МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ 5 • 1978
Научно-методический журнал Москва «Педагогика»
Министерства просвещения СССР Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Коммунистическому воспитанию будущего учителя — большую заботу 3
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
О преподавании математики в X классе 7
О тематическом повторении курса алгебры и начал анализа в X классе 16
Некоторые рекомендации по повторению курса геометрии в X классе 20
Задачи по теме «Многогранники» в курсе X класса 24
Об изучении последовательностей и их пределов в IX классе 33
К методике изложения темы «Производная» в IX классе 39
О дифференциальном уравнении показательного роста 44
Решение геометрических задач различными способами 44
О видах самостоятельных работ 48
К методике доказательства теорем 52
Из опыта создания и использования диктантов на уроках алгебры 53
в VII классе
Из опыта изучения темы «Пересечение и объединение фигур» в IV классе 56
Математика и подготовка учащихся к сельскохозяйственному труду 58
В помощь преподавателям профтехучилищ и педагогических училищ
Об изучении математики в средних профтехучилищах в 1976/77 учебном году 60
Примерные самостоятельные и контрольные работы для первых курсов 62
педучилищ
Р. Г. Чуракова,
К. И. Шалимова Ф. М. Барчуноваг П. Б. Ройтман В. М. Клопский и др. Е. Г. Глаголева и др. Г. А. Ястребинецкий Г. Г. Левитас А. И. Мостовой,
М. Н. Наконечный Дж. Шарифов Л. П. Хлабыстова Г. Л. Буянкина
X. Ш. Шихалиев Е. Ж. Жунусов
Н. М. Райский,
С. И. Швзрцбурд И. С. Петраков
Педагогические институты и школа 65
Факультативные курсы
Алгоритмы невычислительных процессов 70 Н. Б. Демидович,
В. М. Монахов
Эксперимент
Координатная форма записи вектора и скалярное умножение векторов 75 В. И. Стомахин,
Е. К. Константинова
© Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1976.


Проблемы и суждения
О методической подготовке учителя математики в педагогическом вузе 80 Р. С. Черкасоо
Внеклассная работа
Свойства некоторых треугольников 84 С. И. Зетель
Задачи 86 Занимательная страница 88
ЗА РУБЕЖОМ
О математическом образовании в итальянской школе 90
Б. В. Гнеденко, Мария Клерико
Математический календарь на 1976/77 учебный год 93 А. И. Бородин
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Школьникам о теории вероятностей 94
Слово учителя о книге «Математика изучает случайности» 96
Е. С. Вентцель Е. И. Олерский
ХРОНИКА
Конференция в Элисте 96 Р. Б. Басангова
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Главный редактор Р. С. Черкасов. Зам. главного редактора С. А. Пономарев. Члены редакционной коллегии: Н М. Бескин, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Г. д. Глейзер, Б. В. Гнеденко, Г. В.* Дорофеев, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д Семушин, К. П. Сикорский, В. А. Скворцов, 3. А. Скопец, П. В. Стратилатев, 3. С. Сухотина, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд,
Г. А. Ястребинецкий.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (представители союзных республик)
А. М. Алиев (АзССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Б. Б. Бердыев (ТуркмССР), И. С. Бро- виков (РСФСР), Б. П. Бычков (МССР), В. А, Гусев (РСФСР), А. С. Зибертас (ЛитССР), Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), Ю. М. Колягин (РСФСР), Ш. М. Май- лтгев (КиргССР), В. Я. Миллере (ЛатССР), К. С. Муравин (РСФСР), 3. И. Моисеева (РСФСР), С. Ф. Рубанов (БССР), Р. В. Саркисян (АрмССР), 3. И. Слепкань (УССР), А. Э. Телъгмаа (ЭССР), И. Ф. Тесленко (УССР), А. М. Хоштария (ГССР), Р. А. Хабиб
(РСФСР).
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Э. М. Боклаженко
Сдано в набор 20.08.76 г. Подписано в печать 28.09.76 г. Формат 84 х 108'/ie.
Бумага тип. N° 2. Печ. л. 6,0. Уел. печ. л. 10,08. Учетно-изд. л. 11,81. Тираж 421 260 экз. Заказ 366.
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8. Телефон редакции: 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., д. 30.


Коммунистическому воспитанию будущего учителя— большую заботу
Важнейшей частью строительства коммунизма является коммунистическое воспитание трудящихся.
В. И. Ленин учил в неразрывной связи рассматривать вопросы воспитания трудящихся и строительства коммунизма, он показал, как надо учиться коммунизму, органически соединяя эту учебу с активной борьбой за коммунизм.
Руководствуясь ленинскими идеями и заветами, Коммунистическая партия добилась крупных успехов в воспитании нового человека, в организации созидающей, творческой активности миллионных масс трудящихся на поприще коммунистического строительства. Всемирно-историческим достижением советского народа является создание общества развитого социализма.
Впечатляющи успехи советского народа в девятой пятилетке. Самоотверженный и активный труд советского народа при направляющей организаторской деятельности партии обеспечил устойчивый рост экономики, успешное решение основных социально-экономических задач пятилетнего плана.
По масштабам абсолютных приростов промышленной продукции, капитальных вложений, ассигнований государства на проведение новых мероприятий по повышению благосостояния народа девятая пятилетка является лучшей пятилеткой в истории нашей страны.
Успешно решилась в прошедшей пятилетке главная задача, поставленная XXIV съездом КПСС, — повышение жизненного уровня народа. История страны не знает столь широкой социальной программы, как та, которая была выполнена в девятой пятилетке. На проведение новых мероприятий по повышению благосостояния советских людей было израсходовано столько же средств, сколько за две предыдущие пятилетки, вместе взятые.
В советской стране практически завершен переход ко всеобщему среднему образованию. Наша страна утвердилась в мире как первая по уровню образования молодых поколений. Партия успешно решает задачу воспитания нового человека, всестороннего развития его способностей, инициативы и творческой энергии.
XXV съезд КПСС подчеркнул, что коммунистическое воспитание трудящихся является делом огромной важности. Оно находилось и в дальнейшем будет находиться в центре внимания партии.
Усиление идеологической работы, совершенствование деятельности по коммунистическому воспитанию трудящихся происходит в соответствии с объективной закономерностью возрастания руководящей роли Коммунистической партии в условиях развитого социализма. На съезде было обращено значительное внимание на усиление воспитательной работы среди молодежи, повышение роли в этом важном деле Ленинского комсомола.
Важные вопросы коммунистического воспитания молодого поколения выдвинуты Генеральным секретарем ЦК КПСС товарищем Л. И. Брежневым в речи на встрече с рабочими автозавода им. Лихачева, в приветствии участникам слета выпускников средних школ Костромской области, изъявивших желание работать в сельскохозяйственном производстве.
XXV съезд КПСС указал на усиливающуюся связь вопросов коммунистического воспитания и народного образования. «Коммунистическое воспитание, — указывалось в Отчете ЦК КПСС XXV съезду партии, — предполагает постоянное совершенствование системы народного образования и профессиональной подготовки. Это особенно важно сейчас, в условиях научно-технической революции. Она придает иной, чем прежде, характер труду, а стало быть, и подготовке человека к труду. Мы многое делаем в этом отношении. Но то, что сделано и делается, еще не решает всех задач в этой области.
Очевидна, в частности, необходимость дальнейшего совершенствования всей общеобразовательной системы, и в первую очередь средней школы».
В обществе развитого социализма неуклонно возрастает значение коммунистического воспитания в процессе подготовки высококвалифицированных кадров народного хозяйства. Оно представляет собой важную часть кадровой политики партии. На XXV съезде подчеркивалось, что современный руководитель на любом участке обязан учитывать и
1*
3


социально-политические, воспитательные аспекты, быть чутким к людям, к их нуждам и запросам, служить примером в работе и быту.
Коммунистическая партия, активно претворяя в жизнь ленинские идеи о месте и роли учителя в строительстве социализма и коммунизма, проявляет огромную заботу о совершенствовании подготовки учительских кадров, неизменно имея в виду при этом, что учитель является решающей фигурой в процессе обучения, что ему принадлежит видное место в воспитании подрастающего поколения.
Первостепенной задачей коммунистического воспитания, сердцевиной всей идейно-воспитательной работы партии является формирование у широчайших масс трудящихся коммунистического мировоззрения.
Формирование коммунистического мировоззрения, идейной убежденности и политической сознательности занимает большое место в школе и педагогических вузах.
Решающую роль в идейно-политическом воспитании студентов играют вузовские кафедры общественных наук.
Кафедры общественных наук педвузов внот сят значительный вклад в работу по идейной закалке будущего учителя. Руководствуясь решениями XXIV—XXV съездов КПСС, постановлениями ЦК КПСС «О работе в Московском высшем техническом училище им. Н. Э. Баумана и Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского по повышению идейно-теоретического уровня преподавания общественных наук», «О работе по подбору и воспитанию идеологических кадров в партийной организации Белоруссии» и другими документами, имеющими программное значение, кафедры общественных наук добились за последнее время новых определенных успехов в повышении идейно-теоретического уровня преподавания. Повысился идейно-теоретический уровень лекций. На целом ряде кафедр созданы фонды лучших лекций. Существенные сдвиги произошли в методической работе кафедр. Стали чаще и эффективнее использоваться разнообразные формы и методы активизации творческой, самостоятельной работы студентов. Большую роль играют рефераты, доклады студентов на семинарских занятиях с последующим их обсуждением. Весьма важное значение имеет активизация деятельности кафедр общественных наук педвузов по расширению УИРСа (учебно-исследовательской работы студентов) в ходе учебного процесса.
Усилению творческого характера занятий по общественным наукам способствуют расширяющиеся связи научно-исследовательской работы преподавателей и студентов.
В укреплении идейной убежденности, усилении политической сознательности и развитии познавательной активности студентов все большую роль играют всесоюзные конкурсы студенческих работ по общественным наукам, истории ВЛКСМ и международного коммунистического движения. Неуклонно растет число этих научных соревнований.
Развитие у студентов идейной убежденности обязательно предполагает глубокое изучение и овладение основами марксистско-ленинского учения, осознание политики Коммунистической партии, воспитание классового подхода к оценке событий и непримиримости к буржуазной идеологии.
XXV съезд КПСС остро поставил вопрос о бескомпромиссности борьбы с буржуазной идеологией. «В борьбе двух мировоззрений, — указывается в Отчете ЦК КПСС XXV съезду партии, — не может быть места нейтрализму и компромиссам. Здесь нужна высокая политическая бдительность, активная, оперативная и убедительная пропагандистская работа, своевременный отпор враждебным идеологическим диверсиям».
Воспитание в духе непримиримости к буржуазной идеологии — важнейшая составная часть коммунистического воспитания студентов.
Борьба с любыми проявлениями буржуазной идеологии — необходимая часть идейной закалки будущего учителя. Она способствует укреплению верности марксизму-ленинизму. «Верность марксизму-ленинизму, пролетарскому интернационализму, — говорил товарищ Л. И. Брежнев в речи на Всесоюзном^ слете студентов, — это благородная традиция нашей партии, нашего комсомола, которую высшая школа призвана укреплять и обогащать».
В педагогических вузах ведется углубленная, аргументированная критика буржуазной идеологии, реформизма и ревизионизма. Она все больше пронизывает содержание лекций, семинарских и практических занятий, а также спецкурсов и спецсеминаров. Вопросы борьбы с буржуазной идеологией занимают значительное место на теоретических конференциях, в сборниках научных трудов.
Воспитание у студентов идейной убежденности и политической активности ведут не только кафедры общественных наук, но и все кафедры педвузов. Кафедры специальных дисциплин и методик придают исключительно большое значение проведению активной кон¬
4


кретной работы по укреплению у студентов мировоззрения научного коммунизма. Ими выработан богатый арсенал форм и методов соответствующей работы.
Развитию у студентов идейной убежденности и повышению их политической активности содействует всесторонняя работа, возглавляемая партийными организациями, которая проводится со студентами комсомольскими и профсоюзными организациями, преподавателями во внеучебное время.
Принципиальное значение имеет то, что в педвузах, как и в других институтах страны, сложилась стройная система общественно-политической практики студентов. В ее организации все более возрастает роль Ленинского зачета комсомольцев, ленинских урокоз, факультетов общественных профессий, школ молодого лектора, студенческих строительных отрядов, социалистического соревнования и ряда других форм коммунистического воспитания студентов. Высокую оценку партии получила деятельность студенческих строительных отрядов.
В системе профессиональной подготовка будущих учителей, в их трудовом воспитании растет значение студенческих педагогических отрядов.
В настоящее время педагогические отряды созданы в 104 вузах. Всего насчитывается 970 постоянно действующих педотрядов, объединяющих около 40 тыс. студентов разных курсов. Разнообразны объекты деятельности этих отрядов: пионерские лагеря, лагеря труда и отдыха старшеклассников, ученические производственные бригады, сельские школы, школы-интернаты, школы и группы продленного дня, детские дома, городские и сельские профессионально-технические училища, детские комнаты милиции, детские комнаты при домоуправлениях и т. д.
Министерство просвещения СССР, одобряя деятельность педагогических отрядов, отметило, что ее размах свидетельствует о богатых творческих возможностях участников этих отрядов, и предложило всемерно поддерживать и развивать деятельность педотрядов как одну из форм общественно-педагоги- ческой деятельности будущих педагогов и эффективное средство их профессиональной подготовки.
Повышается роль социалистического соревнования в коммунистическом воспитании студентов.
Социалистическому соревнованию присущи не только экономические, но и воспитательные функции, что вытекает из самой сути соревнования как метода вовлечения широ¬
чайших трудящихся масс в строительство коммунизма.
В документах КПСС постоянно обращается значительное внимание на усиление роли соревнования в коммунистическом воспитании. XXV съезд КПСС указал, что соревнование оказывает глубокое воздействие как на хозяйственную практику, так и на общественно- политическую жизнь страны и нравственную атмосферу.
Коммунистическая партия учит дифференцированному подходу к организации соревнования среди различных категорий предприятий, учреждений, организаций, а также членов социалистического общества.
Опираясь на общие принципы, социалистическое соревнование в вузах имеет специфические черты. Главное в организации вузовского соревнования — это усиление его нрав-: ственных и воспитательных функций, прочная связь с развертыванием и повышением уровня идеологической работы.
Усиление идейно-политической направленности социалистических обязательств явилось предметом неослабной заботы коллективов педагогических вузов страны.
Коммунистическая партия постоянно указывает на возрастающую роль формирования морального облика советского человека. С исключительной силой значение нравственного воспитания было подчеркнуто на XXV съезде КПСС. «Ничто так не возвышает личность, — указывалось в Отчете ЦК КПСС XXV съезду партии, — как активная жизненная позиция, сознательное отношение к общественному долгу, когда единство слова и дела становятся повседневной нормой поведения. Выработать такую позицию — задача нравственного воспитания».
Коллективы педагогических вузов страны, выполняя исторические решения XXV съезда КПСС, выдвинули новые конкретные мероприятия по совершенствованию воспитательной работы среди студентов, повышению ее эффективности в процессе выработки активной жизненной позиции будущих педагогов. Они рассматривают осуществление данных мероприятий как свой важный государственный и общественный долг.
Одна из ответственнейших задач воспитания на современном этапе — пропаганда материалов XXV съезда КПСС.
В вузах завершился первый этап пропаганды решений XXV съезда КПСС. Теперь эту работу предстоит значительно расширить и углубить.
Одно из основных направлений воспитательной работы среди будущих специали¬
5


стов, имеющее непреходящее значение, — это формирование убежденных патриотов социалистического общества и последовательных интернационалистов. Данное направление деятельности постоянно находится в центре внимания вузовских коллективов. Опыт патриотического и интернационального воспитания студентов был творчески обогащен коллективами педвузов во время празднования таких выдающихся политических событий в жизни страны, как 50-летие образования СССР и 30-летие Победы советского народа в Великой Отечественной войне. Коллективы педвузов страны всемерно стремятся развить накопленный опыт в интересах успешного решения коренных задач коммунистического воспитания.
Организация коммунистического воспитания продолжает успешно развиваться в ходе подготовки к 60-летию Великой Октябрьской социалистической революции.
Борясь за претворение в жизнь решений XXV съезда КПСС, педвузы настойчиво добиваются, чтобы молодая поросль советского учительства продолжила славную эстафету своих старших товарищей и внесла достойный вклад в коммунистическое воспитание молодежи Страны Советов — родины первого в мире социалистического государства.
Выступая на Всесоюзном съезде учителей, Генеральный секретарь ЦК КПСС товарищ Леонид Ильич Брежнев сказал: «Учитель, образно говоря, осуществляет связь времен. Он звено в цепи поколений. Он как бы передает эстафету из настоящего в будущее,
и это делает его труд таким увлекательным, истинно творческим».
Комплексно решая задачи воспитания, коллективы педагогических вузов неуклонно руководствуются указаниями XXV съезда КПСС: «Мерило успеха политического воспитания масс, конечно, конкретные дела. Коммунистическая идейность — это сплав знаний, убеждения и практического действия».
С каждым днем растут масштабы и убыстряются темпы славных свершений советского народа в строительстве коммунизма. Как отмечал товарищ Л. И. Брежнев в своей речи на партийно-хозяйственном активе Казахстана, подъем, который нам предстоит преодолеть в ближайшие 5 лет, мы начали в целом в хорошем ритме.
Прирост промышленного производства за 7 месяцев составил по стране около 5% при плане 4,3%. Сверх плана реализовано промышленной продукции более чем на 4 млрд. руб. Страна получает сейчас значительно больше, чем намечалось планом, топлива, металла, электроэнергии, продуктов химической и машиностроительной промышленности.
Первый год десятой пятилетки проходит для тружеников сельского хозяйства под знаком большого трудового подъема.
Советский учитель может с гордостью сказать, что, принимая активное участие в развитии образования советских людей и их воспитании, он также вносит свой достойный вклад в решение задач десятой пятилетки.


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В X КЛАССЕ1 Алгебра и начала анализа Глава VII. Первообразная и интеграл
Этот материал новый для средней школы. Его цель — ознакомление учащихся с интегральным исчислением. Операция интегрирования обратна операции дифференцирования, поэтому изложение опирается на дифференциальное исчисление. Для глубокого понимания материала этой главы нужно, чтобы учащиеся хорошо понимали идеи и методы дифференциального исчисления.
97. Первообразная (2 ч)
Знания и умения. Знать определение первообразной и уметь его применять для нахождения первообразных в простейших случаях. Уметь проверять, является ли функция F первообразной для функции f на данном промежутке. Знать, что первообразная определяется неоднозначно.
Методические рекомендации. С понятием производной учащиеся знакомились на примере из механики. Физический смысл производной заключается в том, что если задана координата точки как функция от времени (при
1 Публикуемый материал является кратким изложением содержания «Книг для учителя» по алгебре и началам анализа и по геометрии. Рекомендации к главе VI по алгебре и началам анализа и к главам IV и V (частично) по геометрии были помещены в журнале «Математика в школе», 1976, № 4, с. 11—30.
движении точки по прямой), то скорость точки есть не что иное, как производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости по времени.
Однако для механики такая ситуация нетипична. Обычно законы механики позволяют определить силу, действующую на тело (или материальную точку), а следовательно, и ускорение в каждый момент времени. Таким образом, приходится решать обратную задачу: по известному ускорению найти скорость и координату точки. В таком виде решение, естественно, неоднозначно, и приходится давать некоторые дополнительные условия (обычно это координата и скорость точки в какой-либо момент времени), после задания которых решение становится однозначным.
Классическая механика изучает такие системы, прошлое и будущее которых однозначно определяется состоянием системы в какой-ли- бо момент времени (т. е. заданием координат и скоростей всех точек, входящих в систему, в этот момент времени).
Для решения подобных задач служит операция интегрирования, т. е. нахождение функции по ее производной.
Строго говоря, из законов Ньютона чаще получают связь между координатой, ее первой и второй производной по времени и временем, т. е. некоторое дифференциальное уравнение для координаты как функции времени. Решение дифференциальных уравнений также основано на операции интегрирования.
Следует обратить внимание учащихся на то, что первообразная F функции f (в данном в учебном пособии определении) определена на промежутке, причем первообразная дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
Учителю следует учитывать следующие замечания (учащимся об этом говорить не надо).
Для решения задач иногда бывает удобно считать первообразной для функции /, заданной на открытом промежутке ]а; Ь\, функцию F, которая задана на замкнутом промежутке [а; Ь] и обладает следующими свойствами: 1) функция F дифференцируема в
каждой точке открытого промежутка ]а; Ь[ и F' (х) = / (х) на этом промежутке;
2) 	функция F непрерывна в точке а справа и в точке b слева2. Приведем два примера:
а) 	функция Ух есть первообразная для функции —\г=. на промежутке [0; 1], так как на 2 у х
2 Необходимые уточнения для случая, когда «добавляется» только один из концов промежутка ]а\ Ь[: тогда требуется непрерывность справа для «левого» конца и слева для «правого» конца.


JO; 1 ] имеем (|Л*У= j-L=- и функция у =
= УГх непрерывна справа в точке 0; б) функ" ция Yх?> есть первообразная для функции
-\г х на промежутке [0; 1], так как (1-Лх:3)^ 3 —-
= -^-Y х в каждой точке промежутка [0; 1]
и функция у = У хл непрерывна справа в точке 0. В первом из этих примеров функция / вообще не определена в точке 0, во втором функция F не дифференцируема в точке 0, так как в любой окрестности этой точки есть точки отрицательной полупрямой, в которых F не определена, а следовательно, не может быть непрерывной и, тем более, дифференцируемой в этой ■* точке. В последнем случае, правда,
у функции F (х) — Ух3 существует производная справа в точке 0, и эта производная равна 0, т. е. совпадает со значением функции f (х) в точке 0. Первообразные описанного вида иногда называют обобщенными первообразными.
В этом пункте показано, что решение задачи о нахождении первообразной определено неоднозначно, однако то, что фактически уже получен общий вид для первообразных, будет доказано в следующем пункте.
Замечания к упражнениям
При выполнении упражнений 392—397 достаточно проверить, что функция F дифференцируема в каждой точке указанного открытого промежутка и что ее производная есть функция /.
з _1_
392. a) F (л) = 3 \гх — Ъх 3. Эта функция дифференцируема на промежутке ] 0; оо[ и
1 — — 1 —
F' (х) = 3 -i- л 3 =х 3 =/(*).
397*. а) .F(.*:) при •*€](); +оа[=> =>F'(x)*=- + 1 =/(.*); б) /*'(.*:) = — х при х £ ] — оо; 0[=> =>/=■'(•*) = ~1 = /(*)•
93 Основное свойство первообразной (1ч)
Знания и умения. Уметь формулировать признак постоянства функции, доказывать теорему об основном свойстве первообразных, уметь находить первообразную, график которой проходит через указанную точку, знать первообразные степенной и тригонометрических функций, помещенных в таблице.
Методические рекомендации. Доказательст¬
во признака постоянства функции не слишком сложно, и при наличии времени учитель может его рассмотреть с учащимися. Необходимость уже была доказана. Идея доказательства достаточности проста: если функция не есть постоянная, то в каких-то двух точках ее значения не равны. Тогда к данной функции можно добавить линейную функцию вида kx так, что значения в этих двух точках сравняются. С другой стороны, полученная функция монотонна, так как ее производная равна числу k.
Проведем полное доказательство (методом от противного). Предположим, что ^'(.хО^О для всех х из интервала j а; Ь[ч но на этом интервале есть две точки хг и х2 такие, что
£(■*!)=£ г (*г)-
Рассмотрим вспомогательную функцию h(x) —g(x)+kx, где число k выбрано так, чтобы h(xi)=h(x2), т. е.
g (Xi) +kxi =g (x2) +kx2,
откуда
£ = g (x2) — g (■*,)
X\ *2 ’
Так как по предположению g{x2) Ф g(xx), то k^0. С другой стороны, h'(x) = g'(x) + + (kx)' = 0 -j- k = &, так как ^'(д:) = 0 по- условию. Следовательно, h(x) сохраняет постоянный знак на интервале ]а; Ь[, откуда вытекает, что h(x) монотонна на интервале ]а\ Ь[ (возрастает при &>0, убывает при £<0), что противоречит равенству h(xx) = h(x2). Полученное противоречие означает, что сделанное предположение неверно, т. е. ^(л:) постоянна на ]а; Ь[.
Важно добиться понимания того, что указание точки, через которую проходит график искомой первообразной, или, что то же самое, значение первообразной в какой-либо точке, уже однозначно определяет эту первообразную.
Отметим также, что запись первообразной в виде F(x)-\-C подразумевает, что С имеет вполне конкретное, хотя и произвольное, значение. Совокупность всех первообразных функций f в курсах анализа часто называют неопределенным интегралом от функции /, .в отличие от определенного интеграла, который вводится далее (см. п. 101). Определенный интеграл в данном курсе называется просто «интегралом».
Первообразные для функций и s-^—
таблицы п. 98 определены на каждом из промежутков ] y -J- izk [, k € Z и j кк;
8


Ttk -f тс[, k£Z соответственно. При этом надо иметь в виду, что на каждом из этих промежутков постоянная С, вообще говоря, своя. Это означает, что,например, первообразная для функции f (х)= - J на множестве J0;tt[uJtc; 2тс[
дается формулой
| —ctgx + Cj при 0О<>,
\ — ctgx + C2 при
где Ci в общем случае не равно С2.
На уроке выполнить: № 402, 404, 406, 408. На дом: № 403, 405, 407.
Замечания к упражнениям
402. Так как все первообразные для функ-
Х^
ции / (л:) = х3 содержатся в формуле — +С,
то достаточно подобрать постоянную С так, чтобы точка М (2; 1) лежала на графике искомой первообразной:
^ *4—h => (С == —3).
403. Все первообразные для функции sin* содержатся в формуле —cosx+C. Так как точка М (0; 3) лежит на графике искомой первообразной, то 3=—cosO+С, откуда С=4. Следовательно, искомая первообразная есть F(x) ——cos х-f4.
99. 	Три правила нахождения первообразных 12 ч|
Знания и умения. Знать формулировку теорем 1 и 2 учебного пособия. Уметь доказывать сформулированные в этих теоремах правила нахождения первообразных и применять эти правила при выполнении упражнений.
Методические рекомендации. Правила для нахождения первообразных вытекают из аналогичных правил вычисления производных.
Приводим замечания, предназначенные только для учителя. Если функция F(x) есть первообразная для функции /(х),то /г(ф(х)) — первообразная для функции Т77(ф(jc) ) -ф'(л:). Для доказательства достаточно найти производную функции F((p(a;)) по правилу дифференцирования сложной функции:
(ф (*)))'=^'(фМ)
Теорема 3 п. 99, как уже говорилось, есть частный случай полученного утверждения при <f(x) = kx-\-b. Тогда <р'(л:) = £, т. е. получаем, что функция F(kx-j-b) есть первообразная для функции kf(kx-\- b) и, значит, по теореме 2 первообразная для jf (kxЬ) &а:ъ
-j-F{kx-\-b). В курсах математического ана¬
лиза полученное утверждение называют теоремой о замене переменной. Следует иметь в виду, что если F (jc) первообразная для f (х) на промежутке /, то /•'(?(.*)) есть первообразная для /г/((р(л:))-ср/(л:) на любом промежутке У таком, что <р (л:)£/ для любого x£J. Поэтому при использовании теоремы 3, особенно в тех случаях, когда важно знать, на каком промежутке найдена первообразная, надо соблюдать известную осторожность. Поясним сказанное на
примере. Так как для функции —первообразной на промежутке ]0; оо[ будет, например, функция то по теореме 3 для функ- ции — ^ _22первообразной будет функция
(-4-)
1
(1 — 2xf
при этом 0 •< 1 — 2х <оо,
откуда —1<— 2лг<оо, т. е.
оо.
Таким образом, по теореме 3 получили, что функция —y ■ ^ _^2xf ~~ пеРВ0°бразная для функции — ^ на пРомежУтке ] —1
Если бы мы в качестве исходного промежутка взяли промежуток ] — оо; 0 [ ^функция
-^2 первообразная для функции — — и на этом
промежутке), то получили бы, что функция
(—^ _^2xf первообразная для функ-
2 1 ции — (~|’~2.г)з на промежутке ]— ;оо[. В общем случае для определения концов и и v «нового» промежутка по концам с и d «старого» промежутка при нахождении первообразной по теореме 3 нужно решить два линейных уравнения ku-\-b = c и kv-\-b = d. Концы «нового» промежутка — корни этих уравнений.
Ситуации, когда нужно указывать концы промежутка, возникают сравнительно редко. Разбирать с учащимися примеры, в которых требуется найти промежуток, не следует. Как правило, промежутки, на которых функция F является первообразной для функции /, автоматически определяются из формул для этих функций. Именно в силу этих причин в условиях упражнений ничего не говорится о промежутках, на которых нужно найти первообразную.
Сформулированные теоремы удобно записывать при помощи знака неопределенного ин¬
9


теграла (напомним, что совокупность первообразных для функции f принято называть неопределенным интегралом от функции f и обозначать символом / f(x)dx\ например: J cosx dx=sinx+C. Тогда указанные правила допускают чисто символическую запись:
J (f(x)+g(x))dx= j f(x)dx+ f g(x)dx,
J kf (x)dx=k j f (x)dx,
-J- b)dt = ~Y^f(x)dx, где x = kt + b
(т. e. в правую часть после нахождения tff(x)dx надо вместо х подставить kt-\-b).
Преимущество такой символики заключается в следующем: сокращается запись теорем и решений в связи с заменой словесного описания короткой символической записью, в частности не пишется слово «первообразная» и произвольная постоянная С. Тем не менее понятие «первообразная» все равно должно будет появиться при введении формулы Ньютона — Лейбница, так что понятие «неопределенного интеграла» окажется просто дополнительной нагрузкой для учащихся, а преимуществ не будет, так как они связаны с сокращением записи и ощутимы только при решении значительного числа задач при выработке технических навыков, что, естественно, не входит в задачу средней школы. Кроме того, появляются дополнительные логические сложности, обусловленные, например, тем, что в формуле / (/(*) +S(x))dx= ff(х)dx+ Jg(х)dx произвольные постоянные, содержащиеся в символе / в каждом из интегралов, вообще говоря, различны; поэтому формально нужно обосновывать, что при всевозможных значениях произвольных постоянных Ci и С2 сумма С\+С2 также принимает всевозможные значения, т. е. С1 + С2 также произвольная постоянная. Наконец, понятие «неопределенный интеграл» по своему смыслу логически сложнее понятия «первообразная». Этим объясняется отсутствие в учебном пособии понятия неопределенного интеграла.
Изложение материала можно построить следующим образом. Выписав на доске два равенства, например
(sin хУ = cos х, (л:2)' = 2х,
спросить, можно ли, исходя из этих равенств, указать какие-либо первообразные функций cos х и 2х. После ответа на этот вопрос выписать производную суммы sin*-}-*2-
(sinх + х2)'= (sinх)' + (*2)'= c°s л: -г 2х.
Затем попросить указать хотя бы одну из пер- вообразных функции,
Оказалось, что в качестве первообразной для суммы функций cos х н х2 можно взять
сумму первообразных этих функций. То же самое будет справедливо и в общем случае, о чем говорит теорема 1.
Отметим, что при доказательстве теорем 1, 2 и 3 нужно найти одну из первообразных для функций f(x)-{-g(х), kf(x) и f(kx+b) соответственно и только после этого воспользоваться теоремой предыдущего пункта об общем виде первообразной. Если сразу выписывать общий вид первоообразных для функций f и g, например в теореме 1, то затем придется доказывать, что сумма С1 + С2 двух произвольных постоянных снова произвольная постоянная.
На первом уроке можно провести самостоятельную работу С-17 и рассмотреть материал п. 99. Н а дом: № 409—413.
На втором уроке: № 414, 417 и самостоятельная работа С-18. На дом: № 415,
418.
Замечания к упражнениям 409. Так как первообразной для функции х2
X3
является функция то по теореме 2 п. 99 для функции 5х2 первообразной будет функ-
К
ция -д- х3. Далее для функции / (х) = — 1 первообразная есть — х, поэтому в силу теоремы 1 п. 99 для функции 5х2 — 1 первообразной бу-
дет функция — х3 — х + С.
411. Для функции g(x) = —-L=- первооб-
У х _
разной будет функция О (х) = 2 Ух, х > 0.
Так как —r=L==-= g(Ax + 6) при k= 2 и b= у 2х + 7
= 7, то по теореме 3 п. 99 для функции упервообразной является функция
Y* 2]/г2х + 7, т. е. функция 1/2х+7, х > > — 3,5. Следовательно, искомая первообразная есть 5 ]/2х + 7 4-С, х> — 3,5.
412. F (х) = 3--g-tg5x + С =tg 5х + С»
415. /?(jt)-7.-|-(-cos-0 + 2.-ltg4.s+
“3“
-(- С = — 21 cos -д—|—tg 4х -J- С.
416*. Так как для функции и(х)= —,
/х*
3
х > 0 первообразная есть 3 Ух, то при х<2,5
ю


