В. Е. Гантмахер, Н. Е. Быстрое, Д. В. Чеботарев
ШУМОПОДОБНЫЕ
СИГНАЛЫ
АНАЛИЗ СИНТЕЗ ОБРАБОТКА
Санкт-Петербург
2005

В. Е. Гантмахер, Н. Е. Быстрое, Д. В. Чеботарев
Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка —СПб.:
Наука и Техника, 2005. — 400 с: ил.
ISBN 5-94387-158-6
Монография посвящена анализу, синтезу и обработке дискретно-кодированных шумоподобных
сигналов (ШПС).
В системах радиолокации, гидролокации, навигации, связи и передачи информации применение
ШПС позволило разрешить противоречие между разрешающей способностью и дальностью действия
систем, повысить их помехоустойчивость и электромагнитную совместимость, повысить эффективность
использования радиодиапазона за счет кодового разделения каналов, улучшить экологию в зоне
действия радиоизлучателей за счет уменьшения пиковой мощности излучения, обеспечив наблюдение,
определение координат и передачу информации в любую точку нашей планеты.
В вычислительных системах псевдослучайные последовательности применяют для имитационного
моделирования, решения задач методом Монте-Карло, кибернетической диагностики сложных сетей и
систем, встроенного тестового контроля, защиты от несанкционированного доступа, обеспечения связи
в вычислительных сетях и многое другое.
В системах автоматики и телемеханики применение ШПС позволяют строить высокоэффективные
кодеры и декодеры, контролирующие, обнаруживающие и исправляющие ошибки, автоматически
передавать телеметрическую информацию с территориально-распределенных датчиков-измерителей
с помощью самосинхронизирующихся кодовых последовательностей, обеспечив сколь угодно высокую
достоверность и криптостойкость передачи информации и многое другое.
Перечень полезных качеств, привносимых ШПС в системы различного назначения, позволяет лишь
частично обозначить круг специалистов, для которых предназначена эта книга.
Изложение материала рассчитано на инженеров и студентов старших курсов В книге приведено
большое количество\примеров и иллюстрированного материала, облегчающих усвоение пропаган-
пропагандируемых методов анализа, синтеза и обработки ШПС.
9795943 871589
ISBN 5-94387-158-6
ООО «Наука и Техника».
Лицензия №000350 от 23 декабря 1999 года.
198097, г. Санкт-Петербург, ул. Маршала Говорова, д 29.
Подписано в печать 20.01.05 Формат 70x100 1/16.
Бумага газетная. Печать офсетная Объем 25 п. л.
Тираж 1000 экз. Заказ № н .
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Техническая книга»
190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29

Содержание
Реферат 8
Предисловие 9
Введение 10
ЧАСТЬ I. СИНТЕЗ ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
НА УРОВЕНЬ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ 17
Глава 1. ШУМОПОДОБНЫЕ СИГНАЛЫ 17
1.1. Определение, классификация, характеристики 17
1.2. Периодические последовательности 21
1.3. Импульсные последовательности 23
1.5. Задачи, решаемые в первой части монографии 27
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ АНАЛИЗА, СИНТЕЗА И ФОРМИРОВАНИЯ
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 29
2.1. Основные положения теории чисел 29
2.2. Множества. Разностные множества. Отображение множеств 37
2.3. Основные положения теории групп и полей Галуа 39
2.4. Автономные линейные последовательностные машины 45
2.5. Корреляционные функции ДКП 47
Глава 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЕПРИВОДИМЫХ
НАД ПОЛЯМИ ГАЛУА ПОЛИНОМОВ 60
3.1. Вычисление коэффициентов НП второй степени 60
3.2. Вычисление коэффициентов НП третьей степени 65
3.3. Упорядочение по степеням элементов расширенного поля Галуа
с помощью автономной линейной последовательностной машины 73
3.4. Алгоритм расчета коэффициентов неприводимых
над простыми полями Галуа полиномов произвольной степени 76
3.5. Алгоритм расчета коэффициентов неприводимых
над расширенными полями Галуа полиномов произвольной степени 81
3.6. Результаты расчетов, выводы 84
Глава 4. ТЕОРИЯ СПЕКТРОВ РАЗНОСТИ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ ПО ПРОСТОМУ ПОЛЮ. 85
4.1. Постановка задачи 85
4.2. Спектры разности классов вычетов по простому модулю 86
4.3. Специфические свойства СРКВ 87
4.4. Общие свойства СРКВ 94
4.5. Взаимосвязь СРКВ с ПАКФ и ПВКФ периодических ДКП 99
4.6. Выводы 103
Глава 5. МЕТОДИКА СИНТЕЗА ДВОИЧНЫХ, ТРОИЧНЫХ И БИНАРНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ СРКВ .., 104
5.1. Постановка задачи 104
5.2. Необходимые условия существования квазиортогональных
последовательностей с заданными ограничениями на их параметры 105
5.3 Методика и алгоритмы синтеза двоичных последовательностей
и ансамблей ДП со свойством «не более Im совпадений»... 107
5.4. Методика синтеза двоичных последовательностей
с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ) 115
5.4. Методика синтеза квазиортогональных троичных
и бинарных последовательностей , 124

Глава 6. РЕЗУЛЬТАТЫ СИНТЕЗА ДВОИЧНЫХ, ТРОИЧНЫХ БИНАРНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ИХ АНСАМБЛЕЙ 134
6.1. Постановка задачи 134
6.2 Нерегулярные двоичные последовательности со свойством
«не более Im совпадений» и их ансамбли 135
6.3 Двоичные последовательности с одноуровневой (квазиодноуровневой)
периодической автокорреляционной функцией 140
6.4. Двоичные последовательности
с одноуровневой (квазиодноуровневой) ПВКФ 153
6.5. Ансамбли двоичных последовательностей 159
6.6. Троичные и бинарные квазиортогональные последовательности 164
6.7. Выводы по результатам синтеза 171
Заключение
171
ЧАСТЬ II.СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫМ ЗАКОНОМ
АМПЛИТУДНО- ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИИ И МЕТОДЫ
ИХ ОБРАБОТКИ В РЛС С КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫМ РЕЖИМОМ РАБОТЫ .... 175
Введение
175
Глава 1.
178
АНАЛИЗ КВАЗИНЕПРЕРЫВНОГО РЕЖИМА ИЗЛУЧЕНИЯ И ПРИЕМА СИГНАЛОВ
С ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫМ ЗАКОНОМ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИИ
1.1. Математическая модель квазинепрерывной обработки сигналов 179
1.2. Энергетическая функция приема квазинепрерывных сигналов 181
1.3. Основные свойства и характеристики ВФН сигналов 184
1.4. Потери помехоустойчивости при квазинепрерывной обработке 187
1.5. Анализ ВФН составных амплитудно-фазоманипулированных сигналов
при квазинепрерывной обработке 191
1.6. Выводы 196
Глава 2. СИНТЕЗ АМПЛИТУДНО-ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ ФН В ОГРАНИЧЕННОЙ
ОБЛАСТИ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ ПЛОСКОСТИ 198
2.1. Критерий синтеза амплитудно-фазоманипулированных сигналов 199
2.2. Синтез сигналов по критерию минимума боковых лепестков ФН
в узкой доплеровской полосе 200
2.3. Синтез сигналов по критерию минимума боковых лепестков ФН
в ограниченной полосе доплеровских частот 204
2.4. Синтез сигналов по критерию минимума боковых лепестков ФН
в произвольной области частотно-временной плоскости 210
2.5. Синтез двоичных последовательностей, задающих закон амплитудной
манипуляции квазинепрерывных сигналов 216
2.6. Выводы 224
Глава 3. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
В ОГРАНИЧЕННОМ ДИАПАЗОНЕ ДОПЛЕРОВСКИХ СДВИГОВ ЧАСТОТЫ 225
3.1. Исследование корреляционно-фильтровой обработки
квазинепрерывных сигналов 225
3.2. Сегментная корреляционно-фильтровая обработка сигналов 229
3.3. Анализ характеристик ВФН при сегментной обработке сигналов 232
3.4. Исследование методов повышения эффективности доплеровской
селекции целей при сегментной обработке сигналов 236
3.5. Приоритетная корреляционно-фильтровая обработка
квазинепрерывных сигналов 244

3.6. Корреляционно-фильтровая обработка сигналов
в большом диапазоне доплеровских сдвигов частоты 252
3.7. Выводы 254
Глава 4. РЕЖЕКЦИЯ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ ОТ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
ПРИ КВАЗИНЕПРЕРЫВНОМ РЕЖИМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ СИГНАЛОВ 255
4.1. Принцип временной режекции мешающих отражений 255
4.2. Оценка энергетических потерь и оптимизация пик-фактора
квазинепрерывных сигналов 258
4.3. Алгоритм временной режекции мешающих отражений
при сегментной обработке сигналов 263
4.4. Исследование эффективности временной режекции
мешающих отражений при сегментной обработке сигналов 267
4.5 Выводы 270
ЧАСТЬ III. КОМПЕНСАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СЛОЖНЫХ
КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ С БОЛЬШОЙ БАЗОЙ 272
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ. ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧ 272
Глава 2. ОБРАБОТКА СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НАЛИЧИИ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ
276
2.1. Обнаружение-разрешение сложных сигналов с большой базой 276
2.2. Компенсационная обработка сигналов фиксированной длительности 281
2.3. Обнаружение-разрешение сложных сигналов с рекурсивным
оцениванием их параметров 284
2.4. Стационарные и флюктуирующие отражения и их моделирование 286
2.5. Критерии качества компенсационной обработки сигналов 292
2.6. Выводы по главе 295
Глава 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЕНСАЦИОННОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ ФИКСИРОВАННОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ 296
3.1. Итерационный алгоритм компенсационной обработки 296
3.2. Компенсация нефлюктуирующих отражений 306
3.3. Эффективность компенсации флюктуирующих помех 316
3.4. Влияние ограничения на эффективность компенсации 322
3.5. Адаптивная временная режекция мешающих отражений 326
3.6. Режекция помех, превышающих динамический диапазон 333
3.7. Выводы по главе 337
Глава 4. КОМПЕНСАЦИОННАЯ ОБРАБОТКА СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ
АДАПТИВНОЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 338
4.1. Выбор алгоритма адаптивной цифровой фильтрации 338
4.2. Исследование эффективности алгоритма НСК 348
4.3. Адаптация к распределению мешающих отражений по дистанции 353
4.4. Адаптивная фильтрация и временная режекция 360
4.5. Влияние амплитудного ограничения на ошибку компенсации 366
4.6. Анализ совместной обработки ошибки компенсации и оценок амплитуд 369
4.7. Сравнительная характеристика блочных и рекурсивных методов компенсации
376
4.8. Выводы по главе 377
Глава 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 379
Литература 382
Список сокращений 390
Список основных обозначений 390
5

Нашим учителям
Виктору Ивановичу Винокурову и
Владимиру Акимовичу Фельдману
посвящается

Реферат
В монографии исследуются вопросы анализа, синтеза и обработки ампли-
тудно-фазоманипулированных шумоподобных сигналов с большой базой. На
основе математического аппарата спектров разности классов вычетов разрабо-
разработана методика синтеза двоичных, троичных, бинарных последовательностей и
их ансамблей с заданными ограничениями на уровень боковых лепестков авто-
автокорреляционных и взаимнокорреляционных функций. На многочисленных
примерах продемонстрирована ее высокая продуктивность. Разработаны эф-
эффективные, легко реализуемые на ВМ алгоритмы расчета глобального множе-
множества неприводимых над простыми и расширенными полями Галуа полиномов
произвольной степени.
Рассматриваются квазиоптимальные методы обработки амплитудно-фазо-
манипулированных сигналов с большой базой в ограниченной полосе доплеров-
ских частот и анализируются процедуры синтеза сигналов, позволяющие
минимизировать боковые лепестки функции неопределенности в заданном
дальностно-доплеровском диапазоне.
Для повышения устойчивости к воздействию мешающих отражений пред-
предлагаются и исследуются компенсационные методы обработки сложных квази-
квазинепрерывных сигналов. Рассматриваются итерационные алгоритмы обработки
сигналов фиксированной длительности и рекурсивные алгоритмы, основанные
на адаптивной цифровой фильтрации.

Предисловие
В 1983 г. состоялась расширенная коллегия Министерства обороны СССР,
на которой был заслушан совместный отчет ряда предприятий Минсудпрома
СССР и двух вузов: Ленинградского электротехнического института (ЛЭТИ) им.
В.И. Ульянова (Ленина) и Новгородского политехнического института (НПИ).
В решении коллегии отмечена плодотворная долголетняя совместная работа
специалистов различных ведомств (Минобороны, Минсудпром, Минвуз),
начиная с исследования возможности построения РЛС с шумоподобными
сигналами до создания промышленного образца первой отечественной «тихой»
РЛС, успешно прошедшего Государственные испытания.
Высокая эффективность НИР и ОКР стала возможной благодаря усилиям
высококвалифицированного коллектива, включающего в себя ученых, произ-
производственников и военных специалистов. Научным руководителем этого большо-
большого коллектива был д.т.н., профессор, проректор по научной работе ЛЭТИ
Виктор Иванович Винокуров.
Научную группу Новгородского политехнического института возглавлял
к.т.н., доцент Владимир Акимович Фельдман. Группа специализировалась на
разработке цифровой части РЛС; формировании дискретно-кодированных сиг-
сигналов, обеспечении заданных режимов работы РЛС, в том числе, квазинепре-
квазинепрерывного режима излучения и приема зондирующих сигналов. Учитывая боль-
большой вклад новгородцев в НИР и ОКР по разработке РЛС с шумоподобным
сигналом, в 1987 году в НПИ была создана отраслевая научно-исследователь-
научно-исследовательская лаборатория Минсудпрома СССР «Морская радиолокация». Ее руководи-
руководителем стал к.т.н., ст. научный сотрудник В.Е. Гантмахер. С распадом Советского
Союза, реорганизацией Минсудпрома СССР было прекращено финансирова-
финансирование отраслевой лаборатории. Она стала «научно-исследовательской лаборато-
лабораторией цифровой обработки сигналов» (НИЛ ЦОС). С 1991 года, после избрания
В.Е. Гантмахера проректором по научной работе НПИ, бессменным руководи-
руководителем лаборатории является к.т.н., доцент Д.В. Чеботарев.
Со студенческой скамьи в лаборатории работает ведущий научный сотруд-
сотрудник к.т.н., доцент Н.Е. Быстров.
В настоящее время НИЛ ЦОС самое крупное, эффективно работающее
хозрасчетное подразделение Новгородского государственного университета
имени Ярослава Мудрого — правопреемника Новгородского политехническо-
политехнического института.
Среди заказчиков и партнеров НИЛ ЦОС — ведущие предприятия и науч-
научно-исследовательские центры России, специализирующиеся на применении
шумоподобных сигналов. Основные направления деятельности НИЛ ЦОС:
¦ Применение сложных дискретно-кодированных сигналов C0 лет опыта
работы).
1* Зак 14 9

¦ Оригинальные теоретические разработки по анализу, синтезу и обра-
обработке радиолокационных сигналов.
¦ Разработка современной радиоэлектронной аппаратуры на основе мощ-
мощных ПЛИС и высокопроизводительных сигнальных процессоров.
¦ Функционально полные аппаратно-программные комплексы формиро-
формирования и обработки сложных дискретно-кодированных сигналов с боль-
большой базой.
Предлагаемая монография является обобщением многолетней теоретичес-
теоретической и практической работы авторов в области анализа, синтеза и обработки
шумоподобных сигналов.
Введение
Решение целого ряда узловых проблем развития радиотехнических систем
различного назначения, привело к идее сложных широкополосных сигналов
(СШС).
Первая проблема встала на пути развития радиолокационных систем. Она
заключалась в, казалось, неразрешимых противоречиях между требованиями
высокой разрешающей способности по дальности и дальностью обнаружения
целей в импульсных РЛС, желанием обеспечить одновременное точное измере-
измерение скорости и высокое разрешение по дальности, увеличить дальность обнару-
обнаружения целей при ограничениях на пиковую мощность передатчика. Оригиналь-
Оригинальное решение перечисленных противоречий было предложено Ф. Вудвордом [37J.
Он показал, что форма сигнала является дополнительным параметром при
разработке радиолокатора. Длительность сигнала может быть выбрана настоль-
настолько большой, насколько это необходимо для обеспечения энергетических
требований при фиксированной пиковой мощности передатчика, а разрешение
по дальности и точность измерений определяются шириной полосы частот
сигнала. Они обеспечиваются путем сжатия импульса на приемной стороне.
Таким образом, Ф. Вудворд сформулировал два основополагающих принципа:
1. Зондирующий импульс радиолокатора должен иметь сложную внутрен-
внутреннюю структуру, т.е. произведение эффективной полосы частот F
радиосигнала на его длительность Т должно быть существенно больше
единицы:
FT»\ A)
2. Принцип сжатия импульса. Внутренняя структура зондирующего сиг-
сигнала должна быть такой, чтобы допускать на приемной стороне сжатие
распределенного во времени сигнала в короткий импульс, соответству-
соответствующий полосе F.
Сигналы, удовлетворяющие этим двум требованиям, получили название
сложных широкополосных сигналов.
Другая проблема связана с развитием систем передачи информации. Здесь
возник конфликт между желанием, с одной стороны, передать с предельной
скоростью как можно больше информации и, с другой стороны, обеспечить
высокую достоверность приема. Принципиальное разрешение этого противо-
10

речия принадлежит К. Шеннону [126], который ввел понятие пропускной спо-
способности канала С и показал:
B)
где: F — полоса частот, отводимая для передачи информации,
S nN — мощности сигнала и шума, соответственно.
Основополагающий вывод из B) состоит в том, что теоретически информа-
информацию по каналу можно передавать с любой скоростью, не превышающей С, с
любой заданной достоверностью. На языке кодирования это означает следую-
следующее: пусть информационное сообщение состоит из к бит. Если вместо к бит пе-
передать п (п >к), то п-к бит составляют избыточное кодирование, которое можно
использовать для обнаружения и исправления ошибок. Скорость передачи ин-
информации при этом падает в п/к раз, а достоверность приема — увеличивается.
Наращивая избыточность кодирования (уменьшая скорость передачи)
теоретически достоверность передачи информации можно сделать как угодно
высокой.
Следует заметить, что при S/N «1 формула B) преобразуется к A).
Действительно, соотношение B) можно переписать в следующем виде:
C)
При S/N «1 левая часть равенства устремляется к бесконечности, что
равносильно A). Таким образом, применение сложных шумоподобных сигналов
позволяет обеспечить теоретически любую достоверность передачи информа-
информации.
Отсюда следует еще одно очень важное качество радиотехнических систем со
сложными широкополосными сигналами — способность работать «под шумами»
(S «N).C одной стороны — это скрытность работы РТС, с другой — возможность
уплотнения действующих каналов связи и передачи информации [131].
Итак, наиболее серьезные проблемы радиолокации, передачи информации
и связи решаются применением сложных широкополосных сигналов. Идеи,
изложенные в [37, 126, 131], оказались настолько заманчивыми и конструктив-
конструктивными, что определили направление научных исследований ученых всего мира
на несколько десятилетий вперед. Появились десятки фундаментальных работ
по анализу, синтезу, формированию и обработке СШС, не считая многочислен-
многочисленных публикаций в научно-периодических изданиях. Это фундаментальные
монографии следующих авторов:
¦ в области радиолокации: Я.Д. Ширман и В.Н. Голиков, Д.Е. Вакман, Ч. Кук
и М. Бернфельд, М.Б. Свердлик, В.И. Винокуров [21, 34, 71, 97,128];
¦ в области связи: Л.Е. Варакин, И.М. Амиантов, Н.Т. Петрович и
М.К. Размахнин, В.Б. Пестряков, Н.И. Смирнов, Н.Г. Дядюнов и А.И. Се-
нин, Дж. Дж. Стиффлер, Дж. Спилкер [4, 27, 86,103, 105, 129];
11

¦ в области помехоустойчвого кодирования: А.П. Удалов и Б.А. Супрун,
К.А. Мешковский и Н.Е. Кириллов, Д.А. Хаффмен, А. Гилл, Э. Берли-
кэмп, У. Питерсон и Э. Уэлдон, Т. Касами, Ф.Дж. Мак-Вильяме и
Н.Дж. Слоен [20, 53, 68, 75, 87, 111, 117];
¦ общетеоретические монографии: С. Голомб, В.И. Тихонов, Р. Турин,
Л. Фрэнке, Г.И. Тузов, Х.Ф. Хармут, A.M. Трахтман и В.А. Трахтман,
В.П. Ипатов [60, 106, 108, 110, 115, 116, 122, 136, 143].
Это далеко не полный перечень ученых, стоящих у истоков новой науки —-
теории и практики сложных широкополосных сигналов. Основные теоретические
положения этой науки сформировались к концу семидесятых и началу восьмиде-
восьмидесятых годов, затем начался этап бурного внедрения СШС в различные отрасли
техники. Широкое применение получили дискретно-кодированные сигналы
(ДКС), в которых манипулируемые параметры (амплитуда, фаза и частота)
изменяются через строго фиксированные интервалы времени (такты). Такие
сигналы формируются и обрабатываются на базе современной цифровой вычис-
вычислительной техники. Закон изменения манипулируемого параметра в ДКС
задается дискретно-кодированными последовательностями (ДКП), которые пол-
полностью определяют свойства ДКС и часто отождествляются с ними. Поэтому
внимание исследователей СШС оказалось сфокусированным на анализе, синте-
синтезе и обработке ДКП.
Известны последовательности Баркера, Хаффмена, Зингера, Голда, Каса-
Касами, Холла, Фрэнка, Велти, Костаса и др., в которых правило кодирования (ПК)
отождествляется с фамилией его автора или автора разностного множества,
положенного в основу ПК.
Часто название ДКП (ПК) определяет принцип их формирования: последо-
последовательности символов Лежандра и Якоби, последовательности степенных выче-
вычетов, последовательности бент-функций, последовательности на основе разно-
разностных множеств, сбалансированных на определенное число уровней, линейные
рекуррентные последовательности, составные последовательности и т.д.
Иногда название ДКП (ПК) определяет их приоритетная качественная ха-
характеристика: последовательности с идеальной периодической автокорреляцион-
автокорреляционной функцией, ортогональные, квазиортогональные, трансортогональные,
максимально трансортогональные, оптимальные по минимаксному или по како-
какому-либо другому критерию, локально-оптимальные, со свойством «не более rm
совпадений», с минимальной апериодичностью, псевдослучайные, шумоподоб-
ные последовательности, периодические, импульсные, регулярные, нерегулярные
импульсные последовательности и т.д.
Достаточно распространенным классификационным признаком является
набор символов, из которых состоит ДКП: двоичные, троичные, многоуровне-
многоуровневые, многофазные последовательности и т.д.
Такое разнообразие ДКП обусловлено постоянно расширяющейся облас-
областью их применения.
В системах радиолокации, гидролокации, навигации, связи и передачи
информации применение ДКП для формирования сложных широкополосных и
сверхширокополосных сигналов в качестве манипулирующих последователь-
последовательностей позволило разрешить противоречие между разрешающей способно-
способностью и дальностью действия систем, повысить их помехоустойчивость и элект-
12

ромагнитную совместимость, повысить эффективность использования радиоди-
радиодиапазона за счет кодового разделения каналов, улучшить экологию в зоне
действия радиоизлучателей за счет уменьшения пиковой мощности излучения,
создать спутниковые системы радиолокации, радионавигации и связи, обеспе-
обеспечив наблюдение, определение координат и передачу информации в любую точ-
точку нашей планеты, в том числе на подвижные объекты, находящиеся на суше,
в море, в воздухе или космосе, осуществить скрытную локацию и связь с помо-
помощью шумоподобных сигналов и многое другое.
В вычислительных системах ДКП позволяют повысить быстродействие и
точность вычислений. Их применяют в качестве псевдослучайных последова-
последовательностей для имитационного моделирования, решения задач методом Мон-
Монте-Карло, кибернетической диагностики сложных сетей и систем, встроенного
тестового контроля, защиты от несанкционированного доступа, обеспечения
связи в вычислительных сетях и многое другое.
В системах автоматики и телемеханики применение ДКП позволяет строить
высокоэффективные кодеры и декодеры, контролирующие, обнаруживающие и
исправляющие ошибки, автоматически передавать телеметрическую информацию
с территориально-распределенных датчиков-измерителей с помощью самосинхро-
самосинхронизирующихся кодовых последовательностей, обеспечив сколь угодно высокую
достоверность и криптостойкость передачи информации и многое другое.
Даже столь неполный перечень полезных качеств, привносимых ДКП в
системы различного назначения, позволяет убедиться в актуальности исследо-
исследования вопросов анализа, синтеза и обработки ДКП.
Под анализом понимается расчет параметров ДКП, сформированных по
заданному правилу кодирования. Несмотря на кажущееся обилие известных
ДКП, все они отличаются друг от друга не только правилом и мощностью
кодирования, обозначенными выше квалификационными признаками, но и
рядом существенных параметров (характеристик): периодом (длиной), пик-
фактором, степенью уравновешенности, функцией неопределенности, авто-
автокорреляционными и взаимнокорреляционными функциями и т.д.
Синтез заключается в поиске новых правил кодирования или деформации
известных ПК для достижения заданных пороговых значений параметров ДКП.
Строго говоря, далеко не все ДКП являются шумоподобными (псевдослучай-
(псевдослучайными), а только те из них, которые удовлетворяют, как минимум, трем критериям
случайности: уравновешенность, свойство серий и свойство корреляции (подроб-
(подробнее см. ч. I, гл.1). В системах вычислительной техники, например, ДКП использу-
используют в основном для имитации случайных процессов [79]. Здесь требования к ПСП
по многим критериям случайности довольно жесткие. В радиотехнических систе-
системах за редким исключением приоритетным требованием является квазиортого-
квазиортогональность автокорреляционной функции. Например, троичные последовательно-
последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией или бинарные
последовательности Баркера не являются уравновешенными и не удовлетворяют
свойству серий. Двоичные последовательности с одноуровневой ПАКФ на осно-
основе разностного множества Зингера и двоичные последовательности со свойством
«не более одного совпадения», также не являются уравновешенными, имеют пик-
фактор, превышающий двойку, но относятся к нерегулярным импульсным после-
последовательностям с псевдослучайным распределением импульсов на периоде (дли-
13

не) последовательности. Тем не менее все перечисленные последовательности яв-
являются наиболее популярными в РТС с шумоподобными сигналами. Поэтому
вопрос синтеза шумоподобных сигналов в монографии рассматривается в самом
широком смысле: синтез дискретно-кодированных последовательностей с заданны-
заданными ограничениями на уровень боковых лепестков корреляционной функции, урав-
уравновешенность и пик-фактор.
Проблемы анализа порождаются многообразием применений ДКП и изве-
известных правил кодирования. С одной стороны, многие ДКП имеют четко ориен-
ориентированную прикладную направленность, что приводит к оптимизации конк-
конкретного параметра, зачастую в ущерб другим. Желание расширить область
применения ДКП заставляет разработчиков проводить анализ возможности
оптимизации других параметров с другим набором приоритетов в рамках дан-
данного или несколько деформированного ПК. С другой стороны, такой анализ
оказывается затруднительным из-за множественных подходов к математическо-
математическому описанию ПК, — проблемноориентированный математический аппарат
вызывает трудности в оптимизации параметров, существенных для смежных
областей применения.
Проблемы синтеза сконцентрированы в констатации того факта, что за
последнее тридцатилетие нет ни одной отечественной или зарубежной публи-
публикации о новом регулярном правиле кодирования наиболее популярных двоич-
двоичных или троичных ДКП. Основное содержание исследований в этой области
сосредоточено на уточнении свойств известных ДКП, расширении мощности
известных ПК и областей применения ДКП. Это свидетельствует прежде все-
всего о том, что возможности известных методов синтеза исчерпаны, а новых нет.
Проблемы формирования и обработки связаны с бурным развитием вычис-
вычислительной техники и элементной базы цифровой техники. Изменилась концеп-
концепция проектирования цифровых вычислительных устройств. От аппаратных
методов разработчики перешли к программно-алгоритмическим методам созда-
создания универсальных перепрограммируемых проблемно-ориентированных
процессоров.
Кроме того, большинство известных и пропагандируемых в настоящей рабо-
работе правил кодирования дискретно-кодированных последовательностей определе-
определены над простыми и расширенными полями Галуа. В основе построения таких полей
лежат неприводимые полиномы. Проблемой является отсутствие регулярных
правил и алгоритмов формирования глобального множества неприводимых (при-
(примитивных) полиномов произвольной степени.
Самостоятельную проблему представляет применение сложных сигналов в
морской радиолокации:
¦ сложная, быстро изменяющаяся помеховая обстановка из-за волнения моря,
обилия целей, изрезанности береговой черты, атмосферных явлений;
¦ частая сетка периодов (длин) синтезируемых ДКП из-за большого числа
шкал дальности, масштабов отображения информации (грубый, точный,
логарифмический), различной скорости вращения антенны;
¦ электромагнитная совместимость как с импульсными РЛС, так и с РЛС,
работающими в непрерывном или квазинепрерывном режимах;
¦ необходимость одновременного измерения скорости и дальности
объектов.
14

Особенности применения квазинепрерывного режима излучения и приема
сложных дискретно-кодированных сигналов (СДКС) большой дальности обус-
обусловлены дроблением зондирующего сигнала на импульсы псевдослучайной
длительности, а затем повторным дроблением эхо-сигналов на входе приемни-
приемника. Здесь также возникает целый ряд задач:
¦ синтез двоичной последовательности развязки «прием-передача» на
основе различных критериев оценки качества работы РЛС;
¦ высокий пик-фактор синтезируемых сигналов B < pf < 10), обусловлен-
обусловленный квазинепрерывным режимом работы РЛС и быстродействием мощ-
мощных высокочастотных коммутаторов;
¦ анализ функций неопределенности квазинепрерывных сигналов, сфор-
сформированных на основе детерминированных дискретно-кодированных
последовательностей;
¦ оптимизация СДКС по критерию минимума среднеквадратичных боко-
боковых лепестков функции неопределенности в заданной дальностно-доп-
леровской области.
К сожалению, не все проблемы РТС можно решить синтезом СДКС. Оста-
Остаются проблемы маскировки слабых эхо-сигналов более мощными отражениями.
Адаптивное формирование СДКС при сложной радиолокационной обстановке
трудно реализовать в реальном масштабе времени.
Для решения перечисленных проблем представляет интерес применение
компенсационных методов обработки СДКС. Однако существуют два главных
препятствия и на этом пути:
¦ обработка СДКС должна одновременно выполняться во всем диапазоне
задержек и доплеровских сдвигов частоты, что представляется доста-
достаточно сложным с технической точки зрения из-за очень большой (сотни
тысяч и более) базы СДКС;
¦ для эффективной когерентной компенсации параметры мощных сигна-
сигналов должны быть измерены с точностью до начальной фазы в реальном
масштабе времени. Точность измерений должна быть достаточно высо-
высокой, поскольку она влияет на глубину компенсации.
Реальные технические возможности удовлетворения этих условий появи-
появились недавно с освоением серийного выпуска высокопроизводительных уст-
устройств цифровой обработки сигналов. Применение подобных устройств для
реализации компенсационных методов обработки СДКС невозможно без реше-
решения следующих теоретических задач:
¦ определение методов компенсационной обработки, критериев качества
и эффективности;
¦ разработка компенсационных методов блочной обработки сигналов,
оптимизация параметров на основе сформулированных критериев каче-
качества и эффективности;
¦ разработка и исследование компенсационных методов рекурсивной об-
обработки СДКС;
¦ исследование способов уменьшения влияния ограниченного динамичес-
динамического диапазона приемника на эффективность компенсационной обра-
обработки СДКС;
15

¦ разработка алгоритмов адаптации структуры и параметров зондирую-
зондирующего сигнала к реальной обстановке при компенсации мешающих отра-
отражений.
Исследование способов решения перечисленных выше проблем и задач
объединены в монографии в три больших раздела.
Первая часть монографии посвящена синтезу двоичных и троичных после-
последовательностей с заданными параметрами: период (длина), пик-фактор, урав-
уравновешенность, автокорреляционные и взаимнокорреляционные функции.
Во второй части исследуются проблемы применения квазинепрерывного
режима работы РЛС, синтез СДКС с оптимальным уровнем боковых лепестков
функций неопределенности в заданной дальностно-доплеровской зоне.
В третьей части исследуются компенсационные методы обработки СДКС
с большой базой, алгоритмы адаптации структуры и параметров дискретных
модулирующих сигналов при компенсационной обработке мешающих отраже-
отражений.
Предисловие, введение и первая часть написаны В.Е. Гантмахером, вторая
часть — Н.Е. Быстровым и третья — Д.В. Чеботаревым.
Анализ, синтез и обработка шумоподобных сигналов с большой базой пред-
представляет интерес для разработчиков радиотехнических, телемеханических,
вычислительных и многих других систем, в которых применяются шумоподоб-
ные сигналы (псевдослучайные последовательности).
16

Часть I. СИНТЕЗ ШУМОПОДОБНЫХ
СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ
ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УРОВЕНЬ
БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Глава 1
ШУМОПОДОБНЫЕ СИГНАЛЫ
1.1. Определение, классификация,
характеристики
Названия исследуемых сигналов соответствует широте областей приме-
применения. Их называют «шумоподобными» [26, 59,129],~«сложными» [21, 25, 34,
79, 93], «широкополосными» [58, 86], «псевдослучайными» [3, 122], «диск-
«дискретными» [4, 60, 106], «сложными дискретными» [74, 110], «дискретно-коди-
«дискретно-кодированными» [35, 71], «ортогональными (квазиортогональными)» [129], «оп-
«оптимальными дискретными» [97].
Каждое из названий акцентирует внимание на приоритетной для конкрет-
конкретного применения характеристике сигнала. Тем не менее, общепринятым мож-
можно считать определение «сложного сигнала», как сигнала, удовлетворяющего
условию:
l«FT = B, A.1.1)
где: В — база сигнала;
F — эффективная ширина его спектра;
Т — длительность.
Разделяя критику о неточности такого определения сложного сигнала,
приведенную в [74], нельзя не согласиться с выводом, сделанным там же:
«... сложившиеся определения сложных и широкополосных сигналов являются
не совсем удачными, однако вряд ли возможно и целесообразно менять их».
Нельзя не согласиться с замечаниями в адрес словосочетаний «дискрет-
«дискретный сигнал», «дискретно-кодированный сигнал» [60], если они не конкретизи-
конкретизированы.
17

В монографии исследуются амплитудно-фазоманипулированные сложные
дискретно-кодированные сигналы (СДКС), амплитуда и фаза несущей частоты
которых могут изменяться только через строго определенные интервалы
времени Дг Комплексная огибающая СДКС имеет вид [34]:
So\t-ibt)9 A.1.2)
где SQ(t) — комплексная огибающая радиоимпульса,
У = {уД — дискретно-кодированная последовательность (ДКП), задаю-
задающая закон изменения амплитуды и фазы,
At — длительность дискрета.
Поскольку ДКП {у.} являются основным классификационным признаком
и определяют основные свойства СДКС (их даже часто отождествляют с
СДКС), то именно они составляют предмет наших дальнейших исследований.
По алфавиту, к которому принадлежат элементы {у.}, ДКП подразделяют
на:
¦ двоичные последовательности (ДП), если у-е {0, 1};
¦ троичные последовательности (ТП), если^е {0, ±1};
¦ бинарные последовательности (БП), если yi-e {±1};
¦ р-ичные последовательности, если yt е \ 0, ± 1, ± 2,..., ± ——
¦ М-фазные последовательности, если 'yte iexp j2n— L k<M.
I I M)\
T
Различают периодические ДКП yt = yi+N, с периодом N = — и импульс-
импульсные (усеченные, апериодические) длиной N и обязательными условиями:
у, = 0 для 0 < г < N, у0 ф 0,yN_} ф 0.
Основной качественной характеристикой СДКС (ДКП) является функция
неопределенности (ФН) [21,71, 73, 93] или тело неопределенности (ТН) [21,25].
Иногда ФН называют «функцией корреляции сигнала» [97], «двумерной
функцией автокорреляции» [129], «коэффициентом частотно-временной связи»
[31], «частотно-временной автокорреляционной функцией» [60]. Мы будем
пользоваться термином «ненормированная функция неопределенности», пони-
понимая под ней:
N-1
/?(т, /)= ^y^^expi- j2nfiAt), A.1.3)
i=0
где: / — сдвиг по частоте;
т — сдвиг по времени (сдвиг последовательности в тактах длительностью А,).
18

Сечение ненормированной ФН при/ = 0 называют ненормированной пе-
периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ), если ДКП {у(} периоди-
периодическая последовательность:
0,
,0. A.1.4)
и ненормированной импульсной (апериодической) автокорреляционной функ-
функцией (ИАКФ), если ДКП {у.} является импульсной последовательностью:
0,
0? A.1.5)
RY называют главным лепестком ненормированной АКФ, гу(т) и гг(т) —
боковыми лепестками АКФ.
Кроме ФН и ее сечений (ПАКФ, ИАКФ), важными характеристиками (па-
(параметрами) ДКП являются:
1. Правило кодирования (ПК) UY(i). ПК ставит в соответствие каждой
позиции с номером / символ у. из алфавита, над которым задана
ДКП Y.
2. Мощность ПК l(uy (/)) равна числу неинверсно-изоморфных ДКП Y одина-
одинакового периода (длины) N, которые можно построить по ПК UY(i).
N
3. Пик-фактор pf =—-.
RY
4. Степень неуравновешенности: 77 = , Am =\m+ -т_\ для бинарных и
троичных последовательностей, где т+ — число «плюсов», а т_ —
«минусов» на периоде (длине) ДКП.
Перечисленные характеристики и параметры определяют свойства конк-
конкретной ДКП.
Общепринятыми являются некоторые характеристики, определяющие сово-
совокупность последовательностей. Особую группу ДКП составляют псевдослучайные
последовательности (ПСП), которые определены в [110] как детерминированные
последовательности, отвечающие набору тестов на случайность. В [122]
конкретизируется, что, если ДКП удовлетворяют трем тестам на:
¦ уравновешенность (появление любого из символов ДКП равновероятно);
¦ свойство серий (вероятность появления серии из q символов обратно
пропорциональна длине серии);
¦ свойство корреляции (автокорреляционная функция близка к дельта-
функции),
то ее практически невозможно отличить от последовательности, полученной с
помощью случайного механизма, например, бросанием костей.
Еще одну группу ДКП составляют ансамбли — это множество последова-
последовательностей, удовлетворяющих совокупности требований [60]:
19

} ^ (U6)
==^ Vm /mm '
где rm — пороговое значение БЛ ПАКФ и ПВКФ;
v(u{i\r) — объем ансамбля с ПК U(i);
гк(г) — автокорреляционная функция (АКФ) /с-ой ДКП;
rkj (г) — взаимно корреляционная функция (ВКФ) к-ой и /-ой ДКП;
(rw )mm — минимаксное значение боковых лепестков ПАКФ и ПВКФ
нУи-т. A.1.7)
1=0
Групповым признаком «системы сигналов» [27] может быть единое ПК,
общий принцип формирования:
¦ рекуррентные последовательности — ДКП, у которых каждый следую-
следующий символ формируется по группе предыдущих;
¦ линейные последовательности — ДКП, у которых функция формирова-
формирования линейна;
¦ нелинейные последовательности — ДКП, у которых функция формиро-
формирования нелинейна.
Довольно распространенным классификационным признаком ДКП являет-
является корреляционная функция [97,122]:
¦ последовательности с одноуровневой ПАКФ [г(г) = г, г = 1, N-1)',
¦ последовательности с двухуровневой ПАКФ (г(т) = {rvr2}, T = l,N-l);
¦ последовательности с идеальной ПАКФ (г(т) = 0, г = 1, N -l);
\
r(r)| < rm, rm«R, x = 1, Af -lj;
¦ трансортогональные последовательности (г(т) < 0,т = 1, N -1 j;
¦ максимально-трансортогональные последовательности (г(т) < 0, г = 1, N -1);
¦ двоичные последовательности со свойством «не более одного совпаде-
совпадения» (нерегулярные импульсные последовательности (НИП)) ( г(т) = {ОД},
т = 1,#-1);
¦ ДКП с n-уровневой ПАКФ (г(г)={г1,г2,...,гя}) и т.д.
20

1.2. Периодические последовательности
Обзор известных ПК периодических ДКП будем проводить в соответствии
с классификационными признаками, указанными в разделе 1.1.
1. Бинарные последовательности (БП).
1.1. БП с одноуровневой ПАКФ:
¦ М-последовательности — это хорошо изученные, наиболее распро-
распространенные и широко применяемые БП [25, 60, 97, НО]. Их также
называют «последовательностями Хаффмена» [129], «нулевыми пос-
последовательностями Хаффмена» [76], «сигналами Хаффмена» [4], пос-
последовательностями максимального периода [71], «линейными кодами
максимальной длины» [58], «линейными рекуррентными последова-
последовательностями максимального периода» [120]. Здесь и далее первым
идет название последовательностей (ПК), которое принято в моно-
монографии.
¦ Последовательности символов Лежандра [35, 110], которые также
называют «последовательностями квадратичных вычетов» [97,122],
«последовательностями Лежандра» [25, 142], «последовательностя-
«последовательностями Пэли-Плоткина» [4, 106], «кодами символов Лежандра» [22].
¦ Последовательности символов Якоби [35, 142], которые также на-
называют «последовательностями Якоби» [25], «последовательностя-
«последовательностями с периодом, равцым произведению двух простых чисел» [110],
«кодами Якоби» [97].
¦ Последовательности Холла [10, 15, 27, 31] или «коды Холла» [97].
¦ Последовательности Баркера [25] или «коды Баркера» [71], «сигна-
«сигналы Баркера» [4].
¦ БП на основе разностных множеств, сбалансированных на один и
на два уровня [60, 97].
На примере БП с одноуровневой ПАКФ только из обилия названий одних
и тех же ДКП видна многозначность подхода к их описанию. Далее мы будем
приводить лишь одно название ДКП и источник с наиболее полным описани-
описанием ПК.
1.2. БП с двухуровневой ПАКФ:
¦ Обобщенные последовательности квадратичных вычетов [97].
¦ Обобщенные последовательности символов Якоби [97].
¦ Характеристические последовательности [97].
¦ БП на основе разностных множеств, сбалансированных на два уров-
уровня [60, 97].
1.3. Нелинейные последовательности:
¦ Нелинейные рекуррентные последовательности [4].
¦ Нелинейные ПСП [6, 7].
1.4. Троичные последовательности:
¦ ТП с идеальной ПАКФ [62].
¦ ТП на основе линейных рекуррентных последовательностей [4].
¦ Троичные квазиортогональные последовательности [35].
¦ Троичные составные последовательности [60].
21

1.5. Двоичные последовательности:
¦ ДП на основе разностных множеств [97].
¦ ДП со свойством «не более одного совпадения» [97].
¦ ДП с «минимальной апериодичностью» [97].
¦ ДП Шермана [106].
1.6. р-ичные линейные рекуррентные последовательности [4,120].
1.7. Многофазные последовательности:
¦ Четвертичные последовательности Велти [29].
¦ Последовательности Фрэнка [114].
1.8. Ансамбли последовательностей:
¦ Ансамбли БП Голда [60, 134].
¦ Ансамбли БП на основе объединения ансамблей Касами и бент-
функций [60, 67].
¦ Ансамбли двоичных последовательностей [98].
¦ Ансамбли многофазных последовательностей [60].
Подводя итог обзора известных ДКП, следует заметить, что многие из пере-
перечисленных последовательностей можно использовать не только для манипуляции
амплитудой и фазой, но и частотой [5, 54, 56, 69, 70, 91,130,132].
Поскольку понятия «анализ» и «синтез» также трактуют по разному, здесь
и далее мы будем пользоваться определением, данным в [107]:
Анализ сигналов — изучение их свойств.
Синтез сигналов — нахождение сигналов, обладающих заданными свой-
свойствами.
Математической основой анализа ДКП являются:
¦ теория чисел [30, 78];
¦ теория кодирования [20, 68, 75, 76, 87];
¦ высшая алгебра [23, 72, 73];
¦ теория автономных линейных последовательностных машин [53];
¦ комбинаторика [95, 119].
Основные методы синтеза:
1. Довольно распространенным методом синтеза ДКП является направ-
направленный перебор. Как правило, он состоит из двух этапов. Первый этап
заключается в поиске необходимых условий существования ДКП с за-
заданными параметрами. А второй — направленный перебор в ограни-
ограниченной области. Так найдены все известные бинарные последователь-
последовательности Баркера N < 13, троичные последовательности с идеальной ПАКФ
до 7V<18 [62] и троичные квазиортогональные последовательности с
одним нулевым символом на периоде N <23 [43]. Однако при достаточно
больших периодах он неэффективен.
2. Синтез пары: сигнал-фильтр. Это наиболее продуктивный подход, ко-
который предусматривает одновременное конструирование сигнала и
фильтра для его обработки. Оптимизируемый параметр: отношение
сигнал/шум на выходе фильтра. Этот метод активно пропагандируется,
например, в [60].
3. Синтез ДКП на основе известных разностных множеств. Этот подход
достаточно хорошо проиллюстрирован в [97, 122]. Он является состав-
22

ной частью второго метода [60], однако его возможности ограничены
числом известных РМ.
4. Синтез ДКП на основе линейных рекуррентных последовательностей,
формируемых автономными линейными последовательностными маши-
машинами. Наиболее наглядно он представлен в работах [4] и [120]. Этот
метод достаточно продуктивен.
5. Синтез ДКП путем гомоморфного отображения мультипликативных
групп простого и расширенного поля Галуа с помощью k-значного ха-
характера.
Последний метод, как показано в [97], поглощает практически все извест-
известные ПК линейных ДКП.
Отмечая в качестве главного достоинства обобщающие возможности это-
этого метода, М.Б. Свердлик констатирует, что с ростом характеристики поля и
числа классов объем вычислений при направленном переборе резко
увеличивается, из-за чего «фактически исключается возможность» использова-
использования этого метода синтеза ДКП.
Исключительно заманчивым представляется поиск путей реализации обоб-
обобщенного метода синтеза периодических ДКП, а также комбинирование
перечисленных выше методов.
1.3. Импульсные последовательности
Эпиграфом к настоящему разделу могли бы служить две фразы из работы
[97]:
Задача поиска ДКП с г(т)< гт «не имеет для больших N эффективной вы-
вычислительной процедуры».
«В настоящее время не только нет регулярного метода синтеза бинарных
фазоманипулированных сигналов, оптимальных по минимаксному критерию, но
даже нельзя ответить на вопрос, насколько известные сигналы с большим
числом позиций N близки к оптимальным».
Эти заключения были опубликованы три десятилетия назад, однако сохра-
сохранили свою актуальность по сей день.
Несмотря на интенсивные исследования, все известные методы синтеза
импульсных ДКП содержат в качестве одного из этапов перебор.
1. Метод направленного перебора. Как указывалось выше, этим методом
были найдены все бинарные последовательности Баркера N <\Ъ. Этим
методом найдены троичные Импульсные квазиортогональные последо-
последовательности, в том числе троичные последовательности Баркера с N < 31
[4, 49, 50, 80], двоичные импульсные последовательности (последова-
(последовательности Шермана) с весом R < 10 [106].
Как и для периодических ДКП, синтез предусматривает два этапа. Пер-
Первый ориентирован на сужение области перебора и состоит в формули-
формулировке необходимых условий существования и допустимых комбинатор-
комбинаторных соотношений параметров [27, 35, 80]. Второй заключается в
разработке эффективных переборных алгоритмов [4, 51].
23

2. Метод синтеза импульсных ДКП на основе периодических. Идея метода
основана на взаимосвязи периодической и импульсной АКФ для одной
и той же ДКП B.5.1).
Метод также состоит из двух этапов. Первый заключается в поиске
ДКП с «хорошей» ПАКФ. Второй — в поиске оптимальных по мини-
минимаксному критерию начальных условий. С помощью этого метода най-
найдены оптимальные по минимаксному критерию бинарные и троичные
последовательности [48, 63, 84, 97]. Однако второй этап этого метода
также переборный и, следовательно, является существенным ограниче-
ограничением возможностей по периоду (длине) синтезируемой ДКП.
Для двоичных последовательностей в силу B.5.1) таких ограничений
нет, т.к. результаты синтеза периодических ДКП с точки зрения боко-
боковых лепестков АКФ естественным образом распространяются на им-
импульсные. Второй этап заключается в поиске оптимально коротких им-
импульсных ДКП. С помощью этого метода в [97] найдены оптимальные
по длине ДП со свойством «не более одного совпадения» с весом R < 46.
3. Синтез нерегулярных импульсных последовательностей (НИП), близких
по своим свойствам к регулярным (НИП с минимальной апериодично-
апериодичностью). В [97] предложен метод синтеза таких последовательностей, од-
однако он применим лишь для двоичных последовательностей с весом R
= р,р — простое число.
4. Дополнительные (квазидополнительные) последовательности — это пара
последовательностей, сумма БЛ ИАКФ которых равна нулю (не превы-
превышает по модулю единицы). В работе [25] доказаны необходимые усло-
условия существования таких последовательностей, методы их синтеза, ре-
регулярные правила построения путем наращивания длины, чередования
и присоединения.
5. Многофазные импульсные ДКП. Многочисленные попытки найти бинар-
бинарные последовательности Баркера длины N>13 показали, что их не
существует при длинах N = 2t + 1, N = 4t + 2, N = 4t2, 13 < N < 6084 (t —
натуральное число).
В [137] предложены многофазные последовательности Баркера (N < 19),
а в [25, 26, 29, 114, 129] — регулярный метод построения четверичных
импульсных последовательностей произвольной длины (коды Велти).
Главный недостаток многофазных ДКП состоит в сложности
формирования.
6. Синтез сигналов (ДКП) по ИАКФ. Суть метода состоит в минимизации
функции
т)~г3(т]<е, r = l,tf-l, A.3.1)
где гс(т) и Я3(т) ¦— уровни БЛ ИАКФ синтезированные и заданные,
е — задацная максимальная величина отклонения.
В зависимости от используемого критерия и способа вычисления A.3.1)
различают [22, 25, 71]:
¦ метод равномерного приближения;
¦ метод минимума среднеквадратического отклонения;

¦ метод покоординатного спуска;
¦ метод минимума среднестепенного отклонения;
¦ асимптотический метод синтеза.
Все эти методы относятся к числу итерационных и включают в себя трудо-
трудоемкий переборный процесс. Лучшие результаты синтеза бинарных последова-
последовательностей с N < 901 существенно уступают по уровню минимаксных Б Л ИАКФ
БП, синтезированным по одному из выше упомянутых методов. Например, на
основе периодических ДКП с увеличением длины последовательности уровень
максимального БЛ ИАКФ приближается к <Jn, а у последовательностей, полу-
полученных итерационными методами — 1.5V7V.
7. Метод Хаффмена [118] основан на использовании свойств многочле-
многочленов, составленных из операторов задержки. Несмотря на то, что ДКП,
синтезированные по методу Хаффмена имеют практически идеальную
ИАКФ, этот метод не получил развития, т.к. в процессе синтеза невоз-
невозможно контролировать неравномерность амплитуды синтезированного
сигнала.
Т.о., из рассмотренных методов синтеза импульсных ДКП наиболее резуль-
результативными являются первые три. Проблемы их усовершенствования состоят в
синтезе ДКП с «хорошей» ПАКФ и сокращении времени на этапе перебора.
1.4. Последовательности для РЛС
с квазинепрерывным режимом работы
В разделе 1.2 дан обзор непрерывных (периодических) ДКП, в § разделе 1.3
— импульсных. Они могут быть использованы в качестве модулирующих пос-
последовательностей при формировании сложного дискретно-кодированного зон-
зондирующего сигнала РЛС, работающих в непрерывном или импульсном режимах,
соответственно. Сигналы РЛС с непрерывным режимом работы энергетически
более насыщены (при одинаковой пиковой мощности передатчика), однако им
присущи два существенных недостатка: «просачивание» части энергии зонди-
зондирующего сигнала в приемник и уязвимость по отношению к мощным отражени-
отражениями от близко расположенных целей с большой ЭПР. Устранить эти недостат-
недостатки полностью удается лишь работой на две разнесенные антенны или на одну
антенну с поочередным подключением к ней передатчика или приемника [79,
127]. Есть целый ряд объективных причин, не позволяющих разнести приемную
и передающую антенны, например, ограниченные размеры носителя
(самолетные, корабельные, переносные, РЛС космического базирования и т.д.).
В этих случаях единственным способом решения указанных выше проблем
остается переход на квазинепрерывный режим работы РЛС. В [35, 71, 79] при-
приведены структурные схемы РЛС с квазинепрерывным режимом работы. На
рис. 1.4.1 представлена упрощенная структурная схема РЛС.
Закон модуляции зондирующего сигнала определяется ДКП Z1. Приемник
и передатчик подключаются к одной антенне ключами Кл1 и Кл2. Момен-
25

Передатчик
Z1 J
>
Кл1
Кодирующее
устройство
Z2 ^
Пс
i
редатчик
Кл2
Х1
(
Х2
Рис. 1.4.1, Упрощенная структурная схема РЛС с квазинепрерывным режимом работы
ты подключения передатчика к антенне определяются единичными символами
в двоичной последовательности развязки (ДПР) передатчика XI. Моменты
подключения приемника — единичными символами в ДПР приемника Х2.
Временная развязка приемно-передающего тракта обеспечивается взаимной
ортогональностью последовательностей XI и Х2(Х1-Х2 = 0) при отсутствии
задержки. В частности, XI и Х2 могут быть взаимно-инверсными ДП. В более
общем случае следует допустить наличие таких моментов времени, когда и
приемник, и передатчик отключены от антенны. Например, с целью режекции
мощных искусственно создаваемых помех или мощных отражений от близко
расположенных объектов.
Все четыре последовательности Zl, Z2, XI, Х2 формируются кодирующим
устройством, которое может представлять собой специализированное вычисли-
вычислительное устройство или универсальную ВМ. При этом XI и Х2 — пара ортогональ-
ортогональных в точке двоичных последовательностей с пик-фактором pf = 2-40 и одно-
одноуровневой (квазиодноуровневой) периодической взаимно-корреляционной
функцией. Z1 — бинарные или троичные квазиортогональные последовательно-
последовательности. Желательно, чтобы двоичная последовательность, соответствующая нулевым
символам ТП, также имела одноуровневую (квазиодноуровневую ПАКФ) и могла
быть использована в качестве последовательности развязки приемно-передающего
тракта. Z2 — бинарная или троичная опорная последовательность для согласован-
согласованной или квазисогласованной обработки.
Процесс прохождения сигнала по приемно-передающему тракту будет
состоять из следующих этапов:
1. Манипуляция фазы несущей частоты в передатчике по закону ДКП Z1.
2. Амплитудная манипуляция фазоманипулированного сигнала по закону
ДПР XI ключом К1.
3. Излучение амплитудно-фазоманипулированного по закону W = Z1-X1
зондирующего сигнала.
4. Дополнительная амплитудная манипуляция задержанного на время т • А,
отраженного эхо-сигнала по закону ДПР Х2 ключом Кл2.
5. Корреляционно-фильтровая обработка сигнала с опорной последова-
последовательностью Z2.
26

Анализ и синтез СДКС предусматривает решение следующих задач:
¦ учет влияния двойной амплитудной модуляции ДПР XI и Х2 на отклик
корреляционного фильтра и параметры РЛС в целом;
¦ синтез пары ортогональных в точке ДПР XI и Х2 с заданным рельефом
ПВКФ;
¦ разработка критериев, по которым можно было бы сравнивать различ-
различные реализации ДПР;
¦ сравнительная оценка различных ДПР.
Теоретические и практические аспекты организации работы РЛС в квази-
квазинепрерывном режиме достаточно подробно исследованы в [31, 32, 33,35, 38, 39,
40, 66, 79]. В первой части монографии рассматриваются вопросы синтеза дво-
двоичных, бинарных и троичных последовательностей с учетом требований,
предъявляемых квазинепрерывным режимом работы.
1.5. Задачи,
решаемые в первой части монографии
По результатам обзора, выполненного в предыдущих разделах первой гла-
главы, можно сделать следующие выводы:
1. Наиболее популярными и широко применяемыми в системах различно-
различного назначения с шумоподобными сигналами (радиотехнических, связ-
связных, передачи информации, телеметрических, вычислительных и мно-
многих других) являются дискретно-кодированные сигналы, свойства
которых определяются дискретно-кодированными последовательностя-
последовательностями. Из ДКП наиболее востребованными являются двоичные, бинарные
и троичные последовательности.
2. Несмотря на большое число известных регулярных правил кодирования
ДП, БП, ТП и их ансамблей, остается неудовлетворенность плотностью
сетки периодов (длин) ДКП, мощностью правил кодирования, объемами
ансамблей, плотностью ряда значений пик-фактора ДП и ТП, степенью
уравновешенности квазиортогональных последовательностей.
3. Подавляющее число известных правил кодирования сформированы над
простыми и расширенными полями Галуа. Чтобы построить такие поля,
необходимо знание неприводимых (в том числе примитивных) полино-
полиномов (НП).
Однако лишь известные таблицы НП над GF B) [87] своей полнотой
удовлетворяют разработчиков. Таблицы НП над полями нечетной ха-
характеристики [53, 73] являются перепечаткой с наиболее полных таб-
таблиц, рассчитанных еще в 1935 году. Известно много исследований
свойств многочленов с коэффициентами из простых и расширенных
полей Галуа [28], однако регулярных методов расчета глобального мно-
множества нормированных НП нет [73, 75].
4. Все известные методы синтеза ДКП включают в себя направленный
перебор, что существенно ограничивает область их применения, а при
27

синтезе ДКП с базами В = 105 -И О6 исключает возможность их примене-
применения даже при наличии быстродействующей вычислительной техники.
5. Многообразие подходов к математическому описанию известных пра-
правил кодирования и методов синтеза ДКП существенно осложняет ана-
анализ, синтез и применение как отдельных методов синтеза, так и форми-
формирование некоторых ДКП.
Перечисленные проблемы определили решаемые в первой части моногра-
монографии задачи.
Поскольку математический аппарат, используемый в первой части моно-
монографии, лежит за пределами учебных программ технических вузов, во второй
главе приводится краткое изложение основных положений теории чисел, теории
групп и полей Галуа, автономных линейных последовательностных машин и
свойств корреляционных функций. Объем изложения достаточен для усвоения
материала последующих глав первой части монографии.
Третья глава посвящена разработке алгоритмов расчета коэффициентов
неприводимых над простыми и расширенными полями Галуа полиномов произ-
произвольной степени, а также периодов их корней.
В четвертой главе разрабатывается математический аппарат, позволяющий
проводить анализ и синтезировать ДКП не поэлементно, а большими непересе-
непересекающимися блоками. При этом все синтезируемые последовательности (двоич-
(двоичные, бинарные и троичные), их ансамбли формируются на основе единого обоб-
обобщенного правила кодирования, которое включает в себя практически все
известные ПК ДКП, период которых простое число.
Пятая глава посвящена разработке методики синтеза ДП, БП, ТП и их
ансамблей с заданными характеристиками на основе предлагаемого в главе 4
математического аппарата.
В шестой главе иллюстрируются возможности разработанных методов
синтеза на многочисленных примерах:
¦ Нерегулярных импульсных последовательностей со свойством «не более
Хт совпадений» и их ансамблей;
¦ Двоичных последовательностей с одноуровневой (квазиодноуровневой)
ПАКФ и ПВКФ;
¦ Ансамблей двоичных последовательностей больших объемов, боковые
лепестки ПАКФ и ПВКФ которых не превышают V/?, где R — вес ДП;
¦ Троичных и бинарных квазиортогональных последовательностей.
В заключении приводятся основные результаты, полученные в первой ча-
части монографии.
28

Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ДЛЯ АНАЛИЗА, СИНТЕЗА И ФОРМИРОВАНИЯ
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В предыдущей главе было показано, насколько широко применение ДКП
и как многообразна терминология одних и тех же последовательностей, одних
и тех же понятий, как многообразно математическое описание по сути одних и
тех же правил кодирования.
Настоящий раздел является как бы «толковым словарем» для прочтения
книги. Умудренный опытом читатель узнает, какие определения и терминоло-
терминология из всего многообразия используются нами, а читатель, который делает
первые шаги в области познания псевдошумов, узнает, какой смысл вкладыва-
вкладывается в те или иные непонятные слова и где найти более обстоятельный ответ на
возникающие вопросы. Приводимые ниже разделы математики лежат за преде-
пределами курсов, читаемых в технических вузах.
2.1. Основные положения теории чисел
Теория чисел — это наука о целых числах [30, 78]. Под целыми числами
понимают числа ..., -3, -2, 0,1, 2, 3,...
Особое место среди целых чисел занимают натуральные числа — целые
положительные числа 1, 2, 3, 4,...
Натуральное число Р называется простым, если Р > 1 и не имеет положи-
положительных делителей, отличных от 1 и Р. Натуральное число N называется состав-
составным, если N > 1 я имеет по крайней мере один положительный делитель,
отличный от 1 и N.
Основная теорема арифметики гласит: всякое натуральное число N, кроме
1, можно представить как произведение простых множителей
7V = P1-P2-P3-...-Pn,n>l, B.1.1)
причем единственным образом, с точностью до порядка следования сомножи-
сомножителей. Такое разложение называется разложением на простые множители в
отличие от разложения на делители:
N = т1- т2- т3-... • nip I > 1.
Здесь Р; — простые числа, а т. — натуральные.
Среди простых сомножителей разложения B.1.1) могут быть и равные.
Если обозначить различные из них Рр Р2,..., Рк и допустить, что они встречают-
встречаются в разложении соответственно av a2, ..., ак раз, то разложение B.1.1) преоб-
преобразуется к виду
Л^Р^-P^-....P^ B.1.2)
и называется каноническим разложением.
29

Общим делителем чисел Nv N2, ...,Nn называется целое число d такое, что
d\Nv d\Nv ..., d | Nn (запись d\ Дочитается: d делит AT).
Наибольшим общим делителем (НОД) чисел JV1?iV2, -..,Nn называется такой
положительный общий делитель, который делится на любой другой общий
делитель этих чисел. НОД чисел Nv Nv..., Nnобозначают (Nv N2,..., Nn).
Процедура определения НОД двух натуральных чисел N{ и N2, из которых
N^Nj, была предложена Эвклидом и получила название алгоритма Эвклида.
На сегодня он остается наиболее эффективным из известных алгоритмом.
Наименьшим общим кратным (НОК) отличных от нуля чисел Nv N2,..., Nn
называют наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
НОК обозначают [Nv N2,..., Nn].
Из условия [Nv N2,..., Nn] = m следует:
1. m > 0, целое.
2. N1\m9N2\rn9...9Nn\m.
3. ЕслиМ> 0 к Nt\M, N2\M,..., Nn\M, то т\М, т<М.
4. т = ЩЩ • ... 'Nn/(NV N2,..., Nn).
Взаимно простые числа — это числа, НОД которых равен единице.
Если (а, Ь) = 1, то для любых неотрицательных тип справедливо: (ат, If) = 1.
НОК взаимно простых чисел равно их произведению. q(N) — фи-функция
Эйлера определяет число целых положительных чисел, не превосходящих N и
взаимно простых с N.
1 при N = 1;
Р-1 при N = Р — простое число;
-Pp~l). ... . (Р^-Рка^1)при N = Plal-P2a2-...-Pk4.
Свойства фи-функции Эйлера:
1. Мультипликативность:
ф (а • Ъ) = ф (а) • ф (Ь) при (а, Ь) = 1.
2. Сумма значений фи-функции Эйлера от всех положительных делителей
числа iV равна N:
d|N
30

Сравнения. Вычеты. Классы вычетов
Пусть т — натуральное число. Если два целых числа а и Ъ при делении на
т дают один и тот же остаток а = т -qx + г, Ъ = т -q2+ г, 0 < г < т, qlnq2 —
целые числа то они называются сравнимыми по модулю mr
Обозначение:
a^bmodm. B.1.3)
Соотношение B.1.3) введено Карлоу Гауссом и названо им сравнением.
Так, все четные (нечетные) числа сравним по mod 2. А = -3 = 27 = 12 mod 5, так
как -3 s 2,12= 2,27 = 2 mod 5.
а = Ъ mod т=>т \ (а — Ь), так как
а = mq1 -\
b = mq2 + г
Разность сравнимых по mod m чисел кратна модулю т и, следовательно,
сравнима с нулем по данному модулю. Из равенства а = b следует сравнение
а = b по любому модулю. У равенств и сравнений имеется много общих свойств:
1. Симметрия: а = Z? =» b = a.
2. Транзитивность: а = b, b = с => а =с
3. Обе части сравнения можно почленно складывать и вычитать:
4. Обе части сравнения можно почленно умножать:
а = b, c=d=$ci'C^b'd.
Следует заметить, что все сравнения при этом осуществляются по одному
и тому же модулю.
Кроме того, у сравнений есть специфические свойства:
5. Обе части сравнения можно разделить на общий делитель, если он вза-
взаимно прост с модулем
ab = bd mod m=> a=d mod m при (b, т) = 1;
12 s 6 mod 3 => 6 = 3 mod 3, но 4 Ф 2 mod 3, т.к. C,3) ф 1
6. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое
положительное число, а также разделить на любой их общий положи-
положительный делитель:
а = Ъ mod m=$ad = bd mod md\
7 = 4 mod 3 => 14 = 8 mod 6;
ab = bd mod m =$a = d mod m/ (Z?, m);
20 = 32 mod 6 =» 10 = 16 mod 3

7. Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место
по модулю, равному общему наименьшему кратному этих модулей:
? '
я^бтоётЛ г -, 14 = 2 mod б]
\a = bmod[mI,m2\; 114 = 2 mod 12.
a = bmodm2j 14 = 2 mod 4J
8. Если сравнение имеет место по mod m, то оно имеет место и по модулю
d, равному любому делителю числа т:
a=bmodm; fl4 = 2mod3;
14 = 2mod6=>
а = b mod d, если d | m; [14 = 2 = 0 mod 2.
9. Общий делитель одной части сравнения и модуля является также дели-
делителем второй части сравнения:
а = Ъ mod т, а = a^d, m = mxd => b = fo^;
15 ^ 9 mod 6; 3115, 316 => 319.
В основе построения подавляющего большинства ДКП лежит принцип
классификации чисел по тому или иному признаку. Чаще всего множество
целых чисел разбивают на классы на основе признака делимости или соотноше-
соотношений сравнимости по mod m, рассмотренных выше. Все целые числа, которые
при делении на га дают один и тот же остаток г, объединяют в один класс, обо-
обозначая его Сг. Очевидно, что при делении на га возможны т остатков:
0,1,2,3,...,т-1.
Следовательно, все целые числа можно разбить на т классов:
С С С С
которые называются классами вычетов по модулю /и. Каждый класс Сг содер-
содержит бесконечное число сравнимых между собой целых чисел, объединенных
одной формулой
N = mq + г; г < т; q = —,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., +«,.
Следует заметить, что различные классы вычетов по модулю т не содержат
общих элементов и, таким образом, являются непересекающимися классами.
Например, при т = 2 все числа разбиваются на два непересекающихся класса:
четные и нечетные числа. Числа одного и того же класса называются вычетами
этого класса.
Систему чисел называют полной системой вычетов по модулю т, если в нее
входят по одному вычету из каждого класса. В качестве «представителя» класса
можно взять любой вычет класса. Однако чаще всего пользуются наименьши-
наименьшими неотрицательными вычетами., когда в формуле N = mq +r число
q = 0. В этом случае полная система вычетоЁ по модулю т составляется из ос-
остатков г:
0, 1,2,3,...,т-1.
32

Нередко применяют полную систему абсолютно наименьших вычетов по
модулю т:
О, ±1, ±2, ±3,..., ± (т/2- 1), ± га/2 при четных га;
О, ±1, ±3, ±3,..., ± (га - 1) / 2 при нечетных га.
Из свойств сравнений вытекает, что вычеты одного класса по mod га име-
имеют с модулем один и тот же наибольший общий делитель. Следовательно, если
один вычет класса взаимно прост с модулем, то такими же будут все вычеты
класса. Поэтому можно говорить о классах вычетов по модулю га, взаимно
простых с этим модулем. Если из каждого такого класса взять по одному выче-
вычету, то получается приведенная система вычетов по модулю га.
Пример:
Полная система вычетов по mod 15:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
Полная система абсолютно наименьших вычетов по mod 15:
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7.
Приведенная система вычетов по mod 15:
1,2,4,7,8,11,13,14.
Приведенная система абсолютно наименьших вычетов по mod 15:
±1, ±2, ±4, ±7.
Степенные вычеты. Квадратичные вычеты.
Символы Лежандра и Якоби
Возможна классификация всех целых чисел на основе сравнений п-й степени:
хп =N mod m, где (m, N) = 1.
В этом случае все числа разбиваются на два класса:
¦ вычеты степени л, если сравнение разрешимо;
¦ невычеты степени п, если сравнение неразрешимо.
Наибольшее практическое применение получили квадратичные вычеты
(КВВ) (п = 2). Поэтому остановимся на них более подробно.
Пусть дано двучленное сравнение второй степени по нечетному простому
модулю Р:
A'2^modP, (P,2) = 1.
Заметим, что если число к является решением сравнения, то число (-к)
также является его решением. Поэтому в процессе вычисления квадратичных
вычетов используют абсолютно наименьшую полную систему вычетов. Отсю-
Отсюда количество КВВ и квадратичных невычетов (КВНВ) равно (Р - 1) / 2.
2 Зак 14 33

Пример. Найти КВВ (КВНВ) по mod 11.
Полная система абсолютно наименьших вычетов по mod 11:
±1,±2,±3,±4,±5.
Возводим каждый из вычетов в квадрат:
12 = 1; 22 = 4; З2 = 9; 42 = 16 = 5; 52 = 25 = 3 mod 11.
КВВ: 1, 4, 9, 5, 3; КВНВ: 2, 6, 7, 8,10.
И тех, и других: (Р - 1)/ 2 = A1 - 1)/ 2 = 5.
Для выяснения, является ли число а квадратичным вычетом по mod p,
можно воспользоваться критерием Эйлера:
Число я, взаимно простое с Р, является квадратичным вычетом по модулю
Р тогда и только тогда, когда
и квадратичным невычетом тогда и только тогда, когда
a(P-D/2 = _lmodP-
Для символической записи критерия Эйлера используют символ Лежанд-
ра (СЛ):
— | — С Л а по отношению к Р.
Р
1, если а — квадратичный вычет;
— 1, если а — квадратичный невычет.
Обобщением СЛ является символ, введенный немецким математиком
К. Якоби и получивший название символ Якоби (СЯ).
а\
— — СЯ а по отношению к П.
nJ
Он определяется для любых нечетных положительных чисел П и чисел а,
взаимно простых с П (в отличие от СЛ, который определен только для П = Р —
простое число).
ЕслиП = Р1-Р2-Р3-...-Рл, то
4>ВД*Н*)
Таким образом, СЯ числа а по отношению к П равен произведению СЛ
этого числа по отношению к простым делителям числа П. СЛ является частным
случаем СЯ при п = 1. Поэтому все свойства СЛ распространяются на СЯ.
34

Показатели степени. Первообразные корни. Индекс числа
Пусть дана последовательность степенных вычетов по mod m, упорядочен-
упорядоченная по возрастанию показателей степени:
Согласно теореме Эйлера, если (я, т) = 1, то
афп) =
Следовательно, для любого положительного а, взаимно простого с т, суще-
существуют показатели степени К такие, что
ак = 1 mod т,К*0.
Наименьшее натуральное число Kmin, которое удовлетворяет сравнению,
называется показателем, которому принадлежит число а по mod m, и обозна-
чается Р». Р» = Kmin>0.
Из определения Рш(я) следует, что Рт(я) < ф(т), Рт(а) |ф(т)
Пример, т = Р = 7. Степени всех вычетов по mod 7 сведены в табл. 2.1.1.
Таблица 2.1Л
Степени а' по mod 7
\\ а
i \>.
1
2
3
4
5
6
Р7(я)
1
1
1
2
2
4
1
3
3
3
2
6
4
5
1
6
4
4
2
1
3
5
5
4
6
2
3
1
6
6
6
1
2
В том случае, когда Pw(a) = <p(m), а называют первообразным корнем по
модулю т. В нашем примере первообразными корнями являются числа 3 и 5.
Нам понадобятся следующие свойства показателей:
1. Показатель, которому а принадлежит по модулю т, является делителем
фи-функции Эйлера от модуля:
Для нашего примера т = 7, ср(т) = срG) = 6. Возможные показатели
являются делителями числа 6: 1, 2, 3, 6. Действительно, Р7A) = 1,
Р7B) = Р7D) = 3, Р7C) = Р7E) = 6, Р7F) = 2.
35

2. По простому модулю Р каждый делитель числа Р - 1 является пока-
показателем для ф(Р'(а)) классов, причем ^ (р(Рр (а)) = (р(Р) = Р -1
Р
Для нашего примера Р = 7:
= 1 + 1 + 2 + 2 = 6.
3. Если а принадлежит показателю Рт(я), то а^ принадлежит показателю
Для нашего примера: вычислить Р7D):
4 s 52mod 7; Р7E) = 6=»Р7D) = Р7E2) = 6/F, 2) = 3.
Следствие 1. Если (Р^(я), X) = 1, то Рт(^х) = Рт(а).
Следствие 2. Если 0 — первообразный корень, то остальные первообраз-
первообразные корни могут быть найдены как степени 0*, взаимно
простые с Рт@).
Для нашего примера
Р7C) = 6; F, 5) = 1 =» Р7C5) = Р7E) = 6.
4. Если 6 — первообразный корень по модулю т, то число 01, 92, 03, ...,
@Ф(т) образуют полную систему вычетов по модулю т.
Для нашего примера 3 — первообразный корень по mod 7, следователь-
следовательно:
Зх = 3, 32= 6, З3 = 2, 34= 4, 35= 5, 36= 1 mod7.
Первообразный корень по модулю т существует тогда и только тогда, когда:
1) #я = Р* 1
2) /я = 2Ра J
где Р — любое простое нечетное положительное число,
а — натуральное число;
3) т = 2а, при.О < а < 2, т.е. при т = 2 и 4.

2.2. Множества. Разностные множества.
Отображение множеств
Понятие множество эквивалентно понятию «совокупность» [95,119]. Оно не
определяется, но может быть пояснено примерами. Можно говорить о множестве
книг, о множестве художественной или технической литературы, о множестве
точек кривой или вершин какой-либо фигуры. Таким образом, чтобы определить
множество, достаточно указать общий признак, которым обладают все элементы
этого множества и только они. Если данным свойством не обладает ни один из
элементов множества, то говорят, что это свойство объединяет пустое множество.
Принадлежность элемента а множеству А обозначают ае А.
Множество D (N, К, X) с параметрами N, К, X, состоящее из К вычетов
{av а2,..., ак} по модулюN, называется разностным множеством (РМ), сбалан-
сбалансированным на один уровень, если для каждого d 0 mod TV существует точно X
упорядоченых пар ар aeD таких, что at-a.= d mod N.
Пример. Множество D G,3,1) = {1,2, 4} является РМ, сбалансированным
на один уровень Х=1, т#к как для каждого d = 0 существует точ-
точно одна пара аг — а. = d mod N:
4 = ах -аъ= 1 -4; 5 =а2-а3= 2-4; 6 = аг -а2= 1 - 2 mod 7.
Разностные множества D(N, К, 1) с параметром X = 1 называются совер-
совершенными разностными множествами.
Известны разностные множества со следующими параметрами (ниже при-
приняты следующие обозначения: Р — простое число, t, и ига — натуральные
числа):
1. Зингера:
N=(q»- l)/(q - 1); К = vV1 - l)/(q - 1);
2. Квадратичных вычетов:
N = Vm = At - 1; К = 2t - 1; X = t - 1.
3. Холла:
N = P = 4иЧ21 = 4t-l;K = 2t-l;X = t-
4. Якоби («простые близнецы»):
N = Рг Р2 = 4t - 1; К = (N - 1)/2 = 2* - 1;
Рр Р2 — простые числа.
37

5. Биквадратичных вычетов:
N = Р = ,4Bм + IJ + 1, К = Bм + IJ, Я = и(и + 1).
6. Биквадратичных вычетов и нуля:
N = р = 4Bм + IJ + 9, К = Bм + IJ + 3, X = м(и + 1) + 1.
7. Восьмеричных вычетов:
7V = Р = 8м2 4- 1 = 64*2+ 9, К = и2, X = Г2.
8. Восьмеричных вычетов и нуля:
N = Р = 8Bм + IJ + 49 = 128г2 + 9, К = Bм2 + IJ, X = 4Л
9. Уитмена:
N = Pj • Р2 = 64м2 + 16м(А + 1) + 2А + 1,
?1 = 8м + 1, Р2 = 8м + 2А + 1,
при А = 2: N = 64м2 + 48м + 5,
К = 16м2 + 12м + 1, X = 4м(м + 3).
К = Bt + IJ.
Отображение множеств. Пусть даны два множества А = {а.} иВ = {Ь.}.
Если каждому элементу at e А поставлен в соответствие элемент Ъ. е В и
Ъ. = f(flf), то говорят, что имеется отображение множества А в множество В, i{a)
называют функцией отображения, а Ъ = f(a) — образом элемента а в множестве
В.
Пусть над множеством элементов А задана операция fA(a), а над множе-
множеством В — fg(fc) и эти множества имеют соответственно мощности МА и Мв,
причем МА * Мв. Тогда гомоморфное отображение А на В есть отображение,
при котором каждому элементу аеА поставлен в соответствие элемент be В
(образ а). Произведению (сумме) двух элементов ах * а2 соответствует произве-
произведение (сумма) их образов Ьг®Ь2. В общем случае операции * и <g> разные.
Пример. А — множество целых чисел (М^ = <*>), В — множество вычетов по
модулю т (Мв = т). Множество В является гомоморфным отобра-
отображением множества А, так как каждому элементу ае А поставлен в
соответствие его вычет, а сумме элементов — сумма вычетов. Сле-
Следует заметить, что отображение А=>В однозначно, однако обратное
отображение неоднозначно.
Два множества называются изоморфными, если их можно поставить в такое
взаимно однозначное соответствие, что из наличия fA(av av ...)eA вытекает
fB(bvb2,...)eB.
38

Пример. А — множество всех действительных чисел. Над этим множе-
множеством задана операция сложения
FA(ava2,...) = a1 + a2 + ...
В — множество всех положительных действительных чисел. Над
этим множеством задана операция умножения:
FB(bvb2,...) = bx -Ъ2-...
Множества А и В изоморфны, если ввести взаимно-однозначное
соответствие
fe, a > 0.
Тогда сумме аг + а2 + а3 + ... будет соответствовать произведение
Ъх - Ъ2 • Ъъ •... . Любой закон, справедливый в Л, справедлив в Б, и обратно. Так,
для нашего примера
Частным случаем изоморфизма является автоморфизм, когда множество с
помощью какого-либо преобразования отображается само на себя.
Предложения «для всякого а», «для каждого а», «для всех а» считаются
эквивалентными и обозначаются квантором общности V а. Предложение «су-
«существует а», «по меньшей мере для одного а» также имеют одинаковый смысл
и обозначаются квантором существования 3 а.
2.3. Основные положения теории групп
и полей Галуа
Система, состоящая из непустого множества G и некоторой операции *,
заданной на данном множестве, называется группой [23, 72, 73], если выполне-
выполнены следующие четыре условия:
1. Замкнутость. Для любых a, beG однозначно определен элемент
с = a*b, ceG (\/a, beG Зс = a* beG).
2. Единичный элемент. В G должен существовать такой элемент е, назы-
называемый единичным, что Vae G, а*е = е*а=а.
3. Обратный элемент. \/ aeG Зв, называемый обратным элементом, та-
такой, что
а* а =а *а = е.
4. Ассоциативность, а* (Ь *с) = (а*Ь) * с.
Группы, в которых в качестве операции задано «сложение», называется
аддитивными, «умножение» — мультипликативными.
Группа называется коммутативной или абелевой, если операция * коммута-
коммутативна, т. е. Va, be G, выполняется равенство а*Ь = Ь*а.
39

Подгруппой < Gp fj > группы < G, f > называется такая группа, которая
удовлетворяет следующим условиям:
1. Множество Gj является подмножеством G.
2. Групповые операции совпадают: fx = f.
3. Единичный элемент е принадлежит одновременно группе и подгруппе
е е Gv e e G.
Из условия «< Gp fj> является группой» следует, что в ней должны выпол-
выполняться все условия существования группы.
Пример. Аддитивная группа, заданная на множестве четных чисел Gp
является подгруппой аддитивной группы, заданной на множестве
целых чисел, так как G1 e G, fj = f, 0 € G и <GP fx> является
группой. Однако подмножество нечетных чисел не является
подгруппой множества целых чисел, так как в нем не выполняет-
выполняется условие замкнутости и <G2, f2> не является группой.
Циклической группой называется мультипликативная группа, которая
состоит из степеней одного из своих элементов {ап}. Элемента называется
образующим элементом циклической группы.
Если степени элемента а являются различными элементами группы, то а
называется элементом бесконечного порядка, а группа называется циклической
группой бесконечного порядка.
Если среди степеней а имеются равные ат = ап при га ^ п и т > п, то
т.е. существуют положительные степени элемента а, равные единице. Наимень-
Наименьшая степень Р(а) - Nmin такая, что а?^ = 1, называется порядком элемента а
или порядком мультипликативной циклической группы, так как из условия N =
Р(а) • q + г, 0 < г < Р(а) следует
aN - aV{a)-q . ar = (ЯРИ)<? • п1 = A)^ • dr = п\
Всякая циклическая группа абелева.
Всякая подгруппа циклической группы — циклическая группа.
Пусть в абелевой группе <G, f> имеется подгруппа <Gp f>. Если а —
любой элемент из G, то произведение а • Gx называется смежным классом груп-
группы <G, f> по подгруппе <GX f>, порожденным элементом а. Элемента всегда
содержится в смежном классе а • Gv так как из условия «<GP f> — группа»
следует, что она содержит единичный элемент е. Отсюда а • е = а.
Всякий смежный класс порождается любым из своих элементов, т.е. если
элемент Ъ содержится в смежном классе aGv то b-Gx = a-Gr
Следовательно, два любых смежных класса абелевой группы <?т, f > по
подгруппе <Gp f> либо совпадают, либо не имеют ни одного общего элемен-
элемента. Таким образом, всякая группа <G, f> распадается на непересекающиеся
смежные классы по подгруппе <Gp f>. Это разложение называется разложе-
разложением группы <G, f> по подгруппе <GV f>. Одним из смежных классов этого
разложения является сама подгруппа <Gp f>. Этот смежный класс порождает-
порождается элементом е или вообще любым элементом as Gv
40

Теорема Лагранжа. Во всякой конечной группе порядок любой подгруппы
является делителем порядка самой группы.
Если каждому элементу а мультипликативной группы <G, f> поставить в
соответствие элемент \\f(a) так, чтобы выполнялось условие гомоморфизма:
а*Ъ — с; a,b,c€ G=> \|/(а*&) = \|/(а)*\|/(Ь) = \|/(с), то функция \\f(a) называется ха-
характером мультипликативной группы. Характер называется К-значным, если
функция принимает ровно К различных значений.
Свойства К-значного характера мультипликативной группы:
1. К|Р(О).
2. V(l) = 1.
3. у(О = (?(fl))«.
4. (\|/(а))Р(а) = 1.
a<=G
Дальнейшим развитием понятия «группа» является поле. Это система,
состоящая из множества элементов G, на котором заданы две операции, услов-
условно называемые «сложением» и «умножением». Эта система должна удовлетво-
удовлетворять следующим условиям (табл. 2.3.1).
№п/п
1
2
3
4
5
6
Условие
Замкнутость
a, beG =$a*beG
Единичный элемент
а*е = е*а = а
Обратный элемент
а * а — а * а= е
Ассоциативность
(а*Ь)*с = а*(Ь*с)
Коммутативность
а*Ь = Ь*а
Дистрибутивность
Условия существования поля
Сложение
а + b = с
а, Ь, се G
а+е=е+а=а
е = 0
a+d=d+a=0
а =—а
(а + Ь) + с = а + (Ъ + с)
a + b = b+a
a(b +c) =a -b 4
Таблица 2.3.1
Умножение
а • b = d
а, Ъ, deG
а е = е • а-а
а¦а — а • а-1
(a-b) c = a(b - с)
a -b -b -а
- а с
Таким образом, в поле в отличие от группы заданы две, а не одна операции
и добавлено два условия: коммутативность и дистрибутивность.
Простым полем называется поле, элементами которого является полная
система вычетов по модулю простого числа Р, а операциями, соответственно,
сложение и умножение по mod P.
2* Зак 14
41

Пример. Р = 7. Полная система вычетов по mod 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 явля-
является аддитивной, коммутативной группой порядка 7. Ненулевые
элементы поля 1—6 образуют мультипликативную циклическую
группу. Выполнение условий 1—5 (табл. 2.3.1) вытекает из
свойств групп. Свойство 6 также выполняется.
Простое поле обозначают GF(P) (GF означает Galois Field — поле Галуа,
в честь французского математика Эвариста Галуа, который в начале девятнад-
девятнадцатого века сформулировал основные положения теории конечных полей).
Можно ли расширить класс конечных полей? Строить поля с числом эле-
элементов, не равным Р? Какие возможны порядки полей? Какими должны быть
операции в этих полях?
Для того чтобы дать ответы на эти вопросы, рассмотрим множество поли-
полиномов типа
А(х) = апхп + ап_ххп~1 + ... + а0 mod P.
Коэффициенты а. при фиктивной переменной х в этих полиномах принад-
принадлежат простому полю а.е GF(P). Операции сложения и умножения коэффици-
коэффициентов осуществляются над полем GF(P), т.е. по модулю Р.
Подобно сравнению целых чисел, по mod га, можно определить сравнения
полиномов, заданных над полем GF(P) по модулю полинома F(V):
Два полинома А(х) яВ(х) считаются «сравнимыми по модулю F(x), если при
делении на F(x) они дают один и тот же остаток. Это записывается так:
A(x)=B(x)modd(F(x),P),
Читается: полином А(х) сравним с В(х) по двойному модулю F(x) и Р.
При этом все свойства сравнений чисел по mod га распространяются на
сравнения по двойному модулю. В частности, все полиномы можно разделить
на непересекающиеся классы вычетов по modd (F(x), P). Каждый класс будет
представлен соотношением
А(х) = Q(x) - F(x) + R(jc) mod P или A(x) ^ Щх) modd (F(x), P),
где Q{x) — полином произвольной степени;
R(#) — остаток от деления А(х) на F(x).
Если степень F(x) равна п, то степень Щх) не должна превышать п - 1.
Можно построить полную и приведенную системы вычетов по двойному
модулю. Приведенная система будет полной в том и только в том случае, если
модульный полином F(x) будет взаимно прост со всеми остатками. Поскольку
остатки представляют собой множество всех полиномов степени 1 < п - 1, то
требование Щх) > F(x) (знак > означает «не делит») эквивалентно требованию,
чтобы F(x) был неприводимым полиномом (НП), т.е. не разлагался на множи-
множители (в числах это требование эквивалентно т = Р). Как и в числовой системе,
в качестве представителя каждого класса в полной системе вычетов выбирают
наименьший из вычетов класса, т.е. полином наименьшей степени. Такими
полиномами будут, очевидно, полиномы R(x):
Щх) = ЬпЛхпЛ + ЬпЛхп-2 + ... + bQ mod P.
42

Учитывая, что каждый из коэффициентов Ь. может принимать значения
0,1, 2,..., Р-1, нетрудно подсчитать общее число возможных остатков. Их будет
столько, сколько имеется ^-разрядных Р-ичных чисел, т.е. Рп. Следовательно,
полная система вычетов по двойному модулю (F(x), P) содержит Рп различных
вычетов.
Пример. Полная система вычетов по двойному модулю F(x) = х2 + х + 1,
Р = 2 содержит Р" = 22 = 4 вычета: Щх) = {0, 1, х, х + 1}.
Поскольку по двойному модулю определены операции и сложе-
сложения, и умножения, то можно построить систему степенных выче-
вычетов по двойному модулю и ввести понятие показателя, которому
принадлежит данный полином (по аналогии с показателем,
которому принадлежит данное число).
Пример. Показатели, которым принадлежат вычеты по двойному модулю
Р = 3, F(x) =х2 + х + 2 mod 3. Полином F(x) неприводим над
полем GFC). Полная система вычетов содержит З2 = 9 вычетов.
Составим таблицу степенных вычетов для ненулевых элемен-
элементов (табл. 2.3.2). Проиллюстрируем на данном примере, как
свойства показателей, которым принадлежит число по mod m,
можно распространить на показатели, которым принадлежит
вычет по двойному модулю, если ввести соответствие ф(га) <=>
Рп-1 (для чисел справедливо а^т^ = 1 mod m, а для полиномов
xp"'l=lmodd(F(x),P)).
Степенные вычеты е' по двойному модулю
F(x) =x2 + x + 2,P = 3
Таблица 2.3.2
^v E
i \
1
2
3
4
5
6
7
8
Р(е)
ei
1
1
2
1
2
?з
X
2jc+1
2jc+2
2
2х
х+2
JC+1
1
8
е4
JC+1
х+2
2х
2
2jc+2
2*+1
X
1
8
х+2
2
2х+\
1
4
2х
2х+\
х+\
2
X
х+2
2jc+2
1
8
2х+\
2
х+2
1
4
2jc+2
х+2
X
2
х+1
2х+\
2х
1
8
43

Действительно:
1. Р(р(Л) р)(^) I Pw-1. Возможные показатели (периоды) элементов являются
делителями числа РМ (З2 - 1 = 8; 1, 2, 4, 8|8).
2. Число элементов б-, которые имеют показатель Р/р/х) р)(е)> равно фи-
функции Эйлера от показателя ф(Р/Р(х\ р\(е)).
Число элементов с периодом 2 равно срB) = 1;
« « « « — 4 фD) = 2;
= 4.
3. Сумма фи-функции Эйлера от всех возможных показателей равна Pw -1:
р№),з)(*0 = 1, 2, 4, 8;
ФA) + фB) + фD) + ф(8) = 1 + 1 + 2 + 4 = 8.
4. Если е принадлежит показателю P/F(x\ p)(e)> то ек принадлежит показа-
показателю
Р(як\ — р /р\ / fp ^c^ Ъ-^*
P(fW,3)W = 8; Р№),з)И = P(FW,3)B) = 8/ (8, 4) = 2.
5. Если в — первообразный корень, т.е. показатель, которому он принад-
принадлежит, максимален и равен РЛ - 1, то остальные первообразные корни
могут быть найдены как степени 0, взаимно простые с Ри - 1:
C, 8) = 1; E, 8) = 1; G, 8) = 1.
е3 = G = х, степени, взаимно простые с 8: 3, 5, 7:
х3 = Ъс + 2, х5 = 2г, х7 = х + 1 modd (F(x), 3) — все они имеют период 8.
6. Существует ф(Р" - 1) первообразных корней: ф(8) = 4.
7. Если 0 — первообразный корень, то степени 0г i = l,Pn-l образуют
полную систему степенных вычетов по двойному модулю:
V-/ ""— J\f + O-| "*"¦ Ж* т О/ч "™" -X *
0
Полная система степенных вычетов образует коммутативную мультплика-
тивную группу порядка Р" - 1. А полная система вычетов и нулевой элемент
образуют коммутативную аддитивную группу порядка Р". Учитывая, что опера-
операции сложения и умножения по двойному модулю обладают свойством дистри-
дистрибутивности, можно утверждать, что полная система вычетов и операции сложе-
сложения и умножения по двойному модулю (F(x), Р) образуют поле порядка Рп,
которое обозначают GF(P") и называют расширенным полем Галуа или расши-
расширением степени п простого поля GF(P).
44

Мультипликативная структура полей Галуа позволяет распространить на
поля свойства мультипликативных групп: порядок мультипликативной группы
всегда кратен порядку любой его подгруппы. Следовательно, каждое поле
GF(P") имеет столько подполей, сколько делителей у показателя степени п.
Следует заметить, что расширенное поле можно получить не только расши-
расширением степени п простого поля GF (Р), но и расширением степени п2 расши-
расширенного поля GF(P"') если п = пх- пт В этом случае полная система вычетов
получается по тройному модулю: ?г(а) — степени п^ F2 (х) — степени п2 и Р.
Причем полином F2(x) должен быть неприводимым над полем GF(P"'), а поли-
полином Fx(a) — над полем GF(P).
Несмотря на то, что элементы обоих полей различны, различны операции,
заданные в этих полях, различаются сами модули и их число, циклическая
структура обоих полей не зависит от структуры элементов и операций. Возмож-
Возможные периоды (циклы), их число, число первообразных корней и их периоды
определяются лишь порядком поля, т.е. числом его элементов. Поэтому осног
вополагающая теорема Галуа гласит: для каждого простого числа Р и произ-
произвольного п >1 существует конечное поле порядка Ри, единственное с точностью
до изоморфизма.
2.4. Автономные линейные
последовательностные машины
Линейную последовательностную машину (ЛПМ) задают над простым
полем GF(P) [53,136]. Входными воздействиями и состояниями ЛПМ являют-
являются числа. Элементарными звеньями ЛПМ над полем GF(P) называют:
1. Сумматор по модулю Р.
X] + Х2 + ...+ Xi X
ex mod P х
сумматор умножитель
Рис. 2.4.1. Элементарные звенья ЛПМ
Dx
элемент
задержки
2. Умножитель по модулю Р на константу С. (Умножитель на константу С
= -1 называют инвертором.).
3. Элемент единичной задержки D. Запись D'x означает задержку пере-
переменной ;teGF(P) на / элементарных дискретов (/ тактов). При этом
оператор D — оператор единичной задержки.
Число элементов единичной задержки ЛПМ называется памятью ЛПМ.
ЛПМ, содержащую п элементов единичной задержки, называют п-мерной.
45

Предполагается, что входы и выходы элементов могут изменять свои состо-
состояния только через определенные интервалы времени, называемые периодом
тактов. Внутри этих тактов никаких изменений не происходит.
Если конечное число элементарных звеньев произвольным образом соеди-
соединить между собой и при этом выполняются два условия:
1) любая замкнутая цепь содержит, по крайней мере, один элемент за-
задержки;
2) выходы элементов не соединяют вместе,
то такую цепь называют линейной последовательностной машиной или диск-
дискретной линейной цепью.
ЛПМ характеризуется передаточной функцией W, которая определяется
как отношение выходной переменной Y ко входной X. Передаточная функция
ЛПМ, состоящей из нескольких звеньев с передаточными функциями W., рав-
равна произведению передаточных функций звеньев.
х
У X
W,
w2
w3
w^nw.
;
Рис. 2.4.2. Передаточная функция ЛПМ
ЛПМ, состояния которых не зависят от входных воздействий, называются
автономными ЛПМ (АЛПМ). Их используют для генерирования линейных
рекуррентных последовательностей и часто называют дискретными кольцевы-
кольцевыми линейными генераторами (ДКЛГ).
Операторный метод является наиболее эффективным математическим
аппаратом для описания АЛПМ и анализа их циклической структуры.
Структура и периоды формируемых АЛПМ последовательностей опреде-
определяются ее характеристическим полиномом.
Пример. Найдем характеристический полином АЛПМ, представленной на
рис. 2.4.3.
х4
D
Рис. 2.4.3. АЛПМ с памятью п = 4 над полем GFB)
46

Фиктивная переменная х, проходя последовательно по кольцу АЛПМ,
преобразуется по следующему правилу:
х = Dx + D2x + D3x + D4x mod 2
Характеристический полином АЛПМ для нашего примера
F(D) =D4 + D3 + D2 + D + I mod 2.
В общем случае, если характеристический полином неприводим, то АЛПМ
формирует последовательности одинакового периода. Если характеристический
полином примитивен, (неприводимый полином, корни которого имеют макси-
максимальный период (Рп -1)), то АЛПМ формирует М-последовательность — линей-
линейную рекуррентную последовательность максимального периода.
АЛПМ, характеристические полиномы которых взаимны
F*(D) = D"F(D1)
формируют сопряженные последовательности (последовательности, запи-
записанные в обратном порядке). Число невзаимных полиномов (несопряженных
М-последовательностей) равно М(Р,п) = — , где j(-) — фи-функция
Эйлера.
2.5. Корреляционные функции ДКП
_В_любой информационной системе имеется конечный алфавит А = {at},
I = 1,К, состоящий из К букв (символов), который используют для написания
слов. Каждое слово представляет собой составленную по определенному закону
(коду) дискретно-кодированную последовательность, состоящую из упорядо-
упорядоченных символов X = {*.}; i = о, N -1; х,е А. Идентификация переданного слова
осуществляется путем сравнения его со словами-образцами Y = {у.}; i=Q,N -11
yt eA. Степень корреляции (от латинского correlatio — взаимосвязь,
взаимозависимость) слов X и Y определяется коэффициентом корреляции или
корреляционной функцией (КФ) [25, 34, 49, 97,129]:
где Rxy(z) — ненормированная КФ; т — относительный сдвиг слов X и Y в
тактах. В зависимости от характера изменения т различают непрерывную КФ и
решетчатую КФ, отсчеты которой вычисляются только через определенные
интервалы, равные интервалу дискретизации.
В зависимости от значения верхнего индекса суммирования А различают
периодическую КФ (ПКФ), если А =лА^- 1, и импульсную КФ (ИКФ), если
А = N - т- 1. ИКФ будем обозначать /?(т).
47

Если Y является задержанной копией X, то КФ называется автокорреля-
автокорреляционной функцией (АКФ), в противном случае — взаимно-корреляционной
функцией (ВКФ). Значение АКФ при т = 0 будем называть главным лепестком
(ГЛ) АКФ, а при х * О — боковым лепестком (БЛ) АКФ. Главный лепесток АКФ
будем обозначать R, а БЛ — гх(т), гху(т) игх(т),гху(т).
1
1
I
J
a)R,(T) 6)Rxy(r) b)R,(t) r)Rxy(t)
Рис. 2.5.1. а) ПАКФ; б) ИВКФ; в) ПАКФ; г) ПВКФ
На рис. 2.5.1 символически представлена процедура вычисления импульс-
импульсных АКФ (ИАКФ) (а), ВКФ (б)и периодических АКФ (ПАКФ) (в), ПВКФ (г).
Боковые лепестки импульсной и периодической АКФ одной и той же последо-
последовательности связаны соотношением
гх(т)= гх(т)+ fx(N - г -1). B.5.1)
Существует простой способ вычисления ПАКФ ДП, который заключается
в расчете всех разностей по модулю периода между номерами позиций, принад-
принадлежащих «единицам» ДП.
Пример 2.5.1. Пусть на периоде N = 10 размещены 5 единичных символов
ДПХ:
0123456789
х= 1 101000101
Чтобы вычислить ПАКФ ДП X, необходимо вычислить все возможные
разности между числами 0,1, 3, 7, 9 по mod 10 и посчитать, сколько раз встре-
встречается та или иная разность.
Таблица 2.5.1
0
1
3
7
9
0
0
9
7
3
1
1
1
0
8
4
2
3
3
2
0
6
4
7
7
6
4
0
8
9
9
8
6
2
0
48

Разности в таблице 2.5.1 соответствуют задержкам, при которых происхо-
происходит совпадение импульсов.
т
0
5
1
2
2
3
3
2
4
3
5
0
6
3
7
2
8
3
9
2
Rx(r) =
5, r =
= ±l,±3
= ±2,±4
mod 10
Аналогично может быть вычислена и периодическая взаимно-корреляци-
взаимно-корреляционная функция двух двоичных последовательностей Хг и Хт В этом случае
нужно вычислить все разности между номерами позиций, на которых размеще-
размещены «единицы» ДП Хг и ДП Х2.
В процессе синтеза КОП нам понадобятся еще два свойства периодических
автокорреляционных функций.
Взаимосвязь между ПАКФ Rx(r) двоичной последовательности X = {х.} и
ПАКФ Ry(t) бинарной последовательности Y = {у.}, связанных между собой
преобразованием:
B.5.2)
R(r)=N-4(K-RM К(г) =
Здесь: TV— период последовательности;
К— весДПХ.
Взаимосвязь между ПАКФ двоичной последовательности X = {хД и
ПАКФ ее инверсии X = {1-х.}
R1(t)=N-2K + Rx(t) B.5.3)
Непосредственно из способа вычисления импульсной и периодической
АКФ видно, что обе они симметричны относительно оси г = 0, а периодичес-
периодическая АКФ обладает дополнительной симметрией относительно т = (N - 1)/2.
Инвертированные, сопряженные и инверсно-сопряженные БП и ТП имеют
одинаковые АКФ.
49

