Автор: Глесстон С. Эдлунд М.
Теги: ядерная техника ядерная физика ядерная энергетика ядерные реакторы
Год: 1954
Текст
С. Глесстон и М. Эдлунд
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ядерных
РЕАКТОРОВ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
И * Л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Мое кв а —1954
THE ELEMENTS
OF
NUCLEAR REACTOR THEORY
by
SAMUEL GLASSTONE
and
MILTON C. EDLUND
TORONTO—NEW YORK —LONDON
1 952
Книга посвящена физическим основам теории
ядерных реакторов (атомных котлов), являющихся
аппаратами для производства новых изотопов и по-
лучения ядерной энергии.
В книге наряду с основными сведениями по ядер-
ной физике изложена теория диффузии и теория
замедления нейтронов в гомогенных и гетерогенных
реакторах, а также режим работы реакторов и
вопросы, связанные с управлением ими.
ПРЕДИСЛОВИЕ А. ВЕЙНБЕРГА
научного руководителя национальной лаборатории
в Ок-Ридже
Теория ядерных реакторов — единственная из физических теорий,
основы которой никогда не были изложены достаточно полно и по-
следовательно, несмотря на огромное практическое ее значение. От-
дельные части теории явились темой нескольких монографий и книг,
как, например, книга Судэка и Кэмпбелла „Элементарная теория котла“
и изданий Массачузетского технологического института „Научные и
технические основы ядерной энергетики"’). Однако вследствие суще-
ствовавших ранее ограничений' в связи с секретностью более или
менее полное изложение вопроса с единой точки зрения до сего вре-
мени отсутствовало.
Настоящая книга Глесстона и Эдлунда является первой попыткой
изложения всего круга вопросов в одной достаточно полной работе.
Книга напоминает работу Судэка и Кэмпбелла, так как в основу
обеих книг легли курсы по теории реакторов, прочитанные в Ок-Ридже,
Однако книга Судэка и Кэмпбелла основывалась на более ранних
лекциях Судэка в первоначальном училище при лабораториях в Клин-
тоне, а настоящая книга создана на основе лекций, прочитанных
Эдлундом в недавно реорганизованном училище по ядерной технике
в Ок-Ридже. Более полное изложение вопроса в книге Глесстона и
Эдлунда связано главным образом с относительно более широкой про-
граммой по ядерной технике, излагаемой студентам в новом училище.
Хотя еще рано утверждать с полной определенностью, однако
весьма вероятно, что реакторная техника и в будущем останется
исключительно важным полем инженерной деятельности, а теория
ядерных реакторов является, разумеется, центральным вопросом для
понимания этой области. Авторы приложили огромные усилия при под-
готовке этой книги к печати и заслуживают глубокой благодарности
не только инженеров будущих выпусков, но и ученых, внесших свой
вклад в создание теории, которые вследствие повседневной загружен-
ности не ног ли выполнить этот труд, так замечательно завершен-
ный Глесстовом и Эдлундом.
!) См.переводы: Судэки Кэмпбелл,Успехифизич.наук,42,93(1950);
.Научные и технические основы ядерной энергетики” под ред. К. Гудмена,
ИЛ, т. 1, 1948; т. 2, 1950.—Прим. ред.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Эта книга должна служить введением в теорию ядерных реакто-
ров для физиков, инженеров и всех, кто впервые знакомится с реак-
торной техникой. Поскольку книга предназначена для широкого круга
читателей, то степень трудности ее различных частей неодинакова.
Некоторые читатели, повидимому, будут опускать отдельные главы,
и это зачастую может быть сделано без нарушения стройности из-
ложения основной темы.
Настоящее издание представляет собой переработку труда, вы-
пущенного в 1950 г., в котором излагались лекции, прочитанные
М. Эдлундом в училище по ядерной технике в Ок-Ридже. Авторы
пользуются случаем выразить благодарность многим ученым, чьи
совместные усилия за время работы в Манхэтенском проекте привели
к развитию идей, обсуждаемых в этой книге. Особенно следует упо-
мянуть труды Р. Кристи, Ц. Эккарта, Э. Ферми, Ф. Фридмана,
Л. Нордгейма, П. Моррисона, Г. Плачека, Л. Сцилларда, Э. Теллера,
А. Вейнберга, Д. Уиллера, Е. Вигнера и Г. Юнга.
Авторы благодарят ряд своих коллег, прочитавших первоначальную
рукопись, и особенно А. Вейнберга за его полезные советы и ценную
критику.
С. Глесстон
М. Эдлунд
Глава 1
СТРОЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЯДЕР
СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
§ 1. Протоны и нейтроны
Работа ядерных реакторов зависит от различного типа взаимодей-
ствий нейтронов с атомным ядром. Чтобы понять природу и свойства
этих взаимодействий, желательно вкратце изложить основные положе-
ния теории строения ядра и ядерных превращений.
Атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих
его отрицательно заряженных электронов, так что атом в целом
электрически нейтрален. В процессах, происходящих в реакторе, при
которых выделяется атомная энергия, основную роль играют атомные
ядра. При изучении этих процессов наличием электронов можно пре-
небречь. Химическая энергия, такая как при сжигании угля и нефти,
выделяется вследствие перегруппировки атомов с перераспределением
электронов между ними. В противоположность этому атомная энергия
выделяется при перераспределении частиц, составляющих атомное
ядро. Поэтому часто употребляется термин ядерная энергия, более
точный, чем исторически сложившееся название „атомная энергия".
Атомное ядро состоит из элементарных частиц двух типов—ней-
тронов и протонов. Поскольку эти элементарные частицы составляют
ядро и по ряду других причин, их часто объединяют общим терми-
ном нуклоны. Как протоны, так и нейтроны можно получить в сво-
бодном состоянии, т. е. вне атомного ядра. Поэтому можно изучить
индивидуальные свойства свободных протонов и нейтронов.
Протон обладает единичным положительным зарядом, равным по
величине заряду электрона. Протон представляет собой ядро атома
водорода, т. е. атом водорода, лишенный своего единственного элек-
трона. Следовательно, масса протона равна массе атома водорода
минус масса электрона. Так, выраженная в атомных единицах
массы (А£А1)* 2) масса атома водорода равна 1,00813 АЕМ, а масса
протона равна 1,00758 АЕМ.
Особо важное значение в процессе получения ядерной энергии имеет
нейтрон. Нейтрон не песет заряда и является электрически нейтраль-
ной частицей. Следовательно, в отличие от заряженных частиц, таких
как протон, нейтрон не испытывает электрического отталкивания при
!) См. основную литературу по этому вопросу [1, 2]. Более элементарно
вопрос излагается в книге Глесстона [3]. — Прим. авт.
2) Атомная единица массы равна, по определению, ’/16 массы основного
изотопа кислорода (Ow). — Прим. авт.
6
Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
приближении к положительно заряженному ядру. Масса нейтрона не-
сколько больше массы прогона и даже больше массы атома водорода,
именно масса нейтрона равна 1,00897 АЕМ. Методы получения ней-
тронов и их взаимодействия с ядром будут рассмотрены ниже.
§ 2. Атомный номер и массовое число
Число положительных зарядов в ядре данного элемента равно
числу протонов, входящих в его состав. Это число называется атом-
ным номером элемента и обычно обозначается символом Z. За не-
многими исключениями, Z равно номеру элемента при расположении
элементов в порядке возрастания атомных весов. Например, атомный
номер водорода равен 1, гелия — 2, лития — 3 и т. д., вплоть до
урана, атомный номер которого 92. Уран имеет наибольший атомный
вес из всех элементов, существующих в- заметных количествах в при-
роде. Более тяжелые элементы были получены искусственным путем.
Наиболее важным из них в связи с использованием ядерной энергии
является плутоний (атомный номер 94).
Общее число протонов и нейтронов в атомном ядре называется
массовым числом элемента и обозначается буквой А. Как уже
упоминалось, число протонов в ядре равно Z, поэтому число ней-
тронов в атомном ядре равно А — Z. Так как нейтрон и протон
имеют массы, близкие к единице по шкале атомных весов, то оче-
видно, что массовое число равно ближайшему целому числу, выра-
жающему атомный вес рассматриваемого элемента !).
§ 3« Изотопы и нуклиды
Химическую природу элемента определяет его атомный номер,
т. е. число протонов, а не его атомный вес. Это происходит потому,
что химические свойства элемента определяются электронами, а число
последних в атоме равно атомному номеру. Следовательно, атомы,
обладающие ядрами с одним и тем же числом протонов (т. е. имею-
щие тот же атомный номер), но с различным числом нейтронов (т. е.
с различным массовым числом), химически эквивалентны, хотя они
часто заметно отличаются по своей ядерной устойчивости. Атомы,
имеющие одинаковый атомный номер, но различные массовые числа,
называются изотопами.
Большинство имеющихся в природе элементов представляет собой
смесь двух или большего числа устойчивых изотопов, химически не
различимых, несмотря на различие их массовых чисел и атомных
весов. Всего в природе встречается около 280 устойчивых изотопов
и около 50 неустойчивых изотопов. Кроме того, более 700 неустой-
!) По этому вопросу см. Шпольский Э."В., Атомная физика, т. II,
М. — Л., 1949. стр. 334. — Прим. ред.
Радиоактивность
7
чивых изотопов получены искусственно с помощью различных ядер-
ных реакций. Для обозначения какого-либо определенного изотопа
данного элемента указывают массовое число одновременно с назва-
нием или символом элемента. Так, изотоп урана с массовым числом 238
может быть записан в виде: уран-238, U-238 или U238.
Элемент уран, играющий в настоящее время наиболее важную роль
в процессе получения ядерной энергии, существует в природе по
меиыней мере в виде трех изотопов, с массовыми числами 234, 235
и 238. В табл. 1 приведен процентный изотопический состав есте-
ственного урана, а также веса соответствующих цзотопов в атомных
единицах массы. Из таблицы видно, что наиболее распространенным
изотопом является U238. Естественный уран содержит немного более
0,7% изотопа U236. В естественном уране содержание U234 столь
мало, что обычно им пренебрегают при изучении ядерных реакторов.
Таблица 1
ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СОСТАВ ЕСТЕСТВЕННОГО УРАНА
Массовое число Содержание, °|0 Изотопическая масса, АЕМ
234 0,006 234,11
235 0,712 235.11
238 99,282 238,12
Хотя большинство элементов существует в природе в виде смеси
изотопов, однако около 20 элементов имеют одноизотопный со-
став. По этой и по другим причинам наряду с понятием изотопа
вводится термин нуклид. Нуклид характеризуется составом своего
ядра, т. е. числом нейтронов и протонов, которые оно содержит.
Таким образом, изотопы представляют собой группы из двух или
более нуклидов, имеющие одно и то же число протонов (т. е. один
и тот же атомный номер), но различное число нейтронов. О тех элемен-
тах, которые, подобно фтору, существуют в природе только в виде
одного изотопа, говорят, что они обладают одним устойчивым нуклидом.
РАДИОАКТИВНОСТЬ
§ 4. Радиоактивные изотопы
Выше указывалось, что в природе встречается некоторое число
неустойчивых изотопов (или неустойчивых нуклидов). Действительно,
существующие в естественном состоянии элементы с наибольшими
атомными весами, такие как полоний, торий, радий и уран, имеют
только неустойчивые или радиоактивные изотопы. Эти вещества
8
Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
испытывают спонтанные превращения, которые обычно называют радио-
активным распадом. При радиоактивном распаде атомное ядро испу-
скает электрически заряженную частицу, либо а.-частицу, которая пред-
ставляет собой ядро гелия, либо ^-частицу, которая представляет собой
электрон. Обычно продукт распада в свою очередь радиоактивен и
испускает а- или 0-частицу. После некоторого числа радиоактивных
превращений образуется атом с устойчивым ядром.
Во многих случаях ядро, получающееся в результате радиоактив-
ного распада (ядро продукта, или дочернее ядро), не находится
в своем основном состоянии, т. е. в состоянии с наименьшей энергией.
Иными словами, дочернее ядро образуется в возбужденном состоя-
нии и обладает избытком энергии по сравнению с основным состоя-
нием. В течение чрезвычайно короткого промежутка времени после
своего образования (приблизительно равного 10~1Б сек.) возбужденное
ядро излучает избыток энергии (энергию возбуждения) в виде излу-
Радиоактивность
9
чения, называемого ^-лучами. Эти лучи подобны рентгеновским лучам;,
они обладают большой проникающей способностью и имеют длину
волны меньше 10-8 см. Чем больше энергия возбуждения ядра, тем
короче длина волны испускаемого ^-излучения.
В то время как элементы с большим атомным номером, начиная
с полония (атомный номер 84), существуют только в виде неустой-
чивых, радиоактивных изотопов, таллий (81), свинец (82) и висмут (83)
встречаются в природе главным образом в виде устойчивых изотопов,
хотя иногда наблюдаются и неустойчивые изотопы этих элементов.
За редким исключением все элементы с атомным номером, меньшим
чем у таллия, в природе встречаются в виде устойчивых изотопов.
Однако для всех известных в настоящее время элементов при помощи
различных ядерных реакций получены неустойчивые, т. е. радио-
активные, изотопы.
Как будет показано в § 11, для того чтобы ядро было устойчи-
вым, необходимо, чтобы отношение числа нейтронов к числу прото-
нов в этом ядре лежало в определенных пределах. На фиг. 1 на осн
ординат отложено число нейтронов, а на оси абсцисс — число про-
тонов для каждого из известных устойчивых атомных ядер. Как
видно, точки располагаются в относительно узких пределах. Таким
образом, для устойчивых ядер отношение числа нейтронов к числу
протоков при любом массовом числе (или атомном номере) ограничено
узкой областью. С ростом массового числа, т. е. общего числа ней-
тронов и протонов, отношение числа нейтронов к числу протонов
в области устойчивости постепенно растет от 1 до 1,56. Для устой-
чивых ядер с данным массовым числом (или атомным номером) это
отношение меняется сравнительно мало.
§ 5. Радиоактивные превращения
Если число нейтронов и протонов в ядре какого-либо атома таково,
что их отношение лежит вне области устойчивости для данного
массового числа, то это ядро оказывается радиоактивным. Неустой-
чивое ядро спонтанно распадается с образованием более устойчивого
ядра. Если ядра содержат больше нейтронов или, что то же самое,
меньше протонов, чем это требуется для устойчивости, то непременно
происходит спонтанное превращение нейтрона в протон. При этом
испускается отрицательная (3-частица, т. е. электрон. Это записывается
в следующем виде:
Нейтрон - ► Протон +
Заряд................ О +1 — 1
Масса................ 1 1 О
Реакция происходит с сохранением заряда. Создается впечатление,
что сохраняется также и масса. Однако в действительности для этого
10
Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
оказывается необходимым постулировать существование еще одной
частицы — нейтрино, образующейся в этой реакции и уносящей часть
энергии. Масса покоя и заряд нейтрино равны нулю *).
В результате указанного выше превращения нейтрон переходит
в протон. При этом атомный номер дочернего элемента становится
на единицу выше, чем у исходного (материнского), а массовое число
не меняется. Иными словами, радиоактивные (—р) превращения при-
водят к образованию изотопов другого элемента с тем же массовым
числом, как и исходный элемент. В этом случае в новом ядре отно-
шение числа нейтронов к числу протонов становится меньше, чем
в материнском (исходном) ядре, потому что превращение нейтрона
в протон приводит к уменьшению числа нейтронов и сопровождается
увеличением числа протонов. Вообще говоря, ядра продукта более
устойчивы, чем исходные ядра. Однако может оказаться, что дочернее
ядро не вполне устойчиво. В этом случае оно окажется радиоактив-
ным и, испустив отрицательную р-частицу, образует изотоп после-
дующего элемента. Некоторое число радиоактивных превращений,
в каждом из которых нейтрон заменяется протоном с испусканием
отрицательной {Э-частицы, приводит в конечном счете к образованию
устойчивого изотопа.
Ядро будет также неустойчиво в тех случаях, когда число ней-
тронов слишком мало и когда число протонов слишком велико. Это
имеет место, когда ядро находится ниже полосы устойчивости фиг. 1.
В этом случае наблюдается превращение протона в нейтрон с испу-
сканием положительного электрона, так называемого позитрона, т. е.
излучается положительная р-частица. Это записывается в следующей
форме:
Положительная
р-частица
Протон —> Нейтрон 4-
Заряд.............. 4-1 0 4-1
Масса................ 1 1 0
Дочернее ядро имеет атомный номер, на единицу меньший, чем мате-
ринское, хотя массовое число у них одинаковое. Как и в случае,
описанном выше, дочернее ядро может оказаться неустойчивым, и
тогда оно будет радиоактивным. Во всяком случае, после нескольких
положительных Р-распадов оно превращается в устойчивое ядро.
Для этого ядра отношение числа нейтронов к числу протонов лежит
в области устойчивости.
Существуют еще два типа превращений, происходящих с ядрами,
в которых отношение числа нейтронов к числу протонов лежит ниже
области устойчивости и которые также приводят к более устойчивым
ядрам. Одно из этих превращений есть испускание ot-частицы, а дру-
гое — так называемый е-захват. При е-захвате ядро захватывает атом-
!) См. по этому вопросу Ферми Э., Ядерная физика, ИЛ, 1951, гл. IV. —
Прим. ред.
Радиоактивность
11
ный электрон; это — процесс, обратный описанному выше. В обоих
указанных процессах увеличивается отношение числа нейтронов к числу
протонов в ядре. Поскольку ни один из этих процессов радиоактивного
распада не имеет большого значения для работы ядерных реакторов,
изучать их более подробно нет необходимости.
§ 6. Скорость радиоактивного распада
Каждое ядро данного радиоактивного вещества имеет определен-
ную вероятность распада в единицу времени; эта вероятность распада
является характерной особенностью данного вещества, причем ника-
кими известными способами ее нельзя изменить. Величина вероятно-
сти распада не зависит от физического и химического состояния
элемента при всех достигнутых температурах и давлениях. В данном
веществе скорость распада в каждый момент времени прямо пропор-
циональна имеющемуся числу рассматриваемых радиоактивных атомов.
Таким образом, если /V—число радиоактивных атомов (или ядер)
данного типа в некоторый момент времени t, то скорость распада
определяется по формуле
dt
= — М,
(1.1)
где X—так называемая постоянная распада радиоактивного веще-
ства. Обозначим через ЛГ0 число радиоактивных ядер в произвольный
начальный момент времени, а через АГ— число нераспавшихся ядер
в момент t. Тогда после интегрирования уравнения (1.1) в пределах
от О до t получим
W=7Voe-«. (1.2)
Скорость радиоактивного распада удобно выражать с помощью
периода полураспада данного ядра. Период полураспада определяется
как время, необходимое для того, чтобы распалась половина всех
имевшихся вначале радиоактивных ядер. Таким образом, если поло-
жить в (1,2) */а ЛГ0, то соответствующее время есть период полу-
распада Т, т. е.
Р-\т___JL
~ 2 ’
откуда
т— 1п2 _ 0,6931
X Т"~* —•— - • 11 .о I
Итак, период полураспада Т обратно пропорционален постоянной
распада X. Периоды полураспада для известных радиоактивных веществ
меняются от малых долей секунды до миллиардов лет.
12 Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
Величина, обратная постоянной распада, обозначается через tm
и представляет собой время жизни, или среднюю продолжительность
жизни радиоактивного вещества; таким образом,
(1.4)
Можно показать, что время жизни равно усредненному значению дли-
тельности существования радиоактивного ядра.
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА
§ 7. Ядерные силы
Замечателен не тот факт, что некоторые из атомных ядер не-
устойчивы и радиоактивны, а скорее то обстоятельство, что они вообще
обладают некоторой устойчивостью. С первого взгляда могло бы
показаться, что система плотно упакованных (положительно заряжен-
ных) протонов, как она существует в атомном ядре, должна была бы
разлететься вследствие электростатического отталкивания зарядов.
Устойчивость атомного ядра, очевидно, зависит, хотя бы частично, от
присутствия в нем нейтронов наряду с протонами.
Существование устойчивого ядра дейтерия, изотопа водород®
с массовым числом 2, состоящего из нейтрона и протона, показы-
вает, что между нейтроном и протоном должны существовать еилы
притяжения. Добавим, что имеется много фактов, указывающих на
существование силы притяжения как между самими протонами, так
и между нейтронами. Эти силы притяжения действуют только на таких
малых расстояниях, как внутриядерные.
Например, устойчивость ядра Hes, состоящего из одного нейтрона
и двух протонов, указывает на существование сил притяжения про-
тон— протон внутри атомного ядра. Однако хотя установлено суще-
ствование сил притяжения протон—протон, нейтрон — нейтрон и
нейтрон — протон, о природе этих сил известно очень мало. Вопрос
о ядерной устойчивости в настоящее время не может быть удовлет-
ворительно изучен теоретически, поэтому в этой книге мы восполь-
зуемся полуэмпирическими приближениями, основанными на массах
ядер.
§ 8. Дефект массы и энергия связи
Если бы не было изменения энергии, обусловленного действием
ядерных сил, то масса ядра равнялась бы сумме масс составляющих
его Z протонов и А — Z нейтронов (§ 2). Масса атома в целом
тогда равнялась бы сумме этих величин плюс масса Z электронов.
Так как протон и электрон образуют атом водорода, можно было бы
предположить, что масса каждого изотопа с атомным номером Z и
массовым числом А должна равняться массе Z атомов водорода плюс
Энергия связи ядра
13
масса А — Z нейтронов, т. е. что масса этого изотопа равна Zml{-\-
Ц-(Л—Е)тп, где тв и тп— массы атома водорода и нейтрона.
Определение отдельных атомных масс показывает, что они в дей-
ствительности всегда меньше величин, вычисленных по способу, ука-
занному выше. Разность между вычисленной массой и эксперимен-
тально полученной называется дефектом массы и выражается в виде
Дефект массы = ZmB~l~(A— —М. (1-5)
Дефект массы представляет собой массу, которая выделилась бы
в форме энергии в гипотетическом процессе образования определен-
ного атома из необходимого числа электронов, протонов и нейтронов.
Это же количество энергии необходимо сообщить атому для расще-
пления его на составляющие его частицы. Таким образом, энергия,
эквивалентная истинному дефекту массы, может быть принята за меру
энергии связи ядра данного атома.
Для определения энергии, эквивалентной дефекту массы, поль-
зуются соотношением Эйнштейна между массой и энергией:
Д = тс2, (1.6)
где ₽—энергия, эквивалентная массе т, а с — скорость света. Если т
выражено в граммах, с — в см]сек, т. е. с = 3- 1О10 см/сек, то Е
выражается в эргах. Для наших целей удобнее выражать т в АЕМ,
равных 1,67 • Ю-24?1). В этих единицах уравнение (1.6) примет вид:
Е (эрг) ^т (АЕМ) • 1,49 • К)-8. (1.7)
При изучении теории атома для выражения энергии применяют
единицы, называемые электрон-вольтами. Электрон-вольт (эв) пред-
ставляет собой ту энергию, которую приобретает любая заряженная
частица с единичным зарядом, пробегая ускоряющую разность потен-
циалов в 1 в. Из известного значения для заряда электрона можно
найти, что
1 эв = 1,60 10-12 эрг. (1.8)
Следовательно, (1.7) может быть записано в виде
Е(эв) — т(АЕМ) • 9,31 • 10».
Во многих случаях электрон-вольт оказывается слишком малой еди-
ницей, и вводят единицу, равную миллиону электрон-вольт, сокра-
щенно записываемую Мэв. Тогда
Е{Мэв) = т (АЕМ) • 931, (1.9)
т. е. 1 АЕМ эквивалентна 931 Мэв.
:) Это есть 5/1в часть истинной массы в граммах изотопа О1в. — Прим. авт.
14
Гл. I. Строение и устойчивость ядер
Вернемся к уравнению (1.5) для дефекта массы; как это следует
из указанных выше соображений, энергия связи определяется из урав-
нения
Энергия связи (Мэе) = 931 [Zms -f- (Л — Z) тп — М], (1.10)
где т„= 1,00813 АЕМ, /и =1,00897 АЕМ, а М—масса изотопа
н п
в АЕМ.
В этом выводе мы пренебрегли энергией связи электронов в элек-
тростатическом поле ядра, или, скорее, предположили, что эта энергия
включена в член ZmH. Во всяком случае, энергия связи электронов
представляет собой весьма малую часть полкой энергии связи. По-
этому уравнение (1.10) может быть принято за меру энергии связи
нуклонов, составляющих рассматриваемое ядро.
Фиг. 2. Энергия связи на нуклон в устойчивых ядрах.
С помощью (1.10) были вычислены энергии связи для всех ядер
с известными с достаточной точностью изотопическими весами. Если
поделить энергию связи на массовое число, т. е. на общее число
нуклонов в ядре, получим среднее значение энергии связи на один
нуклон в данном ядре. Результат приведен на фиг. 2, по оси абсцисс
которой отложена величина массового числа, а по оси ординат — зна-
чение энергии связи на нуклон в Мэв. Можно заметить, что, за
исключением небольшого числа легких ядер, значения энергии связи
Энергия связи ядра
15
ложатся на одну и ту же кривую или в непосредственной близости
от нее. Значение средней энергии связи на один нуклон для элемен-
тов с малым массовым числом мало. При больших массовых числах
эта величина в широких пределах остается близкой к 8 Мэе.
Поэтому полная энергия связи приблизительно прямо пропорциональна
массовому числу, т. е. числу нуклонов в ядре.
§ 9. Капельная модель ядра
В некоторых отношениях полезно рассматривать атомное ядро как
нечто, подобное капле несжимаемой жидкости. Можно предположить,
что, подобно тому, как силы поверхностного натяжения стремятся
сохранить сферическую форму жидкой капли, ядерные силы создают
аналогичный эффект в атомном ядре. Это представление имеет особое
значение при рассмотрении деления ядер.
В жидкости молекулярные силы являются силами близкодействую-
щими; это означает, что силы действуют только между данной моле-
кулой и молекулами, находящимися в непосредственной близости от
нее. Таким образом, в жидкости нет существенного взаимодействия
между более отдаленными молекулами. Эти соображения, очевидно,
применимы и к силам, действующим между нуклонами в ядре. Эту
точку зрения подтверждают значения энергии связи, указанные выше.
Если бы ядерные силы были силами дальнодействующими, то каждый
нуклон взаимодействовал бы со всеми другими нуклонами и полная
энергия связи, грубо говоря, росла бы пропорционально квадрату
числа нуклонов. В действительности общая энергия связи приблизи-
тельно прямо пропорциональна числу нуклонов, как это указано в § 8.
Дальнейшие доказательства того, что ядерные силы есть силы
близкодействующие, были получены при помощи определения радиу-
сов ядер. Для этой цели могут быть применены три основных метода.
Первый метод, применяемый к испускающим а-частицы радиоактив-
ным ядрам с большим массовым числом, основан на определении
скорости распада и энергии испускаемых а-частиц. Второй метод
основан на разности в энергии связи зеркальных ядер, т. е. такой
пары ядер, у которых число нейтронов первого ядра равно числу про-
тонов второго, а число протонов первого — числу нейтронов второго
ядра. Наконец, последний метод определения радиусов ядер, который
может быть (по крайней мере в принципе) применен к любому ядру
независимо от его устойчивости и массового числа, состоит в измере-
нии поперечного сечения рассеяния быстрых нейтронов (см. гл. 3, § 11).
Значения радиуса ядра для данного изотопа, полученные различ-
ными методами, находятся в хорошем согласии друг с другом. За
исключением элементов с наименьшими массовыми числами, резуль-
таты этих измерений могут быть достаточно хорошо апроксимированЫ
формулой
Я = 1,5 • см,
(1.11)
16 Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
где R — радиус ядра с массовым числом А. Большое значение имеет
тот факт, что радиус ядра приближенно пропорционален корню куби-
ческому из массового числа. Следовательно, объем ядра прямо про-
порционален массовому числу, т. е. его действительной массе. Это
означает, что все атомные ядра, состоящие из одних и тех же частиц,
т. е. нейтронов и протонов, имеют в основном одну и ту же плот-
ность. Именно постоянство ядерной плотности независимо от числа
нуклонов заставило предположить, что ядро ведет себя подобно
жидкости, между отдельными частицами которой существуют близко-
действующие силы.
§ 10. Полуэмпирическое вычисление энергии связи
Ввиду отсутствия полной теории ядерных сил для вывода полу-
эмпирических формул для энергии связи может быть применена
капельная модель атомного ядра. Это делается путем рассмотрения
различных факторов, которые, как предполагается, вносят свой
вклад в ядерную энергию связи. Такой метод, очевидно, является
чрезвычайно упрощенным. Соответствующие постоянные опреде-
ляются из теоретических соображений тогда, когда это возможно,
и из экспериментальных данных, когда теория еще неудовлетвори-
тельна.
Если ядерные силы подобны силам, действующим в жидкой капле,
каждый нуклон в основном испытывает сильное притяжение со сто-
роны своих непосредственных соседей, но не взаимодействует с ос-
тальными нуклонами. Это приводит в формуле для энергии к члену,
соответствующему притяжению, который пропорционален числу нукло-
нов в ядре. Энергия притяжения, таким образом, меняется с изме-
нением массового числа и, следовательно, может быть представлена
,р виде
Энергия притяжения = ахА, (1.12)
где ai—некоторая постоянная.
Предполагая, что энергия притяжения пропорциональна массовому
числу, мы тем самым молчаливо допускаем, что каждый нуклон вза-
имодействует одинаковым образом с другими. В действительности же
нуклоны, находящиеся на поверхности ядра, менее тесно связаны,
чем нуклоны, находящиеся внутри него. Поэтому энергия притяжения,
данная формулой (1.12), будет преувеличена на величину, зависящую
от площади поверхности. Чем больше величина поверхности, тем
больше будет число нуклонов, не полностью окруженных другими
нуклонами. Величина, на которую преувеличена энергия притяжения,
приблизительно пропорциональна поверхности ядра. Об этой величине
часто говорят как об эффекте поверхностного натяжения, потому
что он вызывается причинами, подобными тем, которые вызывают
поверхностное натяжение в жидкости. Поскольку, согласно (1.11),
Энергия связи ядра
17
радиус ядра пропорционален Л1/», площадь поверхности пропорцио-
нальна Л5/» и, следовательно,
Эффект поверхностного натяжения — — anA'I-, (1.13)
где а2 — постоянная.
В устойчивом ядре имеется тенденция к образованию групп,
состоящих из пар нейтрон — протон. Например, наиболее устойчивые
изотопы, такие как Не4, С12 и О16 (см. фиг. 2), содержат равное
число нейтронов и протонов. Большинство ядер, особенно тяжелые
ядра, имеют избыток нейтронов над протонами. Этот избыток необхо-
дим для того, чтобы силы притяжения нейтрон — нейтрон и нейтрон —
протон могли компенсировать силы электростатического отталкивания
между протонами. В то же время известная неустойчивость появляется
вследствие того, что избыточные нейтроны занимают некоторое число
ядерных уровней, которые не содержат протонов. Наличие в ядре
большего числа нейтронов по сравнению с протонами означает, что
оценка для энергии притяжения, данная в (1.12), слишком велика.
Соответствующая поправка может быть сделана в виде так назы-
ваемого изотопического члена, который выражается формулой
Изотопический член = — as ------—— , (1.14)
где а3 — постоянная, а А — 2Z—избыток нейтронов над про гонами
в ядре [4].
Сумма приведенных выше трех членов представляет, вероятно,
только энергию притяжения в ядре. Необходимо теперь определить
энергию отталкивания, вызванную электростатическим отталкива-
нием протонов. Потенциальная энергия однородной заряженной сферы
пропорциональна Z?[R, где Z — число единичных зарядов, т. е. в данном
случае атомный номер, a R — радиус сферы. Применительно к энер-
гии связи ядра электростатическое отталкивание можно представить
в виде
Энергия отталкивания = — а
(1.15)
4 АЪ ’
где радиус ядра R заменен на т. е. на величину, которой он
пропорционален, а at— постоянная.
Наконец, следует привести соображения относительно влияния
четности или нечетности числа протонов или нейтронов. Когда число
протонов и число нейтронов четно, т. е. когда тип ядра четно-четный,
го оно весьма устойчиво. Когда число протонов и число нейтронов
нечетно, т. е. ядро нечетно-нечетное, то система особенно неустой-
чива. Это может быть приписано эффекту увеличения устойчивости
при компенсации спинов нуклонов, которая возможна в том случае,
когда как число протонов, так и число нейтронов четное. Следова-
тельно, в случае четно-четного ядра имеется дополнительный поло- 2
2 Зэк. 724. С. Глесстой, М. Эдлупд
18
Гл. I. Строение и устойчивость ядер
жительный вклад в энергию связи, тогда как при нечетно-нечетном
ядре, т. е. когда протоны и нейтроны ядра имеют некомпенсирован-
ные спины, существует член, соответствующий отрицательному (или
отталкивающему) эффекту. Чисто эмпирические соображения, осно-
ванные на вычисленных из масс изотопов энергиях связи [см. (1.10)],
показывают, что вклад эффекта спина может быть представлен
в виде
Эффект спина = ± -^-, (1.16)
где знак плюс относится к четно-четным ядрам, а знак минус — к не-
четно-нечетным ядрам. Для четно-нечетных (или нечетно-четных) ядер
член, зависящий от спина, равен нулю.
Суммируя различные члены в энергии связи, введенные в преды-
дущих параграфах, получим для полной энергии связи (Э. С.) ядра
следующее выражение:
_ _ . .=/3 (A— 2Z)a Z2 . Og
Э. С. — fljZ— aoA'J—а*±--------—-----ai-:r±z-^r, (1.17)
А А13 Аи
где а6 = 0 для нечетно-четного ядра. Из пяти постоянных уравне-
ния (1.17) а4 может быть определена из электростатической теории,
все прочие постоянные должны быть получены эмпирически.
Дифференцирование (1.17) по Z (считаем А постоянной) приводит
к выражению
rf(9. С.)
. A — 2Z о Z
3 А 2“4 А1'3'
и, следовательно, максимум энергии связи будет при выполнении
следующего равенства:
= (1.18)
Это уравнение устанавливает связь между массовым числом А и
атомным номером Z для наиболее устойчивых ядер, поскольку по-
следние должны обладать наибольшей энергией связи для данного
массового числа. Как упоминалось выше, с4 известно, поэтому для as
может быть взято значение, дающее при подстановке в (1.18) кривую
зависимости А от Z, на которую наилучшим образом ложатся точки,
соответствующие наиболее распространенным в природе изотопам.
В действительности единственной постоянной, которая давала бы
правильное значение для всей области массовых чисел, не существует,
и потому приходится принимать компромиссное решение и использо-
вать в (1.17) наилучшее значение а8.
Поскольку аа и а4 известны, значения постоянных аг и а2 могут
быть определены из известных энергий связи, вычисленных из масс
изотопов любой пары нечетно-четных ядер, так как в этом случае
а6 = 0. Наконец, значение аъ может быть оценено из энергии связи
Энергия связи ядра
i9
для четно-четных ядер, так как устойчивых нечетно-нечетных ядер
известно чрезвычайно мало и они имеют малые массовые числа.
Подставляя полученные таким образом постоянные в (1.17), по-
лучим выражение для энергии связи, выраженное в Мэе:
Э. С. (Л4эв) = 14,0Л — 13Д7з~ 19,3 (Л~^2Г)2 —0,585 (1.19)
Относительную роль различных членов в энергии связи лучше всего
можно оценить, используя уравнение (1.19) для вычисления энергии
связи ядер с малыми, средними и большими массовыми числами.
Результаты этих вычислений для 20Са40, «Ag1OT и 82U®38 даны в табл. 2;
для сравнения в таблице приведены также экспериментальные значе-
ния полной энергии связи этих изотопов, полученные из соответ-
ствующих масс. Согласие вычисленных значений с эксперименталь-
ными удовлетворительное, несмотря на то, что значения постоянных
в (1.19) приведены только с тремя значащими цифрами.
Таблица 2
РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ СВЯЗИ
rtAg“«
Притяжение нуклонов 560 1500 3330
Поверхностный эффект — 152 — 293 — 501
Изотопический эффект 0 — 30,6 — 236
Электростатическое отталкивание . . — 68,4 — 272 — 799
Эффект спина 3.2 0 0,5
Вычисленная энергия связи .... 343 904 1790
Экспериментальная энергия связи . 341 907 1785
Энергия связи на один нуклон . . . 8,5 8,4 7,5
§ 11. Ядерные силы и устойчивость
Полученные выше результаты могут быть применены для каче-
ственного истолкования того факта, что для любых массовых чисел
(или атомных номеров) существует ограниченная область устойчивости
для отношения числа нейтронов к числу протонов. Как ранее было
указано, -значение этого отношения меняется от 1,00 для малых мас-
совых чисел до 1,56 — для элементов с большими атомными весами.
Так как силы притяжения протон—прогон, протон—нейтрон и ней-
трон—нейтрон приблизительно равны, то можно ожидать, что ядро
будет устойчивым, когда отношение числа нейтронов к числу про-
тонов будет близко к единице. Это имеет место в ядрах с малым
массовым числом. Однако когда атомный номер растет, электроста-
тическое отталкивание между протонами начинает приобретать все
20
Гл. 1. Строение и устойчивость ядер
большее згачение. Электростатические силы являются силами далыю-
действующими, поэтому каждый прогон отталкивает все другие про-
тоны и сам отталкивается всеми протонами ядра. Таким образом,
как это видно из § 10, энергия отталкивания изменяется по формуле
т. е. быстро увеличивается с увеличением атомного номера.
Для того чтобы преодолеть растущее отталкивание протонов и
сохранить устойчивость в более тяжелых элементах, ядро их должно
содержать большее число нейтронов, чем протонов. Тогда дополни-
тельные силы притяжения нуклон—нуклон частично компенсируют
растущее отталкивание протонов. Вследствие этого отношение числа
нейтронов к числу протонов в устойчивых тяжелых ядрах оказы-
вается больше единицы.
Однако существует предел для числа нейтронов, которые могут
образовывать устойчивую систему с определенным массовым числом
(или атомным номером), ибо, как это изложено в § 10, в связи с так
называемым изотопическим членом избыток нейтронов над протонами
ведет к появлению некоторой неустойчивости. Это обстоятельство
определяет верхнюю границу устойчивости для отношения числа ней-
тронов к числу протонов. С другой стороны, пижняя граница возни-
кает вследствие того, что увеличивающееся число протонов также
должно приводить к неустойчивости вследствие роста электростати-
ческого отталкивания. Таким образом становится понятен тот факт,
что область устойчивости для отношения числа нейтронов к числу
протонов относительно узка.
ЛИТЕРАТУРА
1. В е t h е Н. A., Elementary Nuclear Theory, New York, 1947 (см. перевод:
Бете Г., Лекции по теории ядра, ИЛ, 1949).
2. Halliday D., Introductory Nuclear Physics, New York, 1950.
3. Glasstone S., Sourcebook on Atomic Energy, New York, 1950.
4. Fermi E., Nuclear Physics, Chicago, 1950 (см. перевод: Ферми Э.,
Ядерная физика, ИЛ, 1951).
Глава 2
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ1)
СКОРОСТЬ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
§ 1. Сравнение ядерных и химических реакций
Можно создать соответствующие лабораторные условия, при кото-
рых атомное ядро будет реагировать с другими ядрами, особенно
с ядрами наиболее легких элементов: ядрами водорода (протоны),
дейтерия (дейтроны) и гелия (а-частицы). Атомные ядра могут также
взаимодействовать с нейтронами, электронами и f-квантами. Однако
при нормальной температуре скорость ядерных реакций, т. е. число
ядер, которые прореагируют с другими ядрами в данном объеме
в течение определенного промежутка времени, оказывается меньше
скорости химических реакций, происходящих с атомами и молеку-
лами. Существуют две основные причины этого заметного различия
в скорости химических и ядерных процессов.
Прежде всего следует отметить очень малые размеры ядра. Его
диаметр (порядка 10~12 см) очень мал сравнительно с диаметром атома
или молекулы в целом, который примерно равен 10-7—10~8 см.
Это обстоятельство приводит к тому, что ядерные столкновения (или
встречи) происходят значительно реже атомных. Существуют особые
условия, как далее будет указано (см. § 3), при которых ядра или
ядерные частицы малой массы и энергии ведут себя так, как будто
они имеют диаметр, приближающийся по размеру к диаметру целого
атома. В этом случае скорость ядерных реакций возрастает по срав-
нению со своей обычной величиной.
Вторым фактором, обусловливающим относительно низкую ско-
рость реакций между ядрами, является кулоновское отталкивание
ядер, вызванное их положительным электрическим зарядом. Энергия
отталкивания пропорциональна Z^ZJR, где ZA и Z2— заряды, т. е.
атомные номера взаимодействующих ядер, a R — расстояние между
их центрами.
Так как два ядра должны приблизиться друг к другу на рас-
стояние, приблизительно равное 10-12 см, прежде чем они начнут
взаимодействовать, то энергия отталкивания, которую они должны
преодолеть, становится очень большой, особенно для ядер с большим
атомным номером. Даже для ядер с малым атомным номером, т. е.
для ядер водорода и гелия, кулоновская энергия по порядку вели-
чины равна миллионам электрон-вольт.
2) См. литературу к гл. 1 (стр. 20), а также [1, 2]. — Прим. ред.
22
Гл. 2. Ядерные реакции
С другой стороны, при химических реакциях энергия, необходимая
для того, чтобы произошло взаимодействие атомов, лишь в редких
случаях превышает несколько электрон-вольт. Уже при обычной
температуре существует заметгая вероятность того, что пара сталки-
вающихся атомов или молекул обладает такой кинетической энергией.
Поэтому реакция происходит со скоростью, которую легко обнару-
жить. Вероятность того, что при обычной температуре два сталки-
вающихся ядра обладают кинетической энергией, равной миллионам
электрон-вольт, чрезвычайно мала. Следовательно, при равных усло-
виях не только число столкновений между ядрами меньше, чем между
атомами или молекулами,' но и вероятность взаимодействия после
столкновения также значительно меньше у атомных ядер, чем у ато-
мов. Скорость ядерных реакций, таким образом, намного меньше
скорости химических реакций.
Имеются два метода, с помощью которых можно заставить ядер-
ные реакции протекать более быстро. Во-первых, увеличение темпе-
ратуры до нескольких миллионов градусов; при этих условиях
взаимодействующие ядра приобретают достаточную кинетическую
энергию, чтобы преодолеть их взаимное электростатическое отталки-
вание, т. е. кулоновский барьер (подобные ядерные реакции назы-
ваются термоядерными реакциями’, они происходят на солнце и
звездах и представляют собой источник энергии этих небесных тел);
во-вторых, в лабораторных условиях ядерные реакции изучаются при
помощи бомбардировки различных веществ легкими ядрами, т. е.
протонами, дейтронами и а-частицами, ускоренными до кинетических
энергий порядка миллиона электрон-вольт и выше 1). Для этой цели
используются циклотрон и другие установки. Были также получены
ядерные реакции с сильно ускоренными электронами, у-лучами и
рентгеновскими лучами высоких энергий.
§ 2. Взаимодействие нейтронов с ядром
Хотя указанные выше ядерные процессы представляют большой
интерес, они не существенны для теории ядерных реакторов, изла-
гаемой в этой книге. Как ранее указывалось, в реакторах происходит
взаимодействие атомного ядра с нейтронами, а эта реакция суще-
ственным образом отличается от рассмотренных выше. Поскольку
нейтрон не имеет электрического заряда, ему не приходится преодо-
левать заметную силу отталкивания при приближении к атомному
ядру. Следовательно, даже так называемые „медленные” нейтроны,
имеющие ту же кинетическую энергию, как и обыкновенные моле-
кулы газа, т. е. примерно 0,03 эв при нормальной температуре (см.
гл. 3, § 4), могут легко вступать во взаимодействие с ядром.
!) Температура, соответствующая кинетической энергии в 1 Мэв, равна
8-109 град. — Прим, авт.
Скорость ядерных реакций
Вероятность взаимодействия между ядром и нейтроном в действи-
тельности гораздо больше для медленных нейтронов, чем для быстрых
нейтронов с энергией порядка нескольких тысяч электрон-вольт и
выше. Этот факт, с точки зрения классической физики, можно
объяснить следующим образом: при столкновении нейтрона с ядром
медленно движущийся нейтрон находится в среднем больше времени
вблизи ядра, чем быстро движущийся. Таким образом, можно полагать,
что вероятность взаимодействия будет большей в первом из выше-
упомянутых случаев. Однако в квантовой механике столкновение
нейтрона с ядром рассматривается как взаимодействие нейтронной
волны с ядром. Как будет показано ниже, эффективная длина волны
нейтрона обратно пропорциональна его скорости. Поэтому длина
волны медленного нейтрона больше длины волны быстрого нейтрона
и вероятность его взаимодействия с ядром соответственно увеличи-
вается.
§ 3. Длина волны нейтрона
Согласно квантовой механике, каждой частице можно сопоставить
волну, называемую волной де-Бройля. Длина волны де-Бройля опре-
деляется по формуле
где h — постоянная Планка, равная 6,62 10-27 эрг-сек, т — масса
частицы, ан — ее скорость. Пусть Е—кинетическая энергия частицы,
тогда Д=’/2 /п-о2, и соотношение (2.1) может быть записано в виде
У2тЕ '
(2.2)
Если т дано в граммах, Е—в эргах, ай — в эрг • сек, то длина волны
будет выражена в сантиметрах. Если т выражено в АЕМ, которая
равна 1,67 • 10-24 г (см. гл. 1, § 8), а Е—в электрон-вольтах, т. е.
1,60- 10-12 эрг, то (2.2) перейдет в
Для нейтрона (частицы, представляющей особый интерес в этой
книге) т ~ 1 АЕМ. Следовательно, выражение для длины волны
нейтрона имеет вид
где Е — энергия нейтрона в электрон-вольтах. Для быстрых нейтро-
нов с энергией порядка 1 Мэв длина волны, как это видно из (2.4),
становится порядка 10~12 см, т. е. порядка размеров ядра. Однако
i и и энергия нейтрона приблизительно равна 0,03 эв, то найденное
24
Гл. 2. Ядерные реакции
из (2.4) значение X будет порядка 1,7 • 10~8 см. Таким образом,
медленный нейтрон может иметь эффективный диаметр, приближаю-
щийся по величине к диаметру всего атома 1). Даже при энергии,
равной 1000 эв, длина волны нейтрона (или эффективный диаметр)
будет порядка 10-1° см, что все еще намного больше диаметра ядра.
Условия, при которых медленные нейтроны ведут себя так, как
если бы их размеры приближались к размерам атома в целом, а сле-
довательно, имеют относительно большую вероятность взаимодействия
с атомным ядром, будут описаны в § 9.
МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
§ 4. Механизм ядерных реакций
Прежде чем перейти к рассмотрению различных типов взаимо-
действия нейтронов с атомным ядром, следует кратко описать неко-
торые основные черты ядерных реакций. Прежде всего следует раз-
личать два обширных класса ядерных реакций в зависимости от
энергии частиц, падающих на ядро, называемое в дальнейшем ядром-
мшиенъю. Составляющие ядро нуклоны плотно связаны; мерой этой
связи может служить средняя энергия взаимодействия на один нуклон.
Как мы видели в гл. 1, § 8, эта энергия взаимодействия (или связи)
приближенно равна 8 Мэв на нуклон для ядра со средним или боль-
шим массовым числом. Если кинетическая энергия падающей частицы
примерно равна или больше средней энергии взаимодействия между
нуклонами в ядре-мишени, т. е. порядка 10 Мэв или выше, то па-
дающая частица взаимодействует только с одним нуклоном или
с малым числом их 2). Поскольку вообще работа ядерных реакторов
зависит от взаимодействия с нейтронами, обладающими энергией зна-
чительно меньше 10 Мэв, этот тип реакций не нуждается в даль-
нейшем рассмотрении.
Когда кинетическая энергия падающей частицы меньше среднего
значения энергии взаимодействия на один нуклон, то падающая частица
может рассматриваться как взаимодействующая с ядром в целом.
При этих условиях применима модель составного ядра, предложен-
ная Бором [31 и независимо Брейтом и Вигнером [4] (см. § 10) 8). Согласно
этой модели, ядерная реакция проходит две стадии: сначала падаю-
щая частица поглощается ядром-мишенью, образуя составное ядро,
а через короткий промежуток времени последнее распадается, испу-
!) Поскольку медленные нейтроны имеют длины волн, равные примерно
10-8 см, они могут диффрагировать на кристаллах, подобно рентгеновским
лучам.—Прим. авт.
2) По этому вопросу см. Бете Г., Лекции по теории ядра, ИЛ, 1949,
стр. 136. — Прим. ред.
®) Экспериментальное доказательство образования составного ядра в ядер-
пых реакциях было дано главным образом В. Харкинсом (1935). — Прим. авт.
Модель составного ядра
25
ская частицу [или фотон 1 * *)]. При этом остается другое ядро, назы-
ваемое остаточным ядром или ядром отдачи. Обе стадии могут быть
записаны в следующем виде:
1) Образование составного ядра
Ядро-мишень Падающая частица -> Составное ядро.
2) Распад составного ядра
Составное ядро -> Ядро отдачи -ф- Испускаемая частица.
Следует указать, что составное ядро может быть ядром либо
обычного изотопа, либо неустойчивого. Во всяком случае, вышеопи-
санная вторая стадия распада происходит вследствие того, что обра-
зуемое в первой стадии составное ядро находится в возбужденном
состоянии, т. е. в состоянии с высокой энергией (см. § 5).
Чтобы составное ядро можно было рассматривать как реально
существующую систему, его время жизни должно быть больше вре-
мени, необходимого падающей частице для прохождения расстояния,
равного диаметру ядра. Время, необходимое для того, чтобы медлен-
ный нейтрон, имеющий скорость, примерно равную 105 см/сек, про-
шел расстояние порядка 10~12 см, будет приближенно равно 10-17 сек.
В действительности после своего захвата медленный нейтрон приоб-
ретает добавочную кинетическую энергию и, следовательно, начинает
двигаться быстрее. Таким образом, время прохождения через ядро
меньше только что произведенной оценки 10-17 сек. Вскоре мы уви-
дим (см. § 8), что время жизни возбужденного составного ядра во
многих реакциях с тяжелыми ядрами примерно равно 10~14 сек.
Так как это время больше времени прохождения через ядро (по
крайней мере в 1000 раз), то условия для возникновения составного
ядра как реально существующей системы выполняются.
§ 5. Энергия возбуждения составного ядра
Когда ядро-мишень захватывает падающую частицу, получающееся
составное ядро находится всегда в состоянии с более высокой энер-
гией, т. е. находится в возбужденном состоянии (см. ниже). Энергия
возбуждения, т. е. избыток энергии сравнительно с энергией основ-
ного состояния, равна кинетической энергии захваченной частицы
плюс ее энергия связи в составном ядре. В этом можно убедиться,
рассматривая случай захвата нейтрона (п1) с нулевой кинетической
энергией ядром X с массовым числом А.
Образование составного ядра Y с массовым числом А -|- 1 может
быть представлено в виде
1) Фотон можно рассматривать как „атом”, или „частицу”, излучения.
Согласно квантовой теории, фотон обладает энергией, равной Лу, где h — по-
стоянная Планка (см. § 3), а ч — частота излучения. — Прим, авт.
26
Гл. 2. Ядерные реакции
где звездочка указывает на возбужденное состояние ядра УА+1. Пред-
положим теперь, что возбужденное составное ядро испускает энергию
возбуждения и переходит при этом в свое нормальное, т. е. основ-
ное, состояние. Тогда
i гЛ+1 Г->гЛ+1+£,<»#..
где £Вов«. — энергия возбуждения, т. е. разность энергии возбужденного
и основного состояний. Допустим теперь, что нейтрон из ядра УА+1,
находящегося в основном состоянии, удаляется в бесконечность
с кинетической энергией, равной нулю, причем получившееся ядро ХА
остается также в основном состоянии. При этом системе следует
сообщить энергию, равную энергии связи Еь нейтрона в составном
ядре. Таким образом,
УА+1-^ХА + п1 + ^.
Сопоставляя все три этапа, в результате которых восстанавливаются
начальные условия, можно заметить, что энергия возбуждения состав-
ного ядра /?воз«. совпадает с энергией связи нейтрона Еъ, лежащей
в пределах от 5 до 8 Мэв. Отсюда, очевидно, следует, что если
нейтрон обладает кинетической энергией, как это всегда бывает, то
энергия возбуждения равна энергии связи плюс кинетическая энергия
нейтрона.
Расстояние нейтрона ст ядра-тшиенц
Фиг. 3. Потенциальная энергия системы,
состоящей из ядра-мишени и нейтрона.
Положение может быть представлено графически при помощи
кривой потенциальной энергии. На фиг. 3 представлена энергия
системы, состоящей из ядра-мишени и нейтрона в зависимости от
расстояния между этими частицами. Справа в точке В ядро-мишень
и нейтрон весьма удалены друг от друга и могут рассматриваться
как совершенно независимые. С другой сторрны, слева в точке А
ядро-мишень и нейтрон могут рассматриваться как полностью слившиеся.
Модель составного ядра
27
В этом случае ядро-мишень и нейтрон образуют составное
ядро, находящееся в основном состоянии. Разность ординат А и В
представляет собой энергию связи нейтрона в составном ядре. Эта
энергия должна быть сообщена составному ядру, находящемуся
в основном состоянии в точке А, чтобы удалить нейтрон от ядра-
мишени на весьма большое расстояние, как это имеет место в точке В.
Если нейтрон, обладавший нулевой кинетической энергией, при-
ближается к ядру-мишени, то изменения полкой энергии системы не
происходит и она остается равной энергии в точке В. Когда ядро
поглотит нейтрон, энергия составного ядра окажется в точке С1).
Это ядро, очевидно, находится в возбужденном состоянии, и энергия
возбуждения равна АС, причем она совпадает с энергией связи ней-
трона. Если поглощенный нейтрон имел кинетическую энергию, не
равную нулю, то состояние составного ядра может быть представлено
посредством линии С', так что энергия возбуждения определяется
отрезком АС'. Вообще, можно заключить, что когда составное ядро
образуется в результате захвата нейтрона, то энергия возбуждения
(т. е. избыток энергии над основным состоянием составного ядра)
равна энергии связи нейтрона плюс его кинетическая энергия.
Следует указать, что предыдущий вывод лишь тогда выполняется
строго, когда ядро-мишень имеет бесконечно большую массу. Вообще
говоря, вследствие сохранения количества движения при столкновении
нейтрона с ядром с захватом нейтрона образующееся при этом со-
ставное ядро приобретает некоторую кинетическую энергию даже
тогда, когда ядро-мишень находилось в покое. Поэтому только часть
энергии нейтрона проявляется в виде внутренней энергии составного
ядра (возбуждения). Однако практически вся кинетическая энергия
нейтрона преобразуется во внутреннюю энергию ядра, если последнее
обладает достаточно большим массовым числом. Во всех последую-
щих рассуждениях предполагается, что это условие выполнено.
§ 6. Статистическое распределение энергии в ядре
Непосредственно после образования составного ядра его энергию
возбуждения можно считать сконцентрированной на захваченной
частице. Но в результате взаимодействия внутри ядра добавочная
энергия быстро распределяется меж71 у нуклонами. Это распределение
происходит по законам статистики. Таким образом, если в данный
момент энергия возбуждения распределена между двумя или большим
числом нуклонов, то в следующий момент она может распределиться
между другими нуклонами или опять сконцентрироваться на одном
из них. По прошествии некоторого времени отдельный нуклон или
группа нуклонов в составном ядре могут приобрести энергию,
1) См. более подробно Бете Г„ Лекции по теории ядра, ИЛ, 1949.
стр, 136. — Прим, ред.
28
Гл. 2. Ядерные реакции
достаточную для вылета. Это соответствует стадии распада, упоминае-
мой в § 4.
Вследствие того, что энергия возбуждения может быть распреде-
лена среди нуклонов множеством различных способов, весьма мало-
вероятно, чтобы она сосредоточилась на отдельном нуклоне в коли-
честве, достаточном для вылета его из составного ядра. Чтобы это
имело место, необходимо время, во много раз превосходящее дли-
тельность пролета частицы через ядро. Отсюда вытекает, что среднее
время жизни составного ядра велико по сравнению с временем, не-
обходимым падающему нейтрону для прохождения расстояния, равного
диаметру ядра.
Важным следствием сравнительно длительного времени жизни воз-
бужденного составного ядра является то, что способ распада его при
данной энергии возбуждения не зависит от способа его образования.
Если время жизни составного ядра достаточно велико, то распреде-
ление энергии возбуждения зависит только от полной энергии воз-
буждения, числа нуклонов и уровней энергии составного ядра. Таким
образом, способ образования составного ядра „забыт". Это происхо-
дит вследствие того, что энергия возбуждения распределяется согласно
статистическим законам.
Вследствие относительно длительного времени жизни составного
ядра существует возможность, что возбужденное составное ядро по-
теряет свою избыточную энергию при помощи испускания у-лучей.
Ядерные процессы, при которых частица захватывается, а избыток
энергии затем испускается в виде ^-излучения, называются реакциями
радиационного захвата. Наиболее благоприятные условия для по-
добных реакций имеют место при захвате медленного нейтрона.
В большинстве таких случаев, хотя и не всегда, единственным про-
цессом, для которого составное ядро имеет достаточную энергию,
является процесс обратного испускания захваченного медленного ней-
трона. Иными словами, этот процесс является обратным процессом
захвата. Однако раньше чем перераспределение энергии среди нукло-
нов приведет к тому, что некоторый нейтрон приобретет достаточную
энергию, чтобы покинуть составное ядро, избыток энергии (возбужде-
ние) составного ядра испустится в виде f-кванта, т. е. излучения
с длиной волны от 1О~10 до 10-п см ’).
В некоторых реакциях с тяжелыми атомными ядрами захват соот-
ветствующей частицы приводит к образованию составного ядра
в возбужденном состоянии, столь неустойчивого, что оно распадается
на два меньших ядра. Это есть процесс деления, играющий основную
роль в работе ядерных реакторов. К этому вопросу мы вернемся
вновь в гл. 3, а более подробно рассмотрим его в гл. 4.
1) Из уравнения Планка (Е = hv) может быть получено, 4то длина
волны л в см равна 1,24- lO-w/f, где Е — энергия, испускаемая ядром в виде
одного кванта, выраженная в Мэв.— Прим, авт.
Модель составного ядра
29
§ 7. Ядерные уровни энергии
Существование определенных ядерных энергетических уровнейг)
или квантовых состояний подтверждается с помощью различных
экспериментов. Особо следует отметить эмиссию 7-лучей определен-
ной энергии (или длины волны) во многих радиоактивных процессах.
Уровни энергии ядра совершенно аналогичны обычным атомным или
электронным энергетическим уровням, посредством которых удается
истолковать атомные спектры. Однако поскольку силы, действующие
между нуклонами, еще не вполне известны, сейчас нет возможности
столь же успешно применить квантовую механику для изучения ядер-
ных энергетических уровней, как для исследования электронных
энергетических уровней. Тем не менее, некоторые стороны этого
вопроса могут быть рассмотрены.
Из различных источников следует, что уровни энергии атомного
ядра лежат относительно далеко друг от друга для низких энергети-
ческих состояний, т. е. вблизи основного состояния, но все теснее и
теснее сближаются с ростом внутренней энергии ядра. Для очень
высоких энергий, порядка 15—20 ТИэв и выше, уровни энергии
лежат столь плотно, что их можно рассматривать как непрерывный
спектр.
Для ядер со средними массовыми числами, а именно от 100
до 150, расстояния (промежутки) между уровнями вблизи основного
состояния составляют около 0,1 Мэв. Однако для энергии порядка
8 Мэв над основным состоянием, соответствующей энергии составного
ядра, образующегося при захвате медленного нейтрона, расстояния
между уровнями лежат в интервале от 1 до 10 эв. Для легких ядер
расстояния между уровнями энергии заметно больше; вблизи основного
состояния они порядка 1 Мэв и равны примерно 10 000 эв, когда
внутренняя энергия превышает энергию основного состояния на 8 Мэв.
§ 8. Время жизни и ширина уровней
Каждому возбужденному квантовому состоянию ядра может быть
приписано определенное время жизни х. Время жизни есть такой
промежуток времени, в течение которого ядро в среднем остается
в данном возбужденном .состоянии, прежде чем претерпит распад,
т. е. испустит частицу или 7-излучение. Следовательно, каждое кван-
товое состояние имеет ширину уровня Г, которую можно рассматри-
вать как меру неопределенности в величине энергии данного состоя-
ния а). Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга, время
1) Речь идет о внутренней энергии ядра, а не о кинетической энергии
ядра как целого. — Прим. авт.
») Эта .неопределенность" не имеет ничего общего с точностью экспе-
риментальных методов. Она свойственна всем измерениям, и можно считать,
что она возникает при взаимодействии измерительных приборов с объектом
измерения. — Прим. авт.
30
Гл. 2. Ядерные реакций
жизни и ширина уровня связаны следующим образом:
(2.5)
где h — постоянная Планка.
Ширина уровня имеет размерность энергии и обычно выражается
в электрон-вольтах. Воспользовавшись переводным множителем, при-
веденным в гл. 1, § 8, получим
тГ^0,7 • 10-16, (2.6)
где т измеряется в секундах, а Г — в электрон-вольтах.
Так как составное ядро в данном возбужденном состоянии часто
может претерпевать различные изменения, как, например, испускание
нейтрона, протона, а-частицы или 7-излучения, то необходимо опре-
делить парциальную ширину уровня для каждого из возможных
процессов. Если х{ — среднее время жизни данного^ квантового со-
стояния в предположении, что процесс i единственно возможный для
потери энергии, то парциальная ширина уровня для этого процесса
дается в виде
(2.7)
так же как в (2.6). Полная ширина Г для данного квантового со-
стояния определяется как сумма парциальных ширин уровней для
всех возможных процессов, которые могут произойти с составным
ядром в этом состоянии. Таким образом,
Г = 2Г,- (2.8)
Ширина уровня имеет простой физический смысл — она пропор-
циональна вероятности распада, находящегося в данном энергетическом
состоянии составного ядра за единицу времени. Действительно, как
мы уже видели в связи с радиоактивным распадом (см. гл. 1, § 6),
время жизни неустойчивых изотопов равно величине, обратной постоян-
ной распада, которая представляет собой вероятность радиоактивного
распада в единицу времени. В нашем случае, согласно (2.6), полная
ширина уровня обратно пропорциональна времени жизни составного
ядра, следовательно, она связана с полной вероятностью распада этого
ядра в единицу времени. Аналогично, парциальная ширина уровня
Г< есть мера вероятности распада данного возбужденного квантового
состояния посредством процесса I за единицу времени.
Ширины уровней, равные приблизительно 0,1 за, наблюдались для
тяжелых ядер при захвате ими нейтронов малых энергий, порядка
1 эв или ниже. Время жизни составных ядер в этом случае, согласно
[2.6), оказывается равным приблизительно 7 • 10“16 сек. Как указано
выше, это время относительно велико по сравнению с временем,
необходимым для того, чтобы нейтрон прошел расстояние, равное
1иаметру ядра (см. § 4).
Резонансное поглощение 31
Для высоких энергий возбуждения, какие могут возникнуть после
захвата частицы, имеющей большую кинетическую энергию, ширина
уровня увеличивается, а время жизни составного ядра уменьшается.
Таким образом, если Г—1000 зе, то время жизни должно быть
равно 0,7 • 10-18 сек.; эта величина того же порядка, что и время,
необходимое для прохождения нуклона через ядро. При этих обстоя-
тельствах модель составного ядра, основанная на обмене энергией
между нуклонами, становится несостоятельной. В то же время ширина
уровня будет превышать расстояние между уровнями энергии, осо-
бенно для ядер со средними массовыми числами (см. § 7). Иными
словами, поскольку дело идет об экспериментальных измерениях,
уровни энергии будут казаться перекрывающимися.
РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
§ 9. Условия резонанса
При экспериментальном изучении ядерных реакций с помощью
бомбардировки разными падающими частицами (протонами, нейтро-
нами и т. п.) различных элементов, применявшихся в качестве мишени,
было обнаружено, что, когда падающие частицы имеют определенное
значение энергии, наблюдается резкое увеличение скорости реакции.
Иными словами, для определенных значений энергии вероятность
того, что падающая частица будет захвачена и образуется составное
ядро, исключительно велика. Это явление, которое особенно заметно
при ядерных реакциях с медленными нейтронами, называют резонан-
сом. Для элементов со средними и большими массовыми числами
резонансное поглощение часто наблюдается для нейтронов с энергиями
в интервале от 1 до 10 эв. Например, в U238 резонансное поглощение
нейтронов происходит при энергии порядка нескольких электрон-
вольт.
Принято считать, что отмеченное увеличение скорости данной ядер-
ной реакции происходит тогда, когда энергия падающей частицы
такова, что возникающее возбужденное состояние составного ядра
очень близко к одному из его квантовых состояний. Именно этот
эффект понимают под резонансным поглощением. Явление резонанс-
ного поглощения может быть проиллюстрировано с помощью фиг. 4,
на которой линии справа представляют (схематически) квантовые
уровни составного ядра. Линия, обозначенная Ео, представляет собой
энергию ядра-мишени плюс энергия нейтрона, обладающего нулевой
кинетической энергией. Таким образом, Ео соответствует энергии
в точке С на фиг. 3. Она выше энергии основного состояния на ве-
личину, равную энергии связи нейтрона в данном составном ядре
(см. § 5).
Исследование фиг. 4 показывает, что энергия Ео не соответствует
ни одному из квантовых уровней составного ядра. Однако если
32
Гл. 2ГЯдерные реакции
нейтрон обладает определенным значением кинетической энергии, доста-
точным для того, чтобы энергия системы, состоящей из ядра-мишени
плюс нейтрон, равнялась то энергия составного ядра будет соот-
ветствовать одному из его квантовых состояний. Когда нейтрон имеет
кинетическую энергию Е1— Ео> можно сказать, что происходит резо-
нансное поглощение. Аналогично, резонансное поглощение будет
наблюдаться для нейтронов с кинетической энергией, равной Е2— Ео,
когда полная энергия системы Е2 эквивалентна другому квантовому
уровню составного ядра (см. фиг. 4).
Ядро-мишень
Фиг. 4. Образование составного ядра и уровни энергии.
Согласно квантовой механике, только стационарным (или квази-
стационарным) квантовым состояниям могут быть приписаны опреде-
ленные уровни энергии. Вероятность образования составного ядра
в данной реакции будет наибольшей в том случае, когда энергия
частиц соответствует энергии одного из квантовых состояний состав-
ного ядра. Таким образом, когда наблюдается резонансное поглощение,
выход данной реакции заметно возрастает.
Наконец, как видно из § 8, энергии квантовых уровней ядра
определены не точно. Каждый уровень энергии имеет определенную
ширину, и в соответствии с этой шириной существует больший или
меньший интервал энергии частицы, в котором наблюдается резонанс-
ное поглощение. Если осуществляются такие условия, как, например,
в случае высоких энергий, когда ширина квантового уровня больше
расстояния между ними, то упомянутый интервал энергии будет
настолько велик, что смежные области будут перекрываться. При
этих обстоятельствах представление о резонансном поглощении, так же
как и о модели составного ядра, становится неприменимым.
Резонансное поглощение
33
В § 7 было указано, что расстояния между уровнями энергии
ядер со средними и большими массовыми числами в области 8 Мэв
равны примерно от 1 до 10 эв. Поэтому можно полагать, что будет на-
блюдаться резонансное поглощение нейтронов, имеющих определенные
значения кинетической энергии указанного порядка величины. Когда
имеются две или больше областей резонансного поглощения, то и
они будут разделены промежутками энергии того же порядка вели-
чины. Если нейтрон имеет большую энергию, т. е. порядка 1 Мэв
и выше, то составное ядро будет иметь избыток энергии над основ-
ным состоянием, приблизительно равный 9 Мэв. В этой области
ширина уровней зачастую значительно больше расстояний между
ними, и поэтому понятие ревонанса становится непригодным.
Для ядер с малыми массовыми числами расстояния между уров-
нями энергии в области 8 Мэв больше, чем для веществ со средними
или большими атомными весами. Поэтому резонансное поглощение
может наблюдаться, только если нейтрон имеет энергию порядка
10000 эв, т. е. 0,01 Мэв. Резонансные эффекты в этом случае
наблюдались, однако увеличение поглощения не было особо заметным,
потому что, как будет показано далее, имеется общая тенденция
к уменьшению поглощения нейтронов с увеличением их энергии.
§ 10. Формула Брейта — Вигнера
Применяя методы волновой’ механики к представлению о состав-
ном ядре, Брейт и Вигнер (см. § 4) вывели формулу для выхода
ядерных реакций с учетом резонансного поглощения. Результаты
выражаются с помощью величины, называемой ядерным поперечным
сечением, обозначаемым символом с. Более детально поперечное се-
чение будет рассмотрено в гл. 3. Для настоящего изложения доста-
точно сказать, что поперечное сечение есть мера вероятности выхода
определенной ядерной реакции в данных условиях. Поперечное сече-
ние характеризует данную реакцию и зависит от энергии падающих
частиц.
Рассмотрим ядерную реакцию, представленную в общем случае
в виде
а-]-Х-+ [Составное ядро] * —> У-ф-й,
где а — падающая частица, X—ядро-мишень, Y — ядро отдачи,
а b — испускаемая частица. Пусть Га и Гь — ширины уровней, пред-
ставляющие вероятности испускания частиц а и b из составного ядра
в определенном квантовом состоянии соответственно (см. § 8). Тогда
полная ширина уровня Г представляет собой сумму парциальных ши-
рин. Если Е — полная энергия падающей частицы (внутренняя плюс
кинетическая), а Ег — значение энергии, при котором наблюдается
точный резонанс с определенным квантовым уровнем составного
ядра, то формула Брейта — Вигнера для зависимости поперечного
3 Зак. 724. С. Глесстон. М. Эдлунд
34
Гл. 2. Ядерные реакции
сечения от энергии падающей частицы для данной реакции предста-
вляется приближенно в следующем виде:
ГЛ
/2
°~4Я (Е-£»2 4-1/41’2 ’
(2.9)
где X — длина волны падающей частицы, получаемая из ее массы и
скорости согласно уравнению де-Бройля (2.1) *). Для простоты был
опущен множитель, относящийся к моментам количества движения
ядер и спинам частиц. Вообще говоря, он близок к единице.
Формула Брейта — Вигнера (2.9) часто называется формулой для
одного уровня. Она применяется к энергии вблизи некоторого кван-
тового уровня в предположении, что последний находится далеко
от соседних уровней и что при этом резонансы не интерферируют
друг с другом. Формула Брейта — Вигнера для одного уровня с со-
ответствующими значениями Го, 1\, Г и Ег может быть применена
к каждой резонансной области или квантовому состоянию. Когда
резонансы перекрываются вследствие малых расстояний между уров-
нями энергии, следует применять более сложную формулу, но для
наших целей вполне достаточна формула для одного уровня.
§ 11. Приложения формулы Брейта — Вигнера
В теории ядерных реакторов применение формулы Брейта — Виг-
нера к резонансному поглощению представляет особый интерес для
случая, когда частица а есть нейтрон. Так как нейтрон не имеет
внутренней энергии, энергия Е в (2.9) становится просто кинетиче-
ской энергией нейтрона. Далее, из (2.2) имеем, что длина волны л
пропорциональна 1 /)/Е, где Е—кинетическая энергия. Следовательно,
когда падающая частица представляет собой нейтрон,
Х® = 4
ь
(2.Ю)
где k—постоянная.
Ширина уровня Гь, представляющая вероятность испускания ча-
стицы Ь> предполагается независимой от энергии падающей частицы,
а Га, являющаяся мерой вероятности последующего испускания падаю-
щей частицы, пропорциональна ее первоначальной скорости. Если
а — нейтрон и, следовательно, Е—его кинетическая энергия, то
ГО = ГИ = k'VE.
(2.П)
1) При определении X из уравнения де-Бройля масса т должна быть
приведенной массой падающей частицы и ядра-мишени. Для ядер со сред-
ними и большими массовыми числами это практически совпадает с массой
падающей частицы. — Прим. авт.
Резонансное поглощение
35
После подстановки (2.10) и (2.11) в формулу Брейта — Вигнера и
обозначения постоянного множителя через А получим
а = -4= --------------• (2.12)
VE (Е — ЕгУ + ЧА?
Это выражение определяет зависимость от энергии Е поперечного
сечения поглощения нейтронов вблизи некоторого резонанса, доста-
точно отдаленного от других. Величины Д, Гь, Ег и Г — постоянные.
Исследование выражения (2.12) обнаруживает большое число
качественно интересных особенностей. Когда кинетическая энергия
нейтрона Е значительно меньше того значения Ег, которое необходимо
для точного резонанса, то (Е—Ег)2 велико и почти постоянно по
величине. Поскольку кинетическая энергия пропорциональна к2, где
•V — скорость нейтрона, то (2.12) можно привести к виду
где В — некоторая постоянная.
Таким образом, для энергий нейтрона, малых по сравнению
с энергией первого резонанса, поперечное сечение поглощения ней-
тронов должно быть обратно пропорционально скорости нейтрона.
Как следует ожидать из рассмотрения формулы Брейта — Вигнера,
часто наблюдается область малых энергий, в которой поперечное
сечение поглощения нейтронов пропорционально 1/ц. Эта область
обычно называется областью 1/ц (см. гл. 3, § 19).
Если энергия нейтрона растет и приближается к Е„ то, как это
видно из (2.12), значение с должно также быстро расти, так как
Е — Ег уменьшается. Когда Е становится равным Ег, поперечное
сечение поглощения имеет максимум. Затем когда Е станет больше Ег,
го с увеличением энергии нейтрона поперечное сечение начнет убывать
сначала резко, а потом более медленно. Это означает, что если пред-
ставить поперечное сечение о графически как функцию от Е, то
можно будет заметить весьма острый пик, максимум которого соот-
ветствует резонансной энергии Ег (фиг. 5). Эти так называемые ре-
зонансные пики, как мы увидим позднее, встречаются часто.
Из выражения (2.12) следует, что если Гь не быстро меняется
в зависимости от энергии, то максимальное значение поперечного
сечения поглощения, определяемое формулой
приблизительно обратно пропорционально корню квадратному из энер-
гии. Таким образом, поперечное сечение резонансного поглощения
в максимуме уменьшается, когда резонансная энергия растет, и на-
оборот.
36
Гл. 2. Ядерные реакции
Из уравнений (2.12) и (2.14) легко может быть показано, что при
поперечном сечении, равном 1/2смако> ширина в электрон-вольтах ре-
зонансного пика равна Г, т. е. полной ширине уровня. По этой при-
чине Г часто называют половинной шириной резонансного пика.
Фиг. 5. Резонансный максимум в ходе поперечного сече-
ния поглощения нейтронов.
Представляет интерес следующий особый случай, когда полная
ширина Г некоторого уровня велика по сравнению с Е— Ег. Тогда
величиной (Е— Ег)2 в знаменателе (2.12) можно пренебречь по срав-
нению с 1/4Г2 и выражение для поперечного сечения поглощения
нейтронов примет вид
УЁ ‘/«Г2 ’
(2.15)
т. е. поперечное сечение поглощения опять обратно пропорционально
скорости нейтронов. Другими словами, закон 1/т» для поглощения
нейтронов применим: а) когда ширина уровня Г мала и энергия ней-
трона заметно меньше Ег и б) когда ширина уровня Г велика по
сравнению с Е— Ег. Пример подобного случая будет дан в гл. 3,
§ 22.
Здесь следует указать, что, когда Г велико по сравнению с Ег,
максимума поперечного сечения не существует и, очевидно, на кривой
зависимости о от Е нет резонансного пика. Поперечное сечение
поглощения уменьшается постепенно с увеличением энергии нейтрона
согласно (2.15). В этих случаях не имеет смысла говорить о резо-
нансном захвате нейтронов.
Рассеяние нейтронов
37
РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
§ 12. Природа рассеяния
До сих пор не рассматривалась ядерная реакция, в которой испу-
скается частица, тождественная захваченной падающей частице. В ходе
перераспределения энергии между нуклонами в составном ядре всегда
существует возможность того, что частица, совпадающая с падающей,
приобретает энергию, достаточную для того, чтобы покинуть ядро.
Вообще говоря, испускаемая частица будет иметь меньшую кинети-
ческую энергию, чем частица падающая; при этом часть энергии или
вся энергия будет передана ядру-мишени. Процесс, единственным
результатом которого является передача энергии от одной частицы
(или ядра) к другой, называется рассеянием. Рассеяние нейтронов
атомными ядрами играет очень важную роль в работе ядерных реа-
кторов. Поэтому некоторые общие соображения, относящиеся к этому
вопросу, будут рассмотрены сейчас. Более глубокое изучение его
будет дано в гл. 6.
Существует два типа процессов рассеяния — неупругое рассеяние
и упругое рассеяние. При неупругом столкновении сохраняется импульс,
а кинетическая энергия меняется, в то время как при упругом столк-
новении сохраняются и импульс и кинетическая энергия.
§ 13. Неупругое рассеяние
Когда нейтрон претерпевает неупругое рассеяние, он вначале
захватывается ядром-мишенью, образуя составное ядро, а затем ней-
трон с меньшей кинетической энергией испускается, оставляя ядро-
мишень в возбужденном состоянии. Таким образом, при неупругом
рассеянии часть кинетической энергии нейтрона (или вся) превра-
щается во внутреннюю энергию ядра-мишени. Эта энергия затем
испускается в виде ^-излучения, а ядро-мишень в результате этого
возвращается в свое основное состояние.
В § 7 было указано, что расстояния между энергетическими уровнями
ядра вблизи основного состояния приблизительно равны 0,1 Мэв
для ядер со средними и большими массовыми числами, а для ядер
с малыми массовыми числами эти расстояния больше. Следовательно,
нейтрон должен обладать энергией по крайней мере в 0,1 Мэв, чтобы
он испытал неупругое столкновение. Если рассеивающее вещество
имеет малое массовое число, то необходимая энергия бу пет еще выше.
В ядерных реакторах нейтроны вначале имеют высокие энергии
(порядка миллионов электрон-вольт), поэтому в них происходит
в некоторой степени неупругое рассеяние. Однако, как мы увидим
позднее, энергия нейтронов вскоре доходит до значений, при кото-,
рых неупругое рассеяние невозможно.
38
Гл. 2. Ядерные реакции
§ 14. Упругое рассеяние
Положение при рассмотрении упругого рассеяния совершенно
иное. В столкновениях этого типа кинетическая энергия сохраняется.
Часть кинетической энергии нейтрона (или вся) проявляется после
столкновения, как кинетическая энергия ядра-мишени, находившегося
вначале в состоянии покоя. Этот процесс, по существу, может рас-
сматриваться как столкновение биллиардных шаров. Подобного рода
столкновения можно трактовать по законам классической механики,
основанным на принципах сохранения импульса и энергии. В каждом
столкновении с покоящимся ядром нейтроны передают часть своей
кинетической энергии ядру; переданная энергия зависит от угла, под
которым нейтрон рассеивается. Для данного угла рассеяния часть
энергии нейтрона, которая передается ядру, тем больше, чем меньше
масса рассеивающего ядра (см. гл. 6).
С теоретической точки зрения следует рассматривать два вида
упругого рассеяния: резонансное рассеяние, при котором энергия
захваченного нейтрона такова, что получающееся возбужденное со-
ставное ядро находится в одном из своих квантовых состояний либо
в непосредственной близости от него, и так называемое потенци-
альное рассеяние, которое происходит с нейтронами, обладающими
энергией как выше, так и ниже резонансного уровня. На языке вол-
новой механики потенциальное рассеяние можно истолковать как рас-
сеяние, происходящее при взаимодействии нейтронной волны с по-
тенциалом на поверхности ядра. Действительно, падающий нейтрон
в этом случае не попадает внутрь ядра-мишени, и потому составное
ядро не образуется.
При резонансном рассеянии вей тронов происходит образование
составного ядра, поэтому вывод выражения для соответствующего
поперечного сечения может быть произведен по методу Брейта — Виг-
нера. Приближенное рассмотрение показывает, что формула (2.9)
остается применимой и в этом случае, причем поскольку здесь обе
частицы а к b являются нейтротами, то получается
к2 г2
° ~ й-------с и та" > (2.16)
4л (Е— Ег)2 + 1/Д2
где Е — кинетическая энергия падающего нейтрона. В этом случае
ширина уровня 1'п в основном одна и та же как для падающего, так
и для испускаемого нейтрона и, согласно (2.11), пропорциональна
\ГЕ, следовательно, Г„ пропорциональна Е. Так как, далее, по (2.10)
X2 обратно пропорциональна Е, то очевидно, что А2Г« почти посто-
янная и, следовательно, (2.16) примет вид
А
(Е-Е^ + Чр ’
где А — постоянная.
Литература
39
Когда Е = Ег, поперечное сечение резонансного рассеяния будет
иметь максимум, а когда т. е. энергия нейтрона значительно
меньше резонансного значения, поперечное сечение, очевидно, не за-
висит от энергии нейтрона.
Исключая область вблизи резонанса, резонансное рассеяние всегда
намного меньше потенциального рассеяния, а поперечное сечение по-
следнего мало меняется с энергией нейтрона. Хотя резонансное рас-
сеяние при резонансе или вблизи него зависит от энергии нейтрона,
изменения невелики и поперечное сечение имеет тот же порядок ве-
личины, что и для потенциального рассеяния. Следовательно, можно
считать, что вообще полное поперечное сечение рассеяния не зависит
от кинетической энергии падающих нейтронов. Это в особенности
справедливо для нейтронов с энергиями меньше 0,1 Мэв, если они
рассеиваются ядрами с довольно малыми массовыми числами. Этот
случай обычно имеет место при.изучении ядерных реакторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Be the Н. A., Rev. Mod. Phys., 9, 69 (1937) (см. перевод: Бете Г., Фи-
зика ядра, М. — Л., 1948).
2. Wigner Е. Р„ Am. Journ. Phys., 17, 3 (1949).
3. Bohr N., Nature, 137, 344 (1936).
4. Br ei t G., W1 g n e r E. P., Phys. Rev., 49, 519 (1936).
Глава 3
ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ И НЕЙТРОННЫЕ РЕАКЦИИ
ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
§ 1. Альфа-частицы и легкие ядра
Впервые нейтрон был получен в результате взаимодействия
а-частиц, испускаемых радиоактивными веществами, с ядрами легких
элементов: бериллия, бора и лития. Затем было обнаружено, что дру-
гие элементы с малыми атомными номерами, когда их бомбардируют
а-частицами, также испускают нейтроны. Например, в случае берил-
лия реакция может быть представлена в следующем виде:
где индекс внизу указывает атомный номер, т. е. заряд ядра, а верх-
ний индекс в каждом случае — массовое число1). Так как нейтрон
имеет массу, равную единице, и не имеет заряда, то он обозначается
символом q/z1. Сумма атомных номеров, т. е. общее число протонов
в левой и правой частях, должны совпадать. Точно так же должны
совпадать суммы массовых чисел, т. е. общее число нуклонов слева
и справа должно быть равным.
Комбинация а-излучателей, подобных радию и полонию, с легкими
элементами, такими как бериллий или бор, является чрезвычайно
простым компактным и полезным источником нейтронов для лабора-
торных целей. Например, смесь 5 г бериллия и 1 г радия испускает
около 10—15 млн. нейтронов в 1 сек. Радиево-бериллиевый источ-
ник нейтронов, имеющий большой период полураспада, равный при-
близительно 1600 лет, является фактически постоянным и непре-
рывно действующим. Основными его недостатками следует считать
высокую стоимость радия и сильное ^-излучение, которое он испу-
скает. Часто употребляется источник, состоящий вместо радия из
смеси полония с бериллием; в этом случае уменьшается стоимость
и ^-излучение значительно ослабляется, но уменьшается также и время
жизни такого нейтронного источника.
Нейтроны, полученные под действием а-частиц из бериллия, обла-
дают сравнительно высокими энергиями; минимум лежит около 5 Мэв,
*) Реакция может быть записана в сокращенной форме: Be® (а, л) С12.
При этом способе записи первый символ, т. е. Be9, представляет собой ядро-
мишень, в скобках указана падающая частица (а) и испускаемая частица (л),
а в конце стоит символ ядра отдачи, т. е. С1а. Иногда реакции записываются
в виде, содержащем только частицы. Таким образом (л, у) есть реакция, при
которой поглощается нейтрон и испускается у-квант. Символ р применяется
для обозначения протона, т. е. ядра водорода.—Прим. авт.
Получение нейтронов
41
а максимум — при 12 Мае, а может быть и выше, в зависимости от
энергии падающих частиц. Описанные выше источники представляют
собой полиэнергетические источники, энергетический спектр которых
простирается от 5 до 12 Мэв. Кроме того, они могут испускать
нейтроны с энергией, лежащей вне указанных пределов. Как будет
видно из следующего параграфа, такие нейтроны могут получаться
при реакциях, вызываемых 7-лучами источника а-частиц.
§ 2. Источники фотонейтронов
Если требуется получить моноэнергетические нейтроны, т. е.
нейтроны (приблизительно) одной энергии, то могут быть использо-
ваны различные реакции фоторасщепления. При этих реакциях
7-лучи, взаимодействуя с ядром, передают ему энергию; образую-
щееся тогда возбужденное ядро может испустить частицу, в част-
ности нейтрон. В так называемых источниках фотонейтронов
происходят реакции, обозначаемые символом (7, п), ибо падающей
частицей является 7-квант, а испускаемой частицей — нейтрон.
Под действием 7-излучения естественных радиоактивных веществ
могут происходить два следующих (7, я) процесса:
^ВеЭ + оТО-^Вев + оя!
И 1Н2-ф-о7°-> 1Н1onJ.
В первом процессе элементом мишени является бериллий J), а во
втором — дейтерий, тяжелый (устойчивый) изотоп водорода с мас-
совым числом 2. Как будет показано позднее (гл. 4, § 14), эти
реакции представляют особый интерес в связи с работой ядерных
реакторов.
Минимальная энергия 7-лучей, необходимая для реакции (7, л)
на бериллии (порог реакции), равна 1,6 Мэв, для реакции на дейте-
рии— 2,21 Мэв. Таким образом, с помощью указанных реакций
нейтроны не могут генерироваться, если 7-лучи обладают энергиями,
меньшими указанных величин. Избыток энергии 7-лучей сверх поро-
говой энергии частично будет проявляться как. кинетическая энер-
гия испущенного нейтрона, а частично уноситься ядром отдачи. Так
как 7-лучи данного радиоактивного источника обычно имеют опре-
деленную энергию, то и испущенные нейтроны будут также обладать
определенной энергией. Следовательно, нейтроны, полученные при
фотоядерных (7, я)-расщеплениях, являются существенно моноэнер-
гетическими.
Возможными источниками 7-излучения, которые могут быть исполь-
зованы для источников нейтронов, являются естественные элементы
радий и мезоторий. Значительно более дешевыми источниками являются
*) Ядро Be8, указанное в уравнении, чрезвычайно неустойчиво и почти
мгновенно расщепляется на два ядра Не1 — Прим. авт.
42
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
искусственно полученные изотопы Na24, Ga72, Sb124 и La140; однако
все они имеют более короткий период полураспада. Материалом для
мишени может служить металлический бериллий или тяжелая вода, т. е.
вода, обогащенная тяжелым изотопом водорода. Получаемые таким спо-
собом нейтроны имеют наиболее низкую энергию, равную 0,03 Мэв
при реакции Sb124-Be, и наиболее высокую энергию, равную 0,88 Мэв
при реакции MsTh-Be.
Наиболее простой и удобный источник почти моноэнергетических
нейтронов состоит из сурьмяного стержня, содержащего радиоактив-
ный изотоп Sb124, который окружен оболочкой из металлического
бериллия. Непосредственно после изготовления система испускает
нейтроны примерно одной и той же энергии 0,03 Мэв и с выходом
несколько миллионов в секунду. Изотоп Sb124 имеет период полу-
распада 60 дней; когда в результате распада активность понижается
настолько, что источник нейтронов заметно ослабевает, его можно
восстановить при помощи облучения нейтронами в ядерном реакторе.
§ 3. Применение ускорителей
Наряду с описанными выше относительно компактными источни-
ками нейтронов существуют различные методы получения довольно
однородных по энергии нейтронов, в которых используются частицы,
ускоренные с помощью циклотрона или генератора Ван-де-Граафа.
Генератор Ван-де-Граафа более удобен, так как на нем легче полу-
чить частицы, однородные по энергии. Действие ускоренных прото-
нов, т. е. ядер водорода, на литий, либо дейтронов, т. е. ядер дей-
терия, на мишень из лития, бериллия или дейтерия (в виде „тяже-
лого" льда или „тяжелого" парафина) дает довольно однородные по
энергии пучки нейтронов. Энергия нейтронов зависит от энергии
используемых падающих частиц, а также от применяемого процесса,
ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
§ 4. Рассеяние и замедление
Все описанные выше источники дают нейтроны, обладающие
обычно довольно высокой кинетической энергией порядка 1 Мэв. \
Такие нейтроны называются быстрыми нейтронами. В гл. 2, § 14,
уже указывалось, что в результате упругих столкновений нейтроны
могут потерять часть (или всю) своей кинетической энергии и, таким
образом, замедлиться. Медленные нейтроны, в частности нейтроны
с энергиями около 0,03 эв при нормальной температуре, называются
тепловыми нейтронами (см. ниже). Тепловые нейтроны имеют важное
значение для ядерных реакторов.
В гл. 6 мы увидим, что для данного угла рассеяния потеря кине- '
тической энергии нейтрона в упругом столкновении тем больше, чем
Замедление нейтронов
43
меньше массовое число рассеивающих ядер. Это означает, что быстрые
нейтроны замедляются более эффективно при рассеянии в среде,
содержащей ядра с малыми массовыми числами.
Замедление нейтронов играет важнейшую роль в большинстве
ядерных реакторов. Вещества, применяемые для этой цели, назы-
ваются замедлителями. Процесс замедления нейтронов в результате
рассеяния при столкновениях иногда обозначается термином тормо-
жение. Хорошим замедлителем является, следовательно, вещество,
уменьшающее скорость быстрых нейтронов в результате небольшого
числа столкновений. Оно, очевидно, состоит из атомов с малыми
массовыми числами. Вследствие этого в качестве замедлителей в раз-
личных реакторах применяется обыкновенная вода (Н2О), тяжелая
вода (D2O), бериллий и углерод1).
После некоторого числа рассеивающих столкновений скорость
нейтрона уменьшается до такой величины, что его энергия становится
приблизительно равной средней кинетической энергии атомов или
молекул той среды, в которой нейтрон испытывает упругое рассея-
ние. Как мы увидим ниже, эта энергия зависит от температуры среды
и поэтому называется тепловой энергией. Нейтроны, энергия кото-
рых уменьшилась до значений, лежащих в области тепловой энергии,
называются тепловыми нейтронами. Нейтроны, обладающие энер-
гией выше тепловой, иногда называются эпитепловыми нейтронами.
§ 5. Распределение Максвелла — Больтцмана
Тепловые нейтроны строго могут быть определены как нейтроны,
находящиеся в тепловом равновесии с атомами (или молекулами) той
среды, в которой они находятся. Данный тепловой нейтрон, испы-
тывающий столкновения с ядрами среды, может приобрести или по-
терять энергию в каждом отдельном столкновении. Но если рассма-
тривать большое число нейтронов, диффундирующих в непоглощающей
среде, то изменения энергии всех нейтронов в среднем не наблю-
дается. Кинетическая энергия нейтронов будет распределяться стати-
стически по закону распределения Максвелла — Больтцмана, как это
следует из кинетической теории газов. Таким образом,
п (nkT)l*
где dn — число нейтронов с энергиями, лежащими в интервале от Е
до E-\-dE, п — общее число нейтронов системы, k — постоянная
Больтцмана, Т — абсолютная температура.
В действительности распределение Максвелла—Больтцмана не имеет
места, поскольку большинство сред до некоторой степени поглощают
J) Хороший замедлитель не должен сильно поглощать нейтроны, поэтому
такие легкие элементы, как литий и бор, очень сильно поглощающие мед-
ленные нейтроны, неприменимы как замедлители. — Прим. авт.
(3.1)
44
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
нейтроны и, за исключением резонансных пиков, поперечное сечение
поглощения увеличивается с уменьшением энергии. Большое погло-
щение медленных нейтронов приводит к увеличению средней энергии
по сравнению с той, которую следует ожидать согласно выражению
(3.1). Это отклонение увеличивается с ростом расстояния от источ-
ника нейтронов. Это явление называется ужестчением. Однако для
сред, не очень сильно поглощающих нейтроны, можно считать, что
распределение Максвелла для тепловых нейтронов остается справед-
ливым.
Пусть, в согласии с обозначениями, употребляемыми в § 15,
п(Е)— число нейтронов энергии Е, приходящееся на единичный ин-
тервал энергии1). Тогда n{E)dE есть число нейтронов, имеющих
Фиг. 6. Распределение анергии по Максвеллу — Больтцману.
энергии в интервале от Е до Ц -\-dE, что эквивалентно величине dn
в (3.1), и потому это равенство можно записать в следующем виде:
«_(£)
п
2п
e~EI1cT^dE,
или
П(Е) __ 2ft -ЕЦсТрЧг
Я (ЛЙГ)8/’
(3.2)
где левая часть представляет собой долю нейтронов, имеющих энер-
гию в интервале от Е до Е -|- dE и приходящихся на единицу интер-
вала энергии. Правая часть уравнения может быть вычислена для
разных Е при данной температуре. На фиг. 6 представлена полученная
*) Обычно принимается, что объем системы равен 1 гл3, но для настоя-
щих целей объем не существенен. — Прим. авт.
Замедление нейтронов
45
таким образом кривая, выражающая зависимость п(Е)/п от кинети-
ческой энергии нейтрона Е.
При изучении тепловых нейтронов стало обычным энергию
нейтрона для некоторой температуры Т обозначать через kT. В дей-
ствительности kT представляет собой кинетическую энергию, соот-
ветствующую наиболее вероятной скорости в распределении по ско-
ростям1), тогда как средняя кинетическая энергия тепловых нейтро-
нов, согласно уравнению Максвелла, равна ^kT.
Выражая энергию, как обычно, в электрон-вольтах, получим для
постоянной Больтцмана величину 8,61 • 10-6 эв на градус. Поэтому
для тепловых нейтронов можно написать:
Энергия тепловых нейтронов = 8,61 • 10-БТ эв. (3.3)
Значения энергии для различных температур приведены в табл. 3.
При нормальной температуре, т. е. при 25° С, или 298° К, энергия
тепловых нейтронов приблизительно равна 0,025 эв.
Таблица 3
ЭНЕРГИИ И СКОРОСТИ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Температура «Энергиа», 88 «Скорость», см[сек
•к °C
300 27 0,026 2,2.10»
400 127 0,034 2,6
600 327 0,052 3,1
800 527 0,069 3,6
1000 727 0,086 4,0
Скорость v нейтрона связана с кинетической энергией Е уравне-
нием
‘V— 13,8 • \(}ЬУ'Е cm 'icck, (3.4)
i) Так как Е-=*11%ти2, где v — скорость, то распределение Максвелла (3.2)
может быть записано в виде
^ = 4«
R
Если его продифференцировать по v и положить результат равным нулю, то
получим наиболее вероятную скорость, равную (2kTlm)'h. Соответствующая
кинетическая энергия равна тогда kT. — Прим. авт.
46 Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
где Е выражено в электрон-вольтах. Из (3.4) и (3.3) можно получить
скорость тепловых нейтронов как функцию температуры. Таким
образом,
Скорость тепловых нейтронов = 1,28 • 104 Т см! сек.
Комнатная температура Т приблизительно равна 295° К, и скорость
тепловых нейтронов для комнатной температуры равна 2,22 10Б см)сек.
Значения скорости для различных температур даны в табл. 3.
РЕАКЦИИ С МЕДЛЕННЫМИ НЕЙТРОНАМИ
§ 6. Типы реакций захвата
Кроме рассеяния, с медленными нейтронами происходят четыре
типа реакций захвата атомным ядром: а) испускание 7-квантов (л, 7);
б) вылет а-частиц (л, а); в) испускание протонов (л, р); г) деление
(л, /). Наиболее обычным из этих типов реакций является радиацион-
ный захват, т. е. процесс (л, 7); он происходит с большинством
ядер, имеющих как малые, так и большие массовые числа. Реак-
ции (л, а.) и (л, р) ограничены небольшим числом элементов с малыми
массовыми числами, а реакции деления на медленных нейтронах вообще
происходят лишь с некоторыми определенными ядрами с большими
массовыми числами.
§ 7. Радиационный захват
При реакции радиационного захвата ядро-мишень захватывает
медленные нейтроны и образует составюе ядро в возбужденном со-
стоянии (см. гл. 2, § 5). Затем избыток энергии испускается в виде
одного или нескольких 7-квантов. Остающееся составное ядро нахо-
дится в основном состоянии. Этот процесс может быть представлен
в виде
ZA 4- Л1 -> [ZA+1 ]* -4- ZA + ! 4- 7,
где А — массовое число, a Z—атомный номер ядра-мишени. Сим-
вол [ZA+1 ]* показывает, что составное ядро находится в возбужден-
ном состоянии. Конечный продукт реакции представляет собой
ядро ZA+1, т. е. ядро с тем же атомным номером, что и ядро-мишень,
но с массовым числом, большим на единицу.
Захват нейтрона ядром с последующим испусканием 7-излучения
должен быть связан с увеличением отношения числа нейтронов к числу
протонов. Поэтому продукт реакции (л, 7) может быть радиоактивным,
особенно когда отношение числа нейтрогов к числу протонов в ядре-
мишени уже близко к верхнему пределу устойчивости для данного
атомного номера. Как упоминалось выше, атомный номер сохраняется
при радиационном захвате нейтрона, в то время как число нейтронов
Реакции с медленными нейтронами
47
увеличивается на единицу. Если полученное ядро неустойчиво, то
обычно оно является излучателем отрицательных (3-частиц, так как при
этом типе распада лишний нейтрон заменяется протоном (см. гл. 1, § 5).
В случаях подобного рода реакция захвата нейтронов может быть
экспериментально обнаружена по возникающей радиоактивности. Этот
метод часто употребляется при различных измерениях с медленными
нейтронами (см. § 18).
Простейшим примером реакции (л, у) является реакция с водо-
родом как ядром-мишенью:
В результате реакции получается дейтерий. Очевидно, что этот про-
цесс в точности обратен процессу, описанному в § 2, когда дейте-
рий служит источником нейтронов вследствие расщепления 7-квантами.
Пороговая энергия в этом случае, как известно, равна 2,21 Мэв, а сле-
довательно, энергия получающихся 7-квантов должна быть по крайней
мере равна этой величине. Испускание такого излучения с относительно
высокой энергией и проникающей способностью при прохождении нейтро-
нов через водородсодержащие вещества было подтверждено эксперимен-
тально. Этот факт следует иметь в виду, когда такие вещества, как
бетон, вода и подобные им, применяются в ядерных реакторах для
замедления нейтронов, для охлаждения или в качестве защиты от вы-
лета нейтронов наружу.
Как было указано в гл. 2, § 5, когда медленный нейтрон погло-
щается в реакции (л, 7), энергия возбуждения составного ядра пре-
вышает энергию основного состояния на величину, приблизительно
равную энергии связи нейтрона в составном ядре. Следовательно,
если возбужденное составное ядро переходит прямо в основное
состояние, испуская при этом один 7-квант, то энергия послед-
него должна быть равна энергии связи нейтрона. В случае, например,
описанной выше реакции с водородом энергия связи нейтрона в со-
ставном ядре, т. е. в дейтроне, известна из данных о ядерных мас-
сах и равна примерно 2,21 Мэв. Это находится в полном согласии
с измеренной энергией излучения в реакции Н1 (л, 7) Н2 и пороговой
энергией обратного процесса. Для более тяжелых ядер реакция (л, 7)
с медленными нейтронами приводит к образованию составного ядра
с более высокими энергиями возбуждения, и так называемые 4-лучи
захвата могут иметь энергию порядка 8—9 Мэв.
Радиационный захват нейтронов часто применяется для получения изо-
топов. Для этого устойчивые ядра облучаются медленными нейтронами
в реакторе. Известно более ста реакций (л, 7), приводящих к обра-
зованию изотопов, являющихся р-излучателями. Особый интерес пред-
ставляют две из них. В первой ядром-мишенью служит Rh10S, а во
второй — In116:
4BRh108 оЛ1 -> 45Rh104 (44 сек.) -f- 7,
491пПб + on1 -> 491п11в (54 мин.) 7;
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
0-активности продуктов этих реакций применяются для детектирова-
ния нейтронов более или менее определенной энергии, как это будет
описано в § 25. В обоих случаях указан период полураспада полу-
чающегося радиоактивного изотопа.
Вероятно, наиболее примечательной из всех реакций (п, у) с медлен-
ными нейтронами является реакция, происходящая в U238:
02U238+on1^e^ + 7.
Продукт реакции LJ230 имеет период полураспада 23 мин. Изо-
топ U238 испускает отрицательные 0-частицы (электроны), обозначае-
мые _j0° (заряд равен —1, а масса почти равна нулю).
Таким образом,
92и238-*№9+_19°.
Дочернее вещество здесь представляет собой изотоп элемента
с атомным номером 93 и называется нептунием. В природе в коли-
чествах, достаточных для обнаружения, он не существует. В свою
очередь, Np2SS 0-активен и имеет период полураспада 2,3 дня. Он
распадается по схеме
93Np230^eJ>U238+_10°,
образуя при этом Ри230 —изотоп элемента с атомным номером 94,
который называется плутонием.
Элемент плутоний встречается в природе в виде ничтожных, почти не
поддающихся обнаружению следов ’). Тем не менее, Рн238, являющийся
в известном смысле изотопом искусственно полученного элемента,
производится в значительных количествах в ядерных реакторах в резуль-
тате радиационного захвата нейтронов изотопом U288. Непосредственный
продукт реакции испытывает при этом два сравнительно быстро
следующих друг за другом 0-распада, образуя ядро Ра238 которое
является а-излучателем. Период полураспада Рн930 равен 24 000 лет;
поэтому этот изотоп сравнительно устойчив. Это очень важный эле-
мент с точки зрения получения ядерной энергии, а также использо-
вания в атомных бомбах.
Ряд процессов, подобных вышеописанным, происходит в резуль-
тате реакций (п, у) в Th282:
S0Th232 + 0H>->S3Th233 + T.
При этом образуется изотоп Th233, имеющий период полураспада
23 мин.; в свою очередь, изотоп Th233 посредством 0-распада дает
изотоп Ра288:
eoTh2;'s—> 0)Ра23а-|--щ0-
’) Предполагают, что то количество Ри233, которое существует в природе,
образуется в результате захвата нейтронов изотопом U233 и последующего
распада ядра-продукта, происходящего в два этапа, как это описано выше. —
Прим. авт.
Реакции с медленными нейтронами
49
Изотоп Ра238 является также ^-излучателем с периодом полураспада
27,4 суток. Процесс его распада записывается в виде
9)Pa2S3—>02U233-j-_jP°.
При этом дочернее вещество представляет собой новый изотоп урана,
не встречающийся в природе, по крайней мере в сколько-нибудь
заметном количестве. Этот изотоп радиоактивен и является «-излуча-
телем. Его период полураспада равен 1,63 • 10Б лет. Таким образом,
бомбардировка Th232 нейтронами с последующей выдержкой продукта
в течение времени, необходимого для двукратного p-распада, приво-
дит к образованию сравнительно устойчивого изотопа U233. Подобно
искусственно получаемому Рп239, описанному выше, этот изотоп имеет
большое значение в связи с использованием ядерной энергии.
§ 8. Испускание а-частиц и протонов
Реакции с медленными нейтронами, которые сопровождаются вы-
летом заряженных частиц (а-частиц или протонов), встречаются редко.
Это происходит вследствие того, что для вылета из ядра положи-
тельно заряженной частицы ей нужно приобрести, кроме той энер-
гии, которая необходима для ее отделения от составного ядра, еще
добавочную энергию, достаточную для преодоления электростати-
ческого потенциального барьера. Присоединение нейтрона к ядру-
мишени ведет к выделению части энергии, необходимой для указан-
ной реакции, остальная часть должна быть получена за счет кинети-
ческой энергии нейтрона.
Так как кинетическая энергия медленного нейтрона очень мала, то
очевидно, что реакции (и, а.) и (п, р) с медленными нейтронами могут
происходить только в случае, когда электростатическое отталкивание,
которое должны преодолеть заряженные частицы, мало. Эго имеет
место для элементов с малыми атомными номерами, поэтому реакции
(и, а.) и (п, р) с медленными нейтронами могут наблюдаться только
в небольшом числе подобных веществ.
Реакция (п, а) может быть записана в общей форме следующим
образом:
ZA + п1 -> [ZA+! ]* -> (Z — 2)А-3 + 2Не4,
где 2Не4 представляет собой а-частицу, т. е. ядро гелия с массовым
числом 4 и атомным номером 2. Ядро отдачи имеет массовое число
на три единицы меньше и атомный номер на две единицы меньше,
чем ядро-мишень. Изотоп лития (Li6), менее распространенный в при-
роде, чем основной, поглощает медленные нейтроны с вылетом
а-частиц. Аналогичная реакция происходит также в более редком
изотопе бора (В10). Обе эти реакции представляют особый интерес
в связи с вопросами, излагаемыми в настоящей книге.
50
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
Реакция (л, а) с медленными нейтронами в В10 может быть пред-
ставлена так:
еВ10-|-0л1->31Л74-2Не4.
Ядром отдачи является здесь устойчивый изотоп Li7. Эта реакция
сопровождается выделением энергии в 2,5 Мэв, которая распределяется
между а-частицей и ядром. Поэтому обе частицы вылетают в противо-
положные стороны с большей скоростью, так что они производят за-
метную ионизацию газа при своем прохождении через него. Как будет
видно позднее, процесс (л, а) с В10 чрезвычайно важен по различным
соображениям. Например, процесс (л, а) с В10 используется в важном
методе обнаружения и счета медленных нейтронов (см. § 24), а также
при контроле процессов в ядерных реакторах (см. гл. 4, § 13).
Вторая реакция (л, а) с медленными нейтронами, происходящая
с большой вероятностью, записывается так:
8ив+оИ1_>1нз+2Не^.
Ядром отдачи здесь является 1Н3.— изотоп водорода с массовым числом,
равным 3, называемый тритием. Этот изотоп радиоактивный с периодом
полураспада 12 лет и является излучателем отрицательных р-частиц.
В настоящее время тритий привлекает особое внимание вследствие
возможности применения его в так называемой „водородной бомбе",
а также и для других целей.
Реакция (л, р) записывается в общем виде следующим образом:
ZA „1 _> [ZA+i ]* _> (z — 1)А 4-
В результате этой реакции получается ядро с тем же массовым чис-
лом, что и ядро-мишень, но с атомным номером, меньшим на единицу.
Реакции (л, р) с медленными нейтронами происходят с несколькими
изотопами малого атомного номера. К таким изотопам относятся N14,
S32 и С18Б. Указанные реакции записываются в виде
16S32 + o«1-^1BP82 + 1H1,
„Ciw+On1->16S86+1H1.
Эти процессы могут быть осуществлены с помощью облучения со-
ответствующих элементов медленными нейтронами в ядерных реакто-
рах. Все изотопы, получающиеся в результате вышеуказанных реак-
ций, радиоактивны и испускают р-частицы; они находят много при-
ложений в исследованиях, использующих радиоактивные изотопы
в качестве меченых атомов.
§ 9. Деление ядер
Другим типом реакции, который более детально будет рассмотрен
в гл. 4, является деление ядер, вызванное нейтронами. В процессе
деления ядро поглощает нейтрон; образующееся при этом составное
Нейтронные поперечные сечения
51
ядро столь неустойчиво, что оно мгновенно расщепляется на две при-
близительно равные части. Некоторые ядра, как U288, U286 и Ри239,
легко делятся под действием медленных нейтронов, в то время как
другие ядра могут делиться только под действием быстрых нейтро-
нов. Процесс деления данного ядра на два осколка может осуще-
ствиться многими путями, и только в небольшом числе случаев деле-
ние происходит симметрично. Эта и другие стороны вопроса о деле-
нии ядер более подробно будут разобраны ниже.
РЕАКЦИИ С БЫСТРЫМИ НЕЙТРОНАМИ
§ 10. Реакции захвата и деления
За исключением рассеяния и деления, реакции быстрых нейтро-
нов с веществами не имеют большого значения при изучении ядерных
реакторов, поэтому о них будет упомянуто лишь вкратце. Если энергия
возбужденного составного ядра достаточна для вылета из него заря-
женной частицы, то эта реакция более вероятна, чем испускание
7-квантов. Поэтому реакции (л, «) и (п, р) на быстрых нейтронах
с энергией более 1 Мэв часто происходят с ядрами более легко,
чем реакция (и, 7). Если в качестве бомбардирующих частиц приме-
няются нейтроны достаточно высокой энергии, то из составного
ядра могут вылететь два или большее число нуклонов. Для нейтро-
нов, падающих с энергией около 10 Мэв, возможны реакции с вы-
летом либо двух нейтронов, либо нейтрона и протона. Подобные
реакции, происходящие довольно часто, обозначаются соответственно
(и, 2л) и (л, пр). Если энергия падающего нейтрона еще выше, то
возможны процессы (л, Зл), (л, 2лр) и т. п.
Некоторые ядра, не испытывающие деления под действием мед-
ленных нейтронов, испытывают его в результате захвата быстрых
нейтронов. Например, деление U288 и Th282 происходит с заметным
выходом, если нейтроны обладают энергией, равной примерно 1 Мэв.
Под действием нейтронов с очень высокой энергией, порядка 100 Мэв,
делению подвергается большое число обычно устойчивых ядер, таких
как висмут, свинец, таллий, ртуть, золото и т. п. Однако эти реак-
ции, повидимому, не представляют непосредственного практического
интереса.
НЕЙТРОННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ
§ 11. Определение поперечного сечения
Взаимодействие нейтронов с атомным ядром можно выразить
количественно, введя понятие поперечного сечения, определенного
в общих словах в. гл. 2, § 10. При, облучении какого-либо вещества
нейтронами выход, с . которым идет данная ядерная реакция, зависит
от числа нейтронов,, их . скорости, а также от числа и тица. ядер.
52
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
облучаемого вещества. Поперечное сечение ядра для какой-нибудь
данной реакции есть характеристика этого ядра, зависящая от энер-
гии падающего нейтрона.
Предположим, что однородный пучок нейтронов падает перпен-
дикулярно на слой вещества толщиной в один атом и вызывает в нем
за данное время определенное число С некоторых ядерных процес-
сов, например процессов захвата нейтронов, приходящихся на 1 сж2,
и пусть I есть число нейтронов, упавших за это же время на 1 см2
мишени. Тогда ядерное поперечное сечение а данной реакции опре-
деляется как среднее число процессов, происходящих на один падаю-
щий нейтрон в пучке и на одно ядро вещества-мишени, т. е.
с s=см2 на ядро, (3.5)
где Na — число атомов, приходящееся на 1. см2 рассматриваемой
мишени.
Вследствие того, что значения ядерных поперечных сечений лежат
обычно в пределах от 10-22 до 10-26 см2, их удобно выражать при
помощи единицы, равной 10-24 см2, которая называется барном.
Таким образом, например, поперечное сечение, равное 1,8- 10~аб см2
на ядро, будет записываться в виде 0,18 барна.
Смысл понятия поперечного сечения можно пояснить следующим
образом. Перепишем выражение (3.5) в виде
(3.6)
Если бы каждый нейтрон, падающий на мишень, вызывал реакцию,
то число прореагировавших ядер равнялось бы /. Следовательно,
правая часть соотношения (3.6) представляет собой долю падающих
нейтронов, которые провзаимодействовали с ядром-мишеныо. Тогда
можно рассматривать как часть поверхности, которая может принять
участие в данной реакции, поэтому с каждого см2 поверхности
эффективными являются Д^а см2. Так как 1 см2 поверхности содер-
жит 1Ча ядер, то величина а представляет собой эффективную пло-
щадь ядра для данной реакции. Такое истолкование величины а при-
вело к употреблению термина „поперечное сечение11, хотя, как вскоре
станет ясно, эта величина лишь в некоторых специальных случаях
связана с геометрическим сечением ядра.
Выше с целью определения поперечного сечения рассматривался
только поверхностный слой вещества-мишени. Для того чтобы опре-
делить поперечное сечение экспериментально, измеряется ослабление
нейтронного пучка мишенью конечной толщины.
Пренебрегая эффектом рассеяния, рассмотрим отмеченную пун-
ктиром на фиг. 7 площадку в 1 см2, выделенную на пластинке из
некоторого вещества. Толщину пластинки обозначим через X.
Пусть /0 — число нейтронов, падающих на эту пластинку слева.
Нейтронные поперечные сечения 53
Если N — число ядер в 1 смй вещества, то число ядер в тонком слое dx
с основаниями, параллельными поверхности пластинки, будет Ndx на
1 см?. Это выражение совпадает с величиной, обозначенной выше
через Na. Поэтому, согласно (3.6), Ndxa есть доля нейтронов, ко-
торая вступит во взаимодействие в этом слое; эту величину следует
приравнять —dill, где —di есть
уменьшение числа нейтронов на
1 см? при прохождении через
слой вещества, имеющий тол-
щину dx. Следовательно, —*
— ^ = №>dx. (3.7)
Интегрируя это выражение по
толщине х, получим —»
1х = 10е^ох, (3.8) —
где /0 — число нейтронов, па-
дающих на данную площадку,"
а 1Х— число нейтронов, выхо-
дящих с той же площадки
после того, как они прошли
через х см вещества. Экспе-
риментальные методы опреде- Фиг. 5
ления поперечных сечений ядер- при
ных реакций, в которых участ-
вуют нейтроны, как это будет показано в § 17, основываются
на равенстве (3.8).
§ 12. Макроскопическое поперечное сечение
Поперечное сечение данного процесса о, относящееся к одному
ядру, часто называется микроскопическим поперечным сечением,
в отличие от величины Na, которая называется макроскопическим
поперечным сечением вещества для этого процесса. Таким образом,
если макроскопическое поперечное сечение обозначить через то,
по определению,
сж-1, (3.9)
где N— число ядер в 1 cms. Очевидно, эта величина представляет
собой полное поперечное сечение всех ядер в 1 ел3 вещества. Сле-
дует отметить, что макроскопическое поперечное сечение имеет раз-
мерность обратной длины.
Если заменить Afo в (3.7) через £, то, согласно (3.8), получим
di
-------------------------% dx.
Ослабление нейтронного пучка
прохождении через пластинку.
54
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
Поскольку — dlfl представляет собой долю нейтронов, поглощаемых
на отрезке dx, то, очевидно, £dx есть вероятность того, что ней-
трон поглотится на пути dx.