первообразной для g (л:) = будет
/(5—2л:)2
3 з
функция '5—2х, g{x) = v(kx-{-Ь) при
k = —- 2, b = 5; при х >> 2,5 — функция ~ з
— К2* —5, g(x) = y(kx + Ь) при £ = 2, 5.
Окончательный ответ:
3
- 6 1/5 - 2х - 2 sin + С
ПрИ х<2'5'
6 ]/2л; — 5 — 2 sin -г-- + С
при л;>2,5.
100. 	Площадь криволинейной трапеции (2 ч)
Знания и умения. Знать формулировку теоремы о вычислении площади криволинейной трапеции. Уметь вычислять площади криволинейных трапеций, используя теорему этого пункта.
Методические рекомендации. При выбранной единице измерения длины площади фигуры Ф приписывается некоторое неотрицательное число S(<D). Таким образом, должна быть определена функция на множестве фигур на плоскости, обладающая рядом известных свойств площадей (эти свойства будут перечислены ниже), и оказывается, что ее нельзя определить на множестве всех фигур на плоскости; фигуры, для которых определена функция 5(Ф), называют квадрируемыми. Перечислим основные свойства площадей (рассматриваются только квадрируемые фигуры).
1. Площадь является неотрицательным числом: 5(Ф)>0 для любой (квадрируемой) фигуры Ф.
2. Если фигура Ф представлена в виде объединения непересекающихся фигур Ф1 и Ф2 или если их пересечением служит линия, то S(®)=S(®!)+S(®2).
3. Если фигура Ф1 содержится в фигуре Ф2, то S(®i) i^S(<D2).
4. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади.
5. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1.
Построить функцию 5 (Ф) можно следующим образом. Рассмотрим на плоскости сетку, образованную прямыми, параллельными осям координат и проведенными через все целочисленные точки этих осей. Эти прямые разбивают плоскость на квадраты со стороной 1.
Обозначим множество всех таких квадратов через R. Дальнейший ход рассуждений напоминает определение площади круга, только вместо вписанных и описанных в окружность правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон будут рассматриваться вписанные и описанные фигуры, состоящие из полученных квадратов при уменьшении длин сторон квадрата в два раза.
Естественно считать (по определению), что если фигура составлена из k квадратов со сто-
« 1 k гл
ронои “2* , то ее площадь равна ^п. Определим теперь для каждой фигуры Ф две последовательности (рп) к (qn) следующим образом: обозначим через ро площадь фигуры, образованной всеми квадратами из множества /?, целиком содержащимися в данной фигуре Ф, а через qo — площадь фигуры, составленной из квадратов, имеющих с Ф хотя бы одну общую точку. Разобьем теперь каждый квадрат на четыре конгруэнтных квадрата. Обозначим через Pi площадь фигуры, составленной из всех полученных от разбиения квадратов со стороной
(напомним, что площадь такой фигуры равна k • -^5-, где k — число квадратов), целиком содержащихся в фигуре Ф, а через q\ — площадь фигуры, составленной из всех
квадратов со стороной -у-, имеющих хотя бы
одну общую точку с фигурой Ф. Так как все квадраты, которые содержались в Ф на предыдущем шагу, будут все равно содержаться в фигуре Ф (при этом приписываемая таким квадратам площадь не изменится, каждый такой квадрат будет состоять из четырех новых квадратов, но новому квадрату приписана площадь в 4 раза меньшая) и могут добавиться новые квадраты, содержащиеся в фигуре Ф, то po^pi-
Аналогично qo^qi, так как квадрат, имевший общую точку с Ф, может разбиться на такие четыре квадрата, некоторые из которых не будут иметь общую точку с Ф, при этом к «описанной» фигуре ни один из маленьких квадратов добавиться не может — этот квадрат является частью квадрата, не имевшего с Ф общих точек. Далее, аналогичным образом определяются р2^р\ и q2^qu ръ^р2 и <73^92 и т. д. Получаем две последовательности (рп) и (qn), первая из которых неубывающая, а вторая — невозрастающая. Легко видеть, что последовательности ограничены, например Pn<qo и q7i>po для любого п. По теореме Вейерштрасса каждая из последовательностей (Рп) и (qn) имеет г;едел:
11


llm pn = p, Urn qn = q.
Л-> oo П~>оо
Ясно, что p^q.
Если p = q (и только в этом случае), то говорят, что фигура Ф квадрируема и 5(Ф) полагают по определению равным руУЦп. Можно показать, что построенная функция 5(Ф) обладает свойствами 1—5 и что площади известных из геометрии фигур (многоугольников и частей круга) находятся по формулам, выведенным в курсе геометрии.
Можно показать также, что любая криволинейная трапеция — квадрируемая фигура. Строгое обоснование свойств функции — довольно трудоемкое занятие, поэтому в школьном курсе следует ограничиться интуитивным пониманием площади и ее свойств.
Доказательство для общего случая помещено в п. 100 петитом и поэтому необязательно для всех учащихся. Однако разбор примера для функции у=х2, заданной на отрезке [1; 2], дает полное представление о схеме доказательства этой теоремы.
В классе выполнить № 421, 423. На дом: № 419, 420, 422. В качестве дополнительных упражнений можно использовать № 496(a) и 497.
Замечания к упражнениям
419. 	Данная фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции у=х2у отрезком [0; 3] оси Ох и прямыми х=0 и х=3. Первообразной для функции у=х2 будет
хз
F(x) = -g-. По теореме 1 п. 100 площадь
этой криволинейной трапеции равна F(3) —F(Q)=9.
423. Для у = 2х — х2 первообразная есть
F (х) — х2 — -д--*:3. Найдем точки пересечения
графика функции 2х — х2 с осью абсцисс:
2х— х2=0, лг=0 или х=2. Следовательно, площадь данной фигуры равна
F (2) — Z7 (0) = 4 1 0 4-0 = 1-1-.
101. 	Формула Ньютона-Лейбница (2 ч)
Знания и умения. Знать и уметь доказывать свойство независимости приращения первообразной от выбора первообразной. Знать определение интеграла, обозначения ъ
^f{x)dx и F{x)\ba,
а
геометрический смысл интеграла для неотрицательных функций.
Методические рекомендации. При принятом в курсе порядке изложения материала понятие (определенного) интеграла вводится, по существу, лишь как новое обозначение для приращения первообразной. С приращением первообразной учащиеся уже сталкивались в предыдущем пункте. Новым является доказательство независимости приращения первообразной от выбора самой первообразной. Для неотрицательной функции приращение независимо от выбора первообразной и равно площади соответствующей криволинейной трапеции. Однако в данном пункте функция f может быть любой, имеющей первообразную, поэтому доказательство проводить надо. Это доказательство гарантирует, что интеграл не зависит от выбора первообразной, т. е. зависит только от подынтегральной функции. В таких случаях говорят, что данное определение корректно.
Специальное название для формулы ь
^f(x)dx = F(b)-F{a)
а
объясняется сравнительно просто. Исторически сложилось, что (определенный) интеграл был введен как предел интегральных сумм (см. п. 104). При таком введении интеграла формула (1) выражает довольно важную теорему. В курсе X класса эта теорема формулируется следующим образом: если существует предел интегральных сумм для функции f(x), то этот предел равен
^ / (x)dx.
а
При изучении материала этого пункта следует обратить внимание учащихся на следующее:
1) функция f(x) может быть любой, имеющей первообразную на промежутке /;
2) а и b — произвольные числа промежутка /, в частности может быть а>Ь и а=Ь\
3) а и 6 —числа промежутка, на котором функция имеет первообразную, например, нельзя
1
говорить об интеграле ^ так как функ-
—2
ция имеег первообразную на промежутках ] — со; 0[ и ]0; оо[ и числа —2 и 1 принадлежат разным числовым промежуткам.
Геометрический смысл интеграла (при Ь>а) от произвольной непрерывной функции (т. е. не обязательно неотрицательной) состоит В: следующем: определенный интеграл
12


и
^f{x)dx равен разности площади Si части
а
криволинейной трапеции, лежащей выше оси абсцисс, и площади S2 части криволинейной трапеции, лежащей ниже оси абсцисс (ср. упражнения 444 и 520): ь
(x)dx = Si — S2-
a
Знание этого учащимися необязательно.
На первом уроке можно изучить содержание п. 101 (до примера 3) и выполнить упражнения 425, 427 и 429. Н а до м: № 426,428, 431 и 432.
На втором у роке разобрать пример 3 и выполнить упражнения 430, 436, 438. На дом: № 433, 434, 437.
Замечания к упражнениям
При вычислении определенных интегралов целесообразно использовать знак подстановки (см. пример 2, п. 101). Допустима запись решения, аналогичная примеру 1, п. 101, однако ее следует употреблять только тогда, когда нахождение первообразной вызывает затруднения.
425.
• §-4|- = 2К*|?=2(К4-1Л )=2.
426. j
= tg*l4 =tg-
428
■ s
dx cos2 x
со sxdx = sin x
■■ sin-
tg0 = l.
sin 7Г = 1.
436. Корни квадратного трехчлена 2-\-x— x2: X\ = — 1, x2=2. По формуле (4) п. 101 площадь данной криволинейной трапеции равна
2
S= ^ (2 + x — x2)dx = 2х + -у-—--у-
-1
2
-1
о 1 , 1 1 >1 1
— 3Т + 1"б_ — 4т*
438. Найдем точки пересечения графиков функций у=х2 и у=2х. Для этого надо решить систему уравнений
= **2
Л*
2х.
Решения этой системы: х=0у у=0 и х=2,
у=4. Поэтому А (0; 0) и В (2; 4). Искомая
площадь может быть найдена как разность площадей треугольника ABC и криволинейного «треугольника» АРВС:
2
5 = -^- | АС\-\ВС\ — ^x2dx =
Отметим, что Sabc можно вычислить и как интеграл:
2
SABC = ^ 2 xdx = х2 р = 4 — 0 = 4. о
В качестве дополнительных упражнений можно использовать упражнения 505, 506, 510, 512, 498—501.
П. 102—105 не изучаются.
Геометрия
Глава V. Многогранники
Задача об измерении объемов ставится для произвольных многогранников, в том числе и невыпуклых. Она аналогична задаче об измерении площадей многоугольников.
Существование и единственность объема для каждого многогранника (при выбранной единице длины) принимается без обоснования. На основе этого допущения и свойств объемов выводятся формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, прямой и наклонной призм и пирамиды.
Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда для случая, когда числовые значения его измерений являются рациональными числами, доказана в курсе геометрии VIII класса. Поэтому в пособии для X класса рассматривается только случай, когда среди числовых значений измерений прямоугольного параллелепипеда имеется хотя бы одно иррациональное число (доказательство для этого случая от учащихся не требуется).
Теоремы об объеме прямой и наклонной призм доказываются на основе общих свойств объемов многогранников.
Наибольшие трудности при изучении объемов многогранников представляет вывод формулы объема пирамиды. Здесь нельзя обойтись без применения предельного перехода. В учебном пособии вывод этой формулы основывается на понятии интеграла; интеграл рассматривается как приращение первообразной функции.
Вывод формулы объема пирамиды (с. 38— 39) осуществляется с привлечением формулы
13


объема наклонной призмы. Обойтись здесь формулой объема прямой призмы не удается, так как без значительного усложнения рас- суждений нельзя обосновать справедливость неравенства S (х) Дл;< Д (х+Ах) Ах (см. рис. 67 учебного пособия).
Формула объема усеченной пирамиды в программу не входит. Объем усеченной пирамиды вычисляется как разность объемов двух полных пирамид.
Приведем более подробные методические рекомендации по отдельным параграфам.
§ 55. Общие свойства объемов многогранников. Объем прямоугольного параллелепипеда (2 ч)
В параграфе дается представление об аксиоматическом определении объема на множестве многогранников, рассматривается теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда. Основное внимание на уроке рекомендуется уделить первому вопросу.
До постановки задачи измерения объемов многогранников полезно вспомнить задачу об измерении площадей многоугольников (из планиметрии). Затем по аналогии со свойствами площадей формулируются основные свойства объемов многогранников. Формулу объема прямоугольного параллелепипеда следует рассмотреть на первом уроке.
Случай, когда среди измерений параллелепипеда имеются иррациональные числа, не относится к обязательному материалу.
Учащиеся должны знать свойства объемов многогранников (не обязательно дословно) и уметь использовать их при доказательстве теорем и решении задач, знать формулу объема прямоугольного параллелепипеда и уметь применять ее к решению задач.
На первом уроке решить: № 111, ИЗ, 116. Н а дом: № 112, 114, 115.
На втором уроке: № 119, 122; дополнительно № 117. На дом: № 120, 121.
Решения и указания
114. Прямая /, содержащая высоту данной пирамиды, является осью симметрии пирамиды. Отсюда следует, что части пирамиды, разделяемые плоскостью сечения, симметричны относительно /, а поэтому конгруэнтны.
115. Пирамиды, основаниями которых служат противолежащие грани куба, центрально симметричны; пирамиды, имеющие общую боковую грань, симметричны относительно плоскости этой грани. Отсюда следует, что объемы всех шести пирамид равны, ~
§ 56. Объем прямой призмы (2 ч)
Формула объема прямой призмы сообщалась учащимся в курсе VIII класса без доказательства. В X классе ставится задача ее обоснования (теорема 33).
При доказательстве равенства объемов двух пар треугольных призм рекомендуется подробно разобрать применение центральной симметрии. Следует иметь в виду довольно распространенную ошибку учащихся: «Призмы имеют равные объемы, так как у них равновелики основания и равны высоты». Здесь — ссылка на доказываемую теорему!
Учащиеся должны уметь доказывать теорему 33 (оба случая) и применять ее к решению задач.
На первом уроке решить: № 123(1),
125. На дом; № 123 (2), 124.
На втором уроке решить: № 126, 129; дополнительно № 172. На дом: № 127, 128.
Решения и указания
123. 2) Рассмотрим случай, когда Q1 = Q2, но Р\фР2 (например, у двух прямоугольников со сторонами длиной 2 м и 2 м, 1 ми4м). В таком случае из равенства РхНх — Р2Н2 следует: Н\ФН2 и У\ФУ2.
§ 57. Объем наклонной призмы (2 ч)
На первом уроке следует рассмотреть теорему 34 и ее следствие, необходимое для решения задач.
При доказательстве следствия в учебном пособии оставлено без обоснования равенство угла между плоскостями основания и сечения призмы углу между перпендикулярами к этим плоскостям .Если учитель пожелает выполнить это обоснование на уроке, то потребуется еще один чертеж (см. рисунок),
Л
В
Пусть а и Р — плоскости основания и сечения соответственно, (АгО)±а9 (АгА2)±Ь угол А2Ми получен при пересечении острого двугранного угла а£С$ плоскостью АхА20, т. е.
14


является линейным углом двугранного угла аВС$. В самом деле: ((j4ij42)_LP, cl с Р) => => (a _L (AiA2)), ((АгО) ±в, a d cl)=> (а ±
± ЛхО)). Отсюда а (АхА90) и, следовательно, a_L{AiK) и а±(ОМ). Из прямоугольных треугольников А2АХК и КОМ получим: А^А\К = 90° - а£кАъ КМО = 90° -
/\
— МКО, где углы А2КАг и МКО вертикаль-
/\ /\ ные. Следовательно, А2АгК = К МО.
Заметим, что ссылаться здесь на свойство углов со взаимно перпендикулярными сторонами нельзя, так как это свойство в планиметрии не рассматривается.
Учащиеся должны уметь доказывать теорему 34 и следствие из нее, научиться применять их при решении задач.
На первом уроке решить: № 132; дополнительно № 131 (1). На дом: № 130, 131 (2).
На втором уроке решить: № 133; дополнительно № 135. На дом: № 134, 178. Повторить определения производной и интеграла по учебным пособиям алгебры и начал анализа.
Решения и указания
133. Затруднения возможны лишь при нахождении объема. Следует сначала обосновать, что проекция О вершины А\ призмы принадлежит биссектрисе угла BAD.
§ 58. Объем пирамиды (3 ч)
На первом уроке рассматривается доказательство теоремы 35. Следующие два урока отводятся для решения задач.
Повторяется определение интеграла:
ь
\f(x)dx = F(b)-F(a).
а
Здесь F (х) — первообразная функция для / (л) на [а\ Ь], т. е. F'(x) = /(х) на этом отрезке. Дальнейшие усилия будут направлены на доказательство того, что V (х) является на [0; Н] первообразной функцией для S (х). Найдем
V'(x)= Urn
Ад ->0
Дадим х приращение Ах
и т. д. В связи с нахождением S(x) следует остановиться на повторении свойства площадей гомотетичных многоугольников: отношение их площадей равно квадрату коэффициента гомотетии. Это свойство остается верным и для гомотетичных многоугольников, не лежащих в одной плоскости.
Заметим (для учителя), что переход от неравенства
5(л:)<^<5(л: + Ад:) (1)
к равенству 11т =£(•*), интуитивно очевид-
Длг->0
ный учащимся, может быть обоснован с помощью определения предела функции и свойств неравенств. По определению непрерывной функции lim 5 (л: + Дд:) = S (х), тогда для
&Х->0
любого е^>0 существует о 0 такое, что при Ах < 8 (Да: > 0) выполняется неравенство + Дх) — 5(л)|<б. Из неравенства (1)
следует, что и |^К_£(;с)| <е, т. е.
!im =
Дт->0 ах
Учащиеся должны усвоить доказательство теоремы 35, уметь ею пользоваться при решении задач.
На первом уроке решить: № 137; дополнительно № 138 (1). На дом: № 136, 140.
На втором уроке решить: № 138(2),
141, 142 (1). На дом: № 139, 143.
На третьем уроке решить: № 144, 145; дополнительно № 318. На дом: № 146, 176, 180.
Решения и указания
142. 1) Если за основание тетраэдра принять одну из боковых граней, то его высотой будет служить одно из данных ребер.
2) Обозначим длины боковых ребер через 1 1 х, у, z, тогда V — -^-xyz. Имеем: 5х = -2 ху,
S2 = y*z> 53 = ууг. Перемножив эти равенства, получим 5iS253 = -g- (xyz)2, откуда
xyz = 2V2SiS'jSs и y = ^-l/2S^sL
172. Рассмотрим функцию V = аЪН sirup аргумента <р на Промежутке ] 0°; 180°[. Она принимает наибольшее значение при ср = 90°.
176. Пусть в прямой призме АВСАхВхСх
ВСА = 90°, ВАС = <*, AiBCx = §. Так как (ЛС,)±(СС!) и (ЛАШад), то (А1С1)± ± (ВСХ) и Д AiCxB — прямоугольный. Рассматривая ответ задачи
(у = *4 sift {Г >'cos(a + p)cos(a-p) ),
замечаем, что при выполнении условий с^>0,
15


0°<><<90о, 0°<р<90° полученная формула имеет смысл лишь в случае а + Р <С 90°.
180. Если число сторон основания правильной пирамиды четно, то основание О высоты является центром симметрии основания. Поэтому всякая прямая, проведенная в плоскости основания через точку О, делит основание пирамиды на две равновеликие части. Отсюда следует равенство объемов пирамид, на кото¬
рые разбивает данную пирамиду плоскость, проходящая через ее высоту.
Если число сторон основания нечетно, то точка О не является центром симметрии основания. В этом случае равенство объемов частей пирамиды, вообще говоря, не имеет места. Например, если пирамида правильная треугольная, то прямая, проведенная через центр основания параллельно его стороне, разбивает основание на две неравновеликие части.
Р. Г. Чуракова, К. И. Шалимова
(Москва)
О ТЕМАТИЧЕСКОМ ПОВТОРЕНИИ КУРСА АЛГЕБРЫ
И НАЧАЛ АНАЛИЗА В X КЛАССЕ
В 1976/77 учебном году на новые программы по математике переходят десятые классы школ Российской Федерации.
Курс X класса является завершающим. В целях систематизации полученных знаний большое внимание в нем должно быть уделено вопросам повторения. В связи с этим учебное пособие «Алгебра и начала анализа 10» включает раздел «Материал для повторения». Этот раздел целесообразно использовать как в процессе изучения нового материала, так и при обзорном повторении.
Повторение в зависимости от преследуемой цели организуется в течение года по-разному. Выделим некоторые из основных линий повторения в курсе X класса.
Уроки повторения в начале учебного года. Такому повторению целесообразно посвятить первые три урока.
На первом уроке повторить определения тригонометрических функций числового аргумента, графики синуса, косинуса и тангенса, знаки значений тригонометрических функций. При повторении графиков функций, используя наглядные представления, следует отметить, что график непрерывной функции — непрерывная линия; вблизи точки х = 0 график функции у = sin л: близок к графику функции у = х. Это положение поможет учащимся подять пря .изу¬
чении нового материала (п. 75) смысл равенства
,, sin х л lim = 1.
*->о х
Кроме того, при повторении определения синуса и косинуса числа полезно подчеркнуть, что при повороте JRo, где 0<х<2тс, длина дуги равна ху так как окружность единичная, а / = = г-х.
На втором уроке повторяются темы «Косинус и синус суммы», «Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций». Используя теоремы сложения для синуса и косинуса, в качестве упражнений выводятся формулы приведения для углов я/2, Зя/2 (упр. типа 658, IX кл.). В связи с этим на прохождение темы «Формулы приведения» целесообразно выделить не 3, а 2 часа.
На третьем уроке необходимо повторить определение производной, геометрический смысл производной и правила дифференцирования. Из раздела «Материал для повторения» рассмотреть п. 15 (2°, 3°, 4°, 6°).
Текущее повторение. Оно способствует усвоению нового понятия (первообразная, интеграл, дифференциальное уравнение, гармоническое колебание и т. п.) или развитию той или иной основной линии (действительное число, функция, уравнение, неравенство, системы уравнений и неравенств и т. п.). Учитель должен четко представлять себе и доводить до сведения учащихся, на основе каких прежде изученных положений, определений, теорем, формул вводится новое понятие, доказывается новая теорема, правило.
Приведем примерный тематический план повторения, связанного с изучением нового материала в X классе (первые 3 урока, о которых уже было сказано выше, в таблицу не включены).
16


№ пункта
Наименование пункта или вида работы (число часов)
Повторение
1
2
3
75
76
79, 80
81
82
83
84
85
86
87
89
90
91
93
94
Производная синуса (1 ч)
Производные косинуса, тангенса, котангенса (2 ч)
Вторая производная. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний (2 ч)
Контрольная работа (1 ч)
Графики гармонических колебаний (2 ч)
Сложение гармонических колебаний с общим периодом (1 ч)
Контрольная работа (1 ч)
Формулы приведения (3 ч)
Обратная функция к непрерывной возрастающей (убывающей) функции (1 ч)
Свойства и график функции синус. Функция арксинус и решение уравнения sin х — а (3 ч)
Свойства и график функции косинус. Функция арккосинус и решение уравнения cos х= а (2 ч)
Свойства и график функции тангенс. Функция арктангенс. Решение уравнения tgx — a (2 ч)
Контрольная работа (1 ч)
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента (2 ч)
Тригонометрические функции половинного аргумента (2 ч)
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (1 ч)
Решение простейших тригонометрических неравенств (2 ч)
Примеры решения уравнений (2 ч)
тригонометрических
Определение синуса. Формула разности синусов К уроку: IX кл., п. 50, 71, 74, №> 396, 397, 659,695 Касательная к графику функции. Правила дифференцирования
К у р о к у: IX кл. примеры из п. 52 и 74.
На уроке: IX кл., п. 52 Производная функции
К уроку: X кл., «Материал для повторения», п. 15 (2°, 5°)
На уроке: там же, п. 15 (5°).
На материал предыдущих уроков, включая материал повторения
Графики синуса и косинуса К уроку: IX кл., № 658 (б)
Графики гармонических колебаний К уроку: X кл., п. 81, № 67 На уроке: С-4.
Теоремы сложения. Знаки значений тригонометрических функций
К у р о к у: IX кл., п. 67; X кл., «Материал для повторения», п. 10, 17 (2°, примеры 1—3)
На у р о к е: X кл. № 98—100, 114; С-5. __
Пары взаимно обратных функций у=х2 и у — ^х,
у = kx и у= -j-х, у=Ig х и у = 10х
К уроку: X кл., «Материал для повторения», п. 2 (3°); VIII кл., п. 21, 22 На уроке: на конкретных примерах разобрать смысл каждого положения, сформулированного в п. 84; X кл., «Материал для повторения», п. 2 (3°, рис. 123— 129)
Свойства и график функции синус К уроку: X кл., «Материал для повторения», п. 2 (3°, примеры 5—7), п. 5 На уроке: С-7.
Свойства и график функции косинус К у р о к у: X кл., «Материал для повторения», п. 2 (2°, 3°)
На уроке: X кл., № 161 —169 Свойства и график функции синус и косинус К уроку: X кл., п. 85, 86, № 370—372 На уроке: С-8.
Исследование тригонометрических функций К уроку: № 115, 367,^ 368, 158, 170 (г); постройте
график функции у — sin-g~*x; напишите какой-нибудь
промежуток, в котором у > 0 Формулы приведения
К уроку: X кл., п. 83, № 357, 358, 1071 На уроке: С-10.
Тригонометрические функции двойного аргумента К уроку: IX кл., п. 73, № 685 На уроке: С-11
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента К у р о к у: X кл., п. 89 На уроке: С-12
Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности К уроку: X кл., № 126, 130, 135 На уроке: X кл., № 153, 154, 156, 190, 191; С-14 Решение простейших тригонометрических уравнений К уроку: решение уравнений sinx = a, cos х—а.
tgx — a из п. 85, 86 (X кл.)
На уроке: С-15


1
95
97
98
99
ICO
101
108
109
110
111
.2, :
Продолжение
Доказательство тригонометрических тождеств (2 ч)
Контрольная работа (1 ч)
Первообразная (2 ч)
Основное свойство первообразной (1 ч)
Три правила нахождения первообразных (2 ч)
Площадь криволинейной трапеции (2 ч)
Формула Ньютона — Лейбница (2 ч)
Контрольная работа (1 ч) Показательная функция (3 ч)
Производная показательной функции. Число е (4 ч)
Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания (2 ч) Контрольная работа (1 ч)
Логарифмическая функция (3 ч)
Производная обратной функции. Производная логарифмической функции. Свойства логарифмической функции (3 ч)
Степенная функция и ее производная (1 ч)
Иррациональные уравнения (2 ч)
Контрольная работа (1 ч)
Тождества сокращенного умножения К уроку: X кл., «Справочный материал», (1°),
№ 1077
Тригонометрические тождества и уравнения К уроку: X кл, № 1064, 1087 (а, г), 1089 (б) Формулы дифференцирования
К уроку: X кл, «Справочный материал», (17° кроме производных показательной и логарифмической функции), № 1003 (а — в)
Первообразная
К уроку: X кл, № 398—401; найдите первообразные для функции f на R, если f(x)— cos х, f(x) = =—sin*, f(x)=cos~2x На уроке: геометрический смысл производной и формула С'=0
Правила вычисления производных К уроку: IX кл, п. 44, 49, 50, № 437, 439 Построение графиков функций у — х2, у — х~2, у — ах2-\-Ьх-\-с, у — sin*, у — 0, х = а К уроку: постройте схематически графики функций х=3, у — 5, у = х~2, у=(х + 2)2, у=cos-2*
_ з __
Построение графиков функций y = ^x, у='*]х, у—ах2-\- + Ъх + с
К уроку: постройте схематически графики функций у = 2 х — х2, х = —3, у = 0, у — хъ Первообразная функция. Интеграл К у р о к у: X кл, № 482, 489, 491, 496(a), 498, 1046 Определение показательной функции и ее свойства К уроку: VIII кл, п. 33 и устно № 527—529; X кл, «Справочный материал» (5°)
На уроке: устная проверка № 527 (а — в),
529 (а—г); X кл, №> 530—541, 558—563 Производные тригонометрических функций, первообразная, интеграл. Таблицы квадратов, кубов, квадратных корней (или использование логарифмической линейки)
К у р о к у: X кл, № 564 — 567 (используя логарифмическую линейку)
На уроке: используя таблицы, вычислите е, е2, е3, з_
J/е, У*?; X кл, № 572—581, 585-592 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний К у р о к у: X кл, п. 80 Производная показательной функции К уроку: X кл, № 554—557, 740—742, 750, 814 Свойства логарифмической функции y = \gx. Взаимно обратные функции
К уроку: X кл, «Материал для повторения» , п. 2 (3° примеры 6, 7)
На уроке: X кл, п. 111, (равенства 5, 8), № 635 — 638
Определение производной
К у р о к у: X кл, «Материал для повторения», п. 15 (Г, 2° до примера 1, 6°)
На уроке: уравнение касательной, X кл, № 707— 709
Построение графиков функций
К уроку: изобразите схематически графики функций у = х3 и г/ = *4; для функции ц = х* напишите уравнение касательной в точке (—1; 1)
Решение квадратных уравнений
К v р о к у: X кл, «Материал для повторения», п. 10 (2°, 3°)
На уроке: решение квадратных уравнений с по- мошыо теоремы Виета (устно)
Логарифмическая функпия и ее производная К уроку: X кл, № 655, 656, 763, 781, 782, 807, 808


П родолжение
1
119
120
121
122
123
Равносильные уравнения и системы уравнений (2 ч)
Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных (метод Гаусса) (3 ч)
Геометрическая иллюстрация решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными (I ч)
Нелинейные уравнения и системы уравнений (3 ч)
Системы неравенств (2 ч)' Контрольная работа (1 ч)
Уравнение с двумя переменными и его график К уроку: VIII кл., п. 2, № 10, 13 Геометрическая иллюстрация решения систем линейных уравнений с двумя переменными К уроку: VI кл., п. 57
На уроке: X кл., № 844—852 с ссылкой на геометрическую иллюстрацию и материал п. 8 из раздела «Материал для повторения»; С-28 Уравнение плоскости К уроку: «Геометрия 10», § 45
Решение тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений К уроку: X кл., № 1087 (б, в)
На уроке: С-30
Системы неравенств относительно двух переменных К уроку: VIII кл., п. 5, № 43, (в, г)
Системы уравнений и неравенств К уроку: X кл., № 911, 920, примеры 2 и 4 из п. 120
Примерно к 6 апреля должно быть закончено изучение нового материала. Составляя тематическое планирование по заключительному повторению, необходимо учесть, что в течение оставшихся уроков должны быть проведены 3 контрольные работы, из них 1 итоговая.
Обзорное заключительное повторение теоретического материала и решение задач по всему курсу имеют большое значение: совокупность знаний объединяется в систему.
В курсе алгебры и начал анализа был рассмотрен следующий класс числовых функций
f (х) = kx + b\ /(jc) = -|-;
/ (х) = ах2 + Ъх + с\ /„ = /(«),
«€ N; f(x) = ax; f(x) = logax; f(x) = xP, р£ R; /(jc) = sinjc;
/ (jt) = cos x; /(jc)=tgx; /(x) = ctgx.
Целесообразно провести повторение этого материала, используя графики функций. При этом повторяются такие вопросы: область
определения и множество значений функции, четность, нечетность, периодичность, непрерывность функции, производная функции, критические точки, промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции. При этом производные тригонометрических, показательных, логарифмических и степенных функций используются для исследования функций.
Следует иметь в виду, что ни в восьмилетней школе, ни в IX классе преобразование графиков функций не рассматривалось. В X классе рассматривается только преобразование графиков функций синуса и косинуса (графики
гармонических колебаний). В связи с этим при повторении соответствующего материала целесообразно рассмотреть и преобразование графика квадратного трехчлена (X кл., «Материал для повторения», п. 9).
Через систему упражнений, предложенных в разделе «Материал для повторения» и в «Дидактических материалах» для X класса, осуществляется повторение основных вопросов курса (тождество, уравнение, неравенство, системы уравнений и неравенств). Все эти вопросы рассматривались и по ранее действовавшей программе. Однако подбор заданий по этим темам существенно отличается от прежнего. На это надо обратить внимание, и при работе со всем классом на уроках повторения стараться не превышать уровня сложности упражнений (без звездочек) учебных пособий. Обязательный для всех учащихся уровень трудности при решении таких упражнений определяется следующими: X кл., № 299—303, 307, 310—328, 540—563, 624—627, 657—662, 681—700, 716—723, 774—783, 844—858, 888— 903, из п. 122 примеры 1—5. Необходимо обратить внимание и на № 1074—1077, этими примерами определена относительная трудность тождественных преобразований выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
В процессе изучения нового материала не повторялись такие темы, как «Метод математической индукции», «Комбинаторика», «Действительные числа», «Предел последовательности»; все они освещены в разделе «Материал для повторения» в учебном пособии для X класса. Составляя тематический план обзор¬
19


ного повторения, на это надо обратить внимание.
В X классе учащиеся впервые встречаются с дифференциальными уравнениями (/'(*) = = kf(x) и f"(x)=—cf(x)). При повторении необходимо учесть, что в основном этот материал дается учащимся в ознакомительном плане. Следует напомнить учащимся, что решением дифференциального уравнения называется любая функция, при подстановке значений которой и ее производных в уравнение получается верное равенство; напомнить, что у всякого дифференциального уравнения решений бесконечно много. Например, задачу об отыскании первообразной для функции f(x) можно рассматривать как задачу решения дифференциального уравнения F'(x)=f(x). Для приведения в систему этих знаний достаточно повторить решение упражнений типа 56—59, 624— 626.
После обзорного повторения целесообразно провести итоговую двухчасовую работу. Однако откладывать ее проведение на конец учебного года нецелесообразно, так как надо оставить время на серьезную работу по ее анализу.
Учитывая большую роль итоговой контрольной работы и ее возможное влияние на текущее и итоговое повторение, приведем для этой работы три ориентировочных варианта.
Вариант I
1. Решите уравнение
sin 2х = — У 2 cos х.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х — 2 и у—6 — х — х2.
3. Найдите область определения функции
/ (■*) = logn (х2 + 6л: + 8).
4. Напишите уравнение касательной к графику функции /(х) =2~х в точке х0=1.
5. Решите систему уравнений
| 21о&2 у _ log3A: = 1 1 л:* = З12.
Вариант II
1. Докажите тождество
sin3x — sinx 9 . 0
q—: п g г-ст—ч = COS2 X — Sin2 JC.
2 sin (1,5тс + 2x)
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=ех, у = 0, х=0, х=3.
3. Решите неравенство
log2 (х - 5) + 1о^2 (X + 7) < 2 + 1^..
4. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию у = хех~х2.
5. Докажите, что последовательность ап =
П-{- &
ограничена.
2 п
Вариант
I. 	Решите неравенство
п
III
sin X cos
sin -g-COS X ~2~•
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х — х2, у=0.
3. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию у=хех.
4. Решите систему уравнений Зх + 4,5 у — 1,5z = 1,5 х — у + 2z = — 7 x + y + z^ — 2.
Ф. М. Барчунова, П. Б. Ройтман
(Москва)
НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОВТОРЕНИЮ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В X КЛАССЕ
Организация целенаправленного систематического повторения в течение всего учебного года и специального тематического повторения в конце его позволяет привести в систему знания учащихся, делает их более осознанными.
В X классе повторение имеет особое значение, здесь систематизируются знания по всему курсу геометрии. Специфика предмета математики состоит в том, что материал каждого урока логически связан с ранее пройденным. Поэтому ученик лишь в том случае будет активным участником учебного процесса, если
при получении новых знаний у него будет иметься соответствующая база. Ее наличие во многом зависит от систематического и правильно организованного повторения.
Сочетание прохождения нового материала с повторением ранее изученного — задача непростая. Учитель должен четко представлять, что, когда и как он будет повторять с наименьшей затратой сил ученика и с наибольшей пользой для него. Изучая ново§, полезно использовать ранее изученное для сопоставления и противопоставления, это способствует более глубокому пониманию изучаемого материала. Обобщая какой-то материал, следует давать его на несколько расширенной основе, не выходя, однако, за рамки программы. Все, что необходимо повторить к уроку, можно включить в домашнее задание, если это небольшой материал и имеется в учебнике. Если это большой материал, например на обобщающем уро¬


