/
Автор: Лукьянов Д.П.
Теги: техника средств транспорта водный транспорт судостроение радионавигация мореплавание навигация инерциальные навигационные
ISBN: 5-7355-0094-5
Год: 1989
Текст
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ
НАВИГАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
МОРСКИХ
ОБЪЕКТОВ
Инерциальная навигация,
будучи логическим
развитием классической
навигации, уходит корнями
в далекую историю
человеческой цивилизации
и сегодня является
достойным детищем XX в.
Методы ц средства
глобальной инерциальной
навигации обеспечивают
вождение по заданным
траекториям морских
судов и океанских лайнеров,
содействуя решению одной
из наиболее гуманных задач —
человеческому общению.
СУДОСТРОЕНИЕ
ННЕРЦИАЛЬНЫЕ
НАВИГАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
МОРСКИХ
ОБЪЕКТОВ
Под редакцией
д-ра техн. наук, проф.
Д П. Лукьянова
ЛЕНИНГРАД
„СУДОСТРОЕНИЕ'
1989
Scan, DjVu:
Dmitry!
ББК 39.471.5
И57
УДК 629.12.053-752.4
Рецензенты.
д-р техн. наук, проф. А. А. Одинцов,
канд. техн. наук, доц. А. В. Яловенко
Инерциальные навигационные системы морских объек-
И57 тов/Д. П. Лукьянов, А. В. Мочалов, А. А. Одинцов,
И. Б. Вайсгант. — Л.: Судостроение, 1989.— 184 с, ил.
ISBN 5-7355-0094-5
В книге изложены принципы построения инерциальных навига-
ционных систем ИНС различного типа, предназначенных прежде всего
для решения задач навигации морских объектов. Приводятся сведе-
ния по приборному составу ИНС. Впервые в литературе по ИНС зна-
чительное внимание уделено перспективным чувствительным элемен-
там — лазерным гироскопам и особенностям их использования в бес-
платформенных ИНС. Большое внимание уделено анализу ошибок ИНС
с учетом реальных ' моделей погрешностей чувствительных элементов.
Для специалистов, работающих в области морского приборострое-
ния, прикладной гироскопии и систем управления подвижными объек-
тами, а также для студентов и аспирантов соответствующих специаль-
ностей.
,
ISBN 5-7355-0094-5 © Издательство «Судостроение», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рост числа и протяженности морских линий, повышение ин-
тенсивности движения и освоение полюсов недоступности тре-
буют дальнейшего совершенствования методов и средств на-
вигации и управления движением морских объектов.
Среди различных навигационных систем в последнее время
широкое развитие получают инерциальные навигационные си-
стемы (ИНС), которые удовлетворяют целому ряду таких важ-
ных требований, как автономность, универсальность, помехо-
устойчивость и скрытность действия при сохранении достаточно
высокой точности определения местоположения подвижного
объекта. В основе принципа действия этих систем лежит инте-
грирование ускорений, измеряемых на борту объекта акселеро-
метрами, пространственная ориентация которых определяется
гироскопическими приборами. Успешное практическое примене-
ние ИНС на морских объектах в значительной степени опреде-
ляется достижениями в разработке необходимой элементной
базы: прецизионных акселерометров и гироскопов, быстродей-
ствующих вычислителей и т. д. Особенно успешно позволяют
решать навигационные задачи ИНС, эпизодически корректируе-
мые от дополнительных источников информации (радионавига-
ционных и астрономических средств, доплеровских измерителей
скорости и др.)- Комплексирование ИНС с неавтономными нави-
гационными средствами является основой построения перспек-
тивных навигационных комплексов, используемых в любой точ-
ке Мирового океана.
Идеи инерциальной навигации, зародившиеся в начале ны-
нешнего столетия, опираются на математическую теорию инер-
циальной навигации, развитую советским ученым Б. В. Булга-
ковым в 1932 г. Оригинальные схемы ИНС, предложенные со-
ветскими инженерами Л. М. Кофманом и Е. Б. Левенталем,
позволили решить задачу оценки географического положения
объекта, перемещающегося по земной сфере. Важную роль в-
инерциальной навигации играет условие невозмущаемости фи-
зического и гироскопического маятника горизонтальными уско-
рениями, установленное М. Шулером. Фундаментальные исследо-
вания в области теории и принципов построения инерциальных
1*
з
систем навигации принадлежат советским ученым А. Ю. Иш-
линскому, Л. И. Ткачеву, В. Д. Андрееву, Е. А. Девянину,
Д. М. Климову, Ю. К. Жбанову и др.
В настоящей работе авторы ставили перед собой задачу
систематического изложения теории, принципов построения,
анализа ошибок и описания основных элементов ИНС, обратив
особое внимание на специфику морских ИНС. Ограниченный
объем книги не позволил изложить вопросы демпфирования ко-
лебаний ИНС, их подготовки к работе и коррекции. Эти во-
просы, имеющие большое практическое значение, могут стать
предметом самостоятельного рассмотрения.
Введение, гл. 1 и пп. 2.5, 3.5, 4.12 написаны Д. П. Лукьяно-
вым и А. В. Мочаловым; гл. 2...4, пп. 1.5 и 1.6 — А. А. Один-
цовым и Н. Б. Вайсгантом; п. 3.7 — авторами совместно.
Авторы считают своим приятным долгом выразить искрен-
нюю признательность засл. деят. науки и техники РСФСР,
д-ру техн. наук, проф. С. С. Ривкину за ценные замечания, сде-
ланные при формировании плана-проспекта книги, а также
д-ру техн. наук, проф. А. А. Одинцову, сделавшему ряд ценных
рекомендаций, которые были учтены при доработке рукописи.
Замечания и пожелания просим направлять по адресу:
191065, Ленинград, ул. Гоголя, 8, издательство «Судостроение».
Глава 1
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
И ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНС
1.1. Принцип действия и состав ИНС
Основные задачи, решаемые ИНС, — определение текущих
координат движущегося объекта и выработка параметров его
движения и углового положения. При этом используются только
сведения о начальных координатах и угловом положении объек-
та и результаты обработки показаний входящих в состав ИНС
чувствительных элементов.
Физические принципы, лежащие в основе работы ИНС, не-
разрывно связаны с решением основной задачи динамики: опре-
деление движения твердого тела исходя из знания его началь-
ного положения, скорости и действующих на него сил.
Рассмотрим гипотетический случай навигации по поверхно-
сти невращающейся Земли, представляющей собой идеальную
сферу. Движение происходит в плоскости меридиана на север.
При этом возможны три способа получения инерциальной ин-
формации.
В первом случае датчик угла ДУГ свободного гироскопа
или гиростабилизатора (рис. 1.1, а) показывает изменение уг-
лового положения гироскопа
относительно основания, т. е.
приращение географической
широты местоположения. Во
втором случае гиротахометр,
например лазерный гироскоп
(рис. 1.1,6), устанавливают
так, что его ось чувствительно-
сти направлена по нормали к
плоскости движения. Тогда он
будет показывать скорость из-
менения широты. Интегрируя
его показания, найдем прира-
щения широты. И, наконец,
акселометр, направление изме-
рительной оси которого совпа- ^
пярт г няппяйпрнирм ппИЖр. Рис. 1.1. Источники инерциальной
дает с направлением движе информации: а_ свободный гиро-
НИЯ (рис. 1.1, в), измеряет ЛИ- Скоп; б — гиротахометр (лазерный
нейное ускорение объекта. гироскоп); в — акселерометр
0)
5
Рис 1.2. Схема одномерной
ИНС
Горизонтальность объекта исключает влияние силы тяжести на
показания акселерометра. В результате двойного интегрирова-
ния сигнала акселерометра находим приращение пути объекта L.
Приращение широты определяем из простого соотношения Аф =
= L/R, где R — радиус Земли.
В реальной обстановке движущийся объект, на котором уста-
новлены инерциальные чувствительные элементы, испытывает
качку, что не позволяет решать задачу навигации простейшими
приемами, описанными выше. Для стабилизации углового поло-
жения акселерометр помещают на гиростабилизированную плат-
форму. Чтобы исключить влияние составляющих земного тяго-
тения на показания акселерометра, строят замкнутую систему,
удерживающую гиростабилизированную платформу в горизон-
тальном положении.
Рассмотрим работу одномерной ИНС на объекте, который
движется по дуге большого круга невращающейся Земли на се-
вер в плоскости меридиана и имеет только одну вращательную
степень свободы по углу килевой качки (рис. 1.2). На объекте
размещены одноосная гиростабилизированная платформа, со-
держащая гироскоп Г с датчиком угла ДУГ и датчиком момен-
тов ДМ, стабилизирующий двигатель СД и датчик угла плат-
формы ДУ. С платформой свяжем систему координат xyz, как
показано на рис. 1.2 (ось у направлена за чертеж).
Ось стабилизации у перпендикулярна плоскости меридиана
и направлена на запад. При отсутствии управляющего сигнала
на ДМ положение ротора гироскопа неизменно относительно
б
инерциальных осей. Платформа (см. п. 1.4) также не меняет
своего углового положения вокруг оси у относительно инерци-
альных осей.
Если к ротору гироскопа с помощью ДМ приложить управ-
ляющий момент по оси z, ротор начинает прецессировать, что
приводит к развороту платформы вокруг оси у. Угловая скорость
и направление вращения при этом зависят от величины и знака
момента. На платформе размещен также акселерометр Л, из-
мерительная ось которого совпадает с осью платформы и в пер-
воначальный момент времени выставлена в горизонтальной пло-
скости вдоль меридиана на север.
С акселерометра снимаем сигнал, пропорциональный проек-
ции кажущегося ускорения объекта на направление х,
wx = vx — gXi
где vx — проекция на ось х абсолютного ускорения объекта;
gx— проекция на эту же ось ускорения силы тяжести. Пока
считаем платформу горизонтальной, т. е. gx = 0.
Сигнал на выходе первого интегратора пропорционален ско-
рости объекта в направлении х:
t
vx = {j wxdt + 0О.
о
где vq — скорость объекта при ^ = 0. Угловая скорость, с кото-
рой поворачивается вертикаль при движении объекта по сфе-
рической поверхности Земли, со = ф = vx/R.
Сигнал с выхода первого интегратора после масштабиро-
вания на величину \/R подается на ДМ гироскопа. Под дей-
ствием развиваемого им момента М гироскоп прецессирует в
плоскости меридиана с угловой скоростью со = М/Н = vx/R.
Платформа повторяет это движение, вращаясь с той же угловой
скоростью со, что и вертикаль, сохраняя таким образом свое го-
ризонтальное положение. Этот принцип коррекции углового по-
ложения платформы называют принципом интегральной кор-
рекции. Впервые его предложили советские инженеры
Л. М. Кофман и Е. Б. Левенталь в 1932 г. [3]. На выходах
вторых интеграторов получают информацию о пройденном пути
или приращении широты Дф, на выходе ДУ — угол килевой
качки г|).
В реальной схеме под воздействием помех и в результате
ошибок начальной выставки могут возникать колебания плат-
формы. Предположим, что с учетом этих факторов вертикаль
строится с ошибкой р и платформа занимает положение x'y'z'
(рис. 1.2). Тогда проекция кажущегося ускорения на входную
ось акселерометра
wx, = wx cos p — (g — vx/R) sin p.
7
Для морских объектов центробежное ускорение v2x/R мало по
сравнению с g. Если считать малым и угол р, то
Wx* = Wx — g$. (1.1)
В соответствии с рис. 1.2
<*' = q=Ww'xdt\ (1.2)
ф'= ^ts/dt. (1.3)
Дифференцируя дважды по времени выражение (1.3), с уче-
том (1.2) найдем ф' = <©' = w'JR. Поскольку wx = Ry, то, при-
нимая во внимание уравнение (1.1), ф'= ф—g$/R. Учитывая,
что р = ф — ф', окончательно получим
P + gp//? = 0. (1.4)
Уравнение (1.4) соответствует колебаниям по углу р с пе-
риодом Т = 2я л/Rig = 84,4 мин, известным под названием пе-
риода Шулера. Полученный результат свидетельствует о том,
что рассмотренная схема ИНС моделирует вертикаль, при этом
ошибка построения вертикали не зависит от ускорения объекта
wx и меняется по гармоническому закону с периодом Шулера
(равным периоду физического маятника длиной /?).
Приведенная схема одномерной ИНС иллюстрирует основ-
ные принципы инерциальной навигации и позволяет получить
простейшие соотношения. Практический же интерес представ-
ляют трехосные (пространственные) ИНС, уравнения которых
составлены с учетом вращения Земли.
1.2. Акселерометры, применяемые в ИНС
Важными элементами ИНС являются акселерометры, изме-
ряющие кажущееся ускорение объекта. С их помощью можно
определять угловую ориентацию. Принципиально возможно соз-
дание ИНС только из одних акселерометров, определенным об-
разом расположенных друг относительно друга. Рассмотрим
использование акселерометра в качестве средства измерения
ускорения, интегрированием которого определяется линейное
перемещение центра масс объекта.
Акселерометры современных ИНС должны обладать высо-
кими точностными характеристиками, не слишком большими
габаритами и массой, цифровым выходом, удобным для сопря-
жения с ЦВМ. Высокие точностные требования определяют не-
обходимость детального анализа принципа действия, конструк-
тивных схем и основных источников погрешностей акселеро-
метров.
8
*t
hvv-
IjQ
+
о—
1
ш&\
w^
1
f
Iff
h-°
X
[ "8ЫХ
ц т w
Рис. 1.З. Схема осевого
акселерометра
Рис. 1.4. Схема маятни-
кового акселерометра
7\^
\l
n
2^tfi
Дифференциальное уравнение осевого акселерометра. В од-
ной из распространенных схем акселерометра (рис. 1.3) чув-
ствительным элементом (ЧЭ), непосредственно находящимся
под воздействием ускорения, является твердое тело /, которое
может перемещаться прямолинейно вдоль оси х [15, 21, 32].
Смещению ЧЭ препятствует сила натяжения (сжатия) пружин
J?, пропорциональная перемещению ЧЭ, а также демпфирующая
сила со стороны демпферов 3, пропорциональная скорости дви-
жения ЧЭ относительно корпуса прибора. С помощью потен-
циометра 4 смещение ЧЭ преобразуется в электрический сигнал.
Так как ЧЭ перемещается только прямолинейно, акселерометры
подобного типа называют осевыми, а ось х, проекция ускорения
на которую измеряется акселерометром, называют измеритель-
ной осью акселерометра.
При отсутствии ускорения натяжение пружин одинаково и
центр масс ЧЭ располагается в начале системы координат Oxz.
Под действием силы инерции ЧЭ перемещается относительно
корпуса прибора на величину х, пропорциональную действую-
щему вдоль оси х кажущемуся ускорению wx.
Запишем уравнение движения центра масс ЧЭ как свободной
материальной точки, заменив реально существующие связи их
реакциями:
т (wf + wx) = Fx,
где т — масса ЧЭ акселерометра; w' — ускорение центра масс
ЧЭ в системе координат Oxz\ wx — кажущееся ускорение точ-
ки О объекта, с которой совпадает начало координат Oxz\ Fx —
проекция всех сил, включая силы реакции связи.
Так как ЧЭ может смещаться только вдоль оси х,
тх =
mwx
Cx — Sx + F,
тр>
(1.5)
где Сх и Sx — восстанавливающие силы пружин и демпферов;
Ftp — силы трения.
Уравнение (1.5) легко привести к виду
х + 2rf0(o0i: + ®оХ= ~"" wx + FTp/m,
(i.6)
9
где d0 = S/(2 V С/т) — коэффициент затухания; со0 = л/С/т —
частота собственных недемпфированных колебаний ЧЭ.
В ряде случаев используют другую форму уравнения осевого
акселерометра:
Т2х + 2d0Tx + х = — wxm/C + FTp/C,
где Т = л/m/C.
Таким образом, линейный осевой акселерометр измеряет
проекцию кажущегося ускорения точки подвижного объекта,
совпадающей с началом координат Oxz, на свою измеритель-
ную ось.
Если нейтральное положение ЧЭ совпадает с центром масс
движущегося объекта, уравнение движения центра масс объекта
будет
m0w = m0g' + F, (1.7)
где то — масса объекта; F — равнодействующая всех сил не-
гравитационного происхождения (сила тяги, аэродинамическая
сила и др.); mog' — сила тяготения в центре масс объекта в
предположении, что в объеме тела объекта гравитационное
поле однородно.
Записав уравнение (1.7) в проекции на ось х:
увидим, что измеряемое акселерометром кажущееся ускорение
обусловлено действием сил негравитационного происхождения.
Маятниковый акселерометр. Подобный акселерометр изме-
ряет ускорение при угловом перемещении ЧЭ в системе коор-
динат, жестко связанной с корпусом прибора (рис. 1.4).
ЧЭ маятникового акселерометра является плоский маятник,
образованный массой т. Центр масс удален от оси вращения
на расстояние /. Спиральная пружина / ограничивает углы по-
ворота маятника р вокруг оси, проходящей через точку 0 (пер-
пендикулярно плоскости чертежа).
Маятниковый акселерометр, так же как и осевой, измеряет
проекции кажущегося ускорения на свою измерительную ось,
которая совпадает с перпендикуляром к плечу маятника в ней-
тральном положении ЧЭ (ось Оц на рис. 1.4).
Уравнение движения ЧЭ акселерометра имеет вид [15, 20,
28]
1ф + Вр + С'р == mlw^ cos p + mlwi sin P + Mv (1.8)
где /^ — момент инерции подвижного узла; В — коэффициент
углового демпфирования (демпфер на рис. 1.4 не показан);
С — угловая жесткость пружины; шл и w^ — составляющие ка-
жущегося ускорения на оси ц и £; М^ — совокупность вредных
моментов.
Ю
Приводя уравнение (1.8) к виду (1.6), получим
Р + 2d0co0P + сооР = ■
М%
sinp+^f, (1.9)
где со0 = л/С'/!^ — частота собственных недемпфированных ко-
лебаний; d0 = B/(2 VC76) — коэффициент затухания.
Измерительная ось маятникового акселерометра совпадает
с осью т], тем не менее акселерометр оказывается чувствитель-
ным к составляющим ускорения w^ вдоль оси £;. При этом, как
видно из выражения (1.9), вклад от составляющей Ш£ тем
больше, чем больше угол р.
Полагая, как и ранее для осевого акселерометра, аул = const;
щ = const; jj = p = 0, получим при р <С 1
Р = (/^соо — mlwi) (mlwn + М|).
Очевидно, условие малости перекрестных искажений со0^>
»mto;//|. Тогда, пренебрегая вредными моментами Л^, ста-
тическую характеристику маятникового акселерометра запи-
шем в форме
р ~ mlwrjil^l).
Струнные акселерометры. Приборы этого типа, как и рас-
смотренные выше, относятся к разряду акселерометров прямого
преобразования, однако выгодно отличаются от них частотной
формой выходного сигнала, что обеспечивает их простое сопря-
жение с бортовыми ЦВМ.
Принцип действия струнных акселерометров (рис. 1.5) осно-
ван на способности струны изменять частоту собственных коле-
баний при изменении ее натяжения [15]. Чувствительный эле-
мент 2 массой т удерживается от вертикальных перемещений
мембраной 3, имеющей малую жесткость в направлении изме-
рительной оси х. Горизонтальное перемещение ЧЭ ограничивают
струны /, 4, предварительное натяжение каждой из которых F0.
Частоты собственных колебаний струн f\ и f2 связаны с их
натяжением соотношением
/1,2 = Л,2/(4тД (1.10)
где ш\ и I — масса и длина
одной струны.
При отсутствии ускоре-
ния (wx = 0) Fx = F2 = F0
и f{ = f2. Если wx Ф 0, то
F\ — F2 = mwx- (1.П)
1
*ад
D
-fi h
sP6
Рис. 1.5. Схема струнного акселеро-
метра
11
Из выражений (1.10) и (1.11) найдем
шж = 4т,/(/?-/|)/т. (1.12)
Таким образом, информативным параметром в струнном ак-
селерометре будут частоты собственных колебаний струн, одна-
ко непосредственное измерение этих частот сопряжено с опре-
деленными трудностями. Поэтому в практических конструкциях
струнных акселерометров чаще всего используют режим автоко-
лебаний, при котором частота генератора оказывается близкой
к частоте собственных колебаний струны. С помощью электро-
магнитных преобразователей 5, 6 и усилителей 7, S, охваченных
положительной обратной связью (на рис. 1.5 не показана), в
системе электромагнитный преобразователь — усилитель уста-
навливаются автоколебания, частота которых определяется в
основном частотой собственных колебаний струны. Если в схеме
струнного акселерометра обеспечить выполнение условия f\ +
+ /2 = 2Д> = const при всех значениях измеряемого ускорения
wx, выражение (1.12) примет вид
wx = 8mllf0(fl-f2)/m. (1.13)
В этом случае разность частот пропорциональна ускорению и
нелинейность характеристики вида (1.12) устранена.
Точностные характеристики струнных акселерометров в пер-
вую очередь зависят от стабильности параметров струн и от
тщательности заделки их концов в ЧЭ и корпусе прибора. Один
из основных источников погрешностей в струнных акселеромет-
рах— нестабильность начального напряжения струн [44] —
значительно уменьшена в кварцевых акселерометрах.
Кварцевые акселерометры. Подобные акселерометры можно
рассматривать как модификацию струнного акселерометра
(рис. 1.5), в котором ЧЭ массой т удерживается от перемеще-
ний вдоль измерительной оси двумя кварцевыми пластинами.
Под действием ускорения, направленного вдоль оси х, ЧЭ рас-
тягивает одну из пластин и сжимает другую, если не создано
предварительного их напряжения.
Возникающие в кварцевых пластинах механические напря-
жения преобразуются в электрический сигнал с помощью пря-
мого пьезоэффекта, сущность которого состоит в появлении на
поверхности кристаллов электрических зарядов при их деформа-
ции. Помимо прямого наблюдается обратный пьезоэффект,
проявляющийся в механическом деформировании кристаллов
под действием внешнего электрического поля Е. Пьезоэффект —
это линейный эффект, т. е. механические напряжения и вызы-
вают пропорциональную им величину электрической поляризо-
ванное™ р = ои, где о — пьезоэлектрический модуль.
По закону Гука, устанавливающему связь между механиче-
ским напряжением и и деформацией г, г = u/N, где jV—модуль
12
Юнга, можно записать еще одно уравнение пьезоэффекта Р =
= ег (е = oN). Приведенные уравнения имеют скалярную фор-
му и не учитывают тензорного характера механического напря-
жения и и деформации г, которые определяются анизотропными
свойствами пьезоэлектрика.
В кварцевых акселерометрах используют обратный пьезо-
эффект, уравнение которого в тензорной форме г} = аг/£/
(i = 1, ..., 6; / = 1, 2, 3). С учетом особенностей кристаличе-
ской структуры кварца получим следующую матрицу:
'1
г2
г3
Га
г5
г&
Ei
<*п
— ОГц
0
СТ14
0
0
Е2
0
0
0
0
— <*14
-2ог„
£з
0
0
0
0
0
0
где г\ ... г3— деформации растяжения-сжатия; г^ ... г6 — сдви-
говые деформации.
Видно, что компонента электрического поля Еъ не вызывает
деформаций в пьезокристалле, а деформация гъ не возбуж-
дается ни при каких ориентациях вектора Е. Таким образом,
при электрическом возбуждении кварца в нем могут возникнуть
пять видов деформаций: две — растяжения-сжатия и три —
сдвига. Представление о размере пьезоэффекта в кварце дают
следующие цифры: пластина толщиной 1 см в поле напряжен-
ностью 1000 В/см деформируется на 0,021 мкм. При прямом
пьезоэффекте на такой же пластине давление 105 Па создает
разность потенциалов 60 В.
Практическое использование кварцевых кристаллов для из-
мерения постоянных механических напряжений затруднено, так
как необходимо измерять постоянные электрические заряды на
поверхности кристалла, которые неизбежно стекают через ко-
нечные сопротивления утечки. Поэтому в кварцевых акселеро-
метрах применяют пьезорезонансные датчики (ПРД), которые
преобразуют силу давления ЧЭ в изменение параметров пьезо-
резонатора.
Механические колебания в пьезорезонаторе возбуждаются
вблизи одной из его резонансных частот, определяемой конфи-
гурацией резонатора, его размерами и видом деформации.
В кварцевых акселерометрах, как правило, используют частот-
ные ПРД, у которых выходным параметром, как и в струнных
акселерометрах, будет частота сигнала. Эффективность преоб-
разования силы в частоту характеризуется тензочувствитель-
ностью или силочувствительностью ПРД [28] — зависимостью
13
Кг1
ffi
3]
> ТI
й
Л-Ai
Рис. 1.6 Схема кварце-
вого (пьезорезонансно-
го) акселерометра
Рис. 1.7. Схема стержне-
вого вибрационного ак-
селерометра
его резонансной частоты от силы. Коэффициент преобразования
силы F в частоту / будет Sf = df/dF.
В кварцевом (пьезорезонансном) акселерометре (рис. 1.6)
ЧЭ /, укрепленный в подвесе 2, зажат между двумя идентич-
ными предварительно напряженными силочувствительными
кварцевыми резонаторами 3. Последние определяют частоты
колебаний f\ и f2 автогенераторов 4, выходы которых подклю-
чены к смесителю 5 для выделения разностной частоты [\—/2-
Если ускорение вдоль измерительной оси х отсутствует, пье-
зорезонансные датчики 3 имеют одинаковые параметры, опре-
деляемые силой их начального зажатия и f\ = /2, а выходной
сигнал равен нулю. При действии ускорения вдоль измеритель-
ной оси один из резонаторов сжимается, а другой растягивается,
что обеспечивает равные по величине и противоположные по
знаку изменения частот ПРД. Чувствительность двухрезонатор-
ного акселерометра
h = (/, - f2)/wx = (/. - /2) m/F = SFm.
При массе ЧЭ от 1 до 500 г крутизна выходной характеристики
изменяется в пределах 1...1000 Гц-с2/м. Порог чувствительности
кварцевого акселерометра определяется крутизной выходной
характеристики и нестабильностью частоты автогенератора
A/max"
max
^m.n— h - h/fmax •
При инерционной массе т= 100 г и частоте /о = Ю7 Гц порог
чувствительности wx mm = 2- 108g [28].
Стержневой вибрационный акселерометр — одна из инте-
ресных модификаций кварцевого акселерометра — не требует
предварительного напряжения в кварцевых пластинах, что слу-
жит источником погрешности в акселерометрах струнного типа
и им подобных [44J. Схема стержневого вибрационного акселе-
рометра приведена на рис. 1.7. В корпусе прибора 3 размещены
кварцевые кристаллы 2, работающие в режиме изгибных коле-
баний, которые нагружены чувствительным элементом / срав-
нительно небольшой массы. Под действием ускорения вдоль
измерительной оси х частоты колебаний генераторов 4 и 5 ме-
14
о)
*£цо^
1 X Sou
\N S] - -х
0
W,
F е. х. хи\ "л
^с ГП<
1 "5 1*
#Л/л
А*
Рис. 1.8. Упрощенная структурная
схема (а), обобщенная схема (б)
и подробная структурная схема
(в) осевого компенсационного ак-
селерометра
няются в противоположные стороны и их разность оказывается
пропорциональной действующему ускорению.
Компенсационные акселерометры. Акселерометры подобного
типа представляют собой измерительную систему с отрицатель-
ной обратной связью, которая позволяет уменьшить относитель-
ную погрешность [34]. В этих приборах осуществляется авто-
матическое уравновешивание силы инерции ЧЭ какой-либо дру-
гой силой, которую можно создать и измерить с необходимой
точностью.
Рассмотрим упрощенную структурную схему компенсацион-
ного акселерометра (рис. 1.8, а) [15]. Акселерометр / охвачен
отрицательной обратной связью через звено 2. Передаточный
коэффициент системы
k = xBVlJxBX = k]/{l +М2). (,Л4)
где k\ и 62 — передаточные коэффициенты звеньев прямой и об-
ратной связи.
Если на выходе звеньев / и 2 погрешности Aa'i и Д*2, то ре-
зультирующая погрешность на выходе при отсутствии входного
сигнала (jcBX = 0)
Д*вых = (Д*1 — k\&X2)/(l + ktko). (1-15)
Разделив левую и правую части уравнения (1.15) на хВых,
получим величину относительной ошибки
6= А*вых = - ^ (1 16)
*вых 1+М2 1 + 1/(М,Г 1 '
где 6i = Ajci/хвых и 62 = Дх2/*0. с — относительные погрешности
звеньев 1 и 2.
Соответствующим выбором коэффициентов k\ и ki можно
управлять величиной результирующей ошибки б. Так, обеспечив
&i^2 S> 1, по уравнению (1.16) получим 6i ж —62, т. е. ошибка
15
прямого канала (звено /) оказалась исключенной, а суммар-
ная ошибка теперь определяется только ошибкой канала обрат-
ной связи (звено 2), которую в общем случае можно сделать
достаточно малой.
Сразу же отметим, что уменьшение результирующих ошибок
акселерометра достигается ценой снижения его чувствительно-
сти, которая пропорциональна коэффициенту передачи акселе-
рометра. Из выражения (1.14) видно, что всегда k < k\9 т. е.
в компенсационной схеме коэффициент передачи акселерометра
уменьшается при введении отрицательной обратной связи.
Уравнение движения, статические и динамические характе-
ристики более подробно рассмотрим на примере обобщенной
схемы осевого компенсационного акселерометра (рис. 1.8,6).
ЧЭ образован перемещающимся вдоль оси х стержнем 4, на
котором закреплены магнит 5 и масса 3, связанная с потенцио-
метром 6. Под воздействием ускорений, действующих вдоль
оси х, масса 3 стремится сместиться и перемещает движок по-
тенциометра 6 из среднего положения. При этом на входе уси-
лителя 7 появляется сигнал постоянного тока, величина и знак
которого зависят от величины и направления смещения массы 3.
Усиленный сигнал используется для питания катушки подмагни-
чивания L, которая создает магнитное поле, возвращающее маг-
нит 5, а вместе с ним и массу 3 к исходному состоянию. Выход-
ной сигнал Ивых, пропорциональный действующему ускорению,
снимается с резистора /?Вых-
Таким образом, цепь обратной связи, составленная из по-
тенциометра 6, усилителя 7 и катушки индуктивности L, играет
роль электрической пружины, создающей компенсирующую
силу, пропорциональную смещению ЧЭ. Это обстоятельство поз-
воляет составить дифференциальное уравнение компенсацион-
ного акселерометра, воспользовавшись уравнением (1.5), в ко-
тором заменим Сх на Сд. с/, где Сд. с — коэффициент передачи
датчика силы; i — ток катушки индуктивности L, полагая при
этом Ftp = 0:
тх-\- Sx + CA.ci = mwx. (1-17)
На основании уравнения (1.17) и рис. 1.8,6 составим по-
дробную структурную схему компенсационного акселерометра
(рис. 1.8, в). Датчик перемещения ЧЭ (потенциометр 6) преоб-
разует смещение х в напряжение и\ = k2x. Это напряжение уси-
ливается усилителем с коэффициентом усиления kz: и2 = къы\ =
= к2къх и используется для питания катушки индуктивности,
ток которой i = k4u2 = k2kzk4x. Наконец, компенсирующее воз-
действие . /1 1Q\
F0. с = Ьь1 = k2k3k4ksX. (1.18)
Подставляя соотношение (1.18) в выражение (1.17), получим
тх + Sx + kx = mwx\
х -f 2d0<%x + ®ox == wx>
16
где k = k2kzkAk5\ £5 = СД. с; ©o = V*M; do = S/(2m(D0). Достоин-
ство компенсационного акселерометра — относительно неболь-
шие перемещения ЧЭ. Действительно, как следует из выраже-
ний (1.17) и (1.18), смещение х составляет
\x\ = mwx/(l+k). (1.19)
Так как обычно k ^> 1, выражение (1.19) приводится к соотно-
шению
| х | « mwjk = шх/со0,
(1.20)
которое показывает, что с ростом коэффициентов /г4 и k$ абсо-
лютное значение смещения х падает. Это облегчает разработку
прецизионных преобразователей перемещений ЧЭ.
Как видно из соотношения (1.18), отдельные звенья струк-
турной схемы акселерометра рассматриваются как безынер-
ционные. Если же учесть их реально отличные от нуля постоян-
ные времени, то предельные значения результирующего коэф-
фициента передачи будут ограничены условиями устойчивости.
Из принципа действия компенсационного акселерометра и
его структурной схемы следует, что все дополнительные силы,
кроме сил инерции и компенсирующей, служат прямыми источ-
никами погрешности прибора. В первую очередь это силы
трения, характер и значение которых определяет конструкция
подвеса ЧЭ. Поэтому выбору и разработке системы подвеса уде-
ляют самое серьезное внимание при конструировании акселеро-
метров.
Силы трения снижают за счет использования электромаг-
нитных, электростатических, воздушных, жидкостных и других
типов подвеса ЧЭ. Конструктивно наиболее просто осуществлен
подвес ЧЭ в схеме маятникового акселерометра. Отмеченный
недостаток маятниковых акселерометров, заключающийся в пе-
рекрестных искажениях при больших углах р, в компенсацион-
ных схемах в значительной мере устраняется из-за уменьшения
угловых смещений (рис. 1.9) [15].
На рычаге маятника / укреп-
лены постоянный магнит 2 датчи-
ка момента, ЧЭ 4 и якорь 5 дат-
чика угла. Если ускорение шл=0,
рычаг маятника располагается
вдоль оси £, якорь 5 занимает
симметричное положение отно-
сительно статора 6 датчика
угла и в его крайних обмот-
ках возбуждаются равные, вза-
имно компенсирующие друг дру-
га токи. При Wr\ ф 0 маятник
под действием сил инерции от-
клоняется, якорь 5 смещается
Ы^вых
Рис. 1.9. Схема маятникового
компенсационного акселерометра
2 За к. 999
17
относительно симметричного положения, вызывая разбаланс то-
ков в измерительных обмотках. Разность токов, усиленная уси-
лителем 7, подается в катушки 3 датчика момента, который
возвращает маятник к положению равновесия. Информативным
параметром о значении действующего ускорения служит напря-
жение с выхода усилителя 7, пропорциональное току рассогла-
сования.
При малых углах отклонения маятника р дифференциальное
уравнение компенсационного акселерометра имеет вид
Ig + Вр + 60 = mlw^ + Mv (1.21)
где k = k\k2k3\ k\ — коэффициент передачи датчика угла; k2 —
коэффициент передачи усилителя 7; /г3 = Мл/и2—коэффициент
передачи датчика момента по напряжению. Если принять, что
внутреннее сопротивление катушек 3 равно /?,, то k3 = MR/(iRl).
Перепишем уравнение (1.21):
Р + 2d0<o0P + сооР = mlwrjl^ + M^/Iv
где со0 = V*/V. d0 = В/{2 *JWJ.
В установившемся режиме, когда р = р = 0, при M^ = const
угловое смещение маятника
$ = mlw1Jk + Ml/k. (1.22)
Таким образом, в компенсационном варианте маятникового
акселерометра, как и для осевого акселерометра, выбирая ко-
эффициент передачи k в цепи обратной связи, можно добиться
достаточно малых угловых отклонений рычага маятника и зна-
чительно уменьшить ошибки, свойственные маятниковым аксе-
лерометрам прямого показания. Вместе с этим следует иметь
Таблица 1.1. Основные характеристики современных акселерометров
Акселерометр
Осевой:
потенциометрический
тензорезистивный
индуктивный
Маятниковый:
индуктивный
емкостный
Частотный дифференциальный без
линеаризации характеристики
Верхние пределы
измерения,
8
1 ... 100
0 ... 20; 500; 20 000
0 ... 5; 2 ... 700
0,5 ... 100
40
Нелинейность
характеристики,
%
0,5 ... 1,5
0,5 ... 2
0,5 ... 2
(2 ... 3)10~б
0,05
Примечание. Порог чувствительности маятникового емкостного акселерометра 10 g,
в виду, что выбор значения k обеспечивает заданный диапазон
измерения.
Действительно, из выражения (1.22) при М^ = О получим
Ртах = ™>lWi\max/k ПРИ Ртах < I •
Отсюда находим условие обеспечен ИЯ ИЗМереНИЯ W\\ maxi
k >т/шТ]тах.
Определим чувствительность компенсационного маятникового
акселерометра. Так как иВых = и2 = $kik2l то
Ивых = ЛТ)шТ) + М|//гз,
где Ал = ml/kz — крутизна выходной характеристики акселеро-
метра.
Основные характеристики современных акселерометров при-
ведены в табл. 1.1.
13. Гироскопические чувствительные элементы
Важное место в составе ИНС занимают гироскопические ЧЭ.
Их используют для определения угловой ориентации и стаби-
лизации элементов ИНС. В настоящее время наиболее часто
применяют гироскопы с двумя («сухие» или поплавковые) и
с тремя степенями свободы. Среди последних наибольшее рас-
пространение получили гироскопы с неконтактным подвесом
ротора (газовым, электрическим, магнитным, сверхпроводя-
щим и др.).
Одновременно интенсивно разрабатывают и внедряют в су-
довые ИНС вибрационные, лазерные гироскопы и другие при-
боры на новых физических принципах.
Частота
собственных
колебаний ЧЭ
Верхняя
граничная
частота АЧХ
Гц
7 ... 200
150 ... 40- 103
19 ... 45; 35 .... 825
4500
До 800
До 4- 103
20 ... 2,5- 103
700
4850
Макси-
мальная
рабочая
температура,
©С
150
90 ... 200
100
Объем,
см'3
20 ... 500
7 ... 60
25 ... 80
350
Масса,
г
65 ... 1100
30 ... 450
100 ... 450
частотного дифференциального—10 g.
2*
19
\z Гироскопы с двумя степеня-
i 6 ми свободы. Гироскопы этого ти-
па в течение длительного периода
традиционно применяли в ИНС
для решения задач стабилизации
и ориентации.
В качестве опор оси подвеса
кожуха гироскопа первоначаль-
но использовали шарикоподшип-
ники. В настоящее время они на-
ходят ограниченное применение
в морских ИНС, как не отве-
Рис. 1.10. Схема ПИГ чающие в полной мере требо-
ваниям по точности. Моменты
сухого трения в опорах подвеса кожуха гиромотора снижают
с помощью пары специальных трехколечных подшипников, по-
лучивших в литературе наименование «Роторейс». Специальные
двигатели принудительно вращают промежуточные кольца этих
подшипников. Для снижения трения по оси прецессии гироскопа
и уменьшения его уходов используют также много других прие-
мов и методов [1].
Значительно снизить трение в гироскопах с двумя степе-
нями свободы удается с помощью газостатических и газодина-
мических опор для подвеса гироскопа [39]. В частности, раз-
рабатывают поплавковые гироскопы с цилиндрическим газовым
подвесом, в котором очищенный газ подается под некоторым
давлением в зазор между цилиндрическим поплавком (кожу-
хом гироскопа) и внутренней поверхностью поплавковой камеры
прибора. Такой подвес обеспечивает малые моменты трения и,
как следствие, незначительные скорости уходов (сотые доли
угловой минуты за минуту).
Недостаток гироскопов с газовым подвесом — необходимость
запасов сжатого воздуха или специального компрессора. Кроме
того, должна быть высокой чистота газа и его антикоррозий-
ность. Возможная несимметричность течения газа в зазоре мо-
жет стать источником возмущающих моментов по оси подвеса
и тогда необходимы будут поплавок и камера идеальных ци-
линдрических форм, увеличение числа отверстий, подающих газ,
и т. д. Все эти причины сдерживают широкое распространение
приборов данного типа.
В качестве гироскопов с двумя степенями свободы в мор-
ских ИНС часто применяют поплавковые интегрирующие гиро-
скопы (ПИГ) (рис. 1.10).
Рамка 4 ротора гироскопа 5 представляет собой поплавок
цилиндрической формы. Ось поплавка установлена в подшип-
никах, располагаемых в корпусе прибора 2, внутренняя полость
которого также имеет цилиндрическую форму. Зазор между по-
плавком и корпусом, а также все свободное внутри корпуса
20
пространство заполнено жидкостью с высокой плотностью и
большим коэффициентом вязкости. Жидкость в зазоре между
цилиндрическими поверхностями поплавка и корпуса обеспечи-
вает демпфирование, момент которого пропорционален угловой
скорости вращения поплавка. Так как массу поплавка подби-
рают равной подъемной силе жидкости, подшипники 3 оказы-
ваются практически разгруженными. Показания прибора, пред-
ставляющие собой угол поворота поплавка, снимают с датчика
угла У. На другой полуоси поплавка установлен датчик мо-
мента 6.
Благодаря гидростатической разгрузке опоры подвеса (под-
шипниковые или камневые) выполняют роль ограничителей осе-
вого и радиального перемещений поплавка при действии на ПИГ
перегрузок.
Конструкция поплавка должна быть максимально симмет-
ричной и рассчитана таким образом, чтобы остаточная плаву-
честь не превышала 1...3%. Другие требования к элементам
конструкции ПИГ, а также особенности его сборки и регули-
ровки можно найти в работе [17]. Уходы ПИГ не превышают,
как правило, 0,5'/мин [17].
Упрощенное уравнение движения ПИГ
#а-/гхр = 0, (1.23)
где а — угол поворота ПИГ вокруг оси г; H — кинетический
момент гироскопа; р— угол поворота поплавка вокруг оси х\
пх — коэффициент момента сил вязкого трения по оси х.
Из выражения (1.23) следует, что р = На/пх + Рэ, т. е. при-
ращение угла поворота поплавка пропорционально углу пово-
рота корпуса гироскопа.
Гироскопы с тремя степенями свободы. Среди гироскопов
с тремя степенями свободы наиболее высокие точностные ха-
рактеристики при длительном использовании обеспечивают при-
боры с неконтактным подвесом ротора. Чаще всего ротор
такого гироскопа представляет собой шар, подвешенный в не-
котором силовом поле (рис. 1.11). Частным случаем является
гироскоп с газовым подвесом ротора [18]. Газовый подвес при-
нято разделять на газостатический и газодинамический.
В статическом подвесе в зазор между шаром и опорой через
одно или несколько отверстий непрерывно подается газовая
смазка. Эти опоры хорошо работают при ускорениях и нагруз-
ках, обладают большой долговечностью из-за отсутствия кон-
такта между шаром и опорой.
В динамическом подвесе при вращении ротора с большой
частотой газовая смазка засасывается в зазор сложной клино-
видной формы между шаром и чашей. В зазоре образуется
повышенное давление, которое удерживает ротор во взвешенном
состоянии. В этом случае отпадает необходимость подачи сжа-
21
wy^
[ ^ 1
0
'</
^ИГ
J1
X
- 5
Рис. I.ll. Шаровой ги-
роскоп с газовым подве-
сом ротора:
/ — шаровой ротор из металла
или керамики; 2 — статор, соз-
дающий вращающееся элек-
тромагнитное поле; 3 и,4 — ро-
тор (выступ в виде сферичес-
кого сегмента) и статор датчи-
ка угла; 5 —токопроводящий
пояс на керамическом роторе;
5 —поддерживающая опора
(чаша)
Рис. 1.12. Гироскоп с обращенным газодинамическим подвесом ротора
того газа, зато значительно усложняется процесс пуска и оста-
новки ротора.
Обычно при запуске гироскопа в обмотку статора подается
ток, в несколько раз превышающий номинальный. Благодаря
этому ротор притягивается к статору и прижимается к спе-
циальным антифрикционным вкладышам (на рисунке не пока-
заны). Одновременно он, подобно ротору асинхронного двига-
теля, раскручивается вращающимся полем, создаваемым стато-
ром. Когда частота вращения ротора становится достаточной
для работы газодинамического подвеса, ротор опускается и в
дальнейшем поддерживается газодинамическими силами.
Шаровой гироскоп может быть управляемым или неуправ-
ляемым. Управляется он либо с помощью датчика моментов,
либо корректирующими моментами, возникающими в резуль-
тате взаимодействия ротора с полем статора (см. гл. 3).
Для уменьшения потерь энергии в газодинамическом под-
весе при сохранении большого кинетического момента приме-
няют обращенную конструкцию прибора (рис. 1.12) [37].
Ротор гироскопа / раскручивается вращающимся полем, со-
здаваемым обмотками статора 2 вокруг оси у на неподвижной
сферической опоре 3. Зазор между опорой и сопрягаемой по-
верхностью ротора составляет в рабочем режиме около 10 мкм.
Корпус прибора 4 герметизирован и заполнен гелием, который
при вращении ротора засасывается в зазор газодинамического
подшипника и образует газовую прослойку, предотвращающую
механический контакт между поверхностями ротора и опоры.
Приборы указанного типа обладают достаточно высокими
точностными характеристиками (дрейф составляет сотые доли
дуговых минут в минуту). Срок службы таких приборов огра-
ничивается общим числом запусков и остановок. Это обуслов-
лено наличием трущихся поверхностей в режиме разгона ротора.
Лазерные гироскопы. Одним из перспективных ЧЭ ИНС, и
особенно бесплатформенных, является лазерный гироскоп (ЛГ),
22
а)
Af
Afls
LaJ
Рис. 1.13. Принцип действия ЛГ (а)
и схема обхода периметра Л Г
встречными волнами (б):
/.. .3 — зеркала ЛГ; 4 — активный элемент
Рис. 1.14. Выходные ха-
рактеристики ЛГ:
идеальная; с уче-
том синхронизации встречных
волн
в котором для получения информации об угловой скорости вра-
щения не требуется, чтобы вращающаяся или вибрирующая
масса накапливала энергию. Это обстоятельство в значительной
степени обусловливает следующие преимущества ЛГ перед тра-
диционными гироскопами: нечувствительность к ускорениям
и перегрузкам; малое время готовности (<0,1 с); большой диа-
пазон измеряемых угловых скоростей (5-Ю-8... 100) с-1; вы-
сокую надежность и большой срок службы (более 10 тыс. ч);
частотную форму выходного сигнала; возможность резкого сни-
жения стоимости за счет автоматизации технологических про-
цессов, для чего ЛГ идеально приспособлен, и др.
Принцип действия ЛГ основан на появлении дифференци-
альной разности хода двух встречно бегущих по замкнутому
контуру волн, когда контур вращается в инерциальном про-
странстве вокруг нормали к его плоскости [24]. При обходе
всего контура дифференциальная разность хода между вол-
нами / и // (рис. 1.13, а)
Д/=-|фг2£М9,
где с — скорость распространения встречных волн; г и 0 — ра-
диус-вектор и полярный угол; й — угловая скорость вращения
в инерциальном пространстве.
Если в замкнутом контуре, образованном, например, зерка-
лами /, 2, 3 (рис. 1.13,6), созданы условия для генерации двух
встречных волн / и // с помощью активного элемента 4, то раз-
ность их частот
Д/ = /i — /ц = 4SQ/(kL) = kQ,
(1.24)
где S и L — площадь и периметр контура; К — длина волны не-
подвижного контура; k — масштабный коэффициент Л Г.
В практических конструкциях соотношение (1.24) не выпол-
няется в полной мере из-за взаимной синхронизации (захвата)
встречных волн, возникающей благодаря незначительным отра-
жениям части энергии каждой из волн в сторону встречно бегу-
щей. В результате этого реальная выходная характеристика ЛГ
23
приобретает вид
^f = ^/(kQ + f0)2-f23, (1.25)
где /о — начальное расщепление частот встречных волн, обус-
ловленное независящей от вращения фазовой анизотропией;
/3 — граничная частота области синхронизации (захвата)
встречных волн.
Вдали от зоны захвата выражение (1.25) можно разложить
в ряд по степеням /з/(АЙ+/о) и, ограничиваясь членами пер-
вого порядка малости, получить выражение
Коэффициенты k и k-\, а также величину /0 находят по резуль-
татам калибровки ЛГ [24].
На выходной характеристике ЛГ при /0 = 0 (рис. 1.14) по-
казана область значений угловых скоростей Дй3, внутри кото-
рой происходит синхронизация встречных волн и информатив-
ный сигнал отсутствует. Если в качестве отражающих элементов
ЛГ использовать диэлектрические зеркала, то при современном
уровне технологии минимальное значение обратного рассеяния
от них будет соответствовать зоне захвата около 100°/ч, что
намного превышает допустимые требования ИНС (менее
0,01°/ч).
Для уменьшения влияния зоны захвата разработано не-
сколько методов, среди которых наибольшее распространение
получил метод колебательного движения ЛГ вокруг нормали
к плоскости резонатора (измерительной оси). При этом ЛГ бы-
стро «проскакивает» зону захвата и его выходная характери-
стика линеаризуется.
Верхний предел измеряемых ЛГ угловых скоростей ограни-
чен частотным интервалом между соседними продольными ви-
дами колебаний резонатора fimax ^ c^/(8S). Для гироскопа
с периметром резонатора около 30 см максимальное значение
однозначно измеряемой угловой скорости составляет 240 рад/с.
Важная особенность Л Г — высокая крутизна его выходной
характеристики, которая обычно находится в пределах (2...10)Х
X Ю5 Гц/(рад/с), поэтому Л Г можно считать датчиком угловой
скорости с рекордным значением масштабного коэффициента.
