ПРОФ. К. С. ЗАВРИЕВ
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОЧНОСТИ В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ
19 35 ОБ'ЩИНЕННОК НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО


В работе приводится обоснование нового метода составления расчетных формул. Этот метод критических усилий, идея которого была преоложена автором еще в 1913 г., заключается в том, что на основании изучения критической стадии у :танавливается 'значение критической нагрузки и записывается требование, чтобы расчетная нагрузка не превысила значения уменьшенной в отношении коэфициента запаса критической нагрузки. Этому выражению уже для удобства запоминания путем чисто математических преобразований сообщается привычный вид формулы напряжений. Ана.шз ; обычных формул расчета показывает, что по существу они получают прави.хьное обоснование лишь на базе идеи критических усилий. Ла.гее, ввиду того что для пластичных материалов в критической стадии п.гастингские деформации перераспределяют внт- оёцНЛе усилия. в результате чего получается
пряжений, чем в ■.од критических 'стргм расчетным •те приводится иетода к особым с ной метод на- ррипьелшых рас- I ачзаям отно- Ьтвие изгиба и юз сплошного и стные диагонали IX фермах а из- элементы: Для расчетные фор- ьзования виде и •г чающие расчет.


К. С. ЗАВРИЕВ „РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОЧНОСТИ В ОСОБЫХ
СЛУЧАЯХ
Замеченные опечятки
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
2
13
14
16 сверху 9 снизу 14 сверху
кладок при Р Р0 влияние
планок при РРо значение
88
3 сверху
А
р£ рк-


Проф. К. С. Завриев
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
as ПРОЧНОСТИ шш
В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ
Главная редакция строительной литературы Москва 1935 Ленинград


СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. Порядок составления расчетных формул прочности, 3
2. Расчет стержней на одновременное действие изгиба и осевого сжатия 12
§ 1. Общие основания расчета —
§ 2. Внецентренное сжатие ■ . 19
§ 3. Совместное действие продольных сил и поперечного сосредоточенного груза ■ 21
§ 4. Совместное действие продольных сил и сплошной равномерно
распределенной поперечной нагрузки 24
5. Общий случай совместного действия изгиба и сжатия 26
§ б. Некоторые общие свойства коэфициента  34
§ 7. Применение полученных результатов на практике 38
§ 8. Примеры расчета 44
§ 9. Расчет составных стержней.. - 54
§ 10. Практические применения формул расчета составных стержней 60 § И. Расчет соединительных решеток и кладок составных стержней 65
3. Расчет соединительных элементов составных, сжатых металлическ. стержней. 69
4. Расчет перекрестных диагоналей 73
5. Расчет на изгиб железобетонных илит и балок способом проф. Лолейта 82
Редактор М. С. Бернштейн.
Техн. редактор В. С. Дахноа
Уполном. Главлита В-17362
Инд. С-30-5-1 Издат. N° 832 Зак. 16984.
Тираж 3000 экз. ТКК К° 60
Разм. бум. 62X94 Via ЬгА п- л 51 990 зн. в 1 п. л.
Сдано в набор 9V 1935 г.
Подп. к печати 5VIII 1935 г.
1-я тип. Траисжелдориздат, НКПС Москва, Большая Переяславская ул., 46.


1. ПОРЯДОК СОСТАВЛЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ
ПРОЧНОСТИ
Согласно установившемуся мнению формулы для расчета прочности выражают условие, что напряжение, соответствующее допускаемой нагрузке, не должно превосходить некоторой величины, которая называется допускаемым напряжением и составляет некоторую часть от критического напряжения. За критическое принимают такое напряжение, которое соответствует критическому состоянию данного элемента сооружения. Для большинства материалов—это временное сопротивление; для пластичных же; материалов, в частности для стали, за критическое напряжение принимают предел текучести, основываясь на том соображении, что, достигнув означенного предела, брусок испытывает столь значительные остающиеся деформации, что он выбывает из строя и для дальнейшей службы становится непригодным. Отношение критического напряжения к допускаемому называется коэфициентом безопасности, и опять-таки согласно установившемуся взгляду величина такового характеризует неучитываемые расчетом дополнительные напряжения, причем ввиду того, что такое устранение из расчета некоторых категорий напряжений об'ясняется неразработанностью вопроса, „незнанием, коэфициент безопасности рассматривается как „коэфициент незнания.
В настоящее время практика расчетов далеко опередила такой взгляд на расчетные формулы и на коэфициент незнания. Однако ввиду того, что составители норм не вполне отдают себе отчет в этом положении, получаются в результате затруднения в составлении расчетных формул для таких случаев, для которых эти затруднения были бы легко устранены при правильном подходе к вопросу.
В целом ряде трудов1 мы привели формулировку нового взгляда на конструкцию расчетных формул и показали, как при новом по-
1 «Сопротивление упругих стержней сложному продольному изгибу» «Сборник Ленинградского института инженеров путей сообщения», 1913 г. и «Вестник общества технологов», 1913 г..
«Расчет стержней на одновременное действие изгиба и осевого сжатия» изд. Инженерно-строительного института Грузии, 1932 г., jN'° 1.
«Определение расчетной перерезывающей силы при продольном изгибе составных металлических стержней» ВИС, 1932 г., 3.
«Расчет перекрестных диагоналей», изд. Инженерно-строительного института Грузии, 1932 г:, 2.
3


рядке составления таковых устраняются затруднения в целом ряде важных для практики случаев. Задачей настоящего труда является попытка об‘единить результаты наших исследований.
Начнем с рассмотрения простейшего случая—растяжения призматического бруска. Эксперимент показывает, что критическое состояние текучесть бруска в таком случае наступает тогда, когда напряжение, вычисленное в предположении равномерного распределения усилия по сечению, достигает критического значения R. Поэтому расчетная формула при коэфициенте запаса ft имеет вид:
Fk
п
1
Здесь Р—растягивающая сила, F—площадь поперечного сечения, я — напряжение, составляющее ljk часть от критического и называемое допускаемым. Формула 1, с одной стороны, выражает, что мы имеем ft-кратный запас для напряжений, с другой стороны, она дает такой же запас для сил, так как критическая сила
допускаемая сила:
коэфициент запаса:
Ро - PR;
Pi Fn
Такой результат получился ввиду того, что в рассматриваемом случае имеет место закон пропорциональности между силами и
напряжениями, сохраняющий свою силу до критического состояния. Графически это выражается черт. 1 согласно которому
Л-1я '
Перейдем к растяжению металлического бруска, ослабленного круглыми отверстиями. Для такого случая, как известно, расчетная формула имеет вид:
netto
П
Анализируя это выражение, мы замечаем, что левая часть
2
Р
nett
не может быть рассматриваема как наибольшее напряжение. Мы знаем, что у краев круглых отверстий имеет место концентрация местных перенапряжений, в достаточной мере значительных. Если эти перенапряжения отнести за счет „коэфициента незнания®, то тогда, сопоставляя формулы 1 и 2, мы все-таки знаем, что при этом коэфициент запаса в отношении наибольших напряжений 4


существенно выше при растяжении призматических брусков, чем для ослабленных. Поэтому на основании принципа равнопрочно- сти всех элементов нам следовало бы изменить расчетную формулу 2 в сторону повышения коэфициента запаса. Однако, несмотря на то, что указанное противоречие между формулами 1 и 2 давно уже было подмечено, в технической литературе мы не встречаем предложений повысить запас для ослабленных брусков или, наоборот, снизить для призматических. Взамен этого многие авторы пытаются оправдать формулу 2, устранить противоречие, причем главное соображение в ее. пользу приводится такое, что местные перенапряжения, которые существенно велики в пределах упругости, далее уменьшаются и наконец исчезают при пределе текучести. Это конечно верно, но это не все. Для пояснения нашей мысли представим себе брусок состоящим из ряда продольных нитей, пронизывающих площадь сечения нетто, причем усилие между этими нитями распределено так, что ближайшие к отверстию нити являются перегруженными. Тогда они первыми достигнут критического состояния. Однако критическое состояние отдельных частей не обусловливает еще критического состояния всего бруска. Текучесть в нитях, достигших предела текучести, проявиться не может ввиду наличия менее напряженных нитей, и при дальнейшем возрастании силы, растягивающей брусок, перенапряженные нити дальнейшего повышения приходящейся на их долю нагрузки испытывать не могут, вследствие чего происходит сглаживание неравномерности распределения усилий. Вывод бруска из работы может состояться лишь тогда, когда все нити достигнут критического состояния. Мы намеренно подробнее остановились на этой картине, так как для дальнейшего нам важно тут же отметить роль пластичности, которая повышает сопротивляемость бруска, производя в стадии разрушения выгодное перераспределение усилий.
Таким образом расчетное напряжение не характеризует безопасности. Последняя характеризуется расчетной нагрузкой. Коэфициент запаса представляет собой отношение критической нагрузки к допускаемой, так как именно нагрузкой определяется под'емная способность сооружения. Эта мысль, высказанная нами еще в 1913 г., в настоящее время поддержана целым рядом авторитетов1. Если мы с этой точки зрения подойдем к формуле 2, то вывод ее мы можем представить в следующем вид.
Критическая нагрузка, определяемая на основании равномерного распределения критических напряжений по ослабленному сечению под влиянием пластичности, равна:
Л Fnetto
Допускаемая нагрузка составляет часть от критической:
■1 Л Fnetto Л • Fietto
1Блейх, Теория и расчет железных мостов, 1931 г., а также работы Эмпергера, Майера, Остенфельдз, Лолейта.
5


откуда:
Л
Fnetto
т. е. мы получили формулу 2.
Поэтому формула 2 представляет собой лишь результат простых математических преобразований условия, что нагрузка имеет
k-кратный запас. Это условие представлено в такой форме
лишь для удобства запоминания. Именно мы получаем мнемоническое правило: для расчета металлических брусков, ослабленных круглыми отверстиями, надо проверить, что напряжение в
ослабленном сечении, подсчитанное в предположении равномерного распределения внутренней силы, не превосходит допускаемого.
Графически этот случай представляем на черт 2.
Здесь кривая ab показывает действительный рост наибольших напряжений. Прямая ab выражается уравнением:
P_Po_F
_ _ _ _ fnett0 ,
Черт. 2
т. е.
п.
netto
Следовательно эта прямая представляет закон роста напряжений при условном предположении равномерного их распределения по сечению. Допускаемая сила определяется из условия:
Рх
п.
Г netto
Если бы мы желали сохранить запас k для действительных наибольших напряжений, мы бы приняли за допускаемую силу Я2. При наших же условиях наибольшее напряжение, соответствующее допускаемой силе равно пх и коэфициент запаса для напряжений
«1
Переходя к расчету на срез заклепок, вспомним, что в основу кладется равномерное распределение срезывающей силы Я между прикрепляющими данный элемент заклепками. Обозначая число заклепок через т. и их диаметр через d, записываем расчетную формулу:
Pl I я, 2'
т
тс di
6


Ни для кого не представляет сомнения, что в действительности расчетная сила распределяется между заклепками далеко неравномерно, и при расчете по формуле 2' фактически получается значительно большее напряжение в крайних заклепках, вследствие чего для напряжений мы имеем коэфициент запаса, существенно меньший, чем
где Rt—критическое напряжение на срез.
Однако против формулы 2' особенных возражений не выдвигается, так как интуитивно ощущается правильность этой формулы. Этой интуиции до сих пор не дано удовлетворительной формулировки. С точки зрения данной нами выше установки вопрос разрешается очень просто.
Когда при возрастании внешней силы Р наиболее напряженные заклепки достигнут критического напряжения, то наличие менее напряженных заклепок не даст проявиться свойству текучести. При дальнейшем росте сил прекратится лишь дальнейшее возрастание напряжений в заклепках, достигших критического напряжения, т. е. будет происходить сглаживание неравномерности распределения усилия между заклепками. До тех пор, пока в сопряжении имеется хотя бы одна заклепка, имеющая напряжение ниже критического, текучесть в сопряжении не проявится, и лишь тогда, когда во всех заклепках мы получим критическое напряжение, настанет критическое состояние для сопряжения. Следовательно критическая сила определяется следующим выражением:
Ро — т-- Р.
Допускаемая сила составляет часть от критической, и условие прочности имеет вид:
г Ро Rt .
р‘Ти1ГТ т7-К
откуда
Таким образом мы получили, расчетную формулу 2', которая выражает условие наличия достаточного запаса для нагрузки и приведена В' вид формулы для напряжений лишь с целью удобства запоминания. Мы получаем мнемоническое правило: расчет заклепок производится в предположении равномерного распределения расчетной силы между заклепками.
7


Рассмотрим теперь случай сжатия ослабленных круглыми отверстиями брусков. Для такого случая расчетные формулы принимают такой вид:
Pi
F,
netto
l«l; 3
Fbratto
С точки зрения запаса для напряжений формула 3' таит в себе противоречие, так как какова бы ни была первичная причина разрушения бруска, таковое имеет место при наличии критического напряжения В. Если же мы станем на точку зрения запаса для нагрузки, то все разрешается вполне благополучно. Именно критическое состояние может иметь место при силе Р0, соответствующей пределу текучести для простого сжатия в ослабленном сечении, или при критической силе Рв, вызывающей продольный изгиб в зависимости от того, какая из этих сил меньше. В первом случае имеем: критическая сила
Р0 PFnetto
допускаемая сила
Р — PkFrUtt° I i nett0'‘
Условие наличия необходимого запаса в силах:
Р Р Л • Fnetto
netto
т. е. получилась формула 3.
Во втором случае критическая сила Рв. Допускаемая сила составляет некоторую часть критической, причем для данного случая кроме общего коэфициента запаса k вводится еще специальный коэфициент ф; следовательно
рцр--
Деля обе части на Fbmtto и обозначая
Рэ
имеем:
где
79 1
bratto
Р _ ПВ _ 1 Пд _ П ПВ .
bratto kty k Р Cj
т. е. получилось условие 3'. 8


Черт. 3
Следовательво и здесь условие 3', выражающее требование наличия определенного запаса для нагрузки, представлено в виде, удобном для запоминания. Именно для расчета на устойчивость надо определить среднее напряжение в сечении брутто и поставить условие, чтобы таковое не превышало допускаемого напряжения на сжатие, которое получается путем умножения основного допускаемого напряжения п на коэфи- циент уменьшения р.
Случай продольного изгиба представляем на черт.З.
Здесь по прямой ab идет возрастание напряжений с увеличением нагрузки. Точка b соответствует критической нагрузке Р9. Когда сила Р достигает величины Р9, то тотчас получаются значительные прогибы и рост напряжений без дальнейшего возрастания силы, т. е. по прямой Ьс. Допускаемому напряжению п соответствует величина силы, равная ординате dd. Следовательно при требуемом запасе
для напряжений мы имели бы недостаточный запас —, для сил.
Чтобы получить для сил запас k, мы исполняем на черт. 3 построение и получаем допускаемое напряжение пt , определяемое отрезком ас. Действительно, имеем:
Р»_ Рэ_ 1L 1 IL и
Pt ее' dd ad п
Специальный коэфициент ф еще несколько понижает допускае-
1
мое напряжение в отношении —.
Рассмотрим случай изгиба призматических брусков. Расчет производится по формуле:
4
В пределах упругости имеет место пропорциональность между силами и напряжениями. Однако за пределами упругости линейный закон распределения напряжений нарушается, и при наличии пластических свойств происходит сглаживание неравномерности напряжений. При достаточно высокой пластичности в критическом состоянии происходит равномерное распределение напряжений в зоне растяжения и сжатия черт. 4.
Из строительных материалов сталь обладает высокой степенью пластичности при пределе текучести; дерево и бетон также обладают известной степенью пластичности. Вследствие более равномерного распределения напряжений в критическом состоянии наи-
9


большие напряжения растут медленнее нагрузок, и при наличии определенного запаса для напряжений мы имеем больший запас
для сил. Например по черт. 4 для случая высокой пластичности в критическом состоянии критический изгибающий момент:
М0 2 SR,
где S—статический момент полусечения. Допускаемый изгибающий момент по формуле 4:
Мх п W п
т
Коэфициент запаса для нагрузки при наличии линейной зависимости между изгибающим моментом и силами:
2 S—
ь _жо_ Я 2Л RtMn I -h0
где h0—расстояние между центрами растяжения и сжатия. Ввиду того что h0h, имеем:
ktk,
т. е. коэфициент запаса для сил более такового для напряжений. Например для прямоугольного сечения:
kt 1,5 k.
Для двутаврового сечения:
А0 0,85 h, kx 1,17 k.
Чем большая часть сечения сосредоточена в поясах, тем ближе А0 к h, т. е. тем ближе коэфициент kx к коэфициенту k.
Таким образом, исходя из данной выше общей установки, можно было бы для случая изгиба повысить допускаемые напряжения. С этой точки зрения можно было бы согласиться с правильностью имеющего место в некоторых нормах для каменных, деревянных и бетонных сооружений повышения допускаемых напряжений на Ю


