Автор: Гайштут А.Г.   Литвиненко Г.Н.  

Теги: математика   физико-математические науки   геометрия   планиметрия  

ISBN: 5-7805-0215-3

Год: 1998

Похожие

Учимся решать задачи по геометрии. 7-11 класс

Стереометрия: задачник к школьному курсу

Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). Книга 2. Геометрия

Геометрия

Текст
                    Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
ПЛАНИМЕТРИЯ
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ
КУРСУ
«Магистр-S» Москва «АСТ-ПРЕСС»
1998


УДК 51
ББК 22
Г 12
Гяйштуг А.Г., Лигвииенко Г.Н.
Г12 Планиметрия: Задачник к школьному курсу. — М: ACT-ПРЕСС: Maгистр-S, 1998. — 112 с.
ISBN 5-7805-0215-3
ISBN 966-557-030-7
Задачник х школьному курсу «Планиметрия» соответствует учебкой программе по геометрии и адресован
учащимся 8—9-х классов, учителям, абитуриентам и студентам педагогических вузов.
г 16010S000O-008 УДК5!
Ш9(03)-98 ББК 22
ISBN 5-7805-0215-3
О А.Г. Гайштут, Г.Н. Литвиненко, 1998
© «АСТ-ПРЕСС», 1998
О «Магистр-S», 1998


ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачник содержит свыше 1000 задач, различных
по тематике и уровню сложности. Система
расположения материала, форма оформления и наличие
справочного материала выгодно отличает его от имеющихся
задачников.
Цель книги — помочь пользователю
систематизировать свои знания по решению задач за курс средней
школы, а также ознакомиться с методами решения
задач. Наличие в книге основных теорем, знание
которых необходимо для решения задач данного раздела,
позволяет использовать пособие, не прибегая к
учебникам. Большая часть задач составлена автором с
таким расчетом, чтобы задачник удовлетворял широкому
кругу пользователей.
Решение одной части оригинальных, несложных
заданий даст возможность приобрести хорошие навыки
в решении задач по различным разделам геометрии.
Решение другой части заданий развивает мышление,
но не требует громоздких преобразований.
Задачи, родственные по идее решения,
сгруппированы вместе. Для первых задач каждой группы
даются более подробные решения, чем для последующих.
Второстепенные моменты рассуждений и вычислений
опускаются, чтобы не стеснить самодеятельности
пользователей. Напротив, вопросам, существенным для
решения задач, уделяется много внимания.
Отдельным разделом выделены задачи для
кружковой и факультативной работы. Их решение хоть и
требует большего напряжения, но доступно пользова-


телю. На задачи этого раздела, как и на некоторые
другие, в конце книги даны решения.
Сверяя свое решение с имеющимся в задачнике,
следует обращать внимание на недостатки или ошибки,
допущенные в решении, чтобы не повторять их впредь.
Задачи этого раздела, многие из которых повышенной
трудности, совсем не обязательно решать все. Но для
тех, кто любит математику и желает в ней
совершенствоваться, конечно, следует самостоятельно решить
задачи этого раздела.
Особое внимание уделено методике и методам
решения задач на построение.
Составление задач самим пользователем, пусть
даже несложных, — ступенька к творчеству. В
параграфах 7 и 12 автор раскрывает приемы составления
задач с использованием одной идеи. Одна правильно
составленная задача стоит двух десятков решенных
задач.
Автор надеется, что данный сборник станет вашей
настольной книгой, изучение которой — шаг к
усвоению сложной конкурсной литературы.


ПЛАНИМЕТРИЯ. Справочный материал
Прямоугольный треугольник
а2 = с • Сг
v J
(h2 = сх • с2 J
Га2 + *2 = с^Л|
/* Ч
[Если а = 30°)
1 то с = 2а 1
f * = ! 1
А
г
1а
а +6
2
S
г = —
J_
Cl
Y
С
- с
)
г
S
S
<
(
h
....с
■*.
\a
D С2 в
= \ch
=
1 А
1 /
4. Против угла в 30е лежит катет,
равный половине гипотенузы.
5. Радиус описанной окружности опре-
деляется формулой R = ^.
6. Радиус вписанной окружности
определяется формулами
а+Ь-с S
2 р
1. Катет — среднее
пропорциональное между
гипотенузой и
проекцией этого катета на
гипотенузу.
2. Высота, опущенная из
вершины прямого угла
на гипотенузу —
среднее пропорциональное
между отрезками, на
которую она делит
гипотенузу.
3. Сумма квадратов
катетов равна квадрату
гипотенузы.
7. Площадь определяется формулами
S = тсАи S = Tfl'i.
Образец решения задачи
Дано: О — центр окружности, вписанной
в ААВС. L\ + L2 + LCAB = 285°.
Найти: АС: АВ.
Решение.
Z3 + Z4 = 45е, значит,
L\ =90VlO и ВО —1
биссектрисы j
Z2 = 180° - (Z3 + Z4) = 135°.
По условию Zl + Z2 + ZCAS = 285% откуда
ZCAB = 285е - (Z.1 + LT) = 285е - 225е = 60е,
LB = 30е и АС: АВ = 1 : 2 (теорема 4).
Ответ: 1:2.
р =
а + Ь + с
; г, Л — радиусы вписанной и описанной окружностей.
5


Косоугольный треугольник
в
А
bc D Ь, С
т
Ь
V = а* + V- - 26 • Ьа Л
^ = с2 + й2 - 26 • Ьс J
Г 1 Л
(S = Vp(p-a)(p-*)(p-c))
г S ^
г = —, где S — площадь,
Р
р — полупериметр^
«а * Ь - с ~1
R = —^—, где S — площадь
CD — биссектриса
8. Квадрат стороны, лежащей против
острого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное
произведение основания на
проекцию второй боковой стороны на
основание.
9. Площадь определяется формулами:
1
ос = ^см
s = \ъ-к
10.
11,
S = Vp(p-a)(p-6)(p-c).
Центр вписанной окружности лежит
в точке пересечения биссектрис, а
радиус вписанной окружности опре-
с
деляется формулой г = —.
Центр описанной окружности лежит
в точке пересечения
перпендикуляров к серединам сторон, а радиус
описанной окружности определяется
формулой R = —тс—•
12. Биссектриса внутреннего угла
треугольника делит основание на части,
пропорциональные прилежащим
сторонам.
13. Медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, начиная от вершины.
м в
ANf СМ — медианы
Р -
а + Ь + с
г, R — радиусы вписанной и описанной окружностей.
6


Ромб
AC1BD
LOAD = LOAB
S = ±ACBD
S = a-h
A a D
14. Диагонали ромба
взаимно
перпендикулярны и делят углы
пополам.
15. Площадь
определяется формулами:
S = ^AC BD
S = a- h.
Параллелограмм
(a<? + bd2 = 2d?+M?)
f 16. Сумма квадратов
диагоналей равна
сумме квадратов всех его
сторон.
17. Площадь
определяется формулой
S = а • Л.
с
мк =
V
V
£♦»■
а + гО
! 2
J
-J--A
-J
= с + </
18. Средняя линия равна
полусумме
оснований:
а/а: =
а + z>
19. Площадь
определяется формулой
20. Если в трапецию
вписан круг, то сумма
оснований трапеции
равна сумме боковых
сторон.


Окружность и круг
с
АВ = АС
c? = AD- n
а • b = с - d
24. Длина окружности С = 2лЯ.
25. Длина дуги Сд = у^.
а = ^ АВ
Если из одной точки, лежащей
вне окружности, провести к
ней две касательные, то
а) длины отрезков от данной
точки до точек касания равны;
б) углы между каждой
касательной и секущей,
проходящей через центр круга, равны.
22. Если из одной точки, лежащей
вне окружности, провести к
ней касательную и секущую,
то квадрат касательной равен
произведению секущей на ее
внешнюю часть.
23.
Если две хорды пересекаются
в одной точке, то
произведение отрезков одной хорды
равно произведению отрезков
другой.
26. Площадь круга S = лЯ2.
27. Площадь сектора
_ яя2п
*с ~ 360е •
а = ^ {уАВ + ^CD)
а = ^(^АВ- ^CD)
Sc — площадь сектора, S — площадь круга, С — длина окружности, Сд — длина дуги,
к^АВ — угловая величина дуги.
8


Вертикальные и смежные углы
1. Z. 1 = 43е.
Найти L 2.
2. Z.2 = 4 Z 1.
Найти L 1.
3. L 2 - L 1 = 20°.
Найти L 1.
4. Z. 2 : Z. 1 = 7 : 3.
Найти L 2 - L 1.
5. Z. 1 = | Z. 2.
Найти Z. 1.
6. Z. 1 = 20% 2. 2.
Найти L 2.
7. (Z.2-Z l):Z.l =2:1.
Найти L 2.
8. Z. 2 = 5 Z. 1.
Доказать, что L 2 - Z. 1 = 120°
9. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 + Z. 1 = 160е.
Найти L 3.
10. Z, 1 = Z. 2, Z. 3 - Z. 1 = 135е.
Найти L 1.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
\з/
4нХ
Z. 1 = L 2, Z. 3
Найти L 3.
Z. 1 = Z. 2, Z. 3
2/
к
= Z. 4, /.1
= Z. 4, Z. 1
Найти Z. 4 - Z. 2.
Z. 1 = Z. 2, Z. 3
Доказать^ что
Z.1 = Z.2, Z.3 =
Найти L 2.
Z. 1 = Z. 2, Z. 3
= Z4.
Z.3 + Z.2 =
= 17°.
= 19е.
90е.
Z.4, Z.4 - Z.2 = 50
= ^4,
Z.4 - 2Z.2 = 45°.
Найти L 3.
Z. 1 = Z. 2, Z. 3
= Z.4,
Z.4 + Z.3 + Z.2 = 170°
Найти L 4.
Справочный отдел
1
L 1 = 180°
развернутый
iL
L 3 = 90°
прямой
Z. 1 + Z. 2 = 180°
Z. 1 и Z. 2 — смежные
9


:**
Параллельные прямые
17. L 3 = 75°.
Найти L\, L2, L 4.
18. Z. 3 - L 2 = 20е.
Найти L 1, Z 2, Z 3, Z 4.
19. Z.l + Z2 + Z3 = 250*.
Найти L 1, Z. 2, Z. 3, Z. 4.
20. Z. 1 + Z 2 = 80е.
Найти L 3.
I
!*£.
8
21. Параллельны ли прямые АВ и CD,
если:
а) Z б = 8 Z. 1, Z. 7 = 20%
б) Z 1 = L 8 - 144% L 2 = 162%
б) £ 2 - Z. 5 = 154% L 3 = 14'.
22. Z.l + Z.2+Z3 = 258%
Z. 5 + Z 7 = 156°.
Доказать, что AS || CD.
Соотношения между сторонами и углами в треугольнике
23. Определить вид треугольника, если:
а) Рп = 28, Ь = 10, с = 8,
0) Р„ = 42, а-^Л,, с + Ь = 28.
24. ЛВ = ЯС, Рп = 48, ЛС = 18.
Найти АВ.
25. АВ = ВС, Рп = 18, АВ - АС = 3.
Найти АВ.
26. АВ = ВС, />„ - АС = 36,
АВ-АС = 6.
Найти АС.
27. АВ = ЯС, Р„ = 48, АВ = |аС.
Найти АС.
10


ADC
28. LABC, АВ = ВС, BD ± AC,
'лес = ^0, Pabd = 16.
Найти BD.
29. AABC, АВ = ВС, BD 1 ЛС,
A5 = 2AD.
Найти 2 L 2 - L 1.
А С
30. Z, 1 = Z. 2, Z. 3 + Z. 1 = 153".
Найти L 2.
31. Z. 2 = Z. 1 + 20*. Z. 3 - 100°.
Найти L 1.
32. Z. 3 = 2 (Z. 1 - Z. 2).
Во сколько раз L 1 больше L 2?
33. L 2 - 3 Z. 3, L 1 - 80*.
Найти L 2.
А С
34. Z.C - 90% Z. 1 = 3 LA.
Найти LA.
А С
35. AC || BD,
Z.1 + Z.3 + Z.4 + Z.5- 220*.
Найти L 2.
36. ЛС || БД Z.1 + Z.5» 112*.
Найти L 2.
37. ЛС || BD, L 2 = 90*.
Найти LI + L5.
38. AS - ЯС, AC || ЯД L 2 » 2Z. 4.
Найти L 1.
39. АВ = ВС, AC || ВД L 1 = 4Z. 2.
Найти L 4.
40. AB - ВС, AC || ЯД Zl + Z.3 = 80*
Найти LS.
Справочный отдел
Z.1 + Z.2+Z.3» 180'.
Z.4 = Z.l + Z.2.
Сумма внутренних углов 180*.
Внешний угол равен сумме двух
внутренних, с ним не смежных.
4
11


А С
41. LB = 150% LA на 10' больше LI.
Найти L 2.
А С
42. АВ = ВС, L 1 = L 3 + 20%
Найти L 3.
43. АВ = ВС, L 1 = 1L 3.
Найти L 4.
С
44. Z 3 = 90% Z. 1 - L 4,
Z. CAB ш L 2 + 70%
Найти L 1.
А С
В О
45. AC\\BD, L 4 + Z 5 - 146%
Z. 1 + £ 2 = 84%
Найти L 5.
46. ЛС || BD, LT = 136% Z 4 - 102%
Найти L 2.
47. ЛС || БД L 1 = 50% Z. 4 - 70%
Найти L 5.
С В
48. /.ЛСВ = 90% СЕ±АВ, L1 = 2L2,
АС + СЕ= 3.
Найти СЕ.
49. Z ЛСВ «90% СЕ LAB, LA = 30%
ЛВ + ВС = 9.
Найти BE.
50. Z-ЛСВ - 90% С£ 1 АВ,
Z.£CB = 30% ВЕ= 1.
Найти АЕ.
А С
51. Л£ = ВС, L\ = L 2,
Z. 1 + L 3 = 45%
Найти L В.
52. АВ = ВС, Z. 1 = Z 2, Z. В = 80*
Найти LI + L3.
А С
53. /.ЛСВ = 90% AD - DB,
L 1 = 50% L АСВ.
Найти L CDB.
12


С А
54. LACB = 90% L 1 = L 2, Z.3 = 105°
Найти АС: АВ.
A D С
56. АВ = ВС, АС 1BD, L 1 = L 3,
LAOD- Z2 = 21%
Найти L В.
А С I А М С
55. Z. ЛСД = 90% Z. 1 = L 2, АВ = 2ВС. 57. Z 1 = L 2, L 6 = 10% Z. 3 = 100%
Найти L 3. I Найти L 5.
58. Z. 1 = L 2, L 3 = 100% Z. 4 = 135%
Найти LABC.
1. Учись составлять геометрические задачи
1. Определи тему, по которой хочешь составить задачу.
2. Найди идею, которую будешь использовать при составлении задачи.
3. Полезно составлять задачи, обратные составленным.
4. Составляя одну задачу, ищи, как, используя эту идею, составить следующую.
Назовем этот прием нанизыванием на одну идею серии задач.
Примеры составления серии задач по одной идее
59. L 1 = L 2, L 3 - L 4, L 5 = 116%
Найти L 6.
Решение.
(L2 + L3 + L5= 180Л ^ ,. _ , . , _ ,...
^5 = 116- | => (^ 2 Н- /1 3 = 64 )
Z.A+ZS + Z.C= 180'
Z.A+Z.B = 2(Z.2 + A3) = 128"
*(LC = 52').
13


Составление задач от обратного по этапам
А
1 этап.
Дан ААВС. BE и AD — биссектрисы.
Введем произвольные обозначения:
L 3 = 36% L 2 = 24е. Отметим их
значения на рисунке (задача 59).
2 этап.
Находим остальные элементы
треугольника и обозначаем их на рисунке.
L 5 = 180е - (36е + 24е) = 120е.
L 6 = 180е - 2 (36° + 24е) = 60е.
Z7 = 180е-60е = 120е.
Примеры составления серии задач по данной идее
А
3 этап.
Составление задач с использованием
найденных соотношений.
59а. Z. 2 : Z 3 = 2 : 3, Z 7 = 120е.
Найти L 5.
596. Ll = L5.
Найти L 6.
59в. L 2 + L 6 = 84е, L 3 + L 6 = 96е.
Найти L 5.
60. L 1 = L 2, Z. 3 = £ 4, Z 6 = 48е.
Найти L 5.
61. 21 1 = L 2, Z. 3 = L 4, 21 7 = 134е.
Найти L 5.
62. L 1 = 21 2, Z 3 = Z. 4, /1Л0Я = 52".
Найти L 7.
63. Z. 1 = L 2, Z 3 = L 4,
Z. 1 : L 3 : Z1 6 = 1: 2 : 3.
Найти АЛОЕ.
64. L 1 = Z. 2, Z 3 = Z. 4,
Z. 1 : /.ЛЯС =1:5, L 7 = 140е.
Найти LAOE.
2H = Z 2, Z. 3 = £ 4,
/1 6 : Z. 3 = 2 :3, Z 1 = <1 4 - 15е.
Доказать, что ДАЯС —
прямоугольный.
66. Z 1 = L 2,
21 1 : L 7 =
Доказать,
угольный.
67. Z 1 = L 2,
/15-/16 = 72е.
Найти L 7.
68. 211 = Z.2, /13 = Z.4,
LS + Z6 = 144°.
Найти L 5.
L 3 - Z 4,
1:7, Z7- 214 = 81".
что ДАВС — прямо-
21 3 = 21 4,
14


Примеры составления серии задач по данной идее
А Е
69. LACB = 90е, AD ш BE —
биссектрисы.
Доказать, что LAKB = 135*.
70. LACB - 90е, AD и BE —
биссектрисы. LEKD + LABC = 195'.
Найти LADC.
71. LACB = 90е, AD и BE —
биссектрисы. Z.2 + Z.3 = 161е.
Найти LBAC.
72. LACB = 90е, AD n BE —
биссектрисы. Z.1: L2 = 1 : 9, АВ = 14.
Найти ВС.
73. Z-ЛСЯ = 90е, AD я BE —
биссектрисы. Z.&4C = LBKD.
Доказать, что ДАВС —
равнобедренный.
74. АВ = ВС, L\ ш L2, Lb = LA,
L5 ■ 3 Z.6.
Доказать, что Z.1 ■ Z.6.
75. АВ = ЯС, Z1 = Z.2, Z.3 - L4,
Z1:Z6 = 2:1.
Найти LS.
76. АВ = ЯС, Z.1 « L2, Z3 = Z.4,
Z5 = 120е, DC = 7.
Найти ВС.
77. АВ - ЯС, Z1 - Z2, Z3 = Z.4,
Z4 + Z.5 = 155*.
Найти Z.6.
78. АВ = ДС, L\ - L2, LI - Z.4,
Z5 - Z6 - 46е.
Найти LS.
Составление зависимостей между элементами треугольника
в
А Е
79. AD и BE — биссектрисы.
Найти зависимость между LAOB
и LC.
Решение*
LAOB + L\ + Z2 = 180е,
2ZA05 +
2ZAOB =
2(Z1 + Z2) =
* ч '
LA + LB
-- 360* - (LA +
180"-
■ 360%
LC
2LAOB = 360е - 180е + LC,
2LAOB - 180е + LC.
Ответ: 2LAOB = 180е + LC.
15


Полученная формула
2LAOB = 180' + LC
(*)
облегчает составление задач по данной
идее.
А Е С
80. AD и BE — биссектрисы.
Доказать, что LAOB> 90°.
Решение.
Из формулы (*)
LC = 2LAOB - 180°
(LC > 0) *• (2LAOB - 180° > 0),
откуда следует LAOB > 90'.
81. AD и BE — биссектрисы,
LC: LAOB = 1:2.
Найти. LC.
Решение.
Обозначим Z.C = х, тогда
LAOB = 2*.
Используя формулу (*), получим
4х = 180° + х, откуда х = 60'.
Ответ: 60°.
82. AD vi BE — биссектрисы,
LC: LAOB = 1:3.
Найти L4 - L3.
Решение.
Обозначим LC = х, тогда
LAOB = Зх.
Используя формулу (*), получим
6х = 180° + х, откуда
х = 36, LC = 36°, LAOB = 108°,
LA - L3 = (180'- LC) - (180°- ЛЛОЯ) = 72*.
Ответ: 72°.
83. AD и BE — биссектрисы,
LAOB - LC = 58°.
Найти LAOB + LC.
Решение.
2LAOB = 180° + LC, (*)
LAOB + (LAOB - LC) = 180°,
> у 1
Si'
откуда LAOB = 122°.
LC = 122° - 58° = 64°,
LAOB + LC= 122° + 64° = 186°.
Ответ: 186°.
Средняя линия
84. AM = MB, BK =KC, AB + BC = 8.
KM =2.
Найти Pjtfc-
85. ЛМ = MB, BK =KC, BK = AM+ 2.
Найти ВС - AB.
треугольника
86. AM = MB, BK = КС, ВМ = 17,
Я* =20, ^0=116.
Найти МК.
87. АЛ/ = MB, BK = КС,
MB:BK:MK=6:1:S, P^c = 168.
Найти АС.
88. AM = Л/Я, BK = КС,
LI: L2 = 5 : 2, ^.3 = 30°, МЯ = 4.
Найти AC + AB.
89. AK — медиана, Л/ЛГ || AC,
AB + AC = 40, P^jc = 43.
Найти АК.
16


ADC
90. AB - ВС, AD = DC, BE = EC,
DE + AB + BC + EC=6.
Найти DE.
91. AB = 5C, AE = EC, АР = BP,
BZ> 1 ЛС, DP + DE= 2, AC = 0,6.
Найти Pabq-
АТС
92. АЛ/ = Л/5, BA = КС, КТ || АВ,
ВС = 12, iV, = 40.
Найти Ршкг.
АТС
93. AM = Л/В, ВА = КС, КТ || ЛЯ,
Найти Р
МКТ'
А Т
94. АЛ/ = MB, ВК - AC, AT
Л/Я = AT, Л/Г = 16,
^Л/АГ = 60'.
Яаыти Pjuq.
95. АЛ/ = Л/В, ВК = АС, АГ
Л/А=А7\ /.2 = 60*.
Найти L 1.
96. АЛ/ = Л/В, ВА = КС, КТ
ВС = 18,
МК:МТ:КТ = 5:6:7.
Найти АВ.
С
АВ,
АВ,
АВ,
97. ABCD — четырехугольник.
АЕ = В£, СМ = ВМ, АР = DP,
СК - DA, BZ> J. AC.
Доказать, что РЕМК —
прямоугольник.
Справочный отдел
1. Средняя линия треугольника — отрезок прямой,
соединяющий середины двух сторон.
2. мк = ^ а, л/а: || ас.
17


СЕВ
98. ДАВС, LACB = 90% AC = ВС,
СЕ = BE, AT = ТЕ, АК = КС,
ТМ=Ь.
Найти АС.
99. ДАВС, LACB = 90°, AM = MB,
АЕ = СЕ, СО = ОМ, СО + АВ = 5.
Яайти CAf + £0.
Параллелограмм
A D
100. L 2 - Z. 1 = 24'.
Найти L 1.
101. Z.l + £2+^3 = 250'.
Найти L 2 - Z. 1.
102. Z 1 + Z. 3 = L 2.
Найти L 1.
103. AD = АВ + 3, Рддсо - 34.
Найти AD.
104. AD = ЗАВ, Pmcd = 72.
Найти AD.
105. AD + АВ = 11, AD - 2АВ = 2.
Найти AD — АВ.
106. Z. 1 + L 3 = 80°,
Z. 4 + L 2 = 140".
Найти L 1.
107. L ABC - L 1 = 60%
Z 2 = 2Z 5.
Найти L 1 - Z. 5.
Справочный отдел
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Классификация выпуклых четырехугольников
Z=7
£7
параллелограмм
трапеция
прямоугольник ч . ромб
выпуклые
вогнутые
О С\
равнобедренная
прямоугольная
квадрат
18