При использовании ЛГ как высокоточного измерителя ИНС
необходимо непрерывно регулировать некоторые его параметры
в целях обеспечения работоспособности и минимизации ошибок.
Структурная схема ЛГ (рис. 1.15) состоит из кольцевого лазера
КЛ, блока начального смещения БНС, создающего частотную
подставку, блока стабилизации параметра БСП, блока стаби-
лизации накачки БСНУ блока предварительной обработки выход-
ного сигнала БПО, с помощью которого формируются рабочие
сигналы, например импульсы, подсчитывается и исключается из
результата величина начального смещения.
24
г
1
1
Вход ]
L
HJ
ВСП | у-\бСН
\Вых
_|
Рис. 1.15. Обобщенная структур-
ная схема ЛГ
Рис. 1.16. Трехосный блок Л Г с общим начальным смещением (а) и взаим-
ное расположение координатных трехгранников xnynZn, хгуггг (б)
Достаточно серьезные проблемы возникают при использова-
нии частотной подставки для каждого из трех ЛГ, входящих
в состав ИНС. В целях нейтрализации возникающих при виб-
рациях перекрестных связей частоты колебательных движений
отдельных ЛГ либо разносятся, либо применяется общая час-
тотная подставка для триады ЛГ (рис. 1.16, а). Блок трех ЛГ /
помещен на площадке, приводимой во вращение или колеба-
тельное движение с помощью привода 5. Угловое положение
блока Л Г. относительно основания фиксируют датчики 3, 4. Сиг-
налы датчиков и Л Г предварительно обрабатываются в блоке 2.
Блок ЛГ вращается вокруг оси, не совпадающей ни с одной из
измерительных осей ЛГ.
Для того чтобы проанализировать работу ЛГ, включенных
по приведенной схеме, введем следующие системы координат:
связанную с основанием (судном или гиростабилизированной
площадкой, если блок ЛГ установлен на ней) xyz\ связанную
с подвижной площадкой виброподвеса (или привода) xnyuzn и
трехгранник xryrzr, образованный измерительными осями ЛГ
(рис. 1.16,6). Угловое положение измерительных осей ЛГ отно-
сительно системы координат xyz определяется углами xi, Х2 и хз.
При вращении подвижной площадки вокруг оси уп создается
начальное смещение сразу для всех трех ЛГ. Угловая скорость
блока трех Л Г (гироблока) Яг в этом случае связана с угловой
скоростью основания Q0:
Qr = Vl2 (Л.Ц,+ х,),
(1.26>
где А\у А2, Аз—матрицы направляющих косинусов, соответ-
ствующие поворотам на угол хь х2, хз.
Для выполнения условия равенства начальных смещений
гироскопов элементы второго столбца матрицы |Л3Л2| должны
быть равны. Убедимся, что это условие удовлетворяется, еслк
sin х2 = l/д/З, sin Хз = cos X3 = \/л/2.
Раскрывая выражение (1.26) и учитывая значения углов хз.
и х2, выразим угловую скорость гироблока в проекциях на из-
25
мерительные оси ЛГ через проекции Я*, Я<,, Яг угловой скоро-
сти основания Я0 на оси ху у, z:
ъ1хг
Ц
Q
i 1 1 I Ч.
Й*А/"3 C0SX| + (Ц/ + *С|)~7!Г — й* Д/ j sin x,;
ут = Q* ( V^cos *' + л/Гsin Х|) + (Q"+ л,) vf"+
+ Qz(—/=■ sin x, ^cosx,Y } (1.27)
= Qr {-j=- sin x, - -1, cos x.) + (Q, + x.) -±=- +
+ Q2(-l,Smx1 + -^cosx1).
Решая уравнения (1.27) относительно Я*, Q^, Яг, запишем
их через угловые скорости Qxr, &Уг, Я2Г, измеряемые соответ-
ствующими ЛГ:
Qx = (А/л/2) sin х, + (В/л/б) sin х,; j
Я<, = С/УЗ-х,; | (1.28)
Q2 = (Л/V2) cos x, — (fi/л/б) sin x,, j
где Л = Яхг - Q,r; В = 2Я*Г - Я^г - Я2Г; С = Qxr + Qyr + Я2Г.
Из уравнений (1.28) следует, что при измерениях в случае
принудительного вращения в гироблок надо ввести измеритель
его углового положения относительно основания (поз. 2, 3 на
рис. 1.16, а). Это может быть индуктосин, магнитный кодовый
диск или фотооптический датчик [27].
В результате измерений получим дискретную последователь-
ность средних значений угловой скорости за время поворота на
угол xi,: _ . р р
Q// = _JL_ ^ ^Qjdtdy.^ (1.29)
где / = л'г, f/r, 2Г; i — номер цикла измерений.
Подставляя значения Яу из выражений (1.27) в (1.29) и ре-
шая относительно усредненных проекций угловой скорости на
связанные с основанием оси, найдем
ft» = о ,.•*/'.' ./оч (В/л/*) cos (xt - х,,/2) + (I/V2) sin (х, - xlV/2);
Qyi='C/<\/3 — xw,
(-B/V6)sin(xl-xH/2) +
2 sin (x,//2)
Я2* =
*\l
2 sin (xu/2)
+ (^/a/2)cos(x1-xu/2),
где хи = х1////; xj = E xw.
26
Аналогичные выражения можно получить и для такого рас-
положения гироблока, когда в начальном положении (к\ = 0)
измерительные оси ЛГ совпадают с осями связанной с основа-
нием системы, а ось вращения подвижного элемента уп не сов-
падает ни с одной из связанных осей и составляет с ними оди-
наковые углы. Тогда абсолютная угловая скорость вращения
гироблока в проекциях на измерительные оси ЛГ будет
QT = [A3A_2Y A{A3A_2Q0 + [A3A_2Y*U (1.30)
где матрица А-2 соответствует повороту на угол —х2.
Условию равенства начальных смещений в этом случае со-
ответствует равенство между собой элементов второго столбца
матрицы [А3А-2]Т при sin х2 = cosx2 = 1/д/2 , sin к3= \/л/Зг
cosx3 = V2/3. Тогда из уравнения (1.30) получим выражения,
аналогичные уравнениям (1.27), из которых найдем
Q, = аЯхг + ЬЯиг + cQzr + dx,; ^
Qy = cQxr + aQyr + bQ„-diil\ > (1.31)
Q* = bQxr + cQyr + aQ2r + t/x,, J ^
где a = (l/3)(l + 2cosx );_& = ( 1/3)(I - cosx,) + (l/д/З ) sin x,;
c = (l/3)(l — cosx,)-(l/л/з) sin x,; d -= i/л/З.
Если для начального смещения используется не вращение,
а угловые вибрации вокруг оси уп, то
*1 = Х1Э s,n ©п^ *1 == х10©п COS (0,/, ( 1.32)
где (Ojt— частота колебаний площадки.
Предварительно сигналы такого гироблока обрабатывают,,
интегрируя частоту биений ЛГ за целое число периодов коле-
баний. Подставляя величины (1.32) в выражения (1.27), а за-
тем в (1.29) и учитывая, что в силу малости хю cos(xiosinconO ~
« 1, sin(xi0sinconO ~ x10sino)n/, получим
2Л ]
Q*r = Q* V2^ + Qy/V3 - Ко V2/(2 д/Зя)] J Q, sin •©„/</©„/;
0
2л I
йуг = -Qx/V6 - [х,о/(2 V2 я)] 5 Qx sin ©nfd©„/> 0,/Уз +
о
2л
+ ко/(2 л/б я)] J Q2 sin ©п/Жоп/ - Р-2/д/2 ;
о
2л
йгг = [х|0/(2 У2 я)] J Qx sin ©n/d©nf - Qx/V6"+ Йу/л/З +
о
2л
+ [x10/(2 V6 я)] J Q2 sin ©n/d©n/ + Q2/V2 ,
(1.33)
27
Таблица 1.2. Характеристики ЛГ ведущих зарубежных фирм
Модель, фирма
GG-1300, «Хонейвел»
GG-1328, »
LG-2717*, «Литтон»
ASLG-\S, «Сперри»
SL/G-7, «Сперри»
HSD, «Дилаг»
RB-25*, «Рэйтон»
Дрейф
нуля
Случай-
ный
уход
град/ч
0,007
0,07
0,1
0,1
1
0,08
0,005
0,003
0,010
0,005
0,010
0,125
0,012
0,001
Цена
импульса
1,57"
3,14"
3"
3,3"
6,6"
1,6"
1,5"
Стабиль-
ность
масштабного
коэффи-
циента,
выше
5.10-б6
5-10"'
1 - Ю""*
5-10"5
2-10"4
* Планируемые параметры.
где Qx, Qy, Q2 —средние значения проекций угловой скорости
основания на связанные с ним оси. Интегралы в правых частях
обращаются в нуль только в случае постоянных проекций угло-
вой скорости. Если объект движется с угловыми ускорениями,
неучет этих составляющих приведет к погрешностям (см. п. 3.2).
Кроме синхронного переключения начального смещения всех
трех ЛГ, входящих в гироблок, в схеме происходит автокомпен-
сация некоторых составляющих их погрешностей.
Характеристики ЛГ ведущих зарубежных фирм приведены
в табл. 1.2 [40].
Волоконно-оптические гироскопы. Значительные достижения
в области разработки и промышленного выпуска световодов
с минимальным значением погонного затухания и интегральных
оптических компонентов обусловили качественно новую ступень
в развитии волоконно-оптических гироскопов (ВОГ).
Наиболее распространенный вариант ВОГ — многовитковая
катушка оптического волокна, в которой две световые волны
распространяются во встречных направлениях: по часовой стрел-
ке и против (рис. 1.17). Здесь оптическое излучение лазера 6
после светоделительного зеркала 4 и двух фокусирующих линз
2 и 3 вводится в два противоположных
конца световода, свитого в многовит-
ковую катушку /, и, пройдя через све-
товод во встречных направлениях, по-
ступает на вход регистрирующего
устройства 5, которое оценивает раз-
ность фаз встречных волн на выходе
кольцевого световода.
Если кольцевой световод не вра-
щается, пути, проходимые каждой из
Рис. 1.17. Схема ВОГ
28
Линейность
масштабного
коэффициента,
выше
1•10"'
1 • 10"
1 • 10"
1 • 10
2-10"!
5-10"?
5.10"6
Время
готовности
< 1с
< 1с
30 мин
< 1с
Диапазон
измеряемых
угловых
скоростей.
г рад/с
±400
±800
±800
±100
±1500
±800
Средняя
нарабэтка
на отказ.
тыс. ч
>20
>20
>30
(ресурс)
>20
Масса,
кг
2,95
1,36
1,8
2,3
Объем,
см*
1840
1120
1230
1586
820
встречно бегущих волн, оказываются одинаковыми и разность
фаз между ними равна нулю. При вращении между встречными
волнами возникает дифференциальная разность фаз
ДФ = /гФ£2, (1.34)
где кф = 4SNw/c2 = 2nSN/(kc)\ S — площадь, охватываемая
световодом; N—число витков в кольцевом световоде; со и К —
угловая частота и длина волны источника излучения; с — фазо-
вая скорость световой волны; Q — абсолютная угловая скорость.
Величину ft ф можно рассматривать как масштабный мно-
житель, устанавливающий пропорциональность между абсолют-
ной угловой скоростью Q и разностью фаз ДФ.
Поскольку в оптическом диапазоне волн разность фаз реги-
стрируется, как правило, по линейному смещению интерферен-
ционной картины, вместо соотношения (1.34) используют анало-
гичное ему выражение для разности хода встречных волн в
кольцевом световоде:
bz = kzQ, (1.35)
rjxekz = 4NS/(Xc).
Минимальное значение регистрируемой разности хода Дгтт
определяет точность ВОГ. Можно записать
Azmi„ = ЯVA/ УЩлР)/(2я), (1.36)
где Д/—полоса пропускания фотоприемника; hv — энергия фо-
тона; Р — мощность световой волны на выходе кольцевого све-
товода; т| — квантовая эффективность фотоприемника.
29
Так как реальные световоды обладают конечным значением
погонного затухания а, мощность световой волны на выходе
вог
р = р0. Ю-^, (1.37)
где L — полная длина кольцевого световода.
Таким образом, с ростом длины L увеличивается масштаб-
ный коэффициент ВОГ, как это следует из соотношений (1.34)
и (1.35), а с другой стороны, падает мощность световой волны
на выходе — выражение (1.37). Поэтому можно говорить об
оптимальном значении длины L кольцевого световода, которая
обеспечит наивысшую точность ВОГ. Используя выражения
(1.35)...(1.37), получим LonT = 870а-1 (м).
Принимая а = 2 дБ/км, Р0= 3 МВт, радиус кольцевого све-
товода R = 15 см и Д/ = 10 Гц, получим ©mm = 1,5-Ю-9 рад/с.
Кажущаяся простота ВОГ на самом деле обманчива и со-
путствующие явления не позволяют пока приблизиться к его
потенциальной точности. Рассмотрим те из них, которые прежде
всего определяют случайные флюктуации и нестабильность сме-
щения нуля [44].
Рэлеевское рассеяние назад. Важный источник флюктуации
выходного сигнала — шум, обусловленный рэлеевским рассея-
нием назад в оптическом волокне. Этот эффект существенно
снижает потенциальную точность ВОГ. Понизить такой шум
можно, уменьшая время корреляции источника излучения, чта
разрушает детерминированную интерференцию прямой и отра-
женных волн. Подобный же эффект получают при фазовой мо-
дуляции световых волн в волоконном тракте.
Магнитные эффекты. Существенный вклад в величину дрей-
фа смещения нуля вносят магнитооптические эффекты, которые
проявляются в неидеальных световодах через вариации поляри-
зации световых волн в световоде. Улучшение качества светово-
дов и экранирование позволяет сохранить поляризацию види-
мого излучения и резко снизить влияние внешних магнитных
полей.
Динамические температурные градиенты и деформации све-
товода. Изменение температурного градиента волокна, намотан-
ного на катушку, вызывает появление тепловых деформаций,
которые, в свою очередь, приводят к двойному лучепреломлению
и дополнительным поляризационным искажениям. Подобные же
явления возникают в световоде, который деформируется при на-
мотке стекловолокна на катушку [47].
В результате изгиба световое волокно испытывает деформа-
ции сжатия на внутренней стороне и деформации растяжения
на внешней, что приводит к двойному лучепреломлению*
(рис. 1.18), размер которого для световода с коэффициентом
преломления п= 1,46 на длине волны X = 0,633 мкм составит
Р = — 7,7- 10762г2, где k = l/R — величина, обратная среднему
радиусу намотки световода.
30
В первых образцах ВОГ использовали ди-
скретную элементную базу, которая создавала
значительные потери в тракте от источника
излучения до детектора. Успехи в разработке
элементов интегральной оптики позволили
создать первые технологические образцы ВОГ
с весьма малым отношением сигнал/шум при
значительном снижении их стоимости.
Источником дополнительных ошибок в ВОГ
служат невзаимные фазовые сдвиги, значение
которых зависит от разности интенсивностей Ри£ 118- Участок
г п г , деформированного
встречных волн. Для уменьшения этого эф- v световода
фекта предложены два способа: модуляция
лазерного излучения в световоде сигналом прямоугольной фор-
мы и переход к лазерным источникам излучения с более широ-
ким спектром. Чаще всего в качестве такого источника исполь-
зуют лазерные диоды с широким спектром излучения или
суперлюминесцентные диоды. Особая задача — поддержание
определенного вида поляризации. Применение суперлюминес-
центных диодов и новых переходных устройств обеспечивает
дисперсию угловой скорости ухода 0,001 град/ч при постоянной
времени фильтрации 125 с.
На основании рассмотренного материала можно сделать вы-
вод, что принципиальную простоту схемы ВОГ нельзя реализо-
вать в практических схемах, которые необходимо защищать от
широкого круга влияющих факторов, что, в свою очередь, зна-
чительно усложняет конструкцию реального датчика угловой
скорости. Тем не менее достигнутые в лабораторных образцах
точности сегодня приближаются к точностным характеристикам
ЛГ. Особенно обнадеживают работы по созданию оптического
волокна, сохраняющего неизменной поляризацию исходного из-
лучения. Это обстоятельство позволило высказать мнение, что
ВОГ уже к 1990 г. составят серьезную конкуренцию ЛГ [44].
1.4. Гиростабилизированные платформы
Важный элемент ИНС — гиростабилизированная платформа
(ГСП)—выполняет две основные функции:
обеспечивает независимость угловой ориентации инерциаль-
ных ЧЭ ИНС от угловых движений объекта и от действующих
на платформу возмущающих моментов;
используя информацию инерциальных ЧЭ, преобразованную
вычислительным устройством, обеспечивает изменяющуюся по
заданному закону угловую ориентацию блока ЧЭ.
ГСП классифицируют по области применения, принципу
действия, кинематической схеме, используемым чувствительным
элементам и другим признакам. По принципу действия ГСП,
31
применяемые в ИНС, могут быть силовыми, индикаторно-сило-
выми и индикаторными.
В силовых платформах обязательно наличие гироскопов,
гироскопические моменты которых достаточно велики по сравне-
нию с другими моментами, действующими по осям подвеса (воз-
мущающими, моментами сил инерции и др.)- Гироскопический
момент в этом случае непосредственно противодействует возму-
щающим моментам, а момент стабилизирующего двигателя осу-
ществляет межрамочную коррекцию, ликвидируя последствия
действия возмущающих моментов (отклонение в ходе прецессии
вектора кинетического момента гироскопа от нормали к рамке
его подвеса).
В платформах индикаторного типа возмущающим моментам
противодействует только момент, развиваемый стабилизирую-
щим двигателем. Гироскопы в данном случае будут лишь инди-
каторами изменения углового положения платформы. К этому
типу платформ относят ГСП, гироскопы которых имеют три сте-
пени свободы, в частности, получившие в последнее время широ-
кое распространение платформы на шаровых гироскопах и на
гироскопах с неконтактным подвесом ротора. В ряде случаев
платформа содержит ЧЭ, не имеющие кинетического момента
(например, ЛГ).
Промежуточное место занимают индикаторно-силовые плат-
формы. Их выполняют на малых гироскопах с двумя степенями
свободы либо на поплавковых интегрирующих гироскопах.
В обоих случаях возмущающим моментам противодействуют в
основном стабилизирующие двигатели. Например, в платформе
на малых гироскопах это достигается за счет высокого быстро-
действия разгрузочного канала, причем зачастую управление
идет не только по сигналу о значении угла прецессии, но и по
сигналу о значении его производной и других параметров.
По кинематической схеме различают платформы одноосные,
двухосные, трехосные и многоосные. Трехосная платформа
имеет три вращательные степени свободы относительно объекта.
Многоосные платформы применяют, когда необходимо предот-
вратить совмещение между собой осей основного карданова под-
веса при разворотах объекта на большие углы либо при необ-
ходимости разворота в процессе работы ИНС инерциальных ЧЭ
друг относительно друга.
Рассмотрим основные принципы силовой и индикаторной од-
ноосной стабилизации.
Схема одноосного силового гиростабилизатора приведена на
рис. 1.19. Кожух гироскопа Г, имеющего кинетический момент
//, может поворачиваться относительно рамки карданова под-
веса Я, которая и является в данном случае платформой. С ко-
жухом гироскопа свяжем систему координат £rj£; так, чтобы
ось т] совпадала с вектором кинетического момента, а ось £ —
с осью вращения (осью прецессии) кожуха. С платформой свя-
32
Рис. 1.19. Схема одноосного силового гиростабилизатора
жем трехгранник xyz, при этом ось z совпадает с £, а ось х —
с осью подвеса платформы (осью стабилизации). На оси пре-
цессии расположены датчик угла прецессии ДУП и датчик мо-
ментов ДМ, на оси стабилизации — стабилизирующий двига-
тель Д и датчик угла ДУ.
Датчик моментов ДМ служит для управления угловым по-
ложением платформы относительно оси стабилизации, датчик
угла ДУ—для съема сигнала об этом угловом положении.
Гиростабилизатор работает следующим образом. При дей-
ствии на платформу по оси х внешнего возмущающего момента
Мх гироскоп в соответствии с правилом прецессии начинает
разворачиваться вокруг оси 2; с угловой скоростью ё =
= МХ/(Нcose). Вследствие этого вращения возникает гироско-
пический момент Мг = Яё, проекция которого на ось стабили-
зации равна по величине и противоположна по направлению
возмущающему моменту. Кроме того, на выходе датчика угла
прецессии появляется сигнал, пропорциональный углу поворота
гироскопа е. Этот сигнал усиливается и поступает на обмотку
управления двигателя. Момент, развиваемый двигателем, на-
растает до значения возмущающего момента и уравновеши-
вает его действие, прекращая прецессионное движение. Таким
образом платформа сохраняет угловое положение вокруг оси х,
т. е. оказывается стабилизированной по этой оси.
Уравнения движения одноосного силового стабилизатора
приводятся во многих работах, например в работе [37], и раз-
личаются степенью детализации моментов сил, действующих на
платформу и гироскоп. Если стабилизатор установлен на осно-
вании, качающемся вокруг оси, параллельной оси платформы,
то, принимая ряд допущений (постоянство кинетического мо-
мента, отсутствие перекоса осей и т. д.), можно записать [41]
1х®х + пх(ох + Нг + /ЛТД = М Х-Л
lie + nxfi — Нщ = М;; > (1.38)
Мд = £д.уН-6де> '
3 Зак. 999 33
где Ix — момент инерции платформы относительно оси х\ пх>
Ai£ — коэффициенты моментов сил вязкого трения по осям х и £;
со* — составляющая на ось х угловой скорости платформы отно-
сительно инерциальных осей; е — угол поворота гироскопа отно-
сительно платформы (угол прецессии); /—передаточное число
редуктора; Мд— вращающий момент двигателя, Ад. у — крутизна
характеристики датчика угла прецессии; \х — коэффициент пе-
редачи усилителя; Ад— крутизна характеристики двигателя по
напряжению; Мх> М$ — внешние возмущающие моменты; /;—
момент инерции гироскопа относительно оси £;.
Теория и расчет одноосных силовых стабилизаторов подроб-
но рассмотрены в работах [35, 37, 38].
Если в качестве чувствительного элемента использовать ла-
зерный гироскоп или гироскоп с неконтактным подвесом ро-
тора, будет реализована одноосная платформа индикаторного
типа (рис. 1.20). Будем считать, что лазерный гироскоп ЛГ
снабжен устройством начального смещения рабочей точки про-
извольного типа, обеспечивающим работу на линейном участке
выходной характеристики. Измерительная ось ЛГ параллельна
оси стабилизации. Система управления СУ осуществляет пред-
варительную обработку сигнала и управляет стабилизирующим
двигателем Д, противодействующим всем возмущающим мо-
ментам.
Уравнения движения стабилизатора в этом случае имеют
вид
1х<*х + ПХЩ + /Мд = Мх]
Мд = £м.£дС0*,
где k — коэффициент передачи ЛГ, и получить их можно непо-
средственно из уравнений (1.38) при условии Н = 0, ё = е = 0.
Если для начального смещения применить механическое вра-
щение ЛГ, возникает ряд модификаций схемы одноосного ста-
билизатора [14, 24].
Осуществить линеаризацию выходной характеристики ЛГ
и снизить влияние синхронизации его встречных волн на точ-
ность работы одноосного стабилизатора можно, создав условия
для возникновения автоколебаний по оси стабилизации. При
этом отпадает необходимость применения дополнительного на-
чального смещения. Режим автоколебаний обеспечивают введе-
нием в структуру стабилизатора элемента с релейной характе-
ристикой, например усилителя мощности на электромагнитных
или электронных реле. Тогда, учитывая нелинейность характе-
ристик ЛГ и усилителя мощности, преобразуем математическую
модель одноосного стабилизатора (1.39) в следующую
(рис. 1.21), записанную в операторной форме:
<*х = VxP + я*(-{) Мх - /Мд); Мд = k„/ix\ Л
щ = h (и2); "2 = цоз/^уР + П; «з = f\ MJ
(1.39)
34
^ч^
Л—
А
JkAB
ui
1
hP+ъ*
wH2
u2
J*
TyP+1
"3
^
Ki
^ш*~
*
Рис. 1.21. Структурная схема одноосного гиростабилизатора
на ЛГ
где щ, и2 и uz — напряжения на выходах релейного усилителя
мощности, усилителя напряжения и ЛГ; /ь /2—нелинейные
функции; ц и Ту — коэффициент усиления и постоянная времени
усилителя напряжения.
Воспользовавшись приближенными методами исследования
нелинейных систем [4], заменим передаточные функции нели-
нейных звеньев линеаризованными вида
Wm = 4i(Ai> a) + q'x(AxQ)p/Q\
Wn2 = q2(A2, &) + qi(A2% Q)p/Q,
где Лi и Л2 — амплитуды гармонических сигналов на входах
нелинейных звеньев; Q — круговая частота этих сигналов; р —
оператор дифференцирования; q., ^—коэффициенты гармони-
ческой линеаризации (i= 1, 2).
Характеристическое уравнение системы №разомкн = — 1 с уче-
том значения передаточных функций звеньев запишем в виде
[ТпТу + k*Q-% (Лр Q) q'2 (Л2, Q)] р* + {Тп + Ту +
+ k*[qx{Av &)q'2{Av Q) + q2{Av Q)q[(Al9 Q)]/Q)p +
+ 1 + k% (Av Q) q2 (Л2, Q) = 0, (1.41)
где Тп = Ix/tix\ k* =}kRb\i/nx.
Пусть характеристики ЛГ и релейного усилителя имеют вид,
показанный на рис. 1.22, а. Тогда коэффициенты их гармониче-
ской линеаризации [4]
<7. М.) = *-■£• (arcsin -2- _ JL д/i _ (-|-)2);
<7; = 0;
4(4)—|£<i-«>
при Ах > а, А2^Ь.
3*
} (1.42)
35
1+ *'</, (Л,. Q)q2{Av Q)-TJj№-k%(Av ®)q'2(Av Q) = 0;
(Tn + Ty)Q + k' [q, {Av Q) q'2 (Av Q) + q2 (A2, Q) ^ (Л„ Q)]
Параметры автоколебаний системы можно найти из урав-
нений
::)
(1.43)
полученных из характеристического уравнения (1.41) подста-
новкой р = jQ. Из второго уравнения системы (1.43) следует,
что для реализации режима автоколебаний необходимо, чтобы
одновременно q'2(A2, Q) =^=0 и qfi(A{y &) Ф0, т. е. по крайней
мере один из нелинейных элементов имел неоднозначную харак-
теристику.
При выполнении условий (1.42) к уравнениям (1.43) можно
добавить зависимость
4i Ш-
V+i
М\ (Ai)
что позволит найти неизвестные амплитуды А\ и А2 и частоту
периодического решения.
Таким образом реализуется вибрационное начальное сме-
щение (подставка), при котором параметры смещения зависят
от вида выходной характеристики ЛГ. Это открывает пути эф-
фективной борьбы с параметрической синхронизацией частот
встречных волн ЛГ (для разрушения «полочек» синхронизации,
которые упоминались ранее).
Перспективными ЧЭ гиростабилизированных платформ яв-
ляются ЛГ, помещенные для снижения влияния синхронизации
частот встречных волн в виброподвес. Такой ЛГ совершает кру-
тильные колебания вокруг своей измерительной оси, причем
выходная его частота изменяется по гармоническому закону.
Таким образом, большую часть времени прибор находится вне
области синхронизации, снижается и ширина этой области. При
вращении прибора в инерциальном пространстве появляется до-
*;
ч>
arc Ьдк
1)
mb
f Ч
ч
Рис. 1.22. Характеристики нелинейных элементов гиро-
стабилизатора: а —Л Г; б — усилителя мощности
36
Рис. 1.23. Схема одноос-
ной ГСП на вибрирую-
щем Л Г (а), взаимное
расположение систем ко-
ординат (б), связанных
с платформой и резона-
тором Л Г, и учет неточ-
ности выставки Л Г на
платформе (в):
Л-платформа; ВЯ-вибро-
подвес; МД—моментный дви-
гатель возбуждения вибро-
подвеса; СД—стабилизирую-
щий двигатель; СУ-система
управления
полнительная составляющая. Для ее выделения производится
специальная обработка выходного сигнала ЛГ, которая, как
правило, сводится к интегрированию частоты сигнала на ин-
тервале времени, равном или кратном полупериоду угловых
колебаний.
Преимущество такого ЛГ, делающее его наиболее пригод-
ным для построения высокоточных ГСП,— высокая долговре-
менная стабильность нуля, что объясняется отсутствием в его
резонаторе каких-либо дополнительных оптических фазовых не-
взаимных элементов.
К недостаткам следует отнести ограничение полосы пропу-
скания прибора частотой работы виброподвеса, наличие шумов
в выходном сигнале, связанных с нестабильностью амплитуды
угловых колебаний, и возмущающее действие виброподвеса на
объект установки (платформу).
Рассмотрим три особенности работы одноосной ГСП на виб-
рирующем ЛГ (рис. 1.23, а) [31]: влияние неточности выставки
прибора на платформе; возмущающее действие на платформу
привода виброподвеса; влияние собственного кинетического мо-
мента ЛГ, обусловленного его крутильными колебаниями.
Введем следующие системы координат: O^rjf; — инерциаль-
ный трехгранник; Oxyz — связанную со стабилизированной
платформой; Ox\\j\Zx — связанную с корпусом ЛГ; 0x2y2Z2 —
37
связанную с резонатором ЛГ, который может поворачиваться
относительно корпуса ЛГ на угол у за счет упругости вибропод-
веса (рис. 1.23,6).
Предположим, что измерительная ось ЛГ 0хх не совпадает
с осью стабилизации Ох из-за неточной выставки на платформе
(рис. 1.23,в), причем углы рассогласования 6i и бг малы. Урав-
нения движения ЛГ и платформы составим, пользуясь методи-
кой, разработанной А. Ю. Ишлинским [18]. Движение резона-
тора ЛГ описывается матричным уравнением
/2Ю2 + <V2«>2 = М2 + М2> ( ! М)
где /2 — матрица размером 3X3 моментов инерции резонатора
Л Г; о>2—матрица-столбец проекций угловой скорости резона-
тора ЛГ на связанные с ним оси; &\ — кососимметричная мат-
рица вида
О — cozl со
©,, 0 — ©
со, =
у\
*1
— со,
]у\
со
]х\
О
(1.45)
М2 и А1£ — матрицы-столбцы проекций главных векторов момен-
тов внешних сил и реакций связей на связанные с резонатором
ЛГ оси.
Выписав первую строку матричного уравнения (1.44) и учи-
тывая, что (0x2 =0x1 — у» найдем уравнение колебаний резона-
тора ЛГ на виброподвесе
1Х2 (<*х\ — Y) + CY = Ммд,
где 1x2 — осевой момент инерции резонатора ЛГ; с — коэффи-
циент жесткости виброподвеса; Ммд—момент, развиваемый
моментным двигателем МД. Кроме того, при выводе приняты
следующие допущения: центробежные моменты инерции ЛГ
равны нулю; экваториальные моменты инерции резонатора рав-
ны между собой (1у2 = /22).
Для системы, содержащей платформу со стабилизирующим
двигателем и ЛГ, по аналогии с выражением (1.44) уравнение
движения запишем в виде
/со + 6/0 = М + М* - А1ПМ«, (1.46)
где /—матрица моментов инерции платформы; о — кососим-
метричная матрица вида (1.45). В соответствии с рис. 1.23,в и
с учетом малости углов 6i и бг матрица перехода от системы
координат, связанной с платформой, к системе координат, свя-
занной с резонатором ЛГ, будет
1
ЛГ =
причем А'„ = (А")т.
-б2
б2
б2
1
О
-б,
О
1
38
Подставляя в уравнение (1.46) значение ЛТ*, найденное из
выражения (1.44), раскрывая величины действующих моментов,
производя вычисления и выписав первую строку матричного
уравнения, получим уравнения движения одноосного лазерного
стабилизатора с упругим подвесом ЛГ в виде
Гха + пха -су + jkAk (а - у - со.б, + ©Д) = МХ- Ммд; |
1x2 (а — y) + п2 (а — y) — /*2Y (62©z + Ь\®у) + су = ММд, )
где /*= Ix + J2Iq'> « = cojc» /о"~"осево^ момент инерции стабили-
зирующего двигателя; / — передаточное число редуктора; п\ —
коэффициент сил вязкого трения по оси стабилизации; Ад —
крутизна характеристики двигателя по напряжению; k — мас-
штабный коэффициент ЛГ.
Проанализируем выражение (1.47). Неточность монтажа ЛГ
на платформе (рассогласование измерительной оси ЛГ и оси его
крутильных колебаний с осью стабилизации) приводит к тому,
что на измерительную ось ЛГ проектируются поперечные со-
ставляющие угловой скорости объекта. Это вызовет уход стаби-
лизатора с угловой скоростью сох = (o)t/62 — Gb6i). Наличие
упругого элемента виброподвеса влияет на динамические свой-
ства стабилизатора [31]: работа виброподвеса вызовет вынуж-
денные колебания стабилизатора с амплитудой, определяемой
параметрами системы.
При Ммд = Моъ'тШ ЛГ совершает крутильные колебания
вокруг измерительной оси. При отсутствии других моментов и
разомкнутой цепи управления решение системы (1.47) для y
будет
Af0w l*x + Ix2
У = 2 Г ~^~r cos ®*»
где
*=№ + '*)*№*)•
Наличие у ЛГ кинетического момента /*2у приводит к воз-
никновению гироскопических моментов. В частности, по оси ста-
билизации действуют составляющие гироскопических моментов
Лгущее* и 1Х2уЬ\<йу- Они могут быть причинами вынужденных
колебаний и уходов платформы. Особенно заметно влияние этих
гироскопических моментов в двух- и трехосных стабилизаторах.
Оценим значения действующих моментов. Если 1х2 =
= 1,2- Ю-2 кг-м2, частота колебаний виброподвеса / = 220 Гц,
а амплитуда Yo = 1,2-Ю-3 рад, максимальное значение кинети-
ческого момента ЛГ #max = /*2Yo2jtf = 2-10~2 кг-м2/с. Таким
образом, Яшах соизмерима с кинетическим моментом малых ро-
торных гироскопов.
39
Рис. 1.24. Наружный (а) и внутренний (б) кардановы подвесы
При угловой скорости со2=12°/с и б2 = 5-10—6 рад возни-
кает гироскопический момент Л/Гтах = 0,5- Ю-2 Нм с состав-
ляющей по оси стабилизации 2,5- Ю-8 Н-м.
Как уже говорилось, многоосные (пространственные) ГСП,
являющиеся основой ИНС, можно рассматривать как совокуп-
ность трех или более одноосных стабилизаторов, объединенных
в единую конструкцию. Основной конструктивный элемент, обес-
печивающий такой переход, — многоосный карданов подвес. По
конструктивному исполнению различают два типа кардановых
подвесов: наружный и внутренний. Наружный (рис. 1.24, а)
представляет собой платформу /, помещенную внутри двух ра-
мок: внутренней 2 и наружной 3. Рамки подвеса изготавливают,
как правило, литыми. Они связаны между собой, с платформой
и с основанием прибора полуосями (цапфами) и подшипниками.
Основные достоинства подвеса этого типа — практически не-
ограниченные углы прокачки платформы и рамок, компактность
и жесткость самой платформы.
Внутренний карданов подвес (рис. 1.24,6) состоит из тра-
версы /, рамки 2 и платформы 3. Внутренний подвес позволяет
обеспечить меньшие габариты и массу ГСП при использовании
сравнительно крупных чувствительных элементов. Он удобен
также при необходимости размещения на платформе крупнога-
баритных приборов (телескопов астрокоррекции и др.). Однако
свобода относительных угловых поворотов площадки и объекта
при такой конструкции подвеса ограничена.
В качестве чувствительных элементов ГСП можно использо-
вать три гироскопа с двумя степенями свободы каждый, два
гироскопа с тремя степенями свободы или три одноосных из-
мерителя угловых движений платформы.
На рис. 1.25, а приведена кинематическая схема морской
ГСП на трех гироскопах (Г1...ГЗ) с двумя степенями свободы
каждый, которая может работать по силовому или индикаторно-
40
силовому принципу. С платформой связана система координат
xyz. Принятое расположение осей колец карданова подвеса (по-
следовательность поворотов у — х — z) удобно для реализации
горизонтального трехгранника, когда одна ось платформы (г)
направлена по местной вертикали, а две другие (х, у) находятся
вблизи плоскости горизонта. На осях колец установлены стаби-
лизирующие двигатели (Д1...ДЗ), предназначенные для проти-
водействия возмущающим моментам, приложенным к платфор-
ме. На платформе расположены два гироскопа с вертикальными
осями прецессии (оси кожухов) и один — с горизонтальной.
Первые два гироскопа обычно называют горизонтальными, тре-
тий— азимутальным. На осях прецессии гироскопов установ-
лены датчики угла прецессии ДУП и датчики моментов ДМ.
Сигналы с ДУП через усилители (на рисунке не показаны) по-
даются на соответствующие стабилизирующие двигатели. ДМ
служат для управления угловым движением платформы при
работе ИНС или в режиме начальной выставки ГСП. Датчики
углов ДУ служат для съема сигнала об угловом положении
объекта по отношению к платформе.
В общем случае оси прецессии гироскопов составляют углы
Xi, А*, ^з с осями jc, у, z платформы (рис. 1.25,6). При выборе
значений углов Х\, Х2> А,3 учитывают влияние вибраций на точ-
ность работы гироскопов из-за неравенства жесткостей гиро-
узлов в различных направлениях. Чтобы уменьшить влияние
Рис. 1.25. Кинематическая схема ГСП на гироскопах с двумя
степенями свободы (а) и варианты расположения таких гиро-
скопов на ГСП (б)
41
вибраций на точность ра-
боты ГСП, стараются
расположить оси враще-
ния кожухов гироскопов
в плоскости вибраций.
Необходимо отметить,
что в тех случаях, когда
платформа поворачива-
ется по отношению к
внутреннему кольцу на
угол, близкий к 90°, роли
первого и второго гиро-
скопов меняются и их
сигналы должны пода-
ваться соответственно на
двигатели Д2 и Д1 Эта
операция автоматически
осуществляется преобра-
зователем координат, который обычно выполняют на синусно-
косинусных вращающихся трансформаторах; он преобразует
выходные напряжения и\ и и2 с ДУГИ и ДУП2 в сигналы
и[ и u'v которые подаются на Д1 и Д2, по простым алгоритмам:
и[ = их cos q + u2 sin q\ u'2 = — ux sin q + и2 cos q,
Рис. 1.26. Кинематическая схема индика-
торной ГСП на гироскопах с тремя степе-
нями свободы
где q — угол поворота платформы относительно внутреннего
кольца (курсовой угол), измеряемый ДУЗ.
Все более широко применяют в морских ИНС индикаторные
ГСП на гироскопах с тремя степенями свободы. Это связано
прежде всего с интенсивным развитием гироскопов с неконтакт-
ным подвесом ротора (газодинамическим, электростатическим,
электромагнитным и т. д.).
Рассмотрим устройство и принцип действия индикаторной
трехосной ГСП — платформы с двумя трехстепенными гироско-
пами в кардановом подвесе (рис. 1.26). Два гироскопа с тремя
степенями свободы Г1 и Г2 размещены на платформе П. Под-
весы платформы и гироскопов должны быть кинематически по-
добны: оси вращения наружного кольца и кожуха гироскопа Г1
параллельны осям наружного и внутреннего колец подвеса
платформы, а соответствующие оси гироскопа Г2 параллельны
осям внутреннего кольца подвеса и платформы. Датчики углов
гироскопов ДУГ через усилители (на рисунке не показаны) и
преобразователь координат ПК управляют соответствующими
стабилизирующими двигателями. Один из сигналов датчика
ДУГ4 является избыточным.
Подобная ГСП по своему принципу действия полностью ана-
логична индикаторной ГСП на двух гироскопах с неконтактным
подвесом ротора (см. рис. 2.5).
42
Теория индикаторных платформ базируется в основном на
теории систем автоматического управления и достаточно полно
изложена в работе [16].
1.5. Особенности использования морских ИНС
и основные задачи теории ИНС
На каком бы движущемся объекте ни была установлена
ИНС, принцип ее работы сохраняется неизменным: координаты
объекта определяют, интегрируя уравнения движения его центра
масс в инерциальной системе координат. Ускорение центра
масс измеряют акселерометрами, ориентация осей чувствитель-
ности которых осуществляется с помощью гироскопов. В то же
время разнообразие объектов, различие их траекторий, пара-
метров и времени движения обусловливают существенные осо-
бенности ИНС как в теории, так и при их технической реали-
зации.
Одна из основных характеристик ИНС — время работы, т. е.
время непрерывного решения навигационных задач. На балли-
стических ракетах время работы составляет несколько минут,
на самолетах несколько часов, а на морских судах это время
может достигать нескольких месяцев. При длительной работе
ИНС возникает необходимость в калибровке и последующем
учете параметров дрейфа гироскопов, коэффициентов передачи
и смещения нулей акселерометров. Часто это выполняют непо-
средственно на движущемся объекте при работающей ИНС.
Следует отметить, что для ИНС, установленных на подводных
лодках, возможности использования внешней информации огра-
ничены.
В любых ИНС, предназначенных для объектов, перемещаю-
щихся в околоземном пространстве, тем или иным способом мо-
делируются инерциальный трехгранник и вертикаль места. Ха-
рактерной временной константой вертикали (см. п. 1.1) яв-
ляется период Шулера Тщ = 84,4 мин. Модель инерциального
трехгранника [19] совершает колебания с периодом, близким
к периоду вращения Земли Тс. Поскольку для морских ИНС
время работы tPl как правило, превышает оба указанных пе-
риода (tP > Тс ^> Тщ)у разработчики вынуждены применять
специальные схемы не только для демпфирования колебаний
модели вертикали (что делается и в авиационных ИНС), но
и для демпфирования суточных колебаний.
Существенно влияют на морские ИНС параметры движения
объектов. Так, ускорение движения морских объектов обычно
не превосходит 0,lg (g — ускорение силы тяжести), а скорость
их перемещения v во много раз меньше переносной скорости, об-
условленной вращением Земли, т. е. v <C RQ.
Возможные вертикальные перемещения h судов (подводных
аппаратов) невелики по сравнению с радиусом Земли. Отмечен-
43
ные соотношения позволяют при анализе уравнений ошибок
морских ИНС в большинстве случаев пренебречь изменением
коэффициентов, вызванным движением объекта, так как связан-
ные с этим допущением погрешности достаточно малы и не ме-
няют качественного характера изучаемых явлений.
Произвольное движение морских объектов по поверхности
Земли делает целесообразным определение их местоположения
в географической системе координат (ф — географическая ши-
рота, X — географическая долгота). И, наконец, к числу особен-
ностей морских ИНС можно отнести и меньшие ограничения по
массе, габаритам и потребляемой мощности, чем в авиационной
или ракетной технике.
Одна из первых задач анализа работы ИНС — построение
алгоритмов, позволяющих по данным инерциальных датчиков
находить требуемые навигационные параметры. В прецизионных
ИНС, как правило, учитывают возможные систематические по-
грешности инерциальных датчиков и других элементов, опреде-
ляемые при специальной калибровке или при подготовке ИНС
к работе.
В процессе построения алгоритмов находят вид проекций
ускорения объекта в зависимости от направления осей чувстви-
тельности акселерометров, а также формулируют закон управ-
ления изменением ориентации осей чувствительности гироско-
пов. В задачу построения алгоритмов входят и необходимые
их упрощения исходя из требований к точности выработки вы-
ходных параметров.
Вторая задача теории инерциальной навигации — вывод и
анализ уравнений возмущенного движения системы из-за инстру-
ментальных ошибок элементов, погрешностей начальной вы-
ставки и некоторых методических ошибок. К методическим
обычно относят ошибки, вызываемые, например, неточным зна-
нием структуры и параметров гравитационного поля Земли
и количественных характеристик ее формы. Сюда же следует
причислить погрешности, обусловленные упрощением алго-
ритмов.
К инструментальным ошибкам, возникающим вследствие по-
грешностей инерциальных датчиков и вычислительного устрой-
ства, относятся, например, случайный дрейф гироскопов, неста-
бильность масштабных коэффициентов датчиков момента гиро-
скопов и акселерометров, погрешности передачи информации.
Причиной ряда других ошибок служат конструкционно-техно-
логические факторы: погрешности выполнения посадочных баз
под инерциальные датчики, а также нестабильность взаимного
положения этих баз вследствие деформации карданова подвеса
в поле силы тяжести или старения материала подвеса. Послед-
няя группа ошибок обусловлена погрешностями начальной вы-
ставки, состоящими из неточности внешней информации и оши-
бок устройств ввода данной информации в ИНС.
44
Итогом анализа уравнений ошибок будет установление связи
между точностью ИНС и исследуемыми погрешностями.
Третья теоретическая проблема связана с анализом поведе-
ния и точности ИНС, корректируемой с помощью внешних ис-
точников информации, которые дают сведения о точных коор-
динатах объекта в известные моменты времени, о скорости дви-
жения объекта и т. п. Наличие этих данных позволяет избежать
накопления ошибок, а также демпфировать шулеровские и су-
точные колебания в ИНС. С помощью периодически получае-
мых данных можно уточнить значения систематических уходов
гироскопов, облегчить подготовку ИНС к началу работы.
1.6. Системы навигационных координат
и их преобразование
Классификация систем координат. Выбор координатной си-
стемы зависит от геометрических свойств пространства, в кото-
ром осуществляется навигация, задачи и метода навигации [42].
Координатные системы классифицируют по следующим при-
знакам: положению начала координатной системы; ориентации
первой плоскости отсчета; связанности с телом, в центре кото-
рого размещено начало координат; геометрическим свойствам
координат.
Начало координатной системы можно помещать в центре
естественного комического тела, на его поверхности или вне его.
В соответствии с этим все координатные системы разделяют на
астроцентрические (от греческого aaxepet; — звезда), топоцент-
рические тояо£ — место) и экзоцентрические (е|(о —вне). К пер-
вой группе следует отнести геоцетрические, гелиоцентрические,
селеноцентрические и др.; ко второй — геотопоцентрические, се-
ленотопоцентрические и т. д.; к третьей — геоэкзоцентрические,
селеноэкзоцентрические и т. п.
Для последующего разделения необходимо определить воз-
можную ориентацию первой плоскости отсчета, которая совме-
щается с экваториальной плоскостью космического тела, пло-
скостью горизонта или плоскостью орбиты ИСЗ или небесного
тела. В соответствии с этим координатные системы подразде-
ляют на экваториальные, горизонтальные и орбитальные.
Дальнейшая классификация зависит от характера измене-
ния со временем положения второй плоскости системы коорди-
нат. Связав, например, в экваториальной системе вторую от-
счетную плоскость с меридианом, получим систему координат,
жестко связанную с планетой, но вращающуюся в инерциальном
пространстве. В другом случае одну из осей системы координат
можно ориентировать на удаленную звезду, получив при этом си-
стему координат, не участвующую в суточном вращении пла-
неты. Таким образом, по этому признаку получают связанные и
45
несвязанные (в частном случае инерциальные) системы коор-
динат.
И последний признак классификации должен учитывать гео-
метрические свойства систем координат: их оргогональность или
косоугольность, линейность или криволинейность и т. п. По
этому признаку выделяют прямоугольные, сферические, эллип-
тические и другие системы координат.
Выбор системы координат определяется условиями навига-
ции. Так, для задания координат приземных и околоземных
объектов удобнее геоцентрическая система, одна координатная
плоскость которой совпадает с плоскостью земного экватора, вто-
рая проходит через точку весеннего равноденствия у перпенди-
кулярно первой, а третья — перпендикулярно первым двум, что
в соответствии с принятой классификацией приводит к геоцент-
рической экваториальной прямоугольной несвязанной системе.
В группе сферических координатных систем ей соответствует так
называемая вторая экваториальная система. Для межпланет-
ной навигации целесообразно использовать гелиоцентрическую
эклиптическую сферическую несвязанную систему координат.
На различных этапах решения навигационной задачи возни-
кает необходимость перехода от одной системы координат
к другой. Взаимооднозначное отображение пространства, при
котором всякие три точки, расположенные на одной прямой, пе-
реходят в три точки, также расположенные на одной прямой,
называют аффинным преобразованием. Переход от одной си-
стемы координат к другой при сохранении прямых линий и их
параллельности будет аффинным преобразованием.
