Математический анализ для школьников - Понтрягин Л.С.

Автор: Понтрягин Л.С.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
Год: 1980
Похожие
Графики функций. Справочник
Алгебра и начала анализа, 10-12 класс вечерней школы
Курс высшей математики (для заочных техникумов)
Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 частях. Часть 1
Текст
                    Л. С. ПОНТРЯГИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Ш ШУНКОВ
Л. С. ПОНТРЯГИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
Ш.Ш
№ ним»
МОСКВА «НАУКАж
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 S О
22.16
П 56
УДК 617
Понтрягин Л. С.
П 56 Математический анализ для школьников. — М.:
Наука, 1980. — 88 с. — 10 к.
Брошюра предназначается для первоначального ознакомления с ма-
тематическим анализом. Она включает в себя матерная, охватывающий
все разделы математического анализа, изучаемые в средней школе.
В брошюре рассматриваются производные многочленов, тригонометри-
ческих функций, показательной н логарифмической функций. Интеграл
определяется как операция, обратная днфференцкрованню, как пло-
щадь графика и как предел конечных сумм. В конце нкягн даются
упражнения к каждому параграфу. В кикге делается упор не иа стро-
гость изложения, а иа вычислительную технику.
Для учащихся старших классов средней школы.

ББК 22.16
617.2

© Издательство «Наука ».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................................... 4
§ 1.	Производная........................................7
§ 2.	Вычисление производной многочлена.................13
§ 3.	Максимум и минимум. Теорема Ролля и формула Лаг-
ранжа .................................................17
§ 4.	Исследование функций..............................23
§ 5.	Производные тригонометрических функций и некоторые
правила дифференцирования..............................30
§ 6.	Неопределенный интеграл..........................37
§ 7.	Определенный интеграл ...........................42
§ 8.	Постулат сходимости..............................48
§ 9.	Бином Ньютона и сумма геометрической прогрессии . . 51
§ 10.	Функция е*.......................................54
§ 11.	Функция 1пх......................................61
§ 12.	Разложение функции е* в ряд......................63
§,13. Послесловие. О теории пределов...................64
Упражнения.............................................69
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга, объемом около пяти листов,
рассчитана на то, чтобы при удаче стать учебником ма-
тематического анализа в средней школе. Она содержит
все, что может войти в любой вариант учебной про-
граммы. Книга начинается не с определения предела и
правил его вычисления. Предел трактуется в ней как
нечто само собой понятное и разъясняется на определе-
ниях касательной и производной. С этого начинается
книга. Далее вычисляются производные многочленов,
тригонометрических функций и даются правила диффе-
ренцирования произведения и дроби, а также сложной
функции. В промежутке доказываются теорема Ролля
и формула Лагранжа. На основе этого изучаются функ-
ции, находятся участки возрастания и убывания, мак-
симумы и минимумы. Интеграл определяется в трех ва-
риантах: операция, обратная дифференцированию, пло-
щадь графика, предел конечных сумм. После этого очень
тщательно изучается функция ех как предел последова-
тельности многочленов (1 +“) ПРИ целом п, стремя-
щемся к бесконечности. Вычисляются производные
функций ех, 1пх. В конце даются упражнения к каж-
дому параграфу, немногочисленные, но иногда довольно
трудные. В книге делается упор не на логическую стро-
гость, но на вычислительную технику. Как популярная
книга может служить для самого первоначального озна-
комления с математическим анализом. Поскольку я сам
никогда не преподавал в средней школе, при написании
книжки я руководствовался здравым смыслом квали-
фицированного математика и своими личными воспо-
4
минаниями о восприятии анализа в мои школьные вре-
мена. Хотя-тогда анализ не преподавали в средней
школе, я еще до поступления в университет был до-
вольно хорошо знаком с ним. Знал, что такое производ-
ная, интеграл и умел пользоваться этим аппаратом для
решения задач. При этом я не имел ни малейшего пред-
ставления о теории пределов. О существовании ее я
узнал только в университете и был чрезвычайно этим
удивлен. Я считаю, что начинать изложение анализа
в средней школе с теории пределов не следует. Нужно
помнить, что теория пределов исторически возникла как
надстройка над уже существовавшим анализом. Тща-
тельное изучение таких вещей, как пределы и непре-
рывные функции, может навести скуку и даже вызвать
отвращение. Помню, как, будучи еще школьником, в
каком-то курсе анализа я читал доказательство теоре-
мы о том, что непрерывная функция принимает все про-
межуточные значения. Это чтение вызвало у меня тогда
крайнее недоумение и раздражение. Здравомыслящий
человек должен воспринимать график функции как хо-
рошо отделанный край незазубренной металлической
пластинки. При таком восприятии понятия графика ка-
сательная на выпуклой его части должна воспринимать-
ся как край линейки, плотно прижатой к выпуклой
части края пластины, и потому ни существование каса-
тельной, ни существование производной не должны вы-
зывать сомнение. Точно так же не должно вызывать
сомнение, что существует площадь такой пластины/ и
потому нет сомнения в том, что существует интеграл.
Мне хотелось бы, чтобы школьник при изучении геомет-
рии воспринимал треугольник как сделанный из тон-
кой металлической пластинки, так чтобы его можно
было брать в руки, перекладывать на другое место и
перевертывать наизнанку. Это не значит, что таково
должно быть определение треугольника, но восприятие
его, мне кажется, должно быть именно таким. Исходя
из таких методических‘соображений, я начинаю изло-
жение анализа не с определения предела, а с определе-
ния касательной и производной.
Мне кажется, что в учебную программу средней шко-
лы должны быть включены лишь сведения, изложенные
в параграфах с 1 по 7. Убедительное описание функции
ех, которому посвящены параграфы с 8 по 10, представ-
2 Л. С. Понтрягин	S
ляегся мне чрезмерно сложным. Тем не менее, я даю
его, исходя из требований программы. Точно так же,
для выполнения требования учебной программы я при-
вожу некоторые сведения о пределах и непрерывных
функциях, но лишь в послесловии (§ 13).
В заключение я выражаю благодарность В. Р. Те-
леснику за большую помощь, оказанную мне. при на-
писании и редактировании книжки.
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
При изучении функции важнейшую роль играет ее
производная. Если задана некоторая функция
y = f(x),	(1).
то можно вычислить функцию f'(x), которая называется
производной функции f(x). Величина f'(x) характери-
зует скорость изменения величины у по отношению к
изменению величины х. Это, конечно, не есть определе-
ние производной, а лишь некоторое ее интуитивное опи-
сание. Подкрепим это описание рассмотрением одного
частного случая. Если зависимость (1) ерть пропорцио-
нальная зависимость у = kx, то скорость изменения у в
отношении х, естественно, есть k, т. е. в этом случае мы
должны иметь f (х) = k. В этом случае производная
имеет ясный механический смысл. Если х понимать как
время, а у как пройденный за это время путь, то к
есть скорость движения точки. Здесь скорость f (х) из-
менения у в отношении х есть величина постоянная, но
при более сложной зависимости (1) величины у от ве-
личины х производная f'(x) сама является функцией
переменного х.
Производная применяется при изучении физических
процессов, где различные физические величины меняют-
ся со временем и скорость их изменения играет важней-
шую роль. Мы, однако, начнем с геометрического при-
менения производной и на этом примере уточним само
понятие производной.
Производная и касательная. Построим график функ-
ции f(x) (см. (1)) в некоторой системе прямоугольных
декартовых координат. Для этого, как обычно, на пло-
скости нашего чертежа проведем горизонтально ось
абсцисс, выберем на ней направление слева направо, и
2*	7
вертикально ось ординат и выберем направление на ней
снизу вверх (рис. 1). График функции /(л) в этой си-
стеме координат представляет собой линию, которую
мы обозначим через L. Поставим перед собой'задачу
дать логическое определение касательной к линии L в
некоторой точке а этой линии и вычисления величин,
определяющих эту касательную. Для логического опре-
деления касательной выберем вблизи точки а, которую
мы пока будем считать неподвижной, другую, близкую
к ней, но отличную от нее подвижную точку а. Через
точки а и а проведем прямую линию S, которая назы-
вается секущей линии L, так как она пересекает ее в
двух точках а и,а. Точка а, принадлежащая линии L,
может находиться как правее точки а, так н левее ее.
Начнем теперь перемещать точку а по линии L, неогра-
ниченно приближая ее к точке а. При этом движении
точки а секущая S, проходящая через неподвижную
точку а и подвижную точку а, вращается, приближаясь
неограниченно к некоторой прямой К, проходящей че-
рез точку а. Эта прямая К и называется касательной к
линии L в точке а. Касательная К проходит через опре-
деленную точку а; и потому для ее точного описания
достаточного вычислить угол наклона ср этой прямой
к оси абсцисс, точнее, тангенс угла наклона tg ср.
8
Для вычисления величины tg <р вычислим предвари-
тельно tgip" угла наклона ф секущей S к оси абсцисс.
Абсциссу и ординату точки а обозначим соответственно
через х и у:
а = (х, у),	(2)
где х и у связаны соотношением (1), так как точка а
лежит на графике Л функции /(х). Аналогично обозна-
чим через £ ит] абсциссу и ординату точки а:
а = &П),	(3)
где I и q связаны соотношением
П =	(4)
так как точка а также лежит на графике L функции
f(x). Проведем теперь через точку а две Прямые — го-
ризонтальную Р и вертикальную Q. Эти прямые парал-
лельны соответственно оси абсцисс и оси ординат
исходной системы координат. На них мы выберем* на-
правления, соответствующие направлениям, выбранным
ранее на осях координат. Прямые Р и Q, принятые за ось
абсцисс и ось ординат, сами определяют в плоскости
нашего чертежа некоторую новую систему координат
с началом в точке а. Секущая S не может быть верти-
кальной, и потому понятно, что значит выбрать на ней
направление слева направо. Так как новая ось абсцисс
Р параллельна старой оси.абсцисс, то для вычисления
угла ф нам достаточно вычислить угол между положи-
тельным направлением на прямой Р и положительным
направлением на прямой S. Этот угол ф меньше пря-
мого, но он может быть как положительным, так и
отрицательным. Новая система координат с осями Р и
Q разбивает плоскость на четыре квадранта. Угол ф
положителен, если секущая S идет из третьего квад-
ранта в первый, и отрицателен, если секущая S идет из
второго квадранта в четвертый. Абсцисса и ордината
точки а в новой системе координат равны соответ-
ственно величинам
(l-х), (т] —«/).	(5)
Для вычисления угла ф проведем Ъертикальную пря-
мую R через точку а и обозначим через 0 точку пере-
сечения прямой R с прямой Р. Рассмотрим прямоуголь-
ный треугольник а0а, в котором 0 есть вершина пря-
мого угла. ЕслИ не учитывать знака угла ф, то он
9
равен углу 0аа нашего треугольника при вершине а.
Тангенс этого угла равен длине /(0а) катета, 0а, делен-
ной на длину /(а0) катета а0. Таким образом, мы имеем
формулу
(6)
Длина /(0а) есть абсолютная величина ординаты точки
а в новой системе координат, т. е. равна |т] — у\ (см.
(5)). Точно так же длина 1(а0) равна абсолютной вели-
чине абсциссы точки а в новой системе координат, т е.
равна |g— х|. Таким образом, из формулы (6) выте-
кает
|tgtl = -}fE7p	&
Докажем теперь, что
Для этого заметим, что если точка а лежит в пер-
вой или третьей четверти, то ее абсцисса и ордината
имеют одинаковые знаки, и, следовательно, правая часть
равенства (8) положительна. В этом случае и величина
tg ф также положительна, так как угол ф положите-
лен. Если точка а лежит во второй или четвертой чет-
верти, то ее абсцисса и ордината (см. (5)) имеют раз-
ные знаки, и поэтому правая часть равенства (8) отри-
цательна. Но в этом случае и tg ф отрицателен, так как
угол ф в этом случае отрицателен. Итак, формула (8)
доказана. Заменим теперь в ней величины у, г] по фор-
мулам (1) и (4). Тогда мы получим
tg'l’ = XWSr£1-	<9>
» *
Когда точка а неограниченно приближается к точ-
ке а, ее абсцисса g неограниченно приближается к аб-
сциссе х точки а. Последнее записывают так:
(10)
Для того чтобы найти величину tg9, нам нужно вычис-
лить, к чему стремится tg ф при В виде формулы
это можно записать так:
tgф->•tgф при	(11)
10
В высшей математике последнее соотношение, состоя-
щее из двух формул, записывают в виде одной формулы
limtgip = tg<p’	(Ь2)
или, заменяя в этой формуле tgгр по формуле (9), пе-
реписывают последнее равенство в вид? формулы
tg<p = lim	(13)
lim представляет собой сокращение латинского слова
limit, русское значение которого есть предел.
Для того чтобы строго описать операцию (13), Про-
изводимую над дробью
(И)
нам нужно было бы точно определить, что значит знак
т. е. объяснить, что значит стремление переменной
величины к некоторой постоянной. Но мы полагаемся
здесь на интуитивное понимание этого процесса. Заме-
тим, что в формуле (14) нельзя просто положить g—х,
так как тогда мы получим дробь, числитель и знамена-
тель которой равны нулю, так что необходимо рассмат-
ривать процесс, приближения величины g к постоянной х
и следить при этом за поведением величины (14).
Для того чтобы разъяснить понятие предельного пе-
рехода на простом примере, рассмотрим случай, когда
функция f(x) задается формулой
y = f(x) = x*.	(15)
В этом случае дробь (14) записывается в виде
=	=	(16)
ь *	ь л
В правой части этого равенства уже можно заменить
величину g величиной х, и мы не получим бессмыслен-
ного отношения 0/0. Поэтому в этом частном случае мы
имеем
lim ~ х* = lim (g + х) = 2х.	(17)
Таким образом, мы установили, что
г г_±2
--------->2х при g->X,	(18)
Ь X
11
или, что то же самое,
	lim 1* < = 2х.	(19) ь *
Величина	lim	(20)
называется производной произвольной функции f(x) в
точке х и обозначается через f'(x), так что по опреде-
лению мы имеем
Г(х) = Нт	(21)
Таким образом, формула (19) показывает, что для
функции (15)
f'(x) = 2x.	(22)
Следует обратить внимание на то, что в формуле
(21) мы не рассматриваем отдельно двух случаев, когда
а приближается кос правой стороны и когда а при-
ближается к я с лёвой стороны. В первом случае g при-
ближается к х убывая, а во втором случае g прибли-
жается к х возрастая. При обоих этих способах при-
ближения g к х результат вычисления производной
должен быть одним и тем же. Только тогда и считается,
что производная в точке х существует. Можно, однако,
легко указать такую функцию, для которой приближения
слева и справа дают различные результаты. Рассмот-
рим в качестве примера функцию f(x), задаваемую
уравнением
y=f (х) = |хЦ-№.	(23)
Производную этой функции f(x) мы будем вычислять
при х = 0. Таким образом, в этом случае имеем
НВ)-НО) _ IВI + В2 _ Д1 । ₽
В —0	— в — В
При g положительном |g| = g, при g отрицательном
|g| = —g. Таким образом, имеем
-Щ- = +1 при g>0	(25)
п
-ф- = -1 при g<0.	(26)
12
Итак,
при £ > 0 имеем lim liLt-L. = 4. 1	(27)
5->о	6
при £<О имеем lim -1 + ^  = — 1.	(28)
5->о	»
Следовательно, предел величины (24) зависит от того, с
какой стороны приближается £ к 0: справа или слева.
£ этом случае считается, что в точке х=0 данная функ-
ция f(x) (см. 23)) не имеет производной, а соответствую-
щий график не имеет касательной. Бывают и более
сложные случаи, когда формула (21) не определяет ве-
личины f'(x). Но в дальнейшем мы будем иметь дело
только с такими функциями, для которых формула (21)
определяет величину f'(x), т. в. производная функции
f(x) существует.
Операция нахождения производной функции f(x)
((см. (21)) называется часто дифференцированием функ-
ции f (х), так что функция, имеющая производную,
называется дифференцируемой. Все рассматриваемые
нами в дальнейшем функции — дифференцируемые.
§ 2.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ МНОГОЧЛЕНА
Здесь мы. вычислим производную функции
z/ = f(x) = aoxn + aixn-1+ ... +a„_ix + a„,	(1)
J. е. производную произвольного многочлена по х с
Постоянными коэффициентами ао, ai, .... an-i, ап. При
втом нам удобно иногда будет пользоваться несколько
измененным обозначением для производной ^(х) функ-
ции /(х). Именно, мы будем обозначать иногда эту про-
изводную через (/(х))', т. е. положим
Г (*)-(/«.	(2)
Пользуясь этим обозначением, мы можем теперь запи-
сать две формулы (15) и (22) § 1 в виде одной фор-
мулы
(х2)' = 2х.
В первую очередь мы вычислим производную про-
стейшего многочлена степени п, сводящегося к одночлену.
3 Л. С, Понтрягин	13
Именно,
y = f(x) = xn.
(3)
Для вычисления производной функции (3) мы восполь-
зуемся одной очень простой, но и очень важной фор-
мулой из алгебры, доказательство которой будет здесь
приведено.
Для записи й доказательства этой алгебраической
формулы мы введем в рассмотрение многочлен <р*(и, и)
двух переменных и и и, который задается формулой
Фй(и, v) = Mft +	... + uvk~x + vk. (4)
Таким образом, многочлен <p*(u, v) представляет собой
сумму всех одночленов вида и‘Ь{, где .1 и / — неотрица-
тельные целые числа, связанные условием i -j- / = k.