Необходимые условия существования
квазиортогональных последовательностей
с заданными пороговыми ограничениями
на их характеристики
Основными характеристиками КОП являются период, величины главного
и максимального бокового лепестков ненормированной ПАКФ, степень неурав-
неуравновешенности и пик-фактор.
Задача синтеза КОП состоит в поиске решений, удовлетворяющих заданным
пороговым значениям перечисленных выше характеристик. Найти возможность
(невозможность) синтеза КОП означает найти область существования
(отсутствия) решений системы неравенств для заданного интервала значений
N ¦ < N < N
iVmin — iV — iVmax *
\Лт\
- — *Пт> B.5.4)
К
гдег(т)— БЛПАКФ; ц —степень неуравновешенности; pf—пик-фактор.
В работе [97] получены простые, удобные и лаконичные результаты иссле-
исследования области существования решений B.5.4):
B.5.5)
7=0
п-\
7=0
где п — число уровней ПАКФ БП при т # 0 mod N;
г} — значение j-ro уровня ПАКФ БП;
lj раз за период ПАКФ БП принимает значение г};
Xj — значение ПАКФ ДПХ = {xf} относительно преобразования B.5.2).
Эти условия названы автором «необходимыми условиями существования
БП с w-уровневой ПАКФ».
В работе [136] показано, что сумма боковых лепестков ПАКФ как БП, так
и ТП определяется соотношением
_ x)=Aml-R. B.5.6)
50

Из B.5.6) следует, что для последовательностей с идеальной ПАКФ
(г(т) = Од = l,N -l), необходимым является выполнение условия
R = Am\ B.5.7)
т.е. бинарные ортогональные последовательности и троичные ортогональные
последовательности можно синтезировать лишь при условии, если сумма нену-
ненулевых символов на периоде последовательности равна квадрату разности раз-
нополярных символов. Этот результат получен в [142] и подтвержден в работах
[62, 35].
В работе [141] найдено еще несколько условий существования ТОП, свя-
связанных с числом серий нулевых и ненулевых элементов на периоде. Эти условия
названы автором «допустимыми комбинаторными соотношениями».
nz + m+ + m_ s= 0 mod2
где wz — число серий на периоде из ненулевых элементов;
Az (т) — число произведений типа «0-0» в у} • yj+r, г = l,N -1.
В работе [42] показано, что БП и ТП имеют одноуровневую ПАКФ
(г (т) = г, T = l,N-l) лишь при условии, если уравнение
m^R±fuWWr B59)
имеет целочисленные решения.
Таким образом, несмотря на большое количество работ, посвященных ре-
решению частных вопросов рассматриваемой задачи, в общем случае область
существования решений системы B.5.4) не определена.
Можно ли синтезировать ПДКП для заданного набора rm> r\max npfmax в
B.5.4)? Условия задачи не доопределены. Однако можно сформулировать ряд
необходимых условий, невыполнение которых позволяет однозначно утверж-
утверждать, что ДКП с заданной ПАКФ не существует.
Теорема 2.5.1. ТП имеет n-уровневую ПАКФ в том и только в том случае,
если уравнение
2>л
?о B.5.10)
имеет целочисленные решения.
Для доказательства теоремы вычислим Am — разность разнополярных сим-
символов на периоде последовательности. Согласно B.5.6) имеем
XrA- B.5.11)
7=0
51

Почленно складывая, а затем вычитая равенства B.5.11) и очевидное ра-
равенство R = т+ + т_, получим искомое соотношение B.5.10).
Следствие 2.5.1. ТП имеет одноуровневую ПАКФ в том и только в том
случае, если уравнение B.5.9) имеет целочисленные решения.
Уравнение B.5.9) получается из B.5.10) подстановкой п = 1, / = N-1, г = г.
Следствие 2.5.2. ТП имеет идеальную ПАКФ в том и только в том случае,
если выполняется условие B.5.7).
Условие B.5.7) получается из B.5.11) подстановкой ^r.lj =0.
7=0
Следствие 2.5.3. БП имеет n-уровневую ПАКФ в том и только в том слу-
случае, если выполняются условия B.5.5).
Таким образом, теорема 2.5.1 устанавливает обобщенные необходимые
условия существования бинарных и троичных последовательностей с п-уровне-
вой ПАКФ, т.к. известные необходимые условия существования БП с п-уровне-
вой ПАКФ и ТП с одноуровневой ПАКФ получаются из нее как следствия.
Теорема 2.5.1 устанавливает необходимое соотношение числа ненулевых
символов ТП. В то же время, как показано в работе [141], конфигурация нулей
(распределение нулевых символов на периоде ТП) имеет существенное влияние
на ПАКФ ТП.
Разложим ТП на три двоичных последовательности так, как это показано
на примере:
XT'
ХО = ...
XI = ...
X2 = ...
Очевидно:
+
0
1
0
+
0
1
0
-
0
0
1
0
1
0
0
+
0
1
0
-
0
0
1
-
0
0
1
-
0
0
1
0
1
0
0
¦f
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
-
0
0
1
0
1
0
Следующая теорема устанавливает взаимосвязь ПАКФ всех четырех пос-
последовательностей:
Теорема 2.5.2. Боковой лепесток ПАКФ ТП Y связан с боковыми лепест-
лепестками ПАКФ двоичных последовательностей ХО, XI, Х2, соотношением
гг(т)=2(ЯХ1(т)+ЯХ2(т))-Я-(т), B.5.12)
гдеЯ^т) иЯДГ2(т) — значения БЛ ПАКФ последовательностей XI и Х2;
Я~(т) — значение БЛ ПАКФ последовательности ХО, инверсной
Доказательство теоремы приведено в [42],
52

Таким образом, ПАКФ ТП полностью определяется ПАКФ двоичных
следовательностей ХО, XI, Х2.
Следствие 2.5.4. Боковой лепесток ПАКФ ТП Y сравним по mod 2 с боко-
боковым лепестком ПАКФ двоичной последовательности ХО при одинаковых
значениях задержки т
r(r)=A-(r)mod2. B.5.13)
Отсюда, в частности, следует допустимое комбинаторное соотношение
B.5.8), полученное в работе [141] для ТОП, если положить г(т)= 0 и учесть,
что Az(r)= Ахо(т), а Я~(т) связано с Яхо(т) выражением B.5.3).
Следствие 2.5.5. Сумма боковых лепестков ПАКФ ТП Y сравнима с нулем
по mod 2.
^() 2. B.5.14)
т=1
Вычислим сумму боковых лепестков ПАКФ ТП с учетом B.5.12):
N-1
т=1
т.к. R • (R -1) = 0 mod 2.
Следствие 2.5.6. Сумма БЛ ПАКФ ТП сравнима с произведением R • (R -1)
по mod 4:
a = R-(R-l)mod4. B.5.15)
Подставим в B.5.10) значение о
и вычислим произведение
R2 -R-a
-т =-
Отсюда непосредственно следует B.5.15).
Если учесть, что согласно B.5.6) R + о = Am1 или Am- jR + a , то равен-
равенство B.5.10) можно переписать в виде
R±Am
*+,_=—— . B.5.16)
53

Отсюда вытекает
Следствие 2,5.7. Значение главного лепестка ПАКФ сравнимо с Дт по mod 2
R = Am mod 2. B.5.17)
Доказанные теоремы и следствия определяют необходимые условия суще-
существования и допустимые комбинаторные соотношения между параметрами
ПАКФ и ДКП. Ниже мы покажем как знание НУС и допустимых комбинаторных
соотношений можно использовать для исследования возможности синтеза КОП
на примере квазиортогональных последовательностей.
Исследование возможности синтеза троичных
квазиортогональных последовательностей
Для сокращения обозначений будем называть ТКОП с гт = 1 троичными
псевдослучайными последовательностями (ТПСП). Их выделяют из общего
числа ТП ограничения B.5.4), которые весьма условны и в зависимости от на-
назначения ТПСП могут предъявляться с разной степенью строгости. При этом
ограничение на допустимый уровень боковых лепестков ПАКФ является, как
правило, самым строгим, а степень уравновешенности и пик-фактор — менее
строгими.
Первое ограничение в B.5.4) допускает уровень боковых лепестков ПАКФ
не хуже, чем у известных бинарных ПСП, а г]тах и/?/тах могут устанавливаться
произвольно.
Заметим также, что бинарные ПСП являются частным случаем троичных
при т0 = QnN = R.
Из первого неравенства B.5.4) следует возможность синтеза ТП с одно-,
двух — и трехуровневой ПАКФ.
Пусть БЛ ПАКФ г(х) 10 раз за период принимают значение г(т) = О,1г раз
г(%) = 1 и /2 раз — г(%) = -1. При этом имеет место очевидное равенство
/0+/1 + /2 = JV-l.
Отсюда, в частности, следует несколько соотношений, определяющих НУС:
Утверждение 2.5.1. Сумма БЛ ПАКФ ТПСП равна
(т = 1г~12. B.5.18)
Утверждение 2.5.2. Число «плюсов» и «минусов» на периоде ТПСП соглас-
согласно B.5.9) равно
B.5.19)
Утверждение 2.5.3. Квадрат разности между числом «плюсов» и «минусов»
на периоде ТПСП равен
Am2 = Д + /1-/2. B.5.20)
54

Утверждение 2.5.4. Число «плюсов» (lx), «минусов» (/2) и «нулей» (/0) в
ПАКФ ТПСП связаны соотношением
m0 + Am2 -/0 -1
m,-Am'-/0-l_
B.5.21)
B.5.21) является решением системы двух равенств B.5.18) и B.5.20).
Анализ равенств B.5.18) — B.5.21) позволяет получить ряд ограничений на
допустимые параметры ТПСП, обусловленные B.5.4).
Утверждение 2.5.5. Необходимым условием выполнения ограничений
B.5.4) является сравнимость с нулем по mod 2 разности А/ между числом
«плюсов» и «минусов» в ПАКФ ТПСП
AZ = Z1-/2s0mod2. B.5.22)
Сравнение B.5.22) следует из сопоставления B.5.18) с B.5.14).
Из сопоставления B.5.17) и B.5.18) следует
отсюда, с учетом B.5.4)
Утверждение 2.5.6. Значение модуля разности |Дт| между числом «плю-
«плюсов» т+ и «минусов» т_ в ТПСП лежит в пределах
О < |Дт| < y]2R + т0 -1. B.5.23)
Следствие 2.5.8. ТПСП является полностью уравновешенной (Am = 0)
в том и только в том случае, когда на периоде ТПСП один нулевой символ
т0 = 1. ТПСП в этом случае должна быть максимально-трансортогональ-
максимально-трансортогональной (/0 =/! =0,/2 = N-1).
Следствие 2.5.9. ТПСП является максимально неуравновешенной, если
ПАКФ ТПСП имеет постоянный уровень БЛ равный единице (г(т)= l) во
всем диапазоне изменения задержек. Разность разнополярных символов на
периоде в этом случае равна
lAmL=V2^ + mo-l- B.5.24)
Из B.5.24) видно, что увеличение числа нулевых символов т0 на периоде
приводит к расширению допустимого диапазона изменения Am. Однако при за-
заданном R ограничением на пути увеличения Am является B.5.25).
55

Утверждение 2.5.7. Граница допустимых значений Am определяется систе-
системой неравенств
т.е. тем из этих неравенств, которое строже.
Сформулированные выше утверждения и следствия из них позволяют сде-
сделать заключение о невозможности синтеза ТПСП с заданными пороговыми
значениями rmax = l,p/max и qmax.
Проиллюстрируем это на ряде примеров.
Пример 2.5.1. Можно ли синтезировать ТПСП с одним нулевым символом
на периоде? Оценку произвести для Г}так < 0,01, vmax < 1,01 и
R < 1000.
Последовательность Х0, состоящая из одного символа, имеет по-
постоянный уровень бокового лепестка ПАКФ во всем диапазоне
изменения задержек
Согласно B.5.3) боковой лепесток ПАКФ инверсной последова-
последовательности Х0 равен
Система B.5.4) предполагает, в общем случае, возможность синтеза ТПСП
со следующими совокупностями БЛ ПАКФ
г(т)=а г(т)=1 г(т)=-1, г(г)={±1\ г(г)={0Д} г(т)=ф,-1} г(т)= fc±l}.
Однако условие B.5.13)
г(т) = А—(т)= R-l mod 2
позволяет сделать вывод о том, что ТПСП с ПАКФ Kr) = {O,l}, r(r) = {^"l)?
г{т) ~ {ОД 1} синтезировать невозможно, т.к. для этих совокупностей БЛ ПАКФ
условие B.5.13) не выполняется.
Можно ли синтезировать ТПСП с ПАКФ г(т)= 0 ?
Из B.5.20) следует
А,—(т)=Д-1==0 или Я = 1 mod 2,
т.е. при г(т)= 0 синтезировать ТПСП с четным числом ненулевых символов на
периоде невозможно. Кроме того, из B.5.7) следует, что R = Am2, т.е. число
56

ненулевых символов в ТПСП должно быть квадратом нечетного числа. Степень
неуравновешенности ТПСП этого класса будет равна
Нам задано тутах = 0,01. Найдем минимальное значение i?, при котором
будет преодолена заданная степень неуравновешенности
Для всех R < Rmin степень неуравновешенности rj будет превышать задан-
заданный порог 77тах = 0,01. Следовательно, ТПСП с г(г)= 0 для заданных условий
R < 1000 синтезировать нельзя.
Рассмотрим возможность синтеза ТПСП при г(г)= 1, г(т) = -1 и г(г)= ±1.
Во всех трех случаях
Я_ (г)= Л -1 = 1 или Л = 0 mod 2 ,
т.е. синтезировать ТПСП с г(т) = 1 mod 2 и нечетным числом ненулевых симво-
символов невозможно.
Согласно B.5.17) R = Am = 0 mod 2. Это означает, что разность между разно-
полярными символами ТПСП при г(т) = 1 mod 2 также должна быть четной.
Пусть R = 2t,2L Am = 2s (t, s — натуральные числа). Число положительных
m+ и отрицательных т_ символов на периоде ТПСП определим по формуле
B.5.16)
It ±2s
Поскольку во всех трех случаях /0 = 0, то по формуле B.5.20) находим до-
допустимые значения 1г и /2
_mo+Am2 -l0 -I __ Am2 \
х~ ~2 ~"~~~~~2~~ S '
тоАш/о'=а^=
2 2
Из B.5.24) находим границы изменения Am
0 < |Ат| < 4lR = 2л/7.
Отсюда:
0 < s < J7.
Согласно следствиям 2.5.24 и 2.5.25 граничным значениям s будут
соответствовать ТПСП с одноуровневой ПАКФ г(г)= -1 при s = 0, и г{г)= 1
при s = Jt9 причем в первом случае ТПСП будет полностью уравновешенна
г] = 0, а во втором будет иметь максимальную степень неуравновешенности
57

J |Am| 2s _ 1
^ ~ ~/T ~ 2?" ~ 7 '
Найдем минимальное значение Smin, при котором будет преодолена задан-
заданная степень неуравновешенности ТПСП:
— = 0,01, 5niin =100^^ =2*^ =20000.
°mm
Полученное значение Rmln намного превышает заданное значение R < 1000.
Следовательно, ТПСП с одноуровневой ПАКФ г(т)= 1 для заданных в рас-
рассматриваемом примере условий также нельзя синтезировать.
Найдем допустимые соотношения t и s из B.5.4):
|Дт| s
\L = ± < 0,01 ==>$ = 0,01/,
t
R t
R = 2t< 1000, отсюда t < 500.
Таким образом, для заданных условий г\тах = 0,01, pfmax = 1,01 и Rmax = 1000
можно синтезировать ТПСП только со следующими параметрами
, R = 2t, m1=m2=r, mo=l, г(т)=-1, // = 0, p/=l + — и
m
=t-s, mo=l, r(r)=±l,
50<?<500;
l < j < 0,01/
Пример 2.5.2. Можно ли синтезировать ТПСП с теми же пороговыми значе-
значениями t)max = 0,01, pfmax = 1,01 nRmax = 1000, если нулевые симво-
символы разместить в соответствии с разностным множеством
D(N, m0,1, 0) со свойством «не более одного совпадения»?
Последовательность Х0 содержит т0 символов и имеет двухуровневую
ПАКФ, боковой лепесток принимает Ао раз значение >-хо(т)=О и h\ Раз
Ххо(т)=1, h{ =mo(mo-l), h0 =N-l~hv
Согласно B.5.3) боковой лепесток ПАКФ X, — (т) инверсной последова-
последовательности Х0 равен
Согласно B.5.13)
UA ?~тп =0
))o\ ,ч mod2
W xoKJ ° "W [1 + Ахо(т)если/?-т0=1
58

Отсюда находим /0:
l0 =
V-1-ftj = N-mo(mo -l)-l, если R-mQ =0
Q
если/?-то=1
mod 2.
= mo(mo -1), если/?-то
Зная /0, можно вычислить /2 и /2 по формуле B.5.21). Результаты расчетов
параметров ТПСП сведены в табл. 2.5.1.
Таким образом, знание НУС и допустимых комбинаторных соотношений
позволило нам вычислить допустимые значения всех параметров ТПСП вплоть
до количества «плюсов», «минусов» и нулей в ее ПАКФ.
Таблица 2.5Л
Параметры ТКОПУ нулевые символы которых расположены на позициях,
определяемых разностным множеством D (N, т# 1, 0)
Пара-
Параметр
R
т0
N
Am
т+
т_
/о
h
h
V
Ц
Расчетные формулы для параметров
2Г+1
2м-1
2(t + u)
2m
2(t + u)+l
25-1
t + s
t-s + \
2t-{2u-\J
2(y2 +u2 -t-s)-u
г(м2 -s2 +s)+t-u
l+2u~l
2m + 1
2mBm-1)
2{s2-u--s + u)
2((-s2 +s-u2 +u)
1+ 2U
2t + l
25-1
2/ + 1
2t
2м-1
2{t + u)-\
2m
2(^ + m)
2s
t + s
t-s
Bm-1Xm-1)
2{s>~(u-iy)
2(.-/--(m-1J)
2t
2?-4m2+8m-3
2(?2+u2)-t-3u + l
2{i2-s2)+t-3u + l
\ + U
t
s-
t
Формула
в тексте
B.5.17)
B.5.16)
B.5.16)
B.5.13)
B.5.8)
B.5.8)
B.5.4)
B.5.4)
59

Глава 3
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
НЕПРИВОДИМЫХ НАД ПОЛЯМИ ГАЛУА
ПОЛИНОМОВ
В гл. 1 отмечена одна из наиболее обпщх проблем, стоящих на пути анали-
анализа, синтеза и формирования большой группы ДКП, для построения которых
необходимы неприводимые полиномы. Объем известных таблиц НП уже не
устраивает разработчиков, а регулярных методов построения НП над просты-
простыми и расширенными полями Галуа не существует [73, 75].
Задачей настоящей главы является разработка алгоритмов расчета коэффи-
коэффициентов НП и их периодов.
3.1. Вычисление коэффициентов НП
второй степени
Пусть хг и х2 — корни нормированного неприводимого полинома
F(x) =x2 + ax + aQ9 a{ e GF(P).
Известно [320-323], что:
хх ? GF(P); x2 ? GF(P) x2 = jcf mod p. C.1.1)
Нетрудно показать, что f(x) должен быть трехчленом (ах Ф0 mod/?). Дей-
Действительно, если ах = 0 modp, то по теореме Виета х2 = -x^odp, что противоре-
противоречит C.1.1).
Введем обозначениеах = ~2Ъ modp и вычислим корни F(x)\
Xl2^b±(b2-a0I/2^b±gl/2,g^b2-a0modp. C.1.2)
Сопоставляя C.1.1) и C.1.2), приходим к выводу, что достаточным условием
неприводимости F(x) является равенство символа Лежандра минус единице:
т.е. элемент g должен быть квадратичным невычетом.
Отсюда следует несколько простых, легко реализуемых на ВМ алгоритмов.
60

Алгоритм 1.
Пусть а - {ах,}, i = 1,р-1 — упорядоченная по / последовательность симво-
символов Лежандра (ПСЛ)
Для построения всех НП со свободным членом а0 достаточно построить
матрицу размером 2х(Р -1), первая строка которой — ПСЛ, а вторая — цикли-
циклически сдвинутая на а0 символов вправо (по циклу длиной Р) ПСЛ Da°a, где D —
оператор единичного циклического сдвига Хаффмена. Номера позиций, соответ-
соответствующие столбцам ±, будут решениями Ь2, удовлетворяющими необходимым и
достаточным условиям неприводимости полиномов.
Пример 3.1.1. Найти все неприводимые полиномы-трехчлены над GF A1)
с а0 = 2.
i= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ъ = ±1, ±2, ±3;
а = + - + + + --- + - Ь2 = 1, 4, 9,
D2a + - +- + + + --- ах = ±2, ±4, ±6 mod 11
Искомых НП шесть, из них невзаимных три: х2 + 2х + 2, х2 + 4х + 2, х2 + 5х + 2.
Алгоритм 2.
Процедуре выявления столбцов ± эквивалентно вычисление разностей
b?-a0 mod P, i=l,(P-l)/2, которые являются квадратичными невычетами
— = -1. Так, для нашего примера
Ь= 1, 2, 3, 4, 5;
Ь2= 1, 4, 9, 5, 3; mod 11
Z?2-2ee 10, 2, 7, 3, 1
10, 2,7 — квадратичные невычеты, следовательно, искомые значения Ь = 1, 2, 3.
Таким образом, для вычисления НП достаточно сформировать массив
квадратичных вычетов Ь2, что просто реализуется на ВМ.
Алгоритм 2 можно сформулировать в терминах классов вычетов. Ненуле-
Ненулевые элементы любого простого поля можно разделить на два класса (d = 2),
Р — 1
каждый из которых содержит R = элементов.
Р-Ъ
Класс с номером «0» — квадратичные вычеты (КВВ), у = {уу1, 7 = 0, .
Класс с номером «1» — квадратичные невычеты (КВНВ), \х = {\i},
61

Поскольку первообразный элементе = а0 е КВНВ [30], то нас интересует
решение уравнения
^ C-1-3)
относительно Yj, где функция K(g) указывает класс, к которому принадлежит g.
Для решений C.1.3) у\ = Ь2 необходимо вычислить коэффициенты аг - ±2y/b2.
Алгоритм 3.
Рассмотрим еще одну процедуру вычисления НП. Для этого представим:
g = ©2K+1, b s @', a{ s Bm mod P. Тогда, согласно утверждению \ H = -i мож-
l P J
но записать v y
2/ =
02/ =0^@2/r+i-m _X) mod
В зависимости от того, является лиаг КВВ (т = 0 mod 2) или КВНВ
(т = 1 mod 2), все возможные решения сравнения C.1.4) можно записать в сим-
символической форме:
т s 0 mod 2 => KB HB -1 = КВВ;
modP И 1 5^
m = lmod2=*KBB-l = KBHB. ^ЛяЭ)
Достаточно найти все невзаимные НП с одинаковым коэффициентом а0
для — =1или — =-1, а остальные НП получить домножением а0 на 02у
жах на 07, j=l,(P-3)/2.
Проиллюстрируем это на примере 3.1.1:
При а0{ = © =2 решения <яи| = 2,4,5. Получим остальные НП домноже-
домножением, соответственно, на в2 и на G.
При а02 = в3 s8, |аХ2 |= 1,3,4 mod 11.
При а03 sв5 s 10, | д1>31 = 2,3,5 mod 11.
При а0 4 s в7 s 7, | а1>4 | = 1,4,5 mod 11.
При а05 s в9 = 6, | л1>5 | s 1, 2,3 mod 11.
Из C.1.5) следует, что число невзаимных НП второй степени, коэффи-
коэффициенту которых принадлежит КВНВ равно t числу серий Н—-в ПСЛ
(р = At ± I). Отсюда следует, если t = ср(? +1)/2, то все НП являются примитив-
примитивными (здесь <р(-) — фи-функция Эйлера). Этому условию удовлетворяют сле-
следующие характеристики поля Р < 997: 5, 7, 13, 31, 37, 61, 73, 127,157,193, 277,
313, 397, 421, 457, 541, 613, 661, 673, 733, 757, 877, 997. Для полей с характе-
характеристиками Р<997: И, 17, 19, 43, 67, 163, 211, 283, 331, 523, 547, 691, 787, 907
62

лишь один из неприводимых полиномов с одинаковыми коэффициентами^
не является примитивным (t -L(P,2) = 1).
Приведенные численные алгоритмы вычисления НП являются неперебор-
непереборными и легко реализуются на ВМ.
Приведенные алгоритмы можно обобщить на случай, когда F(x) задан над
расширенным полем GF(q).
Пример 3.1.2. Найти все неприводимые над GFC2) полиномы-трехчлены.
Выберем неприводимый над GFC2) полином второй степени
= а2 + 2а + 2 и построим таблицу индексов в поле
= GFC2) (табл. 3.1.1). КВВ в GFC2): 1, а + 1, 2, 2я+2;
=±1, ±а, ±(а + 1), ±Bя + 1); КВНВв GFC2):a,2a+l,2a,a+2.
Таблица индексов в поле GF (З2)
Таблица 3.1.1
i
а(
г
а
2
а+1
3
2а+1
4
2
5
2а
6
2а+2
1
а+2
8
1
В табл. 3.1.2 для р = 3, и = 2 находимL(q,2) = cp(q +1)/2 = t = 2. Поэтому все
неприводимые полиномы, свободный член которых а0 = в, примитивны. В
табл. 3.1.3 приведены все q (9 < q < 100Q, соответствующие им значения Р, nv
Таблица 3.1.2
Расчет неприводимых полиномов в поле GF (З2)
ъ1
а
2а+1
2а
а+2
1
а+\
2
2а+2
1
1
1
2а+\
а
а+1
2а+2
—
2а
2
а+2
а
а
а+\
1
2а
2а+\
2
а
—
а+2
2а+2
а+1
а+1
2
2а+2
а+1
а+2
2а
1
2а+\
—
а
2а+\
2а+\
2а+2
а+2
1
2
аа
2а+Х
а+1
2а
—
Неприводимые полиномы
jc2 ±х + а;х2 ±Bа + Х)х + а
х1 ±х + 2а + 1\хг ±ах + 2а + 1
х2 ±ах + 2а;х1 ±{а + 1)х + 2а
х1 ± {а + 1)х + а + 2; х2 ± Bа + 1)х + а + 2
х2±ах + 1;х2±Bа + 1)х + 1
х2 ±х + а + 1;хг±(а + \)х + а + 1
х2±ах + 2; х2 ± Bа + 1)х + 2
х2 ± х + 2 + а; х2 ± (а +1) х + 2а + 2
63

Число неприводимых полиномов второй степени
с одинаковым свободным членом над GF(q)
Таблица 3.1.3
р
щ
q
t
L(q,2)
3
2
9
2
2
5
2
25
6
6
3
3
27
7
6
7
2
49
12
10
3
4
81
20
20
11
2
121
30
30
5
3
125
31
18
13
2
169
42
32
3
5
243
61
60
17
2
289
72
56
7
3
343
86
84
19
2
361
90
90
23
2
529
132
104
5
4
625
156
156
3
6
729
182
144
29
2
841
210
210
31
2
961
240
216
Условию t = L(#,2) удовлетворяют характеристики q: 9, 25, 81,121,361, 625
и 841. Над этими полями все НП-трехчлены, свободный член которых — пер-
первообразный элемент в GF(q), являются ПП.
Можно построить алгоритм расчета НП на основе соотношений C.1.3) и
C.1.4). Он будет заключаться в следующей последовательности действий:
1. Сформировать массив КВВ (КВНВ).
2. Упорядочить элементы массива, отличающиеся только свободным чле-
членом? по возрастанию свободного члена.
3. Исключить из массива элементы, добавление к которым единицы остав-
оставляет сумму в массиве или делает ее равной нулю.
4. Для оставшихся элементов решить сравнение
®» ^ет(в2К+1~т -l) = em+rmodd(F(a),P).
Проиллюстрируем этот алгоритм на примере 3.1.2.
1.0 = а, КВВ в GFC2): a° s 1, а2 ^ а +1, a4 S 2, а6 ее 2я+2.
2. 1; 2;а + 1; 2а+2.
3. (а + 1) + 1 = а+2 =а7; Bа+2) + 1 = 2я = а5 тойЗ,гх = 5,г2 = 7.
4. Окончательный расчет сведен в табл. 3.1.4.
Таблица 3.1.4
Расчет неприводимых полиномов над полем GF (З2)
l
3
5
7
а
2а+\
2а
а+2
2l-r+j
6
8
10
12
8
10
12
14
3
4
5
6
4
5
6
7
2
2а
а+2
2а
2а+2
а+2
\*i\=2b
а+2
1
а
1
а
а+1
jc" ± (а + 2)х + а
х2±х + 2а+\
х2 ±ах + 2а+\
х2 ±ах + 2
х2±(а+\)х + 2а
х1 ±(а+\)х + а+2
х2±Bа+1)х + а+2
64

Сопоставление результатов расчетов табл. 3.1.2 и 3.1.4 показывает их пол-
полное совпадение. Но из второго алгоритма следует, что достаточно найти все
коэффициенты НП для произвольного а0 = @J, а остальные коэффициенты aQ
VLax (той же четности;) можно получить последовательным домножениема0 на
S2k, аа{ — на Ок, к = 1,(^-3)/2„ То есть все решения являются циклическими
перестановками одной вектор-строки. Так, для нашего примера в табл. 3.1.5
циклический сдвиг отмечен символом «+».
Таблица 3.1.5
Взаимосвязь коэффициентов неприводимых полиномов над полем GFC2)
1
bl
«0,1 И 2b
«0,2
«0,3
«0,4
k
= &ъ=2а + \
= в5 =2а
= О7 = я + 2
0
1
2
+
+
1
а
2а
+
+
2
а+1
2я+2
+
+
3
2а+1
а+2
+
+
Подводя итог выше сказанному, можно сделать следующие выводы:
1. Предлагаемые алгоритмы позволяют сформировать все НП второй сте-
степени, коэффициенты которых заданы над простыми или расширенны-
расширенными полями Галуа.
Если все НП — трехчлены второй степени являются примитивными, то
достаточно вычислить по любому из алгоритмов коэффициенты НП со
свободным членом а0 = 0,0е GF(q), а остальные НП получить домно-
домно\
2.
жением aOj на Э2/, a
0 =
—на 6?.
3. В общем случае необходимо получить две группы решений а0 е КВНВ и
ах е КВВ. Тиражирование решений получить так же, как и п.2.
3.2. Вычисление коэффициентов НП
третьей степени
В разделе 3.1 предложено несколько алгоритмов формирования полной
таблицы НП второй степени. В настоящем разделе предлагаются аналогичные
алгоритмы для полиномов третьей степени.
Пусть нормированный полином третьей степени
F(x) - л-3 + а2х2 + ахх + а0, а{ е
3 Зак 14
C.2.1)
65

неприводим над GF(q). Тогда, по аналогии с C.1.1) три корня ?(х) должны
удовлетворять двум свойствам:
C.2.2)
GFfa)
xv ^х,х2=х\хг= xql, xe GF(q3)
Кроме того, коэффициенты приведенного нормированного полинома
C.2.3)
полученного из C.2.1) подстановкой х = у - —, связаны соотношением:
C.2.4)
Рассматриваемые алгоритмы неприменимы для GFB), GFC) и полей,
полученных их расширением, т.к. в процессе вычисления по формуле C.2.4)
необходимо деление на 2 и на 3.
Сопоставляя C.2.2) и C.2.4), приходим к выводу :
Утверждение 3.2.1. Необходимым и достаточным условием неприводимости
F(y) является неразрешимость C.2.4) над GF(q), q*2n,q* 3n.
Необходимость следует из C.2.2), достаточность — из определения НП.
Задача состоит в отыскании коэффициентов всего множества НП C.2.1)
над GF(q). Заметим, что число НП третьей степени определяется форму-
формулой [73]:
C.2.5)
В таблице 3.2.1 приведены значения V(g,3) для q < 50.
Значения q, для которых выполняются условия лемм 3.2.1 и 3.2.2.
Таблица 3.2.1
q
(q3-q)/3
(q2-W
C,4-1)
5
40
8
1
7
112
16
3
11
440
40
1
13
728
56
3
17
1632
96
1
19
2280
120
3
23
4048
176
1
25
5200
208
3
Таблица 3.2.1 (продолжение)
q
(q3-q)/3
(q2~W
C,^-1)
29
8120
280
1
31
9920
320
3
32
10912
341
1
37
16872
456
3
41
22960
560
1
43
26488
616
3
47
34592
736
1
49
39200
800
3
66

Нетрудно показать, что :
Лемма 3.2.1. Все ненулевые элементы G?(q) являются кубическими выче-
вычетами по mod q, если (q - 1,3)= 1.
Лемма 3.2.2. Если (q -1,3) = 3, то в GF(q) имеется (#-1)/3 кубических вы-
вычетов.
В табл. 3.2.1 указаны значения q, для которых выполняются условия леммы
3.2.1 и леммы 3.2.2.
В случае, когда выполняется условие леммы 3.2.1, справедливо утверждение:
Утверждение 3.2.2. Необходимым и достаточным условием неприводимости
полинома третьей степени над GF(g) при (q - 1,3) = 1 является
где — символ Лежандра.
Необходимость следует из утверждения 3.2.1, а достаточность из леммы
3.2.1.
Из C.2.6) вытекает простой алгоритм расчета коэффициентов НП для зна-
значений $ = 5, 11, 17, 23, 29, 32, 41, 47 ...
Суть его состоит в решении символического сравнения
КУВ + КВВ = КВНВ, C.2.7)
которое получается из сопоставления C.2.4) и C.2.6). Здесь приняты следующие
обозначения:
КВВ — квадратичный вычет по mod q;
КВНВ — квадратичный невычет по mod q;
КУВ — кубический вычет по mod q.
Для рассматриваемых значений q все ненулевые элементы GF(q) являются
КУВ. Для решения C.2.7) остается определить лишь КВВ. Алгоритм чрезвы-
чрезвычайно прост:
1. Сформировать полную систему КВВ по mod q\
2. Сформировать двумерный массив пар А(а, Р), удовлетворяющий срав-
сравнению C.2.7) из числа ненулевых элементов GF(#), где
a,. е QY(q\ i = 1,« - V ^ е КВВ, j = 1,
q-\
2
3. Для каждой пары (а, Р) найти значения bx nb0 коэффициентов НП
C.2.3) по формуле C.2.4):
Ьх = 3• Vex mod q\ b0 = ±2уР mod q.
67

4. Сформировать трехмерный массив коэффициентов НП^О,^,^) с ко-
коэффициентами й2,о ~®> аю ~Ьг, aQ0 =b0.
5. Для каждого а2к ^0 mod q, а2к е GF(q) рассчитать массив Вк{а2к,а1к,а0к)
по формулам:
modg,
и/?0 берутся из массива Bk(o,bvbo).
Чк = ~у~ mod q-
Пример З.2.1. Найти коэффициенты всех НП над GFE).
1. Найдем КУВ, КВВ и КВНВ по mod 5 :
КВВ:
i
i2
1
1
2
4,
КВНВ = 2, 3; КУВ =
i
i3
1
1
2
3
3
2
4
4.
2. Найдем решения сравнения C.2.7):
а: 12 3 4 12 3 4 КУВ
C:
1
КВВ
2 3 -
2 3
КВНВ
Сформируем массив А(а; |3):
3. Найдем значения коэффициентов Ъх и Ьо НП для а20 = 0 (табл. 3.2.2).
4. Сформируем таблицу НП с а2 = 0 (массив В@, Ь1? Ьо)) — (табл. 3.2.3).
5. Рассчитаем таблицу приращений коэффициентов Au иА2к в зависимо-
зависимости от значений коэффициента a2k e GF(q) (табл. 3.2.4).

Расчет коэффициентов b1 и b0
Массив В@, i
Таблица перемещений i
Таблица 3.2.2
а
Р
ГР
Ь2^2-/Р
1
1
3
1
±1
±2
2
3
4
1
±1
±2
3
2
1
4
±2
±1
4
4
2
4
±2
±1
Таблица 3.2.3
bi
bo
2
3
1
3
2
4
1
0
3
1
1
1 4
2
1
4
Таблица 3.2.4
А.
2
3
3
2
"W ь
a ^\^
1
2
3
4
А2Дс
1
0
3
2
0
2
2
2
3
3
3
4
1
4
1
4
1
0
0
4
Табл/ 3.2.5 содержит коэффициенты всех неприводимых над GFE) полино-
полиномов третьей степени.
Теперь рассмотрим случай (q - 1,3) = 3. Неразрешимость C.2.4) над GF(g)
следует из леммы 3.2.2.
Рассмотрим алгоритм расчета коэффициентов НП на основе решения си-
системы сравнений:
КУВ + КВВ = КВВ
C.2.8)
69

Полная таблица коэффициентов ИЛ над GFE)
Таблица 3.2.5
«2,0
bo
«2,1
«1,1
«1,1
«2,1
«1,2
«0,2
«2,3
«1,3
«0,3
«2,4
«1,4
«0,4
0
1
1
4
2
1 | 4
3
2
3
4
2
3
1
3
1
4
4
з 1 1
0
1
2
1
3
4
2
4
4
2
0
з 1 1
1
3
4
2
2
3
3
4
3
1
0
4 | 2
1
1
2
2
2
3
4
3
1
4
4
4 | 2
0
3
4
1
1
2
Аи = 2
Аи = 3
А,4 =
Он заключается в следующем:
1. Сформировать полные системы кубических и квадратичных вычетов по
mod q;
2. Сформировать трехмерный массив А(а, C, у), где а е КУВ, C е КВВ,
а + Р s б е КВВ, у = л/
3. Выбрать из массива Л(а, р, у) элементы, удовлетворяющие второму срав-
сравнению в системе C.2.8). В(а, h, у)> где /г = yjp ,h+ye КУНВ mod q.
4. Для каждого элемента массива В(сс, А, у) найти значения Ьо иЬг коэф-
коэффициентов НП C.2.3) по формуле C.2.4):
Ъх =3-л/а modq;
b0 = 2 • h mod q.
Значения Ьх =0, ±Z?0 e КУНВ также удовлетворяют системе C.2.8).
5. Таблицу коэффициентов НП построить аналогично предыдущему
алгоритму (п.4 и п.5).
70

Пример 3.2.2. Найти коэффициенты всех НП над GFG).
1. Найдем КУВ и КВВ по mod 7:
I2
i3
1
1
1
2
4
1
3
2
6
4
2
1
5
4
6
6
1
6
КВВ: 1,2, 4
КУВ: 1,6
2. Сформируем трехмерный массив А(а, Р,
а КУВ -.111666
р КВВ : 1 2 4 1 2 4
: 2 - - -
±1
3. Проверим выполнение второго сравнения системы C.2.8):
а
h =^/j8
h + 7 € КУ HB
1
±1
±3
±2, ±4
6
±3
±1
±2, ±4
В/1,1,3 А В2( 1,6,3 j, ?3( 6,3,1), В,( 6,4,1 >.
4. Найдем значения коэффициентов ai0 и а00 НП для а2,о =
а
1
3
1
2
6
±1
±2
3
2
4
5
6
5
1
±3
±1
6
4
5. Рассчитаем таблицу приращений коэффициентов Ли и Аод (табл. 3.2.6)
Табл. 3.2.7 является полной таблицей НП третьей степени над GFG).
71

Таблица приращений А^ и
Таблица 3.2.6
Ли
5
6
3
3
6
5
alb у
1
2
3
4
5
6
0
6
6
1
6
1
1
1
4
2
2
5
5
3
2
2
5
3
4
4
5
3
0
1
4
3
6
0
4
5
4
5
2
3
2
5
3
0
6
1
0
4
6
1
3
0
0
4
6
Полная таблица коэффициентов НП над GFG)
Таблица 32.7
«2,0
h
«2Д
«1,1
«0,1
«2,2
«1,2
«0,2
«2,3
«1,3
«0.3
«2,4
«1,4
«0,4
«2,5
«1,5
«0,5
«2.6
«1,6
«0,6
2
0
3
4
5
1
1
6
1
>
6
3
1
6
А
2
5
2
5
6
2
5
1
1
5
2
3
4
6
3
5
0
1
3
2
4
6
1
2
5
1
\
5
4
3
6
2
1
6
2
3
4
0
1
3
1
4
6
3
3
5
3
6
4
2
5
<
1
5
3
3
3
4
5
6
4
1
3
2
4
С
4
)
6
6
2
6
1
1
[
4
2
2
5
4
1
3
2
3
4
4
4
6
3
5
0
1
3
6
1
5
3
1
6
2
>
5
5
6
3
4
4
5
0
4
6
1
1
3
2
4
• 2
1
4
4
2
5
2
6
6
3
4
5
6
<
2
4
0
4
6
2
1
3
2
L
5
2
6
1
i
4
72

Таким образом, предлагаемые алгоритмы расчета коэффициентов НП тре-
третьей степени отличаются простотой реализации и компактной формой пред-
представления результатов расчетов: таблицы НП с коэффициентом а2 = О и табли-
таблицы приращений коэффициента для а2 ф О .
Разработанные в разделах 3.1 и 3.2 алгоритмы обладают одним существен-
существенным недостатком: они применимы для формирования таблиц НП только второй
и третьей степени и не могут быть обобщены на степень п > 4.
Прежде, чем перейти к изложению универсального алгоритма, ориентиро-
ориентированного на составление таблиц НП произвольной степени над полем произволь-
произвольной характеристики, рассмотрим существенную составную часть этого
алгоритма.
3.3. Упорядочение по степеням элементов
расширенного поля Галуа с помощью
автономной линейной последовательностной
машины
Пусть поле Галуа GF(pn) получено расширением простого поля GF(p) с
помощью примитивного нормированного полинома.
a0 mod/?. C.3.1)
Элементами F(y) e GF(pn) являются полиномы
b0 modр, C.3.2)
степень которых не превышает пЛ. Задача состоит в упорядоченииМ = рп -1
ненулевых элементов поля по степеням одного из них
(F(y)y =& mod d(F(D),p).
В [4, 35] предложена схема управления задержкой МЛРП — суть схема
возведения в степень по двойному модулю mod d(F(D),2). Управляющий гене-
генератор представляет собой автономную линейную последовательностную маши-
машину (АЛПМ), выполненную по схеме «со встроенными сумматорами» с взаим-
взаимным характеристическим полиномом
Попытаемся обобщить эту схему возведения в степень над полем GF{2n)
на произвольную характеристику поляр.
Как и в [35], АЛПМ, осуществляющую возведение в степень по двойному
модулю mod d(F(x),p)9 будем строить по схеме «со встроенными сумматорами»
(рис. 3.3.1).
3* Зак 14 73

n-1
D" ¦
- mod p
«...
A
kb2
L d3 <-
mod p
^ r
c2
i
¦ь,
mod p
cl
i
¦b0
- n1
\
I
I
Рис. 33.1, АЛПМ со встроенными сумматорами.
Теорема 3.3.1. Для того, чтобы АЛПМ я-го порядка, выполненная по схе-
схеме «со встроенными сумматорами» (рис. 3.3.1), формирова-
формировала степени элемента Y e GF(pn) по двойному модулю mod
d(F(x),p), необходимо и достаточно, чтобы
сх = ~at mod p, i=O,n-X
C.3.3)
где ct — умножители АЛПМ, ах — коэффициенты модуль-
модульного полинома C.3.1).
При начальных условиях 000...01 первые п-1 тактов работы АЛПМ приво-
приводят к перемещению единицы из первой ячейки памяти АЛПМ в (и-1)-ую,
что, согласно C.3.2), соответствует полиномам 1, у, у2,у3,..., уп~г. На п-ом так-
такте в регистре должен записаться полином -апЛупЛ -ап_2уп'2 -...-аху-а0, т.к.
согласно C.3.1)
Характеристический полином АЛПМ:
Взаимный ему полином будет иметь вид:
P*(D) = I
-D\
Условие эквивалентности определяется равенством F*(D) = F(D). Домно-
жая левую часть сравнения на -Ьо и, сравнивая с C.3.1), приходим к
C.3.3).
74

п строк матрицы состояний n-мерной АЛПМ
0 0 11
0 1 0 D
1 0 0 D2
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 0
0 0 0
D"
— начальное состояние
— 1-ый такт
— 2-ой такт
— п-2-ой такт
— tt-1-ый такт
— п-ый такт
полностью определяют ее диаграмму состояний [53]. Что и требовалось
доказать.
Пример 3.3.1. F(jc) = jc3+x2+2jt+lmod3.
В таблице 3.3.1 представлены коэффициенты b0, bv b2 полиномов (F(y)y
modd(F(x),3).
Коэффициенты полиномов (F(y)I
Таблица 33.1
X
bo
1
0
1
0
2
1
0
0
3
2
1
2
4
2
1
1
5
2
0
1
6
1
0
1
7
2
2
2
8
0
1
1
9
1
1
0
10
0
1
2
11
1
2
0
12
1
1
2
13
0
0
2
14
0
2
0
15
2
0
0
16
1
2
1
17
1
2
2
18
1
0
2
19
2
0
2
20
1
1
1
21
0
2
2
22
2
2
0
23
0
2
1
24
2
1
0
25
2
2
1
26
0
0
1
АЛПМ и первые 5 тактов ее диаграммы состояний представлены на рис. 3.3.2.
1 <
'Ь
D3
1
i i
1
mod 3
у }
D
*
г
mod 3
" D1
ьо
J
Y
}
1
0
0
2
1
1
1
0
1
2
3
4
5
Рмс. 3.3.2. АЛПМ с характеристическим полиномом F(D) = D3 + D2 + 2D + / mod 3.
75

Диаграмма состояний АЛПМ полностью воспроизводит процедуру возве-
возведения в степень в поле GFC3) по двойному модулю mod d(x3+x2+2x+l,3)
(см. табл. 3.3.1).
Таким образом, АЛПМ за один такт осуществляет умножение на D по
двойному модулю modd(F(x),p).
3.4. Алгоритм расчета коэффициентов
неприводимых над простыми полями Галуа
полиномов произвольной степени
Пусть нормированный полином я-ой степени с коэффициентами из GF(p)
хп + an_xxn~l + an_2xn'2 + ... + а1х + я0mod/?,
неприводим над GF(p) и имеет п корней xt,i = I,n.
Наряду со свойствами корней НП, определенными C.1.1) и C.2.2):
... Xi
отметим, что коэффициенты НП связаны с его корнями формулой Виета
C.4.2)
m ^ xh xh ...xL mod/?,
/j</2< </„,
а периоды корней одного и того же НП одинаковы. Если Э — первообразный
корень расширенного поля Галуа GF[pn) их = 0а modd(F(x),/?), то период х
равен
C.4.3)
(М,сс)
Учитывая указанные выше свойства, рассмотрим алгоритм вычисления
коэффициентов НП на примерах.
76

Пример 3.4.1./? = 3,л =
mod3.
1. Упорядочим корни (элементы поля GFC3)) по степеням с помощью АЛПМ
«со встроенными сумматорами» (согласно разделу 3.3), рис. 3.4.1.
2. Построим смежные классы #7 вычетов по modM = рп - 1 = З3 - 1 = 26,
т.е. определим корни (степени х), которые являются ^-сопряженными
и, согласно C.4.1), принадлежат одному НП.
3. Составим таблицу расчета коэффициентов НП согласно C.4.2).
В первой графе табл. 3.4.2 указан номер смежного класса.
Во второй — сами смежные классы.
В третьей графе — символы МЛРП, снимаемой с первой ячейки памяти
АЛПМ, соответствующие номерам графы 2. Например, первая строка гра-
графы 3 — соответственно первый, третий и девятый символы МЛРП с0.
В четвертой графе — построчная сумма по mod 3 символов третьей
графы.
Т с2 Ў Cj
mod 3
0
0
1
0
1
2
1
1
2
0
1
1
1
0
0
2
0
2
1
2
2
1
0
2
2
2
0
0
1
0
1
2
1
1
2
0
1
1
1
0
0
2
0
2
1
2
2
1
0
2
2
2
0
0
z
со
1
0
0
2
0
2
1
2
2
1
0
2
2
2
0
0
1
0
1
2
1
1
2
0
1
1
1
= 2D3Z + D2Z mod 3
номер такта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Рмс. 3.4.1. Диаграмма состояний АЛПМ
с характеристическим полиномом F(D) = D3 + 2D2 + / mod 3.
77

Смежные классы в поле GFC3)
Таблица 3.4.1
#1
нъ
щ
Не
#7
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
Таблица 3.4.2
Таблица коэффициентов НП
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
1
2
4
5
7
8
14
17
3
6
10
15
11
20
16
23
9
18
12
19
21
24
22
25
3
0
0
0
2
2
2
0
0
2
1
0
0
2
1
1
0
1
1
2
2
1
1
2
1
4
0
2
2
1
2
1
0
1
5
0
1
1
2
1
2
0
2
6
2
5
6
5
1
1
2
6
7
2
1
0
1
2
2
2
0
8
13
0
0
13
13
0
0
13
9
2
1
1
2
2
1
1
2
10
1
2
2
1
1
2
2
1
11
0
1
1
2
1
2
0
2
2
1
0
1
2
2
2
0
1
2
2
1
1
2
2
1
12
26
13
13
26
26
13
13
26
В пятой графе — значение коэффициентов а2, равное а2 = -х + х3 +
-/- х9 mod 3, т.е. значение, инверсное графе 4.
В шестой графе — номер смежного класса, которому соответствует по-
попарная сумма элементов класса данной строки. Например, в первой
строке элементы класса Но = 1, 3, 9. Попарные суммы 1+3 = 4,
1+9 = 10, 3+9 = 12 принадлежат Н2. В графе 6 номер класса 2.
В седьмой графе — сумма элементов класса с номером из графы 6. Эта
сумма берется из графы 4. Например, для первой строки классу Н2 в
графе 4 соответствует 2. В графе 7 — значения коэффициента ах:
а{ =х1 -х3+х1 -х9 +х3-х9 mod3.
78

В восьмой графе указана сумма по mod 26 элементов графы 2. Значения
этой суммы равны, соответственно, 0 или 13.
В девятой графе — символ МЛРП с0 с номером из графы 8.
В десятой графе приведены значения коэффициента а0 =-х1+3+9, т.е.
инверсное значение графы 9.
В одиннадцатую графу сведены значения коэффициентов а2, av a0 всех
НП из граф 5, 7 и 10.
В двенадцатой графе указаны периоды НП и их корней. Согласно C.3.1),
НП, соответствующие смежным классам, объединяющим квадратичные
вычеты, имеют период 13; квадратичные невычеты — 26.
такт
z =
Пример 3.4.2.
р = 5, п = 3, F
1 2 3
0 0 2
1х)
4
2
5
2
+ 3х
6
1
+ 2]
7
0
nod
8
4
5. МЛРП
9 10
1 1
Z
11
4
-2D3Z + DZmod
12 13 14 15
13 13
5
16
4
17
1
18
2
такт 19 20 . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
z= 021102443140200444
такт 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
z= 203223212132404220
такт 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
z= 433123040033340144
такт
z =
такт
z =
73
1
91
1
74
4
92
0
75
2
93
3
76
4
94
0
77
2
95
0
78
1
96
1
79
4
97
1
80
3
98
1
1
89 90
2 4
99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
3023323434
такт 109 110 111 112 ИЗ 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124
z= 2310133012243201
В табл. 3.4.3 представлены результаты расчета коэффициентов НП и их
периодов.
Сопоставление результатов расчета (таблица 3.4.1 и таблица 3.4.2) с изве-
известными таблицами НП [53] показывает их полную идентичность.
Предлагаемый алгоритм отличается универсальностью (применим для
произвольных пир), простотой (содержит всего 13 процедур), быстродействием
(большинство процедур — сложение), реализуемостью на ВМ (все операции —
с числами).
79

Таблица 3.4.3
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2
1
2
3
4
6
7
8
9
11
12
13
14
16
17
18
19
21
22
23
24
32
33
34
37
38
39
42
43
44
47
48
49
63
64
68
69
73
74
94
99
3
5
10
15
20
30
35
40
45
55
60
65
70
80
85
90
95
105
ПО
115
120
36
41
46
61
66
71
86
91
96
111
116
121
67
72
92
97
117
122
98
123
4
25
50
75
100
26
51
76
101
27
52
77
102
28
53
78
103
29
54
79
104
56
81
106
57
82
107
58
83
108
59
84
109
87
112
88
113
89
114
118
119
Коэффициенты НП и их периоды дляр -
5
0
0
2
2
1
0
4
1
4
1 ,
3
1
4
1
2
0
1
1
0
2
0
0
4
2
0
3
3
2
1
3
2
4
0
0
4
0
1
4
0
3
6
2
1
3
2
0
4
2
2
4
3
3
1
3
0
4
0
3
3
3
4
4
2
1
0
3
4
3
1
1
1
0
3
3
4
0
1
1
2
1
0
7
4
0
2
0
4
4
4
2
3
2
2
3
1
2
1
3
4
0
4
2
3
0
4
3
3
3
1
4
4
2
4
2
1
0
1
1
2
3
2
2
8
1
1
2
4
0
3
0
0
1
1
3
0
3
3
2
3
3
4
2
3
2
2
4
0
1
0
2
2
1
1
1
4
4
4
0
2
4
4
3
0
9
4
4
3
1
0
2
0
0
4
4
2
0
2
2
3
2
2
1
3
2
3
3
1
0
4
0
3
3
4
4
4
1
1
1
0
3
1
1
2
0
4
10
5
10
15
20
21
27
31
18
25
34
15
31
29
12
29
38
2
7
12
4
35
38
13
39
20
18
4
2
13
23
7
23
5
10
21
27
25
34
35
39
5
11
0
1
2
3
2
2
1
4
1
4
2
1
1
0
1
4
1
0
0
4
0
4
3
3
3
4
4
1
3
4
0
4
0
1
2
2
1
4
0
3
6
12
31
62
93
0
62
93
0
31
93
0
31
62
0
31
62
93
31
62
93
0
0
31
62
31
62
93
62
93
0
93
0
31
93
0
0
31
31
62
62
93
- 5уп
7
13
2
4
3
1
4
3
1
2
3
1
2
4
1
2
4
3
2
4
3
1
1
2
4
2
4
3
4
3
1
3
1
2
3
1
1
2
2
4
4
3
— 3
8
14
3
1
2
4
1
2
4
3
2
4
3
1
4
3
1
2
3
1
2
4
4
3
1
3
1
2
1
2
4
2
4
3
2
4
4
3
3
1
1
2
9
15
4
4
3
1
0
2
0
0
4
4
2
0
2
2
3
2
2
1
3
2
3
3
1
0
4
0
3
3
4
4
4
1
1
1
0
3
1
1
2
0
10
16
0
1
2
3
2
2
1
4
1
4
2
1
1
0
1
4
1
0
0
4
0
4
3
3
3
4
4
1
3
4
0
4
0
1
2
2
1
4
0
3
11
17
3
1
2
4
1
2
4
3
2
4
3
1
4
3
1
2
3
1
2
4
4
3
1
3
1
2
1
2
4
2
4
3
2
4
4
3
3
1
1
2
12
18
124
62
124
31
62
124
31
124
124
31
124
62
31
124
62
124
124
62
124
31
31
124
62
124
62
124
62
124
31
124
31
124
124
31
31
124
124
62
62
124
80

3.5. Алгоритм расчета коэффициентов
неприводимых над расширенными полями
Галуа полиномов произвольной степени
Целью настоящего раздела является обобщение алгоритма расчета коэф-
коэффициентов неприводимых над простыми полями Галуа GF(p) полиномов на
случай коэффициентов из расширенного поля Галуа GF(pn).
Для компактного вывода результатов формируется основной блок НП с
коэффициентами из GF(pn) согласно разделу 3.4.
Пусть поле GF(qm) (q = pn) получено расширением GF{q) с помощью при-
примитивного полинома F{x). F(x) формирует максимальную рекуррентную после-
последовательность (МЛРП) с периодом
M = qm-1. C.5.1)
Цуги упорядочены по степеням первообразного элемента Ge GF(q).
Рассмотрим случай двойного расширения. ОбозначимДа) — произвольный
НП, на основе которого сформировано-поле GF(q).
Пусть нормированный полином m-ой степени с коэффициентами из GF(pn)
F(x)=xm +ат_{хт~1 +... + alx + a0modd(f(a),p), at e GF(pn)
неприводим над GF(pn) и имеет га корней, которые являются q-сопряженными:
(F(x) — модульный полином).
Отметим, что коэффициенты НП связаны с его корнями формулой Виета
C.4.2), а периоды корней одного и того же НП одинаковы и равны периоду НП
C.4.3). Проведем расчет основного блока НП аналогично § 3.4.
1. Сформировать поле GF(pn) на основе заданного неприводимого поли-
полинома Да). '
2. Случайным выбором найти примитивный полином.
3. Сформировать базовый цуг.
4. Сформировать смежные классы вычетов по модулю qm -1, разбивая на
смежные классы по подгруппе Но = {1, qy q2,..., qm~1} только первые А^
чисел, где JVU — длина цуга в тактах.
Классы записать в виде
h = N4ti+h",
где ti — номер цуга, h" — номер элемента МЛРП в цуге.
5. Коэффициенты основного блока НП рассчитать по модифицированной
формуле Виета

5.1. По смежному классу найти адреса элементов цуга
5.2. Элементы цуга умножить на степень первообразного корня с пока-
показателем степени
X*""
и
соответ-
соответ([А]— целая часть дроби Л. Индексы в суммах
ствуют ХЛ = а*1 + а'2 +-- + а/, )•
6. Период НП найти по формуле C.4.3).
Коэффициенты j-ro блока НП находятся через коэффициенты основно-
основного блока по формуле:
am_kJ^am_kfOe{J-k)^ modd(f (а\рУ
Пример 3.5.1. Р = 3, п = 2, га = 2. ^ = ^"=32=
Л =g"B-l = 80==
^18
= #т -1 = 92 -1 = 80.
1. Пусть пoлeGF(з2) формируется на основе неприводимого полино-
ма/(а) = а2 +а + 2 mod3. Для упрощения расчетов образуем таблицу
индексов:
ind
ехр
2а+1 2а+2
2а
а+2
а+1
2. Выберем примитивный полином F(x) = x2 + x + a + l modd (f(a), 3).
3. Рекуррентное уравнение Z = 2aD2Z + 2aDZ modd (f(a), 3) при началь-
начальных условиях 1 0 формирует цуг МЛРП
5
8
Zi
2а 2а+1
2а+1 2а+1 2а+2 а+2
2а
4. Построим смежные классы вычетов по модулю М = 80.

н2
Нз
Н4
(Здесь принято обозначение ак: а — номер элемента в цуге, к — номер
цуга).
5. Модифицируем формулы расчета коэффициентов:
ах =-(
а0 =
(^2 + а + 2,з).
Результаты расчета нулевого блока НП сведены в табл. 3.5.1.
Нулевой блок коэффициентов НП
Таблица 3.5.1
Номер
i
0
1
2
3
4
Коэффициенты блока НП
«1
а
2
2а+2
а+\
0
я0
а
1
2а+2
2
2а
Элемент класса Л,-
1
2
3
4
5
Периоды Nx
80
40
80
20
16
Таким образом, алгоритм, предложенный в разделе 3.4, с незначительными
дополнениями полностью перенесен на случай расширенных полей GF(pn), что
доказывает его универсальность.
Найдена возможность получения всей совокупности НП вне зависимости
от вида модульного полинома, применяемого для формирования расширенно-
расширенного поля GF(pn). При этом периоды НП остаются неизменными, что существенно
упрощает ведение расчетов.
Результаты расчетов коэффициентов НП и их периодов могут быть пред-
представлены в сжатом виде аналогично таблицам НП над GF(p).
83

3.6. Результаты расчетов, выводы
В главе 3 разработано несколько алгоритмов расчета коэффициентов НП,
которые объединяет возможность работы с числами (индексами), даже в тех
случаях, когда НП задан над расширенным полем, и компактная форма пред-
представления результатов расчета, что особенно важно при табулировании резуль-
результатов.
Отличительной особенностью алгоритмов, приведенных в разделах 3.1 и 3.2
является их простота. Для вычисления полной таблицы НП нет необходимос-
необходимости искать образующий НП. Однако область их применения распространяется
лишь на полиномы второй и третьей степени. В процессе расчета теряется ин-
информация о периоде НП.
Алгоритмы, разработанные в разделах 3.4 и 3.5 являются универсальными:
они применимы для расчета коэффициентов НП произвольной степени над
простыми и расширенными полями. Одновременно с коэффициентами рассчи-
рассчитываются периоды и корни НП. Однако расчету предшествует поиск образую-
образующего НП.
Полные таблицы НП над простыми полями Галуа рассчитаны в [46] для
Птах
Ртах
3
97
4
23
5
11
7
5
10
3
и по одному примитивному полиному с минимальным числом ненулевых коэф-
коэффициентов для
Птах
Ртах
2
32749
3
1103
4
103
5
31
6
13
8
7
9
5
13
3
Полные таблицы НП над расширенными полями Галуа GF(qm), q = pn рас-
рассчитаны в [47] для
ттах
Птах
Ртах
2
11
2
3
6
2
4
4
2
5
3
2
7
2
2
2
7
3
3
4
3
5
2
3
2
5
5
3
2
5
2
4
7
3
2
7
2
3
17
2
2
97
и по одному примитивному полиному с минимальным числом ненулевых коэф-
коэффициентов для
r>i,MX
П,ШХ
Ртах
2
18
2
3
8
2
4
5
2
5
4
2
7
3
2
10
2
2
2
11
3
3
5
3
4
3
3
6
2
3
Рассчитанные таблицы НП значительно превосходят по объему все извес-
известные в отечественной и зарубежной научно-технической литературе.
Следует отметить, что представленные в [46] и [47] таблицы НП составля-
составляют лишь 0,2% от рассчитанных, а время расчета полных таблиц составляет
несколько минут на персональном компьютере средней производительности.
84

Глава 4
ТЕОРИЯ СПЕКТРОВ РАЗНОСТИ КЛАССОВ
ВЫЧЕТОВ ПО ПРОСТОМУ ПОЛЮ
4.1. Постановка задачи
Любое правило кодирования U(/) заключается в том, чтобы каждому номе-
номеру позиции / поставить в соответствие определенный символ последовательно-
последовательности. В частности, наиболее востребованными являются двоичные {0,1}, бинар-
бинарные {±1} и троичные {0, ±1} последовательности. С точки зрения набора
символов ТП поглощают все три из перечисленных последовательностей. Таким
образом, если нас интересуют именно эти три типа последовательностей (ДП,
БП и ТП), обобщенное правило кодирования можно сформулировать так:
разделить множество номеров позиций на три подмножества таким образом,
чтобы каждому из подмножеств был поставлен в однозначное соответствие
один из трех символов {0, ±1}. Причем некоторые из подмножеств могут быть
пустыми. Если пустым является подмножество, соответствующее символу «О»,
то в результате кодирования будет формироваться БП, если пустым окажется
подмножество, соответствующее символу «-1», то ПК будет порождать двоич-
двоичную последовательность.
Каждое из подмножеств можно разделить на более мелкие подмножества,
(назовем их «блоками»), предъявив к ПК следующие требования.
1. В каждом блоке должно быть одинаковое число позиций.
2. Каждому блоку может соответствовать только один символ.
3. Каждому блоку может соответствовать только одно значение корреля-
корреляционной функции (как ПАКФ, так и ПВКФ).
Этим условиям соответствуют многие правила кодирования. Для бинарных
последовательностей такое обобщенное ПК предложил М. Свердлик [97], выб-
выбрав в качестве блоков позиций классы вычетов по простому модулю. Возника-
Возникает естественное желание распространить обобщенное ПК на все три типа пос-
последовательностей.
1+1, еслиК(г) -кх,к2,къ....,
-1, еслиК(/) = тр т2, т3..., D.1.1)
О, в остальных случаях.
Здесь к, т — номера классов, К(/) — функция, определяющая, какому
классу вычетов принадлежит номер позиции i.
Возникает целый ряд вопросов:
1. Всегда ли будет выполняться третье требование к ПК?
2. Можно ли распространить метод вычисления ПАКФ ДП путем опре-
определения всех возможных разностей между позициями, на которых рас-
85

положены «единицы» (см. раздел 2.5) на случай троичных последова-
последовательностей? Если да, то:
3. Как определить разность между блоками-классами вычетов?
4. Каковы свойства этих разностей?
5. Как вычислить ПАКФ и ПВКФ через разности между блоками?
Ответам на эти вопросы посвящена глава 4.
4.2. Спектры разности классов вычетов
по простому модулю
Упорядочим все ненулевые элементы простого поля Галуа по возрастанию
степени первообразного корня Эе GF(p).
Выборка из А с интервалом d{d\(p-l)) порождает d непересекающихся
классов вычетов с образующими элементами
Н^ <=> в*. D.2.1)
Классы вычетов D.2.1) являются смежными классами (см. раздел 2.3).
Произведение классов Hw и Нк определяется простой формулой
Hm*Ht=H(m+tb. D.2.2)
Разность (сумму) классов Нт +Ик определим с помощью функции К (а):
К(а)=т, если ае Ят. D.2.3)
Заметим, что согласно D.2.1)
К(в' )=(/),. D.2.4)
Утверждение 4.2.1. Классы вычетов по mod р, которым принадлежит раз-
разность (сумма) классов Нт + Н^ с точностью до циклического сдвига опре-
определяются разностью номеров этих классов
)), A^(m-k)d. . D.2.5)
Действительно, с учетом D.2.1), D.2.3) и D.2.4) получим
к(нт+н4)=к(ви+и + ek+jd )= к(е*+и)+ K(em-k+{i-J* +i)=(k+к(нЛ + i))d,
86

Итак, классы, которым принадлежит разность (сумма) Нт +Н^, с точнос-
точностью до циклического сдвига на постоянную составляющую к, определяются
рядом значений
где A = (m-k)d, i = 0,R-l. D.2.6)
Назовем спектром разности классов вычетов (СРКВ) с номерами 0 и Л
упорядоченную по номерам классов матрицу-строку из d чисел, показывающую
сколько раз класс с номером t встречается в D.2.6) при i = 0,R -1.
S(O,A,d)=so,sl,...st...sd_l. D.2.7)
По аналогии с классической теорией спектров значение t будем называть
номером «гармоники», а значение st — «амплитудой гармоники».
Аналогично определим спектр суммы классов вычетов Но и Нд:
G{O,A,d)=go,gl,...gl...g^. D.2.8)
Далее будет показано (теорема 4.4.3), что спектр суммы классов вычетов и
СРКВ связаны соотношением:
, ч fS(O,A,d\ если R=0
G@,A,</)H ,,/, / ч mod 2. D.2.9)
V ; [Dd/2S@,A,d), если ReI K }
Поэтому дальнейшие исследования мы сосредоточим лишь на СРКВ.
4.3. Специфические свойства СРКВ
В настоящем разделе будут исследованы свойства спектров разности клас-
классов вычетов при различном числе ненулевых элементов R в классе.
Р-1
Пусть число классов d = , в каждом классе по два элемента R = 2.
Утверждение 4.3.1. Для произвольного модуля р при числе классов вычетов
Р-1
d = Но состоит из двух элементов
Согласно D.2.1) кол = в 2 = -1; hQ0 = вр~1 = 1 mod P.
Из утверждения 4.3.1 вытекает целый ряд следствий:
87

Следствие 4.3.1. Любой смежный класс Н^ состоит из двух дополнительных
по сложению элементов
т.к. согласно D.2.1) Н^ - в*Н0 mod P.
Следствие 4.3.2. К(-а) = К(а), т.к. К(-а) = К(-1) + К(а), а согласно утверж-
утверждению 4.3.1 К(-1) = 0.
( Р-1Л
Следствие 4.3.3. Спектр S 0,0,-— содержит только одну гармонику с
номером ^00 = КB) и единичной амплитудой, т.к.
>o,o=K(/*o,o-l)=K(-2)=KB)
t01 = K(/j0д -1)= K(o) — не существует
В частности при 0 = 2, t0 0 = 1.
( Р-\\
Следствие 4.3.4. Спектр S ОД,—— содержит две гармоники единичной
амплитуды с номерами соответственно:
-i) и tkX =к(вк +i),т.к. tkl=K(-ek -i)=K
( p-i
Следствие 4.3.5. В спектре S 0,к, | нет гармоник с амплитудой, равной
двум, т.к. tk0
( РП ( P-V
Следствие 4.3.6. Спектры S 0,~к,—— и S ОД, | отличаются лишь
циклическим сдвигом на (- A:)mod .
2 v т.к.

2 2
Таким образом, многие свойства СРКВ определяются числом классов (эле-
(элементов в классе), независимо от характеристики поля Галуа, в котором эти клас-
классы сформированы.
В ходе дальнейшего изложения, если принципы доказательств свойств
СРКВ аналогичны изложенным выше, мы ограничимся лишь формулировкой
свойства.
Р — 1
Пусть Р = 1 mod 3, число классов d = —, в каждом классе по три элемен-
элемента (R = 3). 3
Утверждение 4.3.2. Для произвольного модуля Р = 1 mod 3 при числе клас-
Р — 1
сов d = Но состоит из трех элементов
Но = (V hi • Кг} \о = ®" = ® 3 ; hi = ®2d' ha ^ 1 mod P.
Из утверждения 4.3.2. вытекают следующие следствия.
Следствие 4.3.7. Все элементы hOi e Но являются квадратичными вычетами,
Р-1
т.к. d = —— = 0 mod 2.
3
Следствие 4.3.8. Сумма элементов h0. е Но равна нулю по mod P.
E
( р-Г
Следствие 4.3.9. Спектр S 0,0, | содержит две гармоники единичной
амплитуды с номерами
Следствие 43.10. Разность между номерами гармоник спектра S(O?O,d) для
произвольного модуля/» равна
Следствие 4.3.11. Сумма элементов hki произвольного класса Н^ равна
нулю по mod Р=
2
ki =0modp,
89
2
т.к. согласно D=2.1) Н^ = в*Н0, а согласно следствию 4.3.2 У]к01 = 0.

( Р-П
Следствие 4.3.12. Спектр S ОД, содержит три гармоники единичной
амплитуды с номерами
Исключение составляет спектр Я 0,—,d
При * = -:
-1 =К 62-1
Таким образом, спектр S 0,—,d состоит из двух гармоник, одна из кото-
которых с номером td = 0 имеет амплитуду 2, а вторая, с номером td =К(-2)
0 1
td
имеет единичную амплитуду.
Следствие 4.3.13. Спектр s(p,(-&) ,d) отличается от спектра S(O,?,d) цик-
циклическим сдвигом на (— к) :
Следствие 4.3.14. Сумма гармоник в спектре s(p,k,d) равна
г=0
2
/=0
Перемножив двучлены и приведя подобные члены с учетом @3rf = i, a
@2 + Grf = -1 mod P получим желанный результат.
Р*-1
Пусть Р s I mod 4 . Число классов d = . В каждом классе R = 4 элемента.
4
90

Утверждение 4.3.3. Для произвольного модуля Р = 1 mod 4 при числе клас-
сов вычетов d = Но состоит из четырех попарно инверсных элементов
Следствие 4.3.15. Сумма элементов hki gH^, i = 0,3 равна нулю по mod p, т.к
элементы любого класса попарно инверсны.
Следствие 4.3.16. К(-а) = К(а), т.к. К(-1) = 0.
( Р-0
Следствие 4.3.17. Спектр $\ ^'~Т~ содержит две гармоники, одна из
которых единичной амплитуды, имеет номер tQ{ =KB), а вторая с но-
( — 1
мером t02 = К 0 4 -1 имеет амплитуду 2.
Действительно:
К(/г0 0 -1)= К (о) — не существует,
K(V2-1)=K(-2)=KB),
*Фо,з -i)=K(e3d -i)=K(e~d -i)=K(ed -1).
Следствие 4.3.18. Спектры $|O,(-Jfc)rf,*Ll^ 1 и S[O,Jfc,
P-l
1 отличаются
лишь циклическим сдвигом
Следствие 4.3.19. Спектр S(o,/:,d) содержит четыре гармоники единичной
амплитуды с номерами соответственно:
91

tk,0,tka=K{@k±l),
1кЛ,ги=к(вм±1)т.к.
tk2=K(e2d+k -1)=к(-вк
+* +1).
Исключение составляют спектры S 0,t02, и Я 0,(-r02) , , где
[ ¦ 4 ) { ¦ '" 4 )
f
t0 2 — номер гармоники с амплитудой равной двум в спектре S 0,0,
l
Р-П
Спектр $\ 0,t02, имеет нулевую гармонику с амплитудой равной двум.
Согласно следствию 4.3.4 спектр S(o,/-fO2) ,dj отличается от спектра
S(o,fO2,d) лишь циклическим сдвигом на (-*o,2/rf. Поэтому амплитуда гармони-
гармоники 5/ \ этого спектра также будет равна двум.
Заметим также, что при Э = 2, ±t02 = ±-modd.
Следствие 4.3.20. Сумма номеров ненулевых гармоник спектра и и,?,——
равна
^АЛ||. =K@4*-l)modd.
/=о
Р-1
Пусть Р = 1 mod 5 . Число классов d = . В каждом классе по пять эле-
элементов R = 5.
Утверждение 4.3.4. Для произвольного модуля р = Imod5 при числе классов
вычетов d = Но состоит из пяти элементов.
Следствие 4.3.21. Все элементы h0 i е Но являются квадратичными вычетами.
Следствие 4.3.22. Сумма элементов Но равна нулю по mod P
4
]Г/*0/ = 0 mod Р.
/=о
92

Следствие 4.3.23. Спектр S(O,O,d) содержит четыре гармоники единичной
амплитуды с номерами
Следствие 4.3.24. Гармоники в спектре S(O,O,d) располагаются парами
Г d)
Следствие 4.3.25. Сумма элементов hkj произвольного класса Н^ равна
нулю по mod P
Следствие 4.3.26. Спектр $1 0,(-?) , I отличается от спектра
Р-Г
ОД, | циклическим сдвигом
Следствие 4.3.27. Спектр $\ 0, к, содержит пять гармоник единичной
амплитуды с номерами
tkJ=K(eid+k-l) i=U
Исключение составляют спектры при к= — , к = ( — ± ^/2 2 ) и к = (—± ХфЪ) .
2* \2 I d \2 I d
В спектре S 0,—, три ненулевые гармоники.
Из трех ненулевых гармоник в спектре S 0, — , две имеют амплитуды
v 2 5 )
равные двум. Номера этих гармоник fd/2,2 и ^/2,з •
93

По одной гармонике с амплитудой, равной двум, согласно следствию 4.3.26,
будут иметь спектры Я oJ--td/22\ ,—— и S oJ--td/23) ,—- . Номера
1^ \2 Id**) V ^ Id*)
d d
этих гармоник будут, соответственно ~-tdii,i и ~~^/2,з-
Таким образом, спектры разности классов вычетов, построенных в полях
Галуа GF(P), объединенных по принципу Р = 1 mod R, обладают целым рядом
специфических свойств.
4.4. Общие свойства СРКВ
В предыдущем разделе рассмотрены свойства СРКВ, P = l mod R, при
фмксированных значениях R. Ниже исследуются общие свойства СРКВ, без
каких-либо ограничений на значения Р, R и d.
Теорема 4.4.1. СРКВ S(k, m, d) с номерами тике точностью до цикличес-
циклического сдвига на к по циклу d равен СРКВ S@, A, d) с номера-
номерами А и О, где А = т - к mod d.
S(jfc,w,d)=D*S(O,A,d), A = m-?modd, D.4.1)
где D — оператор циклического сдвига Хаффмена.
D.4.1) следует из утверждения 4.2.1 и определения СРКВ D.2.7).
Возможна эквивалентная запись СРКВ с теми же номерами классов
S(?,m,d) = DmS(-A,0,d), D.4.2)
однако желание унифицировать запись таблиц СРКВ предписывает ис-
пользрвать единую форму. В дальнейшем мы будем пользоваться формой
D.4.1).
Ниже приводится несколько теорем, характеризующих свойства спектров
разности классов вычетов.
Теорема 4.4.2. Спектры S(o,A,d) и $(о,(-А)^) связаны соотношением
,(- A),,d)= D
mod 2
D2 S(O,A,d),# = l
D.4.3) получается с учетом свойств D.2.3) и D.2.4) функции К(а):
94

к(в-4-1)=к[-в"А(ей-1)]=к(-1)+к(-д)+к(вА-1)
*w +\ d
и К(-1)=0,если R=0
= l mod 2.
Следствие 4.4.1. Из сопоставления D.4.2) и D.4.3) следует
[S(O,A,d), R=0
S(A,O,d)= d_ mod 2
[()
D.4.4)
Теорема 4.4.3. Спектры суммы и разности классов вычетов связаны соот-
соотношением
fS(O,A,d), R = 0
G@,A,d)= d_ mod 2
D.4.5)
Согласно формуле Эйлера Э 2 = -1 mod P. Поэтому справедливо преобра-
преобразование
k(ga+i)=k
-е
Учитывая определения СРКВ и спектров суммы, а также D.2.6), получаем
D.4.5).
Следствие 4.4.2. Таблица значений S(O,A,d), А = 0, — определяет все
СРКВ S(fc,m,d), ? = 0,d-l, m = O,d-l.
Учитывая информационную емкость таблицы значений СРКВ
, остановимся более подробно на свойствах этих таблиц. При
этом будем использовать сокращенную запись СРКВ S@, A,d)=> S@, А), имея в
виду, что соотношения связывают СРКВ с одинаковым значением d. В случаях,
когда в рамках одного расчета будут встречаться СРКВ с различными значениями
d, мы будем переходить к общей записи.
Обозначим общий член таблицы СРКВ (табл. 4.4.1): sAk — /:-ая гармони-
гармоника СРКВ S@,A).
95

Свойство 4.4.1. При R = 0 mod 2 таблица СРКВ симметрична относитель-
относительно главной диагонали. Это свойство следует из D.4.4).
Свойство 4.4.2. При R = 1 mod 2 таблица, полученная из табл. 4.4.1 путем
смещения нумерации строк на % > симметрична относительно главной
диагонали. -
Таблица СРКВ $(о,д) A = O,d-l.
Таблица 4.4.1
"^v. к
S@, АL^
S@, 0)
S@,1)
S@, 2)
S@, A)
S@, d-2)
S(O,d-l)
0
^0,0
*2,0
Sd 2,0
Sd-\,0
1
<*A.l
Sd-2,l
Sd-\,\
2
^0,2
Sl2
S2J
^Д,2
5f/-2,2
Sd-1,2
к
sd-2,k
Sd-\,k
d-2
*0,l-2
Sl,d-2
S2,d-2
^Д;</-2
Sd-2,d-2
Sd-\,d-2
d-l
SQ,d-\
S\,d-\
S2,d-l
SA,d-l
Sd-2,d-\
Sd-\,d-\
Это свойство также следует из D.4.4). Такую таблицу СРКВ будем назы-
называть «смещенной». Первой строкой смещенной таблицы является спектр
${0,™ 1 А-ая строка— Я °д|
Свойство 4.4.3. Строка с номером А > — может быть получена путем цик-
циклического сдвига строки с номером Д< — на величину (~A)d. Это
свойство следует из D.4.3).
Свойство 4.4.4. Столбцы таблицы СРКВ являются спектрами S@, к), а глав-
главная диагональ — спектром S*@,0)= jOfO; 50^,; jOt</.2;...5a2;5Ofl. Это
свойство — результат симметрии таблицы СРКВ относительно к и А.
Здесь* означает сопряжение.
96

Свойство 4.4.5. Столбцы смещенной таблицы СРКВ являются смещенны-
L
ми спектрами D2S@,&), а главная диагональ — спектром
* ( <П
Ь* 0,— \ = sd \sd ;sd \---sd ;sd . Как и предыдущее свойство, настоя-
2 —,0 —4-1 —4-1 —,2 -,1
V ) 2 2 2 2 2
щее является следствием симметрии и свойства 4.4.2.
Свойство 4.4.6. Из условия d = 1 mod 2 следует R = 0 mod 2, т.к. р = dR + 1 =
s I mod 2. При d = 0 mod 2 возможно как R = 0 mod 2, так и R = 1 mod 2.
Отсюда:
Свойство 4.4.7. При d = 1 mod 2 таблица СРКВ имеет вид табл. 4.4.1. При d
= 0 mod 2 — может быть и смещенной.
Свойство 4.4.8. Для одного и того же значения d = 0 mod 2 индексы элемен-
элементов таблицы saj при R = 0 mod 2 и соответствующие элементы S р смещен-
смещенной таблицы при R = 1 mod 2 связаны соотношением
Свойство 4.4.9. Для произвольного d значения элементов таблицы СРКВ
при R = 0 mod 2
являются одной и той же спектральной составляющей (гармоникой) спек-
спектра S@, 0).
Аналогично:
Свойство 4.4.10. Для произвольного d = 0 mod 2 элементы смещенной таб-
таблицы СРКВ при R = 1 mod 2
s± =s ± =sld \
являются одной и той же гармоникой спектра 5 0,— .
Проиллюстрируем свойства 1-10 на примере d = 4.
Таблицы СРКВ при R = 0 и смещенные таблицы СРКВ при R = 1 пред став-
пены в табл. 4.4.2 и табл. 4.4.3.
Согласно свойствам D.4.3) — D:4.9)
4 Зак 14
97

Отсюда следует равенство шести гармоник таблицы СРКВ при R = О mod 2:
Таблица 4.4.2
S@, 0)
S@,1)
S@,2)
S@,3)
^•\\ к
S@, Д)\^
S@,2)
S@,3)
S@, 0)
S@,1)
0
¦^0,0
xi,o
hfi
0
*v>
*з,о
50,0
slfi
CPKBS@,A,4)npuR =
1
50,l
51Д
hi
*3,1
2
S0,2
^1,2
52,2
53,2
3
^0,3
^1,3
*2,3
^3,3
CPKBS@,A,4)npuRzi
1
^2,1
hi
50,l
51Д
2
^2,2
^3,2
50,2
51,2
3
^2,3
•^3,3
*0,3
51,3
Dmod2
0
a0
ax
a2
1 mod 2
0
во
в\
в2
в3
1
а3
а4
аА
1
*i
въ
в4
в4
2
а2
а4
а2
а4
3
бГз
а4
а4
а4
Таблица 4.4.3
2
в2
в4
в2
в4
3
в3
в4
в4
ei
Таким образом, из 16 значений таблицы СРКВ для произвольной характе-
характеристики поля р при d = 4 различными могут быть не более пяти значений, каж-
каждое из которых встречается, соответственно, 1, 3 и 6 раз:
so о — ОДИН раз; s0 v sQ 2 и sQ 3 — по три раза и^12 — 6 раз.
Аналогичные соотношения в смещенной таблице СРКВ при R = 1 mod 2
(табл. 4.4.3):
s20 — один раз; s2V s%2 иs23 — по три раза ks01 — 6 раз.
Взаимосвязь между индексами соответствующих гармоник определяется
свойством 4.4.8.
Как видно из таблиц СРКВ (табл. 4.4.2 и 4.4.3), многие значения гармоник
совпадают. Причем имеют место следующие закономерности:
¦ s0Q — встречается один раз;
¦ гармоники спектра S@, 0), кроме s00 — по три раза;
¦ остальные гармоники, как правило, — по шесть раз.
98

Максимальное число различных значений в таблице СРКВ не превышает:
(d-lXd-2)
6
D.4,6)
Для первых десяти значений d, величина итах приведена в табл. 4.4.4.
Отметим еще одно существенное свойство таблиц СРКВ.
Таблица 4.4.4
Максимальное число различных значений в таблице СРКВ S\0,A,d),A = 0,d-
d
Птах
3
3
4
5
5
7
6
10
7
12
8
15
9
19
-1
10
22
Свойство 4.4.11. Сумма значений гармоник спектров (сумма элементов
строк таблицы СРКВ) равна:
d-\
к=0
d-\
tk =R-1, если А = 0,
sA,k =R> если А * 0.
4.5. Взаимосвязь СРКВ с ПАКФ и ПВКФ
периодических ДКП
В разделах 4.2—4.4 исследованы спектры разности классов вычетов.
Ниже будет показано, как можно использовать СРКВ для вычисления
ПАКФ и ПВКФ ДКП.
Теорема 4,5.1. СРКВ S(O,O,d) с точностью до циклического сдвига гармо-
гармоник определяет ПАКФ ДП Хк ={^,} * = 0,Р-1 относи-
относительно преобразования
UXK@ =
R
Xk
1, если К (/)=&;
О, в остальных случаях.
= ?>*S(O,O,d).
D.5.1)
ПАКФ ДПХ^ относительно преобразования D.5.1) можно вычислить как
таблицу разностей по mod p между номерами позиций, на которых распо-
расположены единичные символы ДП, с последующим суммированием одинако-
одинаковых значений таблицы (раздел 2.5). Согласно лемме 4.2.1 и определению
СРКВ D.2.7) — это спектр разности классов вычетов S(O,O,d).
99

В таблице 4.5.1 для иллюстрации сказанного приведены все возможные
разности at-aj, где a ^Sid, ay =SJd. Сомножитель @^~J^ опущен, т.к.
согласно D.2.4) K@(w)rf )= 0 mod d.
Главная диагональ таблицы заполнена нулями, что соответствует главному
лепестку ПАКФ, который равен R. Значения таблицы на диагоналях, парал-
параллельных главной, также одинаковы (в пределах диагонали). Причем, если
учесть, что K(e*~a -1)= K(l - 0a), то суммарное число одинаковых значений
К(-) в таблице всегда кратно R. Это означает, что в пределах класса значение
ПАКФ постоянно. Таким образом, для вычисления ПАКФ достаточно вычис-
лить классы, которым принадлежат значения а1 -1 [а = ©d ) i = 1,R -I, а это
не что иное, как СРКВ S(O,O,d).
Таблица разностей a. -a. mod р.
Таблица 4.5.1
\v a,
aJ \
1
a
a2
a3
a"
a*~2
a"'1
1
0
1 a
1 a2
l-a3
l-a*-3
l-a*-2
l-a*-1
a
a-l
0
l-a
l-a2
l-a*-4
l-a*-3
l-a*-2
a.
cr -1
a-l
0
l-a
l-a*-5
1-я*
l-a*-3
a3
a3-l
a2-l
a-l
0
l-a*-6
1-a*
l-a*-4
a*
a*-3-l
a*-l
a* 1
a*-l
0
l-a
1-я2
a"'2
aR-2-X
a*-3-l
a"-!
a* -1
a-l
0
l-a
a*
a*--l
a*-l
a*-3-l
a*-l
a2-l
a-l
0
Далее взаимно-однозначное соответствие между ПАКФ ДП X и СРКВ
будем обозначать так:
Теорема 4.5.2. СРКВ S@,A,d) с точностью до циклического сдвига опреде-
определяет ПВКФ ДП X = {xj} иУ = {у;}, i = 0,Р-1 относительно
преобразований D.5.1) и D.5.2).
/ч
l, если K(i)=m
О, в остальных случаях.
D.5.2)
100

Ход рассуждений и принципы доказательства аналогичны теореме 4.5Л.
Теоремы 4.5.1 и 4.5.2 определяют ПАКФ и ПВКФ ДП относительно преоб-
преобразований D.5.1) и D.5.2), т.е. когда ДП синтезированы на основе одного класса
с разными номерами к Ф т.
Однако тот факт, что классы вычетов являются непересекающимися, по-
позволяет распространить математический аппарат СРКВ на синтез ДП из отдель-
отдельных «блоков» — составляющих, каждый из которых соответствует преобразо-
преобразованиям D.5.1) и D.5.2).
Пусть, например, ДКП сформирована на основе двух классов
X = {*.}= Хг+Х2,1 = 0,iV-I, Ux(*) =
1, если К(г)=&2,
Тогда:
и, соответственно:
+ RX
0, в остальных случаях.
1, если K[i) = тх,
, еслиК(/)=т2,
0, в остальных случаях.
rX2jF2 (x).
с _e i с i с «
°X,Y ~°Xi,Y1 ~roX1,F2 ~TOX2,Yi ~V
Расчет каждого из слагаемых определен теоремами 4.5.1 и 4.5.2. С учетом
этого получены следующие теоремы.
Теорема 4.5.3. Пусть ДКП Y отличается от ДКП X циклическим сдвигом
образующих ее классов на S
Uy(i) =
(/)=^, к2,....к1г
-1, если К(/) = т1, т2,.... mh,
0, в остальных случаях.
1, если К(*)= кх + 8,к2 + 5,.... кх + 8,
-1, если K\i)=ml +8, m2 +5, ....ml +8,
0, в остальных случаях.
D.5.3)
101

Спектры, соответствующие ПАКФ этих последовательностей, связаны
соотношением:
Этот вывод получается с учетом теоремы 4.4.1.
Преобразование D.5.3) охватывает троичные, двоичные (/2 = 0) и бинарные
(/j -f /2 = d) последовательности.
Теорема 4.5.4. Пусть ДКП Хг и Yt получены циклическим сдвигом образу-
образующих их классов на д{ и 82, соответственно, последователь-
последовательностей X и Y (преобразование аналогичное D.5.3)), причем
(<5j - д2} = 5. Тогда спектры, соответствующие ПВКФ пос-
последовательностей Х2 и Y2 относительно того же преобразо-
преобразования с циклическими сдвигами классов <53 и <54, будут свя-
связаны соотношением
°X2,Y2 ~и ^XlYi'
если (8Ъ -54)d^8.
Теорема 4.5.4 является обобщением теоремы 4.5.3.
Теорема 4.5.5. Пусть спектр, соответствующий ПВКФ rx Y(x) ПДКП X и Y
относительно преобразования D.5.3) равен SXY. Тогда
спектр, соответствующий ПВКФ rY х(т) будет равен
_d(k(-iH
°Y,X ~ и °X,Y"
Этот вывод является результатом применения теоремы 4.4.2.
Теорема 4.5.6. Пусть спектр SXY, соответствующий ПВКФ rx y(t) ДКП X
и Y, относительно преобразований
их@=
UY(i) =
-1, еслиК(/)=т15 m2,....mh,
0, в остальных случаях.
1, ecjfflK(i)=/,,/2 Д,
-1, еслиК(/)= /г1? h2, ....ht ,
О, в остальных случаях.
Замена преобразования ?/F(o)=O на UY(o) = ?o (b0 =±l) приводит к изме-
изменению спектра Sx Y на величину Ах Y
102

ь0,
-b0, если К(г) = mx, m2,.... mh,
О, в остальных случаях.
Аналогичная замена преобразования Ux (о)= 0 наUх (о)=ао(ао = ±l) при-
приводит к изменению спектра SY x на AY x
- а0, если K(i) = \, h2,.... А,2,
0, в остальных случаях.
Будем считать, что ДКП X и Y имеют одинаковый «рельеф» корреляцион-
корреляционной функции, если величина боковых лепестков и их количество одинаково. Т.е.
«рельеф» не учитывает порядок распределения боковых лепестков вдоль осит
(а в спектре — по номерам классов). При синтезе ДКП методом направленно-
направленного перебора важно знать число различных «рельефов». Следующая теорема
устанавливает границу «сверху».
Теорема 4.5.7. Число различных рельефов ПВКФ бинарных и троичных
последовательностей не превышает величины
где L(R) — число различных, с точностью до циклическо-
циклического сдвига и инверсии, БП из R ненулевых символов.
Приведенные в настоящем разделе теоремы достаточно полно раскрывают
взаимосвязь правила кодирования ДКП, СРКВ и корреляционных функций.
4.6. Выводы
Совокупность доказанных в четвертой главе лемм, теорем, утверждений,
следствий и свойств можно трактовать как основы теории спектров разности
классов вычетов по простому модулю.
Применение теории СРКВ создает предпосылку для разработки на ее ос-
основе эффективных, универсальных алгоритмов анализа, синтеза и формирова-
формирования дискретно-кодированных последовательностей, т.к.:
¦ периодические автокорреляционные и взаимно корреляционные функ-
функции ДКП однозначно определяются через СРКВ;
¦ практически все известные правила кодирования линейных ДКП над
простыми полями могут быть описаны через классы вычетов [97];
¦ все операции выполняются над числами, что особенно важно при ис-
использовании для синтеза ВМ, а для формирования ДКП — цифровой
элементной базы различной степени интеграции.
103

Глава 5
МЕТОДИКА СИНТЕЗА
ДВОИЧНЫХ, ТРОИЧНЫХ И БИНАРНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ СРКВ
Во введении отмечалось, что за последние три десятилетия не было ни
одной публикации о новом регулярном правиле кодирования двоичных, троич-
троичных или бинарных квазиортогональных последовательностей. На что надеялись
авторы, обращаясь к этой, казалось бы, обреченной на провал теме? Наш
оптимизм основан на:
¦ разработке нового математического аппарата, позволяющего осуществ-
осуществлять синтез КОП не поэлементно, а большими распределенными по
периоду непересекающимися блоками, в пределах которых неизменны
как амплитуда и знак элементов последовательности, так и величина
корреляционной функции.
¦ возможности доказать необходимые условия существования КОП на-
настолько жестко, что переборная фаза синтеза станет доступной для пе-
периодов в несколько десятков тысяч на компьютерах средней производи-
производительности.
¦ универсальности обобщенного правила кодирования, которое охватыва-
охватывает все типы наиболее востребованных КОП: ДП, ТП и БП.
¦ интуиции, которая неизменно появляется у человека в результате мно-
многолетнего опыта общения с одним и тем же предметом, и подсказывает,
что решения есть.
5.1. Постановка задачи
Перечисленные побудительные мотивы обращения к теме, указанной в за-
заголовке настоящей главы, позволили достаточно четко сформулировать реша-
решаемые задачи:
1. Доказать необходимые условия существования и допустимые комбина-
комбинаторные соотношения для синтеза КОП, формируемых на основе клас-
классов вычетов по простому модулю, чтобы эффективно использовать воз-
возможности математического аппарата спектров разности классов
вычетов. Довести НУС до такого же уровня отсева невозможных реше-
решений, как это сделано в разделе 2.5 для поэлементного синтеза КОП.
2. Разработать методы синтеза двоичных, троичных и бинарных после-
последовательностей с заданными ограничениями на их параметры (уро-
(уровень боковых лепестков ПАКФ и ПВКФ, период, пик-фактор, уравно-
уравновешенность).
3. Разработать эффективные алгоритмы, позволяющие синтезировать
последовательности с периодом несколько десятков тысяч.
104

5.2. Необходимые условия существования
квазиортогональных последовательностей с
заданными ограничениями на их параметры
В разделе 2.5 рассмотрены необходимые условия существования (НУС)
КОП с заданными пороговыми значениями параметров. В главе 4 показано, что
спектры разности классов вычетов являются удобным математическим аппара-
аппаратом для синтеза КОП при формировании по обобщенному правилу кодирова-
кодирования D.1.1). В этой связи представляет интерес рассмотреть особенности НУС,
обусловленные спецификой правила кодирования.
Итак,пусть т5Л классам присвоен знак «+», ms_ —знак«-», Am5 =\ms+ -ms\,
r(r)={0,±l}, /у+ классов в ПАКФ имеют значение «+1» и ls_ —значение «-1», lso
—значение «О».
р-1
Сумма боковых лепестков ПАКФ а = ^гу (т) = Am2 -Ry.
x=l
Применительно к рассматриваемому ПК это соотношение следует перепи-
переписать в виде:
а 2
а, = — = Ams K-msy где ms =ms+ +ms_.
к.
Отсюда: <
Утверждение 5.2.1. Сумма спектральных составляющих полностью уравно-
уравновешенных КОП (Ат5 =0) определяется только числом классов ms, на
которых размещены активные символы
Для двоичных последовательностей (Am^ = ms), поэтому:
Утверждение 5.2.2. Сумма спектральных составляющих os СРКВ двоичной
последовательности определяется числом классов ms и числом элементов
в классе R.
os =ms(msR -1).
По аналогии с B.5.21) определим число спектральных составляющих раз-
разного знака в СРКВ, соответствующем ПАКФ.
Утверждение 5.2.3. Число «плюсов» ls+, «минусов» ls_ и «нулей» lSy0 в
СРКВ, соответствующем ПАКФ КОП, связаны соотношениями:
l-ms -/ 0
4* Зак 14 1 05

Из утверждения 3 вытекают сразу несколько следствий.
Следствие 5.2.1. Необходимым условием существования полностью урав-
уравновешенной КОП является система
d-ms-ls0
ls,- = ¦
2
d + mc -ч
5,0
Следствие 5.2.2. Число классов вычетов, занятых активными символами
ms, для полностью уравновешенных КОП должно быть четным, а число
классов ls0 — сравнимо с d no mod 2.
ms s= 0 mod 2, ls 0 = d mod 2.
В частности, для полностью уравновешенных КОП, синтезируемых на
основе двух классов вычетов (ms = 2) при d = 4 возможен только один ре-
рельеф ПАКФ:
при J = 6 возможны два рельефа:
/,t+ = 2, /,,_ = 4, lSi0 = 0 и Zft+ = 0, /55_ = 2, /5,0 = 4 .
Для двоичных последовательностей (ms+ = ms, ms_ = 0, /5 _ = 0) справедливо.
Следствие 5.2.3. Необходимым условием существования двоичных после-
последовательностей со свойством «не более одного совпадения» является
выполнение целочисленного соотношения:
d-ls0 =m2sR~ms.
Отсюда также следует, что ms является делителем разности d - ls0.
Несомненный интерес представляют НУС КОП с одноуровневой ПАКФ.
Утверждение 5.2.4, Необходимым условием существования КОП с одноуров-
одноуровневой ПАКФ г(т) = г, т = 1, р ~ 1 является выполнение соотношения
ms+rd _ 2
R
Оно накладывает довольно жесткие ограничения на допустимые парамет-
параметры ms, d и R для заданных г и Ат5. В частности, при г = 0.
106

Следствие 5.2.4. Необходимым условием существования последовательно-
последовательностей с идеальной ПАКФ при формировании по обобщенному правилу ко-
кодирования является выполнение соотношения
^ = AmJ,
R
т.е. число элементов R в классе вычетов должно быть делителем количества
классов ms, а частное от деления — квадратом целого числа.
Следствие 5.2.5. Невозможно синтезировать последовательности с одно-
одноуровневой ПАКФ для г<-\ относительно правила кодирования D.1.1).
Этот вывод получается из системы неравенств
Следствие 5.2.6. Необходимым условием существования двоичных после-
последовательностей с одноуровневой ПАКФ Х(т)=Х, т = 1,Р-1 является вы-
выполнение соотношения
4Х(Р-l)+l = BRms -if,
т.е. 4A(P-l)+l должно быть квадратом нечетного числа.
Отсюда при Я = 1 следует:
Следствие 5.2.7. Необходимым условием существования совершенных раз-
разностных множеств при формировании по обобщенному правилу кодирова-
кодирования D.1.1) Я =1 является соотношение
Приведенные утверждения и следствия из них составляют основу синтеза
КОП при формировании по обобщенному правилу кодирования, т.к. существен-
существенно сокращают самую трудоемкую часть синтеза — направленный перебор.
5.3. Методика и алгоритмы синтеза двоичных
последовательностей и ансамблей ДП
со свойством «не более А,т совпадений»
Начнем разработку методик и исследование алгоритмов с простейшего случая.
Пусть ДП формируется на основе одного класса вычетов по правилу
|1, если K(i) = *,
[О, в остальных случаях. \ • - )
107