Если положение произвольной точки в одной системе коор-
динат задают радиусом-вектором X с компонентами х1 (/ = 1,
2, 3) и необходимо задать ее положение в другой системе в
виде радиуса-вектора Y с компонентами у1 при условии, что на-
чало новой системы в старой выражается радиусом-вектором А
с компонентами а', то данное преобразование описывается век-
торным уравнением
Y = AX + A,
где А — оператор преобразования (аффинор), определяемой
матрицей
а| а> а*
А =
а* а\ а*
Между компонентами у1 и х1' устанавливаются линейные соотно-
шения вида
yf=ta[xi + ai (/=1,2,3).
i = i
46
Рис. 1 27. Географические координаты точки А/ на земном сфе-
роиде (а), географический сопровождающий £i-|£ и экваториаль-
ный £эЛэ£э трехгранники (б)
При обратном преобразовании пространства вектор X преоб-
разуется через векторы У и В (с компонентами &') с помощью
оператора В в виде векторного уравнения
X = BY + B.
Связь между компонентами векторов задается в форме
х'=Ъ*[у1 + Ы (/=1, 2,3).
Географическая система координат. Большое значение для
инерциальной навигации представляет знание фигуры Земли.
Фигуру, которую имело бы жидкое тело с таким распределением
массы и собственным вращением, как у Земли, называют геои-
дом. В каждой точке геоида нормаль к его поверхности совпа-
дает с направлением силы тяжести, т. е. равнодействующей гра-
витационный и центробежной сил. Во многих случаях фигуру
Земли аппроксимируют более простыми поверхностями: трех-
осным эллипсоидом, сфероидом или сферой.
Для определения положения объекта на поверхности Земли
наибольшее распространение получила географическая система
координат, в которой положение некоторой точки М задается
широтой ф и долготой I (рис. 1.27, а).
В картографии, а следовательно, и в навигации используют
геодезическую систему координат, в которой широта опреде-
ляется углом, образуемым нормалью к земному сфероиду и
плоскостью экватора Земли. Геодезическую широту отсчитывают
в плоскости меридиана. Геодезическую долготу измеряют дву-
гранным углом между плоскостью меридиана, проходящего че-
рез точку А1, и плоскостью Гринвичского меридиана.
Разница между географическими и геодезическими координа-
тами обусловлена уклонением отвесной линии (УОЛ), измеряе-
47
мым в данной точке углом между нормалями к геоиду и сфе-
роиду. Если нормаль к геоиду направлена на юг и запад от нор-
мали к сфероиду, то уклонение вертикали по широте и долготе
считается положительным. Среднеквадратичное значение УОЛ
в океане составляет 5,7" [19], предельное значение — 60". Сред-
неквадратичная ошибка (СКО) в определении места с помощью
ИНС за счет УОЛ составляет 0,1 мили, а СКО в определении
скорости объекта — 0,2 уз (при скорости 30 уз) [19]. Если ука-
занные погрешности допустимы, можно считать, что понятия
геодезических и географических координат совпадают. В про-
тивном случае необходимо учитывать эти различия.
Введем ортогональный трехгранник £г)£ с вершиной, совме-
щенной с центром масс О объекта (рис. 1.27,6), ось £ которого
направлена на восток по касательной к параллели, ось т) — по
касательной к меридиану на север, а ось t; — вдоль вертикали
места вверх. Этот трехгранник называют сопровождающим гео-
графическим. Для построения алгоритмов ИНС необходимо
найти кинематические элементы его движения: проекции абсо-
лютной угловой скорости вращения трехгранника на его оси и
проекции абсолютного линейного ускорения его вершины.
Пусть точка О перемещается с линейной скоростью v относи-
тельно поверхности Земли. Проекции вектора v на оси |, г), £
обозначим vej vn, vb- Для морского объекта
vN = v cos С; vE = v sin С; vB = 0t (1.48)
где С — путевой угол, т. е. угол между направлением на север
и вектором v. Абсолютная угловая скорость трехгранника скла-
дывается из переносной скорости вращения Земли вокруг своей
оси и относительной скорости вращения трехгранника вслед-
ствие перемещения объекта по земной поверхности. Проекции
абсолютной угловой скорости трехгранника на его оси равны
и^ = — ф; иц = (Q + к) cos ф;
Ы£ = (Q + к) sin ф.
Приращение широты в единицу времени можно рассматривать
как угловую скорость вращения трехгранника при движении
точки О по меридиональному эллипсу с радиусом кривизны R2:
V = vN/R29 (1.50)
где для принятого в СССР элипсоида, предложенного
Ф. Н. Красовским, /?2 = а (1 — е2)/У(1 — е2 sir^qp)3; e2 =
= (а2 —62)/а2; а и Ь — полуоси эллипсоида [6].
Изменение долготы определяется движением по параллели
с радиусом R\ cos ф:
Я. = oe/(/?i cos ф), (1.51)
где /?! = a/V 1 — ^2 sin2 Ф-
(1.49)
48
Подставляя значения (1.50) и (1.51) в выражения (1.49),
получим
u4] = Qcos(^ + vE/Rl; I (1.52)
щ = Q sin ф + vE tg ф/#,. J
Проекции ускорения движущейся вершины трехгранника grjj; на
его оси представляются известными формулами [19]:
wl= бб + и^л " WO
wr\ = йл + f*"c — *w, > (1 -53)
где и^ = и£ + Й/?1созф; ил = и^; и& = 0.
Раскрывая выражения (1.53) с учетом (1.52) и (1.50), а так-
же принимая во внимание, что акселерометры ИНС измеряют
кажущееся ускорение, равное разности абсолютного линейного
ускорения и ускорения силы тяготония Земли, найдем выраже-
ния для составляющих ускорения, измеряемых акселерометрами:
Щ = *>Е — vNQ sin ф (1 + RJR2) — vNvE Ig q>/R{ — g^ J
w^ = vN + 2а£&8Шф + v2Etgq>/R{ + Q2/?i sin ф cos ф — g^ | (1.54)
w^ = — v2N/R2 — v2E/R{ — 2vEQ cos ф + Q2/?! cos ф — gv J
гДе ёъ> gr\ и £t— составляющие ускорения силы тяготе-
ния на оси сопровождающего географического трехгранника;
Q2R\ sin ф cos ф, Q2R\ cos ф — составляющие центростремитель-
ного ускорения из-за вращения Земли.
С учетом взаимной ориентации сопровождающего географи-
ческого трехгранника и силы тяжести
gg = 0; QS/^sir^cosq) — #л = 0; — Q2/?, cos^--g; = g, (1.55)
где g — ускорение силы тяжести, равное сумме ускорения силы
тяготения и центростремительного ускорения.
Можно показать, что с погрешностью не более I0~7g
t^Qsin ф(1 + R\/R2) » 2vNQ 5Шф. (1.56)
С учетом соотношений (1.55) и (1.56) система (1.54) принимает
вид
w^ = vE — 2vNQ sin ф — vNvE tg ф//?!*,
Wr\ = 6N + 2vEQ Sin Ф + V<E *S <P/#l"'
ау; = — »у/?2 — 4/^i — 2t;£Q cos Ф + S. J
(1.57)
Выражения (1.57) определяют ускорения, фиксируемые линей-
ными акселерометрами, измерительные оси которых направлены
вдоль осей географического сопровождающего трехгранника.
4 Зак. 999 49
Кбозимеридиач
'М
rNq
Эпбатср
KSa3U3h6amoD
Начальный
меридиан
S)
в/р
ц
&у
а/\
Л\
/"n
xf2
■f1 \
^\
\q2
A-0 Л,
лг0
qi
fq1
Рис. 1.28. Квазигеографическая система координат (а)\ геогра-
фическая и квазигеографическая координатные сетки в районе
полюса (б)
Нетрудно видеть, что при движении объекта в высоких ши-
ротах составляющие ускорений, пропорциональные tg ф, по
мере увеличения широты быстро возрастают. Угловая скорость
вращения сопровождающего трехгранника вокруг вертикальной
оси также нарастает пропорционально tgф. Кроме того, в
районе полюса понятия курса и долготы теряют смысл. При
переходе объекта через Северный полюс трехгранник £г)£ дол-
жен мгновенно повернуться на 180°. Очевидно, в данных усло-
виях резко увеличиваются ошибки ИНС, в которой моделирует-
ся географический трехгранник. В связи с этим при навигации
в полярных районах применяют повернутую (квазигеографиче-
скую) систему координат, в которой нет отмеченных недо-
статков.
Повернутая (квазигеографическая) система координат. Ква-
зигеографическая система координат образуется из географиче-
ской поворотом всей координатной сетки на 90° в направлении
к Северному полюсу вокруг линии, лежащей в плоскости эква-
тора Земли (диаметра) и перпендикулярной плоскости Грин-
вичского меридиана (рис. 1.28,а). В результате географические
координаты Северного квазиполюса Рыц равны ф = 0, % = 180 ,
а Южного квазиполюса PSq — Ф = 0, А,=0. Квазиэкватор со-
впадает с географическими меридианами, продолжающими друг
друга и определяемыми долготами ±90°. Начальный меридиан
в географической и квазигеографической системах координат
совпадают.
Положение объекта (точка М) в квазикоординатах по ана-
логии с географической системой координат определяется ква-
зидолготой %q и квазиширотой ф7. Под квазидолготой понимают
двугранный угол между начальным меридианом и квазимери-
дианом места; квазишироту измеряют углом, образуемым нор-
малью к поверхности сфероида и плоскостью квазиэкватора.
Квазикоординаты Северного полюса Рм^я = 0, ф<? = 0.
50
шридион.
Рис. 1.29. Квазигеографиче-
ский сопровождающий
трехграник \яу\я%я и эква-
ториальный трехгранник
£эЛэ£э
Рис. 1.30. Последователь-
ность поворотов трехгран-
ника £эГ)э£э при переходе к
трехграннику £г)£
Таким образом, квазикоординатная сетка в районе геогра-
фического полюса становится практически прямоугольной (как
географическая координатная сетка в районе экватора). На
рис. 1.28,6 показаны обе сетки в районе географического по-
люса.
Угол между северным и квазисеверным направлением, изме-
ренный в любой точке, называют углом перехода 6:
Q = C-Ca
(1.58)
где С — путевой угол в географической системе координат; Cq —
путевой угол в квазигеографической системе (рис. 1.28,6).
Чтобы решить задачу перехода из географических коорди-
нат в квазигеографические и обратно, необходимо определить
зависимости ф9 = /,(ф, А,); ^ = /2(фД); Э = /з(фД); ф =
= (а (фа» kq); X = /5 (фа» kq); 8 = fe (ф</, Ю.
Введем следующие ортогональные трехгранники с общей
вершиной в центре масс объекта: £r]J; — уже известный геогра-
фический сопровождающий трехгранник; 1дГ\д^д — квазигеогра-
фический сопровождающий трехгранник, в котором оси на-
правлены так: 1Я — на квазивосток, y\q — на квазисевер, ^ — по
вертикали места; £эт)э£э — трехгранник, жестко связанный с Грин-
вичским меридианом, в котором ось т)э направлена параллельно
оси вращения Земли, ось £э — параллельно линии пересечения
плоскости экватора Земли с плоскостью нулевого меридиана.
4*
51
Трехгранники 1яг\д^д и £эЛэ£э показаны на рис. 1.29, причем для
наглядности вершина второго трехгранника помещена в центр
Земли.
Для получения требуемых зависимостей воспользуемся из-
вестным методом преобразования координат [19], который в
данном случае сводится к нахождению двух матриц направляю-
щих косинусов между трехгранниками £эЛэ£э и £т)£; сначала че-
рез углы ф, X, а затем через углы фа, Xq, 6. Так как в обеих мат-
рицах направляющие косинусы одни и те же, сравнение оди-
наковых элементов матриц дает уравнения, из которых можно
найти искомые соотношения.
Последовательность поворотов трехгранников (рис. 1.30)
приводится в условной записи, предложенной акад. А. Ю. Иш-
линским:
ад
hi
Б.л.С-^ЬлоЬ-^Б*
£эЛэ£э
l3lq3
-90'
Vq^qQ
IqOlq
*" ЬдэЛдэ^э > S^o^oS^O __ * bqV\q£>t
На
ы,
где Ъдэ^яЛяэ — трехгранник, оси которого в квазикоординатах
направлены так же, как в трехграннике £эЛэ£э; £оЛо£ои Iqo^qotqo —
экваториальные трехгранники, в которых оси £0 и ^0 парал-
лельны линиям пересечения плоскостей экватора и меридиана
места в географических и квазикоординатах.
В приведенной записи стрелка показывает, из какого исход-
ного положения и в какое последующее переходит трехгран-
ник. Над стрелкой указаны две совпадающие оси, вокруг кото-
рых совершается поворот, а под стрелкой — угол этого пово-
рота. Искомые переходные матрицы имеют вид
1Э\ I cos Л — sin X sin Л cos Ф11 §
т)э = 0 со8ф sin ф т)| (1.59)
£э| | — sin X — cosX sin ф cos А,со8ф||£
6.1
COS Xq COS 9 — Sin Xq X
X sin yq sin 8
— cos 8 sin Xq — cos Xq X
X sin <p<7 sin 8
— cos <p<7 sin 8
— cos Xq sin 8 — sin Xq X
X sin <p<7 cos 8
sin 8 sin Xq — cos Xq X
X sin q>q cos 8
— cos yq cos 8
sin Xq cos q>q 1
cosA^cosqjf
— sin <p<7 1
li
U
U
В результате сравнения элементов ai3, агз, Язз, взь язг матриц
(1.58) и (1.59) получим следующие возможные формулы пере-
52
хода из географических координат в квазикоординаты:
q>q = arcsin (— cos X cos qp);
Xq = arcsin (sin X cos qp/cos q^); \ (1.60)
8 = arctg (tg Я/sin qp).
Обратный переход из квазикоординат в географические осу-
ществляется с помощью выражений
в- arctg(-^-): Л = arctgГ--^);
b\-smq)q; SV tgqp^ J K (161)
/ cos % cos X \
(p = arccosl t^7-J
tg<P<7
Заметим, что для вычисления переходных координат с мини-
мальной погрешностью целесообразно использовать различные
выражения для разных диапазонов значений исходных и полу-
чаемых координат. Например, для квазикоординат, учитывая,
что |ф^|^ 10° и |^|^ 10°, минимальные погрешности дают вы-
ражения, использующие arcsin; географическую широту ф ^ 80°
правильнее вычислять через arccos, а для углов переходов бо-
лее точны формулы с arctg.
Так же как и в случае географической системы координат,
для построения алгоритмов ИНС в квазикоординатах необхо-
димо найти кинематические элементы движения квазигеографи-
ческого сопровождающего трехгранника ^т)^, т. е. проекции
абсолютной угловой скорости вращения трехгранника на его
оси и проекции абсолютного линейного ускорения его вершины.
В полярной области, где только и используют квазикоординаты,
поверхность земного сфероида можно считать шаровой с ра-
диусом, равным малой полуоси сфероида (R = b).
Из рис. 1.29 следует, что проекции абсолютной угловой ско-
рости сопровождающего трехгранника %яг\я%я на его оси будут
ur]q = — Q cos Xq sin ф<, + Xq cos <pq;
щя = Q cos Xq cos yq + Xq sin q>q.
(1.62)
Учитывая, что q>q = vNq/R; Xq = vEq/(Rcosyq), приведем выра-
жения (1.62) к виду
ulq = — Q sin Xq — vNq/R; \
ur]q = — Q cos Xq sin Ф4 + vEqlR\ I (1.63)
uiq = Q cos Xq cos % + vEq tg yq/R. J
Для нахождения проекций абсолютного линейного ускорения
вершины сопровождающего квазигеографического трехгранника
53
(1.66)
на его оси воспользуемся выражениями (1.53), которые для
рассматриваемого случая принимают вид
WU = *\я + ЧяЧя - 4rvw Л
ww = Vw + 4nvlq - ulqvu\ I (1.64)
Щя = Чя + Ww - <W&<7' J
где проекции абсолютной угловой скорости utq, ицд, и^я опреде-
ляются выражениями (1.63), а проекции абсолютной линейной
скорости вершины трехгранника v\Qy vnqj v^q на его оси равны
vlq-=Ru^q\ vm = — Rulq\ viq = 0. (1.65)
Подставив в формулы (1.64) выражения (1.65), (1.63) и
учитывая замечания, сделанные при выводе проекций кажуще-
гося ускорения, измеряемого акселерометрами в географиче-
ской системе координат, для аналогичных проекций в квазико-
ординатах получим
я>1я = *>ея "~ 2Qi>/v<7 cos lq cos ф^ — vEqvNq tg qp/#;
&г\я = vNq + 2QvEq cos Xq cos ф^ + v\q tg yq/R;
wiq = 2QvN sin Xq — 2Qi>£ cos Xq sin ф^ + v2/R + g. J
Сравнение выражений (1.63), (1.66) с (1.52), (1.57) дает
возможность оценить преимущества использования в полярных
районах повернутой системы координат. Так кек обычно |ф^|^
^ 10°, составляющие угловых скоростей и линейных ускорений
при работе ИНС в квазикоординатах не содержат коэффициен-
тов, стремящихся к бесконечности (|tg <pq\ ^ 0,18), и, следова-
тельно, навигационные элементы будут определяться в этих
районах с более высокой точностью.
Горизонтная система координат со свободной в азимуте
ориентацией осей. На практике получили распространение полу-
аналитические ИНС, моделирующие горизонтную систему коор-
динат со свободной в азимуте ори-
ентацией осей. Такая система £сПс£с
совместно с географической |т]£ по-
казана на рис. 1.27, а. Особенность
свободной в азимуте системы со-
стоит в том, что проекции угловой
скорости трехгранника £ct)c£c на ось
£с совпадающую с осью £, равны
нулю, т. е. оси £с, г\с не вращаются
вокруг оси £с относительно инерци-
ального пространства. Положение
свободного в азимуте трехгранника
_ , 01 г . „ „ „ относительно системы координат
Рис. 1.31. Географический |пь t„r уЯПя*трпМ™ртгя угппм А (пиг
и свободный в азимуте 1сцЛс *Л£ характеризуется углом А (рис.
трехгранники 1.31). Видимое вращение трехгран-
54
ника £сЛс£с совершается с угловой скоростью, равной вертикаль-
ной составляющей скорости вращения трехгранника |tj£, но с
противоположным знаком:
dA/dt = - (Q sin ф + vE tg:ф//?1). (1.67)
Непосредственно из рис. 1.31 видно, что
ulc = ulcosA-ufisinA; |
u^c = u^sin A-\-u^cosA\ Ufcc = 0.J
Подставив в выражения (1.68) значения угловых скоростей
географического трехгранника, определяемых формулами (1.52),
получим
и1с = — vN cos A/R2 — Q cos ф sin A — vE sin A(RX\ \
u^ = — vN sin A/R2 + Q cos ф cos A + vE cos A/R{\ I (1.69)
И1с = 0. J
Проекции кажущегося ускорения на горизонтальные оси
трехгранника £сПс£с имеют вид
w^c = w^cos A — шл sin Л; wJ\Z = wl sin A + o^cos Л. (1.70)
С учетом выражений (1.57) и (1.70) найдем
W£C = v sin (С — А) + vC cos (С — A)— 2v sin ф cos (С — А) —
— v2 sin С tg ф cos (С — A)IR\
Wjic = й cos (С — A) — vC sin (С — А) + 2uQ sin ф sin (С — А) +
+ v2 sin С tg ф sin (С — A)IR.
(1.71)
В последних выражениях считаем R{ ж R2 ж R = Ь> поскольку
в соответствующих составляющих такое допущение не приво-
дит к погрешностям в определении ускорений, большим 10_7g.
Относительные скорости движения объекта по поверхности
Земли в проекциях на оси £с, х\с равны
vlc = v sin (С — Л); vnc = v cos (С — А). (1.72)
Чтобы после интегрирования на выходах первых интеграто-
ров получить vicy ^лс, необходимо на их входы подавать произ-
водные по времени от выражений (1.72):
vlc = v sin (С — А) + v cos (С — А)(С — А);
йлс = v cos (С — А) — у sin (С — Л) (С — Л).
Подставив вместо А его значения (1.67), найдем
v^c = й sin (С —- Л) -f vC cos (С — Л) — uQ cos (С — Л) sin ф —
— u2sinC tg ф cos (С — A)IR\
йлс = v cos (С — Л) + аС sin (С— А) + vQ sin (С — Л) sin ф +
+ v2 sin С tg ф sin (С — Л)//?.
(1.73)
55
Рис. 1.32. Квазигеографическии
(6«Л«Са) и свободный в азиму-
те (iqcr\qCt>qc — квазигеографи-
ческие координаты) трехгран-
ники
Сравнивая (1.71) и (1.73), легко
установить, что эти выражения от-
личаются только слагаемыми
vQ> sin ф cos (С— А) в канале до$с и
uQsin<psin(C— А) в канале аулс,
т. е. лишь на половину ускорений
Кориолиса. Это свойство свободного
в азимуте сопровождающего трех-
гранника используют при создании
ИНС со свободной в азимуте пло-
щадкой.
В полученных слагаемых отсут-
ствуют составляющие, пропорцио-
нальные tgqp. Однако, чтобы опре-
делить угол Л, необходимо интегри-
ровать выражение (1.67), где есть такая составляющая. По этой
причине в случае применения ИНС со свободной в азимуте пло-
щадкой в полярном районе надо использовать повернутую си-
стему координат.
Горизонтная система координат со свободной в азимуте
ориентацией осей (квазигеографические координаты). Рассмот-
рим кинематику горизонтной системы со свободной в азимуте
ориентацией осей в квазигеографических координатах. На
рис. 1.32 показаны горизонтные системы координат с квазигеогра-
фической (lq, r\qy 1,д) и свободной в азимуте (lqct у)дс, £</с) ориен-
тациями осей. Положение свободного в азимуте трехгранника
в квазикоординатах характеризуется углом Ад.
Видимое вращение свободного в азимуте трехгранника от-
носительно квазигеографического равно, очевидно, вертикаль-
ной составляющей абсолютной угловой скорости квазигеографи-
ческого трехгранника, взятой с противоположным знаком:
dA/dt = — (Q cos lq cos ф^ + vEq tg q>q/R).
Из рис. 1.32 следует:
П<?с-
= ига cos Aa — tin, sin Aa;
Чя
и™ с = ulq sin Aq + um cos A
(1-74)
(1.75)
где Ufa, u^qc и utqc — проекции абсолютной угловой скорости
вращения трехгранника ^сЛас^с на его оси.
На основании выражения (1.63) по аналогии с (1.69) найдем
П<?с-
*r\q
- Q sin Xq cos Aq + Q cos lq sin qp^ sin Aq —
— vcos{Cq — Aq)/R\
c = — Q sin Xq sin Aq — Q cos Xq sin ф^ cos Aq +
+ v sin (Cq - Aq)IR\ mqc = 0.
(1.76)
56
Используя преобразование, аналогичное выражениям (1.75),
для линейных ускорений, получим
wlqc = v sin (Cq — Aq) + vC cos (Cq — Aq) — 2Q cos Kq cos yq X |
X cos (Cq - Aq) - v2 sin Cq cos (Cq - AQ)/R;
W4)qc = v cos (Cq — Aq) — vC sin (C„ — Aq) + 2Qy cos Xq cos ф^ X
X sin (Cq — Д,) -f v2 sin Cg sin (Cg — Aq)jR\ wtq c = wzq, j
(1.77)
где я^с, Wwc, W£qc — проекции кажущегося линейного ускоре-
ния вершины трехгранника Iq^qctqc на его оси.
Как и ранее, нетрудно показать, что в квазикоординатах при
использовании трехгранника, свободного в азимуте, для полу-
чения ускорения относительного движения надо в показаниях
акселерометра компенсировать только половину ускорения Ко-
риолиса, т. е.
w4c = vQ cos Xq cos ф^ cos (Cq — Aq)\Л
aw = vQ cos Xq cos ф^ sin (Cq — Aq).)
Глава 2
КЛАССИФИКАЦИЯ, УСТРОЙСТВО
И РАБОТА МОРСКИХ ИНС
2.1. Классификация ИНС и сравнительная
оценка ИНС различных типов
В настоящее время наибольшее распространение получила
классификация ИНС по принципу пространственной ориента-
ции измерительных осей инерциальных датчиков. Связав с каж-
дой группой датчиков базовые трехгранники (хауггг — с аксе-
лерометрами, xryrzr — с гироскопами), выделим три наиболее
характерных случая вращения этих трехгранников:
базовые трехгранники являются инерциальными, т. е. не вра-
щаются относительно инерциальной системы координат (<оа = О,
б)г = 0, где <оа и юг— векторы абсолютной угловой ско-
рости вращения соответствующих трехгранников);
базовые трехгранники вращаются таким образом, что одна
из их осей непрерывно совмещается с направлением вертикали
места ((оа = <о, <Dr = G>, где о —вектор абсолютной угловой ско-
рости вращения горизонтного трехгранника);
базовые трехгранники вращаются вместе с объектом (а>а =
=(ок, (ог = (ок, где (*>к—вектор абсолютной угловой скорости
трехгранника, жестко связанного с кораблем).
57
С учетом возможности независимого вращения каждого из
базовых трехгранников можно получить девять вариантов по-
строения ИНС [11]. Однако на практике используют ИНС че-
тырех типов: полуаналитического, геометрического, аналитиче-
ского и бесплатформенного.
Рассмотрим принцип действия каждого из этих типов ИНС
на примерах одномерных схем. При этом, как и выше, будем
считать, что объект движется по дуге большого круга невра-
щающейся Земли и определяется только одна координата, рав-
ная длине дуги пройденного пути (одномерная ИНС).
Полуаналитическая ИНС. В полуаналитической ИНС (ПА
ИНС) оси обоих базовых трехгранников параллельны, причем
на датчики момента гироскопов подают такие сигналы, чтобы
одна из осей (га, zT) непрерывно совмещалась с направлением
местной вертикали, т. е. <оа = <ог = <д. Гироскопы помимо функ-
ций стабилизации выполняют еще роль интегрирующих элемен-
тов (см. п. 1.1, рис. 1.2). Своим названием ПА ИНС обязана
тому, что вертикаль здесь моделируется физически с помощью
ГСП, а необходимые для этого угловые скорости разворота
платформы рассчитывают аналитически.
ИНС геометрического типа (ГТ). В подобных ИНС базовый
трехгранник xryrzr неподвижен в инерциальном пространстве,
а трехгранник xayaza вращается таким образом, что ось 2а не-
прерывно совмещается с направлением местной вертикали, т. е.
<ог = 0, <оа = <о.
Платформа П1 (рис. 2.1,а), на которой установлен гироскоп
Г с датчиком угла ДУГ, может поворачиваться относительно
оси, перпендикулярной плоскости рисунка, с помощью двига-
теля Д1У управляемого от вычислительного устройства ВУ.
Платформа П1 и акселерометр А установлены на платформе
П2. Контур стабилизации состоит из ДУГУ усилителя и двига-
теля Д2. Схема ВУ не отличается от схемы рис. 1.2. Как и в
ПА ИНС, сигнал акселерометра, установленного на платформе
П2У стабилизированной по сигналам ДУГ в горизонте, дважды
интегрируется и масштабируется. Полученное значение Дф от-
рабатывается с помощью Д1 и датчика угла платформы ДУГ
Таким образом, отличие от ПА ИНС состоит в способе введения
на стабилизатор обратной связи. Навигационные элементы Дф,
v и г|) получаются так же, как и в ПА ИНС.
Название ИНС ГТ связано с тем, что и направление, неза-
висимое относительно инерциального пространства, и направле-
ние местной вертикали строят в этом случае физически.
ИНС аналитического типа (AT). В этих ИНС (рис. 2.1,6)
оба базовых трехгранника совпадают и не вращаются в инер-
циальном пространстве, т. е. <оа = <ог = 0.
На платформе установлены те же элементы, что и в преды-
дущем случае. По сравнению с предшествующими схемами в
58
Рис. 2.1. Схемы одномерных ИНС ГТ (a), AT (б) и БИНС (в)
59
ВУ введены два новых блока — преобразователь координат ПК
и сумматор. Обратная связь по Дф замыкается в Я/С.
При движении объекта из точки ф„, в которой платформа
была установлена горизонтально, в точку фт сигналы акселеро-
метров А1 и А2 (w\ и w2) перепроектируются в ПК через те-
кущий угол Дф в горизонтальную плоскость. Операции с гори-
зонтальной составляющей ускорения wr не отличаются от рас-
смотренных ранее. Таким образом, в данном случае направле-
ние вертикали рассчитывается аналитически, откуда и название
ИНС AT. Навигационные элементы Дф и v вычисляются, как и
ранее, угол килевой качки г|э получается на выходе сумматора
как разность значения угла, полученного с ДУ, и коорди-
наты Дф.
Бесплатформенные ИНС (БИНС). В подобных ИНС базо-
вые трехгранники жестко связаны с объектом, т. е. <оа = <ог = <ок.
Проекции абсолютной угловой скорости трехгранника на его
оси можно измерить, например, тремя гироскопическими измери-
телями абсолютной угловой скорости. Во многих случаях ориен-
тацию опорного трехгранника целесообразно определять с
помощью неуправляемых трехстепенных гироскопов. Схема од-
номерной БИНС показана на рис. 2.1, е.
Гироскоп Г установлен на корпусе объекта. Датчик угла
ДУГ измеряет углы поворота ротора относительно корпуса ги-
роскопа. На объекте есть два акселерометра А1 и А2 со взаим-
но перпендикулярными осями чувствительности. Таким образом,
состав ЧЭ БИНС не отличается от состава элементов на плат-
форме ИНС AT, схемное отличие состоит в том, что на ПК
вместо Дф вводится угол -ф с выхода сумматора. БИНС рабо-
тает аналогично ИНС AT. Разница лишь в том, что горизон-
тальная составляющая ускорения wr получается проектирова-
нием ускорений w\ и w2 с учетом угла качки г|э, а не угла Дф.
Навигационные элементы Дф, у и ф вычисляют так же, как и
в ИНС AT.
Рассмотренные типы ИНС существенно различаются по
условиям работы гироскопических ЧЭ и акселерометров, по сте-
пени сложности гироплатформы, по требованиям, предъявляе-
мым к вычислительным устройствам.
В ПА ИНС гироскопы ориентированы неизменно по отноше-
нию к вектору силы тяжести, для чего на их датчики момента
поступают соответствующие сигналы. Точность выработки вы-
ходных параметров в ПА ИНС существенно зависит от характе-
ристик схемы управления гироскопами.
В ИНС ГТ, ИНС AT и БИНС гироскопы работают в не-
управляемом режиме, что дает более высокую точность. Однако
в этих ИНС гироскопы меняют свою ориентацию по отношению
к вектору силы тяжести, что служит источником дополнитель-
ных погрешностей. Наиболее тяжелые условия для работы ги-
роскопов возникают в БИНС. Здесь ротор гироскопа может
60
отклоняться от корпуса на большие углы, в результате чего
возникают вредные моменты.
Следует отметить, что в ИНС ГТ оба интегратора включены
в замкнутый контур построителя вертикали, а в ПА ИНС вто-
рой интегратор не охвачен обратной связью, что приводит к по-
грешностям вторичного интегрирования, нарастающим во вре-
мени.
Акселерометры в ПА ИНС и ИНС ГТ работают в благо-
приятных условиях, поскольку их оси чувствительности практи-
чески перпендикулярны вектору силы тяжести и на них проек-
тируются только горизонтальные составляющие ускорений
объекта, существенно меньшие g. В ИНС AT и БИНС диапа-
зон измеряемых ускорений, как правило, в 5. ..10 раз больше,
чем в ИНС других типов.
Таким образом, учитывая условия работы гироскопов и аксе-
лерометров и, как следствие, точность выработки выходных па-
раметров, ИНС можно, по-видимому, расположить в следующем
порядке: ИНС ГТ, AT и БИНС. Степень сложности гироплат-
формы ИНС характеризуется числом осей карданова подвеса
(ИНС ГТ — шесть-семь; ИНС AT — четыре-пять; ПА ИНС —
три-четыре; БИНС —нуль), т. е. наиболее сложной по кинема-
тике и наиболее громоздкой будет ИНС ГТ, а наиболее про-
стой — БИНС.
Приведенная классификация и сравнительная оценка раз-
личных типов ИНС остаются в силе и для пространственных
инерциальных систем.
2.2. Полуаналитические ИНС
Пространственная ИНС любого типа состоит из гироориен-
татора, в состав которого входит гироплатформа с блоками ЧЭ
(гироскопы и акселерометры), и вычислительного устройства.
С помощью гироориентатора моделируется инерциальный или
горизонтный трехгранник и измеряются ускорения, воздействую-
щие на объект в точке установки гироориентатора. В вычисли-
тельном устройстве по сигналам акселерометров и датчиков
углов, расположенных в гироориентаторе, вырабатываются все
необходимые навигационные элементы: координаты <р и X, со-
ставляющие скорости vn и V£y курс /С, а иногда и углы качки
вк и ф.
Углы эти определяют следующим образом (рис. 2.2). Вве-
дем трехгранник xKyKzK, жестко связанный с объектом. Ось хк
совпадает с поперечной осью объекта и направлена к правому
борту, ось ук совпадает с продольной осью объекта и направ-
лена к носу, ось гк перпендикулярна плоскости палубы и на-
правлена вверх.
Угол К — курс объекта — отсчитывают в горизонтальной
плоскости £т) от оси т) по часовой стрелке до проекции продоль-
61
ной оси объекта на эту плоскость. Диапазон изменения курса
0...3600.
Угол дифферента г|э отсчитывают в вертикальной плоскости
между осью ук и ее проекцией на горизонтальную плоскость.
Угол крена 9К отсчитывают в поперечной плоскости (пло-
скости шпангоута) между осью хк и линией пересечения ука-
занной плоскости с плоскостью горизонта. Положительными
считаются значения г|э при дифференте на корму, а 9К — при
крене на правый борт.
Алгоритмы, по которым работает вычислительное устрой-
ство ПА ИНС, обеспечивают решение следующих задач:
выработку составляющих ускорений, которые необходимо
вычесть на выходе акселерометров с тем, чтобы на входе пер-
вых интеграторов получить ускорения движения объекта отно-
сительно Земли;
вычисление угловых скоростей, с которыми необходимо по-
ворачивать гиростабилизированную платформу (ГСП) вокруг
трех ее осей таким образом, чтобы она сохраняла заданную
ориентацию в пространстве, моделируя географический гори-
зонтный трехгранник либо свободную в азимуте систему коор-
динат;
определение навигационных элементов;
дополнительные задачи, связанные, например, с переходом
из географической в квазигеографическую систему координат
и обратно.
Гироориентатор морской ПА ИНС обычно представляет со-
бой трехосный гиростабилизатор с закрепленными на нем аксе-
лерометрами. В качестве чувствительных гироскопических эле-
ментов чаще всего используют либо два трехстепенных гиро-
скопа, либо три двухстепенных, например поплавковых.
На рис. 2.3 приведена упрощенная схема гироориентатора
ПА ИНС. Два ЧЭ Г1 и Г2 установлены на ГСП с двумя аксе-
Рис. 2.3. Кинематическая схема гироориентатора ПА ИНС
62
лерометрами А1 и А2. Вектор кинетического момента Hi ги-
роскопа Г1 направлен вдоль оси z, вектор Н2 — вдоль оси у
платформы.
Три степени свободы ГСП относительно корпуса обеспечи-
вает карданов подвес. Корпус гироориентатора на морских объ-
ектах устанавливают так, чтобы ось наружного кольца подвеса
была параллельна диаметральной плоскости судна. В этом слу-
чае ее называют осью бортовой качки (БК), ось промежуточ-
ного кольца — осью килевой качки (КК), ось вращения ГСП —
азимутальной осью. На осях платформы установлены двига-
тели стабилизации и датчики углов, вырабатывающие сигналы,
пропорциональные углам поворота кардановых колец: 9К. п —
угол поворота кольца БК относительно корпуса; срп — угол по-
ворота кольца относительно кольца БК; qn — курсовой угол
(поворот ГСП относительно кольца КК).
Рассмотренные углы при подобных установке гироориента-
тора и моделировании ГСП географического трехгранника рав-
ны углам объекта с точностью до погрешностей стабилизации
ГСП в горизонте и геометрических погрешностей карданова
подвеса, т. е. qn « /С; i|)n « V» 0к. п ~ бк.
Угол рассогласования между роторами и корпусами гиро-
скопов измеряется в трехстепенных гироскопах с помощью двух-
координатных датчиков угла ДДУ с ортогональными осями
списывания. Сигнал с Г2У соответствующий рассогласованию в
азимуте, после усиления подается на двигатель ДЗ, установлен-
ный на оси азимутального кольца. Сигналы с Г1 через преобра-
зователь координат ПК управляют двигателями Д1 и Д2. ПК
работает по известному алгоритму:
&и'х = kux cos q — kuy sin q\
Ди' = Дыг sin q + Ды„ cos q,
у x у
где Дых и kuy — сигналы, снимаемые с гироскопа Г1; &и'х и
Д^ —сигналы, управляющие стабилизирующими двигателями.
Сигнал, снимаемый с Г2 и соответствующий повороту плат-
формы вокруг оси х, будет избыточным и его можно исполь-
зовать для межрамочной коррекции этого гироскопа (рис. 2.3).
Для управления движением ГСП на датчик моментов ДМ ги-
роскопов подают сигналы со*, щ и со*.
При выводе алгоритмов ПА ИНС предполагают, что эле-
менты ИНС работают без ошибок и погрешности начальной
выставки равны нулю.
ПА ИНС с географической ориентацией осей. Трехгранник
xyz, связанный с платформой, в данной схеме моделирует гео-
графический сопровождающий трехгранник |г]^. Сигналы с вы-
ходов акселерометров пропорциональны проекциям кажущихся
ускорений объекта на оси х и у: wx = w\\ wy = w^ где w^ w^
определяются выражениями (1.57). Для получения скорости
63
движения объекта по поверхности Земли необходимо, чтобы на
входы первых интеграторов поступали только ускорения отно-
сительного движения. Следовательно, ускорения Кориолиса и
ускорения, связанные с криволинейностью движения объекта
(движение не по ортодромии), должны быть скомпенсированы.
Из выражений (1.57) следует, что компенсируемые состав-
ляющие ускорения равны
Щг = 2vn® sjn Ф + vNvE tg ф//?!*,
unq)-\-vNvElgq>/K{\ \
Таким образом, на входы первых интеграторов поступают
следующие величины:
Wni = wl+wKl = vE; wa1i = wn+wKn=vN. (2.2)
После интегрирования, с учетом ввода начальных скоростей
vn(0) и ve(0), получают северную и восточную составляющие
относительной скорости движения объекта
vN = vN (0) + \ w„rflt' = vN (0) + \ vNdt';
о о
/ t
vE = vE (0) + J wnldt' = vE (0) + J vEdt'.
(2.3)
Координаты местоположения объекта вычисляют с помощью
вторичного интегрирования (с учетом начальных координат ф0
и Ко)
ф=фо+^^'; *-*Ъ+[1&**'. (2-4)
о о
где R\ и /?2 определяются теми же выражениями, что и в фор-
мулах (1.50) и (1.51), которые можно упростить, разложив в
ряд. С точностью до еА получим
#1=a(l + 0,5^sin^); /?2 = a(l - е2+1,5е2 sin4). (2.5)
Курс объекта равен углу q, снимаемому с ДУЗ (рис. 2.3),
а углы качек 9К и -ф равны сигналам с ДУ1 и ДУ2.
Для сохранения ГСП географической ориентации на ДМ ги-
роскопов необходимо подавать управляющие воздействия, про-
порциональные угловым скоростям вращения географического
трехгранника (1.52):
<i>x = Ui = — vN/R2; <>)y = u1] = Qcosq> + vE/Rl'A (2&)
<u2 = ut = Qsinq)+vEtg(f>/Rl. )
64
щ
го
2
av
Пи>
v*(0)
Ц/№ц
1ГВ
блок
выработки
,4*
И*
«
га
J* I Ir"
ftlf JP
4S4.
*0[
блок
выработки
R
тс
л
блок
выработки
ш
Ч
RiC03(f
(f(0)
О/у
Л/Х
-ЕЬ^г
Рис. 2.4. Структурная схема ПА ИНС с географической ориентацией осей
В соответствии с формулами (1.49) выражения (2.6) можно
представить в виде
(йх = — ф; (йу = (Q -f k) cos ф; со2 = (Q + Х) sin ф. (2.7)
Путевой угол вычисляют по формуле, которая следует из со-
отношений (1.48):
C = arctg(vE/vN). (2.8)
Выражения (2.1)...(2.8) определяют алгоритм работы
ПА ИНС с географической ориентацией осей.
Для правильного функционирования системы необходимо
перед началом работы ввести в ВУ vn{0)\ ve(0)\ фо; ко и ориен-
тировать ГСП таким образом, чтобы оси х, у, г, совпали с
осями £, г|, £.
На рис. 2.4 показана структурная схема ПА ИНС с геогра-
фической ориентацией осей. Гироориентатор ГО изображен
условно в виде трехгранника, для вращения которого вокруг
каждой из осей подается сигнал, пропорциональный требуемой
угловой скорости.
ПА ИНС с квазигеографической ориентацией осей. Работа
ПА ИНС в квазикоординатах принципиально не отличается от
работы в географических координатах. Трехгранник xyz, свя-
занный с ГСП, в этом случае моделирует квазигеографический
трехгранник 1дцд^д. Как и ранее, сигналы акселерометров про-
порциональны проекциям кажущегося ускорения объектов па
оси х и у: wx = w\q\ wy = Wjyq, где w^q и wх]Я определяются
выражениями (1.66).
Компенсируемые составляющие ускорения в данном случае:
w4q = 2QvNq cos kq cos <pq + vEq vNq tg yqIR2\\
WW = ~ 2QVEq C0S \ C0S Ф, ~ Vlq [ё Vq/R. J
На входы первых интеграторов подают сигналы
(2.9)
о>,
5 Зак 999
= Wlq + WKtq = V
IQ-
JEq>
OJ>
nr\q
= Wnq + W
кт]<7
VNq
(2.10)
65
Составляющие скорости и координаты местоположения вычис-
ляют, как и ранее:
t t
vNq = vNq (0) + $ wnmdt = vNq (0) + \ vNdt\
о о
/ t
vEq = vEq (0) + \ w4qdt = vEq (0) + $ vEdt\ \ (2.11)
о о
1 l 1 '
0 0
Квазикурс Kq снимается с ДУЗ, а углы качек —с ДУ1 и ДУ2
(см. рис. 2.3). Для сохранения ГСП квазигеографической ориен-
тации на ДМ гироскопов необходимо подавать сигналы, про-
порциональные выражениям (1.63):
<*xq = Ulq\ <*yq = Uw <*>z* = "tf- (2.12)
Выражения (2.9) ...(2.12) определяют алгоритмы работы ПА
ИНС в квазигеографической системе координат.
Структурная схема алгоритмов ИНС, работающей в ква-
зигеографической системе, аналогична рис. 2.4. Разница состоит
в отсутствии блоков выработки R{ и R2 (как ранее отмечалось
в полярных районах при |ф^|^ 10° можно считать R\ « /?2 «
« 6, поскольку погрешность определения скорости за счет этого
допущения не превышает 3-Ю-3 уз), а также в том, что для
вычисления компенсирующих ускорений и угловых скоростей
коррекции ГСП наряду с квазиширотой необходима и квази-
долгота.
При сравнении выражений (2.1) и (2.9) для компенсирую-
щих ускорений и (2.6), (2.12), (1.63) для угловых скоростей
видны преимущества ИНС, работающей в квазикоординатах в
полярном районе при |<р$|^ 10°, когда Itgcp^l <| 0,17 (в геогра-
фических координатах при ср ^ 80°; 5,7 ^ tg ср ^ оо).
Пример. Объект совершает циркуляцию вокруг Северного полюса, дви-
гаясь по параллели 89°59' (радиус циркуляции 1 миля) со скоростью
v = 30 уз. В географической системе координат по выражениям (2.1) и (2.6)
coz« 1800°/ч; шК£« 10~V
Как правило, нет технической возможности обеспечить скорость прецес-
сии азимутального гироскопа около 1000°/ч. Поэтому необходим переход к
квазигеографической системе координат, в которой по выражениям (1.63),
(2.9) и (2.12) получим (ozq « 15°/ч; шк$ « 2-10 g.
Переход ПА ИНС из географической системы координат в
квазигеографическую и обратно. Для того чтобы ПА ИНС
могла работать в квазигеографической системе координат в со-
ответствии с полученными алгоритмами, необходимо развернуть
66
ГСП вокруг вертикальной оси так, чтобы совместить оси у и
у\я. Угол поворота при движении ГСП по кратчайшему пути
может достигать 180°. Недостаток такого способа — значитель-
ное время переориентации ГСП и возможность появления воз-
мущений в инерциальной системе. На практике, как правило,
угол перехода 9 (равный углу поворота ГСП) учитывают ана-
литически, а положения ГСП не изменяют.
Структурная схема ПА ИНС, работающей с квазигеографи-
ческой ориентацией при произвольном начальном азимуте ГСП,
приведена на рис. 2.5, а.
Особенность этой схемы состоит в том, что введены три пре-
образователя координат: ПК1 перепроектирует компенсирую-
щие ускорения wKq из системы координат ^дЦд в систему коорди-
нат ГСП ху, развернутые друг относительно друга на угол 9;
ПКЗ решает ту же самую задачу для сигналов оь и (о^, пода-
ваемых на датчики моментов гироскопов; ПК2 перепроектирует
приращения угловых скоростей из системы координат ху в си-
стему координат ^яг\я. Квазикурс вычисляют по формуле Kq =
= Aq0-\-q. Остальные вычислительные блоки работают по алго-
ритмам (2.9)...(2.12).
В момент перехода ПА ИНС из Географической системы ко-
ординат в квазигеографическую в вычислительном устройстве
осуществляются следующие операции:
вычислительное устройство переключается на работу по схе-
ме рис. 2.5, а;
вычисляют фдо, Ко и 9 по формулам (1.60), в которые под-
ставляют географические координаты объекта фп и Хп в момент
перехода;
вычисляют начальные значения скоростей vuq(0) и V£q(0)
по выражениям
vNq (0) = *>Nn cos Aq0 + vEn sin Aq0; j
vEq (0) — — vMn sin Aq0 + vEn cos Aq0i)
где vnu и VEn — значения составляющих скорости объекта в ге-
ографической системе координат в момент перехода; Aq0 = —9;
выходы интеграторов сбрасываются на нуль;
начальные значения координат, скоростей и азимут А вво-
дятся в вычислительное устройство.
При выходе объекта за пределы полярной области произво-
дится обратный переход из квазигеографической системы коор-
динат в географическую.
Для того чтобы и в этом случае не переориентировать ГСП,
в схему вычислительного устройства необходимо ввести три та-
ких же преобразователя координат (ПК1...ПКЗ), которые были
установлены в схеме рис. 2.5, а. Структурная схема ПА ИНС,
работающей с географической ориентацией при произвольном
начальном азимуте Л0, приведена на рис. 2.5,6. Значения угла
5*
67
00
fro
Щс
г
'ёЫнМ7
%т
Avu
Ъп/ I
^, I
"до
W«x
ПК1
41
W«
14
TVi—|
1лу1^
блок
выработки
AqO\
<ShH/
щ
VEct
Avx
\Avf
ПК2
v¥% \v4
Щ
и
fq(0)
A0
Ъ
блок
выработки
Щ
IfgL
*nq
UKq~Wz
ПКд
=f
WX
w„
таё^н-
If0
<V
**
^Ннз
Ay„
ПК1
JSi
выработки
щ
Блок
Выработки
R
lA v$ Ь£
ж
блок
6ирад~откц
и
ПКд
\и^иг,
<*>х
-ЕН£
Рис. 2.5. Структурные схемы ПА ИНС при произвольном начальном азимуте ГСП с квазигеографической
(а) и географической (б) ориентациями осей
Л0 после п переходов
п
A) = -Ee,.;
где 8,— угол перехода при /-м переходе; при обратном переходе
Qt приписывают знак минус.
Алгоритм обратного перехода из квазигеографических коор-
динат в географические подобен алгоритму прямого перехода:
вычислительное устройство переключается на работу по схе-
ме рис. 2.5,6;
вычисляют ф0, А,0 и 9 по формулам (1.61), в которые под-
ставляют квазигеографические координаты объекта yqn и Xqn
в момент перехода;
вычисляют vh(0) и ve(0) по выражениям, аналогичным
(2.13):
vN (0) = vNq cos A0 + vEq sin Л0; vE (0) = — vNq sin A0 + vEq cos A0t
где VNq и veq — значения составляющих скорости объекта в ква-
зигеографической системе координат в момент перехода; А0 =
= - Z е,;
/ = 1
выходы интеграторов сбрасываются на нуль;
начальные значения координат, скоростей и азимут А вво-
дятся в вычислительное устройство.
И НС со свободной в азимуте ориентацией осей. В этом слу-
чае оси х, у, г, связанные с ГСП, моделируют горизонтный трех-
гранник со свободной в азимуте ориентацией осей gc, т]с £с ки-
нематика которого рассмотрена в п. 1.6.