Если р — плотность поглощающего вещества в г/сж8 и А — его
атомный вес (предполагается, что это вещество является элементом),
то р/Л есть число грамм-атомов в 1 еж3. Число атомных ядер в 1 сж3
получим, умножив величину р/Л на No, где % — число Авогадро
(6,02 • 1023), т. е. число атомов (или ядер) в одном грамм-атоме;
таким образом,
^=4%, (3.10)
и потому
2“ А °’
(3.11)
Если рассматриваемое вещество состоит из нескольких типов ядер,
то макроскопическое поперечное сечение определяется по формуле
2 = ^+^+... + ЛГЛ-Ь (3.12)
где N{ — число ядер г-го сорта в Г еж3 вещества, а —макроскопическое
поперечное сечение данного процесса для этих ядер. В случае хими-
ческого соединения Л в формуле (3.10) для ДГ4 должно быть заме-
нено молекулярным весом М, а результат умножен на — число
поглощающих атомов г-го сорта в одной молекуле. Величина £ опре-
деляется тогда по формуле (3.12):
S =7^(vi°i + v2°a + - • • + v*°< + - • •)•
§13. Длина свободного пути и длина релаксации
Подставляя (3.9) в (3.8), получим
(3.13)
или
45- = e-Sa! (3.14)
'о
Величина IXIIO представляет собой ту часть падающих нейтронов,
которая прошла слой вещества толщины х, не претерпев рассматри-
ваемой реакции. Таким образом, величину е~^х можно рассматри-
вать как вероятность того, что нейтрон проникнет до точки х, не
участвуя в реакции. Так как вероятность того, что реакция
произойдет в интервале между х и x-\-dx, равна £dx (см. § 12),
Нейтронные поперечные сечения
55
то средний путь Л, который пройдет нейтрон, не будучи поглощен,
равен
~------------= 4- «П (3.15)
$е-*х Sdx
о
интегралы в числителе и знаменателе имеют обычный смысл.
Среднее расстояние X, вычисленное по формуле (3.15), называется
длиной свободного пути для данной ядерной реакции. Оно, конечно,
имеет размерность длины, так как £ — величина, по размерности обрат-
ная длине. Заменив £ в (3.14) на 1/Х, получим
А- = е-^. (3.16)
4) .
Если х положить равным X, то /ж//0 = е-1 и, следовательно, X можно
рассматривать как то расстояние, на котором поглощаются все па-
дающие нейтроны, за исключением части 1/₽.
Когда нейтрон может принимать участие в нескольких различных
процессах с данным ядром-мишенью, то каждый из процессов бу-
дет происходить со своим поперечным сечением и иметь свою длину
свободного пути. Выведенные выше уравнения являются общими и
могут быть применены ко всем реакциям, в которых происходит
поглощение нейтронов. Полное поперечное сечение поглощения
нейтронов можно определить как сумму отдельных поперечных
сечений. Уравнение в форме (3.16) дает полное ослабление ней-
тронов в результате поглощения в слое среды толщиной х, через
которую они проходят. В этом случае величина X, равная обратной
величине полного макроскопического поперечного сечения поглощения,
иногда называется длиной релаксации нейтронов в данной среде. Длина
релаксации есть расстояние, на котором интенсивность нейтронного
пучка вследствие поглощения нейтронов средой уменьшается в е раз
от своего первоначального значения. При этом предполагаемся, что
рассеяние отсутствует.
§ 14. Выход нейтронных реакций
Пусть нейтрон движется со скоростью о см/сек, а X см есть длина
свободного пути для данной реакции, тогда о/Х в среднем пред-
ставляет собой вероятность того, что нейтрон вступит во взаимо-
действие в течение 1 сек. Если плотность нейтронов, т. е. число
нейтронов в 1 см3 пучка, есть п, то число столкновений нейтронов
с ядрами вещества в 1 см3 в 1 сек. равно »©/Х. Так как Х= 1/£,
то это число записывается в виде £по, где £—макроскопическое
поперечное сечение данного процесса. Другими словами,
56 Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
Число нейтронов в 1 см3, участвующих
в течение 1 сек. в данном процессе = S то. (3.17)
Этот результат имеет важное значение. Например, при изуче-
нии ядерных реакторов часто необходимо знать число нейтронов,
имеющих скорость о, которые поглощаются за 1 сек. в 1 см3. Это
число равно где — полное макроскопическое поперечное
сечение поглощения для этих нейтронов.
Произведение nv является чрезвычайно важной величиной
и называется потоком нейтронов. Поток нейтронов обозна-
чается символом Ф. Величина Ф представляет собой сумму путей,
которые проходят все нейтроны в 1 смй за 1 сек., и поэтому иногда
называется длиной трека. После подстановки Ф вместо nv в (3.17)
получим
Число нейтронов в 1 см3, участвующих
в течение 1 сек. в данном процессе = £Ф. (3.18)
Вообще говоря, если — макроскопическое поперечное сечение
поглощения для всех процессов, то £ОФ — общее число поглощен-
ных нейтронов во всех ядерных процессах в 1 см3 за 1 сек. Этот
результат будет часто применяться в дальнейшем.
§ 15. Полиэнергетические системы нейтронов
В предыдущем выводе предполагалось для простоты, что все
нейтроны имеют одну и ту же скорость, но это предположение не
верно для многих реакторных задач. Как следует из предыдущей
главы и будет подробнее рассмотрено ниже, поперечное сечение не-
которой реакции зависит от энергии или скорости нейтрона. Эта за-
висимость приводит к усложнению, которое раньше не учитывалось.
Если п(Е) — число нейтронов с энергией Е в 1 см3 и в единичном
интервале энергии, то n(E)dE—число нейтронов с энергией, лежа-
щей в пределах от Е до E-\-dE. Полный поток нейтронов всех
энергий (или скоростей) Ф дается формулой
СО
Ф=| ntE^vdE, (3.19)
о
где пределы интегрирования от нуля до бесконечности формально
означают только то, что интегрирование производится по всему ин-
тервалу энергии нейтронов. Скорость vt соответствующая кинетиче-
ской энергии Е, определяется из выражения -о = у 2E/m, где т —
масса нейтрона.
Может быть получена иная форма уравнения (3.19), если ввести
величину Ф(Е), представляющую собой поток нейтронов с энергией Е
Нейтронные поперечные сечения
57
в единичном интервале энергии. Тогда &(E)dE есть поток нейтронов,
обладающих энергией, лежащей в интервале от Е до E-\~dE. Таким
образом, полный поток нейтронов равен
Ф = f $(E)dE. (3.20)
о
Аналогично, соответствующая форма (3.17) для полиэнергетической
системы нейтронов имеет вид:
Число нейтронов, участвующих
СО
в данном процессе — J dEy (3.21)
о
= J Е (Е) Ф (£) dE, (3.22)
о
где Е(£) — макроскопическое поперечное сечение процесса для ней-
тронов с энергией Е.
Если энергии нейтронов распределены в некоторой области, то
среднее макроскопическое поперечное сечение Е для определенного
процесса по аналогии с (3.18) может быть определено следующим
образом:
Число нейтронов, участвующих в данном процессе = £ Ф,
где Ф — полный поток нейтронов, данный в виде (3.19). Следова-
тельно, после подстановки (3.19) и (3.21) или (3.20) и (3.22) имеем
(° Z(E)n(E)vdE J° Е(Е)Ф(Е)ФЕ
s=--------------------------------------см~^ <3-23)
f n(E)vdE J’ Ф(Е)<*Е
о о
Соответствующее среднее значение длины свободного пути А в см
выражается в виде
J Х(Е)Ф(Е)ФЕ
А = -5-^-----------, (3.24)
J <P(E)dE
о
где А (Е) = 1 /Е (Е) — длина свободного пути нейтронов с энергией Е
для данного процесса. Следует указать, что А, вообще говоря, не
равно 1/£.
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
Для тепловых нейтронов, подчиняющихся распределению Макс-
велла— Больтцмана, п(Е) в предыдущих формулах определяется из
уравнения (3.2), где п равно общему числу нейтронов в 1 сл8.
Однако, как упоминалось в § 5, истинное распределение тепловых
нейтронов вследствие поглощения не находится в строгом согласии
с уравнением Максвелла — Больтцмана. Тем не менее, для слабых
поглотителей распределение Максвелла — Больтцмана представляет
гобой достаточно хорошее приближение. Это было бы верно, если
бы поперечное сечение поглощения не зависело существенно от энер-
гии нейтрона. Если поглотитель подчиняется закону 1/® (см. гл. 2, § 11),
то поперечное сечение поглощения может быть выражено в виде
<3a(E) = al£ls, и среднее поперечное сечение равно
со
J* ca(E)n(E)v dE
О
со
J n(E)vdE
О
a J n(E)dE
О '________
J n(E}EVsdE
Как можно заметить, отношение интегралов является обратной вели-
чиной среднего значения Ё!з и поэтому равно l/f'2, откуда имеем
а
Е'!з
В случае поглотителя, подчиняющегося закону 1/®, приближенное
«среднее значение поперечного сечения поглощения для полиэнергети-
ческих нейтронов равно, таким образом, значению сечения при ско-
рости, соответствующей Для тепловых нейтронов, удовлетворяю-
щих уравнению Максвелла (3.2), находим
Следовательно, если поглотитель удовлетворяет закону 1/®, то
«среднее поперечное сечение поглощения для тепловых нейтронов, под-
чиняющихся распределению Максвелла, в точности равно попереч-
ному сечению при энергии, равной ИгТ/к. Если аа(А7) — поперечное
сечение поглощения для нейтронов энергии kT (см. § 5), то, как
легко видеть,
при условии выполнения закона 1/т».
Свойства рассеяния
59
СВОЙСТВА РАССЕЯНИЯ
§ 16. Поперечное сечение и длина свободного пути
Изложенные выше результаты (см. §11) являются общими и при-
менимы как к поглощению нейтронов, так и к рассеянию. При рас-
сеянии падающий нейтрон не исчезает, как при реакциях поглощения,
а только отдает часть или всю свою энергию. Поперечное сечение
рассеяния оя определяется выражением, аналогичным (3.5), где С—число
нейтронов, рассеянных Na ядрами из пучка I нейтронов на 1 см2.
Макроскопическое сечение рассеяния £в равно Мзя, где, как и ранее,
V есть число ядер в 1 см2 рассеивающего вещества.
Применяя выводы § 11 к рассеянию нейтронов, следует изменить
смысл величины которая теперь равна числу нейтронов, избежав-
ших рассеяния, а не числу нейтронов, которым удалось пройти через
вещество. Действительно, число нейтронов, которые пройдут пла-
стинку насквозь в направлении х, больше 1Х, так как много нейтро-
нов будет рассеяно в этом направлении. Однако если учитывать пра-
вильное истолкование величины 1ХУ то формулы (3.8) и (3.14) можно
применять и к рассеянию. Величина 1Х11§ есть доля нейтронов, кото-
рые избежали рассеяния, так что е в есть вероятность того, что
нейтрон проникнет в точку х, не будучи рассеянным, и ^adx—вероят-
ность того, что рассеяние произойдет в промежутке между х и x-j-dx.
Длина свободного пути рассеяния (или длина рассеяния) есть
вреднее расстояние, проходимое нейтроном до того, как с ним про-
изойдет рассеивающее столкновение. Эту величину можно получить
из (3.13) в виде
Х8 = 4-- (3.25)
2-18
Для нейтронов со скоростью v см) сек число столкновений с рас-
сеянием будет в среднем равно ®/Ая. Полное число нейтронов, рас-
сеянных в 1 см2 за 1 сек., равно nv/Xs, или nv^, где п — число
нейтронов в 1 см2. Отсюда следует, аналогично § 14, что число
нейтронов, рассеиваемых в 1 см2 за 1 сек., равно Е8Ф, где Ф — поток
нейтронов. Сечение рассеяния нейтронов зависит от энергии *) слабее,
чем сечение поглощения. Тем не менее, когда рассматривается пучок
полиэнергетических нейтронов, полное число актов рассеяния в 1 см2
за 1 сек. определяется выражением, аналогичным (3.22). Средние зна-
чения макроскопического поперечного сечения рассеяния и длины
свободного пути рассеяния даются формулами (3.23) и (3.24).
') Поперечное сечение потенциального рассеяния св для нейтронов (см.
гл. 2, § 14) должно, согласно теории, равняться 4л/?а, где R— „эффективный*
радиус рассеивающего ядра. — Прим. авт.
60
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
ИЗМЕРЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
§17. Метод пропускания
Наиболее прямым методом измерения поперечных сечений является
метод пропускания. Этот метод дает сумму поперечных сечений по-
глощения и рассеяния, т. е. так называемое полное поперечное сечение.
Экспериментальная установка состоит из источника нейтронов S и
детектора D, между которыми помещается пластинка исследуемого
вещества А (фиг. 8).
Фиг. 8. Определения поперечных сечений методом
пропускания.
С помощью подходящих коллимирующих экранов нейтронный
пучок, проходящий к детектору, заключается в сравнительно узкий
телесный угол.
Коллимирующие экраны должны, насколько это возможо, поме-
шать рассеянным в веществе нейтронам достичь детектора. Это ста-
нет понятным из рассмотрения пунктирных линий, показывающих
возможные пути рассеянных нейтронов. Если отверстие в экране
мало, то нейтроны вообще не будут рассеиваться в направлений
детектора, как показано лучом а. Однако если бы отверстие было
больше, то рассеянные нейтроны получили бы возможность достичь
детектора; это указывается лучом Ь1).
В описанной выше установке лишь те нейтроны, которые не рас-
сеялись и избежали поглощения, достигнут детектора D. Если/0—ин-
тенсивность нейтронов, измеренная в точке D в отсутствие пластинки
из исследуемого вещества; а 1Х — значение интенсивности, когда между
источником и детектором расположена пластинка толщиной х, то
подстановка результатов измерения этих величин в (3.8) позволит
*) Предполагается, что пластинка не очень толстая, так что нейтроны
рассеиваются в ней не более одного раза. В противном случае нейтроны,
такие как л, могли бы рассеяться в направлении детектора. Именно вслед-
ствие рассеяния нейтронов экспоненциальное уравнение (3.8) для ослабления
пучка не вполне точно. —Прим. авт.
Измерение поперечных сечений
61
вычислить полное (микроскопическое) поперечное сечение поглощения
и рассеяния. Наряду с этим с помощью (3.13) можно найти полное
макроскопическое сечение.
Поперечное сечение рассеяния можно определить, располагая ней-
тронный детектор так, чтобы на него падали только рассеянные ней-
троны. Это можно сделать, располагая детектор примерно под прямым
углом к падающему пучку. Тогда будут регистрироваться только те
нейтроны, которые рассеиваются в этом угле. Из полученных резуль-
татов можно подсчитать полное число нейтронов, рассеянных во все
углы слоем вещества данной толщины, что позволяет оценить попе-
речное сечение рассеяния. Разность между полным поперечным сече-
нием, полученным выше, и сечением рассеяния дает сечение поглоще-
ния для всех процессов1). Только что описанный метод измерения
поперечных сечений рассеяния требует наличия сильного нейтронного
источника, так как число рассеянных нейтронов невелико и лишь часть
рассеянных нейтронов попадает на детектор, расположенный под из-
бранным углом.
§ 18. Метод активации
Если реакция поглощения нейтронов ведет к образованию радио-
активного изотопа (см. § 7), количество которого может быть оце-
нено по его радиоактивности, то имеется возможность определить
поперечное сечение этой реакции. Соответствующий метод опреде-
ления сечения называется методом активации. Тонкая фольга иссле-
дуемого вещества облучается потоком нейтронов в течение известного
времени, затем исследуемый образец извлекается из нейтронного
потока и его активность измеряется. Если образец тонкий, то плот-
ность или поток нейтронов можно считать постоянными во всем
образце, и это упрощает исследование результатов.
Согласно (3.18), в данном процессе поглощается £ОФ нейтронов
в 1 см? за 1 сек., где — макроскопическое поперечное сечение
этого процесса и Ф — поток нейтронов. Если V — объем поглощаю-
щей фольги, то за 1 сек. поглощается У5ЯФ нейтронов. Так как
каждый акт поглощения нейтрона приводит к образованию радиоак-
тивного ядра, то выход образующегося активного изотопа равен У£аФ
ядер в 1 сек. Однако за время облучения часть радиоактивных ядер
успеет распасться. Если X—постоянная радиоактивного распада (см.
гл. 1, § 6), то прирост числа ядер активного изотопа в любой момент
времени определяется уравнением
4? = ^ЛФ-ХМ (3.26)
О Следует отметить, что для нейтронов большой энергии, для которых
поглощение одного порядка с рассеянием или меньше последнего, указанный
метод неприменим. Действительно, определение поглощения в этом методе
основано на определении разности двух почти равных чисел, содержащих
экспериментальную погрешность. — Прим. авт.
62 Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
где N— число радиоактивных ядер, имеющихся после облучения
фольги в течение Т сек. в нейтронном потоке Ф.
Если вспомнить, что Af= О при Т= 0, то решение линейного
дифференциального уравнения (3.26) представится в виде
— е-хт). (3.27)
Активность фольги Ау измеренная счетчиком, равна Л/Х. Эта величина
представляет собой скорость испускания заряженных частиц (или
фотонов). Таким образом,
А = У£ОФ (1 — (3.28)
Если облучение нейтронами продолжается некоторое время Т, пре-
вышающее 1/А, то е~1т становится малым по сравнению с единицей
и (3.28) переходит в
А» = 1%Ф. (3.29)
г
Величина, обозначенная Лт, называется активностью насыщения.
Для данного нейтронного потока и данной фольги Аоо прямо про-
порциональна поперечному сечению поглощения и равна максимальной
активности, которую фольга может приобрести в данном потоке ней-
тронов.
После удаления активированной фольги из нейтронного потока
она продолжает распадаться и в каждый последующий момент вре-
мени активность t равна
At = ^%Ф (1 - е-хг) е~п = У£ОФ (e"w - е^ (3.30)
Определяя активность фольги в счетчике после облучения ее
в нейтронном потоке в течение времени Т и последующей выдержки
до измерения в течение t, можно вычислить активность насыщения У£ОФ
из (3.30), если учесть также распад, происходящий в период измере-
ния. Если известны нейтронный поток, в котором выдерживалась
фольга, и объем фольги, то можно определить макроскопическое
поперечное сечение £о для процесса образования изотопа, активность
которого измеряется. Нейтронный поток может быть определен прямо
с помощью подходящего счетчика (см. § 25). Наоборот, только что
описанный метод может быть использован для измерения нейтронного
потока, если известно поперечное сечение поглощения применяемой
фольги. Далее, если известен нейтронный поток от данного источ-
ника, то он может быть использован для определения поперечного
сечения поглощения других веществ.
Следует указать, что поперечное сечение, полученное при помощи
метода активации, не только относится к определенному процессу,
но и к определенному изотопу вещества мишени. Например, если
серебро облучить медленными нейтронами, то образуется активный'
изотоп с периодом полураспада 2,3 мин. Этот изотоп представляет
Результаты измерений поперечного сечения
63
собой Ag108, который образовался в результате реакции (и, 7) на
медленных нейтронах с устойчивым изотопом Ag107. Таким образом,
если изучать активность в серебре с периодом полураспада 2,3 мин.,
то получим в результате поперечное сечение для реакции (п, 7) для
изотопа Ag107. Измерения, сделанные с помощью метода пропускания,
описанные в § 17, дают средние значения для обоих устойчивых
изотопов, с массовыми числами 107 и 109.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
§ 19. Изменение поперечного сечения в зависимости
от анергии нейтронов
Полное определение поперечного сечения для реакций с нейтро-
нами очень сложно не только потому, что значения поперечного сече-
ния меняются от изотопа к изотопу' одного и того же элемента и ме-
няются в зависимости от природы реакции, но также потому, что
величина поперечного сечения заметно зависит от скорости или энер-
гии падающих нейтронов. Хотя зависимость от энергии поперечного
сечения нейтронов определена во многих случаях, полученные данные
относятся к встречающимся в природе веществам, которые часто со-
держат два или более двух изотопов. В некоторых случаях, когда
один из изотопов имеет намного большее поперечное сечение погло-
щения, чем другие, удается показать, что именно данный изотоп обла-
дает этим сечением, и оценить его величину. Тот факт, что попереч-
ное сечение поглощения, вообще говоря, является полным для всех
возможных процессов, не существенен, потому что почти во всех
элементах, кроме элементов малого атомного веса с нейтронами, имею-
щими энергию меньше нескольких миллионов электрон-вольт, проис-
ходят только реакции (п, 7). Небольшое число исключений (см. § 8}
известно, поэтому соответствующая оценка может быть произведена.
Для изучения зависимости поперечного сечения от энергии ней-
тронов необходимо иметь источники моноэнергетических нейтронов.
Некоторые из них были описаны ранее, но они главным образом
относятся к источникам нейтронов с энергией по крайней мере в не-
сколько тысяч электрон-вольт. В области малых энергий нейтроны
определенной энергии могут быть получены из полиэнергетических
пучков при помощи приборов, называемых селекторами скоростей.
С помощью этих приборов могут изучаться нейтроны с любой ско-
ростью, в пределах от долей электрон-вольта до 1000 эв.
За исключением водорода, для которого в несвязанном состоянии
значение поперечного сечения рассеяния сравнительно велико и равно
20- 10-24 см\ т. е. 20 барнов1), поперечное сечение рассеяния почти
J) Для водорода в связанном состоянии, нацример в твердом парафине,
поперечное сечение рассеяния для нейтронов очень малых энергии возра-
стает до 80 барнов (см. § 24).— Прим. авт.
64
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
всех элементов для нейтронов малых энергий лежит в интервале от
1 до 10 барнов. С увеличением энергии поперечные сечения несколько
уменьшаются и для нейтронов высоких энергий (40—100 Мэв) при-
ближаются к геометрическому поперечному сечению л/?2, где R— ра-
диус ядра. Значение R дается с большой степенью точности, осо-
бенно для элементов с большими атомными номерами, выражением
1,5 А'^- 10-13 см, где А — массовое число (см. гл. 1,§ 9). Таким обра-
зом, например, для элемента с массовым числом 125 предельное зна-
чение поперечного сечения рассеяния равно приблизительно 2 барнам.
Для многих ядер, особенно для тех, у которых массовое число
больше 100, исследование зависимости поперечного сечения погло-
щения (или полного) от энергии обнаруживает существование трех
областей, в согласии с общими заключениями, полученными из фор-
мулы Брейта — Вигнера (см. гл. 2, § 10). Это прежде всего область
малых энергий, где поперечное сечение равномерно уменьшается с уве-
личением энергии нейтрона. Поперечное сечение поглощения оа в этой
области медленных нейтронов обратно пропорционально корню квад-
ратному из энергии нейтрона, как это указано в (2.13). Так как
энергия по природе является кинетической, то величина аа обратно
пропорциональна скорости нейтронов. Это — область 1/v, указанная
в гл. 2, § 11.
§ 20. Резонансная область
За областью 1/v для медленных нейтронов у рассматриваемых
элементов следующей является резонансная область (см. гл. 2, § 11).
Эта область характеризуется наличием резонансных пиков, т. е. по-
перечное сечение поглощения крайне резко повышается для опреде-
ленных значений энергии нейтронов, а затем опять убывает. Неко-
торые элементы, как, например, кадмий и родий, имеют только один
резонансный пик в области электрон-вольта, тогда как другие, такие
как индий, серебро^ иридий и золото, имеют два и даже большее
число пиков.
Поперечные сечения кадмия и индия как функции энергии ней-
тронов даны на фиг. 9. Кривые вычерчены в логарифмической шкале
по обеим координатам, и потому область l/v в левой части фигуры
представляется прямой линией. Резонансный пик для кадмия нахо-
дится при 0,18 эв, а поперечное сечение поглощения здесь равно
7200 барнов. Главный пик для индия наблюдается для нейтронов
с энергией 1,44 эв, и соответствующее поперечное сечение превы-
шает 20 000 барнов. У индия наблюдаются еще два резонансных
пика поменьше для несколько более высоких энергий—около 4 и
10 эв.
Так как резонансные пики находятся в областях с относительно
малой энергией нейтронов и наблюдаются у элементов с бдльшими
массовыми числами, то в резонансной области должны иметь место
реакции (л, j). Как указывалось ранее, для того чтобы в этих эле-
Результаты измерений поперечного сечения
65
ментах шли другие реакции, требуются нейтроны с энергией порядка
нескольких миллионов электрон-вольт. Поведение некоторых ядер
с малыми массовыми числами, испытывающих реакции (л, а) с мед-
ленными нейтронами, будет описано в § 22. Резонансные пики для
реакции (п, у) обычно резкие и узкие. Это находится в согласии
с выводами относительно резонансного поглощения, полученными из
формулы Брейта — Вигнера. Парциальная ширина уровня 1’т для излу-
чения '(-квантов, очевидно, мала, порядка 0,1 эв, и так как другие
реакции составного ядра маловероятны для медленных нейтронов, то
полная ширина уровня Г также будет мала. В гл. 2, § 11, было
Фиг. 9. Поперечные сечения кадмия и индия как
функции энергии нейтронов.
показано, что так называемая половинная ширина резонансного пика
должна быть равна полной ширине уровня. Таким образом, резонанс-
ные пики должны быть относительно узкими, какими они и показаны
на фиг. 9.
Другим моментом, который следует подчеркнуть, является боль-
шое значение поперечного сечения резонансного поглощения. Иногда
поперечные сечения достигают 10 000 барнов, т. е. 10-2° см2, в то
время как истинное („геометрическое") ядерное поперечное сечение
равно приблизительно 2 барнам, т. е. 2 • 10"24 см2. Так как попе-
речное сечение можно рассматривать как эффективную площадь ядра
для данной реакции (см. § 11), то очевидно, что эффективная пло-
щадь может быть намного больше истинной площади.
Объяснение этого результата дает квантовая механика. Согласно
(2.4), нейтрон с энергией в 1 эв имеет длину волны, равную
2,9 • 10-9 см. Следовательно, нейтрон может рассматриваться как
волна, которая может охватить много ядер, если выполнены необхо-
димые энергетические условия, а именно условия резонанса. Эффек-
66
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные оеакции
тивная площадь ядер для поглощения нейтронов может достигнуть
даже величины (10-9)2, т. е. 10-18 см?.
Те же общие заключения можно получить из уравнения Брейта —
Вигнера (2.9), подставляя Е, равное Ег', соответствующее значение
поперечного сечения, т. е. максимум резонансного пика, равен тогда
)2Г г.
(з.з1)
Длина волны равна 2,9 • 10-9 см для нейтронов с энергией в 1 эв,
и если принять ГОГЬ/Г2 равным примерно 0,1, то значение омакс
должно быть приблизительно равно 10-19 см?, т. е. около 10Б барнов1).
§ 21. Область быстрых нейтронов
За областью резонанса ядерное поперечное сечение уменьшается
постепенно с увеличением энергии нейтрона. Эта область может быть
названа областью быстрых нейтронов. Поперечное сечение в этой
области обычно мало. В большинстве случаев оно остается меньше
10 барнов и становится еще меньше для энергий порядка миллионов
электрон-вольт. Для нейтронов с энергией в 1 Мэв соответствующая
длина волны равна, согласно (2.4), 2,9 • 10~12 см и, следовательно,
поперечное сечение поглощения имеет тот же порядок величины, что
и поперечное сечение рассеяния.
§ 22. Большие ширины уровней
Зависимость поперечного сечения от энергии нейтрона, отличак>
щаяся от описанного выше типа зависимости, уже была рассмотрена
для нескольких ядер с малыми массовыми числами для реакции с вы-
летом заряженной частицы. Примером этой зависимости служат реак-
ции (п, а) с В10 и Li6, о которых упоминалось ранее. Зависимость
поперечного сечения от энергии нейтрона для реакции (п, а) в боре,
происходящей главным образом в изотопе В10, показана на фиг. 10.
В логарифмической шкале зависимость о от Е выражается в интер-
вале от 0,01 эв до 0,1 Мэв почти линейной функцией, хотя данные
на фиг. 10 доведены только до 1000 эв. Это означает, что закон
1/ti выполняется при энергиях, существенно превышающих энергии,
при которых этот закон наблюдается в реакциях (и, 7), и даже при
энергиях, превышающих резонансную.
Формула Брейта — Вигнера может объяснить также и этот резуль-
тат. Когда возбужденное составное ядро имеет достаточную энергию
1) Вследствие общепринятого обозначения символ X употребляется в этой
главе для обозначения длины свободного пути, постоянной радиоактивного
распада и длины волны нейтрона. Однако истинный смысл должен быть в
каждом случае понятен из текста. — Прим. авт.
Результаты измерений поперечного сечения
67
возбуждения для вылета заряженной частицы, то вероятность того,,
что этот процесс произойдет, велика. Иными словами, парциальная
ширина уровня Гя велика и поэтому должна быть велика и полная,
ширина Г. При этих условиях величиной (Е— Ег)2 в уравнении
Брейта — Вигнера можно пренебречь по сравнению с х/< Г2 в широком
интервале энергии. Поперечное сечение будет тогда меняться обратно
пропорционально корню квадратному из энергии нейтрона или обратно
Фиг. 10. Поперечное сечение’бора как функция энергии
нейтрона.
пропорционально скорости нейтрона, как это показано в гл. 2, § 11.
Таким образом, большая ширина уровня может объяснить тот факт,
что область 1/v для реакции (п, а) в боре (и литии) простирается
на столь широкий интервал энергии.
§ 23. Элементы с малыми массовыми числами
Важно указать, что не все элементы ведут себя описанным выше
образом. Большинство ядер с малыми массовыми числами, а также
некоторые ядра с большими массовыми числами не обладают резо-
нансным поглощением, по крайней мере в заметной степени. Полные
поперечные сечения, включающие как поглощение, так и рассеяние,
малы для этих элементов. Они порядка нескольких барнов во всем
интервале изменения энергии от тепловых значений до нескольких
миллионов электрон-вольт *). Если бы не этот факт, то создание
ядерных реакторов было бы фактически невозможно.
9 Наиболее важными исключениями являются, конечно, Li® и В9 10.—
Прим. авт.
68
Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
§ 24. Поперечные сечения тепловых нейтронов
В табл. 4 даны поперечные сечения поглощения и рассеяния
тепловых нейтронов некоторых веществ ввиду особого интереса, ко-
торый они представляют для проектирования и работы тепловых ядер-
ных реакторов1).
Таблица 4
ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Элемент или соединение Полное поперечнее сечение ст, барны Поперечное сечение поглощения сто, барны Попереч ное сечение рассеяния ст8, барны
н 20—80 0,32 20—80
d2o 15,3 0,00092. 15,3
Не 1,56 0,008 1,55
Be 6,9 0,009 6,9
В 722 718 3,8
С 4,8 0,0045 4,8
N 12,7 1,5 11,2
О 4,2 <0,0009 4,2
F 4,0 <0,01 4,0
Na 4,5 0,46 4,0
Al 1,6 0,22 1,35
S 1,6 0,47 1,1
Са 4,4 0,4 4,0
Fe 13,5 2,5 11,0
Ni 22 4,5 17,5
Zr 8,4 0,4 8,0
Cd 3500 3500 6,5
In 193 191 2,2
Pb 8,5 0,2 8,3
Bi 9 <0,01 9
Следует отметить, что поперечное сечение рассеяния водорода
лежит в пределах от 20 до 80 барнов', величина его зависит от того,
находится ли атом в свободном состоянии или связан в молекуле,
и, кроме того, от точного значения энергии теплового нейтрона.
В связанном состоянии, например в парафине, поперечное сечение
рассеяния в водороде для малых энергий быстро меняется с энер-
гией нейтрона. Это показано на экспериментальной кривой фиг. 11.
При энергиях нейтронов порядка 10 эв поперечное сечение рассеяния
!) Результаты взяты главным образом из циркуляра 499 Национального
бюро стандартов за 1950 г., а также из работ [1, 2]. — Прим. авт.
Результаты, измерений поперечного сечения
69
равно примерно 20 барнам. Это значение, вероятно, близко к зна-
чениям при тепловой энергии для свободных атомов водорода. Однако
наблюдаемые поперечные сечения растут до 80 барнов для очень
медленных нейтронов.
Для нейтронов малых энергий, когда Е мало по сравнению с ре-
зонансной энергией Ег, уравнение Брейта—Вигнера (2.16) для резо-
нансного рассеяния приводится к виду
При этом предполагается, что полная ширина уровня также мала по
сравнению с Ег. Длина волны нейтрона Л пропорциональна здесь
l/pti (см. примечание к гл. 2, § 10), где р— приведенная масса рас-
сеивающей системы, а v — скорость нейтрона.
Фиг. 11. Поперечное сечение водорода в парафине как
функция энергии нейтрона.
Можно показать [3, 4], что Гп пропорциональна уРи и, как сле-
дует из (3.32), для любых веществ поперечное сечение рассеяния
для нейтронов малых энергий должно быть пропорционально р2.
Если энергия падающего нейтрона больше энергии связи атома
водорода в молекуле, т. е. порядка 3 или 4 эв, то протон ведет
себя по существу так, как если бы он был свободен во время столк-
новения. Приведенная масса рассеивающей системы определяется сле-
дующим образом:
где Н представляет собой эффективную массу протона, а п — массу
нейтрона. Приведенная масса для рассеяния на водороде равна х/2 АЕМ.
70 Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
С другой стороны, если энергия нейтрона мала по сравнению с энер-
гией связи атома водорода в такой относительно большой молекуле,
как молекула парафина, то эффективная масса водорода велика и при-
веденная масса, данная в виде (3.33), приблизительно равна 1 АЕМ.
Так как поперечное сечение рассеяния для нейтронов малых энергий
пропорционально ц2, то для связанного водорода поперечное сечение
должно увеличиться в 4 раза с уменьшением энергии нейтрона, как
это и подтверждается экспериментально (см. фиг. 11). Согласно этому
объяснению, наименьшее значение, равное 20 барнам, т. е. для ней-
тронов с энергией около 10 эв, и представляет собой поперечное
сечение рассеяния для свободного атома водорода.
ОБНАРУЖЕНИЕ И СЧЕТ НЕЙТРОНОВ
§ 25. Вторичные ионизационные счетчики
Нейтроны вызывают очень слабую ионизацию при своем прохо-
ждении через газ, поэтому они не могут быть непосредственно обна-
ружены с помощью таких приборов, как счетчик Гейгера и камера
Вильсона. Действие этих приборов и других аналогичных устройств
зависит от наличия ионов, образованных попадающей в них частицей,
поэтому эти приборы не реагируют на нейтроны непосредственно.
Тем не менее, подобные приборы могут быть приспособлены для
регистрации и счета нейтронов путем использования некоторых
вторичных эффектов, вызываемых этими нейтральными частицами.
Наиболее обычным методом счета медленных нейтронов является
метод, основанный на применении реакции (и, а) на ядре В10, попе-
речное сечение которого велико. Как было отмечено в § 8, в этой
реакции образуются ядро Li7 и а-частица. Оба ядра имеют сравни-
тельно большую энергию и вызывают на своем пути заметную иони-
зацию. Этот процесс используется в счетчике, содержащем бор или
его соединения. Например, пропорциональный счетчик может содер-
жать смесь какого-либо газа с трехфтористым бором, либо стенки
счетчика могут быть покрыты тонким слоем элементарного бора или
его твердого соединения, такого как карбид бора. Так как реакция
(п, а) происходит на изотопе В10, то лучшие результаты получаются,
если соединения бора содержат больший процент этого изотопа, чем
естественная смесь.
Нейтрон, попадающий в трубку счетчика соответствующего назна-
чения, будет производить вторичную ионизацию, достаточную для
того, чтобы ее можно было без труда измерить. Если известна пло-
щадь, покрытая бором, то можно определить поток медленных ней-
тронов .
Другой тип детектора и счетчика нейтронов основан на приме-
нении реакции деления (см. § 9). Медленные нейтроны вызывают
Обнаружение и счет нейтронов
71
деление ядра U235, и образующиеся при этом ядерные осколки вызы-
вают значительную ионизацию. Таким образом, простая установка для
наблюдения медленных нейтронов состоит из ионизационной камеры,
один электрод которой покрыт окисью урана. Желательно, чтобы
уран был несколько обогащен изотопом U236. В этом случае каждый
нейтрон, попадающий в камеру и падающий на покрытый электрод,
может быть зарегистрирован.
При изучении быстрых нейтронов обычно используется ионизация
вдоль следа легкого ядра отдачи, например протона, возникающего
при соударении с нейтроном большой энергии. Для этой цели про-
порциональный счетчик может быть наполнен водородом. Лучше в ка-
честве наполнителя применять аргон или другой тяжелый инертный
газ, а на одном конце камеры поместить тонкий лист водородсодер-
жащего вещества, например парафина. Быстрые нейтроны, соударяясь
с парафином, выбивают протоны со сравнительно большой энергией;
последние ионизируют газ на своем пути через счетчик и могут быть
таким образом обнаружены. Существуют приборы этого типа для
определения энергии быстрых нейтронов и для их счета.
§ 26. Активационные детекторы
Как указывалось в § 18, метод активации может быть использо-
ван для определения нейтронного потока. Этот метод часто очень
удобен, потому что тонкая фольга, вызывающая малое изменение
плотности нейтронов, может быть помещена в область, недоступную
для счетчиков. Применение кадмия вместе с индием дает возможность
даже выделять нейтроны различных энергий. Рассмотрение фиг. 9
показывает, что индий, имеющий резонанс при энергии 1,44 эв, обла-
дает большим поперечным сечением поглощения, равным 100 барнам
и более для нейтронов с энергией меньше 2 эв. С другой стороны,
кадмий имеет резонансный пик при 0,18 эв и обладает большим по-
перечным сечением для нейтронов с энергией меньше 0,5 эв. При
облучении индия нейтронами он становится радиоактивным, кадмий
же при этом не активируется.
Указанные выше факты используются следующим образом. Прежде
всего индиевая фольга облучается нейтронами в течение известного
промежутка времени, причем активность измеряется обычным спо-
собом. Затем при помощи результатов измерения вычисляется актив-
ность насыщения (см. § 18). Из известного среднего поперечного
сечения поглощения может быть оценен поток нейтронов с энергией
меньше 2 эв. Затем индиевая фольга полностью окружается кадмие-
вой фольгой и опять облучается нейтронами. Вследствие сильного
поглощения кадмием нейтронов с энергией ниже 0,5 эв до индиевой
фольги в основном дойдут только те нейтроны, которые обладают
энергией больше 0,5 эв. Следовательно, индиевая фольга будет теперь
72 Гл. 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции
чувствительна к нейтронам с энергией, лежащей приблизительно
в интервале от 0,5 до 2 эв. Поток этих нейтронов может быть опре-
делен с помощью измерения активности насыщения фольги. Разность
между результатами, полученными без кадмиевой оболочки и с ней,
дает поток нейтронов с энергией меньше 0,5 эв.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adair R. К., Rev. Mod. Phys., 22, 249 (1950) (см. перевод: „Нейтронные
эффективные сечения", Сборник статей, ИЛ, 1951).
2. Pomerance Н., Phys. Rev., 83, 641 (1951).
3. Bet he H. A., Rev. Mod. Phys., 9, 69 (1937) (см. перевод: Бете Г., Фи-
зика ядра, М. — Л., 1948).
4. Becker ley J. G., Neutron Physics, AECD-2664.
Глава 4
ПРОЦЕСС ДЕЛЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕАКЦИИ ДЕЛЕНИЯ
§ 1. Введение
Хотя многие ядерные реакции были известны еще до 1939 г.»
все они относились к тому типу реакций, когда испускаются относи-
тельно легкие частицы, или у-кванты, так что атомный номер и мас-
совое число ядра-продукта мало отличается от атомного номера и
массового числа ядра-мишени. Однако в 1939 г. был открыт процесс
деления [1—3], упомянутый в гл. .2, § 6, и гл. 3, § 9, при котором
ядро урана после захвата нейтрона расщепляется на две части, совер-
шенно отличные от исходного элемента. Значение реакции деления
с точки зрения использования атомной энергии основано на двух
фактах. Во-первых, этот процесс сопровождается выделением сравни-
тельно большой энергии, и, во-вторых, реакция, вызванная нейтронами,
в свою очередь сопровождается вылетом нейтронов. Следовательно,
при подходящих условиях, о которых будет рассказано в этой книге,
процесс можно сделать самоподдерживающимся и энергия будет гене-
рироваться непрерывно.
Теоретическое объяснение процесса деления и его применение
в ядерных реакторах будут рассмотрены позднее. Сначала будут
описаны существенные стороны этого явления. Изотоп U236, содер-
жащийся в естественном уране в количестве 0,712%, подвергается
делению как на тепловых нейтронах, так и на нейтронах более
высоких энергий. То же самое имеет место для искусственно полу-
ченных изотопов Ри23а и U233 (см. гл. 3, § 9). С другой стороны,
U288 и Th232, представляющие собой наиболее распространенные в при-
роде изотопы этих элементов, требуют быстрых нейтронов с энергией
по меньшей мере в 1 Мэв, чтобы их деление было заметным.
Интересно отметить, что естественный уран, повидимому, испы-
тывает спонтанное деление с определенной скоростью. Так, в 1 г
обычного урана в течение 1 часа спонтанное деление в среднем испы-
тывают около 23 ядер1).
Кроме урана и тория, прочие элементы с большими и даже сред-
ними атомными номерами могут испытывать деление, но только при
бомбардировке их падающими частицами весьма высокой энергии.
!) Процесс, представляющий собой спонтанное деление урана, повиди-
мому, может происходить по крайней мере частично вследствие взаимодей-
ствия с нейтронами космического излучения и с нейтронами от других источ-
ников.— Прим. авт.
74
Гл. 4. Процесс деления
Хотя процессы деления такого рода и представляют значительный
теоретический интерес, они, повидимому, не имеют каких-либо при-
ложений к проблеме ядерной энергии, поскольку частицы большой
энергии, вызывающие деление, не получаются в результате реакции
и, следовательно, процесс не может быть самоподдерживающимся.
§ 2. Испускание нейтронов
Когда ядро с большим атомным номером испытывает деление,
распадаясь при этом на две более или менее равные части, назы-
ваемые осколками деления, то отношение числа нейтронов к числу
протонов для этих осколков лежит вблизи пунктирной линии на фиг. 1.
Эта прямая линия соединяет начало координат с точками, изобра-
жающими ядра с большим атомным номером, такие как те, которые
способны подвергаться делению. Так как ядра осколков деления
сравнимы между собой по величине, то отношение числа нейтронов
к числу протонов в них должно лежать где-то вблизи середины
пунктирной линии. Очевидно, ядра этого типа содержат слишком
много нейтронов, чтобы быть устойчивыми, тем не менее они могут
стать устойчивыми, испуская один или более нейтрон или путем
превращения нейтрона в протон с одновременным испусканием отри-
цательной {3-частицы.
В соответствии с предыдущими соображениями возможность испу-
скания нейтронов в процессе деления урана была вскоре ясно понята и
подтверждена экспериментально. Было найдено, что при делении U036
медленными нейтронами каждое ядро, испытывающее деление, испу-
скает в среднем 2,5 ±0,1 нейтрона. Таким образом, на каждый
поглощенный нейтрон в реакции деления испускается 2,5 ±0,1 ней-
трона. Число вылетающих нейтронов не является целым, потому что,
как будет видно ниже, ядро урана расщепляется многими различными
способами, и, хотя число испущенных нейтронов в каждом индиви-
дуальном акте деления должно, очевидно, быть либо нулем, либо
целым числом, усреднение может и не дать в точности целого числа.
Нейтроны, вылетевшие из ядра в результате процесса деления,
могут быть разделены на две группы: мгновенные нейтроны и
запаздывающие нейтроны.
Мгновенные нейтроны, составляющие более 99°/0 общего числа
нейтронов, полученных при делении, вылетают в чрезвычайно корот-
кий промежуток времени — порядка 10~14 сек. после деления.
Есть основание полагать, что они не испускаются непосредственно
из составного ядра, которое образуется, например, при захвате медлен-
ного нейтрона ядром U236. Повидимому, составное ядро вначале рас-
чадается на два ядерных осколка, каждый из которых имеет чрез-
иерно много нейтронов, чтобы быть устойчивым. Эти осколки имеют
также избыток энергии (энергию возбуждения) по меньшей мере
торядка 6 Мэв, которая необходима для выброса нейтрона. Поэтому
Основные свойства реакции деления
75
возбужденное неустойчивое ядро испускает один или большее число
нейтронов в течение очень короткого промежутка времени после
своего образования. Мгновенные у-кванты, сопровождающие деление,
излучаются, повидимому, в этот же промежуток времени.
Значения энергии мгновенных нейтронов лежат в широком интер-
вале, от энергий, превышающих 10 Мэв, до тепловой энергии.
Однако большинство мгновенных нейтронов обладает энергией, лежа-
щей в интервале 1—2 Мэв. На фиг. 12 схематически представлено
Фиг. 12. Спектр нейтронов деления.
распределение нейтронов деления по энергии, которое называется
спектром нейтронов деления или, короче, спектром деления.
В пределах интервала энергии от 0,1 до 10 Мэв, который прак-
тически включает все нейтроны деления, спектр деления определяется
с достаточной точностью формулой
s (£) = 0,484е~г sh /2£,
где s(E)— число нейтронов деления в единичном интервале энергии,
оо
Площадь кривой J s(E)dE равна единице, т. е. s(E) нормировано
о
на один нейтрон; Е — энергия нейтронов .в Мэв. В системе центра
инерции осколка деления и мгновенных нейтронов спектр деления
может, повидимому, быть апроксимирован распределением Мацсвелла—
Больтцмана (см. гл. 3, § 5), тогда как в лабораторной системе это
распределение нарушается вследствие движения осколков деления и
вследствие того, что вероятность испускания нейтронов является
функцией их энергии.
Вылет мгновенных нейтронов прекращается через весьма короткий,
промежуток времени, тогда как запаздывающие нейтроны испускаются
76
Гл. 4. Процесс деления
в течение нескольких минут с постепенно убывающей интенсивностью.
Запаздывающие нейтроны, сопровождающие деление, распадаются на
пять, а возможно, и большее число групп. Убывание интенсивности
нейтронов в каждой группе по своей природе экспоненциально, так
как испускание запаздывающих нейтронов относится, вообще говоря,
к радиоактивным превращениям. Наблюдая ход ослабления интен-
сивности запаздывающих нейтронов после прекращения деления, уда-
лось приписать каждой группе определенный период полураспада.
Основные свойства каждой из пяти достоверно установленных групп
запаздывающих нейтронов даны в табл. 5 [4].
Эта таблица содержит период полураспада Т(, время жизни tit
т. е. TJ 0,693, постоянную распада — 1 t, и — долю, которую
составляет данная группа от общего числа (мгновенных и запазды-
вающих) нейтронов деления. Кроме того, в таблице приведена энер-
гия каждой группы нейтронов. Последние два столбца относятся
только к делению U236 на медленных нейтронах. Доля всех запазды-
вающих нейтронов в общем числе нейтронов, испускаемых при деле-
нии, равна примерно 0,0075. Те же пять групп запаздывающих ней-
тронов образуются при делении Ри239, но выход и энергия отдельных
групп отличаются от цифр, приведенных в табл. 5.
Таблица 5
СВОЙСТВА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНОВ, ИСПУСКАЕМЫХ
ПРИ ДЕЛЕНИИ U"® НА МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНАХ
Период полураспада сек. Время жизни t}, сек. Постоянная распада сек-'1 Доля Энергия, Мэв
0,43 0,62 1,61 0,00084 0,42
1,52 2,19 0,456 0,0024 0,62
4,51 6,50 0,151 0,0021 0,43
22,0 31,7 0,0315 0,0017 0,56
55,6 80,2 0,0124 0,00026 0,25
Свойства запаздывающих нейтронов имеют важное значение для
временного поведения ядерных реакторов, и поэтому интересно объ-
яснить их происхождение. При помощи быстрого химического разде-
ления осколков деления и продуктов их радиоактивного распада уда-
лось найти, что нейтроны, обладающие периодом полураспада 55,6 сек.,
следуют за бромом, а нейтроны с периодом полураспада 22,5 сек.
следуют за иодом. Вряд ли нейтроны вылетают непосредственно из
ядер изотопов брома или иода, так как если бы эти изотопы были
возбуждены до энергии порядка 6—8 Мэв, достаточной для удале-
ния нейтронов, то процесс должен был бы быть мгновенным с пери-
одом полураспада порядка 10-и сек. Следовательно, можно сделать
Основные свойства реакции деления
77
вывод, что вылет запаздывающих нейтронов происходит не прямо из
изотопов брома и иода.
Одним из продуктов деления является изотоп брома с большим
массовым числом, повидимому, Вг87. Ядро Вг87 содержит слишком
много нейтронов, чтобы быть устойчивым, и поэтому является излу-
чателем отрицательных р-частиц. Период полураспада Вт87 равен
55,6 сек. и совпадает с периолом полураспада одной из групп запаз-
дывающих нейтронов. Продуктом его распада является Кг87. Послед-
ний, очевидно, может образовываться в сильно возбужденном состо-
янии. Энергия возбуждения этого состояния оказывается достаточной
для выброса нейтрона, после чего остается устойчивое ядро Кг8й
(фиг. 13). Весь избыток энергии, имеющейся после удаления нейтрона,
проявляется в виде кинетической энергии последнего (см. последний
столбец табл. 5). Таким образом, наблюдаемая скорость вылета ней-
тронов определяется скоростью образования нейтронного излучателя
Кг87, а последняя зависит от распада его предшественника Вг87.
Подобно всем радиоактивным изотопам Вг87 распадается по экспо-
ненциальному закону с периодом полураспада 55,6 сек., и поэтому
вылет нейтронов убывает с тем же периодом полураспада.
Предшественником группы запаздывающих нейтронов с периодом
полураспада 22,5 сек., повидимому, является J137. Как известно, J137
имеет период полураспада 22,5 сек. и при его распаде (он испускает
отрицательные {3-частицы) образуется Хе137. Последний, вероятно,
78
Гл. 4. Процесс деления
может находиться в состоянии с большой энергией возбуждения, так
что он немедленно испускает нейтрон и образует устойчивый изо-
топ Хе186. В этом случае испускание нейтронов также задерживается,
потому что скорость образования Хе187, из которого вылетают ней-
троны, зависит от скорости распада его предшественника J187. Осталь-
ные три группы запаздывающих нейтронов, несомненно, образуются
аналогичным образом, хотя в этих случаях ядра предшественников
не определены достоверно.
§ 3. Продукты деления
Открытие процесса деления произошло в результате обнаружения
элементов среднего атомного веса, таких как барий и лантан, которые
получались при взаимодействии медленных нейтронов с ураном. Так
как лантан имеет атомный номер 57, тоЦда как атомный номер урана 92,
то другой осколок деления ’), повидимому, должен представлять собой
бром с атомным номером 35. Процесс деления в этом случае может
быть представлен уравнением
^U*88 -J- oni n;La147 -J- 86Вг87 + 2оп«,
где приняты г аиболее вероятные массовые числа и предполагается,
что при делении вылетают два нейтрона. Следует указать, что оба
осколка значительно легче ядра урана и имеют массовые числа, за-
метно отличающиеся друг от друга. Несимметричность деления ядра
урана была впервые доказана тем, что осколки деления, наблюдав-
шиеся при этом процессе, распадались на две группы с различной
ионизаиионной способностью и, повидимому, с различной энергией.
Отношение кинетических энергий оказалось равным 1,45, и поэтому
при сохранении импульса (количества движения) отношение масс
соответствующих осколков должно равняться 1/1,45.
Более подробное исследование реакции деления на медленных
нейтронах показывает, что имеется более 30 различных способов,
расщепления U286. Это было доказано при помощи обнаружения более
60 первичных продуктов деления. Массовые числа продуктов деле-
ния лежат в интервале от 72 (повидимому, изотоп цинка, атомный
номер 30) до 158 (возможно, изотоп самария, атомный номер 62).
На фиг. 14 нанесены выходы продуктов деления как функции
соответствующих массовых чисел. Выход определяется как отноше-
ние (процент) числа делений, дающих осколок с данным массовым
х) Термин „осколки деления” или „первичные продукты деления' приме-
няется здесь для указания, что эти ядра образуются непосредственно при •
делении или после испускания мгновенных нейтронов. Выражение „продукты
деления* без добавочного разъяснения подразумевает, что рассматриваются
как осколки деления, так и продукты их радиоактивного распада. — Прим. авт.
Основные свойства реакции деления
79
числом, к полному числу делений ’). Так как наблюдаемые выходы
меняются от 10~б до 6%, то на фиг. 14 они отложены в логариф-
мическом масштабе.
Следует отметить, что поскольку при каждом акте деления полу-
чаются два ядра, полный выход на одно деление для всех массовых
Фиг. 14. Выход"!продуктов деления с различными
массовыми числами.
чисел составляет 200%. Рассматриваются массовые числа, а не атом-
ные номера по той причине, что все осколки деления, повидимому,
радиоактивны, причем они распадаются, испуская отрицательные
(3-частицы. Следовательно, атомные номера меняются со временем,
между тем как массовые числа остаются неизменными при (3-распаде.
’) Кривые, подобные кривой *фиг. 14, но с"несколько смещенными’макси-
мумом и минимумом, ^были получены для деления на медленных нейтронах
Рп23» и U283. — Прим. авт.
80
Гл. 4. Процесс деления
Изучение фиг. 14 показывает, что в согласии с выводами из
энергии осколков деления массы всех продуктов деления распадаются
на две обширные группы: „легкая" группа с массовыми числами от
80 до ПО и „тяжелая" группа с массовыми числами от 125 до 155.
Некоторое количество осколков попадает и в промежуточную область
от ПО до 125, но их суммарный выход составляет не более 1% всех
делений. Наиболее вероятный случай деле.тия, составляющий 6,4°/0
всех делений, дают продукты с массовыми числами 95 и 139. Из
этих результатов, очевидно, следует, что деление U2 6 на тепловых
нейтронах далеко не симметрично. Если составное ядро разделится
на два равных осколка, то масса каждого из них должна быть равна
117 или 118. Только 0,01% ядер, испытывающих деление, расщеп-
ляется таким образом.
Одной из важнейших особенностей продуктов деления является
их радиоактивность. Когда ядро расщепляется на два ядра, довольно
близкие по массе, то образующиеся осколки имеют, согласно § 2,
слишком большое отношение числа нейтронов к числу протонов,
чтобы быть устойчивыми. Даже после испускания мгновенных ней-
тронов отношение числа нейтронов к числу протонов во многих слу-
чаях остается вне области устойчивости для данного массового числа.
Следовательно, все или почти все осколки деления радиоактивны и
испускают отрицательные ^-частицы. Непосредственные продукты
распада осколков часто также радиоактивны, и, хотя цепочка распада
иногда бывает более длинной, а иногда более короткой, каждый
осколок в среднем испытывает три стадии распада, прежде чем
образуется устойчивый изотоп.
Важной цепочкой распада вследствие ее высокого выхода (6,3%),
а также потому, что она содержит барий и лантан, которые привели
к открытию деления урана, является следующая цепочка:
MXei40 56Csuo сек-.» б(,Ва14о I??.
-----—» 57La140 —-ц час'-» ggCe140 (устойчив).
Так как при делении получается, вероятно, около 60 различных
радиоактивных ядер и каждое из них в среднем является предше-
ственником двух других, то через короткий промежуток времени
после деления образуется примерно 180 радиоактивных изотопов.
Хотя скорость распада этой сложной смеси теоретически можно
выразить через выходы продуктов деления и постоянные радиоактив-
ного распада, но это оказывается чрезвычайно громоздко. Поэтому
скорость распада продуктов деления представляется эмпирической
формулой, результаты которой справедливы, вероятно, с точностью
до коэффициента 2 [5]. Примерно через 10 сек. после того, как
произошло деление, эта формула раздельно для {3-частиц и 7-квантов
Основные свойства реакции деления
81
(4.1)
записывается в следующем виде:
Выход (-квантов яй 1,9 • 10-6/-1'2 °/0 в 1 сек.,
Выход р-частиц ^3,8 • 10-6t~1,2 °/0 в 1 сек.
Здесь выход относится к одному делению, а время t после деле-
ния выражается в днях. Принимая, что средняя энергия "(-квантов
равна 0,7 Мэв, а средняя энергия р-частиц равна 0,4 Мэв, полу-
чим, что полный выход энергии |Э- и "(-излучения примерно равен
2,7 • 10-е Z-1’2 Мэв в 1 сек. на одно деление, причем каждый из видов
излучения дает приблизительно одинаковый вклад. Из практических
соображений этот результат удобно выражать в ваттах на грамм
разделившегося U236. Таким образом, находим
Скорость выделения энергии р- и
7-излучения — 1,1 • 103 1,2 вт/г, (4.2)
где t—время в днях после деления.
Далее будет показано, что примерно 5°,0 всей энергии, получаю-
щейся при делении U286, вначале существует в скрытой форме как
энергия р- и (-лучей продуктов деления. Скорость, с которой выде-
ляется эта энергия, имеет, очевидно, важное значение при непрерыв-
ной работе ядерного реактора, и особенно после его выключения.
§ 4. Энергия деления
Процесс деления замечателен по величине выделяющейся энергии;
она составляет около 200 Мэв на каждое ядро, участвующее в реак-
ции деления, в то время как максимальное значение энергии, выде-
ляющейся при других ядерных реакциях, приблизительно равно
20 Мэвх).
Величина энергии деления может быть вычислена различными
способами. В наиболее непосредственном методе используются массы
участвующих в реакции изотопов и получающихся осколков.
Изотопический вес И236 равен 235,124 АЕМ, а масса нейтрона
в тех же единицах равна 1,00897. Таким образом, суммируя, получим
236,133 АЕМ — полную массу взаимодействующих частиц. Как ука-
зано в § 3, продукты деления, обладающие наибольшим выходом,
имеют массовые числа 95 и 139, что дает в сумме 234, поэтому
можно предположить, что в этом случае в процессе деления выле-
тают два нейтрона. Изучение масс устойчивых изотопов показывает,
что веса изотопов, соответствующих массовым числам 95 и 139,
равны 94,945 и 138,955.
1) Энергия, выделяющаяся на каждый реагирующий атом (молекулу)
в химических реакциях, составляет не более нескольких электрон-вольт.—
Прим. авт.
82
Гл. 4. Процесс деления
Массы осколков вместе с массой двух нейтронов деления, равной
2 • 1,00897, составляют полную массу всех продуктов деления ядра,
равную 235,918. Разность между массой взаимодействующих частиц и
этой массой превращается в процессе деления в энергию. Таким образом,
Масса, эквивалентная
выделяющейся энергии = 236,133— 235,918 = 0,215 АЕМ,
Из равенства (1.9) мы видели, что 1 АЕМ эквивалентна 931 Мэв
и, следовательно,
Энергия, освобождающаяся при делении = 931 • 0,215 = 198 Мэв,
Проведенное выше вычисление энергии относилось к определен-
ному случаю деления, и истинная энергия должна равняться среднему
взвешенному по 30 или большему числу различных способов расщеп-
ления ядра U286. Однако, как уже отмечалось, большинство актов
деления приводит к продуктам, имеющим массовые числа в довольно
ограниченном интервале, и для всех их масса и, следовательно, вы-
деляющаяся энергия приблизительно одна и та же. Поэтому можно
принять, что каждое ядро U286, испытывающее деление, освобождает
энергию в 195—200 Мэв.
Причина, обусловливающая большую величину энергии деления,
становится очевидной из изучения фиг. 2, которая показывает, что
кривая энергии связи имеет широкий максимум. В области массовых
чисел примерно от 80 до 150, в которой находится большинство
продуктов деления, энергия связи на нуклон в среднем равна 8,4 Мэв.
Для более высоких массовых чисел это значение уменьшается и
падает для урана до 7,5 Мэв на нуклон. Это означает, что в про-
дуктах, образующихся при делении, энергия связи на нуклон примерно
на 0,9 Мэв больше, чем в исходном ядре урана. Так как ядро урана
содержит 230 нуклонов, то полная разность энергий связи прибли-
зительно равна 200 Мэв и энергия, освобождающаяся в процессе
деления, совпадает с этой величиной.
Таким образом, большая энергия деления может быть приписана
тому факту, что в продуктах деления нуклоны более сильно связаны,
чем они были связаны в ядре, испытывающем деление. Иными сло-
вами, при синтезе ядер продуктов деления из составляющих их про-
тонов и нейтронов освободится больше энергии, чем выделилось бы
в случае синтеза ядра урана. Следовательно, если ядро урана рас-
падается на две части с массовыми числами от 80 до 150, то проис-
ходит выделение энергии. Из равенства (1.10) можно заметить, что
меньшей изотопической массе М будет соответствовать большая
энергия связи. Это отражается в том факте, что полная масса ядра
урана и нейтрона больше полной массы продуктов деления, как было
указано в начале этого параграфа.
Таким образом, разность масс и разность энергий связи экви-
валентны. Обе эти величины в действительности определяются одним
Основные свойства реакции деления
83
и тем же основным фактором — силами, действующими между нукло-
нами в разных ядрах.
Рассмотрение различных членов в формуле для энергии ядра,
согласно табл. 2, показывает, что уменьшение энергии связи на
нуклон в элементах большого атомного номера, определяющее боль-
шую величину энергии деления, обусловлено главным образом замет-
ным увеличением электростатического отталкивания протонов. Это,
в конечном счете, является также причиной наблюденного факта, что
деление элементов с самыми большими атомными номерами происхо-
дит наиболее легко, что станет очевидным из последующего обсу-
ждения.
Ниже энергия деления будет выражена в единицах, практически
более удобных, а сейчас следует обсудить результаты эксперимен-
тальных методов ее определения.
Энергия деления, вычисленная из величины ионизации, произве-
денной осколками деления, равна 162 Мэв. С другой стороны, не-
посредственное калориметрическое измерение энергии, выделяющейся
в виде теплоты, дает величину 175 Мэв. Причина явного расхо-
ждения между этими цифрами и отличия их от вычисленной энергии,
равной 195 Мэв, заключается в том, что ионизационные измерения
дают только кинетическую энергию осколков деления, в то время
как выделяющаяся тепловая энергия включает также некоторые дру-
гие формы энергии, сопровождающие процесс деления [6, 7].
Согласно последним вычислениям, величина всей энергии, выде-
ляемой осколками деления при их полном распаде, примерно равна
21 Мэв. Около 5 Мэв составляет энергия [3-частиц, 5 Мэв прихо-
дится на долю энергии 7-излучения, а остаток уносится нейтрино,
которое сопровождает [3-излучение (см. гл. 1, § 5). Кроме того,
около 6 Мэв энергии деления уносится вылетевшими нейтронами,
а 6 Мэв проявляется в форме так называемого мгновенного '(-излу-
чения, выделяющегося в течение чрезвычайно короткого периода
времени (см. § 2). Полный баланс энергии, показывающий приблизи-
тельное распределение энергии одного деления, приведен ниже.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЕЛЕНИЯ
Кинетическая энергия осколков деления .... 162 Мэв
Энергия р-распада................................ 5 ,
Энергия 7-распада................................ 5 ,
Энергия, уносимая нейтрино..................... 11 „
Энергия нейтронов деления ....................... 6 ,
Энергия мгновенного 7-излучения.................. 6 „
Полная энергия деления. . . 195 Мэв
Кинетическая энергия осколков деления мгновенно превращается
в теплоту, а энергия мгновенных 7-лучей рассеивается в очень короткий
84
Гл. 4. Процесс деления
промежуток времени. С другой стороны, энергия [3-частиц и
(-квантов продуктов деления выделяется постепенно, по мере их
радиоактивного распада. Следовательно, в начале работы ядерного
реактора выделяется только около 174 Мэв энергии на одно деле-
ние, но эта энергия постепенно растет, а когда распад продуктов
деления происходит с той же скоростью, как и их образование, она
достигает максимального значения 184 Мэв, т. е. 195 Мэв минус
энергия, унесенная нейтрино.
Воспользовавшись преобразованием единиц
1 Мэв = 1,60 • 10-6 эрг = 1,60 • 1013 вт сек,
Можно увидеть, что деление одного ядра U236 сопровождается осво-
бождением энергии около 3,2 • 10-11 вт • сек. Иными словами, для
выделения энергии в 1 вт - сек, необходимо, чтобы произошло
3,1 • 1О10 делений, так что скорость реакции, равная 3,1 • 1010 де-
лений/сек., соответствует мощности в 1 вт. Так как 1 г урана
состоит из 6,02 • 1023/235 = 2,6 • 1021 атомов, то энергия, выде-
ляющаяся при его полном сгорании, составляет 8,3 • 1О10 вт • сек,
или 2,3 • 104 квт-ч, или около 1 мгвт-суток. Таким образом, де-
ление всех атомов в 1 г изотопа U236 в течение суток дает мощ-
ность, равную 1 мгвт. Аналогичные значения получаются при де-
лении U2SS и Рп239.
§ 5. Механизм деления ядер
Всякий раз, когда масса ядра превосходит массу осколков, на
которые оно может разделиться, исходное ядро становится неустой-
чивым по отношению к делению, так как процесс деления сопро-
вождается потерей в массе и соответствующим освобождением энергии.
Это условие, несомненно, выполняется для всех элементов с массо-
выми числами, превосходящими 100, и, следовательно, для этих
элементов теоретически возможно спонтанное деление. Причина,
вследствие которой этого деления не наблюдается, состоит в том,
что ядро, чтобы разделиться, должно предварительно приобрести
определенную критическую энергию, или энергию активации.
Для веществ с массовыми числами ниже 210 эта энергия столь
велика, что деление может произойти только при бомбардировке
нейтронами или другими частицами, имеющими энергию, превышаю-
щую 50 Мэв. Некоторое представление о проблеме критической
энергии может быть получено из рассмотрения капельной модели
атомного ядра, о которой упоминалось в гл. 1.
Рассмотрим каплю жидкости, которая приложенной силой приве-
дена в состояние колебания. Система в этом случае проходит ряд
фаз; некоторые из них приведены на фиг. 15.
Вначале капля имеет сферическую форму А, затем она удлиняется
'и превращается в эллипсоид В. Если энергии недостаточно, чтобы
Основные свойства реакции деления
85
преодолеть силу поверхностного натяжения, то капля возвратится
к своей первоначальной форме, ко если деформирующая сила достаточно
велика, то жидкость приобретет очертания, подобные гантели С.
Если капля достигла этой стадии, то вряд ли она вернется к сфе-
рической форме, скорее она расщепится на две капельки, сперва
немного деформированные D, а затем приобретающие сферическую
форму Е.
ABC D Е
Фиг. 15. Иллюстрация деления с помощью модели жидкой капли.
Положение при делении ядра представляется аналогичным только
что рассмотренному. Ядро-мишень, поглощая нейтрон, образует состав-
ное ядро. Энергия возбуждения составного ядра равна энергии связи
нейтрона плюс та кинетическая энергия, которую имел нейтрон до своего
захвата (см. гл. 2, § 5). Можно сказать, что вследствие этого из->
бытка энергии составное ядро претерпевает ряд колебаний, во время
которых оно проходит и через фазы, подобные состоянию В на
фиг. 15.
Если энергии недостаточно, чтобы вызвать те стадии деформации,
которые следуют за состоянием В, то ядерные силы заставят ядро
возвратиться к своей первоначальной сферической форме, а избыток
энергии будет удален путем выброса частицы из возбужденного
составного ядра.
Однако если ядро в результате поглощения нейтрона обладает
энергией, достаточной, чтобы принять форму гантели (С на фиг. 15),
то становится маловероятным, что восстановится его начальная форма А.
Это происходит потому, что электростатическое отталкивание между
положительными зарядами на двух котах (С на фиг. 15) может
теперь преодолеть относительно малую часть силы ядерной связи,
действующей в области перемычки.
Следовательно, из состояния С система быстро переходит в со-
стояние D, а затем в состояние Е, представляющее деление на два
отдельных ядра, разлетающихся в противоположных направлениях.
Критическая энергия, или энергия активации, необходимая для того,
чтобы произошло деление, таким образом, есть энергия, которую
следует прибавить к исходному ядру, чтобы деформировать его до
состояния С. После этого неизбежно произойдет деление, если только
удовлетворяются требования к массам, указанные в начале настоящего
параграфа.
Критическая энергия деления может быть рассмотрена также
с помощью кривой потенциальной энергии, показанной на фиг. 16.
86
Гл. 4. Пооцесс деления
В крайней правой точке Е два осколка деления предполагаются
столь отдаленными друг от друга, что потенциальная энергия факти-
чески равна нулю. При сближении осколков наблюдается увеличение
потенциальной энергии, вызванное электростатическим отталкиванием
положительно заряженных ядер. Когда осколки достигают точки С, где
они, грубо говоря, соприкасаются, силы притяжения становятся преоб-
ладающими и потенциальная энергия уменьшается вплоть до точки А.
Точка А может рассматриваться как соответствующая основному со-
стоянию составного ядра, образующегося при захвате нейтрона ядром-
мишенью (см. гл. 2, § 5), или, что то же самое, значение в точке А
представляет собой энер-
Ф иг. 16. Потенциальная энергия как функция
расстояния между осколками деления.
гию составного ядра-за
вычетом энергии возбуж-
дения, возникающей в
результате захвата ней-
трона. (Буквы А, С и Е
на фиг. 16 соответствуют
состояниям жидкой капли
на фиг. 15.) Чтобы деле-
ние произошло с доста-
точной скоростью, систе-
ма должна перейти из
состояния А в состоя-
ние Е. Вообще говоря,
это может произойти
лишь тогда, когда со-
ставное ядро приобретет
энергию,необходимую для
его возбуждения на уро-
вень С.
Таким образом, разность между энергиями состояний А и С пред-
ставляет собой критическую энергию деления.
Качественное представление о величине этой критической энергии
может быть получено с помощью рассмотрения факторов, определяю-
щих энергии, соответствующие состояниям в точках А и С. Энергия
в точке А является энергией основного состояния составного ядра
относительно разделенных осколков в точке Е, поэтому она опреде-
ляется разностью масс ядра-мишени плюс нейтрон, с одной сто-
роны, и суммой масс двух осколков деления — с другой.
Эта разность масс, очевидно, увеличивается с ростом массового
числа ядра-мишени, так как энергии связи на один нуклон для ядер
с массовым числом, превышающим примерно 50 (см. фиг. 2), умень-
шается при увеличении массового числа.
Этот вывод графически представляет кривая Ел на фиг. 17.
Энергия в точке С определяется в основном электростатическим оттал-
киванием осколков деления, которое пропорционально Z1Za/(?l‘/’4_-^t’),
Основные свойства реакции деления
87
Фиг. 17. Зависимость критической энер-
гии деления от массового числа.
где Zt, Z2 и Л2 — атомные номера и массовые числа осколков
деления соответственно.
Предполагая для простоты, что Z, = Z2 и Аг = Л2, т. е. что
деление симметрично, получим, что изменение Ес, т. е. энергии
в точке С, с увеличением массового числа будет в известной мере
подобно тому, как показано на фиг. 17.
Из рассмотрения расстояния по вертикали между кривыми EG
и Ед становится очевидным, что критическая энергия деления очень
велика вначале, но она уменьшается с увеличением массового числа
(и атомного номера). Таким
образом, хотя деление на
нейтронах теоретически воз-
можно, для ядер с массовым
числом, начиная примерно от
90 и выше, критическая энер-
гия, необходимая для того,
чтобы этот процесс происхо-
дил с заметной скоростью,
больше максимальной энергии
нейтрона, достигнутой в настоя-
щее время.
При массовом числе, близ-
ком к 235, критическая энер-
гия, как вскоре будет видно,
меньше 6 Мэв, так что деле-
ние на нейтронах становится
наблюдаемым явлением.
Для ядер с еще ббльшим
массовым числом кривые Ед и
Ес пересекаются, так что Ед становится больше Ес. При этих обстоя-
тельствах, которые имеют место для массовых чисел, превышающих 260,
чтобы произошло деление, не требуется критической энергии. В дей-
ствительности такие ядра столь неустойчивы, что если бы удалось
их получить каким-либо способом, они бы подверглись спонтанному
делению в течение промежутка времени, примерно равного 10-20 сек.
Интересно отметить, что критическая энергия деления убывает
с ростом массового числа, потому что кривая Ед на фиг. 17 идет
круче, чем кривая EG. Это вызвано уменьшением энергии связи на
нуклон для элементов с большими массовыми числами.
Основным фактором, определяющим это уменьшение, является
увеличение энергии электростатического отталкивания протонов. Сле-
довательно, большая величина взаимного отталкивания протонов спо-
собствует уменьшению критической энергии, делая, таким образом,
возможным деление с поддающейся наблюдению скоростью. Как
указано выше, этот эффект играет также существенную роль в том,
что при делении освобождается большая энергия.
88
Гл. 4. Процесс деления
Иная количественная точка зрения на проблему деления возникает
из описанной ранее модели жидкой капли. Вследствие пропорцио-
нальности между объемом ядра и его массой (см. гл. 1, § 9), ра-
зумно предположить, что ядро не меняет своего объема при дефор-
мации сферы в эллипсоид. Тогда изменение энергии будет обусловлено
лишь двумя факторами из пяти рассмотренных в гл. 1: эффектом
поверхностного натяжения и энергией электростатического отталки-
вания. Эффект поверхностного натяжения возрастает при деформации
ядра, потому что увеличивается площадь поверхности, в то время
как электростатическое отталкивание убывает при этом, так как
заряды несколько удаляются друг от друга.
Если е — параметр, представляющий собой степень деформации,
то энергия, необходимая для возникновения деформации, определяется
по формуле
Энергия деформации = е2 (5,2
0J'7
(4.3)
где первый член в скобках представляет собой эффект поверхност-
ного натяжения, а второй член — энергию электростатического оттал-
кивания [8].
Когда энергия деформации равна нулю или отрицательна, то сфе-
рическое ядро будет деформироваться и, следовательно, испытывать
спонтанное деление. Условия спонтанного деления поэтому имеют
вид
72
0,117 ^7->5,2 А'\
А1*
или
Z*
А
45.
(4.4)
Как было сказано выше, можно ожидать, что ядро с массовым
числом, превышающим 260, будет спонтанно делиться. Если объ-
единить этот результат с (4.4), то окажется, что максимальное значе-
ние атомного номера для устойчивости по отношению к делению
равно примерно ПО. Эти цифры, конечно, только приближенные.
Рассмотренная выше энергия деформации может считаться экви-
валентной критической энергии деления. Таким образом, (4.4) может
быть записано в виде
Критическая энергия ~Л!^а^5,2— 0,117-^-).
Для группы элементов с большим массовым числом Ла/= почти
постоянно и, следовательно, критическая энергия будет убывать
с ростом Z2/A. Для Ри239 значение Z^A равно 37,0, для U233 оно
равно 36,4, для U235 эта величина равна 36,0, а для U238 Z^iA = 35,5.
Таким образом, критическая энергия деления должна расти в том же
порядке. Вычисления [8, 9], основанные на модели жидкой капли,
Основные свойства реакции веления
89
показывают, что критическая энергия равна примерно 6,5 Мэв для
составного ядра, образующегося при захвате нейтрона изотопом U236,
и приблизительно равна 7,0 Мэв соответственно для U238.
Вышеприведенное рассуждение о спонтанном делении относится
к случаю, когда ядро совсем не может существовать в течение лю-
бого заметного промежутка времени. Однако важно отметить, что
всегда существует некоторая вероятность спонтанного деления и для
ядер, кажущихся устойчивыми или почти устойчивыми. Даже несмотря
на то, что ядра в основном состоянии не обладают достаточной энер-
гией, позволяющей им перейти через критическое значение деформа-
ции, основы квантовой механики требуют, чтобы существовала опре-
деленная, хотя и малая, вероятность спонтанного деления и в этом
случае.
§ в. Деление на быстрых и на медленных нейтронах
Следует напомнить, что деление U236 может произойти на медлен-
ных (тепловых) нейтронах с энергией 0,025 Мэв, тогда как U288
требует для своего деления нейтронов с энергией по крайней мере
в 1,1 Мэв. Различие в энергиях частично идет за счет меньшей кри-
тической энергии для U236, но это, вероятно, дает не более 0,5 Мэв
(см. § 5), так что остается расхождение, которое требуется объяснить.
Аналогичное различие имеется между изотопами U233 и Ри239,
с одной стороны, которые делятся на тепловых нейтронах, и изото-
пами Th232, Ра231 и Np237— с другой, для деления которых необхо-
димы быстрые нейтроны.
Объяснение этого различия, как будет показано ниже, основано
на том, что при делении основная часть критической энергии дефор-
мации получается за счет энергии связи захваченного нейтрона, а эта
энергия заметно меняется от одного ядра к другому.
Энергия возбуждения составного ядра, образующегося при захвате
нейтрона с кинетической энергией, равной нулю, равна энергии связи
нейтрона (см. гл. 2 § 5). Следовательно, энергия связи эквивалентна
разности в массах между ядром-мишенью плюс нейтрон, с одной
стороны, и составным ядром, с другой стороны. Можно легко пока-
зать из равенства (1.10), что это совпадает с полной энергией связи
составного ядра минус полная энергия связи ядра-мишени. Энергии
связи могут быть определены из (1.10), если известны массы соот-
ветствующих изотопов, или из (1.19), если эти массы неизвестны.
Так как массы двух интересующих изотопов одновременно, вообще
говоря, неизвестны, то предпочтительнее постоянно пользоваться по-
следним уравнением для вычисления энергий связи как ядра-мишени,
так и составного ядра.
Например, для определения энергии возбуждения составного ядра,
получающегося в результате бомбардировки U236, вычисляется, во-
первых, полная энергия связи ядра с А — 235 и Z = 92. Затем
90
Гл. 4. Процесс деления
вычисляется соответствующее значение для составного ядра с А = 236
и Z = 92. Разность между этими двумя энергиями связи представляет
собой энергию возбуждения составного ядра (U236), которое обра-
зуется, когда нейтрон с кинетической энергией, равной нулю, попа-
дает в ядро U235, Применяя (1.19), получим в результате
Э. СДи236) — Э. С.(и*®) = 6,8 Мэв.
Аналогичные вычисления для U238 с А = 238 и Z = 92 и соот-
ветствующего составного ядра с А = 239 и Z = 92 дают для энергии
возбуждения составного ядра (U239) следующее значение:
Э. С. (U239) — Э. С. (U238) = 5,5 Мэв.
Как показывают вычисления, упомянутые в § 5, критическая
энергия деформации для U238 равна примерно 7,0 Мэв, но, очевидно,
ядро приобретает только 5,5 Мэв при захвате нейтрона с кинетической
энергией, равной нулю. Поэтому падающий нейтрон, повидимому,
должен иметь кинетическую энергию, равную по меньшей мере
7,0 — 5,5 = 1,5 Мэв, чтобы деление U238 стало возможным. Экспе-
рименты показывают, что минимальная энергия нейтрона, вызывающего
деление U238, равна 1,1 Мэв. Расхождение между наблюдаемой энер-
гией (1,1 Мэв) и вычисленной (1,5 Мэв), без сомнения, частично
обусловлено неточным характером вычислений.
Возвращаясь теперь к изотопу U236, можно заметить, что условия
в этом случае совершенно отличны от предыдущего случая. Вычи-
сленная критическая энергия деления равна 6,5 Мэв, но выше было
показано, что в результате захвата нейтрона с кинетической энергией,
равной нулю, ядро приобретает энергию возбуждения, равную 6,8 Мэв.
Поэтому медленные нейтроны, очевидно, способны вызывать деление
ядра U235, что в действительности и происходит.
Причина заметной разницы в приведенных выше энергиях связи
для двух изотопов урана становится ясной при тщательном исследовании
расчетов, приводящих к этому различию. Это различие происходит
почти всецело вследствие эффекта нечетно-четного, или спинового,
члена в формуле (1.19).
Так как составное ядро U236 имеет четно-четный характер, то
спиновый член вносит положительный вклад в энергию связи, при-
мерно равный 0,55 Мэв, в то время как для U236, который предста-
вляет собой нечетно-четное ядро, он равен нулю.
Для изотопа U238 положение обратное. Составное ядро U239 является
нечетно-четным, и для него эффект спина равен нулю, в то время
как для четно-четного ядра U238 эффект от члена, зависящего от
спина, примерно равен 0,55 Мэв. Следовательно, этот эффект сам
по себе вызывает различие в 2 • 0,55 = 1,1 Мэв в энергии возбужде-
ния составных ядер, образующихся при захвате нейтрона изотопами U235
и U238 соответственно.
Основные свойства реакции деления
91
Из предыдущего рассмотрения, вообще говоря, можно заключить,
что нечетно-четные ядра, т. е. ядра, обладающие нечетным числом
нейтронов и четным числом протонов, образуют при поглощении ими
медленного нейтрона составное ядро со сравнительно большой энер-
гией возбуждения. Следовательно, если только Z2fA для такого ядра
достаточно велико, то медленный нейтрон может вызвать деление.
Примерами ядер этого типа, кроме U236, является U233 и Ри239 (94Ри239).
Оба эти ядра способны делиться на медленных нейтронах. Энергия
возбуждения при захвате нейтрона с кинетической энергией, равной
нулю, сравнительно мала для четно-четных ядер, таких как U238
и Th232(0oTh232), и, следовательно, чтобы вызвать их деление, необхо-
димы нейтроны с большой энергией.
Если ядро имеет четное число нейтронов и нечетное число про-
тонов, как, например, ядро Np237 (93Np237), то составное ядро (03Np238),
образованное при поглощении нейтрона, будет нечетно-нечетного типа
и вклад от спинового члена будет отрицательным, примерно рав-
ным 0,55 Мэв. В этом случае величина Э. С. (Np238)—Э. C.(Np237),
которая представляет собой энергию возбуждения составного ядра,
будет аналогична энергии возбуждения для ядер четно-четного типа.
Поэтому, для того чтобы могло произойти деление четно-нечетного
ядра, необходимо воспользоваться нейтронами высокой энергии.
Наконец, следует рассмотреть деление для случая нечетно-нечет-
ных ядер. В этом случае составное ядро, образующееся при захвате
нейтрона, должно принадлежать к четно-нечетному типу, который
обладает энергией связи такой же, как и нечетно-четный тип ядер.
Член, зависящий от спина, будет равен нулю для составного ядра
и отрицателен для ядра-мишени, так что энергия возбуждения будет
сравнительно большой. Таким образом, следует ожидать, что нечетно-
нечетные ядра будут испытывать деление под действием медленных
нейтронов. Так как ядра этого типа всегда относительно неустойчивы,
то их способность деления на медленных нейтронах не имеет практи-
ческого значения.
>. Таблица 6
СПИНОВЫЕ ЧЛЕНЫ И ЭНЕРГИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Ядро-мишень Спиновой член Энергия возбуждения
Нейтрон Протон Составное ядро Ядро-мишень
Нечетный Четный 4- 0 Большая
Четный 0 + Малая
V Нечетный — 0 Я
Нечетный 0 — Большая
Результаты предыдущих рассуждений сведены в табл. 6. В этой
таблице указаны знаки членов, зависящих от спина, для составного
92
Гл. 4. Процесс деления
ядра и ядра-мишени для всех возможных случаев. В последнем
столбце дана сравнительная величина энергии возбуждения составного
ядра, получающегося при захвате нейтрона с кинетической энергией,
равной нулю, которая представляет собой разность между полными
энергиями связи составного ядра и ядра-мишени. Ввиду естественной
неустойчивости нечетно-нечетных ядер для получения ядерной энергии
при помощи медленных нейтронов интерес представляют только те
вещества, которые имеют ядра с нечетным числом нейтронов и четным
числом протонов, т. е. ядра, обладающие нечетным массовым числом
и четным атомным номером.
ЦЕПНАЯ РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ
§ 7. Условия самоподдерживающейся цепной реакции
Приведенные ранее данные позволяют теперь рассмотреть вопрос
о возможности применения реакции деления для практического исполь-
зования ядерной энергии. Основным условием этого является возмож-
ность самоподдерживающейся цепной реакции. Иными словами, если
процесс деления начался с немногими ядрами, то он должен продол-
жаться без внешнего вмешательства во всем оставшемся веществе.
Так как в каждом акте деления вылетают по меньшей мере два
нейтрона (см. § 2) и эти нейтроны способны вызвать деление других
ядер и т. д., то становится очевидным, что могут быть осуществлены
условия для самоподдерживающейся цепной реакции. Однако следует
иметь в виду, что нейтроны, получающиеся в процессе деления, могут
принять участие и в других реакциях (не в реакциях деления). До-
полнительно к этим конкурирующим процессам поглощения нейтронов
имеется также неизбежная потеря нейтронов благодаря утечке из
системы.
Минимальное условие поддержания цепной реакции состоит в том,
чтобы каждое ядро, захватывающее нейтрон и испытывающее деле-
ние, в среднем давало по крайней мере один вторичный нейтрон,
который вызывал бы деление другого ядра. Это условие удобно
выразить при помощи величины, называемой коэффициентом раз-
множения или коэффициентом мультипликации. Коэффициент раз-
множения определяется как отношение числа нейтронов некоторого
поколения к соответствующему числу нейтронов поколения, непосред-
ственно ему предшествующего.
Обозначим коэффициент размножения буквой k. Если k точно
равно или немного больше единицы, то цепная реакция возможна,
но если k меньше единицы даже на очень малую величину, то цеп-
ная реакция не сможет поддерживаться.
Пусть, например, определенное поколение состоит из 100 нейтро-
нов; если коэффициент размножения равен единице, то во втором
поколении будет 100 нейтронов, в третьем будет также 100 нейтро-
Цепная реакция деления
93
(4.5)
нов и т. д. Раз начавшись, деление будет продолжаться с той же
скоростью, с которой оно началось. Для практических целей, когда
требуется получить заметную мощность, нужно, однако, чтобы коэф-
фициент k мог превосходить единицу.
Как было показано в § 4, деление должно происходить со ско-
ростью 3,1 109 10 актов в 1 сек., чтобы получить мощность в 1 вт.
Простейший путь, которым может быть достигнут требуемый уровень
мощности, состоит в том, чтобы коэффициент размножения превос-
ходил единицу; тогда число нейтронов, а следовательно, скорость
деления, будет расти до тех пор, пока не будет достигнут жела-
тельный уровень1).
Коэффициент размножения численно равен числу нейтронов, полу-
чающихся"'в конце нейтронного поколения на каждый нейтрон, суще-
ствовавший в начале его. Так как требуется один нейтрон для под-
держания цепной реакции, то число- нейтронов за одно поколение
увеличивается на k—1 на каждый нейтрон. Таким образом, если
вначале имеется п нейтронов, то скорость роста их будет равна n(fe—1)
за одно поколение. Если I—среднее время между следующими друг
за другом поколениями нейтронов в рассматриваемой системе, то
dn n(k — l) nkmf
dt ~ I ~~ l
где feH36. определяется следующим образом:
&изб. = — 1»
После интегрирования равенства (4.5) получим
п = пое* №«звЛ (4.6)
где п0 — число нейтронов в начале реакции, п — их число через про-
межуток времени /, Следовательно, видно, что число нейтронов растет
со временем по экспоненциальному закону, если коэффициент раз-
множения больше единицы.
Предположим, что в некотором случае k = 1,005, так что
=0,005. Допустим, что сретнее время жизни нейтрона имеет разум-
ное значение, равное 0,001 сек. Тогда, согласно (4.6), через 1 сек.
число нейтронов возрастет в еБ раз, т. е„ грубо говоря, в 150 раз.
Увеличение числа нейтронов будет означать увеличение скорости
деления и, следовательно, увеличение выделяющейся мощности. Когда
заданная мощность будет достигнута, следует уменьшить коэффициент
размножения, чтобы он стал в точности равен единице. Это дости-
гается либо введением неделящегося поглотителя нейтронов, либо
9 Число ядер, испытывающих деление в 1 сек., равно Ф£^>V, где Ф — по-
ток тепловых нейтронов на 1 слР в 1 сек.; Yif см—1 — макроскопическое
поперечное сечение деления, a V см'Л— объем реактора. Так как для полу-
чения мощности в 1 вт необходимо 3,1 • 101» делений в 1 сек., то снимаемая
мощность будет равна Ф2^К/(3,1 • 1010) вт. — Прим. авт.
94
Гл. 4. Процесс деления
созданием возможности для вылета части нейтронов наружу. Тогда
число нейтронов, имеющихся в системе, скорость деления и уровень
мощности будут оставаться постоянными.
Если коэффициент размножения меньше единицы, то поддержание
цепной реакции становится невозможным. В этом случае скорость
изменения числа нейтронов также выражается формулой (4.6), но 6я8б_,
равное k— 1, теперь отрицательно и концентрация нейтронов непре-
рывно убывает по экспоненциальному закону. На сколько бы ни был
коэффициент размножения меньше единицы, как бы ни была мала
эта разность, число нейтронов должно неизбежно убывать со време-
нем и самоподдерживающаяся реакция становится невозможной1).
§ 8. Баланс нейтронов в цепном реакции
Значение коэффициента размножения в каждой системе, содержа-
щей делящееся вещество, например уран, и замедлитель для замед-
ления нейтронов (см. гл. 3, § 4), зависит от того, в какой мере
нейтроны участвуют в следующих четырех главных процессах: а) чи-
стая потеря за счет вылета нейтронов из системы, обычно называемая
утечкой', б) захват без деления изотопами U236 и U238, иногда обо-
значаемый как резонансный захват, так как он, повидимому, про-
исходит главным образом при резонансных энергиях (см. гл. 2, § 9);
в) захват без деления, называемый иногда паразитическим захватом,
т. е. захват замедлителем и различными посторонними веществами
(вредные примеси), такими как конструктивные материалы, теплоно-
ситель, продукты деления и загрязняющие примеси в уране и в за-
медлителе, и, наконец, г) захват с делением на медленных нейтронах
изотопом U236 или на быстрых нейтронах как изотопом U236, так и
изотопом U238.
В каждом из этих четырех процессов нейтроны удаляются из
системы, но в четвертом процессе, именно в реакции деления, вместо
исчезнувших генерируются новые нейтроны. Следовательно, если число
полученных в последнем процессе нейтронов в точности равно (или
превосходит) полному числу нейтронов, потерянных при утечке и
захвате как с делением, так и без него, то коэффициент размножения
будет равен (или больше) единице, и цепная реакция возможна.
В виде иллюстрации ниже будет описан типичный баланс нейтро-
нов, который может осуществляться в системе с коэффициентом раз-
множения, в точности равным единице. Предположим, что деление
происходит только при захвате медленных нейтронов, и для про-
стоты допустим, что в среднем в каждом акте деления получаются
в точности два нейтрона. Пусть вначале поглотилось в процессе
деления 100 медленных нейтронов и 100 нейтронов имеют возможность
J) Если имеется внешний источник нейтронов, то концентрация их может
приближаться к предельному значению. — Прим. авт.
Цепная реакция деления
95
подобным же образом поглотиться в конце поколения. Условия само-
поддерживающейся цепной реакции, таким образом, удовлетворяются.
100 медленных нейтронов, поглощенных в U236, вызывают деление
4
200 нейтронов деления получаются в системе
— > 40 вылетают из системы в процессе замедления
— >20 поглощаются в U2S8 во время замедления
▼
140 нейтронов замедлились
I —> 10 медленных нейтронов вылетают из системы
4
130 медленных нейтронов могут быть поглощены
— > 30 нейтронов поглощаются замедлителем, U238, вредными
примесями и т. п.
100 медленных нейтронов (поглощаются в U28e и вызывают
деление)
§ 9. Типы реакторов
Ядерный реактор обычно представляет собой систему, в которой
поддерживается цепная реакция. Эта система состоит из замедлителя,
горючего, содержащего делящиеся вещества, теплоносителя и кон-
структивных материалов. В таком реакторе в процессе деления полу-
чаются быстрые нейтроны, которые могут испытывать столкновения
с рассеянием, главным образом упругие, в результате чего их энер-
гия уменьшается; кроме того, они могут поглотиться различными
веществами, находящимися в системе, и, наконец, могут вылетать
из системы.
Относительные количества и природа замедлителя, горючего и
других веществ, их геометрическое расположение, а также размеры
системы, в основном задающие утечку, определяют ту область энер-
гии, в которой происходит большая часть захватов нейтронов, при-
водящих к делению, $
Если ббльшая часть делений происходит при захвате тепловых
нейтронов, то система называется реактором на тепловых нейтро-
нах {тепловым реактором). Если большинство процессов деления
вызывается поглощением нейтронов более высокой энергии, которые
иногда называются эпитепловыми нейтронами (см. гл. 3, § 4), или
промежуточными нейтронами, до система называется реактором на
промежуточных нейтронах. Важным типом реактора на промежу-
точных нейтронах является реактор, в котором большая часть деле-
ний вызывается нейтронами с энергией, лежащей в интервале от
тепловых значений до 1000 эв. Наконец, если главным источником
96
Гл. 4. Процесс деления
делений является захват ядерным горючим быстрых нейтронов, то
система называется реактором на быстрых нейтронах1).
Вследствие сравнительно малых поперечных сечений деления на
нейтронах большой энергии, особенно по сравнению с поперечными
сечениями реакций, не приводящих к делению, невозможно поддержи-
вать ядерную цепную реакцию на быстрых нейтронах в естественном
уране, состоящем примерно на 99,3% из U233 и на 0,7% из U236
(см. табл. 1).
Если использовать горючее вещество, обогащенное U236, или содер-
жащее достаточное количество Ри239, то можно получить цепную
реакцию на быстрых нейтронах2).
Цепная реакция в естественном уране возможна лишь в том слу-
чае, когда деление вызывается главным образом медленными, т. е.
тепловыми, нейтронами. Это происходит вследствие того, что сечение
деления U-36 для тепловых нейтронов достаточно велико, чтобы ком-
пенсировать поглощение без деления. Для замедления нейтронов
следует использовать замедлитель, которым может служить тяжелая
вода, бериллий (или окись бериллия), углерод (графит) или даже
обыкновенная вода в случае применения обогащенного горючего.
§ 10. Коэффициент размножения реактора на тепловых
нейтронах
Вследствие важности, а также по менее существенной причине
(простота теоретической трактовки) приведем некоторые соображения,
с помощью которых определяется коэффициент размножения реакто-
ров на тепловых нейтронах [10], в особенности работающих в каче-
стве горючего на естественном уране. Чтобы ради упрощения не
рассматривать сейчас вопроса о потере нейтронов вследствие утечки,
постулируем, что мультиплицирующая система имеет бесконечные
размеры. Предположим, что в данный момент времени, представляю-
щий собой момент рождения поколения нейтронов в горючем ве-
ществе, поглощается п тепловых нейтронов.
Пусть далее »] — среднее число быстрых нейтронов деления,
испущенных в результате захвата одного теплового нейтрона веще-
ством горючего, т. е. U236 и U288 вместе. Тогда вследствие погло-
щения и тепловых нейтронов образуется пт] быстрых нейтронов.
Следует отметить, что поскольку не все нейтроны, захваченные го-
рючим, обязательно приводят к делению, то значение »], вообще
говоря, отличается от среднего числа быстрых нейтронов, выделяю-
щихся в одном делении на медленных нейтронах, равного 2,5 ±0,1
*) Из соображений секретности в этой книге излагается только теория
тепловых реакторов. — Прим. авт.
2) Атомная бомба представляет собой реактор, в котором быстрые ней-
троны вызывают неконтролируемую ядерную цепную реакцию в U235 или
в Ри233. — Прим. авт.
Цепная реакция деления
97
(см. § 2). Если эту последнюю величину обозначить через v, то
(4.7)
'-'гор.
где —макроскопическое поперечное сечение (см. гл. 3, § 12) для
деления на медленных нейтронах, £гор. — полное поперечное сечение
поглощения тепловых нейтронов для деления и других процессов, не
приводящих к делению в горючем веществе (табл. 7).
Таблица 7
ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
ДЛЯ УРАНА, барны
Деление Радиационный захват Рассеяние
(J235 549 101 8,2
U238 0 2,8 8,2
Естественный уран 3,92 3,5 8,2
До того как число nvj быстрых нейтронов существенным образом
замедлится, некоторая часть их будет захвачена и вызовет деление
U236 и U288, главным образом последнего. Так как в среднем в каж-
дом акте деления получается более одного нейтрона, то будет наблю-
даться увеличение числа имеющихся быстрых нейтронов. Учет этого
эффекта может быть сделан при помощи введения коэффициента раз-
множения на быстрых нейтронах, который обозначается буквой е.
Этот коэффициент определяется как отношение полного числа быстрых
нейтронов, получившихся при делении на нейтронах всех энергий,
к числу б,ыстрых нейтронов, получившихся при делении на тепловых
нейтронах.
Следовательно, в результате захвата горючим п тепловых нейт-
ронов образуется ntp. быстрых нейтронов. Для горючего из естест-
венного урана было найдено, что значение в примерно равно 1,03 как
для графита, так и для тяжелой воды в качестве замедлителей.
В результате столкновений с замедлителем, главным образом
упругих, быстрые нейтроны должны в конечном счете стать тепло-
выми. Однако во время процесса замедления некоторые нейтроны
будут захвачены в процессах, не приводящих к делению, так что не
все пт]в быстрых нейтронов достигнут тепловой энергии. Отношение
числа быстрых нейтронов (нейтронов деления), которые избежали
захвата во время замедления, ко всем быстрым нейтронам называется
вероятностью избежать резонансного захвата и обозначается бук-
вой р. Следовательно, число нейтронов, которые замедлятся до теп-
ловой энергии, будет равно nvjsp.
98
Гл. 4. Процесс деления
Когда энергия нейтронов уменьшится до тепловых значений, они
будут диффундировать в течение некоторого времени (при этом их
распределение по энергиям будет оставаться в основном постоянным)
до тех пор, пока не поглотятся либо горючим, либо замедлителем,
либо имеющимися вредными примесями. Поэтому только доля тепло-
вых нейтронов /, называемая коэффициентом теплового использо-
вания, будет поглощена в горючем веществе. Значение f представ-
ляется в виде
г__ Тепловые нейтроны, поглощенные в горючем .. R4
* Полное число поглощенных тепловых нейтронов’ ' ‘ '
где знаменатель представляет собой полное число тепловых нейтронов,
поглощенных горючим, замедлителем и другими веществами, имеющи-
мися в реакторе. Таким образом, число тепловых нейтронов, захвачен-
ных горючим, равно nr^pf.
При принятых предположениях коэффициент размножения (см. § 7)
может быть определен как отношение числа всех поглощенных
тепловых нейтронов в среднем в одном поколении к числу тепловых
нейтронов, поглощенных в среднем в предыдущем поколении; следо-
вательно, в бесконечной среде коэффициент размножения равен
k = £№L = ^.Pf. (4.0)
Этот результат иногда называется формулой четырех сомножи-
телей.
Как отмечалось выше, условием самоподдерживающейся цепной
реакции в системе бесконечных размеров является равенство коэффи-
циента размножения единице; поэтому критерием самоподдерживаю-
щейся цепной реакции для системы на естественном уране будет
-^pf= 1-
В особом случае, когда в реакторе в качестве горючего исполь-
зуется только U235 и отсутствует U238, коэффициент размножения на
бысгрых нейтронах в и вероятность избежать резонансного захвата р
будут порознь равняться единице.
Такой реактор может быть сделан критическим при очень малой
концентрации горючего по отношению к замедлителю. Вероятность
захвата во время замедления поэтому мала по сравнению с рассея-
нием. В этом случае (4.9) сводится к
k — -qf.
Из четырех множителей, введенных в (4.9), tj и в более или
менее определяются свойствами горючего, в то время как р и /
могут меняться в некоторых пределах. Для того чтобы обеспечить
развитие ядерной цепной реакции, р и f должны быть возможно
бблыпими, хотя они, конечно, всегда остаются меньше единицы.
К сожалению, такие изменения относительных концентраций горючего
Цепная реакция деления
99
и замедлителя, которые вызывают увеличение /, приводят к умень-
шению р. Если система содержит относительно мало замедлителя,
то коэффициент теплового использования будет большим [см. урав-
нение (4.8)], но большая концентрация U238 в этом случае означает,
что уменьшится вероятность избежать резонансного захвата. Если
концентрация замедлителя велика, то справедливо обратное утверж-
дение. Поэтому на практике для того, чтобы поддерживалась цепная
реакция, необходимо найти такое соотношение и расположение горю-
чего и замедлителя, при которых получается максимальное значение
произведения pf.
В системе, состоящей из естественного урана и графита, увели-
чение значения произведения pf может быть достигнуто с помощью
устройства гетерогенной решетки, которая состоит из достаточно
больших урановых стержней, помещенных в графит.
Как будет показато в гл. 9, вероятность избежать резонансного
захвата в этом случае больше, чем для гомогенной смеси урана
и графита в той же пропорции. Однако в случае гетерогенной
решетки наблюдается некоторое уменьшение коэффициента теплового
использования, во при помощи подходящего устройства решетки
и надлежащего выбора соотношения между горючим и замедлителем
достигается общее увеличение произведения pf сравнительно с одно-
родной смесью.
Одним из методов увеличения коэффициента размножения является
применение обогащенного горючего, содержащего ббльший процент
делящегося изотопа U2EB, чем естественная смесь. Если отношение
концентраций изотопов U2LB к U2S8 увеличится, то т] становится
ббльшим [(см. 4.7)] и в результате этого коэффициент размножения
возрастает. Другим, во более слабым эффектом, сопутствующим
выи еуказангому, является уменьшение f для данного отношения числа
атомов и2ЕБ к числу атомов замедлителя.
§ 11. Утечка нейтронов
Следует подчеркнуть, что выражение (4.9) было выведено для бес-
конечной системы, в которой отсутствует утечка нейтронов. По этой
причине коэффициент k ш огда обозначают как и называют коэф-
фициентом размножения бесконечной системы.
В конечной мультиплицирующей системе коэффициент k может
быть определен, как в предыдущем параграфе, правой частью выра-
жения (4.9). Однако коэффициент размножения не будет совпадать
с feoo для бесконечной среды по следующим причинам. При вычислении
вероятности избежать резонансного захвата и коэффициента размноже-
ния на быстрых нейтронах существенно распределение нейтронов по
энергиям, так как обе эти величины являются функциями энергии.
Когда реактор имеет конечные размеры, то существует утечка
нейтронов и распределение по энергиям не будет одним и тем же
ЮО Гл. 4. Процесс деления
всюду в системе, как это имеет место в бесконечной (гомогенной)
системе, а будет зависеть от положения в реакторе. Следовательно,
Р и /» а потому и коэффициент размножения без утечки для конеч-
ного реактора будет отличаться от его значения для бесконечной
системы. Однако для многих практических целей k (для реактора
конечных размеров, но без утечки) можно считать равным km, кото-
рое было определено выше.
Для реактора конечных размеров условие того, что коэффициент
размножения должен быть равен единице, больше не соответствует
условиям самоподдерживаюгцейся цепной реакции. Теперь необходимо,
чтобы на каждый поглощенный горючим тепловой нейтрон в среднем
производился один тепловой нейтрон, помимо потери нейтронов вслед-
ствие утечки нейтронов из реактора. Пусть Р—полная вероятность
того, что нейтрон избежит утечки, т. е. вероятность того, что
нейтрон не вылетит ни во время процесса замедления, ни во время
его диффузии как теплового. Тогда условие поддержания цепной
реакции будет иметь вид
kP=\, (4.10)
где k определяется из (4.9). Только в случае бесконечной системы
вероятность того, что нейтрон избежит утечки, равна единице, и тогда
k = 1 и тем самым удовлетворяется условие цепной реакции.
Для конечного реактора Р меньше единицы, и, следовательно,
чтобы поддерживалась ядерная цепная реакция, коэффициент размно-
жения должен быть больше единицы.
Как указано выше, значение k определяется компановкой системы,
т. е. природой горючего, его концентрацией по отношению к замед-
лителю и расположением материалов. Следовательно, если все фак-
торы установлены, цепная реакция возможна только тогда, когда Р
столь велико, что kP становится равным или ббльшим единицы.
Иными словами, чтобы цепная реакция была самоподдерживающейся
в системе с данными замедлителем и горючим, необходимо, чтобы
вероятность того, что нейтрон избежит утечки, превосходила неко-
торое минимальное значение.
Таким образом, допустимая утечка нейтронов по отношению
к числу возникающих нейтронов должна быть меньше определенной
величины.
§ 12. Критические размеры реактора
Потеря нейтронов вследствие утечки из реактора конечных раз-
меров может быть ослаблена путем увеличения размеров системы.
Утечка нейтронов происходит из наружного слоя реактора, в то время
как поглощение, приводящее к делению и получению нейтронов,
происходит во всем объеме реактора.
Таким образом, число нейтронов, теряющихся вследствие утечки,
зависит от величины внешней поверхности реактора, в то время как
Цепная реакция деления
101
количество образующихся нейтронов определяется его объемом. Чтобы
уменьшить потерю нейтронов, а потому увеличить вероятность того,
что нейтрон избежит утечки из реактора, необходимо уменьшить от-
ношение площади поверхности к объему; это может быть достигнуто
с помощью увеличения размеров реактора. Критическим размером
реактора будет такой размер, для которого вероятность того, что
нейтрон избежит утечки, т. е. Р, такова, что величина kP точно
равна единице. Так как отношение площади поверхности к объему
зависит от геометрической формы, то вероятность того, чю нейтрон
избежит утечки из реактора, будет определяться формой реактора.
Для данного объема наименьшей поверхностью обладает сфера;
поэтому утечка из сферического реактора будет меньше, чем из
реактора любой другой формы. Следовательно, критический объем
такого реактора будет также наименьшим. Утечку нейтронов можно
уменьшить, окружая реактор подходящим отражателем, который будет
возвращать в реактор часть покинувших его нейтронов. Отражатель
обычно применяется из того же вещества, что и замедлитель.
Так как значение k зависит от компановки замедлителя и горю-
чего и от конструкции, то очевидно, что максимально допустимая
утечка нейтронов в самоподдерживающейся цепной реакции будет
также определяться этими факторами. Поэтому для реактора даже
с определенной геометрией критический размер не будет постоян-
ным, а будет меняться с изменением природы горючего и замедли-
теля и с изменением конструкции системы.
Например, если увеличить k с помощью использования обогащен-
ного горючего, то можно уменьшить Р— вероятность того, что Ней-
трон избежит утечки из реактора. Следовательно, можно увеличить
утечку нейтронов и сохранить условие, чтобы kP было больше или
равно единице. Поэтому критический размер обогащенного реактора
будет меньше, чем для реактора той же геометрической формы и
конструкции, в котором используется в качестве горючего естествен-
ный уран.
Величина kP называется эффективным коэффициентом размно-
жения реактора конечных размеров. Эта величина представляет собой
в среднем число тепловых нейтронов одного поколения, которые
остаются в реакторе и могут быть поглощены на каждый тепловой
нейтрон, поглощенный в предыдущем поколении. Критическим усло-
вием является равенство единице эффективного коэффициента раз-
множения (4.10). При этом цепная реакция поддерживается при по-
стоянном числе делений в 1 сек. и, следовательно, при постоянном
уровне мощности; такое состояние называют стационарным состоя-
нием реактора.
Данный реактор может иметь бесконечное число таких состояний,
соответствующих различному числу делений в 1 сек. и разным уровням
мощности. Если эффективный коэффициент размножения реактора
превосходит единицу, то система называется надкритической. В таком
102
Гл. 4. Процесс деления
реакторе число делений в 1 сек., а потому плотность (или поток)
нейтронов и уровень мощности непрерывно возрастают. Когда эффек-
тивный коэффициент размножения меньше единицы, т. е. когда реак-
тор является подкритическим, плотность (или поток) нейтронов и
уровень мощности непрерывно убывают.
§ 13. Регулирование реактора
На практике реактор должен быть сконструирован так, чтобы его
размеры значительно превосходили критические.
Одной из причин этого является необходимость иметь эффектив-
ный коэффициент размножения большим единицы, так как только
при этом условии воз ложно увеличить число нейтронов, а потому и
число делений в 1 сек. до значения, обеспечивающего достижение
заданного уровня мощности (см. § 7).
Когда этот уровень достигнут, ’необходимо уменьшить коэффи-
циент размножения и сделать его равным единице; тогда реактор
будет оставаться в стационарном состоянии, поскольку нейтроны
будут генерироваться с такой же скоростью, как и скорость их
потери за счет утечки и захвата.
Регулирование размножения нейтронов в тепловом реакторе дости-
гается с помощью регулирующих стержней из кадмия или бористой
стали. Как кадмий, так и бор имеют большое поперечное сечение
захвата медленных нейтронов (см. гл. 3, § 20 и 22); следовательно,
изменяя положение регулирующих стержней, можно в соо гве гствую-
щих пределах менять эффективный коэффициент размножения. Чтобы
выключить реактор, регулирующие стержни устанавливаю гея в такое
положение, в котором они способны поглотить добавочное количество
нейтронов по сравнению со стационарным состоянием. Тогда система
теряет нейтроны быстрее, чем они образуются за счет деления; эф-
фективный коэффициент размножения падает ниже единицы, и цепная
реакция затухает.
§ 14. Действие запаздывающих нейтронов
Когда в § 7 вычислялась скорость роста числа нейтронов в реак-
торе с коэффициентом размножения большим единицы, то среднее
время жизни нейтрона было принято равным 0,001 сек. Действи-
тельно, это есть среднее значение времени, которое проходит с момента
рождения нейтрона до его окончательного поглощения в реакторе на
тепловых ней .ронах, использующем в качестве горючего естественный
уран. Однако это значение дает правильную величину скорости роста
числа ней гронов лишь в том случае, когда все нейтроны деления
испускаются мгновенно, т. е. по существу в момент деления.
Но в § 2 было показано, что около 0,75% нейтронов деления
запаздывают и от этого зависит расчет скорости роста (или убыва-
ния) числа нейтронов.
Цепная реакция деления
103
Времена жизни пяти групп запаздывающих нейтронов имеют зна-
чения в интервале от 0,6 до 80 сек. (см. табл. 5).
Если усреднить с соответствующим весом эти значения, т. е.
с учетом доли каждой группы, то среднее время запаздывания, усред-
ненное по всем нейтронам деления, составит около 0,1 сек. (см. гл. 10,
§ 4). Среднее время между захватом нейтрона с делением в двух
последовательных поколениях, следовательно, составляет примерно
0,14-0,001 сек., первый член представляет собой среднее время,
проходящее между делением и вылетом всех нейтронов, в то время
как второй член представляет собой время между вылетом нейтрона
и его захватом в процессе деления.
Иными словами, эффективное время жизни составляет приблизи-
тельно 0,1 сек.
Если подставить 2 = 0,1 сек. в уравнение (4.6) и принять, как
и ранее, что k = 1,005, то найдем, что число нейтронов на самом
деле возрас тает в е0 05 раз, т. е. -в 1,05 раза в 1 сек. вместо 150 раз
в 1 сек., как это получалось в предположении, что существуют лишь
мгновенные нейтроны 2). Очевидно, в том случае, когда коэффициент
размножения больше единицы, эффект запаздывающих нейтронов деле-
ния состоит в существенном замедлении скорости роста числа ней-
тронов по сравнению с той скоростью, которая была бы, если бы
нейтроны вылетали мгновенно.
Предположим вообще, что р есть доля запаздывающих нейтронов
деления, тогда 1 — р представляет собой долю мгновенных нейтронов.
Из полного числа быстрых нейтронов, генерируемых при поглощении
горючим каждого теплового нейтрона, часть (1—Р) ц испускается
мгновенно, в то время как рт] запаздывает и постепенно вылетает
в течение некоторого промежутка времени. Следовательно, можно
считать, что коэффициент размножения состоит из двух членов. Пер-
вый равен й(1—р) и представляет собой коэффициент размножения
на мгновенных нейтронах, а второй, равный ftp, вызывается запазды-
вающими нейтронами.
Если при работе реактора величина /г(1—Р) поддерживается
равной единице или немного меньше, то скорость роста числа ней-
тронов от данного поколения к следующему определяется в основном
запаздывающими нейтронами. Так как р при делении на тепловых
нейтронах (см. § 2) примерно равно 0,0075, то это условие может
осуществляться, если эффективный коэффициент размножения будет
лежать в пределах от 1,0 до 1,0075.
Когда эго имеет место, поток нейтронов (или плотность) и уровень
мощности реактора будут расти сравнительно медленно, так что будет
возможен соответствующий контроль.
1) Приведенные здесь вычисления являются лишь приближенными и пред-
назначены главным образом для того, чтобы показать вообще эффект запаз-
дывающих нейтронов. Вопрос будет рассмотрен более подробно в гл. 10.—
Прим. авт.
104
Гл. 4. Процесс деления
Когда эффективный коэффициент размножения равен 1,0075, то
говорят, что реактор мгновенно-критический, так как ядерная цеп-
ная реакция может поддерживаться с помощью одних мгновенных
нейтронов. Если k больше этой величины, то размножение будет
обусловлено мгновенными нейтронами независимо от наличия запазды-
вающих нейтронов. В этом случае плотность нейтронов будет быстро
расти с самого начала. При этих условиях трудно управлять реакто-
ром и поэтому на практике стремятся избегать подобных случаев.
Запаздывающие нейтроны деления воздействуют па скорость из-
менения плотности нейтроюв не только в том случае, когда коэф-
фициент размножения превосходит единицу, но они оказывают влияние
на плотность нейтронов и тогда, когда реактор становится подкри-
тическим, т. е. когда его выключают.
Запаздывающие нейтроны продолжают испускаться в течение не-
которого времени, и число делений в 1 сек. убывает значительно
медленнее, чем оно бы убывало, если бы все нейтроны деления были
мгновенными.
Окончательная скорость затухания потока нейтронов в реакторе
на тепловых нейтрогах после его выключения определяется в основ-
ном группой запаздывающих нейтронов с наибольшим периодом полу-
распада, т. е. группой с временем жизни 80 сек. (см. табл. 5).
В реакторах, в которых в качестве замедлителя применяется тяже-
лая вода или бериллий, выключение еще более затягивается вслед-
ствие наличия фотонейтронов, образующихся в результате взаимо-
действия f-излучения продуктов деления с дейтерием и бериллием
соответственно (см. гл. 3, § 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. S m у t h Н. D., Atomic Energy for Military Purposes, U. S. Government
Printing Office, 1945 (см. перевод: Смит, Атомная.энергия для военных
целей, М.—Л. 1946).
2. Turner L. A., Rev. Mod. Phys., 12, 1 (1940).
3. Glass tone S., Sourcebook on Atomic Energy, New York, 1950.
4. H u g h e s D. J., Dabbs J., Cahn A., Hall D., Phys. Rev., 73, 111
(1948).