A D
108. L 2 - L 3 = 70% L 2 - L 1 = 80°
Найти L 1.
109. BD LAB, L\ = 20*.
Найти L 5.
110. BD1AB, Z3 = 29°.
Найти Z.1 + Z5.
111. fiDlAS, AB = BD.
Найти L 1 + L 2 + L ADC.
112. LABC + LA + L 2 = 270*.
Найти LA + LS.
A E D
113. AE J. AD, ZABC = 150%
pabcd - 24, ЯЕ - 2.
Найти ВС.
В С
114. Рдвсй "" * ACD "" 8» ^^ "" 2.
Найти АВ - ЯС.
A D
116. AC + BD = 20,
ad + bc = 16.
Найти PAod'
И7. ^^ = 38, АО =12.
Найти P/jx;-
118. ЯЯ1АС, АВ = 2Я0.
Яайти ZA4C + LADC.
119. Zl + ZABC= 180е,
2AB + AD= 12.
Найти Рыв*
120. /^д = ^лоя-
Найти LAOD.
121. Z 1 = 29е, L 2 >
Найти L 4.
122. 2Z. 3 = Z. 1 + Z. 2.
Найти L 3.
123. Z. 4 : Z. 2 : Z. 1 = 5:18 :13.
Доказать, что £i) I A5.
124. Р^сп = 70, Рмп = 60.
Найти BD.
125. Pabcd "" Рabd ~ 1"» ^** = 1°«
Доказать, что AABD —
равнобедренный.
параллелограмм
Справочный отдел
Противоположные стороны попарно параллельны.
Диагонали при пересечении делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне,
равны 180е.
19


2. Учись составлять геометрические задачи
Продолжаем использовать прием нанизывания на одну идею серии задач.
Параллелограмм
129. L 1 = L 2, L 3 = L 4, AD = 20,
BE =10, DC + BC = 34.
Найти ED.
Решение.
£>С + ЯС = 34, ВС = AD = 20
по условию.
DC = АВ = 14. Z. 4 = L 3 = Z.££A.
6АВЕ — равнобедренный.
АЕ = АВ = 14.
Тогда Е£> = ЛГ> - АЕ = 20 - 14 = 6.
Ответ; 6.
130. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4, i4S = 6,
Z.,4:Z.5 = 2:3.
Решение.
Если Z. 1 = L 2 и L 3 = Z. 4, то
Z. 5 = 90° (задача 126). По условию
L А: Z. 5 = 2:3. Обозначим
£ Л = 2х, L 5 = Зл. 90е = Зх,
откуда х = 30°, L А = 60е.
Z. 3 = /1 4 = L ВЕА = 60*.
[АВ = BE = 6,
] Z. 1 = 30*, * (ЯС = 2ВЕ = 12),
А Е D
126. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4.
Доказать, что Z. 5 = 90*.
Решение.
Z. В + Z. С = 180%
2 (Z. 4 + L 1) = 180%
откуда Z. 4 + Z. 1 = 90%
Z. 5 = 180* - (Z. 4 + £ 1) =
= 180° - 90* = 90\
127. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 5 + L 3 = 150°, ВС = 12.
Найти BE.
Решение.
Если Z.1 = Z.2hZ.3 = Z.4, то
Z.5 = 90' (задача 126).
L 5 + L 3 = 150"\ ч _ _
Z. 5 = 90' J => (Z. 3 - Z. 4 - 60
Z.1 - 90' - Z.4; Z.1 = 30\
128. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 3 - Z. 2 = 20°.
Найти LA.
Решение.
Если Z.1 = Z.2hZ.3 = Z.4, то
Z. 5 = 90°.
fZ4-Z.l=20-
\L 4 + Z. 1 = 90% ^ 4 11U >'
LA= 180'- 110° = 70'.
Z. 5 = 90'
"abcd ~ 36.
Ответ: 36.
131. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4.
Доказать, что Z.4 = 2LCED.
132. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 2: Z. 3 = 1: 2, AD = 14.
Найти Pjme.
133. Z. 1 = Z. 2, Z 3 = Z. 4, AB = 5,
Z.AEA - L 1 = Z. 2.
Найти ED.
20


A D
134. Z. 1 = L 2, BP = 7, PC = 3.
Найти Р
ABCD'
135. Z. 1 = Z. 2, Ai» = 15, DC = 9.
Найти Рдвр-
136. Z. 1 = Z 2, J^ = 52,
PC = AZ> - 8.
Найти AD.
137. Z 1 = Z. 2, Р^сд = 20, AZ> = ЗРС.
Найти AD.
138. Z. 1 = Z. 2, AD = AB + 2,
AB = PC- 1.
Найти Pabcd.
139. Z.1 = Z.2, AP = AS + 3,
AD = Ai>, P„BCD = 26.
Найти Papcd'
Прямоугольник
A
140. Рддд — P^oi»= *•
Найти АВ.
141. Рлод + PB0C - 64, AD + 5C = 24.
Найти AC.
A D
142. Z. 1 = 57°.
Найти Z.2.
143. Доказать, что Z. 1 + Z. 3 = 90'.
144. Z. 2 + Z. 3 = 63е.
Найти L 1.
145. Z. 4 = 4Z. 2.
Найти L 1.
146. Z. 3 : Z 4 = 1 : 4.
Доказать, что ДАОВ —
равносторонний.
147. Z. 4 - Z. 3 = 90°, AC = 10.
Найти PCod-
148. Z. 1 + Z. 2 = 120°, PA0B = 12.
Найти АВ.
149. Z. 4 = 3Z. 3.
Найти L 1.
z
/
J
\
Z7
Справочный отдел
Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть
прямой угол.
Диагонали прямоугольника равны.
прямоугольник
21


A D
150. L 1 : L 3 = 7 : 2.
Найти L 4.
151. ЛС: CD = 2:1.
Доказать, что Z 1 = Z 2.
в м с
A D
152. AS « ЯМ.
Найти L 1.
153. A0 = BM, L\+ LD= 225',
AD =10.
Найти AB + MC.
154. Z. 3 = L 2, BM = 3, MC - 7.
Найти Pabcd-
A D
155. Рлод = 18, AC + BD = 22.
Найти ВС.
156. Рлсд = 49, Р^сд - 62.
Найти АО.
A D
157. PCOiJ « 30, AC + BD = 40.
Найти LAOD.
A D
158. АЛ/ = MB, L 1 + Z. 2 = 198е
Найти L 3.
AMD
159. ОМ 1 AD, ОМ =7, AD = 17.
Найти Pabcd'
160. ОМ ± AD, />0A/Z, - 18, Pmcd = 48.
Найти АС.
161. ОМ J. AD, OK ± АВ, ?^с/) = 100.
Найти ОМ + ОК.
162. ОМ J. AD, ОК1АВ,
ОЯ:ОМ = |:|ч AD - 24.
Найти Pabcd-
СП
/
\
ромб
Справочный отдел
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны
равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы
пополам.
22


Ромб
A D
163. Pjucd = 4<>> BD + AC = 28.
Найти РА0В.
!64- Рлов = 36. BD + AC = 42.
Найти AD.
165. PAOD = 14, Р^со = 20.
Найти BD.
166. Z.ADC = 7L 1.
Найти LBAD.
167. Р^сл - BD = ЗАО.
Найти LBAD.
168. Рдяс ~ Р^о/) ~ 6.
Найти АВ + АО- DO.
A D
169. Z.5AD - 28е.
Найти L 3.
170. Доказать, что Z. 1 + L 3 » Z. 4.
В С
А Е D
171. BE 1 AD, AC = 2ВЕ, DE = 2.
Найти Pabcd-
172. Б£ 1 AD, Z.BKO + Z.ABC = 180°.
Найти LBKA.
A E О
173. BE LAD, BK±DC,
Pabcd = 4 (BE + BK).
Найти LKBE.
A E D
174. BE 1 AD, L 1 ■ 57*.
Найти LABC.
175. AE ± АО, <LADC - 2L 1.
Доказать, что AABD —
равносторонний.
176. AE J. AD, Z. 3 = 3Z. 1.
Доказать, что AAOD —
равнобедренный.
177. BE IAD, AB = BD.
Найти L 1.
178. B£ 1 AD, £2 = 60°.
Найти L 1.
179. .B£1AD, £3 = 123*.
Найти LADC.
В f_ С
AMD
180. BM1AD, CE:BE=\:3,
Pabcd ~CEm *$> BD = 4£C.
Найти MD.
23


Е
AMD
181. ВМ 1 AD, СЕ :ВЕ=\ : 6,
ВМ = 3,5 СЕ.
Найти LABD.
LABC = i LAEM.
4
Найти LABC.
Квадрат
A D
183. L 1 = 72е.
Найти L 2.
184. Доказать, что L 1 - L 2 = 45е
185. AM = 25M.
Найти L 2.
186. г! 2 : /! 1 = 1 : 4, ЛЛ/ = 3.
Найти ВМ.
187. Z. 1: Z.2 — 11:2.
Найти L 3.
A D
188. ЯМ = 2МГ, /.МЛ* = 62е.
Найти L 4.
189. М и К — точки, принадлежащие
сторонам ВС и CD. L 1 = 75е,
Z 2 = 63°.
tfaumw ZMAK.
190. L 3 = 4Z 5, Z 7 = 7Z 6.
Найти L 2.
191. М ж К — точки, принадлежащие
сторонам 5С и CD.
Z.1:Z.5 = 2:1, Z 3 = 21е.
Найти L 2.
Справочный отдел
Трапеция — четырехугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны, а две
другие не параллельны.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180°.
равнобедренная
прямоугольная
24


Трапеция
A D
192. ВМ = MA, СК = АД
МК = 5, ВС = 2.
Найти AD.
193. ВМ = МА, CK = KD, AD = ЛВС,
МК = 10.
Найти ВС.
194. ВМ = MA, CK = KD,
BC:AD = 1 :3, МАГ - 16.
Найти AD.
195. BAf = MA, CK = KD,
2MK-AD= 1.
Найти ВС.
196. ДА/ = MA, CK = АД
МА:АД = 5:8, AD - ВС = 12.
Найти МК.
В С
AM D
197. АВ = CD, ВМ 1 AD, L 1 = 45%
AD + ВС = 24, ВМ = 5.
Найти ВС.
A D
198. ЛВ - СД L 1 « Z. 2, AD = 18,
i4B= 14.
Найти длину средней линии
трапеции.
199. АВ - ВС = CD, L 1 + LD = 90е.
Найти LB.
М
200. ЛВ = СД В£ 1 АД ВЛ/ - МА,
CK-KD.
Доказать, что ZM: = МК.
201. АВ - СД BE LAD, ВМ = МА,
CK = A», D£ = 6AE.
Найти МК-.ВС.
L
трапеция
Справочный отдел
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180е.
Средняя линия равна полусумме оснований.
В равнобедренной трапеции углы при основании
равны.
Если углы при основании равны, то трапеция
равнобедренная.
25


A D
202. АВ = CD, L\= 60% AD = 19,
ВС - 13.
Найти Pabcd-
203. АВ = CD, L 1 = 60% AD = 10,
Pabcd = 27.
Найти ВС.
204. АВ = CD, LB = 120% AD = a,
ВС = Ъ.
Доказать, что P^scd =
3a-6.
205. AB = CD, AS - ВС = 4,
LC = 2Z. 1, P^co = 47.
Найти CD.
206. AB = CD, Z.D: LB = 1: 2,
Pabcd ~ 13, AB = 3.
Найти ВС.
207. ZA: LB : ZC: LD = 2 : 4 : 5 :1,
AB - 3, AD = 16.
Найти ВС.
208. AB = CD, BE
Найти L 5.
209. AS = CD, AD-BC = 24,
LBCD = 2LBAD.
Найти АВ.
A E
210. AB = CD, AC J. BD, BE = 2,
BE J. AD.
Найти AD + ВС.
211. АВ = СД &E1AD,
£C = 2BE - AD.
Найти LAOD.
212. AB = CD, BE 1 AD,
ZABO + LBAO = 90%
AD = 8 - ВС.
Найти BE + DE.


3. Учись составлять геометрические задачи
Используем прием нанизывания на одну идею серии задач.
Трапеция
215. АВ « CD, BE I AD, СЕ || АВ,
АВ ш 16, LA = 60*.
Найти. МК.
Решение.
LABE - 30°. Из ААВЕ имеем
А Е D
213. АВ = CD, BE X AD, СЕ || АВ,
ВС = 13.
Найти МК — среднюю линию
трапеции.
В 13 С
Решение.
АЕ= 13 (АВСЕ — параллелограмм).
EN= 13 {EBCN — прямоугольник).
Л7?= 13 (NBCD — параллелограмм).
Л/? = Л£ + Е# + #£> = 39.
МК =
AD + BC 39+13
21.
2 2
214. ЛЯ = CD, BE J. ЛД СЕ \\ АВ,
МК ш 20.
Найти ВС.
РешеНИС
Обозначим ЯС = дс. Тогда AD = Зх (см.
задачу 213).
Так как МК =
AD + BC
то
20 = 2jc, x - 10.
Отвел 10.
АЕ = Щ- = 8. ЛЯ = ЗЛЕ = 24,
5С = Л£:=8 (см. задачу 213).
AD + BC
МК
16.
Ответ. 16.
216. АВ = CD, B£ I ЛД ЛЕ = ВС,
«AS = 9, Рдвсв = 38.
Найти AD.
Решение.
АЕ = ДС. Обозначим ВС = х. Тогда
Л/> = Зх (см. задачу 213).
По условию AD + ВС + 2ЛВ = 38,
3* + х + 18 = 38,
откуда х = 5, Л!) « Зх = 15.
Ответ: 15.
217. АВ = СД 5£ 1ЛД АЕ = ВС = 5,
ЛВ = АО-7.
tfawmw P^CZ).
Решение.
АЕ = ВС = 5, AD = ЗЛЕ = 15
(см. задачу 213).
А£ = 15 - 7 = 8.
Pabcd = AD + BC + 2AB =
= 15 + 5+16 = 36.
Отвел 36.
218. АВ = СД BE I AD, СЕ \\ АВ,
АЕ = 6, АВ + Л/) = 25.
Найти Pabcd-
ti


в с
А Е D
219. AB = CD, BE JL AD, CE \\ AB,
AD = 54. AB : AE = 7 : 6.
Найти Рддсо-
220. AB = CD, BE 1 AD, CE \\ AB,
ВС =14, AD = AB + 26.
Найти AB.
221. AB = СД 5£ 1 AD, C£ || AB,
ВС — 1, P^ecd — 32.
Найти Р
ABCD-
в с
A E D
222. AB = CD, BE 1 AD, CE || AB,
Pabcd ~ Paecd =11.
Найти AD.
223. AB = CD, BE JL AD, CE || AB,
BE = 3, LC- LA = 90'.
Найти AD + ВС.
Площади фигур
Прямоугольник
224. S^cD = 48, CD = 3.
Найти AD.
225. Рдвсо = 40, AD = 3CD.
Найти Sjucd.
226. S^b = 32, AD = 2AB.
Найти Pabcd-
A D
227. Доказать, что 5Л0£> = S^oc-
228. AD = 20, Sdqc = 60.
Найти CD.
229. AD = 8, Scoz> = 18.
Найти CD.
230. SHCi? = 28, AB = AD + 1.
Справочный отдел
Площадь прямоугольника равна
S = a- h.
Площадь квадрата равна S = а2 или S = -^d*
(d — диагональ).
28


231. Z 1 = Z 2, BM = 5, Л/С = 4.
Яайты S^c^
232. Z 1 = Z 2, AB = Л/С, Р^д = 48.
233. Z 1 = Z 2, ЛВ: Л/С = 1:2,
Л«а> = 40.
Яаити Sua,.
234. Z 1: Z 3 = 1: 3, A/C - AB + 7,
ЛВСО
= 44.
Найти Sabcd.
235. Z 1 = Z 2, A/C = AB + 7,
Найти AD.
amcd Pabm ~ 24.
в
t
м с
^ 1
236. Z 1 =
= Z. 2, AD: MC = 5 : 2,
Pabcd = 80.
Яяи/ли 5^^
237. Z 1 = Z 2, S^ = 162,
™ABCD = 8®'
Найти AD.
|
3 M С
A D
238. Z 3 : Z 1 = 1: 3, MC = AB + BM,
$лвм — 32.
Найти S
abcd-
Квадрат
239. Рлясл-40.
Найти Sabcd-
24Q- Sabcd - 64.
Найти Р
ABCD'
241. BE = EC.
Найти S^cd : S^£.
242. BE = EC.
Найти SABE:SAECD.
29


Параллелограмм
С 243. LA - 30% АВ : ВС = 3 : 7,
*ABCD = 120.
Найти Sabcd-
Ромб
AMD
244. ВМ 1 АД 5МС = 10, ВМ
= 8.
Найти Р
ABCD*
245. 5доС = 96, ВМ LAD, AD
Найти ВМ.
«20.
A D
246. АС = 20, BD - 10.
Яайти Я^сд.
247. LBAD = 30', P^Ci, = 24.
Найти S
ABCD"
A D
250. BD I AC, Smc = 20, BD =
Найти АС.
251. В£> J. AC, Smc - 16,
AC :BD = 2:1.
Найти BD.
4.
248. Доказать, что 5Л0Д = <SOOC.
24". "dqc ~ 32.
Треугольник
252. &D 1 АС, АС = 27,
BD: AD: DC = 3 : 2 : 7.
Найти Sabc-
253. В£> 1 ЛС, В1> = 2, АС = 4DC,
AD = 3.
Найти S^bq.
254. В£> 1 AC, В£> = 9, DC = AD + 4,
£Л:ZC: Z.ABC = 9 :10 :17.
Найти SjlBC.
Справочный отдел
S = a-A
^
S = а • А или S = -fydx * d2
(dx и d2 — диагонали ромба).
S = ^Ъ • А или 5 = Vp(p - а)(р - Ь)(р - с), р =
а + й + с
30


A D
255. BD X AC, CM XAB.
Доказать, что AC:AB- MC: BD.
256. BD X AC, CM X AB,
BD:MC = 5 :8, AB = 40.
Найти AC.
A E
257. AE = EC.
Найти Smc : $вес
A E С
258. АЕ = ЯС, LABC = 90°, 3£ = 8.
Найти AC.
A D E С
259. AE = £C, LABC = 90% BD X AC,
LBEA = 30% ЛС = 16.
Найти Sabq.
260. AE = £C, Z-ЛЯС = 90% BD X ЛС,
S^c - 72, ДЕ = 12.
Найти LDBE.
Трапеция
A D
261. AD || ВС, ВА IAD, ВС = 2,
AD = 8, Z.D=45%
Найти Sj^qq.
262. AD || ЯС, ЯА X AD,
AD:£C = 5:1, ZD = 45%
$abcd ~ 48.
Найти AD.
A D
263. AD || ЯС, AB = CD, AD = 17,
Z.D = 45% ВС = 9.
Найти S^cd-
Справочный отдел
трапеция
EX
равнобедренная прямоугольная
s = 4±-h
31


Повторение.
264. Углы АОС и СОВ смежные,
OD — биссектриса угла АОС,
ОЕ — биссектриса угла СОВ.
Найти угол DOC, если
LAPP + LDOE + LCOA 3^
LDOC + LCOE + LEOB 2'
265. О — точка пересечения прямых
АВ и CD.
Найти угол AOD, если
LDOB - АСОВ = 80°.
266. BD — высота равнобедренного
треугольника ABC, АВ = ВС. О — точка
пересечения высот BD и АК,
LAOD = 60°.
Доказать, что ЬАВС —
равносторонний.
267. Вершины В и D двух
прямоугольных треугольников ABC и ADC
лежат по разные стороны от их общей
гипотенузы АС.
ABAC + LACD = 90е, ВС = 20.
Найти CD.
268. BD — высота треугольника ABC,
АВ = ВС, AB-AD = 2,
АС= 1,2АВ.
Найти периметр треугольника
ABC.
269. АЕ — биссектриса треугольника
ABC. АВ = ВС, LCAE = 10°.
Найти LABC.
270. К — точка пересечения биссектрис
АЕ и CD треугольника ABC,
LABC = 30е.
Найти угол АКС.
271. BD — медиана треугольника
ABC, в котором AS = ВС. К— точка
дачи разные
пересечения медианы BD и
биссектрисы АЕ.
Найти угол ЛВС, если
LAKD - Z5CM = 75°.
272. BD — медиана равнобедренного
треугольника ЛВС, в котором
АВ = JBC. # — точка пересечения
биссектрис BD и АЕ. AT JL ЯС,
М — точка пересечения прямых
BD и AT.
Найти угол AMD, если
21Л/0? = 50е.
273. BD — медиана равнобедренного
треугольника ABC, в котором
АВ = ВС. DM и DE — биссектрисы
углов ADB и CDB.
Найти угол BMD, если
Z4£C + £££>М = 120е.
274. МиГ — точки пересечения двух
параллельных прямых АВ и CD
третьей прямой МТ.
Найти LAMT, если
LAMT + LMTD - ^ГЛ/Я = 30е.
275. Через вершину В треугольника
ABC проведена прямая МТ || АС.
Найти угол ABC, если
LMBA + Z£CM = 100°.
276. Через вершину В
равнобедренного треугольника ABC, АВ = ВС,
проведена прямая МТ || АС.
Найти угол ВАС, если
ZA/A4 + ZCB71 = 80е.
277. Через вершину С прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90е,
проведена прямая МТ || АВ.
Яайти ZMCA + LCBA.
32


278. BD — биссектриса треугольника
ABC.
Найти LBAC, если
LBCD = 10е, LBDA = 80е.
279. В треугольнике ABC
LA= LB + LC.
Определить угол А.
280. Точка Е расположена на
продолжении стороны АС треугольника
ABC.
Во сколько раз угол ВАС больше
угла ABC, если
LBCE = 2 (ABAC - LABC)?
281. Точка Е расположена на
продолжении стороны АС равнобедренного
треугольника ABC, AB = ВС.
Найти LABC, если
LBCE = 2 LBAE.
282. Точка -Б расположена на
продолжении гипотенузы АВ
прямоугольного треугольника ABC.
LACB = 90°.
Найти LCAE, если
LCBE = 3LCAE.
283. АйГ — биссектриса прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90°.
Найти LKAB, если
LCAB = ZC£A + 70°.
284. СК — биссектриса прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90е.
Найти СВ : АВ, если LAKC = 105е.
285. CD — высота равнобедренного
треугольника ABC, АС = СВ,
LACB = 90е, DE JL СВ, DE = 6.
Найти АС.
286. CD — высота прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90е,
LBAC = 30е.
Найти BD, если АВ + ВС = 9.
287. М — точка пересечения биссектрис
AD и BE острых углов
прямоугольного треугольника ABC,
LACB = 90е.
Найти LABC, если
LEMD + LABC = 195э.
288. CD — высота прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90°.
Найти AD, если
LDCB = 30е, DB = 1.
289. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD параллелограмма ABCD
(AOBD).
Найти Pabcd* если ^2) = 3 и
Z04D: ZZ)£C: LAOB = 2:7:9.
290. -8Z) — меньшая диагональ
параллелограмма ABCD.
Найти Pabq, зная, что
LADB + LABC =180° и
2АВ + Л£>= 12.
291. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD параллелограмма ABCD
(AOBD).
Найти АС - BD, если
Р — Р =12.
х ЛВС ** ЛВ1) Х *•
292. АЕ — биссектриса, проведенная
из вершины острого угла
параллелограмма ABCD.
Найти PabcD, зная, что
В£ = 4, ЕС= 1.
293. На стороне AD параллелограмма
ABCD построен равный ему
параллелограмм AMED.
Найти LBAD, если
LCDE = LABC.
294. АЕ — биссектриса, проведенная
из вершины острого угла
параллелограмма ABCD.
Докажите, что
/> = ABE + 2EC.
33


