ±q±l12. Поэтому q°J равно одному из чисел q, q4, qyi. Но так как о2 также является автоморфизмом Галуа, то ввиду леммы 7.6 qn‘ не может равняться q4 или <71/4. Поэтому qa равно ±7 или ±1/<7, т. е. и ±1/<7 — единственные возможные алгебраические сопряженные с q в К, что противоречит (7.4). □
Лемма 7.8. Пусть 34 и Т — Т' — I, т. е. как выражения для параметров относительно упорядочения Ео, Е1г .... Ed, так и выражения относительно упорядочения Е'о, Е\, .... E'd имеют тип I. Предположим, что схема 36 не является обычным п-угольником.
(i) Если E^E'j для всех I, то либо q — q, либо q= l/q. Обратно, если q = q, то Ei — E'i для всех i и два выражения для bit ct имеют одни и те же параметры:
(q; h, h"\ s, s’; f\, r2, r3) = (q; h, h*; s, s’; r,, r2, r3).
Если q— l/q, то Et= E't для всех i и
($; h, h*; s, s’; r{, r2, r3) = (l/q; hsq, ti’s’q-, l/s, l/s’; 1/r,, I/r2, l/r3) при ss* #= 0. (Эти параметры называются взаимными параметрами и существуют всегда, когда ss* #= 0.)
(ii) Если E^E't для некоторого i, то q = q2, q=l/q2, q2 = q или q2 = l/q. Если q-=q2, то упорядочение Е'о, Е\.E'd
имеет вид Ео, Е2, Eit .... £5, Е3, Eit причем
(q; s, s’; г,, r2, r3) — (q; q~2d~2, s’; — s’, q~d~', — q~d~'),
(If; s, s’; r„ r2, r3) = (<72; q~2d~3, s‘2; q~2d~2, —s*/q, —s’).
Если q*= l/q2, mo ss* #= 0, и потому взаимные параметры соответствуют предыдущему случаю, когда q — q2.
Доказательство, (i) Пусть 0О, 0,, .., 0d и 0', 0', ..., 0^ — упорядочения собственных значений, соответствующие упорядочениям Ео, Ev .Ed и E'q, Е{, E'd, фигурирующим
§ 3.7. Рациональность собственных значений
259
в лемме 7.3. Тогда
е/ = 0о + й(1 — ql)(l — sqt+v)/q‘,
^ = 0^ + Л(1 — <7Z)(1 — sqi+')/q‘.
Предположим, что £(. = £< для всех I. Тогда 0. = 9', и в силу леммы 7.1 либо q = q, h = h, s = s, либо q — 1/q, h — hsq, s=l/s. Аналогично из выражений для двойственных собственных значений 0* (отметим, что Е, = — V 0, следует, что либо q — q, h* — h*, s* = s*, либо q=\/q, h* = h*s*q, s*=l/s*. (В частности, если q=\/q, то ss* 0.) Подставляя эти равенства в выражение b, = f (q^/g (ql) = f (q‘)/g (ql), в силу леммы 7.1 мы получаем равенства Г/ = Г/ и ri=l/r(- для случаев q — q и q = \/q соответственно.
Предположим, что q = q. Из равенств bt = f (q^/g (ql) = = f(?W(?‘) следует, что f (x)/g (x) = f (x)/g (x). Полагая x = 0, получаем h — h. Из выражения для с, мы получаем d (х)/е (х) = = d(x)/e(x). Полагая х = 0, получим hsq = hsq. Поэтому 0Z = 0^ для всех i, т. е. Е(. = Е'г Аналогично из предположения о том, что q=\/q, вытекает, что f (x)/g (х) = f (l/x)/g (1/х). Взяв пределы при х, стремящемся к 0 и оо, получаем s‘s* =^= 0, h — hsq, hsq = h, и, следовательно, 0Z = 0' для всех i.
(ii) В силу леммы 7.6 мы имеем qK — qv или ^=1/<7и (Л,, ц=1, 2). Если Л = р,= 1, то Е. — Е\ в силу (i). Поэтому можно считать, что Л. = 2. Так как
g (х) = (1 — s*qx2) (1 — s*q2x2) и f (x)/g (х) = и (х2)/о (х2), воспользовавшись леммой 7.6, получаем равенство f(x) = f(— х) и потому f(x) — многочлен от х2. Из соотношения
f(x) = h(l — s*qx)(l —rtqx)(l — r2qx)(l — r&qx) получаем fj = — s‘, r2= — r3 = r и
f (x) = h (1 — st2q2x2) (1 — r2Q2x2),
?(Х) = (1-ХУ)(1-5?Х2), d (x) = hq (1 — x2) (r2 — s*2x2), e (x) = (1 — s*x2) (1 — s*qx2).
Здесь r2 — s, поскольку d(0)/e(0) = hqs (даже если s* = 0.) Тривиальное решение системы
f (q‘)/g (ql) = f (q^/g	d (ql)/e (ql) = d (q‘)/e
260
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
— это набор
(q; s, s’; ft, f2, r3) = (q2\ r2/q, s*2; r2, — s'lq, — s’).
Мы хотим показать, что это единственное решение в случае, когда q — q2 Предположим, что q = q2- Тогда f(x)/g'(x) = = f (x2)/g (х2), d (х)/е (х) — d (х2)/ё (х2) в силу леммы 7.6. Положив х = 0, получим h = h, s = s/q и, следовательно,
0; = 0О + Л(1 -q2l)(\-sq2i+')/q2i.
Поэтому упорядочение 0', 0'.......0^ имеет вид 0О, 02, 04, ...
05, 03, 0р т. е. Е' = Е2. Пусть
Е' = —У Q'.'A,.
i
Тогда 0/ = q2 (i) = v2 (0j), где
v;(x) = (l/c;)(x2-<x-^).
Сравнивая равенство
Q” = 0* + h* (1 -	(1 - $Vi+2)/<72'
c
v* (0‘) = -V h'2q~11 + Д- h*2s'>-<fl+2 + ..., U c2	c2
получаем h* = h*2/c.,, s* = s’*. Из равенств f (x)/g (x) = f (x2)/g (x2) и h = h, s' = s"2 следует, что (ft, r2, f3) = (r2, — s*lq, — s’), t. e. получаем тривиальное решение. Поскольку в силу п. (I) теоремы 5.1 одна из величин г1( г2, г3 равна q~d~{, мы получаем, что либо s* =— q~d~l, либо r — q~d~'. Если s’ =— q~d~l, то s’ = q-2d-2 и потому 0^' = 0q' — противоречие. Значит, г = q~d~l.
Предположим, что q = \/q2. Тогда
fW/g(x) = f(-^)/g(^)
в силу леммы 7.6. Рассматривая пределы при х, стремящемся к 0 и оо, получаем s*s* 0, h = Esq, hsq = Н и потому ss = q. Рассмотрев теперь взаимные параметры относительно второго упорядочения, мы возвращаемся к предыдущему случаю, т. е. к случаю, когда q = q2.
Предположим, что q = — q. Тогда в лемме 7.6 Z = p = 2. Поэтому f (x)/g (х) = f (x)/g (х) и d (х)/е (х) = d (х)/ё (х). Положив х = 0, мы получаем h = h, —s = s. Поскольку для f (х), g (х),
§ 3.7. Рациональность собственных значений	261
d(x), ё(х) выполнено (7.6) и r2 = s =— s = — г2, равенство f(x)/g(x) = f(x)/g(x) принимает вид
(1 — s*2q2y) (1 — r2q2y) _ (1 — s*q2y) (1 + r2q2y) (1 - s*qy) (1 - s*q2y) (1 + s*qy) (1 - s’q2y) ’
где y = x2. В первую очередь проверим, что ни одно из равенств s* — s*, —s* = $* не может иметь место. Действительно, в противном случае f(x)/g(x) — константа. Так как вп. (I) теоремы 5.1 одно из Г/ равно q~d~{, то $*= — q~d~x или г2 = = <7-2d“2. Аналогично, $*= — q~d~[ или г2 —— q~2d~2. Поэтому мы можем предположить, что $.* = — q~d~} и г2 = — q~2d~2. Тогда равенство f (x)/g (х) = f (x)/g (х) принимает вид
(1 + ?-мУ)/(1 + q~dy) (1 + q-d+'y) =
= (1-sVz/)/(1 + s*W)(1-sW — противоречие.
Предположим, что q — —\-lq. Тогда f(x)/g(x) = f(l/x)/g (1/х).
Рассмотрев пределы при х, стремящемся к 0 и оо, мы получаем, что s* =/= 0 и s =#= 0. Поскольку доказано, что существование взаимных параметров невозможно, рассматриваемая ситуация не может иметь место. □
Лемма 7.9. Пусть d 34 и выражения для bit ct относительно упорядочений Ео,	Ed и Е'о, E't, .... E'd имеют
типы Т и Т' соответственно. Тогда либо Т = Т', либо
(Т, Т'Дили (Т', Т)) = (П, ПА), (ПВ, ПС), (ПВ, III), (ПС, III).
Если Т — Т' =#= 1, mo Ej = E't для всех i и оба выражения имеют одни и те же параметры.
Доказательство. Первая часть утверждения непосредственно следует из леммы 7.1 и леммы 7.2.
Предположим, что Т = Т' = II. Тогда, согласно (7.3.П),
bl = f(t)/g(i) = f(i)/g(i) и ct = d (i)/e (z) = d (1)/ё (t), поэтому
f (x)/g (x) = f (x)/g (x), d (x)/e (x) = d (х)/ё (x).	(7.7)
Обозначим через S(f) сумму корней функции f(x) и рассмотрим равенства
S(f)-S(g) = S(f)-S(g), S(d)-S(e)^=S(d)-S(e).	(7.8)
Тогда s* = —s*. Возвращаясь к равенствам (7.7), получаем, что оба выражения имеют одни и те же параметры и, следовательно, Et = Е\.
262
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Для оставшихся типов, таких, что Т = Т', доказательство аналогично. □
Теорема 7.10. Пусть 99 есть (Р и Q)-полиномиальная схема отношений диаметра d^34. Пусть Eq, Elt ..., Еа— исходное упорядочение примитивных идемпотентов в Q-полиномиальной структуре. Предположим, что, кроме того, 99 является Q-полиномиальной относительно упорядочения Е'а, Е'х......E'd при-
митивных идемпотентов. Тогда если 99 не является обычным
п-угольником, справедливы следующие заключения (1), (2) и (3).
(1) Для матрицы пересечений
*	1 С2 . . .
Bi =	0 а{
а2
ad
ьа ь{
Ь2
*
имеет место один из следующих случаев:
m h - A(i-s’V‘+2)(i-rVi+2)
w 1	(i-sVi+1)(i-sV‘+2) ’
__ hq (\ — q2‘) (r2 — s* 2q2i)
Ci~ (i-sV'+^d-sVO
при r = q~d~1, что реализуется подстановкой (q; r2, s*;—s*,r,—r) и (q2; r2/q, s*2; r2, —s*/q, —s*) в качестве параметров (#; s, s*;
Л, Г2, гз) в теореме 5.1 (I);
(ii)	bt — d — i, ct = i, где d четно,
что реализуется подстановкой (—2, —1, —d—1) в качестве параметров (s', r/s*', г\) в теореме 5.1 (ПС) и
(d+ 1, d-\- 1; — d — 1, — (d+ l)/2, (d± l)/2)
в качестве (s, s*; л, гг, гз) в теореме 5.1(111).
(iii)	bt = h (i — d) (z + 1 + s‘), cz = hi (z + s* + d + 1),
что реализуется подстановкой (—2d — 2; s*, —d—1) в качестве (s; и, r2) в теореме 5.1 (ПА) и (—d — 3/2, s*; s*/2, (s*— l)/2, —d— 1) в качестве (s, s*; л> r2, гз) в теореме 5.1 (II)
(iv)	bt = h(d- i) (i + 1 + s‘)/(2z + 2 + s’),
C/ = A/(f + s’ + d+ l)/(2i + s-),
что реализуется подстановкой (2d + 2, —s*; s*, —d— 1, d + 1) в качестве (s,s*; r\,r2, л) в теореме 5.1(111) и (—2h, s*; (s* — 1)/2, •—d—1)в качестве (s', s*; л, г2) в теореме 5.1(ПВ).
(2)	В каждом из случаев (i) — (iv) упорядочение Е'^, Е\, ...
..., Ed имеет следующий eudi
§ 3.7. Рациональность собственных значений
263
(i)	Ео, Е2, Et...£5, Е3, £] или двойственное к нему упо-
рядочение Ео, Ed, Е^ Ed_i, Е2, Ed_2, ....
(ii)	Eo, Ed_i, E2, Ed_3, Eit Ed_5, ..., Ex, Ed {d четно).
(iii)	To же упорядочение, что и в (i).
(iv)	То же упорядочение, что и в (i).
(3)	ЗВ имеет не более двух Q-полиномиальных структур.
Доказательство. Начнем с пп. (1) и (2). Зафиксируем упорядочение Ао, Ai, ..., Ad матриц смежности, такое, что схема ЗВ является Р-полиномиальной относительно этого упорядочения. Пусть выражения для величин bt, ci относительно упорядочений £0, £,,..., Ed и Е'о, Е'1, ..., E'd имеют тип Т и Т' соответственно. Если Т = Т', то Т = Т' = I и п. (i) выполнен в силу леммы 7.9 и леммы 7.8. Мы можем предположить, что
(Л Г) = (П, ПА), (ПВ, ПС), (ПВ, III) или (ПС, III).
Предположим, что (Т, Т') — (II, ПА). Тогда имеет место (7.7).
Рассматривая корни для f (х) g (х) = f (х) g (х) и d(x)e(x) = — d(x)e (х), получаем
{1 + s , 1 + /•], 1 + г2, 1 + г3} =
_p+s*	2 + s* .	.	)
— j-2—’ ~2—’ Ч-ПМ+гг]-.	(7.9)
f •	*	* л ____ Is* 1 + S* _ 1 _	-1
{s — Г1, S — Г2, S — '3}=р2-- --2---’ rl + r2 —s|.
Из второго равенства в (7.9) следует, что
,	, Is* S* - 1	. , _	_	_ }
kb Г2, ^з}==|_2-'  —. S +s —Г]—r2(.
Подставляя это соотношение в первое равенство из (7.9), получим
{1 + < 1 ч-s’ + s —г, —г2} = {1 Н-п, 1+г2}.
Мы можем предположить, что f j — s* и r2 = s’ + $ — rj — г2, т. е. что r2 = s/2. Тогда, складывая г2, г3, получим r} = s*/2, г2 = (s* — 1 )/2 и r3 = s!2. В силу (ПА) в теореме 5.1 одно из чисел rt (i — 1, 2) равно —d—1. Если г2 = — d — 1, то мы приходим к (iii). Если Г\ — — d—1, то
d + 1	d + 2	s
=------r2 =----------2-.	Г3=-2-
Так как одно из rt (z=l, 2, 3) равно —d— 1, то r3 = s/2 = = — d — 1 и мы возвращаемся к предыдущему случаю г2 =
264
Гл. 3. Дистанцнонно-регулярные графы
= — d — 1. Поскольку
et. = e0 + /z/(z-d-1) и o; = 0o + -^-(z-2d—i),
упорядочение 0fl, 0,, 02, ..0d имеет вид 0g, 02, 0^.Og, 0^ 0'.
Предположим, что (T, T') = (ПВ, ПС). Тогда
г 1 I *ii ii 1 (IT'S* 2 -f- s’ । I - I
{1+s, 1 + Гр 1 + r2)—j 2—’	2 ’ +r'p
< .	.	, M +s‘ s’ 1
{s — rb s — r2) = <j—— ’ "Tj-
Поэтому {г,, r2) = j—2—’ Tf в СИЛУ ВТ0Р0Г0 равенства. Подставляя это в первое равенство, получаем й = s*. В силу (ПС) теоремы 5.1 имеем г\ = —d—1, что приводит к равенству 0* = 0’ 4~ h*d (d + 1 + s‘) = 0‘ — противоречие. Отметим, что формальное выражение типа ПВ с параметрами
(s', s’; r„ r2)=(-4, -d-l-,	'
приводит к равенствам bi = d — I и cl = i, однако условие 0) =/= 0* (i j) исключает эту возможность.
Предположим, что (Т, Г') = (ПВ, III). В силу (7.7) параметры для типа III должны удовлетворять соотношениям й = = —s*, г2 — —г3 и
f, .	*11 ii 2 — s* ) ______ J 1 J- s’ 2 + s ,	-« i -I
-j I + S , 1 + rb 1 + r2,  2—j—j 2—’  2—’ — s ’ r3j ’
В силу (7.8) получаем s’ =— s* и r3 = s*/2 —- + r2 — 1/2. Это приводит к равенству r\ = (s’ — 1)/2. В силу (III) теоремы 5.1 либо 1— s’= — d, либо 1— r3 = — d, т. е. 14~s* = — d или 1+г2 = — d. Однако если l + s* = — d, то 0^ = 0*, что противоречит ПВ. Таким образом, выполнено (iv). Поскольку
6/ ---- 0Q "Т S'i
и
’0о + 4-г	<г четно),
,0о + -у- (2d + 1 — г) (г нечетно),
упорядочение 0О, 0^ ..., 0d имеет вид 0g, 02, 0^,	%, 63, 0f
Предположим, что (Г, Т') = (ПС, III). Тогда й = ~
С> = —г3 и {1 + гр (2 —$’)/2} = {1 — s*, 1—г3}> — $’ + о =
§ 3.7. Рациональность собственных значений	265
— — s*/2, т. е. r^ = s‘l2, s* — — гх. Для типа ПС имеет место равенство 1 + г, = — d, а в силу == 1 имеем r/s*'— s'=l. Взяв пределы в равенствах f (x)/xg (х) = f (x)/xg(x) и d(x)/xe(x)= = d(x)/xe(x) при x, стремящемся к оо, мы получаем r/s*' — h и 1 = — h. Значит, bt = d — i, ct — i. Так как s' = r/s*' — 1 = —2, h. = — 1 и s = — ri — r2 + r3 — s* = d + 1, to 0; = 0Q — 2z, 0' = = 0O — 21 (z четно), 0' = 0Q — 2 (d — i) (i нечетно). Если d нечетно, то 0j = 0Q — противоречие. Поэтому d четно и выполнено (ii) при упорядочении 0', 0', ..., Q'd, имеющем вид 0О, Orf—1» 02> 9<z-3> 04> 6<z-5> •••> 6|, 9<z- Это завершает доказательство утверждений (1) и (2).
(3) Пусть Е", Е", ..., E'd— упорядочение, соответствующее третьей Q-полиномиальной структуре, и пусть Т"— тип третьего выражения для bi, ct. Если два из типов Т, Т', Т" совпадают, то Т — Т'=Т" в силу леммы 7.9, и мы приходим к противоречию с леммой 7.8. В силу леммы 7.9 невозможно также, чтобы все Т, Т', Т" были различны. □
Теорема 7.11. Пусть 95 есть (Р и Q) -полиномиальная схема диаметра d 34, и пусть At (7 = 0, 1, ..., d)—матрицы смежности схемы 95. Предположим, что 95 не является обычным п-у го ль ником. Тогда все собственные значения At — рациональные целые числа.
Доказательство. Зафиксируем упорядочение До, At, ..., Ad, такое, что 95 является Р-полиномиальной относительно этого упорядочения. Заметим, что собственные числа матриц At являются алгебраическими целыми и что если алгебраическое целое число является рациональным, то оно является рациональным целым. Поскольку Д,- есть многочлен от Д, с рациональными коэффициентами, достаточно показать, что каждое собственное значение матрицы А\ является рациональным.
Зафиксируем порядок Е'о, Ei, ..., Ed примитивных идемпотентов, такой, что 95 является Q-полиномиальной относительно этого порядка. Пусть выражения для чисел пересечений bi, а в теореме 5.1 имеют тип Т. Пусть К — нормальное расширение поля Q, порожденное параметрами из теоремы 5.1 (лемма 7.4). Для любого автоморфизма о из группы Галуа поля Д над Q схема 95 является также Q-полиномиальной относительно упорядочения Ео, Еь ..., Ed, где Е’— матрица, получаемая из Е, поэлементным применением о. Поскольку bi, Ci неподвижны относительно автоморфизма о, образы при о исходных параметров дают нам выражения для bi, ct того же типа Т относительно Eq, Е’.....Еф
266
Гл. 3. Днстанцнонно-регулярные графы
Если Т =/= I, то по лемме 7.9 E^-Et. В силу соответствия, установленного леммой 7.3, 0’ = 0;. Итак, собственные значения 0/ матрицы Д, рациональны.
Если Т = I, то q° = ± q или ± \/q в силу тех же рассуждений, что использованы при доказательстве предложения 7.7. Согласно лемме 7.8, Eai = Ei и, следовательно, 0° = 0г-. □
Замечания. (4) Пусть 3? = (Х, {Pz}o< < <d) — некоторая (Р и Q)-полиномиальная схема, обладающая двумя P-полиномиальными структурами. Пусть для фиксированной Q-полиномиальной структуры двойственная матрица пересечений имеет
вид
*
В, = ^0
с* ... с* 1	а
*
U. » » » й, I	а
ь* ... *
Тогда теорема 7.10 справедлива для параметров Ь* и с* при замене (/г, s) на (/г*, s’) и замене типа ПА на ИВ.
(5) В каждом из случаев (i), (ii), (iii), (iv) теоремы 7.10 имеются следующие примеры схем:
(0 2^2d-i(pf) (q = — pf, s‘ = 0):
bl = — p^d+P f (1 - p(-M+2i) f)/(l _ p2f)t
Ci = (l-p2‘f)/(l-p^.
(ii)	H (d, 2) (d четно).
(iii)	Половинная схема схемы Я(2е-|- 1, 2) (s‘ = — e — 3/2): bt = (e — z) (2e + 1 — 2i), ct — i (2i — 1).
(iv)	Половинная схема схемы H (2е + 1, 2) (s‘ =—2е — 2): bi — 2е + 1 — i, Ci = i.
К двойственному варианту теоремы 7.10(i) не известно примеров. H(d,2) (d четно) и половинная схема схемы 7/(2е-|-1, 2) являются также примерами и к двойственному варианту теоремы 7.10(H) и (iii), (iv), поскольку они самодвойственны, т. е. первая и вторая собственные матрицы совпадают или, что эквивалентно, в соответствующих выражениях из теоремы 5.1 s = s*. Кроме того, Z(2d-(-l, d) является примером к двойственному варианту теоремы 7.10(iv).
(6) Пусть %? = (Х, {Рг}„< i <d) есть (Р и Q)-полиномиальная схема, и пусть bi, ct (0 i d)—числа пересечений для фиксированной Р-полиномиальной структуры. Предположим, что Р-полиномиальная структура антиподальна. Пусть c't (0 <U<U^/2]) — числа пересечений производной схемы антиподальной схемы. Тогда
b\ = bt и с\ = ct (0 i [d/2] — 1).
§ 3.7. Рациональность собственных значений
267
Выражение для b't, с\ в теореме 5.1 отличается от выражения для bi, Ci (0 г [d/2]—1), поскольку числитель выражения для Ь' обращается в нуль при i = [d/2]. Таким образом, мы имеем два различных выражения для bi, ct при 0 i [d/2]— — 1. Если d достаточно велико, скажем d 68, то рассуждения этого параграфа с небольшими изменениями остаются справедливы вплоть до теоремы 7.10, и мы получаем следующую теорему.
Теорема 7.12. Пусть 95 = (Х, {Ri}o^,i^,d) — некоторая (Р и Q) -полиномиальная схема относительно упорядочения Ло, А,, А2, матриц смежности и упорядочения Ео, Е\, Е2, ... примитивных идемпотентов. Предположим, что Р-полиномиальная структура антиподальна и обладает достаточно большим диаметром, скажем d 68. Тогда параметры в выражениях из теоремы 5.1, имеют один из следующих ниже видов (i) — (vi), где (а)—параметры схемы 95 относительно упорядочений Ао, Ль А2, ... и Ео, Е\, Е2, ... и (Ь) — параметры производной схемы антиподальной схемы 9В относительно упорядочений Ао-\- Ad, Al + Ad_t, А2 + Aj_2, и Ео, Е2, Е4,
(i) (а) (q; г2, s’; —s’
(b) (>; у, s’2; г2, г2, Гз) (I)-
(ii) (а) (-2d-2; s’,
(b) (-d—|, s’;
, г, —г) в качестве (у, s, s’; rb r2, г3) (I) — -у, —s’) в качестве (q; s, s’; rlt
— d — 1) в качестве (s; rb r2) (IIA),
s* s* — 1
2 ’	2
— d — 1 | в качестве
(s, s’; rIf r2, r3) (II).
(iii) (a) (s; —d — 1, -0 в качестве (s; rb r2) (IIA), / s — 1	.	.	d-4-1 d Ц-2 s\
(b) (—5—, — d — 1;--------y—,-------y—. у J в качестве
(s, s’; rlt r2, гз) (II).
(iv) (a) (—2, —1, —d—1) в качестве (s, -у,	(ПС),
(b) (—d— 1; —	2, —~2~) 6 качестве (s’; rb г2) (IIB).
(v) (a) (2 (d 1), —s’; s’, —d —1, d -ф 1) в качестве (s, s’; rb r2, гз) (Ш),
(b) (s’; —у-, — d—1) в качестве (s’, rx r2) (ПВ).
(vi) (a) (—2r, d + 1; —d— 1, r, —г) в качестве (s, s’; rb r2, Гз) (III),
(b) (— d — 1; —	, rj в качестве (s’; rb r2) (IIB).
Поскольку доказательство весьма близко доказательству теоремы 7.10, мы его опускаем. В нем полезными оказываются
268
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
следующие рассуждения. Пусть 0* и 0,' — двойственные собственные значения схемы Зв и ее производной схемы соответственно. Поскольку
М/21
1=0
при п = |Х|, p=\-\-kd, мы получаем (1/р) 0*' — q2 (z) (0 <7 I <7 < [d/2] - 1). Поскольку q2 (z) = v*2 (0J) = (l/c2‘) (0*2 - a‘0* - и a* = 0 по свойству двудольности Q-полиномиальной структуры, имеет место следующее полезное равенство:
в;'= Л (е?
Для (Р и Q)-полиномиальных схем, в которых Q-полиноми-альная структура антиподальна, теорема 7.12 остается верной с точностью до замены s на s*, а также типа ПА на ПВ. Поскольку для импримитивных (Р и Q)-полиномиальных схем либо Р-полиномиальная структура, либо Q-полиномиальная структура является антиподальной, эти схемы фигурируют либо в теореме 7.12, либо в ее двойственном варианте.
Параметры в пп. (Ь) теоремы 7.12 имеют реальный смысл для производных схем антиподальных схем, но они фиктивны для исходных схем отношений. Например, может показаться, что 7(2/?, k) имеет две Q-полиномиальные структуры, причем второе выражение для bi, ct задается параметрами (s, s*; ri, r2, Гз) = (_3/2, — k— 1; —£/2—1, —£/2—1/2, — k— 1), имеющими тип II. Однако это фиктивные параметры, для которых нарушается условие 0*	0*. Аналогично Н(d, 2) обладает
фиктивными параметрами (s, s*; r\, г2) = (—4,—d—1;—d/2—1, —d/2—1/2) типа ПВ. Если мы рассмотрим производные схемы антиподальных схем, то их матрицы смежности будут левыми верхними четвертями исходных. Поэтому исходные параметры становятся фиктивными и для них нарушается условие = 0, справедливое для производных схем антиподальных схем, а фиктивные параметры становятся реальными.
Параметры многочленов Аски — Вильсона в теореме 5.1, в случае если они возникли из (Р и Q)-полиномиальной схемы, удовлетворяют следующим условиям:
(i)	bt, ch k{, гщ — положительные целые числа, где kt = = ЬйЬ{ .. bt_l/clc2 ... ct и =	... b\_x/c\c\ ... с\,
(ii)	Ь\, с\ — положительные рациональные числа;
(iii)	и с0<С!<с2<... .
§ 3.7. Рациональность собственных значений
269
Эти условия называются условиями реализуемости. Кроме условий реализуемости имеется общее условие: 8f =/= 6/ (i =£ j), 0О >	- М ¥= о). 0’ ¥= 0: а =# /) и е; > е; > - е; (/ =# о),
являющееся следствием теоремы Перрона — Фробениуса.
Задачи. (1) Действительно ли 2A2a-i(pf), H(d,2) (d четно) и половинная схема схемы А/(2е-(-1,2)— единственные (Р и Q)-полиномиальные схемы, имеющие две Q-полиномиальные структуры и большой диаметр? Аналогичная задача — классифицировать (Р и Q)-полиномиальные схемы, обладающие двумя Р-полиномиальными стуктурами.
(2) Если некоторой (Р и Q)-полиномиальной схеме соответствует выражение для bt, с,- типа III в теореме 5.1, то будет ли это одна из схем J(v,d), H(d, 2)?1) Можно сформулировать много аналогичных задач.
Гипотеза. Пусть Зв есть (Р и ф)-полиномиальная схема большого диаметра. Предположим, что Зв соответствует в теореме 5.1 выражение типа I, Тогда
(1)	s* - 0,
(2)	q—рациональное целое, Более того, q == ±pf, где р — простое, f е Z;
(3)	ri—рациональное целое; более того, rt = 0 либо rt = = ±pz, где р — то же самое простое число, что и в п. (2), /е= Z.
Задача. (3) Определить все реализуемые параметры в теореме 5.1.
§ 3.8. Обзор по проблеме характеризации известных (Р и ф)-полиномиальных схем посредством их параметров
Одна из основных целей ч. I настоящей монографии состоит в том, чтобы начать классификацию (Р и Q) -полиномиальных схем отношений. В конце § 3.6 мы выделили следующие три шага в решении этой проблемы:
(i)	Определить ортогональные многочлены, которые обладают свойствами (Р и Q)-полиномиальности.
(ii)	Определить реализуемые параметры (Р и Q)-полиномиальных схем.
(iii)	Описать все (Р и Q) -полиномиальные схемы, параметры которых совпадают с параметрами известных схем, т. е. охарактеризовать эти последние посредством их параметров.
') Эта задача решена П. Тервиллигером, см. дополнение авторов в конце настоящей книги. — Прим, перед.
270
Гл. 3. Днстанцнонно-регулярные графы
Реализация шага (i) завершена Леонардом в форме теоремы 5.1. Частичная реализация шага (ii) приведена в § 3.7. В этом параграфе мы обсуднм последний шаг, предполагая, что шаг (ii) будет успешно завершен в ближайшем будущем. (Даже если шаг (ii) не будет завершен, шаг (iii) представляет независимый интерес.)
Проблема характеризации важных известных классов схем отношений (либо дистанционно-регулярных графов, либо связанных с ними геометрических структур) имеет в комбинаторике долгую историю. Существует много точек зрения и их обоснований по поводу того, как и почему необходимо охарактеризовать эти объекты. Как следствие возникло много интересных характеризаций, отличающихся от характеризации посредством параметров. Однако мы считаем, что именно характеризация посредством параметров — одна из наиболее важных. Здесь, когда мы говорим о характеризации посредством параметров, мы предполагаем, что заданы все параметры pk{i. Однако в действительности во многих случаях необходима лишь часть из них.
Проблема характеризации схем отношений с двумя классами (сильно регулярных графов) была важной темой в комбинаторике. Мы отсылаем читателя к работам Сейдела [318], Браузера и ван Линта [64] и другим, содержащим обзор этой обширной области.
Схемы Хэмминга с двумя классами /7(2, q) (решетчатые графы L2) и схемы Джонсона J(v, 2) (треугольные графы Т2) были охарактеризованы своими параметрами (см. [325], [96], [90], [202] и др.). Сформулируем полученный результат. Схема /7(2, q) единственна, кроме случая q — 4, и имеется ровно две схемы при <7 = 4. J(v, 2) единственна, кроме случая v — 8, и имеется ровно 4 неизоморфных схемы при v = 8.
С тех пор было проведено много интересных исследований. Здесь мы приведем обзор большинства из них. Эти исследования относятся к другим классам схем отношений, включая схемы с большим числом классов d.
Полное решение для Н(п, q) недавно было получено Егавой [143]. А именно, схема отношений И(п, q) однозначно характеризуется своими параметрами, если </ =#= 4. При q = 4 имеется в точности [п/2]4-1 неизоморфных схем с теми же параметрами.
Решение проблемы для /(a,k) к моменту написания книги еще не завершено1), однако в последнее время имеется ряд продвижений в этом направлении. Вот наилучшие результаты,
') К настоящему времени эта задача полностью решена, см. дополнение авторов в конце книги. — Прим, первв.
§ 3.8. Обзор по проблеме характеризации
271
полученные к настоящему времени. Схема отношений J(v, k) (k v/2) единственна, если выполнено одно из следующих условий:
(i)	v >4k [272] (см. [135]),
(ii)	v = 2fe+l [270],
(iii)	v = 2^ + 2 (неопубликованный результат Мун), (iv) v = 3k и 3k + 1 [271],
(v) k = 3 ([271] и неопубликованный результат Ролланда (см. [251])).
Похоже, что эти результаты можно и должно распространить на другие значения (и, k). Одним из тестовых случаев является /(8,4). Это наименьший открытый случай, и не исключено, что /(8,4) не характеризуется однозначно своими параметрами. Мы считаем, что решение вопроса о том, все ли /(и, k) при k 4 характеризуются своими параметрами, в значительной мере зависит от решения в случае /(8,4). Отметим, что схема /(8,4) импримитивна, а ее производная схема — это сильно регулярный граф на 35 вершинах. Известно, что имеется по меньшей мере несколько тысяч неизоморфных сильно регулярных графов с теми же параметрами, что и производная схема схемы /(8,4) (см. [318], с. 178). Поэтому интересно узнать, какие из этих сильно регулярных графов допускают антиподальное накрытие с параметрами графа /(8, 4).
Статья Боуза и Ласкара [51] — одна из первых, в которых рассматривалась характеризация схем Н (2, q) и /(и, 2). В этой статье один из решающих шагов в характеризации схем отношений (и графов) состоит в том, чтобы доказать существование максимальных клик необходимого размера. Эту технику называют рассуждением Боуза — Ласкара. Для того чтобы использовать эти рассуждения, обычно необходимо наложить некоторые ограничения на параметры. Например, для H[n,q) число q должно быть существенно больше чем п, а для J(v,k) величина v должна быть существенно больше чем k. Доулинг [135], используя эти рассуждения, показал, что J(v,k) однозначно характеризуется своими параметрами, если v > 2k2 — — 2k + 4. В статье [135] показано, что если найдены максимальные клики требуемого размера, то они иногда приводят к определению точной структуры окрестности точки в графе, а это в свою очередь приводит к характеризации графа при помощи геометрических рассуждений. Похоже, что имеется несколько различных уровней в характеризации схем отношений. Мы предлагаем выделить следующие:
(а)	Геометрическая характеризация. (Смысл термина «геометрическая» неоднозначен, и может быть несколько геометрических характеризаций.)
272
Гл. 3. Дистаиционно-регуляриые графы
(Ь)	Характеризация посредством параметров в предположении, что известна структура окрестности точки. (Здесь под окрестностью обычно понимается подграф, индуцированный множеством xjrjx), т. е. окрестность радиуса 1. Иногда мы рассматриваем окрестность радиуса i.)
(с)	Характеризация посредством параметров в предположении существования максимальных клик требуемого размера.
(d)	Характеризация посредством одних лишь параметров, но при некоторых арифметических ограничениях на параметры.
(е)	Характеризация посредством одних лишь параметров.
Отметим, что сложность характеризаций возрастает в алфавитном порядке, и чем сложнее характеризация, тем она сильнее. То есть характеризация (Ь) обычно сложнее, чем (а), и осуществляется с помощью реализации последней, а характеризация (с) обычно сложнее, чем (Ь), и осуществляется с помощью реализации последней и так далее. В этом смысле характеризация (е) наиболее сложная и это именно то, что нам требуется при классификации (Р и Q)-полиномиальных схем. Геометрическая характеризация (а) обычно намного проще, чем характеризация посредством параметров (е), однако она исключительно важна как отправная точка полной характеризации.
Обсудим то, что уже сделано в характеризации каждого из семейств (Р и Q)-полиномиальных схем, приведенных в § 3.6.
Если не считать тривиальный случай (II) (0) (обычные n-угольники), то H(n,q) (т. е. (II) (i)) — единственное из приведенных в § 3.6 семейств, для которого завершена характеризация на последнем уровне (е). Как уже было отмечено, /(и,k) находится на уровне (d). При чтении работы Доулинга [135] становится ясно, что переходы (с)=>(Ь) и (Ь)=>(а) являются важными этапами в его доказательстве и что рассуждение на с. 261—262 в [135] — это в сущности обсуждение уровня (а).