Из полученных соотношений (1.71) и (1.73)
wk\z = v® sm Ф cos (С — А) = vQ sin ф cos q\
^W = — vQ sin ф sin (C — A) = — vQ sin ф sin q
.}
(2.14)
так как
С-A **q. (2.15)
Как и ранее, на вход первого интегратора подаются сигналы
w4* = Щс + ^к|с = vlc) шПТ)с = шлс + ауКТ)с = г)лс. (2.16)
Приращения составляющих относительной скорости полу-
чают после первого интегрирования:
t t
bvlc=\walcdt=^vlcdt\
о о
t , 1 (2-17)
Да„с = $ о>пчсЛ = J vncdt.
о о
69
*ТЛ^и""'"" '<■
ЗДЬ^гй^
блок
выработки
Aq , Uq
щч
i_
ПКб
ii
еЛ\(р\ (9н^*.
10»
а>х
Рис. 2.6. Структурная схема ПА ИНС со свободной в азимуте ориентацией осей: а и б — географические
и квазигеографические координаты
Северную и восточную составляющие скорости находят из вы-
ражений
»/v = д^сcos A - Д^с sin A + vN (0); j
vE = Ду^с sin A + Ди$с cos Л + vE (0)./
Сигналы, подаваемые на датчики моментов, гироскопов, про-
порциональны величинам
<°х = w^c = "| cos Л — ил sin Л;
со^ = ицс = и^ sin Л + ит\cos ^»
где угловые скорости и\ и ил соответствуют формулам (1.4).
Из выражения (1.67) следует
t
А = А0 — \(Q sin ф -f vE tg ф//?!> Л. (2.20)
о
Курс определяют с помощью угла А и угла поворота ГСП, спи-
сываемого с первого датчика угла, причем
K = A + q. (2.21)
Структурная схема ПА ИНС со свободной в азимуте ориен-
тацией осей в соответствии с зависимостями (2.14)...(2.21) при-
ведена на рис. 2.6, а. Структурная схема ПА ИНС со свободной
в азимуте ориентацией осей при работе в квазикоординатах
представлена на рис. 2.6,6. Эта схема отличается от схемы
рис. 2.6, а только алгоритмами, построенными по выражениям
(1.74)...(1.78).
В момент перехода из географических координат в квазигео-
графические в вычислительном устройстве производятся следую-
щие операции:
переключение на работу по схеме рис. 2.6,6;
вычисляют ф<70, kqo и 0 по формулам (1.63);
определяют начальные скорости vj^q(0) и. VEq(0) по выраже-
ниям (2.13);
вычисляют начальный квазиазимут Aq0 = Ап — 9;
выходы интеграторов сбрасываются на нуль;
полученные начальные значения вводятся в вычислительное
устройство.
Обратный переход в географические координаты происходит
аналогичным образом.
2.3. ИНС геометрического типа
Схема ИНС ГТ. До последнего времени чаще всего исполь-
зовали ПА ИНС. Одна из основных трудностей при разработке
таких ИНС состоит в обеспечении высокой стабильности, линей-
ности и симметричности схемы управления прецессией роторов
(2.19)
71
гироскопических ЧЭ. Тре-
буемые характеристики по-
лучают при использовании
высокостабильных источни-
ков питания, обеспечении
постоянства зазоров между
ротором гироскопа и датчи-
ком момента, поддержании
с высокой точностью скоро-
сти вращения ротора, стаби-
лизации температуры сре-
ды, окружающей гироскоп,
и т. п. Погрешности схемы
управления существенно ли-
митируют точность опреде-
ления навигационных пара-
метров в ПА ИНС.
Повышение требований к
точности навигации приво-
дит к необходимости созда-
ния ИНС на неуправляемых
гироскопах (НГ). Очевидно,
преимущество такие систе-
мы будут иметь лишь в том
случае, когда неучитывае-
мая скорость ухода НГ при
его переориентации в поле силы тяжести будет меньше погреш-
ностей схемы управления гироскопическими ЧЭ.
На базе НГ можно построить ИНС двух типов: геометриче-
ского и аналитического.
В ИНС ГТ обеспечивается наиболее благоприятный режим
работы гироскопов и акселерометров и, следовательно, есть воз-
можность получения навигационных элементов с более высокой
точностью, чем в ИНС других типов. На рис. 2.7 приведена одна
из схем ИНС ГТ.
Основу гироориентатора составляет карданов подвес из семи
колец: К1— кольцо бортовой качки (БК); К2 — кольцо килевой
качки (КК); КЗ— азимутальное кольцо; К4 — кольцо широты;
К5 — промежуточное кольцо; Кб — кольцо долготы; К7 — кольцо
склонения. Семь колец подвеса — это минимально возможное
число для гироориентатора рассматриваемого типа, так как три
оси обеспечивают независимость положения азимутального
кольца от угловых движений объекта, а четыре остальных —
независимость движения двух НГ относительно азимутального
кольца. На оси каждого кольца установлены двигатели Д и
датчики угла ДУ.
В гироориентаторе есть два трехстепенных НГ, с помощью
которых моделируется инерциальный трехгранник. Векторы ки-
ВУ
Рис. 2.7. Функциональная схема ИНС
ГТ
72
нетических моментов НГ (векторы Н) ориентированы во взаим-
но перпендикулярных направлениях таким образом, что ось
собственного вращения НГ1 параллельна оси вращения Земли,
а ось собственного вращения НГ2 параллельна плоскости эква-
тора Земли (иногда НГ1 называют полярным, а НГ2 — эквато-
риальным гироскопами).
Гироскоп НГ2 установлен на кольце К5 так, что направле-
ние вектора Нх параллельно его оси, ориентированной парал-
лельно оси вращения Земли. НГ2 свободно вращается относи-
тельно оси кольца Л7, перпендикулярной вектору Я2. Корпус
НГ2 разворачивают в такое положение, чтобы вектор Я2 был
параллелен плоскости экватора Земли.
Акселерометры А1 и А2 размещены на азимутальном коль-
це, причем их измерительные оси взаимно перпендикулярны в
плоскости кольца, а ось А1 параллельна оси широтного коль-
ца К4.
С осей карданова подвеса снимаются сигналы, пропорцио-
нальные следующим углам поворотов: ДУ1—угол БК (Эк);
ДУ2 — угол КК(\|э); ДУЗ — азимутальный угол (q)\ ДУ4 —
угол широты (|i); ДУ5 — угол промежуточного кольца (v);
ДУ6 — часовой угол (s); ДУ7 — угол,- соответствующий скло-
нению (р).
Преобразователь координат ПК служит для перепроектиро-
вания сигналов рассогласования гироскопов НГ1 и НГ2 (х\\ z\
и z2) на оси отработки углов БК, КК и азимутального угла.
Преобразование сигналов осуществляется с помощью углов q
и (li. С выхода ПК сигналы поступают на двигатели Д1...ДЗ.
Сигнал х2 управляет двигателем Д7 непосредственно.
Для удержания кольца КЗ в горизонтальном положении и
стабилизации его в азимуте, т. е. для того чтобы кольцо КЗ мо-
делировало горизонтальный географический трехгранник £г]£,
его необходимо разворачивать на соответствующие углы, про-
изводные от которых равны угловым скоростям и^, иц и W£, оп-
ределяемым выражениями (1.52).
Требуемые углы поворота кольца КЗ получают разворотом
оси кольца К4 на угол \л = ф и оси кольца Кб на угол s = Qt +
+ Х. Эти углы вырабатывает вычислительное устройство ВУ.
Разворот колец происходит следующим образом: полученное
в ВУ значение угла ф сравнивается с углом |ы, снимаемым
с ДУ4. Разность ц — ф поступает на двигатель Д4, который вра-
щается до тех пор, пока не будет достигнуто равенства \i = ср.
Точно так же значение угла Qt + X непрерывно отслеживается
двигателем Д6 с помощью ДУ6 и достигается равенство s =
= Qt +1.
Углы ф и X вырабатываются в ИНС ГТ так же, как и в
ПА ИНС, поскольку оси чувствительности акселерометров AI
и /42 в обеих ИНС параллельны осям географического гори-
зонтного трехгранника. Структурная схема вычисления северной
73
а) 5)
Рис. 2.8. Варианты расположения гироскопов в ИНС ГТ
п восточной составляющих относительной скорости объекта
и координат ф, К соответствует рис. 2.4. Часовой угол вы-
числяют по формуле s = s0 + ®t + X. Углы 0К, ф и К снимаются,
как в ПА ИНС, с ДУ1, ДУ2 и ДУЗ; угол v удерживают близким
к нулю (см. ниже), углы ц и s отслеживаются с помощью Д4
и Д6. В вычислительное устройство, кроме того, вводится блок
определения расчетного движения НГ, вызываемого их систе-
матическим уходом.
Возможны и другие варианты расположения НГ и колец
К5...К6 (рис. 2.8). В первом варианте (рис. 2.8, а) НГ1 уста-
новлен на кольце Кб вместо К5. В этом случае корпус НГ1 вра-
щается относительно Земли с видимой скоростью Q + X и не
вращается относительно инерциального пространства. Во вто-
ром варианте (рис. 2.8,6) оба НГ имеют экваториальную ориен-
тацию. Поскольку два НГ нельзя жестко установить на одной
площадке, в обоих случаях обеспечивается свобода вращения
НГ2 относительно НГ1 вокруг одной из осей.
Преобразование сигналов НГ. Рассмотрим алгоритм работы
ПК (см. рис. 2.7), используемого для преобразования сигналов
НГ. В ИНС ГТ оси описывания (измерительные оси датчиков
углов НГ) и оси отработки (оси кардановых колец К1...КЗ)
развернуты в пространстве друг относительно друга в общем
случае по трем угловым координатам. Кроме того, обычно как
оси списывания, так и оси отработки не образуют ортогональ-
ных трехгранников.
Если между каналами следящих систем, управляющих дви-
жением кардановых колец, нет перекрестных связей, некоторая
непараллельность осей списывания и отработки ведет лишь к по-
нижению коэффициента усиления в соответствующем канале.
Изменение крутизны в два раза при рассогласовании осей на 60°
и при соответственно рассчитанной схеме коррекции следящей
системы не приводит к нарушению устойчивости, хотя при этом
и увеличиваются ошибки слежения. В связи с этим при преоб-
74
Рис. 2.9. Взаимное расположение трехгран-
ников отработки и списывания в ИНС ГТ
(а) и дополнительный поворот трехгранни-
ка списывания (б)
разовании сигналов мож-
но пренебречь неортого-
нальностью осей рассмат-
риваемых трехгранников,
если пределы их измене-
ния не превышают
±40...50°.
Введем трехгранник £
списывания xcyczc (рис.
2.9,а), связанный с кор-
пусом НГ1 (см. рис. 2.7),
направив оси хс и гс па-
раллельно измеритель-
ным осям НГ1. Ось ус
совместим с вектором Н\. Трехгранник отработки х0тУотг0т свя-
жем со стабилизированным в плоскости горизонта кольцом /С2,
направив ось х0т по оси кольца, ось уот — по оси /С/, а 2от — по
оси кольца КЗ.
Если сигналы, снимаемые с осей гироскопов НГ1 и НГ2 и
направляемые в Я/С, рассматривать как проекции некоторого
вектора на оси трехгранника списывания, задачей преобразо-
вания будет перепроектирование этого вектора на оси трехгран-
ника отработки.
Отметим, что сигнал со второй оси НГ2 управляет двигате-
лем Д7, установленным на оси карданова подвеса НГ2, т. е.
в данном случае ось списывания совпадает с осью отработки.
Для гироориентатора ИНС ГТ, показанного на рис. 2.7 и
установленного на морском объекте, характерны следующие
пределы изменения углов карданова подвеса: 0К = ± (30...45°);
-ф = ±(15...30°); ^=±90°; v = ±(3...5°); р = ±(20...30°); q и
5 — не ограничены.
В матричной форме преобразование из системы координат
*сУс<гс в систему х0т*/от2от имеет вид
(2.22)
хот
Уот
Zqt
=
cos q
— sin q
0
sin q cos jlx
cos q cos \i
— sin jli
sin q sin ji
cos q sin \i\
COS [i 1
\xc
k
k
Из рис. 2.7 следует
Хс = X\\
: = 2.
(2.23)
Ус — z2> zc
Раскрывая выражение (2.22) с учетом (2.23), найдем
*от = х\ cos Я + z2 sin Q cos \i + zx sin q sin ц*л
Уqi = x\ si-n q + z2 cos q cos [i + zx cos q sin ц; \ (2.24)
zOT = — z2 sin \x + £| cos \i. J
Выражения (2.24) определяют алгоритм преобразования сигна-
лов НГ для схемы, приведенной на рис. 2.7.
75
Для вариантов установки НГ (см. рис. 2.8) в алгоритм пре-
образования следует ввести дополнительный поворот на угол s
(рис. 2.9,6).
В этом случае матрица преобразования
Уо-г
cos q cos s + sin q sin \i sin s sin q cos ц
- sin q cos s + cos q sin \i sin s cos q cos \i
cos [i sin s — sin [i
• cos q sin s + sin q sin \i cos s
sin q sin s + cos q sin ц cos s
cos \i cos s
X
(2.25)
Выражение (2.25) пригодно для обоих вариантов установки
НГ при условии, что во втором варианте плоскости колец К5
и Кб параллельны. (В выражениях (2.24) и (2.25) (л = 0 при
таком положении колец, когда вектор Н\ параллелен плоскости
кольца К2\ q = 0, когда оси колец К2 и К4 параллельны; s = О,
когда вектор Н2 направлен в сторону юга.)
Алгоритмы И НС ГТ. Вычислительное устройство ИНС ГТ
должно непрерывно вырабатывать также углы разворота колец
карданова подвеса, чтобы кольцо КЗ с акселерометрами все
время находилось в плоскости горизонта и было стабилизиро-
вано в плоскости меридиана. При этом значения навигационных
элементов вырабатываются в соответствии с соотношениями»
полученными для ПА ИНС с географической ориентацией, и
предполагается, что в трехграннике, моделируемом с помощью
НГ, одна из его осей параллельна оси вращения Земли (оси
Мира). В действительности выставить направления векторов
кинетических моментов НГ в заданные положения с необходи-
мой точностью практически невозможно и, кроме того, вслед-
ствие неизбежного случайного и систематического ухода, глав-
ные оси НГ не сохраняют заданных начальных положений.
Указанные причины приводят к тому, что зависимости, ре-
шаемые вычислительным устройством ИНС ГТ при определении
углов разворота колец карданова подвеса, усложняются.
Для определения углов разворота колец введем дополни-
тельно правые ортогональные системы координат с общим на-
чалом в точке 0: £иЛи£и — трехгранник с осями, ориентирован-
ными неизменно относительно неподвижных звезд (rj„ направ-
лена параллельно оси Мира, t„ — на точку весеннего равноден-
ствия); £эЛэ£э — трехгранник, оси которого связаны с Землей
(т)э совпадает с г]и, £э — параллельна линии пересечения пло-
скости земного экватора с Гринвичским меридианом); £оЛо£о —
76
Рис. 2.10. Взаимное положение навигационных трехгранников
трехгранник, связанный с меридианом места (ось г)0 совпадает
с г)э и т]и, ось £о параллельна плоскости местного горизонта и
направлена на восток); £кт)к£к— горизонтный трехгранник, ось
т]к которого направлена параллельно проекции продольной оси
объекта на горизонтальную плоскость, ось £к — совпадает с
осью £.
Взаимное расположение этих трехгранников и введенного
ранее Irfe показано на рис. 2.10. На рис. 2.10,6 показаны си-
стемы координат £эЛэ£э и £оЛо£о с началом в центре Земли и си-
стема grj!; с началом в центре масс объекта. Угол Sr на
рис. 2.10, а характеризует звездное гринвичское время: Sr =
= Sro + Ш.
Из рис. 2.10,0 очевидно, что трехгранник £кЛк£к развернут
относительно трехгранника %ц£ вокруг оси i; на угол К (курс
объекта). Введем трехгранники, связанные с НГ (общие оси
параллельны вектору Я): хъуъгъ— трехгранник, ось уэ которого
параллельна вектору Я; ось хэ параллельна линии пересечения
экваториальной плоскости ротора НГ с плоскостью, параллель-
ной плоскости экватора Земли; хгуггг — трехгранник, ось уг ко-
торого совпадает с осью уэ, а ось хг направлена параллельно
линии пересечения плоскости горизонта с экваториальной пло-
скостью ротора; xMyMzM — трехгранник, ось ум которого совпа-
дает с осями уэ и уг, а ось гм направлена по линии пересечения
плоскости меридиана с экваториальной плоскостью ротора.
На рис. 2.11, а показано взаимное положение трехгранников
ХэУэгэ и £ит]и£и. Углы у и б по аналогии с астрономическими на-
зываю; прямым восхождением и склонением. На рис. 2.11,6
показано расположение горизонтных трехгранников ^Лъ> ЕкЛк£к
и трехгранника xryrzr. Углы Auk представляют собой азимут
и высоту вектора Я, q — курсовой угол. Пределы изменения
углов у, A, q не ограничены, h = б = ±90°. Рис. 2.11,0 поясняет
взаимное положение трехгранников x^yMzM и трехгранника £оЛо£о.
Углы аир определяют положение вектора Я по отношению к
трехграннику £оГ)о£о; пределы их изменения обычно не превы-
шают 3...5°.
Взаимное положение трехгранников xryrzr и хэуэгэ характе-
ризуется углом х (рис. 2.11,г), являющимся аналогом парал-
77
лактического угла. Угол х может изменяться в зависимости от
Ф и б до ±180°.
Из рис. 2.10, а и 2.11, а можно получить соотношения, пока-
занные на рис. 2.11,d: S = —v + Sr + A,. Нетрудно видеть, что
5 представляет собой угол между проекцией вектора Н (#') на
плоскость экватора Земли и меридианом места. Угол S анало-
гичен местному часовому углу, используемому в астрономии.
Определим углы разворота колец карданова подвеса. Поло-
жение вектора Н\ первого гироскопа будет, с одной стороны,
зависеть от углов \х и v, с другой — от углов а, р, ф. Последние
углы считаются известными, так как их значения непрерывно
вырабатываются в вычислительном устройстве ИНС ГТ в блоке
определения расчетного движения НГ по начальным углам а0,
Ро, известным систематическим уходам и выходным навигацион-
ным элементам (/(, фД). Необходимо найти |i = /1(a, р, ф) и
v = /2(а, р, ф).
Для второго гироскопа положение вектора Я2 определяется
углами б и S = —Y + Sr + A,. Величины б и у вырабатываются
в вычислительном устройстве аналогично углам аир. Тре-
буется найти s = /3(|ы, v, S, б).
Задачу решим, получив проекции единичного вектора h{ =
= Н\/\Н\\ на оси |, т], Е; сначала через углы ц и v (рис. 2.12, а),
а затем — через углы а, р и ф (рис. 2.12,6):
h{ = — sin vi + cos \i cos v/ + sin \i cos vfe; (2.26)
hx = — sin ai + cos (ф -f P) cos a/ + sin (ф -f P) cos aft, (2.27)
где i, / и k—единичные векторы (орты) осей £, rj и £.
Из сравнения выражений (2.26) и (2.27) имеем
ц = Ф4-Р; v = a. (2.28)
78
Рис. 2.12. Положения
векторов Н\ в систе-
ме координат £ti£ (ay
б) и #2 в системе ко-
ординат xyz и £оЛо£о
(в, г, д)
Последние соотношения можно получить и непосредственно из
рис. 2.12, а и б.
Угол s найдем, определив проекции единичного вектора
А2 = Н2/\Н2\ на оси jc, у, г, связанные с первым гироскопом,
сначала через углы р и s, а затем через б, S, а, р.
Из рис. 2.12, в, г, д следует:
А2 = — cos p sin si* + sin р]у + cos p cos skz; (2.29)
й2 = (— cos б sin Scosa+ sin б sin a cos p + cos 6 cos S sin asinP)X
X ix + (cos б sin S sin a-f sin б cos a cos p + cos 6 cos S cos a sin P) X
X jy + (— sin б sin p + cos б cos S cos p) k2t (2.30)
где ix, jy, kz — орты осей ху уу z. Сравнивая выражения (2.29)
и (2.30), получим
, cos 6 sin S cos a — sin 6 sin a cos p — cos 6 cos S sin a sin p /oqi\
^ — sin 6 sin p -f cos 6 cos S cos P V • /
Выражения (2.28) и (2.31) определяют искомые алгоритмы
для вычисления углов разворота карданова подвеса ц, v и р
через известные углы ф, а, р, б и S.
Преимущество ИНС ГТ состоит в обеспечении наиболее бла-
гоприятных условий для работы ЧЭ, что создает предпосылки
для получения навигационной информации с высокой точностью.
В то же время серьезный недостаток гироориентатора ИНС
ГТ — сложность многоосного карданова подвеса — приводит
к увеличению габаритов и уменьшению надежности. Наличие
обратной связи от вычислительного устройства к гироориента-
тору для обеспечения разворотов колец карданова подвеса вы-
зывает дополнительные трудности при регулировке и эксплуа-
тации системы.
79
2.4. ИНС аналитического типа
Схема ИНС AT. В подобных ИНС трехгранники, связанные
с гироскопами и акселерометрами, не вращаются относительно
инерциального пространства, что позволяет упростить карданов
подвес по сравнению с ИНС ГТ. Кроме того, в ИНС ГТ нет
обратных связей от вычислительного устройства к гироориен-
татору. Однако к акселерометрам, используемым в ИНС AT,
предъявляют повышенные требования в отношении диапазона
измерений, поскольку они могут занимать произвольное поло-
жение в поле силы тяжести, что вызывает соответствующие
ошибки в выходном сигнале.
С учетом того, что доля погрешностей акселерометров в по-
грешности выходной информации морских ИНС сравнительно
невелика, ИНС AT могут найти применение в морской на-
вигации.
Схема одного из вариантов ИНС AT приведена на рис. 2.13.
В состав системы входят гироориентатор и вычислительное
устройство. Карданов подвес гироориентатора состоит из четы-
рех колец. Ось кольца К1 расположена перпендикулярно па-
лубе, кольца К2—параллельно палубе и первоначально ориен-
тируется в плоскости восток — запад, оси колец КЗ и К4 па-
раллельны оси Мира и плоскости экватора. На оси каждого
кольца установлены датчики угла ДУ и двигатели стабилиза-
ции. С датчика углов ДУ1, ДУ2 и ДУЗ снимают азимутальный
угол q, угол широты \i и часовой угол s = Ш -\- X.
Сигналы НГ2 управляют двигателями Д4 и ДЗ непосред-
ственно, сигналы НГ1 управляют двигателями Д1 и Д2 после
преобразования координат с помощью Я/С, установленного на
оси кольца КЗ и работаю-
щего аналогично ПК в
ПА ИНС.
Блок из трех линей-
ных акселерометров со
взаимно перпендикуляр-
ными осями чувствитель-
ности расположен на
кольце КЗ, причем ось чув-
ствительности одного из
них (w{) параллельна оси
кольца КЗ, а ось чув-
ствительности акселеро-
метра (ш3) — оси кольца
К4.
Положение колец кар-
данова подвеса гироори-
ентатора соответствует
Рис. 2.13. Схема ИНС AT нахождению объекта в
^ДУ1
80
низких широтах. Нетрудно видеть, что в районе полюса плоско-
сти колец К1 и К2 совпадут, а карданов подвес потеряет необ-
ходимую степень свободы. Чтобы обеспечить использование
ИНС AT во всех широтах, в гироориентатор необходимо ввести
еще одно карданово кольцо, например между кольцом К1 и кор-
пусом. Двигатель дополнительного кольца в этом случае может
управлять сигналом, пропорциональным отклонению от взаим-
ной перпендикулярности колец К1 и К2 [6].
Вычислительное устройство должно вырабатывать навига-
ционные элементы по данным, получаемым от гироориентатора:
проекциям кажущегося ускорения на измерительные оси аксе-
лерометров и углам, снимаемым с датчиков углов на осях кар-
данова подвеса.
Алгоритмы вычисления составляющих скоростей объекта vn
и ve и координат места X и ф, если получены проекции ускоре-
ния на горизонтальные оси, не отличаются от рассмотренных
ранее для ПА ИНС и ИНС ГТ. Как и в ИНС ГТ, здесь есть
блок определения расчетного движения НГ.
Особенность вычислительного устройства ИНС AT состоит
в наличии блока перепроектирования сигналов ускорения на оси
горизонтного трехгранника и блока вычисления углов качки и
курса объекта, которые, как видно из рис. 2.13, нельзя непо-
средственно снять с датчиков углов карданова подвеса.
Преобразование сигналов акселерометров в ИНС AT. В этих
ИНС кажущиеся ускорения измеряют в системе осей, неподвиж-
ных относительно инерциального пространства. Интегрировать
ускорения в такой системе, как правило, нецелесообразно, по-
скольку наличие в сигнале составляющих силы тяжести при-
водит к большим значениям выходных величин интеграторов, что
при последующем перепроектировании и компенсации увеличи-
вает ошибки в определении скорости объекта.
Таким образом, необходимо перепроектировать сигналы уско-
рений ш,, ш2 и ш3 на оси горизонтного трехгранника £г)£. Вве-
дем трехгранник xyz, оси которого совпадают с осями чувстви-
тельности акселерометров шь ш2, ш3.
Обозначая искомую матрицу преобразования между трех-
гранниками Ък)% и xyz через В, получим [£, л, £] = В [х, у, z].
Единичный вектор у0, направленный по оси у, и единичный век-
тор х£9 коллинеарный вектору #2, в проекциях на оси £, ц, £
равны
у0 = mxi + m2/ + tn3k; (2.32)
*; = '!' + # + '£*. (2-33)
где из рис. 2.14, а, б следует: т{ = — sin а; т2 = cos а cos (Р -{- ф);
т3 = cos а sin (Р + ф); 1\ = — cos б sin 5; 1'2 = sin б cos ф —
— cos б cos S sin ф; Г3 = sin б sin ф + cos б cos S cos ф; i, /, k — орты
осей £, т] и £.
6 Зак 999
81
У Рис. 2.14. Взаимное рас-
у положение трехгранни-
ков £yi£ и xyz
Для нахождения единичного вектора 20, направленного вдоль
оси г, используем свойство векторного произведения:
г \ k
Zo cosp \Xo ХУо) cosp
/' /' /'
М L2 L3
Ш\ т2 щ
= пл + пЛ + пЛ, (2.34)
где
/23 = 7o77(/im3- 'з^О-
Множитель 1/cosp введен как нормирующий, так как из
рис. 2.14,5
|*;X^|-sin(90-p) = cosp; |z0|=l.
Аналогично для единичного вектора х0у направленного вдоль
ОСИ Л',
I j j k
*о = УоХг0= m, т2 т3\
I П\ П>2 п3 I
где 11 = т2п3— тъп2\ 12 = тъпх— тхпъ\ 1ъ = тхпъ — т$п{.
Таким образом, на основании соотношений (2.32)...(2.35) по-
лучим матрицу преобразования
\lx m, пЛ
В = /2 т2 п2\ (2.36)
\к Щ пз\
82
: l\i + hi + h*>
(2.35)
откуда искомые проекции ускорения будут
ш^ = w{lx + w2m{ + w3nlt w^ = w{l2 + w2m2 + w3n2\
Определение углов качки и курса в И НС AT. В отличие от
ПА ИНС и ИНС ГТ, в которых углы, характеризующие ориен-
тацию объекта (9К, ^, /С), снимаются с датчиков углов, располо-
женных на осях карданова подвеса, в ИНС АС эти углы выра-
батываются в вычислительном устройстве. Исходной информа-
цией будут углы q, [ху s поворота кардановых колец (см.
рис. 2.13) и углы а, Р, б, S и ф, вырабатываемые в вычислитель-
ном устройстве.
Воспользуемся методом преобразования координат, для чего
найдем матрицы преобразования из системы координат xKyKzK
в систему £г]£: одну — В\ — через углы 9К, г|э и /С; другую —
В2 — через углы q, (i, 5 и а, Р, б, S, ср:
В, Л> £] = В{ [хКУ уКУ zK];
R, л, £>] = В2[хк, ук, гк].
Матрицу В\ получим с помощью следующих поворотов трехгран-
ника xKyKzK:
У2УК х{х2 1гх
хкУкг* ~ё~^ x2y2z2 —^ xxy{z{ —£* £т]£
в виде
Bi =
[ cos 9K cos К+ sin 6K sin ф sin К cos ф sin К sin 9K cos К — cos 9K sin ф sin К
j — cos9K sin /C+sin 9K sin фсоэ/С cos г|) cos К — sin9K sin/(—cos9K 8тфсо5/(
sin 9K cos г|) sin г|) cos 9K cos г|)
Матрицу В2 получаем как произведение уже известной матрицы
В и матрицы В'2:
[19у\Л) = В[х,у,г]\ [х, у,г] = В'2[хк,ук,гк]\ В2 = ВВ'2> (2.37)
где В2 находим с помощью поворотов (рис. 2.14,г):
у*у
хкУкгк ~~^ X2y2Z2 —j^ X3y^Zz
хуг\
cos <? cos s+sin <7 sin ц sins sinqcoss—cos^ sin\isins cos ц sin s
— sin q cos \x cos q cos \i sin \i
sin q sin [i sin s —sin q sin s—cos ^ sin ц cos s — cosjisins+cosjicoss
(2.38)
Запишем матрицу В2 в виде
В2 =
а., а.
av
Q>2\ CL22 CL23
#31 #32 #33
83
Элементы матрицы В известны из выражений (2.36) ...(2.38).
Сравнивая одинаковые элементы равных матриц Si и В2, по-
лучим
9К = arclg (а13/азз); Ф = arcsin а23; К = arctg (а2,/а22).
Последние выражения определяют углы ориентации объекта в
ИНС AT. Алгоритмы, полученные ранее, позволяют судить
о значительном объеме математических операций, связанных в
основном с тригонометрическими функциями и производимых
в вычислительном устройстве ИНС AT.
Так как проекции ускорения и углы поворота кардановых
колец изменяются со сравнительно высокой частотой качки и
рыскания объекта, вычислительные устройства в ИНС AT
должно обладать существенно большим быстродействием, чем
в ПА ИНС и ИНС ГТ.
2.5. Бесплатформенные ИНС
Характерная особенность БИНС — отсутствие ГСП. Все
инерциальные ЧЭ БИНС жестко закрепляют на борту объекта,
а функции ГСП выполняет вычислительное устройство.
БИНС обладают рядом несомненных преимуществ перед
ИНС других типов, что определяет перспективность их примене-
ния на морских объектах. Прежде всего, отсутствие ГСП, яв-
ляющейся сложным электромеханическим устройством, откры-
вает возможности значительного уменьшения габаритов и энер-
гопотребления системы. Одновременно с этим повышается ее
надежность и ремонтопригодность. Прогресс вычислительной
техники (в частности, повышение точности и быстроты вычисле-
ний) обеспечивает высокие точностные и динамические характе-
ристики БИНС.
Вместе с тем существует и ряд препятствий, сдерживающих
развитие БИНС. Одно из таких препятствий — чрезвычайно
высокие требования, предъявляемые к ЧЭ БИНС. При непосред-
ственном закреплении на борту объекта ЧЭ подвергаются зна-
чительно более сильным возмущающим воздействиям (вибра-
циям, угловым ускорениям), чем в ИНС других типов, и долж-
ны с примерно равной точностью измерять параметры движения,
меняющиеся в существенно более широких пределах, чем в ИНС
с ГСП. Например, диапазон изменения угловых скоростей может
составлять 5-Ю-8...0,5 с-1. Появление и совершенствование но-
вых ЧЭ, прежде всего лазерных гироскопов, динамически на-
страиваемых гироскопов и гироскопов с неконтактным подвесом
ротора, вызвало в последнее время интенсивное развитие БИНС.
Современные акселерометры, обладающие высокой точностью и
широким динамическим диапазоном, в основном удовлетворяют
требованиям БИНС.
84
Классификация БИНС. БИНС различают по составу и типу
ЧЭ, а также по способам и алгоритмам решения навигационных
задач. По составу ЧЭ возможны следующие варианты: акселе-
рометры и неуправляемые гироскопы (измерители углового по-
ложения объекта); акселерометры и измерители угловой скоро-
сти движения объекта; только акселерометры, расположенные на
объекте определенным образом.
В первом варианте угловое положение неподвижной (инер-
циальной) системы координат моделируется механически с по-
мощью двух гироскопов с тремя степенями свободы или трех
одноосных стабилизаторов (в последнем случае название «бес-
платформенная» ИНС в некотором смысле условно). Угловое
положение объекта относительно этой системы координат в
каждый текущий момент времени считывается непосредственно
с датчиков углов неуправляемых гироскопов или одноосных
стабилизаторов.
Во втором варианте для определения угловой ориентации
объекта используют показания трех датчиков абсолютной угло-
вой скорости (лазерных, вибрационных гироскопов, гиротахо-
метров и др.), жестко закрепленных на борту вместе с тремя
акселерометрами. Угловое положение инерциального трехгран-
ника моделируются при этом аналитически в вычислителе инте-
грированием проекций абсолютной угловой скорости объекта на
связанные с ним оси.
И, наконец, третий вариант предусматривает моделирование
инерциального трехгранника и определение угловой ориентации
объекта без гироскопических ЧЭ на основании лишь показаний
акселерометров. Рассмотрим принцип работы такой системы
при одномерной навигации объекта, движущегося по дуге
большого круга невращающейся Земли (в плоскости xKzK на
рис. 2.15, а). Вдоль оси гк расположены на расстоянии / друг от
друга два акселерометра А1 и А2У измерительные оси которых
перпендикулярны оси гю лежат в плоскости xKzK и направлены
в одну сторону. Тогда ли-
нейное ускорение объекта
вдоль оси хк определяет-
ся соотношением wx =
= (w\ + w2) /2, а угловое
ускорение объекта вокруг
оси у
s = 2(wl — w2)/l. (2.39)
Угол поворота s связан-
ной с объектом системы
координат xKyKzK относи-
тельно инерциального РиС' 2ЛЪ' Расположение акселерометров в
^цпшшпиш одномерной (а) и пространственной (б)
трехгранника опреде- БИНС без гироскопических ЧЭ
85
Рис. 2.16. Пространственная БИНС на НГ
(а), взаимная ориентация трехгранника
xKyKzK и векторов Н{ (б) и Н2 (в)
ляется двойным интегрированием выражения (2.39) с учетом
начального значения s0.
Число и расположение на объекте акселерометров простран-
ственной БИНС без гироскопических ЧЭ может быть различ-
ным (рис. 2.15,6). Алгоритмы обработки сигналов входящих в
систему акселерометров для вычисления угловой ориентации
объекта и параметров его поступательного движения подробно
проанализированы в работе [2]. Отметим, что для практической
реализации такой схемы необходимы очень точные акселеро-
метры с диапазоном измерения примерно (1...10_ll)g.
Алгоритмы БИНС в сильной степени зависят от набора ис-
пользуемых инерциальных ЧЭ. Для всех рассмотренных схем
можно выделить три группы алгоритмов:
определение параметров ориентации объекта с учетом на-
чальных условий (для второго и третьего вариантов — решение
кинематических уравнений);
перепроектирование сигналов акселерометров в навигацион-
ную систему координат;
вычисление навигационных параметров.
Поскольку на практике наибольшее распространение полу-
чили первые два типа БИНС, рассмотрим их подробнее.
БИНС на акселерометрах и НГ. Схема такой БИНС приве-
дена на рис. 2.16, а. В состав гироориентатора системы входят
блок трех акселерометров А, измерительные оси которых совпа-
дают или параллельны осям хКу уКу гк объекта, и два неуправ-
ляемых гироскопа НГ1 и НГ2У кинетические моменты Н\ и Н2
S6
которых в начальный момент времени перпендикулярны друг
другу. При этом в ходе подготовки системы к работе вектор Н\
ориентируют параллельно оси Мира (т]0), Н2 — параллельно
плоскости экватора (оси £0). В общем случае с учетом ошибок
начальной выставки, учтенных и неучтенных уходов гироскопов
ориентация роторов отличается от заданной.
С датчиков углов гироскопов снимаются углы qXy \i\ и q2y M2
рассогласования векторов Н\ и Н2 с осями хКу уКу zKy связан-
ными с объектом (рис. 2.16, а, б, в). Вычислительное устройство
выдает навигационные параметры v, ф, К и углы /(, 9К, г|э по
данным, получаемым от гироориентатора: проекциям кажуще-
гося ускорения объекта на связанные с ним оси и углам qly \it.
Для преобразования сигналов акселерометров в географиче-
скую систему координат необходимо найти матрицу С:
В, Л, £] = С[хк, уКУ zK].
Исходными данными для этого будут известные из условий на-
чальной выставки углы а, р, б, 5 рассогласования векторов Н\
и #2 с осями инерциального трехгранника Ъцо^о (см.
рис. 2.14, а, б, в) и параметры ер, X, вырабатываемые системой.
Их достаточно, чтобы определить взаимную ориентацию векто-
ров #i, #2 и трехгранника £ti£. Одновременно известна взаим-
ная ориентация векторов Яь Н2 и трехгранника xKyKzK через
углы (iz, qti где / = 1,2. Таким образом, задача сводится к опре-
делению взаимной ориентации трехгранников |т]^ и xKyKzK по
известным проекциям на их оси двух неколлинеарных векторов
Я, иЯ2 [26].
Введем вспомогательный вектор Я3 = Нху^Н2 и сформи-
руем косоугольную систему координат, оси которой совпадают
с векторами Я/ (/ = 1, 2, 3). Тогда [26]
где
С, =
[#,, Иъ Я3]
= С,[Е,
л, Я;
[#i, Нъ #з] = С21л:к, Уку 2К],
Н\1 Н\ч\ H\t
Нц #2л H2i
Нч Я3т1 #3£
С2 =
#1* "it/ "lZ
^2x ^2t/ f^2z
^Зх ^3t/ "3z
(2.40)
(2.41)
Hjt (j = lt 2, 3; i = |, T], g, л:, #, г)— проекция векторов Ни Н2у
#з на соответствующие оси систем координат £т]£ и xKyKzK.
Из выражений (2.40) и (2.41)
К, тьС] = СГ1С2[хк, Як, *к], т.е. С = СГ'С2.
(2.42)
87
Используя рис. 2.14, а, б, б и рис. 2.16, б, б, нетрудно найти эле-
менты матриц С\ и С2. Полагая векторы Я/ единичными, по-
лучим
с,=
где элементы первой и второй строк матрицы С\ имеют те же
значения, что и элементы выражений (2.32), (2.33). Компоненты
n'f находят по правилам представления в декартовых коорди-
натах векторного произведения
т\
i\
<
т2
ч
<
т'г
1'г
<
С,=
т['
с
<
<
1"
и"
П2
<
К
<
Я, = Я, X Н2 = п'Л + n'j + n'k =
i
i:
tn2
■ m% - m7v n2 = m7\
m'.l'; n' = m%
k
4
m'4\.
(2.43)
откуда n{ „*2*3 »*3*3» "2 "*z*\ "м^з» '*з "Ч'г
Непосредственно из рис. 2.16, б, в т" = — cos \i{ sin qx\ m" =
= cos |i, cos qx\ m's = sin |xt; /" = cos jx2 cos </,; /" = sin q2 cos \x2;
l^ = — sin ji2. По аналогии с выражением (2.43) находим
п'[ = — cos \x{ cos q2 sin jli2 — sin ц, sin g2 cos \i2\
n2 = sin \i{ cos jlx2 cos ^j — cos \i{ sin ^j sin |i2;
«з' = — cos jLij sin ^j sin q2 cos jx2 — cos \i{ cos </, cos jx2 cos qr
Таким образом, есть все необходимые данные для определе-
ния в соответствии с выражением (2.42) преобразующей мат-
рицы С. Нетрудно видеть, что объем необходимых вычислений
увеличился по сравнению с ИНС AT.
После перепроектирования показаний акселерометров на
оси географической системы координат и учета поправок на
ускорения Кориолиса и ускорения, связанные с криволиней-
ностью движения объекта (2.1), навигационные параметры vn,
ve> ф, X находят точно так же, как в ПА ИНС [см. выражения
(2.3), (2.4)]. Углы /С, г|), 0К можно найти, сравнивая матрицу С
с равной ей матрицей В\, определяемой ниже.
БИНС на акселерометрах и измерителях угловой скорости.
В этом случае на объекте размещают блок трех акселеромет-
ров и три однокомпоиентных измерителя угловой скорости, на-
пример лазерные гироскопы. Измерительные оси всех инерци-
альных ЧЭ параллельны осям хКу ук, гк, связанным с объектом.
Расположение ЧЭ в гироориентаторе ГО БИНС показано на
рис. 2.17. С выхода акселерометров снимаются проекции кажу-
щегося ускорения WxKy wyK, Wzk на связанные с объектом оси,
лазерные гироскопы дают проекции ра, ?а, га абсолютной угло-
вой скорости объекта на связанные с ним оси.
£8
w,,
г
[го-
0
к 2К Ауп
QJ
tl
U
*л
т
&
Ра
qa
К
ПК1
We
^-М/
к
'**
W
vL(0)
Кг,
Бпок выработки
Ricosip
Ф"
r+; f **до 1
*—»
■L
«с
Ф"
/V
.ф
♦ лГ,
5/70Л интегрирования
ffi4
[ flwl уЛ Aof
i<U
^гг
[iffflTln^L
£
tf/70/r выработки
Iff
/7/Г2
-^1
Рис. 2.17. Структурная схема пространственной БИНС с акселерометрами и измерителями угловой скорости
оо
Проекции угловой скорости трехгранника xKyKzK относитель-
но географической системы координат £rj£;, как следует из
рис. 2.2, равны
рк = \j) cos 8К + К sin 8K cos г|г,
Чк = <ЭК — К sin г|>;
гк = -ф sin 0К — /С cos 8K cos г|э. J
(2.44)
Решая уравнения (2.44) относительно -ф, К, 9К, несложно полу-
чить известную систему уравнений
* = Т^ф (Рк sin 9« ~~ г" cos 8к); ^
\j) = pKcos8K + rKsin8K;
вк = ?к + tg г|) (рк sin 8К — rK cos 8K). J
(2.45)
Проинтегрировать систему нелинейных дифференциальных урав-
нений с переменными параметрами можно численными мето-
дами, в результате чего будут определены углы /С, я|э, 0К, необ-
ходимые для вычисления матрицы преобразования В\\
R. Л, С] = Bike, Ук,*к]. (2.46)
Проекции рк, ?к, гк вектора относительной угловой скорости
трехгранника хкукгк равны разности проекций вектора его аб-
солютной УГЛОВОЙ СКОРОСТИ (Ра,<7а,Га) И ПроеКЦИИ На ОСИ Л'к,
уКу zK угловой скорости вращения географической системы коор-
динат life: рк = Ра —р; <7к = <7а — ^; гк = га — г. Компоненты
р, ^, г находят обратным перепроектированием составляющих
ф£, о)^, о)£ с помощью матрицы 6Г .
После преобразования показаний акселерометров в геогра-
фическую систему координат все операции по определению на-
вигационных параметров выполняются, как в ПА ИНС
(рис. 2.17).
Другой возможный путь решения навигационной задачи
с помощью БИНС — определение по составляющим ра, <7а, гг
угловой ориентации трехгранника xKyKzK относительно инер-
циальной системы координат и перепроектирование показаний
акселерометров на инерциальные оси. Тогда все дальнейшие
вычисления выполняют в соответствии с алгоритмами ИНС AT.
Все рассмотренные выше алгоритмы предусматривали пере-
проектирование показаний акселерометров в навигационную
систему координат и их последующую обработку. Принципиаль-
но можно интегрировать сигналы акселерометров в связанной
системе и далее перепроектировать данные в навигационную
систему координат с учетом влияния ускорения силы тяжести
и поворотных ускорений. В этом варианте заметно больший
объем вычислений и применяют его реже.
90
Как уже указывалось, интегрирование уравнений (2.45) тре-
бует достаточно большого объема вычислений. Кроме того,
после определения углов /С, 6К, г|з необходимо вычислить мат-
рицу направляющих косинусов Ви чтобы выполнить операцию
(2.46). Использование углов Эйлера также может привести к
потере информации при определенной (г|) = ±л/2) ориентации
объекта (эффект, аналогичный складыванию рамок карданова
подвеса ГСП). С этих точек зрения более удобны для примене-
ния в БИНС кинематические уравнения Пуассона, которые
могут быть представлены в матричном виде [6]
fi = _Q,fi, (2.47)
где В— ортогональная матрица девяти направляющих косину-
сов связанной системы координат относительно инерциальной;
Q' — кососимметричная матрица вида
Q' =
О
— я*
о
Ра
Матричному уравнению (2.47) соответствует система девяти ли-
нейных дифференциальных уравнений. Их интегрирование
с учетом начальных условий В (t = 0) дает непосредственно
матрицу направляющих косинусов.
Эффективным средством повышения точности и экономично-
сти алгоритмов БИНС является использование параметров
Родрига — Гамильтона. Кинематическое уравнение в матричной
форме принимает при этом вид
p = 0,5Q"p,
где р — матрица-столбец параметров
Q"—матрица угловой скорости:
(2.48>
Родрига — Гамильтона;
Q" =
0
Ра
<7а
— Ра
0
<7а — 'а
'а — Яа
0 Ра
Ра 0
Найдя параметры ориентации интегрированием уравнения
(2.48), можно преобразовать координаты как построением мат-
рицы направляющих косинусов, так и непосредственно по прави-
лам перемножения кватернионов. Использование этих алгорит-
мов вместо равноценных по точности алгоритмов, основанных
на уравнениях Пуассона, позволяет уменьшить объем вычисле-
ний в среднем на 30% [33]. Дополнительное преимущество
уравнений (2.47), (2.48) состоит в том, что при их использова-
нии не накладывается никаких ограничений на углы поворотов,
объекта (как в случае ГСП с дополнительными следящими ра-
мами карданова подвеса).
91
Глава 3
ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ ИНС
3.f. Общие характеристики погрешностей
Из-за несовершенств, присущих любой измерительной си-
стеме, навигационые параметры, вырабатываемые ИНС, отли-
чаются от действительных на значение погрешностей. Погрешно-
сти ИНС подразделяют на методические и инструментальные.
Методические погрешности возникают за счет недостаточ-
ных знаний о физических явлениях, влияющих на работу ИНС,
и сознательного упрощения алгоритмов. В частности, методиче-
ские погрешности возникают из-за неточного определения фи-
гуры Земли и ее гравитационного поля, аномалии которого вы-
зывают уклонения отвесных линий. Колебания оси вращения
Земли также влекут за собой методические погрешности выход-
ных параметров ИНС, хотя и весьма малые — 0,67" [2]. Алго-
ритмы упрощаются, если, например, представить Землю в виде
сферы или сфероида. Методические погрешности в данном слу-
чае будут определяться отличиями между истинной и идеали-
зированной фигурой Земли.
По мере расширения знаний и совершенствования техники
методические погрешности можно исключить. Так, если в ИНС
ввести устройства для измерения и учета уклонения отвесных
линий, то место соответствующей методической погрешности
займут инструментальные погрешности введенных устройств.
Инструментальные погрешности ИНС вызываются отличием
параметров и характеристик чувствительных элементов, блоков
и приборов от их расчетных значений, т. е. неидеальностью
средств технической реализации алгоритмов. Отражая достиг-
нутый технический уровень, инструментальные погрешности со-
ставляют основную долю в ошибках ИНС.
По характеру реакции на внешние воздействия выходные
погрешности ИНС, как и любой системы автоматического регу-
лирования, можно разделить на статические и динамические.
Под статическими понимают погрешности, которые возникают
вследствие постоянного возмущения на входе и не зависят от
динамических свойств системы. Если период возмущения суще-
ственно больше постоянной времени системы, погрешности с
достаточной для практики точностью совпадают со статическими,
вызываемыми постоянными возмущениями той же величины, что
и текущее значение переменного. Если период возмущающего
воздействия меньше или примерно равен постоянной времени
системы, величина выходной погрешности зависит от динамиче-
ских параметров системы и такая погрешность считается дина-
мической.
92
В зависимости от повторяе-
мости погрешности ИНС делят
на систематические и случай-
ные. Значение систематическое
составляющей на протяжении
некоторого интервала времени
можно предсказать заранее.
Значения случайной ошибки
в каждом отдельном случае
предсказать невозможно.
Как правило, для характе-
ристики медленно меняющихся
случайных погрешностей эле-
ментов ИНС типа «дрейфа»
используют стационарные слу-
чайные функции времени с
корреляционными функциями
вида
#(т) = а2е-а1*1 (3.1)
либо при наличии в спектре
погрешности преобладающей
частоты
а)
1Ф1
0,7
О
д)
f Wr»(Oc /
^\\Ф(]Ш
Г "Л. L <? f/i\\
i \ i\
Wc ^ (Vr Ct>
\Ф(](0)\
(Or Wc
Рис. З.1. Типичные соотношения мо-
дуля частотной характеристики систе-
мы и спектральной плотности воздей-
ствия: сое — частота среза системы;
сог — граничная частота спектра воз-
действий
/?(T) = a2e-a,'clcospT, (3.2)
где a — среднеквадратичная погрешность; a — коэффициент за-
тухания; р —частота изменения корреляционной функции; т —
интервал времени.