ке, то повторение следует провести на целой системе предыдущих уроков. Иногда целесообразно давно пройденный материал дать не самому учителю, а «поискать» его в «коллективной памяти» учащихся класса в процессе беседы.
В качестве примера приведем краткое содержание первого урока по теме «Многогранники».
Тема урока. Многогранная поверхность. Многогранник.
Цель урока. Ввести определение этих двух геометрических фигур, представление о которых у учащихся уже имеется.
В домашнее задание предыдущего урока следует включить повторение определения геометрической фигуры, выпуклой фигуры и многоугольника (с. 92 и 98 учебного пособия). Все чертежи к уроку должны быть заранее заготовлены. Урок можно начать с устных упражнений по рис. 1.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
1. Как называется данная фигура? Дайте определение многоугольника.
2. Принадлежит ли точка А внутренней области многоугольника?
3. Сформулируйте характеристическое свойство внутренней области многоугольника.
4. Сформулируйте характеристическое свойство внешней области многоугольника.
5. Является ли данный многоугольник выпуклым? Проведите обоснование.
Затем можно перейти к теме урока, начав с демонстрации моделей различных геометрических фигур (модели сплошные). Учитель сообщит учащимся, что фигуры, представленные этими моделями, можно разбить на два множества: многогранники и фигуры вращения, и предложит подумать, по какому признаку сделано разбиение. Ответы учащихся могут быть различными. Если ни один из учащихся не сформулирует этот признак в таком виде, как нужно учителю, то он сам обобщит все ответы, подчеркнув, что поверхность многогранника есть объединение многоугольников и именно это позволяет безошибочно выделить многогранник из множества других фигур. Показав,
модели поверхностей многогранников, сделанные из стекла или плексигласа, учитель скажет, что такие фигуры в математике называют простыми многогранными поверхностями. Затем, обращая внимание учащихся на рис. 2—6,
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
он сообщит, что среди изображений различных объединений многоугольников только на рис. 5, 6 изображения простой многогранной поверхности. Чтобы отличить простую многогранную поверхность от непростой, надо знать ее определение. Работу над определением, которое довольно громоздко, можно провести так. Сначала учитель сообщит свойство двух произвольных вершин простой многогранной поверхности с иллюстрацией на рисунках или моделях. Учащиеся должны показать, что для поверхностей на рис. 3 и 4 оно выполняется, а для поверхности на рис. 2 — нет. Такую же работу с показом на моделях или рис. 5 и 6 учитель проведет со свойством любой точки простой многогранной поверхности. Учащиеся должны будут доказать, что этим свойством не обладают поверхности на рис. 3 и 4. Затем полезно прочесть по учебному пособию определение простой многогранной поверхности. Заучивать это определение не следует, важно уметь безошибочно определять, является ли поверхность простой многогранной поверхностью.
Демонстрируя стеклянные модели поверхности призмы и ее боковой поверхности, следует поставить вопрос, чем отличаются эти поверхности (вместо призмы можно взять пирамиду). После правильных ответов на поставленные вопросы учителю целесообразно самому ввести определение замкнутой многогранной поверхности и попросить кого-либо из учащихся доказать на модели, что боковая поверхность призмы является незамкнутой. Дав понятие внутренней и внешней области многогранной поверхности и сформулировав их ха* рактеристические свойства, полезно подчеркнуть, что многогранная поверхность — их общая граница. Определение многогранника можно предложить дать самим учащимся.
При подведении итога урока следует подчеркнуть различие двух геометрических фигур: многогранной поверхности и многогранника. Учащиеся, должны хорошо это знать. Здесь
21


уместно вспомнить, при решении каких практических задач встречаются эти фигуры. Далее можно провести работу по готовым рисункам (7 и 8),выяснить, в чем отличие многогранников, изображенных на них, и предложить обосновать, почему многогранник, изображенный на рис. 8, невыпуклый. В VIII классе учащиеся выполняли развертки некоторых
фигур. Сообщить им, что любую простую многогранную поверхность можно развернуть на плоскости, и предложить по рис. 9 и 10 определить, какая из данных разверток является разверткой невыпуклой многогранной поверхности. В процессе решения задач № 53 и 54 также повторяется ранее изученный материал.
Аналогично можно строить почти все уроки по теме «Многогранники» и многие по теме «Фигуры вращения».
Приведем примерный тематический план повторения, связанного с изучением нового материала (см. таблицу на с. 23).
В таблице ссылки на параграфы даны по учебным пособиям по геометрии для IX и X классов; используются сокращения, например Г-10 — учебное пособие по геометрии для X класса. В графе «Повторение» указан материал, непосредственно связанный с содержанием урока. Из указанных в этой графе параграфов следует повторить только то, что необходимо для данного урока. Методику организации работы по повторению на уроке и в процессе домашней работы учитель должен
определить сам. Следует учитывать, что успешное решение задач требует также предварительного повторения некоторого материала. Такое повторение может спланировать только сам учитель. Уроки обзорного (заключительного) повторения предусмотрены в конце учебного года.
В конце учебного года 16 ч отводится на заключительное повторение всего материала. Один из возможных вариантов такого повторения может быть следующим:
Основные понятия геометрии. Определения. Аксиомы. Теоремы — 2 ч
Преобразования пространства. Векторы. Координатный метод в пространстве — 2 ч Прямые и плоскости в пространстве — 2 ч Контрольная работа — 1 ч Многогранные углы и многогранники — 2 ч Фигуры вращения — 2 ч Контрольная работа — 1 ч Измерения геометрических величин — 2 ч Решение задач на комбинацию многогранников и фигур вращения — 2 ч.
Очень важно, чтобы это повторение прошло с наибольшей эффективностью. Полезно заранее на стенде вывесить темы уроков по повторению; к каждому из них сформулировать вопросы, по которым учащиеся должны готовиться к данному уроку. Можно воспользоваться вопросами для повторения, приведенными в учебном пособии на с. 69—72, или составить свои. Отдельные вопросы можно предложить ученикам подготовить в виде сообщений на 5—7 мин.
Так, при повторении темы «Многогранные углы, многогранники» полезно предложить следующие вопросы.
1. Многогранный угол: определение, выпуклый многогранный угол, свойство выпуклого многогранного угла.
2. Доказать свойство трехгранного угла.
3. Многогранник: определение, выпуклый многогранник.
4. Пирамида: определение, доказательство
существования, правильная пирамида.
5. Призма: определение, доказательство существования, классификация.
6. Параллелепипед: определение, классификация, доказательство свойств.
7. Прямоугольный параллелепипед: определение, доказательство свойства.
8. Правильные многогранники: определение, примеры.
На первом уроке можно повторить первые четыре (из приведенных) вопроса, на вто-
22


Параграфы |
Наименование пункта или вида работы
Повторение
42(1)
42(2)
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68 69
Координаты вектора (1 ч)
Правила действий над векторами, заданными своими координатами (1 ч)
Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам (I ч)
Прямоугольная система координат. Координаты точки (1 ч)
Уравнение плоскости (3 ч)
Координатные формулы преобразований. Гомотетия (2 ч)
Контрольная работа № 1 (1 ч) Многогранная поверхность. Многогранник (1 ч)
Призма (2 ч)
Свойства параллелепипеда (2 ч)
Контрольная работа № 2 (1 ч)
Площадь ортогональной проекции многоугольника (1 ч)
Площадь поверхности призмы (1 ч)
Пирамида (2 ч)
Усеченная пирамида (1 ч)
Понятие о правильных многогранниках. (Диафильм: И. Б. Вейцман. «Правильные
многогранники») (1ч)
Решение задач (1 ч)
Контрольная работа № 3 (1 ч)
Объем прямоугольного параллелепипеда (2 ч)
Объем прямой призмы (2 ч)
Объем наклонной призмы (2 ч)
Объем пирамиды (3 ч)
Контрольная работа № 4 (1 ч) Изображение окружности. Эллипс (1 ч)
Фигуры вращения. Цилиндр (2 ч)
Конус. Усеченный конус (2 ч)
Сфера и шар (1 ч)
Сечение сферы. Изображение сферы (2 ч)
Плоскость, касательная к сфере (1 ч)
Решение задач (1 ч)
Контрольная работа № 5 (1 ч)
Объем цилиндра (1 ч)
Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции (1 ч)
Объем конуса (2 ч)
Объем шара (1 ч)
Площадь сферы (2 ч)
Контрольная работа Mb 6 (1 ч)
Векторы. Компланарные векторы. Коллинеарные векторы. § 17, 21, 23; Г-10, с. 103 Правила действий над векторами. Скалярное умножение двух векторов. § 18, 19, 20, 25; Г-10, с. 104, 116 Определение по таблицам Брадиса величины угла по данному значению его синуса и косинуса. Тождество cos (180° — а) = —cos а. § 24 Ортогональное проектирование. § 30 (2)
Перпендикулярность прямых и плоскостей Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. § 25, 28, 30 (1), 33, 39
Гомотетия, ее свойства. Центральная и осевая симметрии. Симметрия относительно плоскости. § 14, 31, 32; Г-8, п. 100; Г-7, п. 79, 70; Г-10, с. 104, 105
Понятие выпуклой фигуры. Многоугольник. Г-10, с. 92, 98
Изображение фигур в стереометрии. Правильные многоугольники. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. § 13, 28; Г-10, с. 102 Свойства центральной симметрии. Определение конгруэнтности фигур. Свойства параллелограмма. § 15; Г-10, с. 99
Свойства параллельной проекции. Теорема о трех перпендикулярах. Площадь треугольника. § 12, 36; Г-10, с. 115
Площадь четырехугольника и правильных многоугольников. Г-10, с. 99, 115, 116
Угол между наклонной и плоскостью. Двугранный угол. Измерение двугранных углов. § 37, 38.
Гомотетия. § 46
Свойства правильных многоугольников. Свойства плоских углов трехгранного и многогранного углов. § 41; Г-10, с. 102
Свойства прямоугольного параллелепипеда. Сведения о площадях. Г-7, п. 51; § 49 Работа с логарифмической линейкой и вычисления по таблицам Брадиса
Определение производной и интеграла Отношение площадей гомотетичных многоугольников. Теоремы о параллельных плоскостях. § 11; Г-10, с. 107,110
Параллельное проектирование. Определение положения центра окружности, описанной или вписанной в данный треугольник. Построение касательной к окружности. § 12; Г-10, с. 102, 112 Пря моугольник и его свойства. Формулы площади круга и длины окружности. Г-10, с. 99, 116 Круговой сектор и его площадь. Г-10, с. 116 Определение круга и окружности. Г-10, с. 100 Уравнение окружности. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. § 34, 45; «Алгебра 8», п. 2
Прямая, касательная к окружности, и ее свойство. Г-7, п. 63
Предел последовательности
Определение непрерывной функции. Вычисление интегралов
Уравнение прямой
Определение шара. Уравнение окружности. § 62 Определение сферы. Уравнение сферы, § 62; Г-Ш, с. 100, 101
23


ром—остальные. Из этих вопросов 3-й и 8-й можно предложить для сообщений учащимся. Задачи, решаемые на этих уроках, могут быть различными: касающиеся данного урока и отличные от темы урока (так как весь материал уже пройден). По своему характеру задачи
должны быть различными: на вычисление, на доказательство, на построение.
На всех уроках полезно использовать модели, таблицы, фрагменты из диафильмов и кинофильмов.
В. М. Клопский, М. И. Ягодовский
(г. Курск), 3. ▲. Скопец
(г. Ярославль)
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «МНОГОГРАННИКИ»
В КУРСЕ X КЛАССА
Теоретический материал по теме «Многогранники», помещенный в учебном пособии «Геометрия 10», сравнительно несложен и невелик по объему. Это позволяет уделить на уроках основное внимание решению разнообразных задач.
В статье рассматриваются задачи, при решении которых могут быть эффективно применены теоретические сведения, ранее не изучавшиеся в школьном курсе математики. Помимо задач из учебного пособия здесь помещены и другие задачи, составленные авторами. Задачи повышенной трудности отмечены значком *. Эти задачи могут быть использованы во внеклассной работе.
Имеющаяся в пособии теорема о площади ортогональной проекции многоугольника (теорема 30) дает возможность рационализировать вычисление площадей сечений прямых призм и площадей поверхностей некоторых пирамид.
1 (72) К Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 дм и 5 дм, угол между ними 30°. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, если известно, что она пересекает все его боковые ребра и образует с плоскостью основания угол в 45°.
Решение. Пусть ABCDAiBlClDl—данный параллелепипед (рис. 1), угол между плоскостями ABC и MNP равен 45°. Основание ABCD параллелепипеда является проекцией (ортогональной) сечения MNPQ на плоскость ABC.
Тогда из формулы Snp = Scos ср следует, что с SAPCn 4-5-sin 30°
MNPQ COS 45°
cos 45°
= 10 ]/ 2 ДМ2.
Рис. 1
Нахождение площади боковой поверхности пирамиды, двугранные углы при всех сторонах основания которой равны ср, может быть упрощено путем применения формулы S6oK =
где Q — площадь основания пирамиды («Геометрия 10», с. 27).
2 (95). Основание пирамиды — ромб со сто- роной & см и углом 45°, все двугранные углы при сторонах основания равны 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. ►
Решение. Пусгь ромб ABCD — основание данной пирамиды; 5^CD=62sin 45°= 181/2 см2. Тогда
с 18 /2 —
бок cos 30°
12 у 6 см2,
1 В скобках указан номер задачи, под которым она помещена в учебном пособил «Геометрия 10».
5пир = 6>'2 (3 + 21/3) см^.
3. Докажите, что если грани тетраэдра —; равновеликие треугольники, то для величин \ а, р, у двугранных углов, образуемых тремя; гранями с четвертой гранью, выполняется равенство cos а-j-cos p-j-cos у — 1.
24


Решение. Пусть ABCD — данный тетраэдр,
у которого АВ = а, ВС — (3, С А— у. Проведем высоту DM тетраэдра.
Если точка М принадлежит треугольнику ABC (рис. 2,а), то
5лвс=5амв-1-5вмс+5сма. (1) П В
5)
Рис. 2
| АСХ Р = а2 + Ъ2 + с2 - 2ab cos 7 - — 2ас cos р -f- 2#£ cos а.
Эта задача, как и задача № 71, решение которой подробно рассмотрено в учебном пособии, может быть использована для демонстрации учащимся эффективности применения векторов: в обеих задачах результат получен без выполнения дополнительных построений и сопровождающих их обоснований.
Сг
Обозначим через S площадь каждой грани данного тетраэдра. По теореме о площади проекции многоугольника имеем:
Samb — Scos a, Sbmc = Scos р, Scma = Scosy. Тогда равенство (1) примет вид:
S = Scos a+Scos p+Scos у, отсюда 1 =cos a-f-cos p+cos у.
Если же М^ААВС (доказательство возможности этого случая опускаем), то площадь треугольника ABC равна сумме площадей проекций двух граней тетраэдра без площади проекции третьей грани. Например (рис. 2,6), S=Samb-{-Sbmc—Samc, отсюда S=Scos a+Scos Р—Scos(180°—y)* Следова¬
тельно, и в этом случае 1 =cos a+cos p+cos у.
Ниже приводим решение задач с применением векторов.
4(70(3)). Дан параллелепипед
ABCDAXBXCXDX; \АВ\ = а9 \ВС\ = с,
/\ /\ /\
\ВВХ\ = ЬЧ Л£С = Р, АВВХ =7, ВХВС = а.
Найдите \BDX\ и I^CJ.
Решение. По правилу параллелепипеда
Та + вс v ВВХ (рис. 3), АСг = АВ +
+ ААХ + AD ==— ВА+ВВХ + ВС. Возведя эти равенства в квадрат и подставив данные, получим:
| BDX [2 •= а2 + Ъ2 4- с2 + 2a6 cos у +
+ 2ас cos р + cos a,
Bt
Рис. 3
Записи решения аналогичных задач несколько упрощаются, если тройку некомпланарных векторов, откладываемых на ребрах многогранника, обозначить с помощью ма-
лых букв, например а, b, с.
5 (156*). Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его граней. На этих отрезках, как на ребрах, построен параллелепипед. Докажите, что противолежащая вершина данного параллелепипеда служит центром симметрии построенного.
Решение. Пусть ABCDAXBXCXDX— данный параллелепипед (рис. 4). Достаточно доказать, что серединой диагонали АА2 построенного параллелепипеда служит вершина Сх данного параллелепипеда (теорема 28).


Обозначим АВ = а, AD=b, с, тог¬
да ^4С = (2 -f- by AD\ = b -j- c, ASi = a с. По правилу параллелепипеда ЛЛ2 = Л С + ADX + + = 2 (д + £ + с). Но i4Ci= а + 6+с, сле¬
довательно, ЛС! = -^-ЛЛ2 и точка Ci —середина [ЛЛ2].
Довольно громоздкое построение изображения второго параллелепипеда (рис. 5) при «векторном» решении не является обязательным.
6. Докажите, что сумма квадратов длин всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его ребер.
Решение. Пользуясь обозначениями рис. 4, запишем равенства:
АСХ = а -j- b -|- с, САх~
а
b + с,
cos (ВСАС) =
ВС г-АС ВСХ\.\АС\
Находим ВС1-АС = (Ь + с)-(с—а) = с2— — а • с = гп2 —m2 cos 60° == -т^-пг2. Тогда
cos (BCV АС) =
2
1
ш2 У 2 2/2
Так как полученное число неотрицательно, то
1
косинус искомого угла х также равен
;с^69°18'
2/2’
Рис. 6
BDX =— а + Ь + с, DBX = а — b + с.
После возведения этих равенств в квадрат и почленного сложения получим равенство, справедливость которого требуется доказать.
7. 	Докажите, что для любого параллелепипеда ABCDAlBlClDl верно равенство
| АСХ\2 = | АС |2 + | АВХ |2 + I ADX\2— -\AB\2-\AD\2 - \ААХ\2.
—>• —У —>■
Решение. Имеем (рис. 4): (а + Ь)2 +(а -+- -J- с)Н- (Ь + с)2—а2— Ь2—с2 = а2+ Ь2 с2-\-
+ 2а-Ь + 2а-с + 2Ь-с = (а+ b + с)2=АС2Г
8 (151). Все ребра прямой треугольной призмы ABCA^B\Ci имеют равные длины. Найдите величины углов: 1) между (ВСХ) и (АС);
2) 	между (BCi) и (АХС).
Решение. Обозначим ВА = а, ВВ^Ь,
V
ВС — с, m — длина каждого из этих векторов (рис. 6).
1) 	По определению скалярного произведения векторов
/\ _
/\
1
2) 	Аналогично находим cos(BClt Л,С) =—
/\ 1
Тогда cos у = cos ((£(?!), (у^С))^ -j- и у =
«г75°ЗГ.
9. 	Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD вдвое больше длины стороны основания. Найдите угол между (SM) и (BN), где М и N — соответственно середины ребер А В и SC.
'■ 1V —V • -> —>■
Решение. Обозначим ВА = а, ВС Ь,
BS = с (рис. 7), тогда BN =-g- (b + с), 5уИ=
1 _>
= ~2~ а — с, Находим:
Рис. 7
26


cos (BN, SM) =
I N-SM
1
2 + c)
BjV| -1 SAf|
— | BN | *| SM |
Пусть |Л£| = т, тогда | SB \ = 2m, |57W| =
= m . Заметив, что cos SCB = из
Д BCN по теореме косинусов находим | BN| =
в / 6
2 •
Итак,
cos*
— b-c — с2 -f*
1 -v -м
о Л • С I
<4М.+ 4)
17
Зт2 /10 6 /10 '
х^26°20'.
10. 	Пары противолежащих ребер тетраэдра имеют длины а и аь b и Ьъ с и сг. Докажите, что угол ср между ребрами, имеющими длины а и ах, вычисляется по формуле:
cos ср ==
\Ь2+Ь2-с2-с\
2aat
Выполнив преобразования, убеждаемся, что последнее равенство верно.
11. 	Основание пирамиды SABCD — прямоугольник. Докажите, что |5Л|2+|5С|2= = | SB |2 + | SD |2.
Решение. Пусть О = [AC]r\\BD] (рис. 9). Имеем:
SO = {SA + SC) = 4" (SB + SD). откуда
5Л + 5С = 5^ + 5Д. (1)
Из равенства | АС | = | BD | следует, что АС2 - BD2, или
{SC -5Л)2 = (SD -SB)2. (2)
Возведя в квадрат равенство (1) и сложив почленно результат с равенством (2), после упрощений получим требуемое равенство.
12*. Дан тетраэдр ABCD, точки М и N — середины [АВ] и [CD]. Докажите, что середины отрезков МС, MD, N А, N В являются вершинами параллелограмма. При каком дополнительном условии получится квадрат?
Решение. Середины отрезков МС, MD, NA, NB обозначим соответственно через Р, Q, R, S (рис. 10). Докажем равенство
Решение. Пусть ABCD — данный тетраэдр (рис. 8), \DA\-a, | DB \ = b, |DC|=c,
ВС\=аь \АС\ — Ьи
Q/?= ^{DN + MA).
(1)
Применим формулу вычитания векторов и векторную формулу для середины отрезка:
QR = OR — OQ = ~y (ON + О А) - —L(OD+OAl) = 4-((OiV- OD) +
+ (ОЛ - ОМ)) = 4" (DN + МА).
D
Рис. 10
Обозначим DA = a, DB — b, DC = с. Доказываемое равенство равносильно равенству
12а• СВ\ = \Ь2-с7-\- АС2 — ~АВ2|, или
12а- (b-c)\ — \b2-c2 -f (с - af - (Ь- а)21.
27


Аналогично доказывается равенство
SP^-L (NC + Ш). (2)
Так как DN = NC и МА = ВМ, то из равенств (1) и (2) вытекает, что QjR = SP.
Осталось убедиться в том, что точки Q, /?, 5, Р не принадлежат прямой. Действительно, по свойству средней линии треугольника [PQ] || [CD] и [/?S]||[j4fi]. Но отрезки CD и АВ лежат на скрещивающихся прямых, поэтому параллельные им отрезки PQ и RS лежат на пересекающихся прямых.
Итак, QRPS — параллелограмм.
Из приведенного рассуждения вытекает, что квадрат получится при условии \AB\ = \CD\ и [AB]±[CD].
Рассмотрим несколько задач на применение координатного метода.
13(148). Призма АВСАХВХСХ задана координатами четырех своих вершин: Л(1; 1; -1), В(0; 0; 3), С(1; 4; 1), ^(1; -1; 1).
Вычислите: 1) \АгС\; 2) cos АСХС.
Решение- Предварительно нужно вычислить координаты точек Ах и Сх (рис. 11). Воспользуемся координатными формулами параллельного переноса ВВХ = ОВх — О В = (1; —1; —2), тогда хх = 1 + х, ух = — 1 + у, zx = = —2 + Отсюда, зная координаты точек А и С, находим координаты точек Ах{2; 0; —3) и Cj(2; 3; —1).
1) 	\АуС | = } - 2у + (4 - О)2 + (1 + 3? =
= >'33.
2) cos ЛС> _ Но АС, - (1; 2; 0)
и Cfi ——ВВХ = (—1; 1; 2), тогда cos ЛС,С=
!.(_!)+ 2-1+0-2 _ _1
У 1+4 + 0• /\ + 1+4 /30 *
14. Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин: А(3; 0; 0), £(0; 2; 0), С(2;3;0), D(l; 1; 4). Найдите объем тетраэдра.
Решение. Замечаем, что Д ABC лежит в плоскости Оху, поэтому высота DM тетраэдра параллельна оси Oz (рис. 12). Найдем
У -^-sabc-\dm\.
Имеем:
5лВС = 11 АВ | • \АС | sin а = i| АВ\ X
X \AC\V\ — cos2ос, где | ЛЯ| = 1/9 + 4+0 = = /13, |ЛС| = 1/1 +9+ 0 = >"ТО,
~ЛВ-~ЛС 3 + 6 + 0 9
COS а = - ■■ ■ , тгг = —7'-^' • ■ , = —
\AB\-\AC\ у 13- у ю у 130
тогда
SABC = -^-VT3-VlO- ]/l —^==1 (кв.ед.)
Но высота \DM\ данного тетраэдра равна расстоянию от точки D до координатной плоскости Оху, т. е. аппликате 4 точки D. Следовательно,
V = -1-.^-.4 = ^(куб.ед.).
15*. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину а. Найдите длину общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, содержащих диагонали боковых граней при- змы.
Решение. Пусть АВСАХВХСХ— данная призма (рис. 13). Выберем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ААВС лежал в плоскости Оху, начало О совпадало
28


с точкой А, ось О у проходила через середину отрезка ВС и ось Ог имела направление луча А А |.
Найдем координаты вершин призмы:
Рис. 13
MN ■ АВх — 0,
MN ■ ВС1 = 0.
(-*1 Л/ “2 г \1 У! 2 (zx — z)a = О,
Так как AM = рАВх и BN = дВСх, то х- . а у^З
а
~-Р~Т'
у = р-
ра и хх —Tj- —
■■Я(—а), Ух-^-^-=Ч-0, «1-
0:
qa.
Подставив значения координат точек М и N в равенства (1') и (2'), получим после упрощений систему уравнений относительно р и q: \ 4/7 — q = 2
| р 4q— 1 Единственное решение этой
3 2
системы р = -g-, # = -g-. Теперь можно найти координаты точек Af и 7V:7w(^j-; За)^
а /з . 2й| ^ ф0рМуле расстояния
5
Л(0; 0; 0), Я (-f; ; о) ,
2-^1; °),
Л,(0; 0; а), ^ ; а),
угу ( а а /3 \
Ч Г ’ 2 ’ а) '
Пусть [MW] — общий перпендикуляр прямых
АВХ и ВСи т. е. MN _L АВХ и MJV ± ВСХ. Отсюда
между двумя точками
\MN\~V V 5 у ■ v 5-/ ■Asy-T 16*. Диагональ прямоугольного параллелепипеда об разует с тремя его ребрами углы, величины которых а, р, у. Докажите неравенство а + р + 7 <; 180°.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого [ОМ] — диагональ и [ОА], [ОВ], [ОС] —ребра. Введем обозначения: | ОМ | = d, | О А | = а, | ОВ | = Ь, | ОС | =
/А /А /А
= с, МО А = а, MOZ? = р, МОС — у. Прямоугольную систему координат Oxyz зы.берем так, чтобы направления осей Ох, О у, Oz определялись соответственно лучами О А, ОВ, ОС
(О
(2)
Для вычисления расстояния | М N | нужно знать координаты точек М(х\ у; z) и N (хх;
yt; zx). Выразим векторы MN* АВХ, ВСХ через координаты данных точек:
MN = (xi — x; Ух —у, zx — z),
~АВХ = [\; а-^~; а), ВСх = (-а; 0; а).
Равенства (1) и (2) запишем в координатной форме:
Х)4- + (У1-У)а^ '
(П


^рис. 14). Построим точки М\ = S0x(M), =
“= SOi>
(Ж), Ж3 = 50г (Ж). Найдем координаты этих точек по координатам точки М(а; Ь\ с): Мг(а; b; —с), М2(—а; Ъ; — с), Мг(—а; — b; £). Рассмотрим трехгранный угол
OMxM2Mz и докажем, что величины его плоских углов 2а, 2р, 2у. Действительно,
ОМг-ОМ2
cos МхОМ2 =
cos 2f =
ОМОМ з d*
— a2 — b2 + с2 d2
—a2 —b2 с2
d2
Рис. 15
a получившиеся многогранники Ф] и Ф2— один на другой. Центральная симметрия является перемещением, поэтому Ф^Ф2. По
свойствам объемов многогранников 1/(£)--=1. У(ф{) = 1/(Ф2), 1/(Ф1) + У(Ф2) = 1. Отсюда вытекает, что 1/ (Ф1) =1/ (Ф2) ^=0,5.
18. 	Правильная четырехугольная пирамида объема V пересечена плоскостью, проходящей через высоту пирамиды. Найдите объемы полученных частей пирамиды.
Решение. Прямая /, содержащая высоту данной пирамиды, является осью симметрии пирамиды (рис. 16). Это вытекает из того, что вершина пирамиды принадлежит /, а вершины основания — попарно симметричны относительно /. При симметрии относительно оси I
/\ /\
Отсюда cos МхОМ2 = cos 2?, МхОМ2 = 2у.
/\
Аналогично убеждаемся, что М2ОМ3 = 2а /\
и МгОМх = 2р.
Согласно свойству плоских углов трехгранного угла
/\ /\ /\
МхОМ2 + М2ОМг + МгОМ! < 360°, т. е.
2у+2а+2р<360°«
Следовательно,
а+р+Т<180°.
При изучении общих свойств объемов многогранников следует уделить внимание задачам, при решении которых используются понятия перемещения пространства и конгруэнтности фигур.
17(113). Единичный куб пересечен плоскостью, проведенной через его центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
Решение. Рассмотрим сечение единичного куба Е, проходящее через центр О симметрии куба (рис. 15). При симметрии относительно О плоскость сечения отображается на себя,
Рис. 16
плоскость сечения отображается на себя, а части пирамиды Ф1 и Ф2, разделяемые плоскостью сечения, — одна на другую. Симметрия относительно прямой есть перемещение, поэтому Ф]^Ф2. Применим основные свойства объемов многогранников: ^(Ф!) — К(Ф2),
K(®i) + 1/(Ф2) = V, отсюда
К(Ф1) = 1/(Ф2) = 4^.
19. 	Найдите объем пирамиды, основание которой — грань куба, имеющего объем V, а вершина — точка пересечения диагоналей этого куба.
Решение. Рассмотрим куб ABCDAXB\CXD\ объема V (рис. 17). Точка О пересечения диагоналей куба является его центром симметрии (§ 49). Куб является объединением шести пирамид, общая вершина которых — точка О, а основания — грани куба. Любые две из этих пирамид не имеют общей внутренней точки. Пирамиды, основаниями которых служат противолежащие грани куба, центрально симметричны и поэтому конгруэнтны. Рассмотрим две пирамиды, имеющие общую боковую грань, например OABCD и ОВССуВи Эти пи¬
30


рамиды симметричны относительно плоскости а —общей грани ОВС. Действительно, каждая из вершин О, В, С симметрична самой себе, Sa (£?!)=/! и Sa (Cj) =D. Такие пирамиды также конгруэнтны, так как симметрия относительно плоскости есть перемещение.
А
А
Согласно общим свойствам объемов многогранников все шесть указанных пирамид имеют равные объемы. Следовательно, объем одной
пирамиды равен
20 (179) . Докажите, что любая плоскость, проходящая через середины двух противолежащих ребер правильного тетраэдра, делит его на части, имеющие равные объемы.
Решение. Пусть точки М и N — соответственно середины ребер АВ и CD правильного тетраэдра ABCD (рис. 18). Прямая MN является осью симметрии такого тетраэдра. Достаточно убедиться в том, что вершины тетраэдра ABCD попарно симметричны относительно прямой l=(MN). Действительно, {АВ)_L J.(СМ) и (AB)±(DM)=>(AB) 1 (MN). Аналогично доказывается, что (DC) _L (MN).
Рис. 18
Симметрия относительно I отображает на себя любую плоскость, проведенную через I. Полученные при этом многогранники <Pi и Ф2 симметричны относительно I. Следовательно, 1/(00 = 1/(ф2).
21 (173). На двух ребрах параллелепипеда, лежащих на скрещивающихся прямых, даны точки Р и Q. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через Р и Q и делящей его на две части с равными объемами.
Решение. Пусть ABCDA\B\C\D\—данный параллелепипед, P^[A\DX\, Q^fCjC] (рис. 19). Любая плоскость, проведенная через центр О симметрии параллелепипеда, разделяет его на два конгруэнтных многогранника. Следовательно, искомая плоскость должна
проходить через точки Р, Q, О. Построение сечения проводим в следующем порядке: О — середина [D{B]y Z0(P) = РХ^ [£С], Z0(Q) = = Qi^[AAi\, М= (QPi)(](B\B)9 N=(QlP)(] П(DDX). Соединив отрезком каждые две построенные точки, принадлежащие плоскости одной грани, получим искомое сечение. Многогранники, определяемые в данном параллелепипеде сечением, центрально симметричны и поэтому имеют равные объемы.
Формула объема усеченной пирамиды согласно новой программе не изучается в школе, поэтому объем усеченной пирамиды следует вычислять как разность объемов двух полных пирамид. При этом выгодно использовать свойства гомотетии пространства (§ 46) и теорему о сечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (теорема 31).