5. Way K., Wigner E. P„ Phys. Rev., 73, 1318 (1948).
6. Fowler J. L., Rosen L., Phys. Rev., 72, 926 (1947).
7. Brunton D. C., Hanna G. C., Canad. Journ. Res., A28, 190 (1950).
8. Bohr N., Wheeler J. A., Phys. Rev., 56, 426 (1939).
9. Frankel S., Metropolis N., Phys. Rev., 72, 914 (1947).
10. Fermi E., Science, 107, 28 (1947) [см. перевод: Ферми Э., Успехи
физич. наук, 32, 54 (1947)].
Глава 5
ДИФФУЗИЯ НЕЙТРОНОВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИ 1)
§ 1. Кинетическое уравнение и уравнение диффузии
Задача теории реакторов состоит в определении поведения ней-
тронов в рассеивающих, поглощающих и размножающих средах. Ввиду
того, что эффективные сечения различных процессов сложным образом
зависят от энергии нейтронов, крайне затруднительно точно описать
„судьбу" нейтронов деления в ходе их рассеяния и замедления, по-
глощения или ухода из системы, не делая каких-либо упрощающих
предположений.
В основе любой теории ядергых цепных реакторов лежит так
называемый закон сохранения, или баланса, нейтронов. Так, изме-
нение в единицу времени числа нейтронов, находящихся в заданном
объеме, равно числу образовавшихся нейтронов минус число ушед-
ших из объема и поглощенных (также в единицу времени) нейтронов.
Общее уравнение, выражающее этот баланс, может быть, следова-
тельно (для единицы объема), записано в виде
Образование — Утечка — Поглощение —
дп
~дГ’
(5.1)
где dn'dt—изменение плотности нейтронов в единицу времени. Если
система находится в состоянии равновесия (иногда называемом ста-
ционарным состоянием), то dnfdt — 0, так что уравнение баланса
для стационарного состояния принимает вид
Образование = Утечка ф- Поглощение. (5.2)
Основное уравнение, выражающее закон сохранения числа ней-
тронов, называется кинетическим уравнением Больтцмана (ввиду
его полной аналогии с уравнением, применявшимся Больтцманом в иссле-
дованиях по диффузии в газах; см. гл. 14). Зависимой переменной,
подчиняющейся этому уравнению, является функция распределения
нейтронов п (г, -а, О), которая, по определению, есть число нейтронов
в точке г, движущихся со скоростью v в направлении О, отнесенное
к единице объема, к единичному интервалу скорости и к единице
телесного угла. Таким образом, и (г, о, О) dr d'vdfd есть число
!) Впервые элементарная теория диффузии'была применена к исследо-
ванию диффузии медленных нейтронов Ферми и его сотрудниками [1]. Об-
ширная сводка решений диффузионных tзадач имеется в работе [2].—
Прим. авт.
106
Гл. 5. Диффузия нейтронов
нейтронов в элементе объема dr около точки г, обладающих скоростями
в интервале от v до v-\-dv и движущихся в элементе телесюго
угла dO около направления О. „Обычный" нейтронный поток, отне-
сенный к единичному интервалу скоростей (аналогичный рассмотрен-
ному в гл. 3, § 15), не зависит от угла и связан с вектором плот-
ности потока соотношением
Ф (г, ф) — J* п (г, ®, О) ф dO,
где интегрирование производится по всем направлениям. Величина
и (г, т>, О)-а, называемая векторным потоком, есть просто число дви-
жущихся в направлении О нейтронов, прохотящих через нормальную
к этому направлению единичную площадку за единицу времени.
Если угловое распределение векторов скорости ней гротов изо-
тропно (или почти изотропно) или не зависит от энергии и координат,
то математическое рассмотрение задачи мбжет быть упрощено, по-
скольку уравнение, выражающее сохранение числа нейтронов, не со-
держит более в качестве переменной направления векторов скорости
нейтронов. В этом случае искомая функция может быть сведена
к скалярному потоку нейронов, определенно <у в гл. 3, § 14, и
сохранение нейтронов выражается уравнением диффузии.
Нейтроны диффундируют сквозь вещество в результате рассеяния
их ядрами агонов. Типичная траектория нейтрона имеет зигзагообраз-
ный вид и состоит из прямолинейных отрезков различной длины,
соединяющих места отдельных столкновений. Вследствие захвата ней-
тронов средой длины траекторий отдельных нейтронов оказываются
распределенными от нуля до бесконечности (для неограниченной об-
ласти). Несколько более ясное представление о диффузии нейтронов
можно получить, рассматривая точечный источник нейтронов в бес-
конечной среде. Пусть требуется вычислить среднее расстояние по
прямой, на которое нейтроны удаляются от источника к моменту,
непосредственно предшествующему захвату. Поскольку вероятность
захвата на отрезке пути dx равна ^dx (см. гл. 3, § 12), веролт-
ность того, что нейтрон будет захвачен на определенном расстоянии
от источника, не связана никакой простой зависимостью с расстоя-
нием по прямой г, а, напротив, зависит от длины истинной зигзаго-
образной траектории. Далее, поскольку любой фиксированный зигзаго-
образный путь от источника к запанной точке является лишь одним
из бесконечно многих возможных путей, среднее расстояние по прямой
зависит от распределения длин зигзагообразных путей.
Хотя задача о диффузии нейтронов по своему существу является
статистической, оказывается возможным, как и в кинетической теории
газов, построить макроскотическую теорию, описывающую поведение
большого числа нейтронов. Во всех диффузионных явлениях, таких
как диффузия газовых молекул или диффузия тепла, диффундирую-
щая субстанция распространяется от областей большей плотности .
Элементарная теория диффузии
107
в сторону областей меньшей плотности. Аналогично ведут себя и
нейтроны, поскольку в областях большей их плотности происходит
больше столкновений в единице объема, а после столкновений ней-
троны удаляются от рассеивающих центров.
Оказывается, что при выполнении определенных условий (см.
гл. 14, § 6) диффузия моноэнергетических нейтронов может быть
описана законом Фика, согласно которому результирующее число J
нейтронов, проходящих за единицу времени через единичную пло-
щадку, нормальную к направлению потока, дается равенством
J = — £>0 grad п, (5.3)
где п — число нейтронов в единице объема, a Do — обычный коэф-
фициент диффузии. Для наших целей мы используем закон Фика
в виде
J = —Г^габФ, (5.4)
где Ф — обычный нейтронный поток, a D — коэффициент диффузии
для потока, имеющий размерность длины.
Поскольку для моноэнергетических нейтронов Ф = п®, где® —
скорость нейтронов, из (5.3) и (5.4) следует, что D — DJv. Закон
Фика является основным предположением элементарной теории диф-
фузии; ниже мы выведем его с помощью сравнительно простых физи-
ческих соображений.
Ббльшая часть результатов, получаемых в этой и последующих
главах, основана на использовании уравнения диффузии. При этом
вначале рассматривается диффузия моноэнергетических нейтронов (рас-
сеивающихся без потери энергии), поскольку результаты этого рас-
смотрения непосредственно применимы в качестве первого приближе-
ния к диффузии тепловых нейтронов. После этого путем обобщения
результатов рассмотрения „моноэнергетической" диффузии рассматри-
вается замедление нейтронов.
§ 2. Плотность потока нейтронов
Рассмотрим малую площадку dS, лежащую в плоскости х, у
системы координат, представленной на фиг. 18. Число рассеивающих
столкновений, происходящих за 1 сек. в малом элементе объема dV,
имеющем сферические координаты г, 6, ©, равно Х8Ф</К, где Ф — по-
ток, выраженный в нейтронах на 1 см2 за 1 сек., a £s — макро-
скопическое эффективное сечение (см. гл. 3, § 16). Поскольку ней-
троны предполагаются моноэнергетическими, это эффективное сечение
постоянно. Если столкновения сферически симметричны (т. е. если
рассеяние изотропно в лабораторной системе координат, см. § ЗДто
нейтрон может отлететь от рассеивающего центра в любом направле-
нии с равной вероятностью. В предположении, что это имеет место,
вероятность того, что нейтрон в dV испытает рассеяние в нужном
108
Гл. 5. Диффузия нейтронов
направлении (т. е. так, чтобы пройти сквозь площадку dS), равна
той доле полного телесного угла, которую составляет телесный угол
с вершиной в точке рассеяния, стягиваемый площадкой dS, т. е.
cos 6 dSfir.r2.
Вероятность того, что нейтроны, направление движения которых
лежит внутри упомянутого телесного угла, достигнут площадки dS
без дальнейших столкновений, равна е~^г, где £— макроскопическое
полное эффективное сечение, включающее как сечение поглощения (£о),
так и сечение рассеяния (£<,). Поскольку последующее рассмотрение
z
Фиг. 18. Вычисление плотности потока нейтронов.
строго применимо лишь к диффузии нейтронов в слабо поглощающих
средах, мы Приближен! о положим (пренебрегая £„) £ яа £8. Таким
образом, число нейтронов, испытавших рассеяние в элементе объема dV
и достигших площадки dS за 1 сек., равно
„ -т. л , rf'S COS 0 -£г
£„ Ф dV —е .
11 4кг“
Заменяя dV его выражением в сферических координатах г* sin® dr dti dvt
получаем окончательно для указанного числа нейтронов
— Ф S« cos в sin 0 dr db dv>.
4n s 1
Полное число рассеянных нейтронов, проходящих за 1 сек. сквозь
площадку dS сверху (т. е. в отрицательном направлении оси z\
Элементарная теория диффузии
109
получается интегрированием числа нейтронов, приходящих из эле-
мента dV, по всему верхнему полупространству, т. е. интегрированием
по г от 0 до со, по ф— от 0 до 2к и по 0 — от 0 до гс/2. Если
обозначить через J_ плотность потока нейтронов, т. е. число
нейтронов, пересекающих за единицу времени единичную площадку
в направлении (—г), то число нейтронов, проходящих в этом напра-
влении сквозь площадку dS, будет равно J_ dS. Согласно сказанному
выше, имеем
со тс/2
J_ dS — Ss | J J cos 0 sin 0 db d(p dr. (5.5)
0 0 0
Для вычисления этого интеграла необходимо выразить поток ф
как функцию пространственных координат, для чего можно восполь-
зоваться разложением в ряд Тейлора. Ограничиваясь в этом разложе-
нии членами первого порядка, имеем
Ф(х, у, z) = -4- .... (5.6)
где значок 0 означает, что соответствующие величины берутся в на-
чале координат, т. е. в месте нахождения элементарной площадки dS.
Независимые переменные х, у, г выражаются через сферические
координаты по формулам
х = г sin 0 cos ©,]
у — г sin 0 sin ©,
г —г cos 0.
Но поскольку в (5.5) интегрирование по ф происходит от 0 до 2я,
члены, содержащие х и у, дадут при интегрировании нуль, так что
эти члены можно опустить в (5.6). Итак, заменяя z на г cos 0, под-
ставляя (5.6) в (5.5) и сокращая обе стороны равенства на dS, прихо-
дим к следующему выражению для полной плотности потока ней-
тронов сверху (в точке, где находится площадка dS):
_ £s
4к
qo 2ге гс/2
ООО
cos 6 sin Ь г/6 d® dr -
со 2к л/2
K^/n^Ssrcos2,Jsin'Jrfed?d=T+i®; (5-7)
ООО
Плотность потока нейтронов в направлении (Ц-г), J+, получается
в точности аналогичным образом, за исключением того, что интегри-
110
Гл. 5. Диффузия нейтронов
рование по 0 происходит от т/2 до тг (т. е. только по нижнему полу-
пространству). Величина J+ оказывается равной
6ё7(4г)0- (5-8)
Результирующая плотность потока в положительном направлении оси
г, Jzy равна разности между J+ и Jтак что
Заметим,, что при проделанном выводе нами молчаливо предпола-
галось стационарное состояние, в котором нейтронный поток Ф не
меняется со временем. Если бы Ф зависело от времени, то (ввиду
того, что нейтрону требуется заметное время г/ч) для прохождения
от элемента объема dV до площадки dS) необходимо было бы знать
значение Ф в точке dV в момент времени, предшествующий на вели-
чину г[ч) моменту времени, в который определяется поток нейтронов
сквозь площадку dS.
Хотя в разложении потока в ряд Тейлора мы ограничились чле-
нами первого порядка, результаты нашего рассмотрения справедливы
в действительности до членов второго порядка включительно. Дело
в том, что члены второго порядка при интегрировании дают либо
нуль, либо выражения, в точности совпадающие для J+ и J_ (и потому
взаимно погашающиеся в выражении для результирующей плотности
потока). Таким образом, выражение (5.9) справедливо при том усло-
вии, что поток может быть с достаточной точностью апроксимирован
тремя членами (рулевого, первого и второго порядка) разложения
в ряд. Вследствие того, что погиптегральный множитель е~^вг быстро
спадает с ростом г и становится весьма малым на расстояниях, пре-
вышающих две-три средние длины свободного пробега1), основной
вклад в нейтронную плотность потока дают рассеивающие центры,
находящиеся на расстояниях, меньших указанной величины, от рас-
сматриваемой точки (dS). Поэтому рассмотренное выше приближение
законно в том случае, когда изменение дф/dz на расстоянии порядка
двух-трех длин свободного пробега пренебрежимо мало.
Вблизи от более или менее концентрированного источника ней-
тронов или сильного поглотителя или вблизи границы двух сред,
обладающих неодинаковыми (с точки зрения нейтронной диффузии)
характеристиками, нейтронный поток быстро меняется с расстоянием.
В таких участках дФ/dz не будет мало, и приближения, приводящие
^Поскольку £а=1/Хв, где >8 — средняя длина свободного пробега по
отношению к рассеянию (см. гл. 3, § 16), множитель е ^ьГ спадает до е'3,
т. е. около 0,05 своей величины на расстоянии в три средних длины свобод-
ного пробега.—Прим. а^т.
Элементарная теория диффузии
111
к выражению (5.9), не будут справедливы. Однако уже на расстоя-
ниях в две-три средние длины свободного пробега от сильного источ-
ника или поглотителя или от грар'ицы благодаря сильному убыванию
множителя е “в поток может быть с вполне достаточной для наших
целей точностью апроксимирован тремя членами разложения в ряд,
так что для плотности потока нейтронов можно пользоваться выра-
жением (5.9).
Если заменить Fa IMs (где —средняя длина свободного
пробега по отношению к рассеянию), то выражения (5.7)—(5.9) для
нейтронных плотностей потока J_, J+ и результирующей плотности
потока в направлении z, Jz, принимают вид
о
(5.10)
Ф / дФ \
г ___
г 3U4’
(5.U)
(5.12)
Аналогично, для элементарной площадки, лежащей в плоскости у, zt
результирующая плотность потока нейтронов в направлении х дается
выражением
3 \дх)0'
(5.13)
а плотность потока нейтронов в направлении у [сквозь площадку
в плоскости (х, z)] равна
г Ъ f
v 3 Uy Л'
(5.14)
Если элементарная площадка ориентирована так, что нормаль к ней
не направлена вдоль одг ой из осей х, у, z, а образует с этими осями
углы а, р и -у соответственно, то результирующая плотность потока J
сквозь эту площадку равна сумме проекций вычисленных выше трех
компонент потока, т. е.
J = ~ -Г [(S)o cos “ + (^)0 cos ₽ + ©0 cos 4 (5.15)
Это выражение сводится к одному из выражений (5.12), (5.13) или
(5.14) при подстановке соответствующих значений а, р и т; напри-
мер, при а==р = 90°, т = 0° оно переходит в выражение (5.12)
для элементарной площадки, лежащей в плоскости х, у.
Как видно из выражения (5.15), результирующий поток нейтро-
нов сквозь единичную площадку зависит от ее ориентации и, сле-
довательно, является векторной величиной. Действительно, указан-
ное выражение представляет собой скалярное произведение двух
112
Гл. S. Диффузия нейтронов
лекторов N и J; первый из них есть единичный вектор нормали
к рассматриваемой элементарной площадке, т. е.
N = i cos a -J- j cos p -f- k cos 7,
в то время как
•где i, j, k — единичные векторы осей x, у, z. Пользуясь обычными
векторными обозначениями, можно записать результирующую плот-
ность потока J в виде
J — — у grad Ф, (5.17)
где gradФ — градиент Ф в точке, в которой определяется плотность
потока нейтронов.
§ 3. Уточнение элементарной теории диффузии,
основанное на кинетическом уравнении
При исследовании рассеивающих столкновений нейтронов с ядрами
атомов пользуются двумя системами отсчета. Этот вопрос довольно
подробно рассматривается в гл. 6, и сейчас будет достаточно крат-
кого введения. В лабораторной системе (система L) ядро-мишень,
на которое падает нейтрон, считается покоящимся перед столкнове-
нием. В системе центра инерции (система С) покоящимся считается
центр инерции совокупной системы нейтрон -|- ядро. Угол рассеяния
(т. е. угол между направлениями движения нейтрона до и после
отдельного столкновения) в системе L обозначается через <р, а в си-
стеме С — через 9. Как будет показано в гл. 6, § 4, эти углы свя-
заны между собой сравнительно простым соотношением.
Напомним, что в § 2 была постулирована изотропия рассеяния
нейтронов в лабораторной системе, т. е. отсутствие выделенного
направления, в котором рассеяние сталкивающегося с ядром нейтрона
происходило бы с большей вероятностью. Как будет показано в гл. 6,
§ 4, это приближенно справедливо для столкновений нейтронов с тяже-
лыми ядрами, а в общем случае имеет место преимущественное рас-
сеяние нейтронов вперед. Иными словами, в действительности рас-
сеяние анизотропно в лабораторной системе.
Поскольку теория диффузии оперирует только с нейгронной
плотностью и нейтронным потоком, с ее помощью нельзя должным
образом найти поправки на анизотропию рассеяния в системе L.
Однако исходя из теории, основанной на кинетическом уравнении,
можно показать, что в областях, отстоящих от границ и нейтронных
источников более чем на две-три средние длины свободного пробега,
Диффузионное приближение применимо, если в качестве коэффици-
Элементарная теория диффузии
113
ента диффузии D пользоваться выражением (правильным до членов
первого порядка относительно Ео/Е)
£> =------------
ЗЕ(1-Йо)(1
1______________
4 Ед | Ед Н)
5 Е Е 1 — |ль
(5.18)
где Е и Еа — полное макроскопическое эффективное сечение и ма-
кроскопическое эффективное сечение поглощения соответственно;
Но — средний косинус угла (однократного) рассеяния в системе L, т. е.
Но s cos Ф-
Справедливость диффузионного приближения вдали от границ и ис-
точников связана с тем, что в этих областях функция распределения
нейтронов слабо зависит от координат.
Если рассеяние в системе С йзотропно1), то средний косинус
угла рассеяния в системе L равен
4г
J* cos tydO
— о
Но— ’
о
где dO — элемент телесного угла. Подставляя dO — 2я sin 0 db (0 —
угол рассеяния в системе С) и выражение cos<p через cos 6:
, A cos 6 4-1 /к < пх
cos Ф -= —== ......................... (5.19)
Ул* + 2Л cos 6+ 1
(это выражение выводится- в гл. 6, § 4), имеем
- =1 Г Л cos 6 + 1
2 J Ул2+2Лсозе + 1
о
sin 0 db,
где А — массовое число рассеивающего ядра. Выполняя интегриро-
вание, получим
Но = ^’ <5'20>
таким образом, р0 убывает с увеличением массы рассеивающего
ядра.
i) Эксперимент показывает, что рассеяние нейтронов с энергиями дО
нескольких миллионов электрон-вольт изотропно, т. е. сферически симме-
трично, в системе С. В основе настоящего и последующего рассмотрений
{см. гл. 6, § 4) лежит допущение о наличии только этого типа рассеяния.—
Прим. авт.
8 Зак. 724. С. Глесстон. М. Эдлунд
114
Гл. б. Диффузия нейтронов
§ 4. Транспортная длина свободного пробега
В случае слабо поглощающей среды, когда (2О/Е)<^ 1» выраже-
ние (5.18) для коэффициента диффузии сводится к
(1 р-и)
(5.21)
где ввиду малости полное макроскопическое сечение S заменено
макроскопическим сечением рассеяния £в. Поскольку £S=1/AS, по-
лученная формула может быть записана и в другом виде:
D =----
3(1-но)
(5.22)
Величина 1/Ss(l — Но)> или ^«/(1— Но)» называется транспортной
длиной свободного пробега и обозначается через Af; таким образом,
(5.24)
1 —Но
так что в этом случае
£>=Л. (5.25)
О
С помощью выражения (5.19) легко убедиться, что для конечных
качений массового числа А угол рассеяния в системе L всегда
меньше угла рассеяния 0 в системе С, причем это различие умень-
н ается с возрастанием массового числа рассеивающего ядра. Другими
словами, если рассеяние в системе С изотропно, то в системе L
будет иметь место преимущественное рассеяние вперед — для сред
с малыми и средними массовыми числами А. Только для сред с боль-
шими массовыми числами из изотропии рассеяния в системе С выте-
кает изотропия рассеяния также и в системе L.
Согласно кинетической теории, длина свободного пробега по от-
ношению к рассеянию, фигурирующая в диффузионном приближении,
должна быть, в общем случае, заменена транспортной длиной сво-
бодного пробега. Следовательно, (5.17) принимает вид
J = — ^£га<1Ф =---------=.-grad$. (5.26)
d 3(1 —р-о)
Заметим, что, когда рассеивающие ядра обладают большим массо-
вым числом, |т0 = 2/3/1 пренебрежимо мало по сравнению с единицей,
так что Af As. В этом случае коэффициент диффузии, выведенный из
кинетической теории (для слабо поглощающей среды), совпадает
Элементарная теория диффузии
115
с полученным из элементарной теории диффузии. Этого и следовало
ожидать, поскольку постулируемая в элементарной теории изотропия
рассеяния в системе L осуществляется именно в предельном случае
большой массы рассеивающего ядра.
§ 5. Коэффициент диффузии и плотность
потока нейтронов
Резюмируем результаты проведенного рассмотрения. В случае при-
менимости закона Фика результирующая плотность потока нейтронов
может быть представлена в виде
J = —ДёгайФ. (5.27)
При этом для слабо поглощающей среды
'ft__________
3 32s (1-Йо)’
(5.28)
где р.0 = 2/ЗЛ, если рассеяние изотропно в системе центра инерции.
Соответствующие выражения для г-компонент плотности потока
нейтронов имеют вид
__ Ф D (дФ\ _ Ф
~ 4 ‘ 2 \ dz Jo 4- 6 \dz Jo ’
. Ф D /дФ\ Ф /дФ\
J+~ Т 4 6\дг/о’
j = _£>® = -^®
Jo 3 \dz Jo
Для углерода (графита) массовое число А равно
р0=12/(3. 12) = 0,055; следовательно, согласно (5.28),
А - 1 -
* Ls-0,945 0,945’
(5.29)
(5.30)
(5.31)
12, откуда
т. е. превышает Л8 примерно на 5%. С другой стороны, для во-
дорода Ро = 2/8, так что
— 3AS,
и поправка на анизотропию рассеяния становится существенной. Если
среда обладает заметной поглощающей способностью, но таково,
что уже (Sa/S)2 пренебрежимо мало, то для коэффициента диффузии
в (5.27) нужно пользоваться выражением (5.18).
§ 6. Вычисление утечки нейтронов из заданного объема
Быстрота ухода нейтронов из заданного элемента объема может
быть вычислена с помощью выведенных выше выражений для плот-
ности потока, если нейтронный поток Ф(х, у, г) известен как функция
116
Гл. 5. Диффузия нейтронов
пространственных координат. Пусть элемент объема dV, имеющий
вид прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz> распо-
ложен около точки с координатами х, у, z (фиг. 19). Рассмотрим
две его грани, параллельные плоскости х, у; площадь их равна dxdy.
Число нейтронов, входящих в элемент объема через нижнюю грань
за 1 сек., равно Jz dx dyt где Js — результирующая плотность потока
нейтронов в направлении г; аналогично, число нейтронов, выходящих
Фиг. 19. Вычисление утечки нейтронов.
Ш dV через верхнюю грань, равно JB+dzdxdy. Выражая плотности
потока нейтронов по формуле (5.31), находим результирующую „бы-
строту вытекания" нейтронов из заданного элемента объема сквозь
грани, параллельные плоскости х, у: i
(Л+Йз -JJdxdy = —D [(g)z+d3 - (g)J dxdy =
= -Dd-^dxdydz = -D^dV. (5.32)
Аналогично, уход нейтронов из dV сквозь грани, параллельные
плоскостям у, z ти х, z, определяется выражениями
— D-jridV и —Dj^dv,
ох2 оу2
а полный ежесекундный уход нейтронов из элемента объема dV—
суммой всех трех полученных членов. Деля эту сумму на dV, По-
лучаем быстроту утечки, отнесенную к единице объема, так что
Уравнение диффузии и его применения
117
окончательно:
Утечка нейтронов из единицы ,
Л 1 . Э2Ф | Э2Ф\ г>Т72А /К
объема за 1 сек. =— Z)( ' Dv2<P, (5.33)
\дхг 1 ду* 1 дг2)
где V2 — оператор Лапласа.
Формула (5.33) имеет в пределах применимости теории диффузии
к нейтронам совершенно общий характер. Оператор Лапласа целе-
сообразно выражать в таких координатах, которые наиболее удобны
для каждой данной задачи. Так, в прямоугольных координатах он
определяется как
72 = ^- + ^ + ^, (5.34)
v — дх2^ ду2^ dz2 v 1
тогда как в сферических координатах он имеет вид
m 3’ . 2 д . 1 д ( . д\ . 1 д2 /с qks
V ~ дг2 г дг + г2 sin е 30 (Sln‘6 Зв) + г2sin 0 3<?2 ’ (5-35)
а в цилиндрических координатах
гю__ З2 I 1 3 I 1 З2 । З2 /к ос\
дг2 ‘ г дг ‘ г2 302 дг2 * ( • )
Отметим, что формулу (5.33) можно было бы вывести прямо из
(5.27) или эквивалентной ей‘формулы (5.16) с помощью простейших
соотношений векторного анализа. Результирующая „быстрота выте-
кания* нейтронов, отнесенная к единице объема, равна дивергенции
вектора J, divJ, и, следовательно, согласно (5.27),
Утечка нейтронов из единицы
объема за 1 сек. — —Шу2)¥Ф =— 2)¥2Ф (5.37)
в согласии с (5.33), если D не зависит от координат.
УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
§ 7. Уравнение диффузии
В общем уравнении нейтронного баланса (5.1) член, выражающий
уход (в нейтронах на 1 ел8 за 1 сек.), согласно (5.33), равен —£>¥2Ф.
Поскольку указанный член входит в (5.1) со знаком минус, получаем
в уравнении баланса слагаемое 4№Ф.
Число нейтронов, поглощаемых в 1 см2 за 1 сек., равно ЕОФ,
где Хо — макроскопическое эффективное сечение поглощения (см.
гл. 3, § 14), так что член уравнения (5.1), дающий поглощение ней-
тронов, равен —ЕОФ. Подставляя полученные выражения для погло-
щения и утечки и обозначая интенсивность образования нейтронов
в 1 см& за 1 сек. через S, приводим уравнение баланса к виду
£>¥2Ф-2оФ + 5 = ^. (5.38)
118
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Это уравнение, обычно называемое уравнением диффузии, широко
используется в теории реакторов. Оно применимо только к моноэнер-
гетическим нейтронам и, кроме того, лишь на расстояниях, превы-
шающих два-три свободных пробега, от сильных источников, погло-
тителей или границ между неодинаковыми средами. На протяжении
всей книги мы будем пользоваться уравнением (5.38) для нахожде-
ния распределения нейтронного потока при самых различных усло-
виях.
§ 8. Граничные условия
Уравнение диффузии (5.38) является дифференциальным уравне-
нием, а такое уравнение не дает полного описания физической кар-
тины, поскольку общее решение его содержит произвольные посто-
янные интегрирования. Для того чтобы должным образом определить
значения этих постоянных, на решения дифференциального уравнения
налагаются ограничения в виде граничных условий, устанавливаемых
в соответствии с характером рассматриваемой физической задачи.
Число этих граничных условий должно быть достаточным для обес-
печения единственности решения, которое не должно содержать про-
извольных постоянных. Некоторые из
Грашща раздела
граничных условий, часто
используемых при решении
задач на отыскание нейтрон-
ных распределений с по-
мощью (5.38), рассмотрены
ниже.
Нейтронный поток
должен быть конечным и
неотрицательным в об-
ласти, где применимо
уравнение диффузии.
Это условие самоочевид-
но, поскольку нейтронный
поток не может быть беско-
нечным или отрицательным.
Он может быть, однако,
равен нулю, что и учтено
в приведенной выше форму-
лировке налагаемого на него
ограничения.
На плоской границе двух сред, обладающих различными диф-
фузионными характеристиками, результирующие плотности по-
тока нейтронов в направлении нормали к границе, а также ней-
тронные потоки равны.
Представим себе границу между двумя различными средами и рас-
смотрим две одинаковые малые площадки (Д и В на фиг. 20), рас-
положенные по обе стороны от границы и очень близко к ней. Все
х
Фиг. 20. Диффузия у плоской границы
раздела.
Уравнение диффузии и его применения
119
нейтроны, проходящие сквозь площадку А в положительном напра-
влении оси х, должны пройти в том же направлении и сквозь пло-
щадку В; следовательно, плотность потока нейтронов в сечении А
в направлении -J-x, т. е. Ja+, должна равняться плотности потока
(в том же направлении) в сечении В, т. е Jb+- Аналогичным обра-
зом убеждаемся в равенстве плотностей потока и J®— в напра-
влении — х; итак,
Ja4- = Jb+> Ja- = Jb—
Воспользовавшись соотношениями (5.29) и (5.30), получаем
ФА *Ad*A фв >в аФв
4 6 dx 4 6 dx
\а аФА _ФВ I ^в афв
4 6 dx 4 6 dx
(5.39)
Вычитание этих равенств дает
аФА . Лв d®B
3 dx 3 dx
Таким образом, результирующие плотности потока в направлении
оси х [ср. (5.31)], т. е. кпо нормали к границе, равны. Сложение
обоих равенств дает
Фд = Фв. (5.40)
Таким образом, на границе равны также и нейтронные потоки. Гра-
ничные условия вида (5.39) и (5.40) справедливы также и для тех
кривых поверхностей, для которых нейтронный поток не зависит от
угла, а именно для концентрических однородных сфер и бесконеч-
ных цилиндров.
Вблизи границы между диффузионной средой и пустотой ней-
тронный поток изменяется таким образом, что линейная экстра-
поляция приводит к обращению его в нуль на определенном
(так называемом экстраполированном') расстоянии за этой гра-
ницей.
Пусть плоскость у, г отделяет диффузионную среду (находя-
щуюся слева) от пустоты (находящейся справа). Ввиду отсутствия
рассеяния нейтронов из пустоты обратно в среду, поток нейтронов
в направлении —х на границе, т. е. при х = 0, равен нулю. Таким
образом, согласно (5.29),
J_ = ^4-4-^ = o, (5.41)
4 1 6 dx ’ v ’
где значок 0 означает, что соответствующие величины берутся при
х — 0. Нейтронный поток Фо на границе положителен, так что,
согласно (5.41), наклон dQJdx кривой распределения потока должен
быть отрицательным на границе, как показано схематически на
120
Гл. 5. Диффузия нейтронов
фиг. 21. Если проэкстраполировать распределение нейтронного потока
в область пустоты, пользуясь прямой с тем же наклоном d<bojdxt
Фиг. 21; Экстраполяция потока нейтронов у плоской
границы раздела.
что и на границе, то поток обратится в нуль на расстоянии d (от
границы), которое дается соотношением [ср. (5.41)]
Фо __ ^Фп 6Ф^
d dx $Kt
(5.42)
Таким образом, величина d, называемая длиной линейной экстра-
поляции *)» равна (для плоской границы между диффузионной средой
и пустотой)
d=^. (5.43)
О
Итак, согласно линейной экстраполяции, нейтронный поток должен
обращаться в нуль на расстоянии 2/3Af за плоскостью, отделяющей
диффузионную среду от пустоты. Это граничное условие иногда
формулируется следующим образом: нейтронный поток обращается
в нуль на экстраполированной границе, находящейся на расстоянии
(для случая плоской поверхности) 2/3Zt за физической границей.
Как указывалось выше, диффузионное приближение [на котором осно-
ван результат (5.43)] становится неприменимым на расстояниях от
гриницы меньших, чем две-три средние длины свободного пробега
по отношению к рассеянию. Следует ожидать поэтому, что найденное
выше значение длины линейной экстраполяции неправильно. Согласно
более точному рассмотрению, основанному на решении кинетического
уравнения, длина линейной экстраполяции у плоской поверхности
*) Иногда d называется также (Эффективной добавкой". — Прим. авт.
Уравнение диффузии и его применения
121
слабо поглощающей среды равна 0,7104 Af (вместо 2/gAf). В соответ-
ствии с этим при пользовании теорией диффузии для получения более
правильных результатов помещают экстраполированную границу на
расстоянии 0,71 Xt за действительной плоской границей диффузионной
среды и пустоты.
Необходимо подчеркнуть, что требование обращения в нуль,
нейтронного потока на экстраполированной границе не означает,
что нейтронный поток действительно равен нулю на этом расстоянии.
Введение воображаемой границы, на которой в результате линейной,
экстраполяции исчезает поток, является лишь удобным математическим
приемом, используемым для получения простого граничного условия..
Следует отметить, что и теория, основанная на кинетическом уравне-
нии, не утверждает, что нейтронный поток действительно обращается
в нуль на расстоянии экстраполяции, равном 0,71 Xf. Согласно этой
теории, ход кривой, изображающей нейтронный поток как функцию
расстояния, испытывает сильное изменение в пределах приграничного
слоя толщиной порядка средней длины свободного пробега (фиг. 22).
Для того чтобы рассматриваемое граничное условие могло быть
использовано, в сочетании с теорией диффузии, для нахождения рас-
пределения нейтронного потока, на заметных расстояниях от гра-
ницы производится (на основе кинетической теории) так называемая
асимптотическая линейная экстраполяция кривой распределения, исходя
из ее участка, не слишком близкого к физической границе. Исполь-
зование получающейся при этом длины экстраполяции 0,71 в соче-
тании с теорией диффузии во многих случаях дает удовлетворитель-
ное приближение *).
1) Длина экстраполяции оказывается ббльшей для кривых поверхностей;;
для границы, обладающей бесконечной кривизной (т. е. радиусом кривизны,
равным нулю), она равна 4/3Х^.—Прим. авт.
122 , Гл. 5. Диффузия нейтронов
Метод экспериментального определения транспортной длины сво-
бодного пробега нейтронов (тепловых) в заданной среде основан на
предположении, что нейтронный поток экстраполируется к нулю
на расстоянии 0,71 ).t от физической границы. В нескольких точках
среды, отстоящих от ее границы более чем на два-три свободных
пробега, но и не слишком удаленных от нее, измеряется нейтронный
поток (или плотность). Затем полученные значения линейно экстра-
полируются с целью нахождения расстояния, на котором поток обра-
щается (кажущимся образом) в нуль х).
§ 9. Решение уравнения диффузии; волновое уравнение
Мы будем здесь решать уравнение диффузии (5.38) для частного слу-
чая, когда система находится в стационарном состоянии, так что произ-
водная нейтронной плотности по времени равна нулю; в этом случае
уравнение диффузии имеет вид
/)?2ф —£оФ4-5 = 0. (5.44)
Если источник нейтронов представляет собой точку, линию или
•плоскость, то член уравнения 5, дающий образование нейтронов
и часто называемый мощностью источника, равен нулю всюду, за
исключением места, в котором находится сам источник. Для отыска-
ния распределения нейтронного потока в этих случаях дифферен-
циальное уравнение вначале решается в области вне источников (т. е.
при 5 = 0), а затем на полученное решение в местах нахождения
источников налагаются должные граничные условия (они будут рас-
смотрены ниже). Если положить 5=0, то уравнение (5.44) сводится
к однородному вигу, применимому всюду, кроме самого источника:
£>¥2Ф — Х«Ф —0, (5.45)
или
?2ф —х°Ф = 0, (5.46)
где
(5.47)
Поскольку Ха имеет размерность обратной длины, a D — длины,
х2 имеет размерность квадрата обратной длины.
Уравнение вила (5.46) часто называется волновым уравнением,
так как оно аналогично тому, которое описывает распространение
волн в пространстве. Общие решения волнового уравнения для
различных геометрий могут быть получены хорошо разработанными
методами. Частное решение каждой конкретной задачи может быть
после этого найдено при помощи соответствующих граничных условий.
*) Экспериментальные значения £)=^/3 приведены в табл. 8.—Прим. авт.
Уравнение диффузии и его применения
123
§10. Точечный источник в бесконечной среде
Рассмотрим точечный источник в бесконечной однородной диф-
фузионной среде, испускающий 1 нейтрон за 1 сек. Выберем систему
координат с началом в точечном источнике; в этой системе распре-
деление нейтронов, очевидно, будет сферически симметричным. Удобно,
далее, выразить оператор Лапласа V2 в уравнении (5.46) в сфери-
ческих координатах согласно (5.35). Поскольку распределение ней-
тронного потока сферически симметрично, т. е. не зависит от углов 6
и ф, члены, содержащие производные по углам, равны нулю. Таким
образом, однородное уравнение (5.46) принимает вид
<РФ <2 d<b
dr2 ' г dr
х2Ф = 0,
(5.48)
где г — расстояние от точечного источника; это уравнение, разу-
меется, несправедливо в точке г= 0, в которой находится источник.
Для рассматриваемой задачи граничные условия таковы:
I. Поток Ф конечен всюду, за исключением источника, т. е. при
всех г > 0.
II. Полное число нейтронов, проходящих сквозь поверхность
сферы (4кг2), должно равняться мощности источника при стремлении
радиуса г к нулю. Если J — плотность потока нейтронов на поверх-
ности сферы, то это условие, называемое условием источника,
выражается следующим образом:
lim 4 к г2 J = 1,
Г->0
поскольку источник, по предположению, испускает один нейтрон
за 1 сек.
Для решения уравнения (5.48) положим Ф = м/г; тогда уравнение
приводится к виду
— х2а=0. (5.49)
dr2 4 '
Поскольку х2, определенное соотношением (5.47), является величиной
положительной, общее решение уравнения (5.49) имеет вид
так что
Ф = Д^+С^, (5.50)
где А и С — произвольные постоянные *), подлежащие определению
из граничных условий. Из первого граничного условия очевидно,
!) Мы избегаем пользоваться буквой В для обозначения произвольной
постоянной, поскольку В имеет специальный смысл в теории реакторов.—
Прим. авт.
124
Гл. 5. Диффузия нейтронов
что С должно быть равно 0, ибо в противном случае поток стано-
вился бы бесконечным при г —> со; таким образом, остается опреде-
лить только А.
Плотность потока нейтронов в точке на расстоянии г равна
где dA'jdr получено дифференцированием (5.50) с учетом того, что
С= 0. Следовательно,
lim 4№J = lim 4к DAe~*r (yr -}- 1).
r->0 r->0
Согласно второму граничному условию, т. е. условию источника, эта
величина должна быть равна единице, откуда
А — 1
“ 4«О •
Подставляя это значение А (а также С= 0) в (5.50), получаем окон-
чательно
Это выражение дает стационарное распределение нейтронного
потока вокруг точечного источника в бесконечной среде, испускаю-
щего ежесекундно 1 нейтрон. Нужно отметить, что поток в каждой
точке заданной среды (т. е. при постоянных D и х) зависит только
от расстояния г до источника. Следовательно, если в среде находятся
одновременно два или большее число точечных источников, то поток
в любой точке может быть получен суммированием потоков, давае-
мых каждым отдельным источником. Вообще, произвольный источник
можно рассматривать как составленный из большого числа точечных
источников, так что решение в общем случае дается суперпозицией
решений для точечного источника.
§ 11. Бесконечный плоский источник
Представим себе бесконечный плоский источник, испускающий
нейтроны с равномерной мощностью 1 нейтрон с 1 см? за 1 сек.
в бесконечной однородной среде. Выберем систему координат так,
чтобы плоскость источника была плоскостью х = 0. Ввиду бесконеч-
ной протяженности источника очевидно, что при заданном значении х
поток Ф не будет зависеть от у и z. Оператор Лапласа в прямо-
угольных координатах сводится, следовательно, к d2/dx2, так что одно-
родное уравнение диффузии (5.46) в рассматриваемом случае имеет вид
(5.52)
^-х2Ф = 0.
dx2
Уравнение диффузии и его применения
125
Граничные условия таковы:
I. Поток Ф должен быть конечным всюду, за исключением плос-
кости х = 0.
II. У плоскости источника плотность потока J равна 0,5 нейтрона
на 1 смй за 1 сек.
lim 7 = 0,5. (5.53)
Я!->0
Для пояснения этого условия источника рассмотрим малую площадку А
в непосредственной близости от плоскости источника (фиг. 23). Резуль-
тирующая плотность потока нейтронов сквозь эту площадку склады-
вается из нейтронов, приходящих непосредственно от источника (они
Плоскость источника
Диффузия
От источника
От источника
l__Диффузия
X
Фиг. 23. Плотность потока нейтронов у плоскости
источника.
движутся в направлении Ц-х), и нейтронов, диффундирующих сквозь
площадку в обоих направлениях Ц- х и — х. Для площадки, распо-
ложенной очень близко к плоскости источника, диффузия в этих двух
противоположных направлениях будет практически одинаковой и, сле-
довательно, не даст вклада в (результирующую) плотность потока
нейтронов сквозь площадку А. Таким образом, результирующий ток
нейтронов в непосредственной близости от плоскости источника
:(а следовательно, и на самой этой плоскости) определяется ней-
тронами, идущими непосредственно от источника в направлении -|-х.
Поскольку нейтроны из источника вылетают в одинаковом числе
в обоих направлениях -{-хи —х (как показано на фиг. 23), оче-
видно, что если мощность источника S выражается числом нейтронов,
испускаемых с 1 слР за 1 сек., то результирующая плотность потока
нейтронов у плоскости источника равна 1/25.
126
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Общее решение уравнения (5.52) имеет вид
ф = Ае~*х -j- Се'х,
(5.54)
и его можно рассматривать как относящееся к абсолютным значе-
ниям х, т. е. | х | (поскольку поток Ф симметричен относительно
плоскости х = 0). В таком случае постоянная С в (5.54), согласно
первому граничному условию, должна равняться нулю; в противном
случае поток Ф неограниченно возрастал бы при х -> со. Из условия
источника II имеем
lim J
lim DA*e-*x — DA* — 0,5.
откуда
A ~ 2->.D
Подставляя в (5.54) это значение А (а также 0 = 0), приходим
к результату
Ф
е-ХО!
2x0 ’
(5.55)
Это выражение дает стационарное распределение вдоль направления х
нейтронного потока от бесконечного плоского источника, испускаю-
щего 1 нейтрон с 1 см? за 1 сек. Как указывалось выше, х озна-
чает здесь абсолютную величину координаты х.
В § 10 было указано, что любой нейтронный источник можно
рассматривать как составленный из большого числа точечных источ-
ников и что распределение потока Ф может быть получено как
Фиг. 24. Решение для плоского источника
как суперпозиция решений для точечных
источников.
суперпозиция распределе-
ний от отдельных источ-
ников. Это можно проил-
люстрировать на примере
вычисления распределения
потока Ф от бесконечного
плоского источника. По-
скольку результат будет
применим к любой функ-
ции, обладающей этим
свойством суперпозиции,
мы рассмотрим сначала
общий случай.
Выделим колечко с
радиусом а и шириной da,
лежащее в плоскости,
как показано на фиг. 24; площадь этого колечка равна 2itarfa,
так что его можно считать составленным из 2r.ada точечных источ-
ников. Обозначим через Оточ. (г) значение функции, обладающей выше-
указанным свойством суперпозиции, в точке наблюдения Р, располо-
Уравнение диффузии и его применения
127
женной на оси х (проведенной через центр колечка по нормали к плос-
кости источника) на расстоянии г от колечка. Тогда в той же точке
соответствующая функция, обусловленная рассматриваемым колечком,
будет равна Оточ. (г) 2т.а da. Для получения значения в точке Р функ-
ции Одд., обусловленной всем бесконечным плоским источником, нужно
проинтегрировать эту величину по всем значениям а от 0 до со;
таким образом,
СО
Одл. = J* Отоя. (/) 2raz da. (5.56)
о
В рассматриваемом случае Оточ. (г) есть поток, создаваемый
точечным источником на расстоянии г; величина его дается форму-
лой (5.51); тогда поток, создаваемый бесконечным плоским источни-
ком, согласно (5.56), равен
со . со
/р—хг 1 /* л—хг
2tCada = -^f—a da. (5.57)
о о
Обозначая через х координату точки Р, как видно из фиг. 24, имеем
г2 = а2-[-х2,
откуда
г dr = a da. (5.58)
Производя с помощью этого соотношения замену переменной в (5.57),
имеем
оо
ф= i>Se~xrdr
X
(пределы интегрирования по г, соответствующие пределам 0 и оо
для а, равны, очевидно, х и оо). Выполняя интегрирование, находим
в согласии с полученным ранее результатом (5.55).
§ 12. Бесконечный плоский источник в среде
конечной толщины
Если нейтроны от бесконечного плоского источника диффунди-
руют в слой бесконечной протяженности, во конечной толщины, то
распределение потока оказывается несколько отличным от получен-
ного в рассмотренном выше случае, в котором толщина диффузионной
среды считалась бесконечной. Чтобы получить результаты, поддаю-
щиеся сравнению с предыдущими, предположим, что источник рас-
положен в плоскости симметрии рассматриваемого слоя. Путем тех жа
128 Гл. б. Диффузия нейтронов
рассуждений, что и выше, приходим ко второму граничному условию
(условию источника, см. § 11).
Общее решение (5.54) справедливо и в рассматриваемом случае.
Однако ввиду того, что диффузионная среда обладает конечной тол-
щиной, теперь уже нельзя отбросить второй член этого решения. Для
определения произвольных постоянных А к. С необходимо ввести,
кроме граничных условий для плоского источника в среде бесконеч-
ной толщины, добавочное граничное условие. Это добавочное условие
состоит в том, что поток должен обращаться в 0 на (воображаемой)
Фиг. 25. Распределение потока для плоского
источника в конечной среде.
экстраполированной границе (см. § 8). Обозначим через а половину
толщины слоя, включая длину экстраполяции 0,71 Af (фиг. 25); под-
становка х — а в (5.54) должна обращать поток в нуль, т. е.
Фо = А е~*а Сех“ = 0,
откуда
С —— Де-2»а.
Подставляя это значение С в (5.54), приводим общее выражение
для распределения потока к виду
Ф = А [е-*® — е~х (5.59)
Для определения А воспользуемся, как прежде, граничным усло-
вием, согласно которому у плоскости источника плотность потока
Уравнение диффузии и его применения
129
нейтронов в направлении -\~х равна 0,5; таким образом,
lim J — lim Г— D= lim DA* [е-™ -|-е-Л&г-»)] —
а>-*0 “Л/ ш->0
= DA* (1 + е~*а) = 0,5,
откуда
д —_________________________________!______
2х£) (1 4-е-2’») •
Окончательно, согласно (5.59), распределение потока в стационарном
состоянии имеет вид
При очень большом а, т. е. для бесконечной среды, величины е~’ i2»-®)
и е-2ха исчезающе малы, и выражение (5.60) переходит, как и должно
быть, в (5.55).
Формулу (5.60) можно переписать в другом виде, вводя гипербо-
лические функции:
sha = -^-(eu — е_“) и ch a — 1(ем-4-е_“);
умножая числитель и знаменатель выражения (5.60) на е’°, получаем
(5.61)
2v.D ch юг v 1
Некоторое представление о влиянии конечной толщины диффу-
зионной среды можно получить из фиг. 26, на которой представлено
отношение потока Ф к мощности источника S (выраженной в ней-
тронах с 1 см- за 1 сек.) как функция расстояния, х от плоского
источника для бесконечной среды и для конечной среды трех
различных толщин, таких, что ха=1, ха = 2 и ха = 31). При этом
приняты значения х = 0,02 см-1 (значение х для графита) и D = 0,90 см.
Мы видим, что распределение потока для случая ха = 3 мало
отличается (за исключением области вблизи границы) от распределения
для Случая бесконечной среды. Этот результат носит весьма общий
характер, и ха является важным параметром, определяющим быстроту
убывания нейтронного потока с расстоянием от бесконечного плоского
источника. Итак, если толщина среды (включая длину экстраполяции)
равна или больше примерно 3/х, то ход Ф в пределах области 1/х
от источника практически совпадает с ходом Ф для случая бесконеч-
ной среды. Величина 1/х называется (см. § 14) дифсбузионной длиной
нейтронов в данной среде, и справедливо следующее общее утвер-
ждение: если толщина среды по меньшей мере втрое больше диффу-
1) Поскольку (5.61) неприменимо в месте нахождения самого источника,
кривые не продолжены вплоть до х — 0. — Прим. авт.
9 Зак. 724. С. Глесстои, М. Эдлунд
130
Гл. 5. Диффузия нейтронов
зионной длины, то среду можно рассматривать как бесконечную на
расстояниях от границы, превышающих одну диффузионную длину.
Остановимся еще на физическом смысле результатов, предста-
вленных на фиг. 26. В бесконечной среде утечки нейтронов нет.
но в слоях конечной толщины она будет иметь место. Если толщина
слоя в 3 или более раза превышает диффузионную длину, то большинство
нейтронов рассеивается обратно, не достигнув границы, так что
Фиг. 26. Распределение потока для плоского источника в среде
конечной толщины.
уход нейтронов оказывается очень малым. Для слоев меньшей толщины
потеря нейтронов больше, что приводит к более быстрому спаду
потока к границе. Это очень заметно выражено в случае, когда
экстраполированная толщина равна диффузионной длине, т. е. ха= 1.
В этом случае лишь сравнительно небольшая часть нейтронов успевает
рассеяться обратно, не достигнув границы, так что имеет место
заметный спад потока даже вблизи плоскости источника.
§ 13. Плоский источник и два слоя конечной толщины
Случай бесконечного плоского источника нейтронов, диффунди-
рующих в два смежных слоя различных веществ, обладающих беско-
нечной протяженностью, но конечной толщиной, интересен в том
отношении, что он иллюстрирует использование введенного в § 8
Уравнение диффузии и его применения
131
граничного условия — условия непрерывности потока Ф и результи-
рующей плотности потока J на границе двух сред.
Введем для различения обоих веществ значки 1 и 2 (фиг. 27),
так что и £>i относятся к слою, ближайшему к источнику, a Хд
и £>„ — к другому слою. Обозначим через а толщину слоя 1 и
через b — суммарную толщину обоих
слоев, включая длину экстраполяции
0,71 Z#(2). Как и прежде, будем рас-
сматривать распределение потока
только по направлению -j-x; для
бесконечного плоского источника
поток не зависит от у иг. Источ-
ник возьмем с такой мощностью, что
плотность потока нейтронов в напра-
влении -f-x у плоскости источника
равна 5 нейтронов с 1 см? за
1 сек.1).
Для каждого из слоев справед-
ливо уравнение вида (5.52), общие
решения которого [ср. (5.54)] имеют
вид
ф* = A -j- СгеЧг! (5.62)
и
Фа = -f- С2е*^. (5.63)
Таким образом, имеется четыре
произвольных постоянных, которые
Фиг. 27. Распределение потока
для плоского источника в двух
средах конечной толщины.
могут быть определены с помощью такого же числа граничных
условий:
I. Условие источника: lim J+=5.
а?-> 0
II. Поток обращается в нуль на экстраполированной границе
внешнего слоя, т. е. Ф2 —0 при х—Ь.
III. Нейтронные потоки в обоих слоях равны на границе между
ними, т. е. Ф, = Ф2 при х = а.
IV. Результирующие плотности потока нейтронов равны на гра-
нице между слоями, т. е. Jt = Jn при х = а.
Из условия I получаем
lim J+
-> 0
lim
Dlt№t\ л (Dfi-i j Ц /Wi
’U '4/ 2
*) Следует заметить, что этот случай несколько отличен от рассмотрен-
ного в § 11; в последнем плоский источник считался расположенным в среде,
так что в плоскости источника или вблизи нее имелось „равновесие* между
нейтронами, диффундирующими в противоположных направлениях.—
Прим. авт.
о*
132
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Из (5.63) и граничного условия II следует, что
А^е~*& С^е*^ — О,
или
Поскольку, согласно условию III, потоки Ф равны на границе
между слоями, т. е. при х — а, из (5.62) и (5.63) следует, что
Аге~^а -(- = А2е~^ -(- С2еж«°.
Наконец, условие IV требует равенства результирующих плотностей
.потока на границе между слоями, т. е. = J2, или
1 dx dx
При х = а. Следовательно, из (5.62) и (5.63) имеем
D-fa (Л1е-Х‘а — С^") = (Л2е—*а — С2е^°).
Полученные нами из четырех граничных условий соотношения
представляют собой, таким образом, систему четырех уравнений для
четырех неизвестных А1Г Л2, С, и С2; решая эту систему и под-
ставляя найденные значения постоянных в (5.62) и (5.63), получаем
полное решение поставленной задачи.
ДИФФУЗИОННАЯ ДЛИНА
§ 14. Смысл диффузионной длины
Рассмотрение, проведенное в данной главе, относилось к моно-
энергетическим нейтронам. В тепловом реакторе имеются, конечно,
нейтроны с энергиями в интервале от нескольких миллионов до малых
долей электрон-вольта. Даже тепловые нейтроны не обладают все
одной и той же энергией; но, как указано в гл. 3, § 15, в слабо
поглощающих средах они ведут себя примерно как моноэнергетические
нейтроны с должным образом усредненными величинами сечения
поглощения и средней длины свободного пробега. Ввиду того,
что непосредственный интерес представляет здесь для нас поведение
тепловых нейтронов, последующее рассмотрение будет относиться
именно к этим нейтронам, причем будут использованы результаты,
полученные ранее для моноэнергетических нейтронов.
Поскольку распределение потока Ф вокруг точечного источника
известно [оно дается формулой (5.51)], можно вывести выражение
для среднего расстояния, на которое смещается тепловой нейтрон
от точки его образования го точки, в которой он поглощается.
Однако вместо вычисления первого пространственного момента (как
требовалось „бы в этом случае) предпочтительнее, имея в виду после-
дующее рассмотрение, вычислить второй пространственный момент,
Диффузионная длина
133
который дает средний квадрат смещения теплового нейтрона от
точки его образования до точки захвата.
Рассмотрим точечный источник и обозначим через Ф поток
в нейтронах на 1 см? за 1 сек. на расстоянии г от источника. Число
нейтронов, поглощаемых в 1 с-и3 за 1 сек., равно £0Ф, где —макро-
скопическое эффективное сечение поглощения рассматриваемой среды.
Число нейтронов, поглощаемых за 1 сек. в элементарном сфери-
ческом слое радиуса г и толщины dr (т. е. в объеме 4w2dr), окру-
жающем точечный источник, равно 4~г2Л-£яФ. Эта величина есть
мера вероятности того, что нейтрон будет поглощен в пределах
элемента dr на расстоянии г от источника; следовательно, средний
квадрат смещения нейтрона от источника до места его поглощения, г2,
равен
j°r2(4r.r2S„®)dr
'2 = ~~----------— • (5.64)
I" 4яг2ЕоФ dr
о
В этом выражении Ф — поток вокруг точечного источника, выра-
жаемый формулой (5.51), так что (5.64) принимает вид
СО
j* r3e-'rdr
§ re~wdr
о
Как указывалось выше, диффузионная длина L нейтронов
в среде определяется как величина, обратная х, и потому имеет раз-
мерность длины; итак,
L = 1 = 1/" §-см, (5.66)
х Г Ln
так как, согласно (5.47), >? определено как £я D. Следовательно,
согласно (5.65), имеем
£2=1Л (5.67)
т. е. квадрат диффузионной длины равен 1/6 среднего квадрата
расстояния по прямой, на которое смещается нейтрон от точки,
в которой он становится тепловым, до точки захвата.
Если в выражении (5.55) для диффузии от плоского источника
в бесконечной среде заменить х на 1/L, то получается выражение
вида
Ф = Ae~x'L.
(5.68)
134
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Следовательно, в этом случае диффузионная длина совпадает с длиной
релаксации, т. е. с расстоянием, на протяжении которого нейтронный
поток спадает в е раз.
Подставляя выражение (5.18) для коэффициента диффузии,
получаем из (5.66)
с точностью до членов первого порядка по S„/S включительно.
Для слабого поглотителя это выражение принимает вид
l=x2 = 3veSa(l— jT0);
для диффузионной среды с большим массовым числом последнее
выражение сводится к
. — — у
£2 “‘‘«А»’
поскольку в этом случае, согласно (5.20), ^0<СС1-
(5.69)
§ 15. Измерение диффузионной длины
Если бы можно было построить практически бесконечный одно-
родный плоский источник тепловых нейтронов в бесконечной среде,
то диффузионная длина могла бы быть определена из измерений
хода потока Ф с расстоянием от источника. В самом деле, из (5.68)
следует, что
d In Ф 1
dx L'
так что график экспериментальных значений in Ф в функции х (х — рас-
стояние от источника) должен быть прямой линией с наклоном —1/L.
Однако действительные эксперименты приходится производить
с конечными источниками в конечных средах, и результаты их
не могут быть проанализированы на основе полученного выше простого
выражения для случая плоского источника в бесконечной среде.
В бесконечной среде нет результирующей потери нейтронов вслед-
ствие утечки, а в конечной среде утечка имеет место, и это должно
быть учтено при интерпретации экспериментальных данных.
Рассмотрим длинный прямоугольный параллелепипед замедляющего
вещества (диффузионная длина в котором подлежит измерению) с малым
источником быстрых нейтронов, например, полониево-бериллиевым
или радиево-бериллиевым (см. гл. 3, § 1) на одном конце. Если
вещество представляет собой достаточно хороший замедлитель, то
уже на сравнительно малом расстоянии от источника большая часть
нейтронов замедлится до тепловых энергий (см. примечание на
стр. 142 и гл. 6, § 26).
Диффузионная длина
135
Таким образом, на не слишком большом расстоянии от источника
нейтронный поток Ф оказывается таким, как если бы он происходил
от распределенного плоского источника практически тепловых ней-
тронов. Поэтому для нижеследую-
щего рассмотрения можно принять,
что точечный источник быстрых
нейтронов обусловливает наличие
распределенного плоского источника
тепловых нейтронов.
Пусть этот плоский источник
тепловых нейтронов расположен при
г = 0 поперек длинной призмы из
исследуемого материала (фиг. 28).
Обозначим размеры призмы по осям
хну, увеличенные каждый на двой-
ную длину экстраполяции, через а й Ъ
соответственно; длину призмы в по-
ложительном направлении оси г
(включая длину экстраполяции) обо-
значим через с.
Волновое уравнение для положи-
тельных значений z имеет вид
Фиг. 28. Прямоугольный парал-
лелепипед для определения диф-
фузионной длины.
УаФ — х2Ф = О,
а граничные условия к нему таковы:
I. Поток всюду конечен и неотри-
цателен.
П. Поток обращается в нуль на •
экстраполированных границах:
а) у, zj = O, т. е. Ф = 0 при x = rt-j,
б) Ф^х, ±|, z^ = 0, т. е. Ф = 0 при у = rtу,
в) Ф(х, у, с) — О, т. е. Ф = 0 при z — c.
III. Условие источника, которое будет рассмотрено позже.
В прямоугольных координатах волновое уравнение имеет вид
(5 70)
дх* ду- дг- Ф '°- '
Предположим, что переменные х, у, z разделяются, т. е. будем искать
решение этого уравнения в виде
Ф=Х(х)Г(^)2(г), (5.71)
где Х(х)— функция только х, Y(у)— только у и Z(z) — только z.
Подставляя (5.71) в (5.70), приводим это уравнение к виду
1 (fiX . 1 (fiY . 1 (fiZ 9 _
— -----1— —- -I —- — уУ О.
X dx3
Y dy*
Z dz-
(5.72)
136
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Каждый из первых трех членов уравнения (5.72) является функ-
цией только одной независимой переменной, и потому его значение
не должно зависеть от значений остальных членов. Поскольку х2
постоянно, это условие может быть выполнено лишь в том случае,
если каждый из членов в (5.72) есть постоянная; таким образом,
1 X а-х — dx* (5.73)
1 У <PY . Qy dy2 (5-74)
1 Z d-Z о d# 4 ’ (5.75)
где а2, р2 и f2 — положительные вещественные величины, причем
_а2 —р24-72—х2==0. ,(5.76)
Знаки перед а2 и Р2 были выбраны правильно, как будет ясно
вскоре. Характер решений дифференциального уравнения вида
g + ft2X=0 (5.77)
зависит от того, является ли k2 положительной или отрицательной
величиной. В первом случае (й2 > 0) решением является сумма мнимых
экспонент, которая может быть представлена в виде суперпозиции
синуса и косинуса:
X — A cos kx -f- С sin kx. (5.78)
С другой стороны, если й2 < 0, то решением является сумма веще-
ственных экспонент или суперпозиция гиперболического синуса и
гиперболического косинуса
X = A ch kx + С sh kx, (5.79)
где А и С—произвольные постоянные.
Требуемое решение рассматриваемой задачи может быть получено
с помощью граничных условий. По предположению, поток Ф всюду
конечен и неотрицателен и обращается в 0 на экстраполированных
границах; кроме того, распределение Ф должно быть симметричным
по координатам х и у, поскольку источник расположен в центре
одной из плоскостей х, у. Следовательно, распределение потока
будет иметь такой вид, как изображено на фиг. 29.
Условие симметрии исключает члены с sin и sh (поскольку они
не симметричны), так что постоянные С (см. выше) должны равняться 0.
Далее, требование обращения потока в нуль на экстраполированной
границе исключает член, содержащий ch, поскольку chkx монотонно
возрастает с ростом |х|. Таким образом, единственным допустимым
решением является
X — A cos kx,
Диффузионная длина
137
а это означает, что для соблюдения условий рассматриваемой задачи &2
должно быть положительно. Отсюда очевидно, что если а2 и р2
считаются положительными, то они должны быть взяты со знаком
минус, как и написано в (5.73) и (5.74). В соответствии с этим
если ч2 считается положительным, то оно должно войти в (5.75) со
знаком плюс, поскольку х2 — вещественное положительное число.
Итак, из сказанного выше следует, что решение уравнения (5.73)
должно иметь вид
X — A cos ах. (5.80)
Однако условию Па можно удовлетворить, если положить
а — т~1, 3, 5,... (5.81)
с т, равным нечетному целому числу. В этом случае при х — а/2,
т. е. на экстраполированной границе, имеем
v(а\ , тт. п
X (yj = A cos -j- = 0
(поскольку косинусы нечетных кратных тс/2 равны 0), что и требуется-..
Итак, частное решение уравнения (5.73), удовлетворяющее гра^
ничному условию Па, имеет следующий вид:
ДГ Л ГТГТЬЛ 4 Л г*
Xm = Amcos—^~ , т=1, 3, 5,...
338 Гл. 5. Диффузия нейтронов
Аналогично, условие Нб удовлетворится, если положить
? = (5-82>
так что решение уравнения (5.74) имеет вид
— Вп cos , n = 1, 3, 5, ...
Переходя к уравнению (5.75), замечаем, что, поскольку есть
вещественная положительная величина, решения должны иметь вид
(5.79); таким образом,
Z = Cj ch уг С2 sh 7г, (5.83)
где Сг и С2— постоянные. Из граничного условия Пв, требующего
обращения Z в нуль при z — c, получаем
О — С\ ch ус -|- С2 sh 7с,
откуда
г — _ г с1и'с
2 1 sh ус'
Подставляя это значение С2 в (5.83), получаем
Z = CjChv —С, ^shv =
Г'
= -(sh 7с ch yz — ch yc sh yz)—Cs sh [7 (c — z)], (5.84)
где постоянная величина sh 7c включена в Cs.
Представляя теперь sh [7 (с — z)] в виде разности двух экспонент,
имеем
Z = [еу(с-^_ е-т(с-3)| == Се-Н[1 — е~21 (5.85)
где постоянная e'ic включена в С. Если, что и было предположено
выше, размер параллелепипеда вдоль оси z весьма велик, то величина
в квадратных скобках близка к единице, так что (5.75) принимает
вид
Z=Ce-R (5.86)
Согласно (5.76), 72 = х2а2£2 и, поскольку а и р могут
принимать ряд значений [вида (5.81) и (5.82)] для различных т и п,
для каждой пары (»i, п) будет существовать 7, определяемое соот-
ношением
у* + (5.87)
I \ а } \ b )
так что решение уравнения (5.75) имеет следующий вид:
7 — С (5.88)
Диффузионная длина
139
В соответствии с (5.71) простейшим решением волнового урав-
нения является произведение X, Y и Z, но в силу линейности этого
уравнения решением его будет также и любая сумма таких произ-
ведений. Следовательно,
СО оо
ф = 2 S Ат» C0S C0S e~1mnS • <5-89)
т-1 п=1
где соответствующие три произвольные постоянные объединены в Атп.
Это решение удовлетворяет граничным условиям Па и Пб, но для
определения коэффициентов Атп (для различных значений т и л)
необходимо ввести условие источника.
Рассмотрим точечный источник тепловых нейтронов, расположенный
в начале координат и испускающий ежесекундно S нейтронов. Рас-
пределение источников, отвечающее этому случаю, можно записать
в виде S8(x, у) при г = 0, где 8(х, у) есть дельта-функция
Дирака. Последняя, по определению, равна нулю всюду, кроме
точки х = 0, у = 0, а в этой точке она принимает значение такое,
что
f 8(х, y)dxdy = 1, (5.90)
—оо —co
и потому
оо
f S8(x,
“ОО “Оо —оо —оо
Как следствие этого определения дельта-функции получаем
ОО
ff(x)b(x)dx=f(O), (5.92)
—СО
где /(0) — значение f(x) при х — 0. Если/(х) представляет мощность
нейтронного источника, то (5.92) равносильно соотношению
J S (х) 8 (х) dx = S (0) = S,
“ОО
y)dxdy = S J* j*8(х, y)dxdy — S. (5.91)
поскольку S — мощность источника в начале координат. Этот результат
легко может быть обобщен на случай двух переменных х и у; при
этом получается соотношение (5.91).
Для определения коэффициентов Атп нужно прежде всего раз-
ложить (заданное) распределение источников в ряд по ортогональным
функциям (удовлетворяющим граничным условиям), обращающийся
140 Гл. 5. Диффузия нейтронов
в S8(x, у) при г==О; этот ряд имеет вид
СО со
S8(x, j)= 2 2 Smn cos cos ’ <5-93)
m=l n=l
где Smn— коэффициенты, связанные с мощностью источника.
Для нахождения величин Smn умножим обе стороны равенства (5.93)
на cos(&^x/a) cos (1г.у/if) и проинтегрируем по х от —а/2 до а/2
и по у от —д/2 до Ь/2. В силу ортогональности косинусов на
интервалах от —а/2 до а/2 и от —Л>/2 до Ь/2 все члены с m^k
и п+1 дадут нули. Следовательно,
а/2 Ь/2
S j j 8 (х, у) cos cos п~~ dx dy =
-а/2 — Ь/2
а/2 Ь/2
= Smn J cos2 ^-dx J cos2-dy.
—a,'2 —b/2
Интегралы в правой части равны а/2 и Ь/2 соответственно, а' инте-
грал в левой части, согласно (5.90), равен единице; таким образом,
= (5-94)
Условие источника, которому должно удовлетворять наше реше-
ние, состоит в том, что число нейтронов, оттекающих от плоскости
г = 0 (с 1 см2 за 1 сек.), должно равняться числу нейтронов, испу-
скаемых источником, причем это должно выполняться почленно, т. е.
для каждой пары значений (т, п). Поскольку решение задачи было
формально ограничено областью положительных значений z, то, как
следует из рассуждений § 11, плотность потока J при z = 0 для
каждой пары (т, п) равна половине числа испускаемых нейтронов
(для тех же т, и). Результирующая плотность потока в направле-
нии z при г = 0 для фиксированных (т, и) дается формулой (5.31),
примененной в данном случае к Фтга из (5.89); при этом получаем
. г. . ткх пг.у
J-mn dz ^S а
Это должно равняться половине числа нейтронов, испущенных источ-
ником (для данных ту и); согласно (5.93) и (5.94), она равна
1 /4$\ тг.х пку
-К-(—г ) CCS---COS—;— .
2\ab/ a b
Приравнивая друг другу оба выражения, находим
А - 25
тп аЬГп^ *
Диффузионная длина
141
Таким образом, приходим к следующему окончательному выражению
для потока Ф:
28 'П 'П 1 тг,х nr.y -г е
2^cos^-cos —е ВД-(5.95)
М = 1 Я=1
Полученное выражение состоит из главного члена с m— 1, п — 1
и ряда более высоких „гармоник" с другими нечетными значениями т
и п. Каждый из членов при удалении от источника экспоненциально
спадает со своей длиной релаксации равной 1/утоп. Как видно из
(5.87), утп возрастает с ростом т и п, так что высшие гармоники
спадают с расстоянием быстрее, чем главный член; поэтому на доста-
точном расстоянии от источника величина нейтронного потока Ф прак-
тически полностью определяется главным членом.
Для иллюстрации того, как зависит от z вклад различных гармо-
ник в полный поток Ф, были проделаны вычисления для графита
с Л1=1, п = 1, т~\, п—Ъ (то же, что /п = 3, п = 1) и т = 3,
п = 3. Диффузионная длина была принята равной 50 см, так что
х2 = 1/Л2 = 4 • 10_* см~2', кроме того, было принято а = b = 222 см,
что, с точки зрения действительного эксперимента, является разумной
величиной. По этим данным с помощью (5.87) вычислены значения уп,
Tig и Тзз- Затем, полагая х — 0, у = 0 в (5.95), можно получить ход
потока Ф вдоль оси z.
На фиг. 30 отложены вычисленные отсюда отношения Ф^Фн
и Ф83/Фп как функции г. Как можно видеть, на расстояниях от
источника, равных или превышающих удвоенную диффузионную длину
(т. е. около 100 см), вклады более высоких гармоник в полный
поток становятся очень малыми. То же, как показывает вычисление,
справедливо и для распределения Ф вдоль любой прямой, парал-
лельной оси z. Имея в виду все вышесказанное, заключаем, что для
измерений, производимых на расстояниях от источника тепловых ней-
тронов, превышающих примерно две диффузионные длины, поток
определяется практически только главным (т=1, п=1) членом
ряда (5.95). Таким образом, изменение потока Ф вдоль любой пря-
мой, параллельной оси z, т. е. для любых фиксированных х и у,
дается формулой (5.95) в следующем упрощенном виде:
Ф (z) = const • е-Г1,г,
так что
d In Ф (г)
di — — Тп-
В соответствии с изложенным при экспериментальном
нии диффузионных длин определяют нейтронный поток Ф
ных расстояниях от источника (вдоль прямой, параллельной оси г)
путем облучения индиевых фолы и измерения их индуцированной
(5.96)
(5.97)
исследова-
на j азлич-
142
Гл. 5. Диффузия нейтронов
р-активности!). Затем строится (в функции z) график логарифмов
активностей насыщения (см. гл. 3, § 18), которые пропорциональны
1п Ф (г); наклон линейного участка этого графика (для значений г,
не слишком близких ни к источнику, ни к концу призмы), согласно
2, см
Фиг. 30. Относительные вклады высших гармо-
ник как функции расстояния от источника.
(5.97), дает величину (—тп). На фиг. 31 представлены некоторые
результаты действительных экспериментов с графитом; значение
равно 0,0325 см~1. Зная т1Х, можно вычислить х по формуле (5.87),
J) В каждой точке следует измерять кадмиевое отношение, т. е. отно-
шение активностей фольги без кадмиевого покрытия и с таким покрытием
(см. гл. 3, § 26). Постоянство этого отношения означает, что испущенные
источником быстрые нейтроны полностью замедлились до тепловых энергий
в той области замедлителя, в которой производится определение диффузион-
ной длины. — Прим. авт.
Диффузионная длина
143
переписанной в виде (т = п— 1):
(5.98)
В эксперименте, [результаты которого;;; представлены на фиг. 31,
и = Ь= 175,7 см (включая длину экстраполяции); отсюда х2 =
= 4,108 • IO-4 см~2, [а. диффузионная длина;-/. = 1/х равна 49,3 см„
Расстояние от источника ,см
Фиг. 31. Экспериментальные данные для
определения диффузионной длиннее графите.
Интересно отметить, что члены (я/д)2 и (я/#)2 учитывают утечку
нейтронов через боковые грани параллелепипеда, имеющего конечные
размеры а и b в направлениях х и у. Если бы эти размеры были
бесконечны, то упомянутые поправочные члены были бы равны нулю;
J 44
Гл. 5. Диффузия нейтронов
в этом случае не было бы утечки нейтронов и свелось бы
к тц. Поток тепловых нейтронов спадал бы тогда с ростом z по закону
{см. (5.96)] Ф (г) = const • е-®/ь, совпадающему по форме с законом
(5.68) убывания Ф в случае диффузии от плоского источника тепло-
вых нейтронов в бесконечной среде.
§16. Поправки на высшие „гармоники" и наличие торцов
Если гармоники Ф13 и Ф88 вносят заметный вклад в поток тепло-
вых нейтронов, то в измеренные вдоль оси z активности индиевых
фольг необходимо внести поправку. Величины активностей пропор-
циональны потоку, который, согласно (5.95), в данном случае можно
приближенно представить в виде
Ф (г) = const • e“r“e [ 1 + YneTuS (— e-baS-{—- 4- — е-*338'
L 1 111 \113 1 181 1 1зз
где величина в квадратных скобках есть так называемый „поправоч-
ный множитель, учитывающий гармоники".
В первом приближении диффузионная длина определяется в пре-
небрежении более высокими гармониками, после чего с помощью (5.87)
вычисляются у18, f31 и у33. Затем экспериментально измеренные актив-
ности индиевых фольг делятся на поправочный множитель и резуль-
таты наносятся, как и в § 15, на график, дающий новое значение уц,
а следовательно, и диффузионной длины. В случае необходимости
всю эту процедуру можно повторять до тех пор, пока вновь полу-
ченное значение диффузионной длины не совпадет (с требуемой сте-
пенью точности) с предшествующим.
Экспоненциальный спад (поправленного) потока вдоль направле-
ния z вошел во все наши формулы благодаря приближению (5.86),
которое несправедливо вблизи торца призмы, т. е. для z, близких к с.
График зависимости 1пФ(г) от z для точек вблизи верхнего торца
призмы будет отклоняться от прямой линии благодаря влиянию вто-
рого члена в скобках в (5.85), которым мы ранее пренебрегли. Этот
член называется „поправочным членом, учитывающим влияние торцов";
если разделить измеренные значения потока на 1 — g-2!!®-®), то лога-
рифмы поправленных величин лягут на прямую для всех значений z,
кроме самых малых. Чтобы ввести указанную поправку, необходимо
знать у и с; ориентировочное значение у может быть получено из
наклона линейной зависимости In Ф (z) от z для точек, не слишком
близких к верхнему торцу или к основанию. После этого к логариф-
мам поправленных значений потока для получения уточненного значе-
ния у может быть применен метод наименьших квадратов. Методом
последовательных приближений величина у, использованная для по-
правки на влияние торцов, приводится к совпадению с величиной,
полученной по методу наименьших квадратов из наклона графика
Ди Ф (z) как функции z.
Диффузионная длина
145
Экстраполированная высота с блока может быть получена несколь-
кими способами. Один из них состоит в нахождении такого значе-
ния с, немного превышающего измеренную (геометрическую) высоту,
при котором экспериментальные точки наилучшим образом уклады-
ваются на прямую. Другой способ сводится к измерению потока
вблизи верхнего торца экспериментального блока и нахождению точки,
в которой результаты измерений экстраполируются к нулю. Третий
способ состоит в измерении потока в трех равноотстоящих точках,
лежащих на одной вертикальной оси; если координаты этих точек
равны г, z-J-e и г-|-2г, а наблюденные нейтронные потоки равны Фх,
Ф2 и Ф# соответственно, то, как можно показать с помощью (5.86),
chTs = -^§^ (5.99)
И
th[T(C-z-e)]=-|l±^thTe. (5.100)
Поскольку Фх, Ф2 и Ф3 известны, из (5.99) может быть опреде-
лено значение chye, а значит и th уе, после чего с помощью (5.100)
может быть вычислен th [у (с — z — е)). Так как z и е известны, то
с помощью ориентировочного значения у можно оценить с. Результат
этот может быть улучшен путем использования все более точных
значений у, полученных описанными выше способами. После этого
становится возможным ввести поправку, учитывающую наличие тор-
цов, а затем из наилучшего линейного графика поправленных значе-
ний In Ф (z) в функции расстояния по вертикали z берется его наклон
(равный —7П). Наконец определяется х2, как описано выше.
§ 17. Экспериментальные результаты
В табл. 8 собраны значения диффузионной длины L, макроскопи-
ческого эффективного сечения поглощения и коэффициента диф-
фузии D для тепловых нейтронов в четырех важных замедляющих
веществах. Напомним, что, согласно (5.66), LP-DI^. Поскольку
значения этих величин зависят от плотности, в таблице выписаны
также и значения плотностей.
Таблица 8
ДИФФУЗИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАМЕДЛИТЕЛЕЙ
ПО ОТНОШЕНИЮ К ТЕПЛОВЫМ НЕЙТРОНАМ
Замедлитель Плотность, г[см* L, см Го.сл 1 D. см
Вода (Н2О) 1,00 2,88 0,017 0,142
Тяжелая вода (D2O) . . 1.1 100 0,000080 0,80
Бериллий 1,84 23.6 0,0013 0,70
Углерод (графит) . . . 1,62 50.2 0,00036 0,903
Ю Зак, 724. С. Глесстоя, М. Эдлунд
146
Гл. 5. Диффузия нейтронов
ДИФФУЗИОННЫЕ ФУНКЦИИ влияния
§ 18. Интегральная форма решения уравнения диффузии;
диффузионные функции влияния для бесконечной среды
Согласно (5.51), нейтронный поток на расстоянии г от точечного
источника, испускающего 1 нейтрон за 1 сек. (в бесконечной среде),
равен
лч в-'*
ф = ———-.
4л£)г
Этот результат можно записать в более общем виде так, чтобы он
давал для точки наблюдения, характеризуемой радиус-вектором г,
значение потока, обусловленного точечным источником, находящимся
в точке с координатами г0:
е-х | г—г0 |
4лО|г —г0| '
(5.101)
Для нахождения потока от распределенного источника нейтронов,
характеризуемого плотностью распределения S(r0) (выраженной
в нейтронах в 1 ел3 за 1 сек.), можно поступить следующим
образом. Элемент объема drQ около точки г0 ежесекундно испускает
5(r0)rfr0 нейтронов. Эти испущенные источником нейтроны дают
вклад йФ нейтронов на 1 смй за 1 сек. в нейтронный поток в точке г,
причем, согласно (5.101),
ЙФ
| r-r01
4п£)|г —г0| 5 dr°'
В силу линейности уравнения диффузии поток в точке г от всего
распределенного источника является суперпозицией потоков, обуслов-
ленных точечными источниками. Полный поток в точке г от распре-
деления источников S (г0) получается интегрированием полученного
выражения £?Ф по всему пространству:
/ х | г-г01
^^)4дД|г-гс|^ <5-102>
По всему
простран-
ству
Стоящая под знаком этого объемного интеграла функция влияния,
равная
_-х |г-г, I
(5.103)
называется диффузионной функцией влияния для точечного источ-
ника. Физический смысл GT04., как показывает сравнение с (5.101),
следующий: это есть поток в точке г от точечного источника,
находящегося в точке г0 и испускающего 1 нейтрон за 1 сек.
Диффузионные функции влияния
147
Вид диффузионной функции влияния зависит от геометрии источ-
ника. Для случая плоских источников в бесконечной среде диф-
фузионная функция влияния может быть получена прямо из решения
уравнения диффузии для плоского источника в бесконечной среде
[см. (5.55)]. Диффузионная функция влияния для плоского источ-
ника, равная потоку от источника, расположенного в плоскости хй
и испускающего 1 нейтрон с 1 см? за 1 сек., имеет вид
е-х I aj-oio I
Оди. —
(5.104)
а поток в плоскости х, обусловленный распределением плоских источ-
ников 5(х0), равен
Ф(х)= J S(x0)e 2^D ° dxo- (5.105),
По всему
простран-
ству
Следует отметить, что поскольку х имеет размерность обратной
длины, a D — размерность длины, диффузионная функция влияния
-'для плоского источника безразмерна. Следовательно, как видно из
(5.105), S(x0) должно быть числом нейтронов, отнесенным к 1 см1
плоскости источника, к 1 см расстояния по нормали к этой плоскости
и к 1 сек. Тогда S(x^dx^ будет выражено, как и должно быть,
в тех же единицах, что и поток, т. е. как число нейтронов с 1 ел2
за 1 сек.
Вполне аналогично тому, как распределение потока для плоского
источника может быть выведено путем интегрирования из распреде-
ления для точечного источника (см. § 11), можно получить диффу-
зионную функцию влияния для плоского источника из диффузионной
функции влияния для точечного источника. В этом и состоит общий
метод определения диффузионных функций влияния для источников
различных геометрий, например сферической поверхности, цилиндри-
ческой поверхности и т. д. Найденные этим методом функции влияния
для ряда важных случаев сведены в табл. 9 *). Некоторые примене-
ния диффузионных функций влияния к решению задач, относящихся
к ядерным реакторам, будут изложены в дальнейшем.
Следует отметить, что полученные выше диффузионные функции
влияния применимы только к случаю бесконечной среды. В соответ-
ствии с этим они являются, так сказать, „функциями смещения”,
т. е. зависят только от расстояния от источника до точки наблюдения.
В случае среды конечных размеров функции влияния уже не являются
„функциями смещения”, а имеют более сложный вид, учитывающий
влияние границ среды на нейтронный поток.
!) Символами /0 и (в функциях влияния для линии и цилиндрической
поверхности) обо качены модифицированные функции Бесселя первого и
второго рода нулевого порядка (см. фиг. 50). — Прим. авт.
148
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Таблица 9
ДИФФУЗИОННЫЕ ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЫ
Геометрия источника Обозначение Нормировка мощности источника за 1 сек. Функция влияния
Точка °10ч. («•’ г') 1 нейтрон е-*1г-г'1 4r.D |г — г' |
Плоскость °пл. (Х’ х') 1 нейтрон с 1 см2 e-x|®-a/ | 2v.D
Линия Олин. (г-Ч.г', <?') 1 нейтрон с 1 см р2 = г2 + г'2 — 2rг' COS (</ <f)
Сфериче- ская поверхность О0ф. (<» '•') 1 нейтрон с поверх- ности радиуса г' Sr.rr'v.D( '
Цилиндриче- ская поверх- ность °цил. (г- г') 1 нейтрон с поверх- ности радиуса г' и единичной длины 1 r>r' 21zD \Ко(*г')10(*г), r<r'
АЛЬБЕДО 1)
§ 19. Альбедо в теории диффузии
При исследовании ядерных реакторов с отражателями мы встре-
чаемся с таким положением, когда две различные среды (обозначае-
мые в дальнейшем через А и В) соприкасаются друг с другом. При
этом нейтроны образуются в первой из этих сред (например, в актив-
ной зоне реактора), но не во второй (например, отражателе); однако
не все нейтроны, диффундирующие из среды с источниками А
в среду В, остаются в последней, так как часть из них рассеивается
обратно из В в А В рамках приближений, которые делаются в из-
ложенной выше элементарной теории диффузии, оказывается возмож-
ным определить коэффициент отражения, или альбедо, среды В
как величину, зависящую только от свойств этой среды, но не от
свойств среды с источниками А, с которой она соприкасается.
!) См. [1] и [3].—Прим. авт.
Альбедо
149
Определим альбедо р среды В как
а________________________^вых.
(5.106)
32), т. е. Лых.> совпадает
А
(источник)
где Лых. и Лх. — плотности потока нейтронов, выходящих из среды В
и входящих в нее соответственно на границе со средой А. Таким
образом, альбедо есть доля тех входящих в среду В нейтронов, ко-
торые отражаются (или рассеиваются) обратно в среду с источниками.
Поток нейтронов из среды В, пересекающий поверхность раздела
ее с находящимся слева источником (фиг.
с равным (5.29); аналогично, /в1. совпа-
дает с 7+, равным (5.30). Таким образом,
согласно элементарной теории диффузии,
альбедо равно
Ь
(отоопатель)
ф D йФ
4 1 2 dx
Ф D d<b
4 2 dx
2D йФ
1 "Г Ф dx
2D йФ '
Ф dx
(5.107)
'ex.
где значения Ф и бф/dx берутся на по-
верхности раздела среды с источниками и
отражающей среды. Если нужно выразить
альбедо через характеристики среды В, то
D, Ф и dfyjdx на границе раздела можно
рассматривать как относящиеся именно к
показать, что в силу непрерывности нейтронного потока Ф и плот-
ности потока нейтронов J на границе раздела (см. § 8) значения Ф
и £>(«?Ф/Ле) можно относить как к В, так и к А.
Ф и г. 32. Альбедо на пло-
ской границе раздела среды
с источниками и отражателя.
этой среде. Однако легко
§ 20. Вычисление альбедо
Поскольку Ф и е?Ф/<7х зависят от геометрии системы, от нее
будет зависеть также и альбедо. Для иллюстрации сказанного рас-
смотрим несколько простых случаев.
Случай I. Слой бесконечной толщины с плоской границей.
Если отражающая среда представляет собой слой бесконечной
толщины с плоской границей, то нейтронный поток Ф спадает как е-*х
[ср. (5.55)]; следовательно, dfy/dx изменяется как —хе-*®, так что
(5.107) принимает вид
1 — 2x0
14-2x0 '
(5.108)
150
Гл. 5. Диффузия нейтронов
Если, как это часто бывает, хО мало по сравнению с единицей, фор-
мула (5.108) сводится к
р 1 — 4x0.
Таким образом, для слоя бесконечной толщины альбедо может быть
вычислено по коэффициенту диффузии и х (х — величина, обратная
диффузионной длине). Некоторые результаты этих вычислений для
тепловых нейтронов приведены в табл. 10.
Случай II. Слой конечной толщины с плоскими границами.
Если а — толщина слоя (включая длину экстраполяции), то поток
спадает с расстоянием от границы раздела по закону (5.61), который
можно записать в виде
Ф — Csh [х(а — х)],
где через С обозначен (постоянный) знаменатель выражения (5.61).
Отсюда
—=—^С ch [х (а — х)].
Таким образом, согласно (5.107), альбедо равно
о__ 1 2xD cth ха zc .
1+2x0 cth ха • (5.109)
При а -> оо (т. е. и ха —> оо) cth ха -> 1, так что для слоя беско-
нечной толщины (5.109) сводится, как и должно быть, к выраже-
нию (5.108).
Поскольку cth ха есть положительная величина, изменяющаяся от оо
(для ха = 0) до 1 (для ха = оо), альбедо для слоя конечной тол-
щины, равное (5.109), меньше, чем для слоя бесконечной толщины,
причем это различие уменьшается с ростом толщины слоя а. Физи-
ческий смысл этого результата состоит в том, что нейтроны выте-
кают из конечного слоя, вследствие чего число нейтронов, могущих
рассеяться назад, уменьшается. Эта утечка нейтронов убывает с уве-
личением толщины слоя. При этом, когда ха равно всего лишь 1,5,
значение cth ха спадает уже до 1,105, а для ха = 2,0 имеем
cth ха = 1,037, так что значение альбедо для слоя конечной толщины
отличается от значения для бесконечно толстого слоя не более чем
на несколько процентов. Итак, отражательные свойства слоя, тол-
щина которого не меньше Примерно удвоенной диффузионной длины
(т. е. а/Л = ха^-2), практически совпадают со свойствами беско-
нечно толстого слоя.
В табл. 10 выписаны некоторые значения альбедо для бесконечно
толстого слоя и для слоя толщиной 40 см, вычисленные по форму-
лам (5.108) и (5.109) соответственно, с использованием данных
табл. 8.
Альбедо
151
Таблица 10
АЛЬБЕДО ДЛЯ СЛОЕВ БЕСКОНЕЧНОЙ И КОНЕЧНОЙ
ТОЛЩИНЫ
Вещество Бесконечный СЛОЙ Конечный слой (40 ел) а',1
Вода 0,821 0,821 14
Тяжелая вода . . 0,968 0,919 0,40
Бериллий .... 0,889 0,881 1,7
Графит 0,930 0,892 0,80
Имея в виду значения a/L в последнем столбце, убеждаемся в том,
что альбедо конечного слоя действительно начинает практически со-
впадать с альбедо бесконечной среды при толщинах, превышающих
Ф и г. 33. Альбедо на поверхности раздела
сферического источника и бесконечной среды.
примерно вдвое диффузионную длину. Интересно, между прочим,
отметить большие значения альбедо для этих замедлителей: почти 90%
тепловых нейтронов, падающих на слой графита толщиной 40 см,
отражается обратно.
Случай III. Бесконечная среда, окружающая сферу.
Е,сли область А (сфера радиуса R, в центре которой находится
симметричный источник нейтронов) окружена бесконечно толстым
отражателем В (фиг. 33), то поток в области В, т. е. при r"^R,
152
Гл. 5. Диффузия нейтронов
равен (начало координат выбираем в центре сферы)
Л. Се-*г
Ф =-------.
На границе раздела, т. е. при r=^R,
1 d®
Ф dr
так что, согласно (5.107),
1-2d(« + ±)
р ( 1 \ *
1+2D(*+i)
(5.110)
Как и следовало ожидать, это выражение при R -> оо переходит
в выражение (5.108) для бесконечного слоя с плоской границей.
Сравнение (5.110) и (5.108) показывает, что альбедо на внутрен-
ней сферической поверхности меньше, чем на бесконечной плоской
поверхности. Физическая причина этого заключается в том, что ве-
роятность того, что нейтрон, продиффундировавший на заметное рас-
стояние внутрь среды В, будет рассеян обратно, зависит от телес-
ного угла, под которым из данной точки видна область источника.
В случае бесконечной плоской поверхности этот телесный угол бли-
зок к 2«, но для сферы конечного радиуса он, очевидно, будет го-
раздо меньше (тем меньше, чем меньше радиус сферы).
§ 21. Альбедо и диффузионные характеристики
Как видно из (5.108), (5.109) и (5.110), альбедо, вообще говоря,
велико при малом х£>. Поскольку 1/L, это условие означает, что
D/L должно быть малб или, другими словами, коэффициент диффузии
(или транспортная длина свободного пробега) должен быть мал по сравне-
нию с диффузионной длиной. Для среды, удовлетворяющей этому
условию, альбедо близко к единице, т. е. большинство нейтронов,
достигающих поверхности раздела, отражается обратно к источнику.
Как будет видно в гл. 10, это обстоятельство имеет важное значение
в связи с выбором отражателя для ядерного реактора.
§ 22. Альбедо как граничное условие]
Одно из применений альбедо состоит в замене граничного условия
на поверхности раздела между средой с источниками А и конечной
диффузионной средой В, не содержащей источников (ср. рассмотрен-
ный выше случай П). Согласно (5.107),
, 2Р t/Ф 2D t/Ф \
1 ~Г Ф dx — fV Ф dx)
Альбедо
153- ;
(f) — альбедо), что после преобразования дает
1 аФ 1
Ф dx 2D
(1Z=L\
(5.111)
где Ф и бФ/dx берутся на поверхности раздела обеих сред.
Если среда В имеет вид слоя конечной толщины, как показано
на фиг. 34, то, согласно (5.109),
о 1 —2х£) cth хГ Р 1 4-2xD cth хТ ’ А В
где Т — толщина слоя В, включая длину экстраполяции. Подставляя это значение р в (5.111), получаем 1 ЙФ .. т -яг--;— = — х cth х7, Ф dx * г
1
ИЛИ = — xDcthxT, (5.112) Ф dx ’ v 7 что может быть использовано в качестве граничного условия. Действительно, из сравнения (5.39) и (5.40) видно, что на границе DA аФА ж _ DB афВ _ т
Фиг. 34 нич Альбедо как гра- ное условие.
Ф4 dx Фв dx *
и, следовательно, (5.112) может быть записано в виде
Da <&а
Ф4 dx
*в£>в cth хв7,
(5.113>
где значки А и В относятся соответственно к каждой из сред. Ис-
пользуя это граничное условие для решения задачи в § 13 (полагая
Т=Ь — а), можно показать, что оно эквивалентно комбинации гра-
ничных условий IV и 111.
Длина линейной экстраполяции у границы раздела равна [ср. (5.42)[
dФJdx ’
где d — расстояние от границы раздела, на котором проэкстраполи-
рованный (линейно) поток обращается в нуль. Следовательно, со-
гласно (5.111),
_ 2Xf
3
\ 1 — Р/
(5.114)
где коэффициент диффузии D заменен на At/3 [ср. (5.25)[. Согласно»
более точной теории, основанной на кинетическом уравнении (ср. § 8)г
154
Гл. 5. Диффузия нейтронов
полученное соотношение видоизменяется следующим образом:
rf = O,71A#(4±|). (5.115)
Это граничное условие весьма полезно, когда конечная среда В столь
тонка, что теория диффузии неприменима (см. § 2). В этом случае
коэффициент диффузии и транспортная длина свободного пробега
относятся к среде А. Когда роль среды В играет пустота, аль-
бедо р равно нулю и (5.115) сводится к (5.43), тогда как (5.114)
дает значение rf, указанное в § 8.
§ 23. Альбедо и число пересечений границы раздела
При прохождении нейтронов из среды А в среду В альбедо
среды В есть вероятность отражения нейтронов, падающих из А на В.
Аналогично, альбедо среды А есть вероятность отражения нейтронов,
падающих из В на А. Альбедо каждой из сред связано со средним
числом пересечений их Гранины раздела одним нейтроном. Обозначим
через а альбедо среды А для нейтронов, падающих из В на А,
я через Р — альбедо среды В для нейтронов, падающих чз А. Вычис-
лим теперь среднее число пересечений границы раздела, совершаемых
нейтроном при прохождении из среды А в среду В.
Вероятность того, что нейтрон, идущий из А, отразится от В,
равна р и, следовательно, вероятность того, что он лишь один раз
пересечет границу раздела, равна 1 — р. Вероятность того, что доля р
нейтронов, отраженных обратно в А, отразится снова в В, равна «р,
и соответственно вероятность того, что каждый из нейтронов пере-
сечет границу 2 и только 2 раза, равна Р(1 — а). Вообще, вероят-
ность того, что нейтрон при переходе из среды А в среду В пере-
сечет границу раздела ровно п раз, равна
р(п) = (ар)(”-1)/2(1-Р),
где п — нечетное целое число. Среднее число пересечений границы
раздела п, совершаемых нейтроном при переходе из А в В, равно
2 пр (и)
— п=1, 3, 5, . . ,__ _
оо
2 рю
п=1, 3,S,. . .
== 1+3(аР) + 5(а^ + 7(аР)8 + ... __ 1 + ар Г5 1161
1+(“Р) + (аР)2 + (аР)3+..- 1 —а₽’ ’
Если внутри бесконечно протяженной области провести вообра-
жаемую плоскость, то а становится равным Р и (5.116) дает среднее
число пересечений выделенной в среде воображаемой плоскости,
Задачи
155
совершаемых нейтроном при переходе с одной ее стороны на другую;
таким образом, в этом частном случае
Например, если средой является графит и размеры ее бесконечны
(т. е. (3 = 0,93), то и =14.
§ 24. Экспериментальное определение альбедо
Метод экспериментального определения альбедо некоторой среды
состоит в следующем. В среду помещается источник медленных ней-
тронов; затем в удобном месте (достаточно далеко от границ) поме-
щается тонкая фольга из металла, становящегося радиоактивным
в результате поглощения медленных нейтронов, но в то же время
обладающего не слишком большим сечением поглощения. Пусть еже-
секундно о каждую из сторон фольги ударяются v медленных нейтро-
нов; если бы ни один из них не проходил сквозь фольгу, то об нее
за 1 сек. ударялось бы 2v нейтронов. В действительности, однако,
часть нейтронов пройдет сквозь фольгу, а затем возвратится и вновь
ударится об нее (вероятность этого события равна 3 — альбедо среды).
Часть этих нейтронов еще раз пройдет сквозь фольгу, возвратится
обратно и вновь ударится; вероятность этого равна, очевидно, {Э2.
Полное ежесекундное число ударов нейтронов о фольгу, таким обра-
зом, равно
2v(l+₽ + ₽2 + ...) = I^_.
Предположим теперь, что одна сторона фольги закрыта кадмие-
вым листочком, поглощающим практически все нейтроны, ударяю-
щиеся о фольгу с этой стороны. Медленные нейтроны будут теперь
ударяться о фольгу лишь с одной стороны, а те, которые пройдут
сквозь фольгу, не возвратятся обратно. Число ударов в 1 сек. будет
равно v, и поскольку активность фольги пропорциональна числу уда-
ряющихся об нее нейтронов, имеем
Активность фольги без кадмия 2м 1 2
Активность фольги с кадмием 1 — р v ~~ 1 — р "
Таким образом, из измерений активности тонкой фольги в этих двух
случаях можно определить альбедо среды.
ЗАДАЧИ
1. Изотропный точечный источник тепловых нейтронов расположен
в центре однородной среды с эффективным сечением рассеяния Е8 и эффек-
тивным сечением поглощения Ео. Среда представляет собой сферу радиуса /?,
находящуюся в пустоте.
156
Гл. 5. Диффузия нейтронов
а) Какова вероятность ухода нейтронов источника из сферы при Еа = О?
б) Имея в виду, что в практических случаях Eg=/=0, найти вероятность
ухода нейтронов из сферы при S8=H=O. В чем состоит физически причина
различия вероятности ухода нейтронов в двух вышеуказанных случаях? Вы-
числить эту вероятность для графита в обоих случаях.
2. Найти.нейтронный поток в бесконечной среде от бесконечно длинного
линейного источника, испускающего 1 нейтрон с 1 см в 1 сек., двумя спо-
собами: а) используя диффузионную функцию влияния для точечного источ-
ника; б) непосредственно решая краевую задачу.
3. В каждом кубическом сантиметре бесконечной среды ежесекундно
рождается Q тепловых нейтронов.
а) Чему равен поток тепловых нейтронов?
б) В среду помещается плоская индиевая фольга толщиной 0,0025 см,
которую можно считать бесконечно протяженной в двух других измерениях.
Вычислить обусловленное этим искажение нейтронного потока, а также ин-
тенсивность активации каждого квадратного сантиметра фольги, если среда
представляет собой (I) Н2О, (II) графит.
4. На плоскую грань большого графитового блока падают /0 нейтронов
(на 1 см2 за 1 сек.). Считая, что блок занимает все полупространство х 0,
а нейтроны падают со стороны х<0, вычислить нейтронный поток в блоке.
Какая доля нейтронов отражается?
5. Вывести поправочный множитель, учитывающий «гармоники*, который
нужно вводить (при измерении диффузионной длины) в данные, снятые
в точках оси z ести вместо одного расположенного на оси источника имеются
два одинаковых источника в точках с координатами х = ± 1/4я, у = 0, z = 0.
Поперечное сечение системы считать квадратом, т. е. а = Ь. В чем состоит
преимущество такого устройства?
ЛИТЕРАТУРА
1. Amaldi Е„ Fermi Е„ Phys. Rev., 50, 899 (1936).
2. W a 11 а с е Р. R„ L е Caine J., Elementary Approximations in the Theory
of Neutron Diffusion, N. R. C. 1480. National Research Council of Canada;
Nucleonics, 4, № 2, 30 (1949); 4, № 3, 48 (1949).
3. Placzek G., The Science and Engineering of Nuclear Power (ed. by
C. Goodman), Vol. II, Chap. 7, New York, 1949 (см. перевод: «Научные
и технические основы ядерной энергетики" под ред. К. Гудмена, т. II,
Глава 6
ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
§ 1. Введение
В изложенной выше теории диффузии нейтронов предполагалось,
что все нейтроны обладают одной и той же (например, тепловой)
энергией. Между тем, как указывалось в гл. 4, при делении испу-
скаются быстрые нейтроны, которые затем замедляются в результате
соударений с ядрами замедлителя. Это обстоятельство имеет важное
значение для теории тепловых реакторов, поскольку среднее расстоя-
ние по прямой, на которое смещается нейтрон с момента своего
рождения (в качестве быстрого нейтрона) до достижения им тепло-
вой энергии, определяет утечку нейтронов в процессе замедления.
Следовательно, это среднее расстояние имеет прямое отношение
к критическим размерам реактора (см. гл. 4, § 12).
После общего очерка механики упругих столкновений мы рассмот-
рим задачу о замедлении в среде, в которой непрерывно генерируются
быстрые нейтроны. Эту задачу мы разобьем на две части; вначале
будет рассмотрено распределение нейтронов по энергиям, безотноси-
тельно к их координатам, а затем — пространственное распределение
нейтронов, обусловленное их диффузией в процессе замедления.
Именно этот второй аспект задачи тесно связан с вопросами об утечке
нейтронов и критических размерах ядерного реактора.
§ 2. Механика упругого рассеяния
Как было показано в гл. 3, замедление быстрых нейтронов обу-
словлено почти целиком упругим рассеянием нейтронов при их
столкновениях с ядрами замедлителя. Эти столкновения можно рас-
сматривать методами классической механики, считая, что нейтрон и
рассеивающее ядро ведут себя как идеально упругие шарики. Исполь-
зуя законы сохранения импульса и энергии» можно вывести связь
между углом рассеяния и энергией нейтрона до и после соударения
с ядром. После этого, вводя некоторый эмпирический закон рассея-
ния, можно получить различные важные результаты.
В гл. 5, § 3, было вкратце указано, что при рассмотрении упру-
гих столкновений нейтронов с ядрами атомов используются две удоб-
ные системы отсчета: лабораторная система L и система центра
инерции С. В первой из них считается покоящимся ядро-мишень,
а во второй — центр инерции системы нейтрон -[- ядро. Система L,
158
Гл. 6. Замедление нейтронов
в сущности, представляет собой систему внешнего наблюдателя, тогда
как система С есть система наблюдателя, движущегося вместе с цент-
ром инерции совокупной системы нейтронядро. Для теоретического
рассмотрения система отсчета С проще, хотя фактические измерения
производятся в системе отсчета L.
Состояния в двух системах до и после столкновения пока-
заны на фиг. 35. Пусть в системе L нейтрон с массой, рав-
ной единице1) по обычной атомной шкале масс (см. гл. 1, § 1),
движется со скоростью по направлению к покоящемуся ядру
с массовым числом А. Таким образом, скорость нейтрона относительно
ядра-мишени равна и, поскольку масса его равна единице, импульс
Система L
Нейтрон после
столкновения
Система С я
иа/.
р Нейтрон после
столкновения
Нейтрон до Ядро до' х
столкновения столкновения''-
Ядролоые
столкновения
Центр
инерции
V'-Un \
q.—— ----------
Нейтрон до /
столкновения /
v ft Ядро после
столкновения
Ядро до
сшкгхноаения
Фиг. 35. Рассеяние нейтрона в лабораторной системе координат (L) и
в системе координат центра инерции (С).
также равен Vj. Так как ядро-мишень покоится, то той же величине
равен и суммарный импульс в системе L. Полная масса сталкиваю-
щихся частиц есть А 1, и, следовательно, скорость vm центра
инерции в системе L (т. е. по отношению к покоящемуся ядру) равна
-и
т Л+1
(6.1)
В системе С покоящимся считается центр инерции; следовательно,
в этой системе ядро должно двигаться к центру инерции со ско-
ростью определяемой формулой (6.1). Поскольку скорость ней-
трона относительно ядра до соударения равна »*, то нейтрон должен
двигаться к центру инерции со скоростью о, — vm. Таким образом,
скорость нейтрона до соударения в системе С равна [подставляем vm
из (6.1)1
’'i—= <6-2>
Итак, в системе С нейтрон и рассеивающее ядро движутся на-
встречу друг другу со скоростями 1) и -^/(Л —f— 1) соответ-
J) Истинная масса нейтрона равна 1,00897 Л£7И (см. гл. 1, § 1), но раз-
личие между этим значением и принятым здесь значением 1 пренебрежимо
мало. — Прим. авт.
Рассеяние нейтронов
159- -
ственно. Следовательно, импульс нейтрона (масса 1) равен
и направлен вдоль его первоначального движения, тогда как импульс
ядра (масса Д) равен AvJiA + 1) и направлен противоположно. Поэтому
полный импульс системы относительно центра инерции до столкновения
равен нулю и в силу закона сохранения импульса должен быть равен
нулю и после столкновения.
В результате столкновения нейтрон в системе С уходит в напра-
влении, составляющем угол 6 с его первоначальным направлением;
0 есть угол рассеяния в системе С. При этом ядро отдачи должно
двигаться в противоположном направлении, так как центр инерции
всегда лежит на прямой, соединяющей обе частицы. Если va — ско-
рость нейтрона, a vb — скорость ядра после столкновения в системе С,
то требование равенства нулю полного импульса выражается соотно-
шением
Ч» = Avb. (6.3)
Скорости нейтрона и ядра до столкновения в системе С равны,
как показано выше, выражениям (6.2) и (6.1) соответственно. Следо-
вательно, закон сохранения энергии может быть записан в виде
(6.4)
где левая и правая части выражают полную кинетическую энергию
до и после столкновения соответственно. Решая (6.3) и (6.4) относи-
тельно va и vb, находим
Avi V,
^=Л4ГГ и ^ = Й+Т-
Сравнение этих результатов с (6.2) и (6.1) показывает, что в си-
стеме С скорости нейтрона и ядра после столкновения равны значе-
ниям тех же величин (соответственно) до столкновения. Таким обра-
зом, до столкновения нейтрон и ядро движутся к их общему центру
инерции с противоположных направлений со скоростями, обратно-
пропорциональными их массам. После столкновения частицы удаляются
от центра инерции в противоположных направлениях (вообще говоря,
отличных от первоначальных направлений) с неизменными скоростями.
Для того чтобы определить убыль кинетической энергии нейтрона
в результате столкновения, необходимо преобразовать результаты,
полученные в системе С, обратно в систему L. Это преобразование
можно выполнить, воспользовавшись тем, что две рассматриваемые
системы отсчета должны всегда двигаться относительно друг друга
со скоростью центра инерции в системе L, т. е. vm — VjJ(A -f-1).
Следовательно, скорость нейтрона после столкновения в системе L
получается сложением вектора vm (скорость центра инерции в системе L)
и вектора vo (скорость нейтрона после столкновения в системе С),
как показано на фиг. 36. Угол между обоими векторами, как видно
из фиг. 35, равен 0 — углу рассеяния в системе С.
160
Гл. 6. Замедление нейтронов
Фиг. 36. Преобразование от системы С
к системе L.
Если — скорость нейтрона после столкновения в системе L,
то по теореме косинусов
ф* — ’яЦ- + 2® ^„cosO.
2 т » а 1 тп а
Подставляя значения Фт и г»о, согласно (6.1) и (6.2), соответственно
получаем
a ( vi Vi f Avi\2. 1^(/12+2Л cos 0 + 1)
+ U +'(/+1)2cosU“ И4-1)2
(6.5)
§ 3. Изменение энергии при рассеянии
Кинетическая энергия Ех нейтрона до рассеяния равна 1/2 mv{,
а энергия Е2 после рассеяния равна 1/2 тг>1; таким образом, отношение
энергии нейтрона после рассеяния к энергии до рассеяния равно
[ср. (6.5)1
Е2 *1 Л2 + 2Лсо80 + 1
Ei~vl~ (Л+1)г ’ ?
Этот результат может быть выражен в другом, полезном для неко-
торых целей виде; определяя величину а,
приводим (6.6) к виду
+ «) + (! -a)cosO],
(6.7)
(6.8)
Максимальная величина отношения E2/Ev т. е. минимальная потеря
энергии, отвечает значению 0 = 0, т. е. „скользящему® соударению;
Рассеяние нейтронов
161
при этом cos 6 = 1 и (6.8) дает
^^ = 1» или Е^.^Е^ (6.9)
В этом случае энергии нейтрона до и после рассеяния равны и ней-
трон не теряет энергии при столкновении.
Минимальная величина Е2/Е1Г т. е. максимально возможная пере-
дача энергии, отвечает значению 6 = к, т. е. „лобовому“ соударению;
в этом случае cosO = —1, так что, согласно (6.8),
£
-м™: = а, или £^ин. =а.Ех. (6.10)
Таким образом, минимальное значение, до которого может уменьшиться
энергия нейтрона в акте упругого рассеяния, равна где Ег —
энергия до столкновения. Максимальная относительная потеря энергии
в одном акте рассеяния равна
при этом максимально возможная абсолютная потеря энергии в акте
рассеяния равна Ej(l—а).
Поскольку, согласно (6.7), величина а. связана с массовым числом А
ядра-мишени, очевидно, что потеря энергии, испытываемая нейтроном
в акте столкновения, также должна зависеть от этого массового числа.
Интересно поэтому проследить, как изменяется а в зависимости от
массового числа ядра-мишени. Для водорода Д=1, так что а = 0;
следовательно, нейтрон может потерять всю свою кинетическую энер-
гию в одном акте столкновения с ядром водорода. Это объясняется,
конечно, тем, что массы нейтрона и водородного ядра (протона)
практически равны. Для углерода А = ’12, так что а = 0,716; следо-
вательно, максимально возможная относительная потеря энергии ней-
трона в результате его столкновения с ядром углерода равна
1—0,716=0,284.
Разлагая (6.7) в ряд по степеням 1/А, имеем
«=1 — 4 + 4 — ... (6.12)
А 1 Ai А3 1 4 '
При этом для значений А, превышающих примерно 50, можно с хоро-
шей точностью написать
4
(6.13)
так что максимальная относительная потеря энергии в одном акте рас-
сеяния равна
4
1-««^. (6.14)
И Зя. 724. С. Глесстов, М. Эдлунд
162 Гл. 6. Замедление нейтронов
Следовательно, максимальная относительная потеря энергии, которую
может испытать нейтрон при столкновении с ядром-мишенью, имею-
щим массовое число 100, составляет около 4°/0; для ядра с массовым
числом 200 соответствующее значение составляет 2°/0.
§ 4. Закон рассеяния
Считая соударения идеально упругими, мы получили отношение
(6.8) энергии нейтрона после столкновения к его энергии до столкно-
вения как функцию массы А рассеивающего ядра и угла рассеяния 6
в системе центра инерции. Если задать эмпирический закон рассея-
ния в виде распределения вероятности рассеяния в зависимости от
угла рассеяния, то с помощью (6.8) можно найти соответствующее
(вероятностное) распределение нейтронных энергий.
Эксперимент показывает, что рассеяние нейтронов с энергиями,
меньшими нескольких Мэв, сферически симметрично (изотропно) в си-
стеме центра инерции. В этом и состоит эмпирический закон рассеяния,
который мы положим в основу всего последующего рассмотрения.
В предположении, что рассеяние сферически симметрично, вероят-
ность рассеяния нейтрона в элемент телесного угла dO, заключенный
между конусами с углами при вершине 6 и 6-|- dti (0—угол рассеяния
в системе С), равна
ли dO • 2?t sin 6 d(l 1 . , j. f f. , p..
p(0)<fO = — =-----—----= ysin'JrfO. (6.15)
Вероятность того, что нейтрон с начальной энергией Е} будет после
рассеяния обладать энергией в интервале от Ё2 до E2-|-<ZE2, равна
p(E2)dE2 = p^^dE2. (6.16)
Из соотношения (6.8), связывающего Е2 с 0, имеем
d0_________________________________2
dE% Ej(l — a)sin0 ’
и, следовательно,
p(E2)JE2=-^4^-. (6.17)
Таким образом, вероятность того, что энергия нейтрона после рас-
сеяния попадет в фиксированный интервал ДЕ, не зависит от конеч-
ной энергии и равна отюшению ДЕ/cEj (1—ct) — максимально воз-
можной убыли энергии при одном столкновении (см. § 3). Поскольку
нейтрон при столкновении теряет энергию, dE (или ДЕ) отрицательно,
так что вероятность р (Е2) dE2 положительна, как и должно быть,
Рассеяние нейтронов
163
Интеграл от р (Е2) dE2 по ' всей области возможных значений
Е8 (от Ej до aEJ должен, разумеется, равняться единице. Действи-
тельно,
f p(E2)dE2=-^A-^ J dE2==l. (6.18)
А ' Et
Хотя в системе С рассеяние сферически симметрично, в системе L
оно не таково, если только масса рассеивающего ядра не велика по
сравнению с массой нейтрона. В противном случае центр инерции
системы находится практически в ядре, так что система L совпадает
с системой С. К тому же выводу можно прийти и другим путем. Из
фиг. 36 видно, что
®2 cos COS 6 4- vm = cos 6 -f- , (6.19)
где — угол рассеяния в системе L. Далее, согласно (6.5),
= л+Т VA2 + 2A COS 6 4-1,
так что
. A cos 0 4-1
cos Ф = т-
УЛ2 + 2Л cos 6+1’
(6.20)
(6.21)
Для тяжелого рассеивающего ядра Д^>1, поэтому, согласно (6.21),
cos 4* да cos 9; иными словами, в этом случае углы рассеяния в си-
стемах L и С близки друг к другу. Следовательно, если рассеяние
нейтрогов на сравнительно тяжелых ядрах сферически симметрично
во второй из этих систем, то оно сферически симметрично и в пер-
вой.
§ 5. Средний логарифмический декремент энергии
Весьма удобной величиной при исследовании замедления нейтро-
нов является среднее уменьшение натуральюго логарифма нейтронной
энергии при одном столкновении, или средний логарифмический
декремент энергии на одно столкновение. Это есть усредненное
по всем столкновениям значение In Е, — In Е2, т. е. In (Ej/Eg), где Ej
и Е2—энергии нейтрона до и после столкновения соответственно.
Обозначая эту величину через 6, имеем
вЕ,
_____ f In f1 Р (Ег) йЕ2
g==ln^L —___________________
J Г<Е2)^Е2
(6.22)
11»
164
Гл. 6. Замедление нейтронов
где p(E<^dE%— вероятность, определенная в § 4. Интегрирование про-
изводится по всем возможным значениям энергии после столкнове-
ния— от минимального, равного до максимального Ег.
Согласно (6.18), знаменатель равенства (6.22) равен единице; под-
ставляя далее выражение для p(£a)rf£2 из (6.17), получаем
(6-23>
Е1
Интегрирование легко выполнить, произведя замену переменной
что даег
а
6= J* lnxdx = 1 я. (6.24)
1
Согласно определению величины а [см. (6.7)], окончательно получаем
, . . (А— I)2 . Л—1 о_.
' 1 + 2Л П А +1 ‘ (6.25)
Для значений А, превышающих примерно 10, хорошим приближением
является
даже для А = 2 погрешность этого выражения составляет всего 3,3°/0.