Умножим многочлен ф&(и, и) на величину и, т. е. со-
ставим многочлен
Фй (и, о) • и.	(5)
Этот многочлен представляет собой сумму всех одно-
членов вида и'+'ц/, где I и / — целые неотрицательные
числа, связанные соотношением i + / = £. Таким обра-
зом, многочлен (5) представляет сумму всех одночле-
нов вида upvq, где р и q — целые неотрицательные чис-
ла, связанные соотношениями
р + <7 = Л+1.
Таким образом, многочлен (5) содержит все слагаемые,
входящие в многочлен фл+1(и»°)> за исключением од-
ного члена vft+*, и потому мы имеем равенство
Фл (u, v) • и = Фй+1 (a, v) - oft+1.	(&)
Точно так же, умножая многочлен ф*(и, о) на v, мы по-
лучим формулу
Фй (и, v) • v = ф6+1 (и, о) — uk+l.	(7)
Вычитая из равенства (6) равенство (7), получаем
Фй(и, v)(u — v) = uk+l — vft+1.	(8)
Заменяя в этом равенстве k + 1 через п и деля полу-
ченное соотношение на и — v, мы получим важную для
нас формулу
ип — vn	.	/ГЛ
=фв-1(Ц, у).	(9)
14
где ф„_1 (и, v) определяется формулой
Ф„_1 (и, v) = un~l + un~2v + ... + uvn~2 + vn~l. (10)
Следует подчеркнуть, что здесь п 1, так как п = k -|-
+ 1, где k 0. Заметим, что многочлен фп-1(м, и) со-
держит ровно п членов.
Пользуясь формулой (9), мы без труда сосчитаем
производную функции хп. Для этого, согласно прави-
лам, изложенным в § 1 (см. (21), § 1), мы должны со-
ставить предварительное отношение
1п-хп
ё~х
и найти предел этого отношения при £ -► х. В силу ал-
гебраической формулы (9) имеем
^4- = ^_, + ^“2х+ ... + &п~2 + Хп~х, (12)
где в правой части стоит ровно п членов. При переходе
к пределу при g->-x, мы должны в правой части равен-
ства (12) заменить £ через х. При этом каждый член
1‘х<, где i + / = п — Г, превратится в член хга-1. Таким
образом, получаем
tn_ гп
(хп) = lim -2=---= пх"-1
и окончательно имеем
(х'г)' = пх«т1.	(13)
При доказательстве формулы (13) мы не можем
рассматривать случай п = 0, так как формула (9) вер-
на только при п 1. Таким образом, производная функ-
ции х° = 1 нами не вычислена. Проще вычислить про-
изводную функции f(x) = c, где с — константа. Для нее
мы имеем
_ с —с „
ё-х — ё-х
Таким образом, имеем
с' = 0,	(14)
т. е. производная константы равна нулю.
Для перехода от простейшего многочлена хп к об-
щему многочлену (1) мы должны вывести два общих
правила нахождения производной. Именно, нахождение
3*	15
производной суммы двух функций и нахождение произ-
водной произведения константы на функцию. Правила
эти следующие. Если fi(x) и fi(x)— две функции, то
мы имеем
(f1(x)4-f2(x)), = /;(x)4-f2(x).	(15)
Словами: производная суммы двух функций равна сум-
ме производных слагаемых. Далее, если с есть констан-
та, а /(х) —некоторая функция, то имеем
(ef(x))'=cf'(x).	(16)
Словами: производная произведения константы на функ-
цию равна произведению константы на производную
функции.
Докажем сперва правило (15). Мы имеем
(f,(х) + f2W)'=Um fi<P.+ba)-(/,w+few) =
« x
=lim гмв-м«).+ н»-М«>1д
L ь “ x	ь *“ •* J
_,lm + Hm =
6 x	ё x
= fi(x) + f'(x).
Таким образом, правило (15) доказано. Аналогично
доказывается и правило (16). Мы имеем
Wwr = lim	_lta
= с lim —~	= cf' (х).
6-»ж	6 х
Таким образом, и правило (16) доказано.
Из правил (15) и (16) выведем одно обобщающее
правило. Допустим, что нам заданы функции fi(x),
f2(x)....fm(x) и константы сь с2, .... ст. Тогда мы
имеем следующее правило:
(cifi (х) + c2f2 (х) 4- ... + cmfm (х))' =
=	(х) + csf' (х) + ... 4- cmf'm (х). (17)
Доказательство этого правила ведется, индуктивно. Для
т = 1 оно совпадает с правилом (16). Далее, в силу
16
правила (15) имеем
fafi(x) + +cmfm(x)Y =
=(cJi (x) + ... +	(x))' + (cmfm (x)Y =
= cj; (x) +	+	(x) + cmf'm (x).
Здесь мы использовали метод индукции, именно, пред-
положили, что для функцйй числом т — 1 правило
верно. Таким образом, правило (17) доказано.
Пользуясь правилами (17), (13) и (14), мы можем
найти производную многочлена (1). Мы имеем
(аох" + fljX'1-1 + ... -j-a^x-j-a,,)^
«=а0(хп)' + а1(хп->)' + ... + an_t (х)' + а'п =
= паохп-‘ + (п—1)а!Хп-2+ ... +a„_i.
Таким образом, правило нахождения производной мно-
гочлена (1) окончательно записывается в виде
(ooxn + aix""1 + ... +a„_ix + a„)' =
= паахп~1 + (п — 1)а1хп~2+ ... +ап_|. (18)
§ 3. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
И ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Уже само определение производной наводит на
мысль, что она может быть хорошим средством иссле-
дования функции. Так, например, если известно, что
производная /'(х) функции f(x) в точке х положительна,
то интуитивно ясно, что вблизи этой точки функция /(х)
Возрастает. Это видно, в частности, из геометрического
смысла производной. Касательная в соответствующей
точке к графику функции /(х) направлена вверх. Точно
так же обстоит дело и с отрицательностью производной.
В этом случае интуитивно ясно, что вблизи точки х
функция /(х) убывает. Касательная к графику функции
f (х) в соответствующей точке направлена вниз. Уточним
эти свойства производной.
Положительность и отрицательность производной.
Согласно определению (см. § 1) производная f'(x) функ-
ции f(x) является пределом отношения
= k	(1)
17
при £->х. Отсюда следует, что если /'(х)=/=0, то при
£ достаточно близком к х отношение (1), т. е. число k
имеет тот же знак, что и f'(x). Более точно, существует
настолько малое положительное число е, что при
|&-Х|<8	(2)
знак числа k совпадает со знаком f'(x). Умножая ра-
венство (1) на число £ — х, получаем равенство
f®-f(x) = k£-x).	(3)
Знак правой части этого равенства зависит от знакор
его множителей, т. е. знаков чисел k и £ — х. Чтобы ох-
ватить по возможности кратко все четыре возникающие
здесь случая, выберем произвольно два значения £i И
£2 числа £, удовлетворяющих условию (2). Число
возьмем слева от х, £2— справа от х. Таким образом,
числа gi и g2 удовлетворяют условиям
х — е < & < х < Ь< х + е.	(4)
Помня о том, что знак числа k совпадает со знаком
производной /'(х) и учитывая знаки.правой части со-
отношения (3), мы можем записать следующие два ре-
зультата:
при f (х) > О имеем f (&) < f (х) < f (&),	(5)
при f' (х) < 0 имеем f (gi) > f (х) > f (b).	(6)
Словесно результаты (5) и (6) можно описать следую-
щим образом.
При f' (х) > 0 функция слева от точки х меньше, чем
в точке х, а справа от точки х больше, чем в точке х.
Иначе говоря, она возрастает в точке х.
При f'(x)<ZO функция слева от точки х больше^
чем в точке х, а справа от точки х меньше, чем в точке
х. Иначе говоря, она убывает в точке х.
Заметим, что если функция возрастает в точке х,
т. е. для иее выполнены неравенства (5), то отношение
-	положительно, но при £->х оно, оставаясь
положительным, может стремиться к нулю, так что
производная в точке возрастания не обязательно поло-
жительна: она только неотрицательна
Г(х)>0.	(7)
Точно так же в точке х убывания (см. (6)) производ-
ная не обязательно отрицательна, но может быть и
18
нулем, так что в точке убывания выполнено неравенство

(8)
Максимум и минимум. Говорят, что функция имеет
локальный максимум в точке х, если во всех точках,
достаточно близких к точке х, ее значения не превосхо-
дят значения функции в точке х. Или, более точно,
существует настолько малое положительное число е,
что
при |£ —х|<е имеем f(£Xf(x).	(9)
Точно так же говорят, что функция имеет локальный
минимум в точке х, если при всех значениях аргумен-
та, близких к точке х, функция имеет значения, не
Меньшие, чем в точке х. Более точно существует такое
положительное число в, что
при |£ — х | < в имеем f(£)>f(x).	(10)
Обычно слово «локальный» опускают и говорят просто
о максимумах и минимумах функции.
Оказывается, что в точках максимума и минимума
производная функции f(x) обращается в нуль-.
f'(x) = O.	(П)
Действительно, в точке максимума функция f(x) не
может иметь положительную производную, так как в
случае положительной производной справа от х функ-
ция больше, чем в точке х (см. .(5)), и, следовательно,
точка х не является максимумом. Точно так же в слу-
чае максимума функция f(x) не может иметь отрица-
тельную производную, так как в этом случае слева от
точки х она имеет значения, превосходящие значение
в точке х (см. (6)). Остается лишь одна возможность
f'(x) = 0, т. е. имеет место равенство (11).
Аналогично, в точке минимума функция f(x) не мо-
жет иметь положительную производную, так как тогда
слева от точки х ее значения меньше, чем в точке х
(см. (5)). Точно также она не может иметь и отрица-
тельную производную, так как тогда справа от точки х
она имеет меньшее значение, чем в точке х (см. (6)).
Итак, остается лишь одна возможность f'(x)=O, т. е.
имеет место равенство (11).
Таким образом, для отыскания значений аргумента,
нри которых функция имеет максимум или минимум,
19
следует рассмотреть все значения х, для которых вы-
полнено равенство (11), а затем уже детальнее выяс-
нять вопрос.
Теорема Ролля. Если функция f(x) имеет равные
значения для двух различных значений своего аргумен-
та Х[ и х2, т. е. имеет место равенство
(12)
причем функция f(x) определена на всем отрезке
[хь х2], то внутри этого отрезка найдется такое значе-,
нив 0, что
Г(0) = О.	(13)
Термин «внутреннее значение» означает, что 0 не
совпадает с концами отрезка Х] и х2, т. е. не совпадает
ни с числом xi, ни с числом х2, а лежит между ними.
Докажем это утверждение. Если функция f(x) по-
стоянна на всем отрезке [xi,x2], то в произвольной
внутренней точке отрезка имеет место соотношение
/'(0)= О (см. § 2 (14))^ Если функция f(x) непостоян-
на на отрезке [xi,x2], то имеет место-по меньшей мере
один из двух случаев.
Случай 1. В некоторых точках отрезка [xi,x2]
функция f(x) больше, чем в его концах.
Случай 2. В некоторых точках отрезка [xi,x2]
функция f(x) меньше, чем в его концах.
В первом случае функция f(xj имеет максимум в
некоторой внутренней точке 0 отрезка [xi,x2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)). Во
втором случае функция f(x) достигает своего минимума
в одной из внутренних точек 0 отрезка [xi, х2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)).Та-
ким образом, теорема Ролля доказана.
Нижеследующая формула Лагранжа является пря-
мым следствием теоремы Ролля^
Формула Лагранжа конечного приращения функции.
Если xi и х2 — два различных значения аргумента
функции f (х), причем функция f(x) определена на всем
отрезке [xi, х2], то существует такое значение аргумен-
та 0, лежащее внутри отрезка [xi, х2], что имеет место
равенство
f(x^ — f(xi) = f'{Q){x2 — xi).	(14)
20
Для доказательства этого утверждения составим,ян*
нейную функцию
ЯМ-------—х~	(15)
и докажем, что функция
f(x) — g(x)	(16)
имеет одинаковые значения в точках xi и х2, т. е. удов-
летворяет условиям теоремы Ролля. В самом делё, мь1
имеем
IМ -1 ta)=- К?-(<*>. Ж, -
„	=f(xJ-f(Xi). (17)
Далее мы имеем
(7 М) — g (х2)> — (7 (xi) — g (xi)) —
= (7 (хг) - 7 (хО) - (g (х2) - g М)) = О (18)
(см. (17)). Таким образом, имеем
7 (х2) — g (х2) = 7 (xi) — g М),	(19)
т. е. функция (16) имеет одинаковые значения в концах
отрезка [xi,x2], и потому в силу теоремы Ролля су-
ществует такое значение 0 внутри отрезка [х^хг], что
(7 (х) — g (х))' = 0 „ при х = 0,	(20)
Далее мы имеем
,(x)=f (*»)-/(*,).	(21)
*2	*1
Из формул (20) и (21) получаем
0 = 7' (0) - / (0) = 7' (6) -	•
Умножая последнее соотношение на х2 — xi, мы полу-
чаем доказываемое соотношение (14). Итак, формула
Лагранжа доказана.
Формула Лагранжа является сильным средством
для изучения функции, или, что то же самое, ее гра-
фика. Сделаем из нее два важных вывода.
Если на отрезке [xi,x2], где xi < хг, функция f(x)
имеет положительную производную во всех точках,
кроме, быть может, его концов, то на всем отрезке
i[xi,x2] функция 7(х) возрастает. Более точно, если сц
и Ов — два значения аргумента, лежащие на отрезке
21
Jxi, x2], причем ai <Z a2, то имеем
(22)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
f(a2)-f(ai) = f'(6)(a2-ai),	(23)
причем 0 является внутренней точкой отрезка [аьаг].
следовательно, и внутренней точкой отрезка [xi,x2]. Та-
ким образом, правая часть равенства (23) положитель-
на. Наше утверждение (22) доказано.
Если на отрезке [xi,x2], где хг< х2, функция f(x)
всюду умеет отрицательную производную, за исключе-
нием, быть может, концов отрезка [xi,x2], то на всем
отрезке [дц, х2] она убывает. Более точно: если ai и
а2 — два значения аргумента, расположенные на отрез-
ке [хь х2], причем ai < а2, то имеем
f(a2)<f(ai).	(24)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
(25)
где 0 — внутренняя точка отрезка [ai, а2], т. е. внут-
ренняя точка и отрезка [xi,x2]. Таким образом, правая
часть соотношения (25) отрицательна, и, следовательно,
утверждение (24) доказано.
Вторая производная. Производная f'(x) функции f(x)
сама есть функция,- и потому можно взять ее производ-
ную (f'(x))'. Она называется второй производной функ-
ции f(x) и обозначается через f"(x). Таким образом,
/"(*) = (Г (*))'.	(26)
f'(x) и f"(x) называются первой и второй производ-
ными функции f(x). Аналогично можно определить про-
изводные любого порядка функции f(x), но мы будем
пользоваться только первой и второй производными.
Различение максимума и минимума. Для того чтобы
функция f(x) имела максимум или минимум при х = Хо,
необходимо, чтобы было
Г(*о) = О	(27)
(см. (11)). Но это равенство не является достаточным
условием, для того чтобы функция f(x) имела макси-
мум или минимум в точке х = хо, и, кроме того, оно
не дает возможности сделать различие между максиму-
22
мом и минимумом. Оказывается, что достаточное уело-
вне дается второй производной, именно, если
Г(хо)¥=О,	(28)
то при выполнении условия (27) функция f(x) имеет
в точке х = х0 либо максимум, либо минимум, а знак
величины f"(x0) дает возможность различить максимум
и минимум, именно, если
Г(хо)<О,	(29)
то имеем максимум, а если
fW>o,	(30)
то имеем минимум.
Докажем это утверждение. Если имеет место нера-
венство7 (29), то первая производная	функции
f'(x) отрицательна. Кроме того, функция f'(x) обра-
щается в нуль при х = х0 (см. (27)). Таким образом,
при х < х0 имеем Д'(х) >0,	(31)
при х > х0 имеем f' (х) < 0.	(32)
Итак, при подходе к точке хо слева функция f(x) воз-
растает, а при отходе от точки хо вправо она убывает,
и, следовательно, мы имеем максимум. Аналогично,
если имеет место неравенство (30), то первая производ-
ная (f(x))' функции f'(x) положительна и при х = хо
функция f'(x) обращается в нуль. Таким образом,
при х < х0 имеем f' (х) < 0,	(33)
при х > хо имеем f' (х) > 0.	(34)
Итак, при подходе к точке х0 слева функция f(x) убы-
вает, а при отходе от точки хо вправо она возрастает, и,
следовательно, мы имеем минимум.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Напомним определение второй производной /"(х)
функции f(x). Мы имеем
= (1)
(см. § 3, (26)). Функции f'(x) и f"(x) называются со-
ответственно первой и второй производными функции
fU).	' •_
23
Применим результаты § 3 к исследованию некото-
рых функций, задаваемых многочленами. Рассмотрим
прежде всего функцию
У = 1(х) = ^-рх,	(2)
где р — постоянная. График L этой функции называется
кубической параболой.
Отметим прежде всего совершенно специальные, но
рчень заметные свойства кубической параболы. Куби-
ческая парабола центрально симметрична относительно
начала координат. В самом деле, если точка (х, у) при-
надлежит кубической параболе, т. е. величины х и у
удовлетворяют уравнению (2), то точка (—х,—у) так-
же удовлетворяет этому уравнению. Именно, имеем
(~У) = (-х)3-р(-х).	(3)
.Таким образом, наряду с точкой (х, у) к линии L при-
надлежит и симметричная к ней относительно начала
Координат точка (—х, —у).