22 (144). Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны а и Ь (а>Ь), двугранный угол при стороне большего основания а. Найдите объем усеченной пирамиды.
Решение. Пусть данная усеченная пирамида ABCAiB^i является частью полной пирамиды SABC (рис. 20), [STW] — ее апофема, [50] — высота. Из треугольников ОМ В и SOM
находим \0М\ — |50| = ^jp-tga.
Рис. 20
При гомотетии с центром S и коэффициентом k = -j- Д ABC отображается на /\.АХВХСХУ
ь/ 3
тогда | SOjI = £ |501 — 6
1 аг У^З а ■/"3
X
Ъ /3
tga
V = V
_1_
3
SABC
b2 /з
-х
1
6 tga== 24 (^3-^3)fga- Решение можно несколько упростить, предварительно доказав, что при гомотетии отношение объема образа выпуклого многогранника к объему этого многогранника равно модулю куба коэффициента гомотетии (доказательство помещено на с. 75 учебного пособия). Действительно,
т/ & т/ ь* _ ь*х8а тт т ~
V SA^BiCi “ у SABC г== * 24 “ 24 Д#
В заключение рассмотрим решение задачи с применением производной.
23. На изготовление закрытого ящика с квадратным основанием расходуется S м2 фанеры. Найдите размеры ящика, при которых его объем будет наибольшим.
Решение. Сторону основания и высоту ящика обозначим соответственно через х \\ h (в метрах). Имеем 5 — 2х2 + 4x/z, откуда h =»
(о<,</4).
Тогда V = -j- (5х — 2л:3).
Будем искать наибольшее значение функции V (х) на промежутке ] 0; [:
^ = 4(5-6^),
К' = 0 при x = x0= x0e]0; ]/§-[.
Для применения общего правила отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции, дифференцируемой в промежутке, пришлось бы доопределить функцию V (х), положив V (0) =
= V -y-j = 0. Но при л: = 0 выражение для
h теряет смысл, что может вызвать у учащихся сомнения в законности такой операции. Мы рекомендуем в этом и аналогичных случаях решать вопрос о наибольшем (наименьшем) значении функции с помощью схематического графика.
Рассматривая формулу 1/'=-^-(5 — 6х2), замечаем, что при 0<^x<jc0 а при
Vr'<0, т. е. х0 — точка максимума (рис. 21). Из графика видно, что в дан’
Рис. 21
ном случае максимум функции совпадает с ее наибольшим значением на промежутке
Ю; /4[-
Ответ: x — h= -g- •


Е. Г. Глаголева, Л. О. Денищева, 3. И. Моисеева, Б. В. Сорокин
(Москва)
ОБ ИЗУЧЕНИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ИХ ПРЕДЕЛОВ В IX КЛАССЕ
В методическом письме Министерства просвещения СССР «Об изучении математики в IX классе» (см.: «Математика в школе»,
1976, № 4) говорится, что порядок изучения материала § 6 и 7 учебного пособия «Алгебра и начала анализа» для IX класса может быть несколько изменен.
Изучение понятия предела последовательности всегда вызывало большие затруднения у учащихся. Одной из причин этих трудностей, - как нам кажется, является сложная логическая структура определения предела последовательности, содержащего три квантора: limхп = а, если для любого е>0 существу-
Л-» ОО
ет N такое, что для любого n^>N выполняется неравенство | хп — а | <С s.
В краткой записи с употреблением символических обозначений кванторов общности (V — любой, всякий) и существования (3 — найдется, существует, можно указать) это определение выглядит так:
V е>0 3;V N \хп — а\ <s.
Предлагаемый порядок изучения этого материала дает возможность постепенно преодолевать эти трудности. Например, целесообразно начать изложение с изучения монотонности и ограниченности последовательностей, так как определение этих понятий проще по своей структуре.
Кроме того, этот материал важен не столько сам по себе, сколько тем, что при его изучении, рассматривая последовательности как функции, можно подготовить учащихся к восприятию центральной темы курса «Предел функции и производная». В частности, мы не считаем, что следует со всеми учащимися «отрабатывать» определение предела последовательности (напрймер, выполняя много упражнений на доказательство существования предела по определению). Гораздо важнее, опираясь на сведения, известные из восьмилетней школы, а также на представления о связи действительных чисел с их геометрическим изображением, полученные при изучении п. 16, 17 курса IX класса, максимально использовать наглядное, геометрическое истолкование понятия предела. При введении определений, доказательстве теорем, выполнении упражнений формализованное изложение должно обяза¬
тельно сопровождаться (а часто и предваряться) графическими иллюстрациями.
Учитывая, что для успешного усвоения темы «Бесконечные числовые последовательности и их пределы» важно, чтобы учащиеся хорошо владели понятиями функции, области определения, множества значений, необходимо организовать повторение этих понятий при изучении предшествующих вопросов. Так, в § 5 «Действительные числа» (особенно в п. 16 и 17), где речь идет об отображении множества действительных чисел на множество точек координатной прямой, полезно указать учащимся, что такое отображение является функцией. Это дает возможность повторить определение функции, понятия области определения функции и множества ее значений и т. д. Здесь же можно вспомнить некоторые примеры функций (отображений), известные учащимся из восьмилетней школы: y=kx+b\
у=5х—2, где * €] — 1; 3]; у=\х\, где а) х £ €[-3; -1], б) *€[-1; 3]; у=ах»; у=2х\ где 2; 2], и др.
Рассмотрим более детально один из воз- можных вариантов поурочного распределения материала § 6 и 7 учебного пособия.
Урок 1. Бесконечные числовые последовательности.
Геометрическое изображение последовательности
Изучение этого материала естественно вновь начать с повторения понятия функции, ее области определения и графика. Для очень краткой беседы об этих известных учащимся понятиях учитель может частично использовать материал п. 34 и некоторые упражнения к нему (например, № 265, 266, 268, 270).
Определение бесконечной последовательности известно из восьмилетней школы, его необходимо лишь- напомнить учащимся. С этой целью полезно рассмотреть примеры следующих функций и вычертить их графики:
1) у = х2, где
у = л;2, где x£N.
2) у = -L, где *€] — оо; 0[(J]0; оо[,
у = где *€N.
Эти два упражнения позволят вспомнить не только определение последовательности, но и ее график.
Существенно новым на первом уроке будет изображение последовательности точками координатной прямой (п. 20, второй способ).
Убедиться, что учащиеся владеют необходимой терминологией, можно при выполнении упражнений типа № 148, 149. Основной же
2 Математика в школе, ЛЛ Б
33


задачей этого урока является выработка умения геометрически изображать числовые последовательности. Этому способствует выполнение упражнений типа № 153—155 (в № 155 нужно рассмотреть только первую часть задания, поэтому его целесообразно разобрать на уроке). При выполнении этих упражнений следует стремиться к тому, чтобы у учащихся сформировалось представление о бесконечной последовательности. Для этого полезны вопросы типа: «Где будут располагаться точки, изображающие 100-й, 1000-й и т. д. члены последовательности из упражнения 155 (а, б)?»
(ответ: а) точки удаляются вправо по координатной прямой; б) точки располагаются все ближе к точке 0); «Где будут располагаться точки, изображающие 100-й и 101-й члены последовательности из упражнения 155 (г)?» (отвдт: вблизи точки 5, но по разные стороны 0TfiHee).
Та^це вопросы подготавливают учащихся к пониманию смысла ограниченности и . неограниченности, монотонности и немонотонности, а также сходимости последовательности.
На- дом можно задать п. 19, 20 до слов «При обоих способах изображения видно» и №148 (б), 153, 154 4
Урок 2. Возрастающие и убывающие 4 последовательности
При проверке домашнего задания нужно еще раз обратить внимание на различие в поведе-
п2 л»
нии последовательностей ап = 6 и ип =
= (—1 )пп. Первая последовательность является возрастающей (этот термин известен учащимся из курса восьмилетней школы), а вторая последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Чтобы убедиться, что учащиеся вспомнили эти понятия и правильно связывают их с геометрическими представлениями, полезно предложить упражнения: «Изобразите некоторую возрастающую последовательность» (в этом случае удобно изображать члены, последовательности точками координатной плоскости); «Могут ли все члены убывающей последовательности быть положительными? Приведите пример»; «Изобразите некоторую числовую последовательность, у которой 5-й член отрицателен» и т. п.
После выяснения смысла терминов нужно вспомнить с учащимися определения возрастающей и убывающей последовательностей (см. определения 1 и 2 из п. 31).
1 Мы указываем только те упражнения, которые относятся непосредственно к изучаемой теме; разумеется, учитель может добавлять по своему усмотрению задачи на повторение материала.
Как показал опыт первого года работы, понятия невозрастающей и неубывающей, последовательностей усваиваются учащимися с трудом. Они не видят различия в выражениях «последовательность является невозрастающей» и «последовательность не является возрастающей». Поэтому рассмотрение определений этих понятий можно отложить до изучения п. 32. Следует напомнить учащимся, что возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными; такая терминология известна им из восьмилетней школы и не противоречит принятой в пособии IX класса, где к монотонным последовательностям относятся и невозрастающие, и неубывающие последовательности.
Таким образом, теоретический материал этого урока — повторительный. Поэтому основной задачей является отработка умения пользоваться определениями при выполнении упражнений и ответах на вопросы. Для этого очень важно в определении «Последовательность (хп) называется возрастающей, если для любого п выполняется неравенство *n+1> >хп» выделить слова для любого п. Смысл этих слов поясняется при выполнении упражнений двух видов: а) доказательство того, что последовательность является возрастающей (убывающей); б) доказательство того, что последовательность не является возрастающей (убывающей). Рассмотрим примеры:
а) Так как истинность, например, неравенства хп\\>хп для каждого п непосредственно проверить нельзя, то для решения вопроса о возрастании приходится рассматривать это неравенство «в общем виде» (см. пример 2 из п. 31). Если такое неравенство не очевидно,
например п ” » то удобно пользовать¬
ся известными учащимся свойствами неравенств, а именно: определить знак разности хп+\ — хп или, в случае положительных членов, рассмотреть отношение ~-п+-1- (см. замечание в п. 31).
хп
б) Когда же доказывается, что последовательность не является возрастающей, нужно доказать, что неравенство выполняется не для всех п, т. е. найти хотя бы одно /г, при кото-,
рОМ Xn+l'^Xfi.
Например, докажем, что последовательность хп = п2—12п (из № 187) не является возрастающей.
Действительно, хх ——11, а х2=—20, т. е. для п= 1 не выполняется неравенство хп+х> >хПу следовательно, последовательность не является возрастающей. Для иллюстрации этого факта полезно построить график функции Хп — п2—12 п.


В классе можно разобрать примеры 1 и 2 из п. 31, привести примеры немонотонных последовательностей, проверить усвоение понятия возрастающей и убывающей последовательности на упражнении 184 (можно не требовать от учащихся строгого доказательства, они могут ограничиться пояснением, опираясь на геометрическую иллюстрацию).
Образцы строгих доказательств можно продемонстрировать на упражнениях 185 (б) и 186 (б). Не следует рассматривать большое число таких упражнений, важно показать, как используются определения для доказательства некоторого утверждения или его опровержения.
На дом задать п. 31 до определения 3, замечание из этого пункта, № 186(a), 187(a).
Урок 3. Ограниченные последовательности
Этот урок целесообразно начать с упраж" нений, проверяющих усвоение предыдущего материала: №184 (а, в, г). При этом полезно задать вопросы, подготавливающие введение, нового материала, например: «В чем сходство и в чем различие в «поведении» последовательностей из упражнений 184 (в, г)?» (Обе эти последовательности не являются монотонными, но точки, изображающие члены последовательности Ъп — ^могут «уместиться» на некотором отрезке координатной прямой; точки же последовательности Ъп — ^'п
ни на каком отрезке координатной прямой «уместиться» не могут.) После этого учитель (или в сильном классе кто-то из учащихся) сформулирует определение ограниченной последовательности (см. п. 26).
В определении, выделенном в пособии, нужно обратить внимание учащихся на слова «существуют» и «для всех п». Что значит «для всех п», учащиеся смогли почувствовать на определении возрастающей (убывающей) последовательности, поэтому следует убедиться, что они правильно понимают смысл слова «существуют». Непонимание этого слова проявляется в стремлении найти обязательно минимальный промежуток, содержащий все члены последовательности. Следует пояснить учащимся, что границы промежутка не являются однозначно определенными. Это удобно показать на рисунках, которые обязательно должны сопровождать формальное определение. Например, на рис. 13 (с. 70) видно, что вместо га можно взять любое число, лежащее левее т, а вместо М любое, лежащее правее М.
В п. 26 содержится и геометрическое определение ограниченной последовательности. Но
так как в тексте оно не выделено, то на уроке целесообразно сформулировать и записать его. «Последовательность называется ограниченной, если существует отрезок [m; Af], которому принадлежат все члены этой последовательности».
Кроме определения ограниченной последовательности на этом уроке целесообразно разобрать примеры 1—3 из п. 26.
Рассмотрим более детально пример 3.
Дока жем неогра ниченность пос ледова те ль- п -ь 1
ности уп = —— .
Для того чтобы доказать, что последовательность не является ограниченной, достаточно показать, что, какой бы промежуток мы ни взяли, найдется член последовательности, который будет меньше m или больше М.
Покажем, что в данном случае, какой бы промежуток [m\ М] мы ни взяли, всегда найдется член последовательности, который большеМ.
В самом деле, если взять натуральное п> >ЗМ, то по свойствам неравенств: (
я + 1>зм + 1, ^£+1=, = м + ±>м, п-±1->м.
д I |
Следовательно, последовательность уп =—
о
не является ограниченной.
Учащимся может показаться непонятным, как мы догадались, что надо взять п > 3М. Для разъяснения этого можно я-й член последовательности представить в виде — -j-.
Очевидно, что -j- будет больше М при /г>
И 1
> 3М, тогда и "з“ + — будет больше М.
Можно показать несколько иной ход рас- суждений. Предположим, что существует М такое, что для любого п
Ц^<м. (1)
Но из неравенства (1) следует, что /г+1<ЗМ, или п<ЗМ—1, т. е. неравенство (1) будет выполняться, только если п <ЗМ—1, а не при
всех п. Получили противоречие2.
2 Такой ход рассуждений иногда понятней учащимся, и его можно применить также при доказательстве того, что последовательность не является возрастающей или убывающей. Например, № 187(1): ип=п2—12 п,
ип+1=п2 4- 2п + 1 — 12п—12, ип+1 — wn==2/i — И; отсюда видно, что для л<5,5, т. е. при п= 1, 2, 3, 4, 5, ып+1<Ип, а при л>5 4гп+1>ып. Это и означает, что (ип) не является ни возрастающей, ни убывающей.
2*
35


Так как понятие ограниченной последовательности введено до определения предела последовательности, то при решении упражнений этого пункта (№ 173—175) еще нельзя опираться на сходимость последовательности. Приведем различные способы рассуждений при выполнении подобных упражнений.
Ограничена ли последовательность (Ьп)< если ft _ ? (см. «Дидактические материалы»,
III-7, вЛ, 1(6)).
1 способ.
15"-21 ° --5-|<5 + |-Т
_2 п
5л —2
= 5 + Из неравенства
7<
5 п-
п
<5 + 2 = 7. <7
следует, что
<7, т. е. все члены последова¬
тельности заключены в промежутке [—7; 7], т. е. последовательность ограничена.
II сп особ.
5/2 — 2 2_
п
п
Так как 0 < — <2, то по свойству неравенств — 2< ~-<°> откуда 5 — 2 <5 —
— <; 5 + 0. Значит, 3 <; 5 —~ •< 5, т. е.
все члены последовательности лежат в промежутке [3; 5]. Итак, последовательность ограничена.
II способ решения дает возможность вспомнить метод границ, изученный в VII классе.
То, что здесь приведены различные способы решения подобных задач, не означает, что нужно тренировать учащихся в таких доказательствах. Эти упражнения, наряду с задачами на доказательство монотонности, помогут учащимся усвоить соответствующие определения и понять, что значит доказать какое-либо утверждение по определению.
В классе можно разобрать упражнения 173(a), 174(a), 175(b).
На дом: из п. 26 определение и примеры
1—3; геометрический смысл ограниченности (по тетради); № Г74(б), 175(a).
Урок 4. Наглядные представления о пределе последовательности. Геометрический смысл понятия предела последовательности
Основная цель этого урока — разъяснение понятия предела последовательности на наглядно-интуитивном уровне. В учебном пособии этому вопросу посвящен п. 20 со слов «При обоих способах изображения видно».
Прежде чем перейти к изложению этого материала, необходимо убедиться, что достигну¬
та цель первых трех уроков, т. е. учащиеся владеют необходимой терминологией, имеют запас примеров последовательностей, понимают определения возрастающей (убывающей) и ограниченной последовательностей, а также представляют себе геометрический смысл этих определений. В этом можно убедиться при проверке домашнего задания. Кроме того, полезно еще раз вернуться к некоторым последовательностям, которые уже встречались в упражнениях, например:
10 -ь 1
Хп==~гГ' У* = -ТГ'
2/2 -ь 7 1
Изобразив эти последовательности геометрически, нужно постараться подвести учащихся к тому, что для каждой из рассмотренных последовательностей существует число, около которого «скапливаются» все члены последовательности с достаточно большими номерами. Для этого придется при геометрическом изображении не ограничиваться 3—5 членами, но, как и на первом уроке, спрашивать учащихся, где будет расположен член с номером 100, 1000, 4564 и т. д.
После рассмотрения первых трех примеров п. 20 .(пример 4 можно опустить), в которых вводится термин «предел последовательности» и его обозначение, учителю следует сформулировать определение предела последовательности на «геометрическом языке»: «Число а называется пределом последовательности (ип), если, какую бы окрестность точки а мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого, попадут в эту окрестность».
Разумеется, учащимся следует разъяснить термин «окрестность точки», а именно: это некоторый открытый промежуток (см. с. 51), содержащий данную точку. Полезно также ввести термин «е-окрестность» (см. с. 62). Для закрепления материала этого урока нужно выполнить № 160, причем задание «Проведите доказательство» нужно снять. Можно использовать и № 159, изменив задание следующим образом: «Поясните, почему...» (обучение учащихся проводить строгие доказательства не входит в задачи этого урока) . Основная задача — научить «видеть», имеет ли последовательность предел или нет, на наглядно-интуитивном уровне и «угадывать» значение предела последовательности, если он существует.
На дом: п. 20, примеры 1—3, Кя 234.
Урок 5. Единственность предела
Целью урока является закрепление понимания геометрического-смысла предела последовательности. Хорошим материалом для это¬
36


го будет упражнение 161, а ’т^кже доказательство теоремы о единственности предела (см.: «Методическое письмо Министерства просвещения СССР»). На этом же уроке можно провести самостоятельную работу примерно такого содержания (см.: «Дидактические материалы») .
1. Задание 1 из работы III-7.
2. Задание 2 из работы III-5, в 1, 2 (доказательство проводить не нужно).
На дом: № 163(а, б)—указать предел и дать пояснения. Повторить п. 26 (определение ограниченной последовательности).
Урок 6. Необходимое условие сходимости
Теорема «Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости» доказывается в п. 26 на «геометрическом языке».
Важным моментом для сознательного усвоения этой теоремы является понимание смысла высказывания «В необходимо для А» (его символическая запись «А=>В»), Полезно схематически записать и формулировку теоремы п. 26:
((tin) —сходится) =>- ((ип) —ограничена).
После доказательства теоремы полезно вернуться к упражнениям № 173(a), 174(a), выполняя их следующим образом: «увидеть»,
что последовательность имеет предел (пояснить, почему), а затем сослаться на необходимое условие сходимости.
Обязательно нужно обратить внимание учащихся на тс, что необходимое условие сходимости нельзя применять при доказательстве неограниченности последовательности: из того, что последовательность не имеет предела, еще не следует, что она является неограниченной (например, ип=(—1)п, ип = 3+(—1)п). Поэтому доказательство неограниченности и теперь придется проводить на основании определения.
На этом же уроке нужно показать, как используется необходимое условие сходимости при доказательстве того, что последовательность не имеет предела.
Можно предложить учащимся задачу: «Используя знак =^, показать связь между следующими утверждениями:
(ип) —ограничена (ип) —сходится,
(tin)— неограничена (ип)— расходится».
Для проверки понимания связи ограниченности последовательности и существования ее предела мбжно решить упражнения типа 163 (г): «Докажите, что последовательность хп = п2-\-1 не имеет предела».
Решение. Последовательность хп=я2+1 является неограниченной (так как неограниченной является квадратичная функция). Не¬
обходимое условие сходимости не выполняется, значит, последовательность не имеет предела.
На дом: п. 26 (доказательство теоремы), № 163(г). Кроме того, к следующему уроку повторить п. 16 (формулу расстояния) и решить № 156.
Урок 7. Определение предела последовательности
Целью этого урока является переход от наглядно-интуитивного понимания предела к формулировке определения на языке «е — N» (см. п. 21).
Проверку домашнего задания удобно закончить разбором упражнения 156, при этом учащимся можно предлагать следующие вопросы: «Какая точка лежит ближе к точке 2: Яюо или а10г, а10оо или <22000?»; «Существует ли член последовательности с номером ботше 1000, но лежащий дальше от точки 2; чем Яюоо?»; «Можно ли указать окрестность точки 2, в которой нет членов данной последовательности?» Ответы на вопросы учащиеся должны давать, используя наглядно-интуитивные представления о пределе последовательности. Чтобы облегчить им восприятие определения предела последовательности, эти ответы следует записывать с использованием формулы расстояния. Например:
1) | «101—21 < I а100
2) если п>1000, то |а„—2| < |а10оо—2|. Кроме того, полезно разобрать № 158. При выполнении этих упражнений нужно добиться, чтобы учащиеся понимали, что фразы: «число хп удалено от числа а на расстояние, меньшее 2»; «число хп лежит в е — окрестности числа а (е=2)»; «для хп выполняется неравенство \хп—а|<2» — означают одно и то же.
После этого можно перейти к «е — N» определению предела, для чего достаточно перевести на язык чисел формулировку, данную на уроке 4.
Для закрепления изученного материала на уроке следует разобрать упражнения 158 (доказать, что предел равен 3), 159(6, в, г). Ни на этом, ни на последующих уроках йе следует увлекаться отработкой умения доказывать по определению существование предела. Рекомендуемые упражнения следует проделать главным образом для того, чтобы разъяснить определение предела и проверить его понимание. На практике же для доказательства существования предела, и особенно для его вычисления, применяют не определение, а теоремы о пределах, которым будет посвящен следующий урок.
37


При доказательстве существования предела по определению необходимо создать у учащихся «багаж» последовательностей, предел которых им известен, в основном последовательно-
стей, сходящихся к нулю: (4"), (jr)> (^fl)
и т. п. В дальнейшем следует разрешать учащимся пользоваться этими и аналогичными фактами: lim ~-г = 0, lim — =*= 0 и т. д.
я^оо "3 + 1 я^оо "2 + п
На дом: выучить определение и повторить геометрический смысл предела последовательности (п. 21); № 159(a).
Урок 8. Теоремы о пределах
На этом уроке разбирается материал п. 27, 29. Доказательство теоремы 1 даст возможность показать применение «8 — N» определения'предела. Упражнения 176, 177 используются для проверки понимания содержания тес>рем. Кроме того, можно показать применение этих теорем, вернувшись к упражнениям '159, 160, 163,и т. п., решая их теперь так:
lim 2-±_L = lim (\ + —) =
П->оо ^ П П->оо \ П J
1 =lim 1 •+ lim — = 1 -f 0 = 1.
п
П->со п~+ оо .
Единственный искусственный прием отыскания пределов последовательностей, владение которым требуется от учащихся, демонстрируется в п. 29. Уровень сложности обязательных упражнений задается № 179—181.
На дом: п. 27, 29; № 179—181 (те, которые не успели разобрать в классе).
Урок 9. Примеры вычисления пределов
Этот урок можно посвятить упражнениям и опросу. Следует обязательно повторить геометрическое изображение последовательностей, так как наглядные представления необходимы для понимания теоремы Вейерштрас- са (урок 10). Полезно вернуться к вопросам, аналогичным тем, которые использовались на уроке 2, добавив еще и такие: «Приведите пример такой последовательности (изобразите ее геометрически), что Кип<10. Может ли она иметь предел; не иметь предела; быть возрастающей; не быть монотонной; не быть монотонной и иметь, предел; быть монотонной и не иметь предела?»
На дом можно задать повторить все определения, 1—2 упражнения на вычисление предела и № 192 (устно).
Урок 10. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности
На этом уроке формулируется теорема Вей- ерштрасса (п. 32), и на примерах разъясня¬
ется ее смысл. Подвести учащихся к этой формулировке можно, предложив им привести примеры возрастающей (или убывающей) и ограниченной последовательности и изобразить ее геометрически3.
Следует объяснить учащимся, что не всегда одно из чисел, ограничивающих последовательность (по терминологии п. 26 число пг или М), будет пределом этой последовательности, даже если последовательность монотонна. Например,
последовательность ип = 3 + убывает.
/2 4-1
Кроме того, так как 0 <С^ ^ * т0 3 <С
<^ип<^4. Отсюда следует (по теореме Вейер- штрасса), что эта последовательность сходится. Однако ее предел не равен ни 3, ни 4
(lim ип = 3 .
\Л->оо /
Применение теоремы Вейерштрасса можно показать на примере упражнения 193(6).
На дом: п. 32 (формулировка теоремы), № 193(a).
Уроки И —12. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |?|<1. Число я Теоретический материал этих двух уроков — примеры применения теоремы Вейерштрасса. Доказательство равенства lim qn = 0 (при
П~> оо
|<7|<1) приведено в п. 32 (пример 1). После разбора этого примера можно предложить учащимся самостоятельно доказать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии при | q | << 1 (см.: «Методическое письмо Мини¬
стерства просвещения СССР»).
Рассматривая вопрос о числе я, учитель показывает применение теоремы Вейерштрасса к доказательству того, что последовательность периметров правильных вписанных многоугольников, о которой говорится в определении длины окружности (п. 33), имеет предел, так как она возрастает и ограничена.
Воспроизведение этих примеров от учащихся не требуется. Однако они должны знать факты: lim qn = 0 (| #|<<1), S = lim Sn = ’
fl-> OO ' П-> оо Я
C = nd и уметь их использовать при решении задач. Упражнения 193 (а, б) и 198 необязательны, 194-—197 служат только для проверки знания формулы длины окружности.
3 Выше (см. урок 2) мы рекомендовали не вводить понятий невозрастающей и неубывающей последовательностей. Теперь же, если учитель видит, что основной материал учащиеся усваивают свободно, можно дать определения 3 и 4 из п. 31; эти последовательности тоже называются монотонными, и теорема Вейерштрасса верна и для них,
гв


I*. А. Ястребинецкий
(Москва)
К МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ
ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ» В IX КЛАССЕ
(Из опыта работы)
При планировании этой непривычной для школы темы автор исходил из следующих основных принципов.
1. Введению нового понятия должна предшествовать постановка некоторых задач, для решения которых нужны какде-то новые, до сих пор не применявшиеся учащимися методы.
2. Изложение должно быть достаточно простым, последовательным и по возможности наглядным.
3. Формирование навыков в решении задач, базирующихся на использовании всего комплекса понятий и правил, изучаемых в данной теме, следует начинать не в конце изучения темы (после того как изучены все правила), а в начале, чтобы содержание задач и степень их трудности можно было бы усложнять по мере накопления сведении. В частности, исследование функций (по схеме, предлагаемой учебным пособием) желательно начать непосредственно после изучения правила дифференцирования многочлена. ' Решение такого рода упражнений в течение довольно длительного времени приведет, в конечном итоге, к более экономному использованию учебного времени и к выработке устойчивых практических навыков.
4. Любая перестановка изучаемого материала, не соответствующая порядку изложения в учебном пособии, может быть оправдана только в том случае, если она способствует лучшему его усвоению и если каждый ученик (скажем, пропустивший по болезни несколько уроков) сможет разобраться по учебному пособию в изучаемом материале самостоятельно, читая его в измененном порядке. ,
Учитывая сказанное, материал был спланирован так, чтобы:
а) выделить как можно больше времени на тренировку в применении определения производной (уроки 1—4);
б) создать условия для решения физических задач с применением производной на самой ранней стадии изучения темы;
в) по возможности раньше дать понятие касательной и вывести уравнение касательной с тем, чтобы в дальнейшем при формулировании условий монотонности, при разъяснении понятия экстремума можно было бы все эти понятия иллюстрировать на конкретных при- мера& с использованием касательной.
Так как в VIII классе метод интервалов не изучался, необходимо уделить этому методу 1 урок и создать условия для его использования в дальнейшем (в соответствии с учебным пособием).
В несколько измененной последовательности изучался материал § 8 «Первоначальные представления о производной и пределе . функции».
После рассмотрения п. 34 мы перешли непосредственно к изучению п. 38—41; а затем после проведения соответствующей контрольной работы два урока посвятили изучению материала п. 35, 36.
Понятия возрастания и убывания функции на множестве знакомы учащимся из курса VI—VIII классов, и для повторения их мы воспользовались таблицами с готовыми графиками; никаких записей при этом не делали. Используя таблицы с графиками функций х х2, х->-х3, х->- ах2 + Ъх + с, х -^Ig х, *->2х и т. д. (такие таблицы имеются в-каждой школе), учащиеся легко показывали промежутки возрастания и убывания, ссылаясь на определение, данное в п. 35. Главное внимание на этих двух уроках было уделено содержанию п. 36. Причем, условие возрастания и убывания функции мы сочли целесообразным сформулировать так, как это было сделано в пробном учебнике для IX класса (£. Е. Вейц, Я. Г. Демидов. Алгебра и начала анализа, 1973).
Для того чтобы функция / возрастала на промежутке [а; Ь\, необходимо и достаточно, чтобы для любого лг0€[я; Ь] выполнялось усло-
вие >> 0 для любого Дх (разумеется,
такого, что х0 + &х€[а; b]).
Аналогично сформулировано условие убывания функции f на промежутке [а; Ь]:
для любого х0£[а\ Ь], причем х0 + Ьх€[а; Ь].
При изучении п. 36 учащиеся впервые ознакомились со схемой, приведенной на с. 155. Так, при решении примера 2 из этого пункта была составлена следующая схема:
X
-оо <хс-1
-/
-f<X<1
1
/<Х<оо
Af(X)
АХ
+
-
+•
т
ymax=fH)-Z
ymin-f(1)--2-
На этих же уроках было замечено, что введенное ранее определение непрерывности в точке xQ(\lm / (х) = / (^0)) можно сформулиро-
X-*- Ха
39


вать иначе: Функция x—*f(л) непрерывна в точке х0> если lim Д/ (л:0) = 0. Например,
Д
функция х —* х2 непрерывна' на всей числовой прямой. Действительно, для любого jc0€R имеем: Д/ (х0) = / (лГо+Дх) —/(х0) = (х0+Ах)2— —х$ = Ах (2х0 + Д^:)- Ссылаясь на изученные теоремы о пределах, получим 11т Д/(л:0) = 0.
Дл:->0
Пользуясь этим определением, учащиеся при рассмотрении упражнений вида № 317—
320 проще обосновывают Непрерывность или точки разрыва функции.
При рассмотрении этого материала была создана довольно прочная база для изучения следующей темы, и, что чрезвычайно важно, учащиеся поняли, что методы, с которыми им предстоит ознакомиться, идтересны и полезны.
Приводим планирование темы «Производная», по которому автор статьи работал в 1975/76 учебном году.
№ урока
Тема
Материал по учебному пособию
Упражнения в классе
п. 37, с. 103 и начало с. 104 п. 42, 43
По записи (конспект учителя)
№ 349, 350
п. 43
№ 355, 356, 358
п. 43
Конспект учителя
п. 44, 45
№ 363 (б), 364 (б), 365(6), 366
п. 45 п. 46, 53
№ 367 (б), 368 (б), 369(6), 371, 373 № 375 (а, в), 376(6), 457
п. 51
п. 52
См.: «Математика в школе», 1975, № 6, с. 19 Конспект учителя
п. 54
Конспект учител Конспект учителя
п. 55, 58
№ 359, 361, 377(a), 472, 473
п. 47, 48 п. 49 п. 56, 57
J4} 378, 381, 382, 385, 430, 387 (а)
№ 389, 390, 393, 397, 398, 394
п. 59
№ 498, 500, 525, 501
Упражнения на дом
1 Средняя и мгновенная скорость прямолинейного движения
2 Определение производной
3 Вычисление производных на основе определения
4 Дифференцируемые и недифференцируемые функции
5 а) Производная суммы функций, б) лемма о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функций
6 Производная произведения функций
Г, 8 Производная многочлена и реше¬
ние некоторых задач, в том числе и физических
9 Главная *1асть приращения функ¬
ции
10 Уравнение касательной
11 Применение метода интервалов для решения некоторых неравенств
12 Возрастание и убывание функции на множестве
13, 14 Критические точки функции, ее
максимумы и минимумы. Общая схема исследования функций
15 Контрольная работа1
16 Анализ контрольной работы
17, 18 Производная частного и дробно¬
рациональной функции 19, 20 * Производная сложной функции
21 Исследование квадратичной функ¬
ции (итоговый урок)
22, 23 Наибольшие и наименьшие значе¬
ния функции 24—26 Решение задач по теме
27 Контрольная работа
28 Анализ контрольной работы
№ 497, 526, 499, 527 Учебное пособие и «Дидактические материалы»
По записи
Из п. 43 примеры 1—3 № 351, 353, 354
По записи и пример 4 из. п. 43 № 363 (а), 364 (а), 365 (а)
№ 367(a), 368(a), 370, 373 № 375(6), 376(a), 458—460, 462
№ 454, 453
№ 465, 467—469 № 360, 362, 377 (б), 470
Работа над ошибками № 379, 380, 383, 384, 432, 387 (б)
№ 388, 391, 392, 396, 399
1 См. ниже методические рекомендации.
40