Следует отметить, что значение 5 не зависит от начальной энергии
нейтрона при условии, что рассеяние изотропно в системе центра
инерции1). Именно благодаря этому обстоятельству 5 является весьма
полезной величиной. Между прочим, поскольку £, являющееся сред-
ним значением In (EJE^), зависит только от массового числа рассеи-
вающего ядра и не зависит от начальной энергии нейтрона, этим же
свойством должно обладать среднее значение отношения EJE^. Дру-
гими словами, при столкновениях с рассеивающими ядрами данного
сорта нейтрон в среднем всегда теряет одну и ту же долю своей
начальной энергии. Эта доля уменьшается с возрастанием массы ядра.
В табл. 11 приведены значения Е для ряда элементов (главным
образом легких). Среднее число столкновений с ядрами некоторого
определенного замедлителя (см. гл. 3, § 4), необходимое для умень-
шения энергии нейтрона деления от начального ее значения, скажем,
!) Строго говоря, это справедливо при условии, что энергия колебатель-
ного или теплового движения рассеивающего ядра мала по сравнению
с энергией нейтрона, так что ядро можно рассматривать как покоящееся до
столкновения. — Прим. авт.
Рассеяние нейтронов
165
2 Мэв до тепловой величины 0,025 эв, получается путем деления
In (2- 10в/0,025) на значение 6 для данного сорта ядер:
in (2 • Юв/0.025) __J8,2
“ е •
(6.27)
е
Значения этой величины, вычисленные по формуле (6.27), также
включены в табл. П1).
Таблица 11
РАССЕИВАЮЩИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР
Элемент Массовое число Е Число столкнове- ний, замедляющих нейтроны до тепло- вой энергии
Водород 1 1,000 18
Дейтерий .... 2 0,725 • . 25
Гелий 4 0,425 43
Литий 7 0.268 67
Бериллий .... 9 0,269 86
Углерод 12 0,158 114
Кислород .... 16 0,120 150
Уран 238 0,00838 2172
§ 6. Замедляющая способность и коэффициент замедления
Согласно (6.27), $ обратно пропорционально числу актов рассея-
ния, необходимому для замедления нейтрона от энергии, с которой
он вылетает при делении, до тепловой энергии. Следовательно,.
Е является (частичной) мерой замедляющей способности рассеиваю-
щего вещества. Хорошим замедлителем является тот, в котором про-
исходит в среднем значительная потеря энергии в одном столкнове-
нии; поэтому желательно иметь насколько возможно большее значение Е.
Однако большое Е само по себе не представляет особой ценности,
если, кроме того, не будет велика вероятность рассеяния, характе-
ризуемая эффективным сечением рассеяния. Произведение ESs, где
Х8—макроскопическое эффективное сечение рассеяния, называется
макроскопической замедляющей способностью; эта величина есть
!) Использование величины Е в равенстве (6.27) означает, что „правиль-
ным* средним значением отношения Е^Е^ которым следует пользоваться при
вычислениях, является геометрическое среднее. Эта точка зрения общепри-
нята, хотя и явилась предметом некоторых возражений (ср. [1], сноска 27).
Если пользоваться арифметическим средним отношения Ej/Ej, то результаты
оказываются несколько иными, особенно для элементов с малыми массовыми
числами. В этом случае среднее число столкновений, необходимое для умень-
шения энергии нейтрона от 2 Мэв до 0,025 эв, равно 26 для Н, 31 для D и
119 для С. — Прим. авт.
166
Гл. б. Замедление нейтронов
лучшая мера эффективности замедлителя, так как она характеризует
замедляющую способность всех ядер в 1 см3 вещества. Поскольку
Es = где %—число Авогадро, р — плотность замедлителя,
а8 — его микроскопическое эффективное сечение рассеяния кА —
атомный (или молекулярный) вес, замедляющая способность равна
В табл. 12 выписаны значения замедляющей способности для
ряда веществ, состоящих из элементов с малыми атомными весами
(или содержащих эти элементы); при этом принято, что сечения рас-
сеяния (см. табл. 4) постоянны в интервале энергий от 1 до 10б за.
Таблица 12
ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СВОЙСТВА РАЗЛИЧНЫХ ВЕЩЕСТВ
Замедлитель Замедляющая способность, см"1 Коэффициент 'замедления
Вода 1,53 72
Тяжелая вода . . 0,370 12000
Гелий 1,6- 10“Б* 83
Бериллий .... 0,176 159
Углерод 0,064 170
* При нормальном давлении и температуре.
Хотя замедляющая способность удовлетворительно характеризует
замедляющие свойства вещества по отношению к нейтронам, она не
учитывает возможности того, что вещество является сильным погло-
тителем нейтронов. Например, замедляющая способность бора превы-
шает замедляющую способность углерода; однако бор в качестве
замедляющего вещества был бы бесполезен ввиду того, что он обла-
дает большим сечением поглощения нейтронов (см. гл. 3, § 22). По
этой причине бор ге включен в приведенные выше таблицы; его
замедляющая способность по отношению к нейтронам не представляет
практического интереса. Любое вещество, обладающее заметной по-
глощающей способностью, оказалось бы бесполезно в качестве заме-
длителя. Отношение определенной выше замедляющей способности
к макроскопическому эффективному сечению поглощения Е (т. е.
здад называемое коэффициентом замедления, с теоретической
точки зрения является наиболее важной величиной, характеризующей
эффективность замедлителя. Приближенные значения этой величины
для некоторых веществ, вычисленные с помощью сечений поглоще-
ния тепловых неЛтронов, даны в приведенной выше табл. 12. Йз
этой таблицы видно, что тяжелая вода (окись дейтерия) должна быть
прекрасным замедлителем. Если устройство жидкого замедлителя
Рассеяние нейтронов
167
неудобно, то, очевидно, можно применить бериллий и углгрод, менее
эффективные, одгако, чем тяжелая вода. При некоторых обстоятель-
ствах в качестве замедлителя может быть использована обычная вода;
литий (как и бор) для это! цели непригоден ввиду того, что он обла-
дает большим сечением поглощения.
§ 7. Летаргия
Энергию нейтрона Е для многих целей оказывается удобным
выразить в логарифмическом, безразмерг ом виде, определив величину и,
называемую летаргией или логарифмическим декрементом энергии:
1 Ео
и ==1п —
Ь ’
(6.28)
где Ео— начальная энергия нейтронов источника (например, вылета-
ющих при делении). Для самих нейгроюв источника летаргия, оче-
видно, равна нулю, а по мере замедления нейтронов величина ее воз-
растает.
Если «j — летаргия, соответствующая Еу — энергии нейтрона до
рассеивающего столкг овения, а «2 — летаргия, соответствующая Е% —
энергии после столкновения,
то изменение летаргии в резуль-
тате столкновения равно
ич. — ui~1п г?-
и 1 Е2
Поскольку определенная в § 5
величина £ есть среднее значе-
ние In (£j/£2), очевидно, что £
можно также рассматривать как
среднее изменение летаргии
нейтрона при одном столкнове-
нии. Для сферически симметрич-
ного рассеяния эта величина не
зависит от нейтронной энергии Фиг. 37. Связь между энергией и
(см. § 5). Таким образом, не- летаргией.
зависимо от своей энергии,
нейтрон для увеличения своей летаргии на заданную величину должен
испытать в среднем одно и то же число столкновений. В этом состоит
одно из преимуществ использования летаргии в качестве независимой
переменной.
Согласно (6.28),
Е = Еое~и,
так что кривая зависимости Е от и (фиг. 37) имеет экспоненциаль-
ный характер. Если провести ряд вертикальных прямых, расположен-
168
Гл. 6. Замедление нейтронов
ных на равных расстояниях Е друг от друга* то, как явствует из
приведенного выше результата, полученные ординаты кривой Е(«)
будут представлять средние значения энергии нейтрона для последо-
вательных столкновений. Отсюда видно, что нейтрон теряет в среднем
значительно больше энергии в „ранних" актах рассеяния, чем в более
поздних.
ЗАМЕДЛЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНЫХ НЕПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕДАХ
§ 8. Введение
Предположим, что в некотором замедлителе с определенной ско-
ростью генерируются (например, в результате деления) равномерно по
объему быстрые нейтроны. По мере того как эти нейтроны сталки-
ваются с ядрами замедлителя, они постепенно теряют энергию, но
поскольку одновременно с этим непрерывно генерируются новые
быстрые нейтроны, вскоре устанавливается стационарное распределе-
ние нейтронных энергий. Это распределение энергий будет, конечно,
зависеть от того, в какой мере нейтроны поглощаются в системе и
уходят из нее в процессе своего замедления. Для данного рассмо-
трения мы примем, что замедлитель обладает бесконечными раз-
мерами, так что нет потерь нейтронов вследствие их ухода за пре-
делы системы. Далее мы рассмотрим сначала случай, когда поглощение
нейтронов в процессе их замедления отсутствует. Вслед за этим
будет показано, как нужно видоизменить расчет, чтобы учесть погло-
щение нейтронов.
Ниже мы выведем стационарное распределение нейтронных энергий
для случая сферически симметричного рассеяния в системе центра
инерции в соответствии со сделанным ранее допущением (см. § 4).
Полученные результаты неприменимы к нейтронам малых энергий,
сравнимых с энергиями „колебательных квантов" атомов, образую-
щих кристаллическую структуру; эти кванты имеют энергию по-
рядка 0,3 эв для водородсодержащего соединения и 0,2 эв для
углерода (графита)1). При этих малых энергиях нейтронов рассеи-
вающие ядра уже не могут считаться покоящимися в лабораторной
системе.
§ 9. Замедление в водороде
Ввиду сравнительной простоты решения получающихся уравнений
удобно рассмотреть сначала замедление нейтронов в водородной среде,
В этом случае стационарное энергетическое распределение нейтронов
будет близко к их распределению в воде (где замедление нейтронов
!) Для одноатомных металлов и газов (например, гелия) энергии .коле
бательных квантов* гораздо меньше.—Прим. авт.
Замедление в бесконечных непоглощающих средах 169
обусловлено их рассеянием главным образом на ядрах водорода).
Особенность замедления в водороде (по сравнению с замедлителями,
состоящими из более тяжелых ядер) состоит в том, что нейтрон
может потерять всю свою энергию в одном акте столкновения с ядром
водорода, между тем как при столкновении с более тяжелым ядром
это невозможно (см. § 3).
Обозначим через Ф(Е') нейтронный поток, отнесенный к единич-
ному энергетическому интервалу вблизи энергии Е', а через £К(Е')—
соответствующее макроскопическое сечение рассеяния. Число актов
рассеяния в 1 см* за 1 сек., испытываемых нейтронами с энергиями
от Е' до E'-\-dE', очевидно, равно Ys(E')^{E’)dE'. Это можно
записать в виде F(E')dE', где величина называемая плот-
ностью столкновений на единицу интервала энергии, определяется
равенством
F(E')^Se (£')$(£')• (6.29)
После столкновения с ядрами водорода энергии нейтронов (имев-
ших первоначально энергию Е') будут лежать в интервале между Е'
и нулем. При этом доля нейтронов, рассеянных в элементарный интер-
вал энергии dE, равна dEjE'. Следовательно, число нейтронов, рас-
сеянных в элемент dE (в 1 см* за 1 сек.) в результате рассеивающих
столкновений в элементе dE', равна F(E')dE' • (dE/E1). Полное число
нейтронов, рассеянных в элемент dE в результате всех столкновений
этого типа, т. е. после предшествующего рассеяния в интервале от
Ео (энергии нейтронов источника) до Е, равно, таким образом,
Число нейтронов, рассеянных в элемент dE E(E')dE'
после предшествующего рассеяния = J -' dE. (6.30;
£
В проделанном вычислении предположено, что нейтроны уже были
рассеяны в элемент dE' и лишь после этого рассеялись в элемент dE.
Однако поскольку однократное столкновение с ядром водорода может
уменьшить энергию нейтрона от ее начального значения Ео до нуля,
некоторые нейтроны будут рассеяны в элемент dE в результате своего
первого столкновения. Если Q—число нейтронов источника с энер-
гией Е^, генерируемых в 1 см* системы за 1 сек., то число таких
первых столкновений также равно Q. Из этого числа доля dEjE{}
рассеивается в элемент dE, откуда
Число нейтронов, рассеянных в элемент ЛЕ q
в результате первого столкновения == — dE. (6.31)
Полное число нейтронов, рассеянных (в 1 см* за 1 сек .) в элемен-
тарный энергетический интервал dE в результате первого и после-
дующих столкновений, равно сумме величин (6.30) и (6.31).
170
Гл. 6. Замедление нейтронов
В соответствии со сделанным допущением об отсутствии погло-
щения нейтронов j условие стационарности энергетического распреде-
ления нейтронов состоит в том, что число нейтронов, выбывающих
в результате рассеяния из каждого элементарного энергетического
интервала, должно равняться полному числу нейтронов, поступающих
в тот же интервал (в 1 смй за 1 сек.). По определению (см. выше),
число нейтронов, выбывающих вследствие рассеяния из элемента dE,
есть F(E)dE (в 1 см? за 1 сек.). Следовательно, условие стацио-
нарности имеет вид
(6.33)
где произведено сокращение всех членов равенства на общий мно-
житель dE.
Поскольку независимая переменная Е. входит в последний член
интегрального уравнения (6.32) только в качестве нижнего предела,
это уравнение сводится к дифференциальному, которое и решается
при соответствующем граничном условии. Действительно, дифферен-
цируя (6.32) по Е, приходим к дифференциальному уравнению
dF(E) Р(Е)
dE ~ Е ’
общее решение которого (получаемое элементарным интегрированием)
имеет вид
F(£) =
Из (6.32) получаем граничное условие
F(Eo)=-O-,
и, следовательно, решение уравнения (6.33) имеет вид
F(E)=-^, (6.34)
как было показано Амальди и Ферми [2]. Имея в виду определение
(6.29) функции F(E), находим нейтронный поток, отнесенный к еди-
нице интервала энергии:
Ф(Е) = -=^, (6.35)
где Е8 — функция нейтронной энергии (аргумент Е для простоты
опущен)- Полученные результаты можно выразить в несколько ином
виде, ведя в качестве переменной вместо энергии летаргию.
Нейтронный поток на единицу интервала летаргии Ф(и) связан
с нейтронным потоком на единицу интервала энергии Ф (Е) соотно-
шением
<I>(u)du = — ty(E)dE,
(6.36)
Замедление в бесконечных непоглощающих средах
171
где знак минус означает, что увеличение энергии равносилью умень-
шению летаргии. Дифференцируя (6.28), имеем
du — — (6.37)
и, следовательно, (6.36) принимает вид
Ф(и)==£Ф(£). (6.38)
Аналогично, легко показать, что плотность столкновений на единицу
интервала летаргии F(u) может быть выражена следующим образом:
F(n) —Ф(и)£8(к) = ЕГ(Е). (6.39)
Предыдущие соотношения, содержащие летаргию, имеют совер-
шенно общий характер, безотносительно к природе замедлителя.
В применении к рассеянию в водороде нейтронный поток на единицу
интервала летаргии, согласно (6.35) и (6.38), равен
Ф («) = -£-, (6.40)
где Ss — функция энергии (или летаргии). Отсюда находим плот-
ность столкновений на единицу интервала летаргии
F(w) = Q. (6.41)
Таким образом, в водороде плотность столкновений на единицу интер-
вала летаргии постоянна при всех значениях летаргии (или энергии)
и равна мощности источника.
§ 10. Плотность замедления в водороде
Важной величиной при изучении рассеяния нейтронов является
плотность замедления, обозначаемая через q и определяемая как
число нейтронов (отнесенное к 1 еле3 и 1 сек.), пересекающих при
замедлении данное значение энергии Е. Из общего числа столкнове-
ний в водороде, происходящих в элементарном энергетическом интер-
вале dE', доля столкновений, переводящих нейтроны в область энер-
гии, лежащую ниже Е, равна ЕЕ' *). Следовательно, число нейтронов
(в 1 см* за 1 сек.), замедляющихся в эту область, т. е. „за“ энер-
гию Е в результате рассеяния в элементе dE', равно F (E')dE' (EfE').
Полное число нейтронов, замедляющихся „за“ энергию Е в резуль-
тате предшествующего рассеяния в интервале энергий от Ео до Е,
1) Это непосредственно вытекает из результата, полученного в § 4. Ней-
троны, рассеянные „за” энергию Е, должны обладать энергиями в интервале
от Е до нуля, тогда как возможный „сброс” энергии нейтронов, рассеянных
в элементе dE', изменяется в пределах от Е' до нуля. — Прим. авт.
172
Гл. 6. Замедление нейтронов
как и выше, получается интегрированием в этих пределах:
Число нейтронов, замедляющихся „за* энер- r° F(E')
гию Е после предшествующего рассеяния = Е I —dE'. (6.42)
Е
Для получения плотности замедления к полученной величине нужно
прибавить число нейтронов (на 1 см3 и 1 сек.), замедляющихся „за“
энергию Е в результате первых столкновений нейтронов источника.
В общем числе таких столкновений доля тех, которые приводят
к рассеянию „за“ энергию Е, равна Е/Ео, а поскольку число первых
столкновений равно Q — числу нейтронов источника (см. § 8), то
Число нейтронов, замедляющихся „за* энер-
гию Е в результате первого столкновения = . (6.43)
Таким образом, плотность замедления q для случая водородного
замедлителя, не поглощающего нейтроны, равна
9=^-_|-Е f LVp.dE'. (6.44)
J Jb
E
В стационарном состоянии, согласно (6.34), F(E') — QIE' и,
следовательно, (6.44) принимает вид
<6'45>
Е
Таким образом, в бесконечной водородной среде, в которой от-
сутствует поглощение нейтронов, плотность замедления постоянна
(не зависит от энергии) и равна мощности источника. Этот результат,
разумеется, физически заранее очевиден. Действительно, если в те-
чение процесса замедления потери нейтронов (обусловленные их утеч-
кой или поглощением) отсутствуют, то в стационарном состоянии
„мимо" каждого значения энергии будет проходить в ходе замедле-
ния одно и то же число нейтронов; последнее должно равняться
числу нейтронов источника, поступающих в систему.
§ 11. Замедление в средах с массовым числом,
бблыпим единицы
В общем случае замедления нейтронов в средах, содержащих
ядра одного сорта с массовым числом, ббльшим единицы, оказы-
вается невозможным выразить во всем интервале энергий плотность
столкновений или плотность замедления через один интеграл, как
это было сделано для случая рассеяния в водороде [ср. формулы
(6.32) и (6.44)1. Для более тяжелых ядер наименьшая возможная
Замедление в бесконечных непоглощающих средах
173
энергия нейтрона после первого столкновения равна аЕ0 (см. § 3),
где через Ео, как и ранее, обозначена энергия нейтронов источника.
В соответствии с этим при вычислении плотности столкновений (или
плотности замедления) нейтроны с энергиями в интервале от Ео
до аЕ0 и нейтроны с энергиями, меньшими аЕ0, должны рассматри-
ваться раздельно.
Замедление нейтронов в интервале энергий от Ео до аЕ0 будет
обусловлено как первыми столкновениями нейтронов источника, так
и многократным рассеянием нейтронов с энергиями между Ео и Е.
Напротив, для нейтронных энергий, меньших аЕ0, первые акты рас-
сеяния нейтронов источника уже не могут дать никакого вклада
в плотность столкновений (или плотность замедления). Поэтому ста-
ционарное энергетическое распределение будет по-разному выра-
жаться в интервалах от Ео до аЕ0 и от аЕ0 до нуля соответственно.
Рассмотрим раздельно оба эти случая.
Случай I. Нейтронные энергии в интервале от Ео до
аЕ0(аЕ0 < Е < Ео).
Как и для рассеяния в водороде, число рассеивающих столкнове-
ний в 1 смА за 1 сек., испытываемых нейтронами в элементарном
энергетическом интервале dE', есть F(E')dE'. При этом доля ней-
тронов, рассеянных в элемент dE, равна dE,(E' — аЕ'), так как
(Е' — аЕ') есть тот энергетический интервал, в который могут попасть
нейтроны энергии Е' в результате однократного рассеяния. Таким
образом, число нейтронов, рассеянных в элемент dE в результате
столкновений в элементе dE', равно F (E’)dE' dEjE' (1—а). Полное
число нейтронов, попадающих в элемент dE в результате предше-
ствующего рассеяния в энергетическом интервале от Ео до Е, полу-
чается отсюда интегрированием в пределах от Е до Ео, как в § 9.
Из числа нейтронов источника с энергией Ео в элемент dE рас-
сеивается доля, равная dE/(E0 — аЕ0). Следовательно, если Q — число
нейтронов источника, . генерируемых в 1 ел3 системы за 1 сек., то
число нейтронов, рассеянных в элемент dE в результате первых
столкновений, равно QdE/E0(l — а).
Число нейтронов (на 1 ел8 за 1 сек.), выбывающих в результате
рассеяния из элемента энергии dE, есть F(E)dE', следовательно, для
стационарного состояния (когда число нейтронов, попадающих в эле-
мент dE, равно числу выбывающих из него) имеем
<6Л6>
Е
Полученное интегральное уравнение, как и выше, может быть
путем дифференцирования по Е сведено к дифференциальному:
d/•’(£) F(E)
dE ~~ £(1—а)’
(6.47)
174
Гл. 6. Замедление нейтронов
общее решение которого (получаемое элементарным интегрированием)
имеет вид
= (6-48)
Согласно (6.47), граничное условие нашей задачи имеет вид
F<£»>=s(fe)- <6'49»
и, следовательно, решение для рассматриваемого случая записывается
в виде
(6-50>
Это выражение дает плотность столкновений на единицу интервала
энергии в стационарном состоянии для нейтронов с энергией £, такой,
что аЕ0 < Е < Ео, т. е. в энергетическом интервале от Ео до аЕ0.
Соответствующее выражение для F(u) (плотности столкновений
на единицу интервала летаргии) может быть получено с помощью
(6.39); таким образом,
/1Р“/(1-о) 1
F(n) — 0 ------а,,г . (6.51)
4 ' j__о £«/(!-») 4 7
Заметим, что при а = 0 выражения (6.50) и (6.51) сводятся к (6.34)
и (6.41) в соответствии с тем, что для водородного замедлителя
а —0.
Некоторые практически интересные кривые F(w) будут даны
ниже, после того как будет рассмотрено поведение этой функции
в интервале меньших энергий. Но уже из (6.51) видно, что F (и)
монотонно возрастает при убывании Е в пределах интервала от Ео
до аЕ0. Наименьшее значение F (к), отвечающее нейтронной энергии f0,
равно
а наибольшее значение, отвечающее энергии аЕ0, равно
(“Ямако. = о«/(1-«) •
Случай II. Нейтронные энергии, меньшие аЕ0(Е < аЕ0).
Как и в § 9, число нейтронов, рассеянных в элемент энергии dE
в результате столкновений в элементе dE', равно F{E')dE'(dEIE'{\—а)).
Наибольшая исходная энергия нейтрона, могущего оказаться с энер-
гией Е после такого столкновения, равна, очевидно, £/а. Следова-
тельно, полное число нейтронов, рассеянных в элемент dE, получается
интегрированием предыдущего выражения в пределах от Е до £/«.
Замедление в бесконечных непоглощающих средах 175
Поскольку в рассматриваемом случае не нужно прибавлять нейтронов
от первых столкновений, имеем
Число нейтронов, рассеянных в элемент dE =
Е/а
rF(E')dE'
J £'(! — «)
JE
Если F (Е)—плотность столкновений на единицу интервала энер-
гии, то число нейтронов, выбывающих из элемента dE вследствие
рассеяния, равно F(E)dE. Следовательно, в стационарном состоянии,
когда число нейтрон ов, рассеянных в элемент dE, должно равняться
числу нейтронов, рассеянных из него, имеем
Е'а
F^= J de- <6-52>
Е
Полное решение этого уравнения для всех значений Е < аЕ0 было
получено в работе [3], но мы его здесь не приводим, ограничиваясь
изложением общего характера результатов, а также получением про-
стого решения для так называемого асимптотического случая, когда Е
гораздо меньше аЕ0.
На фиг. 38 и 39 отложена как функция нейтронной энергии
плотность столкновений на единицу интервала летаргии F(k), полу-
ченная из полного решения уравнения (6.52), для рассеяния в водо-
роде, дейтерии и углероде. При этом энергия нейтронов источника
принята равной 2 Мэв и результаты нормирован ы на мощность источ-
ника, равную 1 нейтрону в 1 лж3 за 1 сек. Ниже будет показано,
что асимптотическое зн ачен ие, к которому стремится F(w) при
нейтронных энергиях, малых по сравнению с аЕ0, равно в общем
случае Q/i. Поскольку мы положили Q—1, асимптотическое значе-
ние F(k) на фиг. 38 и 39 равно 1,Е. Для водородного замедлителя
этот результат, с Е = 1, справедлив при всех значениях нейтронной
энергии.
Рассмотрение кривых показывает, что в интервале энергий от Eq
до аЕ0 плотность столкновений F (и), как и следовало ожидать, мо-
нотонно возрастает с уменьшением энергии (для ядер с массовым
числом больше единицы). В этом интервале первые столкновения
нейтронов источника дают один аковые вклады в F(n) для всех зна-
чений энергии, а многократн ое рассеяние обусловливает возраста-
ние F(u) с уменьшением нейтронной энергии.
При Е = аЕ0 кривая F(u) испытывает резкий скачок (разрыв не-
прерывности), причем Е(к) уменьшается в этом скачке на величину
aQ'(l — а). В сказанн ом можно убедиться, полагая E = aEQ в преде-
лах интегрирования выражений (6.46) и (6.52), справедливых в энер-
гетических интервалах от Ео до аЕ0 и от аЕ0 до О соответственно.
Фиг. 38. Плотность столкновений как функция нейтрон-
ной энергии для рассеяния в углероде.
Фиг. 39. Плотность столкновений как функция нейтрон-
ной энергии для рассеяния в водороде и дейтерии.
Замедление в бесконечных непоглощающих средах 177
Нумеруя соответствующие значения F(aE0) значками 1 и 2, имеем
Ео
^№> = 50^+ /
«Ео
И
Ео
F2(«E0)= f /^}dE'.
аЕ0
Вычитая второе равенство из первого, получаем
ft (“ft)-ft (“ft)-»^^.
что и дает величину скачка функции F(E) в точке Е=аЕ0. Для
нахождения величины соответствующего скачка в F(a), согласно
(6.39), нужно умножить полученное выражение на значение энергии
Е — аЕ0; при этом, как и утверждалось выше, получается величина
«Q/(l—а).
Физически этот скачок обусловлен тем обстоятельством, что ней-
троны источника в результате однократного рассеяния попадают в энер-
гетический интервал от а£0 ДО &E0-j-dE, но не могут попасть в ин-
тервал от a Eq до аЕ0 — dE. В соответствии с этим плотность столк-
новений при энергии, чуть превышающей а£0, оказывается значи-
тельно больше, чем при энергии, меньшей аЕ0.
При дальнейшем уменьшении энергии ниже а£0 плотность столк-
новений на единицу интервала летаргии сначала возрастает, затем
осциллирует около асимптотического значения 1/с (или, в общем слу-
чае, Q/S) и, наконец, „затухая", стремится к последнему. Наличие
максимумов и минимумов является следствием разрывного поведения
F (ц) при нейтронной энергии, равной аЕ0. Влияние столкновений
нейтронов с энергиями аД0 будет сказываться вплоть до энергии а2£0;
столкновения при этой последней энергии будут оказывать влияние
вплоть до а3Е0 и т. д. Однако вследствие того, что многократные
столкновения „стремятся" сделать энергетическое распределение более
равномерным, максимумы и минимумы F(u) по мере уменьшения ней-
тронной энергии становятся все менее и менее заметными и практи-
чески полностью исчезают при энергиях, меньших примерно а3Е0.
При этих энергиях величина F{u) целиком обусловливается ней-
тронами, испытавшими по несколько актов рассеяния. При этом сле-
дует ожидать, что число актов рассеяния на единицу интервала ле-
таргии постоянно, поскольку $ (средний логарифмический декремент
энергии на одно соударение) не зависит от энергии (см. § 5). Сле-
довательно, при энергии, меньшей примерно а3^, функция F(ji)
принимает свое асимптотическое значение 1/5 (или, в общем случае,
Q®.
178
Гл. 6. Замедление нейтронов
Поскольку а возрастает с увеличением массового числа, соответ-
ственно возрастает и а3Е0. Следовательно, чем больше масса рассеи-
вающего Я'фа, тем больше нейтронная энергия, при которой F(u)
практически принимает свое асимптотическое значение. Это ясно
видно на фиг. 38 и 39; для углерода плотность столкновений стано-
вится равной 1/£ при нейтронной энергии около 0,7 Мэв, тогда как
для дейтерия это равенство не наступает вплоть до энергии примерно
0,02 Мэв. Максимальное отклонение от асимптотического поведения,
характеризуемое величиной скачка при энергии «Ео, также возрастает
с ростом а (а значит, и массового числа); однако, как было только
что показано, осцилляции при этом не простираются так далеко вниз
по шкале энергий, как в случае малых а.
Как будет видно ниже, предыдущие результаты имеют особенное
значение для случая замедления в поглощающей среде, когда энергия ней-
тронов по мере своего убывания „проходит" через ряд резонансных
линий. Каждая из этих линий действует как отрицательный источник
и обусловливает осцилляции в плотности столкновений, сохраняю-
щиеся в энергетическом интервале величиной около Ег(1— аа), ле-
жащем ниже энергии Ег резонансной линии. Следовательно, различ-
ные резонансные линии можно рассматривать как независимые лишь
в том случае, если они отстоят друг от друга по меньшей мере на
ад— «8).
Случай III. Асимптотический случай (Е<^аЕ^.
Как было указано ранее, уравнение (6.52) может быть довольно
просто решено в асимптотическом случае. При этом решение имеет
вид
f(E) = -^‘-, (6.53>
в чем нетрудно убедиться, подставляя const/Е' вместо F (Е') в урав-
нение (6.52) и выполняя интегрирование. Поскольку, согласно (6.39),
F (и) = EF (Е), то F(u) не зависит от нейтронной энергии. Таким
образом, задача состоит в определении значения постоянной в (6.53).
Прежде всего выведем выражение плотности замедления для ней-
тронов с энергиями Е <’ аЕ0. В общем числе столкновений, происхо-
дящих в элементе энергии dE', доля тех столкновений, при которых
нейтроны рассеиваются „за" энергию Е, составляет (Е — аЕ')]Е' (1 — а).
(Числитель есть интервал ниже энергии Е, в который могут попасть-
нейтроны энергии Е', рассеянные в элемент dE', а знаменатель
Е'(1—а) есть максимальный энергетический интервал нейтронов
после их рассеяния в элемент dE'.) Поскольку F^E')dE' — полное
число рассеивающих столкновений (на 1 см? за 1 сек.) в элементе
энергии dE?, число тех из них, которые приводят к рассеянию „за1"
энергию Е, равно F(E')dE'(E — аЕ')/Е'(1 — «). Полное число ней-
тронов, рассеянных „за" энергию Е, т. е. определенная в § 9 плот-
Замедление в бесконечных непоглощающих средах
17$
ность замедления q, получается отсюда интегрированием в пределах
от Е до Е/а; итак,
JE/a
<7= J F(£')-J=^rf£' (6.54)
Е
при условии, что Е < аЕ0.
Согласно (6.53), F(E') можно заменить на const/E', так что вы-
ражение для q принимает вид
JE/a
_ const, Г Е-аЕ'_ dE, = const / J + а 1п Ч 55
1 1 — a J р/Ч \ 1 1 — а )
Е
Принимая во внимание равенство (6.24), перепишем (6.55) в виде
q — const - $. (6.56)
Для всех энергий в асимптотической области, где Е<^аЕ0, плот-
ность замедления постоянна; поскольку мы постулировали отсутствие
потерь нейтронов, q должно быть равно мощности источника Q, как
в случае водородного замедлителя (см. § 10). Следовательно, при
ЕОЕ0
q=Q,
так что, как видно из (6.56), const =Q/i. Подставляя это значение
в (6.53), приходим к результату
F(£) = 7eF‘ (6.57}
С помощью формулы (6.39), связывающей F (Е) с F (и), получаем
F(B)=|. (6.58)
Из выражений для F (Е) и F (и) и общих определений этих велиг
чин [см. (6.29) и (6.39) соответственно] следует, что
Ф(£)_ , (6.59)
И
Ф<“> = 4=ХЁ' <6«>>
поскольку в асимптотической области q = Q. Последнее соотношение
можно переписать в виде
? = Й£ф(и), (6.61)
дающем выражение для „асимптотической" плотности замедления,
которое будет использовано впоследствии.
Интересно отметить, что при В == 1 результаты, полученные выше,
переходят в соответствующие выражения для водородного замедли-
180
Гл. 6. Замедление нейтронов
теля, справедливые при всех энергиях. Таким образом, различные
полученные нами формулы можно рассматривать как носящие весьма
общий характер, хотя для замедлителей с массовыми числами больше
единицы их справедливость ограничена нейтронами, энергии которых
значительно меньше энергии нейтронов источника.
§ 12. Замедление в системе, содержащей ядра
нескольких сортов
Для бесконечной непоглощающей системы, содержащей ядра двух
или более сортов с различными массами, выражение для плотности
столкновений (и плотности замедления) может быть без труда полу-
чено в асимптотическом случае, т. е. при Е аЕ0. Обозначим че-
рез Fi(E') плотность столкновений на единицу интервала энергии
(при нейтронной энергии Е') для рассеяния ядрами Z-ro сорта;
тогда Fi(E')dE'— полное число нейтронов, рассеянных (в 1 см* за
1 сек.) ядрами i-ro сорта в энергетическом интервале dE'. Из них
в интервал dE будет рассеяна доля dEfE' (1—аг), как показано
в § 4.
Число нейтронов, рассеянных в элемент dE
из элемента dE' ядрами Z-ro сорта =
Ff(E') dE'
Е'\\-<н)
dE.
Если энергия Е меньше а^Ей, то интегрирование этого выражения
в пределах от Е до E/at даст полное число нейтронов, рассеянных
в элемент энергии
Число нейтронов, рассеянных
в элемент dE ядрами Z-ro сорта =
Г Ei(E')dE'
J
(6.62)
Если в замедлителе имеются различных сортов ядер и F(E) —
полная плотность столкновений для рассеяния всеми различными
ядрами, то условие стационарности гласит:
N E!ai
S.f
4=1 Е
Fj(E')
E'V—at)
dE'.
(6.63)
Плотность столкновений на единицу интервала энергии пропор-
циональна эффективному сечению рассеяния (см. § 9), и, следова-
тельно,
FJ£') = -^ £(£'), (6.64)
где F(E')—полная плотность столкновений (на единичный энергети-
ческий интервал при энергии Е') для всех N сортов рассеивающих
Замедление в бесконечных непоглощающих средах
181
ядер, — макроскопическое эффективное сечение рассеяния для
ядер t-го сорта, a Vs — полное макроскопическое сечение рассеяния,
равное сумме величин по всем имеющимся сортам ядер. При этом
подразумевается, что все сечения относятся к нейтронам энергии Е',
хотя аргумент (Е'\ для простоты опущен. Подставляя (6.64)
в (6.63), имеем
N Elai
=2/ <6-б6>
г=1Е
Если сечения рассеяния постоянны или одинаковым образом зави-
сят от энергии, так что Ssi/Ss постоянно, то можно найти решение
полученного уравнения для асимптотического случая, когда Е<^а{Е()
для всех ядер замедлителя (аналогично тому, как это было сделано
в § II). Полная плотность замедления оказывается равной
N Ei«.
i = l£
и, пользуясь решением уравнения (6.65) вида
const
Е ’
(6.66)
i=l
после простого вычисления находим
N
9 = const =
»=1
В асимптотической области полная плотность замедления равна мощ-
ности источника Q, откуда следует
F(E) =--------. (6.67)
»=1
Среднее (по всем сортам ядер) значение среднего логарифмического
декремента энергии на одно столкновение Е для нейтронов, замедля-
ющихся в системе с ядрами нескольких сортов, определяется как
W Л’
2 ЕЛ 2
7" *-1________i=l
Ч — N — s ,
2^
»=1
182
Гл. 6. Замедление нейтронов
поскольку Ss — сумма отдельных Вводя определенное таким
образом с в (6.67), получаем
<6-68)
и, согласно (6.39),
f(«)=-5-. (6.69)
Эти результаты, как может быть замечено, вполне аналогичны соот-
ношениям (6.57) и (6.58) для асимптотического случая при наличии
замедляющих ядер одного сорта, причем вместо С стоит среднее зна-
чение Е. Соответствующие выражения для нейтронного потока (на
единицу интервала энергии и на единицу интервала летаргии соот-
ветственно) имеют вид
Ф(Е)=.Д_ И Ф(«) = ^, (6.70)
и поскольку Q—q, плотность замедления может быть записана
в виде
? = £Е8Ф(и), (6.71)
как и в § 11. Подчеркнем еще раз, что эти формулы справедливы
лишь для асимптотического случая, когда нейтронные энергии малы
по сравнению с для всех сортов ядер, имеющихся в замедлителе,
и при условии, что все сечения рассеяния либо вообще пе зависят
•от энергии, либо зависят от нее одинаковым образом.
В системе, содержащей водород и какой-либо тяжелый элемент,
плотность столкновений при энергиях, близких к энергии нейтронов
источника, определяется в основном более тяжелыми ядрами. При мень-
ших энергиях становится существенным рассеяние ядрами водорода.
Эго объясняется тем, что первые столкновения в водороде приводят
к равномерному распределению нейтронных энергий практически вплоть
до нуля (в пренебрежении тепловой энергией рассеивающих ядер).
Напротив, первые столкновения с более тяжелыми ядрами сопровож-
даются относительно малыми изменениями нейтронных энергий и пе-
гому влияют на плотность столкновений при энергиях, близких
к „энергии источника1*.
§ 13. Экспериментальное определение плотности замедления
В принципе плотность замедления для любой энергии могла бы
быть измерена, если бы в распоряжении экспериментатора имелось
вещество, обладающее резким резонансным максимумом сечения погло-
щения при данной энергии и пренебрежимо малым сечением при
остальных энергиях. Такое идеальное вещество, разумеется, неиз-
вестно, но оно может быть удовлетворительно апроксимировано
Замедление в бесконечных непоглощающих средах
183
с помощью индиевой фольги, полностью окруженной кадмиевой
фольгой, как описано в гл. 3, § 26. Из активности насыщения
индиевой фольги, помещенной в рассеивающую среду (т. е. в замед-
литель), с помощью (3.29) может быть определен нейтронный поток
в резонансной области. После этого с помощью (6.71) можно найти
соответствующую плотность замедления при условии, что поглощение
в среде мало.
Для того чтобы учесть зависимость эффективного сечения погло-
щения индия от нейтронной энергии в резонансной области, поступим
следующим образом. Прежде всего запишем равенство (3.29) в виде
Л» - V J IIn (Е) Ф (£) dE, (6.72)
где £1п (£)—макроскопическое эффективное сечение поглощения
индия для нейтронов энергии Е, а Ф(Е)— нейтронный поток на еди-
ницу интервала энергии (при той же энергии £). Интегрирование
производится по всем энергиям вплоть до энергий, „отсекаемых*
кадмием; как указано в гл. 3, § 26, это соответствует эффективно
энергетическому интервалу от 0,5 до 2 эв, причем главный вклад при-
ходится примерно на энергию 1,44 эв.
Если измерение производится в замедлителе, поглощение в ко-
тором малб по сравнению с рассеянием, то Ф(£) связано с плотно-
стью замедления соотношением (6.70) и, следовательно, (6.72) при-
нимает вид
Ещ (£) ЧЕ
ZS(E) Е
(6.73)
где Ss(E) — макроскопическое эффективное сечение рассеяния замед-
лителя для нейтронов энергии Е.
В асимптотической области плотность замедления в непоглощающем
(или слабо поглощающем) веществе не зависит от энергии и потому
вынесена из-под знака интеграла. На протяжении резонансной области
индия сечение рассеяния замедлителя £g практически постоянно, так
что (6.73) может быть записано в виде
= (6’74>
J L-
Таким образом, плотность замедления пропорциональна экспери-
ментально определенной активности насыщения индиевой фольги.
Величина входящего в (6.74) интеграла может быть найдена с по-
мощью графического интегрирования по известному эффективному
сечению в резонансной области (см. фиг. 9). После этого, зная объем
фольги V, а также характеристики замедлителя I и Sg, можно вы-
числить плотность замедления нейтронов для энергий, лежащих в ре-
зонансной области индия.
Для некоторых практических целей нет необходимости знать
саму плотность замедления, а достаточно знать лишь величину, ей
184
Гл. 6. Замедление нейтронов
пропорциональную. В таких случаях активность насыщения заэкрани-
рованной кадмием индиевой фольги заданного объема, определенная
в данном замедлителе, является непосредственной мерой плотности
замедления нейтронов в резонансной области индия. Некоторые при-
меры применения изложенного метода будут приведены в дальней-
шем.
ЗАМЕДЛЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНЫХ СРЕДАХ ПРИ НАЛИЧИИ
ПОГЛОЩЕНИЯ
§ 14. Замедление в водороде при наличии поглощения
Рассмотрение замедления нейтронов в средах, в которых имеет
место поглощение (захват) нейтронов, представляет ббльшие труд-
ности, чем проведенное выше рассмотрение для непоглощающих сред.
Единственный случай, для которого может быть без труда получено
точное решение, — это замедление в гомогенной смеси водорода и тя-
желого поглотителя (например, урана). Как указывалось ранее, U238
обладает довольно резкими резонансными максимумами поглощения
для относительно медленных нейтронов. Нейтроны, замедлившиеся
(в результате рассеяния ядрами замедлителя) до энергий, лежащих
в резонансной области, имеют определенную вероятность быть захва-
ченными ураном и таким образом выбыть из системы. В силу этого
наличие поглотителя нейтронов (особенно обладающего одним или боль-
шим числом резонансных максимумов) будет влиять на стационарное
распределение нейтронных энергий при замедлении.
При анализе поведения нейтронов в смеси водорода и урана мы,
как и ранее, сделаем допущение о бесконечной протяженности
системы (и, следовательно, об отсутствии потери нейтронов вслед-
ствие утечки). Рассеяние будем попрежнему считать сферически сим-
метричным в системе центра инерции. Кроме того, примем, что рас-
сеяние ядрами урана не изменяет энергии нейтронов. Другими словами,
мы считаем массу ядра урана бесконечно большой, т. е. Е = 0, так
что замедлитель, в сущности, представляет собой не смесь, а один
элемент (именно водород).
Плотность столкновений, т. е. полное число актов рассеяния и
поглощения, испытываемых нейтронами энергии Е (на 1 смъ, 1 сек.
и на единицу интервала энергии), равна
/7(£) = (ЕО + ^)Ф(£). (6.75)
где £а — макроскопическое эффективное сечение поглощения нейтро-
нов энергии Е, a Ss — сечение их рассеяния. Плотность столкновений
(на единицу интервала энергии) для поглощения равна So Ф (Д)> а плот-
ность столкновений для рассеяния равна Х6Ф(Е); сумма этих двух
величин равна F(E)—полной плотности столкновений для нейтронов
энергии Е.
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 185-
В стационарном состоянии число нейтронов, попадающих в эле-
ментарный энергетический интервал dE в результате рассеяния ядрами
водорода, равно числу нейтронов, выбывающих из этого интервала
в результате рассеяния, плюс число поглощенных (захваченных) ней-
тронов. Пусть Q—число нейтронов источника с энергией Ео, гене-
рируемых ежесекундно в каждом кубическом сантиметре системы.
Тогда в случае отсутствия заметного поглощения нейтронов источника
можно показать (методом, аналогичным использованному в § 9), что
для рассеяния в водороде, смешанном с тяжелым поглотителем, усло-
вие стационарности имеет вид
Е
Если поглощением нейтронов источника нельзя пренебречь, первый
член в правой части равенства (6.76) следует умножить на Ё8/(Еа4-Е8),
где эффективные сечения относятся к нейтронной энергии Ео. При
нашем рассмотрении мы будем считать этот множитель практически
равным единице, поскольку обычно поглощение оказывается заметным
лишь при энергиях, гораздо меньших энергии (быстрых) нейтронов,
генерируемых в ядерных реакторах.
Чтобы найти решение интегрального уравнения (6.76), дифферен-
цируем его по Е, что дает
dF(E) Es F(E)
dE — Еа + Ег Е ’
Величина £s/(So ~Ь Х8)> конечно, есть функция энергии, но для упро-
щения записи аргумент (Е) здесь опущен.
Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (6.77) и
интегрируя, получаем
или
/
F(E)
dF(E')
F(E')
Г dE'
J Eo + Ee E'
,n 1ЦЕ) f° dE’
E(E0) J Ea + Ss E' ‘
E
(6.78)
Из уравнения (6.76) вытекает граничное условие
Т(Ее) = ^.
в сочетании с которым равенство (6.78) дает следующее решение
уравнения (6.76):
Т® = £ехр() (6-79)
Е
186
Гл. 6. Замедление нейтронов
Поскольку
Ss 1 Sa
La + Ss Sa + Ss ’
формула (6.79) может быть переписана в виде
F (Е) = f exp
Sa dE' \
Sa + Ss E' )
(6.80)
Экспоненциальный множитель в этом выражении есть упомянутая
в гл. 4, § 10, вероятность избежать резонансного захвата p(JE),
в чем можно убедиться следующим образом.
Для замедления в водороде плотность замедления q (Е) *) при
энергии Е в стационарном состоянии дается выражением
<?(£) =
QE
Ео
К
F Г
J Sa + Ss E'
dE',
(6.81)
как можно показать в соответствии с § 9 [ср. (6.44)]. Согласно
(6.76), интеграл в (6.81) равен F (Е) — (Q/Eo), так что (6.81) при-
нимает вид
или
q (Е) = EF (Е). (6.82)
Используя выражение (6.80) для F (Е), приходим к результату
4(E) —Qexp( J £o + £s Е'
Е
(6.83)
Вероятность того, что нейтрон не будет захвачен при замедлении
от Ео ло Е [т. е. вероятность избежать резонансного захвата р(Е)
для нейтронов энергии Е], равна отношению плотности замедления
(для энергии Е) при наличии поглощения к плотности замедления
в отсутствие поглощения. Плотность замедления q(E) при наличии
поглощения дается формулой (6.83), тогда как, согласно § 10, в слу-
чае отсутствия захвата нейтронов плотность замедления в водороде
равна просто Q. Следовательно,
К
р (Е) = Ш = exp ( - f (6.84)
Е
!) В отличие от случаев, рассмотренных выше, здесь мы пишем аргу-
мент Е, так как плотность замедления в резонансной области является функ-
цией нейтронной энергии. —Прим. авт.
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 187
дает вероятность избежать резонансного захвата в смеси водорода
с тяжелым поглотителем. Поскольку экспоненты в (6.84) и (6.80)
тождественны, то этим и доказано сделанное выше утверждение.
§ 15. Замедление при наличии поглощения в средах
с массовым числом, большим единицы
Для поглощающих сред, содержащих ядра с массовым числом
А > 1, вычисление плотности столкновений и вероятности избежать
резонансного захвата не может быть проведено аналитически в общем
случае, когда на зависимость сечения поглощения от энергии не на-
ложено никаких ограничений. Как было показано выше, в замедли-
теле с массовым числом, бблыиим единицы, нейтрон любой энергии Е
может быть (в одном акте рассеяния) замедлен лишь до энергии аЕ,
так что следует рассматривать раздельно две различные области
энергии.
Рассматривая резонансный захват нейтронов в реакторе по мере
их замедления (например, в смеси урана с бериллием или углеродом),
следует иметь в виду, что энергия нейтронов источника (т. е. ней-
тронов деления) велика по сравнению с энергиями, при которых
становится существенным резонансный захват. Следовательно, необ-
ходимо вывести условие стационарности лишь для нейтронных энер-
гий Е <^_аЕ0, где Е$—эффективно наименьшая из энергий, с которыми
испускаются нейтроны деления.
Для общего случая системы, содержащей N сортов рассеивающих
ядер, которые могут (частично или все) также поглощать нейтроны,
уравнение стационарного состояния имеет вид
w E!ai
<*•*>
i—lE
Это уравнение является аналогом уравнения (6.65) и отличается от
него тем, что в уравнение (6.85) введено эффективное сечение погло-
щения. Ввиду того, что правая часть уравнения (6.85) есть функция
как Е, так и Е/а{, это уравнение не удается свести дифференциро-
ванием к простому дифференциальному уравнению (которое затем
могло бы быть решено с помощью граничного условия при £ = £0),
как это было в предыдущих примерах.
Точное решение уравнения (6.85) для Е аЕ0 может быть полу-
чено в тривиальном случае постоянных сечений, но это означало бы
отсутствие резонансного поглощения, и потому соответствующий ре-
зультат не представляет какой-либо практической ценности. Асимпто-
тические решения могут быть получены для ряда других частных
случаев — таких, как медленно меняющееся сечение захвата, сечение
захвата, пропорциональное 1/т» [3], и далеко друг от друга отстоящие
188
Гл. 6. Замедление нейтронов
резонансы; кроме того, для решения конкретных задач могут приме-
няться различные численные методы.
Вместо нахождения плотности столкновений выведем представля-
ющие ббльший практический интерес выражения для вероятности избе-
жать резонансного захвата. При этом будут рассмотрены три важных
случая: а) ряд далеко отстоящих друг от друга резонансов; б) мед-
ленно меняющееся сечение захвата и в) весьма слабое поглощение.
§ 16. Вероятность избежать резонансного захвата
в случае далеко отстоящих друг от друга резонансов
Как было показано в § 11 (при рассмотрении замедления без по-
глощения в среде с массовым числом >1), в области энергий
от Ео—энергии нейтронов источника, примерно вплоть до а3£0 ней-
тронная плотность столкновений F(u) осциллирует, „затухая" до по-
стоянного значения при нейтронных энергиях, меньших а8£0. В § 11
было указано, что узкий резонансный максимум поглощения действует
наподобие отрицательного источника: он вызывает флюктуации в плот-
ности столкновений, распространенные по области энергий от Ег
(энергия резонанса) примерно до а3Ег.
Это же заключение можно выразить и в терминах летаргии. Пусть
иг— летаргия, соответствующая энергии резонанса Ег, а и — летар-
гия, соответствующая энергии а9Ег, при которой затухают осцилля-
ции, т. е.
иг — 1п^- и и = 1п-
r Er askr
Следовательно, интервал летаргии, на котором происходят осцилля-
ции F(«), равен
о, 1
и — иг = 31п—.
Т а
Итак, обусловленные резонансным поглощением осцилляции плотности
столкновений практически полностью затухают, когда нейтронная ле-
таргия превышает летаргию в резонансе на величину 31п(1/а).
Если при меньшей энергии имеется еще один резонансный макси-
мум поглощения, то число захваченных в его области нейтронов,
вообще говоря, зависит от расстояния между обоими резонансами.
Однако если они отстоят друг от друга примерно на 41п(1/а) еди-
ницы летаргии (или более), то захват в области второго резонанса
не будет практически зависеть от их взаимного расстояния, поскольку
в этом случае Г{и) принимает постоянное значение на интервале ле-
таргии длиной 1п(1/а), предшествующем второму резонансу. Число
нейтронов, попадающих в результате рассеяния в область второго
резонанса, будет постоянно (т. е. не будет зависеть от энергии вто-
рого резонанса). Вообще можно утверждать, что число нейтронов,
рассеянных в элемент летаргии Д/z, полностью определяется поведе-
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 189
нием Г(и) в интервале от [и — 1п(1/а)] до и. Заметим, что предыду-
щие заключения справедливы только для узкого (линейного) резонанса,
когда резонансное поглощение происходит практически при опреде-
ленном значении энергии, а не в широком энергетическом интервале.
Если резонансы достаточно далеко отстоят друг от друга [так что
плотность столкновений Е(и) постоянна на интервалах летаргии дли-
ной ^>1п(1/а), предшествующих каждому из резонансов], выражение
для вероятности избежать резонансного захвата может быть выведено
простым (хотя и не строгим) способом, изложенным ниже *). При этом
рассмотрение ограничено случаем, когда ширины резонансов по шкале
летаргии малы по сравнению с Е— средним изменением летаргии при
одном столкновении (см. § 7). Предполагается далее, что резонансы
расположены в асимптотической области энергий, т. е. при Er<^ctE0,
где осцилляции плотности столкновений, обусловленные источником
нейтронов, уже успевают затухнуть.
При сделанных допущениях плотность столкновений F {и) постоянна
для энергий, превышающих Ег по меньшей мере вплоть до Е^а, где
Е, — энергия первого резонансаа). Если ДЕ, — ширина резонанса, то
число нейтронов, захваченных в элементе ДЕ„ равно ^ПФ(Е,)ДЕ,,
где Ф(Е,)—„выеденный" (уменьшенный) нейтронный поток при энер-
гии Е, (на единицу интервала энергии). Если бы не было поглоще-
ния, то число нейтронов, рассеянных в интервал энергии ДЕ„ равня-
лось бы числу рассеянных из этого интервала, ЕяФ^Е^ДЕ,, где
Ф„(Е,)— нейтронный поток на единицу интервала энергии в отсут-
ствие поглощения. При наличии поглощения число нейтронов, рас-
сеянных в элемент ДЕ,, должно равняться полному числу нейтронов,
выбывающих из этого элемента, т. е. числу рассеянных из него,
Х8Ф(Е,)ДЕ,, плюс число поглощенных, УаФ (Е,) ДЕ,. Поскольку число
нейтронов, рассеянных в интервал ДЕ„ одно и то же при наличии
и при отсутствии поглощения, имеем
у8Фп(Е,)ДЕ, =(Е8 + Ео)Ф(Е1)ДЕ,. (6.86)
Согласно равенствам (6,70),
(6-87)
где Е— среднее (по всем сортам ядер) значение среднего логарифми-
ческого декремента энергии на одно соударение для нейтронов, за-
медляющихся в смеси. Подстановка Фп в (6.86) дает
Ф(Е,)ДЕ1 =
Q
e(Es + Sa) Ег '
i) Этот вывод был впервые предложен Вигнером (не опубликовано).—
Прим. авт.
а) Это, разумеется, равносильно утверждению, что Е(а) постоянно в ин-
тервале летаргии от а, до [и,—ln(l/a)].— Прим. авт.
190
Гл. 6. Замедление нейтронов
Вероятность того, что нейтроны будут захвачены в интервале ДЕ],
равна
ЕаФ(Е,)ДЕ] Ео ДЕ1
Q e(Es + £a)E/
Следовательно, вероятность рг того, что нейтроны избегнут захвата
в области первого резонанса, равна
Р1= 1— ^-^2-------^1.
1 S(S, + Sa) Ei
(6.88)
Рассмотрим далее второй резонанс при нейтронной энергии Е2;
ширину этого резонанса обозначим через ДЕ2. Как было предполо-
жено выше, интервал между обоими резонансами таков, что плотность
столкновений Е(п) становится постоянной уже на некотором расстоя-
нии „выше" второго резонанса. Нейтронный поток на единицу интер-
вала энергии в месте второго резонанса без учета захвата, ФП(Е2),
получается умножением асимптотического вида потока без учета за-
хвата [ср. (6.87)] на рр итак,
фп(£2) =
_PiQ
«Е8Е2 ‘
Используя выражение (6.88), находим, что вероятность р2 того, что
нейтроны, испущенные источником, избегнут захвата в первых двух
резонансах, равна
Ь Ео ДЕЛ Ь £„ ДЕЛ
L ?(S8 + S0)E]JL «(Еа + Еа) E2J'
В общем случае, когда имеется п резонансов, вероятность избе-
жать захвата равна
So ДЕЛ
£(Ss + Ea) £*Г
Логарифмируя обе части этого равенства, имеем
п
lnPn = S’n
*=1
Е„ ДЕЯ
¥(ss+sa) eJ'
(6.89)
Если второй член в скобках весьма мал по сравнению с единицей,
что имеет место при
ДЕ^ЕЕр
т. е. для узких резонансов, то можно апроксимировать логарифм
в равенстве (6.89) первым членом его разложения в ряд; это дает
у ДЕ,:
E(Ss + Sa) Ei
(6.90)
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 191
Вероятность избежать резонансного захвата может быть записана
в обычной интегральной форме (см. конец § 13), если мысленно раз-
бить всю резонансную область на т смежных энергетических полосок
шириной ДЕу. При этом получаем (подразумевается, что в интервалах
между резонансами Sa = 0):
_ VT Sa ДЕ*__________ VI "a
£ 6(Ss + Sa) ~Ei~ ~ £ Г(Еа + Еа) ’
так что, согласно (6.90),
р(Е) =
lim exp
Ш->оо
или
р(Е) = ехр
(6.91)
Именно в таком виде часто выражают вероятность избежать резонанс-
ного захвата; подчеркнем, что это выражение строго справедливо
(не считая случая водородного замедлителя с тяжелым поглотителем)
лишь для удаленных друг от друга узких резонансов. Для смеси
водорода с тяжелым поглотителем Е = 1 и равенство (6.91) перехо-
дит в точное выражение (6.84). Вероятность избежать резонансного
захвата, определяемая формулой (6.91), будет использована в гл. 9
при рассмотрении гетерогенных реакторов, состоящих из естествен-
ного урана в графитовом замедлителе.
Отметим, что даже когда эффективное сечение поглощения стано-
вится бесконечно большим в конечном интервале энергий, интеграл
в (6.91), а следовательно, вероятность избежать резонансного захвата,
остается конечным. Рассмотрим, например, случай, когда —> оо
в интервале энергий от Et до Е2, где Ё0>Е1>Е?, и £о = 0 при
всех остальных энергиях. Поскольку в интервале от Ех до Ей можно
положить Xa/(Se + Sa) = 1» формула (6.91) принимает вид
Г. 1
Итак, несмотря на то, что эффективное сечение поглощения бес-
конечно велико, вероятность избежать резонансного захвата конечна.
Для водородного замедлителя этот результат является прямым след-
ствием того факта, что определенная доля рассеянных нейтронов
„проскакивает" через резонанс. Из общих соображений нетрудно ви-
деть, что в случае более тяжелых замедлителей рассеянные нейтроны
будут в состоянии „проскочить" через резонансную область, только
если последняя узка и если резонансы далеко отстоят друг от друга.
192
Гл. 6. Замедление нейтронов
Разумеется, на этих допущениях и основывается вывод формулы (6.91).
Если ширина „бесконечно большого“ резонанса равна или больше
максимальной убыли энергии в акте рассеяния, то ни один нейтрон
не замедлится „за“ резонанс. При этом вероятность избежать резо-
нансного захвата будет равна нулю для всех энергий, меньших или
равных Е2 (нижняя граница резонансной области).
§ 17. Вероятность избежать резонансного захвата в случае
медленно меняющегося сечения поглощения
Если эффективное сечение поглощения в резонансной области
сравнительно медленно изменяется с нейтронной энергией, оказывается
возможным вывести приближенное выражение для вероятности избе-
жать резонансного захвата* 1). В случае непоглощающего замедлителя
величина F(u), т. е. Х8Ф(и), постоянна в асимптотической области.
Если, однако, имеется поглотитель, то £Ь.Ф (и) будет убывать (быстрота
этого убывания зависит от сечения поглощения). Если £а не сильно
изменяется на протяжении интервала летаргии 1п(1/а), то плотность
рассеивающих столкновений £8Ф(и) [которую можно обозначить через
/%(«)] также не будет быстро меняться в указанном интервале.
Предполагая, как и прежде, что нейтроны энергии Ео равномерно
генерируются в бесконечной среде, имеем (в случае одного замедли-
теля с бесконечно тяжелым поглотителем) следующее выражение для
плотности замедления при энергиях, малых по сравнению с аЕ0:
Е/а
q(E) = j Fa{E')^^dE'. (6.92)
Е
Это соотношение совпадает по форме с соотношением (6.54) для
непоглощающей среды; отметим только, что в качестве F(E) здесь
стоит плотность рассеивающих столкновений, а не полная плотность
столкновений, определенная равенством (6.75). Произведя преобразо-
вание переменной от энергии к летаргии, легко показать, что для
значений летаргии, превышающих 1п(1/а), выражение (6.92) приво-
дится к виду
и
q(u)= J — a) du', (6.93)
u-t
где
. 1
г = ш —,
а
Если Fs(u) медленно изменяется на интервале летаргии s [т. е.
1п(1/а)], то Fa(u'') можно апроксимировать первыми двумя членами
г) Изложенный ниже вывод принадлежит в основном Г. ГСртцелю и
Е. Грюлингу (не опубликовано). — Прим. авт.
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 193
разложения в ряд Тейлора около и' = к, так что (6.93) принимает
вид
и
= + (6.94)
W—6
После интегрирования по и' получаем
q(u) = lFa(u) + a^£±, (6.95)
где
_ а -|- аг -|- */2 ае2 — 1
d . - «
1 — а
а В имеет прежний смысл.
Возвращаясь к выражению (6.93) и дифференцируя это равенство
по а, получаем
• и
~^ = FS («)- -1^7 f Fs (и') eu'~udu'. (6.96)
и—«
Разлагая Fe(u') в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя чле-
нами разложения, имеем
и
= Fe(«)-J |г8(в)+(в'_е-'-du', (6.97)
что после интегрирования дает
d£ = ?^(iO (6.98)
du du 4 ’
Умножая выражение (6.95) на а равенство (6.98) на а и вычитая по-
лученные равенства, находим
-«-g-4-^ = ^s(«) = $2M(«). (6.99)
где вместо FK(u) подставлено £8Ф(в).
В интервале летаргии от и до и-J-rfn плотность замедления
уменьшается с q до q — dq вследствие поглощения нейтронов с ле-
таргией и в интервале du. Если Ео — макроскопическое сечение
поглощения нейтронов, обладающих летаргией и, а Ф(и)— нейтрон-
ный поток на единицу интервала летаргии, то
— dq~ ЕОФ (и) du,
поскольку уменьшение плотности замедления должно равняться числу
нейтронов, поглощаемых (в 1 смъ за 1 сек.) в интервале летаргии
du. Это соотношение можно переписать в виде
^-=_ЕОФ(В). (6.100)
194
Гл. 6. Замедление нейтронов
Подставляя равенство (6.100) в (6.99), можно следующим образом
выразить нейтронный поток на единицу интервала летаргии через
плотность замедления:
где
Я 1 — а — аг — Ч, ае2
=-----Г——g —ае * (6-102>
Значения 7 для нескольких замедлителей приведены в табл. 13;
кроме того, в нее включены также и соответствующие значения Е,
Таблица 13 взятые из табл. 12.
ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ВЫЧИСЛЕ- Вероятность избежать резо-
НИИ ВЕРОЯТНОСТИ ИЗБЕЖАТЬ РЕЗОНАНС- нансного захвата может быть
НОГО ЗАХВАТА получена следующим образом.
Подставляя выражение (6.101)
Элемент т Е для Ф(и) в дифференциальное
уравнение (6.100), имеем
Водовод 1,000 1,000 dq „
Дейтерий .... 0,583 0,725 du
Бериллий .... 0,149 0,209
Углерод 0,116 0,158 -zi. = zs. du 4 +
Интегрируя по летаргии в пределах от нуля (летаргия нейтронов
источника) до и, получаем
I-м- J цгтаЧ (6Л03)
о
Левая часть этого равенства есть отношение плотности замедления q
при летаргии а к ее значению <70 при (равной нулю) летаргии ней-
тронов источника. Если бы не было захвата нейтронов, то плотность
замедления в асимптотической области была бы равна q0 (последняя
величина, в свою очередь, равна мощности источника). Следовательно,
выражаемое формулой (6.103) отношение qfqG должно равняться веро-
ятности избежать резонансного захвата для летаргии и. Преобразуя
эту формулу обратно к переменной Е, находим
Ео
P<E) = exp(-J-^E^), (6.104)
где Функция энергии.
Интересно отметить, что для водорода (7==£= 1) приближенная
формула (6.104) совпадает с точной формулой (6.84) (дающей веро-
ятность избежать резонансного захвата в водородном замедлителе
с бесконечно тяжелым поглотителем).
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения 195
§ 18. Вероятность избежать резонансного захвата
в случае слабого резонансного поглощения
Если в данной поглощающей системе макроскопическое эффек-
тивное сечение поглощения гораздо меньше макроскопического
эффективного сечения рассеяния, т. е. Sa<^Sg> то значения ней-
тронного потока в асимптотической области не будут сильно отли-
чаться от значений, которых следовало бы ожидать при отсутствии
поглощения. В этом случае можно просто вывести выражение для
вероятности избежать резонансного захвата, аналогичное (6.84).
Изменение dq плотности замедления на протяжении интервала
энергии dE равно числу нейтронов, поглощаемых в 1 см* за 1 сек.
на интервале dE (ср. § 17); следовательно,
dq = ^{E)dE, (6.105)
где Ф(Е)—нейтронный поток наединицу интервала энергии при
энергии Е. В рассматриваемом случае Ф(Е) можно считать практи-
чески таким же, как и при отсутствии поглощения, т. е., согласно
(6.70),
= (6.106)
Комбинируя выражения (6.105) и (6.106), имеем
dq __ Sa dE
7 ffie E ’
откуда после интегрирования
Eq
Таким образом, вероятность избежать резонансного захвата р(Е)
равна
р(Е)=^.=еХр(_ J (6.107)
Тот же результат можно получить из (6.91), полагая Sg^> So-
Очевидно, что при этом (6.91) должно свестись к (6.107), поскольку
при <^Vg резонансное поглощение не обусловливает заметных
осцилляций плотности столкновений, так что ограничение, требующее
достаточной взаимной удаленности резонансов (существенное для
сильных резонансных линий), может быть снято.
Аналогично, при ESs^>7Sa формула (6.104) также сводится
к (6.107). При выполнении этого условия поглощение, во всяком
случае, малб и потому условие медленности изменения эффективного
сечения поглощения уже не имеет значения.
196
Гл. 6. Замедление нейтронов
ТЕОРИЯ ВОЗРАСТА
§ 19- Модель непрерывного замедления
В предыдущих разделах настоящей главы было проведено общее
рассмотрение энергетических соотношений при рассеянии; теперь мы
рассмотрим пространственное распределение нейтронов различных
энергий, получающееся в результате их диффузии в процессе замед-
ления. Как было указано ранее (см. § 1), среднее расстояние (по
прямой), на которое испущенный при делении нейтрон смещается за
время замедления, имеет прямое отношение, к критическим размерам
реактора. Если это среднее расстояние велико, то реактор должен
быть большим, с тем чтобы уменьшить вероятность ухода нейтронов
за пределы системы до того, как они станут тепловыми. Таким
образом, пространственное распределение нейтронов, обусловленное
их диффузией в процессе замедления, определяет вероятность потери
нейтронов вследствие утечки из теплового реактора в течение ука-
занного процесса.
Сравнительно простой подход к решению рассматриваемой задачи,
применимый к замедлению в средах, содержащих не слишком легкие
ядра (под последними понимаются, например, водород и дейтерий),
основан на следующей модели. Рассмотрим нейтрон, испущенный при
делении с энергией Ео", он будет двигаться в течение некоторого
времени с этой энергией, пока не столкнется с ядром. После столк-
новения (в результате которого его энергия уменьшится) нейтрон
•будет двигаться с постоянной (уменьшенной) энергией до встречи
с другим ядром. Поскольку нейтрон теперь движется с меньшей
скоростью, время между последовательными столкновениями в среднем
возрастает. Этот процесс движения с постоянной энергией, преры-
ваемого столкновениями (в результате которых энергия уменьшается),
продолжается до тех пор, пока нейтрон не замедлится до тепловой
энергии.
Поскольку среднее изменение логарифма нейтронной энергии Е
при одном столкновении, т. е. Е, не зависит от энергии (см. § 5),
график временндй зависимости 1пЕ (начиная от энергии нейтронов
деления Ео и вплоть до тепловой энергии Ет) будет иметь вид,
представленный на фиг. 40.
Этот график состоит из ряда „ступенек" приблизительно одина-
ковой высоты Е, но постепенно увеличивающейся длины. Горизонталь-
ные отрезки соответствуют постоянным значениям энергии нейтрона,
свободно движущегося от столкновения до столкновения, а длины
этих отрезков дают время, протекающее между последовательными
столкновениями. Следует отметить, что этот график относится к от-
дельному нейтрону; в действительности, как указано ниже, будут
иметь место некоторые отклонения от рассматриваемого „среднего"
поведения.
Теория возраста
197
Вследствие того, что отдельные нейтроны ведут себя различным
образом (даже если все они образуются с одинаковой энергией), они
не будут обладать все одной и той же энергией по истечении опре-
деленного времени t с момента рождения. Другими словами, график
зависимости Inf от t (см. фиг. 40) будет меняться от нейтрона
к нейтрону, хотя все они начинают замедляться от одной и той же
„энергии деления" Ео и диффундируют в одной и той же среде. Если
последняя состоит из ядер средних или больших масс, то разброс
энергий от нейтрона к нейтрону относительно мал, так что оказы-
вается возможным описать поведение большого числа отдельных
нейтронов с помощью некоторого среднего их поведения. Например,
максимальное относительное изменение энергии нейтрона при столк-
новении с ядром углерода равно 0,27, тогда как соответствующее
среднее значение равно приблизительно 0,17. Очевидно поэтому, что
даже в углероде (графите) разброс нейтронных энергий в любой
заданный момент времени после выхода из источника будет невелик
Для сред, содержащих более тяжелые ядра, этот разброс еще
меньше.
Далее, при тех условиях, когда поведение нейтронов может быть
приближенно представлено некоторым средним поведением, логариф-
мическое изменение энергии при одном столкновении мало. Эго зна-
чит, что высота „ступенек" на фиг. 40 мала. В итоге ряд ступенек
может быть без существенной погрешности заменен непрерывной
кривой, вроде той, которая проведена на фиг. 40. Другими сло-
вами, в качестве приближения принимается, что в течение замед-
ления нейтроны теряют энергию не дискретно (как это имеет место
198
Гл. 6. Замедление нейтронов
в действительности), а непрерывно. Итак, последующее рассмотрение
основывается на допущении, что „прерывное" поведение большого числа
нейтронов при замедлении может быть в удовлетворительном приближе-
нии в совокупности описано посредством единой непрерывной кривой.
Необходимо подчеркнуть, что указанное приближение справедливо
только для замедлителей, состоящих из элементов с довольно боль-
шими массовыми числами; оно неприменимо к средам, содержащим
водород, дейтерий или другие легкие элементы. В самом деле,
например, в водороде нейтрон может потерять практически всю свою
энергию Ео и тем самым замедлиться до тепловой энергии в одном
акте столкновения. Таким образом, при замедлении нейтронов легкими
ядрами имеет место значительный разброс энергий, вследствие чего
замена совокупной картины замедления большого числа нейтронов
усредненным поведением оказывается незаконной. Далее, вследствие
больших изменений нейтронной энергии в акте столкновения, а сле-
довательно, малости числа столкновений, необходимого для умень-
шения энергии до тепловой величины, представление процесса замед-
ления с помощью непрерывной кривой описанного выше типа
совершенно недопустимо.
§ 20. Уравнение возраста при отсутствии поглощения
Последующее рассмотрение будет ограничено диффузией нейтро-
нов в средах, состоящих из элементов с не слишком малым атомным
весом. Прежде всего нужно вывести дифференциальное уравнение,
описывающее непрерывное замедление в непоглощающей среде. Мы
примем, что все нейтроны, диффундировавшие в течение времени t
после выхода из источника, имеют одну и ту же летаргию и, и ис-
пользуем связь между dt и du для вывода пространственного распре-
деления плотности замедления.
Пусть все нейтроны, диффундировавшие в течение времени t,
обладают скоростью о и пусть Ля — средняя длина свободного про-
бега по отношению к рассеянию, т. е. среднее расстояние, проходи-
мое нейтроном между двумя последовательными столкновениями
с ядрами. Число столкновений, испытываемых нейтроном в ближайшем
временнбм интервале dt, равно, очевидно, vdtj\a. Поскольку $ есть
среднее логарифмическое изменение энергии при одном столкновении,
уменьшение In Е равно £, умноженному на число столкновений за
время dt, т. е.
— din Е =-?-dt, (6.108)
's
где левая часть равенства выражает логарифмическую потерю энергии
за время dt. Заменяя —In В на du — соответствующее приращение
летаргии (ср. § 7), получаем
du = ^-dt. (6.109)
Теория возраста
199
Это и есть упомянутое выше дифференциальное уравнение, связы-
вающее и с t на основе модели непрерывного замедления. При этом,
разумеется, предположено, что потери нейтронов вследствие погло-
щения отсутствуют.
Рассмотрим теперь в точке наблюдения с радиус-вектором г
нейтроны, диффундировавшие в течение времени t. В течение ближай-
шего следующего интервала dt они будут вытекать из элемента
объема около точки г, причем быстрота этого вытекания опреде-
ляется, согласно (5.37), величиной —О72Ф(г,/), где Ф(г, t) — поток
рассматриваемых нейтронов в данной точке. Поскольку Ф можно
заменить на ч>п, где я— соответствующая плотность нейтронов, то
быстрота утечки выражается в виде —DoV2n(r, /). Если поглощение
нейтронов отсутствует, это выражение дает быстроту убывания ней-
тронной плотности со временем; таким образом, изменяя знаки обеих
частей равенства на обратные, имеем
DvT-n (г, 0 = , (6.110)
где D, зависящее от скорости -о, и само v— функции энергии. Для
наших целей удобно определить и (г, f) в обеих частях равенства
(6.110) как нейтронную плотность на единицу интервала времени,
так чтобы я (г, t)dt было числом нейтронов (в 1 сл<3), которые диф-
фундировали после выхода из источника в течение времени от t до
t-\-dt.
Следующий шаг состоит в преобразовании независимой переменной
(от t к я). Если я (г, я) — число нейтронов в 1 сл<3 на единицу
интервала летаргии, то число нейтронов в 1 см3, обладающих летар-
гией в интервале от и до и -\-du, равно я (г, и) du. Если этот ин-
тервал летаргии du соответствует рассмотренному выше интервалу
времени dt, то
я (г, и) du — я (г, t)dt,
откуда
я (г, 0 = я(г, = и), (6.111)
где dujdt взято из равенства (6.109).
Комбинируя тождество
дп (г, t) ди дп(г, t)'
dt dt ди
с выражением dujdt, взятым из (6.109), получаем
Эя (г, t) Эп(г, 0
dt К8 ди *
откуда, согласно равенству (6.111),
^Л = 4^А[^я(г, и)1. (6.112)
di л8 ди L л8 4 ’
200
Гл. 6. Замедление нейтронов
Подставляя (6.111) в левую часть, а (6.112) в правую часть уравне-
ния (6.110), приводим последнее к виду
W [£»(г, «)] = * £[* „(Г, »)]. (6.113)
Имея в виду данное выше определение п (г, и), убеждаемся, что vn (г, и)
совпадает с Ф(г, и) — нейтронным потоком на единицу интервала
летаргии; поскольку, далее, As = 1 /Eg (Es — макроскопическое эффек-
тивное сечение рассеяния для данного вещества), равенство (6.113)
можно переписать в виде
* £>¥2[^вФ(г, «)]=е2.^[52,Ф(Г> «)]• (6-114)
Величина в скобках, входящая в обе части уравнения (6.114), есть,
как видно из выражения (6.61), плотность замедления q; таким обра-
зом, это уравнение приводится к виду
Введем теперь новую переменную т(и), определяемую соотно-
шением
т(и)= (6.116)
о s
Произведя в уравнении (6.115) преобразование от переменной и
к переменной т(и), приходим к уравнению
V2<7 = -fj, (6.117)
известному под названием уравнения возраста. Величина т (и) назы-
вается символическим возрастом, а зачастую просто возрастом ней-
тронов. Следует, однако, подчеркнуть, что т не обладает размер-
ностью времени, а является величиной с размерностью квадрата длины.
'Последнее непосредственно видно из уравнения (6.117), поскольку
оператор Лапласа означает двукратное дифференцирование по коор-
динатам. Интересно отметить, что уравнение возраста совпадает
по форме с обычным уравнением теплопроводности.
Входящая в уравнение (6.117) величина т связана с хронологиче-
ским возрастом нейтронов, в чем можно убедиться следующим обра-
зом. Хронологический возраст t можно определить как время, необхо-
димое в среднем для замедления нейтрона от его первоначальной
(получаемой при делении) энергии Ео до энергии Е, т. е. время между
его выходом из источника и достижением летаргии и. Произведя
замену переменной в (6.116) с помощью (6.109), получаем
t t
т= $Dvdt=f Dodtt (6.118)
О о
Теория возраста
201
где Do заменено на Do—обычный коэффициент диффузии (см.
гл. 5, § 1). Определяя средний коэффициент диффузии Do за время
замедления /,
t
Do=±-fDodt,
о
приводим (6.118) к виду
x = Dot. (6.119)
Итак, возраст т равняется времени замедления (хронологическому
возрасту) нейтронов I, умноженному на средний (за время t) коэф-
фициент диффузии. Непосредственно после выхода из источника зна-
чение т равно нулю, а по мере увеличения времени замедления ней-
тронов и уменьшения их энергии т возрастает.
Выше замедление рассматривалось в терминах летаргии и, так
что q и т в (6.116) и (6.117) были функциями и. Посредством пре-
образования переменных их можно, разумеется, выразить как функции
энергии. Согласно § 7, du =— dE]E, так что определение (6.116)
нейтронного возраста преобразуется к виду
Ео
<6Л2<»
Е
а в уравнение возраста (6.117) войдет плотность замедления q(E).
при энергии Е.
§ 21. Решение уравнения возраста
Случай I. Плоский источник быстрых (моноэнергетических)
нейтронов в бесконечно протяженной области.
Рассмотрим источник ,быстрых нейтронов, представляющий собой
бесконечную плоскость, с каждого квадратного сантиметра которой
ежесекундно испускаются S нейтронов с энергией Ео. Выберем систему
координат так, чтобы источник был расположен в плоскости (у, г),
проходящей через начало координат; тогда уравнение возраста примет
вид
V2g(x, т)= т) при х^О. (6.121)
Поскольку возраст нейтронов источника равен нулю, условие источ-
ника можно записать в виде
?(х, 0) = S8(x), (6.122)
где 6(х)—дельта-функция Дирака (см. гл. 5, § 15).
Будем решать уравнение возраста (6.122) методом разделения пере-
менных, полагая
q(x, х) = X (х) Т (х), (6.123)»
202
Гл. 6. Замедление нейтронов
так что это уравнение принимает вид
1 d* 2X _ dT 1
X dx2 — dt Т'
Поскольку левая часть полученного равенства является функцией
только х, а правая часть — функцией только т, каждая из них должна
равняться некоторой постоянной —а2, где а2 — вещественная положи-
тельная величина1); итак,
Общими решениями этих дифференциальных уравнений являются
соответственно
X — A cos ах-\-С sin ах
и
T — Fe~a\ d
Таким образом, согласно (6.123),
9 = e_“5T(Zcosax-|-Csinax), (6.124)
где постоянная F включена в произвольные постоянные А и С.
Это решение удобно переписать в другом виде, воспользовавшись
интегралом Фурье2). Нужное нам разложение функции/(х) в интеграл
Фурье имеет вид
/(x) = -^-J da j* /(xz)cos[a(xz— x')]dx'. (6.125)
0 —co
Согласно уравнению (6.122), при т = 0 имеем q(xt 0) = S8(x); сле-
довательно, требуется записать решение для q в таком виде, чтобы
q (х, т) при х = 0 сводилось к интегралу Фурье от 5 8 (х). Искомый
вид q таков:
9 = is6(x')e-“,tcos[a(x/ —х)], (6.126)
где х' и а не зависят от х и х и являются, таким образом, постоян-
ными интегрирования.
В силу линейности уравнения возраста полное его решение полу-
чается посредством умножения (6.126) на da dxr и интегрирования
результата по всем значениям а и xz:
q(x, T) = -i-J da J S8(xz)e-a4cos[a(xz — x)]dx'; (6.127)
0 —co
T) Такой выбор знака необходим из физических соображений, поскольку
плотность замедления не может увеличиваться с увеличением возраста ней-
тронов.— Прим. авт.
2) По поводу теории интегралов Фурье см., например, [4]. — Прим, авт»
Теория возраста
203
при этом
со оо
д(х, 0) = |J da j" 58 (х') cos [а (х'—х)] dx' = 56 (х).
О —оо
Интеграл по а равен
ОО
cos [a (xf — x)J da
О
так что (6.127) принимает вид
оэ
q (х; т) = —±=r f 58 (х') e-W -W dx'.
У 4г.т J
—со
Далее, поскольку
со
J /(x,)6(x')rfxr=/(0),
—оо
приходим окончательно к следующему решению уравнения возраста
для плотности замедления:
q(x, = (6.128)
у 4ят
Замечая, что в полученном решении х есть расстояние между
плоскостью источника и „плоскостью наблюдения", можно обобщить
этот результат таким образом, чтобы он давал плотность замедления
в плоскости х, создаваемую плоским источником нейтронов, распо-
ложенным в плоскости х0; для плоского источника с мощностью 5=1
имеем, очевидно,
t)
У 4лт
(6.129)
Случай II. Точечный источник быстрых (моноэнергетических)
нейтронов в бесконечно протяженной области.
Решение уравнения возраста для случая точечного источника
в бесконечной среде может быть непосредственно получено из най-
денного выше решения для случая плоского источника способом,
аналогичным использованному в гл. 5, § II. Поскольку среда счи-
тается бесконечной и однородной, плотность замедления в любой
точке наблюдения зависит только от расстояния между этой точкой
и источником. Поэтому плотность замедления, создаваемая плоским
источником, является суммой плотностей замедления от соответ-
ствующего числа точечных источников. Если <7ТОч. (f) есть плот-
ность замедления (для нейтронов некоторого фиксированного воз-
раста), создаваемая точечным источником в точке наблюдения г,
204
Гл. 6. Замедление нейтронов
а 9пл. (х)— плотность замедления в „плоскости наблюдения" х, созда-
ваемая плоским источником, то из рассуждений гл. 5, § 11 - легко
видеть, что
ОО
9пл.(х, т) = J" Яточ.{г, x)2xtada. (6.130)
о
Здесь нам предстоит решить задачу, обратную ранее рассмотренной,
поскольку ^пп. известно, тогда как ^ТОч. подлежит определению.
Чтобы получить выражение #точ. через q^y заменим прежде всего
переменную а на г. Имеем, очевидно, х2 а2 == г2, откуда г dr— a da
(см. гл. 5, § 11); таким образом, q^. равно
?пл.(х, т) = 2тг J 9точ.(П x)rdr. (6.131)
ж
Дифференцируя это равенство по х, получаем
даП1, (х, т)
~ Эх = —2^оч.(х, х)х, (6.132)
или
1 да„_ (х, т)
9то,.(х, т) = - —. (6.133)
Наконец, дифференцирование выражения (6.128) для q^. (х, х) дает
(х, х) _ 2xS~ е_х,^
дх 4х У4т
(6.134)
Поскольку аргумент х в ^юч.(х, т) выражает здесь расстояние
между источником й точкой наблюдения, его можно заменить обыч-
ным символом г. Таким образом, согласно (6.133) и (6.134), плот-
ность замедления на расстоянии г от точечного источника мощностью
в 1 нейтрон за 1 сек. равна
е~г^
Я(г, = (6.135)
(4тег)13
В общем случае плотность замедления в точке наблюдения г, созда-
ваемая точечным источникам (с мощностью, равной единице), нахо-
дящимся в точке г0, равна
-|г-г„|74г
<7 (г, ^=4->/7 • (6.136)
(4м)'2
§ 22. Распределение плотности замедления
вокруг точечного источника
Считая точечный источник находящимся в начале координат, имеем
для плотности замедления выражение (6.135); из последнего можно для
любого фиксированного значения возраста х вычислить q(r, х)
как функцию расстояния г от источника. При этом для каждого т
Теория возраста
205
получается гауссова кривая ошибок (фиг. 41), форма которой зависит
от величины х (напомним, что малые т отвечают энергиям, близким
к энергии нейтронов деления, а большие т—энергиям вблизи тепло-
вой области). Если т малб, то кривая оказывается высокой и узкой,
а с возрастанием т она становится все более низкой и „размытой".
Этот результат очевиден заранее из качественного рассмотрения фор-
мулы (6.135). В самом деле, величина q(r, т) при г = 0, дающая
высоту максимума кривой, равна 1/(4тгт)/г, что велико при малых
значениях т. Далее, „ширина" кривой, т. е. расстояние, на котором q(г, т)
спадает (по сравнению
с максимумом) в е раз,
равна, как легко убе-
диться, 2 т, а эта вели-
чина возрастает с ро-
стом х.
То обстоятельство, что
возраст т является мерой
ширины кривой, означает,
что он определяет распре-
q
деление плотности замед- Фиг. 41. Распределение плотности замедле-
ления вокруг источника. иия вокруг точечного источника.
Этого следует ожидать a—z малб (£ велико); b—z велико (£ малб).
из физических соображе-
ний. Тот факт, что х малб, означает, что нейтроны замедлились незна-
чительно и в соответствии с этим не успели продиффундировать
далеко от источника. Следовательно, большинство нейтронов будет
обладать большими энергиями и находиться вблизи источника, что
соответствует высокой и узкой кривой распределения. Напротив,
если х велико, то это значит, что нейтроны испытали существенное
замедление и большая часть их успела продиффундировать на замет-
ное расстояние от источника. В соответствии с этим кривая распре-
деления плотности замедления оказывается низкой и широкой.
§ 23. Физический смысл возраста
Более точный физический смысл возраста выясняется в результате
вычисления второго-пространственного момента плотности замедления
(аналогично тому, как это делалось при рассмотрении диффузии).
Обозначая указанную величину через г2(х), имеем
оо
J* г2 [4«г29 (г, т)] dr
J* 4кг2д (г, х) dr
о
206
Гл. 6. Замедление нейтронов
где q(r, т)— число нейтронов (отнесенное к 1 см? и 1 сек.),
замедляющихся в точке наблюдения г „за" заданную энергию, соот-
ветствующую возрасту х. Воспользовавшись в качестве q(r, х) для
точечного источника выражением (6.135), получаем
оо
J r^-^dr
^СЭ = %------------= 6т. (6.137)
[ r2e~^ dr
о
Следовательно, возраст х есть 1/в среднего квадрата расстояния (по
прямой), на которое смещается нейтрон от момента его испускания
(отвечающего нулевому возрасту) до рассматриваемого момента
(отвечающего возрасту т).
Хотя результат (6.137) является совершенно общим, т. е. справедлив
для нейтронов любой энергии (а следовательно, и любого возраста),
он представляет особый интерес в применении к тепловым нейтронам.
Величина Утт носит название длины замедления теплового нейтрона;
она имеет важное значение для определения утечки нейтронов и»
конечного „теплового" реактора в процессе их замедления.
§ 24. Экспериментальное определение возраста
При экспериментальном определении возраста нейтронов измеряется
плотность замедления (для нейтронов фиксированной энергии) на
различных расстояниях от источника быстрых нейтронов, помещенного
в данной среде. Источник может представлять собой, например, смесь
полония (или радия) с бериллием, расположенную в центре большого
графитового блока (рассматриваемого в качестве бесконечной среды).
Величиной, пропорциональной плотности замедления для резонансной
энергии индия (т. е. около 1,4 эв), является, как показано в § 13,
активность насыщения индиевых фольг с кадмиевым покрытием,
помещаемых на различных расстояниях от источника. Распределение
плотности замедления вокруг точечного источника выражается фор-
мулой (6.135); логарифмируя эту формулу, получаем, что для ней-
тронов заданной энергии, т. е. при х~ const, справедливо соотношение
^2
lng(r) = const
Таким образом, график логарифма активности индия как функции
квадрата расстояния от источника должен быть прямой линией
с наклоном, равным (—1/4т).
На фиг. 42 представлены (в полулогарифмическом масштабе)
результаты реального эксперимента по опре.делегию возраста нейтронов,
испускаемых помещенным в графит полониево-бериллиевым источником.
Теория возраста
Наклон средней (линейной) части графика равен —0,758 • 10-3 cjm-2,
и, следовательно, возраст нейтронов при энергии, отвечающей резо-
нансу в индии, равен 330 см2. Можно видеть, что кривая отклоняется
от линейного хода как вблизи источника, так и вдали от него.
Фиг. 42. Экспериментальные данные для
определения возраста нейтронов в графите.
Вблизи источника наблюдаемая плотность замедления больше ожидаемой
вследствие того, что в этой области еще имеется значительная доля
нейтронов с энергией, превышающей 1,4 эв (резонансный максимум
индия). Поскольку индий обладает довольно большим эффективным
сечением поглощения таких нейтронов (см. фиг. 9), они дают заметный
вклад в измерения, производимые на малых расстояниях от источника,
так что результат оказывается завышенным. С другой стороны, на
значительных расстояниях от источника замедление в основном
208
Гл. 6. Замедление нейтронов
завершается и в дальнейшем происходит просто диффузия практически
моноэнергетических (тепловых) нейтронов. В соответствии с этим
распределение потока спадает с расстоянием как е~к'г> а не как е~к1Л.
Описанный выше метод позволяет определить возраст нейтронов
полониево-бериллиевого источника, соответствующий энергии вблизи
индиевого резонанса; в другом возможном методе определения возраста
источником нейтронов является деление урана. Во всяком случае,
поскольку нейтроны источника не моноэнергетические, эксперимен-
тально наблюдаемый возраст будет некоторой средней величиной.
Далее, резонансная энергия индия (1,4 эв) существенно превышает
Таблица 14 ВОЗРАСТ, СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ НЕЙТРОНОВ ДЕЛЕНИЯ среднюю тепловую энергию (0,025 эв)', действительно, на этот интервал энергии прихо- дится почти !/3 общего числа столкновений, испытываемых нейтроном деления при замедле- нии в графите. Поэтому в зна-
Замедлитель Возраст, см* Длина замедления, см
Вода 33 5,7 чения возраста, измеренные при энергии индиевого резонанса,
Тяжелая вода . . 120 11,0 должна быть внесена поправка.
Бериллий .... 98 9,9 В табл. 14 приведены зна-
Г рафит 350 18,7 чения возраста, соответствую-
щего тепловой энергии нейтро- нов деления для обычной
м тяжелой воды, бериллия и графита при 20° С. Отметим, что данные
для первых двух из перечисленных веществ в действительности не
представляют собой значений возраста, поскольку к этим веществам
не применима теория непрерывного замедления; эти данные пред-
ставляют собой экспериментально определенные (для тепловых нейтро-
нов) значения величины г2/6, физически эквивалентной возрасту
[ср. (6.137)].
§ 25. Время диффузии и время замедления
Представляет интерес определить среднее время, затрачиваемое
нейтроном на замедление от „энергии деления" до тепловых энергий,
т. е. средний хронологический возрастем. § 20). Соотношение (6.108)
может быть переписано в виде
dE qv ,,
(6.138)
где dE — потеря энергии, испытываемая нейтроном за время dt
.(согласно модели непрерывного замедления). Полное время t, необ-
ходимое для уменьшения энергии нейтрона от „энергии деления" Ео
до тепловой энерпи Еу, т. е. средний хронологический возраст
первоначально быстрых нейтронов при достижении ими тепловых
Теория возраста
209
(6.139)
энергий, получается посредством небольшого преобразования и инте-
грирования (6.138); итак,
t
t= f 4s—
J J iV t.
0
Заменяя v на ]/2Е/ш, где tn— „абсолютная" масса нейтрона,
вводя Л8 — среднее значение л8 и выполняя интегрирование, при-
водим (6.139) к виду
(6.140)
1 1
Чтобы получить по этой формуле t в секундах, Zs должно быть выра-
жено, как обычно, в сантиметрах, т — в граммах (т — 1,66 • 10~24 г),
а Ео и Ет — в эргах (1 Мэв = 1,60 • 10~6 эрг). В табл. 15 приве-
дены, в частности, значения и вычисленные по формуле (6.140)
значения t для четырех обычных замедлителей; при этом времена за-
медления отвечают значениям Ео = 2 Мэв и Ет = 0,025 эв.
Таблица 16
ВРЕМЕНА ЗАМЕДЛЕНИЯ И ВРЕМЕНА ДИФФУЗИИ
для ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Замедлитель ke, см Время замедления, сек. Время диффузии, сек.
Вода 1,1 ю~5 2,1 10'4
Тяжелая вода . . 2,6 4,6-1О-0 0,15
Бериллий .... 1,6 6,7-10“° 4,3 • 10~3
Графит 2,6 1,5-10~4 1,2-10-2
Для сравнения в последнем столбце табл. 15 приведены значения
среднего времени диффузии (или, как его часто называют, времени
жизни) теплового нейтрона, т. е. среднего времени, затрачиваемого
им на диффузию в качестве теплового нейтрона до поглощения
замедлителем (при обычной температуре). Среднее время жизни /0
теплового нейтрона в бесконечной среде равно среднему расстоянию,
проходимому им до поглощения, т. е. средней длине свободного
пробега по отношению к поглощению Ао (= 11£а), деленному на
среднюю скорость нейтрона »; итак,
= 1 (6.141)
Средняя скорость тепловых нейтронов при обычной температуре
принята равной 2,2 • 10б см1сек(см. гл. 3, § 5). Как видно из табл. 15,
среднее время замедления обычно гораздо меньше так называемого
210
Гл. 6. Замедление нейтронов
времени жизни (времени диффузии) тепловых нейтронов. Следует под-
черкнуть, что проделанные выше вычисления относятся к случаю
бесконечной среды, когда отсутствует утечка нейтронов из системы
и, кроме того, когда поглощение обусловлено исключительно самим
замедлителем.
§ 26. Замедление и диффузия быстрых нейтронов
от бесконечного плоского источника в бесконечной среде
В гл. 5, § 11, с помощью теории диффузии было найдено рас-
пределение потока по обе стороны от бесконечного плоского источника
тепловых нейтронов. В настоящем параграфе путем раздельного рас-
смотрения замедления и диффузии будет показано, как видоизменяется
распределение тепловых нейтронов, когда источник испускает быстрые
нейтроны (которые затем замедляются). Начнем с нахождения решения
уравнения возраста (по образцу § 21), удовлетворяющего условию
источника, после чего используем в качестве „источника" в уравнении
диффузии тепловых нейтронов плотность замедления, вычисленную
для возраста тепловых нейтронов.
Плотность замедления тепловых нейтронов, обусловленная бес-
конечным плоским источником с мощностью, равной 1 нейтрону
с 1 см2 за 1 сек., дается, согласно равенству (6.128), выражением
q(x)-—-==-t (6.142)
У
где ось х нормальна к плоскости источника быстрых нейтронов;
в этом выражении т— возраст нейтронов данного источника, соответ-
ствующий тепловой энергии. Следовательно, элемент объема на рас-
стоянии х0, имеющий поперечное сечение 1 см2 и толщину dx0 (см),
представляет собой источник тепловых нейтронов с мощностью
о
•$ (х0) dx0 = dx0. (6.143)
У 4тх
Далее, вводя диффузионную функцию влияния для бесконечной
плоскости (см. табл. 9), приходим к следующему выражению для
потока тепловых нейтронов на расстоянии х от плоскости источника:
g-xfa
.— dx(l =
]/4лт
1
4х£>угят
dx0. (6.144)
Для вычисления интеграла в выражении (6.144) разобьем область
интегрирования на две части: от х0 = — оо до х0 = х и от х0 — х
Теория возраста
211
до х0 — оо; в первой из этих областей х > х0, так что входящая
в экспоненту величина |х— х0| может быть заменена на х—х0,
тогда как во второй области х0 > х и потому |х— х0| = х0—х.
Таким образом, выражение (6.144) можно записать в виде
V2
х —со
? X2
+ J ехр ( — хх0 — dx01. (6.145)
X
Полученные интегралы вида J* е~“! du сводятся к интегралу ошибок,
значения которого табулированы. Рассмотрим первый из этих интегралов: д-2 х л Jexp^Xo 4т)«?х0 —е” J ехр|^ ( —оо —со и положим “=(2г- так что du = -^. ' 2/г Тогда выражение для интеграла /j принимает вид (тя-”’) Ц = 2 УхУ е~и' du = — СО 0 2V 1 —оо 0 = 1Л??^Г1 +erf(-4= — где функция ошибок (erf) есть, по определению, Ж erf(x)= t/~~J °. х/т)рх0 г-* = » (6.146)
212
Гл. 6. Замедление нейтронов
Аналогичным образом можно убедиться в том, что второй из входящих
в (6.145) интегралов равен
°° %
= J ехр ( — xx0—dx0 — |/тте7-5' £ 1 — erf
X
Подставляя (6.146) и (6.147) в (6.145), получаем
Это и есть искомое выражение для распределения потока тепловых
нейтронов, создаваемого расположенным при лг = О плоским источ-
.ником быстрых нейтронов.
Фиг. 43. Распределение потока тепловых нейтронов
для случая бесконечного плоского источника в
бесконечной среде.
Если бы источник испускал тепловые нейтроны, то возраст т
был бы равен нулю. То же справедливо, вообще говоря, всегда,
Теория возраста
213
когда распределение потока относится к нейтронам той же энергии,
что и энергия нейтронов источника. Другими словами, в случае
диффузии моноэнергетических нейтронов т = 0 и (6.148) должно
переходить в выражение (5.55) для распределения моноэнергетических
нейтронов, обусловленного бесконечным плоским источником. При т = О
как обе функции ошибок, так и величина ехЧ равны единице; от-
сюда
ф«-^о(2в-“+°)=-£’ (6-149)
что, как и следовало ожидать, совпадает с (5.55).
Сравнение распределения потока тепловых нейтронов, создаваемого
плоским источником быстрых нейтронов [ср. (6.148)], с распределением
от аналогичного источника медленных нейтронов [ср. (6.149)] может
быть произведено на основе фиг. 43. На ней отложен (в относи-
тельных единицах) поток нейтронов как функция расстояния от
источника, измеренного в единицах где L — диффузионная
длина. Одна из кривых относится к случаю, когда источник испускает
тепловые нейтроны (т = 0), а вторая — к случаю, когда он испускает
быстрые нейтроны с энергией такой, что х2т (или, что то же, т/Z.2)
равно 0,25. При этом величина ]/т -|- L2, называемая длиной миграции
(см. гл 7, § 11), довольно близка к диффузионной длине медленных
нейтронов. Как видно из фигуры, распределение потока для случая
плоского источника быстрых нейтронов в бесконечной замедляющей
среде становится практически одинаковым с распределением для
случая аналогичного источника тепловых нейтронов на расстояниях
от источника, превышающих примерно утроенную длину миграции.
§ 27. Уравнение возраста с учетом слабого
поглощения
В проделанном выше выводе уравнения возраста было постулировано
отсутствие поглощения нейтронов в процессе их замедления. Если
поглощение имеет место, но эффективное сечение его невелико и
медленно меняется с энергией, теория возраста может быть видо-
изменена так, чтобы она учитывала в удовлетворительном приближении
наличие поглощения.
Рассмотрим интервал летаргии du, лежащий между и и и-|-<7ц.
Число нейтронов, поступающих в этот интервал (в 1 смй за 1 сек.)
вследствие замедления от больших энергий, есть плотность замед-
ления q (и) при летаргии и; с другой стороны, число нейтронов,
уходящих из этого интервала вследствие дальнейшего замедления,
есть qfu-^-du)1). Таким образом, избыточное число нейтронов,
*) Напомним, что и в соответствии со своим определением возрастает
с уменьшением энергии. — Прим. авт.
214
Гл. 6. Залчдлгние нейтронов
поступающее в интервал du (превышение числа входящих над числом
уходящих нейтронов), равно q (и) — q (и du), что можно представить
в виде — (dq/du) du, в предположении, что плотность замедления можно
рассматривать как непрерывную функцию энергии (или летаргии).
В стационарном состоянии это избыточное число нейтронов „уравно-
вешивается" утечкой нейтронов [—D (и) ?2Ф (и) du] и их поглощением
£оФ(и)«?и в данном интервале du |Ф(и)— поток нейтронов, отнесенный
к единице интервала летаргии]. Таким образом, уравнение стационар-
ного состояния имеет вид
О?2ф (и) _ £оф (и) _ = о, (6.150)
где все члены уравнения сокращены на общий множитель du. Под-
черкнем, что эффективное сечение поглощения £о относится только
к поглощению нейтронов в течение замедления, но не к поглощению,
которое может происходить впоследствии (например, после замедления
нейтронов в реакторе до тепловых энергий).
Согласно (6.101), поток на единицу интервала летаргии и плот-
ность замедления с учетом поглощения q' (и) в случае медленно меняю-
щегося сечения поглощения связаны соотношением
где и —макроскопические эффективные сечения рассеяния и
поглощения нейтронов летаргии и соответственно. Следовательно,
уравнение (6.150) может быть переписано в виде
<6Л5|>
где штрихом у q отмечено то обстоятельство, что плотность замед-
ления рассматривается с учето*м поглощения. При этом предположено,
что £, Ss и не зависят от координат; это приближенно справедливо
для реактора без отражателя.
Согласно § 17, плотность замедления при наличии поглощения (q')
связана с плотностью замедления в отсутствие поглощения (q) при-
ближенным соотношением (в бесконечно протяженной системе)
и
Я' («) = Я (и) exp (— J d“) • (6.152)
0 s -jo
Подставляя соотношение (6.152) в равенство (6.151) и замечая, что
дифференцирование q'(u) по и дает два члена, один из которых
взаимно погашается со вторым членом левой части, находим
ет^’’’(“)=й- <6-,63>
Задачи
215
Если теперь ввести возраст т7 для замедления с поглощением, рав-
ный, по определению,
и
^00 = f <6Л54>
J ь 2^8
О
то равенство (6.153) сводится к уравнению
^-q = ^7. (6.155)
В предельном случае, когда поглощение в процессе замедления доста-
точно малб (так что ^Е8-}~7ЕО близко к ££в), определение (6.154)
возраста с учетом поглощения переходит в определение (6.116) воз-
раста без учёта поглощения, а уравнение (6.155) переходит в урав-
нение (6.117).
Заметим, что экспоненциальный множитель в выражении (6.152)
есть не что иное, как вероятность избежать резонансного захвата р(и)
(см. § 17), так что для случая слабого поглощения можно написать
?'(“)== 9 («)?(“)>
где'</(к)—плотность замедления в отсутствие поглощения. Таким
образом, плотность замедления при наличии слабого поглощения при-
ближенно равна плотности замедления в отсутствие поглощения
(являющейся решением уравнения возраста для'рассматриваемой энер-
гии), умноженной на вероятность избежать резонансного захвата при
той же энергии.
ЗАДАЧИ
1. В бесконечной однородной рассеивающей среде равномерно генери-
руются, с мощностью S нейтронов в 1 см? за 1 сек., быстрые нейтроны
энергии Eq. которые затем замедляются (без поглощения) до меньшей энер-
гии £i, такой, что Et аЕо, при которой имеет место очень сильное резо-
нансное поглощение. Принимая, что все нейтроны с энергиями в интервале
Ei — £2 поглощаются, вычислить долю нейтронов источника, замедляющихся
,за* энергию £2, если £t >£,>а£ь где а определено равенством (6.7).
2. В некоторых экспериментах необходимо увеличить мощность источ-
ника нейтронов выше той, которую дают тепловая колонна реактора или
полониево-бериллиевый источник. Этого можно достичь с помощью пластинки,
содержащей делящееся вещество (U235). Для иллюстрации рассмотрим бес-
конечный плоский источник тепловых нейтронов, испускающий S нейтронов
с 1 см2 за 1 сек. в бесконечной графитовой среде. На расстоянии а от этого
источника тепловых нейтронов помещен очень тонкий лист, содержащий U235.
Пренебрегая обусловленными этим листом эффектами рассеяния, выедания
нейтронного потока и поглощения быстрых нейтронов, найти:
а) плотность замедления при как функцию координат;
б) поток тепловых нейтронов;
в) мощность (как источника нейтронов) каждого квадратного сантиметра
пластинки с U235.
216
Гл. 6. Замедление нейтронов
3. Вывести точную формулу для вероятности избежать резонансного
захвата применительно к случаю бесконечной однородной среды, не содер-
жащей водорода и обладающей постоянными эффективными сечениями рас-
сеяния и поглощения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Be the Н. A., Rev. Mod. Phys., 9, 120 (1937) (см. перевод: Бете Г.,
Физика ядра, М.—Л., 1948).
2. Am al di Е., Fermi Е„ Phys. Rev., 50, 899 (1936).
3. Р1 а с z е k G., Phys. Rev. 69, 423 (1946).
4. Churchill R. V., Fourier Series and Boundary Value Problems, New
York, 1949.
Глава 7
ГОМОГЕННЫЙ РЕАКТОР БЕЗ ОТРАЖАТЕЛЯ
НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
(Источники определяются теорией возраста)
КРИТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 1. Введение
В предыдущих главах диффузия и замедление нейтронов от раз-
ных источников рассматривались независимо от природы этих источ-
ников и конкретных свойств среды. Теперь полученные ранее резуль-
таты мы специально применим к размножающим системам, в частности
к гомогенному реактору без отражателя на тепловых нейтронах,
состоящему, как это было описано в гл. 4, из делящегося (горючего)
материала и замедлителя. Напомним, что в таких системах медленные
нейтроны поглощаются горючим веществом и вызывают деление его
ядер. Получающиеся в результате деления быстрые нейтроны теряют
затем свою энергию путем упругих столкновений с ядрами замедлителя.
В процессе замедления часть нейтронов поглощается, часть выходит
за пределы системы, а остальные достигают тепловых скоростей.
Часть этих тепловых нейтронов также уходит из реактора, тогда как
остающиеся поглощаются горючим и опять вызывают деление, и т. д.
Если разхмножающая система из горючего вещества и замедлителя
находится в стационарном состоянии, т. е. плотность нейтронов при от-
сутствии внешних источников не меняется со временем, то в системе
происходит самоподдерживающаяся цепная реакция. Сколько нейтро-
нов возникает при делении, точно столько же теряется в результате
поглощения и утечки. Система в этом случае находится в критиче-
ском состоянии. В критическом состоянии эффективный коэффициент
размножения равен единице. Стационарные состояния возможны и
в подкритических системах при наличии внешних источников, вос-
полняющих разницу в количестве поглощенных и ушедших нейтронов
и нейтронов, возникших при делении.
Такие системы, однако, не являются критическими в прямом смысле,
так как цепная реакция в них не самоподдерживающаяся. По удалении
внешних источников плотность нейтронов в таких системах будет
постепенно уменьшаться.
Задачей настоящей главы является отыскание условий, при кото-
рых реактор становится критическим и в нем возникает самоподдер-
живающаяся цепная реакция. Предположим, что в подкритическую-
систему из урана и замедлителя помещается посторонний источник ней-
тронов. Вследствие присутствия делящегося вещества нейтроны источ-
ника будут размножаться, т. е. некоторая часть нейтронов захватится
горючИхМ веществом и вызовет деление, в результате чего получится
218 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
большее количество нейтронов и т. д. Очевидно, стационарное со-
стояние может быть достигнуто, только если система подкритическая,
иначе нейтронная плотность будет увеличиваться беспредельно. Пер-
вая затача заключается в вычислении распределения нейтронов в про-
стейшей системе с внешним источником. В результате этих вычисле-
ний будут найдены условия, при которых цепная реакция становится
самоподдерживающейся.
В этой книге рассматриваются цепные реакции только на тепло-
вых нейтронах. Физически это означает, что отношение числа атомов
замедлителя к числу атомов урака настолько велико, что лишь отно-
сительно малая часть нейтронов захватывается в процессе замедления.
.Далее будет предполагаться, что плотность замедления и, следова-
тельно, источники тепловых нейтронов в системе задаются уравнением
возраста, выведенным в гл. 6. Кроме того, ради простоты рассмо-
трения без потери общности будет предполагаться, что нейтроны
деления и нейтроны внешнего источника имеют одинаковую начальную
энергию.
§ 2. Нейтроны источника и теория возраста
Диффузионное уравнение (5.38) для тепловых нейтронов может
быть написано в виде
D?ЕФ (г, 0- Ео Ф (г, 0 + pq(г,' тт, | , (7.1)
где Ф(г, t)—поток тепловых нейтронов в точке г в момент времени/,
£а—макроскопическое сечение захвата для тепловых нейтронов.
Первый член в (7.1) дает приращение (на 1 см3 за 1 сек.) в эле-
менте объема около точки г вследствие диффузии тепловых нейтро-
нов т), второй учитывает потерю на поглощение, а третий представляет
источники нейтронов и будет выведен в следующем абзаце. В силу
равенства Ф (г, /) = vn (г, f), где v — средняя скорость тепловых ней-
тронов, правая сторона уравнения (7.1) эквивалентна дп(г, tydtH пред-
ставляет собой результирующую скорость изменения числа нейтронов
в 1 см3 за 1 сек.
Число нейтронов деления и нейтронов внешнего источника, дости-
гающих тепловых энергий в единице объема за единицу времени,
равно плотности замедления, взятой при этих энергиях. Если бы не
было поглощения в процессе замедления, она равнялась бы q (г, тт, t) —
соответствующему решению уравнения возраста, где тт — возраст
тепловых нейтронов. Слабый захват при замедлении можно прибли-
зительно учесть (см. гл. 6, § 27), умножая q(r, тт, /) на вероятность
избежать резонансного захвата. Тогда требуемая плотность замедле-
*) Так как в реакторе р2Ф (г, t) всегда отрицательно, приращение на самом
деле представляет собой убыль нейтронов вследствие утечки (ср. гл. 5, § 7).—
Лрим. авт.
Критическое уравнение
219
ния, равная члену, учитывающему источники тепловых нейтронов
в (7.1), дается произведением pq(ry тт, t), где р — вероятность избе-
жать резонансного захвата.
Плотность замедления может быть получена как решение уравне-
ния возраста
?2.д(г,т,0= (7.2)
удовлетворяющее надлежащим условиям. Одно из этих условий полу-
чается при рассмотрении плотности замедления нейтронов, взятой при
энергии источника. Эта плотность замедления определяет q (г, 0, /),
так как возраст нейтронов, вылетающих непосредственно из источ-
ника, равняется нулю ’)• Из определений гл. 4, § 10, легко видеть
(см. фиг. 45), что на каждый поглощенный тепловой нейтрон полу-
чается /це быстрых нейтронов (деления), где f—коэффициент тепло-
вого использования, т] — среднее число нейтронов деления на один ней-
трон, захваченный горючим веществом, и s—коэффициент размноже-
ния на быстрых нейтронах. Так как, по определению, коэффициент
размножения для бесконечной среды k равен f't^p [ср. (4.9)1, вели-
чина k/p и есть число быстрых нейтронов, могущих замедлиться до
тепловых энергий, на один поглощенный тепловой нейтрон. Полное
число тепловых нейтронов, поглощающихся в единице объема за еди-
ницу времени, равно £оФ(г,/), как это дано вторым членом в (7.1);
следовательно, полное число быстрых нейтронов (деления), получаю-
щихся в единице объема за единицу времени, есть (£/р)ЕоФ(г,/).
Эта величина плюс мощность внешних источников 5 (г) должна рав-
няться плотности замедления нейтронов при энергии деления (и внеш-
них источников); таким образом,
q(r, 0, /)= у £аФ (г, 0 + 5(г), (7.3)
что является условием связи между уравнением диффузии тепловых
нейтронов и уравнением возраста.
Плотность замедления зависит также и от времени. Так как,
однако, время замедления обычно малб по сравнению с временем
диффузии тепловых нейтронов (см. табл. 15), то можно считать, что
изменение q(r, т, t) со временем для всех значений т определяется
только изменением потока тепловых нейтронов, как это выражено
в уравнении (7.1).
Остальные условия для (7.2) получаются из рассмотрения потока
и плотности замедления на границе реактора. Если система не окру-
жена отражающей оболочкой, поток тепловых нейтронов должен исче-
зать на расстоянии 0,71 за физической границей (см. гл. 5, § 8).
*) На самом деле, как отмечено в гл. 4, § 2, нейтроны деления обладают
некоторым энергетическим спектром, но мы примем, что все эти нейтроны
вылетают с одной и той же средней энергией и непрерывно замедляются
затем до средней тепловой энергии. — Прим. авт.
220 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Если не меняется с энергией, плотность замедления также исчезает
на этой поверхности. Для упрощения рассуждений примем, что длина
экстраполяции не зависит от энергии, так что
Ф = 0,1
0 j на экстраполированной границе.
(7.4)
Отметим, что для больших реакторов на тепловых нейтронах длина
экстраполяции 0,71 мала по сравнению с размерами системы. По-
этому результаты, полученные в предположении, что длина экстра-
поляции не зависит от энергии, не должны существенно отличаться
от результатов, выведенных путем более строгого рассмотрения.
Ввиду того, что функция q (г, т, f)y вообще говоря, зависит от про-
странственных координат г, от возраста т и времени t, можно искать
решение уравнения (7.2) путем, разделения этих переменных, т. е.
положить
9(Г, г, 0 = «(г)О(т)Т(0, (7.5)
где R (г) зависит только от пространственных координат, в (?) —
только от возраста, a T(f) — только от времени. Подставляя выра-
жение (7.5) в уравнение (7.2), получим
Д-7? (г) 1 d $ (-)
R (г) 0 (?) dx
С7.6)
Поскольку левая часть уравнения зависит только от г, а правая —
только от т, можно приравнять каждую из них постоянной вели-
чине; таким образом,
VW) . ро
7?(г)
или
V2/?(r)+B4R(r) = 0 (7.7)
и
Решение уравнения (7.8) имеет вид
0(т) = Ле-£\ (7.9)
Постоянная В2 должна быть вещественной положительной величиной,
чтобы удовлетворить физическому требованию, состоящему в том, что
плотность замедления q(r, т, /) не может возрастать с увеличением
возраста нейтрона.
§ 3. Приближение к критическому состоянию
Рассмотрим теперь уравнение (7.7). Предположим для простоты,
что система, состоящая из горючего вещества и замедлителя, пред-
ставляет собой бесконечный плоско-параллельный слой конечной тол-
щины а (включая длину экстраполяции). Пусть внешние источники
Критическое уравнение
221
нейтронов равномерно распределены по плоскости симметрии слоя
(фиг. 44)х). Если начало координат расположить на плоскости источ-
ников и ось х направить перпендикулярно к этой плоскости, то
пространственное распределение плотности замедления (и потока) будет
зависеть только от одной переменной х. Тогда /?(г) в (7.7) можно
заменить на Х(х) и (7.7) примет вид
^^-|-В2Х(х) = 0,
(7.Ю)
где В2, как отмечалось выше, — действительное положительное число.
С помощью метода, примененного в гл. 5, § 15 (см. также эту
главу, § 8), можно легко показать, что решение этого уравнения,
удовлетворяющее требо-
ваниям симметрии и гра-
ничному условию для
плотности замедления
(9 = 0 при х — 1'5>а),
имеет вид
Лп = Д„со5^, (7.i I)
где п — произвольное
целое нечетное число.