Найдем далее точки пересечения линии L с осью
абсцисс, т. е. корни уравнения
х3 —рх = 0.	(4)
Уравнение это имеет три корня
х = 0, х=±д/р.	(5)
Последние два корня при р < 0 мнимые и потому не
имеют геометрического смысла. При р >• 0 все три кор-
ня (5) различны, и, следовательно, имеются три точки
пересечения линии L с осью абсцисс. При р = 0 три
Норня сливаются л. один трехкратный корень х = 0.
Производная функции (2) задается формулой
Г(х) = 3х2-р.	‘	(6)
Изучая знак этой функции при различных значениях х,
мы можем разбить линию L-на участки возрастания и
убывания функции f(x) и найти точки максимума и ми-
нимума. Для той и другой цели нам следует найти кор-
ни уравнения
Г(х) = Зх2-р = 0.	(7)
При отрицательном р функция f'(x) (см. (6)) поло-
жительна при любом значении х и, следовательно, функ-
ция f.(x) возрастает иа всем протяжении изменения х;
fe- ОО < х < + 00.
24
При р = 0 функция f'(x) (см. (6)) положительна
при всех значениях х #= 0. Таким образом, она возра-
стает при — оо < х < 0, 0 < х < + оо. А так как на
первом из этих участков функция х3 отрицательна, на
втором положительна, то она
возрастает на всем протяжении
изменения х от — оо до + оо.
В точке х = 0, где’/'(х)=0,
функция f(x) также возрастает.
Таким образом, при х = 0, где
f'(x) = 0, функция х3 не имеет ни
максимума ни минимума. От-
сюда видно, что условие (11)'
§ 3, необходимое для того, что-
бы функция f (х) в точке х имела
максимум или минимум, не яв-
ляется достаточным.
В случае положительного р
уравнение (7) имеет два корня
(8)
Следует проверить, ие имеет ли
функция f (х) в точках xi и Х2 ло-
кальных максимумов или мини-
мумов. Те же точки xi и хг раз-
бивают все протяжение измене-
ния х на участки
на
На первом из этих участков
функция f(x) положительна, на
втором — отрицательна, на
ем — вновь положительна,
образом, функция f(x)
стает иа первом участке,
стает иа третьем. Отсюда
точка максимума, а точка
образом, кубическая парабола имеет три существенно
различные формы в зависимости от значения р: первая
р < 0, вторая р = 0, третья р > 0. На рис. 2 кубиче-
ская парабола изображена во всех трех случаях.
треть-
Таким
возра-
убывает
же видно, что точка xi есть
ха — точка минимума. Таким
втором и возра*
25
Рассмотрим уравнение
х3 — рх = с.	(10)
Геометрически ясно, что при р < 0 это уравнение имеет
лишь один действительный корень. При р == 0 это урав-
нение имеет также лишь один действительный корень,
за исключением случая с = 0, когда имеется тройной
корень х = 0. Если р > 0, уравнение (10) имеет три
корня при
f(x2)<c<f(x1),	(11)
причем в крайних положениях значения с на отрезке
(11) имеется один простой и один двойной корень. Вне
отрезка (И) имеется лишь один действительный корень
уравнения (10).
Кубическая парабола (2) всегда проходит через на-
чало координат. Тангенс угла наклона ее в начале коор-
динат определяется формулой
f'(O) = -p.	(12)
Та.ким образом, сама касательная имеет уравнение
y = g(x) = — px.	(13)
Эта касательная разбивает всю плоскость на две части:
верхнюю, лежащую над ней, и нижнюю, лежащую под
ней. Произвольная точка (х*, «/*) плоскости лежит над
прямой (13), если
У*>— рх*.	(14)
Точка (х*, у*) лежит под прямой (13), если
У* < — рх*.	(15)
Выясним, в какой из рассмотренных двух полуплоско-
стей лежит точка (х, у) кубической параболы, т. е. точ-
ка, удовлетворяющая уравнению (2). Для выяснения
этого вопроса мы должны сравнить величину
х3 —рх	(16)
с 'величиной
-рх.	(17)
Ясно, что при х < 0 величина (16) меньше величины
(17), а при х > 0 величина (16) больше величины (17).
26
При х < 0 точка (х, у) кубической параболы удовлет-
воряет условию (15), т. е. лежит под касательной, а
при х> 0 эта точка удовлетворяет условию (14), т. е;
лежит над касательной. Сле-
довательно, в начале коор-
динат кубическая парабола
переходит с одной стороны
касательной на- другую ее
сторону.
Явление перехода линии
с одной стороны касатель-
ной на другую вблизи точки
касания имеет общий инте-
рес. Займемся им.
Точка перегиба. Пусть
L — некоторая линия, а —
точка этой линии и К. — ка-
сательная к линии L в точ-
ке а (рис. 3), Точка а на-
зывается точкой перегиба
линии L, если вблизи ее ли-
ния L переходит с одной
стороны касательной на дру-
гую. Оказывается, что если L является графиком неко-
торой функции
y = f(x),	(18)
то в точке перегиба а линии L абсцисса b точки а удов-
летворяет условию
Г (6)-о.	U9)
Докажем это утверждение. Уравнение касательной
К мы можем записать в виде
y = g(x) = f'(b)-x + b*.	(20)
Здесь f'(b) есть тангенс угла наклона касательной к оси
абсцисс, а Ь* — некоторая константа, которая опреде-
ляется условием
f{b)-g(b) = O.	(21)
Это условие выражает тот факт, что касательная в точ-
ке а к линии L проходит через точку а. Рассмотрим
функцию
h(x) = f(x)-g(x).	(22)
27
Эта функция-удовлетворяет двум условиям
h(b) = O, h'(b) = O.	(23)
Таким образом, график функции
y = h(x)	(24)
касается оси абсцисс в точке х = Ь (см. рис. 3) . Каса-
тельная К разбивает плоскость чертежа на верхнюю по-
луплоскость и нижнюю полуплоскость. Если линия L
переходит в точке а из верхней полуплоскости в ниж-
нюю полуплоскость, то график функции {24) пересе-
кает ось абсцисс сверху вниз. При этом функция Л(х)
убывает. Если, наоборот, линия L пересекает касатель-
ную, переходя из нижней полуплоскости в верхнюю по-
луплоскость, то график функции (24) пересекает ось
абсцисс снизу вверх. При этом функция h(x) возрастает.
Если имеет место первый случай, т. е. h(x) убывает
вблизи точки х = Ь, то производная ее вблизи точки b
не может быть положительной, т. е. вблизи точки х=Ь
она удовлетворяет условию
Л'(х)<0.	(25)
Таким образом, функция h'(х) имеет в точке х=Ь
максимум, и, следовательно, ее производная равна нулю
(Л' (х))' = h" (х) = 0 при х = Ь,
т. е.
ft"(ft) = 0.	(26)
Если имеет место второй Случай, т. е. функция Л(х)
вблизи точки х = b возрастает, то. производная ее не
может быть отрицательной, т. е. вблизи точки х — Ь
мы имеем неравенство
Л'(х)>0.	(27)
Таким образом, функция Л'(х) имеет минимум в точке
х = Ь, потому ее производная в этой точке равна нулю,
т. е. мы имеем	/i '
(ft' (х))' =• ft" (х) = 0 при х=Ь.
Таким образом, в обоих случаях получаем
ft"(6) = 0.	(28)
Заметим далее, что для функции g(x), линейной отно-
сительно х, имеет место равенство
g"(x) = 0.	(29)
28
Таким образом, из формул (28) и (29) мы получаем
0 = (f (х) —ff(x))" = f"(x) —О при х = Ь,
и, следовательно,
f"(b) = O.	(30)
Таким образом, доказано, что в точке перегиба графика
функции f(x) имеет место равенство (19). Не следует,
однако, думать, что это равенство является достаточ-
ным условием для того, чтобы точка с абсциссой b была
точкой перегиба графика функции (18).
Вернемся теперь к кубической" параболе. Вычислим
вторую производную функции (2). Мы имеем
f" (х) = (х3 — рх)" = 6х. ч	(31)
Д1ы уже установили, что начало координат является
Точкой перегиба кубической параболы (2). Выражение
(31) для второй производной функции (2) показывает,
Ито начало координат является единственной точкой пе-
региба кубической параболы, так как вторая производ-
ная (31) обращается в нуль лишь при х = 0.
Ниже приводятся три задачи для самостоятельного
решения. Первая из них — легкая, вторая и третья пред-
ставляют собой вполне серьезные математические проб-
лемы, требующие больших усилий для самостоятель-
ного решения.
Задача 1. Изменить масштабы длины на осях си-
стемы координат, в которой задано уравнение (2), т. е.
ввести вместо старых координат х и у новые коорди-
наты Х1_И yi, положив
x—kxi, у = 1у\,	(32)
где k и I—действительные положительные числа. Сде-
лать это так, чтобы после преобразования координат
(32) уравнение (2) имело один из трех следующих ви-
дов!
^ = х’ —хр ^ = х?, yj-xf+xj. (33)
Задача 2. Исследовать функцию
y = f (x) = x3 + aix2 + a2x + th.	(34)
Для этого вычислить производную f'(x) и при по-
мощи нее разбить весь интервал изменения х: — оо <1
< х <. + оо на участки, на которых функция (34) воз-
растает и убывает. Далее вместо старых координат х И
4 Л. С. Понтрягин	~	29
у ввести новые координаты xt и уи связанные со стары»
ми соотношениями
x =	^ = ^i + 0-	(35)
Такое преобразование координат означает параллельное
смещение старой системы координат. Сделать это таким
образом, чтобы в новой системе координат уравнение
кривой имело вид (2). Сделать это можно двумя спо-
собами. Непосредственно подобрать величины аир
так, чтобы полученное уравнение имело вид (2), или
же найти точку перегиба графика L функции (34) и пе-
ренести в эту точку перегиба путем параллельного сдви-
га начало координат. Найти формулу
р = р (аь а2, аз),	(36)
выражающую коэффициент р в новой системе коорди-
нат через старые коэффициенты. Поскольку уравнение
f (х) = х3 + aix? + а^х + аз = 0	(37)
при p(alt а2, аз) < 0 (см. (36)) может иметь только
один действительный корень, при р = 0 может иметь
либо только один действительный корень, либо один
тройной действительный корень и при р > 0 может
иметь три действительных корня, выяснить, при каких
условиях в последнем случае имеются три действитель-
ных корня.
Задача 3. Изучить функцию
f (х) = х44-61Х3 + й2х2 4-63x4-64	(38)
и ее график. Для этого вычислить производную f(x)
функции (38) и, пользуясь результатами, полученными
в задаче 2, качественно выяснить возможности поведе-
ния графика функции (38), в первую очередь число воз-
можных максимумов и минимумов, и выяснить зависи-
мость этого числа от коэффициентов 61, 62, 63, 64 функ-
ции (38). Найти точки перегиба и вычислить их коорди-
наты через коэффициенты 61, 62, 63, 64.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Здесь мы в первую очередь вычислим производные
тригонометрических функций, sin х и cos х, где угол х
измеряется ие в градусах, а в радианах. При этом вы-
числении будет использован одни факт, приводимый без
80
доказательства. Он доказывается громоздко и неинте-
ресно, а поверить в него легко. Факт этот следующий.
Пусть К — некоторая окружность, а а и Ъ — две ее
точки, не находящиеся в диаметрально противополож-
ном положении. Длину меньшей из дуг (ab) окружно-
сти К мы обозначим через s(ab), а длину хорды ab че-
рез ЦаЬ). Очевидно, что
s (ab) > I (ab).	(1)
Мы принимаем без доказательства, что отношение
стремится к единице, когда точки а и b неограниченно
сближаются, т. е. когда s(a&)->0. В виде формулы это
можно записать так
lim
s (ab)->0 s (ab>
Из этого не доказанного утверждения мы уже со-
вершенно строго выведем другое, которым и будем
пользоваться. Для этого в
координатной плоскости вы-
берем окружность К радиу-
са 1 с центром в начале ко-
ординат о (рис. 4). Через о'
обозначим самую правую
точку окружности К, т. е.
точку пересечения ее с по-
ложительной полуосью аб-
сцисс. От точки о' отложим
вверх по окружности дугу
длины Л < л/2 н конец ее
обозначим через Ь. Точно
также от точки о' отложим
вниз дугу длины Л и обо-
значим конец ее через а. Тогда мы имеем
I (ab) = 2 sin Л, s (ab) = 2h.
Таким образом, из соотношения (2) получаем
lim lim 2^1 = 1.
Л->0 п 2Л->0 £п
Таким образом, окончательно получаем нужное
соотношение
(2)
Рис. 4.
(3)
нам
(4)
lim-^=l
h->0 h
4*
31
Формула эта доказана для положительного Л, но она
верна также и для отрицательного h, так как при изме*
нении знака h знак sin h меняется.
Докажем теперь уже совершенно строго еще одно
нужное нам в дальнейшем утверждение
lim 1 ~ cos h = 0.	(5)
h-»0
Мы докажем это соотношение, .заменив его более силь-
ним. Именно, мы заменим стоящую в знаменателе ве-
личину h меньшей величиной sin h. Мы имеем
1 — cos ft_. (1 — cos ft) (1 + cos ft) _	1 — cos 8 ft_
sin ft	sin ft (1 + cos ft)' sin ft (1 +cos ft) ’
sin8 ft	sin ft
sin ft (1 + cos ft) 1 + cos ft *
Из этого непосредственно следует, что
а это утверждение, как было уже замечено, сильнее,
чем доказываемое нами утверждение (5).
При вычислении- производных sin'x и cos'x мы вос-
пользуемся определением производной (см. § 1 (21)),
но при этом несколько изменим обозначения. Именно,
положим g — х = ft, т. е. g = х + ft. Ясно, что
при £->х имеем ft->0.
Величина й называется приращением аргумента.
Пользуясь этими обозначениями, мы можем переписать
определение (21) § 1 производной в виде
Г (х) = lim ,^x + h>-fSxl,	(6)
Л->0	Л
Величина f(x-j-h)—f(x)' называется приращением
функции, соответствующим приращению Л аргумента.
Таким образом, для вычисления производной sin'x нам
нужнсьвычислить величину
sin (х + ft) — sin х = sin х cos ft + cos x sin ft — sin x =
= sin x (cos ft — 1) + cos x sin h.
Таким образом, мы получаем
sin'X = lim ЛИ^А-1) + Iim sjnftcosa = cosx
32
Р(см. (5) и (4)). Итак, окончательно мы получаем
sin' х = cos х.	(7)
Совершенно так же будем вычислять производную
cos' х. Для ее нахождения нам нужно вычислить раз-
ность
cos (х + Л) — cos х = cos х cos h — sin x sin h — cos x =
= cos x (cos h — 1) — sin h sin x.
Мы получаем
_ , r cos x (cos ft—1)	.. sin ft sin X
cos x = hm------—r------’— lim-----r----= — sin x
h-+0	n	h-t-0 n
"(cm. (5) и (4)). Таким образом, окончательно получаем
cos' х = — sin х.	(8)
Производная произведения и дроби. Мы уже умеем
находить производную суммы двух функций (см. § 2,
(15)). Очевидно, что очень важно уметь находить про-
изводную произведения двух функций и производную
бтношения двух функций. Обозначим через и(х) и и(х)
две функции переменного х и будем искать производ-
иые двух функций и (х) v (х),	.
При нахождении этих производных мы будем поль-
зоваться определением производной (см. § 1, (21)). Та-
Дим образом, для нахождения производной произведе-
ния нам нужно прежде всего вычислить выражение
«(В) v (В) — и (х) v (х) =
= « (В) V (I) — и (х) V (В) + и (х) V (В) — u(x) V (х) =
= (и (В) — и (х)) V (В) + и (х) (о (В) — о (х)).
Таким образом, получаем
(и (х) V (X))' = lim (В)-«(*)»(< =
= Пт <В) ~ “(х^ ° I пт “ Iх) (° (В) — о (х)) =
' б-»х В — * "И £->х В — *
= и' (х) о (х) + и (х) v' (х).
Таким образом, окончательно получаем важнейшую
формулу
(и (х) v (х))' = и' (х) v (х) + и (х) о' (х).	(9)
33
Совершенно так же будем искать производную дро*
би . Для этого нам прежде всего нужно посчитать
выражение
и (Е) _ “(*) _ И (ё) о (х) — о (ё) и (х) =
V (Е) V М	V (£) V (X)
_ и (ё) о (х) — и (х) о (х) + и (х) о (х) — о (ё) и (х)
v (Е) о (*)
(и (ё) — и (X)) О (X) — (о (В) — О (х)Хи (х)
V (Е) о (*)	*
Таким образом, мы получаем
и (Е) и (X)
( «MY — lim ° (Е)	° (*) —
6-л
«LE)z«W 0(х)
«(EHW “ К
v (ё) — о (х) . .
Е-х
V (Е) V W
и' (х) V (х) — у' (х) и (х)
— (о (х))2
Таким образом, окончательно получаем
( и (X) \' и' (х) о (х) — у' (х) и (х)
\ V (х) )	(о (х))2
(10)
Производная сложной функции. Будем исходить из
двух заданных функций <р(х) переменного х и Ф(«/) пе-
ременного у. Положим
t/ = qj(x).	(И)
Подставим это выражение для у в функцию ф(у). Тог-
да мы получим функцию
f (х) — ф (у) = ф (<р (х)).	(12)
Эта новая функция f(x), образованная из двух функций
ф(г/) и ф(х), называется сложной функцией. Наша за«
дача заключается в том, чтобы найти производную
сложной функции f(x). При вычислении мы будем поль*
зоваться определением производной (см. § 1 (21)). По-
ложим
П = Ф(В).	(13)
Тогда
при |->х имеем ч\-+у.	(14)
34
Согласно определению производной
t-fa)_|im±<3)-=*<<».	(15)
Теперь мы имеем
f' /х) _ ]im Ф (п) - Ф (у) _ цт Ф (ч) - Ф (у) . <(£)-ф(х)
\ ’ 1->х	Е-*	п-у Е~*
Таким образом, имеем
fW = |lm ’Ш£±М.||т Л«>=уЫ =
Т]->У Л У	$->х	® х
причем вместо у в полученный результат следует под-
ставить его значение у = ф(х).