Из теоремы 4.5.1 следует
Утверждение 5.3.1. Необходимым и достаточным условием существования
ДП со свойством «не более Ят совпадений» является выполнение требова-
требования st<Xm,t = 0,d-l, st e S(O,O,d).
Синтез ДП сводится к вычислению спектра S(O,O,d) и проверке выполнения
условия st < lm.
Если такой спектр найден, то ДП имеет следующие параметры:
R = —-\pf = — ~ d;L(u)= <
— , если R = 0
d + 1
mod 2,
, если R = 1
E.3.2)
где R — вес ДП, число единичных символов на периоде;
pf — пик-фактор;
L(U) — мощность ПК.
Таким образом знание спектра S(O,O,d), который удовлетворяет заданным
условиям синтеза, позволяет сформировать d последовательностей по правилу
кодирования E.3.1) с параметрами E.3.2). L(U) из них являются циклически и
сопряженно независимыми.
Пример 5.3.1. Р = 71, d = 10, R = 7.
Спектр S@,0,10) представлен в таблице 5.3.1 (первая строка таблицы).
Таблица СРКВ S@,A,10), А = 0,5
Таблица 5.3.1
к
S@,0,10)
S@,l,10)
S@,2,10)
S@,3,10)
S@,4,10)
S@,5,10)
0
0
2
2
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
2
0
1
1
0
2
2
3
1
0
0
0
1
0
4
1
1
0
1
1
0
5
0
1
0
1
1
0
6
1
0
1
0
0
2
7
0
1
0
2
1
2
8
1
0
2
2
0
0
9
1
0
1
0
1
0
Двоичные последовательности, сформированные по ПК E.3.1), обладают
свойством «не более одного совпадения». Так, для к = О
1,еслиК(т) = 1,3,4,6,8,9,
О, в остальных случаях.
Согласно теореме 4.5.1 для произвольного «k» S(fc,fc,10) = D^S@,0,10), т. е.
рельефы всех десяти ДП совпадают с точностью до циклического сдвига номе-
номеров гармоник с единичной амплитудой.
108

Пик-фактор каждой из десяти ДП равен pf ~ d = 10. Мощность кодирова-
кодирования L(U) = 5 (ДП попарно сопряжены). Вес ДП или величина главного пика ее
ПАКФ R = 7.
Возникает вопрос: представляют ли ансамбль 10 синтезированных в приме-
примере 5.3.1 ДП со свойством «не более одного совпадения»? Какова ПВКФ этих
последовательностей?
ПВКФ ДП с номераци классов к{ и к2 относительно того же правила ко-
кодирования E.3.1) определяется согласно теореме 4.5.2 СРКВ S(kp k2, d):
Рельеф спектра (ПВКФ) зависит только от разности номеров классов.
Поэтому справедливо
Утверждение 5.3.2. Достаточным условием существования ансамбля ДП с
Лс,,х,.(т)-Лг1ах, сформированных по правилу E.3.1) является выполнение
требования
s, < Хт, st 6 S@,A,d), t = Щ А = о||1.
где — — ближайшее целое большее.
Ни одна из гармоник s, спектров S@,A,d) не должна превышать заданного
порога Яга.
[dl
Синтез сводится к вычислению — спектров S@,A?d) и проверке выполнения
требования утверждения 5.3.2. Достаточность вычисления — спектров (вместо
d) следует из равенства рельефов спектров S@,A,d) и s(o,(- A) ,d) (теорема 4.4.2).
Из анализа табл. 5.3.1 СРКВ следует, что синтезированные в примере 5.3.1
десять ДП представляют собой ансамбль, в котором значение ПВКФ между
произвольными двумя ДП не превышает значения Хт = 2.
Теперь рассмотрим случай, когда ДП X состоит из двух компонент.
Пусть
1,еслиК@ = кх,к21
E 3 3"!
[0, в остальных случаях. \ • • /
В силу непересекаемости классов вычетов:
109

Без ограничений общности результатов можно положить кх = 0. Кроме
того, для упрощения записи в выражении спектра будем опускать символ d,
имея при этом в виду, что все спектры вычисляются для одного и того же зна-
значения d. Формула E.3.4) преобразуется к виду
So д = S@,0) + DAS@,0) + S@, A) + DAS@,(- А^). E.3.5)
Дальнейшее упрощение формулы E.3.5) можно получить введением фун-
функции
$@,Д) = S@,A) + S(A,0) E.3.6)
и учетом некоторых свойств этой функции, вытекающих из свойств спектров D.4):
1. Симметрия относительно d/2.
2. $@,-A)=D-A$@,A).
f2S@,A), R=0
3. $@,Д)Н .„ mod 2.
[S@A) DJ/2S@,A), Rsl
Т.о., выражение для спектра, соответствующего ПАКФ и ПВКФ ДП, E.3.5)
преобразуется к виду
So д = S@,0) + DAS@,0) + $@, А). E.3.7)
Отметим также важное свойство этого спектра, являющееся следствием
свойств функции $@,А):
S0_A = S@,0) + D~AS@,0) + D~A$@, A) = D~ASOA. E.3.8)
На основе E.3.7) легко реализуется алгоритм синтеза ДП с заданным поро-
пороговым значением максимального БЛ ПАКФ Хт. Блок-схема алгоритма представ-
представлена на рис. 5.3.1.
Суть его состоит в сравнении гармоник спектра с заданным порогом Хт.
Расчет проводится на базе матрицы размерностью d x d/2 для значений Р, удов-
удовлетворяющих необходимым условиям существования ДП:
P>Nim=^^ + l. E.3.9)
Равенство в E.3.9) соответствует «максимально упакованному коду». Допу-
Допустимое отклонение от оптимальной «упаковки» задается коэффициентом
Р
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере.
Пример 5.3.2. Синтезировать ДП со свойством «не более одного совпа-
совпадения» (Ят = l) для R = 10, \i = 1.5.
110

1. Рассчитаем допустимые значения Рис! для заданных Хт и jn:
Nmin = Ю-9+1 = 91,nNmin = 137.
Допустимыми значениями периода N являются решения системы
91<Р<137,
P = lmodlO.
Этим условиям удовлетворяют два простых числа:
Р = 101 и Р = 131.
2. Расчет для Р = 101 показал, что не существует ДП с заданными пара-
параметрами R = 10 и Хт + 1.
3. Расчет спектров S0A, для Р = 131, d = 13 приведен в табл. 5.3.2.
"I Г Рассчитать допустимые значения
* *>"[I [_P,d,R/ym заданных^ и ц
-4-
" 5  I Рассчитать таблицу спектров размерностью
$@,к) I 1 dx d/2 таблицу значений функции $@,к)
размерностью d/2 x d/2
•6-]
к=1
• 7 -
5 I I Вычислить значение спектра
-S0ik = S@,0) + DkS@,0) + $@)k)
Записать решение
Рис. 5.3.1. Алгоритм синтеза ДП со свойством
«не более А,„ совпадений» на основе двух классов
111

Таблица 532
Синтез ДП со свойством «не более одного совпадения» на примере Р -131, d -13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
2
И
1
1
11
1
1
1
11
3
1
11
11
11
11
11
4
11
1
1
1
1
а
5
1
1
1
11
6
1
1
1
1
1
11
7
1
11
11
И
1
8
11
1
1
1
1
1
1
9
И
1
1
1
Z
10
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
12
11
1
И
13
1
1
14
1
1
1
14
1
1
1
1
1
1
16
1
1
1
1
17
1
2
18
1
1
1
19
1
20
1
1
1
21
1
1
1
22
1
1
2
23
1
1
24
1
1
1
25
1
1
В таблице приняты следующие обозначения:
цифры 1,2 ¦— соответствуют амплитудам гармоник спектра S@,A).
На позициях, где амплитуда не указана, она равна нулю;
цифры 1, 2 — соответствуют амплитудам гармоник спектров S@,A),
номера которых больше d/2.
Значения таблицы, превышающие заданный порог Хт = 1, выделены фоном.
Искомыми значениями являются две строчки таблицы, в которых нет ни
одного значения st > 1:
S07= 1,1,1,1, 0,0, 1,1, 1,0,1,0,1,
s0fl0 = 1,1,1,1,1, о, о, 1, о, 1,1,1, о.
Решениями также будут по 12 циклических сдвигов, указанных спектров
S0,7 И S0,10'
Таким образом, для условий примера 5.3.2 мы синтезировали 26 двоичных
последовательности со свойством «не более одного совпадения», каждая из ко-
которых имеет десять единичных символов на периоде Р = 131.
Как указывалось выше, на основе одного класса такой синтез невозможен,
т. к. R = 10 = 0 mod 2.
Результаты синтеза двухкомпонентных ДП со свойством «не более Хт со-
совпадений» для Хт — 1 и Хт = 2 приведены в разделе 6.2.
Рассмотрим теперь случай, когда ДП состоит из трех (п = 3) компонент. С
учетом принятых в E.3.9) обозначений спектр, соответствующий ПАКФ ДП,
можно записать так:
E.3.10)
112

Прежде всего заметим, что в E.3.10) присутствуют все три спектра ДП,
составленные на основе двух классов E.3.7):
Отсюда следуют два утверждения:
Утверждение 5.3.3 Если ДП Хо к{кг обладает свойством «не более Хт со-
совпадений», то ДП Хок[, Xoki и Хол также обладают этим свойством.
Утверждение 5.3.4 Для того, чтобы ДП Х0^ьЬ обладала свойством «не бо-
более Хт совпадений» необходимо, чтобы ДП Хо^, Хоь и Ход обладали
этим свойством.
Рассмотрим еще один подход к группировке слагаемых в E.3.10):
S0,kbk2 =S0fk2 +$0,kl +Dkl(S0,0 +$о,д). E.3.11)
Формула E.3.11), выгодно отличаются от E.3.10) меньшим объемом вычис-
вычислений, в процессе вычислений требуется лишь один циклический сдвиг.
Алгоритм синтеза трехкомпонентных ДП, ПАКФ которых не превышает
заданного порога Хт, представлен на рис. 5.3.2. В основе алгоритма лежит фор-
формула E.3.11) и найденные выше свойства СРКВ.
Прежде всего формируется список {к} допустимых значений кг и к2. Со-
Согласно утверждению 5.3.2 им будет список решений, полученных по первому ал-
алгоритму (рис. 5.3.1). Затем для выбранного к2 формируется список значений
{Ц}, которые удовлетворяют четырем условиям:
1. (k2,k1) нет среди банка решений.
4. А = к2 - кх принадлежит {к}.
Для выбранных таким образом значений к2и Ц проводятся расчеты SOki ^
по формуле E.3.11).
Исследования, проведенные для двух и трехкомпонентных ДП позволяют
сделать обобщение на произвольное число классов п.
В общем случае ДП X можно представить в виде суммы п ДП, каждая из
которых соответствует только одному классу
X — Y 4.Y -и о. V
— Л.^ "г Л.2 "г .. "г Лп .
Такое разложение однозначно в силу непересекаемости классов вычетов.
ПАКФ ДП X, выраженная через ПАКФ и ПВКФ компонент будет равна
п п п
Rx(t) = Trx (т)+Y гх х (т)+Угх х Г5 3 12^
113

М
_ J Подпрограмма формирования списка {к}
|__Допустимых значений номеров компонент
!1
Присвоить к2 значение из ряда {к} В качестве
начального значения положить к, = к
S0,k2
I Вычислить или взять из блока 2 значение
<k1sk2)
51„.
-ч
_ I Присвоить к1 значение из ряда {к}. В качестве
[_ начального значения положить к, = kmjn
_ Г Проверить, есть ли (kv к2)
}__среди банка решений @, kt, kg)
(М 1—
Сформировать список {kj
[_допустимых значений к1
{Присвоить к,значение из {к,)
начиная с к1 = (к,)^
\ -{•
Банк
решений
j Вычисление эквивалентны:
!LJ L@>A<k1>d)H@)<-k2>d)<-Ad»
М1 Г
/- j Формирование банка решений
х решений
Рис. 5,3.2. Алгоритм синтеза ДП со свойством
«не более Хт совпадений» на основе трех классов
114

После несложных преобразований, подобных тем, которые мы проводили
при двух и трехкомпонентных ДП, получим обобщенную формулу
, E.3.13)
Л=1 72=1
h<h h<h
которая позволяет распространить предложенные алгоритмы синтеза ДП со
свойством «не более Хт совпадений» на произвольное число компонент. Обоб-
Обобщенный смысл приобретают утверждения 5.3.3 и 5.3.4.
Утверждение 5.3.5. Если n-компонентная ДП обладает свойством «не более
Хт совпадений», то ДП с меньшим числом тех же компонент также облада-
обладают свойством «не более Хт совпадений».
Утверждение 5.3.6. Для того, чтобы n-компонентная ДП обладала свой-
свойством «не более Хт совпадений» необходимо, чтобы ДП из произвольной
комбинации nfa < n) этих же компонент также обладали свойством «не
более Хт совпадений».
Оба утверждения вытекают из E.3.13).
Следует также отметить, что согласно утверждению 5.3.5 каждой п-компо-
нентной ДП соответствует набор j-компонентных ДП j = 1, п -1, объединяю-
объединяющий 2п -1 двоичных последовательностей, которые можно сформировать пу-
путем комбинирования п компонент, т.к.
7=1
Результаты синтеза ДП и их ансамблей на основе СРКВ приведены в раз-
разделе 6.2.
5.4. Методика синтеза двоичных
последовательностей
с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ)
Известные регулярные правила построения разностных множеств, сбаланси-
сбалансированных на один уровень, которые лежат в основе правил кодирования ДП с
одноуровневой ПАКФ приведены в разделе 2.1. Их мало, у них чрезвычайно ред-
редкая сетка периодов. Так на основе РМ восьмеричных вычетов, РМ восьмеричных
вычетов и нуля, РМ Уитмена для периодов 3 < Р < 60000 можно сформировать
только по одной ДП. Для пик-факторов pf - 6,9,10 вообще нет РМ, на основе
которых можно было бы сформировать ДП с одноуровневой ПАКФ. Нет регуляр-
регулярных правил построения двоичных последовательностей с одноуровневой
115

взаимно-корреляционной функцией. За неимением достаточно плотной сетки
периодов ортогональных последовательностей (последовательностей с идеаль-
идеальной ПАКФ г(т) = 0, т = 1, N -1), разработчики с успехом используют квазиорто-
квазиортогональные (почти ортогональные) последовательности (г(т)« R, т = 1, N -1). По
аналогии, задачей настоящего параграфа является разработка методов синтеза
двоичных последовательностей с квазиодноуровневой (почти одноуровневой)
ПАКФ (ПВКФ).
Пусть ДП формируется по ПК E.3.1).
В общем случае рельеф СРКВ, соответствующий ПАКФ (ПВКФ) ДП имеет
п уровней
{Я0Д1Д2....ЯЛ_1}={Я0Д0+АЯ1Д0+АЯ2....Я0 + АЯл_1 }. E.4.1)
Поскольку рельеф не учитывает порядка следования гармоник в спектре,
то положим 0<АЯу, ДЯ^ <АЯ;. Тогда максимальная разность между гармони-
гармониками спектра (между уровнями ПАКФ или ПВКФ) будет
АЛшх ~ К~\ ~А) = ^п-\ • Назовем ПАКФ (ПВКФ) квазиодноуровневой,
если АЯтах существенно меньше веса ДП
AAmax«R. E.4.2)
Т.о., АЯтах является абсолютной количественной характеристикой «квази-
одноуровности», а отношение
Y = ^ E.4.3)
— относительной.
Синтез ДП с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ) предполагает поиск
отдельных ДП или регулярного правила построения массива ДП, максимальная
разность между уровнями ПАКФ (ПВКФ) которых не превышает заданного
значения ASm> Xmax.
Согласно свойству 4.4.11 таблиц СРКВ
й _ JR -1, если st е S@,0, d),
^S'[R, e™,GS@,A,d). EA4)
Учитывая взаимосвязь СРКВ и ПАКФ преобразуем E.4.4) с учетом E.4.1)
E-4.5)
xoa+t^Jf:
0 V J [R, если steS@,A,d).
п
Заметим, что при четных d (d = 0 mod 2) ^ АЯу. = 0 mod 2, следовательно,
R = ' v, \ mod 2
[0S@Ad
116

Учитывая сказанное и полагая 2j^J ~ ^^ , и ЛАтах = А5т, получим:
1
R-Ал-! К
d
ИЛИ JK — ,
d
Из E.4.6) с учетом равенства Р = Rd + 1, следует:
Лемма 5.4.1.
jn0d2 + BДА, + l)d +1, если st e S @,0,d),
{л0d2 + 2Ad +1, если ^gS(О,A,d).
Следствие 5.4.1. Справедливы следующие приближенные соотношения
между параметрами ДП с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ)
P = Xd2, RsXd, pf=~ = d, Я^Я°+А5т .
R 2
Следствие 5.4.1 получается из E.4.6) и E.4.7) с учетом E.4.2).
Следующая теорема позволяет уточнить процедуру синтеза РМ
D(P,R,A0,A0+AA1,A0+AX2 AO+ASW). E.4.8)
Известно [78], что простое число Р однозначно представляется в виде сум-
суммы квадратов двух чисел х и у:
1, если Р = 1 mod 4,
3, если Р = 1 mod 6,
7,еслиР = 1гшх114.
Из E.4.9) следует, что такое разложение возможно только при d = 0 mod 2.
Положим х = Id + (x)d ,y = ud + (y)d, где /, и —натуральные числа, (x)d и (y)d —
абсолютно наименьшие вычеш по mod d.
Тогда из р = 1 mod d следует
(jc) + a(y)d = 1 mod d или
/ \г ( \2 - л i E.4.10)
где г] — натуральное число.
117

Теорема 5.4.1. Для произвольного простого числа Р, представленного
разложением E.4.9) параметры P,R,X0,AA разностного
множества E.4.8) относительно ПК E.3.1) связаны соотно-
соотношениями
2
E.4.11)
После подстановки значений х и у в E.4.9) получим
Отсюда найдем R
R =
E.4.12)
Из E.4.12) с учетом E.4.6) найдем Яо
=/2 +аи2
E.4.13)
Отсюда, с учетом леммы 5.4.1 следует теорема 5.4.1.
Доказанная теорема позволяет по заданному значению ASm рассчитать
возможные рельефы ПАКФ ДП, а затем по минимальному уровню ПАКФ Яо
и АЯ определить вес ДП и ее период.
Для сокращения переборной фазы синтеза нам понадобятся следующие
теоремы.
Теорема 5.4.2. При (x)d =±l,(y)d =±2 параметры РМ E.4.8) относитель-
относительно преобразования E.3.1) связаны соотношением
118

R =
= 4,
E.4.14)
= 4,
Докажем вначале, что при (x)rf = ±1 синтез РМ E.4.8) возможен только для
4 и d = 8. После подстановки (x)d =1 в E.4.10) получим:
rj = -
1, если d = 4,
2, если d = 6,
1, если d = 8,
2, если d = 14.
E.4.15)
Ho для значения Яо E.4.13) нет целочисленных решений при г\ = 0 mod 2,
следовательно, r|=l, d = 4nd = 8.
Выражения E.4.14) получаются из E.4.11) подстановкой значений
(x)d = ±1 и (y)d = ±2 при d = 4 и d = 8.
Теорема 5.4.2 в общем виде определяет соотношения между основными
характеристиками ДП: период, вес, пик-фактор и ПАКФ при (х) =±1,
(у) = ±2. Синтез ДП сводится к отысканию конкретных значений (P,R,X0,ЛА,)
для заданного ASm или массива решений (регулярного правила), объединяющего
ДП с одинаковым значением ASm. Результаты синтеза представлены в гл. 6.
Теорема 5.4.3. При М =±2, (у) =±1 параметры РМ E.4.8) относитель-
относительно преобразования E.3.1) связаны соотношениями
А0=3М2+/2+И(УN+^^,
R = б(зм2 +12 + и(уN)+ 21(хN +1,
Р = Зб(Зм2+/2+и()Л
E.4.16)
119

Как и в теореме 5.4.2, легко показать, что при заданных в теореме 5.4.3
условиях,ц =1 если d = 6. Соотношения E.4.16) получаются из E.4.10)
подстановкой (*N = ±2, (уN =±1.
Теоремы 5.4.2 и 5.4.3 показывают, что для любой допустимой комбинации
значений (x)d n(y)d можно получить достаточно жесткие соотношения между
основными характеристиками синтезируемых ДП.
Следующая теорема показывает, что можно задаваться не только конкрет-
конкретными значениями (x)d и (y)d , а и их разностью.
Теорема 5.4.4. При \х- у\ -1 параметры РМ E.4.8) относительно преобра-
преобразования E.3.1) связаны соотношениями
P = 32u2+8u{2(yL+Z)+(xJ4+(yJ4,
R = 8и2 + 2иB(уL + ^+(I
«z-AA
+ l2uD(yN+z)+(xJ6+3(y}26,
R = 24м2 + 2uD(yN + z)+ ^6 * У '6 ? E.4.18)
A0=4w2+-
= 192«2
+ 2u{3{y)s + z)+ ^8 + 2^^8 , E.4.19)
8
Здесь z = x-y.
120

Теоремы 5.4.1 — 5.4.4 устанавливают достаточно жесткие соотношения
между Р, R, Ао, ДА,, что существенно сокращает время переборного этапа син-
синтеза ДП с заданным значением ASm квазиодноуровневой ПАКФ.
Попытаемся найти такие же соотношения для пары ДП с квазиодноуров-
квазиодноуровневой ПВКФ сформированных по ПК E.3.1) и разностью между номерами
классов А = к1-к2 = —
Уже из постановки задачи следует, что d =0 mod 2. Анализ E.4.1) — E.4.5)
показывает, что все рассуждения относительно взаимосвязи между весом R ДП
и уровнями ПАКФ естественным образом распространяются на ПВКФ. С той
d-\
лишь разницей, что сумма ^^=RHa единицу больше, чем в ПАКФ.
Выражение E.4.11) для Яо примет вид
2 а ()d(y)d
Л0=12+аи2+ — * -. E.4.20)
2~
Незначительные изменения будут для ПВКФ в формулировке теоремы,
аналогичной 5.4.1.
Теорема 5.4.5. Для произвольного простого числа Р, представленного раз-
разложением E.4.9), основные параметры ПВКФ пары ДП,
сформированных по ПК E.3.1) при разности номеров клас-
i / d
сов кх-к2 = —, связаны соотношениями:
au
(y)d
d
2
E.4.21)
Из E.4.21) следует, что R = 0 mod 2 и ц = 0 mod 2.
С точки зрения методологии, синтез ДП с квазиодноуровневой ПВКФ
ничем не отличается от синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ. Изменяют-
Изменяются лишь некоторые формулы. В частности, при (х) =±1 из E.4.10) следует, что
(y)d может принимать значения из ряда: 0, ±2, 4. С учетом того, что в форму-
формулу E.4.21) входит —, находим допустимые значения (y)d и г\ при (х)^ =1 для
различных d.
121

О, при (у) = 0, если d = 4,
0,2 при(уN =0,±2, eaind = 6,
0,4, при/ у) = 0,4, если d = 8,
0,2,4, при (у)ы = 0, ± 2, ± 4, если d = 14.
Таким образом, в отличие от ПАКФ, синтез пары ДП с квазиодноуровне-
квазиодноуровневой ПВКФ при (x)d = 1 возможен для любого d из разложения E.4.9), а теоре-
теорема 5.4.2 для ПВКФ примет следующую редакцию:
Теорема 5.4.6. При (x)d =h(y)d =0,±2,4 для произвольного простого
числа Р, представленного разложением E.4.9), основные
параметры ПВКФ пары ДП, сформированных по ПК E.3.1)
при к2 - кх = —, связаны соотношениями:
и2+12
Ъи2+12+\
2и2+12+\
1и2
2
1{х)б~*к
если d = 4,
если d = 6,
-ДА. + 1
l(x) +2-AA.
если d = 8,
1(хУ
-, при (Д4=±4
При известном Яо не составляет труда по формулам E.4.21) найти соотно-
соотношения для R и Р.
Как и для ПАКФ (теорема 5.4.2), синтез пары ДП сводится к отысканию
конкретных значений Р,11Д0,Д^ для заданного ASm или массива решений (ре-
(регулярного правила), объединяющего пары ДП с фиксированными значениями
ASm. Результаты синтеза приведены в разделе 6.4.
122

Не представляет труда нахождение соотношений между основными пара-
параметрами ДП и ПВКФ для других значений (x)d и (y)d, подобно тому, как это
сделано в теоремах 5.4.3 и 5.4.4. В качестве примера найдем соотношения для
параметров ПВКФ Яо и АХ при \х - у\ = 1.
Вычислим допустимые значения г\ и (y)d (с учетом г\ = О mod 2). Для это-
этого введем обозначения
л=-
d = 4
d = 6
d =
л=-
[О, если (yL=±l,{yL-z = -l.
О, если (уN = О,
-^- = 2, если (у) = ±2,-^
3 х/б 2
О, если (y)g =0,
E.4.23)
0, если (уI4 =0,
Теорема 5.4.7 определяет искомые соотношения при \х- у\ = 1.
Теорема 5.4.7, При \х-у\ = 1 для произвольного простого числа р, пред-
представленного разложением E.4.9), основные параметры
ПВКФ пары ДП, сформированных по ПК E.3.1) при
ь d
~ к\ = "Г, связаны соотношениями:
123

XQ -¦
2U2
=0,
zu-AX I \ . 1
+ —~—> если{уL=±Ъ
X0=4u2+\
zu -AX
E.4.24)
=3и2
ZU
-ДА.
, если (у) = О,
, если (у) =±2,
(у)
d = 14
zu~~AX
.±2,
.«.
«.-,.
По известному значению для Яо не составляет труда по формулам E.4.21)
найти соотношения для R и Р.
Доказанные в разделе 5.4 теоремы существенно сокращают переборную
стадию синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ-и ПВКФ. Синтез заключается
в определении для заданного ASm возможных рельефов ПАКФ (ПВКФ), вычис-
вычислении Яо, расчете параметров ПАКФ (ПВКФ) по формулам, определенным те-
теоремами 5.4.1 — 5.4.7. Результаты синтеза приведены в разделе 6.4.
5.4. Методика синтеза квазиортогональных
троичных и бинарных последовательностей
В соответствии с постановкой задачи, сформулированной в разделе 5.1,
кроме квазиортогональности ТП, нас будет интересовать, является ли ДП, со-
соответствующая нулевым символам ТП, квазиодноуровневой и представляют ли
синтезированные квазиортогональные последовательности ансамбль?
Рассмотрение методики синтеза начнем со случая, когда ТП Y формируется
на основе двух классов
124

UY(i) =
1, если К (/) = kv
-1, если К @ = ^2, E.5.1)
0, в остальных случаях.
Двоичная последовательность X , соответствующая нулевым символам ТП,
будет инверсной по отношению к ДП
[1, если К(i) = kvk2,
Ux(i) = < E 5 2)
[0, в остальных случаях. \ • • /
Как показано в разделе 2.5, ПАКФ инверсных ДП связаны соотношением
B.5.3). Таким образом, необходимо найти ПАКФ ТП Y относительно ПК E.5.1)
и ПАКФ ДП X относительно ПК E.5.2).
Найдем спектры, соответствующие рельефам ПАКФ ДП X и ДП Y относи-
относительно преобразований E.5.1) и E.5.2), обозначив к2 -к{ = А . Без потери
общности (теорема 4.5.3) положим кг = 0.
Xx(x)t=>Sx = S@,0)+DAS@,0)+$@,A), E.5.3)
rY(T)<=> SY = S@,0)+DAS@,0)-$@,A). E.5.4)
Анализ формул E.5.3) и E.5.4) позволяет сделать следующие утверждения:
Утверждение 5.5.1. Спектры, соответствующие рельефам ПАКФ, с точно-
точностью до циклического сдвига, как двоичной, так и троичной последователь-
последовательностей относительно преобразований E.5.1) и E.5.2), не зависят от номеров
классов, а определяются их разностью А = к2 -кх.
Складывая и вычитая E.5.3) и E.5.4), получим
Утверждение 5.5.2. Спектры, определяющие рельефы ПАКФ двоичной
X = {х;} и троичной У = \у}} последовательностей, сформированных на ос-
основе двух классов вычетов, разность А между номерами которых одинако-
одинакова, связаны соотношениями
Sr=2(s@,0)+DAS@,0))-Sx, E55)
SY =Sx-2$@,A).
Вычислим спектр, соответствующий ПВКФ между двумя ДП, сформиро-
сформированными по ПК E.5.2). Причем у одной из них разность между номерами клас-
классов А1? а у второй — А2
Sxl,x2 =S(O,O)+S(O,A2)+Di>s(o,(-A1)j+DU'S(O,(A2 -A,)J. E.5.6)
Аналогичный спектр между двумя ТП будет определяться соотношением
SYU2 =S(O,O)+S(O,A2)+D^S(O,(A2-Al)d)-{S(O,A2)+^S(O,(-Al}d). E.5.7)
125

Складывая и вычитая E.5.6) и E.5.7), получим
Утверждение 5.5.3. Спектры, определяющие рельеф ПВКФ пары
ДП XI = \х{ j} и Х2 = \х2-} с разностью номеров классов А{ и А2, соответ-
соответственно, и пары ТП П = \Уц1 Y2 = \y2i} с теми же разностями номеров
классов связаны соотношениями
SYlJ2 =2(S(O,O)+DA'S(O,(A2 -A,)J)-SX1,X2,
Sn,K2 =SxlX2 -2(S(O,A2)+DU>S(O,(-A1)J).
Взаимосвязь между спектрами, соответствующими ПАКФ и ПВКФ двоич-
двоичных и троичных последовательностей, определенная в утверждениях 5.5.2 и
5.5.3, позволяет производить расчет для ДП с простым перерасчетом для ТП.
Рассмотрим методику синтеза ДП и ТП на примерах.
Пусть d = 3. Таблица СРКВ в этом случае имеет вид:
Таблица 5.5.1
Таблица СРКВ для d = 3, Р = 1 mod 3
\v k
S@,A)\^
S@,0)
S@,l)
S@,2)
0
ao
1
a2
2
a2
аъ
a\
Согласно свойству 4.4.11 таблиц СРКВ:
[ao+ax+a2 = R -1,
Из системы E.5.8) следует равенство
а3 =ао+1,
следовательно, для произвольной характеристики поля р = 1 mod 3 вся табли-
таблица СРКВ определяется спектром S@,0), содержащим три гармоники а0, ах и а2.
Для произвольного р = 1 mod 3 можно рассчитать ПАКФ и ПВКФ ДП и ТП по
формулам E.5.3) — E.5.7).
Для d = 3 2 = -1 mod 3, поэтому единственная разность А = к2-к19 которая
определяет как ПАКФ, так и ПВКФ, А = 1. Рассчитаем спектры, соответству-
соответствующие ПАКФ ДП X = {xt} и ТП Y = {у,} по формулам E.5.3) и E.5.5).
126

Расчет ПАКФ ДДприй = 3,Р = 1 mod 3
Таблица 5.5.2
s(o,a) ^"""^^^
s(o,o)
DS(o,o)
$(од)
-2$(o,l)
SY
0
«0
<*2
la,
R- 1 +a{
-4a{
R-1-За!
1
ai
ao
2a2
R - 1 + a2
-4a2
R-\-3a2
2
a2
ai
2(*o+l)
R + 1 + a0
-A(ao+\)
R-3(flo+l)
При всех относительных сдвигах последовательностей кроме т = 0. ПВКФ
как для ДП, так и для ТП будет отличаться от ПАКФ только циклическим сдви-
сдвигом гармоник.
Т.о., для произвольного Р = 1 mod 3 все рельефы ПАКФ и ПВКФ как для
ДП, так и для ТП определяются с точностью до циклического сдвига гармоник
спектрами Sx и Sy, рассчитанными в таблице 5.5.2.
Следовательно, если S^ ={sx0,sxl9sx2) удовлетворяет условию sxt <v2R ,
t = 0,2, то три ДП образуют ансамбль относительно ПК E.3.1). То же самое
можно сказать про три ТП: SY = (sy0,syl,sy2\ syt < лГШ, t = 0,2.
Проведем аналогичные расчеты ПАКФ и ПВКФ для d = 4. Согласно свой-
свойствам таблиц СРКВ, при d = 4 существует две таблицы: табл. 5.5.3 и табл. 5.5.4.
Таблица 5.5.3
s@,A,4j\^
S(O,O,4)
S(O,1,4)
S(O,2,4)
S(O,3,4)
СРКВ при с
0
а0
д2
l = 4,P = 0mod2,l
1
а{
а3
а4
а4
> = 1 mod 4
2
а2
а4
а2
аА
3
аъ
а4
а4
ах
127

Таблица 5.5.4
"W к
S(QA4)"^\^
S@,0,4)
S@,l,4)
S@,2,4)
S@,3,4)
СРКВ при с
0
b2
h
b0
I = 4, P в 1 mod 2,1
1
b4
b4
b3
Psl mod 4
2
b2
b4
b2
b4
3
b4
bi
b3
b4
Согласно свойству 4.4.11 таблиц СРКВ справедливы следующие системы
равенств:
а0 + я, + а2 + аъ = R -1,
av+a3 +2a4 =R,
E.5.9)
~R' E.5.10)
2(b2+b4)=R~l
Гармоники а4 и b4 однозначно выражаются из E.5.9) и E.5.10) через гар-
гармоники спектров S@,0,4) и S@,2,4), соответственно:
а4 =~-а2;Ь4=— Ь2.
Следовательно, справедливо следующее утверждение
Утверждение 5.5,4 . Для произвольного Р = 1 mod 4 при d = 4 таблицы
СРКВ полностью определяются спектрами S@,0,4) при R = 0 mod 2 и
8@,2,4) при R = 1 mod 2.
Для расчета ПАКФ нам понадобятся значения функций
$(O,l)=S(O,l)+S(l,O) и $@,2)=S@,2)+SB,0),
которые приведены в табл. 5.5.5.
Следует заметить, что для вычисления ПАКФ при R = 1 mod 2 достаточным
является расчет нулевой и первой гармоник спектра, т.к. вторая гармоника
равна нулевой, а третья — первой.
128

vww
Таблица 5.5.5
\. к
$@, 0)
$@, 1)
R = 0mod2
0
2 a,
2a2
1
2a3
R-2a2
2
R-2a2
2a2
3
R-2a2
R-2a2
R = 1 mod 2
0
~T~+b'~bl
bo+b2
l
R-l L t
b{+b3
Рассчитаем возможные рельефы ПАКФ (СРКВ) ДП и ТП относительно
правил кодирования E.5.1) и E.5.2).
При d = 4 возможны два значения разностей номеров классов вычетов
А = 1 и А = 2.В табл. 5.5.6 приведены результаты расчетов спектров Sx и SY для
двух значений А и двух таблиц СРКВ (табл. 5.5.3 и табл. 5.5.4).
Анализ расчетов показывает:
1. При А = 2 ДП имеет двухуровневую ПАКФ r(t) = {R, R-l}. Как для
R = 0 mod 2, так и для R = 1 mod 2. Это известный результат, т.к. при
А = 2 получается последовательность квадратичных вычетов.
2. При А = 1, R = 1 mod 2 ПАКФ ДП гх(х) имеет два уровня Ь2 - Ъх + R и
Ъх - Ъг + R - 1.
3. При А = 1, R = 0 mod 2 ПАКФ ДП гх(т) имеет четыре уровня, два из
которых отличаются на единицу s2-s0=l.
4. ТП и ДП, имеют двухуровневую ПАКФ при А = 2 как для R = 0 mod 2,
так и для R = 1 mod 2 и при А = 1, R = 1 mod 2, причем для ТП сумма
боковых лепестков ПАКФ в каждом из трех случаев равна -1. При А = 1,
R = 0 mod 2 в общем случае ПАКФ четырехуровневая.
Таким образом, как ДП так и ТП, сформированные на основе двух классов
по ПК E.5.1) и E.5.2), представляют интерес с точки зрения требований, изло-
изложенных в начале настоящей главы, по крайней мере, по числу уровней ПАКФ.
Задача синтеза заключается в том, чтобы найти периоды Р, при которых эти
уровни не превышают заданных пороговых значений. Знание расчетных фор-
формул для ПАКФ ДП и ТП относительно преобразований E.5.1) и E.5.2) позво-
позволяет осуществить направленный перебор достаточно быстро.
Представляют интерес ПВКФ последовательностей относительно тех же
преобразований E.5.1) и E.5.2). На примере расчета ПВКФ ТП покажем, что
и эта задача легко решается с помощью СРКВ.
Возможные рельефы ПВКФ представлены в таблице 5.5.7.
Первые два рельефа определяют ПВКФ четырех ТП с разницей номеров
образующих классов А = 1, третий рельеф двух ТП с А = 2. И, наконец, релье-
рельефы 4 и 5 соответствуют ПВКФ между этими двумя группами ТП, Расчетные
формулы для всех пяти рельефов представлены в табл. 5.5.8.
5 Зак 14
129

Таблица 5.5.6
Расчет ПАКФ двоичных и троичных последовательностей, синтезированных на основе двух классов для d = 4, Р = 1 mod 4
\. к
S ^\
S@,0)
DAS@,0)
$@,А)
Sx
SY
R = 0 mod 2
A=l
0
a0
a3
2ax
ax - a2 + R - 1
ao + a3- 2ax
1
a{
a0
2a3
a3-a2 + R-l
по + ui- 2a3
2
a2
ax
2a4
ax — a2 + R
ax - aQ - 1
3
a3
a2
2a4
a3-a2 + R
аг + а0-\
A=2
0
a0
a2
2a2
R-1
ao + a2
1
ax
a3
2a4
R
«2-^0-1
R s 1 mod 2
A=l
0
^2
Z>4
b3 + b4
b2-bx + R
bx-b2~\
1
^4
b2
bx+b4
bx-b2 + R-l
b2-bx
A = 2
0
b2
b2
bo + b2
R-1
b2-b0
1
^4
^4
R
bo-bx-\

Таблица 5.5.7
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Номер ТП
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
5 6
1 5
1 6
2 5
2 6
3 5
3 6
4 5
4 6
Рельефы ПВКФ
1
2
3
1
2
1
1
0
1
3
0
2
3
1
2
('2-*iL
2
3
0
2
3
2
3
2
3
1
2
0
1
3
0
>тп
(*2-*1>4
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(А-*2>4
0
1
2
0
1
0
3
3
0
2
3
1
2
0
1
('2-*2L
1
2
3
1
2
1
1
1
2
0
1
3
0
2
3
Номер
рельефа
1
2
1
1
2
1
3
4
5
5
4
4
5
5
4
Следует заметить, что рельефы 1, 4, 5 при нулевом сдвиге имеют высокую
степень взаимной корреляции, равную по модулю R. Это обстоятельство может
оказаться решающим при выборе ДКП как с точки зрения их отбраковки, так
и отбора, например, для построения последовательностей быстрого поиска или
синхронизации.
Как видно из табл. 5.5.8 для расчета всех различных рельефов ПВКФ ТП
относительно преобразования 5.5.2 достаточно знания лишь четырех гармоник
СРКВ S@,0,4) = {aQ, av av a3} при R = 0 mod 2 и S@,2,4) = {b0, bv b2, b3} при
R = 1 mod 2.
Приведенные примеры позволяют сделать следующие выводы и методичес-
методические рекомендации:
1. Разработанная в четвертой главе теория СРКВ позволяет унифициро-
унифицировать формулы расчета ПАКФ и ПВКФ относительно фиксированного
числа классов вычетов в рамках обобщенного правила кодирования
D.4.1). Это дает возможность для выбранного d достаточно быстро осу-
осуществлять расчет СРКВ, соответствующего ПАКФ (ПВКФ) и сравне-
сравнение с заданными пороговыми значениями rm для произвольного пери-
периода Р = 1 mod d. Так, например, направленный перебор для всех
Р = 1 mod 4, Р < 60000 занимает несколько минут машинного времени
на персональном компьютере средней производительности.
131

Спектры, соответствующие ПВКФ ТП для d = 4, Р = 1 mod 4
Таблица 5.5.8
Номер
рельефа
1
2
3
4
5
\ к
Спектр \^
Sl,2
Sl,3
s5N '
Sl,5
Si.6
R = 0 mod 2
0
a2 — a3
ах-аъ
f-i-
— «i — 5#2
R
+fl2-3 ^3
1
R 2a, 1
«2-^1
аъ-ах
Ъах-а2
2
+5a2 + a3
2
Я2-Я3
<3i-a3
3
аъ-ах
R
a2+a3
R
R s 1 mod 2
0
R + l ^,
bo+ b3- 2bt
Ьъ-Ьх
3-3R , ..
| Ь 1 Ч/-)
3*3-*b-R+1
1
R + l nl
2 -».
^0 + ^-2Ьз
1 0/ R+1
3R Z, 5t
2
R-1
2 -2/^2
?, + 3b2-
R+l
3
R + l 9/
2 -%
b3+3Z?2-R+l
bx-h
R-1 , ;
b2~b3
b,+ b2
R-1
2

2. Время направленного перебора может быть существенно сокращено за
счет:
¦ исключения многократных повторов расчета ПАКФ и ПВКФ с оди-
одинаковым рельефом, поэтому включение в алгоритм синтеза процеду-
процедуры выявления различных рельефов ПАКФ и ПВКФ является весьма
эффективным;
¦ проверки выполнения необходимых условий существования и допус-
допустимых комбинаторных соотношений;
¦ совмещения расчета ПАКФ и ПВКФ для ДП и ТП с одинаковым
набором классов вычетов в ПК, т.к. результаты расчета для ДП мож-
можно использовать для ТП и наоборот (утверждения 5.5.1—5.5.3);
¦ сокращения числа различных значений в таблице СРКВ S@,A,d);
¦ использования свойств СРКВ и т.д.
3. В программе для ВМ целесообразно использовать набор признаков-
индикаторов, которые позволят систематизировать результаты направ-
направленного перебора.
133

Глава 6
РЕЗУЛЬТАТЫ СИНТЕЗА ДВОИЧНЫХ,
ТРОИЧНЫХ БИНАРНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ИХ АНСАМБЛЕЙ
6.1. Постановка задачи
Как показано во введении, дискретно-кодированные последовательности,
в том числе псевдослучайные последовательности, нашли широкое применение
в системах радиолокации и навигации, в системах связи и передачи информа-
информации, в системах автоматики и телемеханики, в вычислительных и диагностичес-
диагностических системах и т.п. В зависимости от режима работы системы (импульсный,
непрерывный, квазинепрерывный) и от ее назначения к корреляционным фун-
функциям ДКП предъявляются различные требования. Ниже приводится далеко не
полный перечень широко востребованных двоичных, троичных и бинарных
последовательностей.
Из двоичных последовательностей представляют интерес:
1. Нерегулярные импульсные последовательности со свойством «не более
Хт совпадений», Хт = 1,2.
2. Двоичные последовательности с одноуровневой (квазиодноуровневой)
ПАКФ.
3. Пары двоичных последовательностей с одноуровневой (квазиодноуров-
(квазиодноуровневой) ПВКФ. Причем для всех перечисленных ДП значения пик-фак-
пик-фактора должны достаточно плотно занимать интервал/?/ = 2^-10, а перио-
периоды (длины) ДП должны иметь как можно более частую сетку значений.
4. Ансамбли двоичных последовательностей должны иметь уровень мак-
максимального бокового лепестка в ансамбле rimx < v R, R — вес ДП.
Из троичных последовательностей представляют интерес:
1. Троичные ортогональные и квазиортогональные последовательности с
минимальным пик-фактором, у которых боковой лепесток ПАКФ зна-
значительно меньше главного rm« R. Предельным случаем (pf = 1) таких
последовательностей являются БП.
2. Троичные последовательности с пик-факторм р/>2,в которых двоич-
двоичная последовательность, соответствующая нулевым символам ТП, име-
имеет одноуровневую (квазиодноуровневую) ПАКФ.
3. Ансамбли ТП.
В гл. 4 разработаны основы теории спектров разности классов вычетов.
В гл. 5 разработана методика синтеза ДКП с заданными ограничениями на па-
параметры ДКП на основе СРКВ. Задача настоящего раздела состоит в демонст-
демонстрации возможностей математического аппарата спектров разности классов вы-
вычетов на примере синтеза всех перечисленных выше ДКП и их ансамблей.
134

Наилучшим результатом синтеза является формулировка регулярного
правила кодирования последовательностей с заданным пик-фактором и уров-
уровнем максимального бокового лепестка ПАКФ или ПВКФ.
Представляют интерес и отдельные результаты синтеза, особенно для боль-
больших периодов.
6.2. Нерегулярные двоичные
последовательности со свойством
«не более Хт совпадений» и их ансамбли
Утверждение 6.2.1. ДП, сформированные по правилу
_ ()
[ 0 \ ¦ • )
0, в остальных случаях.
к - 0,d -1 образуют ансамбль со свойством «не более одного совпадения»
с параметрами:
Р = 1 mod 2; R = 2; А,(х)< 1; г(х)< 1; при х = 1,Р-1; pf = ?—± = d; У(Р,2) = d.
Это утверждение вытекает из следствий 4.3.3 и 4.3.4.
Утверждение 6.2.2. ДП, сформированные по правилу F.2.1) образуют ан-
ансамбль со свойством «не более одного совпадения» с параметрами
Р s 1 mod 3; R = 3; Х(т)< 1; г(х)< 1; при х = 1,Р-1; pf = ^ = d; V(Р,3) = d .
Достаточность условий существования ансамблей вытекает из следствий
4.3.9 и 4.3.12.
Утверждение 6.2.3. Для произвольного простого Р = 1 mod 5 ДП, сформи-
сформированные по правилу F.2.1) образуют ансамбль со свойством «не более
двух совпадений», который имеет следующие параметры:
P = lmod5;R=5;X(x)<l; г(х)< 1 прих = 1,Р-1; pf s ^ = d; V(P,5)= d .
Согласно следствию 4.3.23 для произвольного Р = 1 mod 5 выполняются дос-
достаточные условия существования ДП со свойством «не более одного совпадения»
Р-1
st <l,ste S\ 0,0, U = 0,d-1.
Достаточные условия существования ансамблей с тем же свойством соглас-
согласно следствию 4.3.27 выполняются для всех S\ 0, А, , кроме
135

для которых st=2.
ДП, для которых разность номеров классов не равна значениям из F.2.2),
образуют ансамбль со свойством «не более одного совпадения».
Обобщая зафиксированные в утверждениях 6.2.1—6.2.3 результаты с уче-
учетом теоремы 4.4.4, можно предположить, что для любого R = 1 mod 2 существует
период Pmin = I mod d, при котором выполняются условия:
Р-1
st <l,ste S 0,0,—- U = 0,d-1,
I R
р
st <2,ste S Т),Д,—- UA = 0,d-l.
Расчет на ВМ до Р < 613 подтвердил высказанное предположение. По ре-
результатам расчетов можно сделать следующие выводы:
1. Пик-фактор ДП со свойством «не более одного совпадения», синтезирован-
синтезированных по правилу 6.2.1, быстро растет. Уже при R = 11 pf = 30, что почти в
три раза превышает «оптимальную упаковку» NOrtm = R(R - 1) + 1.
2. Для произвольного R = 1 mod 2 ДП с максимальным значением БЛ
ПАКФ Хт -1 и ПВКФ гт - 2 возможен один из следующих рельефов
СРКВ S@, A,d), A = l,d-l:
rf0 : 1,1,1,... 1,1,1 —R единиц,
rfx : 1,1,1,... 1, 2 — (R - 2) единицы, одна «двойка»,
rf2 : 1,1,1,... 2, 2 — (R -4) единицы, две «двойка»,
R — 1
rfR4 : 1, 2,... 2, 2 — одна единица, «двойка».
2
При фиксированном R с увеличением периода р наблюдается «стабилиза-
«стабилизация» числа рельефов, содержащих st =2 и увеличение числа рельефов rf0. Это
позволяет для любого R = 1 mod 2 при достаточно большом р формировать ан-
ансамбли со свойством «не более одного совпадения». Например, при Р = 101
можно построить 20 ансамблей по семь ДП в каждом с R = 5. При этом раз-
разность номеров классов в F.2.1) не должна превышать |Д| < 3 .
Следует заметить, что смена первообразного корня в, по которому осуще-
осуществляется формирование классов ц вычисление СРКВ, приводит к перенумера-
перенумерации классов, что может привести к изменению объема ансамбля. Это обсто-
136

ятельство, а также оптимизация объема ансамбля при заданном распределении
рельефов rf0 no A = 1,J-1, является темой самостоятельных исследований.
В таблице 6.2.1 приведены периоды р и объемы V(P, R) ансамблей со свой-
свойством «не более двух совпадений».
Ансамбли ДП со свойством «не более двух совпадений»
Таблица 6.2.1
р
V(p,4)
Р
V(p,5)
Р
V(p,6)
Р
V(p,7)
Р
V(p,8)
Р
V(p,9)
Р
V(p,10)
13
3
31
6
31
5
71
10
73
9
163
18
131
13
17
4
41
8
37
6
113
16
89
11
181
20
151
15
29
7
61
12
43
7
127
18
97
12
199
22
181
18
37
9
71
14
61
10
197
28
113
14
271
30
191
19
41
10
101
20
67
11
211
30
137
17
307
34
211
21
53
13
131
26
73
12
239
34
193
24
379
42
241
24
61
15
151
30
79
13
281
40
233
29
397
44
281
28
73
18
181
36
97
16
337
48
241
30
433
48
311
31
89
22
191
38
103
17
379
54
257
32
331
33
97
24
211
42
109
18
421
60
281
35
401
40
101
25
241
48
127
21
449
64
313
39
421
42
Анализ табл. 6.2.1 показывает, что ПК F.2.1) позволяет формировать до-
достаточно большие массивы ансамблей ДП со свойством «не более двух совпа-
совпадений». Для заданного R выбором периода Р = 1 mod R можно синтезировать
ансамбль практически любого объема. Это достигается увеличением пик-фак-
пик-фактора ДП, численное значение которого совпадает с объемом ансамбля
pf = К(РД).
Минимальные периоды ртт , при которых ДП с весами R = 4,20 образуют
ансамбли со свойством «не более двух совпадений», представлены в табл. 6.2.2.
R fR — 1 ^
Сравнение Ymin с Nontn = ———- +1 показывает, что ДП в большинстве
своем далеки от оптимальных с точки зрения минимизации пик-фактора, однако
в рассматриваемом случае не наблюдается монотонного увеличения пик-фак-
пик-фактора с увеличением R (особенно при Р = 1 mod R), как в случае ДП со свойством
«не более одного совпадения».
Рассмотрим результаты синтеза ДП на основе нескольких классов по алго-
алгоритмам, предложенным в разделе 5.3.
В табл. 6.2.3 представлены результаты синтеза ДП со свойством «не более
одного совпадения», а в табл. 6.2.4 — «не более двух совпадений».
5* Зак 14
137

Таблица 6.2.2
Параметры ансамблей ДП со свойством «не более двух совпадений»
при минимальном периоде
R
Р/
Р .
1 mm
Р
mm
4
3
13
1.6
5
2
11
1
6
3
19
1.1
7
4
29
1.3
8
9
73
2.4
9
6
37
1
10
10
101
2.1
11
6
67
1.2
12
8
97
1.4
13
10
131
1.6
14
14
197
2.1
15
10
151
1.4
16
15
241
1.9
18
10
181
1.2
20
21
421
2.2
Таблица 6.23
Параметры ДП со свойством «не более одного совпадения»,
синтезированных на основе нескольких классов
Rx
Rxn
Р
Pf
р
nun
Nonm
6
3X2
31
5
1
37
6
1.2
43
7
1.4
61
10
2.0
9
3X3
73
8
1
97
11
1.3
103
11.4
1.4
10
5X2
131
13
1.4
151
15
1.6 •
12
3X4
163
14
1.2
181
15
1.4
193
16
1.5
199
16.6
1.5
Таблица 6.2.4
Параметры ДП со свойством «не более двух совпадений»,
синтезированных на основе нескольких классов
Rx
Rxn
Р
Pf
р
nun
Nonm
8
4X2
41
5
1.4
53
6.6
1.8
9
3X3
37
4
1
43
4.8
1.2
61
6.8
1.6
10
5X2
61
6.1
1.3
71
7.1
1.5
12
6X2
79
6.6
1.2
97
8
1.4
109
9.1
1.6
4X3
97
8
1.4
101
8.4
1.5
109
9.1
1.6
3X4
79
6.6
1.2
97
8
1.4
103
8.6
1.5
Сопоставление параметров ДП, синтезированных на основе нескольких
классов с параметрами ДП, синтезированных на основе одного класса (при
одинаковых Rx), показывает преимущество первых практически по всем пока-
показателям:
Р
1. Более плотная «упаковка» (меньшее соотношение N ).
опт
2. Более частая сетка периодов.
3. Возможность формирования ДП со свойством «не более одного совпа-
совпадения» для ДП с Rx = I mod 2.
138

4. Формирование оптимально «упакованной» ДП для R = 6, Хт = 1;
R = UB=lHR = 9)Am=2.
5. Большая мощность кодирования.
Кроме того, согласно утверждению 5.3.4, каждой n-компонентной ДП со-
соответствует ансамбль j-компонентных ДП, 1 < j < п , включающий в себя 2п -1
двоичных последовательностей.
В качестве примеров синтеза двоичных периодических последовательнос-
последовательностей в табл. 6.2.5 приведено по одной ДП со свойством «не более одного совпа-
совпадения» и минимальным периодом для Rx = 3,20.
Таблица 6.2.5
Двоичные периодические последовательности со свойством «не более одного совпадения»
Rx
3
5
6
7
9
10
11
12
13
14
15
18
20
Р
А ггап
7
31
31
71
73
131
331
163
443
281
277
433
571
е
3
3
3
7
5
2
3
2
2
3
5
5
3
d
2
6
10
10
8
26
30
54
34
40
92
48
114
R
3
5
3
7
9
5
11
3
13
7
3
9
5
Номера
классов
0
0
0,3
0
0
0,10
0
0,2,18,20
0
0,14
0,7,20,
22,23
0,9
0,19,38,59
Номера позиций
1,2,4
1,2,4,8,16
1,5,11,24,25,27
1,20,30,32,37,45,48
1,2,4,8,16,32,37,55,64
1, 38,49, 53, 58, 61, 89, 91, 107,108
1,74,80,85, 111,120, 167, 180,270,274,293
1, 4,14, 38,40,58, 69, 85, 90,104,152, 160
1, 35, 38,56,115,184,188,238,339, 347, 356,
378,383
1, 33, 59,68,72,78,79,106,109,165,181,225,
249,261
1,7,11,12, 35, 60, 98,100,116,160,168,182,
211,243,258
1, 27,43,84,103,150, 153, 171,178,183,198,
234,256,287,295,296,388,417
1, 69, 71,103,106,167,188,193,210,239,255,
331, 387,437,461,462,473, 481,514,562
р
mm
1
1.5
1
1.6
1
1.4
3
1.2
2.8
1.5
1.3
1.4
1.5
При этом для Rx = 3,6,9 номера позиций, на которых размещаются «еди-
«единицы» ДП, соответствуют совершенному разностному множеству D(N,RX,1).
ДП с Rx = 20 образуют ансамбль из 24 -1 = 15 ДП, одна из которых имеет
вес Rx = 20, четыре ДП имеют вес Rx = 15, шесть ДП имеют вес Rx = 10 и че-
четыре — вес Rx = 5.
139

6.3 Двоичные последовательности
с одноуровневой (квазиодноуровневой)
периодической автокорреляционной функцией
Представленные ниже результаты синтеза получены в соответствии с мето-
методикой, изложенной в разделе 5.4.
Результаты синтеза двоичных
последовательностей с пик-фактором pf = d=4
Пустьx = 4l±l, (x}24 =Ъу = 4и±2,(.у)" = 4.
Расчетные формулы для Р, R, Хо при этих условиях представлены в E.4.14).
Подстановкой АЛ = 0 получим
Утверждение 6.3.1. ДП с периодом
R=
имеют одноуровневую ПАКФ Я(т)= и
т = 1, Р -1 и пик-фактор pf ~ 4 относительно ПК F.2.1).
Таблица 6.3.1
р
R
Таблица значений параметров РМ D(T*, R, X) при d = <•
5
1
0
37
9
2
101
25
6
197
49
12
677
169
42
2917
729
182
4357
1089
272
1, Р < 10000
5477
1369
342
8101
2025
506
8837
2209
552
Значения (Р, R, X) для всех Р < 10000 приведены в таблице 6.3.1.
Это известное РМ биквадратичных вычетов (раздел 2.2). Оно является ча-
частным случаем РМ D(P, R, XQ, Хо + AXV ... Хо + ASJ при d = 4 и ASm = 0.
Утверждение 6.3.2. ДП с периодом Р = 4Bи +1J + \4ASm + (хL) и весом
R = \2и +1J + 2A5m [2ASm +(*)/] j имеют двухуровневую ПАКФ
Я(т) = {Я0,Я0+А5'/п}, т = 1,Р-1, A0=w(w + l) + A52 относительно ПК F.2.1)
и пик-фактор р/ = 4. Утверждение 6.3.2 получается из E.4.14) подстановкой
AA = ASW.
Вычислим параметры Р, R, X для нескольких значений ASm.
Утверждение 6.3.3. ДП с периодом Р = 4Bи + 1J +D + (хLJ и весом
R = Bz/ + lJ +2(l + (x}4) имеют двухуровневую ПАКФ А(т) = {А,А +1},
т = 1, Р -1 ? Ао = м(м +1) +1 относительно ПКF.2.1) и пик-фактор pf = 4.
140

В табл. 6.3.2 приведены параметры Р, R, XQ, {xL и —- для Р< 10000.
R
Таблица значений параметров РМ D(P, R, Ло, Яо+1)
при d = 4, Р<10000
Таблица 6.3.2
р
R
ASm
R
13
3
0
—1
0,33
29
7
1
1
0,14
61
15
3
1
0,07
109
27
6
-1
0,04
349
87
21
1
0,01
509
127
31
1
0,008
701
175
43
1
0,006
1181
295
73
1
0,003
1453
363
90
—1
0,003
1789
447
111
1
0,002
Продолжение таблииы 6.3.2
2141
535
133
1
0,002
3373 '
843
210
—1
0,0012
3389
847
211
1
0,0012
3853
963
240
—1
0,0011
4909
1227
306
-1
0,0008
5501
1375
343
1
0,0007
6733
1683
420
-1
0,0006
8861
2215
553
1
0,0005
9613
2403
600
—1
0,0004
9629
2407
601
1
0,0004
Согласно теореме 4.5.6 заполнение нулевой позиции единичным символом
корректирует спектр S@, 0, 4) = {s0, sv s0, sj увеличением гармоники 50 на
единицу. Периоды, которым соответствует значение (хL = -1, имеют спектр
{s0, sQ+l, sQ, 50+l}. Поэтому заполнение нулевой позиции единичным символом
делает ПАКФ одноуровневой. Я(т) = 50 +1, т = 1, Р -1. Как видно из таблицы
6.3.2, этому условно удовлетворяют периоды Р = 13,109,1453, 3373, 3853, 4909,
6733 и 9613. Это также известное РМ «биквадратичных вычетов и нуля» (раздел
2.2). Оно получается из РМ, определенного утверждением 6.3.3 как частный
случай.
Утверждение 6.3.4. ДП с периодом Р = 4Bw + lJ + (8 + (хLJ и весом
R = Bu + 1J +4B + (хL) имеют двухуровневую ПАКФ Я(т) = {Я0Д0+2},
т = 1, Р -1, Яо = и(и +1) + 4 относительно ПК F.2.1) и пик-фактор pf = 4.
Это утверждение получается из утверждения 6.3.2 подставкой d = 4, ASm = 2.
В таблице 6.3.3 приведены результаты расчетов параметров Р, R, X, (хL и
^f для Р< 10000.
R
141

Таблица 6.3.3
р
R
а
R
53
13
2
-1
0,15
Таблица параметров РМ D(P, R, л0, А0+2) при
149
37
8
-1
0,05
181
45
10
1
0,04
277
69
16
1
0,03
373
93
22
-1
0,02
757
189
46
1
0,01
1237
309
76
1
0,006
1493
373
92
-1
0,005
2549
637
158
-1
0,003
d = 4,
3413
853
212
-1
0,002
Р< 10000
5557
1389
346
-1
0,0014
6133
1533
382
-1
0,0013
7477
1869
466
1
0,0010
Как и в предыдущем случае, целесообразна коррекция СРКВ S@, 0,4) на
единицу для периодов, которым соответствует значение (хL = -1. Как видно из
табл. 6.3.3, для периодов р = 53, 149, 373, 1493, 2549, 3413 и 6133 ПАКФ ДП
после коррекции будет А(т) = {Я0 +1Д0 +2} т.е. ASm = 1.
Утверждение 6.3.5. ДП с периодом Р = 4Bм + 1J +A2 + (xLJ и весом
R = Bu + lJ +6F + (jcI) имеет двухуровневую ПАКФ Л(т) = {А,0Д0+3},
т = 1, Р -1. Яо = и(и +1) + 9 относительно ПК F.2.1) и пик-фактор pf = 4.
Это утверждение получается из утверждения 6.3.2 подстановкой d = 4, ASm = 3.
Значения Р, R, X, \*L и —— приведены в табл. 6.3.4.
R
Таблица 6.3.4
р
R
Ао
R
157
39
8
-1
0,08
Параметры РМ D(P, R, Ло, А.0+3) для d =
173
43
9
1
0,07
269
67
15
1
0,04
317
79
18
-1
0,04
653
163
39
1
0,018
797
199
48
-1
0,015
= 4,Р<10000
1021
255
62
-1
0,012
1069
267
65
1
0,011
1277
319
78
-1
0,009
1613
403
99
1
0,007
Продолжение таблицы 6.3.4
1933
483
119
1
0,006
2237
559
138
-1
0,005
2621
655
162
-1
0,005
3037
759
188
_1
0,004
3533
883
219
1
0,003
4013
1003
249
1
0,003
5021
1255
312
-1
0,002
7517
1879
468
-1
0,002
8221
2055
512
-1
0,001
8269
2067
515
1
0,001
142

Для периодов Р = 157, 317, 797, 1021, 1277, 2277, 2621, 3037, 7517 и
8221 целесообразна коррекция ПАКФ ДП путем дополнительного еди-
единичного символа на нулевой позиции. ПАКФ ДП будет равна
Я.(т) = -{Х0+1Д0+3} ASa=2.
В теореме 5.4.4 определены соотношения между Хо, R, Р и ASm, при кото-
которых возможен синтез двоичных последовательностей с квазиодноуровневой
ПАКФ, если |* - у\ = 1.
Результаты синтеза позволили сформулировать следующее утверждение
Утверждение 6.3.6. ДП с периодом р = 32ul +8мB(;у) + z)+5 и весом
R =8м2 +2wB(;yL +z)+l имеет двухуровневую ПАКФ Я(т)={Я0,Я0
т = 1,Р-1, Яо = иBи + (уL)+ UZ~AS>» относительно ПК F.2.1).
Значения R, Р, X и ASm приведены в табл. 6.3.5.
Таблица 6.3.5
Параметры РМ D(P, R, Хо, Хо + ASm) для Р = х2 + у2 \х -у \ = 1, d = 4
р
R
Яо
ASm
У
13
3
0
1
0,3
61
15
3
1
0,07
181
45
10
2
0,04
421
105
24
4
0,04
613
153
36
4
0,03
1013
253
60
6
0,02
1031
325
78
6
0,02
1741
435
105
7
0,02
Продолжение таблицы 6.3.5
1861
465
112
8
0,02
2381
595
144
9
0,015
3613
903
220
11
0,012
5101
1275
312
13
0,010
8581
2147
528
16
0,007
9661
2415
595
17
0,007
9941
2485
612
18
0,007
Утверждение 6.3.6 определяет регулярное правило формирования ДП с
двухуровневой ПАКФ Я(т)={Я0,Я0 +A5W}. Прир> 1000 отношение У = -^г- не
превышает 0,02.
R
143

Результаты синтеза двоичных последовательностей
с пик-фактором pf = d = 6
(xfd =
l9 (у)] =1, x = du±2,
Тогда, согласно E.4.16), возможен синтез ДП с пик-фактором pf = 6.
Утверждение 6.3.7. ДП с периодом
Р = 3б(зи2 + /2 + (yN)+l2ASm(pASm +(хN)+7 и весом
R = 6\3и2 +12 + (уN )+ 2ASm CA5W + (хN ]+1 имеют двухуровневую
ПАКФЯ(т)={Я0Д0+А5ш}, т = 1^1,
2 2
2
Ао=3« +/
фактор pf = 6.
(хN =-1
относительно ПК F.2.1) и пик-
Утверждение 6.3.8 получается из E.4.16) подстановкой ДА, = ASm. Оно оп-
определяет регулярное правило формирования ДП с пик-фактором pf = 6 и задан-
заданной величиной ASm в двухуровневой ПАКФ Я(т) = {Хо До + ASm}. В качестве
примеров приведем результат синтеза ДП с двухуровневой ПАКФ для ASm < 9.
Таблица 6.3.6
ASm
Р
R
и
R
Параметры PMD(V, R, Яо, \+ASJ для 1 <
1
19
3
0
0,33
31
5
0
0,2
67
11
1
0,09
211
35
5
0,03
2
103
17
2
0,12
199
33
4
0,06
463
77
12
0,03
1123
187
30
0,02
1483
247
39
0,01
&Sm< 9,d =
4
487
81
12
0,05
2551
425
68
0,01
6
5
739
123
17
0,04
787
131
20
0,04
3307
551
90
0,009
3907
651
105
0,008
Продолжение таблицы 6.3.6
6
1147
241
36
0,03
4831
805
132
0,007
7
1423
237
37
0,03
8
2503
417
64
0,02
9
2383
397
60
0,02
2707
451
72
0,02
11131
1855
306
0,005
12211
2035
333
0,004
144

Расчеты показали, что справедливо
Утверждение 6.3.8. ДП с периодом Р = ЗбCм2 +/2 +u(y}j+l2l(xN +7 и ве-
весом R = 6\3u2 +/2+(jN)+2/(xN+l имеют трехуровневую ПАКФ
, Ао-З^2+/2+^(уN +
= Д5да + А5 относительно ПК F.2.1).
В табл. 6.3.7 приведены результаты синтеза для ASm < 5.
Таблица 6.3.7
Параметры PMD(P, R, Хо, X0+AS, A,()+ASm) для 2< ASw< 5S d = 6
ASW
P
R
Xo
A5
R
2
43
7
0
79
13
1
151
25
3
331
55
8
547
91
14
619
103
16
907
151
24
1
0,29
0,15
0,08
0,04
0,02
0,02
0,01
3
139
23
2
2
0,13
163
27
3
379
63
9
1
0,11
0,05
571
95
14
823
137
21
2
0,03
0,02
1531
255
41
1
0,01
1759
293
47
2
0,01
Продолжение таблицы 6.3.7
127
21
1
271
45
5
307
51
6
3
0,19
0,09
0,08
367
61
8
2
0,07
859
143
22
1
0,03
967
161
25
1
0,02
4
1171
195
30
3
0,02
1279
213
33
3
0,02
1951
325
52
2
0,01
2371
395
64
1
0,01
2467
411
66
3
0,01
3019
503
82
1
0,008
3187
531
86
3
0,008
3319
553
90
2
0,007
Продолжение таблицы 6.3.7
5
223
37
4
1
0,14
523
87
12
2
0,006
691
115
17
1
0,04
883
147
22
2
0,03
1231
205
32
1
0,02
3583
597
97
2
0,008
4327
721
117
1
0,007
4639
773
126
3
0,006
5011
835
137
1
0,006
5227
871
142
4
0,006
145

Анализ таблиц показывает, что по ПК F.2.1) можно формировать ДП с
квазиодноуровневой ПАКФ и достаточно плотной сеткой периодов.
В §5.5 разработана методика синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ для
периодов Р = х2+ау2, |х-;у| = 1.
Для d = 6 справедливо следующее утверждение.
Утверждение 6.3.9. ДП с периодом Р = Ы4и2 +12и\4(у) + z)+7 и весом
R = 24и2 + 2и(^(уN + z)+1 имеют двухуровневую ПАКФ А(т) = {Л0Л0
{() )
Параметры РМ D(P, R, Xo, \ + ASJ для Р = х2 + Зу
>2 Ix-vl =:
Таблица 6.3.8
р
R
R
31
5
0
1
0,2
11131
1855
306
9
0,005
211
35
5
1
0,03
463
77
12
2
0,03
12211
2035
333
9
0,004
13807
2301
380
10
0,004
1123
187
30
3
0,02
1483
247
39
3
0,01
20023
3337
552
12
0,004
23563
3927
650
13
0,003
2551
425
68
4
0,01
35911
5985
992
16
0,003
3307
551
90
5
0,01
3907
651
105
5
0,008
4831
805
132
6
0,007
Продолжение таблицы 6.3.8
37813
6305
1040
16
0,003
42643
7107
1173
17
0,002
47743
7957
1314
18
0,002
Из сопоставления табл. 6.3.8 и табл. 6.3.6 видно, что некоторые из периодов
в табл. 6.3.6 удовлетворяют условию Р = х2 + 3у2, \х - у\ = 1.
Утверждение 6.3.10. ДП с периодом Р = 36и\4и + (у)в)+ 12и(л)б + 7
и весом R = биуЬи + (уN)+ 2и(хO +1 имеют трехуровневую ПАКФ
В табл. 6.3.9 приведены результаты синтеза ДП для р<60000.
146

Параметры РМ D(P, R, X(), \ + AS
Р
R
Хю
AS
ASm
43
7
0
1
2
0,29
307
51
6
3
4
0,08
1723
287
42
7
10
0,03
, \ + ASm) для Р = jc
2971
495
76
5
14
0,03
4423
737
115
6
17
0,02
6007
1001
156
13
19
0,02
Таблица 6.3.9
-у\ =l,d = 6
6163
1027
162
7
20
0,02
8011
1335
210
15
22
0,02
Продолжение таблицы 6.3.9
8191
1365
217
18
23
0,01
10303
1717
272
17
25
0,01
19183
3197
517
12
35
0,01
22651
3775
612
13
38
0,01
26083
4347
702
27
40
0,01
26407
4401
715
14
41
0,01
30103
5017
812
29
43
0,01
43891
7315
1190
35
52
0,01
Сравнение параметров РМ табл. 6.3.8 и табл. 6.3.9 показывает, что они
имеют сетки периодов приблизительно одинаковой плотности, но показатель
квазиодноуровневости у у РМ сбалансированных на два уровня лучше, чем у
РМ, сбалансированных на три уровня.
Результаты синтеза двоичных последовательностей
с пик-фактором pf =d = 8
Утверждение 6.3.11. ДП с периодом
+1 и весом
R = 4и +
(
имеют одноуровневую ПАКФ А(т) = и 2м +
( \
х = 1, Р -1 относительно ПК F.2.1).
Это также известное РМ восьмеричных вычетов (раздел 2.2). Оно являет-
является частным случаем РМ D(P, R, Хо, А,о + ASp ... Хо + ASm) при d = 8 и ASm = 0.
Совершенное РМ DG3, 9, 1) является представителем восьмеричных вычетов
при Р = 73, R = 9, Я = 1.
147

/ / \ \
Утверждение 6.3.12. ДП с периодом Р = Щ Аи + ^—^- + \$ASm + (jc) f и ве-
л2
сом R=
¦2ASm{4ASm + (*)g) имеет двухуровневую ПАКФ
о
относи-
тельно ПК F.2.1) и пик-фактор pf = 8.
Утверждение 6.3.12 устанавливает соотношения для Р, R, Яо и произвольно-
гоД5т.
Значения Р, R, Хо приведены в табл. 6.3.10 для различных ASm < 8.
Таблица 6.3.10
Параметры РМ D(T, R, X(f> A0+ASJ для d = 8, V<60000
р
R
Хо
ASm
26041
3255
406
1
-1
0,0003
233
29
3
937
117
13
1193
149
18
1801
225
27
3529
441
54
9001
1125
140
2
-1
0,07
1
0,02
-1
0,01
1
0,009
1
0,005
1
0,002
6351
795
97
3
-1
0,004
1289
161
17
1481
185
20
2041
1505
185
4
1
0,024
1
0,021
1
0,003
Продолжение таблицы 6.3.10
27673
3459
431
5
1
0,0014
2281
285
34
4201
525
61
23017
2877
355
23209
2901
361
6
-1
0,02
1
0,011
-1
0,002
1
0,002
6857
857
105
20809
2601
321
52489
6561
816
53897
6737
840
8
_j
0,009
1
0,003
1
0,001
-1
0,001
Анализ табл. 6.3.10 показывает, что:
1. При ASm = 1,(х) = -1 после коррекции ПАКФ путем добавления единич-
единичного символа на нулевой позиции ПАКФ становится одноуровневой. Это
значение из известного РМ «восьмеричных вычетов и нуля» (раздел 2.2),
которое является частным случаем РМ D(P, R, А,о, А,о+1) при d = 8.
AS
2. Отношение —- изменяется от 0,07 до 0,001, а период ДП 233 < Р < 53897.
R
3. Разность между уровнями ПАКФ при этом 1 < ASm < 8.
148

Утверждение 6.3.13. ДП с периодом
Аи
и весом
R = 4и +
(у\,
\2
+ 2D +
имеют трехуровневую ПАКФ
Я(т)={Х0Д0 +А5Д0 +A5W}, т = 1,Р-1, причем 0 < AS < ASm.
Результаты расчетов Р, R, X, AS для 2 < ASm < 9 представлены в табл. 6.3.11.
Таблица 6.3.11
ASm
Р
R
AS
ASm
R
Параметры РМ D(P, R, к, А
2
89
11
0
1
0,09
281
35
3
1
0,03
1049
131
15
1
0,008
20857
2607
325
1
0,0004
+AS, A +AS/w
3
137
17
1
1
0,18
4153
519
63
2
0,006
5081
635
78
2
0,005
38713
4839
603
2
0,0006
) для d
= 8,J
Р< 60000
4
601
75
8
1
0,05
617
77
8
2
0,05
857
107
12
1
0,04
1433
179
20
1
0,02
2393
299
35
1
0,013
2969
371
44
1
0,010
4
4457
557
68
2
0,007
6089
761
93
2
0,005
9241
1155
143
1
0,003
9337
1167
143
3
0,003
10889
1361
168
2
0,003
11177
1397
173
2
0,003
16249
2031
252
3
0,002
Продолжение таблицы
6.3.11
5
409
51
3
3
0,10
521
65
5
2
0,08
3833
479
58
1
0,010
4409
551
67
1
0,009
9209
1151
42
1
0,004
11321
1415
174
3
0,004
17881
2235
276
4
0,002
56633
7079
883
1
0,0007
Продолжение таблицы 6.3.11
6
1033
129
14
2
0,05
1609
201
23
2
0,03
1753
219
23
5
0,03
2089
261
29
2
0,02
5881
735
89
5
0,008
6121
765
92
2
0,008
8761
1095
134
5
0,005
15017
1877
231
2
0,003
20297
2537
315
2
0,002
22697
2837
351
2
0,002
23561
2945
366
2
0,002
45289
5661
704
2
0,001
7
457
57
2
6
0,12
13049
1631
200
4
0,004
149

Продолжение таблицы 6.3.11
7
20921
2615
324
2
0,003
37049
4631
575
4
0,002
8
1097
137
12
4
0,06
1721
215
24
3
0,04
2441
305
33
4
0,03
3449
431
48
7
0,02
3673
459
55
1
0,02
4057
507
60
5
0,016
5209
651
76
5
0,012
6521
815
99
3
0,009
6553
819
100
1
0,009
12697
1587
195
5
0,005
19433
2429
300
6
0,003
26953
3369
416
4
0,002
Продолжение таблицы 6.3.11
8
27449
3431
423
7
0,002
46601
5825
724
4
0,001
46681
5835
724
5
0,001
50153
6269
780
6
0,001
9
1657
207
23
1
0,04
2137
267
27
7
0,03
2521
315
36
4
0,03
17497
2187
267
8
0,004
21529
2691
331
6
0,003
24281
3035
383
1
0,003
32377
4047
502
6
0,002
36793
4599
571
3
0,002
41113
5139
636
7
0,002
57881
7235
900
8
0,001
Сравнение табл. 6.3.10 и 6.3.11 показывает, что практически при одинако-
одинаковых отношениях Y = -гг" сетка периодов ДП с трехуровневой ПАКФ значи-
R
тельно плотнее, чем у ДП с двухуровневой ПАКФ.
Из теоремы 5.4.4 следует возможность синтеза ДП с квазиодноуровневой
ПАКФ при \х - у\ = 1. Результаты синтеза привели к следующему утверждению.
Утверждение 6.3.14. ДП с периодом Р = 192м2 + 16м(з(у)8 + z)+ (хJ, + 2(уJ%,
весом R = 24и2 + 2иЫу) + z)+ —— ——— имеют двухуровневую, трех-
8
уровневую и четырехуровневую ПАКФ А (т) = {Ао, Ао + Д^, Ао + АА2, Ао + ASm },
Результаты синтеза представлены в табл. 6.3.12.
150

Параметры разностных множеств, сбалансированных
напуровнейп = 2>3>4при V = х2 +4у2, /х-у/ = 1, d = 8
Таблица 6.3.12
п
р
R
К
У
2
41
5
0
1
од
937
117
13
2
0,02
3
281
35
3
2
0,06
409
51
3
5
од
457
57
2
7
ОД
617
77
8
4
0,05
4409
551
67
5
0,009
5209
651
76
8
0,012
11657
1457
179
10
0,007
24121
3015
368
12
0,004
47881
5985
739
26
0,004
50441
6305
765
38
0,006
56857
7107
868
32
0,005
Продолжение табицы 6.3.12
4
2297
287
28
14
0,005
5897
737
85
19
0,03
8009
1001
118
15
0,015
14009
1751
208
20
0,011
21001
2625
305
45
0,017
25577
3197
372
52
0,016
52009
6501
776
57
0,009
Нам удалось синтезировать 14 регулярных правил кодирования двоичных
последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ и пик-фактором pf = 4,6,8 без
ограничений на величину периода. В качестве иллюстрации в табл. 6.3.1—6.3.12
представлены параметры разностных множеств, соответствующих синтезирован-
синтезированным ДП с периодом Р< 10000 для d = 4 и Р< 60000 для d = 6, 8.
Результаты синтеза двоичных последовательностей
с пик-фактором pf=10npf=14
К сожалению, для d = 10 и d = 14 регулярных ПК не найдено. В результа-
результате синтеза получены лишь отдельные решения, обобщить которые на произ-
произвольный период р не удалось.
Таблица 6.3.13
Параметры двоичных последовательностей
с квазиодноуровневой ПАКФ и пик-фактором pf =10
ASm
Р
R
Яо
У
1
31
3
0
0,3
71
7
0
0,14
151
15
1
0,07
1471
147
14
0,007
2
131
13
0
0,15
211
21
1
0,09
ЗОН
301
29
0,007
15331
1533
152
0,001
3
251
25
1
0,12
691
69
5
0,043
1091
109
9
0,027
3251
325
31
0,009
12451
1245
123
0,002
151

4
191
19
0
0,21
271
27
1
0,15
491
49
3
0,08
1291
129
10
0,03
1571
157
14
0,025
2591
259
24
0,015
2851
285
26
0,014
3191
319
30
0,012
9631
963
94
0,004
18191
1819
180
0,002
48371
4837
482
0,001
Продолжение табицы
6.3.13
5
331
33
1
0,15
431
43
2
0,12
1171
117
10
0,04
15451
1545
152
0,003
15551
1555
153
0,003
Продолжение табицы 6.3.13
6
631
63
3
0,09
751
75
5
0,08
991
99
6
0,06
1031
103
7
0,06
1051
105
8
0,06
1151
115
8
0,05
1231
123
9
0,05
1511
151
12
0,04
1951
195
17
0,03
2131
213
18
0,03
2371
237
20
0,03
3511
351
32
0,017
Продолжение табицы 6.3.13
6
3671
367
33
0,016
6551
655
62
0,009
6911
691
66
0,008
11971
1197
116
0,005
14551
1455
143
0,004
15731
1573
154
0,004
18211
1821
179
0,003
46831
4683
465
0,001
55711
5571
554
0,001
7
571
57
2
0,12
811
81
5
0,09
2551
255
22
0,03
Продолжение табицы 6.3.13
1
4231
423
39
0,016
36131
3613
357
0,002
45751
4575
454
0,001
8
971
97
6
0,08
1451
145
10
0,06
1931
193
15
0,04
2251
225
19
0,04
2531
253
22
0,03
2671
267
22
0,03
2791
279
24
0,03
2971
297
26
0,03
3371
337
30
0,02
Продолжение табицы 6.3.13
8
3701
370
34
0,02
4091
409
38
0,02
6151
615
58
0,013
6211
621
58
0,012
8171
817
78
0,010
10631
1063
101
0,008
16651
1665
162
0,005
19441
1944
190
0,004
23431
2343
232
0,003
25031
2503
246
0,003
9
1831
183
14
0,05
2111
211
16
0,04
Продолжение табицы 6.3.13
9
3491
349
31
0,025
4871
487
45
0,018
5791
579
54
0,016
8951
895
84
0,010
10271
1027
99
0,009
11251
1125
108
0,008
13831
1383
134
0,006
152

Таблица 6.3.14
Р
R
У
Параметры двоичных последовательностей
с квазиодноуровневой ПАКФ и пик-фактором pf ~
1
43
3
0
0,3
71
5
0
0,2
2
127
9
0
0,2
3
211
15
0
0,2
463
33
1
0,09
547
39
1
0,08
659
47
2
0,06
239
17
0
0,24
d = 14
L
Ъ19
27
0
0Д5
{
491
35
0
0,11
883
63
2
0,06
Продолжение табицы 6.3.14
5
631
45
1
0,11
743
53
1
0,09
827
59
1
0,05
1303
93
4
0,09
6
911
65
2
0,09
1471
105
4
0,06
7
967
69
2
0,10
1051
75
2
0,09
1667
119
6
0,06
1723
123
5
0,06
8
1163
83
3
0,08
1583
113
4
0,07
Продолжение табицы 6.3,14
8
2003
143
7
0,06
2143
153
5
0,05
2423
173
8
0,05
2647
189
9
0,04
2731
195
11
0,04
4943
353
22
0,02
8219
587
38
0,01
9
2591
185
10
0,05
2843
203
11
0,04
6287
449
27
0,02
6.4. Двоичные последовательности
с одноуровневой (квазиодноуровневой) ПВКФ
В разделе 5.4 разработана методика синтеза пары ДП с одноуровневой (ква-
(квазиодноуровневой) периодической взаимнокорреляционной функцией на основе
спектров разности классов вычетов по простому модулю. В настоящем разделе
представлены результаты синтеза, выполненного по этой методике.
Пара ДП формируется по ПК F.2.1). Разность между номерами классов
d d
^2 ~^i = ~ • Число таких пар равно — . Пик-фактор каждой из ДП pf = 6..
Рельеф ПВКФ в общем случае имеет п уровней
yl0, Яо + АХХ,Яо + АЯ2....Яо + АЯу..... Яо + АЛп_1},
О < ДА, ., АХ . , < АХ . < АЛ .^ < АХ , = AS , AS « R
J ' J— I J J + l fl—i ttl1 ТП
F.4.1)
Приближенное соотношение между параметрами ДП и ПВКФ определяет-
определяется следствием 5.4.1:
153

Утверждение 6.4.1. Пара ДП с периодом Р = 16м2 +1, весом R = 4м2 имеет од-
одноуровневую ПВКФ А,(т) = м2, т = 1,Р-1 относительно ПК F.2.1). Утвержде-
Утверждение 6.4.1 получается из теоремы 5.4.6 при х = 1, у = 4м, АЛ = ASm = 0, d = 4.
Значения Р, R и Хо для всех Р < 10000 приведены в табл. 6.4.1.
Таблица 6.4.1
р
R
Я
17
4
1
Таблица значений Р, R, А
257
64
16
401
100
25
577
144
36
для d = 4, ASm= 0, Р<10000
1297
324
81
1601
400
100
3137
784
196
7057
1764
441
Утверждение 6.4.2. Пара ДП с периодом Р = 108м2 +1 и весом R = 18м2 име-
имеет одноуровневую ПВКФ Л(т) = 3м2, т = 1,Р-1 относительно ПК F.2.1).
Утверждение 6.4.2 получается из теоремы 5.4.6 при х = 1, у = 6м, АЯ = ASm = 0,
d = 4. Значения Р, R и Хо для всех Р< 60000 приведены в табл. 6.4.2.
Таблица значений Р, R, Яо для d = 6, ASm= 0, Р< 60000
Таблица 6.4.2
р
R
Я
109
18
3
433
72
12
3889
648
108
18253
3042
507
21169
3528
588
43201
7200
1200
47629
7938
1323
Для d = 8 и d = 14 ДП с одноуровневой ПВКФ для периодов Р < 60000 не
найдено.
Утверждение 6.4.3. Пара ДП с периодом 16м2 +DASW +(x) | и весом
r = 4(м2 + &Sm J + 2ASm (jcL имеет двухуровневую ПВКФ Я(т) = {Яо, Яо + А5т },
= 1,Р-1 ,Я0=м2+А52+ т
~ '
относительно ПК F.2.1).
Утверждение 6.4.3 следует из теоремы 5.4.6 при х = 4ASm +(*L, {хL = -1,
у = 4и, d = 4, 6, 8, 14.
Утверждение 6.4.3 устанавливает соотношения между Р, R и Хо для произ-
произвольных значений ASm и d = 4, 6, 8, 14. Однако наибольший интерес представ-
представляют рельефы ПВКФ {Яо, Яо +1} {Яо, Яо + 2}... с минимаксными значениями ASm.
154

Утверждение 6.4.4. Пара ДП с периодом Р = 1ви2 + D + (хL J
R = 4(w2+l)+2(xL имеет рельеф ПВКФ {Я0Д0+l},A0 =м2+1 + ——
носительно ПК E.2.1) и пик-фактор pf = 4 .
весом
от-
Утверждение 6.4.4 получается из теоремы 5.4.6 при х = 4 + (jcL , (xL = ±1, у
4м, d = 4.
Таблица 6.4.3
Таблица значений Р, R, X, (дгL, у = —- при ASm = 1, d = 4, Р < 10000
р
R
Л)
Г
41
10
2
1
од
73
18
4
-1
0,06
89
22
5
1
0,05
281
70
17
1
0,014
409
102
25
-1
0,01
601
150
37
1
0,007
809
202
50
1
0,005
1033
258
64
-1
0,004
Продолжение таблицы 6.4.3
1049
262
65
1
0,004
1321
330
82
1
0,003
1609
402
100
-1
0,002
2713
678
169
-1
0,001
2729
682
170
1
0,001
4649
1162
290
1
0,0008
5209
1302
325
1
0,0008
5801
1450
362
1
0,0007
7753
1938
484
-1
0,0005
9241
2310
577
1
0,0004
Заметим, что как и в случае с ПАКФ, возможна коррекция ПВКФ на еди-
единицу путем добавления на нулевых позициях ДП единичного символа. Такая
коррекция целесообразна для периодов, соответствующих (jcL=-1, т.е.
р = 73, 409, 1033, 1609, 2713, 7753. После коррекции ПВКФ ДП становится
одноуровневой А = {Ао +1}.
Утверждение 6.4.5. Пара ДП с периодом Р = 108и2 + 12(з + (*) )+1 и весом
R =18м2 +2(з + (*)б) имеет двухуровневую ПВКФ {A0,A0+l},
Зи2+1, если (х)Л =1
Яо =
\Ъи2, если (дс\ = -1
относительно ПК E.3.1) и пик-фактор pf = 6 .
155

Утверждение 6.4.5 следует из теоремы 5.4.6 при jc = 6/ + (jc) , (л;N =±1,
у = 6и, d = 6.
Таблица 6.4.4
Таблица значений Р, R, Яо, (х)б, у при ASm= I, d = 6, Р<60000
р
R
Яо
D
Y
157
26
4
1
0,04
457
76
12
-1
0,013
997
166
27
-1
0,006
1021
170
28
1
0,006
1753
292
48
-1
0,003
1777
296
49
1
0,003
2749
458
76
1
0,002
6961
1160
193
1
0,0009
Продолжение таблицы 6.4.4
13093
2182
363
-1
0,0005
15601
2600
433
1
0,0004
18301
3050
508
1
0,0003
21193
3532
588
„1
0,0003
27673
4612
768
-1
0,0002
27697
4616
769
1
0,0002
31237
5206
867
-1
0,0002
47653
7942
1323
-1
0,0001
52321
8720
1453
1
0,0001
В случае дополнения на нулевой позиции единичного символа ДП с пери-
периодами Р = 457, 997,1753,13093, 21193, 27673, 31237, 47653 будут иметь одноуров-
одноуровневую ПВКФ {A0+l}.
Табл. 6.4.1 — 6.4.4 достаточно ярко иллюстрируют возможности синтеза
ДП с квазиодноуровневой ПВКФ на примере ДП с одноуровневой и двухуров-
двухуровневой ПВКФ и ASm < 1. Следует подчеркнуть, что в табл. 6.4.1 и 6.4.3 приведе-
приведены результаты расчетов до Р < 10000, а в табл. 6.4.2 и 6.4.4 — до Р < 60000, в то
время как на величину р нет никаких ограничений. Результаты синтеза носят
исключительно иллюстративный характер. Они демонстрируют возможности
методики синтеза на основе СРКВ и дают представление о частоте сетки пери-
периодов синтезированных последовательностей. В табл. 6.4.5 представлено количе-
количество периодов ДП с квазиодноуровневой ПВКФ, которые удалось синтезиро-
синтезировать для различных значений ASm. Расчет проводился до 10000 при
d = 4 и до 60000 при d = 6, 8, 10, 14.
Табл. 6.4.5 достаточно убедительно демонстрирует продуктивность разра-
разработанной методики синтеза.
В утверждениях 6.4.1 — 6.4.5 сформулированы регулярные правила фор-
формирования ДП с квазиодноуровневой ПВКФ, разброс боковых лепестков ко-
которых не превышает ASm, для d = 0 mod 2 (d = 4, 6, 8, 10, 14). Для нечетных
значений d также синтезировано большое число ДП с квазиодноуровневой
ПВКФ, однако не удалось найти регулярных правил, объединяющих получен-
полученные решения. В табл. 6.4.6—6.4.8 приведены результаты синтеза для d ~ 5, 7
и 9, AS<9.
156

Таблица 6.4.5
d ^\
4
6
8
10
14
0
14
15
-
-
-
1
27
25
4
7
1
Число периодов синтезированных пар ДП
с квазиодноуровневой ПВКФ для d = 4, 6, 8,14
2
25
24
8
5
2
3
24
29
12
8
3
4
20
25
17
21
2
5
21
32
10
14
2
6
23
25
9
20
5
7
18
30
14
13
9
8
24
32
23
19
8
9
19
19
17
17
9
Примечание
Р< 10000
Р < 60000
Р < 60000
Р < 60000
Р < 60000
Результаты синтеза ДП с квазиодноуровневой ПВКФ
пик-фактором pf '= d = 5, А$т < 9
Таблица 6.4.6
&sm
р
R
Ао
У
1
11
2
0
0,05
41
8
1
0,13
2
31
6
0
0,33
71
14
2
0,14
181
36
7
0,07
3
101
20
3
0,15
61
12
0
0,3
151
30
4
0,13
241
48
8
0,08
[
251
50
8
0,08
641
128
24
0,03
821
164
30
0,02
Продолжение таблицы 6.4.6
5
191
38
4
0,13
211
42
6
0,12
281
56
9
0,09
331
66
10
0,07
461
92
16
0,05
6
131
26
2
0,23
431
86
14
0,07
701
140
26
0,04
751
150
26
0,04
971
194
40
0,03
1031
206
39
0,03
1181
236
44
0,02
Продолжение таблицы 6.4.6
7
311
62
10
0,11
631
126
23
0,06
691
138
24
0,05
761
152
28
0,05
1301
260
48
0,03
1361
272
50
0,03
1931
386
75
0,02
1951
390
75
0,02
2591
518
101
0,01
Продолжение таблицы 6.4.6
8
271
54
6
0,15
421
84
12
0,09
601
120
22
0,07
1601
320
60
0,025
1831
366
70
0,021
2011
402
76
0,020
2111
422
82
0,019
2381
476
92
0,017
3671
734
142
0,011
157

Продолжение таблицы 6.4.6
9
521
104
15
0,07
661
132
22
0,07
811
162
26
0,06
941
188
35
0,05
1021
204
36
0,04
1151
230
41
0,04
1201
240
42
0,04
2131
426
81
0,02
3491
698
137
0,01
Результаты синтеза ДП с квазиодноуровневой ПВКФ
с пик-фактором pf '= d = 7, ASm <9
Таблица 6.4.7
ASm
Р
R
Яо
У
2
29
4
0
0,5
43
6
0
0,3
71
10
- 0
0,2
3
127
18
1
0,17
281
40
4
0,08
4
113
16
0
0,25
197
28
2
0,14
211
30
2
0,13
337
48
5
0,08
5
239
34
2
0,15
6
491
70
8
0,09
701
100
12
0,06
1289
184
24
0,03
2927
418
57
0,01
Продолжение таблицы 6.4.7
7
379
54
5
0,13
547
78
8
0,09
757
108
12
0,06
1093
156
19
0,04
1373
196
25
0,03
8
421
60
6
0,13
463
66
4
0,12
631
90
8
0,09
673
96
8
0,08
1471
210
25
0,04
2297
328
44
0,02
3557
508
68
0,016
3739
534
72
0,015
6791
970
134
0,008
9
827
118
11
0,08
8093
1156
160
0,008
Результаты синтеза ДП с квазиодноуровневой ПВКФ
с пик-фактором pf= d = 9, ASm < 9
Таблица 6.4.8
Р
R
К
У
1
19
2
0
0,5
2
37
4
0
0,5
199
22
2
0,25
3
109
12
0
0,21
127
14
0
0,15
181
20
1
0,05
523
58
5
0,22
4
163
18
0
0,08
433
48
4
0,03
1117
124
12
0,12
5
379
42
2
0,09
487
54
3
0,05
829
92
7
0,18
6
307
34
2
0,14
397
44
2
0,23
Продолжение таблицы 6.4.8
1
271
30
0
0,23
541
60
3
0,12
919
102
9
0,07
1009
112
10
0,06
1531
170
16
0,04
1621
180
16
0,04
9343
1038
113
0,007
8
577
64
2
.0,13
613
68
2
0,12
631
70
4
0,11
811
90
6
0,09
991
ПО
8
0,07
1153
128
10
0,06
2161
240
22
0,03
2287
254
26
0,03
158

Продолжение таблицы 6.4.8
9
739
82
4
0,1
883
98
6
0,09
937
104
8
0,09'
1063
118
9
0,08
1423
158
13
0,06
1747
194
17
0,05
2089
232
21
0,04
2377
264
26
0,03
3187
354
34
0,02
Как следует из табл. 6.4.6 — 6.4.8, методика разработанная в гл. 5, позволяет
осуществлять синтез ДП с квазиодноуровневой ПВКФ не только для четных
значений d, но и для нечетных. При этом сопоставимы как сетки периодов
синтезированных последовательностей, так и относительный разброс амплитуд
ASm
боковых лепестков ПВКФ Y = —г~.
К.
6.5. Ансамбли двоичных последовательностей
В разделе 6.2 предлагаются ансамбли ДП со свойством «не более Хт совпа-
совпадений». Известные ансамбли Голда, Касами и бент-функций и др. [60, 64, 67,100,
101], а также ансамбли двоичных импульсных последовательностей со свойством
«не более одного совпадения» [98] обладают двумя существенными недостатка-
недостатками — имеют редкую сетку периодов и малые объемы.
Задачей настоящего подраздела является синтез ансамблей ДП объемом в
несколько сот и даже тысяч последовательностей с уровнем боковых лепестков
ПАКФ и ПВКФ удовлетворяющих F.5.1):
F.5.1)
где Rx — вес ДП.
Методология решения задачи основана на применении математического
аппарата спектров разности классов вычетов по простому модулю. Суть ее
состоит в следующем.
Пусть ДП формируется по ПК F.2.1). Тогда ПАКФ ДП определяется
СРКВ S@, 0, d), а ПВКФ любой пары ДП будет зависеть только от разности
номеров классов А = А:7 -к{ mod d и определятся СРКВ S@, A, d).
С учетом симметрии таблиц СРКВ относительно — алгоритм синтеза
получается чрезвычайно простым.
159

Пусть S@,A,d) = {so,sl,s2,...,sn...,sd_x}. Для заданного объема ансамбля
F(P,R) = d необходимо:
fd
1) рассчитать CPKB S@,A,d) для А = 0, —
i2
9 где \~\ — ближайшее целое —
большее;
2) найти наибольшую гармонику 0Д11ах ;
3) сравнить ее с заданным порогом гт ;
4) если 0,)тах < гт , то двоичные последовательности, сформированные по
ПК F.2.1) будут представлять собой ансамбль со следующими характе-
характеристиками:
¦ период ДП Р s R-d + 1;
¦ объем ансамбля F(P,R) = d;
Р
¦ пик-фактор ДП ~ = d;
IV
¦ относительная величина максимального бокового лепестка в ансамб-
ансамбле равна L = J^ .
VR
Для реализации алгоритма необходимо установить границу Р < Ртах, превы-
превышение которой приводит к тому, что (st)max > VR . Согласно свойству 4.4.11
таблиц СРКВ
й [R-l, em^GS@,0,d)
У s= \ ) v mod d.
Y 1 R, ecnH^€S@Ad)
R
Следовательно, (st) - —. Максимальное значение в/раз больше среднего:
st)max = f(st)cP = ~Т"' / ~ * • По условию алгоритма (st)max = -— < vR , отсюда:
d d
но R = —— ~ — , следовательно — < —- или р < —~. Экспериментально уста-
d3 (y(P,R)K
новлено, что f = L3 , поэтому Р1ТМХ = = — .
J У max 169 169
Пример 6.5.1. Найти ансамбли ДП объемом V(P,R) = 10.
103
^max = —~~ = 600. Результаты расчета сведены в табл. 6.5.1.
В ней представлено 19 ансамблей ДП. Все они имеют объем F(P,R) = 10.
Отличаются периодом 31 < Р < 601, весом ДП 3 < R < 60 и уровнем макси-
160

(On
IMOJlt
мального бокового лепестка в ансамбле (st)max. Отношением L =
0.76 < L < 1.29. Условию синтеза L < 1 удовлетворяют только 6 ансамблей
Р = 41, 61, 71, 101,181, 281. Условию 1 < L < 1.1 удовлетворяют 4 ансамбля
Р = 151, 211, 311, 461, условию, 1.1 < L < 1.2 — 3 ансамбля Р = 31, 131, 401,
условию 1.2 < L < 1.3 — 5 ансамблей Р = 241, 421, 431, 521, 601.
Таблица 6.5.1
р
31
41
61
71
101
131
151
181
211
241
251
281
311
401
421
431
461
521
601
Ансамбли ДП с объемом V(P, R) =
R
3
4
6
7
10
13
15
18
21
24
25
28
31
40
42
43
46
52
60
10
L
1.16
1
0.82
0.76
0.949
1.11
1.03
0 94
1.09
1.23
1.2
0.95
1.08
1.11
1.23
1.22
1,03*
1.25
1.29
В табл. 6.5.2 приведены результаты синтеза ансамблей ДП для
4 < V(P,R) < 30 . Расчет СРКВ осуществлен до Ртах. Анализ результатов синте-
синтеза показывает:
1. Для каждого значения К(РД) можно синтезировать несколько ансамб-
ансамблей. Для значений F(P,R) > 13 — несколько десятков ансамблей ДП.
2. С увеличением значения K(P,R) растет число ансамблей с L < 1. При-
Причем минимальное значение L = 0.4 9 наиболее часто встречающееся —
0J<L<0.8.
3. По мере приближения значения периода Р =» Ртах увеличивается число
ансамблей с L > 1.
В табл. 6.5.3 приведены результаты синтеза ансамблей ДП для 30 < V(P, R) < 50.
Расчет СРКВ осуществлялся для значений Р => 10000 независимо от K(P,R). С уве-
6 Зак 14
161