295. Биссектрисы углов ABC и BCD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке Е, принадлежащей
основанию параллелограмма AD.
Найти LBAE, если
LABE: LECD = 5:4.
296. Из вершины тупого угла В
ромба ABCD проведены BE ± AD и
BK1DC.
Докажите, что ААВЕ = АВКС.
297. AD — общая сторона ромба
ABCD и равнобедренного
прямоугольного треугольника ADE,
лежащих по разные стороны от AD.
AD = DE, LADE = 90е. Точки В и
Е соединены.
Найти LBAE, если
LDBE = ABED.
298. Л/) — общая сторона двух равных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD.
Найти АСАМ, если
LBAM + Z.A2JC *= 240е.
299. AD — общая сторона двух равных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD. О и
Ох — точки пересечения их
диагоналей.
Найти ACDE, если AODOx = 100е.
300. AD — общая сторона двух разных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD. О и
Ох — точки пересечения их
диагоналей.
Найти AEDC, если АОАОх - 110е.
301. AD — общая сторона ромба
ABCD и прямоугольного
треугольника АДЕ, лежащих по разные
стороны от AD. LDAE = 90е.
Найти LAED + ABAD, зная, что
ED || АВ.
302. £2) — диагональ прямоугольника
ABCD.
Найти CD, если
LBDA = 30е, АВ + BD = 18.
303. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD прямоугольника ABCD.
Найти AD, если
рвос = !6, АС + #Z> = 20.
304. ABCD — прямоугольник. АЕ —
биссектриса угла BAD.
BE = 3, ЕС = 4.
305. Е — точка, расположенная на
стороне ВС прямоугольника ABCD так,
что АВ = 4СЕ и
LAEC + ZADC = 225е.
Найти Pabcd
:АВ.
306. Выразить площадь квадрата через
его периметр.
307. Е — точка, расположенная на
стороне ВС квадрата ABCD так, что
DE = 2ЕС.
Найти LEDB.
308. AD — общая сторона квадрата
ABCD и равностороннего
треугольника ADA/, лежащих по разные
стороны от AD. О — точка пересечения
диагоналей квадрата. Е — точка
пересечения отрезков ОМ и AD.
Найти ОЕ, если P^CI)+ Padm= 14.
309. AD — общая сторона квадрата
ABCD и ромба ADET, лежащих по
разные стороны от AD. О — точка
пересечения диагоналей квадрата,
ОМ LAD.
Найти ADAE, если DT = ЮМ.
310. DE — средняя линия треугольника
ABC (DE || АО.
Найти ВС, если
ABED = ABAC, AD = 8.
34


311. BD — высота треугольника ABC
(АВ = ВС), DE || АВ, DP \\ ВС.
Найти Равс* если
DP + DE = 2, AC = 0,6.
312. ABCD — четырехугольник.
AE = ЕВ, ВМ = MC, СК = KD,
DP = PA.
Докажите, что четырехугольник
ЕМКР — параллелограмм.
313. ABCD — четырехугольник, в
котором диагонали равны и взаимно
перпендикулярны. AE = BE,
ВМ = МС, СТ = TD, DP = PA.
Найти LMPT.
314. МТ — средняя линия трапеции
ABCD, AD И ВС, ВС: AD= 1:3,
МГ=16.
Найти AD и ВС.
315. BE — высота равнобедренной
трапеции ABCD, AB = CD, AD \\ ВС.
Найти BE, если
AD = 8, ВС = 2, LABC = 135е.
316. ABCD — трапеция, в которой
АВ = CD, AD || ВС, АС делит угол
BAD пополам.
Найти среднюю линию трапеции,
если AD = 10, AS = 4.
317. A0GD — трапеция, АВ = СД
AD || ВС, AD делит угол ABC
пополам. А/Г — средняя линия
трапеции.
Доказать, что МТ = (ВС + АВ): 2.
318. В равнобедренной трапеции
ABCD, в которой AD || ВС,
проведена высота BE.
Найти отношение площади
треугольника ABE к площади трапеции
ABCD, если известно, что
AD » 4BC.
319. Выразить площадь
равнобедренного прямоугольного треугольника
через высоту, проведенную на
гипотенузу.
320. Выразить площадь
равнобедренного прямоугольного треугольника
через его гипотенузу.
321. Выразить площадь
равнобедренного прямоугольного треугольника
через его катет.
322. Точки М, Т и К являются
серединами сторон прямоугольного
треугольника ABC.
LACB « 90% АС = 14, ВС = 18.
Найти площадь треугольника
МТК.
323. Точки М, Т vl К являются
серединами соответствующих сторон
АВ, ВС и АС треугольника ABC.
BD ± АС, АС - 24, BD = 16.
Найти площадь треугольника
МТК.
324. Диагонали АС и BD
равнобедренной трапеции ABCD взаимно
перпендикулярны. Точки М, Т, К и
Р являются серединами
соответствующих сторон АВ, ВС, CD и AD.
АС » 10.
Найти площадь четырехугольника
МТКР.
35


Вопросы для повторения
1. Наука геометрия:
планиметрия,
стереометрия.
2. Построение геометрии:
неопределяемые понятия,
определения,
аксиомы,
теоремы.
3. Прямая, луч, отрезок, ломаная.
4. Угол:
развернутый,
прямой,
острый,
тупой.
5. Углы:
смежные,
соответственные,
накрест лежащие,
односторонние,
с соответственно параллельными
сторонами,
со взаимно перпендикулярными
сторонами.
6. Перпендикуляр и наклонная.
7. Параллельные прямые:
определение,
аксиома параллельности,
признаки параллельности.
8. Виды треугольников.
9. Основные линии в треугольнике:
высота, медиана, биссектриса.
10. Свойства равнобедренного
треугольника.
11. Средняя линия треугольника.
12. Зависимость между сторонами и
углами треугольника.
13. Признаки равенства треугольников.
14. Сумма углов в треугольнике.
15. Внешний угол треугольника.
16. Осевая симметрия фигур.
17. Центральная симметрия фигур.
18. Четырехугольник.
19. Параллелограмм.
20. Свойства параллелограмма.
21. Признаки параллелограмма.
22. Прямоугольник.
23. Свойства прямоугольника.
24. Ромб.
25. Свойства ромба.
26. Квадрат.
27. Свойства квадрата.
28. Трапеция.
29. Средняя линии трапеции.
30. Равновеликие фигуры.
31. Площадь прямоугольника.
32. Площадь параллелограмма.
33. Площадь треугольника.
34. Площадь ромба.
35. Площадь квадрата.
36. Площадь трапеции.
36


Раздел 2
Биссектриса
A D В
325. BD — биссектриса. АВ = 2,
ЯС = 8, А£> = 1.
Найти АС.
326. Я£> — биссектриса. АВ = 4,
5С= 12, АС = 20.
Найти AD, £Ю.
327. AD — биссектриса.
АВ + ЯС = 12, AD = 2, £>С = 8.
Найти АВ.
328. ЯЯ — биссектриса. £С - AS = 3,
DC = 8, Л/) = 6.
Найти ВС.
329. 2Ш — биссектриса.
Доказать, что -«^
>ЯСЯ
ЛЯ
ВС
330. 2Ф — биссектриса. AD = 7,
Найти АВ.
А С
331. АБ — биссектриса. АВ = ЯС,
ЛЯ = 5, АС = 6.
Найти BE, СЕ.
332. АБ — биссектриса. АВ = ЯС,
АЯ • ЕС = 4.
Найти АС • ЯБ.
A D С
333. АВ = ЯС, Я£> JL АС, АБ —
биссектриса. BE:ED= 17 : 15, АС = 60.
Найти Рдвс-
334. АЯ = ЯС, ЯД 1 АС, АБ —
биссектриса. BE:ED =13:12, P^c = 250.
Найти АВ.
CD —
Справочный отдел
биссектриса. С
А//, СМ — медианы.
ом = |см,
ос = |см.
37


Медиана
A D С
335. СЕ ж BE, AD = DC, AE = 9,
BD - 12.
Найти АО + DO.
336. СЕ = BE,AD = DC, OE + OD = 2.
Найти AE + BD.
337. СЕ = BE, AD = DC, AE=6,
BD = 9, AC = 12.
Найти PAOd-
338. С£ = Я£, AD = Z>C, AE = 8,
5Z> = 10, AB = 9.
Найти P^oED-
339. СЕ = ДЕ, AD = i)C, Рд0£О = 31.
Найти Рдлод.
340. CE = BE, AD = DC, LABC = 90°,
02>-l.
Яаыти 50 + AC.
341. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что SA0B = ^ S^c-
342. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что 5А0В = ^ S^.
343. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что SA0C = SBOC.
344. О — точка пересечения медиан.
Найти SA0D: S^q.
345. С? — точка пересечения медиан.
Найти SA0D: 5^,.
A D С
346. О — точка пересечения медиан.
Найти Sabo : S^.
347. О — точка пересечения медиан.
Найти Sdoec : S^.
A D В
348. LACB = 90% AD = DB, CD = 2.
Найти АВ.
A D В
349. ZAC5 = 90% АС = СВ, О — точка
2
пересечения медиан, СО - -х.
Найти Sjmq.
350. LACB = 90°, AC = СВ, О — точка
пересечения медиан, OD = 2.
Найти SA0D.
В
С А,
ДА5С v) AA^Ci
Справочный отдел
?i
Два треугольника называются
подобными, если углы одного
треугольника соответственно равны углам
другого.
38


Подобные треугольники
а с
351. МК || АС, МК = 3,
АС = 15, КС = 4.
Найти ВС.
352. МК || AC, AM = 8,
Л/* = 5, ЛС = 15.
Найти АВ.
353. М# || АС, ВК = 2, КС = 6,
ЛС = 12.
Найти МК.
354. М/С || АС, Ж = ЗС/С.
Найти МК-.АС.
355. М* || АС, Я/С = 1, Ршк = 2,
Лию =12-
Найти ВС.
356. М/С || АС, 5МВК = 2, 5-4BC = 32.
ЯК
Найти
ВС
357. М/С || AC, SMBK = 6, S^bc = 54,
мл: = 4.
Найти АС.
358. М/С || AC, 5MBJC = 1, <S^ji/xc = 8»
ВС + ВК = 5.
Найти КС.
359. М/С || AC, SMBK = 5,
вк= 1, ск=г.
Найти Sf^Q.
360. МК || AC, AM = MB.
Найти &мвк'-$ткс-
В«
361. LA = LAX, ^.Я = LBX, PABCx = 45,
АВ:ЯС:АС = 4:5:6.
Найти АХСХ.
362. ZA = ZAt, Z.£ = Z5p
AS: ВС = 3 :5, Р^гс = 36,
AiQ = 12.
Найти А1В1.
363. Z.A = LAX, LB = LBX, Р^с = 48,
АВ : ВС: AC = 7: 8 :9,
Найти Равс-
Справочный отдел
В,
tj^Cw^^Cj, если:
i) два угла одного равны двум углам другого;
2) две стороны одного пропорциональны двум
сторонам другого и углы, заключенные между
этими сторонами, равны;
3) три стороны одного пропорциональны трем
сторонам другого.
39


Подобные треугольники
А
С В
364. LACB = 90°, МК1 АВ.
Доказать, что МК • АВ = СВ • AM.
365. LACB = 90°, МК ± АВ,
СВ = МК + 10, А#: АС = 1 : 3.
Найти СВ.
A D С
366. МК || AC, 5Z) 1 АС, БГ = 3,
Г2> = 4, *W=18.
Найти Sjmq.
367. МК || AC, BD 1 АС,
МК: АС =2:5.
Найти SAMKC: S^gc.
СМ В
368. 2-АСВ = 90°, СЯ = 4, CD£M —
квадрат, АС = 3.
Найти СМ.
369. ZAC5 = 90°, AD = /Ш + 4,
СОЯМ — квадрат, СМ: AD = 3 : 7.
Найти АС.
370. АМКТ —параллелограмм,
ТК:МК=6:5, АВ = 20, АС = 25.
Найти AT.
Справочный отдел
ДАЯС со ДАДС,
Теоремы
1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны
сходственным высотам,
2. Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.
3. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных
сторон.
40


A M D Е С
371. МКТЕ — квадрат, BD 1 АС,
АС = 6, BD = 2.
Найти ME.
372. МКТЕ — квадрат, BD 1 ЛС,
BF =2, АС = МЕ+ 12,5.
Найти Р
МКТЕ'
373. МКТЕ — прямоугольник,
В£> 1 АС, МК:МЕ = 5: 9,
ЛС = 48, BD = 16.
Найти КМ и М£.
A D
374. ABCD — параллелограмм.
Е принадлежит стороне ВС,
DM = 2, BE: EC =1:4.
Найти BD.
Метрические соотношения между элементами треугольника
С В
375. LACB = 90е, АС - 12, АВ = 13.
Найти Равс-
376. ^.ЛС5 = 90е, ВС = 7, LA = 30°.
Найти Sj&c-
377. ^ЛСД = 90е, ВС = 12, 5^c = 54.
Найти Р
ЛВС-
378. /.ЛСВ = 90% Р^с = 90,
АВ : ВС = 13 :5.
Найти Sabc-
379. Z^CB = 90% Smc = 180,
АВ: ВС = Vl06": 9.
Найти AC.
380. Z.i4CB = 90", LB = 60е, ЛС = 3VT.
Найти АВ.
С В
381. ZACB ■ 90е, СВ = АС + 3,
АВ ■ СВ + 3.
Найти СВ.
382. LACB = 90е, АС = АВ - 2,
СВ - ЛЯ - 1.
Найти P/&Q.
383. LACB = 90е, Smc = 24,
АВ : СВ = 5 : 3.
Найти АС.
384. Определить вид треугольника
относительно его углов, если:
а) СВ = V45, АВ = VToT,
АС = 8.
41


б) СВ ш V3T, АС - V7T,
АВ = 12.
в) СВ = 14, АВ = V33T,
ЛС = 19.
г) СВ = Ш, АВ = 7, АС = 5.
д) СВ = 19, АВ = 28, АС * 23.
385. АВ = ВС, АВ = 17, ЛС = 16.
Найти Sabc-
386. АВ = ВС, АВ = 10, ZA = 30*.
Найти Sjmq.
387. АВ-ВС, АВ- 25, Рддс = 80.
Найти Sjuc.
388. АВ = ВС, АС = АВ - 1, Р^с = 50.
Найти Sjuc
389. АВ = ВС, ЛЯ :АС = 3 : 4,
Яаити Р^с-
A D С
390. АВ = ВС, BD 1 АС, АВ = 4,
ZA = 45е.
Найти BD.
391. АВ = ВС, BD -L ЛС, BD = 35,
ЛС: АВ = 48 : 25.
Яайта P^q.
392. АВ = ВС, BD LAC, BD = AB- 2,
ЛС = 4 V6".
Найти АВ.
393. АВ = ВС, BD I AC, AC = BD + 4,
AB = V6T.
Найти АС.
394. АВ = ВС, BD 1 АС,
ВС:АС = 3: 4, 5^с = 2VT.
Найти Pasq.
С
A D В
395. LACB = 90', CD 1 АВ, CD = 8,
Z?B = 16.
Найти AD.
Справочный отдел
у прямоугольный о2 + Zip* = с2
—— остроугольный а* + t?><?
тупоугольный а2 + !?<<?
(с — наибольшая из сторон)
/». = а + А + с
(периметр)
42


AD В
396. LACB = 90% CD L AB, AC = 8,
AD = 2.
Найти BD.
397. ZACB = 90е, CD 1 AS, AC = 15,
C5 = 20.
Найти CD.
398. Z.ACB = 90% CD L AB, AD = 4,
DB = 9.
Найти Sjmc.
399. Z.ACB = 90% CD 1 AB, СБ = 6,
DB = 3,6.
Найти Sj^q.
400. Z.ACB = 90°, AB = 3,
C£ = 2,4.
Найти РддС.
401. Z.ACB = 90% CDIAB, AD = 9,
$acd = 27.
Найти AB.
402. Z.ACB = 90% CDJ.A8,
AC: C£ = 7:3, C£> = 42.
Найти AD.
403. Z.ACB = 90% CD L AB.
AC2 AD
Доказать, что -^ = j^.
404. ZACB = 90% CD L AB,
AC: CB = 3 : 4, DB = AD + 2.
Найти AB.
405. Z.ACB = 90% CD J. AB, AB = 10,
CD = 3.
Нййти Saqd • Sbcd*
406. Z.ACB = 90% CD ± AB,
CB = AC + 2, AB = СЯ + 2.
Найти CD.
407. ZACB = 90% CZ? J. AB,
AD = CD - 1,2, BD = CD + 1,6.
Найти AB.
A D
408. /.ЛС5 = 90', CD L AB,
Z.CBA = 30% DB = 7 V3~.
Найти AB.
409. Z.ACB = 90', CD J. AB,
ZACD = 30', Smc ■ 32V3".
Найти AC.
410. Z.ACB - 90% CD 1 AB,
^д: «ляс- 16: 25, AD =28.
Найти AC.
411. LACB" 90% CD LAB,
Sacd '• S*o> = 9 :16, CB = 20.
Найти CD.
ADM В
412. ZACB = 90% CD L AB, CM —
медиана, AD = 4, DB = 16.
Найти PCdm-
413. LACB m 90% CD J. AB, CM —
медиана, AC-CM + 2, CB = AC + 4.
Найти AC.
414. ZACB - 90% CD ± AB, CAf —
медиана, AC = 6, CM = 5.
Найти СВ.
415. ZACB - 90% CD L AB, CM —
медиана, CM :AC = S: 6, P^q = 48.
Найти Sjuq.
43


ADC
416. АВ = ВС, АЕ ± ВС, BD 1 АС,
BE = 3, ЕС = 2.
Найти АС.
417. АВ = ВС, AEL ВС, BD 1 АС,
АЕ = 4, DC = 2,5.
Найти Sabc-
418. АВ = ВС, АЕ ± ВС, BD 1 АС,
S^c = 48, АС = 12.
Найти ЕС.
A D С
419. ЛЯ = ВС, BD1AC, Z.1 = Z.2,
АВ - 39, АС = 30.
Найти ED.
420. АВ = ВС, BD1AC, L\ = L2,
**АВС = ^®» лС* = \.4f
Найти ED.
421. АВ = ВС, BD1AC, L\ = Z.2,
ЯК: КС = 13 :10, S^c = 540.
Найти Pjibc
С
А В
422. АВ = ВС, LACB = 90% LI = L2.
Найти СЕ:BE.
А В
423. АС = ВС, LACB = 90% Z.1 = L2,
АС-2.
Найти АЕ.
424. АС = ВС, ZACB = 90% L\ = L2,
CE = VT- l.
Найти АВ.
A D С
425. АЕ, 5D и СМ — медианы.
АЕ = 12, BD = 9, АВ = 10.
Доказать, что B.D 1 АЕ.
426. АЕ, BD и СМ — медианы.
АЕ ш 9, BD = 6, АВ = V5T.
Найти СМ.
427. АВ = .ВС, AS = V14,
АЕ — медиана. АС = 5.
Найти АЕ.


428. АВ = ВС, АС = 4V3", АЕ —
медиана. АЕ = 7.
Найти АВ.
429. AS = ЯС, АВ = ЛС + 3, АЕ —
медиана. АЕ = 4,5.
Найти АВ.
430. АВ = ЯС, АБ — медиана.
АВ = АЕ+ 2,5, АС = АЕ - 0,5.
Найти АС.
431. АЯ = ЯС, AS = vTT, A£ —
медиана. АЕ: АС = 4 : 5.
Найти АС.
432. АВ = J5C, А£ — медиана.
АВ:АЕ = VX:1.
Доказать, что А£ = АС.
А
A D С
433. АВ = БС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 15, АС = 18.
Найти OD.
434. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 10, АС = 16.
Найти АО.
А
A D С
435. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 10, AD = OD + —.
Найти OD.
436. AJ3 = ВС, АЕ и BD — медианы.
ОЕ = 2,5, АС = 8.
Найти BD.
437. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АЕ=7,5, AD = OD+ 1.
Найти «SA5C.
438. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
OD = OE+ 1, AD = АО -2.
Найти АС.
A D В
439. АЕ и BZ) — медианы.
LACB = 90е, CZ> = VTTT, AC = 12.
Найти АО.
440. АЕ и BD — медианы.
LACB = 90% СВ = 24, АС = 18.
Найти СО.
441. АЕ и BZ) — медианы.
LACB = 90% СВ = 8, АС = 6.
Найти SA0B.
45


в
Соотношения в трапеции
442. ВС || AD, АВ = CD, BE ± AD,
МК — средняя линия.
Доказать, что
МК = ED.
443. ВС || AD, АВ = CD.
Доказать, что
BD2 = АВ2 + AD - ВС.
А
В
Г\
с
^
D
444. ВС || AD, АВ LAD.
Доказать, что
BD2 - АС2 = AD2 - ВС2.
Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике
С
445. LACB = 90% АС = 6, LB = 0.
Найти Smq.
446. £ЛСЯ = 90% АС = 6, Z.A = а.
Найти Smc
447. Z.AOB = 90*, AS = с, LA = a.
Найти Sjuc-
448. LACB = 90', CD ± АВ, АВ = с,
LA = a.
Найти CD.
46


449. LACB = 90е, CM = mc, CM —
медиана, LB = p.
Найти AC,
450. LACB = 90°, CM = mc, CM —
медиана, LA = a.
Найти Smc
451. LACB = 90°, CD LAB, CM —
медиана, CM = mc, LDCM = a.
Найти S
ABC
452. ZAC5 = 90°, CD ± AB, CM —
медиана, CD = A, LDCM = a.
Найти Sabq.
453. 5JD _L ЛС, Z.A = a, ZC = y,
5D = Ac.
Найти AC.
454. AD ± ЛС, LA = a, LC = y,
AB = c.
Найти AC.
Справочный отдел
sin a = —,
cos a = -,
b
ctga = -
Площадь треугольника
равна половине
произведения сторон на синус
угла между ними.
sabc = 2ab' siny'
47


Окружность и круг. Вписанные и некоторые другие углы.
455. Точки А, В, С принадлежат
окружности с центром в точке О.
LAOB = 80°.
Найти LACB.
456. Точки А, В, С принадлежат
окружности с центром в точке О.
LAOB + LACB = 180е.
Найти LACB.
457. Точки Л, В, С принадлежат
окружности с центром в точке О.
LAOB - LACB = 30е.
Найти LAOB.
458. Точки А, В, С принадлежат
окружности с центром в точке О.
LAOC = 150°, LBOC = 120°.
Найти LABC, LBCA, LCAB.
459. ААВС — остроугольный. О —
центр описанной окружности.
LBAC + LACB = 100е.
Найти LAOC.
460. ААВС — остроугольный. О —
центр описанной окружности.
LAOC = 160°, LA: LB = 3:4.
Найти LC.
461. ААВС — остроугольный. О —
центр описанной окружности.
LAOC = 100% LAOB = 120°.
Найти LBAC.
462. ААВС вписан в окружность.
LA: LB: LC = 4 : 5 : 6, ВЫ —
касательная.
Найти LMBA и LMBC.
463. ААВС вписан в окружность.
^АВ : ^ВС : ^СА = 2:3:4.
Найти LB - LA.
464. ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность с центром в
точке О. АВ = 3, AD = vT,
^АВ : ^ВС : ^CD: ^AD = 2:3:3:4.
Найти ОС.
465. АВ — хорда, ВМ — касательная
к окружности центра О.
LAOB + 3LMBA = 100°.
Найти LMBA.
466. АВ — хорда, ВМ — касательная
к окружности центра О.
LAOB - LMBA = 50°.
Найти LAOB + LMBA.
467. Точки Л, В, С, Dy E
последовательно расположены на окружности.
^AED = 60°.
Найти 2LABD + 3LACD.
468. Е — точка пересечения хорд АВ
и CD. vDB = 200°, ^АС = 80°.
Найти LAED.
469. £ — точка пересечения хорд АВ
и CD. ^BC = 20% ^AD = 70%
Найти LAEC.
470. £ — точка пересечения хорд АВ
и CD. Z.AED = 80% ^ВС = 20%
Найти ^AD.
Справочный отдел
Центральный угол измеряется дугой,
на которую опирается.
Вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается.
48


471. ААВС вписан в окружность с
центром О. MB — касательная, В —
точка касания, К — точка
пересечения прямой ВО с окружностью.
LMBA + LACB = 140е.
Найти LABK.
472. А, Ку М, В — точки,
принадлежащие окружности. С — точка
пересечения секущих AM и ВК.
S^MK = ^AB, LACK = 24°.
Найти ^МК.
473. ААВС вписан в окружность с
центром О, AD — касательная.
LDAB + ZAOB + LACB = 240е.
Яабти LACB.
474. АС — диаметр окружности с
центром О. Точки В ъ D лежат на
окружности по одну сторону от
диаметра.
Найти LBAC + LBCA + LDAC + LDCA.
475. Точки А, В и С лежат на
окружности с центром О.
LAOC = | LOAC,
LBCA = ZABC "+ 10е.
Найти LBAC, LACB, LCBA.
476. Точки А, В, С принадлежат
окружности с центром в точке О.
LAOC = LABC + 60% LBAO = 25е.
Найти LBAC, LACB, LCBA.
Справочный отдел
а = ~(^АВ+ ^CD)
^a-^AB-^CD)
а = j ^ЛС
Угол, вершина которого лежит внутри
круга, измеряется полусуммой двух
дуг, одна из которых заключена
между его сторонами, а другая —
между продолжениями сторон.
Угол, вершина которого лежит вне
круга, измеряется полуразностью двух
дуг, заключенных между его
сторонами.
Угол, составленный касательной и
хордой, измеряется половиной дуги,
заключенной внутри его.
49