Таким образом, окончательно получаем
(Ч>(ф (*)))'=Ф'(ф(*))ф'(Д	(16)
Объясним написанную формулу словами: для того что-
бы получить- производную сложной функции f(x) =
= ф(ф(х)), мы прежде всего должны сосчитать произ-
водную фУнкЦии Ф(^) по переменному у, т. е. найти
функцию ф'(г/), а затем подставить в полученное вира-
жение вместо у величину ф(х). После этого полученное
выражение мы должны умножить на ф'(х).
Производная рациональной степени х. Пользуясь по-
лученными общими результатами, вычислим производ-
ную функции
/ДО-/,	(17)
где г — рациональное число. Рассмотрим сперва случай,
когда г есть отрицательное целое число
г = — п,	(18)
где п — положительное целое число. 6' этом случае мы
имеем
*г=4т-	<19>
и для вычисления производной от хг мы можем восполь-
зоваться правилом (10). В силу этого правила и пра-
вила (13) § 2 имеем
(jr) -
Кем. (18) и (19)).
35
Таким образом, для целого отрицательного г полу?
чаем
(*0' = гхг-1.	(20)
Пусть теперь
r = f,	(21)
где р и q — целые числа и <?=#=0. Для нахождения про-
изводной функции хг воспользуемся правилом’(16). Мы
положим при этом
1/ = ф(х) = хР/а, ф(1/) = г/а.	(22)
Тогда имеем ф(ф(х)) = хр. Беря производную по х от
этого равенства, и применяя к левой части правило
(16), получаем
^’-1-ф'(х) = рхР-1.
Подставляя в это равенство у = ф(х), получаем
<?х ’	W • ф< (х) = рхР~1.
Решая это уравнение относительно величины ф'(х), по*
лучаем
ф (х) = -^-Х	’ =дх4 =ГХГ
Таким образом, окончательно получаем
(xrY=*rxr~l.	(23)
Итак, при произвольном рациональном числе г полу-
чаем то же правило нахождения производной, что и для
целого числа п (см. § 2 (13)),
Производная функции tgx. Для нахождения произ-
водной этой функции воспользуемся правилом (10).
Именно, положим
Тогда в силу правила (10) мы имеем, учитывая (7) и
(8).
,. ч/ »1п' х cos х — cos' х sin х cos2x + sin2x___1
l К X? “=	cos’x	cos2 x	cos2 x ’
Таким образом, окончательно получаем
tg/* = i = 1 + tS2x- <24>
3G
§ 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Всякий раз, когда в математике рассматривается
какая-либо операция, возникает вопрос об операции,
к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рас-
сматривается обратная к ней операция вычитания. На-
ряду с операцией умножения рассматривается обрат-
ная к ней операция деления, наряду с операцией воз-
ведения в степень рассматривается обратная к ней опе-
рация извлечения корня. Прй рассмотрении обратной
операции возникают два основных вопроса: ее осуще-
ствимость и ее единственность. Так, если рассматри-
вать только действительные числа, то извлечение квад-
ратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь
квадратный корень из отрицательного числа. Точно так
Же извлечение квадратного, корня не является опера-
цией однозначной, так как при извлечении квадратного
корня из положительного числа мы получаем два его
значения: положительное и отрицательное. Теперь, ког-
да мы ввели операцию дифференцирования, возникает
вопрос об операции, обратной к ней, которая называет-
ся операцией интегрирования. Для операции интегрй-
рования мы должны будем решить два основных
вопроса: вопрос об осуществимости операции интегриро-
вания и вопрос об единственности операции интегриро-
вания. Перейдем к точным математическим формули-
ровкам. Если задана функция f(x), то функция й(х),
заданная для тех же значений аргумента, что и f(x), и
удовлетворяющая условию
Л'(х) = /(х),	(1)
называется интегралом функции f(x) или первообраз-
ной для функции f(x). Переход от заданной функции
f(x) к функции й(х), удовлетворяющей уравнению (1),
является операцией, обратной к операций дифференци-
рования, и называется операцией интегрирования. Сразу
же видно, что операция интегрирования неоднозначна.
Именно, если функция h(x) удовлетворяет уравнёнйю
(1), то функция й(х)+с, где с — констайта, удовлетво-
ряет тому же уравнению. Действительно, мы имеей
(й (х) + с)' = й' (х) + с' = й' (х) + 0 = f (х)	(2)
(см. § 2 (14)). Оказывается, однако, что вся неоднознач-
ность операции интегрирования сводится И прибавлений,
константы. Докажем это.
87
Докажец прежде всего, что если функция Л(х)' удов-
летворяет уравнению
Л'(х) = О,	(3)
то функция ft(x) есть константа
Л (х) = с.	(4)
Это утверждение верно, однако, лишь в том случае,
когда множество допустимых значений аргумента х
функции h(x) связно. Связность означает, что наряду
с любыми двумя допустимыми значениями аргумента xi
и Х2 функции Л(х) допустимым значением аргумента
является и любое число, промежуточное между xi и х2-
Об этом никогда не следует забывать. Докажем теперь,
что из соотношения (3) следует соотношение (4). Пусть
Xi и х2— два произвольных значения аргумента функ-
ции h(x). Так как множество значений аргумента функ-
ции h(x) связно, то она определена иа всем отрезке
[xi, х2],- и потому в силу формулы Лагранжа (см. § 3,
(14)) имеем
/1(х2)-Л(х1) = Л'(0)(х2-х1).	(5)
Так как Л'(0) = О (см. (3)), то из соотношения (5) мы
получаем соотношение (4). Пусть теперь Л1(х) и
h%(x)— Две функции, удовлетворяющие уравнениям
h'l(x) = f(x), h'2(x) = f(x),	(6)
так что функции hi(x) и Л2(х) являются первообраз-
ными одной и той же функции f(x). Докажем, что тогда
имеет место соотношение
h2(x) = h1(x) + c,	(7)
где с ^константа. Действительно, положим Л(х) =
= hs(x)—Л1(х). Тогда имеем
Л' (х) = (й, (х) - ht (х))' = h'2 (х) - hi (х) = f (х) - f (x) = 0,
и, следовательно, функция Л(х) является константой.
А отсюда следует, что имеет место равенство (7). При
доказательстве мы использовали тот факт, что функции
Ai(x), Л2(х), а следовательно, и f(x) заданы на связном
множестве. Решение Л(х) уравнения (1) записывается
й виде
Л (х) = J f (х) dx.	(8)
Знак j в формуле (8) читается: интеграл. Так как
эта формула определяет функцию Л(х) неоднозначно, а
лишь с точностью до постоянного слагаемого, то выпи-
санный в правой части формулы интеграл называется
неопределенным.
Вопрос о нахождении решения Л(х) уравнения (1)
при заданной функции f(x) мы в настоящее время мо-
жем положительно решить при некоторых конкретных
функциях f(x), причем метод решения сводится практи-
чески к угадыванию решения на основе тех формул,
которые были даны в §§ 2—5. Так, если функция /(х)
есть многочлен
f (х) = сохп + с1х'*~1 + ... 4- сп_ ix + сп, (9)
то, пользуясь формулой (18) § 2, мы можем найти функ-
цию h(x). Именно, имеем
Л (х) = J (coxn + cix"-1 + ... + c„_jx + сп) dx =
= 7TTx',+1 + vxn+ + ^х! + ^-Ч <10>
где с — произвольная константа.
Точно так же из формул (8) и (7) § 5 следует
J sin х с/х = — cos х + с, J cos х с/х = sin х + с, (11)
где с — произвольные константы.
Из формулы (24) § 5 следует
= tg х 4-с.	(12)
Существует много различных способов нахождения
неопределенных интегралов, но все они практически
сводятся к угадыванию. Здесь мы не будем их изла*
гать. Дадим лишь одно общее правило. ^Если для функ-
ций fi(x), \2(х}.../т(х) известны^ их. первообразные
fti(x), ft2(x), .... ftm(x), так что выполнены соотноше-
ния h't(x) = f((х) (/=1, 2....т),	то для функции
f (х) = cifx (х) + c2f2 (х) + ... +cmfm(x), (13)
где Ci, с2, ...» ст суть константы, мы можем выписать
неопределенный интеграл
\f(x)dx = clhi(x) + c2h2(x)+ ... + cmhm (х) + О, (14)
где с ^произвольная константа!
39
Дадим простое, но очень важное применение полу-
ченных результатов к одной задаче механики.
Рассмотрим движение точки по прямой линии. Для
математического описания этого движения примем нашу
прямую за ось абсцисс, а положение точки в момент
времени t обозначим через x(t), подразумевая подх(/у
как саму точку, так и ее абсциссу. Функция x(t) вре-
мени t полностью описывает движение точки в зависи-
мости от времени. Если t и т — два момента времени,
причем t < т, то за отрезок времени т — t точка прохо-
дит путь х(т)—x(t), и средняя скорость движения точ-
ки x(t) на отрезке времени [/, т] определяется, есте-
ственно, формулой
(15)
Чем ближе значение т к значению t, тем точнее дробь
(15) определяет скорость движения в момент времени
t. Таким образом, эта скорость р(/) определяется фор-
мулой
p(0 = lim-x(T2~ ,х(^.	(16)
Правая часть этого равенства представляет собой не
что иное, как производную функции х(<) по t, так что
скорость v(t) в момент времени t движения точки х(<)
определяется формулой
о(/) = х'(0.	(17)
Если скорость v (/) движения точки не зависит от t, т. е.
точка движется с постоянной скоростью р(/)=р, где
V Достоянная величина, то положение точки х(0 сле-
дует искать из уравнения
х'(0=Ь.	(18)
Решение этого уравнения, согласно формуле (10), запи-
сывается в виде
x^vt + c,	(19)
Где с — постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины обозначим через хо положение точ-
ки х(1) в момент времени t = 0. Подставляя хо = х(О)
й соотношение (19), получаем
х (0) = х0 = с,	(20)
40
Таким образом, решение уравнения (18) записывается
в виде
x(O = xo + trf,	(21)
где хо — есть положение точки в начальный момент
времени t = 0, a v—постоянная скорость движения
точки. Уравнение (21) описывает движение точки с по-
стоянной скоростью V.
Если скорость движения точки непостоянна, то на-
ряду со скоростью рассматривается другая важная ве-
личина—-ускорение, которое характеризует изменение
скорости. Аналогично тому, как мы определили среднюю
скорость, мы определим среднее ускорение на отрезке
времени от t до т. Оно определяется формулой
^,(0.	(22)
Чем ближе момент времени т к моменту времени t, тем
точнее формула (22) дает ускорение движения точки в
момент времени t. Таким образом, точное значенйе u(t)\
ускорения точки в момент времени f определяется фор-
мулой
u(/) = lim р(т)2-°-(^.	(23)
t->/ т ‘
Стоящая в правой части этого равенства величина есть
не что иное, как производная v'(t) функции v(t) по не-
зависимой переменной t, так что имеем
и(0 = о'(П.	(24)
Принимая во внимание формулу (17), мы можем пере-
писать равенство (24) следующим.образоМ:
u(t) = x"(t)	'	(25)
(см. § 4 (1)). Таким образом, скорость движения точки
х(0 в момент времени t есть производная x'(t), а уско-
рение движения точки х(() в момент времени t есть вто-
рая производная x"(t\.
Большой интерес представляет собой равномерно
ускоренное движение, т. е. такое движение, при котором
ускорение u(t\ является постоянной величиной
и (0 = и,	(26)
где и — постоянная величина. В этом случае скорость
v (/) движения точки следует получить из уравнения
о'(0 = «.	(27)
41
В силу формулы (10) решение этого уравнения за-
писывается в виде
v(t) = ut + с,	(28)
где с — постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины обозначим через о0 скорость движе-
ния точки x(t) в момент времени t = 0. Подставляя в
уравнение (28) t~Q, получаем v(O)=uo = c. Таким
образом, решение v(t) уравнения (27) записывается в
виде
° (0 = v0 + ut
Подставляя вместо v(t) величину х'(/), мы получаем
для функции x(t) уравнение
х' (0 = v0 + ut.	(29)
Согласно ранее полученным результатам (см. (10)) ре-
шением этого уравнения является функция
x(0 = v,/ + -|-Z2 + c,	(30)
где с постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины с обозначим через х0 положение
точки x(t) в момент времени f = 0. Подставим t = 0 в
уравнение (30). Тогда мы получим х(0)= хо= с.
Таким образом, равномерно ускореннное движение
описывается уравнением
x(O = Xo + vo/ + 4--	(3D
§ 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЙЙТЕГРАЛ
•Интегрирование возникает в математике не только
как операция, обратная к дифференцированию, но так-
же и при решении многих других задач, в частности
при вычислении площади в геометрии. Вычисление пло-
щади фигур на плоскости, ограниченных кривыми ли-
ниями, приводит нас к интегрированию. При этом ин-
теграл перестает быть неопределенным, так как пло-
щадь фигуры имеет вполне определенное значение. Мы
рассмотрим здесь простейшую .задачу вычисления пло-
щади, приводящую к определенному интегралу,
। _ Вудем исходить из заданной функции
у = /(х)	(1)
42
итрафика L этой функции, построенного в обычной пря-
моугольной декартовой системе координат. Предполо*
жим пока, что весь график L проходит над осью абс-
цисс. Пусть и, v — два каких-нибудь значения аргу-
мента х функции f(x), причем и < v. Точки графика U
с абсциссами и и о мы обозначим соответственно через
а, Ь. Теперь естественно выделяется кусок плоскости,
ограниченный снизу отрезком [и, и] оси абсцисс, сле-
ваординатой иа, справа —ординатой vb и сверху от-
резком [а, Ь] графика L. Этот кусок плоскости мы обо-
значим через Q (и, v) . Здравый смысл и потребности при-
менения говорят нам, что кусок Q(u, v) плоскости имеет
определенную площадь. Эту площадь мы обозначим че-
рез h(u,v). Выберем теперь два значения аргумента
Хо и х функции f(x) и положим
й(Хо, х) = Л(х).	(2)
Обозначая соответствующую площадь через Л(х), мы
тем самым подчеркиваем, чтб рассматриваем ее как
функцию переменной величины х. Вычислим теперь про-
изводную й'(х) так определенной функции й(х), Выбе-
рем для этого некоторое значение £ аргумента нашей
функции (1), близкое к х. Для определенности будем
считать, что g > х. Для вычисления производной h (х)
мы прежде всего должны вычислить разность ft(g)—
—h(x), т. е. разность площадей фигур Q(x0, g) и
Q(x0, х), Эта разность равна площади фигуры Q(x, g).
Имеем	*	* ’
ft(g)-ft(x) = ft(x, g).	(3)
Мы не будем точно вычислять площадь h (х, g) фи-
гуры Q(x, g), а дадим только ее оценку. Для этого вве-
дем новые обозначения. При двух произвольных значе-
ниях и, v аргумента функции f.(x) мы обозначим через
ц(и, tr) минимум функции f(x) на отрезке [и, р], а через
v(u, v) максимум функции f(x) на том же Отрезке
[и, и]. Прямоугольник с основанием [и, о] и высотою
ц(м, о) обозначим через М(и, и), а прямоугольник С ос-
нованием [и, о] и высотою v(u, о) обозначим через
W(u, и), Применяя наше обозначение к Случаю, КоМа
и = х, a v = g, мы видим, что прямоугольник М (х,
содержится в фигуре Q(x, g), а сама фигура Q(x, g) со-
держится в прямоугольнике Af(x, g). Так как площади
43
прямоугольников М(х,1) и N(x, равны соответ*
ственно
(Б-х)ц(хЛ), (5-x)v(x, 5),	(4)
то мы получаем следующее двойное неравенство:
(5 — х) р (х, 5) < h (х, 5) < (5 — х) v (х, 5)	(5)
илн иначе
(5-х)ц(х, 5)<h(5)-h(x)<(5-x)v(x, 5).	(6)
Ясно, что при Нх мы имеем
Р(х, 5)->/'(х), v(x, 5)->/(х).	(7)
Таким образом, деля двойное неравенство (6) на поло-
жительную величину (5 — х) и переходя к пределу при
5 -* х, получаем
f(x)<litn-A(^Z^(x) </(х).	(8)
Е->х 6	*
Так как, согласно определению,
у(х)вНгпАШ^.,
Е->х 6 х
то на формулы (8) следует
Л'(х) = /(х).	(9)
Таким образом, мы нашли производную функции й(х)
и убедились, что й(х) является первообразной для
функции f(x). Следует отметить еще одно свойство
функции й(х). Прн х = х0 кусок плоскости Q(x0, х) пре-
вращается в отрезок и потому имеет площадь, равную
нулю. Таким образом,
Л(хо) = 0.	(10)
Все сделанное до сих пор исходило из предположе-
ния, что х0^х и что график L функции [(х) на отрезке
[х0, х] целиком проходит над осью абсцисс. Эти пред-
положения необходимо снять и определить функцию
Л(х) так, чтобы она удовлетворяла условиям (9) и (10).
Если график функции f(x) на отрезке [xq, х] частич-
но проходит над осью абсцисс и частично под осью
абсцисс, то мы разобьем его на две части: £+, лежащую
над осью абсцисс, и лежащую под осью абсцисс.