Величина В2 в этом слу-
чае принимает значения
ч-фг. <7J2>
Ф и г. 44. Бесконечный плоский источник
в бесконечном слое конечной толщины.
которые являются собст-
венными значениями за-
дачи; каждое из них
соответствует собственной функции Хп, определенной равенством
(7.11). Как видно из формулы (7.12), наименьшее (или основное)
собственное значение, т. е. В2, отвечает значению и=1, остальные
возможные собственные значения В2 В! и т. д. должны быть
о О
больше В2.
Соединяя (7.11) и (7.9) в выражении (7.5), получим частное реше-
ние уравнения возраста. Общим решением уравнения возраста будет
сумма частных решений по всем нечетным п:
9(г, -, /) = 2 Ап cos^ е В”' ТМ-
П = 1
(7.13)
1) Более общая задача для системы, имеющей форму конечного парал-
лелепипеда с внешним источником в центре, рассмотрена в гл. 12. —
Прим. авт.
222 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Внешний источник, расположенный на плоскости симметрии слоя,
можно представить рядом Фурье (ср. гл. 5, § 15)
ОО
S(r) = S8(x)= 2 Sncos-^, (7.14)
n=l
где, как и выше, п—целое нечетное число. Из выражений (7.13)
и (7.14) и из условия связи (7.3) следует, что
ОО
Ф (г, 0 = £- У [АпТп (t) - S„] cos .
n-xjg Cl
п-Х
(7.15)
Подставим теперь выражения (7.13) и (7.15) в уравнение диф-
фузии тепловых нейтронов. В силу ортогональности рядов Фурье по
косинусам члены, отвечающие различным значениям и, линейно неза-
висимы. Следовательно,
f [^+ *] ИЛ(0-5и] +pAne-B^Tn(t)==
_ ± Р л dIn
~ IS k£a п dt •
(7.16)
Длина диффузии тепловых нейтронов L определена равенством
LP = DI£a (см. гл. 5, § 14), а величина i/v^a равна времени жизни
теплового нейтрона в бесконечной среде /0 (см. гл. 6, § 25). В этих
обозначениях (7.16) сводится к
dT (П [Ье~Впхт— (14-£гВ;) ] 1 + £2В^о „
~?гМ-------------ъ-------(7Л7)
После введения величин kn и /п, определяемых равенствами
и
I ==-------
” 1+^вГ
(7.17) перейдет в уравнение
d?n(f) _ (*П 1\ -Г (А I $п
dt —I /„ )п{)^Ап1п'
Решение уравнения (7.19) имеет вид
-Г (Г\ р<У'п~Х) _д_____
Tn{t)~e -Ьл„(1-Аи)’
Критическое уравнение
22»
и поток тепловых нейтронов, согласно (7.15), равен
оо —т
Ф (Г, О = У Глпе(*»-1) (<Ди) Ч-----fe--o-,7 T,S"-1 cos —. (7.20}
^(14-£22ф(1-*п) J «
Ввиду того, что второй член в квадратных скобках содержит Sn,
очевидно, что он описывает влияние внешнего источника на величину
потока тепловых нейтронов. Первый член учитывает вклад, вносимый
системой горючее вещество-замедлитель.
Уравнение (7.20) существенно, поскольку оно позволяет вывести
условие, при котором данная размножающая система переходит в кри-
тическое состояние. Из (7.12) видно, что по мере увеличения толщины
слоя а значение В2п для данного п падает, поэтому, согласно (7.18), ве-
личина kn соответственно возрастает. Пока размеры системы таковы,
что kn меньше единицы для всех возможных ВпУ т. е. для всех
целых нечетных значений п, величины kn — 1 будут отрицательными,
и первый член в скобках (7.20) будет экспоненциально спадать со
временем; при этом единственным способом поддержания стационар-
ного состояния, при котором поток тепловых нейтронов остается
постоянным-, будет включение внешнего источника. Через короткое
время первый член станет исчезающе малым и поток будет опре-
деляться вторым (постоянным) членом в (7.20). Система такого рода,
состоящая из горючего вещества и замедлителя, — подкритическая и
несамоподдерживающаяся в прямом смысле слова.
При увеличении размеров системы горючее вещество-замедли-
тель величины Вп будут уменьшаться и наступит момент, когда наи-
меньшее из чисел ВпУ а именно Bv будет таково, что kx станет
равным единице. Поскольку Вх является наименьшим собственным
значением, будет больше всех остальных kn. При kn = 1 первый
член в (7.20) постоянен, а второй член при наличии внешних источ-
ников обращается в бесконечность. Следовательно, для достижения
стационарного состояния нужно удалить эти источники. Если это
сделано, то очевидно, что система горючее вещество-замедлитель
будет самоподдерживающейся, поток тепловых нейтронов в ней будет
оставаться постоянным при отсутствии внешних источников.
§ 4. Условие критичности
Критическое уравнение* выражающее условие самоподдержания
цепной реакции, согласно (7.18), имеет вид
(7-21>
Это значит, что данная конструкция, состоящая из горючего вещества
и замедлителя, будет критической, т. е. будет способна осуществлять
224 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
самоподдерживающуюся цепную реакцию, если размеры ее таковы,
что соответствующее значение наименьшего собственного числа Вг
удовлетворяет критическому уравнению (7.21).
Как отмечалось выше, величина kv соответствующая п=1,
является наибольшей из всех следовательно, все остальные kn
меньше единицы. Соответствующие значения первого члена в скобках
в (7.20) экспоненциально убывают со временем, так как разности
kn— 1 отрицательны, и в установившемся состоянии все равны
нулю. Поэтому для критической системы от рядов для потока [см.
(7.15) и (7.20)] и для плотности замедления (7.13) останутся только
члены с п = 1.
Таким образом, в рассматриваемом бесконечном плоском слое
в стационарном (критическом) состоянии
Ф (г) A cos — (7.22)
V ’ k^a. а
И
q (г, тт) = A cos е-я^т, (7.23)
где В2, написанное вместо В*, — наименьшее и единственно имеющее
значение собственное число. Переменная t опущена, так как плот-
ность замедления и поток в стационарном состоянии не зависят от
времени. Из (7.22) и (7.23) следует, что
q (г, тт) = у Lo Ф(г) е~в''-т , (7.24)
т. е. плотность замедления тепловых нейтронов всюду пропорцио-
нальна потоку тепловых нейтронов, так как при фиксированной энергии
величины fe, р, Хо и постоянны J). Несмотря на то, что этот
результат получен для бесконечного слоя, он не зависит от формы
реактора и приложим к любой критической системе с самоподдер-
живающейся цепной реакцией, источники тепловых нейтронов в кото-
рой описываются теорией возраста 2).
§ 5. Материальный и геометрический параметры
Поскольку поток тепловых нейтронов и плотность замедления
в критическом реакторе повсюду пропорциональны друг другу, поток
Здесь использовано предположение, что k и р одинаковы во всех
точках системы. — Прим. авт.
а) Полученная пропорциональность q (г, тт) и Ф (г) весьма существенна,
поскольку краевая задача для уравнения стационарного состояния с нуле-
вым граничным условием для потока является самосопряженной, и следова-
тельно, ее собственные функции образуют полный ортогональный набор
в объеме реактора, включая длину экстраполяции. Это значительно упро-
щает построение теории возмущений для гомогенного реактора без отра-
жателя (см. гл. 12). — Прим. авт.
Критическое уравнение
225
тепловых нейтронов также удовлетворяет волновому уравнению (7.7)
¥2Ф (г) + В2Ф (г) = 04 (7.25)
где В2 равно В2 из уравнения (7.21). Таким образом, параметр В2
является наименьшим собственным значением волнового уравнения для
критического реактора при условии обращения в нуль потока на
экстраполированной границе. Если применима модель непрерывного
замедления (модель возраста), то критическое уравнение для гомо-
генного реактора без отражателя запишется в виде
ke~B'z
(7.26)
Отметим, что, поскольку k безразмерно, а т и L2 обладают размер-
ностью квадрата длины, параметр В2 имеет размерность обратной
площади.
Оказывается удобным различать два смысла параметра В2. Мате-
риальный параметр В^— это значение В2, удовлетворяющее транс-
цендентному уравнению критичности (7.26). Поэтому в критическом
реакторе пространственное распределение потока определяется из
уравнения
?2Ф (г)+В^Ф (г) = 0. (7.27)
Из (7.26) непосредственно видно, что материальный параметр является
свойством размножающей среды: он зависит только от fe, т и L®,
которые определяются строением среды и материалами, составляющими
среду. Геометрический параметр В2, напротив, определяется как
наименьшее собственное значение волнового уравнения
?2Ф (г) + Вд Ф (г) = 0 (7.28)
при условии обращения потока в нуль на экстраполированной границе
системы. Наименьшее собственное значение В^ зависит только от формы
и размеров рассматриваемой системы, что следует из § 3 и будет
подробнее доказано позже.
Различие между материальным и геометрическим параметрами видно
из уравнений (7.27) и (7.28). Решение уравнения (7.27) с единствен-
ным В^, определенным из (7.26), даст поток тепловых нейтронов
в любой точке критического реактора, тогда как уравнение (7.28),
вообще говоря, не приводит к распределению потока с единствен-
ным В*. Если система не находится в критическом состоянии, поток
оказывается суммой членов, как в (7.15) или в (7.20), включающей
все собственные значения (7.28). В случае критической (или почти
критической) системы все члены в сумме, кроме первого, выпадают
и в выражении для распределения потока используется только наи-
226 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
меньшее собственное значение уравнения (7.28). В этом случае
уравнения (7.27) и (7.28) становятся одинаковыми и условие критич-
ности можно записать в виде
= (7-29)
Иначе говоря, геометрический параметр для критической системы
определенной формы" должен равняться материальному параметру для
данной размножающей среды. Ниже будет показано, что геометри-
ческий параметр уменьшается с увеличением размеров системы [ср.
(7.12)]. Значит, если В| меньше В%п, размер реактора окажется больше
критического и система будет находиться в надкритическом состоянии;
если же В^ больше В^, система будет подкритической.
Задавая форму реактора, мы фиксируем и геометрический пара-
метр (см. § 8). Если в соотношении (7.26) В2 заменить на этот
геометрический параметр, то становится возможным найти такое соче-
тание горючего вещества с замедлителем, при котором реактор станет
критическим, поскольку k, т и L2 определяются этими веществами
и их концентрациями (см. § 12). Наоборот, если задан состав раз-
множающей среды и, следовательно, k, т и L2 известны, материаль-
ный параметр определяется из уравнения (7.26). Приравнивая его за-
тем геометрическому параметру, можно найти критические размеры
реактора заданной формы.
Как показано в гл. 4, § 12, условие критичности состоит в ра-
венстве единице эффективного коэффициента размножения. В урав-
нении критичности (7.21) величина В2— наименьшее собственное зна-
чение и, следовательно, она совпадает с геометрическим параметром.
Согласно этому, определим эффективный коэффициент размноже-
ния равенством
— JB
Ьр S
<7-30)
В критическом реакторе величины В| и В^ равны между собой, и
правая часть равенства (7.30) совпадает с левой частью уравнения
(7.26); при этом, как и требуется, величина — 1. В подкри-
тической системе Л8ф$. меньи е единицы, поскольку размеры реактора
меньше критических, т. е. В2 больше критического значения В?т для
данной размножающей среды. Аналогичным образом, если размеры
таковы, что В| меньше В^, то, как уже отмечалось выше, реактор
будет надкритическим и, согласно (7.30), будет больше единицы.
§ 6. Баланс нейтронов в тепловом реакторе
Прежде чем выводить соотношения между геометрическим пара-
метром, формой и размерами теплового реактора, интересно про-
следить смысл величин, входящих в уравнение критичности (7.26)..
Критическое уравнение
227
В бесконечном реакторе, где нет утечки, условие критичности со-
стояло бы в равенстве единице коэффициента размножения для бес-
конечной среды k (см. гл. 4, § 7). Использование модели непрерыв-
ного замедления приводит к появлению двух сомножителей и
(1-J-Z,2/?2)-1, учитывающих конечность размеров реактора, т. е. воз-
можность ухода нейтронов за пределы системы.
Как указывалось выше, число тепловых нейтронов, поглощенных
в 1 см& за 1 сек., равно ХаФ(г)- По определению, k равно сред-
нему числу тепловых нейтронов, получившихся за один цикл на
один поглощенный нейтрон в бесконечной среде. Поэтому в беско-
нечном реакторе в отсутствие утечки во время замедления плотность
источников нейтронов равняется Л£оФ(г). Истинное число нейтро-
нов, достигающих тепловых скоростей в 1 смА за 1 сек., как было
показано в § 2, равно р?(г, т), или, учитывая (7.24), равно
k Sa Ф (г) Таким образом, множитель е-5*1 представляет собой
вероятность того, что быстрый нейтрон избежит утечки из конечного
реактора в процессе замедления: иначе говоря, есть вероятность
того, что нейтрон останется в реакторе в процессе замедления *).
Алгебраическое приращение числа нейтронов в 1 ел8 за 1 сек.
вследствие диффузии даго в уравнении (7.1) членом 2)¥2Ф(г); сле-
довательно, скорость утечки, т. е. число нейтронов, оставляющих
1сл3 за 1 сек., в согласии с (5.34) равна —£>?2Ф(г). Так как,
согласно (7.25), — £>¥2Ф (г) = DB2 Ф (г), где £>, В2 и Ф(г) — поло-
жительные числа, истинное число тепловых нейтронов, оставляющих
единицу объема реактора за единицу времени, есть DEP$ (г). Число
тепловых нейтронов, поглощенных в 1 см& за 1 сек., равно £аФ(н);
следовательно, отношение утечки тепловых нейтронов к поглощению
тепловых нейтронов в любой точке (и, значит, в реакторе) в целом
равно I
Утечка тепловых нейтронов ___DB2____[ррр <7311
Поглощение тепловых нейтронов '
так как Z3/Sa = Z.2. Доля нейтронов, замедленных до тепловых ско-
ростей и поглощенных, получится, если слева и справа в равен-
стве (7.31) добавить единицу и приравнять обратные величины:
Поглощение тепловых нейтронов 1 1Г, от
Поглощение тепловых -|- Утечка тепловых 1 -|- '
нейтронов нейтронов
Таким образом, величина 1/(1 -|-£2£>й) представляет собой долю
замедленных в реакторе тепловых нейтронов, которые были затем
поглощены. Иными словами, 1/(1-j-Z^Z?2)—вероятность того, что
тепловой нейтрон останется в системе.
Ч Это выражение для вероятности избежать утечки было получено
Ферми еще до открытия деления [1]. — Прим. авт.
228 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Представляет интерес исследовать физический смысл различных
величин, входящих в факторы вероятности избежать утечки. Ранее
было показано, что, если реактор мал, В2 велико, и наоборот. Боль-
шие значения В2 означают, что и и 1/(1-}-£2В2) относительно
малы. Следовательно, как и надо было ожидать, утечка нейтронов
как в процессе замедления, так и тепловых нейтронов в небольших реак-
торах будет велика. Рассмотрим теперь возраст т; в гл. 6, § 23, была
показана его связь со средним расстоянием (по прямой), пройденным
нейтроном во время замедления. Поэтому можно ожидать, что большие
значения т приводят к малым вероятностям остаться, что и выпол-
няется на самом деле, поскольку тогда мало. Сходные рассу-
ждения применимы и для длины диффузии L, которая является мерой
расстояния, проходимого в среднем тепловым нейтроном до захвата.
Большие значения L означали бы большую вероятность покинуть
реактор, что согласуется с вероятностью избежать утечки для теп-
ловых нейтронов, равной 1/(1-}-£2В2).
Произведение двух величин е—вч и 1/(1 -\~L2B2) является, таким
образом, полной вероятностью того, что нейтроны останутся в конеч-
ном реакторе за время от их появления как нейтронов деления до
захвата в тепловой области. Именно эта величина в гл. 4, § 10,
обозначалась через Р, и, следовательно, выражение ~[~L2B2)
должно равняться эффективному коэффициенту размножения. Из
сравнения с (7.30) видно, что величина В2 в вероятностях избежать
утечки является именно геометрическим параметром системы. Если
реактор слишком мал для данной размножающей среды, т. е. значе-
ние Вд больше критического, вероятности избежать утечки будут
меньше и общая утечка больше, чем эго допустимо для поддержания
цепной реакции.
Соединяя выводы, только что полученные на основании теории
непрерывного замедления нейтронов, и выводы гл. 4, § 10 относи-
тельно смысла величин, входящих в коэффициент размножения, можно
нарисовать схему (фиг. 45) одного цикла или одного поколения
в цепном воспроизведении тепловых нейтронов для конечного реак-
тора критических размеров. Цепочка начинается с одного теплового
нейтрона справа ог прямоугольника наверху страницы и затем следует
по пути, указанному стрелками вниз по правой стороне страницы и вверх
по левой. Зигзагообразными линиями обозначаются процессы деления,
а стрелками, ответвляющимися от основного пути налево и направо,—
потери нейтронов в различных процессах; v — число нейтронов, полу-
чающихся при одном акте деления, вызванного тепловым ней троном,
а — отношение сечения деления к полному сечению захвата тепловых
нейтронов горючим веществом. Вероятность того, что нейтрон избе-
жит утечки за время замедления, разделена на две части: Р?—вероят-
ность остаться в реакторе при замедлении ог энергии деления до
резонансной энергии и Рг — ог резонансной энергии до тепловой.
Ф нг. 45. Нейтронный цикл в реакторе на тепловых нейтронах в критическом
состоянии.
230 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Полная вероятность избежать утечки в процессе замедления равна
произведению Р^РГ, которое, следовательно, совпадает с е~вч. Для
того чтобы реактор был в точности критическим, необходимо равен-
ство величин, стоящих по обе стороны уравнения в верхнем прямо-
угольнике, что согласуется с (7.26).
§ 7. Время жизни одного поколения
Среднее время между двумя последовательными актами деления
на тепловых нейтронах, называемое временем жизни одного поколе-
ния, равно сумме времени замедления быстрых нейтронов и времени
диффузии, или времени жизни тепловых нейтронов. Время замедле-
ния в реакторе, согласно подсчетам гл. 6, § 25, примерно такое же,
как в чистом замедлителе, тогда как время жизни тепловых нейтронов
уменьшается вследствие большего сечения поглощения (ср. (6.141)].
Кроме того, необходимо учитывать утечку нейтронов из реактора.
Среднее время жизни /0 тепловых нейтронов в бесконечной среде
определено равенством
—
V
(7.33)
основанным на предположении, что все нейтроны остаются в системе
и ни один не уходит из нее. Но, как показано выше, доля тепловых
нейтронов, остающихся в конечной системе, равна 1/(1-f-Z.2^2).
В этом отношении уменьшается и среднее время жизни теплового
нейтрона в конечном реакторе:
I —----------
1 + Z4B2
(7.34)
В урано-графитовом реакторе среднее значение лежит около
5- 10-3 см~\ т = 2 • 10б см/сек, и поэтому 10_3 сек. В боль-
ших реакторах, где 1 Z,2732 не намного больше единицы, I тоже
можно взять порядка 10-8 сек. Время замедления в графите, согласно
табл. 15, равно 1,5-- 10~4 сек. Поэтому время жизни одного поколе-
ния в урано-графитовой системе фактически совпадает с временем
жизни тепловых нейтронов. Если в реакторе значительная часть деле-
ний вызывается нейтронами с энергией выше тепловой, время жизни
одного поколения определяется как среднее время жизни между двумя
последовательными актами деления любого типа. В этом случае
время жизни одного поколения находится главным образом из взятых
с надлежащими весами времен замедления до различных энергий,
при которых происходит деление.
Геометрический параметр
231
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР
§ 8. Реакторы различной формы
Как было указано ранее, геометрический параметр есть минималь-
ное собственное значение Вд волнового уравнения (7.28) для системы
с заданными размерами и формой. Величина Вд находится из решения
волнового уравнения при граничном условии, требующем, чтобы
функция Ф(г) обращалась в нуль на экстраполированной границе.
Ниже будут получены выражения для геометрического параметра
реакторов различной формы. Мы ограничимся следующими случаями:
бесконечный слой конечной толщины, прямоугольный параллелепипед,
сфера, конечный цилиндр. Этот метод, однако, можно распространить
на многие другие геометрические формы.
Случай 1. Бесконечный плоский реактор конечной толщины.
Рассмотрим реактор, имеющий форму бесконечного слоя конечной
толщины Н. Величина Н включает длину экстраполяции (см. гл. 5, § 8)
q каждой стороны, т. е. Н есть геометрическая толщина плюс взятая
2 раза длина экстраполяции, равная 0,71 kt. Начало координат О рас-
положим в центре слоя (фиг. 46).
В этом случае уравнение содер-
жит только одну переменную—х.
Чтобы связать геометрический
параметр с толщиной слоя, необхо-
димо решить волновое уравнение
(7.26) при условии обращения Ф (х)
в нуль на экстраполированных
границах:
I
।
I
н
I
I
I
I
Л.
о
Ф(х) = 0 при х=±1 /о Н,
так как и —1,2Н яв- !
ляются координатами экстраполи-
рованной границы соответственно Фиг. 46. Реактор, имеющий форму
справа и слева от начала коор- бесконечного слоя конечной толщины,
динат.
В нашем случае оператор Лапласа сводится просто к (B/dx2 и,
следовательно, волновое уравнение (7.26) принимает вид
</2ф (X) 1 о2 - , . п
-^ + ВвФ(х)=0.
(7.35)
При условиях конечности функции Ф (х) внутри слоя и обращения ее
в нуль на экстраполированных границах допустимым решением этого
232 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
уравнения является (см. гл. 5, § 15)
Ф (х) = A cos Вд х, (7.36)
поскольку Вд—вещественная положительная величина.
Условие обращения решения в нуль на экстраполированных гра-
ницах приводит к соотношению
В., И
A cos -у- = 0.
Постоянная А не равна^нулю, иначе Ф(х) было бы нулем повсюду,
и поэтому
отсюда
где п—нечетное число. Другими словами, для того чтобы cos(BffH/2)
был равен нулю, необходимо, чтобы BgHj2 равнялось нечетному
кратному половины it. По определению, геометрический параметр
является наименьшим собственным значением волнового уравнения,
поэтому п должно равняться единице
-2-BaH=-^it,
или
^ = (£)2. (7.37)
Это уравнение выражает геометрический параметр бесконечного слоя
через его толщину Н. Значение Н, при котором геометрический
параметр становится равным критическому (или материальному) пара-
метру, т. е. значение, удовлетворяющее уравнению (7.26), после того
как В2 заменено на (it/ТУ)2, называется критической толщиной бес-
конечного плоского реактора для данных веществ и структуры.
Подставляя выражение для Вд из (7.37) в (7.36), получим про-
странственное распределение потока нейтронов по направлению оси х
для критического состояния бесконечного плоского реактора на
тепловых нейтронах без отражателя:
Ф (х) = A cos ~, (7.38)
где Н—критическая толщина. Коэффициент А определяется уровнем
мощности реактора, так как в критическом состоянии съем мощности
в принципе не зависит от размеров реактора.
Случай II. Реактор в форме прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим реактор без отражателя в форме прямоугольного
параллелепипеда. Пусть длины ребер параллелепипеда, включая длину
Геометрический параметр
233-
экстраполяции, будут а, b и с. Начало координат поместим в центре
реактора (фиг. 47). Так как задача теперь трехмерная, оператор
Лапласа дается формулой (5.34) и, следовательно, волновое уравне-
должна обращаться в нуль на экстраполированных границах»
Если переменные разделяются, так что
Ф(х,у,г) = ^(х)У(у)7(г), (7.40)
то (7.39) можно записать в виде
1 1 1 d~z । к2 n
X dx^'~ У dy2-r z
(7.41)
где каждый из первых трех членов есть функция только одной пере-
менной. Поэтому каждый из этих членов можно приравнять постоянной;
1 о X dx* “ ’ 1 ^ = __₽2, У dy* г’ Z dt* ‘ • Следовательно, согласно (7.41), получим «8+₽8+72 = ^ (7.42). (7.43). (7.44) (7.45).
где, как мы вскоре увидим, а2, р2 и ?2— положительные величины..
234 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Заметим, что эта задача имеет много общего с рассматривавшейся
в гл. 5, § 15, в частности, уравнения (7.42) и (7.43) совпадают по
форме соответственно с уравнениями (5.73) и (5.74) со сходными
граничными условиями. Единственным решением, удовлетворяющим
требованию симметрии и обращающимся в нуль на экстраполирован-
ной границе [ср. (5.80)], является
Х= A cos ах, (7.46)
где подразумевается, что а2 — вещественная положительная величина.
Этот результат, как видно, совпадает по форме с выражением (7.36)
для бесконечного слоя. Поэтому, учитывая граничное условие, тре-
бующее исчезновения потока тепловых нейтронов на экстраполиро-
ванной границе х==1/2а, можно легко показать, что минимальное
значение а есть
« = | и «*==(£)’• (7.47)
и, значит,
Ar=Zcos^-. (7.48)
Так как между направлениями х, у и z нет существенного раз-
личия, аналогично получаем, что |32 и Y2 — вещественные положитель-
ные величины, причем
" ^=(Я-
Итак, минимальное собственное значение В1д, которое также должно
быть положительным, дается выражением
*=®*+(Wy- ?•«>
Таким образом, геометрический параметр просто связан с размерами
реактора а, b и с.
Распределение нейтронного потока Ф(х,д>, г) в критическом реак-
торе получается подстановкой решений для X, Y и Z вида (7.48)
в (7.40):
Ф (х, у, z) = A cos — cos cos , (7.50)
где, как и раньше, А зависит от уровня мощности реактора.
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа для отыска-
ния условных экстремумов, легко показать, что при заданной вели-
чине Вд, удовлетворяющей условию (7.49), играющему роль уравнения
связи, реактор в форме прямоугольного параллелепипеда минимален по
объему, когда все его размеры равны. В этом случае реактор имеет
•форму куба со стороной а и из (7.49) следует •
Геометрический параметр
235
так что
Вд
При заданном значении Вд минимальный объем V равен а3, т. е.
K=.(/3i)’=f. (7.S1)
Если реактор конструируется в форме прямоугольного параллелепи-
педа, минимальный объем и, следовательно, минимальная затрата
материала достигаются при выборе ______
кубической формы. Истинное зна- х''* ^7.
чение критического объема можно /
получить, подставляя в (7.51) вместо /
величину В^,, удовлетворяющую / s' \
при заданной структуре среды урав- j —R —«J
нению (7.26). \ ° /
Случай III. Сферический реактор. \ /
При рассмотрении сферического у'
реактора пользуются сферическими ----------------
координатами. Из соображений сим-
метрии следует, что если начало Фиг. 48. Сферический реактор,
координат выбрано в центре сферы
(фиг. 48), то поток не зависит от углов би?. Оператор Лапласа
получается в этом случае из (5.35), если отбросить члены, завися-
щие от 0 и о. Тогда волновое уравнение (7.28) сводится к
ут+-^+^Ф = 0 (7-52)
dr3 1 г dr 1 » v
с обычными граничными условиями конечности Ф во всем объеме
и обращения в нуль на экстраполированной границе сферического
реактора. Решение уравнения (7.52) с положительным В| имеет вид
sin Ваг , cos В „г
ф (г) = А —С—
Чтобы Ф(г) было конечно в начале координат, член с косинусом
надо отбросить. С учетом этого допустимое решение (7.52) есть
sin В „г
<&(г) = А—(7.53)
Если R—радиус сферического реактора, включая длину экстра-
поляции для тепловых нейтронов, то из граничных условий следует,
что Ф(г) обращается в нуль при r — R, поэтому из (7.53) имеем
. sin B„R „
236 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Так как А и /? отличны от нуля, то sin Вд R = 0, следовательно,
BgR — nr.,
где п — любое целое число, включая нуль. В нашем случае решение
с л —0 имеет тривиальный характер, поэтому наименьшее собствен-
ное значение соответствует л—1, что приводит к
= (7.54).
Геометрический параметр связан с объемом сферы V соотношением.
4ж< _130
ЗЯ® " *
Полагая здесь = В„ для заданной среды, получаем объем крити-
ческого реактора.
Комбинируя (7.53) и (7.54), легко получить распределение потока
Фиг. 49. Реактор, имею-
щий форму конечного
цилиндра.
в критическом сферическом реакторе. Резуль-
тат дается формулой
Ф(г) = Л
(7.55)
где R—критический радиус, а А, как всегда,,
пропорционально уровню мощности, при кото-
рой работает реактор.
Случай IV. Конечный цилиндрический
реактор.
При рассмотрении цилиндрического реак-
тора конечной высоты оператор Лапласа
берется в цилиндрических координатах (5.36).
Направим ось z по вертикальной оси ци-
линдра. В этом случае надо учитывать только
координаты z и г (фиг. 49), и волновое уравнение принимает вид
<?2ф . 1 дФ . (РФ . л
(7.56)
Граничные условия этой задачи таковы: Ф(г, а) конечно и обра-
щается в нуль на экстраполированных границах, т. е. при r — R или
z — (начало координат помещено посредине цилиндра высоты Н).
Приступим к решению уравнения (7.56). Разделим переменные г
и а, полагая
Ф(г, a) = 0(r)Z(a),
(7.57)
Геометрический параметр
237
тогда (7.56) превращается после деления на 0 в
1 , 1 dQ\ ( 1 п
6 (л* • г dr)'Z dz* ~L’
(7.58)
Здесь первый член зависит только от 6, а второй — от г, поэтому
каждый из них можно приравнять некоторой постоянной. Пусть
1 (d2e I 1 de\_
0 {dr2 • г dr )~
(7.59)
где а2 — постоянная априори любого знака, однако ниже будет пока-
зано, что она положительна. Аналогично положим
4g = -₽’, (7.60)
где р2— произвольная постоянная, как мы увидим позже, положи-
тельная. Следовательно, из (7.58) получим
_ а2_ р24-В^ = 0,
В2 = «24-₽2- (7.61)
Перегруппируем члены в уравнении (7.59) и умножим его на 0г2.
Получится выражение
ra^ + r7F + a20r2==0’ <7*62)
которое следующим образом можно привести к уравнению Бесселя.
Введем новую независимую переменную
и===аг. (7.63)
Так как а — постоянная, то dujdr — a. Тогда можем написать
d0 dQ du d8 .
= P-64)
и, следовательно,
d f d&\ d ( df$\ du ,,d2&
dt2 dr \ du) du \ ~du) dr a dtfi'
Заменяя в (7.62) r, dtydr, tPQfdr2 их выражениями из (7.63), (7.64)
и (7.65) соответственно, получим
“2sl+“ff+“’e = 0- Р-66)
Общее уравнение Бесселя порядка п имеет вид
х^+х&+^-п^У = Ь
238 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
отсюда видно, что при положительном и2, а следовательно, и а2 (7.66)
есть уравнение Бесселя нулевого порядка. Общим решением этого
уравнения является
0 = А/о(«) + СРо(«), (7.67)
где Jo и Уо— функции Бесселя нулевого порядка соответственно
первого и второго рода [2].
При отрицательном а2 уравнение (7.62) имеет вид видоизменен-
ного уравнения Бесселя
х2+ * “г — (х3 — п^)У — °
dxi 1 dx '
нулевого порядка. Решением его является выражение
0 = Л7О(«) + С%(«), (7.68)
где /0 и Ко — видоизмененные функции Бесселя нулевого порядка
соответственно первого и второго рода.
Выбор между двумя возможными решениями независимо от того,
положительно или отрицательно а2, можно сделать, используя гра-
ничные условия. Графики функций Jo, Yo, /0 нК0 приведены на фиг. 50,
где по оси абсцисс отложено и. Из этих кривых видно, что Го, /е
и Ко должны быть отброшены, так как Yo стремится к — со, а Ко — к оо
при и, стремящемся к нулю, тогда как /0 неограниченно возрастает
Геометрический параметр
239
при увеличении и. Таким образом, из (7.67) получается единственное
допустимое решение
0 (г) = A Jo (к) = AJ0 (аг),
(7.69)
и, следовательно, а2 положительно.
Для вычисления а используется граничное условие, требующее,
чтобы функция Ф(г, z) обращалась в нуль на экстраполированной
границе, т. е. при r — R. Поскольку в (г) есть -часть Ф (г, г), зави-
сящая только от г, из (7.69) следует:
0(r) = A/o(afl) = O;
постоянная А не может равняться нулю, так как в противном слу-
чае 0 (г) обратилось бы в нуль тождественно, поэтому
J0(aR) — Q.
Отсюда следует, что aR равно корню функции J0(u). Как видно
из фиг. 50, существует более чем одно значение и, удовлетворяющее
этому условию. Однако наименьшее собственное значение а2 соот-
ветствует решению с минимальным и, равным первому корню функ-
ции Бесселя Jo, а именно 2,405. Итак, aR = 2,405, так что
Уравнение (7.69) дает
ви=д,.(^;
(7.70)
(7.71)
Выше было получено решение уравнения (7.59). Нам осталось,
решить уравнение (7.60), определяющее зависимость от г. Распре-
деление потока симметрично по оси z относительно начала координат.
Принимая это во внимание и используя обычные граничные условия,
легко показать способбм, сходным с употреблявшимся в случае
бесконечного слоя (см. § 8), что решение (7.60) есть
Z(z) = Ccos~ (7.72)
и наименьшее собственное число £2 равно
(7.73)
Комбинируя (7.61), (7.70) и (7.73), можно выразить геометри-
ческий параметр для конечного цилиндрического реактора через его
радиус и высоту:
(7.74>
'240 Гл, 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Как видно из (7.58), (7.71) и (7.72), распределение потока тепловых
нейтронов в критическом реакторе дается формулой-
Ф(г, г) = м(—°-)cos^-, (7.75)
где R и Н— критические радиус и высота соответственно.
§ 9. Минимальный объем для конечного цилиндра
Наименьший объем цилиндрического реактора при заданном гео-
метрическом параметре можно найти непосредственно, применяя
метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания минимума
величины -R^H при условии (7.74). С другой стороны, (7.74) можно
преобразовать к виду
ВдН —К
и объем цилиндра V=itR?H равен
«(2,405)2 №
ВдН2-^ '
Дифференцируя по Н и полагая результат равным нулю, находим
условие минимума для объема:
так что *
(7.77)
Дели это значение Н подставить в (7.76), легко получить
2405 . .2,945
2 Вд ~~ Вд • (7.78)
Таким образом, для заданного значения Вд минимальный объем
цилиндрического реактора равен
(7.79)
“л
§ 10. Выводы и обзор результатов
Результаты, полученные для рассмотренных выше случаев, собраны
в табл. 16.
Если требуется, чтобы данный реактор был критическим, необхо- *
димо равенство геометрического параметра для заданной формы его
материальному параметру, определяющемуся строением среды (см. § 5).
Геометрический параметр
241
Таблица 16
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ РЕАКТОРОВ
Форма Параметр Минимальный критический объем
Бесконечная пластина —
Прямоугольный параллелепипед . . а | я + я + а | а 161 В3
Сфера (И 130 В»
Конечный цилиндр /2,405 V . ( « f \ R J '\н) 148 В3
В последней колонке табл. 16 приведены значения минимального
критического объема для данного состава и для разных форм
реактора. Здесь В2 обозначает критический или материальный параметр.
Как легко видеть, при заданном составе критический объем, а следо-
вательно, и масса сфе-
рического реактора
меньше, чем в случае
всех других форм.
Причина этого заклю-
чается в том, что при
заданном количестве
вещества сфера есть
тело с минимальной
поверхностью. Как по-
казало качественное
рассмотрение, прове-
денное в гл. 4, ней-
троны рождаются во
всем объеме системы,
в то время как утечка
происходит только с
поверхности. Поэтому
при заданном составе
минимальную крити-
ческую массу будет
Ф и г. 51. Функции, описывающие распределение
потока.
иметь реактор с наименьшим возможным отношением поверхности
к объему.
Из формул
(7.38), (7.48), (7.55) и (7.73) видно, что для всех
рассмотренных случаев распределение потока тепловых нейтронов
16 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
242 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
выражается в виде функции от и, а именно costtk/2, яптш/тш и
Jo (2,405 и); соответствующие выражения для величины и приведены
в табл. 17.
Таблица 17
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ В КРИТИЧЕСКОМ
РЕАКТОРЕ БЕЗ ОТРАЖАТЕЛЯ
Форма Координаты Функция и
Ttw X
Бесконечный слой X соэ^-
X
Прямоугольный параллелепипед . . X соэ-з- Ч»а
тсй у
У cos'2' ЧгЬ
ч.и Z
Z COS —ТТ-
2 ‘/а с
sin ПИ Г
Сфера г 7ZU к
Конечный цилиндр г Jo (2,405 и) г Т7
7ZU Z
Z cos~2~ ЧгН
Графики этих функций от переменной и, изменяющейся от нуля
до единицы, приведены на фиг. 51. Как показывает последняя колонка
таблицы, в каждом случае экстраполированной границе соответ-
ствует и = 1; для указанного значения и поток равен нулю. Из
близости этих трех кривых видно, что в качестве первого прибли-
жения, не приводящего к значительным ошибкам, во всех случаях
можно пользоваться косинусом.
СВОЙСТВА КРИТИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ
§ 11. Большие реакторы
В связи с существованием обратной зависимости между геометри-
ческим параметром и размерами реактора величина В2 для большого
реактора мала1). Следовательно, для такого реактора или вообще,
1) В остальной части настоящей главы рассматриваются критические
реакторы, поэтому нет необходимости делать различие между В2т или
Ь®.—Прим. авт.
Свойства критических реакторов
243
когда k только немного больше единицы, e~F^ можно разложить
в ряд и пренебречь всеми членами, за исключением первых двух:
е-вч 1 _ ВЧ да (1 +
При этом условие критичности (7.26) принимает вид
(1 + £2В*)(1 +ВМ
или
(7.80)
(7.81)
1 +
В силу соображений гл. 6, § 23, возраст теплового нейтрона
численно равен !/6 сречнего квадрата расстояния, проходимого ней-
троном за время с момента его испускания из источника до дости-
жения им тепловой энергии, т. е. в течение процесса замедления.
Если это расстояние обозначить через г2, то т = 1/6 г2, и равен-
ство (7.81) запишется в виде
—------------да1.
l + ZW + Ve^)
Величина называется площадью миграции и обозначается
через Ж2:
Л12=А24-|^, (7.82)
так что, когда В2 мало или вообще, когда k лишь не
вышает единицу,
намного пре-
или
____*____— 1
14-Л12В2
(7.83)
в^ = ----.
М*
(7.84)
Эту формулу можно рассматривать как определяющую материальный
параметр для среды с коэффициентом размножения, немного большим
единицы, когда размеры критической системы велики. Хотя соотно-
шение (7.84) было получею здесь та остове модели непрерывного
замедления, в гл. 12 будет показано, что оно носит общий характер
и не зависит от какой-либо модели. Определение 7И2 через (7.82)
также имеет общий характер, хотя в теории непрерывного замедле-
ния Af2 часто выражается в виде Т.2-}-?.
Поскольку Z,2 является J/6 среднего квадрата расстояния, прохо-
димого тепловым нейтроном до захвата (см. гл. 5, § 14), из равен-
ства (7.82) видно, что площадь миграции А!2 представляет собой 1/в
среднею квадрата расстояния, которое пробегает нейтрон за время
16*
244 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
с момента его образования как быстрого нейтрона деления до захвата
в тепловой области. Таким образом, квадратный корень из Ж2, назы-
ваемый длиной миграции, является мерой расстояния, проходимого
нейтроном от места своего рождения до места захвата.
§ 12. Расчет критического размера и состава
При конструировании ядерных реакторов необходимо заранее иметь
представление о размерах и об отношении количеств горючего веще-
ства и замедлителя, требующихся для того, чтобы сделать реактор
критическим. В этой связи интересны задачи двоякого рода: во-пер-
вых, при заданном размере реактора вычислить отношение количеств
горючего вещества и замедлителя, при котором реактор становится
в точности критическим; во-вторых, при заданном отношении количеств
горючего и замедлителя требуется найти критический размер.
Оба рода задач можно проиллюстрировать на сравнительно про-
стом, но вполне практическом примере, когда в качестве горючего
вещества используется чистый U236, а в качестве замедлителя — Be.
Следует указать, однако, что вследствие многих упрощающих пред-
положений, сделанных в предыдущих главах, результаты приведенных
ниже вычислений только приблизительны. Главное их значение для
практики — указывать путь при проектировании экспериментов с кри-
тическими системами.
Пусть требуется построить однородный сферический реактор без
отражателя радиусом 50 см. Какое отношение количеств U236 и Be
нужно взять, чтобы реактор стал критическим? Коэффициент размно-
жения для бесконечной среды k равен rjpe (см. гл. 4, § 10), и по-
скольку р и е без большой погрешности можно положить равными
единице, то k — rtf. Если сечением поглощения примесей, находящихся
в реакторе, можно пренебречь, то
(7-8S)
поскольку в однородной системе поток тепловых нейтронов можно
считать одинаковым в горючем веществе и замедлителе. В этом выра-
жении z есть отношение макроскопических сечений поглощения урана
и бериллия, т. е.
где ас и аВе — ядерные сечения поглощения, и NBe — числа ато-
мов урана и бериллия в системе соответственно. Задача заключается,
таким образом, в том, чтобы найти такое значение отношения Mj/Л/ве»
при котором сферический реактор радиусом 50 см становится крити-
ческим.
Свойства критических реакторов
245
Ниже будет показано, что концентрация U236 в Be в критической
системе очень мала, поэтому замедляющие свойства однородной смеси
по существу те же, что и чистого бериллия. Этот факт позволяет
вывести сравнительно простое выражение для длины диффузии.
По определению, Z.2 = DJ^a. Коэффициент диффузии D тепловых
нейтронов в смеси практически совпадает с коэффициентом диффу-
зии в чистом бериллии, т. е. может быть заменен на DKe. Сечение
поглощения Ео = ЕиЦ-Еве» отсюда
, 2_ ^Ве _______ Т)Ве/£Ве
L - Еи + Еве “ *4-1 '
Числитель £>Ве/Еве равен квадрату длины диффузии в чистом берил-
лии; заменив его на L®, получим
/2
л2-=7ТТ- (7-87)
После подстановки величин k и L2 из формул (7.85) и (7.87)
соответственно в критическое уравнение (7.26) придем к следующему
результату:
14-z.2b2~ j?4-i4-£2fi2 ~
Если разрешить это уравнение относительно z, то получится t
В этом уравнении, полученном из (7.26), величина S2 является мате-
риальным параметром системы из урана и бериллия. Значение этого
параметра в нашем случае можно определить, полагая его равным гео-
метрическому параметру сферического реактора с радиусом 50 см.
Для сферы, согласно (7.54),
где R— экстраполированный радиус, приблизительно равный геоме-
трическому радиусу, увеличенному на 0,71 Af, где —транспорт-
ная длина (см. гл. 5, § 8), или на 0,71 • 3Z), так как Z) = Af/3. Здесь
величина D фактически равна коэффициенту диффузии в бериллии,
т. е. 0,70 см, так что /? = 50-J-1,5 = 51,5 ел. Следовательно,
В2 == = 37,2 -10-* см~2.
\ 01,5 )
Значение т;, взятое из (4.7), в нашем случае, т. е. для чистого U236
в качестве горючего вещества, равно
7] = V
°/-4-Ос
246 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
где Of—сечение деления U236, а ос—его сечение захвата (без деле-
ния). Эти сечения равны 549 и 101 барнам соответственно (см. табл. 6);
поскольку v = 2,5, то -q = 2,l. В бериллии = 560 см? и т = 98 см?,
следовательно, согласно (7.88),
£•=6,6.
Полные сечения поглощения аВе и равны соответственно 0,0084
и 650 барнам, причем последнее значение является суммой сечений
деления и захвата (без деления). Таким образом, согласно (7.86),
% _ аве 0,0084
"650“
6,6 = 8,5.10-6.
Это есть отношение числа атомов урана и бериллия, требующееся
для того, чтобы сделать критическим сферический реактор радиусом
50 см. Пользуясь плотностями горючего вещества и замедлителя,
можно подсчитать критическую массу U236.
Интересно отметить, что в рассматриваемой системе значение k,
определенное из уравнения k = т)г/(г 1) [см. (7.85)]» лежит около 1,84;
это значит, поскольку в критическом реакторе = 1, что приблизи-
тельно 45% нейтронов теряется вследствие утечки. Доля нейтронов
источников, уходящих из реактора в процессе замедления, равна
1 =— е~В!\ что составляет в настоящем случае примерно 30%. Доля
замедлившихся нейтронов, которые, будучи тепловыми, ушли из реак-
тора, есть 1?В?Ц\ -\-L?B?) и для критического реактора радиусом 50 см
примерно равна 22%, или 15% общего числа нейтронов источников.
Очевидно, что в таких относительно малых реакторах без отражателя
должна быть большая утечка, главным образом во время замедления
нейтронов деления. Следует помнить, что вероятность избежать резо-
нансного захвата в предыдущих выкладках принята равной единице.
Задача второго рода, обратная только что рассмотренной, состоит
в определении критического размера, соответствующего данному со-
ставу вещества активной зоны; другими словами, заданы /], 7-о> " и г,
требуется отыскать значение В2 для критической системы. Ответ
снова находится из соотношения (7.88), только вычисления теперь
более сложны вследствие необходимости решать трансцендентное
уравнение. Метод решения следующий. Перепишем условие критич-
ности (7.88) в виде
(7.89)
и положим
г 4-1
Л = —!—,
£2
С=—
Свойства критических реакторов 247
где А и С—постоянные, а х— переменная величина. Тогда условие
критичности (7.89) примет вид
е-®=.Д + Сх. (7.90)
Это уравнение можно решить без труда метолом последовательных
приближений. Поскольку значения х невелики, заменим величину е~х на
величину, приблизительно ей равную, 1 — х. Тогда, поскольку А и С
известны, из уравнения (7.90) находим предварительное значение х,
равное (Д—1)/(С-|-1). Пользуясь этим значением х, вычислим теперь
выражения по обе стороны уравнения (7.90). Результаты, вообще
говоря, не будут равны, но если выражение слева больше, то, значит,
выбранное значение х слишком мало, и наоборот. Тогда берется
другое значение х и вычисления повторяются; после трех-четырех
попыток можно найти верное до третьего знака значение х — В2х,
удовлетворяющее уравнению (7.89). Поскольку возраст т известен,
можно найти параметр Д'2 и вычислить размеры критического
реактора ’).
§ 13. Экспериментальное определение критического размера;
критический ансамбль
Для определения критического размера реактора используются два
экспериментальных метода. „Экспоненциальный" метод, приложимый
только к большим реакторам, например, с естественным ураном в ка-
честве горючего вещества, будет описан в гл. 9. Другой метод —
метод критического ансамбля — описывается здесь. Этот метод
требует создания системы из горючего вещества и замедлителя, взятых
в желаемом отношении, которую можно постепенно достраивать, пока
ее размеры не приблизятся к критическим. В центре ансамбля поме-
щается источник нейтронов (называемый первичным), испускающий
около 101 нейтронов в 1 сек. В результате делений, вызванных в го-
рючем веществе, происходит умножение нейтронов первичного источ-
ника. Умножение можно определить как отношение полного потока
тепловых нейтронов, вызванного и первичным источником и делениями,
к потоку только от первичного источника.
В § 3 было показано, что второй член в выражении (7.20) пред-
ставляет вклад в поток тепловых нейтронов от точечного источника,
помещенного в центре подкритического ансамбля из горючего веще-
ства и замедлителя. Наличие величины kn в этом члене указывает,
что быстрые посторонние нейтроны (первичного источника) размножи-
лись в результате деления. Если бы не было никакого делящегося
!) Возможны графические методы решения, основанные на применении
номограмм. — Прим. авт.
• 248 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
вещества, т. е. Ап = 0, поток тепловых нейтронов определялся бы
только суммой членов, описывающих источник типа второго члена
в скобках в выражении (7.20) с величиной 1—kn, замененной на
единицу. Поэтому, когда присутствует горючее вещество, наличие
деления сказывается в умножении каждого из членов, описывающих
источник для различных значений и, на величину 1/(1—Ап). Предпо-
лагается, что рассеяние и замедление происходят одинаково в обоих
случаях, т. е. в присутствии делящегося вещества и без него.
При приближении к критическому состоянию единственной суще-
ственной из величин kn будет наибольшая из них, обозначенная ранее
Aj, которая, как видно из уравнения (7.21), совпадает с эффективным
коэффициентом размножения Аэ$ф., определенным равенством (7.30).
Следовательно, в системе, содержащей делящийся материал, умноже-
ние нейтронов первичного источника определяется тогда только вели-
чиной 1/(1---Аафф.). В критическом СОСТОЯНИИ А8фф. в точности равно
единице и, следовательно, умножение становится бесконечным. Когда
ансамбль подкритичен, все величины kn меньше единицы (см. § 3)
и умножение конечно. Но при увеличении размеров ансамбля умно-
жение нейтронов первичного источника возрастает и становится бес-
конечным, когда достигается критическое состояние.
Следует ожидать явлений, сходных с только что описанными, если
вместо точечного источника ввести источник, распределенный по си-
стеме таким образом, чтобы его плотность 5 (г) была пропорциональна
наименьшей собственной функции уравнения V2S (г) BPS (г) = 0 при
условии обращения 5 (г) в нуль на экстраполированной границе си-
стемы. Как и прежде, считается, что система однородна и не имеет
отражающей поверхности. Источники нейтронов будут теперь распре-
делены в пространстве так же, как поток тепловых нейтронов, т. е.
как источники нейтронов деления в реакторе без отражателя. Вероят-
ность избежать утечки для нейтронов внешнего источника будет тогда
той же, что для нейтронов деления, и коэффициент размножения ней-
тронов в конечной системе в каждом поколении будет равен АЭфф..
Если источник испустил S быстрых нейтронов, то к концу первого
поколения будет ka$$.S нейтронов, к концу второго А8фф. S и т. д.
Умножение нейтронов в системе из горючего вещества и замедлителя
можно тогда представить как
$ + Аэфф.^ + ^афф,^ + ^афф.^ ~Ь • • • _ 1
S ! — Лэфф. '
Результат тот же, что и для точечного источника в центре. При
стремлении размеров ансамбля к критическим А8фф. приближается
к единице и умножение становится бесконечным.
Умножение можно определить экспериментальным путем, измеряя
поток тепловых нейтронов внутри ансамбля на заданном расстоянии
от источника. Измерения производятся сначала в отсутствие горючего
Свойства критических реакторов
249
и г. 52. Определение крити-
ческой массы.
вещества, а затем повторяются в той же точке при его наличии.
Отношение двух полученных значений дает искомое умножение для
данных размеров ансамбля в некоторой фиксированной точке поля.
Наблюдения повторяются для ансамблей с различными размерами,
приближающимися к критическим.
На практике удобно пользоваться величиной, обратной умножению
нейтронов источника. Эта величина уменьшается с ростом размеров
системы и обращается в нуль при критических размерах. Величина,
обратная умножению в двух или большем числе точек поля, наносится
на график как функция размеров
ансамбля или, лучше, как функция
массы горючего вещества, напри-
мер U235. Тогда нет необходимости «
доводить систему до критической, g
поскольку критическую массу или §
размер можно определить, экстра- |
полируя полученные кривые до нуле-
вого значения обратного умножения, §
как показано на фиг. 52. ё
Если необходимо, можно полу- §
чить реальный критический ансамбль,
постепенно достраивая его, пока не
будет достигнуто выполнение усло-
вия критичности. Когда система
действительно критическая, поток ф
нейтронов не будет меняться со вре-
менем в отсутствие внешнего источ-
ника, так как в точности критическая система находится в само-
поддерживающемся стационарном состоянии. Если ансамбль еще под-
критичен, поток по удалении источника будет постепенно уменьшаться.
В случае надкритической системы поток будет экспоненциально возра-
стать со временем.
§ 14. Критические масса и радиус и состав реактора
При изменении критической массы и критического радиуса тепло-
вого реактора в зависимости от отношения количеств горючего веще-
ства и замедлителя проявляются некоторые интересные детали. Кривые
на фиг. 53 показывают ход критического радиуса и соответствующих
значений массы урана для сферы без отражателя, заполненной рас-
твором соли U236 в обыкновенной воде, как функцию отношения
чисел атомов водорода и урана в системе. Видно, что в то время
как критический радиус монотонно растет с убыванием концентрации
урана, критическая масса проходит через минимум. Таким образом,
существует определенный состав раствора, при котором масса горю-
чего вещества в критической системе минимальна.
250 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Поведение кривых, изображенных на фиг. 53, является общим для
всех тепловых реакторов и проистекает из следующих обстоятельств.
При малых отношениях количеств замедлителя и горючего вещества,
т. е. при малых Н/U на фиг. 53, критический размер системы и
вероятность того, что нейтроны избегнут утечки, также малы. Это
^возмещается большой концентрацией горючего вещества, приводящей
Фи г. 53. Критическая масса (Л) и критический
радиус (В) в зависимости от отношения чисел
атомов H/U.
к большим значениям k.
С увеличением отноше-
ния Н/U величина k умень-
шается относительно мед-
ленно, но вероятность
избежать утечки сначала
растет быстро (фиг. 54).
Следовательно, крити-
ческий радиус (и объем)
увеличивается относитель-
но медленно. Критиче-
ская масса горючего
определяется, грубо го-
воря, критическим объ-
емом, деленным на отно-
шение H;U; значит, если
объем растет медленнее
критического значения
Н/U, критическая масса
на самом деле будет
уменьшаться до минималь-
ного значения. В этой
точке дальнейшее увели-
чение критического раз-
мера вследствие умень-
шающейся концентрации
горючего приводит к от-
носительно малому изме-
нению вероятности избе-
жать утечки, тогда как величина k продолжает монотонно убывать
вследствие увеличения поглощения в замедлителе. Критическая масса
тогда быстро возрастает, становясь бесконечной при fe = l.
С возрастанием отношения количеств замедлителя и горючего,
т. е. в нашем случае Н/U, радиус критического реактора становится
настолько большим, что полная вероятность избежать утечки прибли-
жается к единице. В этом случае для критического реактора k должно
.равняться единице и, таким образом, благодаря соотношению (7.85)
z
Задачи
251
или, если воспользоваться подходящей формой выражений (7.86),
определяющих величину г,
N а 1)"
Г*Н °Н
Значения оп и он равны 650 и 0,32 барна соответственно и, поскольку
т] = 2,1 для U2a6 (см. § 12),
Мт
-тД?ы2250.
Nu
Эта величина есть наибольшее отношение Н/U, для которого воз-
можна самоподдерживающаяся цепная реакция, так как при этом
Фиг. 54. Вероятность избежать утечки для быстрых нейтро-
нов и коэффициент размножения в зависимости от радиуса.
составе значение k становится в точности равным единице. Любое
увеличение доли водорода вследствие паразитического захвата в за-
медлителе приведет к коэффициенту размножения, меньшему единицы,
и критическая система окажется невозможной. Следовательно, кривая
на фиг. 53 асимптотически стремится к вертикальной линии, прове-
денной при значении H/U == 2250. При этом составе гомогенный теп-
ловой реактор (без отражателя), чтобы быть критическим, должен
быть бесконечно большим.
ЗАДАЧИ
1. Найти минимальное отношение числа атомов U235 к числу атомов за-
медлителя, необходимое для поддержания цепной реакции на тепловых ней-
тронах в бесконечно большой системе для Н2О, D2O, Be и графита при 20° С.
2. Вычислить и нанести на график критическую массу сферических одно-
родных систем на тепловых нейтронах без отражателя, содержащих U2®*
252 Гл. 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
в качестве горючего, как функцию отношения чисел атомов замедлителя и
U236 для следующих замедлителей: DaO, Be и графит при 20° С.
3. Вывести формулу для геометрического параметра системы, имеющей
форму полусферы.
4. Сферический реактор без отражателя радиусом 75 см, содержащий
однородную смесь U235 и Be, работает при 20° С. Найти критическую массу
и долю нейтронов деления, уходящих со скоростями выше тепловых и с теп-
ловыми скоростями. Если равномерно распределить по реактору 100 г Cd,
сколько еще потребуется горючего, чтобы сохранить критичность?
5. Найти пространственное распределение горючего вещества в сфери-
ческом тепловом реакторе без отражателя, которое приводит к однородному
распределению мощности. Считать, что все нейтроны возникают, рассеиваются
и поглощаются при одной и той же энергии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fermi Е., Rasetti F., Ricerca Scient., 9, 472 (1938).
2. McLachlan N. W., Bessel Functionsfor Engineers, Oxford, 1934.
Глава 8
ГОМОГЕННЫЙ РЕАКТОР С ОТРАЖАТЕЛЕМ;
МЕТОД ГРУПП
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
§ 1. Свойства отражателя
Критическую массу реактора можно уменьшить, окружив активную
зону рассеивающим веществом, например графитом, бериллием и т. д.
Это вещество действует как отражатель и возвращает в систему,
в которой происходит цепная реакция, нейтроны, которые в противном
случае были бы потеряны вследствие, утечки. Следовательно, отража-
тель сокращает утечку нейтронов из активной зоны реактора и дает
возможность системе из горючего вещества и замедлителя стать крити-
ческой, когда ее размеры зна-
чительно меньше требующихся
для реактора без отражателя.
Таким образом, при использова-
нии отражателя достигается
значительная экономия деляще-
гося вещества.
Кроме уменьшения крити-
ческого объема (и массы)
активной зоны, отражатель по-
зволяет увеличить средний съем
мощности с единицы веса горю-
чего вещества.
Как показано в гл. 4, уро-
вень мощности пропорционален
средней плотности (или потоку)
тепловых нейтронов в активной
зоне. В центре активной зоны поток нейтронов при наличии отражателя
существенно не отличается от потока в реакторе без отражателя,
однако вблизи границы поток тепловых нейтронов в первом случае
значительно выше. В общих чертах это показано на фиг. 55, на которой
изображены потоки тепловых нейтронов для реактора с отражателем и
без него *). Вертикальные линии обозначают экстраполированные границы
активной зоны и отражателя. Таким образом, при прочих равных
условиях отражатель увеличивает средний по всей активной зоне поток
тепловых нейтронов и, следовательно, съем мощности. Крайние области
г) Происхождение небольших «горбов* потока в отражателе будет объяс-
нено позже, в § 7. — Прим, авт.
Фиг. 55. Распределение потока нейтро-
нов в реакторе с отражателем и в реак-
торе без отражателя.
254 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем', метод групп.
активной зоны при наличии отражателя используются более эффек-
тивно, чем без него (см. также § 6).
Общее представление о свойствах, которыми должен обладать
отражатель, можно получить из следующих соображений. Вероятность
возвращения нейтрона из отражателя в активную зону тем больше,,
чем меньше средняя глубина проникновения нейтрона в отражатель
из активной зоны. Иначе говоря, эта вероятность связана с длиной
свободного пробега по отношению к рассеянию и, следовательно,
с коэффициентом диффузии. Чем меньше длина свободного пробега,
тем в среднем ближе к активной зоне произойдет первое столкновение
нейтрона. Это обстоятельство увеличивает вероятность возвращения
нейтрона в активную зону двояким образом.
Во-первых, в случае приблизительно изотропного рассеяния
(см. гл. 6, § 4) вероятность того, что нейтрон после первого столкно-
вения будет рассеян в направлении к активной зове, пропорциональна
телесному углу, под которым активная зова видна из точки столкно-
вения. Чем меньше длина свободного пробега, тем больше этот
телесный угол и, таким образом, тем больше вероятность возвращения
нейтрона в активную зону.
Во-вторых, вероятность поглощения нейтрона в какой-либо среде
в интервале от х до x-\-dx равна %adx (см. гл. 3, § 13), где
—сечение поглощения. Следовательно, вероятность поглощения
нейтрона в отражателе, прежде чем он сможет вернуться в активную
зону, составляет на единицу длины пути £о. Отсюда видно, что чем
короче обратный путь до активной зоны, тем меньшая часть нейтронов
поглощается в отражателе.
Кроме малой длины рассеяния и, следовательно, малых транспорт-
ной длин ы и коэффициента диффузии для тепловых нейтронов, отража-
тель, как видно в особенности из приведенных выше замечаний,
должен иметь также малое сечение поглощения. Эти выводы согла-
суются с полученными в гл. 5 при рассмотрении альбедо. Там было
показано, что вещество имеет большое альбедо и, значит, является
хорошим отражателем, если мала величина х£>. Так как х = jA ^JD,
то это равносильно требованию малости произведения %aD, что совпа-
дает с выводами, полученными из общих качественных соображений,
приведенных выше.
Следует отметить, что утечка нейтронов из активной зоны в значи-
тельной части происходит в процессе замедления. Энергии этих ней-
тронов превышают тепловое значение. Было бы выгодно вернуть их
в реактор с уменьшенной энергией, что может быть достигнуто путем
использования в качестве отражателя хорошего замедлителя, т. е.
легкого элемента с большим сечением рассеяния. Действительно,
такие вещества (при условии, что они имеют малое сечение погло-
щения) лучше всего отвечают другим требованиям, рассмотренным
выше.
Метод групп
255
МЕТОД ГРУПП
§ 2. Введение
Теоретическое рассмотрение реактора с отражателем является
трудной задачей. Для критического реактора без отражателя плотность
замедления (и, следовательно, член, описывающий источники тепловых
нейтронов) всюду пропорциональна потоку нейтронов. Уравнение диф-
фузии тепловых нейтронов поэтому является линейным и однородным
и может быть легко решено в конечном виде. Поскольку размножаю-
щие и замедляющие свойства отражателя, вообще говоря, отличаются
от свойств активной зовы реактора, энергетический спектр нейтронов,
почти одинаковый по всему реактору без отражателя, заметно меняется
вблизи границы между активной зоной и отражателем. В результате
решение уравнения возраста, дающее источники тепловых нейтронов
в диффузионном уравнении (см. гл.-7, § 2), существенно затрудняется.
Одним из методов, упрощающих анализ замедления нейтронов,
в сложных средах, является метод групп. В этом методе вся область
энергий нейтронов, от энергии нейтронов источника до тепловой,
делится на конечное число интервалов, или энергетических групп.
При этом считается, что внутри каждой группы нейтроны диффунди-
руют без потери энергии, пока не испытают среднего числа столкно-
вений, необходимого для уменьшения их энергии до уровня следующей
(низшей) группы; в этот момент нейтроны скачком переходят в сле-
дующую группу. Этот процесс продолжается до тех пор, пока ней-
троны не перейдут из группы с наивысшей энергией (деления) в группу
с наинизшей (тепловой) энергией.
§ 3. Групповые постоянные
Поскольку энергетический спектр нейтронов в реакторе занимает
непрерывную область от тепловых энергий примерно до 10 Мэв, оче-
видно, что метод групп является некоторым приближением. Это
обстоятельство частично учитывается путем приписывания каждой
группе подходящих средних значений различных характерных величин,
вроде эффективных сечений и коэффициентов диффузии в активной
зоне и отражателе. Способ вычисления этих групповых постоянных,
как их часто называют, будет продемонстрирован на примере с двумя
энергетическими группами.
В случае двух групп нейтроны с тепловой энергией составляют
одну группу, а все нейтроны с большими энергиями — другую. Считая
все нейтроны деления моноэнергетическими с энергией £0, предполо-
жим, что они сохраняют эту энергию, пока не испытают среднего
числа актов рассеяния, необходимого для уменьшения их энергии до
тепловой Е-r, после чего переходят в низшую энергетическую группу.
Объединение всех нейтронов с энергией выше тепловой в одну группу
256 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателям', метод групп
является, конечно, грубейшим упрощением. Средние свойства нейтронов
„быстрой" группы получаются следующим образом.
Число актов рассеяния, испытываемых нейтронами быстрой группы
в 1 см? за 1 сек., равно
Ео
f XS(£)<W, (8.1)
Ег
где £8(Е)— макроскопическое эффективное сечение рассеяния нейтро-
нов с энергией Е, п(Е)— соответствующая плотность нейтронов на
единицу интервала энергии, v — скорость этих нейтронов. Полный
поток Фг нейтронов быстрой группы равен
Ео
Фг= f n(E)vdE. (8.2)
Er
Поэтому можно определить среднее сечение v,s лля этой группы
Ео
J (Е) п (Е) v dE
2. = ^--------------• <8-3)
J* п (Е) vdE
ЕТ
Следовательно (8.1) можно записать в виде:
Число столкновений в быстрой группе (в 1 см3 за 1 сек.) =
Так как средняя логарифмическая потеря энергии при одном
столкновении равна £, то среднее число столкновений, необходимое
для уменьшения энергии нейтрона от Ео до Ет, равно
41п|5. (8.4)
„Скорость" перехода нейтронов из быстрой группы в медленную
равна числу актов рассеяния в 1 см? за 1 сек. деленному на
число столкновений, необходимое для уменьшения энергии от Ео до ЕТ
[ср. (8.4)]. Итак, число нейтронов, переходящих (в 1 см? за 1 сек.)
из быстрой группы в медленную, равно
(8.5)
£ Ет
Определим теперь „сечение замедления" для быстрых нейтронов
так, чтобы Е1Ф1 давало число нейтронов, переходящих (в 1 см? за 1 сек.)
Метод групп
257
из быстрой группы в медленную. Это, разумеется, та же величина, что
и (8.5), так что сечение замедления определяется выражением
Коэффициент диффузии нейтронов „быстрой" группы получается
из? рассмотрения плотности потока быстрых нейтронов; последняя
выражается интегралом [ср. (5.27)]
К
— JjD(E)grad<J>(r, E)dE.
ЕТ
В то же время она равна — grad Фх, где — коэффициент
диффузии быстрых нейтронов и —-поток быстрых нейтронов.
Следовательно,
Ео Е
Dr grad d'j = Z)j J grad Ф (r, E)dEJ D (E) grad Ф (r, E)dE>
Et E-t
откуда e„
J D (£) grad Ф (r, E) dE
= ET Eo' -- ------------• (8-7)
j” grad Ф (г, E) dE
ET
Из этой формулы видно, что Dy — постоянная величина лишь при
условии, что Ф(г, Е) можно представить в виде произведения функ-
ции от г и функции от Е, т. е. если изменением спектра нейтронного
потока в среде от точки к точке можно пренебречь. Сделав для
простоты, как это обычно принято, такое предположение, получим
из (8.7) после замены D(E) на ]/3
(Е)Ф(Е)йЕ
-----------> (8-8)
f Ф (£) dE
где Ф(£)—спектр потока нейтронов. Если последний можно пред-
ставить асимптотическим распределением 1/Е (см. гл. 6, § 11), то (8.8)
сводится к
Ео
fl. . dE
J з'^-Ё
D ——___________
1 Jn(E0|ET)
(8.9)
17 За». 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
258 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп
Метод групп будет применяться далее к исследованию тепловых
реакторов с отражателем. Сначала этот метод будет проиллюстрирован
на подробном разборе случаев, когда энергии объединяются в одну
или две группы. Затем мы коротко изложим обобщенный или много-
групповой метод, в котором фигурирует большое число энергетических
групп.
§ 4. Одна группа нейтронов
В простейшем случае, иногда называемом одногрупповой теорией,
предполагается, что возникновение, диффузия и поглощение нейтронов
происходят при одной и той же энергии — тепловой. Хотя это пред-
положение для реального теплового реактора с отражателем является
грубым приближением, для получения предварительных результатов,
которые затем можно уточнить, оно допустимо. Поскольку энергия
нейтронов деления считается тепловой, не возникает проблемы замед-
ления; далее, как вероятность избежать резонансного захвата, так и
коэффициент размножения на быстрых нейтронах (см. гл. 4, § 10)
равны единице. Результирующий коэффициент размножения, таким
образом, равен
Пусть индексы сиг относятся соответственно к активной зоне
и отражателю. Тогда стационарное уравнение диффузии (5.44) для
нейтронов в активной зоне примет вид
Ч^Фс-ЕасФс + ^осФс-0, (8.10)
где Dc — коэффициент диффузии, а Хос — макроскопическое эффек-
тивное сечение поглощения нейтронов в активной зоне.
Третий член в уравнении, описывающий источники, имеет указан-
ный вид, поскольку по определению коэффициента размножения
(см. гл. 4, § 7) на каждый поглощенный нейтрон рождается k ней-
тронов. Если, что мы и предположим, внешние источники отсутствуют,
то стационарное состояние, к которому относится уравнение (8.10),
является также критическим состоянием реактора. Разделив это урав-
нение на Dc и сгруппировав последние члены, получим
у2фс + (А_ 1)^фс = 0,
что можно записать в виде волнового уравнения
72Фв + ^Фе = 0- (8-11)
Отсюда критический параметр В2С выражается формулой
В2С-=(k— 1)^ (8.12)
где Lc — диффузионная длина нейтронов в активной зоне, причем
Lc — Dj^ac- Из этого выражения можно получить приближенное
Метод групп
259
значение параметра критической системы. Однако в реальных вычисле-
ниях предпочтительнее пользоваться [ср. (7.84)] формулой
Be = ^, (8.13)
Мс
где Мс — площадь миграции в активной зоне, которую можно принять
равной Ас-|-т (т — возраст тепловых нейтронов в данной активной
зоне).
По предположению, отражатель не обладает размножающими свой-
ствами, т. е. не содержит горючего вещества. Следовательно, в урав-
нении диффузии для отражателя отсутствует член, описывающий
источники, так что оно имеет вид
DrV$r- = (8.14)
где Dr и — коэффициент диффузии и макроскопическое эффектив-
ное сечение поглощения нейтронов в отражателе. Это уравнение можно
переписать следующим образом:
?2ФГ — ХгФг = О, (8.15)
где (xr — 1/Lr)—величина, обратная диффузионной длине в отража-
теле, причем х, = 2ог/^г (см- гл< § 9).
Чтобы решить с целью определения критического параметра диф-
ференциальные уравнения (8.12) и (8.15) с надлежащими граничными
условиями, вытекающими из геометрии реактора, удобно рассмотреть
случаи, которые можно свести к одномерным симметричным задачам.
К таким случаям относятся реакторы в виде бесконечного плоского
слоя, сферы и бесконечного цилиндра; при этом начало координат одно-
мерной системы помещаем соответственно в плоскости или в центре
симметрии.
Случай I. Бесконечный плоский слой.
Первый случай, который мы рассмотрим, — это бесконечный
плоский слой толщиной Н, окруженный с обеих сторон отражателем
толщиной Т [включая длину экстраполяции (фиг. 56)]. Начало коорди-
нат поместим в плоскости симметрии системы. Для удобства будем
рассматривать только положительные значения х; для отрицательных
значений результаты те же, так что х можно считать абсолютным
значением | х | координаты. Не входя в подробности, можно легко пока-
зать, что решением уравнения (8.11) для потока нейтронов в активной
зоне, удовлетворяющим условиям симметричности, конечности и не-
отрицательности, является
Фс (х) = А cos Вех> (8.16)
где А — произвольная постоянная.
17*
260 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем-, метод групп
Поскольку х® — положительная величина, общее решение уравнения
для отражателя (8.15) содержит гиперболические синус и косинус;
следовательно, Поток нейтронов в отражателе имеет вид
Фг (х) — A' ch xrx С' sh v.rx <
(8.17)
при граничном условии, что поток равен нулю на экстраполирован-
ной границе отражателя, т. е. при х— ]/2 Н-\-Т. Это приводит к со-
отношению
Фг(у #+ т) = A' ch xr(A Н-\- Т) + С' sh xrQ- Я-j- Tj = 0,
откуда
А' = — С'Н1х,.(1Я4-т). (8.18)
Подставив это значение А' в формулу (8.17), находим решение урав-
нения (8.15) в виде
Фг(х) = С’8Ьхг(1я+Т’—х), (8.19)
где С — новая произвольная постоянная.
Фиг. 56. Бесконечный плоский реактор с отражателем.
Произвольные постоянные А и С можно связать друг с другом,
введя граничное условие непрерывности потока нейтронов и плот-
ности тока на границе между активной зоной и отражателем (см.
гл. 5, § 8), т. е. при х = */2 И; это приводит к равенствам
Фе ( 2 ( 2
Метод групп
261
и
п ЙФС(1/2Я) _n<№r(i/2H)
с dx ~ r dx
Первое из этих условий, с использованием равенств (8.16) и (8.19),
дает
A cos Вс~^ = Сsh ъгТ'. (8.20)
Второе условие приводит к соотношению
ADcBcsinBc^=CDrv.rc\\v.rT. (8.21)
Разделив затем равенство (8.21) на равенство (8.20), приходим к ре-
зультату
DCB(. tg Вс = Dr*r cth х/Л (8.22) i)
Это трансцендентное уравнение и является, согласно „одногрупповой"
теории, критическим уравнением для реактора в виде бесконечного
плоского слоя с отражателем. Поскольку значения Dc, Вс, Dr и лг
можно определить из известных свойств горючего вещества, замед-
лителя и отражателя, как указано ниже, то уравнение (8.22) дает
критическую полутолщину VgH, соответствующую данной тол-
щине отражателя Г; из него также можно вычислить толщину
отражателя, необходимую для того, чтобы реактор в виде беско-
нечного слоя данной толщины достиг критического состояния.
Как показано в начале этого параграфа, параметр В^ = (^—1)/7Л
или лучше (k — l)/(ig + t) и его значение можно вычислить, как
только задан состав активной зоны. Если концентрация горючего
вещества в замедлителе невелика, то с помощью (7.87) можно полу-
чить равенство IAc = l^Jtz1), где £Ос—диффузионная длина ней-
тронов в чистом замедлителе и z — отношение макроскопических эф-
фективных сечений горючего вещества и замедлителя в активной
зоне [ср. (7.86)]. В одногрупповом приближении k можно считать
равным т]/, так что
как в (7.85). После подстановки этих величин в выражение для В’с
получим
!) Это уравнение можно получить непосредственно из граничного усло-
вия (5.113), основанного на альбедо отражателя. — Прим. авт.
262 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем', метод групп
где в качестве т можно взять возраст нейтронов в чистом замедли-
теле. Таким образом можно вычислить параметр (а следовательно,
и критические размеры) активной зоны для заданных материалов.
Наоборот, если заданы критические размеры активной зоны, параметр
получается непосредственно обычным способом (см. табл. 16).
Значения Dc и Dr по существу те же, что и для чистого замед-
лителя и отражателя, вследствие чего их можно получить из соответ-
ствующих транспортных длин; наконец, xr=llLr для вещества от-
ражателя. Итак, мы располагаем всеми данными для вычисления
Фиг. 57. Экономия благодаря отражателю в бесконечном
плоском реакторе.
зависимости между толщиной Т отражателя и критической полутол-
щиной 1/2Н бесконечного слоя методом одной группы. Типичные
результаты вычислений приведены на фиг. 57. Из этих данных
видно, что с увеличением толщины отражателя критическая тол-
щина активной зоны сначала уменьшается, но выше определенного
значения толщины отражателя размеры активной зоны почти не умень-
шаются. Как будет выяснено ниже, отражатель толщины, равной
приблизительно удвоенной диффузионной длине, близок по свойствам
к отражателю бесконечной толщины.
При стремлении Т к нулю cthxr7' стремится к бесконечности;
следовательно, на основании (8.22) tg ВСН12 стремится к бесконеч-
ности, a BeHj4 — к гс/2. Таким образом, для бесконечного плоского
реактора без отражателя (Т = 0) одногрупповое приближение при-
водит к критическому уравнению ВсН0/2 = -/2, или Вс = я///0 того
же вида, что и в гл. 7, § 8. Однако Вс не совпадает с Вд из (7.37)
Метод групп
263
поскольку в одногрупповом приближении принято, что нейтроны воз-
никают и поглощаются с одной и той же энергией. Более точные
результаты получаются, если Вс определить формулой (8.13), а не
(8.12).
§ 5. Эффективная добавка
Уменьшение критических размеров реактора вследствие наличия
отражателя характеризуется эффективной добавкой 8, определяемой
равенством
8=4м>—4 я’ <8-24>
где Но — критическая толщина плоского реактора без отражателя,
а Н — его толщина с отражателем. Так как Но = п1Вс, как мы ви-
дели раньше, то
я_ " н
2ВС 2 ’
или
Н _ я
2 — 2ВС °'
Подставив это значение 77/2 в критическое уравнение (8.22), полу-
чим
ад tg( J- Bcs) = 7?rxrcth хгГ,
или
DCBC ctg Вс8 = Dr*r cth xr T.
После очевидного преобразования получим
tgBc8=^thxr7’, (8.25)
или
(8-26>
для данного плоского реактора. Из этого соотношения можно вычис-
лить эффективную добавку для различных (заданных) значений тол-
щины отражателя Т. Общий характер зависимости эффективной до-
бавки от толщины отражателя показан на фиг. 57.
Когда толщина отражателя Т относительно мала (так что мала ве-
личина 8) или когда велика толщина активной зоны Н (т. е. малб Вс),
величина 5С8 будет малой и tgBc8 в уравнении (8.25) можно заме-
нить на 5С8, после чего это уравнение примет вид
или, ввиду того, что хг=1/7.„
8«^Zrth-^. (8.27)
264
Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем', метод групп
При Dc ~Dr (например, когда замедлитель и отражатель состоят
из одного вещества и концентрация горючего в активной зоне не-
велика) равенство (8.27) сводится к
Т
8 да Lr th (8.28)
Lr
Если диффузионная длина в отражателе значительно больше его
толщины, так что T/Lr мало, то th(T/Lr) можно заменить на TfLr',
тогда уравнение (8.27) перепишется в виде
8да^ Т. (8.28')
иг
В частном случае, когда £>с == Dr, эффективная добавка для боль-
шого реактора с тонким отражателем равна толщине отражателя.
С другой стороны, для очень толстых отражателей отношение
T/Lr велико и th (Г/L,.) близок к единице. В этом случае, эффектив-
ная добавка для большого реактора, согласно (8.27), равна
(8'29)
Следовательно, 8 стремится к постоянному предельному значению,
не зависящему от толщины отражателя (см. фиг. 57). Если коэффи-
циенты диффузии в активной зоне и отражателе равны между собой,
эффективная добавка для большого реактора с толстым отражателем,
как видно, приблизительно равна диффузионной длине нейтронов
в отражателе. Для тепловых нейтронов с отражателем из графита это
составляет около 50 см (см. табл. 8).
Из предыдущих формул можно вывести ряд интересных качест-
венных заключений. Во-первых, видно, что по меньшей мере в слу-
чаях, для которых справедливы равенства (8.27)—(8.29), эффектив-
ная добавка обратно пропорциональна коэффициенту диффузии в от-
ражателе. Этот вывод согласуется с результатами, установленными
в § 1. Далее, для толстого отражателя, как следует из (8.29),
эффективная добавка определяется отношением Lr[Dr. Поскольку 1%
определяется отношением Dr/£ar, где Sar— эффективное сечение
поглощения в отражателе, отношение LrjDr= 1/Sor. Отсюда ясно,
что эффективная добавка относительно велика, если мало сечение
поглощения в отражателе. Этот вывод также находится в согласии
с полученными ранее результатами.
Из приведенных выше формул следует, что для заданного состава
большого реактора и отражателя, т. е. когда DcIDr фиксировано,
эффективная добавка для тонкого отражателя определяется главным
образом его толщиной [ср. (8.28')], а для толстого отражателя — диф-
фузионной длиной нейтронов [ср. (8.29)]. Поэтому ясно, что, со-
гласно результатам одногрупповой теории, использование отражателя
Метод групп
265
с толщиной, превышающей диффузионную длину тепловых нейтронов,
не дает заметного выигрыша. Более точные вычисления показывают, что
отражатель толщиной около 1,5 длины миграции практически экви-
валентен в смысле влияния на критическую массу бесконечному отра-
жателю. В связи с этим интересно вспомнить полученный в гл. 5,
§ 12 и 20, результат, что с точки зрения диффузии моноэнергети-
ческих нейтронов среда толщиной порядка двух или трех диффу-
зионных длин практически эквивалентна бесконечной среде.
Случай II. Симметричный, реактор со сферической активной
зоной и отражателем.
Нет необходимости подробно излагать одногрупповое рассмотре-
ние сферического реактора с отражателем; достаточно лишь кратко
изложить результаты. Поместив начало координаты г в центре ак-
тивной зоны, находим
... A sin Brr
ФДг) =-----
и
где R— радиус активной зоны, а Т—толщина окружающего ее сим-
метричного отражателя. Введя условия непрерывности потока ней-
тронов и плотности тока на границе, возьмем, как в § 4, отношение
полученных равенств; при этом получим
(8-30)
где 1/-лг заменено на Lr. Это и есть критическое уравнение для сфе-
рического реактора с отражателем, согласно одногрупповому методу..
Из уравнения (8.30) можно вычислить толщину отражателя Т, необ-
ходимую для того, чтобы сферический реактор радиуса R стал кри-
тическим. Эффективная добавка определяется в этом случае как
8 = R0 — R,
где величина Ro, равная ъ/Вс (ср. гл. 7, § 8)-—критический радиус
реактора без отражателя.
В случае большого реактора, т. е. большого R и, следовательно,
малого Вс, или в случае малой толщины отражателя, т. е. малого 8,
величина Вс8 мала. Тогда оказывается возможным выразить 8 в явном
виде через свойства системы. Заменяя R на Ro—8 и Ro на
получим
ctg BCR = ctg (BCRO — В, .8) = ctg (к — 5e8) = — ctg Bco.
Поскольку произведение 5C8 мало, ctg Bc8 1/B(.8, так что
dgBcR^ - 1/BC8.
266 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем-, метод групп
Подставляя этот результат в соотношение (8.30), получаем квад-
ратное уравнение для 82, решением которого 'является
8 ~ | [щ 8о + Яо - Д/\%С «о + - 4/?о8о] > (8-31)
где
s Dc г л
8°===5;£’Л117/
(Решение со знаком плюс перед квадратным корнем отброшено
как дающее для эффективной добавки бессмысленно большое зна-
чение.)
В частном случае, когда отношение DJDr = 1 и произведение
В£ малб, формула (8.31) переходит в
8«a£rth~, (8.32)
что совпадает с соответствующей формулой (8.28) для бесконечного
плоского реактора. Тот же самый результат получается непосред-
ственно из уравнения (8.30), когда Вс8 малб и Dc—Dr. Если ра-
диус /?0 критического реактора без отражателя велик, то эффек-
тивная добавка (при малом Вс6), согласно (8.31), равна
Дальнейшее упрощение предыдущих формул возможно, как и для
плоского реактора, в предельных случаях, когда Т <^Lr или 7"^>Lr.
Общий вывод для сферического реактора тот же, что и для беско-
нечного слоя, а именно—увеличение толщины отражателя до значений,
намного превышающих удвоенную диффузионную длину Lr тепловых
нейтронов в веществе отражателя, не дает заметного выигрыша
особенно для больших реакторов.
Подобно изложенному выше можно рассмотреть и бесконечный
цилиндрический реактор, окруженный симметричным слоем отража-
теля. Подробностей мы не будем приводить, поскольку выводы по
существу аналогичны полученным выше. Во всяком случае, следует
подчеркнуть, что качественные выводы, полученные из одногруппового
рассмотрения, хотя и правильны независимо от формы реактора, ко-
личественным результатам нельзя придавать особого значения. Если
они вообще и используются, то их следует рассматривать только
как первое приближение.
§ 6. Отношение максимального потока нейтронов
к среднему в плоском реакторе
Распределение потока вдоль направления х в активной зоне бес-
конечного гомогенного плоского реактора с отражателем выражается
равенством (8.16): Фс(х) = A cos Всх, где ^определяется формулой
Метод групп
267
(8.22), Максимальным является поток в плоскости симметрии, т. е.
при х — 0
Фмако. ==
где А определяется уровнем мощности реактора. Средний поток
получается интегрированием по толщине слоя и делением результата
на толщину
В/2
Л 1 Г , о j 2А . ВСН
Фер. = V7 A COS Bcxdx sin
nJ ticn 2
-H/2
Следовательно, отношение максимального потока к среднему равно
фмакс. _ (8.33)
Фср Sini/2J3C//*
Объединив этот результат с равенством (8.22), переписанным в виде
Т В°Н == arcts cth *»• Т) ’
можно вычислить отношение максимального потока к среднему для
разных значений толщин активной зоны и отражателя. Для выбранных
значений Н и Т и при известных £>с, Dr и zr это трансцендентное
уравнение решается относительно Вс методом последовательных при-
ближений. Когда Вс и Н известны для данной величины Т, можно
легко вычислить отношение (8.33). Для нулевой толщины отражателя
(т. е. при его отсутствии) Bc = rJH (см. § 4) и, значит, отношение
Фмако./Фо₽. = ^/2 = 1,57. С другой стороны, для толстых отражателей,
т. е. при Т -> оо, cth v.rT -> 1 и
Отсюда можно вычислить предельное значение ФМаке./Фер. для любой
толщины активной зоны.
На фиг. 58 приведены результаты вычислений для бесконечного
слоя толщиной 25, 50 и 75 см соответственно с отражателем толщи-
ной до 50 см, когда активная зона и отражатель состоят из бериллия,
так что DrIDc = \ и хг= 1/Лг = 0,0423 см-1. Начальное резкое
падение отношения максимального потока к среднему с увеличением
толщины отражателя указывает на то, что благодаря отражателю рас-
пределение потока в активной зоне выравнивается (см. § 1). Однако
при дальнейшем увеличении толщины огражат,еля это отношение
асимптотически приближается к предельному значению, практически
достигая его при толщине отражателя, примерно равной удвоенной
268
Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем} метод групп
диффузионной длине тепловых нейтронов, т. е. в нашем случае около
48 см', дальнейшее увеличение толщины отражателя оказывает незна-
чительное влияние на распределение потока нейтронов. Это находится
в общем согласии с результатами § 5.
Ф и г. 58. Отношение максимального потока к среднему
в зависимости от толщины отражателя.
§ 7. Две группы нейтронов
Вычисления одногрупповым методом являются приближенными,
поскольку свойства вещества активной зоны весьма различны для
быстрых и медленных нейтронов. На самом деле эффективная добавка,
полученная из „одногрупповой" теории, оказывается заниженной по
следующим причинам. Во-первых, в одногрупповом методе все ней-
троны считаются тепловыми, поэтому не учитывается то обстоятель-
ство, что быстрые нейтроны, попадающие в отражатель, имеют ббльшую
вероятность возвратиться в активную зону, чем тепловые нейтроны,
Метод групп
269
вследствие добавочных столкновений, происходящих в процессе
замедления. Далее, нейтроны с энергиями выше резонансного уровня
при попадании в отражатель замедляются в нем, после чего возвра-
щаются в активную зону, полностью избежав резонансного захвата,
которому они были бы подвержены, если бы замедлялись до тепло-
вой энергии в активной зоне до ухода в отражатель. Оба эти фактора
приводят к повышению эффективности отражателя по сравнению с тем,
что следовало бы ожидать, если бы все нейтроны были тепловыми.
Следовательно, при учете того, что нейтроны распределены по энер-
гиям от максимальной энергии деления до тепловой, эффективная
добавка должна быть больше вычисленной выше одногрупповым
методом.
Второе приближение состоит в допущении, что нейтроны можно
разбить на две группы: „медленную" (тепловую) и „быструю", как
указано в § 3.
Прежде всего рассмотрим активную зону реактора без резонанс-
ного захвата. В последующем изложении быстрые нейтроны будут
обозначаться индексом 1, а тепловые — индексом 2. Число быстрых
нейтронов, получающихся при делении, равно в 1 сл& за 1 сек.,
где £2с — макроскопическое эффективное сечение поглощения тепло-
вых нейтронов в активной зоне реактора; это выражение можно при-
нять в качестве члена, дающего источники быстрых нейтронов
в диффузионном уравнении для активной зоны. Следовательно, для
стационарного состояния реактора это уравнение принимает вид
^Ф1С - £1СФ1С + ^2сФ2с = 0, (8.34)
где Ею — фиктивное сечение поглощения, которое в действительности
является сечением замедления, имеющим точно такой же смысл, как
указано в § 3. Произведение £1сФ1е дает, таким образом, число тепло-
вых нейтронов, получающихся в 1 сл3 за 1 сек.
При наличии слабого резонансного захвата уравнение (8.34) оста-
нется в силе, если учесть вероятность избежать резонансного захвата
при вычислении величины k. В этом случае Ф1с равняется потоку
нейтронов в отсутствие захвата, умноженному на р, а £1еФ1с попреж-
нему дает число образующихся тепловых нейтронов.
Для тепловых нейтронов в активной зоне стационарным урав-
нением диффузии будет
= 0. (8-35)
где член £1еФ1с, описывающий источники медленных нейтронов, равен
числу быстрых нейтронов, замедляющихся в 1 см?> за 1 сек., до тепло-
вой энергии (в пренебрежении резонансным захватом в процессе
замедления). Эффективное сечение поглощения £2с имеет тот же смысл,
что и в уравнении (8.34).
270 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп
Стационарное уравнение диффузии быстрых нейтронов в отра-
жателе
О1г?2Ф1г-Е1гФ1, = 0 (8.36)
не содержит „источников", поскольку предполагается, что размно-
жение в отражателе отсутствует. Сечение £1Г является эффективным
сечением замедления, определяемым совершенно аналогично £]с в (8.34),
за исключением того, что £1Г относится к отражателю. Для медлен-
ных нейтронов в отражателе уравнением диффузии является
/)2Л2Ф2г-Е2гФ2г + ^гФ1г = 0, (8.37)
где £2г — истинное эффективное сечение поглощения.
При решении полученных четырех дифференциальных уравнений
диффузии необходимо помнить, что все потоки нейтронов должны быть
конечными и неотрицательными. Кроме того, в случае симметричных
реакторов распределение потоков как быстрых, так и медленных ней-
тронов должно быть симметричным относительно плоскости, оси или
центра симметрии (ср. гл. 5, § 15). Далее, должна соблюдаться непре-
рывность потоков как быстрых, так и медленных нейтронов, а также
плотностей тока на границе между активной зоной и отражателем.
Вместе с тем, потоки как быстрых, так и медленных нейтронов
должны обращаться в нуль на экстраполированной границе конечного
отражателя. Для простоты мы предположим, что длины линейной
экстраполяции для тепловых и быстрых нейтронов одинаковы; вноси-
мой при этом ошибкой можно пренебречь по сравнению с погреш-
ностями других приближений двухгруппового метода.
Из четырех дифференциальных уравнений, подлежащих решению,
а именно (8.34)—(8.37), все, кроме уравнения (8.36), неоднородны1).
Однако однородные части этих трех уравнений, равно как и (8.36),
являются волновыми уравнениями. Следовательно, для уравнений
в активной зоне (8.34) и (8.35) можно искать решения в виде
¥2ф1с+В2Ф1е = 0 (8.38)
и
¥®Ф2е + Д2ф2в = 0, (8.39)
а также можно найти условия, при которых решения этого вида обла-
дают требуемыми свойствами. Отметим, что постоянные В2 взяты
одинаковыми для групп как быстрых, так и медленных нейтронов.
Это можно обосновать, выразив Ф1с через Ф2с из (8.35) и подставив
полученное значение Ф1с в уравнение (8.34). Таким образом полу-
чается соотношение, содержащее только Ф2с. Аналогично, выразив Ф2е
через Ф1с из (8.34) и подставив в соотношение (8.35), получим урав-
нение, содержащее только Ф1с. Результат оказывается тем же, что
и для Ф2с; следовательно, если однородные части представлены в виде
Ч Здесь автор отступает от установившейся математической терминоло-
логии. — Прим. ред.
Метод групп
271
волнового уравнения, то В2 должно быть одинаковым в обоих слу-
чаях. После подстановки —В2Ф1С вместо 72Ф1С в (8.34) и —
вместо ¥2Ф2с в (8.35) получим
- (D1CB2 + £1С) Ф1с + *Е2сФ2с = О
и
Е1СФ1С - (D2oS2+S2c) Ф2С = 0.
Система этих уравнений имеет нетривиальное решение, только если
определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю (правило
Крамера):
(О1СВ2 + Е1С) (£>2сВ2+£2с) - ftSlcS2c = 0. (8.40)
Это и есть характеристическое или критическое уравнение для
активной зоны реактора с отражателем, основанное на двухгрупповом
приближении. Деля на получим
или
(1+^сВ8)(1+4!В2) = й, (8.42)
где — квадрат диффузионной длдны тепловых нейтронов Т,2с
в активной зоне (см. гл. 5, § 14), a Z)lc/Eic заменено квадратом
фиктивной диффузионной цлины £1С. Поскольку £1с является в дей-
ствительности сечением замедления, можно показать методом, изло-
женным в гл. 5, § 14, что — где — средний квадрат
расстояния, проходимого нейтроном в быстрой группе, пока он не
станет тепловым. Следовательно, согласно (6.137), L$c эквивалентно тс,
т. е. возрасту тепловых нейтронов в веществе активной зоны. После
замены на тс критическое уравнение (8.42) переходит в
(1+тсВ2)(1+£22сВ2) = /г,
или
(8.43)
урав-
урав-
(1+тсВ2)(1+Л2сВ2)
Это равенство является также двухгрупповым критическим
нением для реактора без отражателя; оно похоже по виду на
нение (7.80) для большого реактора, выведенное в предположении
непрерывного замедления.
Поскольку те, L^c и k являются характеристиками веществ, вхо-
дящих в состав активной зоны реактора, уравнение (8.43) дает
дозволенные значения В2, при которых решения дифференциальных
уравнений для активной зоны (8.34) и (8.35) имеют вид решений
волнового уравнения. Критическое уравнение (8.43) квадратично
относительно В2, и потому имеются два возможных его решения>
272 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем', метод групп
которые мы и рассмотрим. После выполнения умножения и перегруп-
пировки членов уравнение принимает вид
+ — ^=0. (8.44)
'"С ^2<. ~с^2с
Из двух решений для В‘2 одно положительно, другое отрицательно;
обозначим их через р2 и — v2 соответственно, так что р2 и v2 поло-
жительны. Решениями тогда явятся
Общие решения уравнений для активной зоны (8.34) и (8.35)
содержат линейные комбинации р2 и —v2. Следует отметить, что
обе эти величины определяются свойствами веществ активной зоны
реактора.
Рассмотрим теперь волновые уравнения (8.38) и (8.39) для актив-
ной зоны. Пусть решениями для потока, соответствующими двум зна-
чениям р2 и —v2 для В2, будут X и Y соответственно; тогда эти
уравнения можно записать в виде
и
v2X4-u2x=o
V2r— >2У=0,
(8.47)
(8.48)
где р2 и v2, как указано выше, положительны. Решение этих урав-
нений зависит от геометрии реактора, и мы, как и раньше, ограни-
чимся рассмотрением случаев, сводящихся к симметричным одномер-
ным задачам. В табл. 18 приведены решения для X и Y, удовлетво-
ряющие условиям конечности, неотрицательности и симметричности
потока для случаев бесконечного слоя, сферы и цилиндра беско-
нечной длины.
Таблица 18
РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕЙТРОННОГО
ПОТОКА В АКТИВНОЙ ЗОНЕ
Г еометрия X г
Бесконечный слой .... COS ’J.X ch чх
Сфера Sin уГ sh чг
rt r
Бесконечный цилиндр . . . (<хг) ro ('"•)
Метод групп.
273
Общими решениями уравнений (8.34) и (8.35) являются линейные
комбинации X и У:
Ф1с = АХ-4-СУ (8.49)
и
Ф2с = А'Х^С'У. (8.50)
На первый взгляд эти решения содержат четыре произвольные
постоянные, но, как мы покажем, лишь две из них независимы. Хотя
наиболее общими решениями уравнений (8.34) и (8.35) являются функ-
ции (8.49) и (8.50), допустимы и решения Ф1С = АХ и Ф2е = А'Х,
так что, согласно (8.47), ¥1 2Ф2с = — уРА'Х. Подставив этот результат
в уравнение (8.35)х), получим
— D^A'X— ^А'Х+ Е1сЛХ= 0.
(8.51)
Отношение А'/А обозначается через S-, и называется коэффициентом
связи’.
S = —
Л1 — А
Из уравнения (8.51) следует
с ___________________________Sic___
1 АсР+Е2с*
(8.52)
Поскольку O2c/S2e — Lie, a Dlcl^lc эквивалентно возрасту тс (см. выше),
этому соотношению можно придать вид
с А>1е______________________________1
1 'се&2с L .j. p.2
4.
(8.53)
Аналогично, после замены Ф1с на СУ, Ф2с на С'У и ?2Ф2с на WY
уравнение (8.35) переходит в
Z)2cv2C,y—Е?сС'У+Е1сСУ=0. (8.54)
Определяя коэффициент связи S2 как CjC, находим
Z.2
‘-гс
Из формул (8.53) и (8.55) видно, что и 52 зависят от вели-
чин Dlc, D2c, ie, А2с, [а и v, которые определяются свойствами ве-
щества активной зоны, вследствие чего Sj и S2 непроизвольные
постоянные. Таким образом, ^четыре постоянные А, А', С к С на
1) Вместо уравнения (8.35) можно с тем же успехом использовать урав-
нение для потока быстрых нейтронов (8.34), но при этом последующее рас-
смотрение оказывается более сложным.—Прим. авт.
18 Зак. 724. С. Глесстоя, М. Эдлунд
274
Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп
самом деле сводятся лишь к двум произвольным постоянным, которые
мы обозначим через А и С. Таким образом, общие решения уравне-
ний диффузии в активной зоне можно записать в виде
Ф1с = ЛХ+СУ (8.56)
и
Ф2с = 51ЛХ+52СУ. (8.57)
Обратимся теперь к отражателю. Разделив уравнения (8.36)
и (8.37) на £>1Г и Ь.2Г соответственно, получим
?2Ф1Г—х?гФ1г = 0 (8.58)
и
¥2Ф2Г - 4^2, + ф1г = о, (8.59)
Где И = lj2r/^2r. .
Уравнение (8.58) можно решить сразу, поскольку оно имеет вид
однородного волнового уравнения (при этом х.^. положительно). Далее,
то же самое выражение, только с заменой х.^. на х.|г, будет реше-
нием однородной части (т. е. первых двух членов) уравнения (8.59).
Допустимые решения уравнения (8.58), найденные при граничном
условии обращения в нуль потока быстрых и медленных нейтронов
на одной и той же экстраполированной границе отражателя, приве-
дены в табл. 19 для трех различных геометрий. Эти решения обо-
значены буквой Z, причем под ZT понимается решение уравне-
ния (8.58), содержащее х.1г, тогда как Z2 — решение однородной части
уравнения (8.59) содержит х2г.
Таблица 19
РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ В ОТРАЖАТЕЛЕ
Геометрия Z Z (Т бесконечно)
Бесконечный слой . . . 811x^1/7+7-х) е~^
Сфера shxr(7?+ 7— г) е~у'гГ
Г г
Бесконечный цилиндр 4 (7-г^) — [*т (R Н- 7)] /Со (хгг)
Как и прежде, х/2 /7—полутолщина бесконечного слояТ R — ра-
диус сферы или бесконечного цилиндра, Т—толщина отражателя
в каждом случае. Решения волнового уравнения для толстых отра-
жателей, толщину которых можно считать бесконечной, приведены
в третьем столбце.
Метод групп
275
Общее решение уравнения (8.36) для потока быстрых нейтронов
и^еет, следовательно, вид
Ф1г = ^, (8.60)
где F—произвольная постоянная; поскольку уравнение однородно,
другие члены не требуются. Напротив, общее решение уравнения
для потока медленных нейтронов (8.37) или (8.59) запишется так:
Ф2Г = GZ2 + 58Ф1г = GZ2 + SsFZv (8.61)
где G — произвольная постоянная, а множитель 53—коэффициент
связи для отражателя.
Для нахождения S3 заменим Ф2). в уравнении (8.59) га 53Ф1Г;
входящий в уравнение (8.61) член GZ2 можно не включать, поскольку
он является решением однородного уравнения и потому его вклад
всегда равен нулю. В результате получим
S3V4]r— 5зх^Ф1г + Ф1Г = 0.
Поскольку ?2Ф1г = >1гФ1г, согласно (8.58), то
•8з*1гФ1г->!>зх2гФ1г Н j—- Ф1г = 0,
откуда
<8-62)
G2r \х2},—х1г/
Введя возраст для отражателя тг, равный £>1г/£1г., можно исклю-
чить множитель Sjr. Отсюда очевидно, что S3 определяется свойствами
вещества отражателя.
Уравнения (8.60) и (8.61) для отражателя и соответствующие
уравнения (8.56) и (8.57) для активной зоны содержат четыре неиз-
вестных А, С, F и G; имеются также четыре условия непрерывности:
на границе между активной зоной и отражателем потоки быстрых и
медленных нейтронов и плотности тока непрерывны. Эти условия
приводят к следующим уравнениям:
ЛХ+ CY = FZV
S}AX-\-S2CY = SsFZt + GZ2,
Dlc(AX' + CY,') = DlrFZ'l,
D2c (5ХЛУ + 52C/) = D2r (S3FZ{ + GZ'2),
где Л7, Y't z\ и Z2— первые производные X, Y, Zx и Z2 (no x
или г, в зависимости от формы) соответственно, причем все величины
взяты на границе раздела активной зоны и отражателя.
18*
276 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп
Предыдущие уравнения можно записать в виде однородной системы
относительно А, С, F и G;
ХА 4- YC — ZXF = 0,
(ЗДЛ +(ЗДС —(SgZ^F — Z2G = 0,
(£>1СУ)Л +(Ас/)С — (Dlrz{)F =0,
-|- (•^2^2сУ/) С — (S^D^rZi) F — (D^Z^ G = 0.
Для совместности решений определитель
нулю:
системы должен равняться
X
sTx
DieX7
— DirZi
SiD-2cX'
— S^D^rZi
0
— Z2
о
-- D2rZ->
(8.63)
Это равенство можно считать критическим уравнением, основан-
ным на двухгрупповом методе для реактора с отражателем. Следует
ясно понимать, что в этом определителе значения X, Y, Zv Z2 и их
производных берутся на границе между активной зоной и отража-
телем. Так, для бесконечного слоя х есть ^Н, тогда как для сферы
щ цилиндра г должно быть положено равным в каждом случае.
Так как X и Y содержат 1/2Н или R, a Zx и Z2 содержат Т
или Т— R (за исключением случая бесконечно толстого отражателя,
•см. табл. 19), невозможно получить точное решение уравнения (8.63),
дающее Т как функцию R (или ’/2 Н) или наоборот. Общий метод
использования этого уравнения состоит примерно в следующем. Пусть
Требуется найти критический радиус R (или полутолщину */2 И) актив-
ной зоны для отражателя толщиной Т при заданных горючем веще-
стве, замедлителе, отражателе и определенной концентрации горючего.
Сначала методом одной группы оценивается приближенное значение R
для толщины Т. Это значение подставляется в определитель, который
затем вычисляется с использованием значений Sp 3>2, 53, xlr, x2r, р2, v2,
полученных из свойств рассматриваемых веществ. Результат этой
подстановки, обозначаемый через А, дается равенством (8.63) в виде
)______п
icX
Г Z. „ z.;\
*2с ~у (^2 Zg/
/ Y’ Z'\/ X'
\Dlc у Dlr ~z[) (^1А>с ~х
S°P<2r ^2r ~z^ /
и, вообще говоря, отличен от нуля. Затем задаются другим значением
критического радиуса R для данной толщины отражателя Т и снова
Метод групп
277
вычисляют определитель. Если он все еще не равен нулю, то два
имеющихся значения Д наносятся на график в зависимости от R;
проведя через них прямую, можно оценить значение R, обращающее Д
в нуль. После этого может оказаться необходимой окончательная
„подгонка" для определения более точного значения R, удовлетво-
ряющего критическому уравнению при заданной толщине отражателя.
Полученное значение и есть радиус активной зоны, при котором
реактор с отражателем становится критическим при данных условиях.
Расстояние от центра реактора —
Фиг. 59. Распределение потоков быстрых и тепловых
нейтронов в активной зоне и в отражателе.
Чтобы найти минимум критического объема (или массы) горючего
вещества, это вычисление следует повторить для различных составов
системы из горючего и замедлителя. Возможен и другой подход —
задать радиус активной зоны и толщину отражателя и считать пере-
менной концентрацию горючего вещества. В этом случае важной
величиной является диффузионная длина тепловых нейтронов и необ-
ходимо определить то ее значение, при котором реактор становится
критическим для заданных R и Т.
С помощью решений (8.56), (8.57), (8.60) и (8.61) можно полу-
чить пространственное распределение потоков нейтронов быстрой и
медленной групп в активной зоне и в отражателе. На фиг. 59 при-
ведены результаты для системы, в которой отражатель сделан из того
же материала, что и замедлитель в активной зоне, причем свойства
278 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп
последнего лишь незначительно иска5кены горючим веществом. Заме-
тим, что поток тепловых нейтронов имеет максимум в отража-
теле вблизи его границы с активной зоной. Это обусловлено тем,
что медленные нейтроны в отражателе образуются в результате
замедления быстрых, причем, однако, отражатель поглощает медлен-
ные нейтроны в несравненно меньшей степени, чем активная зона.
При удалении от границы активной зоны поток медленных нейтронов
спадает, как и поток быстрых нейтронов, до нуля на экстраполиро-
ванной границе отражателя.
§ 8. Многогрупповой метод
Точность метода групп можно повысить, увеличивая число интер-
валов энергии, т. е. число групп, на которые делятся нейтроны.
Пусть имеется п групп (1, 2, .I, ..., п), где значок 1 отвечает
группе с максимальной энергией, ап — с тепловой. Предположим,
что все нейтроны деления имеют одинаковую энергию и входят в пер-
вую (наиболее „быструю") группу. Для любой группы z, исключая
группу наивысшей энергии, т. е. при I ф 1, уравнение диффузии
[ср. (8.35)] имеет вид
П^2ф.-2А + ^-Л-1 = 0, (8.64)
где Хг — сечение замедления во всех случаях, кроме z=n (тепловые
нейтроны), а — истинное сечение поглощения. Член, описывающий
источники, взят равным Е,_1Ф,-1— количеству нейтронов в 1 cjz3,
ушедших за 1 сек. из (/'—1)-й группы в результате замедления;
резонансный захват учитывается так же, как в § 7.
Для нейтронов деления, т. е. для нейтронов с максимальной
энергией (z =1), уравнение диффузии имеет вид
DjW, - £1Ф1 4- = 0, (8.65)
где Ei и S» — сечение замедления нейтронов деления и сечения
поглощения тепловых нейтронов соответственно. Отметим, что по-
глощение тепловых нейтронов является источником нейтронов деления,
В двухгрупповом методе решения для активной зоны и отража-
теля Ф! и Фя представлялись в виде линейных комбинаций функций
р. и v, где р.2 и — v2 соответственно положительное и отрицатель-
ное решения характеристического уравнения (8.44) для В2. Сходное
положение возникает и в методе n-групп: каждое решение Ф,- является
линейной комбинацией п функций Ви, причем имеется всего п вели-
чин В2И. Условие существования нетривиального решения дает сле-
дующее уравнение для величины В2:
_____________*-----------= 1, (8.66)
(1+Z|B2)(1+4b2)...(1+4B2)
Метод групп
279
где Ln — диффузионная длина тепловых нейтронов, a L2 и т. д.—
длины замедления (см. § 7) для каждой группы. Как видим, это
уравнение аналогично критическому уравнению (8.43) двухгруппового
метода для реактора без отражателя.
В пределе, когда количество групп бесконечно увеличивается,
т. е. п -> оо, многогрупповой метод должен переходить в теорию
непрерывного замедления, так как в последней постулируется непре-
рывное распределение нейтронов по энергиям. Можно показать, что
это действительно так, при условии, что сумма площадей замедле-
ния для нетепловых нейтронов остается конечной и равной возрасту,
т. е.
п—1
lim 2 £1 = т. (8.67)
72->СО 4=1
Логарифмируя обе стороны равенства (8.66) и перегруппировывая
члены, получим
п-1
lnJfe = 2 ln(14-LiB2)4-ln(l-|-Z.2S2).
г = 1
В пределе при п, стремящемся к бесконечности, каждое А2 ста-
новится бесконечно малым, так что In (1 Ц- L^B') стремится к L\b\
т. е. в пределе
п-1
lnfc = B2£ Л|-|-1п(1+4в2).
<=i
Если ввести возраст в соответствии с уравнением (8.67) получим
lnfe = B%-}-ln(l-{-Z.2B2)
или
что совпадает с критическим уравнением, основанным на модели
непрерывного замедления, так как Ln означает здесь диффузионную
длину тепловых нейтронов.
В случае большого реактора, когда В2 мало и k —1<^1,
в критическом уравнении (8.66) можно пренебречь всеми членами
порядка В4 и выше; после перемножений оно примет вид
_______________________k_________________k
1 + (Л2+4+ +£г+ <+£2)в2 —
i
Отсюда при указанных условиях
ry>^ k — 1 __ k — 1
i
280 Гл. 8. Гомогенный реактор с отражателем: метод групп
где Л42 — площадь миграции. Уравнения такого же вида были полу-
чены для больших реакторов без отражателя и другими методами
(ср. гл. 7, § 11, и гл. 12, § 12).
В общем случае для активной зоны многогрупповой метод при-
водит к системе и дифференциальных уравнений, из которых п — 1
уравнений типа (8.64), а последнее совпадает с уравнением (8.65). Для
отражателя также получается система п уравнений. В каждом случае
граничными условиями являются: обращение нейтронного потока
в нуль на внешней (экстраполированной) границе и непрерывность
нейтронного потока и плотности тока нейтронов на границе между
активной зоной и отражателем для каждой группы нейтронов. Основ-
ной задачей является решение этих уравнений. Для нахождения
решения применяются разные методы, например решение в замкнутом
виде, разложение в ряды, методы итерации, или комбинация этих
методов. Подробное рассмотрение общего случая не входит в задачу
этой книги.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить критическую массу U235' и начертить график потоков бы-
стрых и медленных нейтронов при комнатной температуре для сферического
реактора с замедлителем из D2O. Радиус ^активной зоны равен 75 см.
Задачу решить для трех случаев отражателя из графита толщиной 25, 50 см
и бесконечность.
Активная
^зона
Отражатель
2. Получить критический определитель для цилиндрической системы,
в которой делящееся вещество расположено в заштрихованной области, как
показано на схеме.
Глава 9
ГЕТЕРОГЕННЫЕ РЕАКТОРЫ НА ЕСТЕСТВЕННОМ УРАНЕ
ЦЕПНОЕ ДЕЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВЕННОМ УРАНЕ
§ 1. Введение
Рассмотрение цепной реакции в естественном уране целесооб-
разно разделить на две части: микроскопическая теория и макроско-
пическая теория.
Микроскопическая теория занимается по существу вычислением
коэффициента размножения для бесконечной среды. Этот коэффи-
циент является существенным внутренним свойством реакторной
системы, так как он определяется числом нейтронов, освобождаю-
щихся при делении, макроскопическими сечениями процессов рас-
сеяния и поглощения и строением решетки. Все эти свойства
являются микроскопическими и не зависят от общих размеров си-
стемы. Внешние, или макроскопические, свойства реактора, напри-
мер его критический размер, можно получить из этих микроскопи-
ческих свойств, не касаясь больше микроскопического строения1
системы.
В реакторе на естественном уране происходят четыре различных
конкурирующих процесса захвата:
а) поглощение быстрых нейтронов с энергией, большей порога
деления U238 (около 1,1 Мэв);
б) радиационный захват в резонансной области (около 10 эв)
изотопом U238 во время замедления;
в) радиационный захват медленных нейтронов в замедлителе и
примесях (так называемый паразитический захват);
г) захват с последующим делением в U236, главным образом в теп-
ловой области.
Определение коэффициента размножения в бесконечной среде
основывается на вычислении относительных вероятностей этих про-
цессов.
§ 2. Деление на тепловых нейтронах
Характер изменения сечений в зависимости от энергии нейтронов
для перечисленных выше четырех реакций обусловливает тот факт,
что цепная реакция на естественном уране оказывается возможной
только при захвате тепловых нейтронов изотопом U236 с последующим
делением. Нейтроны с энергией, меньшей 1,1 Мэв, не вызывают
282
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
заметного деления U238, тогда как сечение деления U236 значительно
возрастает при уменьшении энергии нейтронов. Поэтому для поддер-
жания цепной реакции необходимо использовать медленные гейтроны.
Однако вследствие значительного резонансного поглощения изото-
пом U238 в области около 10 эв относительное число нейтронов,
принимающих участие в делении в этой области энергий, мало. Ввиду
этого цепная реакция на естественном уране возможна только в теп-
ловой области, в которой сечение деления для U236 составляет
549 барнов, тогда как сечение поглощения тепловых нейтронов
изотопом U238—только 2,8 барна. Несмотря на то, что в есте-
ственном уране содержится только О,7°/о изотопа U236, больше
половины нейтронов, поглощенных в тепловой области, вызывают
деление.
Чтобы замедлить нейтроны до тепловых скоростей, необходимо
использовать замедлители. Как было показано в гл. 6, лучшими
замедлителями являются те, которые имеют наибольшие значения
ess/sa.
Из данных, приведенных в табл. 12, и последующего рассмотре-
ния видно, что в реакторах на тепловых нейтронах, использующих
в качестве горючего естественный уран, единственными приемлемыми
замедлителями являются тяжелая вода, углерод (графит) и бериллий
(или окись бериллия). В первом реакторе, в котором удалось полу-
чить самоподдерживающуюся цепную реакцию, в качестве замедли-
теля использовался графит, он же использовался в так называемом
Х-реакторе в Ок-Ридже и в других реакторах. Было построено также
несколько реакторов на естественном уране, в которых в качестве
замедлителя использовалась тяжелая вода.
Хотя в среднем при каждом акте деления на тепловых нейтронах
образуется 2,5 нейтрона, большой процент изотопа U238 в естествен-
ном уране приводит к заметному уменьшению величины т] — числа
вторичных нейтронов, вылетающих при захвате одного теплового
нейтрона в горючем веществе.
Если №38 и №36— числа атомов в 1 см& естественного урана,
а238 и о23Б— соответствующие сечения захвата тепловых нейтронов
без деления, а о23Б — сечение деления LJ235, то, согласно равен-
ству (4.7),
7] = V
№ЗБа23Б
= V
№35а23Б + N235c235 + N238O238 ^5 ^235 О238 >
(9.1)
где v — число нейтронов, образующихся при делении на тепловых
нейтронах, равное 2,5, a R — отношение числа атомов U28B к числу
атомов U238 (в естественном уране, равное 0,00715).
Йспользуя следующие значения сечений для тепловых нейтронов
Цепное деление в естественном уране
283
{см. табл. 7)
а2зв _. 54g барнов,
О235 __ Joi барн,
а238 _=2>8 барна,
находим из формулы (9.1), что ц—1,3.