Рассмотрим обобщенные схемы Джонсона Aa-i {q), т. е. (I) (ii) в § 3.6. Поскольку геометрическая структура, лежащая в основе таких схем отношений, — это не что иное, как конечные проективные пространства над GF(q), имеется большое число разнообразных характеризаций этих схем. Для нашей цели, состоящей в характеризации схем Av-i(q), наиболее близки характеризации, использующие множество A-мерных подпространств и (k—1)-мерных подпространств, поскольку соответствующий граф (схема отношений) состоит из ^-мерных подпространств и-мерного векторного пространства над GF{q), причем два A-мерных подпространства смежны тогда и только тогда, когда их пересечение является (А—1)-мерным подпространством. В дейстрительности характеризация такого типа
§ 3.8. Обзор по проблеме характеризации
273
была получена Роем-Чоудхори и Спраги [298]. Используя эту геометрическую характеризацию, Спраги [342] дал характеризацию на уровне (d) для схем Av^{q) в предположении, что v > 3k (последнее необходимо для использования рассуждения Боуза — Ласкара). Похоже, что ко времени написания нашей книги не было получено никаких усилений этого результата. Отметим, что Коэн [95] дал иную геометрическую характеризацию этих структур. В действительности нахождение геометрических характеризаций этих и связанных с ними структур — одна из основных проблем конечных геометрий, и это направление исследования имеет долгую историю.
Недавно Коэн [94] пролил новый свет на дистанционно-регулярные графы с точки зрения, которая аналогична нашей. Эта его статья [94] является блестящим обзором предмета, и мы с радостью рекомендуем ее читателю. Там содержатся детальные доказательства того, что примеры, приведенные в § 3.6, являются дистанционно-регулярными графами, а также подробный геометрический анализ каждого примера. Поскольку этот замечательный обзор уже доступен, мы не включали в свое изложение подробности геометрического и комбинаторного анализа каждого примера из списка § 3.6. Расширенный вариант статьи [94] планируется Браувером, Коэном и Неймайером.
Как указано в статье [94], некоторые геометрические характеризации уже получены для всех семейств в п. (I) § 3.6. Для дальнейших ссылок на эту тематику мы отсылаем читателя к работам [94], [75], [103], [326] и др., а также к неопубликованной работе Коэна и Куперстейна. Представляется весьма интересным, в какой мере эти геометрические характеризации могут быть расширены до уровней (b), (с), (d) и (е). Решение этой задачи далеко не просто, так как геометрические условия во многих случаях существенно сильнее, чем условия на параметры. Например, краткие и удобные, насколько это вообще возможно, аксиома Паша и двойственная аксиома Паша, широко применяемые в геометрических характеризациях, являются очень сильными условиями, и далеко не просто восстановить эти аксиомы из условий на параметры, даже если ввести ряд дополнительных условий, таких, как в (b), (с), (d).
Отметим, что максимальные клики и структура окрестности точки в семействе примеров (I)(iii) из § 3.6 (т. е. в двойственных полярных пространствах) определить нетрудно. В действительности в этих схемах имеется лишь один тип максимальных клик, в то время как в (I) (i) и (ii) имеется два типа максимальных клик. Укажем размеры максимальных клик:
I(i) (схема Джонсона) J(v, k) :
2 типа максимальных клик размеров k-\- 1иу—
I(ii) (обобщенная схема Джонсона);
274
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
2 типа максимальных клик размеров (qk+x—!)/(<?—1) и (qv — qk~x) / {qk— qk~x)-
I(iii) (двойственное полярное пространство): единственный тип максимальных клик размера qe+i + 1. (Эти замечания принадлежат Хемметеру.) Это различие в числе типов максимальных клик представляется интересным фактом, и, по-видимому, благодаря нему рассуждения типа Боуза — Ласкара работают для (I) (i) и (ii), но не применимы непосредственно к I(iii).
Складывается впечатление, что для семейств схем отношений в (II) § 3.6 в плане геометрических характеризаций было сделано не слишком много, за исключением типа 11(0) (обычные n-угольники) и (H)(i) (схема Хэмминга). Из достигнутого отметим статьи Роя-Чоудхори и Спраги [298] и Спраги [343], в которых рассматривается семейство (II) (ii) в случае d — 3. Спраги [344], [346] дал некоторые геометрические характеризации для произвольного d (однако при других аксиомах). Мы считаем, что эти интересные результаты являются
пока предварительными и экспериментальными и должны появиться какие-либо иные геометрические характеризации даже для семейства (II) (ii), не говоря уже о других открытых случаях (II) (iii), (iv) и (v). Следовательно, характеризации на уровнях (b), (с), (d) и (е) ко времени написания — открытые вопросы. Поскольку планируется начать обширную работу над этой проблемой, в частности некоторыми аспирантами Университета штата Огайо, в ближайшем будущем ожидается определенный прогресс. В связи с этой проблемой Хемметер и Хонг
определили максимальные клики и структуру окрестности точки для всех семейств (II), за исключением (II) (v). Сформулируем полученный результат:
(II) (i) (схема Хэмминга)
Все максимальные клики имеют размер q‘, количество максимальных клик tiqn~x
(II) (ii) ((d Х«)-билинейные формы (d < n))
2 типа максимальных клик размеров qn, q, их количество qdn - V)/(qn (q - 1)), qdn (qn - !)/(</" (<7 ~ !))•
(II) (iii) ((пХп)-знакопеременные билинейные формы)
2 типа максимальных клик размеров ср, qn~x\ их коли-(п-3) (п+2) Г	п Л	(п-2) (п-1) г п	I
чество	q 2	|	„	I ,	q 2 I ,	I
L	j J<?	L 1	J?
(II) (iv) ((n X п)-эрмитовы формы)
Все максимальные клики имеют размер q\ их количество
Я 2	1 ]
I 1 J<7
(II) (v) (квадратичные формы) ;
§ 3.9. Замечания к гл. 3
275
К настоящему времени исследование не завершено. (Имеется по крайней мере несколько типов максимальных клик.)
= П (<?"-<?')/(/
q i=0	/
Выше
Похоже, что для семейства II(ii) в случае, когда п достаточно велико по сравнению с d, работают рассуждения типа Боуза — Ласкара. Однако величина максимальных клик, которая полу
чается при прямом использовании рассуждений Боуза — Ласкара, отличается от требуемой (она несколько меньше) и поэтому для преодоления этой трудности требуются дальнейшие соображения. Кроме того, даже если предположить наличие
максимальных клик требуемого размера, то далеко не просто перевести это в необходимые геометрические условия. Создается впечатление, что в отличие от случаев (II) (i) и (ii) для семейств (II) (iii), (iv) и (v) рассуждения типа Боуза — Ласкара не применимы. Мы убеждены, что проблема характеризации для семейства (II) очень важна и интересна.
§ 3.9. Замечания к гл. 3
Понятие дистанционно-регулярного графа является обобщением понятия сильно регулярного графа, который представляет собой дистанционно-регулярный граф диаметра два. Оно также является комбинаторной основой понятия дистанционно-транзитивного графа, которое в работе Хигмана [195] связывается с группами подстановок максимального диаметра. Терминология Р-полиномиальных схем была введена в статье Дель-сарта [118].
Дистанционно-регулярные и дистанционно-транзитивные диграфы (ориентированные графы) и их основные свойства изучались в работе Дамерелла [113] (см. также [242]). Известно очень мало таких примеров. Баннаи, Камерон и Кан [26] доказали несуществование дистанционно-транзатаеных диграфов нечетного обхвата >3, (Случай четного обхвата остается открытым.) Проблема существования нетривиальных дистанцион-но-регулярных диграфов также открыта. Если мы естественным образом определим Р-полиномиальную структуру для несимметричных схем отношений, т. е. таких схем, для которых А,-= (A ]) для некоторого многочлена vi(x) степени I, то получаемое понятие совпадает с понятием, введенным Дамереллом в [113].
В соответствии с одним из определений ортогональные многочлены — это множество многочленов, удовлетворяющих 3-членным рекуррентным соотношениям. Поэтому теория дистанционно-регулярных графов (и Q-полиномиальных схем) тесно связана с ортогональными многочленами. Например,
276
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
кратности собственных значений ггц — это не чго иное, как числа Кристоффеля. Мы отсылаем читателя к книгам [362], [148], где приведены определения чисел Кристоффеля и вывод соответствующих формул численного интегрирования1).
Вопрос. Можно ли в каком-либо смысле связать ортогональные многочлены с дистанционно-регулярными диграфами?
Ответ положительный, однако соответствующие ортогональные многочлены не являются обычными ортогональными многочленами на вещественной прямой. Это особый вид ортогональных многочленов, который теснее связан с многочленами, ортогональными на единичной окружности в комплексной плоскости. Мы надеемся обсудить это подробнее при подходящем случае.
Свойство унимодальности валентностей k, в дистанционнорегулярных графах представляется интересным, хотя доказывается оно очень легло, и такого рода унимодальности можно ожидать во многих разделах комбинаторики (см., например, [348]). Ожидается, что, как правило, кратности собственных значений mt в дистанционно-регулярных графах также обладают унимодальностью, хотя имеются и исключения. (Например, трехкратное накрытие с 18 вершинами графа К3,3 имеет кратности m0 = 1, пц — 6, т2 — 4, т3 = 6 и — 1.)
Хорошо известно, что свойством унимодальности обладают числа Кристоффеля для многочленов Эрмита, Лаггера и Якоби, включая многочлены Гегенбауэра (см. [362]). Баннаи и Дамерелл (неопубликованная рукопись) доказали такой результат:
Теорема. Пусть ft(x) (i = 0, 1, ..., ri)—ортогональные многочлены, которые определяются соотношениями
fl(x)==Hi(x) (z = 0, 1, ..., n-1),
fn (x) = Hn (x) 4- aHn_, (x) 4- bHn_2 (x) (b C 0), где H((x)— многочлены Эрмита. Тогда числа Кристоффеля int семейства	унимодальны (определение см. ниже).
Многочлены {Л]о<<ортогональны относительно интеграла, определяемого дискретной мерой, которая положительна в точках {0о, 0ь . ..,04 (0О>01> ... >0„). Тогда пи— мера в точке 0; — вычисляется по формуле
"ч — п 2т7'’,в->’ v='l
’) С этими и другими вопросами теории ортогональных многочленов можно познакомиться также по книге: Никифоров А. Ф„ Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. — М.: Наука, 1985. — Прим, перев.
§ 3.9. Замечания к гл. 3
277
п
где п = X и kv = bobi ... bv_JciC2 — cv, а 6г, с( — коэф-v=0
фициенты 3-членной рекуррентной формулы для
Гипотеза. Определим для многочленов Лаггера или Якоби (включая многочлены Гегенбауэра) ортогональные многочлены {fi}o<i<n, как и выше (сводя, если необходимо, к случаю 6 — 0). Тогда числа Кристоффеля т0, mi, ..., тп унимодальны в следующем смысле: либо
(1) т0 sC mi sC ••• mi и ml+i m(+2	••• ~^тп для
некоторого I, либо
(2) то mi ... mi и mi+i т,;+2	... <^ тп для не-
которого Z.
В ряде случаев, например для многочленов Чебышева, доказано, что гипотеза верна.
Хигман [195], основываясь на работе [152], предложил иной метод вычисления величин m(Qt) для дистанционно-регулярных графов. (См. также [195], [197].)
Предложение 1.2(iii), (iv) доказано в [40]. Дальнейшие ограничения на параметры ait bi, Ci можно найти в [169] и [373].
Многочлены Vi(x) для J(v,k), по-видимому, впервые были вычислены Огасаварой [289], С. Ямамото — Фуджи — Хамадой [403] и К- Ямамото [404]. Изложение материала о H(n,q) и J(v,k), которое мы избрали в § 3.2, отличается от изложения в работе Дельсарта [118]. При вычислении щ(х) для J(v,k) мы опирались на статью Дункла [141].
Приведенное доказательство теоремы 3.1 (для d > 3) представляет собой комбинацию доказательств из [111] и [29] Подобные рассуждения можно использовать и для более широкого класса графов. О других типах экстремальных графов, которые не являются дистанционно-регулярными, но близки к ним с алгебраической точки зрения, см. [32], [41].
Геометрии Мура представляют собой интересный класс конечных геометрий в связи с полученным Бекенхаутом описанием спорадических групп в терминах диаграмм Бекенхаута (см. [66], [67])').
') Недавно И из 26 спорадических простых групп (а именно, Не, Л1ц, Ji, O’S, М22, М2з, HS, Со2, Л, F2, McL) были проинтерпретированы как флаг-транзитивные группы автоморфизмов диаграммных геометрий, у которых среди остаточных геометрий ранга два присутствует единственная неклассическая (т. е. ие являющаяся обобщенным n-угольником) геометрия — геометрия вершин и ребер графа Петерсена, являющегося минимальным нетривиальным примером графа Мура. См. Иванов А. А., Шпекторов С. В. Геометрии для спорадических групп, связанные с графом Петерсена.—Тезисы докладов XVIII всесоюзной алгебраической конференции, Кишинев, 1985, ч. I, с. 209.— Прим, перед.
278
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
Имеется много различных доказательств теоремы Фейта — Хигмана об обобщенных n-угольниках, см. [195], [196], [234], [348] и др. Обсудим различие между методами Фейта — Хигмана [152] и Килмейера — Соломона [234]. Грубо говоря, в [152], [195] рассматривается разложение характера подстановочного представления на множестве точек (т. е. факторпро-странство по максимальной параболической подгруппе), в то время как в [234] это делается на множестве флагов инцидентных пар точка—прямая (т. е. на факторпространстве по боре-левской подгруппе). Нам кажется, что методы Фейта — Хигмана более просты с концептуальной точки зрения, но требуют более сложных вычислений, чем методы Килмайера— Соломона. Хотя в общем случае разложение представления на точках несет меньше информации, чем представление на флагах, ее достаточно для получения доказываемого результата.
Отт [291] ввел понятие алгебры Гекке для геометрий. Его определение обобщает идеи Ивахори [223] и Килмейера — Соломона [234] (см. также [107]). Введенная Оттом алгебра Гекке является определенного вида подалгеброй алгебры Боу-за — Меснера для схемы отношений, связанной с подстановочным представлением на флагах. В общем случае представление алгебры Гекке, изучаемой Оттом, разлагается более грубо, чем алгебра Боуза — Меснера на флагах, и иногда удается вычислить это разложение в явном виде. Отт [290] анонсировал полное описание геометрий Мура диаметра d 3. Поскольку детали его доказательства в настоящее время недоступны, мы не вполне уверены, что его методы работают, в частности, при d = 3, 4, т. е. в случае, который является сложным при подходе Фуглистера — Дамерелла — Георгиакодиса. Как иногда бывает, разложение оттовской алгебры Гекке может не дать больше информации, чем подстановочное представление на точках (т. е. представление по максимальной параболической подгруппе), которое использовали Фуглистер, Дамерелл и Георгиакодис (причем столкнулись с затруднениями для d = 3 и 4). Фуглистер [158] применил глубокие теоретико-числовые результаты Морделла о диофантовых уравнениях к случаю d — 3. Случай d = 4 рассмотрен Фуглистером [159] с применением также весьма сложных теоретико-числовых рассуждений. Для больших d Дамерелл и Георгиакодис использовали метод многочленов Ньютона для изучения разложения (над 2-адическими целыми) минимального многочлена матрицы смежности А]. Работа Отта [290] содержит много интересных идей, и мы рекомендуем ее читателю.
Основное значение в гл. 3 придавалось не дистанционнотранзитивным, а дистанционно-регулярным графам. Мы полагаем, что если прибегнуть к помощи классификации конечных
§ 3.9. Замечания к гл. 3
279
простых групп, то классификация дистанционно-транзитивных графов станет вполне возможной и будет лишь вопросом времени, хотя действительная реализация совсем не проста.
О группах ранга 3 см. [231], а о подгруппах без кратностей в некоторых группах (в частности в симметрических и знакопеременных группах) см. [305].
Понятия дистанционно-транзитивного и дистанционно-регулярного графа естественным образом определены для локально конечных связных графов бесконечного диаметра (d = oo). Макферсон [259], используя результат Данвуда, касающийся разрезов в бесконечных графах, описал все дистанционно-транзитивные графы бесконечного диаметра.
Теорема [259]. Если Г — бесконечный дистанционно-транзитивный граф конечной валентности, то
(i) в Г отсутствуют невырожденные циклы длиной больше трех и
(ii) существуют целые s, t (s 2, /^1), такие, что вершины, смежные с любой данной вершиной, индуцируют подграф, состоящий из s непересекающихся экземпляров полных t-вершинных графов.
Граф, обладающий свойствами (i), (ii), очевидно, единственный для каждой пары s, t. (Если t = 1, то Г — регулярное дерево валентности s.) Его матрица пересечений — это
	' * 1 1
в = -	0 t —1 t-1 . st (s — 1) t (s — 1) t
(Отметим, что если заменить s, / на /4-1, s соответственно, то матрица В превратится в матрицу бесконечной геометрии Мура (см. § 3.3).)
Задача. Определить все бесконечные дистанционно-регулярные графы конечной валентности. Являются ли все они дистанционно-транзитивными? ')
Нетрудно видеть, что дистанционно-регулярный граф с приведенной выше матрицей пересечений В единственный и, следовательно, дистанционно-транзитивен. Классификация бесконечных дистанционно-регулярных графов представляется реальной и, видимо, проще, чем классификация конечных. Отметим, что числа пересечений bt, Ci бесконечных дистанционно-ре-
') Положительный ответ иа этот вопрос дан А. А. Ивановым, см. допол-нение авторов в конце книги, — Прим, перев.
280
Гл. 3. Дистанциоино-регуляриые графы
гулярных графов не могут быть представлены как параметры многочленов Аски—Вильсона в стиле теоремы 5.1. Это означает несуществование «бесконечных (Р и Q)-полиномиальных схем».
Интересно изучить, когда все для С-алгебры Р-полино-миального типа с заданной матрицей В = (/?*•):
	*	1 С2 •	• ^d—l	Cd '
в=-	0	а1 а2 .	 ad-i	ad
	. k	bi b2 ..	 bd_i	* .
неотрицательны при bi > 0, с(-> 0,	0 (d может быть оо),
В теории ортогональных многочленов эта проблема также интересна и интенсивно изучалась. Известно, что для многих классических ортогональных многочленов все величины рц неотрицательны. Мы отсылаем читателя к работам [361], [3], [171] и к статьям, на которые есть ссылки в работе Лассера [244]. Лассер рассматривал гипергруппы над N (которые в действительности представляют собой С-алгебры с бесконечным d). Иногда существование комбинаторной структуры, такой, как Р-полиномиальная схема отношений, влечет за собой неотрица-k тельность всех рц.
Ниже дается частичное решение проблемы неотрицательности.
Теорема [3]. Пусть 91 есть С-алгебра Р-полиномиального типа с приведенной выше матрицей В и d = <x>. Тогда, если с t+ib с ft и ai+l'^al (z—1, 2, ...), то все числа рк,- неотрицательны.
Теорема 4.2 основывается на результатах статьи Баннаи и Баннаи [22] и частично на последующей неопубликованной их работе. Этот результат был независимо получен Гардинером (неопубликовано). Мы надеемся, что такого рода методы могли бы быть полезны и при исследовании схем отношений, имеющих несколько Q-полиномиальных структур. Сложность соответствующей проблемы для Q-полиномиальных схем объясняется тем, что пока не доказана теорема об унимодальности чисел mt в Q-полиномиальных схемах. Если предположить, например, что bi^bi-i и Ci^Ci+i, то, повторяя для С-алгебр рассуждения из теорем 6.1 и 6.2, нетрудно доказать, что импримитив-ные С-алгебры Р-полиномиального типа либо антиподальны, либо двудольны. Это представляет собой усиленный вариант теоремы 6.2 и обобщение теоремы 6.1. Обычные п-угольники являются единственными примерами с тремя Q-полиномиальными структурами,
§ 3.9. Замечания к гл. 3
281
Первоначальный вариант теоремы 5.1 состоял в том, что параметры (Р и Q)-полиномиальных схем описываются с помощью лишь семи параметров, включая диаметр [249]. Аски заметил, что класс ортогональных многочленов, которые мы теперь называем многочленами Аски — Вильсона, имеет 5 параметров и удовлетворяет соотношению двойственности Леонарда (см. теорему 5.1); он также отметил, что многочлены Леонарда описываются в действительности лишь пятью параметрами. Используя это замечание, Леонарду удалось доказать, что ортогональные многочлены, удовлетворяющие соотношению двойственности, — эго многочлены Аски — Вильсона, включая предельные случаи.
Теорема 5.1 основывается на статье Леонарда [250]. В ее формулировке произведены следующие усиления:
(i) Теорема справедлива без каких-либо условий на диаметр d. (В исходной статье предполагалось, что число d не слишком мало.)
(ii) Каждый предельный случай многочленов Аски — Вильсона описывается в точности таким образом, что мы можем выбрать свободные параметры для (Р и Q)-полиномиальных схем отношений.
Интересно отметить, что мы не можем простыми средствами исключить возможность, когда q не является вещественным числом. (Если q не вещественно, то мы получаем |<?|= 1.) Мы не располагаем примерами (Р и Q)-полиномиальных схем, для которых q не вещественно, кроме обычных «-угольников.
Гипотеза. Если q ф R для (Р и Q) -полиномиальной схемы $8, то 36 является обычным «-угольником.
Заметим, что если (Р и Q)-полиномиальная схема 36 имеет большой диаметр и отлична от обычного «-угольника, то все Pi(i) и «//(г) принадлежат полю рациональных чисел Q, что является основным выводом § 3.7. Отсюда следует, что q не более чем квадратично над Q. Нам не известны примеры (Р и Q(-полиномиальных схем диаметра d 3, для которых <7 не является рациональной причиной кроме обычных «-угольников. (В известных примерах q (или 1/<?)—всегда целое число, более того, степень простого числа.)
Гипергеометрические ряды — это £ ап, где ап+\/ап является рациональной функцией «, а базисные гипергеометрические ряды — это £ ап, где ап+1/а„ — рациональная функция от <7П. Похоже, что функции, которые выражаются через гипергеометрические ряды или базисные гипергеометрические ряды, образуют достаточно широкий, важный и интересный класс Он включает в себя классические ортогональные многочлены
282
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
и много других ортогональных многочленов. Велась интенсивная работа по поиску новых ортогональных многочленов, которые выражаются через гипергеометрические или базисные гипергеометрические ряды. Одно важное семейство таких многочленов было найдено Вильсоном в его диссертации [398] (см. также [6]). Эти многочлены имеют вид
. ..	(—п, га + а+р + 1, -х, x + y + 6+I	\
ММ*)) —а+1, р + б + 1> y+1	;
где Л(х) = х(х + у + 6 + 1) и одна из величин а + 1, Р + 6 + + 1, у-|-1 равна —N. При этом рп(^(х)) (0 п N)—многочлены степени п от Х(х), ортогональные на множестве х = 0, 1, ..., N. Соотношение ортогональности эквивалентно ортогональности Рака для функций, которые обычно называются коэффициентами Рака или 6/-символами (Вигнера).
Многочлены Аски — Вильсона (или ^-многочлены Рака) представляют собой «/-аналоги таких многочленов и определяются следующим образом:
pra(p(x); а, Ь, с, d; q) = рп(ц(х)) =
(q-n, qn+iab, q~\ qx+lcd \ 4<P3\a</, bdq, cq	’ v’
где ц(х) = q~x + qx+xcd. Тогда pn(p(x))—ортогональные многочлены степени n относительно переменной ц(х). Много важных свойств этих многочленов обсуждается в работах Аски — Вильсона [6], [7]. Там также обсуждается, как многочлены Аски — Вильсона включают в себя другие важные ортогональные многочлены в качестве частных или предельных случаев. Замечательное совпадение состоит в том, что многочлены Аски — Вильсона были открыты при исследовании ортогональных многочленов как раз перед тем, как Леонард обнаружил их в процессе изучения (Р и Q)-полиномиальных схем.
Похоже, что многочлены Аски — Вильсона представляют собой наиболее широкий класс ортогональных многочленов, которые выражаются через гипергеометрические или базисные гипергеометрические ряды. По крайней мере, нахождение новых примеров представляется весьма затруднительным.
Следующее интересное наблюдение Курнвиндора [238], [239] полезно для понимания многочленов Аски — Вильсона в связи с их частными случаями:
(i)	Многочлены Кравчука 2Ai обладают ортогональностью, которая эквивалентна унитарности матриц в унитарных представлениях групп SU(2).
§ 3.9. Замечания к гл. 3
283
(ii)	Многочлены Хана 3F2 обладают ортогональностью, эквивалентной ортогональности коэффициентов Клебша — Гор-дана для SU(2) или ортогональности 3/-символов.
(iii)	Многочлены Рака (сбалансированный ряд tF3) обладают ортогональностью, эквивалентной ортогональности коэффициентов Рака для SU(2) или ортогональности 6/-символов.
За деталями мы отсылаем читателя к работам Курнвиндера [238], [239]. По-видимому, трудно найти другие ортогональные многочлены путем рассмотрения «более старших» коэффициентов Рака для SU(2) или «следующих» коэффициентов Рака для других групп. Коэффициенты Рака определены не только для 5(7(2), но и для других групп, см. [130]. Дункл [142] дал иную интерпретацию многочленов Аски — Вильсона (сбалансированного ряда 4фз).
Стэнтон [349] вычислил многочлены, которые связаны с конечными группами Шевалле, действующими ньа смежных классах по некоторым параболическим подгруппам, и относятся к типу (II) в § 3.6. Оказалось, что все примеры имеют тип не выше 3F2 или зфг, а типы 4F3, 4ф3 не возникли. Это позволяет предположить, что (Р и Q)-полиномиальных схем, которые действительно соответствуют 4F3 или 4фз, не существует.
Приведенный здесь список был впервые составлен Баннаи в 1979 г. и анонсирован на нескольких конференциях: в Обер-вольфахе (май 1980), заседании АМО в Анн Арбор (август 1980) и др. На составление списка повлияла работа Стэнтона [349], который доказал существование (Р и (^-полиномиальных структур для большинства членов этого списка. Примеры Егавы [144], связанные с квадратичными формами, были найдены в то время, когда список составлялся. В действительности на основании составляемого списка высказывалась гипотеза о том, что существуют (Р и Q)-полиномиальные схемы, связанные с квадратичными формами, получаемые путем склейки определенных отношений. Егаве удалось доказать это.
Коэн [94], частично под влиянием беседы с Баннаи в Обер-вольфахе, также получил такой же список (дистанционно-регулярных графов большого диаметра). Его исследование очень подробно, а геометрические описания весьма точны и прозрачны. Мы очень рекомендуем читателю работу [94]. Поскольку эта статья уже доступна, мы обсуждали примеры больше с точки зрения связи с многочленами Аски — Вильсона и не приводили детальное обсуждение каждого из них. Расширенный вариант статьи [94] готовится Браувером, Коэном и Ней-майером [63].
Представленный список — это именно основа (Р и Q)-полиномиальных схем. Мы думаем, что все (Р и С)-полиномиаль-
284
Гл. 3. Дистанционно-регулярные графы
ные схемы могут быть получены из него с помощью конструкций, описанных в замечании (1) (i), (ii) в § 3.6. Недавно Хем-метер [192] описал двудольные дистанционно-регулярные графы Г, половинный для которых является одним из известных дистанционно-регулярных графов из списка 3.6, кроме (I) (iii)' и (II) (v) (см. задачу (2) (а) в § 3.6). Задача определения для заданного дистанционно-регулярного графа Г антиподального накрытия Д— это по существу очень частный случай задачи характеризации посредством параметров (см. § 3.8). Вторая задача (см. задачу (2) (Ь) в § 3.6) ко времени написания книги не была еще полностью решена. Однако известно, что окрестность радиуса d — 1 любой вершины в Д такая же, как и у некоторой вершины в Г. Поскольку это условие в действительности очень сильное, мы полагаем, что вторая часть вопроса может быть решена без затруднений, как только будет получена геометрическая характеризация схемы отношений Г. На самом деле мы полагаем, что все графы, которые можно получить таким способом, уже содержатся в основном списке в § 3.6. (Отметим, что «/-аналог графа 2.0k пропущен в списке Р-полиномиальных схем Коэна [94].)
Мы хотели бы закончить гл. 3, высказав мечту. Область применения алгебраического подхода, изложенного в настоящей книге, не ограничивается (Р и Q)-полиномиальными схемами (или Р-полиномиальными и Q-полиномиальными схемами). Эти классы, грубо говоря, не что иное, как «конечные симметричные пространства ранга 1». Ясно, что следует получать теоремы для большого ранга и строить теории для более общих схем отношений, в частности для коммутативных примитивных схем отношений. Поэтому классификация (Р и Q)-полиномиальных схем — это ни в коей мере не конечная цель, а лишь начало многих действительно интересных исследований. Как замечено в гл. 2, каждой конечной простой группе соответствует коммутативная примитивная схема отношений (очень специального вида) и наша мечта состоит в том, чтобы классифицировать такие структуры алгебраически и комбинаторно. Тогда может открыться иной подход к классификации конечных простых групп, основанный на методах алгебраической комбинаторики.
Литература
[1]	Asano К., Nagao Н. Теория групп, Iwanani, Текуо, 1965 (на японск. яз.).
[2]	Aschbacher М. The non-existence of rank three permutation groups of degree 3250 and subdegree 57, J. Algebra, 1971, 19, 538—540.
[3]	Askey R. Orthogonal polynomials and special functions, Regional Conference Series in Applied Mathematics, 1975, vol. 21, SIAM, Philadelphia.
,[4] Askey R. Orthogonal polynomials old and new and some combinatorial connections, in Enumeration and Desings, Acad. Press, 1984, p. 67—84.
[5]	Askey R., Ismail M. E. H. Recurrence relations, continued fractions and orthogonal polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc., 1984, 300.
[6]	Askey R., Wilson J. A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6 — j symbols, SIAM J. Math. Anal. 1979, 10, 1008—1016.
[7]	Askey R„ Wilson J. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc. 1985, 319.
,[8] Babai L. On the order of uniprimitive permutation groups, Annals of Math., 1981, 113, 553—568.
[9]	Babai L., Cameron P. J., Deza M., Singhi N. M. On sharply edge-transitive permutation groups, J. Algebra, 1981, 73, 573—585.
[10]	Bailey W. N. Generalized hypergeometric series, Stechert-Hafner Service Agency N. Y. (original edition 1935, Cambridge Univ. Press), 1964.
[11]	Bannai E On perfect codes in the Hamming schemes H(n, q) with q arbitrary, J. of Combinatorial Theory (A), 1977, 23, 52—67.
,[12] Bannai E. Codes in bipartite distance regular graphs, J. London Math. Soc., 1977, 16, 197—202.
[13]	Bannai E. On tight designs, Quart. J. Math (Oxford), 1977, 28, 433— 448.
[14]	Bannai E. On tight spherical designs, J. of Combinatorial Theory (A), 1979, 26, 38—47.
[15]	Bannai E. On some spherical /-designs, J. of Combinatorial Theory (A), 1979, 26, 157—161.
,[16] Bannai E. Алгебраическая комбинаторика, Sugaku (Mathematics, a publication of Math. Soc. of Japan), 1979, 31, 126—143 (на япоиск. яз.).
[17]	Bannai E. On the weight distribution of spherical /-designs, Europ. J. of Combinatorics, 1980, 1, 19—26.
[18]	Bannai E. Orthogonal polynomials, algebraic combinatorics and spherical /-designs, Proc. Symp. in Pure Math., 1980, vol. 37, Amer. Math. Soc., 465—468.
[19]	Bannai E. On s-distance subsets in real hyperbolic space, Hokkaido Math. J„ 1982, 11, 201—204.
[20]	Bannai E. Tannaka-Krein duality for association schemes, Linear Algebra and its Applications, 1982, 46, 83—90.
[21]	Bannai E. Spherical /-designs which are orbits of finite groups, J. Math. Soc. Jap., 1984, 36, 341—354.
28В
Литература
[22]	Bannai Е,, Bannai Е. How many P-polynomial structures can an association scheme have? Europ. J. of Combinatorics, 1980, 1, 289—298.
[23]	Bannai E., Bannai E. An upper bound for the cardinality of an «-distance subset in real Euclidean space, Combinatorica (Hungary), 1981, 1, 99—102.
,[24	] Bannai E., Bannai E., Stanton D. An upper bound for the cardinality of an s-distance subset in real Euclidean space, Combinatorica (Hungary), 1983, 3, 147—152.
[25]	Bannai E., Blokhuis A., Delsarte P., Seidel J. J. The addition formula for hyperbolic space, J. of Combinatorial Theory (A), 1984, 36, 332—341.
[26]	Bannai E., Cameron P. J., Kahn J. Non-existence of certain distancetransitive digraphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1981, 31, 105— 110.
[27]	Bannai E., Damerell R. M. Tight spherical designs, I, J. Math. Soc. Japan, 1979, 31, 199—207.
,[28] Bannai E., Damerell R. M. Tight spherical designs, II, J. London Math. Soc., 1980, 21, 13—30.
[29]	Bannai E., Ito T. On finite Moore graphs, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect IA, 1973, 20, 191—208.
[30]	Bannai E., Ito T. On the spectra of certain distance-regular graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1979, 27, 274—293.
[31]	Bannai E., Ito T. On the spectra of certain distance-regular graphs, II, Quart. J. Math. (Oxford), 1981, 32, 389—411.
[32]	Bannai E., Ito T. Regular graphs with excess one, Discrete Math., 1981, 37, 147—158.
[33]	Bannai E., Sloane N. J. A. Uniqueness of certain spherical codes, Canad. J. Math, 1981, 33, 437—449.
[34]	Best M. R. On the existence of perfect codes, Math. Centre Report ZN82/78, Amsterdam, 1978.
[35]	Best M. R. A contribution to the non-existence of perfect codes, Ph. D. Thesis, Amsterdam, 1982.
[36]	Bier T. A distribution-invariant for association schemes and strongly regular graphs, Linear Alg. and its Appls, 1984, 57, 105—113.
[37]	Biggs N. L. Perfect codes in graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1973, 15, 289—296.
[38]	Biggs N. L. Algebraic Graph Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1974.
[39]	Biggs N. L. Designs, factors and codes in graphs, Quart. J. Math. (Oxford), 1975, 26, 113—119.
,[40] Biggs N. L. Automorphic graphs and the Krein condition, Geom. Dedicate, 1976, 5, 117—127.
[41]	Biggs N. L, Ito T. Graphs with even girth and small excess, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1980, 88, 1—10.
[42]	Biggs N. L., Smith D. H. On trivalent graphs, Bull. London Math. Soc., 1971, 3, 155—158.
[43]	Biggs N. L., White A. Permutation groups and combinatorial structures, London Math. Soc. Lecture Note Series 33, Cambridge Univ. Press, 1979.
[44]	Blokhuis A. An upper bound for the cardinality of a set of equiangular lines in Rd’’, T. H. E. Memorandum 1981, No. 2.
,[45] Blokhuis A. A new upper bound for the cardinality of 2-distance sets in Euclidean space, T. H. E. Memorandum 1981, No. 4.
[46]	Blokhuis A. An upper bound for the cardinality of s-distance sets in Ed and H“, T. H. E. Memorandum 1982, No. 8.
[471 Blokhuis A. Few distance sets, Ph. D. Thessi, Eindhoven, 1983.
[48]	Blokhuis A., Singhi N. M. Bounds on sets with few distances modulo a prime in metric spaces of strength t, T. H. E. Memorandum 1981, No. 16.
[49]	Bose R. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs, Pacific J. Math., 1963, 13, 389—419,
Литература
287
[50]	Bose R. C., Dowling T. A. A characterization of Moore graphs of diameter two, J. of Combinatorial Theory (B), 1971, 11, 213—226.
[51]	Bose R. C., Laskar R. A characterization of tetrahedral graphs, J. of Combinatorial Theory, 1967, 3, 366—385.
[52]	Bose R. C., Mesner D. M. On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs, An. Math. Statist 1959, 30, 21—38.
,[53] Bose R. C., Nair K. R. Partially balanced incomplete block designs, Sank-hya, 1939, 4, 337—372.
[54]	Bose R. C., Shimamoto T. Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with two associate classes, J. Amer. Statist. Assoc., 1952, 47, 151 —184.
[55]	Bourbaki N. Groupes et agebres de Lie, Chap. 4, 5, 6. Hermann, 1968, [Имеется перевод: Бурбаки H. Группы и алгебры Ли, гл. 4, 5 и 6.— М.: Мир, 1972.]
,[56] Brauer R. On the representation of a group of order g in the field of the g-th root of unity, Amer. J. Math., 1945, 67, 461—471.
[57]	Brauer R. Applications of induced characters, Amer. J. Math., 1947, 69, 709—716.
[58]	Brauer R. Representations of Finite groups, Lectures on Modern Mathematics, vol. I, Wiley, N Y., 1963, p. 133—175.
59]	Brauer R. On pseudo groups, J. Math. Soc. Japan, 1968, 20, 13—22.