Каждая из кривых £+ и £_ может состоять из несколь-
ких кусков. Площадь, заключенную между кривой L+ и
44
осью абсцисс, обозначим через h+(x), а площадь, -за-
ключенную между осью абсцисс и кривой L-, обозначим
через й_(х). Сохраняя предположение, что хо < х, мы
положим теперь
h (х) = h+ (х) — й_ (х).	(11)
Если теперь, х0 >~ х, то площади й+(х) и й_(х) опреде-
ляются точно так же, как и в случае хо < х, но функ-
ция й(х) определяется формулой
h(x) = -(h'+(x)-h_(x)).	(12)
Площадь пр самой своей сущности — величина по-
ложительная. Определяя ее формулами (И) и (12), мы
тем самым алгебраизируем площадь, т. е. приписываем
ей знак плюс или минус в зависимости от обстоятельств.
Быть может, несколько кропотливо, но без каких-либо
существенных трудностей можно доказать, что при но-
вом определении функции 6(х) ее свойства (9) и (10)
сохраняются. Таким образом, для любой функции /(х)
найдена ее первообразная й(х), удовлетворяющая до-
полнительному условию (10).
Этот способ построения функции й(х), являющейся
первообразной для функции /(х)-, хотя и убеждает нас
в том, что функция Л(х) существует, так как по здра-
вому смыслу площадь фигуры существует, но он не
дает нам возможности вычислить эту площадь хотя бы,
например, при помощи электронно-вычислительной ма-
шины. Способ вычисления функции й(х) будет дан не-
сколько позже, а сейчас мы покажем, что и достигнутый
уже результат дает нам некоторые плоды. Он позво-
ляет сосчитать площадь й(х) куска плоскости Q(x0, х) в
том случае, когда мы можем угадать некоторую перво-
образную fti(x) функции f(x). Итак, допустим,, что мы
как-то нашли функцию hi(x), удовлетворяющую усло-
вию
ftf(x) = f(x).	(13)
Подставляя в формулу (7) § 6 вместо функции h2(x)
функцию й(х), получаем равенство
й(х) = Мх>+е,	(14)
где с есть Постоянная величина. Для того чтобы найти
ее, подставим вместо х в это равенство величину х0.
Тогда мы получим, в силу формулы (10)
0 = й(х0) = Мхо) + с.
45
Отсюда следует, что с = — fti(xo). и, следовательно, ^
ft(x) = ft1(x)-ft1(x0).	(1В)
Формула эта представляет собою важный резуль»
тат. Она выражает площадь й(х) фигуры Q(xo, х) через
произвольную первообразную fti.(x) функции /(х). Сама
функция й(х) называется определенным интегралом
функции f(x) и записывается в виде
Л(х) = \f(t)dt.	(16)
Здесь хо называется нижним пределом интегрирова-
ния, х — верхним пределом'интегрирования, & t** пе-
ременной интегрирования. Функция А(х) зависит от за»
данной функции f (х) и пределов интегрирования хо И х,
но вовсе не зависит от переменной интегрирования, точ*
нее, от ее обозначения, так что ее можно обозначить
любой буквой. Например, мы можем написать
X
h (х) = J f (т) dx.
*0
Определенный интеграл как предел последователь*
ности конечных сумм. Перейдем теперь к способу при»
ближенного вычисления площади ft(x) куска плоскости
Q(xo, х). Здесь мы вновь будем считать, что х0 < х и что
на отрезке [хо, х] график функции f(x) проходит над
осью абсцисс. Разобьем отрезок [хо, х] точками
Хо < Xi < х2 < ... < хп = х.	(17)
Мы будем говорить, что подразделение (17) отрезка
[хо, х] имеет мелкость б, если длина каждого отрезка
подразделения меньше чем 6, т. е. если выполнено уело»
вие
х4 — xt_i<6 (/=1,2..........п).	(18)
Употребим введенные ранее обозначения для отрезка
[«, и], применяя их теперь к отрезку [х,—ь х<], и соста-
вим две суммы
М = (Х1 — х0) И (х0, Xi) 4- (х2 — Xi) р (xi, хг) +
• •• + (х« — Xft-1)p(xft-i, хп), (19)
N = (Х1 — Хо) V (Хо, Х1) 4- (х2 — Х1) V (Х1, Х2) 4- ...'
... 4- (хп — хя_1) V (xft_b Хп). (80)
46
Сумма (19) представляет собою сумму площадей всех
прямоугольников
M(xi_t, xt) (/=1, 2....п).	(21)
Сумма (20) представляет собой сумму всех прямоуголь-
ников
NtXi-uXi) (/=1,2.......п).	(22)
Объединение всех •прямоугольников (21) входит в ку-
сок плоскости Q(x0, х). Объединение всех прямоуголь-
ников (22) содержит внутри себя Q(xo, х). Таким обра-
зом, мы имеем двойное неравенство
Af<ft(x)<y.	(23)
Величины М и N зависят- от последовательности точек
(17), т. е. от способа подразделения отрезка [хо, х].
Сравнительно просто, но довольно канительно доказы-
вается, что при неограниченном измельчении подразде-
ления (17), т. е. при б -► 0 величина N — М также стре-
мится к нули?. Это показывает, что величины М и N
лредставляют собою приближенные значения площади
й(х). Некоторое неудобство представляет собою тот
факт, что при вычислении величин М и N мы должны
находить максимумы и минимумы функции f(x) на всех
отрезках подразделений. Это можно упростить следую-
щим образом. На каждом отрезке [хг-i, Xi] выберем
произвольную точку h и составим сумму
Р = (х,-х0)/(^) +
+ (Х2 - Х1) /&)+... + (х„ - хл_!) f (£„). (24)
Так как имеет место очевидное неравенство
й (*/-ь xt) < f (£г) < v (xi_lt xi),	(25)
то мы имеем неравенство
(26)
Так как величины М и N неограниченно сближаются
при б-»-0, то величины ft(x) и Р неограниченно сбли-
жаются при безграничном измельчений подразделений
(17). Таким образом, можно приближенно вычислять
площадь h(x) при помощи суммы (24). Это и есть спо-
соб вычисления площади куска Q(xo,x). Он же может
рассматриваться й как логическое определение понятия
Площади.
47
§ 8. ПОСТУЛАТ СХОДИМОСТИ
Дадим теперь очень простой пример вычисления пло*
щади при помощи формулы (16) § 7 и введем в связи
с этим рассмотрением очень важный признак существо*
вания предела. Зададим функцию формулой
/(Х) = 7Г = Х-2	(1)
и будем рассматривать ее только для положительных
значений х. В силу формулы (23) § 5 первообразной для
функции х~2 является функция *—х~1. Действительно,
— (х-1)' = х~2 = 1/х2. Таким образом, в силу формулы
(16) § 7 площадь куска Q(x0,x), заданная функцией (1),’
определяется формулой
Таким образом,
ли=4—т- <2>
AQ Л
Так как х > х0, то й(х) > 0. Здесь важно отметить одно
очень интересное обстоятельство. Если х будет неогра*
ниченно возрастать, то правая часть соотношения (2)'
стремится к пределу 1/х0. Это следует понимать так, Ято
между ординатой х0а0, осью абсцисс и кривой
у=\/х1
имеется ограниченная пЛощадь, хотя полоса, заключен*
ная между осью абсцисс и нашей кривой, простирается
в бесконечность. В виде формулы это записывают
dt 1
t2 Хо ’
*о
С этим несколько странным явлением связано
гое явление, играющее весьма важную роль. На
мы сейчас и остановимся.
Будем считать, что k — натуральное число и соста*
вим последовательность целых чисел
х0 = k, Xi = k + 1, .... xt = k + i, xn = k + n = x.
(4)
так:
(3)
ДРУ'
нем
48
Эта последовательность целых чисел разбивает отрезок
интегрирования [х0, х] на отрезки длины 1. Составим
для этого подразделения отрезка [хо, х] на отрезки дли-
йы 1 сумму М (см. § 7 (49)) для функции (1). При
ётом мы должны принять во внимание, что минимум
функции f(x) на отрезке [х;_ь xj достигается в правом
конце отрезка и равен 1/х|
(5)
Число М в нашем случае зависит от еще не зафиксиро-
ванных натуральных чисел k и п, поэтому мы его обоз-
начим через M(k, п). В силу формулы (19) § 7 полу-
цаёМ для него выражение
M = M(k, п) =	+	+ 2)2 + ... + (ft + Л)2 • - (6)
Из первой части двойного неравенства (23) § ’7 мы по-
лучаем в нашем случае
k+n
j т-т-тЬг- м
Положим теперь
A=l, р = п+1, sp=l + M(l, р).	(8)
Тогда мы получим следующее выражение для sp:
8р = -р+-^ + -&+	+	=
(9)
Отсюда следует, что величина sp всегда удовлетворяет
неравенству
зр^2.	(10)
Из формулы (9) видно, что величина sp возрастает вме-
сте с возрастанием р, но остается ограниченной в про-
цессе этого возрастания, все время оставаясь меньше 2.
Здравый смысл говорит нам, что величина sp при не-
ограниченном возрастании р, оставаясь ограниченной,
должна стремиться к некоторому определенному числу
s. Это утверждение мы можем записать в виде
lim sp = s.	(11)
р-»оо
49
Постулат сходимости. Примем без доказательства
следующее утверждение.
Допустим, что имеется некоторая функция о(р) на*
турального числа р, удовлетворяющая двум условиям»
о(р) растет вместе с ростом р, т. е. выполнено условие
о(р+1)>о(р) (р=1, 2, ...)	(12)
и а(р) остается ограниченной при всех значениях р, т. е.
выполнено условие
о(р)<с,	(13)
где с — постоянная величина, не зависящая от р. Тогда
величина о(р) при неограниченном возрастании р не-
ограниченно приближается- к некоторому числу а. Это
утверждение записывается в виде
limo(p) = a.	(14)
р->00
Соотношение (9) мы можем теперь формулировать
следующим образом. Рассмотрим бесконечную сумму
+	(15)
Так как конечная сумма sp (см. (9)) слагаемых этого
ряда удовлетворяет условию нашего постулата, то бу-
дем считать, что бесконечная сумма (15) существует и
задается формулой
s= lim sp.	(16)
р->00
Говорят, что бесконечный ряд (15) сходится и имеет
своей суммой величину а;
Если
Р < q	(17)
— два натуральных числа, то из формул (6), (7) и (9)
вытекает
sq = sp + M(p, q —р),	(18)
причем
M(p,q-p)^l/p.	(19)
Таким образом, имеем
Stl-Sp<l/p.	(20)
Переходя в этом соотношении к пределу при ^->оог
получаем
$ — sp < 1/р.
W
(21)
Из этого мы видим, что величина $ задается вели-
чиной sp с точностью до 1/р, и потому, рассматривая
величину sp как приближенное значение величины $,
мы знаем величину погрешности, которую мы допускаем
при этом приближении.
В алгебре уже рассматривалась сумма бесконечного
ряда, именно, сумма бесконечной геометрической про-
грессии
$ = w + wv + ш>2 + ... + wvl +
В случае, когда | v | < 1, эта прогрессия имеет сумму,
равную
w
1 — V ’
Таким образом, мы уже сталкивались с суммированием
бесконечного ряда и имели возможность вычислить его
сумму (22).
Бесконечный еряд (15) тоже имеет сумму, но мы не
можем ее выразить в виде формулы, как это сделано
для геометрической прогрессии'. Мы можем только быть
уверены в том, что конечная сумма sp, составленная из
начальных его членов, является приближенным значе-
нием для суммы $ этого ряда, и мы знаем точность этого
приближения (см. (21)). Раз мы можем найти сколь
угодно хорошее приближение числа s, то мы должны
считать, что число $ нам известно. С таким явлением
мы уже сталкивались, когда рассматривали число л.
Его можно вычислить с любой точностью, но нельзя за-
дать его никакой алгебраической формулой.
Точно так же обстоит дело и с числом $, которое
задается равенством (16). Числа sp являются его при-
ближенными значениями.
§ 9. БИНОМ НЬЮТОНА
И СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ прогрессии
Здесь будут доказаны алгебраические формулы, упо-
мянутые в заголовке параграфа, которые понадобятся
нам в § 10.
Бином Ньютона. Для того чтобы выписать и дока-
зать эту формулу Ньютона, носящую название бинома
Ньютона, нужно прежде всего напомнить, что собою
Представляет функция nl натурального числа п. Функ-
ция эта определяется формулой
п! = 1*2*3 п.	(1)
51
Таким образом, п! (читается: п факториал)' есть Произ«
ведение всех натуральных чисел подряд, начинай с 1
до п. Мы имеем
ц=1, 21 = 1-2 = 2, 31 = 1-2-3 = 0,
41 = 1-2-3-4 = 24.
Удобства ради положим
01 = 1.	(2)
Формула Ньютона, о которой идет речь, записывает-
ся в следующем виде:
'	(«+р)»-£4«'Л	(3)
1.1
—	i+1-п
Здесь справа стоит сумма всех членов вида
(4)
где 14- / = п, причем I и / — неотрицательные целые
числа. Формулу эту мь! будем доказывать индуктивно.
Именно, мы убедимся прежде всего,- что для п = I ойй
верна, а затем докажем, что если она верна при пока-
зателе степени, равном п, то она верна и при показа-
теле, равном п + 1,
Для- п = 1 мы имеем
(« + р), = « + р = -^г + -5^г	(б)
Таким образом, для п = 1 формула (3) верна.
Для проведения индукции умнощим равенство (3)'
на «4-р. Тогда слева мы получим («4*р)п+1-; Справа
же мы получим члены, содержащие множители ирФ, где
р 4- q = «4--1- Из слагаемого (4) после умножения
на (и 4- о) мы получим слагаемое, содержащее множи-
тель upv4 8 случае, если
1 = р— 1, j = q или l = p, } = q—\.
В первом случае мы получим член, содержащий
в результате умножения члена (4) fia и, а во втором
случае при умножении члена (4) на о. Таким образом,
в результате умножения^сУммы, стоящей в правой части
равенства (3), на (и 4- о) мы получим член, содержа-
52
щий upvq с коэффициентом
п! ’	। п!
(р - 1)1 ?!	р!(?-1)! ’
(б)
Умножая на р числитель и знаменатель первого слагае-
мого этой суммы и на q числителе и знаменатель вто-
рого слагаемого этой суммы, перепишем сумму (6) в
виде
п!р . ntg nt (р + д) _ (пЦ- 1)!	,~
ptgl ‘ pig!= ptgl	plgt *	' '
Таким образом, получаем окончательно
(« + -Г'= £	(8)
Р. я
р+Я-П+1
Итак, индукция проведена и формула (3) доказана.
Коэффициент
входящий в формулу (3), обычно записывают в не-
сколько ином виде. Для этого полагают / = k, i = п —
— k и производят сокращение дроби (9) на (п — k) 1.
Действительно, мы имеем
7j^LJf = n(n-l) ...(п-а+1).	(10)
Таким образом, получаем
nt п(п — l) ... (п — fe + 1)	....
(n-k)lkl	kt	♦
и формула (3) переписывается в виде
(« + v)n = un + un~'v + -2-Ц^- un-2v2 +
+ n(n—1) .^(n-i+ I)	+ Vn f (12)
Выведем заново еще одну формулу, известную из
алгебры.
Сумма геометрической прогрессии. Положим
gm = О> + W • V + W • V2 + +W-Vm. (13)
Умножим и разделим правую часть этого равенства на
53
(I— и) и используем формулу (9) § 2, положив в ней
и = 1. Тогда получим
1 — cm+1
gm = W- l_f)
(14)
В дальнейшем мы будем пользоваться этой формулой
только в случае
О < о < 1, w > 0.
В этом случае из нее следует
05)
§ 10. ФУНКЦИЯ е*
Здесь мы прежде всего очень педантично и строго
определим функцию ех, х— переменная, могущая
принимать произвольные действительные значения, а
е™ известное и важное в математике число
е = 2,71828 ...
Мы начнем наше исследование с рассмотрения функции
ф„й = (1+|У,	(1)
где п — натуральное число. Определенная этим соотно»
Шением функция ©я(х) есть многочлен степени п отно-
сительно х. Прежде всего мы докажем, что при каждом
фиксированном х величина шя(х) стремится к некото-
С определенному пределу при п-»-оо, который обо-
ям через ехр(х), что в виде фбрмулы записывается
так:	•
lim ©„ (х) = ехр (х).	(2)
п->«
В результате тщательного изучения функции ехр(х),
определенной этим соотношением, придем к выводу, что
ехр (х) = е*.	(3)
Изучение функции соя(х). Применим к правой части
равенства (1) формулу (12) § 9, положив в ней и= 1,
d =-^-. Тогда получим
М — 1 Л Л -L д- «(«-О ••• (n-fe + l)xft ,
®я()	1+ 11 «+,‘,+	kt	nk+'"
(4)
В полученной формуле преобразуем числовой коэффи-
циент при хк. Мы имеем
я (я — 1) ... (я — fe +	1) _	1 Л	И Л	_ fe-1 \ 1
W	~	Ч	яГ'Ч п ) kt	•
(5)
Полагая
?.(*)-! (I-tJ—O-V)-	(«)
мы можем переписать формулу (4) в виде
©л (х) = 1 + УП (1)	+ ... + У« (*)•£ + •••	<7>
Величина yn(k) обладает следующими свойствами:
У«(1)=1	(8)
о < Ул(k) < у„+1 (k) <1 при 1 < k <п,	(9)
y„(fc) = 0 при k > п.