Функциям вида (3.1) и (3.2) соответствуют спектральные
плотности
,. _ q2a (со2 -f a2 + Р2)
^2 + а2 » О W — ((02 + а2 + р2)2 _ 4р2(02 •
с/ ч 2а2а
S(<0)= ,л2 , „2
Параметр а характеризует частотный состав случайной по-
грешности. По мере увеличения а погрешность изменяется, на-
чинают преобладать более высокие частоты и, наоборот, умень-
шение говорит о преобладании низких частот.
Диапазон частот внешних возмущений, вызывающих погреш-
ности ИНС, весьма широк: от вибраций (3...20 Гц) до процес-
сов, обусловленных старением материалов (Ю-5...Ю-6 Гц и
менее).
При рассмотрении ошибок ИНС в силу частотной разнород-
ности случайных воздействий целесообразно выделить три слу-
чая преобразования стационарного случайного процесса дина-
мической системой:
спектральная плотность воздействующего процесса в полосе
пропускания системы постоянна (рис. 3.1,а);
спектральная плотность отлична от нуля лишь при низких
частотах (рис. 3.1,6);
93
спектральная плотность отлична от нуля и не постоянна в
полосе частот, близких к частоте среза системы (рис. 3.1,в).
Поскольку на динамическую систему не оказывают суще-
ственного влияния процессы с частотами, лежащими за преде-
лами полосы пропускания, то первый случай практически соот-
ветствует воздействию на систему случайного процесса, спек-
тральная плотность которого постоянна при всех частотах, т. е.
белого шума:
S(co) = c2,
где с—постоянная величина.
Во втором случае динамические свойства системы практиче-
ски не влияют на выходную погрешность, которая здесь равна
статической для каждого значения случайного воздействия*
а спектральная плотность погрешности на выходе системы про-
порциональна спектру входного воздействия, так как
5n(co) = |0(/co)|2S2(co)^A:2S2(co),
где 5п((о)—спектр погрешности; К — коэффициент передачи си-
стемы в области низких частот.
Такого рода погрешность по существу будет статической.
В третьем случае не удается упростить выражение для спек-
тральной плотности и погрешности и следует использовать час-
тотную характеристику системы и спектр помехи без упро-
щений.
Таким образом, при частотных спектрах, соответствующих:
первому случаю, входной сигнал можно представить белым шу-
мом; во втором случае он вырождается в случайную постоянную-
и лишь для третьего случая необходимо использовать полное
выражение спектральной плотности без каких-либо упрощений.
Для ИНС специфичны погрешности подготовки к работе и,
в частности, погрешности начальной выставки. Как видно из
полученных в гл. 2 алгоритмов, к моменту включения ИНС в
рабочий режим на выходах всех интеграторов необходимо уста-
новить начальные значения координат и составляющих скорости
объекта. Кроме того, нужны установка начального азимута и
горизонтирование платформы либо определение ее положения
относительно меридиана и вертикали места, а в ИНС, построен-
ных на НГ, необходимо ввести углы, характеризующие ориен-
тацию главных осей вращения НГ относительно выбранных си-
стем координат.
Причинами появления инструментальных погрешностей на
выходе ИНС являются ошибки чувствительных элементов, т. е.
гироскопов и акселерометров, ошибки устройств измерения уг-
лов, погрешности вычислительного устройства, нестабильность
конструктивных элементов приборов и т. п. Наибольшее значе-
ние для точности ИНС имеют ошибки ЧЭ, а для морских
ИНС — главным образом погрешности гироскопов. Дрейф гиро-
94
скопов вызывает неучтенный уход модели ИТ от ее исходного
положения и этот уход преобладает в погрешностях выработки
параметров Д/С, Дер, ДА, и Д1Л (Под неучтенным уходом пони-
мают погрешность положения ИТ, которую не удается предска-
зать на основании предварительных измерений.)
3.2. Уходы неуправляемых гироскопов
В гироориентаторах ИНС используют гироскопы с двумя и
тремя степенями свободы. Так как гироскопы для морских
ИНС должны обладать высокой точностью в течение длитель-
ного времени работы, применяют наиболее совершенные кон-
струкции: поплавковые интегрирующие гироскопы (ПИГ) и
трехстепенные гироскопы с бесконтактным подвесом ротора.
Последние могут быть управляемыми (применяют в ПА ИНС)
и неуправляемыми. НГ используют в ИНС, AT и иногда в БИНС.
Скорости ухода трехстепенных НГ классифицируют в соот-
ветствии с пространственной ориентацией и характером измене-
ния во времени.
Возмущающие моменты, приложенные к ротору и служащие
причиной возникновения скорости ухода, в зависимости от про-
странственной ориентации разделяют на три группы [17]: не-
изменно ориентированные относительно корпуса гироскопа или
ГСП; неизменно ориентированные относительно плоскости, со-
держащей векторы Н и g\ ориентация которых зависит от ори-
ентации вектора Я и различных внешних возмущающих факто-
ров (вибрации, магнитного поля, ускорения и т. п.).
Очевидно, данную классификацию можно без всяких изме-
нений перенести и на скорости ухода гироскопов 6, так как век-
тор М перпендикулярен вектору 6 и пропорционален ему.
Уходы под действием возмущений, неизменно ориентирован-
ных относительно корпуса ЧЭ. В этом случае скорость ухода
задают в осях, связанных с корпусом ЧЭ. При использовании
метода автокомпенсации с принудительным вращением корпуса
гироскопа отсчет будем вести относительно осей, связанных
с ГСП, так как в последнем случае
вращающийся корпус не может слу-
жить отсчетной базой для определения
скорости ухода. Кроме того, рассогла-
сование осей симметрии ротора и кор-
пуса, определяющее во многом момен-
ты первой группы и обусловленные
главным образом ошибками следящих Sy
систем, возникает в системе осей, свя- ^Ь.
занных с ГСП. * лР
На рис. 3.2 ортогональный трех- _ 00 „
r r r Рис. 3.2. Взаимное положе-
гранник xyz связан с корпусом гиро- ние трехгранников хуг и
скопа, а трехгранник xpypzp — с его xPyPz9
95
В)
н\* \У
Рис. 3.3. Моменты, дей-
ствующие на гироскоп с
бесконтактным подвесом
ротора
ротором, причем ось у направлена вдоль оси симметрии корпуса,
а ось ур — вдоль оси вращения ротора, совпадающей с его осью
симметрии. Углы аир характеризуют рассогласование осей сим-
метрии ротора и корпуса. Строго говоря, уходы гироскопа сле-
довало бы рассматривать в осях ротора xpypzPi однако удобнее,
пользуясь тем, что рассогласование обычно составляет малое
значение (от долей до единиц минут), проектировать скорость
ухода ротора на оси трехгранника xyz. Тогда скорости ухода
относительно осей х и z будут
6Х = т0; б2 = п0, (3.3)
где то и по — коэффициенты, характеризующие уход, не зави-
сящий от взаимного положения векторов g и Я.
Появление т0 и по объясняется упругой связью между рото-
ром и некоторой осью симметрии сил (магнитных, электриче-
ских, аэродинамических и т. п.), неизменно связанных с корпу-
сом гироскопа, т. е. углом рассогласования между осями ротора
и корпуса. Величина этого угла в гироориентаторе определяется
неточностью выставки датчика угла относительно оси симметрии
корпуса гироскопа и ошибкой следящих систем, совмещающих
оси корпуса и ротора, и измеряется единицами угловых минут.
Рис. 3.3 иллюстрирует механизм возникновения моментов,
связанных с корпусом гироскопа при бесконтактном подвесе
ротора. Сферический ротор / приводится во вращение с по-
мощью статора 2, закрепленного на корпусе прибора вместе
с опорой 3 и датчиком угла 7. На корпусе ротора есть токопро-
водящий поясок 6 для электромагнитного взаимодействия с по-
лем статора. (В некоторых случаях ротор изготавливают цели-
ком из токопроводящего материала.)
Сигнал рассогласования, измеренный датчиком угла 7, через
усилитель 5 управляет двигателем 4 таким образом, чтобы
уменьшить рассогласование а. Трехгранник xyz связан с корпу-
96
сом гироскопа так, что ось у совпадает с осью симметрии
корпуса.
При отклонении оси вращения ротора, совпадающей с на-
правлением кинетического момента Я, от оси вращающего мо-
мента Мвр на угол а возникает составляющая момента MBPsina,
перпендикулярная к вектору Я. Эта составляющая заставляет
ротор прецессировать в сторону уменьшения угла а в плоско-
сти, содержащей кинетический и вращающий моменты. Такой
момент называют корректирующим, а по направлению дей-
ствия— радиальным. На рис. 3.3,6 этот момент обозначен Мр.
С другой стороны, на поясок 6 действуют электромагнитные
силы со стороны статора, стремящиеся совместить поясок с осью
симметрии статора. Возникает момент, приложенный к ротору,
перпендикулярный плоскости и вызывающий прецессию вокруг
оси х. Такой момент М» называют нерадиальным.
Радиальный корректирующий момент Мр вызывает скорость
ухода б2, а нерадиальный Мн — скорость ухода бх (рис. 3.3,6).
Таким образом, рассогласование ротора относительно оси
симметрии у, ведет к уходу гироскопа вокруг осей, неизменно
ориентированных относительно его корпуса.
Уходы вокруг осей, неизменно ориентированных относитель-
но плоскости, содержащей векторы Hug. Прежде чем перейти
к характеристике скоростей ухода вокруг осей, неизменно ори-
ентированных относительно плосости, содержащей векторы Я
и g, рассмотрим уходы, зависящие от ускорения, воздействую-
щего на гироприбор.
Скорости уходов гироскопов, определяемые ускорением, для
трехграника xyz> введенного ранее, принято записывать в виде
многочлена, включающего первую и вторую степени перегрузки
[35]:
6Х = axwx + a2wy + a3wz + aAwxwy + abwxwz + a^wywz\ Л
6Z = bxwx + b2wy + Ъътг + bAwxwy + bbwxwz + hwywZy J
где a/, bt— удельные скорости ухода; wx, wy, wz—составляю-
щие ускорения вдоль осей ху у, z (включая и ускорение силы
тяжести).
Уходы, пропорциональные первой степени ускорения, возни-
кают из-за несовпадения центра инерции ротора с точкой при-
ложения равнодействующей сил подвеса. На рис. 3.4 вершина
трехгранника хуг помещена в центр подвеса. Если центр инер-
ции ротора 0\ массой тр смещен на расстояние 1У вдоль оси уу
совпадающей с направлением кинетического момента Я, то ско-
рости ухода
** = — n^lyWjH; б2 = - mplyWz/H. (3.5)
В данном случае а\ = Ьг = ntply/H, а2 = а3 = Ь\ = &2 = 0.
Уходы, пропорциональные произведению составляющих ускоре-
7 Зак. 999
97
Рис. 3.4. Действие уско-
рений на ротор со сме-
щенным центром масс
Рис. 3.5. Взаимное рас-
положение горизонтного
трехгранника и трехгран-
ника, связанного с гиро-
скопом
ния,— это следствие, как правило, неравножесткости подвеса в
различных направлениях.
Рассматривая действие на ротор гироскопа ускорения w,
примем, что деформация подвеса пропорциональна силе инер-
ции F:
F--= — mpw = — mp (wxi + wyj + wzk),
где i> /, k — орты осей х, t/, z. Перемещение центра инерции ро-
тора относительно центра подвеса из-за упругих деформаций
f Fx . , Fy . . Fz u (wx . wy w2 \
где cXl cy и cz — коэффициенты жесткости подвеса вдоль соот-
ветствующих осей.
Момент М силы инерции F относительно центра подвеса
равен
Искомые скорости уходов будут
Иначе говоря, для рассмотренного случая
_ ml (cx-cy\ гп1(су-сг\
Модель уходов (3.4), записанная в общем виде, на практике
применительно к конкретным условиям и к конкретному типу
гироскопов упрощается.
На морских объектах, на которых используют НГ, ускорения
маневра невелики по сравнению с ускорением силы тяжести g.
Кроме того, время действия ускорений маневра ограничено,
а ускорение g действует постоянно.
98
Пример. Объект набирает скорость 30 уз за 2,5 мин. Ускорение
wx = ¥- = 0t\ м/с2 «0,01£.
Скорость ухода от небаланса гироскопа mpglvIH = 0,37мин [см. выражения
(3.5)].
Уход гироскопа относительно оси х за время действия ускорения
«ipgly wxt
ах = —77 — = 0,45".
Н S
Как видно, ускорения маневра морских объектов с достаточ-
ной для практики точностью в уходах гироскопов можно не
учитывать. На этом основании в соответствующую аналитиче-
скую модель уходов целесообразно включить только члены, со-
держащие проекции ускорения силы тяжести. Для этого ось z
ранее введенного трехгранника xyz направим таким образом,
чтобы вектор g находился в плоскости yz (рис. 3.5).
Такое положение, когда вектор Н отклонен на некоторый
угол h от плоскости местного горизонта, характерно для приме-
нения НГ:
wx = 0; wy = — gs\nh\ wz= — gcosh. (3.7)
В гироскопах со сферическим ротором в первом приближении
члены, пропорциональные wy, не влияют на уходы (а2 = 0,
Ъ2 = 0), так как балансировка роторов, т. е. совмещение центра
инерции ротора с осью его вращения, производится весьма точно.
Тогда выражения (3.4) упрощаются:
&х = аъхюг + chwywz; 6Z = b3wz + bbwywz (3.8)
Подставляя значения составляющих ускорения (3.7) в выра-
жения (3.8), получим
6Х = т{ cos h + m2 sin 2Л; б2 = п{ cos h + п2 sin 2Л, (3.9)
где mi = — azg\ m2 = a6g2/2\ щ = —b3g\ n2 = b6g2/2.
Таким образом, алгебраические многочлены (3.4), содержа-
щие разложение скорости ухода по степеням ускорения, удается
преобразовать в тригонометрические ряды Фурье, в которых
аргументом служит угол подъема Л. Ряды (3.9) можно продол-
жить до более высоких гармоник угла Л, однако практика пока-
зывает, что в этом обычно нет необходимости, так как соответ-
ствующие коэффициенты малы.
Рассмотрим конкретный физический смысл выражений (3.9)
на примере гироскопа со сферическим ротором и бесконтакт-
ным подвесом.
При выбранном расположении трехгранника xyz (рис. 3.5)
скорость ухода от несовпадения центра инерции и центра под-
веса проявляется только вокруг оси г. При этом на основании
формул (3.5)
nl = — b3g = mpgltJ/H.
7*
99
Рис. 3.6. Действие сил подвеса
на эллиптический ротор
Коэффициент n2l пропорциональный
g2, определяется в данном случае
неравножесткостью подвеса, возни-
кающей за счет нелинейности тяго-
вых характеристик элементов под-
веса. Плечо приложения возникаю-
щего момента зависит от несферич-
ности ротора.
На рис. 3.6 показан ротор утри-
рованно эллипсоидального сечения
в подвесе, состоящем из четырех
элементов, расположенных под уг-
лом 9 = 45° к главной оси ротора.
Силы подвеса Fu F2y Fz и F4 дей-
ствуют по нормали к поверхности
ротора. В силу несферичности ротора, направления действия
этих сил пересекаются не в центре ротора 0, а в точках 0{ (F\ и
F2) и 02 (Fz и f4). Расстояния 00{=002 = 1.
Разложим каждую из сил подвеса на направления вер-
тикальной £' и горизонтальной осей г\' и составим уравнение
моментов, действующих относительно оси х (проекция которой
совпадает на рис. 3.6 с точкой 0):
Мх = — [(F, + F3) sin (9 + h) + {F2 + FA) cos (9 + h)] I sin h +
+ [- (F{ + F3) cos (9 + h) + (F2 + FA) sin (9 + h)] I cos h. (3.10)
Под действием силы тяжести центр ротора переместится в вер-
тикальном направлении на расстояние от центра подвеса
e = mpg/&,
где k — жесткость подвеса.
Пусть сила F зависит от зазора, определяемого по нормали
между поверхностью ротора и элементом подвеса, нелинейно:
Ft = f0 + c'e sin (9 + К) + с" г2 sin2 (9 + /г);
F2 = f0 + c'e cos (9 + h) + с"г2 cos2 (9 + Л);
Fz = f0 — c'e sin (9 + h) + с "г2 sin2 (9 + /г);
F4 = f0 - c'e cos (9 + h) + Л2 cos2 (9 + h)y
(3.11)
где /о — начальное усилие элемента подвеса; с' и с" — коэф-
фициенты.
Нетрудно видеть, что жесткости на противоположных эле-
ментах подвеса не равны друг другу:
dFx
de
dFj_
de
d?2 , dFj
ЧГ^ de
100
Подставив выражения (3.11) в уравнение моментов (3.10) и
проделав несложные тригонометрические преобразования, по-
лучим
Мх = 2л/2 У cos (6 + 45°) +
+ V2 lc"e2 [cos (6 + 45°) - cos (6 - 45°) cos 2 (6 + Л)].
При 8 = 45° Мх = — л/2 Zc"e2sin2A. Таким образом,
п2 = л/2 lc"m\g2\k2H. (3.12)
Рассмотрим физическую суть коэффициента гп\9 который в
данном случае зависит от потерь в теле ротора (определяемых,
например, гистерезисом и вихревыми токами).
Возникновение прецессионных моментов, зависящих от сил,
касательных к поверхности ротора и вызванных, например, маг-
нитным гистерезисом в материале ротора, поясняет рис. 3.7.
Такого рода касательные силы приложены к поверхности
ротора в зазоре под элементами подвеса и пропорциональны тя-
говому усилию. Пусть коэффициенты с, входящие в выражение
(3.11), различны для каждого из элементов подвеса. Тогда ка-
сательная сила /,- для /-го элемента подвеса будет
где г — коэффициент пропорциональности между тяговым уси-
лием и касательной силой; Ft— тяговое усилие из выражений
(3.11).
Уравнение моментов относительно оси z в соответствии
с рис. 3.7 запишем в виде
Мя = rRe sind(Fx -F2 + F3- F4), (3.13)
где R— радиус ротора.
Для выявления физической сути коэффициента т\ ограни-
чимся составляющей Mz, зависящей от коэффициентов c't:
Mz = г Re sin 6 [(с\ — с'3) cos (9 + h) + (с\ — с2) cos (6 — Л)].
При (с[ — с'3) = {с\ — с'2) и 6 = 45° Мг = г Re [с[ — с'3) cos h и, сле-
довательно,
™i = mpgRr(c[-c'3)lkH.
Коэффициент т2 [выражение (3.9)] определяется помимо
касательных сил нелинейностью тяговых характеристик под-
веса. Значение т2 найдем из выражения (3.13), считая, что
cfi = cf, c" = c". После несложных упрощений получим
Мг = (m2pg2/k2) Rrc" sin 6 sin 26 sin 2A,
откуда при 0 = 45°
m2 = y2myi(2k2H)]Rrc".
101
Рис. 3.7. Действие на ротор Рис. 3.8. Действие на ротор зна-
касательных сил: копеременного ускорения
/ и 2 — силы, направленные из
плоскости и в плоскость чертежа
Как видно, коэффициент с", характеризующий нелинейность,
полностью определил значение тч (иначе говоря, при с" = О
т2 = 0).
В реальных подвесах выражения, определяющие значения
коэффициентов п\, ^2, гпи ю>2, значительно более сложны, одна-
ко полученные формулы позволяют понять физическое содержа-
ние модели (3.9).
Непосредственно из указанных выражений следует, что при
вертикальном расположении оси кинетического момента (А =
= ±90°) 6* = б2 = 0, а при горизонтальном (А = 0°)— б2 = пи
бх = т\.
Такое положение осей гироскопов характерно при их исполь-
зовании в ИНС ПА.
Уходы вокруг осей, ориентированных относительно вектора
Н и направления внешних воздействий. Рассмотрим уходы, вы-
зываемые вибрацией, качкой, магнитными полями и другими
факторами.
Ускорения качки и вибраций влияют на уходы гироскопа
в тех случаях, когда вызываемый ими прецессионный момент не
зависит от знака ускорения. Такое положение характерно для
уходов, пропорциональных произведению составляющих уско-
рения и определяемых, например, выражениями (3.6), выведен-
ными в предположении неравножесткости подвеса.
На рис. 3.8 показан сферический ротор, находящийся под
действием знакопеременного ускорения. Введем трехгранник xyz
таким образом, чтобы ось у, как и ранее, совпадала с направ-
лением кинетического момента Я, а линия действия знакопере-
менного ускорения w лежала в плоскости yz.
Из рис. 3.6 и 3.7 следует, что знакопеременную силу mpw
можно отождествить с силой тяжести Р = mpg, определяющей
уходы, зависящие от синуса двойного угла между направлением
кинетического момента и направлением ускорения. Возникаю-
102
щий прецессионный момент, пропорциональный m2w2, вызы-
вает уход, не зависящий от знака переменного линейного уско-
рения w.
По аналогии с выражениями (3.9) и (3.12) запишем
л/2 lcl 'rttlw2 По —^
6Z = £2// Sil1 2Р = "^2" W Sjn 2P,
где w2 — среднее значение квадрата переменного ускорения;
Р — угол, измеряемый между направлением действия знакопе-
ременного ускорения и направлением Я.
Силы инерции, действующие на гироскоп за счет вибраций
и качки, обусловливают уход, определяемый нелинейностью ка-
сательных сил:
6* = (Wg2) й)2 sin 2p.
Направления ускорений качки и вибраций связаны с осями
объекта, причем параметры и направление ускорений качки из-
меняются в зависимости от состояния поверхности моря, за-
грузки и курса объекта, а параметры и направление ускорений
вибраций зависят от режима работы двигателей и других уста-
новок с подвижными частями. В связи с этим уход гироскопов
от вибрации и качки можно рассчитывать методом кусочной ап-
проксимации для тех участков, на которых направления и сред-
ние амплитуды ускорений постоянны (например, для участков
прямого курса объекта при движении с постоянной скоростью).
Обычно ограничиваются теоретической качественной оценкой,
а более точные данные получают в результате экспериментов.
Механизм влияния внешнего магнитного поля на скорости
уходов прежде всего зависит от типа и конструкции гироскопа.
Если материал ротора электропроводящий, прецессионный мо-
мент возникает за счет взаимодействия наведенных токов как
с внешним магнитным полем, так и с полями, возбуждаемыми
в самом гироскопе (в датчике угла, в подвесе и т. п.).
Сложность теоретической оценки состоит в изменчивости
конфигурации поля, действующего внутри гироскопа, завися-
щего от объема и формы ферромагнитных материалов, входя-
щих в конструкцию гироскопа и прибора, в котором устанавли-
вают гироскоп. Чаще всего влияние однородного магнитного
лоля на гироскоп проверяют экспериментально.
Чувствительность гироскопа по скорости ухода к постоянным
и переменным магнитным полям определяет необходимость и
степень магнитного экранирования. Наиболее сильные магнит-
ные поля связаны с объектом, однако влияние на уходы может
оказывать и магнитное поле Земли.
На рассмотренные уходы, связанные с различной ориента-
цией воздействий, влияют различные внешние и внутренние
факторы ненаправленного характера (скалярные), изменяя со-
отношения параметров внутри гироскопа. Могут изменяться же-
103
Рис. 3.9. Поведение ротора на
качке при несимметрии коррек-
тирующего момента
сткости элементов подвеса, плечо, определяющее уход от неба-
ланса, магнитное состояние металла и т. п., что приводит к из-
менению коэффициентов в модели ухода.
Таким фактором будет, например, тепловое (иначе темпера-
турное) поле. Средний уровень температуры поля определяет
величину теплового расширения деталей гироскопа, а измене-
ние уровня меняет размерные соотношения в гироскопе, осо-
бенно, если детали выполнены из материалов с различными ко-
эффициентами теплового расширения.
Тепловые поля влияют на гироскоп также и в силу своей
неоднородности, мерой которой служит градиент поля. Неодно-
родное поле вызывает местные нагревы элементов конструкции
гироскопа и, соответственно, различные тепловые расширения,
что приводит не только к изменению взаимного положения де-
талей, но и к изменению их формы. Следствием может явиться,
например, изменение положения центра инерции ротора и по-
явление соответствующей скорости ухода [см. выражение (3.5)].
Изменение теплового поля как по уровню, так и по градиентам
вызывает и изменение уходов. Теоретическая оценка такого
ухода чрезвычайно сложна, и влияние температурного поля в
большинстве случаев изучают экспериментально.
На уходы влияет и несимметрия характеристик гироскопа,
т. е. неравенство коэффициентов передачи в зависимости от
знака сигнала. Если знакопеременное воздействие приложено
к звену с несимметричной характеристикой, на выходе такого
звена сигнал частично детектируется и образуется постоянная
составляющая, которая служит причиной появления направлен-
ной скорости ухода.
104
Рассмотрим поведение сферического гироскопа в бесконтакт-
ном подвесе на качке при несимметрии корректирующего мо-
мента. Несимметричную характеристику (рис. 3.9, а) можно
представить в следующем виде:
I k+a при а > 0;
AfK = L+ ' (3.14)
|*-а ПРИ «<0, v '
где k— крутизна корректирующего момента Мк.
Во многих случаях удобней другая форма записи выраже-
ний (3.14):
|(& + Д£)а при а > 0;
ka при а < 0.
где k = k-a\ &k = k+a — k-a-
Таким образом, несимметричная характеристика складывает-
ся из двух составляющих: обычной характеристики линейного
звена ka и характеристики типа детектора Мкв = Aka (при
а>0), Мкв = 0 (при а<0). При таком представлении не-
симметричной характеристики нетрудно видеть, как будет пре-
образован знакопеременный сигнал, поданный на вход несим-
метричного звена (рис. 3.9,6). При этом образуется выпрямлен-
ная составляющая момента.
Среднее значение выпрямленной составляющей момента за
период при синусоидальном воздействии
Мк-
-г". Д/гат Г . , ,, .ч tskan
где ат—амплитуда рассогласования.
Скорость ухода гироскопа в данном случае
°2~~~ Н ~~ пН ~ Т '
где х = Ak/k — относительная несимметрия; Т — постоянная
времени гироскопа (T = H/k)\ ac = am/n — среднее значение
рассогласования.
К аналогичным уходам может привести любое знакопере-
менное воздействие на гироскоп, например вибрация или маг-
нитное поле, если такое воздействие прикладывается к ротору
через несимметричное звено.
3.3. Особенности /ходов управляемых гироскопов
Рассмотренные выше погрешности НГ присущи также и
управляемым с той особенностью, что последние применяют
в ПА ИНС, где главные оси гироскопов занимают практически
неизменное положение по отношению к направлению силы тя-
жести.
105
уп» 1
уп> )
Так как управляют гироскопом, прикладывая к ротору мо-
менты с помощью сигналов, вырабатываемых схемой управле-
ния, очевидно, погрешности указанной цепи приводят к допол-
нительным уходам буП. Таким образом, скорость ухода управ-
ляемого гироскопа в осях трехгранника xyz
®х === ®хн г ®х уп
б2 = бг„ + б2 уп
где б2Н, 8хн — скорости ухода неуправляемого гироскопа; блуп>
б2уп — дополнительные уходы за счет управления. В известных
конструкциях гироориентаторов на управляемых гироскопах
векторы кинетического момента либо горизонтальны, либо вер-
тикальны, т. е. h = 0° или h = 90°. В соответствии с выраже-
ниями (3.3) и (3.9)
при h = 0
б*н = т0 + /л,; б2и = п0 + п{;
при h = 90°
6jch = m0» б2„ = П0.
Рассмотрим факторы, влияющие на величину буп. Известно,
что
6з=Муп/#, (3-15)
где б3 — задаваемая скорость ухода; Муп — момент, приклады-
ваемый к ротору.
На основании выражения (3.15) дополнительная скорость
ухода, вызванная управлением,
_ ДМуп Муп ЛЯ _ ДМуп ДЯ
буп— н + я Н ~~ Н + °3 И '
где АМУп — погрешность момента управления; Д#—погреш-
ность сохранения кинетического момента.
Таким образом, погрешность скорости ухода буп зависит от
двух составляющих, одна из которых обусловлена погрешностя-
ми выработки момента управления, а вторая зависит от точности
поддержания кинетического момента. Жесткая связь между по-
грешностью управления и изменением кинетического момента
является принципиальной особенностью управляемого гироско-
па. Так как величина б3 в ПА ИНС достигает 15...20°/ч, измене-
ние кинетического момента влияет на уходы управляемого ги-
роскопа в десятки раз сильнее, чем на уходы неуправляемого.
Кинетический момент
Я = /сор,
где / — момент инерции ротора гироскопа относительно главной
оси; юр — частота вращения ротора.
Соответственно
ДЯ = Д/сор + Дсор/.
106
Нетрудно видеть, что АН определяется в
основном До)р, т. е. нестабильностью часто-
ты вращения ротора, так как величина Д/,
определяемая нестабильностью формы ро-
тора, сравнительно мала.
Погрешность скорости ухода состоит из
начальной скорости и погрешности мас-
штабного коэффициента, включающего в
себя погрешности от нелинейности и несим-
метричности:
где 6о и б3 — начальная и задаваемая скорости ухода; Ak— по-
грешность масштабного коэффициента.
Начальная скорость ухода б0 возникает при б3 = 0 за счет
включения схемы управления. Так, при использовании электро-
магнитного датчика момента или датчика момента, основанного
на использовании вихревых токов, момент, вызывающий на-
чальную скорость, возникает из-за электрической неоднородно-
сти ротора гироскопа или ротора датчика момента.
Погрешность масштабного коэффициента цепи управления
Ak по смыслу величина непостоянная, иначе ее можно было бы
включить в безразмерный масштабный коэффициент k = (б3 +
+ буп)/бз, т. е. Д£ = /(63), где /(б3)—функция в некоторых
случаях нелинейная.
Рассмотрим ошибки, вызываемые неточностью геометриче-
ского расположения осей управления в трехстепенном гироскопе
(рис. 3.10). Картинная плоскость (а, Р) перпендикулярна глав-
ной оси гироскопа, причем оси аир коллинеарны осям у и z.
Если какая-либо из осей управления (т. е. осей, вдоль которых
в картинной плоскости прецессирует ось ротора при подаче сиг-
нала управления в соответствующую координату) отклонена от
заданного направления на малый угол Ду, возникает составляю-
щая прецессии вдоль перпендикулярной оси, представляющая
собой погрешность ухода.
Из рис. 3.10 следует ба = брДу. Угол Ду может иметь разное
значение для разных осей управления. Возникающие погреш-
ности управления воспринимаются как уходы в осях координат,
перпендикулярных тем, на которые подаются сигналы управ-
ления.
3.4. Погрешности поплавковых
интегрирующих гироскопов
В качестве двухстепенных гироскопических ЧЭ судовых ИНС
чаще всего применяют ПИГ (см. п. 1.3).
Уходы и моменты сил, их вызывающие, рассматриваются для
ПИГ относительно выходной оси. Погрешности ПИГ делятся на
Рис. ЗЛО. Влияние по-
ворота осей управле-
ния на погрешности
гироскопа
107
две основные группы [35]: инструментальные погрешности и
уходы, вызванные угловыми колебаниями входной оси ПИГ &
инерциальном пространстве, за счет движения объекта и воз-
мущающих моментов, действующих на стабилизатор, в котором
установлен гироскоп. Этот уход часто называют кинемати-
ческим.
Инструментальные погрешности ПИГ, в свою очередь, под-
разделяют на следующие [38]: из-за несбалансированности по-
плавкового гироузла; вызванные упругими деформациями эле-
ментов конструкции; вызванные моментами сопротивления в
подвижных элементах; возникающие за счет изменения пара-
метров гироскопа.
Влияние перечисленных факторов, за исключением некото-
рых, проанализировано ранее. Так, уходы от небаланса харак-
теризовались выражениями (3.5), от неравножесткости при
упругих деформациях — выражениями (3.6) и т. п. В обозначе-
ниях, принятых ранее [см. выражения (3.4)] в осях трехгран-
ника xyz, модель погрешностей ПИГ определяют [35] в следую-
щем виде:
6* = До + a2wy + a3wz + a^wywz. (3.16)
Выражение (3.16) отличается от аналогичного выражения (3.8)„
полученного для сферического гироскопа, наличием коэффи-
циента а2, зависящего от несовпадения центра инерции поплав-
кового гироузла с центром давления на величину го (см.
рис. 1.10).
Если, как и для гироскопов с бесконтактным подвесом, огра-
ничиться учетом ускорения силы тяжести, выражение (3.16)
можно представить в виде
6Х = ап0 + Ш\ cos(/z + ty) + rn2 sin 2/г, (3.17)
где г|) = arctg (z0/y0), a (z0y0) — координаты центра инерции поп*
лавкового гироузла: т0 — коэффициент, не зависящий от силы
тяжести; тх — коэффициент, определяемый небалансом [т{ =
= /пп^/^» / = д/^ + у\); т2 — коэффициент, определяемый не-
равножесткостью [т2 = (2т*///) (су — сг)/{сксгУ]'> тп ~~ масса
поплавкового гироузла.
Как видно, особенностью модели (3.17) является наличие
угла г|), т. е. и при h = 90° в ПИГ существует уход от не-
баланса.
Вторая группа погрешностей — следствие так называемой
квазинеголономной связи (рис. 3.11), появляющейся при ис-
пользовании в стабилизаторах двухстепенных гироскопов. Если
ПИГ установлен в одноосном гироскопическом стабилизаторе,,
проекция угловой скорости платформы гиростабилизатора на
ось z (см. рис. 1.19) равна нулю, т. е.
©2 = 0. (3.18)
108
Рис. 3.11. Движение твердого те-
ла в условиях квазинеголономной
связи
Выражение (3.18) — классиче-
ский вид уравнения неголономной
связи [19]. Наличие такой связи
обусловливает особые свойства
соответствующего движения твер-
дого тела. Пусть ось z (рис. 3.11)
платформы совершает коническое
движение, при котором одна из
точек оси 0 неподвижна, а другая
описывает на сфере, центр кото-
рой находится в точке 0, замкну-
тую кривую. Площадь на сфере,
ограниченная этой кривой, обо-
значена S. Можно показать [19], что при возвращении оси z в
исходное положение го платформа со связанной с ней системой
координат xyz в исходное положение не возвращается, а пере-
ходит в новое положение x\y\Z\. Угол, на который оказывается
повернутой платформа, измеренный между осями хо и х\, Дсс =
= S/R2, где R — радиус сферы. Иначе говоря, Да = Ч1", где х¥ —
сферический угол, ср.
Скорость ухода платформы
т
ч? 1 г
б2 = у = Т) ^х(0у dti
о
где Т — период конического движения платформы; срх — погреш-
ность стабилизации платформы относительно оси х\ щ — часто-
та поворота платформы относительно оси у.
Аналогичные уходы возникают в двух- и трехосных стабили-
заторах с ПИГ [35].
3.5. Погрешности лазерных гироскопов
Погрешности лазерных гироскопов (ЛГ) также можно ус-
ловно разделить на инструментальные и методические. Инстру-
ментальные погрешности обусловлены флюктуациями парамет-
ров собственно кольцевого лазера (КЛ) и обслуживающих его
блоков, в том числе блока предварительной обработки сигнала.
Методические погрешности связаны с неполной компенсацией
начального смещения, методикой съема и предварительной обра-
ботки информации КЛ.
Флюктуации параметров КЛ в соответствии с природой их
возникновения делят на технические и естественные. Техниче-
ские флюктуации связаны прежде всего с тепловыми деформа-
циями резонатора, нестабильностью разряда активной среды и
параметров схемы начального разноса частот встречных волн.
Конструктивно-технологическими мероприятиями, совершен-
ствованием оптической схемы ЛГ можно существенно снизить
109
технические флюктуации. Другой путь состоит в построении ма-
тематических моделей флюктуации для уменьшения вызывае-
мых флюктуациями выходных ошибок.
Принципиально неустранимые погрешности обусловлены ес-
тественными флюктуациями, которые определяют потенциаль-
ную точность ЛГ. Эти флюктуации объясняются квантовой при-
родой излучения и тепловым движением атомов и молекул ре-
зонатора ЛГ и элементов его конструкции. В настоящее время
нет единой оценки вклада естественных флюктуации в погреш-
ность ЛГ. Так, в работе [9] в качестве исходной модели взята
полуклассическая теория КЛ и на основе диффузии фазы полу-
чено выражение для среднеквадратичного отклонения частоты
биений в виде
6© = VW7\ (3.19)
где бсоо — естественная ширина спектральной линии сигнала
биений; Т — время осреднения.
В работе [23] на основе квантово-статической теории КЛ,
учитывающей вклад спонтанного излучения активной среды, для
бо) получено
бсо = -1 V-ln[i2 + (l-£2)e-6w°rb (3.20)
где £ — видность интерференционной картины сигнала биений.
В выражениях (3.19) и (3.20) бсо принципиально различно
зависит от времени наблюдения Г, совпадая при 8со0Т <g 1 и су-
щественно различаясь при ЬсооТ » 1. В последнем случае, пред-
ставляющем наибольший практический интерес, выражение
(3.20) можно упростить:
6co«^V-21ni. (3.21)
Следует отметить, что и экспериментальные результаты не поз-
воляют отдать предпочтение какому-либо из двух подходов. Так,
результаты работы [29] согласуются с выводами полуклассиче-
ской теории, а в работе [4] получены результаты, более близ-
кие к квантово-статической теории. Правда, эксперимен-
тальные результаты трудно сопоставимы, так как они получены
на различных образцах приборов в неодинаковых условиях.
Проведенные исследования1 были направлены на установ-
ление зависимости среднеквадратичного отклонения фазы двух
ЛГ от времени наблюдения. Оба ЛГ устанавливали на вра-
щающейся с постоянной скоростью платформе. Выходные сиг-
налы ЛГ исследовали в режиме изменения отношения частот
при котором периоды сигнала одного ЛГ суммировали в интер-
вале, задаваемом другим ЛГ.
1 В исследованиях принимали участие канд. техн. наук. Ю. В. Филатов,
канд. физ.-мат. наук П. А. Павлов, асп. Е. П. Кривцов.
ПО
В результате суммирования
измерялось угловое положение
платформы, пропорциональное
времени измерений Т. Такая
процедура измерений позволя-
ла оценить среднеквадратич-
ное отклонение флюктуации
измеряемых углов, связанное
со среднеквадратичным значе-
нием вариаций частоты биений
бсо соотношением
<7Ф = & \ бсо dt.
Рис. 3.12. Среднеквадратичное откло-
нение фазы сигнала ЛГ
Полученные результаты (кривая 3) приведены на рис. 3.12, где
для сравнения даны кривые 1 и 2 из работ [4, 29]. Так, в ра-
боте [4] зону захвата образца ЛГ искусственно увеличивали до
1,5...3,5 кГц, а в работе [29] зона захвата составляла около
100...200 Гц, что, возможно, обусловило отсутствие излома на
кривой 2. Приведенные оценки хотя и различаются, но дают
представление о потенциальных (предельных) точностных ха-
рактеристиках ЛГ.
Исследование влияния нестабильности параметров КЛ на
выходной сигнал КЛ показало, что основной вклад в погреш-
ность вносит нестабильность расстройки частоты его излучения
по отношению к центральной частоте атомного перехода, неста-
бильность относительного усиления G и нестабильность потерь
за проход /.
Изменения 6Д/ частоты биений, обусловленные нестабиль-
ностью расстройки б|, может быть представлена в виде [30]
i*^i-|-&-(*Q+w#-&"Sr
14*1,
(3.22)
где сохранены те же обозначения, что и в выражении (1.25)
п. 1.3.
Флуктуации параметров КЛ и нестабильность других блоков
структурной схемы ЛГ (см. рис. 1.8) служат источниками по-
грешностей со следующими характеристиками [45].
Случайный дрейф. При вибрационном методе линеаризации
выходной характеристики возникает ошибка, имеющая характер
случайного дрейфа и зависящая от амплитуды вибрационных
колебаний (вибрационной подставки) и граничной частоты об-
ласти захвата. Для более эффективного «разрушения» зоны за-
хвата к вибрационной подставке добавляют шумовой сигнал и
в типичных условиях случайный дрейф достигает значений
.(1...3) Ю-3 град/ч1/2.
ill
Смещение нуля Л Г. На фиксированное смещение нуля гиро-
скопа /о накладываются, как правило, небольшие изменения,
определяемые следующими основными причинами: нестабиль-
ностью оптических осей зеркал и эрозией их отражающих по-
верхностей; газовыделением внутри кольцевого резонатора;
точностью регулировки периметра резонатора с целью компен-
сировать изменения, вызываемые деформацией резонатора; точ-
ностью регулировки тока разряда во встречных каналах диф-
ференциальной схемы возбуждения разряда и др.
В настоящее время для серийно выпускаемых приборов годо-
вая нестабильность ошибки смещения нуля лучше 4-Ю-3 град/ч.
Особую заботу разработчиков ЛГ вызывает температурная
зависимость смещения нуля, обусловленная низкой теплопро-
водностью материала резонатора ЛГ и его чувствительностью
к температурным градиентам. Термокомпенсация смещения
нуля позволяет получить сдвиг не более 4-Ю-3 град/ч в диапа-
зоне температур —5...+88°С.
Дрейф Л Г от магнитного поля. Чувствительность Л Г к внеш-
ним магнитным полям вызвана прежде всего отличием поляри-
зации встречных воли от линейной, что в магнитном поле при-
водит к расщеплению встречных волн из-за двойного кругового
лучепреломления. Разработка технологии изготовления диэлек-
трических зеркал с минимальной анизотропией и дополнитель-
ная экранировка ЛГ позволяют снизить магнитную чувствитель-
ность до 1 -10—3 град/ (ч • Гс).
Погрешность масштабного коэффициента Л Г. Определяю-
щее влияние на значение и стабильность масштабного коэффи-
циента оказывают дисперсия показателя преломления среды и
затягивание частоты генерации к центру атомной линии. Оба
эти эффекта проявляются при флюктуациях лазерного усиления
или частоты генерации.
В современных ЛГ относительная стабильность исходного
значения масштабного коэффициента составляет примерно
5-Ю-6 в течение года после калибровки и менее 15-Ю-6 за
5 лет. Близкое значение имеет и тепловая погрешность.
Погрешность, обусловленная асимметрией масштабного ко-
эффициента. Асимметрия масштабного коэффициента ЛГ зна-
чительно ниже, чем у механических гироскопов. Она опреде-
ляется как относительная разность между значениями масштаб-
ного коэффициента при положительных k+ и отрицательных &-
значениях угловой скорости.
ДЛ/Л = (*+-*_)/(*+ + *-)-
Если ЛГ имеет вибрационную подставку без смещения, асим-
метрия масштабного коэффициента приводит к детектированию
и возникновению дрейфа. При значении асимметрии Ю-6 и
амплитуде угловой скорости вибрационной подставки 10 град/с
112
(на частоте 80 Гц) дрейф составляет около 10_3 град/ч. Вместе
с тем следует отметить, что при использовании вибрационной
подставки на разностных частотах А/, кратных частоте вибра-
ций, в выходной характеристике ЛГ появляются «полочки», обу-
словленные параметрической синхронизацией [15]. Их ширина
быстро уменьшается по мере удаления от зоны захвата.
Из погрешностей, связанных с предварительной обработкой
выходного сигнала КЛ, наиболее существенна погрешность,
обусловленная дискретностью съема информации (т. е. получе-
ние усредненных на некотором интервале времени tt угловых
скоростей или накопленных за этот интервал приращений угла).
Дискретный характер выходного сигнала ЛГ сильно влияет на
работу ЛГ в режиме управления угловым положением плат-
формы и вызывает характерные кинематические погрешности
БИНС, связанные с запаздыванием поступления в бортовой вы-
числитель измерительной информации.
Рассмотрим эти погрешности на примере трехосного блока
ЛГ с общим начальным смещением рабочей точки, алгоритм
работы которого получен в п. 1.3.
Модель погрешностей измерения составляющих угловой ско-
рости объекта на связанные оси можно получить, изменяя урав-
нения (1.28) и (1.31) для двух вариантов расположения гиро-
блока по отношению к объекту. Например, для первого ва-
рианта расположения, изменяя уравнения (1.28) и усредняя на
угловом интервале а/, получим для погрешностей ЛГ следую-
щие выражения:
AQj, = — \ { —т^ sin а Н 7=-cosa + Q,6a —
* U J I V2 л/6 Z
to
— (Qy + а) бр cos а j=- [Qz + л/2 (Ц, + a) sin а] 6у ] dt\
AQy = — \ | —р=- + Д/ — (&х sin а + Qz c°s а) 6у —
to
-j=- (Qjp cos a — Qz sin a) 60 + 6a 1 dt\
=— \ J p-cosa j= sina+(^+a)6psina —
— Q* 6a H—j=- [Qx —- У 6 (Qy + a) cos a] 6y > dt.
№
(3.23)
Требования к точности выставки измерительных осей ЛГ харак-
теризуют члены, содержащие 6у и 60.
8 Зак. 999 ИЗ
Из выражения (3.23) погрешность определения относитель-
ного углового положения гироблока
Дйла = Qz 6а < Qz max 6а;
AQza = Q* 6а < Qx max 6а.
Например, если погрешность измерения относительного угло-
вого положения 6а = 1, то &Qxa < &z max -2,9- Ю-4.
Существенный вклад в погрешность измерения составляю-
щей Qy вносит ошибка 6а=6а/^ при малом времени усредне-
ния it. Если частота съема информации составляет 10 Гц, а по-
грешность измерения AQt/ ^ 1 град/ч, то 6а ^ 8а// « 0,1". Та-
кую точность измерения углового интервала обеспечивают
интерференционные схемы фиксации углового положения [27].
Особенность второго варианта расположения гироблока за-
ключается в том, что погрешность 6а определения начального
смещения одинаково сказывается на точности определения всех
трех составляющих Qx, Qy, &z угловой скорости объекта.
При использовании общей виброподставки усреднение ре-
зультатов измерений за один или целое число периодов колеба-
ния виброподставки и угловые вибрации измерительных осей
относительно объекта приводят к дополнительной погрешности
при ускоренных угловых движениях объекта:
2я
AQ
= -^- \ Qz sin totdtot;
AQ„ = 0;
2л
*Q*=ir\
Qx sin (at dtot.
(3.24)
Например, для нарастающих по линейному закону угловых
скоростей Qjc = Qjco + Ay, Qz = Qzo + AV погрешности равны
AQ* = е/С2/(о; AQ^ = 0; AQZ = — е/Сх/со.
При гармонической качке объекта Q* = a cos vt, Qz = b cos vt
погрешности будут
Дй = — ——-— ( 1 — cos 2jt — );
x 2я[1 — (v/co)2] V coy
AQ,, = 0;
AQZ =
га
2n[l-(v/co)2]
(l-cosfci£).
J
(3.25)
Выражения (3.25) справедливы для любых v, кроме v = о>
(при v = со погрешности AQ^ = AQz = 0). Максимального зна-
чения погрешности достигают при v/co = 0,58 и v/co = 1,37.
114
Подставив значения а = е sin со*, а = есо cos at в уравнение
(1.30) и проделав аналогичные вычисления, для второго ва-
рианта расположения гироблока на объекте получим по анало-
гии с уравнениями (3.24):
2Я
Шх = 5_ \ (Q — Qz) sin со/ rfco/;
2яуЗ у
о
2Я
AQy = ^у=- \ (Qz — QJ sin со/ da>t;
о
2я
(3.26)
Дйг = ^=г \ (Q* — Qy) sin со/ do/.
Как следует из выражений (3.26), в этом случае погреш-
ности обусловлены перекрестными связями гироскопов и про-
являются при угловых ускорениях объекта.
Первый вариант расположения гироблока оказывается бо-
лее выгодным, если объект имеет повышенную подвижность во-
круг одной из осей (у). При втором варианте — погрешности
симметричные и обращаются в нуль, если угловые ускорения
объекта по всем осям одинаковые.
3.6. Характер распределения составляющих
ухода гироскопов во времени
Рассмотренные ранее уходы гироскопов зависят от внешних
факторов (ускорений, магнитных и тепловых полей) и внутрен-
них параметров гироскопа (небаланс, жесткость подвеса, мо-
менты сопротивления и т. п.). Изменения внешних факторов и
параметров гироскопа во времени полностью определяют ха-
рактер уходов. Поскольку указанные величины изменяются слу-
чайным образом, то и скорость ухода гироскопа представляет
собой случайную функцию времени.