, 60 Brauer R Collected papers, vols. I, II, III, MIT Press, 1980.
61]	Brauer R., Coxeter H. S. M. A generalization of theorems of Schonhardt and Mehmke polytopes, Trans. R S. Canad., 1940, 34, 29—34.
[62]	Bremner A. A diophantine equation arising from tight 4-designs, Osaka J. Math., 1979, 16, 353—356.
[63]	Brouwer A., Cohen A., Neumaier A. The known distance-regular graphs (to appear).
[64]	Brouwer A., van Lint J. H. Strongly regular graphs and partial geometries, in Enumerations and designs, Acad. Press, 1984, p. 85—122.
t[65] Brouwer A., Wilbrink H. A. The structure of near polygons with quads, Geom. Dedicata, 1983, 14, 145—176.
[66]	Buekenhout F. Diagrams for geometries and groups, J. of Combinatorial Theory (A), 1979, 27, 121—151.
[67]	Buekenhout F. (g, d*, d)-gons, in Proceedings of a conference in honor of T. G. Ostrom, M Dekker, 1982.
[68]	Buekenhout F. Diagram geometries for sporadic groups, in Contemp. Math., 1985, 45: Finite Groups-Comming Age, Proc. Math. Soc. Conf., Montreal, June, 15—28, 1982, p. 1—32.
[69]	Buekenhout F., Shult E. On the foundations of polar geometry, Geom. Dedicata, 1974, 3, 155—170.
[70]	Calderbank A. R., Kantor W. M. The geometry of two-weight codes, Bull. London Math. Soc., 1986, 18, 97—122.
[71]	Cameron P. J. Permutation groups with multiply transitive suborbits, Proc. London Math. Soc., (3), 1972, 25, 427—440.
[72]	Cameron P. J. Near-regularity conditions for designs, Geom. Dedicata, 1973, 2, 213—223.
,[73] Cameron P. J. Extending symmetric designs, J. of Combinatorial Theory (A), 1973, 14, 215—220.
[74]	Cameron P. J. Two remarks on Steiner systems, Geom. Dedicata, 1975, 4, 403—418.
[75]	Cameron P J Dual polar spaces, Geom. Dedicata, 1982, 12, 75—85.
[76]	Cameron P. J. There are only finitely many distance-transtive graphs of given valency greater than two, Combinatorica (Hungary), 1982, 2, 9—13.
,[77] Cameron P. J., Deza M. On permutation geometries, J. London Math. Soc. (2), 1979, 20, 373—386.
288
Литература
[78]	Cameron Р. J., Goethals J. M., Seidel J. J. Strongly regular graphs having strongly regular subconstituents, J. Algebra, 1978, 55, 257—280.
[79]	Cameron P. J., Goethals J. M., Setdel J. J. The Krein condition, spherical designs, Norton algebras and permutation groups, Indag. Math., 1978, 40, 196—206.
[80]	Cameron P. J., Goethals J. M., Seidel J. J., Shults E. E. Line graphs, root systems, and elliptic geometry, J. Algebra, 1976, 43, 305—327.
[81]	Cameron P. J., Kantor W. M. Rank 3 groups and biplanes, J. of Combinatorial Theory (A), 1978, 24, 1—23.
[82]	Cameron P. J., van Lint J. H. Graphs, codes and designs, London Math. Soc. Lecture Notes 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1980. (Older version: London Math. Soc. Lecture Notes 19, 1975.) [Имеется перевод: Камерон И., ван Линт Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. — М., Наука, 1980.]
[83]	Cameron Р. J., Praeger С. Е., Saxl J., Seitz G. М. On the Sims conjecture and distance transitive graphs. Bull. London Math. Soc., 1983, 15, 499—506.
,[84] Cameron P. J., Seidel J. J. Quadratic forms over GF(2), Indag. Math., 1973, 35, 1—8.
[85]	Carlitz L. Representations by quadratic forms in a finite field, Duke Math. J., 1954, 21, 123—137.
[86]	Carlitz L. Representations by skew forms in a finite field, Arch. Math., 1954, 5, 19—31.
[87]	Carlitz L., Hodges J. Representations by Hermitian forms in a finite field, Duke Math J., 1955, 22, 393—405.
[88]	Cartan E. Sur la determination d’un systeme orthogonel coniplet dans un space de Riemann symmetriquej clos, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1929, 53, 217—252.
[89]	Cartier P. Harmonic analysis on trees, in Harmonic Analysis on homogeneous spaces, ed. С. C. Moore: Proc. Sym. Pure Math., 1973, 26, Amer. Math. Soc. Providence, R. I., p. 419—424.
[90]	Chang L. C. The uniqueness and nonuniqueness of triangular association schemes, Sci. Record, 1959, 3, 604—613.
[91]	Chihara T. S. An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, N. Y„ 1978.
[92]	Cohen A. M. Finite complex reflection groups, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1976, 9, 379—436.
[93]	Cohen A. M. Finite quaternionic reflection groups, J. Algebra, 1980, 64, 293—324.
[94]	Cohen A. M. A synopsis of known distance-regular graphs with large diameters, Mathematisch Centrum Report ZW 168/81, Amsterdam, 1981.
[95]	Cohen A. M. A characterization of subspaces of given rank in a projective space, Mathematisch Centrum Report ZW 165/81, Amsterdam, 1981.
[96]	Connor W. S. The uniqueness of the triangular association scheme, Ann. Math. Stat., 1958, 29, 262—266.
[97]	Conway J. H. A group of order 8, 315, 553, 613, 086, 720, 000, Bull. London Math. Soc., 1969, 1, 79—88.
[98]	Conway J. H. A characterization of Leech’s lattice, Invent. Math., 1969, 7, 137—142.
[99]	Conway J. H. Three lectures on exceptional groups, in: Finite Simple Groups, edited by Powell and Higman, Academic Press, 1971, 215—247. ,[100] Conway J. H., Parker R. A., Sloane N. J. A. The covering radius of the Leech lattice, Proc. Royal Soc., Ser. A, 1982, 380, 261—290
[101]	Conway J. H., Sloane N. J. A. Lorentzian forms for the Leech lattice, Bull. Amer. Math. Soc., 1982, 6, 215—217.
[102]	Conway J. H., Sloane N. J. A. Twenty-three constructions for the Leech lattice, Proc. Royal Soc., Ser. A, 1982, 381, 275—283.
Литература
289
[103]	Cooperstein В. N. A characterization of some Lie incidence structures Geom. Dedicata, 1977, 6, 205—258.
,[104] Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections, Annals Math., 1934, 35, 588—621.
[105]	Coxeter H. S. M., Moser W. O. J. Generators and relations for discrete groups, Springer, N. Y, 3rd edition, 1972 (1st edition in 1957). [Имеется перевод: Коксетер Г. С. М, Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980.]
[106]	Curtis С. W., Fossum Т. V. On centralizer rings and characters of representations of finite groups, Math. Z, 1968, 107, 402—406.
[107]	Curtis C. W., Iwahori N, K.ilmoyer R. Hecke algebras and characters of parabolic type of finite groups with (В, A)-pairs, Publ. Math. 1. H. E. S, 1971, 40, 81—116.
[108]	Curtis C. W., Reiner I. Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience, N. Y, 1962. [Имеется перевод: Кэр-тис Ч, Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.]
[109]	Cvetkovic D. М, Doob М., Sachs Н. Spectra of Graphs, Academic Press, N. Y. 1980. [Имеется перевод: Цветкович Д., Дуб М, Захс X. Спектры графов. Теория и приложения. — Киев: Наукова думка, 1984.]
[НО] Cvetkovic D. М„ van Lint J. Н. An elementary proof of Lloyd’s Theorem, Indag. Math., 1977, 39, 6—10.
[Ill]	Damerell R. M. On Moore graphs, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1973, 74, 227—236.
[112]	Damerell R. M. On Moore geometries, II, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1981, 90, 33—40.
[113]	Damerell R. M. Distance-transitive and distance-regular digraphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1981, 31, 46—53.
[114]	Damerell R. M, Georgiacodis M. A. On the maximum diameter of a distance-regular graphs, Bull. London Math. Soc, 1981, 13, 316—322.
[115]	Damerell R. M, Georgiacodis M. A. Moore geometries, I, J. London Math. Soc. (2), 1981, 23, 1—9.
[116]	Delsarte P. Bounds for unrestricted codes by linear programming, Philips Res. Rep, 1972, 27, 272—289.
[117]	Delsarte P. Four fundamental parameters of a code and their combinatorial significance, Inform. Control, 1973, 23, 407—438.
[118]	Delsarte P. An algebraic approach to the association schemes of coding theory, Philips Res. Rep. Suppl, No. 10, 1973. [Имеется перевод: Дель-сарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования.— М, Мир, 1976.]
.[119] Delsarte Р. The association schemes of coding theory, in Combinatorics (Hall M, Jr. and van Lint J. H, eds), Mathematical Center Tracts 55, Amsterdam, 1974, p. 139—157.
[120]	Delsarte P. Association schemes and /-designs in regular semilattices, J. of Combinatorial Theory (A), 1976, 20, 230—243.
[121]	Delsarte P. Properties and applications of the recurrence F(i + 1, & + 1, n-pl) = qlt+lF(i, fe-f-l, n)—qkF(i, k, n), SIAM J. AppL Math, 1976, 31, 262—270.
[122]	Delsarte P. Pairs of vectors in the space of an association scheme, Philips Res. Rep, 32, 1977, 373—411.
[123]	Delsarte P. Hahn polynomials, discrete harmonics, and /-designs, SIAM J. AppL Math, 1978, 34, 157—166.
[124]	Delsarte P. Bilinear forms over a finite field with applications to coding theory, J. of Combinatorial Theory (A), 1978, 25, 226—241.
[125]	Delsarte P, Goethals J. M. Alternating bilinear forms over OF(q), J. of Combinatorial Theory (A), 1975, 19, 26—50.
290
Литература
[126]	Delsarte Р., Goethals J. M., Seidel J. J. Bounds for systems of lines, and Jacobi polynomials, Philips Res. Rep., 30, 1975, 95* — 105*, Bouwkamp volume.
[127]	Delsarte P., Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical codes and designs, Geom. Dedicata, 1977, 6, 363—388.
[128]	Delsarte P., McEliece R. J. Zeros of functions in finite abelian group algebras, Amer. J. Math., 1976, 98, 197—224.
[129]	Dembowski P. Finite geometries, Springer-Verlag, N. Y., 1968.
[130]	Derome J. R., Sharp W. T. Racah algebra for arbitrary groups, J. Math. Phys., 1965, 6, 1584—1590.
[131]	Deza M., Erdos P., Frankl P. Intersection properties of systems of finite sets, Proc. London Math. Soc., 1978, 36, 369—384.
[132]	Deza M., Frankl P. On the maximum number of permutations with given maximal or minimal distance, J. of Comb. Theory (A), 1977, 22, 352—360.
[133]	Dieudonne J. Le geometrie des groupes classiques, Springer-Verlag, 1955. [Имеется перевод: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп. — М.: Мир, 1976.]
[134]	Dornhoff L. Group representation theory (A), (В), Marcel Dekker, N. Y., 1971, 1972.
[135]	Dowling T. A. A characterization of the TV.-graph, J. of Combinatorial Theory, 1969, 6, 251—263.
[136]	Drucker D., Frohardt D. Irreducible root systems and finite linear groups of degree two, Bull. London Math. Soc., 1982, 142—148.
[137]	Dunkl C. F. A Krawtchouk polynomial addition theorem and wreath products of symmetric groups, Indiana Univ. Math. J., 1976, 25, 335—358.
[138]	Dunkl C. F. An addition theorem for some <?-Hahn polynomials, Monats. Math., 1977, 85, 5—37.
[139]	Dunkl C. F. An addition theorem for Hahn polynomials: the spherical functions, SIAM J. Math. Anal., 1978, 9, 627—637.
[140]	Dunkl C. F. Discrete quadrature and bounds on t-design, Mich. Math. J., 1979, 26, 81 — 102.
[141]	Dunkl C. F. Orthogonal functions on some permutation groups, Proc. Symp. Pure Math. 34, Amer. Math. Soc., R. L, 1979, p. 129—147.
[142]	Dunkl C. F. Orthogonal polynomials in two variables of <?-Hahn and g-Jaboci type, SIAM J. Alg. Disc. Math., 1980, 1, 137—151.
[143]	Egawa Y. Characterization of H (n, q) by the parameters, J. of Combinatorial Theory (A), 1981, 31, 108—125.
[144]	Egawa Y. Association schemes of quadratic forms, J. of Combinatorial Theory (A), 1985, 38, 1—14.
[145]	Enomoto H. Characterization of families of finite permutation groups by the subdegrees II, J. Fac. Sci. Uni. Tokyo, Sect. IA, 1973, 1 —11.
[146]	Enomoto H. Primitive extensions of maximal diameter of multiply transitive permutation groups, Proc, second int. Conf. Camberra, Springer Lecture Notes Series, No. 372, 1973, p. 288—297.
[147]	Enomoto H., Ito N„ Noda R. Tight 4-designs, Osaka J. Math., 1976, 16, 39—43.
[148]	Erdeiyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project), McGraw-Hill, 1953.
[149]	Erdos P., Chao Ko, Rado R. Intersection theorems for systems of finite sets, Quart. J. Math. (Oxford), 1961, 12, 313—320.
[130]	Feit W. Characters of finite groups, Benjamin, N. Y. — Amsterdam, 1967.
[131]	Feit W. The Representation Theory of Finite Groups, North Holland, Amsterdam, 1982.
[132]	Feit W., Higman G. The non-existence of certain generalized polygons, J. Algebra, 1964, 1, 114—131.
[153] Frame J. S. The double cosets of a finite group, Bull. Amer. Math. Soc., 1941, 47, 458—467.
[134] Frankl P. The Erd6s — Ko — Rado theorem is true for n=ckt, in Combine-
Литература
291
torics, Proc. 5th Hungarian Coll. Combinatorics, Keszthely, 1976, Amsterdam, p. 365—375.
[155]	Frankl P., Wilson R. M. Intersection theorems with geometric consequences, Combinatorica, 1981, 1, 357—368.
[156]	Freud G. Orthogonal polynomials, Pergamon Press, Oxford, 1971.
[157]	Frobenius F. G. Gesammelte Abhandlungen I, II, III, Springer-Verlag, 1968.
,[158] Fuglister F. J. On finite Moore geometries, J. of Combinatorial Theory (A), 1977, 23, 187—197.
[159]	Fuglister F. J. The nonexistence of Moore geometries of diameter 4, Discrete Math., 1983, 45, 229—238.
[160]	Fuji-Hara R., Vanstone S. A. Equidistant permutation arrays from finite geometries, Congressus Numerantium, 1981, 32, 333—345.
[161]	Gallagher P. X. Invariants for finite groups, Advances in Math., 1979, 34, 46—57.
[162]	Gallagher P. X., Proulx R. J. Orthogonal and unitary invariants of families of subspaces, in Contribution to Algebra: A collection of papers dedicated to Ellis Kolchin, Academic Press, N. Y., 1977.
[163]	Gangolli R. Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to Levy’s Brownian motion of several parameters, Ann. Inst. Henri Poincare, 1967, 3, 121—225.
[164]	Gardiner A. Arc transitivity in graphs, Quart. J. Math. (Oxford) (2), 1973, 24, 399—407.
[165]	Gardiner A. Arc transitivity in graphs, II, Quart. J. Math. (Oxford), 1974, 25, 163—167.
[166]	Gardiner A. Antipodal covering graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1974, 16, 255—273.
[167]	Gardiner A. Imprimitive distance-regular graphs and projective planes, J. of Combinatorial Theory (B), 1974, 16, 274—281.
[168]	Gardiner A. Arc transitivity in graphs, III, Quart. J. Math. (Oxford), 1976, 27, 313—323.
[169]	Gardiner A. When is an array realized by a distance-regular graph?, in Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai, 25: Algebraic Methods in Graph Theory, Szeged (Hungary), 1981, 209—219.
,[170] Gasper G. Projective formulas for orthogonal polynomials of a discrete variable, J. Math. Anal. Appl., 1974, 45, 176—198.
[171]	Gasper G. Positivity and special functions, Theory and Applications of Special Functions, R. Askey, ed., Academic Press, N. Y., 1975, 375—433.
[172]	Геронимус Я. Л. Многочлены, ортогональные на окружности и отрезке.— М.: Физм атгиз, 1958.
[173]	Glauberman G. Normalizers of p-subgroups in finite groups, Pacific J. Math., 1969, 29, 137—144.
,[174	] Godement R. A theory of spherical functions I, Trans. Amer. Math. Soc., 1952, 73, 496—556.
[175]	Goethals J. M. A polynomial approach to linear codes, Philips Res. Rep., 1969, 24, 145—159.
[176]	Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical designs, Proc. Symp. Pure Math. 34, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1979, p. 255—272.
[177]	Goethals J. M., Seidel J. J. Cubature formulae, polytopes and spherical designs, in Proc. Coxeter Symposium, Toronto, May 1979; also in The Geometric Vein, Springer, 1981, p. 203—218.
[178]	Goethals J. M., van Tilborg H. C. A. Uniformly packed codes, Philips Res. Rep., 1975, 30, 9—36.
[179]	Gorenstein D. Finite Groups, Harper and Row, N. Y., 1968.
[180]	Griess R. A construction of Ft as automorphisms of 196883 dimensional algebra, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1981, 78, 686—691.
|181] Haemers W. Eigenvalue techniques in design and graph theory, Math, Cent Tracts, >1, Amsterdam, 1981.
292	Литература
[182]	Hall J. I., Shult E. E. Locally cotriangular graphs, in Finite Geometries and designs, Lond. Math. Soc. Leet. Note Series, No. 49, 1981, p. 128—133.
[183]	Hall M., Jr. The theory of groups, Macmillan, N. Y., 1959. [Имеется перевод: Холл M. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.]
[184]	Hall М., Jr. Combinatorial Theory, Blaisdell., 1967. .[Имеется перевод: Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.]
[185]	Hammond Р., Smith D. Н. Perfect codes in graphs О*, J. of Combinatorial Theory (B), 1975, 19, 239—255.
[186]	Hammond P., Smith D. H. An analogue of Lloyd’s theorem for completely regular codes, Proc. 5th British Combinatorial Conference, Aberdeen, 1975, p. 261—267.
,[187] Happel D., Preiser Lb, Ringel С. M. Binary polyhedral groups and Euclidean diagrams, Manuscripta Math., 1980, 31, 317—329.
[188]	Harrison D. K. Double coset and orbit spaces, Pacific J. Math., 1979, 80, 451—491.
[189]	Hasse H. Verallgemeinerung des Dualitatsatzes fiir die charactere end-liche Gruppen, Math. Nachr., 1949, 3, 1—3.
[190]	Helgason S. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, N. Y., 1978. .[Имеется перевод издания 1962 г.: Хелга-сон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964.]
[191]	Hemmeter J. Halved graphs, Johnson and Hamming graphs, Utilitas Math., 1984, 25, 115—118.
[192]	Hemmeter J. Distance-regular graphs and halved graphs, Ph. D. thesis, Columbus Ohio, 1984; also Europ. J. Comb., 1986. 7, 119—130.
[193]	Hewitt E., Ross K. A. Abstract Harmonic Analysis, Springer-Verlag vol. I (1963. 2nd edition 1979), vol. II (1970). [Имеется перевод: Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ.—М.: Наука, 1965.] ,[194] Higman D. G. Finite permutation groups of rank 3, Math. Z., 1964, 86, 145—156.
[195]	Higman D. G. Intersection matrices for finite permutation groups, J. Algebra, 1967, 6, 22—42.
[196]	Higman D. G. Invariant relations, coherent configurations, and generalized polygons, Math. Cent Tract, No. 57, 1974, 27—43.
[197]	Higman D. G. Coherent configurations, Part I, Ordinary representation theory, Geom. Dedicata, 1975, 4, 1—32.
[198]	Higman D. G. Coherent configurations, Part II, Weights, Geom. Dedicata, 1976, 5, 413—424.
[199]	Higman G. Construction of simple groups from character table, in Finite Simple Groups, edited by Powell and Higman, Academic Press, 1971, 205—214.
[200]	Hodges J. H. Exponential sums for symmetric matrices in a finite field, Math. Nachr., 1955, 14, 331—339.
[201]	Hodges J. H. Exponential sums for skey matrices in a finite field, Arch. Math., 1956, 7, 116—121.
.[202] Hoffman A. J. On the uniqueness of the triangular association schemes, Ann. Math. Stat., 1960, 31, 492—497.
[203]	Hoffman A. J. On the polynomial of a graph, Amer. Math. Monthly, 1963, 70, 30—36.
[204]	Hoffman A. J., Singleton R. R. On Moore graphs with diameters 2 and 3, IBM J. Res. Develop., 1960, 4, 497—504.
[205]	Hoffman A. J., Ray-Chaudhuri D. K. On the line graph of a symmetric balanced incomplete block design, Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 116, 238—252.
1906] Hoggar S. G. Bounds for quaternionic line systems and reflection groups, Math. Scand., 1978, 43, 241—249.
Литература
293
[207]	Hoggar S. G. /-designs in projective spaces, Europ. J. Combinatorics, 1982, 3, 233—254.
[208]	Hoggar S. G. Parameters of /-designs in FPd~\ Europ. J. Combinatorics, 1984, 5, 29—36.
[209]	Hoggar S. G. Parameters of association schemes, Ars Combinatoria, 1983, 16B, 325—339.
,[210] Hoheisel G. Uber Charaktere, Monatsch f. Math. Phys., 1939, 48, 448— 456.
[211]	Hong Y. On spherical /-designs in R2, Europ. J. Combinatorics, 1982, 3, 255—258.
[212]	Hong Y. On the nonexistence of unknown perfect 6- and 8-codes in Hamming schemes H(n, q) with q arbitrary, Osaka J. Math., 1984, 21, 687— 700.
[213]	Hubaut X. L. Strongly regular graphs, Discrete Math., 1975,13,357—381. ,[214] Hughes D. R. On /-designs and groups, Amer. J. Math., 1965, 87, 761— 778.
[215]	Huppert B. Endlichen Gruppen, I, Springer-Verlag, 1967.
[216]	Ismail M. E. H., Wilson J. A. Asymptotic and generating relations for the ^-Jacobi and 4<рз polynomials, J. of Approximation Theory, 1982, 36, 43—54.
[217]	Isaacs I. M. Character theory of finite groups, Academic Press, N. Y., 1976.
,[218] Ito N. On tight 4-designs, Osaka J. Math, 1975, 12, 493—522. (Corrections and supplements, Osaka J. Math., 1978, 15, 693—697.)
[219]	Ito N. О некоторых 4-схемах. Sugaku (Mathematics, a publication of Math. Soc. of Japan), 1975, 27, 23—30 (на японск. яз.).
[220]	Ito T. Primitive rank 5 permutation groups with two doubly transitive constituents of different sizes, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 1974, 21, 271—277.
[221]	Ito T. Bipartite distance-regular graphs of valency three, Linear Alg. and its Appls., 1982, 46, 195—213.
[222]	Ito T., Kiyota M. Sharp permutation groups, J. of Math. Soc. Japan, 1981, 33, 435—444.
[223]	Iwahori N. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a finite field, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 1964, 10, 215—236.
[224]	Iwahori N., Yokonuma T. On self-dual, completely reducible finite subgroups of GL(2, k), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 1982, 28, 829— 842.
[225]	James G., Kerber A. The representation theory of the symmetric group, Addison-Wesley Publ. Company, in Encyclopedia of Mathematics and its applications, 1981.
[226]	Johnson K. S-rings over loops, right mapping groups and transversals in permutation group, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1981, 433—442.
[227]	Kantor W. M. On incidence matrices of finite projective and affine spaces, Math. Z„ 1972, 124, 315—318.
[228]	Kantor W. M. ^-homogeneous groups, Math. Z., 1972, 124, 261—265.
[229]	Kantor W. M. Rank 3 characterizations of classical geometries, J. Algebra, 1975, 36, 309—313.
[230]	Kantor W. M. Moore geometries and rank 3 groups having p = 1, Quart. J. Math. (Oxford), 1977, 28, 309—328.
[231]	Kantor W. M., Liebier R. A. The rank 3 permutation representations of the finite classical groups, Trans. Amer. Math. Soc., 1982, 271, 1—71.
[232]	Karlin S., McGregor J. L. The Hahn polynomials, Formulas and an Application, Scripta Math., 1961, 26, 33—46.
[233]	Kawada Y. Uber den Dualitatssatz der Charaktere nichtcommutativer Gruppen, Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 1942, 24, 97—109.
[234]	Kilmoyer R., Solomon L. On the theorem of Feit — Higman, J. of Combinatorial Theory (A), 1973, 15, 310—322.
294
Литература
[235]	Kiyota М. An inequality for finite permutatoin groups, J. of Combinatorial Theory (A), 1979, 27, 119.
[236]	Koornwinder T. H. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics, SIAM J. Appl., Math., 1973, 25, 236—246.
[237]	Koornwinder T. H. A note on the absolute bound for systems of lines, Indag. Math, 1976, 38, 152—153.
[238]	Koornwinder T. H. Clebsch— Gordan coefficients for SU(2) and Hahn polynomials, Nieuw Archief Voor Wiskunde (3), 1981, 29, 140—155.
[239]	Koornwinder T. H. Krawtchouk polynomials, a unification of two different group theoretical interpretations, SIAM J. Math. Anal, 1982, 13, 1011—1023.
[240]	Крейн M. Г. Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры. ДАН СССР, 1949, т. 69, № 6, с. 725—729.
[241]	Крейн М. Г. Эрмитово-положительные ядра на однородных пространствах I, II, Украинский мат. журнал, 1949, № 4, с. 64—94; 1950, № 1, с. 10—59.
[242]	Lam С. W. Н. Distance transitive digraphs, Discrete Math, 1980, 29, 265—274.
[243]	Larman D. G, Rogers C. A, Seidel J. J. On two distance sets in Euclidean spaces, Bull. London Math. Soc, 1977, 9, 261—267.
[244]	Lasser R. Orthogonal polynomials and hypergroups. Rend Mat. Appl. VII Ser. 3, 1983, 185—209.
[245]	Leech J. Notes on sphere packings, Canad. J. Math, 1967, 19, 251—267.
[246]	Lemmens P. W. H, Seidel J. J. Equiangular lines, J. Algebra, 1973, 24, 494—512.
[247]	Lemmens P. W. H, Seidel J. J. Equiisoclinic subspaces of Euclidean spaces, Indag. Math, 1973, 35, 98—107.
,[248] Lenstra H. W, Jr. Two theorems on perfect codes, Discrete Math, 1972, 3, 125—132.
[249]	Leonard D. A. Parameters of association schemes that are both P- and Q-polynomial, J. of Combinatorial Theory (A), 1984, 36, 355—363.
[250]	Leonard D. A. Orthogonal polynomials, duality, and association schemes, SIAM J. Math. Anal, 1982, 13, 656—663.
[251]	Liebier R. A. On the uniqueness of the tetrahedral association schemes, J. of Combinatorial Theory (B), 1977, 22, 246—262.
[252]	van Lint J. H. Coding Theory, Lecture Notes in Math. No. 201, Sprin-ger-Verlag, N. Y./Berlin, 1971.
[253]	van Lint J. H. Recent results on perfect codes and related topics, Math. Center Tracts 55, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1974, p. 158— 178.
[254]	van Lint J. H, Seidel J. J. Equilateral point sets in elliptic geometry, Indag. Math, 1966, 28, 335—348.
[255]	Livingstone D, Wagner A. Transitivity of finite permutation groups on unordered sets, Math. Z, 1965, 90, 393—403.
,[256] Lloyd S. P. Binary block coding, Bell System Tech. J, 1957, 36, 517— 535.
[257]	Lorimer P. Finite projective planes and sharply 2-transitive subsets of finite groups, Proc. Second Intern. Conf. Theory of Groups, Canberra, 1973, Springer Lecture Notes Series of Math, 372, 1973, p. 432—436.
[258]	Lovasz L. On the Shannon capacity of a graph, IEEE Trans. Inform. Theory IT-25, 1979, p. 1—7.
[259]	MacPherson H. D. Infinite distance-transitive graphs of finite valency, Combinatorica (Hungary), 1982, 2, 63—69.
[260]	MacWilliams F. J. A theorem on the distribution of weights in a systematic code, Bell Syst. Tech. J. 1963, 42, 79—94.
[261]	MacWilliams F. J, Sloane N. J. A. The theory of error-correcting codes. North-Holland, Amstardam and Elsavier/North-Holland, N, Y7, 1977,
Литература
295
[Имеется перевод: Мак-Вильямс Ф. Дж. Слоан Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. — М.: Связь, 1979.]
[262]	MacWilliams F J., Sloane N. J. A., Goethals J. M. The MacWilliams identities for nonlinear codes, Bell System Tech. J., 1972, 51, 803—819.
,[263] Mathon R. Three-class association schemes, in Proc. Conf, of Algebraic Aspect of Combinatorics, Toronto, 1975, 123—155.
[264]	Maxwell G. Hyperbolic trees, J. Algebra, 1978, 54, 46—49.
[265]	McEliece R. J. The theory of information and coding, A mathematical framework for communication, in Encyclopedia of Math, and its Applications, Addison-Wesley, Mass, 1977.
[266]	McEliece R. J. The bounds of Delsarte and Lovasz and their applications to coding theory, CISM Courses and Lectures, No. 258, Springer-Verlag, Wien and N. Y., 1979
[267]	McEliece R. J., Rodemich E. R., Rumsey H. C., Jr., Welch L. R. New upper bound on the rate of a code via the Delsarte — MacWilliams inequalities, IEEE Trans. Inf. Theory, 1977, It-23, 157—166.
[268]	McKay J. Graphs, singularities, and finite groups, Proc, of Symp. in Pure Math., 1980, 37, 183—186 [Имеется перевод: Маккей Д. Графы, особенности и конечные группы. — УМН, 1983, т. 38, в. 6, с. 159—164.]
[269]	McKay J. Cartan matrices, finite groups of quaternions, and Kleinian Singularities, Proc. Amer. Matr. Soc., 1981, 81, 153—154.
[270]	Moon A. Characterization of the odd graphs Ok by parameters, Discrete Math., 1982, 42, 91—97.
[271]	Moon A. Characterization of the graphs of the Johnson schemes G(3k, k) and G(3&+1, k), J. of Combinatorial Theory (B), 1982, 33,213—222.
[272]	Moon A. On the uniqueness of the graphs G(n, k) of the Johnson schemes, J. of Combinatorial Theory (B), 1982, 33, 256—264.
[273]	Nagao H. On the groups with the same table of characters as symmetric groups. J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A, 1957, 8, 1—8.
[274]	Nagao H. Группы и блок-схемы. Iwanani, Tokyo, 1974 (на японск. яз.).
[275]	Neumaier A. Distances, graphs and designs, Europ. J. Combinatorics, 1980, 1, 163—174.
[276]	Neumaier A. Distance matrices and n-dimensional deigns, Europ. J. Combinatorics, 1981, 2, 165—172.
[277]	Neumaier A. New inequalities for the parameters of an association scheme, in Combinatorics and Graph Theory, Springer Lecture Notes in Math. 885, 1981, p. 365—367.
[278]	Neumaier A Combinatorial configurations in terms of distances, T. H. E. Memorandum 81, 1981, No. 09, p. 98.
[279]	Neumaier A. Pseudo classical distance-regular graphs (unpubbished).
[280]	Neumaier A. The second largest eigenvalue of a tree, Lin. Alg. and its AppL, 1982, 46, 9—25.
[281]	Neumaier A. Regular sets and quasisymmetric 2-designs, Lecture Notes in Math. 969, Springer, 1982. p. 258—272.
,[282] Neumaier A., Seidel J. J. Discrete hyperbolic geometry, Combinatorica (Hungary), 1983, 3, 219—237.
[283]	Niemeier H. V. Definite quadratische Formen der Dimension 24 und Dls-krimmante 1, J Number Theory, 1973, 5, 142—178.
[284]	Neumann P. M. Generosity and characters of multiply transitive permutation groups, Proc. London Math. Soc., 1975, 31, 457—481.
[285]	Noda R. Steiner systems which admit block transitive automorphism groups of small rank, Math. Z„ 1972, 125, 113—121.
[286]	Noda R Some inequalities for t-designs, Osaka J. Math., 1976, 13, 361— 366.
[287]	Noda R. On orthogonal arrays of stregth 4 achieving Rao’s bound, J. London Math. Soc., 1979, 19, 385—390.
[288]	Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions, J. of Combinato-
296
Литература
rial Theory (A), 1979, 26, 210—214.
,[289] Ogasawara M. A necessary condition for the existence of regular and symmetrical PBIB designs of Tm type, Univ. North Carolian Inst. Statistics, Mimeo Series No. 418, 1965.
[290]	Ott U. Some remarks on representation theory in finite geometry, in Geometries and Groups, Springer Leet. Notes 893, 1981, p. 68—110.
[291]	Ott U. Bericht fiber Hecke Algebren und Coxeter Algebren endlicher Geo-metrien, in Finite Geometries and Designs, London Math. Soc. Lecture Note Series 49, 1981, p. 260—271.
[292]	Ott U. Eine Bemerkung fiber Polaritaten eines verallgemeinerten Hexagons, Geom. Dedicata, 1981, 11, 341—345.
[293]	Oyama T. On the groups with the same table of characters as alternating groups, Osaka J. Math., 1964, 1, 91 —101.
[294]	Peterson C. L. On tight 6-designs, Osaka J. Math., 1977, 14, 417— 435.
,[295	] Петренюк А. Я. Неравенство Фишера для тактических конфигураций. — Мат. заметки, 1968, т. 4, с. 417—424.
[296]	Quirin W. L. Primitive permutation groups with small orbitals, Math. Z, 1971, 122, 267—274.
[297]	Rao S. B., Ray-Chaudhuri D. K., Singhi N. M. On imprimitive association schemes, Proceedings of the Seminar on Combinatorics and Applications in honour of Prof. Shrikhande S. S. on his 65-th birthday. Indian Statistical Institute Dec., 14—17, 1982, p. 273—291.
[298]	Ray-Chaudhuri D. K., Sprague A. P. Characterzation of projective incidence structures, Geom. Dedicata, 1976, 5, 361—376.
,[299] Ray-Chaudhuri D. K., Sprague A. P. A combinatorial characterization of attenuated spaces, Utilitas Math., 1979, 15, 3—29.
[300]	Ray-Chaudhuri D. K., Wilson R. M. On t-designs, Osaka J. Math., 1975, 12, 737—744 (original version: mimeographed notes, 1971).
[301]	Reuvers H. F. H. Some non-existence theorems for perfect codes over arbitrary alphabets, Ph. D. Thesis, Tech. Univ, of Eindhoven, January, 1977.
[302]	Roos C., van Zanten A. J. On the existence of certain generalized Moore geometries, I, II. Discrete Math., 1984, 51, 179—190; Discrete Math., 1984, 51, 277—282.
,[303] Ross K. A. Hypergroups and centers of measure algebras, in Symposia Mathematics, Institute Nazionale di Alta Matematica, vol. XXII, p. 189— 203, Academic Press, London, 1977.
[304]	Saxl J. Characters of multiply transitive permutation groups, J. Algebra, 1975, 34, 528—539.
[305]	Saxl J. On multiplicity-free permutation representations, in Finite Geometries and Designs, London Math. Soc. Lecture Notes Series 49, 1981, p. 337—353.
.[306	] Schrijver A. Packing and covering in combinatorics, Math. Center Tracts 106, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1979.
[307]	Schrijver A. A comparison of the Delsarte and Lovasz bounds, IEEE Trans. Inform. Theory IT-25, 1979, p. 425—429.
[308]	Schrijver A. Association schemes and the Shannon capacity: Eberlein polynomials and the Erdos-Ko-Rado theorem, in Algebraic Method in Graph Theory, L. Lovasz and V. T. Sos, eds., North-Holland, Amsterdam — Oxford—N. Y, 1981, p. 671—688.
[309]	Schur I. Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen, S. B. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. KI, 1933, p. 598—623.
,[310] Schur I. Gesammelte Abhandlungen I, II, III, Springer, 1973.
[311]	Scott L. L. The modular theory of permutation representations, Proceedings of Symp. in Pure Math., 1971, 21, 137—144.
[312]	Scott L. L. Modular permutation representations, Trans. Amer. Math. Soc, 1973, 175, 101—121.
298
Литература
[337]	Smith D. H. Distance-transitive graphs of vaency four, J. London Math. Soc., 1974, 8, 377—384.
[338]	Smith D. H. On bipartite tetravalent graphs, Discrete Math., 1974, 10, 167—172.
[339]	Smith D. H. An improved version of Lloyd’s theorem, Discrete Math., 1976, 15, 175—184.