Из формулы (7) и неравенства (9) следует, что
при х > 0 имеем ©n (х) < ©n+i (х).	(Ю)
Зафиксируем теперь х, не обязательно положитель-
ное, и выберем настолько большое натуральное число р,
чтобы было | х | < р + 1, или, что то же,
\х\/(р+ 1)< 1.	(11)
Тогда при k> р имеем
.Уд W ix|fe<	1*1* _	1^|Р	1*1	1*1	Iх!
kt	kt	pt	p +1	p + 2	ft
Разобьем сумму (7) на два слагаемых
©л(х) = sn(p, х) + гп(р, х),	(13)
где
Snip, Х) =
= 1 + уя(П-П-+ +Yn(O^+	+Y«(p)^-. (И)
Гп (Р> х) =
= ^(р + 1)-^г+ ... +ул(*)4+	<15>
здесь i р, k> р.
В силу формулы (12) получаем неравенство
1гп(р, х)|<
< |х|Р Г I х| Ixp 		|X 1к~Р .	]
р! Lp + l (p + l)2	(p + l)ft-p J
1*1
|*|Р	р+1	|х|р .	|х|
pl 1 _ Iх I	Р1 р + 1 — I *1
р + 1
(см. (15) § 9 и (11)). Окончательно получаем
1 (р,	p + f2-|X| при |х|<р + 1. (16)
Отсюда видно, что величина |гя(р, х)| остается ограни-
ченной при неограниченном росте п, и, следовательно,
имеем неравенство
©„ (х) < с (х),	(17)
где с(х) зависит от х, но не зависит от п. Таким обра-
зом, при х > 0, в силу неравенств (10) й (17), величина
<оя(х) йри неограниченном росте п возрастает, оставаясь
ограниченной, .и потому предел её существует (см. § 8),
так что мы можем написать
при х > 0 имеем ехр (х) = lim ©„ (х).
Случай |х|^1. В этом'случае мы можем считать
р= 1, так как при |х|1 неравенство (И)’выполнено
при р == 1. Тогда формула (13) переписывается в виде
ш„(х)=1 + х + г„(1, х),
где
|Гд(1, х)|<|х|.-2^Ь|-<|х|2.'
se
Таким образом, окончательно при |х[<1 имеем
С£»п(х)=1 + х4-г„(1, х), где | г„(1, х) |<х2. (18)
к	-•
Пусть теперь
-Si, S„, ...	(19)
.— некоторая последовательность, сходящаяся к нулю.
Рассмотрим* величину соя(£п). Так как при достаточно
больших п |&п|< 1» то при достаточно больших п для
величины ©п(&л) имеет место формула (18), т. е.
•.(U-4-t.+^O.U. где |r.(l.M|<g.
Отсюда следует окончательный вывод:
если lim£n=0, то lim ©„(£„)= 1.	(20)
Я->оо	Я->оо
Займемся теперь случаем, когда аргумент х фуик*
цин соя(х) отрицателен. Для этого рассмотрим функцию
®п(-Д	(21)
считая х положительным. Составим произведение функ«
цнй соп(—х)фп(х). Мы имеем
®я (— *) (х) = (1 — -j-f ) = (Sn).	(22)
где
Так как
то
Пт S„ = 0,
П-»оо
lim <о„ &)=1	(23)
(см. (20)).'Так как в силу формулы (22) мы имеем
причем числитель и знаменатель правой части этого
равенства имеют определенные пределы при п -> оо,
получаем
lim <оя (£я)	।
Jim (-х) = n„m ffln(x) =	.
п->®
W
Итак, мы доказали, что функция соп(—xj при х положи-
тельном стремится к определенному пределу, и потому
можно положить
lim сол (— х) = ехр (— х),
Л->оо
причем
<24>
При этом доказано одновременно важное свойство
функции ехр(х). Именно,
ехр (— х) ехр(х) = 1,	(25)
где х > 0. Переобозначая —х на х, получаем формулу
ехр (х) ехр (— х) = 1,	(26)
где х уже отрицательно. Заметим, кроме того, что при
х = 0 с£>п(х)= 1, так что, согласно определению,
ехр(0)=1.	(27)
Таким образом, для всех значений х мы имеем очень
важное соотношение
ехр (х) ехр (— х) = 1.	(28)
Итак, мы доказали, что при произвольном значении
х величина ,а>я(х) стремится к определенному пределу
при п.-*- оо, так что можно положить
ехр (х) = lim соя (х).	(29)
Из формулы (18) следует, что при |х|^1 имеем
ехр (х) = 1 + х + г (х), где | г (х) | < х2.	(30)
Основное свойство функции ехр(х). Оказывается, что
имеет место следующее важнейшее свойство функции
ехр(х). Если х и у — два действительные числа, то мы
имеем соотношение
ехр (х) ехр ({/)=. ехр (* + #).	(31)
Для доказательства этого важнейшего равенства со-
ставим произведение функций соя(х) и <£»«((/). Мы полу-
чим
«w«^to)-(l+£)"(l+-*•)” “
-0+^ + ^)'. (32)
58
Мы имеем
1 +^ + >-(‘ +^)(> +тетЬю) =
“(1+^F)(1+-r)- <м>
где
«“ТГ7+7-	<’*
Из формул (32) и (33) получаем
<‘>п(х)а>п(у) = а>„(х + у)(0п(1п).	(35)
Так как Нт£„ = 0, то lim ©„(&,) = 1 (см, (20) j. Таким
П->со	П-><Ю	•
образом, переходя к пределу при n—>oq в соотношении
(35), получа,ем
ехр (х) ехр (у) = ехр (х + у).
Таким образом, соотношение (31) доказано.
Соотношение это, доказанное для двух сомножите-
лей, очевидно, верно и для произвольного числа сомно-
жителей. Считая все сомножители одинаковыми, мы по-
лучаем соотношение
(ехр (х))р = ехр (рх),	(36)
где р —натуральное число. Из этого соотношения и со-
отношений (27). и (28) получаем соотношение
(ехр (х))р = ехр (px)i	(37)
где р — произвольное целое число, Заменяя в этом соот-
ношении целое число р целым числом qt а рх = qx че-
рез у, получаем соотношение
(ехр (?))* = еХр	<38)
откуда следует
ехр (у) = (ехр (г/))17’.	(39)
Возведя последнее соотношение в степень р, полу-
чаем
(ехр (у))₽ = (ехр (y))p,q.	(40)
В силу соотношения (36) левая часть* этого равенства
может быть переписана в виде
(exp(f))P=exp(i^j-
69
Таким образом, окончательно получаем
ехр (| 2/) = (ехр (у))р!ч.	(42)
Заменяя в этом соотношении у на х и полагая г —
«= p/q, мы получаем окончательную формулу
ехр (гх) = (ехр (х))г,	(43)
где г — произвольное рациональное число.
Число е и функция е*. По определению будем счи<
тать, что число е задается равенством
е = ехр(1).	(44)
Таким образом, мы имеем
e-lim	(45)
n-»to 4 п '
Это есть обычное общепринятое определение числа е.
Полагая в соотношении (43) х = 1, получаем
ехр (г) = ег,	(46)
где г — произвольное рациональное число. Таким обра-
зом, мы установили, что для произвольного рациональ-
ного числа г функция ехр (г) представляет собой не что
иное, как величину ег, где Возведение в рациональную
степень г понимается так, как это понимают в алгебре.
Для произвольного, не обязательно рационального чис-
ла х равенство
е* = ехр (х)	(47)
является определением функции е*. Правая часть со-
отношения (47) нами уже определена. Функция .е*, пер-
воначально определенная чисто алгебраически для ра-
циональных значений х, формулой (47). доопределяется
так, что она имеет смысл уже для произвольного дей-
ствительного числа х, не обязательно рационального.
Такое определение функции е* для'действительных зна-
чений х является единственно разумным. Так получаю-
щаяся в результате этого построения функция е* обла-
дает хорошими свойствами. Эти свойства следующие:
е°=1, Л» = в«Ч	(48)
Эти свойства функции е* вытекают из свойств (27) и
(31) функции еЯр(х), с которой функция е* совпадает.
60
Кроме того, функция ех имеет производную. Займемся
ее вычислением.
Производная функции ех. При определении произвол*
ной е* мы воспользуемся формулой (21) § 1, положив
при этом
£ = * + Л.	(49)
Таким образом,
(ех)' = lim ---------lim  е. °.	(50)
Л->0 п h-*o п
Так как h — малая величина, то мы можем при вычис*
лении функции е* использовать формулу (30), так что
получаем
eh=l + h + r(h),
где
|г(Л)1<Л2.	(51)
Из этого следует, что
lim -£4=1=1.	(52)
л->о "
Таким образом, из формулы (50) следует, что
(Н'=«*.	(53)
Итак, производная функции ех вычислена. Она обла-
дает тем замечательным свойством, что совпадает с са-
мой функцией ех. Тем же свойством обладает функция
сех, где с — константа. Именно,
(сех)' = се\	(54)
Оказывается, что всякая функция f(x), удовлетворяю-
щая уравнению
f'W = fW.	(55)
записывается в виде
f(x) = cex.	(56)
Доказательство дается в упражнении 3 к § 11.
§11. ФУНКЦИЯ 1П ж
Имея в виду в дальнейшем изменить обозначения,
я, для того чтобы не вводить путаницы, употреблю гре-
ческие буквы для обозначения переменных. Рассмотрим
уравнение
П = е\	(1)
61
Решение этого уравнения относительно неизвестной
величины g при известной величине т] называется нату-
ральным логарифмом величины т] и обозначается через
g = lnn.	(2)
Следует прежде всего выяснить, при каких значе-
ниях т] уравнение (1) имеет решение относительно неиз-
вестной g. Заметим прежде всего, что — величина
всегда положительная, что следует из ее определения.
Таким образом, уравнение (1) может быть разрешено
лишь при т) >- 0. Для дальнейшего исследования урав-
нения (1) надо начертить график функции (1), откла-
дывая | по оси абсцисс, а т] — по оси ординат. Так как
число е заключено между числами 2 и 3, то при возра-
станни g функция растет быстрее, чем функция 2k
Для того чтобы составить себе представление о той ско-
рости, с какой растет функция 2k напомню известный
рассказ. Изобретатель игры в шахматы попросил от
персидского шаха следующую награду. Он сказал; «По-
ложи на первую клеточку шахматной доски одно зерно
риса, на вторую клеточку — два зерна риса, на третью —
четыре зерна риса и так на каждую следующую кле-
точку вдвое больше, чем на предыдущую». Так как об-
щее число клеточек шахматной доски есть 64, то общее
количество зерен составляет сумму геометрической про-
грессии
1 + 2 + 22+ ... +2*+ ... 4-263.
Сумма этой прогрессий дается формулой (14) § 9 и
равна 264— 1. При попытке подсчитать это число полу-
чаются такие. чудовищные результата, что, если я не
ошибаюсь, такого количества риса нет вообще на земле.
Итак, функция стремительно возрастает при &-*-
-► + оо. Точной так же она стремительно убывает к нулю,
когда g->—оо. Так как производная функции е* поло-
жительна при произвольном g (см. § 10, (53)), то функ-
ция возрастает на всем протяжении — оо < g <
<4-оо. Отсюда видно, что уравнение (1) имеет реше-
ние для всякого положительного т] и притом только одно.
Перейдем теперь к более естественным обозначе-
ниям. Рассмотрим уравнение
еУ = х
(3)
62
И У = Ч>(х)— искомое решение уравнения. Как мы уже
отметили, функция
Ф (х) = In х	(4)
определена при всяком положительном х. Возьмем про-,
изводную от обеихчастей равенства (3) по х, считая,
что у = ф(*), и беря производную от левой части равен-
ства как от сложной функции (см. § 5, (16)). Тогда по-
лучим в силу этой формулы
(e’)'.(p'W=l,	(5)
где в выражении (&)* нужно заменить у через ф(*).
Так как
(evy=ey = e'PM = Xt
то мы получаем для ф'(*) выражение
Ф'(*) = т-	<6>
Здесь ф(х) есть натуральный логарифм х. Таким
образом, производная In* определяется формулой
(1п*)' = ^.	(7)
§ 12.	РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ е* В РЯД
Формулы, получейные в § 10, дают возможность
разложить функцию е* в степенной ряд.
Из формулы (6) § 10 следует, что
lim уп(&)=!.	(1)
П->оо
Выберем теперь р так, чтобы было р+1>10|*|.
Тогда из формулы (12) § 10 получим
У» (fe) [ у а ^\х\р , 1
Л1 1 pi ioft-p *
Переходя к пределу при п -»• оо, получаем
l*|fe	1*Г	1	(21
JH р! 10*-₽ ’	{ )
так как при фиксированном * р—фиксированное число,
то из формулы (2) следует, что при неограниченно
63
I У 1^
возрастающем А величина стремится к нулю. Таким
образом, при фиксированном х найдется настолько
большая величина q, что
-Цр<1 при k^q.	(3)
Хотя при доказательстве этого соотношения мы поль»
зовались определенным выбором натурального числа р,
окончательный результат (3) не зависит от этого вы«
бора.
Будем теперь считать, что в формуле (16) § 10
р > q. Тогда из нее мы получим
Iг (о х) I <	. Iх! <________!А!_
irn{p, Х)\< р) р+1_|х| p + 1-|x| •
Из формулы (13) § 10 следует теперь, что
I (х)- sn(р, х) | < р + }1!|<| .	(4)
Из формулы (14) § 10 и (1) следует, что при переходе
к пределу при п-»-оо в неравенстве (4) мы получаем
k-G +!+-£+ - +4)1<р+-1-1«г
Так как правая часть этого неравенства стремится и
нулю при р неограниченно возрастающем, то неравен»
ство это означает, что ех разлагается в бесконечный ряд
еХ=*+-ГГ + 4+«-- +4+--	(б)
При х=1 получаем
*=1+тг+-!г+-+7г+-	<•>
Формулы (6) и (5) удобны для вычисления числа е и
функции ех.
§ 13. ПОСЛЕСЛОВИЕ. О ТЕОРИИ ^ПРЕДЕЛОВ
Личный опыт убеждает меня, что первоначальное
знакомство с математическим анализом ие должно на»
чинаться с изучения теории пределов. Будучи ещв
школьником, я довольно хорошо владел основами диф«
64
ференциального и интегрального исчисления, умея поль-
зоваться ими для решения задач, но не зная даже о су-
ществовании теории пределов, и только на первом курсе
я узнал о том, что она существует и был этим очень
удивлен. Исторически интегральное и дифференциаль-
ное исчисления были уже хорошо развитыми областями
математики до того, как появилась теория пределов.
Последняя возникла как некоторая надстройка иад су-
ществовавшей уже теорией. Многие физики считают,
что так называемое строгое определение производных
И интегралов вовсе не нужно для хорошего понимания
дифференциального и интегрального исчисления. Я раз-
деляю их точку зрения. Я думаю, что, начав изложение
математического анализа в школе с теории пределов,
можно полностью увязнуть в последней, не дойдя ни до
каких содержательных результатов. Ознакомление с
теорией пределов, если и нужно, то оно должно быть
даио уже после ознакомления с содержательными ре-
зультатами анализа. Поэтому я даю очень неформаль-
ное и очень интуитивное описание теории пределов
лишь в послесловии.
Теория пределов. Понятие предела всегда связана
Q изучением поведения некоторой функции f(g) в связи
С поведением ее аргумента g. При этом взаимосвязь по-
ведения функции с поведением аргумента' g имеет
очень специфический характер. Ставится вопрос о том,
рак ведет себя величина f(£), когда переменная вели-
чина g неограниченно приближается к некоторой по-
стоянной величине х. Еслц в процессе приближения ве-
личины £ к постоянной величине х, переменная вели-
чина f(g) также приближается к некоторой постоянной
реличине f0 (мы не предполагаем, что функция f(g)
Определена при £ = х), то считается, что функция f(£)
стремится к пределу /0 при £->-х. В виде формулы это
Записывается так:
= (1)
Для того чтобы не давать формальных определений, а
дать лишь интуитивную картину, мы должны предста-
вить себе, что £ является приближенным значением
величины х, и точность этого приближения возрастает
по мере приближения g к х. Точно так же величину
f(£) надо рассматривать как приближенное значение
Величины fo, причем точность приближения возрастает
65
по, мере того, как возрастает точность приближения х
величиной g.