Методические рекомендации к некоторым урокам
Урок 1. Подробно рассмотрены понятия средней и мгновенной скорости прямолинейного движения. Для этого была решена задача.
Пусть некоторое тело движется прямолинейно по закону s(/) =2/-f-3 (s— путь в метрах, t — время в секундах). К концу 2-й секунды после начала движения тело пройдет s(2) = = 7 м, к концу 5-й — s(5) = 13 м. Средняя скорость движения на этом отрезке времени равна
-5 (*5 ~2 ^ * т- е' V'P = 2 м/с-
Этот же результат мы получили бы, вычисляя среднюю скорость дв-ижения на любом промежутке времени [/0; 11]. Действительно,
(2/, + 3) — (2/0 + 3) о
ср~ и-и . b-t,
т. е. уСр = 2 м/с.
Пусть t\ — to —At — приращение времени в точке t0l s(ti) — s(/0)=As(O—приращение пути, тогда
А$ (t) 0
vrn = —А2- = 2 м/с.
ср
В данном случае мы имеем пример движения с постоянной скоростью (равномерное движение). Постоянство скорости на любом промежутке хорошо видно на графике (рис. 1).
Затем был рассмотрен пример прямолинейного движения точки по закону s(t) =/2+2f (рис. 2).
012
Рис. 2
В момент времени t0 пройденный путь равен s(tQ) = Если придать времени некото¬
рое приращение А/, то к моменту времени t0-\-At пройденный путь будет равен s(/0 + + АО = (t0 + А^)2 + 2(t0 + At). В таком случае за время At величина пройденного пути увеличится на s(^0 + А^) — s(tf0)< Средняя ско-
ный момент: ^мгн = Нт-
Д^->0
рость движения на отрезке времени At будет S(t0 + АО — S {(») ' т_ е> г,ср = 2/0 + 2 + At.
Таким образом, в данном случае средняя скорость зависит от At. При различных значениях At она различна и поэтому не может служить достаточно надежной характеристикой движения. Более точной характеристикой движения являемся мгновенная скорость в дан-
As (О М *
В конце урока была решена задача: «Точка движется прямолинейно по закону s(t) = = 2i2 — 6^+5. Найдите:
а) скорость в любой момент времени t;
б) скорость в момент времени / = 2с, /=J,5c;
в) ускорение в любой момент времени».
Учитывая данное выше определение,"'учащиеся легко вычислили v(t)=4t— 6 (м/с), v (2) =2 м/с, v (1,5)= 0 м/с. При вычислении ускорения мы исходили из определения ускорения как скорости изменения скорости. :
На дом было предложено решить три задачи, аналогичных рассмотренной (s(t) =2t — t2, s (t) =t2-\~3t — 5, s(t) = t3). )
Урок 2. В начале урока после проверки домашнего задания и фронтального повторения определения мгновенной скорости была решена задача № 1 из варианта 1 работы V-2 (из «Дидактических материалов»), а затем было дано определение производной функции как скорости изменения функции в данной точке (п. 42):
/(■*)—•/ (*о)
/'(*„) = lim~
Ьх->0 ах
= Иш ■
х->х0
При этом было обращено внимание на то, что для существования производйой в данной точке х0 необходимо, чтобы в некоторой окрестности
точки х0 (кроме х = х0) отношение было
определено и чтобы в этой окрестности, включая и точку х0, функция / существовала.
Урок закончился примерами вычисленйя производных некоторых функций: f(x)=Ct
f (x)=x, f(x)=x3.
Урок 4. В начале урока заметили, что среди рассмотренных функций были и такие, производные которых в некоторых точках не существуют. Например, / (х) = \гх, где х ^>0;
/'(■*) = Т75’ где х>°■
Затем была рассмотрена функция f(x) = \х—1|, построен ее график и установлено, что f'(x) = \ при х>1, //(х)= — 1 при х<1, а в точке х=1 производная не существует.
41


Таким образом, были сформированы понятия дифференцируемой и недифференцируемой в данной точке функции.
В конце урока учащиеся записали задание на дом.
1. 	Найдите скорость движения по заданной формуле пути:
a) 	s(t)=t* — 3t2; б) s(t) =/3 — 2;
в) s(t) = Vt — 2.
На уроке 9 рассмотрели понятие «главная часть приращения функции» (п. 51). Была получена формула
/ (*о+Ах) ^ f (a;0) +/' (Xq) Ах и показано применение ее в некоторых простейших случаях (см. «Математика в школе», 1975, № 6, с. 19). На этом же уроке обратили внимание учащихся на следующий существенный факт: из формулы f(x)~f(x0) + +/Л(*о) • (х—Xq), или иначе
f(x)~f'(x0)-x+(f(x0)-f'(x0)-x о), (1)
следует, что если в данной точке существует производная, то в некоторой, достаточно малой окрестности этой точки график функции может быть приближенно заменен отрезком прямой2 заданной равенством (1).
На рис. 3 функция f задана графиком на промежутке [2; 4]. Точка х=3 такова, что ни в какой ее окрестности график не может быть заменен (приближенно) отрезком прямой. В точке х=3 эта функция не имеет производной, т. е. она недифференцируема. Такие примеры уже были рассмотрены и ранее (х—► 1*1, х—- [х— 11).
Л
iQ / г j *
Рис. 3
Урок 10. Прежде всего повторили: определение линейной функции */ = &*+&, ее график; вспомнили, что коэффициент k равен значению тангенса угла между прямой y=kx-\-b и положительным направлением оси Ох и поэтому k называется угловым коэффициентом прямой.
На предыдущем уроке было замечено, что если в данной точке существует производная, то в некоторой окрестности этой точки х0 кри-
2 Это весьма существенно для введения понятия каса¬
тельной.
вая-график данной функции может быть (приближенно) заменена отрезком прямой
f (*) = f' (*о) • Х+ (/ (х0) — Y (*о) • *о) •
Прямая, заданная этим уравнением, назы- вается касательной к графику функции в точке х0. Из определения следует, что* угловой коэффициент касательной равен значению производной в данной точке.
После этого были решены задачи.
1. Напишите уравнение касательной к кривой у — хг — Зх2 в точке х = 2.
2. Найдите точку, в которой касательная к графику функции f(x)=x2 наклонена к оси Ох под углом 135°.
Урок 11. В начале этого урока была решена задача: «Напишите уравнение касательной к графику функции у = хА — Зд:2+6х+5 в точке х=0; х=1»;
Затем показали учащимся решение некоторых неравенств методом интервалов. Это было сделано следующим образом. Пользуясь таблицами с готовыми графиками некоторых функций (y = kx, у = кх -4- by у = ах2, у = ах2 + 1
+ bx -J- с, у = —, у = lg х), известных учащимся из курса' младших классов, мы заметили, что каждая из них сохраняет знак на промежутке, где она существует и не равна нулю. Этот факт и положен в основу метода интервалов. Так, например, для решения неравенства
(2лг-3)(лг + 7)^ р х — 5
достаточно заметить, что выражение, стоящее в левой части неравенства, при х=5 не имеет смысла, а при *=1,5 и при х=—7 обращается в 0.
На рис. 4 отмечены промежутки знакопо- стоянства. Для установления знака функции
Рис. 4
на каждом из них достаточно подставить в выражение
произвольное значение х из данного промежутка. Например, так как f(10)>0, то /(*)>0 при дс€]5; оо[, и т. д.
Рассуждая таким образом, мы получим: f(x)>0 при —7; 1,5 [U] 5; оо[.
Аналогичные упражнения были включены и в домашнее задание. Одного урока ^казалось
42’


достаточно для разъяснения метода, а навыки в его применении были выработаны в процессе решения задач на последующих уроках.
Урок 12 был посвящен разъяснению понятий возрастания и убывания функций на множестве, в частности на промежутке. Из рассмотрения графика произвольной функции (рис. 5), пользуясь сведениями о касательной к графику функции в данной точке, мы показали, что если f'(x)>0 при х£]а;Ь[, то функция на промежутке ] а; b [ возрастает. И если f'(x)<0 при х£]а;Ь[, то функция на этом промежутке убывает. Это достаточно наглядное разъяснение для использования в дальнейшем соответствующей теоремы.
Затем был подробно изложен материал, содержащийся в п. 54, и рассмотрены упражнения.
Найдите промежутки монотонности следующих функций:
*/=2х+3, У==—7%“}-6, У== У х2-\-х 2, у = х3 — Зх, у = х4 g- х3.
Дома учащиеся выполняли аналогичные упражнения. Кроме того, они повторили схему исследования функций, рассмотренную еще до начала изучения материала о производной.
Уроки 13 и 14 были посвящены изучению материала п. 55 (эти теоремы были изложены в лекционном порядке, и умение воспроизводить их доказательство считалось необязательным); была дана общая схема исследования функций (п. 58). В рассматриваемые
упражнения мы включили любые многочлены, в том числе и квадратичные функции, не выделяя их исследования в отдельную тему. Пользуясь методом интервалов, учащиеся лег¬
ко справлялись со всеми встречавшимися им неравенствами.
На уроке 15 была проведена контрольная работа.
I вариант
1. Исследуйте функцию y=f(x) =х3 — Зх2-\-9х и постройте ее график.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = х2 — 2х в точке х = 3.
3. Точка движется прямолинейно по закону s(t)=2t3 — 3t (s— путь в метрах, t — время в секундах). Вычислите:
а) скорость в любой момент времени t;
б) скорость в момент /=2с.
II вариант
1. Исследуйте функцию у = —х2-\-Зх~ 2 и постройте ее график.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = х3 — Зх2 в точке х=1.
3. Точка движется прямолинейно по зацоцу s(t) =3/3+4^2+5 (s — путь в метрах, t — время в секундах). Вычислите:
а) скорость в любой момент времени t;
б) ускорение в любой момент времени L ,
III в а р и а н т
1. Постройте график и укажите свойства функции
у—х3-\- Зх2 — 9*.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = *2+2 в точке х=2.
3. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется П9 закону h(t) =4+8t— 5/2. Найдите скорость1 тела в момент соприкосновения с землей (см.: «Дидактические материалы», К-5, в. 3, задача № 2).
Приводим краткую запись решения этого задания:
h(t)=4-\-8t — 5/2, а(£)=8— l(tf, h(t)= 0 при / = 2с, следовательно, v(2)— —12 м/с (скорость в момент соприкосновения с землей).
На уроке 21 было рассмотрено исследование квадратичной функции в общем виде (п. 56) и решение квадратичных неравенств (п. 57). Так как на предыдущих уроках решалось немало задач такого вида, то этот урок был проведен как итоговый.
43


Г. Г. Левитас
(Москва)
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РОСТА
В новом учебном пособии «Алгебра и начала анализа 10» впервые в нашей школе введен материал о дифференциальных уравнениях. В частности, в книге дано решение дифференциального уравнения показательного роста:
(/' (х) = kf (х)) - W (f (*) = Cehx).
При доказательстве утверждения (/' (х) = kf (х) )=>(f(x) = СеЬх)
авторы рассматривают произвольную функцию /, удовлетворяющую уравнению /'(*) = = kf (x), и вспомогательную функцию F: F(x) = =f(x)e~hx (с. 111). Найдя производную функции F и подставив в нее вместо f (х) ее значение kf(x), авторы получают: F'(x)= 0, откуда F — константа, а значит, f(x)e~kx=C, f(x)=Cehx, что и требовалось доказать.
В этом доказательстве содержится совершенно новый для школьников прием: построение вспомогательной функции F. Между тем то же самое доказательство можно провести в более привычной для них редакции.
Докажем, что если / удовлетворяет уравнению f'(x)=kf(x), то /(х) = Секх. Для
этого докажем, что — константа. Школь-
в Х
ники к этому времени знают, что для доказа- тельства такого факта средствами анализа достаточно показать, что (У= 0.
V екх )
Имеем: (•*) e-bx)'=f {х) е~Ьх +
+/ {x)(-ke~kx) = kf(x) e-kx — kf (х) е~Ьх = =0, откуда = С.
Итак, (/'(•*) = kf (л)) =>- = cj =>
=>(f(x) = Ce**).
А. И. Мостовой
(г. Чимкент), М. Н. Наконечный (г. Гурьев)
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ
В активизации познавательной деятельности учащихся значительную роль играет поиск различных способов решения задал. Между тем в практике общеобразовательной школы ©му уделяется мало внимания. Объясняется это прежде всрго тем, что эта учебная деятельность недостаточно методически разработана. Рассматриваемая деятельность будет эффективна в том случае, если учитель, перед тем как предложить учащимся задачу, досконально изучит ее сам: отыщет способы решения и установит возможные связи ее с другими задачами. Только тогда он по-настоящему оценит познавательные возможности задачи и организует соответствующую работу с учащимися в классе и на внеклассных занятиях.
В данной статье ставится цель ознакомить учителей математики (особенно молодых) с отдельными вопросами методики решения задач различными способами.
О целесообразности решения задач различными способами
Педагогически целесообразно практиковать решения задач различными способами с той целью, чтобы по крайней мере довести до сознания учащихся, что эти способы существуют и многие из них посильны ребятам. Это позволит учителю в отдельных случаях заменять одно доказательство другим, более легким, искать более эффективные методы обучения, творчески решать многие вопросы учебного процесса. Если учителю удастся привить детям интерес к отысканию различных способов решения задач, то им будет немало сделано в развитии исследовательских способностей своих воспитанников. 1
Рассматривая различные учебники и задачники, мы обращаем внимание на то, что некоторые задачи помещаются в них в разных, зачастую далеко не родственных разделах. Приведем пример.
Задача 1. Докажите, что треугольник будет прямоугольным, если медиана его равна половине стороны, к которой она проведена.
В сборнике задач Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой она помещена в разделе «Сумма внутренних углов треугольника», а в учеб¬
44


ном пособии «Геометрия 7» — в разделах «Прямоугольник» (п. 47, задача 13) и «Одно замечательное свойство окружности» (п. 64, задача 7). Понятно, что в соответствии с этим и способы решения названной задачи будут различными.
Эту задачу можно решать и при изучении свойства внешнего угла треугольника, свойств средней линии треугольника или диагоналей ромба. Такое явление тоже вызывает необходимость знакомить учащихся с различными способами доказательств теорем и решения задач.
Об обучении школьников решению задач различными способами
К рассматриваемой деятельности учащихся следует привлекать с VI класса. Как это делать, покажем на примере решения задач 2 и 3.
Задача 2. («Геометрия 6», п. 34, № 7). Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Традиционное решение. Пусть [BN) — биссектриса внешнего угла МВС треугольника ABC (рис. 1), тогда
/\ 1 /V* 1 ~
MBN ^АгМВС^Аг(А + С).
. . /\
Но А = С9 отсюда MBN = А. Из этого следует (признак параллельности прямых')| что \BN) II [АС].
Обычно в. классе после этого не делается и попытки отыскать другое решение. Между тем учащимся будет посилен способ, опирающийся на второй признак параллельности прямых. Чтобы шестиклассникам сопутствовал успех, полезно разобрать с ними задачу о свойстве биссектрис двух смежных углов. Это приведет их ко второму способу решения.
2-й способ. Пусть [BD)—биссектриса
/\
угла ABC (рис. 1), тогда DBN = 90° (угол между биссектрисами смежных углов). С другой стороны, [BD]±.[AC] (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), следовательно, (BN)\\(AC) как два перпендикуляра к одной и той же прямой.
Если с учащимися предварительно решить задачу 1, то они смогут найти третий способ решения.
3-й способ. На продолжении стороны АВ (рис. 2) откладываем [BD] ^ [АВ]У тогда [ЛС]_Ц/)С] (задача 1). С другой стороны, [BN] _L [DC]. Снова приходим к заключению,
что (£W)||(i4C) как два перпендикуляра к одной и той же прямой.
Рассмотренные способы опираются на содержание раздела, в котором помещена задача. Однако она может быть предложена учащимся и после изучения других разделов учебника. В частности, после доказательства теоремы о свойствах средней линии треугольника.
После изучения признаков параллелограмма учитель может сообщить учащимся, что теперь есть возможность найти еще два способа решения задачи 2. В нашей практике это обычно служило толчком для отдельных учащихся, и они самостоятельно приходили к хорошим результатам. Укажем один из способов, найденных семиклассниками.
4-й способ. Пусть О £ [#С] и \ВО\ = |ОС|. Найдем точку F такую, что F £ (АО) и | АО | = | FO | (рис. 3). Тогда ABFC — параллелограмм и (Я/7) || (АС). Далее нужно доказать, что [S/7)—биссектриса угла DBC.
Когда учащиеся изучат тему «Дуги и хорды», учитель может предложить им еще раз вспомнить задачу. При этом следует сообщить, что в геометрии справедлива следующая теорема: «Если дуги, заключенные между непе- ресекающимися хордами, конгруэнтны, то хорды параллельны». И тогда может появиться еще один способ решения, который очевиден из рис. 4.
Задач.а 3. («Геометрия 7», «Задачи на повторение к главе II», № 26). Дапо: ABCD — трапеция (рис. 5), \СК\ = \KD\, (КЕ)Л-(АВ). Доказать:
а) 	SАВК = — SABCD' б) S АвСО — | АВ | • | ЕК\*
Рассмотрим способы решения задачи, предложенные учащимися.
1-й способ. Проведем через точку К прямую MNy >(MN) || \АВ], М€(ВС), a N£(AD); затем проведем [/С/7] || [DA] (рис. 5); [/С/7] — средняя линия трапеции и параллелограмма ABMN. Если учесть, что трапеция ABCD и параллелограмм ABMN имеют к. тому же общую высоту, то можно заключить, что эти четырехугольники равновелики. Но Sabmn = КЕ , следовательно, и Sabcd — КЕ . Очевидно, что
“2“ SabMN* Т* е- SАВК ^ SABCD*
тыре = \АВ I = | АВ\
$АЗК'
45


2-й способ. Пусть [/С/7]—средняя линия трапеции, h — длина ее высоты. Тогда
S авк ^ SAFK + $fkb ^
h
= -^-\KF\-h^±-SABCD (рис. 5).
Но Sabk^^AB^KEI
, и поэтому Sabcd— \АВ \ ■ \КЕ\.
3-й способ. При симметрии с центром К точки С и В отображаются соответственно на точки D и М, M£(AD) (рис. 6). Тогда [СВ] si [MD], AMDK АВСК и
5 век + *5 ADK = S МКА =
'(\MD\ + \DA\).lr= 1
2" $ ABCD’
где h — высота трапеции. Проведем [BL] _]_ _L[/G4] и [MN\A-[KA], тогда очевидно, что . Smka = Sabk- Следовательно, SАвК =
= -TSABCD. Но Sabk = \-\AB\-\KE\. Поэтому Sabcd = '2SaBk = \AB\-\KE\.
Рис. 5
Рис. 6
1-й способ. Предположим, задача решена: треугольник АВС — искомый (рис. 8). Строим
/\
^ABD^zl А, тогда DBC = В — А и | AD |= = \BD\, т. е. | DC | + | BD\ = | АС |. Задача сводится к построению треугольника В DC по стороне ВС, прилежащему к ней углу DBC и сумме длин двух других сторон, равной | АС |.
2-й способ. Пусть треугольник АВС— искомый, строим / ABD ^/_А (рис. 8) и про-
~ /\ /\ водим (CF) || (BD). Тогда А = ABD = AFC
и | АС| = 1 /^С|, a BCF = DBC = 5 — Л. За- дача сводится к построению треугольника BCF па двум сторонам ВС и CF и углу между ними BCF. Далее строим [ЛС]^[С/7]; [ЛС]П П (BF)=A.
Во втором случае несколько громоздкий анализ приводит к более рациональному способу решения.
Поставим перед собой цель облегчить анализ.
3-й способ. Строим [C^J^AC] (рис. 8),
/\ „ /\ /\ /\ тогда ВСЕ = 180 — CBF — CFB = АВС -
— CFB = В — А. Решение сводится ко второму способу.
Теперь воспользуемся преобразованием осевой симметрии.
4-й способ. Анализ. Пусть I — серединный перпендикуляр к отрезку А В. Примем I за ось симметрии; D — St(C), A — St(B) (рис. 9),
/\
тогда [AD]^[BC\, a DAC = В - А.
Рис. 7
Следующий способ учащиеся получат, рассмотрев рис. 7, на котором (KN)\\(AB) и (BM)\\(CD), [KF] — средняя линия трапеции, а Si, 52, S3 — площади треугольников.
Анализ при поиске различных способов решения задач
Учителя математики хорошо знают, что применение анализа позволяет во многих случаях находить путь к решению задачи. Однако немногие из них применяют этот логический прием к поиску различных способов решения. Между тем анализ неотделим от рассматриваемой нами деятельности. Покажем это на примере задачи 4.
Зада.ча 4. («Геометрия 6», «Задачи на повторение к главе II», № 18). Постройте треугольник АВС по сторонам ВС, АС и разности В — А(В>А).
Рис. 8
Таким образом, задача сводится к построению треугольника ADC по двум сторонам АС и AD и углу ‘между ними DAC.
Синтез при поиске различных способов решения задач
Решения задач (могут появиться и без применения анализа, они, как правило, очевидно следуют из ранее доказанных суждений. В таких случаях применяется синтетический метод. Покажем это на примере.
46


Задача 5. («Геометрия 6», «Задачи на повторение к главе II», № 25). На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в точке О. На одной из этих прямых отмечена точка А. Известно, что на этих прямых лежат биссектрисы некоторого треугольника и отмеченная точка — одна из его вершин. Постройте этот треугольник.
Обычно эта задача решается способом, указанным в книге «Геометрия в VI классе»1.; Однако учителю полезно знать другой способ, который могут получить и отдельные достаточно подготовленные учащиеся. Для этого предварительно надо доказать истинность следующего суждения: «Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортоцентрического ему треугольника»2.
Решение. Пусть даны три пересекающиеся прямые а, Ь, с и А £ cl. Через точку А проводим {А'С) _La((A'C')(}b = C/) и через точ- ку С'(В'С')А-С (рис. 10). В образовавшемся треугольнике А'В'С' точки А, В, С являются основаниями его высот. Соединим попарно отрезками эти точки. Очевидно, треугольник ABC искомый.
Рис. 10
Следует иметь в виду, что задача имеет решение, если сумма любой пары прилежащих углов, образованных данными прямыми, больше 90°.
сторонний треугольник, вершины которого ле- жат на трех данных прямых.
Рассмотрим способы решения для случая, когда прямые параллельны.
Учитель может начать разбор этой задачи с рассказа о том, что она предлагалась читателям журнала «Математика в школе» и один восьмиклассник дал приведенное ниже построение.
Пусть даны три параллельные прямые а, b и с. На прямой с отметим произвольно точку С. Из точки С проводим луч СЕ под углом 60° к прямой с; [CE)(]a = Ah Строим угол CAF,
CA^F = 60°, [AtF) П b = В.
Через точки Аи В и С проводим окружность (рис. 11). Соединив точки А, В и С, поручим искомый треугольник ABC. Легко доказать, что и треугольник A\BiC\ удовлетворяет условию. Задача имеет два решения. •
Иногда полезно задуматься и над таким вопросом: «Как ученик пришел к этому peiiie- нию?» Это позволит проследить за путями добывания оригинальных математических фактов. Такая деятельность полезна еще и потому, что может привести к другим не менее оригинальным способам решения.
2-й способ. Анализ. Если треугольник ABC искомый (рис. 12) и (АЕ)А_су (BF)±c, то, соединив отрезком середину стороны АВ (точку D) с вершиной С, получим четырехугольники ADCE и CDBF — вписанные в окружно- /\ /\ /\ /\ ста (АЕС + ADC = 180° и СОВ + СРВ =
= 180°). Далее DEC = CAD = 60° и CFD = /\
= CBD = 60° (как вписанные, опирающиеся на одни и те же дуги), т. е. треугольник EDF — равносторонний, высота которого KD одновременно является и средней линией трапеции ABFE.
Как искать различные способы решения задач
Задача 6. («Геометрия 8», «Задачи на повторение к главе IX, № 14). Постройте равно¬
1 В. А. Гусев, Г. Г. Маслова, Ф. Ф. Нагибин, А. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов. Геометрия в VI классе. В помощь учителю. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1972, с. 118.
2 Треугольник, вершинами которого служат основания высот данного треугольника, называется ортоцентриче- ским относительно данного, ,
Построение. По высоте KD, длина которой равна полусумме расстояний между параллельными а и с, b и с7 строим равносторонний
47.


треугольник EDF, затем проводим (AE)JLc или (BF)J-C. Через точки А и D (или В и D) проводим прямую. Отрезок АВ этой прямой служит стороной искомого треугольника АВС.
Но, решив таким способом задачу, ученик начинает оценивать эффективность этого cito- соба и приходит к заключению, что такое решение не совсем рационально. Возникает мысль: «Нельзя ли упростить решение?» Она может привести к новому способу.
3-й способ. Пусть (EF)J_a (рис. 13). По стороне EF строим равносторонний треугольник FDE; Ь П(£-0 =В. Соединим точки ВиО. Через точку D проводим (AC)A-(BD). Треугольник АВС искомый.
4-й''способ. Анализ. Предположим, что треугольник АВС искомый. Тогда Ra°(С) = В. Но так как С £ с, то В£сь где сх — Ra° (с). В т<Ь же время В £Ь. Следовательно, В = — b'(\Ci. Построение очевидно.
Последние три способа решения имеют свои «рычаги»: в первом случае это применение аналйза, ,во втором — оценка рациональности решения, а в последнем — преобразование поворота. Но нет ли еще в запасе аналогичных «рычагов»? Таким «рычагом» может служить одно из решений задачи 7.
Задача 7. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин лежала в данной точке стороны квадрата.
1-й способ. Анализ. Пусть Е — данная точка на отрезке AD, и ДPFE — искомый.
Строим внутри квадрата отрезок EL так, что-
/\
бы AEL — 60° и \EL\ = \AE\ (рис. 14). Точку L соединим с точкой Р; AELP ^ AAEF (по двум конгруэнтным сторонам и углу между ними).
В С
Построение. Проведем отрезок EL так, что- /\
бы AEL=§0° и \EL | = | АЕ\. Далее строим (LP) _L,(EL), тогда [Я^-] — сторона искомого треугольника РЕЕ.
2-й способ. Анализ. Пусть F — данная точка на отрезке АВ и треугольник FEP — искомый. Тогда
Rf° (Е) = Р.
Но так как Е £ [AD] (рис. 14), то Р принадлежит образу ртрезка AD при повороте около точки F на 60°.'В то же время, Р € [Z)C]. Следовательно, Р — [AD] П [AjjDi], где
и^няГало]).
Дж. ШАРИФОВ
(г. Куляб ТаджССР)
О ВИДАХ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Опыт показывает, что эффективность изучения геометрии в VII классе значительно возрастает при проведении самостоятельных работ с дифференцированными заданиями. При этом все учащиеся должны быть обеспечены вариантами, по трудности соответствующими их возможностям.
Индивидуализация процесса обучения с помощью дифференцированных заданий получила распространение в работе некоторых учите¬
лей школ Таджикистана. В основу классификации таких заданий положена степень самостоятельности учащихся.
Остановимся на некоторых видах самостоятельных работ.
I. 	Самостоятельные работы по образцу. В заданиях данного типа дается образец решения задачи, и по этому образцу ученик должен решить аналогичную задачу, так что уровень самостоятельности учащихся в этом случае не выходит за пределы воспроизводящей дёятельности. Работы по образцу полезны при закреплении материала, кроме того, создают условия для перехода ученика к выполнению заданий, требующих более высокого уровня самостоятельности. Немаловажное значение этих работ заключается и в том, что при их


выполнении учащиеся совершенствуют владение математической терминологией и навыками русской речи.
II. Самостоятельные работы с указанием к их решению. При их выполнении предполагав ется известная самостоятельность в выборе пути решения задачи: учащиеся получают некоторые указания, облегчающие нахождение этого пути.
III. Вариативные самостоятельные работы. В данном виде работ предлагается группа несложных задач, в том числе и задачи с частичным изменением их условия. Тем самым учащиеся последовательно решают взаимосвязанные задачи. Эффективность этого вида работ — в постепенном нарастании сложности заданий.
IV. Задачи повышенной трудности. Предлагая учащимся задачи данного вида, мы вносили некоторые изменеиия в методику их решения. При выполнении этих заданий мы не всегда требовали от учащихся полного решения задачи; в ряде случаев достаточно было разработать план решения. Эти задачи предлагались учащимся в качестве необязательного задания.
Задания двух последних видов наиболее эффективны при систематизации и совершенствовании знаний учащихся.
При выполнении самостоятельных работ дидактический материал предлагается ученикам на карточках, что позволяет его использовать неоднократно.
Приведем примеры дифференцированных заданий первых трех из рассмотренных видов по теме «Векторы».
Задание к п. 69 I
V
1.1. 	Дан вектор CD и точка Е (рис. 1).
Отложите вектор CD от точки Е.
Решение. Строим луч с началом в точке Е,
**
сонаправленнь й с вектором CD, и откладываем на нем [Zf-Fl^fCD] (рис. 2). Итак, EF — CD.
1.2*. а) Дан вектор MN и точка О (рис. 3). Отложите вектор MN от точки О.
б) 	Даны векторы EF и КLn точка А (рис. 4).
•О
Рис. 3
Рис. 4
Отложите векторы EF и KL от точки А.
2.J. В равнобедренном треугольнике MNP (рис. 5) проведена медиана NC. Какие пары точек, составленные из вершин полученых треугольников, определяют один и тот же вектор?
Решение. МС == СР и СМ = PC, так как [МС]^[СР], [МС)\\[СР¥ и [РС)П[СЖ).
Итак, пары точек: (М, С) и (С, Я), (Р, С) и (С, М).
2.2. 	а) В равнобедренном треугольнике ABC (рис. 6) проведена медиана BD. Какие пары точек, составленные из вершин полученных треугольников, определяют один и тот же вектор?
б) 	Дан равнобедренный треугольник EFK (рис. 7). Из вершины F проведена медиана.
К
Рис. б
Рис. 7
Какие пары точек, составленные из вершин полученных треугольников, определяют один и тот же вектор?
II
1. Могут ли различные пары точек, составленные из вершин равностороннего треугольника, определять один и тот же вектор? Ответ обосновать.
2. Запишите, какие из направленных отрезков (рис. 8) задают один и тот же вектор.
—>■ >
Указание. Запись ST = ООг означает, что направленные отрезки ST и ООх задают один и тот же вектор.
1 Под номерами 1.2 и 2.2 даются задачи, которые ученик будет решать самостоятельно по данному выше образцу.
2 Знаком ff обозначается сонаправленность лучей.
49


0J?
Рис. 9
Рис. 10
Рис. И
Сколько лучей, сонаправленных с лучом АВ\ можно провести с началом в каждой из данных точек? Изобразите их,
—V
2.1. 	Даны вектор т и луч CD (рис. 12).
. V ->
Постройте луч, на который вектор т отобразит луч CD.
Решение. Вектор от отобразит луч CD на сонаправленный ему луч, началом которого
является точка Сг (рис. 13), такая, что С,=
->•
— от (С). Итак, вектор от отобразит луч CD на луч C,D.
2.2. 	Даны вектор п и луч MN (рис. 14).
3. Один и тот же или различные векторы определяют пара точек с координатами (4; 5), (5; 4) и пара точек с координатами (5; 4), (4; 5)? Ответ обосновать.
Указание. Предварительно данные точки изобразите на координатной плоскости.
4. Даны пары точек 0(0; 0), А(—1; 1) и 6(1; ,0), С(0; 1). Один и тот же или различные векторы определяют эти пары точек? Ответ обосновать.
Указание. Используйте указание предыдущей задачи.
Ill
1. Даны точки А и В. Сколько различных векторов определяют эти точки?
2. Дан квадрат MNPQ. Сколько различных векторов задают его вершины М, N, Р? Запишите их.
3. Дан прямоугольник ABCD. Сколько различных векторов задают его вершины А, Z), С и точка О пересечения его диагоналей? Запишите их.
Задание к п„ 70 I
1.1. Даны луч MN и точка О (рис. 9). Сколько лучей, сонаправленных с лучом MN, можно провести с началом в точке О?
Решение. С началом в точке О можно провести только один луч ООь сонаправленный с лучом MN (рис. 10).
1.2. Даны луч АВ и точки С и D (рис. 11)-
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Постройте луч, на который вектор п отобразит луч MN.
II _
1. Даны вектор т и луч А В (рис. 15). По-
стройте луч, на который вектор т отобразит луч АВ•
2. Задан параллельный перенос, парой соответствующих точек и дан луч CD
(рис. 16). Постройте образ луча CD при заданном параллельном переносе.
Указание. Можно построить образы двух точек при заданном параллельном переносе, одна из которых точка С, или, построив образ точки С, провести луч, сонаправленный с данным лучом.
3. Задан параллельный перенос парой соответствующих точек В-+С и отрезок DE (рис. 17). Постройте образ отрезка DE при заданном параллельном переносе.
В
Рис. 15
Указание, задаче 2.
Рис. 16
Рис. 17
Воспользуйтесь указанием к
III
1. Даны луч BD и точка А. Сколько лучей, сонаправленнЫх с данным лучом, можно провести через данную точку?
2. Назвать изображенные на рис. 18 пары лучей: а) сонаправленных; б) противоположно направленных.
3. Существует ли вектор, отображающий при параллельном переносе луч ОА на ка- кой-либо из других лучей, данных на рис. 18?
50


Рис. 18
4. При каком перемещении каждый луч отображается: а) на сонаправленный; б) на противоположно направленный?
Задание к п. 71 I
1.1. Найдите сумму векторов а и Ь, заданных на рис. 19.
Решение. Выберем произвольную точку А
—> ->
и от нее отложим вектор АВ = а (рис, 20).
В
Рис. 19
Рис. 20
От конца вектора АВ отложим вектор ВС = = Ь. Соединим точки А и С, получим АС — = АВ -f- ВС, т. е. АС = а + Ь.
N
С
В
2.2. 	Постройте сумму векторов:
-> -> —>■
а) т, п и / (рис. 25);
->• —>■ —>■
б) с, d и е (рис. 26).
/77
Рис. 25
II
1. Даны векторы ОМ и AN (рис. 27). Постройте их сумму по правилу параллелограмма.
Указание. На рис. 28 показано, как можно начать решение задачи. Продолжите решение.
2. Даны векторы ОМ, ON и ОР (рис.. 29). Постройте их сумму.
Рис. 27 1
Рис. 28
Рис. 29
М
Рис. 21 Рис. 22
1 .*2. Найдите сумму векторов:
а) b и с (рис. 21);
б) MN и PQ (рис. 22).
-> -> -У
2.1. 	Постройте сумму векторов а, b и с рис. 23).
Решение. Строим последовательно АВ — а, BC = b, CD = с (рис. 24). Получаем AD = = АВ+ВС + СЪ, т. е. АО = й + Ь + с.
Рис. 24
Указание. Сначала следует найти сумму
—— —-и —
двух данных векторов, например ОМ + ON, а затем найти сумму полученного вектора —
суммы с вектором ОР.
Ill
1. Дан треугольник MNP. Найдите сумму векторов:
а) MN + PN;
б) ~MN + NP + МР;
в) ~MN + NP;
г) PM + M~N+NP.
2. Дан треугольник ABC. Суммой каких векторов, заданных вершинами этого треугольника, будут векторы:
а) 	АВ; б) ВС; в) С А?
3. Какой вектор, определяемый парой вершин
треугольника MKL, в сумме с вектором МК
" >
дает вектор ЬЮ