[340]	Smith J. D. H. Centralizer rings of multiplicative groups on quasigroups, Math. Proc. Comb. Phil. Soc., 1976, 79, 427—431.
[341]	Smith S. D. Non-associative commutative algebras for triple covers of 3-transposition groups, Michigan Math. J., 1977, 24, 273—287.
[342]	Sprague A. P. Characterization of Projective graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1978, 24, 294—300.
,[343] Sprague A. P. A characterization of 3-nets, J. of Combinatorial Theory (A), 1979, 27, 223—254.
[344]	Sprague A. P. Incidence structures with specific planes, Proc. Sympos. Pure Math. 34, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1979, p. 331—344.
[345]	Sprague A. P. Pasch’s axiom and projective spaces, Discrete Math., 1981, 33, 79—87.
[346]	Sprague A. P. Incidence structures whose planes are nets, Europ. J. Combinatorics, 1981, 2, 193—204.
[347]	Stanley R. P. Invariants of finite groups and their applications to combinatorics, Bull. Amer. Math. Soc., 1979, 1, 475—511.
[348]	Stanley R. P. Some aspects of groups acting on finite posets, J. of Combinatorial Theory (A), 1982, 32, 132—161.
[349]	Stanton D. Some ?-Krawtchouk polynomials on Chevalley groups, Amer. J. Math., 1980, 102, 625—662.
[350]	Stanton D. Some Erdos-Ko-Rado theorems for Chevalley groups, SIAM J. Alg. Disc. Math., 1980, 1, 160—163.
[351]	Stanton D. Three addition theorems for some ^-Krawtchouk polynomials, Geom. Dedicata, 1981, 10, 403—425.
[352]	Stanton D. A partially ordered set and ^-Krawtchouk polynomials, J. of Combinatorial Theory (A), 1981, 30, 276—284.
[353]	Stanton D. Generalized n-gons and Chebychev polynomials, J. of Combinatorial Theory (A), 1983, 34, 15—27.
[354]	Stanton D. Orthogonal polynomials and Chevalley groups, in Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications (R. A. Askey et al eds.), Reidel, Boston, 1984, p. 87—125.
[355]	Stanton D. Harmonics on posets, J. of Combinatorial Theory (A), 1985, 40, 136—149.
[356]	Steinberg R. A geometric approach to the representations of the full linear group over a Galois field, Trans. Amer. Math. Soc., 1951, 41, 279—282.
[357]	Steinberg R. Subgroups of SU2 and Dynkin diagrams (unpublished).
[358]	Stroeker R. J. On the diqphantive equation (2y2 — 3)2 = x2(3x2 — 2) in connection with the existence of nontrivial tight 4-designs, Indag. Math., 1981, 43, 353—358.
[359]	Suzuki M. On a finite group with a partition, Arch. Math., 1961, 12, 241—254.
[360]	Suzuki M. Group Theory. Springer-Verlag, 1982.
[361]	Szego G. Ortohogonal polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publications 23, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 4th edition 1975, (1st edition in 1939). [Имеется перевод: Сеге Г. Ортогональные многочлены.— М.: Физматгиз, 1962.]
[3621 Szego G. Collected Papers, 3 vols, Birkhauser, 1982.
[363]	Takeuchi M. Современная теория сферических функций. Iwanami, Tokyo, 1975 (на японск. яз.).
1364] Tamaschke О. Zur Theorie der Permutationsgruppen mit regulSrer Un-tergruppe, I; Math. Z„ 1963, 80, 328—354.
Литература
299
,[365] Tamaschke О. Zur Theorie der Permutationsgruppen mit regularer Unter-gruppe, II, Math. Z„ 1963, 80, 443—465.
[366]	Tamaschke O. S-rings and the irreducible representations of finite groups, J. Algebra, 1964, 1, 215—232.
[367]	Tamaschke O. Schur-Ringe, BI-Hochschulskripten 735 a* Bibliographies-ches Institut, Mannheim. 1970.
[368]	Tannaka T. Uber die Dualitatsatz der nichtkommutativen topologischen Gruppen, Tohoku Math., J., 1938, 45, 1—12.
,[369] Taylor D. E. Regular two graphs, Proc. London Math. Soc., 1977, 35, 257—274.
[370]	Taylor D. E., Levingston R. Distance regular graphs, in Combinatorial Mathematics (Holton D. A. and Seberry J., eds.), Springer Lecture Note Series 686, 1978, p. 313—323.
[371]	Terwilliger P. The diameter of bipartite distance-regular graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1982, 32, 182—188.
[372]	Terwilliger P. Eigenvalue multiplicities of highly symmetric graphs, Discrete Math., 1982, 41, 295—302.
[373]	Terwilliger P. Distance-regular graphs and (s, c, a, k)-graphs, J. of Combinatorial Theory (B), 1983, 34, 151—164.
[374]	Terwilliger P. Distance-regular graphs with girth 3 or 4, I, J. of Combinatorial Theory (B). 1985, 39, 265—281; II (to appear).
[375]	Thompson J. G. Bounds for orders of maximal subgroups, J. Algebra, 1970, 14, 135—138.
[376]	Tietavainen A. On the non-existence of perfect codes over finite fields, SIAM, J. Appl. Math., 1973, 24, 88—96. (См. также Tietavainen A., Perko A., Ann. Univ. Turku. Ser. AI, 148.)
[377]	Tietavainen A. Non-existence of nontrivial perfect codes in case q = = tfyl e > 3, Discrete Math., 1977, 17, 199—205.
[378]	van Tilborg H. C. A. Uniformly packed codes, Ph. D. thesis, Tech. Univ, of Eindhoven, June 1976.
[379]	Tits J. Sur certaines classes d’espaces homogenes de groupes de Lie, Memoires Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. 29, fasc. 3, 1955.
[380]	Tits J. Buildings of spherical types and finite BM-pairs, Springer Lecture Notes, No 386, 1974.
[381]	Tits J. A local approach to buildings, in Geometric Vein, Springer-Verlag, 1981, 519—547.
[382]	Tsuzuku T. On multiple transitivity of permutation groups, Nagoya Math. J., 1961, 18, 93—109.
[383]	Tutte W. T. A family of cubical graphs, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1947, 43, 459—474.
[384]	Виленкин H. Я. Специальные функции и теория представлений. — М.: Наука, 1965.
,[385] de Vries Е., van Zanten A. J. On the number of roots of certain equations in finite simply reducible groups, Physica, 1970, 49, 536—548.
[386]	Wang H. C. Two point homogeneous spaces, Annals Math., 1952, 55, 177—191.
[387]	Ward H. N. Quadratic residue codes and symplectic groups, J. of Algebra, 1974, 29, 150—171.
[388]	Weiss R. Uber lokal-s-regulSre Graphen, J. of Combinatorial Theory (B), 1976, 20, 124—217.
[389]	Weiss R. Groups with a (B, V)-pair and locally transitive graphs, Nagoya Math., J„ 1979, 74, 1—21.
[390]	Weiss R. The non-existence of 8-transitive graphs, Combinatorica (Hungary), 1981, 1, 309—311,
[391]	Wielandt H. Zur Theorie der einfach transitven Permutationsgruppen, Math. Z„ 1935, 40, 582—587.
300
Литература
[392]	Wielandt Н. Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen, II, Math. Z„ 1949, 52, 384—393.
.[393] Wielandt H. Primitive Permutations gruppen vom Grad 2p, Math. Z., 1956, 63, 478—485.
[394]	Wielandt H. Finite permutation groups, Academic Press, N. Y„ 1964.
[395]	Wigner E. P. Group Theory and Its Application to Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press, N. Y., 1959. .[Имеется перевод: Вигнер E. Теория групп и ее приложения к кванговомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961.]
[396]	Witt Е. Uber Steinersche Systeme, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1938, 12, 265—275.
[397]	Witt E. Spiegelungsgruppen und Aufzahlung halbeinfacher Liescher Rin-ge, Abh. Math. Sem. Hamburg, 1941, 14, 289—322.
[398]	Wilson J. A. Hypergeometric series recurrence reations and some new orthogonal functions, Ph. D. thesis, University of Wisconsin, Madison, 1978.
[399]	Wilson J. A. Some hypergeometric orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal., 1980, 11, 690—701.
[400]	Wilson R. M. An existence theory for pairwise balanced designs, I, II, III, J. of Combinatorial Theory (A), 1972, 13, 220—245, 246—273, and J. of Combinatorial Theory (A), 1975, 18, 71—79.
[401]	Wolf J. A. Spaces of constant curvanture: Publish or Perish, Boston MA, 3rd edition 1974. [Имеется перевод: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. — М.: Наука, 1982.]
[402]	Wong W. J. Determination of a class of primitive permutation groups, Math. Z, 1967, 99, 235—246.
[403]	Yamamoto S„ Fujii Y., Hamada N. Composition of some series of association algebras, J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A-I, 1965, 29, 181—215.
[404]	Yamamoto K. A necessary condition for the existence of partially balanced block designswith an m-subset association scheme, The Memoirs of the Faculty of Science, Kyushu University, Series A, Math., 1965, 76—98.
Дополнение 1
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
Баннаи Э. *), Ито Т.
Цель этого обзора, который представляет собой скорее лич ные заметки, состоит в том, чтобы подвести на сегодняшний день итог полученным за последнее время результатам в области алгебраической комбинаторики. Окончательный вариант рукописи книги «Алгебраическая комбинаторика» был закончен летом 1983 гдоа, и эта книга была опубликована издательством «Бенджамин Пресс» в 1984 году. В настоящем обзоре мы будем ссылаться на нее как на [I]* 2). Поскольку развитие алгебраической комбинаторики происходит удивительно быстро, мы ощущали настойчивую необходимость обновить рукопись сразу же после того, как она была закончена. Тем не менее, как уже отмечалось во введении к книге, мы решили ускорить ее публикацию в надежде на то, что она поможет тем, кто пытается начать свои собственные изыскания в этой области. Со вре-мении завершения окончательного варианта книги было получено много важных результатов.
Между тем, как мы узнали от А. А. Иванова, при подготовке русского перевода нашей книги возникло желание включить в русское издание дополнение, которое содержало бы 1) наш обзор результатов, полученных после выхода книги, и 2) написанное им и его коллегами изложение относящихся к этой тематике результатов, которые были получены советскими математиками и не нашли отражения в нашей книге. Мы приняли предложение, решив, что это удобный случай обновить книгу. Поскольку, по нашему мнению, очень желательно, чтобы обе эти обзорные статьи были доступны также и англоязычному читателю, мы обратились в редакционный совет журнала «Graphs and Combinatorics» с просьбой опубликовать их в этом журнале. Мы высоко ценим готовность редакционного совета принять их к публикации.
Поскольку объем этого обзора ограничен, мы будем обсуждать лишь тот материал, который имеет прямое отношение к [I]. По этой причине выбор тематики весьма субъективен. Ввиду того, что это обзорная, а не исследовательская статья,
') Частичная финансовая поддержка оказана Национальным научным фондом, субсидия DMS 8503761.
2) Страницы при ссылках указываются, разумеется, по русскому изданию. — Прим, перев.
302
Дополнение 1
мы решили позволить себе выражать свое мнение и давать оценку обсуждаемому материалу. Кроме изложения результатов, которые уже получены, мы упомянем о некоторых работах, которые вскоре будут завершены, а также о некоторых направлениях дальнейших исследований. Вполне возможно, что все произойдет не совсем так, как мы ожидаем, но, по нашему убеждению, такой подход позволил сделать обзор более информативным и полезным для читателя, а кроме того, объяснить наше общее понимание алгебраической комбинаторики. Хотя мы и будем упоминать некоторые работы, которые еще не завершены, мы везде будем указывать, что уже действительно доказано и что к моменту написания обзора еще оставалось недоказанным. Мы хотим упомянуть о двух основных продвижениях в алгебраической комбинаторике. Одно из них составляют результаты Поля Тервиллигера по характеризации (Р и Q)-no-линомиальных схем и смежным вопросам, другое — результаты исследований дистанционно-регулярных графов, которые были начаты А. А. Ивановым в [31], а затем продолжены многими другими исследователями. Этим двум темам посвящены первый и второй разделы. В третьем разделе содержится перечень многих других интересных и новых результатов. Мы продолжаем список литературы, приведенный в [I]. Мы включили в него статьи, которые либо появились совсем недавно, либо ускользнули из нашего поля зрения при написании книги. Итак, содержание обзора составляют:
1.	Дальнейшише результаты, касающиеся (Р и Q)-полиномиальных схем и проблем их характеризации, концентрирующиеся вокруг работ Поля Тервиллигера.
2.	Новые результаты о дистанционно-регулярных графах.
3.	Другие недавние результаты.
4.	Список литературы.
Замечание. В ссылках на литературу мы придерживаемся следующего соглашения. Для статей из списка литературы к настоящему обзору указывается только их номер. Для статей из списка литературы к [I] мы будем писать, например, [1-272], где 272— номер статьи в списке литературы из [I].
§ 1.	Дальнейшие результаты, касающиеся
(Р и Q)-полиномиальных схем и проблем их характеризации, концентрирующиеся вокруг работ Поля Тервиллигера
За последнее время внезапно появилось много новых результатов, в основном полученных Полем Тервиллигером, которые относятся к шагу 3 проблемы классификации (Р и Q) -полиномиальных схем, т. е. к характеризации известных (Р и Q)-полиномиальных схем посредством их параметров (см. [I], §3.8).
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
808
Эти результаты уже существенно изменили состояние рассматриваемой проблемы.
Г. Сразу же после завершения нашей рукописи [I] мы получили препринт Мун [41], в котором доказано, что схемы Джонсона J(v,d) характеризуются своими параметрами для всех v 20, т. е. в этом случае они единственны. Тем самым характеризация схем Джонсона J(v, d) свелась к конечной задаче. Методы Мун в работе [41] в основном являются развитием методов, использованных ею ранее в статье [1-272], и очень громоздки. Когда я (Э. Б.) рассказал эту новость Полю Тервиллигеру, то с удивлением услышал, что он использовал для завершения той же самой проблемы характеризации совершенно другую, новую идею. На этом примере я понял, что его идея весьма естественна, мощна и должна хорошо работать. Ниже излагается суть того, что Тервиллигер объяснил мне.
Пусть Зв = (Х,	— схема отношений, имеющая те
же параметры, что и схема I (о, d), или, более общо, параметры типа (ПА), (ПС). Пусть Ei (0 i d) — примитивные идемпотенты алгебры Боуза — Меснера (см. [I] гл. 2). Как хорошо известно, ортогональное проектирование Е{ отображает множество X в сферу радиуса д/mjn в пространстве R'W, = K1 = ==EiV (п =|Х|). Для х, у е Ri скалярное произведение (хЕь yEi) в Vj равно (х, у)-му элементу в матрице Et, т. е. (1/н)^! (z), поскольку Ei = (l/n) У qi(i)Ai.
Так как все числа qi (i) = tn + s*i (m = m.\ = dim Vt, s*<0) различны, (x, y j^Ri тогда и только тогда, когда (xEi, уЕ\) = = (1/п)71(0- Значит, множество X размещено на сфере радиуса ^tnln в Rm таким образом, что номер отношения, в котором содержится пара элементов, определяется углом между соответствующими векторами. Пока ничего нового, но справедлива следующая ключевая лемма.
Пусть (х, y)^Ri и (x',y')<=Ry, тогда
(i)	|(x-y)K1|2 = -^-24-(m + s’) + v = --V> а 9Т° константа;
.... ((х-</)£„ (х'-/)£,)
W |(x-z/)£1||(x'-/)£i|
= r^{m + s‘^(x’ x') — m — std(x, у') — m — s*d(y, x') +
+ m + s*d (y, y')} =	{(—д (x, x') + d (x, y')) +
+ (<?(z/, х')-д(у, /))} = 0, ±j-, ±1.	(*)
304
Дополнение 1
В частности, если х = х', то эта величина равна если (у,
_ 0, если (у, у') е R2.
Из этой ключевой леммы непосредственно следует, что множество векторов
{^/—nls*(x — y)Ex\(x, y)^R}
содержится в некоторой системе корней Ф, причем в диаграмме для Ф отсутствуют кратные ребра. Последнее означает, что Ф является произведением систем корней Ai, Di, Е6) 7,8 (см. [1-55]). Воспользовавшись этим замечанием, можно непосредственно восстановить для каждой возможной системы корней множество {V—n/s* xEt | х е Л}, на котором реализуется рассматриваемая схема отношений, и тем самым доказать единственность схем /(и, d), хотя эта работа и достаточно трудоемка. В действительности когда Т. И. узнал о новой идее Тервиллигера из краткого письма Э. Б., он смог закончить оставшуюся часть доказательства в течение недели (набросок этого доказательства приведен ниже), и мы полагаем, что многие читатели также смогли бы это сделать. Чтобы передать суть доказательства, мы проиллюстрируем его на примере.
Ниже предполагается, что схема Зв имеет те же параметры, что и	и мы хотим доказать, что Зв изоморфна J(v, d).
При этом m — v—1, s* = —v(v—l)/d(v— d), и числа пересечений имеют вид (с,, at, Ь,) — (i2, i(v — 2i),(d— i) (v—d—i)). Мы уложим множество X на сферу в пространстве R"-1 посредством ортогонального проектирования д/—n[s* Ех и отождествим элемент xeA'c вектором д/—n/s*хЕх. В первую очередь мы хотим показать, что Ф неприводима. Поскольку в силу п. (ii) ключевой леммы для каждого треугольника все его ребра принадлежат одной и той же неприводимой компоненте системы корней Ф, достаточно показать, что для любого пути х, у, z, где д(х, г) = 2, найдется вершина у’, такая, что как х, У, У'> так и у', у, z являются треугольниками. Так как с2 = 4, имеется четыре вершины, смежные с % и г. Одна из них — это вершина у, и мы хотим найти требуемую вершину у' среди оставшихся трех. Отметим следующий факт.
Пусть w — вершина, смежная с вершинами х и г, но не смежная с вершиной у. Тогда w однозначно определяется из равенства х — y—w — z, где w, х, у, г рассматриваются как векторы из Rv-1.
Равенство х — y = w — z следует из того, что в силу п. (ii) ключевой леммы (х— у -f-z— w, х — y^z— w) =* 0. Итак, ми
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
305
показали, что по меньшей мере два общих соседа вершин х, z смежны с у.
Предположим сначала, что Ф — система корней типа Л/. Мы уложим X на множество
..., х„) | У, х? = У, х( = cz R", которое представляет собой (о — 2)-мерную сферу радиуса y/d (v — d)/v = V—mis* с центром в точке (d/v.....d/v), изо-
морфную сфере, содержащей множество {д/—n/s* хЕх | х е X}. Тогда мы можем считать, что Ф состоит из векторов
{± (ef — 8/) | i #= /, 1 <г, j < о}.
Здесь 8/ есть z-й единичный вектор, у которого г-я координата равна 1, а остальные — нулю. Для каждой пары (х, вектор х — у содержится в Ф. Пусть х — у = е, — е, ((х,у)^ Пусть i-я и J-я координаты вектора х равны а и b соответственно. Тогда t-я и /-я координаты вектора у равны соответственно а — 1 и 6 + 1, а в оставшихся координатах векторы х и у совпадают. Из равенства \x\ = \y\ = ^d следует, что b = а — 1.
Поскольку «1 = 0 — 2, вершины х и у имеют v— 2 общих соседей. В силу ключевой леммы для каждого такого соседа z выполнено равенство (х — у, х — z)—l, а потому х — z = = е,— zk или Zk — e,j (6 =/= i, /). Ввиду замечания, сделанного в предыдущем параграфе, 6-я координата вектора х равна а — 1 (соответственно а), если х — z — 8/ — (соответственно х — z — Sk—sy). Поэтому имеется, самое большее, р—1 + + q—1 таких вершин z, где р и q — количество координат вектора х, равных а — 1 и а соответственно. Очевидно, что выполняется неравенство = v — 2 + р — 1 + q — 1 + v — 2, следовательно, р + q = v. Так как У, х? — У, х,- = d, где х = i	i
= (xj, ..., xv), мы заключаем, что либо « = 1, q — d, либо a = 2d/o, q = v— d. Этим устанавливается естественный изоморфизм между SB и /(о, d).
Теперь предположим, что Ф имеет тип Di. Наша цель — получить противоречие. Вложим X в множество
j(xlt ..., x„_i)| У x2{ = d(v — d)/u|.
Тогда можно считать, что Ф — это множество
{± (е, ± 8,) | г + /, 1 < г, j < V — 1}
и для каждой пары (х, y)GER} разность х — у содержится в Ф. Для (х, y)^Ri мы, применяя, если это необходимо, изомор
306
Дополнение 1
физм, осуществляющий смену знаков во всех координатах, можем считать, что х — у = е,— е/. В Z-й и /-Й координатах у вектора х стоят числа а и а — 1, а у вектора у — числа а — 1 и а соответственно. Пусть г—некоторый общий сосед вершин х и у. Тогда х — z = е, ± е*, ±е*— е/ (&=+?, /) и k-я координата вектора х равна +(а — 1), ±« соответственно. Если все числа + (а—1), +а различны, то существует, самое большее, v—1—2 таких вершин z, что противоречит тому, что «1 = = о — 2. Отсюда следует, что а = 0, 1, 1/2. Применяя изоморфизм, осуществляющий перестановку г-й и /-й координат и изменение знаков в этих координатах, мы можем считать, что а = 0, 1 /2.
Предположим, что а = 0. Найдутся две вершины z', z”, являющиеся общими соседями вершин х, у, такие, что х — z' — — Ек — &i, х— z" — —&k — для некоторого k =+ i, j, поскольку в противном случае х, у будут иметь не более чем v— 1 — 2 общих соседей, что противоречит тому, что ai = и — 2. В силу ключевой леммы zr, z" находятся друг от друга на расстоянии 2. Так как имеется Сг = 4 вершин, являющихся общими соседями вершин z' и г", и две из них — это х и у, имеется не более двух вершин г, для которых х — z=+ei— Ej.(l=^i, j, k). Таким образом, при подсчете вершин, являющихся общими соседями вершин х, у, вклад вершин z, таких, что х — z — = +е;— е/ (/=/=?, j), не превосходит четырех. Отсюда мы получаем, что ai = v — 2 р + q—1+4, где р, q—число координат вектора х, равных 1, —1 соответственно. Следовательно, V — 5<+ + д^ У, х2 = d(v — d)/v, и мы приходим к i
неравенству v + 6.
Значит, <2=1/2 и каждая вершина у, смежная с х, отличается от х ровно в двух координатах, которые для х, у равны + 1/2. Исходя из того, что (х— y)=d(v — d) /v — д(х, у), нетрудно показать, что норма вектора х — (1/и) У, (х — у) равна нулю, т. е.	у
х = У (х - у), У
где суммирование ведется по всем вершинам у, смежным с х. Это означает, что для каждой координаты имеется в точности v/2 вершин, смежных с х, которые отличаются от х в этой координате. Мы можем считать, что каждая координата вектора х равна 1/2. Зафиксируем вершину у, такую, что х — у — ==.	_j_ е7. Для каждой вершины z, смежной как с х, так и с у,
x — z = ei-h ek или х — z — Ej + Ek (k = I, j). Положим
[ = {k [x — z — e{ + efe для некоторой вершины z}, J = [k | x — z = Ej + e^ для некоторой верщиды z).
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
307
Тогда 111 = | /1 = и/2. Предположим, что объединение /(J/ покрывает индексы не всех координат. Выберем тогда k ф I U J. В силу замечания, сделанного в предыдущем абзаце, имеется и/2 вершин г, таких, что х— z = eA + ez (/ =/= г, /). Для каждой такой вершины z имеет место равенство д(у, z) = 2, и потому имеется 4 вершины, смежные как с у, так и с г. Поскольку для каждой вершины w, являющейся общим соседом у, z, разность х — w равна е{ -|- ez, e,-|-ez, ег -|- Е/ -ф ek -ф sz или 0, то /е/Г|/, что противоречит неравенству o/2>|/f|/|. Значит, объединение [[)] покрывает индексы всех координат и потому |/(U|=1. Положим IП J = {k}, и пусть х — у' = = Ei -ф Ek, х — y" = Ej-1s-Ek. Применяя те же рассуждения к вершинам у' и у", мы получаем 1{]К={]} и / П К.= {!}, где К={/|х— z = Ek -ф Ei для некоторой вершины г}.
Таким образом, мы получили три подмножества I, J, К, каждое мощности и/2, причем любые два имеют единственный общий элемент. Это приводит к противоречию.
Оставшиеся случаи Ф = Eq, ?, 8 могут быть разобраны аналогично. Это завершает доказательство единственности схемы /(и, d) за исключением случая, когда (о, d) = (8, 2). В последнем случае имеется три попарно неизоморфных дистанционнорегулярных графа, имеющих те же параметры, что и граф /(8,2).
Следует отметить, что использование систем корней при характеризации графов и схем отношений само по себе не является новым. Таким прецедентом является статья Камерона, Гёталса, Сейдела и Шульта [1-80]. Однако ясно, что ключевую лемму (*) проглядели многие исследователи, включая нас самих. Как отмечено выше, она также справедлива для любой (Р и Q)-полиномиальной схемы типов ПА и ПС. Поэтому с использованием систем корней была осуществлена характеризация этих схем отношений (см. [58]); случай схем типа ПС был ранее рассмотрен Егавой [1-143] комбинаторно, без обращения к системам корней. Позже мы узнали о том, что Неймайер [44] получили по существу ту же характеризацию с помощью той же идеи рассмотрения корней.
Ниже приводится результат характеризации схем типа ПА, и ПС, где случаем малого диаметра пренебрегают. Ф обозначает соответствующую систему корней.
(1)	Схема Джонсона 7(о, </). Ф = Av-i.
Множество точек составляют векторы x =	.....
где xt = 0, 1 и # {г | х,- = 1} = d.
(2)	Схема Хэмминга Н (d, q). Ф = A?_i X • •  X^-i (d экземпляров).
Множество точек составляют векторы х = (хь . . ., xqd) е R , где Xt = O, 1 и #{/ |хг= 1, qj < i^q(j -ф!)} = 1 для	1.
308
Дополнение 1
(3)	Половинные схемы схем Хэмминга Н (d, 2). ф = £)4.
Множество точек составляют векторы х = (Х[, где xf = ±l/2 и # {i | xt = 1/2} — четное число.
(4)	Схемы, связанные со схемами Н (d, 4). Ф = Х]Х---• •  ^[d/2] X X (Xi = D6 или Д3 X ^з, X = 0, если d четно, и Х=А3, если d нечетно).
Точки схемы, связанной с Н (2, 4), составляют векторы х = (Х1, ..., х6) se R6, где х(-==±1/2, и эти векторы получаются путем применения циклических подстановок о* (о = = (1, 2, ..., 6)) к векторам (1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (-1/2, -1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, -1/2, 1/2, -1/2, -1/2, -1/2) и (1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -1/2, -1/2).
Работы Тервиллигера [57], [58] и Неймайера [44] завершили знаменитую проблему характеризации схемы Джонсона J(v, d) и схем Хемминга H(d, q)\ по-видимому, имеется не менее двух десятков статей, относящихся к этой проблеме и написанных более чем десятью различными авторами. Как Тервиллигер, так и Неймайер при малых d пользуются известными характеризациями. Однако все предыдущие результаты могут быть систематически получены с использованием систем корней, а это, кроме того, дает лучший взгляд на то, почему контрпримеры существуют лишь для схем H(d, 4) и /(8,2).
По ходу дела мы уже отмечали, что на существование [d/2]4-l неизоморфных дистанционно-регулярных графов, имеющих те же параметры, что и граф Н (d, 4), было указано Дубом [16], однако Егава [1-143] первым показал, что других таких графов нет. От Дуба (неопубликовано) мы узнали другой интересный факт, а именно что существует по крайней мере [<//4]-[-1 неизоморфных графов с тем же спектром, что и у графа H(d,2), т. е. с теми же собственными значениями матриц смежности, учитывая их кратности. Первый такой пример был обнаружен Хоффманом [1-203] для графа //(4,2). Упомянутые [d/4] -j- 1 примера интересны по следующим двум причинам:
(а) они показывают, что свойство дистанционной регулярности не определяется спектром графа; (Ь) существование этих примеров обусловлено теми же причинами, что и существование [d/2] + 1 неизоморфных дистанционно-регулярных графов с теми же параметрами, что и у H(d, 4).
Вопросы. 1) Существуют ли другие примеры графов, ко-спектральных с графами //(</,<?)? Описать все такие графы для всех графов H(d,q). (Мы предполагаем, что такие примеры существуют лишь для графов Н (d, 2) и исчерпываются известными.) 2) Решить аналогичную проблему для других классов (известных) дистанционно-регулярных графов.
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
309
2°. Важной чертой работы Тервиллигера является то, что он смог распространить свою характеризацию на другие классы (Р и Q )-полиномиальных схем, отличных от схем типа I, причем его методы аналогичны тем, которые были использованы для типов ПА и ПС, однако для завершения каждого из случаев требуются более тонкие комбинаторные рассуждения. В частности установлены следующие результаты. Тип IA не реализуется, поскольку некоторые из параметров становятся отрицательными (частное сообщение Поля Тервиллигера). Типы ПА и ПС уже обсуждались в предыдущем подразделе. Остались типы II, НВ и III.
Теорема. (Тервиллигер.) 1) (Р и Q)-полиномиальные схемы типа III при d^3 исчерпываются схемами, приведенными в списке из [I], § 3.6.
2) (Р и Q)-полиномиальные схемы типа ПВ при d^3 исчерпываются схемами, приведенными в списке из [I], § 3.6.
3) Для (Р и Q)-полиномиальных схем типа II при d 4 все собственные числа рациональны. (Р и Q)-полиномиальные схемы типа II при tZ^14 исчерпываются схемами, приведенными в [I], § 3.6.
Детали доказательств можно найти в оригинальных статьях Тервиллигера, где многие результаты доказаны в несколько более общих постановках. Отметим, что первая половина п. 3) представляет собой улучшение границы d 34 из [I], § 3.7, для схем типа II.
3°. Оставшийся типа I (q =/= ± 1), естественно, представляет, собой наиболее сложный случай в проблеме характеризации (Р и Q) -полиномиальных схем, поскольку все примеры, возникающие из групп Шевалле и из классических форм, подпадают под эту категорию. Для уже разобранных случаев, т. е. для типов II и III, q = ± 1 и это случай групп Вейля. Для типа I мы должны иметь дело со случаем групп Шевалле. Не ясно, что можно использовать вместо системы корней в случае, когда q ¥= ±1.
Несмотря на эти видимые трудности, Поль Тервиллигер продвинулся и продолжает продвигаться в рассмотрении этого общего случая. Это действительно выдающиеся достижения, и теперь мы вполне убеждены, что недалеко то будущее, когда его результаты в совокупности с дальнейшими геометрическими исследованиями, наконец, завершат классификацию (Р и (^-полиномиальных схем большого диаметра, которая на сегодняшний день является важной проблемой.
Поскольку текущие исследования Тервиллигера продвигаются очень быстро, а многие из его последних результатов еще не
310
Дополнение 1
записаны, мы воздержимся от того, чтобы приводить детальное объяснение его методов, а дадим лишь краткий обзор того, что он действительно доказал, и того, в каком направлении он предполагает двигаться, на основе уже доступных его препринтов [63], [64] и бесед с ним. Мы настойчиво рекомендуем читателю изучить его оригинальную статью, которая ко времени опубликования этого обзора будет уже доступна.
Сформулируем основной результат, полученный Тервиллигером в [63]:
Теорема. Пусть 3£ = (Х,	есть Р-полиномиальная
схема отношений. Тогда она является Q-полиномиальной схемой, если и только если X может быть размещено на единичной сфере некоторого евклидова пространства со скалярным произведением < , > таким образом, что
(i)	(х, у) зависит лишь от числа i, для которого (х, y)^Rit
(ii)	для всех х е X и всех i (0 i d) вектор У, у отли-у <= X
(х, y')<^Rl чается от х скалярным множителем,
(iii)	для всех х, у е X и всех i, j (0 i, j d) вектор У г- У w
z^X	X
(Х,2)<==Я1 (X,w)^Rj (z.yj^Rj (w,y)&R{
отличается от x — у скалярным множителем.
Формулировка Тервиллигера несколько более общая. Условия (i), (ii), (iii) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы симметричная схема отношений обладала приведенной диаграммой представления, которая является деревом. Здесь приведенная диаграмма представлений относительно Ек определяется как неориентированный граф с множеством вершин {0, 1, ..., d}, в котором пара {i, j} является ребром в случае, когда параметр Крейна q}k отличен от нуля.
Возможно, есть нечто очень важное для (Р и Q)-полиномиальных схем, что еще не найдено, но, похоже, скоро будет найдено, как вкратце указывается во введении к статье Тервиллигера [63]. Он доказал в [64], что числа четверок (хь х2, х3, х4), таких, что (х*, х/) емогут быть вычислены, исходя из чисел пересечений и [d/2] свободных параметров, которые удовлетворяют определенным неравенствам. Эта информация может оказаться полезной для определения размера максимальных клик в графе (X, RQ. Если размер клик оказался требуемым, М0?кно сначала получить геометрическую характеризацию, а потом и охарактеризовать схему отношений. В разд. 3 мы обсу
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
311
дим возможные геометрические характеризации схем отношений классических форм, т. е. билинейных, знакопеременных, эрмитовых и квадратичных форм.
§ 2. Новые результаты о дистанционно-регулярных графах
2.1. Результат А. А. Иванова. Сразу же после завершения книги [I] мы узнали о выдающемся результате А. А. Иванова [31] о дистанционно-регулярных графах. Основной результат сформулирован следующим образом.
Теорема [31]. Пусть массивом пересечений
Г — дистанционно-регулярный граф с
1 С2
«1 а2
61 Ь2
*
В = <
О
. k
•.. Cd-l cd ... ad ... bd_v *
Предположим, что (с3_г, as_it bs_{) =/= (cs, as, 6s) = (cs+1, as+1, bs+l) = ... = (Cs+j.t, as+f_i, 6s+;_i). Тогда если s> 1, то t^s.
Следствие [31]. Пусть Г — дистанционно-регулярный граф. Предположим, что числа в массиве пересечений удовлетворяют соотношениям (1, а{, 6J = (с2, а2, Ь2)= ... = (cr, ar, br) =£ (cr+J, аг+1, 6г+1). Тогда диаметр d ограничен сверху некоторой функцией f (k, г), зависящей от числа г и от валентности графа k. В частности, если обхват g графа Г больше чем 3, то диаметр d ограничен некоторой функцией, зависящей от k и g.
Верхняя граница, полученная Ивановым, — это d (г -ф -ф1)22А-3, и она намного выше, чем граница, полученная Тервиллигером в [1-371] для двудольных графов (см. стр. 191 в[Ц).
Другим важным следствием из теоремы Иванова является классификация всех дистанционно-регулярных графов бесконечного диаметра. Оказывается, что все такие графы являются дистанционно-транзитивными и исчерпываются графами, описанными в [I, стр. 279]. Это дает положительное решение задачи, сформулированной в [I] на стр. 279.
По своей природе доказательство, приведенное Ивановым в [31], вполне элементарно и комбинаторно, но очень изобретательно. Эта короткая статья (всего 4 страницы) весьма сложна для чтения. Чтобы сделать понятной идею Иванова, мы приведем здесь доказательство, предложенное Казумасой Номурой на рабочем семинаре в Токио.
Зафиксируем пару смежных вершин «ио. Обозначим через О/ множество вершин, находящихся на расстоянии i от вер-
312
Дополнение 1
шины и и на расстоянии j от вершины v. Если \1 — /|^2, т0 множество D‘j пусто. Если | i — k | 2 или | j — 11 2, то между множествами D} и D1? отсутствуют ребра. Таким образом, мы можем нарисовать диаграмму инцидентностей относительно и и v, где в случае, когда между/)) и D1} возможны ребра, мы соединяем их линией.
Выберем произвольную вершину х е Dt+1. Тогда из х выходит bi+1 ребер в множество Z))+i и Ь{ ребер в множество Dli+l J D/+) J /))+!• Значит, bl = bl+{ тогда и только тогда, когда между множествами Z))+1 и D\+i J отсутствуют ребра. Из х выходит сг ребер в множество £>Li и сг+1 ребер в множество jD)_i J/)) U/))+i. Поэтому cz = cz+[ тогда и только тогда, когда между множествами /))+1 и Dli J Z))+i отсутствуют ребра. Это первые важные замечания.
Предположим от противного, что	Тогда диа-
грамма инцидентности имеет следующий вид.