изгиб по сравнению с таковыми для осевого сжатия. Что касается двутавровых металлических балок существенной высоты, то для них критическое состояние обусловливается устойчивостью, а не прочностью. Поэтому дальнейшее уточнение норм расчета на изгиб металлических балок должно итти по пути основательного изучения вопросов их устойчивости, в особенности за пределом упругости.
Графически случай изгиба представлен на черт. 5. Здесь
Мр. М0 ,
Aix ab п
Из чертежа ясно, что для того, чтобы силы имели запас k, можно повысить допускаемое напряжение до пх. Тогда
Мр Мй_ R
М2 аЬ п
Итак, обзор норм для обычных случаев расчета показывает, что в основу составления расчетных формул всюду положено условие относительно необходимого запаса
ства запоминания им придается вид формул для напряжений. Получающиеся в результате таких преобразований формулы для напряжений имеют простой вид с устранением всякого рода местных перенапряжений. Если действительную величину напряжения, соответствующего расчетной нагрузке, иногда и требуется определить, то это только для случая действия временных нагрузок на металлические сооружения, когда необходимо учесть явление наклепа, связанное с переходом напряжения за предел упругости. Однако это вопрос специального исследования, он касается не прочности, а долговечности соответствующих частей сооружения, и изучение этого вопроса необходимо увязать именно с вопросом долговечности. Чем на меньший срок службы рассчитывается сооружение, тем большие могут быть допущены действительные напряжения при расчетной нагрузке. В настоящем труде мы ограничиваемся лишь вопросом прочности.
Если мы составим формулы для действительных напряжений, соответствующих расчетным нагрузкам, с условием наличия достаточного запаса у внешних сил, то заметим следующее. В тех случаях, когда напряжения растут пропорционально силам до самого критического напряжения, формула расчета напряжений
п 11 п 5
дает необходимое усилие для сил черт. 1.
Когда напряжения растут медленнее сил черт. 2 и 5, формула для действительных напряжений дает преувеличенный запас для сил, и в таком случае либо при неизученности вопроса с некоторым избытком запаса оставляют в силе формулы для действительных
и
для нагрузки. Лишь для удоб-


наибольших напряжений например случай изгиба либо, изучая стадию разрушения, получают условную преобразованную формулу напряжений, которая не должна превосходить допускаемого. Наконец в тех случаях, когда напряжения растут быстрее сил, формула напряжений 5 дает недостаточный запас силам. В таком случае обязательно требуется изучение стадии разрушения, после чего определяется допускаемая сила, причем условию дается вид формулы для напряжений при уменьшенном допускаемом напряжении.
Из изложенного ясно, что в первую очередь требуется обратить внимание на случай, когда напряжения растут быстрее нагрузок, так как в таких случаях формулы вида 5 ярляются недостаточными. Мы уже разобрали один случай более быстрого роста напряжений при возрастании сил; это продольный изгиб. Перейдем к другим таким же случаям мы их будем называть особыми. Ниже нами разобраны одновременное действие изгиба и осевого сжатия брусков, расчет решетки сжатых стержней, расчет перекрестных диагоналей в металлических фермах и расчет железобетонных плит и балок. Во всех таких случаях мы применяем общий порядок составления расчетных формул. Сначала изучаем стадию разрушения, устанавливаем критическую нагрузку и затем определяем допускаемую, уменьшая критическую в k раз, после чего для удобства запоминания расчетной формуле придаем видимость формулы для напряжений.
2. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И ОСЕВОГО СЖАТИЯ
§ 1. Общие основания расчета
В случаях одновременного действия изгиба и осевой сжимающей силы расчет элементов конструкций производится по формуле:
N , М
П уF W
где N—продольная сила, М—изгибающий момент, F—площадь поперечного сечения, W — момент сопротивления, 9 — коэфициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе. п — расчетное напряжение. Эта формула, предложенная проф. Ф. С. Ясинским 1 и имеющая возраст в несколько десятков лет, продолжает применяться и до настоящего времени. Между тем еще в 1913 г. мы попытались показать2, что соображения, положенные в основание формулы проф. Ясинского, недостаточно вески, и предложили взамен другой метод расчета. Лишь в 1931 г. в нормах НКПС сделали несмелые попытки отойти от формулы 6. Так, в нормах 1931 г. Цудортранса для мостов на автогужевых дорогах сказано, что напряжение „разрешается
1 Ф. С. Ясинский, Устойчивость деформаций, 1898 г.
2 К. С. Завриев, Сопротивление упругих стержней сложному продольно- МЗ' изгибу, сСборник Института инженеров путей сообщения», 1913 г.
12


определять по условной формуле, именно по формуле 6. В проекте норм 1931 г. Гипротранса для железнодорожных мостов сказано, что напряжения при сжатии и изгибе определяются по формуле:
Л И w—’
где М'—изгибающий момент, определяемый без учета деформаций, ДМ'—дополнительный изгибающий момент, вызываемый продольной силой при деформации изгиба. Однако кроме того „разрешается определять напряжения по условной формуле 6“. Нормами ВСНХ СССР 1931 г. также „разрешается производить поверки по „условной формуле.
Таким образом шаг вперед заключается лишь в том, что формула б раньше была обязательной; в 1931 г. она стала факультативной, причем Цудортранс и ВСНХ взамен никакой другой формулы не дали, а Гипротранс предложил формулу 7, как бы исходя из того, что коэфициентом о в формуле 6 оценивалось влияние дополнительного момента AM'.
Из этого нетрудно притти к заключению, что в вопросе о расчете стержней на одновременное действие изгиба и осевого сжатия твердой установки до настоящего времени нет. Ввиду этого мы считаем необходимым вернуться к предложенному нами методу расчета и пополнить его новыми данными, в частности относительно расчета составных стержней.
Начнем с анализа формулы 6.
Прежде всего при протом продольном изгибе мы имеем условия прочности и устойчивости 3 и 3'. Когда кроме осевой силы приложена изгибающая нагрузка—в виде ли сил, перпендикулярных к оси, или в виде параллельных сил по концам, отражающих вне- центренное приложение продольной силы, тогда понятие степени устойчивости, предусматривающее возможность существования нескольких форм равновесия при одной и той же нагрузке, не имеет смысла, так как с самого начала единственной возможной формой деформации является изгиб. Правда, здесь условие 3' все-таки является необходимым, так как во всех случаях одновременного действия изгиба и осевого сжатия при приближении продольной силы к критическому эйлерову значению происходит быстрый рост прогибов, и при Р Р0 прогиб, определяемый по уравнению Навье, становитсябесконечно большим, т. е фактически он столь велик, что приближенное уравнение изогнутой оси, верное лишь для малых прогибов, перестает удовлетворять. Однако нетрудно доказать, что если бы мы ограничивались одной лишь формулой напряжений
П I Л I О
то эта формула и без того давала бы достаточную гарантию малых прсибов. Для доказательства этого положения определим величину радиуса кривизны г изогнутой оси в зависимости от на¬
13


пряжений при изгибе. Выделив элемент изогнутого стержня черт. 6 получим:
ds rda;
ds — A ds г — z0 da;
• _ _ z0 _
1 ds r ’
n Ei E—;
r
E
r-z0. n g
Здесь n—напряжение от одного только изгиба. Для получения полного напряжения надо прибавить напряжение от сжатия. Следовательно, если мы полное напряжение приравняем пределу упругости Т, то п меньше Т. Разность Т — п, вообще говоря, довольно значительна, и если мы ею пренебрегаем, то для радиуса
мы получаем значение, существенно меньшее того, что он практи¬
чески будет иметь. Следовательно наименьшее влияние для радиуса кривизны будет:
Е
Г
r.z0.
Черт. 6
Относительно формы изогнутой кривой можно сказать, что наибольшие прогибы получатся в случаях, когда в пролете нет точек перегиба черт. 7. В таких случаях момент убывает от середины пролета к краям, а при этом соответственно возрастает радиус кривизны, так как
EI
Поэтому, если мы примем изогнутую ось за дугу круга, то, как видно из чертежа, мы получим наибольший прогиб yt больше действительного, т. е. опять-таки поступим в запас. Тогда
j'i ''1 — cos у;
14


V 2r Tv w' 2 г, £ ’
Расстояние крайнего волокна до. центра сечения практически всегда больше радиуса инерции. Для симметричного сечения это легко может быть доказано:
,
Fr„2 z4F.
Если в выражении под интегралом величину z заменим наибольшим значением z0, то интеграл увеличится и получится неравенство
z„ Z,
Fr«2f z02dFz0 dF z02F,
— —z0
rn z0,
что и требовалось доказать.
Для несимметричного сечения могут быть и такие случаи, когда
Zq
z0 меньше г, но на практике отношение у заключается в пределах
1 -з.
г
Для стали и железа мы имеем наибольшую гибкость на практике
- 200 г
для ответственных элементов не допускается гибкость свыше 150- Следовательно
Т 200,
I
° 200
Для получения наибольших возможных прогибов примем наи-
меньшее значение 20 , в выражении для ух кроме того под-
Е
ставим -Тр —1000. Тогда получим:
1000. 200
л 200  cos200o '


Соответственно для дерева
1600, 4 1°0, Т Zq
0;024
Следовательно в результате самых невыгодных предположений мы получим, что величина прогиба, соответствующая пределу упругости, не превосходит 2,5°0 от пролета. Вообще же она значительно меньше, и формула прочности 7', требующая, чгооы наибольшее напряжение не превосходило допускаемого, которое меньше предела упругости, тем самым обеспечивает малые прогибы. Тем не менее нельзя не признать, что та осторожность, с которой относились и продолжают относиться к формуле прочности Т, имеет основание, так как формула 7' дает недостаточный запас. В этом легко убедиться путем следующих рассуждений. Постепенно уменьшая причину изгиба, мы в пределе подходим к осевому сжатию. Поэтому и формула расчета на одновременное действие изгиба и сжатия должна в пределе при стремлении М к нулю стремиться к расчетным формулам для простого сжатия. Из формулы 7 имеем:
С этой точки зрения формула 6 лучше разрешает вопрос,
Наоборот, при беспредельном убывании продольной силы N мы подходим к изгибу. По формуле 6:
т. е. действительно получается расчетная формула изгиба.
Таким образом расчетная формула проф. Ясинского имеет тот плюс, что на границах осевое сжатие без изгиба и изгиб без осевого сжатия она принимает правильные значений. Но этим ее достоинства и ограничиваются.
Для вывода обоснованной формулы расчета попробуем разобраться, почему для рассматриваемого случая недостаточна формула для напряжений. Выше мы пришли к заключению, что формула для напряжений недостаточна, тогда когда с возрастанием сил напряжения растут быстрее, чем силы. Легко убедиться, что здесь именно с таким случаем мы имеем дело. Действительно, на основании черт. 8 мы отмечаем, что в общем случае одновременного действия изгиба и осевого сжатия изгибающий момент М состоит из мо-
между тем как для простого сжатия имеем:
N , ,
именно:
N. Ml N
16


мента Мх от одной лишь поперечной нагрузки и момента A ■■ от продольной силы. Следовательно
N Mi N If yt _ N Nf Ny n j w F WiW' W ‘
Увеличим все силы в k раз. Тогда и изгибающий момент от поперечной нагрузки увеличится во столько же раз и в результате 3 первых слагаемых в формуле 8 увеличатся в k раз. Что же касается четвертого слагаемого, то здесь помимо того, что в k раз увеличится сила А, возрастет также вследствие увеличения сил и прогиб yt. Следовательно четвертое слагаемое увеличится более чем в k раз, а вместе с ним более чем в k раз возрастет и напряжение п.
Для того чтобы показать, как быстро могут возрастать напряжения с ростом сил, приводим численный пример.
Черт. 8
7777гу7УУ77У77
Черт. 9
Возьмем брусок квадратного сечения 5x5 см, длиной 100лк с одним неподвижно заделанным концом черт. 9. К другому свободному приложена сила N с эксцентриситетом 1 см.
Вычисленные значения напряжений п соответственно возрастающим значениям продольной силы N сведены в нижеследующую таблицу.
N кг
50
100
200
400
800
1600
3 200
6400
12 8С0
28000
п кгмм1
0,045
0,09
0,18
0,36
0,72
1,4.6
3,0
6,8
1
18,0
1
СО
Таблица показывает, что примерно до ЛА3200 кг напряжения возрастают в линейной зависимости от силы, т. е. в этих пределах влияние деформаций незначительно, а далее начинается уже быстрое возрастание напряжений. Наконец бесконечность получается при эйлеровском значении силы V 28 ООО кг. Если бы мы для примера приняли за допускаемое напряжение 6,8 kzJmm2 при критическом напряжении 18 кгмл2, то коэфициент запаса для напряжений был
18
бы 2,65, а для силы отношение того ее значения, при кото- 6,8
17


ром достигается критическое напряжение, к тому, которое допущено нами как предельное, будет:
12800 -2 2 65 64Q0 -22Ь5
Таким образом в рассматриваемом случае действительно более быстрое возрастание напряжений с ростом сил является причиной недостаточности формулы напряжений и для составления обоснованной формулы расчета надо исходить из условия, что силы должны иметь требуемый запас, причем коэфициент запаса обозначаем через k. Ввиду того что разрушение бруска может наступить только лишь тогда, когда наибольшее напряжение достигает критического значения, критические силы определяются как те силы, которым соответствует такое напряжение. Допускаемые же силы должны составлять -д- часть от критических. Это условие для самого общего случая аналитически выражается так: если все силы как поперечные, так и продольные, которые мы допускаем как безопасные, обозначим через Рг°, Р.2°, Я,0, и напряжение есть какая-то функция сил
п—Ф Р1, Я2, Р3,, то должно быть выполнено следующее условие:
ФkP, кРг, kP«R. 9
Применим этот принцип к случаю одновременного действия изгиба и сжатия, причем сначала будем исходить из предположения, что формулы упругости сохраняют силу до критического напряжения, а затем уже решим, как практически использовать результат.
На основании 8 записываем:
w АлгаЛ Л4
-р w -jr«s. 10
где Уо—прогиб, соответствующий нагрузкам Ш и кМх.
Подставляя k y, получаем:
N. Nfy0
Н w— --«41- П
Это и есть условие, которому должны подчиняться допускаемые силы, т. е. расчетная формула. То обстоятельство, что мы представили ее в таком виде, что она напоминает формулу напряжения, делает ее легко запоминаемой. Действительно, формула 11 отличается от формулы напряжений 8 только тем, что в ней прогиб у0 соответствует критическим нагрузкам kN и кМи в то
время как в формуле 8 vx соответствует расчетным нагрузкам
N и Мх,
18


С целью придания расчетной формуле наиболее удобного для пользования вида мы преобразуем условие 11 в следующей форме:
причем для коэфициента р составлены нами таблицы. Здесь р не зависит от N, так как может быть получено из выражений 11 и 12 путем исключения N. Именно, определив в выражении 12 N через р:
мы подставляем это значение в 11 и получаем выражение, из которого и определится р.
При наличии таблиц для р формула 12 очень удобна для пользования.
Прежде всего она позволяет для данного стержня с заданной поперечной нагрузкой или эксцентриситетом сразу определить величину безопасной продольной силы ft. Если же, как это чаще всего и бывает, по заданным силам надо подобрать сечение, то процесс подбора производится легко и удобно, как мы это увидим на частных примерах.
Заметим, что мы рассматриваем изгиб в плоскости действия поперечной нагрузки. Если это направление не соответствует наименьшей жесткости, то возможна еще одна форма деформации— изгиб из плоскости упругой оси. Дополнительную поверку устойчивости можно произвести или по теории тонких пластинок1 или, что проще, путем рассмотрения простого продольного изгиба в плоскости наименьшей жесткости под действием продольных сил N.
Имеем стержень со свободно поворачивающимися концами, сжатый двумя силами N, приложенными по концам с эксцентриситетом черт. 10. Прежде всего надо определить вы- i
грузки kN N0.
Выше мы доказали, что практически мы имеем дело с прогибами достаточно малыми.
Следовательно мы можем применить приближенное уравнение изогнутой оси. Для данного случая
N
F
12
N F • р • л ,
§ 2. Внецентренное сжатие
ражение у0 прогиба от на-
имеем:
Черт. 10
1 С. П. Тимошенко, Об устойчивости упругих систем.