Отсюда следует, что в реакторе на естественном уране макси-
мальное возможное значение коэффициента размножения в бесконеч-
ной среде (feco) для тепловых нейтронов равно 1,3. Это значит, что
произведение грех остальных сомножителей в km, т. е. е — коэффи-
циента размножения на быстрых нейтронах, f—коэффициента теп-
лового использования и р — вероятности избежать резонансного за-
хвата, должно превышать 1/1,3, или 0,77, для того чтобы в системе
могло поддерживаться цепное деление.
Вследствие различных причин, которые будут рассмотрены в гл. 11,
коэффициент размножения в реальных реакторах должен быть около
1,05 и, следовательно, значение epf должно быть не меньше 0,8.
Так как е мало отличается от единицы и равно примерно 1,03 в гра-
фитовых решетках, то для того чтобы на естественном уране была
возможна цепная реакция деления, произведение р на f должно быть
•больше 0,78.
Как будет показано далее, добиться соблюдения вышеизложенных
условий — нелегкая задача. Всякое изменение в размерах или ком-
пановке для данного типа реактора на естественном уране, приводя-
щее к возрастанию коэффициента теплового использования нейтронов,
сопровождается уменьшением вероятности избежать резонансного за-
хвата. В силу этого допустимы лишь очень небольшие изменения и
значение feco для системы должно определяться с большей точностью,
чем это требуется в обогащенных (гомогенных) реакторах.
Оценка km основывается как на теории, так и на опыте, при-
чем роль теории скорее состоит в том, что она является путево-
дителем для опыта, а не предсказывает точных результатов. Такое
положение вещей определяется трудностью задачи точного вычисле-
ния вероятностей процессов, происходящих с нейтронами, как функ-
ций энергии в гетерогенном реакторе, а также недостатком и неточ-
ностью данных для сечений.
Кроме экспериментального определения v и тепловых сечений,
делом первостепенной важности является измерение эффективного ре-
зонансного интеграла (см. § 3) в естественном уране. Полученный ре-
зультат в сочетании с относительно простыми теоретическими сообра-
жениями дает довольно хорошие значения для вероятности избежать
резонансного захвата. Данные, полученные при помощи этого метода,
дают возможность предварительно проектировать систему из горючего
вещества и замедлителя в реакторе на тепловых нейтронах.
284
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Проверочные испытания проводятся при помощи экспоненциального
опыта, в котором измеряется так называемый материальный параметр
в подкритическом ансамбле.
РЕЗОНАНСНЫЙ ЗАХВАТ В ЕСТЕСТВЕННОМ УРАНЕ
§ 3. Эффективный резонансный интеграл
В гл. 6 было показано, что вероятность избежать резонансного
захвата в поглощающей системе для нейтронов с энергией Е можно
приближенно представить в виде:
Е°
р (Е) = ехр Г _ Г --------—1 (9.2)
I ?(Ss+2o) Е' ] ’
Е
где Ео — энергия образующегося при делении нейтрона, и £([ — соот-
ветственно полные макроскопические сечения рассеяния и поглощения
и £ — средняя логарифмическая потеря энергии на одно соударение,
определенная в гл. 6, § 12.
Вообще говоря, можно предполагать, что в системе из горючего ве-
щества и замедлителя сечением поглощения в замедлителе можно пре-
небречь по сравнению с сечением поглощения горючего вещества, так
что относится только к последнему.
Хотя (9.2) соблюдается строго, когда замедлителем служит водо-
род и поглотитель бесконечно тяжел, применение этой формулы
к другим замедлителям ограничивается теми случаями, когда погло-
тители обладают далеко отстоящими друг от друга резонансами или
слабо проявленным резонансным захватом.
Если рассматриваемая система содержит в 1 см& IVO атомов резо-
нансного поглотителя, т. е. U238, и ой0— сечение поглощения для
нейтронов с энергией Е, то So = Л/Ооа0. Тогда можно написать
2д МДаО zq ох
о I U о о I U
В области резонанса сечения рассеяния как для замедлителя, так
и для поглотителя могут считаться независимыми от энергии нейтрона,
и тогда, подставляя (9.3) в (9.2), получаем
Ео
р (Е) = ехр [—f (°eo2s+\-)“£*]• М
8 Е J
Интеграл в формуле (9.4) называется эффективным резонансным
интегралом, т. е.
Резонансный захват в естественном уране
285
Эффективный резонансный интеграл
—/ z8 + z„ )
Е
ЛЕ'
Е'
где (оо0)эфф. определяется соотношением
Е° ЛЕ'
Е
(9.5)
(9.6)
\°аО/Эфф. = °до
и, подобно Од,,, является функцией энергии нейтрона.
После подстановки (9.5) в (9.4) получаем для вероятности избе-
жать резонансного захвата выражение
Е
tn\ Г № Г ( \ && 1
р(Е) = ехр — (%о)эФФ- — •
L £ J
(9.7)
Если в (9.6) So заменить на ZV0ao0, то после преобразования
получаем
<9'8’
%
Величина Zs/N0, т. е. полное макроскопическое сечение рассеяния,
деленное на число атомов урана в 1 смл, может рассматриваться как
сечение рассеяния, отнесенное к одному атому поглотителя.
Из формул (9.5)—(9.7) видно, что эффективный резонансный ин-
теграл и вероятность избежать резонансного захвата зависят от этой
величины. Когда число атомов урана в 1 см® возрастает, рассеяние,
отнесенное к каждому отдельному атому поглотителя, уменьшается и
соответственно уменьшается (^а0)Эфф_. Поэтому из формулы (9.5) сле-
дует, что эффективный резонансный интеграл также уменьшается.
Наименьшее значение эффективного резонансного интеграла получается
для чистого урана в отсутствие замедлителя.
С другой стороны, когда концентрация урана уменьшается, каж-
дый отдельный атом поглотителя эффективно рассеивает сильнее, т. е.
Ss/W0 возрастает с уменьшением ЛуЛ/j. Следовательно, выражение
в знаменателе (9.8) уменьшится и станет исчезающе малым
по сравнению с единицей, и (о^эфф. будет стремиться к оа0-.
Существенно, что в бесконечно разбавленной смеси поглотителя и
замедлителя эффективный резонансный интеграл переходит в истин-
ный резонансный интеграл:
Ит J (°а0)зФФ. -> J °а0 ,
Е
Nq
где правая часть есть истинный (или обычный) резонансный интеграл.
286
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Следует заметить, что отношение Ss/ZV0 или, точнее, по-
является также перед эффективным резонансным интегралом в экспо-
ненте (9.7). Пока рассматривается этот сомножитель, очевидно, что
уменьшение рассеяния, отнесенного к одному атому урана, приводит
к уменьшению вероятности избежать резонансного захвата при задан-
ном значении эффективного резонансного интеграла. Таким образом,
истинный эффект изменения рассеяния (отнесенного к одному атому
урана) на вероятность избежать резонансного захвата будет зависеть
от того, который из двух противодействующих факторов преобла-
дает. Для бесконечно разбавленной смеси эффективный резонансный
интеграл принимает максимальное значение, но поскольку тогда %=0,
то вероятность избежать резонансного захвата равна, конечно, еди-
нице.
Хотя возрастание температуры приводит к расширению резонасных
пиков, вследствие так называемого ядерного эффекта Допплера (см.
гл. И, § 2), тем не менее можно показать, опираясь на теорию
Брейта — Вигнера (см. гл. 2), что площадь пика и, следовательно,
истинный резонансный интеграл не зависят от температуры, причем
значение интеграла J ca{dE'E) будет J/2 Однако поскольку
(сдДфф. содержит сечение поглощения со0 как в числителе, так и
в знаменателе, как это видно из формулы (9.8), то эффективный ре-
зонансный интеграл изменяется с температурой. Для сильно разба-
вленных смесей урана с замедлителем эффективный резонансный инте-
грал мало отличается от истинного резонансного интеграла, В этом
случае вероятность избежать резонансного захвата должна мало ме-
няться с температурой.
Однако для более концентрированных смесей и эффективный
резонансный интеграл и вероятность избежать резонансного захвата
зависят от температуры. Такой температурный режим концентриро-
ванных смесей важен в связи с неустановившимся режимом реакто-
ров. При изменении уровня мощности и, следовательно, при изменении
температуры эффективный коэффициент размножения меняется, так
как наряду с прочими величинами он зависит и от вероятности избе-
жать резонансного захвата.
В результате, при возрастании температуры может существовать
тенденция к стабилизации цепной реакции или ее может не быть,
в зависимости от того, убывает или увеличивается эффективный коэф-
фициент размножения.
Отношение о00/(°0о)»ФФ.’ которое называется объемным коэффи-
циентом выигрыша, дается формулой (9.8)
—- = 1 4- ^«1. (9.9)
(°ао)эфф. Ss
Г Если Mj — число атомов замедлителя в 1 см\ а о80 и оя1—соот-
ветственно сечения рассеяния урана и замедлителя, то (9.9) можно
Резонансный захват в естественном уране
287
записать в виде
goO
(°ао) эфф.
g«0
, N1
°so+Ao °S1
(9.10)
так как Lg = Af0og0--l-ZVjOs]. Очевидно, объемный коэффициент вы-
игрыша растет, когда увеличивается т. е. отношение коли-
честв (или объемов) урана и замедлителя.
Как было указано раньше и как следует из формул (9.9) и (9.10),
истинный резонансный интеграл больше эффективного резонансного
интеграла, причем их отношение возрастает с ростом концентрации
урана в системе. Физическую причину этого явления можно уяснить
из рассмотрения изменения нейтронного потока с энергией в области
резонанса.
В рассматриваемом случае одного поглотителя и одного замедли-
теля плотность столкновений, согласно (6.63), равна
-Е/«о -Е/сч
Е(Е) = f f -Z) dE'+ f рЛ?(£/dE’. (9.11)
V 7 J £'(1 — a0) J £'(1— aj) v >
E E
Интегралы дают число нейтронов (на 1 см? за 1 сек.), замедляющихся
в единичный интервал энергии около точки Е.
Как было показано, в гл. 6, § 14, поток Ф(Е) связан с плотно-
стью столкновений F(E) соотношением
ф (Е) = .
+ °s0 + °slj
(9.12)
В нашем случае плотность F (Е), заданная соотношением (9.11),
является более плавной функцией Е, чем Ф(Е), так как она пред-
ставляется суммой интегралов по интервалам от Е до Е/а0 и от Е до
Е/а^. Поэтому из (9.12) видно, что поток, грубо говоря, будет иметь
минимум там, где оо0 имеет максимум, т. е. в области резонанса, так
как с80 и о81 малы и медленно меняются с изменением энергии. Вообще,
уменьшение потока в области резонанса будет тем больше, чем меньше
значение Л^о^/Л^ (т. е. Egl//V0), как это качественно показано на
фиг. 60.
Из сравнения с (9.10) видно, что условия большого выедания
резонансного потока те же, что и условия роста объемного коэф-
фициента выигрыша. Физическая причина уменьшения эффектив-
ного резонансного интеграла в концентрированной смеси урана и за-
медлителя заключается в заметном уменьшении резонансного потока
в такой смеси. В разбавленной системе отношение Ssl'Af0 велико
и резонансный поток почти такой же, как и в чистом замедлителе,
не убывает в области резоганса (см. фиг. 60). При этих условиях
эффективный резонансный интеграл имеет максимальное значение,
равное обычному резонансному интегралу.
288
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Фиг. 60. Зависимость нейтронного потока от энергии в
области резонанса при различных значениях сечения рас-
сеяния, отнесенного к одному атому поглотителя.
Эффективный резонансный интеграл как функция сечения рассея-
ния на один атом урана измерялся в смесях CJO2 с различными рас-
сеивателями— углеродом, сахаром, Н2О и D2O. Было установлено,
что эффективный резонансный интеграл существенно не зависит от
Таблица 20
ЭФФЕКТИВНЫЙ РЕЗОНАНСНЫЙ i ИНТЕГРАЛ
КАК ФУНКЦИЯ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ.
ОТНЕСЕННОГО К ОДНОМУ АТОМУ УРАНА
Ед/ЛТд. баРны Г , . dE _ | (°ао)эфф. g • барны
8,2 9,3
50 20
100 26
300 42
500 51
1000 69
ОС 240
резонансного интеграла и коэффициента
показать, что самоподдерживающаяся цепная
массы рассеивающего ядра и
что при значениях сечения рас-
сеяния на один атом урана
свыше 1000 барнов его с боль-
шой точностью можно предста-
вить в виде
Предельное значение инте-
грала при большом разбавле-
нии — 240 барнов. Некото-
рые результаты, основанные на
этом уравнении, представлены
в табл. 20.
Используя эксперименталь-
ные данные для эффективного
теплового испльзования, можно
реакция в однородной
Свойства гетерогенных систем
289
смеси металлического естественного урана и графита невозможна.
Коэффициент теплового использования в однородной смеси равен
f__ soQ _ ^0ga0
£сю + £al M>gaO + ’
где со0 и о„] — сечения поглощения тепловых нейтронов металличе-
ским естественным ураном и графитом соответственно. Значения р и f
для нескольких различных отношений даны в табл. 21. Так
как р уменьшается при росте f, то произведение pf проходит через
максимум.
Таблица 21
ВЕРОЯТНОСТЬ ИЗБЕЖАТЬ РЕЗОНАНСНОГО ЗАХВАТА
И КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОВОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ОДНОРОДНОЙ СМЕСИ ЕСТЕСТВЕННОГО МЕТАЛЛИЧЕ-
СКОГО УРАНА С ГРАФИТОМ
АГ, Ч Г . . dE х 1 (°ао)эфф. • барны р / Р!
200 72 0,579 0,889 0,515
300 87 0,643 0,842 0,541
400 100 0,682 0,800 0,546
500 112 0,693 0,762 0,528
Однако наибольшее значение pf меньше 0,55, т. е. значительно
меньше минимума (0,77), необходимого для поддержания нейтронной
цепной реакции. Очевидно, поэтому невозможно построить одно-
родный реактор на тепловых нейтронах с естественным ураном в ка-
честве горючего и с углеродным замедлителем.
СВОЙСТВА ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ
§ 4. Резонансный захват; объемное и поверхностное
поглощение
Вероятность избежать резонансного захвата для данного соотно-
шения количеств горючего и замедлителя может возрасти при исполь-
зовании неоднородной системы с решеткой, состоящей из блоков (или
стержней) естественного урана, помещенных в графитовую массу [2].
Нейтроны, которые замедляются до резонансных энергий, очень сильно
поглощаются в наружных слоях урановых блоков и вследствие этого
поток резонансных нейтронов внутри блоков резко уменьшается.
В результате, значение эффективного сечения поглощения для горю-
чего, т. е. (оо0)8фф.> в центре стержня меньше, чем в эквивалентной
однородной смеси урана и замедлителя. Соответственно возрастает
19 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
290
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
вероятность избежать резонансного захвата. На поверхности бдока
нейтронный спектр по существу такой же, как внутри замедлителя,
и, следовательно, резонансное поглощение будет приблизительно таким
же, как в случае бесконечно разбавленной смеси урана с графитом.
Теоретическое исследование резонансного поглощения в блочной
системе было упрощено предположением Вигнера, а также Данкова
и Гинзбургах), что эффективное сечение поглощения можно разделить
на две части; 1) объемное поглощение, пропорциональное числу атомов
урана в 1 смй, и 2) поверхностное поглощение, пропорциональное
отношению поверхности уранового блока к его массе, т. е.
<?
(°о0)8фф. = «(£) + *>(£) , (9.13)
где первый член в правой части — сечение объемного поглощения,
а второй—сечение поверхностного поглощения, S, см? — площадь
поверхности блока или стержня урана, М, г — его масса.
Экспериментальные исследования поглощения нейтронов в урано-
вых блоках различных размеров показывают, что разделение резонанс-
ного поглощения на объемное и поверхностное правильно.
Ниже будет изложена простая схема для вычисления а(Е) и Ь(Е).
Во-первых, объемный член а (Е) можно считать равным эффективному
сечению поглощения внутри блока. Тогда, согласно уравнению (9.6),
= (9-14)
где Xs и So — макроскопические сечения внутри блока. В другом
виде можно написать
« (£) — °a0 + + Ndla0 • (9-15)
Для блока из чистого металлического урана‘это уравнение сводится
к следующему:
д(£)==-Са"с*0 .
°s0 + °ao
Отношение J c^dEfE) к J а (Е) {dEjE) равно интегральному объем-
ному коэффициенту выигрыша для блока, как это видно из (9.9).
Для чистого металлического урана было найдено, что это отношение
приблизительно равно 26.
Чтобы получить выражение для коэффициента поверхностного
поглощения Ь (£), необходимо прежде всего вычислить поток резонанс-
ных нейтронов внутри блока. Нейтроны, обладающие энергиями, со-
впадающими с резонансами урана, сильнее поглощаются во внешних
слоях уранового блока. Если бы не было выедания потока резонанс-
*) Не опубликовано. — Прим. авт.
Свойства гетерогенных систем
291
ных нейтронов, эффективное сечение поглощения а(Е) равнялось бы
оо0, как это можно увидеть из приведенных ранее замечаний. Как
следует из уравнения (9.14), поток резонансных нейтронов внутри
блока уменьшается в Se/(Eg-|-So) раз в результате захвата нейтронов
во внешних частях блока. Таким образом, Ф' (Е)— поток внутри
стержня—дается выражением
где Ф(£)— неослабленный поток, падающий на блок.
Разность между неослабленным и ослабленным потоками равна
тогда потоку резонансных нейтронов на поверхности блока
Фрез.(£) = Ф(Е) ~ Ф' (£) = Ф (9-16)
-'8
Нейтроны, составляющие поток Фрез., обладают энергиями, доста-
точно близкими к максимуму резонансного поглощения, так что ве-
роятность поглощения во внешних слоях блока для них весьма высока.
Другими словами, это те нейтроны, которые будут давать вклад
в поверхностное поглощение в (9.13). Число таких нейтронов, падаю-
щих за 1 сек. на 1 см2 блока, приблизительно равно !/4 Фрез.. Исполь-
зуя (9.16), имеем:
Число нейтронов, падающих за 1 сек.
на 1 см? поверхности блока = Ф (£).
4(^в + “а)
Вероятность того, что нейтрон будет поглощен при первом соударении
в блоке, равна Ea/(ESЕо), и, следовательно, полное число нейтро-
нов энергии Е, поглощенных 1 см2 поверхности на единицу потока,
равно
Уд. у
4(Ss-Ь^а) + 4 \ 2S -1- ^а)
Число атомов урана в 1 г блока равно N0!d, где No, как и раньше,—
число атомов в 1 см3, a d—плотность уранового блока. Поверхно-
стное поглощение (на атом, на единицу потока, на 1 см2)г), равное
Ь(Е), дается теперь выражением
(9.17)
Поверхностный вклад в эффективное сечение поглощения получим,
умножая эту величину на S/Af, как в (9.13).
Эффективный резонансный интеграл для уранового блока равен
тогда
Г, . dE' Г fK.dE' . S r,,c.dE'
J jPz J а (Е) р/ + J Ь (Е) р/ I (9.18)
19*
292
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
где а(Е) и Ь(Е) определяются соотношениями (9.14) или (9.15) и
(9.17) соответственно.
Величины J a{E)(dE)E) и j* b(E)(dE[E) были определены экспе-
риментально путем измерения активности U239 в урановых блоках,
покрытых кадмием. Резонансное поглощение можно также измерить,
помещая в реактор урановые блоки, покрытые кадмием и наблюдая
происходящие при этом изменения реактивности, которые могут быть
проградуированы таким образом, что будут служить мерой резонан-
сного поглощения. Опыты с металлическим ураном дают следующие
результаты:
j* а (Е) = 9,25 барна,
J Ь(Е) ~ = 24,7 барна • г/см2,
J (°0о)эФФ. f = 9,25 + 24,7 барна.
При выводе соотношения (9.17) молчаливо предполагалось, что
резонансный нейтрон в результате упругого соударения во внешних
слоях блока выводится из области резонанса. Это действительно так,
если только область резонанса узка по сравнению со средним изме-
нением энергии нейтрона при упругом соударении в блоке с ураном
или каким-либо другим элементом, который может присутствовать
в качестве добавки. В действительности это условие не соблюдается
для урана, так как нейтрон теряет в среднем при соударении 1%
своей энергии. При 10 эв это, грубо говоря, дает ширину резонанс-
ной линии.
Выражения для а(Е) и Ь(Е) строго справедливы только для
тяжелого поглотителя и водорода в качестве замедлителя, так как
только в этом случае (см. гл. 6, § 14) р(Е) дается строго форму-
лой (9.2). Однако они указывают примерную зависимость (ао0)афф. от
сечения рассеяния, отнесенного к одному атому урана. Чтобы полу-
чить строгое решение, необходимо решить кинетическое уравнение
с потерей энергии для случая сечений, быстро меняющихся с изме-
нением энергии.
Зависимость объемного и поверхностного поглощения от сечения
рассеяния, отнесенного к одному атому урана, т. е. от Е8/Л/о, можно
увидеть, если записать (9.14) и (9.17) в другой форме:
<9Л9>
и
b = 4NU KE8/2Vo) + ^o]2 • (9,20)
Очевидно, что, в то время как объемное поглощение а(Е) воз-
растает с ростом сечения рассеяния, отнесенного к одному атом)'
Свойства гетерогенных систем
293
урана, поверхностное поглощение падает. Эти результаты допускают
следующее физическое истолкование. Выедание резонансного потока
нейтронов в урановом блоке уменьшается с ростом Y>afN0, а это
будет означать рост эффективного (объемного) сечения. С другой
стороны, чем больше рассеяние на один атом урана, тем больше
вероятность того, что резонансный нейтрон рассеется, а не погло-
тится в блоке. Соответственно уменьшается поверхностное погло-
щение.
Следует обратить внимание на то, что массовое число рассеива-
теля не входит в выражения (9.19) и (9.20) для объемного и поверх-
ностного поглощения соответственно. Строго говоря, это справедливо
только в том случае, когда ширина резонансной области мала по
сравнению со средней потерей энергии нейтрона при упругом соуда-
рении. Для урана средняя потеря энергии при соударении составляет
0,8% энергии до соударения. Для нейтронов с энергией 10 эв сред-
няя потеря, т. е. 0,08 эв, того же порядка, что и ширина резонанс-
ной области, около 0,1 эв. Таким образом, поглощение при резо-
нансе свыше 10 эв будет в какой-то мере зависеть от массы рас-
сеивающих ядер.
§ 5. Вероятность избежать резонансного захвата
Позднее будет показано (см. § 7), что правильно расположенные
в замедлителе блоки из горючего вещества могут рассматриваться
как решетка, составленная из эквивалентных элементарных ячеек.
В каждой ячейке решетки вероятность избежать резонансного захвата
зависит от пространственного распределения резонансных нейтронов,
а также от структуры и числа резонансов. В урановом блоке пол-
ное число поглощений в 1 сек. в единичном интервале энергии около
точки Е дается выражением (9.13)
А (Д) - Фо (£)%Vo а (£)+Фв (Д)N0VJ> (Е), (9.21)
где Уо — объем блока в одной элементарной ячейке, Фо (£) — сред-
ний поток внутри блока, отнесенный к единичному интервалу энер-
гии около точки Е и определенный соотношением
Ф0(Д) = ±/ф(г)</У,
Г0
а Фв(^)—средний поток на поверхности блока, отнесенный к еди-
ничному интервалу энергии вблизи Е и определенный равенством
Ф8(Д) = |/ Ф(г)<75.
8
294
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Полное число Q(E) нейтронов, замедлившихся в замедлителе,
заполняющем ячейку, от энергий, больших Е, до энергий, меньШих Е,
дается [ср. (6.59)] выражением
Q(E) = ФХ(Е) У^Е^Е,
(9.22)
где Vj — объем замедлителя, приходящийся на элементарную ячейку,
а Ф1(Е)—средний поток в замедлителе на единичный интервал энер-
гии около точки Е, т. е.
Ф1(Е) = -1/Ф(Г)ЙК
Если замедлитель состоит из смеси нескольких элементов, то Ej заме-
няется на Ё. Скорость изменения Q(E) относительно Е равна погло-
щению А(Е) в урановом блоке, т. е. .
^^ = Л(Е). (9.23)
Комбинируя (9.21) — (9.23), получаем
2rfQ ГN0V090(E)a(E) К0УйФа(Е)Ь(Е)
Q dE L W815i(E) WeA(£) M.
1
E
и после интегрирования
Q(E) = Q(E0)exp { —
NqV0 Г I
Wei Ц ®1 (Ez)
E
S C°*AE')t
mJ <me')
Вероятность избежать резонансного захвата р(Е) равна Q(E)/Q(E0),
где Q(E0)— число нейтронов в 1 сек., замедляющихся в область
резонанса. Следовательно,
р (Е) = ехр
Е
WellJ <ME') ( } +
Е„_
+ - f гМ^б(Е')—]|.
MJ Ф1(Е') Е' J)
JL
(9.24)
В случае однородной смеси горючего и замедлителя отношения
Ф0/Ф1 и *,/*1 Равны единице при всех энергиях. В то же время Уо
и Vj будут равны и уравнение (9.24) сводится, как и должно быть,
к уравнению (9.7). Однако, вообще говоря, для гетерогенных систем
Свойства гетерогенных систем
295
оценка р (Е) в предположении, что а (Е) и b (Е) известны, зависит от
возможности получения этих отношений потоков как функций энергии.
Для урановых блоков с размерами, близкими к оптимальным,
в графитовом замедлителе можно считать для простоты, что Фо/Ф1—
==Ф8/ФГ Если считать Ф0/Фг не зависящим от энергии в области
резонанса, то формула для вероятности избежать резонансного за-
хвата (9.24) примет вид
р (£) ехр Г - J (°ао)эФФ- ^1 • (9.25)
В этой форме р (Е) особенно легко вычислить, используя экспе-
риментальные значения для эффективного резонансного интеграла. Это
приближение не так плохо, как может вначале показаться, так как
вблизи оптимального отношения Vq/Vj объемов замедлителя и горю-
чего при вычислении вероятности избежать резонансного захвата
с точностью, например, до 1%, значение Фо/Ф! необходимо знать
только с точностью до 10° 0. Отношение Ф1/Фо называется коэффи-
циентом проигрыша для резонансных нейтронов.
§ 6. Преимущества и недостатки гетерогенных систем
Рост вероятности избежать резонансного захвата как результат
уменьшения эффективного резонансного интеграла при данном отно-
шении урана к замедлителю — таково основное преимущество приме-
нения гетерогенных систем для реакторов на тепловых нейтронах.
Это обстоятельство в значительной мере является результатом погло-
щения резонансных нейтронов во внешних слоях урановых блоков,
вследствие чего сильно уменьшается резонансный поток во внутрен-
них областях. Из нейтронов, попадающих из замедлителя в урановый
стержень, захватываются только те, у которых энергии равны резо-
нансным или расположены очень близко от резонансных пиков. Для
всех других нейтронов очень высока вероятность пройти через блок,
так как потеря энергии при столкновении с ядрами урана весьма
мала. После возвращения в замедлитель нейтроны будут продолжать
замедляться, могут проскочить через несколько резонансов и дости-
гнуть тепловых энергий, прежде чем будут захвачены. Таким обра-
зом, вероятность избежать резонансного захвата возрастет.
Если бы резонансы урана были широкими и невысокими, то рост
вероятности избежать резонансного захвата, обусловленный блочностью,
был бы меньше. Вследствие большей ширины резонансных пиков
нейтроны с энергиями, лежащими в более широкой области, погло-
щались бы в блоке (или стержне) урана. Таким образом, меньшая
часть нейтронов, попавших в блок, возвращалась бы в замедлитель
для дальнейшего замедления. Вдобавок, когда области резонанса
шире, вероятность того, что нейтроны будут замедлены из области
296
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
над резонансом в область под резонансом в результате столкновений
с ядрами замедлителя, будет значительно меньше.
.Менее важным эффектом, появляющимся в результате разделения
урана на блоки, является незначительное увеличение вероятности
избежать резонансного захвата в результате того, что некоторые ней-
троны могут быть замедлены до тепловых энергий до того, как по-
падут в стержень из горючего. Этот эффект в основном геометриче-
ский, так как он зависит от расстояния между стержнями, а также
от длины замедления в замедлителе.
В Х-решетке в Ок-Ридже этот эффект приводит к росту вели-
чины р в 1,04 раза.
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах в гетерогенной
системе также слегка увеличивается по сравнению с гомогенной си-
стемой того же состава. Так как нейтроны деления возникают вну-
три уранового стержня, в котором они лишь слегка замедляются, то
вероятность захвата быстрых нейтронов ядрами U288 с последующим
делением больше, чем для однородной смеси урана и замедлителя.
Главным недостатком гетерогенного расположения урана в замед-
лителе является падение коэффициента теплового использования.
В значительной степени это падение вызвано выеданием потока теп-
ловых нейтронов внутри уранового блока. Факторы, определяющие
коэффициент теплового использования в решетке, рассматриваются
в следующем параграфе.
§ 7. Вычисление коэффициента теплового использования
Коэффициент теплового использования [3] в гетерогенной системе,
в которой горючее отделено от замедлителя, уже не будет простой
функцией макроскопических сечений поглощения, как в случае одно-
родной системы (см. гл. 7, § 12). Он будет зависеть также от потока
тепловых нейтронов в различных частях решетки. По определению,
коэффициент теплового использования равен
J V(r)W
где Ф(г) — поток тепловых нейтронов в точке с координатами г,
a Ео0 и — макроскопические сечения поглощения тепловых ней-
тронов для горючего и замедлителя соответственно. Интегрирование
проводится по всему объему реактора. Если горючее полностью
отделено от замедлителя, так что каждая область однородна, то
Soo J Ф(г)</1/
f =------г----------горючее ----------- . (9<27)
' S«o J ®(r)dV+2ai J Ф(г)йЕ
Горючее Замедлитель
(9.26)
Свойства гетерогенных систем 297
Средние потоки тепловых нейтронов Фо и Ф1 в горючем и заме-
длителе определены (см. § 5) равенствами
и
V
где Уо — объем горючего, а Vx— объем замедлителя. Коэффициент
теплового использования [см. (9.27)] принимает тогда вид
/ =---------------=^-=- . (9.28)
2ао+^(Ц/Ц,)(Ф1/ФО) 7
Отношение средних потоков тепловых нейтронов в замедлителе
и горючем, т. е. Фх Фо, называется коэффициентом проигрыша для
тепловых нейтронов. Поток тепловых нейтронов в горючем выедается
так, что коэффициент проигрыша больше единицы. Поэтому коэф-
фициент теплового использования в гетерогенной системе оказывается
меньшим, чем в соответствующей однородной системе с теми же
количествами горючего и замедлителя.
Физически этот факт можно объяснить тем, что быстрые нейтроны,
возникающие в урановом блоке, существенно замедляются только
в замедлителе. Следовательно, тепловые нейтроны образуются только
в замедлителе и должны продиффундировать в горючее вещество.
Поэтому поток тепловых нейтронов в середине уранового блока
уменьшается, так как тепловые нейтроны поглощаются в других
(внешних) слоях.
Таким образом, вычисление коэффициента теплового использова-
ния сводится по существу к задаче нахождения распределения потоков
тепловых нейтронов в системе из урана и замедлителя. В последующем
изложении делаются три предположения (или приближения). Во-пер-
вых, предполагается, что плотность замедления постоянна в замедли-
теле и равна нулю в уране Иными словами, предполагается, что
тепловые нейтроны образуются с равной вероятностью в любой точке
замедлителя и совершенно не возникают в уране. Это условие соблю-
дается тогда, когда расстояние между урановыми блоками не слиш-
ком велико по сравнению с длиной замедления. Если наложить вычи-
сленные по теории возраста плотности замедления от точечных источ-
ников, расположенных в решетке, то получающаяся в результате
суперпозиции скорость генерации медленных нейтронов в высшей
степени однородна при условии, что шаг решетки не больше двух-
трех длин замедления.
Второе приближение заключается в разделении решетки на оди-
наковые элементарные ячейки и в предположении, что квадратное
сечение можно заменить круговым сечением той же площади
298
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
В реакторе, состоящем из цилиндрических стержней урана, располо-
женных, как показано на фиг. 61, каждая ячейка будет состоять из
Фиг. 61. Элементарная ячейка в гете
рогенной решетке.
параллелепипеда квадратного
сечения. Эквивалентная ячейка
с круговым сечением, указан-
ным штрихованной окруж-
ностью, будет длинным цилинд-
ром со стержнем горючего по
оси. Если бы решетка состояла
из почти сферических блоков,
то эквивалентная элементар-
ная ячейка была бы сферой.
Изложенное приближение экви-
валентно тому, которое исполь-
зовалось Вигнером и Зейтцем
при рассмотрении кристалли-
ческой решетки, и сильно
упрощает вычисления.
Третье предположение за-
ключается в применении про-
стой теории диффузии. Это
законно, когда размеры системы
велики по сравнению с длиной рассеяния, когда нейтроны поглощаются
не слишком сильно и в системе отсутствуют источники нейтронов. Ни
одно из этих условий строго не соблюдается, и оценки, проведен-
ные при помощи более точ-
ных методов, показывают,
что простая теория диффу-
зии дает результаты с не-
которыми погрешностями.
Однако ввиду простоты
вычислений эта теория безу-
словно заслуживает внима-
ния.
Теория, которую мы
будем применять, дает воз-
можность найти коэффи-
циент теплового использова-
ния для реактора с длинными
цилиндрическими стержнями
горючего; сечение эквива-
лентной (цилиндрической) элементарной ячейки указано на фиг. 62.
Радиус стержня горючего равен Ro, а радиус элементарной ячейки
решетки реактора равен Если длина ячейки значительно больше
ее диаметра, то задача о распределении нейтронного потока стано-
вится по существу одномерной.
Свойства гетерогенных систем
299
Поскольку мы предположили, что плотность замедления постоянна
в замедлителе и равна нулю в уране, то можно считать, что ней-
троны являются моноэнергетическими и использовать уравнения одно-
группового метода.
Тогда уравнение диффузии тепловых нейтронов в стержне горю-
чего вещества имеет вид
О0?2Ф0—W>o = O, (9.29)
где Фо— поток тепловых нейтронов в любой точке урана, Do — соот-
ветствующий коэффициент диффузии и Еа0—макроскопическое сече-
ние поглощения. Следует заметить, что в уравнении (9.29) отсут-
ствует член, описывающий источники тепловых нейтронов, так как
было предположено, что в уране замедление отсутствует.
Для замедлителя уравнение диффузии тепловых нейтронов имеет
вид
— SoA + <7 = 0, (9.30)
где член, характеризующий источники, равен числу нейтронов в
1 см3 за 1 сек., которые становятся тепловыми в замедлителе. Так
как плотность замедления однородна, то этот член постоянен.
Решения дифференциальных уравнений (9.29) и (9.30) удовлетво-
ряют следующим граничным условиям:
I. Непрерывность
медлитель, т. е.
II. Непрерывность
Do
III. Равенство нулю плотности потока нейтронов на внешней гра-
нице ячейки, так как из каждой данной ячейки вытекает столько же
нейтронов, сколько в нее втекает, следовательно,
> = ° ПРИ r=-Rv
Координата г измеряется от оси цилиндра в направлении, нормаль-
ном к его поверхности.
Разделив (9.29) на Do и заменяя на xq, где х0 — обратная
длина диффузии тепловых нейтронов в уране, получаем
¥2Ф0—х*Фо = О, (9.31)
нейтронного потока на границе стержень—за-
Ф0 = Ф1 при г = Не-
плотности потока нейтронов на границе, т. е.
при г = /?0.
или в цилиндрических координатах
=0.
dr2 г dr 00
300 Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Так как х® положительно, это выражение эквивалентно видоизменен-
ному уравнению Бесселя, и общее решение (см. гл. 7, § 8) имеет
вид
Фо = Л/о(хог) + Л%(хог), (9.32)
где /0 и Ко — функции Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка
и соответственно первого и второго рода. Однако поскольку Ко
обращается в бесконечность на оси уранового стержня, где г = 0, то
нейтронный поток также обратился бы в бесконечность при г = 0,
если бы второй член был отличен от нуля, а потому он должен
быть исключен, и, следовательно,
Ф0 = Л/0(х0г). (9.33)
Уравнение (9.30) для замедлителя также можно разделить на Dx
и заменить на х|.
Тогда
У2Фх_-4Ф1 + ^--0. (9.34)
Однородная часть этого уравнения аналогична уравнению (9.31),
и решение для этой части имеет вид
Ф! (однородное) = С10 (х/) -]- FK0 (xjf).
Функция Ко не может быть отброшена, так как область замедлителя
в ячейке не включает ось, где г = 0.
Частное решение уравнения (9.34) получим, положив Фх равным
постоянной. Тогда решение равно qjD^y или q!Yav так как
Xi = Поэтому общее решение уравнения (9.34) имеет вид
Фг = С10 М+FK0 (v) -J- . (9.35)
Соотношение между произвольными постоянными С и F получается
из граничных условий (3):
Ц = [С/1 - FK' = 0 Ч.
и, следовательно,
р___р Л (’*•1^0
’) Заметим, что d/0 = «iMv) и dKo (^r)/dr — — (^r),
где /j и Ki—функции Бесселя мнимого аргумента первого порядка.—
Прим. авт.
Свойства гетерогенных систем
301
Вводя это значение для F в (9.35), получаем
Фг = С [/0(х3г) Ку (х,^) + Ко(хгг) Д (х^)] + (9.36)
[Ky(*yRy) входит в постоянный множитель С].
Постоянные А и С могут быть определены из граничных условий I
и II. Действительно, используя (9.33) и (9.36) для Фо и Ф3, соот-
ветственно получаем из условия I:
Л/о (хо7?о) = С [/0 (х^о) Ку (х3/?3) + /Со (хг₽0) А (*Л)1 +
и из условия II
Z/qAxq/j (х0/?0) = DyC'/.y [73 (xj/?0) Ку (v.yRy) Ку (х3/?о)A (xi^i)L
В последующих выводах значение С не требуется, а вместо выра-
жения для А более удобно получить выражение для 1/А. Из двух
предшествующих уравнений после ряда преобразований получаем
1 ____ Sal I г (у Р \ _Dp^-nh (v-qKq) [Iq (хд/^о) Ку (х]/?1) + Кй (*1/?о) Л (Х1/?1)])
A q yol-o'Vo, £>1Xi[/i(xi/?o)/<1(xj/?1)-/C1(x1/?o)/1(x1/?1)] J-
(9.37)
Полученные результаты дают возможность выразить коэффициент
теплового использования f или, лучше, его обратную величину 1//
через величины, поддающиеся измерению -------
в гетерогенной решетке. Рассмотрим ци-
линдрический слой радиуса г, толщины dr / с \
и единичной длины, как показано на / \
фиг. 63. / // \
Объем этого слоя равен ‘2кг dr и число I Н t r j
тепловых нейтронов, поглощенных в нем \ V \ /7 /
за 1 сек., равно Б^Фо (г) 2nr dr, где \ /у ]
Ф0(г) — поток тепловых нейтронов в уране \ /
на расстоянии г от оси [см. формулу 'ч /
(9.33)]. Проинтегрировав это выражение
по всем значениям г от 0 до /?0 (/?0 —
радиус стержня), получим полное число Фиг. 63. Расчет числа теп-
тепловых нейтронов, поглощенных за 1 сек. ловых нейтронов, поглощен-
ных в стержне горючего,
в единице длины цилиндрического стержня н н
горючего вещества. Следовательно, полное число тепловых нейтро-
нов, поглощаемых за 1 сек. единицей длины стержня из горючего
вещества равно
J.i-0
J* ХаоФо (г) 2кг dr = 2^а0А J Г /о (ХоГ) dr = А (Хо^о)
302
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Число тепловых нейтронов, образующихся за 1 сек. при замед-
лении в единице объема замедлителя, равно q, и поскольку объем
единицы длины замедлителя в ячейке равен к(7?2— /ф, то полное
число тепловых нейтронов, образующихся за 1 сек. на единицу длины
замедлителя, равно qtt (JR* — R'fy. Коэффициент теплового использования
есть отношение числа тепловых нейтронов, поглощенных в уране,
к числу тепловых нейтронов, образовавшихся при замедлении в за-
медлителе. Следовательно, величина 1// в нашем случае выразится
формулой
1 _ ^)*о 1
f '
Используя для 1/Л соотношение (9.37) и преобразуя полученную
формулу, имеем
1 __ VlSal Г/о(Хр/?о)~] I
/ VoSooL 2
| ^1 Г + ^0 (*1^1) I ZQ OQX
• 2/?0 L 4(^1)^(^о)-^(^1)А(^о) J* 1 '
Определяя величины F и Е соотношениями
р АЛо А) (уд^о)
2 a(v?0)
и
Р _ (*! - /?о) г А> W W+к0 (W Л (*Л) 1
£— 2/?о L /i(*i/?i)^(^o)-/<i(*i/?i)A(^o) J’
коэффициент теплового использования можно представить в виде
1 = 1+^F + (E—1). (9.40)
J Уо-ЬоО
Можно показать, что величина F, определенная выше, дает отно-
шение потока нейтронов на поверхности стержня к среднему потоку
внутри стержня. Рассмотрим предельный случай бесконечного коэф-
фициента диффузии в замедлителе, когда хг = 0 и Е = 1. Тогда
соотношение (9.40) сводится к уравнению
1 __1 । Pi Sol р
f VoSoo ’
или
f = Soo + (Vi/Vo)Eoi^ (9,41)
Если коэффициент диффузии в замедлителе бесконечен, то гра-
диент нейтронного потока в замедлителе равен нулю и, следовательно,
поток постоянен по всему объему замедлителя. Тепловые нейтроны
образуются с одинаковой вероятностью в любой точке замедлителя и
Свойства гетерогенных систем
303
распределяются по последнему изотропно. Они движутся по прямым
линиям, пока не поглотятся в замедлителе или не перейдут в стер-
жень горючего вещества. Соответствующее распределение нейтронов
показано на фиг. 64.
Фиг. 64. Распределение нейтронного по-
тока в случае бесконечного коэффициента
диффузии для замедлителя.
Из сравнения формул (9.41) и (9.28) видно, что
где теперь — поток нейтронов на внешней поверхности уранового
стержня. Так как поток тепловых нейтронов в любой точке замедли-
теля есть величина постоянная, то
Р___Поток тепловых нейтронов на поверхности стержня
Средний поток тепловых нейтронов внутри стержня '
В действительности, поскольку коэффициент диффузии в замедли-
теле конечен, средний поток тепловых нейтронов в замедлителе больше
потока на поверхности стержня горючего вещества (фиг. 65). Это
добавочное поглощение измеряется величиной Е— 1, которая назы-
вается избыточным поглощением.
Вычисляя 1// для данных значений VJVO и Ro, можно получить
серию кривых, на которых l/f изображается как функция VJV0 при
различных Ro. Общий характер этих кривых показан на фиг. 66 для
трех значений радиуса стержня горючего Rm > Т?02 > R03. Как видно,
коэффициент теплового использования уменьшается а) с возрастанием
радиуса стержня горючего при данном отношении V-JV0 вследствие
увеличения выедания потока с увеличением радиуса и б) с ростом V-J Vo
при постоянном радиусе стержня, так как при этом увеличивается
число нейтронов, захваченных в замедлителе.
Результаты, сходные с полученными для цилиндрической ячейки,
можно получить для других типов ячеек. Истинные значения F и Е,
304
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
физический смысл которых разъяснен выше, зависят от геометрии
ячейки; соответствующие формулы для бесконечной пластины и сферы
Приведены в табл. 22.
Фиг. 65. Распределение нейтронного потока
в случае конечного коэффициента диффузии
для замедлителя.
Для ячейки в виде бесконечной пластины /?0 — полутолщина пла-
стины из горючего, а — полутолщина всей ячейки. Для сфериче-
ской ячейки /?0 — радиус сферы из горючего вещества и — радиус
.всей ячейки.
Фиг. 66. Обратная величина коэффициента тепло-
вого использования как функция отношения объемов
замедлителя и стержня горючего.
Любопытно отметить, что F включает только величины, характе-
ризующие горючее (х0), тогда как Е—величины, характеризующие
Свойства гетерогенных систем
305
ФУНКЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РЕШЕТОК
Таблица 22
Геометрия ячейки
Бесконечная
пластина .
Сфера . . .
*о/?о cth хо#о
3 Х
th*o/?o
*oRa—th -*oRo
*1 (R1 — Ro) cth Xj (/?! — /?n)
3/?o X
_________1 — cth x, (/?J — /?n)_________________
1________Xj (Z?j /?0) cth Xj (/?t /?0)
замедлитель xv Поэтому можно заготовить таблицы F и Е, облег-
чающие расчеты решеток.
§ 8. Вычисление вероятности избежать резонансного
захвата
Величину вероятности избежать резонансного захвата можно найти
из (9.25), если известен коэффициент проигрыша для резонансных
нейтронов, т. е. отношение средних значений потока резонансных
нейтронов в замедлителе и в уране. Чтобы определить этот коэффи-
циент, поток резонансных нейтронов считается состоящим из одной
группы, подобно тому как это делалось для потока быстрых нейтро-
нов при двухгрупповом методе расчета реактора (см. гл. 8).
С формальной точки зрения эта задача ничем не отличается от
определения коэффициента теплового использования нейтронов. Так
как в горючем замедление очень мало, то можно считать, что источ-
ники резонансных нейтронов равномерно распределены в замедлителе.
Эти нейтроны затем диффундируют в уран, причем некоторая часть
их поглощается в резонансах U288.
Первым и весьма существенным этапом вычислений является оп-
ределение постоянных £о и £> для соответствующей группы нейтронов.
Так как интервал резонансных энергий точно неизвестен, оценки были
получены различными методами. Один из этих методов заключается
в сравнении диффузионной длины резонансных нейтронов в окиси
урана (U3O8) с известной транспортной длиной свободного пробега
и полным объемным поглощением а(Е). Рассматривая резонансные
нейтроны как одну группу, получим следующее значение для среднего
сечения поглощения:
в
| a(E)(dE!E)
“ __Ёг______________
а No~ ln(£j//:2)
(9.42)
20 Зак. 724. С. Глее стоп, М. Эдлунд
Е
306
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
но поскольку где £0 — длина диффузии резонансных
нейтронов в горючем (окиси урана), то
Е
3L20N0 f а (Е) (dE/Е)
Е. v
--- 7-^ ------------------
Е2---------------ho
Так как интеграл, представляющий полное объемное поглощение,
так же как 1% и Zz0, может быть определен экспериментально, то
InfEJE^) вычисляется. Полученный результат находится в согласии
с другими оценками и дает для окиси урана 1п(Е1/Е2) = 7,3.
В металлическом уране 1п(Ег/Е2) уменьшается, так как объемное
поглощение меньше, чем в окиси урана, в 0,77 раза. Следовательно,
для металла In (EJE2) = 5,6. Так как для урана объемное поглощение
равно эффективному резонансному интегралу, то из (9.42) имеем
Ei
~ S^»{dEIE)
ZaO — E,___________
No — In (Ej/E2)
(9.43)
где для металла эффективный резонансный интеграл дается формулой
(9.18).
Значения хо (равного 3£ю£о0), при учете надлежащих поправок
кинетической теории, могут быть получены из уравнения
зад» (1-4^).
где Ео—полное сечение горючего вещества. Наилучшим способом
оценки х0 является измерение активации резонансными нейтронами
изотопа U289 в блоке горючего вещества как функции положения.
Полученные данные подставляются затем в соответствующее решение
уравнения диффузии.
Например, если блоки горючего вещества сделаны в виде длинных
стержней, то активность должна быть пропорциональна 10(уог), где
г — расстояние от оси [см. (9.33)]. В металлическом уране с плотно-
стью 18,7 г/см5 было найдено, что хо = О,42 см~}. Так как их0
известны, то Do может быть вычислено.
Значения £о1, хг и Dx для замедлителя можно определить, зная
экспериментальные данные для сечений и диффузионной длины резо-
нансных нейтронов. В табл. 23 приведены некоторые данные, которые
можно использовать, когда в качестве горючего употребляется метал-
лический уран. Если в качестве горючего употребляется окись урана
(или другое соединение или смесь), то на кислород (или другой
элемент) должны быть сделаны дополнительные поправки вследствие
различия эффективной ширины резонансной области.
Свойства гетерогенных систем
307
Для USO8, например, 5\ = 0,77^1, х1 = ]/Л0,77х^ = 0,88хь где звездочка означает, что соответствующие значения взяты для чистого металлического урана. . Таблица 23 Формально задача теперь совпадает с задачей вычисле- для ГРУППЫ резонансных нейтронов ния коэЛЛипиентя теплового
использования. Уравнение диф- фузии резонансных нейтронов Замедлитель X. ги-1 см 1
для илока горючего имеет вид ^2фо —хофо = 0’ Вода Тяжелая вода . . а для замедлителя г Бериллии .... ¥2Фг — х|Фх -4-5 = 0, Окись бериллия . Графит где, как постулировалось выше, г S— постоянная. Граничные условия совпадают с прежними: I. Непрерывность нейтронного потока и нор щей плотности потока на границе замедлитель — II. Равенство нулю составляющей плотности по нормальном к поверхности ячейки. Коэффициент использования резонансных нейт делить аналогично коэффициенту теплового испол 0,241 0,0313 0,0276 0,0150 0,0108 мальной с горючее; гока в наг ронов мог ьзования. 0,583 0,155 0,237 0,138 0,1075 оставляю- гравлении, кно опре-
, __ Число нейтронов, поглощенных в резонансах урана
'г Число образовавшихся резонансных нейтронов
Следовательно, в соответствии с (9.40),
1=1 +-£^ + (£-1), (9-44)
Jr
где S„o и Xai теперь относятся к резонансным нейтронам (последнее
есть эффективное сечение замедления).
В уравнении (9.44) Е— отношение плотности резонансных ней-
тронов на поверхности к средней плотности внутри стержня, а
Е — 1 — добавочное замедление нейтронов, выводящее их из резонанс-
ной области. Выражения для Е и Е при различной геометрии ячеек
тождественны по форме с выражениями, приведенными выше (см. § 7).
При подстановке выражений, подобных (9.28), ^коэффициент про-
игрыша для резонансных нейтронов, иначе говоря, Ф]/Фо, может быть
написан в виде _
$i VbSao М_______А
$0 V'lEal '
и, следовательно, уравнение (9.25) для вероятности избежать резо-
нансного захвата принимает вид
(М5)
20*
308
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Аргументация, подобная той, что приводилась в гл. 8, § 3, дает
5E*i ln(Ei/£2) ’
и из (9.43) получаем
SaO J" (°со)афф. (rfE/E)
= ln(£VE2) ’
так что
A’oEai С , ч ЛЕ ,
SE^iSaO J ( °о)эФФ- Е — *•
’Подставляя в (9.41), получаем
р(£) = ехр(—
Используя (9.44) для нахождения fr, получаем возможность вычи-
слить вероятность избежать резонансного захвата для различных типов
ячеек решетки, если известны различные постоянные для группы
Фиг. 67. Обратная величина вероятности избежать
резонансного захвата как функция отношения
объемов замедлителя и стержня горючего.
резонансных нейтронов. На фиг. 67 представлен общий характер
зависимости вероятности избежать резонансного захвата или, точнее,
ее обратной величины от отношения V^Vq Для различных радиусов
стержня горючего вещества.
Вероятность избежать резонансного захвата возрастает а) с ростом
радиуса при постоянном Vj/V0 и б) с ростом VJVO при постоянном
радиусе стержня горючего вещества. Таким образом, условия, кото-
рые ведут к росту вероятности избежать резонансного захвата, в точ-
Свойства гетерогенных систем
309
ности те же, что и условия, вызывающие уменьшение коэффициента
теплового использования (см. § 7). Задача, таким образом, заклю-
чается в нахождении такого расположения блоков в решетке, которое
обеспечивает оптимальное значение произведения pf. Приближенно
это соответствует такому выбору IV Ио и /?о, при котором р и f
равны г).
§ 9. Вычисление коэффициента размножения
на быстрых нейтронах
Быстрые нейтроны с энергиями примерно больше 1,1 Мэв могут
вызывать деление U288. Таким образом, на каждый нейтрон, образо-
вавшийся в результате деления, вызванного тепловыми нейтронами,
в системе появляется некоторое дополнительное число нейтронов,
образующихся при делении, вызванном быстрыми нейтронами. Для
каждого быстрого нейтрона будет иметься определенная вероятность
того, что он вызовет деление, которое, в свою очередь, приведет
к образованию других нейтронов деления. Этот эффект является,
таким образом, типичным каскадным процессом.
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах е может быть
определен как число нейтронов, замедляющихся ниже порога деле-
ния U238, приходящееся на один первичный быстрый нейтрон, т. е.
на нейтрон, образующийся при делении на тепловых нейтронах. При
расчете коэффициента размножения на быстрых нейтронах должны
быть учтены все быстрые нейтроны, возникающие в каскадном про-
цессе.
Замедление быстрых нейтронов, возникающих в урановом блоке,
происходит двумя путями. Во-первых, замедление происходит вслед-
ствие неупругих соударений с ядрами урана. Природа этих соударе-
ний такова, что энергия нейтрона быстро снижается до значений,
намного меньших порога деления. Во-вторых, замедление происходит
вследствие вылета нейтронов в замедлитель; при этом с хорошей
степенью точности можно считать, что ни один из нейтронов, попав-
ших в замедлитель, не возвратится в урановый блок с энергией,
превышающей порог деления. Упругое рассеяние внутри блока не
вызывает заметных изменений энергии нейтронов. Поэтому упругие
столкновения будут рассматриваться как совсем не изменяющие энер-
гию нейтрона.
Пусть Р—вероятность того, что первичный быстрый нейтрон,
определенный выше, испытает соударение внутри блока горючего
вещества, в котором он возник. Тогда для одного первичного нейтрона
1) В реакторе в Ок-Ридже (Х-10) цилиндрические стержни из естествен-
ного урана имеют диаметр 2,75 см и расположены на расстоянии 20 см друг
от друга (считая расстояние между осями стержней) в квадратной графито-
вой решетке. — Поим. авт.
310
Гл. 9. Гетерогенные реакторы, на естественном уране
при его первом соударении будут выдерживаться следующие средние
значения:
Число соударений в блоке = Р,
Число образовавшихся при делении нейтронов — ,
Число упругих соударений в блоке = ,
Число нейтронов, вылетающих из блока без
соударения = 1 —Р,
Число нейтронов, замедляющихся ниже порога
деления вследствие неупругих столкновений
где <?р се, с; и о — соответственно сечения деления, упругого рас-
сеяния, неупругого рассеяния и полное сечение для быстрых нейтро-
нов в горючем. Полное число быстрых нейтронов, имеющихся в блоке
после первого соударения, дается суммой второй и третьей величин,
приведенных выше, т. е. ае)/а.
Если (va^-j-a^/c обозначить через Z, т. е.
то число нейтронов, имеющихся в блоке после первого соударения,
равно PZ.
Нейтроны, которые рассеялись хотя бы один раз внутри горючего,
распределяются по блоку почти равномерно. Однако первичные быст-
рые нейтроны распределяются подобно потоку тепловых нейтронов,
который ослаблен в центре блока. Так как во внешних слоях на
единицу объема возникает больше первичных нейтронов, чем во вну-
тренних, то Р' — вероятность того, что нейтрон, возникший во втором
или следующих поколениях, испытает соударение в блоке, больше
чем для первичного нейтрона.
Условия для второго соударения следующие:
Число соударений в блоке
Число образовавшихся при делении нейтро-
нов
Число упругих соударений в блоке
Число нейтронов, вылетающих из блока
без дальнейших соударений
Число нейтронов, замедляющихся ниже
порога деления вследствие неупругих
соударений
= P'PZ,
^P'PZ^,
~P'PZ~,
с
= (1 — P')PZ,
^P'PZ-1.
а
Полное число быстрых нейтронов, имеющихся в блоке после вто-
рого соударения, равно P'PZP.
Свойства гетерогенных систем
311
Продолжая таким же образом, очевидно, получим, что после
(и-|-1)-го соударения:
Число соударений в блоке — P{P'Z)nt
Число образовавшихся при делении w
нейтронов = Р (P'Zy1 ,
Число упругих соударений в блоке = Р (P'Z)n^~,
Число нейтронов, вылетающих из .._____„„
блока без дальнейших соударений =-—, } P(P'Zyi,
Число нейтронов, замедляющихся
ниже порога деления вследствие
неупругих соударений =P(P'Z)n^-.
Полное число нейтронов, замедленных ниже порога деления, при-
ходящееся на один первичный нейтрон, т. е. е, вычисляется как сумма
двух последних величин для всех поколений, т. е.
г = 1 — p + + + Р' + Р' ^Zs+-..=
СЮ
=1+р (?--О +£ [+р' (т - >)] S =*
71—1
= 1 + p(v-1)+[^+P(v-1)][-ra^-1]-
Замечая, что о = где ос — сечение захвата
быстрых нейтронов в горючем без деления, так что
— а = — (аг -|- ае ос),
найдем, что выражение для е принимает вид
(9.46)
(если вспомнить данное ранее определение Z).
Следует отметить, что в предыдущем выводе предполагалось, что
все быстрые нейтроны, образовавшиеся при делении, имеют энергии
выше порога деления на быстрых нейтронах. Вследствие того, что
быстрые нейтроны распределены в широкой области энергий, это не
соответствует действительности. Часть нейтронов, возникающих при
делении, имеет энергии ниже порога деления. Результирующий эффект
этого сводится к уменьшению е— 1 приблизительно на 3°/0.
Для окончательного вычисления е необходимо решить в основном
геометрическую задачу определения Р и Р'.
312
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Вероятность того, что нейтрон, возникший в точке гт, испытает
соударение в элементе объема </г2 около г2 в горючем веществе, есть
|Г,-г21
----------Vidr.iy
4n I Fj— г21- 2
где -— полное макроскопическое сечение горючего вещества. Если
n(rx)— распределение нейтронов в горючем, т. е. число нейтронов
на 1 с.и8.за 1 сек., образующихся около точки rv то
- —,------г; rfr, dr.
In — r2|2 1 -
p __ r2 ‘l_____________________ _
4r‘ J И (Fl) dFj
где интегрирование ведется по всему объему блока горючего. Эти
интегралы были вычислены для ячеек решетки различной геометрии.
Значения Р' можно получить, считая распределение источников «(rj
постоянным.
Интересно отметить, что в больших блоках горючего, где Р'^1,
была бы возможна саморазвивающаяся цепная реакция на быстрых
нейтронах, если бы vcy-j-Ge было равно с. Экспериментально уста-
новлено, что максимальное значение е в металлическом уране равно
приблизительно 1,2. Приводимые ниже средние сечения для быстрых
нейтронов в металлическом уране находятся в хорошем согласии с
экспериментальны ми результатами:
су =0,29 барна,
<У = 2,47 „ ,
ае w >
°С в 0,04 „ ,
так что а = 4,3 барна. Значения коэффициента размножения на быст-
рых нейтронах для гетерогенных реакторов двух типов — с естествен-
ным ураном в качестве горючего и графитом или тяжелой водой как
замедлителем — даны в табл. 24.
Таблица 24
КОЭФФИЦИЕНТ РАЗМНОЖЕНИЯ НА БЫСТРЫХ НЕЙТРОНАХ
ДЛЯ РЕАКТОРОВ НА ЕСТЕСТВЕННОМ УРАНЕ
Тип реактора Замедлитель е
СР-2 или .GLEEP* . Графит 1,029
СР-3 или „ZEEP* . . Тяжелая вода 1,031
Макроскопическая теория реакторов
313
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕАКТОРОВ
§ 10. Вычисление материального параметра
Предшествующую часть данной главы можно считать разработкой
вопросов, получивших название микроскопической теории реактора
(котла) (см. § 1).
Знание четырех величин iq, /, р и е в данной решетке (горю-
чее — замедлитель с известной структурой) позволяет вычислить коэф-
фициент размножения бесконечной среды. Главная задача макроско-
пической теории в комбинации с экспериментом — определить крити-
ческие размеры данной системы. Первым шагом на пути решения
этой задачи является определение соответствующих значений для
диффузионной длины и возраста тепловых нейтронов в гетерогенной
решетке.
В то время как микроскопическая теория занимается поведением
нейтронного потока внутри ячейки решетки и его влиянием на коэф-
фициент размножения бесконечной среды, макроскопическая теория
должна рассматривать изменение (усредненного по ячейке) потока от
ячейки к ячейке по реактору в целом.
Поток тепловых нейтронов в гетерогенном реакторе можно рас-
сматривать как произведение двух сомножителей, из которых первый
представляет собой, в общем, косинусоидальное или сходное с ним рас-
пределение, аналогичное распределению в однородной конечной системе
(см. гл. 7, § 10), а второй — микроскопическое распределение внутри
ячейки решетки. Таким образом, поток тепловых нейтронов дается
выражением
Ф(г) = Фо(г)Ф<(г), (9.47)
где индексы а и г относятся к макроскопическому и микроскопиче-
скому распределениям соответственно. Предположим, что макроско-
пический поток удовлетворяет уравнению диффузии
[1)¥2фо + 2оФа + 5 = 0, (9.48)
где D — средний коэффициент диффузии, —среднее макроскопи-
ческое сечение поглощения тепловых нейтронов в реакторе, а 5—член,
характеризующий источники, обусловленные замедлением в замедлителе.
Коэффициенты диффузии в горючем и замедлителе мало отли-
чаются друг от друга, и, кроме того, объем замедлителя много больше
объема горючего, поэтому средний коэффициент диффузии D в (9.48)
можно положить равным Dj—коэффициенту диффузии в замедлителе.
Сечеьие поглощения, однако, делается существенно различным для
двух сред; его значение, усредненное в согласии с изменением потока
в ячейке, дается формулой
v __ VlSol^l + ЦДарФр KjSol + УрЕдО (Фр/Ф1) zg 4g\
К1Ф1+УрФр У1 + Ур(Фр/Ф1)
314
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
Согласно (9.28),
где /—коэффициент
принимает вид
теплового использования в решетке, и (9.49)
Eel Vi
"° 1-/ Vi+Vo(®o/®i) *
В реальных решетках значительно больше Е0Ф0/Ф1 и, следо-
вательно, среднее макроскопическое сечение поглощения будет равно
сечению поглощения замедлителя, деленному на 1 —/, т. е.
(9.51)
Диффузионная длина тепловых нейтронов в решетке дается тогда
соотношением
i = Д(1-/) = £> УТ=7, (9.52)
* ija F ajoI
тле — диффузионная длина в чистом замедлителе1).
Следующей задачей является вычисление возраста нейтронов в ре-
шетке. Можно ожидать, что он несколько больше, чем в чистом
замедлителе, так как замедление нейтронов в уране при упругих
•столкновениях весьма мало. Однако этот рост возраста тепловых
нейтронов уменьшается благодаря неупругим столкновениям в уране.
Поэтому для всех практических задач можно считать, что возраст
тепловых нейтронов в решетке равен их возрасту в чистом замед-
лителе.
Так как для естественного урана т]=1,3, а р и f оба меньше
единицы, в то время как е^а1,03, то очевидно, что коэффициент
размножения в бесконечной среде k будет в лучшем случае лишь немного
больше единицы. Следовательно, чтобы уменьшить относительную
потерю нейтронов вследствие утечки из системы, критический реак-
тор, использующий в качестве горючего естественный уран, неиз-
бежно должен быть велик. Для больших реакторов критическое урав-
нение может быть записано (см. гл. 7, § 11) так:
____k-___=1,
1+A12^
следовательно, материальный параметр дается формулой
= (9.53)
!) Следует заметить, что (7.87) для гомогенного реактора эквивалентно
(9.52), так что этот результат имеет общий характер.—Прим. 'авт.
Макроскопическая теория реакторов
315
Так как k можно считать известным и площадь миграции 7И2 опре-
деляется как 2И2 == £2-{- т, где диффузионная длина в решетке L
определена соотношением (9.52), а возраст тепловых нейтронов пред-
полагается таким же, как и в замедлителе, то эти данные можно
считать достаточными для определения материального параметра фор-
мулой (9.53). Если теперь положить его равным геометрическому
параметру для данной формы, то можно определить критические раз-
меры реактора (см. гл. 7, § 5).
§ 11. Экспоненциальный опыт
Проверка результатов, полученных описанным выше способом, про-
изводится при помощи так называемого экспоненциального опыта.
В этом опыте конструируется подкритическая система, содержащая
точно такую же решетку, что и проектируемый реактор, но значи-
тельно меньшая по размерам В системе такого типа самоподдержи-
вающаяся реакция цепного деления, конечно, невозможна, но если
присутствует внешний источник, то стационарное состояние можно
осуществить (см. гл. 7, § 1). Распределение потока в такой системе
не удовлетворяет волновому уравнению для критического реактора.
Тем- не менее, как будет показано позже (см. гл. 12, § 10), если
подкритическая система относительно велика, что соответствует слу-
чаю систем на естественном уране, распределение потока тепловых
нейтронов вдали от границ и внешнего источника можно с доста-
точной точностью представить уравнением
¥2Ф + ^иФ = 0, (9.54)
где В^п — материальный параметр для данной системы из горючего и
замедлителя. Строго говоря, волновое уравнение (9.54) приложимо
к гомогенным системам. В гетерогенных системах будут локальные
особенности, которые, как указано выше, связаны с наличием ре-
шетки, но, тем не менее, распределение нейтронов в общих чертах
дается волновым уравнением.
Цель экспоненциального опыта состоит в определении материаль-
ного параметра путем измерений распределения потока тепловых ней-
тронов в различных областях не слишком большой подкритической си-
стемы, в которой стационарное состояние поддерживается при помощи
внешнего источника нейтронов. Критические размеры реакторов с тем
же строением и тем же составом, что и в экспериментальной системе,
можно затем получить из выражения для геометрического параметра,
как это установлено в конце § 10.
Экспоненциальная установка представляет собой часть реактора,
линейные размеры которой составляют около одной трети критиче-
ских размеров. Она помещается на фундаменте, который излучает
тепловые нейтроны. Фундаментом может служить графито-урановая
конструкция, внутри которой расположен источник нейтронов (например,
316
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
радиево-бериллиевый), или часть работающего реактора на тепло-
вых нейтронах. Для случая реактора, имеющего форму куба или
прямоугольного параллелепипеда, опытная установка изображена схе-
матически на фиг. 68. Начало координат помещено в центре нижней
поверхности реактора. Система имеет вертикальные отверстия или
трубки, которые в указанной системе координат параллельны оси г
и расположены вблизи от этой оси. В этих отверстиях можно рас-
полагать индиевые фольги или счетчики нейтронов для определения
потока нейтронов на различных расстояниях от нижней поверхности.
Для решения уравнения (9.54) поток тепловых нейтронов записы-
вается в виде произведения функций Х(х), У (у), Z(z), каждая
из которых зависит от единственной переменной х, у, z соответ-
ственно. Как и в прежних случаях (см. гл. 5, § 15, и гл. 7, § 8),
Фиг. 68. Экспоненциальный опыт
в прямоугольной призме.
это приводит к выражению
1 , 1 d’Y , 1 d2Z ,
X dx2 Y dy'i +
4“ вт = o.
Члены с X, Y, Z можно затем
положить равными постоянным
— а2, — р2 и 4- f2 соответственно,
так что
«2 + ₽2 —T2 = fiL (9.55)
Используя условие симметрии
потока, можно показать, что, как
и прежде, а2 и [З2 — положитель-
ные величины. Учитывая обычные
граничные условия, находим (ср.
гл. 5, § 15), что
«= = (=)% ₽==(7)2 (9.56)
И
-V- . тпх
Y =С cos^
I п - £ >
где Ат и Сп — постоянные, а т и п — нечетные числа. Наимень-
шими собственными значениями являются те значения а2 и (Э2, для
которых щ = 1 и п = 1 соответственно, так что
“2=(Я - МЯ-
(9.57)
Несмотря на то, что эти результаты формально совпадают с ре-
зультатами, полученными для реактора в форме прямоугольного парад-
Макроскопическая теория реакторов
317
лелепипеда (см. гл. 7, § 8), следует отметить, что размеры призмы а
и b в экспоненциальном опыте значительно меньше, чем соответ-
ствующие величины для критического реактора. Следовательно, а2
и р2 в (9.57) значительно больше, чем соответствующие слагающие
критического геометрического параметра. В действительности в экспо-
ненциальном опыте размеры а и b таковы, что сумма а2 —j— (З2 пре-
восходит В^. Значит, согласно уравнению (9.55), величина у2 также
положительна. Следовательно, как и в гл. 5, § 15,
Z(^) = Fshy(c— г). (9.58)
После подстановки значений для а2 и р2 из уравнений (9.56)
в равенство (9.55) получится
1»»=(?)!+(т)г-Ч.- <9-S9>
Очевидно, что каждой паре чисел тип соответствует определенное
значение у, которое можно обозначить у,ия. Таким образом, согласно
(9.58), общее решение уравнения для Z(z) можно записать в виде
Zmn = Fmn sh 7„1П (с — г). (9.60)
Простейшим решением волнового уравнения (9.54) является про-
изведение X, У и Z, и в силу линейности этого уравнения общим
решением будет сумма
СО оо
ф = 2 S Атп cos "?.cos ~tT sh Ъпп <9 •61)
»»=1 п=1
где произвольные постоянные Ат, Сп и Fmn объединены в одну Атп.
Для вычисления этой постоянной нужно использовать условие источ-
ника, как в случае определения диффузионной длины в гл. 5, § 15.
Источник можно рассматривать как точечный источник быстрых ней-
тронов, лежащий на оси z несколько ниже начала координат (см.
фиг. 68). Тогда, решая уравнение возраста для плотности замед-
ления, вычисляя ее при тепловых энергиях и используя теорию диф-
фузии (ср. гл. 6, § 26), можно определить член, описывающий источ-
ники тепловых нейтронов в плоскости (х, у), проходящей через
начало координат. Полученный таким образом член можно разложить
в ряд по ортогональным функциям, как в гл. 5, § 15. При этом
оказывается, что на расстоянии от источника, составляющем около
двух диффузионных длин, единственным членом суммы (9.61), даю-
щим заметный вклад в поток нейтронов, будет основной член, для
которого т = 1 и и=1. ~~
Следовательно, если нижний торец экспериментальной призмы,.,
т. е. плоскость (х, у), проходящая через начало координат, нахо-
дится на расстоянии порядка 100 см от источника быстрых нейтро-
нов, заключенного в графите, то вкладом высших гармоник в поток
318
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
нейтронов можно пренебречь. Значит, в этих условиях можно не про-
изводить вычисления с источником, описанные выше, а просто напи-
сать уравнение (9.61) для г>0в виде
Ф — Ап cos — cos -у sh у (с — г).
Ввиду того, что необходимо рассматривать только одно значение по-
стоянной Атп, соответственно имеем только одно значение Fmn
и одно значение утп. Распределение потока тепловых нейтронов вдоль
любой линии, параллельной оси z1), дается, таким образом, упро-
щенной формой уравнения (9.60):
Ф (z) — F sh у (с — z), (9.62)
Ф(г) = Се-т«[1 — (9.63)
причем е'1с включено в постоянную С.
Если z не приближается к с, т. е. на расстояниях, не слишком
близких от верхнего торца прямоугольной призмы, член в скобках
в (9.63) не намного отличается от единицы, поэтому
&(z) = Ce-t°. (9.64)
Это означает, что в рассматриваемой экспериментальной установке
поток тепловых нейтронов вдоль любой линии, параллельной оси z,
убывает (приблизительно) экспоненциально. По этой причине подоб-
ная система была названа „экспоненциальным столбом". Длина рела-
ксации потока нейтронов, т. е. расстояние, на котором поток ней-
тронов падает в е раз по направлению z, очевидно, равна 1/у.
Ранее предполагалось, что для z > 0, т. е. в самом столбе, все
нейтроны приходящие из источника, фактически замедлены до теп-
ловых энергий уже при своем прохождении через графитовый фун-
дамент. Это справедливо при условии удаления источника быстрых
нейтронов от плоскости z == 0 на расстояние, равное, по крайней
мере, двум или трем длинам замедления (см. гл. 6, § 23), т. е. боль-
шее 2pV или ЗУ^т, где т—возраст тепловых нейтронов.»
Так как т для тепловых нейтронов в графите примерно равно
300 сл2, минимальное расстояние, на котором нейтроны практически
полностью станут тепловыми, составляет примерно 50 см. Это пред-
положение можно проверить на опыте, измеряя кадмиевое отношение
(см. гл. 3, § 26) в различных точках вдоль оси z. Если при z > 0
не происходит заметного замедления, кадмиевое отношение должно
оставаться постоянным.
Если определить на опыте потоки Ф(а) на различных расстоя-
ниях z- по одной и той же вертикали, близкой к центральной оси,
например, облучая индиевую фольгу и затем определяя р-активность
Предполагается, конечно, что эта линия не слишком близка к верти-
кальным границам призмы. — Прим. авт.
Макроскопическая теория реакторов
319
(насыщения), то зависимость 1пФ(г) или величины, пропорциональной
1пф(г), от z выразится прямой линией с тангенсом угла наклона,
равным — 7. На самом деле, зависимость будет линейной только для
точек, не слишком близких к нижней или верхней границе призмы *).
В первом случае более высокие гармоники, т. е. члены, в которых т
или п (или и то и другое) больше единицы, дадут некоторый вклад
в поток и выражение (9.64) не будет точным. Если необходимо,
можно сделать поправки на эти гармоники по измерениям горизон-
тального распределения потока в плоскости (х, у) (см. также гл. 5,
§ 16).
Отклонения от прямой линии точек, соответствующих измерениям
вблизи верха призмы, связаны с тем, что мы пренебрегли „членом
краевых поправок" 1 — е~2т(с-г) в (9.63). Найденные из опыта зна-
чения потоков можно исправить, разделив их на эту величину, которую
можно вычислить способом, указанным в связи с измерениями диффу-
зионной длины (см. гл. 5, §16). По наилучшему линейному ходу
исправленных значений In Ф (г) от расстояния по вертикали z нахо-
дится тангенс угла наклона, равный —7. Поскольку на самом деле
эта величина совпадает с 7П, из уравнения (9.59) следует, что
В этом случае а и b — экстраполированные размеры эксперимен-
тальной призмы в направлениях х и у. Их можно получить, добавляя
2 • 0,71 к геометрическим размерам, или, что лучше, найти, измеряя
горизонтальные изменения потока нейтронов и определяя расстояние,
на котором он обращается в нуль. С другой стороны, разницу между
определенной выше экстраполированной высотой с и измеренной вы-
сотой можно использовать для внесения поправок в геометрические
размеры. Таким образом, при известных величинах с, b и 7 можно
вычислить материальный параметр для размножающей среды, запол-
няющей объем экспериментальной призмы. Критические размеры ре-
актора можно затем получить из уравнения (7.49), так как в крити-
ческой системе В2т = В2д.
§ 12. Цилиндрический реактор
При проектировании цилиндрического реактора установка для
экспоненциального опыта должна быть также цилиндрической (фиг. 69).
Как и в гл. 7, § 8, решение Ф волнового уравнения является про-
изведением функций 0 (г) и Z (г), причем первая из них зависит
*) Следует помнить, что уравнению диффузии (9.54), на котором осно-
ваны предыдущие рассуждения, распределение потока нейтронов будет
удовлетворять только иа значительных расстояниях от источника и границ. —
Прим. авт.
320 Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
только от г, а вторая — только от z. Таким образом, волновое урав-
нение можно записать в виде
/1в(г)1+Г^(г)]4-В^ = 0.
Если функцию от 0 (г) заменить на постоянную — а2, где а2 —
положительное число, и функцию от Z (z) — на постоянную у2, тогда f2
будет положительной величиной, так
12 как
_a2 + l2 4-^ = 0 (9.65)
и В2т — положительное число. Решение
дифференциального уравнения для 0,
как мы видели раньше, есть функция
Бесселя нулевого порядка первого
рода J0(ar), и так как уравнение ли-
нейно, общее решение представляется
суммой
©(/•)= S-Vo(v), (9.66)
Я = 1
где п — целое число.
Дифференциальное уравнение для Z
совпадает по форме с (5.75), и реше-
ние его есть
Zn = C^n\H-z) (9.67)
(с учетом граничного условия, что поток
Фиг. 69. Экспоненциальный равен нулю на экстраполированной верх-
опыт в цилиндрической системе. ней границе цилиндра; Н—экстрапо-
лированная высота).
Общим решением волнового уравнения будет теперь сумма
ОО
ф(г, z) = S ^o(«nHshyn(H— z),
п=1
(9.68)
так что на нижней поверхности цилиндра распределение потока
дается функцией Ф(г, 0), которую можно обозначить через f(r),
где
ОО
(9.69)
п=1
Функции Бесселя Jo образуют полную систему ортогональных
функций в интервале от нуля до R, и поэтому для определения ко-
эффициентов А', а следовательно, и Ап можно использовать теорему
Фурье.
Из вычислений и опытных данных (при условии, если измерения
проводятся не слишком близко от нижней поверхности) выясняется,
Макрос коническая теория реакторов
321
однако, что распределение потока с достаточной точностью можно
представить основным членом (с п = 1) из всей суммы (9.69). Сле-
довательно, уравнение (9.68) сводится к
Ф — AJ0 (аг) sh 7 (И — z)
и функция Я (г) выражается следующим образом:
Я (г) = AJ0 (аг).
Из граничного условия (обращение потока в нуль на экстраполиро-
ванной поверхности цилиндра) следует, что
где R — экстраполированный радиус.
Пользуясь только основным членом в уравнении (9.68), измене-
ние потока вдоль оси z можно представить в виде
Ф (z) = A' sh 7 (Н— z),
где Н—экстраполированная высота экспериментального цилиндра.
Выделяя экспоненциальный член, получим
Ф (г) = Ce~V [ 1 —
что аналогично (9.63).
Как и в случае установки с прямоугольной призмой, поток ней-
тронов измеряется на различных расстояниях от основания по верти-
кали, параллельной оси г. Определяя экстраполированную высоту Н
способом, в точности совпадающим с описанным выше, и строя за-
висимость логарифма исправленного (экспоненциального) потока от
расстояния по вертикали г, т. е. величину 1п Ф (г), по наклону можно
получить величину —7. Учитываются только измерения, сделанные
на расстояниях, больших 2]/Ч от основания, так как при этом вклад
высших гармоник, соответствующих п > 1, оказывается малым.
Результаты, приведенные в табл. 25, получены на эксперимен-
тальной установке со стержнями из естественного урана, подвешен-
ными вертикально в цилиндрический бак с тяжелой водой г). Геоме-
трический радиус бака был 55,5 см и водяной столб достигал вы-
соты 154,1 см. В первом столбце таблицы даны расстояния от дна,
при которых производились измерения. Во втором столбце указаны
активности индиевой фольги в числах отсчетов в минуту за вычетом
фона; эта величина пропорциональна нейтронному потоку. В следую-
щих двух столбцах приведены гармоническая и краевая поправки.
В пятом столбце дана исправленная активность, которая равна
произведению наблюденной активности и двух поправочных членов.
Натуральные логарифмы исправленной активности были нанесены на
х) Данные относятся к типу реактора СР-3 или .ZEEP*.— Прим. авт.
21 Эве» ТЭС С. Гаесстоы, М. Эдлунд
322
Гл. 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране
график в зависимости от соотве тствующих значений высоты из первого
столбца и наилучший наклон был оценен по методу наименьших
квадратов.
Таблица 95
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОПЫТА
Высота, см Активность Г арм оптическая поправка Краевая поправка Исправленная активность
21,4 83 306 1,0181 1,0030 85072
41,4 46703 1 0053 1,0098 47 413
61,4 26113 1,0015 1,0318 26982
81,4 13 607 1,0004 1,1091 15097
Найденный таким образом тангенс угла наклона равен —28,76 X
X Ю~ь ел/-3, так что 7 = 28,76- 10~8 и у2 = 827 • 10-6 ел/-2. Гео-
метрический радиус экспериментального цилиндра равен 55,5 см.
Если считать, что транспортная длина в тяжелой воде равна 2,4 см,
экстраполированный радиус оказывается равным 57,2 см3 *). Следова-
тельно, согласно (9.61) и (9.70), имеем
&т = а2 — — 72 = —827 - 10-6=942 - 10~6 ел/-2.
Критические размеры цилиндрического реактора с минимальным
объемом (см. гл. 7, § 9) даются соотношениями
5,441 г, 2,945
= —к- и /? = =—
£> Ъ
В рассматриваемом случае высота равна 177 см, радиус 96 см, объем
критической системы 5 190 л. Следует отметить, что эти результаты
приложимы для реактора без отражателя и что, используя отража-
тель, можно уменьшить критические размеры.
Критические размеры, найденные опытным путем для реактора
с графитовым отражателем толщиной 60 см, таковы: высота 122,5 см,
радиус 91,4 см, объем 3 213 л.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить минимальное изотопическое отношение Ui33 к U238, при
котором бесконечный однородный раствор ураннл-сульфата в воде будет
в точности критическим. Повторить вычисления для случаев, когда замедли-
телями являются графит и тяжелая вода.
3) Предполагается, что длина экстраполяции для цилиндра, так же .как
и для плоского слоя, равна 0,711/.— Поим. авт.
Литература
323
2. Вычислить и нанести на график минимальную критическую массу
сферического реактора без отражателя, содержащего UO2 и D2O при ком-
натной температуре как функцию изотопического отношения U233 к U238.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wigner Е. Р., Journ. Appl. Phys., 17, 857 (1946) (см. перевод: „Научные
и технические основы ядерной энергетики" под ред. К. Гудмена, ИЛ,
т. I, 1948); MDDC-83.
2. Smyth Н. D. Atomic Energy for Military Purposes, U. S. Government
Printing Office. 1945 (см. перевод: Смит, Атомная энергия для военных
целей, М. — Л., 1946).
3. Weinberg А. М., „The Science and Engineering of Nuclear Power* (ed.
by C. Goodman), vol. II, 1949 (см. перевод: „Научные и технические.,
основы ядерной энергетики" под ред. К. Гудмена, ИЛ, т. II, 1950).
Глава 10
ВРЕМЕННОЙ РЕЖИМ РЕАКТОРА БЕЗ ОТРАЖАТЕЛЯ
НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
РАССМОТРЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
БЕЗ УЧЕТА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНОВ
§ 1. Введение
В предыдущих главах были в основном рассмотрены вопросы,
связанные со стационарным режимом работы реактора. Исключение
в этом отношении представляла только гл. 7, в которой была за-
тронута проблема приближения реактора к критическому состоянию.
Стационарный режим имеет место в том случае, когда число ней-
тронов, теряющихся при диффузии и поглощении, в точности равно
числу нейтронов, рождающихся от какого-либо источника (например,
от деления). При стационарном режиме плотность нейтронов не за-
висит от времени. В настоящей главе мы рассмотрим нестационарное
состояние реактора, т. е. случай, когда плотность нейтронов есть
функция времени. Изменение нейтронной плотности со временем воз-
никает в результате резкого изменения коэффициента размножения
при перемещении регулирующего стержня, извлечении горючего, уда-
лении отражателя и т. д. При этом нарушается-равновесие между
генерацией и убылью нейтронов. Предположим в первом приближе-
нии, что все нейтроны, освобождаемые в процессе деления, по-
являются в течение весьма короткого промежутка времени (порядка
Ю-16 сек.); иначе говоря, будем предполагать, что при делении воз-
никают только мгновенные нейтроны.
При изучении проблемы размножения нейтронов важную роль
играет понятие времени жизни нейтрона. Время жизни нейтрона
в системе определяется как средняя продолжительность жизни одного
поколения нейтронов (см. гл. 7, § 7). Оно включает как время за-
медления нейтрона от энергии деления до тепловой энергии, так и
время диффузии теплового нейтрона вплоть до захвата его в про-
цессе деления. В случае реактора, работающего на естественном
уране с графитовым замедлителем (Х-10), мы можем с достаточной
для наших целей точностью пренебречь временем замедления по
сравнению с временем диффузии теплового нейтрона (см. табл. 15).
Однако для реактора, в котором основная доля процессов деления
происходит в области промежуточных энергий, указанное допущение
неприменимо (см. гл. 7, § 7).
Мы ограничиваемся здесь рассмотрением гомогенного реактора
без отражателя на тепловых нейтронах. Тем не менее многие вы-
воды общего характера остаются справедливыми также для гетеро-
генных реакторов и реакторов, окруженных отражателем. Далее, мы
Рассмотрение нестационарных процессов
325
предполагаем, что рассматриваемая система близка к критической,
что позволяет ограничиться основным решением волнового уравнения
для нейтронного потока, отбросив все остальные решения в соот-
ветствии с объяснениями, приведенными в гл. 7. Часть приведенных
ниже выводов, использующих только основную собственную функ-
цию для плотности замедления и для потока тепловых нейтронов,
в действительности уже содержится в более общем виде в гл. 7, § 2.
§ 2. Нестационарное уравнение диффузии
Уравнение диффузии тепловых нейтронов для случая, когда ре-
актор находится в нестационарном состоянии, может быть записано
в следующем виде:
д?2ф_ЕйФ + 5^^ = ±-^-, (10.1)
где v — скорость теплового нейтрона, а Ф = nv. Согласно теории
возраста, член, учитывающий источники тепловых нейтронов, обу-
словленные процессом деления, выражается произведением pq ('т) и
в соответствии с (7.24) дается формулой
S == k'2,a$e~B\ (10.2)
Здесь &£ОФ — количество тепловых нейтронов на 1 смй в 1 сек.,
возникающих в результате процесса деления в бесконечной системе,
т. е. в отсутствие утечки. Множитель е~вч представляет собой ве-
роятность того, что нейтрон избежит утечки в процессе замедления х).
Подставляя формулу (10.2) в равенство (10.1) и предполагая, что
внешние источники нейтронов отсутствуют, получаем
^Ф + УйФ(йе-^-1)==1^.
Разделив последнее уравнение на и воспользовавшись соотноше-
нием Dl^a = Z.2, где L — длина диффузии теплового нейтрона, по-
лучим
(10.3)
где l/So® —/0 — среднее время жизни теплового нейтрона в беско-
нечной среде.
Попытаемся теперь решить полученное уравнение методом раз-
деления переменных. Положим
Ф==Ф(г, /) = Ф(г)Г(/), (10.4)
!) Хотя проводимое здесь рассмотрение основывается на модели непре-
рывного замедления, те же самые результаты могут быть получены с по-
мощью более общей теории замедления, даваемой в гл. 12, и не зависят от
какой-либо частной модели. — Прим. авт.
326
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
где г — вектор произвольной точки внутри реактора, a t—время.
Функция Ф(г) зависит только от пространственных координат, Т (t)
зависит только от времени. Комбинируя (10.4) с (10.3), получим
Z-V2«(r) ,
Ф(г) Т-
ke~B°~—
Zc dT(t)
T(t) dt ’
(10.5)
1
Предположим, что в момент t—О реактор выведен из стационарного
состояния в результате малого скачкообразного изменения коэффи-
циента размножения k, а затем величина k остается неизменной. При
этом допущении левая часть уравнения (10.5) не зависит от вре-
мени, а правая часть не зависит от пространственных координат.
Таким образом, действительно переменные разделяются.
Если система не далека от критического состояния, то простран-
ственное распределение потока с достаточной степенью точности
описывается волновым уравнением
?2Ф (г)/?2Ф (г) = 0,
где В2—геометрический параметр (см. гл. 7, § 3). Это дает воз-
можность освободиться в уравнении (10.5) от отношения ?2Ф(г)/Ф(г),
т. е. написать
_(1 +£8В2) =
Деля обе части равенства на 1 -j- ТАД-, получаем
ke~B' /0 1 dT(0
1 + ^/д T{t) dt '
(10.6)
Первый член левой части уравнения (10.6) представляет собой эф-
фективный коэффициент размножения k^. [см. (7.30)], а первый
множитель правой части — среднее время жизни теплового нейтрона I
в ограниченной среде (см. гл. 7, § 7). Таким образом, уравнение (10.6)
сводится к следующему соотношению.
. 1 1 dT(t)
—~T(fj dt~' (10./)
Превышение величины над единицей называется коэффи-
циентом избыточной мультипликации и обозначается через /гизв.
Таким образом,
^ИЗб. =^эфф. 1. (10.8)
Для критической системы = 1; следовательно, йиз6. представляет
собой меру удаления реактора от критического состояния. Вели-
чина А)тб. положительна для реактора в надкритическом состоянии и
отрицательна для реактора в подкритическом состоянии. Подста-
вляя (10.8) в (10.7), получаем
k й - 1 dT^
"зб- г (0 dt •
Рассмотрение нестационарных процессов
327
Интегрирование последнего выражения дает
T(t) = Аек избЛ7,
или, принимая во внимание (10.4),
Ф (г, I) = АФ (г) el'»36 t/I. (10.9)
При t — 0
Ф (г, 0) = ДФ(г;.
Таким образом, если обозначить Ф(г, 0) через Фо, то формула (10.9)
принимает вид
ф(г, /) = Ф0ЛзбЛ'г. (10.10;
где Фо — стационарный поток тепловых нейтронов в точке г при
/= 0, т. е. в момент, когда эффективный коэффициент размножения
реактора скачкообразно изменяется .на величину &изб. Заметим, что,
когда пространственное распределение потока может быть описано
единственной собственной функцией, являющейся решением волно-
вого уравнения, выражение (10.9) эквивалентно общему выражению
(7.20) при отсутствии внешних источников (при этом второй член
указанного уравнения равен нулю). Как уже упоминалось, это воз-
можно только в том случае, когда реактор близок к критическому
состоянию.
§ 3. Период реактора
Время, в течение которого величина нейтронного потока (или ней-
тронной плотности) изменяется в е раз, называется периодом реак-
тора (периодом котла) и обозначается через Т. Величину Т можно
определить математически, если положить
Ф(Г, ^Е=Ф(/-'Т. (10.11)
Сравнение этого выражение с формулой (10.10) показывает, что
в рассматриваемом случае (т. е. предполагая, что при делении воз-
никают только мгновенные нейтроны)
T'=iA. (10.12)
^изб.
Согласно приведенному выше анализу, если реактор находится
в нестационарном состоянии (&Изб. #= 0), поток тепловых нейтронов
возрастает (или убывает) экспоненциально, причем показатель экспо-
ненты определяется отношением среднего времени жизни теплового
нейтрона к коэффициенту избыточной мультипликации. Этот резуль-
тат не является неожиданным, он может быть также получен из об-
щих соображений, приведенных в гл. 4, § 7. Действительно, если
пренебречь временем замедления, то легко видеть, что среднее время
жизни теплового нейтрона по существу есть время жизни одного
328
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
поколения нейтронов, а следовательно, выражение (4.6) эквивалентно
формуле (10.10). Период реактора оказывается таким образом рав-
ным времени жизни одного поколения нейтронов, деленному на фак-
тор избыточной мультипликации. Отметим, что полученный резуль-
тат является совершенно общим, он справедлив как для мгновенных,
так и для запаздывающих нейтронов. Однако следует подчеркнуть,
что, как будет показано ниже, среднее время жизни теплового ней-
трона можно отождествлять с временем жизни одного поколения
нейтронов только в том случае, когда все рождающиеся в процессе
деления нейтроны являются мгновенными.
Как указывалось выше, если реактор находится в надкритическом
состоянии, &Эфф. > 1 и fe„s6. положительно. Отсюда следует, что и
период реактора есть величина положительная. Это означает, что
в надкритическом состоянии поток нейтронов в реакторе возрастает
с течением времени по экспоненте в соответствии с формулой (10.10).
Наоборот, в реакторе, находящемся в подкритическом состоянии,
период, так же как и йИзб, отрицателен и поток нейтронов экспо-
ненциально убывает.
Для оценки возрастания потока (или плотности) нейтронов в соот-
ветствии с выведенными выше уравнениями рассмотрим конкретный
пример. Допустим, что эффективный коэффициент размножения
скачкообразно увеличился на 0,01, т. е. &изб =0,01. Учитывая, что
в большом реакторе на тепловых нейтронах время жизни теплового
нейтрона порядка 0,001 . сек., получаем для периода реактора, со-
гласно формуле (10.12), 0,001/0,01, т. е. 0,1 сек. Следовательно,
в течение каждой десятой доли секунды нейтронный поток будет
увеличиваться в е раз. Полное увеличение нейтронного потока
за 1 сек. будет выражено множителем е10«й2- 104.
УЧЕТ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНОВ
§ 4. Общее рассмотрение вопроса
Очевидно, что при столь быстром нарастании нейтронного потока
регулирование реактора было бы связано с весьма значительными
затруднениями. Напомним, однако, что сделанные нами ранее выводы
основывались на допущении, что все освобождающиеся в процессе
деления нейтроны появляются мгновенно. К счастью, в действитель-
ности дело обстоит не так. Как было отмечено в гл. 4, около 0,75%
полного количества нейтронов, возникающих в процессе деления,
являются запаздывающими нейтронами. Запаздывающие нейтроны по-
являются в системе в течение некоторого довольно значительного
промежутка времени после акта деления. Благодаря существованию
запаздывающих нейтронов оказывается возможным такой режим
работы реактора, когда скорость изменения нейтронного потока
значительно меньше, чем в отсутствие запаздывающих нейтронов
Учет запаздывающих нейтронов
329
(см. гл. 4, § 4). Это обстоятельство значительно упрощает задачу
регулирования реактора на тепловых нейтронах.
Из приведенных ранее качественных соображений (см. § 3) сле-
дует, что при заданном факторе избыточной мультипликации период
реактора пропорционален среднему времени жизни одного поколения
нейтронов. Ввиду наличия запаздывающих нейтронов это время воз-
растает, что влечет за собой увеличение периода реактора. Влияние
запаздывающих нейтронов можно пояснить следующим образом.
Пусть — среднее время жизни предшественника *) запаздывающих
нейтронов г-й группы. Тогда очевидно, что каждый нейтрон этой
группы появляется в системе после акта деления по истечении не-
которого среднего времени, которое в точности равно t{. Если —
доля запаздывающих нейтронов t-й группы по отношению к полному
числу нейтронов, освобождающихся в результате деления, то сред-
нее время запаздывания для этой группы выразится произведе-
нием Средневзвешенное время запаздывания, равное средне-
взвешенному времени жизни предшественников, может быть записано
как сумма произведений т. е. как Ур<4, где суммирование рас-
пространено на все группы запаздывающих нейтронов. Пренебрегая,
как и раньше, временем замедления и учитывая наличие запаздываю-
щих нейтронов, получим для среднего времени жизни одного поко-
ления нейтронов I следующее выражение:
/ = Е₽А+Л
где I—встречавшаяся уже нам величина среднего времени жизни
теплового нейтрона.
Пользуясь данными, приведенными в табл. 5, умножим каждое /г
на соответствующее и сложим полученные результаты. Найденное
таким образом среднее время запаздывания У оказывается рав-
ным 0,0942 сек., т. е. примерно 0,1 сек. Несмотря на то, что
в большом реакторе на тепловых нейтронах I может достигать
10- 3 сек., эта величина пренебрежимо мала по сравнению с време-
нем запаздывания, и поэтому I близко к 0,1 сек. Таким образом,
период реактора оценивается теперь уже величиной порядка 0,1//гиз6_,
а не //&изб.. как было бы при отсутствии запаздывающих нейтронов.
Иными словами, он возрастает в 0,1// раз. Принимая попрежнему
km6= 0,01, получим для периода реактора 0,1/0,01, т. е. 10 сек.
Это означает, что для возрастания нейтронного потока в е раз
(т. е. примерно в 2,7 раза) требуется время порядка 10 сек. Такая
величина периода достаточна, чтобы обеспечить удовлетворительное
управление реактором.
!) Термин „предшественник* употребляется для осколков тйпа Вт37, Л37
и др. (см. гл. 4, § 2). Период распада таких осколков определяет время за-
паздывания нейтронов, так как продукт распада предшественника испу-
скает нейтроны мгвовевно. — Прим. авт.
330
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
§ 5. Уравнение диффузии с учетом запаздывающих
нейтронов
Количество тепловых нейтронов, поглощаемых в 1 см? за 1 сек.,
равно £ОФ, и, следовательно, скорость генерации нейтронов (как
мгновенных, так и запаздывающих) выражается величиной (6/р)Е„Ф
нейтронов в 1 см? за 1 сек. Поскольку — доля запаздывающих
нейтронов Z-й группы в общем числе нейтронов, испускаемых в акте
деления, скорость образования предшественников, соответствующих
указанной группе, равна (₽£&/р)£аФ в 1 см? за 1 сек. Далее, если
обозначить черев С; концентрацию (в ядрах на 1 см6) предшествен-
ников запаздывающих нейтронов г-й группы, то обычная скорость их
радиоактивного распада будет равна л£С£ ядер в 1 см? за 1 сек.,
где Xf сек."1 — соответствующая постоянная распада. Таким образом,
уравнение, описывающее изменение со временем концентрации пред-
шественников t-й группы, имеет вид'
Ж’=-л(С<(г, 0 + ^-₽£ЕяФ(г,0. (10-13)
Общий вид нестационарного уравнения диффузии тепловых ней-
тронов в гомогенном реакторе без отражателя аналогичен уравне-
нию (10.1) с той единственной разницей, что член, соответствующий
источникам, должен учитывать наличие запаздывающих нейтронов.
Если обозначить через р сумму величин взятую по всем груп-
пам запаздывающих нейтронов, то разность 1—р будет предста-
влять собой долю нейтронов, испускаемых мгновенно в процессе
деления. Поэтому член, учитывающий источники мгновенных ней-
тронов, равен (1 — Р) ЛЕдФе-^. Это выражение отличается лишь
фактором 1 — р от выражения, даваемого (10.2).
Скорость генерации запаздывающих нейтронов i-й группы равна
скорости распада соответствующего предшественника, т. е. А А,
поэтому полная скорость генерации всех запаздывающих нейтронов
т
в 1 см? за 1 сек. равна У, где суммирование распространено по
4 = 1
всем группам запаздывающих нейтронов. Умножая эту величину
на е~в"- (вероятность избежать утечки в процессе замедления) и
на р (вероятность избежать резонансного захвата), получаем для
члена, учитывающего источники запаздывающих нейтронов, выражение
W.
рг-в^А.
i=i
Предположим для простоты, что энергетический спектр запаздываю-
щих нейтронов совпадает со спектром мгновенных нейтронов. В дей-
ствительности энергии запаздывающих нейтронов несколько меньше
энергий нейтронов, рождающихся мгновенно. Учитывая, однако, что
Учет запаздывающих нейтронов
331
большая часть времени жизни нейтронов в среднем относится к об-
ласти низких энергий, легко видеть, что получающееся различие не-
велико х).
Таким образом, учет запаздывающих нейтронов приводит к сле-
дующему выражению для источников в уравнении (10.1):
5 — (1 —№аЪе-^+ре-^ 5л^,
г’=1
и, следовательно, соответствующее уравнение диффузии есть
DW(r, 0-ЕоФ(г, 0 + (1 — ₽)*2„Ф(г,
ta
»=1
Проводя те же преобразования, что и в § 2 (т. е. деля уравнение
на £а и заменяя Dj^a на В2, a 1/SO® на /с), получаем
£2?2Ф(г, 0 + 1(1 ——1]Ф(г, УЛ4С4(Г, /) =
"а
i = l
(10.14)
Допустим (как это уже делалось ранее), что в момент t — 0
реактор выходит из стационарного режима вследствие малого скач-
кообразного изменения коэффициента размножения, причем в течение
всего последующего времени величина k остается неизменной. Можно
показать, что в этом случае уравнение (10.14) допускает разделение
переменных. Будем считать, что реактор достаточно близок к кри-
тическому состоянию, так что нейтронный поток с хорошей сте-
пенью точности может быть описан основным решением волнового
уравнения. Положим
Ф(г, /) = ф(г)7’(0
С; (г, О-СДПЯДО.
Производя соответствующую подстановку в уравнение (10.13),
получаем
(/)++т (о,
откуда видно, что отношение С4(г)/Ф(г) не должно зависеть от г.
!) Принимая среднюю энергию для мгновенных нейтронов 2 Мэв, для
запаздывающих нейтронов 0,5 Мэв (см. табл. 5), находим, что в первом слу-
чае возраст теплового нейтрона в графите составляет около 350 слг-,
а во втором 333 с.и2. Для большого реактора, т. е. когда В2 мало, разли-
чие в факторе е~вч весьма незначительно. — Прим. авт.
332 Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
В результате той же самой подстановки уравнение (10.14) пре-
образуется к виду
}ре~В 'Х\. С<(г)Н<(Г) _ Zo dTtf)
"г" Л< Ф(г)Г(() T(t) dt ’
i=f
и, поскольку С,(г)/Ф(г) не зависит от г, очевидно, что переменные
разделяются. Возможность разделения переменных связана в данном
случае с тем обстоятельством, что в каждой точке реактора функ-
ции СДг) (т. е. концентрации предшественников запаздывающих
нейтронов) пропорциональны потоку Ф(г), как это и следовало ожи-
дать из физических соображений.
Ввиду того, что переменные разделяются, возможно написать,
как и раньше,
¥2Ф (г)В2Ф (г) — 0.
Поскольку оператор Лапласа не действует на функцию Т (t), зави-
сящую только от времени, то, умножая, получим общий вид волно-
вого уравнения
72Ф(г, Z) = 0, (10.15)
в котором величина В- является наименьшим собственным значением
и определяется из граничного условия, состоящего в том, что поток
тепловых нейтронов должен обращаться в нуль на экстраполирован-
ной границе. Таким образом, оказывается возможным заменить в урав-
нении (10.14) выражение ¥2Ф(г, t) на —В?ф(г, f).
Задача сводится теперь к тому, чтобы решить уравнения (10.13)
и (10.14), учитывая (10.15). Поскольку оба эти уравнения есть
линейные уравнения первого порядка, а также ввиду того, что имеет
место разделение переменных, мы можем искать решение системы
в виде
Ф(г, Z) —Фог*'” (10.16)
и
С, (г, t) = CiOe^. (10.17)
Требуется определить, при каких значениях параметра <ю, имеющего
размерность обратного времени, существуют решения указанного вида.
Заметим, что Фо и С{0 представляют собой значения нейтронного
потока и концентрации предшественника запаздывающих нейтронов
Z-й группы соответственно в момент /=0 в точке г. В символах
последнее переменное опущено с целью сокращения записи.
Подставляя формулы (10.16) и (10.17) в (10.13), получаем
ь
Go®**" = — Sa Фо .
Учет запаздывающих нейтронов
333
и, следовательно,
(10.18)
Вводя (10.15) — (10.18) в (10.14), приходим к уравнению
т
- (LW + 1) + (1 - ₽) ke~^ + ke~^ 2 = Zoa>.
«=1
Деля это уравнение на l-j-Z,2#2 и вспоминая, что 10](\№Е*) = 1
есть среднее время жизни теплового нейтрона в ограниченном реак-
торе, получаем
(1-Р)
ke~B' ,
1 + L-B^
гг т
, ke~B т у 2А_ =
‘ 1 + 1УВ* Jd <о + Xf
Im.
Вводя величину &Эфф., согласно'определению (7.30), пишем
т
U Р) ^Эфф. 1 + ^афф. ш ~ fa"
4=1
(10.19)
Так как по определению р = 2 Р» и &эфф.— 1 = &изб. [согласно (10.8)],
4=1
уравнение (10.19) может быть переписано1 в следующем виде:
7П
*изб. + йафф. Pi) = fa>
i=l
ИЛИ
т
^изб. = Au ^эфф. У] • (10.20)
«ПГЧ VJ —
4=1
Теперь удобно ввести величину р, называемую реактивностью и
определяемую соотношением
Р = 2^ = . (10.21)
^эфф. ^эфф.
Значение этой величины выяснится несколько ниже. Разделив урав-
нение (10.20) на £Эфф.> получим
V»
<10-22>
Из формулы (10.21) следует, что &Эфф. = 1/(1 — р)- Подставляя это
выражение в формулу (10.22), получаем следующее удобное для
334
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
проведения расчетов соотношение:
т
__ 1и> 1 \Т
Р /ю —1 ' /<и -|- 1 ш -|- Aj'
i=l
f 10.23)
Соотношение (10.23) представляет собой характеристическое урав-
нение, связывающее параметр <и с ядерными свойствами материалов,
из которых сделан реактор. Легко видеть, что (10.23) есть алгебраи-
ческое уравнение (/п4~1)~й степени относительно в>. Поэтому прн
заданной величине реактивности р, вообще говоря, существует т -ф- 1
значений параметра св. Общий характер решений уравнения (10.23
можно уяснить, изобразив графически р как функцию ш.
Ф и г. 70. Общий ход зависимости р от о>.
График на фиг. 70 дает качественную картину зависимости р
от <» при т = 5, что соответствует пяти группам запаздывающих
нейтронов. Из графика видно, что имеется шесть полюсов при зна-
чениях <в, равных —Aj, —Л2, —А3, —Х4, —А6 и —1/Z. Следует
заметить, что для расчета реакторов требуется только часть этого
графика. Действительно, как видно из соотношения (10.21), |р|<Е
Область, заключенная между р=1 и р = —1, выделена на фиг. 70
горизонтальными пунктирными линиями.
Из приведенного графика видно, что при любом положительном
значении величины р существует т -4-1 корней уравнения (10.23), у
Учет, запаздывающих нейтронов
335
которых т отрицательны и один положителен. При этом каждый из
отрицательных корней есть величина того же порядка, что и соот-
ветствующая X,-, т. е. постоянная распада предшественника запазды-
вающих нейтронов z-й группы. Отсюда следует, что нейтронный
поток в точке г может быть представлен как функция времени
линейной комбинацией m-j-1 решений вида (10.16). Таким образом,
Ф = V0' -J-+ ... + А{е^ + ... + (10.24)
где <u0, top ..., «о,-,..., шт представляют собой wz-j- 1 корней урав-
нения (10.23), причем (и0 положительно, а о,,..., ют приближенно
можно считать равными соответственно -—А,,..., —А,в. Коэффици-
енты /0, At и т. д., как будет видно из дальнейшего, определяются
начальными условиями.
Поскольку все члены правой части уравнения (10.24), кроме пер-
вого, содержат экспоненты с отрицательным показателем, очевидно, что
после малого скачкообразного увеличения реактивности величина этих
членов с течением времени быстро падает, приближаясь к нулю.
Вклад, вносимый этими членами в величину Ф, быстро убывает. По
истечении короткого промежутка времени порядка 1/а( (где Л] —
наименьи:ая постоянная распада, соответствующая группе наиболее
запаздывающих нейтронов) в выражении для нейтронного потока (10.24)
будет играть роль только первый член, т. е.
ф = A(set"‘'.
В этом случае, очевидно, Ли = Ф0, т. е. потоку при / = 0, поэтому
Ф — Фсе/Ю».
Как указывалось выше, величина ш0 имеет размерность обратного
времени. Положив соп=1/7', получим окончательно
Ф = ф0^/Л (10.25)
Из определения периода реактора как времени, в течение кото-
рого нейтронный поток увеличивается в е раз, вытекает, что вели-
чина Т может трактоваться как период реактора после исчезновения
членов, содержащих экспоненты с отрицательными показателями.
Поэтому величина Т, определяемая
Т~=~, (10.26)
“и '
получила название установившегося периода реактора. Соответ-
ственно величины l/wp 1/<и2 и т. д. (азывают иногда переходными
периодами, несмотря на то, что эти величины отрицательны и не
могут быть истолкова1 ы как периоды реактора в том смысле, как
величина 1/®,. Они представляют собой обратные значения пара-
метра ш, который удовлетворяет характеристическому уравнению рас-
сматриваемой нами задачи.
336
Гл. 10. Временной режим-реактора без отражателя
Зависимость величины <в0 (или 1/7") от положительной реактив-
ности, соответствующая уравнению (10.23), изображена графически
на фиг. 71 в предположении, что I равно соответственно 10—3, 10~*
и 10-в. При этом использованы значения и из табл. 5. Из
фиг. 71 видно, что когда р мало (меньше 0,005), кривые почти сли-
ваются. Это означает, что при заданной реактивности установившийся
Ф и г. 71. Зависимость реактивности от обратного периода.
период реактора фактически не зависит от величины I времени жизни
нейтрона. В случае же большой реактивности при уменьшении вре-
мени жизни нейтрона величина <оо растет, а период падает. Ниже мы
дадим физическую интерпретацию полученных результатов.
§ 6. Формула „обратных часов"
Заменяя в формуле (10.22) величину о> на 1/Т, получаем связь
между реактивностью и периодом реактора
Т’1
(10.27)
Величину реактивности иногда выражают в «обратных часах". .Обрат-
ный час" определяется как реактивность реактора, имеющего уста-
новившийся период, равный одному часу, т. е. 3600 сек. Таким
образом, для получения реактивности, равцрй одному .обратному
часу", следует подставить в формулу (10.27) Т — 3600 сек., поскольку
Учет запаздывающих нейтронов
337
величины Л< выражены в сек.-1. Формула для расчета реактивности
реактора в .обратных часах" (pih) получается в результате деления
выражения (10.27) на величину одного „обратного часа";
т
+У__А .
Рш ---------• (10.28)
___L__+У_______&__.
3600 Л8фф. ^ХЛ+3600 X,
Это выражение известно как формула „обратных часов*. Такое же
наименование приписывается иногда формулам (10.22), (10.23) и (10.27)
ввиду идентичности их с выражением (10.28). Действительно, все
эти формулы выражают одну и ту же величину — реактивность,
соответствующую определенному значению периода реактора.
§ 7. Одна группа запаздывающих нейтронов
Некоторое представление об относительной значимости устано-
вившегося и переходных членов уравнения (10.24) можно получить,
рассматривая простой случай, когда имеется только одна группа
запаздывающих нейтронов, характеризуемых постоянной распада X.
Величину Л мы определим как средневзвешенное значение по всем
реальным группам запаздывающих нейтронов. Легко видеть, что для
случая одной группы запаздывающих нейтронов уравнение (10.22)
принимает вид
la ; (Зо>
*афф. «о + X ’
(10.29)
т. е. превращается в квадратное уравнение относительно параметра <в.
Для упрощения дальнейших преобразований предположим, что вели-
чины /гИзв. и р весьма малы, так что можно приближенно считать
= 1. Последнее допущение не повлияет на общие выводы, выте-
кающие из приводимого ниже анализа. Подставляя в уравнение (10.29)
&8фф. — 1, получаем
х (10.30)
или
lufl -ф- (р — р -ф- /X) <и — Ар == 0.
Решения уравнения (10.30) имеют вид
“ = IT I- (Р - Р + А) ± /(р-р + /л)2 + 4/Лр] =
_ (Р-p + ZX) Г , 4/Хф ]
— 2/ L У 1 (?-р + &лг
22 За«. 724. С. Глесстои. М. Эдлунд
338
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
При условии ((Э — р ZX)2 12ZXp | можно считать, что
или
(P-P + ZX) (, Г
2/ II'
__ 2/Хр 1|
(P-p+ZX)2j|
p-p + ZX
z
где в случае (о, вторым членом в квадратных скобках мы прене-
брегли по сравнению с единицей.
В реакторе на тепловых нейтронах величина I обычно не превы-
шает 10-8 сек., а среднее значение Л для запаздывающих нейтронов
составляет примерно 0,08 сек."1 г); предположим, что реактивность
р == 0,0025, тогда величина 2/Лр = 0,4 • 10~6. Учитывая, что р = 0,0075,
легко получить (р — р-|-/л)2 = 26 • 10~6, т. е. значительно больше
0,4- 10~6. Таким образом, для случая р<^ 0,0025 условие (р — р-|-
-|- ZX)2 | 2/Лр | выполняется достаточно точно. Заметим, что ввиду
малости произведения /Л по сравнению с разностью р—р (/Ляа8 • 10-6,
в то время как р — р^>5« 10-8) можно пренебречь величиной ZX по
сравнению с р—р, что дает возможность записать решения (10.30)
в следующем виде:
(10.31)
На практике обычно представляет интерес случай, когда р — р > О,
т. е. р > р. Легко видеть, что это условие соответствует сделан-
ному выше предположению о малости величины р. Таким образом,
при р — р > 0 и при условии, что р положительно, величина а>0
будет положительным решением уравнения (10.30), a cdj будет отри-
цательно.
Формула, описывающая изменение нейтронного потока со време-
нем, имеет вид
Ф = Лое*“°-}-Л1е*“‘. (10.32)
Концентрация предшественника запаздывающих нейтронов в соответ-
ствии с (10.17) выражается соотношением
С = + (10.33)
На первый взгляд может показаться, что формулы (10.32) и (10.33)
содержат четыре произвольные постоянные, однако легко убедиться
в том, что только две постоянные независимы. В самом деле, вели-
1) Средняя постоянная распада есть величина, обратная среднему вре-
мени жизни, которое равно S fV,-/ S ₽f. Поэтому X = р/ £ р^г=0,0075/0,094=
= 0,08. Такое определение дает (асимптотически) результаты, эквивалентные
выводам, полученным при рассмотрении всех групп запаздывающих иейтро-
вов (см. § 8). — Прим. авт.
Учет запаздывающих нейтронов
339
чины Ф и С связаны соотношением (10.13), которое для случая
одной группы запаздывающих нейтронов сводится к уравнению
+ (10.34)
Подставляя в это уравнение выражения (10.32) и (10.33), получаем
= - X + В.е^) + j Р Sa (Лое*0’» + А^).
С другой стороны, дифференцируя (10.33), найдем
So‘uoc#<u° + В1<о1е*ш-
Сравнивая в полученных выражениях коэффициенты при и
приходим к соотношениям
Для исключения параметров <й0 и <ох воспользуемся формулами (10.31).
Пренебрегая, как и выше, величиной к/ по сравнению ср — р, полу-
чим окончательно
Во==^(Цр)ЕаЛо „ Bi==_* (10 35)
Как видно из формул (10.35), связь между соответствующими посто-
янными А я В выражается посредством величин, определяющихся
микроскопическими свойствами данного реактора, поэтому остается
определить только две произвольные постоянные. Для этой цели
требуются два начальных условия. Во-первых, вспоминая сделанное
ранее предположение о стационарности реактора в момент / —0 и
пользуясь соотношением (10.32), легко получить
Ф(/=0) = Фо = ло4-лг (10.36)
Во-вторых, учитывая, что при условии стационарной работы реак-
тора концентрация предшественников не должна меняться со време-
нем, потребуем, чтобы производная dCjdt обращалась в нуль при
/ = 0. Принимая во внимание (10.34), получим
О = -ЛСо+|^„Фо,
ИЛИ
ь 6
Q = (10 37)
Далее, из формулы (10.33) следует, что при / = 0
С(/=0) = Со = В0 + В1.
(10.38)
22*
340
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
Пользуясь соотношениями (10.37) и (10.35), введем в формулу
(10.38) соответствующие выражения для Со, Во и Вг. В результате
получим
Заменяя в соответствии с (10.36) Аг на Фо — Ао и сокращая на £с,
после несложных преобразований найдем
Ф"”ДФ»' (10-39)
>• +₽-р
При получении последней формулы мы пренебрегли величиной
/^/(Р — р), имеющей порядок 10~3, по сравнению с первыми слагае-
мыми числителя и знаменателя, составляющими примерно 10~г.