Зафиксируем вершину х е Dss-i. Поскольку (cs_!, as_lt bs_{)^=
(cs, as, bs), в множестве Dssz\[J Dss~l [J Dss должна быть вершина, смежная с х. Предположим, что у s Dss. Выберем вершину Dls-i, такую, что д (у,	— Такой выбор воз-
можен, поскольку из вершины у выходит bs ребер в множество £>з+‘ и так далее. Поскольку />s + 1, из вида диаграммы инцидентности следует, что все bs вершин из множества Dss+1, которые смежны с х, находятся на расстоянии s+ 1 от вершины z. Так как д(х, z) = s, больше не должно быть вершин, смежных с х и находящихся на расстоянии s+ 1 от г. Однако pee c5_j вершин из множества смежных с х, находятся
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике 313
на расстоянии s-)-l от вершины z — противоречие. Если то мы выберем вершину z в множестве jD^i таким образом, что д (у, z) = s—l, и, применив те же рассуждения, придем к противоречию. Поэтому мы можем считать, что у е Z)sZ{ и из х не выходят ребра в множество Dss~1 [J Dss. Выберем в множестве Ь^-2 или в множестве Z)as-2 вершину z, такую, что д(у, z) = s — 1. Поскольку д(х, z) = s, из вида диаграммы инцидентности следует, что cs вершин, смежных с х и находящихся на расстоянии s — 1 от вершины z, должны находиться в множестве Z>s-}. Но так как д(и, x) = s и d(v, х) — s — 1, лишь cs — cs_! вершин из множества jDsZJ смежны с х — противоречие.
Дальнейшее влияние статьи [31] будет подробно обсуждаться в последующих подразделах.
2.2. Результаты о дистанционно-транзитивных графах. Как мы упомянули в [I] на стр. 191, Камерон [1-76] и Камерон, Прайгер, Саксл, Зейц [1-83], основываясь на классификации конечных простых групп, доказали, что диаметры дистанционнотранзитивных графов валентности k 3 ограничены некоторой функцией f(k), зависящей только от k. Недавно тот же результат был передоказан Вейссом [67] без использования классификации конечных простых групп. Однако и его доказательство носит сугубо теоретико-групповой характер, и, по-видимому, трудно модифицировать его настолько, чтобы применить к дистанционно-регулярным графам. В другой недавней статье Вейсс [66] классифицировал дистанционно-транзитивные графы обхвата не меньше девяти. Здесь его доказательство опирается на классификацию конечных простых групп. Этот результат означает, что если дистанционно-транзитивный граф обладает массивом пересечений, в котором (1, 0, k—1) = (с<, at, b,) для 1 t г, то мы можем считать, что г 3, и, следовательно, диаметр такого графа ограничен некоторой функцией его валентности (см. теорему А. А. Иванова в предыдущем подразделе). Если валентность мала, то при некоторых дополнительных усилиях этот результат можно обобщить так, чтобы в случае массива пересечений (1, а\, Ь\) — (с2, а2, Ь2) = ... = (cr, ar, Ьг) ограничить величину г маленьким числом. Поэтому можно классифицировать дистанционно-транзитивные графы малых валентностей k. В действительности такая классификация была получена для k = 3, 4 в ранних работах Биггса и Смита, а для k = 5, 6, 7 — в недавней работе А. А. Иванова, А. В. Иванова и И. А. Фараджева [33]. В частном сообщении А. А. Иванов, А. В. Иванов и И. А. Фараджев проинформировали нас о том. что ими получена классификация дистанционно транзитивных
314
Дополнение 1
графов валентности /г^Н1). Классификация для k = 4, 5, 6 была независимо получена Гардинером и Прайгер [18], [19] без применения ЭВМ, но с использованием классификации конечных простых групп.
В большинстве этих результатов по классификации дистанционно-транзитивных графов нельзя исключить использование классификации конечных простых групп, но она используется в очень «слабой» форме и в «минимальном» объеме. Мы считаем, что это правильная позиция, однако классификация конечных простых групп приносит столь неоценимую пользу, что вряд ли удивительно стремление использовать ее настолько полно, насколько это возможно, с тем, чтобы получать самые сильные результаты в тех областях, которые имеют отношение к группам. Если же пользоваться этой классификацией в полной мере, то ситуация круто меняется , и, как мы предсказали в [I] на стр. 278—279, классификация дистанционно-транзитивных графов становится осуществимой и, по-видимому, будет закончена в ближайшем будущем. Такая программа классификации сейчас активно и систематически осуществляется Яном Сакслом и Мартином Либеком совместно со многими их коллегами.
Эту программу классификации открывает следующая теорема, которая основывается на теореме О’Нэна и Скотта, систематизирующей максимальные подгруппы в конечных простых группах.
Теорема (Прайгер, Саксл, Иокояма [50]). Пусть группа G действует примитивно и дистанционно-транзитивно на графе Г диаметра d 2. Тогда верно одно из следующих положений:
1)	Граф Г является графом Хэмминга или его дополнением (d = 2) и G — сплетение групп. (Структура как Г, так и G хорошо известна.)
2)	G почти проста, т. е. Т G Aut Т для некоторой неабелевой простой группы Т.
3)	G — аффинная группа, т. е. содержит регулярную нормальную абелеву подгруппу и G AGL(m, р), где AGL(m,p)— полная аффинная группа размерности пг над полем GF(p).
Хорошо известно ([I], с. 238), что импримитивные дистанционно-транзитивные графы являются либо двудольными, либо антиподальными и могут быть довольно просто сведены к примитивному графу. Хотя обратный процесс восстановления им-
') Классификация дистанционно-транзитивных графов при k= 11 получена в статье: Иванов А. А., Чуваева И. В. Метод неподвижных точек в задаче классификации дистанционно-транзитивных графов. — В сб.: Методы исследования сложных систем.—М.: ВНИИ сист. исслед., 1985, с. 3—10. — Прим, перев.
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике 315
примитивных графов, исходя из примитивных, является довольно тонким, по существу в силу теоремы Прайгер, Саксла и Иокоямы проблема классификации дистанционно-транзитивных графов сводится к рассмотрению случая а) почти простой группы и случая Ь) аффинной группы.
Случай а) уже интенсивно разбирается Либеком, Сакслом, Инглисом и другими. Очевидно, что он связан с проблемой классификации (хороших) максимальных подгрупп в конечных простых и почти простых группах1 *). Например, в работе [1-305] этот случай по существу разобран для Т = Ап. См. также [32], где обсуждаются импримитивные графы для случая G = Sn- Инглис [29] систематически изучает этот случай для классических групп, основываясь на результатах Либека и Саксла, касающихся порядков максимальных подгрупп в классических группах, которые в свою очередь в значительной степени опираются на глубокие теоретико-групповые результаты Ашбахера и Скотта, а также на классификацию конечных простых групп. Инглис доказал, что если Т — классическая группа, определенная над полем GF(q), где q нечетно, причем и q, и размерность Т как линейной группы, т. е. порядок матриц, не слишком малы, то все дистанционно-транзитивные представления группы G исчерпываются известными. Насколько мы понимаем, в теореме Инглиса дополнительные условия на q и на размерность могут быть ослаблены, но это требует весьма трудоемкой работы. В настоящее время Инглис работает над случаем четного q. Кроме того, похоже, что аналогичные результаты получаются и для исключительных групп Шевалле и для спорадических групп. В действительности полная классификация в случае d = 2 уже получена (см. [38] ).
Случай Ь) аффинной группы пока не изучен столь полно, как случай а). Однако при d = 1 этот случай — не что иное, как полученная Герингом классификация дважды транзитивных групп подстановок с абелевыми регулярными нормальными подгруппами, а при d = 2 этот случай уже разобран Либеком в [37]. Мы полагаем, что аналогичными методами можно получить классификацию при d — 3, 4 и т. д., а затем и для произвольного d.
Размышления. 1) Наверное, самые сильные результаты о максимальных подгруппах в конечных простых группах могут быть получены на пути систематического изучения вложе
1)При этом следует рассматривать лишь «достаточно большие» подгруп-
пы, поскольку если G действует дистационно-транзитивно на графе Г и Н—
стабилизатор вершины, то |G| < |//|3 (см. Иванов А. А. Комбинаторно-алгебраические методы исследования дистанционно-регулярных графов. Дисс. к. ф.-м, и., М.5 МФТИ, 1084.). — Прим, мрва.
316
Дополнение 1
ний этих групп в алгебраические группы (на это нацелены работы Зейтца и других).
2) Вероятно, наилучший путь классификации дистанционнотранзитивных графов в аффинном случае связан с изучением и классификацией предоднородных векторных пространств (над конечными полями). Похоже, что примеры дистанционно-транзитивных графов, приведенные в разд. II списка из § 3.6 в [I] (т. е. графы, соответствующие билинейным, знакопеременным и эрмитовым формам), являются естественными и важными примерами предоднородных векторных пространств (над конечными полями). Кроме того, кажется, что с этой точки зрения можно объяснить, почему этими тремя типами дистанционно-транзитивных графов исчерпываются естественные семейства графов большого диаметра в аффинном случае. Авторы признательны Н. Каванаке, который обратил внимание на связь между этими примерами схем отношений и предоднородными векторными пространствами.
Более подробно о предоднородных векторных пространствах читатель может узнать из следующих работ:
(i)	Sato М., Kimura Т. A classification of irreducible preho-mogeneous vector spaces and their relative invariants. — Nagoya Math. J., 1977, 65, 1—155.
(ii)	Shintani T. Theory of prehomogeneous vector spaces (after M. Sato), Sugaku-no-Ayumi, 1970, 15, 85—157 (на японск. яз.).
(iii)	Rubenthaler H. Espaces prehomogenes de type parabo-lique. Leet, in Math. Kyoto Univ. № 14, Lecture on harmonic analysis on Lie groups and related topics, p. 189—221.
2.3. Новые результаты о дистанционно-регулярных графах. Поскольку к настоящему времени получен ряд новых продвижений, необходимо обновить приведенное в [I], § 3.3, изложение современного состояния в изучении дистанционно-регулярных графов. Грубо говоря, существует два главных метода, один из которых комбинаторный, а второй алгебраический, и они получили важное развитие в работах Биггса, Бошиера и Шэйв-Тэйлора [7] и Баннаи и Ито [4], [5], [6] соответственно.
Комбинаторный или чисто теоретико-графовый метод типичен для подхода А. А. Иванова в [31], обсуждавшегося в разд. 2.1. Этот метод можно сравнить со структурной теорией в изучении конечных групп. Алгебраический подход, в котором изучаются спектры графов, можно сравнить с теорией характеров конечных групп. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки. Как это было всегда в истории конечных (простых) групп, теорию характеров, видимо, легче нспользо-
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
317
вать на ранних этапах, чем структурную теорию, которая требует более детальной информации о рассматриваемых объектах, однако структурная теория иногда позволяет сделать более конкретные и решающие выводы на последующих этапах. Конечно же, эта слишком упрощенная картина не всегда правильно отражает ситуацию. Оба метода важны и, как показывает история конечных групп, оказываются наиболее эффективными, когда используются совместно.
1°. Комбинаторный метод Биггса и других. Идея А. А. Иванова, описанная в разд. 2.1, была очень успешно применена Биггсом, Бошиером и Шэйв-Тэйлором [7] для полной классификации дистанционно-регулярных графов валентности k = 3. Имеется в точности 13 таких графов, для каждого из которых диаметр не превосходит 8, и лишь один из них не является дистанционно-транзитивным.
Основную идею Биггса и др. в [7] можно изложить следующим образом. Во-первых, нетрудно видеть, что массив пересечений должен иметь вид
В = < О
. 3
Т	t	S
Г7?77	'2~.а."Г2 Cd'
О ... О 1 ... 1 0 ... О ad к
2 ... 2 1 ... 1 1 ... 1 * .
где (cd, ad) = (3, 0) или (2,1); в действительности последний случай можно легко исключить. Чтобы передать красоту их доказательства, рассмотрим случай г ^2, t — 2 и s 1, который является типичным примером. Тогда нетрудно убедиться в существовании цикла Хо, xlt ..., x2r+s, такого, что xi еГ; (х0) (0 Г 4~ 1) , Хг+2, Хг+4 $= Гг-Н (х0) , Хг+3 6= i\ (хо) , X2r+6—i' €= еГ,(хв) (1 С i г -j- 1). Здесь Г,(х0) обозначает множество вершин, находящихся на расстоянии I от вершины хо- Если мы ПОСМОТРИМ На ЭТОТ ЦИКЛ ИЗ Х[ И ПОЛОЖИМ у, = Х/+1 (Osl г <
4), у2г+5 — хо, то получим г/<еГ,(г/о) (0 t Сгф1), У г+2 Гг+1 (у о) , У г+з, У r+4 S Гг+2(уо) , У2Г+&-1 Гг (у о) (1^1^ <;г-(-1). Чтобы убедиться в этом, полезно нарисовать диаграмму пересечений Номуры, приведенную в разд. 2.1. Повторяя последовательно эту процедуру, мы увидим, что конфигурация цикла меняется периодически с периодом 4, причем средние три конфигурации цикла, которые Биггс и др. назвали профилями, периодически меняются следующим образом: (Гг+1, Гг, Гг+1),	(Гг+1,Гг+2,Гг+2),	(Гг+2> Гг+3, Гг+а), (Гг+2, Гг+2,
Гг+1). Это означает, что 2г+ 6 должно делиться на 4. С другой стороны, рассмотрев определенный цикл длины 2г 418
318
Дополнение 1
и изучив смену конфигураций цикла, можно показать, что 2г 4*8 также делится на 4, что приводит к противоречию.
Эта техника Бигса и др. работает в большинстве случаев и сводит массив пересечений к небольшому числу возможностей. Затем в каждом случае удается охарактеризовать дистанционно-регулярный граф посредством его параметров и тем самым закончить классификацию. Следует отметить, что диаграмма пересечений Номуры очень полезна для того, чтобы увидеть смену конфигураций цикла.
Недавно Бошиер и Номура [8] показали методом конфигураций цикла, что число столбцов вида (1, 1, k — 2) в массиве пересечений дистанционно-регулярного графа валентности k и обхвата больше чем 3 не превосходит четырех.
Замечание. На данном этапе похоже, что некоторые случаи не удастся разобрать одними лишь комбинаторными методами, а именно (i) случай t = 0 и (ii) случай s = 0 и t — 1, 2, 3. Эти случаи разобрали алгебраическим методом Ито в [1-221] (для (i)) и Баннаи и Ито в [5] (для (ii)).
Задачи. (1) Модифицировать метод Биггса и др. таким образом, чтобы он позволил разобрать и указанные выше два оставшихся случая.
(2) Можно ли такого рода комбинаторными методами доказать несуществование графов Мура для произвольной валентности /г?
(3) Насколько можно обобщить метод Биггса и др. с тем, чтобы применять его к дистанционно-регулярным графам с k > 4?
2°. Алгебраический метод. В течение нескольких лет мы пытались доказать следующую гипотезу.
Гипотеза. Для каждого k 3 существует лишь конечное число дистанционно-регулярных графов валентности k. Другими словами, существует некоторая функция f(k), зависящая только от k, такая, что диаметр произвольного дистанционно-регулярного графа валентности k ограничен сверху функцией f(k).
Между тем, как указано в разд. 2.2, эта гипотеза была доказана для дистанционно-транзитивных графов, однако мы считаем, что ее следует доказать для дистанционно-регулярных графов. Хотя мы доказали эту гипотезу для двудольных дистанционно-регулярных графов валентности три, классифицировав их [1-221], и накопили много интересной информации о спектрах дистанционно-регулярных графов для малых Л, нам не
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике 319
удалось достичь значительного успеха, пока не узнали о результате А. А. Иванова. Тогда мы поняли, что по крайней мере одна существенная трудность его результатом устраняется, и начали систематическое наступление на эту гипотезу. Наши результаты в этом направлении представлены в серии статей с [4] по [6] и в последующих статьях, которые сейчас находятся в процессе подготовки. Пока эта гипотеза еще полностью не доказана, но мы полагаем, что подошли очень близко к заключительной стадии. Один из установленных нами результатов, который легко сформулировать, заключается в том, что гипотеза справедлива для двудольных дистанционно-регулярных графов.
Наш алгебраический метод основывается на очень простом принципе, состоящем в том, что, если 0 и 0' — собственные значения матрицы смежности А дистанционно-регулярного графа и 0 алгебраически сопряжено с 0' над полем рациональных чисел, то они имеют в А одну и ту же кратность, т. е. т(0) = = ш(0'). Собственные значения 0 матрицы А и их кратности щ(0) можно вычислить, исходя из матрицы (массива) пересечений
• • • с2
В = < 0 ах
. k b{
• • ах а2 ... а2
• • Ьх Ь2 ... Ь2
ср ... ср cd ар ... ар ad • bp ... bp * ,
где (cz, ah Ь{)	(с/, a,], bj) при t =/= / и /. ti = d — 1. А именно
пусть (x— k)Fd(x) и (x— k)Fd_x(x) — характеристические многочлены матрицы В и матрицы, получаемой из В отбрасыванием последних столбца и строки, а также добавлением Ьр к правому нижнему элементу, чтобы сумма по столбцам оставалась равной k. Тогда собственные значения 0 (0 ф k) — это корни многочлена Fd(x), а их кратности т(0) вычисляются по формуле
nkb\l ...	... cip
tn (0) =---!--------------2-,
(k-6) Fd(6) Fd_x(G)
где Fd(x) — производная от многочлена Fd(x), а п — число вершин. Зафиксируем k. Поскольку а c<+i, bt bi+l и с, + + а, + bt = k, то число р в массиве В ограничено. Пусть d стремится к бесконечности. Тогда каждое из ti может стремиться, но может и не стремиться к бесконечности, однако по
320
Дополнение 1
теореме А. А. Иванова обязательно стремится к бесконечности. Вместо В рассмотрим матрицу В' =* В\ ® ... ® Вр, где
	*	Ci .	.. d c{
	at + Ci	at ..	 • ot- ai + bi
	< bt	bt ..	.. bi	*
— тридиагольная матрица порядка t,. Характеристический многочлен матрицы В' является произведением характеристических многочленов матриц Bi, которые представляют собой многочлены Чебышева. Если d достаточно велико, собственные значения матрицы В' дают хорошую аппроксимацию (глобального положения) собственных значений матрицы В. Небольшое число собственных значений матрицы В может оказаться пропущенным, но нас это не беспокоит. Если мы заменим Fd (9), Fd-i (9) .соответствующими величинами для В' в формуле для т(9), мы можем оценить нижнюю границу для т(9). Вклады матрицы В, в Fd_i(8) и Fd(9) огрубление имеют порядок
y/biCt 1 sin tjtpj/sin <рг и
(1 + Vb^i z) sin ^qpi/sin2<pf,
где 9 = di + 2 'yJbiCi cos <p£; ср, должно быть мнимым числом в случае, когда | а,- -- 91 > 2 ^Ь^. В то же время мы можем оценить верхнюю границу для т (9), воспользовавшись формулой
I d
т(8} = п Е (M0)W-
/ 1=0
Если выбрать 9 подходящим образом (часто это бывает второе по величине собственное значение или собственное значение, близкое к 2 -\/k— 1), то мы можем ограничить возможное положение собственных значений 9', алгебраически сопряженных с 9, воспользовавшись аппроксимацией величин щ(9) и т(9'), а также тем, что m(0)=m(9'). Как правило, эта информация приводит к противоречию.
Предположим, например, что граф двудолен. Мы можем найти собственное значение 9 = 2	— 1 cos Ф> такое, что
л/ti < <р < Зп/^. Рассмотрим произведение всех выражений 4(k—1) — 9'2, где 9' пробегает собственные значения, алгебраически сопряженные с 9, Поскольку это произведение отлично от нуля и 4 (k— 1) — 92 < 1, должно найтись собственное значение 9', которое удовлетворяет неравенству ] 9' | < д/4/г—5
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
32*
или — 3 < 19' |. Теперь методом аппроксимации можно показать, что m (9) < m (О'), если 10' | <	— 5, и m(9)>m(9'),
если | О'| >	— 3, что приводит к противоречию. В двудоль-
ном случае аппроксимацию проводить легче ввиду того, что |az — 0 | < 2 л/biCt, и потому <рг — вещественное число.
Основной результат работы [6, IV] формулируется следующим образом.
Теорема. Пусть Г — дистанционно-регулярный граф с массивом пересечений
1
cti by
. 1
. ax
• by
t*	s
* ... * bi ... by
* ... * ay ... ay
* ... * 1 ... 1
ad *
*
О
. k
Тогда г (и, следовательно, d) ограничено некоторой функцией f(k, t), зависящей лишь от k и t.
Эта теорема означает, что если бы мы могли показать, что t ограничено некоторой функцией, зависящей только от k, то d было бы ограничено некоторой функцией от k. Это именно то, что мы надеемся и пытаемся доказать. Частный случай рассмотрен в [6]. В частности, если k мало, мы сможем доказать это чисто алгебраическими методами. Тем самым мы получаем иное (алгебраическое) описание дистанционно-регулярных графов с k = 3, упомянутое в предыдущем п. Г. Нетрудно показать, что существует лишь конечное число дистанционно-регулярных графов с k = 4. Это можно сделать как чисто алгебраически, так и частично воспользовавшись результатом Бо-шиера — Номуры [8], который заменяет часть алгебраического метода комбинаторным. Это распространяется и на другие малые значения k, но следует отметить, что окончательная характеризация (классификация) дистанционно-регулярных графов с заданным массивом пересечений не всегда так проста, как в случае дистанционно-транзитивных графов. В любом случае для получения окончательного решения этой проблемы, вероятно, потребуется некая комбинация алгебраических и комбинаторных методов (представляющих собой обобщение метода А. А. Иванова) (а также и других методов). Как это намечено в статье Тервиллигера [63], было бы интересно изучить, какие неравенства на числа d, at, bi получаются из условия Крейна Цц 0. Мы завершим этот раздел следующим вопросом.
Вопрос. Можно ли получить результат А. А. Иванова алгебраическим методом?
1/2Ц Зак. 856
322
Дополнение 1
§ 3.	Другие недавние результаты
В этом разделе мы перечислим несколько недавних результатов, которые, как мы думаем, имеют отношение к алгебраической комбинаторике.
3.1.	Новые результаты в теории блок-схем. Наверное, самым интересным из недавних достижений является результат Тэйр-линка [56] о том, что для произвольного t существуют нетривиальные /-схемы без повторяющихся блоков. Мы считаем, что это самый важный результат в истории теории блок-схем, который даст резкий толчок дальнейшим исследованиям в этой области. Доказательство Тэйрлинка проводится с помощью очень изобретательной индукции и не опирается ни на какие из предыдущих глубоких результатов. Чтобы доказать существование /-схем в схемах Джонсона J(v,d), он рассматривает «/-схемы» несколько различных типов (которые находятся «между» схемами Джонсона и Хэмминга). Отсюда следует, что, по-видимому, естественно рассматривать блок-схемы не только в J(v, d), но и в более широком контексте, например, в (Р и Q)-полиномиальных схемах, а также в других схемах отношений, получаемых из них. Теория /-схем в (Р и Q)-полиномиальных схемах будет подробно обсуждаться в ч. II работы [I], которая в настоящее время готовится. Грубо говоря, ситуация такова, что классическая теория блок-схем в J(v, d) соответствует евклидовой геометрии, в то время как общая теория блок-схем в контексте теории Дельсарта соответствует геометриям с точки зрения Клейна или Римана. Можно также ожидать существования нетривиальных /-схем для произвольного / во всех других семействах (Р и Q)-полиномиальных схем. В действительности мы знаем, что они существуют в известных (Р и Q)-полиномиальных схемах, приведенных как случай II (т. е. самодвойственный случай) в § 3.6 из [I]; на множестве вершин этих схем отношений определена структура векторного пространства, и двойственные подпространства со сколь угодно большим минимальным расстоянием оказываются /-схемами.
Другой интересный результат, появившийся после завершения книги [I], получила Чихара [10]. Она систематически показала несуществование совершенных е-кодов и плотных 2е-схем для классических схем отношений, т. е. для известных (Р и Q)-полиномиальных схем, для которых </=#±1. При этом она применила свойства многочленов Аски — Вильсона к теореме Ллойда. Этот результат Чихары будет подробно обсуждаться в ч. II книги [I] вместе с новыми геометрическими интерпретациями ./-схем в классических схемах отношений, полученными Стэнтоном, Мунемасой, Баннаи, Ито и другими.
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
323
Вскользь заметим, что работы Чихары и Стэнтона [9], [11] содержат интересные систематические интерпретации (i) существования двух Р- или Q-полиномиальных структур в (Р и Q)-полиномиальных схемах и (ii) импримитивных (Р и Q)-полиномиальных схем в терминах квадратичных преобразований многочленов Аски — Вильсона.
Имеется много недавних интересных статей, где многочлены Аски — Вильсона рассматриваются с точки зрения ортогональных многочленов и перечислительной комбинаторики. В этих статьях среди прочего приводятся комбинаторные интерпретации некоторых тождеств для этих ортогональных многочленов. См., например, статьи Эндрюса, Фоата, Измаила, Лабелля, Стэнтона, Вьйно [30], [65], [36] и др. Однако детали этих результатов выходят за рамки нашей сферы интересов.
3.2.	Обобщение дистанционно-регулярных графов. Следующее понятие, которое является очевидным обобщением дистанционно-регулярных графов, было введено Годсилом и Шейв-Тэйлором в [20]. Пусть Г — простой связный граф диаметра d. Обозначим через ГДх) множество вершин, находящихся на расстоянии i от вершины х. Предположим, что для каждой вершины х целые числа
OW = I rz_, (х) ПГ( (у) |, а,- (х) = | Г, (х) П rt (у) |, М*) = 1 Г<+1 (х) ПГ( (у) |
не зависят от выбора вершины у е Г((х), а зависят только от х и от i (O^i^d). Тогда Г называется локально дистанционнорегулярным графом (или дистанционно-регуляризованным графом). Если с/(х), а<(х), bt(x) не зависят от выбора х, то Г, очевидно, является дистанционно-регулярным графом. Положим
В(х) = 4
' *	1	с2(х) ... cd (х)'
0	а{ (х) а2 (х) ... ad (х)
.Ь0(х) &](х) Ь2(х) ...	* .
и назовем эту таблицу локальным массивом пересечений.
Теорема. (Годсил и Шэйв-Тэйлор [20].) Если Г — локально дистанционно-регулярный граф, то имеет место один из следующих двух случаев-.
(i)	Г — дистанционно-регулярный граф-,
(ii)	Г — дистанционно-бирегулярный граф, т. е. Г двудолен, и имеется ровно два различных локальных массива пересечений, причем равенство В(х)=В(у) имеет место тогда и только тогда*
324
Дополнение 1
когда х и у находятся в одной и той же доле. (Имеются дополнительные соотношения между числами с((х), ai(x), bt(x), Ci(y}, bi (у).)
Дистанционно-битранзитивные графы определяются очевидным образом. Если Г дистанционно-бирегулярен (соответственно битранзитивен), то каждый его половинный граф дистанционно-регулярен (соответственно транзитивен). Классификация дистанционно-бирегулярных (битранзитивных) графов является интересной проблемой, но она почти так же сложна, как и классификация дистанционно-регулярных (транзитивных) графов.
Задачи. 1) Можно ли обобщить теорему Шэйв-Тэйлора на графы, близкие к локально дистанционно-регулярным графам?
2) Описать дистанционно-бирегулярные графы, для которых один из половинных графов является некоторым известным дистанционно-регулярным графом (см. [1], §3.6).
Для двудольных дистанционно-регулярных графов задача, аналогичная задаче 2), была решена Хемметером в [25], [26]. В последней статье он получил окончательное решение этой задачи, описав максимальные клики в дистанционно-регулярных графах, получаемых из квадратичных форм. Проблема описания таких клик в [25] была оставлена открытой. Ожидается, что метод Хемметера применим и к дистанционно-бирегулярным графам.
3.3.	Представление алгебр смежности. Модулярные представления алгебры смежности Я=<А0Мь •••> Ad> некоторой схемы отношений, изучение алгебры	где К—поле харак-
теристики р Ф 0, — привлекательная, но совсем не простая тематика. Вначале мы надеялись, что алгебра смежности 31 обладает приятными свойствами, которые присущи групповой алгебре конечной группы. Групповая алгебра всегда является симметричной и, следовательно, фробениусовой. В частности, она квазифробениусова. Это означает, что даже если рассматриваемая алгебра не является полупростой, справедливы некоторого рода соотношения ортогональности. Мы отсылаем читателя к книгам Кэртиса и Райнера [1-108], [13] за определениями и основными свойствами таких алгебр. Однако, алгебры смежности этими свойствами не обладают. Мы благодарны Икеде (университет Хоккайдо), который указал на то, что центр групповой алгебры, который изоморфен алгебре смежности схемы отношений, получаемой из рассмотрения классов сопряженности конечной группы, в большинстве случаев не является даже
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике 325
квазифробениусовой алгеброй. Точнее, приведенный им пример,— это G = А5 и р = 2. Его замечание, по-видимому, несколько охлаждает наш первоначальный оптимизм. Тем не менее мы верим, что класс алгебр смежности приятнее, чем класс произвольных конечномерных алгебр, и что их модулярными представлениями стоит заниматься.
Задачи. 1) Описать, по возможности в терминах параметров, те схемы отношений и те поля, для которых алгебры смежности являются полупростыми, симметричными, фробениусовыми и квазифробениусовыми.
2)	Найти какое-нибудь приятное свойство алгебр смежности, которым не обладает произвольная конечномерная алгебра.
Ответ на вопрос о том, когда алгебра смежности полупроста, был получен в совместной неопубликованной работе Мека (университет Вайоминга) и Баннаи. Возможно, что этот результат был уже известен специалистам по алгебре. В коммутативном случае этот ответ очень прост и следующим образом формулируется в терминах параметров.
Пусть ^=(X, {/?J0< i<d)— коммутативная схема отношений и К—поле характеристики р=/=0. Решая вопрос о полупростоте алгебры	мы можем считать, что К алгебраически замк-
нуто. Кроме того, мы можем предполагать, что все элементы (1/1X |) qt (j) матрицы Et = (1/| X |) X 4i (/) Л содержатся в под-i
ходящем поле р-адических чисел. Тогда алгебра	полу-
проста, если и только если числа (1/|JV[ )qt (/) являются р-ади-ческими целыми. В частном случае, когда все числа рг(/') рациональны, это эквивалентно тому, что знаменатели всех рациональных чисел (1/| X |) qt(j) не делятся на р.
Этот результат для некоммутативных схем отношений несколько более сложен и зависит от всех представлений алгебры 21 и, по крайней мере нам, неизвестно, определяется ли полупростота одними параметрами.
Такие представления для алгебр Гекке ([1], стр. 278) иногда эффективно применяются в связи с изучением разнообразных геометрических объектов, в частности диаграммных геометрий в смысле Титса — Бекенхаута. Недавние работы Смита [54], Лайблера [39], [40] и Отта [48] содержат дальнейшие результаты в этом направлении.
В недавних интересных статьях Джонсона и Смитта [34], [35] предлагается развивать теорию характеров квазигрупп и луп. Мы думаем, что большая часть их вычислений проводится в контексте схем отношений, без использования какой-либо алгебраической структуры рассматриваемых квазигрупп и луп. Их
326
Дополнение 1
понятие индуцированного характера можно переопределить для произвольной схемы отношений. Это интересное понятие, которое, по-видимому, ранее не было замечено. Один из основных результатов статьи [35] состоит в следующем.
Пусть 3£ = (Х,	— схема отношений с d классами.
Говорят, что схема отношений — (У, {SJ0<является подсхемой отношений схемы $£, если (i) У cz X и (ii) для каждого отношения St найдется отношение Rj, такое, что Si^Rj. Здесь S; и Rj рассматриваются как подмножества ХУ,Х. Для произвольной функции классов f: УХ У С определим fx: XX ХХ->С. по правилу
где В, — это объединение тех S/, которые содержатся в Ri. Индуцированное отображение f^-fx является естественным обобщением обычного индуцированного характера 1# для транзитивной группы подстановок G и ее одноточечного стабилизатора Н. Это индуцированное отображение обладает рядом свойств, таких, как закон взаимности Фробениуса (см. [35]).
Один из самых интересных вопросов — это, по-видимому, вопрос о том, насколько теорию групп подстановок можно обобщить применительно к схемам отношений. Один из решающих моментов состоит в том, как наиболее естественно определить подсхему отношений в схемах отношений и, в частности, что из себя могла бы представлять подсхема отношений схемы отношений, соответствующая р-подгруппе или силовской р-подгруппе. Определение, данное Джонсоном и Смиттом, представляется разумным, но на данном этапе мы не можем исключить другие возможности. Если бы ’удалось получить понятие, соответствующее р-подгруппам и силовским ^-подгруппам, то, может быть, используя «индуцированные характеры», удалось бы установить что-нибудь вроде теории Артина и Брауэра. Но, может быть, это слишком оптимистический взгляд. В данный момент мы не имеем конкретных идей, как приступить к такого рода проблемам. Интересно, как много подсхем отношений схемы отношений может существовать при определении Джонсона — Смита.
3.4.	Разное
Г. В [I] мы показали, что теория представлений схем отношений моделирует теорию представлении конечных групп, как это ясно из исследований Хохейзела [1-210] и из последующей статьи Кавады [1-233]. Однако это верно лишь частично. Н. Ка-ванака указал нам, что при разработке теории характеров конечных групп Фробениус по существу сначала рассматривал
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике 327
представления коммутативных схем отношений, получаемых из рассмотрения классов сопряженности конечных групп, и этот его подход был впоследствии по сути дела забыт, поскольку Шур и другие упростили его. Это означает, что Фробениусу при изучении неабелевых конечных групп был нужен некий коммутативный объект с тем, чтобы обобщить характеры конечных абелевых групп, введенные Дедекиндом. Таким образом, схемы отношений, хотя они еще не были к тому времени определены,, сыграли исключительно важную роль на самых ранних этапах развития теории представлений конечных групп, и мы можем датировать понятие схем отношений более ранним временем, чем теорию представлений конечных групп. Читатель может убедиться в справедливости этого замечания по оригинальным статьям Фробениуса [1-157] или по изложению Хаукинса [23], [24] работ Фробениуса.
2°. Изучение собственных значений операторов Лапласа — Бельтрами (компактных) римановых пространств является областью активных исследований в современной математике. Оно довольно близко к изучению собственных значений матрицы смежности некоторого графа. В недавней статье Алона и Миль-мана [1] эта связь используется непосредственно. В этом плане такое направление исследований представляется очень интересным. Что касается других интересных статей, содержание которых наилучшим образом можно изложить в рамках схем отношений и алгебраической комбинаторики, мы отметим, например, работы [15] и [14].
3°. Как упоминалось в конце первого раздела, нам крайне необходима геометрическая характеризация каждой из известных (Р и Q)-полиномиальных схем посредством их параметров. Видимо, такая геометрическая характеризация отсутствует для большинства схем отношений, приведенных в п. II § 3.6 в [I], т. е. для схем отношений (i) билинейных форм, (ii) знакопеременных форм, (iii) эрмитовых форм, (iv) квадратичных форм. Геометрическая характеризация разреженных пространств и d-сетей, полученная Спраги, решает эту задачу для п. (i). Используя характеризацию Спраги, Хуанг [27], [28] получил более сильную характеризацию схем из п. (i).
А именно он охарактеризовал схемы отношений билинейных форм посредством их параметров и одного дополнительного условия, которое в слабой форме предполагает наличие требуемой комбинаторной структуры у окрестности радиуса 2 каждой точки. Насколько нам известно, для других трех классов (ii), (iii),. (iv) не получено полной геометрической характеризации. Видимо, геометрическая характеризация схем из этих классов уди
328
Дополнение 1
вительным образом ускользнула от внимания геометров. В ч. II книги [I] мы будем обсуждать приятные структуры «полурешеток», связанные этими тремя классами схем отношений.
С помощью таких полурешеток мы можем выразить хорошие геометрические структуры этих классических схем отношений иногда в форме диаграммных геометрий, а иногда на языке аксиом, как это сделано для полярных пространств. Хуанг в настоящее время работает над этой проблемой, и мы надеемся, что в ближайшем будущем сможем сообщить что-нибудь по этому поводу. По-видимому, имеется новая объединяющая теория, трактующая все эти примеры с точки зрения предоднородных пространств, устроенная по типу единой теоремы характериза ции для структур инцидентности, связанных с группами Шевал-ле (см. Хассене [21], [22], Коэн — Куперстейн [12] и др.). Мы также считаем, что для завершения классификации дистанционно-транзитивных графов аффинного типа (см. § 2.2) потребуется теорема, характеризующая эти схемы отношений.
Литература
[I] Bannai Е., Ito Т. Algebraic Combinatorics I, Association Schemes, Benja-min/Cummings, Menlo Park, CA, 1984. {Имеется перевод в настоящей книге, с. 9—300.]
[1] Alon N., Milman V. D. М, isoperimetric inequalities for graphs and super concentrators, J. of Combinatorial Theory (B), 1985, 38, 73—88.
£2] Askey R. Preface, Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications (edited by R. A. Askey, T. H. Koornwinder, W. Schempp). Reidel Publ. Co. Dordrecht, Holland, 1984. (См. также другие статьи в этой книге.)