Обозначаем:
El
Но
Тогда
гг а2.
а,у0-
Общий интеграл такого уравнения имеет вид:
„ X , . X
У С. cos b С. sin —
1 а а
Для определения произвольных постоянных имеем два условия на концах:
при х 0, у f и при -у ’ 0-
•
Отсюда Ci ■ , Cs и °щий интеграл принимает вид:
у cos tgsin-
I
Для получения стрелы прогиба у0 надо положить х
Т0ГДа: J-J-.cos 4 te sin 4
_ 1
COS jr- COS
2 a
IS
Основное уравнение для данного случая имеет вид:
N Nf y„ .
р щ «5-
Подставляя вместо Уо значение из формулы 13, получим:
Н , N f
W
cos
1л kN 2V Ш
— п
Остается сюда подставить выражения
R I Fr2
k — -Р., W — ”
п у z0 z0 NfEjnj из формулы 12.
Подставляя и сокращая на п , получим:
fzо 1


- f-
Здесь гл - р.—радиус инерции.
Введем следующие обозначения:
£о_„ г 2 1’
' п
А гп Е
Р 'Ra'
15
15'
причем легко видеть, что а и т—числа отвлеченные. Окончательно получим:
Р Ц . 16
COS
и
Таким образом мы выразили через две отвлеченные величины, что позволяет составить таблицу значений ср в зависимости от а и годную при всяких принятых в расчете единицах измерения. Таблица такая нами составлена табл. 1.
Рассмотрим теперь случай внецентренного сжатия бруска с одним заделанным концом и другим свободным черт. 11. Такой брусок можно рассматривать как половину бруска, представленного на черт. 11, т. е. в полученные выше формулы следует поставить вместо I величину 21. Тогда получим:
- 2 £
Р R'
Для y и р сохраняются те же выражения.
16'
§ 3. Совместное действие продольных сил и поперечного сосредоточенного груза
Рассмотрим сначала случай бруска с одним заделанным концом, на другой свободный конец которого действуют две силы: поперечная Q и продольная N, приложенные к центру сечения черт. 12.
21


ю
С
Внацеитрапно с ж а т н•
Таблица 1
«Р
1 4
cos 1 -S-
0
0,1
0,2
0,3
0.4
0,6
0,8
1,0
1.5
2,5
8
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,50
0,60
0,80
1,00
2,00
0£
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0,12
0,12
0,12
0,12
0,11
0,11
0,11
0,10
0,10
0,09
0,09
0,08
0,08
0,07
0,06
0,06
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,20
0,19
0,18
0,16
0,15
0,14
0,13
0,11
0,10
0,09
0,07
0,37
0,35
0,33
0,31
0,29
0,27
0,26
0,24
0,21
0,18
0,17
0,15
0,13
0,11
0,10
0,08
0,49
0,44
0,41
0,38
0,36
0,33
0.30
0,28
0,24
0,21
0,19
0,17
0,14
0,12
0,11
0,09
0,62
0,53
0,48
0,44
0,41
0,37
0,33
0,31
0,26
• ,23
0.20
0,18
0,15
0,13
0,11
0,09
0,74
0,60
0,54
0,49
0,46
0,40
0,36
0,33
0,28
0,24
0,21
0,19
0,16
0,14
0,12
0,09
0,86
0,66
0,58
0,53
0,49
0,43
0,38
0,35
0,29
0,25
0,22
0,20
0,16
0,14
0,12
0,10
0,99
0,71
0,62
0,56
0,51
0,45
0,40
0,37
0,30
0,26
0,23
0,20
0,17
0,14
0,12
0,10
1,00
0,76
0,67
0,60
0,55
0,48
0,43
0,39
0,32
0,27
0,24
0,21
0,17
0,15
0,13
0,10
1,00
0,80
0,70
0,63
0,58
0,50
0,45
0,40
0,33
0,28
0,24
0,21
0,17
0,15
0,13
0,10
1,00
0,84
0,74
0,67
0,61
0,53
0,47
0,43
0,34
0,29
0,25
0,22
0,18
0,15
0,13
0,10
1,00
0,86
0,76
0,69
0,64
0,55
0,49
0,44
0,35
0,30
0,26
0,23
0,18
0,16
0,13
0,11
1,00
0,89
0,80
0,73
0,67
0,59
0,52
0,47
0,38
0,32
0,27
0,24
0,19
0,16
0,14
011
1,00
0,91
0,83
0,77
0,71
0,62
0,56
0,50
0,40
0,33
0,29
0,25
0,20
0,17
0,14
0,11


Определим стрелу прогиба К0 от сил Q9 kQ и N0 kN. Уравнение изогнутой оси соответственно принятым на черт. 9 направлениям координатных осей имеет вид:
dx2 QoXt
В результате интегрирования и подстановки 'значений на концах получаем:
у -Ss
Уо Nn
•V
No 1 El
QZ
N
bjVw
‘V
kN
El
-1
Основное уравнение 11 для данного случая принимает следующий вид:
N Ny0 Q.
F W W“rt-
Подставляя значение y0, получаем:
Al.Ql F W
V
kN
El
n
или
Fn Ilti
I
R
N
п
Е1
R
N
1.
Остается подставить из формулы 12 N a F- n и согласно формуле 16' «
Кроме того вносим обозначение:
Qlz0 11 п
-Р,
т. е. через р мы обозначаем отношение наибольшего напряжения от поперечной нагрузки к допускаемому напряжению:
Щ
Р-
п
Тогда получим:
ТР
‘Vi
Vi
23


Окончательно:
«p-l-Р
'Vj
Vi
Таким образом и в данном случае мы выразили величину р в виде функции двух отвлеченных величин аир табл. 2.
Переходя к случаю бруска, опертого по концам и нагруженного приложенными центрально к концевым сечениям продольными силами N и сосредоточенным в середине пролета поперечным грузом Q черт. 13, отметим, что к такому случаю могут быть применены выражения, полученные для предыдущего случая, при ус-
I 1 Q л
лови и подстановки вместо и у вместо Q.
Тогда:
л г F “ ’ Р R’
й QI
РТ Г
П
17
т. е. значение а определится по формуле 15'. Р попрежнему представляет собой отношение наибольшего напряжения от изгиба по- перечэой нагрузкой к допускаемому. Выражение для р остается прежнее.
§ 4. Совместное действие продольных сил и сплошной равномерно распределенной поперечной нагрузки
Рассмотрим случай бруска, опертого по концам и нагруженного приложенными центрально к концевым сечениям продольными сжимающими силами N и сплошной равномерно по длине его распределенной поперечной нагрузкой ql черт. 14. Не приводя здесь решения диференциального уравнения изогнутой оси запишем
1 Вывод имеется у А. Фан-дер-Флита, «К вопросу о сложном сопротивлении изгиба сжатию», «Изв. собрания Инст. п. с. 1900 г., N° 11, стр. 203.
24


Таблица 2
Сжатие продольными силами и изгиб от поперечного сосредоточенного груза
,sVi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,05
0,12
0,12
0,10
0,09
0,08
0,06
0,05
0,04
0,02
0.01
0
0,10
0,25
0,22
0,19
0,17
0,14
0,12
0,09
0,07
0,04
0,02
0
0,15
0,37
0,32
0,28
0,24
0,20
0,16
0,13
0,10
0,06
0,03
0
0,20
0,49
0,42
0,36
0,30
0,25
0,21
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0,25
0,62
0,51
0,43
0,36
0,30
0,24
0,19
0,14
0,09
0,045
0
О.ЭО
0,74
0,59
0,49
0,40
0,33
0,27
0,21
0,15
0,10
0,05
0
0,35
0,86
0,65
0,53
0,44
0,36
0,29
0,23
0,17
0,11
0,055
0
0,40
0,99
0,70
0,57
0,47
0,39
0,31
0,24
0,17
0,11
0,055
0
0,50
1,00
0,76
0,63
0,52
0,43
0,34
0,26
0.19
0,13
0,06
0
0,60
1,00
0,80
0,67
0,55
0,46
0,37
0,28
0,21
0,14
0,07
0
0,80
1,00
0,84
0,71
0,59
0,49
0,40
0,31
0,23
0,15
0,075
0
1,00
1,00
0,86
0,73
0,62
0,51
0,42
0,33
0,24
0,16
0,08
0
2,00
1,00
0,89
0,77
0,66
0,56
0,46
0,36
0,27
0,18
0,09
0
3,00
1,00
0,89
0,78
0,67
0,57
0,47
0,37
0,28
0.18
0,09
0
оо
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,Б0
0,40
0,30
0,20
0,10
0
to
С


полученное в результате выражение для прогиба у9 от действия сил
М0 k N и q0l — kql. q,El I I N0P
cos jf Основная формула 11 для данного случая имеет такой вид:
М NypZ0 ql2 Zq , i
F 1 8 “Л-
Подставим y0
AT г0£л 1 ii-i
F NR
Сюда надо подставить:
4С £_ а л _о Л7 _Л
Z2 Я ' л “ 8 я р’ Fn
Тогда получим:
ф__2 Ц 1 1
Г ф 1 ' 1
COS
откуда
К
1 -1
VI
cos 17
t l-P— • 18
2 а
§ 5. Общий случай совместного действия изгиба и сжатия
Мы рассмотрели только три случая, правда, наиболее интересные для практики. Мы видели, что общий ход решения задачи был такой: сначала определяется прогиб у0 от действия нагрузки, в k раз превосходящей расчетную, и затем по подстановке значения у9 в выражение 11 определяется путем исключения продольной силы N при совместном решении равенств 11 и 12.
Наибольшие затруднения возникают при определении у0, так как для этого приходится интегрировать диференциальное уравнение. Однако есть возможность упростить задачу, если воспользоваться приближенным методом1.
1 С. П. Тимошенко и Дк. Лессельс, Прикладячя теория упругости, 1930 г., стр. 130.
26


Таблица 3
Сжатие продольными силами и изгиб от поперечной равномерной нагрузки
cos —1
1-Р у—
1 р
р
а
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,05
0,12
0,11
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,03
0,02
0,01
0
0,10
0,25
0,21
0,18
0,16
0,13
0,11
0,09
0,06
0,04
0,02
0
0,15
0,37
0,31
0,27
0,22
0,18
0,15
0,12
0,08
0,05
0,025
0
0,20
0,49
0,41
0,34
0,28
0,23
0,19
0,14
0,10
0,07
0,035
0
0,25
0,62
0,49
0,40
0,33
0,27
0,22
0,17
0,12
0,08
0,04
0
0,30
0,74
0,57
0,46
0,38
0,31
0,24
0,19
0,14
0,09
0,045
0
0,35
0,86
0,63
0,51
0,41
0,34
0,27
0.21
0,15
0,10
0,05
0
0,40
0,99
0,67
0,55
0,45
0,36
0,29
0,22
0,16
0,10
0,05
0
0,50
1,00
0,74
0,60
0,49
0,40
0,32
0,25
0,18
0,11
0,055
0
0,60
1,00
0,78
0,64
0,53
0,43
0,34
0,27
0,19
0,12
0,06
0
0,80
1,00
0,83
0,69
0,57
0,47
0,38
0,29
0,21
0,14
0,07
0
1,00
1,00
0,85
0,72
0,60
0,50
0,40
0,31
0,23
0,15
0,07
0
2,00
1,00
0,88
0,76
0,65
0,55
0,45
0,35
0,26
0,17
0,09
0
3,00
1,00
0,89
0,78
0,67
0,57
0,47
0,37
0,27
0,17
0,09
0
вчо
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0


Метод основан на начале возможных перемещений, именно на положении, что при всяком малом отклонении изогнутой оси балки от положения равновесия приращение потенциальной энергии деформации равно работе внешних сил. Для того чтобы написать
соответствующее равенство, необходимо иметь выражения для прогибов. Вывод этих выражений и является нашей задачей.
Взамен точного выражения прогибов предложено выражение, представленное в виде бесконечного тригонометрического ряда. Степень точности будет зависеть от выбора числа членов ряда и может быть принята сколь угодно высокой. Однако доказано, что вполне достаточная точность получается, если ограничиться одним членом ряда, лишь бы он соответствовал заданным условиям на концахх. Поэтому мы первым членом и ограничимся. При выборе выражения для прогибов, соответствующего заданным условиям на концах, следует исходить из общего уравнения синусоиды черт. 15:
Черт. 15
ъх
у ух sm -J-,
19
где L — длина полуволны. В таком случае для балки, опертой по концам черт. 15, мы получаем l L:
. чт х у1 sin -р
190
где —пролет балки.
Для балки с одним заделанным концом и другим свободным при выборе осей координат по черт. 15 имеем:
-42,
УУi sin
tzx
21'
19
Для балки с заделанными концами при выборе осей координат по черт. 15:
L —
L 2
2 цх
УУ sin —.
19'
С, П. Тимошенко, Сопротивление материалов, 1908 г., стр. 355.
28


Эти 3 случая могут быть об'единены так:
. т пх
УУу sin j -j,
20
где тп — целое число четвертей волны, равное 2 для случая 19', 1—для случая 19 и 4—для случая 19'.
Попробуем определить прогиб ух от изгибающего действия любой поперечной нагрузки.
Выражение для потенциальной энергии деформации в зависимости от ординат изогнутой оси имеем в следующем виде:
Если мы сообщим бруску некоторое отклонение от положения равновесия путем приращения dyt, то приращение потенциальной энергии деформации будет:
При этом поперечные силы в самом общем случае совершат работу:
где под с мы разумеем абсциссы точек приложения сил Q.
Приравнивая приращение потенциальной энергии деформации работе внешних сил, получим:
О
Подставляя согласно 20
20'
получаем:
i
16 4
I
о
откуда
21
21'
ZQdy lQ sin dyx dy, HQ sin
21
тъ с
21
откуда


Например если балка оперта по концам и изгибается силой Q, сосредоточенной в середине пролета, то число четвертой волны
I
т. 2, абсцисса точки приложения груза с -у Подставляя в 22, получим:
2 Q Q8 “ Е “ 48,7 £7
Расходимость с точной формулой ничтожна —1,5.
Если у нас кроме поперечной нагрузки имеются продольные силы N, то при определении работы внешних сил надо учесть работу сил N, совершенную в результате того, что при приращении
д dyx прогиба концы бруска
сблизятся. Величина сближения определится очень просто, в самом общем случае. На черт. 16 пред- Черт. 16 ставлен брусок АВ в пер¬
воначальном виде и брусок А'В' в искривленном виде, причем длина кривой А'В равна длине АВ. Сближение концов при искривлении на величину ух равно разности между отрезком АВ и хордой А’В', но так как отрезок А В равен длине кривой А'В то надо вычислить разность между длиной кривой и длиной хорды. Для выделенного элемента эта разность равна ds — dx, а для всего бруска
А ds — dx.
Имеем:
ds — dx у dx2 dy2 — dx dx £ j 1 — 1 J •
Разлагая в ряд по биному Ньютона, имеем:
VI У2 1 У2 1 у У2 • • •,
откуда
ds — dxmzdx 1 у У2.—1 J dx 2--...J
Пренебрегая высшими четвертой и выше степенями У по сравнению со второй, получаем:
ds — dx-- у'2 dx,
откуда
4гу от-- 23
По 20 имеем:


Подставляя в 23:
, тъх , cos2 2j- d —
• Ш i j
о
_ 1 т2 К I 1 т2 Tt2
2 Ух г Р '2 4 Ух 2 Г
Это—сближение, соответствующее искривлению jt. Если J'i по_ лучит приращение dyv то этому соответствует приращение сближения:
. ,АЛ DA , 1 яЛ2 я2
'ДуГ S' Л 2 Т
и работа сил N равна:
AW40 f Л £' М
Полная работа внешних сил при отклонении будет
равна сумме работ 21' и 24. Приравнивая приращению потенциальной энергии деформации 2Г, получим:
EJ т4 «4 , . . тъс N т т ,
Т г Л 7 iy' 2 Qsra_2T 2 Лг 7
откуда
тппс
sg sm
л — —
Е1 Л4 тс4_Лг та 112
2 2 7“7 VJ 7
2 _Л ж яС 1
-sm 2 21' NP
1 —
2£
“
Сравнивая с 22, мы заключаем, что при совместном действии продольных и поперечных сия прогиб ух получается путем умножения прогиба от одних лишь поперечных сил на множитель:
1
1 — «’
где
NP
е2
■ ' 2
25
Обозначая прогиб от одних лишь поперечных сил через yii получим:
-Vi LVilx • узит
31


Упростим выражение 25 для е Вспомним, что т. представ
т 2
ляет собой число четвертей волны в пролете; следовательно —
I
число полуволн, а ПЛ выРажаат длину одной полуволны, или то,
что мы называем свободной длиной элемента при расчете его на продольный изгиб: н- -J-г-, откуда коэфициент длины
5
2б
гп
Величина критической силы Эйлера выражается так:
ш _ lmY Nb •
Подставляя в 25, получим:
25'
Определим теперь прогиб _у0 от действия сил kN и kQ. Для этого, предварительно выразив прогиб y0i от действия сил kQ,
1
мы должны помножить его на величину j _£5 причем в выражение 25 подставить kN вместо N; получим:
kNP
е2
25
Для упрощения этой формулы напишем общее выражение для а В случае бруска с опертыми концами мы имеем:
г 2 Е а 4 — —
I- R’
Для бруска с одним заделанным и другим свободным концом
rn2 Е rj Е а — — 4
Р R IV R'
0
В общем случае мы получим выражение для а, если в формуле для бруска с опертыми концами вместо I подставим свободную длину р. , т. е.
27
причем р определяется по формуле 26. Для случая опертых кон- 32