Таблица 6.5.2
V(P,R)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Pmin
13
11
7
29
17
19
31
23
13
53
29
31
17
103
19
191
41
43
23
47
73
101
53
109
29
59
31
Результаты синтеза ансамблей ДП для 4 < К(Р, ]
Ртах
41
61
139
197
449
541
601
727
1249
1301
1723
2311
2273
2857
4789
4523
5501
7309
8053
8971
9721
9851
9803
9721
9941
9629
9931
Rmin
3
2
1
4
2
2
3
2
1
4
2
2
1
6
1
10
2
2
1
2
3
4
2
4
1
2
1
Rmax
10
12
23
28
56
60
60
66
104
100
123
154
142
168
266
338
275
348
366
390
405
394
377
360
355
332
331
L<1
1
2
6
3
5
5
6
5
12
7
9
11
14
10
23
7
25
20
26
16
34
21
32
26
45
18
74
1<L<1.1
-
1
1
-
1
1
5
2
4
-
8
4
4
3
15
5
10
6
14
4
17
11
20
17
15
12
24
1.1<L<1.2
1
1
2
2
2
1
3
1
6
4
5
7
7
4
18
8
12
14
15
7
19
13
22
13
25
5
24
&)< 30
1.2<L<1.3
2
-
3
-
5
3
5
2
12
2
9
10
5
5
16
4
10
9
22
11
18
8
13
5
7
4
18
Всего
4
4
12
5
13
10
19
10
34
13
31
32
30
22
70
24
57
49
77
38
88
53
87
61
92
39
142
личением F(P,R) практически все синтезированные ансамбли ДП удовлетворяют
условию L<1.
В таблице 6.5.4 приведены результаты синтеза ансамблей ДП с объемами
100 < V(P,R) < 1000, Р => 10000, а ддя F(P,R)>1000 Р => 60000. Этот расчет был
предпринят для того, чтобы подтвердить закономерности, выявленные при
меньших значениях F(P,R), а также для оценки возможностей программного
продукта при больших значениях F(P,R). Как видно из таблицы 6.5.4, полови-
половина значений L для синтезированных ансамблей не превышает 0.5. Расчет табли-
таблицы 6.4.4 занял не более 5 минут на ЭВМ средней производительности.
Т.о., предложенная методика синтеза ансамблей ДП является самой про-
продуктивной из известных, а программа для ВМ, реализующая эту методику, об-
обладает достаточным быстродействием, чтобы осуществлять синтез ансамблей
ДП объемом в несколько сот тысяч.
162

Результаты синтеза ансамблей ДП для 31 < V(P,R) < 50
Таблица 6.5.3
V(P,R)
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Pmin
311
97
67
103
71
37
149
191
79
41
83
43
173
89
181
47
283
97
197
101
Ртах
9859
9857
9967
9623
9941
9973
9769
9767
9907
9721
9923
9871
9719
9901
9901
9661
9871
9697
9311
9901
Rmin
10
3
2
3
2
1
4
5
2
1
2
1
4
2
4
1
6
2
4
2
Rmax
318
308
302
283
284
277
264
257
254
243
242
235
226
225
220
210
210
202
190
198
L<1
24
42
48
54
42
76
28
54
43
65
29
86
28
58
47
50
25
65
28
60
1<L<1.1
6
17
11
13
3
13
4
7
5
4
1
6
1
3
1
-
3
2
-
-
1.1<L<1.2
6
9
4
6
1
7
1
2
-
-
1
4
-
-
1
4
-
1
-
2
1.2<L<1.3
1
5
1
2
1
3
-
-
1
1
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
Всего
37
73
64
75
47
99
33
63
49
66
31
96
29
61
49
55
28
68
28
62
Таблица 6.5.4
Результаты синтеза ансамблей ДП для 100 < V(F,R) < 1500
V(P,R)
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Pmin
101
401
601
401
3001
601
701
1601
1801
3001
3301
1201
1301
2801
3001
Ртах
20101
21001
19801
18401
19501
19801
15401
18401
19801
55001
56101
57601
55901
54601
55501
Rmin
1
2
2
1
6
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
Rmax
201
105
66
46
39
33
22
23
22
55
51
48
43
39
37
L<0.5
3
11
9
4
4
5
2
3
2
8
9
11
4
6
6
0.5<L<0.7
38
12
12
4
4
2
4
1
5
2
3
3
5
3
4
0.7<L<0.9
11
4
3
1
2
4
1
3
2
-
1
1
-
2
3
0.9<L
6
2
1
3
-
2
2
-
-
2
1
2
1
1
-
Всего
58
29
25
12
10
13
11
7
9
12
14
17
10
12
13
163

6.6. Троичные и бинарные
квазиортогональные последовательности
В пятой главе разработана методика синтеза ТП с квазиортогональной
ПАКФ на основе СРКВ. В настоящем разделе приведены результаты синтеза
квазиортогональных ТП по этой методике. Особое внимание уделено синтезу
полностью уравновешенных квазиортогональных ТП с пик-фактором pf = 2 и
pf - 3, формируемых по ПК F.6.1)
1, если К@ = кх,
-1, если К @ = к2,
О, в остальных случаях.
F.6.1)
Утверждение 6.6.1.Троичные последовательности, сформированные по
правилу F.6.1) представляют ансамбль из трех последовательностей с па-
параметрами:
Оптимальное по минимаксному критерию значение БЛ ПАКФ и ПВКФ
достигается когда период равен Р = 2Bм +1J +1.
В таблице 6.6.1 приведены спектры, соответствующие оптимальным значе-
значениям ПАКФ и ПВКФ для Р =» 60000.
Следует заметить, что при т = 0 ПВКФ любой пары ТП равна R.
Таблица 6.6.1
Оптимальные значения ПАКФ и ПВКФ для ансамблей с периодом Р s I mod 3
р
31
79
151
367
1087
1327 ,
1879
2887
3271
R
10
26
50
122
362
442
626
962
1090
СРКВ
So
3
6
18
36
126
147
216
330
363
Si
4
9
17
41
114
154
200
321
352
s2
2
10
14
44
111
140
209
310
374
ПАКФ
^max
0,671
0,693
0,700
0,704
0,706
0,706
0,707
0,707
0,707
ПВКФ
^max
4Ш
0,894
0,832
0,800
0,768
0,743
0,740
0,735
0,730
0,728
164

Продолжение таблицы 6.6.1
р
4111/
4567
6079
7207
8431
15991
16879
17791
19687
23767
24847
25951
34351
39679
42487
49927
51487
54679
56311
R
1370
1522
2026
2402
2810
5330
5626
5930
6562
7922
8282
8650
11450
13226
14162
16642
17162
18226
18770
СРКВ
So
468
507
675
816
918
1800
1875
1950
2187
2610
2790
2883
3780
4446
4680
5547
5676
6075
6210
Si
444
520
690
801
954
Mil
1900
1977
2214
2670
2730
2914
3852
4409
4721
5590
5721
6030
6302
S2
457
494
660
784
937
1752
1850
2002
2160
2641
2761
2852
3817
4370
4760
5504
5764
6120
6257
ПАКФ
Jmax
yfm
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
ПВКФ
^max
0,726
0,725
0,723
0,721
0,720
0,717
0,716
0,716
0,716
0,715
0,715
0,715
0,714
0,713
0,713
0,713
0,712
0,712
0,712
Утверждение 6.6.2. ТП с периодом Р = 4и2 + (jrj + |r2|J, гг + г2 = -1, имеют
двухуровневую ПАКФ r(x) = {rl,r2}, т = 1,Р-1 относительно ПК F.6.1).
Утверждение 6.6.2 определяет регулярное правило построения полностью
уравновешенных квазиортогональных ТП, с двухуровневой ПАКФ
В общем случае ТП имеет следующие параметры
> = 4и2 +Br + lJ, Ry =2u2 + 2r(r + l), R = u2
дГ = 2, Л = 1*2-^1 = 2, L(U) = 2.
F.6.2)
В качестве иллюстрации приведем результаты синтеза ТП для первых трех
рельефов с минимальным уровнем боковых лепестков ПАКФ
165

Этому условию удовлетворяют 38 простых чисел Р< 60000. Первые десять
из них: Р = 5,17, 37,101,197, 257, 401, 677,1297,1601.
Этому условию удовлетворяют 30 простых чисел Р< 60000.
Первые десять из них Р = 13, 73,109, 409,1033,1453,1609, 2713, 3373.
Этому условию удовлетворяют 51 простое число Р< 60000.
Первые десять из них Р = 29, 41, 61, 89, 281, 349, 509, 601, 701, 809.
Как видно из приведенных примеров, ПК, определенное утверждением
6.6.2, обладает достаточно плотной сеткой периодов.
Следует отметить, что ДП, соответствующая нулевым символам ТП, пред-
представляет собой последовательность квадратичных вычетов с квазиодноуровне-
квазиодноуровневой ПАКФ Х(т) = {R, R +1}. Это качество особенно важно в случае применения
ТП в РТС с квазинепрерывным режимом работы.
Утверждение 6.63. ТП с периодом Р = Bи +1J + Щгг | + \r2 J, гх + г2 = -1 имеют
двухуровневую ПАКФ г(т) = &, г2} т = 1, Р -1, относительно ПК F.6.1).
В этом случае ТП имеет следующие параметры:
( J( J, R^ = 2и (u+l)+( )\
Сравнение F.6.2) и F.6.3) показывает, что при прочих одинаковых парамет-
параметрах ТП отличаются периодом и разностью номеров классов в ПК.
Приведем результаты синтеза ТП для первых трех рельефов с минималь-
минимальным уровнем боковых лепестков ПАКФ.
Этому условию при р < 60000 удовлетворяют 42 простых числа. Первые
десять из них Р = 13, 29, 53,173, 229, 293, 733,1093,1229,1373.
Этому условию удовлетворяют 26 простых чисел Р< 60000. Первые десять
из них Р = 41, 61,157, 397, 661, 887, 997,1721, 2437, 3061.
г(т)= {2, -3}, Р =* Bи +1J +100.
Этому условию удовлетворяют 52 простых числа Р< 60000. Первые десять
из них Р = 149,181, 269, 389, 461, 541, 829, 941,1061,1621.
166

Следует заметить, что и для этого класса ТП двоичная последовательность,
соответствующая нулевым символам ТП, имеет квазиодноуровневую ПАКФ
() { l, R-r}.
Утверждение 6.6.4. ТП с периодом Р = зBм +1J + 4щ\ + \г2\) имеет двухуров-
двухуровневую ПАКФ г(т) = {гх, г2}, т = 1, Р -1, r2 = -Brt -1) относительно ПК F.6.1).
В этом случае ТП имеет следующие параметры
P = lmod6, P = 3Bw + lJ+4Cr + lJ, Ry = 4«(w
К = 2и(и + 1)+2г(Зг + 2)+1, r(x) = {r,-Br + l)} pf = 3, А = 2, L(u)=3.
Рельеф ПАКФ равен {rl9rl9r2 }. Это означает, что в спектре, соответству-
соответствующем ПАКФ, две из трех гармоник принимают значение гх, а одна — г2. На-
d
помним, что при R = 1 mod 2 СРКВ симметричен относительно —. В нашем
случае ~ =3.
Приведем результаты синтеза ТП для четырех рельефов с минимальным
уровнем боковых лепестков ПАКФ
{0,0,-1} Р = 3Bи + 1J+4.
Этому условию удовлетворяют 28 простых чисел при Р< 60000. Первые
десять периодов Р = 31, 79,151, 367,1087,1327,1879, 2887, 3271, 4111.
{-1,-1,1} Р =
Этому условию удовлетворяют 26 простых чисел при Р< 60000. Первые
десять периодов Р = 43,163, 379, 523, 691, 883, 2203, 2539, 3691, 5059.
{1,1,-3} Р = 3Bм + 1
Этому условию удовлетворяют 27 простых чисел при Р< 60000. Первые
десять периодов Р = 67,139, 211, 307, 571, 739, 2251, 3331, 3739, 5107.
{-2,-2,3} Р = зBц + 1
Этому условию удовлетворяют 19 простых чисел при Р< 60000. Первые де-
десять периодов Р = 103,127, 463, 607, 967,1423, 2287, 4663, 5647, 8527.
Как видно из приведенных примеров, квазиортогональные ТП этого класса
также имеют достаточно плотную сетку периодов.
Все синтезированные в главе 6 последовательности получены на основе
одного или двух классов вычетов. Однако обобщенное ПК D.1.1), которое ле-
лежит в основе теории СРКВ и методики синтеза, разработанные в главе 5, не ог-
167

раничивают числа классов, используемых для формирования ДКП. Продемон-
Продемонстрируем возможность синтеза ПСП на основе трех классов на примере хоро-
хорошо известных двоичных ПСП Холла, правило кодирования которых заключа-
заключается в следующем [97]:
1. Период ПСП — простое число Р = Аи2 + 27.
2. Первообразный корень Э в поле GF(?) необходимо выбрать из усло-
условия /ra/G3 = lmod6.
3. Номера позиций, на которых размещают единичные символы, опреде-
определяются из условия indQi = ОД, 3 mod 6 .
Прежде чем привести это ПК к виду D.1.1), заметим, что из условия
Р = 4и2 +27 следует:
2. P = 6R + 1;
3. Р = х2 + 3у2 => х = 2м, у = 3 ;
4. {xK=±l (**0mod3) =>(*N^±2;
5. Из 0 = 3=>КC)=1.
Теперь можно переписать ПК в привычной для нас форме:
если
КC)=1,
L, если K(i)= 0,1,3,
3, в остальных случаях.
F.6.3)
Докажем, что ДП имеет одноуровневую ПАКФ относительно ПК F.6.3).
Таблица СРКВ в рассматриваемом случае представлена в табл. 6.6.2.
Таблица СРКВ для Р = 2м2 + 27, КC) = 1
Таблица 6.6.2
^^\ к
S@, A, 6)^\
S@, 0)
S@, 1)
S@, 2)
S@, 3)
0
«о
«2
«2
«3
1
«1-1
«2-1
«2-2
2
«,-1
«2-l
«2-2
3
«0
«,
Л,-1
«0
4
«2-2
«2-1
a2
5
«i-l
«2-1
«2-1
«2
Таблица СРКВ содержит четыре различных значений а0, ах, а2 и а3. С уче-
учетом свойства 4.4.11 таблиц СРКВ эти значения связаны между собой соотноше-
соотношениями
2а0 + \ах - 2 = R -1,
2ах +Аа2 -5 = R,
а0 + 4а2 + аъ - 4 = R.
168

Это позволяет все 4 значения свести к одному:
R + 9 R + 5 . 3R + 17
ап = 4а, -—. а, = 2а,. а- =
F.6.4)
Синтезируемая ДП X является суммой трех последовательностей
X = Х0 + Х1 + ХЗ, каждая из которых соответствует одному классу вычетов.
Вычислим спектр Sx, соответствующий ПАКФ ДП X
Sx = S@,0)+ DS@,0)+ D3S@,0)+ $@,l)+ $@, з)+ D$@,2).
Расчет спектра Sx
Таблица 6.6.3
^^"W к
S@,A,6) ^Xs"\^^
S@,0)
DS@,0)
D3S@,0)
$@,1)
$@,3)
D$@,2)
Sx
0
«0
«i-l
«0
«2
«1
a3
«o
«i
«2-2
(Sx)o
1
«1
«0
«1
«1-1
«2-2
«2-2
«2
«2
«1-1 .
(Sx)l
2
«i-l
«l
«i-l
«2-1 .
«2-1
«2-2
«2
«,-1
«2-1
(SxJ
Поскольку спектр Sx симметричен относительно ~ = 3, нам достаточно
вычислить три гармоники:
(SxH=3a0 ~ — ~ Ж
(SxJ=:
Суммирование произведено с учетом F.6.4). Таким образом, ДП имеет од-
ноуровневую ПАКФ Х(т) = , т = 1,Р -1.
6* Зак 14 1 69
3
3R-
2
3R-1
2
-1
>

Вычислим ПАКФ бинарной последовательности Y относительно преобра-
преобразования yi = 2jc; -I. Согласно B.5.2)
-4 3R--
— 1
= 6R + l-12R+6R-2 = -l
Бинарная последовательность является максимально трансортогональной»
Существует 33 простых числа Р = 2и2 + 27, Р < 60000.
В тридцати полях GF(p) наименьший первообразный корень 6 = 3, что
является достаточным условием для К(з)=1. В трех полях GF(F), P = 1051,
1471,16927 наименьший первообразный корень 0 = 7- Причем в поле GjFA051)
КC) = 1, а в двух остальных полях КC) ф 1. Следовательно, РМ Холла в этих
полях по ПК F.6.3) построить нельзя.
В табл. 6.6.4 приведена таблица СРКВ для характеристик поля
р = 1471 и 16927.
Таблица СРКВ для Р = 2м2 + 27, КC)
Таблица 6.6.4
ЗДДбL^
S@,0)
S@,l)
S@,2)
S@,3)
0
«0
«2
Я2
1
«1
«1 + 1
«2+ 1
«2+2
2
«i + l
«2+1
«!
«2 + 2
3
«о
«i + l
«0
4
«2 + 2
«2+ 1
«2
5
«1 + 1
«2+l
«2 + 2
«2
Расчет, аналогичный проведенному выше, показал, что ПАКФ ДП относи-
относительно ПК F.6.3) трехуровневая. Но ПАКФ ДП относительно ПК F.6.5).
1, если К (i) = 0,1,4,
0, в остальных случаях.
F.6.5)
одноуровневая. Бинарная последовательность, соответствующая двоичной
ПСП, является максимально трансортогональной.
Таким образом, с помощью СРКВ нам удалось не только вновь «переотк-
«переоткрыть» последовательности Холла, но и расширить известное правило кодиро-
кодирования.
170

6.7. Выводы по результатам синтеза
По методике, разработанной в гл. 5, на основе СРКВ удалось синтезиро-
синтезировать:
¦ нерегулярные двоичные последовательности со свойством «не более
одного совпадения» и их ансамбли, а также ДП со свойством «не более
двух совпадений»;
¦ ряд регулярных правил формирования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ
и пик-фактором pf = 2, 4, 6, 8 без ограничений на величину периода;
¦ ряд регулярных правил формирования пар ДП с квазиодноуровневой
ПВКФ и пик-фактором pf = 4, 6, 8, 14 без ограничений на величину
периода;
¦ большое число ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и пар ДП с квазиодно-
квазиодноуровневой ПВКФ с пик-фактором 2 < pf < 14 и периодом Р < 60000;
¦ ансамбли двоичных последовательностей объемом свыше тысячи после-
последовательностей с максимальным уровнем боковых лепестков ПВКФ су-
существенно меньше Jr , где R — вес ДП;
¦ ряд регулярных правил формирования троичных полностью уравнове-
уравновешенных квазиортогональных последовательностей с пик-фактором
pf = 2 и 3 без ограничения на величину периода. Важной особенностью
этих ТП является квазиодноуровневая ПАКФ ДП, соответствующих ну-
нулевым символам ТП;
¦ большое число квазиортогональных ТП с периодом Р < 60000.
Показано, что все известные ПК ДП с одноуровневой ПАКФ, период ко-
которых — простое число, являются частными случаями синтезированных регу-
регулярных ПК ДП с квазиодноуровневой ПАКФ.
Привлекательной особенностью синтезированных ДП, ТП, БП и их ансам-
ансамблей является единое обобщенное правило кодирования D.1.1).
Все выше сказанное позволяет сделать обобщенный вывод — спектры
разности классов вычетов по простому модулю являются универсальным мате-
математическим аппаратом, позволяющим осуществлять синтез двоичных, троич-
троичных, бинарных последовательностей и их ансамблей.
Заключение
Первая часть монографии посвящена разработке:
¦ удобных для реализации на ВМ алгоритмов расчета глобального множе-
множества нормированных неприводимых (в том числе примитивных) полино-
полиномов над простыми и расширенными полями Галуа;
¦ математического аппарата, позволяющего осуществлять синтез широко-
широкого класса дискретно-кодированных (в том числе псевдослучайных)
последовательностей не посимвольно, а большими непересекающимися
«блоками»;
¦ методики синтеза наиболее востребованных двоичных, троичных, би-
бинарных последовательностей и их ансамблей с заданным ограничением
171

на их параметры (уровень боковых лепестков автокорреляционной и
взаимно-корреляционной функций, период, уравновешенность, пик-
фактор и др.) на основе единого обобщенного правила кодирования.
В рамках решения первой задачи разработаны:
¦ простые, легко реализуемые на ВМ алгоритмы расчета глобального
множества неприводимых полиномов второй и третьей степени над про-
простыми и расширенными полями Галуа;
¦ универсальные алгоритмы расчета глобального множества неприводи-
неприводимых полиномов произвольной степени над простыми полями Галуа GF(P)
и полями, полученными многократным расширением простого поля
GF{qn\ q = Р™;
¦ программы для ВМ, реализующие разработанные алгоритмы, способ-
способные за несколько минут рассчитать самые полные из известных в отече-
отечественной и зарубежной литературе таблицы неприводимых полиномов с
указанием корней и их периодов, на ВМ средней производительности.
Для решения второй задачи разработана теория спектров разности классов
вычетов. Доказанные леммы, теоремы, утверждения, следствия и свойства
представляют собой математический аппарат, который позволяет в качестве
«блоков» использовать классы вычетов по простому модулю
Р = dR + 1,
где R — число элементов в классе, ad — число классов.
На основе спектров разности классов вычетов разработаны методики син-
синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более Лт совпадений» и
их ансамблей, двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ и
ПВКФ, ансамблей двоичных последовательностей, объем которых равен d, a
уровень боковых лепестков в ансамбле не превышает VJR , троичных, бинарных
квазиортогональных последовательностей и их ансамблей.
В качестве иллюстрации возможностей предложенных методик, а также для
апробации пакета разработанных программ для ВМ, реализующих эти
методики, синтезированы:
1. Двоичные последовательности со свойством «не более одного совпаде-
совпадения», «не более двух совпадений» и их ансамбли с периодами Р < 1000.
2. Регулярные правила кодирования двоичных последовательностей с
периодом Р = 4R + 1, весом 2R, пик-фактором pf = 2 и двухуровневой
ПАКФ Я(т)= {R, R +1} или Х(т) = {R + г - 1, R - г}, pf = 2 . Значение г
может задаваться из ряда г = 0, 1, 2, 3, ... . Частным случаем этих ДП
являются последовательности квадратичных вычетов.
3. Регулярные правила кодирования двоичных последовательностей с
периодом Р = dR + 1, весом R, пик-фактором pf = d и двухуровневой
ПАКФ A(t)={A,A + ASw} для заданного ASm = 0, 1, 2, 3, ...:
¦ двоичные последовательности с периодом Р = 4R + 1, пик-факто-
пик-фактором pf =4 двухуровневой ПАКФ Я(т)={А,А + А5т}. Частным случа-
случаем синтезированных ДП являются последовательности, соответству-
соответствующие разностному множеству биквадратичных вычетов (A,SW=O),
биквадратичных вычетов и нуля (A5m = l);
172

¦ двоичные последовательности с периодом Р = 6d + 1, пик-фактором
pf = 6, двухуровневой ПАКФ Я(т) = {Я,Я + ASm};
¦ двоичные последовательности с периодом Р = 8R + 1, с пик-фактором
/?/ = 8, двухуровневой ПАКФ Я(т) = {Я,Я + А5т}. Частным случаем
синтезированных ДП являются последовательности, соответствующие
разностному множеству восьмеричных вычетов (ASm = О), восьмерич-
восьмеричных вычетов и нуля (ASm = l).
4. Регулярные правила кодирования пары двоичных последовательностей
XI и Х2 с одноуровневой и двухуровневой ПВКФ
Я(/Г \ JT 1 I А О I АО _ Г\ Л О О.
XI Х2 К ) ~ L ' 0 ^т }"> ^^ — "> ^? ?"> "^?
5. Несколько сот двоичных последовательностей с периодом Р < 60000,
пик-фактором pf = 6, 8, 10, 14, квазиодноуровневой ПАКФ
Я(т)=^Я,Я + А5у|, 0<ASj <ASm, ASm<9, —^-=>0,001.
R
6. Несколько сот пар двоичных последовательностей с периодом
Р => 60000, пик-фактором pf = 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,14, квазиодноуровневой
ПВКФ А(т)={А,А + Д5,}, 0<Д5; <A5w, ASw<9, ^-=>0,001.
R
7. Массивы ансамблей двоичных последовательностей с периодом
Р = dR + 1, объемами от нескольких десятков до нескольких тысяч
последовательностей, каждая из которых имеет вес R, а уровень боко-
боковых лепестков в ансамбле не превышает Vr и с увеличением объема
ансамбля падает до 0,4 V^R •
8. Регулярные правила кодирования полностью уравновешенных квазиор-
квазиортогональных троичных последовательностей с периодом Р = 4R + 1,
пик-фактором pf = 2, числом активных символов на периоде 2R, двуху-
двухуровневой ПАКФ г(т)= {г, — (г+ l)}, г = 0, 1, 2, 3,... Двоичная последова-
последовательность, соответствующая нулевым символам ТП, имеет квазиодноу-
квазиодноуровневую ПАКФ Х(т) = {R, R + 1} или А,(т) = {R + г - 1, R - г}.
9. Регулярные правила кодирования полностью уравновешенных квазиор-
квазиортогональных троичных последовательностей с периодом Р = 6R + 1,
пик-фактором pf = 3, числом активных символов на периоде 2R и двуху-
двухуровневой ПАКФ г(т)={г,-Bг + 1)}, г = 0, 1, 2, 3,... .
10. Регулярное правило кодирования ансамбля из полностью уравновешен-
уравновешенных троичных последовательностей с периодом Р = 3R + 1, пик-
фактором pf = 1,5 , числом активных символов на периоде 2R и мини-
минимаксным уровнем боковых лепестков в ансамбле (гтах )пш = 0,7 V2R".
11. Расширение правила кодирования бинарных последовательностей Холла.
Приведенный перечень результатов синтеза убедительно свидетельству-
свидетельствует об универсальности математического аппарата спектров разности классов
вычетов. Он одинаково продуктивен для синтеза и двоичных, и троичных, и
бинарных последовательностей, а также их ансамблей. Разработанные мето-^
дики, алгоритмы и пакет программ для ВМ позволяют синтезировать диск-
173

ретно-кодированные последовательности, в том числе псевдослучайные пос-
последовательности, для шумоподобных сигналов с достаточно большим для
практических применений периодом (длиной) и ансамблей с достаточно боль-
большими объемами.
Следует заметить, что в силу взаимосвязи АКФ периодических и импуль-
импульсных последовательностей все результаты, полученные для двоичных периоди-
периодических последовательностей, естественным образом распространяются на дво-
двоичные импульсные последовательности.
Значимость полученных результатов существенно возрастет, если напом-
напомнить сделанный выше вывод о том, что за последние тридцать лет ни в оте-
отечественной, ни в зарубежной научно-технической литературе и научно-пери-
научно-периодических журналах не было ни одной публикации о новом регулярном
правиле кодирования двоичных, троичных, бинарных последовательностей
и их ансамблей.
174

Часть II. СИНТЕЗ СИГНАЛОВ
С ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫМ
ЗАКОНОМ АМПЛИТУДНО-
ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИИ
И МЕТОДЫ ИХ ОБРАБОТКИ
В РЛС С КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫМ
РЕЖИМОМ РАБОТЫ
ВВЕДЕНИЕ
Повышение тактико-технических характеристик радиолокационных систем
со сложным зондирующим сигналом, производящих обработку эхо-сигналов с
высоким разрешением в большом диапазоне задержек и в широкой доплеров-
ской полосе частот, является в настоящее время одной из важнейших задач [94,
36].
Основные характеристики радиолокационных систем улучшаются с увели-
увеличением базы сложных зондирующих сигналов. Когда возможности расширения
спектра сигнала ограничены, то увеличение базы сигнала возможно лишь за
счет увеличения его длительности. Однако, при больших длительностях зонди-
зондирующих сигналов, значительно превышающих время распространения эхо-
сигналов до цели и обратно, возникают проблемы, связанные с излучением и
приемом на одну антенну [34, 102, 104, 127]. На решение этих проблем были
ориентированы исследования, проводимые на кафедре «Радиооборудование
кораблей» ЛЭТИ под научным руководством профессора В. Й. Винокурова. Им
внесен существенный вклад в развитие теории и практики построения корабель-
корабельных РЛС с квазинепрерывным режимом излучения и приема сложных зондиру-
зондирующих сигналов большой длительности. Основные результаты по исследованию
квазинепрерывного режима излучения, приема и обработки сложных сигналов
с большой базой изложены в книге «Морская радиолокация» под редакцией
B.R Винокурова [79].
Важные научно-практические результаты по исследованию квазинепрерыв-
квазинепрерывного режима работы РЛС были получены сотрудниками отраслевой научно-
исследовательской лаборатории «Морская радиолокация» Новгородского
политехнического института под научным руководством В. Е. Гантмахера. Тео-
Теоретические и экспериментальные исследования проводились в тесном контак-
контакте с коллективом кафедры «Радиооборудование кораблей» ЛЭТИ. Сотрудника-
Сотрудниками этих коллективов был исследован квазинепрерывный режим излучения и
приема фазоманипулированных сигналов большой длительности, при котором
коммутация приемно-передающего тракта производилась сигналами с псевдо-
175

случайной структурой [65, 82, 83]. В этом случае зондирующий сигнал излучался
фазоманипулированными импульсами с малой длительностью, а их интервал
следования был значительно меньше диапазона задержек эхо-сигналов. Прием
эхо-сигналов осуществлялся в паузах работы передатчика. Малая длительность
излучаемых посылок позволила преодолеть проблемы обнаружения эхо-сигна-
эхо-сигналов в ближней зоне, а псевдослучайный характер сигналов коммутации —
исключить «слепые» элементы дистанции. При длительностях квазинепрерыв-
квазинепрерывных сигналов Тс ~ 10...50 мсек с шириной спектра AF = 10...20 МГц их база до-
достигает значений # = 1О5...1О6.
Многие технические решения квазинепрерывного режима работы РЛС
защищены авторскими свидетельствами [31, 32, 33].
Отразим характерные особенности квазинепрерывного режима излучения
и приема сигналов с псевдослучайным законом амплитудно-фазовой манипуля-
манипуляции. При коммутации приемно-передающего тракта сигналами с псевдослучай-
псевдослучайной структурой неизбежны энергетические потери при обработке сигналов.
Проблемы выбора сигналов коммутации определяются противоречивостью
требований к их характеристикам с точки зрения минимизации энергетических
потерь и недопустимости слепых элементов дистанции, однозначности измере-
измерения доплеровской частоты и повышения эффективности селекции движущих-
движущихся целей. По этой причине многие годы усилия разработчиков радиолокацион-
радиолокационных систем были направлены на отыскание конкретных методов построения
квазинепрерывных сигналов. Наибольшее распространение получили комбини-
комбинированные квазинепрерывные сигналы, построение которых основано на посим-
посимвольном умножении двоичных последовательностей, определяющих структуру
амплитудной манипуляции, и бинарных последовательностей, задающих закон
фазовой манипуляции. Результаты исследований спектрально-корреляционных
свойств квазинепрерывных комбинированных сигналов изложены в работах [35,
38, 39, 44, 79]. К сожалению, приведенные результаты не дают полной характе-
характеристики взаимных функции неопределенности (ВФН) составных сигналов при
квазинепрерывном режиме их излучения и приема. Требуется детальный анализ
характеристик ВФН в зависимости от параметров квазинепрерывных сигналов.
Повышение помехоустойчивости при воздействии пассивных отражений
неразрывно связано с минимизацией боковых лепестков (БЛ) ВФН сигналов с
учетом квазинепрерывного режима их излучения и приема. Проблема синтеза
квазинепрерывных сигналов с низким уровнем боковых лепестков ВФН связа-
связана с зависимостью структуры обрабатываемых сигналов от их задержки.
Возможности известных методов синтеза амплитудно-фазоманипулированных
сигналов ограничиваются длиной N «103 [4, 22, 25, 60]. Поэтому говорить о се-
серьезных перспективах заметного продвижения в область больших значений
длин в рамках прямых методов синтеза амплитудно-фазоманипулированных
сигналов не приходится.
При квазинепрерывном режиме излучения и приема сигналов с большой
базой уместно рассматривать их обработку в ограниченном диапазоне задержек
по отношению к длительности сигнала. В связи с этим очевидна актуальность
исследований, связанных с поисками новых подходов к методам синтеза
сигналов, позволяющих минимизировать уровень боковых лепестков ФН в ог-
ограниченном диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты.
176

По мере повышения требований к тактико-техническим характеристикам
радиолокационных систем возрастали и требования к устройствам обработки
сигналов [99]. Когда разрешение по дальности составляет единицы метров, а
разрешение по частоте — десятки герц, то число корреляционных каналов
обработки превышает несколько миллионов. В связи с этим даже на современ-
современном уровне развития цифровой техники реализация многоканальных устройств
обработки вызывает большие трудности [113].
Таким образом, повышение тактико-технических характеристик РЛС с
квазинепрерывным режимом излучения и приема сложных сигналов с большой
базой связано с решением следующих задач.
1. Установление взаимосвязи качественных показателей помехоустойчи-
помехоустойчивости со среднестатистическими характеристиками ВФН квазинепре-
квазинепрерывных сигналов с псевдослучайным законом амплитудно-фазовой ма-
манипуляции.
2. Изыскание методов синтеза амплитудно-фазоманипулированных сигна-
сигналов с низким уровнем боковых лепестков ФН в ограниченном диапазо-
диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты.
3. Поиск и исследование эффективных методов корреляционно-фильтро-
корреляционно-фильтровой обработки сигналов в ограниченном диапазоне доплеровских сдви-
сдвигов частоты.
4. Исследование адаптивных алгоритмов временной режекции мощных
сосредоточенных помех и анализ их эффективности при различных
параметрах квазинепрерывного сигнала.
Вторая часть монографии посвящена исследованию и решению поставлен-
поставленных задач.
В главе 1 анализируются среднестатистические характеристики ВФН сиг-
сигналов при квазинепрерывной обработке, и на их основе производится анализ
помехоустойчивости.
В главе 2 предлагаются методы синтеза амплитудно-фазоманипулирован-
ных сигналов с большой базой, позволяющие при согласованной обработке
минимизировать уровень боковых лепестков ФН в ограниченном диапазоне
задержек и доплеровских сдвигов частоты.
В главе 3 исследуются квазиоптимальные методы обработки сигналов боль-
большой длительности в ограниченном дальностно-доплеровском диапазоне.
Оцениваются потери в отношении сигнал/шум.
В главе 4 предлагается адаптивный алгоритм временной режекции помех и
исследуется его эффективность при различных параметрах квазинепрерывно-
квазинепрерывного сигнала и помеховой обстановки.
В заключении приводятся выводы по результатам исследований.
177

Глава 1
АНАЛИЗ КВАЗИНЕПРЕРЫВНОГО РЕЖИМА
ИЗЛУЧЕНИЯ И ПРИЕМА СИГНАЛОВ
С ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫМ ЗАКОНОМ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИИ
Важным достоинством квазинепрерывных сигналов с регулярным перио-
периодом повторения фазоманипулированных импульсов является наличие диапа-
диапазона задержек, в котором эхо-сигнал принимается без энергетических потерь.
Однако при достаточно большой длительности излучаемых импульсов могут
возникать проблемы обнаружения эхо-сигналов с малой величиной задержки.
Основным недостатком квазинепрерывных сигналов с регулярной структурой
повторения импульсов является ограниченный диапазон однозначного изме-
измерения доплеровской частоты. Расширение диапазона достигается при увели-
увеличении частоты излучаемых импульсов. Однако это может привести к возник-
возникновению «слепых» элементов дистанции. Для устранения неоднозначности
измерения доплеровской частоты в большом диапазоне и исключения «сле-
«слепых» элементов дистанции необходимо в различных циклах зондирования ва-
варьировать длительностями и интервалами излучения фазоманипулированных
импульсов [65, 66, 79]. Многоэтапная процедура обработки приводит к сниже-
снижению времени когерентной обработки сигналов и темпа выдачи радиолокаци-
радиолокационной информации. При одновременном измерении параметров нескольких
целей значительно падает и эффективность алгоритмов многоэтапной обра-
обработки сигналов, что приводит к снижению достоверности получаемой радио-
радиолокационной информации. В связи с этим особый интерес представляют фа-
зоманипулированные квазинепрерывные сигналы с псевдослучайным законом
амплитудной манипуляции, ориентированные на устранение указанных недо-
недостатков [35, 79].
Для определенности будем полагать, что обработка квазинепрерывных
сигналов производится многоканальным по дальности и частоте корреляцион-
корреляционным устройством. Коммутация приемного тракта РЛС приводит к возникнове-
возникновению энергетических потерь. Поэтому корреляционную обработку сигналов при
квазинепрерывном режиме излучения и приема следует считать квазисогласо-
квазисогласованной обработкой. В дальнейшем под термином «квазинепрерывная обработ-
обработка» будем понимать корреляционную обработку сигнала, прошедшего комму-
коммутируемый приемный тракт РЛС.
Эффективность квазинепрерывной обработки оценивается по двум пока-
показателям. Первый показатель характеризует потери в отношении сигнал/шум.
Вторым показателем является среднеквадратический уровень боковых лепест-
лепестков ВФН сигналов, определяющий потенциальную помехоустойчивость при
воздействии пассивных отражений.
В связи с этим возникает необходимость решения следующих задач.
1. Установление зависимости энергетических потерь от параметров сигна-
сигналов коммутации приемно-передающего тракта РЛС.
178

2. Исследование свойств и характеристик ВФН квазинепрерывных сигналов
с псевдослучайным законом амплитудно-фазовой манипуляции.
3. Анализ потерь в помехоустойчивости при квазинепрерывной обработ-
обработке сигналов по сравнению с согласованной обработкой.
1.1. Математическая модель
квазинепрерывной обработки сигналов
Примем, что комплексная огибающая зондирующего сигнала Sw(t) дли-
длительностью Тс описывается модулирующей последовательностью W = {w/},
значения символов которой wt е { 0, ±1 } задают закон амплитудно-фазовой
манипуляции несущей частоты. Тогда квазинепрерывный сигнал с амплитудно-
фазовой манипуляцией можно представить в виде:
~ N-1
/=-оо/=0
где* и (t~i'A ) = < ~ — элементарный радиоимпульс
[О, в остальных случаях с прямоугольной огибающей;
N = Тс /А — длина (период) модулирующей последовательности W.
Если двоичная последовательность X ={*,.} удовлетворяет условию
Xj = wt\, xtey, I/, i = 0, 1, ... , N-1, то дискретный сигнал коммутации пере-
передающего тракта может быть описан выражением:
V)- А), A.1.2)
где: мЛ(г) — комплексная огибающая прямоугольного видеоимпульса длитель-
длительностью А.
Дискретный сигнал коммутации приемного тракта по своему виду не отли-
отличается от A.1.2):
Kt 'Ux(t-(i + l-N)-A), A.1.3)
/=-оо/=0
где: X = \Xi\, XiE\ 0, 1/, xt =1-^ —инверсная двоичная последовательность.
179

Будем полагать, что сигналы, отраженные от точечных целей, имеют времен-
временную задержку rs=s-A,s = l, 2... и доплеровский сдвиг частоты Fv = v/\N• л),
v = 0, ±1, ±2.... Тогда, с точностью до постоянного множителя, комплексную оги-
огибающую отраженного сигнала можно описать выражением:
Я V}[ I A-1.4)
Как уже отмечалось, отраженный сигнал Somp(t,rs,Fv) проходит коммути-
коммутируемый приемный тракт и поступает на устройство корреляционной обработ-
обработки. Поэтому комплексная огибающая обрабатываемого сигнала зависит от
структуры сигнала коммутации приемного тракта S-(t) A.1.3) и имеет вид:
^ A.1.5)
Исследование потенциальных характеристик радиолокационных систем,
таких, как достоверность обнаружения, разрешение и помехоустойчивость,
традиционно выполняется для идеализированной точечной цели. В этом случае
согласованной обработкой, оптимальной при приеме сигналов на фоне белого
шума, будем считать алгоритмы, основанные на вычислении модуля
корреляционного интеграла [4, 21, 34, 102,127].
Предметом дальнейшего изложения будет вопрос о математической модели
описания функции неопределенности сигналов при квазинепрерывной обработ-
обработке.
Пусть {тг, Fv} — частотно-временное пространство, в котором определены
представляющие для нас интерес обнаруживаемые сигналы. Тогда многока-
многоканальное устройство обработки должно обеспечивать выполнение операции
корреляции принимаемого сигнала A.1.5) с опорными сигналами Son(t,rc,Fv),
настроенными на частотно-временные параметры тс = с-А и Fv = v/{N• А):
A.1.6)
Используя комплексное описание обрабатываемых сигналов в форме A.1.5)
и A.1.6), можно показать, что частотно-временная функция отклика
многоканального корреляционного устройства будет иметь вид [60, НО]:
J,Ts,Fv)-So,Xt,T(,Fv)dt = B0@,Fv~Fv)-R(c,v), A.1.7)
о
А
1
где: #0@, Fv-Fv) - — J exp(-j • In • (Fv - Fv )-t)dt — отклик устройства обработки
на воздействие элементарного импульса uo(t);
180

i ^—^ A.1.8)
— дискретная функция отклика многоканальной корреляционной системы на
сигнал с задержкой ts = s • А и частотным сдвигом Fu = v/(N-A) .
Выразим модуль дискретной функции отклика A.1.8) через относительные
задержки т - \с - s\ и доплеровские сдвиги частоты к = \v - vl:
( .
'Wi-m *exp\-j
-exp -; — \-2jWi-Xi+c ^/-«-exd -7 — I A.1.9)
Полученное выражение A.1.9) характеризует модуль ВФН в с-том дально-
дальномерном канале при квазинепрерывной обработке сигналов. Можно видеть, что
уменьшаемое в A.1.9) описывает ФН при согласованной обработке, а вычита-
вычитаемое отражает суть ее модификации при квазинепрерывной обработке. В каж-
каждом дальномерном канале ВФН будет иметь индивидуальные характеристики
и поэтому при квазинепрерывной обработке сигналов следует анализировать
величину боковых лепестков для целого семейства ВФН и по ним оценивать
предел достижимой помехоустойчивости и потенциального разрешения.
1.2. Энергетическая функция приема
квазинепрерывных сигналов
Будем полагать, что двоичная последовательность X ={ xtj, задающая
закон коммутации передающего тракта РЛС, обладает корреляционной функ-
функцией вида
fc' \ К, т = 0
r» = Iv^ = JAWB,0, A.2.1)
где: К — главный пик, который определяется числом единичных символов на
длине N последовательности; Л(т) — уровень бокового лепестка, характери-
характеризующий число совпадений единичных символов в исходной и сдвинутой после-
последовательности на т символов.
Для анализа потерь введем в рассмотрение энергетическую функцию при-
приема квазинепрерывных сигналов:
N-l N-1
V4 I2 ~ I I2 V
где: Ео — энергия элементарного'импульса зондирующего сигнала.
181

Вид энергетической функции приема, характерный для сигналов коммута-
коммутации с псевдослучайной структурой, представлен на рис. 1.2.1.
О 64
Рис. 1.2.1. Характерный вид энергетической функции приема сигналов
128
с
256
Если эхо-сигнал обладает нулевой задержкой распространения (s = 0), то
значение энергетической функции приема во всех корреляционных каналах
обработки равно нулю, Л(с, 0) = 0. Ясно, что описанная ситуация соответствует
полной временной развязке в работе приемопередатчика.
Определим основные характеристики введенной функции A.2.2) и устано-
установим их взаимосвязь с параметрами сигналов коммутации приемно-передающего
тракта PJIC.
Если задержка эхо-сигнала «согласована» с номером дальномерного канала
обработки (у = с), то энергетическая функция устанавливает коэффициент
приема полезных сигналов в дальномерных каналах обработки [40, 35, 79]:
К
К
К
A.2.3)
Как следует из A.2.3), числитель выражения характеризует величину при-
принимаемой энергии полезных сигналов в с-том дальномерном канале обработки.
Зависимость коэффициента приема полезных сигналов Ап(с) отображается
гребнем на поверхности энергетической функции приема сигналов (рис. 1.2.1).
Вид этой зависимости приведен на рис. 1.2.2.
Как видно, каждый дальномерный канал характеризуется своим значени-
значением коэффициента приема сигналов. Выразим среднее значение коэффициента
приема An полезных сигналов:
Ап~~
N-l
Pf
A.2.4)
182

О 64 128 192 с
Рис. 1.2.2. Коэффициент приема сигналов в дальномерных каналах обработки
Можно видеть, что средний коэффициент приема полезных сигналов зави-
зависит только от пик-фактора pf = N/K квазинепрерывного сигнала.
Если задержка эхо-сигнала не равна задержке полезного сигнала (s Ф с Ф 0),
то энергетическая функция определяет коэффициент наложения (совпадения
во времени) полезного сигнала и мешающего отражения [40, 35]. Учитывая в
выражении A.2.2), что xi =l-xn получим:
A.2.5)
К
К
где: X(c,s) и X(c,s) — функции корреляции двоичной последовательности X.
Зависимости коэффициента наложения сигналов в с-том дальномерном
канале характеризуются сечениями энергетической функции приема вдоль оси
задержек s эхо-сигналов. Характерный вид коэффициента наложения сигналов
приведен на рис. 1.2.3 (сплошная линия для 64-го и пунктирная — для 128-го
дальномерного канала).
О 64 128 192 s
Рис. 1.2.3. Коэффициент наложения сигналов
183

Как видно, каждый дальномерный канал обладает индивидуальными зави-
зависимостями коэффициента наложения сигналов. Среднее значение коэффициен-
коэффициента наложения сигналов в с-том дальномерном канале обработки определяется
соотношением:
—/ ч 1 v?A М К-Л(с) К-\ Лп(с) „п^ч
Ли(с)=7 г- УЛн (s) = ^ «—^. A.2.6)
V ; (N-2) ,Т * W-2 pf
s*0,c
Используя выражение A.2.4), можно получить усредненный по всем даль-
номерным каналам обработки коэффициент наложения сигналов
\ A.2.7)
pf у pf) pf
Следует отметить, что средний коэффициент наложения сигналов Ли в/?/
раз ниже среднего значения An коэффициента приема сигналов.
Таким образом, энергетическая функция приема сигналов позволяет про-
производить сравнение различных законов коммутации приемно-передающего
тракта. Как будет показано ниже, именно коэффициенты приема и наложения
сигналов отражают потери в помехоустойчивости при квазинепрерывной обра-
обработке сигналов. Максимизация величины принятой энергии полезного сигнала
и минимизация степени наложения сигналов при квазинепрерывном режиме
излучения и приема связана с оптимизацией корреляционных свойств сигналов
коммутации PJIC.
1.3. Основные свойства
и характеристики ВФН сигналов
Величина боковых лепестков ВФН при квазинепрерывной обработке сиг-
сигналов определяет предел достижимой помехоустойчивости и статистического
разрешения. В связи с этим необходимо установить среднестатистический уро-
уровень боковых лепестков в характерных сечениях ВФН, а также в плоскости
«задержка-частота» и сравнить полученные характеристики с аналогичными
оценками ФН сигнала при согласованной обработке. Эти вопросы и будут пред-
предметом рассмотрения настоящего раздела.
Рассмотрим нормированную ВФН A.1.9) в с-том дальномерном канале:
42
) =
К
V
271'k'if
N
, A.3.1)
|
где: Ml =y^|w/| =J^ — «энергия» последовательности W на периоде N.
/=o
184

Определим величину главного пика ВФН:
[К — л(с)\ / V2 /1 а о\
~ jL^L^ = An{c), A.3.2)
Поскольку коэффициент приема Ап(с)< 1, то при квазинепрерывной обра-
обработке возникают потери в основном лепестке ВФН.
Определим полный объем ВФН над плоскостью «задержка-частота»:
=-N/2 Л w=0 i=0
A.3.3)
Как следует из выражения A.3.3), полный объем ВФН при квазинепрерыв-
квазинепрерывной обработке сигналов зависит от коэффициента приема сигнала Ап(с) в даль-
номерном канале и меньше классического значения, равного N, при согласо-
согласованной обработке [60].
Полученное выражение A.3.3), позволяет дать оценку относительного
среднеквадратического уровня боковых лепестков ВФН в плоскости «задерж-
«задержка-частота»:
= \N-An{c)-An(cf 1 1_ „„,,
~' (L3-4)
Приведенное соотношение A.3.4) устанавливает нижнюю границу боковых
лепестков ВФН, которая выше традиционной оценки l/J~N при согласованной
обработке и определяется коэффициентом приема сигналов в с-том
дальномерном канале обработки.
Рассмотрим сечение ВФН плоскостью т = 0, которое характеризует спо-
способность системы обнаруживать и разрешать сигналы с одинаковой задержкой,
но с различным доплеровским сдвигом частоты. В дальнейшем данное сечение
будем называть доплеровским сечением ВФН.
Определим интегральный уровень боковых лепестков в доплеровском се-
сечении ВФН:
^^) pfMc). A-3.5)
Используя полученное выражение A.3.5), можно получить оценку средне-
среднеквадратического уровня боковых лепестков в этом сечении:
(л \Удс{)ХсЩ _ lpf-An(c)-An(cf _
дсК) i? i ~
185

Как следует из A.3.6), уровень боковых лепестков в доплеровском сечении
ВФН зависит от значения коэффициента приема сигналов Ап(с) и выше, чем во
всей дальностно-доплеровской плоскости в пик-фактор раз.
Для сравнения определим интегральный уровень боковых лепестков в
частотном сечении ВФН при тФО:
(m4kf = N Л(^т)-^М__р/ Л;;с(ш). (L3.7)
k=-N/2 & &
Из приведенного выражения A.3.7) видно, что в отличие от A.3.5) интег-
интегральный уровень боковых лепестков ВФН в произвольном частотном сечении
определяется коэффициентом наложения сигналов Анс(т) A.2.5). Если в выра-
выражении A.3.7) использовать среднее значение коэффициента наложения.A.2.6),
то можно получить следующую оценку боковых лепестков:
Сопоставляя A.3.8) с A.3.4), можно заметить, что среднеквадратический
уровень боковых лепестков в любом частотном сечении практически не отли-
отличается от уровня боковых лепестков ВФН на всей плоскости.
Установим среднеквадратическую оценку боковых лепестков ВФН в ограни-
ограниченной области плоскости «задержка-частота»: те [1; TV-lJ, ke[-N/2;+N/2].
Для этого выразим объем ВФН в этой области, как разность полного объема A.3.3)
и его значения в доплеровском сечении ВФН A.3.5):
N-l N/2
л\г I/" I ~ > > *У \ т к i -~~ IIf \f* I — )// \p I — I Л/ и f' |. \.Yi\r 1 ( i ^ Q i
i FIJI V / / j z j Лус V ' / ~~ t FIJI V / > ДС V / V JrJ / V / * V " " /
m=l k=-N/2
Используя полученное выражение A.3.9), получаем оценку среднеквадра-
тического уровня боковых лепестков ВФН в ограниченной области плоскости
«задержка-частота»:
1 1
( }
Как следует из выражения A.3.10), коэффициент приема Ап(с) характери-
характеризует степень увеличения среднеквадратического уровня боковых лепестков
ВФН в ограниченной дальностно-доплеровской области по сравнению с согла-
согласованной обработкой.
Таким образом, полученные оценки нижних границ боковых лепестков как
в сечениях ВФН, так и плоскости «задержка-частота» отличаются от классичес-
классических оценок, приведенных в работах [57, 77, 81], на величину коэффициента
приема сигналов в дальномерных каналах обработки. Основной особенностью
ВФН является доплеровское сечение, в котором уровень боковых лепестков
выше в пик-фактор раз, чем во всей плоскости «задержка-частота».
186

1.4. Потери помехоустойчивости
при квазинепрерывной обработке
Задачей настоящего раздела является оценка потерь в помехоустойчивос-
помехоустойчивости при квазинепрерывной обработке по отношению к согласованной обработ-
обработке в зависимости от параметров квазинепрерывных сигналов.
Рассмотрим обнаружение полезного сигнала на фоне шума, когда пассив-
пассивными помехами можно пренебречь.
Определим отношение сигнал/шум q2Ke (с) на выходе с-го дальномерного
канала обработки. Учитывая A.3.2), получим:
где: с — номер дальномерного корреляционного канала обработки;
рс° — мощность сигнала на входе корреляционного устройства обработки;
РС1 — мощность сигнала на выходе корреляционного устройства обра-
обработки;
Рш° — мощность шума в приемном тракте обработки;
Рш1 — мощность шума на выходе корреляционного устройства обработки;
Яс/ш — отношение сигнал/шум на входе устройства обработки.
Как можно видеть из выражения A.4.1), отношение сигнал/шум на выходе даль-
дальномерного канала обработки зависит от коэффициента приема сигналов Ап(с).
Оценим усредненное по всем дальномерным каналам отношение сигнал/шум.
С учетом среднего коэффициента приема сигналов A.2.4) получим:
д1=Я?/ш-К.1? = д$ш.К.?-^. A.4.2)
Таким образом, средние потери в отношении сигнал/шум при квазинепре-
квазинепрерывной обработке по сравнению с согласованной обработкой определяются
только пик-фактором квазинепрерывного сигнала:
-т— Л2 — nf_i I
A.4.3)
i спи 2 г
Чсогл Pf
Рассмотрим обнаружение полезного сигнала, когда мощность пассивных
помех значительно превосходит уровень собственных шумов, а мешающие
отражения имеют равномерную интенсивность в диапазоне задержек т е AM,
AM = [-М; +М] и полосе частот к е AV, AV = [-F; +V]. Протяженность меша-
мешающих отражений по задержке и частоте будем характеризовать площадью об-
области распределения помех
а = Ar-AF = BМ +l)-BV4l)/W . A.4.4)
187

В этом случае основное влияние на помехоустойчивость оказывают боко-
боковые лепестки ВФН сигнала. Поэтому количественной оценкой отношения сиг-
сигнал/помеха может служить величина [99,104]:
2 () Рс* Рс° КИ
яЛс) 77 7v^ а, ^- AА5)
где: Рл° — средняя мощность мешающих отражений на входе устройства обра-
обработки с учетом пик-фактора квазинепрерывного сигнала;
Рп1 — мощность помех на выходе корреляционного устройства обработки.
Поскольку при квазинепрерывной обработке сигналов взаимная функция
неопределенности в каждом дальномерном канале обладает своими характери-
характеристиками, то и отношение сигнал/помеха в каналах будет различаться.
Определим мощность помехи, когда частотно-временные параметры поме-
помехи совпадают с параметрами обнаруживаемого сигнала (мощность помех по
главному пику ВФН). Принимая во внимание выражение A.3.2), получим:
Рпхт{с)= Рп° -\Rc@,0f = Рп° К2 .Ап(сJ. A.4.6)
Оценим мощность помех, когда отражения локализованы по задержке и
распределены равномерно по частоте относительно обнаруживаемого сигнала
(мощность помех по боковым лепесткам ВФН в доплеровском сечении). В этом
случае, используя оценку A.3.6) среднеквадратического уровня боковых
лепестков в доплеровском сечении ВФН, придем к выражению
Рп1дс(с)=Рп°- ?K((Uf =Pn°.{2V)-K2.An(c)-pf/N. A.4.7)
пдс
k=-V
Если воспользоваться выражением A.3.10), то можно получить оценку
мощности помех по боковым лепесткам ВФН в ограниченном дальностно-доп-
леровском диапазоне:
^\Rc(m,kf=Pn°-BV+l)i2M+l).K2.An(c)/N. A.4.8)
Тогда отношение сигнал/помеха на выходе с-го канала обработки с учетом
выражений A.4.6), A.4.7) и A.4.8) можно представить в виде:
2 / \_ о Ап(с) о Лл(с)
где: q°cin = Рс° (с)/Рп° (с) — отношение сигнал/помеха по входу устройства обра-
обработки с учетом пик-фактора.
188

Приведенное выражение позволяет дать оценку потерь в отношении сиг-
сигнал/помеха при квазинепрерывной обработке по сравнению с согласованной
обработкой
1 4L ~ Ли(с)+а  + ст/Ли(с)- VA-W>
Как следует из выражения A.4.10), потери в отношении сигнал/помеха
полностью определяются коэффициентом приема сигналов. Оценим величину
потерь в отношении сигнал/помеха, усредненную по всем дальномерным
каналам. Учитывая в A.4.10), выражение A.2.4) среднего значения коэффици-
коэффициента приема сигналов, получим:
у2 -
Тс/п ~
1+СТ
Чсогл
1 + о/лГп l+a.pf/{pf-l)- AA11>
Таким образом, средний коэффициент приема An = (pf-l)/pf эхо-сигна-
эхо-сигналов однозначно определяет потери в отношении сигнал/помеха при квазинеп-
квазинепрерывной обработке.
Произведем анализ потерь в помехоустойчивости для некоторых типов
сигналов коммутации с псевдослучайной структурой, построенных на основе
разностных множеств (РМ). Характеристики d(nd,Kd,Xd) широко известных
РМ представлены в табл. 1.4.1 [119, 97].
Характеристики разностных множеств
Таблица 1.4.1
1
2
3
4
ТипРМ
Адамара (АРМ)
Биквадратичных
вычетов (БРМ)
Восьмеричных
вычетов (ВРМ)
Зингера (ЗРМ)
Характеристики разностного множества
ND = Bn-\),
п — целое
а — нечетно
ND = 8д2 + 1 =
= Ш2 + 9,
а, Ь — нечетные
ND = (p"-l)/(p-\),
р — простое
KD = (ND-\)I2
KD = (ND+3)/4
KD = (ND-\)I%
KD = (p"-}-\)/(p-l)
AD=(ND-3)/4
AD=(ND + 3)/l6
AD=(ND-9)/64
AD = (p"-2-l)/(p-\)
Поскольку рассматриваемые типы двоичных последовательностей характе-
характеризуются корреляционными функциями вида A.2.1), то энергетическая функ-
функция приема эхо-сигналов имеет практически гладкую поверхность с малыми
флюктуациями. Проявление флюктуации вызвано отличием периода Nx = ND
двоичной последовательности X от значения длины N модулирующей после-
последовательности W.
Используя характеристики разностных множеств d(nd,Kd,Ad) из табл. 1.4.1
и полученное выражение A.4.4), можно привести численные значения потерь в
отношении сигнал/шум. Результаты расчета этих потерь приведены в табл. 1.4.2.
189

Таблица 1.4.2
ТипРМ
Показатели
Лл
У фи > (ДБ)
АРМ
Phi
0.5
3
Потери
БРМ
р№
0.75
1.25
в отношении сигнал/шум
ВРМ
р№
0.875
0.58
ЗРМ
р/=з
0.66
1.8
Pf=5
0.8
0.97
Phi
0.86
0.65
pf=n
0.91
0.41
Приведенные значения потерь в отношении сигнал/шум дают основание
считать, что коды Зингера с пик-фактором/?/ =5, 7 и 11 являются предпочти-
предпочтительными для построения сигналов коммутации приемно-передающего тракта
PJ1C с квазинепрерывным режимом работы.
Перейдем к анализу_потерь в отношении сигнал/помеха. Потери в отно-
отношении сигнал/помеха Уф зависят от размера а области воздействия пассив-
пассивных помех и пик-фактора pf сигнала коммутации. На рис. 1.4.2 приведены гра-
графики зависимости потерь в отношении сигнал/помеха от пик-фактора pf
сигналов коммутации, когда параметром зависимостей является площадь об-
области помех а.
~2
/
А
у'
^—-
о=10
с
.
7=1
—
J
= 0.1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 pf
Рис. 1.4.2. Потери в отношении сигнал/помеха
Как следует из приведенных зависимостей, при а = 10 потери в отношении
сигнал/помеха лежат в диапазоне от 3 дБ до 0.4 дБ с ростом пик-фактора квази-
квазинепрерывных сигналов с 2 до И. При уменьшении области помех а в 10 раз по-
потери составляют от 1.7 дБ до 0.2 дБ. Для площади области помех а = 0.1 потери
не превышают 0.3 дБ в том же диапазоне изменения пик-фактора сигнала.
Таким образом, относительно малые потери в помехоустойчивости по от-
отношению к согласованной обработке свидетельствуют о целесообразности
применения фазоманипулированных сигналов с псевдослучайной амплитудной
манипуляцией при квазинепрерывном режиме их излучения и приема.
190

1.5. Анализ ВФН составных
амплитудно-фазоманипулированных сигналов
при квазинепрерывной обработке
Задачей настоящего раздела является исследование свойств и характерис-
характеристик ВФН составных амплитудно-фазоманипулированных сигналов в зависимо-
зависимости от их параметров при квазинепрерывной обработке.
В общем случае правило построение составных модулирующих последо-
последовательностей VK = {wJ, WjE JO, ±l}, i = 0... N-1 амплитудно-фазоманипулиро-
ванных сигналов задается выражением
и основано на посимвольном умножении бинарных последовательностей пери-
периода Nz, задающих закон фазовой Z = ^,,iNA, zf. е{-1, +1/, и двоичных последо-
последовательностей периода Nx , определяющих закон амплитудной манипуляции
X~Y(iNx)l> xte& l}, где: (i,N*) = i mod N* —означает остаток от деления.
Символы модулирующей последовательности {и/,-} связаны с символами двоич-
двоичной последовательности {xt} зависимостью: Ц^х,-, / = 0 ... N-1.
Поскольку время коммутации приемно-передающего тракта РЛС, как пра-
правило, больше длительности дискрета А фазовой манипуляции, то необходимо
установить минимально допустимую длительность дискрета амплитудной мани-
манипуляции квазинепрерывного сигнала: Ах = цх • А, /лх = 1, 2,... — целое число. В
практических случаях, для сигналов с высокой разрешающей способностью по
задержке E м ...15 м) коэффициент растяжки jux = Ах/А достигает значений
pix=$...l6. При снижении требований к разрешающей способности, как
правило, понижается и коэффициент растяжки.
Построение двоичной последовательности, задающей закон амплитудной
манипуляции квазинепрерывного сигнала, производится по правилу:
х,=и , i = 0... ^-1, A.5.2)
где: ип е { 0, 1 } — базовая двоичная последовательность периода ND;
lif^x J — означает целую часть от деления;
Nx = jux-ND — период двоичной последовательности, выраженный в диск-
дискретах А.
Построение базовой двоичной последовательности, основанное на РМ,
заключается в следующем:
II, если пе D
0Dn=Ql>"N»-1 (!53)
191

В качестве последовательностей Z = { Z/iN.\), zt e { -1, +1 }, задающих за-
закон фазовой манипуляции квазинепрерывного сигнала, в равной степени можно
выбрать: М-последовательности, последовательности Якоби, Холла, квадратич-
квадратичных вычетов и другие [25, 26, 97].
Соотношение длительностей дискретов /лх = Ajc/A амплитудной и фазовой
манипуляций составных модулирующих последовательностей и значения их
периодов Nz и Nx определяют структурные особенности квазинепрерывных
сигналов и, следовательно, свойства и характеристики ВФН при квазинепре-
квазинепрерывной обработке сигналов.
Рассмотрим особенности выбора параметров составных модулирующих
последовательностей в зависимости от диапазона задержек Ат и анализируемой
доплеровской полосы частот AF обрабатываемых сигналов.
Для каждой шкалы дальности можно установить величину «граничного»
доплеровского диапазона частот А/^ = 1/Ат . С увеличением шкалы дальности
происходит сужение полосы «граничного» доплеровского диапазона частот.
Поэтому при условии AF > AF2 следует говорить о выборе параметров сигна-
сигналов для обработки в большом дальностно-доплеровском диапазоне, для кото-
которого справедливо соотношение А г • AF > 1. Если диапазон задержек включает
М элементов разрешения, то для достижения однозначности в измерении
дальности и устранения «слепых» элементов дистанции необходимо устанавли-
устанавливать периоды составных последовательностей Nz>M и Nx > М . Однако пери-
период Nx двоичной последовательности, согласованный с количеством элементов
разрешения по задержке, приводит к неоднозначности определения доплеров-
доплеровской частоты 1/(Nx-A)< AF в большом дальностно-доплеровском диапазоне.
Поэтому для достижения максимально возможных диапазонов обработки сиг-
сигналов по задержке и частоте необходимо периоды составных последовательно-
последовательностей ZiiNz\ и Xi.Ny увеличивать до предельных значений Nz~N и Nx~ N, со-
согласованных с длиной модулирующей последовательности квазинепрерывного
сигнала.
Согласование периодов составных последовательностей осуществляется
либо их усечением, либо дополнением их длины. В этом случае база квазинеп-
квазинепрерывного сигнала будет определяться исключительно длиной N и пик-факто-
пик-фактором модулирующей последовательности W.
Исследования свойств и характеристик ВФН составных модулирующих
последовательностей производилось методами имитационного моделирования
квазинепрерывной обработки сигналов в большом дальностно-доплеровском
диапазоне. В качестве бинарной последовательности Z = { z/,Nz\\, zt G F1 J,
i = O..JVz -1 использовались М-последовательности. Двоичные последователь-
последовательности X={x,jNxA, xte{0, 1 }, i = 0...Nx-l строились по правилу A.5.2) на
основе разностных множеств Зингера (табл. 1.4.1). Вычисления ВФН произ-
производилось в дискретных точках по задержке хт - т • А и частоте fk - k/{N • А)
с применением процедуры быстрого преобразования Фурье (БПФ) размерно-
размерности N .
Проведенные исследования позволили выявить следующие особенности
рельефа ВФН составных квазинепрерывных сигналов.
192

В плоскости задержка-частота выделяется главный пик ВФН с высоким
разрешением по задержке и частоте. Значения главных пиков ВФН во всех
корреляционных каналах обработки практически одинаковы и их флюктуации
обусловлены различиями в коэффициенте приема сигналов Ап(с) в дальномер-
ных каналах обработки.
Вид поверхности неопределенности над остальной частью плоскости задер-
задержка-частота представляет собой почти плоский пьедестал. Величина пьедестала
соответствует теоретическому среднеквадратическому значению A.3.11)
боковых лепестков ВФН в плоскости задержка-частота и практически
одинакова во всех дальномерных каналах обработки.
Особенности рельефа ВФН проявляются в сечении плоскостью га = 0. В
этом сечении наблюдается повышенный уровень боковых лепестков, который оп-
определяется пик-фактором pf и длительностью Ах = \хх ¦ А символов двоичной
последовательности X = { х,. Nx\ ]. Результаты анализа показывают, что в этом
сечении фон боковых лепестков практически равномерный и его среднеквадра-
среднеквадратический уровень в yjpf -\xx раз выше, чем плоскости задержка-частота.
В качестве иллюстрации на рис. 1.5.1,а представлен вид ВФН модулирую-
модулирующей последовательности W длины N = 1024, построенной на основе посим-
посимвольного умножения М-последовательности периода Nz = 1023 и последова-
последовательности Зингера с характеристиками: р = pf = 3, \хх = 1, Nx = 1093.
Расчетный среднеквадратический уровень боковых лепестков ВФН в плоскости
задержка-частота составил %пл (с) = -28.3 дБ. В корреляционном сечении ВФН,
приведенном на рис. 1.5.1,6, уровень боковых лепестков практически не
отличается от предыдущего значения и равен Хкс(с)~ -28.2 дБ. Следует обра-
обратить внимание на доплеровское сечение ВФН, изображенное на рис. 1.5.1,в. В
сс(т,6)дБ
о
сс(т,к)дБ
сс(р,к)дБ
о
Рис. 1.5.1. ВФН и ее сечения (pf = 3)
1 Зак 14
193

этом сечении среднеквадратический уровень боковых лепестков выше и состав-
составляет х дс (с) ~ ~23.6 дБ. На рисунках пунктирной линией отображен теоретичес-
теоретический среднеквадратический уровень боковых лепестков.
Для сопоставления результатов приведем характеристики ВФН модулиру-
модулирующей последовательности W = {wf} той же длины N = 1024, но с увеличенным
значением пик-фактора: pf = р = 5, /^ = 1, Nx = 781. На рис. 1.5.2,а приведен
вид поверхности ВФН, а на рис. 1.5.2,6 ив — профили корреляционного и доп-
леровского сечений соответственно.
Результаты анализа показывают, что расчетный среднеквадратический
уровень боковых лепестков ВФН в плоскости задержка-частота Хпл(с) (Рис-
1.5.2,а) и в корреляционном сечении Хкс(с) (рис. 1.5.2,6) равен -28.7 дБ, и прак-
практически не отличается от предыдущих результатов в то время как уровень
боковых лепестков в доплеровском сечении ВФН (рис. 1.5.2,в) возрос пропор-
пропорционально значению Jpf и составил ^дс(с)=-21.6 дБ.
Отразим результаты исследований свойств ВФН составных модулирующих
последовательностей, в зависимости от длительности дискрета амплитудной
манипуляции Ах = цх • А.
При достаточно большой длительности дискрета амплитудной манипуля-
манипуляции в рельефе ВФН выделяется гребень частотных сечений с повышенным
фоном боковых лепестков в диапазоне задержек Ат = jax • А . Повышенный уро-
уровень боковых лепестков объясняется корреляцией огибающей квазинепрерыв-
квазинепрерывного сигнала, и он более ярко выражен для сигналов с большим значением пик-
фактора. Эти особенности сечений ВФН более наглядно можно видеть по
сс(т,0), дБ
0
с/т,к), дБ
Рис. 1.5.2. ВФН и ее сечения (pf = 5)
194

с(т,О), дБ
О
-10
-20
-30
-40
-50
64
128
а)
192
с(т,0), дБ
О
-10
-20
-30
-40
-50
64
128
192
б)
Рис. 1.5.3. Усредненные корреляционные сечения ВФН
результатам усреднения частотных отсчетов для каждого значения относитель-
относительной задержки. Для иллюстрации на рис. 1.5.3,а и б приведены усредненные
корреляционные сечения ВФН модулирующих последовательностей с пик-
фактором pf = 3, для которых значение дискретов амплитудной манипуляции
Ах = 8-A (N = Nx = 8192) и Ах = 16-A (N = Лбе = 16384) соответственно.
На приведенных зависимостях можно видеть в окрестности главного пика
область с повышенным уровнем боковых лепестков в диапазоне задержек, рав-
ном~~8-ми (рис.1.5.3,а) и 16-ти A.5.3,6) элементам разрешения. Следует также
отметить, что за счет соответствующего увеличения длины модулирующей
последовательности уровень боковых лепестков в корреляционном сечении
Хкс(с) снизился Д° -37.7 дБ и -40.4 дБ соответственно. В тоже время в допле-
ровском сечении ВФН уровень боковых лепестков ХДС{с) практически не из-
изменился и составил соответсвенно -23.8 дБ и -23.4 дБ.
Как уже отмечалось, рельеф ВФН квазинепрерывных сигналов практичес-
практически одинаков во всех дальномерных каналах обработки с номерами с > jux. Од-
Однако в «ближних» каналах обработки наблюдается резкая зависимость рельефа
ВФН от номера дальномерного канала. Эта зависимость обусловлена снижени-
снижением коэффициента приема Ап(с) сигналов в каналах с номерами с<цх. Резкое
снижение коэффициента приема сигналов в ближней зоне приводит к
возрастанию пик-фактора обрабатываемых сигналов и, как следствие, к умень-
уменьшению отношения среднеквадратического уровня боковых лепестков к главно-
главному пику ВФН в этих каналах обработки. Для примера рассмотрим характерис-
характеристики ВФН для ранее рассмотренной модулирующей последовательности
W = {wj с параметрами: р = 3, jux = 16, iV = 16384в 8-ом дальномерном канале.
Корреляционное и доплеровское сечения ВФН в 8-ом корреляционном
канале представлены на рис. 1.5.4,а и рис. 1.5.4,6 соответственно.
Вследствие снижения коэффициента приема сигналов на приведенных
зависимостях можно видеть падение главного лепестка ВФН на 6 дБ. Следует
отметить, что это не привело к появлению выбросов боковых лепестков, огра-
ограничивающих диапазоны однозначности по задержке и частоте. Приведенные
зависимости сечений ВФН квазинепрерывных сигналов свидетельствуют о
возможности обнаружения сигналов в ближней зоне.
195

64 128 192
б)
Рис. 1.5.4. Корреляционное и доплеровское сечения ВФН в 8-ом канале
Таким образом, проведенные исследования показали, что псевдослучайный
закон амплитудной манипуляции квазинепрерывных сигналов обеспечивает
однозначное измерение дальности и скорости объектов в большом диапазоне
задержек и доплеровских частот и позволяет производить обработку без
«слепых» элементов дистанции с весьма малой «мертвой» зоной, величина ко-
которой определяется длительностью дискрета амплитудной манипуляции квази-
квазинепрерывных сигналов. Среднеквадратический уровень боковых лепестков
ВФН такого вида сигналов весьма близок к предельно достижимым характери-
характеристикам при квазинепрерывной обработке.
1.6. Выводы
Проведенный анализ квазинепрерывной обработки сигналов с псевдослу-
псевдослучайным законом амплитудно-фазовой манипуляции позволяет сформулировать
следующие выводы.
1. Рассмотренный метод построения составных квазинепрерывных сигна-
сигналов с псевдослучайным законом амплитудно-фазовой манипуляции
позволяет в большом дальностно-доплеровском диапазоне производить
обработку сигналов без неоднозначностей по задержке и частоте.
2. Псевдослучайный закон амплитудной манипуляции квазинепрерывных
сигналов исключает слепые элементы дистанции и позволяет произво-
производить обнаружение сигналов в ближней зоне, величина которой опреде-
определяется длительностью дискрета сигнала коммутации приемно-передаю-
щего тракта РЛС.
3. Потери в помехоустойчивости при квазинепрерывной обработке сигна-
сигналов с псевдослучайным законом амплитудно-фазовой манипуляции
связаны с энергетической функцией приема сигналов и обусловлены
возрастанием среднеквадратического уровня боковых лепестков ВФН.
4. Коэффициенты приема и наложения сигналов в корреляционных кана-
каналах обработки определяют степень увеличения уровня боковых лепест-
лепестков ВФН как в отдельных сечениях, так и во всей плоскости «задержка-
частота».
196

5. Максимизация величины принятой энергии полезного сигнала и мини-
минимизация степени наложения сигналов при квазинепрерывном режиме
их излучения и приема может быть достигнута путем оптимизации за-
закона амплитудной манипуляции сигналов.
6. Характеристики доплеровских сечений ВФН исследуемых сигналов
свидетельствуют о хорошей разрешающей способности по частоте, к
достаточно низкий уровень боковых лепестков характеризует возмож-
возможность достижения эффективной селекции движущихся целей.
7. Уровень боковых лепестков ВФН в плоскости задержка-частота харак-
характеризуется незначительными флюктуациями, а их среднеквадратичес-
кая величина практически одинакова в корреляционных каналах обра-
обработки и соответствует теоретическому значению.
197

Глава 2
СИНТЕЗ АМПЛИТУДНО-
ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА БОКОВЫХ
ЛЕПЕСТКОВ ФН В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ ПЛОСКОСТИ
Как показано в предыдущей главе, никакие законы фазовой манипуляции
сигналов при квазинепрерывной обработке не позволяют в большом диапазо-
диапазоне задержек и широкой доплеровской полосе частот снизить среднестатисти-
среднестатистической уровень боковых лепестков ВФН сигналов ниже статистической грани-
границы, равной 1/tJn -Ап(с).
Предельно достижимый уровень боковых лепестков ВФН сигналов ограни-
ограничивает помехоустойчивость систем при воздействии мешающих отражений.
Естественно, что повышение помехоустойчивости за счет увеличения базы
сигналов не всегда возможно.
Следует отметить, что при квазинепрерывном режиме излучения и приема
сигналов с большой базой диапазон обработки сигналов по задержке значитель-
значительно меньше длительности сигнала, а ширина анализируемого доплеровского
диапазона частот значительно уже ширины спектра сигнала. Это упрощает
задачу синтеза сигналов, которая сводится к минимизации боковых лепестков
ФН в ограниченном диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты.
Основная проблема синтеза фазоманипулированных квазинепрерывных
сигналов связана с задачей целочисленной оптимизации, исключающей все
способы отыскания глобального экстремума, кроме тех или иных версий прямо-
прямого перебора [2, 4, 22, 25, 53, 60]. В связи с этим синтез глобально оптимальных
квазинепрерывных фазоманипулированных сигналов с низким уровнем боковых
лепестков ФН даже в ограниченном диапазоне задержек и частот
представляется проблематичным при больших базах.
Не менее значимая проблема синтеза сигналов при квазинепрерывной
обработке связана с необходимостью выполнения многомерной оптимизации
сигнала для всех дальномерных каналов. Такая оптимизация практически невы-
невыполнима даже при достаточно малом числе дальномерных каналов. В связи с
этим задачу синтеза сводят к оптимизации сигналов при согласованной обра-
обработке. В этом случае естественно требуется детальный дальнейший анализ
характеристик ВФН сигналов с учетом их квазинепрерывной обработки.
Задачей настоящей главы является исследование новых подходов к синте-
синтезу амплитудно-фазоманипулированных сигналов с большой базой, ориентиро-
ориентированных на минимизацию боковых лепестков ФН в заданной области задержек
и доплеровских сдвигов частоты и анализ их эффективности при согласованной
и квазинепрерывной обработке сигналов.
198

2.1. Критерий синтеза амплитудно-
фазоманнпулированных сигналов
Среди известных методов повышения помехоустойчивости при воздействии
мешающих отражений особую значимость имеет направление, связанное с
синтезом сигналов при их согласованной обработке [22, 71, 79, 99, 127]. Такая
постановка задачи имеет привлекательное свойство, которое состоит в том, что
максимизация отношения сигнал/(помеха+шум) A.4.1) сводится к задаче мини-
минимизации объема ФН в заданной области задержек и частот [22, 61].
При решении этой задачи обычно используется модель помех, когда каж-
каждая компонента мешающих отражений по форме повторяет полезный сигнал,
но имеет относительно него доплеровский сдвиг частоты и временную задерж-
задержку. Если полагать, что область помех а = Ат • AF распределена относительно
обнаруживаемого сигнала в ограниченном диапазоне задержек Ат = AM • А ,
AM =[- М ;+М ] и локализована в полосе доплеровских частот AF = AV/(N • А),
ду = [- W+у], то критерий оптимизации сигналов можно описать выражением:
т=-М k=-V
Таким образом, формулируется задача дискретной оптимизации модулиру-
модулирующей последовательности W = {w;} с троичными символами we p, ±l), обес-
обеспечивающей минимум частичного объема ФН.
В дальнейшем изложении задача синтеза амплитудно-фазоманипулирован-
ных сигналов решается в предположении, что закон амплитудной манипуляции
априорно известен, и определяется двоичной последовательностью X ={xt},
xt g { О, 1/ и производится только оптимизация фазовой манипуляции при
ограничении:
Ы = xt, wt = Zi • xt, j = 0...N -1 B.1.2)
где компонента zt e {-1, +1/ определяет закон фазовой манипуляции.
В последующих разделах излагаются и исследуются методы синтеза ампли-
тудно-фазоманипулированных сигналов, в основе которых лежит принцип
последовательной оптимизации модулирующих последовательностей «символ
за символом» [11,12,13,17,18]. Рассматриваемые методы синтеза, не претенду-
претендуют на достижение глобального минимума целевой функции B.1.1).
Целью исследований процедур синтеза является установление пределов
подавления боковых лепестков ФН в зависимости от размеров области оптими-
оптимизации и параметров модулирующих последовательностей.
Критерием эффективности методов синтеза амплитудно-фазоманипули-
рованных сигналов установим величину отношения среднеквадратического
уровня боковых лепестков ФН в области оптимизации к теоретическому сред-
неквадратическому уровню боковых лепестков ФН во всей плоскости задер-
жка1частота:
&X = xJXt . B.1.3)
199

В проводимых ниже исследованиях методов синтеза сигналов закон их
амплитудной манипуляции задавался двоичными последовательностями Зинге-
Зингера с различными значениями пик-фактора pf и длительностями дискрета
Ах = jux • А. Длина двоичных последовательностей была согласована с длиной
синтезируемой модулирующей последовательности: Nx = N.
2.2. Синтез сигналов по критерию
минимума боковых лепестков ФН
в узкой доплеровской полосе
Допустим, что мешающие отражения не имеют частотного рассогласование
с полезным сигналом и локализованы в ограниченном диапазоне задержек
Ат = AM • А • В этом случае следует говорить о минимизации боковых лепестков
корреляционной функции (КФ) модулирующей последовательности:
_wrwt_m. B.2.1)
Потребуем, чтобы корреляционная функция синтезируемой модулирую-
модулирующей последовательности принимала минимальные в среднеквадратическом
смысле значения в ограниченном диапазоне задержек те AM, AM = \-М\+М],
где М «N • Тогда функцию оптимизации B.1.1) можно представить в
следующем виде
т=-М
Рассматриваемая далее процедура оптимизации предусматривает выбор
такого текущего значения символа wf = zt • xt модулирующей последовательности
VK = {w7.}, которое минимизирует в каждый дискретный момент времени /
значения корреляционной функции B.2.1) в заданном диапазоне задержек AM.
Пусть значения символов модулирующей последовательности определены
до (i-l)-го момента времени wt е \ 0, ±1/, / =0 ... /-1. Воспользуемся взаимо-
взаимосвязью текущего значения функции корреляции B.2.1) в (г)-ый и (/-1)-вый мо-
моменты времени:
м
#(т) = У w . w + w. • w, = В!'\т) + wrw- m, B.2.3)
1=0
где верхний индекс функции R'(m) означает ее значение в (/)-ый дискрет вре-
времени.
Учитывая соотношение B.2.3) и свойство четности по задержке КФ сигна-
сигналов, представим целевую функцию оптимизации B.2.2) в виде:
=>min. B.2.4)
200

Приведенное выражение B.2.4) определяет критерий оптимизации, как
явно определенную функцию текущего значения символа wi = Zj -xf. После
раскрытия выражения B.2.4) и приведения в нем подобных членов получим:
М Г Т2МГ Ъ М Г 1
/н=1 т-\ т-\
Можно видеть, что при принятом ограничении B.1.2) на допустимые зна-
значения символов синтезируемой последовательности, необходимым и достаточ-
достаточным условием минимума целевой функции B.2.5) будет:
(м \
w,- = -sign 2, Rl~4m) ' Wi-m * xi = Zi ' xt, B-2.6)
l^i )
( ч I 1, если (a > O)
где: z, = s/gma)= к 7——с — решающая (знаковая) функция.
-1, если [а < 0)
Таким образом, полученное выражение B.2.6) описывает процедуру синте-
синтеза амплитудно-фазоманипулированных сигналов по критерию минимума
среднеквадратического уровня боковых лепестков корреляционной функции в
ограниченном диапазоне задержек.
Исследуем пределы подавления боковых лепестков КФ в зависимости от
диапазона оптимизации по задержке AM и длины N синтезируемых амплитуд-
но-фазоманипулированных сигналов. Анализ результатов синтеза модулирую-
модулирующих последовательностей амплитудно-фазоманипулированных сигналов произ-
производился для двух вариантов обработки: при согласованной (без коммутации
тракта обработки) и при квазинепрерывной обработке.
Для получения оценок А# эффективности подавления боковых лепестков
вычислялась функция отклика синтезированных модулирующих последователь-
последовательностей на выходе многоканального корреляционного устройства обработки.
В качестве примера приведем результаты синтеза модулирующей последо-
последовательности длиной N = 16384 с пик-фактором pf = 7 и длительностью дискре-
дискрета амплитудной манипуляции Ах = 4 • А для двух значений зоны оптимизации по
задержке: 2М -1 = 511 и 2М -1 = 1023. Корреляционные функции отклика
синтезированных последовательностей при согласованной обработке пред став-
ставлены на рис. 2.2.1.
Как видно из рисунков, в диапазоне задержек обработки сигнала явно
выделяется корреляционный пик и зона с пониженным уровнем боковых лепе-
лепестков. Ширина этой зоны по задержке соответствует требуемым значениям
BМ-1) = 511(рис. 2.2.1, а) и BM-l)=1023 (рис. 2.2.1, б)
Расчетный среднеквадратический уровень боковых лепестков %ш для соот-
соответствующих зон оптимизации составил -54.9 дБ и -52.7 дБ. Вне зоны оптимиза-
оптимизации уровень боковых лепестков не имеет выбросов (пиков неоднозначности) и
характеризуется фоном боковых лепестков с уровнем, соответствующим теорети-
теоретическому значению %Т =-42.1 дБ. Следовательно, удалось подавить уровень
7* Зак 14 201

К(с),дБ
О
-10
-20
-30
-40
-50
-60
hi
ШмшУшУ 'il Hill mm
256
768
R(c),dE
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
ЯИИИИ
512
1024
6)
1536
Рис. 2.2.1. Функции отклика при согласованной обработке
боковых лепестков в зоне оптимизации на 12.8 дБ и 10.6 дБ, соответственно. С
увеличением зоны оптимизации по задержке в два раза подавление боковых
лепестков уменьшилась на 2.2 дБ.
Для сравнения результатов на рис. 2.2.2 приведены функции отклика при
квазинепрерывной обработке синтезированных модулирующих последователь-
последовательностей.
)> дБ
-),дБ
о
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Ll.lt
ill this.
iilllWiilffllliiti
lliililiiiliil
ii л.лйа\
256
512
a)
768
О
-10
-20
-30
-40
-50
-60
kiitLl
1
fllilllill
512
1024
1536
Рис. 2.2.2. Функции отклика при квазинепрерывной обработке
Можно видеть, что вследствие коммутации приемного тракта уровень бо-
боковых лепестков в зонах оптимизации повысился. Так? для зон оптимизации
размерами 2М -1 = 511 (рис. 2.2.2, а) и 2М -1 = 1023 (рис. 2.2.2, б) глубина по-
подавления боковых лепестков снизилась до 7.4 дБ и 6.3 дБ соответственно.
На рис. 2.2.3,а-г приведены результаты эффективности подавления боко-
боковых лепестков в зависимости от размера зоны оптимизации а = BМ ~l)/N в
случае согласованной (пунктирные линии) и квазинепрерывной (сплошные
линии) обработки для значений пик-фактора pf = 3, 5, 7 и 11.
Как следует из приведенных зависимостей, эффективность подавления
боковых лепестков снижается с увеличением зоны оптимизации. При согласо-
согласованной обработке глубина подавления боковых лепестков выше для сигналов с
меньшим значением пик-фактора. Для зоны оптимизации а = 0.02 значение
Ах равно 20.2, 17.8, 15.4 и 12.9 дБ для пик-факторов сигнала pf =3, 5, 7 и 11
соответственно. Если а = 0.5, то глубина подавления боковых лепестков состав-
составляет 6.3, 4.7, 2.9 и 2.8 дБ при тех же значениях пик-фактора.
202

.¦*¦*"
к
-x—
«a- ¦-—
- —* "
- 3
A%,
0
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
0 0 1 0.2 0.3 0.4 0.5
a)
Ax, дБ
0
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 5
в)
•
У
/"
-*—
~-x—
r—-—•
pf
nr-Si
- 5
/
^—-
--X—
w—
—
pf
——-—-i
-7 -
i
AX,
0
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
0 0 1 0.2 0.3 0 4 0.5
6)
Ax, дБ
0
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 CT
r)
/у
/
I
1
-——=
r>/* — 1 1
PJ n
Pwc. 2.2.J. Эффективность подавления боковых лепестков КФ
Несколько иные результаты получаются при квазинепрерывной обработ-
обработке. Не смотря на то, что при увеличении пик-фактора сигнала при его оптими-
оптимизации эффективность подавления боковых лепестков уменьшается, но при
квазинепрерывной обработке сигналы с большим значением пик-фактора в той
же зоне оптимизации сохраняют большую глубину подавления боковых лепес-
лепестков вследствие сопутствующего уменьшения энергетических потерь. Так, при
размере зоны оптимизации а = 0.02 для пик-фактора pf =3,5,1 я 11 величина
Ах составляет 5.9,6.8, 7.7 и 8.3 дБ соответственно. С увеличением размера зоны
оптимизации уровень боковых лепестков в области оптимизации повышается.
Для зон оптимизации, достигающих значений а = 0.5, эффективность
подавления боковых лепестков составляет около 3 дБ практически независимо
от пик-фактора.
Детальный анализ полученных результатов для различных значений зон
оптимизации и параметров синтезируемых сигналов показывает, что:
¦ предлагаемая процедура синтеза сигналов не накладывает принципи-
принципиальных ограничений на размеры зоны оптимизации по задержке и по-
позволяет в ограниченном диапазоне задержек снизить уровень боковых
лепестков ФН в узкой доплеровской полосе ниже среднестатистическо-
среднестатистического значения yjN ;
¦ при согласованной обработке глубина подавления боковых лепестков
КФ определяется размером зоны оптимизации по задержке синтезиро-
203

ванных сигналов и составляет около 10 дБ для диапазона задержек в 10
раз меньше длины сигнала;
квазинепрерывная обработка снижает эффективность подавления боко-
боковых лепестков и в диапазоне задержек в 10 раз меньше длины сигнала
составляет лишь 4-6 дБ;
соотношение длительностей дискрета фазовой и амплитудной манипу-
манипуляции практически не влияет на результат оптимизации. В этом случае
показатели эффективности глубины подавления боковых лепестков кор-
корреляционной функции лежат в пределах статистического разброса.
2.3. Синтез сигналов по критерию минимума
боковых лепестков ФН в ограниченной полосе
доплеровских частот
При рассмотрении процедуры синтеза сигналов будем полагать, что об-
область оптимизации обладает симметричной ограниченной протяженностью
относительно оси задержек тт = ±т- А, те AM, ДМ = [-М; +М] и доплеровс-
доплеровских частот fk = ±k/(N • А), ке AV , AV = [-V; +F]. Потребуем, чтобы при задан-
заданных размерах области оптимизации частичный объем тела неопределенности,
заключенный в этой области, был минимальным
m=-M k=-V
где:
2-7Г-1
N-\
R(m,k) = JJwry
/=o
f
Vj_m - exp
B.3.2)
— функция неопределенности модулирующей последовательности.
Рассматриваемый метод синтеза основан на последовательной оптимиза-
оптимизации символов фазовой манипуляции на текущих сегментах сигнала. Установим
длительность сегмента Т$ = Ns-A синтезируемого сигнала, при котором набег
фазы при доплеровском сдвиге частоты Fe = V/(N • А) не превысит значения п,
т.е. 2 • л • Fe • Ts < п. Тогда длина сегмента модулирующей последовательности
будет ограничиваться соотношением Ns <|_N/AV_], где|_*J — целая часть от
деления. Будем полагать, что на длине N модулирующей последовательности
укладывается Ls сегментов.
Представим в выражении B.3.2) индекс суммирования / в виде i = l-N$ + n ,
0 < / < Ls, 0<n<N$:
2j\ т \2jwiNs+n^iNs+n-m^V\ J7 .B.3.3)
i=o У Ls Jn=o V J
204

Рассмотрим внутреннюю сумму в приведенном выражении B.3.3):
/ j\ Х^ ( . 2-ж-к-пЛ
' П(т,к) = 2jwiNS+n'wiNs+n-n,'exP - J'~—7 . B.3.4)
Учитывая сделанное ограничение на максимальное значение доплеровско-
го сдвига частоты 2V +1« N , можно допустить
Ns-l
гх(т,к) « г}(т) = ^ wt.Ns+n - WjNs+n_m m B.3.5)
0
m=l к=0 /=0 / =0 V^
я=0
Полученное выражение отражает корреляционное сжатие /-го сегмента
модулирующей последовательности длиной Ns. Тогда выражение B.3.3) мож-
можно привести к виду:
/?(m,*) = 2^'i(m)-exd -j I B.3.6)
1=0 V Ls J
Учитывая соотношение B.3.6), можно представить выражение B.3.1) для
частичного объема ФН в виде:
м v и-ш~1 ( , 2-п-к-AЧ')}
B.3.7)
М Ls-l V 7
т=1 1=0
Таким образом, минимизация объема ФН в симметричной полосе
д|/ = \-V\ + V\ доплеровских сдвигов частоты взаимосвязана с минимизацией
модулей корреляционных значений сегментов последовательности длиной Ns
символов.
Рассматриваемая сегментная процедура оптимизации модулирующей пос-
последовательности «символ за символом» основана на выборе значения текуще-(
го символа Wj е { 0, ±1 j, / = 0...N -1, по Ns предыдущим значениям. Для чего
представим выражение B.3.5), вычисленное на (г)-ый момент времени при
«скользящем» сегменте длиной в Ns символов, в виде
г1 (т) = / w • w (о % ял
n=i-Ns
Из соотношения B.3.8) можно получить взаимосвязь текущего и предыду-
предыдущего корреляционных значений сегментов последовательности
г1 (т) = г1'1 (т) + ил • ил_т - wf_Ns • w^^ . B.3.9)
205

Используя соотношение B.3.9) в выражении B.3.7), можно получить следу-
следующую функцию оптимизации модулирующей последовательности
m-\ m=l
После несложных преобразований функцию B.3.10) можно привести к
виду
М
V* ("/ ) = X V
m=l
\2
Гм м 1 B.3.11)
| J
Можно видеть, что при принятом ограничении B.1.2) на допустимые зна-
значения символов синтезируемой последовательности, минимум целевой функции
B.3.11) достигается при значениях
м
{
]Г (r(m)M • w^J- wt_Ns -2(wbm -w^Jl-Xt = zt -x,. B.3.12)
m=\ m=l J
Таким образом, полученное выражение B.3.12) описывает процедуру син-
синтеза модулирующей последовательности W = {wt} по критерию минимума боко-
боковых лепестков ФН в ограниченном диапазоне задержек и симметричной полосе
доплеровских сдвигов частоты.
Предлагаемая процедура характеризуется весьма умеренными вычисли-
вычислительными затратами на синтез сигнала. Требуемые вычислительные ресурсы
определяются диапазоном задержек и практически не зависят от ширины зоны
оптимизации по частоте.
Исследуем пределы подавления боковых лепестков ФН в зависимости от
параметров синтезируемых сигналов и размеров области оптимизации по задер-
задержке и частоте при согласованной и квазинепрерывной обработке.
В качестве иллюстрации приведем примеры синтеза модулирующих после-
последовательностей для характерных видов областей оптимизации типа дальностно-
доплеровских полос и выполним анализ их ФН при согласованной обработке.
Так, на рис. 2.3.1 представлены виды функций неопределенности синтезирован-
синтезированных модулирующих последовательностей длиной N = 16384 с пик-фактором
pf = 3 для двух областей оптимизации с одинаковой протяженностью по задер-
задержке М = 128, но различной шириной по частоте V = 8 (рис. 2.3.1, а) и V = 16
(рис. 2.3.1, б).
Как видно, в окрестности главного пика ФН явно выделяется прямоуголь-
прямоугольная область с пониженным уровнем боковых лепестков. Для указанной длины
модулирующей последовательности расчетный среднеквадратический уровень
боковых лепестков в области оптимизации составил %а - -49.98 дБ при шири-
206

ДБ
ДБ
256
а)
б)
Рис. 2.3.1. Виды ФН синтезированных последовательностей
не полосы по частоте V = 8, а при расширении области оптимизации по часто-
частоте в 2 раза (V = 16), снизился до значения %а - -41.93 дБ. В остальной плоско-
плоскости «задержка-частота» ФН имеет практически плоский пьедестал боковых ле-
лепестков, теоретический среднеквадратический уровень которых равен
ХТ = -42.14 дБ. Следовательно, в указанных областях оптимизации достигнуто
снижения уровня боковых лепестков на Ах = 7.83 дБ и Ах = 5.79 дБ соответ-
соответственно.
Для сравнения рассмотрим результаты синтеза кодовых последовательно-
последовательностей при том же диапазоне задержек, но при увеличении длины модулирующей
последовательности до дг = 32768 и расширении полосы частот в 2 раза. Вид
ФН синтезированных кодовых последовательностей для двух видов областей
оптимизации приведен на рис. 2.3.2.
ДБ
ДБ
64
123
m
а)
192
256
Рис. 23.2. Виды ФН синтезированных последовательностей
207

Анализ результатов показал, что при увеличении длины модулирующей
последовательности в два раза среднеквадратический уровень боковых лепес-
лепестков в зоне оптимизации при ширине полосы по частоте V = 16 (рис. 2.3.2, а)
снизился до значения %а = -53.57 дБ. При расширении полосы по частоте до
значения V - 32 (рис. 2.3.2, б) уровень боковых лепестков составил
%а = -51.9 дБ. Вне области оптимизации уровень боковых лепестков ФН сни-
снизился за счет увеличения длины до теоретического среднеквадратического
значения %т - -45.15 дБ. В этом случае эффективность подавления боковых ле-
лепестков Ах = 8.41 дБ иА^ = 6.03 дБ, соответственно.
Сопоставляя результаты синтеза кодовых последовательностей, можно
отметить, что при расширении области оптимизации в два раза и одновремен-
одновременном увеличении в два раза их длины эффективность подавления боковых лепе-
лепестков осталась практически на прежнем уровне.
В результате исследований были выявлены следующие особенности повер-
поверхности ФН синтезируемых кодовых последовательностей. Вне зоны оптимиза-
оптимизации по задержке боковые лепестки ФН имеют практически плоский рельеф, а
внутри диапазона оптимизации по задержке частотные сечения ФН имеют явно
выраженный волновой характер.
Для анализа введем зависимость %ш (к) частотных сечений ФН усреднен-
усредненных по задержке в диапазоне оптимизации по задержке. В качестве примера на
рис. 2.3.3,а представлен вид функции Хам(^)у который отражает характер
флуктуации частотных сечений ФН синтезированной последовательности дли-
длины N = 32768 с шириной полосы по частоте V = 16. Аналогичная зависимость
приведена на рис. 2.3.3,6, которая соответствует случаю, когда область оптими-
оптимизации по частоте увеличена в два раза, т.е. при V = 32.
о
-10
-20
-30
-40
-50
-60
64
128
192
-10
-20
-30
-40
-50
-60
64
128
192
а) б)
Рис. 2.3.3. Зависимости усредненных по задержке БЛ ФН
Как показали исследования, периодичность колебаний в частотных сечени-
сечениях ФН зависит от ширины доплеровской полосы AF = AV/(N • А). В то же время
глубина флуктуации частотных сечений ФН определяется площадью области
оптимизации.
Результаты исследований глубины подавления боковых лепестков ФН при
согласованной обработке сигналов представлены в виде графиков, изображен-
изображенных на рис. 2.3.4, а при квазинепрерывной обработке результаты этих исследо-
исследований приведены на рис. 2.3.5. Параметром характеристик является значение
пик-фактора сигнала pf =3, 5, 7 и И.
208

Ах, дБ
О
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
-24
-27
-30
.'/
/
/
/
<: ^
III
у
у
г"
Or
0.01
0.1
О
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Pf = 7 Pf =5
—ь
'У
0.01
0.1
Рис. 2.3.4. Глубина подавления БЛ
при согласованной обработке
Рис. 2.3.5. Глубина подавления БЛ
при квазинепрерывной обработке
При согласованной обработке (рис. 2.3.4) с увеличением размера области
оптимизации эффективность подавления боковых лепестков ФН падает, но
остается выше для сигналов с меньшим значением пик-фактора. Так, при обла-
области оптимизации а = 0.01 глубина подавления боковых лепестков достигает
значений 22.4, 20.3,18.2 и 15.8 дБ для пик-фактора pf = 3, 5, 7 и 11 соответствен-
соответственно. Однако уже при а = 4 значения Ах составляют лишь 2.8 дБ, 1.8 дБ,
1.2 дБ и 0.8 дБ соответственно для пик-фактора pf = 3, 5, 7 и 11. Если площадь
оптимизации о > 10, то среднеквадратический уровень боковых лепестков в
области оптимизации стремится к теоретическому среднестатистическому зна-
значению 1/ylN.
Сравнивая результаты при согласованной (рис.2.3.4) и квазинепрерывной
обработке (рис. 2.3.5) можно видеть, что подавление боковых лепестков ВФН
в последнем случае значительно ниже. Так, для площади оптимизации
а = 0.125 и пик-факторе сигнала pf = 3, 5,7 и 11 составляет 2.99, 5.27, 5.33 и 4.83
дБ соответственно. Для сравнения: эти значения при согласованной обработке
соответственно равны 11.24, 9.54, 7.92 и 6.18 дБ.
Результаты исследований показывают, что при квазинепрерывной обработ-
обработке глубина подавления боковых лепестков имеет экстремум. Оптимальный
размер области оптимизации зависит от значения пик-фактора сигнала и лежит
в диапазоне 0.02 < а < 0.1. Если размер области оптимизации с < 0.01, то эф-
эффективность подавления выше у сигналов с большим значением пик-фактора.
Однако, при значениях области оптимизации а > 4, наоборот, она выше для сиг-
сигналов с меньшим значением пик-фактора. Когда площадь оптимизации а > 10,
то уровень боковых лепестков в области оптимизации стремится к теоретичес-
теоретическому среднестатистическому значению.
Таким образом, анализ полученных результатов для различных размеров
областей оптимизации и параметров синтезируемых сигналов позволяет сделать
следующие выводы.
209