£3] Bannai Е., Hoggar S. G. On tight /-designs in Compact symmetric spaces of rank one. Proc, of Japan Acad. 1985, 61, 78—82.
[3bis] Bannai E., Hoggar S. G. Tight /-designs and square free integers, preprint.
[4]	Bannai E., Ito T. On distance-regular graphs with fixed valency (to appear in Graphs and Combinatorics).
[5]	Bannai E., Ito T. On distance-regular graphs with fixed valency, II (submitted).
[6]	Bannai E., Ito T. On distance-regular graphs with fixed valency, HI (to appear in J. of Algebra), IV, V (in preparation).
[7]	Biggs N. L., Boshier A. G., Shawe-Taylor J. Cubic distance-regular graphs J. Lond. Math. Soc., 1986, (2) 33, 385—394.
[8]	Boshier A. G. see K. Nomura.
[9]	Chihara L. Applications of the Askey —Wilson polynomials to association schemes, Ph. D. Thesis. Univ, of Minnesota, 1985.
[10]	Chihara L. On the zeros of the Askey —Wilson polynomials, with applications to coding theory (to appear in SIAM J. Math. Anal.).
[11]	Chihara L., Stanton D. Association schemes and quadratic transformations for orthogonal polynomials, Graphs and Comb., 1986, 2, 101—112.
[12]	Cohen A. M., Cooperstein B. N. A characterization of some geometries of exceptional Lie type, Geom. Dedicata, 1983, 73—105.
[13]	Curtis C. W„ Reiner I. Methods of representation theory with applications to finite groups and orders, John Wiley and Sons, N. Y., 1981.
[14]	Diaconis P., Graham R. L. The Radon transform on Z* Рас. J. Math., 1985, 118. 323—345.
Текущие исследования по алгебраической комбинаторике
329
[15]	Diaconis Р., Shahshahan М. Time to reach stationarity in the Bernoulli — Laplace diffusion model (to appear in SIAM J. Math. Anal.).
,[16] Doob M. On graph products and association schemes, Utilitas Math., 1972, 1, 291—302.
[17]	Ferguson P., Turull A. Algebraic decomposition of commutative association schemes, J. of Algebra, 1985, 96, 211—229.
[18]	Gardiner A., Praeger C. Distance-regular graphs of valency five (to appear in Ars Combinatorial).
[19]	Gardiner A., Praeger C. Distance-regular graphs of valency six (preprint).
[20]	Godsil C., Shawe-Taylor J. Distance-regularized graphs are distance-regular or distance-biregular (to appear).
[21]	Hassens G. A characterization of buildings of spherical type (to appear in Europ. J. of Combinatorics).
[22]	Hassens G. Punt-rechte meetkunden van sferische gebouwen, Ph. D. Rijk-suniversiteit Gent., 1984 (in Flemish).
[23]	Hawkins T. The origin of the theory of Group Characters, Archiv for History of Exact Sciences, 1971, 7, 142—170.
[24]	Hawkins T. New light on Frobenius’ Creation of the theory of Group Characters, Archiv for History of Exact Sciences, 1974, 12, 217—243.
[25]	Hemmeter J. Distance-regular graphs and halved graphs (to appear in Europ. J. of Combinatorics).
[26]	Hemmeter J. The large cliques in the graph of quadratic forms (preprint).
[27]	Huang T. Some result on the association schemes of bilinear forms. Ph. D. thesis, Ohio State Univ., 1985.
[28]	Huang T. A. characterization of the association schemes of bilinear forms (to appear in Europ J. of Combinatorics).
[29]	Ingils N. Ph. D. thesis, Univ, of Cambridge, 1985.
[30]	Ismail M. H., Stanton D. On the Askey — Wilson and Rogers polynomials (preprint).
[31]	Иванов А. А. Ограничение диаметра дистанционно-регулярного графа.— ДАН СССР, 1983, т. 271, с. 789—792.
[32]	Ivanov A. A. Distance-transitive representations of the symmetric groups, J. of Combinatorial Theory (B) 1986, 41.
[33]	Иванов А. А., Иванов А. В., Фараджев И. А. Дистанционно-транзитивные графы степени 5, 6 и 7. — Журн. выч. матем. и матем. физики, 1984, т. 24, с. 1704—1718.
[34]	Johnson К., Smith J. D. Н. Characters of finite quasi groups, Europ. J. of Combinatorics, 1984, 5, 43—50.
[35]	Johnson K,, Smith J. D. H. Characters of finite quasi groups II (to appear in Europ. J. of Combinatorics).
361 Labelle J. Talk at Laramie Wyoming AMS meeting (Aug. 1985).
37' Liebeck M. The affine permutation groups of rank three (to appear).
'38] Liebeck M., Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank three (to appear).
[39]	Liebier R. Tactical configurations and their generic rings (preprint).
,[40] Liebier R. A representation theoretic approach to finite geometries of spherical type (preprint).
[41]	Moon A. The graphs G(n, k) of the Johnson schemes are unique for n 20, J. of Combinatorial Theory (B), 1984, 37, 173—188.
[42]	Munemasa A. An analogue of /-designs in association schemes of alternating bilinear forms (to appear in Graphs and Combinatorics).
[43]	Neumaier A. Distance matrices and n-dimensional designs, Europ. J. of Combinatorics, 1981, 2, 165—172.
,[44	] Neumaier A. Classification of graphs by regularity, J. of Combinatorial Theory (B), 1981, 30, 318—331.
[45]	Neumaier A. A characterization of a class of distance-regular graphs, J, Reine Angews. Math., 1985, 357, 182—192.
330
Дополнение 1
[46]	Nomura К. On /-homogeneous Permutation sets, Arch. Math., 1985, 44, 485—487.
[47]	Nomura K. A remark on the intersection arrays of distance-regular graphs (preprint). (Эта работа будет опубликована как статья Бошиера и Номуры.)
[48]	Ott U. On finite geometries of type B3, J. of Combinatorial Theory (A), 1985, 39, 209—221.
[49]	Payne S. E., Thas J. A. Finite generalized quadrangles, Pitman, Boston, 1984.
[50]	Praeger C., Saxl J., Yokoyama K. Distance transitive graphs and finite simple groups (to appear in Proc, of London Math. Soc.).
[51]	Roos C. Some remarks on perfect subsets in distance-regular graphs, Del-fte Prog. Report, 1984, 7, 90—97.
[52]	Roos C. On anti-designs and designs in an association scheme, Delfte Progress Report, 1982, 7, 98—109.
[53]	Shawe-Taylor J. Ph. D. Thesis, Royal Holloway College, 1985.
[54]	Smith K. W. Flag algebras of symmetric design, Ph. D. thesis (Colorado State Univ., Fort Collins, Colorado), 1985.
[55]	Stanton D. /-desings in classical association schemes (to appear in Graphs and Combinatorics).
[56]	Teirlinck L. Nontrivial /-designs without repeated blocks exist for all / (to appear in Discrete Math.).
[57]	Terwilliger P. The Johnson graph J(d, n) is inuque if (d, n) =/= (2,8), Discrete Math., 1986, 58, 175—189.
[58]	Terwilliger P. Root systems and the Johnson and Hamming graphs (to appear in Europ. J. of Combinatorics).
[59]	Terwilliger P. Towards a classification of distance-regular graphs with the Q-polynomial property (preprint).
[60]	Terwilliger P. A class of distance-regular graphs with the Q-polynomial property, J. of Comb. Theory (B), 1986, 40, 213—223.
[61]	Terwilliger P. The classification of distance-regular graphs of type HB (preprint).
[62]	Terwilliger P. A new feasibility condition for distance-regular graphs (to appear in Discrete Math.).
[63]	Terwilliger P. A characterization of P- and Q-polynomial association schemes (preprint).
[64]	Terwilliger P. Counting 4-vertex configurations in P- and Q-polynomial association schemes, Algebras, Groups and Geometries, 1985, 2, 541—554.
[65]	Viennot G. Une theorie combinatoire des polynomes orthogonaux gene-raux, Lecture Notes Univ, du Quebec й Montreal, 1983.
[66]	Weiss R. Distance-transitive graphs and generalized polygons, Archiv der Math., 1985, 45, 186—192.
[67]	Weiss R. On distance-transitive graphs. Bull. London Math. Soc., 1985, 17, 253—256.
Дополнение 2
Соответствие Галуа между группами подстановок и клеточными кольцами (схемами отношений)
А. А. Иванов, М, X. Клин, И. 4. Фараджев
Введение
Настоящее дополнение к русскому переводу книги Э. Баннаи и Т. Ито [I] представляет собой обзор работ, посвященных исследованию и использованию соответствия Галуа’) между схемами отношений (или, в нашей терминологии, клеточными кольцами), определенными на множестве й, и группами подстановок на этом множестве. Большинство обсуждаемых работ выполнено силами советских математиков двух тесно взаимодействующих друг с другом коллективов. Эти коллективы объединяет единая методология, круг решаемых задач, выработанные технические приемы и, что на наш взгляд самое главное,четкая направленность в сторону изучения конкретных комбинаторных и алгебраических объектов.
Рассматриваемые в обзоре задачи концентрируются вокруг одной общей темы: описания комбинаторных объектов, допускающих заданные автоморфизмы. К решению таких задач удается свести многие конкретные вопросы о существовании графов или групп подстановок, обладающих предписанными свойствами.
Мы не ставили перед собой задачу изложить содержание всех цитируемых работ. Преследовалась другая цель: выпукло представить используемую методологию; на нескольких ярких примерах объяснить читателю возможности излагаемого подхода; рассказать историю вопроса, указав на различные мотивировки проявления интереса к рассмотрению соответствия Галуа; обсудить наиболее интересные результаты, технические приемы и программы для вычисления на ЭВМ.
Читатель, изучивший гл. 2 книги Э. Баннаи и Т. Ито, сможет без труда прочесть настоящее дополнение и получить представление о тематике в целом. Тем, кто заинтересован в более глубоком изучении цитируемых работ, мы прежде всего рекомендуем коллективную монографию [89], где изложены основы теории клеточных колец, и сборник [29], где представлены наибо-
*) Здесь и далее под соответствием Галуа понимается лишь то соответствие, которое описано ниже в п. 1.2.
© «Мир» 1987
332
Дополнение 2
лее свежие результаты. Удачным дополнением к настоящему тексту могут послужить два вышедших ранее обзора — [33], где большое внимание уделено изучению инвариантных отношений произвольной арности и проанализированы разработанные для этих целей программы для ЭВМ, и [41], где в более широком плане обсуждаются результаты наших коллективов, связанные с изучением клеточных колец.
Поставленные авторами цели диктовали особенность изложения. Рассказ об одном и том же результате может быть (в различных аспектах) начат в одном, продолжен в другом, а завершен в третьем параграфе. Такое изложение, на наш взгляд, отвечает стилю всей книги.
Коротко о содержании отдельных параграфов. § 1 выполняет роль переходного отсека между книгой [I] и нашим дополнением, в § 2 на нескольких достаточно ярких примерах иллюстрируется работа соответствия Галуа, в § 3 различные линии развития трактуемого круга вопросов представлены в историческом плане, § 4 развивает § 2, здесь сжатость изложения компенсируется гораздо большим числом затронутых работ. Наконец, в § 5 сделана попытка оценить достигнутое, обсудить сильные и слабые стороны излагаемой методологии, а также перспективы ее развития и использования.
В отношении ссылок на литературу мы будем придерживаться системы, принятой в дополнении авторов книги к ее переводу на русский язык ([4] в нашем списке литературы).
§ 1. Соответствие Галуа
1.1. Используемая терминология. В качестве отправной точки рассмотрим задачу описания всех мультиграфов (графов), инвариантных относительно заданной группы подстановок.
Конечный мультиграф Г — (Й, Е) состоит из конечного множества Й вершин и множества Е мультиребер, которое мы будем интерпретировать как отображение, определенное на ЙХЙ и принимающее значения в множестве Mo = N(J{O} неотрицательных целых чисел. Если Е(а, р) е{0, 1} для всех а,₽ей, то Г — ориентированный граф, или просто граф. Если Е(а, Р) = Е(р, а) для всех а, ₽ей, то Г — неориентированный граф. Мультиграфу Г ставится в соответствие его матрица смежности А = А(Г) = (Е(а, Р))„х„, |й \ = п.
Пусть (G, й) — (не обязательно транзитивная)’ группа подстановок на множестве й. Будем говорить, что мультиграф Г = (й, Е) инвариантен относительно группы (G, й), и писать G Aut(r), если
Е(а8, рг) = Е(а, р) для всех geG, а, рей. (1.1)
Соответствие Галуа
33S
Легко проверить (см. [I], с. 59), что это условие эквивалентно тому, что каждый элемент g группы (G, Я), рассматриваемый как матрица-подстановка A(g), коммутирует с матрицей Л (Г):
A (g) А (Г) = А (Г) A (g) для всех ge=G. (1.2)
Пусть Ад, А1.....Ad —полный набор орбит действия G на
Q X й. В [I] орбиты А(- называются орбиталями, мы же, следуя [96], будем называть их 2-орбитами. 2-орбите А, поставим в соответствие граф Г(- с множеством вершин Я и множеством ребер
(	1, если (a, P)sA;;
Ei (а, 6) = <
(	0 в противном случае,
а также матрицу смежности Л, этого графа.
Нетрудно убедиться в том (см. [I], § 2.1), что произвольный мультиграф (соответственно граф) Г инвариантен относительно группы (G, Я) тогда и только тогда, когда его матрица смежности А (Г) представима в виде линейной комбинации матриц Ai, 0 i ^d, с коэффициентами из No (соответственно с коэффициентами из {0, 1}).
Определим на множестве всех мультиграфов с множеством вершин Я операции сложения и умножения, задаваемые посредством сложения и умножения соответствующих матриц смежности. Тогда из условия (1.2) следует, что множество всех мультиграфов, инвариантных относительно (G, Я), замкнуто относительно так определенных операций сложения и умножения и поэтому образует алгебру над полукольцом No, которая называется V-кольцом группы (G, Я).
V-кольца впервые рассматривались И. Шуром [1-309], далее метод Шура был развит в работах его учеников Р. Кохендор-фера и Г. Виланда (см. ссылки в [1-394]), которые называли их кольцами централизаторов (Vertauschungsring), откуда и возник термин Р-кольцо.
Алгебра 93 = S3 (G, Я), порожденная матрицами А,, 0 i d, над полем С, имеет размерность d + 1 и обладает следующими свойствами:
(W1) имеется базис {Ао,Аь ..., Ad}, составленный из {0, 1}-матриц (стандартный базис);
(W2) е {Ао, Аг, ..., Ad] для каждого 0 i d;
d
(W3) У, A; — J, где / — матрица из единиц;
;=о
(W4) число kt единиц в любой ненулевой строке матрицы At есть величина, постоянная для Лг.
По отношению к алгебре 93(G, Я) мы также будем использовать термин И-кольцо; при этом, если множество, на котором
334
Дополнение 2
действует группа, известно из контекста, используется обозначение 6(G).
Отметим, что в случае транзитивной группы подстановок 8J(G, й)— это не что иное, как централизаторная алгебра группы подстановок (G, Й) в смысле определений § 2.1 в [I].
Аксиоматическое описание V-колец приводит к понятию клеточного кольца. А именно, матричную алгебру SB, состоящую из матриц порядка п (целочисленных матриц порядка п), назовем клеточной алгеброй (клеточным кольцом), если для нее выполнены условия (W1) — (W4).
Клеточное кольцо — это по существу то же самое, что когерентная конфигурация (см. [I], с. 151).
Так как теория клеточных колец зародилась и на первых этапах развивалась независимо (см. [89]), а главное — поскольку в теории когерентных конфигураций, как и в теории схем -отношений, отсутствуют понятия, играющие ключевую роль в нашем изложении, мы будем пользоваться терминологией клеточных колец.
Нетрудно проверить, что для клеточного кольца SB стандартный базис {Ао, Аь ..., Аа} определяется однозначно с точностью до порядка элементов. Чтобы конкретизировать этот базис, мы будем пользоваться записью SB = <А0, Ai, ..., Аа), при этом число d + 1 называется рангом кольца SB.
Каждой матрице А, из стандартного базиса клеточного кольца SB можно сопоставить граф Г, = Г(А<), такой, что А, является «го матрицей смежности. Графы Го, Г1, ..., Td назовем базисными графами клеточного кольца SB.
Каждой группе подстановок (G, й) сопоставляется клеточное кольцо, а именно ее У-кольцо 93(G,Q). Если У-кольца групп (G, й) и (G', й) совпадают, то в соответствии с [96] мы назовем эти группы 2-эквивалентными. Другими словами, группы подстановок 2-эквивалентны, если они имеют одни и те же 2-орбиты. Отсюда ясно, что для двух 2-эквивалентных групп группа, порожденная их объединением, 2-эквивалентна каждой из них. Таким образом, в каждом классе 2-эквивалентных групп имеется единственный максимальный элемент. Он называется Ъ-замы-канием каждой группы из этого класса. 2-замыкание группы (G, й) будем обозначать через (G(2>, й). Если (G(2\ Й) = (С, й), то группа (G, й) называется ^-замкнутой.
Чтобы описать 2-замымв-иие конструктивно, введем следующее определение. Группа автоморфизмов клеточного кольца 833 = <А0, Ai, ..., Аа) — это по определению пересечение групп автоморфизмов его базисных графов Г,- = Г (А,), О i d\
а
Aut(2B)= П АиКД).
г=о
Соответствие Галуа
335
Тогда группа автоморфизмов V-кольца SB(G, Q) — это в точности 2-замыкание группы (G, Я).
Таким образом, V-кольцо группы автоморфизмов кольца S3(G, Я) совпадает с SB(G,Q). Произвольное клеточное кольцо, обладающее этим свойством, называется шуровым клеточным кольцом. Другими словами, шуровы клеточные кольца суть У-кольца групп подстановок.
Введем на множестве клеточных колец отношение частичного порядка. Клеточное кольцо 2В/ = (\А', А' называется клеточным подкольцом кольца 2В = (А0, Аь ..., А^, если каждая матрица A't является суммой некоторых матриц из множества {Ао, А- •••> АД.
Тот факт, что SB' — подкольцо в S3, мы будем записывать так: 2B'<S3.
Отметим, что, следуя некоторым авторам (см., например, [47]), мы иногда употребляем термин «подсхема» в качестве бинонима термина «клеточное подкольцо». Однако обычно в термин «подсхема схемы отношений» вкладывается иной смысл (см. [1-118,], с. 103, [4], с. 326).
Пусть теперь S3 — коммутативная клеточная алгебра, причем Ло = I — единичная матрица; тогда к ней применима теория, развитая в § 2.3 книги [I]. А именно, S3 обладает системой £о, £ь • • •, Ed минимальных примитивных ортогональных идемпотентов. Для А<=2В через р,(А) обозначим коэффициенты разложения А по базису Ео, Е\, , Еа (0 I d):
А = ^Р1(А)Е{.
1=0
Для произвольной матрицы А е S3 через [А] обозначим минимальную по включению подалгебру в SB, содержащую А. Если [4]эВ, где Вей, то будем говорить, что В вычислима через А. Если же [A] = S3, то А порождает S3 (как алгебру). Нетрудно убедиться в справедливости следующей леммы.
Лемма 1.1.1. S3 = [A] тогда и только тогда, когда pt(A)=/* pi (А) для всех 0 j d, j.
1.2. Описание соответствия Галуа. Пусть (G, Я) и (G', Я) — две группы подстановок на одном и том же множестве Я, причем (G, Я)—подгруппа в (G', Я) (в этом случае будем говорить, что (Gz, Я) — надгруппа группы (G, Я)). Тогда каждая 2-орбита группы (G', Я) является, очевидно, объединением некоторых 2-орбит группы (G, Я), а это означает, что 93(G', Я)—клеточное подкольцо в S(G, Я), т, е. справедлива следующая
336
Дополнение 2
Лемма 1.2.1. Если G G', то 2J(G', Q)< 93(6, Q) — причем эти V-кольца совпадают в точности тогда, когда группы (G, Q) и (G', Q) ^-эквивалентны.
Далее, непосредственно из определения группы автоморфизмов клеточного кольца вытекает
Лемма 1.2.2. Если 28'28, то Aut (2В) Aut (28'), причем если 2В' У= 2В, а указанные группы равны, то кольцо 2В нешу-рово.
Из построения V-кольца следует
Лемма 1.2.3. Aut(S3(G, Q))^= G.
Наконец, нетрудно убедиться в том, что клеточное кольцо является подкольцом в V-кольце своей группы автоморфизмов.
Лемма 1.2.4. 23 (Aut (SB), Q) SB.
Из лемм 1.2.1—1.2.4 следует (см., например, [2], с. 203), что пара отображений (Aut, S3) определяет соответствие Галуа между клеточными кольцами и группами подстановок. Галуа-замк-нутыми объектами этого соответствия являются V-кольца групп подстановок (шуровы клеточные кольца) и 2-замкнутые группы подстановок.
Именно это соответствие будет рассматриваться в нашем дальнейшем изложении в качестве методологической основы.
1.3. Стандартная схема исследования и ее модификации. В предыдущем пункте было установлено обращающее отношение включения соответствие между решеткой 2-замкнутых надгрупп заданной группы подстановок в соответствующей симметрической группе и решеткой шуровых подколец V-кольца этой группы подстановок. Поскольку соответствие между Галуа-замкнутыми объектами является взаимно однозначным, всякая задача о решетке 2-замкнутых надгрупп заданной группы подстановок в симметрической группе эквивалентна задаче о решетке шуровых подколец V-кольца этой группы.
В качестве стандартной схемы рассмотрим решение задачи описания всех 2-замкнутых надгрупп заданной группы подстановок. Эта задача тесно примыкает к проблеме нахождения максимальных подгрупп в симметрических и знакопеременных группах (подробнее об этом см. в п. 2.1 и 3.4).
Итак пусть (G, Q)—заданная группа подстановок. Стандартная схема исследований состоит из следующих шагов.
Соответствие Галуа
337
1.	Построение V-кольца S3(G,Q). Конкретный способ реализации этого шага зависит от способа представления группы (G, Q). Основную информацию о V-кольце составляют структурные константы, т. е. такие числа р^., что
А А = Др» 4,
где А,, А, и Ak — элементы стандартного базиса.
2.	Нахождение 2-замыкания группы (G, Q). Этот шаг состоит в нахождении группы автоморфизмов 23(G, Q). Здесь часто удается воспользоваться тем соображением, что если SB(G, Q) содержит такую матрицу А, что [A]=93(G, Q), то Aut(93(G, Q)) — = Aut(r), где Г — мультиграф, для которого А — матрица смежности.
Замечание. Если S3(G, Q) не содержит собственных клеточных подколец, то, как легко показать, Aut(S3(G, Q)) совпадает с группой автоморфизмов любого графа Г, такого, что А(Г)е eS3(G, Q) и Г отличен как от полного, так и от пустого графа.
3.	Перечисление клеточных подколец кольца 93 (G, Q). Информацией для реализации этого шага служат исключительно структурные константы р{.,-, О i, j, k ^.d. Действительно, для перечисления подколец мы должны найти все такие разбиения множества базисных элементов, что коэффициенты при базисных элементах одного члена разбиения в разложении произведения •сумм элементов двух любых членов этого разбиения одинаковы. А это условие, очевидно, формулируется в терминах структурных констант.
4.	Отсев нешуровых подколец. Вопрос о том, шурово заданное кольцо или нет, может быть, безусловно, решен посредством вычисления его группы автоморфизмов. Однако в ряде случаев удается убедиться в нешуровости заданного кольца путем проверки тех или иных необходимых условий его «однородности».
5.	Нахождение групп автоморфизмов всех подколец. Этот шаг аналогичен шагу 2, однако здесь следует учитывать, что в искомой группе автоморфизмов уже известна определенная подгруппа (G, Q), что позволяет упростить задачу.
В зависимости от конкретных целей мы выделяем следующие три стандартные задачи:
(i)	Поиск подколец. Здесь нас интересуют клеточные кольца как таковые. Сюда можно отнести задачи описания подколец того или иного вида (скажем, сильно-регулярных графов), инвариантных относительно заданной группы или являющихся подкольцом заданного клеточного кольца.
338
Дополнение 2
(ii)	Описание графов. Сюда относится задача описания всех графов, инвариантных относительно заданной группы подстановок, и их групп автоморфизмов. Все графы, инвариантные относительно заданной группы, характеризуются тем, что их матрицы смежности представлены в виде {0, 1}-линейной комбинации базисных элементов соответствующего V-кольца. При описании же групп автоморфизмов этих графов разумно прибегнуть к соответствию Галуа, поскольку либо группа автоморфизмов графа Г есть 2-замыкание исходной группы, либо Г есть сумма базисных графов некоторого собственного подкольца. В последнем случае, как нетрудно видеть, Aut(T) совпадает с группой автоморфизмов минимального по включению шурова клеточного кольца, для которого Г представим в виде суммы базисных графов.
(iii)	Описание 2-замкнутых надгрупп. Здесь нас интересует лишь теоретико-групповая информация, а все комбинаторные объекты рассматриваются как промежуточные.
Кроме стандартной схемы и стандартных задач укажем некоторые их модификации:
(а)	Доказательство несуществования клеточных подколец в заданном клеточном кольце. Эта задача возникает, например, при доказательстве максимальности заданной группы подстановок в классе унипримитивных групп заданной степени.
(б)	Нахождение подколец или графов требуемого вида, например дистанционно-регулярных, дистанционно-транзитивных или сильно регулярных графов и т. д.
(в)	Решение проблемы изоморфизма графов. Здесь мы используем тот факт, что если (G, Q) есть 2-замкнутая группа подстановок и 3J(G, Q) = <Ао, А], ..., Аа)— ее V-кольцо, то нормализатор этой группы в симметрической группе индуцирует группу подстановок на множестве индексов {0,	причем
если i и / лежат в одной орбите, то граф Г,- изоморфен графу Г/. Поэтому нормализатору соответствует клеточное подкольцо, причем весьма специального вида. Изучение таких подколец оказывается полезным при решении вопроса об изоморфизме тех или иных графов, инвариантных относительно заданной группы (см. подробнее п. 2.3, 3.5, 4.4).
§ 2.	Примеры
Наш обзор конкретных результатов, полученных на основе методологии соответствия Галуа, начинается с достаточно подробного рассмотрения нескольких примеров. Эти примеры сразу же насыщают изложенную схему конкретным содержанием и должны дать читателю представление об используемой технике.
Соответствие Галуа
33»
2.1.	Индуцированная симметрическая группа. Здесь излагается исторически самый первый и с нашей точки зрения наиболее яркий пример использования соответствия Галуа между клеточными кольцами и группами подстановок.
Пусть Q — некоторое множество мощности п, а — множество всех его /n-элементных подмножеств (т м/2), \^п 1 = ( т )• Симметрическая группа S„ = S(Q) множества £1 при действии на У*™ индуцирует группу подстановок (Sn, Нас будет прежде всего интересовать задача описания решетки 2-замкнутых надгрупп группы (Srt, ёР™) в группе S(^„). Оказывается, что, когда п достаточно большое по сравнению с т, эта решетка тривиальна.
2.1.1.	И-кольцо группы (Sn, ^,7)— это в точности алгебра смежности схемы Джонсона J (п, т), подробно изученной в § 3.2 из [I]. Если Го, Г!.Гт — базисные графы кольца 23(Sn,
то в графе Гг две вершины х, у е гД'Г смежны в точности тогда, когда \ х С\ у \ = т — I. Хорошо известно (см., например, [1-272]), что структурные константы ркц рассматриваемого V-кольца вычисляются по формуле
yi / т — k\( k \ / k	п — т — k \
pk ={ s-Д s	—	— s —	+ / + s —
если ti t2> (*)
О, если t} > t2,
где
ti = max {т — I — k, tn — j — k, tn — i — j, 0}, t2 = min {tn — k, m — i, tn — j, n — k — i — j}.
Далее, граф Г! дистанционно-транзитивен, поэтому порождает кольцо 23(Sn, ^п\
2.1.2.	Докажем асимптотическую простоту кольца 23 (Sn, ^7), т. е. отсутствие в нем нетривиальных клеточных подколец при больших по сравнению с т значениях п.
В первую очередь покажем, что при п 2т + 1 матрица Ат (матрица смежности графа Гт) порождает рассматриваемое кольцо. Действительно, из (*) следует, что
0, если k > п — 2т, n — m — k\
I,	если k п — 2т, т )
Рк гт, т
340
Дополнение 2
поэтому т монотонно не возрастает при возрастании k, причем р'т т> р2т т. Это означает, что At вычислима через Ат, т. е. в силу сказанного выше Ат порождает S3 (Srt,
При доказательстве асимптотической простоты рассматриваемого кольца ключевую роль играет следующая
т
Лемма 2.1.1. Пусть В=	ei <= {°- причем для не-
1=0
которого k <.пг из неравенства i > k следует, что ei — 0. Тогда существует такое натуральное число с = с(е\, ...ет-\), что при п> с матрица А„+1 вычислима через В.
Изложим идею доказательства. Рассмотрим элемент В • В = m
= У, г.Лу. При фиксированных пг, ei, но изменяющемся п коэф-/=о
фициенты г/ можно рассматривать как многочлены от п степени не выше чем пг. Пусть О(г/(н))—степень многочлена г, (га). Оказывается, что
( k, если
O(rj(n)) |	— д если А < / <: min {2А, /и},
и г; (п)==0, если 2k < j пг. Отсюда следует, что многочлен rk+l(n) отличен от всех других многочленов г/(га). Поскольку два различных многочлена могут совпадать лишь в точках, число которых не превышает максимума их степеней, существует такое число с (зависящее от ej, ..., ет~\), что при п > с числа rk+i(n) и г,(га) равны лишь в случае k + 1 = j. Это означает, что Ak+l вычислимо через В.
Теорема 2.1.2. Существует такое натуральное число Ь(пг), что при п > b (пг) кольцо S3 (S„, не содержит нетривиальных подколец.
Доказательство. Выберем среди всех значений c(eIt ..., em_j) (таких чисел не больше чем 2'“-1) наибольшее и обозначим его m
через Ь(пг). Рассмотрим произвольный элемент B=£ez.4t-. i = ! m
Переходя, если это необходимо, к элементу В= У, (1 — ez)/lz, будем считать, что ет = 0. Пусть п>Ь(пг). Согласно лемме 2.1.1, через этот элемент В вычислима матрица A&+h Применяя эту лемму несколько раз, заключаем в конце концов, что через Ak+t (а значит, и через В) вычислима матрица Ат. Таким образом, [В] > ИА+1] > ... > [Amj = S3 (S„, Это означает
Соответствие Галуа
341
что каждый нетривиальный элемент В из S3 (S„, порождает все это кольцо, т. е. S3 (Sn, &п) не имеет собственных подколец. □
2.1.3.	Следующий шаг — нахождение 2-замыкания группы (Srt, ^п)- Здесь ввиду замечания на с. 337 нам достаточно вычислить группу автоморфизмов любого из базисных графов кольца S3 ($„, <^). При этом наиболее просто рассмотреть граф Гр
Лемма 2.1.3. Если 2m 4-1, то группа автоморфизмов графа Tj совпадает с группой (Sn,
Доказательство проводится индукцией по m при фиксированном п. Если m= 1, то утверждение очевидно, поскольку в этом случае — пустой граф. В графе Г1 при 2^т^(н—1)/2 имеется два типа клик (см. [I], с. 273), причем клики различного типа содержат различное число вершин, поэтому Aut(Ti) оставляет каждый из этих классов инвариантным. Клики из одного класса отвечают (т—1)-элементным подмножествам множества Q, а из второго — (т 4- 1 )-элементным подмножествам. Переходя к действию Aut(Ti) на кликах из первого класса и рассмотрев граф, в котором две клики смежны, когда они имеют одну общую вершину, мы осуществляем шаг индукции.
Замечание. При п = 2т имеет место изоморфизм Aut(Ti) = = Sn Х<4>, гДе t переводит каждое множество из в его дополнение.
Тем самым из теоремы 2.1.2 и леммы 2.1.3 получаем
Следствие. При п>Ь(т) группа автоморфизмов любого нетривиального (отличного от полного графа и от пустого графа) графа, инвариантного относительно группы (Sn, совпадает с этой группой.
2.1.4.	Удается показать, что при п>а(т), где а(т) = — max{b(m), 7m 4- 1}, группа (Sn, 0*™) не только не имеет нетривиальных 2-замкнутых надгрупп, но и является максимальной в симметрической или знакопеременной группе множества
/' п — 2 X
(в зависимости от того, нечетно число , или нет). \ m — I /
Такое доказательство проводится с помощью сопоставления класса (минимальной степени элементов) группы (Sn, с найденными В. Маннингом и приведенными в [1-394] оценками этой величины для кратно-транзитивных групп подстановок.
342
Дополнение 2
2.1.5.	Задача описания всех клеточных подколец в 'В (8„, полностью не решена. Были найдены бесконечные серии подколец при п = 2m и n = 2m + 1 и несколько спорадических примеров при n^2m-|-l; среди спорадических примеров лишь одно кольцо шурово. Опишем одно из нешуровых подколец.
Пусть zz=10, m = 3; тогда А2 и А, + А3 порождают клеточное подкольцо Ж в S (Sio, ^io)> при этом (Аз + Ai)2 = = 28 (А3 + А^ 24А2 + 56А0. Тот факт, что кольцо 2В нешурово, можно усмотреть комбинаторно, подсчитав количество полных четырехвершинных подграфов в графе Г(А3 + Aj), содержащих фиксированное ребро этого графа. Оказывается, что такие числа для ребер графов Г(А3) и Г(А1) не совпадают, поэтому не существует автоморфизма клеточного кольца 2В, который «склеивал» бы ребра из Г(А3) и Г(А1), т. е. граф Г(А3-|-А1) не может являться 2-орбитой никакой группы подстановок.
Укажем другие примеры:
м = 11, m = 4: (Ад, А] -|- А4, А2 А-
n=12, т = 4: (Ао, А, А3, А2 А4), шурово подкольцо,
n = 13, т = 6: (Ао, А] + А2 + А4, А3 -|- As -|- А6).
2.2.	Примитивные представления неабелевых простых групп порядка меньше 10е. В работе [25], состоящей из двух частей, изложены результаты исследования с помощью ЭВМ примитивных представлений неабелевых простых групп порядка меньше 106, отличных от групп серии PSL(2, q). Указанные представления исследовались на основе соответствия Галуа по стандартной схеме. При этом нас интересовали как надгруппы рассматриваемых групп подстановок, так и возникающие попутно комбинаторные объекты (подкольца и графы). Для всех этих представлений, кроме девяти, указанных ниже, удалось полностью изучить решетку 2-замкнутых надгрупп. Здесь мы кратко охарактеризуем каждый из принципиальных этапов исследования и обсудим наиболее интересные из его результатов.
1.	Построение рассматриваемого примитивного представления (G,Q). Неабелевы простые группы порядка меньше 106, отличные от групп серии PSL(2, q), являются наиболее хорошо изученными; в последние годы они стали стандартным материалом при апробации программ для ЭВМ, предназначенных для изучения конечных групп (см., например, [63], [88], [76], [71]). Так, в [76] описаны все максимальные подгруппы в этих группах. Эта информация и служила основой для наших исследований.
Для каждой из рассматриваемых абстрактных групп G мы, опираясь на каталог [76], применяя методы ad hoc, строили точное представление группы G, имеющее наименьшую степень,—
Соответствие Галуа
343
представление (G, Йо) в терминах порождающих подстановок. Пусть искомое представление (G, Q) есть действие G на смежных классах по подгруппе Н. Отметим, что в силу примитивности представления (G, Q) подгруппа Н максимальна в G. Пусть U — некоторое отношение на множестве Йо, инвариантное относительно Н, но не инвариантное относительно всей группы G. В случае когда (Н, £20)—интранзитивная группа, в качестве U можно выбрать произвольную орбиту этой группы (отношение арности I). Если же (Н, Qo) транзитивна, в качестве U приходится рассматривать отношения более высокой арности. Затем строится индуцированное действие группы G на множестве Ua всех образов отношения U под действием G. Это индуцированное представление и есть представление (G,Q), для которого мы, тем самым, получаем задание в терминах порождающих подстановок.
2.	Нахождение 2-орбит. V-кольцо представления (G, Q) мы описываем в виде мультиграфа Г, такого, что
а Д(Г)=£мг (=0
для некоторого упорядочения До, Дц .базисных графов кольца SB(G,Q).
Отправляясь от исходных образующих подстановок, мы, используя метод Шрайера (см., например, [50]), находим образующие для стабилизатора Ga некоторой точки ае Q. Орбиты Ga на Q определяют первую строку матрицы Д(Г), сдвиги этой строки под действием представителей смежных классов G по Ga дают все остальные строки этой матрицы.