Вписанные и описанные окружности
477. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ = а.
Найти г.
478. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ,
О — центр описанной окружности.
Найти R: АС.
479. Дано: ААВС, ВС = ЛС = AS,
5 = 9VT.
Найти г.
480. Дано: ААВС, £С = АС = АВ,
г =2.
Найти S.
481. Дано: ААВС, £С = АС = АВ,
г = 5.
Найти R.
482. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ,
АС = а.
Найти R.
483. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ, О —
центр описанной окружности,
ов = д.
Найти АС.
484. Дано: ААВС, АВ = ВС, BZ> ± АС,
О — центр вписанной окружности,
OD = 6, ОВ = 10.
Найти периметр треугольника.
485. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD 1 АС,
О — центр вписанной окружности,
Лик = 18, ВЛ = 3.
Найти г.
486. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD1 АС,
М — точка касания вписанной
окружности со стороной АВ,
AC:MB = 3:1, BZ>= 20.
Найти г.
487. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD 1 АС,
О — центр вписанной окружности,
OD: ОВ = 3 :5, АВ = 10.
Найти г.
488. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD ± АС,
О — центр вписанной окружности,
М — точка касания окружности со
стороной ВС, ВМ = AD, АО = 4
Найти АВ.
489. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD ± АС,
О — центр вписанной окружности,
ОВ : OD = 13 :5, 5^с = 60.
Найти г.
490. Дано: ААВС, ZC = 90е, АВ = 15,
г = 3.
Найти Рдвс-
491. Дано: ААВС, Z.C = 90е,
ляс
= 37, г = 3,5.
Найти АВ.
492. Дано: ААВС, ZC = 90е,
ВС + АС= 14, АВ = 10.
Найти г.
Справочный отдел
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус
- у S а+Ь+с
вписанной окружности определяется формулой г = —, где р = ~ .
Р *•
Центр описанной окружности лежит в точке пересечения перпендикуляров к
серединам сторон, а радиус описанной окружности определяется формулой
а • b • с
Л =
4S
50


493. Дано: ДАВС, LC = 90% 5 = 96,
АС + СВ = 28.
Найти г.
494. Дано: ДАВС, LC = 90е, 5 = 6,
АД = 5.
Найти г.
495. Дано: ДАВС, LC = 90е, М — точка
касания вписанной окружности с
гипотенузой АВ. ВМ = 6, AM = 4.
Найти г.
496. Дано: ДАВС, LC = 90е, М — точка
касания вписанной окружности с
гипотенузой АВ. АВ = 5, /■ = 1.
Найти Sabc-
497. Дано: ДАВС, М, Т, К — точки
касания вписанной окружности со
сторонами АВ, БС и АС.
АС:МВ= 12:1, /^ = 78.
Найти АС.
498. Даяо: ДАВС, АВ = ВС, АС = 24,
Л =13.
Найти S^c
499. Дано: ДАВС, АВ = ВС, BD ± АС,
АС = 24, BD = 24.
Найти R.
500. Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр
описанной окружности.
ОВ:АС^5:%, BD ± АС,
&авс = 128.
Найти R.
501. Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр
описанной окружности. BD 1 АС,
ОМLBC, OC:BC = VJ":4,
**овм = 5 + 3V5.
Найти АС.
502. Дано: ДАВС, АВ = 14, АС = 13,
ВС = 15.
Найти R.
503. Дано: ААВС, ВС = 12, АС = 20,
АВ= 16.
Найти г.
504. Дано: ДАВС,
ВС: АС: АВ = 9 : 10 :17, S = 144.
Найти R, г.
505. Дано: ДАВС,
ВС:АС:АВ = 29:25:6,
*АВС = б0#
Найти /?, г.
506. Выразить сторону ап правильного
л-угольника через радиус описанной
вокруг него окружности.
507. Выразить сторону ап правильного
л-угольника через радиус вписанной
в него окружности.
508. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности,
АВ : ВС = 5 : 12, ВС + АВ = 51.
Найти R.
509. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности,
AD - DC = 7, R = 6,5.
Найти Pabcd*
510. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности, С —
точка касания окружности с прямой
МК. LBCM + LBAC = 90е.
Найти LBAC + LAOD.
Справочный отдел
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего п вершин, равна
180е • (л - 2).
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°.
Периметры правильных л-угольников относятся как радиусы описанных около
них окружностей.
51


511. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности. Точка
М принадлежит дуге ВС.
AB:BC=1:VT.
Найти LAMB.
512. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности. М
принадлежит дуге ВС. S^qd = vT.
Л-1.
Найти LAMB.
513. ABCD — трапеция, вписанная в
окружность с центром О, AD || ВС,
LAOB = 90% BD = 4V2".
Найти S^cd-
514. ABCD — трапеция. О — центр
описанной окружности.
LOAB = LOAD, LAOB = 120е,
AD = 7, ВС = 5.
Яаити /^сд.
515. Найти площадь треугольника
ASC, вписанного в окружность,
радиус которой равен 2, а
v^AB : vBC: ^CA = 3:4:5.
516. О — центр описанной вокруг
треугольника ABC окружности,
LAOB = 120% АВ = ВС = 5.
Найти Л.
517. О — центр описанной вокруг
треугольника ABC окружности, радиус
которой равен 2, LA = 15%
LB = 60е.
Найти площадь треугольника ABC.
518. О — центр описанной окружности
вокруг трапеции ABCD.
LBAC = LCAD, LABO = 60%
АВ + ВС = 4.
Найти ВО.
519. В равнобедренный треугольник
вписана окружность с центром О.
D — точка касания,
принадлежащая стороне АВ. AD: DB = 5:8,
Рлвс = 180.
Найти г.
520. Равнобедренный треугольник
ABC вписан в окружность с
центром О. АВ = ВС, BD 1 АС,
Л0 = 9, OD= |яО.
Найти АВ.
521. £14 и DJ5 — касательные к
окружности с центром О.
LADB = 120% £>0 = 16.
Найти AD.
Справочный отдел
Центр окружности, описанной около треугольника,
лежит в точке пересечения перпендикуляров,
проведенных к серединам его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис.
52


522. DA и DB — касательные к
окружности с центром О.
LADB = 60е, DA + DB = 8.
Найти OD.
523. DA и. DB — касательные х
окружности с центром О.
LAOB = 120е.
Найти радиус окружности, если
площадь четырехугольника OADB
равна 9vT.
524. А — точка касания окружности с
прямой ВС.
Найти радиус окружности е
центром О, если АВ = АС,
LBOC = 120°, ВО = 6.
525. Точки А, В и С лежат на
окружности с центром О. LABC = 30°,
^аос = 15.
Найти АО.
526. Точки Ayl В лежат на окружности
с центром О.
Найти периметр треугольника
АОВ, если LAOB =* 60% АВ = 4.
Пропорциональные
С
527. О — центр вписанной в
треугольник ABC окружности.
Найти ее радиус, если
LAOC = 120е, АВ = ВС, Р^с = 3.
528. С? — центр окружности, вписанной
в квадрат ABCD. Е и Т — точки
пересечения окружности с
диагональю квадрата АС.
Найти АЕ, если Pj^qd = 4.
529. Е, М, Р, К — точки касания
вписанной в ромб ABCD окружности.
Найти углы ромба, если
АЕ = 3, DA> 1.
530. ABCD — ромб, описанный около
окружности, радиус которой
равен 3. LABC = 150°.
Найти Р
abcd-
531. О — центр окружности. Е — точка
пересечения хорды CD и диаметра
АВ. CD ±AB, ОА= 10, СЕ = 8.
Найти АЕ.
532. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра АВ. CD 1 AS,
СЕ + АЕ = 5, BE = 16.
Найти CD.
533. J? — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD I AB,
АВ + CD = 9, BE = 4АЕ.
Найти CD.
отрезки в круге
С
534. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD JL AS,
СЕ = 2AE, ВЕ = АЕ + 6.
Найти СВ.
535. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра АВ. CD 1 АВ,
АЕ = ЕС + 2, АС = АЕ + 2.
Найти BE.
536. £ — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD 1 АВ,
АЕ + £С = 7, С£ + Д£ = 17,5.
Найти BE.
53


537. Е — точка пересечения хорд CD
и АВ. АЕ = 4, АВ = 10,
СЕ: ED = 1: 6.
Найти CD.
538. £ — точка пересечения хорд CD
ш АВ. АВ = 17, С£> = 18,
ED = 2CJS.
Найти АЕ и 2ДО.
539. £ — точка пересечения хорд CD
и АВ. АВ = 10, СЛ=11,
££ = СЕ + 1.
Найти СЕ.
540. £ — точка пересечения хорд CD
я АВ. ED = 2AE, CE = DE- 1,
BE = 10.
Найти CD.
541. £ — точка пересечения хорд CD
и АВ. BE = СЕ+4, АЕ-СЕ-2,
AB-CD=1.
Найти АЕ: DE.
542. Е — точка пересечения хорд CD
и АВ. С£ = 2АЕ, ED = AE + A,
A3 = 17.
Найти CD.
543. JS — точка пересечения хорд CD
и АВ. CM LAB, DK1AB,
АВ = 21, СМ = 4VT, /Ж = SVT,
LAEC = 60*.
Найти AM и А».
544. Е — точка пересечения хорд CD
nAB.DKl АВ, DK = ICE,
LDEK = 30% АЕ = СЕ + 1,
А5 = 13.
Найти КВ.
а
545. О — центр окружности, описанной
около ААВС, LACB - 90%
CD J. A3, АО: DC = 3 :4,
ОС ш 12,5.
Найти CD.
546. О — центр окружности, описанной
около ДА5С, ^ЛСЯ - 90%
CD 1А5, CD - 12,
AD: ЯЯ - 9 :16.
Найти R.
547. О — центр окружности, описанной
около ЛАвС, ZAC£ = 90%
CD ± АВ, S^c = 150,
АВ: АС - 5:4.
Найти CD.
Справочный отдел
£ = AD-n
а • Ь- с d
54


548. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, LACB = 90е,
CD ±AB, CD + CB = 32,
АС : АВ = 3 :5.
Найти CD.
549. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, LACB = 90%
CD J. АВ, СЯ = 24, АС: СО = 6 :5.
Найти CD.
550. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, ZAC5 = 90е,
CD LAB, OA = 20, CD = ЗАО.
Найти DB.
551. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, ZACJ3 = 90°,
CD JL ЛЯ, АВ = 10,
AD: СВ = 1: 2V5".
Найти AD.
552. Найти периметр треугольника
ABC (АВ = ВО, если Е, М, D —
точки касания вписанной
окружности со сторонами АВ, ВС, АС.
4А£+2В£ = 17.
553. Найти периметр прямоугольного
треугольника, если радиус
вписанной окружности равен 1, а радиус
описанной — 2,5.
554. Диаметр разделен на отрезки
АС = 18 и СВ = 8. Из точки С
проведен к диаметру перпендикуляр
CD данной длины. Какое положение
занимает точка D относительно
круга, если CD равно: а) 12, б) 10,
в) 14?
555. Из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая.
Касательная равна б, секущая —
18. Определить внутренний отрезок
секущей.
556. Из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая.
Найти секущую, если известно, что
она меньше внутреннего отрезка
секущей на 4 и больше внешнего
отрезка на 4.
557. Из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая.
Найти секущую, если известно, что
внутренний ее отрезок относится к
внешнему, как 3:1, а длина
касательной 12.
558. Из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая.
Найти внешний отрезок секущей,
если известно, что внутренний ее
отрезок равен 12, а длина
касательной 8.
559. Касательная и секущая, исходящие
из одной точки, соответственно
равны 12 и 24. Определить радиус
окружности, если секущая удалена от
центра на 12.
560. Из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая.
Найти длину касательной, если ее
сумма с внутренним отрезком
секущей равна 10, а внешний отрезок
секущей на 4 меньше внутреннего.
561. К окружности радиуса 5 из одной
точки проведены касательная и
секущая.
Найти длину касательной, если
известно, что она больше внешнего
отрезка секущей на 2, а секущая
удалена от центра на 3.
562. Из одной точки проведены к
окружности две секущие, внутренние
отрезки которых соответственно
равны 8 и 16. Внешний отрезок
второй секущей на 1 меньше внешнего
отрезка первой.
Найти длину каждой секущей.
563. Из одной точки проведены к
окружности две секущие. Внешний
отрезок первой секущей относится к
своему внутреннему, как 1:3.
Внешний отрезок второй секущей на 1
меньше внешнего отрезка первой и
относится к своему внутреннему
отрезку, как 1:8.
Найти длину каждой секущей.
55


Четырехугольник, описанный вокруг окружности
Ключевые задачи ?
Трапеция
разносторонняя
В С
Z.3 = LA = 90°
ED = AB
Z.3 = LA = 90е
Г
Доказательство.
1
(LABC + Z.5AD = 180%
[ВО и АО — биссектрисы
V *
Z04B + /.05Л = 90°
4
Z3 = 90е,
А Е D
564. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD,
BE IAD.
Доказать, что ED>BE.
565. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD,
BE 1 AD, AD = ЗВС.
Найти LBAE.
ВК = ВМ = ЕТ\
KA = LD = DT)
лея = £Т\
КА = DT)
v 4 '
В С
А Е D
566. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ - CD,
BE LAD.
Доказать, что S^co = АВ ■ BE.
567. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ - CD,
Sabcd = 2, LABC = 150'.
Найти Р
ABCD'
56


А К Е D
568. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD, Т, М,
Р, Е — точки касания вписанной
окружности, ВТ = 2, АЕ = 8.
Найти S^cd-
569. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD, Т, М,
Л £ — точки касания вписанной
окружности, AT = 8, Sabcd = 80.
Найти ВТ.
570. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. AD + ВС = 8.
В К С
А Е D
571. ABCD — ромб. М, К, Р, Е —
точки касания вписанной
окружности с центром О. AM • DP = 2.
Найти S*
А Е D
572. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = СД
BE LAD.
Доказать, что 5^С2> = 25^.
А Е D
573. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD,
Pabcd= 16, BD = 5.
Найти S^cd-
574. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD, BD = 5,
Sabcd =12.
Найти Pabcd-
575. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD,
ABCD
= 16,
$abcd - 12.
Найти BD.
576. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности. АВ = CD.
Доказать, что
sin Z.А4£> = tg LADB.
В С
A D
577. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О.
ВА 1 AD, LBCD = 2LCDA.
Найти L\.
578. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О.
BALAD, L\ = 105е.
Доказать, что LBCD = 2LCDA.
579. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О.
LBCD = 2LCDA, L\ = 105е.
Доказать, что ВА ± AD.
57


в с
A D
580. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О.
BALAD.
Найти L\ + Z2 + Z3 + LA.
ВМС
А К D
581. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О.
BALAD.
Доказать, что S^cd = -AD • ВС.
582. ABCD — трапеция. Е — точка
касания описанной окружности с
центром О. ОС = 6, OD = 8.
Найти Sabcd-
583. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О и
площадью S. Е — точка пересечения
прямых СО и AD, В А 1 AD.
25
Доказать, что £^С2? = — + г ■ D£.
В Р С
£
А 1
Ел
К 0
584. ABCD — трапеция. М, Р, К —
точки касания вписанной
окружности центра О. АВ = С/?,
£0 = 3, АО = 4.
Найти РК.
585. ABCD — трапеция. М9 Р9 К —
точки касания вписанной окружно-
В Р С
А К D
ста центра О. АВ = CD,
АО = 4, РК= 4,8.
Найти ВО.
586. ABCD — трапеция. Му Р> К —
точки касания вписанной
окружности центра О. АВ = CD,
РК=А, ВМ= 1.
Найти BD.
587. АЯС£> — трапеция. М, Р9 К —
точки касания вписанной
окружности центра О. АВ = CD, АЕ 1 AD.
Найти ^££.
588. ABCD — трапеция. М, Р, К —
точки касания вписанной
окружности центра О. АВ = CD.
Найти ****-.
bpCDK
589. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности центра О.
LAOB = ZLBAD.
Найти -Гд.
ж
А К М D
590. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности радиуса г.
LBAD = 30% LADC = 45% г = 1.
Найти Ржа.
591. ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности центра О.
Найти
LAOB + LDOC + Z5AD + Z.A5C.


592. Найти сумму векторов:
а) AB + BC + CD;,
б) BA + AD + DC;
в) DA + CD + AB;
г) AC + BD + СВ;
д) BC + BD + CD;
е) AB + DB + BD;
ж) AB + CA + BD + DC.
Векторы
593. Найти:
а) AB-AD;
б) CB-CD;
в) АС + CD -AM;
г) АВ_- CD_- AC_+ BE;
д) АК_+ DE_- BC + KD_- AB±
ё) МТ-КЕ-МК + АТ-АЕ;
ж) JC + CD -KM +DM -АК;
з) DK-EA-AB + KB-DB.
594; О — точка пересечения медиан.
В А = а, ВР = 7п.
Выразить ОС через данные
векторы.
Решение.
AD = АВ + BD =
= -В\А + В~5= -"с + Тп.
DC = AD=-c + m. OD = jrBD = ^m.
OC = 'OD + 'DC = jm-'c + 7n= jm -с.
Справочный отдел
АВ — вектор.
\АВ\ — модуль вектора.
ВЕКТОРЫ
сонаправленные
&~ '
противоположно
направленные
коллинеарные
д = Ь,
если
Равенство, сложение и вычитание векторов
АВ + ВС = АС
АВ-АС = СВ
правило
треугольника
59


А " ь Е С
595. О — точка пересечения медиан.
AD — медиана, АВ = с, АС = Ь.
Выразить через данные векторы:
а) ВС; б) ОА\ в) OD\ г) АВ - ОС.
А С
596. МК — средняя линия треугольника
ABC. АВ = с, МК = п.
Выразить через данные векторы:
а) ВС; б) АК.
597. МК — средняя линия треугольника
ABC. АВ = с, МК = л.
Выразить через данные векторы:
а) СМ; б) AM - Я£.
598. О — _трчка пересечения медиан
ААВС. ABj= Cj_AC ^Ъ.
Найти ОА + ОВ + ОС.
599. О — точка пересечения диагоналей
АС и_ВР параллелограмма ABCD.
АВ = а, AD = b.
Выразить через данные векторы:
а) ОВ\ б) ОА + OD; в) АВ - ОВ.
600. О — точка пересечения диагоналей
АС и 2Ш параллелограмма ABCD.
Точки М, N, К, L — середины
сторон АВ, BCj CD, AD соответственно.
АВ = a, AD = b.
Выразить через данные векторы:
a) MW +JVK; 0) ОЯ + ЯК;
в) KN + KM.
601. Точки Л/, N, К, L — середины
сторон АВ, ВС, CD, AD
прямоугольника ABCD.
АВ = а, AD = b.
Выразить через данные векторы:
а) AM + AN;
б) AM-AN.
в
Справочный отдел
Проекция вектора на координатные оси
в
0 ^=0 х о
ьк=о
а
i
i
i
•л
i
i
ах=а
sasina
Ь
х 0 ьх=-ь х


602. ABCD — трапеция, AD \\ ВС,
AD = ABC. AB = a. AD = Ъ.
Выразить через данные векторы:
a) CD; б) АС; в) BD; г) АС - BD.
603. ABCD — трапеция, AD || ВС.
Точки М, N, К — середины
соответствующих сторон АВ, CD, AD.
ВА = с, ВС = Ь.
Выразить через данные векторы:
KM + KN.
604. ABCD — трапеция, AD \\ ВС,
АС = 7п, DB = n.
Выразить через данные векторы:
AD + BC.
605. ABCD — трапеция, AD || ВС,
В А = Ь, CD = с.
Выразить через данные векторы:
AD-BC.
Справочный отдел
Определение расстояния между Нахождение угла, под которым
двумя точками отрезок наклонен к оси ОХ
Определить расстояние между
точками А (х;; у1) и Б (х2; у2) значит,
выразить расстояние АВ через координаты
точек А а В.
АВ = )/АСг + СВг.
АС= \АХВХ\ = I дсг — jct 1,
ВС= \у2-ух\,
AB = y/(x2-Xif + (y2-yir.
d = y/(x2-xlY + (y2-y1Y
d — расстояние между
данными точками
Тангенс угла, под которым отрезок
АВ наклонен к оси ОХ.
tga =
Уг~У\
*2~*1
Координаты середины отрезка.
х + х7
X =
У =
У\ +Уг
Каждая координата середины
отрезка равна полусумме
его концов
61


606. Построить точку, симметричную
точке А (3; -5), относительно:
а) оси ОХ; б) оси OY\
в) начала координат.
607. Построить точку, симметричную
точке А (х; у), относительно:
а) оси ОХ; б) оси ОУ;
в) начала координат.
608. Найдите расстояние между
точками А и В, если:
а) А (-5; 2), Я (-2; 3).
б) АО\ 6), £(1; -1).
в) А (0; -3), 5 (-5; 1).
609. Определить, какая из данных
точек Л (3; -4), £(- VT; 3) и
С (-V3"; -1) отстоит дальше от
начала координат.
610. Показать, что треугольник с
вершинами А (5; 2), В (3; -4) и
С(-3; -2) равнобедренный.
Найти основание треугольника.
611. Доказать, что треугольник с
координатами вершин А (5; 1),
В (1; -3) и С (-1; -1) —
прямоугольный.
612. На оси абсцисс найти точку М,
равноудаленную от двух данных
точек А (8; 7) и В (-1; 2).
613. Точки А (-7; 4) и В (х; у) лежат
на прямой, параллельной оси ОХ.
Найти координаты точки В, если
АВ = 5.
614. Точки А (-3; -1) и Б (*; у) лежат
на прямой, параллельной оси OY.
Найти координаты точки В, если
АВ = 7.
615. Точки А (-3; -1) и 5 (х; у) лежат
на биссектрисе первого
координатного угла.
Найти координаты точки В, если
АВ = 2VT.
616. Определить вид треугольника
относительно его сторон, вершины
которого
а) А (6; 0), В (2; 3), С (7; -4),
б) А (-3; -3), В (-3; 2), С (-3; -1),
б) Л (-5; 1), В (-2; 7), С (2; -5),
г) Л (-2; 0), В(3; 2), С (2; -3).
617. Найти координаты точки С —
середины отрезка, соединяющего
точки: а) А (-6; 2), В (-4; 8);
б) Л(3; 5), Я<1; -1);
в) А(0; -3), В (-8; 1).
618. Найти координаты конца В
отрезка, если другой конец отрезка —
точка А (-5; -7), а середина
отрезка—С (-9; -12).
619. Найти координаты конца В
отрезка, если другой конец отрезка —
точка А (-4; 2), а середина
отрезка—С (-6; 5).
620. Даны вершины треугольника.
Найти координаты середин его
сторон: а) А (-7; 4), В (-5; 2), С (6; -3);
б) А (-4; 6), В (-8; 9), С (5; -6).
621. Точки Л (2; 4), В (-3; 7) и С (-6; 6)
— три вершины параллелограмма,
причем А я С — противоположные
вершины. Найти координаты
четвертой вершины.
622. Три вершины параллелограмма
имеют координаты А (-6; -4),
В (-4; 8), С (-1; 5), причем А и
С — противоположные вершины.
Найти координаты четвертой
вершины параллелограмма.
623. Дано: ААВС, AM — медиана,
А (2; -6), В (5; 3), С (1; 1).
Найти AM.
624. Дано: ААВС. А (-7; -3), В (4; 5),
С (-2; 1). О — точка пересечения
медиан.
Найти AM.
625. Дано: ААВС, АВ = ВС, А (-9; -2),
В (-3; 6), AD ± ВС, BE I AC,
AD = 9,6.
Найти BE.
62


626. Дано: ААВС, BE — биссектриса,
Л (-5; -3), С (10; -3), АВ = 8,
ВС = 12.
Найти BE.
627. Дано: ААВС, BD — биссектриса,
А (-5; -3), D (-1; -3), С (5; -3),
АВ + ЯС = 15.
Найти АВ.
628. Даяо: ААВС, AD — биссектриса,
Л(-1; -10), £> (-1; 0), С (-1; 12),
ВС - ЛЯ = 4.
Найти АВ.
629. Дано: ДЛЯС, Л£ — биссектриса,
Л (-4; -4), С (-4; 12), В (12; 8).
Найти СЕ.
630. Дано: ДЛЯС, ЛЯ = ВС, АЕ —
биссектриса, А (1; -10), Я (25; 8),
cos Z.CAB = 0,8.
Найти ЕС - АБ.
631. Дано: ААВС, LACB = 90е, СЕ —
биссектриса, А (2; -6), Е (8; -6),
Я (16; -6).
Найти Рмс
632. Дано: ААВС, LACB = 90е, ВМ —
биссектриса, С (-5; -3), М (-5; 0),
з
sin LBAC = |.
Найти Sjuq.
633. Дака* ДЛВС, ЛЯ = ВС, Е — точка
пересечения высоты BD с
биссектрисой АЕ. sin LABD = -ту»
Л (-15; -2), С (35; -2).
Найти радиус вписанной
окружности.
634. ДЛДС, LACB = 90% С£ = BE,
Е (0; 12), О (6; 8) — точка
пересечения медиан, АС = 9.
Найти АВ.
635. ABCD — трапеция. ВС || AD,
BA1AD, А (-2; 2), С (4; 26),
D (14; 2), sinZ.Z>= -Ц.
В
Скалярное произведение векторов
ло-Лс
« ЛС • AD -
636. Да«о: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
AC = 1,0 — точка пересечения
медиан. Найти АО • АС.
Решение.
Пусть LOAC = a.
АО • АС = АО • АС • cos a.
ЛО
Из AOAD имеем: cos a = -т^. Тогда
ля
A D С
637. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
АС - 8, ЛЯ « 10. АК — точка пе-
ресечения биссектрис.
Найти СА • ЯК.
Справочный отдел
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
63


Решение.
Пусть ДОАС = а.
СА-В~К=СА- ВК- cos а,
LBCD= 180° -а.
DC
Из ABCD имеем: cos (180° - а) = -^,
DC
откуда cos а = - -дтт.
DC
ел • да: = - са • вк • ^ =
= -SBK
10 - 5 **"
Но
вк
КС
АВ 5 , *
-гя = д- (по теореме о
биссектрисе внутреннего угла
треугольника). ВК = 5х, КС = 4х (х —
коэффициент пропорциональности). Так как
ВК + КС = ВС, имеем 5х + Ах = 10,
откуда х — -Q-. £ЛГ = 5х = -д-. Итак,
сл.вк — %вкш-2*.п-™.
A D С
638. Дано: ДАЯС, A3 = ВС, AD - DC,
АС = 8.
Найти АВ • AD.
639. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
АС = 5.
Найти AD • 5С.
640. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
АС = 3.
Найти АВ • CD.
641. Дано: ААВС, АВ = ВС, АС = 4,
АВ = 5.
Найти ВА • ВС.
642. Дано: ААВС, АВ - ВС, AD = DC,
BD=ll^_
Найти ВА - BD.
643. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
AD = 9,0 — точка пересечения
медиан.
Найти АО • CD.
644. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
ВМ = МС, АС = 2. в
Найти ВМ • AD.
645. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD- DC,
АВ = 10, АС = 16, АК —
биссектриса, О — точка пересечения
биссектрис.
Найти OD • КС.
646. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD - DC,
АВ = 5, АС = 6, А/С — биссектриса,
О — точка пересечения биссектрис.
Найти OD ■ КВ.
647. Дано: ААВС, S^c ~ 10» tg a = 4.
Яай/ии АВ • АС. В
64S._gaHO_ ААВС, АВ - ВС,
АВ • АС = 2.
Найти АС.
64


649. Дано: ААВС UACB^ 90е).
Доказать, что АВ • АС = АС2.
650._Дана_ААВС UACB = 90°),
АВ • АС = 144, S^c = 30.
Найти АВ.
651. Даж?; ДАВС U^CB = 90°),
АО = ОБ.
Доказать, что СА • СО = ^ ЛС2.
652. Дано: ДАЯС иЛСД = 90°),
АО = ОВ, САСО = 8,
СО • СВ = 4,5.
Найти СО.
653. Дя«о: ДАВС, Z.J3AC = а,
Доказать, что АВ • АС = 25 ctg a.
654. Даио: ABCD — трапеция,
описанная около окружности, ВС = 2,
А1> = 8.
Найти АВ ■ AD.
655 (обратная). Дано: ABCD —
трапеция, описанная около окружности,
AD = 8, АВ • AD = 24.
Найти ВС.
656. Найти значение _
(а - 6)(3 3j- 2 6), зная, что а 1 Ь,
151 = 1, 161 =2.
657. Векторы 5 и 6 образуют угол 60°.
Найти значение
(5 + 6)(5-2*),
зная, что 151 = 2, 161 = 3.
658. Векторы а и 6 образуют угол 120°.
Найти значение (3 5 + б)2, зная, что
151 = 1, 161 =5.
659. Найти значение
(а + 6 - с)(а - 6),
зная, что векторы 5, 4 и с образуют
между собой углы 120°, 151=6,
161 =2.
65


Применение векторов к решению задач
660. Доказать с использованием
векторов теорему «средняя линия
треугольника параллельна основанию и
равна ее половине».
Дано: ААВС, АК = KB, AM - МС.
Доказать, что
КМ
1
II ВС,
А
к/
км =
^вс.
^цМ
в
Доказательство.
Из условия АК = KB следует
АК = ^АВ.
Из условия AM = AfС следует
АМ = ^АС.
Но Ш = Ш-АК = ^АС-^АВ =
= ±(АС-АВ) = ±;ВС.
Полученное равенство утверждает,
что КМ || ВС и AM = 7}ВС, что и
требовалось доказать.
661. Доказать с использованием
векторов теорему «средняя линия
трапеции параллельна основаниям и равна
их полусумме».
Дано: ABCD — трапеция,
ВС || АД ВК = КА, СМ = MD.
Доказать, что КМ || ВС || AD,
1
KM = ^(AD + BC).
D
СМ,
km = ka + ad + dm,
Доказательство
[КМ = КВ + ВС +
о о
откуда имеем 'KM = ^{BC + AD). Так
как векторы АР и ВС сонаправлены,
то векторы КМ и AD также
сонаправлены, а длина вектора (ВС + AD)
равна ВС + AD. Отсюда следует, что
KM \\AD и KM = ^(AD + BC).
662. Найти косинус угла, лежащего
против основания равнобедренного
треугольника, если медианы,
проведенные к боковым
сторонам, взаимно
перпендикулярны.
Решение.
Пусть ABC — равнобедренный
треугольник с основанием АВ. ААХ и
ВВ{ — медианы, проведенные к бо-
ковым сторонам. Обозначим СА1 = я,
СВг = Ь% САХ = СВХ = а. Тогда
66


А4Х = САХ - СА = а - 2 Ь,
Щ = СВ1 -СВ = Ь - 2а.
AAi • Щ = (а - 2Ь)(В - 25) -
= 5 а • Ъ - 2 а • а - 2 2i • Ъ =
- 5а2 cos С - 4а2.
По условию ~Аа\ 12?2?i, значит,
AAj • 5i?j = 0. 5а2 cos С - 4а2 - 0,
откуда cos С = 0,8.
663. Если точка С — середина отрезка
АВ, л О — произвольная точка
плоскости, то ОС = jC^ + OB)-
Доказать.
2 ОС = ОА + ОВ + (АС + ВС),
откуда ОС = i (C4 + ОД)
(АС + ВС = 0, так как точка С
середина отрезка ЛВ).
Решение треугольников
Любой треугольник определяется
тремя основными элементами, причем
хотя бы один из них должен быть
линейным. Пусть в треугольнике ABC
АВ = с, АС = b, ВС- а.
664. Дано: а, £, LC.
Найти су LA, LB.
Решение.
По теореме косинусов находим
с* = <? + $ -1abco%LC,
откуда с = Vo2 + б2 - 2а* cos LC.
Величину угла В также находим по
теореме косинусов:
й2 = d + ^ - 2яс cos Z£,
cos LB = 2ac '
Значение угла В находим,
воспользовавшись таолицей значений функции
cos а, либо микрокалькулятором.
Находим величину угла А:
LA = 180° - (LB + LC).
A b
665. Дано: Ъ, LA, LC.
Найти: а, с, LB.
Решение.
Находим LB = 180е - (LA + LC),
Ъ = а
sin LB sin LA'
b sin LA
^^ a = 7E7F-
Аналогично
откуда с =
sin ZJ3 sin ZC
£ sin ZC
sinZ.fi
67


A b
666. Дано: а, Ъ, с.
Найти: LA> LB> LC.
Решение.
По теореме косинусов находим:
<? = d* + i2- 2a6cos ZC,
откуда cos LC —
Аналогично
2аЬ
а* = & + <? -2bc cos LA,
откуда cos LA =
26c
По таблицам значений функции
cos а найдем величины углов А и С:
LB = 180° - (LA + LC).
667. Дано: a, b, LA.
Найти: с, ZB, LC.
Решение.
По теореме синусов находим:
Ъ = а
sin LB sin LA9
. , _ 6 sin ZA
откуда sin ZB = .
По таблицам найдем LB. (Если
а > b9 то угол 5 — острый его величина
определяется однозначно. При а<Ъ
угол В может быть острым или
тупым, поэтому из найденного значения
sin LB можно найти два значения
угла В).
A b С
668. Дано: ААВС, ВС = 10, АС = 8,
Sabc = 20.
Найти: LC.
669. Дано: ААВС, LA = 45е, LB = 60е,
АС = 6 уГЬ.
Найти: ВС.
670. Дано: ААВС, LA = 1,5ZC,
LB = LA + 60°, АВ = 9 VT.
Найти: ВС.
4
671. Дано: ААВС, cos LB = ^,
sin ZC = «|, ЛС = 15.
Найти: АВ.
672. Дано; ААВС, AS = 12, ЛС = 10,
sin ZA = ^.
Найти: ВС.
673. Дано; ААВС, tg LC = ^,
£С = 13, АС = 12.
Найти: S^c-
674. Дано; ААВС, АС = 13, 5 = 60,
sin ZC = jj.
Найти: АВ.
675. Дано: ААВС, LA = 120% ВС = 26,
АВ : АС = 7 : 8.
Найти: Р
ЛВС-
676. Дана- ААВС, Z2? = 60е, АС = 7,
АВ + ВС = 13.
Найти: S^c-
68


Раздел 3.
Решение задач на построение
Греки времен Евклида считали прямую линию и окружность основными
линиями в геометрии и потому требовали, чтобы всякое геометрическое построение
выполнялось при помощи лишь тех инструментов, которые вычерчивают эти
линии.
В дальнейшем все построения будут выполняться лишь при помощи циркуля
и линейки.
Простейшие геометрические построения
677. Построить отрезок, равный
данному.
а
h
-*
678. Построить отрезок, равный сумме
двух данных отрезков а и Ь.
i i i . i
а Ь
Решение.
На произвольной прямой АВ
отложим от точки А отрезок AM = а, затем
отложим отрезок MN = b в ту же
сторону от М, тоща AN = а + Ь.
Ь
а
М
а+Ь
N
В
679. Построить отрезок, равный
разности двух данных отрезков а и Ь.
а Ь
Решение.
На произвольной прямой АВ
отложим от точки А отрезок AM « д,
затем отложим отрезок MN = Ъ в
противоположную сторону от Л/, тогда
AN=a-b.
а
Ьг
ь
N
а
иг
J
в
680. Данный
полам.
отрезок разделить по-
В
Решение. А
Из концов А и В, как из центров,
радиусом, большим половины АВ,
опишем две окружности, которые
пересекутся в точках М и N; соединив М и
N, в пересечении АВ и MN найдем
искомую точку О.
Фигура AMBN есть ромб, и поэтому
АО = ОВ.
681. Разделить данный отрезок на 4, 8,
16, ... 2п равных частей.
Решение.
Разделив отрезок АВ пополам,
каждую половину делим пополам, каждую
четверть опять пополам и т.д.
682. К прямой KF восставить
перпендикуляр в данной его точке С.
Решение. с
Отложим от точки С на прямой
KF отрезок СА = СВ так, чтобы точка
С приходилась между точками А и В.
69


м
А
В
N
Из концов А и В, как из центров,
радиусом, большим половины АВ9
опишем две окружности, которые
пересекутся в точках М и N; соединим М и
N. Фигура AMBN есть ромб, и поэтому
CM LAB.
683. Из данной точки О, лежащей вне
прямой АВ, опустить на эту прямую
перпендикуляр.
О
м
в
к
Решение.
Из центра О опишем произвольным
радиусом дугу, пересекающую АВ в
точках М и N; из центров М и N
описываем дуги тем же радиусом.
ОК — искомый перпендикуляр,
потому что фигура OMKN есть ромб.
684. При точке С прямой АВ построить
угол, равный данному а.
М
В
Решение.
Произвольным радиусом из
вершины угла а очертим дугу, пересекающук
его стороны в точках М и N; тем ж*
радиусом очертим из центра С дугу
пересекающую АВ в точке Р. Из центр*
Р радиусом, равным MN, очертим дугу
пересекающую прежнюю дугу в точке
Q. Соединим точки Q и С. Треугольник!
LNM и CQP имеют по три равные
стороны и поэтому равны. Следовательно
LQCP = LNIM = а.
685. Построить угол, разный сумме двуз
данных углов.
vM
В А
Решение.
Построим LCAB = а. На стороне
АС угла CAB построим LMAC = (1 так
чтобы сторона МА лежала вне LCAB
тогда LMAB = La + 48.
Р
М
В А
686. Построить угол, равный разноси
двух данных углов.
В
Решение.
Построим
стороне АС
LMAC = /? так, чтобы сторона МА ле
жала внутри LCAB\ тогда
LBAC = a (a>p). H;
угла CAB построй*
70


LMAB = La- L$.
В АС А
687. Разделить данный угол пополам.
А
Решение.
Произвольным радиусом из
вершины А данного угла ВАС опишем дугу,
пересекающую его стороны в точках
М и N; из центров М и N опишем дуги
равными радиусами, большими
половины MN; АО делит LBAC пополам
(ДЛ0Л/ = ДЛ0ЛО.
688. Через данную точку С провести
прямую, параллельную данной
прямой MN.
М А
Решение.
В N
Из данной точки С
произвольным радиусом проводим дугу,
пересекающую данную прямую. Пусть А и
В — точки пересечения. Из точек С и
В тем же радиусом проводим дуги до
их пересечения в точке D.
Соединяя точки С и Д получим
искомую прямую, так как CABD есть
ромб.
689. Построить треугольник, равный
данному треугольнику ABC.
А
Решение.
На произвольной прямой MN от
произвольной точки откладываем
отрезок AXBXJ равный АВ. Из точки Ах как
из центра описываем дугу радиусом,
равным АС, а из точки Вх описываем
дугу радиусом, равным ВС. Точку их
пересечения Сх соединяем с концами
отрезка АХВХ.
Треугольник АХВХСХ — искомый.
690. Построить треугольник по двум
сторонам а и b и углу между
ними С.
А Ь С
Решение.
Строим угол, равный данному, и
откладываем на его сторонах от
вершины отрезки, равные данным.
Соединяя их концы, получаем искомый
треугольник.
71


691. Построить треугольник по стороне
с и двум прилежащим к ней углам
А и В.
А
Решение.
Отложив на произвольной прямой
отрезок АВ = с, строим на его концах
А и В данные углы и продолжаем их
стороны (не совпадающие с АВ) до их
пересечения в точке С. Треугольник
ABC — искомый.
692. Построить треугольник по трем
данным его сторонам: а, Ь> с.
С
Решение.
Отложив на произвольной прямой
одну из заданных сторон, например,
а, проводим из ее концов радиусами,
равными отрезкам бис, две дуги. Точку
их пересечения соединяем с концами.
693. Построить треугольник по двум
сторонам с и Ъ и углу против одной
из них В.
А с в
Решение.
Строим угол Вл равный данному, и
откладываем на его стороне от вершины
В данный отрезок АВ = с. Из точки
А как из центра описываем дугу
радиусом, равным й, до пересечения с
продолжением второй стороны данного угла
в точке С. Задача имеет одно решение,
если дуга касается ВС, два решения,
если она пересекает ВС в двух точках,
или не имеет решения, если дуга не
имеет с ВС ни одной общей точки.
Общая схема решения задач
на построение
Решение более сложных задач на
построение состоит из этапов:
1. Анализ
Предположив, что задача решена,
делают от руки чертеж искомой
фигуры, стремясь свести задачу к
простейшим, решение которых известно.
2. Построение
Используя составленный при
анализе план решения, следует построение
искомой фигуры.
3. Синтез
Доказательство, что полученная
фигура удовлетворяет всем требованиям
задачи на основании известных теорем.
4. Исследование
Определение числа решений и тех
условий, при которых задача становится
возможной и невозможной.
Рассмотрим пример более сложной
задачи на построение.
694. Построить треугольник, если даны
два угла А и В и сумма двух его
сторон с и Ь.
D А с в
Анализ.
Чтобы отыскать способ решения
задачи или, как говорят, выполнить ана-
72


лиз задачи, предположим, что задача
решена и что ААВС — искомый. Найдем
связь между искомыми элементами
треугольника и данными задачи.
Отложим на продолжении стороны
АВ за точку А отрезок AD = АС и
соединим точки С и D; AACD —
равнобедренный.
LCAB = LCDA + LDCA = 2LCDA.
Следовательно, LCDA = tz ^САВ.
Треугольник BCD можно построить
по стороне BD = Ь + с и двум
прилежащим углам D и В. Таким образом,
найдены две вершины В и С искомого
треугольника. Третья А служит
вершиной равнобедренного треугольника
ACD, в котором известны основание
CD и углы при основании.
Построение.
На произвольной прямой
откладываем отрезок DB, равный данному
отрезку Ъ + с. На стороне BD при вершине
D строим угол BDC, равный ^-. При
вершине В строим угол DBC, равный
/?. Получили треугольник BCD.
Перпендикуляр к середине отрезка DC
пересекает BD в точке А
Доказательство.
Угол В построенного треугольника
равен данному LB по построению. Угол
CAB построенного треугольника как
внешний угол треугольника ACD равен
LACD + LADC = ^LA + ^LA = LA.
Далее, треугольник ACD —
равнобедренный, так как по построению
LDCA = LCDA = ^ LAy
и, следовательно, АС = AD. Поэтому
АС + АВ = DA + АВ = DB.
Треугольник ABC удовлетворяет
всем условиям задачи.
Исследование.
Задача имеет единственное решение
при условии, что сумма двух данных
углов меньше 180е.
Примечание. В дальнейшем при
решении задач на построение мы будем
01раничиваться анализом.
695, Построить треугольник, зная 6,
с, та.
А
Ь/ V^^vC
С D В
Предположим, что задача решена,
т.е. что найден такой ДАВС, у которого
АС = by АВ = с и AD = та. Рассмотрим
рисунок и попробуем разбить задачу
на несколько известных элементарных
задач. Но ни один из треугольников
ABDf ADC, ABC по предложенным
данным строить нельзя.
Продолжим медиану AD на такой
же отрезок и полученную точку М
соединим с точками В и С.
AABD = ACDM по первому
признаку равенства треугольников;
BD = DC по условию;
AD = DM по построению;
LADB = LCDM как вертикальные.
Треугольник АМС можно построить
по трем сторонам: AM = 2та, АС = Ь,
СМ = с. D — середина отрезка AM.
На продолжении отрезка CD
отложим DB = CD. AAfiC — искомый.
73


696. Построить равнобедренный
треугольник по высоте и боковой
стороне.
697. Построить равнобедренный
треугольник по высоте и углу при
основании.
698. Построить равнобедренный
треугольник по основанию и
перпендикуляру, опущенному из конца
основания на боковую сторону.
699. Построить равнобедренный
треугольник по основанию и высоте,
проведенной на основание.
700. Построить прямоугольный
треугольник по катету и медиане,
проведенной на другой катет.
701. Построить прямоугольный
треугольник по острому углу и его
биссектрисе.
702. Построить прямоугольный
треугольник по катету и высоте,
опущенной на гипотенузу.
703. Построить треугольник, зная 6,
с, hb.
704. Построить треугольник, зная 6,
LA, hb.
705. Построить треугольник, зная 6,
LA% la.
706. Построить треугольник, зная me,
LC, hb.
707. Построить треугольник, зная Ъл
Щ* hb.
708. Построить треугольник, зная Ь,
LA, ть.
709. Построить треугольник, зная Z.C,
LA, lb.
710. Построить треугольник, зная Ь,
ащ ть.
711. Построить треугольник, зная Z.C,
LB, К
712. Построить треугольник, зная £,
а, Л,.
74
713. Построить треугольник, зная я,
'с> hb.
Метод спрямления
714. Построить прямоугольный
треугольник по гипотенузе и сумме
катетов.
715. Построить прямоугольный
треугольник по гипотенузе и разности
катетов.
716. Построить прямоугольный
треугольник по сумме катетов и острому
углу.
717. Построить прямоугольный
треугольник по разности катетов и
острому углу.
718. Построить прямоугольный
треугольник по катету и разности
гипотенузы и другого катета.
719. Построить прямоугольный
треугольник по сумме гипотенузы и
катета Ъ + с и острому углу А.
720. Построить прямоугольный
треугольник по периметру и острому
углу.
721. Построить треугольник по стороне,
прилежащему к ней углу и сумме
двух других сторон.
722. Построить треугольник по сумме
сторон а и Ъ, стороне с и углу А.
723. Построить треугольник по разности
сторон а и Ь> стороне с и углу В.
724. Построить треугольник, если даны
два его угла А и В и сумма двух
его сторон а и Ь.
725. Построить треугольник, если даны
два его утла А и В и разность двух
его сторон а и Ь.
726. Построить треугольник, если даны
его периметр и два угла А и В.


Алгебраический метод
727. Построить треугольник, зная я,
Ъ + с, Ъ - с.
728. Построить треугольник, зная
а + 6, а + с, а + 6 + с.
729. Построить треугольник, зная
а + Ь, Ь + с, а + с.
730. Построить треугольник, зная
а + 6 + с, а - 6, а - с.
731. Построить треугольник, зная с, 6,
Z-Л + LB.
1Ъ1. Построить треугольник, зная а,
LA + ££, LB - Z.C.
733. Построить треугольник, зная а,
Zi4, Z5 - LC.
734. К трем данным отрезкам а% 6, с
найти четвертый
пропорциональный, т.е. найти такой отрезок х,
который удовлетворял бы
пропорции а:Ь = с:х (найти отрезок, вы-
Ьс
раженный формулой х = —).
Решение.
— = —. На сторонах
произвольного угла ABC откладываем отрезки
BD = a, BF = 6, ДЕ = с. Точки J3 и Е
соединим. Построим FG || /?£. Отрезок
В(7 будет искомым.
735. Построить отрезок, выраженный
формулой х = Va • b.
а
Решение.
Имеем т? =» а • &. х находится
способом построения средней
пропорциональной.
На произвольной прямой
откладываем отрезки АВ = а и ВС = 6; на
отрезке ЛС как на диаметре описываем
полуокружность. Из В восставляем до
пересечения с окружностью
перпендикуляр BD. Этот перпендикуляр и есть
искомая средняя пропорциональная
между а я о.
736. Построить отрезок, выраженный
формулой х = Va* + 6й.
Решение.
Находим гипотенузу
прямоугольного треугольника, у которого а и 6 —
катеты.
737. Построить отрезок, выраже:
формулой х
угрезок, в
Va*-u*.
Решение.
Находим катет прямоугольного
треугольника, у которого гипотенуза a, a
другой катет ft.
75


Метод геометрических мест
Геометрическое место точек (ГМТ) — это совокупность всех точек, каждая
из которых удовлетворяет одному определенному заданному условию.
На понятии о геометрическом месте точек основан прием решения задач на
построение. Он заключается в следующем.
Задача на построение обычно сводится к определению положения на плоскости
одной или нескольких точек, которые должны удовлетворять двум условиям.
Если мы отбросим одно из условий, то оставшемуся условию будут удовлетворять
бесчисленное множество точек, образующих некоторое геометрическое место.
Восстановим отброшенное условие и отбросим другое. Оставшемуся условию
опять будет удовлетворять бесчисленное множество точек, образующих новое
геометрическое место. Искомая точка должна удовлетворять обоим условиям
задачи и, значит, должна принадлежать обоим геометрическим местам. Если
построить каждое из найденных геометрических мест, то точка их пересечения
и будет искомой. Задача будет иметь столько решений, сколько общих точек
имеют найденные геометрические места.
Основные задачи на метод геометрических мест
738. Найти точку, находящуюся от
данной точки А на заданном
расстоянии а.
/
i
1
\
v
М
ч
i х а
Геометрическое место точек,
отстоящих на расстоянии, равном
q, от данной точки М9 есть
окружность, описанная из центра М
радиусом а.
739. Найти точку, находящуюся от
данной прямой на заданном расстоянии.
В
С-
А-
М-
D
■В
N
Геометрическое место точек,
отстоящих на заданном
расстоянии а от прямой АВ, составляют
две параллельные прямые CD и
MN, отстоящие от АВ на
расстоянии а
740. Найти точку, находящуюся на
одинаковом расстоянии от сторон угла.
Геометрическое место точек,
находящихся на равном расстоянии
от сторон угла, есть биссектриса
этого угла.
741. Найти точку, находящуюся на
одинаковом расстоянии от концов отрезка.
М
В
N
Геометрическое место точек,
находящихся на одинаковом
расстоянии от концов отрезка, есть
перпендикуляр к отрезку,
восставленный из его середины.
76


Задачи
742. Найти точку, находящуюся на
расстоянии а от прямой АД и на
расстоянии Ъ от прямой CD.
743. Найти точку, отстоящую от данной
точки А на расстоянии, равном а,
и от данной точки В на расстоянии,
равном Ь.
744. Найти точку, находящуюся на
равных расстояних от двух данных
точек М и N, и на равном расстоянии
от сторон данного угла ВАС.
745. Найти точку, находящуюся на
данном расстоянии а от точки С и на
равном расстоянии от точек А
и В.
746. На данной прямой АВ найти точку,
равноотстоящую от двух
пересекающихся прямых MN и PQ.
747. На стороне треугольника найти
точку, равноотстоящую от двух
других сторон треугольника.
748. Найти точку, равноотстоящую от
трех вершин данного треугольника.
749. Найти точку, равноотстоящую от
трех сторон данного треугольника.
750. Построить окружность данного
радиуса, проходящую через две
данные точки.
751. Разделить пополам угол между
двумя прямыми, не
пересекающимися в пределах чертежа.
Метод параллельного перемещения
Сущность параллельного перемещения заключается в следующем: после
перемещения какого-либо отрезка параллельно своему первоначальному положению,
его новое положение вместе с первоначальным будет составлять пару
противоположных сторон параллелограмма, чем удобно пользоваться при решении
некоторых задач.
752. Построить трапецию по четырем
сторонам а, Ьу с, d.
Анализ.
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Перенесем CD параллельно самой себе
в BE.
В полученном после перемещения
треугольнике ABE
АЕ= a- b, ВЕ = d, АВ = с.
Следовательно, этот треугольник
может быть построен по трем сторонам.
Построив его, легко найти оставшиеся
точки С и D.
753. Построить равнобедренную
трапецию по двум основаниям и
диагонали.
А а D b E
Анализ.
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Перенесем BD параллельно самой себе
в СЕ.
В полученном после перемещения
треугольнике АСЕ
АЕ = а + Ь% CE = BD = d, AC = d.
Следовательно, этот треугольник
может быть построен по трем сторонам.
Построив его, легко найти оставшиеся
точки D и В.
77


Задачи
754. Построить треугольник по
основанию с и медианам р и q его боковых
сторон.
755. Построить параллелограмм по двум
смежным сторонам и одной
диагонали.
756. Построить параллелограмм по двум
диагоналям и стороне.
757. Построить параллелограмм по двум
смежным сторонам и одному из
углов.
758. Построить параллелограмм по двум
диагоналям и высоте.
759. Построить параллелограмм по
диагонали, стороне и высоте,
опущенной на эту сторону.
760. Построить параллелограмм по
диагонали, стороне и высоте,
опущенной на другую сторону.
761. Построить прямоугольник по
смежным сторонам.
762. Построить прямоугольник по
стороне и диагонали.
763. Построить прямоугольник по
диагонали и углу между диагоналями.
764. Построить ромб по стороне и
одному из углов.
765. Построить ромб по диагонали и
одному из углов.
766. Построить ромб по двум
диагоналям.
767. Построить ромб по диагонали и
высоте.
768. Построить ромб по высоте и
одному из углов.
769. Построить квадрат по его
диагонали.
770. Построить трапецию, если даны ее
диагонали, угол между ними и
боковая сторона.
771. Построить трапецию по двум
параллельным сторонам и двум
диагоналям.
772. Построить трапецию по одному ее
углу, двум диагоналям и средней
линии.
Принятые обозначения
в трапеции ABCD:
о AD = a
* вс = ъ
основания
боковые стороны
АВ = с
CD = d
диагонали:
АС = е
BD=f
углы LA, LB, LC, LD
угол между диагоналями — LM
высота трапеции — А,
средняя линия — т.
Построить трапецию, если даны:
773. a, by с, е. 779. а, с, d9 LA.
774. а, с, d, е.
775. а, с, </, А.
776. а, £, /, Л.
777. я, £, с, Л.
778. а, 6, е, Л.
780. я, Ь> с, LB.
781. а, с, е, LM.
782. а, A, LA, AD.
783. а, Ь, LA, LD.
784. а, с, m, LA.
78


Задачи на
785. Определить центр данной
окружности.
В
О
Анализ.
Возьмем на окружности три
произвольные точки А, В и С. Будем искать
центр окружности, проходашщй через
эти точки. Геометрическое место точек,
равноотстоящих от двух данных точек
А и 2?, есть перпендикуляр, проходящий
через середину отрезка АВ.
Аналогично, центр окружности
лежит на перпендикуляре, проходящем
через середину отрезка ВС.
Итак, искомый центр лежит на
пересечении перпендикуляров,
проведенных к серединам хорд АВ и ВС.
786. На отрезке АВ как на хорде
построить дугу окружности так, чтобы
вписанный угол, опирающийся на
эту дугу, был равен данному.
У
i Х^
с
d^i
Анализ.
Предположим, что задача решена и
С есть центр искомой дуги. Так как
отрезок АВ служит хордой искомой
дуги, то точка С лежит на перпендикуляре
CD к прямой АВ, восставленном из
окружность
I середины отрезка АВ. LACB% как
центральный, должен быть в два раза
больше данного вписанного угла, a LACD
должен быть равен данному. Отсюда
следует построение.
Построение.
Из середины D отрезка АВ
восставляем к нему перпендикуляр и при
какой-нибудь его точке К строим угол,
равный данному, одной стороной
которого служит KD. Из точки А проводим
прямую, параллельную второй стороне
построенного угла. Она пересечет
прямую KD в точке С.
Из точки С как из центра радиусом
СА описываем дугу.
787. Через данную точку, лежащую на
окружности, провести к данной
окружности касательную.
А С В
0
Анализ.
Предположим, С — точка касания
прямой АВ с окружностью. Радиус
окружности, проведенный в точку
касания, перпендикулярен касательной.
Откуда следует построение.
Построение.
Проведем радиус окружности ОС и
через конец его С строим
перпендикуляр АВ к этому радиусу.
788. Через данную точку А9 лежащую
вне окружности центра О, провести
к окружности касательную.
Анализ.
Допустим, задача решена. В —
точка касания искомой касательной АВ.
I ЬАВО — прямоугольный.
79


Соединим точки О и А. Разделим
АО пополам. Из полученной точки М
радиусом МО описываем окружность.
Через точки В и JBlf в которых эта
окружность пересекается с данной,
проводим прямые АВ и АВХ. Эти прямые
и будут касательными, так как углы
АВО и АВХ О9 как опирающиеся на
диаметр, — прямые.
Следствие. Две касательные,
проведенные к окружности из точки вне ее,
равны и образуют равные углы с
прямой, соединяющей эту точку с
центром.
789. К двум окружностям О и Ох
провести общую внешнюю
касательную.
Анализ.
Предположим, задача решена. Пусть
АВ будет общая касательная, А и В —
точки касания. Проведем радиусы ОА
и ОхВ. Эти радиусы, будучи
перпендикулярными к общей касательной,
параллельны между собой; поэтому, если
из Ох проведем ОхС || В А, то
треугольник ОСОх будет прямоугольный с
прямым углом при вершине С. Значит,
80
если опишем с центром в точке О
радиусом ОС окружность, то она будет
касаться прямой ОхС в точке С.
Радиус этой вспомогательной
окружности равен разности радиусов
данных окружностей.
Построение.
Описываем окружность с центром i
точке О и радиусом, равным разноси
данных радиусов. Из Ох проводим *
этой окружности касательную ОхС;
через точку касания С проводим радиус
ОС и продолжаем его до встречи <
данной окружностью в точке А. Зател?
из точки А проводим АВ
параллельно СОх.
790. К двум окружностям О ylOx
провести общую внутреннюю
касательную.
Анализ.
Предположим, задача решена. Пусп
АВ будет общая касательная, Аи5-
точки касания. Проведем радиусы О/
и ОхВ. Эти радиусы, будучи
перпендикулярными к общей касательной,
параллельны между собой. Поэтому, ест
из Ох проведем ОхС || В А и
продолжим О А до пересечения с ОхС в точк<
С, то ОС ±ОхС\ вследствие этого
окружность, описанная радиусом ОС <
центром в точке О, будет касаться
прямой ОхС в точке С. Радиус этой
вспомогательной окружности известен: о*
равен ОА + АС = ОА + ОхВ% т.е. раве!
сумме радиусов данных окружностей.


Построение. конец, через точку Л, в которой ОС
Описываем окружность с центром в пересекается с данной окружностью,
точке О и радиусом, равным сумме проводим АВ параллельно СОх.
данных радиусов. Из Ох проводим к Подобным образом можно постро-
этой окружности касательную ОхС. тъ и ДРЗ^У10 общую внутреннюю ка-
Точку касания С соединяем с О. На- | сательнУю-
Метод подобия
Во многих задачах на построение условие задачи удается разделить на две
такие части, что одна часть условий вполне определяет форму искомой фигуры,
а другая определяет ее размер.
Применение метода подобия состоит в том, что сначала по тем элементам,
которые определяют форму фигуры, строят фигуру, подобную искомой, а затем
при помощи подобного преобразования придают ей тот размер, который
соответствует второй части задачи.
791. Построить треугольник по двум
углам А и В и медиане тс.
С
Af
Решение.
По двум углам Л и В можно
построить треугольник АХВХС подобный
данному. Если за центр подобия взять
вершину С, то подобное преобразование
можно выполнить так: на медиане
CDX построенного треугольника
откладываем отрезок CD, равный заданной
длине т0 и через точку D проведем
прямую, параллельную АХВХ,
пересекающую прямые САХ и СВХ в точках А
и В. Треугольник АСВ — искомый.
792. Построить треугольник, если даны
а: *, LC и Ас.
Решение.
Первые два данных условия а: Ь и
LC вполне определяют форму искомого
треугольника. Возьмем какие-либо два
отрезка аг и ^, отношение которых
равно а: 6, и построим треугольник
АВ'С по двум сторонам щ и 1\ и углу
между ними С. Этот треугольник будет
подобен искомому.
С
За центр подобия удобно взять
вершину С. На высоте CD1 треугольника
А'В'С или на ее продолжении
откладываем отрезок CD = А и через точку
D проводим прямую, параллельную
А'В' до пересечения со сторонами
С А9 и СВ' (или их продолжениями) в
некоторых точках А и В. Треугольник
ABC — искомый.
793. В данный треугольник вписать
квадрат так, чтобы две его вершины
лежали на основании треугольника,
а две другие — на его боковых
сторонах.
81


Решение.
В данном треугольнике ABC проводим
отрезок MN (| АС ъ на отрезке MN
строим квадрат MNPQ. Приняв за центр
подобия вершину В, проводим прямые
ВР и BQ и продолжаем их до
пересечения в точках Р' и Q со стороной АС.
Квадрат M'N'Q'P' — искомый.
Задачи
794. Построить треугольник, если даны
LA, LB, 1а.
795. Построить треугольник, если даны
LA, LB, Лс.
796. Построить треугольник, если даны
LA, LB, г.
797. Построить греугольник, если даны
а: 6, LC, ma.
798. Построить треугольник, если даны
а : b, LC, /в.
799. Построить треугольник, если даны
hc: /с, LA, тс.
800. Построить параллелограмм, если
даны: отношение двух его сторон,
угол и одна из диагоналей.
801. Построить параллелограмм, если
даны: высота, отношение диагоналей
и угол между ними.
802. В данный ромб вписать квадрат,
вершины которого лежат на
сторонах ромба.
Метод симметрии
Иногда, производя анализ задачи, бывает удобно для всей фигуры или ее
части построить фигуру, ей симметричную относительно какой-либо оси. После
такого построения иногда обнаруживается такая зависимость между элементами
фигур, которую раньше трудно было заметить.
804. Дана прямая / и две точки А и
В по одну сторону от нее. Найти
на прямой такую точку X. чтобы
сумма расстояний АХ + ВХ оыла
наименьшей. в
Решение.
Построим точку 2?', симметричную
точке В относительно прямой /.
Пусть X — искомая точка, тогда
ВХ = В'Хж АХ + ХВ = АХ + ХВ';
следовательно, задача сводится к
нахождению точки X такой, что сумма
АХ + ХВ' имеет наименьшую величину.
Этому условию, очевидно,
удовлетворяет X — точка пересечения данной
прямой / и прямой АВ'.
805. На бесконечной прямой АВ найти
такую точку С, чтобы прямые СМ
и CN, проведенные из точки С к
данным точкам М и N,
расположенным по одну сторону от АВ,
составляли с прямыми СА и СВ равные
углы.
806. Даны две окружности с центрами в
точках О и Oj и не пересекающая
их прямая АВ. Найти на прямой
АВ точку X такую, чтобы касательные
из нее к данным окружностям были
наклонены к АВ под равными углами.
807. Дан угол ABC и точка М внутри
него. Найти на одной стороне угла
точку X и на другой — точку У
тах, чтобы периметр треугольника
MXY был наименьшим.
82


Задачи
808. В треугольнике проекции боковых
сторон на основание равны 5 м и
9 м, а большая боковая сторона
равна 15 м.
На какие части делится эта боковая
сторона перпендикуляром к
основанию, проходящим через его
середину?
809. Основание равнобедренного
треугольника равно 3 м, а каждая из
боковых сторон равна б м. Прямая,
параллельная основанию, отсекает
от треугольника трапецию, верхнее
основание которой равно сумме
боковых сторон.
Определить стороны трапеции.
810. В треугольник вписан
параллелограмм, угол которого совпадает с
углом треугольника. Стороны
треугольника, заключающие этот угол,
равны 20 см и 25 см, а параллельные
им стороны параллелограмма
относятся как 6:5.
Определить стороны
параллелограмма.
811. В треугольник, основание которого
равно 48 м, а высота 16 м, вписан
прямоугольник с отношением сторон
5:9, причем большая сторона лежит
на основании треугольника.
Определить стороны
прямоугольника.
812. Основание равнобедренного
треугольника равно 6 м, а высота 9 м.
Найти стороны вписанного в
треугольник прямоугольниха, если его
диагонали параллельны боковым
сторонам треугольника.
813. Сумма гипотенузы и одного из
катетов прямоугольного
треугольника равна 49 см, а другой катет равен
разные
35 см.
Найти гипотенузу и первый катет.
814. Катеты прямоугольного
треугольника 12 см и 35 см.
Определить медиану гипотенузы.
815. Биссектриса острого угла
прямоугольного треугольника делит
противоположный катет на части в 4
см и 5 см.
Найти гипотенузу.
816. Высота, опущенная на гипотенузу
данного прямоугольного
треугольника, делит его на два
прямоугольных треугольника. Медианы этих
треугольников, проведенные к их
гипотенузам, равны 3 м и 4 м.
Определить медиану данного
треугольника, проведенную к
гипотенузе.
817. Высота треугольника, опущенная
на основание, равна 12 см, а углы
при основании 45* и 60е.
Найти стороны треугольника.
818. Диагонали ромба 24 см и 70 см.
Определить высоту ромба.
819. В равнобедренном треугольнике
высота, опущенная на боковую
сторону, делит ее на отрезки 7 см и
2 см, считая от вершины.
Определить основание
треугольника.
820. В равнобедренном треугольнике
высота, опущенная на основание,
равна 20 см; высота, опущенная на
боковую сторону, равна 24 см.
Определить стороны треугольника.
821. Гипотенуза прямоугольного
треугольника больше одного из катетов
на 25 см и больше другого на 2 см.
Найти стороны треугольника.
83


822. Биссектриса прямого угла
прямоугольного треугольника делит
гипотенузу на части в отношении 2:5.
В каком отношении делится
гипотенуза высотой, проходящей через
вершину прямого угла?
823. Высота, опущенная на боковую
сторону равнобедренного
треугольника, делит ее на отрезки 3 см и
2 см, считая от вершины.
Найти длину этой высоты и
периметр данного треугольника.
824. Из точки, лежащей на стороне
равностороннего треугольника и
делящей ее на отрезки 1 см и 3 см,
опущены перпендикуляры на две
другие стороны.
Найти длины этих
перпендикуляров.
825. Меньшее основание
равнобедренной трапеции равно 10 м, а периметр
ее равен 56 м. Диагональ трапеции
делит тупой угол ее пополам.
Найти высоту трапеции.
82б.Основание равнобедренного
треугольника равно 18 см, а боковая
сторона равна 27 см.
Определить стороны треугольника,
вершинами которого служат
основания высот данного.
827. Прямоугольный треугольник
высотой, проведенной через вершину
прямого угла, делится на два
треугольника. Медианы прямых углов
этих двух треугольников равны
1,2 м и 2 м.
Определить биссектрису прямого
угла данного треугольника.
828. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
угол 60° и соответственно равны 5 см
и 8 см.
829. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
угол 120е и соответственно равны
3 см и 5 см.
830. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
угол 45° и соответственно равны 2 см
и 3 см.
831. Стороны треугольника относятся
между собой как 13:14:15, а высота,
опущенная на среднюю по величине
сторону, равна 36 см.
Найти стороны треугольника.
832. Две стороны треугольника
соответственно равны 8 см и 13 см, а
угол против большей из них
равен 60°.
Определить третью сторону.
833. Одна из сторон треугольника равна
13 см, а угол, лежащий против этой
стороны, равен 120е; сумма двух
других сторон треугольника
равна 15 м.
Определить стороны треугольника.
834. Основание треугольника равно
22 см, а боковые стороны равны
15 см и 23 см.
Определить медиану основания.
835. В треугольнике ABC: АВ = 13 см,
ВС = 14 см, АС = 15 см.
Определить высоту, опущенную на
сторону ВС.
836. Основание треугольника равно 2 м,
а прилежащие к нему углы равны
30° и 45°.
Определить боковые стороны
треугольника.
837. Стороны данного параллелограмма
соответственно равны 12 см и 14 см,
а диагонали относятся как 7:11.
Определить длины диагоналей.
838. Основания трапеции равны 9 см
и 4 см, а боковые стороны 3 см
и 4 см.
Определить высоту трапеции.
84


839. Из точки, данной на окружности,
проведены две хорды, каждая из
которых равна радиусу.
Найти угол между ними.
840. В круге даны две взаимно
перпендикулярные хорды, каждая из
которых делится другой на два отрезка
в 3 см и 7 см.
Найти расстояние каждой хорды от
центра.
841. Хорда пересекает диаметр под
углом 30° и делит его на два отрезка
в 3 см и 7 см.
Найти расстояние хорды от центра.
842. Из одной точки окружности
проведены взаимно перпендикулярные
хорды, которые удалены от центра
на 6 см и на 10 см.
Определить их длину.
843. Даны две концентрические
окружности. В большей окружности даны
две взаимно перпендикулярные
хорды, касательные к меньшей, каждая
из хорд делится другой на части в
3 см и 7 см.
Найти радиус меньшей окружности.
844. Из точки М, лежащей вне
окружности, проведены к ней две секущие,
образующие угол в 45°. Меньшая
дуга окружности, заключенная
между сторонами угла, равна 30е.
Сколько градусов в большей дуге?
845. АВ — диаметр, ВС — касательная.
Секущая АС делится большей
окружностью (в точке D) пополам.
Определить угол CBD.
846. В окружности, радиус которой
равен 14 см, определить расстояние
от центра до хорды, стягивающей
дугу в 120е.
847. Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 2 см, угол при
вершине равен 120°.
Определить диаметр описанной
окружности.
848. Меньшая сторона прямоугольника
равна 1 м, острый угол между
диагоналями равен 60°.
Найти радиус описанной
окружности.
849. В прямоугольном треугольнике
катеты равны 12 см и 5 см.
Определить радиус вписанной
окружности.
850. Радиус окружности равен 25 см,
а две параллельные хорды этой
окружности соответственно равны
14 см и 40 см.
Определить расстояние между
хордами.
851. В окружность радиуса 5 см вписан
прямоугольный треугольник так, что
один из катетов вдвое ближе к
центру, чем другой.
Определить катеты.
852. Радиусы двух пересекающихся
окружностей равны 15 см и 20 см.
Определить расстояние между
центрами окружностей, если длина из
общей хорды равна 24 см.
853. Радиусы двух окружностей,
имеющих внешнее касание,
соответственно равны 4 м и 9 м.
Определить длину отрезка их общей
внешней касательной между
точками прикосновения.
854. В равнобедренной трапеции
основания равны 8 м и 6 м, а высота
равна 7 м.
Определить радиус описанной
около этой трапеции окружности.
855. Катеты прямоугольного
треугольника равны 3 м и 4 м.
Определить радиус вписанной
окружности.
856. Катеты прямоугольного
треугольника равны 3 см и 6 см.
Определить радиус окружности,
касающийся катетов этого
треугольника и имеющий центр на
гипотенузе.
85


857. Стороны прямоугольника 2 см и
24 см.
Найти стороны равновеликого ему
прямоугольника, если их отношение
равно 3:4.
858. Сторона прямоугольника относится
к его диагонали, как 3:5, в другая
сторона равна 8 см.
Найти площадь прямоугольника.
859. Периметр прямоугольника равен
14 м, а площадь 12 м2.
Найти диагональ этого
прямоугольника.
860. Стороны прямоугольника 3 м и
1 м.
Найти площадь четырехугольника,
образованного биссектрисами всех
углов прямоугольника,
проведенными до взаимного пересечения.
861. Высоты параллелограмма
относятся, как 2:3, периметр его равен
40 см, а острый угол 30е.
Определить площадь
параллелограмма.
862. Площадь параллелограмма равна
36 см2, а расстояние от точки
пересечения диагоналей до сторон
соответственно равны 2 см и 3 см.
Найти периметр параллелограмма.
863. Высота ромба равна 24 см, а одна
из его диагоналей равна 30 см.
Найти площадь ромба.
864. Доказать, что сумма расстояний
от точки, взятой внутри
равностороннего треугольника, до его сторон
равна высоте треугольника.
865. Перпендикуляры, опущенные из
точки, лежащей внутри
равностороннего треугольника со стороной,
равной 12 см, на стороны
треугольника, относятся между собой как
1:2:3.
Найти длины этих
перпендикуляров.
866. Сумма двух сторон треугольника
равна 15 см, а высоты, опущенные
на эти стороны, равны 4 см и 6 см.
Определить площадь треугольника.
867. Две стороны треугольника равны
10 см и 14 см, а угол против первой
из них равен 45е.
Найти площадь треугольника.
868. Определить площадь
равнобедренного треугольника, если основание
равно 30 см, а высота, опущенная
на боковую сторону, равна 24 см.
869. Стороны треугольника равны
26 см, 28 см и 30 см.
Определить площади
треугольников, на которые разбивается данный
треугольник высотой и медианой,
проведенными к средней по
величине стороне.
870. Определить площадь
треугольника, если две стороны его равны
27 см и 29 см, а медиана третьей
стороны равна 26 см.
871. Найти площадь равнобедренного
треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 20 см, а
высота, опущенная на боковую
сторону, равна 24 см.
872. Катеты прямоугольного
треугольника равны 6 см и 8 см, в
треугольнике дана точка на расстоянии
2 см от каждого катета.
Найти расстояние данной точки от
гипотенузы.
873. Медианы равнобедренного
треугольника равны 18 см, 15 см и 15 см.
Найти площадь этого треугольника.
874. Стороны треугольника относятся
между собой, как 4:13:15, а площадь
равна 96 см2.
Найти стороны треугольника.
ЯА


875. Стороны треугольника равны 4 см,
13 см и 15 см. Внутри треугольника
дана точка на расстоянии 5 см от
первой стороны и на расстоянии 1 см
от второй.
Найти расстояние данной точки от
третьей стороны.
876. Основание треугольника равно 10
см, медианы боковых сторон равны
9 см и 12 см.
Найти площадь треугольника.
877. Площадь треугольника равна
84 см2, а две его стороны равны 15
см и 14 см.
Найти третью сторону.
Задачи на р
882. Доказать, что угол, дополняющий
меньший из двух смежных углов до
прямого, равен полуразности
смежных углов.
883. Доказать, что биссектрисы двух
смежных углов взаимно
перпендикулярны.
884. На каждой стороне
равностороннего треугольника ABC отложены
равные отрезки АВХ = ВСХ = САХ.
Точки Ах, Вг и С] соединены
отрезками прямых.
Доказать, что треугольник AiB{Ci
тоже равносторонний.
885. Доказать, что в треугольнике
сторона меньше половины периметра.
886. Доказать, что сумма расстояний
от какой-нибудь точки внутри
треугольника до его вершин
1) меньше периметра и
2) более половины периметра.
887. Доказать, что прямая,
перпендикулярная к биссектрисе угла,
отсекает от его сторон равные отрезки.
878. Основания равнобедренной
трапеции равны 7 см и 13 см, а ее площадь
равна 40 см2.
Определить периметр трапеции.
879. Основания трапеции б см и 20 см,
а боковые стороны 13 см и 15 см.
Определить площадь трапеции.
880. Основания трапеции Зсм и 12 см,
а одна из боковых сторон 17 см.
Определить другую боковую
сторону, если площадь трапеции равна
60 см2.
881. Высота трапеции равна 12 см, а
диагонали ее равны 20 см и 15 см.
Найти площадь трапеции.
889. Доказать, что если две стороны
и медиана одного треугольника
соответственно равны двум сторонам
и медиане другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Рассмотреть два случая:
1) медиана проведена к одной из
данных сторон;
2) медиана проведена между
данными сторонами).
890. Из вершины треугольника ABC
проведена прямая, параллельная
биссектрисе угла В, до пересечения
в точке D с продолжением
стороны АВ.
Доказать, что BD = ВС.
891. Доказать, что во всяком
треугольнике биссектриса лежит между
высотой и. медианой, исходящими
из той же вершины.
892. Из вершины прямого угла
прямоугольного треугольника проведены:
жазательство
888. Доказать, что если в треугольнике
две высоты равны между собой, то
такой треугольник равнобедренный.
87


биссектриса прямого угла, медиана
гипотенузы и высота, опущенная на
гипотенузу.
Доказать, что биссектриса делит
пополам угол между высотой и
медианой.
893. Доказать, что если медиана равна
половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник
прямоугольный.
894. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике медиана, проведенная
к гипотенузе, равна ее половине.
895. Доказать, что медиана
треугольника меньше полусуммы сторон,
исходящих из той же вершины.
896. Доказать, что сумма медиан
треугольника меньше периметра, но
больше полупериметра
треугольника.
897. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике медиана и высота,
проведенные к гипотенузе, образуют
угол, равный разности углов
треугольника.
898» Доказать, что в равнобедренном
треугольнике сумма расстояний
каждой точки основания от боковых
сторон есть величина постоянная,
равная высоте, опущенной на
боковую сторону.
899. Доказать, что если один из углов
треугольника равен сумме двух
других, то треугольник прямоугольный.
900. Доказать, что биссектриса
внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна
основанию.
901. Доказать, что сумма расстояний
от любой точки, лежащей внутри
параллелограмма, до всех его сторон
есть величина постоянная.
902. Доказать, что середины сторон
любого выпуклого
четырехугольника служат вершинами
параллелограмма.
903. Доказать, что если каждую из
середин двух противоположных
сторон всякого четырехугольника
соединить с серединами диагоналей, то
образуется параллелограмм.
904. Доказать, что биссектрисы углов
прямоугольника своим
пересечением образуют квадрат.
905. Доказать, что основания
перпендикуляров, опущенных из точек
пересечения диагоналей ромба на его
стороны, образуют вершины
прямоугольника.
906. Доказать, что отрезки,
соединяющие середины смежных сторон
равнобедренной трапеции, образуют
ромб.
907. Доказать, что если в трапеции
сумма противоположных углов
равна 180% то такая трапеция
равнобедренная.
908. Доказать, что если углы при
основании трапеции различны, то
разность проекций боковых сторон
трапеции на ее основание равна
разности оснований трапеции.
909. Доказать, что отрезок,
соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен ее основаниям и
равен их полуразности.
910. Доказать, что биссектрисы углов,
прилежащих к одной из
непараллельных сторон трапеции,
пересекаются под прямым углом в точке,
лежащей на средней линии
трапеции.
911. Доказать, что угол, образуемый
двумя касательными, вдвое больше
угла, образуемого хордой,
соединяющей точки касания, с радиусом,
проведенным в одну из этих точек.
88


912. Доказать, что радиус окружности,
вписанной в равносторонний
треугольник, в два раза меньше радиуса
описанной окружности, а сумма
обоих радиусов равна высоте
треугольника.
913. Доказать, что сумма диаметров
окружностей, вписанной в
прямоугольный треугольник и описанной
около него, равна сумме его катетов.
914. Диаметр АВ и хорда АС образуют
угол 30е. Через точку С проведена
касательная, пересекающая
продолжение АВ в точке D.
Доказать, что треугольник ACD —
равнобедренный.
Задачи на
917. Построить треугольник, если даны
середины его сторон.
918. Построить треугольник по двум
медианам и углу между ними.
919. Построить треугольник по высоте,
опущенной на основание, и
медианам боковых сторон.
920. Построить треугольник по
основанию и медианам боковых сторон.
921. Построить параллелограмм, если
даны периметр, одна диагональ и
угол между диагональю и стороной.
922. Построить параллелограмм, если
даны две высоты, проведенные из
одной вершины, и угол.
923. Построить прямоугольник по
стороне и сумме диагоналей.
924. Построить прямоугольник по
диагонали и сумме двух неравных
сторон.
925. Построить прямоугольник по
диагонали и разности двух неравных
сторон.
926. Построить прямоугольник по
стороне и сумме диагонали с другой
стороной.
915. Доказать, что если два круга
касаются внешним образом, то часть
внешней общей касательной,
ограниченная точками касания, есть
средняя пропорциональная между
диаметрами кругов.
916. Если в прямоугольный треугольник
ABC вписать квадрат DEFK так,
чтобы сторона FK лежала на
гипотенузе АВ, то эта сторона есть
средняя пропорциональная меду
отрезками гипотенузы BF и КА (точки
на гипотенузе следуют в таком
порядке: В, F, К, А).
Доказать, что FK = VBF • КА.
построение
I 927. Построить прямоугольник по
стороне и разности диагонали с другой
стороной.
928. Построить ромб по стороне и
диагонали.
929. Построить ромб по углу и
диагонали, проходящей через вершину
этого угла.
930. Построить ромб по сумме
диагоналей и углу, образованному
диагональю со стороной.
931. Построить ромб, если даны сумма
стороны и диагонали и один из
углов.
932. Построить ромб, если даны
разность стороны и диагонали и один
из углов.
933. Построить ромб, если даны сторона
и сумма диагоналей.
934. Построить ромб, если даны сторона
и разность диагоналей.
935. Построить ромб, если даны сумма
диагоналей и угол между стороной
и диагональю.
936. Построить равносторонний
треугольник по радиусу описанной
окружности.
89


937. Построить равносторонний
треугольник по радиусу вписанной
окружности.
938. Построить равнобедренный
треугольник по боковой стороне и
радиусу описанной окружности.
939. Построить равнобедренный
треугольник по основанию и радиусу
описанной окружности.
940. Построить равнобедренный
треугольник по высоте, проведенной на
основание, и радиусу описанной
окружности.
941. Построить равнобедренный
треугольник по высоте, проведенной на
основание, и радиусу вписанной
окружности.
942. Построить равнобедренный
треугольник по основанию и радиусу
вписанной окружности.
943. Построить равнобедренный
треугольник по углу при вершине и
радиусу вписанной окружности.
944. Построить прямоугольный
треугольник по катету и радиусу
вписанной окружности.
945. Построить прямоугольный
треугольник по гипотенузе и радиусу
вписанной окружности.
946. Построить прямоугольный
треугольник, если даны радиусы
вписанной и описанной окружностей.
947. Построить прямоугольный
треугольник по острому углу и радиусу
описанной окружности.
948. Построить треугольник по
основанию, высоте, проведенной к
основанию, и радиусу описанной
окружности.
949. Построить треугольник по стороне,
углу, прилежащему к этой стороне,
и радиусу описанной окружности.
950. Построить треугольник по стороне,
медиане, проведенной к этой
стороне, и радиусу описанной
окружности.
951. Построить треугольник, если даны
высота, проведенная к основанию,
угол при основании и радиус
описанной окружности.
952. Построить треугольник, если даны
боковая сторона, высота,
проведенная к основанию, и радиус
описанной окружности.
953. Построить треугольник по высоте
и биссектрисе, проведенных из
вершины одного из углов, и радиусу
описанной окружности.
954. Построить треугольник по стороне,
углу, прилежащему к этой стороне,
и радиусу вписанной окружности.
955. Построить треугольник по боковой
стороне, высоте, проведенной к
основанию, и радиусу вписанной
окружности.
90


Раздел 4.
Задачи для кружковой и факультативной работы
в
Задача 954.
Дано: ААВС, АК1 ВС, BD ± АС.
Доказать, что ACKD v> ААВС.
(*)
Решение.
ААКС v> ABDC UC — общий,
LAKC = LBDC = 90*), поэтому
КС АС
DC* ВС4
AKDC<*AABC {LC — общий, а сто-
роны, его заключающие,
пропорциональны). Из соотношения (*) имеем:
^ = ^ cos*U>*
АС ВС С0 U K
{к — коэффициент подобия).
Вывод: прямая, соединяющая
основания высот остроугольного
треугольника, отсекает от этого треугольника
подобный ему треугольник.
Задача 957.
Дано: ААВС, АР 1 ВС, CD I AB9
SabC=1&> Sdbp = 2> PD = 2VT.
Найти: R (радиус окружности,
описанной вокруг ААВС).
Решение.
ADBP ел ААВС,
*ADBP
= ^ = cos^-I
(задача 956), откуда
АС = 3DP т б VT, cos LB
1
3*
тогда sin LB
Из АС
2VT
3 '
sin5l = 2R находим *
Ответ. 4,5.
Задача 958.
Дано: ААВС, AM 1 ВС, CD IAB,
AK1KF, CFLKF.
Доказать, что KD - MF.
a, L2=0. Тогда
91


Z3 = 90e-a, Z.4 = 90e-jff,
AABCv>ADBM (задача 956),
Л — радиус окружности, описанной
вокруг ДАЕяС,
АВ _ ВМ_ 2R sin (90° - а) _
ВС BD 2R sin (90е - £)
_ cosa
cos£'
но АВ • CD = ВС • AM у откуда
АВ AM
AM
ВС CD
cosa
Имеем:
-тт^г * *> AM • cos В = CD cos a,
CD cosj3' \ у 7 \—^_J/
AD + DM = DM + MF, KD = MF.
Задача 959.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, АЕ 1 ВС, CD 1 АВ.
Доказать, что DJS ± ВО.
Решение.
Пусть Z.CMB = LABO = а, тогда
LAOB = 180е - 2a, ZACB = LBHE
(углы со взаимно перпендикулярными
сторонами), но LBHE я ZBDE = 90е - а
(задача 957),
LBDE + LDBO = 90е - a + а = 90%
значит, ZBA/D = 90e.
Задача 960.
Ддно: ААВС, О — центр описанной
окружности, AM 1 ВС, С//1 АВ,
LABC — р, SNqMB — о.
Найдите: АС.
Решение.
ZATB = 90° (задача 958), тогда
MN- ВО
* ~ 2 •
Д#ВМ ел ААВС.
Коэффициент подобия cos/? (задача
956), -^£- = cos/З, откуда
(*)
MN = AC cos )3,
(1)
^4С_
sin/3
= 2 • ВО (теорема синусов),
АС = 2 -ВО sin £. (2)
Подставляя (1) и (2) в формулу
(*), получим
AC cos p АС АС*
* " 4sin£ 4tg£'
откуда АС = 2 VS ■ tg/3.
Ответ: 2V5 • tg0.
Задача 961.
Дано: ААВС, АЕ 1 ВС, BD J. АС,
CM LAB.
Доказать, что Z.1 = Z.2, Z.3 = Z.4,
Z5 = Z.6.
Решение.
Вокруг четырехугольников МВЕН,
DHEC, AMHD можно описать
окружности (почему?).
92


Пусть Zl = Ll = а (вписанные,
опирающиеся на одну и ту яге дугу).
Тогда LBAC = 90е -a, Lb = а,
Z.8 = Z.2 = ее
(вписанные, опирающиеся на одну и
ту же дугу).
Значит, L\ = Z.2. Аналогично
доказать, что Z3 = Z.4, Z5 = Lb.
Задача 962.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, BE LAC, АР L ВС.
Доказать, что AM = М5 и DM = МК.
Решение.
ZC4Z> = LDBC = 90°,
значит, DA \\ ВК, BD \\ AK. ADBK —
параллелограмм.
Задача 963.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, АЕ 1 ВС, ВР 1 АС,
CD LAB.
Доказать, что ^ВХА = ^АСХ,
kjCxB = ^ВАХ, ^АХС = ^СВ1в
Решение. А<
Пусть Z. 1 = а, тогда
ZA4P = 90° - a, Z.2 = а.
Значит, Z.1 = Z.2 и ^ВХА = ^АС\.
Аналогично доказать справедливость
остальных равенств.
Задача 964.
Дано: ДАВС, вписанный в окружность,
ВМ 1 AC, CD JL AB, AF ± ВС.
Доказать, что НМ = МК, HD = DP,
HF = FN. Z* ^В
Задача 965. к
Дано: tsABC, CN±AB, AE 1 ВС,
BD1 АС.
Доказать, что AN • NB = CN • ##.
Ci^ J»
93


Решение.
Выполним дополнительные
построения: AN- BN = CN- NCX, но
NCX =ЯЛГ (задача 964).
Поэтому AN- BN=CN- HN.
Задача 966.
Дано: ДАВС, О — центр описанной
окружности, BD L АС, АКL ВС,
СЕ LAB.
Доказать, что
ВН- HD = AH-HK=CH- НЕ.
Решение.
АН НР = ВН- НМ = СН - HN, или
АН • 2 • НК = ВН • 2 • Я/) =
= СЯ • 2 • НЕ,
АН- НК=ВН -HD = CH- HE.
Задача 967.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, CM LAB, BKL АС,
OD L АС.
Доказать, что ^ J
ВН = 2 • 0D.
Решение.
ОЕ L AB, ED — средняя линия
треугольника ВСА. AOED оо АВНС
(ED || ВС, ОЕ || СМ, 02) || В К).
Из подобия имеем:
£С " £Я - 2' £Я " 2 ОЛ
Задача 968.
Дано: ДАВС, О — центр описанной
окружности радиуса R, AD L ВС,
BE L АС.
Доказать, что ВС? + ЛЯ2 = 4А2.
Решение.
OK L ВС, СК2 + ОК2 = ОС2,
4СК2 + 40Я2 = 40С2, АН = 20К,
4- [^]2 + А//2 = 4Л2,
ЯС2 + АН2 = 4Л2.
Задача 969.
Дако: ДЛЯС, SZ) 1 АС, АЕ L ВС,
CM L АВ, ЛиЛ| — радиусы
окружностей, в
описанных
вокруг
треугольников
ABC и
АНС. М
Доказать,
что
94


Решение.
Пусть £l = Z.4 = a, Z.2 = Z.3 =/3.
Тогда LABC = 180° - (а +£). Имеем:
АС _ гуп
sin LABC " ZA'
откуда AC = 2R sin (a + /?),
sin LAHC '
откуда AC = 2R{ sin (a + /5),
2Л sin (a + /3) = 2R{ sin (a + £),
Таким образом,
■^ляс = rahb я ^я#с = -^ЛВС-
Задача 970.
Дано: ААВС, BKlAC, AE1BC,
R = 1 (радиус описанной
окружности с центром в т. О]). Известно,
что О — центр окружности,
проходящей через точки А, С и Я.
Найдите: АС. ^-. »^ g
Решение.
rahc = rabc (задача 967).
Пусть LABC=p, тогда
Z.AOC - 180е - 0,
sin? " ^«'
OD 1 AC, AD ж АО cos| =
(*)
cos|;
ЛС ■ 2ЯЛ„„ cos
'iWC'
2'
Подставляем в формулу (*)
а
Шанс ' cos ^ *
^д = 1rabo cos^ = sin£f
откуда находим /? = 60%
АС = 2 sin 60е - V5".
Ответ: V3".
Задача 971.
Дано: ААВС, АВ * ВС% О — центр
вписанной окружности, АЕ1ВС,
CM LAB, BD1 АС, Н —
принадлежит окружности.
Найдите: cos LBCA.
ТГ С
Решение.
Пусть LBCA = a, a OD = r. Тоща
а
LOAD ш Jf LEAC - 90е - а,
AD = г • ctg ^ и
AD = 2 • г • ctg (90е - а).
Имеем: г • ctg ^ ■ 2 • г • tg a,
i 4tg£
a*
откуда tg2 -~ = ^, a cos a = ^.
Ответ:
3'
95


Задача 972.
kat>si BD 7 BE
Дано: ЬАВС, ж ^ У ЁА
Найдите: АР: AD.
I
4'
Решение.
тт пжж II пс BD ВМ _7
Проведем DM || РЕ. -^ = -^ = j.
Пусть ВМ = 7х, ME = 5х,
ЕА ш 4ВЕ - 48х, ЬАЕР v> AAMD,
АР _ АЕ 48
AD ЛМ 53*
Отвел 48:53.
Задача 973.
Дано: ААВС, AD - jDC, P — точка
пересечения медиан ADBC, ВК - 1,5.
Найдите: КС.
Решение.
Проведем ЕМ
лиг М.-Ш-
лк, рЕ - км
2
Г
ВК=2х,КМ = х,§ = %%
КМ=Ъу, МС = у, 2х=1,5,
но х = Ъу, Ьу= 1,5,
3
Г
КС = 4у -
4- 1,5
- 1.
Ответ: 1.
Задача 974.
Дано: ААВС, AD = DC, AM = 4ME.
Найдите: S^e : S^c.
В»
Решение.
Проведем EN || BD. Пусть MJS = х,
тогда AM = 4х, ДАШР <л AAEN,
ЛР_ AM 4 ADm4 DN=y
AN АЕ 5' У' У'
JVC = Зу, DN':NC = BE:EC = 1:3,
5дде BE __ 1
Ответ: 1:3.
Задача 975.
Дано: ДАВС, Z4i3D = Z£>BC,
DE = £С, ЯМ = МС,
АВ: ВС =1:6.
Найдите: BF.FC.
Решение.
Проведем ЕАГ || AF, -^ = -^ = ^
Пусть AD = a, тогда ZJC = 6а,
96


DE = EC
3a' EC
FK _ A
КС 3*
BF = 8b, КС = 3b, FK = 4b,
BF:FC = %:1.
Ответ: 8:7.
Задача 976.
Дано: ЬАВС, ЯМ = MC,
AD = DE = EM, PK = 3.
Найдите. АС.
AM — медиана, АЕ = ^ АЛ/, значит,
ВАГ — медиана, откуда АК = КС я
ЕК = ^ВК. Проведем ЕТ || ВР,
АЕКТ v> ЬВКР, |j| = Щ = j,
Г* - 1, РГ = АР = 2, АС = 2АК = 10.
Ответ: 10.
Задача 977.
Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр
описанной окружности, АЕ = 5.EZ).
Найдите: СЕ:ВС.
Решение.
ВК1 АС, £М 1 АС.
Пусть ED = х, тогда А£ = 5х,
AD = 2R = 6x,
АО :ОЕ ш АК: КМ = 3 : 2,
ДС£М <" ДСЯК,
С£: ВС = СЛ/: С* = 1:3.
Ответ: 1:3.
Задача 978.
Дано: ААВС, АЕ = ЕС, L\ = Z.2,
ВС - ЗВГ, AM - ME.
Найдите: DM:AC.
Решение.
Пусть ВТ = Ь, тогда ТС = 26,
АС'ТС'Т»0^-2^'
АВ
- 1, АВ = А£, Z.1 = Z.2,
А£
значит, Z.AZJE = 90е и
DM - ME - AM (докажите).
Пусть DM = AM = ME = а, тогда
£C = 2a, Ш:^1С= 1 :4.
Ответ: 1:4.
Задача 979.
Дано: ААВС, L\ - Z.2, С£ = £А,
CD J. АЕ, В£ = 4, С£> = 5.
Найдите: S^q.
Решение.
Пусть Z.1 = L2 = а, тогда
4. Планиметрия
97


Е "*
О, « L* = 90* - а, СВ » СЕ,
ВМ~МЕ~ 2.
Проведем ЕК || CD,
EK = ^CD = ^, СМ - CD - MD = Ц-,
Sabc ш 2 * scbe = 2 • \ • BE • CM = 15.
Ответ: 15.
Задача 980.
Дано: ААВС, АВ = ВС, BD1 AC,
AM 1 ВС, LBAK = LKAC,
DP 1 ВС, BO » 10D.
Найдите: BP:PD. A
Решение.
Пусть OD = x, тогда ВО = 7x.
Проведем DP || iW, Ц = f§ = £
£3/ - ly, MP m y, ADPC и ААМС,
MP-PC = y, DP2 = BP- PC,
откуда DP = 2 VTy.
— = 2vT
Ответ: 2vT.
Задача 981.
Даио: ABCD — трапеция, AD =12,
5C = 8, на прямой ВС выбрана
точка М так, что Smck ~ sakd-
Найдите: СМ.
В, I С Е
Решение.
Через точку К проведем ЕР 1AD,
AD + BC
5лясов
откуда
/>Е
рк
1 +
2
5Р£
6
~ 5'
.Р/С
— •ЕР*
= 6РК,
РК+КЕ
РК
6 ЯЕ
5' РК
* ЮРЕ,
б
~5'
1
5'
Ответ: 2,4.
Задача 982.
Дано: ААВС, М — произвольная точка,
через которую проходят прямые
DE || АС, ТР || АВ, KF \\ ВС,
Найдите: S^q.
98


Решение.
AMKD </> ААВС, АМРЕ v> ААВС,
ATMF v> ААВС,
V^_ ш МЕ_
У5Г я dm
*~ЛДС ™*
77
ABC
AC
VIST + V1S7 + VST
'ABC
VS
ABC
DM + ME+ TF _ AC _
AC ~ AC ~ lf
откуда S^c e (A" + V^" + V37)2.
Ответ: (V5^ + V3J + V3>7 )2-
Задача 983.
Дано: DC, CB, BA — хорды,
DK ш КС, CN = NB, BM - MA.
Доказать, что Z.1 = Z.2.
Решение.
Соединить точки D и В, а также
С и A Z.3 = Z4 (как опирающиеся на
одну и ту же дугу, вписанные), но
Z3 - L\, a Z.4 = Z.2.
Задача 984.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, DB — касательная.
Найдите: LDBC + LA.
Решение.
LC = LX (доказать),
/Л + ZC + Z.A5C - 180*,
LA + (Z.1 + LABC) = 180*.
Z.A + Z.DBC = 180*.
Ответ:
Задача 985.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, DB — касательная к
ней, L\ + L2 + Z3 = 180*.
Найдите: LBAC + LABC.
180'.
Решение.
Пусть L\ = Lb = а, тогда
L2 = 'Уа, 2а + а + а = 180',
а - 45'.
Ответ: 45*.
99


Задача 986.
Дано: ААВС, Ох и О — центры
вписанной и описанной окружностей,
L\ = Z.2.
Найдите: LB.
Решение.
Пусть LB = а, тогда
LBAC + Z.JBCM = 180е - a, a
Z^AC + LOxCA ш 90е - |,
L\ = Z2 = 180е - [%• - |] = 90е + |,
но 2^.Д = Z.2, т.е. 2а = 90* + ^, откуда
находим а.
Ответ: 60е.
Задача 987.
Дано: ААВС, AM = AfC, вокруг
треугольника описана окружность,
ВМ = ЪМК.
Найдите: ВМ:АС.
Решение.
Пусть МК = дс, тогда ВМ = Зх,
AM = МС = у, 5М • МК = АЛ/ • СМ,
З^У2, т:= !
ДМ
АС
3*
2у
у 7Т'
3 _V[
271 " 2 #
Ответ: -=-.
Задача 988.
Дано: ААВС, окружность проходит
через точку С, касается стороны АВ
в точке Е. ВМ = 1, МС = 3,
DC = 6, ЛЯ = 2. ^в
Найдите: P^q.
А ~г
Решение.
Д£2 = ДС • ДМ, А£2 = АС • AD.
Имеем ДЕ = 2, АЕ = 4.
Ответ. 18.
Задача 989.
Даио: АДС/) — ромб, О — центр
вписанной окружности радиуса г.
Докажите, что
г=^КС • МС DT • DP.
100


Решение.
ОЕ Л DC, 0Е = г.
Пусть LOCE = а, тогда
LODE = 90Q - а, ЕС = г • ctg а,
ЛЕ = г • tg а,
ГЯЯ2 = DT • 2)Р,
[Cf2 = КС • МС,
[г2 -\g*a = DT - DP,
\r2 - ctg2а = *C-MC,
r4 = DT- DP КС- МС.
г=у1КС МС - DT- DP.
Задача 990.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность,
$аве = 4$вео BE = 1, DE = 16.
Найдите: АС.
Решение.
Из равенства SABE = 4SMC следует,
что АЕ = 4GE. Пусть С# = х, тогда
ЛЯ = 4х, АЕ • ЕС = BE - ED,
4Х2 = 16.
Отвел 10.
Задача 991.
Дано: ДАВС, LABC >90% О — центр
описанной окружности, ОТ 1 АС,
BE JL ЛС, LABK = ZA3C, ОГ = 4,
ВЕ= 1,5, ВК:КМ= 1 :6.
Найдите: S^c-
Решение.
Соединим точку А/ с точкой О. Точки
М, О, Т лежат на одной прямой
(докажите). ЬВЕК^ШКТ, ВЕ ВК
МТ КМУ
j^j = ^, откуда ГМ = 9.
ОМ=ОС = ТМ-ОТ = 5,
ГС = 3, ЛС = 2ГС = 6,
•Здлвс = *2 ^^ # ^^'
Ответ: 4,5.
Задача 992.
Дано: ABCD — трапеция, вписанная в
окружность, BE I AD, AD = а,
BC = b.
Доказать, что я2 - & = 4 • BE - ЕМ.
101


Решение.
АЕ
АЕ =
ED =
а-Ь
• ED^BE- EM,
—2— (докажите),
—2— (докажите),
Ц± = BE ■ ЕМ,
<? -$ = 4 • BE- ЕМ.
Задача 993.
Дано: ABCD — трапеция, вписанная в
окружность. В данную окружность
вписана другая окружность.
BE 1 АД P^cd = 20, А£ = 3.
Найдите: ЕМ.
Решение.
ААВ = 20, АВ - 5, BE = 4,
BE • ЕМ = А£ • ЯД
_,, АЕ- ED 15
откуда JEM = —^— = -j-.
Задача 994.
Дано: ААВС, АВ = с, АС = Ъ,
L\ = Z.2, AD = /e, BD = m, DC = п.
Доказать, что
/в = 6 • с - m • л.
Решение.
Выполним дополнительные
построения (см. рис.). ААВМ<* AADCj
(z.3 = z.4, l\ в z.2, тогда z.5 = ^.лвм),
/л + DM'
откуда /J + /д • DM = 6 • с. Но по
теореме о хордах, пересекаюпщхся внутри
круга, 1а ■ DM = т • п. Тогда
/£ + т/г = £с или /д = £с - тп.
Задача 995.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность,
LBCA = LACD = 45°, СМ = а,
МА = £.
Найдите: SBCD.
Решение.
d* = BC-CD-BM • МД
но ЯМ • MZ) = а • Ь,
a* = BC-CD-a- b,
я2 = 2 ' Здся - а • 6,
откуда находим SJCjD.
Ответ: ^ (о2 + ab).
102


Задача 996.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность,
L\ + LABC = 180е, ВС- AD = 6.
Найдите: BE - АС.
Решение.
Так как LABC + LADC = 180е, а по
условию LABC + L\ = 180% то
LADC = Z.1, Z.2 = LA.
ABEC e/> AACD
U2=LA,Ll = LAW.% = %
AC- BE = ВС- AD.
Ответ: 6.
Задача 997.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность, Z.1 = Z.2,
DC = 12, MD « 9.
Найдите: ВМ.
Решение.
ДЯМС </> ЛВС!)
(Z.2 = Z.4, докажите, Z.5 — общий).
гт п.^ BD jDC
Пусть ВМ = jc, имеем j^ « -т^,
х + 9 12 .
12 = "о"» откуда находим х = 7.
Ответ: 7.
Задача 998.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность, АВ ■= а,
АС = 6, 5БЛС= ysinZ.1,
Z.4 = 100е, углы 1 и 3 — острые.
Найдите: LADC.
Решение.
Sbac ~
аЪ
sin Z.3.
По условию SBAC = -у • sin Z.1,
откуда Z.3 = Z.1, ЛВЕСслДВЛС (Z.2 —
общий, Z.1 = Z.3).
Следовательно, Z.A5C = Z.4 = 100*.
Тогда Z.ADC = 80е.
Ответ: 80*.
Задача 999.
Дано: ABCD — трапеция, О — центр
описанной окружности, S^bo" Sboc,
Z.1 и Z.4 — острые углы,
Z.1 - Z.2 = 30е.
Найдите: Z.3.
103


Решение.
Пусть А0 = ВО = ОС = R.
По условию Smo = sboc>
^/^sinZl = | Л2 sin Z.4,
откуда следует, что Z.1 = Z.4,
Z.1 - Z.2 = 30е, Z.4 - Z.2 = 30е,
2Z.2 - Z2 = 30% Z.4 = 60°, Z.1 = 60°,
LAOC = 120°, Z.3 = 60'.
Ответ: 60*.
Задача 1000.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность.
Доказать, что
АС - BD = АВ • CD + ВС • AD
(теорема Птолемея).
Доказательство.
Построим LABK - LS,
ААВК v) ABCD
UABK= L5, Z.1 = Z.2),
АВ _ BD
АК ~ CD'
BD-AK = AB- CD.
(*)
АСВК v> &ABD
UKBC = LABD, Lb = Z.4),
ВС BD
КС AD'
BD- KC = BC- AD. (**)
Складывая соотношения (*) и (•*),
получим
BD (АК + КС)=АВ -CD + BC • AD,
BD- AC = AB -CD + BC- AD.
Задача 1001.
Дано: ABCD — прямоугольник.
Доказать теорему Пифагора с
использованием теоремы Птолемея.
Вк ^С
Решение.
АС - BD = АВ • CD + AD • ВС,
AC2 = CD* + AD2.
Почему при доказательстве можно
использовать теорему Птолемея?
Задача 1002.
Дано: ABCD — трапеция, АВ = CD.
Доказать, что
АС • BD = АВ2 + AD - ВС.
Доказательство.
По теореме Птолемея имеем:
АС - BD = АВ • CD + AD • ВС,
AC BD = АВ2 + AD - ВС.
104


Почему при доказательстве можно
использовать теорему Птолемея?
Задача 1003.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
описанной окружности, D —
произвольная точка, принадлежащая
ВС, Е — точка пересечения прямой
AD с окружностью.
Доказать, что АЕ = BE + EC.
Доказательство.
По теореме Птолемея
АЕ • ВС = BE • АС + АВ - ЕС,
АЕ- ВС = ВЕ- ВС + ВС- ЕС,
откуда АЕ = BE + EC.
Задача 1004.
Дано: ABCD — трапеция, R — радиус
описанной окружности с центром
Ох, AC LBD.
„ с АС? - 2R2
Доказать, что SA0B = •? .
Доказательство.
Z1 = £2 = 45°, тогда L4 = 90е
(почему?). По теореме Птолемея
АС2 = АВ2 + AD - ВС, АВ2 = 2R2,
AD = AO -V2, ВС = ВО -VI,
АО = 2R2 + 2ЛО • ВО,
АС2 = 2R2 + 45ЛОВ,
откуда находим SA0B.
Задача 1005.
Дяно: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность, Z.1 = L2,
AC- BD = ЗАВ.
Найдите: CD + AD.
Решение.
По теореме Птолемея АС • BD =
= AB-CD + BC-AD,AB = BC.
Имеем ЗАВ = АВ • CD + АВ • AD,
ЗАВ = АВ (CD + AD), откуда находим
Ответ: 3.
105


Ответы и
1. 137*. 2. 36'. 3. 80е. 4. 72'. 5. 40е. 6.
150е. 7. 135е. 9. 140*. 10. 15е. 11. 73е.
12. 52е. 14. 20е. 15. 75е. 16. 80е. 17.
105е, 105е, 75е. 18. 80е, 80е, 100е, 100е.
19. 70е, 70е, 110е, 110е. 20. 140е. 21.
а) да, б) да, в) нет. 23. а)
равнобедренный, б) равносторонний. 24. 15. 25.
7. 26. 12. 27. 12. 28. 6. 29. 90е. 30.
51'. 31. 40е. 32. в 3 раза. 33. 60е. 34.
45е. 35. 70е. 36. 68е. 37. 90". 38. 45е.
39. 80°. 40. 40е. 41. 20°. 42. 80°. 43.
60е. 44. 40е. 45. 50е. 46. 34е. 47. 60е.
48. 1. 49. 1,5. 50. 3. 51. 120е. 52. 75е.
53. 90е. 54. 1:2. 55. 75е. 56. 88е. 57.
30е. 58. 70е. 59. а) 120е, б) 60е, в)
120е. 60. 114е. 61. 113е. 62. 104е. 64.
70е. 67. 144е. 68. 108е. 70. 75е. 71. 38е.
72. 7. 75. 100е. 76. 14. 77. 80е. 78.
134е. 84. 12. 85. 4. 86. 21. 87. 64. 88.
24. 89. 23. 90. 1. 91. 4,6. 92. 28. 93.
21. 94. 96. 95. 60е. 96. 21. 98. 24. 99.
3. 100. 78е. 101. 40е. 102. 60е. 103. 10.
104. 27. 105. 5. 106. 40е. 107. 20е. 108.
30е. 109. 70е. 110. 90е. 111. 270е. 112.
90е. 113. 8. 114. 24. 115. 6. 116. 18.
117. 43. 118. 150е. 119. 12. 120. 90е.
121. 58е. 122. 60°. 124. 25. 132. 21.
133. 5. 134. 34. 135. 33. 136. 18. 137.
6. 138. 8. 139. 24. 140. 4. 141. 20. 142.
66е. 144. 69е. 145. 72е. 147. 15. 148. 4.
149. 54е. 150. 140е. 152. 135е. 153. 10.
154. 26. 155. 7. 156. 9. 157. 120е. 158.
24е. 159. 62. 160. 12. 161. 25. 162. 84.
163. 24. 164. 15. 165. 8. 166. 22,5°.
167. 60е. 168. 6. 169. 76. 171. 16. 172.
120е. 173. 30е. 174. 114е. 177. 60е. 178.
60е. 179. 114е. 180. 6. 181. 75е. 182.
140е. 183. 27е. 185. 15е. 186. 1,5. 187.
35е. 188. 104е. 189. 48е. 190. 55\ 191.
78е. 192. 8. 193. 4. 194. 24. 195. 1. 196.
10. 197. 7. 198. 16. 199. 120е. 201. 6:5.
решения
202. 44. 203. 3. 205. 11. 206. 2. 207.
10. 208. 60е. 209. 24. 210. 4. 211. 90е.
212. 8. 218. 38. 219. 114. 220. 16. 221.
46. 222. 16,5. 223. 12. 224. 16. 225.
75. 226. 24. 228. 12. 229. 9. 230. 30.
231. 45. 232. 128. 233. 75. 234. 85.
235. 17. 236. 375. 237. 22. 238. 192.
239. 100. 240. 32. 241. 4:1. 242. 1:3.
243. 378. 244. 20. 245. 19,2. 246. 100.
247. 18. 249. 128. 250. 10. 251. 4. 252.
121,5. 253. 4. 254. 99. 256. 64. 257. 2.
258. 16. 259. 32. 260. 60е. 261. 30. 262.
10. 263. 52. 264. 40е. 265. 50е. 267. 20.
268. 16. 269. 140*. 270. 105е. 271. 160°.
272. 80е. 273. 120е. 274. 70е. 275. 80е.
276. 40е. 277. 90е. 278. 30е. 279. 90е.
280. В 3 раза. 281. 60е. 282. 45е. 283.
40е. 284. 1:2. 285. 12. 286. 1,5. 287.
10е. 288. 3. 289. 12. 290. 12. 291. 12.
292. 18. 293. 120е. 295. 80е. 297. 80е.
298. 90е. 299. 160е. 300. 220е. 301. 90е.
302. 6. 303. 6. 304. 20. 305. 9:2. 306.
5 = Тб" 307, 15°* 308, L 309, 30°' 310,
16. 311. 4,5. 313. 45е. 314. 8:24. 315.
■> с2
3. 316. 7. 318. 3:10. 319. Л2. 320. ^-.
321. у. 322. 31,5. 323. 48. 324. 25.
325. 5. 326. 5:15. 327. 2,4. 328. 12.
330. 14. 331. jy; |y. 332. 4. 333. 128.
334. 65. 335. 10. 336. 6. 337. 13. 338.
10,5. 339. 62. 340. 8. 344. 1:2. 345. 1:3.
346. 2:3. 347. 1:3. 348. 4. 349. 1. 350.
6. 351. 5. 352. 12. 353. 3. 354. 3:4. 355.
6. 356. 1:4. 357. 12. 358. 2,5. 359. 45.
360. 1:3. 361. 18. 362. 9. 363. 160
3 '
12
365. 15. 366. 98. 367. 21:25. 368. Ц
106


369. 10. 370. 10. 371. 1,5. 372. 20. 373.
49 vT
10; 18. 374. 2,4. 375. 30. 376. -^y^-.
377. 36. 378. 270. 379. 10 VI". 380. 6.
381. 12. 382. 12. 383. 8. 384. а)
остроугольный, б) тупоугольный, в)
прямоугольный, г) прямоугольный, д)
остроугольный. 385. 120. 386. 25 V3".
387. 300. 388. 120. 389. 20. 390. 2 vT.
391. 490. 392. 7. 393. 10. 394. 10. 395.
4. 396. 30. 397. 12. 398. 39. 399. 24.
400. 7,2. 401. 13. 402. 98. 404. у. 405.
2R л/Т
20,25. 406. 4,8. 407. 10. 408. ^j^-
409. 8. 410. 35. 411. 12. 412. 24. 413.
12. 414. 8. 415. 96. 416. 2 VS~. 417.
у. 418. 7,2. 419. 10. 420. 3. 421. 108.
422. 1: vT. 423. \ VW. 424. VJ. 426.
10,5. 427. 4. 428. 10. 429. 7. 430. 4.
431. 5. 433. 4. 434. 2 VTT. 435. |. 436.
9. 437. 36. 438. 16. 439. 10. 440. 10.
441. 8. 442. Проведем KF1 AD.
ED = EF+FD=TK + FD,
но FD = MT (ДЛ/ЯГ = AFKD).
ED = TK + MT = MK,
что и требовалось доказать.
443. Проведем BE I AD и СК1 AD.
BD2 = BE2 + ED2 = АВ2 - АЕ2 + ED2 =
- АВ2 + (ED2 - АЕ2) =
= АВ2 + (££> + АЕ) • (ED - АЕ) -
-V-
AD
вс
= AS2 + AD • ДС.
444.
BD2 ^АВ2 +AD2
АС? = АВ2 + ВС?,
В&-АС?=А&- ЯС2,
что и требовалось доказать.
445. \$<*%В. 446. ^tftgcr.
447. J с2 sin a cos а. 448. с sin а cos а.
449. 2mesin/9. 450. 2m2 sin a cos а. 451.
. 453. Actga + Actgy.
Л2
m2cosa. 452. ——-
с cos a
454. с cos a + с sin a ctg у. 455. 40*. 456.
60*. 457. 60*. 458. 45% 75', 60'. 459.
160*. 460. 40*. 461. 70*. 462. 108'; 48*.
463. 20'. 464. 2. 465. 20°. 466. 150*.
467. 600*. 468. 40*. 469. 135*. 470.
140*. 471. 20* или 0. 472. 52*. 473. 60*
или 30*. 474. 180*. 475. 70°; 60*; 50*.
476. 55'; 65е; 60°. 477. ^—. 478.
l:vT. 479. vT. 480. 12 vT. 481. 10.
482. ^y~. 483. a=>Ry/T. 484. 64. 485.
|. 486. 7,5. 487. 3. 488. 4 VT. 489.
Щ. 490. 36. 491. 15. 492. 2. 493. 4.
494. 1. 495. 2. 496. 6. 497. 36. 498.
216. 499. 15. 500. 10. 501. 8. 502.
8,125. 503. 4. 504. 21,25; 4. 505.
18,125; 2. 506. e„=2/?sin
180*
180*
n
507.
an = 2rtg-^-. 508. 19,5. 509. 34. 510.
135*. 511. 30*. 512. 30* или 60*. 513.
16. 514. 16. 515. 3 + V3". 516. ^p.
517. V3~. 518. 2. 519. y. 520. V2l6~.
521. 8. 522. |V3". 523. 3. 524. 3. 525.
5. 526. 12. 527.
VT
107


528. ^(VJ- 1). 529. 60°; 120'. 530. 48.
531. 16 или 4. 532. 8. 533. 4. 534.
4V5". 535. 4,5. 536. 12,5. 537. 14. 538.
9; 8. 539. 3. 540. 11. 541. 8:9. 542. 13.
543. 1:11. 544. 9-6V3". 545. 12. 546.
12,5. 547. 12. 548. 12. 549. 14,4. 550.
36. 551. 2. 552. 17. 553. 12. 554. а) на
окружности, б) внутри круга, в)
вне круга. 555. 16. 556. 8. 557. 24.
558. 4. 559. 15. 560. 4. 561. 3. 562.
10,5; 17,5. 563. 12; 18. 564. АВ>ВЕ,
но АВ - ED. % Тогда имеем ED > BE.
565. Пусть ВС = а, тогда AD = За.
AD-BC
АЕ =
= а. Но ED = АВ = 2а.
? LABE = 30% Zl = 60°.
566. Smcd — s BE —
AB + CD
ВЕ = АВ- BE.
567. LBAE - 30'. Пусть АВ = х, тогда
BE — j х. Sabcd
AD + BC
AB + CD
BE = AB
BE =
1
BE. ^x* = 2,
откуда x = 2. Pascd = 4AB = 8.
568. Проведем BKXAD.
AE = AT = DE = DP = 8,
TB = BM = MC = CP = 2,
AK = AE - AS ■ 6,
AB = AT + TB = 10,
ЯК = VAB2 - AK2 « 8,
Sabcd ~ 2 "^^ ~
569. Проведем ЯК J. AD.
TB = BM=KE = xt AT = AE=S.
AK = 8 - x, AB = S + x,
BK= V(8 + xf - (8 - x)2 = 4 V2x.
AD + BC
80--^
20
BK.
АуПх,
откуда fi-т— = V2jc". Подбором убеж-
O "Г X
даемся, что х = 2 является корнем
уравнения. Других решений не имеет,
так как функция, стоящая в левой
части, убывает, а в правой —
возрастает, и, следвоательно, графики этих
функций не могут иметь более одного
пересечения.
Ответ: 2.
570. P^cd " (AD + ЯС) + (AS + CI>) =
= 2 (AD + ВС) = 16.
571. AW = AE, UP = £Z), тогда
AE • £Z> = 2. LAOD = 90'. f
0£2 = r2 = AE-£D = 2.
SKpyia = Jlr2 = 4 JT.
___ c AD + ВС „„_
572. одвср — « x».c —
AB + CD
BE = AB-BE. AB = DE. X
$abcd — DE ' BE — 2 я 2SBED.
573. Проведем BE 1 AD. Pmcd ~ 4AB,
откуда AS = 4, но так как АВ - DE,
% то DE = 4. BE - у1ВЕ? - DE2 = 3,
AD + BC
'лясо
AB + CD
BE =
BE = AB- BE- 12.
574. AB-ED. t Проведем B£1AD.
Пусть АВ = ED = x.
BE = VAD2 -DE2 = V25-X2.
108


AD + BC
= M + CDBE = AB.BE^xy/2S_j
Решая уравнение xV25 - x* = 12,
находим *! =4, x2 = 3, т.е. AB = 4
(ЛВ = 3 не удовлетворяет).
Ли»сл = 4AB = 16.
575.
pabcd = AB + CD + AD + BC=> 4AB,
4AB = 16,
откуда АВ = 4.
AD + 5C
AB + CD
BE =
BE = AB BE = ABE,
ABE = 12,
откуда AE = 3. ED - AB. f
£2) = 3, BD = VBErTE~Dr= 5.
576. Проведем £E 1 АО.
sin ZAAD = Ц, tg LADB = J§,
но ED = AS, t значит,
tg ZADA = ^|. sin LBAD = tg ZADS.
577. Пусть LADC - x, тогда
LBCD = 2x. x + 2x = 180°,
x = 60% Z2 = 30% Z3 = 45*.
Zl = 180* - (Z2 + Z3) = 105*.
578. Z2 + Z3 = 180' - Zl = 75*.
2Z2 + 2Z3 = 150%
откуда 2Z2 = 150* - 90* - 60*.
LADC = 60% LBCD = 120*.
Значит, LBCD = 2 LCDA.
579. Пусть LCDA = x. Имеем
x + 2x = 180°,
откуда x = 60'. Z2 = 30*,
Z3 = 180* - (Zl + Z2) = 45°.
LBAD = 90°, т.е. AS 1 AD.
580. Z3 = Z4 - 90*. t
Zl + Z2 + Z3 + Z4 =
= 45* + 45* + 90' + 90* - 270*.
581. Пусть ОК = ОМ = ОЕ = r.
AD- BC = (r + KD)-(r + MC) -
= r2 + r (KD + MC) + KD- MC =
= r2 + r(DE + EC) + DE- CE.
LCOD = 90°. t
Тогда OE2 =DE- CE, r2 = DE • CE.
Имеем AD ■ ВС = r2 + r • CD + r2 =
= 2r2 + r-CD=2rVr;CD^
_ ABjAB+CD) _ AB(AD+BC) _
2 2 л
582. LCOD = 90е. |
CD m yloO- + OD* = 10.
CO-OD = CD- OE,
откуда OE = r - 4,8.
AD + ВС
ABCD"
>ABCD — 2
AB + CD
AB =
AB = 94,08.
583. Zl = Z3 = Z2. CD = DE. Пусть
AD + BC
AB = 2r. S
ABCD
AB =
AB + CD An 2r + DE _
2 AB = —у—-2г =
= 2r2 + r- DE = — + r- DE,
л
что и требовалось доказать.
109


584. PK L AD, LBOA = 90*. \
AB = ЧАС? + BO* - 5,
ЛО-ВО _ AB ОМ
2 " 2 '
откуда ОМ = г = 2,4. РК=2г = 4,8.
585. РХ: LAD, МО L АВ, ОМ = 2,4,
Z.50A ■ 90*. t Пусть ОВ = х,
AB = Vx* + 16,
ЛМ = VAO2 - ОМ* = 3,2,
ЛСЯ-ЛМ -ЛЯ, 16 = 3,2 VJ?TT6",
5 = Vx* + 16.
Отсюда имеем jc = 3.
586. РК=2г = 4, ОМ - г = 2,
Z£Oi4 = 90*. ? ОА/ = АЛ/ • ВМ,
откуда AM = ЛК = KD = 4. Проведем
BE L AD, BE = PK=4, ED = AB = 5.
X BD- ЧВЁ1 + ED* = V4T.
587. 4. 588. 1:2. 589. 1:4.
590. 4(2 + V2"). 591. 360.