¦ При согласованной обработке эффективность подавления боковых ле-
лепестков ФН зависит от размера области оптимизации и выше для сигна-
сигналов с меньшим значением пик-фактора.
¦ Для области оптимизации а - 0.01 глубина подавления боковых лепест-
лепестков ФН достигает значений от 22.4 дБ до 15.8 дБ при изменении пик-
фактора от 3 до 11.
¦ При достаточно большой площади оптимизации а > 10 среднеквадра-
тический уровень боковых лепестков в области оптимизации стремится
к теоретическому среднестатистическому значению l/J~N .
¦ При квазинепрерывной обработке сигналов глубина подавления боко-
боковых лепестков ФН значительно меньше и составляет лишь 2-6 дБ при
области оптимизации 0.01 < а < 0.1.
¦ Вычислительная сложность процедуры синтеза модулирующих после-
последовательностей определяется диапазоном задержек и практически не
зависит от ширины зоны оптимизации по частоте.
2.4. Синтез сигналов по критерию минимума
боковых лепестков ФН в произвольной области
частотно-временной плоскости
Пусть в плоскости «задержка-частота» ФН задана произвольная область оп-
оптимизации, в которой необходимо минимизировать среднеквадратический уровень
боковых лепестков. Будем полагать, что область оптимизации представляет собой
доплеровскую полосу шириной AF = AV/(N-А) с границамиAV = [v^K,] с
протяженностью вдоль оси задержек Дт = AM - А , AM = \мг ;М2 ].
Потребуем, чтобы частичный объем тела неопределенности, заключенный
в области оптимизации, был минимальным
м2 v2 мг
V* = 2 ЕИт'М2 = 2 Sk("UJ +Rs(m,kJ]=> mm BA1)
т=Мх k=V{ m=Mx k=V{
где: Rc(m,k) и Rs(m,k) — синфазная и квадратурная компоненты ФН.
При изложении последовательной процедуры оптимизации можно поло-
положить, что значения символов модулирующей последовательности определены до
(/~l)-ro момента времени w, = 0,±1, / = 0 ... /-1. Поэтому можно определить
текущее значение функции неопределенности на (i - 1)-ый момент времени
R
B.4.2)
и определить ее значение на (г)-ый момент времени
Rj(m,k) = Rl'l(mfk) + wl • w{_m -exp - j ^ '* я B.4.3)
210

Предлагаемая процедура предусматривает выбор такого значения симво-
символа wf е { 0, ±1 } модулирующей последовательности, которое минимизирует в
каждый дискретный момент времени текущее значение функции неопределен-
неопределенности B.4.3). С учетом соотношения D.2.3) представим целевую функцию
B.4.1) в виде:
м2 v2
2 %
2%-k'i
Mo V-,
3S -
I N
B-4.4)
N
Полученное выражение B.4.4) определяет критерий оптимизации, как явно
определенную функцию текущего значения символа w; = zf • xt.
После раскрытия выражения B.4.4) и приведения в нем подобных членов
получим:
^=ii[^
m=l v=0
+ 2-w, • X X М-\тукУ^т -сок ^^ |+ B.4.5)
+ Rs (m,k)-Wi_m 'Sin\ —
I N
При принятом ограничении B.1.2) на допустимые значения символов син-
синтезируемой последовательности, минимум целевой функции B.4.5) достигает-
достигается при значениях
w, = -sign
• cos
B.4.6)
Таким образом, выражение B.4.6) описывает процедуру синтеза модули-
модулирующей последовательности W = {w,} по критерию минимума боковых лепес-
лепестков ФН в произвольной области частотно-временной плоскости.
Исследуем пределы подавления боковых лепестков ФН в зависимости от
размеров области оптимизации и параметров синтезируемых модулирующих
последовательностей при согласованной и квазинепрерывной обработке.
211

В качестве иллюстрации основных результатов приведем характеристики
ФН при согласованной обработке синтезированных модулирующих последова-
последовательностей с различными параметрами оптимизации.
Рассмотрим результаты синтеза модулирующей последовательности пери-
периода N = 16384 с пик-фактором pf>=3 , когда область оптимизации локализова-
локализована в окрестности главного пика и включает 2М -1 = 255 элементов разрешения
по задержке и 2V +1 = 65 элементов разрешения по частоте. Вид ФН синтези-
синтезированной последовательности изображен на рис. 2.4.1, а.
о
-10
-20
-30
-40
-50
192
256
0
-10
-20
-30
-40
-50
0 128 256 384 т
-/. ч лг б)
w \л J Oh
64
а)
128
в)
192
Рис. 2.4.1. Вид ФН синтезированной последовательности и ее сечений
Как видно, в частотно-временной плоскости в окрестности главного пика
ФН явно выделяется прямоугольная область с пониженным фоном боковых
лепестков. Расчетный среднеквадратический уровень боковых лепестков в
области оптимизации составил %а = -46.8 дБ. В остальной плоскости задержка-
частота ФН имеет практически плоский рельеф боковых лепестков, среднеквад-
среднеквадратический уровень которых равен %Т =-42.14 дБ. Следовательно, глубина
подавления боковых лепестков равна А^ = 4.7 дБ.
На рис. 2.4.1,6 приведена усредненная по частоте в диапазоне AV зависи-
зависимость Xav (m) среднеквадратического уровня боковых лепестков ФН от задерж-
задержки. На приведенной зависимости отчетливо видна зона с пониженным уровнем
боковых лепестков в диапазоне 128 дискретов разрешения по задержке. Анало-
Аналогичная зависимость %ш (к) среднеквадратического уровня боковых лепестков
ФН от частоты приведена на рис. 2.4.1, в. На графике видна зона с пониженным
фоном в полуширине полосы оптимизации по частоте в 32 отсчета.
Приведем результаты синтеза модулирующей последовательности с пре-
прежними параметрами, но при смещенной области с границами по задержке
m e [64, 192] и частоте к е [32, 64], которые сохраняют размеры области опти-
212

мизации. Вид ФН синтезированной последовательности и зависимости xAv (m)
и Хт (*) среднеквадратических уровней боковых лепестков в области оптими-
оптимизации по задержке и частоте приведены на рис. 2.4.2, а, б и в, соответственно.
Xav (" ) дБ
-10
-20
-30
-40
-50
256
б)
384
128
в)
192
Рис. 2.4.2. Вид ФН синтезированной последовательности и ее сечений
Следует отметить, что при смещении области оптимизации по задержке
и частоте глубина подавления боковых лепестков в смещенной области оптими-
оптимизации составила А^ = 4.73дБ. Сравнение результатов, приведенных на
рис. 2.4.1 и рис. 2.4.2 позволяет заключить, что смещение области оптимизации
при сохранении ее размера практически не влияет на эффективность подавле-
подавления боковых лепестков.
Для сопоставления рассмотрим характеристики ВФН при квазинепрерывной
обработке синтезированной модулирующей последовательности. Вид ВФН в 32-
ом корреляционном канале обработке представлен на рис. 2.4.3,а. Зависимости
среднеквадратических уровней боковых лепестков в области оптимизации по
задержке xAV(m) и частоте Хт(к) приведены на рис. 2.4.3,6 и рис. 2.4.3,в
соответственно.
Можно видеть, что при квазинепрерывной обработке в области оптимиза-
оптимизации по задержке и частоте среднеквадратический уровень боковых лепестков
составил Ха -~42.8 дБ. Вследствие энергетических потерь теоретический уро-
уровень боковых лепестков вне области оптимизации изменился и стал равным
%Т = -40.4 дБ. Поэтому эффективность подавления боковых лепестков при
квазинепрерывной обработке составила А^ = 2.4дБ. Сопоставляя результаты
при согласованной и квазинепрерывной обработке, можно заключить, что уро-
уровень боковых лепестков ВФН в последнем случае выше на 1.3 дБ.
213

256
О
-10
-20
-30
-40
-50
О
-10
-20
-30
-40
Л
0 128 256 384 т
/л дБ б)
64
128
в)
192
Рис. 2.4.3. Вид ФН синтезированной последовательности и ее сечений
Приведем результаты исследований эффективности подавления боковых
лепестков ФН в зависимости от размера области оптимизации и параметров
синтезируемых последовательностей. Построенные зависимости глубины по-
подавления Ах боковых лепестков ФН от площади а области оптимизации изоб-
изображены на рис. 2.4.4 для случаев согласованной (пунктирные линии) и квази-
квазинепрерывной (сплошные линии) обработки. Графики на "рис. 2.4.4, а, б, в и г
отражают зависимости для значений пик-фактора модулирующих последова-
последовательностей pf =3, 5, 7 и 11 соответственно.
При согласованной обработке, чем меньше пик-фактор, тем больше дости-
достигается подавление боковых лепестков ФН в области оптимизации. Как следует
из приведенных графиков, когда размер области оптимизации о = 0.01, то
подавление боковых лепестков достигает значений 25.2, 22.1, 20.3 и 17.1 дБ для
значений пик-фактора pf = 3, 5, 7 и 11 соответственно. С увеличением размера
области оптимизации в 2 раза уровень боковых лепестков возрастает примерно
на 3 дБ. Так, для площади а = 1 эффективность подавления боковых лепестков
уже составляет 4.5, 2.4, 2,5 и 1.5 дБ для значений пик-фактора pf =3, 5, 7 и 11
соответственно. При достаточно больших размерах области оптимизации
а > 10 выигрыш составляет менее 2 дБ.
Изложим основные результаты при квазинепрерывной обработке.
Из зависимостей, приведенных на рис. 2.4.4, а, б, в и г, можно видеть, что
квазинепрерывная обработка приводит к значительному повышению уровня
боковых лепестков ВФН в области оптимизации по задержке и частоте. Так при
площади оптимизации а = 0.125 глубина подавления боковых лепестков ФН
для пик-фактора сигнала pf = 3, 5, 7 и 11 составляет 2.6, 4.1, 2.9 и 2.8 дБ. Для
сравнения: эти значения при согласованной обработке соответственно равны
8.9, 7.6, 5.7 и 2.9 дБ. При квазинепрерывной обработке глубина подавления
боковых лепестков имеет экстремум в диапазоне площади оптимизации
214

о
-6
-12
-18
-24
-30.
L
0
-6
-12
-18
-24
-30
X"
-
я,
х'
,х
pf-Ъ
i'
0
-6
-12
-18
-24
-30
н'
-К"
pfi*
0.01
%, дБ
0 1
а)
0.01
0.1
б)
?
В'
pf-1
4)
о
-6
-12
-18
-30
1и •¦'¦
'¦'¦?_
Г
0.01
0.1
в)
0.01
0.1
г)
Рис. 2.4.4. Зависимости глубины подавления БЛ ФН
0.02 < а < 0.1 и определяется пик-фактором сигнала. Так, если площадь опти-
оптимизации сг < 0.01, то эффективность подавления выше для сигналов с большим
значением пик-фактора. Однако при а > 4 глубина подавления боковых лепе-
лепестков, наоборот, выше для сигналов с меньшим значением пик-фактора. Если
площадь оптимизации сг > 10, то уровень боковых лепестков в ней стремится к
теоретическому среднестатистическому значению.
Таким образом, детальный анализ результатов синтеза сигналов показыва-
показывает, что:
¦ предлагаемая процедура синтеза модулирующих последовательностей
амплитудно-фазоманипулированных сигналов позволяет минимизировать
уровень боковых лепестков ФН в заданной области плоскости «задерж-
«задержка-частота»;
¦ глубина подавления боковых лепестков ФН не зависит от формы облас-
области оптимизации, а определяется площадью области оптимизации;
¦ при согласованной обработке с увеличением пик-фактора сигнала эф-
эффективность подавления боковых лепестков снижается, а соотношение
длительностей дискретов фазовой и амплитудной манипуляции не влия-
влияет на глубину подавления боковых лепестков ФН;
¦ при области оптимизации сг = 0.01 глубина подавления боковых лепест-
лепестков ФН при согласованной обработке составляет 10-20 дБ в зависимос-
зависимости от пик-фактора;
215

при квазинепрерывной обработке эффективность подавления боковых
лепестков ФН значительно ниже и составляет 3-6 дБ при области опти-
оптимизации а = 0.01;
при квазинепрерывной обработке подавление боковых лепестков тем
больше, чем выше пик-фактор модулирующей последовательности.
2.5» Синтез двоичных последовательностей,
задающих закон амплитудной манипуляции
квазинепрерывных сигналов
В предыдущих разделах изложены методы синтеза квазинепрерывных
фазоманипулированных сигналов в предположении, что закон амплитудной
манипуляции априорно известен, и определяется двоичной последовательнос-
последовательностью X={xi}, х,е{0, l\.
В главе 1 отмечается, что при квазинепрерывном режиме работы РЛС энер-
энергетические потери при приеме сигналов полностью зависят от корреляционных
свойств этой двоичной последовательности, определяющей закон коммутации
приемно-передающего тракта. Для обеспечения высокого энергопотенциала
необходимо иметь двоичные последовательности с низким значением пик-фак-
пик-фактора, а для снижения потерь необходимо минимизировать уровень боковых ле-
лепестков их корреляционной функции. Однако, как известно из теории сигналов
[97, 35], между количеством единичных символов К на длине двоичной последо-
последовательности и суммой боковых лепестков КФ имеется взаимосвязь:
)=К-(К-\). B.5.1)
Если определить среднее значение я боковых лепестков на длине последо-
последовательности, то из соотношения B.5.1) вытекает следующая зависимость:
KN pf
Полученное соотношение показывает, что заданное значение пик-факто-
пик-фактора однозначно определяет средний уровень боковых лепестков, а, следователь-
следовательно, и энергетические потери при квазинепрерывной обработке. Этой зависимо-
зависимости удовлетворяют все известные двоичные последовательности. Однако при
квазинепрерывной обработке диапазон задержек принимаемых сигналов значи-
значительно меньше по сравнению с длительностью сигнала и поэтому достаточно
иметь низкий уровень боковых лепестков только в ограниченном диапазоне
задержек.
В связи с этим задачей настоящего раздела является исследование после-
последовательной процедуры синтеза двоичных последовательностей с требуемым
уровнем боковых лепестков корреляционной функции в заданном диапазоне
задержек и сопоставления характеристик синтезированных последовательнос-
последовательностей с известными двоичными последовательностями.
216

2.5.1. Процедура синтеза двоичных
последовательностей
Будем полагать, что амплитудная манипуляция квазинепрерывного сигнала
заданной длины N определяется двоичной последовательностью X ={xi},
xt e { О, 1/, корреляционная функция которой удовлетворяет условию
N-i [Я(т), для те AM
rx('nh^xrXi_m= B.5.3)
/=о A(mj, для т? AM
где: Л(т) — требуемый уровень в ограниченном диапазоне задержек
AM =[\;М];
Х(т) — произвольные значения в остальном диапазоне задержек.
Потребуем, чтобы среднеквадратическое отклонение боковых лепестков
корреляционной функции от заданного значения в заданном диапазоне задер-
задержек было минимальным. Тогда функцию оптимизации кодовой последователь-
последовательности можно представить в следующем виде:
^min. B.5.4)
т=\
Воспользуемся взаимосвязью значений функции B.5.3) в (г)-ый и (/-1)-ый
моменты времени:
г[(т) = ^хг х}_т + Xj • х,_т = rj (m) + xj • х,_т . B.5.5)
Учитывая соотношение B.5.5), представим функцию оптимизации B.5.4) в
виде:
м 2
? (х ) = 2- V 1я(т)-^ -\rj.~l(m) + x¦ • х- )] B 5 6)
где: ? =f(i4N) —представляет функцию, задающую скорость достижения
значений Л(т) в текущем времени, например, ?. = i/N .
После раскрытия выражения B.5.6) и приведения в нем подобных членов
получим:
B.5.7)
Можно видеть, что минимум функции B.5.7) достигается при следующих
значениях:
217

m=l
B.5.8)
[l, если а>0
где: sgn(a)=i —решающая функция.
10, если а<0
Таким образом, полученное выражение B.5.8) определяет процедуру син-
синтеза двоичных последовательностей по критерию минимума среднеквадрати-
ческого отклонения боковых лепестков корреляционной функции от заданных
значений в установленном диапазоне задержек.
2.5.2. Анализ
структурных и корреляционных свойств
Целью исследований являлось установление зависимостей пик-фактора
pf = N/K кодовых последовательностей и отношения главного пика КФ к сред-
неквадратическому значению боковых лепестков к/Л от их длины N и
диапазона оптимизации по задержке (ДА/) для различных значений боковых
лепестков Л(т).
Для иллюстрации основных характеристик рассмотрим результаты синте-
синтеза двух последовательностей с периодом N = 8192 с постоянным уровнем боко-
боковых лепестков Я(т) = Я0 = 3 и Я(т)=Я0 = 7 в зоне оптимизации размером
М =512. На рис. 2.5.1,а представлен вид корреляционной функции гх(т) син-
синтезированной последовательности с требуемым уровнем боковых лепестков
Я0 = 3 , а на рис. 2.5.1,6 — с уровнем Я0 = 7 •
Как видно, корреляционные функции обладают острым главным пиком
гх@) и имеют в диапазоне оптимизации по задержке относительно заданного
уровня корреляции слабо флюктуирующий фон. Среднеквадратический уро-
уровень боковых лепестков корреляционной функции составил для первой после-
последовательности Я = 2.5, а для второй последовательности Я = 7.2. Отношения
главного пика КФ к среднеквадратическому значению боковых лепестков рав-
равно к/Л = 50.2 C4.1 дБ) и к/Л = 32.7 C0.5 дБ) соответственно для первой и вто-
второй синтезированной последовательности. При этом пик-фактор первой пос-
гх(т)
200
150
100
50
0
512
1024
а)
1536
г/т)
300
225
150
75
0
А0 = 7
/
512
1024
б)
1536
Рис. 2.5.1. Корреляционные функции двоичной последовательности
218

ледовательности равен/?/ = 52.3, а второй значительно меньше —pf = 34.2. Вне
диапазона оптимизации корреляционная функция имеет пульсирующий уро-
уровень боковых лепестков, без существенных выбросов.
Для сопоставления характеристик приведем результаты синтеза последова-
последовательностей той же длины N = 8192 и размером зоны оптимизации по задержке
М = 512, но с повышенным и постоянным уровнем боковых лепестков АО = 128
и АО = 256. На рис. 2.5.2,а изображен вид корреляционной функции первой
последовательности, а на рис. 2.5.2,6 — второй последовательности.
r/m)
1100
825
550
275
0
,А0= 128
512
1024
а)
1536
г/т)
1500
1125
750
375
0
}S) = 256
512
1024
б)
1536
Рис. 2.5.2. Корреляционные функции двоичной последовательности
Как видно, и в этом случае достигается требуемый уровень боковых лепе-
лепестков корреляционной функции в диапазоне оптимизации по задержке. Сред-
неквадратический уровень боковых лепестков составил для первой последова-
последовательности А = 128.6, а для второй синтезированной последовательности
А = 256.7. При этом пик-фактор первой последовательности снизился до значе-
значения pf = 8.1, а второй— pf =5.6.
Отношения главных пиков КФ к среднеквадратическому значению боко-
вых_лепестков практически не отличается от значений пик-фактора и равно
к/Л = 7.9 A8.1 дБ) и к/Л = 5.5 A5.1 дБ) соответственно для первой и второй
синтезированной последовательности. Вне зоны оптимизации по задержке
наблюдается повышенный уровень флуктуации боковых лепестков. Корреляци-
Корреляционные функции во всем диапазоне задержек не имеют выбросов по боковым
лепесткам.
Анализ результатов моделирования позволил установить следующие осо-
особенности в характеристиках синтезируемых двоичных последовательностей с
постоянным уровнем боковых лепестков Л(т) = АО в диапазоне оптимизации по
задержке AM. В области оптимизации по задержке боковые лепестки корреля-
корреляционной функции характеризуются практически постоянным уровнем с
минимальными отклонениями от заданного значения Х0. При заданной длине
последовательности их пик-фактор pf практически не зависит от размера зоны
оптимизации по задержке AM и полностью определяется заданным уровнем
боковых лепестков Х0 корреляционной функции. При значениях боковых
лепестков в диапазоне Х0 е [1; 16] наблюдается резкая зависимость пик-фактора
от длины двоичной последовательности. С увеличением уровня боковых
219

лепестков ЯО эта зависимость ослабевает. При уровне боковых лепестков
А0>64 можно считать, что в диапазоне длин N =1О3...1О5 пик-фактор pf дво-
двоичной последовательности практически не зависит от их длины. В этом случае
значение оценки пик-фактора связано с параметрами синтезируемой двоичной
последовательности простым соотношением pf = yJN/ЛО . Оптимизация двоич-
двоичных последовательностей в ограниченном диапазоне задержек не позволяет
улучшить отношение К/Л по сравнению со значением пик-фактора pf двоич-
двоичной последовательности К/Л ~ pf.
На рис. 2.5.3,а приведены графики зависимостей пик-фактора pf синтези-
синтезированных двоичных последовательностей от их длины N для значений ЯО = 1,
3, 5 и 7. Зависимости отношения главного пика к среднеквадратическому боко-
боковому лепестку корреляционной функции к/Л для значений уровней корреля-
корреляции ЯО =1, 3, 5 и 7 от длины N синтезированных двоичных последовательно-
последовательностей представлены на рис. 2.5.3,6. Можно видеть, что с увеличением ЯО
зависимости пик-фактора pf и отношение главного пика корреляционной фун-
функции к среднеквадратическому значению боковых лепестков К/Л с увеличени-
увеличением длины кодовой последовательности становятся более пологими.
Pf
100
75
50
25
0
10*
/
A
A(
A
A
0
3 =
II
= i
11
II
= 3
11
III
0=^5
N
К/Х
100
75
50
25
0
/
/
/

/
II
АО = 1
А0 = 3
АО = 5
114 1
Hill
А0_=_7
10z
10'
3
N
а) б)
Рис. 2.5.3. Характеристики двоичных последовательностей
Pf
100
80
60
40
20
0
у
/
/А
/
А0= 1
А0 = 3
А0 = 5
А0 = 7
о
20 40
60
80 К/Х
Рис. 2.5.4. Зависимости пик-фактора двоичных последовательностей
220

Зависимости пик-фактора pf = N/K синтезируемых последовательностей
от отношения главного пика к среднеквадратическому боковому лепестку к/Л
корреляционной функции приведены на рис. 2.5.4.
Можно видеть, что для значений ЯО = 3, 5 и_7 зависимости практически не
различаются и носят линейный характер pf = к/Л. При ЯО = 1 можно выполнить
сопоставительный анализ эффективности синтезированных двоичных последо-
последовательностей в ограниченном диапазоне задержек с импульсными последователь-
последовательностями со Свойством «не более одного совпадения». В [97] приведены
характеристики пик-фактора pf = N/K импульсных последовательностей в зави-
зависимости от значений К при А0<1. Для достаточно больших значений К эта
зависимость аппроксимируется выражением N/K - @.71...0.83)- К. Синтезиро-
Синтезированные двоичные последовательности по своим характеристикам не уступают
известным импульсным последовательностям со свойством «не более одного
совпадения».
2.5.3. Синтез сигналов
с заданным коэффициентом приема
Поскольку предлагаемая процедура позволяет синтезировать двоичные
последовательности с произвольными значениями боковых лепестков Л(т) в
диапазоне оптимизации по задержке AM, то представляет интерес исследова-
исследование возможности снижения энергетических потерь в дальних корреляционных
каналах обработки за счет повышения потерь в ближних каналах. На такие
потери в ближней зоне обнаружения можно пойти, поскольку мощность отра-
отраженных сигналов оказывается достаточной для обнаружения сигналов с требу-
требуемой достоверностью.
В идеальном случае необходимо оптимизировать закон приема эхо-сигна-
эхо-сигналов в зависимости от ослабления сигналов по дистанции или в зависимости от
мощности пассивных отражений. В проводимых исследованиях задача оптими-
оптимизации была значительно упрощена и сводилась к модели вида
A(m) = Al-exp(-m/j8)+A0,meAAf, B.5.7)
задающей требуемый закон изменения боковых лепестков корреляционной
функции по задержке в диапазоне оптимизации. Коэффициент C определяет
вид (скорость) изменения значений Я1 < Я(т)< ЯО в диапазоне оптимизации по
задержке AM.
В качестве примера приведем синтез двух двоичных последовательностей
и дадим качественную характеристику их энергетических функций приема эхо-
сигналов.
Синтезируем двоичную последовательность периода N = 8192 с постоянным
уровнем боковых лепестков Я(т) = Я0 = 256 в диапазоне задержек AM = [1; 128].
В случае коммутации приемно-передающего тракта РЛС по закону синтезирован-
синтезированной последовательности энергетическая функция приема эхо-сигналов имеет вид,
представленный на рис. 2.5.5,а. Зависимость коэффициента приема эхо-сигналов
от номера корреляционного канала обработки приведена на рис. 2.5.5,6.
221

Лп(с)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
32
64
б)
96
Рис. 2.5.5. Энергетическая функция приема сигналов
Как видно, в этом случае достигается высокая равномерность приема энергии
эхо-сигналов во всех каналах обработки. Следует отметить, что значение пик-
фактора двоичной последовательности определяется соотношением pf = ^JN/ЛО
и равно 5.6. Среднее значение коэффициента приема An = 1 - 1/pf = 0.82 отмече-
отмечено пунктирной линией на рис. 2.5.5, б. Коэффициент наложения, характеризующий
степень подавления сигналов, можно считать практически одинаковым для всех
корреляционных каналов обработки.
Далее приведем пример оптимизации энергетической функции приема за
счет синтеза двоичной последовательности длины N = 8192 с корреляционны-
корреляционными параметрами Al = 7V/4, АО = 16, /3 = 16 в том же диапазоне задержек
ДМ = [1; 128]. Поскольку средний уровень боковых лепестков в диапазоне оп-
оптимизации равен А = 267, то пик-фактор последовательности pf = 5.5 . Для это-
этого случая вид энергетической функции приема эхо-сигналов представлен на
рис. 2.5.6,а, а зависимость коэффициента приема полезных сигналов от номера
корреляционного канала обработки приведена на рис. 2.5.6,6. Можно видеть,
что при пик-факторе двоичной последовательности pf = 5,5 почти полностью
удалось устранить энергетические потери в дальних каналах обработки за счет
снижения уровня боковых лепестков до значения АО = 16 • Понятно, что это
обошлось ценой возрастания потерь для ближних корреляционных каналов
обработки. Пунктирной линией на рис. 2.5.6,6 отражено среднее значение ко-
коэффициента приема для двоичной последовательности с пик-фактором
pf = 5.6 . При синтезе с постоянным уровнем боковых лепестков Л(т) = АО = 16
двоичная последовательность имела бы значение пик-фактора pf = 23 и не
могла бы обеспечить высокий энергетический потенциал.
Из приведенных зависимостей видно, что удалось снизить энергетические
потери на квазинепрерывный прием эхо-сигналов в дальних корреляционных
каналах обработки. В ближних каналах обработки энергетические потери воз-
возросли относительно среднего уровня.
222

32
64
6)
96
a)
Рис. 2.5.6. Энергетическая функция приема сигналов
Таким образом, анализ последовательной процедуры синтеза двоичных
последовательностей с заданным уровнем боковых лепестков корреляционной
функции в ограниченном диапазоне задержек позволяет сделать следующие
выводы.
¦ Предлагаемая процедура позволяет синтезировать двоичные последо-
последовательности с заданными значениями боковых лепестков корреляцион-
корреляционной функции.
¦ В области оптимизации по задержке боковые лепестки корреляционной
функции характеризуются практически постоянным уровнем с мини-
минимальными отклонениями от заданного значения.
¦ При заданной длине последовательности значение их пик-фактора прак-
практически не зависит от размера зоны оптимизации по задержке и полно-
полностью определяется заданным уровнем боковых лепестков корреляцион-
корреляционной функции.
¦ Оптимизация двоичных последовательностей в ограниченном диапазо-
диапазоне задержек не позволяет улучшить значение пик-фактора двоичной
последовательности.
¦ Синтезируемые последовательности по своим показателям весьма близ-
близки к оптимальным кодовым последовательностям, однако свободны от
свойственных им жестких ограничений на длину и пик-фактор.
¦ Синтез двоичных последовательностей по заданной функции приема
позволяет снизить энергетические потери в дальних корреляционных
каналах обработки за счет повышения потерь в ближних каналах.
223

2.6. Выводы
1. Предлагаемые методы синтеза амплитудно-фазоманипулированных
сигналов не накладывают принципиальных ограничений на размеры
области оптимизации по задержке и частоте. В то же время размер
области оптимизации определяет предел подавления боковых лепест-
лепестков ФН синтезированных сигналов.
2. Анализ процедуры синтеза амплитудно-фазоманипулированных сигна-
сигналов показал, что в узкой доплеровской полосе частот чпри согласован-
согласованной обработке сигналов удается снизить уровень боковых лепестков
ФН на десятки децибел в зависимости от диапазона задержек в области
оптимизации. При расширении доплеровской полосы частот глубина
подавления боковых лепестков составляет также десятки
децибел для размеров области оптимизации ст~ 0.01. С увеличением
пик-фактора сигнала эффективность подавления боковых лепестков сни-
снижается, а соотношение длительностей дискретов фазовой и амплитуд-
амплитудной манипуляции не влияет на глубину подавления боковых лепестков
ФН.
3. Квазинепрерывная обработка приводит к повышению уровня боковых
лепестков ВФН в области оптимизации по задержке и частоте. Степень
повышения боковых лепестков тем выше, чем ниже пик-фактор
модулирующей последовательности. Эффективность подавления боко-
боковых лепестков ВФН составляет единицы децибел, что значительно ниже
по сравнению с согласованной обработкой.
4. Сегментная процедура синтеза модулирующих последовательностей по
своей эффективности не уступает отмеченной последовательной про-
процедуре синтеза сигналов. Однако вычислительная сложность сегмент-
сегментной процедуры синтеза значительно проще, определяется только диа-
диапазоном задержек и практически не зависит от ширины зоны
оптимизации по частоте.
5. Исследования предлагаемой процедуры синтеза двоичных последова-
последовательностей показали, что они по своим показателям весьма близки к
оптимальным двоичным последовательностям, однако свободны от свой-
свойственных им жестких ограничений на длину и пик-фактор. Оптимиза-
Оптимизация двоичных последовательностей в ограниченном диапазоне задержек
не позволяет существенно снизить пик-фактор двоичной последователь-
последовательности и повысить отношение главного пика к среднеквадратическому
боковому лепестку. Однако, задавая необходимые параметры синтеза
кодовой последовательности, можно при достаточно милых значениях
пик-фактора минимизировать энергетические потери на квазинепрерыв-
квазинепрерывную обработку в удаленных корреляционных каналах обработки.

Глава 3
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫХ
СИГНАЛОВ В ОГРАНИЧЕННОМ ДИАПАЗОНЕ
ДОПЛЕРОВСКИХ СДВИГОВ ЧАСТОТЫ
Возрастающие требования повышения помехоустойчивости и достоверно-
достоверности обнаружения сигналов в условиях воздействия пассивных помех приводят
к необходимости увеличения базы зондирующего квазинепрерывного сигнала
[36, 79]. Однако значительные базы порождают проблемы технической реали-
реализации многоканальных устройств обработки сигналов в широком диапазоне
задержек и доплеровских сдвигов частоты [14,19, 89, 99,113].
Задачами настоящей главы являются:
¦ поиск квазисогласованных методов обработки фазоманипулированных
квазинепрерывных сигналов с большой базой в ограниченном дально-
стно-доплеровском диапазоне, позволяющих снизить аппаратные затра-
затраты на их техническую реализацию;
¦ исследование путей повышения эффективности доплеровской селекции
целей при корреляционно-фильтровой обработки фазоманипулирован-
фазоманипулированных квазинепрерывных сигналов с псевдослучайной структурой ампли-
амплитудной манипуляции.
Основу содержания раздела составляют результаты работ [14,15,16,19, 89].
3.1. Исследование корреляционно-фильтровой
обработки квазинепрерывных сигналов
Пусть Si отсчеты обрабатываемого сигнала, в общем случае представляю-
представляющие линейную смесь полезного сигнала, шума и мешающих отражений. Тогда,
как показано в разделе 1.1, квазинепрерывная обработка выполняется на
основе вычисления функции отклика вида:
R(c,v) = 2JSj -xi • w,_ -exp -y ^—*
Устройство, обеспечивающее выполнение операций вида C.1.1), может быть
выполнено с применением корреляционно-фршьтрового принципа обработки сигна-
сигналов. Положим, что пространство обработки по информационным параметрам ограни-
ограничено по задержке диапазоном Ат = АС • А, АС = [1; Сшах], с е АС и представляет
собой симметричную по частоте полосу AF = A V/(N • A), AV = [~V; +V\> v e AV.
Принципы построения устройств когерентной обработки сигналов детально
изложены в [99]. Рассмотрим типовую систему многоканальной корреляционно-
фильтровой обработки квазинепрерывных сигналов, реализуемую
в цифровом виде на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Функци-
Функциональная схема устройства корреляционно-фильтровой обработки сигналов
представлена на рис. 3.1.1.
225
8 Зак 14

ОЗУ
кл
xi
ОЗУ
X
С max
ОЗУ
Процессор
БПФ
1 W/-Cmax
Рис. 3.1.1. Устройство корреляционно-фильтровой обработки сигналов
Обработка сигналов состоит из демодуляции сигнала в каждом дальномер-
ном канале, запоминания их отсчетов в канальном оперативном запоминающем
устройстве (ОЗУ) и последующей доплеровской фильтрации на основе
алгоритмов дискретного преобразования Фурье.
Будем считать, что в текущем цикле зондирования на вход устройства об-
обработки поступают дискретные отсчеты St в виде квадратурных компонент
комплексной огибающей эхо-сигналов, прошедших аналого-цифровое преобра-
преобразование с частотой дискретизации fd = 1/А. Эти дискретные отсчеты Si прохо-
проходят через ключ (КЛ), коммутирующий приемный тракт устройства обработки
по закону инверсной двоичной последовательности х\. Далее дискретные
отсчеты Sf -Xi, подлежащие обработке в заданном диапазоне задержек Ат и
доплеровских частот AF, поступают на канальные умножители, производящие
демодуляцию сигналов, задержка которых соответствует задержке опорного
сигнала Wj_c, c = l ... С max. На выходе с^го канального умножителя отсчеты
сигнала представляются в виде S- =S, •*/ -ил_г, i = 0 ... N-l и их значения в
реальном времени заносятся в канальное ОЗУ. В следующем цикле зондирова-
зондирования переключаются банки канальных ОЗУ, и процесс демодуляции сигнала
повторяется.
Одновременно с описанным процессом над демодулированными отсчета-
отсчетами сигнала выполняется операция доплеровской фильтрации на основе диск-
дискретного (быстрого) преобразования Фурье. Процессоры БПФ считывают из
ОЗУ N квадратурных отсчетов S- сигнала и выполняют стандартную процеду-
процедуру вычисления быстрого преобразования Фурье (БПФ), реализующую допле-
ровскую фильтрацию сигналов для всех дальномерных каналов обработки
с = 1 ... С max .
226

Поскольку диапазон анализируемых доплеровских частот ограничен отно-
относительно узкой полосой, то после вычисления быстрого преобразования Фурье
размерности N выбираются только те частотные отсчеты, которые принадле-
принадлежат анализируемому диапазону AF = AV/(N• А), ЬУ = [-V; +V]. Связанные с
этой избыточностью повышенные требования к производительности процессо-
процессоров БПФ являются издержками классического корреляционно-фильтрового
принципа обработки сигналов.
Как известно [22, 25, 71, 92, 99,127], при доплеровской фильтрации широ-
широко применяются методы весовой (оконной) обработки сигналов, ориентирован-
ориентированные подавления боковых лепестков и повышение эффективности селекции
движущихся целей. Оценим эффективность применения весовой обработки в
процедурах БПФ, реализующих доплеровскую фильтрацию фазоманипулиро-
ванных квазинепрерывных сигналов с псевдослучайным законом амплитудной
манипуляции сигналов.
С целью сопоставления результатов произведем анализ разрешения по
частоте квазинепрерывных сигналов без применения весовой обработки. Ква-
Квазинепрерывный сигнал формировался по закону составной модулирующей
последовательности, определяемой посимвольным произведением бинарной М-
последовательности и двоичной последовательности Зингера с длительностью
дискрета Ах = 8 • А и пик-фактором pf = 3. Периоды Nz и Nx были согласова-
согласованы с длиной квазинепрерывного сигнала Nx~ Nz ~ N =16384 . Обработка
линейной смеси сигналов производилась при использовании процедуры БПФ
размерности N = 16384 в диапазоне задержек АС = [1; 256] и в полосе частот
ДК= [1; 128].
Рассмотрим результаты обработки линейной смеси трех эхо-сигналов с
одинаковой задержкой s = 64, но с различным доплеровским смещением час-
частоты v = (о, 32, 48) и интенсивностью отражений as = (о, -10, -20) дБ.
На рис. 3.1.2,а представлены частотно-временные отклики на выходе уст-
устройства обработки. Как видно, на выходе дальномерного канала с номером
с = 64 выделяется повышенный уровень помех, который маскирует частотные
отклики линейной смеси трех сигналов с разной интенсивностью. На рис. 3.1.2,6
1.2. Результаты обработки смеси сигнало
227

для наглядности отдельно представлены частотные отклики на выходе этого
дальномерного канала. В остальных дальностно-доплеровских каналах обработ-
обработки наблюдается пониженный уровень помех по боковым лепесткам ВФН, рав-
равный -40.3 дБ.
Можно утверждать, что на фоне боковых лепестков от мощного сигнала
(v = О) достоверно выделяется только сигнал с интенсивностью -10 дБ, имею-
имеющий доплеровский сдвиг частоты (v = 32). В то же время сигнал с доплеровс-
ким сдвигом частоты (v = 48) и интенсивностью -20 дБ едва выделяется на
фоне помех по боковым лепесткам, имеющим среднеквадратический уровень
-26.6 дБ.
Выполним анализ обработки той же линейной смеси эхо-сигналов при
использовании в процедуре БПФ оконной функции Хэмминга [92, 121]. Ре-
Результаты корреляционно-фильтровой обработки сигналов представлены на
рис. 3.1.3, а.
а)
Рис. 3.1.3. Результаты обработки смеси сигналов при весовой обработке
Можно заметить, что общий фон помех в каналах обработки практически
не изменился. На выходе дальномерного канала с номером с = 64 по-прежне-
по-прежнему трудно выделить все три частотных отклика. Эти частотные отклики пред-
представлены на рис. 3.1.3,6. Как видно, при применении весовой обработки
возникли энергетические потери, и ухудшилась разрешающая способность сиг-
сигналов по частоте. В то же время не достигнута основная цель применения ве-
весовой обработки, которая заключалась в снижении уровня боковых лепестков
на выходе частотных каналов обработки. Так, на фоне помех по боковым лепе-
лепесткам от первого сигнала достоверно обнаруживается второй сигнал с частотой
(р{ = 32) и интенсивностью -10 дБ и практически не виден третий сигнал с
интенсивностью -20 дБ и частотой (р2 = 48).
Таким образом, применение весовой обработки при доплеровской фильт-
фильтрации сигналов с псевдослучайной амплитудной манипуляцией не приводит к
существенному снижению боковых лепестков в доплеровском сечении ФН и
повышению глубины доплеровской селекции движущихся целей.
228

При реализации процедуры корреляционно-фильтровой обработки на
основе БПФ возникают две взаимосвязанные проблемы:
¦ размерность БПФ, определяемая частотой следования выборок, оказы-
оказывается чрезмерно высокой при большой длительности сигнала;
¦ ширина вычисляемого частотного диапазона определяется шириной
спектра сигнала и, как правило, многократно превосходит диапазон ана-
анализируемых доплеровских сдвигов частоты, неоправданно увеличивая
вычислительные затраты.
Достоинством рассматриваемой классической корреляционно-фильтровой
обработки сигналов является отсутствие каких-либо энергетических потерь, за
исключением потерь на квазинепрерывную обработку, обусловленную комму-
коммутацией приемного тракта.
3.2. Сегментная корреляционно-фильтровая
обработка сигналов
В настоящем разделе предлагается и исследуется корреляционно-фильтро-
корреляционно-фильтровая обработка квазинепрерывных сигналов большой длительности, которая
ориентирована на снижение аппаратных затраты на реализацию устройств
многоканальной обработки.
Рассмотрим математическую модель сегментной корреляционно-фильтро-
корреляционно-фильтровой обработки квазинепрерывных сигналов.
Будем полагать, что требуемый диапазон обработки сигналов по частоте
ограничен симметричной полосой AF = ± V/(N • А) с протяженностью по задер-
задержке Ат = АС-А, АС = [1; Стах].
Для изложения сути сегментной корреляционно-фильтровой обработки
сигналов большой длительности определим такую длительность сегмента
Ts = Ns-A обрабатываемого сигнала, при котором набег фазы при максималь-
максимальном доплеровском сдвиге частоты Fm = V/(n • А) не превысит значения п, т.е.
2п • Fm Ts <n. Тогда длина сегмента кодовой последовательности будет опре-
определяться соотношением Ns < [_N/BV +l)J и без ущерба общности будем считать,
что на длине N модулирующей последовательности W укладывается
Ls = [n/Ns] сегментов.
Как и ранее, будем исходить из того, что квазинепрерывная обработка эхо-
сигналов в (с, v)-tom дальностно-доплеровском корреляционном канале строит-
строится на основе вычисления функции отклика вида C.1.1).
Представим в выражении C.1.1) индекс суммирования/ в виде i = l-Ns + n,
0<l<Ls,0<n< Ns и опишем функцию отклика следующим выражением:
2-n-vV
V* с ~ ( •
Zj S'Ns+n ' XMs+n ' Wl Ns+n-c ' eXP - J
n=0 \
229

Рассмотрим в приведенном выражении C.2.1) внутреннюю сумму:
ri(c'V) = 2jSi-Ns+n 'x^+n-whNs+n_c -exp -j I C2.2)
Учитывая сделанное ограничение на максимальное значение доплеровско-
го сдвига частоты, при котором Ns < \_N /BV + l)J, можно допустить следующее
приближение:
rl\C->U) rl\C)- 2^1 INs+n Xl'Ns+n Щ-Ns+n-c . C.2.3)
n=0
Приведенное выражение C.2.3) отражает процедуру сжатия сегментов
сигнала. Сделанное допущение C.2.3) позволяет обработку C.2.1) представить
в виде:
_ . 2-7U-V-1
J"~u~
Таким образом, алгоритм сегментной корреляционно-фильтровой обработ-
обработки сигналов представляется в виде двух последовательно выполняемых
процедур вида C.2.3) и C.2.4). На первом этапе выполняется сжатие сегментов
обрабатываемого сигнала в заданном диапазоне задержек. На втором этапе для
каждого элемента разрешения по дистанции над сжатыми сегментами выполня-
выполняется процедура доплеровской фильтрации на основе быстрого преобразования
Фурье (БПФ). Для краткости такую обработку будем называть сегментной
обработкой сигналов.
Рассмотрим функциональную схему сегментной обработки сигналов, реа-
реализуемую в цифровом виде на основе быстрого преобразования Фурье. Эта
схема представлена на рис. 3.2.1. В отличие от классического корреляционно-
фильтрового устройства (см. рис. 3.1.1) здесь в каждом дальномерном канале
можно выделить последовательно соединенные блоки, состоящие из умножи-
умножителя и накапливающего сумматора (выделенные на схеме темным фоном),
образующие функциональный типовой узел — коррелятор, каждый из которых
настроен на фиксированную задержку и нулевую доплеровскую частоту. Ос-
Остальные блоки сохраняют свое функциональное назначение.
Опишем процесс демодуляции, сегментного сжатия сигналов и последую-
последующей доплеровской фильтрации сжатых сегментов. В текущем цикле зондирова-
зондирования дискретные отсчеты сигнала 5. • xt поступают на корреляционные устрой-
устройства, производящие сжатие / -го сегмента сигнала в диапазоне обрабатываемых
задержек с = 1 ... Стах . В каждом дальномерном канале значения сжатых
сегментов сигнала гг(с), 1 = 0 ... Ls -1 заносятся в оперативное запоминающее
устройство (ОЗУ). После этого переключаются банки ОЗУ, и процесс
демодуляции и сегментного сжатия повторяется в последующем цикле зонди-
зондирования пространства.
230

кл
t
xi
w
X
i
i
i
„с
X I
^ Wi-c
i
«
i
^Cmax
X
2
X
2
fen
p
ОЗУ
ОЗУ
' i i м!
ОЗУ
->
->
Процессор
БПФ
Vi-Cmax
Рис. З.2.1. Схема сегментной обработки сигналов
Следует отметить, что накопление квадратурных отсчетов сигнала произ-
производится с частотой дискретизации fd = 1/А, определяемой шириной спектра
сигнала, в то время как считывание и сброс результатов производится с часто-
частотой Fc6p = l/Ts, определяемой шириной анализируемого диапазона доплеровс-
ких сдвигов частоты.
Одновременно с описанным процессом выполняется операция доплеров-
ской фильтрации над сжатыми сегментами сигнала.
Процессоры БПФ принимают квадратурные отсчеты гх (с) сжатых сегмен-
сегментов и выполняют над ними стандартную процедуру вычисления БПФ размер-
размерности Ls последовательно для всех дальномерных каналов обработки
с = 1 ... С max. В отличие от классической обработки при сегментной корреля-
корреляционно-фильтровой обработке получаются спектральные отсчеты именно для
анализируемого диапазона частот — от -Ls/2 до Ls/2-1.
Произведем оценку снижения аппаратных затрат и требований к вычисли-
вычислительной производительности устройства при сегментной обработке сигналов по
отношению к классической корреляционно фильтровой обработке.
Будем полагать, что сопоставляемые варианты имеют одно и то же количе-
количество дальномерных каналов обработки. Следовательно, устройства обработки
содержат одно и то же количество канальных умножителей и блоков ОЗУ. Сег-
Сегментное корреляционно-фильтровое устройство обработки имеет дополнитель-
дополнительно в каждом канале накапливающие сумматоры сегментов сигнала длиной в Ns
отсчетов. В силу этого при сегментной обработке объем канальных ОЗУ в
Ls = N/Ns раз меньше. Поскольку построение накапливающих сумматоров не
требует значительных аппаратных ресурсов, то общие затраты на техническую
реализацию канального демодулятора сигналов при сегментной обработке су-
существенно меньше, чем при реализации устройства по классической схеме.
231

Накапливающие сумматоры существенно снижают и требования к быстродей-
быстродействию канальных ОЗУ.
В отличие от классической корреляционно-фильтровой обработки, где
размерность процедуры БПФ равна N, в рассматриваемом методе размерность
процедуры БПФ намного меньше и равна Ls. Это позволяет значительно сни-
снизить требования к вычислительной производительности процессоров БПФ.
Если считать, что основную сложность представляют операции комплексного
умножения и сложения при выполнении стандартных процедур БПФ по осно-
основанию 2, то, можно дать следующую сравнительную оценку в производительно-
производительности процессоров БПФ при одинаковой длине N модулирующих последователь-
последовательностей:
„AMogQv)
C.2.5)
Для примера произведем оценку в выигрыше производительности процес-
процессоров БПФ при обработке квазинепрерывного сигнала длительностью Тс = 6.55
м.сек с шириной спектра AS =10 МГц для двух значений анализируемой
доплеровской полосы AF = + 4.8 и AF = +19.2 кГц. Результаты анализа
приведены в табл. 3.2.1.
Очевидно, что реализация классического корреляционно-фильтрового уст-
устройства обработки сигналов с характеристиками, приведенными в табл. 3.2.1, при
числе дальномерных каналов АС = 100... 1000 практически не выполнима.
Оценка выигрыша производительности процессоров БПФ
Таблица 3.2Л
Тс(м.сек)
6.55
6.55
А(мк.сек)
0.1
0.1
N
65536
65536
АЕ(кГц)
+19.2
+4.8
Ts[MK.ceK)
25.6
102.4
Ns
256
1024
Ls
256
64
Пбпф
= 256
= 1024
По сравнению с классическим устройством сегментное корреляционно-филь-
корреляционно-фильтровое устройство обработки снижает требования к производительности процес-
процессоров БПФ в сотни раз. При сопоставлении процессоров БПФ с одинаковой про-
производительностью их количество уменьшается в соответствующее число раз.
3.3. Анализ характеристик ВФН
при сегментной обработке сигналов
Пренебрежение смещением доплеровской частоты при сегментном сжатии
сигнала приводит к рассогласованной по частоте обработке сигналов. Поэтому
платой за снижение аппаратных затрат служит некоторое ухудшение
отношения сигнал/шум. Исследуем потери в отношении сигнал/шум и произве-
произведем анализ характеристик ВФН при сегментной обработке квазинепрерывных
сигналов.
232

После несложных преобразований C.1.1) можно получить выражение для
ВФН сигнала при сегментной обработке:
2-n-k-l
Ls
i\s—i
2Ld l-Ns+n
ль+л-да-exp \-j
2-iz-v-n
~N
C.3.1)
Таким образом, при сегментной обработке образуется семейство ВФН для
разных доплеровских каналов, в которых %cv{m,k) зависит не только от значе-
значений относительных задержек т и частот к, но и от абсолютного значения v
доплеровской частоты обрабатываемого сигнала.
Произведем оценку значений главного пика ВФН %с v(m,k) при сегментной
обработке в зависимости от параметров (c,v) дальностно-доплеровского кана-
канала. Полагая в C.3.1) значения относительных расстроек по задержке т = 0 и
частоте к = 0, получим
_1_
Ns
. (n-v
sin
'¦ • expl - j-n-v--
sin — ' v
Ns-l
N
C.3.2)
Выражение C.3.2) показывает, что при сегментной обработке величина главного
пика Xc,v (Р>0)в с-том корреляционном канале при v = 0 не отличается по значению
от главного пика ВФН при классической корреляционно-фильтровой обработке и
равна коэффициенту приема Ап(с)= 1-Л(с)/К сигнала. Однако, с увеличением
номера v доплеровского канала значение главного пика Xc,v (P>0) падает в соответ-
соответствии с частотной характеристикой устройства сжатия сегментов сигнала
. (n-v
sm
_L I Ls
Ns
sm
f n-v
I
• exp -j-n-v-
Ns-l
N
C.3.3)
Выражение (З.З.З) позволяет дать оценку величины этих потерь по сравне-
сравнению с квазинепрерывной корреляционно-фильтровой обработкой
1
C.3.4)
где: ^f2 — отношение сигнал-шум по мощности на выходе с-го дальностного
канала корреляционно-фильтрового устройства обработки сигналов;
q2cv — отношение сигнал-шум по мощности на выходе с-го дальностного и
v-ro доплеровского канала устройства при сегментной обработке
сигналов.
8* Зак 14
233

График зависимости потерь в отношении сигнал-шум на сегментную обра-
обработку представлен на рис. 3.3.1.
Yv>
А
4
3
9
1
П
дБ
-г—~~
/
/
" 0 0.1 0.2 0.3 v/L?
Рмс. 3.3.1. Потери в отношении сигнал-шум на сегментную обработку
При максимальной доплеровской частоте обрабатываемого сигнала
v/Ls = 0.5 значение отклика на выходе устройства обработки уменьшается до
уровня 0,64 от максимального значения, т.е. максимальные потери на сегмент-
сегментную обработку не превышают 4 дБ.
Приведем диаграммы, иллюстрирующие основные этапы сегментной обра-
обработки модулирующей последовательности W квазинепрерывного сигнала длиной
N = 16384 с пик-фактором pf = 5, доплеровским смещением частоты и = 4и
задержкой s = 32. При анализе характеристик ВФН будем полагать, что, исходя
из требований ширины анализируемого доплеровского диапазона, длина сегмен-
сегмента составляет Ns = 64 отсчета. Тогда при заданной длине модулирующей после-
последовательности количество сегментов на длине сигнала равно Ls = 256.
На рис. 3.3.2 приведены квадратурные компоненты: а) — реальная и б) —~
мнимая составляющие сжатых сегментов последовательности. Как видно из
диаграмм, в 32-м дальномерном канале есть корреляционные пики сжатых сег-
сегментов, модулированых по амплитуде в соответствии со значением доплеровс-
доплеровской частоты. В других дальномерных каналах наблюдается фон, обусловленный
боковыми лепестками ВФН.
а) б)
Рис. 3.3.2. Сегментное сжатие сигналов в квадратурных каналах
234

Результаты второго этапа спектральной обработки на основе быстрого
преобразования Фурье размерности Ls = 256 приведены на рис. 3.3.3. Как вид-
видно из результатов обработки (рис. 3.3.3,а), в корреляционном канале, согласо-
согласованном по задержке с = 32 и частоте v = 4 с параметрами обрабатываемой
последовательности, наблюдается пик сжатого сигнала. В дальномерном канале
с номером с = 32 наблюдается повышенный фон боковых лепестков по сравне-
сравнению с откликами в других дальностно-доплеровских каналах обработки.
Отдельно вид частотных откликов в этом дальномерном канале приведен на
рис. 3.3.3,6. Над общим уровнем боковых лепестков явно выделяется пик сжа-
сжатого сигнал в 4-том частотном канале.
м>)< дБ
ДC2,у), дБ
О
а)
Рис. 3.3.3. Результаты спектральной обработки сегментов сигнала
Для сравнения на рис. 3.3.4 представлены результаты обработки модулиру-
модулирующей последовательности при увеличении доплеровскои частоты до значения
v = 124 .
а)
Рис. 3.3.4. Результаты спектральной обработки сегментов сигнала
235

На рис. 3.3.4,а можно видеть, что отклик на обрабатываемый сигнал пере-
переместился в 124-тый частотный канал. Однако можно заметить (рис. 3.3.4, б) что
с увеличением доплеровской частоты обрабатываемого сигнала значение глав-
главного пика в 124-том частотном канале уменьшилось не более, чем на 4 дБ.
В других дальностно-доплеровских каналах обработки уровень помех по боко-
боковым лепесткам практически не изменился.
Приведенные результаты позволяют утверждать, что:
¦ в дальномерных каналах, настроенных на нулевую доплеровскую часто-
частоту, среднеквадратический уровень боковых лепестков ВФН не отлича-
отличается от оценок A.3.4) и A.3.11) при классической обработке;
¦ в дальномерных каналах, настроенных на анализируемую доплеровскую
частоту, среднеквадратический уровень боковых лепестков ВФН возра-
возрастает пропорционально частотной характеристике \h(vJ ;
¦ в дальномерных каналах, настроенных на максимальную доплеровскую
частоту, среднеквадратический уровень боковых лепестков ВФН возра-
возрастает на 4 дБ.
Таким образом, результаты исследований подтверждают целесообразность
и эффективность применения сегментной обработки сигналов в ограниченном
дальностно-доплеровском диапазоне. Целесообразность подтверждается значи-
значительным сокращением аппаратных затрат на обработку, а малые потери в
отношении сигнал-шум на сегментную обработку практически не снижают ее
эффективность.
3.4. Исследование методов повышения
эффективности доплеровской селекции целей
при сегментной обработке сигналов
Доплеровская селекция движущихся целей служит основным средством
обнаружения скоростных целей на фоне мешающих отражений. Как отмечалось
ранее, качество селекции движущихся целей определяется уровнем боковых
лепестков в доплеровском сечении ВФН квазинепрерывных сигналов. Приведен-
Приведенные ранее характеристики ВФН сигналов при квазинепрерывной обработке
свидетельствуют об относительно высоком уровне боковых лепестков в доплеров-
доплеровском сечении, и это ограничивает различимость сигналов по частоте.
Задачей настоящего раздела является исследование методов повышения
эффективности доплеровской селекции при сегментной обработке квазине-
квазинепрерывных сигналов.
3.4.1. Процедура нормировки
сжатых сегментов сигнала
Как отмечалось в предыдущем разделе, сегментная обработка квазине-
квазинепрерывных сигналов большой длительности включает два этапа. На первом
этапе обработки производится сжатие сегментов сигнала без учета доплеров-
236

ской частоты в заданном диапазоне задержек Ат. На втором этапе для каждо-
каждого элемента разрешения по дистанции выполняется спектральная обработка
на основе быстрого преобразования Фурье последовательности значений сжа-
сжатых сегментов сигнала.
Рассмотрим модификацию метода сегментной обработки квазинепрерыв-
квазинепрерывных сигналов, позволяющего повысить различимость сигналов по доплеровско-
му сдвигу частоты. Суть метода сводится к применению процедуры нормиров-
нормировки к последовательности значений сжатых сегментов сигнала в каждом
корреляционном канале перед выполнением спектральной обработки.
Для изложения предлагаемого метода вернемся к базовому алгоритму
обработки квазинепрерывных сигналов, описываемому процедурами сегмент-
сегментного сжатия C.2.3) и спектральной обработки C.2.4).
Особенности предлагаемого алгоритма будем иллюстрировать, как и ранее,
на примере обработки модулирующей последовательности W квазине-
квазинепрерывного сигнала длиной N = 16384 с пик фактором pf = 5 . При этом будем
полагать, что длина сжимаемых сегментов составляет Ns = 64 отсчета, а коли-
количество сегментов на длине модулирующей последовательности равно Ls = 256.
Как и ранее, обрабатываемая последовательность обладает нормированным
доплеровским смещением частоты и = 4 и задержкой s = 32.
Рассмотрим более детально особенности сжатия сегментов обрабатываемо-
обрабатываемого сигнала. Для этого обратимся к результатам сегментного сжатия модулиру-
модулирующей последовательности, представленным на рис. 3.3.2. Выделим последова-
последовательность значений сжатых сегментов г;C2) в 32-ом дальномерном канале
обработки и отобразим ее на рис. 3.4.1 в виде квадратурных компонент. Синфаз-
Синфазная составляющая последовательности значений сжатых сегментов сигнала
представлена на рис. 3.4.1,а, а квадратурная — на рис. 3.4.1,6.
Последовательность значений сжатых сегментов сигнала в квадратурных
каналах обработки будет представлять собой дискретный синусоидальный сиг-
сигнал с доплеровским сдвигом частоты. Обратим внимание на флюктуации амп-
амплитуд сжатых сегментов сигнала. Вследствие того, что квазинепрерывный сиг-
сигнал характеризуется нерегулярным (псевдослучайным) законом амплитудной
манипуляции, пик-фактор pfl9l =O...Ls-1 отдельных сжимаемых сегментов
64 128 192 /
32
16
О
-16
-32
л
V
V
А
А
V
О 64 128 192 /
а) б)
Рис. 3.4.1. Вид откликов сжатых сегментов сигнала
237

сигнала будет различным, и, следовательно, амплитуды сжатых сегментов будут
флюктуировать по уровню.
Для повышения эффективности селекции движущихся целей в модифици-
модифицированном методе обработки предлагается использовать процедуру нормиров-
нормировки значений сжатых сегментов сигнала. Поскольку структура демодулирующих
последовательностей, подаваемых на корреляционные устройства сжатия сег-
сегментов сигнала, известна, то нормирующие коэффициенты Кнорм можно опре-
определить по выражению:
Ns-l
К
нормс1
s+n-c) ' Xraodd-Ns+n) •
C.4.1)
сн =
Pf -
масштабирующая константа.
Ns-An
Поскольку в выражение C.4.1) входит компонента Хжаам+п), определяю-
определяющая сигнал коммутации приемного тракта обработки, то коэффициенты КнорМ( /
амплитудного взвешивания последовательности сжатых сегментов гх (с) будут
различными для каждого сжимаемого сегмента I = 0...L? -1 в корреляционных
каналах обработки с - l...Cmax-l.
Зная весовые коэффициенты Кнорм , можно выполнить нормировку отсче-
отсчетов сжатых сегментов сигнала:
п\с) = -
Кп
C.4.2)
Результаты сжатия сегментов модулирующей последовательности после их
нормировки в квадратурных каналах обработки представлены на рис. 3.4.2, где:
а) — реальная и б) — мнимая составляющие сжатых сегментов после их норми-
нормировки. Как можно видеть, применение процедуры нормировки позволило
устранить флюктуации значений сжатых сегментов сигнала.
а) б)
Рис, 3.4.2. Сжатие сегментов в квадратурных каналах с нормировкой
238

Более детальный вид квадратурных компонент сжатых сегментов сигнала
в 32-том дальномерном канале обработки представлен на рис. 3.4.3, а и б.
32
16
О
-16
-32
О
\ /
V
\ /
V/
N /
\ /
V
64
32
16
О
-16
-32
Л
V/
v Л
V
k Л
V >
k Л
V
192
128 192 / о 64 128
а> б)
Рис. 3.4.3. Квадратурные компоненты сжатых сегментов с нормировкой
Следует отметить, что последовательность значений сжатых сегментов не
имеет паразитной амплитудной модуляции и представляет собой «идеальный»
квадратурный дискретный синусоидальный сигнал.
Понятно, что в этом случае дальнейшее применение над нормированными
значениями сжатых сегментов сигнала весовой обработки с использованием
оконной функции в соответствии с выражением
7i(cWn(c\fw C.4.3)
позволит при спектральном анализе на основе БПФ получить уровень боковых
лепестков, определяемый функцией окна fw.
Результаты спектральной обработки сжатых сегментов сигнала после их
нормировки и весовой обработки отражены на рис. 3.4.4. Как видно из пред-
представленных результатов, удалось существенно снизить уровень помех по боко-
боковым лепесткам в доплеровском сечении ВФН. В частности, использование окна
Блэкмана [92] позволяет при спектральном анализе снизить уровень боковых
лепестков в частотной области до -58 дБ.
). д?
О
-20
-40
-60
-80
А
vw
0 32 64 96 v
Рис. 3.4.4. Спектральная обработка сегментов с нормировкой
239

Таким образом, предложенный метод обработки позволяет значительно
повысить эффективность доплеровской селекции целей. Эффективность метода
практически не зависит от закона амплитудной манипуляции квазинепрерывного
сигнала и позволяет получить предельно высокую доплеровскую селекцию целей,
характерную для непрерывных сигналов, которая полностью определяется видом
применяемой оконной функции при спектральном анализе.
3.4.2. Процедура интерполяции
сжатых сегментов сигнала
Следует отметить, что при широкой доплеровской полосе анализа возника-
возникает ситуация, когда некоторые из сжимаемых сигнальных сегментов могут быть
с «нулевой» энергией. Наличие «нулевых» сигнальных сегментов не позволяет
эффективно использовать процедуру нормировки. Предложения по
дальнейшей модификации базового алгоритма обработки квазинепрерывных
сигналов заключаются в следующем. Если принять, что пассивная помеха имеет
ограничение по максимальному доплеровскому смещению частоты, то можно
применить процедуру сглаживания (интерполяции) результатов сегментного
сжатия. Интерполяции целесообразно подвергать только «нулевые» нормиро-
нормированные отсчеты сжатых сигнальных сегментов п (с), / = O...Ls -1. После норми-
нормировки и интерполяции следует использовать ранее описанную процедуру
спектральной обработки с использованием весовых оконных функций fw .
Как и ранее, будем иллюстрировать алгоритм на примере обработки моду-
модулирующей последовательности W квазинепрерывного сигнала длиной
N = 16384 с пик-фактором pf = 5 . В отличие от предыдущего случая будем по-
полагать, что длина сжимаемых сегментов уменьшена в 4 раза и составляет
Ns = 16 отсчетов, а их количество будет равно Ls = 1024. Должно быть понят-
понятно, что уменьшение длительности сжимаемых сегментов и (или) увеличение
пик-фактора сигнала, несомненно, приведет к возрастанию их уровней флюк-
флюктуации. Для иллюстрации на рис. 3.4.5, а и б приведены квадратурные ампли-
амплитудные значения сжатых сигнальных сегментов в 32-ом дальномерном канале
обработки.
768
1т[лC2)]
8
0
256 512
а)
Рис. 3.4.5. Вид сжатых сигнальных сегментов
240

Следует обратить внимание на то, что некоторые амплитуды сжатых сег-
сегментов стали равными нулю. Поскольку структура модулирующей последова-
последовательности известна, то не представляет труда определить те порядковые номера
/ = Q...Ls -1, при которых сигнальные сегменты гх (с) и нормирующие коэффи-
коэффициенты Wsc, равны нулю.
Выполним нормировку C.4.2) только ненулевых сигнальных сегментов
rt (с), когда соответствующие им коэффициенты КнорМ(ш { не равны нулю
ГI \С) =
если КтрМс1 * О
если KHopMcJ = 0 .
C.4.4)
Результаты нормировки сжатых сегментов сигнала приведены на рис.3.4.6,
а и б в виде квадратурных компонент. Приведенные результаты нормировки
сегментов сигнала ясно отражают причину ухудшения доплеровскои селекции
целей. Наличие нулевых сигнальных сегментов не позволяет эффективно ис-
использовать процедуру весовой обработки нормированных сжатых сегментов
при спектральном анализе.
4
О
-4
^0
V
w
768
512 768 / 0 256 512
а) б)
Рис. 3.4.6. Вид сжатых сигнальных сегментов после нормировки
Дальнейшая модификация сегментного алгоритма обработки сигналов
заключается в применении процедуры сглаживания (интерполяции) результа-
результатов нормировки сжатых сегментов сигнала. Не останавливаясь подробно на
выборе и обосновании метода восстановления отсчетов сжатых сегментов, что
представляет собой предмет отдельного исследования, рассмотрим вариант
линейной интерполяции 5-го порядка.
Процедура сглаживания данных представлена формулой:
еСЛЫ
|Ап-2(с)+ n-i{c)+ rw(c)+ ri+2{c))/4, если К
норл,с}
= 0.
C.4.5)
На рис. 3.4.7, а и б приведены результаты сглаживания нормированных сжа-
сжатых сегментов в квадратурных каналах обработки для анализируемого 32-го даль-
номерного канала.
241

4
0
-A
-8
\ /
\J
\ f
\J
\ !
\J
\ /
\J
256
4
0
-4
-8
\J
л
\J
\J
k л
\J
768
512 768 / ~ 0 256 512
a) 6)
Рис, 3,4.7. Вид сжатых сигнальных сегментов после интерполяции
Как следует из приведенных результатов, на последующую доплеровскую
фильтрацию поступает «восстановленный» синусоидальный сигнал. После
интерполяции следует использовать ранее описанную процедуру спектрального
анализа с использованием техники взвешивания данных по закону выбранной
оконной функции fw. Для нашего случая результаты спектрального анализа
представлены на рис. 3.4.8.
о
-20
-40
-60
-80
0 128 256 384 v
Рис. 3.4.8. Результаты спектральной обработки после интерполяции
Как видно, предлагаемая процедура сглаживания данных при спектраль-
спектральном анализе позволила значительно снизить помеховый фон и тем самым вос-
восстановить качество доплеровской селекции целей.
3.4.3. Исследование потерь в отношении
сигнал/шум при применении процедур
нормировки и интерполяции
Применение процедур нормировки и интерполяции приводят к потерям в
отношении сигнал/шум. Исследование потерь в отношении сигнал-шум произ-
производилось путем статистического анализа дисперсии амплитудных весовых коэф-
коэффициентов Ктрл,с для различных структур и периодов iV модулирующих
242

последовательностей W. Анализ потерь производился для различных длин Ns
сжимаемых сегментов сигнала и, следовательно, при различных размерностях
процедур БПФ Ls.
Результаты исследований показали, что величина потерь в отношении сиг-
сигнал/шум зависит как от пик-фактора pf квазинепрерывных сигналов, так и от
длины сжимаемых сегментов, но практически не зависит от размерности проце-
процедуры БПФ.
Полученные зависимости величины потерь в отношении сигнал/шум 7г/ш
от длины сегмента Ns для различных значений пик-фактора pf приведены на
рис. 3.4.9.
Ус/ш>дБ
з
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0 32 64 96 Ns
Рис. 3.4.9. Потери в отношении сигнал/шум
Л
\Y
<¦—_
===3
Как видно, при достаточно больших длинах Ns > 128 сжимаемых сегментов
потери не превышают 0.3 дБ для значений пик-фактора сигнала? лежащих в
диапазоне pf = 3...7. С уменьшением длины сегмента и с увеличением пик-
фактора квазинепрерывного сигнала потери в отношении сигнал/шум возраста-
возрастают. При длине сегмента Ns = 16 потери составляют 0.8-2.3 дБ при изменении
пик-фактора от 3 до 7. Повышенный уровень потерь при малых длительностях
сегмента вызван возникновением «нулевых» сегментов. При увеличении пик-
фактора сигнала количество «нулевых» сегментов возрастает, что приводит к
росту потерь. Однако возникающие потери в отношении сигнал-шум на норми-
нормировку и интерполяцию незначительно снижают эффективность сегментной
корреляционно-фильтровой обработки квазинепрерывных сигналов.
Таким образом, модифицированный метод обработки с применением про-
процедур нормировки и интерполяции по своим показателям значительно превос-
превосходит базовый сегментный корреляционно-фильтровой алгоритм обработки
квазинепрерывных сигналов. Предложенный метод повышения селектирующих
свойств квазинепрерывного сигнала по доплеровской частоте позволяет
получить предельно высокую доплеровскую селекцию, характерную для непре-
непрерывных сигналов. Однако следует отметить, что с увеличением доплеровской
частоты помехи эффективность селекции уменьшается.
243

3.5. Приоритетная корреляционно-фильтровая
обработка квазинепрерывных сигналов
Повышение разрешающей способности по дальности и увеличение базы
фазоманипулированных квазинепрерывных сигналов способствуют повышению
помехоустойчивости РЛС. Однако в этом случае увеличивается число дально-
мерных каналов обработки, и, как следствие, усложняется техническая
реализация устройств обработки сигналов.
В настоящем разделе исследуется метод приоритетной обработки ампли-
тудно-фазоманипулированных сигналов, позволяющий значительно сократить
аппаратные затраты на реализацию корреляционно-фильтрового устройства
обработки. Проводится оценка потерь в отношении сигнал/шум в зависимости
от пик-фактора амплитудно-фазоманипулированных сигналов. Предлагается
метод оптимизации закона амплитудной манипуляции квазинепрерывных
сигналов, позволяющий устранить энергетические потери при приоритетной
обработке.
3.5.1. Принцип приоритетной обработки
квазинепрерывных сигналов
Квазинепрерывный сигнал излучается отдельными фазоманипулированными
посылками, длительность и интервал следования которых носит псевдослучайный
характер и определяется модулирующей последовательностью. Будем полагать,
что амплитудная манипуляция модулирующей последовательности
W = {wj}, wi g { О, ±1/ заданной длины N определяется двоичной последователь-
последовательностью X ={х;}, jc,- = |w,-j, xi e { 0, 1/, / = O..JV-1. При корреляционно-фильтро-
корреляционно-фильтровой обработке сигналов часть времени, когда демодулирующая последовательность
равна нулю wt_c = 0, каждый коррелятор сегментного сжатия сигналов работает
«вхолостую». В связи с этим возникает желание использовать паузы в работе
корреляторов для обработки фазоманипулированных посылок, задержка которых
согласована с другими дальномерными каналами. С этой целью предлагается в ус-
устройство сегментного сжатия сигнала ввести коррелятор на обработку отдельных
фазоманипулированных посылок длительностью Ах = jux-A. Очевидно, в этом
случае обработка сегментов сигнала должна состоять из сжатия отдельных
фазоманипулированных посылок и суммирования результатов сжатия на длитель-
длительности сегмента сигнала Ts = Ns-A.
С целью сокращения аппаратных затрат на реализацию сегментного кор-
корреляционно-фильтрового устройства исследуем возможность применения одно-
одного коррелятора для сжатия фазоманипулированных посылок эхо-сигналов,
имеющих различные задержки.
Для этого разделим весь диапазон обработки сигналов, состоящий из
С max элементов разрешения, на Р зон дальности. При этом каждая зона даль-
дальности будет содержать Мр =Cmax/F элементов разрешения.
Если т = 0...М -1 номер элемента разрешения в зоне дальности, а
р = 0...Р -1 номер зоны дальности, то будем полагать, что m-ый коррелятор дол-
244

жен «просматривать» элементы дальности с номерами с = т + р-М р
= 0...Р-1.
Отметим, что предложенное распределение элементов дальности выполнено таким
образом, что каждый коррелятор обрабатывает равноотстоящие друг от друга на
величину М р элементы дальности. В этом случае при псевдослучайной структу-
структуре амплитудной манипуляции квазинепрерывных сигналов возникает проблема од-
одновременной обработки перекрывающихся во времени фазоманипулированных
посылок отраженных сигналов. Эта проблема может быть решена установлением
приоритета в обработке фазоманипулированных посылок по зонам дальности
р = 0...Р -1 для каждого из элементов разрешения с-тл- р-М р. Например, мож-
можно отдать предпочтение в обработке фазоманипулированным посылкам с наиболь-
наибольшей задержкой. В то же время, можно распределить обработку фазоманипулиро-
фазоманипулированных посылок равновероятно по зонам дальности. Для этого необходимо в
моменты обработки перекрывающихся во времени фазоманипулированных посы-
посылок на коррелятор подавать в определенном порядке ту демодулирующую после-
последовательность Wi~m-P м р, задержка которой соответствует выбранной зоне дально-
дальности р = 0...Р -1. Определим позиционный код cf, который устанавливает порядок
обрабатываемых перекрывающихся во времени фазоманипулированных посылок
сигнала, принадлежащим отражениям от разных зон дальности.
Функциональная схема приоритетной корреляционно-фильтровой обра-
обработки сигналов представлена на рис. 3.5.1 для дальномерного канала, реализу-
реализующего обработку сигналов, принадлежащих Р зонам дальности.
В предложенном устройстве дальномерный канал содержит коррелятор
(выделенный темным фоном), состоящий из умножителя и накапливающего сум-
сумматора. Введенный коррелятор выполняет функцию обработки отдельных
фазоманипулированных посылок эхо-сигналов. Функциональное назначение
остальных б>локов идентично блокам сегментного корреляционно-фильтрового
устройства (рис. 3.2.1). Опишем процесс сжатия сегментов сигналов в m-ом даль-
номерном канале. _
Дискретные отсчеты фазоманипулированных посылок s(s, vs). • xt поступа-
поступают на первый вход умножителя коррелятора. На второй вход умножителя через
мультиплексор MS поступают в течение длительности фазоманипулированной
посылки символы лишь одной из Р задержанных демодулирующих
последовательностей м?г_т_рМ , ре [о...Р-l].
,-т-р-М |
Рис. 3.5.1. Схема приоритетной обработки сигналов
245

Отметим, что задержки демодулирующих последовательностей соответству-
соответствуют Р элементам разрешения с = т + р-М р, те р..М р -1J, р = 0...Р-1. Какая
из демодулирующих последовательностей подается на коррелятор, определяет-
определяется кодом зоны дальности СД поступающим на управляющие входы мультиплек-
мультиплексора MS. Демодулированные отсчеты S- обрабатываемых фазоманипулирован-
ных посылок с выхода умножителя поступают на накапливающий сумматор
коррелятора. Количество накапливающих отсчетов равно jux и определяется
длительностью фазоманипулированных посылок Ах - \хх • А. Результат корреля-
корреляционной обработки текущей фазоманипулированной посылки поступает в тот
накапливающий сумматор сегментов сигнала, который соответствует задержке
обрабатываемой посылки. Выбор накапливающего сумматора сегментов сигна-
сигнала производится кодом Cf зоны дальности. В течение времени, равного длитель-
длительности Ts сегмента сигнала, один коррелятор и Р накапливающих сумматоров ре-
реализуют обработку сегментов сигнала в Р элементах разрешения по дальности
с = т + р-М рУ р = 0...Р-1 .Вт -ом дальномерном канале значения сжатых сег-
сегментов сигнала г{ (с), / = 0 ... Ls -1 заносятся в оперативные запоминающие уст-
устройства (ОЗУ). После этого переключаются банки ОЗУ, и процесс демодуляции
и приоритетной обработки повторяется в последующем цикле зондирования
пространства. Отметим, что подобным образом производится обработка сигна-
сигналов в других дальномерных каналах.
Одновременно с описанным процессом выполняется операция доплеров-
ской фильтрации над сжатыми сегментами сигнала на основе быстрого преоб-
преобразования Фурье. Процессоры БПФ принимают Ls запомненных квадратур-
квадратурных отсчетов г} (с) и выполняют над ними стандартную процедуру вычисления
БПФ размерности Nfft = Ls последовательно для всех элементов разрешения
по дистанции с = 1 ... С max.
Дадим сравнительную оценку аппаратных затрат на реализацию корреля-
корреляционно-фильтрового устройства при сегментной и приоритетной обработке
сигналов. Будем полагать, что сопоставляемые варианты имеют одно и то же
количество элементов разрешения по дальности и частоте.
Как следует из приведенных функциональных схем (рис. 3.2.1 и рис. 3.5.1), в
предложенном устройстве количество канальных умножителей сокращается в
число раз, равное количеству зон дальности. Однако в устройство входит
М р =Ста.х/Р накапливающих сумматоров фазоманипулированных посылок,
выполняющих в общем случае \хх операций суммирования. Количество накап-
накапливающих сумматоров сегментов сигнала в сопоставляемых вариантах одинако-
одинаково и определяется только числом Стах элементов разрешения по дальности. Од-
Однако следует отметить, что накапливающие сумматоры сегментов сигнала в
предложенном устройстве выполняют в Ns/jhx раз меньше операций суммирова-
суммирования на длительности сегмента сигнала. Поэтому требования к производительно-
производительности накапливающих сумматоров сегментов сигнала в предложенном устройстве
в /лх раз ниже. Относительно оперативных запоминающих устройств (ОЗУ) мож-
можно сделать следующее заключение: их объем и требования к быстродействию со-
сохраняются. Поскольку в предложенном варианте применяется сегментная обра-
обработка сигналов, то размерность процедуры БПФ не отличается, а, следовательно,
и требования к производительности процессоров сохраняются.
246

Таким образом, в практических случаях применение приоритетной обра-
обработки сигналов позволяет сократить количество умножителей в 4-8 раз. Аппа-
Аппаратная реализация описанных функциональных узлов ориентирована на про-
программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС) и сигнальные
процессоры.
3.5.2. Оценка энергетических потерь
на приоритетную обработку
Как отмечалось выше, при приоритетной обработке сигналов производится
динамическая корреляционная обработка принимаемых фазоманипулирован-
ных посылок. При псевдослучайной структуре амплитудной манипуляции
квазинепрерывных сигналов неизбежны энергетические потери.
Произведем оценку потерь в отношении сигнал/шум при приоритетной
обработке квазинепрерывных сигналов, когда предпочтение отдается обработке
фазоманипулированных посылок с наибольшим значением задержки.
Исследования показали, что потери по сравнению с согласованной обра-
обработкой практически не зависят от закона амплитудной манипуляции, а опреде-
определяются пик-фактором и числом зон дальности. С уменьшением номера зоны
дальности энергетические потери возрастают практически на постоянную ве-
величину, зависящую от пик-фактора сигнала.
В качестве примера на рис. 3.5.2 приведены зависимости потерь в отноше-
отношении сигнал-шум при 4-х зонах дальности для значений пик-фактора модулиру-
модулирующих последовательностей pf -5,1 и 11.
Как видно, потери в сигнал/шум в 4-ой зоне дальности (с е [385; 512]) в сред-
среднем составляют 1.2 дБ, 0.7 дБ, 0.5 дБ для значений пик-фактора модулирующих
последовательностей pf = 5, 7 и 11 соответственно. Величина этих потерь обус-
обусловлена только квазинепрерывной обработкой сигнала. В 3-ей зоне дальности (с
е [257; 384]) возникли дополнительные потери на приоритетную обработку,
величина которых равна в среднем 2 дБ, 1.3 дБ, 0.8 дБ для значений пик-факто-
пик-фактора сигнала pf = 5,1 и 11 соответственно. Динамика роста потерь с уменьшением
номера зоны дальности выше для сигналов с меньшим значением пик-факто-
ус ш(с\ дБ
О
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
| 1
О 128 256 384 с
Рис. 3.5.2. Потери в отношении сигнал-шум при 4-х зонах дальности
, ч, ^-^
\
1 ¦ \ |
Pf
Pf =5
1
1 \\
Р/
= 7
= 11
247

pa. Так для модулирующих последовательностей с пик-фактором pf = 5, 7 и 11,
увеличение потерь происходит в среднем на 0.9 дБ, 0.6 дБ и 0.4 дБ, соответствен-
соответственно. В 1-ой зоне дальности (с е [1; 128]) потери составляют уже 4 дБ, 2.7 дБ и 1.8 дБ
при пик-факторах сигнала pf = 5, 7 и 11, соответственно.
3.5.3. Оптимизация квазинепрерывных сигналов
при приоритетной обработке
Энергетические потери можно исключить за счет оптимизации закона
амплитудной манипуляции модулирующей последовательности квазинепрерыв-
квазинепрерывных фазоманипулированных сигналов. Для этого необходимо установить такой
закон амплитудной манипуляции, который обеспечивает отсутствие совпадений
в модулирующих последовательностях w,.. с, сдвинутых на величину,
кратную количеству элементов разрешения в зоне дальности. В этом случае
обрабатываемая фазоманипулированная посылка не может перекрываться во
времени с другими и поэтому приоритет будет отдан той зоне дальности,
которой принадлежит эта отраженная фазоманипулированная посылка.
Отсюда вытекает требование к структурным, а, следовательно, и к корре-
корреляционным свойствам двоичной последовательности X ={*:,.}.
Необходимо синтезировать двоичную последовательность, корреляцион-
корреляционная функция которой удовлетворяет условию
C.5.1)
i'=0
Предлагаемая оптимизация структуры последовательности X = {х}}, удовлет-
удовлетворяющая критерию C.5.1), описывается следующей рекурсивной процедурой:
p-i _
где: F = {y;}, y,- e { 0, 1/ — базовая псевдослучайная двоичная последователь-
последовательность периода Nx ~ N с пик-фактором pfY.
Как видно из C.5.2), процедура формирования символов последовательно-
последовательности X = {xj} на основе базовой последовательности Y = {у7} заключается в ре-
рекурсивной проверке значений ранее сформированных символов последователь-
последовательности jc;. . Если в момент времени (/) все символы х{_рС для р = 1...Р-1 равны
нулю, то значение символа последовательности xf = yt, в противном случае
Определим значение пик-фактора pf последовательности X ={jcf}, восполь-
воспользовавшись вероятностными характеристиками псевдослучайных последователь-
последовательностей. Вероятностные характеристики определяются следующим образом:
¦ 1/pf — вероятность того, что /-ый символ последовательности X при-
принимает значение, равное единице;
¦ l/pfy — вероятность того, что z'-ый символ последовательности Y при-
принимает значение, равное единице;
248

/ \i—1
¦ i_ i — вероятность того, что среди (P-l) символов после до-
I f)
вательности X , сформированных на предыдущих итерациях, но уча-
участвующих в формировании г-го символа этой последовательности, хотя
бы один принимает значение, равное единице.
Тогда, исходя из рекурсивной процедуры формирования последовательно-
последовательности X ={*,.}, вероятность того, что /-ый символ данной последовательности
принимает значение, равное единице, будет определяться равенством
C.5.3)
Трансцендентное уравнение C.5.3) не имеет аналитического решения, но
можно построить семейство кривых с аргументом Р и параметром pfy. На
рис. 3.5.3 приведены зависимости пик-фактора pf формируемой последова-
последовательности X = {xf} на основе базовой последовательности Y = {у.} с пик-факто-
пик-фактором pfy = 2, 3, 5 от количества Р зон дальности.
pf
и
10
9
^ ^- *"~ '
^^
^ ¦
5
3
2
7
6
5
4 4 5 6 7 Р
Рис. 3.5.3. Зависимости пик-фактора формируемой последовательности
Произведем анализ структурных и спектрально-корреляционных характе-
характеристик двух двоичных последовательностей X = {х,} длины N = 16384 на основе
базовых последовательностей с различным значением пик-фактора для 4-х зон
дальности размером С = 128 элементов разрешения.
Вид первой последовательности, сформированной при пик-факторе базо-
базовой последовательности pfy = 2 , представлен на рис. 3.5.4, а. На рис. 3.5.4, б
представлена структура второй последовательности, сформированной при пик-
факторе базовой последовательности pfy - 5. Из первых 1024 представленных
символов видно, что структура оптимизированных последовательностей имеет
нерегулярный характер. Значение пик-фактора равно pf = 4.98 и pf = 7.88
соответственно для первой и второй сформированных последовательностей.
Покажем, что корреляционные функции (КФ) сформированных последо-
последовательностей удовлетворяют условию C.5.1). На рис. 3.5.5, а и б представлены
249

о
III
1
I 11111
1
512 768 i о 256 512
a) 6)
Рис. З.5.4. Структура двоичных последовательностей
768
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
illJitl I lit in
1
512
1024
a)
1536
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1 I
0
512 1024 1536 с
б)
Рис. 3.5.5. Корреляционные функции двоичных последовательностей
нормированные корреляционные функции соответственно первой и второй
анализируемой последовательности.
Как видно, значения боковых лепестков КФ анализируемых последователь-
последовательностей на задержках, кратных С = 128, равны нулю и, следовательно, удовлет-
удовлетворяют условию C.5.1). В неоптимизированных точках по задержке в пределах
обрабатываемого диапазона задержек с < С max =512 КФ имеет практически
постоянный среднеквадратический уровень боковых лепестков, равный
Как показали результаты исследований, на задержках, величина которых
кратна С max = 512 и лежит за пределами области оптимизации, наблюдаются
всплески боковых лепестков. Уровень этих всплесков определяется пик-факто-
пик-фактором базовой последовательности rx(cmax) = I/pfy и не зависит от значений
параметров С max, С, Р. Так, при пик-факторе базовой последовательности
pfy - 2 уровень первого всплеска бокового лепестка на 6 дБ ниже главного
пика КФ. Уровень второго всплеска бокового лепестка на задержке с = 1С max
на 12 дБ ниже главного пика.
Дадим характеристику спектральных плотностей мощности анализируемых
последовательностей. Спектральные плотности сформированных последователь-
последовательностей при пик-факторе базовой последовательности pfy - 2 и pfy = 5 представ-
представлены на рис. 3.5.6, а и б, соответственно.
250

Sx(v), дБ
О
0
0
-30
-40
-50
Mml т ш
1
1 1 1
uJkilii nli
64
128 192
Рис. 3.5.6. Спектральные плотности двоичных последовательностей
Спектральные плотности Sx(v) анализируемых последовательностей пред-
представляет собой нерегулярно пульсирующую функцию. Среднеквадратический
уровень пульсаций соответствует теоретической оценке. Однако в зависимостях
Sx(v) можно видеть медленную флюктуацию боковых лепестков с периодом
v = N/C max. Глубина флюктуации при фиксированных значениях С max, С, Р
уменьшается с увеличением пик-фактора базовой последовательности.
Произведем оценку величины потерь на квазинепрерывную обработку
сигналов с оптимизированной структурой огибающей.
Как было показано ранее, потери в отношении сигнал/шум при квазинеп-
квазинепрерывной обработке определяются значением Ап(с) энергетической функции
приема сигналов. Зависимости коэффициента приема эхо-сигналов от номера
дальномерного канала обработки представлены на рис. 3.5.7, а и б, соответ-
соответственно для первой и второй оптимизированной двоичной последовательнос-
последовательности. Как видно из приведенных зависимостей, в корреляционных каналах с но-
номерами с = 128, 256 и 384, значение которых кратно С = 128 , коэффициент
приема равен 1. Среднее значение коэффициент приема в остальных каналах
удовлетворяет соотношению An = 1-1/ pf. Поэтому потери в отношении сигнал/
шум при приоритетной обработке сигналов не отличаются от потерь при других
псевдослучайных законах амплитудной манипуляции с тем же значением пик-
фактора сигнала.
Лп(с)
1
0.8
06
04
0.2
0
)
0
128 256
а)
Рис.
384
3.5.7.
Лп{с)
1
0.8
0.6
0 4
0 2
и
с 0 128
Коэффициент приема сигналов
256 384 с
б)
251

Таким образом, результаты исследований говорят об целесообразности
применения приоритетной обработки квазинепрерывных фазоманипулирован-
ных сигналов.
3.6. Корреляционно-фильтровая обработка
сигналов в большом диапазоне
доплеровских сдвигов частоты
Необходимо отметить, что корреляционно-фильтровая схема имеет ограни-
ограничения при обработке дискретно-кодированных сигналов с большой базой в
широком диапазоне частот. Они связаны с тем, что высокоскоростная цель за
время, равное длительности сигнала, может преодолеть расстояние, сопостави-
сопоставимое или превышающее размер элемента разрешения по дистанции. Другими
словами, движение цели вызывает не только доплеровское смещение частоты,
но и изменение длительности сигнала, которое необходимо учитывать при его
согласованной обработке. Пока длительность сигнала невелика, и скорость
цели такова, что изменение длительности не превышает небольшой части эле-
элемента разрешения по дистанции, этим эффектом можно пренебречь, но при
нарушении этих условий необходимо модифицировать схему обработки.
Условие применимости корреляционно-фильтровой схемы обработки мож-
можно записать в виде:
VrTe<d0, C.6.1)
где: Vt — радиальная скорость цели,
Тс ¦— длительность сигнала,
d0 — разрешающая способность сигнала по дальности.
После несложных преобразований, использующих известные соотношения
между параметрами сложного сигнала и доплеровским сдвигом частоты,
получаем ограничение на величину базы Б сложного сигнала:
B<J^~, C.6.2)
max
где /0 — несущая частота зондирующего сигнала;
Fmax — максимальная величина доплеровского сдвига частоты обрабаты-
обрабатываемого сигнала.
Полагая, например, /0 = 10 ГГц, a Fmax = 50 КГц, получаем В < 200000, то есть
это ограничение существенно для квазинепрерывных сигналов с большой базой.
Для проектирования устройств обработки сигналов с большой базой удоб-
удобно наложить ограничения на максимальную величину доплеровского сдвига, а
не на базу сигнала:
4
?>
Если ограничить диапазон частот, анализируемый одним устройством кор-
корреляционно-фильтровой обработки, от до + —, то для анализа всего
2 В 2 В
252

диапазона частот потребуется параллельное соединение нескольких устройств
такого типа в соответствии со структурной схемой, приведенной на рис. 3.6.1.
На этой схеме изображены устройства корреляционно-фильтровой обра-
обработки, выполняющие обработку сигналов с большой базой во всем диапазоне
задержек. Диапазон доплеровских сдвигов частоты для каждого устройства
составляет AF = — . Параллельное включение таких устройств вместе с циф-
цифровыми гетеродинами, смещающими входной сигнал на величину, кратную
/0/Я", обеспечивает перекрытие требуемого диапазона частот. Ключевым эле-
элементом схемы является устройство нониусной задержки, которое обеспечива-
обеспечивает плавное (с мелким шагом, равным интервалу дискретизации входного сигна-
сигнала) изменение задержки опорного сигнала на один элемент разрешения по
задержке за время когерентной обработки сигнала. Для анализа положительных
сдвигов частоты задержка уменьшается, для анализа отрицательных — увели-
увеличивается. После окончания времени обработки сигнала задержка в этом устрой-
устройстве устанавливается в исходное состояние и процесс повторяется.
Входной
сигнал
(Re-Im)
г — —
1
Ж
Т ! -
Цифровой
гетеродин
+ Af
Устройство
нониусной
задержки -
, 1
Генератор опорной
последовательности
А
Т 1
L
Цифровой
гетеродин
-AF
Г
—>!
i
*
1
Устройство
корреляционно-
фильтровой
обработки
i,
k ^
Г
Устройство
нониусноп
задержки +
\
)„„. , „ w
Устройство
корреляционно-
фильтровой
обработки
Устройство
корреляционно-
фильтровой
о ра отки
— >
Выход +1
AF 3AF
2 <Id< 2
Выход 0
Выход -1
3AF N7
2 2
Рис. 3.6.1. Структурная схема модифицированного устройства
корреляционно-фильтровой обработки сигналов с большой базой
253

3.7. Выводы
1. Достоинством классической корреляционно-фильтровой обработки
сигналов с использованием процедур БПФ является отсутствие энерге-
энергетических потерь, за исключением потерь на квазинепрерывную обра-
обработку, обусловленную коммутацией тракта обработки. Однако при
реализации процедуры корреляционно-фильтровой обработки сигналов
большой длительности размерность процедур БПФ, определяемая
частотой следования выборок, оказывается чрезмерно высокой, а ши-
ширина вычисляемого частотного диапазона многократно превосходит
диапазон анализируемых доплеровских сдвигов частоты, неоправданно
увеличивая вычислительные затраты. Эти обстоятельства создают
большие сложности при практической реализации устройств обработки
сигналов в большом диапазоне задержек и в широкой анализируемой
полосе доплеровских частот. Применение весовой обработки при
доплеровской фильтрации квазинепрерывных сигналов не позволяет
существенно повысить эффективность доплеровской селекции движу-
движущихся целей.
2. Предлагаемая сегментная корреляционно-фильтровая обработка ква-
квазинепрерывных сигналов большой длительности позволяет значитель-
значительно снизить аппаратные затраты на реализацию устройств многоканаль-
многоканальной обработки. По сравнению с классическим устройством сегментное
Корреляционно-фильтровое устройство обработки значительно снижа-
снижает требования к производительности процессоров БПФ. Сегментно-
фильтровое устройство выполняет квазиоптимальную обработку сигна-
сигналов в заданном диапазоне доплеровских сдвигов частоты с
энергетическими потерями, не превышающими 4 дБ.
3. Применение процедур нормировки и интерполяции совместно с весо-
весовой обработкой сжатых сегментов сигнала позволяет при сегментной
корреляционно-фильтровой обработке квазинепрерывных сигналов зна-
значительно повысить эффективность доплеровской селекции целей. Пред-
Предлагаемые методы характеризуются малыми потерями в отношении
сигнал/шум. Достигаемая эффективность доплеровской селекции целей
полностью определяется видом применяемой оконной функции при
спектральном анализе и практически не зависит от закона амплитудной
манипуляции квазинепрерывного сигнала.
4. Предложенная приоритетная процедура и соответствующий ей парал-
параллельно-приоритетный метод обзора дистанции позволяют сократить
количество умножителей в дальномерных каналах обработки в число
раз, равное количеству зон приоритетности. Оптимизация закона амп-
амплитудной манипуляции квазинепрерывных сигналов при заданном чис-
числе зон приоритетности позволяет устранить энергетические потери при
их обработке. Однако следует отметить, что увеличение числа зон даль-
дальности приводит к возрастанию пик-фактора и соответствующему сни-
снижению энергетического потенциала.