цов 1, t 1. Для случая одного заделанного и другого свобод-
ml 0 ного конца у н- и т. д.
Подставляя 26, 27 и А в выражение 25, получим:
NRy-t2 _ 4 Л7
е2
п I тс2 FEr ir2a F п
25'
На основании изложенного можно рекомендовать следующий ход расчета в общем случае одновременного действия изгиба и сжатия. По формуле 25г определяется е2, после чего прогиб y0i, подсчитанный для одной лишь поперечной нагрузки, увеличенной в k раз, умножается на множитель -—Это и будет
1 Б
прогиб у0, который следует подставить в расчетную формулу 11.
Если выведенными выражениями для общего случая одновременного действия изгиба и сжатия мы желаем воспользоваться с целью составления таблицы для случаев, не предусмотренных в предыдущем параграфе, то необходимо, подставив вычисленное значение у0 в равенство 11. решить последнее совместно с 12 и по исключении N определить ср. В таком случае по подстановке значения N из равенства 12 в выражение 257г для е2 мы получим:
4 со
е2
.2а
25
Дальнейшее покажем на частном примере одновременного действия поперечной силы Q и продольной силы N, приложенных к центру свободного конца бруска, другой конец которого заделан черт. 9.
Имеем:
г , _kQE , _4ф boll з Е1 , е Л2а
г 2 Е
где для данного случая т 1, а - .
Отсюда:
kQl 1
Уо
-гг2 а
Уравнение 11 имеет вид:
N Ny0 Qi


Подставляем у0, получаем:
N N kQP 1 Ql F W Ъ El 4 11
г.2 a
Подставляем:
аг с i i rn E о я» Ql , R
N-qFn, a- p R, — Ь-щ
Получим:
©___L 3 1-8 1
• 3 P a _4
it2 a
или
T - T“0'
Решим это уравнение для частного случая a 0,2, 0 0,2. Получим 9 0,26, т. е. точно такой же результат, как в табл. 2, составленной для такого случая.
§ 6. Некоторые общие свойства коэфициента 9
Для брусков, гибкость которых — весьма мала, мы можем
влиянием деформаций пренебречь и расчет вести только по формуле для напряжений, которая в общем случае при наличии вне- центревности и поперечной нагрузки примет такой вид:
F WW I ’’
где Mt — изгибающий момент от одной лишь поперечной нагрузки. Для частного случая внецентренного сжатия имеем:
или, подставляя
получим:
откуда
F W 1 ■’ NFn, 'i ji ,
ф фГ 1, 1
ф
1 т
Для случая центрального сжатия и изгиба поперечной нагрузкой
N , М,


или, подставляя
Mt nt
ПЛ Р
Wn n получим со -f p 1, откуда cp 1 — p.
Легко установить, что действительно при стремлении гибкости
1
к нулю в наших выражениях р стремится соответственно к и 1 — Р- Действительно, от гибкости зависит коэфициент а,
1 Y
Следовательно
ос 4
lima
оо
Для случая внецентренного сжатия имеем:

1
cos
Vi'
Легко видеть, что
lim го
00 ' 1 т ’
так как
lim cos “ “ 00
Vi-1-
16
Точно так же для случая изгиба сосредоточенной поперечной силой, соединенного с центральным сжатем, имеем:
lim о lim
« СО 0 оо
1-р
УЛ
V
-1-р.
Для случая сплошной поперечной нагрузки
1
lim р lim
« oo “ 00
COS
1-р
Vi
— 1
1 ф_
Т а
1-Р,
35


COS
lim
0O
Vt
— 1
2
ф
a
lim
O oo
cos
Vi
sin
tVI
tyi
1.
На этом основании той графой таблиц, которая соответствует значению аоо, мы можем пользоваться при расчете стержней по одной только формуле прочности, когда влиянием деформаций можно пренебречь.
Рассмотрим теперь случай, когда стремятся к нулю величины у и р. Это значит, что устраняются внецентренность и поперечная нагрузка, т. е. мы имеем дело с простым продольным изгибом. В таком случае в предположении, что формулы упругости до критического напряжения справедливы, мы имеем критическую силу Эйлера:
ЛГ
•-м
и соответствующее сжимающее напряжение:
в F р2 ’
если только это напряжение не превосходит критического напряжения R. В последнем случае мы принимаем
Отсюда заключаем:
при
к Е г 2
при
Подставляя
Ы2 N1 Na _ 1 F k F k 2 ;
Тг2 р г AT 1
п Г _ —_ Р
F k
получим:


lim 9 1.
Действительно, для внецентренного сжатия имеем:
1
9
1
Y
cos
откуда
r 1.- ‘ а»у±.
Отсюда ясно, что у может равняться нулю или когда
V
9 тг а Т
или когда о 1.
Но ясно, что не может быть больше так как при
VtT
мы имеем по формуле 13 прогибу0 оо. Следовательно 9 может
7г3а
стремиться к значению как к своему пределу только снизу. Превзойти же его ф не может. Следовательно, если
тг2а
Когда же
так как 9 не может превзойти и единицу, иначе 9 становится отрицательным.
Таким же путем можно доказать это свойство 9 и для других случаев. Следовательно простой продольный изгиб может рассматриваться как предельный случай со-
-т- 1, lim ф
т о‘
тгга
Т '
я’а ,
-£ 1, lira 91,
Черт. 17


вместного действия сжатия и изгиба. Это представлено на черт. 17, где abc—линия простого продольного изгиба ср. с черт. 3, а при совместном действии изгиба и сжатия мы будем иметь систему кривых, построенных для различных значений или р. При стремлении 7 или р к нулю кривые стремятся слиться с линией abc.
7. Применение полученных результатов на практике
Все выведенные нами формулы справедливы в предположении, что закон Гука имеет силу до критического напряжения. Когда мы переходим к практическим применениям для стальных стержней, то расчет затрудняется тем, что за пределом упругости закон Гука теряет силу.
Посмотрим, как это обстоятельство отразится на расчетных формулах.
На черт. 18 представлена кривая abc зависимости между напряжениями и силами, построенная для случая одновременного действия изгиба и сжатия на ь основании закона Гука;
Т — предел пропорциональности, R—критическая точка, п—допускаемое напряжение. Сплошными линиями ас, я g, gd, d пЛ исполнено построение для определения допускаемого
Черт. 18
напряжения nt , пониженного против п, причем за критическое напряжение принято R. Теперь предположим, что за пределом пропорциональности Т происходит более быстрый рост напряжений, чем это получается по закону Гука, например по линии Ьс' вместо Ьс. Тогда, производя такое же построение пунктир ас', f,jf 11, мы получаем допускаемое напряжение га I вместо j. Отклонение пунктирных линий от сплошных будет тем больше, чем больше будет отличаться критическое напряжение от предела пропорциональности и чем значительнее влияют отклонения от закона Гука на рост напряжений. Для стали разность между критическим напряжением и пределом пропорциональности невелика. Что же касается влияния отклонения от закона Гука, то мы знаем, что за пределом пропорциональности начинается более быстрое возрастание деформации. Это обстоятельство влечет за собой ускорение роста изгибающих моментов, зависящих от продольных сил. С другой стороны, при этом меняется закон распределения напряжений по сечению, происходит разгрузка наиболее напряженных крайних волокон за счет менее напряженных, в результате чёго получается отставание в росте наибольших напряжений по сравнению с ростом изгибающих моментов. Эти два следствия перехода за предел пропорцио- 38


нальности компенсируют одно другое. Кроме того до начала текучести отклонения деформаций от линейного закона не особенно значительны. Все эти соображения приводят нас к заключению, что влияние отклонений от закона Гука между пределом пропорциональности и критической точкой на рост напряжения практически несущественно; на черт. 18 пунктирные линии должны быть близки к сплошным, и действительное расчетное напряжение j ла мало отличается от теоретического пх , полученного на основании закона Гука, т. е. по нашим расчетным формулам. Это положение нами проверено на целом ряде частных примеров. В качестве одного из таковых рассмотрим горизонтальный брусок черт. 14, загруженный равномерной вертикальной нагрузкой интенсивностью q и продольными силами N. Сечение бруска составлено из двух уголков 150 х 75 х 12 мм. Пролет I 600 см площадь сечения F50 см', момент инерции 1178 см.к радиус инерции
1 Ц73
к„ I -jtq-4,8 см; момент сопротивления W123
см5
Напряжение определяется по формуле:
1
COS
J i ГК
2 У El
— 1
H.qEl
L-iftL
2 У El
— 1
Обозначаем:
Тогда
I cos
N3
ъгЕ1
P
N ql N,
nF n'-W N
COS -гг
N_
N,
— 1
Для различных значений сил величины напряжений сводим в табл. 4:
Т а 6 л и ца 4
N кг
q кгм
п кгсм
15 ООО
0,20
390
30 СОО
0,40
860
40 000
0,53
1290
45 000
0,60
1580
50 000
0,66
1970
55 000
0,73
2610
60 100
0,80
3940
67 100
“
ОО
3»


На черт. 19 представлена кривая зависимости п от N и q. Построение для определения расчетного допускаемого напряжения исполнено в двух крайних предположениях: во-первых, в предположении, что закон Гука сохраняет силу до критического напряжения R сплошные линии, и, во-вторых, в предположении, что за пределом пропорциональности тотчас наступает текучесть пунктир. При этом критическое напряжение R принято равным 2400 кгсм2, предел пропорциональности Т 2000 кгсм и основное допускаемое напряжение41п 1300 кгсм2. В результате построения получилось: при первом предположении rtt — 832 кг с ж2 и при втором предположении л2 810 кгсм1. Разница 2,5 — ничтожная.
Черт. 19
Таким образом для стали 3 литого железа в наших формулах надо положить R 24 KzjMJir. Подставляя это значение R, а также величину модуля упругости Е — 21 000 кгмм- в выражение для а, получим:
. Е гпг . 21000 1 3500
“ 4r р 4-— XT' 27
где X— гибкость бруска:
X£i 27
'п
Зависимость а от X для стали 3 представлена в табл. 5.
В случае клепаных металлических брусков возникает вопрос о способе учета ослабления сечения заклепочными отверстиями. Заметим, что при рассмотрении деформаций брусков мы вводим в расчет неослабленное сечение; ослабленное же мы учитываем при определении наибольших напряжений. Поэтому те значения моментов инерции сечения, которые входят в выражения для определения наибольшего прогиба у0, должны быть принимаемы брутто;
40


Таблица 5
о , 3500
Зависимости а от X для стали 3 а
X
3
X
а
X
а
X
а
X
а
0
00
36
2,70
60
1,00
110
0,29
200
0,09
20
8,75
38
2,40
65
0,85
120
0,24
22
7,25
40
2,20
70
0,70
130
0,21
24
6,10
42
2,00
75
0,62
140
0,18

26
5,20
44
1,80
80
0,55
150
0,16

28
4,45
46
1,65
85
0,48
160
0,14
«шм
30
3,90
48
1,50
90
0,43
170
0,12

32
3,40
50
1,40
95
0,39
180
0,11


34
3,00
55
1,15
100
0,35
190
0,10
—
—
остальные значения моментов инерции и площадей, входящие непосредственно в формулу 11 для напряжений, должны быть взяты для ослабленного сечения. Ввиду того что в выражениях для у и р мы имеем значения I и F, попавшие непосредственно из формулы напряжений, в них
2 netto brutto
п F р
netto 1 brutto
В выражении же для а значения попадают из у0, a F формулы 12, в которой принято FntUo. Следовательно здесь
28
из
I F
2 brutto brutto j2 trl
11 F p n ny
netto netto
28'
где t — отношение площадей брутто и нетто. Условие 12 запишется так:
N ч
-р ® я,
1 netto
12'
причем для а имеем выражение:
а 4у t
П
р
При выводе расчетных формул мы приняли общий коэфициент
запаса Между тем в случае простого продольного изгиба
вводится дополнительно еще специальный коэфициент запаса. Возникает вопрос, не следует ли ввести специальный коэфициент запаса и в случае одновременного действия изгиба и сжатия. Специальным коэфициентом запаса в случае продольного изгиба покрываются влияния условий, вызывающих преждевременный изгиб, например эксцентричности приложения сил, первоначального искривления и пр. В нашем же случае факторы, влияющие на изгиб, учитываются самим расчетом, и поэтому надобность в специальном коэфициенте
41


запаса отпадает, тем более, что в последних нормах роль специального коэфициента запаса существенно умалена и для простого продольного изгиба.
Расчет на одновременное действие изгиба и сжатия существенно упрощается применением таблиц. Нами составлены табл. 1 для вне- центренного сжатия и табл. 2 и 3 для определенных случаев осевого сжатия и изгиба от действия поперечной нагрузки. Если мы имеем дело с какой-либо другой поперечной нагрузкой кроме сосредоточенного по середине пролета груза или равномерно распределенной но всему пролету сплошной нагрузки, то отсутствие готовых таблиц вызывает затруднения при расчете. Практически мы чаще всего встречаемся с промежуточным случаем по отношению к рассмотренным. Если мы сравним табл. 2 и 3, то заметим, что значения р для одних и тех же р и а практически весьма близки друг к другу. Таблица средних значений табл. 6 дает значения для ®, от-
Таблица б
Сжатие продольными силами и изгиб от любой поперечной нагрузки
р
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,05
0,12
0,11
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,03
0,02
0,01
0
0,10
0,25
0,21
0,18
0,16
0,13
0.11
0,09
0,05
0,01
0,02
0
0,15
0,37
0,31
0.27
0,23
0,19
0,15
0,12
0,09
0,06
0 03
0
0,20
0,49
0,41
0,35
0,29
0,24
0,20
0,15
0,11
0,07
0,04
0
0,25
0,62
0,50
0,41
0,34
0,28
0,23
0,18
0,13
0,08
0,04
0
0,30
0,74
0,58
0,47
0,38
0,32
0,26
0,20
0,14
0,0Э
0,05
0
0,35
0,86
0,64
0,52
0,42
0,35
0,28
0,22
0,15
0,10
0,05
0
0,40
0,99
0,69
0,56
0,46
0,37
0,30
0,23
0,16
0,10
0,05
0
0,50
1,00
0,75
0,61
0,50
0,41
0,33
0,25
0,18
0,12
0,06
0
0,60
1,00
0,79
0,65
0,54
0,44
0,35
0,27
0,20
0,13
0,07
0
0,80
1,00
0,83
0,70
0,58
0,48
0,39
0,30
0,22
0,14
0,07
0
1,00
1,00
0,85
0,72
0,61
0,50
0,41
0,32
0,23
0,15 •
0,075
0
2,00
1,00
0,88
0,76
0,65
0,55
0,45
0,35
0,26
0,17
0,085
0
3,00
1,00
0,89
0,78
0,67
0,57
0 47
0,37
0,27
0,18
0,09
0
CS2
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0
личающиеся от данных табл. 2 и 3 в среднем на 2, и лишь в редких случаях расходимость достигает 5. Поэтому мы можем практически во всех случаях кроме предусмотренных табл. 2 и 3 пользоваться табл. 6. Попробуем сравнить результаты расчета по предложенному нами методу с результатами расчета по нормам.
Если размеры бруска подобраны по нашей расчетной формуле:
-р рт, 12
то по подстановке данных в обычную расчетную формулу 1 получим:
Ы М, , о


Сравнивая результаты с допускаемым напряжением п, получим расхождение, которое в процентах выразится следующим образом:
р 100100
п
При р 0 мы получим запас по обычной расчетной формуле и соответствующий перерасход материала. При р 0 имеем перенапряжение в элементе, рассчитанном по нормам. Ниже'приводится таблица расхождений р для стали 3, подсчитанных при различных значениях X и р, причем коэфициент ® определен по табл. 2, а,- по нормам НКПС 1929 г. и ВСНХ 191 г.1.
Таблица 7
Таблица значений р 100 р — l
Л
лр
НКПС 1929 г.
ВСНХ
1931 г.
а
р0,2
Р0,4
Р0.6
Р0,8
1
Р0,2
р0.4
Р0,6
Р0,8
40
2,2
20
13
7
3
5
3
0
0
60
1.0
20
П
6
2
11
4
0
0
80
0,55
20
ю
2
0
15
6
0
— 1
100
0,25
20
5
4
0
12
2
0
— 1
120
0,24
40
23
и
6
23
4
0
0
Таблица составлена без учета ослабления брусков и имеет силу для сварных конструкций. Что касается клепаных элементов, то в нормах для таких случаев предлагается принимать F и W брутто. Это положение, правда, не имеющее солидного обоснования, несколько уменьшает расхождение. Подсчеты, произведенные нами для клепаных сечений, показали, что по нормам НКПС 1929 г. и здесь получается существенный запас. По нормам же ВСНХ 1931 г. расхождения приводим в табл. 8.
Таблица 8 Таблица значений р для клепаных элементов
ВСНХ
; 1931 г.
0,2
0,4
0,5
0,8
40
0
— 4
— 4
— 2
60
0
— 4
-7
— 4
80
7
— 3
— 8
— 6
100
8
0
— 7
— 9
120
6
0
— 7
— 9
1 По нормам 1931 г. коэфициенты уменьшения допускаемого напряжения в случае осевого сжатия существенно повышены.
43


Анализ обеих таблиц приводит нас к следующим заключениям:
1 Для конструкций, не ослабленных заклепочными отверстиями, в частности для сварных конструкций, обычная формула расчета даже при новых повышенных коэфициентах дает всегда излишний запас, доходящий до 15.
2 Для клепаных элементов искусственным введением сечения брутто в обычную формулу при сохранении сечения нетто по нашей формуле запас до 8 получается при значениях X от 80 до 120 и 3 0,2. В остальных случаях для 3 0,2 и во всех случаях для 30,4 получаются близкие результаты. Для 3- 0,4 существенные отклонения в противоположную “сторону получаются при Х60, каковые комбинации значений 3 и X не имеют практического значения.
Следовательно, приводя в большинстве случаев практики к перерасходу металла, нормы в то же время не обеспечивают необходимого запаса.
§ 8. Примеры расчета
Общий ход расчета на совместное действие изгиба и сжатия сводится к следующему. Сначала для данных условий закрепления концов бруска определяется коэфициент длины
f - 26
где т — число четвертей волны синусоиды при простейшей форме изгиба данного бруска. В случае опертых концов т 2, р 1; в случае заделанных концов т 4, ji 1k', в случае одного заделанного и другого свободного конца т. — 1, у. 2.
Затем вычисляются значения а, у и 3 по следующим формулам:
W R 0» R
в общем случае и
3500 ,
« —г— табл. 5
в случае стали 3, причем
vl.