В зависимости от того, в какой части частотного диапазона
сосредоточены преобладающие периоды изменения скорости слу-
чайного ухода, введем применительно к динамическим свой-
ствам морских ИНС классификацию для уходов, скорость ко-
торых изменяется со следующими преобладающими перио-
дами: сутки и более, что соответствует круговой частоте от
0,25 ч-1 и менее; от десятков минут до суток — соответствующие
частоты лежат в интервале от 0,25 до 5 ч-1; от десятка минут
и менее, т. е. преобладающая частота больше 5 ч-1. Динамиче-
ские свойства навигационных систем существенны для уходов
второй группы, так как уходы третьей группы лежат вне полосы
пропускания системы (определяемой постоянными Тс и Гш),
8*
115
В\ 5Т а уходы первой группы преобра-
■^-р"^ ^"*^-^4^. зуются ИНС практически без ди-
| | намических погрешностей.
t, t,+T t Изменения скорости уходов
п 0 10 л первой группы объясняются глав-
Рис. 3.13. Аппроксимация случаи- r ^ rj
ной скорости ухода постоянной ным образом старением элемен-
величиной на интервале (t{; /, + тОВ конструкции гироскопов, ИЗ-
+ Т) менением во времени параметров
гироскопа (зазоров между ро-
тором и элементами подвеса, моментов трения на осях прецес-
сии), изменением магнитных и электрических свойств материа-
лов, входящих в состав гироскопа и т. п. К этой же группе ухо-
дов относят и так называемые уходы «от пуска к пуску» гиро-
скопа, под которыми понимают скачкообразное изменение ско-
рости медленно меняющегося ухода при включении («пуске»)
гироскопа — такое изменение ухода объясняется тем, что при
каждом пуске гироскоп сравнительно быстро нагревается (ис-
пытывает термический удар). Охлаждение гироскопа при оста-
новке вызывает такое же явление. Резкие изменения темпера-
туры гироскопа приводят, например, к остаточным деформа-
циям и к взаимному смещению деталей, а изменения магнитных
полей — к остаточной намагниченности ферромагнитных мате-
риалов, входящих в состав гироскопа. В результате изменяются
моменты сил, воздействующих на ротор, и скорость ухода.
Изменения скоростей уходов второй и третьей групп объяс-
няются в основном неустойчивостью значений внешних факто-
ров: температуры, магнитных и электрических полей, качки и
вибрации места установки гироскопа и т. п.
На интервалах времени, ограниченных несколькими сутками,
во многих случаях скорость ухода первой группы можно с до-
статочной для практики точностью считать постоянной величи-
ной (такой уход обычно называют систематическим).
На рис. 3.13 показана функция низкочастотной скорости
ухода. На интервале (t\\ t\ + Т) скорость ухода аппроксимиро-
вана постоянной величиной, равной среднему значению скорости
на интервале Т.
Если известна корреляционная функция процесса /?(т), дис-
персия погрешности аппроксимации [13]
D6 = [D0-R(T)]t
где Do — дисперсия 6(0; R{T) — значение корреляционной функ-
ции при т = Т.
Модель скорости ухода гироскопа на ограниченном интер-
вале времени можно представить в следующем виде:
6(/)= б + б(/), (3.27)
где 6 — систематическая составляющая скорости [математиче-
ское ожидание 6(0 на интервале времени Т\\ 6(0 — случайная
116
составляющая скорости, определяемая главным образом ухо-
дами второй группы.
Ранее было показано, что уходы двух- и трехстепенного ги-
роскопа определяются в зависимости от угла h функциями
6Х (/) = m0 + тх cos h + m2 sin 2й;
6z (0 = по + ni cos h + n2 s'n 2A.
Каждый из коэффициентов m/, /tz также можно представить
случайной нецентрированной функцией:
Щ = Щ + ™>i (0; ni = nl + hi (/),
где fnlt nt— математические ожидания коэффициентов mt и nt>
равные систематическим уходам; mh nt — случайные центриро-
ванные, стационарные функции времени.
С целью расширить интервал Т в некоторых случаях изме-
нение среднего значения представляют в виде степенного поли-
нома
™>i = ао + Q\t + &42 + ...,
где а0, ..., а* — коэффициенты аппроксимации. Такой полином
учитывает процессы старения или медленное изменение тепло-
вого поля.
Периодические изменения коэффициентов за счет колебаний
температуры, влажности, напряжения питания в модель систе-
матических уходов вводят как колебательные составляющие, а
именно
k
thi = 2 at sin ((j>it -f \fo).
Что касается случайных составляющих m,- и Л,, то их корре-
ляционные функции обычно представляют в виде выражения
(3.1), в котором а — среднеквадратичное значение скорости
ухода гироскопа. Чем точнее гироскоп, тем больше интервал
корреляции тк = 1/а.
Естественно предположить, что между составляющими т,;
щ\ #,•; Я/ существует корреляционная связь. Учет этой связи не
приводит, однако, к качественно новым результатам, лишь не-
значительно изменяя количественную оценку погрешностей. По-
этому в дальнейшем будем считать Rmim. (т) = 0; /?т * (т) = 0;
#rt.& (т) = 0, где Rmn— взаимная корреляционная функция
процессов /л*, м/.
В заключение заметим, что различие между систематиче-
скими и случайными скоростями уходов оказывается относи-
тельным в зависимости от интервала времени, в течение кото-
рого используются данные гироскопы, и динамических свойств
навигационной системы (периодов собственных колебаний).
117
ьрвВ/ч
g o,01th
§< 0,06 \
lis
II
«s^
■°0° <*><«£> со #e e?e oo°00
KojMot °°^ov о ° ° о о
iiewf • • • l,
0 500 /000 *500 #00 £500 J000 3500 t,4
Рис. 3.14. Характеристика долговременного дрейфа ЛГ
Несмотря на сравнительно небольшой срок использования
ЛГ уже накоплен достаточный материал о временном харак-
тере распределения его ошибок. Так, на рис. 3.14 приведена
характеристика долговременной стабильности дрейфа нуля ЛГ
GG-1300 фирмы «Хонейвел» (Honeywell) в нормальных усло-
виях окружающей среды [40]. При этом за все время испыта-
ний максимальное значение отклонения от начального значения
дрейфа нуля (0,015°/ч) не превышало 0,014°/ч. Анализ хода
кривой свидетельствует о наличии случайных и гармонических
составляющих дрейфа.
Изменение температуры окружающей среды снижает ста-
бильность дрейфа. Наибольшее влияние оказывают градиенты
температур: скачок температуры на 90°С приводит к изменению
дрейфа на 0,6°/ч. После установления теплового равновесия
дрейф нуля восстанавливается с точностью ±0,02°/4, что соот-
ветствует среднеквадратичной величине дрейфа 0,007°/ч. Темпе-
ратурные уходы ЛГ воспроизводимы и поэтому их можно суще-
ственно уменьшить системой термокомпенсации или вводя тем-
пературу в модель ЛГ.
3.7. Способы повышения точности гироскопов
Изучение погрешностей гироскопов необходимо для достиже-
ния основной цели разработки ИНС — обеспечения заданной
точности определения навигационных параметров.
Точность данных, снимаемых с гироскопов, можно повысить
несколькими путями: устранением выявленных причин уходов
тироскопа за счет улучшения материалов, изменения конструк-
ции и улучшения технологии изготовления; учетом погрешностей
и в том числе уходов гироскопов на основе полученных соотно-
шений и при наличии внешней информации; применением ме-
тодов автокомпенсации.
Повышение точности гиросистем морских ИНС достигается
главным образом за счет повышения точности гироскопов. При-
118
мером создания новых ЧЭ служат электростатический и лазер-
ный гироскопы, примером улучшения — современная конструк-
ция поплавкового двухстепенного гироскопа. Как видно из по-
лученных ранее соотношений, резерв повышения точности сфе-
рических гироскопов в уменьшении небаланса, приближении
формы ротора к идеальной сфере, улучшении линейности и рав-
ножесткости характеристик подвеса.
Повысить точность ПИГ можно за счет лучшего совмещения
центров плавучести и инерции поплавкового гироузла, повыше-
ния качества демпфирующей жидкости (сохранение ее харак-
теристик на протяжении длительного времени), повышения точ-
ности термостабилизации гироскопа, уменьшения трения на оси
прецессии. Последнее достигается, например, заменой камневых
опор на магнитные бесконтактные.
Границу на этом пути определяют возможности технологии:
(качество материалов, точность оборудования и т. п.). Заметим,
что, как правило, неустраненные уходы гироскопов превышают
по своим значениям допуски на точность гиросистем. По этой
причине в современных ИНС широко используют методы, свя-
занные с учетом и компенсацией скорости ухода гироскопа.
Тогда уходы можно классифицировать как учитываемые и не-
учитываемые: 8х = бу + бн, где бу — учитываемая составляющая
ухода; бн — неучитываемая составляющая ухода.
К учитываемым отнесем уходы, которые удается измерить
и компенсировать в показаниях гироскопа или в эквивалентных
параметрах ИНС. Неучитываемые уходы определяют состав-
ляющие погрешности гироскопов, которые не удается предска-
зать и компенсировать. Таким образом, неучитываемые уходы
представляют собой ту ошибку, о которой говорят как об основ-
ной погрешности гироскопа. Очевидно, к неучитываемым уходам
относятся и погрешности определения систематических уходов,
складывающиеся из погрешностей измерения скорости ухода и
погрешностей модели.
Выше было показано, что модели уходов [см. выражение
(3.27)] приближенные, а понятие систематического ухода отно-
сительно и зависит от интервала времени, в течение которого
рассматривается уход. Поэтому точность учета и последующая
компенсация ухода ограничены. Чем точнее составлена модель
уходов (чем лучше изучен гироскоп) и чем стабильнее значения
коэффициентов модели, тем с большей точностью можно учесть
систематический уход гироскопа. Процесс определения система-
тических уходов гироскопов или систематических составляющих
коэффициентов модели называют калибровкой.
Для определения уходов необходима внешняя информация.
В простейшем случае (для ухода с постоянной скоростью) не-
обходимо знать время и углы разворота платформы относи-
тельно инерциальной систем координат или системы координат,
движение которой в инерциальном пространстве известно.
И9<
Точность учета систематических составляющих уходов гиро-
скопов можно повысить за счет избыточной информации в инер-
циальной системе. В одних случаях эту информацию получают,
увеличивая число одновременно работающих гироориентаторов,
в других — увеличивая число гироскопов, устанавливаемых на
стабилизированной платформе. В работе [12] рассмотрен метод
использования дополнительного гироскопа, последовательно по-
ворачиваемого в такие положения, чтобы ось чувствительности
оказывалась параллельной осям чувствительности стабилизи-
рующих гироскопов. Сравнивая показания опорного (избыточ-
ного) и стабилизирующего гироскопов можно определить ско-
рость ухода второго и учесть ее.
В управляемых гироскопах погрешности характеристик
управления надо определять при калибровке, чтобы исключить
погрешности при установке гироскопов в ИНС. Характеристику
управления вводят при этом в ЭВМ в виде таблицы (с после-
дующей интерполяцией промежуточных значений) или в виде
аппроксимирующих многочленов.
Применение методов автокомпенсации инструментальных по-
грешностей гироскопов позволяет повысить точность гироско-
пических устройств без привлечения внешней информации. Сущ-
ность таких методов состоит в модуляции уходов гироскопов
периодическими функциями времени: монотонные уходы пре-
вращаются в периодические с ограниченной амплитудой [1],
когда отдельным элементам и узлам гироскопического устрой-
ства придают дополнительные механические движения. Наибо-
лее характерны следующие методы автокомпенсации: принуди-
тельное движение опор подвесов гироскопов (в ИНС данный
метод, как правило, не применяют); принудительное вращение
корпусов гироскопических ЧЭ; реверсирование (изменение на
обратное направление) векторов кинетических моментов гиро-
скопов.
При использовании первого из перечисленных методов коль-
ца шарикоподшипниковых опор вращают друг относительно
друга. При этом кольца пары шарикоподшипников, относящихся
к одной оси, вращают в разные стороны. В результате момент
трения, действующий по этой оси, уменьшается, так как вместо
суммы моментов трения подшипников на ось действует их раз-
ность. При реверсировании направления вращения колец под-
шипников момент трения усредняется. Такой метод используют
чаще всего для гироскопов средней точности.
Для трехстепенных сферических гироскопов наиболее ши-
роко применяют второй метод автокомпенсации — вращение
корпуса гироскопа вокруг оси, совпадающей с направлением
кинетического момента гироскопа. Существо метода состоит в
том, что возмущающие моменты, связанные с корпусом гиро-
скопа, вращаются вместе с последним в пространстве. При по-
стоянной угловой скорости вращения средняя скорость ухода
J 20
а)
hi
5)
О
ь*=о
0)
И
0
"И
i
5)
г
0
/ \
Рис. 3.16.
21
<
/
зг
чт
ъ~
t
/\1/ ,
г
Метод цикличе-
ского реверсирования кине-
тического
диаграмма
тического
момента: а —
изменения кине-
момента; б —
уход гироскопа
Рис. 3.15. Уходы гироскопа при дей-
ствии момента, связанного с корпусом:
а — при неподвижном корпусе; б — при
вращении корпуса
гироскопа, обусловленная такого рода моментами, теоретически
становится равной нулю.
Пусть относительно оси х гироскопа (см. рис. 3.3) действует
момент МХу тогда уход по оси z в случае отсутствия вращения
(рис. 3.15)
*. = (MJH)L (3.28)
Если вращать корпус относительно оси у с угловой скоростью
о, уходы выразятся в следующем виде [1]:
<** = (Мх/Н(д) (1 — cos со/); |
а2 = (Мх/Нь>) sin со/. } (3,29)
Сравнение выражений (3.28) и (3.29) наглядно показывает пре-
имущество метода автокомпенсации. При этом методе усред-
няются не только постоянные, но и случайные возмущения,
связанные с корпусом гироскопа. При вращении корпуса усред-
няется также влияние неравножесткости и несимметрии под-
веса, т. е. усредняются уходы, вызванные моментами, вращаю-
щимися вместе с корпусом. Уход от смещения центра инерции
ротора гироскопа от центра приложения равнодействующей сил
подвеса не устраняется, так как момент от небаланса опреде-
ляется только направлением силы тяжести.
Метод циклического реверсирования вектора кинетического
момента позволяет осуществлять автокомпенсацию всех состав-
ляющих собственного ухода гироскопа, вектор которых меняет
направление, оставаясь неизменным по величине, при измене-
нии направления вращения ротора гироскопа (в том числе и от
небаланса). Гироскоп при этом работает в следующем режиме
121
(рис. 3.16, а): на отрезке времени от / = 0 до / = Т гироскоп
обладает кинетическим моментом +#, а на отрезке времени от
/ = Т до 2Г — кинетическим моментом —Я. Далее циклы с пе-
риодом 2Г повторяются. Если по оси х действует возмущающий
момент МХу уход гироскопа [1]
аг=(Мх/Н) t sign [sin (я/Г) /].
График ухода при использовании рассмотренного метода пока-
зан на рис. 3.16,6. Так как механических гироскопов с мгновен-
ным изменением направления кинетического момента не суще-
ствует, в реальной схеме гиростабилизаторов должно быть не
менее двух гироскопов на стабилизируемую координату.
Недостатком метода помимо увеличения числа гироскопов
является необходимость частого разгона и торможения роторов,
что определяет непостоянство теплового режима гироскопов.
Кроме того, изменение уходов от пуска к пуску, возникающее
при каждом цикле реверсирования, нарушает основное условие
осуществимости автокомпенсации, заключающееся в том, что на
протяжении цикла скорость ухода не должна изменяться значи-
тельно.
Часть рассмотренных методов носит универсальный харак-
тер и их можно применить для ЛГ. Однако в силу отличия схе-
мы и конструкции ЛГ от традиционных гироскопических при-
боров существуют некоторые специфические особенности.
Теоретический анализ зависимости (3.22) свидетельствует о
необходимости стабилизации расстройки и позволяет сформули-
ровать требования к системе ее стабилизации. Можно показать
[30], что относительная нестабильность расстройки Ю-8 позво-
ляет обеспечить нестабильность передаточного коэффициента
КЛ не хуже Ю-6 при частоте биений, превышающей 50 кГц.
Дальнейшее повышение точностных характеристик КЛ можно
обеспечить комплексной автоматической стабилизацией основ-
ных параметров КЛ (расстройки частоты излучения £, относи-
тельного усиления G и потерь за проход /).
Суть метода комплексной стабилизации заключается в сле-
дующем. По каналу расстройки задается поисковое возбужде-
ние. По совокупности обеспечиваемой точности и быстродей-
ствия наиболее приемлемы гармонические колебания
lB = lo + aoCOs((DB/ + <p). (3.30)
Без учета связи зависимость интенсивности встречных волн
«от параметров КЛ можно представить в виде
/ = (Ео. G, /) = а/(Р + 8), (3.31)
где а, р, 0 — коэффициенты Лэмба для равноизотопной смеси
Ne20 и Ne22.
122
Подставляя выражение (3.30) в (3.31) и разлагая получен-
ное уравнение в ряд Фурье, найдем интенсивность
/ = /0 + Л cos (oBf + Ф,) + /2 cos (2©Bf + Ф2) +
+ /3cos(30B/ + O3)+ .... (3.32)
Анализируя амплитуды гармонических составляющих /ь h
и /3 интенсивности в выражении (3.32), можно сделать вывод,
что амплитуда первой и третьей гармоник определяется значе-
нием расстройки и уровнем потерь, а второй гармоники — отно-
сительным превышением усиления над потерями N = \ — //G.
Это позволяет осуществить автоматическую стабилизацию рас-
стройки, добротности резонатора и усиления активной среды.
Показателем качества экстремальной самонастраивающейся си-
стемы служит интенсивность излучения, а регулирующими воз-
действиями— длина периметра и углы разъюстировки резона-
тора.
Управлять усилением наиболее удобно, регулируя разрядный
ток усиливающей трубки.
Стабилизация и балансировка тока в плечах КЛ, другие спо-
собы снижения влияния нестабильности параметров ЛГ на их
точность достаточно полно рассмотрены в работах [8, 36].
В тех случаях, когда схемно-конструктивными мероприя-
тиями не удается исключить или снизить до допустимых преде-
лов воздействие влияющих факторов (температуры, вариаций
разрядного тока и др.), заданных точностных характеристик до-
стигают составлением модели уходов ЛГ в функции этих фак-
торов. По мнению авторов работы [43], можно оценить и учесть
все уходы, которые превышают погрешности, связанные с шу-
мами ЛГ. Такие модели оказываются принципиально необхо-
димыми, когда компенсирование ухода позволило бы достичь
0,001 град/ч.
В настоящее время накопленный опыт работы с ЛГ позво-
ляет исследователям стандартизировать описание таких изме-
ряемых точностных характеристик, как масштабный коэффи-
циент, уход и ориентация (выставка) измерительной оси. Эта
задача решается в два приема: составление модели ошибок,
подгонка параметров модели к реальному ЛГ.
«Истинный» масштабный коэффициент ЛГ [43]
k = ?
т+мК
где 9= \ Qndt — угол поворота испытательной платформы,
г
вращающейся с частотой йп; Nk — результирующий отсчет от
Л Г за k-ю выборку; Q — учитываемая составляющая угловой
скорости суточного вращения Земли; At — длительность времен-
ного интервала &-й выборки; k — номинальное значение мас-
123
штабного коэффициента; bk — средняя величина ухода в течение
k-и выборки.
Здесь знак ± соответствует вращению платформы в двух
противоположных направлениях. При этом величина В является
функцией разбаланса тока разряда между двумя плечами диф-
ференциальной схемы ЛГ, градиента температуры вдоль блока
резонатора ЛГ и др. В итоге удается разработать полиномиаль-
ные модели для масштабного коэффициента в виде функций от
температуры, градиента температуры и угловой скорости ЛГ.
Разработанная модель может потребовать повторной калиб-
ровки, если светорассеивающие свойства оптических элементов
или другие параметры ЛГ изменяются со временем. В любом
случае разработка модели уходов ЛГ представляет сегодня эф-
фективный инструмент повышения его точностных характери-
стик и должна включаться в программное обеспечение модулей
ЛГ, используемых в различных навигационных системах.
Глава 4
ТЕОРИЯ ОШИБОК
МОРСКИХ АВТОНОМНЫХ ИНС
4.1. Постановка задачи
Полученные в гл. 2 соотношения характеризуют функ-
ционирование ИНС в том случае, когда все ее элементы и
устройства работают без ошибок, а начальные условия опреде-
лены и введены идеально. Погрешности элементов и ввода на-
чальных условий служат возмущениями для ИНС, а движение
ИНС, обусловленное ими, называют возмущенным. В возмущен-
ном движении интерес представляет его отклонение от невозму-
щенного. Уравнения для отклонений переменных, характеризую-
щих состояние ИНС, от их значений при отсутствии возмуще-
ний называют уравнениями ошибок. Анализ свойств уравнений
ошибок составляет одну из основных задач теории ИНС.
Цель расчета ошибок заключается в определении связи ме-
жду погрешностями элементов схемы и неточным вводом на-
чальных условий, с одной стороны, и погрешностями выходных
данных ИНС, с другой [2]. Установление такой связи позволяет
рассчитать погрешности ИНС, в которой используют элементы
с известными характеристиками ошибок, или, наоборот, исходя
из заданной точности, определить требования к элементам си-
стемы, к погрешности начальной выставки. Анализируя ошибки,
можно в определенной степени упростить алгоритмы, по кото-
рым работает вычислительное устройство, а также выработать
обоснованные требования к коррекции ИНС.
124
Заметим, что было бы методически неправильным вводить
в уравнения ошибок погрешности возможно большего числа
элементов, входящих в ИНС. Целесообразно иметь наименьшее
число независимых параметров (в данном случае погрешностей),
определяющих состояние системы [2]. Как правило, в ИНС в
качестве такого рода параметров берут инструментальные по-
грешности гироскопов и акселерометров и погрешности зада-
ния начальных условий. Другие погрешности можно свести к
перечисленным.
4.2. Ошибки ИНС как ошибки моделирования
инерциального трехгранника
и построителя вертикали
Анализ погрешностей ИНС базируется на решении уравне-
ний ошибок, чаще всего получаемых с помощью так называе-
мых уравнений в вариациях [2,6], представляющих собой ли-
неаризованные уравнения первого приближения относительно
возмущений, действующих на систему. Такие уравнения выво-
дят либо формальным изменением алгоритмов ИНС, либо под-
становкой в алгоритмы вместо независимых переменных суммы
самой переменной и ее приращения. Из образующихся выра-
жений вычитают первоначальные уравнения и пренебрегают
квадратами приращений и их произведениями.
В общем случае получают неоднородные линейные обыкно-
венные дифференциальные уравнения седьмого порядка с пе-
ременными коэффициентами [6]. Решения таких уравнений не
выражаются через элементарные функции, но для конкретных
случаев их можно найти с помощью ЭВМ. Если объект, напри-
мер, движется с постоянной скоростью вдоль географической
параллели, коэффициенты в уравнениях становятся постоянны-
ми. При этом решение можно получить в аналитической форме,
которое, однако, оказывается весьма громоздким, не обладаю-
щим достаточной наглядностью [2,6].
Значительно более простым и эффективным методом полу-
чения и анализа уравнений ошибок ИНС является их разделе-
ние на уравнения погрешностей в моделировании инерциального
трехгранника (ИТ) и в моделировании вертикали места [20].
В любой ИНС, предназначенной для работы в околоземном
пространстве, моделируется инерциальная система координат,
система координат, связанная с Землей, и вертикаль места.
Трехгранник, связанный с Землей, отличается от инерциального
только поворотом в пространстве со скоростью вращения Зем-
ли. Так как эта скорость известна с высокой точностью, то при
наличии модели ИТ для нахождения модели трехгранника, свя-
занного с Землей, достаточно знать время. Знания ИТ, верти-
кали места и времени достаточно для определения всех нави-
125
гационных параметров объекта при его произвольном движе-
нии по поверхности Земли или вблизи этой поверхности.
Если ИТ и вертикаль моделируются в ИНС точно, навига-
ционные параметры вырабатываются без ошибок. Если же при
моделировании возникают ошибки, выражающиеся в некото-
рых малых углах поворота ИТ и вертикали от идеального поло-
жения, возникают погрешности и в определении навигационных
параметров: курса /С, широты ф, долготы X и составляющих
скорости объекта vn и ve-
В связи с этим целесообразно рассматривать погрешности
ИНС как ошибки моделей ИТ и вертикали. Такой наглядный
метод, общий для автономных и корректируемых ИНС, можно
использовать не только для анализа ошибок, но и для синтеза
ИНС, так как он позволяет разделить сложный вопрос коррек-
ции ИНС на коррекцию аналога ИТ и коррекцию аналога вер-
тикали [20]. Допустимость раздельного рассмотрения ошибок
моделей ИТ и вертикали показана ниже.
4.3. Связь между ошибками моделирования
инерциального трехгранника
и вертикали и ошибками ИНС
Связь между погрешностями моделирования ИТ и возникаю-
щими вследствие этого погрешностями определения курса АК>
широты Аф и долготы ДА, определим, пользуясь известным по-
ложением [18], что малые вращения твердого тела с точностью
до второго порядка малости можно рассматривать в виде век-
торов, направленных по соответствующим осям вращения.
В качестве ИТ рассмотрим трехгранник goT)o£o (см. п. 1.6),
ось т|о которого параллельна оси вращения Земли, а ось £0 па-
раллельна линии пересечения плоскостей экватора и меридиана
места (рис. 4.1,а). Обозначим вектор поворота приборной мо-
Рис. 4.1. Положение векторов, характеризующих погрешности
ИНС и погрешности моделирования ИТ, в географической (а) и
квазигеографической (б) системах координат
126
дели ИТ £опЛоп£оп относительно самого ИТ через С. (Индекс «п»
здесь и далее обозначает приборные значения углов, угловых
скоростей и ускорений.) В проекциях на оси трехгранника ^оЛо^о
C = Pi + Y/ + o*.
где i, /, k — орты осей трехгранника; а, р, у — составляющие по-
грешности ИТ. Векторы, характеризующие погрешности, на-
правлены вдоль следующих осей: Аф — вдоль оси | географиче-
ского трехгранника |т]^ (рис. 4.1,а); АХ — вдоль отрицательного
направления оси rjo; AK — вдоль оси J; трехгранника |т]£;. Знаки
векторов выбраны из условия увеличения соответствующего па-
раметра (ф, X и /С) за счет погрешностей моделирования. По-
грешность Аф определяется отклонением модели оси £0п от оси
£0; АХ— за счет отклонения оси £э. п, моделирующей направле-
ние Гринвичского меридиана; А/С — за счет отклонения оси £оп.
Вычислив проекции Аф, АХ и А/С на оси трехгранника £оЛо£о,
получим
pi + у/ + ak = Аф* + (— АХ + А/С sin ф) / + (А/С cos <p) ft. (4.1)
Из выражения (4.1) следует
Аф = Р; ДХ = — у + «tg ф;
А/С = а/cos ф.
(4.2)
На рис. 4.1,6 показаны квазигеографический трехгранник
^яЦд^я и экваториальный трехгранник £эЛэ£э, связанный с Грин-
вичским меридианом (см. п. 1.6). Обозначим вектор поворота
модели трехгранника £эЛэ£э относительно самого трехгранника
через Сэ:
Сэ = Рэ*э + Ysb + <*А»
где *э, /э- К — орты осей |э, х\э, £э; рэ, /э, аэ — проекции векто-
ра С* на оси §э, у]9У £э. Направление векторов Афг, \Xq и \Кд
определим из рис. 4.1,6 по принципу, изложенному для откло-
нений Аф, АХ, А/С. Формула перехода от трехгранника |эг)эСз
к трехграннику %qr\q£q следующая:
cosXfl
— sin Xq
О
sin Xq cos ф, 1
cos Xq cos фв
— sin ф, |
M
\%\
U
— sin Xq sin ф^
— cos Xq sin ф^
— cos ф„
Вычислим искомые погрешности через проекции на оси квази-
географического трехгранника:
на ось lq
ДФ? = Рэ cos Xq — y3 sin ф^;
на ось r\q
— АХ cos ф^ = — рэ sin Xq sin ф„ -г уэ cos Xq sin yq — аэ cosq^;
ОСЬ lq
А/С — АХ sin фа = рэ sin Xq cos ф„ + Ys cos Xq cos qq — a9 sin ф^,
127
откуда
Дф? = Рэ cos Xq — Ya sin Xq;
&Xq = аэ + tg ф^ (p9 sin Xq + уэ cos A,
AKq = 1/cos ф^ (рэ sin Xq + y3 cos Xq)
,). )
(4.3)
Рис. 4.2. Погрешности ИНС
и погрешности моделирова-
ния вертикали в географи-
ческой системе координат
Соотношения (4.2) и (4.3) характери-
зуют погрешности определения ф, А, и
К в зависимости от малых углов пово-
рота модели ИТ.
Найдем зависимости, определяю-
щие погрешности Дф, ДА, и Д/С от оши-
бок моделирования вертикали места
В. В проекциях на оси трехгранника gt^ вектор погрешности
вертикали
В = РЛ + Yr/r + <*А,
где 1*г, /г, kr — орты осей £, rj, £; ссг, Рг и Yr — проекции вектора В
на соответствующие оси.
Повороты Дф, ДА, и Д/С в данном случае отсчитываем от
идеальной вертикали или ее проекций.
Соответствующие векторы показаны на рис. 4.2, откуда
РА + Yr/r + <*г*г = — Дф«г + ДА, cos ф/г + (— Д/С + ДА, sin ф) kr.
Так как для модели вертикали аг = О,
Дф = — рг; ДА, =
COS ф
Atf = Yrtg<p.
(4.4)
Для квазикоординат соотношения аналогичны:
Дф* = - Рг*; ЛЧ = Ynz/cos ф9; Д/^ = Yr* tg ф9. (4.5)
где prq и Yrq — малые повороты модели В относительно осей £7
и г\я (см. рис. 4.1,6).
Объединяя выражения (4.2) и (4.4), получим
ДФ = р-рг;
ДА, = — Y + <* tg Ф +
COS ф
A* = ^ + Yrtgcp.
(4.6)
Аналогично для квазикоординат, объединив выражения (4.3) и
(4.5), найдем
Дф<? = Рз cos Х„ — Y» sin Xq — pr?;
AXq = a3 + tg ф„ (p9 sin Xq + y3 cos Xq) + Yr<7/cos qp,; \ (4.7)
Д/С, = 1/cos <p„ (рэ sin Xq + y3 cos Xq) + Yr, tg qp,.
128
A (4-
Полученные соотношения позволяют вычислить погрешности
навигационных параметров в зависимости от ошибок построения
вертикали места и моделирования ИТ.
Определим ошибки в составляющих скорости, вырабаты-
ваемых ИНС, вследствие погрешностей моделирования ИТ и
вертикали. Выразим погрешности скорости через ошибки опреде-
ления навигационных параметров. Северная и восточная состав-
ляющие скорости имеют вид vn = v cos К\ ve = v sin К. Возь-
мем полные дифференциалы от обоих выражений для получения
значений погрешностей Avn и Ave:
AvN = Av cos К — AKv sin К; \
AvE = Av sin К + AKv cos K. )
В гл. 1 было показано, что vcosK = q>R\ vs'mK = A/? cos ср.
При неизменном курсе
Av cos К = Дф/? + ф А/?;
Av sin К = AKR cos <p — ДфА,/? sin ф + ARX cos ф.
Подставив полученные выражения в равенства (4.8) с учетом
того, что членами, включающими в себя А/?, для морских объ-
ектов можно пренебречь (см. гл. 1), найдем
AvN = Aq>R + vEAK; \
( (4.9)
Ди£ =/? (ДА, cos ф — ДфА, 8Шф) — vNAK. )
Подставляя в выражение (4.9) формулы (4.6) и взяв соответ-
ствующие производные, получим искомую зависимость:
Д^ = R IP - Рг + Я, (а + Yr sin ф)];
\ (4.1
. v-io)
AvE = /? [а sin ф — у cos Ф + Yr — ^ sin < ,Л
Погрешности в составляющих скорости, измеряемых в ква-
зикоординатах, равны
vNq = v cos Kq\ vNq = yqR\
(4.11)
;ф. J
bEq = v sin Kq\ vEq = %qR cos
Полные дифференциалы от равенств (4.11) имеют вид
AvNq = Av cos Kq — AKv sin Kq\
AvEq = Av sin Kq + AKv cos Kt
[ } (4.12)
При К = const; Av cos К = Дф/?; Да sin К = ДМ? cos ф—AykR sin ф.
В последних выражениях членами с множителем AR, как и в
предыдущем случае, пренебрегли.
В гл. 1 было установлено, что в полярной области, где ис-
пользуют квазикоординаты q>q и %q значительно меньше еди-
ницы, выражения (4.7) приобретают вид
Дф* = Рэ-Рг<; ДЧ=«э + Уг,; ькд = у9. (4.13)
9 Зак. 999 129
Запишем выражения (4.12) так
AvNq = vEqAKq + bq>qR;
AvEq = ДА,/? cos <()q — vNq AKq,
ГДе AvNq = Да COS Kq\ AVEq = &V Sin Kq.
Подставив равенства (4.13) в выражения (4.14) и взяв соот-
ветствующие производные, получим
bvNq = vEqy3 + (рэ - рг(7) R; |
&vEq = (аэ + yrq) R - vNgy9. )
Выражения (4.10) и (4.15) определяют погрешности выра-
ботки составляющих скорости в зависимости от ошибок моде-
лирования ИТ и вертикали.
4.4. Составление и преобразование уравнений
ошибок ПА ИНС
На примере ПА ИНС с географической ориентацией пока-
жем, что систему уравнений ошибок седьмого порядка, состав-
ленную по обычной методике, вполне допустимо, вводя некото-
рые другие переменные, рассматривать как три системы вто-
рого порядка и одно уравнение первого порядка.
При составлении и анализе уравнений ошибок используем
следующие допущения: Земля является эллипсоидом вращения;
ускорение силы тяжести перпендикулярно поверхности эллип-
соида; скорость движения объекта много меньше линейной ско-
рости точки на поверхности Земли, вызываемой ее вращением,
т. е. v <C RQ cos cp; уходы ГСП соответствуют уходам гироскопов,
а динамические погрешности следящих систем ГСП не учиты-
ваются; анализ проводим в рамках прецессионной теории гиро-
скопов; погрешности полагаем малыми, что позволяет опустить
члены, содержащие погрешности в степени выше первой и их
произведения.
Сделанные допущения обычны при составлении уравнений
ошибок ИНС [2, 6], а погрешности, вносимые в результат, не-
значительны, составляя второй и более высокие порядки. Полу-
чаемые уравнения, таким образом, вполне пригодны для изуче-
ния законов изменения ошибок ИНС.
Для составления уравнений ошибок используем системы ко-
ординат с общим началом в геометрическом центре ГСП: life —
географический сопровождающий трехгранник, положение ко-
торого определено на рис. 4.1, a; xyz — трехгранник, связан-
ный с ГСП.
Взаимное положение трехгранников, определяемое малыми
углами аг, рг и уг, показано на рис. 4.3.
(4.14)
130
Производные dr, (Зг и уг найдем
как разности проекций абсолютных
угловых скоростей рассматривае-
мых трехгранников на оси ху у, z:
аг = гп — П Рг = Рп — Ру
Yr = 9n-?> (4Л6)
где рп, qn и гп— проекции абсолют-
ной угловой скорости вращения
трехгранника xyz на его оси; р, а и _ .. _
r ^>r u r ^ •* Рис. 4.3. Взаимное положение
г - проекции абсолютной угловой географического и приборного
скорости вращения трехгранника трехгранников
^Л& на оси *> 1/» 2-
Спроектировав абсолютную угловую скорость вращения
трехгранника &п£ на его оси, получим
рх = — ф; <7! = Scos(p; r^Ssinqp; S = Q + A,, (4.17)
где ф и X — широта и долгота места.
Матрица перехода между трехгранниками xyz и £п£
М =
Перепроектировав с помощью матрицы М выражения (4.17) на
оси х, у, 2, получим
р = —ф + Sar cos ф — Syr sin ф; ]
<7 = фаг + S«^ + Sprsin ф; \ (4.18)
г = — фуг — SPrC0S(P + S sin ф. J
Приборные угловые скорости рп. qn, rn определяются выраже-
ниями
1
—«г
Yr
<*г Yr
1 pr
-Рг 1
Рп = 6i — Фп; ?п = 62 + Sn cos фп;
rn = f>3 + Snsin^n; фп = ф + Аф; Sn = S + M>
,}«
19)
где 6i, 62 и бз — проекции вектора скорости ухода трехгран-
ника xyz.
Подставив выражения (4.18) и (4.19) в соотношения (4.16),
найдем
аг = ДА, sin ф + £Дф cos ф + фуг + SPr cos ф + б3;
Рг = —Дф — Sar cos ф + SYr sin ф + 6^
Yr = ДА, cos ф — £Дф sin ф — фаг — Spr sin ф + б2.
(4.20)
9*
131
Ранее использовались углы а, р и у, измеряемые относительно
осей ИТ £0, Ло, Yo и связанные с углами аг, рг и уг следующими
соотношениями, которые нетрудно вывести из рис. 4.2 и 4.3:
dr = <xcosqp + Ysin(p; рг = Р; 1 .
уг = —а sin ф + у cos qp. J
Подставив выражения (4.21) в (4.20), получим
d cos ф + у sin ф = ДА, sin ф + ЯДф cos ф + SP cos ф + б3; )
^-Дф-^а + б!: [ (4.22)
—d sin ф + y cos ф = ДА. cos ф — ЗДф sin ф — SP sin ф + б2. J
Умножим первое уравнение системы (4.22) на cos ф, а тре-
тье на —sin ф, сложим результаты, а затем первое уравнение
умножим на sin ф, а третье на cos ф и также сложим. В резуль-
тате
o = SA<p + SP + 6Ce; p = -Acp-Sa + 6s0; у = /±к + 6ъ, (4.23)
где 6^ft= et; 6Ло = 62со8ф +63 sin ф; б;0 = — б2 sin ф + б3со$ф.
Выражения (4.23) представляют собой проекции абсолютных
скоростей ухода ГСП на оси трехгранника |оЛо£о-
Найдем уравнения погрешностей определения широты Дф и
долготы ДА,. Координаты ф и 1 вырабатываются интегрирова-
нием ускорений, измеряемых акселерометрами.
В выражениях (1.57) для проекций ускорения объекта на
оси трехгранника £т]£ (см. гл. 1) можно считать R\ « /?2 = R-
Погрешность, возникающая вследствие такого упрощения, не
превышает 10_7g, что лежит за пределами чувствительности ак-
селерометров, применяемых в ИНС [8].
Проекции ускорения на оси чувствительности горизонтных
акселерометров равны
wx = Щ + 0>Tiar — ЩУг'> 1
Л г 6Гг. I
wy = шл — w\ar + w$r. )
Сигналы на выходах акселерометров представим в следующей
форме:
о>л'п = (1 + тйЫ) wy + еалг; |
0>£п = (1 + ™*е) ™х + СаЕ, )
где Шаы, ШаЕ — ошибки масштабного коэффициента; еалг, е3£ —
дрейф нуля акселерометра.
Прежде чем подставлять выражения (1.57) в (4.24) и в
(4.25), запишем их в виде
Щ = i*E + &Щ1 Wr\=vN + Aay, wi = g + kwt,
где kwz = —vEvN tg y/R — 2vNQ sin ф;
Aw,, = v\ tg q>/# + 2vEQ sin ф;
(swi = —v\lR — v%/R — 2QvE cos ф.
132
При v = 40 уз и ф = 60° Дш = (2...3)10"4g. В этом случае
Aw^yr ~ Ддо^Рг ~ 10_7g", поскольку погрешности построения го-
ризонта уг и (Зг в прецизионных ИНС не превышают 1,5' [46].
Значение 10_7g лежит за пределами чувствительности акселе-
рометров и, следовательно, им можно пренебречь. Члены Дгс^
и Дшп компенсируются в ИНС (см. гл. 2). Если погрешность
компенсации не превышает 3...5%, эти члены также можно не
учитывать.
С учетом сказанного, подставляя выражения (4.24) в (4.25),
получим
wNn = vN + maNvN — vEar + g$r + eayv; \
. .... . ( (4.26)
^En = vE + maEvE + vNar — gyr + eaE, J
где tf=10-2g; ma{)=lQ-5gr; tfar = (КН -г- 10-6)g; gP =s 10"4g;
ea = (10-4--10-5)g [17].
Второй и третий члены возникают только в момент маневра,
а четвертый и пятый изменяются с весьма низкой частотой, по-
этому играют большую роль при оценке погрешностей.
Составляющие приборной скорости получаем интегрирова-
нием сигналов акселерометра:
^yvn = (l + m*N) \ (^yvn + <w)dx + vNn(0);
о
t
VEn = (1 + Шив) \ (™En + «he) d% + VEn (0),
(4.27)
где mH/v и гПие — погрешности масштабного коэффициента пер-
вых интеграторов; eH/v и еИЕ — дрейфы нулей интеграторов;
vNn(0)= vN(0) + bvN(0)\ О£п(0)=О£(0) + Аи£(0); МО) и
уе(0)—истинные значения начальных составляющих скорости
объекта; Дул/(0) и Дуе(0)—погрешности их определения.
Подставив выражение (4.26) в (4.27), найдем
vNn = (1 + m%xN) J (vN + maNi)N — й£аг + gPr +
o
t
vEn = (1 + т£Л,) jj (vE + maEvE + vNar — gyr +
Очевидно, что
+ ea£ + еи£) dx + vEn (0).
vNn = vN + toN; а£п = у£ + Ди£,
(4.28)
133
где
t
t
vN=\i)Nd% + vN(0); vE = J vEdx + vE(0). (4.29)
о о
Так как обычно время маневра объекта значительно меньше
периода Шулера, влияние погрешности в выработке скорости
объекта, определяемое членами mH/vO/v, тънЪы, ШъеЪе, tyi^eve,
veolt, vnolt, можно учесть в погрешности определения начальной
скорости объекта, если под величинами Ди#(0) и Ду£(0) пони-
мать ошибки в момент окончания маневра:
м
bvN (0) = HvNx (0) + ^ [(тиЫ + maN) vN — vEar] dx:
о
ДуЕ (0) = Ду£, (0) + ] l(mHE + m3E)vE + vNar]dx,
\ (4.30)
где Дулп(0), A^£i(0)—погрешности определения начальной ско-
рости; /м — время маневра.
Учитывая выражения (4.29) и (4.30), из уравнений (4.28)
получим окончательно
t t
bvN = J (gpr + eN) dx + bvN (0); Ду£ = $ (-gYr + eE) dx + Ду£ (0),
о о
(4.31)
где en = eayv + еилГ, e£ = ea£ + еи£.
Приборные координаты qpn и Хп находят как интегралы при-
борных скоростей с учетом погрешностей определения масштаб-
ных коэффициентов и дрейфа интеграторов:
Фп = (1 + "Ы $ 1^ 0 + т*Л (у"п + *2n) dx + фп (0);
о
t
*„ = (!+ т2Е) J Rclos(pn (1 + mR) (vEn + г2Е) dx + Хп (0),
(4.32)
где m/?i, m/?2, /^2/v, гп2Е — погрешности масштабных коэффициен-
тов; e2/v и е2£ — дрейф вторых интеграторов;
Фп(0) = Ф(0) + Аф(0); Яп(0) = Я(0) + Д^(0); (4.33)
ф(0), А,(0)—истинные значения начальных координат объекта,
Дф(0) и ДХ(0)—погрешности определения начальных коорди-
134
нат. Очевидно, истинные значения текущих координат объекта
равны
Ф=^Лт + Ф(0);
о
t
Х=[-Б-^—dx + MO).
(4.34)
Используя выражения (4.32), (4.33) и (4.34), получим, пре-
небрегая членами второго порядка малости, формулы для по-
грешностей определения координат:
Да л/ + %
^ = MlJ7rfT+S \282"^ + Aq>(0);
\
-—Б—dx + \ * 2 Аф^т + \ -^ 2£ dx + ДА, (0),
/?, СОБф ' J /?, СОБ2ф Y ' J /^СОЭф ' V "
0 0 0
(4.35)
ГДе Ш;р = /П2УУ + tnRi\ "1% = ^2£ + mRl-
Выражение для погрешности ДА, выводится с использованием
приближенного преобразования:
—'— = / !, л ч =—— (1+Aq>tgq>).
COS фп COS (ф -f- Аф) COS ф v ' т & Y/
Дифференцируя по времени выражения (4.31) и (4.35) и
добавляя к ним формулы (4.23), найдем
а = 5(Дф + рг) + 6Со; Дф + рг = 5а + б£0; -ф = 6По;
Дф = тфф + (Дя^ + e2N)/R2\ ДА, = ткк + ЛДф tg ф +
+ (Ду£ + e2£)//?i cos ф;
MN = gpr + е„;
Дй£ = —gyr + гЕ\
у = ДА,+ Д\|э.
Последнее соотношение получено интегрированием третьей
строки выражений (4.26), причем
t
Дф = $6ЛоЛт + Дг|>0. (4.37)
о
Угол Д\|э характеризует погрешность поворота моделируе-
мого ИТ относительно направления, совпадающего с осью вра-
щения Земли.
Составим на основе системы уравнений седьмого порядка
(4.36) структурную схему формирования ошибок.
135
(4.36)
9
sR,
&<tr<Jr
Рис. 4.4. Структурная схема формирования ошибок ИНС
Используемые уравнения и кинематические соотношения за-
пишем в виде, более удобном для построения структурной
схемы:
d = Qcp + бСо; р = Qa + 6|0; Дг|> = бЛа;
Аф = т^ф + (bvN + e2N)/R2\ ДА = mKi + AAqp ig Ф + §
+ (А£ + e2E)/fli собф; Дй* = #РГ + е^; А б£ = -gyr + е£; } (4.38)
Дф4-рг = Р; Yr = «sin9 +усоэф; у = АА, + Дг|5;
Схема, содержащая три колебательных контура, приведена на
рис. 4.4.
Первые два уравнения (4.38) не связаны с остальными, что
видно и из структурной схемы. Решим эти уравнения при Qc =
= const, что соответствует движению объекта с постоянной ско-
ростью при неизменном курсе. Так как для морских объектов
обычно А = (0,1...0,15)/Йс, принятое допущение не вносит серь-
езных искажений и при произвольно движущемся объекте.
Продифференцировав оба уравнения и подставив в них зна-
чения аир, найдем
a + Qla = Qc6|0 + ko> P + $P = -Qc*Co + **>• (4-39)
Выражения (4.39) соответствуют уравнениям консервативного
звена, с собственной частотой колебаний Qc = Q + А,. Для мор-
ских объектов i < йс и Йс ^ й, т. е. период колебаний модели
ИТ относительно осей, перпендикулярных оси вращения Земли,
близок к периоду вращения Земли («суточные» колебания).
136
Третье уравнение системы (4.38) решаем с помощью интегриро-
вания [см. формулу (4.37)].
Таким образом, зависимости (4.39) и (4.37) определяют все
три составляющих погрешности моделирования ИТ.
Для нахождения уравнения ошибок северного канала вер-
тикали из второго уравнения системы (4.38) вычтем четвертое
и полученную разность продифференцируем. Использовав под-
становку, с помощью шестого и восьмого соотношений получим
Рг + vliPr = — Qca + б$о — vVv — тфф — e2N/R2 — Qca, (4.40)
где v2 = g//?2; e'N = eN/g.
Уравнение (4.40) упрощается, если объект движется с по-
стоянными скоростью и курсом:
Рг + vlPr = —Qca + 6$o — v\b'N — e2N/R2, (4.41)
так как mtcp = 0 и fica = 0.
Продифференцировав десятое соотношение (4.38) и исполь-
зуя пятое, седьмое и девятое выражения той же системы, по-
лучим
Y — Y<P tg Ф + V?Y = v?a tg ф + mKi — mkiq> tg ф + ЛДфф +
+ АЛф tg ф + e£//?, cos ф + e2E/R{ cos ф + 6Л) — б^ф tg ф, (4.42)
где v2{ = g/Rv
Если объект неподвижен, тоф = 0, А, = Я = 0 и уравнение
(4.42) принимает вид
Y + v?Y-v?atgV + eni + v?^ + 1?^T. (4.43)
где е'Е = eE/g.
Соотношения (4.39), (4.37), (4.40) и (4.43) определяют погреш-
ности построения ИТ и вертикали места.
Структурная схема (рис. 4.4) и полученные соотношения
позволяют сделать вывод, что погрешности построения ИТ прак-
тически не зависят от ошибок построителя вертикали рг и уг-
Такое утверждение верно, если уходы б^о, бло, б^0 не связаны
с погрешностями построения вертикали. В гл. 3 было показано,
что модель ухода гироскопов во многих случаях имеет вид б =
= п\ cosh + n2 sin 2ft. Для гироориентаторов ПА ИНС углу со-
ответствуют погрешности (Зг и уг\ для точных систем рг = Yr ^
^ Г (3-10-4 рад) [17]. При nt = 0,1 град/ч, уход за счет изме-
нения углов рг и уг
б = пх cos рг + п2 sin 2рг«6 • 10~5 град/ч.
Погрешности существующих ПА ИНС на два порядка больше
[29] и, следовательно, связью между погрешностями построения
ИТ и погрешностями построения вертикали можно пренебречь.