Глава 4
РЕЖЕКЦИЯ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ
ОТ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
ПРИ КВАЗИНЕПРЕРЫВНОМ РЕЖИМЕ
ИЗЛУЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Псевдослучайный характер амплитудной манипуляции квазинепрерывно-
квазинепрерывного сигнала позволяет использовать специфический способ борьбы с мешающи-
мешающими отражениями от точечных объектов, основанный на дополнительном блан-
бланкировании корреляционных каналов на время действия импульсов помех. Этот
способ, называемый в дальнейшем временной режекцией, не может быть ис-
использован при непрерывном излучении, не имеет смысла при импульсном, но
является эффективным средством борьбы с мощными отраженными сигналами
при квазинепрерывном режиме работы [124].
Решение проблемы обнаружения слабых сигналов при воздействии мощ-
мощных мешающих отражений состоит в рассмотрении следующих взаимосвязан-
взаимосвязанных задач.
1. Исследование эффективности временной режекции мешающих отра-
отражений при обнаружении слабых сигналов.
2. Оценка энергетических потерь при режекции мешающих отражений в
зависимости от их количества и пик-фактора квазинепрерывного сигнала.
3. Разработка алгоритма адаптивной временной режекции при сегмент-
сегментной обработке сигналов и исследование его эффективности в зависимо-
зависимости от параметров квазинепрерывного сигнала.
4.1. Принцип временной режекции
мешающих отражений
Как уже отмечалось, коммутация приемно-передающего тракта исключа-
исключает непосредственное проникновение сигнала передатчика в корреляционные
каналы устройства обработки. Такой же принцип можно применить и для ре-
режекции мешающих отражений с задержками, отличными от нуля. Суть времен-
временной режекции мешающих отражений состоит в том, что в моменты поступления
на вход дальномерного корреляционно-фильтрового канала обработки
импульсов мощных помех производится бланкирование тех корреляционных
каналов, задержки опорных сигналов которых отличаются от задержек режек-
тируемых помех. Решение о режекции мешающих отражений может основы-
основываться на априорной информации или приниматься по результатам обработки
сигналов. Так, если на одном азимутальном направлении производится несколь-
несколько циклов зондирования и обработки сигналов, то информация о режектируе-
мых помехах из предыдущих циклов зондирования может использоваться в
последующих циклах обработки сигналов. Поскольку мешающие отражения
255

считаются мощными, то их задержки могут быть достаточно точно определены
за более короткий интервал времени их обработки.
Не останавливаясь подробно на методах принятия решения о наличии
мощных мешающих отражений и измерения их параметров, будем считать, что
на дистанции, состоящей из С max элементов разрешения, обнаружено Кп ме-
мешающих отражений и получены оценки задержек sk, к = 1...Кп.
В общем случае в каждом корреляционном канале следует режектировать
все мешающие отражения, которые отличаются по задержке от демодулирую-
щей последовательности. В этом случае можно определить матрицу режекции
помех:
10, если сФ sk
. ,с = 0...Стах,к = 1...К„. D.1.1)
1, если с = Sk
Элемент матрицы принимает значение 0, если номер канала обработки не
равен значению задержки помехи, и 1 — если номер канала обработки равен
значению задержки мешающего отражения.
Зная матрицу режекции помех D.1.1), дискретную последовательность
бланкирования ХреЖс = \хреж. с), лреж. с е 0, 1, / = 0...N -1 для с-го дальномерно-
го канала обработки необходимо формировать по правилу:
?=.O...Cmax. D.1.2)
Из выражения D.1.2) следует, что если на входе с-го корреляционного
канала обработки в / -ый момент времени присутствует активный импульс
Wf_s = 1 к-то мешающего отражения (за исключением с = sk), то символ после-
последовательности бланкирования принимает значения хреж. = О. Следует отме-
отметить, что РЛС не «слепнет» на тех дальностях, которые соответствуют режекти-
руемым помехам, поэтому такое разделение каналов дает возможность
отслеживать изменение задержек мешающих отражений.
С учетом вида дискретной последовательности бланкирования D.1.2), де-
модулирующую последовательность в с -том дальномерном канале обработки
следует строить по правилу посимвольного произведения
>V-/,C=^-;,C-W/-- D.1.3)
В каналах обработки элементы демодулирующей последовательности все-
всегда обращаются в 0, когда символ последовательности бланкирования хреж. = О,
тем самым обеспечивается режекция импульсов мощных мешающих отражений
в с-том дальномерном канале.
Произведем анализ эффективности режекции мощных помех. Необходимо
отметить, что приводимые результаты получены при априорно известных
значениях задержек мешающих отражений.
256

В качестве примера рассмотрим обработку линейной смеси двух слабых и
двух мощных сигналов при наличии шума. Обнаруживаемые слабые сигналы
имеют задержки s = \15, 55/ и частоты v = JI2, 15 j. Два мощных сигнала одина-
одинаковой интенсивности имеют задержки s = \75, 99/ и доплеровские сдвиги час-
частоты v ~ \10, 3/. Мощность полезных сигналов на 30 дБ и 40 дБ меньше мощно-
мощности помех. Мощность шумов на 30 дБ меньше мощности помех.
Для сопоставления приведем результаты обработки смеси сигналов длиной
N -16384 с пик-фактором р/=5и шума без применения временной режекции
мешающих отражений. На рис. 4.1.1,а представлены отклики при корреляцион-
корреляционно-фильтровой обработке смеси сигналов. Для наглядности результаты
обработки представлены в виде совмещенных по частоте профилей функции
отклика сигналов по задержке. Как видно, в результате обработки достоверно
обнаруживаются только мощные сигналы, а уровень помех по боковым
лепесткам ВФН исключает возможность обнаружения слабых сигналов.
Однако, как следует из рис. 4.1.1,6, применение режекции мешающих отраже-
отражений при обработке сигналов позволило практически полностью исключить
помехи. Можно также заметить, что амплитуды откликов сжатых сигналов
меньше, чем это должно было быть без временной режекции. Очевидно, эти
потери вызваны временной режекцией мешающих сигналов, а величина их
зависит от пик-фактора квазинепрерывных сигналов и числа режектируемых
мешающих сигналов.
R(c,v), дБ
-10
-20
-30 -|
-40
-50
-60-
R(c,v), дБ
О 32 64
а) без режекции помех
96
12S
0-
-10-
-20-
-30-
-40-
-50-
-60-
j
1
1
0 32 64
б) с режекцией помех
128
c,v
Рис, 4.1.1. Функции откликов при воздействии 2-х помех
Для анализа рассмотрим обработку (рис. 4.1.2) двух полезных сигналов и
шума при воздействии 4-х мешающих отражений с задержками
s = {47, 76, 95, 99) и доплеровскими сдвигами частоты v = \3, 2, 14, 2/.
Обнаруживаемые сигналы имеют задержки 5 = {ll, 29} и частоты
v = \15, 12j, а их мощности, как и ранее, на 30 дБ и на 40 дБ меньше мощности
помех. Соотношение мощностей помех и шума не изменяется.
На рис. 4.1.2,а представлены результаты обработки сигналов без примене-
применения временной режекции мешающих отражений. Можно видеть, что в резуль-
результате обработки, как и ранее, уверенно обнаруживаются и разрешаются только
9 Зак14 257

R(c,v),
0-
-10-
-20-
-30-
-40-
-50-
-60-
дБ
llll
4 j I 1 i
R(c,v),dE
О 32 64 96
а) без режекции помех;
^» c,v
и—
-10-
-20-
-30-
-40-
-50-
-60-
1
( \
\
1
I'M *.«'»
л*. ,
1
12S
0 32 64 96
б) с режекцией помех;
Рис. 4.1.2. Функции откликов при воздействии 4-х помех
128
мощные четыре сигнала. Интенсивность помех по боковым лепесткам возрос-
возросла и не позволяет выделить слабые сигналы на их фоне. Как следует из рис.
4.1.2,6, применение режекции мешающих сигналов также привело к
возможности достоверного обнаружения полезных сигналов. Однако следует
обратить внимание на увеличение энергетических потерь в откликах сигналов
на выходе корреляционных каналов обработки. Это вызвано временной
режекцией большего числа мощных сигналов.
Следует отметить, что возникают энергетические потери и при обнаруже-
обнаружении мешающих сигналов вследствие режекции других взаимных помех. Если
назначена матрица режекции по правилу D.1 Л, а), то мощные отражения будут
обнаруживаться без энергетических потерь.
Как видно из предварительных результатов, предлагаемый метод режек-
режекции помех инвариантен к их доплеровскому смещению частоты и позволяет
существенно повысить достоверность обнаружения слабых сигналов.
4.2. Оценка энергетических потерь
и оптимизация пик-фактора
квазинепрерывных сигналов
В качестве недостатка процедуры временной режекции помех следует от-
отметить наличие энергетических потерь при обработке сигналов в дальномерных
каналах обработки. При увеличении числа мешающих отражений растет пик-
фактор сигнала режекции X реж = \хреж.с \ и, следовательно, растут энергети-
энергетические потери обрабатываемых сигналов.
Энергетические потери при режекции мешающих отражений однозначно
связаны с коэффициентом наложения сигналов A.2.7). Чем меньше коэффици-
коэффициент наложения сигналов, тем меньше будут потери при режекции помех. При
режекции мешающих отражений коэффициент приема полезных сигналов
A.2.3) будет определяться выражением
258

1=0
D.2.1)
Для получения характеристик энергетических потерь воспользуемся веро-
вероятностной оценкой пик-фактора pfp&MC сигналов режекции X еж = р еж. ] и
пик-фактора pfnp принимаемых (обрабатываемых) сигналов в зависимости от
количества Кп мешающих отражений.
Если псевдослучайная последовательность коммутации передающего трак-
тракта характеризуется пик-фактором pf, то при режекции Кп мешающих
отражений пик-фактор последовательности режекции будет определяться
выражением
Р/реж = ipflipf ~ О)*"*1- D.2.2)
Используя зависимость D.2.2), можно дать следующую характеристику
пик-фактора принимаемых сигналов при режекции Кп помех
Pfnp ~ Pf '\Pf l\Pf ~ч) n+l D.2.3)
Зависимости пик-фактора pfpe}K сигнала режекции и пик-фактора pf
принимаемых сигналов от количества мешающих отражений приведены соот-
соответственно на рис. 4.2.1,а и рис. 4.2.1,6, когда параметром является пик-фактор
последовательности коммутации передающего тракта pf = 5, 7, 11.
Из приведенных зависимостей на рис. 4.2.1,а следует, что пик-фактор pf еж
сигналов режекции монотонно возрастает с увеличением числа режектируемых
мешающих отражений и тем быстрее, чем меньше пик-фактор pf сигнала
Pfpevc
100
80
60
40
20
Pfnp
100
80
60
40
20
/
>-¦'¦
1
/
/
у
1
У
ELzl
р/=7
2 4 6 8 10 12 14 16 18 Кп
а)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 Кп
б)
Рис. 4.2.1. Значение пик-фактора сигнала режекции и принимаемых сигналов
в зависимости от количества мешающих отражений
259

коммутации передающего тракта. Более сложный характер имеют зависимости
пик-фактора pfnp принимаемых сигналов от числа режектируемых помех. Из
зависимостей на рис. 4.2.1,6 следует, что при режекции не более 3-х мешающих
отражений минимальное значение пик-фактора принимаемых сигналов
достигается при меньшем пик-факторе сигнала коммутации передающего трак-
тракта. Однако с ростом числа режектируемых помех пик-фактор обрабатываемо-
обрабатываемого сигнала становится тем меньше, чем больше пик-фактор последовательнос-
последовательности коммутации передающего тракта.
Зависимости D.2.3) значений пик-фактора принимаемых сигналов от пик-
фактора сигналов коммутации передающего тракта при режекции помех при-
приведены на рис. 4.2.2. Параметром зависимостей является число режектируемых
помех Кп = 1,4,8, 12.
На приведенных графиках можно видеть «оптимальное» значение пик-
фактора квазинепрерывного сигнала при котором достигается минимум пик-
фактора принимаемых сигналов при фиксированном числе режектируемых
помех. Так, при режекции 4-х помех для максимизации принятой энергии необ-
необходимо иметь пик-фактор квазинепрерывного сигнала pf = 6, при режекции 8-
ми помех необходим пик-фактор зондирующего сигнала pf = 10.
Pfnp
100
80
60
40
20
0
1
1
•
i
\
\
\
\
\
\
\
.—
«——
„_——
„. ¦"*
—• —
'
— —"'
--
Кп=4
Kn =
2 4 6
10 12 14 16 18 pf
Рис. 4.2.2. Зависимости пик-фактора принимаемых сигналов
от пик-фактора зондирующего сигнала
Поскольку энергетические потери при режекции помех во многом опреде-
определяется степенью перекрытия во времени слабых сигналов с сильными отраже-
отражениями, то за счет выбора пик-фактора квазинепрерывных сигналов можно
минимизировать энергетические потери. Как следует из соотношения D.2.3),
при фиксированном числе режектируемых мешающих отражений Кп имеется
оптимальное значение пик-фактора квазинепрерывного сигнала и, следователь-
следовательно, сигнала коммутации передающего тракта, при котором достигается
максимальная энергия принимаемых сигналов
pfopl = Kn±2. D.2.4)
260

Можно привести аналитическую зависимость пик-фактора принимаемых
сигналов при оптимальном пик-факторе pfopt зондирующего квазинепрерывно-
квазинепрерывного сигнала:
PJopt пр / 4(^+1) '
График этой зависимости приведен на рис. 4.2.3.
D.2.5)
PJ opt пр
ни
80
60
40
20
***
2 4
10 12 14 16 18 Кп
Рис. 4.2.3. Зависимость пик-фактора принимаемых сигналов
от количества помех при оптимальном пик-факторе сигнала
Сопоставляя зависимости на рис. 4.2.1,6 и на рис. 4.2.3 можно видеть, что
оптимизация пик-фактора зондирующего сигнала позволяет значительно сни-
снизить пик-фактор принимаемых сигналов, начиная с режекции 6-ти мешающих
отражений.
Произведем оценку потерь в отношении сигнал/шум при введении времен-
временной режекции мешающих отражений.
Как показано в разделе 2.4, возникающие потери в отношении сигнал/шум
полностью определяются коэффициентами приема сигналов. Учитывая выраже-
выражения D.2.3) оценки пик-фактора принимаемых сигналов, можно определить
среднее значение коэффициента приема сигналов D.2.1) при режекции помех
АПреж =
N/pf
Pf-l
Pf
D.2.6)
Учитывая полученное выражение D.2.6) и выражение B.2.4) среднего ко-
коэффициента приема сигналов, можно дать следующую оценку потерь в отноше-
отношении сигнал/шум в зависимости от количества режектируемых помех:
Ус/ш
_ д_реж _ Апг _
Ли
Pf-l
Pf
D.2.7)
261

Графики, приведенные на рис. 4.2.4, а, отражают зависимость потерь в от-
отношении сигнал/шум от количества режектируемых мешающих отражений. Па-
Параметром семейства кривых служит пик-фактор квазинепрерывных сигналов.
Как и следовало ожидать, потери монотонно возрастают с увеличением числа
режектируемых помех. При этом скорость возрастания потерь у, выше для
сигналов с меньшим значением пик-фактора.
дБ
\
\
\
\
\
ч
У cup
п
и
-4
Кп =1
-8
Кп =4
Кп -8 -12
-20
дБ
/-
/
1 I
1 1
1!
¦
*
!
/
*
-
— —
—-
о
-4
pfZl -8
-12
-16
¦2°0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Л^ "" 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,/
а) от количества помех б) от пик-фактора сигнала
Рис. 4.2.4. Зависимости потерь в отношении сигнал/шум
На рис 4.2.4,6 приведены зависимости потерь в отношении сигнал/шум от
пик-фактора квазинепрерывного сигнала при различном числе режектируемых
помех. Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод о достаточ-
достаточно больших потерях в отношении сигнал/шум при режекции мешающих отра-
отражений с малым значением пик-фактора pf = 2...5 квазинепрерывного сигнала.
Так, уже при 12-ти мешающих отражений потери составляют 10 дБ.
Следует отметить, что ограничение мощных помех и слабых сигналов в
приемном тракте обработки с малым динамическим диапазонам приводит прак-
практически к таким же энергетическим потерям слабых сигналов. Поэтому
достаточно большие потери в отношении сигнал/шум не должны препятство-
препятствовать применению временной режекции помех, если она позволяет значительно
снизить мощность помех по боковым лепесткам ВФН сигналов.
Минимизация этих потерь может быть осуществлена путем оптимизации
пик-фактора D.2.4) квазинепрерывных сигналов к реальной помеховой обста-
обстановке. Оптимизация пик-фактора зондирующего сигнала к количеству режек-
режектируемых помех дает следующую оценку потерь в отношении сигнал/шум
D.2.8)
262

На рис. 4.2.4 представлен график потерь в отношении сигнал/шум Yopt с/ш в
зависимости от количества режектируемых помех при применении оптимально-
оптимального пик-фактора зондирующего сигнала.
Yoptcut' дБ
О
1
\
\
—»
¦
— —
— -
2 4 6 8 10 12 14 16 18 Кп
Рис. 4.2.5. Потери в отношении сигнал/шум при оптимальном пик-факторе
в зависимости от количества режектируемых помех
Как видно, соотношение D.2.8) при Кп-^°° дает число е и, следователь-
следовательно, при оптимизации пик-фактора квазинепрерывного сигнала дополнительные
потери не превышают 10 ¦ \g(e) = 4.34 дБ.
4.3. Алгоритм временной режекции мешающих
отражений при сегментной обработке сигналов
В настоящем разделе излагается алгоритм режекции мощных отражений
при сегментной обработке сигналов. Алгоритм основан на получении оценок
задержек мешающих отражений при сегментной свертке сигналов для форми-
формирования сигнала режекции. Естественно полагать, что при обработке начально-
начального сегмента сигнала задержки помех неизвестны s° = {о} и сигнал режекции
помех не формируется.
Отразим порядок выполнения основных процедур в адаптивном алгорит-
алгоритме режекции мощных отражений:
1. Выполняется сжатие текущего /-го сегмента сигнала с учетом сформи-
сформированного сигнала режекции
Ns-l _ I \
ri(c) = Х5>^+« mX*'kcpe*ccJNs+n'WiNs+n-c),t с = 0.. .С max. D.3.1)
2. Выполняется пороговое обнаружение мешающих сигналов путем срав-
сравнения модуля сжатого сегмента сигнала \rt(c)\ D.3.1) с адаптивным
порогом. Порог временной режекции, пропорциональный пороговой
263

константе Ch, устанавливается таким образом, чтобы с высокой дос-
достоверностью обеспечить режекцию мощных мешающих отражений.
Поэтому в алгоритме предлагается двухэтапная процедура получения
оценок задержек мешающих сигналов.
На первом этапе вычисляется предварительный порог в соответствии с
выражением
ICmax
и устанавливается количество Кп и задержки s = \sk } тех сигналов, амплитуды
которых превысили порог D.3.2).
На втором этапе порог обнаружения уточняется в соответствии с выраже-
выражением
/Стах, D.3.3)
т.е. за исключением пиков сжатых сигналов.
Второе пороговое обнаружение дает уточненные оценки задержек меша-
мешающих сигналов s1 = {s{ \,k = l...Kn -1 и количества Кп.
3. По результатам обработки текущего сегмента сигнала вычисляется мат-
матрица режекции V еж = ty еж ] по одному из выражений D.1.1).
4. Формируется сигнал режекции Хреж = \креж. j по правилу D.1.2), ко-
который используется в D.3.1) при сжатии последующего сегмента сиг-
сигнала.
Сжатие последующего сегмента сигнала при временной режекции помех
позволит уточнить оценки задержек sl+l =1^ N к = 1...Кп -1 режектируемых
сигналов.
Ниже приведены результаты, иллюстрирующие адаптивный алгоритм об-
обработки сигналов при режекции помех. Рассматривается линейная смесь шума,
2-х слабых и 6-ти мешающих сигналов. Интенсивность слабых сигналов на 30 и
40 дБ меньше мощности помех с одинаковой интенсивностью. Отношение
помеха/шум составляет 24 дБ. Длина модулирующей последовательности ква-
квазинепрерывного сигнала N = 16384, длина сжимаемых сегментов Ns = 256. Пик-
фактор квазинепрерывного сигнала был равен pf = 7 . При имитационном
моделировании пороговая константа была постоянной и равнялась Ch = 3.
На рис. 4.3.1,а показаны результаты моделирования сегментной обработ-
обработки сигналов с задержками s = \l, 30, 42, 53, 69, 88, 100, 115} и доплеровскими
сдвигами частоты v = {ll, 4, 13, 9, 12, 3, 10, 14} без введения временной ре-
режекции помех. Двумерная поверхность отражает результаты сжатия 64-х сег-
сегментов сигнала в С max = 128 элементах разрешения по задержке. На пред-
представленных результатах можно наблюдать гребни откликов сжатых сегментов
только мощных сигналов. На этапе сегментного сжатия слабые сигналы маски-
264

рованы помехами. Результаты сегментного сжатия смеси сигналов при режек-
ции мешающих сигналов приведены на рис. 4.3.1,6. Можно видеть, что уже при
сжатии нескольких первых сегментов сигнала удалось достигнуть эффективной
режекции мощных сигналов и тем самым снизить уровень помех до -80 дБ.
а) без режекции помех
32
б) с режекцией помех
Рис. 4.3.1. Сегментная обработка сигналов
Ниже отдельно представлены результаты сжатия 1-го (рис. 4.3.2, а) и 32-го
(рис. 4.3.2, б) сегмента сигнала, а пунктирной линией отображен адаптивный
порог обнаружения мощных сигналов. Следует отметить, что на этапе сегмен-
сегментного сжатия не удалось достигнуть обнаружения слабых сигналов.
rt(c), дБ
1 = 0
г (с), дБ
-30
-40
-50
-60
-70
-80
/ = 32
I
m
1
Ш
32
64
96
Рис. 4.3.2. Сегментное сжатие и сравнение с порогом
Очевидно, при сегментном сжатии сигналов возникают ошибки в получе-
получении оценок количества и задержек мешающих сигналов. Характер ошибочных
решений для пороговой константы Ch-Ъ иллюстрируется графиками на
рис. 4.3.3,а и рис. 4.3.3,6 при отношении помеха/шум, равном 24 дБ и 30 дБ со-
соответственно. Аргументом зависимостей является номер обрабатываемого сег-
9* Зак 14
265

18
15
12
9
6
3
О
Лл
\ л
л г
л
О 8 16 24 32 40 48 56 /
а)
К„
18
15
12
9
6
3
О
1 !
1 i
I
i
1 |
1 i !
Л
A
ЛД/
О 8 16 24 32 40 48 56 /
б)
Рис. 4.3.3. График оценок количества помех в зависимости от номера сегмента
мента / = 0...64. Для наглядности пунктирной линией отмечено количество ими-
имитируемых мешающих сигналов Кп = 6.
На приведенных зависимостях наблюдается систематическое отклонение
оценок обнаруживаемых помех от истинного значения Кп = 6. Это объясняет-
объясняется обнаружением менее слабого сигнала и включением его в состав режектиру-
емых сигналов.
На рис 4.3.4, а и рис 4.3.4,6 представлены результаты корреляционно-филь-
корреляционно-фильтровой обработки смеси сигналов при адаптивной режекции мешающих сигна-
сигналов в виде совмещенных профилей функции отклика по частоте. На рис. 4.3.4, а иллю-
иллюстрируются результаты обработки при отношении помеха/шум, равном 24 дБ. Как
видно, удалось подавить помехи по боковым лепесткам ВФН ниже -40 дБ, что
позволило выделить первый слабый сигнал на их фоне.
Повышение мощности помех на 6 дБ привело к возрастанию достоверно-
достоверности режекции мешающих сигналов. Об этом свидетельствуют результаты обра-
обработки, представленные на рис. 4.3.4,6 при отношении помеха/шум, равном
30 дБ. В этом случае достигается обнаружение и самого слабого сигнала мощ-
мощностью -40 дБ.
R(c,v), дБ
-10-
-20-
-30-
-40-
-50-
-60-
п/ш = 24 дБ
R(c,v), дБ
п/ш == 30 дБ
-10-
-20-
-30-
_40-
-50-
-60-
! If
i
32
64 96 123 0 32 64
а) б)
Рис. 4.3.4. Функции откликов при адаптивной режекции помех
96
128
266

Таким образом, предлагаемый метод временной режекции мешающих от-
отражений обеспечивает выделение из помех слабых сигналов при квазинепре-
квазинепрерывном режиме работы РЛС.
4.4. Исследование эффективности временной
режекции мешающих отражений
при сегментной обработке сигналов
Предложенный алгоритм временной режекции позволяет минимизировать
мощность помех по боковым лепесткам ВФН квазинепрерывных сигналов.
Однако введение режекции мешающих отражений приводит к потерям энергии
обрабатываемых сигналов.
Выигрыш, достигаемый за счет режекции мешающих сигналов, с учетом
энергетических потерь обнаруживаемых сигналов будем характеризовать обоб-
обобщенным показателем эффективности улучшения отношения сигнал/(помеха+
шум) на выходе устройства обработки:
Рс1/(рп+Рш1)
J-
D.4.1)
С целью анализа эффективности временной режекции было произведено
имитационное моделирование обработки линейной суммы слабых сигналов при
воздействии шума и мешающих отражений.
Результаты исследования эффективности режекции мешающих отражений
в зависимости от отношения помеха/шум д°/ш = Рп°/Рш°, дБ на входе устрой-
устройства обработки представлены на рис. 4.4.1. Параметром зависимостей являет-
является длина сжимаемого сегмента Ns = 64, 128, 256 . Обработка сигнала с пик-
фактором pf -1 производилась при воздействии 3-х мешающих отражений и
шума с различной интенсивностью. Пороговая константа обнаружения помех
была равна Ch = 3.
48
42
36
30
24
18
12
6
0
j
/
I
Ал
i
У-
j *
Kv = 64
у/ у у
0 6 12 18 24 30 36 42
Рис. 4.4.1. Эффективность режекции помех в зависимости
от отношения помеха/шум
267

Как следует из приведенных зависимостей, при малом отношении помеха/
шум #°/w =0...6, дБ практически отсутствуют энергетические потери. Однако,
с увеличением мощности помех наблюдается монотонный рост энергетических
потерь вследствие временной режекции помех. При значениях д®/ш > 30, дБ
глубина подавления помех составляет более 20 дБ.
Следует отметить, что с увеличением длины сегмента Ns сжимаемых сиг-
сигналов, повышается и отношение сигнал/(помеха+шум). Это объясняется сниже-
снижением уровня боковых лепестков при сегментном сжатии сигналов и, как след-
следствие, повышением достоверности получаемых оценок режектируемых
мешающих сигналов. Вариация пороговой константы в диапазоне Ch = 2..Л в
малой степени влияет на результаты обработки. Поэтому дальнейшие исследо-
исследования эффективности режекции помех производилось при постоянном значе-
значении константы Ch = 3 и отношении помех/шум д°/ш =40 дБ.
Результаты исследования эффективности режекции помех в зависимости от
количества мешающих отражений представлены на рис. 4.4.2. Параметром
зависимостей установлена длина сжимаемого сегмента Ns = 256, 512 при пик-
факторе сигнала pf =1. Как видно из рис. 4.4.2 выигрыш в отношении сигнал/
(помеха+шум) при возрастании числа режектируемых помех монотонно падет.
Так, при пик-факторе квазинепрерывного сигнала pf - 7 и при воздействии 14-
ти мешающих отражений эффективность их режекции rjr, дБ практически рав-
равна нулю.
48
42
36
30
24
18
12
\
\
N5-256
N5 = 512
+-+¦¦»-
12
Кп
Рис. 4.4.2. Эффективность режекции в зависимости
от количества мешающих отражений
Увеличение длительности сжимаемых сегментов в два раза повышает пока-
показатель обобщенной эффективности режекции помех г]г на 3—6 дБ в зависимо-
зависимости от количества воздействующих помех. При воздействии большого числа
мешающих отражений необходимо увеличивать длительность сжимаемых сег-
сегментов сигнала.
Результаты исследования эффективности режекции помех в зависимости от
пик-фактора pf зондирующего квазинепрерывного сигнала представлены на
рис. 4.4.3. Параметром зависимостей установлено количество мешающих
отражений Кп = 3, 6, 9 при длине сжимаемого сегмента Ns = 256.
268

ц,,дБ
48
42
36
30
24
18
12
6
0
/ /
/
{
"JL
у/ у/ у/
/Л /Л '\
л:л=б
в-вв
р/
Рис. 4.4.3. Эффективность режекции помех в зависимости
от пик-фактора зондирующего сигнала
Как следует из приведенных на рис. 4.4.3 графиков, с увеличением пик-
фактора квазинепрерывного сигнала строго отслеживается соотношение D.2.4)
оптимального пик-фактора квазинепрерывного сигнала, при котором
достигается максимальная эффективность режекции мешающих отражений.
Так, при воздействии 3-х мешающих сигналов наилучшие результаты достига-
достигаются при пик-факторе pf = 5, а при воздействии 6-ти и 9-ти помех наибольшая
эффективность их режекции достигается, когда пик-фактор равен р/ = 8 и
pf = 11 соответственно.
Представленные результаты подтверждают необходимость оптимизации
пик-фактора зондирующего сигнала в зависимости от количества мешающих
отражений. На рис. 4.4.4 приведены графики эффективности режекции меша-
мешающих отражений при оптимизации пик-фактора. Параметром зависимостей
является длина сжимаемого сегмента Ns = 256, 512.
Сопоставляя результаты, приведенные на рис. 4.4.2 и на рис. 4.4.4, можно
видеть тот выигрыш, который достигается за счет оптимизации пик-фактора
квазинепрерывного сигнала. Так, при трех мешающих отражениях эффектив-
N^=256
N5-512
Рис. 4.4.4. Эффективность режекции в зависимости
от количества мешающих отражений при оптимизации пик-фактора
269

ность подавления помех возросли на 6 дБ по сравнению с постоянным значени-
значением пик-фактора pf = 7. С увеличением числа мешающих отражений эффектив-
эффективность оптимизации пик-фактора зондирующего сигнала возрастает. Когда
число режектируемых мешающих отражений достигает значений 12—14, то эф-
эффективность подавления помех повышается на 18 дБ. Однако, и в этом случае
при возрастании числа режектируемых отражений выигрыш в отношении
сигнал/(помеха + шум) уменьшается. Это объясняется снижением достоверно-
достоверности получаемых оценок задержек мешающих отражений и их количества при
сегментном сжатии сигнала. Когда число мешающих отражений превышает 20,
то эффективность от их режекции составляет единицы децибел при длине сжи-
сжимаемого сегмента Ns = 256. При увеличении длины сегмента вдвое эффектив-
эффективность режекции помех возрастает на 3—6 дБ практически независимо от их ко-
количества.
4.5. Выводы
1. Изложен принцип временной режекции мешающих отражений для РЛС
с квазинепрерывным режимом излучения и приема фазоманипулиро-
ванных сигналов с псевдослучайной структурой амплитудной манипу-
манипуляции.
2. Произведена оценка энергетических потерь принимаемых полезных
сигналов при режекции мешающих отражений в зависимости от их ко-
количества и пик-фактора квазинепрерывного сигнала.
3. Получено простое выражение для выбора оптимального пик-фактора
квазинепрерывного сигнала в зависимости от количества режектируе-
режектируемых помех.
4. При сегментной обработке сигналов предложен алгоритм адаптивной
режекции мешающих отражений и исследованы его характеристики.
5. Показано, что предлагаемый алгоритм адаптивной режекции мешаю-
мешающих отражений позволяет существенно повысить помехоустойчивость
РЛС с квазинепрерывным режимом работы при воздействии сосредото-
сосредоточенных помех.
6. Для повышения помехоустойчивости РЛС целесообразно применять
оптимизацию пик-фактора квазинепрерывных сигналов при адаптив-
адаптивной временной режекции мешающих отражений.
Заключение
На основе принятой математической модели квазинепрерывной обработ-
обработки сигналов были получены выражения, характеризующие энергетическую фун-
функцию приема эхо-сигналов, а также свойства ВФН в зависимости от параметров
квазинепрерывных фазоманипулированных сигналов. Установлена взаимосвязь
среднеквадратических показателей ВФН квазинепрерывных сигналов с
270

характеристиками энергетической функции приема эхо-сигналов. Определены
условия оптимизации структуры квазинепрерывных сигналов, позволяющие
минимизировать потери в отношении сигнал/(помеха+шум). Произведен де-
детальный анализ свойств и характеристик ВФН составных фазоманипулирован-
ных квазинепрерывных сигналов.
, Предложены методы синтеза амплитудно-фазоманипулированных сигналов
с большой базой, позволяющие минимизировать боковые лепестки ФН в
заданном диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты. Предлагаемые
методы синтеза сигналов не накладывают принципиальных ограничений на
размеры области оптимизации по задержке и частоте. Показано, что только
размер области оптимизации определяет предел снижения боковых лепестков
ФН синтезированных сигналов. Анализ результатов показал, что в зависимос-
зависимости от размера области оптимизации достигается снижение боковых лепестков
ФН на десятки децибел. Эффективность подавления боковых лепестков снижа-
снижается при квазинепрерывной обработке синтезированных сигналов.
Предложены модификации квазинепрерывной корреляционно-фильтровой
обработки сложных амплитудно-фазоманипулированных сигналов, позволяю-
позволяющих ценой незначительных энергетических потерь снизить аппаратные затраты
на реализацию временного сжатия сегментов сигнала в рабочем диапазоне
задержек и доплеровских частот. Исследованы особенности сегментной
обработки квазинепрерывных сигналов. Показано, что при сегментной обработ-
обработке квазинепрерывных сигналов наблюдается зависимость энергетических и
среднеквадратических характеристик ВФН сигналов как от номера дальностно-
го, так и от номера доплеровского канала обработки. Потери в отношении
сигнал-шум и проигрыш в среднеквадратическом уровне боковых лепестков
ВФН определяются параметрами квазинепрерывных сигналов. Предложены и
исследованы методы сегментной обработки сигналов, позволяющие значитель-
значительно повысить качество доплеровской селекции целей. Исследована и подтверж-
подтверждена эффективность применения приоритетной обработки квазинепрерывных
сигналов. Установлена зависимость величины энергетических потерь от пара-
параметров сигналов коммутации. Предложен алгоритм формирования сигнала, ис-
исключающий потери при приоритетной обработке сигналов
Изложен принцип временной режекции мешающих отражений для РЛС с
квазинепрерывным режимом излучения и приема фазоманипулированных сиг-
сигналов с псевдослучайной структурой амплитудной манипуляции. Предлагаемый
метод режекции помех инвариантен к доплеровскому смещению частоты
мешающих отражений. Произведена оценка энергетических потерь принима-
принимаемых полезных сигналов при временной режекции мешающих отражений в
зависимости от их количества и пик-фактора квазинепрерывного сигнала. По-
Показано, что алгоритм адаптивной временной режекции мешающих отражений
позволяет существенно повысить помехоустойчивость РЛС при воздействии
сосредоточенных помех. При достаточно большом числе мешающих отражений
необходимо производить оптимизацию пик-фактора зондирующего сигнала в
зависимости от помеховой обстановки.
271

Часть III. КОМПЕНСАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ СЛОЖНЫХ
КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫХ
СИГНАЛОВ С БОЛЬШОЙ БАЗОЙ
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ.
ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧ
Преимущества, которые дает применение сложных сигналов с большой
базой, и проблемы, которые возникают при их применении в радиолокации и
связи, хорошо освещены в технической литературе и изложены в первой и вто-
второй частях настоящей книги применительно к квазинепрерывному режиму
излучения и приема. Тем не менее, подчеркнем, что основные проблемы так или
иначе связаны с недостаточно низким уровнем боковых лепестков функции
неопределенности (БЛ ФН) в широком диапазоне частотно-временных сдвигов
сигнала, что ведет к маскировке слабых сигналов мощными мешающими
отражениями. При квазинепрерывном режиме излучения и приема эта пробле-
проблема усугубляется появлением дополнительного аргумента функции неопределен-
неопределенности, что требует минимизации боковых лепестков для целого семейства
функций неопределенности.
Такие способы минимизации БЛ ФН как адаптация структуры сигнала к
конкретной помеховой обстановке и рассогласованная обработка наиболее
эффективны в том случае, когда область, где требуется минимизировать уровень
БЛ ФН, относительно невелика. К сожалению, это идет вразрез со все более
возрастающими практическими требованиями расширения диапазона задержек
и доплеровских сдвигов обнаруживаемых сигналов, повышения разрешающей
способности по дальности и скорости, увеличения темпа обзора пространства.
Более привлекательно выглядят компенсационные методы обработки,
которые некритичны к диапазонам задержек и доплеровских сдвигов частоты
обнаруживаемых сигналов. Их эффективность определяется параметрами ме-
мешающих отражений, которые варьируются в значительно меньших пределах.
По крайней мере можно утверждать, что наиболее вероятные источники мощ-
мощных мешающих отражений расположены относительно недалеко и не являют-
являются высокоскоростными объектами.
Основная идея компенсационных методов обработки предельно проста. В
смеси сильных и слабых сигналов наиболее просто обнаружить сильные и изме-
измерить их параметры с достаточно высокой точностью. После этого можно выпол-
выполнить их имитацию и компенсацию (вычитание) в исходной смеси сигналов. В
272

полученной разностной смеси негативное влияние сильных сигналов на обна-
обнаружение слабых будет снижено во всем диапазоне частотно-временных сдвигов.
Несмотря на кажущуюся простоту такого метода обработки, его реализация
связана как с практическими трудностями, так и с теоретическими проблемами.
С технической точки зрения для реализации компенсационных методов
наиболее сложными представляются следующие условия.
¦ Обработка принимаемых сигналов должна одновременно выполняться
во всем диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты. В против-
противном случае когерентная компенсация мешающих отражений становится
невозможной из-за случайных изменений амплитуды и фазы отражен-
отраженных сигналов. При большой базе сигналов это представляется достаточ-
достаточно сложной технической проблемой.
¦ Для эффективной когерентной компенсации измерение параметров силь-
сильных сигналов должно выполняться с учетом фазовых соотношений. Точ-
Точность измерения должна быть достаточно высокой, поскольку она не-
непосредственно определяет глубину компенсации.
¦ Все алгоритмы обработки должны быть реализованы в реальном масш-
масштабе времени.
Реальные технические возможности удовлетворения этих условий возникли
только в последнее время с появлением высокопроизводительных устройств
цифровой обработки сигналов. Разработка и практическая реализация подоб-
подобных устройств выдвинули на первый план необходимость теоретической разра-
разработки компенсационных методов обработки квазинепрерывных сигналов с
целью определения структуры устройств, оптимизации параметров и оценки их
эффективности.
Результаты исследований изложены далее для двух традиционно различа-
различающихся видов обработки сигналов - блочной и рекурсивной [24,1, 92]. Их раз-
различие в основном сводится к способу оценивания параметров помех. В одном
случае обрабатывается сигнал фиксированной длительности (блок данных), над
которым производятся операции оценивания, разрешения, обнаружения. В
другом случае используются рекурсивные процедуры оценивания-разрешения,
обрабатывающие непрерывный поток данных.
Исследования проводились с ориентацией в основном на радиолокацион-
радиолокационные задачи, но ввиду сходства проблематики они могут быть полезны и для связ-
связных приложений, использующих сложнокодированные сигналы.
Целью исследований является разработка и оптимизация методов компен-
компенсации мешающих отражений при приеме сложных квазинепрерывных сигналов
с большой базой.
Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач.
1. Определение методов обработки сигналов, критериев качества и усло-
условий, при которых рассматривается функционирование радиолокацион-
радиолокационной системы.
2. Разработка компенсационных методов блочной обработки сигналов,
оптимизация параметров и оценка эффективности компенсации.
3. Разработка и исследование компенсационных методов обработки слож-
сложных сигналов на основе рекурсивных оценок, вырабатываемых адаптив-
адаптивными цифровыми фильтрами.
273

4. Исследование влияния ограниченного динамического диапазона при-
приемника на эффективность компенсационной обработки и разработка
способов его снижения.
В главе 2 после обсуждения характерных особенностей методов и устройств
обработки сложных сигналов с большой базой в широком диапазоне частотно-
временных сдвигов формулируется задача обнаружения-разрешения сигналов,
различающихся задержкой и доплеровским сдвигом частоты. Рассматриваются
способы решения этой задачи при обработке сигналов фиксированной длитель-
длительности и при рекурсивной оценке параметров отраженных сигналов на основе
алгоритмов адаптивной цифровой фильтрации. Особое внимание уделено выбору
и обоснованию математических моделей флюктуирующих мешающих отражений,
поскольку характер флюктуации оказывает решающее влияние как на алгоритм
обработки, так и на получаемые результаты. В заключительной части главы оп-
определяются показатели, характеризующие качество компенсационной обработ-
обработки сигналов и помех, на основании которых можно производить выбор и оптими-
оптимизацию рассматриваемых алгоритмов.
Решение второй задачи в главе 3 начинается с разработки итерационного
алгоритма компенсации мешающих отражений при блочной обработке сигна-
сигналов. Затем проводится исследование эффективности компенсации стационар-
стационарных и флюктуирующих мешающих отражений. Формулируется условие схо-
сходимости итерационного процесса. При исследовании стационарных помех
рассматриваются отражения как от неподвижных, так и движущихся объектов.
Далее алгоритм компенсации дополняется процедурой адаптивной временной
режекции наиболее мощных помех. Временная режекция рассматривается как
средство борьбы с помехами, превышающими динамический диапазон прием-
приемника. По результатам сравнения эффективности временной режекции с коге-
когерентной компенсацией мешающих отражений подчеркивается, что эти методы
не исключают, а взаимно дополняют друг друга.
Изложенная в главе 4 задача разработки компенсационных методов ре-
рекурсивной обработки сигналов направлена, в первую очередь, на снижение
требований к вычислительным ресурсам, которые для итерационных алго-
алгоритмов при компенсации множественных флюктуирующих помех оказыва-
оказываются очень высокими. Для решения этой задачи производится сравнитель-
сравнительный анализ алгоритмов адаптивной цифровой фильтрации и выбирается
лучший по совокупности показателей: глубина компенсации, вычислитель-
вычислительные затраты, устойчивость при изменении помеховой обстановки. Далее
исследуется воздействие различных типов флюктуирующих помех на
выбранный алгоритм, и оцениваются потери в отношении сигнал/шум по
сравнению с согласованной обработкой. Для повышения эффективности
компенсации помех с неравномерным распределением по задержке предла-
предлагается и исследуется пропорционально-нормализованный алгоритм, в кото-
котором предварительные оценки задержек и мощности мешающих отражений
используются для регулировки парциального шага адаптации. Как и в пре-
предыдущей главе, рассматривается целесообразность применения адаптивной
временной режекции мощных помех, основанной на оценках, вырабатывае-
вырабатываемых адаптивным цифровым фильтром.
274

Задача исследования влияния ограниченного динамического диапазона
приемника на эффективность компенсации мешающих отражений рассмотре-
рассмотрена и в главе 3, и в главе 4 применительно к соответствующим методам компен-
компенсационной обработки. В качестве основного способа снижения последствий
перегрузки приемника рассматривается адаптивная временная режекция мощ-
мощных помех. Степень влияния нелинейных искажений сигнала при блочной и
рекурсивной обработке на качество компенсации оказывается неодинаковой,
что ведет к различным рекомендациям по использованию временной режекции
помех.
В заключении к третьей части монографии формулируются выводы и наме-
намечаются перспективные пути дальнейших исследований в данном направлении.
275

Глава 2
ОБРАБОТКА СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
ПРИ НАЛИЧИИ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ
Задача повышения помехоустойчивости РЛС со сложным квазинепрерыв-
квазинепрерывным сигналом к воздействию мешающих отражений является достаточно об-
общей. Она может иметь множество вариантов и поэтому требует конкретизации
методов решения, критериев качества и условий, при которых рассматривает-
рассматривается функционирование радиолокационной системы.
В рамках этой задачи, ориентируясь на компенсационные методы обработ-
обработки, предполагается рассмотрение следующих вопросов.
¦ Формулировка задачи обнаружения-разрешения сигналов, различающих-
различающихся задержками и сдвигами частоты. Анализ методов решения при отсут-
отсутствии априорной информации о распределении отраженных сигналов
по задержкам и частотным сдвигам. Выбор методов обработки, пред-
представляющих практический интерес для дальнейшего исследования.
¦ Конкретизация компенсационных методов блочной обработки сигналов
фиксированной длительности и рекурсивной цифровой фильтрации не-
непрерывного потока данных.
¦ Выбор и обоснование моделей флюктуирующих мешающих отражений.
¦ Определение критериев качества для оценки эффективности алгорит-
алгоритмов обработки сигналов при наличии мешающих отражений.
2.1. Обнаружение-разрешение
сложных сигналов с большой базой
Во второй части монографии описаны методы и устройства, реализующие
обработку квазинепрерывных сигналов на фоне белого гауссовского шума,
близкую к согласованной. Многоканальный принцип построения этих уст-
устройств позволяет выполнять операцию обнаружения-разрешения сигналов с
различными задержками и доплеровскими сдвигами частоты. Одновременно
определяются задержки и сдвиги частоты всех обнаруженных сигналов. Основ-
Основной практический интерес представляет случай обнаружения-разрешения сла-
слабого сигнала при наличии маскирующего влияния сильного, отличающегося по
задержке и сдвигу частоты, а не разрешения двух сигналов с близкими парамет-
параметрами, сопоставимых по интенсивности.
Следуя принятой терминологии [94, стр. 454], вид обработки, реализован-
реализованный в описанных выше устройствах, относится к согласованному обнаружению-
разрешению, которое не учитывает наличия других сигналов, кроме ожидаемо-
ожидаемого. Как указано там же, в присутствии интенсивных сигналов, выступающих по
отношению к более слабым в качестве мешающих, такая обработка оказывается
неоптимальной. Учет взаимного влияния сигналов в общем случае ведет к
рассогласованной обработке, которая может быть адаптивной и неадаптивной.
276

Неадаптивная обработка рассчитывается на заранее известную типовую
ситуацию. Однако разнообразие и быстрое изменение радиолокационной обста-
обстановки делает предпочтительными адаптивные методы, которые требуют
измерения (оценивания) параметров сигналов. В этом смысле важным свой-
свойством рассмотренных устройств является возможность параллельной (одновре-
(одновременной) обработки сигнала во всем диапазоне задержек и доплеровских сдвигов
частоты, что позволяет получать на выходе оценки комплексных амплитуд всех
отраженных сигналов, включая мешающие отражения, с точностью до фазовых
соотношений.
Будем считать, что сигнал S(i) на входе устройства обработки представля-
представляет собой линейную комбинацию сигналов gk(i) и аддитивного белого гауссов-
ского шума n(i):
где Кобщ — общее количество каналов корреляционно-фильтровой обработки;
А = [А{, А2,...АК \т — вектор, содержащий комплексные амплитуды сиг-
сигналов, для которых решается задача обнаружения-разрешения,
/ — порядковый номер отсчета дискретного времени,
7V — длительность (в дискретных отсчетах) когерентно обрабатываемо-
обрабатываемого сигнала,
gk — копии зондирующего сигнала, отличающиеся от него задержкой и
доплеровским сдвигом частоты.
Комплексная огибающая gk совпадает с опорным (демодулирующим) сиг-
сигналом к -го корреляционного канала и определяется модулирующей последова-
последовательностью W - \wt}, задержкой Тк и сдвигом частоты О,к:
8k(})=w(i-'zk)'exp{-j'Qk ¦(i'-'О), г = 0,...,#-1? к = 1,2,-.К^.B.1.2)
Комплексные амплитуды Ак характеризуют мощность и фазу сигналов,
обусловленные их отражением и распространением, безотносительно к амплитуд-
амплитудно-фазовой манипуляции сложного сигнала. Для каждого временного интервала
длиной N отсчетов значения комплексных амплитуд Ак не зависят от времени и
соответствуют отдельно разрешаемым по задержке и частоте сигналам. Поэтому
если из общей смеси выделить сигналы с одинаковой задержкой, то
соответствующие им значения Ак будут представлять собой компоненты спект-
спектра флюктуации отражающих объектов, находящихся на выбранной дистанции.
На выходе каждого к-то канала корреляционной обработки в момент
/ = N'1 формируется отсчет Rk:
Кобщ
J jik
B.1.2)
k -1,..., Кобщ ,
где гк — «энергия» опорного сигнала gk к-то корреляционного канала;
277

пк — шум в /с-том канале обработки, мощность которого пропорциональ-
пропорциональна 8^;
pjk — коэффициент взаимной корреляции сигналов g;Wgk.
Первое слагаемое в B.1.2) представляет полезный сигнал, второе — шум,
третье — помеху, создаваемую другими сигналами.
Вектор R отсчетов на выходах корреляторов может быть представлен в виде:
R = p A+n, B.L3)
где р — корреляционная матрица опорных сигналов с элементами pjk, при-
причем ркк=ек;
п — вектор значений шума на выходе каналов корреляционной обработ-
обработки с элементами пк.
В формулировке задачи оптимального обнаружения-различения [94, стр. 461]
предполагается, что сам факт наличия каждого из сигналов заранее неизвестен, так
же, как и их количество. Амплитуды сигналов считаются статистически независи-
независимыми и, кроме того, параметры всех сигналов находятся в диапазоне задержек и
частотных сдвигов, одновременно обрабатываемых набором корреляторов.
Решающая статистика в этом случае представляет собой линейную комбинацию
полезного и мешающих сигналов с весами, определяемыми коэффициентами вза-
взаимной корреляции опорных сигналов корреляторов. В общем это соответствует вы-
вычислению максимально правдоподобной оценки Ак амплитуды каждого А:-го сиг-
сигнала и сравнению ее с порогом [90 стр. 741]:
А^р1 R, B.1.4)
где А и R — векторы с элементами Ак и Rk9 к = 1,...,Кобщ соответственно;
p-i — обратная корреляционная матрица.
Это один из видов обработки, минимизирующих взаимное влияние сигна-
сигналов. Структурная схема устройства, реализующего такой вид обработки в самом
общем виде, приведена на рис. 2.1.1. В сущности, она сводится к компенсации
взаимных помех в каждом канале корреляционной обработки. Конкретные
варианты реализации подобной обработки могут быть достаточно разнообраз-
разнообразными. Некоторые из них будут проанализированы в следующей главе. Здесь же
только подчеркнем особенности корреляционной матрицы р.
Во-первых, расчет элементов матрицы должен быть выполнен с учетом
квазинепрерывного режима излучения-приема, приводящего к матрице взаим-
взаимной корреляции, не обладающей свойствами симметрии. Во-вторых, матрица
должна содержать элементы, соответствующие всем возможным доплеровским
сдвигам частоты обрабатываемых сигналов. Как следствие, размер матрицы
может достигать очень больших значений, что создает проблемы с реализаци-
реализацией такой обработки в реальном масштабе времени.
Как отмечается в [94, стр. 455], решение задачи адаптивного обнаружения-
разрешения сигналов оказывается тесно связанным с задачей измерения или
оценивания параметров сигнала, образуя единую задачу обнаружения-измере-
278

Входной
сигнал S
Генератор
модулирующей
последовательности
л
W
—>
Устройство
многоканальной
корреляционно-
фильтровой
обработки
Вычисление
(первоначально
и при изменении
сигнала)
Линейное
преобразование
1
1
А
W
>
Порог
Решение
Рис. 2.1.1. Структурная схема устройства обнаружения-разрешения сигналов
ния-разрешения. В рассмотренном выше случае измерение выполняется при
вычислении максимально правдоподобных оценок комплексных амплитуд сиг-
сигналов по выражению B.1.4). Однако оценивание параметров отраженных сиг-
сигналов может быть выполнено и другими методами, например, с помощью адап-
адаптивных цифровых фильтров [1, 112,138, 88].
В достаточно большом многообразии методов адаптивной цифровой филь-
фильтрации выделим те, которые формируют рекурсивную следящую оценку, явля-
являясь в этом смысле антиподами рассмотренных выше оценок, использующих
блоки данных фиксированной длины. На рис. 2.1.2 приведена схема включения
адаптивного фильтра, вычисляющего текущие оценки а(/) комплексных ампли-
амплитуд отраженных сигналов.
Адаптивный фильтр имеет два входа. На один из них подается эталонный
сигнал, в данном случае — это дискретная модулирующая последовательность
w(i), на другой — ошибка компенсации e(i), которая образуется как разность
между входным s(i) и предсказанным адаптивным фильтром сигналом y(i).
Кроме этого, на втором выходе адаптивного фильтра доступны оценки комплек-
комплексных амплитуд а(г) всех сигналов, входящих в состав входного. Чтобы подчер-
подчеркнуть рекурсивный характер оценок комплексных амплитуд а(г) на схеме
(рис. 2.1.2) указана их зависимость от времени.
Входной
сигнал ^@
Предсказанный
сигнал y(i)
Генератор
модулирующей
последова-
последовательности
Ошибка
компенсации
Адаптивный
цифровой
фильтр
а@_
Оценки
амплитуд
Совместная
обработка
ошибки
компенсации и
оценок
Пороговое
устройство
Решение
Рис 2.1.2. Схема включения адаптивного фильтра
для оценки амплитуд и обнаружения-разрешения сигналов
279

Можно сказать, что на основе имеющихся оценок адаптивный фильтр
предсказывает значения сигнала на входе и компенсирует сильные сигналы,
ослабляя их взаимное влияние. В сигнале ошибки содержатся остатки не пол-
полностью компенсированных сильных сигналов, шум и слабые сигналы, плохо
различимые на фоне шума. Таким образом, в цифровом адаптивном фильтре
решается задача разрешения-измерения.
Необходимо подчеркнуть, что в данном случае задача разрешения-измере-
разрешения-измерения понимается как задача разрешения сигналов с различными задержками и
измерения (оценивания) случайных флюктуирующих амплитуд этих сигналов.
Оценки амплитуд, формируемые адаптивным фильтром, не являются оцен-
оценками максимального правдоподобия и поэтому не могут быть использованы в
качестве решающей статистики для обнаружения сигналов. Кроме того,
параметры адаптивного фильтра, как правило, рассчитываются на оценку и
компенсацию только достаточно мощных мешающих отражений, а не слабых
сигналов с большим доплеровским сдвигом частоты.
Задача обнаружения таких сигналов может быть решена на основе корре-
корреляционно-фильтровой обработки ошибки компенсации. При этом необходимо
учитывать, что оценки амплитуд также содержат или могут содержать полную
или частичную информацию о сигналах, представляющих интерес. Это могут
быть частично компенсированные сигналы скоростных целей, сигналы, отра-
отраженные от низкоскоростных целей или неподвижных объектов, представляю-
представляющих опасность. Следовательно, для решения задачи обнаружения всех сигналов
необходимо обеспечить совместную обработку ошибки компенсации и оценок
амплитуд. Варианты такой обработки обсуждаются в следующем разделе и ана-
анализируются в главе 4,
Таким образом, на основе краткого обзора методов и устройств адаптивно-
адаптивного обнаружения-разрешения сложных квазинепрерывных сигналов с большой
базой для дальнейшего рассмотрения выделяется два основных способа обра-
обработки.
Первый из них содержит процедуру корреляционно-фильтровой обработ-
обработки сигналов фиксированной длительности, которая выполняется в заданном
диапазоне задержек и частотных сдвигов. Затем для разрешения сигналов и
оценки их параметров используется компенсация взаимных помех на основе
известных значений функции неопределенности сложного сигнала. После ком-
компенсации выносится решение о наличии или отсутствии сигналов в каждом
канале корреляционно-фильтровой обработки.
Во втором способе для разрешения сигналов и оценки их параметров ис-
используется цифровой адаптивный фильтр, обрабатывающий непрерывный
поток данных. На основе полученных оценок выполняется когерентная ком-
компенсация сигналов во входной смеси. Обнаружение слабых сигналов с боль-
большим доплеровским сдвигом частоты производится на основе корреляционно-
фильтровой обработки ошибки компенсации. Во избежание потерь
информации о компенсируемых сигналах оценки их амплитуд учитываются
при вынесении решений о наличии или отсутствии сигналов с соответствую-
соответствующими параметрами.
Разумеется, что двумя этими способами не исчерпываются возможные
варианты решения задачи обнаружения сложных сигналов в присутствии ме-
280

шающих отражений для всего многообразия практических приложений. По
крайней мере, достаточно очевидны компромиссные решения, сочетающие
свойства обоих способов.
2.2. Компенсационная обработка сигналов
фиксированной длительности
Рассмотрим возможные варианты компенсационной обработки сигналов
фиксированной длительности.
Наиболее явный, первый вариант, основанный на выражениях B.1.3) и
B.1.4), поясняется структурной схемой на рис. 2.1.1. При его реализации возни-
возникают следующие основные проблемы:
1. Очень большой размер корреляционной матрицы, достигающий объе-
объема от сотен тысяч до десятков миллионов. Несмотря на то, что обраще-
обращение матрицы не требуется выполнять в реальном масштабе времени,
вычисление решающей статистики предъявляет серьезные требования
к производительности вычислительной системы и объему оперативной
памяти.
2. Специфика коммутации приемника при квазинепрерывном режиме
работы и квазиоптимальная сегментная свертка, применяемая для уп-
упрощения устройства обработки, приводят к тому, что значения матри-
матрицы взаимной корреляции определяются абсолютными значениями за-
задержек и частотных сдвигов обрабатываемого и опорного сигнала, а не
их разностью. Это резко увеличивает вычислительные затраты, необхо-
необходимые для расчета значений корреляционной матрицы, а сама матрица
теряет свойство симметрии. При изменении структуры сигнала требует-
требуется большой объем расчетов, осложняющий работу в реальном времени.
3. Искажения спектра широкополосного сигнала, возникающие при его
формировании и прохождении через частотно-избирательные цепи
передающего и приемного тракта РЛС, приводят к уменьшению откли-
отклика в согласованном канале обработки и «размыванию» его по соседним
задержкам и сдвигам частоты. Для точной компенсации взаимных по-
помех необходимо учитывать эти искажения.
4. Нелинейные искажения, возникающие при прохождении суммы сигна-
сигналов через приемник с ограниченным динамическим диапазоном, прин-
принципиально не могут быть учтены в расчете значений корреляционной
матрицы.
Второй вариант компенсационной обработки основан на линейном преоб-
преобразовании, объединяющем корреляционную обработку B.1.3) и компенсацию
взаимных помех B.1.4) в одну процедуру рассогласованной обработки. При
этом опорный сигнал gk в каждом к-ом канале рассогласованной обработки
определяется выражением:
281

^(О-Р«+Х«ДО-Р^1, к = \,...Кобщ, i = O,...,W-l. B.2.1)
7=1
7**
где р^1 — элементы матрицы р1;
?* @ "~" опорный сигнал k-то канала корреляционной обработки с учетом
задержки и сдвига частоты.
С формальной точки зрения вся обработка упрощается по сравнению с
предыдущим вариантом, поскольку исчезает процедура компенсации взаимных
помех на основе обратной корреляционной матрицы. Однако взамен проблем
хранения матрицы большого размера и выполнения операций с ней, возникают
другие сложности.
¦ Опорные сигналы корреляционных каналов вместо простых троичных
последовательностей приобретают вид сложных сигналов с амплитуд-
амплитудной и фазовой модуляцией.
¦ Опорные сигналы при рассогласованной обработке не могут быть сфор-
сформированы на основе операций сдвига по времени и частоте. Они явля-
являются уникальными для каждого канала обработки. Для хранения всей
совокупности опорных сигналов требуется большой объем памяти.
¦ Вследствие уникальности опорных сигналов для всех дальностно-допле-
ровских каналов корреляционной обработки невозможно применение
экономичных процедур сегментной свертки и БПФ.
Как видно, для выполнения рассогласованной корреляционной обработки
требуется хранение множества опорных сигналов со сложным законом модуля-
модуляции, при этом нет возможности применения экономичных процедур обработ-
обработки таких сигналов. Три остальные из перечисленных вначале проблем первого
варианта в полной мере относятся и ко второму.
Рассмотрим возможность применения итерационных процедур компенса-
компенсации взаимных помех. Допустим, что вся реализация входного процесса, содер-
содержащего смесь сигналов и шум, размещена в оперативной памяти. Согласован-
Согласованная корреляционно-фильтровая обработка позволяет получить оценки
амплитуд сигналов, искаженные взаимными помехами. Наибольшее влияние
взаимные помехи оказывают на оценки слабых сигналов, наименьшее - на оцен-
оценки сильных. Очевидно, что, несмотря на помехи, сильные сигналы могут быть
уверенно обнаружены, а их параметры достаточно точно измерены.
Зная задержку, частоту и оценку комплексной амплитуды обнаруженных
сигналов, на основании известного закона модуляции амплитуды и фазы мож-
можно выполнить компенсацию этих сигналов во входной смеси. Очевидно, что
компенсация будет неполной из-за неточности оценок, но, тем не менее, позво-
позволит ослабить влияние наиболее сильных сигналов. При повторной корреляци-
корреляционно-фильтровой обработке входной смеси будут уточнены оценки амплитуд
сильных сигналов и обнаружены более слабые сигналы, первоначально маски-
маскируемые помехами от сильных.
В такой итерационной процедуре последовательно реализуются операции
обнаружения, измерения и разрешения сигналов. Один из вариантов итераци-
итерационного алгоритма детализирован и исследован в главе 3. Здесь же целесообраз-
282

но сравнить общие преимущества и недостатки итерационного алгоритма ком-
компенсации с рассмотренными ранее.
1. В отличие от двух предыдущих вариантов, для итерационного алгорит-
алгоритма компенсации не требуется вычисление и хранение корреляционной
матрицы большого объема. Достаточно формировать или хранить в
оперативной памяти дискретную модулирующую последовательность.
Для троичных модулирующих последовательностей это не представля-
представляет проблем даже при базе сигнала порядка 106 .
2. Изменение структуры сигнала не требует сколько-нибудь значительно-
значительного увеличения вычислительных ресурсов, поэтому может производить-
производиться в реальном времени от зондирования к зондированию.
3. Искажения спектра формируемых и принимаемых сигналов в частотно-
избирательных цепях передающего и приемного тракта могут быть
учтены за счет выполнения дополнительного количества итераций и по
своему влиянию принципиально не отличаются от линейных искаже-
искажений, возникающих при распространении и многократном отражении
сигнала.
4. Анализ устойчивости к нелинейным искажениям в приемном тракте
представляет собой очень сложную задачу. Тем не менее, можно приве-
привести аргументы в пользу более высокой устойчивости итерационного
алгоритма:
¦ при формировании компенсационного сигнала имеется принципиаль-
принципиальная возможность учета нелинейной амплитудной характеристики при-
приемника;
¦ итерационная процедура обладает свойством коррекции ошибок, до-
допущенных на предыдущих этапах;
¦ некритичность к изменениям структуры модулирующей последова-
последовательности позволяет применять на последующих итерациях времен-
временную режекцию мощных сигналов, обнаруженных на предыдущих ите-
итерациях.
Основные недостатки рассматриваемой итерационной процедуры связаны
с ее слабой исследованностью и неопределенностью основных характеристик:
¦ скорости сходимости;
¦ условий устойчивости;
¦ достижимой глубины компенсации взаимных помех.
С вычислительной точки зрения каждая итерация требует не более, чем
двойного объема вычислений по сравнению с корреляционно-фильтровой об-
обработкой. Однако априорные сведения о диапазоне доплеровских сдвигов ча-
частоты и задержек мешающих отражений могут значительно уменьшить объем
вычислений. Если количество итераций ограничить величиной порядка десяти,
то технические возможности современных ПЛИС и сигнальных процессоров
допускают реализацию рассматриваемого алгоритма в реальном времени. При
этом вопрос о достижимой глубине компенсации за ограниченное количество
итераций требует специального исследования.
Таким образом, сравнение различных способов когерентной компенсации
взаимных помех позволяет сделать вывод о перспективности исследования
итерационной процедуры компенсации.
283

2.3. Обнаружение-разрешение
сложных сигналов с рекурсивным
оцениванием их параметров
В разделе 2.1 для разрешения сложных квазинепрерывных сигналов, отли-
отличающихся задержками предлагается использовать адаптивный цифровой
фильтр. При этом отмечается, что для обнаружения слабых сигналов с большим
доплеровским сдвигом можно применить согласованную обработку ошибки
компенсации, представляющую собой разность между входным и предсказан-
предсказанным сигналом. Кроме того, во избежание потерь информации о компенсирован-
компенсированных сигналах необходимо обрабатывать оценки амплитуд, поступающих с
выхода адаптивного фильтра.
Вопрос о виде совместной обработки ошибки компенсации и оценок амп-
амплитуд остался открытым. Он рассматривается в настоящем разделе.
Задачу адаптивного разрешения-обнаружения можно условно разделить на
процедуру разрешения сигналов с измерением их амплитуд и процедуру
обнаружения этих сигналов на фоне аддитивного гауссовского белого шума.
Предположим, что с помощью некоторой процедуры (например, адаптив-
адаптивной фильтрации) получены достаточно хорошие оценки комплексных амплитуд
сильных сигналов для всего диапазона возможных задержек. В каждый
i-ый момент времени оценки комплексных амплитуд представлены значением
вектора а(/), который имеет размерность Md. На основании этих оценок и из-
известной структуры модулирующей последовательности W можно сформировать
компенсирующий сигнал y(i), каждый г-ый отсчет которого определяется
выражением:
B.3.1)
т=\
Вычитание компенсирующего сигнала y(i) из входного s(i) образует ошиб-
ошибку компенсации e(i), которая определяется выражением:
e(i)=s(i)-y(i). B.3.2)
Согласованная обработка сигнала S длиной N отсчетов предполагает вы-
вычисление значений взаимной функции неопределенности /?Аф(?,т) входного и
опорного сигнала для каждой дискретной задержки т и дискретного сдвига
частоты к:
\ J N 'l
B.3.3)
где Kjp — размерность дискретного преобразования Фурье.
284

В силу линейности согласованной обработки это выражение можно предста-
представить в виде суммы двух слагаемых. Одно из них, Re соответствует согласованной
обработке сигнала ошибки e(i), другое, Ry — компенсационного сигнала y(i):
RM(k,m)=Rt(k,m)+Ry(k,m), B.3.4)
— -i) B.3.5)
Ry (*>т) = S >(')• A1 ~m)-exP - j—¦ »,
К
Подставляя B.3.1) в B.3.6) получаем:
i=0 1=1
2ттк
j —
2nk Л
i N
l*m
Первое слагаемое выражения B.3.7) описывает обработку оценки полезно-
полезного сигнала с задержкой т , а второе слагаемое - обработку оценок помех, в
качестве которых выступают сигналы с другими задержками, не равными т.
Очевидно, что с точки зрения минимизации взаимных помех процедура обра-
обработки компенсирующего сигнала не должна содержать второго слагаемого.
Тогда обработка оценок сводится к спектральному анализу оценок амплитуд
только полезных сигналов, модулированных огибающей квазинепрерывного
сигнала без учета закона фазовой манипуляции:
Ry(k,m)=^dm(i)'W2(i-m)-txA-j—-'A B.з.8)
i=o V " )
Учитывая, что для троичных последовательностей с единичной амплитудой
активных символов справедливо соотношение w2(-) = |wQ , и подставляя B.3.8)
и B.3.5) в B.3.4) получаем выражение совместной обработки ошибки
компенсации и оценок амплитуд:
285

ДАФ (к,т) = ? [e(i} w(i -m)+am (i)- \w(i -т]]- exJ - j— ¦ i 1 B.3.9)
Jfl —¦ l,...iVi ^ , /c = ' ,...
В соответствии с этим выражением решающая статистика при рассогласо-
рассогласованной обработке сигналов в присутствии мешающих отражений, отличающих-
отличающихся задержкой, состоит из спектральной обработки суммы демодулированной
ошибки компенсации и оценки амплитуды полезного сигнала, умноженного на
огибающую демодулирующей последовательности.
В выражении B.3.9) не учтены особенности обработки квазинепрерывных
сигналов, описанные в главе 3 части II, а именно:
¦ дополнительная коммутация приемного тракта инверсным сигналом ком-
коммутации передатчика для обеспечения их взаимной временной развязки;
¦ сегментная обработка сигналов, позволяющая применить для доплеров-
ской фильтрации быстрое преобразование Фурье пониженной размер-
размерности;
¦ нормировка сегментов сигнала для повышения селектирующих свойств
квазинепрерывных сигналов по частоте.
Эти особенности будут учтены при подробном анализе и исследовании
алгоритмов когерентной компенсации в главе 4> Там же рассматриваются упро-
упрощенные варианты обработки.
2.4. Стационарные и флюктуирующие
отражения и их моделирование
Отражение радиолокационного сигнала от природных объектов, создающих
помехи при обнаружении целей, исследовано рядом авторов[104, 133, 140, 79].
Результаты исследований предоставляют подробную информацию о характери-
характеристиках отражений: удельной ЭПР, распределении вероятности амплитуд отра-
отраженного сигнала, ширине спектра флюктуации в зависимости от вида и состоя-
состояния отражающего объекта, параметров зондирующего сигнала, характеристик
антенной системы и расположения радиолокатора. Сложность этих зависимостей,
связанная с влиянием большого количества факторов, является серьезным
препятствием для решения исследовательских задач. Поэтому выделим основные
факторы, которые имеют преимущественное влияние в рассматриваемой задаче
подавления мешающих отражений при компенсационной обработке сложных
квазинепрерывных сигналов.
¦ Интегральная мощность мешающих отражений относительно уровня
собственных шумов приемника - определяет требования по глубине ком-
компенсации, необходимой для обнаружения сигналов.
¦ Диапазон возможных значений задержек и доплеровских сдвигов часто-
частоты мешающих отражений - определяет пределы измерения и адаптации
параметров компенсирующего сигнала.
286

¦ Детерминированное или вероятностное распределение интенсивности
мешающих отражений по задержкам и частотным сдвигам - определяет
реальную обстановку, для которой решается поставленная задача.
¦ Ширина спектра флюктуации мешающих отражений - определяет дос-
достижимую скорость и точность измерения параметров помех и, соответ-
соответственно, эффективность их компенсации. Имеется в виду ширина спек-
спектра флюктуации комплексных амплитуд отраженных сигналов, не
связанная с шириной спектра сложного зондирующего сигнала.
¦ Вид флюктуации мешающих отражений, обусловленный природой их
возникновения, - определяет корреляционные свойства флюктуирую-
флюктуирующего сигнала и оказывает непосредственное влияние на точность полу-
полученных оценок.
Отметим, что вид функции плотности распределения вероятности не вклю-
включен в список параметров, оказывающих существенное влияние на качество ком-
компенсации мешающих отражений, поскольку он не характеризует динамические
процессы, происходящие в течение времени когерентной обработки сигнала.
Длина «хвостов» распределения вероятности определяет вероятности ошибок
обнаружения сигнала на фоне мешающих отражений, но не оказывает непосред-
непосредственного влияния на степень компенсации мешающих отражений. Первые че-
четыре показателя могут быть численно заданы в качестве параметров исследуемой
модели, в то время как пятый требует качественного анализа.
В общем случае можно выделить три основных причины возникновения
флюктуации мешающих отражений:
¦ собственные флюктуации, связанные с воздействием внешних возмуще-
возмущений (ветер, волнение) на отражающую поверхность сложной структуры
(водная поверхность, лес, трава и т.п.);
¦ флюктуации, связанные с движением носителя РЛС или перемещением
отражающего объекта (гидрометеоры, облако дипольных отражателей);
¦ флюктуации, обусловленные вращением антенны, когда диаграмма на-
направленности антенны скользит по поверхности, состоящей из множе-
множества отражателей.
В спектральной области собственные флюктуации создают длинные, мед-
медленно спадающие «хвосты», в то время как флюктуации, вызванные взаимным
смещением носителя или диаграммы направленности антенны и отражающего
объекта, имеют спектр, ограниченный максимальной скоростью взаимного
смещения. В реальной обстановке присутствуют все виды флюктуации, однако
их влияние может сильно различаться в каждой конкретной ситуации.
Рассмотрим один из самых сложных видов мешающих отражений - отраже-
отражения от взволнованной морской поверхности. В [79] приведены сведения о
характерном виде автокорреляционной функции сигналов, отраженных от
морской поверхности для всех трех типов флюктуации. Согласно этим данным,
собственные флюктуации имеют экспоненциально затухающую автокорреляци-
автокорреляционную функцию Pj(t):
р1(т)-ехр(-4А/1.|т|), B.4.1)
где A/i — эффективная ширина спектра собственных флюктуации, достигаю-
достигающая сотен герц для Х- диапазона.
287

Спектральная плотность мощности Sx (со) для этого процесса находится как
преобразование Фурье от автокорреляционной функции рДт) и после норми-
нормировки к максимальному значению принимает вид:
Г- B.4.2)
В последующем будем называть флюктуации, обладающие корреляцион-
корреляционной функцией B.4.1) и спектральной плотностью мощности B.4.2), флюктуа-
циями первого типа.
Флюктуации, вызванные движением носителя, и флюктуации, связанные с
вращением антенны, различаются по ширине спектра, однако в силу схожести
физических явлений, определяющих их возникновение, они имеют одинаковый
гауссовский тип корреляционной функции р2 (т):
= ехр1-4тг(Д/2.тJ_|, B.4.3)
где А/2 — эффективная ширина спектра флюктуации, обусловленных движени-
движением носителя или вращением антенны. Для типовых значений скорости враще-
вращения антенны и скоростей носителей, соответствующих надводным судам, А/2
составляет десятки герц в X диапазоне. Для воздушных носителей она может
достигать десятков килогерц.
Нормированная спектральная плотность мощности S2 (со) этих флюктуации
определяется выражением:
Флюктуации, описываемые соотношениями B.4.3) и B.4.4) будем называть
флюктуациями второго типа.
Наконец, нельзя полностью игнорировать и существование нефлюктуиру-
ющих мешающих отражений. Предполагается, что в течение времени когерен-
когерентной обработки, которое составляет единицы-десятки миллисекунд, существен-
существенные флюктуации сигнала отсутствуют. Этот случай имеет место, если природа
отражающего объекта такова, что собственные флюктуации за это время
незначительны, носитель РЛС неподвижен, движется с относительно малой
скоростью, или его движение компенсируется, а антенна с электронным
управлением диаграммой направленности дискретно сканирует пространство.
В дальнейшем будут рассматриваться три перечисленных типа мешающих
отражений. С одной стороны, эти простые модели могут быть экономно реали-
реализованы доступными вычислительными средствами, с другой - охватывают дос-
достаточно широкий класс практически интересных случаев.
Относительно распределения вероятности амплитуд мешающих отражений
известно, что в зависимости от характера отражающих объектов и свойств
зондирующего сигнала оно может соответствовать целому ряду вероятностных
288

распределений: Релея, обобщенное Релея, Вейбула, х2, логнормальное, К-рас-
пределение. Моделирование любого из этих распределений не предъявляет
повышенных требований к вычислительным ресурсам, однако только при нор-
нормальном распределении квадратурных компонент помех и линейной обработ-
обработке сигналов качество обнаружения может быть охарактеризовано единствен-
единственным параметром - отношением сигнал/(шум+помеха). С точки зрения простоты
и наглядности получаемых результатов при моделировании мешающих отраже-
отражений использовался этот вид распределения квадратурных компонент, чему
соответствует релеевское или обобщенное релеевское распределение вероятно-
вероятности амплитуд.
Важной характеристикой мешающих отражений и радиолокационной об-
обстановки в целом служит распределение мощности отраженных сигналов по
задержкам и доплеровским сдвигам частоты, описываемое функцией рассеяния
[104, 71]. Однако для когерентной компенсации помех необходима информация
не только о мощности, но и о начальной фазе отраженных сигналов. Поэтому
по аналогии с существующей введем комплексную функцию рассеяния, которая
с точностью до постоянного множителя определяет комплексную амплитуду
отраженных сигналов в зависимости от задержки и доплеровского сдвига
частоты.
Ориентируясь на цифровые методы обработки, эту функцию удобно зада-
задавать в виде матрицы А, называемой далее матрицей рассеяния. Каждая ячей-
ячейка Акт этой матрицы соответствует одному элементу разрешения по частоте и
задержке, размеры которого определяются длительностью и шириной спектра
сложного сигнала соответственно. Индекс к строки матрицы рассеяния задает
дискретный частотный сдвиг (бин) в диапазоне анализируемых частот
К К
к , .. 1, а индекс столбца т — номер элемента разрешения по
задержке (дальности) m = l,...,Md.
Подобное описание распределения комплексных амплитуд отраженных
сигналов было использовано в выражениях B.1.1—2.1.3), только элементы
матрицы рассеяния для простоты были упорядочены в виде вектора.
Элементы одного столбца матрицы рассеяния определяют спектральный
состав флюктуации отражающих объектов, находящихся на соответствующей
дистанции. Выполняя обратное дискретное преобразование Фурье над каждым
столбцом матрицы рассеяния, получим матрицу а , каждый столбец которой
содержит отсчеты временной реализации флюктуации источников отражений
с соответствующими задержками т = 1,..., М /.
u = FFT~l(A), B.4.5)
где FFT~l(;) — обозначает процедуру обратного дискретного преобразования
Фурье по столбцам матрицы.
Каждая строка матрицы а представляет собой значение вектора-строки
а(г) комплексных амплитуд флюктуирующих сигналов в /-ый момент времени.
В дальнейшем будем называть его вектором комплексных амплитуд или про-
10 Зак 14 289

сто вектором амплитуд. Оценка а(г) значений этого вектора может быть вы-
выполнена с помощью адаптивного цифровото фильтра, схема включения которо-
которого показана на рис. 2.1.2.
Если вектор а(г) известен, то можно записать выражение для формирова-
формирования отсчетов входного сигнала S(i) при любой модели флюктуации:
a(i)-d(i)+/i(i), B.4.6)
где d(i) — вектор-столбец, который в/-ый момент содержит Md последних от-
отсчетов модулирующей последовательности W, то есть от w(i-Md)
до w(i-l) включительно;
n(i) — отсчет широкополосного гауссовского шума в /-ый момент времени;
Таким образом, различие моделей сводится к формированию вектора ком-
комплексных амплитуд. Рассмотрим эти различия подробнее.
Модель нефлюктуирующих сигналов и мешающих отражений является
наиболее простой. Она определяется набором детерминированных значений
элементов матрицы рассеяния А. Считая, что в фазовом сдвиге элементов
матрицы рассеяния учтена задержка распространения сигнала, получаем выра-
выражение для вектора a(z) комплексных амплитуд в [ -ый момент времени:
a(;)=VBP(r)-A, B.4.7)
где VBP — вектор-строка множителей вращения длиной Кт\
@=
ех
B.4.8)
Для моделирования флюктуации с экспоненциальной функцией корреля-
корреляции B.4.1) (первый тип) удобно использовать векторный рекурсивный фильтр
первого порядка с коэффициентом авторегресии а , на входе которого действу-
действует векторный нормальный широкополосный шум 4 с равномерным спектром,
нулевым средним значением и условно единичной дисперсией.
i) = a-a(i-l)+Ce •$(/), а - ехр(- A^f/f 1' BА9)
где fs — частота дискретизации фильтра и процессов на его входе и выходе;
Са — нормирующий множитель, который обеспечивает постоянное сред-
среднеквадратичное значение амплитуд a(f) при изменении коэффициен-
коэффициента а .
Для аппроксимации фильтра, формирующего второй тип флюктуации,
удобно использовать каскадное включение цифровых фильтров, не требующих
290

операций умножения (CIC-фильтров) [139]. На обработку одного отсчета один
каскад такого фильтра требует только 2 операции сложения-вычитания, незави-
независимо от его порядка. Это свойство позволяет значительно уменьшить вычисли-
вычислительные затраты при моделировании. Системная функция Hac(z) трехкаскад-
ного CIC фильтра имеет вид:
HCIC(z) = Сас • ,! , B.4.10)
\ z )
где Lac — длина импульсной характеристики одного каскада С1С-фильтра,
Сас — нормирующий коэффициент.
Включение трех каскадов обеспечивает хорошее приближение корреляци-
корреляционной функции выходного процесса к гауссовской кривой B.4.3) при входном
воздействии в виде того же векторного широкополосного шума |. Связь меж-
между эффективной шириной спектра А/г и длиной Lac импульсной характерис-
характеристики одного каскада фильтра устанавливается соотношением:
Lac=J^r, B.4.11)
где коэффициент 1.1 учитывает изменение эффективной длины импульсной
характеристики при включении трех каскадов фильтра.
Точность такой аппроксимации можно оценить по автокорреляционной
функции и спектральной плотности мощности точного и приближенного пред-
представления, приведенных на рис. 2.4.1,а и рис. 2.4.1,6, соответственно. На этом
рисунке обозначение «Gauss» соответствует точным характеристикам флюкту-
флюктуации второго типа, a «3CIC» - их аппроксимации. Там же для сравнения приве-
приведены аналогичные характеристики для флюктуации первого типа, обозначен-
обозначенные надписью «ехр». Все характеристики приведены для эффективной ширины
энергетического спектра А/2 =42 Гц, что соответствует флюктуациям второго
типа, вызванным вращением антенны со скоростью 20 об/мин при ширине
диаграммы направленности в горизонтальной плоскости 1° [79].
Различия в виде автокорреляционной функции (рис. 2.4.1,а) между точным
и приближенным представлением практически незаметны. Однако спектраль-
спектральные характеристики, приведенные на рис. 2.4.1,6 в логарифмическом масштабе,
достаточно наглядно их выявляют. Хорошо видно, что заметные различия
возникают на уровне меньше 40 дБ, что можно признать удовлетворительной
точностью аппроксимации.
Сравнение корреляционных и спектральных характеристик флюктуации
второго и первого типа, рассчитанных для такой же эффективной ширины спек-
спектра, выявляет их серьезные различия. Наиболее существенным является
скорость спадания боковых лепестков спектральной плотности мощности. Для
первого типа флюктуации она значительно меньше, чем для второго, поэтому
спектр флюктуации второго типа существенно более сосредоточенный, компак-
компактный. Как будет показано в дальнейшем, это имеет определяющее значение для
качественной компенсации мешающих отражений.
291

dB
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
ex
A
t
4—
tf
w
I
*
auss
С
V
-20 -10 0 10 20 msec
а) автокорреляционная функция
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
$
exp
I
\
Gai
1SS
3CIC
, /
—1
-1000 -500 0 500 1000
б) спектральная плотность мощности
Рис. 2.4.1. Корреляционные и спектральные характеристики
флюктуацьш первого типа (ехр), второго типа (Gauss)
и его приближенного представления CCIC)
Таким образом, выбраны и обоснованы для дальнейшего исследования
модели мешающих отражений. Предложена аппроксимация модели флюктуа-
флюктуации, снижающая вычислительные затраты.
2.5. Критерии качества компенсационной
обработки сигналов
Сущность методов компенсационной обработки определяет принципиаль-
принципиальное наличие в устройстве или алгоритме обработки оценок параметров меша-
мешающих отражений, позволяющих сформировать компенсационный сигнал, и
ошибки компенсации, которая представляет собой разность между входным и
компенсационным сигналом.
Самым простым и очевидным критерием качества компенсации может
служить относительная среднеквадратическая ошибка компенсации г\к:
B.5.1)
где S — комплексная огибающая входного сигнала, содержащего смесь ме-
мешающих отражений, полезных сигналов и шума;
у — комплексная огибающая компенсационного сигнала;
292

?0 — символ статистического усреднения, которое может выполняться
по ансамблю реализаций, или по времени для случайных эргоди-
ческих процессов.
Основным недостатком этого критерия является то, что он не характери-
характеризует непосредственно точность оценок параметров мешающих отражений,
которые могут представлять интерес во многих случаях. Другими словами, мож-
можно сказать, что хорошее качество компенсации мешающих отражений еще не
гарантирует высокого качества оценок их параметров.
Однако применение критерия B.5.1) вполне оправдано в тех случаях, ког-
когда требуется произвести сравнение схожих алгоритмов обработки или выпол-
выполнить оптимизацию параметров алгоритма при каких-либо условиях и ограниче-
ограничениях.
Альтернативным критерием качества компенсации мешающих отражений
может служить относительная среднеквадратическая погрешность тц оценок
вектора амплитуд, которая определяется разностью между истинными значени-
значениями вектора а комплексных амплитуд и его оценкой а :
W)
Г
B.5.2)
В соответствии с этим выражением среднеквадратическая погрешность
оценок амплитуд на каждой дискретной задержке нормируется к суммарной
мощности мешающих отражений.
Выражение B.5.2) удобно применять для рекурсивных алгоритмов компен-
компенсации, основанных на адаптивной цифровой фильтрации, а для блочных
итерационных алгоритмов больше подходит аналогичное выражение, использу-
использующее матрицу рассеяния А и ее оценку А: <
=1018
4-аТ
ДБ.
B.5.3)
Использование критерия B.5.3) осложняется тем, что он является вектором
или матрицей, в общем случае зависящим от распределения интенсивности
мешающих отражений по задержке и частоте. Если предположить, что эта
зависимость отсутствует или достаточно слабая, то можно провести дополни-
дополнительное усреднение ошибки по всем задержкам и частотным сдвигам, получив
удобный скалярный показатель цоср :
=20-Ig
B.5.4)
293

A-A
TU=20.1g
еЫ
,ДБ
B.5.5)
где II — обозначение квадратичной нормы матрицы.
Однако такое предположение требует обязательного обоснования с учетом
конкретного алгоритма компенсационной обработки и типа флюктуации. В
любом случае размерность векторного показателя х\ может быть понижена при
использовании распределения мешающих отражений, содержащих статистически
однородные группы. В простейшем варианте — это диапазон частотно-времен-
частотно-временных сдвигов, заполненный мешающими отражениями с одинаковыми параметра-
параметрами, и диапазон задержек и сдвигов частоты, свободный от помех.
Преимущество критерия B.5.4), B.5.5) также состоит в возможности его ис-
использования в том случае, когда мешающие отражения на разных задержках обра-
обрабатываются различным образом. Например, помехи, интенсивность которых
превышает линейный динамический диапазон приемника, подвергаются ограни-
ограничению или временной режекции, что, безусловно, влияет на качество их компен-
компенсации. Тогда в выражениях B.5.4) и B.5.5) изменяется только диапазон суммиро-
суммирования, но его необходимо вычислять для каждой группы мешающих отражений.
Возвращаясь к исходной задаче обнаружения слабых сигналов при наличии
мешающих отражений можно сказать, что приведенные критерии характеризуют
качество решение этой задачи только косвенно. Естественно считать, что уменьше-
уменьшение мощности мешающих отражений, определяемое ошибкой компенсации B.5.1),
повышает отношение сигнал/(шум+помеха) и повышает вероятность обнаружения
сигнала. Однако количественная оценка улучшения достоверности обнаружения
возможна только при достаточно серьезных ограничениях. Для расчета характери-
характеристик обнаружения необходимо знание распределения вероятности процесса на
выходе устройства обработки при наличии и отсутствии сигнала. Наиболее распро-
распространенное предположение о нормальном виде распределения вероятности в
строгом смысле может быть использовано только при нормальном распределений
мешающих отражений и шума, а также при условии линейности устройства
обработки, включая устройство компенсации. Если эти условия выполняются, то
на основании критериев B.5.1) — B.5.5) можно рассчитать отношение сигнал/
(шум+помеха) и построить характеристики обнаружения.
Вместе с тем следует отметить, что компенсация мешающих отражений
предполагает использование адаптивных фильтров и алгоритмов обработки
сигналов, для которых само понятие линейности имеет некоторые особеннос-
особенности. Действительно, параметры линейной (в строгом смысле) системы не зависят
от сигналов, которые она обрабатывает, что принципиально противоречит
концепции адаптации. Поэтому термин «линейный адаптивный фильтр» озна-
означает только то, что его параметры изменяются достаточно медленно, по край-
крайней мере, остаются почти постоянными за время обработки сигнала.
294

В рассматриваемом случае длительность когерентно обрабатываемых
квазинепрерывных зондирующих сигналов может достигать несколько десятков
миллисекунд. Если ширина спектра флюктуации мешающих отражений, на
компенсацию которых настраивается адаптивный фильтр, составляет десятки-
сотни герц, то предположение о постоянстве коэффициентов фильтра за время
когерентной обработки сигналов оказывается несостоятельным. Как следствие,
возможно проявление нелинейных свойств в части отклонения распределения
вероятности выходного процесса от нормального. Поэтому при использовании
«линейных» адаптивных фильтров и алгоритмов, а тем более их нелинейных
модификаций, в качестве конечного критерия качества следует использовать ха-
характеристики обнаружения.
По сравнению с вычислением среднестатистических значений ошибки
компенсации B.5.1) и ошибки оценивания B.5.2)—B.5.5), получение характе-
характеристик обнаружения при неизвестном виде распределения вероятностей пред-
представляет собой очень трудоемкий процесс, особенно для низких вероятностей
ошибок. Поэтому этот критерий следует использовать только на заключитель-
заключительной стадии исследования, скорее как тест для проверки полученных результа-
результатов, а не как инструмент для поиска и оптимизации алгоритмов обработки.
2.6. Выводы по главе
1. Обоснован выбор двух способов обработки сложных сигналов, позволяю-
позволяющих реализовать разрешение и обнаружение при наличии мешающих от-
отражений. Первый из них основан на итерационной процедуре компенса-
компенсации сигналов фиксированной длительности, в другом используется
рекурсивная оценка, вырабатываемая адаптивным цифровым фильтром.
2. Итерационная процедура компенсационной обработки сигналов фик-
фиксированной длительности обладает рядом преимуществ перед другими
вариантами рассогласованной блочной обработки, особенно в плане эко-
экономии вычислительных ресурсов, но требует проведения дополнитель-
дополнительных исследований для определения эффективности, устойчивости и
других характеристик.
3. Для второго способа компенсации взаимных помех определена проце-
процедура совместной обработки оценок и ошибки компенсации, на основа-
основании результатов которой производится обнаружение сигналов. Она со-
состоит из операций корреляционно-фильтровой обработки ошибки
компенсации и спектральной обработки оценок полезных сигналов с
учетом закона амплитудной манипуляции.
4. Для проведения дальнейших исследований обоснован выбор двух ти-
типов флюктуации мешающих отражений с экспоненциальным и гауссов-
ским видом корреляционной функции. Разработаны упрощенные мате-
математические модели для их формирования.
5. Определены критерии качества компенсационной обработки: относи-
относительная среднеквадратическая ошибка компенсации и относительная
среднеквадратическая погрешность оценок амплитуд мешающих отра-
отражений.
295

Глава 3
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЕНСАЦИОННОЙ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ФИКСИРОВАННОЙ
ДЛИТЕЛЬНОСТИ
В предыдущей главе при анализе методов блочной обработки сигналов
фиксированной длительности была обоснована перспективность исследования
итерационных методов компенсации мешающих отражений. Вместе с тем отме-
отмечалось недостаточная полнота алгоритмических разработок и слабая исследо-
ванность итерационных алгоритмов компенсации при различной помеховой
обстановке.
В связи с этим основной задачей данной главы является разработка итераци-
итерационного алгоритма обнаружения-разрешения сложных сигналов, оптимизация его
параметров и исследование эффективности компенсации взаимных помех.
Поставленная задача требует решения следующих вопросов:
¦ разработка итерационного алгоритма обнаружения-разрешения, обес-
обеспечивающего компенсацию взаимных помех;
¦ исследование его характеристик при воздействии стационарных и флюк-
флюктуирующих мешающих отражений;
¦ анализ влияния нелинейных искажений, возникающих вследствие огра-
ограниченного динамического диапазона приемника;
¦ разработка метода адаптивной временной режекции мешающих отра-
отражений, совместимого с итерационным алгоритмом компенсации;
¦ анализ устойчивости к нелинейным искажениям итерационного алгорит-
алгоритма когерентной компенсации с временной режекцией мощных помех.
3.1. Итерационный алгоритм
компенсационной обработки
Рассматриваемый метод основан на блочной обработке сложного квазинеп-
квазинепрерывного сигнала. Термин «блок» в данном случае обозначает совокупность
временных отсчетов принятого сигнала, над которыми выполняются операции.
Согласованная корреляционно-фильтровая обработка квазинепрерывных
сигналов подробно описана ранее, поэтому здесь только подчеркнем те
особенности, которые важны для компенсации мешающих отражений.
¦ Корреляционно-фильтровая обработка сигнала в целом позволяет полу-
получить оценку значений матрицы рассеяния во всем диапазоне возможных
задержек и доплеровских сдвигов частоты.
¦ Время когерентной обработки выбирается максимально возможным для
повышения достоверности обнаружения и точности оценок, поэтому
оценки, получаемые при обработке соседних, последовательно идущих
во времени блоков, считаются независимыми. Это означает, что взаим-
взаимное использование оценок, полученных при обработке соседних блоков,
не применяется.
296

Инкремент
счетчика итераций
1 Ввод и запоминание
блока входных данных
2 Инициализация итерационного цикла
3. Корреляционно-фильтровая обработка ошибки компенсации
4. Коррекция частотной характеристики устройства сжатия
сегментов
5. Пороговое обнаружение мешающих отражений и сигналов
6. Уточнение оценок обнаруженных мешающих отражений и
сигналов
7. Формирование компенсационного сигнала.
8 Определение ошибки компенсации
10. Вывод результатов обработки
Рис. 3.1.1. Блок-схема алгоритма компенсационной обработки сигналов
10* Зак 14

¦ Применение эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов,
таких как БПФ и «быстрая свертка» [8, 92], подразумевает запоминание
всего блока данных и его последующую обработку. Для обеспечения
режима реального времени в этом случае требуется запоминание всех
последующих блоков, пока выполняется обработка предыдущих.
В дальнейшем, если особо не оговорено, будем рассматривать обработку
одного блока данных, подразумевая, что обработка остальных выполняется
таким же образом.
Базовый принцип компенсационной обработки каждого блока данных
состоит в реализации последовательных итераций, каждая из которых содержит
4 основные процедуры:
¦ корреляционно-фильтровая обработка исходного сигнала в заданном
диапазоне частотно-временных сдвигов;
¦ вычисление адаптивного порога и определение параметров наиболее
мощных мешающих отражений, превысивших порог обнаружения;
¦ имитация помех, то есть формирование компенсирующего сигнала, со-
содержащего смесь выделенных мешающих отражений;
¦ компенсация (вычитание) имитированных помех из исходного принято-
принятого сигнала (получение их разности, то есть ошибки компенсации).
Во всех последующих итерациях, после первой, в качестве исходного сиг-
сигнала используется ошибка компенсации, полученная на предыдущей итерации.
Как отмечалось ранее, разделение на мешающие отражения и полезные
сигналы является чисто условным. Все отраженные сигналы, независимо от их
параметров, подвергаются одной и той же процедуре обработки, в результате
которой ослабляется влияние сильных сигналов на обнаружение более слабых.
Разумеется, что компенсация обнаруженных сигналов не приводит к потере
информации о них, сохраняемой в виде оценок параметров.
Рассмотрим алгоритм компенсационной обработки, приведенный на
рис. 3.1.1. Здесь, кроме перечисленных четырех основных операций, показаны
дополнительные, конкретизирующие данный алгоритм.
Ввод и запоминание блока входных данных
В этом блоке входной сигнал представляется в виде вектора-столбца S, раз-
размерности N, элементы которого ?., / = 1,..., N являются отсчетами входного сиг-
сигнала в дискретные моменты времени /. Троичная модулирующая последователь-
последовательность, определяющая закон амплитудно-фазовой манипуляции зондирующего
сигнала, также представляется в аналогичном виде: вектор W с элементами wi9 i
= 1, ..., N. Для согласованной обработки принимаемых сигналов в диапазоне
дискретных временных задержек от 1 до Мd формируется набор задержанных
демодулирующих последовательностей, представленных в виде матрицы D,
размерности NxMd . Каждый m-ый столбец Dm этой матрицы представляет
собой последовательность, задержанную на т (га = 1,..., Md) отсчетов, и посим-
посимвольно умноженную на логическую инверсию модуля (абсолютного значения)
последовательности W с нулевым сдвигом. Эта операция соответствует коммута-
коммутации приемника при квазинепрерывном режиме работы РЛС:
А.« =N'^.„,1 = 1, .-,N,m = I, ...,Md. C.1.1)
298

Как будет показано далее, для обеспечения быстрой сходимости итераци-
итерационного алгоритма важно, чтобы обнаруживаемые на каждой итерации мешаю-
мешающие отражения имели компактный спектр. Тогда на обнаружение и компенса-
компенсацию всех спектральных составляющих каждой помехи будет затрачено
минимальное количество итераций. Для достижения этой цели в рассматрива-
рассматриваемом алгоритме предусмотрена стандартная процедура взвешивания входного
сигнала, В качестве весовой функции целесообразно использовать «окна»,
обеспечивающие высокую скорость спадания боковых лепестков частотной
характеристики, например, окно Ханна [92]. Взвешенный сигнал Sw получает-
получается как результат поэлементного умножения отсчетов сигнала S на отсчеты
функции «окна» /w:
Swi=S/-/w/, i = l,.JV. C.1.2)
Инициализация итерационного цикла
Инициализация итерационного цикла содержит операции начальной уста-
новки счетчика итераций кит, матрицы рассеяния А и ошибки компенсации е:
кит=0, А-0, e = Sw. C.1.3)
Матрица А имеет размерность Kfft x Md, где К^ — количество элементов
разрешения по частоте. В качестве начального значения ошибки компенсации
используется вектор взвешенного входного сигнала.
Корреляционно-фильтровая обработка ошибки компенсации
В данном случае рассматривается корреляционно-фильтровая обработка
сложного сигнала методом сжатия сегментов, описанная в разделе 3.2 части II,
несмотря на погрешности такого метода по сравнению с согласованной обра-
обработкой. Это связано с практической сложностью реализации согласованной
обработки сигналов с большой базой в широком диапазоне частот.
Если размерность быстрого преобразования Фурье в устройстве обработ-
обработки выбрана равной К**г, то длина сегмента Ns определяется выражением:
Для реализации сегментной обработки как вектор е ошибки компенсации,
так и матрица D демодулирующих последовательностей разделяются по дли-
длине столбца на Kffi сегментов длиной Ns отсчетов каждый, образуя матрицы
есЕг (размерность NsxKfft)n DCEr (размерность NsxMdxKfft), соответствен-
соответственно. Обработка каждого k-ovo сегмента сводится к операции умножения
fc-oro столбца матрицы еСЕГ на fc-тую подматрицу матрицы DCEr:
/ "^СЕГк > * = *~> *"» ^fft> C.1.5)
где RCErit — вектор-строка результатов корреляционной обработки А:-го сег-
сегмента на Md дискретных задержках;
0я — символ эрмитового сопряжения.
299

Как показано в разделе 5.4 части II, с целью улучшения селектирующих
свойств квазинепрерывных сигналов можно использовать нормировку резуль-
результатов сжатия сегментов к количеству активных символов на каждом сегменте.
Вычисление количества активных символов на сегменте производится простым
суммированием элементов столбцов абсолютных значений подматриц Т)СЕГк
к = U-Kff, следовательно, элементы матрицы G нормированных значений сег-
сегментной свертки определяются выражением:
СЕГкт к=\,..., Кт т = 1,.... Md. C.1.6)
Выполняя быстрое преобразование Фурье над каждым столбцом матрицы
G, получаем матрицу ККф результатов корреляционно-фильтровой обработки
всего сигнала той же размерности KmxMd .
Kfft
где FFT(-) — обозначение дискретного преобразования Фурье, выполняемого
по столбцам матрицы.
Коррекция частотной характеристики
устройства сжатия сегментов
В сущности, рассмотренная в главе 5 части II сегментная свертка представ-
представляет собой предельно упрощенный вариант низкочастотной фильтрации демо-
дулированного сигнала, снижающий требования к аппаратным ресурсам. Ин-
Интегрирование демодулированного сигнала в течение длительности сегмента Ns
отсчетов эквивалентно пропусканию его через цифровой фильтр с системной
функцией Hs(z)'-
1 1 - 7"Ns
Я,(г)= —-^-рг, C.1.8)
где Аг — нормирующий множитель,
Для имитации мешающих отражений и их последующей компенсации ва-
важен учет искажений, вносимых частотной характеристикой данного фильтра.
Получим ее из выражения C.1.8) при z = eJCD :
sin
¦ffl.(»s-,)-
unf • C'L9)
где со — нормированная круговая частота.
300

Дискретный набор частот определяется для всей полосы частот сложного
сигнала выражением:
2ттк
<»*=—, * = О,...ЛГ-1, C.1.10)
где к — порядковый номер спектрального отсчета;
N = Ns- Kjp —¦ длина когерентно обрабатываемого сигнала.
Значения частотной характеристики устройства сжатия сегментов на час-
частотах сок равны:
C.1.11)
sin
N
Поскольку при сжатии сегментов получаются спектральные отсчеты только
К / К /
в диапазоне от - т/~ до ®/~ -1 (с учетом периодичности спектра дискрет-
дискретных сигналов), то именно для этого диапазона частот вычисляются обратные
значения частотной характеристики, используемые для коррекции результатов
корреляционно-фильтровой обработки сигнала.
-sin
Отметим, что при достаточно большой длине сегмента N5 »1, с учетом со-
соотношения N = Ns- Kjp частотная характеристика рассматриваемого устройства
практически не зависит от длины сегмента, и выражение C.1.12) упрощается:
-?* J^L-!. C.1.13)
Коррекция результатов корреляционно-фильтровой обработки осуществля-
осуществляется поэлементным умножением каждого столбца матрицы RKO на вектор Н^1:
RK0Pk,m=R™k,m-Hs-kl, k = -^,...^-l, m = l,...Md, C.1.14)
где RKOP — откорректированная матрица результатов корреляционно-фильтро-
корреляционно-фильтровой обработки.
301

Пороговое обнаружение мешающих отражений и сигналов
Обнаружение мешающих отражений и сигналов производится путем срав-
сравнения модуля элементов матрицы RK0P с адаптивным порогом, устанавливае-
устанавливаемым пропорционально среднеквадратическому значению помех %6л по БЛ ФН.
Оценка этой величины вычисляется в два этапа. На первом этапе удаляются
оценки наиболее мощных мешающих отражений, полученные по главным пи-
пикам функции неопределенности, что позволяет устранить их влияние на оцен-
оценку помех по БЛФН и величину решающего порога. На втором этапе выделяют-
выделяются оценки комплексных амплитуд помех и сигналов, превысивших
установленный порог.
Этап 1.
Рассчитывается среднеквадратическое значение %общ элементов всей мат-
матрицы RKOp:
ор
\к м ¦ C-1.15)
Пропорционально рассчитанному значению устанавливается порог и на
основании матрицы RK0P формируется матрица Rm, содержащая только те
ненулевые значения, модуль которых не превышает порог.
где Ch — константа, определяющая величину относительного порога.
(Логическое выражение в скобках принимает значение 1, если оно истин-
истинно и О — в противоположном случае).
Этап 2.
Рассчитывается среднеквадратическое значение %бл суммарных помех по
Б Л ФН (ненулевых элементов матрицы Rm):
Хбл ~ '
где Кт — количество помех, обнаруженных на первом этапе, то есть нулевых
элементов матрицы Rm.
Аналогично первому этапу устанавливается порог пропорционально ве-
величине Хбл > но из исходной матрицы RKOP выделяются только те значения, мо-
модуль которых превышает вновь установленный порог.
302
(\ К К
RK0Pk,m >Ск-Хбл), k = —?-,...-?-l,m = l,...,Md, C.1.18)

где Rn2 — матрица, содержащая комплексные амплитуды мешающих отраже-
отражений, превысивших порог обнаружения. Индексы элементов этой матрицы опре-
определяют дискретную задержку и дискретный частотный сдвиг обнаруженных
мешающих отражений и сигналов.
Уточнение оценок
обнаруженных мешающих отражений и сигналов
Комплексные амплитуды мешающих отражений получаются на каждой
итерации в результате обработки ошибки компенсации. Накопление этих ре-
результатов от итерации к итерации повышает точность оценки матрицы рассея-
рассеяния. Таким образом, для получения оценки матрицы рассеяния А{кит) на
итерации кит необходимо к ее значению на предыдущей итерации кит -1 доба-
добавить матрицу Rn2:
A(kum)=A{kum-l)+Rm. C.1.19)
Формирование компенсационного сигнала
Формирование компенсационного сигнала требует выполнения трех основ-
основных операций:
¦ восстановление временных отсчетов оценки вектора комплексных амп-
амплитуд по оценке матрицы рассеяния;
¦ интерполяция временных отсчетов оценки вектора комплексных ампли-
амплитуд с частотой дискретизации, определяемой шириной спектра зондиру-
зондирующего сигнала;
¦ формирование компенсационного сигнала на основе интерполирован-
интерполированных значений оценки вектора комплексных амплитуд и известного зако-
закона амплитудно-фазовой манипуляции зондирующего сигнала.
Перечисленные операции могут быть выполнены различными способами
на основе разнообразных методов интерполяции сигнала в частотной и времен-
временной области. Подчеркнем, что необходимость интерполяции является следстви-
следствием применения сегментной обработки сигнала, когда после демодуляции
осуществлялась децимация (прореживание) с периодом, равным длительности
сегмента. Очевидно, что формирование компенсационного сигнала с такой же
частотой следования отсчетов, как в исходном сигнале, требует выполнения
обратной операции, то есть интерполяции.
Не останавливаясь подробно на выборе и обосновании метода интерполя-
интерполяции, что представляет собой предмет отдельного исследования, рассмотрим
вариант на основе обратного быстрого преобразования Фурье. В соответствии
с этим методом [92, 121] интерполированный сигнал получается как обратное
БПФ над спектральными отсчетами, дополненными нулевыми значениями в
области высокочастотных компонент.
Если индекс к строки матрицы А , определяющий номер спектрального
К К
отсчета, изменяется от ¦—— до 1, то каждый столбец этой матрицы еле-
N~Kffi
дует дополнить — нулями сверху и снизу. Тогда каждый столбец матри-
303