где щ—наибольшее напряжение от изгиба под действием одной лишь поперечной нагрузки. После этого по соответствующим таблицам 1,2,3,4 определяется и расчет производится по формуле:
12
n«ito
Пример 1. Брусок из стали 3 квадратного сечения 5x5 см, длиной 100 см, свободно опертый по концам, сжимается силами N, приложенными по концам с эксцентриситетом f 2,5 см черт. 20. Определить величину допускаемой нагрузки при допускаемом напряжении 1300 KtjcM имеем:
Г 5 ,
I пс.
F — 25 СМ2;
-KW4;
z0 2,5 см; п I 1300 кгсм2;
п
1,44
По табл. 5:
3500 п 7о « -2“ 0,73;
Л, 2,5 • 2.5 • 12 _ т I 25 3’
Из табл. 1 имеем: откуда
Р 0,22,
NFp п 0,22 • 25 • 1300 7150 кг.
Пример 2. Решим аналогичную задачу для клепаного сечения черт. 21, причем для простоты не будем считать ослабления.
Даны: 283 см, f 2 см. Определяем:
si
475X75XS
F 51,20 см2;
I 598,40 CM4;
T
Черт. 21
-Vr-'
X — 83;
4 cm ;
П
4S


Из табл. 5 получаем:
а 0,51, г0 7,5 0,4 7,9 см;
1 л
Y— г2 1,4.
П
Из табл. 1 для а 0,51 и т1,4 имеем:
ф 0,33.
Допускаемый груз:
Л7 9 л 0,33 • 51,20 • 1300 22000 кг.
Пример 3. Свая диаметром в 27 см, длиной 5 м подвергается действию горизонтального давления Q 200 кг и вертикальной
.q нагрузки N черт. 22. Определить величину допускаемого вертикального груза.
Имеем:
d 27 см;
1 26 000 см;
W 1950 см2;
F 572 см2;
г 6,75 см;
V777Z777777777777777777777Z Черт. 22
I 500 см;
Н- 2;
Е 120 000 кгсм2;
R 200 кгсм2;
I п 100 кгсм2. Напряжение от изгиба горизонтальной силой Q:
Ql 200 • 500
1950
51 кгсл2;
ft-A. ПЧЬ
I п I 100 ’ ’
£ гI a4RJif
120000
6,752
200 5002
о 0,125.
0,11.
По табл. 2
Допускаемый груз
77 0,125 • 100 • 572 7150 кг.
Если бы мы расчет производили по обычной формуле Ф. С. Ясинского, то имели бы гибкость:
г
и 2 • 500
6,75
148.
46


По нормам 1931 г. Цудортранса для деревянных мостов
р 0,20.
Расчетная формула:
откуда
N F п 1 — р 0,20 • 572 • 100 1 — 0,51 5600 кг.
Разница получается 22 — ничем не оправдываемый запас.
Если бы мы удовлетворились простой формулой прочности, то имели бы:
откуда
N л_Мг I ,
7гйг-11.
N— F п 1 - р 572 • 100 1 — 0,51 28 000 кг,
т. е. применение такого метода расчета было бы определенно опасно. В этом случае мы не учли влияния деформации. С учетом деформации мы получили бы допускаемый груз, соответствующий напряжению 100 кгсм2 равным 12 500 кг.
Таким образом при условии, что для загрузок мы имеем такой же запас, что и для сил, мы получили допускаемый груз N 7150 кг,
т. е. критический груз 7150 • к 7150 14300 кг. Если бы мы
рассчитывали по простой формуле прочности с учетом влияния деформаций, то соответственно допускаемому напряжению 100 кгсм2 получили бы допускаемый груз N 12500 кг. Таким образом, имея двойной запас для напряжений,, мы бы для нагрузок имели коэфи циент запаса
14300 .
12 500 ’
Формулу прочности без учета деформаций применять в данном случае совсем нельзя, так как допускаемый груз получился выше критического.
Пример 4. Покажем, как производится подбор сечений при расчете на одновременное действие изгиба и осевого сжатия. Допустим, требуется найти толщину деревянного квадратного бруса, заделанного одним концом и нагруженного на свободном конце продольной силой N 3500 кг и поперечной Q 65 кг черт. 23.
Длина бруса
I 750 см.
77777777'fy777Z Черт. 23
47


Модуль упругости
£120000 кгсм. Критическое напряжение
R 200 кгсм6.
Допускаемое напряжение
I п I 75 кгсм.
Имеем:
2
Г2
12’ н- 2;
, £ гп 120000 а2 о
а 4-рг -
R 12 200 12 • 7502 11 250’
65 • 750 • 6 293 000
п,
1 а3 а8
р А. 293 000 3900
п а3 • 75 а3 ’ N 3500 46,5
Fn а1 • 75 а2
Условие 12 представим в таком виде:
N
Fin
• 29
Далее применим метод последовательных попыток. Попытка 1-я.
а — 25 сл; а2 625 Л Л.д.
11250 11250 ’ ’
8 - 3900 - о oty  Т5625 ’ ’
4650,074.
£ п 625
По табл. 2 найденным значениям о и р соответствует ф 0,10 0,074, т. е. условие 29 соблюдено с значительным запасом и значение а можно уменьшить.
Попытка 2-я.


N
Из таблицы р 0,088 prjjT т е- условие 29 соблюдено без
излишнего запаса.
Следовательно подобрано сечение при а 23 см.
Пример 5 Подобрать сечение бруса из двух прокатных швеллеров стали 3 черт. 24, опертого концами, нагруженного посредине поперечной силой Q 8000 кг и по концам продольными осевыми силами 28000 кг. Пролет 300 см.
Имеем:
а
3500 3500 . г г
X2 300 • 300 - 25,6 ’ 8000 • 300 600 000
Р
4 • W W
60.0000' 460
W • 1300 W
N 28000 21,5
Fn F • 1300 F
Черт. 24
Попытка 1-я. По сортаменту ОСТ берем два швеллера 22, для которых имеем:
F 38,94 - 2 77,9;
W 257 • 2 514;
2831
г2_
П
а
38,9
72,8
72,8;
25,6
2,8;
Р етт 0,9,
N
514
21,5
0,28.
Fn “77,9 По табл. 2 для а 2,8, р 0,9 находим:
® 0,09 0,28,
т. е. условие 29 не соблюдено, допускаемый груз меньше действительного. Сечение надо усилить.
Попытка 2-я. Два швеллера 26.
F 50 • 2 100;
W 388 - 2 776;
5045
л 50
а _ 12L — з 94-
25,6 ’
49


Из табл. 2:
о 0,37 0,215,
т. е. условие 29 соблюдено с излишним запасом; сечение слишком сильное.
Попытка 3-я. Два швеллера 24.
F 44,3-2 88,6;
W 314,5-2 629;
2 3773 _
п 44,3 ’
_85_„
а“Жб“3’;
й Q JO.
Р 629 ’ ’
21,3 0,24.
F п 88,6
Из табл. 2:
р 0,25 0,24,
т. е. условие 29 соблюдено без излишнего запаса. Следовательно можно остановиться на двух швеллерах 24. Для них
315 0,25 • 13С0 325.
F 88,6
Необходимо произвести поверку на выгиб в плоскости наименьшей жесткости. В этом направлении имеем явление простого продольного изгиба:
min 1 У—'--°в 4,75;
V 44,28
- 63.
4,5
По нормам ВСНХ 1931 г.
0,78;
• 315 0,78-1300 1014. г
На последних двух примерах мы видим, что подбор сечений помощью наших таблиц осуществляется очень просто. Общий ход решения задачи такой.
50


Предварительно для данного случая вычисляются величины;
в 4 Я рв слУ,ае литого Щ5;
УИ, а., :
аз
Л
N_
п'
после чего можно написать
®
0 1. IF’
_а3
l»l Z7
Делаем ряд попыток для различных размеров сечений. Каждая попытка заключается в том, что, подсчитав для выбранного сече-
ния величины F, W, г, мы по формулам вычисляем a, 6,
'л I
Далее из соответствующей таблицы для данных значений о и 3
N
находим 9, после чего сравниваем -р—. и 9 согласно условию 29.
Если 9 т0 условие 29 не выполнено, сечение выбрано
слишком слабое, его надо усилить. Если 9 значительно превосхожу
дит -руц» то сечение удовлетворяет условию с излишним запасом,
и можно взять более слабое сечение. Эти простые операции попыток продолжаем до тех пор, пока не получим достаточно близ-
N
кие значения 9 ип удовлетворяющие условию 29.
Необходимо.сделать еще одно практическое замечание. Величина
Р должна быть меньше единицы, так как р ут.
I
Если, задаваясь предварительно размерами сечения, мы получаем р1, то это значит, что напряжения от изгиба под действием одних только поперечных сил превосходят допускаемое и сечение настолько слабо, что не в состоянии удовлетворить даже одним только поперечным силам. В таком случае его тотчас надо отбросить и принять более мощное сечение.
Пример 6. Брус горизонтальный, опертый по концам, нагружен собственным весом и продольными силами в концевых сече-
4 SI


о
гм
ниях. Сечение состоит из двух уголков 150£ 75-Х 12 мм черт. 25. Найти допускаемую продольную силу.
600 CM; ii l;
■ 51,8 см
In 1178 см;
z0 9,6 см;
W — 123 см3;
Черт. 25
Х - 125;
W
Собственный вес
п 1300 кгсмг.
q 0,40 кгсм; а в 3500 ода;
МхЩ 18000 кгсм;
О
0 ——, 011 р Wn ’
Р 0,44.
По табл. 3:
Допускаемый груз
ЛГ 0,44-130051,8 29 600 кг.
Пример 7. Балка, опертая по концам, подвергается действию сил по черт. 26. Это более общий случай, табл. 1, 2 и 3 не предусмотренный. Воспользуемся общей табл. 4. 5t
Сечение из стали 3, широкополой- ные двутавры системы Грея. Подбор сечения производим, как в примере 5.
Сначала вычислим значения аи а2,  бм —
аъ в формулах 30, 30г, 30. Черт 2б
3500 3500 1
ai —
2м
■2М
5t
а, 7—4
Р-2 6002 1 03 ’
Мг 5000•200
п 1300
N 136 000
770;


Затем по формулам 31, 31', 31 имеем:
а
Р
N
П
103’
770
W ’
105
Fn F
После ряда попыток мы пришли к балке 36, для которой имеем:
F 170 см2;
W 2300 см;
41333
170
240.
Подставляя, имеем:
аж2Д
ешг°’33;
— — 0 6°
Fn 170
По табл. 4 для наших значений а и Р имеем:
N
0,62
Fkr
Сечение подобрано без запаса. Проверим его по формулам, составленным для общего случая; на основании 25' имеем:
е2
тг-а
N
F I п
4-0,62
10-2,3
0,108.
Прогиб от одних только поперечных сил имеет вид:
QC2 3—4 С 5000 • 2002 3 • 600 — 4 • 200 _ „
6 EI 6-2100 000-41333. ’
Множитель, выражающий влияние продольных сил, равен
1 1 1
1_е2 1 — 0,103 0,892
1,12.
Отсюда
0 0,38-1,12 0,425.
По формуле 11 имеем:
136000 __ 136000-0,425 5000-200 g0 25 435 1260 1300, 170 2300 2300
53


т. е., применив табл. 6, мы получили размеры сечения, удовлетворяющие условию 11, причем без излишнего запаса 3.
§ 9. Расчет составных стержней
Существенное отличие составного стержня от сплошного сводится к тому, что здесь мы уже не можем пренебрегать влиянием перерезывающей силы при изгибе, как это мы делали в случаях
сплошного стержня. Прогиб в любой точке представится в таком
виде:
УУиУт,
где у»— прогиб, зависящий только от изгибающих моментов, ут выражает влияние перерезывающей силы. Для вывода общего выражения уг выделим элемент бруска длиной dx и рассмотрим его деформацию от действия только перерезывающей силы Т черт 27.
Получаем:
dyT Ых. 30
Общее выражение для относительного сдвига имеет следующий вид:
КТ; 30'
где К—коэфициент пропорциональности, зависящий от системы связей между ветвями.
Подставляя в 30', получаем: dyr — KTdx;
Черт. 27
КТ.
dx
31
Выражение 31 и определяет прогиб ут в данной точке в зависимости от величины перерезывающей силы Т.
Диференцируя дважды равенство 29, получаем:
У _ УМ Рут
dx1 dx2 dx2
32
Здесь, как известно:
EI
Что же касается второго члена, то на основании 31 можем написать:
dryr
dT


Подставляя в 32, получаем уравнение изогнутой оси с учетом влияния перерезывающей силы к соответственно выбранным на черт. 8 направлениям координат осей:
Т1М КТх' 33
Рассмотрим случай внедентренного сжатия черт. 10. Изгибающий момент выразится так:
М Ny.
Откуда получим выражение для перерезывающей силы.
dM_Ndy dx dx
Подставляя в 33, получаем:
dx2 EI У К dx1 ’
откуда
п мпУ N
или
d2y 1 N
у. 34
dx2 Ell — KN
В случае, когда влиянием перерезывающей силы мы пренебрегаем полагая К — 0, мы имеем:
—TSN 34,
Сравнивая 34 и 34’, мы приходим к заключению, что решение уравнения 34 может получиться из решения 34’ путем подстановки в последнее yN вмест0 N. Поэтому, если нам тре¬
буется разыскать наибольшее значение у от силы М9 — kN, то на основании формулы 13 мы можем написать:
У — Уо Г-ш- Ш 13,
cos ±1 М
2 V £71 —КШ
« условие И примет вид:
Wh , 1 я. 35
F 1 —ix KN
2 V Ell—KkN
55


Решая совместно с 12, т. е. подставляя N F п, а также ь Я
имея ввиду, что k , получаем:
5 -«• М
COS
jV¥-v
Сравнивая с 14, заключаем, что расчет составного стержня может свести к расчету сплошного, если в выражении для а принять приведенную длину:
0 — 1 . U 36
N
или приведенную гибкость
Х В 1, где i ■-1 . Зв
У'-Кщ V lKWN
Длину 0 или гибкость Х0 надо подставить в выражения, для л приведенные в § 8.
Перейдем к случаю одновременного действия сжатия и изгиб а. силой, приложенной в свободном.конце бруска, другой конец которого защемлен черт. 12. Изгибающий момент:
М My -f- Qx;
Т7Г Nr Q. dx ах
Подставляя в 33:
2. -Lv-LxA.KNy
dx Ely El dx’-’
или
d‘y_ i M 1 Q
dx Ell—KM У Ell—KNX' 37
Пренебрегая влиянием перерезывающей силы или, что все равно» полагая К 0, получаем:
dx
Сравнивая 37 с 37', заключаем, что для получения решения уравнения 37 достаточно подставить в решения уравнения 37
N Q
j вместо М и вместо Q. Наибольшей прогиб _у0 от
56