При таком интуитивном описании легко понять ос*
новные правила предельного перехода. Если имеются
две функции f(g) и g(%), причем выполнено условие
( lim f (g) = f0, lim g (x) = g0.	(2)
т. e. величины f(g) и g(g) являются все более и более
точными приближениями величин f0 и g0, когда g ста-
новится все более точным приближением величины х,
то очевидно, что приближенное значение суммы f0 + g0
дается суммой f(£)+g(£) и точность этого приближе-
ния повышается по мере того, как повышается точность
приближений величины fo величиной f (g) и величины go
величиной g(£). Отсюда вытекает первое правило тео-
рии пределов
lim (f (I) + g (£)) = fo + go = Hm f (g) + lim g (|).	(3)
Точно так же дело обстоит и с произведением. Ясно,
что произведение f(g) -g(g) является приближенным
значением произведения fo-go- Точность этого прибли-
жения возрастает по мере того, как возрастает точность
приближения величины f0 величиной f(g) и точность
приближения величины g$ величиной g(£). Отсюда вы-
текает второе правило теории пределов
lim f (g) g (g) = fo£o= Um f «) • lim g (g).	(4)
На основании тех же точно соображений мы получаем
и третье правило теории пределов
.	lim f(6)
lim '	___—___
I™ g (a	go	Hmg(a*
*
Эта формула верна, однако, только при условии, когда
go Ф 0. Следующее, последнее правило теории пределов
относится к неравенствам. Если величина f(g), дающая
все более и более точное приближение величины /о»
остается все время не превосходящей величины g(g),
которая дает все более и более точное приближение ве-
личины go, то ясно, что fo go, или, иначе, из соотно-
шения
(б)
66
следует соотношение
fo^ ёо
или
lim fteXHm g(g).	(7)
5->х
Несколько иной, но очень похожий вариант теории
пределов, возникает тогда, когда аргументом функции
является не переменное число £, приближающееся к
постоянному числу х, а целое неотрицательное число
л, неограниченно возрастающее, так что мы имеем дело
с функциями /(л) и g(n), которым обычно дают не-
сколько иное обозначение
f («) = fn, ё («) = ёг	(8)
Здесь ставится вопрос о том, как ведет себя величи-
на fn, когда число л неограниченно возрастает. Если
оказывается, что при этом число fn неограниченно при-
ближается к числу f0, то пишут
• lim f„ = f0.	(9)
Если наряду с этим соотношением имеет место ана-
логичное соотношение и для второй функции
limg„ = £o,	(Ю)
то на основании тех же интуитивных соображений, ко-
торые имели место при рассмотрении функций f(g) и
g(£), мы получаем теперь основные правила теории пре-
делов. Выпишем их:
lim (f„ + gn) = lim fn + lim gn,		(H)
		
lim fngn	= lim f„ • lim gn, n-^oa	n-»oo	(12)
lim-k-, fZ->oo Sn	Hm fn 	 n->oo ~ lim gn ’	(13)
Формула (13) верна, только .если lim gn ф 0.
Из соотношения fn^gn следует lim fn^ lim gn.
П->оо	n->oo
Непрерывные функции. Понятием предельного пере«
хода пользуются для того, чтобы определить понятие
непрерывной функции. Именно, функция /(g), которая
67
определена также для значения аргумента £ = х, счи-
тается непрерывной при значении аргумента £ = х, если
выполнено соотношение
limf(5) = f(x).
Функция /(g) считается просто непрерывной, если
она непрерывна для каждого значения х своего аргу-
мента. Если функция g(£) — вторая непрерывная функ-
ция, то из правил 1, 2, 3 следует, что сумма функций
Ш)+Я(£) непрерывна, произведение функций /(£)#(£)
f (К)
непрерывно, отношение функций непрерывно, за
исключением лишь тех значений, для которых g(x) = 0.
Все функции, которые рассматриваются в книжке,
конечно же, непрерывны и, конечно, имеют производ-
ные, но говорить об этом на каждом шагу я считаю не-
нужным. Это должно подразумеваться или, скорее, чув-
ствоваться само собой.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнения к § 1
Укажем прежде всего некоторые приемы вычисления произвол-
ной. Согласно § 1 производная f'(x) функции f(x) определяется со-
отношением
f' (х) = lim —•	(1)
Таким образом, для нахождения производной функции f(x) следует
рассмотреть частное	~
(2).
и посмотреть, как ведет себя это частное, когда х остается постоян-
ным, а £ неограниченно приближается к х. Если дробь (2) прибли-
жается к некоторому определенному пределу, то этот предел обо-
значается через f'(x) и является производной функции f(x). Наибо-
лее просто предел отношения (2) вычисляется в случае, если числи-
тель его f(£)—f(x) удается непосредственно разделить на £ — х.
Тогда для перехода к пределу в полученном частном достаточно
заменить £ через х, и мы получим производную f'(x). Это удается,
если в выражении f(£)—f(x) можно вынести двучленный множи-
тель £— х. Так как вынесение двучленного миожителя есть не очень
простая алгебраическая операция, то удобнее изменить обозначения
так, чтобы нам можно было выиести одночленный множитель. Для
втого полагают
Л = Ё-х,	(3)
или, что то же самое,
Ё-х + Л.	(4)
Ясно, что Л->0 при £->х. Таким образом, в новых обозначе-
ниях определение (1) переписывается в виде
Г (х) = lim +	,	(Б)
Л->0	Л
69
Заметим, что h называется приращением независимого перемен-
ного х, а разность
f (X + Л) - f (X)	(6)
соответствующим приращением функции. Если в выражении (6) мы
можем вынести за скобку множитель h, то деление его на h явля-
ется чисто алгебраической операцией и вследствие этого для нахо-
ждении предела (5) достаточно в полученном частном заменить h
через 0. Этот прием хорошо удается в случае, если f(x) есть ра-
циональная функция х, ио в случае наличия радикалов он тоже
может удаться. Так, например, если разность (6) может быть запи-
сана в виде Va” — VF, где а и Ь есть рациональные выражения,
то, умножая и деля эту разность иа сумму л[а +	> мы получим
а — yb
а — Ь
'а +
Выражение а — Ь уже ие содержит иррациональности и может быть
разделено либо на £ — х, либо на h в зависимости от того, поль-
зуемся мы определением (1) или определением (5) производной.
Пользуясь этими приемами, найдите производную функции f(x),
которая задается нижеследующими. различными формулами:
Упражнение 1. f(х) = ах2 + Ьх + с.
Ответ, f' (х) = 2ах + Ь.
Упражнение 2. f(х)= ах8 + Ьх2 + сх + d.
Ответ. f'(x) = Зах2 + 26х + с.
.Упражнение 3. f (х) =
Ответ, f (х) = -.
Упражнение! f (х) = “г-
2
Ответ, f' (х) = -
Упражнение 5. f (х)	~
Ответ, f' (х)°
Упражнение 6. f (х)= aJt2+1&x + c •
Ответ, f (х) = (axi + Ьх + с)2.
Упражнение?, f (х) = л/х.
Ответ, f' (х) = —-7="-
2ух
ТО
Упражнение 8. f (х) = ^ах2 + 6х + с.
2ах + b
2 ах2 + Ьх + с
Ответ, f' (х)
Упражнения к § 2
Правило вычисления производной многочлена настолько npoeft,
что невозможно дать на него сколько-нибудь трудное интересное
упражнение. Поэтому дадим здесь только два упражнения, причем
второе будет использовано в дальнейшем, вычислим производную
двух следующих многочленов.
Упражнение 1. f(x) = х1 + 4х3 + 6х2 + 4x4-1.
Ответ. f'(x) = 4(х3 + Зх2 + Зх + 1),
Упражнение 2. f(x)=3x5 — 5(а2 + 62)х3 + 15а262х.
Ответ. f'(x) = 15[х‘ — (а2 + Ь2)х2 + а262].
Упражнения к § 3
Рассмотреть нижеследующие многочлены f(x). Установить
участки возрастания и убывания многочлена f(x), а также найти
все значения х, при которых многочлен f(x) имеет максимумы и
минимумы, и отличить их друг от друга.
Упражнение 1. f (х) = х‘ — рх2 + q.
Ответ. При р < 0 многочлен f(x) убывает при —оо < х 0 и
возрастает при 0 х < оо. Он достигает своего минимума в точке
х = 0. В этой точке вторая производная многочлена f(x) положи-
тельна' при р отрицательном и равна 0 при р = 0. Таким образом,
условие (30) § 3 не является необходимым условием минимума
функции. При р положительном многочлен f(x) достигает своего
максимума в точке х = 0 и имеет два минимума при х = — Vp/^
и х = Vp/2. Этот многочлен убывает на участке — оо < х^ — Vр/2"
возрастает на участке — Vр/2 х 0, вновь убывает иа участке
0<x<Vp72 и снова возрастает на участке Vр/2 < х < со.
Упражнение 2. f(x) = 3x5 — 5(а2 + 62)х3 + ISa^x (см.
упражнение 2 § 2).
Ответ. Будем считать, что числа а и Ь положительны. Для
определенности предположим, что а > Ь. Многочлен {(х) возрастает
иа участке —<х> < х —а, убывает иа участке —а < х < —6,
возрастает ла участке —Ь х Ь, убывает на участке Ь х а
и возрастает иа участке а х < оо. Он имеет максимумы в точках
х - —а, х = b и минимумы в точках х = —Ь, х = а.
Упражнение 3. Имеется прямоугольный железный лист со
сторанами а и Ь, причем а > Ь. Вырежем по углам этого листа
квадраты со стороной х<-«- ну полученной так железной
71
выкройки загнем под прямым углом кверху каждый из выступов.
Тогда получится коробка, основанием которой служит прямоуголь-
ник со сторонами а — 2х я Ь — 2х, а высота равна х, так что объем
коробкн равен х(а — 2х) (Ь — 2х). Найти, при каком значении Я
объем коробки максимален.
Ответ, х = (а + b — *Ja2 — ab + Ьг).
о
В случае а = 6 получаем более простое решение
х = а/6.
Упражнения к § 4
Начертить графики нижеследующих многочленов f(x).
Упражнение 1. f(x) =х* — рх2 + q' (см. упражнение 1 § 3).
Ответ. В упражнении 1 § 3 многочлен f(x) уже достаточно
исследован. Остаетсн только выяснить, при каких условиях график
его пересекается с осью абсцисс, т. е. уравнение f(x)= 0 имеет дей-
ствительные корни и сколько имеется этих корней.
В случае р^О уравнение f(x)=O не имеет действительных
корней, когда q > 0, и имеет два действительных корня, когда
q <_ 0. Если р = О н q = 0, то имеется четырехкратный корень
х = 0, а при р < 0, q = 0 — двукратный корень х = 0.
Йри р^>,0 н q <0 имеются два действительных корня. При
р > 0, q >0 уравнение f(x)=O имеет четыре действительных кор-
ня( если 2-— — л > о, и не имеет действительных корней при
4
«2
JL---q < о. Если о > 0 и -Ц-о = 0, то имеются два двойных
4	___ 4
корня х « ± Vp/2. Если р > 0, q = 0, то нмеютсн "три действи-
тельных корня, один из которых двойной.
Упражнение 2.
f (х) = Зхв — 5 (а2 + 62) х3 + 15а262х
(см. упражнение 2 § 3).
Ответ. В упражнении 2 § 3 уже в значительной степени вы-
явлено поведение графика многочлена f(x). Остается выяснить во-
прос, при каких условиях график Зтот пересекается с осью абсцисо
в одной точке х = 0 или в большем числе точек. В последнем слу-
чае определить число точек пересечения.
Уравнение f(x) = O имеет пять действительных корней, если-
а2/Ь2 > 5, один действительный корень, если а2/Ь2 < 5, и в случае
а2/62 = 5 — три действительных корня, из которых два двойные.
72
Упражнения к § 5
Упражнение 1. Вычертить графики функций
у = sin х,
у = cos х.
Найти участки убывания каждой нз функций sinx й COSX,
найтн точки максимума н минимума каждой из этих функций. Най-
тн точки пересечения графиков этих функций с осью абсцнес. Найти
точки перегиба каждого из этих графиков.
Упражнение 2. Вычертить график функции
y = tgx.
Ответ. Так как функция tgx периодическая с периодом л, так
что
tg (х + kn) = tg х,
где k — произвольное целое число, то для построения всего графика
функции tg х достаточно построить его на участке —л/2 < х < л/2.
На этом участке функция tgx возрастает от —оо до оо, проходя
через нуль прн х = 0, где график ее имеет точку перегиба. Для
построения всего графика функции tgx следует сместить уже по-
строенную часть параллельно вдоль осн абсцисс иа величину kit,
где k — произвольное целое число. Каждый такой сдвиг дает от-
дельную ветвь графика функции tgx, не пересекающуюся с другими
ветвями.
Упражнение 3. Вычертить график функции
У = Нх) = у,
где а — положительное число.
Ответ. Функция f (х) не определена при х «= 0 й потому со-
стоит нэ двух отдельных ветвей; лежащей над осью абсцисс при
х > 0 и лежащей под осью абсцисс при хг< 0. Так как
(Я--F-
то иа каждой из двух своих ветвей функция f(x) убывает. Рассмо-
трим ее более внимательно при х > 0. Если, оставаясь положитель-
ным, х приближается к нулю, то функция f(x) неограниченно воз*
растает, так что график ее прижимается к оси ординат. Точно так
же при неограниченном возрастании х значение функции f(x) стре-
мится к нулю, так что график ее при возрастании х прижимается
к оси абсцисс, Зависимость между х и у можно переписать в форме
ху»в.
73
Кривая, определяемая этим уравнением, очевидно, симметрична
относительно биссектрисы J и III четвертей.
Упражнение 4. Построить график функции
y = f (х) = х2 cos х.
Ответ. Прежде всего видно, что функция f(x) четная, именно:
f(—x)=f(x). Таким образом, график этой функции симметричен
относительно оси ординат, и, следовательно, достаточно представить
его себе для х 0. При положительных значениях х знак функции
х2 соз х совпадает со знаком функции cos х. Отсюда видно, что при
х > я/2 график состоит из роли, аналогичных волнам .функции
соз х, но волны эти растут по мере возрастания х, так как соз х
множится на х2. Ясно, что на каждой волне, лежащей над осью
абсцисс, функция f(x) достигает максимума, а на каждой волне,
лежащей под осью абсцисс, функция f(x) достигает своего мини-
мума. Более тщательного рассмотрении требует отрезок
—я/2 х^ я/2. В концах этого отрезка функция соз х обращается
н нуль, следовательно, и функция f(x) также обращается в нуль.
При промежуточных значениях х функция f(x) неотрицательна. При
х = 0 график этой функции проходит через начало координат, где
f (х) достигает своего минимума. На отрезке 0 < х < я/2 функция
f(x) положительна, кроме концов отрезка, где она обращается в
нуль, следовательно, на этом отрезке она где-то достигает своего
максимума. Для того чтобы найти те значения х, при которых
функция f(x) достигает своих максимумов и минимумов, нужна
приравнять к нулю ее производную, т. а. решить уравнение
2х соз х — х2 sin х = 0.
Деля это равенство на х2созх, мы получаем уравнение
7 = tgx.
Таким образом^ для нахождения точек максимума и минимума
о
f(x), мы должны найти пересечение графиков функций у=—- и
о
У = tgx. Так как график функции у =— прижимаетси к оси
абсцисс при возрастании х, то при сравнительно больших х решение
о
уравнения — = tgx приблизительно совпадает с решением уравне-
ния tgx=O, т. е. приблизительно равно числу kn, где k — целое.
Геометрически видно, что решение уравнения — ™ tg х в действи-
тельности несколько больше, чем число kn. Из этого видно, что на
каждой волне графика функции /(х) эта функция достигает либо
74
своего максимума примерно в том же месте, где и функция созХ,
либо своего минимума примерно в том же месте, где и функция
cos х, имеет место лишь небольшой сдвиг вправо.
Упражнение 5. Вычислить производные функций, приве-
денных в упражнениях к § 1, пользуясь правилами, данными в § б.
Вычислить производные нижеследующих функций.
Упражнение 6. f(x) = (sinх)’.
Ответ. f'(x) = zi(sinx)'!-1cosx.
Упражнение 7. f(х) = sinх".
Ответ. f'(x) = сов хл-пхл-1.
п
Упражнение 8. f (х) = л]~х.
Ответ, f' (х) -------.
Упражнение 9. Будем исходить из некоторой функции
ф(у) переменного у. Ее производную по переменному у мы, как
это принято, обозначаем через ф'(у). Положим теперь у = ах, где
а — постоянная Заменяя в функции ф(</) ее аргумент у на ах, мы
получаем функцию
f (х) = ф (ах)
переменного х. Вычислить производную f'(x).
Ответ.
Г (*) = Ф' (^х) • а.
Таким образом, дли нахождения f'(x) мы должны сперва вы-
числить производную $'(у), а затем заменить в ней у через ах и
умножить полученное выражение на постоянную а. Для доказа-
тельства последней формулы следует использовать формулу (16)
§ 5. В силу этой формулы мы имеем
Г (х) = ф' (ах) (ах)' = ф' (ах) • а.
Упражнение 10. Будем исходить из функции ф(</) пере-
менного у. Ее производную по переменному у, как это принято,
обозначим через ф'(у). Положим теперь у=х + а. Подставляя
вместо у в функцию ф(«/) это выражение, мы получим фуикцию
Г(х) = ф(х + а).
Вычислить производную f'(x) функции f(x),
Ответ. f'(x) = ф'(х + а).
Это значит, что.для вычисления производной f'(x) следует вы-
числить производную ф'(у) функции ф(у) и затем в полученном
выражении заменить у через х + а. Для доказательства этого мы
Должны воспользоваться формулой (16) § 5. В силу этой формулы
мы имеем
Г (*) - ф' (* + а.) (х + а)' = ф' (х + а).
Обратные функции. В математике и ее приложениях функции
часто определнютси как решение уравнения. Наиболее важен сле-
дующий случай. Будем исходить из заданной функции ф(у) пере-
менного у и рассмотрим уравнение
Ф(у)“*.	(7)
где х известная, хотя и переменная -величина, а у — неизвестная
величина, которую нужно определить из этого уравнения. Так как
в уравнение входит х, то его решение у является функцией х, так
что мы можем написать
У = Ф (*)•	(8)
Это решение удоилетворяет уравнению (7)f т. е. мы должны иметь
тождество
ф (ф (*)) — X.	(9)
Выясним прежде всего достаточные условия, при которых уравне-
ние (7) разрешимо относительно у. Выделим некоторый отрезок
bi<y<b2	(10)
изменения переменного у и допустим, что для всех внутренних
значений у из отрезка (10), т. е. для всех значений у, удовлетво-
ряющих условию
bi<y<b2,	(11)
производная ф'(у) имеет одни и тот же знак, т. е. выполнено одно
из двух соотношений; либо
ф' (у) >0 при bi < у < Ь2	(12)
либо
ф' (у) < 0 при bi < у < Ъ2.	(13)
Положим теперь	ч
в;™Ф(Ь1)> И2“ф(6»).	(14)
В случае (12) функция ф(</) возрастает иа отрезке [61, 6»]. В слу-
чае (13) функция ф(у) убывает иа отрезке [61,6а] (см. § 3).