цы будет иметь длину N , равную длительности исходного сигнала. Выполняя
обратное дискретное преобразование Фурье по столбцам матрицы А, допол-
дополненной нулями, получаем матрицу аинт оценок комплексных амплитуд:
*ИНТ
= FFT~
О
V1" "V
C.1.20)
Каждая /-ая строка матрицы аинт представляет собой оценку а(/) вектора
комплексных амплитуд в г-ый момент времени i = 1, ..., N.
Тогда компенсационный сигнал у, представляющий собой вектор-столбец
длиной N, определяется выражением:
у=аинт-Вн.
C.1.21)
Определение ошибки компенсации
Ошибка компенсации е на каждой итерации рассчитывается как разность
между взвешенным входным Sw и компенсационным у сигналами:
e = Sw-y. C.1.22)
Проверка завершения итерационного цикла
Простое условие завершения, состоящее в достижении заданного количе-
количества итераций Кит
Ir —К
"'urn 1V um
C.1.23)
может быть дополнено условием, снижающим в среднем вычислительные зат-
затраты:
Rn2=0. C.1.24)
Последнее означает, что если на некоторой итерации не обнаружено меша-
мешающих отражений или сигналов, превышающих порог, то последующие итера-
итерации не изменят полученных результатов, и процесс вычислений следует прекра-
прекратить.
Кроме перечисленных условий прекращения итерационного процесса,
целесообразно использовать условие контроля его сходимости. В качестве кон-
контролируемого параметра можно использовать среднеквадратическую ошибку
компенсации ое\
304

N 1-
Pf
C.1.25)
где pf — пик-фактор зондирующего сигнала.
Уменьшение этой ошибки от одной итерации к другой свидетельствует о
сходимости итерационного процесса, а возрастание - о потере сходимости и
необходимости его прекращения. Обозначая се(кш) среднеквадратическую
ошибку компенсации, достигнутую на итерации кит, получаем условие заверше-
завершения вычислений:
CFe(kum)<(Je(kum+1)- C.1.26)
Все три условия C.1.23), C.1.24) и C.1.26) допускают совместное использо-
использование.
Вывод результатов обработки
Конечным результатом компенсационной обработки является оценка мат-
матрицы рассеяния А. Дополнительно для оценки эффективности обработки слу-
служат относительная среднеквадратическая ошибка компенсации r\K B.5.1) и
относительная среднеквадратическая погрешность оценки матрицы рассея-
рассеяния B.5.5), которые в рассматриваемом случае могут быть выражены соотно-
соотношениями:
J7K=2O-lg
pf
,ДБ
C.1.27)
=20-lg
А
А-А
JKftt-
,ДБ.
C.1.28)
Символ if) оценки в выражениях C.1.27) и C.1.28,) означает, что для полу-
получения необходимой точности может потребоваться дополнительное статисти-
статистическое усреднение.
Описанный выше алгоритм реализован в пакете визуального моделирова-
моделирования Simulink среды инженерных приложений MatLab. Далее приведены резуль-
результаты исследования его эффективности, полученные при вариации помеховой
обстановки, параметров зондирующего сигнала и устройства обработки.
305

3.2. Компенсация
нефлюктуирующих отражений
Рассмотрим свойства и характеристики алгоритма когерентной компенса-
компенсации, описанного в предыдущем разделе, при наличии нефлюктуирующих отра-
отражений.
Исследование свойств алгоритма производилось на модели устройства обра-
обработки с параметрами, приведенными в табл. 3.2.1. Параметры мешающих отраже-
отражений, определяющие значение элементов матрицы рассеяния, приведены в табл.
3.2.2. Формирование входного сигнала и вектора комплексных амплитуд
осуществлялось в соответствии с выражениями B.4.6), B.4.7) и B.4.8).
Параметры устройства обработки
Таблица 3.2.1
Наименование параметра
1 Частота дискретизации
(ширина спектра радиосигнала)
2. Пик-фактор квазинепрерывного сигнала
3. Количество элементов разрешения
по дальности
4 Относительная мощность шума приемника
5. Длина (база) когерентно
обрабатываемого сигнала
6. Размерность быстрого
преобразования Фурье
7. Относительный порог обнаружения
8. Количество итераций
Обозначение
/;
р/
Md
cr0
N
Kjft
ch
Km
Диапазон
изменения
Не изменяется
2+20
8+256
Не изменяется
256+16384
Не изменяется
4-16 дБ
1+7
Значение
по умолчанию
10 МГц
5
32
ОдБ
1024
32
10 дБ
7
Таблица 3.2.2
Параметры нефлюктуирующих мешающих отражений
Наименование параметра
1. Количество помех с различными
задержками и сдвигами частоты
2. Суммарная мощность помех
(без учета пик-фактора сигнала)
3. Мощность каждой помехи
4. Дискретные задержки помех
5. Нормированный сдвиг частоты
Обозначение
Кггом
Рвх
p-pV
°~ /К пом
m
*/
Диапазон
изменения
1-16
Не изменяется
1+16
-16+15
Значение
по умолчанию
8
60 дБ
51 дБ
1+8
8.5
306

Перечисленные параметры характеризуют зондирующий сигнал и устрой-
устройство обработки. В дальнейшем изложении, если специально не оговорено, ис-
используются значения параметров, установленные по умолчанию. Мощность
шума выбрана условно равной 0 дБ для удобства представления мощности
помех и сигналов относительно уровня шума. Таким образом, например, уста-
установка мощности помехи 30 дБ означает, что она в 1000 раз больше мощности
шума в полосе, равной ширине спектра радиосигнала.
Приведем иллюстрации, поясняющие процесс компенсационной обработ-
обработки для простейшего случая наличия одного отраженного сигнала с задержкой
1 отсчет, нулевым доплеровским сдвигом частоты и относительной мощностью
Рвх = 60 дБ. На рис. 3.2.1 приведена временная реализация этого сигнала пос-
после операции взвешивания и его спектральная плотность мощности.
1500
1000
500
0
Е
< -500
-1500
•чц
V
30
0 02 0 04 0.08
Tine (ms)
а) временная реализация
0.08
01
Frequency \MHzj
б) спектральная плотность мощности
Рис. 3.2.1. Исходный сигнал
На приведенном рисунке хорошо видно, что псевдослучайный закон мани-
манипуляции фазы и амплитуды сигнала соответствует равномерной спектральной
плотности мощности внутри эффективной полосы частот. Влияние шума на
сигнал такой мощности практически не ощутимо.
На рис. 3.2.2,а приведен результат корреляционно-фильтровой обработки
этого сигнала в виде наложенных профилей функции ККФ(&,га) C.1.7) вдоль
оси частот для всех дискретных задержек т = 1,..., Md. Профиль при т= 1, со-
соответствующий задержке сигнала, выделен маркерами (*). Отметим, что уро-
уровень помех в этом сечении (доплеровском сечении ФН) ниже, чем на остальных
задержках. Это является следствием применения процедуры нормировки сег-
сегментов, описанной в разделе 5.4 части П.
После пороговой обработки выделяются только основные спектральные
компоненты на задержке т = 1, и на основе этих оценок формируется компен-
компенсационный сигнал у C.1.21), показанный на рис. 3.2.2,6.
Сравнивая исходный (рис. 3.2.1,а) и компенсационный (рис. 3.2.2,6) сигна-
сигналы можно утверждать, что они близки, то есть компенсация будет выполнена
достаточно эффективно. Действительно, на рис. 3.2.3,а показана ошибка ком-
компенсации C.1.22) для этого случая. Масштаб по оси амплитуд увеличен в 150 раз
307

-0.15 -0.1 -0 06 0 0 05
Frequency (MHz)
а) результат обработки сигнала
0 1
P
0 0 02 0 04 0 06 0.08
Time (ms)
б) компенсационный сигнал
О 1
Рис. З.2.2. Результаты обработки после первой итерации
для отображения ее значелий! Рядом, на рис. 3.2.2,6, приведены результаты
корреляционно-фильтровой обработки ошибки компенсации C.1.7) на следую-
следующей итерации. Как и на предыдущем рисунке, маркером выделено сечение,
соответствующее первой задержке. Сравнение результатов обработки, приве-
приведенных на рис. 3.2.2,а и рис. 3.2.3,6, также наглядно иллюстрирует эффект ком-
компенсации. Амплитуда основного отклика снизилась приблизительно на 50 дБ,
и на такую же величину уменьшились помехи, создаваемые этим сигналом.
Результаты следующей итерации иллюстрируются на рис. 3.2.4. Так же, как
и на рис. 3.2.3, здесь изображена ошибка компенсации и результаты ее обработ-
обработки. Анализ графиков на рис. 3.2.3 и рис. 3.2.4 показывает, что сигнал основно-
основного отклика устройства обработки был правильно обнаружен и измерены его па-
параметры. Это позволило выполнить его компенсацию еще приблизительно на 20
дБ, но соответствующее снижение уровня помех было значительно меньше.
Причину этого явления легко выяснить, сопоставив результаты обработки
ошибки компенсации (рис. 3.2.4,6) и результаты такой же обработки чистого
шума (рис. 3.2.5,6). Как следует из приведенных результатов, на второй итера-
итерации мощный сигнал был скомпенсирован практически до уровня шума, поэто-
поэтому снижение уровня помех составило всего около 5^-7 дБ.
80
Ш 60
I
о.
f 2C
А
-Q 15 -0 1 -0 05 Q 0.05 0 1 0 15
Frequency (MHz)
а) ошибка компенсации
Рис. 3.2.3. Ошибка компенсации после первой итерации и результаты ее обработки
б) результат обработки ошибки
компенсации
308

10
3
1 0+.
-5
-10
0
0 02
0 04
Time
0 06
fms)
80
щ 60
Ъ 40
0 08
О I
-0 15 -0 1 -0 05 0 0 05
Frequency (MHz)
О 15
б) результаты обработки ошибки
компенсации
а) ошибка компенсации
Рис. 3.2.4. Ошибка компенсации после второй итерации и результаты ее обработки
Логично предположить, что дальнейшее продолжение итерационного про-
процесса не приведет к уменьшению ошибки компенсации, что и подтверждается
ее представлением на рис. 3.2.5,а. Фактически на рис. 3.2.5,а представлена ре-
реализация почти чистого шума с эффективным значением 1 @ дБ).
Поскольку заметного снижения ошибки компенсации по сравнению со
второй итерацией не получено, то на основании условия C.1.26) вычисления
завершаются на второй итерации. В целом уровень помех по БЛ ФН снизился
приблизительно на 55 •*- 57 дБ, то есть мощный сигнал был скомпенсирован по-
почти до уровня шума.
Окончательный вид результатов обработки представлен на рис. 3.2.6, где
полученные на предыдущих этапах оценки обнаруженных отраженных сигналов
добавлены к результатам корреляционно-фильтровой обработки ошибки компен-
компенсации на последней итерации в соответствии с выражением C.1.19). Сравнение
с такими же результатами, но без компенсационной обработки (рис. 3.2.2,а), и
результатами обработки чистого шума (рис. 3.2.5,6), показывает, что влияние БЛ
ФН практически устранено.
ю
5
-5
-10-
щ 60
I ^о
о.
< 20
0 02
04 0 06
Time (ms)
0 08
0 1
а) ошибка компенсации
-0 15 -0.1 -0 05 0 0 05 0.1 0.15
Frequency {MHz)
б) результаты обработки шума
Рис. 3.2.5. Ошибка компенсации для третьей итерации и результаты
корреляционно-фильтровой обработки чистого шума
309

-0 15 -0 1
-0 OS 0 0 05
Frequency (MHz)
0 1 0.16
Рис. 3.2.6. Результаты корреляционно-фильтровой обработки сигнала
после двух итераций
Рассмотрим влияние основных параметров зондирующего сигнала, алго-
алгоритма обработки и помеховой обстановки на эффективность компенсации.
Количество итераций, необходимое для достижения требуемой степени
компенсации мешающих отражений, имеет ключевое значение для практической
реализации алгоритма в реальном масштабе времени. Поэтому в качестве
основной характеристики в дальнейшем изложении будем применять зависи-
зависимость относительной ошибки компенсации от количества итераций r\K=r\K (kum),
определяемую выражением C.1.27).
На рис. 3.2.7 приведено семейство характеристик r\K =t]K(kum), рассчитан-
рассчитанное для одного отраженного сигнала. Параметром семейства является допле-
ровский сдвиг частоты, представленный в виде номера kf спектрального отсче-
отсчета (бина) дискретного преобразования Фурье. На рис. 3.2.7,а сдвиг частоты
кратен шагу сетки частот, а на рис. 3.2.7,6 — смещен на половину этого шага.
о
-10
со
2~20
4)
.1 -30
&-40
о
-60
\
Kf=8
\ 4
ш
щ
0
-10
со
?-20
о
1 -30
1-40
° -50
-60
\
\
KN1.
4
>,2.Ь
Kf=8
5
.5
7
а) сдвиг, кратный шагу сетки частот
12 3 4 5 6 7
б) сдвиг, не кратный шагу сетки
Рис. 3.2.7. Ошибка компенсации при различном сдвиге частоты сигнала
310

И в том, и в другом случае, чем меньше сдвиг частоты отраженных сигна-
сигналов, тем быстрее происходит их компенсация. Причиной этого эффекта явля-
является ухудшение точности оценок комплексных амплитуд при увеличении часто-
частоты из-за погрешностей сегментной обработки квазинепрерывных сигналов.
Введенная коррекция фазо-частотной характеристики C.1.12) сегментной об-
обработки выполняется без ошибок только для непрерывных сигналов или сим-
симметричных огибающих каждого сегмента. Поскольку эти условия выполняют-
выполняются только в среднестатистическом смысле при достаточно большой длине
сегмента, то возникает погрешность оценок матрицы рассеяния. Как следствие,
наилучшее качество компенсации достигается для нулевой частоты сигнала, где
влияние указанной погрешности отсутствует.
Как видно из приведенных на рис. 3.2.7 результатов, скорость сходимос-
сходимости итерационного процесса выше для целочисленных значений kf. В этом слу-
случае компенсация мешающих отражений с суммарной мощностью на 60 дБ
выше уровня шума достигается за 2-3 итерации. При дополнительном сдвиге
частоты сигнала на половину шага сетки требуется не менее 5 итераций для
достижения такой же глубины компенсации. Замедление процесса компенса-
компенсации объясняется распадом основного отклика по соседним спектральным от-
отсчетам.
Рассмотрим следующую характеристику - зависимость ошибки компенса-
компенсации от количества итераций при изменении количества отраженных сигналов,
приведенную на рис. 3.2.8.
Достаточно очевидно, что уменьшение количества сигналов приводит к
ускорению процесса компенсации, поскольку уменьшается взаимное влияние
сигналов, и точность их оценок возрастает. Результаты, представленные на
рис. 3.2.8,а, получены при нулевом доплеровском сдвиге частоты (kf =0 —
наилучшие условия), а результаты на рис. 3.2.8,6 — типичны для достаточно
больших сдвигов частоты, некратных шагу сетки дискретных частот БПФ
о
-10
Ё -20
-50
-60
п
\
\
\
\1
\
\
\
Y
\
\
\»
4 N1
\
Кс1=1
\
\
6
О
о
0 12 3 4 5 6 7
Кит
а) нулевой сдвиг частоты
Рис. 3.2.8. Ошибка компенсации при различном количестве сигналов
б) сдвиг частоты, некратный шагу сетки
частот
311

(kf =8.5 — наихудшие условия). В последнем случае скорость сходимости зна-
значительно меньше. Более того, при количестве отражений, равном 16, она падает
настолько, что можно говорить об отсутствии эффекта компенсации. Причиной
этого явления служит недопустимое уменьшение отношения «основной
отклик»/«сумма помех», которое возникает вследствие распределения суммар-
суммарной мощности отражений по множеству задержек. Как следствие, падает дос-
достоверность обнаружения сигналов и не выполняется их компенсация.
Можно записать выражение, определяющее максимально допустимое ко-
количество А^тах сигналов одинаковой интенсивности, для которых будет выпол-
выполняться условие сходимости (устойчивости) итерационной процедуры компенса-
компенсации. Оно непосредственно следует из условия превышения сигналом
адаптивного порога обнаружения.
к <l.
Коэффициент 1/2 введен для получения достаточно высокой скорости схо-
сходимости, в том числе с учетом отмеченных выше погрешностей обработки сиг-
сигналов с доплеровским сдвигом частоты. В частности, для установленных пара-
параметров (табл. 3.2.1), получаем ?тах<8. В практике применения
квазинепрерывных сигналов типовыми значениями базы являются
N =10000-100000, чему соответствуют ?гаах < 80-800.
Условие одинаковых значений амплитуд сигналов является наиболее жест-
жестким с точки зрения сходимости итерационной процедуры. Если интенсивность
отраженных сигналов различна, что, как правило, выполняется в реальных усло-
условиях, то на первых итерациях производится обнаружение наиболее сильных сиг-
сигналов и их компенсация, затем более слабых и так далее. Такие условия благопри-
благоприятно сказываются на устойчивости и скорости сходимости алгоритма.
В связи с отмеченным влиянием длины (базы) и пик-фактора зондирующе-
зондирующего сигнала уместно рассмотреть их воздействие на ошибку компенсации. Вид
этих зависимостей приведен на рис. 3.2.9,а и рис. 3.2.9,6, соответственно, для
восьми отраженных сигналов с нулевым сдвигом частоты. Из семейства кривых
на рис. 3.2.9,а условию C.2.1) удовлетворяют характеристики при N > 1024. Для
такой базы сигнала достигается высокая степень компенсации при небольшом
количестве итераций. Увеличение базы приводит к возрастанию скорости схо-
сходимости и сокращению количества итераций вплоть до 2—3.
Несколько иная картина наблюдается на рис. 3.2.9,6, построенном для вось-
восьми сигналов и базы N = 1024, когда условие C.2.1) выполняется при пик-факто-
пик-факторе pf <6. Однако хорошие результаты получаются и для pf < 10, что являет-
является следствием квазинепрерывного режима обработки сигналов. При
возрастании пик-фактора зондирующего сигнала уменьшается коэффициент
наложения B.2.5 часть II) и степень взаимного влияния сигналов с различны-
различными задержками. Поэтому уменьшается погрешность оценок и возрастает каче-
качество компенсации. Однако при дальнейшем увеличении пик-фактора превали-
превалирует снижение энергии обрабатываемых сигналов, и эффективность
компенсации падает. Аналогичным образом сказывается увеличение потерь за
счет развязки приемно-передающего тракта при низком пик-факторе pf = 2.
312

12 3 4 5 6
а) вариация базы сигнала
V
pf=3-
20
б) вариация пик-фактора
Рис. 3.2.9, Ошибка компенсации при различной длине
и пик-факторе зондирующего сигнала
Рассмотрим влияние величины порога обнаружения на ошибку компенса-
компенсации и скорость сходимости итераций. На рис. 3.2.10?а показана зависимость
ошибки компенсации от величины относительного порога Ch при различном
количестве итераций.
о
-10
10
12
Ъ -20
1 -30
о
с.
6 -40
-50
-60
\
\1
\
ч
>
К
8-32
\128
>
256
\
0
1
14 16
СА,дБ
а) зависимость от величины
относительного порога
Рис. 3.2.10. Ошибка компенсации при различном пороге
и количестве элементов разрешения
б) влияние количества элементов
разрешения
313

Очевидно, что для достижения наибольшей скорости сходимости итераций
существует оптимальное значение относительного порога. Если порог установ-
установлен ниже этого значения, то возрастает частота ложных превышений за счет
влияния помех и шума. Как следствие, замедляется сходимость итерационного
процесса и возрастает ошибка компенсации. Если же порог установлен выше
оптимального значения, то повышается вероятность пропуска сигналов в целом
или их отдельных спектральных компонент, на обнаружение и компенсацию
которых требуется затратить дополнительные итерации. Характеристики на
рис. 3.2.10,а приведены для восьми сигналов и количества элементов разреше-
разрешения по дальности и скорости MdxKm = 1024 . Для этих параметров оптималь-
оптимальное значение относительного порога составляет около 11 дБ, хотя отклонение
от него на 1—1.5 дБ в любую сторону не приводит к существенным потерям.
Поскольку адаптивный порог устанавливается по суммарной мощности
помех, то на вероятность его превышения не влияет ни количество мешаю-
мешающих отражений, ни распределение их по дальности и скорости, ни пик-
фактор сигнала. Такой порог стабилизирует вероятность ложных превыше-
превышений в каждом элементе разрешения, однако, суммарная вероятность его
превышения оказывается зависящей от общего количества элементов разре-
разрешения в анализируемом диапазоне задержек и доплеровских сдвигов
частоты. Это ведет к возрастанию частоты ложных превышений порога при
увеличении количества элементов разрешения и соответствующему замедле-
замедлению итерационного процесса.
Описанный эффект иллюстрируется на рис. 3.2.10,6, где зависимость
ошибки компенсации от количества итераций приведена для различного чис-
числа элементов разрешения по дальности. Практически такой же вид имеет эта
зависимость и при изменении размерности дискретного преобразования Фу-
Фурье. Здесь близкое к оптимальному значение относительного порога Ch =10
дБ, выбранное для 32 элементов разрешения по задержке и 32-х — по часто-
частоте, было сохранено при возрастании диапазона задержек в 2, 4 и 8 раз. Уста-
Установка неоптимального порога привела к значительному ухудшению качества
компенсации.
Для простых функций плотности распределения вероятностей амплитуды
суммарных помех, например, распределения Релея, можно установить аналити-
аналитическую взаимосвязь оптимального значения порога и количества элементов
разрешения. Но для более сложных распределений с удлиненными «хвостами»,
а тем более при неизвестном виде распределения вероятности, оптимальное
значение порога необходимо определять экспериментальным путем для задан-
заданного количества элементов разрешения.
В рассматриваемом случае эта зависимость представляет собой прямую
линию при логарифмическом масштабе обеих осей (рис. 3.2.11,а). На
рис. 3.2.11,а пунктирная линия представляет экспериментальные данные, а
сплошная - их аппроксимацию. Такой вид зависимости соответствует релеевс-
кому распределению вероятности.
На рис. 3.2.11,6 приведены зависимости ошибки компенсации от количества
итераций при различном количестве элементов разрешения по дальности. Эти
зависимости аналогичны приведенным на рис. 3.2.10,6, но значения порога для
каждого количества элементов разрешения установлены оптимальными, в соот-
314

h, opv
13.5
13
12.5
12
11.5
11
10.5
10
95
A
/
A
у
/
/
V
A
f i
Л/о ДБ
0
-10
ё -20
о
с
о
"§ -30
I
| -40
-501
-60!-
l\
M=8-
\
1
256
256 512 1024 2048 4096 8192
MdxKfft
а) зависимость оптимального порога от
количества элементов разрешения
0
1
б) ошибка компенсации при оптимальном
пороге
Рис. 3.2.11. Оптимальный порог и ошибка компенсации при его назначении
ветствии с графиком на рис. 3.2.11,а. Как следует из приведенных результатов,
установка оптимального порога позволяет улучшить качество компенсации,
практически устранив влияние различий в количестве элементов разрешения.
Таким образом, в настоящем разделе получены следующие результаты:
¦ исследована модель компенсационной обработки нефлюктуирующих
сигналов при наличии аддитивного шума;
¦ показана возможность компенсации мощных сигналов практически до
уровня шума;
¦ исследовано влияние основных параметров сигналов и устройства обра-
обработки на эффективность компенсации, то есть ошибку компенсации и
скорость сходимости итерационного процесса;
¦ получено условие сходимости итерационной процедуры в простой ана-
аналитической форме, устанавливающее взаимосвязь основных параметров
сигналов и устройства обработки;
¦ показано, что в большинстве практических случаев применения квази-
квазинепрерывных сигналов условие сходимости итерационной процедуры
компенсации выполняется;
¦ показано, что для эффективной компенсации мешающих отражений
адаптивный порог должен стабилизировать суммарную вероятность
ложных превышений во всем диапазоне частотно-временных сдвигов
отраженных сигналов, а не в каждом отдельном элементе разрешения.
315

3.3* Эффективность компенсации
флюктуирующих помех
Высокая степень компенсации нефлюктуирующих мешающих отражений
обусловлена в первую очередь тем, что огибающая отраженных сигналов пола-
полагалась точно известной, поэтому для высококачественной компенсации необхо-
необходимо было только измерить их параметры. Однако такая модель не учитывает
реальное искажение сигналов, возникающее вследствие флюктуации. Рассмот-
Рассмотрим результаты моделирования компенсационной обработки для двух типов
флюктуации, описанных в разделе 2.4. Входной сигнал и вектор комплексных
амплитуд, определяющий флюктуации отраженных сигналов, формировались
на основании выражений B.4.6), B.4.9)—B.4.11).
Приводимые далее результаты имитационного моделирования получены
для тех же параметров устройства обработки, которые перечислены в табл. 3.2.1.
Кроме того, введен дополнительный параметр — эффективная ширина спектра
флюктуации мешающих отражений: A/j и А/2 — для первого и второго типа
флюктуации, соответственно. По умолчанию устанавливается значение ширины
спектра флюктуации А/с, согласованное с длительностью когерентно обрабаты-
обрабатываемого сигнала:
N
C.3.1)
Вследствие этого табл. 3.2.2 значений параметров помех изменяется. Пара-
Параметр частотного сдвига замещается эффективной шириной спектра флюктуа-
флюктуации, которую удобно соотносить с введенной величиной А/с . Для относитель-
относительно короткого сигнала N = 1024, используемого по умолчанию для ускорения
расчетов, диапазон изменения эффективной ширины спектра флюктуации ста-
становится чрезмерно большим, однако интерполяция приводимых ниже характе-
характеристик в область больших значений базы позволяет оценить эффективность
компенсации и для более медленных флюктуации. Параметры флюктуирующих
мешающих отражений приведены в табл. 3.3.1.
Параметры флюктуирующих мешающих отражений
Таблица 3.3.1
Наименование параметра
1. Количество помех
с различными задержками
2. Суммарная мощность помех
(без учета пик-фактора сигнала)
3. Средняя мощность каждой помехи.
4. Дискретные задержки помех
5. Эффективная ширина спектра флюктуации
Обозначение
Кпом
т
А/1, А/2
Диапазон
изменения
1-16
Не
изменяется
/ Кпом
1-16
A/8-8)Л/ь =
= 1.2-78 кГц
Значение
по умолчанию
8
60 дБ
51 дБ
Ь8
ДГС= 9.8 кГц
316

Характерный вид флюктуации амплитуды сигналов с различными задерж-
задержками в течение времени обработки приведен на рис. 3.3.1. Здесь изображены
флюктуации 10 источников мешающих отражений с одинаковым среднеквадра-
тическим значением амплитуды.
Случайный разброс амплитуд помех в конкретной реализации благотворно
сказывается на повышении устойчивости и скорости сходимости итерационного
алгоритма по сравнению с вариантом строго одинаковой интенсивности всех по-
помех, исследованном в предыдущем разделе. Очевидно, что на первых итерациях
будут обнаружены и скомпенсированы наиболее мощные помехи, а затем — ос-
остальные. Однако расширение спектра отражений, вызванное флюктуациями, будет
приводить к ухудшению точности оценок и качества компенсации.
Относительная
амплитуда
Дискретная
задержка
Дискретное время,
отсчеты
Рис. 3.3.1. Флюктуации источников мешающих отражений
Это предположение подтверждается результатами моделирования, приве-
приведенными на рис. 3.3.2. Здесь для восьми мешающих отражений, отличающихся
задержками, построены зависимости ошибки компенсации от количества итера-
итераций при различной ширине спектра флюктуации источников мешающих отраже-
отражений. Сразу же следует отметить количественные различия достижимой ошибки
компенсации для разных типов флюктуации ¦— при одинаковых параметрах
помеховой обстановки они могут превышать 30 дБ! Если для второго типа флюк-
флюктуации при определенных условиях достигается ошибка компенсации меньше —
50 дБ, что соответствует компенсации помех практически до уровня установлен-
установленного шума, то для первого типа флюктуации при тех же параметрах она не опус-
опускается ниже -26 дБ. Причиной этого эффекта является расширение спектра ме-
мешающих отражений, наиболее сильно проявляющееся во флюктуациях первого
типа из-за низкой скорости спадания боковых лепестков спектральной плотнос-
плотности мощности, что отмечалось в разделе 2.4 (рис. 2.4.1).
Чтобы выявить влияние ширины спектра флюктуации мешающих отраже-
отражений на эффективность компенсации, те же самые результаты можно предста-
317

а) флюктуации типа 1
\
V
А У /
,8
,4
N
*/2/ =
А/с '
2
й
'8
1/1
1/4
б) флюктуации типа 2
Рмс. 3.3.2, Ошибка компенсации при различной ширине спектра флюктуации
Q
-30
1/8
1/4 1/2 I 2 4
а) флюктуации типа I
1/8
1/4 1/2 I 2 4
б) флюктуации типа 2
Рис. 3.3.3. Зависимость ошибки компенсации
от ширины спектра флюктуации при различном числе итераций
вить в другом виде - как зависимость ошибки компенсации от ширины спект-
спектра флюктуации при различном числе итераций. Эти характеристики приведены
на рис. 3.3.3. Кроме того, на рис. 3.3.3,6 пунктиром показан уровень ошибок
компенсации, достигаемый при тех же параметрах нефлюктуирующих отраже-
отражений, взятый из данных на рис. 3.2.8,а при восьми помехах.
Анализ графиков на рис. 3.3.2 и рис. 3.3.3 показывает:
¦ ошибка компенсации уменьшается при увеличении количества итера-
итераций и сужении спектра флюктуации;
¦ для флюктуации, имеющих компактный спектр (тип 2), ошибка компен-
компенсации может быть снижена до уровня, соответствующего нефлюктуиру-
ющим отражениям, в то время как для флюктуации, не обладающих
этим свойством (тип 1), это практически недостижимо;
318

¦ при компенсации флюктуирующих помех существует минимальное зна-
значение ошибки, которое не может быть снижено при увеличении количе-
количества итераций и понижении мощности аддитивного шума; оно опреде-
определяется количеством помех, шириной спектра и типом флюктуации.
Рассмотрим далее влияние количества мешающих отражений с различны-
различными задержками на эффективность компенсации. Соответствующие характери-
характеристики приведены на рис. 3.3.4. По-прежнему ошибка компенсации для флюкту-
флюктуации второго типа значительно меньше и при небольшом количестве помех они
компенсируются почти до уровня шума. Для флюктуации первого типа
минимальная ошибка компенсации превосходит шум более чем на 30 дБ даже
при наличии всего одной помехи.
m -5
о
? -ю
с
о
г
о
° -20
-25
к
kum = 4-7
A
с
2 4 8 16
а) флюктуации типа 1
32
2 4 8 16
б) флюктуации типа 2
Рис. 3.3.4. Зависимость ошибки компенсации
от количества мешающих отражений при различном числе итераций
Естественно, что основной интерес представляет возможность уменьшения
этой ошибки, например, за счет увеличения базы когерентно обрабатываемого
сигнала. На рис. 3.3.5 представлена зависимость ошибки компенсации от базы
сигнала при фиксированной ширине спектра флюктуации Д/i = Д/2 =
= //1024=9.8 КГц.
В рассматриваемом случае увеличение базы достигается за счет возраста-
возрастания длительности сигнала, что сопровождается улучшением разрешающей
способности по частоте. Как следствие, при неизменной ширине спектра флюк-
флюктуации возрастает количество спектральных компонент, которые необходимо
обнаруживать, измерять и компенсировать. Это ведет к увеличению погрешно-
погрешности оценок, замедлению итерационного процесса и увеличению ошибки
компенсации. В то же время возрастание базы уменьшает уровень БЛ ФН, что
непосредственно снижает погрешности оценок, ускоряет сходимость итераций
и уменьшает ошибки компенсации.
Наличие двух процессов, оказывающих противоположное влияние на
ошибку компенсации, объясняет наличие минимума в семействе кривых, пред-
представленном на рис. 3.3.5,а. Следует отметить, что минимальная ошибка компен-
319

C3
256
512 1024 2048 4096
а) флюктуации типа 1
8192
256 512
1024 2048 4096
б) флюктуации типа 2
N
8192
Рис. 3.3.5. Зависимость ошибки компенсации
от базы сигнала при различном числе итераций
сации достигается в том случае, когда длительность сигнала (здесь N =1024)
согласована с эффективной шириной спектра флюктуации.
Для флюктуации второго типа (рис. 3.3.5,6) преобладает снижение уровня
БЛ ФН, поскольку компактный спектр этого типа флюктуации ограничивает
прогрессирующее возрастание количества спектральных компонент помех,
подлежащих компенсации. Поэтому с увеличением базы сигнала ошибка ком-
компенсации монотонно спадает.
В каждом конкретном случае имеется или может быть получена оценка
ширины спектра флюктуации мешающих отражений и в соответствии с ней
может быть выбрана оптимальная длительность сигнала. Поэтому представляет
интерес зависимость, аналогичная предыдущей, но рассчитанная при условии
согласования ширины спектра флюктуации и длительности зондирующего
сигнала. Эта зависимость приведена на рис. 3.3.6.
Сравнение характеристик, приведенных на рис. 3.3.5,а и рис. 3.3.6,а, пока-
показывает, что экстремальный характер кривых на первом рисунке сменился на
монотонный, близкий к линейному, на втором. Это связано с устранением фак-
фактора возрастания количества спектральных компонент при увеличении базы
сигнала. В данном случае поведение анализируемых зависимостей определя-
определяется только уменьшением БЛ ФН при возрастании базы сигнала, поэтому за-
зависимости могут быть легко экстраполированы в область больших значений
аргумента.
Аналогичные характеристики для второго типа флюктуации, приведенные
на рис. 3.3.5,6 и рис. 3.3.6,6 не претерпели существенных: изменений, за исклю-
исключением несколько возросшей крутизны спада кривых, соответствующих боль-
большим значениям ошибки компенсации. Причина такого поведения ясна из пред-
предшествующего анализа - устранено влияние фактора, который в данном случае
не имел решающего значения.
320

256
512 1024 2048 4096
а) флюктуации типа 1
8192
256
512 1024 2048 4096 8192
б) флюктуации типа 2
Рис. 3.3.6. Зависимость ошибки компенсации
от базы сигнала при условии ее согласования с шириной спектра флюктуации
Таким образом, на основании результатов данного раздела, можно сделать
следующие выводы.
¦ Эффективность компенсационной обработки флюктуирующих мешаю-
мешающих отражений в сильной степени определяется моделью флюктуации.
Определяющее значение в модели флюктуации имеет скорость спада-
спадания боковых лепестков спектральной плотности мощности. Рассмотре-
Рассмотрены два типа флюктуации, имеющие минимальное (тип 1) и максималь-
максимальное (тип 2) значение этого показателя.
¦ Показано, что для второго типа флюктуации может эффективно выпол-
выполняться компенсация мешающих отражений с суммарной мощностью на
60 дБ превосходящей мощность шума. При тех же условиях компенса-
компенсация флюктуации первого типа хуже на 30 дБ.
¦ Вследствие флюктуации источников мешающих отражений существует
минимальное значение ошибки компенсации, достигаемое после неко-
некоторого конечного количества итераций, которое не может быть умень-
уменьшено за счет продолжения итерационного процесса.
¦ Ошибка компенсации монотонно возрастает при увеличении ширины
спектра флюктуации и количества мешающих отражений с различными
задержками.
¦ Зависимость ошибки компенсации от длины (базы) сигнала имеет моно-
монотонно убывающий характер для второго типа флюктуации. При первом
типе флюктуации ошибка компенсации достигает минимального значе-
значения в том случае, когда длительность сигнала согласована с шириной
спектра флюктуации мешающих отражений.
¦ Если выполняется условие согласования длительности сигнала с шири-
шириной спектра флюктуации, то увеличение базы ведет к монотонному
уменьшению ошибки компенсации, как для первого, так и для второго
типа флюктуации.
11 Зак 14
321

Обобщая характеристики рассмотренных типов мешающих отражений по
эффективности их компенсации, можно сказать, что источники помех с флюк-
туациями второго типа занимают промежуточное положение между флюктуи-
флюктуирующими отражениями первого типа и нефлюктуирующими отражениями.
3.4. Влияние ограничения
на эффективность компенсации
Исследованные в предыдущих разделах возможности компенсации флюкту-
флюктуирующих и нефлюктуирующих мешающих отражений предполагают наличие
линейного динамического диапазона приемного тракта РЛС. Поскольку в реаль-
реальности мешающие отражения могут превышать мощность шума и сопоставимых
с ним слабых сигналов больше, чем на 70^-80 дБ, то соответствующие требования
предъявляются к линейности динамического диапазона приемника.
Техническая реализация радиоприемных устройств с большим динамичес-
динамическим диапазоном является достаточно сложной технической задачей, которая
традиционно решается с использованием различных видов автоматической
регулировки усиления (АРУ) и использованием усилителей с логарифмической
амплитудной характеристикой [55]. однако оптимальная или близкая к ней об-
обработка сложных квазинепрерывных сигналов может быть реализована только
при условии линейности приемного тракта, без использования быстродейству-
быстродействующих видов АРУ, а тем более логарифмических усилителей.
По отмеченным выше причинам приемники РЛС с квазинепрерывным
сигналом строятся таким образом, чтобы обеспечивался максимальный линей-
линейный динамический диапазон с последующим двусторонним симметричным
ограничением сигнала. Поскольку в цифровых устройствах обработки сигнала
проблема расширения динамического диапазона решается простым увеличени-
увеличением разрядности чисел, то наиболее критичными к этому показателю оказывают-
оказываются оконечные каскады аналоговых устройств и особенно аналого-цифровой
преобразователь (АЦП).
В настоящее время доступны АЦП, способные обрабатывать сигналы на
промежуточной частоте с эффективной шириной спектра более 20 МГц. Разряд-
Разрядность таких АЦП достигает 12-^14 бит. Динамический диапазон, свободный от
паразитных спектральных компонент (SFDR) в широкой полосе частот, для
таких АЦП имеет величину 6(Н70 дБ. Сигналы, превышающие этот диапазон,
подвергаются двустороннему симметричному ограничению, что необходимо
учитывать в алгоритмах их обработки.
В настоящем разделе рассматривается влияние ограничения динамическо-
динамического диапазона на эффективность компенсации мешающих отражений. Рассмат-
Рассматриваются как нефлюктуирующие отраженные сигналы, так и флюктуации пер-
первого и второго типа.
Будем рассматривать идеальное ограничение синфазной и квадратурной
компоненты отсчетов комплексной амплитуды s(i) принятого сигнала:
C.4.1)
322

где SL(i) -— /-ый отсчет комплексной амплитуды ограниченного сигнала;
Л О — функция двустороннего симметричного ограничения:
Lc, если х > Lc
х если - Lc < х < Lc , C.4.2)
- Lc если х < -Lc
Lc - уровень ограничения.
Компенсационный сигнал y(i), сформированный на основании оценок
амплитуд мешающих отражений в соответствии с выражением C.1.21), подвер-
подвергается такой же процедуре ограничения:
yL(t)=fL[*ey(t)]+j-fL[bny(f)]9 C.4.3)
где yL(i) — i-ый отсчет ограниченного компенсационного сигнала.
Ограничение компенсационного сигнала производится с целью уменьше-
уменьшения ошибки компенсации, вызванной ограничением входного сигнала. Как
будет видно из последующих результатов, эта цель достигается при относитель-
относительно неглубоком ограничении, когда оценки вектора комплексных амплитуд до-
достаточно точные.
Глубина ограничения характеризуется относительным уровнем ограниче-
ограничения #,:
дБ C.4.4)
где <7S — среднеквадратическое значение входного сигнала.
В этом случае глубокое ограничение соответствует большим положитель-
положительным значениям -&L, а слабое - значениям &L, близким к 0.
Процессы, происходящие при компенсационной обработке сигналов с ог-
ограничением, иллюстрируются на рис. 3.4.1,3.4.2. Для простоты рассматривается
обработка одного вещественного нефлюктуирующего сигнала, имеющего
доплеровский сдвиг частоты. Мощность его превышает уровень шума на 60 дБ.
На рис. 3.4.1 показаны результаты корреляционно-фильтровой обработки без
ограничения. Как видно, компенсационная обработка за 7 итераций позволи-
позволила снизить уровень помех приблизительно на 50 дБ. На рис. 3.4.2 тот же сигнал
ограничен по уровню 6 дБ. Это привело к возникновению спектральных компо-
компонент на частотах, кратных доплеровской частоте сигнала. Увеличение количе-
количества спектральных компонент, подлежащих компенсации, снижает ее эффек-
эффективность. В данном случае после 7 итераций уровень помех снизился
приблизительно на 33-^-35 дБ, что на 15-5-17 дБ меньше, чем без ограничения.
Аналогичное влияние на эффективность компенсации оказывает и ограничение
суммы нескольких вещественных или комплексных сигналов с различными
задержками.
323

ш
1
<
80
60
40*
20
0
v \ л ~ф м
Л-А
\J5t
1 0 01
Frequency (MHz)
а) без компенсации
-0.1 0 0 1
Frequency (MHz)
б) после 7 итераций
Рис. 3.4.1. Корреляционно-фильтровая обработка сигнала без ограничения
-0.1 0 0 1
Frequency (MHz)
а) без компенсации
-0 1 0 0.1
Frequency (MHz)
б) после 7 итераций
Рис. 3.4.2. Корреляционно-фильтровая обработка сигнала с ограничением по уровню 6 дБ
Чтобы количественно оценить влияние ограничения на эффективность
компенсационной обработки на рис. 3.4.3 и рис. 3.4.4 приведены графики, отра-
отражающие результаты моделирования при тех же условиях, которые указаны в
табл. 3.2.1 и табл. 3.3.1. По-прежнему, в качестве меры эффективности исполь-
используется относительная среднеквадратическая ошибка компенсации, определен-
определенная выражением C.1.27), однако нормировка абсолютной ошибки в данном
случае производится к эффективному значению aSL сигнала SL после
ограничения:
SL
C.4.5)
где r\L — относительная среднеквадратическая ошибка компенсации при огра-
ограничении входного сигнала.
На рис. 3.4.3,а представлена зависимость ошибкиr\L компенсации от отно-
относительного уровня bL ограничения при наличии одного нефлюктуирующего
сигнала. Отметим, что по условиям моделирования относительный уровень
ограничения #L =0 дБ соответствует ограничению по среднеквадратическому
значению входного сигнала, а # =60 дБ - по среднеквадратическому значению
шума приемника, который на 60 дБ слабее сигнала.
324

И-10
-о
1-20
1-30
ев
ел
|-40
3
-50
-60
L.
i
i
/
У
/
Л
0
1-20
1-30
С
л-40
°-50
-10 0 10 20 30 40 50 60
а) одиночный сигнал
-60
Кпом 16
1 J
J
/
к
1
1
^Лк.ИП№
4
-10 0 10 20 30 40 50 60
б) сумма сигналов
Рис. 3.43. Ошибка компенсации нефлюктуирующих сигналов
в зависимости от глубины ограничения
Хорошо видно, что ошибка компенсации для сигнала без смещения часто-
частоты (kf = 0) возрастает пропорционально относительному уровню ограничения,
в то время как для сигнала с частотным сдвигом (kf >0) она возрастает
значительно быстрее. Это связано с тем, что сигнал без сдвига частоты после
ограничения квадратурных компонент не претерпевает искажения формы, а в
спектре сигнала с доплеровским сдвигом появляются дополнительные компо-
компоненты (рис. 3.4.2).
Графики, приведенные на рис. 3.4.3,6, отражают зависимость ошибки ком-
компенсации от относительного уровня ограничения суммы нефлюктуирующих
сигналов с нулевым доплеровским сдвигом частоты. Параметром семейства
кривых служит количество отраженных сигналов. Результаты получены после
семи итераций. Если при одном сигнале ошибка компенсации возрастает про-
пропорционально глубине ограничения, то наличие множества сигналов приводит
к ее быстрому росту и последующему сохранению почти постоянного уровня в
широком диапазоне значений аргумента. Более того, чем больше количество
сигналов, тем выше этот уровень. При большом количестве помех эффектив-
эффективность компенсационной обработки почти полностью теряется, даже если огра-
ограничение относительно слабое (порядка 0+40 дБ).
На рис. 3.4.4 представлены аналогичные характеристики, но для флюкту-
флюктуирующих отражений. Результаты на рис. 3.4.4,а соответствуют первому типу
флюктуации, а на рис. 3.4.4,6 — второму.
Общий вид приведенных зависимостей аналогичен тем, которые получены
для суммы нефлюктуирующих сигналов, однако можно отметить некоторые
отличия. Во-первых, ошибка компенсации для флюктуации второго, а особен-
особенно, первого типа значительно больше, чем для нефлюктуирующих сигналов. Во-
вторых, возрастание ошибки компенсации при увеличении глубины ограниче-
ограничения происходит медленнее, чем в случае нефлюктуирующих сигналов. Оба этих
отличия естественным образом связаны с динамическими характеристиками
флюктуирующих сигналов и статистическим разбросом их амплитуд.
325

10 20 30 40 50
а) флюктуации типа 1
0 10 20 30 40
\
б) флюктуации типа 2
50 60
Рис. 3.4.4. Ошибка компенсации суммы флюктуирующих сигналов
в зависимости от глубины ограничения
На основании результатов, полученных в настоящем разделе, можно сде-
сделать следующие выводы:
¦ выполнена модификация алгоритма когерентной компенсации мешаю-
мешающих отражений с учетом ограничения входного сигнала;
¦ получены численные оценки эффективности компенсации нефлюктуи-
рующих и флюктуирующих отражений при наличии ограничения;
¦ показано, что рассматриваемый алгоритм имеет достаточно высокую
чувствительность к ограничению входного сигнала; эффективность ком-
компенсации отражений с доплеровским сдвигом частоты и множественных
отражений с различными задержками быстро падает при относитель-
относительном уровне ограничения СК10 дБ.
Один из возможных вариантов преодоления отмеченных недостатков рас-
рассматривается в следующем разделе.
3.5. Адаптивная временная режекция
мешающих отражений
В предыдущем разделе было показано, что ограничение входного сигнала
на уровне порядка 10 дБ приводит к потере качества когерентной компенсации
мешающих отражений. В связи с этим уместно рассмотреть возможность при-
применения временной режекции отдельных наиболее мощных помех, превышаю-
превышающих динамический диапазон, чтобы сохранить эффективность когерентной
компенсации остальных.
Принцип временной режекции и способы ее реализации при сегментной
корреляционно-фильтровой обработке квазинепрерывных сигналов изложены
в главе 5 части П. В частности, раздел 5.3 посвящен разработке адаптивного
алгоритма, в котором для обнаружения мощных помех и оценки их параметров
используются результаты свертки отдельных сегментов сигнала.
326

Очевидно, существует возможность применения временной режекции и в
итерационном алгоритме компенсационной обработки. Она базируется на ис-
использовании оценок матрицы рассеяния для выбора наиболее мощных помех,
представляющих опасность, и возможности изменения на каждой итерации
последовательности бланкирования отсчетов принятого сигнала, содержащих
импульсы этих помех. Более того, оценки матрицы рассеяния являются более
достоверными, чем оценки амплитуд помех по результатам сегментной свертки,
что гарантирует не меньшую эффективность временной режекции, чем
полученная в разделе 5.3 части П.
В настоящем разделе разрабатывается способ адаптивной временной ре-
режекции мешающих отражений на основе оценок матрицы рассеяния, получае-
получаемых в итерационном алгоритме когерентной компенсации. Хотя целесообраз-
целесообразность применения временной режекции была первоначально обоснована для
случая, когда имеет место ограничение входных сигналов, этот способ являет-
является более универсальным. Он может применяться в тех случаях, когда компен-
компенсация помех теряет эффективность, например, при компенсации мешающих от-
отражений с широким спектром флюктуации (облако диполей). Поэтому вначале
разрабатывается алгоритм и исследуются характеристики без ограничения, а
затем производится его анализ при наличии ограничителя.
Пусть после выполнения некоторой итерации получена оценка А матри-
матрицы рассеяния для Md дискретных задержек и Кт — дискретных сдвигов час-
частоты. Пусть также выбран порог режекции Lr, превышение которого модулем
некоторого элемента Ak m означает, что сигнал с задержкой т должен быть
режектирован. Таких сигналов с различными задержками может быть несколь-
несколько, поэтому все каналы корреляционной обработки разбиваются на две группы.
Одна группа каналов настроена на обработку задержек, соответствующих
помехам, поэтому временная режекция в них не производится. В другой груп-
группе каналов выполняется временная режекция всех выбранных помех, если они
есть. Для определенности будек называть их каналы без режекции и каналы с
режекцией соответственно.
Разбиение на группы производится с помощью вектора режекции УРЕЖ
размерности Md, каждый элемент которого принимает значение 1 для канала
без режекции и 0 — для канала с режекцией:
УрЕЖт
> Lr, m = 1,...М, . C.5.1)
Выражение C.5.1) является конкретизацией выражения D.1.1а часть II) для
рассматриваемого случая. В соответствии с ним каждый m-ый элемент вектора
УРЕЖ устанавливается в 1 (истинно логическое выражение), если модуль хотя бы
одного элемента w-oro столбца матрицы А, содержащего K^t значений, достига-
достигает порога режекции, и принимает нулевое значение в противоположном случае.
На основании вектора режекции и известной структуры троичной модули™
рующей последовательности W, формируется матрица бланкирующих последо-
последовательностей ХРЕЖ, каждый m-ый столбец которой содержит последователь-
327

ность бланкирования канала обработки с дискретной задержкой т, т = 1,..., Md.
Для каналов с режекцией каждый г-ый символ этой последовательности прини-
принимает нулевое значение, если на входе приемника присутствует активный импульс,
соответствующий хотя бы одной из режектируемых помех, а для каналов без
режекции все символы последовательности бланкирования - единичные:
C.5.2)
где v — символ логического сложения.
Выражение C.5.2) отличается по форме записи от аналогичного выражения
E.1.2) части II вследствие различного определения задержек режектируемых
помех, но содержательный смысл этих выражений идентичен. В рассматривае-
рассматриваемом случае столбцы матрицы ХРЕЖ содержат всего две разновидности
последовательности бланкирования — одну для каналов с режекцией, дру-
другую — для каналов без режекции.
Матрица ВРЕЖ демодулирующих последовательностей с учетом временной
режекции получается как посимвольное произведение матрицы ХРЕЖ и матри-
матрицы D, которая использована в алгоритме компенсации без временной режекции
C.1.1):
Отит = Хреж„ • А» > i = !> •¦•> N> m = 1,..., Md. C.5.3)
Выражения C.5.1)—C.5.3) описывают отличия итерационного алгоритма
когерентной компенсации с временной режекцией от алгоритма без временной
режекции. Все остальные процедуры этих алгоритмов одинаковы, однако суще-
существуют различия в показателях эффективности компенсации.
Поскольку в рассматриваемом алгоритме импульсы режектируемых помех
бланкируются последовательностью ХРЕЖ, то изменяется выражение C.1.25)
среднеквадратической ошибки компенсации &е?ЕЖ'.
C.5.4)
¦ вектор ошибки компенсации с учетом временной режекции;
ХОрЕЖ — вектор последовательности бланкирования каналов с режекцией,
который представляет собой столбец матрицы ХРЕЖ, соответству-
соответствующий каналу с режекцией, дополнительно умноженный на
инверсную последовательность коммутации передатчика:
^ОРЕЖ/ = *РЕЖ,\|я Г/|' ' = 1? -'^ УрЕЖт- C.5.5)
,..,N. C.5.6)
Выражение C.1.27), определяющее относительную среднеквадратическую
ошибку компенсации, также изменяется с учетом C.5.4):
328

где г] г — относительная среднеквадратическая ошибка компенсации при
временной режекции помех;
$wpe5k — взвешенный входной сигнал с учетом временной режекции, по-
полученный поэлементным умножением векторов Sw и ХОрЕЖ:
S =S.X . ,/ = l.JV. C.5.8)
Для анализа свойств алгоритма с временной режекцией удобно использо-
использовать относительный порог режекции #г, который определяется по аналогии с
относительным порогом ограничения C.4.4):
дг=20-1/^/1,дБ C.5.9)
где as — среднеквадратическое значение входного сигнала.
3 этом случае глубокая режекция сигнала соответствует большим положи-
положительным значениям #г, а слабая — значениям, близким к &
Рассмотрим результаты моделирования, характеризующие эффективность
когерентной компенсации с временной режекцией помех. Параметры модели,
установленные по умолчанию в предыдущих разделах сохраняются, за исклю-
исключением относительного порога ограничения &L, который устанавливается рав-
равным -10 дБ, что соответствует отсутствию ограничения.
На рис. 3.5.1,а показаны результаты моделирования обработки нефлюкту-
ирующих сигналов с нулевым сдвигом частоты, при котором, согласно данным
рис. 3.2.7,а, наблюдается наилучшая компенсация. При большом доплеровском
сдвиге частоты, некратном шагу сетки частот дискретного преобразования
Фурье, согласно рис. 3.2.7,6, имеет место самая большая ошибка компенсации.
Именно для этого частотного сдвига рассчитаны характеристики, приведенные
на! рис. 3.5.1,6. Диапазон изменения аргумента (относительного порога режек-
режекции) составляет 66 дБ. При #г = -6 дБ режекция почти полностью отключена,
а при #г = 60 дБ абсолютный порог режекции установлен практически на уров-
уровне шума. Параметром приведенного семейства кривых является количество,
Кпом режектируемых помех.
Анализируя полученные результаты, можно отметить характерную чер-
черту — пороговый характер кривых, который соответствует включению-выклю-
включению-выключению временной режекции сигналов. На основании этих результатов можно
выбрать оптимальное значение относительного порога режекции, при котором
достигается минимальная ошибка компенсации. Увеличение #г выше этого
значения нежелательно, потому что вместе с незначительным увеличением
ошибки компенсации это ведет к неоправданному росту энергетических по-
потерь сигналов, задержки которых отличаются от режектируемых. Для времен-
временной режекции нефлюктуирующих сигналов, как при отсутствии, так и при на-
329

0 12 24 36 48
а) нулевой сдвиг частоты
О 12 24 36 48 60
б) ненулевой сдвиг частоты
Рис. 3.5.1. Ошибка компенсации нефлюктуирующих сигналов
в зависимости от относительного порога режекции
личии доплеровского сдвига частоты, можно рекомендовать значение относи-
относительного порога режекции в диапазоне #г =12-^18 дБ.
На рис. 3.5.2 приведены аналогичные зависимости, но для флюктуирующих
источников отражений. Зависимости получены при эффективной ширине
спектра флюктуации, согласованной с длительностью когерентно обрабатыва-
обрабатываемых сигналов. При таких условиях компактный спектр (рис. 2.4.1,6) флюктуа-
флюктуации второго типа незначительно отличается от спектра нефлюктуирующих
сигналов такой же длительности, что обусловило близость характеристик, при-
приведенных на рис. 3.5.2,6, с рассмотренными ранее.
Основным отличием характеристик, соответствующих флюктуациям перво-
первого типа (рис. 3.5.2,а), является значительно больший выигрыш, который можно
получить за счет применения временной режекции. В основном это обусловле-
обусловлено намного меньшей эффективностью когерентной компенсации помех с
первым типом флюктуации.
а
& -20
с
о
'5 -зо
ел
1-40
о
U -50
-60
д
\ Т."
о
ом 8 "
ват
12 24 36
а) флюктуации типа 1
60
§ -Ю
ё
S -20
с
о
*^ -30
^-40
о
О -50
-60
V — ft
2
яшме
12 24 36 48
б) флюктуации типа 2
60
Рмс. 3.5.2. Ошибка компенсации при временной режекции флюктуирующих сигналов
330

Выигрыш Gr, достигаемый за счет режекции, можно определить как раз-
разность между ошибками компенсации при отключенной и включенной времен-
временной режекции, то есть между максимальным и минимальным значением одной
и той же кривой г\г =т]г{&г):
Gr=max(O-min(nr). C.5.10)
Если исключить из рассмотрения кривые Кпом = 8, которые при данных
условиях соответствуют границе устойчивости итерационного алгоритма ком-
компенсации C.2.1), то выигрыш за счет временной режекции нефлюктуирующих
сигналов и сигналов с флюктуациями второго типа не превышает 10+-20 дБ. Для
сигналов с флюктуациями первого типа он составляет при тех же условиях от 40
до 50 дБ.
Несмотря на то, что условие C.2.1) сходимости итерационного алгоритма
было сформулировано для алгоритма компенсации, оно применимо и для вре-
временной режекции, поскольку основано на возможности получения оценок
амплитуд обнаруживаемых сигналов, незамаскированных взаимными помехами.
При расширении спектра флюктуации энергия отраженного сигнала распада-
распадается по нескольким элементам разрешения матрицы рассеяния, что приводит,
во-первых, к снижению основного отклика, во-вторых, к возрастанию уровня
взаимных помех. Как следствие, сначала снижается, а затем практически
исчезает возможность обнаружения сигналов и их временной режекции.
Влияние ширины спектра флюктуации на величину выигрыша, получаемо-
получаемого за счет временной режекции, иллюстрируется графиками на рис. 3.5.3. Аргу-
Аргументом этих зависимостей является отношение эффективной ширины спектра
флюктуации к ширине спектра А/с, согласованной с длительностью сигнала
C.3.1), а параметром семейства кривых - количество режектируемых помех.
Как следует из результатов, приведенных в разделе 3.3, ошибка компенса-
компенсации мешающих отражений первого типа флюктуации возрастает почти линей-
линейно с увеличением ширины спектра флюктуации, чему соответствует такое же
увеличение выигрыша, получаемого при временной режекции (рис. 3.5.3,а).
0„дБ
G„дБ
50
И 40
-о
с
3 30
&20
10
К
нам ^
*********
*********
\
\
50
со 40
•о
I30
#20
10
АЛ
8 ДГС -1/8 -1/4 -1/2 1 2 4
б) флюктуации типа 2
Рис. 3.5.3. Выигрыш за счет временной режекции флюктуирующих сигналов
1/8 1/4 1/2 12 4
а) флюктуации типа 1
Д/2
We
331

Однако, при количестве помех Кпом = 4 расширение спектра флюктуации при-
приводит к нарушению условия устойчивости и резкому падению эффективности
временной режекции. Аналогичный эффект для количества помех Кпои = 8
А/.
проявляется уже при —- = 1, поэтому соответствующая кривая не приведена,
во избежание загромождения графика.
Второй тип флюктуации имеет значительно более компактный спектр, что
обеспечивает при тех же условиях возможность компенсации почти до уровня
шума. Поэтому выигрыш за счет временной режекции, показанный на рис. 3.5.3,6,
А/.
минимален при —L <1. Однако при расширении спектра флюктуации, когда эф-
фективность компенсации теряется, он начинает быстро возрастать. В выбранном
диапазоне изменения аргумента эффект потери эффективности временной режек-
режекции отчетливо выражен только для большего, чем при флюктуациях типа 1, коли-
количества помех (Кпом = 8).
В целом приведенные результаты показывают высокую степень подавления
мешающих отражений, однако необходимо учитывать то, что они получены при
фиксированном значении пик-фактора, в то время как в разделе 5.2 части II
приведено выражение E.2.4) для оптимального значения пик-фактора в
зависимости от количества режектируемых помех. Назначение оптимального
пик-фактора обеспечивает максимальную энергию сигналов, задержки которых
отличаются от режектируемых, но количественные оценки, характеризующие
эффективность временной режекции, при этом могут измениться. Кроме того,
остался неисследованным вопрос о выборе относительного порога режекции
при неравномерном распределении интенсивности режектируемых помех по
задержке.
Подведем итоги по результатам раздела:
¦ предложен метод обработки сигналов, совмещающий адаптивную вре-
временную режекцию и когерентную компенсацию мешающих отражений;
¦ получены количественные оценки эффективности предложенного алго-
алгоритма при подавлении нбфлюктуирующих отражений, а также отраже-
отражений с флюктуациями первого и второго типа;
¦ показано, что временную режекцию мешающих отражений целесооб-
целесообразно применять при большой ширине спектра флюктуации, особенно
для флюктуации первого типа, и относительно небольшом диапазоне
режектируемых задержек;
¦ выработаны рекомендации по установке относительного порога времен-
временной режекции в диапазоне 12+18 дБ;
¦ рассмотренные методы когерентной компенсации и временной режек-
режекции мешающих отражений используют одни и те же оценки, и являются
взаимно дополняющими; временная режекция позволяет получить хо-
хорошие результаты в тех случаях, когда когерентная компенсация оказы-
оказывается малоэффективной.
332

3.6. Режекция помех,
превышающих динамический диапазон
Рассмотрим работу алгоритма когерентной компенсации мешающих отра-
отражений с временной режекцией при ограничении входного сигнала. Временная
режекция мощных мешающих отражений, превышающих линейный динамичес-
динамический диапазон приемника, призвана устранить негативное влияние ограничения
на эффективность когерентной компенсации.
Поскольку на вход приемника поступает сумма мешающих отражений,
полезных сигналов и аддитивного шума приемника, то эта смесь может дости-
достигать порога ограничения, несмотря на то, что каждая компонента, входящая в
ее состав, в отдельности не превышает динамического диапазона. Из-за случай-
случайного характера амплитудных и фазовых соотношений между компонентами
входной смеси возможна и обратная ситуация, когда каждая компонента име-
имеет амплитуду, превышающую динамический диапазон, а их сумма не достигает
порога ограничения.
' Тем не менее, в любом случае целесообразно выполнять временную режек-
цию наиболее мощных помех, которые по отдельности или в сумме могут
превысить порог ограничения. Необходимая для этого информация доступна в
рассматриваемом алгоритме в виде оценки матрицы рассеяния. Правильный
выбор порога режекции может обеспечить высокую вероятность бланкирова-
бланкирования временных интервалов, в течение которых возможно глубокое ограничение
входной смеси. Неизбежные ошибки, состоящие в пропуске ограниченных
отсчетов входного сигнала, будут, во-первых, относительно редкими, во-вторых,
будут соответствовать относительно неглубокому уровню ограничения, потому
что мощные помехи обнаруживаются с высокой достоверностью.
Как и в предыдущем разделе, эффективность временной режекции будем
характеризовать величиной потенциально достижимого выигрыша Gr, опреде-
определяемого выражением C.5.10). В это выражение входит относительная ошибка
компенсации г\г, нормированная к среднеквадратическому значению входного
сигнала без ограничения, но переход к нормировке ограниченного сигнала не
изменяет величины выигрыша, поскольку оба члена выражения C.5.10) изменя-
изменяются на одну и ту же величину, а их разность остается неизменной.
Рассмотрим результаты моделирования. Все параметры модели сохранены
такими же, как и в предыдущих разделах, то есть соответствуют табл. 3.2.1,3.2.2,
— для нефлюктуирующих и 3.3.1 — для флюктуирующих помех.
На рис. 3.6.1 приведены результаты моделирования, соответствующие не-
флюктуирующим сигналам с нулевым (рис. 3.6.1,а) и большим доплеровским
сдвигом частоты (рис. 3.6.1,6). Аналогичные зависимости для флюктуирующих
сигналов с первым и вторым типом флюктуации приведены на рис. 3.6.2. Эф-
Эффективная ширина спектра флюктуации согласована с длительностью когерен-
когерентно обрабатываемого сигнала.
Аргументом всех приведенных зависимостей служит относительный уро-
уровень ограничения #г. При слабом ограничении или его отсутствии (рг <0) не-
флюктуирующие сигналы, а также сигналы с флюктуациями второго типа име-
имеют высокую эффективность компенсационной обработки, поэтому временная
333

О 12 24 36 48 60
а) сигналы без доплеровского сдвига
частоты
0 12 24 36 48 60
б) сигналы с большим доплеровским
40
m
-о
.5 30
a
.«20
10
сдвигом частоты
Рис. 3.6.1. Временная режекция нефлюктуирующих сигналов
50
40
.s4 зо
аз
Д 20
10
ттж
«яяшйй
К
>
— 4
N
12 14 36
а) флюктуации типа 1
48
60
#„ДБ
о
1
Кпом =
/^,2
/ -
= 8
\
—» ¦—
N
1 ^-^
\
0
12 24 36 48
б) флюктуации типа 2
Рис. 3.6.2. Временная режекция флюктуирующих сигналов
60
режекция не приносит заметного улучшения. В то же время для флюктуации
первого типа она позволяет получить заметный выигрыш даже при отсутствии
ограничения. Эти результаты полностью согласуются с выводами предыдуще-
предыдущего раздела.
По мере увеличения относительного уровня ограничения эффективность
когерентной компенсации быстро теряется (рис. 3.4.3, 3.4.4), но так же быстро
нарастает эффективность временной режекции. Выигрыш, получаемый за счет
временной режекции, достигает максимума при #г =0-^-6 дБ для нефлюктуиру-
нефлюктуирующих сигналов и при $г =6+12 дБ - для флюктуирующих сигналов со вторым
типом флюктуации. Эти значения в точности совпадают с диапазоном значений
относительного порога ограничения, при котором происходит потеря эффек-
эффективности процедуры когерентной компенсации. Последнее непосредственно
связано с определением C.5.10) выигрыша Gr.
При дальнейшем возрастании глубины ограничения происходит уменьше-
уменьшение эффективности временной режекции для всех типов сигналов, что объясня-
объясняется простым уменьшением мощности ограниченного по амплитуде сигна-
334

ла. Следует подчеркнуть, что отмеченное снижение эффективности временной
режекции не сопровождается возрастанием абсолютной ошибки компенса-
компенсации — она также уменьшается по мере роста глубины ограничения. При дости-
достижении значения #г =60 дБ абсолютный порог ограничения оказывается равным
среднеквадратическому значению шума, поскольку суммарная мощность всех
сигналов установлена на 60 дБ выше мощности шума. В таких условиях невоз-
невозможно эффективное применение ни временной режекции, ни когерентной
компенсации, но и абсолютная ошибка компенсации не превышает среднеквад-
ратического значения шума.
Рассмотрим влияние количества режектируемых сигналов на величину
выигрыша Gr. Для нефлюктуирующих сигналов без доплеровского сдвига ча-
частоты и флюктуирующих сигналов со вторым типом флюктуации на рис. 3.6.1,а
и рис. 3.6.2,6 приведены кривые, соответствующие такому количеству помех,
при котором не нарушается условие устойчивости C.2.1). Поэтому уменьшение
количества помех сопровождается улучшением качества когерентной компен-
компенсации и соответствующим снижением выигрыша, получаемого за счет времен-
временной режекции.
Однако для нефлюктуирующих помех с большим доплеровским сдвигом
частоты и, тем более, для помех с первым типом флюктуации, то же максималь-
максимальное значение количества помех оказывается критическим с точки зрения устой-
устойчивости итерационного алгоритма. В этом случае большие ошибки в оценке
амплитуд сигналов приводят к ошибкам включения и отключения режекции.
Как следствие, теряется ее эффективность. Именно по этой причине кривые для
16 нефлюктуирующих помех на рис. 3.6.1,6 и для 8 флюктуирующих помех на
рис. 3.6.2,а проходят ниже остальных. Дальнейшее увеличение количества
помех выше допустимого приведет к полной потере эффективности временной
режекции, однако само допустимое значение по условию C.2.1) возрастает
пропорционально базе сигнала и достигает значений от сотен до десятков ты-
тысяч при реальных значениях базы квазинепрерывных сигналов.
Как отмечалось ранее, расширение спектра флюктуации мешающих отра-
отражений можно представить как эквивалентное увеличение количества помех. С
этой точки зрения рассмотрим влияние ширины спектра флюктуации на эффек-
эффективность временной режекции. Соответствующие характеристики представле-
представлены на рис. 3.6.3. Эти характеристики получены при относительном уровне
ограничения т?г =10 дБ.
Как видно из графиков, приведенных на рис. 3.6.3, в анализируемом диапа-
диапазоне изменения ширины спектра флюктуации устойчивость итерационного
алгоритма обеспечивается при количестве помех меньше 4 (флюктуации типа 1)
и при количестве помех меньше 8 (флюктуации типа 2). Кривые, соответству-
соответствующие этим ограничениям, монотонно возрастают при расширении спектра
флюктуации и увеличении количества помех, что связано со снижением эффек-
эффективности когерентной компенсации. Отметим, что для флюктуации первого
типа величина выигрыша значительно больше, чем для флюктуации второго
типа по той же причине. Однако при расширении спектра флюктуации качество
компенсации теряется и, соответственно, возрастает выигрыш за счет
временной режекции.
335

60
50
>
to
?
10
0
*********
/
% v.
X
-—
-1/8 -1/4 -1/2 1 2 4 8 д/с
а) флюктуации типа 1
50
40
да
I зо
1.20
10
о
ияяяядаяяяя
ЩМШИИМИИ
8
1/8 1/4 1/2 1 2 4
б) флюктуации типа 2
8Д/С
. 3.(^.3. Временная режекция флюктуирующих сигналов
при различной ширине спектра флюктуации
Флюктуации второго типа имеют компактный спектр, близкий к спектру
нефлюктуирующих сигналов конечной длительности, поэтому оценка допус-
допустимого количества обрабатываемых сигналов, даваемая условием устойчиво-
устойчивости C.2.1) оказывается почти точной. Если количество сигналов равно 8 (кри-
(кривая Кпом = 8 на рис. 3.6.3,6), то расширение спектра флюктуации вдвое по
отношению к ширине спектра нефлюктуирующих сигналов сразу же приводит
к потере устойчивости и снижению выигрыша за счет временной режекции.
Для флюктуации первого типа этот эффект проявляется для 8 помех уже ПРИ
—- = 1/4, а для 4 помех только при —^- = 4 (кривые Кпом = 8 и = 4 на оис
А/с А/с F
3.6.3,а).
Вообще говоря, характеристики, приведенные на рис. 3.6.3, слабо отлича-
отличаются от аналогичных характеристик на рис. 3.5.3. По-видимому, влияние огра-
ограничения с относительным уровнем 10 дБ в данном случае не является опреде-
определяющим.
Кроме того, в предыдущем разделе в качестве недостатка процедуры вре-
временной режекции отмечалось наличие энергетических потерь нережектирован-
ных сигналов. Однако надо учитывать, что ограничение суммы мощных помех
и слабых сигналов приводит практически к таким же энергетическим потерям
слабых сигналов. Поскольку ограничение динамического диапазона присуще
реальным устройствам, то наличие указанных потерь не следует относить к
недостаткам самого метода временной режекции. Минимизация этих потерь
может быть осуществлена путем адаптации структуры и пик-фактора
квазинепрерывных сигналов к реальной помеховой обстановке.
336

На основании полученных результатов можно сформулировать следующие
воды:
¦ временная режекция мощных мешающих отражений позволяет предот-
предотвратить потери эффективности когерентной компенсации помех, возни-
возникающие вследствие ограничения входных сигналов в приемнике;
¦ при наличии ограничения временная режекция мешающих отражений
сохраняет высокую эффективность, если выполняется условие сходимо-
сходимости итерационного алгоритма когерентной компенсации.
3.7. Выводы по главе
1. Разработан итерационный алгоритм обнаружения-разрешения, позво-
позволяющий применять экономичные процедуры обработки сложных ква-
квазинепрерывных сигналов.
2. Определено условие устойчивости (сходимости) алгоритма и получены
оценки эффективности компенсации для различных параметров
сложного сигнала и мешающих отражений.
3. Основное влияние на ошибку компенсации оказывает степень локали-
локализации отраженных сигналов по задержке и частоте. Наиболее полно
компенсируются сигналы, сосредоточенные в небольшом числе элемен-
элементов разрешения по задержке и частотному сдвигу.
4. Исследована эффективность компенсации для трех типов отраженных
сигналов. Наилучшие показатели достигаются для стационарных не-
флюктуирующих сигналов, наихудшие - для флюктуации с экспоненци-
экспоненциальной функцией корреляции. Флюктуации с гауссовской корреляци-
корреляционной функцией по качеству компенсации занимают промежуточное
положение.
5. Исследовано влияние ограниченного динамического диапазона прием-
приемника на эффективность разработанного алгоритма. Показано, что он
имеет высокую чувствительность к ограничению входного сигнала. Ог-
Ограничение на уровне порядка 10 дБ приводит к почти полной потере
эффективности компенсации.
6. Разработан алгоритм обработки сигналов, совмещающий адаптивную
временную режекцию и когерентную компенсацию мешающих отраже-
отражений, и исследованы его характеристики. Показано, что наиболее эф-
эффективно применение временной режекции мощных мешающих отра-
отражений с широким спектром флюктуации.
7. Адаптивная временная режекция может служить средством борьбы с
помехами, превышающими динамический диапазон приемника, допол-
дополняя алгоритм когерентной компенсации и повышая его устойчивость к
этому виду помех.
12 Зак 14 337

Глава 4
КОМПЕНСАЦИОННАЯ ОБРАБОТКА
СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ
АДАПТИВНОЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Методы компенсации взаимных помех при обработке сложных квазинепре-
квазинепрерывных сигналов, изложенные в предыдущей главе, предназначены для обра-
обработки блоков данных фиксированной длительности. Альтернативным подходом
к компенсации мешающих отражений является рекурсивная обработка
непрерывных потоков данных, базирующаяся на адаптивной цифровой филь-
фильтрации. Несмотря на достаточно хорошо развитую теорию и большое количе-
количество публикаций, в этой области существует ряд слабо исследованных вопросов,
обусловленных спецификой применения сложных квазинепрерывных сигналов
с большой базой.
Задачей исследования является разработка методов и алгоритмов компен-
компенсационной обработки сложных квазинепрерывных сигналов на основе адаптив-
адаптивной цифровой фильтрации, позволяющих снизить влияние мешающих отраже-
отражений на обнаружение слабых сигналов.
При решении этой задачи последовательно рассматриваются следующие
вопросы:
¦ выбор и обоснование алгоритма адаптивной цифровой фильтрации, от-
отвечающего основным требованиям решаемой задачи;
¦ исследование характеристик выбранного алгоритма для параметров
сигналов и помех, которые представляют практический интерес;
¦ поиск модификаций алгоритма адаптивной фильтрации, позволяющих
повысить качество компенсации в условиях априорной неопределеннос-
неопределенности распределения мешающих отражений по задержке;
¦ анализ устойчивости алгоритма когерентной компенсации к нелиней-
нелинейным искажениям входного сигнала;
¦ разработка модификаций алгоритма, устойчивых к воздействию мощ-
мощных помех, превышающих динамический диапазон приемника;
¦ конкретизация вида обработки, обеспечивающей обнаружение сигна-
сигналов, и определение потерь в отношении сигнал/шум, связанных с ком-
компенсацией мешающих отражений;
¦ сравнительный анализ блочных и рекурсивных методов компенсацион-
компенсационной обработки и выработка рекомендаций по применению разработан-
разработанных методов.
4.1. Выбор алгоритма
адаптивной цифровой фильтрации
Предлагаемый метод обработки основан на получении оценок комплекс-
комплексных амплитуд, предсказании значений отраженных сигналов и когерентном
338

Источник
гауссовского
белого
шума
Генератор
случайных
флюктуации
Нерекурсивный
фильтр с
переменными
коэффициентами
Инвертор
амплитудной
манипуляции
Нерекурсивный
фильтр с
переменными
коэффициентами
Устройство
вычисления
оценок
Модель радиоканала
*% Адаптивный фильтр
Генератор
псевдослучайной
модулирующей
последовательности
Рис. 4.1.1. Структурная схема исследуемой системы
вычитании их из входного сигнала приемника. На рис. 4.1.1 представлена струк-
структурная схема исследуемой системы.
Структура излучаемого сигнала определяется генератором троичной псев-
псевдослучайной модулирующей последовательности w(i), принимающей значения
{+1,0,-1}. Сумма отраженных задержанных сигналов моделируется нерекурсив-
нерекурсивным фильтром, коэффициенты которого определяются вектором а(/)
комплексных амплитуд и задаются генератором случайных флюктуации. Вме-
Вместе с аддитивным гауссовским шумом /?(/) эта смесь представляет входной сиг-
сигнал приемника s(i) в соответствии с B.4.6). В целях обеспечения временной
развязки приемно-передающего тракта входной сигнал приемника умножается
на последовательность амплитудной манипуляции приемника хпрм(/), инверс-
инверсную амплитудной модуляции сигнала передатчика | w(i) \. Адаптивный фильтр
содержит фильтр такой же структуры, как и в модели радиоканала, и устройство
вычисления оценок а(/) вектора комплексных амплитуд. На основе этих оценок
и модулирующей последовательности w(i) он предсказывает значения
отраженных сигналов. Разность между реально принятым s(i) и предсказан-
предсказанным (компенсационным) сигналом y(i) представляет собой ошибку e(i) ком-
компенсации, с помощью которой корректируются оценки a(i).
Основным режимом работы адаптивного фильтра в данном случае является
слежение за изменениями параметров обстановки [1,138], то есть коэффициен-
коэффициентами фильтра а(/), отображающего трансформацию сигналов при распростра-
распространении и отражении. Собственно, в устройстве вычисления оценок a(i) вектора
комплексных амплитуд заключены основные различия типов адаптивных
фильтров. К наиболее распространенным алгоритмам вычисления оценок
можно отнести следующие:
¦ алгоритм наименьших средних квадратов (НСК);
¦ алгоритм калмановской фильтрации;
¦ рекурсивный алгоритм наименьших квадратов (РНК).
339

Как указывается в [138, глава 14], в задаче слежения за параметрами систе-
системы сложно отдать безусловное предпочтение какому-либо из перечисленных
алгоритмов. Необходимо производить сравнение с учетом специфики условий
конкретной задачи. В данном случае специфическими условиями являются
взаимно инверсная коммутация приемно-передающего тракта и использование
квазинепрерывных фазоманипулированных сигналов.
Задачей раздела является выбор алгоритма адаптации для когерентной
компенсации мешающих отражений в РЛС со сложным квазинепрерывным
сигналом и оптимизация его параметров.
Математическая модель исследуемой системы
Детализируем функции каждого блока структурной схемы на рис. 4.1.1.
Генератор псевдослучайной модулирующей последовательности формирует
псевдослучайную троичную последовательности w(i)e {- l,0,+l} с пик-фактором
pf . Выбор одного из трех возможных значений символа w(i) определяется
вероятностями р_{,р0,р+1 соответственно.
1 - 1
Р_1=Р+1=—— ро=1 D.1.1)
2-р/' pf y J
Инвертор амплитудной модуляции выполняет формирование символов
последовательности *npM@G {l»0}, обеспечивающей взаимно инверсную комму-
коммутацию приемника и передатчика.
'„рЛЖФ D-1-2)
Генератор случайных флюктуации имитирует комплексные амплитуды
отраженных сигналов. Он состоит из Мd рекурсивных фильтров первого поряд-
порядка (первый тип флюктуации), на вход каждого из которых воздействует
независимый источник белого гауссовского шума:
a(i)=a-a(i-l)+Cfl^(i), D.1.3)
где a(i), a(/-l) —значение вектора-строки комплексных коэффициентов не-
нерекурсивного фильтра размерности Мd в момент времени i
и / - 1, соответственно;
а — коэффициент авторегресии, определяющий ширину спектра
флюктуации;
Щ) — значения вектора независимых отсчетов белого гауссовского
шума с нулевым средним и единичной дисперсией (размер-
(размерность Md) в текущий момент времени /;
Ca=Jl^ D.1.4)
— нормирующий множитель, который обеспечивает постоянное среднеквадра-
среднеквадратичное значение коэффициентов а(/) при изменении а.
340

Нерекурсивный фильтр с переменными коэффициентами порядка Md вы-
выполняет преобразования, соответствующие распространению и отражению
сигнала. Значение вектора a(i) комплексных коэффициентов изменяется на
каждом /-ом временном отсчете. Отсчеты входного сигнала приемника s(i)
формируются из выходного сигнала фильтра и гауссовского шума n(i), комму-
коммутируемых последовательностью *прм@:
s(i)=xnpM(i)H)-<i)+n(fJ\, D.1.5)
где d(/)—значение вектора-столбца, содержащего Md последних отсчетов мо-
модулирующей последовательности, то есть от w(i-Md +l) до w(i) включительно.
Адаптивный фильтр рассматривается в трех модификациях. Компенсаци-
Компенсационный сигнал y(i) на выходе фильтра и ошибка компенсации e(i) одинаково
определяются во всех модификациях. Различие заключено в способе формиро-
формирования оценок а(/) комплексных амплитуд.
><0 = a(i-l)-d(i), D.1.6)
где а(/ -1) — значение вектора-строки оценок комплексных амплитуд в (i - 1)-ый
момент времени;
e(i)=S(i)-y(i). D.1.7)
Алгоритм НСК (версия с нормализацией) описывается следующим уравне-
уравнением модификации оценок [138]:
a{i) = a{i-l)+ ^ ^'yli.e [i)y Dл 8)
где /i — шаг адаптации, который выбирается из диапазона значений @;1];
(•)* — символ комплексного сопряжения;
(•)" — символ сопряжения по Эрмиту.
Алгоритм калмановской фильтрации с предсказанием на один шаг опреде-
определяется выражениями модификации оценок:
/л KK(i-l)-d(Q
SkW d"@-KK(i-l)-d(i)+Qm '
D.1.10),
D.1.11)
где gK@ — значение вектора коэффициентов усиления Калмана (размер-
(размерность Md) в /-ый момент времени;
341

Кк(г)— значение корреляционной матрицы ошибок (размерность
Мd xMd) в i-ый момент времени;
Qm — корреляционная матрица шума измерения (диагональная матри-
матрица размерности MdxMd с элементами главной диагонали, рав-
равными о2т)\
Qp — корреляционная матрица шума системы (диагональная матри-
матрица размерности Мd xMd с элементами главной диагонали, рав-
равными о>2р).
Рекурсивный алгоритм наименьших квадратов с экспоненциальным взвеши-
взвешиванием использует для модификации оценок следующие выражения:
k (л Я"-РРНК (/-!> d(Q
D.1.13)
Ррнк@ = Я-1РРНК(г-1)-Я-1-кРНК@-с1''(/)Я-1-РрНК(г-1), D.1.14)
где Я — экспоненциальный множитель, определяющий скорость «забы-
«забывания» информации адаптивным фильтром;
крнк@ — значение вектора коэффициентов усиления (размерность Md)
в /-ый момент времени;
Ррнк (/) — значение инверсной корреляционной матрицы вектора d в /-ый
момент времени.
Критерием качества работы адаптивного следящего фильтра будем считать
относительную среднеквадратическую погрешность г]оср оценок вектора
коэффициентов, определенную выражением B.5.4).
Описанная модель реализована в пакете Simulink среды инженерных при-
приложений Matlab.
Результаты моделирования
На точность слежения за комплексными амплитудами флюктуирующих
отражений оказывают влияние следующие параметры выбранной модели:
¦ отношение средней мощности флюктуирующего отраженного сигнала к
мощности аддитивного шума, то есть отношение сигнал/шум q0 на входе
устройства обработки;
¦ скорость или ширина спектра флюктуации источников отражений, оп-
определяемая коэффициентом авторегрессии а генератора случайных
флюктуации D.1.3);
¦ количество отраженных сигналов с различными задержками, определя-
определяемое порядком М d нерекурсивного фильтра;
¦ пик-фактор зондирующего сигнала pf.
Хотя в реальной обстановке мешающие отражения чаще всего имеют не-
непрерывный распределенный по задержке характер, их дискретное представле-
342

ние в данной модели отражает специфику цифровой обработки сигналов. Кро-
Кроме того, здесь рассматривается наиболее неблагоприятный случай, когда все
отраженные сигналы имеют одинаковую среднюю интенсивность.
Все перечисленные выше типы адаптивных фильтров содержат специфи-
специфические параметры, которые влияют на выбранный показатель качества, поэтому
вначале проведем их «настройку» на параметры сложного сигнала и мешающих
отражений, о которых имеются или могут быть получены априорные сведения.
Попутно можно отметить, что существуют алгоритмы автоматической
настройки этих параметров в условиях неопределенности [138], но их реализа-
реализация требует дополнительных вычислительных ресурсов. К настраиваемым
параметрам следует отнести:
¦ шаг адаптации pi для алгоритма НСК;
¦ отношение мощности шума системы к мощности шума измерения
а2/
Чк ~ /П2 для алгоритма калмановской фильтрации;
/ т
¦ весовой экспоненциальный множитель Я для алгоритма РНК.
На рис. 4.1.2 приведены семейства кривых, отражающих зависимость по-
погрешности оценок Т]оср от величины настраиваемого параметра адаптивного
фильтра при различном значении коэффициента авторегрессии а . Эти данные
приведены для трех типов адаптивных фильтров (а — НСК алгоритм, б —
фильтр Калмана, в — РНК алгоритм) при входном соотношении сигнал/шум
q0 = 1, пик-факторе pf = 5 и порядке адаптивного фильтра Мd = 10.
Анализируя графики, приведенные на рис. 4.1.2, можно заметить следую-
следующие закономерности:
¦ общий характер приведенных зависимостей для различных типов адап-
адаптивных фильтров одинаков при соответствующем выборе диапазона из-
изменения параметра настройки;
¦ существует оптимальное значение параметра настройки, зависящее от
скорости флюктуации мешающих отражений, при котором достигается
наименьшая относительная погрешность оценок;
¦ погрешность оценок монотонно уменьшается с увеличением коэффици-
коэффициента авторегресии, чему соответствует снижение скорости флюктуации
мешающих отражений;
¦ наименьшую погрешность оценок имеет фильтр Калмана, что соответ-
соответствует сохранению его оптимальных свойств в квазинепрерывном ре-
режиме.
Для практических приложений отношение сигнал/шум на входе устройства
обработки, равное единице, не представляет существенного интереса.
Значительно более актуальной задачей является подавление взаимных помех,
значительно превышающих уровень входного шума приемника. Поэтому на
рис. 4.1.3 приведены аналогичные зависимости при отношении сигнал/шум
q0 =20 дБ (рис. 4.1.3,а) и q0 =50 дБ (рис. 4.1.3,6) для алгоритма калмановской
фильтрации.
Аналогичные зависимости для алгоритмов НСК и РНК не приведены,
поскольку имеют вид, мало отличающийся от полученных для фильтра Калма-
Калмана. А именно, для всех перечисленных выше параметров модели относитель-
343

ю-2 ю-1
б) алгоритм Калмана
дБ
-20
-25
0 95 0.9 0 85
в) алгоритм РНК
08
0 75
10
Ь-—
у
0.99
¦ 0.9999
^^^^
0.7
Рис. 4.1.2. Относительная погрешность оценок
для трех алгоритмов цифровой фильтрации
344

-35
10
10 10
а) отношение сигнал/шум = 20 дБ
10
ю ю io°
б) отношение сигнал/шум = 50 дБ
Рис. 4.1.3. Относительная погрешность оценки для фильтра Калмана
ная погрешность оценки для фильтра Калмана, полученная при оптимальном
значении соответствующего настраиваемого параметра, была меньше погреш-
погрешности алгоритмов НСК и РНК не более, чем на 2 дБ, а в среднем на 0.7-^0.8 дБ.
Как известно [138, 88], погрешность оценки состоит из двух слагаемых,
одно из которых описывает шумовую компоненту ошибки, а другое обусловлено
задержкой формирования оценки. Первая компонента преобладает в том
случае, когда отношение помеха/шум невелико, а вторая - когда выполняется
противоположное условие, и особенно при быстрых флюктуациях помех.
Сравнивая графики, приведенные на рис. 4.1.2,6, 4.1.3,а и 4.1.3,6, можно
наблюдать, как по мере увеличения соотношения сигнал/шум и возрастания
скорости флюктуации (уменьшения а) оптимальное значение настраиваемого
параметра qK приближается к 1. Фактически, в фильтре Калмана при отноше-
отношении сигнал/шум около 50 дБ и выше отношение мощности системного шума к
мощности шума измерения следует устанавливать близким к единице для лю-
любой скорости флюктуации помехи из рассматриваемого диапазона.
Аналогичная рекомендация для алгоритма НСК прц тех же условиях пред-
предписывает установку шага адаптации близким к единице, а значение весового
множителя для алгоритма РНК — около 0.8.
Рассмотрим оценки оптимального значения настраиваемого параметра
адаптивного фильтра в зависимости от количества ожидаемых сигналов, считая,
что практический интерес представляет компенсация мощных помех, превыша-
превышающих шум на входе приемника на 40^-50 дБ. На рис. 4.1.4 приведены семейства
кривых, описывающих относительную погрешность оценки в зависимости от
значения настраиваемого параметра при различном порядке фильтра. Рис.
4.1.4,а соответствует алгоритму НСК, рис. 4.1.4,6 — фильтру Калмана, рис.
4.1.4,в — алгоритму РНК.
12* Зак 14
345

,дБ
-10
-20
1-25
-30
10
-5
PQ
о
.§¦20
w
-25
-30
1
0.2
0 3 0.4 0.5 0.6 0.7
а) алгоритм НСК
ч
ч
5
5
Г
ч
i
Si
1!
Г Т
i
JL
***
100
10
«»%
10
ю io1 ю°
б) алгоритм Калмапа
10
10
[
^^
100
¦¦". 1 м | т щ
50 чч^^'^
20
10
-^—
0.95
0.9 0 85 0.8
в) алгоритм РНК
0 75
J А.
0.7
Рис. 4.1.4. Относительная погрешность оценки при различном порядке фильтра

Анализ приведенных зависимостей показывает:
¦ оптимальное значение параметра настройки алгоритмов НСК и Калма-
на не зависит от порядка фильтра;
¦ оптимальное значение весового множителя Я алгоритма РНК увеличи-
увеличивается с возрастанием порядка фильтра; более того, при значениях Я в
диапазоне 0.7-0.8, которые являются оптимальными при порядке филь-
фильтра от 5 до 10, фильтр теряет устойчивость, если его порядок возрастает
до 50-100;
¦ для всех типов фильтров погрешность оценки монотонно возрастает с
увеличением порядка фильтра;
¦ наиболее точную оценку дает фильтр Калмана, но при оптимальном
значении параметра настройки другие алгоритмы уступают ему не бо-
более, чем на 0.7 дБ.
Далее в результате исследования было установлено, что оптимальное зна-
значение настраиваемого параметра не зависит от пик-фактора сигнала.
На рис. 4.1.5 приведены зависимости, характеризующие относительную
погрешность оценок при изменении пик-фактора в широких пределах. Эти
результаты получены при отношении сигнал/шум q0 = 50 дБ и коэффициенте
авторегресии фильтра, формирующего флюктуирующие помехи, равном 0.9999.
Настраиваемые параметры фильтров установлены оптимальными.
iW дБ
-iU
PQ
ё
I
I -20
w
-25
PH]
u
L
Г™"
H
N
Й
in*
m
pf
2 5 10 20 50 100 200 500
Рис. 4.1.5. Погрешность оценки в зависимости от пик-фактора сигнала
Приведенные на рис. 4.1.5 зависимости показывают следующее:
¦ различие относительных погрешностей оценок для всех алгоритмов
незначительно и не превышает десятых долей децибела;
¦ существует оптимальное значение пик-фактора сигнала, обеспечиваю-
обеспечивающее минимальную относительную погрешность, которое находится в ди-
диапазоне 5-^-10 и практически не зависит от типа адаптивного фильтра;
¦ алгоритм РНК теряет устойчивость при увеличении пик-фактора сигна-
сигнала больше 20 (на графике эти значения не показаны).
Наличие оптимального значения пик-фактора объясняется тем, что при его
снижении возрастают потери из-за квазинепрерывного характера коммутации
приемно-передающего тракта, а при его возрастании увеличиваются интервалы
между поступлением информации о состоянии оцениваемых параметров.
347

Важным фактором, который необходимо принимать во внимание при вы-
выборе алгоритма, являются вычислительные ресурсы, требуемые для его реали-
реализации. Сравнивая рассмотренные типы адаптивной фильтрации, легко видеть,
что алгоритм НСК имеет наименьшую вычислительную сложность. Кроме того,
дополнительное снижение вычислительных затрат этого алгоритма может быть
получено при игнорировании нормализации. Учитывая, что алгоритм РНК
обеспечивает приблизительно такую же погрешность оценок сигналов, но
имеет тенденции к потере устойчивости при изменении порядка фильтра и пик-
фактора сигнала, следует сделать выбор в пользу алгоритма НСК.
В свою очередь, сравнение результатов моделирования алгоритмов Калма-
на и НСК, показывает, что фильтр Калмана в интересующих нас условиях пре-
превосходит алгоритм НСК по относительной погрешности оценок не более, чем
на 2 дБ, а в среднем - на 0.7-^-0.8 дБ. Однако ценой такого выигрыша является
существенное возрастание вычислительных затрат. При высоком порядке филь-
фильтра, имеющем практическое значение для радиолокационных задач, требования
к вычислительным ресурсам, необходимым для его реализации, становятся
трудно выполнимыми даже на современной элементной базе. В то же время
средние потери в точности оценок менее одного децибела можно считать
вполне приемлемыми, что позволяет сделать однозначный выбор в пользу
алгоритма НСК.
Выводы:
¦ разработана модель РЛС с квазинепрерывным фазоманипулированным
сигналом, в которой для когерентной компенсации мешающих отраже-
отражений используется многоканальный адаптивный фильтр в режиме слеже-
слежения за комплексными амплитудами флюктуирующих помех;
¦ в результате анализа для трех типов адаптивных фильтров выявлено
влияние на относительную погрешность оценок основных параметров
помеховой обстановки: мощности, скорости флюктуации и количества
помех, а также пик-фактора зондирующего сигнала;
¦ произведена оптимизация параметров адаптивных фильтров для характе-
характеристик помеховой обстановки, представляющих практический интерес;
¦ обоснован выбор алгоритма НСК, как обладающего устойчивостью и
малыми потерями в точности оценок при реально выполнимых требова-
требования к вычислительным ресурсам;
¦ для алгоритма НСК показано, что в зависимости от скорости флюктуа-
флюктуации и количества мешающих отражений, возможно снижение уровня
взаимных помех на 15-5-45 дБ.
4.2. Исследование эффективности
алгоритма НСК
В предыдущем разделе произведено сравнение трех наиболее распростра-
распространенных алгоритмов адаптивной фильтрации и обоснован выбор алгоритма наи-
наименьших средних квадратов по критерию относительной ошибки, устойчивос-
устойчивости и простоты реализации.
348

Задачей настоящего раздела является более детальное исследование
свойств выбранного алгоритма применительно к двум типам флюктуации меша-
мешающих отражений с целью получения общих характеристик компенсатора помех.
Оценкой 77K эффективности алгоритма будем считать относительную сред-
неквадратическую ошибку компенсации, определенную выражением B.5.1).
Исследование свойств алгоритма когерентной компенсации производилось на
модели компенсатора помех с параметрами, приведенными в табл. 4.2.1. Пара-
Параметры мешающих отражений, при которых производилось исследование, при-
приведены в табл. 4.2.2.
Наибольший практический интерес представляет зависимость относитель-
относительной ошибки т]к компенсации от параметров мешающих отражений. Очевидно,
что при расширении диапазона задержек Ат возможного расположения помех
и увеличении эффективной ширины спектра А/ флюктуации ошибка компен-
компенсации будет возрастать.
Зависимость rjKl = -r]Kl(Afx, At) , представленная на рис. 4.2.1,а, соответству-
соответствует первому, а зависимость г\к2 =-rjK2(/Sf2,Az) (рис. 4.2.1,6) - второму типу
флюктуации. Зависимости представлены в виде контуров трехмерной поверхно-
поверхности одного уровня, выраженного в децибелах.
Параметры компенсатора помех
Таблица 4.2.1
Наименование параметра
1 Частота дискретизации (ширина спектра
радиосигнала)
2 Пик-фактор квазинепрерывного сигнала
3 Количество элементов разрешения
по дальности (порядок фильтра)
4 Относительная мощность шума приемника
5. Шаг адаптации
Обозначение
./;
pf
Mj
Оо
Диапазон
изменения
Не изменяется
2-20
8-256
Не изменяется
Не изменяется
Значение
по умолчанию
10 МГц
5
32
ОдБ
1
Таблица 4.2.2
Параметры флюктуирующих мешающих отражений
Наименование параметра
1. Количество помех с различными
задержками
2 Суммарная мощность помех
на входе устройства обработки
3. Средняя мощность каждой помехи
4 Дискретные задержки помех
5 Эффективная ширина спектра флюктуации
Обозначение
кпом
Р«Х
Р /
р _ '¦вх/
/Кты
т
Л/ьЛ/2
Диапазон
изменения
1-256
Не изменяется
Р /
вх/ _ р
/К ' вх
1-256
75 Гцч-9 8 кГц
Значение
по умолчанию
16
80 дБ
68 дБ
U16
2.4 кГц
349

i, кГц
9.8
4.9
2.4
1.2
0.61
0.31
0.15
0.08
\
ч:
'20
\
\
\
\
ч
'20
%^
25
X
>
\
Ч
\
ч
Ч
\
ч
\
Чл 4-
At,
9.8
4.9
2.4
1.2
0.61
0.31
0.15
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6
а) первый тип флюктуации
' 0.08
40
ч
ч
40
\
70
N
ч
\
ч
ч
ч
Ч5(
ч
' 4(
ч
Ат,
МКС
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6
а) второй тип флюктуации
Рис. 4.2Л. Относительная ошибка компенсации
в зависимости от диапазона задержек и ширины спектра флюктуации
Общий вид зависимостей, близкий к семейству прямых с одинаковым накло-
наклоном как для одного, так и для другого типа флюктуации, однозначно указывает,
что глубина компенсации в одинаковой степени зависит как от диапазона задер-
задержек Ат , так и от ширины спектра А/ флюктуации. Другими словами, глубина
компенсации определяется произведением Sn0M этих величин:
5пом=Ат-Д/ = -^-
1.1-М,
4-L,
'ас
D.2.1)
В выражении D.2.1) использованы параметры моделей флюктуации B.4.7) и
B.4.9). Сокращение количества параметров, определяющих эффективность
компенсации, позволяет отобразить трехмерные поверхности, приведенные на
рис. 4.2.1,а,б в две обычные кривые, изображенные на рис. 4.2.2,а сплошными
линиями. Характеристика r\Kl ~riKl(Snou) соответствует поверхности, приведен-
приведенной на рис. 4.2.1,а, а характеристика г\к2 = r\Kl (SnoM) - поверхности на рис. 4.2.1,6.
В области значений, представляющих практический интерес, эти кривые
(сплошная линия) хорошо аппроксимируются прямыми (пунктир):
riKl(SnoM)~-3(\og2Snou+3)+S1
D.2.2)
где 5j и д2 — смещение, зависящее от пик-фактора модулирующей последова-
последовательности.
Скорость спадания полученных характеристик (наклон аппроксимирую-
аппроксимирующих прямых) не зависит от пик-фактора и составляет 3 дБ на октаву для первого
типа флюктуации и 6 дБ на октаву для второго.
350

80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
\
\
К"'

ч
\
\
\
V
л
-17 -15 -13 -11
-9 -7
а)
-3 -1
1
0
-1
-2
-6
Ik
/
dB
р/
10
15
20
б)
Рис. 4.2.2. а) относительная ошибка компенсации, б) поправка на пик-фактор
Характеристики на рис. 4.2.2,а, как и на рис. 4.2.1, соответствуют данным,
полученным при pf = 5. Для других значений пик-фактора в диапазоне от 2 до
20 величина смещения может быть определена по зависимостям, приведенным
на рис. 4.2.2,6.
Интересно отметить, что величину площади SnoM определяют именно физи-
физические размеры диапазона задержек и ширины спектра флюктуации, не завися-
зависящие от базы сигнала. Действительно, попытка увеличить базу сигнала путем
расширения спектра (увеличением частоты дискретизации) приводит к пропор-
пропорциональному увеличению количества Md элементов разрешения по дальности
и длины LCJC импульсной характеристики фильтра, определяющего ширину
спектра флюктуации, оставляя значение SnoM неизменным. Другой аспект, за-
заслуживающий внимания, состоит в том, что истинное распределение мешающих
отражений по диапазону задержек также не оказывает влияния на эффектив-
эффективность их компенсации. Другими словами, независимо от того, сосредоточена ли
вся эффективная поверхность рассеяния отражающих объектов в одном элементе
разрешения по дальности, или распределена равномерно по всему диапазону
задержек, эффективность компенсации этих отражений будет одинакова.
Таким образом, на основании простых выражений B.4.7), B.4.9), D.2.1),
D.2.2) и графика рис. 4.2.2,6 можно рассчитать эффективность компенсации
мешающих отражений в радиолокационных задачах для основных характери-
характеристик помех, сигнала и устройства обработки, не прибегая к моделированию.
Компенсация мешающих отражений
с учетом их априорного распределения
Априорные сведения о параметрах мешающих отражений всегда присут-
присутствуют в том или ином виде и могут быть использованы. В частности, в предше-
предшествующем рассмотрении этими сведениями являются диапазон задержек и
ширина спектра флюктуации помех. В типовой радиолокационной обстановке
351