137
Аналогичный вывод сделаем для ИНС ГТ и ИНС AT, по-
строенных на НГ, занимающих произвольное положение в поле
силы тяжести. Угол h в этом случае отсчитывается от прибор-
ного горизонта, т. е.
6 = пх cos (Л + рг) + п2 sin 2 (h + pr). (4.44)
Погрешность в определении б также будет иметь порядок п,рг,
т. е. 6 = 5- 10~5 град/ч, несущественный для общей погрешности
ИНС [17].
Таким образом, погрешности построения вертикали практи-
чески не влияют на точность построения ИТ. Рассмотрим об-
ратную задачу: насколько влияют ошибки моделирования ИТ
на точность построения вертикали.
Полагая объект неподвижным, а 6 .—^==е'ы=е2Ы=е'Е=г2Е=09
что, очевидно, не может повлиять на искомые результаты, из
уравнений (4.41) и (4.43) имеем
Pr + v^r=-Qca; )
... 2 2 f f (4-45)
Y + viY = Viatg(p. )
Преобразуем второе уравнение полученной системы. Из девя-
того соотношения (4.38)
Y = Yr/cos Ф + a tg ф. (4.46)
Подставив уравнение (4.46) во второе уравнение при ф = const,
получим
Yr = viYr = —a sin ф. (4.47)
Угол а определяется решением первого уравнения системы
(4.39):
a = amsinQc/, (4.48)
где ат = (йсб^о + 6;o)/Qc.
Подставив выражение (4.48) в первое уравнение системы
(4.45) и в уравнение (4.47) и решая их при нулевых начальных
условиях, найдем
cos Qc/ — cos vj Ql
4^
Pr = amQc -2—-2—- ~ am — (cos Qc/ - cos v20;
vi — Q;
Yr « am sin ф—5-1 sin Qc/ — sin v{t1.
vf V ^i '
(4.49)
Таким образом, амплитуда ошибки построения вертикали, вы-
званная колебаниями ИТ, определяется отношением
^L — lk r ~J^L. v -- a"*sinq)
2 T2 > Т' е* Prm ^ 291 ' *rm ^ 291
^ * с
138
Полученными малыми величинами можно пренебречь. Очевид-
но, суточные колебания ИТ практически не сказываются на по-
грешностях вертикали.
Структурная схема (рис. 4.4), полученные уравнения и ана-
лиз связей между ними позволяют сделать следующие выводы:
структурная схема формирования ошибок ИНС содержит
три колебательных контура, период собственных колебаний
одного из которых близок к суточному, а периоды двух других
близки к значению 84,4 мин (период Шулера);
процессы в контурах с периодом Шулера не влияют на кон-
тур с суточным периодом, так как скорости ухода б^о и 6&о прак-
тически не зависят от указанных процессов;
колебания, возникающие в контуре с суточным периодом,
вызывают в двух других контурах колебания с настолько малой
амплитудой, что ею в большинстве случаев можно пренебречь;
процессы в контуре формирования ошибки уг («восточный»
контур) практически не оказывают влияния на контур форми-
рования ошибки рг («северный» контур).
Таким образом, правомерно рассматривать систему, описы-
ваемую соотношениями (4.38), как три практически независи-
мые системы второго порядка и интегратор, т. е. с достаточной
для практики точностью можно анализировать погрешности мо-
делирования ИТ и вертикали независимо друг от друга.
4.5. Погрешности моделирования вертикали
места в ПА ИНС
Погрешности построения вертикали и зависящие от этой по-
грешности ошибки определения скорости и координаты объекта
рассмотрим на примере северного контура ИНС (рис. 4.5). Лег-
ко показать, что все получаемые выводы будут справедливы
и по отношению к восточному контуру.
На рис. 4.5 элементы, обведенные пунктирной линией, не
принадлежат ИНС. С их помощью учитываются ускорения, воз-
никающие при движении объекта по поверхности Земли со ско-
ростью v(t), и поворот вертикали места в пространстве на угол,
пропорциональный интегралу от той же скорости:
t
Дф = \ v/R di.
о
Разность между истинной вертикалью и ее моделью, кото-
рую получают с помощью ИНС, определяемая углом (Зг> вызы-
вает появление на выходе акселерометра сигнала
g sin рг « gpr.
139
г——р
Y^BffH
1 Г JTv-Vo Гиг 1***
Ixrf^
w+Au)
Рис. 4.5. Структурная схема контура построителя вертикали в ПА ИНС:
s —оператор Лапласа; 8дт, еи2 и ер —дрейфы нулей акселерометра и первого интегратора,
второго интегратора и гирэскопа; та. mR, тр и ти —погрешности масштабов акселерометра,
масштабирующего устройства, устройства управления гироскопом и второго интегратора; v0
и Доо —начальная скорость объекта и погрешность ее ввода; ф0— начальная координата
Непосредственно из рис. 4.5
у Г(*РГ +" + «*)(' +*.)('
sR L sR
mR)
-]
l + mp
Рг. (4.50)
Умножим обе части на s2 и раскроем скобки. Пренебрегая
членами второго порядка малости, получим
Рг (52 + v2) = — v2e'N + ser — so (ma — mR + mr), (4.51)
где e'N = EN/g\ ® = v/R.
Полученное упрощенное уравнение, позволяющее найти зависи-
мость погрешности построителя вертикали от начальных усло-
вий и ошибок элементов, входящих в контур построителя, срав-
ним с уравнением (4.50). В выражении (4.51) отсутствуют
члены sa и s2a, отражающие пренебрежимо малую связь с су-
точным контуром, и члены s2ratp(p и e2/v//?2, характеризующие
влияние малых погрешностей второго интегратора при решении
пространственной задачи.
Аналогично составим уравнения для определения погрешно-
стей относительной скорости и координаты:
Лео (s2 + v2) = sv2e'N + v2 (ег — comr) + s2co (ma — mR)\ (4.52)
5Дф = Дсо + еи2 + соти + $Дф0.
(4.53)
На основании выражений (4.50)...(4.53) построена табл. 4.1
решений, которые определяют характер погрешностей в контуре
построения вертикали, возникающих как при неточности на-
чальной установки платформы [Рг(0)=£0] и погрешности ввода
начальной скорости (Ду0=й=0), так и при изменении того или
иного параметра (ег, e'N, mr, ma, mRy еи2, ти).
Табл. 4.1 позволяет сделать следующие выводы:
при неточной начальной выставке [Рг(0)=Ро, Д^о Ф 0] в
контуре построения вертикали возникают незатухающие коле-
бания с частотой Шулера и соответственно изменяются погреш-
140
Таблица 4.1. Процессы в контуре построения вертикали
щий
пара-
метр
Погрешность
Ли
Дф
Начальные
условия
Рг = Ро COS vt
Тш=2я/»
Да = Ро X
X Vtfg sin v/
5уз t
Аф = Ро X
Х(1 - cosv/)
Рг(0) = Ро=Г
Рг(0) = 0
усо (0) = 0
Дсо (0) = p0v2
Рг =
_Д£р_
А^о . ,
= 7=- Sin Vt
Ш'
^=^
Ду = Ду0 cos v/
4*
^
,^з
X sin vt
Af[
Pr(0) = 0
P<0> —^L
Ду(0) = Ду0=193
M) (0) = 0
Pr =- eJV X
X(l — cosvO
Ду = e^ X
X V#£ sin vt
Av>
5y3
Дф = eyV X
X(l —cosvt)
Pr(0) = 0
P(0) = 0
Дсо (0) = 0
Дсо (0) = - e^v2
е^(0) = Г
Pr = — sin v/
v
o\
Ы12*
Ду = erR X
X(l -cosv/)
Дф =■- er X
x(t sin vt\
V v /
0\
±0,12'
Pr(0) = 0
P(0) = er
дсо (0) = 0
Дсо(о) = 0
ег = 0,01 в/ч
Продолжение табл. 4.1
Погрешность
Дф
Начальные
условия
Рг =
л/Rg
X sin v/
X
1 *А0*' _
Да = vm* cos v/
0\
л/Rg
X sin vt
^щ
o\
0.06'
. P(0) = 0
P (0) = — coma
Дсо (0) = coma
ДсЬ (0) = 0
/na = 0,01
а = 30 уз
Pr =
Ш,
X sin v/
X
&v = vmRX
X(l — cosv/)
X АП^ COS V/
Avk
Аф =
л/Rg
X sin v/
X
Др<
P(0) = 0
P(0) = com/?
Дсо(0) = — (utnR
Acb (0) = 0
/n^ = 0,01
у = 30 уз
Рг = 0
i
о
Да = 0
0
0
Дф =
= ( е„2 +
а*1
Р (0) = о
Р(0)=0
Дсо (0) = 0
ДсЬ (0) = 0
ности рг, А^ и Дф, причем центр колебаний рг и Av не смещает-
ся, а центр колебаний Дф смещен на Ро;
при возникновении дрейфа нуля акселерометра или первого
интегратора центр колебаний ошибки вертикали смещается на
величину Рг = — е^, колебательная ошибка скорости не сме-
щена, колебания ошибки координаты происходят около значе-
ния Дф = е^;
дрейф нуля гироскопа или изменение масштабного коэффи-
циента гироскопа по управлению вызывает несмещенные коле-
бания вертикали, колебания Ду происходят около величины
£г/? или vmr, погрешность координаты Дф в этом случае изме-
няется с частотой Шулера, а центр колебаний смещается со
СКОРОСТЬЮ 8Г ИЛИ VfTlr/R]
142
возникновение погрешности масштабного коэффициента ак-
селерометра или масштабирующего устройства эквивалентно по
виду вызываемых погрешностей неточному вводу начальной ско-
рости, вызывающему несмещенные колебания всех трех иссле-
дуемых ошибок (рг, Д^, Дф);
дрейф нуля второго интегратора и возникновение погрешно-
сти масштабного коэффициента приводят к нарастанию погреш-
ности в координате пропорционально времени.
4.6. Погрешности моделирования вертикали
места с помощью ИНС ГТ
Схема ИНС ГТ по одному каналу была приведена на
рис. 2.2. Отличие от аналогичного контура ПА ИНС состоит в
том, что используется НГ и основание его разворачивается на
угол Дф, получаемый в результате двойного интегрирования сиг-
налов акселерометра, установленного на горизонтируемой
платформе. Второй интегратор входит, таким образом, в контур
построения вертикали.
Структурная схема одного канала ИНС ГТ приведена на
рис. 4.6. По сравнению с рис. 4.5 на данной схеме добавлен па-
раметр Д/i — погрешность списывания угла гироскопа. Кроме
того, отсутствует погрешность масштаба тг, поскольку исполь-
зуется НГ. Из структурной схемы рис. 4.6 получим уравнения
для погрешностей вертикали рг и угловой скорости Дсо;
Рг+ (s2+ v2) = -v% + ser- sco {m-mR + mH) - seH2 - s2Ah; (4.54)
Дсо (s2 + v2) = sv2e'N + v2er + s2co (ma — mR) —
- v2 (еи2 + соти) - v2sAA', (4.55)
где Д/i' = ДЯ + Дфо-
Как и в предыдущем случае, яДср = Дсо + еи2 + <°ти + $Дфо-
Сравнивая уравнения (4.54) и (4.51), а также (4.55) и (4.52)
нетрудно убедиться, что погрешности построителя вертикали
Рис. 4.6. Структурная схема контура построителя вертикали в ИНС ГТ
143
в ИНС ГТ от неточной начальной выставки, дрейфа нуля акселе-
рометра и гироскопа, от ошибок масштаба та и mR такие же,
как и в ПА ИНС.
Отличие от ПА ИНС состоит в реакции построителя вер-
тикали ИНС ГТ на дрейф нуля второго интегратора и в изме-
нении его масштабного коэффициента. Погрешности вертикали
и относительной скорости в данном случае изменяются так же,
как при уходе гироскопа и изменении его масштабного коэффи-
циента по управлению в ПА ИНС, что объясняется положением
второго интегратора в контуре построения вертикали ИНС ГТ.
С другой стороны, подставляя Дсо в выражение для Дф, не-
трудно убедиться, что, в отличие от ПА ИНС, в ИНС ГТ ни
дрейф еИ2, ни изменение масштабного коэффициента ти не вле-
кут за собой нарастания погрешности по координате Дф. При
нулевых начальных условиях
Дф = (еп2 + com,,) sin vt/v.
Изменению угла ДА' соответствуют следующие решения урав-
нений (4.54) и (4.55) при нулевых начальных условиях:
Рг = —ДА' cos vt\ Ди = —ДА' VRg sin vt\
Дф = —ДА7 (1 — cos vt).
Таким образом, основные особенности ошибок построителя
вертикали в ИНС ГТ — это изменение характера погрешностей
от дрейфа нуля и изменения масштабного коэффициента вто-
рого интегратора. Все погрешности в ИНС ГТ являются коле-
бательными и единственная причина нарастания погрешности
Дф — уход гироскопа.
4.7. Погрешности моделирования вертикали
в ИНС AT
Основное отличие ИНС AT (см. рис. 2.13) от ИНС ГТ со-
стоит в том, что акселерометры и НГ установлены на общей
платформе, стабилизируемой в инерциальном пространстве по
сигналам гироскопа. Платформа отклонена от горизонта на
угол, зависящий от широты места. В результате акселерометры
измеряют помимо составляющих горизонтального ускорения,
определяемых перемещениями объекта, также и составляющие
ускорения силы тяжести. Горизонтальное ускорение выделяется
преобразователем координат, на вход которого вводится при-
борное значение широты, вырабатываемой ИНС двойным инте-
грированием данного ускорения.
Структурная схема канала выработки широты фп в ИНС
AT, построенная в соответствии с рис. 2.13, приведена на
рис. 4.7, а, а принятые системы координат и углы, характери-
зующие их взаимное положение, — на рис. 4.7,6.
144
й)
1
1
1
1
v»
L
1 ч
#СГКг
r-~ 1 - 1
4 /Ov 1 lW23
T
Vo+Avo сип ^о+Дуо
1 |Vn t |£И2
Рис. 4.7. Структурная схема
канала выработки широты в
ИНС AT (а) и принятые си-
стемы координат (б):
ту и mz—погрешности масштабных коэффициентов акселерометров, расположенных вдоль
осей у и 2 платформы прибора; гу и ег—дрейфы нулей тех же акселерометров; ^ — гори-
зонтальная система координат (ось Т) в плоскости горизонта); yz— приборная система коор-
динат; Ук*к — система координат, связанная с движущимся объектом; Л0£0 — экваториальная
система координат (ось г\0 перпендикулярна плоскости экватора); Уэ%э — система координат,
связанная со стабилизированной платформой ИНС AT (приборная модель экваториальной
системы); Рр и Рэ — ошибки моделирования вертикали и ИТ; \|> — угол качки; ф и фп — ши-
роты истинная и приборная; М- —угол поворота платформы относительно объекта
На структурной схеме показано, что платформа ИНС AT раз-
ворачивается относительно вертикали места на угол ф + Рэ,
причем погрешность рэ — следствие дрейфа гироскопа со ско-
ростью ег. Горизонтальное ускорение if действует в направлении
оси т), вертикальное w$ — в направлении оси £, а измеряются
они акселерометрами, оси которых расположены вдоль осей
уэгэ, связанных с платформой прибора. Таким образом, блок
ПК1 синусно-косинусного преобразования координат представ-
ляет собой платформу, развернутую на угол ф + Рэ-
Приборное горизонтальное ускорение выделяется с помощью
преобразователя координат ПК2, на вход которого подается
приборная широта фп. (Угол качки, определяющий плоскость
горизонта, г|?п = ^ — Рг = Фп — ц.)
В отличие от ИНС ГТ в состав построителя вертикали ИНС
AT входят два акселерометра, стабилизированные в инер-
циальном пространстве, и выработанная ИНС AT приборная
координата подается на преобразователь координат ПК2 (а не
на разворот платформы, как в ИНС ГТ).
Ускорения, измеренные акселерометрами, имеют вид
®уэ = (1 + Щ) [гу + v cos (ф + рэ) + wi sin (ф + рэ)];
™гэ = (1 + ГПг) [^г — V Sin (ф + 0Э) + W^ COS (ф + рэ)].
(4.56)
145
Преобразователь координат ПК2 (рис. 4.7) производит сле-
дующую операцию:
Щи = и>уэ cos Фп — wZ3 sin фп. (4.57)
Из рис. 4.7, б
Фп + Рг = Ф + Рэ. (4.58)
Для морских судов и;j = а_ + gt где а_ — составляющая
вертикального ускорения, изменяющаяся с частотой качки;
Так как изучаемые погрешности изменяются с периодом
Шулера, во много раз большим периода качки, можно положить
ДО£ « g.
Подставив выражение (4.56) в (4.57), получим с учетом ра-
венства (4.58) и сделанных допущений
Щп = v + §Рг + ъу cos фп — е2 sin фп + v (tny cos2 фп + тг sin2 <рп) -+-
+ (ту — mz) g sin 2q>J2.
Для морских объектов широта за период колебаний Шулера ме-
няется незначительно, т. е. фп ~ const.
Вводя обозначения еа = еу созф — гг sin фп; та = ту С082фп +
+ тг sin2фп; rn[ = {mk — тг)/2, из предыдущего выражения
найдем
Щи « v (1 + та) + gPr + еа + nug sin 2фп. (4.59)
Выражение (4.59), определяющее величину, поступающую
на вход первого интегратора (см. рис. 4.7), отличается от ана-
логичных выражений для ПА ИНС и ИНС ГТ только малым
членом m'ag sin 2фп, зависящим от разности погрешностей мас-
штабных коэффициентов акселерометров.
Из рис. 4.7, а рэ = —er/s, а из рис. 4.7, б
ф-Фп = Дф = рэ-рг. (4.60)
Составляя уравнение в соответствии со структурной схемой:
и используя равенство (4.60), получим
Рг (s2 + v2) = — v2e'3 — ser — sco (ma — mR + тИ) —
— seH2 —m>2sin2<p, (4.61)
где *'t = ejg.
Уравнение (4.61) отличается от уравнения (4.54) малым по-
следним членом, а уравнения для погрешностей Дсо и Дф прак-
тически совпадают с уравнениями для ИНС ГТ. По этой при-
чине все выводы, сделанные ранее для ИНС ГТ относительна
влияния погрешностей элементов на погрешности навигацион-
ных параметров, верны и для ИНС AT.
146
4.8. Особенности погрешности построителя
вертикали на больших интервалах времени
Так как для морских систем характерно значительно боль-
шее время работы, чем период Шулера — период собственных,
колебаний системы {Тш), рассмотрим поведение построителя
вертикали на протяжении длительного времени. Погрешности
элементов удобнее представить в виде стационарных случайных
функций времени.
В этом случае дисперсия погрешности на выходе системы
[25]
t t
D (t) = a2 (0 = J \ Л„ (т,) К (т2) Rx (x, - т2) dT,dx2, (4.62)
О О
где o(t)—среднеквадратичное отклонение в тот же момент t^
Ли (0—импульсная переходная (весовая) функция системы;.
Rx{t)—корреляционная функция случайного процесса измене-
ния погрешности элемента.
Из уравнений погрешностей (4.51) и (4.52) передаточные:
функции погрешностей построителя вертикали
«V (*) = Рг (*)/<v (*) = v2/(*2 + v2>; (4-63)
»д. (s) = Л<*> (*)/«* (s) = sv2As2 + v2). (4.64)
Таким образом, в динамическом отношении построитель вер-
тикали представляет собой колебательное звено без демпфиро-
вания (так называемое консервативное звено).
Ниже приведены вычисления по формуле (4.62) для ошибки,
акселерометра e'N. Нетрудно вывести аналогичные передаточные
функции для любой из рассмотренных погрешностей.
В соответствии с таблицей оригиналов [10] изображениям
(4.63) и (4.64) соответствуют следующие оригиналы (весовые
функции):
Л3г (т) = 8"' [^гр^г] = v sin vt; (4.65)
ЛЛ(0 (т) = 8-' [-ji^] = v2 cos vt. (4.66)
Корреляционную функцию изменения погрешности акселеро-
метра обычно принимают в виде
Яв(т) = с&-мЧ (4.67)
Подставляя выражения (4.65) и (4.67) в (4.62), получим
U U
ffflr (0 = \ \ oW sin vtj sin vxtfT*! Xl~Xl ldT{dT2.
о о
10* 14Г
Запишем результат вычислений
* «> - ^ { чщй?Ып? --"■'»<-+♦>]+
+ •"-1-^4^ sin(2v/-*)},
где tg \|) = v/|x.
Аналогично, используя выражение (4.66), получим диспер-
сию для погрешности скорости:
<&• (О = jjqpV { v^T^[е"^ C0S (v/ + *>~~ cos *] +
+ VA - V^2+ V2 sin (2v/ + *) + 4-} •
В выражении для дисперсий погрешности есть члены, нара-
стающие с течением времени, что объясняется свойствами по-
строителя вертикали как консервативного звена. В непрерыв-
ном спектре, определяемом случайной функцией погрешностей
акселерометра, некоторые частоты совпадают с резонансной
частотой v звена. Так как колебания в звене не затухают, все
приходящие возмущения суммируются, вызывая в итоге рост
ожидаемой погрешности на выходе. Сделанные выводы справед-
ливы для погрешностей любого из элементов, находящихся в
контуре построения вертикали. Различие состоит только в ко-
эффициентах, определяющих степень роста дисперсии.
4.9. Погрешности моделирования
инерциального трехгранника в ПА ИНС
Ошибка построения ИТ — это угол между самим ИТ или
представляющим его (более удобным для расчетов) опорным
трехгранником и его моделью (называемой приборным трех-
гранником), реализованной в ИНС.
Существует две основные причины появления расхождения
между инерциальным и приборным трехгранником: неточности
начальной выставки (т. е. неточности совмещения инерциаль-
ного, или опорного, и приборного трехгранников) и неучтенные
уходы гироскопов. Используемые для вычисления трехгранники
делят на две основные группы: для ИНС на НГ и для ИНС на
управляемых гироскопах.
Трехгранники последней группы можно подразделить, кроме
того, на трехгранники для ПА ИНС с географической ориента-
цией осей и трехгранники для ПА ИНС со свободной в азимуте
площадкой.
Погрешность моделирования ИТ определяется следующим
образом:
148
Рис. 4.8. Взаимное расположе-
ние инерциального, приборно-
го и географического трехгран-
ников
выбирают опорный трехгранник,
исходя из соображений простоты и
наглядности решения;
задают приборный трехгранник,
отклоненный на малые углы от
опорного;
определяют законы изменения
во времени уходов гироскопов;
уходы проектируют на оси при-
борного трехгранника;
решают полученные дифферен-
циальные уравнения, в результате
чего и находят искомые погреш-
ности.
Рассмотрим ПА ИНС, рабо-
тающую в географической системе
координат. В качестве опорного выбран трехгранник go^oSo
связанный с меридианом места. Ось т)о направлена вдоль оси
вращения Земли, £0 — на восток (рис. 4.8). Приборный трех-
гранник x0yoZ0 отклонен от опорного на малые углы а, р, у\ гео-
графический трехгранник Irfe отклонен от опорного в плоскости
Ио^о на угол ф (широта). Неучтенные скорости ухода 6*, 8У и б2
направлены по осям прибора х, у, z, отклоненным на малые
углы от осей географического трехграника %r)t>.
Оси прибора х, у, z в данном случае, кроме оси х, не сов-
падают с осями выбранного приборного трехгранника хо*/о2<ь от-
личаясь от него на значение приборной широты. Пренебрегая
произведениями скоростей ухода на синусы малых углов, полу-
чим 6$ ж 8Х; 6х) ~ б(/; 6; «6г. В этом случае проекции скоро-
стей ухода на оси опорного трехгранника будут
бь> = в*; 1
6По = бл cos ф + 6; sin ф; ? (4.68)
б£0 = —6Л sin ф + 6; cos ф. )
Уравнения движения трехгранника х0у0г0 запишем в следую-
щем виде:
а = гп-г; р = рп-р; y = qn-q, (4.69)
где гп, рп, <7п — проекции абсолютной угловой скорости враще-
ния трехгранника xoyoZo на его оси; г, р, q — проекции угловой
скорости вращения трехгранника £оЛо£о на оси x0l yo, zo, равные
Подставив выражения (4.70) в (4.69), получим
(4.71)
149
Положим cp=const и S = const, что соответствует случаю дви-
жения объекта вдоль параллели с постоянной скоростью. (С до-
статочной для практики точностью полученные ниже решения
справедливы и при произвольном движении объекта по поверх-
ности Земли со скоростью 30...40 уз.) Продифференцируем пер-
вое уравнение системы (4.71):
а — Sp = б£0
и подставим в него второе:
a + S2a = 6Co + S6g0.
Аналогично, дифференцируя второе уравнение системы (4.71)
и подставляя в него первое, получим в окончательном виде си-
стему уравнений, характеризующую погрешности моделирова-
ния ИТ:
a + S2a = k> + S6lQ; ]
P + 52p = 6Co-S6£0; i (4.72)
Y = *n.. J
Левые части первых двух уравнений характеризуют колеба-
тельный процесс без демпфирования с частотой, равной частоте
вращения Земли.
Найдем решение системы (4.72) при неизменяющихся со-
ставляющих скорости ухода и начальных условиях a(0)=a0;
р (0) = ро; a (0) = Sp0 + 6Со; р (0) = - Sa0 + бь; у (0) = Y. Углы
ао, Ро и yo представляют собой погрешности начальной выставки
приборного трехгранника. Тогда решение системы (4.72) будет
a = (a0 - 6lo/S) cos St + (Ро + 6&0/S) sin St + 66o/S; |
P = -(a0 - 6b/S) sin St + (Po + W) cos St - 6Co/S; [ (4.73)
Y = Yo + V- I
Чтобы дать простое геометрическое истолкование решениям
(4.73), построим на расстоянии, равном единице, от начала ко-
ординат системы £оЛо£о (рис. 4.9, а) так называемую «картин-
ную» плоскость, перпендикулярную оси т]0. Траекторию движе-
ния конца единичного вектора, совпадающего по направлению
с осью (/о, можно построить на этой плоскости в осях a, P, па-
раллельных осям go и £о, причем положительное направление
оси go противоположно направлению оси £0, а положительное
направление оси р совпадает с направлением оси £0- Так как
углы аир малы, построенная в плоскости a, P траектория бу-
дет отличаться от истинной на величины второго порядка ма-
лости.
Траектория (рис. 4.9,6), определяемая выражениями (4.73),
представляет собой окружность с центром в точке a = 6iJS,
Р = 6JS и радиусом R = V(<*o ~ h/S)2 + (Ро + 6&0/S)2.
150
Л Картинная
плоскость.Л
Рис. 4.9. Построение картинной плоскости (а) и траектория дви-
жения конца оси г/о приборной модели ИТ (б)
Движение начинается из точки а0, р0 и происходит по часо-
вой стрелке с периодом Т = 2n/S. Угловая погрешность у на-
растает равномерно со скоростью ухода гироскопа.
Если уходы гироскопов представляют собой стационарные
случайные функции времени, статистически независимые с мате-
матическими ожиданиями, равными нулю, то дисперсии погреш-
ностей а, р и у находим в соответствии с выражением (4.62) и
рис. 4.10. Весовые функции, используемые в данном случае, по
виду соответствуют функциям вида (4.65) и (4.66).
Корреляционные функции скоростей ухода гироскопов при-
мем в виде
Я&о (*) = aSoe"
(4.74)
Подставляя соответствующие весовые и корреляционные функ-
ции в формулу (4.62), получим
<Та(/)
#* sin (5/ + в) +
+ M
62 + A
is
sin (2St
+
s2 + n2 {
+ M
2(AJ
2S
[е~^ cos (Sf + 62) - cos 62] +
sin (2St + 62) +
(4.75)
151
fe/i t
ft
S^o
Лг |
5По—|
1 л2
TV?
s^J1
ft2
1Ч1
stf-l
s2^
1
s
h
Г/О
i?
fe
ztf
7
Рис. 4.11. Взаимное положение
приборного и географического
трехгранников для ПА ИНС
со свободной в азимуте пло-
щадкой
Рис. 4.10. Структурная схема
определения погрешностей а,
P.Y
Для о\ (t): ol = а|о; а2п = а;;, ц, = ц,; ц, = ц2; для а* (0 : о£,=
= (JW ап==а1.' ^ = ^2; H/ = h> ™e tg6, =5/|А4; tg02 = 5/n/.
Оригинал весовой функции в линии погрешности у (рис. 4.10)
равен
Av(/) = S-41/s]=l.
Таким образом,
2
(Ту
(t) - J J o^-"- '*-*'А,А, = ^ (М + в"м - О- (4.76)
0 0 **3
Дисперсия погрешностей а, р и у нарастает со временем.
Для погрешности -у скорость нарастания дисперсии, как видно
из выражения (4.76), обратно пропорциональна коэффициенту
нерегулярности ц3. Иначе говоря, чем больше вес высокочастот-
ных составляющих в спектре случайной функции уходов 6тн>, тем
с меньшей скоростью нарастает величина о2. Это утверждение
верно также и для дисперсии погрешностей аир при условии,
что коэффициенты \л\ и ji2 существенно превосходят угловую ско-
рость вращения Земли.
В тех случаях, однако, когда в спектре случайных функций
уходов гироскопов 6$о (0 и б£0'(0 преобладают низкочастотные
составляющие, такие, что \х{ <С S и Л2 < 5, скорость нарастания
дисперсии о\ и crjj прямо пропорциональна коэффициентам |uti и
|ы2 и, как следует из выражения (4.75), определяется коэффи-
циентом |ы/(52 +|х2). Эти коэффициенты будут максимальны
152
при [i = S. Спектральная плотность случайных функций скоро-
стей ухода гироскопов, корреляционные функции которых опре-
деляются выражениями (4.74), равна
S(cD) = crVn(cD2+H2),
где со — частота гармонических составляющих.
Максимального значения спектральная плотность достигает
при pi = co. Таким образом, если со=5, наиболее интенсивны
колебания скорости ухода гироскопов на резонансной частоте
модели ИТ [см. уравнения (4.72)], что и объясняет максималь-
ную скорость нарастания дисперсии для рассматриваемого
случая.
На рис. 4.11 показано положение трехгранников, введенных
для ИНС со свободной в азимуте площадкой (см. рис. 4.8), при-
чем приборный трехгранник xyz развернут относительно геогра-
фического £ri£ на угол Л.
Проекции скоростей ухода гироскопов на оси трехгранника
£оЛо£о будут
6&" = бдс cos А-\-Ьу sin A\
бПо = — 6* cos <р sin A + 6^ cos <р cos A + 6Z sin <p; f (4.77)
б;0 = 6^ sin ф sin A — 6^ sin ф cos A
A + 6zsinq>; >
f 6г cos ф. J
Для неподвижного основания или для движения объекта вдоль
параллели
t
А = [ S sin ф dx = St sin ф. (4.78)
о
Подставим выражения (4.77) в (4.71) с учетом (4.78), введя
обозначение а> = 5 5Шф:
a — 5р = 6* sin ф sin cd/ — 6^ sin ф cos cd/ + 6Z cos ф; ]
P + 5a = 6* cos cd/ + 6^ sin cd/;
V = — 6* cos ф sincD/ + by cos ф cos cd/ -f- 6Z sin ф.
(4.79)
Найдем решение системы (4.78) для случая, когда скорости ухо-
да гироскопов постоянны. Из выражений (4.79) получим урав-
нения для погрешностей а и ($:
a + 52a = 6* (5 + cd sin ф) cos cd/ + 6y (S + cd sin ф) sin cd/;
p'+ S2$ = _6x (s sin ф 4. 0) Sin cd/ +
+ 6^ (5 sin ф + cd) cos cd/ + S6Z cos ф.
153
Так как S +©sin <p = S(l + sin2<p); Ssin ф -fco = 2S 5Шф, пре-
образуем систему (4.79) к виду
а + 52а = 5 (1 + sin2<p) {6X coscd/ + 6У sin со/); j
Р + S2p = 2S sin ф (-6X sin со/ + в, cos со/) + S62 cos ф; [ (4-80)
Y = —6* cos ф sin со/ + 6^ cos ф cos со/ + 6Z sin ф. )
Решение системы (4.80) при условиях ф = const, 6* = const,
6^ = const, б2 = const, а(0) = а0, p(0) = p0, v(0) = Yo. <*о =
= Sfl0 — 6у8Шф +62со8ф, $0 = Sao + 6x будет
а = 7" ST Ф I6* (cos со/ — cos St) + by (sin со/ — sin ф sin Si)] +
5 cos2 ф
(62 cos ф — 6U sin ф \
Po + j-* J sin St + a0 cos 5/;
p = . 8Ш.Ф [—6* (sin со/ — sin ф sin St) + 6. (cos со/ — cos 5/)] +
5 cos2 ф
+ ^p- (1 - cos SO + (-ao + -^) sin S* + Po cos S/;
A 6
Y = - TT5-^ - C0S(D/) + TT- sin w/ + *«*sin <P + Yo-
О tg ф О tg ф
(4.81)
При ф = 0 выражения (4.81) переходят в выражение (4.73).
С другой стороны, выражения (4.81) отличаются от (4.73) за-
висимостью амплитуды колебаний от широты места и колеба-
ниями на частоте со.
При аппроксимации уходов гироскопов стационарными цен-
трированными случайными процессами с экспоненциальными
корреляционными функциями вида (4.74) основную долю в по-
грешностях на выходе ИНС, вычисляемых из выражений
(4.80), начинают играть нарастающие с течением времени ве-
личины. Составляющие дисперсии погрешностей a, p и y> ли-
нейно растущие со временем, имеют для ИНС со свободной в
азимуте площадкой вид
4®-(¥&» + *^Г*-У. (4-82)
,£(/)_ о$(0-.£2^>. (4.83)
В выражениях (4.82) и (4.83) ох = оу = аг = а, \лх = [ху = м* =
= ц. Сравнивая выражения (4.73) с (4.81) с учетом (4.68),
(4.75) и (4.83), (4.76) и (4.82), можно сделать следующие вы-
воды:
скорость нарастания ошибки y (погрешность долготы) в
ИНС со свободной в азимуте площадкой существенно меньше,
чем у ИНС с географической ориентацией, причем это преиму-
154
щество увеличивается с увеличением широты места: при <р =
= 45° скорость нарастания ошибки в долготе у ИНС со сво-
бодной площадкой в два-три раза меньше, чем у ИНС с гео-
графической ориентацией при тех же скоростях ухода гиро-
скопов;
ошибки аир (определяющие курс и широту), вызываемые
систематическими уходами гироскопов, в ИНС обоих типов в
низких широтах примерно одинаковы, а в средних и высоких
широтах в ИНС со свободной площадкой существенно больше,
чем в ИНС с географической ориентацией; наличие больших
колебательных ошибок в ИНС со свободной ориентацией объ-
ясняется тем, что на консервативное звено с собственной часто-
той S^Q действуют уходы гироскопа, промодулированные час-
тотой Q sin ф, которая в средних и высоких широтах близка
к собственной частоте колебаний ИТ.
4.10. Погрешности моделирования
инерциального трехгранника в ИНС
на неуправляемых гироскопах
В ИНС ГТ и AT, в отличие от ПА ИНС, используют НГ.
Системы с НГ обладают рядом особенностей, первая из кото-
рых состоит в том, что направления кинетических моментов НГ
в процессе работы не остаются ортогональными. Так как оси
кинетических моментов НГ движутся независимо, возникает та-
кое положение, когда эти оси становятся параллельными друг
другу, в результате чего нарушается возможность моделирова-
ния ИТ и навигационная система на НГ перестает функцио-
нировать.
Вторая особенность систем с НГ состоит в том, что скорость
систематического ухода НГ в силу неизбежных технологических
погрешностей по крайней мере на порядок превышает среднюю
скорость случайного ухода. По этой причине точная выработка
навигационных параметров невозможна без учета изменения по-
ложения кинетического момента гироскопа под действием за-
ранее определенного закона изменения систематического ухода.
Такое, заранее предсказанное движение обычно называют рас-
четным движением.
Погрешность моделирования инерциального направления С
в этом случае определяется разностью между расчетным и фак-
тическим движением (положением):
C = t|)p-t|),
где ч|)р и if — векторы, характеризующие расчетное и фактиче-
ское движение.
Наибольшее значение для НГ (см. гл. 3) имеют уходы, свя-
занные со взаимным положением вектора силы тяжести и ки-
155
нетического момента гироскопа, и уходы, связанные со взаим-
ным положением корпуса и ротора. В результате применения ме-
тодов автокомпенсации уходы, связанные с корпусом, удается в
значительной степени уменьшить, так что преобладают уходы,
ориентированные относительно плоскости, содержащей векторы
Hug.
Скорости уходов НГ в последнем случае направлены по осям
xVi гг трехгранника xry?zr (см. гл. 1), в плоскости Oyrzr которого
располагается вектор ускорения силы тяжести g. Модель скоро-
сти ухода определяется выражениями (3.9).
Модели ИТ в ИНС ГТ и AT, в отличие от модели вертикали
места, строятся одинаково-, поэтому все последующие выводы
правомерны для ИНС обоих типов.
Погрешность моделирования ИТ в ИНС на НГ определяют
следующим образом:
опорный трехгранник выбирают по соображениям простоты
и наглядности решения;
задают приборный трехгранник, отклоненный на малые углы
от опорного и расположенный определенным образом относи-
тельно осей кинетических моментов гироскопов;
находят соотношения, связывающие ошибки НГ с погрешно-
стями приборного трехгранника;
определяют направления и законы изменения во времени
уходов гироскопов;
скорости уходов проектируют на оси приборного трехгран-
ника;
результат решения полученных дифференциальных уравне-
ний определяет искомые погрешности.
Определим связь между уходами НГ и погрешностями при-
борного трехгранника.
Системы координат, по отношению к которым задается поло-
жение оси кинетического момента Я неуправляемого гироскопа,
введены в гл. 1.
Если направление Я не совпадает с направлением оси вра-
щения Земли, положение НГ предпочтительней определять
склонением б и прямым восхождением у и такой НГ называют
«экваториальным» гироскопом.
При рассматриваемом положении Я небольшие скорости ухо-
дов вызывают также небольшие изменения углов б и у, что по-
зволяет использовать методы линеаризации уравнений, содержа-
щих приращения Аб и Ау.
Если НГ установлен так, что направление Я близко к на-
правлению оси вращения Земли, определение этого направления
с помощью углов б и y становится неудобным, так как неболь-
шому изменению положения Н соответствует значительное из-
менение угла у. В этом случае целесообразней использовать
углы аир. Гироскоп с рассматриваемой ориентацией называют
«полярным». Для полярного гироскопа приращения Да и Д{*
156
обладают тем же свойством, что и приращения Аб и Лу для
экваториального.
Приборный инерциальный трехгранник xyz, моделируемый
векторами Н\ и Я2, определяют следующим образом: ось у
совмещена с направлением Я1э ось z направлена перпендику-
лярно плоскости, содержащей векторы Н\ и Я2. Если смотреть
со стороны положительного конца оси z, поворот вектора Я2
и Н\ совершается против часовой стрелки. Ось х, перпендику-
лярная плоскости yz, направлена так, чтобы приборный ИТ был
правым.
На рис. 4.12, а показаны исходный трехгранник x0yoZ0i моде-
лируемый векторами Н\0 и Яго, и положение xyz, которое он
займет после того, как вектор Нх повернется на углы ai, pJf
а вектор Я2 — на углы а2, Y2- Угол между векторами Н{ и Я2
в исходном положении равен 90° — е. Углы ai, Pi, a2 и у2 малы,
что позволяет в дальнейшем ограничиться линейным прибли-
жением.
Найдем проекции Сх, Су и Сг вектора малого поворота трех-
гранника xyz на его оси через углы ai, Pi, a2, у2 и е.
Из рисунка 4.12
С, «Pi; Cy~y, Сгжщ. (4.84)
Угол а2 мало влияет на положение ИТ, так как координата вто-
рого НГ, им определяемая, не используется при моделировании.
Таким образом, надо найти значение малого угла у через эти
углы.
Угол у возникает как следствие двух поворотов исходного
ИТ: за счет угла pi при отсутствии движения Я2(а2 = у2 = 0)
и за счет поворотов Я1 на угол аь а Я2 — на углы а2 и у2
(Pi = 0) и начального поворота е. Соответствующие составляю-
щие угла у обозначены у' и у" и показаны на рис. 4.12,6 и в.
157
Используя теорему синусов для сферических треугольников
(рис. 4.12,6), можно записать
sin у0у sin yO' sin х0Х\ sin x'O'
sin ф sin О'уоу ' sin ф sin O'x0x '
где уоу, уО\ х0хи x'O' и О'уоу, О'х0х — дуги и углы сфериче-
ских треугольников; sin yoy ~ Pi; sin yO' = sin(90° — е) = cose;
sin Oyoy = sin Ox0x' « sin 90° = 1, sin х0х{ « у'; sin x'O' = sin e.
Подставляя значения синусов в выражения, полученные из
треугольников на рис. 4.12,6, и сравнивая их, найдем
Y,= p1tge.
Используя сферические треугольники х0х"х' и h0h'y' (рис. 4.12, в),
таким же методом получим
у" = Y2/cos (в — <*i — cfc).
Если е ^> он — а2, то у" ^ Y2/cos е. Соответственно
Y = Y' + Y" ~ Pi tg e + Y2/COS е. (4.85)
Таким образом, определены все три составляющих погрешности
приборного ИТ через уходы двух НГ, с помощью которых он
моделируется. Задача определения погрешностей моделирова-
ния ИТ свелась к определению углов б и у для экваториального
гироскопа и углов аир для полярного гироскопа.
Рис. 4.13. Взаимные положе-
ния ИТ и трехгранника, свя-
занного с экваториальным ги-
роскопом (а), географического
трехгранника и трехгранника,
связанного с экваториальным
гироскопом (б, в)
158
Разности между расчетным и действительным положением
векторов Я, определяемые неучтенной скоростью ухода гиро-
скопа, обозначим Аб = б — бр; Ay = Y— Yp*> Аа = а — ар; Ар =
= Р — Рр- Обычно дифференциальные уравнения движения ги-
роскопа составляют относительно географически ориентирован-
ного горизонтного трехгранника. При этом для НГ образуется
система уравнений с переменными коэффициентами, решить ко-
торую непосредственно не представляется возможным.
Задача существенно упрощается при переходе от горизонт-
ной системы координат к инерциальной. Если через со*э, (oZ3
обозначить проекции скорости ухода НГ на оси хэ, гэ трехгран-
ника хэуэгэ (см. гл. 1), то из рис. 4.13,а легко найти соотно-
шения для экваториального гироскопа:
б = со*э; у = <o23/cos б. (4.86)
Соответствующие выражениям (4.86) интегральные соотно-
шения будут
t t
Дб = \ сохэ dx\ Ay = \ (coZ3/cos б) dr.
Проекции на оси хэ, гэ вектора ошибки моделирования направ-
ления в инерциальном пространстве С*э, Сгэ выразим через ско-
рости ухода:
t t
Схэ = J сохэ йт\ Сгэ = J о>гэ dr. (4.87)
о о
Связь между Дб, Ay и СХЪу Сгэ в первом приближении имеет вид
Дб = Схэ\ Ay = CZ3/cos б.
Трехгранник xryrzr развернут на угол х (см. рис. 2.11, г) во-
круг оси уэ, поэтому
Gbo = б*г cos х + б2Г sin и; 1
* . , * ( (4.88)
со2Э = — 6ХГ sin к + 6zr cos к. )
Чтобы определить скорости ухода со*э и со2Э, необходимо найти
угол и, который зависит от координат места и ориентации век-
тора Я. Для этого воспользуемся методом преобразования ко-
ординат, найдя матрицы перехода между трехгранниками хэуэгэ
и !t]£ сначала через углы б, ф и 5 (рис. 4.13,б,в), а затем че-
рез углы Л, А и х (см. рис. 2.11, б и г).
159
Из рис. 4.13,6, в
I
Л
С
— cos S — cos б sin S sin 6 sin S
sin S sin ф sin б cos ф — cos б sin ф cos S cos б cos ф + sin б sin ф cos S
— cos ф sin S sin б sin ф + cos б cos ф cos S cos б sin ф — sin б cos ф cos S
x*
X
X
'Э
2.
Из рис. 2.11
cos x cos A + sin h sin x sin A cos A sin Л — sin x cos A — cos x sin h smA
— cos x sin A — sin x sin h cos A cos h cos A
sin x cos h sin A
x1
sin x sin Л — cos x sin h cos Л|
cos xcos h
X
'Э
z9
Сравнивая нижние строки обеих матриц, имеем
sin х cos h = — cos qp sin S;
sin A = sin ф sin б + cos ф cos 6 cos S;
cos x cos h = cos б sin ф — sin б cos ф cos S.
i
(4.89)
В результате деления первого из полученных соотношений
на третье получим
. — cos ф sin S
** sin ф cos б — cos ф sin б cos S
Подставляя выражения (3.9) в (4.88), найдем
(йХ9 = щ cos h cos к + т2 sin 2/г cos к +
+ f*i cos h sin x + /г2 sin 2A sin x;
©гэ = — mx cos A sin x — m2 sin 2A sin x +
+ nx cos A cos x + n2 sin 2A cos x.
(4.90)
Множители при коэффициентах m\ и п\ выражаются через углы
Ф, S и 6 из тождеств (4.89). С помощью тех же тождеств и
160
простых тригонометрических преобразований получим значения
множителей при тг и п2\
sin 2А sin и = — sin 2qp sin б sin S — cos2 qp cos б sin 2S; ^
sin 2Acosx = (sin^ — у cos2 ф J sin 26 + sin 2фСоз5 — > (4.91)
— 0,5 cos2ф sin 26 cos 2S. J
Для дальнейшего изложения выражения (4.86) с учетом (4.90)
целесообразно представить в виде
бр + Дб = Z [(mk + bmk) fhl (Фр + ДФ; Sp + AS; бр +
k=i
+ Аб) + (nk + bnk) fk2 (Фр + ДФ; Sp + AS; 6P + Дб)];
2
YP + Ay = Z [(mk + Am*) tyk[ (% + ДФ*> SP + AS; 6p +
k=i
(4.92)
+ Дб) + (nk + Arc,) fe(ФР + Аф; Sp + AS; бр + Дб)],
где индекс «р» означает расчетные значения величин, которые
могут быть учтены в вычислительном устройстве; А — малые
неучитываемые отклонения величин от их расчетных значений;
Мф, б, S) и 1|э*(ф, б, S)—функции, которые можно найти из
сравнения выражений (4.92), (4.86), (4.90) и (4.89), (4.91).
Расчетное движение НГ строим на основании решений си-
стемы дифференциальных уравнений:
2
бр = Z [щ!и (ФР> бР» Sp) + nkfk2 (фр, бр, Sp)];
f (4.93)
YP= £ ["Vhifop, бр, Sp) + nk^k2{%t бр, Sp)].
С достаточной для практики точностью каждую из функций
fk и tyk можно линеаризовать относительно расчетного дви-
жения:
fk (ФР + Дф; бр + Дб; Sp + AS) = fk (ФР, бр, Sp) +
#*1 АХ I Wk
, dfk.
Аф + tUH^
дб \бп
dS |s,
AS.
(4.94)
rp • p lop
С учетом разложения (4.94) представим уравнения (4.92) в сле-
дующем виде:
2
+ % Дб + %- AS] + (л* + A**) [/tt (V бр, Sp) +
дб
И Зак 999
+ ^*Р+^ГА*+^]};
(4.95)
161
YP + Ay = £ {(m* + Amft) [фы (Фр> бр> Sp + ^- АФ +
fc=l
+
Дб + ^ as] + (nk + Адл) [^ (Фр, бр, Sp)+
^fe2
АФ +
«Эфлг
Д6 +
di|)ft2
«]}■
(4.95)
(4.96)
а<р "^ ' дб "" ' as
Вычитая выражения (4.93) из (4.95), получим
+ Am*/*, (Фр, бр, Sp) + nk (М*. Дф + ^ Дб + -%- AS) +
+ A«ft/ft2 (ФР, 6p. Sp)];
+ AmA, (Фр, бр, Sp) + nk (igL дф + ^1Д6 +
+ igL as) + Д^2 (фр, бр, Sp)].
Для большинства практических случаев использования НГ
значения производных, входящих в выражение (4.96), имеют тот
же порядок, что и значения самих функций fk, if>*, так как и
функции и их производные представляют собой произведения
и суммы тригонометрических членов [см. выражения (4.89),
(4.91)]. Значения членов вида т*Дф, я*Д6, m*AS и других обыч-
но не превышают 0,1...0,15 от величин Дт*, Дя*, поэтому выраже-
ния (4.96) можно упростить, отбросив члены, содержащие про-
изводные от функций fk, i|)*, т. е.
2
Дб= £ [ДтЛ/Л1(фр, бр, Sp) + ДАгЛ/Л2(фр, бр, Sp)];
(4.97)
л=1
2
Ду = Z [bntfki (ФР> SP> Sp) + Д/г^Л2(фР, Sp, Sp)].
Полученные уравнения служат исходными для определения по-
грешностей инерциального направления с помощью НГ; их
можно использовать для расчета ошибок, вызываемых случай-
ными и неучтенными систематическими уходами.
Углы х и Л представляют собой функции углов фР, бр и Sp
и меняются по сложному закону, поэтому решение уравнений
(4.97) в общем виде невозможно. На практике траекторию про-
162
извольно движущегося объекта разбивают на участки, в преде-
лах которых значения углов <рр, бр и величины S с допустимой
степенью точности принимают постоянными. Ошибки на каж-
дом участке рассчитывают по отдельности. Так как скорости
морских объектов не превышают 40 уз, участки оказываются
достаточно продолжительными по времени, а до широты 85°
изменение 5 при таких скоростях объектов не превышает 10%.
Таким образом, расчет погрешностей свободного гироскопа
сводится к определению отклонений коэффициентов Дт* и Дя*
и углов х и Л в функции от углов ф, б, S.
Исходя из изложенных допущений, уравнения (4.97) для
участка движения объекта представим в виде
2 ^ ,
Д6 = Л0 + Z (An cos nSt + Вп sin nSt)\
3
Ду = C0 + Z (Cn cos nSt + Dn sin nSt)t
(4.98)
где A0l C0, Any Bn, d, Dn — коэффициенты, определяемые через
углы б и ф из выражений (4.89), (4.91). Выпишем в качестве
примера значения некоторых из указанных коэффициентов:
А0 = Дт1 cos б sin ф + Дт2 (sin2 ф — cos2 ф/2) sin 26;
А{ = km{ sin б cos ф + Д"*2 sin 2ф cos 26;
А2 = —- A/2t cos ф cos2 ф sin 26/2;
В{ = — Д^! cos ф — Дя2 sin 2ф cos 26;
В2 = — Дя2 cos2 ф cos 6.
(4.99)
Подставляя уравнения (4.98) в выражение (4.87) и производя
интегрирование, получим
2
СХ9 = AQt + YJ f-^- sin nSt + ^ (1 - cosnSt)\;
Сгэ = С J + £ f-^-sin nSt + -^ (1 - cos пЩ.
rt=l
(4.100)
Полученное решение характеризует погрешность определе-
ния инерциального направления (ИН) для экваториального ги-
роскопа на ограниченном участке движения объекта или при
продолжительном движении вдоль параллели. Эти погрешно-
сти при неучитываемом систематическом уходе характеризуют
нарастающие члены и колебания с частотой, близкой к частоте
вращения Земли, и с двойной частотой вращения Земли. По-
следние выражения пригодны и для статистического анализа
ошибок определения ИН, когда известны соответствующие ха-
11*
163
рактеристики погрешностей Am* и Дя*. Однако в данном слу-
чае расчеты получаются достаточно громоздкими.
Приведем результаты статистических расчетов для интерва-
лов времени больше 40 ч при допущении, что статистические
характеристики погрешностей Am* = Д/г*, а их корреляционная
функция аппроксимируется выражением o2e-^lxl. В этом случае
погрешности определения ИН
o2x(i) = ol(t)=t КС)+ <&(/)], (4.101)
где
2
«& О = jаV + °2 £ К*'.- + ЧA*'.J:
aL(» = °2I>y2nn;
ао*, fln/г, бпл — коэффициенты, равные
2 2 2
Z Яо* АтЛ = Л0; £ ank &mk = An\ £) &„* Дя* = S„; (4.102)
k=0 k=0 k=0
I inn = k{St + k4 cos 2Snt + k5;
Лло = (*2 + &з) sin nSt + k7e-^ sin azS/;
hno = k{S — &4 cos 2Snt + kb + k6 (1 — e*' cos 2Snt);
i r , 1 / 4r . n . 3 \
1 _ 5 (r2 + ai2) J 2 "~ 4SV2 VT" + 2r" 2m ) '
*3 = - ! Г— ——1; *• = -
3 S2 (4r2 + At2) L 2r 2 (r2 + n2) J *
1
252 (r2 + ai2)
fc- *2-'2 - Л_ «2-^2 ■ *
4S2 (r2 + л2)2 ■ 6 2S2 (r2 + At2)2 252 (r2 + ai2) '
, 2 Г_п Ъпг "I
7 _ S2 (4r2 + /г2) L 2r 2 (r2 + /г2) J '
S
Сравнивая выражения (4.99) и (4.102), нетрудно найти кон-
кретные значения рассматриваемых коэффициентов.
Результаты расчетов качественно не отличаются от решения
вида (4.100), т. е. имеются составляющие дисперсии погреш-
ности определения ИН, нарастающие по времени, а также ко-
лебательные составляющие с частотами, кратными частоте вра-
щения Земли.
Рассмотрим погрешности определения ИН вследствие ухо-
дов полярного гироскопа, положение оси кинетического момента
которого характеризуется углами аир.
164
Рис. 4.14. Взаимное положение ИТ и трехгранника, связанного с полярным
гироскопом (а), и трехгранников £п£» xm(/mZm, xTyrzr (б)
В этом случае для составления уравнений целесообразно
связать с ротором гироскопа трехгранник хмум2м, ось ум кото-
рого совпадает с направлением Я, а ось zM направлена по ли-
нии пересечения плоскости меридиана с экваториальной пло-
скостью ротора (см. гл. 2). Выбор указанного трехгранника
определен тем, что углы аир измеряют как отклонение от на-
правления, близкого к оси вращения Земли.
Для составления уравнений прецессионного движения оси
кинетического момента полярного НГ найдем проекции абсо-
лютной угловой скорости трехгранника хм#м2м на его оси л-м
и zM (рис. 4.14, а):
со2м = а — S sin P;
Юхм = Р cos а + S sin а cos p,
где а)™ и (Ozm — проекции угловой скорости трехгранника.
Считая, как и ранее, что составляющие ухода, связанного
с корпусом, пренебрежимо малы за счет применения методов
автокомпенсации, в качестве модели ухода принимаем выра-
жение (3.9).
Трехгранник xTyTzT развернут вокруг оси уг на угол г|), опре-
деляемый положением объекта относительно трехгранника
*мум2м (см. гл. 3), т. е.
ю*м = 6ХГ cos г|) + 62Г sin \|r, |
со2м = — 6ХГ sin г|) + 62Г cos \|). J
Для определения угла \|э найдем матрицы перехода между
трехгранниками xMyMzM и £т|£ сначала через углы ф, а, р,
(рис. 4.13,6 и 4.14,а), а затем через углы Л, Л, \|э (рис. 4.14,6).
165
(4.103)
Матрица перехода для первого случая
cos a — sin а
sin а cos (ф + Р) cos а cos (q> + Р)
sin а sin (ф + Р) cosasinfa-f-P)
Матрица перехода через A, h, ф
О
-sin (ф + Р)
cos (ф + р)
Ум
(4.105)
S
cos г|) cos А—sin -ф sin Л sin Л cos h sin A —sin ф cos A—cos -ф sin h sin A
—cos ф sin Л— sin ф sin h cos A cos Л cos A sin ф sin A—cos ф sin Л cos A
sin ф cos h sin Л cos ф cos h
X
X
M
Уи
ZM
(4.106)
Сравнивая элементы нижних строк матриц (4.105) и (4.106),
получим
sin г|) cos h = sin a sin (qp + P); sin h = cos a sin (qp + p);
cos i|) cos h = cos (ф + P); tg i|> = sin a tg (qp -f P).
},
107)
Подставляя в выражение (4.103) значения ыхм и (огм из
(4.100), с учетом модели ухода (3.9) и соотношений (4.107) по-
лучим систему уравнений:
a — S sin p = — ml sin a sin (qp + P) —
— m2 sin 2a sin2 (qp + P) + «i cos (qp + P) + n>i cos a sin 2 (qp + p);
P cos a + S sin a cos P = m{ cos (qp + P) +
+ tn2 cos a sin 2 (qp + P) + nx sin a sin (ф + P) +
+ n2 sin 2a sin2 (ф + P).
(4.108)
Линеаризуем уравнения (4.108), имея в виду, что а и р—-ма-
лые углы:
a — (S — п{ sin ф + 2az2 cos 2ф) р + (т{ sin ф +
+ 2/n2 sin2 ф) a = п{ cos ф + п2 sin 2ф;
Р + {S — пх sin ф — 2п2 sin2 ф) a + (Щ sin ф —
— 2т2 cos 2ф) р = тх cos ф + гщ sin 2ф.
Здесь на основании выражений (4.107) учтено, что А«ф +
+ Р; cos h « со5ф — рзтф; sin 2ft « sin 2ф + 2Р cos 2ф; г|) =
166
(4.109)
= atgcp. Уравнения (4.109) запишем в более компактной форме
* = (S + tf,)P +
)o-Af,p = Aff j
(4.110)
где M = rri[ cos(p-t-m2sin2(p; N = ti\ cos ф + n2 sin 2(p; N1 =
= —/ii sin9 + 2n2cos29; Mi = — m\ sin <p + 2m2cos29. Как и в
предыдущем случае, считаем
а = ар + Да; Р = рр + Др; N = Np + ^N; |
М = МР + ДМ; Af1 = Aflp + AAf1; N{ = N[p +/±NU) (4ЛП)
где ap, pP—расчетные значения углов аир, которые учиты-
ваются в вычислителе; Да и Др — соответствуют малым неучи-
тываемым изменениям углов вследствие отклонений (ДМ, ДМ,
ДМЬ A#i) коэффициентов от их расчетных значений NPi Мр,
Niv, Afip.
Подставляя выражения (4.111) в (4.ПО),.получим
ар + Да - (S + Ml? + bN{) (Рр + Др) +
+ (Мр + ДМНеФ(ар + Да) = ЛГр+ДЛГ;
Рр + Ар + [5-(^р + Д^)1еФ](ар + Аа]~
- (Мр + ДМ,) (рр + ДР) = Мр + ДМ.
1
(4.112)
Уравнения для расчетного движения нетрудно найти из вы-
ражений (4.112), положив все отклонения равными нулю:
сср - (S + Nlp) РР + Мр tg фар = Np;
Рр + (5-Л^р1еФ)ар~М1рРр = Мр. (4.113)
Уравнения (4.135) соответствуют по виду уравнениям (4.110).
Вычитая уравнения (4.113) из соответствующих уравнений
(4.112) и пренебрегая малыми членами зида ДЛ^рр, AMtgcpap,
получим
M-(S + Nlp)W + Mpbatgq> = bN;
ДР + (S - Np tg ф) Да - М1р Др = ДМ.
При произвольном движении объекта найти точное решение
системы (4.114) в общем виде не представляется возможным.
Для выявления качественных особенностей погрешностей опре-
деления ИН с помощью полярного гироскопа проанализируем
равномерное движение объекта вдоль параллели. Это решение,
как и для экваториального гироскопа, можно распространить и
на отдельные участки траектории произвольно перемещающе-
гося морского объекта.
167
Решение системы (4.114) при начальных отклонениях
Да(0) = а0 и Др(0)=р0 и изменении коэффициентов на вели-
чины ДМ и ДМ будет
Да (0 = е-« [(ао - £-) cos p/ + *о+ «<«,-Wr«) sin p/J + £.
AP(0 = ^[(Po-#)cosP/+ Ь + «<*-^) sinp/] + ^,
где ? = (Af p tg Ф - Aflp)/2; p=V^17?; r2=S2+S (JV,P-JVP tg Ф) -
- (W lpWp + MlpMp) tg Ф; Ц = HN(S + Mlp) + Nlp ДМ; L2 =
=- ДЛГ (S - N tg Ф)+ДММр tg Ф; do=Po (S + Nl?) -a0Mp tg Ф+ДЛГ;
р0 = -а0(5-Мр1еф) + р0М1 + ДМ.
В картинной плоскости (а, Р) траектория движения конца век-
тора Н представляет собой спираль с периодом Т = 2л/р, яв-
ляющимся функцией широты и коэффициентов п\, п2, Ш\ и тг.
При nk = 0,1...0,2°/ч отличие периода Т от периода вращения
Земли не превышает 1...2 %.
Спираль может быть расходящейся или сходящейся в зави-
симости от знака q:
q = (М tg ф — М{)/2 = nti sin q> + m2(2 sin2ф — cos2ф).
Так как обычно гп\ <С rn2i знак q определяется знаком функции,
стоящей в скобках, f (ф) = 2 sin2 ф — cos2 ф = 3sin^ — 1. Оче-
видно, /(ф) > 0 при ф > 35°.
Для расчета дисперсий погрешностей Да и Др, вызываемых
случайным изменением коэффициентов nk и mk, целесообразно
упростить исходную систему уравнений (4.114), исходя из того,
что S » Мр и S > Np.
Запишем упрощенные уравнения:
Да — S ДР + ДаМр tg ф = ДМ (/);
ДР + S Да - ДрМ1р = ДМ (О,
где ДМ(0 и ДМ(/)— случайные функции. Если принять, что
&N(t) и ДМ(t) — статистически независимые стационарные про-
цессы с экспоненциальными автокорреляционными функциями
с одинаковыми коэффициентами нерегулярности jm, то в резуль-
тате громоздких вычислений получим выражения для дисперсий
хГ—(1 — e-24t) + (1~*2)(1+е~2"') + 2е-"' cos (St + щ\.
L q l+k2 J
168
где а2 — дисперсия функций AN(t) и ДЛ1(/);
£ = H/S; i|) = arctg(l/*); q = (MtgV-Mx)/2.
Таким образом, определив ошибки моделирования ИН для
полярного и экваториального гироскопов, по формулам (4.84)
и (4.85) найдем погрешности ИТ для ИНС на НГ.
4.11. Геометрические и кинематические
погрешности гироориентаторов ИНС
Ранее предполагали, что оси карданова подвеса взаимно
перпендикулярны и параллельны базовым плоскостям чувстви-
тельных элементов, датчики углов, расположенные на осях кар-
данова подвеса, не имеют погрешностей, а стабилизированные
площадки удерживаются в заданном положении без ошибок.
Кроме того, считали, что оси чувствительности акселерометров
перпендикулярны друг другу.
На практике, в реальных гироориентаторах указанные усло-
вия выполняются неточно, причем значение неточности обуслов-
лено несовершенством технологии и степенью нестабильности
конструкционных материалов, из которых изготавливают де-
тали приборов. Оценивают возникающие погрешности в следую-
щей последовательности:
находят погрешности в выработке углов качки, вызываемые
погрешностями карданова подвеса и ошибками в ориентации
карданова подвеса на объекте;
определяют изменения в координатах, характеризующих по-
ложение оси кинетического момента гироскопа при ошибках
стабилизации в плоскости горизонта;
выводят соотношения, связывающие ошибки карданова под-
веса с погрешностями углов, определяющих положение осей ки-
нетических моментов гироскопов;
находят погрешности в измерении ускорений, вызванные не-
точностью установки акселерометров.
При оценке возникающих погрешностей считаем следующее:
погрешности углов (например, кардан подвеса или стабилиза-
ции) представляют собой малые величины (не более 1...2'); в
исходных положениях кардановых колец погрешности списыва-
ния углов равны нулю, если на практике они есть, их учиты-
вают, добавляя к отсчетам датчиков постоянные величины; оси
карданова подвеса попарно лежат в одной плоскости, если этого
нет, скрещивание осей главным образом нарушает баланси-
ровку, динамические параметры которой влияют на точность
ИНС; остальные погрешности равны нулю.
Введем ортогональные правые системы координат, связан-
ные с объектом и с кольцами карданова подвеса.
169
Ось xk трехгранника xkykZk направлена в плоскости палубы
к правому борту объекта, yk — в той же плоскости к носу, ось
zk перпендикулярна палубе и направлена вверх.
Трехгранники, связанные с кольцами карданова подвеса,
различают буквенными индексами, совпадающими с обозначе-
ниями углов, на которые разворачиваются соответствующие
кольца. В этих трехгранниках одна из осей направлена по оси
вращения кольца, другая расположена в плоскости, содержа-
щей упомянутую ось и ось вращения кольца, внутреннего по
отношению к данному.
Рассмотрим погрешности списывания углов бортовой (0) и
килевой (if>) качки.
На рис. 4.15 показано взаимное расположение трехгранни-
ков xkykZk, x3y3z3 и x^y^Zy. Углы 9 и г|э — истинные значения
углов качки; углы eei, бег, еез определяют отклонение осей бор-
товой и килевой качки от их идеальных положений. В резуль-
тате этих погрешностей оси карданова подвеса даже при точном
построении вертикали будут разворачиваться на углы 9П и г|эп>
отличающиеся от истинных значений малыми добавками АО
и Дг|х Кроме того, за счет погрешностей положения осей трех-
гранник х^у^ развернется относительно оси z^ трехгранника
170
xWjz' полученного при идеальном расположении осей
(рис. 4.15,а), на малый угол Д#. Таким образом, 0П = 0 + Д0;
*|)п = г|) + Дг|г, qn = Д?.
Задача сводится к нахождению функций A0 = fe(0, г|э, e0i,
«02, сф); А^ = /ф(в, ^, во,, е02, е^); Д(7 = /(7(0, г|>, во,, в02, вф).
Воспользуемся методом преобразования координат и найдем
преобразующие матрицы между трехгранниками XkijkZk и
х^у^г^: сначала В, с помощью углов 0, г|э, Д# (рис. 4.15, а),
а затем В2 через углы ееь еег, 9п, еф, г|эп (рис. 4.15,б,в):
[*кУАс] = Вх [ХфУф2ф];
где
В,=
cos8cosA<7 — cos 8 sinA<7+sin8 sin г|з cosA<7 — sin в cos ф
cos \|) sin A<7 cos ф cos A^ sin \|э
sin8cosA<7— cos в sin \(> slnkq —sin 8 sin Л^—cos в sin >|) cos kq cos 9 cos\|)
cos en - 8фcos en cos *n - 8eix - % cos ensin *n - 8ei X
X cos \|)n + sin \j)n X sin \|>n cos \|эп
8eicosen_8e2X C0S*n+8ei sin*nslnen+ sin*n""eeisll,enC0S*n""ee2X
B2=
X sin вп + еф1 + ee2 cos 6n sin*n X cos 6n cos \|)n
Sin 6n - % Sin 6n C0S 6n+8ei X ~8n Sin 6n sin *п+8в2 Sin *n+
X cos\|)n—sin \|)n cosi|)n + cos8n cos \f>n
Сравнивая элементы й2ь b\z и й2з равных матриц В, и В2, за-
пишем
cos г|) sin Д<7 = e6i cos 0П — ее2 sin 0П + еф;
— sin 0 cos i|) = — еф cos 0П sin г|)п — ее, sin г|)п — sin 0П cos грп;
sin г|) = sin г|)п — eei sin 0П cos фп — ee2 cos 0n cos г|эп.
После несложных преобразований, оставив лишь члены первого
порядка малости, получим
Д0 « — tg <ф (е^ + ее1 cos 0 — е62 sin 0); л
Дф«86i sin0 + ee2cos0; > (4.115)
&q « (l/cosi|))(6^ + eei cos0 —ee2sin 0). J
При малых углах качки (1...3°) выражения (4.15) упрощаются:
Д0 «0; Д-ф « 8е2; Д? « е^ + ее1.
Определим изменение углов, характеризующих положение
вектора кинетического момента Я НГ, вызванного ошибками
построения вертикали. Ошибки построителя вертикали найдем
171
в стабилизированной и нестабилизированной в азимуте систе-
мах координат. В первом случае обозначим ошибки через JJ, у,
во втором — через ei и е2.
Связь между этими погрешностями в первом приближении
легко определить из рис. 4.16, а, где показана точка А в картин-
ной плоскости, пересекаемой азимутальной осью карданова
подвеса или осью, перпендикулярной осям лгф, */ф. Картинная
плоскость расположена на единичном расстоянии от точки пе-
ресечения кардановых осей. Таким образом,
г{ = р cos q — у sin q\ J3 = гх cos q + e2 sin q\
e2 = P sin q + у cos q\ у = — e{ sin q + e2 cos q.
Для решения задачи используем метод малых вращений твер-
дого тела, сущность которого состоит в представлении малых
углов векторами, направленными по соответствующим осям.
Проекции малых угловых перемещений кольца килевой кач-
ки на оси Ox^y^z^ и на оси Oxqyqzq будут
Г*Ф — ei
ГУ$ — 62» Г*ф — г2^>
' XQ
= Р; гуя = *
rzq = a,
гуя = Г>
где а = (Р sin q + y cos q) г|э.
Угол качки г|) в данном случае считаем малым.
Угловые перемещения перепроектируем на оси трехгран-
ника xyz, связанного с гироскопом (рис.4.16, б): гх = р, гу =
= a sin h + ycosA, rz = acosh — y sin А. Запишем проекции на
те же оси xyz малых вращений, вызываемых изменением углов q
и А: г'х = Ыгу г' = hq sin h, r'z = hqcosh. В силу свойств гиро-
скопа rx + r'x = О, гг + г'г = 0, откуда ДА = —р, Д# = — a + y tg А.
Полученные значения погрешностей необходимо учитывать при
расчете ошибок определения ИН.
Перейдем к определению погрешностей списывания углов,
характеризующих положение вектора кинетического момента Я
НГ за счет ошибок карданова подвеса. Исследуем карданов
б)
Рис. 4.16. Расчет погрешности определения положения НГ при
наличии ошибки построения вертикали
172
Рис. 4.17. Взаимные положения
трехгранников х^у^г^ и хнун2н
(а, б) у приборного и географи-
ческого трехгранников (в)
подвес с вертикальной азимутальной осью. На рис. 4.17, а, б по-
казано взаимное расположение трехгранников х^у^, xqyqzq>
XnyhZh и xHyHzHt из которых первый связан с начальным положе-
нием карданова подвеса, последний — с ротором гироскопа.
Углы ен и ен определяют погрешности положения осей кар-
данова подвеса. Для нахождения ошибок Д<7 и ДЛ (из соотно-
шений Д<7 = ?п — q, АЛ = Лп— Л) составим переходные матри-
цы между трехгранниками х^у^ и xHyHz„ сначала через углы qy
Л, x, а затем через углы q„, eH, ел и Лп. Сравнивая одинаково
расположенные элементы матриц между собой, с учетом мало-
сти углов АЛ и Д<7 получим
АЛ = 0; Д<7 = еЛ tg Л — eH/cos Л. (4.116)
Выражения (4.116) позволяют рассчитать погрешности, до-
пустимые при изготовлении карданова подвеса для систем с Н1\
Определим погрешности измерения ускорений из-за неточ-
ности установки акселерометров на стабилизированной плат-
форме.
Пусть каждая из осей чувствительности трех акселеромет-
ров отклонена от соответствующей оси платформы на малый
угол, характеризуемый в пространстве двумя малыми незави-
173
ха
У а
2а
=
1
—е"
Б2
е"'
У
< ~
1
"<"
ч-
<
1
Хп
Уп
2„
симыми поворотами. Обозначим измерительные оси акселеро-
метров через *а, {/а, 2а и определим их положение относительно
осей стабилизированной платформы лсп, f/п, zn с помощью сле-
дующего матричного выражения [7]:
(4.117)
где е — угловые погрешности установки акселерометра; штрихи
обозначают измерительную ось соответствующего акселеромет-
ра (ось акселерометра, измеряющего ускорения вдоль оси хп
обозначена одним штрихом, вдоль оси уп — двумя штрихами,
вдоль оси 2П — тремя штрихами); нижний индекс указывает на
ось платформы, вокруг которой ось чувствительности повернута
на соответствующий малый угол.
Приборный трехгранник xnynzn моделирует в ИНС ПА гео-
графический трехгранник £г]£, а в ИНС AT — инерциальный
трехгранник |иЛи?и.
На рис. 4.17,6 показано взаимное положение географиче.-
ского и приборного трехгранников, при этом углы оьь Pi и -yi ха-
рактеризуют погрешности положения осей лгп, f/п, zn относитель-
но осей трехгранника fyrfe.
В соответствии с рис. 4.17, в запишем матричное выражение
преобразования трехгранника xnynzn в трехгранник %*)£>:
Уп
zn
1
—а,
-Yi
Р
1
(4.118)
1
Yi -Pi
С помощью матриц (4.117) и (4.118) выразим проекции уско-
рения на оси акселерометров wx, wyy wz через проекции w^ w^
и wz на оси географического трехгранника. Если пренебречь
величинами второго порядка малости, получим
wx = w% + (al + <) wn - (Vi + *'y)«>v
wy = w* + (Pi + О wl ~ (ai + О WV
w2 = w, + (Yl + e;") ш, - (Pt + K")«V J
Из выражений (4.119) нетрудно определить искомые погреш-
ности измерения ускорений, возникающие в ПА ИНС за счет не-
точной установки акселерометров:
аут) = р1шс —aj^ + e;'; ^ (4.120)
kw^ = w2 — w^ = y{wl — Р^ + г'т
(4.119)
Ди>£ = wx — w^ = a^ ■
Дш = w •
174
er = e."\,-W
er=ZxWt-&zwV
■e'"w —
где
величины, эквивалентные смещению нуля акселерометра.
Рассмотрим систематическую ошибку построения вертикали.
Для морских объектов средние значения горизонтальных уско-
рений щ = Wr\ = 0, а среднее значение вертикального ускоре-
ния wi = g. Построитель вертикали работает таким образом,
что wx = wy = 0. Подставив эти значения в выражения (4.120),
найдем
откуда систематическая погрешность построителя вертикали в
ПА ИНС:
?, = -<; Р, = <.
Найдем выражения, характеризующие ошибку измерения уско-
рений для ИНС AT. Проекции ускорения на оси чувствитель-
ности акселерометров в ИНС AT определяются выражениями,
аналогичными (4.119), если индексы при проекциях ускорения
заменить на индексы, соответствующие осям инерциального
трехгранника ^иЛи^и:
w,
W,
с = »бн + (ai + К) «%, ~ (V, + в;) юСн;
=«% + (Р. + О »t- - (а. + О «V
(4.121)
». - «и + (v. + *7) »* - (Р, + в;") шли1
где ai, Рь Yi — погрешности положения приборных осей хп, уп>
гп относительно осей трехгранника £ит]и£и. Проекции w^, шЛн
и ш;и определим с помощью матричного преобразования, полу-
ченного в работе [6]:
W:
£и
W.
ЛИ
Щи
cos 5 — sin ф sin S cos ф sin S
0 С08ф Sinq>
— sin S — sin ф cos S cos ф cos S
wt
W*
wz
(4.122)
где S = Ш + К Ф — широта.
На основании выражений (4.121) и (4.122) найдем смеще-
ния 8д, 8^, е^", имеющие тот же смысл для ИНС AT, что и ра-
нее полученные смещения ег для ПА ИНС:
ъ'А = г'г (wn cos ф + w^ sin ф) —
— гу (— w^ sin S — w^ sin ф cos S + w^ cos ф cos 5);
г"А = e" (— w% sin S — w^ sin ф cos S + w^ cos ф cos S) —
— г"г {w^ cos 5 — w^ sin ф sin S + w^ cos ф sin S);
z'A = s'y" (wl cos S — w^ sin ф sin 5) — e"' [w^ cos Ф + ^ sin ф).
175
Так как w^ = дол = 0, a ад& = g> средние значения смещений
для положения объекта, определяемого углами ср и S, будут
*а = S (82 sin Ф — гу cos Ф cos S)l
ёд = g (e£ cos ф cos S — z"z cos ф sin 5);
гА = — ех sin ф.
Таким образом, погрешность измерения ускорений в ИНС AT
определяется кроме неточности установки акселерометров коор-
динатами объекта и временем.
Полученные соотношения позволяют рассчитать технологиче-
ские допуски на точность изготовления приборов ИНС.
4.12. Ошибки бесллатформенных ИНС
на лазерных гироскопах
Погрешности БИНС несколько отличаются от ошибок систем
с кардановым подвесом. Рассмотрим в качестве примера по-
грешности, возникающие за счет смещения нуля акселерометра
и за счет дрейфа гироскопа, ось которого ориентирована на вос-
ток [45]. В ИНС с кардановым подвесом ошибки, вызываемые
обоими факторами, коррелированы. Действительно, смещение
нуля акселерометра приводит к наклону платформы при нуле-
вом сигнале на соответствующем выходе, а дрейф гироскопа
вызывает азимутальную ошибку и его приходится сводить к
нулю с помощью коррекции, величина которой связана со ско-
ростью вращения Земли. Если угол наклона платформы и ази-
мутальная ошибка в системе координат ЧЭ остаются неизмен-
ными, эти частные ошибки существенно не изменяются.
В БИНС указанные ошибки некоррелированы, так как ЧЭ
перемещаются вместе с движущимся объектом и связь между
системой координат датчиков и исходной опорной ИНС нару-
шается.
Для получения количественных оценок составляющих ошибок
БИНС на Л Г рассмотрим, следуя работе (45), ИНС, ЧЭ кото-
рой обладают погрешностями.
Ошибки ЛГ совместно с электронной аппаратурой следую-
щие:
Случайный дрейф, °/ч]12 0,003
Нестабильность смещения нуля, °/ч 0,004
Температурная нестабильность в диапазоне температур
5...88°С, °/ч 0,004
Кратковременная нестабильность смещения нуля, °/ч . . 0,003
Магнитная чувствительность смещения нуля, °/(ч • Гс) . . 0,001
Относительная погрешность масштабного коэффициента 5 • 10
Относительная температурная погрешность масштабного _
коэффициента 5 • 10_6
Относительная асимметрия масштабного коэффициента 1 • 10_б
Относительная нелинейность масштабного коэффициента 5 • 10
Погрешность взаимной ортогонализации измерительных
осей ЛГ, " 3
176
Ошибки акселерометров совместно с электронной аппарату-
рой приведены ниже:
Нестабильность смещения нуля 2
Температурная ошибка смещения нуля в диапазоне тем-
ператур 5...88°С 2
Кратковременная нестабильность смещения нуля .... 5
Погрешность масштабного коэффициента 5
Относительная температурная погрешность масштабного
коэффициента 4
10"~5£
\0~6ё
10~5£
10
-5
коэффициента 2 • 10_
Относительная асимметрия масштабного
Чувствительность к магнитным полям, g/Гс ....... 1 • 10"
Ошибка юстировки относительно измерительной оси ЛГ, " 3
Случайный дрейф вызывает ошибку углового положения, воз-
растающую пропорционально корню квадратному из времени.
Отнесенную к длительности начальной выставки, ее можно рас-
сматривать как дрейфовую ошибку в угловой скорости, которая
приводит к курсовой ошибке
а^ = Ою/л/Т Q cos ф,
где адр— случайный дрейф вдоль восточной оси, °/ц1/2» Т—
продолжительность начальной выставки; Qcoscp — горизонталь-
ная составляющая угловой скорости Земли.
Зависимость курсовой ошибки от величины случайного дрей-
фа и продолжительности начальной выставки приведена в
табл. 4.2 для широты места 45°.
При движении объекта курсовая ошибка, обусловленная слу-
чайным дрейфом за время начальной выставки, вызывает по-
грешности в определении северной vN и восточной ve состав-
ляющих скорости:
°vN = [ve + (Я& cos ф) (1 — cos cot)] су, avE = vNo+.
Рассмотрим влияние смещения нуля ЛГ.
В этом случае курсовая ошибка при начальном гирокомпа-
сировании
oW = DE/(Qcosq>) + D+T/2t
где DE и Z^—восточная и вертикальная составляющие вектора
полной ошибки смещения нуля ЛГ при начальной выставке,
Таблица 4.2. Зависимость курсовой ошибки (угл. мин) при наземной
выставке от величины случайного дрейфа
и продолжительности начальной выставки
Случай-
ный
Дрейф,
•/ч1/2
0,001
0,003
0,007
Время выставки, мин
1
2,5
7,5
17,5
2
1,8
5,3
12,4
3
1,4
4,3
10,1
4
1,3
3,7
8,8
5
1,1
3,4
7,8
6
1,0
3,1
7,2
7
0,95
2,8
6,6
8
0,89
2,7
6,2
9
0,84
2,5
5,8
10
0,79
2,4
5,5
12 Зак. 999
177
I-
6
V
равные проекции полного вектора дрей-
фа трех ЛГ на восточную и вертикаль-
ную оси.
При этом ошибки определения ско-
рости составят
JvN
vEof +
2000 той
Рис. 4.18. Влияние дрей-
фа ЛГ БИНС на ошиб-
ку определения местопо-
ложения объекта (ско-
рость объекта равна ну-
лю, наземная выставка в
течение 5 мин, режим
навигации 20 мин, раз-
ворот на 180°, продол-
жение режима навига-
ции)
+ /y?Q cos Ф [ф -©5(1- cds/<)] +
+ D+vEt/2;
где Dn — северная составляющая векто-
ра полной ошибки смещения нуля трех
ЛГ; t — продолжительность движения;
U — время, прошедшее после выполнения
маневра.
При смене ориентации объекта изме-
рительные оси гироскопов отклоняются
от направления при начальной (назем-
ной) выставке, что вызывает ошибки ви-
да А (1—coseosf/). Это явление, харак-
терное для БИНС, называют эффектом
«декорреляции», возникает он при изменении вектора дрейфа ги-
роскопов относительно местной системы координат (рис. 4.18).
Особое место занимают температурные погрешности. Если
ошибка из-за теплового дрейфа остается постоянной в течение
начальной выставки, ее влияние учитывают точно так же, как
смещение нуля гироскопа.
Для более жестких условий окружающей среды необходимо
знать характер температурного дрейфа. В ряде случаев ошибку,
связанную с прогревом, можно считать меняющейся по экспо-
ненциальному закону. Поскольку тепловая постоянная времени
ЛГ достаточно велика, при небольших продолжительностях дви-
жения влияние температурной ошибки можно учитывать по ана-
логии со смещением нуля.
Погрешность масштабного коэффициента ЛГ сравнительно
невелика и она вызывает пренебрежимо малую ошибку началь-
ной выставки. При выполнении несложных маневров возникно-
вение навигационной ошибки
где <тф — ошибка ориентации после выполнения маневра Ф;
<Jk — погрешность масштабного коэффициента.
При <Tfc = 5-10-6 после маневра по крену на 360° ошибка
ориентации относительно оси крена составит 6,5". Ошибка по
скорости непосредственно после маневра
or0 = ^orosinc°5//Cus-
178
При ошибке ориентации оф = 6,5" максимальное значение
Ov max ~ 0,25 М/С.
Второй маневр по крену в ту же сторону удваивает ошибку
по скорости.
Оценим погрешности, обусловленные ошибками юстировки
измерительных осей ЧЭ. Основной объем информации в БИНС
формируется в результате пересчета сил ускорения, восприни-
маемых ЧЭ, в местную систему координат с учетом влияния ло-
кальных изменений ускорения силы тяжести.
Эту процедуру описывает выражение
Al = bbab + 8>
где AL — полный вектор ускорения в местной системе коорди-
нат; BLb — матрица перехода от приборной к местной системе
координат; g — гравитационный вектор в данной точке про-
странства.
Исходные элементы матрицы В определяют на этапе на-
чальной юстировки системы. При этом в ошибки начального
определения матрицы В входят ошибки юстировки акселеро-
метров. Ошибки юстировки ЛГ приводят к некоторому повороту
объекта, который учитывается в бортовой ЭВМ как кажущийся
поворот системы в пространстве из-за ошибок взаимной неорто-
гональности измерительных осей ЛГ. Например, поворот вокруг
оси z с угловой скоростью 9г обусловит ошибку в угловой ско-
рости относительно оси ЛГ, ориентированного в направлении у,
равную
А(ду2 = к%г%,
где AtyyZ — ошибка ориентации измерительной оси Л Г в плоско-
сти f/Z.
Вследствие этого бортовая ЭВМ вместо вектора угловой ско-
рости Qzz воспримет вектор Qzz + 0Z А^угУ-
Погрешность определения матрицы В приведет к ошибке
ориентации и, как следствие, к ошибкам преобразования, воз-
Рис. 4.19. Гистограмма распределения ошибок ЛГ и акселерометров
БИНС (а) и характер накопления ошибок с течением времени (б)
12*
179
действующим на объект ускорений, что обусловит появление
ошибок скорости и местоположения. Так, отклонение от «орто-
гональности» измерительных осей на 5" дает максимальную
ошибку скорости около 0,37 м/с.
Вдобавок к ошибкам начальной выставки ошибки юсти-
ровки акселерометров приведут к погрешностям преобразо-
вания воспринимаемого ускорения в местную систему коор-
динат.
Общее представление о характере результирующих оши-
бок БИНС на ЛГ при замкнутом маршруте движения дает ги-
стограмма распределения составляющих ошибок ЛГ и акселе-
рометров, входящих в состав БИНС (рис. 4.19,а). Характер на-
копления ошибок с течением времени при движении объекта по
заданному маршруту показан на рис. 4.19,6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Автокомпенсация инструментальных погрешностей гиросистем/
С. М. Зельдович, М. И. Малтинский, И. М. Окон, Я. Г. Остромухов. Л.: Су-
достроение, 1976. 225 с.
2. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы.
М.: Наука, 1966. 579 с.
3. А. с. № 184465 СССР, МКИ Навигационный прибор для регистрации
пройденного пути и скорости/Л. М. Кофман, Е. В. Левенталь.
4. Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического ре-
гулирования. М.: Наука, 1975, 992 с.
5. Броксмейер Ч. Ф. Системы инерциальной навигации/Пер. с англ.; Под
ред. С. С. Ривкина. Л.: Судостроение, 1967. 279 с.
6. Б ромбе рг П. В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука,
1979. 294 с.
7. Брыков В. Г., Мочалов А. В. Погрешности трехосного блока лазер-
ных гироскопов с общим начальным смещением//Изв. вузов СССР. Приборо-
строение. 1983. Т. 26. С. 54—59.
8. Бычков С. Я., Лукьянов Д. #., Бакаляр А. Я. Лазерный гироскоп.
М.: Сов. радио, 1975. 424 с.
9. Волновые и флюктуационные процессы в лазерах/С. Г. Зейгер,
Ю. Л. Климонтович, П. С. Ланда и др. М.: Наука, 1974. 415 с.
10. Гарднер М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных
системах/Пер. с англ. М.: ГИФМЛ, 1961. 552 с.
11. Горенштейн Я. А., Шульман Я. А. Инерциальные навигационные си-
стемы. М.: Машиностроение, 1970. 230 с.
12. Гэйтс В. Самонастраивающаяся навигационная система, построенная
на гироскопах с упругим подвесом ротора//Вопр. ракет, техники. 1971.
№ 2(194). С. 56-72.
13. Ефимов А. Н. Предсказание случайных процессов. М.: Знание, 1976.
52 с.
14. Залесский П. Я., Мочалов А. В., Соловьев М. В. Некоторые вопросы
теории индикаторных стабилизированных платформ с лазерными чувстви-
тельными элементами//Изв. Ленингр. электротехн. ин-та им. В. И. Ульянова
(Ленина). 1983. Вып. 328. С. 77-82.
15. Измерители линейных скоростей и ускорений объектов/И. В. Афонь-
кин, С. Н. Баженов, Г. Н. Матвеев и др. Л.: ЛПИ, 1972. 147 с.
16. Индикаторные гироскопические платформы/А. Д. Александров,
Е. А. Правоторов, В. Ф. Рафельсон и др.; Под ред. А. Д. Александрова. М.:
Машиностроение, 1979. 239 с.
17. Инерциальная навигация/Под ред. О'Доннела. М.: Наука, 1969.
592 с.
18. Ишлинский Л. Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН
СССР, 1963. 484 с.
19. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация.
М.: Наука, 1976. 670 с.
181
20. Каракашев В. А. Обобщенные уравнения ошибок ИНС//Изв. вузов
СССР. Приборостроение. 1973. Т. 16. № 3. С. 37—45.
21. Коновалов С. Ф., Никитин Е. А., Селиванова Л. М. Гироскопические
системы: В 3 ч. М.: Высш. шк. 1980. Ч. 3. 225 с.
22. Кошляков В. Н. Теория гироскопических компасов. М.: Наука, 1972.
344 с.
23. Круглик Г. С. Квантово-статистическая теория кольцевых ОКГ.
Минск: Наука и техника, 1978. 88 с.
24. Лазерные измерительные системы/А. С. Батраков, М. М. Бутусов»
Г. П. Гречка и др.; Под ред Д. П. Лукьянова. М.: Радио и связь, 1981.
456 с.
25. Лившиц И. А., Пугачев В. Н. Вероятностный анализ систем автома-
тического управления. М.: Сов. радио, 1963. 896 с.
26. Липтон А. Выставка инерциальных систем на подвижном основа-
нии/Пер. с англ.; Под ред. В. Л. Леонидова М.: Наука, 1971. 167 с.
27. Лукьянов Д. П., Филатов Ю. В., Блантер С. Э. Опыт и перспектива
использования кольцевых лазеров в прецизионных угломерных системах. Л.:
ЛДНТП, 1980. 28 с.
28. Малое В. В. Пьезорезонансные датчики. М.: Энергия, 1978. 168 с.
29. Молчанов М. П., Переверзев А. В., Ярошенко Н. Г. Измерение флюк-
туации частоты кольцевого лазера//Радиотехника и электроника. 1983. № 9.
С. 1788-1790.
30. Мочалов А. В. Погрешности лазерного гироскопа, обусловленные не-
стабильностью частоты его излучения//Изв. Ленингр. электротехн. ин-та
им. В. И. Ульянова (Ленина). 1975. Вып. 169. С. 78—82.
31. Он же. Уточнение математической модели стабилизатора на лазерном
гироскопе/Там же, 1985. Вып. 352. С. 61—68.
32. Никитин Е. А., Балашова А. А. Проектирование дифференцирующих
и интегрирующих гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение. 1969.
216 с.
33. Онищенко С. М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инер-
циальной навигации. Автономные системы. Киев: Наук, думка, 1983. 220 с.
34. Орнатский П. П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые
и цифровые). Киев: Вища шк. 1980. 189 с.
35. Пельпор Д. С, Колосов Ю. А., Рахтеенко Е. Р. Расчет и проектиро-
вание гироскопических стабилизаторов. М.: Машиностроение, 1972. 216 с.
36. привалов В. Е. Газоразрядные лазеры в судовых измерительных
комплексах: Л.: Судостроение, 1977. 152 с.
37. Репников А. П., Сачков Г. П., Черноморский 4. И. Гироскопические
системы: Учеб. пособие для авиац. вузов/Под ред. А. П. Репникова. М.:
Машиностроение, 1983. 319 с.
38. Ривкин С. С. Теория гироскопических устройств. В 3 ч. Л.: Судо-
строение, 1964. ч. 2.
39. Ригли У., Холлистер У., Денхард У. Теория, проектирование и испы-
тания гироскопов. М.: Мир, 1972. 416 с.
40. Савельев А; М., Соловьева Т. И. Состояние лазерной гироскопии за
рубежом//Зарубеж. радиоэлектроника. 1981. № 8. С. 15—18.
41. Соловьев М. В. Расчеты стабилизированных платформ АСНУ. Л.:
Л ЭТИ, 1982. 48 с.
42. Шебашевич В. С. Введение в теорию космической навигации. М.: Сов.
радио, 1971. 296 с.
43. Cocoli I.D/, Helfant S. RLG Evaluation Complementary Modeling and
Testing//IEEE. NAECON-79, National Aerospace and Electronic Conference.
Dayton. 1979. P. 14—21.
44. Inertial navigation/Edited by M. M. Kuritsky and M. S. Goldstain//
Proc. of the IEEE. 1983. Vol. 71. N 10. P. 1156—1176.
45. The AN/WSN-2. A New Gyrocompass for a Modern VS Navy Naviga-
tion// of the Institute of Navigation. 1977. Vol. 24. N 3. P. 237—247.
46. Ulrich /?., Rashleigh G., Eickhoff W. Bending-induced birefringence in
single-mode fibers//Optics Letters. 1980. Vol. 5. N 6. P. 273—275.
182
ОГЛАВЛЕНИЕ
з
Глава 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ЧУВСТВИТЕЛЬ-
НЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНС 5
1.1. Принцип действия и состав ИНС 5
1.2. Акселерометры, применяемые в ИНС 8
1.3. Гироскопические чувствительные элементы 19
1.4. Гиростабилизированные платформы 31
1.5. Особенности использования морских ИНС и основные задачи
теории ИНС 43
1.6. Системы навигационных координат и их преобразование . . 45
Глава 2. КЛАССИФИКАЦИЯ, УСТРОЙСТВО И РАБОТА МОРСКИХ
ИНС 57
2.1. Классификация ИНС и сравнительная оценка ИНС различ-
ных типов . 57
2.2. Полуаналитические ИНС 61
2.3. ИНС геометрического типа 71
2.4. ИНС аналитического типа 80
2.5. Бесплатформенные ИНС . 84
Глава 3. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ИНС 92
3.1. Общие характеристики погрешностей 92
3.2. Уходы неуправляемых гироскопов 95
3.3. Особенности уходов управляемых гироскопов 105
3.4. Погрешности поплавковых интегрирующих гироскопов . . . 107
3.5. Погрешности лазерных гироскопов 109
3.6. Характер распределения составляющих ухода гироскопов во
времени . 115
3.7. Способы повышения точности гироскопов 118
Глава 4. ТЕОРИЯ ОШИБОК МОРСКИХ АВТОНОМНЫХ ИНС ... 124
4.1. Постановка задачи 124
4.2. Ошибки ИНС как ошибки моделирования инерциального
трехгранника и построителя вертикали 125
4.3. Связь между ошибками моделирования инерциального трех-
гранника и вертикали и ошибками ИНС 126
4.4. Составление и преобразование уравнений ошибок ПА ИНС 130
4.5. Погрешности моделирования вертикали места в ПА ИНС . . 139
4.6. Погрешности моделирования вертикали места с помощью
ИНС ГТ 143
4.7. Погрешности моделирования вертикали в ИНС AT . . . .144
4.8. Особенности погрешности построителя вертикали на больших
интервалах времени .147
4.9. Погрешности моделирования инерциального трехгранника в
ПА ИНС 148
4.10. Погрешности моделирования инерциального трехгранника в
ИНС на неуправляемых гироскопах 155
4.11. Геометрические и кинематические погрешности гироориента-
торов ИНС 169
4.12. Ошибки бесплатформенных ИНС на лазерных гироскопах 176
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 181
Производственное издание
Лукьянов Дмитрий Павлович,
Мочалов Андрей Владимировичу
Одинцов Александр Анатольевич,
Вайсгант Игорь Борисович
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
МОРСКИХ ОБЪЕКТОВ
Заведующий редакцией П. К. Зубарев
Редактор С. Ю. Курашева
Художник обложки Ю. Б. Осенчаков
Художественный редактор Э. А. Бубович
Технический редактор Г. Г. Федорова
Корректор А. Г. Кувалкин
ИБ № 918
Сдано в набор 04.04. 88. Подписано в печать 10.10.88. М-27808. Формат 60X90 1/16. Бумага
типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 11,5. Усл. кр.-отт.
11,88. Уч. изд. л. 11,8. Изд. № 4039-84. Тираж 1700 экз. Заказ 999. Цена 65 к.
Издательство «Судостроение». 191065, Ленинград, ул. Гоголя, 8
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга* им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Отпечатано с набора в Ленинградской типографии N° 4 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
графии и книжной торговли. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6
65 коп.
Идеи инерциальной навигации,
зародившиеся в начале нынешнего
столетия, опираются на математи-
ческую теорию, развитую совет-
ским ученым Б. В. Булгаковым в
1932 г. Однако их практическая
реализация стала возможной лишь
в конце X X столетия благодаря
разработке прецизионных акселеро-
метров и гироскопов, воплотивших
в своих конструкциях многие до-
стижения фундаментальной науки,
в развитии которой трудно перео-
ценить вклад советских ученых
A. Ю. Ишлинского, Л. Н. Ткачева,
B. Д. Андреева, Е. А. Девянина,
Д. М. Климова и др.
Современные комплексы инер-
циальной навигации являются ре-
зультатом исследований и разрабо-
ток больших научных коллективов,
итогом соединенных усилий спе-
циалистов самого различного про-
филя, в подготовке которых вид-
ное место принадлежит изучению
принципов построения инерциаль-
ных систем навигации, построению
моделей ошибок основных чувстви-
тельных элементов, учету специ-
фики работы морских ИНС.
Романтичная история морских
путешествий и географических
открытий всегда опиралась на наи-
более совершенные для своего вре-
мени навигационные методы и
средства — от намагниченной иглы
древних финикийцев до созвездий
навигационных ИСЗ.
Особое место в морской нави-
гации принадлежит автономным
инерциальным системам, в основе
которых лежит метод двойного ин-
тегрирования ускорений инерциаль-
ного пространства. Этот метод поз-
воляет получить набор позицион-
ных координат, составляющих ско-
рости и ориентации объекта для
любого момента времени.
Инерциальные системы навига-
ции отличаются нечувствительностью
к естественным и организованным
помехам, скрытостью действия и
в- соединении с современными
быстродействующими вычисли-
тельными средствами образуют
высокоэффективный навигационный
комплекс, позволяющий получать,
обрабатывать и отображать боль-
шие объемы необходимой для
безопасного плавания информации.