действия сил нием 16:
N0 kN, Q0 kQ получим, пользуясь выраже
„ «Г
kN 7KkN
El
i' kN _L
V 1 — KkN El
16'
и условие 11 примет вид:
I kN Г N QltglV 1 —KkN El
F W
kN 1
n
38
KkN El
чаем:
Делая те же подстановки, что и в предыдущем случае, полу-
tg
1 Г R
V Ё'-г
Р_
.2
R
я 1 —K—N
п
io—
V ‘ Е г2
П,
1
1,
откуда приходим к выражению 16, выведенному для сплошного стержня при условии подстановки в выражение а приведенной длины, определяемой по формуле 36 или приведенной гибкости по формуле 36.
Определим теперь коэфициент К для различных случаев связей между ветвями составных стержней. Рассмотрим несколько видов- решеток, прячем число пане¬
t
L—У —
лей будем считать весьма большим. На черт. 28 представлена треугольная система решетки с дополнительными распорками. Распорки работают только лишь на местную нагрузку, а перерезывающая сила воспринимается только диагоналями. На чертеже показано, что первоначальная длина диагонали аЪ достигла величины аЪ'. в результате деформации, происшедшей под действием перерезывающей силы Т. Абсолютное удлинение сЪ' получится, если мы в формулу Гука подставим продольное
Т
усилие диагонали ——. Отсюда
Чер т. 28
Sin а
т L
cb' —
sin а ЕЕл
57


Абсолютный сдвиг bb' получится из прямоугольного треугольника ebb1.
w сЪ
L
sin a siri'aEF
Относительный сдвиг:
Т U
1
d sin2d d EFd EFa sin2acosa Сравнивая с 30, устанавливаем, что
1
Т.
К
FA sin2a cosa
39
Выведенное значение К соответствует одностенчатой системе решетки, например в случае двутавровой формы сечения. При числе стенок решетки п например для трубчатых сечений п 2 сила Т распределяется между стенками поровну и в таком виде
1
К
пЕЕл sin2a cosa
- 40
На черт. 29 представлена раскосная система решетки.
Здесь bb1 сс' представляет собой абсолютный сдвиг, зависящий от растяжения диагонали. Однако в раскосной системе перерезывающая сила вызывает усилия и в распорках. Дополнительная величина абсолютного сдвига от деформации распорок имеет вид:
Ее'1
Th
EF„
Складывая результаты влияния деформаций диагонали и рас- яорок, получаем:
сс сс' с'с — Отсюда относительный сдвиг:
JU
d sin-73 costEFd dEFr J
Сравнивая с 30, получаем:
Г L
Th
sin2a EFd EFr
T
1
tga
1
K-rr
1
,EF sin- a cosa EF,
r'
E sina cosa
«


при одной системе решетки и
к-Х1
1
tga'
41»
1 1
г
KjQ.
L
пЕ rasing cosa Fr при числе стенок п.
На черт. 30 представлено соединение ветвей планками. Практически расчет производится в предположении, что при деформации системы точки перегиба помещаются в серединах длин распорок и панелей и что перерезывающая сила Гпоровну распределяется между ветвями. Тогда
абсолютный сдвиг ab элемента
длиной получится как сумма
перемещений конца b от поворота опорного сечения распорки и от изгиба ветви. Обозначая моменты инерции распорки в ветви относительно оси через 2 и t и принимая во внимание, что на распорку действуют опор-
T-d
ные пары —-р—
а ветвь изгиба¬
ется силой -g-, имеем:
-г Т h h
2 ,3£7, 6£У2 2 ' 2 2
ГГ dh 7 d2 1 d 2 6£ 2 'UEIX 2
ЪЕ1Х
Относительный сдвиг:
ab Tdh_ d_' 2ь
12E
2
Сравнивая с 30, получаем:
н
К
dlh d 2Ek 2,
42
В случае п стенок имеем:
К--
d j h d 2E л2
2J
42'
59


Обычно момент инерции распорки существенно превосходит момент инерции ветви и формулы 42 и 42 упрощаются:
К2Ш1
§ 10. Практические применения формул расчета составных
стержней
В предыдущем параграфе было установлено, что для расчета составных стержней в случае одновременного действия изгиба и сжатия сначала в зависимости от системы связей между ветвями определяется коэфициент сдвига К по формулам 40, 41, 42, после чего вычисляется приведенная длина 0 или гибкость Х0, подставляемые затем в выражение для определения а. Далее расчет ведется, как для сплошного стержня. Ввиду того что влияние перерезывающей силы невелико при подборе сечения в виде первого приближения принимают брус сплошным и далее производят проверку.
Пример 1. Рассчитать на внецентрен- ное сжатие составной стержень, представленный на черт. 31. Сжимающая сила N 65 т. Внецентренность 10 см. Сечение состоит из двух швеллеров 26, связанных решеткой по схеме, представленной на чертеже. Площадь сечения F 2 • 50 100 смг. Концы бруса свободно оперты. Требуется определить необходимое расстояние х между ветвями.
Для простоты ослабление сечения заклепками не учитываем. Задаемся расстоянием х — 20 см. Тогда:
12• 334 50 10 2,452 16 168 см;
Черт. 31
Гибкость
По табл. 5:
'•-V-
16 168 100
12,7 см.
X f 4°.
По формуле 15:
а 2,2.
fz0 10-19
3
12,72
1,2
60


По табл. 1:
- 0,46;
N 65000
F “0,34-100 1410 1300- Условие 12 не выполнено. Увеличиваем х до значения 25 см. Получаем:
2- 334 50 12,5 2,452 23 000 см;
‘-а-»
По табл. 5:
3500 _
ЗЗ2 ’ ’
Y 10-21,5 pg Т 15,2
По табл. 1:
9 0,50. N 65 000
1300.
С7 0,50-100
Условие удовлетворено, перейдем к проверке. Определяем К по формуле 40, причем число решеток п 2. Площадь сечения уголка 60 • 40 • 8 Fd— 7,4 см'К Угол наклона т 45°. Подставляя, получаем:
К 1 -
2 100 000-7,4 sin245°cos45° 5,5-106
Приведенная гибкость
Х0 —У-._Х_ —, Х-..- 1,0 IX.
' ' 7 65000-24000
V1
5500000-1300
Поправка ничтожная.
Пример 2. Решим ту же задачу и предположим, что ветви соединены планками размером 240x8 мм, отстоящими на 72 см ось от оси. Момент инерции ветви:
— 334 см.
Момент инерции планки:
О 8•243 1г ' — 930 см.
61


На основании формулы 42': 72
К
12-2100000
2-930 2-334 350000 °’°19 °’108
1
2 760 ООО
Х0 . .. 1 02Х.
' 2400-65000
V'-
1300-2760000
Результат тот же, что и в предыдущем примере.
Пример 3. Тот же брус, что и в примере 1, подвергается действию центрального сжатия силой N в 65 т и изгибу поперечной силой, сосредоточенной в середине пролета Q 5 т.
Попрежнему, продполагая стержень сплошным, имеем:
а 3,2.
Для определения 3, подсчитываем п
5000-500-21,5 _0.
4-2а ооо 584;
8 — 3 - 584 — о -15 р”«:” 1зоо
По табл. 2:
р 0,52;
05 000 - 2cq 13QQ
F 100 • 0,52 “ 1250 130°-
Условие 12 выполнено.
Проверки на перерезывающую силу не требуется, так как
Х0 1.01Х.
На примере мы видели, что влияние перерезывающей силы на сопротивление составного стержня незначительно. Приведенная гибкость отличалась от гибкости, рассчитанной в предположении сплошного стержня на 1—2. Практически разница может достичь величины не свыше 5. Ввиду этого мы вправе были бы влияние перерезывающей силы не учитывать, если бы погрешность шла в запас прочности. Однако здесь это не имеет места. Преобразуем выражение:
1
а
V1-
KiriN
п
62


так, чтобы получить небольшую погрешность в запас прочности.
R
Ввиду малости величины К—N мы можем написать:
1 П
-V
1 k£iN
tt
ft
при наибольшем значении К■,—гN, равном 0,10, такое пробразо-
TV
вание дает погрешность 0,5. Далее для получения наибольшего значения К учитываем, что из всех систем связей наименьшей жесткостью отличаются планки. Практически применяют в таких
D
случаях формулу 42 для К. Значение N0 -—rN также берем
тъ
наибольшее. Таковым является:
м -EI
NtfW ‘
Подставляя, получаем:
V'
24Е1г И2
Обозначая площадь ветви через Fu радиус инерции ее через rt и гибкость ветви через Xj, будем иметь:
h FS Л 1 2 Fsl
Подставляя, получим:
ШШ-
2
откуда на основании 36'
Х0 jiX Х 0,83Х х
или в запас
Х0 VXf 43
то же выражение, что мы имеем для простого продольного изгиба.
Приведенная гибкость Х0 подсчитана с запасом, тем большим, чем меньше гибкость всего стержня по сравнению с гибкостью ветви. Ввиду этого запас для Х0 получается существенный при малых значениях X. Но при этом получаются большие значения для а, при коих величина ® меняется медленно. Поэтому в таких границах неточное определение гибкости не отразится существенно на результате. Для того чтобы выяснить степень расхождения, мы произвели ряд подсчетов. При этом гибкость ветви принята была нами наибольшая, Xi 30. На практике она редко превосхо-
63


дит такое значение. Германскими же нормами предписано, чтобы X,«S30. При таком значении Xt подсчитаны значения Х0 соответственно гибкостям X в границах 40 —160, по табл. 5 подсчитаны значения а и а0, соответствующие гибкостям X и Х0, и из табл. 6 взяты значения р для а и р для а0 при разных величинах р, после чего вычислены расхождения в процентах. Результаты сведены в табл. 9:
Таблица 9
Таблица расхождений значений для X и Х0 YХ30
-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7 0,8
0,9
40
0
2
3
3
5
4
4
4
5
5
60
0
2
3
5
5
5
6
5
5
5
80
0
3
3
4
5
4
4
4
4
4
100
6
4
4
4
4
4
4
3
0
0
120
4
4
3
3
3
3
3
3
0
0
140
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
160
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Таблица показывает, что расхождения в величинах ф, вычисленных в двух крайних предположениях, находятся в практически допускаемых пределах.
Окончательно приходим к следующему правилу: расчет составных стержней производится так же, как и сплошных, но при определении а вводится приведенная гибкость Х0, вычисляемая по формуле 43j.
Например в примере 2, рассматриваемом выше, мы имели:
X 33;
радиус инерции ветви:
_ 1 334 _
V 50 ’ СМ■
гибкость ветви:
72
X, 2- 28; расчетная гибкость стержня:
Х0 ЗЗ2 282 43;
по табл. 5:
3500 . Q
«--43Г-1А
т °9;
р — 0,495; 13101300.
64


В примере 3:
а 1,9;
Р 0,45; 9 0,51; 65 000
N
9F 0,51 • 100
1270 1300.
§ 11. Расчет соединительных решеток и планок составных
стержней
Помимо расчета прочности основных элементов составных стержней необходимо производить расчет связей между ветвями. Мы видели, что усилие в диагонали треугольной или раскосной системы решетки определяется так:
Sd±——, 44
d П sin а '
где п — число решеток в плоскости изгиба. Для работающих распорок в раскосной системе:
2 i гг
п
45
Что же касается планок, то на черт. 32 видно, что
•«
Т_ ,
2 Td
А
2
h
При числе стенок m
с _Td п nh
46
Заклепки, прикрепляющие планку к ветви, рассчитываются на изгибающий момент: j
М. Т4 46' -
и перерезывающую силу
г.- g • 46» -
Т“
-см
7 -«
12
L —- d
2
Т
2
Черт. 32
Таким образом вопрос сводится лишь к определению расчетной перерезывающей силы Т. Для определения таковой мы будем исходить из следующих соображений.
5 К. С. Завриев 65


Расчетная сила Т характеризует сопротивляемость планок и решеток. Она соответствует какой-то системе внешних сил. Зависимость Т от внешних сил выражается так:
tntt- 47
где первый член выражает влияние продольных сил, а второй представляет ссбой перерезывающую силу от действия одной лишь поперечной нагрузки. Мы видим, что с возрастанием продольных и поперечных сил перерезывающая сила растет непропорционально
быстрее, так как одновременно с N и Тх возрастает • Поэтому
при назначении допускаемой силы Т надо исходить из условия, чтобы расчетные нагрузки имели достаточный запас по отношению к разрушающим. Из условия равнопрочности всех частей бруска заключаем, что внешние силы, опасные для решетки, должны иметь те же значения, что и внешние силы, опасные для самого стержня.
Из выражений 45, 46, 46', 4б видно, что усилия, а следовательно и напряжения в решетке пропорциональны величине Т. Поэтому, если допускаемая перерезывающая сила, соответствующая допускаемым напряжениям в частях решетки, равна Т, то критические напряжения в решетке возникнут при перерезывающей силе,
Т
Т0 j—г'R kT. Сила Г0 и должна соответствовать опасным си- ть
лам kN и kMx стержня, определяемым из условия:
kN kN f у0 Шх
F W W '
Это общее выражение для внецентренного сжатия и действия поперечной нагрузки мы можем представить в таком виде:
Здесь выражение
'N , N4-ЖЛ , kNY0_„ р W W
N NfMx W
представляет собой расчетное напряжение от сжатия и изгиба продольными силами, приложенными с внецентренностью , и поперечной нагрузкой без учета влияния деформаций. Обозначаем его через п Кроме того имеем:
п
Подставляя, получим:
я' мУого


откуда наибольший прогиб, соответствующий опасной нагрузке:
1-
ri
. п
Уо
N z0
Fnrl
П
Для составного стержня можно написать: rn— z0. Отсюда:
п'
1-
Уо -г- • 48
rnFn
Изогнутую ось можно принять за синусоиду:
. ТСЛГ
yy0sm-
ш п ЪХ
-ЛС0813
Следовательно наибольшее значение у', соответствующее опасной нагрузке, равно:
тс
3,0 VI
и опасная перерезывающая сила согласно формуле 47:
T0kTkNy0 kTu откуда расчетная перерезывающая сила:
1 1 »'
п _ _ п
T-Nyn-N—jf T.-N
rnFп тс тс
гг-1--
19
49
где
N F п
Это и есть предлагаемая нами окончательная формула для расчетной перерезывающей силы.
Вопрос о том, принять ли здесь X или Х0 по формуле 43, мы бы решили в пользу X. Действительно, фактическое значение гибкости находится в пределах между значениями X и Х0, и в расчет следует вводить тот предел, который дает запас прочности. При расчете самого бруса в запас прочности мы брали верхний предел гибкости, т. е. Х0. При подсчете же перерезывающей силы мы должны взять нижний предел, т. е. X, так как выражение 49 дает наибольшее значение для Т при наименьшем значении X.
67


Применим наши результаты к примеру 1 предыдущего параграфа.
Имеем:
X 33;
N
Ро стЧ 0,50; то Fn ’
65000 , 65000-10-21,5 КСЛ _л_ ,пм
Я ЮГ 23000 550 5071257;
7'i 0;
Точно так же в примере 3 имеем:
X 33;
о рТ 0-50; то Fn
п' 650 584 1234;
5000 ОСПА 7 — 2500 кг;
Т - 2500 65 000 1 — 2500 630 3130 кг.
Рассчитаем уголок раскоса. Усилие в нем:
Sd 2200 кг'
d 2 sin а 2 sin 45°
Возьмем невыгодный случай — сжатие раскоса решетки.
Длина уголка:
h -гЩпп 49 см; d sin 45°
радиус инерции:
гибкость:
Х,-ц-вЗ;
коэфициент расчета на продольный изгиб:
р 0,78;
расчет на продольный изгиб:
290П
4гг 300 0,78-1300 1014 кг1см‘;
7,4
68


расчет заклепок диаметром d 2 см на срезывание:
640 13000,8 1040 кгсм2;
расчет уголка на смятие:
1250 1300 1,75 2300 кгсм2. Решетка удовлетворяет всем условиям.
3. РАСЧЕТ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СОСТАВНЫХ СЖАТЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Размеры элементов решеток и планок сжатых составных стержней ранее назначались без расчета по „конструктивным соображениям. Однако, после того как слабость соединительных элементов составных стержней оказалась основной причиной разрушения некоторых мостов, в частности Квебекского, вопрос о расчете таковых стал весьма актуальным. Мощность соединительных элементов имеет значение, с одной стороны, оказывая влияние на устойчивость стержня в целом, с другой стороны, в смысле достаточной прочности самих соединительных элементов. Однако влияние их на устойчивость стержня сравнительно невелико, и учет этого влияния исчерпывается расчетной формулой для гибкости составного стержня:
Х0ХЧГХ,
где X — гибкость стержня в предположении, что он сплошной, — гибкость отдельной ветви.
Что же касается прочности самих соединительных элементов, то таковая обязательно должна быть проверена. Расчет решеток и планок не представляет затруднений, если предварительно определена наибольшая перерезывающая сила Т. При этом соединительная решетка рассчитывается по обычному способу расчета сквозных ферм, а планки — по упрощенному способу расчета без- раскосных ферм в предположении, что точки перегиба планок и элементов ветвей находятся в серединах их теоретических длин. В обоих случаях расчетные напряжения пропорциональны перерезывающей силе Г.
Что касается определения перерезывающей силы, то по этому вопросу имеются большие разногласия. В „Технических условиях НКПС 1921 г. было предложено принимать в расчет поперечную силу, равной 2 наибольшего продольного усилия стержня. Этот пункт заимствован из германских норм. В 19,29 г. была предложена другая норма НКПС, именно:
Г 1000 £
69