бывает доступна более подробная априорная информация о распределении
мощности мешающих отражений по дальности (задержке), которую можно
использовать для повышения эффективности компенсации. Например, при
воздействии мешающих отражений от подстилающей поверхности средняя
мощность отраженных сигналов убывает пропорционально кубу расстояния до
отражающей поверхности.
Если рассматривать шаг адаптации ju алгоритма НСК не как скаляр, а как
вектор с элементами \im, m = 1,..., Md, это позволяет назначить шаг адаптации
индивидуально для каждой дискретной задержки т. В этом случае условие
устойчивости алгоритма НСК }л < 1 преобразуется в условие:
D.2.3)
Шаг адаптации приобретает смысл разделяемого ресурса, который можно
распределять в диапазоне задержек, регулируя глубину компенсации по имею-
имеющимся априорным данным о распределении интенсивности помех по дистан-
дистанции. При этом, чем больше значение парциального шага адаптации, тем выше
степень компенсации помехи с этой задержкой. Форма записи уравнений, опи-
описывающих работу адаптивного фильтра, в целом сохраняется, однако в выраже-
выражении D.1.8) вместо умножения на скаляр \i выполняется умножение на диаго-
диагональную матрицу \i, на главной диагонали которой расположены элементы \im,
т = 1, ...,Md:
?^V@- D-2.4)
fi(iM.l)+?^V@-
d (i)'d{i)
Возвращаясь к примеру компенсации отражений от подстилающей повер-
поверхности, назначим элементы главной диагонали матрицы \i в соответствии с
выражением:
m = l,...,Md. D.2.5)
Конечно, выражение D.2.5) не учитывает множество конкретных парамет-
параметров реальной обстановки: величину «мертвой зоны», форму диаграммы направ-
направленности антенны, высоту ее установки и другие. Поэтому приводимые далее
результаты следует рассматривать скорее как иллюстрацию возможности ис-
использования априорного распределения мешающих отражений, а не как оценку
его эффективности в реальных условиях.
Моделирование, проведенное при диапазоне задержек Мd > 32 и различ-
различной ширине спектра флюктуации помех, показало, что учет априорного распре-
распределения их интенсивности по дистанции позволяет повысить эффективность
компенсации приблизительно на 8 дБ для первой модели флюктуации и
приблизительно на 16 дБ — для второй. Разумеется, что в отличие от ранее
352

рассмотренного случая постоянного шага адаптации, отклонение истинного
распределения мощности мешающих отражений по задержкам от того, с кото-
которым была согласована матрица \i, приводило к снижению эффективности ком-
компенсации.
Выводы:
¦ получены количественные оценки относительной ошибки компенсации
мешающих отражений для двух моделей флюктуирующих источников
помех при вариации основных параметров помеховой обстановки;
¦ показано, что эффективность компенсации определяется произведени-
произведением диапазона задержек мешающих отражений на эффективную ширину
спектра их флюктуации;
¦ для двух моделей флюктуации получены простые аналитические выра-
выражения, позволяющие оценить эффективность компенсации;
¦ предложена модификация адаптивного алгоритма НСК цифровой филь-
фильтрации, позволяющая учитывать априорное распределение интенсивно-
интенсивности мешающих отражений по задержке и частоте;
¦ показано, что использование априорной информации о распределении
мешающих отражений позволяет повысить эффективность их компенса-
компенсации.
4.3. Адаптация к распределению
мешающих отражений по дистанции
При исследовании алгоритма компенсации мешающих отражений было
установлено, что эффективность компенсации определяется диапазоном воз-
возможного расположения мешающих отражений по задержке и шириной спект-
спектра их флюктуации. Там же было показано, что наличие априорной информации
о распределении интенсивности мешающих отражений позволяет снизить
ошибку компенсации. К сожалению, на практике априорная информация о
мешающих отражениях часто оказывается устаревшей, недостоверной, либо
просто недоступной. В связи с этим приобретает актуальность разработка адап-
адаптивного алгоритма, который использует поступающую информацию о
распределении мешающих отражений для изменения своих параметров, в час-
частности парциальных значений шага адаптации D.2.5, 4.2.6).
Описание подобного алгоритма приведено в [138, стр. 762—764]. Шаг адап-
адаптации, определяющий эффективность компенсации сигнала с каждой задерж-
задержкой, назначается пропорционально амплитуде этого сигнала, что позволяет
повысить эффективность компенсации наиболее мощных из них. Данный алго-
алгоритм получил название пропорционально нормализованного алгоритма наи-
наименьших средних квадратов (ПН НСК). Существенным недостатком этого
алгоритма является потеря чувствительности при компенсации помех, ампли-
амплитуда которых в некоторый момент становится нулевой или достаточно малой.
Этот эффект застоя (stalling), возможно, не имеет решающего значения в теле-
телекоммуникационных приложениях, для которых изначально предназначался
данный алгоритм, но является неприемлемым в радиолокации, где флюктуации
353

интенсивности мешающих отражений и изменение их распределения по дистан-
дистанции являются типовыми условиями функционирования.
Ниже предлагается вариант алгоритма ПН НСК, свободный от указанно-
указанного недостатка, и исследуется эффективность компенсации мешающих отраже-
отражений с учетом коммутации приемно-передающего тракта радиолокатора в ква-
квазинепрерывном режиме излучения и приема фазоманипулированных сигналов.
Описание алгоритма
Предлагаемый вариант реализации алгоритма ПН НСК представляет со-
собой двухкаскадный адаптивный цифровой фильтр. Первый каскад реализует
традиционную процедуру адаптивного алгоритма НСК с нормализацией и
описывается двумя соотношениями. Первое из них определяет ошибку компен-
компенсации ex(i), а второе — это уравнение модификации оценок аДг) вектора
комплексных амплитуд:
@([@a1(/-l>d@], D.3.1)
a^ = a^-l)+^L-/i, •*,•(,¦). D.з.2)
Второй каскад адаптивного фильтра реализует собственно алгоритм ПН
НСК фильтрации, причем в качестве весового вектора b(i), определяющего
величину шага адаптации для каждой дискретной задержки, используется сгла-
сглаженное значение вектора оценок ах (/), полученных в первом каскаде. Функци-
Функционирование второго каскада фильтра описывается следующими выражениями:
*2ИИ0], D.з.з)
B(/)-d(/) ,/Л
^-e{l) D34)
|ai(']| + «-b(i-l), D-3.5)
где В — диагональная матрица MdxMd, главную диагональ ко-
которой занимает вектор Ь;
b(/),b(/-l) — сглаженные абсолютные значения вектора оценок ах в
/-ый и (/ - 1)-ый моменты времени;
а — коэффициент авторегресии рекурсивного сглаживающе-
сглаживающего фильтра первого порядка;
е2 (/), а2(/) и jd2 — значение ошибки компенсации, оценки вектора амплитуд
и множителя шага адаптации второго каскада адаптивно-
адаптивного фильтра в /-ый момент времени соответственно.
Отметим, что в приведенном в [138] варианте алгоритма ПН НСК не рас-
рассматривалась двухкаскадная структура адаптивного фильтра, то есть для назна-
назначения элементов вектора b использовался тот же самый вектор оценок ампли-
амплитуд. Именно это и являлось причиной возникновения эффекта застоя при
354

нулевых или близких к ним значениях элементов вектора оценок амплитуд.
Применение дополнительных ограничений не устраняло, а только ослабляло
этот эффект. В рассматриваемом же варианте алгоритма ПН НСК влияние
вектора оценок а2 на вектор b отсутствует, что в принципе устраняет возмож-
возможность возникновения эффекта застоя.
Результаты моделирования
Далее приводятся результаты исследования эффективности компенсации в
предположении, что сигнал на входе приемника содержит Кпом мешающих
отражений с различными задержками и амплитудами, определяемыми вектором
а(/) размерности Мd (Кпом <М Д в сумме с белым гауссовским шумом n(i).
Конечный результат моделирования — относительная среднеквадратичес-
кая ошибка компенсации B.5.1) — оценивается для трех случаев:
¦ г\х — для обычного нормализованного алгоритма НСК (используется ошиб-
ошибка компенсации ех на выходе первого каскада адаптивного фильтра);
¦ г]2 — для предлагаемого алгоритма ПН НСК (используется е2 на выхо-
выходе второго каскада);
¦ 773 — для алгоритма ПН НСК, в котором в качестве элементов вектора
b используются не оценки, а точные, априорно известные значения
распределения интенсивности мешающих отражений по задержке.
Последняя характеристика позволяет оценить, насколько эффективность
алгоритма ПН НСК близка к потенциально достижимой.
Приводимые ниже результаты получены на имитационной модели компен-
компенсатора мешающих отражений с параметрами, приведенными в табл. 4.2.1, и
параметрами помех, соответствующими табл. 4.2.2.
Рассмотрим зависимость относительной ошибки компенсации rj1, г/2 и 7}3
от количества Кпом реально присутствующих источников мешающих отражений
в диапазоне задержек Мd = 256. Зависимости представлены на рис. 4.3.1,а —
для первой модели флюктуации и на рис. 4.3.1,6 — для второй.
ДБ
ДБ
-5
ё -
1-15
а,
3 -20
-25
(Л
о
-10
§-20
с -30
си
о
^-40
К
-50
у
f
sssi=
К
250
50 100 150 200 250 0 50 100 150 200
а) флюктуации типа 1 б) флюктуации типа 2
Рис. 4.3.1. Относительная ошибка компенсации в зависимости от количества сигналов
355

Относительная ошибка цх НСК алгоритма, рассчитанного на компенсацию
помех во всем диапазоне задержек, практически не зависит от количества и
расположения источников мешающих отражений, однако при большом диапа-
диапазоне возможных задержек его эффективность оказывается невысокой. Наличие
априорной информации о распределении мешающих отражений по дистанции
позволяет значительно уменьшить ошибку г\ъ их компенсации (до 16 дБ для
флюктуации первого типа и до 36 дБ — для второго). Естественно, что наиболь-
наибольший выигрыш достигается при малом количестве помех Кпом . Относительная
ошибка rj2 рассматриваемого ПН НСК алгоритма находится в промежутке
между rjl и г\ъ почти при любом Кпом .
Только в том случае, когда мешающие отражения занимают практически
весь диапазон задержек, ПН НСК алгоритм проигрывает НСК алгоритму, но
этот проигрыш относительно невелик. Для рассматриваемых параметров он не
превышает 0.4 дБ для флюктуации первого типа и 1.6 дБ — для второго. В ос-
основном же характеристика г\2 ПН НСК алгоритма достаточно близка к потен-
потенциально достижимой rj3. Максимальная разница между г\ъ и г\2 не превышает
4.1 дБ для первого типа флюктуации и 5 дБ — для второго.
Как показано в предыдущем разделе, ширина спектра флюктуации меша-
мешающих отражений оказывает непосредственное влияние на точность оценок
амплитуд мешающих отражений, полученных в первом каскаде адаптивного
фильтра, а, следовательно, и на качество адаптации ПН НСК алгоритма к рас-
распределению мешающих отражений по задержке. На рис. 4.3.2 представлены
графики относительной ошибки компенсации г]и г\2 и г\ъ в зависимости от ши-
ширины спектра флюктуации мешающих отражений первого (рис. 4.3.2,а) и второ-
второго (рис. 4.3.2,6) вида. Характеристики приведены для 16 мешающих отражений
одинаковой средней мощности.
Ошибка компенсации для всех трех алгоритмов монотонно возрастает при
расширении спектра флюктуации, причем в логарифмическом масштабе час-
ДБ
ДБ
-5
-о
3-Ю
о
1-15
а
ел
с
о
о
О
-25
-30
У
У
У
/
/
/
$
/
А
у
.-У
/
у
/
ft*
/
/
/
У
кГц
0 1 1
а) флюктуации типа 1
10
-10
тз
о -20
1-30
В -40
о
U
-50
-60
/
У,
S
У
У
т\
/
у
у
л
0.1
1
Af2>
кГц
10
б) флюктуации типа 2
Рис. 4.3.2. Относительная ошибка компенсации
в зависимости от ширины спектра флюктуации
356

тот характеристики rjl и г\ъ почти линейные и имеют одинаковый наклон.
Ошибка т]2 ПН НСК алгоритма с расширением спектра флюктуации возрастает
быстрее, то есть преимущество ПН НСК алгоритма по отношению к НСК
алгоритму уменьшается, а проигрыш по отношению к алгоритму с априорно
известным распределением помех — возрастает.
Как следует из графиков, приведенных на рис. 4.3.1, этот проигрыш так-
также зависит и от загруженности мешающими отражениями диапазона анализи-
анализируемых задержек. Поэтому на рис. 4.3.3 приведено параметрическое семей-
семейство кривых, характеризующее зависимость разности г\2 - цъ от обоих
параметров — количества мешающих отражений Кпом и ширины спектра
флюктуации А/. Диапазон изменения количества мешающих отражений выб-
выбран таким образом, чтобы в него попадали максимальные значения проигры-
проигрыша ПН НСК алгоритма.
"Ч 4
|3
§2
У
—-^
1
12
10
s
кГц о
2
1
Af2,
кГц
02468 10 02468
а) флюктуации типа 1 б) флюктуации типа 2
Рис. 4.3.3. Потери за счет априорной неопределенности параметров помех
10
Приведенные характеристики позволяют оценить величину потенциально-
потенциального проигрыша алгоритма ПН НСК. Например, при ширине спектра флюктуа-
флюктуации до 5 кГц максимальный проигрыш за счет неизвестности распределения
мешающих отражений не превышает 5 дБ для первого типа флюктуации и
8 дБ — для второго.
Кроме перечисленных параметров на эффективность алгоритма ПН НСК
оказывает влияние пик-фактор зондирующего сигнала. На рис. 4.3.4 приведены
зависимости относительной ошибки компенсации ^, г\2 и т\ъ от этого парамет-
параметра при 8 мешающих отражениях одинаковой интенсивности и ширине спектра
флюктуации 2.4 кГц. Графики на рис. 4.3.4,а соответствуют первому типу
флюктуации помех, на рис. 4.3.4,6 — второму.
Увеличение ошибки компенсации на всех кривых рис. 4.3.4 при малых зна-
значениях пик-фактора объясняется возрастанием потерь из-за квазинепрерывно-
квазинепрерывного режима излучения и приема. При увеличении пик-фактора его влияние на
эффективность г\х алгоритма НСК оказывается незначительным благодаря
357

ДБ
со -5
О-20
-25
<
-
-10
-15
pf
-50
0 10 20 30 40 50 60 70
а) флюктуации типа 1
Рис. 4.3.4. Относительная ошибка компенсации в зависимости от пик-фактора
10 20 30 40 50 60 70
б) флюктуации типа 2
процедуре нормализации, учитывающей распределение активных символов в
векторе d демодулирующей последовательности. Однако при небольшой раз-
размерности этого вектора, что фактически имеет место в алгоритме НСК с апри-
априорно известным распределением мешающих отражений, процедура нормализа-
нормализации блокируется при отсутствии активных символов в векторе d, что ведет к
потере эффективности г\ъ алгоритма при больших значениях пик-фактора.
Интересно отметить, что с ростом пик-фактора относительная ошибка г\2
алгоритма ПН НСК быстро приближается к ошибке алгоритма г]3 с априорно
известным распределением. Это объясняется уменьшением взаимных помех,
которое происходит вследствие снижения уровня боковых лепестков корреля-
корреляционной функции огибающей зондирующего сигнала при увеличении пик-
фактора.
В качестве иллюстрации эффективности предлагаемого метода компенса-
компенсационной обработки приведем результаты моделирования процесса обнаруже-
обнаружения сигнала на фоне флюктуирующих мешающих отражений, мощность кото-
которых убывает пропорционально кубу расстояния. Кроме компенсации по
алгоритму НСК и ПН НСК, обнаруживаемые сигналы подвергаются корреля-
корреляционно-фильтровой обработке в диапазоне задержек и доплеровских сдвигов
частоты. Результат обработки представляется в виде матрицы значений для
анализируемого диапазона частотно-временных сдвигов обнаруживаемых сиг-
сигналов.
На рис. 4.3.5 и рис. 4.3.6 эта матрица изображена в виде трехмерной повер-
поверхности для случая, когда спектральная обработка сигнала выполняется в диа-
диапазоне частот 0^-50 кГц с помощью быстрого преобразования Фурье размерно-
размерности 256. Помимо флюктуирующих мешающих отражений моделировались
сигналы, отраженные от групповой нефлюктуирующей цели, расположенной на
64-х последних дискретных задержках с частотным сдвигом 20 кГц. Амплитуда
сигналов, отраженных от целей меньше интегрального уровня мешающих
отражений на 40 дБ для флюктуации типа 1 (рис. 4.3.5) и на 57 дБ — для флюк-
флюктуации типа 2 (рис. 4.3.6). Помехи превышают шум на входе приемника на 50 дБ
в обоих случаях.
358

Амплитуда, дБ
Групповая цель
Амплитуда, дБ
Сдвиг
частоты, КГц
Задержка,
мксек
Сдвиг
частоты, КГц
а) НСК
б) ПН НСК
Рис. 4.3.5. Результаты обработки
мешающих отражений с первым типом флюктуации
Амплитуда, дБ
Групповая цель
Амплитуда, дБ
30
20
10
0
-10
-20 J
20
Сдвиг
частоты, КГц
Задержка,
мксек
Сдвиг
частоты, КГц
Задержка,
мксек
а) НСК
б) ПН НСК
Рис. 4.3.6. Результаты обработки
мешающих отражений со вторым типом флюктуации
Хорошо видно, что алгоритм ПН НСК позволяет повысить качество обна-
обнаружения слабых сигналов на фоне мешающих отражений для обоих типов
флюктуации. Интересно отметить, что более локализованный частотный спектр
второго типа флюктуации позволяет провести более глубокую компенсацию
мешающих отражений, вплоть до уровня аддитивного шума приемника.
Выводы:
¦ предложена модификация пропорционально нормализованного алгорит-
алгоритма адаптивной цифровой фильтрации по методу наименьших средних
квадратов, отличительной особенностью которого является отсутствие
эффекта застоя;
¦ получены численные оценки выигрыша за счет применения предлагае-
предлагаемого алгоритма при изменении основных параметров мешающих отра-
отражений и зондирующего сигнала;
¦ показана эффективность применения предложенного алгоритма при обна-
обнаружении слабых сигналов на фоне флюктуирующих мешающих отражений.
359

4.4. Адаптивная фильтрация
и временная режекция
Временная режекция мощных мешающих отражений рассмотрена в главе 3
применительно к итерационной процедуре обработки сигналов фиксированной
длительности. В такой процедуре оценки параметров обнаруживаемых и
разрешаемых сигналов изменяются от итерации к итерации, поэтому режекция
выбранных сигналов осуществляется сразу для всего блока данных. В отличие
от блочных процедур рекурсивные оценки доступны в каждый момент време-
времени, что позволяет включать и отключать режекцию выбранных сигналов в те-
течение времени обработки.
Задачей раздела является разработка алгоритма временной режекции
мощных сигналов на основе оценок, вырабатываемых адаптивным цифровым
фильтром, и исследование его характеристик.
В рассматриваемом варианте компенсационной обработки с временной ре-
жекцией мешающих отражений используются оценки амплитуд, вырабатываемые
адаптивным цифровым фильтром (алгоритм НСК с нормализацией) и более
простой в реализации способ временной режекции, при котором используется
вектор (часть II, 4.1.1а), а не матрица режекции. Обработка сигнала описывает-
описывается тремя выражениями. Первое из них определяет ошибку компенсации e\i), вто-
второе описывает модификацию оценок вектора а(г) комплексных амплитуд, а тре-
третье определяет элементы вектора с!РЕЖ (/) демодулирующей последовательности
с учетом вектора хРЕЖ (г) последовательности бланкирования:
S(i-l)-d(i)], D.4.1)
а(/И(/-1)+ d"^ -л-е-Е), D.4.2)
ЛрЕЖт^ХрЕжМлЛ),™^ 1, -,Md. D.4.3)
Вектор хРЕЖ (/) бланкирующей последовательности в / -ый момент време-
времени определяется аналогично C.5.2):
м.
@V UK " ") " V'ZX* (') " D-4-4)
л=1
В отличие от C.5.1) элементы вектора режекции УРЕЖ (размерность lxMd),
определяются следующим образом:
l f:%lL;m = l,...,Md, D.4.5)
[О, если \am{i\<Lr
где Lr — порог режекции.
360

Порог режекции Lr вырабатывается на основании известной мощности а\
входного шума, порядка адаптивного фильтра Md и пик-фактора pf зондиру-
зондирующего сигнала в соответствии с выражением:
=ChG0- М^-, D.4.6)
где Ch —'множитель, определяющий величину относительного порога.
Как и ранее, рассматриваются две модели флюктуации источников меша-
мешающих отражений, а сигнал на входе приемника определяется выражением
B.4.6). Эффективность режекции помех будем оценивать по относительной
среднеквадратической ошибке компенсации т]г с учетом временной режекции:
D.4.7)
где
— ошибка компенсации с учетом временной режекции помех, определенная
аналогично C.5.5), C.5.6).
Для сравнения с алгоритмом когерентной компенсации вычислим такую же
оценку т]к в случае, когда временная режекция не применяется. Кроме того,
необходимо учитывать энергетические потери принимаемых сигналов, которы-
которыми сопровождается режекция. Эти потери Пг определяются отношением пик-
фактора pfr принимаемых сигналов в каналах с режекцией, усредненного по
задержкам, и пик-фактора pf излучаемого сигнала:
D.4.9)
pf
Тогда выигрыш Gr за счет временной режекции мешающих отражений по
отношению к их когерентной компенсации определяется выражением:
Сг=ъ-»7г-Лг,дБ. D.4.10)
Для получения численных оценок эффективности рассматриваемого алго-
алгоритма было выполнено имитационное моделирование с использованием основ-
основных параметров адаптивного компенсатора и помеховой обстановки, приведен-
приведенных в табл. 4.2.1 и 4.2.2 соответственно. В отличие от данных табл. 4.2.1
суммарная мощность мешающих отражений варьировалась в диапазоне от 30 до
90 дБ.
Кроме того, для исследования была выбрана только первая модель флюк-
флюктуации. Этот выбор мотивировался следующими доводами:
¦ флюктуации первого типа значительно хуже подавляются алгоритмом
когерентной компенсации, чем флюктуации второго типа, поэтому пред-
представляет интерес применение временной режекции для подавления ме-
мешающих отражений именно с таким типом флюктуации;
361

¦ качество временной режекции флюктуации второго типа должно быть
не хуже, чем флюктуации первого типа, поскольку алгоритм основан на
рценках амплитуд сигналов, которые для второго типа флюктуации
имеют меньшую погрешность.
На рис. 4.4.1 приведены зависимости ошибки г\г при временной режекции
помех, ошибки г\к без ее использования и энергетических потерь Пг от отно-
Р /
шения сигнал/шум qo= у 2 на входе устройства обработки. Зависимости сня-
ты при относительном пороге режекции Ch = 10, 20 и 30 дБ и мешающих отра-
отражениях, занимающих 4 первых элемента разрешения по дистанции.
Лг Л# Пг дБ
-10 N
-20
-30
-40
-50
-60
-70
И
V 1
ч
ОдБ ^
\
20<)Z
\
s
^ 30 дБ
<h
10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 4.4.1. Относительная ошибка при временной режекции,
когерентной компенсации и энергетические потери
90
Графики функции Пг энергетических потерь при большом отношении
сигнал/шум почти постоянны и мало зависят от относительного порога режек-
режекции Ch. Уменьшение мощности мешающих отражений приводит к снижению
потерь вследствие отключения режекции сигналов, все более слабо выделяю-
выделяющихся на фоне шума. Наиболее заметно снижение потерь для высокого отно-
относительного порога режекции.
Относительная ошибка компенсации Г]к также уменьшается по мере уве-
увеличения отношения сигнал/шум, но только до тех пор, пока влияние флюктуа-
флюктуации не начинает преобладать над шумом. При дальнейшем возрастании мощ-
мощности мешающих отражений она остается постоянной. Относительная ошибка
временной режекции г\г снижается с увеличением мощности сигналов, однако
при низком пороге режекции Ch = 10 дБ наблюдается влияние ошибок, связан-
связанных с превышением порога режекции взаимными помехами. Это приводит к
стабилизации относительной ошибки режекции, несмотря на возрастание мощ-
мощности сигналов.
362

На основании полученных характеристик построена зависимость выигрыша,
получаемого за счет временной режекции, рассчитанного по выражению D.4.10).
Она приведена на рис. 4.4.2,а. Как следует из полученных результатов, временную
режекцию целесообразно применять в том случае, когда суммарная мощность
отраженных сигналов больше мощности шума не менее, чем на 30 дБ.
ffl
С
= 10 dB
А
J
Л
¦/А
/
(г
/
30
/
/
дБ
зо
I15
5?
* 10
5
0
/-л
\г
д
V
\
^0= 90
N,
V60
\
30
dB
V
\
дБ
20 40 60 80
а) зависимость от отношения
сигнал/шум
10 20 30 40 50 60
б) зависимость от относительного порога
режекции
Рис. 4.4.2. Выигрыш, получаемый за счет временной режекции
Рядом, на рис. 4.4.2,6, приведены кривые, показывающие влияние величины
порога на выигрыш, достигаемый за счет временной режекции. Кривые постро-
построены для трех значений отношения сигнал/шум на входе устройства обработки: 30,
60 и 90 дБ. Характерной чертой этих кривых является наличие максимума, что,
как правило, свидетельствует о совместном воздействии нескольких факторов.
Величина относительного порога непосредственно влияет на вероятность
ошибочного включения и выключения сигнала режекции. Чем выше установлен
относительный порог, тем меньше вероятность ошибочного включения режекции
(помехи нет, но сигнал режекции включается) и больше вероятность ошибочного
отключения (помеха есть, но режекция отключается).
Ошибочное включение режекции ведет к возрастанию энергетических по-
потерь полезных сигналов, которые уменьшаются при увеличении порога режек-
режекции. В случае ошибочного отключения нережектированная помеха создает до-
дополнительные ошибки в оценках амплитуд, что в соответствии с выражением
D.4.7) снижает эффективность компенсации. Вероятность этих ошибок увеличи-
увеличивается с повышением порога режекции. Более того, влияние каждой ошибки
возрастает вследствие увеличения амплитуды нережектированной помехи.
Таким образом, существует оптимальное значение порога, минимизирую-
минимизирующее влияние обоих типов ошибок. Оптимальный порог режекции зависит от
отношения сигнал/шум, но при его вариации от -60 до -90 дБ находится в пре-
пределах 15-ь18 дБ.
Рассмотрим влияние эффективной ширины спектра флюктуации мешаю-
мешающих отражений на выигрыш Gr, получаемый за счет временной режекции.
Соответствующие графики приведены на рис. 4.4.3,а.
363

, дБ
90
B Ammmmsm
1Л ,
MS»
«Я
[""ГГ"
_
0 05 0.1 0 25 0.5 1 2
а) зависимость от ширины спектра
флюктуации
Gr,dE
40
30
о
3> 20
5? 10
<2
Л,
\
30 dl
¦
Х90
X
\
—-*.
4 6 8 10 12 14
б) зависимость от количества
режектируемых сигналов
16
Рис. 4.4.3. Выигрыш временной режекции
Анализируя полученные результаты, отметим, что для большого отноше-
отношения сигнал/шум q0 = 90 дБ достигается наибольший выигрыш Gr = 32-^33 дБ,
который практически не зависит от скорости флюктуации. Величина этого вы-
выигрыша обусловлена погрешностью оценок амплитуд, на которую шум не ока-
оказывает заметного влияния. С уменьшением отношения сигнал/шум до
60 дБ влияние шума начинает ограничивать погрешность оценок при медлен-
медленных флюктуациях, и это приводит к некоторому уменьшению выигрыша. Тем
не менее, при изменении ширины спектра флюктуации от 20 Гц до 2.4 КГц
Gr = 14-S-18 дБ. Наконец, для отношения сигнал/шум, равного 30 дБ, выигрыш
не превышает 3 дБ. Для медленных флюктуации наблюдается проигрыш по от-
отношению к когерентной компенсации помех, связанный с энергетическими
потерями полезных сигналов.
Рассмотрим зависимость выигрыша, получаемого за счет временной режекции
от количества режектируемых сигналов, представленную на рис. 4.4.3,6. Как
следует из приведенных результатов, выигрыш быстро теряется по мере увеличе-
увеличения количества режектируемых мешающих отражений. Этот спад обусловлен, в
первую очередь, увеличением вероятности ошибок включения-выключения режек-
режекции из-за взаимного влияния большого количества мешающих отражений. Второй
фактор, оказывающий такое же влияние, — это возрастание энергетических потерь
при режекции большого числа помех. Очевидно, что увеличение пик-фактора
сигнала при возрастании количества режектируемых помех может нивелировать
такую быструю потерю эффективности рассматриваемого алгоритма, снижая вли-
влияние, как первого, так и второго из указанных факторов.
На рис. 4.4.4,а показаны зависимости, аналогичные приведенным на
рис. 4.4.3,6, но при назначении оптимального пик-фактора в соответствии с вы-
выражением E.2.4) части П. Сравнение характеристик на рис. 4.4.3,6 и рис. 4.4.4,а,
показывает, что назначение оптимального пик-фактора сигнала существенно
повышает эффективность временной режекции, не допуская больших потерь
при возрастании количества режектируемых помех.
364

,дБ
„шиш*—
*********
шпшттт
имеют**
«wsssssces»»»
и» "¦*"¦
_30_
60
90 dE
10 12 14 16
2 4 6 8 10 12 14 16
б) относительная ошибка компенсатора
с временной режекцией
а) выигрыш за счет временной режекции
Рис. 4.4.4. Эффективность временной режекции при оптимальном пик-факторе
Обобщая полученные результаты, можно сказать, что когерентная компен-
компенсация и адаптивная временная режекция являются взаимно дополняющими
методами. Для когерентной компенсации подавление мощных быстро флюкту-
флюктуирующих помех представляет сложную проблему, но она успешно решается
путем их временной режекции. Напротив, временная режекция относительно
слабых распределенных по задержке отражений малоэффективна, но в этом
случае можно использовать когерентную компенсацию, эффективность которой
не зависит от распределения интенсивности отражений по задержке.
Дополнение когерентного компенсатора алгоритмом адаптивной времен-
временной режекции позволяет получить высокую степень подавления мешающих
отражений. Для подтверждения этого положения на рис. 4.4.4,6 приведена от-
относительная ошибка компенсации для тех же условий, при которых был рассчи-
рассчитан выигрыш на рис. 4.4.4,а. При расчете этой ошибки учтена временная
режекция мешающих отражений и энергетические потери полезных сигналов.
Как видно из приведенных графиков, достигается подавление мешающих отра-
отражений от 30 до 60 дБ с относительно небольшими вариациями при изменении
количества помех.
Резюмируем полученные результаты:
¦ предложен и рассмотрен метод обработки сигналов, совмещающий адап-
адаптивную временную режекцию и когерентную компенсацию мешающих
отражений, причем для временной режекции используются те же оцен-
оценки комплексных амплитуд, вырабатываемые адаптивным фильтром, что
и для когерентной компенсации;
¦ произведен сравнительный анализ методов компенсационной обработ-
обработки сложных сигналов, свидетельствующий об эффективности предло-
предложенного алгоритма временной режекции помех;
¦ полученные характеристики позволяют оценить преимущество рассмат-
рассматриваемого алгоритма при изменении основных параметров мешающих
отражений и устройства обработки: отношения сигнал/шум, относитель-
365

ного порога режекции, количества мешающих отражений и ширины
спектра их флюктуации;
¦ результаты моделирования показывают, что временную режекцию ме-
мешающих отражений целесообразно применять, если отношение сигнал/
шум больше 30 дБ. Дополнительный выигрыш по сравнению с когерен-
когерентной компенсацией помех может достигать 20-КЗО дБ;
¦ при изменении количества режектируемых помех следует пропорцио-
пропорционально изменять пик-фактор зондирующего сигнала.
4.5. Влияние амплитудного ограничения
на ошибку компенсации
При анализе итерационного алгоритма компенсации мешающих отражений
рассматривался случай, когда сумма мешающих отражений превышает
линейный динамический диапазон приемного тракта и подвергается симмет-
симметричному двустороннему ограничению. В разделе 3.4 были получены характери-
характеристики, показывающие, что эффективность компенсации мешающих отражений
быстро падает даже при относительно неглубоком ограничении. Как средство
защиты от помех, превышающих динамический диапазон, была рассмотрена их
временная режекция.
Действуя по аналогии, рассмотрим влияние ограниченного динамического
диапазона приемника на эффективность когерентной компенсации мешающих
отражений с помощью рассматриваемого метода адаптивной цифровой
фильтрации. Все определения, характеризующие глубину ограничения и эф-
эффективность компенсационной обработки при наличии ограничения, введен-
введенные в разделе 3.4, остаются прежними.
Единственным отличием от модели когерентного компенсатора мешающих
отражений на основе адаптивного алгоритма НСК, описанного в разделе 4.2,
будет являться наличие симметричного двустороннего ограничения входного
сигнала, определяемого выражением C.4.2) и такого же ограничения предсказан-
предсказанного компенсационного сигнала. С целью сравнения двух различных методов
когерентной компенсации параметры помех, сигналов и шума были установлены
такими же, как при исследовании итерационного алгоритма.
На рис. 4.5.1 показаны зависимости ошибки компенсации от относительно-
относительного уровня ограничения для двух типов флюктуации. Характеристики получены
при ширине спектра флюктуации A/j = А/2 = А/с /32, гдеА/с — ширина
спектра, согласованная с длительностью сигнала, когерентно обрабатываемого
в итерационном алгоритме компенсации. Для установленных по умолчанию
частоты дискретизации 10 МГц и базе сигнала 1024 ширина спектра флюктуа-
флюктуации составляет A/j = А/2 = 305 Гц. Приведенные характеристики следует сравни-
сравнивать с аналогичными характеристиками для итерационного алгоритма, приве-
приведенными на рис. 3.4.4.
Сравнение выявляет следующие основные отличия.
¦ В рассматриваемом алгоритме слабо выражена зависимость ошибки
компенсации от количества помех, что соответствует принципу работы
адаптивного фильтра. Для единичных помех эта зависимость проявля-
366 *

о
-5
i-15
I-20
! -зо 1—
e -3
-40
-45 L
-50
1—
= 8-
32
шжтт
iSMMtf
дБ
-10 0
10 20 30 40 50 60
а) флюктуации типа 1
0
-5
-10
1-25
1-30
В -35
6 -40
, -45
-50
—mm
K пом = 8 ~
ж
f
/
32
дБ
-10 0 10 20 30 40 50 60
б) флюктуации типа 2
Рис. 4.5.1. Ошибка компенсации флюктуирующих отражений
в зависимости от глубины ограничения (нормировка к сигналу после ограничителя)
ется из-за особенностей ограничения квазинепрерывных сигналов, но,
поскольку она не имеет принципиального значения, то соответствую-
соответствующие характеристики не приведены.
¦ Возрастание ошибки компенсации с увеличением глубины ограничения
происходит значительно медленнее, чем в итерационном алгоритме. В
частности, слабое ограничение (#L < 3 дБ) практически не ухудшает эф-
эффективность компенсации. Последнее отличие отражает свойство адап-
адаптивного цифрового фильтра, позволяющего оценить амплитуду сигнала,
даже если она превышает порог ограничения. Особенно отметим, что
это качество проявляется только тогда, когда в структуру адаптивного
цифрового фильтра включен нелинейный элемент с такой же
амплитудной характеристикой, как в приемном тракте.
Другими словами, рекурсивный компенсатор мешающих отражений имеет
повышенную устойчивость к нелинейным искажениям типа ограничения
входного сигнала. Она достигается при условии учета амплитудной характери-
характеристики входного тракта в структуре адаптивного цифрового фильтра.
В связи с отмеченным свойством возникает вопрос: насколько эффективно
совместное применение ограничения и когерентной компенсации мешающих
отражений? Ответ на этот вопрос не следует непосредственно из графиков на
рис. 4.5.1, потому что приведенная на них ошибка компенсации рассчитана
относительно уровня ограниченного сигнала, а сам этот уровень уменьшается
по мере увеличения глубины ограничения. Поэтому целесообразно вернуться
к определению C.1.27) относительной ошибки компенсации г\к, при котором
нормировка выполняется к среднеквадратическому значению as входного
сигнала до ограничения. Конечно, абсолютная ошибка компенсации ое все
равно должна рассчитываться для ограниченного сигнала.
Эффективность подавления мешающих отражений за счет ограничения и
компенсации иллюстрируется графиками на рис. 4.5.2. Для мешающих отраже-
отражений, соответствующих первому типу флюктуации, наблюдается монотонное
уменьшение ошибки компенсации при увеличении глубины ограничения. Для
367

флюктуации второго типа, которым свойственна большая эффективность ком-
компенсации, существует область значений уровня ограничения, при котором
происходит увеличение ошибки компенсации, но дальнейшее увеличение глу-
глубины ограничения ведет к монотонному спаданию.
Разница между максимальной ошибкой компенсации и ее значением при
отсутствии ограничения характеризует максимальные потери, возникающие
вследствие ограничения. В данном случае они составляют около 8 дБ. Влияние
ширины спектра флюктуации на эти потери позволяют оценить графики, при-
приведенные на рис. 4.5.3.
-ю
-15
§ -20
о -25
с °
| -35
g -40
|-45
в 0
-55
-60
, дБ
—mm*
S!^^
!
\
\
V
\
-10
-15
9 -20
?-25
§ -30
с
о _35
-] 1 -40
S 5
а -5о
-55
дБ
л
К = 8-
32
ч
Ч
дБ
-10 0 10 20 30 40 50 60
а) флюктуации типа 1
-10 0 10 20 30 40
б) флюктуации типа 2
50 60
Рис. 4.5.2. Ошибка компенсации флюктуирующих отражений
в зависимости от глубины ограничения (нормировка к сигналу до ограничителя)
Как видно, для флюктуации первого типа потери по-прежнему отсутству-
отсутствуют, а для флюктуации второго типа они возрастают по мере уменьшения шири-
ширины спектра флюктуации. Максимальные потери возникают тогда, когда дости-
достигаются малые ошибки компенсации при отсутствии ограничения, но даже если
эти ошибки составляют -50 дБ, максимальные потери не превышают 8 дБ.
Полученные результаты показывают:
¦ алгоритм когерентной компенсации, основанный на адаптивной цифро-
цифровой фильтрации по методу НСК, имеет повышенную устойчивость к
нелинейным искажениям входного сигнала по сравнению с итерацион-
итерационным блочным алгоритмом;
¦ для первого типа флюктуации мешающих отражений ограничение вход-
входного сигнала не приводит к возрастанию ошибки компенсации, а для
второго типа флюктуации максимальные потери не превышают 8 дБ в
практически важных случаях;
¦ в отличие от итерационных методов компенсации ограничение входного
сигнала не приводит к значительным потерям эффективности, поэтому
специальные меры защиты от мощных мешающих отражений, такие как
адаптивная временная режекция, необязательны.
368

-60L
-10 0
10 20 30 40
а) флюктуации типа 1
50
10 20 30 40
б) флюктуации типа 2
Рис. 4.5.3. Ошибка компенсации флюктуирующих отражений
при различной ширине спектра флюктуации (нормировка к сигналу до ограничителя)
Сформулированные выводы не означают, что временная режекция не
имеет самостоятельного значения для подавления мощных мешающих отраже-
отражений, безотносительно к наличию или отсутствию ограничения входного сигнала
в приемнике.
4.6. Анализ совместной обработки ошибки
компенсации и оценок амплитуд
Компенсационная обработка сигналов является по своей сути рассогласо-
рассогласованной по отношению к обнаружению сигнала на фоне аддитивного белого
гауссовского шума и сопровождается неизбежными потерями в отношении
сигнал/шум. Источником этих потерь являются погрешности оценок компенси-
компенсируемых сигналов, также подверженные влиянию шума. Согласно выражению
B.3.9) решение о наличии или отсутствии сигнала принимается на основании
результатов корреляционно-фильтровой обработки ошибки компенсации и
оценок амплитуд сигналов в каждом корреляционном канале. Это выражение
позволяет рассчитать потери рассогласования при условии, что на вход устрой-
устройства обработки поступает чистый шум. Очевидно, что, несмотря на отсутствие
реальных сигналов в рассматриваемом случае, оценки их амплитуд все равно не
будут заведомо нулевыми вследствие воздействия шума.
Задачей этого раздела является анализ точного и упрощенного вариантов
совместной обработки ошибки компенсации и оценок амплитуд, а также оп-
определение потерь в отношении сигнал/шум, связанных с компенсационной об-
обработкой.
Первый вариант обработки основан непосредственно на выражении B.3,9),
но с учетом особенностей обработки квазинепрерывных сигналов, игнориро-
игнорированных при его выводе. Эти особенности состоят в необходимости учета
дополнительной коммутации приемника для обеспечения временной развязки
с передатчиком и процедуры сегментной обработки квазинепрерывного сигна-
13 Зак 14
369

ла (раздел 3.2 части II). С учетом этой специфики первый вариант обработки
содержит ряд операций.
1. Демодуляция ошибки компенсации в заданном диапазоне задержек:
ed(,-M«)-d(«), D.6.1)
где ed (i) — значение вектора демодулированной ошибки компенсации
в /-ый момент времени (компоненты вектора соответствуют Мd — дис-
дискретным задержкам сигнала).
2. Амплитудная модуляция оценок а(/) в соответствии с дискретной пос-
последовательностью развязки передатчика и приемника:
bxJi)=*JiWJi\bJi)>m = !> ->м, D.6.2)
Каждая компонента вектора-строки ах(*) имеет такой же закон ампли-
амплитудной модуляции, как и соответствующая компонента вектора-столбца
ed(/), что позволяет выполнить их суммирование и последующую спек-
спектральную обработку.
3. Накопление Ns последовательных временных отсчетов суммы векто-
векторов ах(/) и ed(/) позволяет сформировать вектор-строку RCEFyt, анало-
аналогичную результату сегментной свертки C.1.5):
*Д'Я,*=1, ...,*#. D.6.3)
4. Нормировка к количеству NAC активных символов на каждом сегменте
выполняется подобно C.1.6):
k-Ns
N jri_ = У .X4PMv)\wV'~m\ , D.6.4)
кт " ~й Г э * = 1, «., Кт> т = 1,..., Md. D.6.5)
П АСк,т JJ
5. Последняя операция — быстрое преобразование Фурье размерности
Кт по столбцам матрицы G - полностью совпадает с C.1.7):
КАФ является матрицей результатов корреляционно-фильтровой обработ-
обработки сигналов адаптивного фильтра, абсолютные значения элементов которой
сравниваются с решающим порогом.
370

Во втором варианте обработки вместо выражения D.6.2) используется
более простое, основанное на среднестатистическом значении пик-фактора
принимаемых сигналов pfnpM:
МО-^-, D-6.7)
где
pf=
rfv D-6-8)
Кроме того, ввиду отсутствия высокоскоростной модуляции оценок комп-
комплексных амплитуд псевдослучайными последовательностями хпрм и \w\ теряет
смысл выполнение операций нормировки сегментов D.6.4) и D.6.5). Поэтому
вычисление матрицы КАф производится путем быстрого преобразования Фу-
Фурье над столбцами матрицы RCEr:
RA*=FF7(RCEr). D.6.9)
Таким образом, упрощенный вариант обработки содержит четыре опера-
операции: D.6.1), D.6.3), D.6.7) и D.6.9). Упрощение достигается за счет игнорирова-
игнорирования точного закона амплитудной манипуляции сигнала при объединении
оценок амплитуд и ошибки компенсации, которое выполняется только на осно-
основании усредненных энергетических характеристик.
Сравнительный анализ вариантов обработки
Рассмотрим спектральные характеристики объединяемых процессов ed(z)
и а(/) при воздействии на вход исследуемой системы белого гауссовского шума.
На рис. 4.6.1,а показана оценка спектральной плотности мощности случай-
случайного процесса ed(z), усредненного по задержкам. Хорошо видно, что в демоду-
лированном сигнале ошибки компенсации подавлены низкочастотные спект-
спектральные компоненты входного белого шума, что эквивалентно прохождению
его через фильтр верхних частот. Оценка спектральной плотности мощности
случайного процесса a(i) после усреднения по задержкам, приведенная на рис.
4.6.1,6, показывает, что этот процесс содержит низкочастотные компоненты
спектра входного шума, что соответствует его прохождению через фильтр ниж-
нижних частот.
Очевидно, что рассматриваемые спектральные оценки являются взаимно
дополняющими, то есть компенсационная обработка разделяет исходный рав-
равномерный спектр входного шума на две части. Их объединение в соответствии
с выражением D.6.3) может восстановить равномерный спектральный состав
шума.
Результат объединения по первому варианту обработки приведен на
рис. 4.6.2,а, а на рис. 4.6.2,6 - по второму. На этих рисунках представлены спект-
спектральные оценки, вычисленные по выражениям D.6.6) и D.6.9) соответствен-
371

^
1-15
I -20
-25
-30
1 15
Frequency
25
-20
-25
-30
а) демодулированная ошибка компенсации
05 1 15 2
frequency (IV1Hz;
б) оценки амплитуд сигналов
25
Рис. 4.6.1. Спектральные характеристики процессов в адаптивном фильтре
но, и усредненные по задержкам. Наглядно видно, что спектральная плотность
шумов после точной обработки стала идеально равномерной, в то время как для
упрощенного варианта наблюдается неравномерность около 1.5 дБ.
Наличие этой неравномерности влияет на точность установки порога, ста-
стабилизирующего вероятность ложных тревог, вносит потери при смещении ча-
частоты сигнала и, в конечном счете, ухудшает качество обнаружения. С этой
точки зрения первый вариант обработки выглядит предпочтительнее. Однако
нельзя забывать, что процедура нормировки сегментов D.6.4), D.6.5), выполня-
выполняемая в этом варианте обработки, также сопряжена с потерями в отношении
сигнал/шум (рис. 3.4.14 часть II). Поэтому итоговые потери по шумам в обоих
вариантах обработки имеют приблизительно одинаковую величину.
По качеству выделения слабого сигнала на фоне шума и мешающих отра-
отражений эти два варианта обработки практически не отличаются друг от друга.
Для иллюстрации приведем результаты моделирования, когда на входе прием-
приемника присутствуют мощные мешающие отражения и слабый сигнал, отражен-
отраженный от высокоскоростной цели.
-20
-25
-20
•25
^^^H^^^KvAMPi^hV*»^^
CS 1 ' 5
Frequency (ЬАНг)
Ts зоо
0 5 1
15
2 5
а) вариант 1 б) вариант 2
Рис. 4.6.2. Спектр суммы ошибки компенсации и оценки
372

ш
"О
<D
ТЗ
ГЗ
Ampli
10
0
-10
20
*30
-40 I
«50 1
»60 "
0
1
IL f . 1 u л ,г ^ _, п,
10 20 30
Frequency (kHz)
а) компенсационная обработка
по варианту 1 и 2
ее
т>
CD
1
I
10
0
1С
*2С
-30
50
-60
-70
1С 20 30
Frequency (kHz)
б) без компенсации взаимных помех
Рис. 4.6.3. Разрешение сильных и слабых сигналов
Спектральная оценка, приведенная на рис. 4.6.3,а, получена с использова-
использованием обоих вариантов для случая обнаружения слабого сигнала с доплеровским
сдвигом частоты 10 кГц при воздействии мешающих отражений, равномерно
распределенных по всей дистанции и имеющих спектр флюктуации вблизи
нуля. В этом примере суммарная мощность помех больше мощности шума на
входе приемника на 50 дБ, а мощность сигнала на 70 дБ меньше мощности
помех. База (длина) обрабатываемого сигнала 128000, пик-фактор 5. Отметим,
что без использования компенсационной обработки (рис. 4.6.3,6), интегральный
уровень помех по боковым лепесткам функции неопределенности составляет
для данного случая -23 дБ, что практически исключает возможность обнаруже-
обнаружения цели.
Резюмируя преимущества и недостатки рассматриваемых вариантов
обработки, можно сказать, что потери от неравномерности спектральной плот-
плотности шума во втором варианте имеют сопоставимую величину с потерями в
отношении сигнал/шум, сопутствующими процедуре нормировки сегментов,
которую необходимо применять в первом варианте. Однако сложность реали-
реализации обработки по второму варианту значительно ниже, что позволяет отдать
ей предпочтение в большинстве практических приложений.
Анализ потерь в отношении сигнал/шум
Проведем анализ потерь в отношении сигнал/шум, связанных с компенса-
компенсацией мешающих отражений, на основании выбранной схемы обработки.
На рис. 4.6.4 приведены результаты моделирования, которые иллюстриру-
иллюстрируют возрастание мощности шума, прошедшего систему компенсации. Считая,
что компенсационная обработка медленно флюктуирующих отражений не
вносит потерь в обработку сигнала высокоскоростной цели, эти результаты
позволяют оценить потери в отношении сигнал/шум Пш.
Как известно [138], уменьшение шага адаптации /л снижает статистические
ошибки в оценках параметров, что непосредственно связано со снижени-
373

I
3.5-
з-
2.5-
2-
1.5-
1-
0.5-
o-
1ш,дБ
————\
'r-~—^
>
^^ ^
1 1
* 32
^2
i
1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1
Рис. 4.6.4. Потери в отношении сигнал/шум в зависимости от шага адаптации
ем потерь в отношении сигнал/шум. Однако динамические характеристики
системы слежения при этом ухудшаются и, как следствие, падает эффектив-
эффективность компенсации мощных флюктуирующих мешающих отражений, которые
маскируют обнаружение слабых сигналов. Поэтому наибольший практический
интерес представляют оценки потерь при максимальном шаге адаптации, кото-
который по соображениям устойчивости не должен превышать 1. Как следует из
приведенных на рис. 4.6.4 результатов, максимальные потери не превосходят
4 дБ и зависят от порядка адаптивного фильтра Md.
Порядок фильтра определяет количество отраженных сигналов, которое
может быть подвергнуто компенсационной обработке. Из практики ясно, что
эта величина может изменяться в очень широких пределах. Зависимость потерь
Пш в отношении сигнал/шум от порядка фильтра Мd приведена на рис. 4.6.5.
Параметром семейства кривых является величина шага адаптации //. Кривые
на рис. 4.6.5 имеют плавный слабо выраженный экстремум. Разница между
минимальным и максимальным значением каждой кривой не превышает 1 дБ
3.5 -
3-
2.5 -
2-
1.5 -
1 -
0.5 -
ПшдБ
-! ¦
г : ~—-—.
г-
1/8
\
.----- -V ¦
¦-••••-¦:--i;-»sAl-i
1/16
¦¦•¦V
— —
: 1/32
• \_.
1-.:.:.:Л
1/2
г^ U= 1
—j
11 *,
г1/4
.
МА
16
32
64
128
256
Рис. 4.6.5. Потери в отношении сигнал/шум
в зависимости от величины диапазона задержек
374

даже для максимального значения шага адаптации. Максимум достигается при
порядке фильтра Md = 10, что совпадает с удвоенным значением пик-фактора
сигнала pf =5.
Для выяснения совместного влияния пик-фактора и порядка фильтра на
величину потерь на рис. 4.6.6 представлены результаты, полученные при мак-
максимальном шаге адаптации jn = 1. Данные представлены в виде функции двух
аргументов - порядка фильтра Md и пик-фактора pf . Общий вид этой функции
наглядно показывает, что максимальное значение потерь в отношении сигнал/
шум достигается при пик-факторе сигнала вдвое меньшем порядка фильтра.
Noise loss versus filter order and peak-factor
Пи,
2 2
Рис. 4.6.6. Зависимость потерь в отношении сигнал/шум
от пик-фактора и диапазона задержек
Кроме того, по мере возрастания пик-фактора, наблюдается медленное
увеличение потерь (на 0.5 дБ при изменении пик-фактора от 2 до 128). Но,
вообще говоря, влияние как порядка фильтра, так и пик-фактора сигнала на
потери по шумам нельзя признать существенным, поскольку вариации этих
параметров в очень широком диапазоне не приводят к изменению потерь более,
чем на 1.2 дБ. По-видимому, само существование этой зависимости является
следствием применения упрощенного варианта обработки, не учитывающего
точную структуру амплитудной манипуляции сигнала.
Выводы:
¦ рассмотрен точный и упрощенный вариант совместной обработки ошиб-
ошибки компенсации и оценок комплексных амплитуд, обеспечивающих об-
обнаружение сигналов и мешающих отражений на фоне шума; в результа-
результате сравнительного анализа выявлено, что по качеству обработки обе
375

схемы имеют близкие показатели, но по технической реализации пред-
предпочтителен упрощенный вариант;
¦ на основе результатов моделирования показано, что применение упро-
упрощенной схемы обработки приводит к незначительной неравномерности
(—1.5 дБ) спектральной плотности мощности шума на выходе устрой-
устройства обработки, что не оказывает заметного влияния на качество обна-
обнаружения сигналов при наличии мешающих отражений;
¦ для упрощенной схемы обработки получены зависимости потерь в отно-
отношении сигнал/шум от основных параметров системы компенсации: шага
адаптации, порядка адаптивного фильтра и пик-фактора квазинепре-
квазинепрерывного сигнала;
¦ показано, что для максимального шага адаптации потери в отношении
сигнал/шум находятся в диапазоне З.СН4.2 дБ при изменении порядка
фильтра и пик-фактора сигнала в широких пределах.
4.7. Сравнительная характеристика блочных
и рекурсивных методов компенсации
Разработанные алгоритмы компенсации мешающих отражений разделены
на методы блочной и рекурсивной обработки, но направлены на достижение
одной и той же цели схожими средствами. В реальной ситуации часто существу-
существует возможность выбора, поэтому представляет интерес сравнение блочных и
рекурсивных методов по различным показателям.
Первый из них - это применимость для различных режимов обзора про-
пространства и типов антенных систем. В принципе, итерационный алгоритм
обработки блоков данных может быть применен при любом режиме обзора и
типе антенной системы. Однако наибольшая эффективность этого алгоритма
может быть достигнута при сканировании пространства антенной с электрон-
электронным управлением лучом. Дело в том, что дискретное переключение диаграммы
направленности антенны с одного положения в другое устраняет флюктуации,
вызванные плавным скольжением луча по отражающей поверхности, что
уменьшает ошибки компенсации, вызванные этим типом флюктуации. Рекур-
Рекурсивный алгоритм адаптивной цифровой фильтрации, напротив, требует непре-
непрерывного потока данных и не может быть эффективно применен при дискретном
сканировании пространства или при перестройке несущей частоты на каждом
интервале наблюдения. Для этого алгоритма наиболее благоприятен регуляр-
регулярный непрерывный обзор пространства без скачков несущей частоты.
Второй показатель - влияние неопределенности задержек мешающих отра-
отражений на качество их компенсации. Как следует из результатов главы 3, отно-
относительная ошибка компенсации в итерационном методе определяется количе-
количеством реально присутствующих отраженных сигналов с различными
задержками и частотными сдвигами. На ошибку компенсации в адаптивном
фильтре на основе НСК алгоритма основное влияние оказывает возможный
диапазон задержек и реальная ширина спектра флюктуации. Как видно, не-
неопределенность задержек отраженных сигналов снижает эффективность рекур-
рекурсивного алгоритма, но не сказывается на итерационном. Модификация
376

НСК алгоритма, связанная, по меньшей мере, с удвоением вычислительных ре-
ресурсов, устраняет этот недостаток. Рассмотренный ПН НСК алгоритм адаптив-
адаптивной цифровой фильтрации имеет незначительные потери, связанные с априор-
априорной неопределенностью задержек мешающих отражений.
Третий показатель - чувствительность к неизвестному доплеровскому сдвигу
частоты мешающих отражений. Хотя в этом случае также рассматривается
влияние неопределенности параметров отраженных сигналов, данный показатель
следует анализировать отдельно, потому что в большинстве случаев источником
мешающих отражений служит неподвижная поверхность. Причиной
неизвестного доплеровского сдвига частоты мешающих отражений может слу-
служить неточность компенсации собственного движения носителя, движение
морских волн или облаков дипольных отражателей. Если рассматривать мешаю-
мешающие отражения, занимающие несколько элементов разрешения по частоте, то
небольшой доплеровский сдвиг центральной частоты не оказывает существенно-
существенного влияния на ошибку компенсации итерационного алгоритма, но заметно
снижает точность компенсации в адаптивном цифровом фильтре.
Четвертым показателем служит устойчивость к нелинейным искажениям,
связанным с ограниченным динамическим диапазоном приемника. На основа-
основании полученных результатов можно утверждать, что по этому показателю пре-
преимущество имеет рекурсивный метод компенсации. С помощью адаптивного
цифрового фильтра можно получить оценки амплитуд сигналов, которые нахо-
находятся даже выше уровня ограничения. Это свойство позволяет ценой приемле-
приемлемых потерь отказаться от использования временной режекции, которая необхо-
необходима в итерационном алгоритме для сохранения эффективности при перегрузке
приемника.
В качестве пятого показателя предлагается рассматривать вычислительные
ресурсы, необходимые для реализации каждого метода обработки в реальном
времени. По этому показателю предпочтение также следует отдать рекурсивно-
рекурсивному методу на основе адаптивной цифровой фильтрации. Даже если рассмотреть
наиболее сложную модификацию ПН НСК алгоритма, она оказывается
экономичнее итерационных процедур обработки.
Следует подчеркнуть, что возможна разработка комбинированных методов
компенсации, сочетающих преимущества блочных и рекурсивных алгоритмов.
4.8. Выводы по главе
1. Обоснован выбор адаптивного цифрового фильтра на основе алгорит-
алгоритма НСК для когерентной компенсации мешающих отражений. Алго-
Алгоритм НСК устойчив к изменениям параметров мешающих отражений,
экономичен по требуемым вычислительным ресурсам и незначительно
уступает алгоритму калмановской фильтрации по относительной ошиб-
ошибке компенсации.
2. Исследовано влияние основных параметров зондирующего сигнала и
помеховой обстановки на эффективность компенсации. Установлено,
что определяющее значение имеют диапазон возможных задержек ме-
мешающих отражений и ширина спектра флюктуации. Получены при-
13* Зак 14 377

ближенные выражения для оценки относительной ошибки компенса-
компенсации для двух типов флюктуации.
3. Предложена модификация алгоритма НСК, позволяющая повысить
эффективность компенсации в условиях неопределенности распределе-
распределения интенсивности мешающих отражений по задержке. Показано, что
максимальный проигрыш этого алгоритма по сравнению с априорно
известным распределением составляет от 5 до 8 дБ.
4. Разработан алгоритм временной режекции мешающих отражений, ос-
основанный на оценках, вырабатываемых адаптивным цифровым фильт-
фильтром. Для случаев, когда когерентная компенсация оказывается малоэф-
малоэффективной, выигрыш за счет применения временной режекции может
достигать 20—30 дБ.
5. Исследовано влияние амплитудного ограничения на эффективность
когерентной компенсации мешающих отражений. Показано, что по
сравнению с итерационной процедурой блочной обработки сигналов
адаптивная цифровая фильтрация обеспечивает повышенную устойчи-
устойчивость к нелинейным искажениям. Поэтому временная режекция, как
мера защиты от мешающих отражений, превышающих динамический
диапазон, необязательна.
6. Детализирована структура совместной обработки ошибки компенсации
и оценок параметров сигнала для решения задачи обнаружения.
Предложен упрощенный вариант обработки оценок. Произведен ана-
анализ потерь в отношении сигнал/шум, связанных с компенсацией меша-
мешающих отражений. Показано, что для практически важных случаев по-
потери не превышают 3—4 дБ.
7. Произведен сравнительный анализ блочных и рекурсивных методов
компенсации взаимных помех по набору показателей. Выработаны ре-
рекомендации по предпочтительному выбору блочных и рекурсивных ме-
методов обработки для конкретных условий и решаемых задач.

Глава 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследованные вопросы
Материалы третьей части книги посвящены разработке и исследованию ком-
компенсационных методов обработки сложных сигналов с большой базой в радиоло-
радиолокаторах с квазинепрерывным режимом излучения. Основной проблемой, на реше-
решение которой направлены исследования, является повышение устойчивости РЛС с
квазинепрерывным режимом работы к воздействию мешающих отражений. В
отличие от второй части книги, где эта проблема исследуется с точки зрения син-
синтеза структуры сигнала, здесь рассмотрены только вопросы обработки в предполо-
предположении, что сигнал обладает общими свойствами псевдослучайности.
Компенсационным методам обработки, основанным на оценке параметров
мешающих отражений и вычитании их из входной смеси сигналов и шума, уде-
уделено основное внимание, хотя они и не являются единственными способами
решения проблемы. Обоснование этих методов производится в рамках задачи
обнаружения-разрешения сигналов с априорно неизвестными параметрами.
Рассмотрены два традиционно различающихся подхода: один - основанный на
обработке блоков данных фиксированной длины, другой - на базе рекурсивной
обработки непрерывного потока данных. Для блочной обработки обосновано
использование итерационных методов компенсации, а для рекурсивной - мето-
методов адаптивной цифровой фильтрации.
Эффективность методов обработки, использующих оценки динамически
изменяющихся параметров мешающих отражений, в значительной мере опреде-
определяется флюктуационными свойствами самих источников отражений. Поэтому
для исследований, помимо традиционной модели нефлюктуирующих источников,
выбраны две модели флюктуации. Одна из них соответствует собственным
флюктуациям множества независимых отражателей - взволнованная водная
поверхность, листва деревьев, облако диполей и тому подобные источники. Вто-
Вторая модель описывает флюктуации, вызванные собственным движением носителя
над отражающей поверхностью или вращением антенны. Выбранные модели
характеризуют границы диапазона изменения корреляционных свойств источни-
источников мешающих отражений, присутствующих в реальной обстановке.
Для получения результатов, представляющих практический интерес, необ-
необходимо учитывать искажения, вызванные прохождением суммы мощных отра-
отраженных сигналов через приемник с ограниченным динамическим диапазоном.
Сложная структура сигналов, выбранная модель распределенных флюктуиру-
флюктуирующих отражений и наличие ограничения в приемном тракте затрудняют при-
применение аналитических методов. Поэтому в качестве основного инструмента
для получения численных оценок и характеристик выбрана среда визуального
имитационного моделирования Simulink Matlab, оснащенная специализирован-
специализированными средствами моделирования радиотехнических приложений и статистичес-
статистической обработки результатов.
379

Полученные результаты
Разработан итерационный алгоритм блочной обработки сигналов фиксиро-
фиксированной длительности и определено условие его устойчивости (сходимости). Для
базы квазинепрерывных сигналов в диапазоне 104^-106 алгоритм сохраняет
устойчивость при компенсации от 80 до 8000 сигналов с различными задержка-
задержками и сдвигами частоты, что соответствует практическим требованиям.
Получены оценки относительной ошибки компенсации для нефлюктуирующих
сигналов и сигналов с флюктуациями двух типов. Показано, что для многих
практически важных случаев, глубина компенсации более 30^-40 дБ достигает-
достигается всего за несколько итераций. Исследовано влияние ограниченного динами-
динамического диапазона на качество когерентной компенсации. Установлено, что
итерационный алгоритм компенсации имеет высокую чувствительность к
нелинейным искажениям. При относительном уровне ограничения более 10 дБ
алгоритм теряет работоспособность. В качестве средства повышения устойчи-
устойчивости к ограничению сигнала предложен алгоритм адаптивной временной ре-
режекции мощных сигналов, превышающих динамический диапазон. Показано,
что адаптивная временная режекция позволяет эффективно подавлять мощные
мешающие отражения при наличии ограничения, а также помехи с широким
спектром флюктуации.
Исследовано применение адаптивной цифровой фильтрации в устройстве
обработки сложного квазинепрерывного сигнала для когерентной компенсации
мешающих отражений. Определен вид совместной обработки ошибки компен-
компенсации и оценок амплитуд для решения задачи обнаружения-разрешения.
Обоснован выбор алгоритма НСК адаптивной цифровой фильтрации. Установ-
Установлено, что относительная ошибка компенсации определяется произведением
диапазона возможных задержек сигналов на ширину спектра флюктуации и их
типом. Получено приближенное выражение для оценки эффективности ком-
компенсации. Разработана модификация алгоритма НСК, позволяющая учитывать
информацию о распределении интенсивности помех по задержке и показано
преимущество перед известным алгоритмом. Разработан алгоритм адаптивной
временной режекции мощных помех, основанный на оценках, вырабатываемых
адаптивным фильтром. Показано, что для случаев, когда когерентная компен-
компенсация оказывается малоэффективной, выигрыш за счет применения временной
режекции может достигать 20—30 дБ. Исследована устойчивость алгоритма ко-
когерентной компенсации к ограничению сигнала в приемнике. Установлено, что
алгоритм на базе адаптивной цифровой фильтрации имеет повышенную устой-
устойчивость к искажениям данного вида, поэтому применение адаптивной времен-
временной режекции для защиты от мешающих отражений, превышающих динамичес-
динамический диапазон, необязательно.
Произведено сравнение блочных и рекурсивных алгоритмов компенсаци-
компенсационной обработки по набору признаков. Выработаны рекомендации по приме-
применению разработанных методов в конкретных условиях.
380

Направления дальнейших исследований
Изложенные результаты исследований компенсационных методов обработ-
обработки сложных квазинепрерывных сигналов показывают, что продолжение работ
в данном направлении и техническая реализация разработанных алгоритмов
открывают возможность реализации высоких тактико-технических характери-
характеристик радиолокаторов с квазинепрерывным режимом работы.
В плане дальнейшего совершенствования алгоритмов компенсации и повы-
повышения их эффективности представляются перспективными следующие направ-
направления исследований:
¦ исследование эффективности совместного применения методов адапта-
адаптации структуры и параметров сигнала, разработанных в части II, и мето-
методов компенсации мешающих отражений;
¦ разработка комбинированных методов компенсации, сочетающих пре-
преимущества блочных и рекурсивных алгоритмов обработки;
¦ исследование возможности расширения динамического диапазона обра-
обрабатываемых сигналов на основе отмеченных свойств повышенной ус-
устойчивости алгоритма адаптивной цифровой фильтрации к нелинейным
искажениям сигнала.
381

ЛИТЕРАТУРА
1. Адаптивные фильтры / Под ред. К.Ф.Н. Коуна и П.М. Гранта/пер, с англ.
под ред. СМ. Ряковского. — М.: Мир, 1988. — 392 с.
2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимиза-
оптимизации. — М.: Наука, 1987. — 348 с.
3. Алексеев А.И. и др. Теория и применение псевдослучайных сигналов. —
М.: 1969. — 397 с.
4. Амиаытов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.:
Сов. Радио, 1971. — 416 с.
5. Барлабанов В.В., Савинов А.Ю., Колобов С.А. Оптимизация параметров
частотно-модулированных сигналов с псевдослучайной перестройкой ра-
рабочей частоты в условиях наихудших помех. //Тез. Моск. Гор. Правл. Всес.
НТО радиотехники, электроники и связи. — Львов,—1992. — С. 72—73.
6. Беляев B.C. Новый псевдослучайный фазоманипулированный сигнал на
основе нелинейной последовательности и возможности его формирова-
формирования //Изв. вузов. Радиофизик. — 1991. — Т.34, №3. — С. 339—341.
7. Беляев B.C. Псевдослучайный фазоманипулированный сигнал на основе
нелинейной последовательности и методика его формирования //Сб. науч.
тр. учеб. ин-ов связи. — 1991. — №152. — С. 28—33.
8. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Пер. с
англ. — М.: Мир.1989. — 448 с.
9. Бухараев Р.В. Введение в теорию вероятностных автоматов. — М.,1985. —
286 с.
10. Быстров Н. Е. Синтез квазинепрерывных фазоманипулированных сигна-
сигналов по критерию минимума мощности помех по боковым лепесткам кор-
корреляционной функции в ограниченном диапазоне задержек. // Вестник
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2004, №2, с. 104—114.
11. Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. «Сегментная процедура синтеза амплитуд-
но-фазоманипулированных сигналов по критерию минимума объема
функции неопределенности в фиксированной зоне частотно-временной
плоскости».// Изв. вузов России. Радиоэлектроника. — 2004. — Вып. 2. —
С. 9—17.
12. Быстров Н.Е. Синтез амплитудно-фазоманипулированных сигналов по
критерию минимума среднеквадратического уровня боковых лепестков
функции неопределенности в ограниченном диапазоне задержек и допле-
ровских сдвигов частоты // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. — 2003.
— Вып. 2. — С. 3—11.
13. Быстров Н.Е. Синтез амплитудно-фазоманипулированных сигналов по
критерию минимума среднеквадратического уровня боковых лепестков
корреляционной функции в ограниченном диапазоне задержек // Изв. вузов
России. Радиоэлектроника. — 2003. — Вып. 3. — С. 15—22.
14. Быстров Н.Е., Жукова И.Н. Методы обработки квазинепрерывных сигна-
сигналов и пути повышения эффективности доплеровской селекции. Научн.
инф. сб. № 17 научно-технической конференции НИИ Приборостроения
им. В. В. Тихомирова, Жуковский. — 2002. — С. 49—58.
382

15. Быстров Н.Е., Жукова И.Н. Приоритетная обработка амплитудно-фазома-
нипулированных сигналов. — Вестник НовГУ им. Я. Мудрого, № 23. — В.
Новгород, 2003. — С. 52—57.
16. Быстров Н.Е., Жукова И.Н. Сегментная обработка сложных сигналов в
ограниченном дальностно-доплеровском диапазоне. — Вестник НовГУ им.
Я. Мудрого, № 19. — В. Новгород, 2001. — С. 38—41.
17. Быстров Н.Е., Жукова И.Н. Синтез нерегулярных импульсных последова-
последовательностей с заданным уровнем боковых лепестков корреляционной фун-
функции в ограниченном диапазоне задержек. Труды Российского научно-
технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С.
Попова. Серия Цифровая обработка сигналов и ее применение. — Моск-
Москва, 2004. — Вып.: 6 том 2, — С. 42—45.
18. Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Последовательная процедура синтеза фазо-
манипулированных сигналов с большой базой. Труды IX-ой международ-
международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь»,
22—24 апреля 2003г, г. Воронеж, том 1, с. 133—140.
19. Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В., Жукова И.Н. Перспективы и проблемы
применения квазинепрерывных сигналов в дальностно-доплеровских РЛС.
Научн. инф. сб. № 17 научно-технической конференции НИИ Приборос-
Приборостроения им. В. В. Тихомирова, Жуковский, 2002, с. 41—49.
20. Бэрлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. — М., 1971. — 477 с.
21. Вакман Д.Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолока-
радиолокации: — М.: Сов. радио, 1965. — 304 с.
22. Вакман Д.Е., Седлецкий P.M. Вопросы синтеза радиолокационных сигна-
сигналов. М., «Сов. Радио», 1973, 312 с.
23. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — М., 1971. — 648 с.
24. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 3. — М.:
Сов.радио, 1977.
25. Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 376 с.
26. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. — М:, 1985. —
384 с.
27. Варакин Л.Е. Теория систем сигналов. — М:, 1978. — 304 с.
28. Варшамов P.P. Общий метод синтеза неприводимых полиномов над поля-
полями Галуа //Докл. АН АрмССР. — 1984. — Т. 275. — С. 1041—1044.
29. Велти. Четверичные код для импульсного радиолокатора //Зарубежная
радиоэлектроника, 1961, №4. — С. 3.
30. Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М., 1965.
31. Винокуров В. И., Гантмахер В. Е., Быстров Н.Е., и др. Многоканальная
дальностно-доплеровская квазинепрерывная РЛС, А.с. № 156833 (СССР),
1981.
32. Винокуров В. И., Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Калениченко СП. Радио-
Радиоприемное устройство квазинепрерывной РЛС, А.с. № 141691 (СССР), 1980.
33. Винокуров В. И., Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Калениченко СП. Радиопе-
Радиопередающее устройство квазинепрерывной РЛС, А.с. № 148030 (СССР), 1980.
34. Винокуров В.И., Ваккер Р.А. Вопросы обработки сложных сигналов в
корреляционных системах. М.: Сов. радио, 1972.
383

35. Винокуров В.И., Гантмахер В.Е. Дискретно-кодированные последователь-
последовательности. — Ростов-на-Дону. — 1990. — 288 с.
36. Вопросы перспективной радиолокации. Коллективная монография / Под.
ред. А.В. Соколова. — М.: Радиотехника, 2003. — 512 с.
37. Вудворд Ф.М. Теория вероятности и теория информации с применением в
радиолокации. — М., 1955.
38. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е. Корреляционные функции троичных ком-
комбинированных последовательностей // Новгородский политехи, ин-т. —
Новгород, 1982. — 8 с- Деп. в ВИНИТИ №114—82 от 08.01.82.
39. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е. Синтез сложных фазоманипулированных
сигналов для РЛС с квазинепрерывным режимом работы. Научн. инф. сб.
«Радиооборудование кораблей», №6, 1981.
40. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Калениченко СП., Кривцов И.Ю. Сравни-
Сравнительная оценка дискретных последовательностей развязки приемно-пере-
дающего тракта РЛС, работающего на одну антенну // Вопросы судостро-
судостроения. Сер. ВТ. — Вып. 42, 1982, с. 8—22.
41. Гантмахер В.Е. Алгоритмы синтеза двоичных последовательностей со
свойством «не более совпадений». Вестник Новгородского гос. универси-
университета. Сер. «Естественные науки». Новгород. 1995, №3. — С. 74—82
42. Гантмахер В.Е. О возможности синтеза троичных псевдослучайных последо-
последовательностей // Известия вузов. Математика. — 1985. — №7. — С. 70—74.
43. Гантмахер В.Е. Об одном классе троичных квазиортогональных псевдо-
псевдослучайных последовательностей //Вычислительные устройства для фор-
формирования и обраб. случайных и псевдослучайных сигналов: Межвуз.сб. —
Л., 1985. — С. 45—51.
44. Гантмахер В.Е. Применение дискретных модулирующих последователь-
последовательностей в морских РЛС // Вопросы судостроения. Сер. ВТ. — 1982. — Вып.
42. — С. 22—40.
45. Гантмахер В.Е. Числовые методы анализа, синтеза и формирования пери-
периодических дискретно-кодированных последовательностей //Актуальные
проблемы фундаментальных наук: Тез. докл. 2-ой международной науч.-
техн. конф. — М., 1994. — С. В40-В43.
46. Гантмахер В.Е., Захарин Ю.В. Таблицы неприводимых над GF(p) полино-
полиномов /Новгор. госуд. университет. — Новгород, 1995. — 270 с. — Деп. в
ВИНИТИ №910-В95 от 05.04.95.
47. Гантмахер В.Е., Захарин Ю.В. Таблицы неприводимых над GF(pn) поли-
полиномов. /Новгор. госуд. университет. — Новгород, 1995. — 465 с. — Деп. в
ВИНИТИ №3006-В95 от 10.11.95.
48. Гантмахер В.Е., Филиппов СВ. Оптимальные значения импульсной авто-
автокорреляционной функции одного класса троичных последовательностей /
Новгородский политехи, ин-т. — Новгород, 1989. — 12 с. — Деп. в
ВИНИТИ №5157-В89 от 02.08.89.
49. Гантмахер В.Е., Чернова И.Л. Троичные импульсные последовательности.
//Радиотехника. — 1991. — №11. — С. 31—33.
50. Гантмахер В.Е., Чернова И.Л. Троичные импульсные последовательности.
/Ред. журн. «Радиотехника». — М., 1989. — 176 с. — Деп. в ИНФОРМС-
ВЯЗЬ 19.05.89, №1515 — ев 89.
384

51. Гантмахер В.Е., Чернова И.Л. Троичные последовательности, конкурен-
конкурентоспособные последовательностям Баркера //Проектирование PC. — Нов-
Новгород, 1986. — Деп. в ВИНИТИ (№644-В87 от 31.01.87).
52. Головин О.В. Профессиональные радиоприемные устройства декаметро-
вого диапазона. М.:Радио и связь, 1985. — 288 с.
53. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация.: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1985. — 509 с.
54. Гилл А. Линейные последовательностные машины. — М.: 1975. — 384 с.
55. Глобус И.А. Регулярный метод синтеза некоторых классов ЧВМ сигналов //
Радиотехника. — 1977. №8. — С. 11—17.
56. Голомб С.У., Тейлор X. Конструкции и свойства массивов Костаса // ТИИ-
ЭР. — 1984. — Т.72,№9. — С. 44—64.
57. Границы боковых лепестков периодических дискретных сигналов в широ-
широкой доплеровской полосе./В.П.Ипатов, В.И. Корниевский, В.Д. Платонов,
И.М. Самойлов//Радиотехника и электроника. — 1984. — Т.29, №2. — С.
228—234.
58. Диксон Р.К. Широкополосные системы. — М.,1979. — 302 с.
59. Зюко А.Г., Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов. — М., 1972. — 280 с.
60. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корре-
корреляционными свойствами. — М.: Радио и связь, 1992. — 152 с.
61. Ипатов В.П., Казаринов Ю.М., Корниевский В.И. Синтез сигналов и филь-
фильтров в задачах разрешения // Зарубежная радиоэлектроника. — 1980. —
№2. — С.37—58.
62. Ипатов В.П. Троичные последовательности с идеальными периодически-
периодическими автокорреляционными свойствами //Радиотехника и электроника. —
1979. — Т24, №10. — С. 2053—2057.
63. Ипатов В.П., Платонов В.Д. Импульсные автокорреляционные свойства
одного из классов троичных последовательностей //Радиотехника и элект-
электроника. — 1982. — Т.27, №6. — С. 1223—1224.
64. Ипатов В.П., Самойлов И.М. Оптимальные свойства ансамблей бинарных
последовательностей //Радиотехника и электроника. — 1986. — Т.31, №12.
— С. 2384—2389.
65. Калениченко СП. Анализ алгоритмов обнаружения сложномодулирован-
ных сигналов, отраженных от целей и морской поверхности. // Проблемы
радиолокации протяженных объектов. Свердловск. Уральский политехи,
ин-т., 1983, с. 73—79.
66. Калениченко СП. Разрешающие свойства сигнала с модуляцией импульс-
импульсной последовательности по фазе по псевдослучайному закону. // Изв.
ЛЭТИ, 1977, вып 215, с. 25—29.
67. Камалетдинов Б.Ж. Оптимальный ансамбль бинарных последовательнос-
последовательностей на основе объединения ансамблей последовательностей Касами и бент-
функций //Проблемы передачи информации. — 1988. — Т. 23. №2. — С.
104—107.
68. Касами Т. и др. Теория кодирования. — М., 1978. — 576 с.
69. Кононов А.А., Свердлик М.Б. Многочастотные сигналы на базе последо-
последовательностей со свойством «не более одного совпадения» // Изв. Вузов
СССР. Сер. Радиоэлектроника. — 1984. — Т. 27, №3. — С. 57—59.
385

70. Костас Д.П. Свойства сигналов с почти идеальной функцией неопреде-
неопределенности в координатах «дальность-доплеровская частота» //ТИИЭР. —
1984. — Т. 27, №8. — С. 5—18.
71. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы: Пер. с англ./Под ред.
B.C. Кельзона. — М:, 1971. — 568 с.
72. < Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М., 1968. — 431 с.
73. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М. — 1988. — 428 с.
74. Лосев В.В., Бродская Е.Б., Коржик В.И. Поиск и декодирование сложных
дискретных сигналов. — М.. — 1988. — 224 с.
75. Мак-Вильяме Ф. Дж., Слоэнн Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошиб-
ошибки: Пер с англ. /Под ред. Л.А. Бассалыго. — М., 1979. — 744 с.
76. Мешковский К.А., Кириллов Н.Е. Кодирование в технике связи. — М.,
1966. — 324 с.
77. Минимальный уровень боковых лепестков периодического дискретного
сигнала в широкой конечной доплеровской полосе. /В.П. Ипатов, В.И.
Корниевский, В.Д. Платонов, И.М. Самойлов//Радиотехника и электрони-
электроника. — 1984. — Т.29, №2. — С. 235—241.
78. Михелович Ш.Х. Теория чисел. — М., 1967. — 336 с.
79. Морская радиолокация.//Под ред. В.И. Винокурова. — Л.: Судостроение,
1986 — 256 с.
80. Мохарир П.С. Троичные последовательности Баркера //Зарубежная ра-
радиоэлектроника. — 1975. — №7. — С. 135—137.
81. Нижние границы боковых лепестков взаимной функции неопределеннос-
неопределенности пары периодический дискретный сигнал-фильтр в узкой доплеровской
полосе/В.П. Ипатов, В.И. Корниевский, В.Д. Платонов, И.М. Самойлов//
Радиотехника и электроника. — 1985. — Т. 30, №10. — С. 1962—1969.
82. Никандров Ю.В., Калениченко СП. Характеристики обнаружения целей
судовых РЛС со сложными сигналами при линейной и нелинейной обра-
обработке в приемнике. // Изв. ЛЭТИ, 1981, вып. 289. С. 11—19.
83. Никандров Ю.В., Калениченко СП., Быстров Н.Е. Экспериментальное
исследование сложных квазинепрерывных сигналов на макете корреляци-
корреляционной РЛС Зх-см. диапазона. // Научно-информационный сборник №5.
Под ред. проф. В.И. Винокурова. — Л.: ЛЭТИ, 1979.
84. Пелехатый М.И. О последовательностях квадратичных вычетов с наилуч-
наилучшими автокорреляционными свойствами //Радиотехника и электроника.
— 1971. — Т.16, №5. — С 788—796.
85. Пелехатый М.И., Голубев Е.А. Автокорреляционные свойства некоторых
типов двоичных последовательностей //Проблемы передачи информа-
информации. — 1972. — Т.8, №1.
86. Петрович Н.Г., Размахнин М.К. Системы связи с шумоподобными сигна-
сигналами. — М., 1969. — 232 с.
87. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М., 1976. — 594 с.
88. Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра сигна-
сигналов модуляцией несущей псевдослучайной последовательностью. //
В.И. Борисов, В.М. Зинчук, А.Е. Лимарев, Н.П. Мухин, Г.С Нахмансон;
Под ред. В.И. Борисова. — М.: Радио и связь, 2003. — 640 с.
386

89. Построение радиолокаторов со сложными квазинепрерывными сигнала-
сигналами. Нилов М.А., Безуглов А.В., Быстров Н.И., Ушенин А.Б. — Радиотех-
Радиотехника, № 8,1997 г., журнал в журнале — Радиосистемы, вып. 25, с. 52—56.
90. Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. под ред. Д. Д. Кловского. — М.:
Радио и связь. 2000. — 800 с.
91. Пусь В.В. Методы формирования последовательных многочастотных псев-
псевдослучайных сигналов и их сравнительная эффективность // Изв. Вузов
СССР.Сер. Радиоэлектроника. — 1993. — Т.35. — №5—6. — С.25—31.
92. Рабинер Л.Р., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигна-
сигналов. Пер. с англ. под ред. Ю.И.Александрова. — М.: Мир, 1978. — 848 с.
93. Радиотехнические системы. Под ред. Ю.М. Казаринова. — М. — 1990. —
496 с.
94. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. Справочник /
Ширман Я.Д., Лосев Ю.И., Минервин Н.Н., Москвитин СВ., Горшков
С.А., Леховицкий Д.И., Левченко Л.С./ Под ред. Я.Д. Ширмана. — М.:
ЗАО «МАКВИС», 1998. — 828 с.
95. Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика. — М., 1972. —- 495 с.
96. Сарвате Д.В., Персли М.Б. Взаимнокорреляционные свойства псевдослу-
псевдослучайных и родственных последовательностей //ТИИЭР. — 1980. — Т. 68,
№5. — С. 59—90.
97. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы: — М.: Сов. радио,
1975. — 200 с.
98. Свердлик М.Б., Мелешкевич А.Н.Синтез ансамблей импульсных последо-
последовательностей со свойством «не более одного совпадения» //Радиотехника
и электроника. — 1976. — №7. — С. 1443—1451.
99. Слока В.К. Вопросы обработки радиолокационных сигналов. М., «Сов.
радио», 1970. — 180 с.
100. Смирнов Н.И. Корреляционные свойства последовательностей с большим
ансамблем //Радиотехника. — 1972. — Т.27, №6.
101. Смирнов Н.И., Кузнецов B.C. Сравнение характеристик ансамблей квази-
квазиортогональных вновь образованных последовательностей с границами
существования лучших двоичных помехоустойчивых кодов //Радиотехни-
//Радиотехника и электроника. — 1988. — С. 75—80.
102. Современная радиолокация. Анализ, расчет и проектирование систем. Пер
с англ. под ред. Ю.Б.Кобзарева. — М.: Сов. радио, 1969. — 704 с.
103. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер. с англ. /Под ред. В.В.
Маркова. — М., 1979. — 592 с.
104. Справочник по радиолокации. Под ред. М.Сколника. Том1. Пер. с англ.
под общ. Ред. К.Н.Трофимова. — М.: Сов.радио, 1976. — 456 с.
105. Стиффлер Дж. Дж. Теория синхронной связи: Пер. с англ. /Под ред. Э.М.
Габидулина. — М., 1975. — 488 с.
106. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М:, 1966. — 678 с.
107. Трахман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. —
М.-, 1972. — 351 с.
108. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на
конечных интервалах. — М., 1975. — 208 с.
387

109. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оцен-
оценка их параметров на фоне помех. — М.: Радио и связь. — 1986. — 264 с.
НО. Тузов Г.И. Статистическая теория приема сложных сигналов. — М:,
1977. — 400с.
111. Удалов А.П., Супрун Б.А. Избыточное кодирование при передаче инфор-
информации двоичными кодами. — М., 1964.. — 267 с.
112. Уидроу Б., Стирнз С, Адаптивная обработка сигналов.: Пер. с англ. под
ред. В.В.Шахгильдяна. — М. Радио и связь, 1989. — 440 с.
113. Ушенин А.Б., Реганов В.М. Реализация устройства формирования и обра-
обработки сложно-кодированных сигналов с большой базой. Электронные
компоненты. — № 5. — 1998. — С. 17—19.
114. Фрэнк Р. Многофазные коды с хорошими непериодическими корреляци-
корреляционными свойствами //Зарубежная радиоэлектроника. — 1963. — №12.
115. Фрэнке Р. Теория сигналов. — М, 1974. — 344 с.
116. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. — М,
1975. — 272 с.
117. Хаффмен Д. Синтез линейных цепей последовательного декодирования // В
кн. Теория передачи сообщений. — М.: ИЛ, 1957.
118. Хаффмен Д.А. Исследование сигналов эквивалентных импульсу //Радио-
//Радиотехника. — 1964. — Т.19, №8.
119. Холл М. Комбинаторика. — М.: 1970. — 375 с.
120. Цирлер Н. Линейные возвратные последовательности //Кибернетический
сборник. — М.: ИЛ, 1963. — №6.
121. Цифровая обработка сигналов. Справочник /Л.М.Гольденберг, Б.Д.Матюш-
кин, М.Н.Поляк. — М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.
122. Цифровые методы в космической связи /Под ред. С. Голомба. — М.,
1969. — 271 с.
123. Чеботарев Д.В. Выбор алгоритма адаптации для компенсации мешающих
отражений в РЛС со сложным квазинепрерывным сигналом. // Известия
ВУЗов России серия «Радиоэлектроника», выпуск 2. — СПб, 2003.
124. Чеботарев Д.В., Быстров Н.Е., Реганов В.М. Адаптивная временная ре-
жекция мощных мешающих отражений в РЛС со сложным квазинепре-
квазинепрерывным сигналом. 10-ая международная научно-техническая конферен-
конференция «Радиолокация, навигация, связь», 13—15 апреля 2004 г., г. Воронеж.
125. Чеботарев Д.В., Быстров Н.Е., Реганов В.М. Пропорционально нормали-
нормализованный алгоритм адаптивной цифровой фильтрации сложных радиоло-
радиолокационных сигналов. // Известия ВУЗов России, серия «Радиоэлектрони-
«Радиоэлектроника», выпуск 1. — СПб, 2004, с. 64—72.
126. Шеннон К. Математическая теория связи. В кн. К. Шеннон. Работы по
теории информации и кибернетике: Пер. с англ. /Под ред. Д.А. Добруши-
на, О.Б. Лупанова. — М.: ИЛ, 1963.
127. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокацион-
радиолокационной информации на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1981. — 416 с.
128. Ширман Я.Д., Голиков В.Н. Основы обнаружения радиолокационных
сигналов и измерения их параметров. — М., 1963.
388

129. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации /В.Б. Пестря-
Пестряков, В.П. Афанасьев, В.Л. Гурвиц и др,; Под ред. В.Б. Пестрякова. — М.,
1973. — 424 с.
130. Вагпа А. Псевдослучайная частотная модуляция в доплеровской РЛС,
измеряющей параметры дальности // IEEE Trans. — 1969. V5. — №2. — P.
221—229.
131. Costas J.P. Poisson, Shannon and the Radio Amateur. IRE Proc, December.
1959.
132. Lam Y.M., Wittke P.H. Передача сигналов с расширением спектра путем
псевдослучауной перестройкой рабочей частоты, полосно-эффективной
модуляцией при упрощенной некогерентной процедуре оценивания ин-
информационной последовательности // IEEE Trans. Commun. — 1990.V.38,
№12. — Р.21—84—2194.
133. Fawwaz T. Ulaby. Handbook of Radar Scattering: Statistics for Terrain. Artech
House Inc. 1989.
134. Gold R. Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation
functions // IEEE Trans. — 1968. — V.IT—14, №1. — P. 154—156.
135. Goldberg B. — G. Code division multiplexing by frequency shifteg biphase
modulated M-sequences // IEEE Trans. — 1981,-V.AES—17, №2. — P. 303—
304.
136. Golomb S.M. Shift register sequences // Holden-Day Inc. — 1967.
137. Golomb S.W., Scholtz. Generalized Barker sequences // IEEE Trans. — 1965. —
V. IT—11. — P. 533—537.
138. Haykin S. Adaptive Filter Theory. Forth Edition. — Prentice Hall, 2003. —
920 p.
139. Hogenauer E.B. An Economical Class of Digital Filters for Decimation and
Interpolation. // IEEE Transactions on acoustic, speech and signal processing,
vol. ADSP—29, No. 2, april 1981, p. 155—161.
140. Moharir R.S. Generalized PN-sequences // IEEE Trans. Infofm. Theory. —
1977. V.23.
141. Titsworth R.C. Optimal and minimax sequences // International Telemetry
Conference, 1963.
142. Turyn R. Sequeces with small correlations error correcting codes. — New
York, 1998.
389

Список сокращений
АКФ — автокорреляционная функция
АЛПМ — автономная линейная последовательностная машина
АРУ — автоматическая регулировка усиления
АФК — арифметическая функция комбинирования
АЦП — аналого-цифровой преобразователь
БКОП — бинарные квазиортогональные последовательности
БЛ — боковой лепесток
БП — бинарная последовательность
БПФ — быстрое преобразование Фурье.
ВКФ — взаимно корреляционная функция
ВФН — взаимная функция неопределенности сигналов.
ГЛ — главный лепесток АКФ
ДКП — дискретно-кодированные последовательности
ДМП — дискретная модулирующая последовательность
ДП — двоичная последовательность
ДПР — двоичная последовательность развязки
ДПФ — дискретное преобразование Фурье
КВВ — квадратичный вычет
КВНВ — , квадратичный невычет
КОП — квазиортогональные последовательности
НИП — нерегулярные импульсные последовательности
НП — неприводимый полином
НСК — алгоритм наименьших средних квадратов
НУС — необходимые условия существования
ПАКФ — периодическая АКФ
ПВКФ — периодическая взаимная КФ
ПК — правило кодирования
ПН НСК — пропорционально нормализованный алгоритм НСК
ПСП — псевдослучайные последовательности
РЛС — радиолокационная станция (система)
РМ — разностное множество
РНК — рекурсивный алгоритм наименьших квадратов
РТС — радиотехнические системы
СРКВ — спектр разности классов вычетов
ТП — троичная последовательность
ФН — функция неопределенности сигнала.
S(t)
в
F
Список основных обозначений
— сигнал
— база сигнала
— ширина полосы частот спектра сигнала
390

Т — длительность сигнала
Л, — длительность дискрета дискретно-кодированного сиг-
сигнала
[а] — целая часть дроби
\а\ — ближайшее целое большее
t3/At ]= т — задержка сигнала в тактах
[77Д t ]= N — длительность сигнала в тактах
Rj 2 (т, О.) — двумерная взаимная ненормированная корреляцион-
корреляционная функция сигналов St(t) и S2(t)
у - \у. \ i - О, N -1 — дискретно-кодированная последовательность длиной N
R12(m), R12(m) — периодическая и импульсная ненормированные вза-
взаимные корреляционные функции ДКП Yx и Y2
R Y (m), R Y (m) — периодическая и импульсная ненормированные
автокорреляционные функции ДКП У
R — главный лепесток ненормированной корреляционной
функции
rK (m), rY (т) — боковые лепестки ненормированных периодической и
импульсной корреляционных функций
Р — простое число
(а,Ь) — наибольший общий делитель чисел а и Ь
[а,Ь] — наименьшее общее кратное чисел аяЬ
а\Ь — а делит b
(р(а) — фи-функция Эйлера
<а>т — a mod m
а = Ъ mod m — а сравнимо с b no mod m
а
()
\~\ — символ Лежандра а по отношению к Р
(а)
— — символ Якоби а по отношению к П
lnJ
0 — первообразный корень
391

d(n,К,Л{,Л2) — разностное множество, сбалансированное на два уров-
уровня Xv Х2
a g G — я принадлежит множеству G
^(а) — характер мультипликативной группы
GF(p) — простое поле Галуа
GF[qm}q = рп "— расширенное поле Галуа
А(х) В(х) — полином А(х) сравним с В(х)
по двойному модулю F(x) и Р
А(х) = В(х) — полином А(х) сравним с В(х) по двойному модулю F(x)
и Р mod d(F(x), P)
F *(х) — полином, взаимный полиному F(x)
j) п — оператор задержки на п дискретов (оператор Хаффме-
на)
т0, т+, т_ — число «нулей», «плюсов» и «минусов» на периоде тро-
троичной последовательности
^,/+?/_ — число «нулей», «плюсов» и «минусов» в ПАКФ,
ПАКФ ДКП
pf — пик-фактор
X] — относительная неуравновешенность
b(u) — мощность правила кодирования U
К (а) — класс, которому принадлежит число а
S (О, A, d) спектр разности классов вычетов
Fs = vs/(n -A),vs = ±0, 1, 2....— доплеровский сдвиг частоты
W = {wt}, wt е {О, ±1/— троичная модулирующая последовательность
Z = {zf },Zj? {± 1} — бинарная последовательность
X = {xf}, xt е у, 1 j — двоичная последовательность
R(m,k) — ФН модулирующих последовательностей
Rc(m,k) и Rs(m,k) —¦ синфазная и квадратурная компоненты ФН
392

Л (с, s) — энергетическая функция приема квазинепрерывных сиг-
сигналов
Ап(с) — коэффициент приема полезных сигналов
Анс (s) — коэффициент наложения принимаемых сигналов
у/пл(с) — объем ВФН в плоскости задержка-частота
Хпл{с) — среднеквадратический уровень БЛ ВФН в плоскости
задержка-частота
q(c) — отношение сигнал/(помеха+шум)
у(с) — потери в отношение сигнал/(помеха+шум)
а = (At -AF) — область оптимизации сигнала по задержке и частоте
Ах, дБ — глубина подавления боковых лепестков ФН
St — временные отсчеты обрабатываемого сигнала
С, — отсчеты линейной смеси мешающих отражений
Н (v) — частотная характеристика устройства сегментного сжатия
fw — весовая функция «окна»
Уреж — матрица (вектор) режекции мешающих отражений
X рвЖс = \среЖ1 с) —¦ дискретная последовательность бланкирования каналов
обработки
А — матрица рассеяния, содержащая комплексные амплитуды
отраженных сигналов
А — оценка матрицы рассеяния
а(/) — вектор комплексных амплитуд сигналов
a(i) — вектор оценок комплексных амплитуд сигналов
аинт — интерполированная матрица комплексных амплитуд
ах — вектор оценок комплексных амплитуд с амплитудной
манипуляцией
В — диагональная матрица с вектором b сглаженных оценок
393

b
ck
D
D
РЕЖ
FFT(-)
Л
/w
G
HCIC(z)
Hs(z)
i
Km
к
общ
— вектор сглаженных оценок модуля комплексных амплитуд
— относительный порог обнаружения
—• матрица демодулирующих последовательностей
— матрица демодулирующих последовательностей при наличии
режекции
— сегментированные матрицы ошибки компенсации и демоду-
демодулирующих последовательностей
— вектор-столбец демодулирующей последовательности w
— символ статистического усреднения
— ошибка компенсации
— вектор демодулированной ошибки компенсации
— обозначение быстрого преобразования Фурье
— функция двустороннего симметричного ограничения
— частота дискретизации
— функция «окна»
— матрица нормированных значений сегментной свертки
— выигрыш, достигаемый за счет режекции
— опорный сигнал корреляционного канала обработки
— системная функция CIC фильтра
— системная функция фильтра сегментной свертки
— порядковый номер отсчета дискретного времени
— размерность дискретного преобразования Фурье
— максимально допустимое количество сигналов, не нарушаю-
нарушающее устойчивости итерационного алгоритма
— общее количество каналов обработки
— количество помех
— нормированный сдвиг частоты (бин)
394

кит — количество итераций
Lc — уровень ограничения
Lac — длина импульсной характеристики одного каскада CIC фильтра
Lr — порог режекции
Мd — количество элементов разрешения по дальности, порядок
адаптивного фильтра
n(i) — белый гауссовский шум
Ро — мощность одной помехи
Рвх — суммарная мощность помех на входе устройства обработки
qK — отношение шума системы к шуму измерения в алгоритме
Калмана
R — результат корреляционно-фильтровой обработки входного
сигнала
Sw — вектор взвешенного сигнала
Sx (со), S2 (со) — спектральная плотность мощности флюктуации типа 1 и типа
2
SL — комплексная амплитуда ограниченного входного сигнала
5П0М — произведение диапазона задержек на ширину спектра флюк-
флюктуации
VBP — вектор-строка множителей вращения длиной Кт
^реж — вектор режекции
Хреж — последовательность бланкирования
а — коэффициент авторегрессии фильтра, формирующего флюк-
флюктуации типа 1
5j и 82 — смещение, зависящее от пик-фактора модулирующей после-
последовательности
ек — «энергия» опорного сигнала gk к-то корреляционного канала,
r\K — относительная среднеквадратическая ошибка компенсации
X — экспоненциальный множитель алгоритма РНК
395

ju — шаг адаптации
Пг — потери за счет режекции
#L, #г — относительный уровень ограничения, порог режекции
р — корреляционная матрица опорных сигналов с элементами pjk
Pi(т)> Рг(т) — корреляционная функция флюктуации типа 1 и типа 2
А/ — эффективная ширина спектра флюктуации
о0 — относительная мощность шума приемника
ае — среднеквадратическая ошибка компенсации
os — среднеквадратическое значение входного сигнала
со — нормированная круговая частота
% — векторный шум, задающий флюктуации
II — квадратичная норма матрицы
(•)я — символ эрмитового сопряжения.
396