Из (10.39) и (10.36) следует, что
Л^-р-^Фо. (10.40)
Подставляя этот результат совместно с формулами (10.31)
в равенство (10.32), получим окончательное выражение для нейтрон-
ного потока в данной точке как функцию времени при наличии одной
группы запаздывающих нейтронов и при малой реактивности:
Ф = фо р) — е-<₽-Р> . (10,41)
Интересно отметить, что поскольку в условиях применимости фор-
мулы (10.41) величина 0— р положительна, второй член в квадрат-
ных скобках имеет отрицательный коэффициент, если реактивность р
положительна. Таким образом, нейтронный поток представляется
разностью двух членов, из которых один с течением времени растет,
а другой падает.
Для иллюстрации полученной закономерности рассмотри^ кон-
кретный пример. Предположим, как и выше, что /=10~3 сек. и
р = 0,0025. Пусть, кроме того, Х = 0,08 сек.-1 и $ = 0,0075.
Тогда, как было уже показано ранее, условия применимости рас-
сматриваемого приближения удовлетворяются. Подставляя численные
значения в уравнение (10.41), получим
ф = ф0 (1,5 е°-°« — 0,5 е-«).
Оба члена последней формулы и разность между ними изображены
графически на фиг. 72.
Теперь следует обратить внимание на ряд интересных обстоя-
тельств. Прежде всего видно, что второй (переходный) член почти
полностью затухает в течение 1 сек.; вклад, вносимый им в величину
Учет запаздывающих нейтронов
341
полного потока, к исходу первой секунды составляет около 0,2°/о.
Вообще, второй член становится пренебрежимо малым за время
порядка 5/| <0j ], т. е. 5//({3— р). В течение всего последующего вре-
мени нейтронный поток
по существу равен пер-
вому члену уравнения
(10.41). При этом
ф ~ Р . еМ/(₽-р)
Р —Р
и, следовательно, устано-
вившийся период реакто-
ра выражается формулой
(10.42)
Для рассмотренного выше
примера эта формула дает
период, равный 25 сек.
Полученный результат
следует сравнить с пе-
риодом 0,4 сек., вычи-
сленным для реактив-
ности 0,0025 в предпо-
ложении, что все нейтроны
являются мгновенными.
В случае очень малых
реактивностей можно пре-
небречь величиной р по
сравнению с р. При этом
формула (10.42) прини-
Время, сек.
Фиг. 72. Изменение нейтронного потока со
временем при положительной реактивности.
мает вид
Тж
>.Р •
(10.43)
Заметим далее, что, как видно из графика фиг. 72, немедленно
после скачкообразного изменения коэффициента размножения (т. е.
при значениях времени, весьма близких к t = 0) происходит быстрое
нарастание нейтронного потока. При этом скорость увеличения потока
почти такая же, как и в случае, когда все нейтроны являются мгно-
венными. Однако по истечении некоторого небольшого промежутка
времени начинает действовать эффект запаздывающих нейтронов и
поток возрастает более медленно.
Первоначальный наклон графика Ф(/) можно получить, если про-
дифференцировать (10.32) по времени и затем положить /=0.
Таким образом,
дФ , , . . .
(при / = О) = Дошо-|-Д1<В1.
342
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
Подставляя сюда значения Ао, <в0 и в соответствии с форму-
лами (10.31), (10.39) и (10.40), получим
1 дФ0 Хр₽ । р
(Р—рР
(10.44)
Из формулы (10.25) следует, что
£дФ _J_
Ф dt ~ Т '
и, следовательно, можно рассматривать левую часть уравнения (10.44)
как величину, обратную установившемуся периоду реактора при t = 0.
Обозначая указанный период через 7^, приходим к соотношению
I И । р
(10.45)
При сравнительно небольших значениях параметра р оказывается
возможным пренебречь первым членом в правой части уравнения (10.45).
Так, для рассмотренного выше примера первый член уравнения соста-
вляет всего 0,06, в то время как второй член равен 2,5. При мень-
ших значениях величины р относительное различие еще больше. Сле-
довательно, формула (10.45) может быть переписана в виде
L ~ 1
Р ^изб.
(10.46)
Этот результат вытекает из определения р как отношения АИЭб./йВфф.
и соответствует предположению о близости величины йВфф. к единице.
Легко видеть, что полученное выражение совпадает с формулой (10.12),
выведенной для случая, когда все образующиеся при делении ней-
троны являются мгновенными. Таким образом, при малых реактив-
ностях наличие запаздывающих нейтронов почти не влияет на началь-
ную скорость увеличения потока.
Полученный результат можно физически истолковать следующим
образом. Количество запаздывающих нейтронов, вносящих свой вклад
в цепную реакцию в некоторый фиксированный момент времени,
пропорционально нейтронному потоку, который был в реакторе до
данного момента, т. е. несколько раньше. Количество же предше-
ственников, возникающих в результате актов деления (иными словами,
количество запаздывающих нейтронов, которые остаются еще некото-
рое время в связанном состоянии) в каждый данный момент времени
пропорционально величине нейтронного потока, соответствующей дан-
ному моменту. Если время, прошедшее после изменения параметра
мультипликации, мало и если (что особенно важно) мала реактивность,
величина нейтронного потока изменяется незначительно. При этом
количество запаздывающих нейтронов, принимающих участие в цеп-
ной реакции, не может быть значительно меньшим по сравнению
с числом запаздывающих нейтронов, находящихся в связанном со-
стоянии. Таким образом, в течение весьма короткого промежутка
Учет запаздывающих нейтронов
343
времени реактор ведет себя так, как будто все освобождающиеся
в процессе деления нейтроны являются мгновенными, и поток воз-
растает с периодом, равным примерно l/k^e. Однако по мере воз-
растания нейтронного потока количество запаздывающих нейтронов,
включающихся в цепную реакцию, уменьшается по сравнению с коли-
чеством запаздывающих нейтронов, возникающих в связанном состоя-
нии. В конечном счете скорость нарастания нейтронного потока опре-
деляется установившимся периодом, выраженным по формуле (10.42)
или, при малом р, по формуле (10.43).
Фиг. 73. Влияние запаздывающих нейтронов на скорость
возрастания потока со временем.
Полученные выше результаты можно сделать более наглядными,
если изобразить графически зависимость In Ф от времени, как это
сделано на фиг. 73. Действительное изменение In Ф показано на гра-
фике сплошной линией. Пунктирная линия соответствует случаю,
когда все возникающие при делении нейтроны являются мгновенными.
По мере того как время возрастает, сплошная линия постепенно пере-
ходит в прямую с наклоном, равным обратной величине установив-
шегося периода реактора.
§ 8. Малые реактивности
Вернемся теперь к общей задаче (10.22), связанной с учетом
всех т групп запаздывающих нейтронов. Рассмотрим два предельных
случая, при которых оказывается возможным получить простые выра-
жения для установившегося периода, проявляющегося после затухания
переходных членов. Прежде всего разберем случай, когда величины
344
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
^пзб. и р малы. Очевидно (см. фиг. 70), что при этом величина
также будет малой. Следовательно, при вычислении суммы в выра-
жении (10.22) величиной <и0 в знаменателях можно пренебречь по
сравнению с Таким образом, уравнение для р принимает вид
т
или, поскольку ш0==1/Т,
т
Решая последнее уравнение относительно Т, получаем
(10.47)
где, как и выше, it— средние времена жизни предшественников за-
паздывающих нейтронов или средние времена распада для запаздываю-
щих нейтронов. Для реакторов, работающих на тепловых нейтронах,
I по порядку величины не больше 10-8 сек. и, поскольку близко
к единице, первый член в квадратной скобке есть величина порядка
или меньше 10-8 сек. С другой стороны, второй член, представляю-
щий средневзвешенное значение времени запаздывания, равен, как
мы уже видели, примерно 0,1 сек. Это дает возможность пренебречь
величиной //&афф. и записать формулу (10.47) в виде
(10.48)
Интересно заметить, что при определении постоянной распада для
одной (усредненной) группы запаздывающих нейтронов в виде отно-
шения (см. примечание в § 7), выражения (10.43) и. (10.48),
полученные для случая очень малых реактивностей, полностью совпа-
дают.
При выводе формул (10.47) и (10.48) предполагалась малость
величины <оо по сравнению со всеми значениями Хг-, а следовательно,
и по сравнению с наименьшей из этих величин. Эквивалентное утвержде-
ние состоит в том, что величина Т, равная 1/<о0, должна превышать наи-
большее из всех значений tt. Как видно из табл. 5, наибольшее
значение tt составляет около 80 сек. В качестве довольно грубой
оценки можно считать, что формула (10.47) применима при значениях Т,
примерно больших 250 сек. Подставляя эту величину в (10.48) и вспо-
Учет запаздывающих нейтронов
345
миная, что 2РЛ~0,1, получаем следующее условие применимости,
нашего приближения:
p<«i = 0,0004.
Иными словами, при очень малых реактивностях (около 0,0004 или
меньше) можно пользоваться для расчетов формулой (10.47). Поскольку
для данного делящегося материала X есть величина постоянная,
из (10.48) следует, что при сделанных допущениях период реактора Т
обратно пропорционален реактивности. Следовательно, при заданной
(малой) величине реактивности и при выбранном горючем материале
период любого реактора на тепловых нейтронах будет один и тот же
независимо от времени жизни нейтрона I. Это свидетельствует о целе-
сообразности введенного нами ранее понятия реактивности.
При малых значениях реактивности величина /гйф$. близка к еди-
нице и р мало отличается от /гиз6.. При этом, как видно из (10.48),
период реактора можно считать равным средневзвешенному времени
запаздывания, деленному на &Изб.- Это соответствует результату, кото-
рый был уже получен из качественных соображений в § 4. Физически
это означает, что когда реактивность мала, скорость нарастания ней-
тронного потока определяется по существу временем запаздывания и
не зависит от значительно более короткого времени жизни нейтрона*).
§ 9. Большие реактивности
Рассмотрим теперь второй предельный случай; будем считать, что
реактивность велика (справа на фиг. 70) и по сравнению с <о0 вели-
чинами Х{ можно пренебречь. Тогда уравнение (10.22) принимает вид
(10.49)
Таким образом, величина установившегося периода определяется
в данном случае соотношением
I_______1_
*эфф. Р —₽'
(10.50)
Из вывода последнего выражения следует, что оно справедливо только
в том случае, если величина р велика и положительна; действительно,
оно имеет смысл только при условии, что р > р, в противном случае
1) Формула (10.48) справедлива только для очень малых реактивностей.
Однако, как легко видеть из (10.42), период реактора при заданной реактив-
ности остается еще независимым от времени жизни нейтрона при несколько
больших значениях величины р, например, вплоть до о Р» 0,005 (см. фиг. 71).—
Прим. авт.
346
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
период Т был бы отрицательным. Пренебрегая й (10.50) величиной р
по сравнению с р, получаем \
Следовательно, если реактивность (или фактор избыточной муль-
типликации) больше р (т. е. больше 0,0075), период реактора ста-
новится очень малым, приближаясь к величине, соответствующей слу-
чаю отсутствия запаздывающих нейтронов [см. (10.12)]. В этом
случае говорят, что реактор „опережает" запаздывающие нейтроны.
Влияние запаздывающих нейтронов исключается потому, что при
р > Р эффективный коэффициент размножения превысил бы единицу
даже при отсутствии запаздывающих нейтронов. Таким образом, ней-
тронный поток быстро увеличивается вследствие вклада, вносимого
одними мгновенными нейтронами, и реактор фактически ведет себя так,
как будто запаздывающие нейтроны отсутствуют, а реактивность равна
р—р. Действительное время жизни нейтрона определяет теперь
скорость возрастания потока и, следовательно, период реактора, в со-
гласии с равенствами (10.50) или (10.51).
Состояние реактора, при котором он становится критическим на
одних мгновенных нейтронах, иногда называют мгновенной критич-
ностью (см. гл. 4, § 14). Требуемое условие мгновенной критичности
может быть получено из уравнения (10.14). После исключения члена,
соответствующего источникахт запаздывающих нейтронов, это уравне-
ние преобразуется к виду
(1 — Р) /гяфф. — 1 = ф •
В реакторе, находящемся в критическом состоянии, поток не должен
изменяться со временем, так что производная d<bfdt = 0. Следова-
тельно, условие мгновенной критичности есть
(1— ₽)Мф-- 1 = 0,
«ли
АэФФ- = • (10.52)
Тогда из определения реактивности в (10.21) следует, что при мгно-
венной критичности
Р = ₽»
т. е. реактивность равна доле запаздывающих нейтронов. Таким об-
разом, реактор на тепловых нейтронах, в котором делящимся мате-
риалом является U236, достигает мгновенной критичности при вели-
чине реактивности, равной 0,0075. Эффективный коэффициент раз-
множения такого реактора в соответствии с (10.52) весьма близок
к 1,0075 (т. е. к величине 1 —|—Р). Если превысит эту величину,
нейтронный поток начнет с огромной скоростью нарастать и реактор
вскоре выйдет из-под контроля. При значении эффективного коэф-
Учет запаздывающих нейтронов
347
фициента размножения, меньшем 1,0075, управление реактором ста-
новится возможным благодаря эффекту запаздывающих нейтронов,
хотя период реактора уменьшается по мере того, как р приближается
к {3, т. е. к величине 0,0075.
§ 10. Отрицательные реактивности
До сих пор мы имели дело со случаями, когда реактивность
обусловливалась увеличением коэффициента размножения системы.
Однако уравнение (10.10), полученное для мгновенных нейтронов, и
уравнение (10.22), учитывающее эффект запаздывающих нейтронов,
так же как и формулы, выведенные из этих уравнений как следствия
[например (10.41) и (10.48)]х), справедливы как для положительных,
так и для отрицательных значений реактивности. Иными словами,
они могут быть использованы для случая, когда эффективный коэф-
фициент размножения претерпевает скачкообразное уменьшение. Слу-
чай, когда все рождающиеся в процессе деления нейтроны являются
мгновенными, не требует специального рассмотрения. Однако выясне-
ние роли запаздывающих нейтронов заслуживает внимания.
Как видно из фиг. 70, в общем случае при отрицательном значе-
нии реактивности все m-f-1 решений уравнения (10.22) отрицательны.
Зависимость потока от времени выражается при этом суммой т -|- 1
членов, каждый из которых имеет в экспоненте отрицательный пока-
затель и убывает по мере того, как время растет. Несмотря на то,
что первый член, соответствующий наименьшему по абсолютной
величине корню (отрицательному) <о0, убывает медленнее остальных и
в конце концов определяет установившийся период, он не играет
здесь такой существенной роли, как в случае положительной реактив-
ности.
Для того чтобы яснее представить себе эффект запаздывающих
нейтронов, рассмотрим одну группу запаздывающих нейтронов,
характеризующуюся средним значением постоянной распада. Уравне-
ние (10.41) применимо почти для любых отрицательных значений р.
При этом точность тем выше, чем больше р по абсолютной величине.
Последнее вытекает из допущений, сделанных при выводе уравнения
(10.41)®). Предположим теперь, что реактивность скачкообразно умень-
шилась на 0,0025, т. е. р =— 0,0025. Подставляя в (10.41) те же
значения I и X, что и выше, получим
Ф = Фо (0,75 е-°>02* -f- 0,25е-1М).
!) Заметим, что (10.50) и (10.51) справедливы только при условии, что р ве-
лико и положительно. — Прим. авт.
2) Главные допущения состоят в том, что (₽ — р -]- /Х)' | 2/Хр | и
s — р^>/Х. Очевидно, что при / = 0,001 сек. и Х=0,08 сек.-1 эти условия
справедливы почти для любого отрицательного значения величины р.—
Прим. авт.
348
Гл. 10. Временной режим реактора без отражателя
Заметим, что в полученном уравнении у обоих членов коэффициенты
положительны, а экспоненты имеют отрицательные показатели. Однако,
как видно из фиг. 74, второй член весьма быстро затухает. После
исчезновения этого члена установившийся период реактора при
р = —0,0025 составляет —1/0,02, т. е. —50 сек., что сравнимо
с величиной 25 сек. для положительного р, равного 0,0025. Если бы
все освобождающиеся при
делении нейтроны были
мгновенными, период ре-
актора равнялся бы соот-
ветственно—0,4 и 0,4 сек.
Таким образом, наличие
запаздывающих нейтронов
не только уменьшает ско-
рость возрастания потока
при положительном значе-
нии реактивности, но
уменьшает также (и даже
в большей степени) ско-
рость спадания потока при
отрицательной реактив-
ности (фиг. 75). Поэтому
О 0.2 0,4 0.6 0.8 1,0 1,2 1,4 1,6 1.8 2.0 2 2 оказывается невозможным
Время, сек уменьшать нейтронный
поток в реакторе бы-
Фиг. 74. Изменение нейтронного потока со стрее, чем это разре-
временем при отрицательной реактивности. шено наибольшим пери-
одом запаздывающих ней-
5
Е
о
о
С
С
Е
-
Е «
1-й член
0.9
0,8
0,7
0.6
0,5
0.4
0.3
0.21
0,1 -\
oL
Сумма
Реактивность отрицательна
р = - 0,0025
Ф = Ф0 (0.75e~ofi2t+0.25'!Ot)
2-й член
ч
Е
тронов.
Уравнение (10.46) (полученное независимо от знака реактивности)
показывает, что немедленно после скачкообразного уменьшения эф-
фективного коэффициента размножения в реакторе, работавшем ранее
в стационарном режиме, нейтронный поток убывает со скоростью,
соответствующей наличию одних мгновенных нейтронов. Физическая
интерпретация этого явления аналогична объяснениям, сделанным
в § 7 для случая, когда эффективный коэффициент размножения
возрастал. Однако по истечении некоторого короткого проме-
жутка времени начинает действовать эффект запаздывающих ней-
тронов, приводящий к значительному снижению скорости убывания
потока.
Проведенный выше анализ основывался на рассмотрении одной
группы запаздывающих нейтронов. В общем случае, т. е. при нали-
чии т запаздывающих групп, как видно из фиг. 70, при большом
отрицательном значении р величина <о0, соответствующая установив-
шемуся периоду реактора, близка к —Aj, где Xj — наименьшая постоян-
ная распада предшественников запаздывающих нейтронов. Установив-
Задачи
349
шийся период, равный 1/ш0, будет при этом равен — 1/Хп
т. е. —80,2 сек. (см. табл. 5). Следовательно, если реактор вне-
запно останавливается в
результате создания боль-
шой отрицательной реак-
тивности, поток начинает
быстро спадать. Однако
это продолжается в тече-
ние весьма короткого про-
межутка времени. После
исчезновения неустановив-
шихся членов поток будет
убывать экспоненциально
с периодом — 80 сек. На-
ряду с эффектом вто-
ричных нейтронов (ср.
гл. 4, § 14) этот период
определяет, после того
Фиг. 75. Сравнение положительной и отри-
цательной реактивностей.
как закончится переходной режим, максимальную скорость оста-
новки реактора.
ЗАДАЧ И
1. Построить график зависимости потока тепловых нейтронов от времени
для' реактора, вышедшего из стационарного режима в результате скачко-
образного изменения реактивности на 0,0025. Объединить запаздывающие
нейтроны в одну группу, положив X = 0,08 сек. -1 и р = 0,0075. Рассмотреть
три случая, принимая время жизни нейтрона равным последовательно 10 4,
10-5 и ю-e сек.
2. С целью получить так называемую нестационарную диффузионную
функцию влияния, решить нестационарное уравнение диффузии, предпола-
гая что па некоторой плоскости размещен мгновенный источник, испускаю-
щий один нейтрон с 1 см2 [т. е. пусть S (х, f) = о (х) 6 (£)]. Через какое
время после вспышки источника интенсивность нейтронов в данной точке
среды достигает максимума? Чему равно время запаздывания в графите на
расстоянии 200 см от источника?
3. Решить задачу 2 для случая осциллирующего источника
S (х, /) = 6 (х) eiu>t.
Определить нейтронную плотность как функцию пространственных координат
и времени. Плотность нейтронов в данном случае представляется затухающей
волной. Найти скорость распространения волны, длину волны и фактор за-
тухания, т. е. расстояние, на котором интенсивность убывает в е раз.
Глава 11
УПРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРОМ
НАРУШЕНИЕ НЕЙТРОННОГО БАЛАНСА
§ 1. Введение
В условиях стационарной работы реактора эффективный коэф-
фициент размножения должен оставаться равным единице; иными
словами, система должна быть точно критической. Однако если реак-
тор имеет как раз критические размеры, то он не может сколь
угодно долго работать в стационарном режиме. Существует целый
ряд факторов, изменяющих эффективный коэффициент размножения
системы, причем большинство из них с течением времени приводит
к постепенному уменьшению нейтронного потока и к снижению уровня
мощности. Мы рассмотрим здесь главные источники, вызывающие
нарушение нейтронного баланса, а именно, выгорание делящегося
вещества, отравление системы продуктами деления и температурные
эффекты. Очевидно, что имеются еще и другие внешние факторы,
оказывающие влияние па эффективный коэффициент размножения,
например изменение барометрического давления в большом реакторе
с воздушным охлаждением. Изменение давления воздуха, циркули-
рующего в реакторе в качестве охладителя, сопровождается измене-
нием поглощения тепловых нейтронов в азоте (<зо=1,5 $арна).
В процессе работы реактора происходит уменьшение количества
делящегося вещества в активной зоне. Поэтому если кампания рас-
считана на продолжительное время, загрузка горючего должна пре-
вышать величину критической массы. Допустимая глубина выгорания
зависит от целого ряда факторов: размеров и формы реактора, его
конструкции, состава материалов и потери нейтронов излучением
с единицы массы горючего вещества. В мощных реакторах допусти-
мое выгорание составляет обычно 5—10%. Это означает, что началь-
ная загрузка делящегося вещества должна на 5-—10% превышать
величину начальной критической массы. Иными словами, реактор
вначале должен иметь несколько процентов добавочной реактивности
в качестве запаса, рассчитанного на выгорание горючего вещества.
§ 2. Температурные эффекты
Работа реактора связана с выделением энергии, а следовательно,
и с повышением температуры. Независимо от эффективности охла-
ждающего устройства, температура отдельных частей системы в ра-
бочем режиме всегда выше, чем в подкритическом состоянии реактора.
Нарушение нейтронного баланса 351
Поскольку делящиеся и замедляющие материалы при нагревании
расширяются, плотность их падает. Одним из результатов этого
является увеличение диффузионной длины и возраста тепловых ней-
тронов. Вероятность утечки замедляющихся и тепловых нейтронов
также возрастает. Это означает, что с повышением температуры кри-
тическая масса реактора растет. Поэтому оказывается необходимым
ввести в реактор такое количество горючего материала, которое
обеспечивало бы добавочную реактивность, предназначенную для ком-
пенсации эффекта изменения плотности.
Далее, одним из факторов, определяющих критическую массу
реактора, является соотношение между поперечными сечениями деле-
ния, поглощения и рассеяния тепловых нейтронов в делящемся веще-
стве и в замедлителе. Повышение температуры внутри реактора при-
водит к увеличению средней энергии тепловых нейтронов. Это влечет
за собой изменение величин, зависящих от поперечных сечений. Таким
образом, должны измениться диффузионная длина, возраст теплового
нейтрона, среднее число (-ц) быстрых нейтронов, образующихся при
захвате одного теплового нейтрона, тепловое использование f и
вероятность избежать резонансного поглощения.
Если сечения деления и захвата тепловых нейтронов изменяются
по закону 1/т», величины и f должны остаться неизменными.
Однако вероятность избежать резонансного захвата изменится под
влиянием так называемого ядерного „эффекта Допплера” *). Вслед-
ствие возрастания кинетической энергии ядра-мишени (U238), при по-
вышении температуры увеличивается эффективная ширина резонанс-
ной кривой. Высота резонансного пика при этом уменьшается, так
что общая площадь, лежащая ниже резонансной линии, остается не-
изменной. При больших сечениях резонансного захвата по существу
поглощаются все нейтроны, энергия которых лежит в пределах эф-
фективной резонансной области. Поэтому связанное с повышением
температуры уширение резонансных кривых приводит к уменьшению
вероятности „проскока” замедляющегося нейтрона через резонансную
область.
§ 3. Влияние зашлаковывания продуктами деления
Длительная эксплуатация реактора связана с накоплением как
самих осколков деления, так и многочисленных продуктов их рас-
пада. При этом некоторые из накапливающихся изотопов (изотопы
с большими сечениями для захвата нейтронов) могут действовать на
систему как вредные поглотители. Если вредные поглотители обра-
зуются в значительных количествах, баланс нейтронов в реакторе
будет нарушаться. Ввиду того, что процесс образования продуктов
!) В е t h е Н. A., Rev. Mod. Phys., 9, 140 (1937). — Прим. авт. (См. пере-
вод: Бете Г., Физика ядра, ч. II, М. — Л., 1948. — Прим. ред.).
352
Гл. 11. Управление реактором
радиоактивного распада продолжается даже после снижения уровня
мощности, концентрация вредных поглотителей после выключения
реактора может возрастать, достигая некоторого максимума. Для того
чтобы обеспечить возможность пуска реактора в любой момент после
выключения, необходимо иметь дополнительный запас реактивности
для компенсации эффекта отравления.
В этой связи представляют особый интерес два изотопа Хе136 и
Sm149, имеющие огромные сечения для захвата тепловых нейтронов.
Одним из непосредственных продуктов деления является изотоп Те186.
Выход изотопа Те185 при делении U236 на медленных нейтронах
составляет 5,6%. Процесс радиоактивного распада ядра Те186 про-
ходит в несколько последовательных этапов, сопровождающихся
испусканием отрицательных {3-частиц:
Те13б J13B Xeiss Cs183 Ва138 (устойчив).
Из всех этих изотопов Хе188 обладает наибольшим сечением захвата
тепловых нейтронов; при обычных температурах сечение ядра Хе186
составляет около 3,5 • 106 барнов. Ввиду того, что Хе186 получается
при распаде ядер Те18Б, образующихся в области относительно боль-
ших выходов осколков деления, влияние Хе135 на нейтронный баланс
может оказаться весьма значительным. Изотоп Sm149 устойчив и
представляет собой конечный продукт цепочки распадов
Ndl49 t72£C.^ Рп1149 Slnl49 (устойчив).
Выход для этой цепочки составляет около 1,4% от числа делений.
Сечение захвата тепловых нейтронов для Sm149 равно примерно
5,3 • 104 барнов. Несмотря на то, что это сечение огромно, оно все
же не так велико, как у Хе186. Кроме того, Sm149 образуется в реак-
торе в меныпем количестве, чем Хе136. Поэтому отравление системы
изотопом Sm149 менее значительно, чем отравление изотопом Хе136.
РЕГУЛИРУЮЩИЕ СТЕРЖНИ
§ 4. Назначение регулирующих стержней
Из предыдущего анализа ясно, что для поддержания непрерывной
работы реактора, а также для пуска реактора вскоре после выклю-
чения необходимо вводить в действие реактивность, находящуюся до
известного времени как бы в скрытом состоянии. В условиях перво-
начального пуска реактора эта реактивность является излишней,
однако она должна высвобождаться в возрастающем количестве, по
мере того как поднимается температура, выгорает делящееся веще-
ство и накапливаются продукты деления. Эта задача разрешается
путем постройки реакторов с избыточной реактивностью за счет
введения увеличенного количества делящегося вещества, превышаю-
Регулирующие стержни
353
Фиг. 76. Распределение нейтронного по-
тока в реакторе с регулирующим стержнем
и без него.
щего минимальную критическую массу, и компенсации избыточной
реактивности с помощью регулирующих стержней. Для тепловых
реакторов регулирующие стержни изготовляются обычно из кадмия
или бористой стали; изотопы Cd113 и В10 имеют большие сечения
захвата тепловых нейтронов.
В момент первоначального пуска регулирующие стержни погру-
жены в реактор настолько, что система находится точно в крити-
ческом состоянии. С течением времени, по мере того как под воз-
действием перечисленных
выше факторов эффектив-
ный коэффициент размноже-
ния реактора спускается
ниже единицы, реактору
сообщается добавочная реак-
тивность посредством посте-
пенного вытягивания регули-
рующих стержней. Таким
образом, уменьшение захвата
нейтронов в регулирующих
стержнях в точности компен-
сирует снижение коэффи-
циента размножения, обу-
словленное выгоранием де-
лящегося вещества, темпе-
ратурными эффектами и
отравлением.
Не менее важную роль
играют регулирующие стерж-
ни при включении и выклю-
чении реактора. В остано-
вленном реакторе регули-
рующие стержни погружены
что эффективный коэффициент размножения значительно меньше
единицы. Чтобы обеспечить возможность пуска реактора, необходимо
постепенно вытягивать регулирующие стержни наружу до тех пор,
пока реактивность не сделается малой положительной величиной.
В результате реактор приходит в надкритическое состояние и ней-
тронный поток возрастает, как было показано в гл. 10.
После того как достигнут требуемый уровень мощности, регули-
рующие стержни приводятся в положение, соответствующее йэ$ф. = 1.
При этом поток и уровень мощности остаются постоянными, если не
учитывать флюктуаций статистического характера. Наоборот, для вы-
ключения реактора следует быстро сбросить регулирующие стержни
в активную зону. Это приводит к увеличению паразитного захвата
нейтронов и к уменьшению эффективного коэффициента размно-
жения до значений, меньших единицы. Таким образом, извлечение
в активную зону настолько глубоко,
?3 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
354
Гл, 11. Управление реактором
регулирующих стержней вызывает увеличение реактивности, в то время
как погружение их снижает реактивность. Связанные с этим изме-
нения нейтронного потока были уже рассмотрены нами в предыдущей
главе.
Действие регулирующего стержня не ограничивается увеличением
паразитного захвата нейтронов. Наличие в реакторе регулирующего
стержня приводит и к другому эффекту, уменьшающему эффектив-
ный коэффицент размножения. Вследствие сильного поглощения ней-
тронов в стержне распределение потока тепловых нейтронов в реак-
торе заметно меняется, как это показано н.а фиг. 76.
Пунктирная кривая показывает распределение потока при отсут-
ствии регулирующего стержня, сплошная кривая изображает эффект,
обусловленный введением стержня. В последнем случае поток фак-
тически равен нулю как на стержне, так и на экстраполированной
границе реактора. Как видно из графика, это приводит к относитель-
ному увеличению потока тепловых нейтронов вблизи границы, а сле-
довательно, к увеличению вероят-
ности утечки тепловых нейтро-
нов. Физически захват тепловых
нейтронов стержнем означает, что
относительно большее число деле-
ния происходит в периферийной
зоне реактора. Это влечет за собой
увеличение нейтронного потока
в слоях, прилегающих к границе,
увеличение утечки нейтронов и
уменьшение эффективного коэф-
фициента размножения.
Ф и г. 77. Цилиндрический реактор
с центральным регулирующим
” стержнем.
§ 5. Теория регулирующих
стержней: одногрупповое
рассмотрение
Теоретический расчет реактив-
ности, эквивалентной одному регу-
лирующему стержню, в зависи-
мости от известных характеристик
реактора сравнительно прост в
случае большого гомогенного
реактора без отражателя, выпол-
ненного в форме ограниченного цилиндра и имеющего один цилиндри-
ческий регулятор, расположенный в центре на оси симметрии. Обозна-
чим радиус реактора через /?. его высоту через Н, а радиус
регулятора через /?0 (фиг. 77]
Для упрощения задачи предположим, что стержень, введенный
внутрь реактора, вытесняет вдоль центральной оси равновеликий
Регулирующие стержни
355
цилиндр, однако при выведенном стержне полость в центре реактора
отсутствует. Сделанное нами допущение приводит к несколько за-
вышенной оценке эффективности регулирующего стержня. Действи-
тельно, это допущение сводится к тому, что стержень не только
поглощает нейтроны, но и вытесняет из центральной зоны реактора
некоторую часть активного вещества.
Для решения задачи воспользуемся одногрупповым методом, т. е.
будем предполагать, что все нейтроны рождаются, диффундируют и
поглощаются при одной и той же энергии (см. гл. 8, § 4). Уточнен-
ное одногрупповое условие критичности (8.13) имеет вид
(11л)
где 7И2 = £24~т— площадь миграции, а В2— геометрический пара-
метр. Таким образом, для реактора в критическом состоянии
1. (11.2)
Как указывалось выше (см. гл. 7, § 8), в случае конечного ци-
линдрического реактора переменные гиг разделяются и В2 может
быть записано в виде
Д2=а2-|_₽2. (11.3)
Ввиду того, что при выведенном стержне рассматриваемый нами
реактор представляет собой ограниченный цилиндр с высотой И и
радиусом R, можно воспользоваться результатами, полученными в гл. 7
таким образом,
так что
Напомним, что граничные условия состоят в том, что нейтронный
поток должен выражаться ограниченной неотрицательной функцией,
обращающейся в нуль на (экстраполированной) границе реактора 1).
При введенном регулирующем стержне граничные условия задачи
должны измениться. Мы будем исходить из предположения, что ре-
гулирующий стержень „черный “ для тепловых нейтронов, так что
каждый тепловой нейтрон, попадающий на стержень, поглощается
в нем. Следовательно, ни один из нейтронов, падающих на стержень,
обратно не возвращается. Это обстоятельство позволяет ввести новое
граничное условие, т. е. считать, что нейтронный поток обращается
в нуль внутри стержня при значении радиуса R' — Ro — d, где
’) Как и выше, здесь предполагается, что величины R и И включают
в себя длины линейной экстраполяции. — Прим. авт.
23*
356
Гл. II. Управление реактором
d — длина линейной экстраполяции для цилиндра. В соответствии
с кинетической теорией d может отличаться от величины 0,71 kt, полу-
ченной для плоской поверхности. Как известно (см. гл. 14, § 14),
для поверхности с радиусом кривизны, малым по сравнению с Л(,
длина экстраполяции приближается к 4/3 kt.
Поскольку переменные г и z разделяются, введение регулирую-
щего стержня не оказывает влияния на распределение потока Z(z),
зависящее только от z. Следовательно, величина |>2 остается той же
самой, т. е. равной (тг/Н)2. Однако функция 0(г) должна измениться.
Как было показано выше (см. гл. 7, § 8), общее решение урав-
нения для О (г) дается выражением
0(г) = Л/о(аг)-|-СГо(аг), (Н.5)
где А и С—произвольные постоянные, а /0 и Ко-—функции Бес-
селя нулевого порядка, первого и второго рода соответственно.
При рассмотрении цилиндрического реактора второй член отбра-
сывался ввиду того, что он обращал в бесконечность поток на оси
цилиндра. Однако в случае кольцеобразной области, не содержащей
оси цилиндра, наличие в (11.5) второго члена не противоречит гра-
ничным условиям, требующим, чтобы поток был повсюду конечным
и неотрицательным.
Одно из граничных условий состоит в том, что нейтронный по-
ток должен обращаться в нуль на экстраполированной границе, т. е.
при r = R. Поэтому, пользуясь выражением (11.5), можно написать
Л/о (а/?)-|-СК0 («/?) = 0.
Это дает соотношение между А и С'.
с______ AJn (аГ)
Уо(а/?) ’
и, следовательно, (11.5) принимает вид
0(г) = Лро(аг) —А^уо(аг)1. (ц.6)
Коэффициент А, являющийся в данном случае просто множителем
пропорциональности, определяется уровнем мощности реактора.
В большом реакторе на тепловых нейтронах, т. е. при Ro<^ZR,
изменение величины а, требующееся для приведения реактора в кри-
тическое состояние при введенном регулирующем стержне, весьма
мало. Пусть а0 есть значение а для реактора с выведенным регули-
рующим стержнем. Тогда разность между а и а0 может быть запи-
сана в виде
а — сс0—Да» (11.7)
Регулирующие стержни
357
где Ла — малая величина. Функции Бесселя нулевого порядка можно
при этом представить в виде
/о («/?) = 4 1(«о + Д«) Я] -• Jo («оФ +
^J0(a0R)-J,(a0R)&«R. (11.8)
Для реактора в критическом состоянии без регулятора a0R = 2,405
(см. гл. 7, § 8), так что
Л)(аоЯ)=О и Д 0,519.
Поэтому (11.8) дает
/0(а/?)^ — 0,519 Да/?. (11.9)
Далее, ввиду того что а — а0 мало,
Г0(а/?)^Г0(а0Я) = 0,510. (11.10)
При малых значениях г, т. е. когда аг мало, можно пользоваться
следующими асимптотическими выражениями:
Л)(а/’)~> 1, (ПН)
У0(аг)—> — ~ (0,1164-1п^). (11.12)
Подставляя эти выражения вместе с (11.9) и (11.10) в (11.6), по-
лучаем формулу, выражающую распределение потока по г:
0(г)^уф — — 2,44(о, 116-1-In (11.13)
Избыток коэффициента размножения Д£, величина которого ком-
пенсируется стержнем, определяется соотношением
Д/г = k — /г0,
где k — коэффициент размножения для реактора с введенным стерж-
нем, a k0—соответствующая величина при отсутствии стержня. Ком-
бинируя (11.2) с (11.3), получаем
ft = Af2(a2_]_p2)_|_ 1
^0==Л42(аМ-₽2)+1,
так что
Дй=хЛ12(а2__а2).
Деля обе части уравнения на а* и переставляя члены, найдем
358
Гл. 11. Управление реактором
В соответствии со сделанным выше предположением малости ве-
личины Да из формулы (11.7) можно получить
а2 — Яр 2Да
°0 “О
Из сравнения полученного выражения с формулой (11.141 следует
2Аа_ Ь/г
% м'а'о ’
Следовательно, выражение (11.13) можно записать
= 01.15)
Теперь введем приведенное ранее граничное условие, т. е. по-
требуем, чтобы поток обращался в нуль при r = R' (при эффектив-
ном значении радиуса регулирующего стержня). Ввиду того, что ве-
личину R' можно считать малой (в особенности для случая большого
реактора на тепловых нейтронах), ее можно подставить вместо г
в выражение (11.15). Приравнивая результат нулю и решая получен-
ное уравнение относительно Д/г, находим
Q0# 116 +1п 24^) ’ (И.16)
где R' = Ro — d в соответствии с определением, сделанным ранее.
Полученное выражение дает возможность приближенно оценить
максимальный избыток коэффициента размножения, который может
компенсироваться регулирующим стержнем, расположенным в центре
большого реактора. Следует напомнить, что использованные нами
члены с нулевым индексом относятся к критическому состоянию
реактора при условии, что регулирующий стержень вынут и осво-
бодившийся объем заполнен активным материалом.
Проделанное выше одногрупповое рассмотрение имеет три суще-
ственных недостатка. Во-первых, после извлечения регулирующего
стержня на месте его остается пустое пространство, в результате
чего имеет место утечка нейтронов из реактора, отрицательно влияю-
щая на величину реактивности. Ввиду этого, очевидно, сделанная
выше оценка Lk несколько завышена. Обычно на практике учиты-
вают падение реактивности, обусловленное утечкой нейтронов по
вертикальному каналу, а затем вычитают полученную величину из
вычисленного по формуле (11.16) значения Д/г. Во-вторых, объеди-
нение всех нейтронов в одну группу дает завышенное значение для
захвата нейтронов регулирующим стержнем. Это обстоятельство также
завышает величину Д/г. Как будет показано ниже, более точное при-
ближение получается в результате рассмотрения двух групп нейтронов.
Регулирующие стержни
359
При этом можно учесть более слабое поглощение быстрых ней-
тронов сравнительно с тепловыми. Наконец, в-третьих, следует за-
метить, что, если размеры стержня не превышают двух или трех
транспортных длин в центральной части реактора, теория диффузии
неприменима.
§ 6. Теория регулирующих стержней: двухгрупповое
рассмотрение
Расчет эффективности регулирующего стержня можно уточнить,
если ввести две группы нейтронов, как это сделано в гл. 8. Ввиду
того, что поглощение быстрых нейтронов в стержне относительно
малб, граничные условия на стержне для потоков быстрых и медлен-
ных нейтронов будут различными. На поверхности стержня градиент
потока быстрых нейтронов равен нулю, т. е. количество быстрых
нейтронов, проникающих в стержень, равно количеству быстрых ней-
тронов, вылетающих из стержня. Физически это эквивалентно до-
пущению, что регулятор совершенно не поглощает быстрых нейтро-
нов. Для потока медленных нейтронов принимается то же граничное
условие, что и в одногрупповой задаче.
Как уже указывалось выше, выражение для потока представляется
в виде произведения двух функций, из которых одна характеризует
распределение потока по радиусу, а другая — по высоте. При этом
радиальная часть потока как для быстрых, так и для медленны
нейтронов удовлетворяет волновому уравнению
V2© (г) -|- а2© (г) = О,
где а2 может принимать любое из двух значений, получающихся в ре-
зультате решения характеристического уравнения, полностью анало-
гичного (8.44). Формулы для обоих значений а2 [см. (8.45) и (8.46)[
имеют вид
1>’Ч[-(4+й+/и+й,+ед с-17)
причем р2 положительно, если k > 1, и
4(й- 1) ]
(11.18)
где v2—также положительная величина.
Радиальные части обоих потоков представляют собой линейные
комбинации, составленные из решений уравнений
-j- <AY, = 0 и V2X2 — v2X> = 0.
(11.19)
360
Гл. Н. Управление реактором
Для рассматриваемого случая кольцеобразного реактора решения
(11.19) с точностью до произвольного множителя запишутся в виде
— А (к) + -4 У0 (к),
X2 = C70(vr) + /C0(vr).
Граничное условие, состоящее в том, что потоки быстрых и мед-
ленных нейтронов обращаются в нуль на внешней экстраполирован-
ной границе цилиндрического реактора, будет удовлетворено, если
подобрать А и С так, чтобы функции Xi и Х2 были равны нулю
при r = R; таким образом,
^о(иг), (11.20)
что аналогично (11.6), и
Ъ = *о (vr) - /0(vr). (11.21)
Считая, что размеры реактора велики, положим
р, = ji0 -[- Др,,
где р-0 — значение р. для реактора в критическом состоянии без ре-
гулирующего стержня, а Др — малая величина. Производя те же са-
мые выкладки, что и при выводе (11.13), преобразуем выражение
(11.20) к виду
^^/о(к) + 2>44^У0(к). (П-22)
Далее, при малых значениях г в формуле (11.21) можно пренебречь
вторым членом по сравнению с первым, при этом
Х^К0(уг). (11.23)
Радиальную часть потока быстрых нейтронов можно записать в виде
^=Хг + АХ^
и, следовательно, принимая во внимание (11.22) и (11.23), получаем
е, =J0(k) + 2,44^ У0(рг)+ДК0(>г). (11.24)
Теперь мы можем приближенно удовлетворить граничному усло-
вию, требующему, чтобы градиент потока быстрых нейтронов обра-
щался в нуль на поверхности регулирующего стержня, т. е.
0 ПРИ г = ^о-
Дифференцируя (11.24) по г и приравнивая производную нулю, по-
лучим
— НА W + 2>44 /о (н/?0) + АК'й = 0,
Но
где штрихи означают, что берутся производные по г.
Регулирующие стержни
361
Ввиду того, что при малых значениях аргумента (р./?0) —> О,
А == — 2,44
Др. Ур (р/?0)
Р'О (v^?0)
(11.25)
Предельное выражение для K0(|J.r) при малых аргументах дается со-
отношением (11.12). Соответствующая формула для К0(уг) имеет вид
Ko(vr)->O,U6 + lnl. (11.26)
Следовательно, при малых аргументах
^о(^о) 2/я/?0„ 2
K'^R0) 1//?0 «’
Подставляя полученный результат в (11.25), найдем приближенное
значение А, удовлетворяющее граничному условию на поверхности
стержня:
Л = 2,44——. (11.27)
Радиальная часть потока медленных нейтронов определяется фор-
мулой
02 = 51Х1-|-Л52Х2, (11.28)
где и — коэффициенты, выражающие связь между потоками
быстрых и медленных нейтронов. Коэффициенты и 52 даются фор-
мулами (8.52) и (8.55). В интересующем нас случае большого реактора
на тепловых нейтронах разность k — 1 много меньше единицы, и,
следовательно, (11.17) и (11.18) можно представить в виде
При указанных значениях р.2 и v2 выражения для коэффициентов
и принимают вид
е
и
2 О2’
так что
362
Гл. 11. Управление реактором
Подставляя в уравнение (11.28) Хх и Х2 из (П-21) и (11.22),
А из (11.27) и S2/S1 из (11.29), получим
I - 4 (к) + 2,44 £ [ !„ (К) -К, М i I] •
При малых г функции J0(pr), Y0(pr) и К0(уг) выражаются асимпто-
тическими формулами (11.11), (11.12) и (11.26) соответственно. По-
этому для случая, когда г малб,
1—2,44 — — Го,116-j-ln l-4-^fo, 116 + 1П-Ц1 (11.30)
Sj ио « L иг 1 £2\ 1 w/j v '
Производя те же выкладки, что и в § 5, можно показать, что
2Д;л__ ДА"
77
Подставим полученное соотношение в формулу (11.30) и введем гра-
ничное условие, требующее, чтобы поток тепловых нейтронов обра-
щался в нуль на границе регулирующего стержня, т. е. при r — R'.
Таким образом, полагая 02(/?/) = О и решая преобразованное урав-
нение (11.30) относительно Aft, найдем
Дйя;7»![о,11б(1+р)+£г1"^ + 1пгда]“- (П-31)
Полученная нами формула дает в двухгрупповом приближении макси-
мальный избыток коэффициента размножения, который может ком-
пенсироваться регулирующим стержнем.
Значения Aft были вычислены по формулам (11.16) и (11.31),
т. е. соответственно в одногрупповом и двухгрупповом приближениях,
для случая, когда £2 = т и M[R = 0,20. Приведенные на фиг. 78
результаты дают процентное изменение величины ft в зависимости
от отношения R!/R; R' есть эффективный радиус регулирующего
стержня, т. е. Ro — d, где d— длина экстраполяции. Видно, что
одногрупповой метод дает завышенную оценку эффективности регу-
лирующего стержня. Действительно (см. § 5), при выводе формулы
(11.26) предполагалось, что регулирующий стержень захватывает ней-
троны всех энергий с одинаковой эффективностью.
Заметим, что при т = 0 двухгрупповой метод [см. (11.31)] дает
для Aft те же значения, что и формула (11.16), полученная одногруппо-
вым методом. Этот результат физически очевиден. Действительно, ус-
ловие т = 0 предполагает отсутствие в реакторе быстрых нейтронов.
Поэтому следует ожидать, что одногрупповое приближение дает для
тонкого регулирующего стержня величину Aft, завышенную примерно
на фактор £2/(£2т), т. е. 1?!М\ Для случая, изображенного на
Регулирующие стержни
363
фиг. 78, £2/ЛР = 0,5. Результаты расчета Д/г по одногрупповому
методу с поправкой на фактор представлены пунктирной
линией. Из графика видно, что исправленная формула (11.16), т. е.
дает результаты, находящиеся в хорошем согласии со значениями,
вычисленными по двухгрупповому методу.
§ 7. Теория регулирующего стержня, расположенного
эксцентрично
Рассмотрим теперь случай, когда регулирующий стержень рас-
положен эксцентрично в цилиндрическом реакторе, работающем на
тепловых нейтронах. Можно считать, что наличие такого стержня
создает особенность в точке помещения стержня для потока нейтро-
нов. Мощность этой особенности определяется граничными условиями
на поверхности стержня. Эта задача аналогична задаче отыскания
электрического потенциала, обусловленного точечным зарядом. В по-
следнем случае потенциал равен е/r, где е—величина электрического
заряда, а г — расстояние от точки расположения заряда. Вблизи
заряда потенциал имеет особенность вида 1/г; мощность этой осо-
бенности измеряется величиной заряда е.
364
Гл. 11. Управление реактором
Поглощающая способность регулирующего стержня определяется'
граничным условием, требующим, чтобы нейтронный поток обращался
в нуль на экстраполированной границе, находящейся внутри „черного'1
стержня (см. § 5). Ограничиваясь рассмотрением случая большого реа-
ктора (k— 1 1), уравнение для нейтронного потока можно запи-
сать в следующем виде:
Г2ф4-В2ф==0; (11.32)
где
(.11.33)
Критическое уравнение для реактора с регулирующим стержнем может
быть выведено и использовано различными путями. Простейший из
них состоит в том, что задаются некоторым определенным значе-
нием k для реактора с данными размерами, а затем определяют радиус
регулирующего стержня, при котором данный реактор будет нахо-
диться в критическом состоянии.
Нейтронный поток представляет суперпозицию двух решений
волнового уравнения (11.32), одно из которых регулярно, а другое
имеет особенность на регулирующем стержне. Эти решения можно
Стержень
(радиус Ro)
Ф и г. 79. Цилиндрический реактор с эксцентричным
регулирующим стержнем.
получить следующим образом. Пусть R и Ro—радиусы реактора и
регулирующего стержня, г — расстояниэ от оси реактора до произ-
вольной точки Р, р — расстояние от точки Р до оси стержня и
г0—расстояние от оси реактора до оси стержня. Тогда, согласно
фиг. 79, можно ввести углы 0 и <[>. Начало оси z расположим
Регулирующие стержни
365
в центре реактора, как это показано на фиг. 77. Высоту реактора,
как и выше, будем принимать равной Н.
Общее решение (11.32), которое всюду регулярно и симметрично
по отношению к 0 [см. (7.75)], дается формулой
СО
Фг = со8-^^Л„7п(рг)со5п0, (11.34)
где
(11.35)
Нерегулярное решение (11.32) можно получить, если поместить
начало координат в центре стержня и ограничиться только решениями
вида Ym. Члены, содержащие Jm, будучи ограничены на оси стержня,
не окажут влияния на интенсивность поглощения. Таким образом,
нерегулярная часть нейтронного потока имеет вид
СО
= cos 77 X Y>“ |F' cos т''^ + sin ’ (11 -36)
«1=0
Наша задача значительно упрощается, если величина потока на
поверхности регулирующего стержня слабо зависит от угла 0 т). Это
означает, что функция Ф4 по существу не зависит от угла и может
быть представлена в виде
Ф$ = cos-^-У0(рр).
(11.37)
Полный поток выразится теперь как сумма (11.34) и (11.37), т. е.
СО
Ф = Фг+Ф1 = cos У}AnJn(pr)cos П0 + Уо(pp)j. (11.38)
И-0
Зависимость функции (рр) от переменных г и 0 при г > г0 имеет
вид
оЭ
Мнр)= го(^)^о(Ко) + 1 2 2 ^г(к)4(Ко)с08и0- (11-39)
Воспользуемся теперь граничным условием, требующим, чтобы
поток обращался в нуль на экстраполированной границе реактора,
1) Это условие строго выполняется, если стержень помещен в центре
реактора. В этом случае мы приходим к результатам, которые были уже
получены выше. — Прим. авт.
366
Гл. 11. Управление реактором
т. е. при r — R. Из (11.38) и (11.39) следует, что
СО
Ф(/?) = cos [2 AnJn(jx/?) cosnO + Уо^R) Jo(ur0) +
n = 0
co
+ 2 yn (?R) Jn W cos «6 ] = 0,
n-1
t, e.
OO
y0 (p.R) Jo (yr0) + 2 (AnJn (p/?) + 2 y„ (u/?) Jn (yr0) | cos n6 —
?j—0
— 2Ус(!х/?)/о(ко) = 0.
Последнее соотношение можно переписать в виде
ОО
5] [AnJn (?R) + М» (уЯ) Jn (Уго)1 cos rfi = О, (11.40)
W = O
где „
on = 1 при n = 0,
3n = 2 при n > 0.
Ввиду того, что Ф(/?)=-0 для всех значений угла 6, уравнение
(11.40) должно выполняться при любом 0 и, следователь! о,
д Wч (yffi -Ai (УГц)
А (у/?)
Подставляя выражение для Ап в формулу (11.38), получим
СО
Ф = со8^| -V^M^^^cosnO + r.^) 1. (11.41)
П=0
Введем теперь граничное условие на поверхности регулирующего
стержня. Потребуем, чтобы поток обращался в нуль внутри стержня
на экстраполированном расстоянии d. Если /?0 мало по сравнению
с г0, то граничное условие на стержне эквивалентно соотношению
при г = г0, р = /?0 и 6 = 0. Из (11.41) следует, что
ЙФ T.Z .г \
— = — COS-j^lJpp).
Поэтому из (11.41) и (11.42) можно получить уравнение
иЛ(1^о)+>'о(|^оМ- (П.43)
п=о
Отравление продуктами деления
367
Это и есть условие критичности для цилиндрического реактора
с эксцентричным регулирующим стержнем.
Укажем следующий наиболее простой способ практического при-
менения уравнения (11.43). Допустим, что мы желаем найти /?0, т. е.
радиус регулирующего стержня, обеспечивающего определенное изме-
нение коэффициента k. Тогда, пользуясь формулами (11.33)и (11.35),
следует определить величину р.2, соответствующую выбранному зна-
чению k для реактора с заданными размерами, а следовательно, и
с заданной величиной В2. Ввиду того, что радиус реактора R известен,
а положение стержня определено величиной г0, мы можем решить
уравнение (11.43) относительно /?0 методом итераций.
Изложенный выше метод можно также применить для решения
задачи, связанной с двумя регулирующими стержнями. Учитывая, что
вблизи стержня происходит падение нейтронного потока, мы приходим
к заключению, что эффективность второго стержня зависит как от
расстояния между стержнями, так и от положения стержней в реак-
торе. Отсюда вытекают два важных вывода: 1) между стержнями
существует некоторое расстояние, при котором эффективность стерж-
ней максимальна; 2) полная эффективность двух регулирующих стерж-
ней превышает сумму эффектов каждого стержня, взятого в отдель-
ности, если расстояние между ними больше некоторой величины.
Этот результат можно объяснить качественно с помощью фиг. 76.
Если регулирующий стержень расположен в центре реактора, нейтрон-
ный поток в периферийной зоне превышает соответствующий поток
в реакторе без стержня. Поэтому, если поместить теперь второй
стержень в область, где поток со стержнем больше потока без
стержня, эффективность второго стержня возрастает вследствие уве-
личения первоначального потока тепловых нейтронов.
ОТРАВЛЕНИЕ ПРОДУКТАМИ ДЕЛЕНИЯ
§ 8. Общие замечания
Как указывалось выше, в процессе работы реактора образуются
ядра с большими сечениями захвата тепловых нейтронов; эти ядра
являются вредными поглотителями и могут возникать либо как не-
посредственные осколки деления, либо как продукты их радиоактив-
ного распада. Скорость накопления вредных поглотителей зависит
от интенсивности процесса деления, убыль же их определяется, с одной
стороны, естественным радиоактивным распадом (если данное ядро
радиоактивно) и, с другой стороны, захватом нейтронов, приводящим
к образованию новых изотопов. В наиболее интересных случаях,
а именно при поглощении нейтронов ядрами Хе135 и Sm149, образую-
щиеся изотопы Хе186 и Sm16° имеют сравнительно небольшие сечения
захвата тепловых нейтронов и могут поэтому не учитываться при
расчете изменения нейтронного баланса.
368
Гл. 11. Управление реактором
С течением времени между генерацией и убылью поглощающих
ядер устанавливается равновесие, при этом в реакторе достигается
некоторая равновесная концентрация вредных поглотителей. Однако
при выключении реактора вещества, подобные Хе136 и Sm149 (т. е.
изотопы, образующиеся в основном в результате распада других
продуктов деления), продолжают накапливаться. В то же время убыль
этих изотопов, обусловленная поглощением нейтронов, быстро умень-
шается ввиду резкого спадания нейтронного потока. Таким образом,
существует возможность увеличения концентрации ядер вредных
поглотителей. Пройдя через некоторый максимум, концентрация вред-
ных поглотителей начинает затем падать вследствие естественного
радиоактивного распада. Эти особенности процесса отравления будут
рассмотрены ниже аналитически.
Изотоп Хе135 образуется как непосредственный продукт деления
с удельным выходом (среднее число атомов, возникающих при одном
делении), равным 0,003. Однако значительно большее количество
изотопа Хе135 образуется в результате двух последовательных рас-
падов Те135 — прямого продукта деления, удельный выход которого
равен 0,056. Период полураспада Те135 составляет всего 2 мин., в то
время как соответствующий период для изотопа J135, являющегося
материнским веществом для Хе135, равен 6,7 час. (см. § 3). Поэтому
для упрощения выкладок можно без заметной погрешности считать,
что J135 образуется при делении непосредственно с удельным выхо-
дом 0,056.
§ 9. Концентрация иода
Определим прежде всего результирующую скорость образова-
ния J135. Если / — ядерная концентрация J135 (число ядер в 1 сл3),
то скорость естественного радиоактивного распада выразится как —А/
ядер в 1 см? за 1 сек., где —обычная постоянная распада. Кроме
того, концентрация J135 убывает в результате поглощения нейтронов
со скоростью, равной —ааФ/ ядер в 1 см? за 1 сек., где Cj—микро-
скопическое поперечное сечение захвата тепловых нейтронов, выра-
женное в см?, а Ф—величина потока тепловых нейтронов на 1 см?
за 1 сек. С другой стороны, скорость образования J135 зависит от
числа делений. Если — макроскопическое поперечное сечение деле-
ния ядерного горючего, то скорость поглощения нейтронов, приво-
дящего к делению, а следовательно, и скорость деления, будет
равна Х/Ф нейтронов в 1 с.и3 за 1 сек. (или делений/сж3 • сек). Пусть
•ft — удельный выход J135 (в действительности Те136) как непосред-
ственного продукта деления, т. е. 0,056. Тогда скорость образова-
ния J136 равна YiX/Ф ядер в 1 см? за 1 сек. Таким образом, можно
написать уравнение
4 = -^/-^/ + ^» (11.44)
Отправление продуктами деления
369
выражающее результирующую скорость увеличения числа ядер J186
со временем.
Для J186 микроскопическое сечение <з1^7 • 10“24 сл2, величина Ф
не превышает 101Б нейтронов на 1 см$ за 1 сек. Поэтому произведе-
ние саФ должно быть порядка 10”8 или меньше. С другой стороны,
постоянная распада А1 = 2,9 • 10-Б сек.*1 Следовательно, в уравнении
(11.44) членом схФ/ можно пренебречь по сравнению с Л/, так что
"sa_X1Z+llS/», (11.45)
В процессе работы реактора концентрация J186 по истечении неко-
торого промежутка времени достигает равновесного значения и произ-
водная dlfdt обращается в нуль. Обозначив равновесную концентрацию
через /0, а соответствующий (стационарный) поток через Фо, из
(11.45) получим
или
= (11.46)
Перейдем теперь к получению общего выражения /(/) — концен-
трации иода как функции времени. Для этой цели перепишем урав-
нение (11.45) в виде
Умножая обе части данного дифференциального уравнения на инте-
грирующий множитель eV dt, получим
eV di eVxx/ dt = dt,
причем поток Ф может быть функцией времени. Левая часть полу-
ченного уравнения представляет полный дифференциал, равный ^(/eV),
так что
d (le^) — YjX^eV dt.
Интегрируя это выражение, найдем
t
/(/) = е-м[Т1хг^ Ф^^+УСО)], (11.47)
где /(0) — концентрация иода при t — 0.
При определении скорости накопления иода в реакторе можно
считать, что мочент /=0 соответствует пуску реактора; в этом слу-
чае /(0) = 0. Предположим для простоты, что нейтронный поток
нарастает весьма быстро, так что стационарное значение Фо до-
стигается в течение промежутка времени, пренебрежимо малого по
24 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
370
Гл. 11. Управление реактором
сравнению со временем, потребным для заметного увеличения концен-
трации иода. При этих условиях формула (11.47) принимает вид
t
/(/)=. | (11.48)
о 1
Если t велико, (11.48) переходит в (11.46), т. е. в формулу, по-
лученную для предельной или равновесной концентрации.
С другой стороны, формула (11.47) позволяет получить выраже-
ние для скорости распада иода в реакторе, остановленном после про-
должительной стационарной работы. Если теперь 1 = 0 есть момент
выключения реактора, то /(0) представляет равновесную концентра-
цию J135 и выражается формулой (11.46). Таким образом,
t
/(/) == J феМ dt -j- /0] , (11.49)
о
где Ф — функция времени, причем вид этой функции определяется
способом выключения реактора.
§ 10. Концентрация ксенона
Пусть X—концентрация изотопа Хе136 (выраженная числом ядер
в 1 cms), зависящая ог времени. Тогда скорость радиоактивного рас-
пада равна —).2Х, а скорость уменьшения концентрации вследствие
поглощения нейтронов равна —с2ФА\ где А2 и с2— соответственно
постоянная распада и сечение захвата тепловых нейтронов. С другой
стороны, Хе13Б образуется как продукт распада J185 со скоростью,
равной Zj/, и как непосредственный продукт деления со скоростью
Т2£/>Ф, гДе 12 — соответствующий удельный выход, т. е. 0,003. Пол-
ная скорость увеличения концентрации ксенона дается уравнением
= М+W? -
(11.50)
Отсюда видно, что средняя продолжительность жизни Хе13Б в ядер-
ном реакторе 1/(Л2 —ааФ0) вследствие захвата нейтронов оказывается
меньшей по сравнению со средним временем жизни по отношению
к естественному распаду 1/Л2. Равновесная, или стационарная, кон-
центрация определится, если положить dXjdt — 0. Отсюда легко по-
лучить
У ___Мо + 72^/Ф0
°“ л2 + а2Фи •
Подставляя вместо /0 выражение (11.46), найдем
„ (71 + 7г) У&о
° Z2 + а2Ф0
(11.51)
Отравление продуктами деления
371
Для того чтобы выразить концентрацию ксенона как функцию
времени, преобразуем (11.50) к виду
~ + (х2 + °2Ф) *= V + ЪМ’, (11 -52)
где X, I и Ф— функции времени. Полученное дифференциальное
t
f A dt
уравнение имеет интегрирующий множитель е° dt, где
4 s ^2 Н~ °2$-
Умножая обе части уравнения (11.52) на интегрирующий множитель,
получим
d (Xe-f А dt) = J А dt (X /+72£гФ) dt
или после интегрирования
Г * С
X(t) = e~J J J Лй\л/+^Ф)Л + Х(0)}, (11.53)
причем /(t) определяется, вообще говоря, формулой (11.47).
Выражение для Л’(О), так же как и полученное выше значение 1 (0),
определяется начальными условиями. Если (11.53) описывает увели-
чение концентрации ксенона после пуска реактора, то величина X(0)
должна равняться нулю. Предполагая, что нейтронный поток имеет
стационарное значение Фо и пользуясь формулой (11.48) для опреде-
ления / как функции времени, уравнение (11.53) можно переписать
в виде
X{t) = Хо/ 1 + —Р-----------— Ъ?) t _
° I 1 71 + 72 V 2 — 'ч + ’-А 12/
—(^2 e~'lt Ь U1 -54)
71 + 7г v-2 — '1 + )
Полученное уравнение характеризует накопление ксенона при неиз-
менной (стационарной) величине нейтронного потока.
§ 11. Расчет отравления
Отравление реактора Р определяется как отношение числа те-
пловых нейтронов, захватываемых вредными поглотителями, к коли-
честву тепловых нейтронов, поглощающихся в делящемся веществе;
таким образом, в момент t
P = Х^-, (11.55)
Lu
где Ер—макроскопическое поперечное сечение захвата тепловых ней-
тронов вредными поглотителями в момент t, а Еи — соответствующая
24*
372
Гл. 11. Управление реактором
величина для делящегося вещества. Поэтому отравление, обусловлен-
ное Хе13Б, достигшим равновесного значения Хо, выражается форму-
лой
р __________с2 (yj 4- y2) £^Фо
0 ~ “ (Х2 + с2Ф0)Еи *
(11.56)
Ввиду того, что
ХЮ"Б сек.-1, а
мает вид
714-т2 = 0,059, аа = 3,5.10“18 СЛ2, А2 = 2,1Х
для U236 S//Su=0,84, формула для PQ прини-
р_______Ц-Ю-ифр
~ 2,1 10-6 + 3i5. io- 18ф0 •
(11.57)
Если Ф0С 10п, в знаменателе (11.57) можно пренебречь вторым
членом по сравнению с первым; тогда
Ро«8. 10-1БФо,
и, следовательно, приФ0<^ 10й отравление пренебрежимо малб. Даже
при потоке, равном 1012 нейтронов на 1 см2 за 1 сек., отравление
составляет всего 0,007, т. е. только 0,7°/о тепловых нейтронов по-
глощается в ксеноне, достигшем равновесной концентрации. Однако
при значениях Фо порядка 1013 или выше отравление быстро растет.
Для потока, превышающего 101Б нейтронов на 1 см2 за 1 сек., вели-
чина Х2 становится ничтожно малой
по сравнению с о2Ф0 и отравле-
ние в соответствии с формулой
(11.56) стремится к предель-
ному значению
Таблица 26
РАВНОВЕСНОЕ ОТРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРА
КСЕНОНОМ
Поток (Ф„) Отравление (Г„)
10’2 0,007
IO13 0,030
10’* 0,046
10’6 0,048
Значения Ро,
вычисленные
стационарных потоков, сведены
Aim ^(ъ-На) у--
= 0,059 • 0,84 = 0,050,
если горючим веществом яв-
ляется U236. Эта величина выра-
жает максимальное отравление
реактора, работающего на теп-
ловых нейтронах при большом
потоке; при этом 5% тепло-
вых нейтронов поглощается в
ксеноне ’).
формуле (11.57) для различных
ПО
в табл. 26.
’) Проделанные выше расчеты были основаны на допущении, что ней-
тронный поток и концентрация ядер вредных поглотителей распределены по
объему реактора равномерно. Если принимать в качестве Фо среднее значе-
ние потока, ошибка в величине Р, повидимому, не превышает 1О°/о. Более
точный анализ основывается на применении статистического веса и теории
возмущений (см. гл. 13). — Прим. авт.
Отравление продуктами деления
373
Очевидно, что равновесное отравление мало при потоке, равном
1012 нейтронов на 1 ел2 за 1 сек., однако оно быстро растет при
более значительных потоках, приближаясь к предельному значению
при потоке порядка 101Б нейтронов на 1 см2 за 1 сек.
§ 12. Влияние отравления на реактивность
Связь между полученной выше величиной отравления и реактив-
ностью реактора можно определить следующим образом. Из четырех
множителей, входящих в коэффициент размножения k для бесконеч-
ной среды, по существу только коэффициент теплового использова-
ния претерпевает изменение, вызванное действием отравления. Следо-
вательно, если отравление не влияет на утечку нейтрог ов из реактора,
эффективный коэффициент размножения должен быть пропорционален
коэффициенту теплового использования. Ввиду того, что концентра-
ции образующихся при делении ядер вредных поглотителей весьма
малы, можно считать, что отравление реактора не приводит к изме-
нениям в процессах рассеяния нейтронов. Поэтому в реакторе на
тепловых нейтронах без отражателя утечка быстрых нейтронов оста-
нется неизменной. В то же время длина диффузии тепловых нейтро-
нов уменьшится вследствие наличия добавочных поглотителей, так
что вероятность того, что тепловые нейтроны избегнут утечки из
реактора, т. е. 1/(1А2/?2), несколько увеличится. Однако в боль-
шинстве реакторов, работающих на тепловых нейтронах, величина
1 LPB2 близка к единице и крайне нечувствительна к изменениям
в L2. Это дает основание считать эффективный коэффициент размно-
жения пропорциональным коэффициенту теплового использования не-
зависимо от наличия или отсутствия ядер вредных поглотителей.
Пусть f—коэффициент теплового использования в реакторе, не
содержащем отравляющих изотопов, a f — соответствующая величина
для отравленной системы. Тогда, предполагая, что поток распреде-
лен по реактору равномерно, будем иметь
7 + 7 ~ SM + E,;i + 2p’ v ’ 7
где Sl(, и Ер — макроскопические поперечные сечения поглоще-
ния тепловых нейтронов соответственно в делящемся веществе, замед-
лителе и ядрах вредных поглотителей. Отношение Ер/Еи было опре-
делено выше как отравление Р\ обозначив отношение Е?;1/Еи посред-
ством у, получим
1 Л— 1
7 >+> 11 7 1+j+p'
Пусть &8фф. и Аэфф. — эффективные коэффициенты размножения ре-
актора соответственно при отсутствии и при наличии отравляющих
374
Гл. 11. Управление реактором
изотопов; тогда
^эфф. _ f f __ _ Р
*афф. f' 1 + У
Допустим, что неотравленный реактор является в точности критиче-
ским. При этом £8фф. = 1, и левая часть уравнения (11.59) будет
представлять реактивность, обусловленную отравлением. Таким обра-
зом,
(11.59)
Р
Ввиду того, что в обогащенном реакторе величина у обычно состав-
ляет малую долю единицы, очевидно, что связанная с наличием про-
дуктов деления отрицательная реактивность, грубо говоря, равна от-
равлению, определенному выше. Таким образом, максимальная реак-
тивность, обусловленная равновесной концентрацией изотопа Хе186,
составляет примерно —0,05.
§ 13. Накопление ксенона после полного выключения
Важнейшей особенностью процесса отравления реактора изото-
пом Хе18Б является увеличение концентрации этого изотопа после
выключения реактора. Как уже указывалось выше, причина этого
явления состоит в том, что в момент выключения в реакторе имеется
некоторое количество изотопа J1-5, который, продолжая распадаться,
образует Хе186. Допустим, что нейтронный поток становится настолько
малым, что убыль Хе186, обусловленная поглощением нейтронов, пре-
небрежимо мала. В этом случае концентрация Хе13Б может умень-
паться только вследствие радиоактивного распада. Ввиду того, что
период полураспада Хе1,Б больше периода полураспада J185, концен-
трация Хе18Б будет сначала возрастать. Поскольку, однако, в оста-
новленном реакторе процесса регенерации J185 не происходит, кон-
центрация ксенона, пройдя через некоторое максимальное значение,
в конце концов начинает уменьшаться.
Мы скоро увидим, что образующаяся после выключения реактора
максимальная концентрация Хе185 может в несколько раз превысить
равновесное значение. Особенно высокий максимум должен получиться
при большой величине нейтронного потока перед остановкой реактора.
Это приводит к соответствующему значительному росту отрицатель-
ной реактивности. Поэтому оказывается необходимым ввести в реактор
эквивалентное количество добавочной реактивности, которая должна
обеспечить возможность пуска реактора в течение некоторого прием-
лемого для практики промежутка времени после остановки.
Изменение концентрации ксенона после выключения реактора про-
исходит по закону (11.53), причем Л"(0), т. е. равновесная концен-
трация Хе1ЕБ при t = 0, выражается теперь формулой (11.51),
Отравление продуктами деления
375
Разумеется, мы предполагаем, что перец выключением реактор работал
достаточно долго и была достигнута равговес’ ая концентрация ксе-
нона. Величина I{t) определяется в данном случае соотношением (11.49).
Ввиду того, что (11.53) и (11.49) содержат величину Ф, очевидно,
что накопление ксенона после остановки реактора зависит от того,
как уменьшается поток. В общем случае мож^ о выразить Ф как
функцию времени и затем вычислить вводящие в формулы (11.53)
и (11.49) интегралы. На практике представляет известный интерес
простой частчлй случай, соответствующий возможно полному выклю-
чению реактора. Учитывая первоначальное быстрое уменьшение ней-
тронного потока, а также последующий установившийся отрицатель-
ный период (80 сек.), обусловленный наличием запаздывающих ней-
тронов (см. гл. 10, § 10>, легко прийти к выводу, что для уменьше-
ния потока с 1012 до 10’ нейтронов на 1 слР за 1 сек. требуется
около 20 мин. Этог промежуток времени мал по сравнению с не-
сколькими часами, потребными для достижег ия максимальной кон-
центрации ксено’ а. Таким образом, мы можем без существе1 ной по-
грешности в результатах считать, что поток мгновенно спадает но
нуля и остается при этом значении все время, пока реактор находится
в выключенном состоянии.
Итак, подставим в (11.49) Ф = 0. При этом формула для кон-
центрации иода упрощается и принимает вид
/ (/) = /Ое-М = (11.60)
где Фо—поток, соответствующий стационарной работе реактора пе-
ред выключением. Далее, при Ф = 0 величш а А становится равной Х2и,
следовательно, е? Учитывая, что Х(0) выражается соот-
ношением (11.51), можно переписать формулу (11.53) в следующем
виде:
XW=г-м [ [ (Л>т, W-V)a+=
О
= е-м [t0.-W - 1| . (11.6|)
1А—V 1 *2 + °2Ф0 J ' ’
В соответствии с (11.55) отравление Р определяется формулой
n X(f)a2 v
Р = —=о9Фп-/-
— e-V)-f
71 + Тг
1'2 + °2ф0
(11.62)
Равенство (11.62) дает возможность определить Р как функцию
времени при различных значениях Фо — стационарного потока перед
выключением реактора. Соответствующие графики изображены на
фиг, 80. Кривые показывают, ЧТО концентрация Хе1!б, будучи
376
Гл. 11. Управление реактором
пропорциональна Р, во всех случаях достигает максимального значения.
При потоках, не превышающих 1013 нейтронов на 1 см2 за 1 сек.,
увеличение концентрации Хе135 весьма незначительно, однако при бо-
лее высоких потоках это увеличение может играть очень существен-
ную роль. Например, из графика видно, что при ф0 = 2- 1014 отра-
вление реактора изотопом Хе13в может превысить 0,35, в то время
как равновесное значение Р, соответствующее стационарной работе
Ф и г. S0. Временной ход отравления ксеноном после выключения.
реактора, составляет всего 0,05. Таким образом, отрицательная ре-
активность, обусловленная максимальной концентрацией ксенона в ре-
акторе, работавн ем стационарно при Фо = 2-1014, достигает при-
мерно 0,35. Чтобы обеспечить возможность пуска такого реактора
в любой момент после остановки, необходимо иметь избыток реак-
тивности не менее 0,35. При отсутствии указанного количества ре-
активности реактор может быть введен в работу либо до того, как
концентрация Хе1а6 достигла максимума, либо по истечении проме-
жутка времени, достаточного для существенного уменьшения концен-
трации Хепв вследствие радиоактивного распада. При потоке, рав-
ном 101В нейтронов на 1 см2 за 1 сек., максимальное отравление,
наступающее примерно через 12 часов после остановки реактора, со-
ставляет около 2,0.
Вообще говоря, отравление, связанное с накоплением ксенона, не
представляет серьезной опасности для реактора, работающего на те-
пловых нейтронах при потоках порядка 1012 или даже 1013. Это
утверждение справедливо как для стационарной работы реактора, так
и для состояния, наступающего после выключения. Ввиду того, что
предельная равновесная величина отравления составляет только 0,050,
влияние отравления не может быть слишком большим в условиях
Отравление продуктами деления
377
стационарного режима. Однако при проектировании реактора на те-
пловых нейтронах с высоким значением потока необходимо рассма-
тривать возможность пуска реактора после остановки. Из приведен-
ных выше графиков видно, что при потоках, превышающих 10й
нейтронов на 1 см2 за 1 сек., максимальное отравление реактора изо-
топом Хе135 быстро возрастает с увеличением стационарного потока.
Приведенный выше анализ относился к частному случаю мгновен-
ного полного выключения реактора, работавшего в стационарном
режиме. Однако уравнение (11.53) может быть решено также и при
других предположениях о характере выключения. Например, можно
рассмотреть случаи неполного мгновенного выключения, неполного
или полного ступенчатого выключения, неполного или полного ли-
нейного выключения и т. д. Кроме того, существует воз''ожность
остановки реактора в момент, когда концентрация ксенона еще не
достигла равновесного значения. Общий характер результатов оста-
нется тем же, что и для случая, описанного выше. Отличие будет
состоять в том, что при постепенном и менее полном выключении
реактора максимальная концентрация ксенона уменьшится. Это объ-
ясняется тем, что при частичном и постепенюм выключении вслед-
ствие захвата имеющихся в реакторе нейтронов Хе18Б может выго-
рать.
§ 14. Отравление самарием
Устойчивый изотоп Sm149 является продуктом радиоактивного
Р-распада изотопа Pm149. Период полураспада Pm149 составляет 47 ча-
сов. Изотоп Рш149 образуется как непосредственный продукт деления,
а также в результате распада изотопа Nd149. Ввиду того, что период
полураспада неодима (1,7 часа) относительно мал ио сравнению с перио-
дом полураспада изотопа Рш149, можно рассматривать изотоп Рш149
как непосредственный продукт деления с удельным выходом, равным
0,014 (см. § 3). Таким образом, задача, связанная с расчетом нако-
пления в реакторе Прометея и самария, аналогична рассмотренному
вып е вопросу о накоплении иода и ксенона. Сечение для захвата
тепловых нейтронов в Прометее о, весьма мало. Поэтому, так же как
и в случае иода, в уравнении (11.44) можно пренебречь величиной сгФ
по сравнению с Следовательно, формула для равновесной кон-
центрации прометея будет иметь вид, совпадающий с (11.46). Точно
так же мы можем пользоваться всеми другими выведенными выше
уравнениями, подставляя туда физические постоянные, соответствую-
щие прометею и самарию. Таким образом, если приписать Прометею
индекс 1, а самарию — индекс 2, то удельный выход = 0,014,
а 72 = 0. Постоянная распада = 4,1 • 10-6 сек.-1, а л9 = 0, по-
скольку Sm149 является устойчивым изотопом. Сечение захвата те-:
пловых нейтронов Sm149 о9—-5,3- 10-20 см2.
Ввиду того, что Л2 = 0, формула (11.51) дает для равновесной
концентрации самария выражение которое не зависит от.
378
Гл. 11. Управление реактором
величины нейтронного потока в реакторе. Время, в течение которого
концентрация Sm149 достигает равновесного значения, можно грубо
оценить как 5/о2Ф0 сек., что при потоке 1014 нейтронов на 1 см2
за 1 сек. составляет около 11 дней. При равновесной концентра-
ции Sm149 отравление реактора равно SM = 0,014 • 0,84 = 0,012,
независимо от величины нейтронного потока. Таким образом, в усло-
виях стационарной работы реактора максимальгая реактивность, обу-
словленная наличием самария, составляет примерно —0,012.
Формула (11.62), выражающая отравление как функцию времени
после мгновенного полного выключения реактора, для случая Sm149
принимает вид
Р = о ф0 ?£ Г А (1 — е-М) 4- Л1-1 =
' 1 fl П) I
= + (11.63)
Из этого выражения ясно, что после выключения реактора отра-
вление, обусловленное влиянием самария, возрастает от первоначаль-
ной величины (Sr/£lt) до предела, соответствующего большим зна-
чениям t, равного
/Зит=^^ + п|£=1,5. 1О-19Фо +0,012.
Л1 Lju
Если при стационарной работе реактора величина нейтронного
потока не превышает 1012 нейтронов на 1 см2 за 1 сек., то произве-
дение 1,5 • 1О-16Фо пренебрежимо малб по сравнению с 0,012 и по-
этому отравляющее влияние самария после выключения реактора почти
не меняется. При уровне стационарного потока 2 • 1014 (практически
предел для реактора на тепловых нейтронах, пока не разработаны
способы удаления ксенона) предельюе отравление реактора самарием
после мгновенного полного выключения составит 0,030-]— 0,012,
т. е. 0,042. Таким образом, наличие среди продуктов деления Sm149
в случае реактора на тепловых нейтронах при большом потоке тре-
бует добавочной реактивности, не превышающей 0,04.
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РЕАКТИВНОСТИ
§ 15. Влияние температуры на реактивность
Значительная часть выделяющейся в ядерном реакторе энергии
освобождается в виде тепла. При этом количество тепловой энергии
определяется уровнем мощности реактора. Несмотря на наличие спе-
циального охлаждающего устройства, в процессе работы реактора
неизбежно будут происходить изменения температуры. Увеличение
температуры приводит по крайней мере к двум эффектам, изменяю-
Температурные коэффициенты реактивности 379
щим реактивность: во-первых, происходит увеличение средней энер-
гии тепловых нейтронов, что влечет за собой изменение ядерных се-
чений, а следовательно, изменение захвата нейтронов; во-вторых,
средние пробеги и вероятности избежать утечки нейтронов из реак-
тора являются функциями плотности материалов, которая меняется
в зависимости от изменения температуры.
Практика эксплуатации реактора требует, чтобы температурный
коэффициент реактивности был малой величиной. При этом стацио-
нарный режим может поддерживаться с помощью регулирующих стерж-
ней. Тогда реактор будет находиться в устойчивом состоянии, не-
смотря на наличие небольших флюктуаций температуры. При отри-
цательном температурном коэффициенте, т. е. если реактивность
убывает при возрастании температуры, реактор устойчив. Однако
положительный температурный коэффициент приводит к неустойчи-
вости ввиду того, что в этом случае реактор, находившийся в кри-
тическом состоянии, при повышении температуры становится надкри-
тическим. В больших реакторах на тепловых нейтронах удобно раз-
делить температурный коэффициент реактивности на две части: ядерный
температурный коэффициент, характеризующий эффект, связанный
с измене7 ием ядерных сечений, и температурный коэффициент
плотности, определяющийся изменениями объема и плотности си-
стемы. Займемся теперь изучением каждого из этих коэффициентов
в отдельности.
§16. Ядерные температурные коэффициенты
Представим себе реактор, состоящий только из делящегося ве-
щества и замедлителя. Будем предполагать, что сече1 ия захвата
в области тепловых энергий изменяются по закону 1/®. Ввиду того,
что кинетическая энергия (72 mv1) нейтрона пропорцио7 альна абсо-
лютной температуре Т (т. е. температуре, выраженной в градусах
Кельвина), сечения захвата тепловых нейтронов будут изменяться
пропорционально 1 Т. Таким образом, если аа есть сечение захвата
при температуре Т, а со0 — соответствующая величина при темпера-
туре Тп, то
(7’ Ч1*'» v
-г) (11-64)
где 6 — отношение абсолютных температур, т. е.
(11.65)
Сечения рассеяния изменяются при повышении температуры гораздо
медленнее, чем, сечения захвата. Если cs—сечение рассеяния при
абсолютной температуре Т, а зк0 — соответствующая величина при
380
Гл. 11. Управление реактором
температуре То, то зависимость сечения от температуры может быть
представлена в виде
°в — °s0 ( 7') — °во® Ху
(11.66)
где х — величина порядка 0,1. Соотношение, подобное (11.66), при-
менимо и для транспортных сечений рассеяния.
Квадрат длины диффузии определяется формулой L? = Dj'£n или
l/3£oSt, где £t=l/Xt— макроскопическое транспортное сечение. По-
этому
ЗЕа0£<0 в-(®+*А)
Аналогичным образом можно получить выражение для возраста ней-
трона от энергий деления до тепловой области, если написать
[см. (6.120)]
Ео Ео
Г D dE __ Г 1 dE
Х J ffis Е ~~ J 3;EsSt Е ’
Еу Е'р
т. е.
ЕТ
==”»- /Ws-f (lt68>
где т и т0—значения возраста тепловых нейтронов при температуре
Т и То соответственно, а £т и £т,— значения тепловых энергий.
Если определяемая соотношением (11.66) величина |x|<dl> можно
показать, что формула (11.68) запишется в виде
т = т0 —
(11.69)
Ввиду того, что сечения всех имеющихся в реакторе поглоти-
телей в области тепловых энергий подчиняются закону (11.64), оче-
видно, что тепловое использование нейтронов от температуры не
зависит. Вероятность избежать резонансного захвата может несколько
уменьшиться при увеличении температуры, однако в целом мы можем
допустить, что коэффициент размножения бесконечной среды не за-
висит от температуры.
В случае большого реактора эффективный коэффициент размно-
жения дается формулой
k
“ 1 + »
Температурные коэффициенты реактивности
381
причем величину k мы считаем не зависящей от температуры. Реак-
тивность р, равная (АЭфф.— 1)/&Эфф., записывается в виде
k — 1 — Л42В2
Р =--------------
(11.70)
р^-1-^-Н). (1Е71)
Общее выражение для р как функции температуры можно получить,
подставив в (11.71) значения (11.67) и (11.69) для L2 и т соответ-
ственно. В результате имеем
Ядерный температурный коэффициент, т. е. температурный коэф-
фициент реактивности р, обусловленный изменением сечений, при
постоянной плотности d выражается формулой J)
/др\ _ др дб_ 1 др
\dT/d ~ ~дЬ ~дТ~ ~7q ’
поскольку в соответствии с (11.65) d'i/dT = 1/Т0.
из (11.72) следует, что
Таким образом,
Д2
kT0
[ (з^еД6 +(-^Ч-2)
При температуре То, т. е. когда Т — TQ и 6 = 1, имеем
= ~ 2") Ло]' (П,73)
Приведенный выше анализ не учитывает ядерного температурного
коэффициента, который может возникнуть в результате изменения
отравления реактора продуктами деления. Общее правило состоит
в том, что повышение температуры влечет за собой уменьшение
захвата тепловых нейтронов отравляющими изотопами вследствие
увеличения энергии нейтронов. Это приводит к уменьшению отрав-
ления, а следовательно, к возрастанию реактивности реактора. Таким
образом, может возникнуть положительный температурный коэффи-
циент реактивности. Реактор будет неустойчив по отношению к из-
менению температуры до тех пор, пока другие ядерные температур-
ные коэффициенты не достигнут больших отрицательных значений,
компенсирующих положительную реактивность, обусловленную изме-
нением отравления системы продуктами деления. Разумеется, если
*) Принятая нами форма записи частных производных употребляется
обычно в термодинамике. Индекс (в данном случае d) означает переменную,
которая при дифференцировании остается неизменной. — Прим. авт.
382
Гл. 11. Управление реактором
повышение температуры приближает энергию тепловых нейтронов
к области резонанса, сечения захвата нейтронов отравляющими ядрами
могут увеличиться, что приведет к обратному эффекту на темпера-
турный коэффициент реактивности.
§ 17. Температурные коэффициенты, обусловленные
изменением плотности
Повышение температуры вызывает расширение материалов, из
которых сделан реактор. Это обстоятельство влияет на реактивность
двояко: во-первых, благодаря изменению средних пробегов по отно-
шению к захвату и рассеянию и, во-вторых, вследствие общего изме-
нения размеров системы. В некоторых реакторах могут также проис-
ходить изменения, вызванные вытеснением каких-либо материалов из
активной зоны (например, вытеснение жидкого металла — охладителя
в реакторе с неподвижными конструкциями, изготовленными из деля-
щихся веществ).
Макроскопические сечения захвата пропорциональны числу атомов
в единице объема, и поэтому, если не принимать во внимание рас-
смотренные выше изменения микроскопических сечений, можно счи-
тать, что макроскопические сечения прямо пропорциональны плотности.
Ввиду этого из определения А2 и г вытекает, что эти величины об-
ратно пропорциональны квадрату плотности. Для гомогенной системы,
в которой изменения плотности одинаковы для всех компонент, можно
написать
или
где 7И2 и d — соответственно площадь миграции и плотность при
температуре Т, а 7И2 и d0 — соответствующие величины при темпе-
ратуре То. Подставляя полученный результат в формулу (11.70), при-
ходим к соотношению
л-i вХ
р k k
а)
Если объем системы не меняется, то В2 — величина постоянная.
Предполагая, как и выше, что микроскопические сечения остаются
неизменными, получим
йр \ __2В2ЛТц dg
~дТ)в\ ,а a k~~dt"dT‘
(11.74)
Температурные коэффициенты реактивности
383
Пусть а — коэффициент линейного расширения материала, т. е.
/ = /0[1-}-а(7'—То)1, тогда V — Vo [1 —Т'о)]3, так что
d =______________
[!+“(?-Го)]3
и, следовательно,
dd _ За dn
17 ~ [1Н-а(Г-Г0)Г-
Подставляя полученный результат в формулу (11.74), имеем
a’ s
6В2М20 ds0
k d* {1+а(Г-Г0)р-
При Т=Т0 это выражение принимает вид
'_др \ _ 6зД2-И,5 _ 6 (fe—-1)
k k
(11.75)
после замены В2М2 на k — 1.
Изменение габаритов реактора слабо влияет на величину реактив-
ности. При этом изменение реактивности будет особенно мало, если
реактор испытывает сжатие со стороны внешних конструкций. Эффект
обусловлен изменением величины В2-, поэтому из (11.70) следует, что
др \
дв)
х , х
а' 8
2В№_______2(fe—1)
k kB
(11.76)
поскольку /И2 = (k — 1Э/В2. Для сферического реактора В — тг//?,
a R — Ro [1 -|- а (Т—7')], где R и Ro—соответствующие значения
радиуса реактора; поэтому
dR — aR
IT
и
dB п dR _ ая
~dT А* 1Т — ~R'
Таким образом, из (11.76) можно получить
/ др \ _ др дВ 2(k — 1) ап
\1т), г —~дВ~дТ— kBR
а* 8
а. (11.77)
Для иллюстрации относительной важности полученных темпера-
турных коэффициентов рассмотрим в качестве примера реактор на
тепловых нейтротах с графитовым замедлителем, работающий при
температуре 400°К. Пусть k =1,05. При 400°К для графита
£2 = 2850 см2. Если принять коэффициент теплового использования
равным 0,9, то в соответствии с формулой (9.52) величина L2 для
реактора составит 285 см2. Возраст т0 определяется в основном
384
Гл. 11. Управление реактором
свойствами замедлителя и может быть принят равным 350 см2. Таким
образом, М% = ЦЦ-т0 = 635 см2 и В2«а (k — 1)/7Ц2 = 7,8-10-6 см'2.
Допустим, что l/££eSt= 1,38, коэффициент линейного расширения
а —10~б на 1°С, а х = 0 (см. § 16). Тогда по формулам (11.73),
(11.75) и (11.77) соответственно получим
=-2,6- 10-6 на рс,
| = — 0,29» 10-6 на 1° С
В=, „а, а8
и
= 0,095 10-6 на 1°С.
Из всех полученных температурных коэффициентов только последний
оказался положительным. Ввиду того, что абсолютная величина этого
коэффициента является наименьшей из всех трех значений, полный
температурный коэффициент отрицателен. Реактор такого типа дол-
жен быть устойчивым по отношению к флюктуациям температуры.
Полный температурный коэффициент гомогенного реактора, содержа-
щего водный раствор обогащенного урана, может достигать большего
стриг ательного значения, а именно 10“3 на 1°С. Это объясняется
в основном расширением воды, являющейся растворителем для деля-
щегося элемента.
ЗАДАЧИ
1. Вывести условие критичности для цилиндрического реактора без отра-
жателя, содержащего два регулирующих стержня, расположенных на7 одном
диаметре.
2. Определить критическое соотношение между атомными концентра-
циями водорода и урана для сферического реактора без отражателя с ради-
усом 30 см, содержащего водный раствор обогащенного до 100% уранил-
сульфата прн температурах 20°, 100°, 175° и 250° С. Считать, что реактор
окружен сжимающей оболочкой, причем давление в растворе равно 70 кг/см*.
Вычислить температурный коэффициент реактивности при 250° С.
3. Допустим, что реактор, описанный в задаче 2, работающий стационарно
при температуре 175° С, претерпевает увеличение реактивности на 0,25%.
Определить температуру, возвращающую реактор в критическое состояние.
Глава 12
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГОМОГЕННЫХ РАЗМНОЖАЮЩИХ
СИСТЕМ
ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙ СРЕДЫ
§ 1. Гауссовы функции влияния
Один из общих приемов в теории теплового реактора без отра-
жателя основан на употреблении функций влияния для замедления.
Он не предполагает использования модели непрерывного замедления,
хотя и может быть приспособлен к этой модели. В гл. 5, § 18,
было показано, что поток моноэнергетических нейтронов от распре-
деленного источника может- быть выражен в виде интеграла с соот-
ветствующими функциями влияния для диффузии. Аналогично, плот-
ность замедления от распределенного источника может быть записана
с помощью функций влияния для замедления. Здесь будет сначала
рассмотрена на основе модели непрерывного замедления форма этих
функций для бесконечной среды.
Так как уравнение возраста (6.117) линейно, то плотность замед-
ления в точке г, происходящая от распределенных в бесконечной
среде источников, есть сумма плотностей замедления, происшедших
от отдельных источников. Поэтому для бесконечной среды можно
написать вообще
Я = J S{r^Pdv0,
По всему
пространству
где S (н0)—распределенный источник, Р—соответствующая функция
влияния для замедления и dr0— элемент объема вблизи точки г0 поля.
Для точечного источника в бесконечной среде функция влияния
для замедления, согласно теории возраста, дается в общей форме
выражением (6.135). Таким образом,
г-г0 174 (t-V,)
р — ±______________________
'тот.----
[4л (t — т0)]«
(12.1)
где г0—положение точечного источника, испускающего нейтроны
возраста т0. Это выражение сводится к (6.136), если испускаются
нейтроны деления, так что их возраст равен нулю. Физически точеч-
ная функция влияния есть плотность замедления, нейтронов возраста -с
в точке г поля, происходящая от находящегося в точке г0 единич-
ного точечного источника нейтронов возраста т0. Другими словами,
она дает отнесенную к единице объема вероятность того, что нейтрон
в возрасте т0, испущенный в точке г0, замедлится до возраста т
25 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
386 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
в точке поля г. Функция влияния для замедления, когда источники
плоские, согласно теории возраста, получается аналогично из (6.129).
Таким образом, для бесконечной среды
Рпл.
е- | а>-а:0 |!/4 (т-та)
[4я(т —т0)]1/2
(12.2)
где х—координата точки поля, а х0 — координата источника, испу-
скающего нейтроны возраста т0.
Так как указанные выше в (12.1) и (12.2) функции, выведенные
из модели непрерывного замедления, имеют вид гауссовых функций,
то они часто называются гауссовыми функциями влияния для за-
медления. Предположение о возможности рассматривать энергию ней-
трона как непрерывную функцию времени, ведущее к вышеуказан-
ным результатам, применимо, как было установлено в гл. 6, § 19,
только когда замедляющая среда не содержит очень легких ядер.
Если замедлителем является обыкновенная или тяжелая вода, то, как
ниже будет видно (см. § 15), гауссовы функции влияния (для замед-
ления) должны заменяться другими.
§ 2. Функции влияния диффузионного типа
Другой подход к задаче определения пространственного распре-
деления плотности замедления нейтронов в бесконечной среде как
функции их энергии составляет метод групп. Хотя он несколько
более громоздок, чем приведегная выше картина непрерывного замед-
ления, он важен, так как может быть применен к случаям (таким,
как обычная или тяжелая вода в качестве замедлителей), когда модель
непрерывного замедления оказывается совершенно неудовлетворитель-
ной. В методе групп предполагается, как в гл. 8, что нейтроны
распределены по конечному числу интервалов.
Предположим, что вся область энергии нейтронов от Ео — энер-
гии деления до Ег — тепловой энергии разделена на п -{-1 интер-
валов, так что последняя (п-|- 1)-я группа нейтронов, соответствующая
(и-}-1)-му интервалу энергии, есть тепловая группа.*'Отнесенная
к единице объема вероятность того, что нейтрон источника (энергии Ео),
т. е. нейтрон первой группы, рожденный в точке г0, в бесконечной
среде войдет во вторую группу (энергии EJ, вблизи точки Fj поля,
может быть представлена вообще посредством функции влияния
Рг (| г1 — г01) для замедления нейтронов первой группы в бесконеч-
ной среде. Эта функция влияния может быть написана как функция
смещения (см. гл. 5, § 18), потому что в бесконечной среде она
зависит только от расстояния между источником и точкой поля.
Аналогично, отнесенная к единице объема вероятность того, что
нейтрон второй группы (энергии ЕД находящийся в точке г,, войдет
в третью группу (энергии Е2) вблизи точки гв, представляется
посредством Р2(| г2— гх |) функции влияния для замедления нейтронов
Функции влияния для бесконечной Замедляющей среди 387
второй группы. Аналогичные символы могут быть употреблены для
всех групп. Последняя функция влияния, для замедления от n-й группы
до тепловой, (n-f- 1)-й, будет Рп{ | гп— гп_у |).
V На каждый нейтрон источника, рожденный в точке г0, имеется
Ру (| ri — г01) dry нейтронов, переходящих во вторую группу (энергия Ег)
в элементе объема dr у, расположенном вблизи точки поля. Тогда
отнесенная к единице объема вероятность того, что эти нейтроны
перейдут в третью группу, равна
Л(1Г1 —го|)^а(|г2 —Г11)*Р
а отнесенное к 1 см? полное число нейтронов, рожденных в точке г0,
которые пересекут уровень энергии Е% и пройдут в третью группу
вблизи точки поля г2, получается, следовательно, интегрированием по
всему пространству, так как таким путем просуммируются вклады
во вторую группу от всех элементов объема dry. Для единичного
источника это число эквивалентно функции влияния Р (| г2—г01),
так что
P(lr2-r0|)= J ^(Ir.-roDPodro-rdJdq. (12.3)
По всему
пространству
Продолжая этот прием по всему ряду энергетических групп,
получим следующее выражение для вероятности того, что нейтрон,
рожденный в точке г0, станет тепловым вблизи точки гя:
P(|r„-rol) = Jf... j* P1(|r1-r0|)P2(|r2-rI|)...
По всему
пространству
• • • Рп(I rn — rn_! |)dry dr2...dгя_х; (12.4)
здесь множители Р вообще различны для каждой энергетической
группы. Это выражение представляет общую функцию влияния для
замедления (в бесконечной среде) нейтронов, рожденных с энергией
деления Ео в точке г0 и замедлившихся до тепловой энергии Ет
в единице объема вблизи точки гя.
Чтобы вывести выражения для функций влияния на основе метода
групп, предположим сначала, что существуют только две энергети-
ческие группы. Таким образом, тепловые нейтроны будут, как в гл. 8,
представлять одну группу, а все нейтроны высших энергий—другую
(группу быстрых нейтронов). Если допустить, что в группе быстрых
нейтронов поглощения нейтронов нет, то, предположив еще, что поток
быстрых нейтронов удовлетворяет диффузионному уравнению,
сможем написать
— ЕхФ1 + 5 = 0. (12.5)
Здесь Dy — средний коэффициент диффузии, определенный фор-
мулой (8.7), и Sj—сечение замедления, рассмотренное в гл. 8, § 3.
25*
388 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
Первый член представляет утечку быстрых нейтронов, второй—потерю
нейтронов в 1 см3 за 1 сек., связанную с переходом в группу мед-
ленных нейтронов, и третий представляет источники быстрых нейтро-
нов. После деления на D± и замены D/Xj на L*, где Lr— кажущаяся
диффузионная длина, уравнение (12.5) примет вид
Wi-^-+^ = 0- <12-6>
Однородная часть этого дифференциального уравнения подобна (5.46),
за исключением того, что вместо здесь для удобства употреблено
выражение 1/L?. Поэтому для единичного точечного источника быстрых
нейтронов поток равен [ср. (5.51)] \/
Если вместо DT подставить эквивалентную величину /ЛХь получим
„-»7Д
4яд1г
Этот результат может быть теперь использован с тем, чтобы
построить функцию влияния диффузионного типа для замедления
в бесконечюй среде в случае двух групп. Как было видно выше,
величина представляет число нейтронов в 1 см3, переходящих
в течение 1 сек. из группы быстрых в группу медленных нейтронов.
Поэтому выражение в правой стороне формулы (12.8) дает вероятность
того, что нейтрон источника, находящегося в точке г0, станет
тепловым в единице объема вблизи точки поля г. Следовательно,
если точечный источник находится в г0 и г есть точка поля в бес-
конечной однородной среде, то вероятность, отнесенная к единице
объема, представляющая двухгрупповую функцию влияния, может
быть написана в виде
„-I r-rj/i,
Р(1Г-Г“1)=Й|7^Т- (,2-9>
Проведенное рассуждение для одной группы быстрых и одной
группы медленных нейтронов может быть распространено на общий
случай (обсужденный в гл. 8, § 8) и групп нейтронов с энергией, превы-
шающей тепловую. Так, рассмотрение замедления от г-й группы
к (/—|—1)-й ведет к диффузионному уравнению
(г) — ^Ф, (г) + = 0, (12.10)
в котором слагаемое Sit соответствующее источникам, дано числом
нейтронов, переходящих из (г—1)-й группы в i-ю. В согласии
с методом, употребленным для двух групп, легко видеть, что функция
Общее уравнение реактора
389
влияния диффузионного типа для Z-й группы замедляющихся в бес-
конечной среде нейтронов, которая представляет собой вероятность
перехода нейтрона Z-й группы, находящегося в точке г,-, в (Z-j-l)-io
группу в единице объема вблизи точки г;+1, дается выражением
Л(|г.+1-гЛ) = -^------------—, (12.11)
Г< + 1 — П ,
£
где Ц — Dil'Zi. Здесь Di — коэффициент диффузии нейтронов Z-fl
группы, а X» определено выражением, аналогичным (8.6):
2* = -т----------- (12.12)
yin (£z/£i+i)
Если число групп достаточно велико, то значение Ss может быть
взято равным сечению рассеяния нейтронов с энергией f,-. В противном
случае оно может быть получено усреднением по области от Et
до £/+i согласно (8.3).
Подставляя выражения вида (12.11) для функций влияния
Р2, • • ^Рп различных групп в общую формулу (12.4), можно найти
функцию влияния для замедления нейтронов в бесконечной среде,
рожденных в точке г0 и ставших тепловыми вблизи точки гга. Ниже
будет показано (см. § 16), как могут быть скомбинированы функции
влияния для отдельных групп с известными экспериментальными
результатами так, чтобы сделать возможным вывод аналитического
выражения для плотности замедления нейтронов в воде. Этим приемом
достигается удовлетворительное решение проблемы, в то время как
модель непрерывного замедления, как раньше было указано, непри-
годна для обыкновенной или тяжелой воды, взятой в качестве
замедлителя.
Важно отметить, что в выводе выражений для функций влияния
и в их применении возможность поглощения нейтронов в процессе
их замедления была игнорирована. Необходимая поправка может
быть, однако, введена путем умножения функций влияния, указанных
в формуле (12.1) и в дальнейших, на вероятность избежать резонан-
сного захвата.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ РЕАКТОРА
§ 3. Плотность замедления
Рассчитанная на единицу объема вероятность того, что нейтрон
источника (деления), рожденный в г0, достигнет точки поля г как
нейтрон энергии Е, представляется функцией влияния P(r, r0, £т)х).
’!) Здесь употреблено общее обозначение, так как функции влияния могут
относиться к конечной среде, когда онн не являются функциями смещения, —
Прим. авт.
390 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
Энергия Е здесь, в частности, может иметь тепловое значение Ег.
Поскольку вероятность р (Е) избежать резонансного захвата есть
доля нейтронов источника в бесконечной среде, действительно до-
стигших энергии Е, то, очевидно, функция влияния для замедления
может быть так нормирована, что
J Р(г, г0, E)dr^p(E), (12.13)
По всему
пространству
где dr — элемент объема вблизи точки поля г.
В гл. 7, § 2, было видно, что число быстрых нейтронов, возникших
в 1 см3 за 1 сек. вблизи точки г0 вследствие деления в размножающей
среде, например в реакторе, представляется выражением (/г/р)ХпФ (г0).
Следовательно, число нейтронов источника, рожденных за 1 сек.
в элементе объема d г0 вблизи точки г0, равно (fe/p) £„Ф (r0) rfr0.
Число нейтронов источника, возникших за 1 сек. в элементе объема rfr0
и потом замедлившихся до энергии Е в 1 сл3 вблизи точки г, равно
ъ
^а^(г0)Р(г, г0, E)dr0
при отсутствии посторонних источников и если нейтроны деления
(источника) моноэнергетические. Рассчитанное на 1 см3 и на 1 сек.
полное число нейтронов, замедлившихся до энергии Е вблизи точки
поля г, равное плотности замедления q(r, Е), получается тогда
суммированием вкладов, вносимых каждым из элементов объема
в реакторе. Таким образом,
9(г, £)= f |хоФ(г0)^(г» ro> E)dr0. (12.14)
По объему
реактора
Определенная этим выражением плотность замедления включает
возможность поглощения в процессе замедления, так как в правильном
определении функции влияния для замедления должна учитываться
имеющая место в процессе замедления потеря нейтронов вследствие
резонансного захвата и т. д. Это очевидно из формулы (12.13), где
интеграл от функции влияния отождествлен с вероятностью избежать
резонансного захвата.
Плотность замедления при тепловых энергиях q(r, Ег) получается
подстановкой в формулу (12.14) Ет вместо Е. Она равна члену
в диффузионном уравнении, представляющему источники тепловых
нейтронов. Таким образом,
q (г, Ет) = f 7 <го) Р <г> г0’ dr& (12-15)
По объему
реактора
где Р (г, Гд, Ет) — функция влияния для замедления нейтронов деления
до тепловой энергии. Поскольку, как выше было указано, выражение
Общее уравнение реактора
391
для q (г, Е) уже учитывает поглощение при замедлении, нет необхо-
димости умножать на р, как это было сделано в гл. 7, § 2. Если
в системе присутствует посторонний источник S (г0) быстрых нейтронов
с той же самой энергией, что и нейтроны деления, то в формулу (12.15)
должен быть включен дополнительный член:
<7(r,ET) = J [уЕяФ(г0) + 5(г0)]р(г, r0,ET)rfr0. (12.16)
По объему
реактора
§ 4. Общее уравнение диффузии
Если общее выражение (12.16) для q (г, Ет) подставить в урав-
нение диффузии тепловых нейтронов, в котором учтена также
возможность изменения плотности нейтронов во времени, то получится
результат
Я¥2ф(г,0-£йФ(г,0+ f [^20Ф(го) + 5(г0)]р(г,г0,Е1)^г0=
По объему
реактора
_ ал 1 гФ (г, о
dt v dt
(12.17)
Здесь плотность нейтронов п заменена на Ф/т», причем v—средняя
скорость тепловых нейтронов. Поток тепловых нейтронов дается
решением этого уравнения, удовлетворяющим условию обращения
в нуль на экстраполированной границе. Как выше упомянуто, здесь
было для простоты предположено, что все нейтроны деления и по-
стороннего источника возникают с той же самой энергией. Обобщение
на спектр деления может быть сделано без труда. Кроме того, было
предположено, что все нейтроны деления испускаются мгновенно.
Пренебрежение запаздывающими нейтронами не затрагивает существа
трактовки вопроса.
В приведенном ниже рассмотрении будет предполагаться, что
транспортная длина (и, следовательно, длина экстраполяции нейтрон-
ного потока) не зависит от энергии. Это значит, что положение
экстраполированной границы, где поток обращается в нуль, то же
самое для нейтронов всех энергий.
Это предположение особенно удовлетворительно для больших
реакторов, так как в этом случае поток нейтронов заметно не изме-
няется при малых изменениях длины экстраполяции.
Чтобы решить граничную задачу аналитически, предположим, что
употребляемая функция влияния для замедления получается как реше-
ние линейных однородных дифференциальных уравнений. Например,
в теории непрерывного замедления функция влияния представляет
собой решение (линейного и однородного) уравнения возраста при
подходящих условиях. Те три функции влияния, которые нахо-
дятся в общем употреблении в теории реактора, есть гауссовская,
392 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
диффузионная и кинетическая функции, и последние две, подобно
первой, выводятся из линейных однородных уравнений.
Для гомогенного реактора без отражателя можно искать решение
диффузионного уравнения (12.17), предполагая, что его простран-
ственная часть эквивалентна пространственной части решения волно-
вого уравнения. Поэтому уместно рассмотреть решения волнового
уравнения
VsZ(r)-j-JB2Z(r)==0j (12.18)
обращающиеся в нуль на экстраполированной границе конечной раз-
множающей среды. Условие, что Z = О на границе, ведет к ряду
собственных значений т. е. Z обращается в нуль на границе
только для дискретных значений В2, равных В„. Соответствующие
собственные функции, n-я из которых есть Zn, образуют полную
систему ортогональных функций. Пространственная часть нейтронного
потока, плотность замедления и заданные посторонние источники
могут быть разложены в бесконечный ряд по собственным функциям Z„.
Поскольку пространственные и временная переменные разде-
ляются, для потока и плотности замедления соответственно можно
написать
Ф(г, f)=%AnZn(r)Tn(f) (12.19)
п
И
9(г, £)= f SQraZ„(r0)P(r, r0, E)dr0, (12.20)
По объему
реактора
в то время как посторонние источники представляются рядом
5(r) = 2V»(r). (12.21)
п
После подстановки этих формул в (12.16) находим, что
= + ('12.22)
Коэффициенты Ап и Sn могут быть получены из условия орто-
гональности, т. е. путем представления их как коэффициентов рядов
Фурье.
Как можно видеть из § 1, функции влияния в бесконечной среде
есть функции смещения, т. е. они есть функции только расстояния
точки поля от источника. Однако если среда конечная, то присут-
ствие границ изменяет функцию влияния. Это понятно из физических
соображений: нейтроны, рожденные вблизи границ, имеют большую
вероятность покинуть систему, чем нейтроны, рожденные внутри среды.
Функции влияния для замедления в конечной среде P(r, r0, Е),
Общее уравнение реактора
393
появившиеся в приведенных выше формулах, таким образом, очень
сложны. Чтобы решить уравнение реактора, желательно заменить их
функциями для бесконечной среды, и это достигается с помощью
понятия о воображаемом источнике.
§ 5. Функции влияния для замедления в конечной
и бесконечной средах
Рассмотрим полупространство, заполненное замедлителем. Будем
считать, что за экстраполированной границей замедлителя находится
вакуум. Плоский источник быстрых нейтронов будем предполагать
Ф и г. 81. Воображаемый отрицательный источник при определении функций
влияния для замедления в конечной среде.
находящимся внутри среды на расстоянии х0 от границы (фиг. 81).
Функция влияния (гауссова) для замедления в бесконечной среде дана
формулой (12.2)
-|®-а-0174-(Н)
= f (12.23)
Здесь вероятность избежать резонансного захвата опущена, так как
для настоящего рассуждения она несущественна. Функция влияния
для замедления в конечной (или, лучше, полубесконечной) среде,
удовлетворяющая условию, что плотность замедления (и, следовательно,
функция влияния) равна нулю на границе, т. е. когда х = 0, напи-
шется в виде
Р(х, х0, Е) —------?— (12.24)
Эта функция влияния для конечной среды есть разность двух функ-
ций влияния для бесконечной среды. Первый член происходит от
плоского источника в х0, в то время как второй, показанный пунк-
тирной линией на фиг. 81, соответствует отрицательному воображае-
мому источнику в точке —х0. Таким образом, функция влияния для
конечной среды может быть получена суперпозицией функций влияния
394 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
для бесконечной среды, происходящих от реального источника и
такого воображаемого распределенного источника, который делает q
равным нулю на экстраполированной границе.
Только что полученный результат будет теперь использован с тем,
чтобы рассмотреть интеграл источников в уравнении диффузии, и
полубесконечная замедляющая среда снова послужит для целей
иллюстрации.
Пусть распределение потока будет таким, как указано сплошной
линией на фиг. 82. Пунктирг ая лигия для отрицательных значений х
определена как функция — Ф (| х |), которая является аналитическим
продолжением Ф(х) и будет представлять воображаемый источник.
Опуская множитель (k/p)%a, интеграл источников в (12.15) можно
выразить в форме
1= j* Ф(х0)Р(х, х0, E)dx0, (12.25)
где Р(х, х0, Е)—функция влияния для замедления в конечной среде,
соответствующая данной геометрии, т. е. заполненному замедлителем
полупространству. Поэтому из (12.24) получаем
— I
(4tw)1/9 J
-|Ж-®017^ _e-l®+^№Jdro>
где первый член в скобках соответствует реальному источнику,
а второй — отрицательному воображаемому источнику в точке —х0.
Так как функция Ф(х0) аналитически продолжена как —Ф (| х01),
то интеграл может быть записан в виде
оо О
' 0 — Р9
Общее уравнение реактора
395
Здесь во втором интеграле произведена замена переменной интегри-
рования х0 на переменную —х0 и обращены пределы интегрирования.
Окончательно,
4-00 -.|я:-а;о|»/4г
/==(4^1Ф^°)е dX°' (12.26)
' ' —со
Сравнение формул (12.25) и (12.26) показывает, что функция влия-
ния для конечной среды в первой из них была заменена на функцию
влияния для бесконечной среды во второй и в то же время распре-
деление источников было аналитически продолжено, чтобы получить
распределенный воображаемый источник.
§ 6. Решение уравнения реактора
Полученные выше результаты являются вполне общими и могут
быть приложены к решению уравнения реактора с соответствующими
граничными условиями. Собственные функции Zn волнового уравне-
ния (12.18), аналитически продолженные в бесконечность, за экстра-
полированную границу реактора, аналогично простому случаю, рас-
смотренному выше, представляют систему распределенных воображаемых
источников. Функции влияния для конечной среды в уравнении (12.14)
и последующих тогда могут быть заменены функциями влияния для
бесконечной среды, и пределы интегрирования в слагаемом с источ-
никами расширяются на все пространство. Это представляет ценный
метод для решения общих задач, относящихся к конечной размножающей
среде с источниками быстрых нейтронов.
Приложив этот метод к формуле (12.20), получим выражение
<7(r, Е)= f 2«,/„(Го)^(|г-го|, £)rfr0, (12.27)
По всему
пространству
в котором функция влияния для замедления в конечной среде заме-
нена функцией влияния для замедления в бесконечной среде и инте-
грирование распространено по всему пространству. При этом функции
Ф (г0, t) и S (г0) предполагаются аналитически продолженными.
Выражение (12.27) может быть теперь написано в более удобной
форме, если воспользоваться преобразованием Фурье1).
*) Коэффициент Zn («) трехмерного преобразования Фурье функции Zn (г)
определен выражением Zn (а) = J* eia’TZn (г) dr, в то время как обрат-
По всему
пространству
396 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
Преобразованное по Фурье уравнение (12.18) имеет вид
— «22и(а)4-ВХ.(«)-0,
так что
(В2 —a2)Z„(«) = 0. (12.28)
Следовательно, Z„(a) = 0 всюду, кроме точек а2 = В2. Обратное
преобразование Фурье функции Zm(a) можно написать в виде
Zn(«-)=(2^T / (12.29)
По всему
пространству
где В — \ВХ -|- -f- kBz—вектор параметра. Ввиду этого выраже-
ние (12.27) для q (г, Е) принимает вид
q (г, Е) — J* ^п(2«)3 J* е П (*)(Iг r0|,E)dr0.
По всему п По всему f 19 □ Л\
пространству пространству a
Элемент объема rfr0 эквивалентен элементу rf(r0 — г) при фиксиро-
ванном г. Предполагая соответствующие пределы выбранными так,
чтобы интегрирование распространялось по всему пространству, и
используя тождество г0 = г — (г — г0), равенство (12.30) можно
написать в форме
? (г, Е) — J Qn X
По всему п
пространству
х J e-fBn-rZn(a)rfae<B"-(r-r0)Poo(|r-r0|,^rf(r0--r).