если Х0 80, то Т -щ- F.
Здесь F—площадь сечения стержня.
В 1928 и 1930 гг. были выпущены проекты „Технических условий и норм комиссии по строительству при СТО, в коих предложено перерезывающую силу определять как 2 от продольного усилия. В 1931 г. вышел проект норм Гипротранса НКПС, согласно которому перерезывающая сила определяется по формуле:
Т — 30 mln ‘ F,
где Pmin—коэфициент уменьшения допускаемого напряжения при расчете на продольный изгиб. Эту формулу мы можем преобразовать путем подстановки в нее ргаш из выражения:
N_ . ,
р — Рппп • Л I,
где п — основное допускаемое напряжение, N—расчетная продольная сила. Получаем:
Iп I
В частности при п 1300:
Т 0,023 Nv
т. е. выражение для Т дается в таком же виде, как в германских нормах, но при несколько повышенном коэфициенте.
В том же 1931 г. вышли „Технические условия и нормы Иннорса ВСНХ СССР, согласно коим поперечная сила принимается равной 1,5°0 от сжимающего усилия.
На основании этого обзора „Технических условий и норм, выпущенных у нас за последние 10 лет, мы приходим к заключению, что за исключением норм НКПС 1929 г. в остальных случаях перерезывающая сила определяется по формуле:
TuN,
причем и 0,02 по германским нормам, ц0,023 по проекту норм Гипротранса НКПС 1931 г. и и — 0,015 по нормам Иннорса. Что же касается формулы НКПС 1929 г.
т iooof,
ко
то она представляется нам совершенно не обоснованной, несмотря на тщательные попытки к ее обоснованию в некоторых курсах мостов.
70


Столь большие расхождения в предлагаемых иногда даж одновременно нормах об'ясняются конечно недоработанностью вопроса. Мы считаем, что все встречающиеся в литературе попытки вывести обоснованную формулу для расчета успехом не увенчались, и это об'яЛяегся тем, что мысль авторов исследований сосредоточивалась почти исключительно на напряженном состоянии элементов при действии расчетной нагрузки. Между тем рассматриваемый случай является особым именно потому, что соответствующая расчетной нагрузке перерезывающая сила равна нулю, так как, если не считать случайных искривлений и внецентренно- стей, роль которых в смысле влияния на величину перерезывающей силы ничтожна, мы имеем при расчетной силе, составляющей некоторую часть от критической, чистое сжатие. Прилагая же к этому случаю наш рецепт вывода расчетной формулы, мы обходим все затруднения и получаем обоснованную формулу для расчета.
Прежде всего простой продольный изгиб есть предельный случай одновременного действия изгиба и сжатия при стремлении внецентренности и поперечной нагрузки к нулю. Поэтому мы можем расчетную формулу для Т получить непосредственно из формулы 49. Приравнивая нулю поперечную нагрузку, получаем:
При стремлении к нулю внецентренности f мы в пределе имеем
Тот же результат мы можем получить и непосредственно на основании следующих соображений. Пока происходит простое сжатие, перерезывающая сила равна нулю. Она возникает тогда, когда продольная сила достигает критического значения и произойдет изгиб бруска. Известно, что при этом получатся деформации, настолько значительные, что напряжение в крайних точках сечения бруска достигнет критического значения без существен¬
где
All'Ll
F R F R n'
Подставляя, получим:
7- W — x7
71


ного дальнейшего возрастания силы. Наибольший прогиб, который будет соответствовать критическому состоянию бруска, определится из усилия:
j N„y0Zo
откуда
Уо
F
Изгибающий момент в любом сечении:
MNy;
перерезывающая сила:
ах ах
Критическое значение перерезывающей силы:
Т0 max N • max NKp max .
Принимая изогнутую ось бруска за синусоиду, получим при наибольшем искривлении бруса в критическом его состоянии
. тел: yy0sm;
dy к TlX dy К
Tx-Vl' m™Txy°Vr
Подставляя в выражение для Т0, получим:
£-1-, £-1
Это критическое значение перерезывающей силы в тот момент, когда наибольшее напряжение в сечении бруска достигнет критического значения R. Из условия равнопрочности решетки и основного бруска вытекает, что значение Т0 должно быть критическим и для решетки. Если решетка рассчитана на силу Т, т. е. сила Т соответствует допускаемым напряжениям в частях решетки, то критические напряжения в них получаются при силе kT, которая и должна равняться величине Г0. Отсюда:
’■-тИИ£-‘т-«£-'т-
т. е. мы получим выражение 50. Мы можем его представить в следующем виде:
Т uN, 50


Ввиду того что 1р есть функция X, мы заключаем, что и—функция X и можно составить для и таблицу в зависимости от X. Зависимость пр от X мы берем из графика на фиг. 599 первого тома яСтальных мостов К. О. Патона и Б. Н. Горбунова 1930 г., стр. 283.
Таблица 10
Таблица коэфициентов и в зависимости от гибкости X для стали 3
X
80
90
100
110
120
130
140
150
и
0,002
0,004
0,007
0,009
0,016
0,022
0,028
0,033
Таким образом по известной гибкости X мы определяем а из таблицы, после чего пользуемся формулой 50 для определения расчетной перерезывающей силы.
Возвращаясь к нормам НКПС и ВСНХ и сравнивая их с нашими результатами, замечаем, что, принимая коэфициент и постоянным, как это требуется нормами, мы в случае пользования нормами германскими и 0,02 поступаем в запас прочности для значений X г125; по проекту норм Гипротранса НКПС 1931 г. и — 0,023 запас получается для значений X«sl30, и по нормам ВСНХ 1931 г. и 0,015 для Х120. При значениях X, выходящих за означенные пределы, расчетная перерезывающая сила по нормам оказывается преуменьшенной. На практике мы чаще всего имеем дело с значениями X, не выходящими за указанные пределы, хотя в отдельных случаях возможны и большие значения X. Поэтому практически все предложенные нормами значения расчетной перерезывающей силы могут привести к излишней затрате металла, не гарантируя в то же время во всех случаях достаточного запаса.
При проектировании соединительных элементов необходимо удовлетворить как конструктивным требованиям, так и требованиям прочности и устойчивости по расчету. После того как решетка или планки запроектированы согласно конструктивным требованиям, отраженным в соответствующих разделах норм, необходимо проверить расчетом их размеры с той целью, чтобы, если таковые окажутся недостаточными, усилить соответствующие элементы. Для того чтобы такое усиление было исполнено только тогда, когда в нем имеется действительная надобность, необходимо расчет производить без излишнего запаса.
. Этого можно достичь, пользуясь нашей таблицей для и.
4. РАСЧЕТ ПЕРЕКРЕСТНЫХ ДИАГОНАЛЕЙ
Продольные связи металлических мостов часто устраиваются в виде ферм с перекрестными диагоналями. Такие фермы по существу являются системами, статически неопределимыми, со многими лишними неизвестными, число коих равно числу встречных
73


диагоналей. Однако расчет их производится упрощенно на основании тех или иных допущений.
Раньше, до появления норм НКПС 1929 г., при расчете перекрестных диагоналей исходили из предположения, что они работают только на растяжение, тем самым допуская, что в каждой панели работает только одна диагональ, именно растянутая, и в расчет вводилась статически определимая схема фермы. Однако -если такое допущение и было обоснованным тогда, когда диагонали связей устраивались гибкими плоскими, то для новейших конструкций, в которых совершенно устранены плоские элементы и даже нормирована предельная допускаемая гибкость, расчет, основанный на приравнивании нулю сопротивления диагонали сжатию, приводит к грубой ошибке. Нормами НКПС 1929 г. предположено рассчитывать диагонали связей во всех случаях „в предположении возможности их работы как на растяжение, так и на сжатие111.
При этом более или менее точный расчет усилий, возникающих во встречных диагоналях при данной системе внешних сил, затрудняется не только тем, что приходится рассчитывать ферму, многократно статически неопределимую, но также и неопределенностью задачи вследствие тех перераспределений усилий между диагоналями, которые происходят по причине степени предварительной натянутости диагоналей, участия их в работе вертикальных ферм и пр. Тот упрощенный расчет, который применяется на практике, именно расчет, основанный на предположении равного участия встречных диагоналей данной панели в восприятии перерезывающей силы, слишком груб для того, чтобы сохранить право на дальнейшее существование. Однако даже если бы нам удалось точно рассчитать действительные усилия в диагоналях под действием расчетной нагрузки с учетом всех обстоятельств работы фермы, то и такой расчет нас не мог бы удовлетворить вследствие отсутствия в нем анализа коэфициента запаса. В самом деле, допустим, •что нам удалось установить действительное распределение усилий, после чего записаны условия прочности и устойчивости сжатой диагонали.
В таком случае мы как бы полагаем в основу расчета предположение, что критическое состояние сжатого стержня обусловливает разрушение фермы. Фактически же, когда при непрерывном возрастании приложенных к ферме внешних сил усилие в сжатом стержне достигает критического значения, ни разрушения, ни существенного искажения соответствующей панели фермы не произойдет, так как последняя сохраняет геометрическую неизменность благодаря растянутой диагонали.
С дальнейшим возрастанием внешних сил усилие в сжатой диагонали остается неизменным, а будет увеличиваться усилие в растянутой диагонали. Выпучивание сжатой диагонали как бы создает для нее условия пластичности, предохраняющей ее за счет растянутой диагонали от дальнейшего роста усилия. Критическое состояние панели фермы будет иметь место тогда, когда и в растя-
1Технические условия проектирования металлических строений железнодорожных мостов 1929, гл. III, § 94, стр. 32.
74


нутой диагонали напряжение достигнет критического значения' т. е. предела текучести.
Возможен и другой случай, когда вследствие тех или иных причин, например предварительного натяжения диагоналей, сжатая диагональ оказывается в лучших условиях, чем растянутая, и первой достигает своего критического состояния предела текучести растянутая диагональ. Тогда панель сохранит свою форму за счет сжатой диагонали, и при дальнейшем росте внешних сил будет возрастать лишь усилие в сжатой диагонали. Критическое состояние панели фермы получится, когда в сжатой диагонали будет иметь место либо предел текучести в ослабленном сечении либо критическая сила, обусловливающая продольный изгиб.
Таким образом как в том случае, когда сжатый стержень первым достигнет своего критического состояния, так и тогда, когда первой растянутая диагональ достигнет предела текучести, критическое состояние панели обусловливается одновременным наличием в обеих встречных диагоналях критических усилий, т. е. предела текучести в растянутой диагонали и предела текучести или критической силы в сжатой. Разница между этими двумя картинами стадии разрушения заключается лишь в том, что когда растянутая диагональ сохраняет свою сопротивляемость при критическом состоянии сжатой, первая делит длину стержня на две полуволны и следовательно повышает устойчивость сжатой диагонали. Если же первой выходит из строя растянутая диагональ, то критическая сила в сжатой обусловливается ее полной длиной.
Это существенное различие ставит перед нами вопрос, какую же принимать расчетную длину при определении критической силы сжатой диагонали. Отметим прежде всего, что в связях мостов неизбежны дополнительные напряжения вследствие возможного предварительного натяжения или, наоборот, недостаточной натянутости диагоналей от действия температурных изменений, а также вследствие участия поясов в работе главных ферм на вертикальную нагрузку. При этом из черт. 33 нетрудно убедиться, что такие дополнительные усилия независимо от горизонтальной нагрузки во встречных диагоналях данной панели равны между собой и по величине и по знаку.
Действительно, вследствие равенства нулю перерезывающей силы при отсутствии поперечной нагрузки:
Isin iQ — 52simr О,
откуда
St S2.
75


При критическом состоянии, когда усилия во встречных диагоналях достигают критических значений, перерезывающая сила, соответствующая этому состоянию, совершенно не зависит от вышеуказанных дополнительных усилий. Действительно, из черт. 34 видно, что
Q0 51чр sin т -- S,v sin т, 5 S2Kp sin ц,
т. е. величина 20 зависит лишь от критических значений усилий во встречных диагоналях.
1
Черт. 34
Однако предварительные натяжения, не влияя на критическое состояние стадии разрушения, оказывают существенное влияние на начальный период этой стадии. Именно при предварительном натяжении к начальному периоду стадии разрушения будет иметь место большая величина растягивающей силы по сравнению со сжимающей, чем это было бы без означенных условий. Поясним это на численном примере: пусть критическая сила для растянутой диагонали—20 т, для сжатой—15 щ тогда критическая перерезывающая сила:
Q 15 20 sin т 35 sin т.
При этом при нормальной натянутости диагоналей за время возрастания горизонтальной нагрузки растягивающее усилие изменяется от 0 до 20 т, а сжимающее—от 0 до 15 т.
Предположим, что теми или иными условиями например вертикальной нагрузкой главных ферм обусловлено наличие в диагоналях растягивающего напряжения 6 т до начала действия горизонтальных сил. Тогда за время возрастания горизонтальных сил от нуля до критического состояния панели усилие в растянутой диагонали растет от б до 20 т, всего на 14 т, а в сжатой сжимающее усилие возрастет от —6 до 15 т., всего на 21 т, и
Q 21 14 sin 1 35 sintj, т. е. критическая сила та же самая.
Таким образом по черт. 34 доказано, а на числовом примере пояснено, что картина критического состояния стадии разрушения совершенно не зависит от дополнительных усилий в диагоналях, а зависит только от критических значений усилий. Предварительные же усилия оказывают влияние лишь на путь роста усилий во встречных диагоналях и следовательно на начальный период стадии разрушения.
76


При этом те или иные значения предварительных усилий могут создать условия к тому, чтобы первым достигло критического значения усилие растянутой диагонали. Учитывая такую возможность, мы именно такой случай и рассматриваем как наивыгоднейший, т. е. не учитываем влияния растянутой диагонали в смысле повышения устойчивости сжатой. За расчетную длину в последней принимаем полную длину.
Тяким образом на основании анализа стадии разрушения панели мы приходим к следующему выражению для критического значения перерезывающей силы:
Qo Fnetto R Sin Tj —J- Sg Sin T netto R f S9 Sin T, 52
где R—предел текучести, a Sa — критическое значение сжимающей силы, соответствующее продольному изгибу при расчетной длине, равной полной длине диагонали. В тех случаях, когда критическая сила меньше той сжимающей силы, которая соответствует пределу текучести в ослабленном сечении1:
Qo' 2Fneito R sin ij. 53
Для расчетной допускаемой силы имеем условно:
2-£-Qo,
где k—коэфициент запаса, который принимаем такой же, как при простом растяжении.
Тогда из выражения 52 имеем:
Fnetto ' R Sg
—kTlsmri-
Выше мы обозначили
Подставляя, получим:
Л , , Т п-
QFnetton 1 -f р Sin TTJ.
г netto К
Критическое напряжение в сжатом стержне, отнесенное к площади бртто, обозначим через па.
Тогда
р—
ГI
F
brutto
ttlg ,
где
netto
t __ Fbrutto ' 54
netto
1 Мы рассматриваем случай равных площадей сечения в перекрестных диагоналях, Ход вывода расчетных формул для общего случая не отличается от излагаемого.
77


Подставляя, получим:
QF„etton 1 tjj sin TQ-
Представим эту расчетную формулу в таком виде:
Па
Q JI
п
2 sin Т Fnetto Точно так же из формулы 53 получим:
3
55
2 sin Tj Fnetto
п
56
Из выражений 55 и 56 надо взять наименьшую силу за допускаемую. Окончательно об'единяя выражения 55 и 56, получаем следующее условие для расчета перекрестных диагоналей:
2 , ,
V —57
2 Sin Г Fnetto
zn
где
lt z —s—, но не 1.
57'
Повторяем, что па определяется соответственно полной длине диагонали и что влияние дополнительных усилий в диагоналях от предварительного натяжения, от участия в работе главных ферм и от температуры расчетной формулой 57 учтено.
Коэфициент зависит от гибкости сжатой диагонали. Нами составлена табл. 11 для случая t 1 сварные соединения и £1,10, t 1,15 клепаные конструкции.
Таблица 11
Таблица значений z
X
Z
1
1,10
1,15
60
1,00
1,00
1,00
80
0,98
1,00
1,00
90
0,95
1,00
1,00
100
0,90
0,94
0,96
110
0,37
0,91
0,93
120
0.81
0,84
0,85
130
o;76
0,78
0,80
140
0,72
0,74
0,75
150
0.69
0,71
0,72
160
о;об
0,68
0,69
180
0,62
0,61
0,65
200
0.60
0,61
0,62
00
0,50
0,50
0,50
78


Формула 57 удобно укладывается в следующее мнемоническое- правило расчета перекрестных диагоналей при равных площадях поперечных сечений: перерезывающая сила Q в данной панели поровну передается обеим диагоналям и для расчета прочности устанавливается коэфициент уменьшения z основного допускаемого напряжения; этот коэфициент определяется из таблицы в зависимости от гибкости X сжатого стержня при условии приравнивания расчетной длины полной
Черт. 35
Пример расчета. Пусть дана ферма черт. 25 пролетом 40 му несущая равномерную нагрузку. На узел передается сила 10 то. Основное допускаемое напряжение п 1300 кгсм2.
Диагонали состоят из двух уголков 90x90x10, расположенных накрест. Площадь сечения диагонали:
Fbrutto 2 • 17,13 34,26 см2;
Fnetto 34,26 — 2,3 31,96 см2;
Fbrati0 1,07;
t
netto
наименьший момент инерции сечения:
min I — 1х0 2 - 201,3 402,6 см;
радиус инерции:
1 402,6 „ .
шагу Н263'' :
расчетная длина: гибкость:
1 — 7 м;
Х 200.
3,4
По таблице, интерполируя для £1,07, получаем г 0,61; г п 0,61 • 1300 790.
Для первой панели расчетная перерезывающая сила:
Л 10-7


В предположении равномерного восприятия ее обеими диагоналями напряжение в диагонали:
Q 35 ООО _в _ , .
о р— о—гГт—оо 80 zn — 790,
2 sin vFnetto 2 • 0,7 • 32
т. e. условие 57 выполнено без существенного запаса.
Для сравнения произведем расчет в предположении, что диагонали работают только на растяжение.
Тогда напряжение в диагонали:
. 1560 1300,
sinn Рnetto 0,7 • 32
■20 перенапряжения.
Если произведем расчет по нормам НКПС 1929 г., т. е. в предположении, что диагонали работают и на растяжение и на сжатие, причем усилие Q передается поровну обеим диагоналям, то напряжение на сжатие:
Q 35000
2 sin t Fbmtto 2 • 0,7 • 34,26
Расчетная длина ввиду наличия растянутой диагонали согласно § 82 проекта норм Гипротранса 1931 г.:
0,65 • 7 4,55 м
по нормам ВСНХ 1931 г. согласно § 82 можно было бы принять 0,5 • 7 3,5 м.
Гибкость:
455 i п.
ЗА ’
коэфициент уменьшения при продольном изгибе:
р 0,38;
допускаемое напряжение:
п р 1300 • 0,38 500 Kzjcju; перенапряжение 46.
Разумеется, это—nonsens, что при учете способности диагоналей работать как на растяжение, так и на сжатие получается иногда в результате расчета большее перенапряжение, чем в предположении, что работает только растянутая диагональ. Этим отчасти и об'ясняется то обстоятельство, что в практике расчетов указание § 94 норм 1929 г. прививается туго. При нашем подходе к вопросу означенное противоречие полностью устраняется.
Таким образом на частном примере мы видели, что сечение, удовлетворяющее условиям расчета по нашему способу, дает перенапряжение 20 и 46 при расчете по двум существующим способам. Эта разница еше возрастет, если мы учтем дополнительные напряжения от действия вертикальной нагрузки, так как при
80


нашем способе расчета они, как было указано выше, не оказывают
влияния на результат.
Для получения полной картины той экономии, которую мы получим, применяя предлагаемый нами способ расчета, приведем расчетные формулы к сравнимому виду. По формуле 57 имеем:
§—j—г г. 58
2 sm Fпет п
При условии обычного расчета в предположении работы одной лишь растянутой диагонали:
—: Д-г-г 4-. 580
2 Sin 7 Г netto I л I 2 '
При обычном расчете в предположении, что работают и сжатая и растянутая диагональ:
—: Г—Г ®, 58
2 sm tj Fnetto I я I
причем ® рассчитывается по гибкости 0,65 X по проекту норм Ги- протранс и 0,50 X по нормам ВСНХ. Составим сравнительную таблицу для различных гибкостей, начиная от 100, так как меньшие значения не имеют практического значения табл. 12. Сравнение производим для t 1.
Таблица 12
Q
Таблица значений
2 Sin 7 Fnetto П
» способ до 1929 г.
. t tp способ НКПС 1929 г.
X
X
наш способ
для Х0 0,65 X
для Х0 0,50 X
100
0,90
0,50
0,77
0,85
110
0,87i
0,50
0,73
0,82
120
0,81
0,50
0,69
0,80
130
0,76
0,50
0,65
0,77
140
0,72
0,50
0,62
0,74
150
0,69
0,50
0,58
0,71
160
0,66
0,50
0,55
0,68
180
0,62
0,50
0,47
0,62
200
0,60
0,50
0,40
0,57
Сравнение показывает, что передача всей силы растянутой диагонали приводит к погрешности от 20 до 80°0 в сторону затраты излишнего материала. Что же касается расчета по нормам 1929 г., то, принимая расчетную длину по проекту норм Гипротранса, мы получим при Х 170 ошибку в ту же сторону до 20°0, а при X 170 получаем кроме того противоречие, о котором мы говорили выше. Лишь принимая гибкость по нормам ВСНХ 1931 г., мы получим
6 К. С. Завриев 81


близкие результаты. Однако, если мы учтем необходимость учета дополнительных усилий от действия вертикальной нагрузки и температуры, то заметим, что и в этом случае предложенный нами способ приводит всегда к существенной экономии металла.
При значениях t 1 экономии металла при расчете по нашему способу получается еще больше.
Возникает вопрос также и о расчете стоек ферм. Рассматривая равновесие узла черт. 36, мы убеждаемся, что усилие в стойке
зависит от закона распределения усилий между восходящими и нисходящими диагоналями.
Ввиду неопределенности этого вопроса, а также учитывая то обстоятельство, что по расчету сечение стойки получается ничтожным, мы можем в запас рассчитать стойку, приравнивая усилие в восходящей диагонали Sn 1 нулю черт. 36, а усилие в нисходящей диагонали, принимая равным наибольшему допускаемому на растяжение, именно:
Q
Черт. 36
Sn F,
netto —
см. формулу 57. Отсюда
2 sin ttj
Q
vn Sn Sin •
59
5. РАСЧЕТ НА ИЗГИБ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ И БАЛОК
СПОСОБОМ ПРОФ. ЛОЛЕЙТА
Особенность предыдущего случая заключается в том, что критическое состояние данной статически неопределимой части сооружения панели характеризуется не критическим состоянием одного наиболее слабого элемента, а одновременным критическим состоянием нескольких элементов.
Это свойство сближает рассматриваемый случай с работой прикрепляющих элемент заклепок и с работой на осевую силу ослабленных круглыми отверстиями стержней. Таким же свойством обладает и работающая на изиб железобетонная плита или балка. На II конференции по бетонам и железобетону проф. Лолейт доложил свой способ расчета на изгиб железобетонных плит и балок.
Порядок составления расчетной формулы, принятый проф. Ло- лейтом, совпадает с предложенным нами, а именно на основании изучения стадии разрушения устанавливаются критическое состояние и соответствующий такому состоянию критический изгибающий момент, после чего, вводя коэфициент запаса, получаем допускаемый изгибающий момент.
Критическое состояние по Лолейту характеризуется одновременным наличием предела текучести в арматуре в данном сечении
82


и временного сопротивления на сжатие в бетоне черт. 37. Это положение требует пояснения.
Дело в том, что надо различать стадию разрушения при возрастании внешних сил и критическое состояние как критический момент в стадии разрушения. Например в случае перекрестных диагоналей вачалом стадии разрушения следует считать наличие в одной из диагоналей критического усилия; критическое же состояние панели соответствует одновременному наличию критических усилий в обеих диагоналях. Мы видели, что начало стадии разрушений неопределенно; оно зависит от предварительных натяжений, температуры и пр. Критическое же состояние вполне определенно и ни от чего такого не зависит.
Для железобетонной плиты или балки начало стадии разрушения может совпасть либо с наличием в арматуре критического напряжения, либо с наличием в бетоне временного сопротивления. Легко доказать, что в обоих случаях критическое состояние соответствует одновременному наличию критических напряжений
Действительно, допустим, что с возрастанием внешних сил критическое напряжение в арматуре получилось раньше, чем бетон достиг временного сопротивления, т. е. по черт. 38 в арматуре мы имеем Ят, а в бетоне п R.
Металл, обладая текучестью, получит существенные удлинения. Но при этом будет подниматься вверх край трещины в растянутой зоне, т. е. будет сокращаться сжатая зона бетона. Ввиду того что усилия в бетоне и в арматуре должны дать пару сил, в бетоне будет в дальнейшем сохраняться постоянное усилие, равное Яж •, где —площадь сечения арматуры. Это значит, что при сокращении зоны сжатия площадь эпюры сжимающих напряжений меняться не должна.
Следовательно при этом будет увеличиваться наибольшее напряжение п в бетоне, а центр фигуры будет перемещаться вверх. На черт. 38 показана начальная эпюра напряжений сжатия в начале стадия разрушения ab, имеющая центр в точке С. В это время изгибающий момент:
М — Яж • f • в.
в
83


При развитии процесса разрушения мы получаем эпюру напряжений в бетоне аг, Ьх с центром в точке с. Соответствующий изгибающий момент:
Мх • f • ех М,
т. е. развитие разрушения возможно лишь при условии дальнейшего роста внешних сил. Этот процесс будет продолжаться до тех
пор, пока наибольшее напряжение в бетоне не достигнет временного сопротивления. Тогда получится развитие разрушения без роста нагрузки, т. е. критическое состояние. Таким образом в том случае, когда стадия разрушения на- чинается с течения металла, критическое состояние будет иметь место
Чепт 39 черТ- 38-
F Рассмотрим второй случай, когда
бетон первый достигнет критического напряжения черт. 39. В это время в арматуре будет:
Т1ж Рж -
Тогда ввиду наличия пластических свойств в бетоне будет происходить сглаживание неравномерности распределения напряжений без дальнейшего роста наибольшего напряжения. При этом зона сжатия будет возрастать. Площадь эпюры сжимающих напряжений будет увеличиваться, т. е. будет увеличиваться сила Р. Ввиду того что
P nf,
при этом будет увеличиваться напряжение п в арматуре. В начале стадии разрушения изгибающий момент:
М Р - е.
В дальнейшем соответственно эпюре abx:
Мх Рхех.
Нетрудно заметить, что Ре и Рхех представляют собой статические моменты площадей, ограниченных аЬ и аЪх, относительно оси арматуры, причем ясно, что статический момент площади abt больше, чем для ab, т. е.
Рхех Ре, Мх М.
Следовательно развитие разрушения связано с возрастанием напряжений в арматуре и кроме того оно возможно лишь при условии возрастания изгибающих моментов, т. е. внешних сил. Этот процесс с возрастанием загрузки будет продолжаться до тех пор, пока либо в арматуре напряжение не достигнет критического значения, либо не будет исчерпана пластичность всего бетона в сечении. Проф. Лолейт вносит ограничение в армирование, исключающее второй вариант.
84


Следовательно и здесь критическое состояние соответствует •одновременному наличию критических напряжений в арматуре и в бетоне черт. 37. Выше мы исходили из предположения, что в стадии разрушения сопротивляемость бетона растяжению роли не играет. Проф. Лолейт вносит ограничения, при которых его способ не распространяется на случаи бетонов, высокая сопротивляемость которых при данйом проценте армирования могла бы иметь значение в смысле повышения критического изгибающего момента ввиду сопротивления бетона растяжению.
С означенными двумя ограничениями в отношении армирования и марки бетона при данном армировании можно вполне согласиться с предложением проф. Лолейта — полагать в основу выводов критическое состояние плиты по черт. 37.
Критический момент:
Л1Кр — f • R.3K ' б.
Плечо е зависит от очертания эпюры сжимающих напряжений бетона. Установить действительное очертание затруднительно. Однако проф. Лолейт удачно обошел это затруднение. На черт. 40 представлены для критического состояния действительная эпюра «ab и две условные эпюры в крайних предположениях: эпюра abt в предположении распределения напряжений по треугольнику •полное отсутствие пластичности и эпюра ab в предположении распределения по прямоугольнику идеальная пластичность.
Ясно, что действительная эпюра лежит в промежутке между ними. Все эти эпюры имеют одинаковые значения наибольшего напряжения R и равные площади. Следовательно высота й2 треугольника вдвое больше высоты прямоугольника. Отсюда расстояние от центров треугольника и прямоугольника до нижней вершины треугольника равно соответственно 0,67Ла и 0,75 а плечи е соответственно z0,67 Ла и z 0,75Aa. Абсолютная разность 0:08 Ла, а относительная меньше 12. Следовательно если мы возьмем в место действительной эпюры одно из ее крайних положений, то в самом худшем случае погрешность получится не более 12.
Против такой степени точности расчета железобетонных плит и балок конечно возражать не приходится. Для того чтобы погрешность получилась в сторону запаса прочности, необходимо брать
85


треугольник, которому соответствуют меньшая величина плеча е и меньшее значение критического изгибающего момента.
Таким образом с достаточной для практики точностью мы можем критическое состояние рассматривать по черт. 41. Тогда на основании законов статики имеем:
р _
J Кж — о ,
откуда
Обозначаем:
2-т-
Кж
Ъ R '
Тогда
где
Далее
60
f k3b h0 61
h.2 2ksmx h0 k2 ho , 62
k2 2k3m1. 62'
MKp —f Rm • в — f RiK h0 — ks bho Rmx—Q 3 k —
Введя коэфициент запаса k, получим расчетную формулу:
h h 2
63
ГДе . ТщМЗ-У- 63'
Мы полагаем, что было бы целесообразно назначить допускаемое напряжение для бетона на сжатие ппи изгибе в железобетонных сооружениях так, чтобы
kn
или
И £ ‘64
Тогда мы бы имели: 63
k3 k2 3 2
Проф. Лолейтом составлены таблицы значений k2 и k9 в зависимости от величин kz характеризуемой процентом армирования
и щ RT характеризуемой маркой бетона. Эти таблицы
86


сводят расчет к самым простым операциям. Например, имея расчетный изгибающий момент и задаваясь размерами Ь и h0i а также маркой бетона, мы из формулы 63 определяем ks и затем для нашей марки из таблиц находим соответствующее значение kt. Отсюда площадь арматуры:
ksb h0
Способ Лолейта, не уступая старому способу расчета в отношении простоты, имеет перед ним существенные преимущества, важнейшие из которых сводятся к следующему:
1 обоснованность и стройность теории;
2 устранение таких допущений, как гипотеза плоских сечений, линейная зависимость между напряжениями и деформациями;
3 связанное с этим устранение из расчетной формулы модуля упругости и возможность распространения результатов на все виды бетона;
4 устранение лишнего уравнения, вытекавшего из гипотезы плоских сечений, и связанная с этим свобода в отношении предварительного назначения высоты плит; это позволяет с большой •свободой оперировать высотой балки и процентом армирования с тем, чтобы окончательно остановить свой выбор на варианте, имеющем экономические преимущества.
В пояснение к последнему пункту необходимо отметить, что при старом способе заданному изгибающему моменту при данной марке ■бетона соответствовала вполне определенная высота, при которой сопротивляемость бетона и арматуры полностью использовались. Изменение высоты в ту или другую сторону приводило к недостаточному использованию либо бетона либо арматуры. Особенно большое недоиспользование получалось для арматуры, когда высота плиты или балки принималась меньше расчетной. Тогда увеличенное количество арматуры вводилось с целью понизить нейтральную ось, соответствующую расчетной нагрузке, и увеличить сжатую зону бетона, уменьшив в нем наибольшее напряжение.
По Лолейту оказывается, что при всяких высотах арматура и бетон вводятся в расчет как бы полностью использованными, что вытекает из изучения стадии разрушения, и при этом устраняется необходимость в излишней затрате металла тогда, когда по тем или иным соображениям выбрана высота меньше той, которая являлась расчетной по старому способу. На одном примере Лолейт показал, что в таком случае количество потребного металла при расчете по его способу может получиться втрое меньше, чем при расчете по старому способу.
Выше мы изложили метод составления расчетных формул для •пластичных материалов по критическим усилиям применительно к некоторым особым случаям. В результате общее правило сводится к следующему: изучается критическое состояние данного сооружения в предположении возрастания действующих нагрузок и выясняется соответствующая схема распределения внутренних сил с учетом влияния пластических деформаций. Затем на основании условия статики записывается зависимость между критической на¬
87


грузкой Рк и критическим напряжением я. после чего ставится условие:
Ввиду того что уравнения статики приводят к линейной зависимости между Рк и пк, схема расчета упрощается.
Именно имеем:
Рк апк, 65
1 Г» Я ,1
—-I—L апк а я,
Пг
откуда
Р_
а
п
Выражение — будем считать условным расчетным напряжением п, л
тогда
лл, 66
где
Р
п — а
или
Р — ап.
Сопоставляя с выражением 65, получаем простое мнемоническое правило составления формулы: расчет по критиче¬
ским нагрузкам производится также, как и по напряжениям, но при условном предположении, что расчетной нагрузке соответствует такая схема распределения напряжений, которая имеет место в критическом состоянии.
88