3.	Вычисление структурных констант ру. Здесь мы используем комбинаторную интерпретацию константы рц как количества ориентированных треугольников (а, |3, у/), таких, что (а, у/)еАг, (у,, Р)еА(, имеющих общее основание (a, P)eAs. Все эти структурные константы можно вычислить по матрице мультиграфа Г.
4.	Построение всех клеточных подколец кольца 93 (G, £2). Это центральный и в то же время самый трудоемкий шаг в реализации описанной схемы.
Пусть {Д', Д[, ..., Д^}— разбиение множества базисных графов кольца 93(G, й), порождающее клеточное подкольцо. Тогда
d' Д.-Ду = 22 Г*/Д
е частности,
k ф I
344
Дополнение 2
Назовем подмножество А'{ = {А^, А......множества ба-
зисных графов хорошим, если
ЛгЛг = гЛ/+ J]
kas/
здесь А\ отождествляется с суммой А{ + Лг + ... + Л^. Хорошими являются, в частности, все одноэлементные подмножества и все множество базисных графов. Для перечисления всех подколец клеточного кольца сначала перечислим все хорошие подмножества базисных графов, а затем будем составлять из них всевозможные разбиения и проверять, определяют ли они подкольца.
Такой переборный алгоритм с практической точки зрения вполне себя оправдывает, поскольку во всех решенных нами задачах количество хороших множеств оказалось существенно меньше, чем 2d; поэтому составление из хороших множеств всевозможных разбиений и проверка этих разбиений не отнимали много времени. Наличие полного перебора при построении всех хороших подмножеств ограничивает возможность применения алгоритма перечисления всех подколец; для групп подстановок ранга больше 30 он становится неприемлемым. По этой причине нам не удалось полностью изучить решетки 2-замкнутых надгрупп для следующих представлений из рассматриваемого класса: группы Sz(8) степени 1456 и 2080, группы Р8ЩЗ, 4) степени 1600, группы Л степени 2926 и 4180, группы PSL(3, 5) степени 3100, 3875 и 4000, группы /2 степени 10080.
5.	Вычисление групп автоморфизмов. Алгоритм вычисления группы автоморфизмов клеточного кольца основан на понятии базы и сильной системы образующих группы подстановок, введенных Ч. Симсом [50]. По сильной системе образующих легко вычисляется порядок группы. Разработанный алгоритм строит сильную систему образующих специального вида — так называемую квазистандартную систему образующих, количество элементов в которой всегда не превосходит п — 1 (для униприми-тивных групп оно обычно существенно меньше чем п—1). Вычисление групп автоморфизмов для всех членов найденной решетки клеточных подколец начинается с колец наибольшего ранга, при этом в случае, когда 2В 5В', для вычисления группы Aut(SB') используется информация о ранее вычисленной ее подгруппе — группе Aut (2В).
Теперь перейдем к результатам вычислений. Для большинства изученных представлений группы автоморфизмов подколец содержатся в группе автоморфизмов группы G. Во всех интересных случаях, когда (G, Q) имеет нетривиальные унипримитив-ные надгруппы, отличные от подгрупп нормализатора G в S(Q),
Соответствие Галуа
345
Таблица
Ns	V	k	А	ц	О	lAut (Г) 1	Aut (Г)	Ранг три	Ссылка	Примечание
1.	10	3	0	1	As	23-3-5	s5	+	К.2*	Граф Петерсена
2.	15	6	1	3		24-32-5	s6	+	К.2*	
3.	21	10	5	4	А?	24-32-5-7	s7	+	К.2	
4.	27	10	1	5	PSU (4,2)	27-34-5	PVU (4,2)	+	К.З	Граф Шлефли
5.	28	12	6	4	Ад	27-32-5-7	s8	+	К.2	
6.	35	16	6	8	Ау, Л8	27-32-5-7	S8	+	с. 376	
7.	36	14	4	6	PSU (3,3)	28-33-7	PVU (3,3)	+	S.9	
8.	36	14	7	4	л9	27-34-5-7	s9	+	К.2	
9.	36	15	6	6	PSU (4,2)	27-34-5	PVU (4,2)	+	С.9+	
10.	40	12	2	4	PSU (4,2)	27-34-5	PVU (4,2)	+	С.3	
11.	40	12	2	4	PSU (4,2)	27-34-5	PVU (4,2)	+		
12.	45	12	3	3	PSU (4,2)	27-34-5	PVU (4,2)	+	К.4	Граф Хоф-
13.	50	7	0	1	PSU (3,5)	25-32-53-7	PZU (3,5)	+	S3	
										фмана —
										Синглтона
14.	55	18	9	4		2s-34-52-7-l1		+	К.2	
15.	56	10	0	2	PSL (3,4)	28-32-5-7	P2Z, (3,4)	+	S.1	Граф Ге-виртца
16.	63	30	13	15	PSU (3,3)	28-33-7	PVU (3,3)	—	К.6*	
17.	63	30	13	15	PSU (3,3)	29-34-5-7	PSp (6,2)	+	С.3	
18.	66	20	10	4	А1 ц, Л'1|2	2I0-35-52-7 -11	S12	+	К.2	
19.	77	16	0	4	5122	28-32-5-7- 11	Aut (M22)	+	S.2	
20.	85	20	3	5	PSp (4,4)	29-32-5M7	PVSp (4,4)	+	С.З	
21	100	36	14	12	/г	2s-33-52-7	Aut (Z2)	+	S.11	
22.	120	42	8	18	PSL (3,4)	2s-32-5-7	P2Z, (3,4)	—	S.5	[68], с.
23.	120	51	18	24	PSp (4,4)	29-32-52-17	PVSp (4,4)	+		
										104—105
24.	120	56	28	24	л9	2I3-36-52-7	0- (8,2)	+		[68], с. 104—105
25.	126	25	8	4	Ад	28-34-52-7	S10	+	с.376	[68], с. 104—105
26.	136	60	24	28	PSp (4,4)	29-32-52- 17	PVSp (4,4)	+		
27.	144	39	6	12	PSL (3,3)	25-33- 13	PSL (3,3)	—		Связан с
28.	144	66	30	30	м12	27-33-5-11	Aut (M,2)			
										матрицей
										Адамара порядка 12
29.	175	72	20	36	PSU (3,5)	25-32-53-7	P2U (3,5)	—•	S.8	
30.	176	70	18	34	M22	27-32-5-7- 11	At 22	+	S.7	
31.	208	75	30	25	PSU (3,4)	28-3-52-13	PVU (3,4)	—	К.6	[68], с. 106
32.	231	30	9	3	M22	28-32-5-7 -11	Aut (M22)	—		
33.	231	40	20	4	M22	221	S22	+	К.2	
34.	280	36	8	4	PSL (3,4)	2I0-36-5-7	PVU (4,3)	+	С.5	
35.	280	36	8	4	/2	28 - 33 - 52-7	Aut (/2)	—		
36.	280	117	44	52	Ад	27-34-5-7	$9	—		
37.	280	135	70	60	h	28-33-52-7	Aut (Z2)	—		
38.	416	100	36	20	PSU (3,4)	2i3-33-52-7-13	Aut (G2 (4))	+	S.14	
346
Дополнение 2
П родолжение
№	v k К ц	О	1 Aut (Г) I	Aut (Г)	Ранг трн	Ссылка	Примечание
39.	495 238 109 119	м12	22,-36-52-7-1Н7	О'(10,2)	+	С. 4'	
40.	525 144 48 36	PSU (3,5)	25-33-53-7	PTU (3,5)	—	К.6	
41.	560 208 72 80	Sz (8)	26-3-5-7-13	Aut (Sz (8))	——		
42.	672 176 40 48	М22	216-З7-5-7-11	PPU (6,2)	+	С.14	
43.	2016 975 462 480	Л	219-34-53-7-13-17	PV Sp (6,4)	+		[68], с. 104—105
У-кольца этих надгрупп являются подкольцами ранга 3 в iB(G, Q). Информация о всех подкольцах ранга 3 (сильно-регулярных графах), возникших в процессе исследования, приведена в таблице.
В таблице для каждого графа Г указываются его параметры о, k, X, ц; простая группа G порядка меньше 106, действующая примитивно на множестве вершин; порядок группы Aut (Г) автоморфизмов графа Г; обозначение для Aut(F); показатель того, является ли Г графом ранга 3; результат идентификации графа по каталогу Хюбо [1-213] (* указывает на то, что в каталоге приведен дополнительный граф к графу из таблицы) и примечания.
Обозначения для групп в основном стандартны и соответствуют обозначениям книги [11]. Отметим лишь, что для линейной группы G через G обозначается ее расширение с помощью контрагредиентного автоморфизма.
Среди построенных графов имеется, насколько это известно авторам, 5 новых. Это графы, которые в таблице имеют номера 27, 35, 36, 37 и 41. Все они не являются графами ранга 3. По-видимому, именно поэтому они не были открыты ранее: если для поиска графов, у которых кольцевой и групповой ранги совпадают, можно привлекать таблицу характеров, то в случае несовпадения этих рангов информация о структурных константах У-кольца, содержащего подкольцо, являющееся сильно-регулярным графом, становится весьма существенной.
Из результатов теоретико-группового характера отметим реализацию вложений PSL(3, 4) < PSU (4, 3), PSU (3, 4) < 0,(4), М22 < PSU (6, 2), M|2<Ow(2), J2<PSp(&, 4) примитивными группами подстановок степеней 280, 416, 672, 495 и 2016 соответственно. Эти реализации представляют на наш взгляд самостоятельный интерес.
2.3.	Циклические графы с р вершинами. Ориентированный граф Г — (Х,Е) называется правильным, если его группа авто
Соответствие Галуа
347
морфизмов действует на X транзитивно. Наша цель — классифицировать правильные графы с р вершинами, где р — простое число. Граф Г с множеством вершин X = {О, 1, ..., р—1} будем называть циклическим (в другой терминологии циркулянт ным), если подстановка ср—(0, 1, ..., р—1) содержится в Aut(T). Если Г — правильный граф на р вершинах, то силов-ская р-подгруппа в Aut(T) имеет порядок р и подобна группе Zp = <ср>. Поэтому всякий р-вершинный правильный граф изоморфен некоторому циклическому графу, и нам достаточно классифицировать все циклические графы на р вершинах. Последнюю задачу мы будем решать по схеме, описанной в § 1, при этом нам удобно отождествлять все клеточные подкольца кольца SB(ZP, X) с S-кольцами над Zp (см. [I], § 2.6).
Итак, пусть Zp —{0, 1, ..., р — 1} — аддитивная группа-кольца классов вычетов по модулю р, a Z* = Zp — {0} — мультипликативная группа этого кольца с операцией • . Подмножество Т = Z мы будем отождествлять с элементом У х х группового кольца C[Zp].	Если у е Z*p, T^Zp, то
уТ == {у • х | х е Т}. Следующая лемма является частным случаем принадлежащего Шуру [1-309] результата.
Лемма 2.3.1. Пусть 21 есть S-кольцо над Zp, Т — базисный элемент в 21 ц у е Z*. Тогда уТ — также базисный элемент кольца 21.
Эта лемма представляет собой по сути дела описание всех S-колец над Zp. Действительно, пусть 21 = {Т0,	....Tt) —
произвольное S-кольцо над Zp, причем То — {0}, IgT)- Положим St (rj = {у\у е Z*p, уТ{ = TJ. Тогда непосредственно из. леммы 2.3.1 следует, что
(i)	St (7'1) = Г1 —подгруппа в Z*;
(ii)	для любого z, 1 i I, найдется такой элемент е Z*r что Ti = ytTx.
Это означает, что каждому S-кольцу 21 над Zp взаимно' однозначно отвечает подгруппа Н группы Z* таким образом,, что базисные элементы кольца 21 суть смежные классы Z* по И. Ясно, что все эти кольца шуровы, а поскольку каждая подгруппа в Z* однозначно характеризуется своим порядком,. S-кольца, отвечающие разным подгруппам, не изоморфны.
Опишем теперь группу автоморфизмов S-кольца 21. Предположим, что 21 нетривиально, т. е. I 2. Тогда Aut (21) Zp \ Z*. Действительно, лемма Саломаа (см. [93] ) утверждает, что если группа подстановок степени р содержит циклическую
348
Дополнение 2
подгруппу порядка р и хотя бы одну подстановку, ее не нормализующую (нелинейную в терминах |93] ), то рассматриваемая группа подстановок дважды транзитивна. С другой стороны, & выдерживает все подстановки из регулярного представления Zp и в точности те элементы из Z* (действующие на Zp посредством умножения), которые содержатся в Л. Отсюда следует, что Aut (91) = Zp \ 7Y Кроме того, легко показать, что нормализатор группы Aut (Я) в симметрической группе S совпадает с Zp X Z*.
Перейдем непосредственно к рассмотрению задачи перечисления р-вершинных циклических графов. Для L s Z*p через Г (Zp, Z,) обозначим граф с множеством вершин Zp и множеством дуг {(х, х + у) |х е Zp, у е L} — граф Кэли группы Zp, построенный по множеству L.
Теорема 2.3.2. Два циклических графа Г (Zp, L) и Г (Zp, L') изоморфны тогда и только тогда, когда L' — yL для некоторого Z# . “ р
Доказательство. Достаточность немедленно следует из дистрибутивности умножения относительно сложения в кольце классов вычетов по модулю р. Для обоснования необходимости воспользуемся описанием всех S-колец над Zp, их групп автоморфизмов и нормализаторов. Пусть F(ZP,L)—некоторый циклический граф. Ясно, что L (как элемент из .С. [Zp]) содержится хотя бы в одном S-кольце над Zp. Пусть 9l(L)—минимальное по включению кольцо, обладающее этим свойством. В этом случае, как отмечено в § 1, Aut (F(ZP, L) )= Aut (?I(L)). Если граф r(Zp, L) изоморфен графу F(ZP, L'), то изоморфны кольца и &(//). Из описания S-колец над Zp мы получаем 9l(L) = ?l(L'). Как отмечено в § 1 (модификация (в) стандартной схемы), изоморфизм между F(ZP, L) и T(ZP, L') может быть реализован элементом из нормализатора Aut (91 (L)) в Sp, т. е. некоторым элементом yeZ*. □
Замечание. Подчеркнем, что все результаты настоящего пункта (включая используемые леммы), получены исключительно элементарными средствами, не опираясь на методы теории характеров, с помощью которых была доказана классическая теорема Бернсайда, описывающая строение унитранзитив-ных групп степени р (см. [70], с. 339—341).
§ 3.	Историческая справка
3.1.	Хотя идея использования централизаторных колец была впервые высказана И. Шуром в 1933 г., наше изложение начи
Соответствие Галуа
349
нается с более ранних работ В. Бернсайда. Пусть /? — конечная группа; будем говорить, что R является В-группой (термин введен Г. Виландом), если всякая надгруппа регулярного представления группы R в симметрической группе В (R) либо импримитивна, либо дважды транзитивна. Первый класс В-групп был найден в [70]; Бернсайд доказал, что циклическая группа порядка рт, т > I, является S-группой. При этом доказательство опиралось на методы теории характеров. Здесь же Бернсайд высказал гипотезу о том, что произвольная абелева группа сложного порядка является В-группой, отметив, правда, что обобщить на этот случай приведенные им доказательства не удается. Попытки доказательства этой гипотезы делались Бернсайдом и позднее (более подробные исторические сведения и контрпримеры к гипотезе Бернсайда содержатся в книге [1-394]).
Еще в начале века И. Шур предложил другой подход к поставленной Бернсайдом задаче. Интересно, что Шур, по праву считающийся одним из создателей теории представлений групп, при описании В-групп с самого начала предложил пользоваться изобретенным им более элементарным аппаратом. Эти новые идеи первоначально были продемонстрированы более простым решением другой задачи, также рассмотренной Бернсайдом, — описания унитранзитивных групп подстановок степени р, р — простое число. Отдельные фрагменты нашего изложения в п. 2.3 моделируют (разумеется, на современном языке) этот подход Шура.
В явном виде метод Шура был развит в [1-309], где было доказано, что циклическая группа сложного порядка является В-группой. Следующие шаги в описании В-групп были сделаны учениками Шура Г. Виландом и Р. Кохендорфером (см. ссылки в [1-394]), а также другими математиками.
Хотя метод Шура теперь всеми признается наиболее адекватным для описания В-групп, вплоть до недавнего времени он не находил других серьезных применений. Ситуация резко изменилась с развитием теории схем отношений. Мы попытаемся проследить еще одну линию развития идей Шура, совершенно не освещенную в [I].
Отметим, что, как указывает в [96] Виланд, сам Шур долгое время считал, что клеточное кольцо, которое, согласно теореме 6.1 гл. 2 из [I], однозначно восстанавливается по В-коль-цу, всегда является V-кольцом некоторой группы подстановок (отсюда и термин «шуровость»). Эта гипотеза была опровергнута (см. [1-394]).
3.2.	В конце 60-х годов Л. А. Калужнин (кстати, также ученик И. Шура) организовал в Киевском государственном университете семинар по так называемой обобщенной теории Га
350
Дополнение 2
луа, работа которого началась с изучения малоизвестной статьи М. Краснера [87], в которой рассматривается соответствие Галуа между группами подстановок, действующими на некотором (вообще говоря, бесконечном) множестве Q, и алгебрами отношений на Q. Результаты Краснера удалось обобщить на случай полугрупп и алгебр Поста, см. [5]. Дальнейшее развитие этих идей можно проследить по монографии Л. А. Калужнина и Р. Пёшеля [92].
В [5] был, в частности, повторен результат Краснера для случая конечного множества Q. Было доказано, что множество {ф, | i е /} отношений на Q составляет полный набор отношений, инвариантных относительно подходящей группы подстановок, тогда и только тогда, когда	замкнуто отно-
сительно определенного набора теоретико-множественных операций на Q. Как показано в [30], [49], эти операции в точности соответствуют операциям, возникающим при определении правильно построенных формул языка узкого исчисления предикатов.
Примерно в это же время идея изучения инвариантных отношений и функций привлекла внимание Г. Виланда: в его курсе лекций [96] введены очень удобные понятия ^-эквивалентности и ^-замкнутости для групп подстановок и развита техника, позволяющая применять инвариантные отношения для решения классификационных задач теории групп подстановок. Однако явный вид соответствия Галуа между группами подстановок и реляционными алгебрами оставался неизвестным Виланду.
3.3.	Этот период характеризовался также резким всплеском интереса к теории перечисления. В одном из приведенных Ф. Харари списков нерешенных задач теории перечисления графов (см. [61]) задача 19 звучит так: определить число всех попарно неизоморфных графов с множеством вершин Q, для которых заданная группа подстановок (G, Q) является группой автоморфизмов. Эта задача привлекла внимание М. X. Клина, участника семинара Л. А. Калужнина. Исходным пунктом для него стали статьи Э. Г. Давыдова [12], [13], где описывались матрицы смежности графов, инвариантных относительно некоторых классов групп подстановок, а также работа Дж. Шихана [94], где задача 19 решалась в классе мультиграфов с помощью техники теории представлений групп. М. X. Клин предложил в [34] алгоритм решения задачи 19, требующий знания решетки всех надгрупп группы (G, Q) в S(Q). Хотя здесь понятие «централизаторное кольцо» явно не фигурирует, именно работа [34] является одной из первых, где использовано наличие антиизоморфизма между решетками 2-замкнутых групп подстановок и централизаторных колец.
Соответствие Галуа
351
Отметим, что приведенные в [37] производящие функции для числа 5-вершинных орграфов с заданной группой автоморфизмов были независимо вычислены П. Стокмейером (см. [62], с. 287—288).
3.4.	В явном виде идея применения соответствия Галуа между группами подстановок и У-кольцами была сформулирована М. X. Клином в [35] и использована в работе Л. А. Ка-лужнина и М. X. Клина [30], посвященной вопросу о максимальности индуцированной симметрической группы (Sn, в симметрической группе S ). Основной результат этой работы и составляет содержание п. 2.1. Все найденные примеры клеточных подколец в 23 (Sn, ) представлены в [37], [38] (как указано в [68], все эти подкольца, кроме одного, были переоткрыты Р. Матоном). Можно считать, что, с точностью до некоторых используемых терминов (к этому мы вернемся ниже), идеи, представленные в § 1, были введены в обиход в [30]. Кроме того, эта работа стимулировала систематическое изучение решетки 2-замкнутых надгрупп для заданных групп на основе метода У-колец (см. п. 4.2). Отметим, что решетки надгрупп индуцированных симметрических групп к настоящему времени полностью описаны (см. ссылки в [41] ).
3.5.	В 1972 г. математик из ГДР Р. Пёшель во время стажировки в Киевском университете занялся поставленной Л. А. Ка-лужниным задачей перечисления S-колец над заданной p-группой. Следует отметить, что такая постановка задачи была принципиально новой. Сам Шур, его ученики и последователи никогда перечислением S-колец не занимались, а ограничивались обоснованием интересующего их свойства S-колец (импримитивности). Пёшель получил ряд общих результатов о S-кольцах над р-группами и перечислил все S-кольца над Z т, р =/= 2. Однако опубликованная им работа [91] оставалась малоизвестной.
Во второй половине 70-х годов весьма популярной стала поставленная А. Адамом [65] задача об изоморфизме циклических графов — графов Кэли циклической группы порядка п. Интерес к этой задаче стимулировался, в частности, ее прикладным значением (см. [66]). Адам предполагал, что два циклических графа F(Zn, L[), r(Zn,L2) изоморфны тогда и только тогда, когда существует такое	(ц, п) = 1, что gAi = L2.
Гипотеза Адама оказалась справедливой при п — р (см. п. 2.3) — это было доказано Джоковичем [75] в 1970 г., этот же результат следует из более ранней работы Тернера [95]. Для других значений п быстро удалось найти контрпримеры,
352
Дополнение 2
и гипотеза трансформировалась в задачу нахождения необходимых и достаточных условий изоморфизма n-вершинных циклических графов. Историю задачи Адама можно проследить по обзорной статье [90].
М. X. Клин заметил, что для решения задачи Адама естественно применить теорию 5-колец. Он привлек к этой задаче Р. Пёшеля и в результате их сотрудничества были найдены условия изоморфизма циклических графов с р2 [84], [92] и рт (р =/= 2) [86] вершинами, а также доказана справедливость гипотезы Адама для п = pq (р и q— различные простые числа) [84], [85]. Подробное изложение использованной при этом методики можно найти в гл. 8 монографии [92], и наше изложение в п. 2.3 близко следует этой главе (см. также [72]).
3.6.	Следует отметить, что в работе [30] и в нескольких последующих публикациях сознательно допускалась терминологическая небрежность: понятия V-кольца и клеточного кольца отождествлялись. Это объясняется тем, что в то время еще не был выработан устоявшийся аксиоматический аналог 1/-кольца: схемы отношений и когерентные конфигурации рассматривались в совершенно ином контексте.
Впервые понятие клеточного кольца (точнее клеточной алгебры) было введено в работе Б. Ю. Вейсфейлера и А. А. Лемана [6], мотивированной интересом к задаче об изоморфизме графов. Хорошо известно, что эта задача полиномиально эквивалентна задаче нахождения 2-орбит группы автоморфизмов произвольного графа Г. Описанная в [6] под экзотическим названием «операция Ы» процедура однозначно сопоставляла матрице А (Г) смежности графа Г матричную алгебру ЗВ (Г)—минимальную клеточную алгебру, содержащую матрицу А (Г) в качестве элемента. Из описания этой процедуры легко следовало; что Aut(Г) = Aut(ЗВ(Г)). Вейсфейлер и Леман предполагали, что ЭВ(Г) =33(Aut(r)). По существу это было повторение гипотезы Шура, но в более современной трактовке, кроме того, здесь в явном виде работала идея соответствия Галуа. Быстро преодолев свое заблуждение (в [1] был построен интересный контрпример к этой гипотезе) и перечислив клетки (клеточные кольца, у которых все базисные графы регулярны) с небольшим числом вершин [42], авторы работы [6] и их коллеги перешли к глубокому и систематическому изучению клеточных колец: разработали их структурно-алгебраическую теорию, решили задачи конструктивного перечисления некоторых классов клеток, применили аппарат клеточных колец к обоснованию графичности некоторых классов регулярных групп подстановок, обнаружили интересные связи клеточных колец с теорией представлений конечных групп. Эти идеи предвосхитили
Соответствие Галуа
353
многие методы, описанные в [I]. Все эти результаты были изложены в коллективной монографии [89], с выходом которой окончательно установилась используемая в данном обзоре система понятий.
3.7.	Ключевым этапом в схеме исследований, описанной в § 1, является перечисление клеточных подколец заданного V-кольца. Здесь естественно применять ЭВМ. Впервые такая попытка была предпринята М. X. Клином при поиске клеточных подколец У-кольца индуцированной симметрической группы (Sn, для 3 гС т гС 6 [37] (см. также [38]). С помощью описанной в [38] программы для ЭВМ «Мир-1» были найдены все известные в настоящее время клеточные подкольца в У-коль-цах S3 (S„, при п > 2т + 1 (см. п. 2.1). Общая схема положенного в основу этой программы алгоритма (см. [39]) была использована при создании комплексов программ для вычислений в У-кольцах групп подстановок. Первый такой комплекс был разработан В. А. Зайченко [17], [19]. Анализ результатов эксплуатации этого комплекса позволил И. А. Фараджеву создать более совершенный пакет программ, который был анонсирован в [58] и подробно описан в [25], ч. 2.
В процессе разработки и эксплуатации этих программ удалось объединить усилия двух коллективов (школы Л. А. Ка-лужнина в Киевском университете и сотрудников лаборатории дискретной математики ВНИИСИ), активно использовавших в последние 15—20 лет идею соответствия Галуа при решении ряда задач комбинаторики и теории групп подстановок. О некоторых из этих задач пойдет речь в следующем параграфе.
§ 4.	Обзор некоторых результатов
4.1.	Описание V-колец. В схеме исследований, изложенной в § 1, стартовой точкой является описание У-кольца заданной группы подстановок (G, й). Безусловно, такая задача возникает и вне всякой связи с соответствием Галуа.
Под описанием У-кольца мы понимаем задание в определенных терминах его базисных графов, а также вычисление ранга, валентностей и структурных констант. Как отмечено в п. 1.3, информации о структурных константах достаточно для перечисления клеточных подколец.
4.1.1.	В некоторых интересных случаях группу G удается представить как группу автоморфизмов подходящего комбинаторного объекта Д. Тогда базисные графы кольца S3(G, й) могут быть описаны в терминах Д. В этом случае вычисление структурных констант сводится к решению большого числа
354
Дополнение 2
однотипных комбинаторных упражнений. При этом наглядность получаемого описания в значительной степени зависит от того, насколько просто устроен объект Д и насколько естественно в терминах Д трактуются стабилизаторы элементов aeQ в группе G. Классические примеры — схема Джонсона и схема Хэмминга.
Примеры более сложной ситуации — описание V-колец примитивных представлений группы Матье Afi2 в терминах системы Штейнера 5(5, 6, 12) [64] и матрицы Адамара порядка 12 [26], а также примитивных представлений группы Маклафлина McL в терминах ее действия на решетке Лича [74].
Иногда [28] к решению задачи описания 1/-кольца могут быть применены методы конструктивного перечисления комбинаторных объектов в смысле [57].
4.1.2.	В ряде случаев рассматриваемую задачу удается редуцировать к задаче описания более простого кольца (меньшего ранга и с меньшим числом вершин). В наиболее законченном виде этот подход представлен в работе [60], где описана операция симметрической степени клеточного кольца, позволяющая, в частности, исходя из И-кольца группы (G, S2), описать 1/-кольцо группы (G f Sm, Qm) — экспоненцирования группы (G, Q) с помощью симметрической группы степени т. Идея такой конструкции на схематическом уровне была высказана в [36]. В [31], [32], [14] показано, как могут быть описаны 2-орбиты сплетения, экспоненцирования и тензорного произведения групп подстановок в терминах инвариантных отношений исходных групп.
4.1.3.	В [37] (см. также [51]) приведены формулы для структурных констант V-кольца в терминах коэффициентов проекций 3-орбит группы подстановок на ее 2-орбиты. С помощью этих формул удалось, например, вычислить структурные константы клеточных колец (алгебр Гекке), возникающих из действия некоторых групп Шевалле на смежных классах по своим максимальным параболическим подгруппам (см. [52], [16]). Однако в общем случае непосредственно такой подход неприменим. Так, например, задача описания 3-орбит действия группы PGL(n,q) на множестве флагов (п—1)-мерного проективного пространства над полем GF(q) при некоторых ограничениях на типы флагов эквивалентна задаче о паре матриц (см. [51]), которая существенно сложнее исходной задачи описания Г-кольца.
В этой связи представляет интерес используемый в [51] прием: для группы (G, Q) строится разбиение множества Q3, более грубое, чем разбиение на 3-орбиты, но, тем не менее, достаточное для вычисления структурных констант (в [51] используется термин «индексы пересечений»).
Соответствие Галуа
355
4.1.4.	При описании И-кольца с использованием ЭВМ весьма эффективным является рассмотренный в п. 2.2 метод вычисления структурных констант, основанный на подсчете количества ориентированных треугольников в мультиграфе 2-орбит. Этот метод реализован в пакете программ И. А. Фараджева (см. подробнее [25], ч. 2, с. 24—26).
4.2.	Общая задача перечисления клеточных подколец. Методы, используемые при реализации главного этапа стандартной схемы — перечисления клеточных подколец заданного У-коль-ца, — существенно зависят от конкретной ситуации.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда исследуется бесконечная серия V-колец, для которых структурные константы pk{j выражены в виде явных формул (например, в виде многочленов) от i, j, k, а также от параметров конкретного кольца. Удобный прием доказательства асимптотической простоты колец из рассматриваемой серии (т. е. отсутствия подколец для почти всех колец) предложил М. X. Клин в [30] при доказательстве простоты V-кольца индуцированных представлений симметрических групп (см. п. 2.1). Этот прием состоит в обосновании различия степеней некоторых многочленов, описывающих структурные константы, при достаточно большом значении одного из параметров. Аналогичный асимптотический результат для схем Хэмминга был получен Джоунсом и Сумро [80], которые буквально повторили приведенную в [30] стандартную схему исследований.
Другой путь доказательства асимптотической простоты был предложен В. А. Устименко-Бакумовским в [56]: редукция уравнений, задающих необходимые условия существования подколец, к уравнениям над подходящим конечным полем. Таким методом была доказана теорема о том, что У-кольцо группы PGLn(q), действующей на грассманиане (q), m>2, является простым при <7>max | b (т),	гДе b (т) — функция, вве-
денная в п. 2.1 при рассмотрении группы (Sn,
Что касается исчерпывающего описания подколец в кольцах из бесконечной серии, то здесь первый результат был получен в [37] (см. также [38]), где были найдены все подкольца в 33 (Sn, К') при т — 3 (см. п. 2.1). Здесь все свелось к тривиальным вычислениям. Однако уже при т = 4 оказалось более целесообразным использовать ЭВМ. Следующий шаг был сделан в [53], где описаны все подкольца ранга 3 в кольцах ®(5Л Sm, Qm\ | Q | = n, при m 3. Для доказательства использовалось найденное В. А. Устименко-Бакумовским представление структурных констант схемы Хэмминга в терминах
356
Дополнение 2
некоторого дифференциального оператора и редукция к кольцу классов вычетов по модулю п— 1. Описанные в [53] подкольца приведены также в [81] (для т = 4 эти подкольца были указаны уже в [36]).
Принципиально новый шаг был сделан М. Е. Музычуком в [47]: он полностью перечислил клеточные подкольца в схеме Хэмминга Н(т, 2). Оказалось, что количество таких подколец стабилизируется, начиная с т = 12, и зависит от значения т по модулю 4. Для всех т количество нетривиальных подколец не превышает 17. Результат М. Е. Музычука позволяет описать решетку 2-замкнутых надгрупп группы автоморфизмов т-мерного куба. Трудно переоценить значение этого результата в алгебраической теории кодирования и алгебре логики.
Очень кратко о схеме доказательства. Ключевую роль сыграли найденные соотношения, связывающие коэффициенты разложения по базису произведения двух графов из Н(т, 2) с соответствующими коэффициентами для Н(т—1,2). Индуктивное использование этих соотношений позволило показать, что всякое клеточное подкольцо в Н(т,2) либо содержится в виде подкольца в фиксированном подкольце ранга 6, либо содержит в качестве базисного графа один из 16 фиксированных элементов. Скрупулезный перебор в сочетании с изощренной техникой позволил справиться с каждой из двух возникших подзадач.
В самое последнее время были получены новые интересные результаты, касающиеся исчерпывающего перечисления подколец в У-кольцах из бесконечных серий. М. Е. Музычук усилил результат В. А. Устименко-Бакумовского из [56] и показал, что 23(POZ.(n, q), Г™ (<?)) вообще не имеет подколец (см. [46]). Как сообщили авторам настоящего дополнения М. Е. Музычук и В. А. Устименко, готовится к печати их работа, где будет дано полное описание подсхем (клеточных подколец) в схемах Н(т, q). Было бы чрезвычайно интересно получить аналогичный результат для схем Джонсона.
Перечисление клеточных подколец в известных бесконечных сериях 17-колец, содержащих кольца как угодно большого ранга, безусловно, остается центральной задачей в представленном здесь направлении алгебраической комбинаторики. Интерес к другой постановке задачи — рассмотрению серий 17-колец и клеточных колец фиксированного ранга — долгое время не проявлялся, так как уже в [37] было показано, что при «подборе остатков» от асимптотического перечисления наиболее естественно обращаться к ЭВМ. Барьер такого предубеждения был недавно преодолен И. А. Фараджевым в [60] (см. также [59]), который перечислил все клеточные подкольца симметрического квадрата произвольного клеточного кольца ранга 3.
Соответствие Галуа
357
Для этой серии клеточных колец ранга 6, зависящей от четырех параметров (эти параметры связаны одним соотношением), удалось выделить пять однопараметрических и двупараметрических подсерий колец, содержащих нетривиальные клеточные подкольца, описать все такие подкольца и дать некоторую информацию об их группах автоморфизмов. Дальнейшие перспективы развития этого результата обсуждаются в § 5.
4.3.	Перечисление клеточных подколец с помощью ЭВМ. Перейдем теперь к рассмотрению второй ситуации, когда требуется перечислить все клеточные подкольца 17-кольца конкретной группы подстановок (G, Й). В общем случае такая задача сводится к большому объему стандартных вычислений, которые разумно проводить с помощью ЭВМ. Имеющаяся в распоряжении авторов программа поиска подколец в общих чертах представлена в п. 2.2, а история ее разработки освещена в п. 3.7. Здесь мы кратко остановимся на наиболее интересных примерах ее использования. Более подробную информацию можно найти в [25], [41], [17], [19].
4.3.1.	В качестве первого «полигона» для апробации программы, точнее ее предварительного варианта, разработанного В. А. Зайченко, была выбрана задача Н. Биггса об автоморфных графах. Напомним, что в [1-40] представлен отчет о проделанном Биггсом и его коллегами поиске с помощью ЭВМ всех автоморфных графов (примитивных дистанционно-транзитивных графов) диаметра d <2 5 и валентности fe^l3. Вопрос о существовании автоморфных графов для 11 массивов пересечений оставался открытым. К концу 70-х годов задача Биггса находилась на «переднем крае» теории дистанционно-транзитивных графов и поэтому привлекла внимание нескольких научных коллективов. Полное ее решение было получено в 1979— 1981 гг. В. А. Зайченко и авторами настоящего дополнения: для 4 массивов автоморфные графы не существуют, для 7 такие графы были построены и доказана их единственность. Почти во всех случаях применялась либо стандартная схема использования соответствия Галуа, либо ее модификации. К сожалению, полный отчет о работе, проделанной при решении задачи Биггса, не был опубликован. В целом результат был анонсирован в [20] (см. также [33]), отдельные фрагменты представлены в [19], [22], [23], [24] (наиболее детальное изложение содержится в [41]). Независимо задача Биггса была решена в [69], [73], [78]. Отметим, что для одного из авторов — А. А. Иванова —эта задача стала отправной точкой для работы над общими проблемами теории дистанционно-регулярных графов, которая и привела в конце концов к результатам, подробно обсуждаемым в дополнении авторов книги.
358
Дополнение 2
4.3.2.	Другим «полигоном» для апробации программы В. А. Зайченко стала задача об изоморфизме циклических графов, затронутая в п. 2.3, 3.5. С помощью ЭВМ В. А. Зайченко каталогизировал все циклические графы с числом вершин я<32 и определил их группы автоморфизмов (для тех значений п, для которых не удалось найти теоретическое решение проблемы изоморфизма), а также неориентированные циклические графы с 36 вершинами. В частности, был построен контрпример к гипотезе Адама при п = 36. Полученные результаты (см. [17], [19]) до сих пор служат материалом для обобщений на теоретическом уровне.