Таким образом, в случае (12) мы имеем Oi-C Oj, а в случае (13)
мы имеем Oj < fli.
В случае (12) величина х=ф(у) пробегает весь отрезок [аь а2],
возрастая, когда у пробегает отрезок [&ь Ь2]. В случае (13) вели-
чина х-=ф(1/) пробегает весь отрезок [а1(а2], убывая, когда у
пробегает отрезок [&i, 6а]. Таким образом, если выполнено условие
(12) или условие (13), каждому значению х соответствует един-
ственное значение у, получаемое из уравнения (7), и потому функ-
ция у = ф(х) определена для всех значений, лежащих иа отрезке
[fli, а2]. Функция ф(х£ называется обратной к функции ф(!/)-
76
Для придания , всему рассмотрению геометрической наглядности
построим* график функции ф(</), но несколько необычным образом.
Именно, мы будем откладывать по оси ординат величину независи-
мого переменного у, а по оси абсцисс величину зависимого пере-
менного х = ф(</). Полученный так график функции ф(</) обозна-
чим через L. График этот является одновременно графиком функ-
ции у = ф(х), если при его построении мы будем независимое пе-
ременное х откладывать по осн абсцисс, а зависимое переменное
у — по оси ординат.
Пусть р—произвольная точка графика L, а х и у — ее абсцис-
са и ордината
Р = (х, у).
Величину х можно определить через величину у по формуле (7), а
величину у по величине х можно определить по формуле-(8). Нач-
нем с величины у. Вычислим величину х по формуле (7). По полу-
ченной величине х = ф(р) вычислим величину у по формуле (8).
Тогда мы получим
ф(Ф (</)) = У-	(15)
Таким образом, функции <р(х) и ф(</) связаны двумя соотношения-
ми: соотношением (9) И соотношением (15). Отсюда видно, что
связь между функциями ф(</) и ф(х) взаимная, так что функции
эти разумно называть взаимно обратными.
Вычислим теперь производную <р'(х) функции <р(х), исходя из
того, что она задается уравнением (9). Для этого возьмем прбиз-
водиую от тождества (9). по х. Производная правой частя, оче-
видно, равна единице. Производную левой части вычислим по фор-
муле (16) § 5, как производную от сложной функции. Тогда мы
получим
Ф' (у) ф' (х) = 1.
Таким образом, мы получаем
1 1
ф W Ф'Ш “ ФЧфМ) •
Здесь мы выразили у через х по формуле (8) и окончательно полу-
чили для производной <р'(х) функции ф(х) формулу
(IS)
Применим полученные результаты для* вычисления производных
обратных тригонометрических функций, т. е. функций arcsinx,
агссоз х и arctgx.
Упражнение 11. Будем исходить из функции
ф (у) = sin у
77
и будем рассматривать эту функцию на отрезке
— л/2 С у < л/2.
Так как
sin' у = cos у,
то для всех внутренних точек отрезка [— л/2, л/2] имеем
sin' у = cos у > 0.
В нашем случае
bi = — л/2, bi = л/2,-
ai = sin (— л/2) = — 1, а2 — sin (л/2) = + 1.
Таким образом, решение у = <р(х) уравнения (7) относительно у
определено для всех значений х, принадлежащих отрезку
- 1 с х С1.
Решение это обозначается через arcsin х. Таким образом, мы имеем
sin (arcsin х) = х.	(17)
По ранее доказанному одновременно имеет место н - соотношение
arcsin (sin у) = у.	(18)
Задача заключается в том, чтобы, пользуясь формулой (16),' вы*,
числить производную arcsin' х функции arcsin х.
Ответ.
arcsin'х =—. *	(19)
V1 — х2
В самом деле, в силу формулы (16) мы имеем
, , 1 1
arcsin' х =	, . =------.
ф (у) cosy
Величину cos у нужно теперь выразить как функцию величины х.
Мы знаем, что х = sin у, отсюда следует, что
cos у = V1 — х2.
Таким образом, мы окончательно получаем соотношение (19).
Упражнение 12. Функция arccosх определяется условием
cos (arccos х) = 'х.
Вычислить производную arccos' х функции arccos х.
Ответ.
arccos'х =-----. 1 г-	(20)
VI — х2
Упражнение 13. Функция arctgx определяется условием
tg (arctg х) =• х.
78
где рассматриваются
пользуйсь формулой
Ответ.
лишь решения | arctg х | < у. Вычислить,
(16), производную arctg'х функции arctg х.
arctg'x-T^r.
Упражнение 14. Вычислить производную функции
f (х) = arcsin х + х VI — хг.
Ответ. I' (х) = 2 V1 — х2>
(21)
(22)
(23)
! Упражнения к § 6
Упражнение- 1. Найти первообразную й(х) функции f(x) =
к= X3 — рх.
Ответ, h (х) = -5- х4 — х2.
4	2
У п р а ж пение 2. Найти первообразную h (х) функции f (х) =
= Vг2 — хг •
Ответ.
'	' X X г
h (х) = arcsin-----Ь -=- -угг — х2.	(24)
Z	Гл	4
Для доказательства положим
ф (у) = arcsin у + у V1 ~Уг-
В силу формулы (23) имеем
ф' (у)=2т/Т=р.	(25)
Вычислим теперь производную функции ф(—Мы имеем в силу
формулы упражнения 9 § 5
Из этого следует справедливость формулы (24).
Упражнение 3. В приложениях к математике играют
большую роль так называемые дифференциальные уравнения.
В этих уравнениях неизвестными являются функции, а в уравнения
входят не только сама функция, но и ее производные. Одним из
наиболее простых, но в то же время важных уравнений является
следующее:
f"(0 + <o2f(i) = 0.	(26)
Здесь независимая переменная обозначена через t, a f(t) есть не-
известная функция. Расскажем, как это уравнение возникает в ме-
ханике. Рассмотрим движение точки по прямой, которую мы
79
примем за ось абсцисс. Обозначим через х абсциссу движущейся
точки. Движение этой точки задается уравнением
х = /(/),
где / есть время, а х —абсцисса точки в момент времени t. Рас-
смотрим движение точки х массы т; находящейся под действием
силы прнтижения к началу координат, причем сила эта пропорцио-
нальна величине отклонения точки от начала координат, так что
сила эта равна —kx, где k — постоянный положительный коэффи-
циент. Тогда в силу законов механики мы имеем
mf" (/) = - kf (/).
Здесь слева стоит масса, умноженная на ускорение точки, а спра-
ва — величина действующей силы. Обозначая положительную вели-
чину k/m через со2, мы можем переписать последнее'уравнение в
виде (26). Наша задача заключается в том, чтобы найти решение
уравнении (26), точнее, все -решения этого уравнения, так как ре-
шений существует не одно.
Ответ. Любое решение уравнения (26) записывается в виде
f (t) = a sin (со/ + а),	(27)
где а и а — произвольные константы. Докажем это. Прежде всего
.упростим уравнение (26), вводя новое независимое переменное
Т = со/ и обозначим новую неизвестную функцию через ф (т), так
что мы имеем
НО = Ф (т) = ф (со/),
и потому
К (О = (Ф (“/))' = Сйф'(т).
Далее, мы имеем
)"(/) = <о2ф"(т).
Теперь уравнение (26) переписывается в форме
со2ф" (т) + (02ф (т) = О,
или иначе
ф" (т) + ф (т) = 0.	(28)
Умножая это уравнение иа 2ф' (т), мы полуйаем
2ф' (т) ф" (т) + 2ф (т) ф' (т) = 0.
Легко провернется, что левая часть этого уравнения является пер-
вообразной от функции
,(ф' (т))2 + (ф (т))2.
Так как производная этой функции равна нулю, то она является
константой, притом неотрицательной. Таким образом', из уравнения
(28) вытекает равенство
(Ф' (т))2 + (ф (т))2 = а2.
80
где а — неотрицательная константа. Прн а = 0 функция ф(т) то-
ждественно равна нулю. ГГрн а > 0 введем новую неизвестную
функцию
Тогда для функции ф(т) мы получаем уравнение
(ф' (т))2 -Нф (т))2 = 1.
Отсюда мы получаем
(ф' (т))2 = 1 - (ф (т))2.
Далее
(ф' (т))2 _
1 - (Ф (т))2
Извлекая из обеих частей этого равенства квадратный корень, по-
лучаем
Левая часть этого равенства имеет Первообразную агсз!пф(т) (см.
формулу (16) § 5 н упражнение 11 к § 5), правая часть — перво-
образную ±т. Таким образом, из уравнения (29) вытекает
arcsin ф (т) = ± т + а,
где а есть произвольная константа. Функция ф(т), являющаяся ре-
шением этого уравнения, записывается в виде
ф(т) = зт (±т + а).
Здесь мы как бы имеем два различных решения
Ф (т) = sin (т + а) -	(30)
и
Ф (т) = sin (—т + а).	(31)
Но в действительности решение (31)' может быть записано в форме
(30) за счет выбора константы а. Действительно, выберем в реше-
нии (30) константу а в следующей форме:
а = — р + я,
где р — также произвольная константа. Voraa решение (30.) запи-
шется в виде
sin (т — р + л) = sin (— т + Р).
Таким образом, решение (31) получается нз решения (30) путем
переобдзначення констант. Итак, произвольное решение уравнения
(29) записывается в виде
Ф (т) = sin (т + «)•
61
Отсюда следует, что
ф (т) = a sin (т + а),
и далее
,f (/) = a sin (ш/ + а).
Итак, произвЬльиое решение уравнения (26) записывается в форме
(27), где а и а — произвольные коистаиты, причем моярго считать,
что'а есть неотрицательная величина.^Уравнение
х = a sin (<о/ + а)	(32)
дает нам колебательное движение точки х с амплитудой а и на*
2л
чальной фазой а. Если положить ш=—, то уравнение (32) пере-
пишется в виде
х = a sin + а
где Т — есть период колебательного движения (32).
Упражнения к § 7
Упражнение 1. Рассмотрим кубическую порабблу L, зада-
ваемую уравнением
У = f (*) = х3 — рх,
где д'"—положительное число.. График L функции f(x) пересекается
с осью абсцисс в трех точках а-(, во, вц абсциссы которых соответ-
ственно равны —Vp". 0. Vp- Дугу кривой L, идущую от точки
a-i до точки во, обозначим через Lj. Дуга Li проходит над осью
абсцисс и вместе с отрезком [а- (, До] оси абсцисс ограничивает
площадку Р плоскости. Вычислим площадь 'S площадки Р.
Ответ. S
4
В силу формулы (16) § 7
0
S= J f (t) dt.	(33)
-V7
Так как функция
h (х) = у х4 — ха
является первообразной для функции f(x), то определенный инте-
грал (33) записывается в виде
0
J f(0^ = ft(0)-ft(-V7) = -J--
-VF
82
Таким образом,
S = p2/4.
Упражнение 2. Вычислить площадь 3 круга радиуса г
при помощи формулы (16) § 7.
Ответ. S = №.
Для вычисления выберем окружность радиуса г с центром в
начале координат. Тогда уравнение ее запишется в виде х2 + у2=г2
или, иначе, у = ± *jr2 — х2.
Будем рассматривать ту часть площади, которая находится в
первой четверти координатной плоскости. Уравнение соответствую-
щей части окружности записывается в виде у = f (х) = V г2 — х2,
где х меняется от 0 до г. Таким образом, площадь той части круга,
которая находится в первом квадранте, записывается в внде^опре-
деленного интеграла
г
J ^Г2 - t2 dt.
о
Функция
h (х) = -у- arcsin у- + у V'2 — х2
является первообразной для функции f’(x) (см. упражнение 2 § 6),
Таким образом, мы имеем
г
Vr2 - dt =.h(r) — h (0) = г2 - -у.
о
Следовательно, площадь всего круга равна яг2.
Упражнения к § 8
Упражнение 1. Доказать, что ряд
+	+	+ п(п+1) +	(34>
составленный из бесконечного числа положительных слагаемых, схо-
дится, и вычислить его сумму.
Ответ. 3=1.
Для вычисления суммы 3 бесконечного ряда (34) составим пред-
варительную сумму
S»=T2 +^з+тт+ - + мгттг ™
Заметим, что
1 _ 1 1
k (А + 1) k k + 1 •
83
В силу этой формулы мы имеем
о	1_1.±_ 1	1	,	,11	.	1
" 1	2'2 3 + 3 4 + " +Т“^П— * "ПЛ-
Таким образом, при неограниченно возрастающем п сумма S„ стре-
мится к 1, И потому сумма S бесконечного ряда (34) равна 1.
Упражнение к § 10
Упражнение 1. Доказать, что функция
где k — произвольное натуральное число, всегда стремится к беско-
нечности, когда х неограниченно возрастает.
Ответ. По доказанному в § 10 имеем
Отсюда следует, что
X	хк+1
(см. (7) § 10). Переходя в этом соотношении к пределу при
п->-оо, получаем
х xft+1
е > (й+1)! •
Таким образом, мы имеем при положительных значениях X
х	4+1
е,.. е хя+*	х
f (*)	>	ь .. , ,•
Xя	(й+1)1*	(*+1)1
Ясно, что при х, стремящемся к бесконечности, правая часть по-
следнего неравенства стремится к бесконечности, и тем самым наше
утверждение доказано.
Упражнения к § И
Упражнение 1. Доказать, чго функция
стремится к нулю при х-*оо.
Ответ. При доказательстве использовать упражнение 1 к § 10.
Упражнение 2. Начертить график функции
с, , In х
84
Ответ. Функция f(x) на участке 0<х^в изменяется, воз-
растая, в пределах — oo<f(x)^ — а затем на участке
е
е sg х < оо убывает, стремясь к нулю. В точке х = е она дости-
гает максимума.
Упражнение 3. Решить дифференциальное уравнение
f'(x)-Af(x),	(36)
где f(x) есть неизвестная функция, а X— заданное число.
Ответ.
f(x) = aeKx,	(37)
где а есть произвольная постоянная величина. Среди решений
уравнения (36) есть решение
f М « 0.
Если решение f(x) уравнения (36) не равно тождественно нулю, то
выберем такой участок 61 х Ь2 изменения х, внутри которого
функция f(x) либо положительна, либо отрицательна. Тогда для
значений х, удовлетворяющих условию bt < х < 62, можем уравне-
ние (36) разделить на f(x) и получить
В случае f(x)>0 первообразной левой части уравнения (38) явля-
ется функция
Л (х) = In f (х)
(см. (16) § 5 н (7) § 11). В случае f(x)< 0 первообразной левой
части уравнения является функция
Л (х) = In (— f (х)).
Первообразной для правой части уравнения (38) является Хх. Та-
ким образом, как для положительной функции f(x), так и для отри-
цательной функции f(x) мы имеем равенство
1п | f (х) | = Хх + с,
где с — постоянная величина. Из этого следует, что
|f(xj| = eV*
или, иначе,
f (х) = ± есе^х = ае^х,
где а — положительная или отрицательная константа.
Из этого видно, что в концах bi, b2 нашего участка функция
f(x) не может обращаться в нуль, и поэтому наш участок
bj sg х Ь2 можно расширить в обе стороны с сохранением знака
8S
функции f(x). Отсюда вытекает, что для всех значений х функция
f(x) сохраняет знак. Поэтому формула (37) дает решение уравне-
ния (36) для всех значений х. Длн а мы должны допустить также
значение 0, чтобы учесть решение, тождественно равное нулю.
Упражнения к § 13
Упражнение 1. Доказать, что функция sin— не стремится
х
ии к какому пределу при х-»-0. Более полно, можно подобрать та-
кую последовательность положительных чисел Х|, х* ... , Хц,
сходящуюся к нулю, что
11m sin — =*с,
ft->oo Х^
где с — произвольное число, заключенное между —1 и 1.
Ответ. Положим хь =	\, где а>0. Ясно, что
* 2fert + а
11m х. = 0, a lim sin — = sin а.
fe->oo	x^
Упражнение 2. Показать, что функция
f(x) = xsln^-	(39)
непрерывна, но не имеет производной при х = 0.
Ответ. Длн нахождении f'(0) мы должны составить частное
па-Го» Sslnr 1
5-о	Е	(40)
но так как функция sln-|- не стремится ии к какому пределу при
£->0 (см. упражнение 1), то частное (40) не стремится ни к
какому пределу при £-»-0, и потому функция (39) не имеет произ-
водной при х = 0.
Лев Семенович Понтрягин.
математический анализ
для школьников
М., 1980 г., 88 стр. с ИЛЛ.
Редакторы А. Ф. Лапка, В. Р. Телеснин
Техн, редактор Я. В. Вершинина
Корректор Л. С. Сомова
ИБ № 11601
Сдано в набор 25.07.79. Подписано к печати 16.01.80.
Т-02420. Бумага 84X108,/si. тип. № 3. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 4,62.
Уч.-нэд. л. 4,12. Тираж 150 000 экэ. Заказ № 292.
Цена книги 10 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская ти-
пография № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполи-
графпрома» при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л 52, Измайловский проспект. 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати в 1980 г.
Понтрягин Л. С.
ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ.
АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
Книга иаписаиа выдающимся советским мате-
матиком Л. С. Понтрягиным. Оиа посвящена изло-
жению некоторых вопросов математического ана-
лиза. Хотя изложение в ней не является легким, оиа
задумана как книга, доступная молодым читателям,
увлекающимся математикой. Ее характерной чертой
является одновременное изложение теории функций
действительного и комплексного переменного.
uuhqI
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу