/
Текст
ва зо ра ти м а о ри ф и ч у м ^ у ри и
точикистон
ДОНИШГОХИ ДАВЛАТИИ о м Уз г о р и и
ТОЧИКИСТОН
ба номи САДРИДЦИН АЙНЙ
Карим-Заде
Эргашева М.
МЕТОДХОИ МОДЕЛСОЗИИ
МАТЕМАТИКЙ
F = J ] с/х/ -+ max (min)
м
н
—
у**
Е ал
=6* (/= *+ i,m ),
/=1
ху > 0
(/= й
/^я)
Душанбе-2011
1.1.К
I I (|5.У(2) 23+74.262
Кii гоби да рей ба 20 солагии Истик,лолияти
Ч.умх.урим Точикистон ва 80-солагии ДДОТ ба номи
( пдриддии Айнй бахшида шудааст.
Китоби мазкур, ки бо дастгирии сохибкори
ширкати «Сомон» К^урбончон Юсупов чоп шудааст,
муаллифон сидкдн сипосгузор хдетанд.
Муаллифон: Карим-Заде Хдлима, дотсент
Эргашева Мавлудахон, дотсент.
Мухаррир: Олимшоев Расул, номзади илмхои
физика-математика, дотсент
Китоби дарей
дар
кафедраи
информатика
ва
математикаи амалии Донишгохи давлатии омузгории
Точикистон ба номи Садридцин Айнй тахия шудааст.
Дастури мазкур дар асосй программаи курси «Методхои
моделсозии математикй ва эконометрика дар мактабхои
олй»
барои
донишчуёни
ихтисосхои
математика,
информатика,
иктисодчй ва дигар тахассусхо навишта
шудааст.
Шурой илмии методии Донишгохи давлатии
омузгории Точикистон ба номи Садридцин Айнй аз 19
май соли.2010, №13 ба чоп тавсия намудааст.
ББК 22.1+65.9
© Карим-Заде Х,алима,
Эргашева Мавлудахон
П еш гуф т ор
Таи 20 солхои охир чахон босуръат ба суи
тамоюлхои рангоранг, аз чумла ба монанди чахонисозй
(глобализатсия) пеш меравад. Точикистон, ки яке аз ин
чомеаи озоду демократии дорой иктисоди бозорй
дошта мебошад, чузъи чудонопазири ин раванд буда,
бояд мисли дигар давлатхои чахонй сахмгузор бошад.
Вактхои охир дар бораи нобаробарии иктисодию
ич,тимоии байналмилалй суханхои зиёд гуфта мешавад,
ки ин нобаробарй ба сатхи иктисодии миллии
Точикистон хам дахлпазир аст.
Такрибан аз чахор се хиссаи ахолии Точикистон
дар дехот зиндагй мекунанд, ки дар ин махалхо дарачаи
камбичоатй аз дама боло аст. Бо сабаби канда шудани
лномхои доду гирифти иктисоди дар байни давлатхои
собик шуравй, сабаби паст шудани сатх,и зиндагии
ахолии Точикистон шудааст.
Барои халлу (|)асли рушди икгисодию ичтимой ва
i i . i i I памудшш сатхи камбизоатй, таквияти таълим ва
гахсплот, густариши бевоситаи эчодй, хусусан
гахсилоти дамаи к,ишрхои ахолй барои бехбудии сатхи
мету зиндагй дар рушди таракдиети чахонисозй накши
асосиро мебозад.
Бинобар он бунёди чомеаи демократии имруза
такозо менамояд, ки ба баланд бардоштани донишу
малакахои шахсиятхои озодандеш сахмгузор бошем.
Ингуна шахсиятхо хамон вакт ба воя мерасанд, ки
агар онх,о дониши пурраи иктисоди - математикй
дошта, онро барои рушди чамъияти муосир равона
карда тавонанд. Дар ин китоби дарсии мазкур хамаи
талаботхои замонавиро ба инобат гирифта, барси
таквияти таълиму тахсилот ва
методхои халли
масъалахои сохахои гуногуни рушд таваччух зо.хн^
карда шудааст.
Д м ш ш ' ох;й « х я в л в м ш
Тачнкатои
U И'В Л И О Т Е К А
Ндмикм''?"
Ин китоб дар асосй лексияхое, ки муаллифон дар
давоми солх,ои тулонй ба донишчуёни ихтисосхои
математика, математика-информатика, иктисодиёт
хондаанд, навишта шудааст.
Дар ин чо барои халли масъалахои гуногун
методхои сохтани моделхои математикй, дар кисми 2 ми китоби дарсй навиштани алгоритмахо, халли онхо
бо ёрии компютерхо нишон дода шудааст.
Инчунин
методхои
хисобкунии
эхтимолй,
программасозии
хаттй,
гайрихаттй,
динамикй,
стохастикй,
масъалахои
идоракунии
оптималй,
назарияи бозихо, моделсозии имитатсионй, масъалахои
регрессионй, графхо ва гайра дида баромада шудаанд.
Дастури мазкур аз як тараф барои баланд
бардоштани савияи дониши донишчуён, маърифати
касбй кумак расонад, аз тарафи дигар барои халли
масъалахои
мушкилтарини хаётй
бо
воситаи
технологияи нави замонавй мусоидат менамояд.
Китоби дарсй шояд аз камбудихо холй набошад
ва ба хонандагон барои нзхори акидахряшон пешакй
миннатдории худро баён менамоем.
Муцаддима
Сох,ибистиклол гаштани Чумхурии Точикистон ва
ба найси кишвари озоди демократй ба чомеаи чах,онй
шомил шудани он такозо мекунад, ки сиёсат ба
озодсочии бозорно равона карда мешавад. Ин асосан аз
ду унсури асосй: масъалахои идоракунии ташаккул
долили максаднои пешгузошта аз нуктаи назарияи
ИЛМЙ, сах;ен нал намудани онно иборат аст. Масъалаи
идоракунй бо ёрии маълумотнои микдори дар
доиранои муайян нал карда мешаванд. Агар чиддитар
гуем, намагуна низоми макомоти идоракунии сонаи
гуногуни фаъолияти инсонй вобаста ба наллу фасли он
ва натичанои он^о вобастагй дорад. Х,алли онноро бо
воситанои конуниятнои муайяни илмй амалй намудан
мумкин аст.
Яке аз равиянои налли масъаланои ба икдом
гирифташуда ин бо методнои математикй нал намудани
масъаланои гузошташуда мебошад. Бо тарики
методнои математикй нал намудани масъаланоро, бо
воситаи моделсозии математикй густариш додан
мумкин аст. Моделсозй барои кабул намудани натичаи
налли масъалано васеъ истифода шуда, асосгузори он
мебошад. Модел - ин инъикоси он омилнои система, ё
амалиёти ба ягон шакли муайян дароварда шуда
мебошад, ки нусусиятнои асосии онро нигон медорад.
Агар чиддитар фикр кунем, метавон гуфт, ки
раванди моделсозй- ин ба низоми муайян даровардани ;
масъаланои мураккаби ба миён гузошташуда ва ноил
гардидан ба натичанои мусбй аст. Сабабнои асосии
густариши
моделсозй,
табиатан
мураккабии
масъаланои идоракунии сонанои гуногуни фаъолияти
инсоният, ногувор будани наллу фасли масъаланои
мушкил бе воситаи теннологияи нави информатсионй
ва махусусан проблеманои мушахнаси сонаи иктисодиёт
ва дар оянда бо ягон равняй илмй идоракунии он
мебошад.
Дар солх,ои охир барои идоракунии сохди
иктисодиёт ва дигар сосано чунин моделхо истифода
бурд 2 мешаванд:
^ - модели программасозии хаттй;
- модели масъаланои накдиётй;
модели назарияи бозщо;
- модели идоракунии захирахо;
- модели назариянои навбатдо (теория
очередей);
- моделхои имитатсионй;
- танлили шабакавй;
- моделнои танлили иктисодй;
- моделнои динамикй;
- моделнои муайяншуда (детерминирован
ный);
- моделнои стонастикй ва ноказо.
Бешубна, масъалае ба миён меояд, ки барои
омухтан ва татбикд он, инчунин барои рушду нумуи
сонаи гуногуни мавчудият ва кафолати ояндаи инсонй,
мутанассисони
баландинтисоси
дониши
пурраи
математикй дошта, лозим аст.
Боби I. Технологияи информатсионй
дар идоракунй ва моделсозии равандх;ои
гщтисодй.
1. I. Информатсия ва идоракунй, цомеаи информатсионй
Мафнуми «информатсия», «дониш», «системаи
информатсионй»,
«систем ах,о и
автоматикунонии
идоракунй», «моделсозй» дар замони тараккии пуравчи
Техника х,амаи моро водор мекунад, ки бо ин мафх,умх,о
ШИНОС шавем. То дол услуби шаклии назарияи системаи
информатсионй, назарияи кодгузорй, ё доду гирифти
информатсия ё назарияи аналитикии алгоритму пурра
аён нест.
Дар айни дол фанни техникие мавчуд аст, ки ба
информатсия сару кор дорад. Ин фан дар мамлакатх,ои
цах,они Аврупо хамчун фанни информатика, дар
Америка ва дар дигар баъзе мамлакатнои гарб хдмчун
илми компютерй ном бурда мешавад. Мазмун ва
мундаричаи ин фан аз чунин мафнумно иборат аст:
ИнформатСия - дилхон намуди ахбор, маълумот,
хабаре мебошад, ки онро нигох, доштан, доду гирифт
кардан, дигаргун сохтан мумкин аст;
Додашудано - информатсияе, ки ба ягон шаклу
услуб дароварда шуда, барои фиристодан, чдмъ
намудан, захиракунй ва дигаргунсозй матлуб
гардидааст;
Бонг (сигнал) - нигохдорандаи (носитель)
додашудано (информатсия), ки шакли физикавиро дар
назар дорад, ё модели математикиро мефах,монад;
Идоракунй - амалиёти мак,садноки инсон буда, ба
малакаю дониш ва истифодаи конунх,ои табий
чамъиятй ва системанои сунъй такя мекунад.
Дар кибернетика идоракунй гуфта, дар холати
мувозинат ё даврй нигох; 1 доштани системаи
идорашавандаро меноманд.
Системаи кибернетикй ин мачмуи объектной
(элементной) бо нам вобастае мебошад, ки кобилияти
дабул намудан, дар нотир нигох; доштан, дигаргун
сонтан ва доду гирифти информатсияро дорад. Мисоли
системаи кибернетикй ищ о шуда метавонанд:
автопилот, популятсияи биологй, системанои ицтисодй,
чамъиятй, инсонй ва ноказо.
Вазъияти система - ин мачмуи кдматнои
аломатнои
он
мебошад.
Хдмаи
вазъиятнои
имконпазири система мачмуи вазъиятнои он мебошад.
Дигаргуншавии система - ин раванди аз як нолат
ба дигар нолат гузаштани он мебошад.
Ба
кадом
нолат
омадани
объекта
мушонидашаванда аз нолати ибтидоии он вобаста аст.
Яке аз инструментнои танлили объектно барои ноил
гардидан ба нолати оптималии онно - моделсозии
кибернетикй мебошад.
Хотиррасон менамоем, ки модел ин инъикоси
наёлй ё моддии объекта танлилшаванда мебошад.
Моделнои кибернетикй нусусияти инъикоси нам
структурй
ва
нам
динамикии
объектной
танлилшавандаро доранд. Барои масъаланое, ки бо
моделнои кибернетикй ифода шудаанд, истифодаи
комгаотерно носанд. Масъаланоро бо мошинанои
электронй - нисоббарорй татбик; кардан рони бентарини
налли онно мебошад. Маънои асосии моделсозии
кибернетикй дар он аст, ки озмоишнои бо ин объект
гузаронидашаванда дар асл бо моделнои
онно
гузаронида мешаванд. Модели кибернетикиро модели
имитатсионй нам меноманд.
Моделсозй дар тадкдк,отх,ои илмй аз даврахои
цадим истифода мешуд ва охиста - охиста хамаи
сохахои фаъолияти инсониро фаро гирифт. Моделсозй
дар
сохахои
меъморихои
техники,
сохтмон,
архитектура, астрономия, физика, химия, биология ва
дар охир дар сохахои фанхои чамъиятшиноей татбик,
шуда, хамчун олоти мехнат истифода бурда мешавад.
Моделсозй хамчун илм дар асри XX дар хамаи сохаи
фаъолияти илмии инсонй шинохта шуд.
Мафхуми «модел» дар сохахои гуногуни
фаъолияти инсонй истифода шуда, мохиятан маънои
гуногун дорад.
Модел - ин ягон объекти моддй ё хаёлие мебошад,
ки объекти аслиро иваз менамояд.
Моделсозй гуфта, раванди сохтани модел, омузиш
ва истифодаи онро меноманд. Раванди моделсозй
хамаи амалиётхои сохтани абстраксия, коркарди
гипотезахои шаклиро дарбар мегирад.
Хусусияти хоси моделсозй аз истифодаи усулхои
математикй ва мафхумхои илми дигар иборат аст.
Моделсозй - усули асосии кибернетика.
Роли шабехй ва моделсозй хамчун усулхои дарккунии илмй
Тахлили равандхое, ки дар системахои мураккаби
кибернетикй ба амал меоянд, душворихои зиёдеро пеш
меорад. Дар баъзе мавридхр як к,атор хосиятхои
душвор тадк.икдтвандаи як система дар системаи дигар
дучор мешавад, ки онхо бо осонй дарк карда мешаванд.
Ин имконияти дар раванди дарккунй истифодабарии
усулхои шабехй ва моделсозиро медихад. Дар амал
хангоми омузиши ходисахои мураккаб мо шабехии
онро бо ходисаи ба мо маълум мекобем. Хамин тавр
мо барои фанмидани номаълум, онро бо мафхуми ба он
монанди маълум барои шабехй мук,оиса мекунем.
Храмин тавр, дар ХУДУДХОИ муайян шабенй воситаи
дарккунии аломатнои х,оло кушода нашуда ва
носиятнои объектх,ои тадкикшаванда мебошад.
Аз ин ё он хулосаро бо ёрии усули шабехй х,осил
намуданро чунин фанмонидан мумкин. Бигузор ягон
намуд объектной А ва В бо носиятнои якхелаи а, Ь, с, d,
е тавсиф карда шавад. Бигузор минбаъд, дар объекта А
хосияти / мушохида карда шавад. Аз усули шабехй
истифода бурда, фарз кардан мумкин аст, ки объекта В
низ чунин носиятро дорад. Масалан, чараёнхои
Назмкунии инсон ва як катор найвонотро мушонида
намуда, аз
дигар носиятнои барои яке аз онхо
чойдошта, ки ба дигараш холо дида нашудааст, ба он
низ чой дорад, бо шабехй масъалаи дигарро нал
намудан мумкин аст.
Дар тадкики системанои кибернетики vcvnu
моделсозй роли муним мебозад. Моделсозй бо усули
шабенй бисёр монанд аст, чунки онро намчун намуди
гуногун ва инкишофи минбаъдаи шабенй дида
баромадан мумкин.
Модел объекта сунъии аз тарафи инсон сонташуда
(назарй ё ки моддй) - ро ифода мекунад, ки он объекта
тадкикшавандаро иваз мекунад, ки бо воситаи он
объекти асосй омунта мешавад. Моделсозй намчун
усули дарккунй ба кобилияти инсон абстраксиякунии
аломат ва носиятнои объектной гуногун ва мукаррар
намудани мувофикати байни онхо асоснок карда
шудааст. Ба туфайли он имконияти тадкик намудани
баъзе хосиятхои объектно ба воситаи моделхои хело
соддафанм мунайё мегардад. Хдмин тавр, моделсозй
нама вакт шакли мансуси баёни гайримустаким
мебошад.
Дар бораи наздикии (шабехии) ин модел бо
оригинал сухан ронда, х д м а вак,т дар хотир нигох,
доштан лозим аст, ки онхо бо якдигар айнан як хел
нестанд, яъне б а й н и модел ва оригинал бо наздикй
ф а р к д о и му*и1йи кал он ё хурд мавчуданд. Аз ин сабаб,
хулоса д а р б о р а и , структура ё ки рафтори оригинал, ки
д а р а со сй омУх1ани модели он ^ароварда шудааст"
хам ч ун х у л о са аЗ руи шабехй тавсифи 1 мутлак
П Т И бор н ок р о надорад ва ин хулосахо минбаъд
о я о д к у к й , конкретикунонй ва' ислох,куниро талаб
м екунад.
1.3. Намуд^ои асосии моделх,о
Х,ангоми таснифи муфассали моделсозй зиёда аз
д а \ си нф ва зерсинфи моделхо фард кунонида
м еш аванд. Аммо аз руи хусусиятхои асосии алох,идаи
м о д ел х о онхоро б а чор намуди асосй: геометрй,
ф изикй, моддй (предмета) - математикй ва мантикй математикй чудо мекунанд.
Моделхои геометрй.
Моделхои геометрй объектхое мебошад, ки ба
оригинали худ геометрй монанд аст. Моделхои
геометрй дар бораи оригинал тасаввуроти руякй
медиханд ва асосан бо максади намоиш додан хизмат
мекунанд. Ба ин намуди моделхо макетхои дар хачми
хурд сохташудаи асл, маводи асл дохил мешаванд.
Ду объекти геометрй монанд номида мешаванд,
агар нисбати дарозщои элементной мувофики онхо
доимй бошанд.
Моделхои геометрй дар кибернетика характери
ёрирасонро доранд.
Моделхои физикй
Дар техника моделхои физикй нисбат ба моделхои
геометрй бештар истифода мешаванд. Онхо монандии
байни оригинал (нусхаи аслй) ва моделро нафакдт аз
нуктаи назари шаклх,о ва таносубх,ои геометрй, балки
аз нуктаи назари равандх,ои физикии асосии дар онх,о
руйдихднда низ инъикос мекунанд.
Х,одисах,ои физикии монанд дар системахои
геометрии монанд гуфта ходисахоеро меноманд, ки
х,ангоми раванди кори онх,о нисбатх,ои тавсифкунандаи.
бузургщои физикии якхелаи онхо дар нуктакои
шабехдошта бузургихои доимй бошанд.
Х,ангоми моделсозии физикй модел ва тимсол
(прототип) - и он хама вакт объектхои табиати физикии
якхела дошта мебошанд. Намунахои истифодаи
усулхои сермахсули моделсозии физикй: муайянкунии
хосиятхои аэродинамикии дастгоххои бо рохи
«бодцихии»
моделхои
онхо
дар
кубурхои
аэродинамикй;
тадклки
«рафтори»
тахминии
иншоотхои гидротехники (сарбандхо, бандхои об,
дарготхо (шлюзхо) ва гайра) бо рохи озмоишхои
объектхои шабехдоштаи ченакхои хело хурд дошта;
тадкики кори реакторхои атомй бо ёрии моделхо,
антеннахои радиошунавой, хатхои интиколи чараён ва
гайрахо мебошанд.
Моделхои модды - математикй (риёзй).
Хднгоми
истифодаи
моделсозии
моддй
математикй, ки баъзан хамчун яке аз намудхои гуногуни
моделсозии физикй дида баромада мешавад, имкониятхои боз васеътари моделсозии равандх,ои мураккаб ва
ходисахо кушода мешаванд, ки дар ин чо талаботх,ои
айнан баробар шудани табиати физикии оргинал ва
модели он аз байн бардошта мешавад. Ин метод факат
якхела будани тасвири математикии равандхои дар
оригинал ва модел бударо тахмин мекунад.
Мисолх;ои моделхои математикиро дида мебароем.
Маълум, ки харакатй ростхаттаи нисми сахти соиш
дошта бо муодилаи дифференсиалии хаттии
тасвир карда мешавад, ки дар ин чо:
S - рох,и тайшуда, т - массаи чисм, г - коэффисиенти
сошли гечиш, F (t) - кувваи берунаи ба чисм
гузошташуда мебошанд.
Хдракати чархзании чисм дар атрофии тири
бехдракат бо муодилаи
j ^ +kd± =M(t)
(2)
dt2
dt
w
ифода карда мешавад, ки дар ин чо:
(р - кунчи гардиш, J - момента инертсия, к коэффисиенти демпферй,
М (t) - момента чархзании кувваи беруна.
Раванди дар занчири электрики буда, ки
индуктивнокй ва муковимати фаъоли пайдарпай
воридшударо доро аст, бо муодилаи
Ф
+К^
ши(,)
(3)
ифода мешавад, ки дар ин чо:
q - микдори чараён (электр), L - индуктивй, R муковимати фаъол, U (t) - шиддати ба занчир
гузошташуда мебошад.
Ин се муодилаи дифференсиалии хаттиро мукоиса
намуда, мебинем, ки хамаи онхо таркиби якхеларо
доранд, ки ба намуди умумй чунин навишта мешавад:
(4)
илова бар он, х мувофикан накши S, ср ва q; а, накдш
т, J, L; а 2 накши г, к, R ва у ft) накши F(t), M (t) ва
U(t)-po мебозанд.
Аз муодилахои дифференсиалии хаттии дар боло
овардашуда дида мешавад, ки хдр яки равандхои
физикии онхоро тасвиркунанда, шабехй дигар
мебошад. Бинобар ин, дар назди мо агар вазифаи
тадкдк намудани хдракати чисми сахт истад, пас барои
тадкикоти занчири чараёни электрики аз муковиматхои
индуктивй ва фаъол иборатбударо истифода намудан
мумкин аст ва баръакс.
Моделхои мантикй - математикй.
Моделхои мантикй - математикие, ки онхоро
моделдои математикии мантикии зохирй меноманд,
тасвири абстрактии объектно бо ёрии рамзх;о
мебошанд. Храмин тавр, модели мантикй - математикй,
ки барои соддагй минбаъд математикй мегуем, ягон
мачмуи муодилахо ё нобаробарщо, чадвалх,о,
матрисах,о ва дигар усулхои навишта математикиро
меноманд, ки ходиса ва раванди омухташавандаро
ифода мекунанд.
Ба моделхои математикй моделхои физикаи
математикй, механикаи квантй, лингвистикаи таркибй
(забоншиносии таркибй) тааллук доранд. Синфи
мухими ин моделхо, моделхои иктисодй - риёзй
мебошанд.
Боби II. Моделсозии стохастики.
2.1. Муцаддимаи моделсозии стохастики
Моделхои стохастикй (эхтимолиятй) дар холатхое,
ки ин ё он омилхо тавсифи номуайянро доранд, васеъ
татбик карда мешаванд. Чунин вазъиятхо барои
сохахои гуногунтарини фаъолияти инсон хос аст.
Шароитхои боду хаво баъди якчанд сол, эхтиёч ба ягон
махсулот, вазъияти сиёсии кишвар ва гайра ба ин мисол
шуда метавонанд. Барои бехтар фахмидани хосиятхои
раванди омухташаванда ба эътибор гирифтани
к,иматх,ои эх,тимолии бузургинои к,иматашон сахщ
доданашуда, хело ахамияти калон дорад. Дар ин холат
мулох,изах,ои мантикй аз х,еч чиз ахборот намесозад,
балки ахбороти аввал бударо ба тартиб медарорад.
2.2. Муносибатх;ои гуногуни моделсозии математики
бо бузургинои эх;тимолй. Мафхуми эхтимолият
Мафхуми ходисаи тасодуфй дар омузиши
ходисахо ба моделхои эхтимолй асос мегузорад. Се
намуди ходиса мавчуд: эътиборнок, имконнопазир ва
тасодуфй.
Ходисаро эътиборнок меноманд, агар он дар
озмоиши чорй хатман руй дихад. Масалан, ходисаи
яхкунии об дар мохи январ - эътиборнок мебошад.
Ходисаи эътиборнокро бо U ишора мекунем.
Ходисаро имконнопазир меноманд, агар он дар
озмоиши мазкур руй надихад. Дар Точикистон
боридани барф дар мохи июл ходисаи имконнопазир
аст. Ходисаи имконнопазир бо харфи V ишора карда
мешавад.
Ходиса тасодуфй хисобида мешавад, агар дар
натичаи озмоиш руй додан
ё руй надодани он
номуайян бошад. Минбаъд ходисахои тасодуфиро
факат ходисахо мегуем.
Ходисахои тасодуфй бо харфхои А, В, С.,..ишора
карда мешаванд.
Дар бораи ходисахои эътиборнок, имконнопазир ва
тасодуфй сухан ронда мо боод кэйд намоем, ки хамон як
Ходиса вобаста ба мачмуи шарошхо метавонад
эътиборнок, имконнопазир ва тасодуфй шавад..
Ду ходисаро дар озмоиши мазкур хамчоя
меноманд, агар руйдихии ж е аз онхо, руйдихии
дигарашро истисно накунад. Масалан, аз гурухе, ки 10
нафар духтару 17 нафар писар дошта ходисаи
гирифташудани 1 духтар (ходисаи А) ва 1 писар
(ходисаи В)- ходисахои хамчоя мебошанд.
Ду ходисаро нохамчоя меноманд, агар онхо дар як
озмоиш якбора руй дода натавонанд. Масалан, дар як
тирандозй расидани тир ба нишон - ходисаи А ва
нарасидани тир ба нишон ходисаи - В ходисахои
нохамчоя мебошанд.
Якчанд ходисахоро дар як гурух нохамчоя
меноманд, агар онхо байни хам чуфт - чуфт нохамчоя
бошанд.
Ду ходисаро байни хам мукобил меноманд, агар
руй додани яке аз онхо ба руй надодани дигараш
баробаркувва бошад.
Масалан, дар як тирандозй ба нишон расидан
(ходисаи А) ва ба нишон нарасидан (ходисаи В)ходисахои байни хам мукобил мебошанд. Х,одисаи ба
нишон расиданро бо А ва ходисаи мукобил (ба нишон
нарасидан) - ро бо А ишорат мекунанд.
Мачмуи ходисахои А,,А2,...Ап - ро гурухи пурраи
ходисахо меноманд, агар руйдихии яке аз онхо ходисаи
эътиборнок бошад. Масалан, бо Ак ходисаи
пайдошавии к холро дар руяи болой, хангоми
партофтани як мухраи бозй (шашхол), ишора мекунем
Ск=1,2,3,4,5,б). Ходисахои А,, А2, А3, А4, А5, А6гурухи
пурраро ташкил медиханд.
Х рдисахоро
баробаримкон меноманд, агар
имкониятхои руйдихии онхо якхела бошанд. Масалан:
1) пайдошавии руяи нишондор (ходисаи А) ва руяи
ракамдор (ходисаи В) хангоми як маротиба партофтани
тангаи симметрй ходисахои баробаримкон мебошанд;
2) хангоми як маротиба партофтани шашхол
ходисахои^,, Л2, А3, А4, Л5, А6баробаримкон мебошанд.
Х,одисаеро, ки дар натичаи тачриба ё озмоиш руй
мединад, окибати элементарии озмоиш меноманд.
Масалан, ходисахои At(i = 1,2,...,б) - пайдошавии
холх,ои 1,2, ... ,6 мач;муи хамаи окибатхои имконпазир,
хангоми партофтани шашхол - окибатхои элементарии
озмоиш мебошанд. Он окибатхои элементарие, ки ба
руйдихии ходисаи А меоранд, окибатхои мусоид ном
доранд. Масалан, окибатхои мусоид барои руйдихии
ходисаи «микдори холхо дар руяи болой то к 41аст»,
хангоми як маротиба партофтани шашхол, окибатхои
элементарии Ах, А3, А5мебошанд.
Ба х,ар як ходиса ададе аз порчаи [0,l] мувофик,
гузошта мешавад, ки он эхтимолияти ходисаи мазкур
мебошад. Эхтимолиятро хамчун ченаки эътиборнокии
Ходисаи мазкур фахмидан мумкин аст. Дар ин маъно
калимаи «эхтимолият» - ро дар гуфтугуи хдрруза бо
фоизхо
ифода
намуда,
истифода
мебаранд.
Эхтимолиятро одатан, бо харфи р ишора мекунанд (аз
калимаи англисй - probability - эхтимолият).
Эхтимолияти ходисаи эътиборнок ба 1 ва эхтимолияти
ходисаи имконнопазир ба 0 баробар мебошанд.
Барои муайянкунии эхтимолияти руйдихии
ходисахо усулхои гуногунро истифода мебаранд.
Таърифи классикии эхтимолият
Таъриф. Эхтимолияти ходисаи А гуфта, нисбати
микдори окибатхои ба руйдихии ходисаи А
мусоидаткунанда, ба микдори хамаи окибатхои
имконпазири озмоишро меноманд.
Эхтимолияти ходисаи А - ро бо р (А) ишора
мекунанд.
Хдмин тавр мувофики таъриф:
№
Д м м м гохя
х о н А Н
техэп логш я
Тощкиетои
В ИS Л ИОТКК А
Т*Х*»1вГйн<СК«Гь умюрсятетк
Тжджкх*ст*г
Ин эхтимолияти классикй ном дорад.
т - шумораи ок,ибатх,ои элементарие, ки ба руйдихии
ходисаи А мусоидат мекунад ва и-шумораи хамаи
оцибатхои баробаримкони элементарие мебошанд, ки
гурухи пурраи ходисаро ташкил медиханд.
Аз таърифи номбаршуда, хамчун натича,
хосиятхои зерини эхтимолият бармеоянд:
1. Эхтимолияти ходисаи эътиборнок ба як баробар
аст, чунки дар ин маврид т - п
аст ва p(U) = —= 1
п
мешавад.
2. Эхтимолияти ходисаи имконнопазир V б а сифр
баробар аст, чунки дар ин маврид т = 0 аст ва
p(U) = —= 0 мешавад.
п
3. Азбаски барои ходисаи тасодуфии А, 0 < т < п
аст, пас
0
< — < 1 мешавад, яъне 0 < р(А ) < 1.
п
Хдмин тарик, эхтимолияти ходисаи ихтиёрй
нобаробарихои 0 < р(А) <1 - ро конеъ менамояд.
Мисол. Шашхол як маротиба партофта мешавад.
Эхтимолияти дар руяи болоии он пайдошавии микдори
холхои чуфтро ёбед ?
Хал. Бо А ходисаи «микдори холхои пайдошуда
Чуфт аст» - ро ишора мекунем. Ба руйдихии ин ходиса
се окибат мусоид мекунад: (2, 4, 6 ), яъне т = 3 аст,
азбаски п = 6 аст, пас мувофики формулаи ( 1)
3
р (А) = - = 0,5 мешавад.
6
Мафхуми геометрии эхтимолият
Бигузор дар хамворй фигураи F ва дар дохили он
фигураи дигари / чойгир бошад. Озмоиш аз он иборат
аст, хи ба фигураи F таваккал нукта партофта мешавад.
! Ба х&ш рн фазо окибатхоро бо ин шакл айнан баробар
намудан мумкин. Дар ин чо микдори окибатхои
имконпазир беохир аст, чунки микдори нуктахои F
беохир мебошад. А - ро хамчун ходисаи ба дохили
фигураи / афтидани нуктаи партофташуда кабул
мекунем. Он гох эхтимолияти ходисаи А (эхтимолияти
S
геометрй) чунин муайян карда мешавад: р (А )~ — , ки
SF
дар ин ч;о Sf ва S F - мувофикан масохатхои фигурахои
F e a /.
Айнан хамин тавр эхтимолияти геометриро дар
хати рост ва дар хачм муайян кардан мумкин аст. Дар
ин мавридхо ба чои масохат мувофикан дарозй ва
хачмхо гузошта мешаванд.
Тарзи омории муайян намудани эхтимолият
Фарз мекунем, ки дар п озмоиш ходисаи А т
маротиба ба вукуь меояд. Нисбати — - ро зудии
п
нисбии руйдихии ходисаи А дар санчиш меномем.
Агар дар киматхои кифоя калони п киматхои зудихои
нисбй дар атрофи ягон адади доимии Р гун мехобад, ки
ин доимиро эхтимолияти омории ходисаи А меноманд:
Мисол. Агар танга п маротиба партофташуда аз
он дар т тояш герб барояд, пас хангоми кифоя калон
будани п нисбати — б а 0,5 наздик мешавад.
п
Эхтимолияти с.убъективй
Дар бисёр мавридхо эхтимолияти ходисахрро бо
яке аз усулх,ои дар боло овардашуда муайян намудан
имкон надорад ва ба чои он мафхуми эътиборнокии ин
ё он ходисаро к,абул намудан мумкин аст. Дар ин холат
пурсиши муоинакуниро гузарондан ва дар асоси он
эхтимолияти субъективии ходисаро хосил намудан
мумкин.
Мисол. Эхтимолияти он, ки ягон кас дар
интихоботи наздик президент мешавад, чй гуна аст?
Равшан аст, ки дар ин чо сухан дар бораи эхтимолият
бо маънои субъективй меравад.
2.3. Формулал;ои алгеброй х1одисах,о. }(одиса%ои
нох;амцоя ва новобаста
Агар эхтимолиятхои ходисахои элементарй
муайян
шуда
бошанд,
пас
ба
хисобкунии
эхтимолиятхои ходисахои мураккабтар, ки аз мачмуи
ходисахои элементарии пештар муайяншуда иборат
аст, мегузарем. Фарз мекунем, ки ходисахои А ва В бо
ягон санчиш вобаста мебошанд. Сумма ё якчояшавии
ходисахои хамчояи А ва В гуфта ходисаи С - ро
меноманд, ки он аз руйдихии акаллан яке аз ходисахои
А ва В иборат аст. Суммаи ходисахои А ва В - ро бо
С = А + В ё С = А и В ишора мекунанд. Айнан хамин
тавр, суммаи якчанд ходисахои хамчояи Д ,Я 2,...,
гуфта ходисаеро меноманд, ки аз руйдихии акаллан яке
аз ин ходисахо иборат мебошад.
C * A +B
ё
С =A - В ё
,< ч '- С * А и В
С = А \В
Фарки ходисахои А ва В гуфта, чунин ходисаи С РО меноманд, ки он аз руйдихии ходисаи А ва руй
яндппяни ходисаи В иборат аст. Фарки ходисахои А ва
£ • ро бо С = А - В ё С = А \ В ишора мекунанд.
Хосили зарб ё буриши Ходисахои А ва В гуфта.
Ходисаи С - ро меноманд, ки он аз дар як озмоиш якбора
руйдихии ходисахои А ва В иборат аст. Хрсили зарби
ходисахои Л ва 2? - ро бо С - А -В ё С = А п В ишора
мекунанд.
Хрсили зарби якчанд ходисахои хамчояи
А1,А3,...,А„ гуфта ходисаи С - ро меноманд, ки он аз як
бор руйдихии хамаи ин ходисахо иборат аст:
С = А1,А3,...,Ап ё С = А1п А 2п . . . п А я
С = А -В ё
С =А п В
1
Мисол. Ду тирандоз ба нишон яктогй тир холй
Мвхунанд. Х^одисаи А - ба нишон расидани тирандози
«УМ. Ходисаи В - ба нишон расидани тирандози дуюм
ИСТ, А + В ходисаи ба нишон расидани акаллан яке аз
М).
тирандозон, ходисаи А -В - дар як вакт ба нишон
расидани хдр ду тирандоз, А - В - ходисаи ба нишон
расидани факат тирандози якум.
Агар ходисаи А дар натичаи руй додани ходисаи В
хдтман руй дихад, пас мегуянд, ки ходисаи А холати
хусусии ходисаи В аст ва чунин навишта мешаванд:
А с В ё В з А . Агар А с В ва В с А бошанд, яъне
руй додани ходисаи А хатман ба руйдихии ходисаи В
оварда расонад ва баръакс руй додани ходисаи В ба
хатман б а руйдихии ходисаи А оварда расонад, он гох
онхоро байни хам баробаркувва ё эквивалент меноманд
ва чунин ишора мекунанд А = В .
Амалхои чамъ ва зарби ходисахо дорой хосиятхои
зерин мебошанд:
1) А + В =В +А,
А В =В А (коммутативй)
2 ) (а +в )+ с = а +(в +с ) = (а +с ) +в = а +в +с
3)(А■В)-С = А ■(В■С) = (А■С)-В = А ■В ■С (ассосиативй)
4) (л + в ) с =(л с )+( в с ) (дистрибутивй)
5) А + А = А
А А =А
6)A +A = U
A-A =V
7) A + V = A
A-V - V
8 ) A +U = U
A-U = A
2.4 Элементной комбинаторика
Х,ангоми хисоб кардани эхтимолияти аксар
ходисахо баъзе формулахои назарияи комбинаторика
лозим мешаванд. Бинобар ин таърифхо ва формулахои
зарурии назарияи комбинаторикаро меорем.
Гуруххои элементхое, ки аз хамон як хел
элементхои гуногун иборат буда, аз хамдигар факат бо
тартиби
чойгиршавиашон
фарк
мекунанд,
чойивазкунихо ном доранд.
Шумораи хамаи чойивазкунихо аз п элемент (Р )
ба и!= 1 -2 - 3 • « баробар аст:
Р„=л!
(2 ) .
Чойгиркунй гуфта гурухдоеро меноманд, ки аз п
элементной гуногун т - тогй тартиб дода шудаанд ва аз
хамдигар ё бо тартиби чойгиршавй ё акаллан бо як
элемент
фарк
мекунанд.
Шумораи
хамаи
Чойгиркунихои имконпазир аз п элемент т - тогй ба
А" = \n-m
т - ^ y.
^ = и( " - 1) ( » - 2 ) - • • ( » - ' ” + 0 (3)
баробар аст.
Пайвасткунй гуфта гуруххоеро меноманд, ки аз п
элементхои гуногун т - тогй тартиб дода шудаанд ва аз
Хамдигар акаллан бо як элемент фарк мекунанд.
Шумораи умумии пайвасткунихо аз п элемент т C
m
п
ишора мекунанд. Ин микдор бо
У1^
формулаи
С”
- (4 )
т \\п-т )\
хисоб карда мешавад. Пайвасткунихо хосиятхои
зеринро доранд:
с т = С тп -т
/~ут+\ _ s~im , >^г/и+1 .
^И +1 -
с и° + с > с
+
„2
9
+ ...+ с г 1+ с : = г
\т
А”
С” = —
рт
,:
Мисолхо.
1.Чор нафарро дар харак бо чанд тарзи гуногун
шинонидан мумкин аст?
Хал. Мувофики формулаи (2)
Рп =и!=1-2-3-4 = 24
2. Аз байни шаш нафар номзад се нафарро ба се
вазифаи гуногун бо чанд тарз таъин кардан мумкин аст.
Хал. Аз формулаи (3) истифода мебарем
и = 6 , т = 3 => = 6-5-4 = 120.
3. Аз 10 нафар бо чанд тарз командаи волейбол тартиб
додан мумкин аст?
Хал. Мувофики формулаи (4)
С‘ = —
= 1 ± ^ = 210
10
61(10-6)! 1-2.3-4
2.5 Аксиомах^ои назарияи эхтимолият
Маълум аст, ки дар як сохди математикаи муосир
аксиомахои худро дорад. Аксиома гуфта тасдикотеро
меноманд, ки дар худуди назарияи мазкур дуруст
хисобидашуда, бе исбот кабул карда мешавад ва хамаи
коидахо, теоремахои дигари назария дар асоси ин
аксиомахо исбот карда мешаванд.
Назарияи эхтимолият низ аксиомахои худро
дорад, ки онхоро солхои 30-юми асри XX математики
машхури рус А.Н.Колмогоров, бо истифодаи
мафхумхои назарияи мачмухо дохил намудааст.
Дар тартиб додани ин аксиомахо фазой (мачмуи)
окибатхои элементарии санчиш накшаи мухимро
мебозад. Ин мачмуъро бо Q ишора карда, системаи F ро, ки аз зермачмуъхои мачмуи Q иборат мебошад,
дохил менамоем. Элементхои системаи F - ро ходисаи
тасодуфй, мачмуи холй 0 - ро ходисаи имконнопазир
меномем. Фарз мекунем, ки дар системаи F шартхои
зерин ичро мешаванд:
1.Q элемента системаи F мебошад.
\
2.Агар ходисахои А ва В - и дар Q муайяншудаи
элементной F бошанд, он гох, А +В, А В, А, В низ
элементной F мешаванд.
З.Агар нодисанои а х,А2,... - и дар Q муайяншуда,
элементной F бошанд, он гох, суммаи онх,о
оо
Ах + А2 + ... =
Ап
ва
носили
зарби
онх,о
п=1
00
Ах •А2 ■... = ]~| Ап , низ элементной F мешаванд.
п=1
Мачмуи муайяншудаи F - ро 5 - алгебраи ходисахо
меноманд.
Акнун аксиоманои назарияи эх,тимолиятро чунин
баён намудан мумкин аст.
Аксиомаи 1. (аксиомаи мавчудияти эхтимолият).
Ба нар гуна нодисаи тасодуфии А аз 8 - алгебраи
нодисанои F, чунин ададй р (а ) мувофик, меояд, ки онро
энтимолияти руйдинии ин нодиса меноманд.
Аксиомаи 2. (энтимолияти руйдинии нодисаи
эътиборнок)
Энтимолияти
руйдинии
нодисаи
эътиборнок ба 1 баробар аст: р(и)= 1
Аксиомаи 3. (аксиомаи ч а м ъ ). Агар нодисанои А ва
В нонамчоя бошанд, он гон р(А + В) = р{А)+р{в)
Аксиомаи 4. (аксиомаи васеъкардашудаи чамъ).
Агар нодисаи А ба руй додани акаллан яке аз
нодисанои чуфт
- чуфт нонамчоя
АХ,А2,...
ао
баробаркувва
бош ад,
яън е
А = Е л ,
И=1
p {a )= Y j p {a „).
и=1
он
ГОН
Сегонаи (V ,F ,P )- ро фазой эхтгшоли меноманД.
Минбаъд, фарз карда мешавад, ки фазой эхтимолият
дода шудааст. Х,амин тавр, эхтимолияти руйдихии
ходиса р ( а ) - ченаки ададии имконияти руйдихии
ходиса буда, аксиомахои овардашударо каноат
мекунонад. Якчанд натичахои мухими ин аксиомахоро
меорем.
Натичаи 1. Эхтимолиятхои ходисахои ба хам мукобил
бо
баробарии
зерин
алокаманд
мебошанд:
p (a )= i - p (a ).
Исбот. Аз таърифи ходисахои бо хам мукобил бар
меояд, ки А + А = U . Бинобар ин мувофики аксиомаи
дуюм р{л. + a )= 1. Азбаски ходисахои ^4ва А
нохамчоя мебошанд, пас мувофики аксиомаи сеюм
р $ ) = \- р ( А ) .
Натичаи 2. Эхтимолияти ходисаи имконнопазир ба
сифр баробар аст: p(V ) = О
Исбот. Азбаски ходисаи эътиборнок ба ходисаи
имконнопазир мукобил мебошад, дар асосй натичаи 1
хосил мекунем: р(у) = \ - р { и \ Мувофики аксиомаи
дуюм p i p ) = 1 аст. Бинобар ин p(V) = 1- р (и ) = 1-1 = 0.
Натичаи 3. Эхтимолияти руйдихии хар гуна ходиса ба
п«#?аи [0 ,l] тааллук дорад, яъне р {а ) е [ОД].
lb "lifr Мувофики натичаи 1 р (а )+ р (а)=1 аст. Дар
/ ■И аксиомаи якум р(а) адади гайри манфй мебошад,
iicic р{а)< 1. А з ин чо 0 < р(А)<. 1.
Масъалахо барои кори мустакилона.
Масъалаи 1. Ду танга партофта мешавад. Бигузор
A, (г = 1,2 ) мувофикан ходисахои баромадани «герб»
дар тангах,ои якум ва дуюм бошанд. Хрдисанои зеринро
бо ёрии нодисанои А г ва А г ифода кунед.
В—{Дар ^ар ду танга « герб» мебарояд};
С-{Ак,алан дар як танга «герб» мебарояд);
D = {Дар ягон танга "герб”намебарояд} .
Чавоб: В = АХ-А2; С = Ах •Аг + Ах •А2; D = Ах ■Аг
Масъалаи 2. Дар гурун 8 нафар донишчуёни
аъдохон настанд. Бо чанд тарзнои гуногун 3 нафари
онноро ба ч;амъомади умумидонишгонй пешнщод
намудан мумкин аст.
Чавоб: 56.
Масъалаи 3. Ду шашнол партофта мешавад.
Энтимолияти он, ки суммаи полной пайдошуда ба 7
баробар аст, ёфта шавад.
Чавоб:
1
6
X2 V2
Масъалаи 4. Лас лонили эллипси — + — = 1.
25 9
давраи х 2 + у 2 = 4 чойгир аст. Энтимолияти онро ёбед,
ки нуктаи ба эллипс партофташуда, ба налкаи байни
эллис ва дойра меафтад.
Чавоб: —.
15
Масъалаи 5. Аз донили давраи радиусаш 5 ба
таври интиёрй як нукта интиноб карда шудааст.
Энтимолияти онро ёбед, ки ин нукта аз марказ дар
масофаи на зиёдтар аз 2 вонид чойгир мешавад.
Чавоб: 0.16.
Масъалаи 6. Дар натичаи чандин санчиш маълум
шуд, ки аз 300 ниноли шинонидашуда 260 - тояш
месабзад. Энтимолияти сабзидани нинолро ёбед. Агар
2 0 0 0 нинол шинонда шавад, пас чандтояш месабзад?
Чавоб: р (А ) = 0,87; п = 1740.
Масъалаи 7. Маълум, ки 5% махсулоти корхона
бесифат аст. Таваккал барои Тафтиш ду махсулот
гирифта шуд. Эхтимолияти аз ду махсулот яктоаш
бесифат ба чанд баробар?
Чавоб: 0.095.
2.6. Теоремах;ои цамъ ва зарби эх;тимолиятх;о
Теоремаи 1. Эхтимолияти суммаи ду ходиса ба
суммаи эхтимолиятхои хар яки он ва
фарки
эхтимолияти хосили зарби онхо баробар аст:
p (a + b )= p (a )+ p (b ) - p (a -b )
(5)
Исбот. Х,одисаи А + В - ро б а намуди суммаи
ходисахои нохамчояи А ва [ в - Ав] навиштан мумкин
аст: А + В = А + [5 - А ■2?].
Аз ин ч,о мувофики аксиомаи 3 хосил мекунем:
р(А + В) = р(А + [Я- А •Л]) = р{А)+ р(В - А В) (6 )
Аз баробарии охирон р (В - А- В) = р (В )- р ( А • В) ин
ифодаро ба тарафи рости баробарии (6 ) гузошта
формулаи (5) - ро хосил мекунем. Теорема исбот шуд.
Баробарии (5) - ро барои се ходиса татбик намудан
мумкин
р(А + В + С) = р(А)+Р(В)+ р(с) - р(А ■В) - р(АС) - р(ВС)
+ р (А -В С )
Умуман, эхтимолияти суммаи п ходисахо бо
формулаи
муайян карда мешавад.
Агар \одисах,ои А ва В нонамчоя бошанд, он гон
мувофики аксиомаи сеюм р(А + В) = р(А)+ р{в). Ин
тасдикот барои шумораи онирноки нодисанои байни
Нам чуфт - чуфт нонамчояи А1,А2,...,А п низ чой дорад:
р(Л, +А2 +--- + Ап) = р (А1)+ р (А2)+ -- + р (А„)
Таърифи 1. Хрдисаи А - ро аз нодисаи В новобаста
меноманд, агар энтимолияти руйдинии нодисаи А аз
руй додан ва руй надодани нодисаи В
вобаста
набошад.
Таърифи 2. Х^одисаи А - ро аз нодисаи В вобаста
меноманд, агар энтимолияти руй додани нодисаи А аз
руй додан ва руй надодани нодисаи В вобаста бошад.
Энтимолияти руй додани нодисаи А, бо он шарте,
ки аллакай нодисаи В руй додаст, энтимолияти шартй
ном дошта, бо Р в (а ) ишора карда мешавад. Равшан
аст, ки агар нодисаи А аз нодисаи В новобаста бошад,
он гон Рв Й ) = р ( л ) аст.
Теоремаи 2. Энтимолияти носили зарби ду нодисаи
интиёрй, ба носили зарби энтимолияти якеи аз онно бар
энтимолияти
шартии
дигараш
баробар
аст:
р ( А В ) = р (а ) р а (в ) = р (в ) р в (а )
(8 )
Дар накикат, бигузор аз шумораи умумии
санчишнои элементарии п, к -тояш ба руйдинии
нодисаи А мусоид бошанд. Аз ин к нодисано бошад, I тояш ба руйдинии нодисаи В мусоидат намоянд (яъне
ба руйдинии нодисаи А • В ), 6 н гон, мувофики таърифи
классики энтимолият
р(А ■В) = - = - ~ = р(А) р А[в) мешавад.
п п к
Натича. Энтимолияти носили зарби ду нодисаи
новобастаи А ва В ба носили зарби энтимолияти ин
нодисано баробар аст:
р (л -в ) = р (л )р (в ).
(9)
Таърифи 3. Х,одисах,ои Л1,Л 2,...,Л п дар як гурух,
новобаста номида мешаванд, агар барои хдргуна
1 < ix < i2 < ... < ir < п , (l < г < п)
баробарии зерин
ч;ой дошта бошад,
р(Ак;Л .;-;Л 1г)= Ц )■p(Ah )•...• р(А,г)
Дар х,олати хусусй,
агар
г=п
бошад
А А - А ..... А ) = р {а 1)-Ра (А )-Р а л (А )---‘-Ра а . ^
{ А ) ..... Р аА - . ^ А )
(1(^
Дар ин чо бо Р а^ . . ^ ( а ) энтимолияти шартии
ходисаи А к , бо шарте, ки ходисахои Л1,Л 2,...,Л к
аллакай руй доданд, ишора карда шудааст.
Исбот. Исботи теоремаро бо усули индуксияи
математикй
мегузаронем.
Барои
ин
ишораи
В = А1-А2-...-Ап- ро дохил менамоем. Барои п = 2
дурустии формулаи (9) аз формулаи (7) хосил мешавад.
Бигузор, баробарии (9) барои харгуна п дуруст
бошад. Нишон медихем, ки ин баробарй барои и+1 низ
дуруст мебошад.
Дар асосй формулаи р{В •Ап+1) = р { в )р в (А„+1).
Ба ишорахои пештара гузашта ва баробарии (9) ро ба инобат гирифта, хосил мекунем:
р ( А А ......А+ 1) = р ( А )■Ра ( А )• Р аЛ ( А ) '"
■Р А А г.-.А .М »)-Р М г-Л А Л
(П )
Теорема исбот шуд.
Дар баъзе холатхо эхтимолияти ходисаи мазкурро
бо ёрии эхтимолияти ходисаи ба он мукобил ёфтан
кулайтар аст.
Бигузор эхтимолиятхои ходисахои новобастаи
Ах,А 2,...,А п маълум бошанд:
Р (А ) = P v P (Ai)= Рг>--’Р{Ап) = Р„Эхтимолияти
ходисахои
мук,обилро
бо
р(а^)= qx,p[A2)= q1,...,p(A l) = qn ишора мекунем. Пас
р(в) = Р[ах •А2 ■...■ Ап)= qx ■q2 ■... -qn
эхтимолияти он,
ки аз ходисахои А 1,А 2,...,А п ягонтояш дар ин санниш
руй намедиханд. Он гох эхтимолияти руй додани
акаллан яке аз ходисахои А 1,А 2,...,А п хамчун
эхтимолияти руйдихии ходисаи мукобил В ёфта
мешавад:
p { B ) = l- p { B ) = l- q r q2 . . . q n
(12)
Мисоли 1. Дар куттй 3 саккои сурх ва 3 саккои
сафед мавчуданд. Аз куттй як савдо гирифта мешавад.
Х^одисаи А - саккои гирифташуда - сурх аст.
Эхтимолияти ин ходиса ба р(л) = - = 0,5 баробар аст.
6
Саккои гирифташуда ба куттй баргардонида, онхоро
омехта карда, аз куттй боз ж сакко мегирем.
Ходисаи В - саккои гирифташуда, сафед аст.
Эхтимолияти ин ходиса низ
р(в) = -
6
= 0,5 аст, яъне ин
ходисахо новобаста аст, агар пас аз руй додани ходисаи
А сакко ба куттй баргардонида нашавад, он гох
эхтимолияти руйдихии ходисаи В кам мешавад:
р(в) = -j = 0,4.
Агар дар санчиши якум саккои сафед
пайдо шуда бошад, он гох эхтимолияти ходиса
меафзояд:
р(в) = —= 0,6.
Ин мисол нишон медихад, ки
эхтимолияти ходисаи В аз руй додан ё руй надодани
ходисаи А вобаста аст.
Мисоли 2. Агар корхона хдмеша б о 2 намуди
махсулоти хом таъмин бошад, пас он метавонад
бетанаффус фаъолият намояд. Эхтимолияти кдтшавии
таъминот аз м а х с у л о т и хоми якум ба 0,05 ва дуюм ба
0,08 баробар аст. Эхтимолияти аз фаъолият боз
мондани корхонаро ёбед.
Хал. Х^одисаи Ах - таъмин намудани корхона бо
махсулоти хоми намуди I ходисаи
Аг - таъмин
намудани корхона бо махсулоти намуди II. Мувофики
шарти масъала: Pl = р(А1) = 0,05, Рг = р М = 0,08
<?, =1- /7, =1- 0,05 = 0,95, q2 -1 - р2= 1- 0,08 = 0,92
бо В ходисаи таъмин будани корхонаро бо махсулотхои
хоми нави I ва II ишора мекунем. Мувофики ин
теоремаи
зарби
эхтимолиятхо
р{в)= qx -q2 = 0,95 -0,92 = 0,874 . Аз ин чо, мувофики
формулаи (12)
/?(#)= 1- р(В) = 1- 0,874 = 0,126.
2.7. Намудх^ои х;исобкунии щпитолиятх,о
Ба дида баромадани масъалаи мухим мегузарем:
агар эхтимолияти ходисахои оддй маълум бошанд, чй
тавр эхтимолиятхои ходисахои мураккабро хисоб
намудан мумкин. Боз як бор таъкид мекунем, ки
эхтимолиятхои ходисахои оддй пешакй дар мафхумхои
классики геометрй ё ки субъективй муайян карда
мешаванд. Алгоритми ягонаи
халли масъалаи
эхтимолияти ихтиёрй мавчуд нест. Ду усули якдигарро
пуркунандаро: - татбики формулахо (усули аналитикй)
ва татбики дарахти эхтимолиятхо (усули графикй) - ро
дар мисолхо дида мебароем.
Мисоли 1. Маълум, ки 5 % - и махсулотхои фирма
нуксон дорад. Таваккал барои тафтиш 2 махсулот
гирифта мешавад. Эхтимолияти он, ки яке аз ин
махсулотро нуксон дорад, чй гуна аст ?
Х ш Бо В, ва В2 ходисахоеро ишора мекунем, ки
махсулоТХОИ « у м ва дуюм бонуксон мебошанд. Он гох
В, »п В, бяробари ходисахои баръакс, мебошанд, ки бо
сифатин МЩ Сулотхои якум ва дуюмро ифода мекунанд.
Х,одиом, КИдикдатй моро чалб мекунад
Л=
махсулот нуцсондор аст»}' Р°
пешниход
намудан мумкин:
5, = махсулоти якум нуксондор acni'}
Вг
"махсулот бенуксон аст", ё ки
"махсулоти якум бенуксон ва
"махсулоти дуюм нуксондор" аст.
Ба хотир меорем, ки ба «ва», «ё» ва «не» - и мантикй
дар формулахои алгебраи ходисахо «зарб», «чамъ»,
«ходисаи баръакс» мувофикат мекунанд, менависем:
А = В1 В 2 + ВХ В г
Акнун ба хисобкунии эхтимолияти ходисаи А
мегузарем.
Кайд
мекунем,
ки
1)
ходисаи
Вх •В2 ва
Вх •В2 нохамчояанд. 2) ходисахои
В{ ва В2 , ва Вх ва
В2 новобастаанд.
Бинобар ин
р(А) = р(В х Вг) + /7(5, •Вг) = р (В ^ • р(В 2) + р(Вi ) •р(В 2)
(13)
Акнун
эхтимолияти
ходисахои
оддии
Вх ва
Вг гузаштан лозим. Аз руи шарт 5%-и махсулот нуксон
дорад. Аз ин сабаб
р{В,) = р(Я2) = 0,05,
р ( ^ ) = р(в~2)= 1-0,05 = 0,95.
Ба формулаи (11) ин киматхоро гузошта хосил мекунем:
р (А ) = 0,05-0,95+ 0,95 0,05 = 0,095.
Халли 2. Х,амаи окибатхои имконпазирро ба хисоб
гирифта дарахти эхтимолиятхоро тартиб Медихем
(расми 1). Дар ин чо ба нугхои дарахт (ба гайр аз
охиринхо) санчишхо, ба тегахо - ходисахо мувофикат
мекунанд. Аввал, махсулоти якумро дида мебароем.
Дар ин чо ду окибат - махсулот нуксон дорад (бо
эхтимолияти 0,05), ё ки босифат аст (бо эхтимолияти
0,95), имкон дорад. Дар хар яки ин холатхо махсулоти
дуюмро дида мебароем, ки он метавонад нуксондор ё
бенуксон бошад.
Хар ду махсулот
нуксон дорад
рх = 0,05 • 0,05
Факат
махсулоти 1
нуксон дорад
~рг = 0,05 •0,95
Факат
махсулоти 2
нуксон дорад
р г = 0,95 •0,05
Байни ду
махсулот
нуксондор
нест
р А= 0,95 0,95
Расми 1
Дар натича чор имконияти бо нугхои охирони
дарахт ишорашударо хосил мекунем. Ба хар як ин
имконият рохи аз нуктаи ибтидоии аз ду тегаи дарахт
иборат буда мебарад. Барои ёфтани эхтимолиятхои
Р],Р2,РЪ,РА эхтимолиятхои тегахои рохи мувофик
зарб зада мешаванд.
Эхтимолияти матлуб хамчун суммаи р 2 ва р г
хисоб карда мешавад:
р 2 + Рз = 0,095
Кайд. Чй тавре, ки суммаи хамаи окибатхои
имконпазир ходисаи эътиборнокро ташкил медиханд,
пас суммаи эхтимолиятхо хама вакт баробари як аст.
Дар ин холат р х + р 2 + р ъ + р А = 1
Мисоли 2. Дар истгохе, ки хатхои автобус ва
троллейбус мегузаранд мусофире меояд. Троллейбус
дар хар 15 дакика, автобус бошад, дар хар як 25 дакика
ба истгох меояд. Эхтимолияти пас аз 10 дакика ба ин
истгох омадани автобус ё троллейбус чй гуна аст?
Халли 1. Мусофир ба истгох дар ягон лахзаи
тасодуфии байни ду омади троллейбус расид. Аз руи
шарт троллейбус баъди хар як 15 дакика меояд. Аз руи
эхтимолияти геометрй, эхтимолияти он, ки дар 1 0
дакикаи наздик троллейбус ба истгох меояд яъне р(г) ро меёбем: р(Т) = — = —.
У
w
15 3
Эхтимолияти р ( л ) , ки дар 10 дакикаи наздик автобус
ба истгох меояд:
( л =—
Ю =—
2
аст. Диккати моро эхтимолияти ходисаи
S = «дар 10 дакикаи наздик ба истгох автобус ё
троллейбус меояд» чалб мекунад. Равшан аст, ки
S =T +A
Аз сабаби он, ки нодисанои Т ва А новобастаанд
формулаи ( 1 1 ) - ро истифода бурдан мумкин.
M s ) = p ( r + 4 = i - p ( r ) . p ( 3 ) = i - i . | = i - j = | = o ;8
Хамин тавр, бо энтимолияти 0 ,8 мусофир дар 10
дакикаи наздик аз истгон меравад.
Кайди 1. Ба ной формулаи (10) мурочиат намудан,
дигар хел мулониза рондан мумкин буд. Мусофир дар
10 дакдкди наздик аз истгон рафта наметавонад, агар
на троллейбус, на автобус наоянд, яъне нодисаи т-А
руй динад. Ходисахои Т ва А новобастаанд,бинобар он
^ • 3 ) = p ^ ) - p f i ) = i . | = i = 0 ;2
Энтимолияти он, ки мусофир меравад 1- 0,2 = 0,8
Кайди 2. Боз як мулонизаронй аз татбики
формулаи ( 1) иборат аст
p(s) = p(T + A)=p{T)+p(A)-p{T
=| +
=
(Маълум аст, ки нодисанои Т ва А намчояанд - нам
троллейбус ва нам автобус омада метавонанд). К^айд
мекунем, ки формулаи ( 1 0 ) факат нангоми микдори
суммаи нодисано аз 2 - то зиёд будан истифода
мешавад. Гарчанде формулаи (7) дар нолати микдори
нодисано бисёр будан умумикуниро рон мединад,
ифодаи носил шуда хело мураккаб мебошад. Масалан,
барои се нодиса носил мекунем:
р(А + В + С)= р{А)+ р{в)+ р {с)-р {А В )-р {В С )~ р{АС)+
+ р(АВС)
Хал. Дарахти энтимолиятноро тартиб мединем.
Эхтимолияти ба мо лозим буда, намчун суммаи
эхтимолиятхои ходисахои чуфт - чуфт хамчоя хисоб
карда мешавад:
2 2
3 5
23
3 5
12
3 5
12
15
по
р, + р 2 + р? =----- + ------+ ------= — = 0,8
2
3
Автобус ва хам
тройллейбус омад
(мусофир рафт)
Р'
2
2
3
5
Факат тролейбус
омад (мусофир
рафт) р2=1 .1
Факат автобус
омад (мусофир
рафт)Р з Л . |
На тролейбус, на
автобус наомад
(мусофир монд)
1 3
лат ?
Т - омад,
Т . троллейбус наомад,
А - автобус омад,
А - автобус наомад
Расми 2
Мисоли 3. Донишчуи ба санчиш омада аз 20 савол
15 тоашро медонад. Агар донишчу ба саволи додашуда
чавоб дода натавонад, боз ба як (назиёда аз он!) кушиш
ичозат дода мешавад. Эхтимолияти супоридани санчиш
чй гуна аст?
Д ал . Ч унин иш оракуних,оро д о х и л м екунем
Ах- донишчу билети шиносро гирифт ва санчишро
супорид;
Ах - донишчу билети ношиносро гирифт (боз ж кушищ
мекунад);
Л2 - донишчу дафъаи дуюм билети шиносро гирифт
(ва санчишро супорид);
Аг - донишчу дафъаи дуюм низ билети ношиносро
гирифт (у бояд аз нав санчиш супорад);
А - донишчу санчишро супорид.
Донишчу хамон вакт санчишро месупорад, агар у
бори аввал ё бори дуюм баъд билети шиносро гирад.
Инро зохиран чунин навиштан мумкин:
А = Ах+А1-А2
Ба
эхтимолиятхо
гузашта
хосил
мекунем р(л) = р{А1)+ р $ ) - р А (Л2) = ^
Эхтимолияти шартй р А (Л2) ба
^
.
баробар аст, чунки
дар кушиши дуюм 19 билет «иштирок» мекунад.
Кайд. Дигар хел мулохиза рондан низ мумкин буд.
Агар донишчу хар ду дафъа билети ношиносро гирад,
пас у имтихон намесупорад.
А = Ах • А^
Бинобар ин
М = Р & ) ' Р л & ) = { й ' Т 9 = 19
Аз ин 4 0
р{А) = \ - р {а ) = \ ~ — = —
’*&'
4 '
v '
19 19
Ход. Дарахти эхтимолият*оро тартиб МСДИ^ЬМ
(расми 3). Аз ин чо чавоб гирифтан осон act:
15
20
5 13 18
20 19 ,19
Р \+ Р г~ ---+ -------- = — •
Дар маротибаи
аввал санчиш
супорид Р] = 1 1
20
Дар дуюм
маротиба санчиш
супорид п, = J_ .il
2
20 19
Санчиш
насупорид
±_ ±
________ ,
19
Р з - 20 19
Ш - билети шинос
Ш - билети ношинос
Расми 3
Мисоли 4. Бозингарони А ва В мукофоти пулиро
дар бозии зерин мебаранд. Танга то даме партофта
мешавад, ки шаш маротиба ё «герб» ё ки «ракам» дар
руи танга^ пайдо нашавад. Агар шаш бор «герб» афтад,
, бозингари А бурд мекунад, «ракам» бошад бозингари
В. Танга 8 маротиба партофта шуд. Дар хдсоби 5 : 3 ба
фоидаи бозингари А (панч «герб» ва се «ракам» афтвд)
ва бозй бо сабабх,ои но маълум катъ гардид. Мукофоти
! пулй дар кадом нисбат таксим карда мешавад ?
i:
Хал. Агар бозй давом мекард, вазъият (аз нухум
Партоиши танга) бо тарзи зерин (хамаи вариантхои
имконпазир ва эх,тимолиятх,оро меорем) инкишоф
Меёфт.
Г - бозингари А бурд кард, эхтимолият 1/2;
РГ - бозингари А бурд кард, эхтимолият 1/4;
РРГ - бозингари А бурд кард, эхтимолият 1/8;
РРР - бозингари В бурд кард, эхтимолият 1/8.
Хдмин тавр, дар хисоби 5 : 3 эхтимолияти
буридани бозингари А
\ +\ +
~ ро, бозингари В бошад хамагй 1/8 - ро ташкил
Медихад. Мукофот тахминан дар нисбати 7 : 1 ба
фоидаи бозингари А таксим мешавад.
Кайд: Хамаи вариантхои имконпазиррро якто якто аз назар гузарондан шарт набуд, ки бозингари В
факат хангоми афтидани якбора се ракам бурд мекунад.
Эхтимолияти бурд намудани бозингари А (ходисаи
Мукобил мебошад, дуранг ба хисоб гирифта
Намешавад) мувофикан
, 1 7
1 — = — ро ташкил мекунад.
8 8
Партоиши
-ум
Партоиши
10 -ум
РМ2
Р 1/2
Партоиши
11 -ум
Р 1/2
-В бурд
Р
Г
1 /2
А бурд
1
1 /2
Р
~
1/2
А бурд
А бурд
1
Г
1
2 2
1 1 1
р - ----------
2 22
=
1 1 1
~
2 2 2
Дарахти эхтимолиятх,оро (расми
Хулоса чун хдли 1 бароварда мешавад.
3)
нигаред.
2.8. Формулаи энтимолияти пурра ва формулаи Байес
Яке аз усулнои натичдбахши нисобкунии
эх,тимолиятхо, формулаи энтимолияти пурра мебошад,
ки натичаи формуланои энтимолияти сумма ва носили
зарби нодисано мебошанд. Фарз мекунем, ки нодисаи А
факат якчоя бо нодисанои чуфт - чуфт нонамчояи
H v H 2,...,H n руй дода метавонад (нисбати нодисаи А
онноро гипотезахо мегуем). Он гон нодисаи А окибати
пайдошавии яке аз нодисанои А Н г, А Н 2, ...,АН„
мебошад, ва онро чунин навиштан мумкин
А = А Н 1 + А Н 2 + ... + АН„
(ба расми 4 нигаред, дар он п = 3).
Мисоли 1. Бигузор дар бино панч дар мавчуд.
Ходисаи А - «одам ба бино даромад». Я, = «одам аз
дари i - ум гузашт», ки дар ин чо г = 1, 2, 3, 4, 5 чй тавре,
ки нодисанои H v H 2,...,H n чуфт - чуфт нонамчоя
настанд, инчунин нодисанои А Нх, А Н г, . . . , А Н п низ намин
тавр мешаванд. Формулаи (7) - ро истифода намуда
носил мекунем:
р ( л ) = р( АН х + 'А Нг
■■■+ р ( * Н п).
+... + АН„) = р(АН ,) + р (а Н 2) +...
■„
Формулаи хосили зарби ходисах,оро ба хотир оварда
‘
р(л) = p(H,)pffi {А) + р(Н2)рНг (А) + ... + Р(Нп)рН' [А)
ё худ
p (a ) = ' Z p (h ,)ph,(a )
|=»1
- ро хосил мекунем, ки ин формулаи эхтимолияти
пурра ном дорад.
Формулаи эхтимолияти пурра бо формулаи Байес
зич алокаманд мебошад, ки он низ дар хамон фарзияхо
дуруст аст.
Бигузор дар озмоиш ходисаи А руй дода бошад.
Хотиррасон мекунем, ки ходисаи А, факат якч;оя бо яке
аз фарзияхои Н1,Н 2,...,Н п руй дода метавонад.
Бинобар ин, хисобкунии эхтимолияти он хангоми чой
допггани ходисахои H t имконпазир аст. Ин
эхтимолияти апостериории рА(Я,) аз эхтимолияти
априории р(Н,) фарк мекунад (дар он далели руйдихии
ходисаи А ба хисобгирифта нашудааст). Формулахои
хосили зарби эхтимолиятхоро навишта хосил мекунем.
p{AHi ) = p Hi (А) •p(H ,)
p(A H i) = p A(Hi)-p(A )
Тарафхои рости формулахои охиринро баробар
намуда, баробарии зеринро хосил мекунем:
p (H i )Рн, { А
ва аз ин чо
Рл(Н,) =
= р{А )рл (Я ,)
Формулаи энтимолияти пурраро истифода бурда носил
мекунем
Рл
, '
р (н ,)р „ ,(л )______________
'
р(И>)р„М)-р(н >)ри-М)* " + р (н .)Р и, И
ки ин формулаи Байес номида мешавад.
Мисоли 2. Фарз мекунем, ки 5 % - и намай мардон
ва 0,25 % - и намай занон гирифтори далтонизм (рангро
фарк карда натавонистан) мебошанд. Барои осонии кор
нисоб мекунем, ки микдори мардон ва занон якнела
мебошанд. Энтимолияти он, ки шанси таваккал
интихобшудаи гирифтори далтонизм муайян карда
шавад.
Хал. Дар ин чо Н { = «шанси интихобшуда мард
аст», # 2= «шахси интихобшуда - зан», А = «шахси
интинобшуда гирифтори далтонизм». Хисобкунии
энтимолиятнои р (а \ р а (Н1) талаб карда мешавад.
Х,осил мекунем:
р ( н ,) = р { н 2)= 0,5
Р „1(^ ) = 0,05
р Нг {А) = 0,0025
Он гон аз руй формулаи энтимолияти пурра
р(А) = 0,05 •0,5 + 0,0025 •0,5 = 0,02625
ва аз руи формулаи Байес
0,05-0,5
20
0 п5
0,05-0,5 + 0,0025-0,5 21
’
Хал. Дарахти энтимолиятноро тартиб мединем
(расми 5). Дар тарафи рост факат аз чор имконият ду
окибатро ишора мекунем, чунки дутой дигар ба мо
лозим нестанд. Аз раем дида мешавад, ки энтимолияти
он, ки шахси таваккал интихобшуда - далтоник
Pi + Рг ~
•0,05 + 0,5 ■0,0025 = 0,02625 - ро
ташкил мекунад.
Д-далтоник,
Д - солим.
Расми 5
Агар маълум бошад, ки шахси таваккал
интихобшуда далтоник аст, пас микдори окибатхо аз
чорто ба дуто кам мешаванд. Эхтимолияти он, ки ин
мард аст (эхтимолияти шартй) ба
Р\
Р\ + Pi
_ 0,5-0,05 _ в п5
0,02625
мешавад.
Мисоли 3. Дар имтихон ба донишчу 20 то билет
пешкаш карда мешавад, ки аз онхо 5 тоаш осон, 15
тоаш душвор аст. Ду донишчу бо навбат билетхоро
мегиранд - аввал донишчуи якум, баъд дуюм.
а)
Эхтимолияти гирифтани билети осон барои
донишчуи якум ба чанд баробар аст?
б) Энтимолияти гирифтани билети осон барои
донишчуи дуюм ба чанд баробар аст?
в) Маълум аст, ки донишчуи дуюм билети осонро
гирифт. Энтимолияти он, ки донишчуи якум билети
осонро гирифтааст ба чанд баробар аст?
Хал. Ишоракунинои зеринро донил мекунем:
Я , - донишчуи якум билети осонро гирифт;
Н 2 - донишчуи якум билети душворро гирифт;
А - донишчуи дуюм билети осонро гирифт.
Он гон: а) дар асоси таърифи классикии энтимолият
чунин. мешавад.
р (Я ,)= — = - ;
v
20 4
б) дар асоси формулаи энтимолияти пурра
р { А ) = р ( Н х) р н {\а ) +
р
{Н2)
р н ( л))=20
А .А
;
2)иНг\
19 + 1201 .А
19 = 14 >
в) дар асоси формулаи Байес:
А А
п (н ) - Р^Н ^ РнМ ) _
РЛ i}
р(А)
19 20
4
А .± + 1 1 .А
19
20 19
20 19
Мисоли 4. Фирма накшаи ба бозор баровардани
моли навро мекашад. Тасаввуротнои субъективии
ронбарияти фирма чунин аст: энтимолияти энтиёчи хуб
ба ин мол 0,7 ва энтимолияти энтиёчи бад ба он 0,3 аст.
Тадкикоти махсуси бозори мол гузаронида шуд, ки он
энтиёчи бадро пешгуи намуд. Маълум аст, ки пешгуй бо
чунин тадклкот бо энтимолияти 0 ,8 дуруст аст.
Тадкикоти маркетинга ба энтимолияти энтиёчи нуб ва
бад доштани моли нав, ба кадом андоза таъсир
мерасонад?
Хал: Чунин шпоракуниноро дохил мекунем:
Я , - энтиёчи нуб мешавад;
# 2 - эхтиёчи бад мешавад;
А - тадк,ик,оти бозор эх,тиёчи бадро пешгуи намуд.
Танриба ва хисси пешгуии рохбарияти фирма
мувофики шарт эхтимолиятхои зеринро медиханд:
р Н1(А )= 0Л
р„'(А)= 0,8. р(Я ,) = 0,7, р(Я 2) = 0,3.
Тадкикоти маркетинга натичаи боваринокро бо
эхтимолияти 0 ,8 медихад.
Ин эхтимолияхоро ба формулаи Байес гузошта хосил
мекунем:
,гг,
М )Р н М )
. 0,2-0,7 _ 7
РЛ J А ^ ) Рщ{л)+1{Нг)РНг{А) 0,2-0,7+0,3-0,8 19~ 3 ’
/ ч
РЛ г)
р{Нг)Рн М)
+
_
03-0,8
0,2-0,7+ 0,3-0,%
=—* 0,63.
19
Цавоб: дар натичаи тадкикоти эхтимолияти
эхтиёчи хуб то 0,37 афтида, эхтимолияти эхтиёчи бад то
0,63 боло рафт.
2.9. Нацшаи сшщиш^ои Бернулли
Бигузор «-ходисаи тасодуфии А дар натичаи ягон
санчиш руй дода бошад. Минбаъд, фарз мекунем ки
руй додан ва надодани ходисаи А ва А- ро имконпазир
мехисобем. Эхтимолияти онхоро мувофикан бо р ва q
ишора мекунем ( p + q - l ) . Дар натичаи се озмоиш аз
хашт ходисаи имконпазири зерин якеаш руй медихад:
AAA, AAA, A A A , AAA, AAA AAA, A A A , ААА (навишт
и АААцодиса дар ду санцши «руй дод», дар сеюм «руй
надод» -ро мефаумонад, ба %амин шабеу дигар уодисауо
низ навишта шудаанд.
аз руи формулаи (6 ) энтимолияти ин нодисаноро хисоб
мекунем: р(ЛЛЛ) = р р р = р ъ
р
{ААА)= pqq = p q 2
р (а л 1 )=
ppq = p 2q ^
p\A A A )= qpq = p q 2
V
'
р (л А а
5
)= pqp = p 2q
p (AAA)=
qqp = p q 3
V
5
p (AAA)=
qpp = p 2q
4
5
p (a 1 a
)= qqq = q \
Чй тавре, ки мебинем энтимолияти нар яке аз
к 3-к
окибатно дар намуди р q -пешнинод карда
мешавад, ки дар ин чо к- микдори руйдинии нодисаи А
ва (3- к) микдори руй надодани нодисаи А мебошанд.
Снеманои энтимолии чунин чине снеманои
Бернулли, ё ки снеманои озмоишнои биномиалй номида
мешаванд. Ин схемано нангоми тахдили вазъиятнои
муайян дар он нолатхое, ки озмоишноро биномиалй
нисобидан мумкин аст, татбик карда мешаванд.
Энтимолияти руйдинии нодисано дар намай санчишно
якхела .буда, аз намдигар новобаста мебошанд.
Мисоли 1. Тирандозе ба нишон панч бор тир холи
мекунад, ки онно дар шароити якхела ба чо оварда
шудаанд. Дар ин но микдори ба «10» афтидан аз 0 то 5
тагиир меёбад.
Мисоли 2. Дар намзоише, ки аз 8 муш иборат аст аз
як падару модар микдори мушони пашмрост (чингила
набуда) ба адади ихтиёрии аз 0 то 8 баробар шуда
метавонад
Мисоли 3. Се шашхол паинам партофта мешаванд.
Микдори афтиши «шаш» аз чор як киматро: аз 0 то 3
К а б у л карда метавонад.
Энтимолияти он, ки х,одисаи А дар п санчишх,о к
маротиба руй медиханд, бо Р[р,п,к){ 0 < к < п ) ишора
карда мешавад. Формулаи зерин дуруст аст:
P(p,n,k) = C,, p lq - ‘
Дар ин чо р -энтимолияти руйдихдш нодисаи А дар як
санчиш, q = l - p , Скп
коэффисиенти биномиалй мебошанд.
Мисоли 4. Танга 10 бор партофта шуд. а)
энтимолияти се бор афтидани «герб» чанд аст, б)
энтимолияти аз ду маротиба кам баромадани «герб»
чанд аст.
Хал. Дар ин чо и = 10, p = q= —
а)/’{герб се бор меафтад }= pf
-9-8-1
1-2-3-2 ю
10
,10,3 | = С,30[^-
15
128
б)Р {герб аз ду бор кам афтид }= Р{герб ягон бор наафтид }
+ Р{герб як бор афтид } = Р | д о , о | + р
10
i .
г
11
>110 + —
,10 =
1024'
Мисоли 5. Донишчу аз назарияи эхтимолият кори
санчиширо менависад. У чй гуна хал намудани
масъаларо тахминан медонад, аммо ба кобилияти
хдлкунии худро такрибан ба ададй 0,4 бахо медихад.
Дар атрофи донишчу дар синфхона панч хамкурси
у нишастааст. У имконияти аз онхо пурсидан ва кабул
кардан ё рад кардани халли масъаларо дар асоси
овоздихии бисёрй дорад. Тайёрии хамсабакхои худро
донишчу ба сатхи худаш баробар хисоб мекунад.
Донишчу бояд чй гуна рафтор кунад: ба худ бовар
кунад ё ки ба овози бисёрии хамсабакон?
Хал. Барои интихоби байни ду алтернатив аввал
ягон критерия (меъёр) - ро интихоб намудан лозим.
Дида мешавад, ки дар вазъияти
мазкур меъёри
эхтимолияти дуруст хал намудани масъала мебошад.
Эхтимолияти чавоби дуруст додани донишчу ва хар яки
хамкурсонаш ба 0,4 баробар аст.
Акнун эхтимолияти онро меёбем, ки аз панч
хамсабакд пурсидашуда бисёриаш чавоби дурустро
медиханд. Бисёрй - ин ё 3,ё 4,ё 5 донишчу. Бинобар ин
эхтимолияти матлуб чунин хисоб карда мешавад:
Р(0,4;5,3) + Р(0,4;5,4) + Р(0,4;5,5) = С] (0,4) 3 •(0,б) 2 + С54 (0,4) 4
•(0,б) 1 + С55 (0,4) 5 (0,6)° = 10 ■0,064 •0,36 + 5 ■0,0256 •0,6 +
+ 0,01024 = 0,ЗК744.
Эхтимолият аз 0,4 то 0,3744 зиёда аз 20% паст шуд.
Хулоса: аз хамсабакдо пурсидан лозим нест.
Супоришхо ва чавобхо:
1.
Дар хамвории тури квадратхои тарафи 10 см -й
доигга, гузошта шудаасп Энтимолияти онро ёбед, ки
доираи радиуси 1см допггаи ба хамворй партофташуда
яшштарафи квадратхоро иамебурад.
Чавоб:0,64.
2. Ду халтаи тубхо, ки дар хдр яки онхо 5- тогй
губи аз 1 то 5 ракам гузошта шудаанд, мавчуданд. Аз
Х,ар як халта таваккалй яктогй туб гирифта мешавад.
Эхтимолияти он, ки ин тубхо ракамхои 2 ва 5 - ро
доранд чй гуна аст.
Чавоб: 0,08.
3. Бигузор партофтани нукта ба квадрати вохидй
санчиш бошад. Х,одисахои A,B,C,D, афтидани нукта
мувофикан ба сохаи росткунча (ба расмхои 6 ва 7
нигаред).
Хдмчоягй ва вобастагии а) ходисахои А ва В
(расми 6 );
б) ходисахои С ва D (расми7) тафтиш карда шавад.
Чавоб:
а) ходисахои А ва В хамчоя ва новобаста аст;
б) ходисахои С ва D нохамчоя ва вобаста.
Расми 6
Расми 7
4. Корхонаи либосдузй дар се бает кор мекунад.
Эхтимолияти он, ки дар давоми як бает носозй пайдо
мешавад ба 0,05 баробар аст. Эхтимолияти он ки дар се
бает ягон носозй пайдо мешавад, ба чанд баробар аст?
Чавоб: 0,857375.
5. Донишчу аз 30 савол факат 24 тоашро тайёр
намуда, ба санчиш омад. Агар муаллим баъди чавоб
надо дан ба саволи 1 -ум, боз як савол дихад,
эхтимолияти супоридани санчиш чй гуна аст?
28
Чавоб: — » 0,9655.
29
6 . Ду шикорчй ба гург яктогй тир мепарронанд.
Эхтимолияти ба нишонрасии шикорчихо ба 0,7 ва 0,8
баробар аст. Энтимолияти ба гург расидани адаллан як
тир чанд аст? Агар шикорчиён дутогй тир холй кунанд,
натича чй хел тагир меёбад?
Чавоб: 0,94; 0,9964.
7 , Aj бастаи калони галстукдо, ки дар он
галсгукх,ои ранги сабз, сурх ва зард доштаи дар нисбати
5:3:2 м а в ч у д а н д , ДУ мард бо таври тасодуфй яктогй
Ш Л СТук интихоб мекунанд. Эхтимолияти он, ки онхо
Г И Л С Т укхои ранги якхеларо интихоб мекунанд, чанд аст?
Чавоб: 0,38.
8 . Дар ду дуттй саддохо мавчуданд. Дар якум якто
сафед, 3-то сиёх ва 4-то сурх; дар дуюм 3-то сафед, 2-то
сиёх ва 3-то сурх. Аз хар як дуттй яктогй сакдо гирифта
мешавад. Эхтимолияти он, ки ранги сакдохои шрифта
шуда якхелаанд, ёфта шавад.
Чавоб; — « 0,328.
64
9, Дар се дастгохи тамгаи туногун дошта детал
сохта мешавад. Хосилнокии дастгоххо дар давоми бает
мувофикдн 40, 35 ва 25 детали мебошанд. Мукдррар
карда шудааст, ки 2%, 3% ва 5%-и махсулоти ин
дастгоххо камбудихои пинхониро доранд. Дар охири
бает барои тафтиш як детал гирифта шуд.
а) Эхтимолшгги гайристандартй будани ин детал
чй гуна аст?
б) Агар детал гайристандартй бошад, ЭХТИМОЛИЯТИ
дар дасттоххои 1-ум, 2-юм ё 3-юм истехсол шудани он
ба чанд баробар аст.
Чавоб:
а)
0,031;
б)
— »0,258;
31
— *0,339;
62
|» 0 ,4 0 3 .
10. Ду тирандоз новобаста аз якдигар ба нишон
яктогй тир холй мекунанд. Эхтимолияти ба нишонраей
барои тирандози якум 0,8, барои дуюм- 0,4 мебошад.
Баъди тир холикунй дар нишон 1-то сурохй пайдо шуд.
Эхтимолияти онро ёбед, ки тири тирандози якум ба
нишон расид.
Чавоб:
11. Шашхол 5 маротиба партофта мешавад.
Эхтимолияти онро ёбед, ки холхои ба 3 каратй буда 2
бор пайдо мешаванд.
и авоб:---« 80 .
Ч
243
12. Эхтимолияти сабзидани тухмй растани 0,8 аст.
Эхтимолияти аз панн тухмии кошташуда, ки на кам аз
чортоаш месабзад, чй гуна аст?
Чавоб: 0,73738.
Боби III. Бузургих;ои тасодуфй.
3.1.Мафхуми бузургии тасодуфй.
К,онуни тацсимот.
Бузургии тасодуфии биномиалй
Мо пештар бо мафхумхои «санниш», «ходисаи
тасодуфй», «эхтимолият» шинос шуда будем. Акнун ба
дида баромадани холати фавкулоддаи мухим cap
мекунем, ки бо х,олати зерин тавсиф мешавад. Дар
натинаи санниш х,одиса руи дода, имконияти
мушохдцаи ягон адад низ ба вунуд меоад. Илова бар
ин, адад нисбат б а ходиса дикдатро бисёртар налб
мекунад.
Дидан душвор нест, ки имконияти мушохида
шудан дар он саннишхое, ки мо аллакай дида
баромадем, низ ной дорад
Мисоли 1. Шашхол партофта мешавад ва дар руяи
болои он мо микдори нукгахоро хосил мекунем.
Мисоли 2. Яквакта се тангаро партофта ададй
афтидани гербро к,айд мекунем (ин 0 , 1 ,2 , ва 3 шуда
метавонад).
Агар ба хар як х,одиса ягон адад мувофик,
гузошташуда бошад, мегуем, ки бузургии macodvdbu
дода шудааст. Бо сухани дигар, бузургии тасодуфй - ин
бузургии дар натичаи санчиш ин ё он кимати ададиро
кдбулкунанда мебошанд, аммо пешакй маълум нест, ки
кадом кдматро кабул мекунад.
Бузургихои тасодуфиро бо хдрфхои калони
лотинии X, Y ва гайра ишора мекунем.
Бо хар як бузургии тасодуфй ягон мачмуи ададхо киматхое, ки он кабул карда метавонад, вобаста
мебошад. Дар натичаи санчиши ин кдматхо,
эхтимолиятхои гуногун пайдо шуда метавонанд.
К^оидаи алокди байни киматхои имконпазир ва
эхтимолиятхои онхоро мукарраркунанда (аниктар,
сухан дар бораи эхтимолияти ходисае меравад, ки
бузургии тасодуфй ин ё он киматро кабул мекунад),
конуни таксимоти бузургии тасодуфй номида мешавад.
Кайд. Бузургии тасодуфй ба монанди он, ки
квадрат бо тарафи худ муайян карда мешавад, бо
конуни таксимоти худ яккимата ва пурра муайян карда
мешавад.
Дар натичаи алокаи зичи байни мафхумхои
«бузургии тасодуфй» ва конуни таксимоти онхо,
хамчун синонимхо истифода мешаванд.
Акнун ба дйда баромадани он, ки конуни
таксимоти бузургии тасодуфй, хангоми кабул кардани
ададй охирноки киматхо, чй тавр додашуда метавонад,
шуруъ мекунем.
Инак, бигузор бузургии тасодуфй аз п киматхои
гуногуни х 1, х 2, . . . , х п якеашро кабул карда тавонад.
Дар ин чо, хар яки ин киматхоро бузургии X бо
эхтимолияти муайяни р х,р г,...,р п кабул мекунад.
Дигар хел карда гуем, р х- ин эхтимолияти ходисаи
«бузургии тасодуфй X кимати
X = х, аст.
-ро кабул кард» ё ки
р 2- эхтимолияти ходисаи тасодуфии X = х 2
р„ - эхтимолияти ходисаи тасодуфии Х = хп мебошад.
хамаи ин киматхоро ба намуди чадвал менависем.
X
*1
Pi
х2
Pi
...
...
Хп
Рп
Дар сатри якум киматхои кабул кардаи бузургии
тасодуфии X, дар сатри дуюм - эхтимолиятхои
онхо чой дода шудаанд. Ин чадвали таксимоти
бузургии тасодуфии X номида мешавад. Одатан
ададхои сатри якуми чадвал бо тартиби зиёдшавй
чойгир мешаванд.
Кайд. Х^олати мухими зеринро кайд мекунем. Чй
тавре, ки дар натичаи озмоишхои нохамчояи
{ЛГ = дс1} + { Д Г = * 2 } + - + { А ' = х , }
эхтимолияти ходисаи эътиборнок ба 1 баробар
мебошад. Бинобар ин, барои чадвали таксимоти
харгуна
бузургии
тасодуфй
.баробарии
р х + р 2 + ... + р п = 1 дуруст аст.
Хамин тавр, хангоми хал намудани масъалаи
конкретй барои пур кардани чадвали таксимоти
бузургии тасодуфии додашуда, хамаи киматхои
кабулшавандаи он х 1,х 2, . . . , х п - ро навишта,
эхтимолиятхои мувофики
намудан лозим.
Р], р 2j ■■•>Рп - ро
хисоб
Ба мисоли шашхол бар мегардем. Барои бузургии
тасодуфй дар он чо гуфташуда (онро бо X ифода
мекунем) эхтимолиятхои кабул кардани харгуна аз шаш
кимат байнихдм баробар мебошанд. Чддвали таксимот
чунин намуд дорад:
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
Барои бузургии тасодуфии аз мисоли бо се танга
(онро бо Y ишора мекунем) чадвали тацсимотро тартиб
додан як кддар мураккаб аст. Ба хотир меорем, ки дар
натичаи партофтани се танга хдмагй 8 окибати баробар
эхтимолияти ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РГТ, РГР, РРГ, РРР
ба вукуъ омада метавонанд. Дар окибати якум бузургии
Y кимати 3 - ро, дар дуюм, сеюм ва панчум кимати 2 ро, дар панчум, шашум ва хдфтум кимати 1 -ро, дар
хаштум кимати 0 - ро кабул мекунад. Инро бахисоб
гирифта конуни бузургии тасодуфии Y - ро чунин
менависем.
У
0
1
2
3
1
3
3
1
8
8
8
8
Барои ба таври айёнй тасвир намудани конуни
таксимот хамвории координата истифода мешавад.
Дар тири абсисса киматхои кабулшавандаи бузургии
тасодуфй, дар тири ординатаи эхтимолиятхои онхо
кайд карда мешаванд. Баъд дар хамвории (ХР)
нуктахои (Xx,Pl),(X2’P l l - - - X Xn, р „) нишона карда
мешаванд. Барои бузургии тасодуфии Y аз мисоли се
танга ба намуди дар расми 1 буда тасвир шудааст. Агар
акнун аз нуктахои нишонакардашуда порчахои амудии
то тири абсисса гузаронида шавад, пас диаграммой
сутунй пайдо мешавад (расми 2). Агар нуктахое
пайдар - пай бо порчахо пайваст карда шаванд, пас
бисёркунча хосил мешавад (расми 3)
1 2
3
Расми 2
X
Мисоли 3. (Схемахои санчдшхои Бернулли).
Санниш п маротиба такрор карда мешавад, илова бар
ин эхтимолияти омадкунй дар як санниш ба
р баробар.'
Микдори умумии омадхо (дар п санчиш) бузургии
тасодуфии киматхои 0 , 1 ,2 ,...
п -ро кабулкунанда
мебошад. Эхтимолияти он, ки ин бузургии тасодуфй
кимати
к-ро
мегирад,
ба
Р(р, п,к)= С кпр п(1 - р)"~к баробар аст.
Чунин бузургии тасодуфиро биномиалй меномем ва
&о Bi(n, / 7) ишора мекунем. Он аз ду параметр - и ва р
вобаста мебошад. Бузургии тасодуфии Y аз мисоли 2
бузургии тасодуфии биномиалй бо параметрхои 3 (се
танга) ва
мебошад:
1
2
(эхтимолияти афтидани герб дар як танга)
' 1Л
Y = Bi 3;ч ■/
3.2. Амал^о бо бузурги^ои тасодуфй
Бигузор бузургии тасодуфии X вобаста аз
натичахои санчиш ин ё он киматхои тасодуфиро
кабулкунанда бошад. Агар ба хар яке аз ин киматхо як
вохидй хамрох кунем, пас дар натича мо ададхои навкиматхои тасодуфии Х+З-ро хосил мекунем.
Чадвали таксимоти бузургии тасодуфии Х+3 аз
руи чадвали таксимоти бузургии тасодуфии X бо чунин
рох сохта мешавад:
X
X,
Pi
...
Х+3 xi+3
Рп
Pi
Xrt+3
Рп
Чй тавре дида мешавад, сатри дуюм бетагир
мемонад, чунки эхтимолиятхои ходисахои { Х = x t ) ва
(JT + 3 = х. + З) баробаранд. Тартиб додани чадвали
таксимоти бузургии тасодуфии X 2 яккадар мураккаб
аст.
Инро дар мисол равшан месозем:
X
-1
0
1
2
0 ,2
0,3
0,4
0 ,1
Барои кимати X +3 бо осони тартиб додан мумкин
аст:
х+ ъ
2
4
0,3
0,4
Х,амин тавр барои кимати X 2,
•з
5
0 ,2
киматхои xj- ро бо ададхои х
мекунем:
X2
1
0
0 ,2
.Р,.з
2
...
0 ,1
яъне хдмон
иваз намуда носил
1
4
0,4
0 ,1
г Дар сатри якум киматхои якхела мавчуданд. Аз ин
сабаб, эхтимолиятхои онхоро чамъ намуда, ба
эхтимолияти ягона овардан мумкин аст.
X
1
0
4
0 ,6
0,3
0 ,1
2
Боз як мисолро дида мебароем:
Z
-2
-1
0
1
2
3
0 ,1
0 ,2
0,3
0 ,2
0 ,1
0 ,1
Z-po
ба
К,иматх,ои бузургии тасодуфии
бардошта хосил мекунем:
X
4
1
0
1
4
9
0 ,1
0 ,2
0,3
0 ,2
0 ,1
0 ,1
квадрат
ва дар охир хосил мекунем:
4
Z2
1
0
9
0,2 0,4 0,3 од
Чадвали таксимоти бузургии тасодуфии Y = f i x ) - ро
барои хар гуна функцияи / ба хамин монанд тартиб
додан мумкин. Он дар ду зина сохта мешавад. Аввало
элементхои чадвали ёрирасони
Г
хисоб
/( * i)
Ж)
Ж)
Pi
Рг
Рп
карда мешаванд.
Баъд киматхои хамчояи
/(* ,) = /( * ,) - ро барои ададхои якхелаи *, ва Xj якчоя
карда, эхтимолиятхои онхо чамъ карда мешаванд.
3.3. Тавсифх^ои ададии бузургии тасодуфй
Чй тавре пештар кайд шуда буд, бузургии
тасодуфй бо конуни таксимоти худ, пурра муайян
карда мешавад. Дар ин чо конуни таксимот метавонад
бо ёрии чадвали таксимот дода шуда бошад. Аммо дар
бисёр масъалахои амалй (аз он чумла дар масъалахои
кабулкунии ягон хал) ахборотро барои бузургии
тасодуфй дар шакли кутохтар пешниход намудан талаб
Карда мешавад. Одатан барои ин тавсифхои ададии
бузургии тасодуфй - ададхое, ки дар асосй онхо дар
бораи факторхои дйккати моро чалбкунанда, мулохиза
ронда, истифода бурда мешаванд.
Мисол меорем. Бигузор ду холати мухими имконпазири
амалиёт мавчуд бошад, ки хар якеи аз он овардани
фоидаи муайянеро оварда, аз шароитхои тасодуфии
гуногун вобастаанд. К^онунхои таксимоти нар ду
бузургии тасодуфиро маълум хисоб мекунем (дар
намуди чадвал додашуда). Кадом мухимиятро афзал
донистан мумкин аст?
Дар поён мо ду тавсифи ададии бузургии
тасодуфиро дида мебароем, ки барои кабули карори ба
кадри кофй асоснок истифода мешаванд.
Интизорияти математики
Тавсифи якуми мухим ин кимати миёнаи интизорй
мебошад ки бузургии тасодуфй дар силсилаи калони
санчишхоро кабул мекунад. Бигузор бузургии тасодуфй
Х-и бо чадвали таксимот додашуда мавчуд бошад.
X
*1
*2
р 1
Р г
Р п
Интизорияти математикий ЕХ (аз англисй
expectation)-и бузургии тасодуфии X бо формулаи
E X = Xlp x + x 2p 2 +--- + xnp n
муайян карда мешавад, ки он дар навишти кутох
намуди зеринро дорад:
EX =Y x iPi.
/=1
Ин формуларо маънидод мекунем, ки т санчиш
гузаронида шудааст (т - ададй кифоя калон), дар ин чо
бузургии X тх бор кимати ^ , т2бор кимати х2, ...,т п
бор - кимати хп - ро кабул кард:
касрй — зудии нисбии руйдихии ходисаи X = Х к - ро
т
дар т санчиш ифода мекунад (дар т санчиш ходисаи
Х = Х К тк бор руй дод). Дар киматхои калони т зудии
нисбии ба эхтимолияти ходисаи X = Х К, яъне ба рк
такрибан баробар аст.
Мисоли 4. Сохибкор дар бораи он фикр мекунад,
ки пулро бехтар ба кучо, чудо кунад - ба дукони савдои
яхмос ё ки ба растай савдои махсулоти нон.
Ч У докунии п у л б а д у к о н б о эх ти м о л и яти 0,5
ф о и д а и с о л о н аи 5 х а зо р со м о н , бо эх ти м о л и яти 0 ,2 - 1 0
Х азор с о м о н в а бо эх ти м о л и яти 0 , 3 - 3 х а зо р с о м о н р о
та ъ м и н м есозад .
Барои раста пешгуи чунин аст: 5,5 хазор сомон бо эхтимолияти 0,6, 5 хазор сомон бо эхтимолияти 0,3
ва 6,5 хазор сомон бо эхтимолияти 0,1.
Дар кадом холат (барои дукон ё барои раста)
интизорияти математикии даромади солона калон аст?
Хал. Барои хар яки аз ду халли имконпазир
фоидаи солона бузургии тасодуфй мебошад. Ин
бузургихоро бо X ва Y ишора намуда, чадвалхои
тадсимотро тартиб медихем:
X
3000
5000
10000
0,3
0,5
0,2
Y
5000
5500
6500
0,3
0,6
0,1
ЕХ = 3000 ■0,3 + 5000 -0,5 + 10000 •0,2 = 5400 доллар,
ЕУ = 5000 •0,3 + 5500 •0,6+6500 •0,1 = 5450 доллар.
Х,осил мешавад, ки EY > Е Х . Х,амин
интизорияти математикии раста калон аст.
тавр
Дисперсия ва тамоили стандарта
Инак, интизорияти математикй муайян мекунад,
ки кадом киматро бузургии тасодуфй дар холати
«миёна» кабул мекунад. Мисоли оддитарини зерин
нишон
медихад,
ки
бузургихои
тасодуфии
интизориятхои баробар дошта аз руи дарачаи
наздикшавй ба он аз хам фарк, кунанд.
Бузургихои тасодуфии X ва Y - ро дида мебароем:
X
99
0,5
101
0,5
Y
0
0,5
200
0,5
Дидан душвор нест, ки EX=EY=100. Агар барои
бузургии X тамоил аз кимати 100 кам бошад, пас барои
бузургии Y ин хело зиёд мебошад. Агар интихоби
байни X ва У - ин интихоби байни ду халли
имкондошта бошад, пас X - ин фоидаи доимии
пешбинй шуда, Y - бошад, ин таваккалй мебошад.
Хангоми кдбули кдрорхо дар бисёр холатхо хурд
будани эхтимолияти бавучуднаоии Ходисаро истифода
менамоянд, ки онро дарачаи тамоили бузургии
тасодуфй аз интизорияти математикй ифода мекунад
Барои ченкунии ин нишондиханда боз як тавсифи
ададии бузургии тасодуфй, ки дисперсия ном дорад,
истифода бурда мешавад, ки бо D X (аз калимаи
англисй dispersion) ишора мешавад. Чй тавр хисоб
шудани дисперсияи бузургии тасодуфиро дида
мебароем.
Аз бузургии тасодуфии X интизорияти математики
онро тарх карда, бузургии тасодуфии навро хосил
мекунем Х-ЕХ.
Квадрата ин низ бузургии тасодуфй мебошад: (х - ЕХ)2
Интизорияти математикии
{Х -Е Х )2
дисперсия
меноманд. DX = E(x - E X f .
Агар X бо ёрии чадвал дода шуда бошад,
X
р
х „
х 2
*1
1
Р
Р п
2
Пас, дисперсия бузургии тасодуфии X мумкин аз
руи формулаи
D X = £ (*, - ЕХ)1р, ё
DX = Y ,
1=1
А - {ЕХ)'
1=1
х,исоб карда мешавад.
Мисоли 5. Дисперсия бузургинои тасодуфии X ваГро аз руи чадвалх,ои додашудаи онх,о, ки дар боло
оварда шуданд, хисоб мекунем:
D X = 992 -0,5 + 1012 •0,5 —1002 = 1
D X = О2 •0,5 + 2002 ■0,5 -1 ОО2 = 10000
Мисоли 6. Барои бузургии тасодуфии биномиалии
X = Вг(п, р ) баробарщои EX = пр,
DX = np = ( l - p )
дуруст мебошанд.
KflUd. Интизорияти математикй ададй дилхох
буда, дисперсия бошад, хама вак,т мусбат аст.
Агар бузургии тасодуфй бо сомонй чен карда
шавад, пас дисперсияи у бо сомонй дар квадрат чен
карда мешавад. Барои он, ки бо чунин вохидх,ои
гаройиб вонахурем, мафхуми тамоили стандарти-ро
пайдо мекунем, ки бо нарфи юнонии (сигма) ишора
мешавад. Тамоили стандартии бузургии тасодуфй ба
решай квадратй аз дисперсияи он баробар аст,
а =4Ш .
Тамоили стандарта
ченаки
тасодуфиро дорад.
Агар У = аХ + h бошад, пас
EY = аЕХ + b,
худи
D Y = a 2DY
бузургии
мешаванд.
Бузургии тасодуфии стандарта
Бузургии тасодуфии интизорияти математикии ба
О ва дисперсияи ба 1 баробар дошта, стандарта номида
мешавад. Бигузор бузургии тасодуфии X бо
интизорияти математикии
/л(мю)
ва тамоили
стандартен <Умавчуд бошад. Нишон додан душвор
нест, ки бузургии тасодуфии f =
стандартй
<т
мебошад.
Бузургихои тасодуфии бо киматхои микдори беохир
доыта
Дар боло мо бузургихои тасодуфиро дида
баромадем, ки онхо микдори охирноки киматхоро
кдбул мекунанд. Аммо бисёр вакт зарурияти дида
баромадани бузургихои тасодуфии микдори киматхои
беохир дошта пайдо мешавад.
Ду мисоли одциро меорем.
Мисоли 7. Санчиш аз партофтани танга то бори
аввал пайдошавии герб иборат аст. Бузургии
тасодуфии Г-микдори партофтан киматхои 1,2,3 ва
хоказохоро яъне киматхои микдори беохир допггаро
кабул карда метавонад.
Мисоли 8. Санчиш аз он иборат аст, ки дар порчаи
[0 ;2] - и тири ададй бо тарзи тасодуфй нукта кайд карда
мешавад (аз аввал хамаи нуктахои порча «баробар
хукук», яъне омади хар як нукта бо харгуна нуктаи
дигар якхела мебошад). Бузургии тасодуфии X- адади
порчаи [0; 1] буда, киматхои ихтиёриро аз порчаи [0; 1]
кабул карда метавонад.
Ададхои натуралй низ беохиранд, аммо онхо дар
тири ададй низ дар нуктахои порчаи [0; 1] беохир бисёр
мебошад. Аммо дар тири ададо аз якдигар чудо
(дискрета) чойгир мебошайдь.
Чунин бузургих,о - бузургихои тасодуфии дискреты
номида мешаванд.
Барои бузургии тасодуфии Y аз мисоли 7 чадвали
таксимоти беохир бо намуди зерин- ро тартиб додан
мумкин.
Фаркан аз бузургихои тасоддуфии дискретй,
бузургии тасоддуфии X аз мисоли 8 бузургии тасодуфии
бефосила мебошад.
Y
1
2
1
2
1
4
3
1
8
...
К
к
а ,
Бузургии тасодуфии намуди омехта низ мавчуд.
Минбаъд факат бузургии тасодуфии киматхои
микдори охирнок дошта ва бузургихои тасодуфии
бефосиларо дида мебароем.
3.4. Бузургихои тасодуфии бефосила
Дар зери бузургии тасодуфии бефосила мо
бузургии тасодуфиро мефахмем, ки киматхои дар хати
рост ё дар ягон порча мавчуд бударо кабул мекунад.
Тасвири конуни таксимот дар холати бефосила аз
дискретй дида душвортар аст.
Фарки асосй дар масъалахои хисобкунии
эхтимолиятхо барои холатхои дискретй ва бефосила
чунин мебошад. Дар холати дискретй эхтимолияти
ходисаи намуди Х=с (бузургии тасодуфй кимати
муайянро кабул мекунад) кофта мешавад. Дар холати
бефосилагй эхтимолияти чунин намуд ба сифр баробар
аст. Аз ин сабаб эхтимолияти ходисаи намуди
а £ Х < Ъ (бузургии тасодуфй аз ягон порча кимат
кабул мекунад) дикдатчалбкунанда мебошад. Дар ин чо
р{а
< X <b)
= р(а
< X < b) =
р{Х>с) = р{Х>с},
р(а
< X <b) =
р(а
< X <b\
р { Х < с ) = р ( Х <с).
Барои бузургии тасодуфии X, бо эх,тимолияти
баробар кдмати д и л х о х р о аз порчаи [0 ; 1] кабулкунанда,
энтимолияти афтидан ба порчаи [0 ; 1] ба дарозии ин
порча баробар нисоб кардан табии аст.
Масалан,
р (0 <: Х й 0,5) = 0,5;
р( 0,5 < Х < 0,7) = 0,2;
<,0,2) = 0,2.
Функсияи зеринро дида мебароем (расми 4).
0 , хангоми х < 0;
р(0 £ X £ 1) = 1,
р ( Х £ 0,8) = { X
/ М Ч и хангоми 0 < х < 1;,
0, хангоми х > 1
Энтимолияти нодисаи а < Х <Ь ба масохати
шакле, ки бо хатнои рости у=0, х = а, х = Ь ва бо
графики функсияи у = f ( x ) мандудшуда баробар аст.
ь
а
барои а дилхон а ва Ь, (а < Ь) дуруст аст.
Расми 4
Хамин
тавр,
функсияи
f(x )
имконияти
х,Исобкунии эх,тимолиятх,ои бо бузургии тасодуфии X
алокаманд бударо медихдд, яъне мохдятан конуни
бузургии таксимоти X -ро медидад.
Акнун ба вазъият аз нуктаи назари умумитар
нигох мекунем. Бигузор бузургии тасодуфии X -мавчуд
бошад ва функсияи гайриманфии /(* ) чунин бошад, ки
барои нар гуна ададаои а ва Ь, а < Ъ баробарии
ь
Р{а < x < b ) = J/(x)cbc
ичро шавад (расми 5). Дар ин
а
Нолат, мегуянд, ки
бузургии тасодуфии X зичии
таксимоти f i x ) - ро дорад. Ин дар намуди зерин
навишта мешавад: X ~ f ( x )
Кайди!. Интеграл аз зичии таксимот дар тамоми
сохди киматхои имконпазирии бузургии тасодуфй ба 1
баробар аст.
Кайди 2. Вазъияти тасвиршуда шабех,ияти зеринро
аЗ механика меорад. Бигузор мехзари яклухти массаи
1кг дошта мавчуд бошад. Масса дар менвар бо зичии
гуногун таксимшуда мебошад. Агар мо хонем, ки ягон
порчаи мехвар чй кадар вазн дорад ёбем, боад дар ин
порча интеграл аз зичй гирифта шавад.
,
Мисоли 9. Бигузор бузургии тасоддуфии X бо
зичии таксимоти
О, хангоми х < О,
f(x ) = -
, хангоми 0 < х < 2,
О, хангоми х > 2 .
Р(0 < * < l) = ^—dx =
О2
(расми 6) дода шудааст. Барои ёфтани эхтимолият
хисобкунии интегралхои
мувофик, талаб карда
мешавад.
Масалан:
кайд
кардан
мумкин
аст,
ки
Р(0 < jc < 2) = 1, чунки хамаи киматхои имконпазири
бузургии X дар ХУДУДИ аз 0 то 2 хоб меравад.
Мисоли 10.
Таксимоти нишо ндихандагии
(экспоненсиалй) а бо зичии намуди
О, хангоми х < О,
Ле~**, хангоми х > О
дода мешавад (расми 7)
Дар ин чо Я - ягон адади мусбат. Таксимоти
нишондиханда дар назарияи хизматрасонии оммавй
истифода бурда мешавад.
Барои таксимотхои бефосила мисли дискретй низ
тавсифхои ададй: интизорияти математикй, дисперсия
ва гайраро дида баромадан мумкин. Онхо бо ёрии
зичии таксимот хисоб карда мешаванд.
2
Расми 6
Расми 7
Суммой бузургихои тасодуфй
Агар дар натичахои санчиш якбора ду бузургии
тасодуфй Х хва Х г
киматхои муайянро кабул кунанд, пас ондоро
якчоя дида баромадан мумкин. Дар холати хусусй
суммаи онхо Х х+ Х 2 ро бо рохи зерин муайян мекунем.
Агар дар натичаи санчиш бузургии Х х кимати
*1 -ро, бузургии Х 2 -кимати х2-ро кабул кунад; пас
бузургии тасодуфии Х х+ Х 2 кимати х, + х2 -ро кабул
мекунад.
Ба намин монанд суммаи п бузургии тасодуфй
муайян карда мешавад.
Мисоли 11. Донишчу дар сессия се имтихон
месупорад. Бахой имтихони i - ум(} = 1,2,3) бузургии
тасодуфии X ,
суммаи умумии бахохои хамаи се
имтихон - бузургихои тасодуфии х х + х г + х 3 мебошад.
Мисол тартиб медихем: конуни таксимоти суммаи
ду бузургии тасодуфиро меорем.
Мисоли 12. Бигузор бузургихои тасодуфии Х хва
Х 2 бо чадвалхои таксимоти зерин дода мешаванд:
-1
0,2
1
0,3
0
0,5
1
-1
0,4
0,6
Чй тавре ки Х хсе кимати гуногунро
кабул
мекунад, Х г бошад ду кдматро, пас барои суммаи
Х х+ Х 2 шаш имкониятро хосил мекунем.
Дар айни замон эхтимолиятхои онхоро хисоб намуда,
менависем:
Р(Хх = -1)- Р{Х2 = -1) = 0,2 •0,4 = 0,08,
дар ин холат Х х+ Х г = —2.
Р (Х х = -1 )-Р (Х 2 = 1) = 0,2 ■0,6 = 0,12,
дар ин холат Х х+ Х г = 0.
Р (Х х = 0 ) ’Р (Х г = -1 )= 0 ,5 0 ,4 = 0,2,
дар ин холат Х х+ Х г = -1.
Р (Х х = 0 ) Р ( Х 2 = 1)=0,5 ■0,6 = 0,3,
дарин холат X х + Х 2 = 1.
Р (Х х = 1) Р ( Х 2 = -1)=0,3 •0,4 = 0,12,
дар ин холат Х х+ Х 2 = 0.
Р (Х х = 1) Р ( Х 2 = 1) = 0,3 •0,6 = 0,18,
дар ин холат Х х+ Х 2 = 2
Хамин тавр, барои бузургии
таксимоти зеринро хосил мекунем:
х,+х2
-2
0,08
-1
0,2
0
0,24
Х х+ Х 2- чадвали
1
0,3
2
0,18
Кайди 3. Агар Х хва Х 2- бузургихои тасодуфии
бефосила бошанд, пас конуни таксимоти суммаи
Х х+ Х 2 - ро тартиб додан хело душвор мебошад.
Хангоми суммиронии п - то бузургихои тасодуфии
дискретй, ки дар ин чо п > 2 аст, чадвали таксимот ба
хамин монанд тартиб дода мешавад. Чй хеле дар
холатхои дискретй ва дар холати бефосила низ барои
интизорияти математикии суммаи Х х + Х 2 + ••• + Х п низ
формулаи оддии
Е (Хх+ Х г + ••■+ Х„) = ЕХх+ ЕХг + •••+ ЕХп
чой дорад, ё
аломати суммиронии мухтасарро
истифода бурда, навишта метавонем:
Формулаи шабехдошга барои дисперсия на
хамавакт дуруст аст, факат дар холати бузургихои
тасодуфии новобаста чой дорад.Бузургихои тасодуфии
Х х,Х 2, . ..,Х п новобаста номида мешаванд, агар конуни
таксимоти хар яки онхо, аз чй гуна кимат кабул
кардани дигар бузургихо вобаста набошад.
Барои дисперсияи суммаи бузургихои тасодуфии
новобаста баробарии
дуруст аст.
мекунем, ки бузургихои
як ва хамон конуни
таксимотро дошта бошанд. Дар ин холат ба чои
истилохи «бузургихои тасодуфии новобаста», истилохи
«мушохидахои (санчишхои) новобаста» истифода
мешаванд.
Кайди
4.
Кайд
Х х,Х 2,...,Х пметавонанд
Барои тахдили вазъиятх,ои аник, таксимоти нормалй
(ё ки таксимоти Гаусс) бисёртар истифода мешавад. У аз
ду параметр (Л ва сг вобаста буда бо зичии
дода мешавад (расми 8). Бузургии тасодуфии бо
параметдои [Л ва с
нормал таксимшударо бо
N ( [Л ,(7 ) ишора мекунем.
Параметрами /Л ва <т пурра маънои возехро
доранд: ин интизорияти математикй ва тамоили
стандарта. Аз параметрхо вобаста будани таксимоти
нормалиро баъдтар мухокима мекунем, аввало холати
хусусии мух,имро дида мебароем. Хангоми /Л =0 ва
а =1 таксимоти нормалии стандартии N(0.1) х,осил
мешавад (хотиррасон мекунем, ки стандартй гуфта
бузургии тасодуфии интизорияти математикии сифрй
ва дисперсияи водидй доштаро меноманд). мекаем.
Зичии онро бо тарзи махсус бо <р{х), худи
бузургии тасодуфиро бо - U ишора
1
Равшан аст, ки U~(p(x) = —j= e 2
л/2л
V2
Функсияи <р(х) чуфт аст <р(—х) = (р{х) ва мувофици
графики он нисбати ба тири ордината симметрй аст
(расми 9).
Бинобар ин барои таддиди функсияи ф{х) онро
барои киматх,ои х > 0 дида баромадан кифоя аст. Дар
нук;таи х = 0 функсияи (р{х) дорой максимум мебошад
<р(о) = —= = , бо зиёдшавии аргумента х, у кам мешавад,
V2 тг
илова бар ин камшавй хело тез руй медихад:
3,0
2,5
1,5
2,0
0,0
0,5
1,0
<f(x) 0,399 0,352 0,242 0,130 0,054 0,018 0,001
X
Ба дида баромадани масъалаи асосй - хисобкунии
эхтимолияти намуди
р (а < U < b )
мегузарем.
Бо ин максад барои ададхои гайриманфии
функсияи ф(х) - ро муайян карда, хосил мекунем:
Ф(х) = £ (p{x)dx
Масодати фигураи дар расми 10 штрих шуда ба
ф(х) - функсияи ибтидоии (р(х) мебошад.
Барои хисобкунии киматхои бо Ф(х) алокдманд
буда,
одатан
чадвалхои
сахехии
дарачахои
гуногундошта истифода мешаванд. Мо аз чадвал
киматхоро истифода мебарем, ки дар иловаи охири
китоб оварда мешавад.
X
0,1
0,2
0,3
0,4
.0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Ф(*)
0,040
0,079
0,118
0,155
0,192
0,226
0,258
0,288
0,316
0,341
X
U
1,2
1,3
1,4
1,5
. 1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
ф(х)
0,364
0,385
0,403
0,419
0,433
0,445
0,455
0,464
0,471
0,477 г
X
ф(х)
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0,482
0,486
0,489
0,492
0,494
0,495
0,497
0,497
0,498
0,499
Хангоми х > 3 , Ф(х)« 0,5 хисоб кардан мумкин. Бо
ёрии чадвал эхтимолиятхои зеринро бо осонй ёфтан
мумкин:
р(0 < U < 0,5) = Ф(0,5) = 0,192; р(0 £ С ^0,3) = Ф(0,3) = 0,118.
Аз симметрй будани графики зичии таксимот (расми 9)
дидан осон, ки
p(U > О) = p(U < 0) = 0,5
Бинобар ин
р { и > 0,7) = оЗ- р(0 й и <: 0,7) = 0,5 - ф(0,7) = 0,5 - 0,258 = 0,242,
p(U > 0,4) = 0,5 - p ( 0 < U < 0,4) = 0,5 - ф(0,4) = 0,5 - 0,155 = 0,345.
Аз сабаби он, ки графики функсияи д>(х) симметрй
мебошад, баробарихои зерин дуруст мебошанд:
Р(~ 0,4 < [/ < О) = Р(0 < U <, 0,4) = Ф(0,4) = 0,155,
Р {- 0,8 < U <, 0) = Р(0 ^ U <, 0,8) = Ф(0,8) = 0,288.
Дар
охир
се
холат
низ
дида
мешаванд:
р(0,1 <U< 0,3)=р (- 0,3 £ U < -0,1) = Ф(0,3) - Ф(0Д) = 0,118 - 0,04&=*
= 0,078, р (- ОД£ U й 0,3) = Ф(03) + Ф(0Д) = ОД18 + 0,040 = 0,158.
Кайд. Дар хамаи ин формулахо аломати < - ро ба
аломати <, аломати > - ро ба аломати > иваз намудан
мумкин аст.
Кайд. Дар хамаи ин формулахо аломати < - ро ба
аломати <, аломати > - ро ба аломати > иваз намудан
мумкин аст (расмхои 13Д4Д 5).
Акнун ба дида баромадани таксимоти нормалии
намуди умумй мегузарем. Хотиррасон мекунем, ки
таксимоти нормали бо интизорияти математикии fJ> ва
тамоили стандартам о бо N ( Ц , а ) ишорат карда
мешавад.
Дар расмхои 16, 17 нишон дода шудуааст, ки чй хел
графики зичии таксимот аз параметрхои Ц ва сг
вобаста мебошанд. Чй кадар Ц калон бошад, хамон
Кадар график дар тарафи рост (дар сг - хои якхела)
чойгир аст.
Чй кадар сг калон бошад, хдмон кадар график
нишебдор мешавад (дар Ц - дои якхела).
Бигузор бузургии тасодуфии X =
сг) мавчуд
бошад.
Х,исобкунии
эхтимолияти
намуди
Р = (а < X < Ь )
ба
хисобкунии
эхтимолиятхои
шабехдошта барои бузургии стандартй U =
а х< а 2 < а ъ
Mi ц г = ц ъ >
Расми 17
Махз: маълум мешавад, ки амалиётхои хаттй аз
болои бузургии тасодуфии нормалй боз ба бузургии
тасодуфии нормалй меорад (бо тавсифхои ададии дигар).
Барои мо хозир мухим аст, ки аз бузургии тасодуфии
нормалй интизорияти математикии онро тарх намуда
ва ба тамоили стандартй таксим карда, дар натича,
бузургии нормали стандартии U - ро хосил кунем:
Х -ц
■=и.
Бинобар ин
и
- .
Дар холати хусусй барои баъзе киматхои конкрети
хосил мекунем:
Р (6 < Ф $
£8)
st/s|J=2«I<0t5)=
=20,192=0384
^Л<9,б)>1()=/с/>
>£)*ф >С Ц ■)=05-ф(а2)=
=0^-0,079=0,421
Р(А^5) <-2)= /^ [/< ^ у ? ^ = ф < -2 ) =F(U>2) =05-ф(2) =0,421
Боз як мисол меорем.
Мисоли 13. Вазни когазпечи биринчи фирмаи
«Биринчи
нав»
бузургии
тасодуфии
нормал
таксимшудаи бо интизорияти математикии 1 кг ва
тамоили стандартии 10 г мебошад. Вазни:
а) аз 990 г то 1020 г ;
б) аз 990 г кам;
в) аз 1020 г зиёд
чанд фоизи когазпечхоро ташкил мекунад.
Хал. Вазни когазпечи биринч бузургии тасодуфии
нормал таксимшудаи X = JV(l 000,10 ) мебошад. Аз ин
сабаб
а )А Ш < Х < Ш ^ ^ -^ < и < Х
^
^
= р ( - 1 < и < 2) = Ф(1)+ Ф(2) = 0,341+0,477= 0,818
б ) р { Х < 990) = р U <
990-1000
10
= p(U < -l) = 0,5 - ф(1) =
= 0,5-0,34 = 0,159,
в)р{Х > \Ш )= р \и
1020-1000
= р ( и > 2) = 0,5 - ф(2) =
10
= 0,5-0,477 = 0,023.
Чавоб: а') 81.8 %:
6)15,9% ; \в ) 2 ,3 % .
Дар баробари хдсобкунии эхтимолиятхои бо
таксимоти нормалй алокдманд буда, масъалахои
намуди дигарро низ хал кардан мумкин.
Мисоли 14. Чунин адади С ёфта шавад, ки
р (0 < U < С) = 0,2 бошад.
Хал.
Аз
ин
но
навишта
метавонем:
р(0 < U < С) = Ф(С). Аз руи шарт Ф(с) = 0,2
Ба чадвали киматхои функсия мурочиат мекунем.
Дар байни киматхои он адади 0,2 мавчуд нест. Бинобар
ин адади ба он наздик бударо мекобем. Ин адад 0,192,
ки ба кимати С =0,5 л<увофик, мебошад.
Чавоб: С=0,5.
Мисоли 15. Чунин адади
р(и < С) = 0,1 мешавад.
С
ёфта
шавад,
ки
р ( и < с ) > 0,5
ичро мешавад. Бинобар ин кимати матлуби С - ададй
манфй аст (расми 18). Бо банисобгирии ин, носил
мекунем, ки
р ( и <С) = 0,5 - ф(- С)
(ба сифати аргумента функсияи Ф ададй мусбат - С
нишон дода шудааст). Минбаъд
0,5-Ф(-С) = 0,1,
Ф (-С)= 0,4.
Дар байни киматх,ои функсияи Ф ба 0,4 наздик
бударо мекобем. Ин ададй 0,445, ки ба аргумента 1,6
мувофик, мебошад. Аз ин сабаб
- С = 1,6
Чавоб: С = - 1,6.
Мисоли 16. Вазни когазпечи биринчдоштаи фирмаи
«Биринчи
нав»
бузургии
тасодуфии
нормал
тацсимшудаи бо интизорияти математикии 1 кг ва
тамоили стандартии 10 г мебошад. Тафтиш нишон дод,
ки 2,5% к,огазпечнои баровардашуда вазни аз стандарта
минималии имконпазир кам мебошад. Ин вазни
минималй чй кддар аст?
Хал. Вазни цогазпечи биринч бузургии тасодуфии
нормал тацсимшудаи X = iV(l 000,10) мебошад. Барои
ба савол чавоб додан муодилаи р (Х < С) = 0,025 - ро
нал кардан кифоя аст.
Онро табдил мединем:
Равшан аст, ки
С -1000
10
Инро ба нисоб гирифта носил мекунем:
0,5-Ф
О ооо-с^
= 0,025
10
/1000-С
Ф
= 0,475
10
1000-С
10
= 2
С?=980.
Чавоб: Вазни минималии стандартии имконпазир
980 г - ро ташкил мединад.
3.6. Формулой Муавр-Лаплас
Ба хотир
меорем, ки таксимоти
биномиалии
Bi(n,p) ду параметрй п ва р - ро дорад. Агар бузургии
тасодуфии X аз руи конуни Bi(n,p) таксимшуда бошад,
пас ин маънои зеринро дорад:
Р ( Х = к ) = С ‘„ р ‘ ( 1 - р ) Г ‘ ,
f
* = 0,1,....и.
Дар ин чо E X = n p , D X = n p ( l —р )
Дар байни таксимотнои биномиалй ва нормаМ алокаи
оддй мавчуд. Хангоми киматнои каябни п формулаи
такрибии зерин дуруст йст:
Bi (n,p) « N (пр, л/пр ( \ ~ Р ) )
(2)
Ин формулаи Муавр-Лаплас номида мешавад. Мо онро
барои нисобкуйии энтимолиятнои бо таксимоти
биномиалй алокаманд буда, нангоми ичрои шартнои
п > 90,
np (l - р ) > 9 истифода мебарем.
Мисоли 17. Шашхолро 120 маротиба мепартоянд.
Эхтимолияти он, ки ададй афтиши дар х,удуди аз 20 то
30 чй гуна аст?
Хал. Мо дар ин но бо бузургии тасодуфии
биномиалии B i( 120,1/6) кор дорем. Тафтиш мекунем,
ки формулаи Муавр-Лапласро тадбщ кардан мумкин
аст, ё не:
п = 120 <90,
n p (l-p ) = 120- —•—«16,7 >9
6 6
Шарт ичро шуд. Бинобар ин бузургии тасодуфии
B i(120,l/6) - ро бо таксимоти нормали Ы (/л,а)- и
параметрхои ju = np = l2 0 —= 20
6
иваз намудан мумкин, хосил мекунем:
Мисоли 18. Дар корхонае тафтиши сифати махсулот
мунтазам гузаронида мешавад. Барои ин бо таври
тасодуфй 500 махсулот интихоб шуда ва тафтиш карда
мешавад. Тачриба нишон дод, ки ба хисоби миёна 11
махсулот бесифат аст. Эхтимолияти он ёфта шавад, ки
дар вак,ти тафтиши навбатй микдори махсулотхои
бесифат аз 20 то кам нестанд.
Хал. Микдори махсулотхои бесифат бузургии
тасодуфии биномиалии бо параметрхои п=500 ва
р = -ii- = 0,022 мебошад. Шарти татбикшави формулаи
Муавр-Лапласро тафтиш
намуда, носил мекунем:
п = 500 > 90, пр( 1- р ) = 11 •(1 - 0,022) = 10,758 > 9.
Шартх,о ичро шудаанд, бинобар ин Bi(500;0.022) бо
бузургии тасодуфии нормали параметрнои /л = пр = 11
сг = ^пр{[ - р ) = 3,3
мекунем:
иваз
намудан
мумкин.
Х,осил
фг(500г0,022) > 20)« P{n (\ 1;3,3) >20) = Р
= P(U > 2,7) = 0,5-ф(2,7) = 0,5-0,0497= 0,003
Кайд. (теоремаи xvdvduu марказй). Формулаи
Муавр-Лаплас х,олати хусусии тасдикоти ачоиби зерин
мебошад: суммаи а микдори калони бузургинои
тасодуфии кдриб ихтиёрй аз руи конуни нормалй
такрибан так,сим шудааст;
Ин далел асоснокии назариявии он мебошад, ки
бисёр бузургинои возен мушонидашавандаи таьсири
мачмуи далелнои тасодуфиро аз cap гузоранда, аз руи
конуни нормалй таксим мешаванд.
Супоришхо ва чавобхо
1 Танга 5 бор партофта мешавад. Барои бузургии
тасодуфии Х-адади афтиши герб чадвали так,симотро
тартиб дода, интизорияти математикй ва дисперсияи
онро ёбед.
Чавоб: 2,5; 1,25
2 Дар лотерея ба нар 100 билет 15 бурд рост меояд.
Микдор ва ченаки бурдно дар чадвал оварда шудааст:
Бузургии бурдно бо
Хазор сомони
Микдори бурдно
20
5
1
1
4
10
Тартиб додани конуни таксимоти
бузургии
тасодуфии бурдро дар бозии лотерея муайян карда,
интизорияти математикй ва дисперсияи онро ёбед.
Чавоб: 0,5; 4,85
3. Эхтимолиятхоро ёбед (дар ин чо ва дар масъалаи
оянда U -N (0,1) -бузургии тасодуфии нормалии
стандартй)
a) p(0<U<0,7);
б) р { и > 0,7);
b) p{0,3£U < 0,4 \
г) p { -0 ,\^ U < 0 ,2 } ,
д)Я -1,9^С /< 0-1,3> ,
е) p(U > -2).
Чавоб: а) 0,258;
6)0,242;
в) 0,037;
г) 0,119;
д) 0,068;
е) 0,977.
4. Чунин ададй х-ро ёбед, ки
а) /?(0 < U < х) = 0,4;
б)^L /|<x)=0,95;
Чавоб: а) 1,3;
б) 2.
5. Эхтимолиятхои зеринро ёбед:
а)/>(0<JV(l,3)<2);
б) p ( N ( - 2 0 ,1 0 ) < - 1 0 ) ;
в) p (ll,3 £ N (l5 ,7)<1б);
г) />(3<W(0,30)<9);
д ) р И 3 7 ,3 7 )> 1 0 0 );
Чавоб: а) 0,236; 6)0,841; в)0,232;
г) 0,078; д) 0,045.
6 . Махсулнокии мехнати як сех бузургии тасодуфии
нормали таксимшудаи бо интизорияти математикии 90
кг дар як навбат ва тамоили стандартен 15 кг дар як
навбат мебошад. Х,иссаи коргаронро муайян кунед, ки
махсулнокии онхо:
а) дар фосилаи аз 80 то 110 кг дар як навбат аст,
б) дар як навбат аз 110 кг зиёд аст,
в) дар як навбат аз 80 кг кам аст.
г) Меьёри коркарди рузонаро чй хел мукаррар
кардан лозим, ки онро 90% - и коргарон ичро кунанд ?
Чавоб: а) 0,66:
6)0,1;
в) 0,24;
г) 70,5кг.
7. Истехсолот 1% - махсулоти бесифат медихад.
Эхтимолияти он, ки аз 1100 махсулоти барои тафтиш
гирифташуда на беш аз 17 тоаш бесифат аст, чанд аст ?
Чавоб: 0,964.
8. Эхтимолияти он, ки хангоми 100 бор партофтани
танга, адади афтидани герб аз 45 то 55 то мешавад, чй
гуна аст ?
Чавоб: 0,682.
Боби IV. Омори риёзй
4.1.Мук,аддимаи омори риёзй
Омори риёзй методхои гуногуни коркард ва
дарккунии натичахои ходисахои тасодуфии бисёр
такроршавандаро
меомузад.
Мафхуми
ходисаи
тасодуфй дар назарияи эхтимолият муайян карда шуда,
коркарди натичахои он низ бо ёрии методхои назарияи
эхтимолият ба чо оварда мешавад. Вазифаи омори
риёзй тартиб ва баходихии ба хам мувофик, омадани
моделхои идеалии эхтимолияти равандхо мебошад.
Ба сифати намуна мисоли зеринро дида мебароем.
Бигузор шашхоли “хакикд”мавчуд бошад. Одатан
модели он дида баромада мешавад, ки мувофикд он
хангоми партофтани шашхол эхтимолияти афтидани
харгуна адади холхои аз 1 то 6 якхела ва ба 1/6 баробар
аст. Аммо барои шашхоли «хакикй» чунин холат руй
медихад, ки хангоми масалан, 1000 маротиба
партофтан холи 6 дар 300 холат меафтад. Мохиятан
чунин холат дар чорчубаи модели бо эхтимолияти 1/6
низ ба вучуд меояд, аммо акли солим дарк мекунад, ки
маркази вазнинии шашхол кучонида шудааст. Ин
маънои онро дорад, ки минбаъд истифодаи фарзияи
дигар нисбати эхтимолияти зиёдтар афтидани холи 6
хангоми партофтани шашхол дуруст мешавад.
Масалан, фарз кардани ин эхтимолият ба 0,3 наздик
аст, мантик дорад. Дар моделсозии оморй бояд ба
эътибор гирифт, ки чй кддар киматхои додашуда бисёр
бошанд, хамон кадар модел сахехтар мешавад. Азбаски
мо бо ходисахои тасодуфй сару кор дорем, пас
тавсияхои дар асосй тасаввуротхои оморй гирифташуда, характери эхтимолиро доранд.
Якчанд намунаи масъалахои амалиро меорем, ки
татбики методхои омориро талаб мекунанд.
1. Бигузор аз руи ягон савол дар шахр N одам пурсида
шуд, ки аз онхо М нафар чавоби мусбй ва (N -M )
нафар чавоби манфй додаанд. Оё аз руи ин маълумотхо
хиссаи шахрвандони ба саволхо чавоби мусбй диханда
бахо додан мумкин аст? Фахмост, ки ин хисса ба —
м
наздик, аммо ба кадом дарача?
Эзох. Масъалаи дигари мухиме кам мавчуд аст.
Пурсишро бо кадом рох ташкил намудан лозим аст, ки
акидаи гуруххои гуногуни ахолй дуруст ба хисоб
гирифта шавад. Мо ба ин масъала кордор намешавем.
2. Фарз мекунем, ки дар ягон фирма навовариро ба
монанди чорй намудани техйологияи нав, гузаштан ба
истехсоли махсулоти нав ва хоказоро истифода
менамоянд.
Барои осонй фарз мекунем, ки киматхои додашуда
махсулнокии мехнат дар давоми руз мебошад. Ин
махсулнокй аз як цатор омилхои тасодуфй вобаста
буда, бузургии тасодуфй мебошад.
Бигузор пайдарпаии ададхо - хосилнокй дар ягон
муддат мавчуд бошад. Масалан: 7,11, 10, 6 , 6, 9, 9,10, 5,
6, 10,7. Пас аз тагйири ваъзият ин киматхо чунин
шудаанд: 11,7, 9,8,10,9.
Аз руи ин киматхои баландшавй ва ё пастшавии
махсулнокии мехнатро чй тавр муайян кардан мумкин аст?
3. Талаб карда мешавад, ки бо тагйирёбии курси
доллар талабот ба махсулот, микдори тамошобинон
дар стадион пешгуи карда шавад.
4.2. Коркарди аввалини маълумотхо
Коркарди маълумотхо ва дар асоси он гирифтани
тавсияхо оид ба к,абули ин ё он кдрори идоракунй,
раванди бисёрзина мебошад. Одатан дар натичаи
мушохидахо хосил намудани натичахои мачмуи
ададхоро ифода мекунад. Ин мачмуро аз назар
гузаронида, ягон конуниятро баровардан хамчун к,оида
душвор аст. Бинобар ин ба маълумотхо ягон намуд
коркарди аввала гузаронида, тахлили минбаъдаи
онхоро содца менамоянд. Мо яке аз ин усулхои
имконпазирро дида мебароем.
Маълумотхои дар натичаи батартибоварии
киматхои ягон бузургии тасодуфии хосил шуда
Xj, х 2, ..., х п - ро дида мебароем (кдйд мекунем, ки баъзе
химатхо якхела шуда метавонанд). Ин мачмуи ададхо
интихоб номида мешавад.
Амалхои минбаъда аз микдори элементхои
гуногуни интихоб вобаста мебошад. Агар мо бо
бузургии тасодуфии дискретй сару кор дошта бошем,
пас ададхои гуногун бисёр нестанд; агар бо бузургии
тасодуфй бефосила бошад, пас хамаи ададхо гуногун
шуда метавонанд, бинобар ин дар оянда ин ду холатро
дар алохидагй дида мебароем.
Холати дискретй.
Мархилаи аввали коркарди интихоб, тартиб додани
катори вариатсионй мебошад.
Онро чунин хосил мекунанд: аз байни хамаи ададхои
x i ададхои гуногунро гирифта бо тартиби зиёдшавй
а ], а 2 , . . . ,а т чойгир мекунанд.
Мархилаи ояндаи коркард, тартиб додани чадвали
дискретии з у дихо аст, ки:
«]
а2
К
к2
п, = -Кi
п
•
К
кт
пт
т= —
п
п _К
2 ~
•
И
мебошад. Дар ин чо п- адади хама мушохидахо, к,адади мушохидахои, ки дар он кимати а \ хосил
/fc.
шудааст. Бузургии кЛ- хо зудихо. бузургихои
п
зудихои нисбй номида мешаванд.
Намунаи графикии чадвали дискретии зудихо
диаграммаи cvm vm (расми 1) мебошад.
Кайди 1. Зудихо ва зудихои нисбй мутаносиб
мебошанд, бинобар ин хангоми сохтани диаграммаи
сутуни дар тири амудй кимати зудихо ва ё зудихои
нисбиро нишон додан айёниятро дигар намекунад.
1Лз'
»
V'
п2
а2
а3
Расми 1
а4
Мисоли 1. Бигузор масъала аз ошкор намудани
вазъи аз тарафи донишчуён азхудкунии фанни
«Моделхои риёзй дар идоракунй» бошад. Дар курс 56
3
.3
24
4
14
5
15
В |««
о
о
<~Г\
нафар донишчу мавчуд буда, натичаи имтинон ададнои
зеринанд:
3,4,5,4,3,3,5,4,3,5,5,2,3,5,3,5,3,5,4,4,3,3,4,3,4,3,3,5,3,3,4,3,4,
3,5,3,4,4,3,5,3,3,5,4,2, 5,3,4,2,3,5,4,3,5,3,5.
Ин маълумотхои аввала-интихоб Мебошад. А д а д х о и
тасодуфии
интихобро
ташкилдихднда,
бах>ох,ои
имтщонианд.
Тартиб додани катори вариатсионй мушкил нест. У
чунин аст 2,3,4,5.
Акнун х,исоб кардан лозим, ки нар як бано чанд бор
вомехурад. Инро бевосита ичро кардан мумкин, аммо
дигар усул низ мавчуд.Диматнои 2,3,4,5 яктогй дар нар
сатр навишта мешаванд. Баъди ин интихоб аз назар
гузаронида шуда, барои нар як кимат пас аз ададй
мувофик яктогй хатча навишта мешавад. Баъд, ин
микдори порчано дар нар як сатр хисоб карда мешавад.
Дар нол^ти мазкур носил мекунем:
2 : /// - 3 кимат,
3: //////////////////////// - 24 кимат,
4: /////////////// -14 кимат,
5: /////////////// -15 кимат.
Чадвали зудино чунин намудро дорад:
— *0,43
56
— *0,25
56
— *0,27
56
ъ
•ч
Дар ин чо дар сатри охирон - зудинои нисбии
нангоми таксимкуиии зудй ба микдори нолатнои
носилшуда мебошанд. п-56.
Диаграммаи
сутуни
чадвали
носилшударо
тасвиркунанда дар расми 2 оварда шудааст.
njA
0.5li
0.4 <
0 . 3 {1
------ 1
I
I
____ l _
0.2 ь
0.1 О
?
_______
j
1
I
Г
j
i
1
i------- ......-- I------Расми 2
X|
_
Холати бефосилагй
Агар микдори киматхои гуногун дар интихоб калон
бошад, хисобкунии зудии хар яки он маъно надорад.
Масалан, агар хамаи киматхо дар интихоб гуногун
бошанд, пас чадвали дискретии зудихо намуди
«1
1
1/п
«2
1
1/п
1
1/п
- ро дорад. Маълум ки чунин чадвал тасвири аёниро
надорад.
Бинобар ин чунин рафтор карда мешавад. Тамоми
фосилаи тагйирёбии киматхои интихобро аз хурдтарин
то калонтарин ба интервалхо чудо мекунем. Баъди ин
адади киматхои аз интихоб, ки ба хар як интервал
меафтад (зуди), баъд зудихои нисбй хисоб карда
мешаванд. Дар натича, чадвали интервали зудихоро
хосил мекунем:
Дар ин чо л-адади хамаи ченкунихо, т-микдори
интервалхо, кх- микдори ададхои дар интервали i- ум
\м\ >А*2]
К
\Мг’>Мз\
к2
к\
«1 = —
п
к2
«2 = —
п
k,;A*m+i]
. .
.
К
4 кт
пт= —
п
буда, и, = — зудии нисбии ба интервали z'-ум афтидан
п
мебошад. Интервалх,оро одатан бо дарозии якхела
мегиранд, аммо ин шарт нест.
п я
П2
П4
n i
М
1
П 5
М
2
М
,
М
Расми4«
3.
М
5
М
6
X
Намунаи графикии чадвали интервалии зудило
гистограмма мешаванд. Гистограмма ин хати зинашакл
мебошад ; асосй зинаи г-ум интервали ( /л, ;
] буда,
масохати ин зина ба Щ баробар аст. Одатан т дар
худуди аз 5 то 15 гирифта мешавад.
К,айди2. Агар интервалхои (/л,;ц\+\] бо дарозихои
якхела интихоб шуда бошанд, пас масохати зинахои
гистограмма ба баландии онхо мутаносиб шуда дар тири
ордината факат зудихо kt -ро нишон додан кифоя аст.
Мисоли 2. Фарз мекунем, ки донишчуёни ягон
гурухи аз 25 нафар иборат буда кори санчшпй
навиштаанд. Х,ар як донишчу микдори муайяни
баллхоро гирифтаанд: 75,145, 150, 180, 125, 150, 150,
165, 95, 135, 130, 70,130, 105, 135, 100, 160, 60, 85, 120, 60,
145, 150, 135.
Тартиб додани чадвали интервалии зудихо ва
гистограмма талаб карда мешавад.
Дар байни ададхои овардашуДа ёфтани хурдтарин
ва калонтарини онхо душвор нест. Ин ададхои 60 ва 180
мебошанд.
Хамин тавр, хамаи киматхо дар порчаи [60; 180]
мехобанд. Ин порчаро ба т=6 кисми баробар чудо
намуда, микдори киматхои ба интервал афтидаро хисоб
мекунем (аз методи, дар мисоли 1 навишташуда
истифода мебарем):
[60;80]: / / / / -4 кимат,
(80; 100]:///-3 кимат,
(100; 12]://-2 кимат,
(120; 140]: / / / / / / / - 7 кимат,
(140;160]:///////-7кимат,
(160;180]: / / - 2 кдмат.
Акнун чадвали интервали зудихоро тартиб медихем.
Г60;801
4
4
— = 0,16
25
(80;1001
3
(100;120] (120;1401 ('140:1601 (160; 1801
2
7
1
7
2
— = 0,12 — = 0,08 — = 0,28
25
25
25
ТГ°’2а
— = 0,09
25
Гистограммаи мувофик дар расми 4 тасвир карда
шудааст. Дар тири амудй зудихо гузошта шудааст (ба
кайди 3 нигаред).
20 40
60
80 100 120 140 160 180 х
Боби V. Бах;одих;ии нущпави ва фосилавй.
5.1. Бах;одих;ии нукргавй
Дар боло баъзе методхои коркарди аввалаи
маълумотхо дида баромада шуд, ки дар рафти он аз
натичахои «хом» - и наонкадар айён, ба натичахои
нисбатан айёнтар омадан мумкин аст. Акнун мо
методхоеро дида мебароем, ки имконияти аз ин
маълумотхо хосил намудани тавсифхои ададии
бузургихои тасодуфии мушохидашаванда ба монанди
интизорияти математикй ва дисперсияро медиханд.
Бахохои Нуктавй
Бо ёрии чадвали зудихо ё ки гистограмма дар бораи
тавсифи таксимоти бузургии тасодуфй такрибан
мулохиза намудан мумкин. Аммо бисёр вакт тавсифхои
ададии таксимот - интизорияти математикй ва
дисперсия диккатро чалб мекунанд. Ин ба он асоснок
карда мешавад, ки дар раванди кабули карорхо ба аз
руи микдори хурди мушохидахо хулоса баровардан
лозим меояд. Вобаста ба ин чунин масъала пайдо
мешавад. Дар асосй мачмуи киматхои интихобии
Х 1, Х 2, . . . , X п- и бузургии тасодуфии X, ки дар
натичаи п мушохидаи новобаста хосил шудаанд,
кимати интизорияти математикй ЕХ, дисперсия D X
ягон параметрй дигарро бахо додан лозим аст. Х,оло мо
параметрй бахододашавандаро бо харфи в (тэта)
ишора мекунем.
Мисоли бузургии тасодуфй адади харидорони
магазин дар давоми руз, кади донишчуи мактаби олй
бо сантиметрхо, даромади солонаи шахрвандон ва
гайра шуда метавонад.
Акнун тарзи бо як адад бахо додани параметрй
номаълумро дида мебароем. Чунин баходихй баходихии
нуктавй номида мешавад.
Хдргуна бахоро барои 6 бо 0
ишора мекунем.
Худи хдмон бахо 0 бузургии тасодуфй мебошад, ки
киматхои худро дар натичаи п тачрибах,о бо X кабул
мекунад. Конуни таксимоти он аз конуни таксимоти
бузургии тасодуфии А" ва аз микдори мушох,идах,о п
вобаста аст.
Эзох. Кайд мекунем, ки дар лахзаи кабули хал дар
бораи кимати 0 бузургихои Х у,Х 2 ,...,Х п ададхои
конкретй мебошанд. Аммо хангоми интихоби методи
алгоритми формулаи хисобкунии
Х х, Х 2 , . . . , X п тасодуфй мебошанд.
6 ,
бузургихои
Мисоли 1. Дониыщу фикр мекунад, ки ба хона равад
ё ба китобхона. Сабабхои халкунандаро ба фоидаи ин ё
он наёфта у ба гузаронидани санчиш карор мекунад.
Танга мепартояд, агар герб барояд, б а хона меравад
(дар холати баръакс - ба китобхона). Аммо то
партофтани танга маълум нест, ки герб ё ракам
мебарояд (мувофикан равиши харакати донишчу низ
номаълум). Дар хакикдт ба бахои в ягон хел талабот
гузоштан лозим. меояд. Дутой мухимашро хотиррасон
менамоем_Хуб мешавад, ки хангоми истифодаи
бузургии 9 ба чои параметри 0 мо хатогихоро на ба
тарафи зиёдшавй, на ба тарафи пастшавй балки бо
ичрошавии баробарии Е в = в кабул мекунем.
Бахое, ки чунин шартро каноат мекунад, бахои
чойивазнакунанда номида мешавад.
Хуб мешавад, ки бо зиёдшавии ададй п кимати
бузургии тасодуфии 0 дар атрофии 0 зичтар гун
тпаванд, яъне бо зиёдшавии и сахехии бахо зиёд шавад.
Азбаски
ченаки пароканиши дуршавии бузургии
тасодуфй аз интизорияти математикии он дисперсия
мебошад, ин талаботро чунин ифода намудан мумкин:
D 9 -> 0 хангоми п —> оо
(дисцерсияи бахо хангоми бемахдуд зиёдшавии адади
мушохидахо ба сифр майл мекунад). Бахое, ки чунин
шартро каноаткунанда, бахои асоснок номида
мешавад. Бахои нуктавиро барои интизорияти
математикии ЕХ дида мебароем. Храмин тавр, дар
холати мазкур 0 = ЕХ. Ба сифати чунин бахо миёнаи
эмпирикиро. яъне миёнаи арифметикии бузургихои
1 "
X l , X 2, . . . , X n
X = —J ' X j ромегирем.
Бузургии тасодуфии Х {, Х 2, . . . , Х п як ва хамон конуни
таксимоти бо конуни таксимоти бузургии X мутобик
бударо доранд. Аз ин сабаб
EX =
- У Х ,| = - У ЕХ, = ~ п Е Х - Е Х
Храмин тавр, бахои X бечонашуда мебошад.
Дисперсияи ин бахо чунин хисоб карда мешавад:
D X = D{ - ± x ] = \ ± D X i = \ n D X = ™
J п tT
Ифодаи
DX
-----
”
я
равшан аст, ки хангоми бемахдуд
п
зиёдшавии п ба сифр майл мекунад. Аз ин чо асоснокии
бахои X бар меояд:
ЕХ = ЕХ,
DX = - D X .
п
(1)
Бадои нуктавии дар мавзуи гузашта дида
баромадашуда дар аксар мавридхо барои хулосахои
амалй кифоя мебошанд. Аммо агар зарурияти тахлили
муфассал бошад, пас бахо додан лозим меояд, ки
кимати хакикии параметр аз бахои нуктавии он чй
кадар фарк мекунад.
Дар ин холат бояд чунин рафтор кард. Фосилаи
(#!, 0 2 ) - ро чунин интихоб мекунем, ки эхтимолияти
дохилшавии параметри 0 ба ин фосила кифоя калон
бошад (ба вохид наздик).
Кдтъитар гуем, и н м а ъ н о и онро дорад,
эхтимолияти ичрошавии нобаробарии дутарафаи
ки
.... х,)<в <ег(х„хг,- ,х ,)
на кам аз ададй додашудаи У мебошад.
Эхтимолияти У боваринок ё ки эътимодиятнок ва
фосилаи ($i »в г ) фосилаи боваринокй (ба эхтймолияти
бовариноки Y мувофик буда) номида мешаванд.
Одатан кимати У - ро ба 0,95 ё ки ба 0,99 баробар
интихоб мекунанд.
Бахои дидабаромадашуда
фосилави
номида
мешавад. Ин бахои фосилави нафакат аз маълумотхо,
балки аз зътимодияти талабшудаи У низ вобаста аст.
Методхои тартибдихии бахохои фосилавй дар
бобхои оянда мухокима мешаванд. Акнун миеоле
меорем, ки фарки бахбхои нуктавй ва фосилавиро
маънидод мекунад.
Вак,те, ки дар бораи ягон инсон сухан меронанд
мегуянд «У такрибан 38 сола аст», ин худи бахои
нуктавии синну - сол аст. Вакте, ки мегуянд: «У 35 - 40
сола аст», ин бахои фосилавй буда, фосилаи боваринок
(35; 40) аст. Эътимодияти бахо дар ин чо дар шакли
ошкор нишон дода намешавад, аммо ба як хеле наздик
тахмин карда мешавад.
Баъзан чунин акддахоро шунидан мумкин: «У 35 40 сола, х,еч набошад аз 45 боло нест». Дида мешавад,
ки фосилаи бовариноки (35; 45) эхтимолияти калони
боваринокро аз (35; 40) дида зиёдтар дорад. Аммо
бахои фосилавии (35; 45) аз фосилаи (35; 40) дида
бисёртар ахборотй мебошад.
5.3. Бах;ои интизорияти математикии
тацсимоти нормалй
Дар ин кием мо мисоли конкретии тартиб додани
бахохои нуктавй ва фосилавиро дида мебароем. Дар ин
чо низ чун пештара маълумотхои аввала
натичахои мушохида мебошанд. Ба гайр аз он, маълум
аст, ки ин ададхо бо конуни таксимоти нормалии
N (/л, <т) итоат мекунанд.
Масъалаи баходихии параметрхоро ба шаклхои
зерин гузоштан мумкин аст:
баходихии параметрй номаълуми / л ;
баходихии параметрй <7;
баходихии параметрй fi барои параметрй маълуми
<Т. Аз се масъалаи номбаршуда мо охиронро дида
мебароем.
Х,амин тавр, ёфтани бахои нуктавй ва фосилавии
интизорияти математикии ц - и бузургии тасодуфии
X - и аз руи конуни нормалй бо тамоили стандартии <7
так;сим шуда талаб карда мешавад. Маълумотхои
додашудаи аввала сг; х , , х2, . . . . , хп мебошанд (барои
бахои фосилави додашудани эхтимолияти бовариноки
У низ талаб карда мешавад).
Бахои нуктавй
Бахои нук;тавии № -и параметри Ц -ро хамчун
миёнаи эмпирики муайян мекунем. Чй тавре пеш цайд
шудааст, чунин бахо барои харгуна бузургии тасодуфй
бечонашуда ва а с о с н о к , мебошад.
Бахои фосилави
Барои бахои фосилавй аввало интихоб намудани
эхтимолияти бовариноки У додашуда бошад. Чунин
тасдикот дуруст аст. Суммаи бузургихои тасодуфии
новобаста, ки хар яки аз онхо аз руи таксимоти
нормалй таксимшуда мебошанд, низ аз руи конуни
нормалй таксимшуда мебошанд. Аз ин чо бар меояд, ки
бузургии X аз руи конуни нормалй таксимшуда
мебошад.
Дар боло нишон дода шудааст, ки
ЕХ
= ЕХ,
d x = ——
П
мебошад. Ба холати додашуда татбик карда хосил
мекунем
—
ЕХ = /А
Бузургии тасодуфии
сг1
DX=— .
—
”
- ро дида мебароем.
Таксимоти он нормалй буда интизорияти
математикии 0 ва дисперсияи 1-ро дорад. Аз ин холат
истифода намуда аз руи кимати У -и додашуда, чунин
адади U -ро ёфтан мумкин, ки баробарии
Р{-иг < и <и г)=у
ичро шавад ( масохдти сохаи дар расми 1 штрихшуда ба
1 баробар).
Расми 1
Кайд. Индекси У дар ифодаи и у вобастагии U - ро
аз J таъкид мекунад. Агар аз матн маълум бошад, ки
кадом У дар назар дошта мешавад, пас мо индексро
партофта, худи U - ро навишта метавонем.
Баробарии
Р ( - и у < и < и г ) = 2 Р (о < и < и у) = 2 ф { и у)
дуруст аст. Ба хотир меорем, ки функсияи Ф(х) барои
хисобкунии эхтимолиятхои бо таксимоти нормалй
алокаманд буда хизмат мерасонад. ЧаДвали киматхои
он дар ияова ( дар охири китоб ) мавчуд аст.
Барои ёфтани адади и7 муодилаи
2ф(иг ) = у
- ро нал намудан кифоя аст. Ададй и у аз руи ададй
додашудаи у бо ёрии чадвали киматхои функсияи ф(х)
кофта мешавад. ^ у - ро хосил намуда,
карда метавонем, ки ходисаи
мо тасдик
-иу <и<иу
ё ки пурратар
баробаркувва аст.
Храмин тавр, бо эхтимолияти бовариноки У
интизорияти математикии
дар фосилаи (ji x, fi2) х об
меравад, ки дар ин чо
ц 1 —X
иу j—,
Ып
(2)
хатой бахои интизорияти математикй номида мешавад.
Бо эхтимолияти боваринокии У хисоб намудан
мумкин аст, ки бахои X аз кимати хакикди /л на беш
ба Е (расми 2) дур мешавад. (моил дорад).
Аз формулаи (4) дида мешавад, ки бо зиёдшавии
миадори додашудахо п хатогй кам мешавад, яъне
фосилаи боваринок танг мешавад.
Дар навбати худ, чй кадар хатогй кам бошад,
х,амон кадар маълумотх,оро барои ба он расидан зиёд
чамъ кардан зарур аст. Агар хатогии талабшудаи Е
додашуда бошад, пас микдори мувофики киматхои
додашударо ёфтан мумкин.
(5)
Дар ин холат, албатта п адади бутун мебошад.
Азбаски чамъкунии маълумотхо сарфи маблагро талаб
менамояд, п -и хурдтарини бутуни нобаробарии (5)-ро
каноаткунонандаро кабул менамоянд.
Мисоли 2. Хангоми ченкунии бузургии тасодуфии
нормалии тамоили стандартии ба 5 баробар ва
интизорияти математикии номаъЛумдошта интихоби
зерин хосил шуд.
3, 12, 8, 14, 15, 6, 19, 10, 15, 6.
Ёфта шавад: 1) фосилаи параметрй Ц -ро бо
эхтимолияти
бовариноки у = 0,95;
2) хатогии бахои
X. мувофики ин эхтимолияти
боваринок.
Дар холати мазкур
сг = 5,
и = 10,
7 = 0,95.
Барои бахои нуктавй хосил мекунем:
-
3+12 + 8 + 14 + 15 + 6 + 19 + 10 + 15 + 6
Муодилаи зеринро хал мекунем:
= 10,8 .
2Ф(м) = 0,95
ф(м) = M l = 0,475.
w
2
Барои ин холат адади 0,475 ё ки ба он наздикро аз
чадвали дар байни киматхои Ф (х) ёфтан лозим
(чадвал дар илова додашуда аст).
Адади наздиктарин - 0,477. Кдшати аргументи ба
он мувофик, буда
и = 2 ,0 .
Акнун дар формулахои (2) ва (3) киматхои
додашудаи сг, п ва X, иу -и ёфташударо гузошта,
хосил мекунем:
= 10,8 - 2 - - j L * 10,8-3,16*7,64,
ц 2 =10,8 + 2- - j L * 10,8+3,16 *13,96.
Хамин тавр, фосилаи бовариноки матлуб фосилаи
(7,64; 13,96) мебошад.
Барои хатогии Е кимати зеринро хосил мекунем.
Е = 2--Д=г»3,16.
л/10
5.4.Ба%ох;ои энтимолияти х;одисах;о
Бигузор дар озмоиши санчиш ходиса бо
эхтимолияти Р руй дихад, ки ба мо маълум нест. Аммо,
имкони такрори бисёркаратаи озмоиш ва хисоб
намудани натичахои он мавчуд аст. Бигузор дар п
озмоиши ходиса т маротиба руй дихад.
Масъалае, ки мо дида мебароем, дар кофтукови
бахои эхтимолияти Р аз руи киматхои додашуда я, т ва
эхтимолияти бовариноки У мебошад.
Бахои нуктави
Шубхд нест, ки бахои нуктавии Р - и эхтимолияти Р бо
баробарии
Р = ”
(6)
муайян карда мешавад. Ночо нашудан ва асоснокии ин
бахоро исбот мекунем. Дар харгуна п -и к,айдшуда
бузургии т бузургии тасодуфии бо конуни таксимоти
биномиалй таксимшуда мебошад
т - B i (п, Р).
Бахотир меорем, ки дарин холат
Ет = пР,
Dm = пР (l —Р).
Ночо нашудани бахои Р . ро исбот мекунем.
Хосил мекунем:
ЕР =Е — ] = - Е т = - и - Р = Р.
п
\п) п
Акнун бузургии £)Р ро хисоб мекунем:
D? = D
Храмин тавр, £>р =
= \ в2 т
П
п
= \ п1 Р ^ - Р ) = Р(1~ -РХ
П
П
_> о,
хангоми п - » оо.
Ин асоснокии бахои нуктавии Р - ро исбот мекунад.
Бахои фосилави
Барои тартиб додани бахои фосилави ба хотир
меорем, ки бузургии тасодуфии B i ( n , p ) ба бузургии
тасодуфии нормали ы {п р,^ п р (1 —р )} хангоми п > 90
ва п р {1 - р ) > 0 наздик мебошад (ин шартро минбаъд
ичрошуда хисоб намудан мумкин). Бинобар ин
т ■* N\nP^jnP(l - Р )) кабул намудан мумкин аст.
Аз ин холат истифода бурда, сархддх,ои фосилаи
боваринокиро бо усули, ки ба хисобкунии фосилаи
боваринок барои интизорияти математикии таксимоти
нормалй наздикбуда ёфтан мумкин аст, ки натичахо
чунин мешаванд:
P<‘ f ~ Ur ]
(7)
(8)
Рг - Р + и г]1 ? Е ^ .
Дар ин чо U y - решай муодилаи
Ф(Е/У) = Л -
(9)
мебошад.
Мисоли
3. Аз 200 мах,сулоти тасодуфан
гирифташудаи ягон фирма 10 тоаш нуксон дорад.
Фосилаи боваринокии хдссаи махсулоти нуксондори
фирмаро бо эътимодияти у = 0,99 дошта ёфта шавад.
Хал. Дар ин чо
« = 200, т - 1 0 , 7 = 0,99.
Формулахои ((6),(7),(8),(9)) - ро татбик, намуда хосил
мекунем, ки
ф р) =^
= 0,495,
U = 2,6.
Ба хотир меорем, ки кимати Ф(и) аз чадвал ёфта
мешавад.
Р=
200
Ин бахои нуктавй аст.
= 0,05.
Храмин тавр, фосилаи бовариноки хиссаи
махсулотхо (0,01; 0,09) буда, бо эътимодияти
боваринокии 0,99 дар фосилаи байни 1 % ва 9 %
мехобад.
Супориш ва чавобхо
1. Имкони аз байни микдори калони лампахои
электрикй интихоби 100 лампа мавчуд аст. Давомнокии
миёнаи кори лампахо 1000 соатро ташкил медихад.
Фосилаи боваринокй барои давомнокии кори лампаи
тасодуфан интихобшуда бо эътимоднокии 95% ёфта
шавад, агар мудцати кори лампа бузургии тасодуфии
нормал таксимшудаи бо тамоили стандартии 40 соат
бошад.
Чавоб: (992,1008).
2. Дар бузургии тасодуфии нормал такримшуда
тамоили стандарта ба 2 баробар аст. Хдчми минималии
интихоб ёфта шавад, ки дар он бо эътимодияти на кам
аз 0,8 хатогии бахои интизорияти математикй аз 0,3
хурд мешавад.
Чавоб: 76.
3. Аз 400 махсулоти бо тарзи тасодуфй
гирифташуда 20 - тоаш нуксондор баромад. Фосилаи
боваринокии хиссаи махсулотхои нуксондор дар байни
хамаи
махсулоти
фирма
бо
эътимодияти
у = 0,99 ёфта шавад.
Натичаи хосилшударо бо натичахои дигар
мисолхо мукоиса кунед.
Боби VI. Коррелятсия ва регрессия.
6.1. Коррелятсия
Яке аз тадбики муними усулдои омори риёзй
мукарраркунии вобастагии байни бузургих,о мебошад.
Дар ин холат дар катори бо тахдили алонидаи
интихобхои аз к,иматх,ои ин бузургих,о тартиб дода
шуда, тахдили якчоя низ имкон дорад. Дар поён баъзе
усулнои чунин тахлил дида баромада мешавад.
Вазъеро дида мебароем, ки хднгоми озмоиш дуто
бузургии тасодуфй яъне X ва У мушохдда карда
мешаванд. Масалан, аз тарафи духтур чен карда
шудани кдд ва вазни нар як одам; ченкунии хдрорати
миёнаи навои ду шанр дар давоми рузи муайян Jfk
гайра. Инак, маълумотнои аввала чуфти ададнои
(н уК Г аХ ,О И )
{ Х 1 9У 1 \ ( Х 2 , У 2 ) > • • • > ( Х п ’ У п )
(1)
мебошад, ки дар ин но п - адади санч;ишх,ост. Дар цатор
танлили бузургинои X ва У дар алонидагй ва инчунин
тадкики вобастагии имконпазири байни онно дикдатро
чалб мекунад. Бузургинои X ва У новобастаанд? Агар
дар байни онно ягон вобастагй мавчуд бошад, пас он чй
гунна аст? Ба расмнои 1 - 4 мурочиат мекунем.
Дар онно намуднои гуногуни графикнои (ё ки
диаграммами) чойгиршавй тасвир карда шудааст, яъне
нуктанои (1) гузошта шудааст. Аз расми 1 дида
мешавад, ки бузургиони тасодуфии X ва У
новобастаанд. Пас, кадом киматро кабул кардани X ро надониста дар бораи кимати У ягон чиз гуфтан
мумкин нест.
Дар расмнои 2 - 4 вобастагй айён аст. К,имати
кабул кардаи бузургии X - ро дониста кимати У - ро бо
кадри кофй санен гуфтан мумкин аст.
Вобастагии дар расмнои 3 ва 4 буда ба хаттй наздик
аст, яъне нуктано бо тарзи намоён дар атрофии ягон
хати рост чойгиранд.
й-|_______________ л
Расми 1
О
-------------- х *
Расми 2
К
♦
*
* •> *
*<**%
% *V * «
*• л *
.**4*
.**V
* **
*JC
РасмиЗ
Расми 4
Дар чунин х,олатх,о мегуянд, к и 'J ва У хаттй
коррелятсияшуда мебошанд. Усули оддии муайянкунии
коррелиронй
бахдсобкунии
коэффитсиенти
коррелятсия гху асоснок шуда аст. Агар фахмо бошад,
ки дар бораи кадом бузургихои тасодуфй сухан
меравад, пас ба ной гху оддй У менависем.
Коэффисиенти коррелятсия дорой чунин хосият
мебошад.
- 1 < г <1
Дар ин чо Т чй кадар ба сифр наздик бошад, хдмон
к,адар коррелятсия суст мебошад. Ва баръакс, У чй
кадар ба 1 ё ба -1 наздик бошад, хамон кадар
коррелятсия пуркувват аст, яъне вобастагии X ва У ба
вобастагии хаттй наздик мебошад. Агар г = \ ё r = —1
бошад, пас нук,тахои ( 1) дар як хати рост мехобанд.
К,айд мекунем, ки коэффитсиенти коррелятсия
дарачаи вобастагии хаттии байни бузургих,оро
инъикос мекунад.
Хднгоми мавчуд будани вобастагии равшан
ифодашудаи намуди дигар (масалан, квадрата) г ба
сифр наздик мешавад. Формулах,ои хдсобкунии Гху - ро
меорем:
(5)
Мисол. Масъаларо дида мебароем, ки дар назди
ронбарият як варзишгох,и болопушида меисгад, ки дар
он вохурщо, консерт^о ва дигар чорабиних,ои
вактхушкунй мегузаронад. Пеш аз чунин чорабинщо
талаб карда мешавад, ки ба чй кадар омадани
тамошобинон бах,о дода шавад. Ин кор барои ташкили
муносибати кории хизматрасоних,ои гуногун зарур аст.
Яке аз муносибат ба налли ин масъала бахдсобгирии
тачрибаи пешина асгг. Чунончи фарз кардан мумкин, ки
адади охирини тамошобинон аз оне, ки чй кадар билет
як руз пеш аз чорабинй фурухта шудааст, сахт вобаста
мебошад.
Бигузор, тачрибаи панч чорабинии аввалаи хдмин
сол чунин бошад:
Микдори билетнои
дар арафа фурухта
шуда (бо назор)
Микдори
тамошобинон (бо
назор)
3,5 4,6
8Д
9,4
5,8
4,2
5,2
11,3 6,9
9,7
Коэффитсиенти коррелятсияи байни микдори
билетнои дар арафа фурухташуда ва микдори
тамошобинон чй гуна аст?
Хал.
Микдори
билетноро
X,
микдори
тамошобинонро У кабул мекунем. Дар чадвал панч
чуфти бузургинои тасодуфй - чуфти ададнои
( X t, Yt ), i = 1,2,... ,5 дода шудааст. Барои нисобкунии
коэффисиенти коррелятсия аввало сумманои зеринро
ёфтан кулай мебошад:
5
х, = 3,5 + 4,6 + 5,8 + 4,2 + 5,2 = 23,3,
/=1
5
£ у, = 8,1 + 9,4 + 11,3 + 6,9 + 9,7 = 45,4,
/=i
± х ? =(3,5)2 +(4,б)2 +(5,8)2 +(4,2)2 +(5,2)2 =111,73,
/=i
i > , 2 = (ВД)2 + (9,4)2 + (11,3)2 + (б,9)2 + (9,7)2 = 423,36,
i=i
' 5
£ х,у, = 3,5 •8,1 + 4,6 •9,4 + 5,8-11,3 + 4,2 •6,9 + 5,2 •9,7 = 216,55.
/=2
Ин сумманоро ба формулахои (2)-(5) гузошта носил
мекунем:
-
х=
23 3
= 4,66,
- 45 4
>' = —j —= 9,08,
= П |7 3 _ ^ 66 J2 = 0 6304j
S 2 = 4 2 |3 6 _
08^2 = 2,2256,
5 ^ = ^ 1 ^ - 4 ,6 6 - 9 ,0 8 = 0,9972,
0,9972
r = , — —,
* 0,842.
^ VO,6304- д/2,2256
Х,амин тавр, коэффитсиенти коррелятсия г ба як
хеле наздик аст. Бо ин холат барои пешгуй намудани
микдори тамошобинон аз руи ахбороти дар арафаи
чорабинй гирифташуда истифода бурдан мумкин.
5.2. Регрессия
Фарз мекунем, ки вобастагии байни бузургихои
тасодуфии X ва У ба функсияи хаттй наздик аст (дар ин
холат коэффисиенти коррелятсия г ба 1 ё -1 наздик аст).
Он гох масъалаи кофтукови чунин функсияи
у = ax + b
(6)
пайдо мешавад, ки вобастагии У - ро аз X ба кадри
кофй дуруст ифода мекунад. Барои ёфтани чунин
функсия методи квадратхои хурдтарин истифода
мешавад.
Инак, бигузор чуфти п адад (дигар хел гуем, п
нукта) дода шудааст:
f a >* М*2»у 2I ••• >(*« ’УJ
Ёфтани чунин хати рост талаб карда мешавад, ки
суммаи квадратхои «тамоилхои» ин нуктахо аз хати
рости (6) ба кадри имкон хурд бошад. Ин, маънои онро
дорад, ки ифодаи
П
] Г [ у ( - ( а * ( + & )] 2
(7)
i=i
бояд минималй бошад (дар расми 5 дар' намуди
порчахои амудй тасвир ёфтааст).
Ифодаи (7) функсияи ду тагйирёбандаи а ва Ъ
мебошад (чунки натичахои мушохдцах,о дода шудааст).
Нишон додан мумкин, ки агар бузургинои а ва Ъ бо
баробарщои
п
п
п
= Z ъУп
7=1
/=1
1=1
п
п
a £ Jxi + n b = Y , y l
,
i =i
/=i
алокаманд бошанд, пас ифодаи (7) кимати минималиро
кабул мекунад. Ин система халли ягонаи
- ро дорад. К^иматхои параметрхои номаълум а ва b - ро
ёфта, мо худи ин хати рости (6) - ро, ки бо тарзи
бехтарин алокаи омории байни бузургихои X ва У - ро
муайян' мекунад, меёбем. Хати рости хосилшуда
регрессияи хати рости У ба X номида мешавад.
Лавоми мисоли дар мавзуи коррелятсия буда
Барои пешгуй намудани микдори тамошобинон, ки
дар масъалаи пешин оварда шуда буд, регрессияи рости
У - ро ба X ёфтан лозим аст. К,иматхои ёфташудаи
S xy , S ^ , x , y
- ро ба формулаи (В) гузошта хосил
мекунем:
0 9972
«1,58,
Ъ= 9,08 -1,58 •4,66 * 1,72.
а=
0,6304
Х,амин тавр, регрессияи хати рости намуди
у = 1,58 • х +1,72 - ро хосил мекунем.
Агар, масалан, дар арафаи чорабинй 4300 билет
фурухта шуда бошад, пас микдори тамошобинон
такрибан
у —1,58-4,3 + 1,72 = 8,514 «8,5
хазорро
ташкил медихад.
Агар регрессияи хати рост ёфта шуда бошад, ба
кадом сахехй натичдхои мушохидахоро бахо додан
мумкин аст. Ба ифодаи (7) киматхои ёфташудаи а ш Ъ ро гузошта, хатогии миёнаи квадратиро ё хатой
г*
муодилаи регрессияро меёбем, ки бо харфи О (дельта)
ишора карда мешавад:
Бузургии
8
к;имати миёнаи дарозии ггорчах,ои
амудии дар расми 5 бударо ифода мекунад. S чй к,адар
хурд бошад, х,амон кадар натичах,ои мушодидах,о ба
хати рости регрессияи ёфташуда наздик мебошанд.
Кайди 1. Хдсобкунии хатогии квадратии миёна
хдмон вакт ахамияти калонро дорад, ки агар дар
катори модели вобастагии хаттии У ва X муодилахои
вобастагщои дигар низ дида баромада шаванд.
Масалан, дар холате, ки дар расми 2 ба сифати
муодилаи вобастагии У аз X хати ростро не, балки
параболаро интихоб намудан дуруст аст. Барои хар яке
аз муодилахо хатогии миёнаи квадратии онхоро ёфта,
пас аз байни онхо минималиашро интихоб намудан
лозим аст. Агар, масалан, хати качи регрессионй
параболаи у —ах 2 +Ь х + с бошад, пас хатогии миёнаи
квадратии
S аз
руи
формулаи
8 = J —/^[у, - (axf + bxt + с)] хисоб карда мешавад.
Vп i=i
Кайди 2. Дида баромадани вобастагии параметри У
аз як чанд параметри Х 1, Х 2, . . . , Хп дар намуди
у = а хХ х + а 2Х 2 Н------(- а пХ п + b имконпазир аст, ки
дар ин чо ададхои а ], а 1, . . . , а п - ро муайян намудан
лозим аст. Чунин вобастагиро регрессияи хаттй
бисёрченака меноманд.
Супориш ва чавобхо
Хднгоми балгузорй
намудани натичахои
имтихонхои тестй аз таърих (X) ва чугрофияи (У) - и
чуфти ададхои зерин барои чор талаба хосил шуд: (2;2),
(4;5), (6;7), (8; 10). Коэффитсиенти коррелятсия ва
регрессияи хаттии У в а Х ёфта шавад.
Чавоб: гху = 0,997,
у = 1,3* -0,3.
Таджики талабот ба ягон намуди мол гузаронида
мешавад. Фуруши озмоишй маълумотхои зеринро дар
бораи вобастагии талаботи якруза аз нарх нишон дод:
Нарх, сомони
10
12
14
16
18
Талабот ба вохиди мол
91
78
68
39
53
Талаб карда мешавад:
а) коэффитсиенти коррелятсияи байни нарх X ва
талабот, У муайян карда шуда, регрессияи ростхаттаи У
ба X тартиб дода шавад:
б) аз маълумотхои пункта в) истифода намуда
хангоми 15 сомони будани нархи як вохиди мол
талабот ба он муайян карда шавад.
Чавоб :а) гху = -0,986,
у = -4,65* + 134,3,
б) 65.
1.
Дар вазъияти масъалаи дуюм, модели дигар
вобастагии талабот аз нарх
х
пешкаш карда шуд.
Кадоме аз ин моделхо
эксперименталй мувофик аст?
ба
маълумотхои
Боби VII. Тафтиши фарзиях^ои оморй.
7.1. Мафх;умх;ои асосй
Дар бисёр вазъиятхо зарурияти дар асоси
маълумотхои м а в ч у д а , дурустии ин ё он мулохизаро
тасдик; ё рад намудан пайдо мешавад. Масалан: дуруст
аст, ки тирандози А нисбати В хело мохир аст: аз хона
то чои кор нисбат ба троллейбус бо автобус тезтар
рафтан мумкин аст; доруи нав нисбати кухна бехтар
аст ва гайра.
Агар маълумотхои аввалаи чунин мулох,изах,о
тавсифи тасодуфиро дошта бошанд (дар хамаи мисолхои
овардашуда махз чунин аст !), пас чавобхоро низ бо
дарачаи муайяни дилпурй фак,ат додан мумкин аст.
Инак, фарзияи оморй - ин дар бораи бузургии
тасодуфй тахмин кардан мебошад. ки аз руи интихоб
таЛтиш
карда
мешавад
(аз
руи
натичахои
мушохидахо). Мукоисаии фарзияи гуфташуда бо
маълумотхои интихоби тафтиши фарзия номида
мешавад.
Мисоли 1. Тангаро 10 бор мепартоем. Дар асосй
натичахои хосилшудаи ин холат дар бораи дурустии
(симметрй будани) танга мулохиза рондан мумкин.
Фарзияхои имконпазир:
1) танга дуруст аст;
2) герб бисёртар мебарояд;
3) ракам бисёртар мебарояд.
Мухим аст, ки тахминкунии аввала бояд дар
истилоххои параметрхои дар аввали масъала
иштирокунанда ифода карда шавад. Ба сифати
параметр эхтимолияти афтидани герб р - ро интихоб
намуда, фарзияхои дар боло овардашударо чунин
навиштан мумкин:
1
1
1
1 )Р = - ,
2) р > ~2>
Ъ)Р<2
Мисоли 2. Тирандозхои А ва В ба нишон 3 - тогй
тир холй кардаанд. Фарзияхо : 1) А хубтар мепарронад,
2) В аз А бад намепарронад,
3)
А ва В бо як хел сахехД тир холй мекунанд ва Faftpa.
Кадоме аз ин се фарзияро кабул намудан дуруст аст.
Бо О мачмуи натичахои мушохида (интихоб) - и
гуногуни СО - ро ишора мекунем. Минбаъд фарзияи
Я 0(аз руи ягон меъёр бехтар) - ро кайд мекунем ва
онро асосй ё ки сифрй меномем. Бигузор мо онро бо
дигараш фарзияи алтернативии Я, (фарзияхои
ахггернативи якчандто ва хатто беохир бисёр мешавад)
мукоиса намуда, мехохем тафтиш кунем.
Дар П сохаи 5 - ро аз руи мулохизахои зерин чудо
мекунем. Агар фарзияи # 0дуруст бошад, пас руйдихии
ходисаи © € S кам эхтимол аст. Ин чунин навишта
мешавад:
PffAa ^ s } = a ,
ки дар ин чо ОС ба сифр наздик аст. Дигар хел гуем,
эхтимолияти ходисаи со e S бо шарте, ки фарзияи
Н 0дуруст аст ба ададй ба сифр наздики (X баробар аст.
Ин ададй а сатхи ахамиятнокии фарзияи Я 0, сохаи S сохаи бухронйи фарзияи М 0 номида мешавад.
Кайд. Калимаи «ададй а ба сифр наздик» нисбат ба
вазъияти конкретй муайян карда мешавад. Масалан,
хангоми б а кор кабул намудани ин ё он ходим
эхтимолияти а = 0,01 дар бисёр мавридхо хурд
хисобида мешавад. Агар сухан дар бораи радкунии
системаи тормози мошин равад, пас хамон эхтимолияти
а = 0,01 то дарачае баланд мебошад (ба хисоби миёна
ба сад тормозкунй якто холати радкунй).
Мо одатан ОС - ро ба 0,01 ё ба 0,05 баробар фарз
мекунем.
Агар ходисаи (О е S руй дода бошад, фарзияи # 0
рад карда мешавад. Дар ин холат мумкин, ки ба
хатогие рох дода шавад, ки дар он фарзияи # 0 бошад
хам, инкор карда мешавад. Ин хатой нити якум
номида мешавад.
Хатой чинси дуюм низ имкон дорад, ки он хангоми
нодуруст будани фарзияи Я 0 нодуруст кабул карда
мешавад. Ин фарзияхо алтернативй мебошанд.
Фарзияи ягонаи алтернативии Я, бо энтимолияти Р
чунин навишта мешавад: (3 = Рн (со £ S ) . Раванди
тафтиши фарзияи омориро дар мисоли ташхиси
туберкулёз (сил) (мисол ба яке аз асосгузорони омори
риёзй - Ю.Нейман тааллук дорад) дида мебароем.
Мисоли 3. Ба худ тасаввур мекунем, ки дар ягон
клиника нангоми ташхискунй якчанд суратнои
рентгении беморон бо максади фанмидани аломатнои
имконият доштаи касалии сил гирифта мешавад. Фарз
мекунем, ки тафсиркунии якчанд суратнои ба як бемор
тааллук дошта чунин гузаронида мешавад, ки
новобастагии ташхисро аз руи нар як сурат аз
хулосанои суратнои пешина таъмин месозад. Инро ба
рентгенолог барои азназаргузаронии суратнои ба
одамони гуногун тааллукдоштаро бо тарзи тасодуфй
пешнинод намуда ноил гаштан мумкин.
Минбаъд мо истилох,и «тахдили рентгени» - ро
барои ифодаи ду амал: истенсоли сурат ва тафсири он
аз тарафи рентгенолог кабул мекунем. Хдмин тавр, п то
тахдили рентгении шахе гуфта гирифта шудани п то
сурат ва аз руи нар як сурат ташхис карданро
мефанмем.
Бигузор 1ачрибаи гузаштаи клиника чунин ифода
карда мешавад:
1. Агар бемор ягон нишонаи силро надошта бошад,
пас энтимолияти он, ки сурати алонидаи рентген хато
мебошад ба Р х = 0,01 баробар аст;
2. Агар бемори мазкур гирифтори сил дар шакли
муътадил бошад, пас энтимолияти он, ки тахдили
алонидаи рентгени касалиро муайян мекунад, ба
Р 2 = 0,6 баробар аст. (Барои осонй категорияи
беморони дар шакли вазнинии сил гирифторбударо ба
нисоб намегирем).
Фарз мекунем, ки барои нар як бемор
п = 5 тахдили новобаста гузаронида мешавад. Бо (О
адади танлилноро ишора мекунем, ки дар онно
чавобх,ои мусбй гирифта шудааст. Минбаъд фарз
мекунем, ки агар б) = О бошад бемор тамоман синат ба
нисоб меравад, дар нолати баръакс у бояд барои
фанмидани гирифтори сил будан муоинаи чиддй карда
шавад.
Тартиби нав ифодашуда - ин мисоли санчиши
фарзияи оморй аст.
Дар нолати мазкур фарзияно дутоанд: якум - бемор
гирифтори сил аст, дуюм - бемор синат аст. Шояд дар
нолати мазкур касалии саршударо нагузаронидан аз
беморро бо танлили зиёдатй ноором кардан, мунимтар
аст.
Бинобар ин ба сифати фарзияи асосй Я 0 якум «бемор гирифтори сил аст» - ро кабул мекунем. Фарзия
дуюм инкори фарзияи асосй мебошад, ки онро бо Я, «бемор синат аст» ишора мекунем.
Мачмуи Q натичанои гуногуни мушонидано
{0,1,2,3,4,5}
(расми 1) мебошад, чунки натичаи мусбй танлили
0, 1,2 ,3,4,5 - ро дошта метавонад.
S
ф-------- 1-------- • ------- --------- ♦-------- Ф------- ^
.. 0—
1
2
3
4
5
СО
Расми 1
Амалияи баркароршуда дар он аст, ки дар намай
нолатное, ки акаллан як ташниси рентгенй чавоби
мусбиро динад, гирифтори сил будан гумон карда
мешавад. Маънои онро дорад, ки сонаи хатарноки S аз
як нуктаи интихобии СО — 0 иборат аст. Яъне, агар дар
байни п = 5 ташхисхои рентгенй ягонто натичаи
мусбй набошад, фарзияи Я 0 рад карда мешавад.
Эхтимолияти а - и хатой чинси якумро меёбем.
Фарзияи Я 0 ичро шудааст, аммо со = 0 чой дорад:
а = р {со = 0 / Н 0} = ( 1 - Р 2)п = (0,4 )5 = 0,01024.
Агар фарзияи Я, ичро гардида бошаду, СО & 0
бошад, пас хатой чинси дуюм чой дорад. Эхтимолияти
Р - и хатой чинси дуюм ба
р = р ( < о > 0 / Я , ) = 1 - р { ® = 0/ Я , } = 1 - ( 1 - й )" =
= 1-(о , 99)' =0,04901
баробар аст.
Натичахои хосилшударо бо тарзи зерин шарх додан
мумкин аст. Агар хамаи тахминхои кардашуда
такрибан ичрошаванд ва дар клиника доимо муоличаи
доимй ва ташхисхои бисёркаратаи рентгенй гузаронида
шаванд, пас дар асоси тахлили ба панч ташхис
асоснокшуда барои як фоизи хамаи беморони
гирифтори сил буда (а к 0,01 = 1%) ва такрибан барои
95 % хамаи беморони ба касалии гирифтор
набудаи (l —Р « 0,05 = 5%) натичаи ташхис манфй
мебошад.
Боз як мисоли муоинаи тафтиши фарзияи омориро
дида мебароем.
Мисоли 4. Дар партияи калони бор махсулотхои
нуксондор мавчуд
аст. Таъминкунанда ин хиссаро ба 3 %, харидор 20 %
тахмин мекунад. Чунин шартнома гузошта шуд: Агар
хангоми
тафтиши
10
махсулоти
тасодуфан
гирифташуда на беш аз як махсулоти нуксондор пайдо
шавад, тахмини харидор кабул шуда. дар акси хол рад
карда мешавад. Фарзиянои сифрй ва алтернативиро
мухтасар ифода карда мешавад. Сохди хатарнок ва
сохди кабулкунии фарзияи сифриро муайян карда
мешавад. Хатонои чинси якум ва дуюм дар чист,
мухтасар ифода карда, энтимолияти онхоро нисоб
карда мешавад.
Хал. Агар ба вазъият аз нук,таи назари харидор
нигох, карда шавад, пас фарзияи # 0, аз афташ фарзия
дар бораи махсулоти нуксондори 20% - а нисоб карда
мешавад. Фарзияи алтернативии Н х ба тафсири
таъминкунанда - мах,сулотх,ои нуксондор 3% мувофик,
аст.
Чй тавре, ки 10 мансулот гирифта мешавад ва баъд
адади мах,сулотх,ои нуксондор к,айд карда мешавад, пас
мач;муи
натичахои
гуногуни
санчишх,о
Q = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} мебошад, чунки м а * с у л о т * о и
нуксондор 0,1,2,..., 10 то мумкин шаванд. Аз руи шарти
таъмин фарзияи харидор дар х,олати (О < 1 инкор карда
мешавад, чунки сохди хатарнок чунин аст:
S = {0,1}.
Мувофикан сох,аи кабулкунии фарзияи сифрй:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} мешавад.
Хатой чинси якум аз он иборат аст 6 фарзияи сифрй
дуруст бошад нам, инкор карда мешавад. Дар нолати
мазкур ин маънои: мансулотнои дар он 20% нуксондор
бошанд нам, харида мешаванд.
Хатой чинси дуюм аз кабулкунии фарзияи сифрй
иборат буда, худи намин вакт фарзияи алтернативй
дуруст мебошад. Ин маънои онро дорад, ки дар
партияи мансулотно 3% нуксондор бошад нам,
харидорй намешавад.
Акнун энтимолияти ин хатоноро меёбем.
Агар фарзияи сифри Я 0 дуруст бошад, пас
эхтимолияти он, ки як махсулоти тасодуфан
интихобшуда нуксондор аст 0,2 ро ташкил медихад.
Хатогии чинси якум, дар байни 10 махсулот на беш
якто нуксондор мавчуд аст. Кдйд мекунем, ки хангоми
дуруст будани фарзияи Я 0 ададй махсулоти нуксондор
бузургии тасодуфии
мебошад. Бинобар ин
СО
Р(со = 0) = (0,8)‘° * ОД07,
биномиалии
5/(10; 0,2)
Р(со = l) = 10 •(0,8)9 * 0,268.
Акнун эхтимолияти ОС - и хатой чинси якумро
хисоб кардан мумкин:
а = Рщ {со < 1} = РНо {со = 0}+ РИо {со = 1} = 0,107 + 0,268 = 0,375.
Агар фарзияи алтернативии Я, дуруст бошад, пас
эхтимолияти интихоби махсулоти нуксондор 0,03
мешавад. Агар аз 10 махсулот дуто ё зиёдтар нуксондор
бошад, пас хатой чинси дуюм руй медихад.
Дар холати дурустии фарзияи
Я,
ададй
махсулотхои нуксондор (О низ бузургии тасодуфии
биномиалй, аммо бо параметри дигари 2?/(l0; 0,03)
мебошад. Аз ин сабаб
Р(со = 0) = (0,97)10 * 0,737, Р(а> = l) = 10 •(0,97)9 •0,03 * 0,228.
Х,амин тавр, барои эхтимолияти Р - и хатой чинси
дуюм хосил мекунем:
/} = р(со> 1/ Н х) = \ - р { а > < 1/ Я,} = 1 -/7 {со = 0/ Я ,} - р { а = 1 / Я,} = 1-0,737-0,268 = 0,035.
Кайд. Аз мукоисаи эхтимолиятхои а ва р хулоса
баровардан мумкин, ки тартиби кайдшудаи тафтиш
барои таъмикунанда фоидаовор аст.
7.2. Тафтиши фарзиянои биномиалй
Дар ин кием мо як намуди хусусии фарзиянофарзиях,ои бо энтимолияти х,одисах,о вобастабударо
дида мебароем. Тафтиши чунин фарзияно бо таксимоти
биномиалй алокаманд мебошанд, бинобар ин, онноро
фарзиянои биномиалй меноманд. Фаркд асосй аз
пешина дар он аст, ки дар он чо энтимолияти нато аз
руи сонаи хатарнок ва сонаи кабулкунии фарзияи нули
муайян карда мешавад. Акнун мо баъракс, сонаи
хатарнокро дар асосй дарачди анамиятнокии у
мекобем.
Мисоли 5. Дар бораи ягон шашхол акддае пешнинод
шудааст, ки нангоми партофтани он раками “шаш”
бисёртар мебарояд. Талаб карда мешавад, ки чунин
будани он тафтиш карда шавад.
Фанмо аст, ки маъсала санен гузошта нашудааст. Барои
саненкунй аввало фарзиянои нулй ва алтернативиро
муайян мекунем. Чй тавре, ки энтимолияти баромадани
“шаш”, дар шашноли дуруст, 1/6 ро ташкил мекунад,
пас фарзияи сифрии
- ро дорем. Фарзияи алтернативй бояд бо тарзи:
я„: Р >\
интихоб шаванд, яъне “шаш” бисёртар меафтад. Чунин
фарзияи алтернативй росттарафа номида мешавад. Ду
намуди дигари фарзиянои алтернативй дар мисолнои
оянда дида баромада мешавад.
Холати
дигари
сахехкуниро
талабкунанда:
санчише, ки дар асосй он фарзияи сифрй кабул ё ки
инкор мешавад аз чй иборат аст? Фарз мекунем, ки
санчиш аз 120 бор партофтани шашхол иборат аст. Дар
ин нолат адади баромадани “шаш” кайд карда
мешавад, ки он бо О) ишора карда мешавад.
Минбаъд, интихоб намудани сатх,и ахдмиятнокии
а зарур аст. Ба хотир меорем, ки ин эхтимолият
фарзияи нулиро инкор мекунад, ба шарте, ки у дуруст
бошад. Фарз мекунем, ки а = 0,01
Дар нолати мазкур мачмуи натичахои гуногуни
санчишно Q чунин мешавад:
{0 , 1,..., 120},
чунки дар нолати 120 бор партофтани
шашхол “шаш” метавонад аз 0 то 120 бор афтад.
Акнун муайян намудани сонаи натарнокии S монд.
Ин масъала аллакай ба тартиб оварда шудааст. Дар
накикат, агар “шаш” 50 бор афтад, пас фарзияи
сифриро инкор кардан лозим. Агар 50 бор бошад-чй? Ё
ки 30 маротиба? Равшан аст, ки сонаи натарноки S дар
ин чо намуди {а>0,(О0 + 1, 0)0 + 2 ,...Д 20 } - ро дорад, ки
Щ - адади ба муайянкунй вочиб мебошад. Чунин
сонаи хатарнок росттарафа номида мешавад, у ба
сарнади чапи мачмуи Q часпида мебошад.
Барои ёфтани сонаи хатарнок
аз он истифода
мебаранд, ки адади СО. и афтиши “шаш” дар 120
санчиши - бузургии тасодуфии биномиалии мумкин ба
бузургии тасодуфии нормалии наздикшуда бошад.
Агар р = 7 (фарзияи Я 0 дуруст) бошад, пас
6
Акнун ададй
х Рост
- ро меёбем, ки барои он
р ( л г ( 2 0 ,4 ) > х ,„ ) = 0 ,0 1
аст, ки дар ин но х Рост -кимати хатарноки сохаи
хатарнок ва сохаи кабули фарзияро чудокунанда
мебошад. Чй тавре, ки пештар кайд карда шудааст,
сохаи хатарнок дар ин чо росттарафа мебошад (расми
2). Бовар намудан мумкин аст, ки кимати хатарноки
росттарафаи х р0Ст аз руи формулаи
Хрсст
+ $ Щ-2а
0)
хисоб карда мешавад, ки дар ин чо
Щ-га халли
муодилаи
2 Ф(их_2а ) = \ - 2 а
мебошад. Аз ин чо хосил мекунем:
и\- 2а = « 0,98 = 2,3; хпр = 20 + 4 • 2,3 = 29,2.
Хдмин тавр, агар фарзияи сифрй дуруст бошад, пас
эхтимолияти баромадани “шаш” зиёда аз 29 бор хело
кам аст. Дар натича, хосил мекунем:
S={30,31,...,100}
(яъне со0 = 3 0 ). Мувофикдн сонаи кдбули фарзияи нули
чунин аст {ОД,...,29}.
Кайд. Хотиррасон мекунем, ки а низ энтимолияти
хатой чинси якум номида мешавад. Энтимолияти хатой
чинси дуюм дар ин чо адад нею, функсияи
Р ( р ) мебошад, чунки фарзияи Я , конуни так,симотро
яккиммата намединад. Ба хонанда муставил о на муайян
намудани шакли функсияи Р { р ) - ро пешнинод
мекунем.
Дар мисоли дида баромада шуда, сонаи хатарнок
яктарафа . яъне дар нолати хусусй росттарафа буд.
Сонаи хатарноки чаптарафа б а фарзияи алтернативии
Р < PQ
мувофикаг
чаптарафаи
Х чап —
8
мекунад.
Х 2 аз
Щ -2 а
Кдшати
руи
хатарноки
формулаи
(2 )
ёфта мешавад (расми 3).
Дар мисоли зерин соха яктарафа аст.
Мисоли 6. Дар бораи тангае мегуянд, ки у «дуруст»
агар энтимолияти баромадани герб ва ракам байни худ
баробар бошад. Танга 100 бор партофта шуд, дар ин
холат 70 бор герб, 30 бор ракам афтид.Тасдикот дар
бораи «дуруст» будани танга дар сатхи 5% - и
ахдмиятнокй тафтиш карда шавад (яъне дар сатх,и
ахамиятнокии а = 0,05).
Дар ин чоф арзияхои сифрй ва алтернативй бо
тарзи зерин тасвия карда мешаванд.
Н .-.Р -Л ,
ки дар ин чо р - эхтимолияти афтидани герб. Дар ин чо
фарзияи алтернативй мисли сохаи хатарнок дутарафа
мебошад. Ин ба он вобаста мебошад, ки нисбати
бисёртар ё ки камтар афтидани герб, фарзкунихо
мавчуд нестанд.
Мачмуи натичахои гуногуни мушохидахо Q (дар
ин чо ин микдори афтидани герб) ададхои бутуни аз 0
то 100 ро ташкил медиханд:
П ={0,1,. . . ,100}.
Ададй афтидани герб О) - бузургии тасодуфии
биномиалии 5/^100,^-j аст.
Хдмин тарик,
fi,sJV(100T J100| ( 1'^))=Ar(50’5)
Расми 4
Дар расми 4 сонаи хатарноки дутарафа тасвир ёфтааст.
Киматхои хатарноки х, ва х г аз руи формулахои
х х= ц - 5 и ^ ,
х 2 = /и + д и 1_а
(3)
хисоб карда мешаванд, ки дар ин 40 w,_a - решай
муодилаи
2 ф{щ _а ) = 1 - а
мебошад. Дар нолати мазкур хосил мекунем.
и \-а
=
х, = 5 0 -5 -2 = 40,
М 0.95 =
^
х2 = 5 0 + 5 -2 = 60
Хамин тавр, сохаи хатарнокро киматхои СО - и то
40 ва аз 60 боло ташкил медиханд:
S={0,1,2,...,40}U{60,61,...,100}.
Кдйд мекунем, ки хангоми СО =40 ё СО =60 кдрори
катъиро оид ба эътибор гирифтани фарзияи сифрй ё
инкори он ифода мекунад. Аммо дар холати мазкур
СО =70 аст.
Аз ин сабаб фарзияи Н 0 ба фоидаи
фарзияи Н хинкор карда мешавад. Хулосаи охирин
чунин аст: танга «дуруст» не. Дар холати умумй
тартиби тафтиши фарзияи биномиалй аз кадам^ои
зерин иборат аст:
1) баёни фарзиянои сифрй ва алтернативй;
2) интихоби сатхи ахамиятинокии а ;
3) муайянкунии хачми интихоб п;
4) тасвири мачмуи натичахои гуногуни мушохидахо П;
5) хисоб намудани сонаи хатарноки S ва сохаи
кдбули фарзияи сифрй
(яктогй аз формулахои (1), (2)
ё ки (3));
6) ичрои эксперимент (чамъоварии маълумотхо) ва
кдбули кдрор.
Мисоли 7. Конвейери истенсолкунанда 5 % моли
нуксондор баровард. Барои кам кардани фоизи
махсулоти нуксондор конвейер таъмир карда шуд. Пас
аз он барои азназаргузаронй 300 вох,иди мол оварда
шуд, ки аз онхо 9 - тоаш нуксон дорад. Бо сатхи
ахамиятнокии 1% сифати махсулоти конвейерро
бехшуда хисобидан мумкин аст?
Хал. Дар ин чо фарзияи сифрй аз он иборат аст, ки
конвейер чун пештара 5 % бесифат махсулот истехсол
мекунад:
Н 0 : р = 0,05.
Фарзияи алтернативии
нуксон кам мешавад:
Н х - чаптарафа аст - фоизи
Н { : р < 0,05.
Сатхи ахамиятнокй ва хачми интихоб бо шартхо
а = 0,01,
п = 300
дода шудааст.
Агар хангоми тафтиш ададй махсулотхои,
нуксондор со кайд карда шавад, пас ин бузургй
кдматхои мачмуи
Q = {0,1,...,300}.
- ро кабул карда метавонад.
Дар холати дурустии фарзияи # 0 бузургии со
бузургии тасодуфии биномиалии 5,(300;0,03) мебошад.
Храмин тарик,
т » N(3000,0 5 ;7 3 0 0 ^ 0 ^ 0 9 ?)* N( 15;3,8)
Сархади сохаи хатарнокро аз формулаи (2) меёбем:
« 1 —22 = « 0 ,9 8 = 2 > 3 j
хчая = 1 5 -3 ,8 -2 ,3 = 6,26
Хамин тавр, сохаи хатарнокро дар намуди
5 = {0,1,...,6}.
навиштан мумкин. Сохаи кабули фарзияи сифри
мувофикан чунин аст: {7,8,...,300}.
Агар дар интихоб 9 вохиди мол нук,сондор
бошанд, пас фарзияи сифрии зеринро кдбул кардан
лозим аст. Хулосаи охирин бех шудани сифати
махсулот нодуруст аст.
7.3.Критерияи мувофик^оварии % 2 (хи-квадрат)
Хднгоми тафтиши фарзиях,ои биномиалй тафтиши
фарзия дар бораи баробарии энтимолияти номаълум ба
ягон адад талаб карда мешавад. Дар ин но сухан дар
бораи сахехкунй кимати як параметрй эхтимолй
меравад. Тафсифи дигари тафтиши фарзия дар бораи
баробарии ба киматхои муайян будани якчанд
эхтимолиятхоро талаб мекунад (дигар хел гуем, сухан
дар бораи конуни таксимот меравад). Дар чунин
холатхо критерияи мувофиковарй тадбик карда
мешавад, ки яке аз онхоро мо дида мебароем.
Бигузор дар натичаи ягон санчиш яке аз z
ходисахои А , ,Л 2, . . . , Л Я руй дихад. Фарзияи сифрии
Я 0 намуди.
Р(А)= P i , Р М = Рг> ...,p(Az) = p z,
ки дар ин чо р {, р 2, . . . , р я
- ададхои мусбати
суммаашон ба 1 баробар мебошад.
Маълумотхои аввалаи барои тафтиши фарзияи Н0
натичахои п санчишхои новабаста мебошанд. Бигузор
ин натичахо зерищ о бошанд.
Хрдисаи А , т 1 маротиба руй дод.
Х,одисаи А 2 т2 маротиба руй дод.
Х,одисаи А г т Гмаротиба руй дод.
Равшан аст, ки
тх + т2 + •
•
•
+ mz =п
Бузургии х 2~ ( хи к в а д р а т ро аз руй формулаи
,=i
nP,
хисоб мекунем. Ин кимат дар тафтиши фарзия
хдлкунанда мебошад. Бузургии %2 нишон медихад, ки
чй кддар кимати эксперименталии mj аз кдмати
назариявии эхтимолтарини п р ; дур меравад. Кайд
мекунем, ки бузургии % г метавонад факат киматхои
гайри манфиро кабул кунад (аз ин чо ишоракунии (хи
квадрат).
Худи тафтиши фарзй бо тарзи зерин ичро мешавад.
Сатхи ахдмиятноки а =0,05 ё а =0,01 интихоб карда
мешавад (дигар кдматх,о низ имкон дошта метавонад).
Баъд k = г - 1 хисоб карда шуда кимати хатарноки %2
(аз а ва к вобаста буда) аз руи чадвали
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,01
6,8
9.2
11,3
13,3
15,1
16.8
18,5
20,1
21,7
23,2
0,05
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
%
ёфта мешавад.
Агар X 1 > x l бошад, пас фарзияи Н 0 инкор карда
мешавад, дар холати баръакс кабул мешавад.
2
Кайди 1. Ч,адвали кдматхои хатарноки %х (барои
кулай будан дар иловаи охири китоб такрор ёфтааст) аз
баъзе тасаввуротхои назариявй хосил карда шудааст.
Кор дар он аст, ки хангоми хакикй будани фарзияи
сифрй бузургии % 2 мувофикиоварии таксимоти
бузургии тасодуфии х 2( к ) - “хи-квадрат бо дарачаи
озоди к ” таксимшуда (такрибан) мебошад (таксимоти
Х 2х ( к ) таксимоти К. Пирсон низ номида мешавад). Дар
ин холат кимати хатарноки x l аз шарти
Р ( Х 2(Ю > Л2х ) = а
муайян карда мешавад.
Худи бузургии Х х { к ) бошад у хамчун суммаи
квадратхои к то бузургихои тасодуфии цормалии
стандартй муайян карда мешавад:
х 1 ( к ) = и \ + и гг+ . . л и \ ,
ки дар ин ч,о
Ui=N(0,l), i=l,2 ,...,к
Кайд мекунем, ки
ф 2(£ )]= £ ,
D [x 2( k ) ] = 2 t .
Кайди 2. Критерияи х 2 хамон вакт татбик карда
мешавад, ки агар хамаи бузургихои npt кифоя калон
бошанд. Масалан хангоми
п р > 5 , i= l,2 ,...,r .
Мисоли 8. Бюффон хангоми 4040 бор партофтани
танга 2048 бор баромадани герб ва 1992 бор
баромадани ракамро хосил намуд. Дар сатхи
ахамиятнокии ОС =0,05 фарзияро дар бораи он, ки
танга “дуруст аст”, тафтиш мекунем.
Хал. Дар ин но дар натичаи санчиш мумкин яке аз
ду ходисот - афтидани герб ё ракам руй дихдд.
Бинобарин хосил мекунем:
Ах = {афтидани герб],
А2 = {<афтидани ракам],
я = 4040;
Фарзияи сифрй
тх =2048;
т 2 =1992.
Я 0 : ? ( 4 ) = ф г) = 1 ,
яъне
р х = р г = —•
Бузургии х 2_Р° х,исоб мекунем. Х,осил мешавад :
2 _ (тх - прхУ | (т2 - пр2)2 _ (2048-2020)2 <
^
прх
прг
2020
(‘9 9 2 -2 0 20)1^ о
2020
Адади дарачадои озоди к дар х,олати мазкур ба г-1=21=1 баробар аст. Аз руи кимати маълуми а = 0,05, А:=1
аз чадвал меёбем
**<3,8.
Чй тавре, ки мебинем
х 1 <xl
аст, пас, фарзияи сифрй кабул карда мешавад: Танга
дуруст буд.
Мисоли 9. Фирма дорой се магозаи ба як дигар
наздик чойгир буда дорад. Рох,барияти фирма карор
кард, ки чй гуна ташрифкунандагони ин се магозаро
муайян кунад. (Ин фаркият аз руи фикри родбарият бо
чойгиршавии магозаро, аз хизматрасонии фурушандах,о
ва гайра вобаста аст).
Барои тафтиш маълумот дар бораи микдори
харидорони дар давоми х,афта харид намуда чамъ карда
шуд. Дар магозаи якум ин адад 160, дар дуюм-225, дар
сеюм 215 т-ро ташкил дод.
Хал. Дар ин чо фарзияи сифрй баробарии
эх,тимолиятх,ои ташрифи харидори магози якум (Pi)
дуюм(Рг) ва сеюм (Рз) мебошад:
Я0: Л = Л = Л = }
Дар натичаи санчиш носил мекунем.
/и, =160,
т2 = 225,
т3 = 215
« = 160 + 225 + 215 = 600
Бузургии
(160-200)2 | (225-200)2 ( (215-200)2 _ 12 25
200
200
200
Акнун ба чадвали киматхои хатарнок (хангоми
к=2) мурочиат мекунем. Х,атто дар сатхи ахамиятнокии
2
а = 0,01, Хх =9,2 ро хосил мекунем. Х,амин тавр
Бинобар ин, намоён аст, ки фаркд ташрифнокии
магозахоро дар давоми хафта бо ларзишхои тасодуфй
баён намудан мумкин нест.
Супоришхо ва чавобхо
1.
Дусти Шумо тасдик, мекунад, ки у таъми ду
навъи наздики виноро агар хама вакт набошад хам,
акдалан дар 4 холат аз 5 то фарк, карда метавонад.
Шумо моили он, ки у фак,ат тахмин мекунад.
Харду ин фикрро дар шакли фарзияи оморй
мухтасар ифода намоед ва ягон тартиби тафтишро
пешкаш кунед. Хатохои чинси якум ва чинси дуюм дар
чист?
2.
Кугтй микдори калони сакдохои сафед ва сиёхро
дорад. 100 бор амалиёти зерин гузаронида мешавад: аз
куттй таваккал сакдо гирифташуда ранги онро к,айд
карда гашта, ба куттй партофта мешавад, баъди ин
сакдохо омезиш карда мешаванд.
Маълум шуд, ки 67 маротиба саккои сафед, 33
маротиба сакдои сиёх гирифта шуд. Мумкин аст, ки дар
сатхи ахамиятнокии 5% фарзияро дар бораи он, ки
хиссаи сакдохои сафед дар куттй 0,6- ро ташкил
медихад, кдбул карда шавад?
Чавоб: ха.
3. Доруе дарди 80%-и беморони чаррохй шударо
рафъ мекунад. Доруи нави барои хамон максад
истифодашаванда аз 100 бемории чаррохишуда ба 90
тоаш ёрй расонид. Оё
доруи нав дар сатхи
ахамиятнокии ОС =0,05 аз аввала бехтар аст? Дар сатхи
Of =0,01 бошад чй?
Чавоб: ха.
4. Шашхолро 60 маротиба партофтаанд, дар ин холат
ададхои 1,2,3,4,5,6 мувофикан 12,9,13,11,8,7 маротиба
баромадаанд. Дар сатхи ахамиятнокии 5% симметрй
будани шашхолро инкор намудан мумкин аст?
Чавоб: не
5. Се коргар дар се дастгохи якхела кор мекунанд. Дар
охири бает коргарй якум 60 детал, дуюм 80, сеюм 100
деталро тайёр кардаанд. Дар сатхи ахамиятнокии
ОС =0,01 фарзияро дар бораи он, ки махсулнокии
мехнати ду коргарй аввал баробар буда, аз
махсулнокии коргарй сеюм ду маротиба хурд аст, кабул
намудан мумкин аст?
Чавоб: ха.
Боби VIII.Графх,о ва шабака^о.
8.1. Графхо
Яке аз шохахои моделсозии математики ин сохтан
ва тадбик намудани графхо барои халли масъалахои
мухими хаётй мебошад. Дар ин но якчанд масъалахоро
оид ба сохтани графхо дида мебароем.
«Ба ман масъаларо дар бораи чазираи дар шахри
Кёнисберг чойгир будаи бо дарё ихота шуда, ки дар он
7 купрук партофта шудааст, пешниход карда шуд. Оё
хар яки ин купрукхоро факат як бори гузашта ба чои
аввала баргаштан мумкин аст? Худи хамон замон ба
ман маълум гардид, ки ягон кас то хол инро ба чо
наовардааст ва исбот накардааст, ки ин гайри имкон
аст. Ин масъалаи наонкадар сермаъно маро ба худ чалб
кард. Барои халли ин масъала на геометрия, на алгебра
ва на санъати пайвасткунй кифоя нестанд. Пас аз
мулохизаронихои зиёде ман ко идай осони ба исботи
эътимоднок асоснок шударо ёфтам, ки бо ёрии он
Намай масъалахои чунин намуд доштаро ба осонй хал
кардан мумкин аст».
Аз мактуби JI. Эйлер аз 13 марти с. 1736.
Шахри Кёнисберг (холо Калининград) дар хар ду
сохили дарёи Претел ва аз ду чазирае, ки онхо бо хафт
купрук пайвастанд, иборат аст. Накшаи чойгиршавии
купрукхо дар расми 1 оварда шудааст.
Чй тавре, ки диккати маро факат гузаштан аз
купрукхо чалб мекунад, накшаи шахрро бо тархи дар
расми 2 пешниходшуда иваз намудан мумкин. Дар ин
тарх минтакахои заминии б о шохобхои дарё
таксимшуда, чй хеле карда дар нуктахои А, В, С, D
(куллахо) фишурдашуда, купрукхо бошанд, дар хатхои
а, Ь, с, d, е, f (тегахо) кашидашуда мебошанд.
Расми 1
Расми 2
Тафтиш кардан душвор нест, ки (масалан, хамаи
вариантхои имконпазирро як ба як дида баромада),
шакли тасвиршударо бо нуги калам, онро аз когаз
нагирифта ва аз хар як камон факат як борй гузашта
кашидан мумкин нест.
Вазъияти купрукхои Кёнисбергро тадкик намуда,
Эйлер масъалаи хело мухими умумиро хдл намуд.
Барои он, ки натичаи хосилкардаи онро хубтар фахмем,
баъзе таърифхоро ворид мекунем.
Шакли аз нуктахо (куллахо) ва аз хатхои (тегахо)
иборат буда граф номида мешавад (расми 3). Хати сайр
ё ки рохи куллахои А ва В -и графро пайвасткунанда
гуфта, чунин пайдарпаии тегахои онро меноманд, ки
дар он харду тега нуцтаи умумии охирнокро доранд,
илова бар он тегаи якум аз куллаи А баромада, дигари
пасоянда ба куллаи 5ворид мешавад (расми 4)
в
Расми 3
Расми 4
Дар ин холат куллахои А ва В сарбаст номида
мешаванд. Граф фасех номида мешавад, агар харгуна
чуфти куллахои он сарбаст бошанд (расми 5). Графи
дар расми 6 тасвиршуда нофасех мебошад.
о
б
Хати сайр занчир номида мешавад, агар дар он хдр
як тегаи граф на зиёд аз як маротиба вохурад (куллах,о
дар занчир метавонанд якчанд бор такрор шаванд)
(расми 7).
Занчире, ки к,уллах,ои аввала ва охирон хдмчоя
мешаванд, сикл номида мешаванд (Расми 8).
Расми 8
Кулла чуфт номида мешаванд, агар дар он
микдори чуфти тегано бо якдигар вохуранд, ток; номида
мешаванд, агар микдори тегах,ои вохуранда ток
бошанд. Куллаи А дар расми 9 чуфт-дар он 6 то тега
вомехуранд, к,уллаи В бошад, ток-дар он 5 то тега
вомехуранд. Микдори тегах,ои дар куллаи граф
Расми9
вохуранда, дарача (тартиби) ин кулла номида мешавад.
Билохир, граф охирнок номида мешавад, агар
мачмуи тегахои он охирнок бошад. Намунаи графи
беохир метавонад тури росткунчаи дар тамоми
хамворй дода шуда, бошад.
Теорема (Эйлер). Дар нар гуна графи охирноки
фасех,и кулланояш чуфт, сикле мавчуд аст, ки дар он хдр
як тега расо як маротиба иштирок мекунад.
Чунин сикл, сикли Эйлер номида мешавад. Графе,
ки намай кулланои он чуфт аст графи Эйлер номида
мешавад.
Дар масъала оид ба купрукнои Кёнисберг ба граф
мурочиат намуда, кайд мекунем, ки намай чор куллаи
он ток мебошанд. Дар нар яки аз кулланои А, С, D
сетогй тега вомехуранд, дар кулллаи В - панч тега
вомехуранд. Пас ин граф Эйлерй нест.
Ёфтани сикли Эйлер, графи Эйлер душворие
надорад. Алгоритми универсалй ва соддае мавчуд аст,
ки бо ёрии он сикли Эйлер сохта мешавад.
Натичабахшии ин алгоритмро дар мисоли зерин
нишон мединем (ниг. ба расми 10). 1) ба сикли
носилшуда намай теганои граф ворид
Мисоли 1. Аз куллаи А баромада нар як тегаро як
бори гузашта ба намон кулла баргаштан лозим аст:
мегардад, 2) б а сикл на хамаи тегахои граф ворид
шудаанд.
Х,олати якум на он кадар чолиби диктат аст. Дар
холати дуюм бошад, куллае мавчуд аст, ки аз он тегаи
тай нашуда мебарояд. Бигузор ин куллаи В бошад.
Микдори тегахои аз куллаи В бароянда, ки ба сикли
сохташудаи А тааллук надорад, хатман чуфт аст. Пас
мо занчири навро аз куллаи В, тегаи пештар
гузаштанашударо чалб намуда, месозем. Равшан аст, ки
дар натича мо ба куллаи В бар мегардем ва сикли нав В
хосил мешавад (расми 11).
Расми 11
Акнун сикли аз куллаи А саршаванда ва аз сикли
пештар сохташудаи Ф калонбударо сохтан осонтар аст.
Барои ин мо аввало аз руи хати сайр А аз куллаи А
то куллаи В чой иваз мекунем. Баъд аз руи сикли В
мегузарем ва ба сикли В баргашта, аз руи кисми
бокимондаи сикли А чойивазкуниро ба куллаи А ба
охир мерасонем.
Агар мо ин дафъа низ аз руи намай теганои граф
нагузарем, пас куллаи сиклро, ки бо сиклхои А ва В
сохташуда ва аз он тегах,ое мебароянд, ки ба ин сикл
ворид намешаванд, интихоб намуда, онро бо усули дар
боло тасвиршуда васеъ мекунем.
Дар нолати зарурй мулох,изароних,ои шабех,ро
такрор намуда, дар микдори охирноки кадамно сикли
Эйлерро носил мекунем.
Мисоли 2. Ташкилдихандагони намоишгони бадеии
калон
мехонанд,
ки
экспонатхоро
микдори
калонтарини хонишмандон тамошо карда тавонанд.
Равшан аст, ки барои ин нишондинандаро чунин
гузоштан лозим аст, ки тавсиянои дар онно
пешнинодшударо чунон чой иваз намудан мумкин
бошад, ки нар як тамошобин назди нар як мусаввара,
расо якборй бошад.
Агар даромад ва баромад намчоя шаванд, пас
экспонатноро чунин чойгир кардан лозим, ки тархд
экспозигсия графи Эйлер бошад. НишонДИХандадо бояд:
1) Бояд бо ракамнои тартибй, таъмин бошанд,
2) Сикли Эйлёрро тасвир кардан лозим.
Агар даромад ва баромад якхела бошанд, пас тарни
чойгиркунйи экспонатно бояд граф бошад, ки дар он
факат ду куллаи ба даромад ва баромад мувофик ток
бошанд. Дар расми 14 яке аз усулнои имконпазири
чойгузории нишондинанданои ракамгузошташуда, ки
ба тамошобинон .имконияти шиносой бо нар як
экспонатро мединад, оварда шудааст.
Расми 13
Расми 14
Сиклхои Эйлер б о он хосият тавсиф карда мешавад,
ки онхо аз хар як тегаи граф факдт якборй мегузаранд.
Сикл, гамилтонй номида мешаванд, агар гузариш
аз куллахои граф расо якборй ичро гардад.
Расми 15.
Дар расми 15 сиклхои Гамилтон барои якчанд
графи оддй оварда шудааст.
Байни сиклхои Эйлер ва Гамилтон бо осонй шабехй
дидан мумкин аст. Якум расо якборй аз хар як тега
мегузарад, дуюм-расо як борй аз хар як кулла
мегузарад. Дар назари-аввал чунин менамояд, ки сикли
Гамилтон аз руи мураккабй бо сикли Эйлер
мукоисашаванда аст. (дар он чое, ки хисобкунии
чуфтии хар як кулла кифоя аст). Аммо то хол на ягон
критерияи умумии мукарраркунии Гамилтонй будани
граф на алгоритми умумии натичабахшии тартиб
до дани сшщи Гамилтон ёфта нашудаанд.
Масъалахои
амалии бо тартиб дрдани сикли
Гамилтон алокаманд аст, дида мебароем.
Масъала дар бараи гумошта. Рохи кутохтарини аз
нуктахои
додашуда
(хамаи
масофахо
маълум
мебошанд) дар хамаи онхо якборй буда ба нуктаи
аввала бозгаштаро ёфтан лозим аст.
Азбаски микдори нуктахо охирнок аст, масъаларо
бо рохи пай дар пай бо навбат интихоб намудан, хал
кардан мумкин.
Мисоли 3 . Савдогари дар шахри А буда, нияти
рафтан ба шахрхои В, С ва D - ро дорад, ки масофаи
байни ин шахрхо ба у маълум мебошанд;
АВ=11,
АС=13,
AD=17,
ВС=б,
BD=9,
CD=10
(расми 16)
Талаб карда мешавад, ки хати сайри кутох,тарини аз
шахри А бароянда, ки аз се шахри дигар гузашта ба
шахри А бармегардад ёфта шавад.
В
Расми 16
Хатхои сайрии имконпазир шашто аст:
ABCDA,
ACBDA,
ACDBA,
ABDCA,
ADBCA,
ADCBA.
Аммо барои халли масъала мукоиса намудани
дарозии фацат сето хати сайр кифоя аст:
ABCDA,
ACDBA,
ADBCA.
Ин дарозихо мувофицан ба
11+6+10+17=44,
13+10+9+11=43, 17+9+6+13=45
баробаранд. Кутохтарин аз байни онхо хати сайри
дарозии 43 доштаи - ACDBA ё ки АВВСА мебошад.
Синфи мухими графхоро дарахтхо ташкил мекунанд.
Дарахт гуфта, графи равонеро (фасехро) меноманд,
ки дорой сикл намебошад. (расми 17).
Микдори кудлахои дарахт В аз микдори тегахои
он Р якто зиёд аст:
В=Р+1.
Графхоро дар амалия одатан хамчун шабака
истифода мебаранд, ки куллахои он гирехдо номида
мешаванд. Якчанд масъалахои ба шабакахо вобастаро
дида мебароем.
Х,ангоми кабули карорхо барои интихоби равиши
бехтарини амалхо аз вариантхои мавчуда дарахти
халхо истифода бурда мешавад, ки онхо тасвири
схематикии карорхои кабулшуда мебошанд.
Татбики дарахти халлхо фахмиши (акаллан эхсосй)
мафхумхои «эхтимолият», «кимати интизоршуда
(интизорияти математикй)-и бузургии тасодуфй» ва
гайрахоро осон мегардонад. Ин мафхумхо дар бобхои
алохида пурра мухокима карда мешаванд.
Мисоли 4 . Аз руи исрори волидайн, хатмкунандаи
мактаби амрико бояд тахсилро давом дихад. Дар
интихоби худ озод буда, у мехохад, имконияти
гирифтани дипломро дар сохаи инженерй, ё ки дар
сохаи тичорат дар донишгохи зодгохи худ буда ва ё
дар донишгохи дигаре идома дихад. У медонад, ки аз
интихоби донишгох ва тахассус эхтимолияти комёбии
он чунин вобаста аст:
Агар донишгохи иёлот ва тичоратро интихоб
кунад, эхтимолияти комёбй (гирифтани диплом) ба 0,60
баробар хисоб карда мешавад.
1. Агар у донишгохи иёлот ва инженериро интихоб
намояд, пас эхтимолияти комёбй ба 0,70 баробар
хисоб карда мешавад.
2. Агар у донишгохи шахри Йорк ва тичоратро
интихоб намояд, пас эхтимолияти комёбй ба 0,90
баробар хисоб карда мешавад.
3. Агар у донишгохи шахри Йорк ва инженериро
интихоб намояд, пас эхтимолияти комёбй ба 0,95
баробар хисоб карда мешавад.
4. Даромади миёна дар як сол дар давоми панч соли
аввалаи
хатмкунандаи
мактаби
тичоратии
донишгох,и иёлот бо шарти пурра машгул будан ба
35 назор доллар баробар аст.
5. Даромади миёна дар як сол буда, дар давоми панч
соли аввалаи хатмкунандаи мактаби инженерии
ДОНИШГОХ.И иёлот бо шарти пурра машгул будан ба
30 назор доллар баробар аст.
6 . Даромади миёна дар як сол буда, дар давоми панч
соли аввалаи хатмкунандаи мактаби тичоратии
шахри Йорк бо шарти пурра машгул будан ба 25
назор доллар баробар аст.
7. Агар аз руи ягон сабаб хатмкунанда ба ягонтои ин
донишгохдо дохил нашавад, пас даромади миёнаи
он дар давоми ин панч сол бо шарти пурра машгул
будан ба 18 назор доллар баробар мешавад.
Фарз мекунем, ки меъёри ягона хднгоми кдбули
кдрори кдтъй аз тарафи хатмкунанда бузургии
даромади миёна дар давоми панч соли фаъолияти
мехдатии у мебошад. Ин фарзияро гузошта ба нал
намудани дарахти хдллх,оро истифода бурда хдракат
мекунем, ки масъалаи хатмкунандаро нал кунем (расми
18). Баъзе ишоракунинои дар раем бударо мефанмонем,
Si- хатмкунии мактаби тичоратии донишгони иёлотй,
S2- ё нобарорй нангоми дохилшавй ба мактаби тичора-
Расми 18
144
-тии донишгохи иёлотй, ё ки гайриимкон будани
хатмкунии тахсил,
5 3- хатмкунии мактаби инженерии донишгохи иёлотй,
54 - ё нобарорй хангоми дохилшавй ба мактаби
инженерии донишгохи иёлотй, ё ки гайриимкон будани
хатмкунии тахсил,
5 5 - хатмкунии мактаби тичоратии донишгохи Йорк,
5 6 - ё нобарорй хангоми дохилшавй ба мактаби
тичоратии донишгохи Йорк, ё ки гайриимкон будани
хатмкунии тахсил,
57 - хатмкунии мактаби инженерии донишгохи шахри
Йорк,
Sg - ё нобарорй хангоми дохилшавй ба мактаби
инженерии донишгохи шахри Йорк, ё ки гайриимкон
будани хатмкунии тахсил,
d , - интихоби донишгохи иёлотй,
d2 - интихоби донишгохи шахри Йорк,
d3 - писанд намудани тичорат,
d4 - писанд намудани инженерй.
Гиреххои дарахт, ки дар онхо интихоб ба 40 оварда
мешавад, бо квадратхо ишора шудааст, гиреххои
дарахт, ки дар онхо халли кдбулшуда назорат карда
намешавад - бо доирачахо ишора мешаванд. Хангоми
хисобкунии гирехдои 4-7 кяматхо дар гирехд 7 муайян
карда мешавад.
N 7= (0,95)
N 6= (0,90)
N s—( 0,70)
N 4= (0 ,60)
(25000) +(0,05) (18000) =24650 доллар,
(24000) +(0,10) (18000) =23400 доллар,
(30000)+(0,30) (18000) =26400 доллар,
(35000)+(0,40) (18000) =28200 доллар.
Кимати N 3 дар гирехд 3 чунин муайян карда мешавад:
Аз сабаби он, ки N 7> N 6 аст, N 3= N 7 мегузорем ва хисоб
мекунем, ки интихоби d4 аз интихоби d i афзалтар аст.
Худи хамин тавр N 3=24650 доллар.
% $ 3 5 ООО
S i $24 ООО
$28220
' S 3 $ 1 8 ООО
§ 4 $ 1 8 ООО
$28200
. - ' ■ ^ 5 $ 3 0 ООО
6
^ 6 $ 2 5 ООО
- y ^ S 7 $ 1 8 ООО
$24 650
Расми 19
Климата N 2 дар гирени 2 чунин муайян карда
мешавад:
дар натичаи он, ки N 4> N 3 аст, N 2= N 4 мегузорем ва
нисоб мекунем, ки интихоби d3 аз интихоби d4 афзалтар
аст.
Худи намин тавр N2=28200 доллар. Кимати N , дар
гирени 1 чунин муайян карда мешавад: дар натичаи он,
ки N 2> N 3 аст, N ,= N 2 мегузорем ва нисоб мекунем, ки
интихоби dt аз интихобни d2 афзалтар аст.
Худи намин тавр N2=28200 доллар.
Аз руи натичаи нисобкунино расми 18-ро оварда,
карори катъиро кабул мекунем, ки кадом интихоб
афзалтар аст.
8.3. Масъала дар бораи пайвасткунии ша%рх;о
Бо дарахтон низ яке аз масъаланои пайвасткунии
минималй алокаманд мебошад, ки ба масъала дар
бораи гумошта монанд буда, нисбатан осон нал
мешавад.
А }, А 2,
А„ - п- то шанрно мавчуд мебошанд, ки
онноро байни нам бо шабакаи ронно пайваст кардан
лозим аст. Арзиши сохтани рохи шахрхои А, ва А к - ро
мепайвандад маълум ва ба С(Л,-, А к) баробар аст.
Ш абакаи рохдои хамаи шахрхоро пайвасткунанда
бояд чй хел бошад, ки харочоти умумии он минималй
бошад.
Графи шабакавй бояд дарахт бошад (Дар холати
баръакс дар граф акдллан як сикл пайдо мешавад).
Алгоритм (накшаи баамалбарорй).
Дар кддами якум ду шахрро бо банди хело арзони
1г мепайвандем.
Дар хар як каДами оянда аз бандхои
аз хама
арзонтаринро илова мекунем (агар якчанд банд бо
арзиши якхела мавчуд бошанд, яке аз онхоро ихтиёрй
интихоб мекунем), дар натичаи хамрохшавии он ба
бандхои аллакай тартибдодашуда шабакаи ёфташуда
боз ба як банд зиёд мешавад, аммо ягон намуд сикл
ташкил намеёбад. Х,ангоми чустучуи банди иловашуда,
бояд хамаи тегахои куллаи умумй дошта, дида
баромада шаванд.
Кддами охирони алгоритм раками и-2-ро дорад.
Арзиши сохтмони шабакаи хосилшуда минималй
буда, ба
C ( l 1) + C ( l 2) + . . . + C ( l n . 1)
баробар аст.
Мисоли 5 Бигузор, шахрхои А, В, С ва D-po пайваст
кардан лозим бошад. Арзиши сохтмони роххои хар
гуна ду шахрро пайвасткунанда маълум ва дар
вохидхои шартй дар чадвал пешниход карда шудааст:
А
А
В
С
D
-
11
13
10
В
11
-
6
9
С
13
6
-
10
D
10
9
10
-
Шабакаи роннои арзиши минималй дошта аз 3-то
(4-1=3) банд иборат аст ва чунин сохта мешавад: аввало
минтакди аз хдма арзони рох, - В С (нархи он ба 6
баробар) интихоб карда мешавад, пас аз бок,имондах,о
арзонтарин BD (нархи он ба *9 баробар) ва дар охирон
кддами сеюм аз нав арзонтарин АВ интихоб мешавад
(нархи он ба 11 баробар аст) (расми 20). Х,амин тавр,
арзиши сохтмон ба 26 (6+9+11) баробар аст.
А
Ч
О
Расми 20.
8.4. Цараёни максимали
Ш абака дода шудааст, ки нар як тегаи он
к,обилияти мавдуди гузарониширо дорад. Муайян
намудани чараёни максималии имконпазир дар ин
шабака аз гирени додашуда ба дигар гирен талаб карда
мешавад.
Барои равшан сохтани гояи асосии методи налли ин
масъала, фарз мекунем, ки нуктаи аввала А ва нук,таи
охирон В, дар сонилнои гуногуни дарё
вок,еъ
гаштаанд(расми 21). Мачмуи купрукхои дар дарё буда
буриши чудокунандаро ташкил мекунанд (агар намай
купрукно бо ягон сабаб аз кор бароянд, аз нук;таи А ба
нуктаи В гузаштан гайриимкон мебошад). Равшан аст,
ки кобилияти гузарониши буриши чудокунанда аз
суммаи к,обилиятнои гузарониши намай купрукно
иборат аст.
Буришхои дар расми 22 нишондодашуда нуктахои
А ва В -ро чудо мекунанд. Азбаски чараён аз нук,таи А
ба нуктаи В мегузарад, чараёни максималии
имконпазир аз кобилияти гузарониши ин буришхо зиёд
шуда наметавонад.
Х,амин тавр, чустучуи макси-чараён (чараёни
имконпазири максималй) б а чустучуи мини-буриш
(буриши
чудокунандаи
кобилияти
гузарониши
хурдтариндошта) оварда мешавад.
Мисоли 6. Ш абакаи дар расми 23 додашударо дида
мебароем.
Ёфтани чараёни имконпазири максималии аз гирех,и 1
ба гирехи 7 талаб карда мешавад.
Кобилияти гузарониши буришхои мухимро хисоб
мекунем. Х,осил мекунем: кобилияти гузарониши
буришхои {(1,2), (1,3)} ба 4 баробар.
Кобилияти
гузарониши буришхои мухимро хисоб мекунем. Х,осил
мекунем: кобилияти гузарониши буришхои {(1,2), (1,3)}
б а 4 баробар,
Кобилияти гузарониши буринщои {(2,4), (3,5)} ба 3
баробар,
кобилияти гузарониши бур и н щ ои {(1,3), (2,3), (6,7)} ба 5
баробар,
кобилияти гузарониши буришх,ои {(5,7), (6,7)} ба 2
баробар.
Кобилиятх,ои гузарониши буришх,оро мукоиса
намуда, носил мекунем, ки чараёни максималй аз
Куллаи 1 ба куллаи 7 ба 2 баробар аст.
8.5.Хати сайри кутохрпарин
Шабакае дода шудааст, ки нар як тегаи он бо ададе
нишона карда шудааст, ки ба дарозии он баробар аст.
Хатх,ои сайри кутонтарин аз гирени кайдкардашудаи як
то ба нар яки аз гиреннои дигари шабака ёфта шавад.
Алгоритми налли ин масъала аз ду кием иборат аст.
Дар мисоли зерин чй тавр кор кардани онро нишон
мединем.
Рафти рости алгоритм
Кадами я к у м . Ба
намай гиреннои бо гирени
кайдкардашудаи 1 бо як тега пайваетшуда, чй тавре дар
расми 25 нишон дода шудааст, нишона гузошта
мешавад - адади якум дар нишона ба масофаи аз гирени
нишона гузошташуда то гирени 1 баробар аст.
Тегаи гиреххои 1 ва 3-ро вобастакунанда хати сайри
кутохтарин аз гирехи 1 б а гирехи 3 (хати сайри
ихтиёрии дигари аз гирехи 1 ба гирехи 3 дарозтар аст)
мебошад ва аз ин сабаб ба гирехи 3 нишонаи доимии
(15,1) гузошта мешавад.
Х,амин тавр, баъди интихои к,адами якум гиреххои 1
ва 3 нишонахои доимиро доранд, гиреххои 2 ва 4
нишонахои мувакдатй, гиреххои 5, 6 ва 7 ягон хел
нишонаро надоранд (расми 26).
Кайди 1. Х,ангоми хосил намудани нишонаи доимй
гирехи 3 чй хеле гирехи 1 чудо карда мешавад.
Кадами 2. Хамаи гиреххое, ки бо гирехи 3 бо як тега
пайваст аст ва нишонахои доимиро надоранд, чудо
карда мешаванд. Ин гирехдои 2, 4 ва 6 аст.
Дарозии хатхои сайри 1-2 ва 1-3-2 - ро мук,оиса
намуда, цайд мекунем, ки дарозии хати сайри якум (20),
аз хати сайри дуюм (15+10=25) хурд аст. Аз ин сабаб
нишонаи (2 0 ,1)-и гирехи 2 бетагйир мемонад.
Дарозии хатхои сайри 1-4 ва 1-3-4 - ро муцоса
намуда к д й д мекунем, ки дарозии якум (25), аз дуюмаш
дарозтар аст. Аз ин сабаб нишонаи мувакдатии (25, 1)-и
гирехи 4 ба нишонаи (23, 3) иваз мешавад.
Гирехи 6 нишонаи (45, 3)-ро мегирад.
Кайд 3. Адади якум дар нишона дарозии хати сайр
аз гирени 1, дуюм адад разами гирени пештара
мебошанд.
Тегаи гирехдои 1 ва 2 - ро пайвасткунанда хати
сайри кутонтарин аз гирени 1 ба гирени 2 мебошад
(хати сайри ихтиёрии дигар аз гирени 1 ба гирени 2
дароз аст) ва аз ин сабаб ба гирени 2 нишонаи доимии
(20,1) гузошта мешавад.
Хамин тавр, баъди ба интино расидани кадами
дуюм гиреннои 1, 2 ва 3 нишонанои доимиро доранд,
гиреннои 4 ва 6 нишонанои мувакдатиро, гиреннои 5 ва
7 ягон нишонаро надоранд (расми 27).
Расми 27
Расми 28.
Кадами 3. Хамаи гиренное, ки бо гирени 2 бо як тега
пайваст аст ва нишонанои доимиро надоранд, гирифта
мешаванд. Ин гиреннои 5 ва 7 мебошанд.
Гирени 5 нишонаи (40, 2)-ро мегирад.
Гирени 7 нишонаи (60, 2)-ро мегирад.
Хати сайри 1-3-4, ки гиреннои 1 ва 4-ро
мепайвандад, хати сайри кутонтарин аз гирени 1 ба
гирени 4 мебошад (хати сайри ихтиёри дигар аз гирени
1 ба гирени 4 дарозтараст) аз ин сабаб ба гирени 4
нишонаи доимии (23, 3) гузошта мешавад.
Хамин тавр, баъди интинои радами сеюм гиреннои
1, 2, 3 ва 4 нишонанои доимиро доранд, гиреннои 5, 6 ва
7 - нишонанои мувакдатиро доранд (расми 29).
Кадами 4. Х,амаи гиреххои бо гирехд 4 бо як тега
пайваст мебошанд ва нишонаи доимиро надоранд,
гирифта мешаванд. Ин гирехи 6 аст.
Дарозии хатхои сайри 1-3-6, 1-3-4-6 ва 1-4-6 - ро
мук,оиса намуда, кдйд мекунем, ки дарозии якум (45) ва
сеюм (45) аз дарозии дуюм (43) калон аст. Аз ин сабаб
нишонаи мувакдатии (45, 3)-и гирехи 6 ба нишонаи (43,
4) иваз мешавад.
Хати сайри 1-2-5 - и гиреххои 1 ва 5-ро мепайвандад,
хати сайри кутохтарин аз гирехи 1 ба гирехи 5 мебошад
(хати сайри ихтиёрии дигар аз гирехи 1 ба гирехи 5
дарозтар аст ва аз ин сабаб ба гирехи 5 нишонаи
доимии (40, 2) гузошта мешавад.
Хдмин тавр, баъди интихои кддами чорум гиреххои
1, 2, 3, 4 ва 5 нишонахои доимиро, гирехдои 6 ва 7
нишонахои мувакдсатиро доранд (расми 29).
Ду кадами оянда имконияти нишонахои доимй б а
гиреххои 6 ва 7 мувофщ ан (43, 4) ва (49, 5)-ро доданро
дорад.
Кайд. Дар хар як кдцам нишонаи мувакдатии яке аз
гиреххо ба нишонаи доимй аз руи коидаи зерин иваз
мешавад: хамаи гиреххои нишонахои мувакдатй дошта
дида баромад мешавад ва аз онх,о хати сайри то гирени
1 хурдтарин буда, интихоб мешавад.
РаФти баръакси алгоритм
Компоненти дуюми нишонаро истифода бурда,
пайдарпайии кулладоро дар дар як хати сайри
кутонтарин муайян мекунем. Масалан:
нишонаи (49, 5)-и гирени 7 гирени пешояндаи 5-ро
нишон мединад,
нишонаи (40, 2)-и гирени 5 гирени пешояндаи 2-ро
нишон мединад,
нишонаи (20, 1)-и гирени 2 гирени пешояндаи 1-ро
нишон мединад.
Дар натичаи пайдарпайии баръакси гиреннои хати
сайри кутонтарин аз гирени 1 ба гирени 7 намуди
7
—► 5 ----- ► 2 -----► 1
-ро дорад.
Ч|авоб:
Гирех
2
3
4
5
6
7
Хати сайр
1-2
1-3
1-3-4
1-2-5
1-3-4-6
1-2-5-7
Дарози
20
15
23
40
43
49
8.6.Рох;х;ои хатарнок
Фарз мекунем, ки танлил намудани лоина аз нуктаи
назари сарфаи муваккатии вакт барои он талаб карда
шудааст. Барои ичрои ин кор лоинаро ба амалное чудо
мекунанд, вакти ичрои нар яки онноро бано додан
мумкин бошад. Пайдарпайии амалноро, ки пеш аз
огози амали дигар бояд ба анчом расанд, расонида
шаванд, навишта мешаванд. Баъд диаграммаи корхо
кашида мешаванд, ки дар он нар як кор бо тегаи
равишдошта тасвир карда мешавад ва рохи хатарноки
давомнокии умумии калонтарин дошта муайян карда
мешавад. Ин рох низ минимуми сарфахои мувакдатии
вактро барои ич;рои лоиха муайян мекунад.
Ин
корро
дар
мисоли
сохтмони
хонаи
беруназшахрии начандон калон нишон медихем.
Дар чадвалхои 1 ва 2 корхо, давомнокии онхо ва
пайдарпайии ичроиш нишон дода шудааст.
Амал
Давомноки
Амал
Давомнокй
А
В
С
D
Е
2
7
15
8
10
F
G
Н
I
J
2
6
8
2
3
Дар ин чо у4-рехтани пойдевор, 2?-тайёр намудани
чорчубахои тиреза ва дархо, С-тайёр намудани шкаф ва
мебелхои ба девор гузошташаванда, £>-васлкунии
системахои кубурхои об, £-бардоштани девор, Fандоваи деворхо, Я-ободкунии гирду атроф, Iгузоштани шкаф ва мебелхои сохташуда, Jрангуборкунй.
Давомнокии кор бо рузхо нишон дода шудааст.
D бояд баъди Е ояд
а,
-
2
Е бояд баъди А ва В ояд
а2
-
7
а3
-
15
а4
Qj, Cl2
10
а5
а4
8.
а6
а4
6
а7
а5’ а6
2
а8
8
dg
а6
а3, а7
2
аю
а9
3
F бояд баъди D ва G ояд
G бояд баъди Е ояд
Н бояд баъди G ояд
I бояд баъди С ва F ояд
J бояд баъди I ояд
Х,амаи кордой пешоянд надоштаро ракам
мегузорем. Дар долати додашуда ин кордой А - (а,), В (а2) ва С - (а3) мебошанд.
Баъд пайдарпай ба кордой бокимонда чунин
ракам мегузорем, ки х,амаи пешоянддои ондо ракам
дошта бошанд:
Е - (а4) (баъди ( a j ва (а2) меояд),
D - (а5) (баъди (а4) меояд),
G - (а6) (баъди (а4) меояд),
F - (а7) (баъди (а5) ва ( a j меояд),
Н - (а8) (баъди (а6) меояд),
I - (а9) (баъди (а3) ва (а7) меояд),
J - (а10) (баъди (а9) меояд).
Дар натича чадвали 3 - ро досил мекунем.
Диаграммаи кордоро тартиб медидем.
Дар кисми болоии расми 31 дар як амал дар.
чадвали (шкалаи) муваккатй (нуктаи сархдсоб бо
ибтидои амал дамчоя мешавад) бо порчаи уфукй ифода
шудааст.
Расми 31.
Дар кисми поёнии расми 31 шабакаи равоншудаи аз
руи киматх,ои чадвали 3 тартибдодашуда дар шакли
содда тасвир шудааст, ки пайдарпаии ичрои амалхоро
аз руи лоиха нишон медихад. Тегахои бо пунктир
ишорашуда барои нигох доштани пайдарпайии
амалиётхо зарур мебошанд.
Бо хати гафс рохи хатарнок чудо карда шудааст
(рохи равоншуда аз ходисаи аввала ба охирон, ки
давомнокии умумии калонтаринро дорад).
Сарфаи муваккатии ба рохи хатарнок сарфшударо
Хисоб мекунем.
7+10+6+8+2+3=36.
Аз ин чо бар меояд, ки лоихди тахлилшаванда дар
давоми на кам аз 36 руз амалй мешавад.
Кайд. Х,ар гуна амалй дар рохи хатарнок буда
хатарнок номида мешавад (хурдтарин бозмонй бо
саршавии ичроиши он давомнокии умумии корро зиёд
мекунад). Дар холати додашуда амалхои а2 ,а4,а6,а8 ,а9,
а10
ё ишорахои В, Е, G, Н, I, J хатарнок мебошанд.
Муайянкунии хамаи чунин корхо барои тартибдихии
лоиха мухим аст.
Фарцан аз амалй хатарнок лахзаи ибтидои амалеро, ки
ба рохи хатарнок ворид намешавад, бе зиёдкунии
давомнокии умумй ичрои амал ба пеш кучонидан
мумкин аст. Мухим он аст, ки амалй лагжондашуда то
ибтидои амалй хатарноки пасоянд ба охир расонида
шавад.
Супоришхо.
Ширкати телефонй пайвасткунии шаш шахрро бо
кабели зеризаминй ба накша мегирад, ки масофаи
байни онхо дар чадвал дода шудааст:
А
А
В
С
D
Е
F
-
10
9
30
27
20
В
10
-
15
18
17
20
С
9
15
-
25
21
16
D
30
18
25
•
8
17
1. Дарозии минималии кабелро,
шахри ихтиёрй имконияти ба
пайвастшавиро медихад, ёбед.
2. Хати сайри кутохтарини аз
гиреххои шабака барояндаро, ки
ёфтааст, ёбед.
Е
27
17
21
8
-
13
F
20
20
16
17
13
-
ки ба сокинони ду
якдигар бо телефон
гирехи А ба хамаи
дар расми 32 тасвир
3. Рох,и хатарнокро барои силсилаи корх,ои А (3), В
(6), С (12), D (9), Е (11), F (3), G (5), Н (7) ва / (3)
(дар кавсх,о давомнокии намуди мувофикд кор бо
рузх,о нишон дода шудааст) ва муддати минималиро
барои ичроиши х,амаи силсила ёбед, агар пайдарпайии
амалиётх,о ба талаботи зерин итоат кунад. Амали D
баъди амали Е ояд, Е - баъди А ва В ояд, F - баъди D ва
G ояд, G - баъди Е ояд, Я - баъди G, I - баъди С ва F
ояд.
Боби IX. Программасозии
хаттй.
9.1. М асъалщ ои умумй ва асосии
программасозии хаттй
Программасозии математикй илмест, ки ба
омузиши масъалахои экстремалй ва коркарди усулх,ои
халли онх,о машгул мешавад.
Масъалахои экстремалй дар нолати умумй ин
муайян намудани киматхои калонтарин ё хурдтарини
функсияи / ( x t , х 2, ..., х п),
ки
мавдудиятх,ои
g j(xl,xi ,...,x n) < b i
(г = 1,т)- ро
мебошанд. Дар ин чо, /
каноат мекунонанд,
ва g , - функсиях,ои дода шуда
буда, ва Ь(. - ададаои накикй мебошанд.
Масъалах,ои программасозии математикй ба
масъаланои хаттй ва гайрихаттй чудо мешаванд.
Вобаста аз намуди функсияхои / ва g , ва инчунин
аз намуди коэффитсиентх,о масъалахои программасозии
математикй ба программасозии хаттй, гайрихаттй,
параметрй, стохастикй ва хоказо чудо карда мешаванд.
Агар
хамаи
функсияхои
дар
программасозии
математикй иштироккунанда хаттй бошанд, он гох
программасозии математикиро программасозии хаттй
меноманд. Агар дар байни ин функсияхо, акаллан, як
функсияи гайрихаттй вохурад, он гох масъалаи
программасозии
математикиро
масъалаи
программасозии гайрихаттй меноманд.
Барои халли масъалахои программасозии хаттй як
катор усулхои самараноки тартиб додани алгоритмхо
ва программахо кор карда баромада шудааст. Дар
байни масъалахои программасозии гайрихаттй бештар
масъалахои программасозии барчаста омухта
шудаанд. Дар натичаи халли чунин масъалахо,
минимум функсияхои барчаста дар мачмуи махдуди
барчаста муайян карда мешавад.
Ба
масъалахои
хусусии
программасозии
математикй масъалахои программасозии ададхои
бутун, параметрй, касрй-хаттй, масъалаи накдиёт ва
гайрахо дохил мешаванд.
Аз ягон параметр вобаста будани коэффитсиентхо
ва ё тасодуфй будани кимати онхо масъалахои
программасозии математикй ба
программасозии
параметрй ва ё стохастикй чудо мешаванд.
Масъалахое, ки раванди ёфтани халлашон аз
якчанд зина иборатанд ба синфи программасозии
динамикй дохил карда мешававд.
Моделхои хаттй бо сабаби нисбатан содца будана*
шон моделхои бештар исгифодабараядашаванда
мебошанд.
Хаттй будан - ин хосияти ифодаи математикии
функсияхо мебошад. Ифодаи намуди ах + b y , к и дар ин
чо х ва у бузургихои тагйирёбанда а ,Ь ~ ададхои
маълум мебошанд, ба гурухи функсияхои хаттй дохил
карда мешаванд.
Агар микдори тагйирёбандадо аз 2 зиёд бошанд, он
год ифодаи хаттиро нисбати онхо чунин менависанд:
+ агх г + •■■+ а ях я , д а р и н ч о а{, а г , . . . , а п- ададхои
доимй.
Кайд мекунем, ки дар ифодаи хаттй хамаи
тагйирёбащдадо дорой дарачаи як мебошанд ва
инчунин онхо бо хам зарб ва таксим намешаванд.
Масъалахои
программасозии
программасозии хаттй.
хаттй.
Таснифи
Махдудияти захирадои аш ш .хом ва зиёд шудани
талабот ба истехсоли навъхои гуногуни молхо,
масъалаи истифодаи бесамари захирахо, кам кардани
харочоти истехсоли, конеъ гардонидани талаботхои
рузафзун ва гайрахо ба зарурияти бо рохи математикй
хал намудани чунин масъалахо, зарур дониста
мешавад. Халли чунин масъалахо бе сохта шудани
модели математикии онхо ва муайян намудани рохи
халли масъалахои моделй имконнопазир аст.
Инро ба эътибор гирифта якчанд масъалаи
иктисодиро дида мебароем, ки бо моделхои
математикии хаттй ифода мешаванд,
Мисоли 1. Барои истехсол намудани се намуди
махсулоти А, В, С чунин тачх,изотхои харротй,
дастгохи рандакунй, афзори кафшерй, дастгохи
сайк;алдихй лозим аст. Вакти истифодаи хар як дастгох
барои истехсоли хар як намуди моли истехсолшаванда
дар чадвал дода шудааст. Дар он чо инчунин фонди
умумии захирахои вакти кории хар як дастгох барои
истехсоли хар намуди махсулот дода шудааст.
Аз хар кадом намуди махсулот бо чй кадарй
истехсол намудан лозим аст, ки аз фуруши онхо
даромади калонтарин гирифта мешавад. Модели
математикии масъаларо тартиб медихем.
Чадвали 1
Вакти сарфшаванда
Захираи
(станоко - вакт) барои
умумии
истехсол намудани як
вакти кории
Намуди дастгох
махсулот
хар як дастгох
Харротй
Рандакорй
Афзори
кафшеркунй
Сайкадциханда
Даромад
А
2
1
В
4
8
С
5
6
120
280
7
4
5
240
4
10
6
14
7
12
360
Бо х г, * 2, х3 мувофикан микдори
махсулотхои истехсолшавандаи намудхои А, В, С -ро
ишора мекунем. Он гох дар асосй сатри якуми чадвал
Хал.
барои дастгони харроти сарфи умумии вакт
2 х, + 4 х 2 + 5 х 3 < 1 2 0 -ро ташкил медидад.
Аз руи сатрдои ду, се, чор мувофикан барои
дастгохдои рандакорй, афзори кафшеркунй ва
сайкалкунй нобаробаридои зеринро носил мекунем:
х, + 8 х 2 +
6х3 <280,
7х, + 4 х 2 + 5 х 3 < 240,
4Xj + 6 х 2 + 7 х 3 < 360.
Дар ин чо микдори мадсулотдои истедсолшаванда
манфй шуда наметавонад, яъне х, > 0, х2 > 0, х3 > 0.
Даромад аз фуруши мадсулоти истедсолшаванда
F = 10 х, +14х2 + 12х3
мешавад. Х,амин тарик,
модели
масъаларо чунин гузоштан мумкин.
Маддудиятдо:
математикии
2х, + 4х2 + 5 х3 ^ 120
х, + 8 х2 + 6 х 3 ^ 280,
^
7Xj + 4 х2 + 5 х3 < 240,
4 х ,+ 6 х 2 + 7 х 3 <360.
Шарти гайриманфигй:
х, > 0 , х2 > 0 , х3 > 0.
Функсияи хаттй - функсияи максад ном дорад,
F { x ) = 10
+14х2 +12х}.
(
3)
Хамин тарик, мо модели математикии масъалаи
программасозии хаттиро досил кардем.
Мисоли 2. Дар фабрикаи дузандагй пеш аз
либосдузй кисмхои лозимаи онхо, аз матоъдо бо
тарзхои гуногун бурида мешаванд.
Бигузор, аз руи варианта j { j = \,п) х, 100л/2 матоъ ва
Ь,-, кисми намуди i (г = 1,т) бурида мешавад. Бузургии
партовхо дар нар як вариант CjM 2 аст. Агар аз кисми
i -юми махсулот B f -дона истифода шавад, матохро
чй тавр буридан лозим аст, ки намай кисмхои B i
носилшуда, партови умумии хурдтарин бошад. Модели
математикии масъала сохта шавад.
Хал. Фарз мекунем, ки
аз руи варианта
j , c a d я к Xj , m 2 матоъ бурида мешавад. Аз сабаби он,
ки нангоми буридани 100 м2 бо варианта у, Ъц -то
кисми намуди i носил мешавад, аз намай матоъхои бо
п тарз буридашаванда кисми г'-юм ба микдори
ЬцХх + b j2x2 н
I- Ътхп
носил мешавад, ки ин мувофики шарти масъала бояд
ба
баробар бошад, яъне
6,1*1 +Ъа х2 + •••+ Ътхп = Bt ( j = 1, m)
Бузургии умумии партовноро аз руи намай
вариантнои буриш чунин ифода кардан мумкин аст:
F = clx1 + с 2х2 +--- + с„хп.
Храмин тавр, масъала ба таври математикй чунин
баён карда мешавад.
Чунин киматнои номаълумно Хи Х2, —, Хп ёфта
шаванд, ки кимати функсияи
Z—I J
м
j
-ро ба минимум табдил дода, шартхои
Y j biJxJ = Bi,
(/ = 1,/я)
(2)
ва
(3)
-ро каноат мекунонанд, ёфта шаванд.
масъалаи
Масъалаи
гузошташуда,
программасозии
хаттй
мебошад.
М оделхои
математикии масъаланои гузошташударо тартиб
дихед.
Мисоли 3. Дар се анбор бо микдори 420, 380 ва 400
т бори якхела мавчуд аст. Ин борхоро ба магоза бо
микдори 260, 520 ва 420 т. бурда расонидан лозим аст.
Нархи кашонидани 1 тонна, бор аз анборхо ба
магозахои кабул ба намуди маритса
Су = 7
4
3"
5
8
дода шудааст.
Чунин накшаи кашонидани борхоро тартиб додан
лозим аст, ки хамаи борхо аз анборхо кашонида шуда,
хамаи талаботхои магозахо конеъ шаванду харачоти
боркашонй камтарин шавад.
Мисоли 4. Фабрикаи кондитерй барои истехсоли 3
намуди карамели А, В, С се намуди ашёи хомро
истифода мебарад: шакар, шираи гализ ва меваи
пухташуда. Меъёри сарфи хар як намуди ашёи хом
барои истехсол намудани хар як тоннаи махсулот ба
шакли чадвал дода шудааст.
Дар чадвал инчунин даромади умумии ба даст
оянда низ оварда шудааст.
Накшаи истехсоли карамелро ёбед, ки фуруши он
фоидаи калонтаринро дихад. Модели математикии
масъаларо тартиб дихед.
Чадвали 2
Меъёри харч барои 1
Микдори
Намуди ашёи хом
т. карамел
умумии ашёи
хом бо тонна
А
В
С
1
Шакар
0,8
0,5
0,6
800
2
Шираи гализ
0,4
0,4
600
0,3
3 Меваи пухташуда
120
0,1
0,1
Даромад аз
фуруши 1 т
108
112
126
махсулот
-
Мисоли 5. Барои фарбех кардани чорво
нар як
чорво нар руз бояд хуроки гизоноки намуди ,4-ро на
кам аз 60 вонид, намуди В -ро, на кам аз 50 вонид,
намуди С - ро на кам аз 12 вонид истеъмол намояд.
Микдори мансулотнои гизонокй
дар нар як
килограмми хурокано мавчуд аст, дар чадвал оварда
шудааст.
Чадвали 3
Микдори махсулотхои гизонок дар 1кг
Махсулотхои
ху рокахои навъхои
гизонок
I
II
III
А
1
3
4
В
2
4
2
С
1
4
3
Нархи як килограмм хурокахои навъхои I, И, III
мувофикан 9, 12 ва 10 дирам аст. Накшаи ратсиони
хуроки чорво тартиб дода шавад, ки меъёрхои
зарурии гизохоро дарбар гиранду харочоти
камтаринро талаб намояд.
Масъалаи
vmvmu
ва асосии программасозии хаттй.
Мо то нол масъалахоеро дида баромадем, ки онхо
дар хамаи ин масъалахо ёфтани кимати максималй ё
минималии функсияхои хаттй, ки тагйирёбандахои
онхо киматхои гайриманфиро кабул намуда, шартхоро
ба намуди муодилахо ва нобаробарихои хаттй конеъ
мегардонад, талаб карда мешуданд.
Таърифи 1. Масъалаи умумии программасозии
хаттй гуфта, масъалаи ёфтани кимати максималй ё
минималии функсияи
П
f
а)
= ' Z cj x j ,
7=1
ки махдудиятхои
Z a ! / * 7 - b/’ (г' = 1> 4
(2)
7=1
Z
a ij x J = b i ’
7=1
(* = * +
ва шартхои гайриманфигии
Xj ^ 0 ( j = \ , l , l < n )
(3)
(4)
-ро каноаткунандаро меноманд. Дар ин чо а у ■>
С} -
бузургихои доимй ва к < т мебошанд.
Таърифи 2. Функсияи (1) функсияи максади (ё
шаклии хаттии) масъалаи (1)-(3), шартхои (2) - (4)
махдудияти масъалаи мазкур мебошад.
Таърифи 3. Масъалаи стандартй(ё симметрии)
программасозии хаттй гуфта, масъалаи муайян
намудани кимати максималии функсияи (1)-ро хангоми
ичрошавии шарти (2) ва (4) барои к = т ва I —п
меноманд.
Таърифи
4.
Масъалаи
асосй
(каноникии)
программасозии хаттй гуфта, масъалаи муайян
намудани кимати максималии функсияи (1)-ро хангоми
ич;рои шартхои (3) ва (4) барои к = 0 ва 1 - п
меноманд.
ТаъриФи 5. Мачмуи ададхои X - (x,,.x2,x 3,...,jcn),
ки шартхои (2) ва (4)- ро конеъ мегардонанд, халли
(накшаи) имконпазир меноманд.
Таърифи 6. Накшаи X =
ки дар
он функсияи (1) ба кимати максималй (минималй) доро
мегардад, накшаи оптималй номида мешавад.
Кимати функсияи максади (1) - ро барои накшаи X
бо воситаи 7г(х)и ш ора намуда, кимати оптималии
онро бо ^(-^*) ишора менамоем. Аз
ин чо барои
накшаи дилхох X кимати оптималии X * 5нобаробарии
F (x )< f (x ‘), (f (X ) > f {x ’)) ичро мегардад.
Се
намуди
масъалахои
баён
шудаи
программасозии хаттй яке ба дигаре оварда мешаванд
ва байни хам баробаркувва мебошанд.
Барои он, ки аз як намуди масъалаи
программасозии хаттй гузошта шавад, пеш аз хама
бояд масъала оид ба максимум, ба минимум (ва
баръакс) оварда тавонем.
Барои ин кифоя аст, ки
F\(x)= -F(x)- ро дохил кунем.
Махдудияти масъалаи программасозии хаттии
мазкур, ки намуди «<» - ро дорад, бо воситаи ба
тарафи чапи нобаробарй хамрох намудани ягон
номаълуми тагйирёбанда
ва баръакс махдудияти
нобаробарии бо аломати «>» барои ба махдудияти
баробари' гузаштан аз тарафи чапи нобаробарй ягон
тагйирёбандаро
кам
менамоем.
Хамин
тавр
нобаробарии махдуднок
а пх х + a l2x 2 +--- + a inx n < b ,
ба баробарии махдуднок табдил меёбад:
агар
a nx x + a l2x 2 + ■■■+ a mxn > b,
ба баробарии маздудноки
6,
(*n+, > o) (6)
табдил меёбад.
Бо таври дигар ин системами махдудноки
anx1+ a i2x2 +--- + al„x = bj
бо намуди системаи
мумкин аст:
нобаробарих,о ифода намудан
Ин тагйирёбандахои иловагии дохилшуда, ки
барои нобаробарихоро ба баробарщо табдил додан
лозим буд, дар навбати худ маънои иктисодиро дорад.
Хамин тавр, агар дар махдудиятх,ои масъалаи
мазкур харчи ашёро дар истенсол ифода кунад, кимати
ададии тагйирёбандаи
«иловагй»
начми ашёи
истифоданашударо ифода мекунад.
Мисоли 6. Масъалаи умумии программасозии
хаттиро, ки максимуми функсияи
F = 3хх- 2 х 2 - 5х4 + х5,
махдудиятдои
2х, + хъ- х4 + х5 <2,
хх- хъ+ 2х4 + х5 < 3,
2х2 + х3 + х4 + 2х5 ^ 6,
хх+ хА+ 5х5 ^ 8,
1)л 2 !
3’ л 4 ’
5
- ро каноат мекунонад, ба масъалаи
программасозии хаттй оварда шавад.
асосии
Хал. Барои масъалаи асосии программасозии
хаттйовардани масъалаи гузошташуда, маздудиятх,ои
бо нобаробарщо ифодашуда, ба баробарщо овардан
мумкин аст.
Барои ичрои ин кор б а тарафи чапи маздудиятхои
бо « < » ифодашуда тагйирёбандаи мусбатро ч;амъ
карда, аз тарафи чапи маздудиятхои бо «>»
ифодашуда тагйирёбандаи иловагиро тарх, мекунем:
2 х{ + х3 - х4 + х5 + хй = 2 ,
*
Xj - *3 + 2 х4 + х5 + х7 =3,
2 х2 + х3 - х 4 + 2 х 5 + х8 = 6,
х, + х 4 ~ 5 х 5 - х 9 = 8,
х1,х 2,х 3,...,х 9 > 0 .
Х,амин тавр, масъалаи гузошташударо ба масъалаи
ёфтани чунин максимуми функсияи
F = 3 х, - 2 х2 - 5 х4 + х5,
ки махдудиятхои
2 jCj + х3 - х4 + х5 + х6 = 2,
Xj - х3 + 2 хА+ х5 + х7 = 3,
2 х2 + х3 - х4 + 2 х5 + xg = 6,
х, + х4 - 5 х5 - х 9 = 8,
*19*2 5*3 5' ' ■5*9 —^
-ро каноат кунонанда оварда шуд.
Мисоли 7. Минимум функсияи
F = -х, + 2 х2 - х3 + х4,
ки шарти махдудиятхои
2 jc, - x 2 - x3 + x4 + *5 <6,
x, + 2 x 2 +
x
3 -
x
4 - x 5rj> 8,
3*! - x2 + 2x3 + 2 x4 + x7 < 10,
- xx + 3x2 + 5x3 - 3x4 = 15,
xx,x 2,x 3, ...,x 9 > 0
-ро кдноат мекунонад, ёфта шавад. Ин масъаларо ба
масъалаи асосии программасозии хаттй оваред.
Хал. Барои хал намудани ин масъала, пеш аз хама
ёфтани минимуми функсияи мак,садро ба ёфтани
максимум иваз менамоем. Барои ин функсияи F = —F ро дохил мекунем. Пас аз ин б о дохилкунии
тагйирёбандахои
иловагй
нобаробарихоро
ба
баробарихо табдил медихем: хамин тавр, масъалаи
асосй чунин намудро мегирад. Максимуми функсияи
Fx = х{ —2 х2 + х3 - х4
ёфта шавад,
мекунонад:
ки
махдудиятхои
зеринро
каноат
2 х, - х2 - х3 + х4 + х6 = 6,
х , + 2 х2 + х3 - х 4 - х 5 - 8 ,
3 хх- х2 + 2 х3 + 2 х4 + х7 = 10,
- jc, + 3 х2 ч- 5 х3 - 3 х4 = 15,
x x, x
2, x 3, . . . , X t >Q.
9.2. Хосиятх,ои асосий ва шарх;и геометрии
масъалахои программасозии хаттй
Масъалаи асосии программасозии хаттиро бори
дигар хотиррасон менамоем. Чй тавре, ки кайд
намудем масъалаи асосии программасозии хаттй
иборат аз ёфтани кимати максималии (минималии)
функсияи максади
cj xj
хангоми ичрошавии шартхои
Z
aijXj ^ b,
(i
= 1, m] Xj > o(y = 1, n)
7=1
мебошад.
Масъаларо бо шакли векторй менависем:
(8)
F = CX
Х\Р1 + Х2Р2 "I
ХпРп = Р0
*>0
(9)
(10)
Дар ин чо С = (cl ,c 2, . . . , c n), Х = (х1,х 2, . . . , х п);
F = СХ -хосили
зарби
скалярии С,X ;
Р0,Р1,...,Р п вектор - сутунхои т
- ченакаи
аз
коэффитсентхои назди номаълумхо ва аъзохои озоди
системаи муодилахо ташкил ёфтааст:
Гг. \
аи Л
а.21
\p n j
\ а2mj
а In
Р =
а 2п
\ a nnJ
Нащпаи X = (хх,х 2, . . . , х п) накдпаи
такягохии масъалаи программасозии хаттй номида
мешавад, агар системаи векторхои
Р --и
(9)
Таърифи 1.
коэффитсентхои назди Xj -хои мусбат хаттй новобаста
бошанд.
Чй хеле ки цайд карда шуд, азбаски векторхои
т - ченака аст, компонентхои мусбати он аз т зиёд
шуда наметавонад.
Таърифи 2. Накшаи такягохии 1'айританаззулй
(невырожденный)
номида мешавад, агар он т
компонентной мусбат вучуд дошта бошад.
Масъалаи асосии программасозии хаттй (8) - (10)
бо хосиятхои мачмуъхои барчаста алокаманд мебошад.
Таърифи 3. Бигузор х 1, х 2, . . . , х п- нуктахои
дилхохи фазой Е п - евклидй бошад. Комбинатами
хаттии барчастаи ин нуктахо гуфта суммаи
а х х { + а 2 х 2 + --• + а п х п - ро, ки дар ин чо а , - адади
дилхохи гайриманфии суммаашон баробари 1, яъне
бударо меноманд.
Таърифи 4. Мачмуъ барчаста номида мешавад,
агар вай бо якчоягии ду нуктаи худ, комбинатсияи
барчастаи хаттии дилхохи худро дарбар гирад.
Теоремаи 1. Мачмуи нащнахои масъалаи асосии
программасозии хаттй барчаста мебошад (агар он холй
набошад).
Таърифи 5. Мачмуи
гайрихолии
накшахои
масъалаи асосии программасозиро бисёркунчаи халхо
ва хар гуна нуктахои кунчии онро куллахо меноманд.
Теоремаи
2.
Агар
масъалахои
асосии
программасозии хаттй накшаи оптималй дошта
бошанд,
он
гох
функсияи
максад
кимати
максималиашро, дар яке аз куллахои бисёркунчаи
халхо кабул мекунад. Агар функсияи максад кимати
максималии худро дар ду нукта кабул намояд, он гох
ин киматро дар
тамоми нуктахои комбинатсияи
хаттии ин ду нукта буда, кабул менамояд.
Теоремаи 3. Агар системаи векторхои Рх,Р 2, . . . , Р к
к<п,
х1Р1+ х 2Р2 +--- + х1[Рк = Р 0
(11)
хаттй новобаста бошад, ки дар ин чо
х : > 0 аст,
X = (x,,x2,...,x t ) куллаи бисёркунчаи халхо мебошад.
Теоремаи
4.
Агар
X = (х1,х2,...,х п) куллаи
бисёркунчаи халхо бошад, он гох вектор Pj ки ба х { хои мусбат мувофиканд, хаттй новобаста мебошанд.
Аз ин теоремахо, ки бе исбот кабул намудем, чунин
хулоса мебарояд.
Агар
мачмуи
халхои
масъалаи
асосии
программасозии хаттй холй набошад, бисёркунчаи
халхои он барчаста мешавад. Х,ар як куллаи ин
бисёркунча, накшаи такягох шуда метавонад. Дар яке
аз куллахои (яъне яке аз накшахои такягохй)
бисёркунчаи халхо, функсияи максад дорой кимати
максималй (минималй) мегардад.
Куллаи бисёркунча, ки дар он функсияи максадро
каноат кунонида, ягон хдкмат кабул мекунад, хангоми
аз ду зиёд набудани микдори тагаирёбандахои
масъалаи стандарта бо тарзи геометрй хал намудан
осон аст.
Бигузор ёфтани халли масъалаи муайянкунии
кимати максималии функсияи
F = c 1x , + c 2 x 2 ,
(1 2 )
ки шартхои
а пх{ + а п х 2 < Ь , , ( / = й )
Xj > 0.
(13)
(14)
-ро каноат мекунонад, талаб карда шуда бошад. Хар
яки нобаробарихои (13)- (14) дар хамвории координата
нимхамворихоро бо сархадхои a n*, + a i2x2 - b t ,
(i = 1,Аг) ва X \ = О, X2 = 0 муайян менамоянд.
Хамин
тавр,
дар
ин
маврид
масъалаи
программасозии хаттй аз ёфтани нуктаи бисёркунчаи
халх,о, ки дар он функсияи максад F кимати максималй
(минималй) - ро сохиб мешавад, иборат аст. Хангоми
дар бисёркунчаи хдлх,о аз боло (поён) махдуд будани
функсияи максад, нуктахои халли онро муайянкунанда
мавчуд аст. Барои муайян намудани ин кулла, хати
роста дарози сххх + с 2х 2 = h (h - ягон доимй) - ро, ки
аз бисёркунчаи халхо мегузарад, сохта онро бо самти
вектори
С = (ср с2) ба худаш параллел харакат
кунонида, мушохида мекунем, ки он аз кадом нуктаи
бисёркунчаи
халхо
сохаро
тарк
мекунад.
Координатхои
нуктаи
муайянгардида
накшаи
оптималии масъалаи гузошташударо нишон медихад.
Кайд мекунем, ки хангоми бо тарзи геометрй хал
кардани масъалахои программасозии хаттй холатхои
зерин имконпазиранд. (расмхои 1-4).
Дар расми 1 функсияи максад дар ягона нуктаи А
дорой кимати максималй шуда метавонад, дар расми 2
бошад функсияи максад дар нуктаи дилхохи порчаи АВ
дорой кимати максималй мегардад.
Кайд мекунем, ки барои ёфтани кимати максимали
(минималии) функсияи максад хати фарозии F = h ро ба самти вектори C = (clfc 2) харакат кунонидан
лозим аст.
Хамин тавр, халли масъалахои программасозии
хаттй дар асоси интерпретатсияи геометрй аз чунин
кддамхо иборат аст:
1. Аз руи аломати нобаробарщои додашудаи
системаи
махдудият,
нобаробарихоро
ба
баробарихо иваз намуда, графики хатхои ростро
месозанд;
2. Нимхамворихои нобаробарихоро каноат кунандаро
муайян мекунанд;
3. Бисёркунчаи халро муайян месозанд;
4. Вектори С = (с15с2) - р о месозанд;
5. Хати роста h ~ сххх + с1х1- ро, ки
бисёркунчаи хал мегузарад, месозанд;
аз
сатхи
6. Хати рости h = сххх + с2х2 - ро бо равиши С = (с, , с 2)
Харакат кунонида, кимати максималии (минималй)
функсияи мак;садро меёбанд, ё ин ки аз боло (поён)
махдуд
набудани
онро
муайян
мекунанд.
Координатхои нуцтаро, ки дар он функсияи максад
кимати максималй (минималй) мегирад, муайян
мекунанд.
Мисоли 1. Барои истехсоли д у намуди махсулотхои
А ва В, муассиса (корхона) се намуди ашёи хомро
истифода мебарад. Микдори мукарраршудаи хар як
намуди ашёи хом барои истехсоли як вохиди нар як
намуди махсулот, ки барои истехсол
истифода
мебарад ва инчунин даромади аз фуруши як вохиди
он, дар чадвал дода шудааст.
Чунин накшаи истехсоли махсулотро тартиб
додан лозим аст, ки аз он корхона даромади софи
максималй гирад.
___________ _____________ _______ Чадвали 1
Меъёри харч барои як Захира
Намуди
намуди махсулот
№
ашеи хом
А
1
2
3
I
II
III
Даромад аз
фуруши як
вохиди
махсулот
В
4
4
12
4
3
12
30
300
120
252
40
Хал. Фарз мекунем, ки корхона Х{ микдор махсу
лоти намуди А ва х2 микдор намуди В - ро истехсол
мекунад. Азбаски корхонаи мазкур микдори ашёи
хоми махдудро дар ихтиёр дорад, бояд махсулотхои
истехсолшаванда нобаробархои
зеринро
конеъ
гардонад.
[1 2 ^ + 4 x ^ 3 0 0 ,
• 4xt + 4хг ^ 120,
Зх, + 1 2 x ^ 2 5 2 ,
xt 2 0 ,
х2 >0.
Даромади умумй аз фуруши махсулотхои А ва В
чунин мешавад:
F = 30*! + 4 0 x 2.
Храмин тавр, талаб карда мешавад, ки аз байни
хамаи халхои мусбати системаи нобаробарихои хаттй,
хамонашро ёфтан лозим аст, ки он функсияи максади F
дорой кимати максималй гардонад.
Масъалаи гузошташударо бо шархи геометрй хал
мекунем. Пеш аз хама бисёркунчаи халро муайян
менамоем. Барои он дар системаи махдуднок ва шарти
гайриманфигй нобаробарихоро ба баробарихо иваз
намуда, хатхои роста мувофикро хосил мен&моем. ;
12 х, + 4 х 2 = 300, (/)
4 х х + 4 х 2 = 120,
( //)
< 3 ^ + 1 2 x 2 = 252, (III)
= 0,
X, г о.
(IV )
(!•)
Ин хатхои ростро дар хамворй тасвир менамоем.
Х^ар як хати роста хосилшуда хамвориро ба ду
нимхамворй чудо мекунад. Координатахои нуктахои
яке аз нимхамворихо
нобаробарихоро
конеъ
мегардонад. Барои он ки нимхамвории мазкурро
муайян намоем, ягон нуктаи нимхамворй барои
соддагй ибтидои координатахоро б а" нобаробарихо
гузошта мебинем, ки он нобаробариро конеъ мекунад ё
не. Агар координатахои нуктаи интихобшуда
нобаробарии интихобшударо конеъ гардонад, ин
нимхамворй, нимхамвории халли нобаробарии мазкур
аст. Барои нишон додани он, хамон кисми хатро штрих
мекунем. Графики хамаи хатхои роста
12% + 4;с; - 300, 4а'ь + 4 х2 ■» 1-20, 3*s —12лг = 252,
х г = 0, х 2 = 3 - ро дар як накша сохта нимхамворихоро штрих мекунем.
Буриши ин нимхамворих,о бисёркунчаи халро
ташкил мекунад. Дар ин мисол халли он дар
бисёркунчаи ОАВСД мебошад.
Акнун аз панчкунчаи ОАВСД нуктаеро, ки дар он
функсияи максад дорой кимати максималй мегардад,
меёбем.
Барои ин вектори С = (30;40) ва хати рости
30*i +40jc2 = h , ки дар ин чо Л ягон
додашудаи
муайян мебошад, месозем. Фарз мекунем, ки А = 480 ва
хати рости 30х, + 40х2 = 4 8 0 - ро дар хамвории
* координата месозем. Агар буриши ягон нуктаи ба ин
хати рости таалукдошта ва бисёркунчаи халро гирем,
он гох координатахои он хамин хел накшаи истехсоли
махсулоти А ва В - ро нишон медихад, ки аз фуруши
онхо, корхона даромади софи максималй мегирад.
Хангоми 30 х, + 40 х2 = 480 будан, корхона аз фуруши
махсулоти А ъ ъ В 480 сомонй даромад мегирад.
Фарз мекунем, ки h киматхои аз 480 калонтарро
кабул карда метавонад, он гох, якчанд хатхои
параллели ба хати мазкурро хосил менамоем.
Агар яке аз ин хатхои рост бо бисёркунчаи хал
факат якто нуктаи умумй дошта бошад, кимати F аз
480 калон мешавад. Хати рости 30 хх+40 х2 = h - ро бо
равиши вектори С харакат кунонем, он бисёркунчаи
халро аз нуктаи В ба кимати калонтарин сохиб шуда,
онро тарк мекунад. Барои ёфтани координатхои
нуктаи В муодилаи хатхои ростро, ки аз ин нук,та
мегузарад, якчоя хал мекунем:
4 х, +4 jc2 = 120,
3 х, +12 х2 =252.
Координатахои нуктаи буриши ин ду хати рост (12; 18)
мебошад.
Х,амин тарик, агар корхона 12 - то махсулоти
намуди А ва 18 - то махсулоти намуди В истехсол
намояд, он гох даромади максималй
F = 30■ 12 + 40 • 18 = 1080 сомонй мешавад.
Мисоли 2. Максимум ва минимуми функсияи
F + х2
- ро хангоми ичрошавии шартхои
2х, +4х2 < 16
• - 4лс, + 2х2 < 8
jc,
+ Зх2 > 9
Хал. Бисёркунчаи халро месозем. Барои ин
системаи нобаробарихоро ба баробарихо иваз
менамоем.
2xt
-
+
4x2 =
4xt + 2x2
Xj + 3 x 2
xy
=
I
16
=
11
8
9
III
0,
jc , = 0 .
IV
V
Хар як хати ростро дар хамвории координата
тасвир намуда, нимхдмворихо ва буриши ощ оро хосил
менамоем.
Чй тавре, ки маълум гардид, бисёркунчаи халлхои
масъала, секунчаи A B C мебошад. Координатахои
нуктахои ин секунча, шартхои гайриманфигй ва
системаи махдудиятхоро конеъ гардонида метавонад.
Масъала хал дорад, агар аз байни нуктахои
секунча, нуктахоеро ёфтан мумкин бошад, ки дар онхо
функсияи F = х х + х 2 дорой кимати максималй ва
минималй гардад.
1— f К.. I--- L \ —I--- 1
10
1 2 3 $\5 6
Расми 6
7 8>Гх,
Барои ёфтани ин нукта хати рости х1 + х2 = 4 - ро
(адади 4 ихтиёрй интихоб шудааст) ва вектори С = (1,1)
- ро месозем. Хати рости х, + х2 = 4 -ро
бо равиши
вектори С то буриши нуктаи охирони бисёркунчаи
халхо харакат мекунонем.
Маълум мегардад, ки дар ин нуктахо функсияи F
кимати калонтаринро кабул менамояд. Ин нукта дар
натичаи буриши хатхои II ва III хосил шудааст:
J 2х, +4х2 =16,
jx, + Зх2 =9.
Ин системаи муодилахоро хал намуда, чунин
киматхоро хосил менамоем, х х* = 6 , х 2* = 1.
Хамин тавр кимати максималии функсия
= 7ро хосил намудем. Барои ёфтани кимати минималии
функсияи максад, хати рости х, + х2 = 4 - ро ба
мукобили
равиши
вектори
С = (l,l)
харакат
мекунонем. Дар ин холат аз нащиа маълум мегардад,
ки функсияи максад дар нуктаи А кимати хурдтарин-ро
дорад. Координатхои нуктаи Л -р о меёбем:
fxj + 3 х2 = 9,
1*1 = О*
#
Аз ин чо х, = 0, х2 = 3 мешавад. Ин киматхоро
ба формулаи функсияи максад гузошта,
-ро хосил мекунем.
Бо истифода аз шархи геометрй масъалахои
зеринро хал кунед:
F = x x + x 2 —»max, ^
F’= -2х1+х2 —>min,
jCj + 2 х2 <14,
2
х2
<12,
~хх+2х2 <8,
2.-
2х,+З х2>4,
IV
о
-5 л;, +3х2 <15,
4jc, + 6 х 2 >24,
'Зх1-
х,,х2 >0.
F = x l +2x2 —>max,
F ~ - х х+4х2+2х4- х 5 ->тах
4х, - 2 х г <12,
х, - 5 х2+ х3 =5,
- х1+ х2+ х4=4,
-х, +3*2 <6,
2хх+4х2 1>16,
4<
Х[ +х2+Xj =8,
о
AI
х1,х2,х3,х4,х5>0.
9.3. Усули симплексии х,алли масъалахои
программасозии хаттй
Программасозии хаттй - ин методи интихоби
киматхои мусбати тагйирёбандахост, ки функсияи
максад дар ин холат кимати максималй ё минималиро,
бо мавчудияти ягон махдудиятнокй доро мегардад.
Агар микдори тагйирёбандадо на он кадар калон,
такрибан то 10 - то бошад, он гох, дар масъалахои
программасозии хаттй методи итератсиониро, ки номи
методи симплексиро гирифтааст, истифода мебаранд.
Симплекс - бисёркунча.
Методи симплексй
- ин мачмуи итератсия^о
мебошад, ки аз ягон кимати такягохй cap карда, то ба
кимати оптималй ид ома меёбад.
Усули графикй, хангоми аз 2 ё 3 зиёд набудани
микдори тагйирёбандахо истифода мешавад.
Методи умумии халли масъалахои программасозии
хаттй - ин методи симплексй мебошад.
Усули
симплексии
халли
масъалаи
программасозии хаттй ин ба гузариш аз як накшаи
такягохй (опорный) ба накшаи дигари такягохй
асоснок шудааст, ки кимати функсияи максад дар он аз
аввалаш кам намешавад (он вакте, ки масъалаи
гузошташуда накшаи оптималй дошта ва хар як
накшаи такягохии он барчаста мебошад).
Бигузор кимати максималии функсияи
F = c lx l + с 2х 2 +--- + с пхп~ро
дар холати ичрошавии шартхои
* 1 + а \т +1Х т+\ +
" ■ + а 1ПХ П = Ь „
*2 +
' ‘ ■+ a 2 n X n =
a im + l* m + l +
K
■■ + а п,ПХ п = К
>о,
0
II
*,
3
1
Х т + а т т + \Х т+1
ёфтан лозим аст.
Дар ин чо, Яу’^ в а
Cj(i = 1,т, j = 1,п) ададхои
доимии додашудахо (т < п, Ъ> 0) мебошанд. Намуди
вектории навишт:
П
Р = £
(15)
еЛ
7=1
дар холати ичрошавии шартхои
ХхРх+ Х 2Р2 -\
xi ^ 0.
Дар ин чо
^ХпРп = Р0,
и =й )
(16)
(17)
f°1l
Г011
0 ; Л = 0 ■...
5
5
р =
И
, 0;
Л
42m+1
a
0
0
Л
ч „ л
4 lm + l
р
=
r m+1
V
42w
■,Po =
\ bn J
\ a mn J
mn + 1
Азбаски
ЪХРХ+ b2P2 +■■■ + bmPm = P0, аст, он
гох
X = (b„ b2 ...bn,0, ... ,0),
дар ин но, нащиаи
такягодии масъала муайян карда мешавад. Ин накдпа
бо системаи векторной вохидии Рх,Р 2,...,Р т ки базис
(асос) - и фазой т - ченакаро ташкил медихад, муайян
карда мешавад.
Бинобар ин хар як вектор Рх, Р2, ..., Рп, ва вектори
Р 0 ба намуди комбинатсияи хаттии векторхои базисй
ифода мешавад. Бигузор
pj = t x^
zj =
0 =
i=i
A
(j = l, п).
Азбаски векторхои
т
гох
x ,j
=
av ,
О' = о,и);
ZJ
Рх, Р2, ..., Рт - вовддианд, он
т
= Z с <а и ва А7 = Z с ‘ a v
/=1
i=i
- CJ ■
Теоремаи 1. (Аломати оптимали будани накшаи
такягохй).
Накшаи
такягохии
X ’ =(*, ,x 2*,...,*n*;0;0;--'0)
масъалахои (15) - (17)
оптималй
шуда
метавонад,
агар
хамаи
А .> 0,
j = (у = 1,п) бошанд.
Теоремаи 2.
Агар, акаллан яке аз Ак < 0 ва дар
а,к(/ = 1, mj мусбаташон мавчуд
набошад, функсияи максади масъалахои (15) - (17), дар
мачмуи халхои имконпазир, махдуд нест.
Теоремаи 3. Агар накшаи такягохии X - и дар
масъалахои (15) - (17) гайрихос буда, барои хар яки
A t < 0 дар байни aik мусбаташон мавчуд бошад, он
гох
накшаи такягохии Х'вучуд
дорад, ки
F(X') > F{X) мешавад.
Теоремахои баёншуда имкон медиханд, ки
оптималй будани накша ва ё лозим будани гузаришро
ба накшаи дигар муайян менамоянд.
Барои амалй намудани ин кор маълумотхоро дар
чадвале чой медихем, ки чадвали аввалаи симплексй
ном дорад. Дар сутуни Q
- и ин чадвал
коэффитсентхои назди номаълумхои функсияи максад
оварда шудааст. Дар сутуни Р0 - хамаи компонентхои
накшаи
такягохии
мавчуда,
дар
сутуни
Р,
коэффитсентхо- векторхои базисии додашуда оварда
шудаанд.
Дар ин чадвал дар т сатри аввала додашуда 0,0-и
мавчудаи масъала ва дар сатри (т+1) киматхои
хисобшаванда чой дода мешаванд.
Дар ин сатрхо, чунин киматхо чой мегиранд. Дар
сатри т+1-и сутуни Р0 кимати функсияи максад
байни ададхои
т
F, =
/=1
, ва дар сатри m+7-и чадвал ба сутунхои Р,
киматхои A j= Zj - с} чой дода мешаванд. Кимати z} аз
Zj = £ С(в#
(=1
руи формула
(7 = 1, и)
хисоб карда
мешавад.
Сатр ва сутуни барандаро муайян карда, баъд ба
накшаи такягохии нав мегузаранд, бо коэффисентхои
нави Р}, ки ба накшаи нав мутобикат мекунад. Бо рохи
осонй барои муайян кардани компонентхои накшаи
нави такягохй аз формулаи Жордано-Гаусс истифода
мебарем.
Ь
,
<
*
г
,
(18)
Ъ\=
i = r,
' а гк
коэффитсенхои
пахншавии
вектори
Р}
бошад,
мувофики накшаи такягохии нав аз руи формулаи
а ч~ (аУ атк)а'к
(19)
а п,
i = г.
а гк
хисоб карда мешавад.
Ин коэффитсентхоро хисоб намуда,
дар чадвали
симплексй кайд карда мешавад. Элементи катори m +1
-ро бо формулаи зерин
(20)
лгк
хисоб мекунанд.
1
2
Базис
I
Q
С|
С2
ст
Ст+]
Ск
Сп
Р,
Рг
Рт
Рщ+1
Рк
Рп
0
0
«W l
а 1к
Ain
°2 к
А-2п
(*„■
агп
Ро
Р-2
Cl Ь1 1 0
1
С2 ъ2 0
г
Рг
Сг
К
0 0
0 ®гт+\
т
Рт
т
Ст
ът 0 0
®тт+1
Р,
т +\
Fo
0
0
-
--
А-2т*]
0
0
0
1
&т+1
атк
К
К
Чадвали 2
V)
Сб
Ро
Cl
Q
Cr
Cm
Cfn+1
Ck
cn
Pi
Pi
p.
pm
Pm+1
Рк
Pn
1
0
a \u
1
Р,
с,
2
Р2
с2 Ь'г
0
1
г
Рг
сг
К
0
0
a rr
0
ът
0
0
®mr
1
Fo
0
0
z'r —cr
0
т
М+1
рт ст
т
К
a 2r
0
a im+l
-
0
a \n
0
°2m+l
-
0
a 2n
1
am
®rm+i
®mm+l
Zmy 1_
C m+1
a mn
0
z ' n ~ Cn
Элементной дигари симплекс - чадвалро аз руи коидаи
секунча хисоб карда мешавад.
Х,амин тавр, барои ёфтани накшаи оптималй бо
ёрии усули симплексй чунин амалиётхоро ба чо
овардан лозим аст:
1. Накшаи такягохиро муайян месозанд;
2. Чадвали симплексиро тартиб медихднд;
3. Х,исоб намудани
хамаи киматхои
F.- ва
(у = 1,п).
Агар
A j мусбат бошанд, он гох
накшаи такягохй оптималй аст. Агар дар байни
киматхои A j ягон адади манфй мавчуд бошад,
он гох б а накшаи такягохии дигар гузашта
мешавад, ё хал надоштани масъала муайян
карда мешавад.
4. Аз руи сатри т+1 сутуни барандаро меёбанд.
Сутуни баранда аз руи бузургии кимати манфии
A j , ки кимати мутлаки калонтарин дорад,
муайян карда мешавад. Бигузор ин сутуни к
бошад. Пас аз он аз руи кимати хурдтарини
нисбати bt ба aik ( <*ik >0 ) сатри барандаро
муайян мекунанд.
5. Аз руи формулаи (18) ва (21) компонентхои
мусбати накшаи такягохии навро муайян
намуда, коэффитсентхои векторхои базисии нав
ва ададхои Pt -ро муайян менамоянд. Х^амаи ин
ададхоро дар чадвали симплексии нав кайд
мекунанд.
6. Оптималй будани накшаи навро месанчанд.
Агар накшаи нави такягохй оптималй набошад,
ба накшаи такягохии нав мегузаранд. Яъне
хамаи амалиётхоро аз пункта 4 cap карда аз нав
ичро мекунанд. Ин раванд то ба мусбат шудани
хамаи киматхои А у идома дода мешавад.
Мисоли 1. Барои истехсоли махсулотхои гуногуни
А, В, С корхона се намуди. ашёи хомро истифода
мебарад. Меъёри харч барои истехсол намудани хар як
намуди як вохиди махсулот ва инчунин микдори
умумии ашёи хом, ки корхона барои истехсоли ин
махсулотхо истифода мебарад ба намуди чадвал
оварда шудаанд. Инчунин нархи хар як вохиди ин
махсулотхо дар чадвал зикр гардидааст.
Чунин нащнаи истехсоли махсулотхоро тартиб
додан лозим аст, ки аз фуруши онхо, корхона
даромади софи калонтаринро гирад.
Чадвали 3
Меъёри харц
Мщдори
Намуди ашёи барои як намуди умумищастии
N°
махсулот
ашёи хом
хом
А
В
С
1
I
15
18
12
360
II
2
6
4
192
8
III
3
5
3
180
3
Нархи як
мщдор
9
10
16
махсулот
Хал. Барои ин, модели математикии масъалаи
гузошташударо тартиб медихем.
Микдори махсулоти истехсолшавандаи намуди А ро бо х 1, намуди В -ро бо х 2 , ва намуди С - ро бо х 3,
ишора мекунем. Азбаски захираи хар як намуди ашёи
хом охирнок аст, тагаирёбандахои * ,,* 2,* 3 бояд
системаи нобаробарихои зеринро к,онеъ гардонанд.
18*, +15х2 +12*3 <360,
• 6 *, +4*2 +8*3 <192,
5*, +3*2 +3*з < 180,
JCj, jc2 , * 3 > 0
Нархи умумии махсулоти истехсолшаванда аст.
F(x) = 9 х, +10 х 2 + 16 х,
Х,амин тавр, бо ибораи математики аз байни
хамаи халхои мусбати системаи нобаробарихо, ки
киматхои номаълумхоро муайян мекунад, ки
он
функсияи мак,садро ба максимум табдил медихад,
ёфтан лозим аст:
F (x) = 9 х, +10 х2 +16 х3 —> m ax.
Барои истифодаи
усули симплексй бо илова
намудани тагйирёбандахои мусбати иловагии хф х5„ х6
нобаробарихоро ба баробарихо иваз мекунем. Маънои
иктисодии ин
тагарёбандахо истехсоли намуди
х4
- ин
ашёи хоми
махсулотхои А, В,С.
истифоданашудаи намуди I, х5 -намуди II, х6- намуди
III- ро ифода мекунанд.
18х, +15х2 + \ 2 х 3 +х4 =360,
<
6х, + 4 х 2 +8х3 + х5 = 192,
5 х, + 3х2 +3 х3 +х6 =180,
х, ^ 0, х2 ^ 0, х3 £ 0.
И нро ба намуди векторй ифода мекунем:
Р \ Х J + P j % 2 “*■
"*■ Р * Х 4
P sX 5
Р бХ 6 = Pq
Дар ин чо
fl8 N
^1 = 6
,5 ,
^12ч
f 15'
; Рг = 4 ;
= 8
,3 ,
f 0>
1
;
р*
= 0
,з ,
'360^
"о "
;
р
* =
0
,1 ,
;
Р0 =
192
О
ОО
,0,
ГГ
Азбаски дар байни векторной додашуда, 3 вектори
вохидй мавчуд аст, накшаи такягохиро навиштан
мумкин аст. Накшаи такягохии кабулкардашуда
Х = (0; 0; 0; 360; 192; 180)
мебошад, ки бо воситаи векторхои вохидии 3 ченакаи
РА,Р5,Р6, ки
базиси фазой 3 ченакаро ташкил
медиханд, муайян шудаанд. Чадвали симплексии
авваларо месозем. Кдматхои F0 ва zy - с} -ро хисоб
намуда, оптималй будан ё набудани
накдларо
месанчем. Дар ин чо
F0 = (С,Р0)= 0. z, = (С,/>) = 0. z2 = (С,Р2) = 0;
z3=(C ,P3)= 0;
z ,- с, = 0 - 9 = -9;
z2 - сг = 0-10 = -10;
z3- с3 = -16.
Барои векторхои базисй zy. - с; =0
______________________________________
16
9
10
т/р Базис с,
Ро
12
18
1
0
360
15
Р*
8
0
192
6
4
2
Ps
3
0
180
5
3
3
Рв
4
0
-9
-10
-16
Чадвали 4
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
.0
0
0
0
Аз
чадвал
дида
мешавад,
киматхои
таъпфёбандахои асосии ху, х2,х 3 баробари нул буда,
кимати тапшрёбандахои иловагй гайри нулианд. Аз ин
бар меояд, ки махсулот истехсол нашуда истодааст ва
кимати функсияи максад хам баробари нул аст. Дар
сатри 4 -и чадвал дида мешавад, ки 3 - адади манфй
- 9 ; -10; -16 мавчуданд.
Маънои иктисодии ин ададао чунин аст. Агар
махсулоти намуди А як вохид истехсол шавад, фоида 9
сомон зиёд шуда, агар махсулоти навъи В як вохид зиёд
шавад, фонда 10 сомон ва мадсулоти навъи С як
вохид зиёд шуда, фоида 16 сомон зиёд мешавад.
Аз ин сабаб хам ворид шудани истехсоли
махсулоти навъи С аз нуктаи назари ик,тисодй
хубтар аст. Ин ба сутуни Р3 мувофик аст ва онро ба
базис дохил мекунем.
Векторе, ки барои хорич намудан аз базис лозим
аст, муайян менамоем. Барои ин Qmin - ро муайян
месозем. Барои муайян намудани вектори аз базис
хоричшаванда
. /360 191 180\ ■„,
_
т
т
п
— J = 24-ро, ки ба сатри
дуюм мувофик аст, истифода мекунем.
Qmin = 24. Аз нуктаи назари иктисодй ва аз руи
меъёри сарфи ашёи хом
барои истехсоли микдори
имконпазири максималии махсулоти намуди С-и
киматтарин тпт(30, 24; 60) — 24-ро хосил кардем, ки
ин ба сатри дуюм мувофик аст. Яъне Р5 -ро аз базис
хорич; карда, Р3-ро ба чои он дохил кардан лозим аст.
Барои ичрои ин кор чадвали дуюми симплексиро
месозем.
Пеш аз хама сатри вектории б а базис
дохилшавандаро пур мекунем. Дар ин чо ин сатри
дуюм аст.
Чадвали 5
I
Базис
1
Р 4
2
3
4
сб
Ро
9
10
16
0
0
0
0
72
9
9
0
1
-3/2
0
Ps
16
24
1/2
1
0
1/8
0
Рб
0
108
11/4
3/2
0
0
-3/8
1
384
3
-2
0
0
2
0
3/4
,
Х,амаи элементной ин сатр чадвали авваларо ба
элементи муайянкунанда 8 таксим намуда дар намин
сатри чадвали дуюм менависем.
Инчунин дар сутуни Сб дар сатри ду С3-16
мегузорем. Пас аз ин элементной векторной базисии
навро пур мекунем. Дар ин сутунно дар буриши сатр ва
сутуннои векторной якхела вонидноро гузошта,
элементной бок^мондаро бо нул*о пур мекунем. Барои
муайян намудани элементной дигар койдаи секунчаро
истифода мебарем.
Элементной сутуни вектори Р0 - ро нисоб мекунем.
Барои нисоби нар як элементи он 3 адад истифода
мешавад, нисоби элементи якуми вектори Р0:
1) адади дар буриши сутуни Р0 бо сатри 1 будаи
Чадвали 1 (360);
2) адади дар буриши сутуни Р3 бо сатри 1 чадвали
1( 12);
3) адади дар буриши сутуни Р0ва сатри ду (24).
Аз адади 1 -ум носили зарби ду адади дигарро
тарн мекунем, яъне 360-12-24 = 72. Ин ададро дар
сатри якуми сутуни Р0 -и чадвали дуюм менависем.
Элементи дуюми сутуни Р0 пешакй нисоб шуда буд.
Барои нисоб намудани элементи сеюми сутуни Р 0,
низ
коидаи
секунчаро
истифода
мекунем
180-24-3 = 10. Ин киматро дар сатри сеюми сутуни
Р 0менависем.
Кимати -F0-po низ аз руи к,оидаи секунча нисоб
мекунем: 0-(-16).24 = 384.
Хангоми аз руи жридаи сткун^а муайян
намудани элементно, адади сеюми сутуни Р 0, ки дар
куллаи поёни секуичд чойгир аст, бетагйтр моамя,
факат ду элемеити дигари он тагйжр меёбад.
Ин коидаро барои ёфташи элементной сутуннои
Р, низ истифода мебарем. Б арои нисоб намудани
элементной сутуни Р,
2 - юми чадвали
аз буриши элементхои сатри
1 ва 18-12.(3/4)=9;
5-3. (3/4)= 11/4 - ро хосил
намудем.
Ададй
z, - с, - и сатри 4- уми сутуни Р ,- и чадвали
2 - ро б о ду усул ёфтан мумкин аст:
1) аз руи формулаи zx-cx- (С,Р,) - с ,, он гох
0-9 +16-- +0-1j^ - 9 = 3
2
2) ба воситаи коидаи секунча -9 -(-16) —= 3;
Хамин тавр эЛементхои сутуни
Р, -ро муайян
менамоем. Элементхои сутуни Р5- ро аз руи коидаи
секунча хисоб менамоем.
Дар холати хисоб намудани элемента катори
якуми муайяншаванда, секунча аз хисоби ададхои 0, 12
ва 1/8 хосил мегардад. Дар натича, хисоби ин элемент
баробар аст 0 -12 ■
Элементи катори сеюми сутуни Р5 баробар ба
8
Баъд аз хисоб намудани хамаи элементхои сутунхо
плани такягохии нав хосил мегардад, ки дар натичаи
табдил додани коэффитсентхои векторхои P\j = 1,6) бо
воситаи векторхри базисии Р4,Р 3,Р 6 ва кимматхои
Aj , F 0. Дар ин чо маълум гардид, ки накшаи
такягохии нав интихобшуда, X — (0;0; 24; 72; 0; 10S)
мебошад. Аз руи ин накшаи интихобшуда корхона
бояд 24 микдор махсулоти намуди С -ро истехсол
намояд. Дар ин холат 72кг ашёи хоми намуди 1 ва
108кг ашёи хоми намуди 3 бок,й мемонад. Нархи
^амаи махсулоти истехсолшуда ба 384 сомон
баробар шуд. Ададхои маълумшуда ба сутуни
вектори Р0 кайд гардидаанд. Чй хеле ки мебинем,
ададхои ин сутун мисли пеш параметрхои масъалаи
додашударо ифода намуда, нисбати он каме тагйир
ёфтааст. К,иматхои дигар сутунхо низ хамин аст. Аз
ин цо дидан мумкин аст, ки накшаи кабулгардида
оптималй нест, лозим меояд, ки ба накшаи нави
такягохй гузарем.
Хамин тавр мисоли нишондоди вектори Р2 - ро
мегирем. Адади 1/2 дар катори 2. Ин сутун нишон
медихад, ки бо кадом микдор махсулоти С - ро кам
намудан лозим аст,
агар истехсоли як намуди
махсулоти В - ро ба накша гирем.
Ададхои 9 ва 3/2 дар катори 1 ва 3 - юми
вектори Р2 нишон медиханд, ки чй микдори ашёи
хоми намудхои 1 ва 2, ки барои истехсол намудани
махсулоти намуди В лозиманд ва адади - 2 дар
катори 4 - ум бошад, нишон медихад, ки агар як
намуди махсулоти В - ро ба накша гирем, он гох як
микдор истехсоли ин намуди махсулот ба 2 сомонй
аз руи нархномааш зиёд мегардад.
Бо ибораи дигар гуем, агар ба накшаи дигар як
микдор намуди махсулоти В - ро дохил намоем, он
гох ба 1/2 вохид махсулоти С кам мегардад ва
инчунин лозим мешавад, ки харчи баризофаи 9 кг
'ашёи намуди I ва 3/2кг ашёи намуди II I
пайдо
мегардад
ва
нархи
умумии
махсулотхои
истехсолшаванда ба 2 сомонй меафзояд.
Хамин тавр, ададхои 9 ва 3/2 хамоно «меъёрй»
нави харчхои ашёи хоми намудхои I ва III барои
як микдор истехсоли наМуди махсулоти В - ро
нишон медиханд.
Бо хамин тарик, нишондодхои вектор сутуни
Р - ро
хам маънидод кардан мумкин аст.
Нишондодхои вектор
- сутуни
Р5
аз руи
маънидоди иктисодиаш каме фарк мекунад, нисбат
ба дигар вектор - сутунхо.
Адади 1/8 - и катори 2 - юми хамин вектор сутун нишон медихад, ки зиёдшавии харчи хачми
ашёи хоми намуди II бо микдори 1 кг истехсоли
махсулоти намуди С - ро
бо 1/8 зиёд мегардонад.
Баробари ин 3/2 кг ашёи хоми намуди I ва 3/8 кг
намуди III лозим мегардад. Зиёд намудани махсулоти
намуди С бо микдори 1/8 вохид ба 2 сомонй даромади
он корхона оварда мерасонад.
А з ин нишондихандахои иктисодии
чадвал
маълум гардид, ки накшаи кабул кардаи мо дар
итератсияи II хам оптималй нест, чунки дар катори
4 - уми вектор - сутуни Р2 адади «-2» мавчуд аст.
Аз ин ру ба базис вектори Р2 - ро дохил кардан
лозим аст, яъне ба накша истехсоли махсулоти
намуди В -ро ба назар гирифтан лозим аст.
Д ар холати ба накша дохил намудани истехсоли
махсулоти намуди В имкониятхои мавчудаи хар як
намуди ашёи хом ро барои истехсоли он ба назар
гирифтан лозим аст, яъне
'7 2 24-2 108-2^ 72
= 8.
Qo = min 9
1 3 / 9
Д ар ин чо лозим меояд, ки вектори Р4 - ро аз
сутуни базисхо хорич намоем, бо ибораи дигар
истехсоли махсулоти намуди В аз хисоби ашёи хоми
мавчудаи намуди I ин корхона танкисй мекашад. Бо
ин хисоб корхона метавонад 8 микдор махсулоти
намуди В
истехсол намояд. Адади 9 элементи
налшави ва катори якуми вектор - сутуни
Р2
муайянкунанда мебошад.
Аз ин ру, чадвали навбатии итератсиониро
тартиб мединем.
Чадвали 6
9
16
0
0
0
10
I Базис С6
Ро
Р4
Ps
Р6
Р,
Р2 Рз
1
0
1/9
-1/6
0
10
8
1
1
Р2
2
Р3
3
4
Р*
16
0
20
96
400
1/4
5/4
5
0
0
0
1
0
0
-1/18
1/6
2/9
5/24
-1/8
5/3
0
1
0
Дар чадвали 3 аввало элементной катори I умро хамчун катори элементной базиси нав дохил
шудаи Р2 пур мекунем. Элементной ин каторро аз
элементной чадвали пешина, носил менамоем ва дар
ин чо ба сутуни Со ададй С2 = 10 -ро менависем.
Баъд элементной дигар сутунноро аз руи коидаи
секунча пур мекунем. Дар натича чадвали бо
элементной нави базисиро носил менамоем, ки накшаи
такягонии он аз Х= (0;8;20;0;0;96) ва коэффитсентнои
панншавии Р} = (/' = 1,б) бо воситаи векторной Р2, Р3,
Р6 б о киматнои
мувофики
А; ва
F0 - ро носил
намудем.
Дар ин катори 4- уми чадвал ададй манфй мавчуд
нест, яъне ин накшаи кабулгардида накшаи оптималй
аст, яъне
^ т„ =Ю-80 +20 16 +96 0 = 400
Дар накдкат, накшаи истенсолй, ки 8 вохдд
мансулоти В ва 20 вонид мансулоти С - ро истенсол
менамояд, оптималй аст. Дар нолати истенсол
намудани мансулоти В ва. С намуднои ашёи хоми I ва
II истифода бурда (дпуда, 96 кг ашёи III бокй мемонад.
Г
к.
Дар ин накшаи оптималй истехсоли махсулоти А ба
назар гирифта нашудааст.
Х,алли ин масъаларо бо намуди умумй аз руи як
чадвал хам нишон додан мумкин аст.
I
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Базис
Р<
Р?
Р ,
Р<
Р?
Р
«
Рг
Рз
Ро
Сt
Ро
0
0
0
360
192
180
0
72
24
108
384
8
20
96
400
0
16
0
10
16
0
Чадвали 7
0
0
9
10
16
Р,
Р 2
Рз
Р 4
P's
Р 6
18
6
5
-9
9
3/4
11/4
3
1
15
4
3
-10
9
1/2
3/2
12
8
3
-16
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1/9
-1/18
-1/6
2/9
0
1
0
0
-3/2
1/8
-3/8
2
-1/6
5/24
-1/8
5/3
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1/4
5/4
5
-2
1
0
0
0
0
Мисоли 2. Максимум функсияи F = 2хх- 6 * 2 + 5х5ро бо махдудиятнокии зерин ёбед.
-2хх+х2 +*3 +*5 = 20,
• - * ,- 2 *2+*4+3jc3 = 24,
3*, -*2 -12*5 +*6 =18,
х, S: 0 (/' = 1,б)
Хал. Системаи додашударо бо таври векторй ифода
мекунем. /J*, +Р2х2+Р3х3+Р4х4 +Р5х5+Р6х6 =Р0
(-2)
(\ N
ГГ
f 0>
'J
Дар ин чо Р] = -1 ; Рг = -2 ; Рз = 0 ; р * = 1
(1
N
р ,= 3
"20"
f°N
= 24
; р6 = 0 ;
liJ
W
-и,
Чй тавре ки маълум гардид дар байни
векторной Рх,Рг,Ръ,Р 4,Р 5,Р 6 3 вектори вонидй
мавчуд аст, он гон барои налли ин масъала накшаи
такягониро ёфтан мумкин аст. Накшаи такягонии
аввалаи онро
X - (0;0;20;24;0;18) менисобем.
Чадвали
итератсионии
кадами
аввалини
симплексиро тартиб мединем ва бо воситаи методи
накшаи кабулгардидаи мо оптималй аст ё не,
месанчем.
Чадвали 8
I Базис
с,
2
-6
0
0
5
0
Р,
Pi
Ps
Л
Ps
Р6
Ро
1
Ps
0
20
-2
1
1
0
1
0
2
P<
0
24
-1
-2
0
1
3
0
3
P6
0
18
3
-1
0
0
-12
1
0
-2
6
0
0
-5
0
4
Чй тавре, аз ин чадвал дида мешавад, ин
накшаи кабул кардашуда накшаи оптималй нест,
бинобар ин ба накшаи такягонии нав мегузарем.
Дар ин чо дар катори 4 -уми вектор сутуннои р, ва
Р5 ададнои манфй мавчуданд ва элемента мусбат
нам вучуд дорад. Барои ба накшаи такягонии нав
гузаштан дар сутуни базис вектор Р 5 - р о дохил
намуда аз он чо Р 4 - ро хорич менамоем. Чадвали
ояндаи итератсиониро тартиб мединем.
Азбаски дар катори 4 -уми сутуни Р1 адади (-11 /3) ва дар ин сутун ягон адади мусбат вучуд
надорад, накшаи нави кабулгардида такягохй шуда
наметавонад.
Умуман ин масъала дорой накшаи оптималй нест.
Чадвали 9
I Базис
сб
2
-6
0
0
5
0
Р,
Р2
Рз
р4
Рз
Рб
5/3
-2/3
1
-1/3
0
0
0
1/3
1
0
Ро
1
Рз
0
12
-5/3
2
Рз
5
8
-1/3
3
Рб
0
114
-1
-9
0
4
0
1
40
-11/3
8/3
0
5/3
0
0
4
9.4. Методи базиси сунъй
Чй тавре, ки кайд намудем, барои ёфтани халли
масъалахои программасозии хаттй талаб карда
мешавад, ки чустучуи накшаи такягохиро дар байни
векторхои P j , ки компонентхояш аз коэффитсентхои
назди номаълумхои системаи муодилаи хаттии дорой
т вектори вохидй дошта, ёфтан лозим аст.
Аммо масъалахое хастанд, ки ба шакли масъалаи
асосии программасозии хаттй оварда шуда, дар байни
векторхои
Pj на хама вакт т
векторхои
вохидй
мавчуданд.
Бигузор максимуми функсияи
F = clxl +c2x2+---+cnxn
-ро дар холати ичрошавии шарти
(1)
®\2X1
аЫX«
й2|X, + Qj2X2 ^
’
^ ^2п Хп = ^2 ’
*" а пт Х п ~ Ь п ’
J ^ m l Х \+ а т 2 Х 2 ^
х , ^ 0, (7 = 1, т)
(3)
дар ин чо, Ь: > О (г = 1,т);
т < п ва дар байни ин
векторной
'а
а .21
а 12
а,in
а.22
а 2п
\a m n J
\°m2j
вонидй вучуд надоранд, ёфтан лозим
\°m\J
т векторной
аст.
Таъриф.
Масъалаи
муайянкунии
кимати
максималии функсияи
F = с,х,
х+1 ' ---- Мх
I Iх7+ — ь с„х„
п п - МхЛ
*„+m (4)
v /
I I + с7
дар холати ичрошавии шартхои
а\
\
Х\ а\
2Х2 + ‘ " + а\
пХп *п+1 = Ь1>
а
гJ X, + #22*2 + ' " + а 2п Х п "*■Х п+2 ~ Ь 2 >
Оml * 1
a m2 X 2 "*
^
атпХп^ Хп+т
(5)
Ьт>
Xj i> 0 {j = l,n +m).
(6)
(дар ин чо М- ягон ададй мусбати муайяни додашуда
ва ифодаи (5)- ро нисбат ба масъалаи гузошташудай
(1) - (3) васеъкардашуда меноманд. Накшаи такягох,ии
масъалаи васеъкардашуда мансуби чунин ифода
мегардад. X = ( 0; 0; ... ; Ь,; Ь2; . . . Ьт; ) ва он аз
руи системаи векторхои вохидии Рп+„ Рп+2, ... Р„+т , ки
базиси фазой т - ченакаро ташкил медихад, иборат
аст. Ин усулро методи базиси сунъй меноманд. Он
векторхо ва инчунин тагйирёбандахои
хя+1 (г' = 1,т),
сунъй номида мешаванд. Модоме, ки масъалаи
васеъкардашуда дорой накшаи такягохй мебошад, он
гох ёфтани халли онро бо методи симплексй ба чо
меоваранд.
Теорема. Агар дар накшаи оптималии X* = ( х * ,
х2* . . . х,,*, х *,,+/> х *„+т ) масъалаи васеъкардашудаи
(4) - (6), киматхои сунъии тагйирёбандахои x*n+i = 0 (i
=1,т ) бошанд, он гох X * = (хг* , х2* . . . х„*) накшаи
оптималии масъалахои гузошташудаи (1) - (3)
мебошад.
Хамин
тарик,
дар
накшаи
оптималии
тагйирёбандахои сунъй баробари нул бошанд, хамон
тарик накдпаи оптималиро дарёфт намудан мумкин аст.
Ёфтани халли масъалахои васеъшударо пурратар
баён менамоем. Дар накшаи такягохии X = (0; 0; ... Ь,,
Ьг, ...Ът) масъалахои васеъкардашудаи киматхои хаттй
допггаи
т
F0 = —M ^ b f , кимати А, = z} —с /-баробар
i=i
т
а1} - с} муайян менамоем.
аст ба
>=i
Хамин тарик, Г0 ва фаркияти
zj —с . аз ду
кисмхои
новобаста иборат буда, якеи он аз М
вобастагй дошта, дигари он не. Баъд аз он, кисмхои Г0
ва
A f муайян карда мешаванд. Инчунин киматхои
маълуми масъалахои васеъ кардашударо бо таври
чадвал ифода менамоянд, ки аз чадвали симплексй бо
катори барзиёд доштанаш фарк мекунад. Дар ин холат
ба (т+2) - и катор 'коэффитсентнои М, дар (т+1)
катор бошад, намчуфтшаванданое, ки киммати М -ро
надоранд, дохил мекунанд. Дар нолати аз як накшаи
такягохй ба дигар накша гузаштанаш ба базис вектори
киммати калонтарини манфии катори (т+2) - ро аз
руи
бузургии
мутлакаш дохил карда мешавад.
Вектори сунъй, ки аз базис дар натичаи итератсия
хорич гардида буд, дар Ъянда ба ягон аз базисно дохил
кардан маъно надорад. Дар накикат, дигаргунсозии
сутуни ин вектордо бе маънист. Хисоби чадвали симплексй аз як накшаи такягохй ба дигари он
гузаштан - . ин маънои онро дорад, ки раванди
интератсионй бе катори (т+2) то даме давом додан
лозим аст, ки:
1. То он ки намай векторной сунъй аз базис хорич
намешаванд;
2.
Ё ин ки на намай бекторнои сунъй хоричанд,
аммо катори (т+2) дигар элементной манфиро дар
сутуннои векторной Р„ Р2, ... Рп+т, надоранд.
Он гон дар масъалаи мавчуда якчанд векторной базиси
сунъй донил кардан лозим меояд. Дар натича, раванди
налли масъалаи (1) - (4) гузошташуда бо методи базиси
сунъй чунин нолатноро дарбар мегиранд:
1.
Масъалаи васеъшударо тартиб мединанд;
Накшаи такягониро барои масъалаи васеъшуда
меёбанд;
Бо воситаи методи симплексй
векторной
сунъиро аз базис хорич карда мешаванд. Дар
натича, ё накшаи такягониро маълум менамоянд, ё
ин ки нал надоштани ин масъаларо ошкор карда
мешавад.
2.
Бо воситаи накшаи такягонии муайянгардида,
бо воситаи методи симплексй накшаи оптималиро
мукаррар мекунанд, ё хал надоштани онро ошкор
карда мешавад.
Мисол. Минимуми функсияи F = 2х, + Зх2 + 6х3
+х4 -ро дар холати ичрошавии шартхои
2*, +х2 +2*з +*4 = 24,
<*[ + 2хг +4*з < 2,
*, —*2 +2*з > 10,
*1, *2 , *3 , *з —0,
муайян намоед.
Хал. Масъалаи додашударо ба таври масъалаи
асосй ифода менамоем.
Максимум функсияи Fx= 2х{~3х2 +6*3 +*4- ро
дар холати ичрошавии шартхои
2 * , + * 2 + 2 * з + * 4 = 24,
• *, +2*2 +4*з +х5 = 22,
*, - *2 +2*3- *6 = 10,
Xj > 0 (/ = 1,б)
ёбед.
Аз руи коэффитсентхои компонентхо векторхоро
тартиб медихем.
(Т
"1 >
г-2'
ГГ
1 ; Рг = 2 ; р} = 4 ; Л = 0
1-Ь
Я
,
А
(О ''
'° 1
1
р* =
; Л* 0
А
Дар байни векторхои Р,,Р2,Р3, Р4> Р5 ва Р6 факат 2
вектори вохидй Р4 ва
мавчуд аст. Бинобар он ба
тарафи чапи системаи муодилахои тагйирёбандаи
мусбати х} - ро хамрох менамоем ва масъалаи
васеъкардашудаи
максимуми
F = 2 jc, - 3 х2 + 6 х3+х4 - Мхп - ро
функсияи
дар
нолати
ичрошавии шарти
2 х, +х2 +2 jc3 +х4 =24,
<х, +2х2 +4 х3+х5 = 22,
Х\-х2 +2х3-х6 = 10,
Xj±0
(/ = tf).
меёбем.
Масъалаи васеъгардида дорой чунин накшаи
такягонй мебошад. Х=(0; 0; 0; 24; 22; 0; 10), ки аз се
векторной вонидй Р4,Р5,Р 7муайян аст.
Чадвали 1
0
-м
1
0
2
-3
6
I Базис
Ро
Р 7
Р<
Ps
Рб
Р,
Рг
Рз
0
1
0
0
1
-2
24
2
1
1
Р 4
1
0
0
2
0
22
1
4
0
2
Ps
1
0
-1
-1
2
0
1
-М 10
3
Рг
0
0
0
0
4
-8
24
0
4
1
0
1
-2
0
0
-10 -1
5
Чадвали итератсия, ки аз 5 катор иборат аст,
тартиб мединем. Барои пурра намудани катори 4 ва 5
киммати Г0 ва фарки z} - Cj
менамоем:
Fq = 24-10М ;
2 Ъ- сг = - 8 - 2 М ;
z6- c6 =0 +M;
(/= 1 ,7 ) - ро муайян
г, - с , = 0 - М ;
г4- с 4 =0;
z2-c2 =4 +M;
z5- c5 =0;
zy—cy = 0.
Киммати F„ ва г / - су аз ду чамыпаванда иборат
буда, якеи он дорой М дигари он не. Барои осонии
раванди итератсионй ададе, ки дар назди М меистад,
ба катори 5 навишта, кадоме, ки дорой М нест, дар
к,атори 4 менависем. Дар катори 5 - и чадвал, вектор *
сутунхои Pj (/ = 1,7)
ду адади манфй (- 1, -2) мавчуд
аст. Мавчудияти ин ададхо аз нуктаи назарияи
пктисодй, нишон медихдд, ки ин плани такягохй кабул
кардашуда амалй нест, Бинобар он ба плани такягоэщи
дигар мегузарем. Ба базис вектор Р, - ро дохил
менамоем. Барои он ки вектори аз базис хорич
шавандаро
муайян
намоем,
Qrmn = min( 22/ 4; 10/2 = 10/ 2}~р0 мукаррар мекунем.
Дар натича, вектори Р 7 - р о аз базис хори1!
намудем. Ин вектор, дар ожвда барои ба ягоя базис
дохил намудан, маъно вздора®, бииобар ои дар оявда
сутуни вектори Р7- р о пур карда намешавад;.
II - юми итератсияро тартиб медщш, Он дорой 4
катор мебошад, чутм вектори суйъй аз базис хоряч
гардвдааст.
I
Баше с . Рф
2
3
6
1
&
0
Рг
Р*
\*4
р*
п-
0
0
1
0
I
,2
1 \ Р*
2
J
34
\
Р>
3
0
2
j -/
4
0
0
1
3
6
5
\ш
-1/2
1
§
0
&
§
§
&
1
Р*
Рг
64
4
4 S тавре, ки дар ям м т ш
•У2
\*
1
жт>уш.; аз чадваж
язвдаи ж тлтш ас?;, ш еш ят г ж ж т ш ой
Ж ~ 0;М;5:34;2) ж&ттщ.. Ожашалй будани ин
макдгаро) ш&щрщт, Д@р тт&ри 4 - уши жектор сутуни
Р6 зжменти манфй (- 4) .ш арра лег. Л ж , ин накша
оптималй нест. Ч,адвапи III - юми
тартиб медидем.
________ ____________________
2
-3
I Базис Q
6
Ро
1
2
3
итератсиониро
1
Чадвали 3
0
0
Pi
Р 2
Ps
р4
Ps
Р 6
5/2
2
0
1
1/2
-1/2
2
0
0
1/2
0
1
Р 4
1
Рб
0
35
1
Ps
6
11/2
1/4
1/2
1
0
1/4
0
68
2
8
0
0
2
0
4
Дар байни эелементнои катори 4 -уми таблитса,
А, ададй манфй вучуд надорад. Дар ин чо накшаи
X* = (0;0;11/2;35;0;1) - оптималй аст. Климата
функсияи хаттй Fmax= 68. Ч,адвалх,ои пешинаро умуми
кунонида ба намуди ягона овардан мумкин аст.
Чадвали4
-3
6
1
0
0
-М
Рз
Рб
Р 7
0
0
0
0
1
0
0
Базис
2
сб
Р 4
1
24
2
1
-2
1
0
0
-М
22
10
1
2
1
1
-1
4
24
0
4
5
-10
-1
1
34
3
0
2
-1
4
0
2 0
-8 0
-2 0
0 1
0 0
0
0
0
0
1
5
1/2
-1/2
1
0
I
1
2
3
Ps
Р
7
1
2
Ps
1
0
3
Рз
6
Р 4
Ро
Pi
Pi
Рз
Р 4
4
0
-1
0
1
-1
2
-1/2
4
64
4
0
0
0
0
-4
Уг
Уг
0
1
Р4
1
35
5/2
2
0
1
2
Рб
0
1
-1/2
2
0
0
3
Ps
6
1/2
1
0
1/
/4
0
8
0
0
2
0
4
11/2 1/4
68
2
1
Мисолхоро хал кунед: Минимуми функсияи
F = 2 х{ - х2 - х4 -ро дар холати ичрошавии шартхои
х , - 2 х 2 + х 3 = 10,
• -2хх- х2 -2х4 >18,
Зх,
+ 2х2 +х4 >
36,
хх,х2,х3,х4 > 0
ёбед.
3) Максимуми функсияи F = 2 хг- Ъх2 +6 х} +х4
- ро дар х,олати ичрошавии шартхои
х, + 2 х 2 - 4 х 3 < 20,
^х, ~х2 +2х3 £4 0 ,
2х, + х2 - 2х3 + х4 = 24,
х1,х2,х3,х4 £ 0
ёбед.
9.5. Масъалахои дутарафаи программасозии хаттй.
Масъалахои ростаи баръакс ва дутарафа
Барои нар як
масъалаи гузошташудаи
программасозии хаттй, бо таври муайян дигар
масъалахои программасозии хаттиро мувофик
кунонидан мумкин аст, ки нисбати ин масъалаи
гузошташуда
алокамандй
дошта
бошад.
Ба
здасьалаи
баръакс
нисбати
масъалахои
шрщраммасозии хаттй, ки киммати максималии
фуивзсияи хаттии додашудаи
F = clxl +с2х2 +---+ с„х„
(1)
щ р д а т а ичрошавии шартхои
аи х, +а12х2 +— +а1„х„<Ь1,
O
jj
^«1 +
@ 22^2
+
& 2п Х П ~ Ь 2 »
а»1*1 ^ ап2*2
апт —Ьп,
х} >0
■(/= ! ,/ ,/ < и)
(2)
(3)
©§шаи лозим аст, шияос мешавем.
Таъриф. Маъсалая ёфтани кимати минималии
#ШЕШГ
F* = Ъ\
У\+ Ь2у2 +■■■+Ь„у„
(4)
даржолати ичрошавии шартхои
ЧйЛ + ЧвЛ + '•' + а т\Ут
* С1У
+*22У2 + - " + a m2 Уш ^ С2>
* * Л +«2^2
(5)
*1й-1% +<*2м7к +... Жт =Щш»
• Ь Л + «2^2 + ' ■
•+ a„3im = «« >
yt > о
(i= aд &<?m|
v(6)
масъалаи баръакс
аввЗишш ядагошлаи (ilj) шомида
мешавад.
Масъалахои (1) -(3) ва масъалаи (4) чуфти
масъалахои дутарафаро дар программасозии хаттй
ташкил медиханд.
Ду масъалаи иброзгардидаро мукоиса намуда,
дидан мумкин аст, ки масъалаи баръакс нисбати
масъалаи аввала бо чунин тарз тартиб дода мешавад:
Агар максимуми функсияи максади масъалахои
(1)-(3)-ро ёфтан лозим бошад, мохияти функсияи
баръкаси нисбати функсияи гузошта шуда дар он аст,
киминимуми функсияи (4)-ро муайян намоем,
1. Матритсаи
А=
а,
а,12
..АU
а 21
а 22
..л.2 и
V ^m l
а т2
(6)
...а.тп /
ки он аз коэффитсентхои назди номаълумхои системаи
муодилахои махдудноки (2)-и масъалаи гузошташудаи
(1)-(3) иборат буда ва ба хамин шабохият матритсаи
баръаксро бо усули транспоронидани матрисаи (6),
яъне бо иваз намудани кдторхо бо сутунхои матриса
тартиб дода мешавад.
ап а1\—ап\
А* =
а \2 ° 2 2 — а т2
(7)
1. Ш умораи тагйирёбавдахо дар масъалаи (4) ба
микдори
мансуби
системах
муодилаи
махдудияти
(2)
ва
шумораи
шарти
мавдудиятнокии система» м у о т т ш я (5) ба
мивдрри
н ом ш рою и
ш сш ш т
аввала
баробар мебошад.
2. Коэффисентдои
назди
функсияи
максади
масъалаи баръакси (4) аз аъзохои озоди
системаи (2) иборат буда, тарафи рости мансуби
системаи (2)-и масъалаи (1)-(3) бошад, аз
коэффисентхои дар назди функсияи максади (1)
тартиб дода мешавад.
3. Агар тагйирёбандахои *,. -и функсияи максади
(1)-(3) факат киматхои мусбатро доро бошад, он
го^ шарти >уми системаи маздудиятнокии
масъалахои баръакси
(1)-(3) ва (1)-(4) дар
программасозии
хаттй чуфти масъалахои
дутарафаро ташкил медиханд.
Масъалахои чуфти мукобил одатан симметрй ва
гайри симметрй мебошанд. Дар чуфти масъалахои
симметрй масъалахои баръакс махдудиятхои системаи
(1)-(4)-и масъалаи мазкур ва мулокоти (4) аломати
нобаробарии <-ро кабул карда метавонад. Пас,
тагйирёбандахои хар ду масъала киматхои мусбатро
кабул мекунанд.
Мисоли 1. Барои функсияи хаттй F = 4*j +х2 - 4*3,
дар холати ичрошавии шартхои
2Xj - * 2 +4ж3< 12,
- *, +3*2 -2*з <; 13,
2*, +5*2 -6*з <11,
*J, *JJj
ки максимума онро ёфтан лозим аст, функсияи
баръакси онро муайян намоед.
Хал. Барои масъалаи мазкур, матриеадо намуди
зеринро доранд:
г 2 1 2Ч
'2 -4
1
,2
41
3 -2 1■
5 -4
Ж — -1
3
5
, 4 -2 -«J
Мувофики шарти умумй нисбати масъалаи
гузошташуда минимуми функсияи баръакс чунин аст:
F" = 12ух+13у2+11^3 -ро дар
холати
ичрошавии шартхои зерин
2>] + У2+ 2уъ> 4, ,
• -ух+Ъуг+5у3>1,
^ у 1-2у2-6у3>-4,
У^У з^°>
ёбед.
Мисоли 2. Масъалахои баръаксро нисбати ин
масъалахои гузошташуда тартиб дихед:
F = хх- 2хг +5х3 -> max
2х, + х2- Зх3 £ 12,
' 2х , +3х2 + х3 ^10,
4х, - 2х 2 + 5х3 й19
х „ х 2 х3 £0 .
F = Зх, +Зх2 - 4х3 —>шах
2х, + х2 - 5х3 < 6,
■4х, - 2х 2 + х3 < 7,
Xj + Зх2 +2х3 <, 14,
х ,,х 2 х3 >0.
9.6. Алоцаи байни халли масъалахои рост а ва баръакс
Чуфти масъалахои байни хам баръакси да
натичаи пайдоиши масъалаи асосии программасози
хаттиро дида мебароем.
Масъалаи мазкур: максимуми функсияи
F =Z
c-x- <
i=l
дар холати ичрошавии шартхои
и
_____
J «(,•*/=*,■
м
(*' = 1,»*);
х ,* 0
(У = 1, я).
ёфта шавад.
Масъалаи
баръакс
нисбати
гузошташуда: минимуми функсияи
(2)
(3)
масъалаи
т
(4)
* " = Ё s,л
ы
хангоми ичрои шарти
т
_______
Y 4 aij y i ^ ci
o '= i« ) .
(5) ■
м
ёфта шавад.
Х ар як чуфти ин масъалахои нисбати хам
баръакс (1)-(3) ва (4)-(5) дар асл масъалахои
мустакилонаи
программасозии
хаттй
буда,
новобаста аз якдагар хал карда мешаванд.
Аммо хангоми бо методи симплексй муайян
намудани халли оптималии яке аз ин масъалахо, аз
руи онхо халли дигар масъаларо ёфтан низ мумкин
аст. Алокамандии байни халхои масъалахои баръакс
бо леммахо ва теоремахо мукарриз гардидаанд.
Леммой 1. Агар X ягон накшаи масъалаи
мазкури (1)-(3), Y- накшаи дилхохи масъалаи
баръакси (4)-(5) бошад, он гох кимати функсияи
максади мазкури накшаи X дошта аз кимати
функсияи максади баръакс калон шуда наметавонад,
яъне
F (X )Z F '{Y ).
Леммаи 2. Агар F ( X ’ ) = F *(Y *)
X*
ва
ягон накднахои
Y* -и масъалах,ои (1) - (3) ва
(4)-(5) мавчуд
бошад, он гох X ' - накшаи оптималии масъалаи
мазкур ва Y* -накшаи оптималии масъалаи дутарафа
(баръакс) мебошад.
Теоремаи 1. Агар яке аз чуфтхои масъалаи
дутарафагии (1) - (3) ва
(4)-(5) накшаи оптималй
дошта бошад, он гох масъалаи баръакси он хам
накшаи оптималй дошта, киматхои функсияхои максад
бо ин нащпахои оптималиашон байни худ баробаранд,
Fmax = F^m .
Агар яке аз чуфтхои масъалахо номахдуд (барои
масъалаи (1)-(3) аз боло, барои масъалаи баръакси (4)(5) аз поён) бошад, он гох масъалаи дутарафа хал
надорад.
яъне
Теоремаи 2. Накшаи X* = х^ ,xl,...,x* масъалаи
Y* = у*,у*
масъалаи
(4)-(5)
накшахои оптималй шуда метавонанд, агар барои
дилхох j (J = 1, п) чунин баробарй чой дорад.
(1)-(3), накшаи
m
2 аоУ' ~с])х' = 0 •
/=1
Леммахо ва теоремахо бе исбот кабул карда
шудаанд.
Умуман, барои хал намудани ин гуна масъалахо
бо воситаи методи симплексй аз руи векторхои
базисии
коэффисентхои назди масъалахои (1)-(3)
тартиб дода шудаи Рп, Pi2,...,Pim ва вектор-каторхои
назди
номаълуми
функсияи
максади
(1)
Сб = сй, cj2,...,cim, бо воситаи
баръакси аз компонентхои
Р~[
матрисаи
векторхои Рп, Pn ,...,Pim тартиб додашуда истифода
бурда мешавад.
Теоремаи 3. Агар масъалаи асосии программасозии
хаттй накшаи оптималии X ' -ро дошта бошад, он гох
Y' = СбР~х нащпаи оптималии масъалаи баръакс
мешавад.
Хамин тавр, агар бо воситаи методи симплексй
накшаи оптималии масъалаи (1) - (3) муайян карда
шавад, он гох симплекс-чадвали охиронро истифода
бурда, Сбва Р~1 муайян намуда, бо ёрии баробарии
Y* = С6Р~1накшаи
оптималии масъалаи
(4)-(5)-ро
ёфтан мумкин аст, агар дар байни векторхои
Рр Р2,...,Ри- ки аз руи коэффисентхои муодилаи (2)
тартиб додашуда, вектори вохидй вучуд дошта бошад,
ин гуфтахо чой доранд.
Мисол. Барои функсияи F = ху+1х2 - 2хъ-> max,
ки шартхои
-jtj +4х2-2х3
' л:, + х2+2х3^17,
2х{ -хг-2хг =4,
х х, х 2, х 3 ^ О,
-ро каноат мекунонад, масъалаи баръаксро тартиб
дода, онро хал намоед.
Хал. Масъалаи баръакс нисбати масъалаи додашуда
иборат аз ёфтани минимуми функсияи
F* = \2уу+Пу1+4уг дар холати ичрошавии шартхои
-У1 +У2
+2у3 >1,
• *У\+Уг ~ Л * 2 ,
~2у, +2у2+2у3>-1,
ylty2 ^ 0, ёбед.
Барои он ки халли масъалаи дутарафаро ёбем, пеш
аз хама халли масъалаи асосии гузошташударо бо
методи базиси сунъй муайян менамоем.
Аз симплекс чадвали охирон маълум гардид, ки
масъалаи баръакс дорой чунин хал мебошад:
У\ ~ ^
/-j
'•
Уг - 0 :
Уъ - %
>
пас Далли минималии
функсияи максади масъалаи баръакс дорой чунин
F^n = 12 - 0 ^) + 17-О +4 - (^) = 12.
Базис
киматаст
С б
Ро
1
I
1
Л
2
1
2
-1
0
Чадвали 1
0
-м
А
Р2
^3
Р<
^5
р6
0
12 -1
4
-2
1
0
0
0
17
1
1
2
0
1
0
1
0
0
1/
/2
3
4
5
А
-м
4 2
0 -1
-4 -2
-1
-2
1
2
1
-2
0
0
0
0
0
0
1
Л
0
14 0
7/
/2
-1
1
0
2
0
15 0
з/
/2
1
0
1
3
1
2
1
1
0
0
2
0
- 1/
/2
_ 5/
/2
2
0
0
-2/
/7
2/
/7
-3/
/7
1/
/7
5/
/7
0
4
1
^2
2
4
0
1
2
Л
0
9
0
0
3
Рх
1
4
1
4
12 0
0
0
%
6/
/7
9/
/7
1
0
0
-1/
/2
1/
/2
1/
/2
1/
/7
_ 5/
/7
4/
/7
6/
/7
Фаъолияти иктисодиёти бозоргонй дар бисёр вакт
чунин халЛи масъалахоеро талаб мекунад, ки кимати
максималии якеи он аз кимати минималии масъалаи
баръакси нисбати он масъалаи гузошташуда вобастагй
дорад.
Инро дар мисол дида мебароем. Барои истенсол
намудани се намуди мансулоти А, В, С, се намуди ашёи
хом истифода бурда мешавад. Х^ар як намуди ашёи ном
бо микдори 180, 210, 244 кг. мавчуд аст. Меъёри сарфи
Нар як намуди он барои истенсол намудани як вонидй
мансулот бо нарни бозории онно бо таври чадвал дода
шудааст.
Накшаи истехсоли нар як намуди махсулотро
тартиб динед, ки бо харчи камтарини ин ашёнои хом,
корнона ба максимум даромади соф ноил гардад. Бо
ибораи дигар аз минимум истифодаи нар як намуди
ашёи хом, максимум истехсоли нар як намуди
мансулоти даромаднок, аз потенсиали мавчуда носил
карда шавад.
Чадвали 1.
Меъёри сарфи ашёи хом
Намудхои
Захираи
барои истехсоли 1 вохвди
ащёи хом
умумии ашё
махсулот
2
I
4
1
180
II
1
3
3
210
1
2
5
III
244
Нархи 1
14
12
10
махсулот
Хал. Ф арз мекунем, ки истенсоли намуди
мансулоти А- х ,. микдор, намуди мансулоти В- х2
ва мансулоти намуди С- х3 микдор истехсол карда
мешавад. Барои муайян намудани накшаи оптималии
истехсолот, кимати калонтарини функсияи максад
F(x) - 1Ox, +14 x 2 +12x3
-ро дар холати ичрошавии шартхои
(7)
4х, +2хг +х3 < 180,
« Зх, + х2+5х3<210,
(8)
х, +2х2 +5х3 < 244,
х,,х2,х3 >0,
ёбед.
Ба хар як намуди ашёи хоме, ки барои истехсоли
махсулотхо лозиманд, бахои дутарафаро бо воситаи
У\>У2 ’ Уз баробар кунонида, додан мумкин аст. Он
гох ба ашёи хоме, ки барои истехсоли ин махсулотхо
лозиманд, чунин бахо дода мешавад:
F" = 180^, +210^2 + 244у3 -» min . (9)
Мувофик,и шарти масъала, баходихии дутарафаи
ашёи хоми барои истехсоли хар як махсулот, яъне
харчи сарфи хар яки он аз нархи махсулоти
истехсолшаванда кам'нагардад. .
Аз ин ру, системаи нобаробарихои:
(*У, + Ь 2+Уъ
-2^,
+2^з
(Ю)
У1+ЗУ2+5Уэ > 12,
У1>Уг,Уэ*°>
Конеъ гардонида шавад.
Чй тавре маълум гардид, масъалахои (6)-(8) ва (9)(10) чуфти масъалахои дутарафаи симметриро ташкил
медиханд. Мустакими халли он, накднаи оптималии
истехсоли махсулотхои намуди А, В, С -ро
бо
баробарй халли дутарафаи системаи муодилахои
баходихии истифодаи захираи моддй, барои истехсоли
ин махсулотхоро нишон медихад. Барои муайян
/
базис
намудани он, аввало якеи аз ин масъалах,оро дал
намудан лозим меояд.
Аз ин ру чадвали симплексиро тартиб медщем.
Св
Ро
10
14
12
0
Чадвали 2
0
0
Pi
Рг
Рг
р4
Рз
Рб
1
Р2 14
82
19/8
1
0
5/8 .
0
-1/
/8
2
Рз
0
80
23/8
0
0
1/8
1
-5/
/8
3
Рз 12
16
-3/4
0
1
-1/4
0
1/4
1340
57/4
0
0
23/4
0
5/4
Аз ин киматхои дар чадвал мавчуд буда маълум
гардид, ки бо ин накшаи такягохии тартиб додашуда,
16 вохид намуди
82 вохид махсулоти намуди В ,
махсулоти С истехсол карда мешавад.
Пас, бо ин накшаи тамаддун гардида, боз захираи
моддии истифода нашуда боки мемонад ва арзиши
умумии моли истехсол шуда 1340 сомонро ташкил
медихад.
Инчунин, маълум гардид, ки халли оптималии
масъалаи
дутарафа
У? = 2%'> У*2 ~ 0; Уз %
-Р°
ташкил медихад. Дар ин чо тагйирёбандахои у{ ва у\
баходихии шартии захирахои моддии намуди I ва III,
ки барои истехсоли ин махсулотхо пурра истифода
бурда мешавад, у\= 0 аст. Яъне аз нуктаи назари
иктисодиёт дар ин накшаи кабул гардида, ин намуди
ашёи хом пурра истифода бурда ношуданашр©
мефахмонад.
Х,амин тарик,, бах,ои мусбат б а он намуди махеуяот
дода мешавад, агар он дар протсесси истехсолот пурра
истифода бурда шавад. Дар акси хол баходихии
дутарафа дар масъалахои иктисодй вобаетагии
истехсоли махсулотро аз захирахои моддй вияшк
медихад.
Нихоятан, амалиёти баходихии дутарафа дар
вакти зиёду кам кардани намудхои ашёи д ш ш ,
асосй
бурдбарии
корхонаи
истежссжушида
мегардад. Масалан, ашёи намуди I
бо ж вщшд,
зиёд кунем, он гох нархи умумии дащсулоти
истехсолшуда ба 5.75 зиёд гардида,, 1345,,75
сомониро ташкил медщад.
П ас, адади дар жкгор-сутут J>4~m чад ят & ут
нишон медихад, ки ш жёлташй аз щ тшш жёд
намудани истехсоли ш зруятш В ба Ш ш м ш т ы
кардани махсулоти С ба 1/4 т т м ш бтш я- Д&р ш
натина истф ом абарш ашёи м ш уш I I ба Ш т т м
кам карда мешавад,
Хамин - трщ 9 -тем там удтш ш ш т щ т Ш
бо микдори 1 щ щ , messmmm шдвдзд* ки тщаая
нави
г я р т б щ щ ш ,, т р ш ущ м тм он
ба 1с..25 д. шефе машэазд, т ш 134125
ташкил
г^датеад..
Ию мтмчтш ода же, iт мщеу/яет» шмуди С-ро
ЗШ.Д. ю ^ д а ., маз&уямж т щ г т В-^о ба
ба
Ш жиэдщ кам т ж т м ,,
шщт зювд
эшайв дашрде IX ба 5/8
ш тттш т
функсияи
максади
ш щ щ , т Ш ш рл ш лозим аст, ки
am б а щ т а ш ш вю ш аш ш мжъяязш {гузошташуда
fffinor меояд, лъвдг
^ r n iii
К ь =18О-(2% ) + 21О-О + 2 4 4 0 /) = 134О.
Дар холати
гузориши баходихии дутарафаи
системаи махдудноки масъалаи мазкур, системаи
Хосил карда мешавад.
Махдуднокии нобаробарии якуми ин система
нишон медихад, ки истехсоли махсулоти А бе
манфиат аст. Истехсоли он мувофики накшаи
пешкаш гардида ба назар гирифта нашудааст.
Баробарихои 2 ва 3-и система нишон медихад, ки
истехсоли махсулотхои намуди В ва С самарабахш
аст, чунки истехсоли 1 вохиди ин махсулотхо б а
нархи ашёи истифодабурда мувофикат мекунанд,
бинобар он истехсоли ин намуди махсулотхо
мувофики максад аст.
Хамин тарик, баходихихои дутарафаи ба
масъалаи программасозии хаттй гузошташуда бо
хамдигар алокамандии зич доранд.
9.8. Симплекс -методи дутарафа
Симплекс - методи дутарафа, хдмчун симплексметод барои муайян намудани халли масъалахои
программасозии хаттй, ки ба шакли масъалаи асосй
Рп ки аз
ифода ёфтааст ва дар байни векторхои
коэффисентхои назди номаълумхо тартиб дода шуда
дорой т вектори вохиданд, иборат мебошад.
Хамин тарик, барои балаадщии масъалахои
программасозии хяттии щ мазмун дошта, яъне
дутарафа, ки системаи мивдщшткжии он дорой
Pi P2,...,P„
векторной вохидии
буда
максималии функсияи
F = сх% ^ с гхг +--- + с лхл-р© д ер w m m
ичрошавии шартхои
ххРх+х2Р, +,,.,,+ж„Р„ —Рд
Xj ^ 0,
(j * 1,П)
муайян намудан лозим ш г, иборат мебощад.
Дар ин чо, векторной Назией
1
Рг = о
Л =
(0
о
Рт =
> Рщ*\
.о
V^ тт +1)
■In
а->
:..Р„ =
; р0 =
\а т п )
\^ т J
дар байни ададхои
(i=\,nt)
ададхои манфй низ
*йя®доштанаиши хам м рш в* *с.т.
Аз ив jy* X = .( ^ 4 .^ 4 ; =
ш яят < м ж т я
муодвдшвди :(2ji ирда даетавонад. Аммо
халро
хамчун н ш тш м ж ш ш т 0 ^ О ) хисобида наметавонем,
ч^яис* щ р йайда шшщщдатхои он мавчуд будани
ададиш ш иф® йэдш«шайр<шт:
(Шдайфйвя iPxf 22,„..,9„ дахидианд, онноро
-кадри
т т а и » йщеторхо ифода
намудан мумкин аст ва коэффисентхои панншавии
онх,о ба Ху = a.j;
(i = 1, т ) j = (1,») баробаранд.
____
т
Хамин тавр,
= z } - с, = £
с,atj - с,.
(j = 1, и),
мебошад.
Таъриф. Халли X = (bl,b2,...,bm;0^..;0) системаи
муодилахои хаттии (2), ки аз базисном Pl P2,...,Pm
муайян гардидааст, накшаи сохта (псевдонацша)- и
масъалаи асосии программасозии хаттй
номида
мешавад, агар барои дилхох j (j > 0), Aj > 0 бошад.
Теоремаи
1.
Агар
X = (bl,b2,...,bm; 0;...;0), ки
дар
накшаи
сохтаи
бо воситаи базисной
Р1Р2,...,Рт муайян гардидааст, акаллан ягон ададй
манфии
а0 > 0
bi < 0
мавчуд
(J = \,п)
бошад,
ва
он
хдмаи
киматнои
гон масъалаи
(1)-(3),
умуман накша дошта наметавонад.
Теоремаи
2.
Агар
дар
накшаи
сохтаи
X = (bl,b2,...,bm;0;...;0), ки бо воситаи базисной
Р1Р2,...,Рт муайян гардидааст, акаллан ягон ададй
манфии
Ь, < 0 мавчуд
ва намай киматнои
ац <0 (у = 1, п) бошад, он гон ба накшаи сохтаи дигар
гузаштан мумкин аст, ки кимати функсияи максад паст
намегардад.
Барои налли тасдики ин теоремано алгоритми
симплекс -методи дутарафаро тартиб мединем.
Бигузор
X = (Ьх, Ъ2,..., Ът; 0;...;0) накшаи сонтаи
масъалаи гузошташудаи (1)-(3) аст, пас барои ёфтани
налли оптималии он симплекс - методи дутарафаро
истифода мебарем, ки он аз чунин марнилано иборат
аст:
1. Нащпаи сохтаро муайян месозем;
1
2
г*
i
Ь ази
2. Хдлли
оптималй
доштани
накшаи
тартибдодашударо месанчем. Агар он хдл оптималй
бошад, он гох, амали тартибдих,ии накшаи сохтаро
катъ мегардонем, баръакси хол ба накшахои сохтаи
нав ба нав мегузарем, то он даме,
ки накапай
оптималй доштан ё хдл надоштани масъалаи
гузошташударо муайян насозем;
3. Сатри
муайянкунандаро
бо
воситаи
муайянкунии кимати мутлаки калонтарини адади
манфии вектор-сутуни Р0ва сутуни барандаро аз руи
кимати мутлаки хурдтарини нисбати элементной
(т +1) -и сатри элементной халкунанда мувофик
интихоб карда мешавад.
Чадвали!
с6 ^0
р.
h 1
Рг сг ъ2 0
Pi
Ст
С1
Cl
0
Рг
0
...
0
1
0
1
Т
Р, с,
ь,
0
0
i
Р<
с,
ь,
0
0
0
0
Рт
с *
0
0
0
0
0
0
р т
...
1
рm+L
C„
Сг
С т+
...
Рг
...
Pn
0 а1т+1
а\
г
0 а2т+\ . . . air
a2n
а1г
“to
0
®tm+1
0
0
a im+1
0
0
1
^ т т +1
0
0
0
^т+ 1
...
a\
n
air
...
<*»
amr
...
amn
,
М
М+1
^0
...
К
К
4. Накшаи сохтаро тартиб дода, боз аз сари нав
хамаи амалхоро аз амалй 2 cap карда, такроран
ичро мекунем.
Мисоли1.
К^имати
максималии
функсияи
F = х, + х2 + 2хг-ро хангоми ичрошавии шартхои
Xj +х2 +х3 = 8,
• х, - х2 > 4,
X, +х2 > 6,
Х ,, Х 2, Х 3 > 0 ,
i
ёбед.
Хал. Системаи- муодилахои мазкурро бо шакли
асосй ифода менамоем.
х, +х2 +х3 = 8,
■X, - х 2 -х4 =4,
х, + 2 х 2 - х 5 = 6 ,
х,,х2,х3, х4, х5 £
0.
Муодилахои 2 ва 3-и системаи махдуднокро ба (1) зарб намуда, чунин системаи муодилахоро хосил
менамоем.
Максимума функсияи
F = х1+х1+2хг- ро дар
холати ичрошавии шартхои зерин меёбем.
xt +х2 +х3 = 8,
• - х, +х2 +х4 = -4,
- х, - 2 х 2 +х 5 = - 6 ,
Пас, масъалаи дутарафаро нисбати он тартиб
медихем,
яъне
кимати
минималии
функсияи
F* = 8^, - 4у2 - 6у3
(7) - ро дар холати ичрошавии
шартхои зерин меёбем.
У. -Уг-У,*Ъ
■У1 +У 2 - 2уэ > 1,
(8)
..V, ^ 2,
yi>y3 Z ° (9)
Ба сифати векторной базисй Р3,Р 4,Р 5- ро интихоб
намуда, чадвали симплексиро тартиб мединем.
Аз ин чадвал дидан мумкин аст, ки накшаи
масъалаи дутарафаи (6)-(8) Y = (2; 0; 0) мебошад. Дар
ин чо F* = 16 .
1
1
Чддвали2
2
0
0
Р2
1
^3
1
Ра
0
р5
0
i
Базис
С б
К
1
Рг
2
8
Pi
1
2
Л
0
-4
-1
1
0
1
0
3
4
Рь
0
-6
16
-1
1
-2
1
0
0
0
0
1
0
Чй тавре ки дида мешавад, дар вектор-сутуни Р0и чадвали мазкур ду
адади манфй (-4) ва (-6)
мавчуданд ва дар катори 4-м адади манфй вучуд
надорад, аз ин ру мувофики шарти алгоритмаи
симплекс -методи дутарафа ба симплекс - чадвали
дигар гузаштан мумкин аст.
Пас, вектори хоричшаванда аз нисоби кимати
мутлаки калонтарини адади манфй муайян карда, дар
ин масъала ба (-6) баробар аст, ки ба Р5тааллук дорад,
хорич мекунем. Дар ин чо Р5-ро аз базис хорич
намуда, вектори нави ба базис дохилшавандаро аз руи
формулаи
min(-A,/ atj) , ки кимати
муайян менамоем.
манфй аст,
m in(- A j а0) = m in(-l/-1);
-1/(-2)=1/2, яъне ба базис вектори Р2-ро дохил
менамоем. Чддвали нави симплексиро тартиб медихем.
I
Базис
1
Сб
Л
2
5
2
Л
0
-7
3
Р2
1
3
13
4
адвали 3
0
1
1
2
0
Pi
V
Рг
^3
Ра
Ps
/2
-3/
/2
1/
/2
0
1
0
0
0
1
1/
72
1/
72
1
0
0
- /2
V
V
0
0
0
1/
72
72
Аз додашудахои ин чадвал маълум гардид, ки
накдгаи нави масъалаи дутарафа ба Y = (2; 0; j/^)
баробар аст.
Дар ин нащна кимати функсияи
додашудаи дутарафа ба F* = 13 мебошад.
Хамин тарик, кайд кардан лозим аст, ки бо воситаи
алгоритми дутарафаи методи симплексй аз як накша ба
навдпаи дигар гузашта, пай дар пай бехтар намудани
накшаи такягониро нигарон мешавем.
Азбаски вектор-сутуни Р0 ва намин катори ададй
манфй дошта низ мансуби ададй манфй аст,
ба
симплекс чадвали нав мегузарем.
1
1
2
0
Рг
0
рз
1
рi
8/3
Pi
0
1
14/3
1
0
1
2/3
0
32/3
&
i
Базис
сб
Ро
1
рз
2
2
А
3
Рг
4
0
1/3
2/3
-2/3
-1/3
I
0
0
1/3
-1/3
0
0
1/3
2/3
Чй тавре ки аз ин чадвал маълум гардид, накшаи
оптималии масъалаи гузошташудаи мазкур ва
масъалаи дутарафа му айян карда шуд. Ин
К т =180-(2% ) +210-0 +244(5/J) = 1340.
X" = (14/
в а У * = ( 2 ; ^ ; ^ ) мебошанд.
Инак, ин накшаи кабулгардида, накшаи оптималй
буда, кимати шакли хаттии
функсияи мазкур ва
масъалаи дутарафаи содиби киматхои
баробарро
дидан мумкин аст, Fmax = F,* п = 32^ .
Мисолхои зепинро хал намоед:
F = 2х1+3^ +5х4-»та*
-2х, +х2-х3=1Q
■
х
1+ 2х 3 + х 4 = 1 2 ,
Зх 1 - 2 х 2 - х 3
=1§
* i,* 2,* 3,* 4 > 0 .
F = -4х1- 1х2+4л:3 -3*4 —> max
2*i +*2 - *3+*4 <4,
1 *! +
3*2 +
2*3 -
3*4 >
6,
3*1 - 2*2 +*3 =3,
* ,,* 2,* 3,* 4 > 0.
F = *, +2*2 - 4х3 +3*4 -* min
*, - 2*2 +З*3+4х4 > 14,
■2*, +*2‘+2*3+*4 >11,
*, -2*2 -*з +5*4 = 13,
* 1,* 2,* 3,х 4 > 0.
F = 5x, +6x2 +2x3- 2x4 —> min
x\~ x2 +
+5x4 > 27,
<2x, +3x2- хъ+x4 > 24,
Jtj
+2x3- x4 = 18,
•^1?-^25*^35^4 —0.
X Масъалахои махсуси программасозии
хаттй.
10.1. Масъалахои накдиётй. Шархи математикии
гузориши масъалахои нацлиётй
Яке аз масъалахои мухими иктисодиёти муосир ин
масъалахои накдиётй мебошанд. Аз ин лих,оз, зарур
мешуморем, ки гузориши математикии муштараки
масъалахои наклиётй ва методхои халли онхоро
пешкаши хонандагон намоем.
Гузориши муштараки масъалахои наклиётй аз
муайян намудани накшаи оптималии бо харочоти
камтарин ё бо муддати кутохтарин
бо воситаи
наклиёт аз нуктахои таъминоти ба нуктахои
истеъмолкунандагон бурда расонидани бор иборат
мебошад.
Донишхо ва малакахо оиди методхои халли
масъалахои накдиётй нишон медихад, ки дар
масъалахои гуногуни иктисодиёт, хангоми тахлили
зухуротхои гуногуни вобастагии онхо, ки мохияти
наклиётиро надошта бошанд хам, истифода бурда
мешаванд.
Инак, гузориши масъалахои наклиётиро аз
таснифи моделхо, яъне тасвири намуди модели
математики o f o 3 мекунем.
Аз ин ру, масъаларо чунин гузориш менамоем.
Бигузор т манбаъхои таъминкунандаи А,,А2,...Ат
дорой борх,ои якчинсаи
бо микдори а {, а 2,...,ат
дошта мавчуд бошанд. Зарур дониста мешавад, ки
ин борноро бо микдори Ь],Ь2,..Ьпба п нуктанои
В2,...,Вп, ки ба он энтиёчй
доранд бо арзиши камтарин бурда расонем. Арзиши
кашонидани бор аз як нукта ба нуктаи дигар бо
истеъмолкунандаи
воситаи Су ишорат карда мешавад. Микдори як
вониди бори кашонидашавандаи аз ин нуктано бо
х0- ишорат карда мешавад. Ба сифати критерияи
х,алли оптималй доштани масъала нархи камтарин ё
сарфаи камтарини вакти кашонидани б орро ба
инобат мегирем.
Дар ин чо, дар холати кашонидани бор, ху>0
ва баръакс xtj =0 (/ = 1, т ) ; (у = 1,п) мебошад.
Суммаи
микдори
истеъмолкунандагони нуктанои
А,
манбаънои
кабул
борное,
ки
В} аз захиранои
мекунанд,
ба
хп + xi2 +’---’+xin = at ва б° микдори бори дар манбаъи
At мавчуд буда баробар мешавад.
Суммаи микдори боре, ки нар як истеъмолкунанда
аз
захиранои
манбаъно
кабул
мекунад
ба
ХУ + x2j +,--;+xmJ = bj баробар мешавад.
Сипае, модели математикии масъалаи наклиётй аз
ёфтани кимати минималии функсияи
т
f
п
I сл
а)
дар нолати ичрошавии шартнои
т
T
i~l
______
xo = b J
=
(2)
=
Х * '/ =а,
(3)
м
хц > 0
ифода
мегардад.
(/ = 1, т),
Агар
(j = In).
киматхои
(4)
х(. (i = {\,m)
j = (1, п) истемаи муодилахои хаттии (2) - (3) ва (4)
к,онеъ гардонида тавонанд, он гох масъала хал дорад,
яъне талаботи истеъмолкунанда конеъ гардонида
мешавад.
Таърифи 1. Дилхох халли мусбати системаи
муодилахои (2) ва (3), ки бо воситаи матрисаи
X =
(г = 1ж , );
j = (1, п) муайян карда мешавад,
накшаи масъалаи наклиётй номида мешавад.
Таърифи 2. Накшаи
Х *= (х *)
‘
(г = 1.т;);
j = (l,n), ки дар он функсияи (1) дорой кимати
минималй мегардад, халли оптималии масъалаи
накдиётй номида мешавад.
Агар талаботи умумии истеъмолкунандагон б а
захираи умумии таъминкунандагон баробар бошад,
яъне
т
п
а>= £ bi >
(5)
>1
он гох модели масъалахои накдиётй пушида буда, дар
акси хол ин модел кушода номида мешавад.
Агар захираи умумй аз талабот зиёд бошад, яъне
£
«•=1
т
п
^ д, > ]£ bj, он гох дар чадвал нуктаи калбакиро бо
/=i
j-i
т
п
кимати 6я+1= ^ а , - ^] bj барои истеъмолкунандагон
/=1
у=1
!
дохил намуда, арзиши кашонидани борро дар ин нукта
баробари нул мехисобем. Дар ин холат сш+} = 0 .
т
п
aj < ^ bj бошад,
/=1
j=\
манбаи таъминии иловагии кдлбакй дохил карда
Айнан, дар акси хол, агар
мешавад. Дар ин холат
C m+tj ~
О • Ин
п
т
7=1
<=1
а„,+
1=
бо арзиши
намуд масъалахо хам ба монанди
...
А
В п
С \п
с и
«1
хп
А
с п
C in
о,
хп
х и
C mj
С т\
х ы
*Ц
Си
А
X*
С тп
А т
<*т
*»1
Талабот
Захира
Нуктаи
таъмин
Кунанда
масъалаи умумии наклиётй хал карда мешавад.
Умуман, хама гуна масъалахои наклиётй бо
тартиби муайян бо воситаи ч а д в а л х о и бо ягон метод ба
низом даровардашуда хал карда мешаванд.
Новобаста аз гузориш ин масъалахо бояд шарти
(5)-ро конеъ гардонанд.
Аз ин ру, яке аз мархиллаи асосии халли масъала
иборат аз тартиб додани чадвал мебошад.
Чадвали!
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
талаботи онхо
ь,
■
Х тп
*m j
h
К
Теорема. Барои нал доштани масъалаи наклиётй,
шарт ва кифоя аст, ки шарти (5) ичро гардад.
Шумораи тагйирёбанданои масъалаи наклиётй бо
нуктанои
таъминкунанда
ва
истеъмолкунанда
(кабулкунанда) ба тп,
шумораи муодилах,о дар
системаи бо таври (2)-(3) тартибдодашуда бошад, ба
т+п баробар аст.
Ф арз мекунем, ки шарти (5) ичро мегардад, он гон
шумораи муодиладои наттй новобаста
(п +т-1) -то
мешавад.
Дар натича, шумораи номаълумнои накшаи
такягонии масъалаи гузошташуда аз п +т-1 -то зиёд
шуда наметавонад. Барои муайян намудани накшаи
оптималии масъаланои наклиётй якчанд методно
мавчуданд. Ин методно ба монанди усули кунчии
шимолу гарбй, элементной нурдтарин, методи
афзалияти дукарата, методи апроксимматсияи Фогел,
методи потенсиално, методи рентаи дифференсиалй ва
гайрано мебошанд.
Пеш аз он ки бо воситаи ин методно накшаи
оптималии масъаланои наклиётиро муайян намоем,
лозим аст, ки гузориши математикии якчанд
масъаланоро дида бароем.
Мисоли 1. Ч ор корнонаи як нонияи иктисодй барои
истенсоли мансулотнояшон, се намуди ашёи хомро бо
микдори120, 50, 190. 110 вонид истифода мебаранд.
Дар анборнои 1, 2, 3 бо микдори 160, 140. 170 вонид
ашё мавчуд аст. Ин борноро аз пунктнои таъминотии
А1,А2>А3 ба пунктнои истеъмолкунандаи В1,В 2,В 3, ВА
бурда расонидан лозим аст, Арзиши кашонидани бор
бо таври матритса дода шудааст.
Чунин накдпаеро тартиб динед, ки харочоти
кашонидани бор камтар шуда, талаботи намай
истеъмолкунандагон конеъ гардонида шавад.
сV
Хал. Бо воситаи xtJ як вохид бори аз як нукта ба
дигар нукта кашондашавандаро ишорат мекунем.
Сипае,
модели
математикии
масъалаи
гузошташуда бо воситаи додашудахо чунин ифода
карда мешавад.
хи +хп +х13 +х14 = 160,
с21 +х22 +х23 +х24 = 140,
Х 31
+ Х 32 + Х'33 +
х34 = 170,
с„ +х21 +х31 = 120,
(6)
х12 +х22 +х32 —50,
13 *23
Х 14 + х 24
*33 = 190,
+ х34 =110,
Х = х, (i = l,3); 7 = (1,4).
Бо ин накшаи тартиб додашуда, кимати минималии
функсия баробар ба
F = 7X[j +8х12 +х,3+2.Xj4 +4x^21 +5х22 +9х23 +8х24 +9х31 +
2х32 +Зх33 +6х34.
(7)
мешавад.
Хамин тавр, гузориши математикии масъалаи
наклиётии додашуда, иборат аз ёфтани чунин халли
гайриманфии системаи муодилахои (6) мебошад, ки
функсияи максади (7) дорой кимати хурдтарин гардад.
Чй тавре, ки маълум аст, модели математикии
масъалахои додашуда тартиб дода шудааст, аз
коэффисентхои назди номаълумхои он чадвал тартиб
медихем.
Нуктаи таъминкунанда
А
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
талаботи онхо
Захира
В
,
,В2
j
*4
вх
1
3
6
100
2
А
4
1
8
7
180
А
11
4
6
3
120
Мисоли 2. Барои ин мисоли бо таври чадвал
овардашуда, модели математикии онро мустакдлона
тартиб дихед.
___________________________ ______________Чадвали 3
Нуктаи истеъмолкунанда ва
Нуктаи таъхачми талаботи онхо
Захира
минкунанда
в2
Вг
Яз
1
5
2
1
300
А
а2
А
Талабот
1
3
6
5
80
8
80
2
220
3
100
4
140
160
540
Муайян намудани накшаи такягохии масъалахои
наклиётй
Чй хеле ки кайд намудем, барои ёфтани халли
оптималии масъалахои программасозии хаттй бо
методи симплексй, аввало накшаи такягохй муайян
карда мешавад. Одатан накшаи такягохиро ихтиёран
аз руи имконияти захирахои мавчуда интихоб
намуда, бо воситаи ягон метод функсияи максади
масъалаи
гузошташуда
дорой
кимати
максималй(минималй) мегардад ё не санчида
мешавад.
Методи пай дар пай бехтар намудани
накшаи такягохиро низ барои масъалахои наклиётй
татбик кардан мумкин аст. Мохияти ин метод аз он
иборат аст, ки пай дар пай бо п +т - 1 кддамх,о хамаи
ахборотро дар чадвал чойгир намуда, хоначахои
чадвалро бо кддри имкон аз хисоби маълумоти бори
дар хоначаи захира чойгир шуда таксим мекунем,
яъне
ба
хоначахои
чадвал
микдори
бори
кашонидашавандаро ’ кайд мекунем. Хоначаи кайд
кардашударо хоначаи бандшуда меномем. Ин амал
онро мефахмонад, ки талаботи як истеъмолкунанда
ба кадри хол таъмин карда мешавад.
Сипае, дар- ягон муддат сутуни хоначаи пурра
доштаро хорич мекунем. Пас, аз таксим намудани
бор,
яъне
конеъ
гардонидани
талаботи
истеъмолкунанда,
бо
воситаи
методхои
программасозии хаттй, оптималй ё гайриоптималии
накшаи такягохии интихоб намударо месанчем.
Аз ин ру, накшаи такягохии аввалин тартиб дода
мешавад, ки дар он чадвали чорй аз хоначахои
бордошта ва бебор (холй) иборат аст. Чойгир
намудани бор ва кашонидани он аз як нукта ба
нуктаи дигарро бо воситаи методхои гуногун дида
мебароем.
Яке аз методхои хал намудани масъалахои
наклиётй ин методи кунчии шимолу гарбй мебошад.
10.2. Методи нунции шимолу гарбй
Мохияти методи кунчии шимолу гарбй ин пай
дар пай бехтар кунонидани накша мебошад.
Чй хеле ки дар боло кайд карда гузаштем, хар
гуна масъалаи программасозии хаттиро бо ягон
низоми муайян ба таври чадвал ифода намуда,
маълумотхои дар масъала гузошташударо дар он
чойгир месозем.
Бо ин усул таъминкунии талаботро аз хоначаи
якуми чадвал, яъне талаботи истеъмолкунандаи Вх
бевосита аз хисоби таъмикунандаи Ах
cap карда
мешавад. Дар вакти муайян намудани накшаи
такягохии масъалаи наклиётй бо воситаи усули
кунчии шимолу гарбй дар хар кадам, аввалло аз
нуктахои аввалаи таъминкунанда ва нуктахои
аввалаи истеъмолкунанда ба таксимоти бор шуруъ
мекунанд.
Хамин тавр, пур кардани хоначахои чадвал аз
кунчи болоии тарафи чап, яъне аз бузургии
тагйирёбандаи хп (кунчи шимолу гарбй) cap карда,
бо хоначаи бузургии хтп ба охир расонида мешавад.
Чадвали 1
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
Нуктаи
талаботи онхо
таъм
Захира
Минкун
в
п
анда
А
си
си
Хц
са
4
С1п
...
хи
в|
Ст
сч
хц
хп
*1п
Х ,п
,,,
Ч,
Талабот
С«1
^тп
C mj
*«.1
Ъх
Хщ
Ь;
°т
Х тп
К
Мисоли 1. Дар анборхои (нуктахои таъмин
кунанда) А1}А2,А 3,А 4 борхои якчинсаи мувофикан
150, 50, 70 ва 100 т. мавчуд аст. Ин борхоро ба
истеъмолкунандагони
нуктахои
В,, В2, Вг, ВЛВ5
мувофики талаботашон бо микдори 80, 70, 100, 60, 70
тонна бурда расонидан лозим аст.
Нархи кашонидани бор аз нук,тахои таъминкунанда ба
нуктахои истеъмолкунанда ба намуди матритса дода
шудааст.
'2
4 2 5 3'
с _ 7 3 1 4 2
1 6 3 2 5
,3 2 1 4 8,
Х,амин гуна нащнаеро тартиб додан лозим аст, ки
аз он кашонидани бор, функсияи максад дорой кимати
минималй гардад.
Хал. Дар ин чо шумораи нуктаи таъминоти т = 4,
нуктаи кабул п=5 мебошанд.
*„ +хп + *13 + *14 + *15 = 150,
Х 21 + * 2 2 "*" * 2 3 + Х 24 + * 2 5 = ^ 0 ,
*3 1
*3 2
* 3 3 "*" * 3 4
*41
*42
*43
*44
"*" * 3 5 =
7 0 ,
*45 = 1 Ю ,
<Х п +*21 + *31 +*41 = 80,
* 1 2 ■*" * 2 2
* 3 2 "*" * 4 2 = 7 0 ,
*13 "*" * 2 3
*33
*1 4
*43 = ^ ^ 0 ,
* 2 4 "*" * 3 4 "*" * 4 4 = 6 0 ,
*15 "*"*2 5 "*"*3 5 + * 4 5 = 7 0 .
F = 2хи +4*,2+2*13+5*м +3*15+7*21+3*22+*23+4*24+
2*25
*31 + 6 * 3 2
+ 3 * з з + 2*34 + 5 * 35 + 3 *41 + 2 * 42 + * 43 + 4 * ^ + 8*45.
Дар натича, шумораи системаи муодилахо 4+51=8 ифода меёбад. Микдори бори аз нуктахои
А, (/ = 1,4) ба нуктахои истемолкунандаи ZT (у = 1,5)
хц / = (1,4); j = (1,5) ишора
мекунем, он гох, модели математикии масъалаи
гузошташуда чунин тартиб дода мешавад.
Чадвали 2
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
талаботи онхо
в2 В3
в4
в5
Захира
Нуктаи
таъминкун
кашонидашавандаро бо
А
А
2
А
1
А
3
4
80
2
2
5
3
150
4
2
50
5
70
70
4
1
50
6
3
2
50
Талабот 80
2
70
20
1
4
100
40
60
8
110
70
70
380
Бо
ин
усул
таъминкунии
талаботи
истеъмолкунандаи якум бевосита аз хисоби захираи
таъминкунандаи якум cap карда мешавад, яъне дар
хоначаи якуми чадвал, мувофики талабот 80 т бор
чойгир карда мешавад,
Азбаски 150>80 аст, бори бокдмондаро ба дигар
хонача бо микдори 70 т. чойгир мекунем, ки аз ин
талаботи истеъмолкунандаи В2 низ конеъ гардонида
мешавад. Бинобар он аз анбори якум ба дигар
истеъмолкунанда бор кашонида намешавад.
Аз хисоби захираи А2, ки бо микдори 50т. аст
(50<100)
кисман ба хоначаи А2В3 борро чойгир
мекунанд.
Хдмин тавр, раванди таксимжунии борро аз руи
диагонали чадвали тартибдодашуда таксим намуда, то
хоначаи A4BS давом дода мешавад.
Инак, халли масъалаи накдиётии гузошташуда
ноили чунин натича мегардад:
^80 70 0 0 0 N
Х =
О
0 50 О О
О
О
О
О 0 40 70
50 20 О
Харчи умумии кашонидани бор дар ин нуктахо
мувофики
накшаи
такягохии
тартибдодашуда
баробар ба
F = 2-80 +4- 70+1-50+3-50+2-20+4-40 +8-70 = 1400
Мисоли 2. Ба се нуктаи А, А2 А3 бори якхела
ворид карда шуд, ки онхо ба микдори 140, 180, 160
вохид
баробаран д. Ин б орх оро б а нуктахои
кабули Bj В2 В3 В4 В 560 микдори 60, 70, 120, 130,
100 вохид бурда расонидан лозим аст. Арзиши
кашонидани б ор бо воситаи матритса ифода
карда шудааст.
'2 3 4 2 4^1
С= 8 4 14
1
9 7 3 7 2
Хал. Дар ин но шумораи нуктаи таъминоти т = 3,
нуктаи кабул п=5.
Дар натича,. шумораи системаи муодилахо 3+5-1=7
мешавад. Микдори бори аз нуктахои At (i = 1,3) ба
нуктахои истемолкунандаи Bj
(j = 1,5) кашонидаша-
вандаро бо xtJ i = (1,3); j = (1,5) ишора мекунем, он гох
модели математикии масъалаи гузошташуда чунин
тартиб дода мешавад.
F = 2x„ +3x12 +4x13 +2xl4 +4x15+8x2l +4x22 +x23 +
4x24 +x25 +9x31 +7x32 +
+Зх33 + 7х34 +2x35.
XU +*12 +*13 +x14+xI5 = 140,
*2 1
*22
*23
*24
*25
4 + X35 : 160,
V31 + x32 + X„
34
l 33 + X1
x,,+ x21+x31 = 60,
x12 + x22 + x32 = 70,
*13 + X 2 l + * 3 3
=120,
Xj4 + x24 + x34 = 130,
lXi 5 +x25 +x35 =
100.
Нукт
аи
таъм
ин.
Пур кардани хоначаи чадвалро аз номаълуми хц cap
мекунем, талаботи нуктаи 1-умро конеъ мегардонем.
Чй хеле ки захираи нуктаи А, аз талаботи
истеъмолкунандаи В, калон аст, он гох фарз мекунем,
ки хц =60 ва бокимонда захираи борро ба дигар
хоначахои сатри аввали чадвал мувофики талаботи
дигар истеъмолкунандагон таксим мекунем.
Храмин тарик,, бо кадри имкон борхои дар дигар
анборхо бударо пай дар пай ба хоначахои чадвал
чсшгир менамоем.
Ai
в,
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
талаботи онхо
вг
3
2
60
Аг
8
в3
4
70
4
9
7
4
140
1
4
1
180
70
3
7
70
120
130
160
2
60
Талабот 60
Сй
Па
10
НО
Аз
. в5
в4
2
К
100
100
'60
Х=
70 10 0 0N
0 0 110 70 0
к0
0
0
60
100,
F = 2-60 +3-70 +4 10 +1 100 +4- 70 +7-60 +2 100 = 1380
Барои масъалахои зерин накдиаи такягохиро
тартиб дихед.
Мисоли 3. Ба се нуктаи А, А2 А3, бори якхела
ворид карда шуд, ки онхо ба микдори 140,180,160
вохид баробаранд. Ин борхоро ба нуктахои кабули
В ,В2 В3 В4 В 5 бо микдори 60, 70, 120, 130, 100 вохид
бурда расондан лозим аст. Арзиши кашонидани бор
дар чадвал чойгир карда шудааст.
А,
2
3
4
2
4
140
а2
8
4
1
4
1
180
Аз
9
7
3
7
2
160
Талабот
60
70
120
130
100
480
1
Чддвали 4
Нуктаи истеъмолкунанда ва
хачми талаботи онхо
в,
в2
Bs
в,
В3
Захира
Нуктаи
таъминкунанда
Мисоли 4. Ба се нуктаи А, А2 А3 бори якхела
ворид карда шуд, ки онхо ба микдори 200, 140, 100
вохид баробаранд. Ий борхоро ба нуктаи кабули В
,В2 В3 В4 Bs бо микдори 50, 80, 100, 120, 90 вохид
бурда расондан лозим аст. Арзиши
бор дар чадвал чойгир карда шудааст
кашонидани
Чддвали 5
в,
А>.
Нуктаи истеъмолкунанда ва
хачми талаботи он
в2
вз
в4
в5
Захира
Нуктаи
таъминкунанда
4
2 ■
1
5
7
200
а2
1
3
4
1
2
140
Аз
5
6
2
9
4
100
Талабот
50
80
100
120
90
440
10.3. Методи элементы минималй
Мохияти методи кунчии шимолу гарбй барои
таъминоти бор аз он иборат аст, ки дар дар кадами
таксимот аз хисоби захираи нуктахои пешинае, ки
дар он нуктахои таъминотй бор боки монда буд,
талаботи истеъмолкунандагони навбатй конеъ
гардонида мешавад, яъне аз ин хисоб хоначахои
дигари чадвал пур мегардад.
Вале, масъалаи бартарии таксимоти б орро
вобаста ба он хал кардан лозим аст, ки интихоби
таксимотро аз кимати минималии кашонидани бор,
яъне аз хоначаи чадвал, ки дорой кимати минималй
аст, cap кадан мумкин мебошад.
Аз ин ру, интихоби нуктахок таъминот ва
кабулкунии борхо, агар ба кашонидани бор бо
нархи минималй мувофик карда шавад, ин методро
татбик кардан мумкин аст. Дар хакикат, барои хар
як кадами гузариш хамон хоначаи чадвалро интихоб
намудан лозим аст, ки ба кимати минималй доро
бошад ва нуктахои таъминот ва кабулро ба он
тарики
камкунии
арзиши
кашонидани
бор
мувофикдт кунонад. Мохияти асосии ин метод дар
он аст, ки хоначаи элементи хурдтарин доштаро
интихоб намуда пай дар пай б орро бо тарики
арзишхои кам кашонидан мумкин.
Ин метод шабохати онро медихад, ки накшаи
такягохии масъалахои наклиётро б о маблаги кам
кашонида, харочоти умумиро б а минимум оварда
расонидан мумкин бошад. Бештар накшаи такягохй
дар асосй методи элементи хурдтарин тартиб дода
мешавад.
Мисол. Масъалаи дар боло дарч гардидаро ба
воситаи методи элементи хурдтарин хал менамоем.
(2
8
12N
С = 8
5
98
2
34
12
*11 + * 1 2 + *1 3 + * 1 4 = 1 6 0 ,
*21 + * 2 2 + *2 3 + *2 4 = 1 4 0 ,
*31 + *3 2 + *3 3 + *34 = 1 7 0 ,
*п +*2i +*3i =120,
*12 + *22 + *32 =50,
*13 + * 2 3 + * 3 3 =
190,
*14 + * 2 4 + * 3 4
1 Ю .
Аз руи накшаи додашудаи X = (*,..) (i = 1,3; j - 1,4)
нархи кашонидани умумии бор аз руи баробарии
F = 7*п +8*п +*13 +2*]4+2*2, +3*22 +9*23+8*24+9*3! +
+2*32 +3*„
33 +6* 34
муайян карда шавад.
Арзиши минималй дар хоначаи тагйирёбандаи
х13, ки баробарй 1 аст,чойгир мебошад, х„=160-ро дар
ин хонача менависем ва онро аз катори Агхорнч,
менамоем.
т: адвали 1
Нуктаи
Нуктаи истеъмолкунанда ва
Захира
таъминхачми талаботи он
кунанда в ,
в2
в3
в4
7
8
1
2
160
А,
160
4
5
9
А2
8
140
120
20
9
2
3
6
170
А3
50
30
90
Талабот 120
50
190
110
470
Ба нуктаи кабули В3 боз 30 вовдди дигар бор
лозим аст.
Дар кисми бокимондаи чадвал бо ду катори А,
ва А2 ва чор сутуни В, В2 В3 В4, хоначаи хурдтарини
арзиши Си , С32=2 мавчуд аст. ЛГ^=50-ро ба катаки
мувофики чадвал мегузорем.
Аз чадвал кимати сутуни В2-ро хорич намуда, кимати
захираи А2-ро ба 120 вохид баробар мехисобем. Баъд
аз он кисми чадвал бо ду катори А2 ва А3 ва се сутуни
В, В3 ва В4 бокй мемонад, дида мебароем. Арзиши
минималии Су дар буриши катори А} ва сутуни Вз
баробарй С33—Ъмебошад.
Ин хоначаро бо методи дар боло овардашуда пур
намуда, хамин тавр хоначахои дар бурриши катори
А2 ва сутуни .В,, катори А3 ва сутуни В4,катори Л2
ва сутуни В4-ро пур намуда, дар натича накшаи
такягохии навро хосил мекунем.
120
0
0
20
ч0 50 30 90,
Дар ин накшаи мухакик нархи кашонидани бор
чунин аст:
5 = 1-160 +4 120ч-8-20 +2-50 +3-30 +6-90 = 1530.
сомониро ташкил медихад.
Масъалаи зерито хал намоед:
Заводной фирмаи автомобили дар шахрхои А, В, С
чойгиранд. Маркази асосии таксимоти махсулоти он
дар шахрхои D, Е
чойгир аст. Х^ачми истех,соли
мадсулоти заводно ба 1000, 1300 ва 1200 автомобил дар
як квартал мебошад. Талаботи дар кварталии ин
автомобилдо мутобикан ба 2300 ва 1400 мерасад.
Харочоти кашонидани ин автомобилхо бо вагонхо бо
таври чадвал дода шудааст. Дар чадвал арзиши
кашонидан нишон дода шудааст.
А
В
С
D
80
100
102
Е
215
108
68
Храмин гуна модели математикиро тартиб дидед,
ки имконияти б о арзиши камтарин кашонидани ин
автомобилдоро муайян кунад.
10,4. Методи аппроксиматсияи Фогел
Бо методи аппроксиматсияи Фогел
нархи
минималии кашонидани бор аз нуктаи таъминот ва
кабулро истифода мебаранд. Мохияти ин метод иборат
аз он аст, ки дар хар як кадами итератсияи аз руи
сутуну сатрхо гузаронидашуда, фаркияти байни ду
кимати минималии арзиши ин амалиётро муайян
мекунанд. Дар байни фаркиятхои мавчуД буда кимати
хурдтарини он интихоб карда мешавад. Дар он сатр (ё
сутун), ки ба фаркият мувофикат мекунад, яъне арзиши
минималии кашонидани бор мебошад, дар хамин
итератсияи кабулшуда, хонача пур карда мешавад.
Агар арзиши минималии кашонидани бор дар
якчанд хоначахои сатр (сутун) якхела бошанд, он гох
барои пур кардани он сатр (сутун), кимати
калонтарини фаркиятхои байни ду кимати минималии
арзишхои мувофик истифода мешаванд.
Чадвали :
Нуктаи
Нуктахои кабул
Захирахо
таъминкунанда
в2 в,
В4
В,
7
8
1
2
160
А
4
9
120
Аг
А3
Талабот
5
2
50
9
3
190
8
6
110
140
170
470
Захира
Нуктаи таъ
Минкунанда
Барои хар як сатр ва сутуни чадвал фарки байни
ду арзиши минималиро муайян намуда, онро дар сатр ё
сутуни бар изофаи чадвали аз нав тартиб додашуда
кайд мекунем.
Чадвали 2
Нуктаи истеъмолкунанда ва
хачми талаботи он
Фаркияти сатрхо
В2
В4
в,
в3
7
8
110 160 1 6 -
50
А
а2
2
1
4
-5
120
9
20
-
- -
8
140 1 1 1 1 1 0
Талабот
А
S
9
2
3
30
140
6
120
50
190
110
3
3
3
3
3
3
0
0
2
2
-
Ео5
Л5 5
Ои -
170 1
1
1 7
- -
470
4
6
-
-
-
-
-
-
Чй тавре, ки арзиши минималии сатри А2
баробарй 4, ояндаи он баробарй 5 аст, фарки байни
онхо 5-4=1 мешавад.
Хамин тавр фарад байни элементной дар сутуни В4
буда 6-2=4 мебошад. Аз ин чо дидан мумкин аст, ки ин
фаркиятхои калонтарин ба сутуни В4 мувофик меояд.
Бо х д м и н тарик, ин хоначахоро пур намуда,
талаботи В4 -ро конеъ мегардонем. Дар ин холат В4 -ро
хорич намуда цайд мекунем, ки захираи нук;таи Ai ба
160-110=50 вохид баробар мешавад.
Баъдан пур кардани хоначаи ояндаро ба назар
мегирем. Аз сари нав фаркияти байни ду арзиши
боклмондаро дар хар як сатр ва сутунро дар сатрхои
баризофа кдйд мекунем.
Чй хеле ки дар ин чадвал дида мешавад, кимати
калонтарини фаркиятхо ба сатри
мувофик меояд.
Арзиши минималии он дар буриши сутуни В3 чойгир
аст, бинобар он ин хоначаро пур мекунем. Ба он
хоначаи чадвал 50-ро гузошта, кдйд мекунем, ки
захираи А, тамом шуда, талаботи нуктаи В3 19050=140 вохидро каноат мекунонад. Ai
ро хорич
намуда, барои муайянй хоначаи навро пур мекунем.
Раванди итератсияро давом дода, пай дар пай
хоначахои дар буриши сатри А3 ва сутуни В} баробар,
сатри А 3 сутуни В2, сатри А 2 ва сутуни Б, , сатри А2ва
сутуни В2 ро . пур мекунем. Дар натича, накшаи
такягохии навро хосил мекунем.
ГО 0 50 110х
Х = 120 20 0 0
v0 30 140 0 j
Дар ин холат нархи умумии кашонидани бор ба:
S = 1-50+ 2-110 + 4-120 + 5 -20 + 2 -30 + 3 -140 = 1530сомо
нй баробар аст.
Ёфтани накшаи оптималии масъалахои накдиётй бо
воситаи ин метод, нисбат аз методи элементхои
хурдтарин бехтар аст, аз истифодаи ин амалиёт 15501530=200с. бурд оварда шуд.
10.5. Муайян намудани накцми оптималии
масъалахои накдиётй. Методи потенсиалхо
Барои муайян намудани накшаи оптималии
масъалахои накдиётй якчанд методхо мавчуд аст.
Аммо
методхои
потенсиалхо
ва
рентаи
дифференсиалй бештар истифода бурда мешаванд.
Методи потенсиалхо хам, ба масъалахои
программасозии хаттй таалук дошта бо алокамандии
дигар методхои он хал карда мешавад. Мохияти
асосии
муайян
намудани
халли ' оптималии
масъалахои наклиётй ба масъалахои программасозии
симплексй шабехй дорад.
Аз ин ру масъалаи наклиётй чунин ифода
меёбад.
п
A{U) = Y* CmUV
/=1
-ро дар вакти ичрошавии шартхои
п
]Г uv = a , ;
/=i
т
Y j ui j = b j
>=i
МУ - 0’ i = ^,n j = \,m .
m
/7
ёфтан лозим аст. Шарти
=
/=1
шарти асосии
У=1
хал доштани системаи махдудиятхо мебошад.
Теорема. Агар барои ягон накднаи аввалаи
X* т=х*
(/ = 1, п, у=1, т)
масъалаи наклиётй,
хамин гуна ададхои Я,, Л2,...,Лт, /?,, /?2, м а в ч у д
бошанд, ки барои хамаи
(/'=i,n, j =\т ) баробарии
P j - Я, = с у хангоми
ху > 0
(1)
ва
Pj - А, < Су '
шарти
Ху = 0
(2) ичро гардад,
он гох X* = х* (/ = 1, п, j = 1, /я) накднаи оптималй аст.
Таъриф.
Ададхои
Я,, Я2',..., Ят , Д ,
/?„
(7 = 1, и, j = l , m )
потенсиалхои
нуктахои
таъминотй ва кабул номида мешаванд.
Фарз мекунем, ки шумораи системаи махдудиятхо
пг ва номаълумхо п + r -то муодилахоро дарбар
мегиранд.
Агар
алохида-алохида
системаи
махдудиятхоро нисбат ба i ва j чамъ кунем, он
гох ДУ муодила, яъне системаи махдудиятхои хаттии
вобастаи якхела хосил мегардад.
Агар яке аз ин муодилахоро хорич намоем, он гох
шумораи муодилахо п + г —1 -то мешавад, яъне халли
махсуси система ба n + r —1 баробар мешавад.
Аз ин ру гуфтан чоиз аст, ки халхо хосияти сиклй
надоранд, барои муайян намудани халли масъала
алгоритми онро тартиб медихем. Нащпаи такягохии
авваларо барои хар як нуктахои таъминот ва кабул,
потенсиалхои нуктахои i ва j ,
( / = ] j= \ n ^-ро
муайян менамоем. Ин ададхоро аз руи формулаи
Pj - Я, = Су, ки дар ин чо
Су арзиш ( нархи
муайяншудаи
кашонидани бор) аст ва дар як
нишондодро бо тарики чадвал ифода менамоем. Чй
тавре ки шумораи номаълумхо нисбат ба шумораи
муодилахо ба як адад зиёданд, пас яке аз
номаълумхоро, масалан а, = 0 кабул кардан мумкин
аст. Баъд аз он ки хамаи потенсиалхоро маълум
кардем, барои дар як хоначаи холй адади
оСу = р j - Я, - Су муайян карда мешавад. Агар дар
байни ин ададхои а ц, ададхои мусбат мавчуд
набошанд, он. гох накшаи такягохии кабулгардидаро,
накшаи оптималй мехисобем.
Баръакси хол, агар дар байни ададхои а у ягон то
адади мусбат вучуд дошта бошад, он гох накшаи
такягохии интихоб намудаамон оптималй набуда,
лозим меояд, ки ба дигар накшаи такягохй гузарем.
Барои ин дар байни ададхои а ц кимати мутлаки
калонтарин доштаро интихоб менамоем.
Хамин тавр, киматхои хоначахои банд бударо,
яъне (иц > 0) -хоро иваз намуда, аз сари нав кимати
хоначахои интихобшудаи чадвали навро пур
мекунем. Дар ин чо дида мешавад, ки хачми
кашонидани бор ба нуктахои муайяншуда тагйир
меёбад, яъне ин нуктахои тагйирёфта дар он
хоначахои куллахои кимати мусбат дошта бояд
чойгир шаванд.
Аз ин ру ин амалро якчанд маротиба такрор
кардан мумкин аст, яъне ин амалиёти сиклй
мебошад.
s
Таъриф. Сикл гуфта хати качеро меноманд, ки
куллахои он дар хоначахои банд, тегахояш факат
дар ду хоначахои хамсоя як сатр, ё дар як сутун
чойгир мебошанд. Агар аз руи сикл харакат намуда
ба хоначахои аввала бар нагардем, он гох накшаи
кабулшударо накшаи такягохй меноманд.
Барои муайян Намудани накшаи аввала асосан
бо.„ воситаи усули кунчии шимолу гарбй ё усули
арзиши хурдтарин истифода бурда мешавад, яъне
асосй
методи
потенсиалхоро
ин
методхои
номбаршуда ташкил медиханд.
Аз ин гуфтахо, раванди халли масъалахои
накдиётй бо методи потенсиалхо аз чунин амалиётхо
иборатанд:
1. Накшаи такягохй муайян карда мешавад;
2. Потенсиалхои /?у ва А, мувофикан ба нуктахои
кабул ва таъминкунанда муайян карда
мешаванд;
3. Азбаски
шумораи
хоначахои
пур
ба
п + г - 1баробар аст ва шумораи муодилахо аз
шумораи номаълумхо ба як вохид кам аст, пас
якеи аз номаълумхоро баробари нул хисобида,
кимати потенсиалхоро хисоб мекунанд;
4. Барои хар як хоначаи холй кимати ССу-ро
муайян мекунанд, агар дар байни ададхои осу
киматхои мусбат мавчуд набошад, он гох
накшаи кабулшуда оптималй аст. Баръакс агар
барои баъзе киматхои
i ва j
шарти
оптималй ичро нагардад, он гох ба накшаи нави
такягохй мегузаранд.
5. Дар байни ададхои а и кимати калонтаринро
интихоб намуда, хоначаи холиро пур мекунем,
агар он шарти гузошташударо конеъ гардонида
тавонад, он гох накшаи такягохии интихобшуда,
оптималй хисобида мешавад, баръакси хол
бузургии зеринро хисоб карда мешавад.
«>070 = m in(Cy - (A, + p j )) > 0
Ба хоначадои О0,у0)борро аз сари нав таксим
мекунем.
Захира
Аз нуктаи /„ ба нуктаи j 0 борро фиристонида,
ин хоначахоро ба системаи хоначахои бордор хамрох
мекунем. Микдори хоначахо ба и + r мерасад. Ба хар
як хоначаи хисобшуда аломатхои “+” ва
- ро
мегузорем.
Накшаи оптималии масъалаи мазкурро, ки б о
таври чадвал додашудааст, меёбем.
Чадвали!
Нуктаи
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
таъминталаботи он
кунанда
Bj
В2
В<
В3
А-1
1
а2
2
As
3
Талабот
30
2
30
50
1
4
20
3
1
10
2
4
30
5
10
10
4
10
Ю
30
10
20
90
Хал. Накшаи авваларо аз руи усули уфукии
шимолу-гарбй ё усули арзиши хурдтаринро истифода
бурда чадвалро пур мекунем.
Чй тавре ки дар боло кайд намудем, методи уфукии
шимолу-гарбй чунин аст: Пуркунии чадвалро аз
хоначаи (1.1) cap мекунем, киматхои (ах, Ъх) -ро
мукоиса намуда ба ин хонача менависем. Храмин тавр,
дигар хоначахоро пур карда, накшаи такягохиро
муайян мекунем. Бо хамин тартиб потенсиалхои
нуктахои таъминкунанда ва кабулкунандаро меёбем.
Дар натича, системаи 6 муодилахои 7-номаълумнок
хосил мегардад:
р 3 -Я 2 =1
& -Я ,= 2
Д, - Я2 = 5
р 2 - л 2 =3
Р4 - Л3 =4
Фарз
мекунем,
ки
Я, = 0
дар
ин
Д = 1 , р 2 =2, Я2 =-1, р ъ =0, р 4 = 4, Яз=0
чо
Барои ин хар як хоначаи холй
а у = Р} - Я, - c(J - ро
хисоб мекунем:
tt]3
4,
3, ftji ®32 —
®3i — 2» ^зз = 4
. Ин киматхоро ба шакли чадвал менависем.
Чддвали2
Нуктаи
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
таъмин
талаботи он
(Г) о.
кунанда в ,
В2
в<
В3
1
А,
2
4
1 +
50
30
20
-4
3
2
а2
3 +
1
5
30
0
10
10
10
3
2
4
4
10
Аз
-2
0
-4
10
Талабот 30
30
10
20
90
Чй хеле ки мебинем, дар байни киматхои а 1}
ададй мусбат вучуд доранд, он гох борро аз сари нав
таксим мекунем, яъне ба накшаи такягохии нав
мегузарем. К^имати мусбати калонтарини он а 14 = 3
мебошад, бинобар он тагйироти сиклиро аз хамин
хонача cap мекунем. Климата хурдтарини хоначаи
манфй баробарй 10 аст. Хоначае, ки ин адад чойгир
буд, пас аз таксимоти нав холй мегардад. Дигар
ададхо чунин хосил карда мешаванд: ба адади 10-и
дар хоначаи мусбат чойгир шуда, боз адади 10-ро
хамрох намуда, аз 20 адади 10-ро кам мекунем.
A-i
Чадвали 3
Нуктаи истеъмолкуианда ва хачми
талаботи он
в,
1
2
30
А2
2
Аз
3
2
+1
Талабот
10
3
0
30
30
в4
В3
в2
2
-2
1
20
+
+3
10
4
-1
10
Захира
Нуктаи
таъминкунанда
1 +
50
10
5
30
-3
4 - 10
10
20
90
Хоначаи буриши сатри А2 ва сутуни В4 холй
мегардад.
Сипае, оптимал будани накшаи нав сохташударо
месанчем.
А - а ,= 1
р г - а г =2
Р>-а,=\
р 2 - а 2 =3
ръ- а 2 =\
р л - а 3 =4
Фарз мекунем, ки а, = 0, он гох Рх = р л = 1
Р2 = 2, Д, =0, а 3 = -3, а 2 = -1
мешавад.
Барои хар як хоначаи холй кимати а и-ро хисоб
мекунем.
0£]3
2 , OCji —0 , &24 ——3, 0 !3[ = 1, CZ32 = 3, <Х33 = —1
1
Захира
Хамин тавр, накшаи тартибдодашудаи мазкур низ
оптималй нест, чунки дар байни киматхои a tJ -кимати
мусбат мавчуд аст. Накшаи такягохии навро тартиб
медихем.
_________ ______________________
Чадвали 4
Нуктаи
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
таъминталаботи он
кунанда
В2
В3
в4
в,
А,
1
2
30
а2
2
.
Аз
3
0
3
Талабот
30
1
2
30
5
10
4
10
30
-3
4
-4
10
50
20
-4
20
-2
1
4
0
10
-3
20
90
Фаркиятхои Pj - a t -ро мукоиса намуда, ошкор намудем, ки ин фаркиятхои потенсиалхои хоначахои холй
аз кимати Су калон нестанд, яъне накшаи тартиб додашуда оптималй аст.
Дар ин чо
(30 0 О 20^
X ' = 0 20 10 0
0 10 о о
накшаи оптималии масъалаи гузошташуда мебошад.
Арзиши минималии кашонидани бор баробар ба
5 = 1-30 + 2-0 +1-20 + 3-20 + 1-10 +2-10 = 140
Масъалахои зеринро. ки бо шакли таблитса дода
шудааст. бо методи потенсиалхо мустакилона хал
намоед:
Нуктаи истеъмолкунанда ва х;ачми
талаботи он
Таъминкунанда
В,
А]
1
А2
2
в2
в3
6
А3
3
Талабот
90
3
А1
5
2
4
80
в,
5
60
4
80
в2
1
2
Аз
3
80
20
20
в3
3
2
1
60
3
1
20
2
5
30
4
60
40
20
50
100
10
10
4
•
3
РО
в<
20
110
10
2
1
120
5
30
190
Чадвали 7
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
а
си
талаботи он
к
В,
в3
в<
в2
S
со
Aj
1
А2
2
А3
3
7
120
3
1
20
2
130
10
4
4
80
80
10
60
10
Талабот
130
270
Чадвали 6
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
cd
Он
, '
талаботи он
S3
А2
Нуктаи
таъминкунанда
1
-1
30
Талабот
л
С<П
20
60
\
в4
80
40
Нуктаи
таъминкунанда
3
50
с.
аX
10
10
230
Нуктаи
таъминкунанда
Нуктаи истеъмолкунанда ва хачми
талаботи он
в4
в2
В3
в,
A-i
1
А-2
2
А-з
3
4
2
а
к
СзП
1
50
5
30
20
30
1
3
20
0
2
10
4
4
20
20
Талабот
30
40
10
20
100
10.6. Масъалахои программасозии хаттии ададхои
бутун. Шархи ицтисодй ва геометрии масъалахои
программасозии хаттии ададхои бутун
Мохияти асосии масъалахои программасозии
хаттии ададхои бутун аз ёфтани масъалахои
экстремалй, ки тагйирёбандахои он факат кимати
адади бутунро кабул мекунад, иборат аст.
Аз ин ру масъалахои программасозии ададхои
бутун ба монанди программасозии хаттй ифода
карда мешаванд. Модели математикии масъалахои
программасозии ададхои бутун ва функсияи
максади он, дар системаи махдуднокии он хаттй,
гайрихаттй ва омехта шуда метавонад.
Фарз мекунем, ки функсияи максад ва системаи
махдуднокии он аз функсияхои xarffl иборатанд.
Гузориши масъалаи программасозии хаттии
ададхои бутун чунин аст: максимуми функсияи
F =
(1)
7=1
дар вакти ичрошавии шарти
(2)
Y j aIJxl =fe,
м
(j = l,m) х,>о(/' = 1,л)
(3)
ки дар ин чо xj -ададхои бутун аст, ёфта шавад,
0' = 15«)
(4)
Агар масъаларо б о воситаи методи симплексй хал
кунем (шарти бутун будани тагйирёбандахоро ба назар
намегирем) ва накднаи оптималии хосилшуда бутун
бошад, он гох ин масъаларо бо хамин метод хал
мекунем. Х^алли ин гуна масъаларо бо методи
симплексй олим Гоморй пешниход намудааст.
Агар нащнаи оптималй, акаллан як компонента
касрй дошта бошад, он гох махдудияти навро дохил
намуда, ба системаи муодилахои (2) нобаробарии
£ / ( « ,/) * , 2 / ( i - )
(5)
-ро хамрох намуда аз сари нав бо методи симплексй
масъала хал карда мешавад.
Дар ин нобаробари а у
*
, *
ва о,
- бузургихои
дигаргунсохтаи а у ва bt , ки киматхои он аз чадвали
охирони симплексй гирифта шуда мебошанд, ки дар ин
но Ж * ) ва / М
- кисми касрии ададхо (кисми
касрии ягон ададй а гуфта гайри манфии
хурдтарини Ъ - аст, ки фарки байни а ва b ададй
бутун аст).
Агар
дар
накшаи
оптималй
якчанд
тагйирёбандахо ба кимати касрй мансуб гардад, он
гох барои сохтани махдудияти нав аз байни онхо аз
хама калонтаринашро интихоб мекунем.
Аз ин гуфтахо, раванди халли масъалахои прог
раммасозии хаттии ададхои
бутунро бо методи
Г оморй чунин шарх дода мешавад.
1. Методи симплексиро истифода бурда, халли
масъалахои гузошташудаи (1) - (3)
бе
назардошти бутун будани тагйирёбандахо
муайян карда мешавад.
2. Махдудияти навро барои тагрйирёбандахои, ки
барои онхо нащпаи оптималии масъалахои (1) (3) дорой кимати максимали касрй мебошанд,
тартиб дода мешавад.
3. Методи дутарафаи симплексиро истифода
бурда, халли масъалахои (1) - (3) - ро дар
натичаи хамрох намудани махдудияти нав
меёбем.
4. Агар барои хал боз махдудияти нав тартиб
додан лозим бошад, раванди итератсияро давом
дода, баръакс хал надоштани масъала мукаррар
карда мешавад.
Бо методи программасозии хаттии ададхои бутун
хал намудани масъалахо ба он асос карда мешавад, ки
баъзе тагйирёбандахои масъалахо маънои касрй
надоранд. Масалан, таксими кувваи коргарй (одамон),
таксимкунии киматхо аз руи рейсхо, автомобилхо ва
хоказохо.
Мисол. Бо методи Гоморй халли геометрии кимати
максималии функсияи
F = З х1+ 2 х2
(6)
дар холати ичрошавии шартхои
Х\ +*2 +Х3 =13,
’ х1- х 2 + х А=6,
(7)
[- 3 Xj + х2 + л5 = 9,
х20
(/-й )
(8)
шарх дода шавад.
Хал.
Бо воситаи симплекс
оптималиро муайян мекунем.
чадвал далли
Чадвали 1
J
1
2
3
4
1
2
3
Базис Сб
Рг
Л
Р5
Р5
4
1
2
3
4
Рг
Р\
Р$
2
0
0
0
Рг
1
Рг
1
Ра
0
Р5
0
0
13
Р>
1
0
6
1
•1
0
1
0
0
9
-3
1
0
0
1
0
7
-3
0
-2
2
0
1
0
-1
0
0
3
6
1
А
0
1
0
0
27
0
-2
0
3
1
0
18
0
-5
0
3
0
2
7/2
0
1
19/2 1
0
Уг
Уг
0
3
1/
/2
1/
/2
0
34
0
0
1
2
1
71/2 0
0
5/2
V
72
0
Рг
Рх
Ро
3
0
Чй хеле ки аз чадвал маълум гардид, накщаи
X = (19/2; 7/2; 0,0; К)) оптималй нест, барои он ки ду
компонента он ададхои бутун нест. IQ ic m h касрии ин
ададхо баробаранд. Бинобар ин бо якеи аз ин
тагйирёбандахо махдудияти навро дохил мекунем.
Фарз мекунем, барои х 2 аз симплекс - чадвали охирон
истифода бурда чунин ифодаро тартиб медихем.
*2'+(1/2)х3-(1 /2 )х 4 = 7 /2
Храмин тавр ба системаи (6) - (8) нобаробарии
навро хамрох мекунем.
./(l)* a + /(1/2)х3 + /(-1 /2 )х 4 ^ /(7 /2 )
ё ки (1/2)х3+(1/2)х4 >(1/2) , яъне х3 + х4 > 1
Кимати максималии функсияи (6)-ро, бо шарти
ичрошавии (7) - (9) меёбем.
______________________________________ Чадвали 2
J
1
2
3
4
Базис
Р2
А
р5
Рв
с ю
2
2
3
4
5
р2
Рг
Ps
Р<
7/2
3
2
0
0
0
0
Pi
Р 2
Рг
Р4
Ps
Рв
0
1
1/2
- V
0
о
0
0
1 9 /2
1
0
1/2
72
1/2
10
34
0
0
1
2
1
0
0
-1
0
0
-1
-1
0
1
71/2
0
0
5/2
1/2
0
0
2
4
0
1
1
0
0
- V
3
9
1
0
0
0
0
1/2
0
32
0
0
-1
0
1
2
0
1
0
0
1
1
0
-1
35
0
0
2
0
0
а
3
5
1
Ро
72
Аз чадвали (2) маълум аст, ки накшаи оптималй
X* = (9; 4; 0; 1; 32) аст.
Дар ин холат кимати Fmsx =35 мебошад.
Шархи геометрии онро медихем.
Сохаи муайянии масъалаи (6) - (8) бисёркунчаи
ОАВСД аст.
Аз расми 1 маълум аст, ки кимати максималиро
функсияи максад дар нуктаи С (19/2; 7/2), яъне
Х=(19/2; 7/2; 0; 0,34) кабул мекунад. Ин халли
оптималй шуда наметавонад, чунки 19/2; 7/2 ададхои
бутун нест, он гох махдудияти иловагии хг + х4 > 1- ро
дохил мекунем. Аз (7) х 3 ва х4 - ро хорич намуда ва ба
Чои он киматхои мувофикро гузошта х, < 9 - ро хосил
мекунем. Ба ин нобаробарии нимхамвории хати рости
Xj = 9 , ки аз бисёркунчаи ОАВСД секунчаи EFC - ро
чудо мекунад, хосил мекунем
Чй хеле, ки аз расми 1 дида мешавад, халхои
имконпазири масъалаи додашуда дар бисёркунчаи
OABEFfl вучуд дошта метавонад. Дар нуктаи Е(9;4)
ин бисёркунчаи функсияи максад дорой кимати
максималй мегардад. Чй тавре ки мебинем
координатахои нуктаи Е - ададхои бутунанд ва
номаълумхои x3,x^xs киматхои бутунро дар холати
гузориш ба муодилаи (7) х, =9, х2 = 4 кабул
мекунанд, он год X * = (9; 4; 0; 0; 32) накшаи оптималии
масъалаи (6) - (8) мебошад.
Мисол. кимати максималии функсияи
F = хх+ 4 х2
дар холати ичрошавии шартхои
.
2 дг. + х 7 <, 6 -,
1 2
3
х, + 3 х2 <, 4,
хх\ х2 Z0,
хх, х2 - бутун
-ро ёбед.
10.7. Масъалахои программасозии параметра
Дар
бисёр
масъалахои
программасозии
математикй додашудахои аввала аз ягон параметр
вобастагй доранд. Ин гуна масъалахоро, масъалахои
программасозии
параметрй
меноманд.
Программасозии хаттии параметрй низ
яке аз
шохахои программасозии математикй буда ба
омузиши масъалахое, ки функсияи максади он аз ягон
тагйирёбандаи дигар, яъне аз параметр вобастагй
дорад, бахшида мешавад. Зарурияти дида баромадани
чунин масъалахо бо сабабхои мухталиф асоснок карда
мешавад.
Вобастагии авваларо, ки аз ягон параметр ва ба
масъалаи асосии программасозии хаттй тааллук дорад,
дида мебароем. Фарз мекунем, ки коэффитсентхои
функсияи максад аз ягон параметрй t хаттй вобаста
мебошад. Мохияти масъалаи гузошта шуда иборат аз
он аст, ки барои хар як параметрй t дар ягон фосилаи
тагйирёбии он [а,/?], кимати максималии
дар холати ичрош авии шарти
I X x , = b,
j = 1,и
=
(2 )
(3)
муайян карда шавад.
П
Дар ин чо Cj , Cj , a{j ва 6, - додашудадои доимй.
Агар параметри t аз аъзохои озоди системаи
махдудият хаттй вобаста бошад, он гох масъалаи
гузошташуда иборат аз ёфтани кимати параметри t дар
фосилаи тагйирёбии он [«,/?] ва кимати максималии
функсияи
дар холати ичрошавии шарти
(5)
(6)
мебошад.
Дар ин чо ct , atj, bi ва bi киматхои додашудахои
доимй.
Халли масъалаи гузошташударо бо методхои
программасозии хаттй ёфтан мумкин аст.
Фарз мекунем, ки функсияи максад дорой ягон
параметр мебошад, кимати параметри t - ро ба ягон
кимати t0 е [ct,y3] баробар хисобида, бо методи
симплексй халли оптималии онро меёбем.
Барои ин порчаи [«,/?] - ро ба якчанд кисмхо
так,сим менамоем.
Бигузор t - d бошад, он год коэффисиентхои
масъала доимй буда ва бо осонй хамин хел нуктаеро
ёфтан мумкин мешавад, ки дар он функсия дорой
Кимати максималй ё минималй мегардад. Баъд хамин
тавр кимати параметрй t - ро ёфтан мумкин аст, ки
дар он фосила кимати функсияи максад, дорой
максимум ё минимум мебошад.
Фосилаи муайян шударо аз [а,0\ дур месозем. Барои
кисми бокимонда масъаларо аз сари нав дал
мекунем.
Мисол. Барои хдмаи киматхои параметрй
t(-o o < t< ° o ) кимати максималии функсияи
F = 2xj +(3 + 4 t)x 2
- ро бо шартхои
х, + х 2 +
х3 =12
■Xj —Х2 +
- X, + х2 +
+Х4 =10
+ х5 = 6
х1,х2,х3,х4,х5 £ 0
ёбед.
Хал. Фарз мекунем, ки функсияи максади аввала,
ки дар он параметр t=0 (адади 0 дилхох гирифта
шудааст) аст, бо воситаи методи симплексй накшаи
оптималии он муайян карда мешавад.
Х0*=(3; 9; 0; 16; 0).
Баъд аз он барои айнан хамин кимати оптималии
функсия, параметрй t - ро меёбем.
Маълум аст, ки дар байни элементхои катори 4-ми
охирони симплекс - чадвал (гайр аз элементи дар
сутуни вектори Р0 чойгир аст) манфй намешавад, яъне
2,5 + 2 fi> 0 ва 0,5+ 2 * ^ 0
дар ин чо f ^ —0,25.
Х,амин тавр, агар t е [-0,25,«>] бошад, он гох, масъалаи
гузошташуда накшаи оптималии
Х0.=(3; 9; 0; 16; 0) дорад, ки он
=33 + 36 1 аст.
Акнун ягон кимати хурди t - ро, ки ба -0,5 баробар
аст, мегирем. Он гох элемента катори 4 - м и сутуни Р5
охирони симплекс - чадвал манфй мебошад.
Дар хакикат, дар ин кимати мавчуд будаи
параметри t накшаи
J Базис
1
2
3
Рг
Л
Ps
2
3+4t
0
0
0
12
Pi
•i
1
Рг
1
Рг
1
Pa
0
Ps
0
0
10
1
-1
0
1
0
0
6
-1
1
0
0
1
0
-2
-3-4t
0
0
0
0
6
2
0
1
0
-1
0
16
0
0
0
1
1
3+4t
6
-1
1
0
0
1
0
0
0
0
1/
0
3+4t
-1/2
сб
Ро
0
4
1
2
3
1
2
3
4
Рг
Ра
Рг
Pi
Ра
Рг
2
18+24t -5-4t
1
3
/2
0
16
0
0
0
1
1
3+4t
9
0
1
0
1/
/2
33+36t
0
0
1/
/2
2.5 + 21
0
0,5+2t
Х =(3; 9; 0; 16; 0) оптималй шуда наметавонад.
Бинобар он ба накшаи такягохии нав мегузарем,
барои он аз базис вектори Р4 - ро хорич намуда, базис
вектори Р5-ро дохил мекунем.
____ _____ _________ ______
Чадвали 2
J Базис
1
Л
2
3
4
Р2
Сб
Ро
2
3+4t
0
Л
Рг
Рг
Р
0
а
0
Р5
2
и
1
0
0,5
0,5
0
0
16
0
0
0
1
1
3+4t
1
25+41
0
0
1
0
0,5
2,5+2t
-0,5
-0,5-2t
0
0
Накшаи нави хосилшуда Х [ = (ll; 1; 0; ОДб), оптимали
мебошад барои 2,5 + 27>0 ва -0 ,5 -2 /^ 0 , яъне барои
2,5 + 2 fi> 0 ва - 0 ,5 - 2 / > 0 , яъне -1,25< + <0,25
хамин тавр, агар t е [-1,25; -0,25], он гох масъалаи
додашуда накшаи оптималй дорад Х [ = (l 1; 1; 0; ОДб),
ки дар ин холат
Fmax =25 + 4/
Акнун халли масъалахоро барои /<-1,25 дида
мебароем. Дар ин холат элементи дар бурили катори 4
ва вектор - сутуни сутуни чадвали 2 мавчуд буда
манфй аст.
Дар хакикат ин накша оптималй нест. Ба накшаи
нави такягохй мегузарем, барои ин аз базис вектори
Р 2 - ро хорич карда, ба чои он вектори Р3 - ро дохил
мекунем.
Накшаи хосил гардида барои дилхох t оптималй
мебошад, хамоно - 5 - 4 / > 0, яъне t < —1,25.
Дар хакикат, барои t е (-оо-1,25] масъалаи мазкур
накшаи оптималии Х \ = (l0;0;2;0;10) ва
= 20.
J
Базис
сб
Ро
2
3+4t
0
0
0
Pi
Рг
Рг
Р4
Р5
1
Pi
2
10
1
-1
0
1
0
2
Ps
0
16
0
0
0
1
1
3
Рг
0
2
0
2
1
-1
0
20
0
-5-4t
0
2
0
94
Агар t e [-1,25;- 0,25] бошад, он гох X* =(11;1;0;0;1б)
нащнаи оптималй ва F ^ =25 + 4 1 ; агар t е [ - 0,25, оо),
он гох К =(3;9;0;16;0)
^пих =33 + 36.
накшаи
оптималй
ва
Боб и XI. Назарияи бозщо
11.1. Гузориши масъалаи бозих,о
Барои халлу фасли бисёр масъалахои хаётан
мухим якяанд тарафхо ё иштирокчиёни ракобатнок,
ки хар яки онхо барои халли он дахлпазиранд ва ба
фоидаи худ хал намудани он рагбат доранд, аз нуктаи
назари математикй дида мебароем.
Ин гуна масъалахои ракобатнокро масъалахои
ихтилофнок хам меноманд.
Ихтилоф дар байни ду ё ки якчанд тараф шуда
метавонад. Масъалахои ихтилофнок
вобаста ба
хусусиятхои ба худашон хос бо тарзхои гуногун хал
карда мешаванд.
Вазъияти ракобатнокй, ки аз хаёти харруза дидан
мумкин, бисёр масъалаи мураккаб аст. Барои халли он
душворихои зиёде вомехурад, аз сабаби он ки вазъияти
мук,обилиятнокй дар давоми халлу фасли масъала
тагйирёбанда мебошад. Бинобар он аз ваъиятхои
амалиёти он барои равшании масъала факторхои
асосй ва гайриасосии онро чудо намуда, модели сохтаи
онро тартиб додан мумкин аст. Ин гуна моделхои
сохтаи математикиро методхои хал намудани
математикии бозй, ё ки назарияи бозихо меноманд.
Мохияти масъалахои ихтилофй чунинанД:
1. Тарафхои ихтилофнок,
2. Амалиётхои имконпазири ин тарафхо,
3. Ба манфиати худ хал намудани масъала.
Мафхумхои асосии ин назарияро мукдрриз
менамоем.
Таърифи 1. Вазъият ихтилофнок номида мешавад,
агар дар он тарафхои майлу рагбати мук,обилдошта
иштирок кунанд.
Таърифи 2. Бозй ин рацобати вок,ей ё сохта
мебошад, ки дар он ду ё якчанд тарафхо иштирок
дошта, хар яки онхо барои ба максади худ расидан
рагбат мекунанд.
iТаърифи 3.
Амалиёти имконпазири хар як
бозингарро, ки барои ба мак;сад расидан нигарон аст,
к,оидаи бозй меноманд.
Таърифи 4.
Бахой шуморавии бозиро
маблаг(пардохт) меноманд.
Таърифи 5. Роххои тавсифи интихоби хар як
бозингарро аз вазъи ймкониятхояшон стратегияи (рохи
мак,садноки) бозй меноманд.
Таърифи 6. Стратегияи бозингарро оптималй
меноманд, агар бо ин рохи кабулкардааш масъаларо
(бозиро) ба манфиати худ хал карда тавонад.
Таърифи 7. Бозиро чуфт меноманд, агар дар он ду
иштирокчй бошад. (ду тараф ё ду шахе).
Таърифи 8 . Бозии чуфт суммаи нулй дорад, агар
суммаи пардохтшуда баробари нул бошад, яъне
бурдбарии яке аз бозингарон боиси бой додани
бозингари дуюм бошад.
Таърифи 9. Дар холати мухолифнокй хар як
бозингар стратегия худашро интихоб мекунад, дар
натича, мачмуи стратегияхо пайдо мегардад, ки онро
вазъияти бозй меноманд.
Таърифи 10. Хавасмандии бозингарро дар ягон
вазъият бо ягон адад бахо дода мешавад, ки ин ададро
андозаи бурд меноманд.
Аммо дар бисёр маврид баходихии бозй бо
фарзият на хама вак,т аник мешавад ё ки мантик
надорад. Дар ин холат ба чои бахои раками, баходихии
мукоисавй нисбати дигар бозингар афзал дониста
мешавад ва
назарияи бозихо таъсис меёбад, ки
назарияи бозй бо бурдро ба назар гирифта мешавад.
Омузиши назарияи бозиро аз нуктаи назари
гуногун дида баромадан мумкин ва усулхои зиёде
мавчуданд, ки бо воситаи онхо равиш, стратегияи
оптималй доштани яке аз тарафхо, бурд ва дигар
хусусиятхои хоси онхо муайян карда мешаванд.
Инхо, методхои матрисахои бозй, холати
мувозинатй,
стратегияхои
омехта,
методхои
итератсионии ёфтани халли матрисахои бозй, бозихои
мавкей, бозихои биматрикй ва хоказохо мебошанд.
Яке аз методхои математикии бозй - методи
матриса мебошад.
Таърифи 11. Фарз мекунем, ки Дар бозй ду бозингар
иштирок мекунанд ва яке аз онхо стратегияи i -ро аз т
имкониятхои стратегиаш,
новобаста аз хамдигар
бозингари дуюм мавцеи
стратегияи /-ро аз пимкониятхои стратегиаш интихоб менамоянд. Мумкин
аст, дар натича бозингари якум бо бузургии а у бозиро
бурд мебарад, бозингари дуюм бошад, хамин кддар
микдор бозиро бой медихад.
Матрисаро аз руи ин бузургихо тартиб медихем, яъне
л = («#)=
°\\
а12 °\п
а 2\
°22
а 2п
V^ml ®m2 &тп)
К,атори матрисаи А ба стратегияи бозингари якум
ва сутуни он бошад, ба стратегияи бозингари дуюм
мувофик меояд.
Матрисаи А матрисаи пардохт ё ки матрисаи бозй
номида мешавад.
Таърифи 12. Бозие, ки аз руи марисаи Або т-катор
ва п сутун муайян карда мешавад бозии охирнок бо
андозаи т -п номида мешавад.
Таърифи 13. Ададй а = max(min atJ) арзиши
поёнй,
Р = min(ay) арзиши болоии бозй номида
мешавад.
Теоремаи 1. Кимати поёнии бозй хеч гох аз кимати
болоии зиёд шуда наметавонад.
Таърифи 14. Агар а = р = 3 , он гох i9 - ро арзиши
бозй меноманд.
Таърифи 15. Ага|) кимати болой ва поёнй баробар,
яъне а = р бошад, он гох бозй нуктаи зинай(седловой)
дошта меноманд.
Таърифи 16. Векторе, ки компонентхои он зудии
нисбии стратегияхои истифодабарии бозингарро
нишон медихад, стратегияи омехта номида мешавад.
Аз ин но маълум мегардад, ки суммаи
компонентхои он вектор баробарй 1 буда ва онхо
факат киматхои мусбатро кабул мекунанд.
Фарз мекунем, ки стратегияи омехтаи бозингари
якум вектори U = (м,, и2,..., ит) , аз бозингари дуюм
вектори Z - { z x, z 2,...,zn) бошад, дар ин но
w, > 0
i - (1, m ) ,
m
2 > = i>
1=1
j = (1, n)
аст,
яъне
n
t l zj = l >1
Агар С/* стратегияи оптималии бозингари якум,
Z* стратегияи оптималии бозингари дуюм бошад, он
гох,
п
т
>9 = ^ ^ a,ju] z ]
>=1 т=1
арзиши бозй
мебошад.
Раванди муайянкунии стратегияи оптималй ва арзиши
бозй ин
ёфтани далли масъалаи гузошташуда
мебошад.
Теоремой 2. Х^ар гуна бозии матрисавй бо суммаи
нули ва стратегияи омехта дорой дал мебошад.
Теоремаи 3. Барои он ки & арзиши бозй ва
U*, Z* стратегия оптималй бошад, шарт ва зарур аст,
ки нобаробарй ичро гардад,
m
Z avu‘ - 3
i=l
__
и = \,п) ва
___
п
£
avz j - &
=
7*1
Теоремой 4. Агар яке аз бозингарон стратегияи
омехтаро истифода барад, бурди он ба арзиши бозй &
баробар мешавад, новобаста аз он ки бозингари дуюм
кадом стратегияро истифода мебарад.
Теоремадо бе исбот кабул гардида, онхоро бо мисолхо
манзур мегардонем.
Мисоли 1. Ду бозингар новобаста аз якдигар яку
якбора дар руи когаз ададхои дилхохро менависанд.
Агар хар ду адади навишташуда чуфт бошанд, он гох
бозингари якум бурд мекунад, вале ададхо хархела
бошанд, у бой медихад.
Бозингари якумро бо А ва бозингари дуюмро бо В
ишора карда, фарз мекунем,
бозингари А
ду
имконият, яъне ду стратегия: А; -навиштани ададй
чуфт, А2-навиштани ададй токро до рад.
Дар бозингари дуюм - В хам ду стратегия: 5,навиштани ададй чуфт, В2- навиштани ададй ток,- Агар
арзиши бурд 5 сомониро ташкил дщад, он гох
матрисаи 2x2 чунин ифода карда мешавад.
' 5 -5 \
D
-5
5
Мисоли 2. Халли масъалаи бозии бо таври матриса
додашударо ёбед.
D=
(2
7)
I 4 6J
Мавчуд будани нуктаи эиншакли (седловая)
матрисаро ошкор мекунем.
Барои ин дар хар як сатр элемента хурдтарин (2, 4) ва
дар хар як сутуни матриса элемента калонтарин(7,6)ро муайян мекунем. Аз ин ру, нархи поёнии бозй
а = тах(2; 4) = 4 буда,
нархи
болоии
он
Р = min(7,6) = 6 мебошад.
Азбаски а = 4 * р = б, халли бозй ба стратегияи
оптималии омехта асос мекунем ва нархи он 4 < 3 < 6
чойгир мешавад.
Фарз мекунем, ки стратегияи А бо вектори
U = (м,;и2),ишора карда шудааст. Он гох дар асоси
теореши стратегияи оптималии омехтаи Bt ё В2
бозингари А ба кимати миёнаи бурд сохиб мегардад,
яъне
2щ + 4Uj —&
(хангоми стратегияи 5,),
7ы* + 6и\ = 3
(хангоми стратегияи Вг).
Хал.
Бо назардошти шарти иртиботии щ + и г’ = \ ,
системаи муодилахои се номаълумнокро хал намуда,
Хосил мекунем: и* =
и*г = j/^ , 3 = ^ .
Стратегии оптималии бозиро барои бозингари Вро муайян мекунем.
2z[ + 1г\ =
,
4z;+6z* = 8^,
z\ + z\ —1.
Системаи муодилахоро хал намуда ба чунин натича,
ноил мегардем: z\ - ^ ; z\ = ^ .
Аз ин чо маълум гардид, ки халли масъалаи
додашуда стратегияи омехтаи и' = ( ^ ;
ва
Z* =(J^; У})
дорад ва нархи бозй ба 3 = % мебошад.
11.2. Бо методи программасозии хаттй ^ал
намудани масъалахои бозиро
Чй хеле ки маълум аст, масъалахои бозй хам ба
масъалахои дутарафаи программасозии хаттй шабехй
доранд.
Аз ин ру, масъалахои назарияи бозиро ба
масъалахои
программасозии
хаттии
дутарафа
шабехият дода бо усулхои он хал менамоем.
Бигузор бозй бо таври матрисаи тхп ченака дода
шудааст.Мувофики шарти теорема дойр ба арзиш ва
стратегияи
оптималии
бозй,
U' = (м*, иI,... и "т ) стратегияи оптималй ва 3 арзиши
бозй бошад, он год нобаробарии
т
а0и* > $
( j = 15п) ичро мегардад.
/=1
Фарз карда мешавад, ки &>0. Хар ду тарафи
нобаробариро ба 3 таксим намуда,
уг-i
и,
2\ ~ > \
-
г-
и, /
0 = 1,и), ва
*
/ 3 =У>
ифода намуда, хосил мекунем:
X avy, ^ * (;' = 1>«);
У* ^ 0 (i = 1, п) .
М
m
Шарти
= 1-ро истифода бурда,
намуди
т
^у' =
хосил мекунем. Агар бозингари якум барои
бурдани бозй кушиш кунад, бояд минимуми бузургии
У у конеъ гардонида шавад. Инро ба назар гирифта,
бурди
бозингари
якум
барои
минималии функсияи F*
т
ёфтани
кимати
хангоми ичрошавии
_____
___
шарти 2 а’)У< ~ 1 0 ’ = 1»я);
^ 0 0 = l« )
/=1
оварда мерасонад.
Ба монанди хамин барои масъалаи баръакси он,
яъне муайян намудани стратегияи оптималй ва ноил
гардидан ба кимати максималии функсияи
хангоми ичрошавии шарти
п
_____
______
Y , ° vxj - 1 v = 1>тУ> xj - °
о = i.«)•
7=1
дида мебароем.
Дар ин чо Xj = z , . 7 .
Хамин тарик, барои ёфтани халли бозии мазкур, ки
бо матрисаи А дода шудааст, чуфти масъалахои
дутарафаро тартиб додан лозим аст.
Масъалаи мустацим: кимати максималии функсияи
г~Ъ,
у=1
бо ичрошавии шарти
п
_____
______
£ aijxj * 1 0 = 1»w); ху £ 0
0 ' = 1,я).
м
мебошад.
Масъалаи баръакс: кимати минималии функсияи
т
F' = 1 > ,
(=1
бо шарти ичрошавии
0 ' = 1»«);
;=1
^^0
(i = l,m).
Чуфти халли масъалахои дутарафаро истифода
бурда* формула барои стратегия ва арзиши бозиро
муайян менамоем.
и' =
= Ф ’»
1=1
< =
= *0»
2>’
у-1.
;
3=
0 = 1,1?).,
=
x j
2 > .‘
7=1
'=1
Храмин тавр, ёфтани халли бозй бо воситаи
методхои программасозии хаттй аз чунин вддамхо
иборат аст:
1. Чуфти масъалахои дутарафаи программасозии
хаттиро, ки ба масъалахои бозй эквивалентанд,
тартиб дода мешавад.
2. Нащиаи
оптималии
чуфти
масъалахои
дутарафаро муайян мекунанд.
3. Муносибати байни нащпахои чуфти масъалахои
дутарафа ва стратегия ва арзиши бозиро
истифода бурда, халли бозиро меёбанд.
Мисоли 3. Х,алли бозиро, ки ба таври матриса дода
шудааст, ёбед
(\ 2 (Г
Л= 1 0 1
,2 1 О,
Хал. Чуфти масъалахои дутарафаи программосзии
хаттиро тартиб медихем:
Масъалаи мустацим: максимуми функсияи
F —х1 + х2 + х3
-ро хангоми ичрошавии шарти
H
х, + 2 х 2
<х,
< 1,
+ х3 < 1,
2х, + х2
<1,
х15х2, х 3 > 0 ;
ва масъалаи баръакси он: ёфтани минимуми функсияи
F* = У
1
+ У 2 +Уз
-ро хангоми ичрошавии шарти
ёбед.
Накшаи масъалахои мустаким ва баръаксро меёбем.
Барои ин чадвали симплексиро тартиб медихем.
_____ ___________________________ Чадвали!
1
1
1
0
0
0
I Базис с 6 ^0
у х, у 2, у г >Ъ
1
2
3
Рх-
Рг
Рз
Р4
Ps
р6
2
0
1
0
-1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1/
/2
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0}
1
0
0
0
.1
0
0
0
1
1
1
1
Ре
0
1
0
1
1
1
2
-1
1
1
2
0
1
-1
2
0
1
1
Рг
1
1
1/2
0
1/2
-1
1
0
0
2
Рз
1
1
1
0
1
3
Р6
0
1/2 3/2
0
0
3/2
0
0
Л
Ps
Ре
1
2
3
Л
Рг
S
1/2
-
1/
/2
1/
/2
1
0
,
0
0
1
0
0
1
1
0
Аз ин чадвал маълум гардид, ки халли оптимали
масъалаи мазкур, яъне
нащпаи
оптималии он
Х *= (0;^;1), буда, масъалаи баръакси он дорой
нащпаи оптималии У* =
; 1; 0) мебошад.
Аз ин ру, арзиши бозй $ = —\ — = 2 /, стратегияи
>2 + 1
оптималии бозингарон бошад, он гох
и'
0);
z * = (°; X ; %)■ мешавад.
Чй хеле ки кдйд намуда будем, барои хар гуна
бозихои матрисавй чуфти масъалахои дутарафаро
мувофик кунонидан мумкин аст. Баръакси хол барои
хар гуна масъалаи дутарафа, масъалахои бозиро низ
мувофик кунонидан мумкин аст.
Бигузор чуфти симметрии масъалахои дутарафа
дода
шудааст:
масъалаи
мустаким
(роста):
F = СХ, АХ < В, Х > 0 ;
масъалаи дутарафа
F* = BY, YA > С, Y X 0.
Дар ин чо, ба чуфти масъалаи дутарафа масъалаи
бозиро бо шакли матриса гузориш намудан мумкин
аст.
ки аломати-г амалй транспонириданро мефахмонад.
Аз ин ру, ба чунин хулоса омадан мумкин аст, ки
хар гуна бозии матрисавй дорой стратегияи оптималй
шуда метавонад, аммо на хама масъалахои
программасозии хаттй ноили хал мегардад.
Мисолхоро хал кунед. Халли бозии ба таври
матриса додашударо ёбед.
2. А =
'А 8 Т
3. А = 9 6 5 ,
,8 7 8,
9 3"
4 5
4. А =
5 9
Боби XII. Программасозии гайрихаттй.
12.1.Шарх;и ицтисодй ва геометрии масъалахои
программасозии гайрихаттй
Гузориши масъала. Бигузор функсияи гайрихаттии
/ ( х„х2,
(1)
дода шудааст.
Талаб карда мешавад, ки максимум (минимуми)
функсияи (1) - ро дар ягон сохаи махдудноки муайяни
ГдДхр х2,...хп)<г>,.(г = 1,г)
U (x ,,x 2,...x,,)<^(z = r + l,/w)
ки / ва q, - ягон функсияхои маълуми п - тагйирёбан--дор, bi - ададхои маълуми додашуда мебошад. Ёфтан
лозим аст, яъне хамин гуна нуктаи X* = (х*,;с’,...,;с*) ро, ки координатахои он нобаробарии (2) - ро каноат
кунонида, дар навбати худ барои ягон нуктаи муайян
X = (х,, х 2,..., х п)
нобаробарии функсионалии
/ (х,\ *
(х,, х2
хя)
ичро гардонад.
Агар / , £ ва qt функсияхои хаттй бошанд, он гох
бешубха, ин масъалаи
программасозии хаттй
мебошад.
Дар фазой Евклидии Еп халли функсияи максад, аз
сохаи махдуднокии системаи (2) халхои имконпазири
онро муайян карда мешавад. Нисбат ба масъалахои
программасозии хаттй, масъалахои системаи (2), на
хама вакт барнаста аст.
Агар функсия сохаи халхои имконпазири муайян
дошта бошад, он гох барои халли масъалахои (1) ва (2)
хамин гуна нуктаи дар ин соха мавчудаи муайянеро
ёфтан лозим меояд, ки он аз нуктаи сархадй ё
дохилй сатхи баландии (пастии) фазо мегузарад:
f { x xiX2, . . . , xn) = h.
Раванди
ёфтани
халли
масъалахои
программасозии гайрихаттиро б о таври геометрй
чунин шарх додан мумкин аст:
L Сохаи имконпазири халхой масъаларо, ки аз
руи системаи муодилахои (2) (агар он холй
бошад, он гох масъала хал надорад) муайян
мекунанд;
2. СоХаи
муайянии
сатхи
баландтарини
(пастарини) фазой мавчудияти хал (хал
надоШтанаш мумкин, агар функсия аз боло ё
аз поён номахдуд бошанд) муайян карда
мешавад;
3. Нуктаи халли имконпазири
онро муайян
мекунанд, ки (1) халли максималй (минималй)
сохиб мебошад. Аз руи ин нуктаи муайян
кимати функсияи (1) хосил карда мешавад.
Мисол. Климата максималии функсияи
F = х2 - х ? + 6 х
(3)
- ро бо ичрошавии шартхои зерин
' 2х1 + 3х2 <24,
х { + 2 х 2 <15,
Зхх+ 2 х 2 £ 24,
х2 £ 4,
х1> 0 , х 2 > 0 ,
(5)
ёбед.
Хал. Функсияи максади (3) гайрихаттии аслй,
бешубха, ин масъалаи программасозии гайрихаттй
мебошад. Сохаи имконпазири халли масъалаи
ДОДашуДа бисёркунчаи ОABC (расми 1) мебошад.
Расми 1
Дар натича, барои ёфтани максимум функсияи (3)
хамин гуна нуктаи бисёркунчаи ОАВС - ро муайян
кардан лозим аст, ки дар он функсия дорой кимати
максималй мегардад.
Барои ин аввало хати F = x2 - x f + 6 x = h - ро
барои якчанд киматхои дилхохи А тартиб медихем ва
рафтори онро барои киматхои гуногуни он месанчем.
Барои хар як кимати h параболахои аз тири х
болотарро хосил менамоем.
Пас, функсйяи F кимати максималии худро дар яке
аз параболахои, ки нуктаи расиши он бо яке аз тарафи
бисёркунчаи ОАВС (расми 1) мебошад, шуда
метавонад. Координатахои нуктаи D - ро бо воситаи
системаи муодилахои зерин
хал намуда меёбем. х, = 3;
х2 = 4
Хамин тавр
Fmax =13;
Чй тавре, ки дар масъалахои (3) - (5) маълум
гардид, нуктаи кимати максималии функсияи максад,
куллаи бисёркунчаи халхо намебошад. Аз ин сабаб
амалиёти интихоби куллахо, ки дар халли масъалахои
программасозии хаттй истифода мешаванд, барои
халли масъалаи додашуда татбикнашаванда аст.
12.2. Методи зарбкунандш Лагранж
Фарз мекунем, ки системаи махдудияти масъалахои
программасозии гайрихаттй факат аз муодилахои
гайриманфй иборатанд ва f { x l,x1,...,x,),qj{xl,x1,...,xl)
функсияхои бефосилаи дорой хосилаи хусусй дошта
мебошанд
/(*,,х
2,..., )-> max(min);
qi{xl,x2,...,xn) = bi{} = \,m).
(1)
(2)
Дар курси тахлили математикй масъалахои (1) ва
(2) - ро масъалахои шартан экстремалй ё масъалаи
оптимизатсияи классикй меноманд.
Барои он ки халли ин гуна масъалахо муайян карда
шавад, мачмуи тагаирёбандахои Я1,Я2,...,Я„, ки
зарбкунандаи Лагранж меноманд, дохил намуда,
функсияи Лагранж тартиб дода мешавад.
F(xx, X j f •, Хд, Aj, , •.., An)
j 5*2 ’•••’*/>
п
.,Х п)\
(3)
Ы1
dF(.
хосилахои хусусии онро - —
OXj
dF(.
ва —— \ j = l , m )
ОA'
ёфта, п+т системаи муодилахо бо (п+т) номаълумхои
х „ х 2,.. . , х й, Aj, Дз,... Д я тартиб дода мешавад.
Бо хал намудани системаи муодилаи (4), нуктаи
X = (х,°, х°,..., х°) муайян карда мешавад, ки дар он
кимати экстремали» функсияи /( х р х2,...,хи) чой
доштанаш мумкин аст.
Храмин тавр,
муайян намудани
нуктахои
эктремалии масъалахои (1) ва (3) бо методи Лагранж
бо чунин тартиб муайян карда мешавад:
1. Функсияи Лагранж тартиб дода мешавад;
2. Хрсилахои хусусиро аз руи тагаирёбандахои
Xj ва ^ муайян намуда, онхоро ба нул баробар
карда мешавад;
3. Системаи муодилахои (4) - ро хал намуда,
нуктахоеро муайян менамоянд, ки он дар
функсия дорой кимати экстремум шуда
метавонад.
4. Нуктахои экстремалиро муайян намуда, кимати
функсия хисоб карда мешавад.
Мисол. Аз руи накша барои корхона, 180 микдор
махсулот истехсол кардан лозим аст. Ин махсулотхоро
бо ду усули технолога истехсол намудан мумкин аст.
Дар холати истехсоли махсулоти х, бо тарзи I, харачот
ба (4х,
барои истехсоли махсулот бо тарзи II
(8xj + x f ) сомонй баробар аст.
Муайяв кардан лозим аст, кю бо кадом тарз
махсулотро истехсол намудан мумкин, ки харчи он
минималй бошад.
Хал. Гузориши математикии он
намудани кимати минималии функсияи
/ = 4х, +х* +8х2 + х2
дар холати ичрошавии шартх,ои
х, + х2 =180
аз
муайян
(5)
(6)
*1>*2 - 0
(7)
иборат аст. Халли онро бо тарзи геометрй шарх
медихем.
Сохаи муайянии халли масъалаи имконпазири мазкур
аз хати роста АВ (расми 2) ва даврахои бо маркази Е(2 ;-4) иборат аст.
Расми 2
Аз нуктаи Е доирахои бо радиусхои гуногунро
гузаронида, дидан мумкин аст, ки кимати минималиро
функсияи максад дар нуктаи D доро мегардад.
Барои он, ки координатахои ин нуктаро муайян
намоем,
коэффитсиенти
уфукии
доираи
4х, + x f + 8х2 + х 2 = с баробар хисобида ва он дар
нуктаи D
бо коэффисенти уфукии хати роста
х\ + х 2 = 180 хамчоя мешавад, меёбем ва он баробарй 1 аст. Х2 - ро хамчун функсияи ноошкор (неявную) аз
I
t
х, кабул намуда, ифодаи 4+2х, +8jc2 +2х2х2 =0 ёинки
Ифодаи хосилшударо ба -1 баробар намуда, яке аз
баробарии муайянии координата нуктаи D - ро хосил
мекунем.
х 1- х 2
=2
х, + х, =180
Дарин ч о х , =91, х2 =89.
Шархи иктисодии иборат аз он аст, ки агар
‘ корхона 91 махсулотро бо тарзи технологии I ва 89
махсулотро бо тарзи технологии II истехсол намовд, он
гох харчи минималии он ба 17278 сомонй баробар
мешавад.
Методи зарбкунандаи Лагранжро истифода бурда,
масъалаи гузошташударо хал менамоем.
F(x1,x2,A)=4jCj + х * + 8х2 + х 2 +Я(180-х1- х 2 )
ва
хосилахои хусусии онро ёфта ба нул баробар мекунем.
дF
— = 4 + 2 х ,-А = 0,
• — = 8 + 2х2-А = 0,
д х2
оя
4 + 2.x, - Я = 0,
4 + 2х, = 8 + 2х2,
х, + х2 = 180,
е ин ки х. - х, = 2.
Хосил мекунем:
Гх, - х2 = 2,
Xj =91,
[х, +х2 =180
х2* * 89.
Хдминро кайд кардан лозим аст, ки дар ин нуктахо
функсияи / дорой кимати минималй мансуб мегардад.
Бо методи зарбкунандахои Лагранж мисолхои
зеринро
1) f = xf + х j + хъ бо шарти маздудиятнокий
f x t + x 2+ x 3=4,
- 3 jc? =12.
2) / =
•*2 ' хз бо шарти мавдуднокии
{
2х1-х2 + х 2 -х3 =12,
2*, - х 2 =8,
нал намоед.
12.3. Масъалахои программасозии гайрихаттии
функсиях,ои барцаста
Фарз
мекунем,
ки
ба
мо
программасозии зерин дода шудааст
А*1
)->ш ах;
масъалахои
(1)
(2)
(3)
Дар ин чо /
ва qt функсияхои дилхохи п
тагйирёбандадори х{, х2, . . . , хп мебошанд.
Барои халли масъалахои ифодагардида ягон
методи умумй вучуд надорад.
Аммо барои синфхои алохидаи функсияхои дорой
махдудияти хоси нисбати / ва qt дошта, методхои
самаранок мавчуданд.
Дар холати хусусй функсияи максади / фурухамида
(барчаста) ва сохаи халхои имконпазир, ки бо воситаи
махдудияти барчастаи (1) - (3) муайян карда мешавад,
иборат аст.
Таърифи 1. Функсияи f { x v x2,...,xn), ки дар
мачмуъи X дода шудааст, барчаста номида мешавад,
агар барои ду нуктаи дилхох,и х, ва х2 аз X ва дилхох
О< X < 1 нобаробарии мазкур ичро гардад
/[Ях2 + (1-Я)х, ]<Я/(дг2)+(1-Я)/(х,)
(7)
Таърифи 2. Функсияи f ( x l,x2,...,xn) дар мачмуъи
барчастаи X фурухамида номида мешавад, агар барои
ду нуктаи дилхохи х, ва х2 ва дилхох 0 < Я < 1
нобаробарии мазкур ичро гардад.
/[Ях2 + (l - Я)*, J> Яf (x2)+ (1- Л)/(х,)
(8)
ТаъриФи 3. Мачмуи халхои имконпазири
масъалахои (4) - (6) масъалаи программасозй барчаста
номида мешавад, агар функсияи / ( х ^ х 2,...,хп)
фурухамида
(барчаста),
функсияи
£,.(*)(/ = 1,/и ).
барчаста бошад.
Таърифи 4. .Функсияи Ц х 1г х2, ..., хп, у v у 2,..., у т =
т
Х29 ...?Хп) + 2] Уг\р1 ~Si (Xl> Х2>
*rt)J
(^)
7=1
дар ин чо, Уу, у 2 ? у„ - ро зарбкунандаи Лагранж
меноманд.
Таърийи 5. Нуктаи
( Х0; 70) = ( х ^ х ? ;...;, х°п; у?; у °2; ...; у°т)
зинии Лагранж (седловая) номида мешавад, агар
барои дилхох ху >0 ( j = 1, и)
ва у, > 0 (i = l,m),
нобаробарии зерин ичро гардад:
Ц х г, х2,...хп, у *, y l , . . . , y l ) <. Ц х°, х°2,...,х°„, у*, у1,...,у°т) <>
О
0
Lт/( xО
, , x 2,...,xn,
y „ y 2,...ym)\
Теоремаи. Куна - Таккера. Барои масъалаи
программасозии барчастаи (4) - (6), мачмуъи халхои
имконпазир, ки дорой хосияти ботартибй дорад,
х:(0) ,х^(0)
накшаи оптималй мебошад,
агар
хамин
гуна
вектори
У=
y f \ ■■■,у 1) У° > 0 (г = 1, т) ва (Х0 У0) - нуктаи
зини (еедловая точка) дошта бошад.
Фарз мекунем, ки функсияи макеади / ва функсияи
g. бефосила ва дифференсиронидашаванда бошанд, он
гох ба теоремаи Куна-Таккер чунин ифодахои
аналитикиро илова намудан мумкин аст, ки он шарти
зарурй ва кифоягаи нуктаи (Х0 У0), нуктаи зинии
функсияи Лагранжро муайян мекунад, яъне халли
масъалаи программасозии барчаста шуда метавонад.
Ин ифодахо чунин пешкадн карда мешавад:
ду,
=о
у°>0
дар иа ч®,.
dxj
ва d h
(12)
(13)
5^
>0
С
II
3^
dL
(И)
■н
х ° >0
(10)
II
* ;^ = о
' dxj
0 - = 1,и);
As
S
'dLn
<0
дх,
(i = l,w ) ;
(i =h.m).
(14)
(15)
кимати хосилахои хусусии
функсияи Лагранж, ки дар нуктаи зинй хисоб карда
шудааст.
Чй тавре, ки дар ин системаи муодилахои (10)-(15)
кайд кардем, онхо шартхои программасозии
квадратиро конеъ гардонида метавонанд.
Таърифи
6.
Шакли
квадратии
нисбати
тагирёбандахои хр х 2,...,хп гуфта функсияи ададии аз
ин тапгарёбандахо, ки ба намуди зерин ифода ёфтааст,
меноманд.
F = СцХ,*, + с12х1х2 + c13x,x3 + ... + с21х2х1 + с 22х2х2 +
и
п
-+=Z Z
j =i
c* x4xj
Таърифи 7. Шакли квадрата мусбат( манфй)муайян номида мешавад, барои хамаи киматхои
тагйирёбандаи X = (я,; х2;....хп) гайр аз кимати нулй,
F (X ) > 0 бошад.
Таърифи 8. Шакли квадратии функсияи F мусбат
(манфй)- ниммуайян аст, агар F{X) > 0(F(X ) < 0)
барои хар гуна киматхои X = (лг,; х2;...хп) ва rafip аз он
мачмуи
хамин
гуна
тагйирёбандахои
X ' = (jc|; х2
х '„) ёфт мешавад, ки на хама нуктахои
он кимати нулиро сохиб мегардад.
Теорема. Шакли квадратии функсия барчаста
мебошад, агар он мусбат- ниммуайян бошад, баръакс
фуруххамида мебошад.
Таърифи 9. Ёфтани кимати максималй (минималии)
функсияи
п
п
п
дар холати ичрошавии шарти
x, > 0
(19)
n
ёфта шавад. Дар ин чо ^
n
У^,с к,хкх i - мусбат (манфй)
*=1 j=\
нимуайяни шакли квадрата, программасозии
квадратй номида мешавад.
Функсияи Лагранжро бо ин тарзи муайянгардида
чунин ифода карда мешавад.
-
п
п
1=Л
d j xj +iz
к=1
1=1
п
ck,xkxj +y,(b, - £
avxj)
7=1
Агар
X
дорой
нуктаи
зинй
(-Х'о^0) = Сх1° ; ^ 2 » х«»З^!0 >^2 >•••■’Д'т) бошад, он гох,
дар ин нук,та шартхои (17)-(19) ичро мегарданд.
Барои он ки нобаробарихои (10)-(13) -ро ба баробарй
табдил дихем, лозим аст, ки тагаирёбандахои нави
V j { j - l , n ) ва 6>((/ = l,w) дохил кунем, он гох чунин
ифода хосил мешавад.
—V- + 3 j = 0
дхj
о
и
f
V
0 = 1»);
(20)
0 = 1, т);
(21)
о
II
о
К
0 ‘ = 1.и);
(22)
у°щ = 0
0 = 1, т).
(23)
о
AI
•*->
&
...
i = 1.и)
Sj > 0
о
AI
О
х° > 0
и
(24)
Хамин тарик, барои ёфтани халли масъалахои
программасозии квадратии додашуда, лозим аст, ки
халли мусбати системаи муодилахои (20)- (21), ки
шартхои (23)-(24)-ро конеъ гардонида тавонанд,
чустучу кардан лозим аст.
Барои халли ин масъала методи базиси сунъиро
истифода бурда мешавад.
Сипае, хамаи ин амалиёт шабохати онро
медихад, ки масъалаи гузошташуда дорой халли
оптималист, ё не.
Хамин тавр, раванди ёфтани халли масъалахои
программасозии квадрата чунин мархилахоро
дарбар мегирад:
1. Тартиб додани функсияи Лагранж.
2. Онро ба шакли (20)-(24) овардан, ки он
мавчудияти шарти зарурй ва кифоягии нуктаи
зинии функсияи Лагранжро конеъ мекунонад.
3. Методи базиси сунъиро истифода бурда, вучуд
доштани нуктаи зинии барои функсияи Лагранж, ё
координатхои онро муайян месозанд.
4. Х,алли оптималии функсияи максади масъаларо
меёбанд.
Мисол. Кимати максималии функсияи
F = 2ху + 4х2 - хf - 2х\
(25)
-ро дар холати ичрошавии шартхои
(26)
х,, х2 > 0
(27)
ёбед.
Хал. Маълум, ки дар ин чо функсияи максад аз ду
кием иборат аст, яъне F, = 2дс, + 4хг - функсияи хаттй,
кисми дигари он F2 = xf - 2х\ - манфй- муайян, ки
онхо хамчоя функсияи фурухамидаро ташкил
медиханд. Faiip аз он системаи махдудияти он факат
аз системаи нобаробарихои функсияхои хаттй
иборатанд.
Аз ин ру, теоремаи Кунна-Таккерро истифода
бурда, функсияи Лагранжро тартиб медихем:
L = 2xl + 4 х 2 - x f - 2 х \ +>'1( 8 - х 1- 2 х 2) + у 2( 1 2 - 2 х 1 + х 2)
Барои санчидани мавчудоти нуктаи зинй
доштаи функсияи додашуда, ифодаи (20)-(24)-ро
истифода бурда, онро чунин менависем.
3L
- = 2 - 2 х 1- у 1- 2 у 2 <0,
дхх
3L
дх2
dL
—
= 4 - 4 х 1- 2 у 1+ у 1 ^ 0 ,
= 8 —Xj — 2 jc2 > О,
3L
----=
12-2 jCj -гх2 >0,
{?Уг
3L
xl — = x l( 2 ~ 2 x l - y l - 2 y 2) = 0,
дхх
dL
x2= x2( 4 - 4 x 2- 2 y l + y 2) = 0,
2
dL
у х— ~ = y l( 9 - x l - 2 x 2) = 0,
(29)
ду,
dL
„ _
. .
у 2 — = у 2(12-2х1+х2) = 0,
dy2
xl, x 2, y x, y 2 >0.
Системаи (28)- ро чунин менависем:
(30)
Ба системаи нобаробарихои (28) тагйирёбандахои
мусбати Sx, 3 2, тпх, ш2дохил намуда ба системахои
баробарщо табдил медихем.
2х, + у х + 1 у 2
= 2,
4х2 + 2 у х- у 2 - 3 2 =4,
хх+ 2х2 + йх, = 8,
(32)
2хх - х 2 +ст2 =12,
хх, х 2>у х, у 2, 3 х, 3 2, т х, ш 2 >0.
(33)
Бо Назардошти (32) чунин баробариро пайдо намудан
мумкин аст:
i9,x,=0,
3 2х2 = 0,
шху х - 0,
tu2y 2 =0 . (34)
Агар барои ёфтани халли базисии системаи
муодилахои (32) бо назардошти шарти (34) гирем, он
гох халли оптималии масъалаи мазкур, яъне нуктаи
зинии функсияи Лагранжро ёфтан мумкин аст.
Барои ёфтани халли базисии системаи муодилахои
(32) методи базиси сунъиро истифода бурда
тагйирёбандахои мусбати z, ва z 2 -ро дохил кардан
лозим аст. Х,оло масъалаи программасозии хаттии
F = -M z x - Mz2
(35)
-ро дида баромада, кимати максималии онро бо шарти
ичрошавии зерин меёбем.
2х, + у х + 2 у 2 - >9, + z, = 2,
4х2 + 2^, - у 2 - <92 + z 2 = 4,
х, + 2 х 2 + т 1 = 8 ,
2х, - х 2 +ст2 = 12,
*1 ’ *2 ’ 3^1>У2» »*®2’
(37)
’ ®^1*®^2’ ^1’ ^2 —О-
I
Базис
Дар натичаи
ичрокунии ин амалхо, халли
масъала хои (35)-(37) бо назардошти (34) халли
имконпазири онро бо чадвал нишон медахем.
Чй
тавре,
ки
маълум
аст,
х°3, = 0; х°232 = 0; у°т{ = 0; y \w 2 = 0,
он
гох
(Х0\ Г0) = (1; 1; 0; 0) - нуктаи зинаии функсияи Лагранжи
масъалаи мазкур мебошад.
Сипае, X * = (1; 1) халли оптималии маъалаи мазкур
буда, кимати максималии функсия
= 3 мебошад.
Чадвали 1
1
2
Р У2
3
Ъ
4
5
6
1
2
3
Р »г
Р*
Р,2
Р о1
С6
Ро
0
0
0
0
0
Р*
Рх2
Р п
Рх
Р $ \ Р(т2
—1 0
-м
-м
2
2
0
1
2
4
0
4
2
-1
0
0
8
12
0
-6
2
1
2
0
0
2
-1
0
0
0
0
-3
0
-М
-2 -4
2 0
0
1
0
1
0
6
1
0
1
0
0
0
-м
Рш. Рш2 р*
-м
Р уг
0
0
1
0
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 -X
0 Уг
0
0
0
X
1
0
0
~Уг
-1
2 -1
X -X
- 1 Уг
13
2
0
1/
/2
5-
0
0
0
6
-2
0
0
V
0 - /4
0
-1
1/
0
/2
4
Р<о2
1
0
0
1
-2
1
-
1/
/4
0
-У а 0
1
0
1/
/4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
к
0
0
0
2
РХ2
0
1
0
1
3
P .1
0
5
0
0
1
0
4
Р .г
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
*1° - 1 ;
х 2 = 1;
®Г, = 5 ;
0
ят2 = 11;
у ° =
= .9, = Э 2 = О,
М асъалахои зерит о хал намоед:
1. Кимати максималии функсияи
F = х, + Зх2 - 2х,х2 + 4х? - х \
дар х;олати ичрошавии шарти зерин ёбед.
[ х , + 3 х 2 <, 6,
[2х, + х2^13,
х 19 х 2 1 0 .
2. Кимати максималии функсияи
F = Зх, + 2 х 2 - х,х2 + х? - 2 х\
дар холати ичрошавии шарти зерин ёбед.
[2х, + х2 <,7,
|х , + 4 х 2 ^ 1 2 ,
x1}x2^0.
3. Кимати максималии функсияи
F = 2х, + х2 - Зх,х2 + 2 х \ - х \
дар холати ичрошавии шарти зерин ёбед.
[2 * 1 - З х 2 ^ 4 ,
|х ,+ 5 х 2 ^ 1 0 ,
x ,, х2 > 0 .
4. Кимати максималии функсияи
F = х, + 4 х 2 - х,х2 + 2х] - 3xj
дар холати ичрошавии шартхои зерин ёбед.
(х, + х2 ^3,
[2х, - х 2 ^8,
х ,, х2 > 0.
12.4. Методи градиент
Методи градиент яке аз методхое мебошад, ки онро
истифода бурда, масъалахои дилхохи программасозии
гайрихаттиро хал намудан мумкин аст. Умуман
истифодаи ин метод имконият медихад, ки нуктахои
локалии экстремумро ёбем.
Бинобар он ин метод бештар барои ёфтани халли
масъалахои программасозии барчаста истифода бурда
мешавад, ки дар он хар гуна экстремуми локалй
маънои васеъро дорад. Раванди ёфтани халли
масъалахо бо ёрии методхои градиента иборат аз он
аст, ки аз ягон нуктаи х <к) cap карда гузариши пай дар
пай ба ягон нуктаи дигар то он даме, ки халли
мувофики масъалаи матлуб пайдо нагардад, давом
меёбад. Дар ин холат методхои градиента ба ду гурух
чудо мешавад. Равиши зиёдшавии функсия ба равиши
градиент F'(x) баробар буда ва равиши аз хама
камшавии функсия ба - F'(x) баробар мешавад. Дар ин
холат ягон кимати аввалаи
FQe F ( x ) < R n
• ро гирифта пайдарпаии Fn - ро тартиб медихем. .
^ х п - а пГ { х \ а „ > 0 .
п = 0,1,2,...
Агар F '{x)* 0 бошад, он гох а„> 0 - ро хамин хел
муайян кардан лозим меояд, ки (Fn+X) < ХР(хя) шавад.
Пае, F (^ + l)-F„(*„)<£
Методи Франк- Вулф
Бигузор
фурухамидаи
бо шартхои
t ^ b ,
кимати
максималии
/(х ,,х 2,...,хи) - ро
=
функсияи
(38)
(39)
* ^ 0 ' ( / =й )
(40)
ёфтан лозим аст.
Дар ин чо системаи махдуднокй- системаи
муодилахои хаттй мебошад.
Ивази дар атрофи нуктаи тадкикшаванда функсияи
максади гайрихаттй бо функсияи хаттй мохияти
асосии ин масъала мебошад.
Инак, раванди муайян намудани хал, ин ёфтани
нуктаи функсияи максади гайрихаттй мебошад.
Раванди ёфтани хал аз муайянкунии нукта, ки он
сохаи имконпазири халхоро нишон медихад, иборат
аст.
Бигузор ин нуктаи
бошад, он гох дар ин нукта
градиента функсияро меёбанд:
^ йх,
дх2
д хп
функсияи хаттии
„ a /(x w)
a /(x w)
a / ( x (i))
Я
Я
---1х2 + - + ~ ^ ----Ч
(41)
ах,
о х2
д х„
-ро тартиб медиханд.
Климата максималии ин функсияро бо ичрошавии
шартхои (38) - (40) ёфтан лозим аст. Фарз мекунем, ки
халли ин масъалахо дар нуктаи Z (k) муайян бошад. Он
гох кимати нави имконпазири масъалаи мазкур,
кимати координатахои х^+1' - ро кабул мекунад.
х М = х (*) + я л(2(*) - : с (*))
дар ин ЧоЛк - кадами хисоб, ки дар байни нул ва 1
тагйир меёбад. (О< Я < l). Климата Я дилхох интихоб
карда мешавад, ё бо тарзе муайян мекунанд, ки кимати
функсия дар нуктаи
максималй бошад. Барои ин
= 0 хал намуда, пешакй хурдтарини онро интихоб
дК
мекунанд. Агар кимати он аз 1 калон бошад, он гох
а х = 1 кабул карда, координатахои нуктаи
- ро
хисоб мекунанд. Баъд координатахои jc^+2^ хисоб
карда мешаванд.
Храмин тавр масъала то он даме хал карда
мешавад, ки бо ягон сахехии муайянгардида ноил
шавем.
Пас, раванди халли масъалахои (8) - (10)-ро бо
методи Франк - Вулф аз чунин кадамхо иборат аст,
муайян мекунем:
1. Халли имконпазири масъалаи гузошташударо
муайян мекунанд;
2. Градиента функсияи максадро дар нуктаи
имконпазир меёбанд;
3. Функсияи хаттиро тартиб медиханд ва кимати
максималии он муайян карда мешавад;
4. радами хисоб муайян карда мешавад;
5. Аз руи формулаи охирон компонентхои нави
халхои имконпазирро меёбанд;
6. Зарурияти гузариш ба халли имконпазири
дигарро месанчанд.
Мисол:
/ = 2xt + 4 х2 - х] - 2 х\
бо шарти ичрошавии нобаробарии
Г*1 + 2Х2 —8,
[2л:,
<12,
jCj > 0, х 2 ^ 0.
градиента функсияро меёбем.
^ О Xj
О Х2 J
Ба сифати халли имконпазири функсияи мазкур нуктаи
х(0) = (0,0)
|/(х (*+1)- / ( х ) (А)| < £ дар ин чо £ = 0,01.
I итератсия. Дар нуктаи х ^ градиента Д /( х ^ ) = (2;4)и максимуми функсияи
Fx = 2 х, + 4 х 2
-ро бо шартхои
fxj+SxjSe,
[2jCj - x 2 <12,
jc,
>0, х 2 > 0,
хисоб мекунем.
Ин масъала дар нуктаи Z^ = (0,4) дорой накшаи
оптималй мебошад.
Х,алли нави имконпазири масъалаи мазкурро аз руи
формулаи
х(0 _ х(°) + а ^^.(*) _ х(°)j меёбем, дар ив чо 0 < х < 1.
Ба чои х(0) ва z® киматхои онхоро гузошта, хосил
мекунем.
[х^
= 0 + а , • 0,
|хг(2) = 0 + щ •4,
х[1} = 0,
4 2)
4,
/(« ,)= 16 a , - 3 2 a , 2,
/( a ,) = 16-64 a, = 0, 16 = 64 a,,
A, =
64
= —= 0,25.
4
Азбаски 0 < A, < 1, A, = 0,25 бинобар ин онро хамчун
кадам
/ ( х (1)) = 2 ;
мехисобем.
Хдмин
тавр
x ^ = (0,l),
/ ( r (,> ) - / ( * < 0>) = Z > £ = 0 ,0 1
II.Итератсия. Градиента функсияи максад дар нуктаи
^ баробар ба А /(х ^ )= (2 ;0 ). Максимуми F2 = 2*,
бо ичрошавии шарти гузошташуда муайян мекунем.
Z (1) = (б,4;0,8)
халли
он
аст.
Акнун
Х(2} = х(|) + А2
- х<1)) - ро муайян кардан мумкин аст.
Муодилаи охиронро чунин ифода мекунем:
j * i = 6,4 А,,
| jc2 = 1 -0 ,2 А2.
Ин киматхоро ба чои х, ва х2 гузошта хосил мекунем
/(A j) = 2 + 12,8 Л ,-41,76 %
■ аз ин чо /'(А 2) = 12,8 - 83,52 А2 = 0, ^ » ОД5.
Храмин тавр
0,96,
|д.(2) = о 97 ’ яъне*
f*,(2) =
ч
= (°’96;0’97) ’
■
/( х (2))= 2,9966, /((* (2)) - / ( * (1))) = 2,9966—2 =
= 0,9966 > е = 0,01.
III. Итератсия. Градиента функсия дар нуктаи
х ® баробар ба
Л /(* (2))= (0,08;0,12). Максимуми
функсияи F3 =0,08*, +0,12*2 дар вакти ичрошавии
шарти гузошташуда. Х,алли он баробар ба Z (2) = (б;0)
дЛ3) _ х (2) + дз(7(2) _ x (2)j _ р0
мекунем.
Аз ин чо
Гх,(3) = 0,96 + Яз (6 - 0,96) = 0,96 + 5,04 Я3,
[jtf1 = 0,97 + Я3(0 - 0,97) = 0,97 - 0,97 Х3,
/(Л з) = 2,9384 + 0,4032 Яз-2 7,3416 Я2,
/'(Я 3) = 0,4032 - 54,6832 Я3 = О,
Я з» 0,007.
Дар натича,
х (з) = (0,99528;0,96321), f ( x (3))~ f ( x (2)) = 2,99957-2,9966 =
= 0,00297 < £ = 0,01.
Пас,
х(з) = (0,9952^0,96321)
Халли
масъалаи
гузошташуда мебошад.
Нуктаи муайянгардида ба кимати максималии
функсияи максад наздик аст.
12.5.Методи функсияи царимавй
Масъалаи ёфтани кимати функсияи фурухамидаи
f ( x x,x2,... , xn) бо шарти
qi{xl,x2,... , xn) ^ b i (i = l,m} XjZ 0 (/ = 1,л),
функсияи барчастаро дида мебароем. Мохияти методи
функсияхои чаримавй аз он иборат аст, ки масъалаи
гузошташуда аз пай дар пай ёфтани кимати
максималии функсияи
F(xv x2, . . . , x „ ) = f ( x u x2, . . . , xn) + H ( x v x 2, . . . , xn)
мебошад, ки суммаи функсияи максад ва функсияи
Н(х1,х2,...,хп),
аз системаи махдудият муайян
мегардад, функсияхои чаримавй номида мешавад. Дар
бисёр холатхо онро чунин ифода мекунанд:
H (*j, х 2, ■••, хп) — (Х, (xt, X2 , ■•., Хп )^; (xj, х2,..., х п ),
;=1
ки дар ин ЧО
,
ГО,
а Ах.,х,,...,хи) = <
агар bi - q i(xl,x2,...,xn)> О,
,
ч
агар bi - q i(xi,x2,...,xn) < О,
ва
ОС,-. адади доимй буда, коэффисиенти вохиди вазни
номида мешавад.
Функсияи чаримавиро истифода бурда, пай дар
пай аз як нукта ба нуктаи дигар мегузаранд, то он
даме, ки халли каноатбахш хосил карда нашавад. Дар
ин холат координатахои нуктахоро аз руи формулаи
мазкур меёбанд:
х/*+1^= max-j 0;х* + д / И ) | У а- d q ix(k)
дхг
ы
' дх
Аз баробарии охирон дидан мумкин аст, ки нуктаи
аввала дар сохаи халхои имконпазир чойгир буда,
чамъшавандаи дар кавси квадрата буда ба нул баробар
аст ва гузариш ба дигар нукта факат бо воситаи
градиента функсияи максад ба амал оварда мешавад.
Агар нуктаи интихобшуда ба сохаи халхои
имконпазир таалук надошта бошад, он гох аз
итератсияи хисоби чамъшавандахои додашуда ба
сохаи халхои имконпазир гузаштан мумкин аст.
Хдмин тавр, раванди
халли программасозии
барчаста бо методи функсияхои чаримавй аз чунин
кадамхо иборат аст:
1) Халли имконпазири масъалаи мазкур муайян
карда мешавад;
2) Кладами хисоб муайян карда мешавад;
3) Аз руи хамаи тагйирёбандадо хосилахои хусусии
функсия ва функсияи сохаи имконпазири халли
масъалаи додашуда муайян карда мешавад;
4) Аз руи формулаи <38) координатахои нуктахои
имконпазири х,алро муайян мекунанд ;
5) Нуцтаи муайяни координатахои система
махдудиятро конеъ гардонида метавонад ё не,
санчида мешавад. Агар к,онеъ нагардонад, он
гох ба дигар кадами итератсия гузаштан лозим
аст.
6) Кдматхои козффитсентх,ои вазнро муайян
намуда ба зинаи 4 мегузаранд.
Мисол. Кдшати максималии функсияи
S
2
2
f = -x x - х 2
бо шартхои маадуднокии
(*i ~ 7)2 + (х2 - 7)2 <18,
jc,;ac2>0,
хал карда шавад.
Хал. Функсияи мак;сади масъалаи додашуда,
формаи квадратии манфиро ифода мекунад, яъне
фуруххамида аст. Дар навбати худ сохаи халхои
имконпазири он системаи махдудиятноки функсияхои
барнасга мебошанд.
Пас,
масъалаи
гузошташуда,
масъалаи
программасозии барчаста мебошад. Барой ёфтани
халли он метода функсияхои чаримавиро истифода
мебарем.
Пеш аз он, шархи геометрии онро медидем ва
сохаи имконпазири халхои ин функсияро ва хатхои
сатхи муаймии функсияи мацсадро месозем. Ин хатхо
даврахои маркази (0,0) дошта мебошаид. Нук,таи
расиши яке аз ин даврарахо бо сохаи имконпазири
халхои нуктаи максималии кисмити функсияи мацсад
мебошад. х° = (б,7) гузошта, Я = ОД кабул менамоем
ва бо воситаи q(xx,х 2) = 18 - (х, - 7)2 - (х2 - 7)2 ифода с
намуда, аз функсияи f ( x ],x2) ва q(x\,x2) аз руи х, ва х2дифференсиал мегирем.
Расми 1
д/
— 2 X),
д
д х,
= —2 Х| +14,
д / = -2 х
2’
5 х2
дq
——2 х^ +14.
д х.
Акнун, формулам (38) - ро истифода бурда, пайдар
пай кимати нук;тах;оро меёбем, ки яке аз ондо
метавонад хдлли мувофикд масъалаи гузошташуда
бошад.
Итератсия. Чй тавре ки маълум аст х° = 6,7 ба сохди
имконпазири х,алх,о тааллук, дорад, он гох
чамъшавандаи дуюми дар кдвси квадратй буда х 1 - ро
баробари нул аст. Пас, координатаи нуктаи пасоянди
аз руи формула меёбем.
х,(1) = тах^О; х,(0} +
= тах{0;0,1 • (- 2)- б} = 4,8;
х'° = rnax^O; х‘0) + l ~ ^ X )| = тах{0;7 + 0,l(- 2)- 7} = 5,6.
Акнун месанчем, ин нук,та ба сохди хдлх,ои
имконпазир тааллук; дорад ё не. Барой ин
#(х')= 18-4,84-1,96 ='11,2 мувофщ аст.Чй хеле ки
q{j} )> 0 , он гох, х 1ба содаи имконпазири хдлх,о
тааллук, дорад. Дар ин но / ( х (1)) = -54,4.
Итератсияи II.
хР} = тах{0; 0,48 + ОД•(- 2)- 4,8} = 3,84;
x f = тах{0; 0,56+0Д-(-2)-5,б}= 4,48;
g(x2)= 18 - 9,9856- 6,3504 =. 1,664 >- 0; f ( x 2)= -34,816.
Итератсия III.
х,(3) = тах{0; 384+0,1- (-2)-3,84}= 3,072;
x f = тах{0; 4,48 + ОД-(- 2> 4,48}= 3,584;
g(x3)= 18-15,429184-11,669056 * -9,081.
IV. Нуктаи х 3 ба сохди
имконпазири масъала таалук; надорад.
Пас,
Итератсия
*ал*ои
= max{0;3,072+ 0,l[(- 2)- 3,072+ «[(- 2)- 3,072+14]]} =
= шах{0; 2,4576+ а • 0,7856};
= max{0;3,584 + 0,l[- (- 2)- 3,584 + «[(- 2)- 3,584 + 14]]} =
= max{0; 2,8672 + a • 0,6832}.
Дар ин но масъалаи интихоби а ба миён меояд. Аз
сабаби сохаи х,алх,ои канори дур нарафтан ва ба ин
сохди х,алх,ои имконпазир таалук, доштани он бештар
Кимати а -ро ба нуктаи х4 наздик мекунанд. Ин
талаботро дар холати хусуси а = 1,9 конеъ гардонида
метавонад.
х,(4) = тах{0; 2,4576+1,9- 0,7855}« 3,950;
д^4) = тах{0; 2,8672 + 1,9- 0,6832}» 4,165;
g(x(4)) ^ 1 8 - 9,3025 - 8,03 7225-13,454224 «-10,2.
Итератсия V
х}5) = тах{0; 3,950 + 0,1- ( - 2)- 3,950} = 3,16;
х ? = тах{0; 4,165 + 0,1- (- 2)- 4,165}= 3,332;
g(jc(5)) = 18 -14,7456 -13,454224 « -10,2.
Итератсия VI.
х\6) = тах{0; 3,16+ 0,1- ( - 2> 3,16 + 1,9(- 2> 3,332+14}
= 4,059.
Итератсия VII.
jc,(7) = тах{0; 3,987+ ОД-( - 2> 3,987} * 3,189;
х™ = тах{0; + ОД-(- 2> 4,059} * 3,24;
g(x(7))= 18 -10,169721-10,543009 » -2,713.
Итератсия VIII.
Х](8) = шах{0; 3,189 + ОД-[ ( - 2> 3,189 + 1,9(- 2> 3,189 +14 ])}
я 3,189;
x?' = max{0;3247 + 0, l [ (-2)-3,247+ 1,9-((-2)-3,24+ 14 ])}
s 4,027,
g(x(8))= 18-9,006001-8,856576 «0,137.
Итератсия IX.
x,(9) = max{0;3,219+0,1 ■[ (-2)-3,219+l,9( (-2)-3,199+14 ])}~3,199;
x (P =m ax{0:4,024+0,l -[(-2) -4,024 ] } « 3,219,
g(x(9>)= 1-8- 14,44760 1-14,29596 1* -1 0,744.
Итератсия X .
*,(10) = max{0;3,199+ 0,1 ■(-2 )• 3,199+1,9( (-2)-3,199+14 )}«4,004;
^ lo)= max{0:3,219+ 0,l - [ ( - 2)3,219+1,9((-2)-3,219+14 ] }*4,012,
g(x(10)) = 1 8 -8 ,9 7 0 1 6 - 8,928144» 0,096,
/ ( х |0)«-32.1Я 8.
Итератсия X I.
x,(,1) =m ax{0,4004+0,l-[(-2)-4,004 ]
3,203;
л'П) =m ax{0:4,012+ 0,1-[(-2)4,012 }«3,210,
g(x(11))= 18-14,417209-14,364 » -10,781.
Итератсия X II.
*,<12) = max{0; 3,203 + 0,1- [ ( - 2 ) • 3,203 + 1,9( ( -2 ) -3 ,2 0 3 + 14 } }
* 4,005;
x',2) =max{0:3,210 + 0,l - [ ( - 2)3,210 + 1,9((-2)-3,210 + 14 ] }
* 4,008,
g(x(12))= -32,104.
Климата функсияи ма^сад, ки баъд аз итератсияи 10
ва 12 х,осил намудем, маълум гардид, ки онх,о бо
сахехии Ю-1 хамчоя мегарданд. Ин наздикии нук,таи
дар итератсия
хосилгардида кимати функсияи
максадро нишон медихад. Баъд аз итератсияи 12 ба
чунин хулоса омадан мумкин аст, ки градиентхои
функсияхои / (jc) ва g(x) баъд аз тадкик; намудан дар
нуктаи x (i2) хамчоя мешавад.
g(x(12)) »» 0,078;
jc ,*
= 4,005;
х\ = 4,012 .
Боби 13. Масъалахои программасозии динамики.
13.1.Маф%уми асосй ва шар%и ицтисодии
программасозии динамики
Таракдиёти истехсолоти чамъиятй, пешрафти илмй
- техники, консентратсия ва марказонидани истехсолот
ва сармоя, таксимоти чамъиятии мехнат ва тез-тез
тагйирёбии шакли идоракунии онхо талаб мекунад, ки
аз гузориши халли масъалахои яккаратаи душвор ба
масъалахои бисёркарратаи оддй, ки раванди пешравии
онро бо бисёр шартхои мувофики идоракунии он,
бехтарини он интихоб карда мешавад.
То хол бо воситаи методхои программасозии
хаттй, гайрихаттй масъалахои гузошташудаи онхо, ки
ягон даври (мухлати) муайянро дарбар мегирифтанд,
тавсиф дода шуда буд.
Моделсозии аналитикии системахои мураккаб,
имконияти махдуд допгга, боиси пайдошавии
моделсозии динамикй-имитатсионй гардидааст. Дар
моделсозии динамикй протсесси тагйирёбии амалиётро
пай дар пай ифода намуда, инкишофи равандро дар
шакли муносибатхои реккурентй тачассум намудан
мумкин аст. Модел рафтори объектро дар фосилаи
муайяни ва^т нав ба нав ба вучуд меорад. Тамоми
дигаргунихое, ки ба шакли ин моделсозй таалук,
доранд, дар хдр муддати сохтани модел ба инобат
гирифта мешаванд. Баъдан дар фосилаи муайян,
вобаста ба киматхои пештара, киматдои нави
дигаргунихоро ба хисоб гирифта мешавад.
Аз тарафи дигар, ин намуди моделсозй натори
холатхои тасодуфй, ки аз мачмуъи роххо ва гиреххои
мушкил иборат мебошад, тасвир менамояд.
Дар кори классикии Ч|. Форрестер дар аввалхои
солхои 70-ми асри 20 модели математикии динамикии
нахонй сохта шуда буд.
Системаи динамикй ин мачмуи принсип ва
методхои тахлили системахои коркарди тагйиротхо
буда, барои коркарди пешрафти ичтимоиву иктисодй
истифода бурда мешавад.
Барои хал намудани масъалахое, ки зухуроти
оммавй, конуниятхои алок;амандй, таравдиёт ва
тагйирёбии онхо давра ба давра ба амал меояд, ба
омузиши программасозии динамикй замина гузошт.
Сипае, программасозии динамикй барои тадкики
равандхои бисёрдаврагй, яъне равандхое, ки дар ягон
муддати муайян такрор мегарданд, истифода бурда
мешавад.
Методи программасозии динамикй хамчун методи
универсиалй барои халли масъалахои идоракунии
оптималй ва дигар масъалахои амалй истифода бурда
мешаванд.
Программасозии динамикй ин олоти математики
буда, барои ёфтани халхои оптималии масъалахои аз
якчанд зинахо иборатбуда ёрии амалй мерасонад.
Мафхуми методи программасозии динамикй бори
аввал соли 1950 аз тарафи олими америкой Ричард
Беллман пешкаш карда шудааст. Мохияти авддаи у
нисбати ин метод дар он буд, ки ало^амандии чараёни
ёфтани халли масъалахои мазкур аз халли масъалахои
пешина аст, иборат мебошад.
Дар программасозии динамикй муодиладои
Беллман яке аз чойхои намоёнро ишгол мекунанд.
Натичаи асосии ин акида масъалахои муносибро ба
шакли реккурсивй дохил намуда, хал кардани онхо
мебошад, яъне ёфтани халли аники масъалахо, ки
якчанд мархилахоро дарбар мегирад, дар кадом ин
мархила халли хусусии масъала муайян карданашро
нишон медихад.
У масъалахои тагйирёбиашон дорой хусусиятхои
дискрета ва бефосилагй
доштаро, бо воситаи
системахои муодилахо хал намудаасг.
Барои
мохияти
методи
программасозии
динамикиро дурустар дарк намудан, як масъалаи
конкретиро дида мебароем.
Фарз мекунем, ки ягон системам маълуми S дорой
холати аввалаи идоракунии S0 дорад. Дар он сурате,
ки дар он система дигаргуни дохил карда мешавад,
яъне тагйир додани холати система ин бо воситаи ягон
функсияи W (U ) ичро мегардад. Система аз холати S0
ба Sn е SR мегузарад. Барои ошкор сохтани масъала аз
мачмухои имконпазири идоракунии U-u
система
хамин гуна холати U* -и системаро интихоб карданаш
л озим аст, ки функсияи W (U*) дорой кимати оптималй
гардад, яъне холати система то кадри имкон бехтар
шавад.
Аз
нуктаи
назарияи
математики
дар
программасозии
динамикй
мафхуми
принсипи
оптималии масъалаи гузошташуда роли мухимро
мебозад.
Фарз мекунем, ки холати системаи S e S R дар ягон
кадами к (к = 1, л)
б о воситаи тагаирёб анд ахои
Х к = (х к, х к,...,х к) муайян гардидааст, ки он дар
натичаи татбики дигаргунсозии.
идоракунии
ик
системаи S e S Ri новобаста аз полати Х к~] ба Холати
Х к гузаштааст.
Бигузор, дар натичаи дигаргунсозии ик-и Кадами
к (к = 1, п) система бо ягон даромади муайян ё бурдбарй
таъмин бошад, ки он аз полати Х к~1-и идоракунии
интихобшудаи ик вобаста буда ва ба Wk(X*~{) баробар
аст, он гох, даромади умумй барои п сол баробар аст
ба
*• = £ И',(Хн ),и ,.
(1)
*=i
Хамин тавр, ду шартро гузоштем, ки масъалаи
мазкури программасозии динамикй цонеъ гардонида
шавад. Шарти аввала ин ба чорабинщои минбаъда
вобастагй надорад, дуйумин ин шарти замшавии
даромади функсияи максад аст.
Ичрошавии
шарти
аввалаи
масъалаи
программасозии динамикй имконияти. дар он
принсипи оптималии Беллманро истифода бурдан
дорад.
Пеш аз он стратегияи идоракунии оптималиро
муайян мекунем, Мухимияти идоракунии оптималй
гуфта
мачмуи
методи
идоракунидои
U* = (и,, иг, ...,и*)-ро меноманд, ки дар натичаи
татбики он системаи S е SR дар И кадами
тагйирёбиаш аз полати аввалаи Х (о) ба полати
охирони Х ^мегузарад ва боиси ДОрои кимати
калонтарин тудани функсияи (1) мегардад>
Принсипи оптималй. Новобаста аз холати
системаи идоракунандаи мазкур, хамил Тавр кадами
минбаъдаи идоракуниро интихоб намудан лозим аст,
ки бурдбарии полати аввалаи система, ба тагйирёбии
мусбии ояндаи система кумак расонида, баробари он
хамаи бурдбарихои гузашта, хозира ва ояндаи он зам
карда шавад. Бо ибораи дигар к,исми охирони он
траектория оптималй бошад.
Сипае,
мохияти
принсипи
оптималии
программасозии динамикиро чунин шахр додан
мумкин аст.
1. Асоси методи программасозии динамикиро
принсипи оптималй ташкил медихдд.
2. Хосияти асосии идоракунии оптималй, аз он
иборат аст, ки чй хеле кадом намуди холати аввалаи
система ва идоракунй
набошад, идоракунии
пасоянда бояд нисбат ба холати системаи пешина
оптималй бошад;
3. Идоракунии оптималй дар муддати вакти дилхох
аз холати пештараи система вобастагй надорад. Дар
ин маврид холати система дар хамин муддати вакт
муайян карда мешавад;
4. Аз ягон муддати вакти
cap карда кисми
траекторияи
оптималй
х(7,)то
x (tk) худаш
траекториям оптималиро ташкил мекунад.
Аз ин чунин хулоса баровардан мумкин аст, ки
агар
дар
ягон
муддати
вакт
идоракунй
гайриоптималй бошад, он гох фарк дар он аст, ки
идоракунии оптималиро бархам додан мумкин нест.
Сипае, барои пай дар пай муайян намудани
идоракунии
оптималй,
аввало
мухимияти
идоракунии оптималиро дар ягон муддати t е [*,,/*]
дар як чанд кадам дида баромадан лозим аст.
Х,амин тавр, аз гуфтахои дар боло зикр ёфта,
барои дар амал
хал намудани масъалахои
программасозии динамикй лозим аст, ки мохияти
принсипи оптималии онро бо забони математикй
ифода кунем.
Бо воситаи Fn(X ° ) даромади максималии дар п
кадамхои гузариши системаи S e SR аз холати аввалаи
X м ба холати охирони Х (к) бо татбики мухимият
ифода карда мешавад. Идоракунии U = (и,, и2,..., ип),
бо воситаи Fn_k( X k) даромади максималии дар вакти
гузариши вазъияти дилхохи Х (к) ба холати охирони
Х (п) бо татбики мухимияти идоракунии кадамхои
бокимондаи
п —к
ифода мекунад. Он гох
W
) =
в, ) + ... +
„,)J
(5)
“«•i
“ <+i
k = (0,л-1)
(6)
Ифодаи (6)-po принсипи оптималй ва баробарихои
функсионалии Беллман ё ин ки муносибатхои
реккурентй меноманд. Баробарии мазкурро истифода
бурда, халли масъалахои мазкури программасозии
динамикиро дида мебароем.
Фарз мекунем, ки дар баробарии (6) k = n - 1, он
гох чунин баробарии функеионалиро хосил мекунем:
F ^ X ^ = m s jw n{ X ^ \ un) + F 0( X M)]
Un
(7)
Дар ин баробарй хисоб мекунем, ки F0(X (,,)) маълум
аст. Акнун баробарии (7)-ро истифода бурда холатхои
имконпазири
системаи
S -ро
дар
кадамхои
п - 1,
Х \п~1) , Х (2 ' 2) , . . . , Х (”~т ) дида баромада,
халхои
и®(х1("~,)), и»Ol"_1>) , ..., и“ (дс1"Ч)) , ...
муайян
мекунем.
Мувофикдн, к,иматхои функсияи (7) баробар ба
F f i X W ) , F ^ X ^ ) , ..., F f i X 1:- " ) , ...,
Х,амин тавр, дар кадами п шартан идоракунии
оптималии вазъияти системаи S баъд аз хар кадамхои
п —\ муайян карда мешавад. Бо ибораи дигар, вазъияти
системаи S чй хеле ки набошад, маълум мешавад, ки
дар кадами п кадом карорро кабул кардан мумкин аст.
Баробарии функсионалиро барои к = п - 2 дида
мебароем:
Fг
) = m a x k ., (Л""-1' , н„_,) + F,
)]
(8)
“,,-1
Барои он ки кимати F2 -ро барои хамаи киматхои
имконпазири Х (л' 2) муайян шавад, лозим аст, ки
бештар киматхои ЖВ_,(ЛГ(,|"2), ми_,) ва F,(X (""l))-po
маълум намоем. Дар ин но кимати Fl( X <'”~l)) маълум
аст. Бинобар он лозим аст, ки киматхои
Wn_x{ X {n- 2\ u n_x) - Vo барои киматхои имконпазири
Х (п~2) мувофики идоракунии шартан оптималй муайян
намоем. Ин хисобкунихо имконият медиханд, ки
о
идоракунии шартан оптималии ип_х барои хар як
Х ("_2) муайян карда шавад.
Хдмин тавр пай дар пай ин равандро такрор
намуда, дар хар як кадами итератсионй дар кадом
холат будани системаи идоракунандаро муайян
намудан мумкин аст. Ин амалиёт аз кадами охирон то
кадами аввала ва баръакс ичро карда мешавад.
Махз аз ин: дар кадами аввал ба сифати
идоракунии
оптималии
и*
идоракунии шартан оптималии
кимати
ро
муайяни
кабул
менамоем. Дар кддами дуюм бошад холати X ' -ро, ки
вазъияти системаро ба системаи идоракунии и[
оварда мерасонад, муайян мекунем. Ин холат
идоракунии шартан оптималии муайяни и \ ифода
мекунад, ки дар он лахза оптималй хисобида мешавад.
Аз руи кимати и \ Х \ -ро хисоб мекунем, яъне кимати
*
м3 низ муайян карда метавонем ва хоказо. Дар
натичаи ин халли масъалаи гузошташударо меёбем,
яъне даромади имконпазири максималй ва мухимии
оптималии идоракунии U* -ро бо хар кадам, яъне дар
мархилахои гуногуни идоракунй U* = (и*, и \ , ..., и*п)
муайян карда мешавад.
Сипае, бо муайян намудани халли масъалахои
программасозии динамикй бо тарзи умуми шинос
гардидем. Аз ин гуфтахои дар боло зикр гардида
маълум шуд, ки масъалахои программасозии динамикй
хачман бузург буда вакти зиёдро талаб мекунад.
Бинобар он мо бо масъалахои на чандон мушкил
шинос мешавем.
Инак, масъалаи гузошташударо хал кунед:
Барои зиёд намудани хачми махсулоти талаботи
зиёд дошта, ба корхонахои истехсолкунандаи ин
намуди махсулот бо хачми S хазор сом. пул гузошта
шудааст.
Истифодабарии
истехсолкунандаи
г-ум
бо
микдори X. хазор сом. аз ин маблаги гузошташуда
афзоиши махсулотро, ки б о функсияи гайрихаттии
/ ( * , ) муайян шудааст, таъмин менамояд.
Таксимоти дурусти сармояи гузошташударо дар
байни истехсолкунандагон ёбед, ки онхо аз он
максимум имконияти зиёд кардани ин намуди
махсулот гарданд.
Хал. Гузориши математикии ин м асъала иборат аз
ёфтани кимати калонтарини функсияи
р)
1=1
дар дедати ичрошавии шартх,ои,
п
Е х<= 5
(ю)
/=1
х ,> 0
(/ = й о
(11)
аст.
Фарз мекунем, ки агар S = 700 хдзор сом. п= 3,
Киматх,ои X , ва / (X ,) бо намуди надвал дода шудааст.
Чадвали 1
Афзоиши истехсоли махсулот вобаста
Хдчми
хачми сармояи гузошташула
!
сармояи
Истехсолку
ИстехсолИсгехсолгузошта
нандаи
кунандаи
кущдцаи
Якум
Сеюм
Дунш
0
0
0
0
100
40
30
50
200
50
50
80
300
110
90
90
400
120
110
150
500
180
170
190
600
180
220
210
700
210
240
220
он гох % рои масъалаи программасозии динамикии
додашуда
муодилахои
реккурентии
Беллманро
истифода Фурда, чунин ифодахоро хосил мекунем.
А зи н р у :
QsAf(4*
<Р2т=тахУ'2(хг)+сР]( х - х 2)\
Q<,X2<.Х
<р„-1( X )
= m ax 1/»-1(x „ - i +<Рп-2 (х ОйХп^<Х
(12)
)]
Дар ин но функсияи % {Х) (/ = 1, и-1) афзоиши
максималии
истехсоли
махсулотро
мувофики
таксимоти сармояи гузошташуда дар байни i
истехсолкунандагон нишон медихдд. Бинобар он
кимати функсияи <рп(X ) факат барои як кимати X - S
хисоб карда мешавал, ки хачми сармояи гузошташуда
барои хамаи п истехсолкунандагон баробари S сом.
бошад.
Акнун
муносибати
реккурентии
(12)
ва
додашудахои чадвалро истифода бурда, муайян
намудани аввало шартан оптималй ва баъд таксимоти
оптималии сармояи гузошташуда шуруъ менамоем.
Сипае, кимати <р{(X ) барои хар як кимати X , ки
киматхои 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600 ва 700 -ро кабул
мекунад.
Бигузор X =0 бошад, он гох <рх(0) = 0. Акнун
бигузор X =100 бошад, он гох чадвалро истифода
бурда хосил мекунем.
X? =100
Дар ин чо катори якум ба халли Х 1 = 0, катори
дуюм бошад ба халли X t =100 мувофик меоянд.
о
<р, (200) = max • 30
.м
- = 50,
X t° = 200;
0
*>>(300) = max
30
■= 90,
50
X°=90;
J90l.
0
30
9 1(4 0 0 ) = max 50
= 110,
Л",0 = 400
= 170,
X ° = 500;
90
J n o !.
о
30
9 , ( 5 0 0 ) = max
50
90
110
fl 70 "I
0
30
50
И (600) = max 90
110
170
[fisolj
= 180, X? = 600;
<р, (700) = max
0
30
50
90
>= 210, Х,°'= 700/
110
170
180
210
Х,амин тавр дар халли аввала афзоиши истехсоли
махсулот таъмин карда намешавад, дар холати дуюм
бошад 30 хаз. сом.-ро ташкил медихад, Х ° =100 Бо
хамин тартиб барои дигар киматхои X , халли
оптималиро муайян мекунем. Натичаи хисобкунй ва
киматхои оптималии мувофикро ба намуди чадвал
менависем.
Афзоиши
Хачми сармояи максимали (рх(X )
барои
истехсолкунандаи истехсоли
махсулот
якум чудошуда
Хачми
шартии
оптималии сармоя
барои
истехсолкунандаи
якум.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
100
200
300
400
500
660
700
0
30
50
90
110
170
1
1
О4!
2 '1
210
Додашудадои чадвалхои 1 ва 2-ро истифода бурда
хачмн оптималии сармояи гузошташуда барои
истехсолкунандаи 2 хосил мекунем:
(■
х) =ш ах И/г(х 2)+4>i(х ~Х2]}
ОйХг<.Х
барои хамаи кдматхои имконпазири
X (0, 100, 200, 300,400, 500,600, 700)
р2(0) = 0;
Х \ = 0;
[0 + 30 1
P l(100) = n m | rjo + ol| = 50,
Х ° =100;
0 + 50
<р2(200) = шах [~50 + 30"| = 80,
80 + 0
0 + 90
50 + 50
<р2(300) = шах
[~80 + 30"1
= 110
X I =100;
X I = 200;
90 + 0
0 + 110
50 + 90
<р2 (400) = шах 80 + 50
90 + 30
[150 + 0 ]
150,
Х 2 = 400;
<р2(500)
0 + 170
50 + 110
80 + 90
= 190,
90 + 50
150 + 30
[l90 + 0j[
0 + 180
[50 +170]
80 + 110
(р2 (600) = max- 90 + 90
= 220,
150 + 50
190 + 30
210 + 0
Х ° = 500;
Х°г =100;
0 + 210
50 + 180
[80 + 170]
<p2 (700) = max
90 + 110
150 + 90
190 + 50
210 + 30
220 + 0
= 250,
X °2 = 200.
Ин в д о и муайян карда шудаи хачми шартан
оптималиро барои истехсолкунандаи дуюм ба чадвали
навбатй чойгир мекунем:
Х^чми
сармояи Афзоиши
барои
ду максимали
истехсолкунандаичуд 9х(Х)
ошуда
истехсоли
махсулот
0
0
100
50
200
80
300
110
400
150
500
190
600
220
700
250
Х,ачми
шартии
оптималии сармоя
барои
истехсолкунандаи
дуюм. Х °
0
100
100
200
400
500
100
200
<j93(Х )= уьж \/ъ(Х ъ) + <р2{ Х - Х ъ)\
osjrjsjf
К^шатхои чадвалхои 1 ва 2-ро истифода бурда, кимати
сармояи чудошавандаро барои истехсолкунандаи
корхонаи сеюм хдсоб мекунем:
Азбаски шумораи корхонахо баробари
он гох
факат барои X = 700 хисоб мекунем:
0 + 250
40 + 220
50 + 190
110 + 150
= 270,
120 + 110
180 + 80
[220 + 50]
240 + 0
Х3° = 600.
Дар хакикдт, афзоиши максималии истехсоли
махсулот 270 хазор сом.-ро ташкил медихад. Ин дар он
холате чой дорад, агар ба истехсолкунандаи сеюм
бОООООсом., ба истехсолкунандаи якум ва дуюм бошад
100000 сом. пул чудо карда шавад
Х,амин тавр, таксимоти сармоя барои 3 корхона ба
чо оварда шуд.
Боби XIV. Моделсозии имитатсионй
14.1. Мафхуми моделхои имитатсионй
Дар солхои охир дар тахлили амалиёт моделхои
аналитикй ва статистики васеъ истифода бурда
мешаванд. Хдр як намуди ин моделхо мохиятан хам
имтиёз ва хам шомили камбудихо мебошанд.
Моделхои аналитикй дагалтар, дар вакти тахлил
факторхои кам истифода бурда мешавад, хама вакт
норасогихо ва содцакунии масъаларо дидан мумкин
аст. Аммо барои халли масъала ин моделхо к,обили
мушохида ва тахлили аёнтар, холатхои тагийрёбии
мунтазами амалхоро ашщтар инъикос мекунанд. Аз
хама мухимаш ин аст, ки ин моделхо бештар барои
ёфтани халли оптималии масъалаи гузошташуда
истифода бурда мешаванд.
Моделхои статистикй ашщтар, муфассалтар,
хатогихои дагалро камтар рох медихад, бо воситаи
факторхои зиёд масъала тахлил карда мешавад. Аммо
ин моделхо низ аз камбуди холй нестанд, онхо бисёр
калон, барои халли масъала вакт ва мехнати зиёдро
талаб мекунанд.
Аз хама бехтар, барои халли масъалахои мураккаб,
бо методи омехта, яъне бо хамчоягии методхои
моделсозии аналитикй ва статистикй хал намудани
масъалаи
гузошташуда мебошад.
Моделхои
аналитикй ба шакли умум дароварда барои еахехтар
намудани гузориши масъала кумак мерасонанд. Барои
аниктар
тахлил
намудани
масъала
моделхои
статистикй ба моделхои аналитикй чур карда мешавад.
Дар ин холат масъаларо пурратар бо моделхои
аналитикй ва статистикй ифода намуда, барои аниктар
ноил гардидан ба натичахои сахех шомил мешавем.
Дар навбати худ, барои инъикоси ин моделхои
умумикардашудаи халли масъалахо дар компютерхо
синфи нави моделхо - моделхои имитатсионй
(такдидкунй) дар замони хозира пайдо гардидааст.
Бо воситаи моделхои имитатсионй дар компютерхо
экспериментхо гузаронида, холатхои ногувори халли
масъала ва харчи зиёдро бартараф намудан мумкин
аст.
Дар моделхои имитатсионй тагйиротхоро
дар
раванди амалиёт ворид кардан мумкин аст, яъне шахси
идоракунандаи он амалиёт, дар вак,ти кор бо
компютерхо дигаргунихоро ворид карда метавонад.
Х,оло оиди моделхои имитатсионй нуктаи назарияи
ягона мавчуд нест. Акидахои гуногун дойр ба мазмун,
мохияти он мавчуданд:
Модели имйтатсионй гуфта, бо мафхуми классикй,
модели математикиро меноманд.
Ибораи модели имитатсионй хамчун истйлох(лугат)
дар амал чой дошта, бо воситаи дигар моделхои
математикй
ба
мисли
бурдбарии
бозихо,
экспериментхо дар компютерхо гузаронида мешавад.
Фаркдяти моделхои имитатсионй аз дигар
моделхои математикй дар он аст, ки тавсифи масъала
дар моделхои имитатсионй муфассалтар ва фасехтар
мебошад.
Моделсозии имитатсионй имконият медихад, ки
ходисахо, амалиётхо, дигаргунихое, ки дар амал
мебошанд, цариб, ки айнан, ба шакли модел дароварда
бо онхо экспериментхои компютерй ба чо оварда
мешаванд.
Моделсозии имитатсионй ин усули тадкики
амалиёте, ки системаи омухташаванда бо моделхои
математики ифода карда шуда, раванди он амалиётро
таклид (инъикос) мекунад.
Бо ибораи дигар, гузаронидани экспериментхои
амалиро бо компютерхо имитатсиякунонй хам
меноманд.
Дар баъзе холатхо моделсозии имитатсиониро
барои халхои хусусии ададй, бо методхои ададй
чойгиранда хам меноманд.
Аз ин ру, моделсозии имитатсионй умуман методи
хаматарафа буда барои тахлили ягон система, ки
амалиёти он дар холати арзиши баланд доштани
экспериментхо ё халли масъалахои гузошташуда ё
ногувор будани онхо дар асл истифода бурда
мешаванд.
Моделсозии
имитатсиониро
барои
халли
масъалахои мураккаби сохахои гуногуни фаъолияти
инсоният, аз он чумла:
- Амалиёти савдо;
- Корхои харбй, амалиётхои чангй;
- Ч|араёни инкишофи ахолй;
- ^араёни харакати рох;
- Инфраструктураи техноогияи информатсионй;
- Иктисодиёти тандурустй;
- Масъалахои саломатии тандурустй;
- Марказхои хизматрасонй;
- Экосистема;
- Масъалахои кайхонй;
- Ракобатнокии бозоргонй;
- Истехсолот;
- Логистика ва хоказохо истифода бурда мешавад.
Имитатсия, хамчун
усули халли масъалахои
фачй(нетривиалй), инкишофи худро бо тараккиёт ва
пайдоиши мошинахои электронй-хисоббарорй дар
солхои 1950-1960, асос гузошта, минбаъд хамчун илмй
замонавй шухрат пайдо кард. Дар бисёр холатхо дар
моделсозии имитатсионй методи:
1) Монте-Карло (методи санчиши статистикй);
2) Методи моделсозии имитатсионй (моделсозии
статистикй), истифода бурда мешаванд.
Дар солхои охир моделхои имитатсионй дар
сохахои гуногуни илму техника васеъ истифода шуда,
бо воситаи программахо,- татбики онхо дар
компютерхо бештар дида мешавад.
Программахои компютерии дар асоси моделхои
имитатсионй тартиб додашуда, ба монанди « Math
Works. Matlab and Simulink for Tehnological Computing»,
«Triad. Net», «Any Logic» ва хоказохо мебошанд.
Боби XV. Баъзе муодила^ои балансы.
15.1. Фоизх;ои мураккаб
М аблапузории
дарозмудцат(кутохмуддат)
ба
банкхо, додани маблаг ба шахсони алохида, ба дигар
нуктахои гуногун, додани карз, яъне маблаггузорй ба
ягон иншоот ва гайрахо фоидаовар аст.
Имтиёзи
маблаги гузошташударо бо фоизхо
муайян карда мешавад.
Фоиз ин як микдор пуле мебошад, ки ба болои
капитали кредитор, ки карзгиранда ин капиталро
истифода мебарад, дода мешавад. Мафхуми фоиз на
факат дар карздихиву карзгирй вучуд дорад, он дар
инвеститсия,
капиталгузорй, байни доду гирифти
мо лию пулй инчунин чой дорад.
Фарз мекунем, ки вомгир ба банк ягон микдор
пули р%о -и солона ( маблаг барои чамъ намудан ва аз
хисоби фоиз зиёд кардани он)-ро гузошт. Пули
гузоштаи уро барои муайянй бо х0- ишора мекунем.
Маълум аст, ки баъд аз як сол пули вомгир ба
= x„ 1 + х] = x0 + x0 ■
100 .
100
баробар
мегардад.
Боз баъд аз 1 соли гузаро он ба
Х2 = Х1 + Х1
100
= х, 1+
-
100
= *оМ +
100
Хк ~ Х0 1 + -
х0(1+— у
100
0 100
Мисол. Муйсафед баъди таваллуди наберааш ба
банк як микдор маблагро аз руи 3% фоизи солона
гузошт. Вак,те ки набераи у ба синни 18 солагй
мерасад, ба дисоби наберааш дар банк 100.000 сомони
пул чамъ мешавад. Талаб карда мешавад, ки муйсафед
кадом микдор пулро ба банк гузошта буд.
Аз руи шарти масъала:
= х 0(1 + 0,03)18 = х 0 -1,0318
дар ин чо
х ]8 = 1ОООООсомон х 0 = х18/ (1+ 0,3) 18
х0 = 1 0 0 /1 ,0318 = 58.739 сом.
Умуман,
хп = 1+
100
Дар ин холат мегуянд, ки бузургии х 0 - ро аз
дисоби бузургии хК бо роди дисконта
(discoimt калимаи англисй буда маънояш аз он музд маблаги
нигохдошташуда, ё кам кардашуда ) досил карда ва
онро кимати дисконтии хк меноманд.
Аз ин мисол маълум гардид, ки хачми аввалаи пул бо
воситаи дисконтиронидани
он хисоб карда шуда ва
х ,8 = 100000 сомони, мешавад.
Фарз мекунем, ки хдм кдрздихднда ва х,ам
карзгиранда дар бораи адои пардохт, ахду паймон
намуданд.
Кредит бо микдор,и 10 млн сомонй дар муддати 6
сол то 9 % ставкаи(карододи маблага) фоизии солона
гирифта мешавад. Аз руи мулок,от аз х,исоби пардохти
кредит баъд аз 3 сол ба кредитор 4млн. сом., боз баъд
аз 1сол дигар 2млн сомонй, ва боз баъд аз 1соли дигар
Змлн. сомонй пул пардохт карда мешавад.
Кадом микдор пулро то бсоли пурра пардохт
кардан лозим аст, то ки карз пурра адо карда шавад.
Пардохти баризофа аз дисоби дисконтиронидан барои
кредитро
фоиз
меноманд.
Инро
ба
таври
Расми 1
графики чунин тасвир менамоянд.
Барои ин суммахои гузоришро мех,исобем.
у 0 = 10,0,
у 3 = 4,0,
у 4 = 2,0, у 5 = 3,0,
у ь-1
яъне
онхоро дисконта мекунем. Дар натича чунин
хосил мекунем.
10,0;
4,0 • 10,09-3 ;
2,0 • 10,09-4;
3,0 •
10,09-5;
Уб.\,0 Г 6
Бузургии у 6 шарти пурраи пардохти кредит мебошад.
10,0 = 4,0 •1,09~3 + 2,0 •\,09~* +3,0 •1,-0,9“5 + у 6 •1,09“6
аз ин чо у 6 = 5944680 сомони.
Бо хамин тарик, тартиби ахди пардохти кредита б а
4млн. 944 хаз. 680 сом., яъне кариб ба нисфи пули
казгирифта баробарро ташкил медихад.
Карзро боз ба усули дигар хам низ пардохт намудан
мумкин аст.
Дар ин чо
У \ = У 2 - Уг = >>4 = J's = 0
Маънои
иктисодии он, яъне хар сол бо мивдори муайяни
якхела карзро пардохт кардан мебошад.
у 6 = 10,0-1,096 =16771000 сом.
Дар йн холат
фоизи пардохт зиёдтар мешавад ва'ба 6 млн.771 хазор
сомонро ташкил медихад.
Умуман, дар бисёр вакт пардохти карз хдр
солонаашро якхела пардохт намуданро бештар
кулайтар хисобида мешавад.
Он гох адои пардохт чунин хисоб карда мешавад:
10,0=
XI, 09“*+ 1,09~2 + 1-,09~3 + 1,09“4 + 1,09"5 +1,09^) = 2229200
сомон мешавад.
Дар ин чо,
у = 2229200
мешавад.
15.3. Баробарии балансй
Фарз мекунем, ки карзгиранда карзро кием ба
кием аз руи ставкаи 9% - солона аз кредитор мегирад,
яку якбора Юмлн. сомонй ((>>0 = -10).
Баъд аз як сол 8 млн. сомон, (у, = -8) баъд аз ду сол
5млн. (уг = -5) тартиби пардохти кредит ба чунин
фасл доро мегардад:
у 5 = 4млн.
у 6 = 6,
у п = 9,
уг =1,
у 9 = 5,
=?
Ую = 5 ;
Уи
1/т=9
у,= 7
trt = 6
Vs = 4
V»
1ft*=-8
— ~5
Уi o — 7
V» = 5
VI» =— ?
10 + 8q ' + 5 q 3 = 4 q 5 + 6q 6 + 9 q 7 + 7q8 + 5 q 9 + 7q’°
+ y It q'11 дар ин 40.
. q = 1 + 0,01 p = 1,09
Дар ин цо, y 2 = y 4 = 0
Дар натича, баробариро х,осил мекунем.
(- 10)q° + (- 8) q ‘ + 0 ■д '2 + (- 5 )q 3 + 0 - q 4 + 4q's + 6q 6
+ 9q' 7 + 4q'8 + 5 q 10 + y, • q" =0
Баъд аз х,исоби ин баробарй у,, - 6,7 млн сомониро
ташкил медщад.
Бо намуди умуми, ки пардохти он п солро дарбар
мегирад, чунин баробарии балансй чой дорад. Бигузор
у к - микдори пули пардохтшуда дар охири соли к, к 2:
О (агар у к манфй бошад, онро хамчунин кредит тавзех
дода мешавад).
Баробарй балансиро барои п сол чунин
тавзех
медихем:
Уо + Я ' ХУ1+--- + <1'пУг, = °
(О
дарин чо
д = 1+ 0,01р
яъне суммаи хамаи кредитхо дисконта ва хакки
пардохти баробарй нул аст.
Дар ин уолат р% нормой (меъёри) фоиз, ё ставкой дисконт, ё нормаи
дисконта меноманд.
15.4. Муодила^ои балансй
Методи дисконтро барои бахо
ба роххои
самаранокии сармоягузории иктисодй тавзех додан
мумкин аст.
Бигузор у к - даромади муайяни корхона дар соли
к (кимати манфии он хамчун кредит тавзех дода
мешавад).
Баробарии (1) - ро истифода бурда
Уо +Я~'Ух +•■• + ? ' > „ = о
(2)
ва инчунин бузургидои
у 1,у 2,...у и- ро муайян
хисобида бузургии
д (бузургин р - ро инчунин)
муайян мекунем.
Дар ин но баробарии (2)-ро
муодилаи балансй меноманд.
Индекси даромаднокй, ё нормам фоизи дохилй аз
хисоби сармоягузории ставкаи дисконтй
муайян
гардида, бо баробари он суммаи хамаи сармояи харч
гардида ва даромади дисконтиронидашуда баробари
нул мебошад.
Нишона: P.I. (кутохтар аз frqfitability Index) хамин
тавр щшати q =q*, ки баробари ин (2)-ро к;онеъ
мегардонад, мо
бо ин индекси даромаднокиро
муайян мекунем.
Гузориши сармоя манфиатнок аст, агар
Р. 1.215% бошад.
Инак, бигузор
Уъ>У\>—У»
вариантхои харчи сармоя ва даромадхои ба назар
дошта бошад.
Барои он ки бузургии
р . 1 -ро ёбем, муодилаи
балансй
Уо +С1 ХУ>+,■•■,(! "у" = 0 тартиб медихем.
Бигузор q=q*- халли муодила аст.
Он гох,
P. I. = 100
Мытой 4. Дар расми 5, харч» пули ва даромади
назардошг нишон дода шудааст.
Уо
=-&>Уг = ~%Уз = -4,У4 ^%Уз = 6, у 6 =12, у 7 =
= 15, y s = 147* = 13, у 10 = 4,79
ва
дар ин чо г = q 'x = (l + 0,01p) 1
Аз баробарй охирон, чунин ифодаро хосил менамоем.
г* = 0,862 ва д* = — = 1,16
Пас,
P. I. = 1 6 %
у. = 16
уг==15
№-12
у* = 13
Vs = 6
Vio>
S/S — - 4
У0=-6
yi=s —8
Расми 5.
Масъала^оро хал кунед.
1. Ба банк як микдор пул аз руи а% - солона
гузошта шуда буд. Баъд аз 4 сол дар хисоби банк
6 млн. сом. пул чамъ гардидааст. Пули аввалин
гузошташуда чанд сумро ташкил мекард.
Чавоб:
----- —-----(1 + 0,01а)"
2. Шарти масъала дар расми 6 ифода гардидааст.
Уо = ~(а + ь )’ п - 1 ,Р~2%, у ъ = а у 5 =Ь Ут-Ч
1й = а
**П Ь
— |— |— И— |— 0— |—
*п ?
—
J .I
I I I I 1»='
t/o=—(в+Ь )
1 й = -(а + 6)
Расми 6.
Расми 7.
Чавоб: 1,024(1,023 -1 )а + 1,022(1,025 -1 )Ъ.
3. Шарти масъала дар расми 7 ифода гардидааст.
-w
,г г
Л
0,02 1,027 ,
р-2% , у=? Чавоб: у = ------ =-------(а + b).
s
ij02 -1
’
4. Шарти масъала дар расми 8 ифода гардидааст.
Уо =? -(в + Ь),
Уг =
УА = 4 b; P.I. =?
из * 2а
|М——(а -+- Ь)
Дйвоб:
Расми 8.
Р.1 . =
Фирмахо,
корхонахои
истехсолкунанда,
анборхонахо, заводу фабрикахо, нуктахои савдой
асосан захирахои гуногунро мекунанд. Захира карда
мешавад ашёи хом, махсулоти тайёркардашуда,
махсулотхои фурушй. Аз нуктаи назари самаранокии
иктисодй захирахо мувофики табъ на он кадар зиёд ва
на он кадар кам бояд бошад, аз барои он ки хар як
моли захирашаванда аз хусусиятхои ба худ хосаш
харчхои
заруриро талаб мекунад. Ин харчхо ба
монанди барои нигох доштани мол, тадричан хаста
шудани кимати мол, гарм кардан ё хунук шудани
анбор ва хоказохо мухдм мебошад. Дар баъзе холатхо
лозим меояд, ки аз гармкунакхо ё хунуккунакхо
истифода бурда шавад, ки он хам ба сифати харч
хисобида мешавад.
Моли захиракунанда зиёд бошад, дам харчи
захиракунй чой дорад, ё кам бошад, хам барои онро
тез-тез пурра сохтан низ як микдор харочот талаб
карда мешавад.
Сипае, барои муайян кардани вобастагии ин
омилхо ва раванди муътариши он аз илми идоракунй,
ки он бо усулхои математикй ошкор гардидааст,
истифода бурда мешавад.
Якчанд моделхои мукаррар шудаи идоракунии
захирахоро дида мебароем.
Модели идоракунии захирахо гуфта, пуркунии
захирахо дар ягон муддати муцаррар гардидаро
меноманд. Барои ин давраи нащыасозиро ба п щемхо
(рузхо, мохдо, солхо) таксим карда мешавад.
Донишхо оиди идоракунии захирах;о, хангоми
тахеили зухуротхои гуногуни байни хам вобаста аст,
васеъ истифода бурда мешавад.
Масалан, аз харчи захиракунии
хачми бори
захиракунанда, вакти нигохдорй, ворид гардидан ва
хоричшавии он вобаста аст. Роли асосиро дар мавриди
маълумотхои овардашуда функсияи тагирёбии захира
мебозад. Ин мулокоти байни микдори молиро дар
анбор (бо Q ишора менамоем). Ин
аз сиклхои
такроршаванда зиёд гардидани мол дар анбори дар
байни ду холати ноёбй ной дошта метавонад. Порчаи
вертикали зиёдшавии лахзагии захираи молро нишон
медихад. Барои халли масъалаи ба эрод гирифташуда,
пеш аз хама харочотхои солонаи онро бо бузургихои
С, d, S, h, q ифода менамоем.
Параметрхои С, D, S, h - ро муайян мехисобем.
Масъалаи асосии идоракунии захирахо иборат аз он
аст, ки параметри q - ро хамин тавре интихоб намоем,
ки кимати харочотхои солонаи он минималй гардад.
A. Модели махсулнокии солонаи талаботи мол
баробари d, нархи як вохиди мол баробари С он гох
арзиши умумии мол дар як сол баробар аст ба C.d.
Б. Модели як микдор (партия) и мол q - вохидро
ташкил медихад, талаботи солона баробари d, он гох
микдори таъминоти мол баробар аст ба d / q, дар
муддати сол харочотхои таъсиси захираи мол
баробар аст ба
—s
Я
B. Сатхи миёнаи захираи мол ба намуди графикй
ин нисбати масохати он ба давомнокии сиклй аст.
Ин сатхи миёнаи он ба q / 2 (дар расми як бо
каторнукта ишора шудааст). Азбаски харочотхои
солонаи нигохдории вохиди мол ба h баробар аст, он
гох харочоти умумй баробар аст ба
Хамин тавр, харочоти умумий
формулаи
C = Cd + — + ^
q
2
^ h.
С - ро аз руи
Расми 1.
Расми 2.
хисоб карда мешавад.
Бори дигар таъкид менамоем, ки дар доираи ин
модел, параметрхои С, d, S, h муайян буда, лозим
аст, он хамин гуна ифодаи q* - ро ёфтан, то он ки
функсияи С = С ( q ), сохдби кимати минималй дар
мачмуи ададхои q > О, фацат дар хамон нуцтаи q*
гардад.
Графики функсияи С = С ( q ) дар расми 2 нишон
дода шудааст. Барои ёфтани нук,таи минималии q* аз
функсияи С = С ( q ) хосилаи онро ошкорменамоем.
СЧ<7) = М ) Ч
C l(q) = 0
мекунем.
Дар ин но
q)
\ 2 )
а
q*
2
ба нул баробар намуда,
хосил
- 4 + ^ = 0.
д2
2
q* - ро ёфтан мумкин аст.
2 Sd
Ч* =
Формулаи хосил шударо. (Ьормулаи оптималии захира ё
ин ки (Ьормулаи Харрис ( Harris) меноманд.
Мисол. Бигузор махсулотнокии талаботи мухтадам
ба 1000 У. Е. вохиди мол дар як сол баробар бошад.
Харочотхои таъсиси он ба 10
У. Е., харочоти
нигоддорй ба 4 У. Е., нархи мол ба 5 У. Е. баробар
бошад.
Андозаи оптималии як партия ( микдори ) молро
муайян намоед, ки ин система модели асосиро конеъ
гардонида тавонад.
Хал. Дода шудааст:
d = 1000,
5 = 70, h = 4, С = 5.
Харочоти умумй.
.
, sd qh
10000 »
С(<у) —cd н----- !---- —5000 н---------- 1- 2q,
q
2
q
он год
c .(?) = J°o°» = 2 _i°o° » +2 = o,
Ч__
Ч
яъне
q* = V 5 0 0 0 « Я .
Кайд. Андозаи оптималии супориши талаботро
ёфта, талаботи микдори оптималии таъминоти молро
дар як сол п* ва давомнокии сиклии тагийрёбии
захираро муайян намудан мумкин аст.
* d
ЮОО
г г = — = ------ «14,
q*
71
.
365
365
t* = -----= ------« 26
п*
14
_
пуз.
УУ
15.6.Модели таъминоти исте^солот
Дар модели асосй нишон дода будем, ки омилдои
дар модел буда дамчун бузургдои ладзагй к,абул карда
шудааст. Ин фарзият дуруст аст, агар мол дар муддати
1 шабонаруз баррасй гардонида шавад. Агар моли
корхонаи амалкунанда аз руй созишнома баррасй
нагардонад, он год модели асосиро дигаргун сохтан
лозим меояд. Дар ин долат ба параметрдои C,D,S, ва h
б оз як параметри дигар параметри мадсулнокии
истехсолотро бо самти истехсолоти Р (вохиди мол дар
як сол) дохил намудан лозим аст. Фарз мекунем, ки ин
параметр мукарраргардида ва доимй аст. Ин моделро
модели таъминоти истехсоли меноманд. Бузургии q монанди пешина андозаи як партияи молро ифода
менамояд. Дар аввали хар як сикл “пайвастшвй ”
давом медихад бо истехсолот, ки он то мухлат - q
вохиди чамъ
гардидани мол. Баъд аз он чамъ
намудани молро катъ мегардонем, то он даме ки боз ба
он талаботпайдо нагардад.
Графики тагйирёбии функсияи захиракунй дар расми
3 нишондода шудааст.
Расми 3
Харочоти умумии C (q), иборат аз се кием аст.
А . Арзиши умумии мол дар як сол баробар аст ба
Б. Харочоти умумин ташаккулёбии солона
sd
cd.
Я
В. Харочот барои нигохдории мол чунин хисоб карда 1
мешавад,
Бигузор х - вакти барраси намудани мол (расми
3). Дар хамин муддат пурракунии мол (бо зудии р),
Хам сарфи захираи мол (бо зудии d) ба амал оварда
мешавад. Афзуншавии захиракунй бо сурьати р - d б а
амал меояд. Бинобар он пурракунии захираи мол дар
охир дорой кимати максималии
М = ( P - d y т (кайд мекунем, ки М < q ) мегардад.
Аз тарафи дигар
Рт - q.
А зин 40
M = (p-d)—
Р
(дар мудлати Т истедсолкунанда бо мадсулнокии р,
q водиди мол истедсол намуд).
Сатди миёнаи захира, дам дар модели асосй, ба нисфи
кдмати максималии он, яъне М / 2 баробар аст.
Хдмин тавр, харочоти нигохдории захираи мол
баробар ба
——
2р
Харочоти умумй аз руи формулаи
q
2р
дисоб карда мешавад.
Андозаи оптималии воридоти захираи молро аз ин
баробарй досил мекунем.
s d (p - d ) h
q2
2р
А зин чо
q* = ) - ^ P s<*
N{ p - d ) h
Мисол. Мадсулнокии мунтазами талабот ба
моли захирашуда 1дазор водидро дар 1сол ташкил
мекунад. Моли аз конвейер, ки мадсулнокии он дар
1сол 5 дазор водидро ташкил мекунад, баррасй
карда мешавад. Харочотдои ташкилкунандаи он 10
У. Е, харочотдои нигоддорй - 2 У. Е, арзиши мол 5
У. Е, ро ташкил медидад. Андозаи оптимали як
партияи захиракунии молро дисоб кунед.
Хал. Дода шуда аст. d - 1000, Р - 5000, s = 10,
h = 2, с =5.
Пас,
sd ( p - d ) q h
1000 4
C(q) = cd + — + -^----- J—±— = 5000 + ---- - + - q
q
2p
q
5
10000 4 .
С (q) = ------— +
______ Г
Азин но
5
q* = -]j10000— *112
Кайд.
оптималии талаботи молро ёфта,
микдори оптималии таъминоти молро барои и*сол ва
давомнокии мувофики сиклии Т * - ро ва пурракунии
захира t * - ро муайян намудан мумкин аст.
*
d
1000
п* = — = ------ « 9 ,
q*
112
=
=
3 6 5 ^1 0 руз.
р
5000
„
365 365
.п
/* = —- = -----« 4 1 руз.
п*
9
15.7. Модели таъминот бо тах,риф
Яке аз вазифахои тахрифи моделхои математикй
ин муайян намудани вобастагии омилхои таъминоти
молй ва нарххои имтиёзнокии таъминоти он дар
захирачойхо мебошад, агар хачми мол бехад калон
бошад. Бо ибораи дигар гуем, агар хачми партияи мол
q аз ягон адади додашудаи q 0, хангоми С0 < С, С0 аз арзиши моли баррасикунанда вобастагй дошта
бошад, он гох функсияи харочоти умумии C (q),
, sd qh
cd + — + — ,
Я
2
C{q) =
, s d 2 qh
c0d + -----+ — ,
q < q 0,
q > q 0.
Бо осонй дидан мумкин аст, ки функсияи C(q)
дар нуктаи q = q0 нуктаи каниши хар ду функсияи
f ( q ) = cd + — + &
q
2
.г / ч
j s d qh
/о (9 ) = с0^ + — + ^
q
2
-ро дар, нуктаи минималй хднгоми
со*иб мегардад, яъне
f ' i q ) = / 0(#) = 0 ,
Барои муайян намудани он ки кадом микдори
андозаи воридшавии бор оптималй аст, кимати
функсияи C(q )-ро дар -нук,тахои q ва q 0 мукойса
кардан лозим аст. Агар функсияи C(q) ба кимати
хурдтарин дар яке аз ин нуктахо содиб гардад, он гох,
як микдор дастаи бор дорой кимати оптималй б.о
андозаи q* гашта, дар модели тахфилй аз, будааш
арзонкардашударо дарбар мегирад.
Кайд. Х,амин тавр
шуданаш мумкин аст, ки
C{ q) = C( q0), он гох;
q* = q = q 0 мешавад.
Мисол. Фарз мекунем, ки мадсулнокии мунтазами
талабот 1000 водид молро дар як сол ташкил медидад.
Харочотдои ташкилии он ба 10 у.е., харчи барои
нигоддорй -4 у.е.- ро ташкил медидад. Нарди як водиди
мол ба 5 у.е., андозаи 1 дастаи бор аз 500 водид камтар
аст. Нарди он бошад то 4у.е. кам карда мешавад.
Андозаи оптималии як микдор дастаи молро муайян
намоед.
Хал. Д арин но
d = 1000, S = 0, А = 4, с = 5 q0 = 500, С0 =4
Харочоти умумии он бо функсияи C(q) муайян карда
мешавад.
C(q) =
f ( q ) = 5000+ ^ ^ - + 2q
Ч
q < 500,
/о (ч) = 4000 +1222® + 2q
q > 500.
Ч
Нуктаи минимуми локалиро муайян мекунем, яъне
10000
f \ q ) - / 0 (q) = ------— + 2 = 0, аз ин 40 q = л/5000 » 71.
Ч
ч2
Азбаски q < 500, он год
C(q) = f ( q ) = /(71) * 5000 +
Дар нуктаи q = q0
+ 2 •71 * 5283 .
досил мекунем:
C(q0) = Л(Чо) = /о (500) * 4000 + ^ ~
Бо дамин тарик
)
q' =500.
346
+ 2 •500 « 5020.
Бигузор
системаи иктисодй, ки ' аз и-сохаи
истехсоли п намуди махсулотхоро истехсолкунанда
мавчуд бошад, илова бар он факдт хар як соха як
намуди махсулотро истехсол мекунад.
Фарз мекунем, ки сохаи истехсолкунандаи k
барои як вохид истехсоли махсулоти намуди к , a ik
микдор вохид масолехн махсулоти истехсолкунандаи
i -ум лозим аст. Мувофикан онро ба намуди чадвал
шабохат медихем.
Чадвали 1
Махсуло • ••
Махсуло . ..
Махсулот
ти к-уы
ти 1-ум
и и-ум
сохаи 1
♦•# •• •
сохаи /
• • • •• •
сохаи п
ап
...
•••
ап
•••
а п\
<*1к
. ..
• ••
• ••
...
а ,к
. ..
. ..
• ■•
°пк
°1п
•••
«ж
•••
...
f ап ...а 1к ...а 1п^
ё кутохтар
А = “/1
а , . . . a/*
L •...а.
•■“in
Vя»! ■■■
■■’а ш. J
Матрисаи гайри манфии уосилшударо матрисаи
хароцоти молию пули ё ки матрисаи технологи
меноманд.
Кайд. Матрисаи А дар бораи структураи
алокамандии байнисохавй, дар бораи технологияи
истедсолоти чамъиятй шабохат дода ва барои
накдгасозии кутохмуддат ва дарозмудцат истифода
бурда мешавад.
Илова бар он фарз мекунем, ки технологияи он
тагйирнаёбанда буда инчунин тарзи истехсолот бо
хамдигар бечунучаро вобастааст.
Агар барои истехсоли махсулоти к
а1к
вохид масолех лозим бошад, он гох барои истехсоли
хк
вохид махсулоти намуди
к
a tkx k
вохид
масолехи намуди I лозим аст.
Фарз мекунем, ки дар ягон муддати кайд гардида,
(хафта, мох, квартал, сол) х, вохид махсулоти намуди
1, х2 вохид намуди 2,
х „вохид махсулоти намуди п
истехсол карда шудааст.
Х,амин тартиб, сутуни
ЧХпу
-ро сутуни барориши махсулот ё речаи кори сохахо
меноманд. Дар ин сутуни додашудаи барориши
махсулоти хк , мачмуи харочотхои махсулоти г дар
доираи истехсолшавй мебошад, баробар ба
П
*=i
мебошад.
Аз ин бузургихо мачмуи сутуни
харочотхои
молию пулии доираи истехсоли, чунин шафохат дода
мешавад.
Матрисаи харочоти молию пули Ах «> 0 -ро,
махсулнок меноманд, агар хамин гуна сутуни
барориши махсулоти х > 0 ёфт шавад, ки барои он
нобаробарии
Ах<х
чой дошта бошад. Ин
нобаробарй онро шабохат медихад, ки дар системаи
иктисодй харочот барои истехсол намудани махсулот
аз нархи махсулоти хом зиёд набошад. Бо ибораи
дигар, дар речаи доираи истехсолот сутуни барзиёдии
махсулотро баргузор месозад. X - А Х > 0.
Саволе ба миён омаданаш мумкин ки матритсаи
хосилшудаи ин доираи истехсолот махсулнок аст ё не, ё
ин ки мачмуи харочоти молию пулй аз арзиши
махсулоти истехсолшуда зиёд аст.
Теорема. Барои дилхох матритсаи квадратии
гайриманфии А > 0:
1. Матритсаи А махсулнок
2. Барои дилхох сутуни С >0 якто факат якто
сутуни махсулоти истехсолшавандаи X > 0 вучуд
дошта бошад, ки X - АХ = С .
3. Сутуни истехсоли X > 0, мачмуи харочотхо
барои
истехсоли
махсулот
АХ > X имконнопазир аст.
4. ^имати калонтарини хоси матритсаи А
нобаробариро конеъ мегардонад.
А'Л = ^пвх < 1
Ин гуфтахо шабохати онро медихад, ки акаллан
яке аз се шарти гузошташуда ичро мешавад. Дар
х,олати хусусй ХА <1, инчунин имконпазир будани
мадсулнокии матритсаро гуводй. медидад.
Барои мисол дар долати и=2, яъне доираи содаи
ик,тисодй аз ду сода иборат аст, маддуд мешавем.
Мисол. Матритсаи додашуда мадсулнок аст ё не
санчед.
1
1
3
2
А=
1
1
12
4
Кдшатдои хоси онро меёбем.
НИ
дар натича,
Л^ - -12
1;
Бо дамин тариц,
24
1
аз ин чо
^max
Чавоб: Матриса мадсулнок аст.
Аз ин теорема ба чунин дулоса водор гардидан
мумкин аст, ки агар матрисаи дарочоти молию пулй
мадсулнок бошад, он год сутуни дилдоди мадсулоти
баризофа, дар речаи дилходи кории содадо истедсол
карда мешавад.
Храмин тавр, бигузор матритсаи
а,
12
мадсулнок аст ва
А=
а.22 У
\ а 21
Г \
-сутуни мадсулоти барзиед аст.
С=
\ си
Нишон додан лозим аст, ки речаи кори содадои ин
мадсулотдоро чй тавр таъмин менамояд.
Баробарии матрисаро чунин ифода мекунем.
X - АХ = С , ё ин ки
аз дигаргунсози
( хл, Л
аПХ1 + ^12*1
(с Л
ва
Л у ^°21*2 ■*"а22Х2 , KC2j
амали камро ичро намуда, хосил мекунем.
'xl - a uxl - a l2xl ' (с \
кХ2 ~ а21х 2 ~ а22Х2/
дар
кС2;
охир:
Г0-« „)* ,
al2x2 = Ci
\~ а2\*1
0 —°22Х2^~С2
мешавад.
Системаи тартаб додашудаи
матритсаи
махсулнок, барои дилхох с,, с2 хал дорад.
Мисош 2. Бигузор
г/3
1/
V '
/2
А=
к /\2
1/
С=
/А )
Чй хеле ки дар боло зикр намудем, ин матритса
махсулнок аст ва Яшах =' ^ < 1., бинобар он ин системаи
^1/
V Л
/2
1/ л )
f4>
А»
[Уи А )
хамчоя аст ва хал дорад.
Баъд аз баъзе дигаргунсозй, хосил мекунем:
Системаи муодилахоро хдл намуда, чунин киматдои
дс, =12;
х2 = 8-ро хосил кардем.
Храмин тавр, барои он ки истехсоли махсулоти
баризофаи
-ро таъмин намоем, зарур аст, ки
сутуни истех,солкунанда баробарй
12
бошад.
15.9. Мах;дудият ба захирщои моддй
Модели Леонтев он имкониятхои технологияи
дар сектрри истехсолкунанда таъсис
ёфтаро
инъикос мекунад.
Дар ин модел фарз карда мешавад, ки он сатхи
сармояи мобайни, ки ба онхо хангоми пайдо шудани
зарурият истехсол
мешаванд. Аммо дар амал
мавчудияти факторхои махдудиятнокии захирахои
мрддиро низ б а назар гирифтан лозим аст, б а
монанди, кудрати хар як соха(сарчашмахо) ва
мисоли кувваи коргарй.
Бигузор L шумораи умумии кувваи коргарй ва
Х = (/15
- матритса-катори харчи кувваи коргарй бошад.
Х|ар як элементи он 1к > 0шумораи коргароне
ки
барои истехсоли як микдор вохиди махсулоти к
лозиманд, ифода мекунад. Дар фарзйят бе ягон
мамониати
истехсолот ифодаи шумораи кувваи
коргарй, ки дар доираи истехсолот барои речаи
кории х зарур аст, нишон медихад.
Маълум аст, ки он аз шумораи умумии коргарон
зиёд шуда наметавонад, яъне
lx<t
Lx —(/j, /29 •.*51n)
i '.
k=i
Vх nJ
Махдудият ба тавоногии coxaxopo бо воситаи
чунин сутун ифода намудан мумкин аст.
т
т.
\ m«J
ки он аз сутуни истехсолот калон шуда наметавонад.
х<т
Дар холати
махдуд будани захирахои моддй
(танкисй доштани захирахои моддй) на хамаи талабот
нисбати ин махсули истехсолшаванда ичро мегардад.
Алхол, системахои махсулнок бо
коркарди
структурахои махсуси ба худашон хос бо воситаи
истехсоли махсулотхои изофагй, талабот с>0-ро конеъ
гардониданашон мумкин аст.
Теорема: Бигузор матритсаи махсулноки А>0,
сутунхои с>0, т>0 ва адади L>0 дода шудааст. Он гох
масъалаи
х - Ах < ас
1х
<L
х
<т
х>0
Чой ва халли ягона дорад.
Х,алли онро бо воситаи мисол дида мебароем.
Хдмин тавр, бигузор, дода шудааст:
А
(X
У\2
/12/1
;
1/
/А )
с =
' 4>i
Л
/ = (4 4),
т=
L = 40.
кЬ
Хал.
х —А х = а с ,
/
\
х1 ) ' V
\Х2 ,
ё ин ки аниктар
72
\У\2
( х I 4! = а\ '4"
1
\ xlJ
Баъд аз баъзе дигаргунсозй, х,осил мекунем:
2
1
л
3*i ~ 2 Х2 = 4 а
1 1—3 v = 5са
-----. 12 4 2
аз ин чо
системаи муодилахоро хал намуда, чунин
киматхои х, = 12 а;
х2 = 8а, - ро хосил кардем, ё ки
( 1 2 аЛ
х=\
l 8« j
Ин сутуни хосил гардида бояд шарти зеринро к,онеъ
гардонад.
lx < L;
х<*ть
ки он чунин намудро дошта метавонад:
(4 4)-
12а
8а ,
аз ин но хосил мекунем,
^ 40,
г\ 2 а
,8а ,
<
к
Расми 1
а- ба кимати калонтарин дар нуктаи 1/3 сохиб
мегардад.
Чавоб:
х-
махсулоти истехсолшуда а ^ с
Кайди 1. Нисбати мивдории байни махсулоти
якум
ва
микдори
махсулоти
баризофаи
(прибавочный продукт) дуюм баробари 4:5 аст,
модоме ки ягон махдудияти захираи моддй ва
захираи кувваи коргарй вучуд надошта бошад.
Кайди 2 .
Дар холати п- 2 будан баробарии
чунин намудро мегирад:
/,лг, + l2x2 < L,
x, < m{,
x2 ^ m2,
a —> max
Х,алли муодилаи мазкурро чунин навиштан мумкин
аст:
= аЬ1,
х2 = аЪ2,
ки дар ин чо Ъ{ ва Ь2 бо воситаи элементной матрисаи
А ва сутуни с ифода мегардад.
Аз ин чо х,осил мекунем
X X
—=— =а
ёки а -ро хорич
Ь Ъ2
намуда, хосил мекунем:
Ь2хх = 6,х2.
Баробарии хосилгардида дар хамворй хати рости
аз нуктаи ибтидоии 0(0,0) гузарандаро ифода мекунад.
15.10. Матрисах;ои даромаднок
Фарз мекунем, ки дар дохили як системаи бозори
дохилй байни истехсолкунандагон хариду фуруши
молхои барои истехсолот лозима баргузор мегардад.
Бигузор нархи махсулоти /', Р, > 0 бошад. К;атори
Р = (Pi> Pi - Рп)>
хар яки ин элемент ба нарххои махсулотхое, ки ин
системахо истехсол мекунанд, мувофик аст. Ин катори
ададхоро катори арзиши махсулотхо меноманд.
Бигузор
А = (а г )
-матрисаи харочоти моддии система бошад. Он год
сарфи пулии харочоти истехсоли махсулоти к баробар
п
X Р' а л>
к = \ , 2 , ...п,
/=1
мешавад. Аз хамин
бузургихо матриса-катори
харочоти истехсолот РА -ро хосил кардан мумкин аст.
Л* = ( Z Р,ап
1= 1
Р,аш).
/= 1
Матрисаи квадратии А > 0 матрисаи махсулнок ё
даромаднок номида мешавад, уангоми Р > О будан,
шарти РА < Р ицро гардад.
Ин гуфтахо онро мефахмонад, ки акдллан ягон
системаи нархои Р вучуд дошта бошад, ки нархи хар
махсулоти истехсолшуда аз харочоти барои истехсоли
сарфшуда зиёд мебошад.
Аз ин ру,
дар он сохаи истехсолкунанда
даромаднокй дида мешавад, яъне
Р-РА>0
Маълум аст, махсулнокии сохаи ик;тисодй вобаста аз
матрисаи харочот барои истехсоли он моли
истехсолшаванда.
Аз ин чо Р(х-А х) = ( Р-РА )х,
Яъне даромад ин ифодаи пулии махсулоти баризофа, ё
ки ифодаи моддии даромадро мефахмонад.
Супориш ва чавоб: Доираи як системаи ик,тисодй азду
сохаи истехсолй иборат аст. Речаи кории оптималии
сохаи истехсолиро муайян намудан лозим, ки
структураи махсулоти баризофаро аз руи сутуни с бо
воситаи матрисаи харочоти А нишон додашудааст
ёбед.
1/ 2 1/ 4^1
Г8Ч
с=
/ = (3 4).
Л=. ,
U/4 1/ 2
Дар ин чо Л-матрисаи харочоти моддй, тавоноии
сохаи якум аз тавоноии дуюм барзиёд набуда, ба 12,
кувваи коргарй ба 120 баробар аст.
Чавоб\
ва маълум аст, ки тавоногии сохаи истехсолоти якум аз
8 зиёд нест, тавоноии сохаи истехсолоти дуюм аз 12
зиёд набуда, шумораи умумии коргарон 90 нафарро
ташкил медиханд.
Чавоб:
ва маълум аст, ки тавоногии сохаи истехсолоти якум аз
20 зиёд нест, тавоноии сохаи истехсолоти дуюм аз 11
зиёд набуда, шумораи умумии коргарон 72 нафарро
ташкил медиханд.
Чавоб:
х, = 20, х2 = 20,
1 хг - * / 2
Ф(х) = ..т = Г е ' dz
л/2n l
X
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0.06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
Ф{х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,279
0,0319
0,359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
X
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
Ф(х)
X
0,0948 0,48
0,0987 0,49
0,1026 0,50
0,1064 0,51
0,1103 0,52
0,1141 0,53
0,1179 0,54
0,1217 0,55
0,1255 0,56
0,1293 0,57
0,1331 0,58
0,1368 0,59
0,1406 0,60
0,1443 0,61
0,1480 0,62
0,1517 0,63
0,1554 0,64
0,1591 0,65
0,1628 0,66
0,1664 0,67
0,1700 0,68
0,1736 0,69
0,1772 0,70
0,1808 0,71
0,4147 1,78
0,4162 1,79
0,4177 1,80
0,4192 1,81
0,4207 1,82
0,4222 1,83
0,4236 1,84
Ф(х)
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
X
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
Ф(х)
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,03
1,09
1,10
1Д1
1.12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1Д9
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0.3708
0,3729
0.3949
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4056
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0.4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4919
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0.499928
0,499968
0,499997
0,499997
Нуктаи критикии таксимшавии %2 .
§CUля £ 0,01
0,025
Сат*и киматнокии а
0,975
0,05
0,95
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42.6
43,8
0,89
^? Н
Й- ом
g ч°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2 '
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0.831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1*24
1,65
2,09
2,56
3,05 '
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Акулич
И. Л.
Математическое
программирование в примерах и задачах, - М.:
Высшая школа 1986. 219 с.
Акулич
И.Л,
Ворончук
И.С..
Задачи
нелинейного
и
динамического
•программирования.-Рига: Изд-во ЛГУ, 1983.
Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи
динамического
программирования, еские
методы- М,: Наука, 1965
Бирман И .Я., Оптимальное прогаммирование М.: Экономика, 1986, 232с.
Вентцель Е.С. Исследование операций., М.,
Наука, 1980.-208с.
Вильямс
Н.Н.,
Параметрическое
программирование в экономике.- Статистика,
1976
В.Е.Гмурман,
Теория
вероятностей
и
математическая статистика, Москва «Высшая
школа», 1977, 479 с.
Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б., Задачи линейного
программ ирования транспортного типа.- М.:
Наука, 1969
Джонстон Дж., Эконометрические методы,Москва.: Статистика, 1971
Данциг Дж., Линейное программирование, его
обобщения и приложения,- М.: Прогресс, 1966
Дастури таълимй дойр ба дарси амалй аз курси
программасозии хаттй, Душанбе, 1987, 115с.,
Тартибдидандагон: Умаров Ф., Кддиров А.,
Обидов И.
Дж.
Моудер,
С.
Элмаграби,
операция
исследований, Изд-во, «Мир», 1980, т. 1-2, 696с.
Зайченко Ю.П. Исследование операций.- Киев:
Вища школа, 1975
14. Карим-Заде X.,
Эргашева М., Усулхои
х,исоббарорй, Душанбе, 2008, 230с
15. Э.Кейн,
Экономическая
статистика
и
эконометрия, Москва, Статистика, 1977
16. М.Юнусов,
Методх,ои
оптимизационй,
Душанбе, 1987, 87с.
17. Теория
вероятностей
и
математическая
статистика. Под редакцией А.В. Ефимова, Москва.: «Наука», главная редация физикоматематической литературы, 1990
18. Умаров
У.,
Крдиров
А.,
Обидов
И.
Программасозии
математикй,
кдсми
1.
(элементной алгебраи хаттй), Душанбе, 1987,
77с.
19. Садовников А-С. Введение в линейную алгебру и
линейное программирование, М.: Наука, 1975,
279с.
20. Е.В.
Шикин,
А.Г.
Чхартишвили,
Математические методы и модели в управлении,
Академия
народного
хозяйства
при
Правительстве РФ, Изд-во, «Дело», 2000, 438с.
21. Эриашвилли Н.Д. Экономико-математические
методы и прикладные модели. М., ЮНИТИ,
1999.
Пешгуфтор
Мукаддима
Боби 1.
Технологияи информатсионй дар
идоракунй ва моделсозии раванддои
иктисодй
1.1.
Информатсия ва идоракунй, чомеаи
информатсионй
1.2.
Моделсозй хамчун усули фахмиши
илмй
1.3.
Намудх,ои асосии моделх,о
Боби II.
Методх,ои моделсозии стохастикй
2.1.
Мукаддимаи моделсозии стохастикй
2.2.
Муносибатх,ои гуногуни моделсозии
математикй
бо
бузургщои
эхтимолй. Мафхуми эдтимолият
2.3.
Формулами алгебраи ходисахо.
Х,одисахои нодамч;оя ва новобаста
2.4.
Элементной комбинаторика
2.5.
Аксиомахои назарияи эхтимолият
2.6.
Теоремахои
чамъ
ва
зарби
эхтимолиятхо
2.7.
Намудхои
хисобкунии
эхтимолиятхо
2.8.
Формулаи эхтимолияти пурра ва
формулаи Байес
2.9.
Нащнаи санчишхои Бернуллй
Боби III. Бузургихои тасодуфй
3.1.
Мафхуми
бузургии
тасодуфй.
К,онуни
так;симот.
Бузургии
тасодуфии
биномиалй
3.2.
Амалхо бо бузургихои тасодуфй
3.3.
Тавсифхои
ададии
бузургихои
тасодуфй
3
5
7
9
11
14
15
20
22
24
28
32
41
46
52
57
59
3.4.
3.5.
3,6.
Боби IV.
4.1.
4.2.
Боби V.
5.1.
5.2.
5.3.
Бузургидои тасодуфии бефосила
Таксимоти нормалй
Формулаи Муавр-Лаплас
Омори риёзй
Мукаддимаи омори риёзй
Коркарди аввалини маълумотхо
Баходихии нуктавй ва фосилавй
Баходихии нуктавй
Баходихии фосилавй
Бахой интизорияти математикии
таксимоти нормалй
5.4.
Бахохои эхтимолити ходисахо
Боби VI. Коррелятсия ва регрессия
6.1.
Коррелятсия
6.2.
Регрессия
Боби VII. Тафтиши фарзиятхои оморй
7.1.
Мафхумхои асосй
7.2.
Тафтиши фарзияхои биномиалй
7.3.
Критерияи мувофиковарии
(хи-квадрат)
Боби УОШ. Графхо ва шабакадо
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
БобиIX.
9.1.
9.2.
Графхо
Шабакахо. Дарахти халхо
Масъала дар бораи пайвасткунии
шахрхо
Чдраёни максималй
Хати сайри кутохтарин
Роххои хатарнок
Программасозии хаттй
Масъалахои умумй ва асосии
программасозии хаттй
Хосиятхои
асосй
ва
шархи
геометрии масъалахои
программасозии хаттй
65
72
81
85
87
93
96
97
102
106
110
114
122
129
134
143
146
148
150
154
160
171
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
Боби X.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
Боби XI.
11.1.
11.2.
Боби XII.
12.1.
Усули симплексии халли масъалахои
программасозии хаттй
Методи базиси сунъй
Масъалахои дутарафаи
программасозии хаттй. Масъалахои
ростаи баръакс ва дутарафа
Алокди байни масъалахои роста ва
баръакс
Шархи
иктисодии
масъалахои
дутарафа
Симплекс методи дутарафа
Масъалахои махсуси
программасозии хаттй
Масъалахои
наклиётй.
Шархи
математикии гузориши масъалахои
нащшётй
Методи кунчии шимолу гарбй
Методи элемента минималй
Методи аппроксиматсияи Фогел
Муайян
намудани
нащнаи
оптималии масъалахои накдшётй.
Методи потенсиалхо
Масъалахои программасозии хаттии
ададхои бутун. Шархи ик,тисодй ва
геометрии масъалахои программа
созии хаттии ададхои бутун
Масъалахои программасозии параметрй
Назарияи бозихо
Гузориши масъалаи бозихо
Бо методи программасозии хаттй
хал намудани масъалахои бозй
Масъалахои
программасозии
гайрихаттй
Шархи иктисодй ва геометрии
масъалахои
программасозии
гайрихаттй
183
201
209
213
218
222
230
237
244
247
250
259
265
270
276
282
12.2.
12.3.
Методи зарбкунандаи Лагранж
Масъалахои
программасозии
гайрихаттии функсияхои барчаста
12.4.
Методи градиентхо
12.5.
Методи функсияи чаримавй
Бобби XIII. Масъалахои
программасозии
динамикй
13.1.
Мафхуми
асосй
ва
шархи
ик,тисодии
программасозии
динамикй
Бобби XIV Моделсозии имитатсионй
14.1.
Боби XV.
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7.
15.8.
Мафхуми
асосии
моделсозии
имитатсионй
Баъзе муодилахои балансй.
Фоизхои мураккаб
Пардохти карз
Баробарии балансй
Муодилахои балансй
Идоракунии оптималии захирахо
Модели таъминоти истехсолот
Модели истехсолот бо тахриф
Модели
Леонтев.
Матритсахои
махсулнок
Махдудият ба захирахои моддй
Матрисахои д аромаднок
15.9.
15.10.
Заммимахо
Руйхати адабиётхо
285
289
299
304
311
326
329
331
333
334
338
341
344
347
352
356
359
362
Карим-Заде X., Эргашева М.
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебное пособие написано в соответствии с учебной
программой предмета, «Математическое моделирование и
эконометрика» для студентов 3-4-х курсов педагогических
ВУЗов по специальностям математика, информатика,
экономика
Ба матбаа 01.08.2011 супоридашуд. БаЧ оп 26.08.2011с.
имзошуд. Андозаи 60/84Vi6KoFa3H офсета.
Чузъи нашрию х,исоби 30,7
Ададй нашр 500 нусха. Супориши № 116
АООТ «МАТБУОТ»