4.3.3.	Разработанный И. А. Фараджевым пакет программ был первоначально предназначен для осуществления проекта по исследованию примитивных представлений неабелевых простых групп порядка меньше 106 (см. п. 2.1). Остановимся еще на одном применении этого пакета.
В первой половине 70-х годов группа математиков под руководством И. А. Фараджева интенсивно работала над методами конструктивного перечисления комбинаторных объектов. Общая методика таких исследований, технические приемы и некоторые результаты представлены в сборнике [3]. Однако лавинообразный рост объема каталогов графов, обладающих теми или иными свойствами, формулируемыми в сугубо комбинаторных терминах, вынуждает перейти к перечислению более редких объектов. Этим и объясняется наш интерес к каталогизации примитивных графов, т. е. графов, у которых группа автоморфизмов действует примитивно на множестве вершин.
Перечисление примитивных графов с заданным числом вершин п может быть осуществлено на основе стандартной схемы с привлечением ЭВМ. При этом достаточно знать все минимальные примитивные группы подстановок степени п. Для п 50 эта информация в основном содержится в работах [50], [48]. Полный отчет о результатах перечисления примитивных графов с п 50 готовится к печати. Количество примитивных графов с заданным числом вершин для заданной валентности k приведено в [41].
4.4.	Перечисление S-колец. Остановимся теперь на рассмотрении специальной техники, применимой к более узкому, но очень интересному классу У-колец регулярных групп подстановок.
Здесь, как отмечено в п. 3.5, отправной точкой послужил результат Р. Пёшеля [91]. В основе этого результата лежит введенный Пёшелем инвариант S-кольца над Zn, названный им S-системой. Далее используются обозначения из п. 2.3.
Соответствие Галуа
359
Пусть Z*={p,eZn| (ц, га) = 1}, 2В — некоторое S-кольцо над Z„ и Т (d) — базисный элемент кольца 2В, содержащий элемент dsZ„ в качестве слагаемого. Пусть/) («)=={ 1=^, d2, dt}— множество всех натуральных делителей числа п, отличных от п. Тогда S-система, соответствующая S-кольцу 2В — это последовательность (р, 231, •••> 23/), где 23, = St (Т (d;)), 1 i I, а р — эквивалентность на D (п):
dipdj <=> Эц е Z;.- dj <= рТ (d{),
Пёшель перечислил все возможные S-системы при п = pkr р — простое число, р =# 2, и показал, что по каждой S-системе однозначно восстанавливается S-кольцо. Эта же техника была применена к случаю n — pq, р и q — различные простые числа (см., например, [85]).
Случай п = 2й оказался сложнее. Здесь сначала пришлось разработать специальную программу для ЭВМ, в основе которой лежали: (1) поиск всех кандидатов в S-системы; (2) восстановление по ним кандидатов в S-кольца и (3) проверка того, какие из них действительно являются S-кольцами. Такая программа была разработана Н. Л. Наймарк под руководством М. X. Клина. С помощью этой программы удалось найти все S-кольца над Z2fe при 1 k 6. Краткое описание алгоритма, результаты вычислений и формулировка выдвинутой на основе анализа этих результатов гипотезы о строении всех S-колец над Z2* приведены в [83]. Доказательство этой гипотезы приведено в [77] и анонсировано в [9]. Таким образом, к настоящему времени перечислены все S-кольца над примарными циклическими группами.
Другой интересный случай — задача перечисления S-колец над Zn для п, свободного от квадратов, т. е. когда п не имеет ни одного неединичного делителя, являющегося квадратом. Особый интерес к этой задаче связан с тем, что, по-видимому, для этих значений п всегда верна гипотеза Адама. Такой результат был анонсирован в [15], однако полное доказательство до сих пор не опубликовано. Естественно и здесь применить соответствие Галуа. Решающий шаг был сделан Я. Ю. Гольфандом в [7], где для таких п перечислены все S-кольца определенного специального вида (S-кольца следов). Интересно отметить, что существует биекция между всеми S-кольцами следов над Zn, п свободно от квадратов, и конечными топологиями на й-элементном множестве, где k — число простых делителей п. По-видимому, в ближайшие годы проблема изоморфизма для циклических графов будет полностью решена.
До недавнего времени S-кольца неабелевых групп оставались неисследованными с позиции соответствия Галуа. Первые
360
Дополнение 2
результаты в этом направлении были получены М. Е. Музычу-ком [44], который изучил теоретико-числовые свойства валентностей S-колец и обобщил на произвольные группы описанное выше понятие S-системы. В качестве иллюстрации этой техники он перечислил все S-кольца над знакопеременной группой А^. Большой интерес представляет поставленная Виландом задача перечисления S-колец над As. В [41] обсуждается связь этой задачи со сформулированной Л. Бабаи и П. Франклом проблемой описания так называемых G-C7-rpynn. М. Е. Музычуку удалось описать все примитивные S-кольца над А5 (см. [45]). Известные нам методы пока не позволяют дать полное описание S-колец над Д5.
4.5.	Аморфные клеточные кольца. Читатель, по-видимому, уже убедился в том, что стержнем излагаемого метода является задача перечисления клеточных подколец заданного клеточного кольца. Прогресс в решении этой задачи немедленно приводит к прогрессу в решении многих конкретных задач алгебраической комбинаторики. В ряде интересных с практической точки зрения случаев решетка подколец оказывается весьма бедной. Однако в июне 1982 года в Батуми во время конференции по теории графов Я. Ю. Гольфанд и М. X. Клин установили существование бесконечной серии так называемых аморфных клеточных колец, т. е. таких клеточных колец, у которых любое разбиение множества нетривиальных базисных графов составляет базис некоторого клеточного подкольца. Открытые аморфные клеточные кольца могут иметь как угодно большой ранг; они были названы полными аффинными кольцами, поскольку базисные графы этих колец соответствуют пучкам параллельных прямых в конечной аффинной плоскости. В другом контексте эти клеточные кольца вводятся в [79]. Естественно возникла задача описания всех возможных параметров аморфных клеточных колец. С этой задачей успешно справился А. В. Иванов, применивший для ее решения спектральный аппарат теории схем отношений. Оказалось, что аморфные клеточные кольца могут существовать только на п2 точках, а их базисные графы являются сильно-регулярными графами типа латинских или отрицательных латинских квадратов (в терминологии [1-213] ). Эти результаты были анонсированы в [8] и подробно изложены в -[10], [27].
4.6.	Другие результаты. Как уже отмечалось, настоящий обзор не претендует на исчерпывающее освещение всех аспектов использования соответствия Галуа между группами подстановок и клеточными кольцами. Прямо или косвенно к затронутой тематике примыкают, например, работы [54], [55], [21], [82], Ц18]. Комментарии к этим работам можно найти в [41].
Соответствие Галуа
361
§ 5.	Проблемы и перспективы
Как видно из приведенного обзора, изложенный нами метод соответствия Галуа в изучении групп подстановок и клеточных колец нашел за последние 15 лет многочисленные применения. Тем не менее до недавнего времени этот метод был известен лишь узкому кругу специалистов, его развивающих или использующих. В подтверждение этого можно, например, указать работу [43], где на зачаточном уровне переоткрыта схема описания графов, инвариантных относительно заданной группы подстановок, а также книгу [11], автор которой, крупнейший специалист в теории конечных групп, допускает некорректность, утверждая (см. с. 143), что централизаторная алгебра порождается любым своим нетривиальным базисным графом. Это подтверждает тезис о том, что концепция рассмотренного нами соответствия Галуа, несмотря на свою простоту, не является общеизвестной. Мы надеемся, что настоящий обзор приведет к положительному сдвигу в ознакомлении математиков различных специальностей с этим элементарным, но в то же время весьма эффективным средством исследования комбинаторных объектов, обладающих богатой симметрией.
Авторы не склонны переоценивать силу этого метода и его место в алгебраической теории комбинаторных объектов. Серьезным препятствием к распространению разработанных универсальных программ для вычислений в 1/-кольцах является отмеченная в п. 2.2 ограниченность ранга клеточных колец, для которых удается полностью перечислить все клеточные подкольца. Тем не менее, можно смело утверждать, что на уровне использования ЭВМ метод соответствия Галуа является удобным и эффективным средством для проверки гипотез и построения конкретных примеров.
На теоретическом уровне круг возможных применений этого метода представляется более широким. В § 3.6 книги [I] приведен список известных (Р и Q) -полиномиальных схем большого диаметра и высказана гипотеза о том, что этот список исчерпывает «почти все» (Р и Q)-полиномиальные схемы большого диаметра. В этом плане представляет интерес вопрос о том, нельзя ли получить новые (Р и Q[-полиномиальные схемы как подсхемы в схемах из упомянутого списка. То есть естественна такая задача:
Задача. Рассматривая известные (Р и Q)-полиномиальные схемы как клеточные кольца, описать все их клеточные подкольца.
Отметим, что к настоящему времени эта задача полностью решена лишь для схем Хэмминга Н(п, 2) [47] и «/-аналогов
362
Дополнение 2
схем Джонсона [46]. Следующим естественным шагом было бы рассмотрение схем Джонсона.
Остановимся вкратце на других задачах, решение которых представляло бы на наш взгляд значительный интерес. Список из 16 таких задач представлен в [41]. Четыре задачи из этого списка к настоящему времени решены (из них № 11, 12 в предположении полноты известного списка конечных простых групп). С этой точки зрения результаты М. Е. Музычука [47] (частичное решение задачи № 2) и А. В. Иванова [27] (решение задачи № 16) следует отнести к самым ярким в обсуждаемой области за последние 2—3 года. Из оставшихся задач особо акцентируем внимание на задаче построения алгоритма перечисления подколец с полиномиальной (относительно ранга исходного кольца и числа подколец) трудоемкостью. Возможный подход к разработке такого алгоритма, основанный на использовании параметров Крейна, изложен в [40]. Однако найти практическую реализацию высказанных там соображений пока не удается.
Большое значение для развития метода соответствия Галуа имела бы разработка программ, предназначенных для перечисления всех клеточных подколец в описанных на теоретическом уровне бесконечных сериях клеточных колец фиксированного ранга. Хорошим «полигоном» для апробации таких программ является поставленная в [60] задача перечисления клеточных подколец симметризованной степени клеточного кольца заданного ранга.
Литература
3.	Bannai Е., Ito Т. Algebraic Combinatorics I, Association Schemes, Benja-min/Cummings, Menlo Park, CA, 1984. [Имеется перевод в настоящей книге, с. 1—300.]
1.	Адельсон-Вельский Г. М., Вейсфейлер Б. Ю., Леман А. А., Фарад-жев И. А. Об одном примере графа, не имеющего транзитивной группы автоморфизмов. —,ДАН СССР, 1969, т. 185, № 5, с. 975—976.
2.	Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982.
3.	Алгоритмические исследования в комбинаторике. — М.: Наука, 1978.
4.	Баннаи Э., Ито Т. Текущие исследования по алгебраической комбинаторике.— В настоящей книге, с. 301—330.
5.	Бондарчук В. Г., Калужнин Л. А., Котов В. Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста. I, II. — Кибернетика, 1969, № 3, с. 1—10, № 5, с. 1—9.
6.	Вейсфейлер Б. Ю., Леман А. А. Приведение графа к каноническому виду и возникающая при этом алгебра.— НТИ, сер. 2, 1968, № 9, с. 12—16.
7.	Гольфанд Я. Ю. Описание подколец V (SPj X Sp2 X • • • X ^pm)- ~ в Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. — М.: ВНИИСИ, 1985, с. 65—75.
Соответствие Галуа
363
8.	Гольфанд Я. Ю., Иванов А. В., Клин М. X, Аморфные клеточные кольца. — В кн.: XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция. Кишинев, 16—18 сентября 1985 г. Тезисы сообщений Ч. I. — Кишинев, 1985, с. 120.
9.	Гольфанд Я. Ю., Клин М. X., Наймарк Н. Л. Строение S-колец над Z т.— В сб.: XVI Всесоюзная алгебраическая конференция. Ч. 2. — Ленинград, 1981. с. 195—196.
10.	Гольфанд Я. Ю„ Клин М. X. Аморфные клеточные кольца I. — В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. — М.: ВНИИСИ, 1985, с. 32—38.
И. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир, 1985.
12.	Давыдов Э. Г О конечных графах и их автоморфизмах. — В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 17. — А1: Мир, 1966, с. 27—39.
13.	Давыдов Э. Г. Об автоморфизмах объединений прямых произведений графов. — Кибернетика, 1968, № 6.
14.	Давыдов Э. Г, О симметрии графов. — В кн.: Вопросы кибернетики. Труды семинара по дискретной математике.—М.: Сов. радио, 1973, с. 26—49.
15.	Егоров В. Н., Марков А. И. О гипотезе Адама для графов с циркулянт-ными матрицами смежности вершин —ДАН СССР, 1979, т. 249, № 3, с. 529—532.
16.	Ждан-Пушкин В. В., Устименко-Бакумовский В. А. К-кольца Шура конечных унитарных групп, действующих на максимальных изотропных подпространствах. — В кн.: VII Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тез. докл — Киев.: ИМ АН УССР, 1982, с. 36.
17.	Зайченко В. А Алгоритмы вычислений в V-кольцах групп подстановок.— Деп. ВИНИТИ, № 5372—81, деп., 1981.
18.	Зайченко В. А. Конструктивное перечисление 2-графов порядка 10.— Деп. ВИНИТИ № 5373—81, деп., 1981.
19.	Зайченко В. А. Алгоритмический подход к синтезу комбинаторных объектов и вычислениям в группах подстановок на основе метода инвариантных отношений. — Дисс. к. ф.-м. н. — М.: МФТИ, 1981.
20.	Зайченко В. А., Иванов А. А., Клин М. X. Построение и исследование некоторых новых автоморфных графов. — В сб.: Методы и программы решения оптимизационных задач на графах и сетях. Ч. 2. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 48—50.
21.	Зайченко В. А., Клин М. X. Построение и исследование с помощью ЭВМ некоторых блок-схем и сильно регулярных графов, инвариантных относительно экспоиенцирования симметрических групп. — В сб.: Группы подстановок и комбинаторные объекты Препринт 82.14. — Киев, ИМ АН УССР, 1982, с. 18—37
22.	Зайченко В. А., Клин М. X., Фараджев И. А. О некоторых вопросах, связанных с представлением групп подстановок в памяти ЭВМ. — В сб.: Вычисления в алгебре, теории чисел и комбинаторике. — Киев.: ИМ АН УССР, 1980, с. 21—32.
23.	Иванов А. А Построение с помощью ЭВМ некоторых новых автоморфных графов. — В сб.: Аэрофизика и прикладная математика. — М.: МФТИ, 1981, с. 144—146.
24.	Иванов А. А. Комбинаторно-алгебраические методы исследования дистанционно-регулярных графов. Дисс. к. ф.-м. и.—М.: МФТИ, 1984.
25.	Иванов А. А., Клич М. X., Фараджев И. А. Примитивные представления неабелевых простых групп порядка меньше 106. Ч. 1, 2. Препринт. — М.: ВНИИСИ, 1982, 1984
26.	Иванов А. А., Чуваева И. В. Действие группы М!2 на матрицах Адама-ра. — В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов.— М.: ВНИИСИ, 1985, с. 159—169.
27.	Иванов А. В. Аморфные клеточные кольца II. — Там же, с. 39—48.
364
Дополнение 2
28.	Иванов А. В., Фараджев И. А. Ранги и подстепени симметрических групп, действующих на разбиениях. — Там же, с. 159—169.
29.	Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. Труды семинара. — М.: ВНИИСИ, 1985.
30.	Калужнин Л. А., Клин М. X. О некоторых максимальных подгруппах симметрических и знакопеременных групп. — Матем. сборник, 1972, т. 87 № 1, с. 91—121.
31.	Калужнин Л. А., Клин М. X. О некоторых числовых инвариантах групп подстановок. — Латвийский мат. ежегодник, 1976, т. 18, с. 81—99.
32.	Калужнин Л. А., Клин М. X., Сущанский В. И. Операция экспоненцирова-ния групп подстановок. I. — Изв. вузов. Сер. мат., 1979, № 8, с. 26— 33.
33.	Калужнин Л. А., Сущанский В. И., Устименко В. А. Применение ЭВМ в теории групп подстановок и ее приложениях. — Кибернетика, 1982, № 6, с. 83—94.
34.	Клин М. X. О числе графов, для которых данная группа подстановок является группой автоморфизмов. — Кибернетика, 1970, №6, с. 131 — 137.
35.	Клин М X. V'-кольца и их связь с группами автоморфизмов бинарных отношений.— Математические исследования (Кишинев), 1972, VII, № 1 (23), с. 204—205.
36	Клин М. X Об одном методе построения примитивных графов. — Труды НКИ, 1974, № 87, с. 3—8.
37.	Клин М. X. Исследование алгебо инвариантных отношений некоторых классов групп подстановок. Дисс. к. ф.-м. н.,— Николаев, НКИ, 1974.
38.	Клин М. X. Рассмотрение на ЭВМ Мир-1 исключительных случаев в задаче о максимальности индуцированных симметрических групп. — В сб.: Вычисления в алгебре и комбинаторике. — Киев.: ИК АН УССР, 1978. с. 54—72.
39.	Клин М. X. Вычисления в V-кольцах групп подстановок и их применение в теории графов и комбинаторике.—В сб.: Всесоюзный симпозиум «Искусственный интеллект и автоматизация исследований в математике» — Киев; ИК АН УССР, 1978, с. 34—36.
40.	Клин М X. Об аксиоматике клеточных колец. — В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов, — М.: ВНИИСИ, с. 6— 32.
И. Клин М X., Фараджев И. А. Метод Е-колец в теории групп подстановок и его комбинаторные применения. — В кн.: Исследования по прикладной теории графов. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986, с. 59—97.
42.	Леман А. А. Об автоморфизмах некоторых классов графов. — Автоматика и телемеханика, 1970, № 2, с 75—82.
43.	Макаров А. В. Об автоматизации решения задач на графах, обладающих закономерностью симметрии. — В кн.: Машинные методы обнаружения закономерностей, анализа структур и проектирования (Вычислительные системы, вып. 92). — Новосибирск, 1982, с. 56—61.
44.	Музычук М. Е. Описание S-колец над группой А4. — В сб.: Группы подстановок и комбинаторные объекты. Препринт 82.14. — Киев, ИМ АН УССР, 1982. с. 3—17.
45.	Музычук М. Е Строение примитивных S-колец над группой А$. — В сб.: VIII Всесоюзный симпозиум по теории групп.— 1982, Киев, с. 83—84.
46.	Музычук М. Е. Простота Е-кольца проективной линейной группы PGLn(Fq), действующей на грассманиане D™.— В кн.: XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция. Кишинев, 16—18 сентября 1985 г. Тезисы сообщений. Ч. 2. — Кишинев, 1985, с. 47.
47.	Музычук М. Е. Подсхемы схемы Хэмминга. — В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. — М.: ВНИИСИ, 1985, с. 49—65.
Соответствие Галуа
365.
48.	Погорелов Б. А. Примитивные группы подстановок малых степеней. — Алгебра и логика, 1980, т. 19, № 3, с. 348—37-9, № 4, с. 423—457.
49.	Ромов Б. А. О формульности предикатов на конечных множествах. — Кибернетика, 1971, № 1, с. 41—42.
60.	Симс Ч. К. Вычислительные методы в изучении групп перестановок. — В сб.: Вычисления в алгебре и теории чисел. — М.: Мир, 1976, с. 129— 147.
61.	Устименко В. А. Индексы пересечений алгебр Гекке Н(PGLn(q), BW/B).— В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов — ЛА: ВНИИСИ, 1985, с. 95—104.
62.	Устименко-Бакумовский В. А. Алгоритм построения блок-схем и сильнорегулярных графов с заданной группой автоморфизмов. — В сб.: Вычисления в алгебре и комбинаторике. — Киев: ИК АН УССР, 1978, с 137— 148.
53.	Устименко-Бакумовский В. А. Сильнорегулярные графы, инвариантные от-носительно групп [®ге] т при п 75= 3. — В сб.: Вычисления в алгебре и комбинаторике. — Киев: ИК АН УССР, 1978, с. 101 —113.
54.	Устименко-Бакумовский В. А. О группах автоморфизмов сильно-регулярных графов, инвариантных относительно экспоненцирования симметрических групп —В сб.: Вычисления в алгебре, теории чисел и комбинаторике.— Киев.: ИК АН УССР, 1980, с. 59—72.
55.	Устименко-Бакумовский В. А. О примитивных группах подстановок, содержащих экспоненцирование S2 S2fe. — Тезисы докладов XVI Всесоюзной алгебраической конференции. Ч. I. — Л.: ЛОМИ, 1981, с. 197—198.
56.	Устименко-Бакумовский В. А О V-кольцах Шура конечной группы Шевалле и ее группы Вейля, действующей на флагах. — В кн.: VIII Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тез. докл. — Киев.: ИМ АН УССР, 1982, с. 130.
57.	Фараджев И. А. Конструктивное перечисление комбинаторных объектов.— В кн.: Алгоритмические исследования в комбинаторике. — М.: Наука, 1978, с. 3—11.
58.	Фараджев И. А. Комплекс программ для вычислений в V-кольцах групп подстановок. — В сб.: Методы и программы решения оптимизационных задач на графах и сетях. Ч. I, Новосибирск, 1982, с 218—222.
59.	Фараджев I. О. Клыинн! шдюльця симетризованого декартового квадрата клИинних юлец рангу 3. — Вщник КиТвського университету, 1985 т. 27, с. 113—114
60.	Фараджев И. А. Клеточные подкольца симметрического квадрата клеточного кольца ранга 3. — В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. — М.: ВНИИСИ, 1985, с. 76—95.
61.	Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов. — В кн.: Прикладная комбинаторная математика. — М.: Мир, 1968, с. 107—140.
62.	Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.: Мир, 1977.
63.	Холл М. Построение конечных простых групп. — В сб.: Вычисления в алгебре и теории чисел. — М.: Мир, 1976, с. 95—128.
64.	Чуваева И. В. О некоторых комбинаторных объектах, инвариантных относительно группы Матье Afi2. — В сб.: Методы исследования сложных систем. — М.: ВНИИСИ, 1983. с. 47—52.
65.	Adam A. Problems 2—10. J. Combin. Theory, 1967, № 2, 393.
66.	Adam A. On some open problems of applied automation theory and graph-theory (suggested by the mathematical modelling of certain neuronal networks). Acta Cybern (Szeged), 1977, 3, 187—214.
67.	Brouwer A. E., Cohen A. M. Computation of some parameters of Lie geometries. Switching Math. Centrum, afdeling zuivere wisk., Amsterdam, ZW, 1983, № 198.
68.	Brouwer A. E., van Lint J. H. Strongly regular graphs and partial geo
366
Дополнение 2
metries. In «Enumerating and Designs». Acad. Press, Canada, 1984 n. 85— 122
69.	Buekenhout F., Rowlinson P. The uniqueness of certain automorphic graphs. Geom. dedic., 1981, 11, 443—446.
70.	Burnside W. Theory of Groups of Finite Order. — Cambridge Univ Press, 2nd ed. 1911.
71.	Campbell С. M., Robertson E. F. Presentations for the simple groups G, Ю5 < |G| < 106. Comm. Algebra, 1984, 12, 2643—2663.
72.	Chao Chong Yun, Wells Jackueline C. A class of vertex-transitive digraphs. J. Combin. Theory, 1973, 14, 246—255.
73.	Cohen A. M. Geometries originating from certain distance regular graphs. London Math. Soc. Leet. Note Ser., 1981, № 49, p. 81—87.
74.	Diawara O. Ph. D. Thesis, Univ, of Bruxelles, 1984.
75.	Djokovic D. Z. Isomorphism problem for special class of graphs. Acta Math. Sci. Hung., 1970, 21, 267—270.
76.	Fischer J., McKay J. The nonabelian simple groups G, |G| < 10s—maximal subgroups. Math. Comput., 1978, 32, № 144, 1293—1302.
77.	Gol’fand Jakov Ju., Naimark Nina L., Poschel Reinhard. The structure of S-rings over Z,n. Preprint. Akademie der Wissenschaften der DDR. Institute fur Mathematik, Berlin, 1983, P — Math — 01/85, 30p.
78.	Gordon L. M., Levingstone R. The construction of some automorphic graphs. Geom. dedic., 1981, 10. 261—267.
79.	Hayden John L. Association algebras for finite projective planes. J. Combin. Theory, 1983, A34, 360—374.
80. Jones J. A., Soomro K. D. Maximal subgroups of symmetric and alternating groups. Preprint, Univ, of Southampton, 1982.
•81. Kageyama S., Saha G. M., Das A. D. Reduction of the number of association classes of hypercubic association schemes. Ann. Inst. Stat Math., 1978, 30, 115—123.
82.	Klin M. H. On the edge but not vertex transitive graphs. In «Algebraic Methods in Graph Theory» Budapest, 1981, p. 399—403.
83.	Klin M. Ch., Naimark N. L., Poschel R. Schur rings over Z^m- Preprint, Acad. Wiss. DDR, № 14, Berlin, 1981.
84.	Klin M. H., Poschel R. The Konig problem, the isomorphism problem for cyclic graphs and the characterization of Schur rings. Preprint AdWdDDR, ZIMM.: Berlin, Marz, 1978.
85.	Klin M. H„ Poschel P. The Konig problem, the isomorphism problem for cyclic graphs and the method of Schur rings. In «Algebraic Methods in Graph Theory». Budapest, 1981, p. 405—434.
86. Klin M. Ch., Poschel R. The isomorphism problem for circulant graphs with pn vertices. Preprint. Zentralinst, fur Math, und Meeh., Berlin, 1980.
87.	Krasner M. Une generalisation de la notion de corps. — J. Math, pure et appl. 1938, № 19, p. 367—383.
88	McKay J. The simple groups G, |G| < 106 — character tables. Comm. Algebra, 1979, 7, № 13, 1293—1302.
89.	On construction and identification of graphs.— Ed. Weisfeiler B. Leet. Notes Math., № 558, 1976.
'90. Palfy P. P. Isomorphism problem for relational structures with a cyclic automorphism. Lakehead Univ., Dept, of Mathematical sciences., Report # 2—83.
-91. Poschel R. Untersuchungen von S-Ringen, insbesondere im Gruppenring von p-Gruppen. Math. Nachr., 1974, 60, 1—27.
02. Poschel R., Kaluinin L. A. Funktionen und Relationenalgebren. Berlin, Dentscher Verlag der Wissenshaften, 1979.
•93. Salomaa A. Some completeness criteria for sets of functions over a finite .	• TTT A _ T T •	’T’	1	Л. Irt/'rtArtA 1Л
Соответствие Галуа
367
94.	Sheehan J. The number of graphs with a given automorphism group. — Can. J. Math., 1968, 20, № 5, 1068—1076.
95.	Turner J. Point-symmetric graphs with a prime number of points.—J. Combin. Theory, 1967, № 3, 136—145.
96.	Wielandt H. Permutation groups through invariant relations and invariant functions. Leet. Notes Dept. Math. Ohio State Univ., Columbus, 1969.
Указатель обозначений
А/ 58, 62
А-= (?*/) 65
Et 67
^ = <4, Л„ Ad) 65
23 = (Во, Вь ..., Bdi 65
Р = (М/)) 67
Q = (qtW) 67
р^ 62, 86
qktj 70, 94
k> 64, 86
m(- 68, 94
и(=|X() 58, 62
4r 34
т 68
21 (двойственная к 21) 93 хт. 128
rFs 174
r<Ps 207
as 62

' * C} ... cd' ай ах ... ad\ 153
... *
Предметный указатель
адамарово произведение 68
алгебра Боуза — Меснера 65
—	Гекке 59, 146
—	квадратных блоков 133—134
—	Крейна 133—134
—	Нортона 114
—	пересечений 65
—	смежности 65
—	характеров 86
С-алгебра 86
—	Р-полиномиального типа 240
—	Q-полиномиального типа 240
антиподальная Р-полиномиальная
структура 240
ассоциативная схема (схема отношений) 62
базисный гипергеометрический ряд 207
—	граф клеточного кольца 334
бинарная полиэдральная группа 107
блок импримитивности 118, 122
валентность графа 160
вполне приводимое представление 30
геометрия Мура 183
гипергеометрический ряд 207, 282
гомоморфизм С-алгебр 130
граф Мура 189
— дистанционно-бирегулярный 323
— дистанционно-регуляризованный
323
— дистанционно-регулярный 275
— дистанционно-транзитивный 159
— локально дистанционно-регулярный 323
—	нечетный 192
—	половинный 193, 239
—	правильный 346
—	представлений 104
—	производный 239
—	циклический 347
—	циркулянтный 347
—	/-транзитивный 192
группа автоморфизмов клеточной» кольца 334
—	бинарная полиэдральная 107
—подстановок импримитивная 118
— — примитивная 119
---- регулярная 98
---- строгая 49
----точно /-транзитивная 50
---- щедро транзитивная 63
двойное антиподальное накрытие 193
--------нечетного графа 237
двойственная С-алгебра 237
двойственное S-кольцо 101
двойственность для S-колец 100
—	Кавады. — Дельсарта 96
—	Крейна 135
—	Танаки 133
—	Танаки — Крейна 140
двудольное антиподальное накрытие 193
диаметр графа 159
дистанционно-бирегулярный граф 323
дистанционно-регуляризованный граф
323
дистанционно-регулярный диграф 275
дистанционно-транзитивный граф 159
закон взаимности Фробениуса 43
2-замкнутая группа подстановок 334
зональная сферическая функция 143
-------- стандартная 145
импримитивная группа подстановок 118
импримитивная некоммутативная схема отношений 140
— схема отношений 122, 141
•370
Предметный указатель
инвариантный относительно группы мультнграф 332
индуцированное представление 43
индуцированный характер 42
клеточная алгебра 334
клеточное кольцо 334
----шурово 335
—	подкольцо 335
когерентная конфигурация 155
----однородная 62, 152
кольцо Гекке 59, 146
—	Шура 98
S-кольцо 333
V-кольцо 98
композиционный фактор С-алгебры
131
—	ряд С-алгебры 130
кратности схемы отношений 68
кронекерово произведение 45
тензорное произведение 45
левое регулярное представление группы 29
--------алгебры 65
линейный мультипликативный функционал 136
локально дистанционно-регулярный граф 323
матрица класса 60
—	пересечений 65
----дистанционно-регулярного графа 160
— смежности 58, 62
многочлены Аски — Вильсона 213
— Кравчука 21, 173
— Хана 22, 178
— Эберлейна 180
•мультиграф, инвариантный относительно группы 332
наблюдение Дж. Маккея 108, 153
надгруппа 335
накрытие двойное антиподальное 193
--------нечетного графа 237
— двудольное антиподальное 193
неприводимый характер 34
нечетный граф 192
нормальная система импримитивности 141
обобщенная геометрия Мура 190
— схема Джонсона 228
-----Хемминга 231
обобщенный d-угольннк 188
обхват графа 183
2-орбита 333
орбиталь 58
параметры Крейна 70
парная орбиталь 58
С-подалтебра 126
подсхема отношений схемы отношений 122, 141
Р-полиномиальная структура антиподальная 240
— схема отношений 159
Q-полиномиальная схема отношений 162
половинный граф 193, 239
положительно определенная матрица 31
полупростота 93
правильный граф 346
правое регулярное представление группы 29
представление группы 27
----- индуцированное 43
-----левое регулярное 29
----- правое регулярное 29
-----тождественное 28
----- точное 28
----- унитарное 33
приводимость представления 30 примитивная группа подстановок 119 — схема отношений 80 производный граф 239
прямая сумма представлений 30 путь в графе 119, 159
ранг клеточного кольца 334
расстояние между вершинами графа 159
регулярная группа подстановок 98
свертка 146
симметризация схемы отношений 65
симметричная С-алгебра 240 система импримитивности 119, 122, 141
скалярное произведение характеров 36
след матрицы 34
собственная матрица схемы отношений первая 67
— —-------вторая 67
Предметный указатель
37 F
собственное значение дистанционнорегулярного графа 160
соотношение ортогональности для характеров первое 34
----------второе 39
стандартная зональная сферическая функция 145
стандартный вектор 75
степень представления 28
строгая группа подстановок 49
сферическая функция 143
схема Джонсона 64, 174, 228
—	отношений 62
—	— билинейных форм 231
—	— двойственного полярного пространства 229
—	— знакопеременных форм 232
----импримитивная 122, 141
-------некоммутативная 140
----квадратичных форм 233
—	— коммутативная 62
---- примитивная 80
----симметричная 62
—	— типа Боуза — Меснера 62
----эрмитовых форм 232
— Хэмминга 63, 171, 230
таблица характеров группы 47, 103
тензорное (кронекерово) произведение 45
тождественное представление 28
точно /-транзитивная группа подстановок 50
точное представление 28
/-транзитивный граф 192
турнир Пэли 60
унимодальность 170
унитарная матрица 31
унитарное представление 31
условие абсолютной границы 85
— Крейна 73
С-факторалгебра 128
факторсхема отношений схемы отно-
шений 122, 142
формула Кристоффеля — Дарбу 165
функция классов 34
характер представления 34
хэммингово расстояние 171
централизаторная алгебра 59
централизаторное кольцо 50
циклический граф 347
циркулярный граф 347
числа пересечений схемы отношений'
62
число Кристоффеля 167
шурово клеточное кольцо 335
шурово умножение 96
щедро транзитивная группа подстановок 63
2-эквивалеитные группы подстановок.
334
эквивалентные представления 28
Оглавление
Предисловие	редакторов перевода..........................................5
Предисловие	....................................................9
Указания читателю....................................................11
Введение	................................................13
Глава 1.	Представления конечных групп..................................27
§ 1.1.	Представления групп ..........................................27
§ 1.2.	Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп....................................31
§ 1.3.	Лемма Шура ...................................................32
§ 1.4.	Соотношения ортогональности	для характеров....................33
§ 1.5.	Индуцированные представления .................................41
§ 1.6.	Произведение представлений ...................................45
§ 1.7.	Строгие группы подстановок....................................48
§ 1.8.	Замечания к гл. 1.............................................53
Глава 2.	Схемы отношений...............................................55
§ 2.1.	Централизаторные кольца подстановочных представлений ... 57
§ 2.2.	Схемы отношений...............................................61
§ 2.3.	Алгебры смежности (алгебры Боуза — Меснера), соотношения ортогональности для собственных матриц и параметры Крейна . 66
§ 2.4.	Формула для т.................................................75
§ 2.5.	Двойственность Кавады — Дельсарта для С-алгебр................86
§ 2.6.	S-кольца и группы подстановок с регулярными подгруппами . . 97
§ 2.7.	Интерпретация таблицы характеров конечной группы .... 103
§ 2.8.	Алгебры Нортона и группы подстановок.........................111
§ 2.9.	Примитивность и импримитивность схем отношений...............118
§ 2.10.	Двойственность Танаки — Крейна для некоммутативных схем отношений....................................................  132
§ 2.11.	Сферические функции подстановочных представлений без кратностей . .	 142
§ 2.12.	Замечания к гл. 2......................................151
Глава 3. Дистанционно-регулярные графы и (Р и (?)-полиномиальные схемы............................................................  156
§ 3.1.	Дистанционно-регулярные	графы и	Р-полиномиальные	схемы	.	159
§ 3.2.	Схемы Хэмминга Н(n,	q)	и схемы	Джонсона	/(о,	k) .	.	.	.171
§ 3.3.	Графы Мура и дру!ие	экстремальные случаи................182
§ 34.	Схемы отношений, имеющие несколько Р-полиномиальных структур ...........................................................192
§ 3.5.	(Р и Q)-полиномиальные схемы. Теорема Леонарда .... 206
§ 3	6 Список известных (Р и Q)-полиномиальных схем................227
§ 3.7.	Рациональность собственных значений (Р и Q) -полиномиальных схем.......................................................247
Оглавление	373
§ 3.8.	Обзор по проблеме характеризации известных (Р и Q)-полиномиальных	схем	посредством их параметров..................269
§3 9.	Замечания	к	1л.	3........................................275
Литература .........................................................285
Дополнение 1. Текущие исследования по алгебраической комбинаторике.
Баннаи	Э„	Ито	Т.................................... 301
§ 1.	Дальнейшие результаты, касающиеся (Р и Q)-полиномиальных схем и проблем их характеризации, концентрирующиеся вокруг работ Поля	Тервиллигера...........302
§ 2.	Новые результаты о дистанционно-регулярных графах . .311
§ 3.	Другие недавние результаты...........................322
Литература................................................328
точными кольцами (схемами отношений). Иванов А. А., Клин М. X.,	Фарасжев И. А. . ........................331
Введение .................................................331
§ 1.	Соответствие	Галуа...................................332
§ 2.	Примеры	.........................................338
§ 3.	Историческая	справка.................................348
§ 4.	Обзор некоторых результатов..........................353
§ 5.	Проблемы и	перспективы.............................361
Литература................................................362