По всему
пространству a
Второй интеграл представляет собой коэффициент Zn(r)1) обратного
преобразования Фурье, так что это равенство приобретает вид
<(r,Q = 2<?A(r) f e<B»-(M»>Pc>(|r-r0|,E)4f(r0—r).(12.81)
n J
По всему
пространству
ное преобразование есть
Z«(r)=(2^ I e"iar^(a>da-
По воему
пространству
Здесь a = lax -|- + kaz есть векторная переменная интегрирования. Коэф-
фициент Фурье функции отмечается черточкой. — Прим. авт.
!) Формула (12.37) может быть выведена из (12.30) правильным путем. См.,
например, В. И. Смирно в, Курс высшей математики, т. IV, 2-е изд., М.—Л.,
1951, стр. 154. — Прим. ред.
Общее уравнение реактора
397
Коэффициент трехмерного преобразования Фурье Роо(Вп, Е) функ-
ции влияния для замедления в бесконечной среде Л» (|г — г01, Е)
имеет вид
Рт(В?п,Е) = J е<в”‘(г-го)Р00(|г —r0|, E)<f(r0—г), (12,32)
По всему
пространству
и отсюда (12.31) можно написать так:
9 (г, Е) = 2 QnZn (г) Яо (&, Е). (12.33)
п
Это равенство, связывающее плотность замедления с коэффициентами
трехмерного преобразования Фурье функции влияния для замедления
в бесконечной среде, является основным в обобщенной теории реак-
тора. Заметим, что разложение функции q(r, Е) в такой ряд,
как (12.32), возможно только в том случае, если дифференциальное
уравнение для q, например уравнение возраста, линейно и однородно.
§ 7. Смысл коэффициентов Фурье
С чисто математической точки зрения нейтроны некоторой энер-
гии Е можно считать распределенными по n-состояниям, так что
плотность замедления в n-м состоянии равна [ср. (12.33)]
qn(r, E)^QnZn(r)Pm(Bt Е).
Это выражение дает число нейтронов в n-м состоянии, проходящих
в процессе замедления уровень энергии Е в течение 1 сек. в 1 смй
вблизи точки г. Число быстрых нейтронов с энергией Ео в том же
состоянии, выходящих из источника, равно
Чп (Г» Д)) = Qn^n (Г) Всо (Вп, Eq),
так что отношение числа нейтронов в n-м состоянии, достигающих
энергии Е, к числу нейтронов в том же состоянии, покидающих
источник, равно
Число нейтронов в ?г-м состоянии, достигающих энергии Е _
Число нейтронов в л-м состоянии, покидающих источник
(12 34)
Можно показать выбором подходящей функции влияния для замед-
ления в бесконечной среде, например гауссовой функции, основан-
ной на линейном однородном дифференциальном уравнении, что зна-
менатель выражения справа в (12.34) равен единице. Для этого Нужно
написать общее выражение для коэффициента Фурье и, чтобы получить
398 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
его значение для нейтронов источника, оценить его для энергии Ео.
Например, ниже будет показано (см. § 13), что если функция влия-
^2
ния для замедления является гауссовой, то Ра, (В„, Е) — ре~ п ,
где р — вероятность избежать резонансного захвата и z — возраст
нейтронов энергии Е. Для нейтронов источника т=0 и р= 1.
Поэтому Ра (Вп, До) = 1. Этот результат вполне общий, и, таким
образом, из (12.34) можно заключить, что
Число нейтронов в п-м состоянии
достигающих энергии Е
Число нейтронов в п-м состоянии
покидающих источник
Таким образом, Рт(Вп, Е) есть вероятность того, что нейтроны
источника в п-м состоянии достигнут энергии Е в системе, не выйдя
из нее наружу и не поглотившись при более высоких энергиях.
Е). (12.35)
ПРИБЛИЖЕНИЕ К КРИТИЧЕСКОМУ СОСТОЯНИЮ
§ 8. Общее поведение размножающих систем
Рассмотрим конечную систему, построенную из делящегося мате-
риала и замедлителя, содержащую точечный источник быстрых ней-
тронов в г0. Источник представим функцией S8 (г — г0), где 8 — дельта-
функция. Чтобы упростить задачу без серьезной потери в общности,
будем предполагать, как делали выше, что нейтроны, возникающие
при делении, и нейтроны постороннего источника имеют одну и
ту же энергию.
Если подставить n-е члены разложений в формулах (12.18),
(12.19), (12.21) и (12.33) в общее уравнение диффузии (12.17), то
последнее для тепловых нейтронов в п-м состоянии примет вид
&ВпА,^Гп(£) Zn (г)— ^.aAnTn(T)Zn(y)~^~
+ ЛяТя(0Ч-5„]
Zn{r)Pa{Bl) = ^AnZn(r)^P-, (12.36)
где V2Z„(r) в согласии с_ формулой (12.18) заменено на—Вя7я(г)
и знак Е из аргумента в Ра(В~п, Е) опущен, что означает, что энер-
гия имеет тепловое значение. Разделив уравнение (12.36) на £ОЛП7’ИДЯ
и учтя, что D^-L? (квадрату диффузионной длины) и l/So‘0 = /0
(времени жизни теплового нейтрона в п-м состоянии в бесконечной
среде), получим
|РоЖ)-(1+£2Вп)
^оо(Вп)
ЕаАп Тп (<)
'о dTn(t)
Тп tt) dt ‘
Приближение К критическому состоянию 399
После деления полученного уравнения на 1 -j- и замены
/0/(1 -\-L2Bn) на 1п (время жизни теплового нейтрона в конечной
среде для n-го состояния) будем иметь
' *Рсо(4) _ ! 1 I ^со(^> = 1п
p(l + LzB2n) J-1" £о(1+^В2)Л„Гп(0 Tn(t) dt
Решение этого дифференциального уравнения для Тп{1) имеет вид
Тп (П = const • e(7i« ЭФФ'Ц ,/7« Ч------------
АД» (1 + (1 - kn 8фф.)
где &лэфф. определено формулой
» __ fin
knS^~P(l+L^‘ (12,37)
Полный поток нейтронов в системе, данный формулой (12.19),
представится теперь в виде
Ф (г, /)==£UX (г) е^''‘ эФФ-",) f‘!“
п L
, SnZn(r)Pco(B») 1
Т£л(1+£3/ф(1-*й8№)1
(12.38)
где А'— результирующая постоянная. Это выражение, являющееся
общим решением диффузионного уравнения (12.17). дает общее опи-
сание поведения потока тепловых нейтронов в ограниченной размно-
жающей среде с посторонними источниками безотносительно к тому,
находится ли система в стационарном состоянии. Первый член дает
поток, связанный с делениями, второй определяет вклад от посторон-
них источников.
Из присутствия А5ИЭфф. во втором члене очевидно, что быстрые
нейтроны постороннего источника приумножены вследствие деления.
Если бы делящегося материала не было, так что k и, следовательно,
^«эфф. были бы равны нулю, то выражение (12.38) свелось бы к
“ SO(1+^)
Влияние деления заключается, следовательно, в том, что поток
тепловых нейтронов в каждом из «-состояний, который происходил
бы от данных источников при той же геометрии, но в неразмно-
жающей среде (обладающей, однако, свойствами размножающей среды
в отнои ении рассеяния, замедления и поглощения) умножается на
1 /(1 kn 8фф. ).
Возвращаясь к общему выражению (12.38), покажем, как оно
может быть использовано для доказательства существования особой,
критической геометрии для данной размножающей системы. Представим
400 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
себе, например, прямоугольный параллелепипед с длинами ребер
а, Ь, с, содержащий в центре точечный источник быстрых нейтронов.
Такая система симметрична относительно декартовых координатных
осей, имеющих начало в центре параллелепипеда и направленных
параллельно его ребрам. Поэтому собственные функции четные, т. е.
г. ит.х v wv.2
Zn — cos -— cos —cos--
п а b с
и соответствующие собственные значения, при которых удовлетво-
ряется граничное условие (см. § 4), равны
где й, у и w — положительные целые нечетные числа. Если система
сильно подкритична, например вследствие слишком малых ее разме-
ров, то В2 велико; в самом деле, если а = Ь = с—> 0, то В3->оо.
Рассмотрим теперь выражение (12.37), определяющее knB^_. Когда
размеры системы возрастают от очень малых значений, упомянутых
выше, Вп убывает и при некоторых значениях а, b и с значение &И8фф.
сравнивается с единицей. Величины при фиксированных а, b и с
образуют последовательность значений, монотонно возрастающую
с ростом числа л, наименьшим значением которого обозначено состо-
яние с u==v-'W=-\. Это состояние соответствует наибольшему
Л»эфф.. Значения и = о = гг>=1 дают наименьшее из собственных
значений, соответствующих решениям волнового уравнения, удовле-
творяющим граничному условию Ф == 0 на экстраполированной границе.
Если йп8фф. меньше единицы для всех л, то первый член в (12.38)
дает экспоненциальный спад потока со временем, так как величина
&я8фф. — 1 отрицательна. Поэтому получить стационарное состояние
можно, только поместив в систему посторонний источник. В этом
случае цепная реакция деления в системе не является самоподдержи-
вающейся — утечка нейтронов слишком велика или коэффициент раз-
множения k слишком мал. Чтобы поддержать баланс нейтронов
в любом из этих случаев, необходим посторонний источник, и тогда
по истечении времени, достаточного для исчезновения экспоненциаль-
ного члена, стационарный поток будет равен
ф(г)= У SnZn^P^
ТЕЙ(1+Г^)(1-^ЗФФ.)
(12.40)
§ 9. Критическое состояние
Предположим далее, что данная система из горючего и замедлителя
возрастает в размерах до тех пор, когда будет выполнено равенство
&0 »фф. — 1,
Приближение к критическому состоянию
401
в котором /гоэфф.—наибольшее из всех kna^., относящееся к
гг = г» = w = 1 и соответствующее основному собственному значению
В2. Тогда первый член в (12.38) становится постоянным для « = 0,
а второй член — бесконечным, если присутствует посторонний источ-
ник. Следовательно, чтобы получить стационарное состояние, посто-
ронний источник должен быть убран. Это есть условие для критиче-
ской самоподдерживающейся реакции. Критическое уравнение имеет,
следовательно, вид
__ kP^)
°* - 1-
(12.41)
Так как ka 8фф. есть наибольшее из всех kn3t^., то все другие,
для которых п > 0, меньше единицы. Поэтому соответствующие
значения первого члена в (12.38) экспоненциально спадают со време-
нем и в стационарном состоянии все должны быть равны нулю.
Следовательно, когда цепная реакция самоподдерживающаяся (посто-
ронний источник отсутствует), разложение потока в ряд Фурье сво-
дится только к одному основному члену. Стационарный поток в пря-
моугольном параллелепипеде, рассмотренном выше, представляется
формулой
Ф(х, у, е) ~ A cos coscos. (12.42)
Эквивалентное утверждение заключается в том, что поток удо-
влетворяет волновому уравнению
¥2Ф-]-/32Ф = 0
с Ф == 0 на границе, причем выполнено критическое уравнение
р(\+1*В‘)
(12.43)
и параметр для рассматриваемой геометрии, согласно (12.39), равен
МЯ+(Я+(У)!-
Знак 0 при В2 здесь опущен, так как в критическом состоянии пред-
ставляет интерес только одно значение. Существенный результат
проведенного рассуждения состоит в том, что в критической или
близкой к критической системе поток нейтронов может быть выражен
посредством основной гармоники волнового уравнения, решения кото-
рого обращаются в нуль на экстраполированной границе.
Следует упомянуть, что, когда ko Эфф. становится больше единицы,
система становится надкритической и поток возрастает во времени
вследствие экспоненциального роста первого члена в (12.38). Если
система не далека от критической, так что разность /гОэфф. — 1 мала,
то скорость возрастания будет по существу определяться этой
26 Зак. 724. С. Глесстоп. М. Эллунл
402 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
величиной, стоящей в числителе экспоненты. Если эффективный коэф-
фициент размножения заметно превосходит единицу, то и может
также оказаться больи е единицы, и тогда два члена ряда будут
возрастать со временем. Эта ситуация не имеет практического зна-
чения— условия, в которых реактор до такой степени сверхкритичен,
должны избегаться.
§ 10. Асимптотическое уравнение реактора
и материальный параметр
Если стационарное состояние в размножающей системе поддержи-
вается в отсутствие постороннего источника, так что реактор нахо-
дится в критическом состоянии, то уравнение диффузии тепловых
нейтронов (12.17) сводится к следующему:
(г)_ ЕвФ(г) + 4 20 f ф (r0) P(r, r0, Е) <Zr0 = 0. (12.44)
Г V
По объему
реактора
Здесь реактор предположен однородным, так что k, р и Не
зависят от места и могут быть вынесены за знак интеграла. Решение
этого уравнения может быть получено по методу § 6 при предполо-
жении, что длина экстраполяции не зависит от энергии нейтронов
(см. § 4). Тогда стан овится возможн ой воображаемая система, дающая
аналитическое продолжение собствен! ых функций Zn волнового урав-
нения (12.18). Если длина экстраполяции изменяется с энергией ней-
трона, то эта воображаемая система не может удовлетворить гранич-
ным условиям, налагаемым на #(r, Е) для всех энергий. В общем,
путем замены функции влияния для замедления в конечной среде
функцией влияния для замедления в бесконечной среде и распростра-
нения пределов интегрирования на все пространство получается асим-
птотическое уравнение
£>?2Ф(г)-£оФ(г)+|ео f Ф(го)Рто(|г-го|)Л-о = 0.
г
По всему /pi 454
пространству V • >
В конечной системе Ф (г0) спадает к нулю i а экстраполированной
границе и Рсо(|г — г01) быстро уменьшается с возрастанием |г — г0|.
Следовательно, если система велика, то (12.45) дает асимптотическое
решение уравнения (12.44), законное вдали от границ.
С помощью метода преобразования Фурье, употребленного в § 6,
может быть показано, что
J Ф (г0) Ро, (I г - г01) dra = Ф (г)Рет (В2) 1).
По всему
пространству
*) См. наше примечание на стр. 396. — Прим. ред.
Приближение К критическому состоянию
403
Здесь Ри (В2) — коэффициент трехмерного преобразования Фурье, оп-
ределенный формулой (12.32), с энергией В, равной тепловой энергии.
Подстановка этого выражения в уравнение (12.45) приводит к урав-
нению
№ (г) _ (г) + А (г) (В2) — 0. (12.46)
г
Если В2 определено из уравнения
?2Ф (г)/32Ф (г) = 0,
(12.47)
то, как легко вывести из (12.46),
АРсо (В2) _ .
/ф+^В2)
(12.48)
Это значит, что асимптотическое уравнение реактора удовлетворяется
решением волнового уравнения (12.47), если В2 — корень критического
уравнения (12.48).
Так как k, р, I2 и Рт(В2) описывают микроскопические свойства
размножающей системы, то очевидно, что для реактора данного со-
става существует только одно значение В2, удовлетворяющее урав-
нению (12.48). Оно является материальным параметром Вт, прежде
определенным в понятиях модели непрерывного замедления (см. гл. 7,
§ 5). Поэтому асимптотическому уравнению для реактора в критиче-
ском состоянии будет удовлетворять только одно решение волнового
уравнения (12.47) для распределения потока:
?2Ф(г) + В2гФ(г) = 0. (12.49)
Асимптотическое уравнение реактора и его асимптотическое реше-
ние вообще законны только на расстояниях от границы, больших по
сравнению с длиной замедления нейтронов. Если длина экстраполяции
не зависит от энергии нейтронов, то асимптотическое решение ста-
новится тождественным решению точного уравнения (12.44), дан-
ному в § 9.
Для большой подкритической системы, удерживаемой в стацио-
нарном состоянии с помощью постороннего источника нейтронов,
баланс тепловых нейтронов в области, удаленной от источника,
где по существу все нейтроны происходят от деления, еще может
быть с высокой точностью представлен уравнением (12.44), в кото-
ром интеграл должен быть взят только по предписанной области.
Если область удалена от границ системы более чем на длину
замедления, то плотность замедления может быть выражена с помощью
функции влияния для замедления в бесконечной среде, а интегриро-
вание распространено на все пространство, как в (12.45). Поэгому,
согласно аргументации, развитой выше, стационарное распределение
потока тепловых нейтронов в областях большой подкритической
26*
404 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
системы, удаленных от источников и от границ, дано в хорошем при-
ближении уравнением (12.49), в котором В2т— материальный параметр
той размножающей среды, из которой построена система. В экспо-
ненциальном опыте, описанном в гл. 9, значение получено из
распределения потока, измеренного в системе, находящейся в стацио-
нарном подкритическом состоянии. Полагая параметр В^ равным
(критическому) геометрическому параметру, можно определить размеры
критического реактора, обладающего теми же самыми микроскопиче-
скими свойствами, что и экспериментальная установка. Следует за-
метить, что метод экспоненциального опыта для определения мате-
риального параметра не может быть употреблен для систем с обога-
щенным ураном, когда обычно в подкритическом состоянии система
будет слишком малой для того, чтобы в какой-нибудь точке оста-
валось справедливым асимптотическое решение.
КРИТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЯХ
ВЛИЯНИЯ ДЛЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ
§ 11. Вероятность избежать утечки в процессе замедления
В § 7 было показано, что доля нейтронов источника в любом из
n-состояний, действительно достигающих энергии Е, равна соответ-
ствующему коэффициенту Фурье функции влияния для замедления
в бесконечной среде. Если реактор находится в критическом состоя-
нии и имеет значение только одно из и-состояний — основное, то все
нейтроны могут считаться находящимися в этом основном состоянии.
Для энергии Е, равной тепловой энергии, из формулы (12.35) имеем
Число нейтронов, ставших тепловыми _— $
Число нейтронов, вышедших из источника т\ )> \ • )
где коэффициент Р^ (В1) тождествен коэффициенту Рю (Во) в фор-
муле (12.41) или Рю(ВГ) в критическом уравнении (12.43). Если бы
утечки нейтронов из реактора не было, как в бесконечной среде, то
дробь в (12.50) была бы тождественна вероятности р избежать резо-
нансного захвата (ср. § 2). Но для конечной системы РС,^(В°) есть
полная вероятность того, что нейтрон в процессе замедления не уйдет
наружу и не поглотится внутри системы. Таким образом, вероятность
избежать утечки в процессе замедления до тепловой энергии равна
Рю(В~)/р. Этот вывод совершенно общий и не зависит от характера
теории процесса замедления. Ниже будет видно, что при употреблении
функции влияния, основанной на модели непрерывного замедления,
значение Рт(В2)1р оказывается равным е~Б"~ в согласии с результа-
тами, полученными в гл. 7. Если, однако, модель непрерывного за-
медления неприменима, то вероятность избежать утечки может быть
получена с помощью более подходящих функций влияния.
Критическое уравнение при различных функциях влияния 405
§ 12. Моментная форма критического уравнения
Критическое уравнение может быть написано в той удобной форме,
в которой непосредственно используется измеряемая плотность замед-
ления в данной среде. В критическом (стационарном) состоянии
коэффициент трехмерного преобразования Фурье функции влияния
для замедления до тепловой энергии в бесконечной среде Рсо(|г—г0|),
согласно (12.32), дается формулой
Роо(«>- j* д-<в-(г-г..)Рсо(|г— r0|)rf(r0 — г), (12.51)
По всему
пространству
в которой Я2— наименьшее собственное значение волнового уравне-
ния, т. е. а все другие собственные значения здесь несущественны
(см. § 9). В полярных координатах на .один
Рю(В2) = 4к[
о
(12.52)
где г — | г — г01 и Роо (г) — функция влияния для замедления в бес-
конечной среде. После разложения выражения sin BrJBr в ряд Тей-
лора и почленного интегрирования выражение для коэффициента
Фурье функции влияния принимает вид
СО со
Рсо (Я2) = 4к 2 в‘1'1 f г2,г/<° wr2 dr-
»=о о
(12.53)
Момент 2п-го порядка распределения плотности замедления пред-
ставляется выражением
СО
f i^Pw{r)^dr
pin—2________________
со
f Poo(r)4jtr3dr
b
(12.54)
Так как функция влияния для замедления нормирована на вероятность
избежать резонансного захвата, то из этого, согласно (12.13), сле-
дует, что
4- J Р«, (г) г2 dr — р, (12.55)
о
406 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
где р — вероятность избежать резонансного захвата при замедлении
до тепловой энергии. Поэтому, согласно (12.54),
j* г2лРт (г) ft dr — ftn,
и
и выражение (12.53) получает вид
СО
Рсо(Д2)-р S -(fen)! (12-56)
п=о
Критическое уравнение (12.41) может быть теперь выражено через
2и-е, т. е. четные моменты плотности замедления при тепловой
энергии. Таким образом,
СО
14-Z.2B2 2 (2л-f- 1)Т В2пг2п = 1 ’ (12.57)
И = 0
что представляет собой критическое уравнение в моментной форме.
Если реактор большой по сравнению с j/^2 (квадратным корнем
из среднего квадрата длины замедления), то параметр В2 мал по
сравнению с 1/г2 и члены сп>1 в (12.57) могут быть отброшены.
Тогда
СО
v -(ir+DiВ2"^ ~1 - 4 й2г2> (12-58)
>»=о
где г2 — средний квадрат расстояния от источника нейтронов деления
до той точки в бесконечной среде, где нейтрон становится тепловым,
т. е. величина, равная той, которая в гл. 7, § И, была обозна-
чена через г». Подставляя ее в критическое уравнение (12.57), полу-
чаем
T+ZwO—^4)=!. (12.59)
Если число 1/6В?гв малб по сравнению с единицей, то это выраже-
ние приблизительно может быть написано в виде
---------у--i—«-----------------= 1 • (12.60)
(l + Z.2B2)(l + -i-B2r82) i+J52^2 + J.^
Так как Т.2-)-1/^ есть площадь миграции Ж2, то последний резуль-
тат можно выразить в форме
___-___-- 1,
14-лрв2 *’
Критическое уравнение при различных функциях влияния 407
согласующейся с формулой (7.83), выведенной для болыгого реактора
на основе теории непрерывного замедления. Таким образом, для
большого реактора вероятность избежать утечки, как и следовало
ожидать, не зависит от особенностей избран! ой модели замедления,
а становится по существу функцией площади миграции.
Экспериментальное определение моментов г2'* состоит в измерении
плотности замедления в замедлителе на различных расстояниях г от
источника быстрых нейтронов и последующего изображения резуль-
татов с помощью подходящим образом подобранной функции влия-
ния PooCr), например типа непрерывного замедления или метода групп.
Затем функция влияния подставляется в формулу (12.54) и вычис-
ляются интегралы, чтобы получить г2" для различных значений п.
Когда я=1, результат равен j-‘s, причем величина 1/ъг^ отождест-
вляется с возрастом, хотя ova эквивалентна последнему, только
когда применима модель непрерыв> ого замедления. Далее экспери-
ментальные значения г'1п подставляются в (12.57) и получается крити-
ческое уравнение, не зависящее от какой-либо специальной функции
влияния для замедления.
На практике оценка моментов высшего порядка для целей построе-
ния критического уравнения затруднительна по крайней мере по двум
причинам. Во-первых, необходимо, чтобы измерения производились
на больших расстояниях от источника, где плотность нейтронов очень
мала, и, во-вторых, употребление индиевой фольги означает, что
плотности замедления измеряются приблизительно при 1,4 эв, резо-
нансном уровне индия, и чтобы получить значения при тепловой
энергии, нужно вводить поправки. Кроме того, измерения должны
делаться в среде с тем же самым резонансным поглощением, какое
имеет место в реакторах. Это требова! ие может быть удовлетворено
добавлением к среде соответствующего количества равномерно распре-
деленного поглотителя.
§ 13. Гауссовы функции влияния и критическое уравнение
Решение уравнения возраста, т. е. уравнения, основанного на
модели непрерывного замедления, для точечного источника в беско-
нечной непоглощающей среде было найдено в гл. 6, § 21:
9(r,fT) = " .
(4«т)
Здесь начало координат предполагается совмещенным с источником,
а т— возраст тепловых нейтронов от моноэнергетического источника.
Плотность замедления в поглощающей среде получается умножением
Этого выражения на вероятность р избежать резонансного захвата
408 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
(см. гл. 6, § 27), так что соответствующая функция влияния для
замедления в бесконечной среде есть
п/>—
p“w=7hr- 02.61)
Коэффициент Фурье этой функции получается тогда по формуле (12.52)
-= /DQ. . f рё~ *7*’ sin Вг ...
=----Р Се-'^- г sin Вг dr. (12.62)
(4«)*М’В •'
Чтобы проинтегрировать по частям, положим
и == sin Вг, du = В cos Вг dr
и
v ~ — 2т е~dv — ге~’74х dr.
Тогда (12.62) принимает вил
____Р______
(AitfPx’Pfl
—2т е-'74-sin fir! 4
4- 2тВ f cos BrdrJ .
о
(12.63)
Первый член в скобках равен нулю, а определенный интеграл может
быть получен из таблии. Подстановка соответствующего значения пре-
вращает (12.63) в
/эоо(В2) = ре~вя'.
(12.64)
Как выше было видно, вероятность избежать утечки в процессе
замедления до тепловой энергии равна Р^ (В2)1р. В настоящем слу-
чае она равна е~в\ Это, конечно, результат, полученный с помощью
уравнения возраста (см. гл. 7, § 6). Употребляя значение (12.64)
коэффициента Фурье, основанное на-модели непрерывного замедления,
получим критическое уравнение (12.43) в виде
-^=1. (12-65)
как было выведено в гл. 7.
Критическое уравнение при различных функциях влияния 40!)
§ 14. Критическое уравнение с гауссовой функцией влияния
и источник со спектром деления
В предыдущем параграфе предполагалось, что нейтроны источника
деления были моноэнергетические. Теперь рассуждение будет расши-
рено так, чтобы стать справедливым и для энергетического спектра
нейтронов деления (см. гл. 4, § 2). Для замедлителей, в которых
может быть использована модель непрерывного замедления, обобщен-
ная функция влияния для замедления может быть получена суперпози-
цией гауссовых функций (возраста), проинтегрированных по спектру
деления.
Обозначим через s(E0)dE0 долю нейтронов деления, рожденных
с энергией, заключенной между Ео и E0-\-dE0, так что функ-
ция х(Д0) может рассматриваться в качестве аналитического выраже-
ния спектра деления. Возраст т(Д0, Е) нейтронов с энергией Е может
быть написан в виде
Ео
t(^E)=[Af, (12.66)
Ё
и тогда функция влияния, аналогично (12.61), есть
? -r'-Цх (Д, Е)
(г, Е) = р (Д) f S(До) dE0, (12.67)
Р [4лт (Ео, £)] '3
где р(Е) — вероятность избежать резонансного захвата для нейтронов
энергии Е. С помощью процедуры, подобной той, что была описана
выше, можно найти коэффициент Фурье для обеих частей равен-
ства (12.67):
ОО
Ро, (Е, В*) = р (Д) j* е~в- Е> s (£0) dE(J. (12.68)
Ё
Заметим, что поскольку при энергиях До<0,1 Л/эв функция х(Д0)
практически равна нулю, т. е. все нейтроны деления, можно считать,
имеют энергию, большую 0,1 Мэе, то отсюда следует, что вероят-
ность избежать резогансного захвата при данной энергии Д можно
считать той же самой для всех нейтронов деления. Это справедливо
потому, что резонансный захват имеет место почти исключительно при
энергиях, заметно меньших 0,1 Мэе. Следовательно, р(Е) можно писать
как функцию только энергии, при которой вычисляется Ра.(Е, №).
Вероятность избежать утечки в процессе замедления нейтронов до
тепловой энергии равна Р^(Ег, В2)1р(Ет), и критическое уравнение
в рассматриваемом случае принимает вид
го
__±_? С е в^в. rT)s(£o)^o = L (12.69)
гт
410 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
для спектра
возрастом т.
(12.70)
Если все нейтроны деления рождаются с той же самой энергией,
так что s(E0) есть дираковская дельта-функция, то уравнение (12.69)
сводится к монохроматическому критическому уравнению (12.65),
выведенному выше.
Чтобы продвинуться дальше в оценках критичности,
деления нужно воспользоваться соответствующим средним
Он может быть получен по определению:
СО
J e~B4(E(>-E^s(Ef)dE0.
Eq?
Тогда критическое уравнение можно написать в виде
14-£zB2 ~~ Е
Моментная форма выражения (12.70) может быть получена раз-
ложением ®г) в степеннОй рЯД; таким образом, для интеграла
получаем
СО со
J e-^v.ET)s[Eo)(lEo=l_^ J т(Ео> Er)s(Eo}dEo +
Erp
+ J т2(5о, ET)s(E0)dE0 — ...
Аналогично, разложение левой части (12.70) дает
Если реактор большой, так что ряды в обоих случаях могут быть
оборваны после вторых членов (ср. § 12), сравнение разложений
показывает, что
оо
т== J" ?(Ео, Ет) s (Е,) dE0.
Е'Г
Здесь правая часть представляет собой среднее арифметическое воз-
растов нейтронов деления, замедленных до тепловой энергии. Этот
результат поясняет физический смысл среднего возраста, определен-
ного формулой (12.70).
Используя только первые два члена в разложении е~в\ находим,
что для большого реактора
1 __ «(! 4-B2T)-i.
Критическое уравнение при различных функциях влияния 411
Критическое уравнение (12.71) теперь принимает вид, как в § 12,
--------1
1+ДО=ВЗ
с площадью миграции /И2, определенной формулой
Ж2^Л24-Ч,
где т — среднее арифметическое значение возраста тепловых нейтро-
нов, взятое по спектру деления.
§15. Функции влияния по методу групп: две группы
В методе групп в случае двух групп функция влияния для замед-
ления в бесконечной среде дается выражением (12.9) (если нет
резонансного поглощения). При наличии резонансного поглощения
функция влияния должна быть умножена на вероятность р того, что
нейтроны первой группы (высокой энергии) избегнут резонансного
захвата. Отсюда следует, что если источник нейтронов находится
в начале координат, то функция влияния для замедления от деления
до тепловой энергии есть
ие~г>^
(12.72)
4nL^r
где, как и прежде, а — сечение замедления (см. гл. 8,
§ 3). Коэффициент Фурье функции Роо(г), Л»0В2)> равен [ср. (12.52)]
00 _ т
Р„ (В2) = 4it f -sln A г2 dr =
J 4гХ?г Вг
оо
= f е~r!L> sin Brdr= (12.73)
LiB о
= (12.74)
L\B _1_ । ga 1 +
После подстановки этого результата в общее критическое уравне-
ние (12.43) получается критическое уравнение двухгрупповой теории:
П 4- L2B2} Н 4- £2В21 ~ 1 ’ (12.75)
(1 -f-i В J (1 )
эквивалентное уравнению (8.42).
412 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
Второй момент распределения плотности замедления дан формулой
r р-гПл
1 ° 4кг2 dr
------= 6£i,
4и£?'
~ 2 О
Г8 = ~
(12.76)
, ---=— 4кг2 dr
> 4к1?.г
о 1
и сравнение с (6.137) показывает, что в двухгрупновой трактовке
имеет тот же самый физический смысл, что и возраст т. Именно,
величина L.{ равна 1/6 среднего квадрата расстояния от источника,
из которого нейтрон вышел как нейтрон деления, до точки, где он
стал тепловым (ср. гл. 8, § 7). Отсюда критическое уравнение (12.75)
можно написать в виде
k k
(!+£’£?) (1 + 4^) = OWF®> = >• <12-77>
Если критический реактор большой, так что В2 — малая величина
или, вообще, если k—1 — малая величина, то знаменатель можно
заменить на 1-ф-В2 (L21/6г2). Тогда (12.77) примет вид
k k
6 8
§ 16. Свертка диффузионных функций влияния
для замедления; замедление в воде
Представив себе нейтроны разделенными на п+1 групп, мы
в § 2 вывели выражение для плотности замедления от энергии деле-
ния до тепловой энергии. В качестве результата получилась свертка
функций, каждая из которых была функцией влияния для одной из п
групп с энергией, большей тепловой.
Можно показать, что коэффициент Фурье свертки функций равен
произведению коэффициентов Фурье для отдельных функций. Следо-
вательно, равенство (12.4) ведет к результату
{В1) = Рг ($) р2 ,"Рп
в котором Роо(в2) — коэффициент Фурье результирующей функции
влияния, а А (Л1), Рх (Вг) и т. д. — коэффициенты функций влияния
для отдельных групп энергии. Теперь критическое уравнение (12.43)
приобретает вид
P(l+L^) РАВ1)Р‘г(В|). • (12.78)
Иритичёское уравнение при различных функциях влияния 413
Преимущество описанной здесь процедуры состоит в том, что она
позволяет употребить любое удобное число функций влияния, кото-
рые могут быть либо того же самого, либо различных видов. На
этом пути можно ввести несколько параметров с тем, чтобы подо-
гнать аналитическое распределение плотности замедления к экспери-
ментальному. По существу это есть прием, использованный с целью
получить функцию влияния для гомогенного обогащенного реактора
с водяным замедлителем, известного как вотер-бойлер.
Вычисления основывались на результатах измерения плотности
замедления нейтронов в воде до индиевого резонанса, приведенных
на фиг. 83. Ординаты пропорциональны r-q(f), где q(r)— экспери-
ментальная плотность замедления на расстоянии г от источника.
Ф и г. 83. Экспериментальное и вычисленное распределе-
ния плотности замедления в воде:
а—гауссова функция влияния (теория возраста): b—функция влияния
диффузионного типа; с—свертка трех функций влияния диффузион-
ного типа; d—экспериментальное.
Измерения были проведены до 30 см, а дальше распределение было
продолжено функцией /—2е~’/9.
Под экспериментальное распределение пробовали подгонять раз-
личные аналитические функции влияния, называемые иногда
414 Гл. 12. Общая теория гомогенных размножающих систем
синтетическими функциями влияния, так чтобы удовлетворялись сле-
дующие условия: 1) аналитическое значение 1/6г^ должно быть равно
экспериментальному, 2) полная площадь под каждой из аналитических
кривых на фиг. 83 должна быть той же самой, что и под эксперимен-
тальной кривой.
На фиг. 83 показаны три аналитические кривые. Первая соот-
ветствует гауссовой (непрерывное замедлегие) функции влияния,
данной выражением (12.61), с возрастом т, равным 33 см2 (ср. гл. 6,
§ 24), вторая — диффузионной функции влияния с одной группой, как
в (12.72), с длиной диффузии £1 = 5,69 см, и третья — свертке трех
диффузионных функций влияния с £^ = 4,49 см, А2 = 2,05 см и
£3= 1,00 см1). Видно, что модель непрерывного замедления непри-
менима к воде как замедлителю. Кривая для гауссова распределения
смещена вправо относительно экспериментальных результатов. Это
произошло вследствие того, что, как указано в гл. 6, в столкнове-
ниях с ядрами водорода нейтрон теряет энергию быстрее, чем можно
было ожидать на оснозании модели непрерывного замедления. Ис-
пользование свертки трех диффузионных функций влияния для пред-
ставления замедления в воде, как видно, приводит к очень точному
изображению экспериментального распределения плотности замед-
ления.
Используя коэффициенты Р^ (В2) трехмерного преобразования
Фурье функций влияния для замедления в бесконечной среде, выве-
денные раньше в этой главе, мы видим, что критические уравнения,
соответствующие различным функциям влияния, имеют следующий
вид:
1) гауссова функция влияния
l+£2#i Ь
2) две группы нейтронов (одна диффузионная функция влияния)
(1 + L2B2)(\ + ^В‘г)
3) четыре группы нейтронов (три диффузионные функции влияния)
(1 + L-В2) (1 + ф2) (1 + Л2В2) (1 + L23B2)
где L — диффузионная длина тепловых нейтронов в воде и В2 —
параметр.
Приведенные выше результаты были использованы при вычисле-
нии критических геометрических параметров для ограниченных
*) При проведении этих кривых вероятность избежать резонансного
захвата в_функциях влияния была опущена, так как интересующей величиной
является Ра>(В2)/р. Из рассмотренных выше примеров ясно, что р выпадает
из критического уравнения в любом случае. — Прим. авт.
Критическое уравнение при различных функциях влияния 415
цилиндров, содержащих растворы различных концентраций уранил-
фторида в воде. Коэффициент размножения k для разных растворов
может быть вычислен, как показано в гл. 7, § 12, из известных
отношений Н/U и ядерных поперечных сечений поглощения. Растворы
были достаточно разведены, чтобы т и различные L были те же
самые, что и в чистой воде. Тогда с помощью данных, приведенных
в § 16, из критических уравнений этого параграфа можно вычислить
параметр В2. После этого из формул геометрического параметра
для голого ограниченного цилиндра (см. гл. 7, § 8) можно в каждом
Фиг. 84. Сравнение результатов вычислений критического
размера, проведенных с различными функциями влияния:
«—теория возраста; Ъ—~две группы; с—четыре группы;/?—эксперимент.
случае легко определить критическую высоту раствора для цилиндра
данного радиуса. Результаты изображены на фиг. 84.
Так как свертка трех диффузионных функций влияния дает до-
статочно хорошее представление распределения плотности замедления
в воде (см. фиг. 83), критические высоты, полученные из вычисле-
ний с четырьмя группами, как и ожидалось, находятся в хорошем
согласии с экспериментальными. Наблюдаемые различия, вероятно,
связаны, по крайней мере отчасти, с тем, что в вычислениях не было
учтено деление на быстрых нейтронах. Таким образом, дело пред-
ставляется так, что, когда модель непрерывного замедления неприме-
нима, критические свойства теплового реактора без отражателя можно
с высокой точностью определить, построив синтетическую (эмпири-
ческую) функцию влияния для замедления на основе измерений плот-
ности замедления в замедлителе.
Глава 13
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Многогрупповое рассмотрение
Влияние изменений в структуре реактора, происходящих, напри-
мер, от местных отравлений или температурных изменений, легче
всего рассчитывается с помощью теории возмущений. Возмущение
производит изменение установившегося периода реактора, которое
обычным путем может быть связано с изменением реактивности,
вызванным возмущением. Однако в большинстве случаев теория воз-
мущений используется с тем, чтобы определить те малые взаимно
компенсирующиеся изменения, которые оставляют реактор крити-
ческим. Например, может потребоваться найти изменение в количе-
стве активного материала, необходимое для того, чтобы скомпенси-
ровать дополнительное поглощение, вызванное увеличением толщины
покрытия активных стержней. В вычислениях этого рода нет нужды
учитывать влияние запаздывающих нейтронов.
При многогрупповом рассмотрении ялерного реактора, не обяза-
тельно находящегося в состоянии равновесия, уравнение для i-й группы
можно написать в общем виде:
т
(13.1)
J=1
Здесь Му — оператор, а Ф,-—нейтронный поток в t-й группе. Для
всей системы т групп уравнение может быть представлено в форме
МФ = 4?-, (13.2)
dt ’ '
где М—соответствующий матричный оператор, а Ф — вектор с ком-
понентами Фр Ф2, .. ., Ф)П.
Рассмотрим решения уравнения (13.2), зависящие от времени
экспоненциально, т. е.
(13.3)
так что
dt 1 г
(13.4)
Так как уравнения групп связаны посредством цепной реакции деле-
ния и посредством замедления от группы к группе, то все <ог для
Общая теория
417
различных групп энергии равны. Поэтому вместо (13.2) можно
написать
МФ = шФ, (13.5)
где о> имеет одно и то же значение для каждой группы и пред-
ставляет собой величину, обратную периоду реактора (см. гл. 10, § 5).
Общее решение уравнения (13.5) приводит к ряду собственных зна-
чений шк и соответствующих собственных функций Фк. Из этих
собственных значений только одно будет положительным, соответ-
ствуя установившемуся периоду реактора, и обычно оно может быть
легко связано с реактивностью реактора. Отрицательные собственные
значения здесь не имеют интереса, так как они представляют изме-
нения, затухающие со временем. В стационарном состоянии крити-
ческого реактора численное значение о>, разумеется, равно нулю, и
возмущения, которые должны быть рассмотрены, производят относи-
тельно малые изменения в о>.
Предположим, что в реакторе происходит малое изменение, такое,
как, например, введение поглотителя. Пусть это изменение пред-
ставляется оператором Р. Нейтронный поток будет теперь Ф', и
обратный период изменится от о> к о/. Уравнение реактора будет
тогда
(М-|-Р)Ф' = о/Ф', (13.6)
где Ф' — возмущенный поток, а о/ — новое собственное значение.
Ниже будет выведена общая формула для ы' — о>, являющаяся
основанием для всех приложений теории возмущений, которые будут
здесь рассмотрены.
§ 2. Самосопряженный и сопряженный операторы
Если собственные функции (13.5) образуют полную ортогональ-
ную систему, то оператор М называют самосопряженным. Пример
этого можно найти в одногрупповой теории реактора без отражателя,
когда нейтронный поток удовлетворяет уравнению
72ф_рВ2ф = 1^.
1 v dt
и граничному условию, согласно которому он исчезает на экстра-
полированной поверхности реактора. Решение этой задачи ведет
к полной системе собственных функций, ортогональных в объеме
реактора, окруженного экстраполированной границей. В этом случае
оператор М самосопряженный и удовлетворяет важной теореме.
Рассмотрим любые две собственные функции (13.5), именно Фь
и Фг, так что
МФ7; = <якФк и МФг = <игФг.
27 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
418
Гл. 13. Теория возмущений
Умножим первое из этих соотношений на Фг и последнее на ФА.
и каждое из них проинтегрируем по всему объему реактора. В ре-
зультате получим
J ФгМФ^У = <оЛ J Ф*ФгйУ
И
J ФАМФг dV~ J ФАФг dV.
После вычитания увидим, что
J ФгМФ,; dV— J ФАМФг dV = (o>ft — <ог) J ФйФг dV. (13.7)
Если собственные функции Фк и Фг ортогональны, то
J ФЛФг dV = Ск, если k = I,
У ФАФ; dV — 0, если k I,
и из (13.7) следует, что
У ФАМФг dV = у ФгМФйdV. (13.8)
Оператор М, удовлетворяющий этому соотношению, называется само-
сопряженным.
Предположим, что собственные функции не образуют ортогональ-
ной системы, как это имеет место в случае реактора с отражателем.
Тогда может быть определен сопряженный оператор М+ посред-
ством соотношения
У ф£МФгтЛ/= У ФгМ+Фь dV, (13.9)
где символами Фк обозначены называемые сопряженными функциями
собственные функции сопряженного оператора М+, т. е. функции,
удовлетворяющие уравнению
М+Ф+ = <о*Ф+, (13.10)
в котором «о* — величина, комплексно сопряженная ш.
Сопряженный оператор М+, вообще говоря, получается из М
заменой каждого элемента Ми оператора М на комплексно сопря-
женную величину и последующей перестановкой строк и столбцов
в матрице; таким образом, элемент Мы переходит в М/л. Для урав-
нения реактора все элементы действительны, так что сопряженный
оператор М+ получается просто заменой строк и столбцов в ма-
трице М; в то же время ш* = <о.
Общая теорий
419
Отобрав одно из решений уравнения (13.10) и одно из решений
уравнения (13.5),
М+Ф* = и МФг = <огФ„
умножив первое из них на Ф,, а второе на Ф*, проинтегрировав каж-
дое из них и потом вычтя одно из тругого, получим результат,
аналогичный (13.7):
J ФгМ+ф£ dV — J Фь МФг dV = (wfc — aj j Ф* Фг dV.
После введения условия, выраженного соотношением (13.9), что М+
и М сопряжены, видно, что если k I, так что разность — ш,
не равна нулю, то
= 0 для k=£l.
Следовательно, очевидно, что сопряженные функции Ф* ортого-
нальны исходным функциям Фд..
Теперь может быть выведено выражение для изменения обратного
периода реактора, обусловленного малым возмущением. После умно-
жения (13.6) на Ф+ и (13.10) на Ф', интегрирования по объему реак-
тора в каждом случае и вычитания результатов находим
[ Ф+МФ'ЙП— |ф'М+Ф+йП-|- |ф*РФ'йУ «(«>' — а) |Ф+Ф'ЛЛ
Так как М и М+ — сопряженные операторы, первые два интеграла
слева равны по абсолютному значению, и отсюда следует, что
Г Ф+РФ'4У
ы' — ы — --------.
Ф+Ф'41/
Если возмущение Р мало, то Ф' может быть в первом приближении
заменено на Ф. Поэтому изменение в обратном периоде реактора,
т. е. а'— а = Да, в первом приближении теории возмущений лается
выражением
Г Ф+РФйГ
Да = 4--------. (13.11)
I Ф+ФйУ
Наконец, если М — самосопряженный оператор,
Гфрфйе
Да=^_---------. (13.12)
Ф»бУ
27*
420
Гл. 13. Теория возмущений
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 3. Применение к методу одной группы
Поток т»Ф в реакторе без отражателя, имеющем период 1/w, удовле-
творяет одногрупповому уравнению
т» div Z) grad Ф4-аФ = о>Ф, (13,13)
в котором
a^(k— 1)Уот».
При этом оператор М равен
M = T»div£)grad-}-a. (13.14)
Предположим теперь, что реактор возмущен вследствие малых изме-
нений, 8т», 8Z), 8а, всех или некоторых параметров. Тогда оператор
М]Р равен
M-J-P = (®-j-8®)<iiv(Z>-j-8D) • grad-j-a 4-8я. (13.15)
Из тождества
div SV = gradS • V-f-Sdiv V, (13.16)
где S — скаляр и V — вектор, видим, что
div (р 4~ 8£>) grad = grad {D -f- oD) grad -|- (D 4- oD) V2. (13.17)
Используя этот результат, можно написать (13.14) и (13.15) в виде
М — v grad D • grad т» DV'2 -}- а (13.18)
и
М + РЦ® 8т») [grad (D -f- 8D) • grad + (£> + 8D) V2]-J-а Ц-ва. (13.19)
Вычитая (13.18) из (13.19) и предполагая, что произведения вариа-
ций малы по сравнению с первой вариацией, получаем
Р =.8т» [grad D • grad DV2) 4- т» [grad 8Z). grad -f- 8 DV2] -f- 8x. (13.20)
Изменение в w, согласно (13.12), равно
До> = —------ [Ф 8т» grad D • grad Ф -4- Фт» grad 87) • grad Ф П
j &dV
+ Ф8(Г)т»)?2Ф-4-8«Ф2МИ. (13.21)
Из тождества (13.16) снова следует равенство
div (ФТ) grad Ф) = grad Ф£) • grad Ф 4- Ф Т)72Ф =
= D | grad Ф j2 Ф /)^2Ф 4“ Ф grad D • grad Ф, (13.22)
Применения теории возмущений
421
разрешая которое относительно Ф grad D • grad Ф, получаем
Фgrad£) • grad Ф = div (ФО grad Ф) — D | gradФ |2— ФО?2Ф. (13.23)
Это выражение можно подставить в первое слагаемое под интегралом
в (13.21), но, прежде чем это сделать, заметим, что интеграл
J div (ФО grad Ф) dV,
который можно преобразовать по теореме Гаусса, исчезает:
div (Ф£> grad Ф)<7У= ФО grad/t Ф dS = О,
v 8
так как Ф — 0 на поверхности реактора.
Второе слагаемое под интегралом, применяя тот же прием, что
был использован выше, напишем с точностью до множителя » в виде
Ф grad 80 • grad Ф = div (Ф 80 grad Ф)—801 grad Ф |2—Ф 8О?2Ф. (13.24)
Подставляя (13.23) и (13.24) в (13.21), получаем
Г [оаФ2 — о (Dv) | grad Ф |2] dV
До» = ----------=--------------. (13.25)
Ф2<П'
Интересно заметить, что, в то время как изменение в коэффициенте
диффузии взвешивается квадратом градиента потока, изменения в по-
глощении или в коэффициенте размножения взвешиваются по понят-
ным причинам квадратом самого потока.
Изменение в реактивности, обязанное возмущению по всему реак-
тору, может быть получено из уравнения (13.25) и уравнения диф-
фузии, содержащего время. В случае малого возмущения поток дается
формулой (ср. гл. 10, § 2)
(13.26)
I dt 4 7
ИЛИ
= <оф'. (13.27)
Мф-
Умножая (13.27) па невозмущенный поток Ф, опуская члены вто-
рого порядка и интегрируя по объему реактора, получим
’t». f‘,w
J k^v^dV
422
Гл. 13. Теория возмущений
f {6 К* — 1) Sa»] Ф2 — 6 (О») I grad Ф |2} dV
Если невозмущенный реактор был критическим, то До> = <и, и вместо <и
можно подставить выражение, стоящее в уравнении (13.25) справа.
Поэтому
®^эфф.
-Т .--------------------- . \
Мф. I k^aV^dV
Сюда подставлено выражение для а (см. стр. 420).
Во многих задачах оказывается желательным вычислить совместное
влияние изменений двух или более ядерных параметров: D, £о, k,
которые оставляют реактор критическим. Например, влияние поме-
щенного в реактор поглотителя может быть сбалансировано добавле-
нием горючего, чтобы удержать реактор в критическом состоянии.
Из (13.12) очевидно, что условие того, что реактор остается кри-
тическим, состоит в равенстве
р1>РФб?1/=0 (13.29)
или, согласно (13.25),
J {8[(А—1)адФа —8(Do)|grad$|2}dV=0. (13.30)
В вычисления этого рода запаздывающие нейтроны не входят
(см. § 1), поэтому соотношение (13.30) является несколько более
общим, чем (13.28).
§ 4. Статистический вес
Статистический вес области 7? большого реактора без отража-
теля определен выражением
f &dV
W(R)-=—p-----. (13.31)
| Ф2</Е
V
Если реактор сделан из двух различных материалов с параметрами
Bi и В% соответственно, то можно показать, что параметр всего
реактора равен
В2 = В>(/?,) 4- BlW (RJ. (13.32)
В большом тепловом реакторе
V2<t>4_/?2<I> = 0,
причем
Применения теории возмущений
423
так что оператор М равен
M = V24-B2.
Если реактор критический, то, согласно (13.29),
| ФРФг?П=0.
v
Ф и г. 85. Статистические веса концентрических областей
реакторов.
а в области с параметром Bl имеем М = Р2-|-В1 и Р = В2—В2.
Подстановка в (13.29) дает условие критичности в виде
( (В,— В2)Ф2Л7_|_ f (В2 —В2) Ф2 <7 П=-0. (13,33)
424
Гл. 13. Теория возмущений
Так как В2 не зависит от места в каждой области, то из (13.31)
и (13.32) следует, что
I* J 4?2dV
---------------------- (13.34)
| ®2rfV I ф2йУ
V V
Статистические веса концентрических областей в кубическом, цилин-
дрическом и сферическом реакторах даны на фиг. 85, причем
г (7?)— радиус области, a r(V) — радиус всей системы. Для куба r(V)
представляет половину длины ребра.
§ 5. Отравление реактора и коэффициент опасности
Если в ячейку гетерогенного реактора на естественном уране
добавить поглотитель тепловых нейтронов, то реактивность умень-
шится соответственно уменьшению коэффициента теплового исполь-
зования. Пренебрегая некоторым изменением в величине Dv. для
изменения реактивности из (13.28) получим
t(* ~ П М !Г(/?г). (13.35)
Чтобы приложить равенство (13.35) к гетерогенной системе, необхо-
димо видоизменить его толкование. Статистический вес ячейки
вычисляется из общего (косинусоидального) распределения потока
по реактору. Постоянные А и должны быть усреднены с учетом
распределения потока по самой ячейке.
Чтобы найти изменение реактивности по формуле (13.35), удобно
написать
8[(А- 1)ЕО] _. «А , А-1 5Еа
AEa А А Еа '
(13.36)
В настоящем случае эквивалентно полному поглощению нейтронов
в ячейке решетки, т. е. EcO$o + Sci$i> где значки 0 и 1 относятся
к горючему и замедлителю соответственно, а символы Ф— усреднен-
ные невозмущенные потоки. Обозначая полное нейтронное поглощение
буквой А, получим из (13.36)
8 [(А — 1) So] _ 5А . А—1 8Л .
АЕа /г ‘ А Л
(13.37)
Величины 8А//г и 8Л/Л вычисляются следующим путем.
Коэффициент теплового использования в ячейке с поглотителем
равен
1
l + ^d'
Применения теории возмущений
425
где значок t относится к примесям (вредным поглотителям), a d' и di
определены следующими формулами;
и
d = -== = Возмущенный тепловой фактор проигрыша
ф£
Усредненный поток в примесях
* ТГ Усредненный поток в горючем
Следовательно,
М
f
‘^fdi
с точностью до членов первого порядка. Так как изменение в k суще-
ственно обязано изменению в /, то отсюда следует, что
(13.38)
к J iaO
Обращаясь затем к оА'А, выразим эгу величину в виде
м = j_H/£Qtgo) = /--------А_..\ (13.39)
А Л/ЕаОФо Sao®o 1
где /— коэффициент теплового использования в невозмущенной
системе. Если А' -—значение полного нейтронного поглощения в при-
сутствии вредного поглотителя, то
л/ v , v .
= 1 + d 4- di. (13.40)
—аОФо -пн Ь(го
Аналогично, для невозмущенкого реактора
где d—фактор проигрыша, равный Ф1/Фо. Если в первом порядке
приближения значение d' предположить не сильно отличающимся
or d, то, вычитая (13.41) из равенства (13.40) и подставляя резуль-
тат в формулу (13.39), можно получить
= (13.42)
zi iJoO
Если теперь выражения (13.38) и (13.42) подставить в равенство
(13.37), то получим
& t(fe 1) ^-<4 ‘-‘gi с.1 i 1 fj___________ \al
426
Гл. 13. Теория возмущении
Изменение реактивности равно, согласно (13.35),
= (13.43)
К»ФФ- Чо К
Если на 1 г горючего приходится Mt г примеси, то из определения
макроскопического сечения (см. гл. 3, § 12) следует, что
Al = Ssl А
* ^аО °ао Af
Здесь До и Д4 — атомные веса горючего и примеси соответственно.
Коэффициент опасности Кц примеси может быть определен фор-
мулой
и, таким образом, из (13.43) следует, что
а^ФФ. = /Ч. W(R} MiK (13
Лэфф. к
Этой формулой можно пользоваться для вычисления изменения
в реактивности, происходящего от введения данной примеси, напри-
мер охладителя или алюминия для стержней горючего, в каждую
ячейку гетерогенного реактора. В этом случае полное изменение
в реактивности будет дано суммой величин 5£8фф./£8фф. Для каждой
ячейки реактора. Так как все члены в (12.44), исключая по
существу те же, то полное изменение реактивности будет дано фор-
мулой
= (13.45)1)
квфф. к
так как сумма статистических весов IF(/?j) для всех ячеек равна
единице.
§ 6. Применение к методу двух групп
Как описано в гл. 8, оператор М в двухгрупповой теории имеет
вид [ср. (8.34) и (8.35)]
_ [div grad — \
\ (div £>2 grad — £2]/‘
J) Иногда коэффициент опасности некоторого вещества в реакторе опре-
деляется выражением — 8^8фф./^8фф.> которое, очевидно, приблизительно про-
порционально К&—Прим. авт.
Применения теории возмущений
427
Сопряженный оператор может быть найден из М согласно определе-
нию (13.9). Если МФ и М+Ф+ написаны в форме
мА МЙ\/Фх+\
мА ма)\фа)
то ясно, что
ф+мф = МцФхФА м12ф,фа 4- м21Ф1Ф2++м2аФ2Фг+
и
ФМ+Ф+ = М1+1Ф1+Ф1 + М1ШФ1 + МАфАФ2 + М2+2Ф2+ ф2.
Использование (13.9) и сравнение членов этих двух выражений
делает очевидным, что
Мд — Мн, М22 = М22> МА — Mi МАг — М21,
так как каждый элемент в М — самосопряженный. Таким образом,
сопряженный оператор есть
М+
Ч [div grad — EJ
ф2Е1
v2 [div £>s grad — E21.
Общий способ в групповых расчетах состоит в определении
реального потока, как описано в гл. 8. Сопряженный поток полу-
чается аналогичным способом посредством решения уравнения (13.10)
для стационарного состояния, т. е. для значения параметра <о, рав-
ного нулю, и при тех же самых граничных условиях, которые нала-
гаются на реальный поток. Соответствующие весовые функции для
различных возмущений могут быть тогда получены описанным ниже
способом.
Матрица возмущения, в которой каждая из величин vv vv,
Dv Ei и Eg может изменяться, равна
(8»i [grad Dl • grad 4- £>iV2] —
— 8 (»i Lt) + fi [grad 8 D • grad -f-
4-8£>1?2]
8 (vi^E2)
8 v2 [grad D2 • grad -f - D2V2J —
— 8 (P2E2) + [grad D2 • grad 4-
4-8I>iV2]
Вообще выражение для изменения в величине w может быть по-
лучено выполнением операций, указанных в § 2, и использова-
нием для определения Ри и Р2., той же самой процедуры, которая
428
Гл. 13. Теория возмущений
употреблялась в одногрупповом рассмотрении. Изменение величины ш
оказывается тогда равным
AW = X(— ]*8(ф15;1)Ф1+Ф1</^+ f 8(т>1/г£2)Ф1+Ф2(7У4-
+ J 8;(ф2Е1)Ф2+Ф1ЙУ — | 8(ф2Е2)Ф2+Ф.г/У—
— f 8 (Djtfj) grad Ф1+ -угадФ^/У— f 8 (v>D>) grad Ф-* ^гаёФ^У
где
Х = / (Ф1+Ф1 + Ф?Ф,)^К
Если в реактор добавлена примесь, которая эффективно изменяет
только сечение поглощения тепловых нейтронов £2, то изменение
в <о сводится к
Ао> = — ф2
8Е2Ф+Фа4У
(Ф^®! + ф+ф2) dv
Вклад в Aw от второго интеграла равен в этом случае пулю, так
как существенно не меняется при изменении £2.
ЗАДАЧИ
1. Найти сопряженные потоки в теории двух групп для реактора, опи-
санного в задаче 1 гл. 7, имеющего графитовый отражатель толщиной 50 см.
Графически изобразить статистический вес для поглотителя тепловых нейтро-
нов как функцию положения поглотителя в системе.
2. Каково будет приблизительное изменение в значении km системы,
согласно одногрупповой теории возмущений, если охлаждающий воздух
в Х-решетке заменить водой, окружающей стержни горючего слоем толщи-
ной 0,5 см?
Глава 14
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И ДИФФУЗИЯ НЕЙТРОНОВ Ч
ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1. Введение
Проблемы, связанные с перемещением нейтронов от областей
с высокой плотностью нейтронов к областям с низкой плотностью,
рассматривались в гл. 5 с помощью теории диффузии. Эта теория
составляет, как было установлено в гл. 5, § 1, приближение, осно-
ванное на допущении, что угловое распределение векторов скоростей
нейтронов изотропно или приблизительно изотропно. Поэтому урав-
нение, выражающее сохранение нейтронов, не содержало направления
этих векторов в качестве переменной. В отличие от этого кинети-
ческая теория, краткий очерк которой будет дан в этой главе, имеет
дело, вообще говоря, с анизотропным распределением частиц по
скоростям. Распределение нейтронов характеризуется на этом пути
более детально, чем это делается с помощью полного (или скаляр-
ного) потока в теории диффузии.
Целью этой главы является определение некоторых условий при-
менимости диффузионного приближения, поскольку это касается ней-
тронов одной определенной энергии. В частности, будет показано,
что теория диффузии является асимптотической формой кинетической
теории, справедливой в областях, удаленных как от границ, так
и от источников, где угловое распределение нейтронов по ско-
ростям приблизительно изотропно. Кроме того, будут выведены более
точные формулы для коэффициента диффузии и диффузионной длины
и будут введены некоторые поправки к элементарной теории диф-
фузии для областей, близких к границам. В соответствии с этими
целями предположим, что все нейтроны имеют одну и ту же энергию.
Теория, содержащая последнее допущение, иногда обозначается как
„односкоростная“ кинетическая теория.
§ 2. Односкоростное кинетическое уравнение
Выражение для плотности потока нейтронов, данное в гл. 5, было
выведено при предположении, что полный нейтронный поток был
медленно меняющейся функцией места в среде. В этом случае высшие
члены в разложении потока в ряд Тейлора могли быть игнорированы,
!) Некоторые из использованных в этой главе методов по существу были
описаны Ботэ [1]. Обзор работ многих авторов дан Маршаком [2].—
Прим. авт.
430
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
как было сделано в гл. 5, § 2. Однако если нейтронный поток
меняется таким образом, что gradd? заметно изменяется на отрезке
всего в два или три свободных пробега, то это приближение оказывается
уже неоправданным. Чтобы понять природу отклонений от элементар-
ной теории диффузии, необходимо рассмотреть не только положение
нейтронов в пространстве, но и направление их движения. Другими
словами, правильная теория должна описывать процесс диффузии
нейтронов в понятиях фазового пространства, построенного на трех
осях, соответствующих координатам нейтрона, и на трех осях, соот-
ветствующих компонентам его скорости.
Пусть и (г, O)r/rrfO будет числом нейтронов в элементе объема dr
вблизи точки г, направления движения которых лежат в элементе телес-
ного угла dO вблизи единичного вектора О. Здесь вводятся, таким
образом, две новые переменные — два угла, определяющие О. В соот-
ветствии со сказанным выше будет предполагаться, что все нейтроны
обладают одной и той же скоростью ф, но меняют направление движе-
ния при рассеянии. Плотность нейтронов н(г) дается тогда выражением
и (г) = J и (г, О) dO, (14.1)
о
где значок О при интеграле внизу означает, что интегрирование должно
быть проведено по всем значениям О, т. е. по всем направлениям.
Векторный поток, определенный выражением
F(r, O) = n(r, О)фО, (14.2)
есть вектор, величина которого F (г, О) = F (г, О) • О равна числу
нейтронов с направлением движения О, пересекающих в 1 сек. еди-
ничную площадку, ориентированную нормально О. Полный, или ска-
лярный, поток равен тогда
Ф(г) = J F(r, O)rfO. (14.3)
о
Чтобы вывести кинетическое уравнение из условия сохранения
нейтронов, рассмотрим элемент объема dxdydz при точке г и элемент
телесного угла JO при направлении О. Число нейтронов со скоростями,
заключенными в rfO, входящих за 1 сек. в элемент объема dxdydz
через площадку dydz, равно х-й компоненте F(r, О), умноженной
на dydzdQ, т. е.
Число нейтронов, входящих в эле-
мент объема через dydz за 1 сек. — Ря(х, у, z, O)dydzdO.
Аналогично,
Число нейтронов, выходящих из эле-
мента объема через dydz за 1 сек. = Fx(x-[-dx, у, z, O)dydzdO.
Вывод кинетического уравнения
431
Поэтому результирующее число нейтронов, входящих в dxdydz
за 1 сек. через грани куба dydz, определяется так:
Результирующее число нейтронов, входящих
в элемент объема через dy dz за 1 сек. = —dxdy dzdG.
Результирующее число нейтронов с направлениями скоростей, заклю-
ченными и dG, входящих вследствие диффузии за 1 сек. в элемент
объема через все грани, дается формулой:
Результирующее число нейтронов.
входящих в элемент объема за 1 сек. = —|
дь'у
ду
'XdxdydzdO——divF(r, G)drdG. (14.4)
Нейтроны могут входить в элемент фазового пространства drdG
посредством рассеяния из t/rrfO' в drrfO, т. е. нейтроны, находящиеся
в данном элементе объема, могут быть рассеяны в элемент телесного
угла dG при направлении О из всех других направлений, отличных
от О, Пусть S8(O, G')dGdG’ будет дифференциальным макроскопи-
ческим поперечным сечением рассеяния из направлений dG' вблизи О'
к направлениям dG вблизи О. Тогда 2g(O, О')/7 (г, G')dGdG' будет
представлять число нейтронов с вектором скорости, лежащим в dG',
которые рассеиваются в 1 смй за 1 сек. в элемент dG, расположенный
вблизи О. Для числа нейтронов, входящих за 1 сек. в элемент фазо-
вого объема drdG благодаря рассеянию при столкновениях, можно
паписать
Число нейтронов, рассеянных
в элемент объема за 1 сек. — drdG j NS°S(G, О') Г (г, O')rfO'.(14.5)
о-
Здесь NB — число рассеивающих ядер в 1 см-- и я8(0, О') — попереч-
ное сечение рассеяния из dG' в dG.
Полное макроскопическое сечение S для выхода нейтронов
из dG есть
S==Weao-f-Afo,
где Na— объемная плотность числа поглощающих ядер и — сечение
поглощения. Полное (в отличие от дифференциального) сечение рас-
сеяния а8 связано с а8(О, О') посредством соотношения
°e= f °.(О, O')dO'.
О'
432
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
Полное число нейтронов, выбывших за 1 сек. из фазового эле-
мента dr dO вследствие поглощения и рассеяния, запишется так:
Полное число выбывших
нейтронов за 1 сек. = S(O)F(r, O)rfrdO. (14.6)
Наконец, если &(r, O)rfrrfO есть число нейтронов, испускаемых
за 1 сек. источниками в фазовый объем rfrrfO, и распределение ней-
тронов стационарно, то требование сохранения нейтронов запишется
в виде
— divF(r, О)+ J ATeoe(O, O')F(r, O')dO'—
О'
— S(O)F(r, O)-f-S(r, О) = 0
(И.7)
или после перегруппировки членов односкоростное кинетическое
уравнение окончательно запишется так:
divF(r, О) + 2 (О) F (г, О) =
= / ^Л(О, О')/7(г, O')rfO'H-S(r, О). (14.8)
О’
§ 3. Одномерное кинетическое уравнение
Ограничиваясь рассмотрением одномерного кинетического уравнения,
можно достичь значительного упрощения в обозначениях ценой лишь
небольшой потери в общности, если не иметь в виду других целей,
кроме сформулированных выше. Пусть f(r, О) и S(r, О) есть функции
только от х и угла 0 между х и О (фиг. 86). Относительно источни-
ков предполагается, таким образом, что они симметричны относительно
оси х.
Для удобства заменим cos 6 через у. и положим, что F(x, у.) есть
число нейтронов со значениями cos 0, заключенными между у. и у. rfy.,
пересекающих за 1 сек. кольцо 0<<р<2тг. Здесь <р — азимутальный
угол, указанный на фиг. 86, так что rfO = rfy.rf<p.
Очевидно,
2it
F(x, у.)rfy- = d\i J F(x, O)d<p, (14.9)
о
или
F(X, y.) = 27rF(.v, 0).
(14.10)
Аналогично определяется S(x, у):
S(.v, y.) = 2rS(.t, 0).
(14.П)
Вывод кинетического уравнения
433
Употребляя тождество (13.16) для дивергенции произведения ска-
ляра на вектор, вместо первого члена кинетического уравнения получим
div[F(x, О) О] — О • х dF^ °? = р -F(~, (14.12)
так как grad F = (dF/dx)x (х— орт-вектор по оси х). Одномерное
кинетическое уравнение теперь может быть получено интегрирова-
Ф иг. 86. Вывод одномерного кинетического уравнения.
нием (14.8) по углу с> от 0 до 2к при использовании (14.10) — (14,12).
Таким образом,
+ р)=
j f f Л^0’ O')dp'd?'d?+S(.r, p). (14.13)
oo-i
§ 4. Разложение сечения рассеяния по сферическим
гармоникам
Поперечное сечение os(O, О') есть функция только угла между О
и О', т. е. угла рассеяния. Если ро— косинус угла рассеяния, то,
как в § 3, можно написать
<’s(p0) = 2lto«(°’ °Z):
23 Зак. 724. С. Глесстон, М. Эдлунд
434
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
а8(р0) вообще не посте шная, исключая случай рассеяния нейтронов
ядрами тяжелых элементов (ср. гл. 6, § 4). Удобно разложить а8(;л0)
в сферические гармоники /^(Ро)1):
СО
(14.14)
1=о
где
+1
oei = J* <3в(Ро)73г(р0)Фо- (14.15)
-1
Первые два asl в разложении (14.14) есть соответственно полное
сечение рассеяния, т. е,
+1
°s0= / ^(Р-оЭФо» (14.16)
-1
и полное сечение рассеяния, умноженное на средний косинус угла
рассеяния р.о, т. е.
°si = / Ро°в (Но) Фо = Ho°so- (14.17)
-1
Чтобы можно было вычислить интеграл в (14.13), требуется запи-
сать о8(р0) как функцию ф, ф', р и у/. Это можно сделать, если
воспользоваться теоремой сложения для полиномов Лежандра
i
Pl (Р-о) = Pl (и) Pt (р') + 2 2 PiXvlP V) cos m(<p - /), (14.18)
т=1
где Р™ — присоединенные функции Лежандра. Тогда
СО
о8(о, oz)=^ W)+
Lz=o
co I
+ J] (/ + m)l °^Pi (p) pT (p') cos m (© — ф')1 .
!=0«=l
(14.19)
После подстановки (14.19) в интеграл (14.13) и интегрирования
по ф каждый член в двойной сумме обратится в нуль и множитель 2л
1) Гармоники при трех наименьших значениях / имеют следующий вид:
Ро (р) = 1; Pl (р) = р; Pi (р) = 7г (Зр2 — 1). — Прим. авт.
Кинетическое уравнение и теория диффузии 435
в первом члене пропадет. Тогда после интегрирования по полу-
чается окончательно
+ !<)==
= V^^4^(p0 J P^F^x, + И). (14.20)
1=0 -lw
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИ
§ 5. Элементарное диффузионное приближение
Стандартной процедурой рен.ения уравнения (14.20) является так
называемый метод сферических гармоник. При этом угловые распре-
деления потока и источников разлагаются в ряд по полиномам Ле-
жандра:
и F(x, '3)~~ i, ? 1 = 4 (14.21)
Здесь s(x> и) + 5г(х)Дг(р). 1=0 (14.22)
Fl(x) = j F (х, и) Pi (и) ди (14.23)
и +1 Si (х) = J S (х, и) 6л) dy. -1 (14.24)
Для заданного распределения источников функции St (х) могут
быть вычислены. Задача заключается в определении Ft(x) в разло-
жении (14.21). Процедура состоит в апроксимации углового распре-
деления с помощью конечного числа членов в разложении F(x, р).
Потом преобразованием кинетического уравнения может быть полу-
чена и решена система линейных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка для Ff(r).
Элементарное диффузионное приближение, как будет видно ниже,
соответствует допущению, что все Ft (х) с I > 1 равны нулю, т. е.
что угловое распределение может быть представлено только первыми
28*
436
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
двумя членами в разложении по сферическим гармоникам. Эти два
члена допускают непосредственную физическую интерпретацию:
+1
/7oW= j* Р(х, p)rfp (14.25)
-1
есть (скалярный) нейтронный поток, обычно обозначаемый Ф(х)1),
в то время как
+i
Fi(x)= J pF(x, р)<7р (14.26)
-1
есть результирующий нейтронный поток J (х). Таким образом, угло-
вое распределение, представленное только первыми двумя членами
в (14.21) имеет вид
F (х, р) = | FoР<>+ I Fi W Pi (14-27)
р) = 4л,(х)+4рЛ(х).' (14.28)
F{x, р)=|ф(х)+|р/(х), (14.29)
так как Ро (р) = 1 и Рг (р) = р.
Чтобы получить уравнение диффузии из строгого кинетического
уравнения (14.20), нужно воспользоваться общим методом вывода
дифференциальных уравнений для Рг(х). Уравнение (14.20) сначала
интегрируется по р от —1 до -{-1. Это эквивалентно умножению
уравнения на Р0(р) и последующей интеграции по р. Получается
результат
/ J F(x> p)rfp=
-1 -1
+1 оо 4-1 +1
₽ / pi^F^x* И<К+ f S(x, нМр-
-1 Z=0 -1 -1
(14.30)
Вследствие соотношений ортогональности
+i
J Pi (р) Рп (И) = 0, если 1±п,
-1
2 ,
= 2/TjTi ’ если
Ч Хотя Fb(x) идентично обычному потоку Ф(х), первое обозначение
все же удерживается для согласованности. — Прим. авт.
Кинетическое уравнение и теория диффузии 437
из (14.30) получается уравнение
SF0 W = Ч^о (*) + Мх), (14.31)
в котором S0(x) есть полная мощность источника. Как было видно
в § 4, cg0 есть полное сечение рассеяния, так что Nsas0 = S8 — макро-
скопическому сечению рассеяния. Так как, далее, X есть макроско-
пическое сечение для поглощения и рассеяния, то £ — S8 = Ео —
макроскопическому сечению поглощения. Таким образом, (14.31)
может быть написано в виде
+ 2<Л (х) - So (х) = 0. (14.32)
Умножая (14.20) на 4(h) и интегрируя потом по р от —1 до
-|-1, найдем, что
/РЧ(рИ(*. Р)Ф+2Ч(*) = Ч°е1Л(А (14.33)
—1 •
Здесь член с источниками обратился в нуль, гак как предположено,
что источники изотропны. Используя (14.27), интеграл в (14.33)
можно написать в^виде
+1
J (р) [4 Fo W р0 (р)+4 F1 Р1
Если теперь воспользоваться соотношениями
+1
/ ррп ('>,:)pi (и) rfP = 0 при /¥=«+1,
«+1 2 , , ,
— 2л+ 1 2(п + 1) + 1 прИ Z— ИН"1»
то (14,33) сведется к
|rf^£). + (s_40gi)Fi(x) = ^ (1434)
Исключая Е\(х) из (14.32) и (14.34), получим
3 № - ТЫ ~ 2Л> И+S. W = 0. (14.35)
Это уравнение имеет вид известного уравнения диффузии, использо-
ванного в предыдущих главах, причем коэффициент диффузии для
нейтронного потока теперь представляется выражением
D =-------1----.
3(Е-МЛ1)
438
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
Если среда является слабым поглотителем, £ может быть заменено
на (или Se), и поскольку Og1 = [x0ag0 [см. (14.17)], то выраже-
ние для коэффициента диффузии приобретает вид
D =--------!---— =------J—- , (14.36)
3N^o(l-M 3S.(1-Ho)
= 4Л- (14.37)
<J
Величина l/iVgaso(l—У0)=1/£в(1— !Ло) есть транспортная длина
At, введенная в гл. 5, § 4.
Таким образом, можно заключить, что если угловое распределение
потока может быть представлено двумя первыми членами разложения
по сферическим гармоникам, то применима простая теория диффузии
с коэффициентом диффузии, определенным в (14.36) или (14.37).
Если рассеяние изотропное в лабораторной системе координат,
то результирующий поток нейтронов при заданном градиенте (ска-
лярного) нейтронного потока минимален. По мере того как и0 возра-
стает, т. е. рассеяние становится все более направленным вперед,
результирующий поток возрастает. Таким образом, 1/(1 — р.о) есть мера
рассеяния вперед в лабораторной системе координат.
§ 6. Обобщенный закон Фика и применимость элементарной
теории диффузии
Так как Fr(x) эквивалентно результирующему потоку нейтронов
J(x), как было указано в § 5, то уравнение (14.33), если еще на-
писать р. вместо Р1 (у.), можно привести к виду
+1
-1
Средний квадрат косинуса у.2 по угловому распределению нейтронов
определен формулой
+1
J у2Л'(х, fx)rfp.
= ---------. (14.39)
J" F (x, □.) rfp.
-i
Поэтому
Это уравнение представляет собой обобщенную форму закона Фика
для процесса диффузии нейтронов, выведенную из кинетической
Кинетическое уравнение и теория диффузии
439
теории. Следует заметить, что этот результат совершенно общий
и не связан с обрыванием ряда по сферическим гармоникам на каком-
нибудь члене.
Коэффициент в (14.40) имеет размерность длины и называется
средней длиной диффузионного пробега
d £ - Na°o + Nsos0 (1 - Н>) ’
так что (14.40) можно написать в виде
j (*) = - [p2F0 (х)]. (14.42)
Если поглощением нейтронов можно пренебречь, то средняя длина
диффузионного пробега становится равной средней транспортной
длине, определенной в § 5.
Элементарная теория диффузии основана на предположении, что
к нейтронам применим закон Фика в простой форме J (х)=—Dgrad F0(x),
Поэтому из (14.42) видно, что элементарная теория может считаться
строгой для моноэнергетических нейтронов только в том случае,
когда у.2 не зависит от координат. Тогда
J(x)—
и Xdy.2 = Z)— коэффициенту диффузии.
Средний квадрат косинуса по угловому распределению нейтронов
может быть вычислен следующим путем. Из значений Ро (у.), Рг (у.)
и Р2(ф), указанных в § 4 в примечании, видно, что
и, используя (14.21), из (14.39) получаем
4-1 оо
=ттЬ f Н р°(р)+i{^рг (у.) rfp.
-1 J?=o
В силу свойств ортогональности после интегрирования справа оста-
нутся только два члена и получится результат
~2__!_| 2 1'\ (х)
* зтзг0М’
так что если F2 (x)/F0 (х) не зависит от х, элементарная теория диф-
фузии, основанная на предположении о пропорциональности резуль-
тирующего потока нейтронов градиенту (скалярного) нейтронного
потока, будет строго правильной.
440
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
§ 7. Асимптотическое решение кинетического уравнения
в непоглощающей среде
Существуют два случая, в которых F2(x)/F0(x) не зависит от
координат. Один из них относится к непоглощающим средам, дру-
гой— к поглощающим. Ниже будет показано, что в каждом из этих
случаев элементарная теория диффузии применима. Вблизи источни-
ков или границ между двумя средами угловое распределение ней-
тронов высоко анизотропно, и для его представления требуется зна-
чительное число членов в разложении по сферическим гармоникам.
Однако на некотором расстоянии от источников и границ, в так на-
зываемом асимптотическом случае, влияние источников и границ
исчезает, и угловое распределение может быть с достаточной точ-
ностью представлено только первыми двумя гармониками, т. е. по-
средством F0(x) и f\(x). Так как теперь F2(x) = 0, то ясно, что
F2(x)/F0(x) не зависит от х и, следовательно, элементарная теория
диффузии должна быть применимой. Доказать, что это так для не-
поглощающей среды, можно тем путем, каким это сделано ниже.
Рассмотрение здесь отлично от проведенного в § 5 и в некоторых
отношениях является интересным.
Обрывание ряда по сферическим гармоникам для углового рас-
пределения нейтронов на втором члене эквивалентно представлению
скалярного потока, т. е. F0(x) с помощью ряда Тейлора, в котором
удержаны только первые два члена (как это было сделано в гл. 5,
§ 2). Таким образом, поток F0(x) должен быть линейной функ-
цией х. Как было указано в § 5, угловое распределение потока,
представленного только двумя гармониками, имеет вид
F(x, p,) = 2.F0(x)-f--|F1(x)p. (14.43)
Так как F0(x) должно линейно зависеть от х, то общее решение
для углового распределения должно иметь форму
F (х, р) = А Вх Ср, (14.44)
откуда
F0(x) = 2A4~2Bx (14.45)
и
Л(*)=|с. (14.46)
Подстановка выражения (14.44) в кинетическое уравнение без
источников, т. е. в
оо +1
= 2 F И Ф' (14.47>
1=0 -1
Кинетическое уравнение и теория диффузии
441
[см. (14.20)], после выполнения интегрирования приводит к резуль-
тату
4- Е (Л 4- Вх 4- Ср) = Nsa80 (Л + Вх) + NMC.
Заменяя £ на £о-1- £s и ^as0 на £в, получаем
С =
рВ + ЕоСЛ+Вх)
(Е — We°si) Р
(14.48)
Так как Л и В в (14.45) произвольны, т. е., иначе говоря, значения
потока и его градиента могут быть любыми, то £о должно быть равно
нулю, чтобы С было постоянной. Другими словами, необходимо, чтобы
среда была непоглощающей. В этом случае из (14.48) получается
С=--------= —АгВ. (14.49)
Eg (1 Ро)
Дифференцирование (14.45) по х дает
(х); 2Д.
dx ’
следовательно, согласно (14.49),
r__ 1 j dF0(x)
Наконец, используя (14.46) и тот факт, что Рг(х) эквивалентно 7(х),
получаем равенство
Д1(х) = 7(х) = -±Л.^, (14.50)
выражающее закон Фика с D — Xt, как в § 5. Таким образом,
элементарная теория диффузии есть строгая теория для моноэнерге-
тических нейтронов в непоглощающей среде вдали от источников
и границ. Подставляя Д2(х) из формулы (14.50) в равенство (14.43)
и обозначая производную от F0(x) через Д'(х), напишем уравнение
для Д(х, р) в асимптотическом случае в виде
с
р) = 1 Fo (-V)—4 (-V). (14.51)
§ 8. Асимптотическое решение кинетического уравнения
в поглощающей среде
В случае среды, поглощающей нейтроны в заметной степени»
условия применимости теории диффузии могут быть выведены, если
функция распределения F(x, р) представляет собой произведение
двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая —
только от |х. В этом случае каждая из гармоник сохраняет постоян-
ное отношение к Д0(х) при любом х. В частности, постоянно
442 Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
отношение F2(x)IF0(x), и элементарная теория диффузии должна
быть применимой. Выражение для коэффициента диффузии получается
теперь, однако, отличным от выведенного выше.
Если ряд для сечения рассеяния в (14.47) может быть оборван
на втором члене, как в случае невысокоанизотропного рассеяния,
то кинетическое уравнение без источников (14.47) может быть
написано в виде
{х)==
+1 +1
= у Ns°so f Р (*, И + 4 P-Ws’si J V-'P (x, /) rfjj/ =
-i -i
+i +i
== S»[4 / F^x’ Wo J V-’P(x, (14.52)
-i -i
так как 7Vgas0 = Ss и asl = p-oasO. После подстановки вместо F (x, p)
функции вида
F(x, р) = е±ха/(?-) (14.53)
получается результат
+i +i
(Е±хр)/(НУ=Е8[4 PW J (14.54)
-i -i
Решением вида (14.53) будет удовлетворено уравнение (14.52), если
будет найдена функция /(р), удовлетворяющая уравнению (14.54).
Можно рассмотреть решение вида
/ (р) = const • +Wo _
(14.55)
Оно вообще не удовлетворяет уравнению (14.54), но удовлетворяет
ему при специальных значениях А и х. Эти характеристические зна-
чения можно получить следующим образом. Подставив (14.55)
в (14.54) и проведя интегрирование, найдем, что
Z \ X X- / 2 \ -Л3 X3
где
Кинетическое уравнение и теория диффузии
443
Это есть тождество относительно у., и, следовательно, коэффи-
циенты при одинаковых степенях у слева и справа могут быть при-
равнены. Таким образом, получаем
А = rt 2 А-7---7'---' (14.56)
1 —in С
И
4 v у _
у * + Ио
^lnC=;i3££s-» <14-57>
1 п--^2-Но
где S = Sa-}-Se.
В случае изотропного рассеяния в лабораторной системе коор-
динат у0 = О и х из (14.57) определяется как корень уравнения
^-lnC = ^ln J±2=i. (14.58)
2х 2х £ — х 4 7
Это уравнение имеет одну пару действительных корней, ±х,
с абсолютными значениями, меньшими чем 2- Существует также
бесконечный ряд мнимых корней, которые, однако, для настоящих
целей не используются. Заметим, что если /(у) имеет вид (14.55),
то, в самом деле, необходимо, чтобы | х | было меньше £. Если бы
этого не было, то /(у) имело бы особенность при значении у, обра-
щающем знаменатель в (14.55) в нуль.
Величина А, выражение для которой указано в (14.56), в изо-
тропном случае, т. е. когда у0 — 0, неопределенна. Можно показать,
что она имеет конечное значение, знать которое здесь, впрочем, нет
необходимости. Данное формулами (14.53) и (14.55) угловое распре-
деление при изотропном рассеянии имеет вид
F(x, у) = const • (14.59)
и, согласно (14.39), дает соотношение
у2 =
X2
(14.60)
В приближении элементарной теории диффузии коэффициент диф-
фузии D равен Xdy2 (см? § 6), и так как для изотропного рассея-
ния у0 = 0, то он равен у2/Е- Из (14.51) следует, что в этом случае
(14.61)
Когда поглощение очень малб по сравнению с рассеянием, х малб
по сравнению с X- Тогда можно разложить знаменатель в (14.59)
444
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
в ряд и ограничиться первыми двумя членами. Таким образом,
F(x, р)^(?е±ха:(1 (14.62)
где С—постоянная. Это выражение для углового распределения по
существу содержит только две сферические гармоники и, таким
образом, представляет распределение, принятое в элементарной теории
диффузии. Учитывая соотношения (14.25) и (14.26), находим
F0(x)==2Ce±™ (14.63)
и
+ (14.64)
Подстановка этих значений в (14.27) приводит к результату,
тождественному (14.62). Таким образом, очевидно, что в слабых
поглотителях угловое распределение, рассматриваемое в элементарной
теории диффузии, представляет собой хорошее приближение к (асимп-
тотическому) распределению (14.59).
Угловое распределение, данное формулой (14.59) или (14.62),
содержит только одну мультипликативную константу. Оно, следо-
вательно, не настолько общее, чтобы удовлетворять произвольным
граничным условиям, могущим иметь место вблизи границ и источ-
ников. Таким образом, решение вида (14.53), полученное для погло-
щающих сред, в котором переменные разделены подобно решению,
состоящему из двух гармоник и применимому к непоглощающим
средам, оказывается справедливым только на больших расстояниях
от источников и границ. Данные здесь решения, имеющие вид упо-
требляющихся в теории диффузии, есть, таким образом, асимпто-
тические решения кинетического уравнения в поглощающей и непо-
глощающей средах соответственно. Можно заключить поэтому, что
теория диффузии, основанная на законе Фика, справедлива только
в условиях, когда асимптотические решения кинетического уравнения
законны. Другими словами, элементарная теория диффузии может
употребляться только в случае, когда распределение нейтронов при-
ближается к асимптотическому, т. е. на расстояниях в несколько
транспортных длин от источников и границ.
§ 9. Диффузионная длина
Так как нейтронный поток в поглощающей среде может быть
представлен экспоненциальным выражением (14.59), то из рассуждения,
приведенного в гл. 5, § 14, видно, что средний квадрат расстояния
(по прямой), проходимого нейтроном до поглощения, равен 6/х2. Сле-
довательно, * в предыдущем изложении тождественно тому х, которое
употреблялось в гл. 5 и есть обратная диффузионная длина. Последнюю,
таким образом, можно считать определенной трансцедентным* уравне-
Строгое решение кинетического уравнения
445
нием (14.57). При малых по сравнению с £в уравнение может
быть решено разложением в ряд. Результат, верный до членов
первой степени, в So/S будет таков;
x2==l=.32Zo(l-R0)(l-|^ + ^r^=-+ (14.65)
Если рассеяние изотропно, т. е. если у.о == 0, это сводится к соотно-
шению
(14.66)
С другой стороны, для слабого поглощения, когда Sa/Е может
быть игнорировано и £ может быть заменено через £s, формула (14.65)
дает
*2 = i==3S’S»(1“’io)-
(14.67)
Так как, согласно (14.61), коэффициент диффузии равен £о/х2,
из (14.67) следует, что
ЗЕ8(1- но) 3А(’
как вытекает из элементарной теории диффузии [см. (14.36)].
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
§ 10. Бесконечный плоский изотропный источник
в бесконечной среде
Кинетическое уравнение может быть решено сравнительно легко
для бесконечного плоского изотропного источника в бесконечной
среде. Здесь не возникает потери в общности, так как решение
может быть преобразовано к таковому для точечного источника
(ср. гл. 6, § 21), а решение для любого распределения источников
может быть получено из последнего путем интегрирования. Пусть
единичный плоский источник будет помещен в х = 0. Если рассея-
ние изотропно в лабораторной системе, то кинетическое уравнение
будет иметь вид
Р S р (х> Ц) = 2. Wsa80 J F(x, р.)ф -f- ~ 8 (х), (14.68)
446
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
где дельта-функция 8 (х) представляет плоский источник. Чтобы
решить это уравнение, разложим Г(х, р) и 8(х) в интегралы Фурье:
4-00
8 (*) = i J e*™°dv>, (14.69)
—co
+ со
Ъ rt-i / 0«о)
— СО
Постоянный член 2 -]- /сор, введен в знаменатель в (14.70), чтобы
упростить дальнейшие выражения.
Подстановкой F(x, р) из (14.70) и 8(х) из (14.69) в уравне-
ние (14.68) находим
М«>) = -г-----------Т. (14.71)
2 1 — Ind
L 2<ш J
где
(14.72)
Полное решение (14.68) тогда есть
4-со
о, ч If ewx du> ...
(*. У)—4jt J Е Е + йор ’ (14.73)
J-2Zo>
а полный (скалярный) поток получится интегрированием (14.73) по р:
____eiWB
zJl->lr
I 2/<л
In
(14.74)
§ 11. Асимптотическое и неасимптотическое решения
Интеграл в (14.74) имеет простой полюс в точке, где
Е» . « Еа I Е 4-
In С = к#- In .
2to> 2io> Е —1>°
Сравнение с (14.58) показывает, что простой полюс имеет место при
io) = ±x, где х — величина, обратная диффузионной длине. Имеется
также существенная особенность при = Согласно теореме
Коши, вклад в интеграл от вычета в полюсе равен
F0(x)iis.==a^re-*W ,
2£о Е2--/-2
— Ss х2-ее„-
(14.75)
(14.76)
где
Граничные условия
447
Л) Was. представляет собой асимптотическое решение, справедливое
на расстояниях от источника, превышающих несколько длин пробега.
Неасимптотическая часть решения, которая происходит от суще-
ственной особенности, может быть выражена в виде интеграла от
действительной функции
Ро Wn. as. = 2Z2 J
О
__________(l-J-ig) d-ct________
[2s (1 + 7)) - In (1 +
Можно показать, что F0(x)ii.a«- убывает с возрастанием расстояния
от источника значительно быстрее, чем F0(x)as.
Если сравнить асимптотическое решение (14.75) с соответствующим
решением из элементарной теории диффузии, например (5.55), которое
эквивалентно выражению (7./2£бг) е~’ж, то можно убедиться, что теория
диффузии дает правильное асимптотическое решение с точностью до
множителя а. Последний можно истолковать как уменьшение эффек-
тивной мощности источника, и, чтобы исправить формулы теории
диффузии, просто нужно умножить действительную мощность источ-
ника на
2Е. . 4 есл
Причина кажущегося уменьшения мощности источника состоит
в том, что вследствие влияния дополнительного члена F0(x)n. as. по-
глощение вблизи источника оказывается большим, чем данное эле-
ментарной теорией диффузии. Для нейтронов, диффундирующих
в обычной воде, например, 1 — 4/BS(,/S составляет около 0,990, так
что различие в этом случае небольшое. Однако в однородных обо-
гащенных реакторах поглощение в горючем ведет к более значитель-
ной поправке в источнике.
(14.77)
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
§ 12. Граница между двумя средами
На границе между двумя средами нейтронный поток должен быть
непрерывным для всех значений у.. Если бы величина F(x, у) испы-
тывала разрыв на границе, то число нейтронов с данным значением у,
достигающих границы справа, было бы не равно числу нейтронов
с тем же самым значением у, уходящих от границы влево. Это
было бы возможным, только если бы на границе существовал источ-
ник или поглотитель нейтронов, который объяснял бы разницу в ко-
личестве притекающих к границе нейтронов и утекающих от нее.
Рассмотрим диффузию нейтронов в системе, состоящей из двух
сред, различающихся по способности рассеивать и поглощать. Пусть
уравнением плоскости разделяющей среды будет х = 0 и знаки „ “
448 Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
и —« будут различать среды. Пограничное уравнение непрерыв-
ности, выведенное качественно выше, тогда запишется в виде
F+(0, r) = F"(0, н)
для всех значений |х. Это условие ввиду разложения в ряд по сфе-
рическим гармоникам в (14.21) может быть записано и в такой
форме:
= (14.78)
для всех значений I.
Если ни одна из сред не поглотает нейтронов, то асимптотиче-
ское решение (14.51) вдали от источников,
F(x, И) = 4 F0(x)—|-A^(x), (14.79)
причем F0(x) = 2A-\-2Bx [ср. (14.45)], остается справедливым даже
у границы. Причина этого состоит в том, что (14.78) автоматически
удовлетворяется, если произвольные постоянные А+, В+, А~ и В~
для двух сред выбраны так, что
(0) = Fo“ (0) (14.80)
и
Fj+fO)=-Fi /0). (14.81)
Последнее условие эквивалентно условию
. + ^о+(О) ,_rffo-(O)
t dx Kt dx
Граничное условие (14.80) означает, что полный поток нейтронов
непрерывен, в то время как (14.81) требует, чтобы результирующий
диффузионный поток также был непрерывным вблизи границы. Так
как F0(x) в элементарной теории диффузии является решением диф-
ференциального уравнения второго порядка, то специализировать на
границе и F0(x) и F0(x) возможно. Таким образом, если ни одна
из сред не поглощает нейтроны, то граничные условия (14.80) и
(14.81) ведут к строго правильному решению.
Когда одна из сред есть поглотитель, непрерывность потока и
диффузионного потока на границе уже не составляют строго правиль-
ных граничных условий. Неасимптотическое распределение в погло-
щающей среде содержит все сферические гармоники, в то время как
непрерывность потока и диффузионного потока означает только, что
непрерывны коэффициенты лишь первых двух гармоник. Чтобы удо-
влетворить строгим граничным условиям (14.78), необходимо включить
большое число неасимптотических решений, которые по сравнению
с асимптотическим решением практически исчезнут на расстояниях от
границы, превышающих один или два свободных пробега. Так как
эта процедура сложная, то принято употреблять граничные условия
Граничные условия
449
элементарной теории диффузии, т. е. условия непрерывности потока
и диффузионного потока. Они гарантируют, что существует непре-
рывность, поскольку это касается членов Ро (у.) и Р} (р), и что
отсутствует разрыв в результирующем потоке нейтронов, хотя при
этом остаются возможными разрывы для потоков в отдельных направ-
лениях.
Согласно (14.61), коэффициент диффузии в поглощающей среде
равен £я/*2. Следовательно, для этих сред граничные условия (14.82)
принимают вид
/ х + dF0+ (0) z Ео х - (0)
Ьъ) = И ~d^’ <14’83)
Так как отождествление коэффициента диффузии с величиной Ео/х2
основано на асимптотическом распределении, неоправданном вблизи
границ, то остается недоказанным, что (14.83) представляет собой
последовательное приближение. Другая возможность заключалась бы
в предположении, что решение из двух гармоник (14.79) относится
к поглощающей среде, так как оно дает хорошее приближение при
слабом поглощении. Коэффициент диффузии стал бы тогда равным 1/3Х(,
и равенство (14.83) заменилось равенством
+ М'о (0) , _ dFp (0)
* dx * dx
(14.84)
Без точного решения кинетического уравнения, вообще говоря,
невозможно определить, какое равенство является лучшим приближе-
нием, (14.83) или (14.84). В теории диффузии нейтронов употреб-
ляются оба эти условия.
§ 13. Граница с вакуумом
Если одна из сред есть вакуум или идеальный поглотитель, то
выведенные в предыдущем рассуждении граничные условия становятся
бессмысленными. В вакууме нет столкновений, поэтому не может
быть диффузионного потока от вакуума к среде. Таким образом,
вакуум действует как идеальный поглотитель. Так как нейтроны не
могут возвращаться из идеального поглотителя, то строгое граничное
условие теперь должно иметь вид
F(0, р.) = 0 для (14.85)
Это условие не может быть удовлетворено в теории диффузии, по-
этому оно заменяется требованием, что не должно быть результирую-
щего потока нейтронов, направленного от вакуума к среде. Другими
словами, подразумевается, что нейтроны могут отражаться от вакуума
в некоторых направлениях, во при этом они должны компенси-
роваться возросшим потоком в вакуум в других направлениях.
29 Зай. 724. С. Глессток, М. Эдлунд
450
Гл. 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов
Это много менее стеснительно, чем условие (14.85), которое исключает
возможность какого бы то ни было возврата нейтронов из вакуума.
Таким образом, граничное условие теории диффузии может быть
выражено (ср. § 5) формулой
-1
У"(0) = J |*F(0,p)d|i = 0.
о
Заметим, что здесь р. 0.
§ 14. Длина экстраполяции
Асимптотическое (или полученное по элементарной теории диф-
фузии) распределение в непоглощающей среде дано формулой (14.79),
откуда получается равенство
-1
J =S (х' =4 F°+4 ltF’°
о
эквивалентное равенству (5.29) теории диффузии. Если J~ (0) = 0, то
Fo(0)_. 2.
г'о(О) 3А«-
Следовательно, у плоской границы между поглощающей средой и
вакуумом асимптотическое распределение потока нейтронов должно
экстраполироваться к нулю на расстоянии й/3А( за поверхностью
среды (см. гл. 5, § 8).
Более точное вычисление, в котором используются [для того
чтобы строго удовлетворить условию (14.85)] все неасимнтотические
решения, дает в качестве длины экстраполяции для непоглощающей
среды величину 0,7104 Kt. В точной кинетической теории существует
асимптотическое распределение потока, экстраполирующееся линейно
к нулю на поверхности, находящейся за границей и отстоящей от нее
на расстоянии 0,7104 At. Реальный поток падает вблизи границы
ниже асимптотического распределения (см. фиг. 22). Линейная экстра-
поляция асимптотического потока представляется формулой
с (х — 0,7104 Xt),
где с — постоянная, а х—расстояние от границы среды. Асимпто-
тический поток у границы пропорционален, следовательно, величине
0,7104 Xt. Правильное его значение, согласно кинетической теории,
равно Х(/)Лз^0,577А4.
Таким образом, отношение реального потока к асимптотическому
равно 0,577/0,710 = 0,81. Физическая причина того, почему поток
спадает при приближении к границе быстрее, чем внутри среды,
Литература
451
заключается в том, что заданной точки вблизи границы нейтроны
достигают почти полностью с одной стороны, тогда как внутри среды
они приходят с обеих сторон.
Длина экстраполяции 0,71 )ч правильна только для плоской гра-
ницы непоглощающей среды. Если среда поглощает нейтроны, то
выражение для длины экстраполяции получается более сложным.
Было найдено, что для сравнительно слабого поглотителя длина
экстраполяции грубо равна 0,71 Аг (£/2s), так что она возрастает
в отношении полного сечения к сечению рассеяния.
Для искривленных границ длина экстраполяции больше чем 0,71^.
В предельном случае исчезающе малого радиуса кривизны границы—
соответствующего крайне малой сфере из идеального (или „черного")
поглотителя, погруженного в рассеивающую среду, — длина экстра-
поляции равна 4/skt.
ЛИТЕРАТУРА
1. Во the W„ Zs. f. Phys., 118, 401 (1942).
2. M arsh a k R. E., Rev. Mod. Phys., 19, 185 (1947).
29*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие А. Вейнберга.......................................... 3
Предисловие авторов............................................... 4,
Глава 1. Строение и устойчивость ядер............................. 5
Свойства атомных ядер......................................... 5
§ 1. Протоны и нейтроны..............’..................... 5
§ 2. Атомный номер и массовое число........................ 6
§ 3. Изотопы и нуклиды..................................... 6
Радиоактивность............................................... 7
§ 4. Радиоактивные изотопы................................. 7
§ 5. Радиоактивные превращения............................. 9
§ 6. Скорость радиоактивного распада...................... 11
Энергия связи ядра.....................................
§ 7. Ядерные силы..................................
§ 8. Дефект массы и энергия связи..................
§ 9. Капельная модель ядра.........................
§ 10. Полуэмпирическое вычисление энергии связи.....
§11. Ядерные силы и устойчивость...................
Литература.............................................
Глава 2 Ядерные реакции...................................
Скорость ядерных реакций...............................
§ 1. Сравнение ядерных и химических реакций........
§ 2. Взаимодействие нейтронов с ядром...............
§ 3. Длина волны нейтрона...........................
Модель составного ядра.................................
§ 4. Механизм ядерных реакций.......................
§ 5. Энергия возбуждения составного ядра............
§ 6. Статистическое распределение энергии в ядре....
§ 7. Ядерные уровни энергии.........................
§ 8. Время жизни и ширина уровней...................
Резонансное поглощение.................................
§ 9. Условия резонанса.............................
§ 10. Формула Брейта — Вигнера......................
§ 11. Приложения формулы Брейта — Вигнера...........
Рассеяние нейтронов ...................................
§ 12. Природа рассеяния.............................
§ 13. Неупругое рассеяние...........................
§ 14. Упругое рассеяние.............................
Литература ..........................
8 - 8 ЗЙЕЙЙЙю
Оглавление 453
Глава 3. Получение нейтронов и нейтронные реакции .... 40
Получение нейтронов......................................... 40
§ 1. Альфа-частицы и легкие ядра......................... 40
§ 2. Источники фотонейтронов............................ 41
§ 3. Применение ускорителей............................. 42
Замедление нейтронов ....................................... 42
§ 4. Рассеяние и замедление.............................. 42
§ 5. Распределение Максвелла — Больтцмана............. 43
Реакции с медленными нейтронами............................. 46
§ 6. Типы реакций захвата............................... 46
§ 7. Радиационный захват................................. 46
§ 8. Испускание а частиц и протонов..................... 49
§ 9. Деление ядер........................................ 50
Реакции с быстрыми нейтронами............................. 51
§ 10. Реакции захвата и деления.......................... 51
Нейтронные поперечные сечения............................... 51
§11. Определение поперечного сечения.................... 51
§ 12. Макроскопическое поперечное сечение................ 53
§ 13. Длина свободного пути и длина релаксации........... 54
§ 14. Выход нейтронных реакций........................... 55
§ 15. Полиэнергетические системы нейтронов............... 56
Свойства рассеяния.......................................... 59
§ 16. Поперечное сечение и длина свободного пути....... 59
Измерение поперечных сечений................................ 60
§ 17. Метод пропускания.................................. 60
§ 18. Метод активации.................................... 61
Результаты измерений поперечного сечения.................... 63
§ 19. Изменение поперечного сечения в зависимости от энер-
гии нейтронов............................................ 63
§ 20. Резонансная область................................ 64
§ 21. Область быстрых нейтронов.......................... 66
§ 22. Большие ширины уровней............................. 66
§ 23. Элементы с малыми массовыми числами................ 67
§ 24. Поперечные сечения тепловых нейтронов............. 68
Обнаружение и счет нейтронов............................... 70
§ 25. Вторичные ионизационные счетчики................... 70
§ 26. Активационные детекторы............................ 71
Литература............................................... 72
Глава 4. Процесс деления...................................... 73
Основные свойства реакции деления........................ 73
§ 1. Введение........................................... 73
§ 2. Испускание нейтронов............................... 74
§ 3. Продукты деления................................... 78
§ 4. Энергия деления.................................... &V
§ 5. Механизм деления ядер.............................. 84
§ 6. Деление на быстрых и на медленных нейтронах .... 89
Цепная реакция деления ...................................... 92
§ 7. Условия самоподдерживающейся цепной реакции ... 92
§ 8. Баланс нейтронов в цепной реакции.............. 94
§ 9. Типы реакторов.................................. 95
§ 10. Коэффициент размножения реактора на тепловых нейтро-
нах .................................................. 96
4.54
Оглавление
§11. Утечка нейтронов................................... 99
§ 12. Критические размеры реактора........................ 100
§ 13. Регулирование реактора.............................. 102
§ 14. Действие запаздывающих нейтронов.................. 102
Литература................................................... 104
Глава 5. Диффузия нейтронов.................................... 105
Элементарная теория диффузии................................. 105
§ 1. Кинетическое уравнение и уравнение диффузии....... 105
§ 2. Плотность потока нейтронов........................... 107
§ 3. Уточнение элементарной теории диффузии, основанное
на кинетическом уравнении................................ 112
§ 4. Транспортная длина свободного пробега............... 114
§ 5. Коэффициент диффузии и плотность потока нейтронов . 115
§ 6. Вычисление утечки нейтронов из заданного объема ... 115
Уравнение диффузии и его применения......................... 117
§ 7. Уравнение диффузии................................ 117
§ 8. Граничные условия........'........................ 118
§ 9. Решение уравнения диффузии; волновое уравнение . . . 122
§ 10. Точечный источник в бесконечной среде............. 123
§11. Бесконечный плоский источник...................... 124
§ 12. Бесконечный плоский источник в среде конечной толщины 127
§ 13. Плоский источник и два слоя конечной толщины . . . 130
Диффузионная длина.......................................... 132
§ 14. Смысл диффузионной длины.......................... 132
§ 15. Измерение диффузионной длины...................... 134
§ 16. Поправки на высшие .гармоники’ и наличие торцов . . 144
§ 17. Экспериментальные результаты...................... 145
Диффузионные функции влияния................................ 146
§ 18. Интегральная форма решения уравнения диффузии; диф-
фузионные функции влияния для бесконечной среды . . 146
Альбедо.................................................... 148
§ 19. Альбедо в теории диффузии......................... 148
§ 20. Вычисление альбедо................................ 149
§ 21. Альбедо и диффузионные характеристики ....... 152
§ 22. Альбедо как граничное условие..................... 152
§ 23. Альбед.. и число пересечений границы раздела .... 154
§ 24. Экспериментальное определение альбедо............. 155
Литература................................................. 156
Глава 6. Замедление нейтронов ............................ 157
Рассеяние нейтронов .......................................
§ 1. Введение..........................................
§ 2. Механика упругого рассеяния.......................
§ 3. Изменение энергии при рассеянии...................
§ 4. Закон рассеяния....................................
§ 5. Средний логарифмический декремент энергии.........
§ 6. Замедляющая способность и коэффициент замедления . .
§ 7. Летаргия..........................................
Замедление в бесконечных непоглощающих средах..............
§ 8. Введение .........................................
§ 9. Замедление в водороде ...........................
§ 10. Плотность замедления в водороде..................
§ 11. Замедление в средах с массовым числом, бдльшим единицы
157
157
157
160
162
163
165
167
168
168
168
171
172
Оглавление 455
§ 12. Замедление в системе, содержащей ядра нескольких сор-
тов ..................................................... 180
§ 13. Экспериментальное определение плотности замедления . 182
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения . . . 184
§ 14. Замедление в водороде при наличии поглощения .... 184
§ 15. Замедление при наличии поглощения в средах с массо-
вым числом, большим единицы.............................. 187
§ 16. Вероятность избежать резонансного захвата в случае да-
леко отстоящих друг от друга резонансов................ 188
§ 17. Вероятность избежать резонансного захвата в случае мед-
ленно меняющегося сечення поглощения..................... 192
§ 18. Вероятность избежать резонансного захвата в случае сла-
бого резонансного поглощения............................. 195
Теория возраста............................................... 196
§ 19. Модель непрерывного замедления..................... 196
§ 20. Уравнение возраста при отсутствии поглощения .... 198
§ 21. Решение уравнения возраста......................... 201
§ 22. Распределение плотности замедления вокруг точечного
источника . .'........................................... 204
§ 23. Физический смысл возраста.......................... 205
§ 24. Экспериментальное определение возраста............. 206
§ 25. Время диффузии и время замедления.................. 208
§ 26. Замедление и диффузия быстрых нейтронов от бесконеч-
ного плоского источника в бесконечной среде............ 210
§ 27. Уравнение возраста с учетом слабого поглощения . . . 213
Задачи........................................................ 215
Литература.................................................... 216
Глава 7. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых ней-
тронах ........................................................ 217
Критическое уравнение......................................... 217
§ 1. Введение............................................ 217
§ 2. Нейтроны источника и теория возраста................ 218
§ 3. Приближение к критическому состоянию................ 220
§ 4. Условие критичности.............«................... 223
§ 5. Материальный и геометрический параметры............. 224
§ 6. Баланс нейтронов в тепловом реакторе................ 226
§ 7. Время жизни одного поколения........................ 230
Геометрический параметр...................................... 231
§ 8. Реакторы различной формы........................... 231
§ 9. Минимальный объем для конечного цилиндра......... 240
§ 10. Выводы и обзор результатов..................... . 240
Свойства критических реакторов ............................... 242
§ 11. Большие реакторы............................... . 242
§ 12. Расчет критического размера и состава.............. 244
§ 13. Экспериментальное определение критического размера;
критический ансамбль..................................... 247
§ 14. Критические масса и радиус и состав реактора .... 249
Задачи......................................................• 251
Литература.................................................... 252
Г лав.а 8. Гомогенный реактор с отражателем; метод групп . . 253
Общее рассмотрение............................................ 253
§ 1. Свойства отражателя................................. 253
456
Оглавление
Метод групп.................................................. 255
§ 2. Введение.............................................. 255
§ 3. Групповые постоянные.................................. 255
§ 4. Одна группа нейтронов................................. 258
§ 5. Эффективная добавка................................... 263
§ 6. Отношение максимального потока нейтронов к среднему
в плоском реакторе................................... 266
§ 7. Две группы нейтронов.................................. 268
§ 8. Многогрупповой метод.................................. 278
Задачи......................................................... 280
Глава 9. Гетерогенные реакторы на естественном уране . . . 281
Цепное деление в естественном уране............................ 281
§ 1. Введение ........................................ 281
§ 2. Деление на тепловых нейтронах......................... 281
Резонансный захват в естественном уране........................ 284
§ 3. Эффективный резонансный интеграл...................... 284
Свойства гетерогенных систем . . . . ......................... 289
§ 4. Резонансный захват; объемное и поверхностное поглощение 289
§ 5. Вероятность избежать резонансного захвата............. 293
§ 6. Преимущества и недостатки гетерогенных систем .... 295
§ 7. Вычисление коэффициента теплового использования . . . 296
§ 8. Вычисление вероятности избежать резонансного захвата . 305
§ 9. Вычисление коэффициента размножения на быстрых ней-
тронах ............................................... 309
Макроскопическая теория реакторов....................... 313
§ 10. Вычисление материального параметра............ 313
§ 11. Экспоненциальный опыт......................... 315
§ 12. Цилиндрический реактор 319
Задачи.................................................. 322
Литература ........................... 323
Глава 10. Временной режим реактора без отражателя на теп-
ловых нейтронах.............................................. 324
Рассмотрение нестационарных процессов без учета запаздывающих
нейтронов . .............................................. 324
§ 1. Введение.............................................. 324
§ 2. Нестационарное уравнение диффузии..................... 325
§ 3. Период реактора....................................... 327
Учет запаздывающих нейтронов................................... 328
§ 4. Общее рассмотрение вопроса........................... 328
§ 5. Уравнение диффузии с учетом запаздывающих нейтронов 330
§ 6. Формула „обратных часов"............................. 336
§ 7. Одна группа запаздывающих нейтронов.................. 337
§ 8. Малые реактивности................................... 343
§ 9. Большие реактивности................................. 345
§ 10. Отрицательные реактивности........................... 347
Задачи......................................................... 340
Глава 11. Управление реактором.................................... 350
Нарушение нейтронного баланса.................................. 350
§ 1. Введение............................................. 350
§ 2. Температурные эффекты................................. 350
§ 3. Влияние зашлаковывания продуктами деления............. 351
Оглавление 457
Регулирующие стержни........................................ 352
§ 4. Назначение регулирующих стержней................... 352
§ 5. Теория регулирующих стержней: одногрупповое рассмот-
рение .................................................. 354
§ 6. Теория регулирующих стержней: двухгрупповое рассмотре-
ние .................................................... 359
§ 7. Теория регулирующего стержня, расположенного эксцен-
трично ................................................. 363
Отравление продуктами деления............................... 367
§ 8. Общие замечания................................... 367
§ 9. Концентрация иода................................. 368
§ 10. Концентрация ксенона.............................. 370
§11. Расчет отравления................................. 371
§ 12. Влияние отравления на реактивность................ 373
§ 13. Накопление ксенона после полного выключения .... 374
§ 14. Отравление самарием............................... 377
Температурные коэффициенты реактивности..................... 378
§ 15. Влияние температуры на реактивность............... 378
§ 16. Ядерные температурные коэффициенты................ 379
§ 17. Температурные коэффициенты, обусловленные изменением
плотности ............................................. 382
Задачи...................................................... 384
Глава 12. Общая теория гомогенных размножающих систем . 385
Функции влияния для бесконечной замедляющей среды......... 385
§ 1. Гауссовы функции влияния........................... 385
§ 2. Функции влияния диффузионного типа................. 386
Общее уравнение реактора.................................... 389
§ 3. Плотность замедления............................... 389
§ 4. Общее уравнение диффузии........................... 391
§ 5. Функции влияния для замедления в конечной и бесконеч-
ной средах.............................................. 393
§ 6. Решение уравнения реактора......................... 395
§ 7. Смысл коэффициентов Фурье.......................... 397
Приближение к критическому состоянию........................ 398
§ 8. Общее поведение размножающих систем............... 398
§ 9. Критическое состояние............................. 400
§ 10. Асимптотическое уравнение реактора и материальный пара-
метр .................................................... 402
Критическое уравнение при различных функциях влияния для за-
медления .................................................. 404
§11. Вероятность избежать утечки в процессе замедления . . 404
§ 12. Моментная форма критического уравнения............ 405
§ 13. Гауссовы функции влияния и критическое уравнение . . 407
§ 14. Критическое уравнение с гауссовой функцией влияния
и источник со спектром деления........................... 409
§ 15. Функции влияния по методу групп: две группы .... 411
§ 16. Свертка диффузионных функций влияния для замедления;
замедление в воде........................................ 412
Глава 13. Теория возмущений..................................... 416
Общая теория................................................ 416
§ 1. Многогрупповое рассмотрение........................ 416
§ 2. Самосопряженный и сопряженный операторы............ 417
458
Оглавление
Применения теории возмущений................................ 420
§ 3. Применение к методу одной группы.................... 42(
§ 4. Статистический вес................................. 42‘
§ 5. Отравление реактора и коэффициент опасности........ 424
§ 6. Применение к методу двух групп...................... 426
Задачи...................................................... 428
Глава 14. Кинетическая теория и диффузия нейтронов ... 429
Вывод кинетического уравнения............................... 429
§ 1. Введение............................................ 429
§ 2. Односкоростное кинетическое уравнение............... 429
§ 3. Одномерное кинетическое уравнение................... 432
§ 4. Разложение сечения рассеяния по сферическим гармоникам 433
Кинетическое уравнение и теория диффузии.................... 435
§ 5. Элементарное диффузионное приближение............... 435
§ 6. Обобщенный закон Фика и применимость элементарной
теории диффузии......................................... 438
§ 7. Асимптотическое решение кинетического уравнения в не-
поглощающей среде....................:.................. 440
§ 8. Асимптотическое решение кинетического уравнения в по-
глощающей среде......................................... 441
§ 9. Диффузионная длина.................................. 444
Строгое решение кинетического уравнения..................... 445
§ 10. Бесконечный плоский изотропный источник в бесконечной
среде................................................... 445
§11. Асимптотическое и неасимптотическое решения....... 446
Граничные условия........................................... 447
§ 12. Граница между двумя средами........................ 447
§ 13. Граница с вакуумом................................. 449
§ 14. Длина экстраполяции................................ 450
Литература.................................................. 451