Л. П. Хлабыстова
(г. Таганрог)
К МЕТОДИКЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
Исследования психологов показали, что доказательство теоремы будет усвоено прочно, если каждый из его этапов — каждое умственное действие — подвергнуть регуляции, т. е. корректировке.
Регуляция умственных действий осуществляется на основе сигналов рассогласования между данной конечной целью действия и результатами процесса ее достижения. Несовпадение достигнутого результата с заданной цель#) составляет содержание сигнала рассогласования К
По своей логической структуре доказательством теоремы представляет собой сеть силлогизмов. Чтобы выделить порции изучаемого материала, усвоение которых следует подвергнут! регуляции, обратимся к логическому анализу доказательств.
Рассмотрим для примера теорему 15 (из курса геометрии VI класса) о том, что два противоположно направленных луча ОА и 01 А\ симметричны относительно середины Р отрезка 00 х (рис. 1).
Доказательство теоремы состоит из трех умозаключений.
При центральной симметрии с центром Р:
1) точка О перейдет в точку Ох>
2) прямая О А отобразится на прямую ОхАх,
3) полуплоскость а отобразится на полуплоскость аь
В данном случае регуляция может быть осуществлена путем отрицания каждого из заключений 1), 2), 3). Сформулируем предложения, полученные в результате таких отрицаний.
При центральной симметрии с центром Р:
а) точка О отобразится на точку, отличную от точки 01,
б) прямая ОА отобразится на прямую, отличную от прямой 0\Аи
в) на полуплоскости а существует точка Ху образом которой является точка Хх той же полуплоскости а.
Необходимо показать, что каждое из предложений а), б), в) ведет к противоречию с уже изученными определениями, аксиомами, теоремами.
Действительно, если точка О отображается на некоторую точку 02, отличную от точки Oi (рис. 2), то это противоречит определению центральной симметрии как поворота на 180°,
Рис. 1
Рис. 2
являющегося, в свою очередь, перемещением,, сохраняющим расстояния.
Если (при условии, что точка О отобразится на точку Oi) прямая ОА отобразится на прямую, отличную от прямой 0\Аь например на прямую О1А2 (рис. 3), то получим противоречие с аксиомой о параллельных прямых.
Наконец, если в полуплоскости а существует точка X, образом которой является точка Х\ той же полуплоскости, то получим, что центральная симметрия осуществляется с помощью поворота вокруг точки Р на угол р, меньший 180° (рис. 4).
а.
к
•а;
Рис. 3
Рис. 4
1 А. М. Матюшкин. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., «Педагогика», 1972.
Такой анализ предложений а), б), в) наводит на мысль, что при подготовке к доказательству теоремы полезно разобрать следующее упражнение.
«На прямой а взята произвольная точка О. Доказать, что при центральной симметрии с центром О одна из полуплоскостей, определяемых прямой а, отобразится на другую».
В процессе доказательства теоремы перед учащимися следует поставить вопросы: «Почему при центральной симметрии с центром Р точка О отображается на точку 01?», «Почему луч ОА не может отобразиться на луч ОхА2 (рис. 3)?»
Логическому доказательству данной теоремы может предшествовать непосредственное выполнение центральной симметрии с помощью кальки. У большинства учащихся при центральной симметрии произойдет нужное совмещение прямых О А и ОхАх, но обязательно найдутся дети, получившие результаты, изображенные на рис. 2 или 3. Эти рассогла¬
52


сования с ожидаемым результатом убедят их в необходимости логического доказательства.
Немаловажными представляются упражнения на распознание условий применимости теоремы. Такие упражнения легко получить, исключая поочередно каждую посылку теоремы. /Например, в рассматриваемой теореме 3 посылки:
1) |ОЛ) || [CMi).
2) |ОЛ)с«, |01Л1) саь
3) [оям/юа Р^ОО,].
Отказываясь поочередно от одной из них, получаем 3 упражнения.
Симметричны ли лучи О А и 0\Аг относительно точки Р отрезка ООь если:
1) [ОA) d a, [OHi)c=ab \ОР]^[ОгР]?
2) [ОА) || [О,Л.), [ОЯ]^[ЯО,]?
3) [ОА) || [ОЙ,), [ОА) с а, [ОИОса,?
Если условия теорем не содержат избыточных данных, а таковыми являются теоремы школьного* курса, то подобные упражнения имеют отрицательные ответы.
Г. Л. Буянкина
(г. Одесса)
ИЗ ОПЫТА СОЗДАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИКТАНТОВ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ В VII КЛАССЕ
В 1975 г. в НИИ ШОТСО АПН СССР разработаны новые «Перечни учебного оборудования». Одним из новых средств обучения, включенных в «Перечни», являются грамзаписи с текстами математических диктантов. Лаборатория математики НИИ ШОТСО АПН СССР занимается разработкой текстов математических диктантов по всему курсу школьной математики (IV—X классы).
Диктант проводится перед началом изучения каждого нового пункта учебника. Цель его: а) контроль за усвоением предыдущего пункта (ученики, таким образом, отчитываются по каждому пункту учебника); б) выяснение готовности учащихся к восприятию нового материала.
Сотрудники лаборатории (Г. Г. Левитас, А. О. Антонов, М. Б. Волович) разработали теоретические положения и практические рекомендации по составлению и использованию математических диктантов; перечислим их:
Исходя из вышеизложенного, предлагается следующая последовательность работы при подготовке к доказательству теорем:
1. Подвергните отрицанию заключения, полученные в процессе доказательства.
2. Покажите, что каждое из предложений, полученных в результате отрицания, ведет к противоречию.
3. Проверьте, будет ли верна теорема, если из ее условия исключить хотя бы одну посылку.
4. Исходя из пунктов 1—3, составьте подготовительные упражнения и упражнения на закрепление теоремы.
Приведенные указания полностью или частично могут быть применены к методической разработке многих теорем. Однако это вовсе не значит, что все они должны быть использованы в работе над каждой теоремой.
Эти рекомендации относятся лишь к определенному этапу работы над теоремой, Мы адресуем их учителям, но не учащимся. Учителю они помогут составить по указанному принципу подготовительные упражнения и упражнения для закрепления теорем.
1. Диктант проводится в самом начале урока.
2. Состоит из двух вариантов, читаемых мужским и женским голосами. _
3. Продолжительность диктанта 3—8 мин.
4. Количество вопросов 3—10.
5. Текст вопроса простой, легко воспринимаемый на слух, требующий краткого ответа, несложных вычислений.
6. Пауза между следующими друг за другом вопросами должна быть достаточной для записи ответов учащихся.
Ученики пишут только ответ на вопрос и лишь иногда (в случае необходимости) частично вопрос. Работа проводится на контрольных листках.
В настоящее время, пока еще грамзаписи диктантов не созданы, а магнитофоны имеются во многих школах, можно, имея тексты диктантов, записывать их на пленку в условиях школы силами учащихся и учителей. Учитель может в своей работе использовать эти тексты и без магнитофона.
Нами разработаны тексты диктантов по всему курсу алгебры VII класса, всего 50 диктантов1.. В настоящее время закончено их экспериментальное опробование.
1 Диктанты составлены по пунктам, обязательным для изучения.
53


Приведем полностью тексты диктантов по II главе учебного пособия «Алгебра 7».
К п. 18. Понятия «меньше» и «больше»
А2. 1. Запишите числа 2 и —18. Подчеркните то из них, которое расположено правее на числовой прямой.
Б. 1. Запишите числа —4 и —51. Подчеркните то из них, которое расположено левее на числовой прямой.
А. 2. Запишите неравенство —5 > —7. Подчеркните то из чисел, которое расположено на числовой прямой левее.
Б. 2. Запишите неравенство—11 >—15. Подчеркните то из чисел, которое расположено на числовой прямой правее.
А. 3. Число а расположено на числовой прямой правее числа 5 на 2 единицы. Чему равно а? ' ■
Б. 3. Число b расположено на числовой прямой левее числа 7 на 3 единицы'. Чему равно р;?
Ат 4. Соедините числа а и Ъ одним из знаков^, С, =, если их разность равна —4,1.
. Б. 4. Соедините числа cud одним из знаков >, <, =, если их разность равна 1/7.
А. 5. Запишите какое-либо верное строгое неравенство.
Б. 5. Запишите какое-либо верное нестрогое неравенство.
Диктант окончен 3.
Во всех последующих диктантах будем приводить полностью только I вариант; разночтения во II варианте указаны в скобках.
К п. 19. Свойства неравенств
1. Запишите неравенство 3x<Z2(5y>3). Запишите тот же факт с помощью знака > (<).
2. Запишите два неравенства 5 > 3 и 3 > 0 (12 > 7 и 7 > 2). Используя свойство транзитивности, запишите верное неравенство, которое следует из двух данных.
3. Дано неравенство 13>2(5>1). Запишите новое верное неравенство, прибавив к обеим частям данного число т(—п).
4. Известно, что с > d(a> Ъ). Запишите верное неравенство, прибавив к обеим частям данного число—8(17).
5. Дано неравенству а> b(c> d). Запишите новое верное неравенство, умножив обе части данного на 4,3 (—0,7).
6. Известно, что т>п(х>у). Запишите
2 Буквами А и Б обозначены дикторы, читающие текст: А — I вариант, Б — II вариант.
3 Эта фраза повторяется в конце каждого диктанта.
верное неравенство, умножив обе части данного на —3,2 (5,8).
7. 	Дано верное неравенство с > d. Запишите неравенства: с + т> d + т, ст> dm,
с — 5 > d — 5, —5с > —5d (с — 1 > d — 1,
—3с > —3d, cm < dm, 4с > Ad). Подчеркните верные.
К п. 20. Понятие логического следования
1. Запишите уравнения: Зх — 5 = 0 и Зх = 5 (2х = 7 и 2х — 7 = 0). Следует ли второе'уравнение из первого?
2. Запишите неравенство —4х+ 1 > 0 (—2у + 8<0). Используя знак логического следования, запишите какое-либо неравенство, которое следует из данного.
3. Запишите уравнение Ъх — 2 = 0 (Зл: + 4 = = 0). Запишите новое уравнение, которое следует из данного (используйте знак логического следования).
4. Известно, что *>3 (у <С 2). Запишите, используя знак логического следования, верное неравенство, полученное из данного прибавлением к обеим частям числа 7 (—4).
К п. 21. Равносильные предложения
1. Соедините знаком равносильности, если это можно, уравнения 32л;—1=0 и 32л: = 1 (5у + 4 = 0 и Ъу = —4).
2. Запишите уравнение 8л: + 1 = 25(4г—2 = = 5). Запишите уравнение, равносильное данному, левая часть которого 8х(4г).
3. Запишите неравенство 3у > 15(2л: < 10). Запишите любое неравенство, равносильное данному.
4. Запишите уравнение 4л: + 2 = 7х(8у — = 2у — 5).^Запишите его решение, используя знак равносильности.
5. Запишите неравенство 5у — 4<8(13л: + + 1 > 23). Запишите его решение, используя знак равносильности.
К п. 22. Графическое решение неравенства с одной переменной
Всем открыть учебное пособие на с. 89.
1. По рис. 17 запишите два значения х, при которых ординаты точек прямой положительны (отрицательны).
2. Посмотрите на рис. 18. Запишите два любых значения ху при которых значения функции y = f(x) отрицательны (положительны).
3. Посмотрите на рис. 20. Запишите множество решений неравенства g(x) >0(^(л:) <0)_.
54


К п. 23. Решение линейных неравенств с одной переменной
1. Запишите словами «да» или «нет», является ли данное неравенство линейным
5—2у > у (3z2 С 3 + г).
2. Запишите неравенство х2 + 1 >х(13у> >*/ + 4). Является ли данное неравенство линейным?
3. Запишит'е решение неравенства 2у< <С8(5а:>10), используя знак равносильности.
4. Запишите неравенство 6г/+1>4(3х + + 2 < 1). Принадлежит ли множеству решений этого неравенства число 1(4)?
5. Запишите неравенство Ъх — 4 <2(4у —
— 1 >5). Найдите наибольшее (наименьшее) целое число, удовлетворяющее этому неравенству.
К п. 24. Решение систем линейных неравенств с одной переменной
1. Запишите двойное неравенство — 3 <1 —
— Зх < 5(4 < 2у + 3 < 6). Составьте из него систему неравенств.
2. Запишите систему неравенств
(х>3 /Г у<2\ U>6 \1 У<4/ ‘
Найдите множество ее решений.
3. Решите систему неравенств
' 4 —2а>0 36 — 4<0\
La + 3>0 Д\2 + 6>0 J-
К п. 25. Гримеры решения нелинейных неравенств
1. Запишите неравенство (у + 1) (у — 5) >0 ((z — 3) (z + 4) < 0). Запишите одну из систем неравенств, которая следует из данного неравенства.
2. Запишите обе системы неравенств, которые следуют из неравенства
^<0 (т^>°)-
3. Решите систему неравенств
I У + 5<0 /Гх —2>0\
— 1 >о [\x + i<oJ-
К п. 26. Точные и приближенные значения величин
1. 	На табличке в автобусе написано «Число посадочных мест 35». (В автобусе сидят 35 пассажиров.) Запишите, точным или приближенным значением величины является это число.
2. У ученика 9 чистых тетрадей. (Длина школьного стола равна 1 м 54 см.) Запишите, точным или приближенным значением величины является это число.
3. Запишите число 2,247(1,351). Округлите его до десятых долей, до сотых долей.
4. Является ли округление . числа до десятых в предыдущем примере его значением с избытком или недостатком?
5. Запишите число • Точным или при¬
ближенным значением этого числа является 0,33 (0,20)?
6. Запишите число • Точным или при¬
ближенным значением этого числа является 0,25(0,14)?
К п. 27. Границы значения величины
1. Запишите границы скорости автомобиля (скорости пешехода).
2. Запишите границы роста человека (температуры воздуха текущего месяца в вашей местности).
3. Известно, что- число а (b) расположено между числами 2,5 и 3,5 (3,7 и 4,2). Запишите еще два числа, которые могут быть границами числа а (b).
4. Запишите числа: 4,8; 2,4; 1,8; 2,6; —1 (3,2; 3,8; 2,2; 8,8; $0). Подчеркните те из них, которые могут быть нижней (верхней) границей числа а (Ъ) из предыдущего вопроса.
К п. 28. Теоремы о почленном сложении и умножении верных числовых неравенств
1. Запишите неравенства: 5>2;
0> — 7; —50 <—8; 45 >10 (4~ > ’ ~8<
<0; 3>1; —6< — 1; 9>2).
Подчеркните те из них, к которым может быть применена теорема о почленном сложении неравенств.
2. Запишите неравенства: ^-<0; 5>1;
-7; 42> — 3 (Ч<10;
15; 10<40; -5<2) .
Подчеркните те из них, к которым может быть применена теорема о почленном' умножении неравенств.
3. Запишите неравенства: 10>6 и 15>3 (8>5 и 10>2). Перемножьте их почленно.
103 >47; — 5>
-Г>1: -6>"
55


4. Запишите неравенства: — 8 > — 15 и 8. >6 (14 > — 1 и 0,5 >0). Сложите их почленно.
5. Даны неравенства: 0,2> — 1; 4>1; 4<8; — 3<5 (-7>-11;14<16;-L>J-; _8<
<3).
Подчеркните те из них, к которым может быть применено следствие о возведении обеих частей неравенства в квадрат.
6. Запишите неравенство 8 >4(3 >2). Примените к нему следствие о возведении обеих частей неравенства в квадрат.
К п. 29. Применение метода границ для оценки значения суммы, разности, произведения и частного
1. Запишите 5 < х < 8 (8<у<10). Оцените значение, выражения Зх (2у).
2. Дано: —2 < г < 0 (—4 < t < —1). Найдите границы значения выражения «г-f 5 (/+ 2).
3. Запишите неравенства: 2 < х < 3 и
5 < у < 6(12 <х<13 и 5 < г/ < 7). Найдите границы значений выражения х-\-у\ х — у\
ХУ'> у
К п. 30. Погрешность приближения
1. Найдите погрешность приближения, если число х равно 13,2 (8,92), а его приближенное значение аь 13(9).
2. Найдите модуль' приближения, если число х равно 11,93 (15,4), а приближенное значение а = 12(15).
3. Найдите число х, если а =14(27) и х — а = 0,4 (—0,2).
К п. 31. Точность приближения
1. Вычислите приближенное значение х, равное среднему арифметическому границ, если 4,4 ^ х ^ 4,8 (3,5 3,9).
2. Используя данные предыдущего вопроса, запишите число х, указывая точность приближения.
3. Найдите границы, в которых заключено г(у), если г = 15,4 ± 0,2(г/ = 3,8 ± 0,1).
X. Ш. Шихалиев
(г. Махачкала)
ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ ФИГУР» В IV КЛАССЕ
В 1975/76 учебном году в IV классе изучалась тема «Пересечение и объединение фигур». Понятия «пересечение фигур» и «объединение фигур» мы вводили в процессе раскрытия содержания общих понятий пересечения и объединения знакомых учащимся числовых множеств, причем на одном уроке выполняли пражнения, способствующие формированию онятия «пересечение фигур», а на следующем— «объединение фигур». При рассмотрении этих понятий на одном и том же уроке не все учащиеся успевают уловить суть понятий и закрепить их в системе упражнений.
Ознакомление учащихся с пересечением и объединением фигур как с частным случаем общих понятий пересечения и объединения множеств позволяет раскрыть их содержание на знакомом материале. При первоначальном знакомстве с этими понятиями учащиеся лучше представляют их смысл на структуре дискретных множеств, чем на структуре непрерывных множеств, несмотря на, то что геомет¬
рические фигуры и представляют некоторую наглядность. Кроме того, и учитель имеет возможность пользоваться примерами не только геометрических фигур, как это предлагается в учебнике, но и примерами других множеств.
На первом уроке предложили учащимся задание, с которым они справились самостоятельно: «Составьте различные множества из элементов двух данных конечных множеств, например множеств А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {1, 3, 5, 7, 9}». Затем задание конкретизировали: «Составьте множества, которые состоят только из элементов, входящих (принадлежащих) и в множество Лив множество В». ' (Такими окажутся множества: С = {ll D = {3}, £={ 5}, М = {1,3},
К = {1,5}, Р = {3,5}, Н = {1, 3, 5}.) После этого выделили то множество, которое составлено из всех общих элементов множеств А и В\ им будет множество Н. Множество Н называется общей частью или пересечением множеств А и В.
Упражнения
1. 	Даны множества К = {0, 3, 6, 9} и Е = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Составьте из элементов этих множеств такое множество, которое:
а) 	было бы пересечением этих множеств; б) не было бы их пересечением. Можно ли множе-
56


ство М — {3, 6} назвать пересечением мно
жеств К и Е? Почему?
2. Составьте два множества так, чтобы их пересечением было: а) множество К = {1, 5}; б) пустое множество.
3. Даны треугольник АВО и луч КЕ (рис. 1). Назовите точку, которая принадлежит и лучу КЕ и треугольнику АВО. Назовите общую часть этих фигур.
Рис. 1
4. Начертите две фигуры так, чтобы их пересечением было: а) пустое множество; б) точка.
5. Найти пересечение фигур, данных на рис. 2?
Щ
0
Окружность и прямая
Круг и прямая
Рис. 2
Круг и отрезок
/\ А *}
zk/
S)
Рис 3
а)
®А
S)
Рис. 4
6. Начертите фигуры так, как указано на рис. 3. Закрасьте ту часть плоскости, которая является общей частью (пересечением) каждой пары треугольников. Можно ли точку А на рис. 3,6 и 3,2 назвать пересечением фигур? Почему? Какой из отрезков МБ и МК является пересечением фигур на рис. 3, в?
риала мы начали с вопроса: «Какая из записей множеств является правильной (верной): М = {1, 2, 3} или К = {1, 1, 2, 3, 3}? Почему?» Затем учащимся предложили задание: «Составьте такое множество, которое содержало бы все элементы множеств А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {1, 3, 5, 7, 9}». Ответом на это задание будет множество D = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. Значит, множество D состоит как из всех элементов множества Л, так и из всех элементов множества В. Такое множество называется объединением множеств Л и Б.
Упражнения
9. Даны множества А — {1, 2, 3, 4} и В = {1, 2, 5}. Запишите два множества так, чтббы одно из них было объединением множеств А и В, а другое не было их объединением.
10. Даны множества С = {1, 2, 3},
D = {1, 2, 3, 4} и Е = {1, 2, 4}. Какое из этих множеств является объединением множеств В = {3,4} и А = {1, 2, 3}?
11. Даны множества А ={0, 10, 20, 30} и В = {0, 5, 10, 15, 20}. Составьте из элементов этих множеств три множества так, чтобы одно было их пересечением, другое — объединением, а третье не было ни объединением, ни пересечением.
12. На рис. 5 даны различным образом расположенные прямоугольник и треугольник.
о)
5)
А
И
В)
V
2)
2>
7. Два листа бумаги расположите так, чтобы их пересечением было: а) пустое множество; б) отрезок; в) четырехугольник.
8. Начертите две фигуры так, чтобы их пересечением была фигура, указанная на рис. 4.
На втором уроке объяснение нового мате-
Рис. 5
Закрасьте одним цветом ту часть плоскости, которая является объединением каждой пары фигур, а другим ту часть плоскости, которая является их пересечением.
57


13. Вырежьте из бумаги два прямоугольника одинаковой длины, но разной ширины. Расположите их на парте так, чтобы в их объединении получился: а) один из вырезанных прямоугольников; б) два разных прямоугольника.
14. Составьте два примера множеств так, чтобы их объединением было множество
/С == {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10} а пересечением — множество Е = {3, 6}.
15. Начертите две фигуры так, чтобы их объединением был пятиугольник, а пересечением — отрезок.
16. Можно ли начертить две фигуры так, чтобы и их пересечением и их объединением было пустое множество? Ответ объясните.
Е. Ж. Жунусов
(г. Талды-Курган, КазССР)
МАТЕМАТИКА И ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ К СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОМУ ТРУДУ
(Из опыта сельской школы)
Сельская школа имеет все возможности для осуществления связи обучения и воспитания учащихся с трудом в сельском хозяйстве.
Сельское хозяйство дает достаточно материала для уроков математики, а с другой стороны, опирается на широкий круг математических знаний и умений, овладение которыми окажется полезным в будущей практической деятельности учащихся в сельскохозяйственном производстве. Например, на основании математического расчета всхожести семян определяется их хозяйственная годность, что необходимо, в свою очередь, для вычисления нормы высева. Весь этот цикл расчетов используется для планирования необходимого количества семян. Рассмотрение на уроках математики таких примеров из сельскохозяйственной практики не вызывает особых затруднений, обеспечивает лучшее усвоение учебного материала и повышает вычислительную культуру учащихся. Ряд тем школьного курса математики имеет непосредственное приложение в сельскохозяйственном производстве — это «Проценты», «Приближенные вычисления», «Функции и графики» и др.
На уроках математики подготовка учащихся к сельскохозяйственному труду осуществляется как при введении новых математических понятий, так и в процессе дальнейшей работы по их формированию и закреплению. Например, при формировании понятия «предложение с переменной» мы давали такие задания:
1. 	Колхозники за а дней закончили посев на площади b га. Что при этих условиях обозная
чают выражения: и -—?
2. 	Трактористы за а дней вспахали b га, что на с га больше планового задания. Что при
этих условиях обозначают выражения: -у-,
Ь — с а 2 а ’ b — с ’
Обращение непосредственно к производственному окружению необходимо и после того, как понятие сформировано, чтобы показать, где оно применяется. Так после изучения темы «Предложение с переменной» мы давали упражнения на вычисления по готовым формулам. Приведем два из них.
1. Перевод количества молока из объемных единиц в весовые производится по формуле р= 1,03 у, где р кг — масса молока,, у л — объем молока. Вычислить массу 45 л молока.
2. Для рационального подвоза семян в поле важно знать количество семян, которое необходимо для засева площади за один круг. Такое количество семян вычисляется по фор- муле:
4 ю duo ’
где В м — рабочая ширина захвата . агрегата, Г м — длина гона и Н кг — норма высева семян на 1 га. Вычислить количество семян для сеялки, у которой рабочая ширина захвата 3,6 м, если длина гона 1600 м и норма высева 120 кг.
Развитие у учащихся высокой вычислительной культуры — один из необходимых элементов математической подготовки школьников к производительному труду.
Для лучшего закрепления у учащихся навыков приближенных вычислений мы составляли упражнения и задачи с сельскохозяйственным содержанием.
Например:
1. Сколько часов необходимо потратить на культивацию прямоугольного участка, размеры которого 850 X 200 м, если ширина захвата культиватора 3,4 м, а трактор ДТ-54 движется со скоростью 4,65 км/ч?
2. Сколько тонн картофеля вмещает трап- шея длиной 8,4 м и глубиной 1,2 м, если ши¬
53


рина ее верхней части 1,3 м. а нижней — 1Д м? Масса 1 м3 картофеля 680 кг.
Бсрльшое значение для повышения вычислительной культуры учащихся имеет использование на уроках различных справочных и вычислительных таблиц, которые значительно облегчают трудоемкие вычислительные работы. В сельскохозяйственной -практике ими приходится пользоваться почти в любой работе. Например, таблицы «Питательность кормов в кормовых единицах», «Нормы высева и посадки», «Средняя урожайность культур» можно использовать для составления практических задач. Вот одна из них:
Участок земли 760 X 300 м можно засеять кукурузой или засадить картофелем. Определить, какая культура даст наибольшее количество корма.
Наряду с использованием справочных и вычислительных таблиц учащимся полезно самостоятельно составлять различные хозяйственные расчетные таблицы, например для определения объема стога, числа автомашин, обслуживающих уборочный агрегат, количества посевного картофеля при посадке квадратно- гнездовым способам, для вычисления количества удобрений, подлежащих внесению под сельскохозяйственные культуры. пР актика составления таких таблиц учит сознательно пользоваться ими и укрепляет навыки вычислений.
В связи с изучением темы «Обратно пропорциональная зависимость» мы использовали следующий факт: при нормальной работе комбайна скорость его движения и норма выработки находятся в зависимости от урожайности зерна. Эта зависимость имеет очень большое практическое значение и выражается особой таблицей, составленной на основании материалов, взятых из. результатов исследований.
Перед учащимися была поставлена задача: установить аналитическую форму данной зависимости. В результате анализа этой таблицы и соответствующих вычислений учащиеся заметили, что произведение числовых значений часовой нормы выработки (у га) и урожайности (х ц/га) колеблется около 21,60. Отсюда была получена формула зависимости
между данными величинами: ху = 21,60. Работая в поле, учащиеся также установили, что зависимость скорости движения комбайна (v км/ч) от урожайности (л: ц/га) такжя является обратно пропорциональной: xv = 83,3.
Необходимым подготовительным этапом к практической работе в сельскохозяйственном производстве являются лабораторные работы на уроках. Например: определение объема и массы жидкости в цистерне; определение вместимости элеватора, объема сарая для сена; вычисление площади земельного участка.
В подготовке учащихся к сельскохозяйственному труду особое место занимают учебные производственные задания, которыещают- ся на продолжительный срок. Задания составляются учителями математики при участии преподавателей основ производства, руководителей практики и преподавателей смежных дисциплин и обсуждаются на заседаниях школьной политехнической комиссии. Содержание задания определяется тем участком сельскохозяйственного производства, где учащиеся должны проходить, практику. В задании указывается: какие измерения и расчеты надо провести, последовательность их выполнения, перечень графических иллюстраций, наглядных пособий, которые должны изготов: ляться в ходе выполнения задания; литература, которой должен пользоваться ученик; вопросы для самопроверки.
Учащимся X класса, работающим помощниками комбайнеров, мы предлагали следующие задания:
а) Вычислить, на какой скорости может работать уборочный агрегат при данной (ориентировочной) урожайности, и его часовую производительность. Выяснить, как влияет соло- мистость хлебной массы и урожайность зерновых на скорость движения агрегата.
б) Вывести зависимость между длиной пути, пройденного комбайновым агрегатом до заполнения бункера комбайна зерном, и урожайностью зерновых. Вычертить график этой зависимости и составить таблицу. Определить пункты разгрузки бункера.
в) Рассчитать среднюю урожайность зерна с 1 га.


В помощь преподавателям профтехучилищ и педагогических училищ
Н. 	М. Райский, С. И. Шварцбурд
(Москва)
ОБ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ ПРОФТЕХУЧИЛИЩАХ В 1976/77 УЧЕБНОМ ГОДУ
В 1976/77 учебном году учащиеся первых курсов всех средних профтехучилищ будут изучать математику по новой программе и новым учебникам.
Методические рекомендации по изучению повбй программы на I курсе и примерное планирование учебного материала по алгебре и -началам анализа и геометрии даны в № 4 журнала «Математика в школе» за 1975 г.
В связи с корректировкой распределения содержания новой программы по курсам обучения средних профтехучилищ в указанное выше примерное планирование учебного материала для I курса вводятся следующие изменения:
на изучение темы «Действительные числа. Бесконечные последовательности и их пределы» дополнительно отведено Зч (их целесообразно использовать на повторение уравнений первой и второй степени и графиков линейной и квадратичной функций);
на изучение темы «Тригонометрические функции, их графики и производные» отводится на 3 ч меньше, так как изучение свойств тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс) и построение их графиков перенесено на II курс.
На новую программу в 1976/77 учебном году переходят вторые курсы тех средних профтехучилищ, первые курсы которых уже перешли на новую программу в прошлом учебном году.
В циркулярном письме Госпрофобра СССР от 2 февраля 1976 г. № 27-3 новый программный материал по математике для IX—X классов общеобразовательной школы распределен по курсам средних профтехучилищ следующим образом:
Алгебра и начала анализа
I курс (70 ч по типовому учебному плану)
Тема 1. Действительные числа. Бесконечные последовательности и их пределы (13 ч).
Тема 2. Предел функции и производная (22 ч).
Тема 3. Применение производной (12 ч).
Тема 4. Тригонометрические функции, их графики и произродные (23 ч).
II курс (56 ч по типовому учебному плану)
Тема 4. Тригонометрические функции, их графики и производные (продолжение) (33 ч).
Тема 5. Первообразная и интеграл (10 ч).
Тема 6. Показательная, логарифмическая, степенная функции и их производные (13 ч).
III курс (81 ч по типовому учебному плану)
Тема 6. Показательная, логарифмическая, степенная функции и их производные (продолжение) (10 ч).
Тема 7. Системы уравнений и неравенств (23 ч).
Тема 8. Принцип математической индукции. Элементы комбинаторики (18 ч).
Повторение и подготовка к экзаменам (30 ч).
Геометрик
I курс (64 ч по типовому учебному плану)
Тема 1. Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве (20 ч).
Тема 2. Преобразования пространства. Векторы (20 ч).
Тема 3. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы (24 ч).
II курс (78 ч по типовому учебному плану)
Тема 4. Координатный метод в пространстве (12 ч).
Тема 5. Многогранники (22 ч).
Тема 6. Фигуры вращения (26 ч).
Повторение и подготовка к экзаменам (18 ч).
Курс
Предмет
I полугодие
II полугодие
Число
часов
17 недель
22 недели
I
Алгебра и на¬
2 ч
2—1 ч
70
1
чала анализа
в неделю
в неделю
Геометрия
2 ч
1—2 ч
64
в неделю
в неделю
17 недель
22 недели
Алгебра и на¬
2 ч
1 ч
56
II
чала анализа
в неделю
в неделю
Геометрия
2 ч
2 ч
78
в неделю
в неделю
17 недель
10 недель
III
Алгебра и на¬
3 ч
3 ч
81
чала анализа
в неделю
в неделю
В связи с уточнением программ и числа часов, отврдимых на изучение отдельных тем,
60


предположительное распределение числа часов на изучение алгебры и начал анализа на II и III курсах средних ПТУ, опубликованное в статье Н. К. Беденко, Н. М. Райского, С. И. Шварцбурда «Об изучении математики в средних профтехучилищах в 1976/77 учебном году» («Математика в школе», 1976, № 2, с. 38—39), утратило силу.
Для обучения математике учащихся средних профтехучилищ типовым учебным планом предусмотрено 349 ч. Распределение этих часов представлено в таблице на с. 60.
Приводим примерное планирование учебного материала по новой программе на II кур- ; се.
Алгебра и начала анализа
Тригонометрические функции, их графики и производные (33 ч)
Понятие о второй производной. Дифференциаль¬
ное уравнение гармонических колебаний 3 ч
Графики гармонических колебаний 2 »
Сложение гармонических колебаний с общим периодом I »
Контрольная работа № 1 1 »
Формулы приведения 3 »
Обратная функция к непрерывной монотонной функции 1 »
Свойства и график функции синус. Функция арксинус и решение уравнения sin*=a 3 »
Свойства и график функции косинус. Функция арккосинус и решение уравнения cos х=а 2 »
Свойства и график функции тангенс. Функция арктангенс и решение уравнения tgx—a 2 »
Контрольная работа № 2 1 »
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 2 >
Тригонометрические функции половинного аргумента 2 х»
Выражение значений тригонометрических функций данного аргумента через тангенс половинного аргумента 2 »
Решение простейших тригонометрических неравенств 2 »
Примеры решения тригонометрических уравнений 2 »
Доказательство тригонометрических тождеств 2 »
Контрольная работа № 3 Ч1 »
Заключительный урок I »
Первообразная и интеграл (10 ч)
Первообразная функция 2 *
Основное свойство первообразной 1 »
Три правила нахождения первообразных 2 »
Площадь криволинейной трапеции 2 *
Формула Ньютона — Лейбница 2 »
Контрольная работа №4 1 »
Показательная, логарифмическая, степенная функции и их производные (13 ч)
Показательная функция 2 »
Производная показательной функции. Число е. Натуральный логарифм 3 *
Логарифмическая функция 3 »
Производная обратной функции 1 »
Производная логарифмической функции 2 »
Контрольная работа Я» 5 1 »
Заключительный .урок 1 >
Геометрия
Координатный метод в пространстве (12 ч) Координаты вектора. Правила действия над век¬
торами, заданными своими координатами 2 ч
Решение задач 1 »
Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам 1 »
Прямоугольная система координат. Координаты точки 1 »
Уравнение плоскости 3 »
Координатные формулы преобразований. Гомотетия 2 »
Решение задач 1 >>
Контрольная работа № 1 1 »
Многогранники (22 ч)
Многогранная поверхность. Многогранник 1 *
Призма 2 »
Свойства параллелепипеда 2 »
Площадь проекции многоугольника 1 »
Площадь поверхности призмы 1. >
Пирамида 2 »
Усеченная пирамида 1 »
Понятие о правильных многогранниках Т »
Контрольная работа № 2 I *
Общие свойства объемов многогранников. Объем прямоугольного параллелепипеда 2 »
Объем прямой призмы 2 »
Объем наклонной призмы 2 »
Объем пирамиды 3 *>
Контрольная работа № 3 1 »>
Фигуры вращения (26 ч)'
Параллельная проекция окружности. Эллипс 1 *
Фигуры вращения. Цилиндр 2 »
Конус 2 »
Усеченный конус 1 »
Решение задач 2 »
Контрольная работа № 4 1 »
Сечение сферы. Изображение сферы 2 »
Плоскость, касательная к сфере 1 »
Обобщение задачи измерения объемов. Объем цилиндра 1 »
Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции ■ 1 »
Объем конуса 2 *
Решение задач 2 »
Контрольная работа № 5 1 »
Объем шара 1 »
Площадь сферы 2 »
Решение задач 2 »
Контрольная работа № б 1 »
Заключительный урок 1 »
В средних профтехучилищах, которые работают по нетиповым учебным планам, преподаватели математики могут корректировать число часов на изучение программного материала в соответствии с действующим учебным планом по данной профессии.
Примерные контрольные работы помещены в № 3 журнала «Математика в школе» за 1976 г. (с. 29—35) и в дидактических материалах по алгебре и началам анализа и геометрии для X класса общеобразовательной школы.
Преподавателям средних профтехучилищ необходимо познакомиться с объяснительной запиской и новой программой по математ&ке для IX—X классов общеобразовательной школы.
61


И. С Петраков
(Москва)
ПРИМЕРНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ДЛЯ ПЕРВЫХ КУРСОВ ПЕДУЧИЛИЩ
В I разделе этой статьи приведено по одному варианту самостоятельных и контрольных работ для школьных отделений педучилищ. Рядом с номером работы указана ее тема. Во II разделе даны только те работы, которые имеют существенные отличия от соответствующих работ I раздела или выходят за рамки программы первого курса школьного отделения.
Эти работы могут помочь преподавателям определить уровень требований к учащимся педучилищ, облегчить составление текстов других вариантов, причем преподаватель сам определяет, какую работу дать в качестве контрольной, а какую — в качестве самостоятельной. При выполнении самостоятельных работ целесообразно разрешать учащимся пользоваться своими тетрадями. Это стимулирует систематические занятия учащихся на уроке и дома, способствует аккуратному ведению тетрадей.
I. 	Школьное отделение
№ 1 .По материалу повторения
1. Решите уравнение
3(л;+ 1)2 + (* — 4 )з = Ю1 +(.к —З)3.
2. Решите неравенство:
а) 7х 4- -g- > (Юл: — 0,5); б) | 12л: — 15 | < 45.
3. Постройте графики функций:
а) у = -тр х2 — 3; б) у = — Зх -f- 1.
№ 2. Принцип математической индукции
1. Выведите методом математической индукции формулу общего члена арифметической прогрессии.
2. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном п верны равенства:
а) 4 -f 6 + 8 + ... + (2 + Щ = п (п + 3);
б) 6 + 12 + 18 + ... + 6/г = З/г (п + 1);
х2(хп—\)
в) ^4^4...+ хп+ = —1 •
При каких значениях х данное равенство возможно?
№ 3. Элементы комбинаторики
1. 	Вычислите:
а)
Рн 4~ Р\4 . „3 V /г,зз> . ^65 ^65
б) Лб0; в) Cgg; г)
А2 65
2. Упростите выражения:
а)
^п—2 Pfi—4
Pfi—4
; б)
4л+3
+ Ап+2
3. 	Сколькими способами 30 учащихся могут выбрать из своей среды старосту, секретаря, редактора стенгазеты?
№ 4. Элементы комбинаторики. Формула Ньютона
1. 	Вычислите:
х PtB + P,t ^60+^аз— ^50 а) ——; б) -j ; в)
Л|
✓-85 /-*4
^ «Q — ^90
2. 	Решите уравнение:
50
' 6i4*_2.
->85
3. Сколько различных окружностей определяют 10 точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой?
4. Напишите разложение: (2 х Y~aY*
№ 5. Действительные числа
1. Изобразите точками числовой оси числа: 4; —3;
« 3 , 1 О 2
2 4 ; — 1 2 : 3 3 •
2. Постройте на числовой оси точки с координатами /5; /17; /ПТ.
3. Данные числа представьте в виде десятичных дробей:
13 7 И 3 5 2
а> 8 ; 20 ; 40 ; б) 7 ; 6 ; 3 •
4. Вычислите значения выражений с точностью до 0,1:
а) 2,358 + 18,656-5,43; б) /Г +3,54; в) /13:3,05.
(Значения корней можно находить по таблицам В. М. Брадиса.)
№ 6. Бесконечные последовательности и их пределы
1. Найдите пределы:
7 — 5л + 3 п2 /3+ 4л 12п2—5п\
} ^”42+2л+ Зп* + 7>
2. Дано: lim хп = 12,8, lim уп = 6,4. Найдите:
оо п-> оо
a) 	lim (2хп — 4у„); б) lim — ; в) lim 4у".
оо П~>оо У п П~>оо П
3. Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (хп)у если *1 = 20, *2=12.
4. Найдите длину окружности и площадь круга, если их радиус равен 12,5 см. Вычисления выполнить с точностью до 0,01.
№ 7. Предел функции
1. / (л:) =- 20л:4 — 30л:3 4~ 15л:2 — 10* -jp 50. Вычислите /( — 2) и /(1).
1
2. Докажите, что функция у = “з"’**2—16 возрастает
при х > 0.
3. Найдите предел:
15** — ЗОл:3 4- 20л:2 — 15л: 4- 50
a) 	lim
а) ЛШоо 2 + 5« + «2
Х-+2
4х — 6
2
30л:2 4- 23л: — 58 ч it л:2 —16 б> Юл* + 25* + 70 : в) |'™4 л’2 — 6х + 8
№ 8. Определение производной
1. Тело движется по закону s — 3t2 — 4*4-5. Найдите скорость движения тела в момент времени t. Вычислл те значения скорости при /1“2, /2=5, /$ = 3,5.
62


2. 	Пользуясь определением, найдите производные функций:
а) у = 0,5л:2 + 2,5л- -f 2;
б) у — -j- л:3 — 1,5*2 — Юл: + 8.
№ 9. Формулы дифференцирования
1. у (л:) =* 2,5л:2 — 5* + 17. Найдите: у' (*), у' (3).
2
2. / (л:) = — хг + 7л:2 ~ 8* + 9. Найдите: /' (л:),
/'(-2).
3. / (х) — “2у" л9 + "jg" х5 — — л:3 + 28. Найдите: /'(*),/'( 1).
4. у (л:) = (2,5л:2 + 7х — 8) (4л- -f 15). Найдите: у' (л:), / (0).
, . 21л:2 -Ь 35л:— 10
5. уС*) = jc2"+~3 * Наидите: У С*)» / 0)-
6. у (х) = (5лг* — 8)3. Найдите: у' (л*).
з
7. у (л’) = |/"л:2 -j- 4. Найдите: у' (л:).
№ 10. Геометрический смысл производной
1. Определите угловой коэффициент касательной
1
к графику функции у = ~\2 х* — ^ в точке с абсциссой х = 2.
2. Найдите точки, в которых касательная к графику функции у = л:8 — Зл:2 — 24л: 30 параллельна оси Ох.
3. Найдите уравнение касательной к кривой у «
= — л:2 + 3 в точке с абсцисрой х = 2 Y3 .
4. Постройте касательную к графику функции у =
= ~^~х2 + 1 в точке с абсциссой х = 1,5.
№ 11. Возрастание и убывание функции. Критические точки функции
1. Определите промежутки монотонности функций:
а) / (л:) = 2л:3 — 15л:2 -f 36л: — 6;
3
б) / (х) = — х* — 4л:8 — 18л:2 -f 45.
2. Укажите критические точки функции и определите, какие из них есть точки максимума, а какие — минимума:
а) 	/ (лг) = 0,4л'2 — 8х\ б) / (х) = -j- л:3 -f xv— Зл:—4.
№ 12. Исследование функций
Исследуйте функции и постройте их графики:
а) 	у — 0,5х2 — 4х + 6; б) у ——1,5jt + 4,5jc.
№ 13. Исследование функций. Экстремальные значения функций
1. Участок прямоугольной формы, прилегающий к реке, нужно огородить с трех сторон изгородью. Длина изгороди 240 м. При какой длине и ширине участка его площадь будет наибольшей?
2. Число 80 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
3. Из листа картона, имеющего форму квадрата со
стороной 9 дм, нужно сделать открытую коробку, вы¬
резав по углам листа одинаковые квадраты и загибая оставшиеся кромки. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
№ 14. Радианное измерение дуг и углов, длина дуги, площадь сектора
1. Выразите в градусной мере величины углов:
тс 7тс тс
а)—; б) —; в)0;г)— -у; д) — Зл.
2. Найдите радианную меру величины углов:
а) 45°; б) 80°; в) 240°; г) 750°; д) 15° 30',
3. При повороте около центра О на угол а точка А отображается на точку В. Запишите углы всех поворотов, при которых выполняется то же самое условие, если:
а) а = 17°; б) а=58°; в) а=30° 15'; г) а = 150°.
4. Найдите длину вектора ОЛ, если:
а) А (6; 8); б) А (2; —3); в) Л (—12; —9).
5. Вычислите координаты точки В при повороте около начала координат О на угол ср (|0£|=г), если:
а) г=20, ф=390°; б) г =15, <р=120°;
в) 	г = 30, ф=—30°.
6. Вычислите длину дуги окружности радиуса г, содержащей а рад., если: г=40, а —к/4.
7. Вычислите площадь сектора круга радиуса г, если дуга сектора содержит а рад. (я°):
а) г = 1, а = 1,5; б) г=3,2, я= 120°.
№ 15. Определение тригонометрических функций
1. Упростите выражения:
а) 1—sin2 а — cos2 а; б) (l+tg2a)(l—sin2 а).
2. Дфкажите равенства:
, тс
а) ctg а у 1 — cos2 a =~ cos а, где a£]0; -g” [;
б) 	sin4 a — cos4 a + cos2 a = sin2 a.
3. Решите уравнения:
т/Т
а) сtgx=—g—; 6) 2 cos2 x — 5соэл:-Ь2 = 0.
№ 16. Четность и периодичность тригонометрических функций
1. Определите знаки выражений:
а) sin 300°cos 200°tg 160°ctg 57°;
б) sin 2000°cos 3000°tg 500°.
2. Используя периодичность функций, запишите значения данных функций так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом градусов:
а) 	sin (—497°), б) cos (—561°), в) tg 1040°, г) ctg3305°.
3. Определите, четная или нечетная данная функция:
а) 	f(x) =*2+5cosх+5; б) f(x)—x — 3sinx;
в) 	f (х) = sin2 х — 3cos х
4." По данному значению функции и интервалу, в котором находится а, найдите значения остальных тригонометрических функций угла a: sin а = 0,6,
тс
-сГ < а < тс.
5. Решите уравнение: 2 cos2 х + 7 sin х = 5,
№ 17. Формулы сложения
1. Вычислите sin (90°—а), если sin a =0,3,
*€]0; у[. 4
2. Вычислите tg (а + Р), если sin в = -g-, cos a = 0,6,
0 < a < IT 0 < Р < “Г •


3. Упростите:
sin (a -f P) — 2 cos a sin P cos (a f p) + 2 sin a sin p
4. Докажите равенство:
tg (<* + ft) + tg ft _ sin (ct + 2ft) tg (a + ft) — tg ft sin a
5. Решите уравнения:
a) 	ctg Ъх — tg x = 0;
У 6
6) 	cos (30° + x) + cos (30°— x) = —2“•
№ 18. Синус и косинус двойного аргумента. Формулы суммы одноименных тригонометрических функций
1. 	Упростите:
sin a 1 — cos a '
2. 	Докажите равенства:
sin a -f sin 2a 14- cos а 4- cos 2a — ^ а*
COS За 4- cos а — cos 2а
б) -ctg 2а,
sin a -j- sin За —2 sin 2а
3. 	Решите уравнения:
1
а) cos (х — 52°30') — cos (х — 7°30') = -77
б) cos 6х = 1 4- sin Зх.
№ 19. Производная тригонометрических функций
1. 	Найдите предел:
^ sin Ъх
а) 	lim (5 sin х 4- 3 cos х)\ б) lim
*-»о
jr->0
li!T1
BJ х->0
sin — х
2х
В № 3 опустить упражнения 2, б) и 3. В № 4 задание 2 сформулировать так: «Найдите т, если Cm = 45». Задачу 3 исключить. Задание 4 дать в таком виде: «Написать разложение (2 а + Ь)4».
В работе № 7 уменьшить на единицу степень многочлена из задания 1 и предложить найти значение функции в одной точке. В упражнении 2 дать линейную функцию. Из № 9 исключить задания 6 и 7.
№ 10. Геометрический смысл производной
1. Определите угловой коэффициент касательной к графику функции у = — х2 4- 2 в точке с абсциссой х = 2 Уз .
2. При каких значениях х касательная к кривой y=\fix2 — 5 образует с осью Ох угол в 30°?
3. Напишите уравнение касательной к графику
функции у = — х2 — Зх — 2 в точке х = 2. Постройте
эту касательную.
В работе № И в заданиях 1, а), б) уменьшить степень многочлена на единицу.
В № 12, б) ограничиться квадратным трехчленом.
Работу № 13 можно не давать.
В задании 4 из работы № 16 указать, что угол a — острый.
№ 17. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов
1. Докажите:
а) sin (90° — a) =
2. Вычислите:
= cosa; б) cos (90° 4~ a) =—sin a.
2. Найдите производную функции и вычислите ее значение при заданных значениях аргумента:
а) f (х) =2sin х — cos х + х2> x=ji/4;
б) f(x)—sinxcosx, х=п/3.
3. Запишите первую и вторую производные функции:
а) 	f/ = sin х 4- х2; б) у —с os* — х;
в) 	y=8sin х + х2 — х + 3.
II. 	Дошкольное (специальность № 2010), музыкально- педагогическое, физвоспитанияг художественнографическое отделения
Работы № 1—9, И —16 по тематике и содержанию соответствуют работам № 1—9, И —16 из I раздела. Чтобы воспользоваться ими при изучении соответствующих тем на' дошкольном и других отделениях, нужно внести в некоторые из них небольшие изменения.
Из работы № 2 можно исключить задание 1 а 2, в) заменить числовым.
а) 	sin 75°; б) cos 105°; в) tg 75°.
3. Упростите:
sin (a 4- р) 4- sin (a — р)
sin (a 4- P) — sin (a — p) *
4. Докажите равенство:
cos (a 4- P) 4- Sin (a — P) 1 — tg j
sin (a 4- p) 4- cos (a — p)
5. Решите уравнение
1 4- tg p /3
sin (30° 4- x) sin(30° — x) = —j
№ 18. Тригонометрические функции двойного аргумента, формулы суммы одноименных тригонометрических функций
1. Упростите
sin a 4- sin 2a 1 4- COS a 4- COS 2a #
2. Докажите равенство
sin 5a 4-sin a 4-2 sin 3a cos 5a 4-cos a 4-2 cos 3a ^ a*
3. Вычислите tg 2a, если sin a = 0,8 и a £ ] 0;
4. Решите уравнение 1 4* cos 2x 4* cos *=0.
64


№ 19. Тригонометрические функции половинного аргумента. П реобразование произведения тригонометрических функций в сумму
1. Упростите
1 — cos а
а а *
1 -J- COS2 —Sin2 —
2. Преобразуйте в сумму: cos 67° 30'-cos 22° 30'.
3. Представьте в виде произведения: sin (70° 4~ а) + + sin (20°— а).
4. Решите уравнения:
a) cos 7xcos 3*=cos 8*cos 4х.
б) 	1 + cos 4лс + cos 8д:==0.
№ 20. Производные тригонометрических функций
1. Найдите предел:
2 sin х
a) lim(3cosjc — 4sin*); б) lim —-—;
х-+0 x-+Q х
sin Зх
в) 	lim —-—.
д-^0 •*
2. Укажите производные функций и вычислите их значения при заданных значениях аргумента:
a) f(x)=x2 — 2sin х, дг=я/3;
б) 	f (jc) =cos х — sin Jt, x = jt/4.
3. Запишите первую и вторую производные функции:
а) у=5х — cos х; б) y = s\n х + cos х;
в) 	0=x2-fcos;e — sin х.
К? 21. Производная сложной функции Найдите производные функций:
1. 	а) у - (Зд:2 — 8)»; б) у - (2jr* — 5л:2 4- 8дг — З)4.
2. а) х — у х2 — 7 б) у — }/ (2х2 — 6jc)15 .
3. a) v — sin 5х. б) у — sin (3jc2 — 5х 4- 8).
4. а) у — cos2 Зх; б) у — cos4 (7х2 — 8лг + 4).
№ 22. Первообразная
Найдите перпообразные функций:
1. а) J {х) - 10; б) J {х) * л4; в) / {х) « х12.
2. a) f(x) = 5л-4; б) / (х) - Зхь\ в) f(x) = 12л-7.
3. a) f (х) - 4дг3 -f Зл:2 — 2л: -Ь 8; 6) / (х) - л*8 4-
+ 5л:4 - л:2 +■ 13.
4. а) / (л:) — sin х; б) / (л:) — 5 cos х;
в) / (■*) вв 4 sin х — 4 cos х 4- Зх2 — 2л: 4~ 11»
№ 23. Интеграл
Вычислите интеграл:
7
/1
10
/»
\ dx. б)
\ 8dx\ в)
у
V
5
ft
10
с
1 С
\x2dx\ б)
J \ dx\ в)
«/
3
8
5
■и
dx.
2 4
3. 	а) ^ (х* — хг + хг — х + 8) dx, б) ^ (хг — 3jrs) dx.
№ 24. Производная показательной функции
Найдите производную функции:
1. 	а) у — х*ех\ б) у — еьх\ в) у — Ъе2Х. ех
2. а) у - б) у ^
3. а) у — ех (л*8 -f 2л:); б) у ** (л:2 — Злг -J- 5) е*х.
4. а) у — Юд л-5; б) у — 5** лг\
5. а) у - Ю2 Г sin jr. б) у - ех cos
№ 25. Производная ло?а риф мине ской функции
Найдите область определения и производную функции:
1. а) у — Inхь\ б) у«1п(*2 — 4).
2. a) v - In — 6х + 8); б) у - In (л*2 4- 4л*4-10).
3. а) у lg X6'. б) у - \g(x4 — 16).
Педагогические институты и школа
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ —
СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ
А. 	И. Исаченков Т. В. Волосникова (г. Челябинск)
Челябинский педагогический институт
На математическом факультете Челябинского государственного педагогического института вот уже в течение пяти лет работают заочные математические курсы (ЗМК). Идея создания их принадлежит бывшему декану факультета, ныне пенсионеру С. Е. Езрилю.
Цель этих курсов — оказать помошь абитуриентам из сельских и горнозаводских школ области а ил подго¬
товке к поступлению в пединститут на математический факультет.
За эти годы сложились основные фэрмы работы с учащимися. Зачисление на курсы проводится следующим образом. В первой половине сентября каждэгэ года в областной газете сЧелябинский рабочий» печатается объявление об условиях приема десятиклассников на курсы. Одновременно во все школы сельских районов области учителям математики высылаются извещения о работе таких курсов. К 20 сентября желающие заниматься высылают заявления с указанием домашнего адреса. Зачисление на курсы проводится лишь послэ удовлетворительного выполнения заочной вступительной контрольной работы.
Приведем содержание такой работы за 1973/74 учебный год.
1. 	Расстояние между двумя городами s км. Скорый поезд движется со скоростью на а км/ч больше скорости пассажирского поезда и затрачивает на весь путь между городами на t часов меньше пассажирского. За сколько часов скорый поезд проходит это расстояние между городами?
3 Математика в шкоде» М 5
65


2. 	Не решая уравнения Зх2 — 5*+ 6=0, вычислить выражение
1 1
где Х| и JC2 - корни данного уравнения.
3. Доказать, что если числа а, Ь% с образуют арифметическую прогрессию, то числа вида
1 _ 1 _ _ 1
I/ Ь 4- \' с * у с + V а ’ У a 4- / Ъ
также образуют арифметическую прогрессию.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
sin4 х — sin2 х -f- cos2 x.
5. Решить систему x2 + 2y -f x2 4- 2y 4- 1 — 1 2x +у-2.
6. Вычислить
sin x 4- cos x sin x — cos x *
если sin x-cos x=0,4.
7. Доказать тождество sin4x+sin2 x-cos* *+cos2
8. Вычислить cos3 *4-sin3 зная, что sin x4-cos дс=*=р.
9. Найти те значения параметра m, при которых неравенство (т — 1)х2 —- 2У6* 4- m — 2>0 выполняется при любых действительных значениях х.
10. Диагонали делят трапецию на 4 части. Определить площадь трапеции по площадям Si и S2 частей, прилежащих к основаниям.
11. Основание треугольника делится высотой на части 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие отрезки разбивает эта прямая основание треугольника?
12. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 5, а в остатке 3. Если это же число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3, а в остатке 6. Найти это число.
Вступительную контрольную работу обычно проверяют преподаватели из Совета ЗМК (7 человек от трех кафедр). На заочные курсы зачисляются те учащиеся, которые верно решили не менее 6 задач.
Учащимся, зачисленным на курсы, в течение учебного года высылается семь заданий, в период с октября по май включительно. Такие же задания высылаются и учителям математики в школы, в которых более пяти учащихся ЗМК. Срок выполнения каждого задания — рдин месяц. В каждом задании 9—10 задач.
Задачи, предлагаемые в заданиях, охватывают следующие темы:
Задания 1 н 2 (октябрь — ноябрь). Планиметрия, квадратные уравнения и неравенства.
Задания 3 и 4 (декабрь —январь). Пирамида и призма. Тригонометрические уравнения. Г рафики функций.
Задания 5 и б (февраль —март). Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Шар, ко* нус* цилиндр.
Задание 7 (апрель — май). Вариант письменной работы вступительного экзамена на математический факультет за прошлый год.
Все задания разрабатываются преподавателями из Совета ЗМК. Студенты математического факультета проверяют заочные контрольные работы и пишут на них рецензии. Предварительно преподаватель, составлявший задание, проводит обсуждение решений задач ^ студентами. Проверкой работ занимаются 30 человек.
Каждый из них проверяет 4—5 контрольных ежемесячно. Некоторые из студентов сами в свое время были учащимися этих курсов. Они с увлечением и пользой для себя выполняют эту работу. Участие студентов в Совете ЗМК — хорошая школа для будущих учителей математики, содействующая росту их профессионального мастерства.
Контрольная работа и рецензия на нее отсылаются учащемуся ЗМК. Оценка за каждую работу остается в личном деле учащегося. В рецензиях указываются не только ошибки, но и параграфы учебника для повторения. Все рецензии проверяются преподавателями из Совета ЗМК, и только после этого секретарь Совета отправляет работы учащимся.
После итоговой работы № 7 учащиеся ЗМК получают справку об окончании заочной учебы и приглашаются на летние подготовительные занятия с 10 по 30 июля. Там они слушают лекции по основным разделам программы, выполняют практические задания. С 1 августа начинаются вступительные экзамены.
Не все учащиеся ЗМК поступают к нам, на математический факультет. Некоторые поступают в технические вузы, часть из них не проходит по конкурсу. Однако польза этой работы несомненна. Она получает положительные отзывы от учителей математики, позволяет увидеть пробелы в знаниях у учащихся сельских школ, помогает планированию работы в подшефных районах, повышению уровня преподавания математики в сельских школах.
П. И. Конопатов, М. С. Мацкмн
(Волгоград)
Волгоградский педагогический институт
В целях реализации постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему улучшению условий работы сельской общеобразовательной школы» ректорат, партком, факультеты и кафедры Волгоградского педагогического института им. А. С. Серафимовича разработали программу действий по оказанию всесторонней помощи учителям сельских школ Волгоградской области.
В настоящей статье мы хотим поделиться опытом работы сотрудников математического факультета с учителями одного из отдаленных сельских районов.
В помощи педагогического института нуждаются все школы, но особенно острую необходимость в ней испытывают школы, удаленные от областного центра, как их часто называют, глубинные.
Подшефным районом математического факультета является Алексеевский район. В районе 6 средних и 11 восьмилетних школ, причем в районном центре находится одна средняя школа, а другие расположены в радиусе от 5 до 50 км от районного центра. Районный центр находится в 50 км от станции железной дороги.
Для практического руководства и координации шефской работы на факультете был создан штаб под руководством декана факультета. Основные направления работы, осуществляемой уже в течение трех лет, следующие: 1) изучение состояния преподавания математики и положения с кадрами учителей; 2) изучение состояния знаний учащихся по математике; 3) установление постоянной связи с выпускниками факультета, ра< ботающими в школах Алексеевского района; 4) помощь учителям в повышении научного и методического уровня; 5) помощь школам в пополнении кабинетов учебнонаглядными пособиями; 6) встречи студентов и преподавателей с учащимися старших классов, оказание нм
66


помощи в профессиональной ориентации; 7) помощь школам в организации факультативных занятий и внеклассной работы.
По договоренности с роно в район систематически выезжали преподаватели кафедр математического факультета. Первое время это были группы преподавателей в составе 5—6 человек во главе с заведующими кафедрами. Затем, по мере необходимости, например для проведения семинара с учителями или чтения лекций по тематике, предложенной учителями, выезжали отдельные преподаватели.
Первое массовое знакомство с состоянием преподавания позволило выявить целый ряд учителей — настоящих мастеров своего дела, таких, как В, П. Ребриков, Г. И. Архипова, 3. А. Агеева, Л. Н. Андреенко, Л. А. Лощилина и др.
Однако мнргие учителя допускали существенные недостатки в своей работе. После каждого посещения уроков делался их тщательный разбор, давались необходимые консультации учителям. Материалы посещения занятий были тщательно обобщены и доложены на конференции учителей математики. Наши замечания и практические рекомендации были правильно восприняты учителями и оказали им большую помощь в улучшении качества преподавания.
Большие затруднения испытывали учителя в преподавании по новой программе, особенно по разделам, которые впервые введены в программу средней школы. Чтобы помочь им, мы организовали семинары, передали в районный методический кабинет около 20 методических разработок преподавателей и студентов (курсовые работы) по таким темам, как «Геометрические преобразования в курсе математики восьмилетней школы», «Векторы в курсе геометрии восьмилетней школы», «Производная», «Интеграл» и др. Этот материал эффективно и с большим интересом используется учителями.
По просьбе учителей были прочитаны лекции на следующие темы: «Требования к поступающим в вузы», «О типичных недостатках в знаниях по математике абитуриентов», «О задачах на построение сечений многогранников», «Из опыта проведения факультативных занятий по математике».
В районный методический кабинет были переданы сотни плакатов, таблиц и других пособий, изготовленных студентами III и IV курсов в период прохождения педагогической практики.
Надо сказать, что до последнего времени в нашей шефской работе недостаточно использовались студенты. Учитывая это, мы в мае 1976 г. организовали выезд в район преподавателей совместно с бригадой студентов. Такое сочетание было очень удачным. С учителями IX—X классов был проведен семинар по работе в X классе по новым учебникам. Студенты (9 человек) выступили с докладами «Коперник геометрии», «Культура поведения советского человека», «Эстетика в нашем быту», «Как выбирать профессию», «Трудовые подвиги комсомольцев в годы девятой пятилетки» и дали три концерта в Алексеевской и Краснооктябрьской средних школах и на слете выпускников. Все эти доклады и выступления явились большим событием в жизни учащихся школ района. Совместные выезды преподавателей и студентов в подшефный район мы будем практиковать и в дальнейшем.
Трехлетний опыт шефской помощи сельским школам подсказал нам некоторые пути совершенствования этой работы с целыо сделать ее более полной и эффективной. Так, мы предполагаем в будущем установить шефство отдельных учебных групп над школами района. Кроме того, мы собираемся привлечь к шефской работе в школах района преподавателей других факультетов и общеинститутских кафедр, так как в помощи нуждаются не только учителя математики. Всем учителям большую
помощь могут оказать коллективы педагогических я общественно-политических кафедр.
Руководство роно совместно с облоно и пединститу* том разработало план повышения квалификации учителей и комплектования кадров. Наш факультет примет деятельное участие в реализации этого плана. В десятой пятилетке факультет полностью обеспечит школы района учителями математики с высшим образованием.
Г. И. Саранцев
(г. Саранск)
ОТ ПОМОЩИ — К СОВМЕСТНОЙ РАБОТЕ
В настоящее время перед пединститутами поставлена задача стать центром научно-методической работы в своей области, крае, республике. Решение этой задачи осуществляется в несколько этапов. Первый этап — это оказание помощи сельской школе, следующий — переход от непосредственной помощи к совместной деятельности.
Оказание помоши сельской школе может осуществляться в двух направлениях: а) непосредственная помощь, б) совершенствование методической подготовки будущего учителя математики сельской школы.
В этой заметке освещается опыт работы кафедры математики Мордовского пединститута с сельскими школами республики, особенно со школами Ковылкин- ского района, в которых проверяются все намечаемые кафедрой конкретные формы деятельности, чтобы затем распространиться на всю республику. Это позволяет кафедре более целенаправленно и продуманно вести совместную работу с сельской школой, видеть недочеты и своевременно их устранять. Например, сейчас в школах Ковылкинского района осуществляется апробация факультативных курсов, разработанных кафедрой.
Одной из важных форм работы по оказанию непосредственной помощи сельской школе является активное участие преподавателей кафедры в работе летних курсов переподготовки учителей математики, организуемых республиканским институтом усовершенствования учителей. Начиная с 1971 г. преподаватели кафедры ежегодно читают лекции по содержанию школьного курса математики и методике его изучения.
На базе методического объединения школ Ковылкинского района в республике организован семинар учителей математики сельских школ. На семинаре рассматриваются наиболее актуальные вопросу методики обучения математике, которые разрабатываются как преподавателями кафедры, так и учителями школ. Такой сплав деятельности института и школ оказался во многом полезен и членам кафедры, и учителям.
На районных методических конференциях члены кафедры выступают с докладами по содержанию и методике изучения некоторых вопросов школьного курса математики, по совершенствованию методов обучения, научному обоснованию некоторых практических приемов. Они анализируют наиболее типичные ошибки, допускаемые на вступительных экзаменах, дают рекомендации по их устранению.
По инициативе членов кафедры и работников республиканского института усовершенствования учителей были организованы двухгодичные очно-заочные курры для руководителей методических объединений учителей математики. Программа этих курсов отражала как вопросы общей и конкретной методик, так и наиболее сложные теоретические вопросы математики, являющиеся «несущими опорами» школьного курса: аксиоматический1
67


метод, отображения и векторы, вопросы теории функций. математической логики и т. д.
Совершенствование методической подготовки студен- тоз осуществляется в различных формах. Важное место занимает воспитание некоторых профессиональных навыков (особенно необходимых учителю математики сельской школы): проведения различных внеклассных мероприятий, изготовления наглядных пособий и т. д.
При кафедре математики в течение нескольких лет работает заочная математическая школа, руководит которой старший преподаватель кафедры Ю. С. Пронь- кин. В школе занимаются 120 человек. Обслуживает эту школу группа студентов, которая под руководством преподавателей разрабатывает варианты контрольных работ, проверяет их, выезжает в школы с консультациями и чтением лекций для учащихся. Выполняя эту работу, студенты приобретают необходимые им в дальнейшем умеьия и навыки по организации внеклассной работы.
При кафедре работает кружок по моделированию и изготовлению наглядных пособий, разработке лабораторных работ по курсу алгебры VI—X классов. Участники этого кружка во время второй педпрактики помогают школам в оснащении математических кабинетов наглядными пособиями.
И последнее, на что мы хотели обратить внимание, — привлечение учителей математики сельских школ к работе над методическими пособиями. В данное время коллектив кафедры работает над обобщением опыта учителей математики Мордовии.
Только в совместной продуманной работе кафедр пединститута и школ залог решения задач, поставленных партией перед нашими школами и педагогическими институтами.
Л. А. Басова, Л. А. Эпштейн
(г. Петрозаводск)
ЛЕТНЯЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА В КАРЕЛИИ
В последнее десятилетие во многих республиках и областях создаются летние математические школы для учащихся старших классов.
В 1973—1975 гг. в Карелии устраивались три летние физико-математические и медицинские школы для учащихся из сельской местности — победителей физической, математической, биологической и химической олимпиад. (Сочетание столь разных профилей было случайным, но, тем не менее, интересным.)
Организация летней школы складывалась из трех основных направлений: организационные вопросы (материальное обеспечение школы, комплектование кадрами и учащимися); учебная и воспитательная работа с учащимися комсомольского возраста.
Остановимся только на организационной стороне дела, так как такого рода опыт еще недостаточно описан и не выработано единого положения о летних школах для старшеклассников.
В организационном отношении все три школы отличались друг от друга.
Первая школа была организована на правах трудового лагеря старшеклассников. Ребята работали в совхозе, частично обеспечивая своим трудом расходы на
питание. Во второй половине дня проводились учебные занятия. Такой насыщенный рабочий день для старшеклассников оказался неприемлемым.
Две следующие школы (1974 и 1975 гг.) финансировались республиканским советом профсоюзов по смете спортивно-оздоровительных лагерей для старшеклассников.
Одна из этих школ была устроена на базе пионерского лагеря, другая — средней школы-интерната.
В первом случае профсоюз, в ведении которого находился лагерь, полностью обеспечил школу техническим персоналом, но предоставил территорию лагеря для школы лишь с 10 августа, после окончания второй пионерской смены. Лагерь пришлось частично переоборудовать для учебных занятий.
Размещаясь в 1975 г. в здании школы-интерната, мы использовали для наших занятий учебные кабинеты с их оборудованием и провели 25-дневную смену в удобное для нас время. Однако в этот раз организаторы школы сами подбирали технический персонал.
В наших школах каждое лето обучалось около 120 учащихся. Такое количество оказалось удачным для успешной учебной и воспитательной работы.
Школа была укомплектована кадрами следующим образом. Руководил школой начальник. Он занимался вопросами обеспечения лагеря и организацией работы технического персонала. Его непосредственными помощниками по учебной и воспитательной работе были завуч и комиссар.
Завуч совместно с преподавателями разрабатывал программу и учебный план, составлял расписание занятий, кружков и других внеурочных мероприятий. Он же направлял учебную работу кураторов. В ведений комиссара находилась вся внеурочная жизнь школы-ла- геря.
В школе было пять учебных групп. С каждой работало по два куратора. Это были студенты Карельского пединститута и Петрозаводского университета. В их обязанности входила учебно-воспитательная работа в группе.
Для проведения учебных занятий Совет молодых ученых МГУ командировал в школу сотрудников Московского университета.
Для кураторов мы проводили весной двухдневный инструктивный сбор. Здесь они знакомились с задачами школы, обсуждали основные принципы ее жизни, составляли распорядок дня и предварительный план работы, который к открытию лагеря конкретизировался на каждый день. Каждый куратор получал конкретное задание для разработки и последующего проведения одного общешкольного мероприятия.
Существенными моментами при комплектовании школы являются отбор и направление в лагерь учащихся. В основном это победители районных олимпиад. Они получают приглашение в школу как награду за успехи. Для преемственности мы считаем полезным приглашать в летнюю школу ее учеников прошлых лет.
Приглашения были посланы в РОНО и РК ВЛКСМ. Каждая путевка стоила около 10 рублей. Некоторые РОНО и РК ВЛКСМ оплатили путевки и проезд ребят в школу и обратно. Видимо, целесообразно, чтобы проезд был полностью оплачен вышеуказанными организациями, тогда все учащиеся будут поставлены в одинаковые условия в отношении оплаты.
В школу иногда прибывали учащиеся только для интересного отдыха, но не настроенные учиться, не интересующиеся математикой. Поэтому на районных олимпиадах полезно проводить разъяснительную работу, связанную с набором ребят в летний лагерь. В 1976 г.
68


мы разослали всем участникам районных математических олимпиад (VII—IX классы) специальную контрольную работу для зачисления в летнюю школу.
По нашему мнению, школа должна находиться в ведении Министерства просвещения КарелАССР и Обкома профсоюза работников просвещения. Эти организации должны заниматься вопросами материального обеспечения и финансирования летней школы.
При министерстве желательно создать Совет школы, в который входили бы представители министерства, сотрудники математических кафедр пединститута и университета, секретари комсомольских организаций физико-математических факультетов. Совет мог бы заниматься комплектованием школы преподавательскими кадрами, подбором кураторов учебных групп и приглашением школьников. Желательно, чтобы начальник лагеря не менялся в течение нескольких лет, а школа каждый год размещалась на одном и том же месте.
Нам кажется, что проблемы, возникающие при организации летней школы, требуют широкого обсуждения, в результате которого будут созданы единые положения о летней школе для старшеклассников и смета ее расходов.
Весь коллектив нашей школы работал с энтузиазмом и интересом. Мы получили огромное удовлетворение и глубоко убеждены, что необходимо ежегодно устраивать такие школы для сельских учащихся. Надеемся, что эта заметка поможет тем, кто возьмется за организацию летней школы у себя в области.
А. 	Ф. Ореханов
(Москва)
В ШКОЛУ ПРИШЕЛ МОЛОДОЙ ЛЕКТОР
Ректорат, партком, комитет комсомола, деканаты, факультетские партбюро и кафедры общественных наук Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина обращают особое внимание на воспитательную работу со студентами как в учебное, так и внеучебное время. Одной из форм работы со студентами является привлечение их к общественно- политической практике.
Возьмем, например, математический факультет. На этом факультете проводится большая работа по подготовке высококвалифицированных учителей математики. Однако нам нужны такие учителя, которые не только глубоко знают свой предмет, но и умеют в процессе преподавания учебной дисциплины формировать коммунистическое мировоззрение учащихся.
В 1964 г. студенты V курса начали изучать новый предмет — научный коммунизм и сразу проявили большой интерес к этому курсу. Тогда и возникла у студентов идея организовать на факультете школу молодого лектора. Вначале в школе занималось 24 человека. С каждым годом число слушателей росло, и сегодня здесь занимается более 120 человек. Если раньше в школе занимались студенты лишь V курса, то теперь среди слушателей — студенты всех курсов. Росло и количество лекций, прочитанных слушателями школы. Это видно из следующих данных: если в 1966 г. было прочитано 78 лекций, то в 1975 г. — 317. Из года в год улучшалось качество лекций, докладов и бесед.
Слушатели школы молодого лектора выступают с лекциями главным образом в школах Москвы и Московской области перед учащимися старших классов. Тем самым они готовят себя к будущей воспитательной работе с учащимися.
Темы лекций весьма разнообразны. Здесь и вопросы международного положения СССР, и актуальные проблемы коммунистического воспитания молодежи, и решения XXV съезда КПСС. Отметим, что пропаганда материалов XXV съезда — наша главная задача. Только за март — май 1976 г. было прочитано более 140 лекций по материалам съезда.
Лекции слушателей школы молодого лектора получают весьма высокую оценку. В отзывах классные руководители, администрация школы благодарят студентов за глубокие, интересные выступления, отмечают высокий профессиональный уровень прочитанных лекций, умение студентов увлечь аудиторию, удачно подобрать иллюстративный материал, использовать средства наглядности.
Большое значение мы придаем «коллективным выходам» наших студентов в школы Москвы и Подмосковья. Всю работу по. их подготовке мы проводим вместе с комитетом комсомола. Очень помогает нам городская организация общества «Знание», которая по нашей просьбе выпускает типографским способом хорошо оформленную афишу о том или ином «коллективном выходе» студентов в школу.
Серьезной проверкой лекторского мастерства слушателей школы являются выступления студентов старших курсов на политчасах студентов младших курсов.
Как же мы готовим молодого лектора? Остановимся лишь на главном. Мы регулярно проводим занятия, на которых обсуждаем тезисы и развернутые планы лекций, обращаем особое внимание на методику их чтения, на то, как связать свое выступление с задачами школы. На этих занятиях идет речь и об ораторском искусстве лектора, и о культуре его речи.
Прочитанные студентами лекции мы обсуждаем на занятиях слушателей школы, отмечаем сильные и слабые стороны, определяем пути улучшения качества лекций.
Определенную помощь оказывает и кабинет научного коммунизма, где имеется специальный стенд «В школу пришел молодой лектор», рассказывающий о работе школы молодого лектора, о лучших выступлениях студентов в школе.
В курсе научного коммунизма есть ряд тем, которые имеют непосредственное отношение к лекциям о международном положении СССР: характер современной эпохи; мировое революционное рабочее движение; закономерности развития мировой системы социализма; национально-освободительное движение; проблемы войны и мира; мировое коммунистическое движение, ленинская теория социалистической революции и современность и т. д.
Как по этим, так и по другим проблемам курса проходят семинарские занятия. На семинарах студенты выступают с докладами и рефератами.
Десять лет на математическом факультете для студентов V курса читается спецкурс по научному коммунизму «Ленинское учение о культурной революции и современность». Спецкурс ставит своей целью познакомить студентов с ленинской теорией социалистической культуры, показать борьбу КПСС за победу культурной революции в СССР, рассказать о роли школы в совершении культурной революции в СССР, раскрыть борьбу двух идеологий на международной арене.
Материал спецкурса студенты используют в своих лекциях, а также в воспитательной работе с учащимися во время педпрактики в школе.
69


Пять лет для студентов V курса мы проводим спецсеминар на тему «Актуальные проблемы коммунистического воспитания молодежи».
Семинары и спецсеминар по научному коммунизму — хорошая школа подготовки лектора, пропагандиста великих идей научного коммунизма, политики КПСС и Советского государства. Здесь студенты выступают с развернутыми докладами и рефератами» материалы которых потом используют в своих выступлениях перед учащимися старших классов, перед рабочими и колхозниками, перед работниками детских дошкольных учреждений, перед молодежью столицы и Подмосковья.
Важным средством подготовки молодого лектора яв¬
ляются студенческие конференции, которые мы проводим ежегодно. Тематика их близка к профилю института: «В. И. Ленин и школа», «В. Й. Ленин о задачах учительства в строительстве социализма и коммунизма», «В. И. Ленин и коммунистическое воспитание молодежи», «XXV съезд КПСС и народное образование».
В апреле 1976 г. успешно прошла теоретическая конференция на IV курсе на тему «Задачи коммунистического воспитания молодежи в свете решений XXV съезда партии».
Материалы конференций и работы, поданные на городской и всесоюзный конкурсы, студенты активно используют в своих выступлениях в школе.
Факультативные курсы
Н. 	Б. Демидович, В. М. Монахов
(Москва)
мещения массива А на место массива В. В данной задаче, в сущности, безразлично, в каком порядке обрабатываются элементы массива.
Рассмотрим другой пример. Сдвинем массив А длины п на один элемент вниз, т. е. 1-й элемент массива А запишем на место 2-го, 2-й на место 3-го и т. д. К сожалению, мы не можем начать решение этой задачи с 1-го элемента массива, так как тогда безвозвратно сотрется значение 2-го элемента. Начинать надо с конца. Правильное решение приведено на рис. 2, здесь же
АЛГОРИТМЫ НЕВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
В этой статье вниманию читателя предлагаются сведения об алгоритмизации основных типов невычислительных процессов, значение которых в современной Машинной математике весьма велико и непреходяще. Интерес к алгоритмам невычислительных процессов в последнее время резко вырос в связи с расширяющимися возможностями их реализации на ЭВМ. Одним из главных источников появления алгоритмов невычислительных процессов является способ хранения информации в ЭВМ (здесь имеются в виду запись, хранение и поиск данных). Обычно все данные оформляются в виде так называемых информационных массивов (таблиц). Каждый массив имеет свое имя (буквенное обозначение); номера строк (а если надо и столбцов) представляются значениями индексов его элементов. Основное праенло обращения с такими таблицами: в любой ее ячейке может помешаться только один элемент, при записи которого старое содержимое ячейки уничтожается.
Надо заметить, что между вычислительными и невычислительными алгоритмами нет резкой грани. Особый интерес представляет то обстоятельство, что запись невычислительных алгоритмов требует использования небольшого числа чрезвычайно простых средств, каждое из которых уже рассматривалось в двух предыдущих статьях 1.
1. Перемещение массивов. Массив А длины п перепишем в массив В: другими словами, все элементы массива А в том же порядке запишем в соответствующие ячейки массива В. На рис. 1 наглядно показаны элементы массива А (Ль ..Аи Ап) и соответствующие ячейки массива В. На этом же рисунке приведена блок-схема алгоритма решения задачи пере-
А
~^1
в,-
,
•
•
Bi
.
•
Ар
Вп
^конец ^
2
3
А
2
2
3
At
At
1*1
п
п+1
Aj
Aj+1
1 . ‘
L+1
■3 77
п+1
An-j
1 См.: «Математика в школе», 1976, ЛГэ 3, с. 41—49; JSfe 4, с. 46—51.
Рис. 1
70


€
<г
3»
доказан массив А после сдвига. Обратите внимание на то обстоятельство, что первым элементом нового массива А является старое значение А\ — сам по себе он не уничтожается.
В двух рассмотренных примерах массивы, по существу, не изменялись: над ними производили лишь
параллельный перенос как над одним целым. Теперь переходим к задачам, связанным с изменением внутренней структуры массивов.
2. Преобразование массивов. Начнем с простой задачи. Требуется поменять местами переменные а и Ь, т. е. содержимое некоторой ячейки, обозначенной буквой а, переписать в ячейку, обозначенную буквой Ьу и наоборот. Несмотря на чрезвычайную простоту задачи, решить ее «в лоб» не удастся. Действительно, после переписывания а в b старое значение b стирается и не может быть потом переписано в а. Значит, а надо переписать предварительно в некоторую вспомогательную ячейку (такие ячейки обычно называют рабочими ячейками), которую обозначим буквой R. На рис. 3 приведена блок-схема алгоритма решения этой задачи и стрелками показаны потоки информации по этому алгоритму.
Рассмотрим теперь более сложный пример. Даны массив А длины п и число k. Требуется совершить такую перестановку элементов массива А, чтобы все элементы со значением, большим, чем число k, попали в верхнюю половину массива, а остальные элементы — в нижнюю половину. Другими словами, в построенном массиве все элементы Аг > k имеют малые номера, а все элементы Ai^.k — большие номера.
На рис. 4 для наглядности даны массив с конкретным числовым наполнением и две рабочие ячейки k и п. Идея решения заключается в следующем. Начинаем перебирать элементы массива сверху вниз до тех пор, пока впервые не встретится элемент со значением, меньшим или равным k (на рисунке такой элемент помечен стрелкой /). После этого начинаем перебирать элементы массива снизу вверх до тех пор, пока впервые не встретится элемент со значением, большим k (на рисунке такой элемент помечен стрелкой /). Теперь поменяем найденные элементы местами. Этот процесс будем продолжать от указанных положений стрелок — перебор сверху вниз, перебор снизу вверх, перестановка. Процесс заканчивается, как только стрелки i и / укажут на один и тот же элемент результирующего массива А. Нетрудно сообразить, что это будет первый малый элемент массива А. Приведенная на рис. 4 блок- схема алгоритма, реализующего эту идею, не столь очевидна, как рассматриваемые до сих пор. Поэтому ее работу стоит «проиграть» для конкретного случая.
В практике работы с массивами часто требуется отобрать его элементы с указанными номерами и образовать из них новый массив. Рассмотрим один из способов выполнения такого задания.
Даны два массива А и Q длины п, причем массив Q состоит только из нулей и единиц. Надо построить массив В, состоящий из тех элементов массива Л, кото-
Рие, 4
Q ПЕРЕСт)
I I
П^П
Рис. 3
”1 »о I
1
2
3
4
5
6
J-+-7
8
9
10
1
2
3
4
4/— 5 6
7
8
9
10
R:
—Ai
А(
•• = 4/
\_Aj_
:=«
UBElH
рым соответствуют единичные элементы массива Q, и определить длину массива В (относительный порядок его элементов должен быть сохранен). Данные массивы представлены на рис. 5, там же изображена блок-схе- ма алгоритма построения массива В. Массив Q за его специфическую роль часто называют логической шкалой или маской. Длиной результирующего массива В будет последнее по порядку значение индекса /. Обратите внимание на то, что значение / в самом конце работы алгоритма понадобилось уменьшить на единицу.
3. Массивы и справочная служба. Перейдем к рассмотрению алгоритмов, обслуживающих массивы информации. Начнем с простейшей задачи о поиске.
Даны массив А длины п и число L. Требуется определить порядковый номер этого числа в массиве А (если оно в нем имеется).
Решение приведено на рис. 6. В этой блок-схеме имеются два конца:
1) Число L в массиве А существует хотя бы в одном экземпляре. Тогда окончательное значение i указывает на первый по порядку номер заданного числа. ••


1
Ю
1
1
2
14
2
1
3
3
3
о
4
6
<4
1
5
9
5
о
6
8
6
О
7
7
7
1
8
5
В
О
9
1
9
.1
10
2
ю
о
ю
10
14
Рис. 5
2) 	В массиве А нет ни одного числа, равного L. В этом случае в конце работы алгоритма / = л + 1.
Решение этой задачи имеет естественное продолжение. Пусть дана таблица В размером т X п, т. е. двумерный массив В, содержащий т строк и п столбцов. Каждая строка таблицы содержит информацию об одном объекте из некоторой совокупности однородных объектов (например, вся таблица В — это табель ученика, а ее строка — это отметки за четыре четверти по одному предмету). Тогда первым элементом строки должно
(поискj
ED
С”"».'.) |
С КОНЕЦ 2 ^
Рис. 6
быть ключевое слово (ключ), т. е. условное число, отличающее ее от других строк (например, ключ строки табеля ученика — это шифр учебного предмета).
Чтобы прочитать содержимое строки с заданным ключом, ее сначала надо найти в таблице В (или убедиться, что ее там нет). Алгоритм поиска полностью аналогичен изображенному на рис. 6. После найденного номера строки i можно сразу обращаться к любому ее элементу Вц.
Однако поиск можно сделать намного быстрее, если предварительно упорядочить элементы массива. Пусть дан массив А длины п, упорядоченный по возрастанию его элементов. Дано произвольное число L. Определим наличие этого числа в массиве. Если оно имеется в мае* сиве А, то определим его порядковый номер.
Можно воспользоваться алгоритмом, приведенным на рис. 6, заменяя в нем проверку на равенство проверкой на неравенство до тех пор, пока оно не приобретет другой знак. В нашем случае такой алгоритм обнаруживает быстрее предыдущего факт наличия или отсутствия числа L в массиве /4, так как при его работе перебираются не все элементы массива, а только до первого элемента, равного или превосходящего L.
Вместе с тем существует значительно более быстрый алгоритм поиска по упорядоченному массиву. Идея быстрого поиска заключается в следующем. Прежде всего выясняется, больше ли число L числа, стоящего в середине массива. Если да, то этот же вопрос повторяется для середины нижней половины массива, а если нет, то для середины верхней половины массива. Так, последовательно сужая область поиска делением пополам, мы в конце концов находим искомое число (а значит, и его номер) или убеждаемся в его отсутствии. Для массива длины п этот способ потребует не более чем log2 п + 1 сравнений (а значит, и оборотов цикла), тогда как прежнее решение в среднем требует я/2 сравнений, а в самом худшем случае (когда L больше самого большого числа в массиве) даже п сравнений. Функция log2« является неограниченно возрастающей функцией от п, но растет она настолько медленно, что на практике этим ростом, как правило, можно пренебречь. Сравните два примера:
п = 1000, log2 я < 10; п = 1 000 000, log2 п < 20.
Алгоритм, организованный ца рассмотренной идее быстрого поиска, естественно, сложнее предыдущего. Основным объектом его обработки является сужающийся фрагмент массива А. Введем такие обозначения: i — начало, / — конец, k — полудлина фрагмента. На рис. 7 приведена блок-схема алгоритма быстрого поиска. Обратите внимание на два обстоятельства: а) учет случая делимости и неделимости на 2, б) формулировку условия окончания работы. Знак означает деление нацело.
Наряду с поиском не менее часто возникают задачи, связанные с внесением изменений в массив.
Пусть массив А длины п упорядочен по возрастанию своих элементов. Пусть дано число L. Требуется вставить число L в массив так, чтобы упорядоченность последнего не нарушилась.
Для решения этой задачи надо последовательно выполнить следующее:
1) найти в массиве А первое по порядку число, большее или равное L;
2) начиная с этого числа, сдвинуть конец массива вниз на один элемент;
3) записать число L на освободившееся место;
4) скорректировать длину нового массива, т. е. увеличить ее на единицу.
Для реализации п. 1 достаточно воспользоваться алгоритмом ПОИСК. В дальнейшем будем его называть
72


ПОИСК (Л, п, L, i). В этих обозначениях я —заданная длина массива А, i — искомый номер первого по порядку элемента массива Л, большего или равного L.
Г быстрый поиск)
(конец 1) (конец 2 )
Рис. 7
Г ВСТАВКА (A,n,L) )  :
JL
поиск /7, Z.,/j ^
сдвиг (AJ,n) ^
I
А*:
Алгоритма, реализующего п. 2, у нас еще не было. Но он является естественным обобщением алгоритма СДВИГ. Обозначим его СДВИГ (Л, i, п), где i, п — начало и конец части массива .4, которые сдвигаются на один элемент вниз. Теперь можно уже записать общую блок-схему решения задачи с обращением к двум вспомогательным блок-схемам. Она представлена на рис. 8.
Аналогично этому примеру решается задача об изъятии из упорядоченного массива А заданного элемента L. Предоставляем читателю возможность самостоятельно составить блок-схему решения этой задачи.
Рассмотрение приведенных выше примеров приводит нас к выводу, что упорядоченность массива значительно облегчает поиск, но ставит существенные затруднения в организацию вставки нового элемента, так как при этом необходим сдвиг в среднем на м/2 элементов массива.
4. 	Оптимизационные задачи . Начинаем с простого примера. Из двух чисел а и Ъ выбрать наибольшее и присвоить переменной с значение 0, если а < Ь, и 1 в противном случае. Очевидное решение этой задачи приведено на рис. 9, а. Его принципиальная роль в организации информационных массивов видна из следующего обобщения.
Пусть а и b — два массива длины я. В каждом из них сверху вниз записано я-значное число, по одной цифре в клетке. Алгоритм сравнения этих чисел должен переменной с присвоить значение 0 при а < b и 1 в противном случае. На рис. 9. б изображены два массива длины 5 с конкретным числовым наполнением. Так
п>
-П+1
С КОНЕЦ )
Рис. 8
Г
[с*]
(КОНЕЦ О
Смак)
<в>
НЕТ
1
Е±т]
с КОНЕЦ 2)
<0
1
5
1
5
2
3
2
4
3
9
3
3
4
1
4
1
5
8
5
4
как 53 918 < 54 314, то с = 0. Общий алгоритм решения этой задачи приведен на рис. 9, в. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует алгоритмическую природу десятичной системы счисления, позволяющей свести операции над числами к операциям над отдельными цифрами этих чисел.
В следующем примере из массива Л длины я выберем наибольший элемент и запишем его в ячейку М. Решаем этот пример методом последовательного испытания претендентов. Сначала в ячейку М (рис. 10) запишем первый элемент массива А. Сравниваем с ним все элементы массива до тех пор, пока не попадется больший. Тогда переписываем этот элемент в ячейку М и сравниваем его с оставшимися элементами массива Л. При достижении конца массива в ячейке М окажется наибольший элемент массива Л. Блок-схема этого решения приведена на рис. 10. Несколько изменив эту блок- схему, можно получать информацию о номере наибольшего элемента в массиве.
Теперь займемся вопросами, связанными с получением полностью упорядоченных массивов. Упорядочим массив А длины п по убыванию всех его элементов (снова возвращаемся к массиву на рис. 10).
Первое решение, которое обычно приходит при обдумывании этой задачи, связано с последовательным применением алгоритма выбора наибольшего элемента (только что рассмотреннего). Причем сначала этот алгоритм применяется ко всему массиву Л, затем выбирается наибольший элемент из оставшейся части мае-„
73


1
2
3
4
5
6
7
8
вается с первым элементом другого массива. Меньший из них переписывается уже на второе место массива С. При этом в массиве, из которого он взят, для дальнейшего сравнения берется следующий элемент, а в соседнем массиве — тот же самый. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут полностью переписаны все элементы хотя бы одного массива, тогда оставшиеся элементы другого массива просто переписываются в конец результирующего массива. Блок-схема на рис. 11 дает конкретное воплощение этой идеи. Общее число оборотов цикла приведенного алгоритма равно т + л, т. е. длине результирующего массива. Отсюда следует, что более быстрого алгоритма в принципе составить невозможно.
сива (массив А без выбранного элемента) и т. д. Предоставляем читателю возможность самому реализовать рассмотренную идею решения.
В силу исключительной важности проблемы упорядочения информационных массивов ей посвящена обширная специальная литература, предложены десятки методов. Не имея возможности коснуться здесь основных направлений в решении этой проблемы, мы расскажем лишь об одной задаче, способ решения которой Лежит в основе самого быстрого упорядочения. Эта задача к тому же имеет большое самостоятельное значение.
Пусть даны два массива, упорядоченные по возрастанию их элементов: А длины п и В длины т. Необходимо слить эти массивы в один массив С общей длины т + п, упорядоченный по возрастанию всех его элементов. На рис. 11 изображены два исходных массива длины 5 и 4 с конкретным числовым наполнением и ожидаемое числовое наполнение результирующего массива (с указанием происхождения каждого его элемента).
Можно было бы сначала переписать массивы А и В на место массива С, а потом провести упорядочение последнего. Однако это крайне нерационально, так как здесь не используется тот факт, что исходные массивы уже упорядочены. К хорошему решению приводит следующий путь рассуждений.
Сравниваем два первых элемента массивов А и В и меньший из них переписываем на первое место в массиве С: легко сообразить, что он наименьший из всех исходных элементов двух массивов. Далее второй элемент массива, из которого взят наименьший, сравни-
А
В
С
1
3
1
4
1
3
(А)
2
7
2
6
2
4
(В)
3
8
3
8
3
6
(В)
4
Ю
4
16
4
7
(А)
5
15
5
8
(В)
6
8
(А)
7
ю.
(А)
8
15
(А)
9
16
(В)
5. 	Математическое моделирование. Рассмотрим снова пример о пешеходе, переходящем улицу. Алгоритм поведения пешехода уже был нами составлен2. Попытаемся теперь описать математическую модель его деятельности, для чего сформулируем задачу так. Пусть возможные значения переменных С, У, П имеют следующий содержательный смысл:
2 См.: «Математика в школе», 1976, № 3, с. 44.
74


0 — красный свет светофора,
1 — зеленый свет светофора.
0 — первая половина улицы,
1 — вторая половина улицы.
0 — пешеход стоит,
1 — пешеход идет, смотря направо,
2 — пешеход идет, смотря налево.
Нам предстоит построить формальную схему поведения пешехода в этих обозначениях. Решение этой задачи можно оформить в виде блок-схемы, приведенной на рис. 12. Наличие в этой блок-схеме бесконечных циклов не должно нас смущать: в предположении, что некая внешняя сила сама меняет состояние переменных С и У, мы получаем типичную схему опроса этих состояний, результат которого тут же фиксируется значением переменной П. Поэтому специфика задачи приводит нас к специфической форме блок-схемы. Главным достоинством полученной блок-схемы по сравнению с ранее рассмотренной развернутой записью этого же алгоритма является принципиальная возможность ее исполнения на ЭВМ. Именно поэтому эту блок-схему можно назвать действующей математической моделью реального процесса.
В заключение следует сказать, что на многообразии примеров мы стремились показать не только универсальность применения языка блок-схем, но и широчайшие возможности математизации (или формализации) невычислительных процессов. Приведенные примеры позволяют выработать необходимые практические навыки составления и написания алгоритмов. Выявленная общность описания вычислительных и невычислительных процессов позволяет ставить вопрос о едином алгоритмическом языке — посреднике между человеком и электронной вычислительной машиной, т. е. языке, на котором человек пишет и задает алгоритмы, а ЭВМ эти алгоритмы выполняет.
Эксперимент
В. И. СТОМАХИН, Е. К. КОНСТАНТИНОВА
(Москва)
КООРДИНАТНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ВЕКТОРА И СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Понятие вектора плоскости по действующей программе впервые вводится в курсе геометрии VII класса. Здесь же учащиеся знакомятся с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, с основными законами векторной алгебры, затем в курсе геометрии VIII класса вводятся координаты вектора. С операцией разложения вектора по двум не- коллинеарным векторам и с понятием скалярного умножения векторов учащиеся знакомятся уже в IX классе. В результате вопрос изучения векторов плоскости остается в курсе восьмилетней школы незавершенным.
Разъединение почти двухгодичным промежутком идейно и методически связанного материала представляется нецелесообразным.
В 1971/72 и 1972/73 учебных годах в школе № 764 Москвы мы начали пропедевтически вводить понятие вектора в V и VI классах. Благодаря этому тема «Векторы» в курсе геометрии VII класса усваивалась учащимися легко и быстро. В образовавшийся резерв времени мы рассмотрели следующие вопросы: координаты вектора, линейные операции над векторами в координатной форме, разложение вектора по единичным векторам выбранной системы координат плоскости. Это позволило показать, как систему двух линейных уравнений можно записать в векторной форме.
Далее было введено понятие проекции вектора на ось координат как соответствующей координаты вектора, т. е.
-> -► пр* а — хпру а = у-*.
Такое простое и удобное определение проекции вектора на ось позволило механич(ески получить линейные свойства проекции из соответствующих правил действий над векторами в координатной форме.
Скалярное умножение векторов открывает новые возможности для изучения разнообразных метрических свойств фигур алгебраическими средствами, так как скалярное умножение векторов представляет собой качественно новую операцию, вместе с которой в геометрию входит метрика.
75


К таким свойствам относятся соотношения, в которых фигурируют длина, площадь, величина угла, произведение длин отрезков и т. д.
Многие традиционные методы доказательства теорем, выводы формул и решения задач должны быть ввиду явного облегчения заменены доказательствами и решениями, использующими скалярное умножение векторов. Так как при решении многих задач с помощью скалярного умножения векторов используются лишь арифметические свойства этой операции и условие перпендикулярности векторов, мы ввели скалярное умножение двух векторов, не связанное с углом между ними:
-> ->• ->
а. 	b = | а | пр-> b — | b | пр- а.
Затем были установлены свойства скалярного умножения.
Настоящая статья представляет собой методическую разработку тем, которые, по мнению авторов, целесообразно и возможно изучать на факультативных и кружковых занятиях в седьмых классах общеобразовательной средней школы.
1. 	Координатная форма записи вектора
Пусть мы имеем координатную плоскость Оху и некоторый вектор а этой плоскости (рис. 1).
Вектор а отображает начало координат — точку О — на точку А с координатами (jc; у).
Рис. I
Координаты этой точки и называются коорди-
натами вектора а.
Определение. Координатами вектора а
называются координаты точки, на которую а отображает начало координат.
Далее были введены обозначения координат -► -*■ вектора а: (ху-), или а = у^) — коор-
динатная форма записи вектора а.
76
Из рисунка видно, что О А — ОАг + О А2, где, —► —► -+ ■ -* как известно, ОАх~ x^ev ОЛ2—у-е2, ei
и 02 — единичные векторы на координатных осях Ох и Оу. Отсюда а = ОА = х-+е, + у^е,—
а а
■*>
разложение вектора а по координатным осям.
->
Следовательно, координаты вектора а совпадают с коэффициентами его разложения по координатным осям.
Координаты х^ и у-* вектора О А принято
иначе называть проекциями вектора а —О А на оси координат Ох и Оу соответственно
и обозначать х->=прхОА и У^= npv О А.
Если AB — CD, то координаты вектора АВ
>•
совпадают с координатами вектора CD. Вопросы и задачи
1. Записать в координатной форме векторы ех, е2, 0.
2. Построить вектор а — 3et -f 2е, и записать его в координатной форме.
3. Построить вектор с — 2а-\-Ь, где а=(0; 3),
b = (2; 0), и записать его в координатной форме.
2. 	Линейные операции над векторами, записанными в координатной форме (свойства проекций)
Рассмотрим два вектора а — (а{, а2) и Ь — -> -> -> “> -►
= (Ьг; b2)f а=агег-1-а2е2, b =bx <?,+b2er Вы-
-v ->
числим сумму а +Ь:
—>• —>• *>
cl-f-b = в\ -Ь а^всу) “Ь (Р\& 1 ^2^2)5=3
= (ах + Ьх)ех + (#2 + Ь2)е2-
Отсюда а + Ь — (ах-\- 6,; а, + Ь7) Тем самым установлен результат: при сложении двух векторов их соответственные координаты складываются. По определению проекции вектора на
ось at +bl = npx(a + b) но bi=npxb. а,= — щ>ха\ следовательно, прх(а -j- Ь) = прха + + прл Ь.


Аналогично rip^,(а + b) = пру a -j- прyb. Таким образом, проекция суммы двух векторов на какую-либо ось равна сумме их проекций на эту ось.
->■
Пусть даны а — (а1; а2) и число X. Имеем: -> ->- -> ->■ _> la =Х(ale1-h а2е2) = (Ха,)ех + (Ха2)е2, отку-
да Ха = (Xaj; Ха2). Следовательно, при умножении вектора на число его координаты умно-
жаются на это число. Так как пржХа = Ха, =
= X прж а, пру Ха = Ха2 = X пру а, то проекция произведения вектора на число равна произведению проекции данного вектора на это число.
Вопросы и задачи
1. Найти зависимость между координатами векторов при вычитании.
2. Обобщить теорему о сумме двух векторов в координатной форме на три и четыре слагаемых.
3. a = (2; —4), b = (—1; 5), с=(2; 0). Пред-
ставить вектор а в виде линейной комбинации ->
векторов Ъ и с.
4. Вывести условие коллинеарности двух векторов в координатной форме: для коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами, необходима и достаточна пропорциональность их сходственных координат.
5. Как согласовать коллинеарность векторов -► —►
а = (2;0) и Ь = (— 3; 0) с предыдущей теоремой?
6. А{ха; уа), В{хь\ у6). Доказать, что
АВ = (х„-ха; у„-уа).
3. 	Векторная форма записи системы двух линейных уравнений
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
f Зх + 2у — 7
| 6х — 2у — 2.
Введем в рассмотрение так называемые векторы-столбцы, координаты которых составлены из коэффициентов системы, расположенных в ее
столбцах: а = (3;6), Ь — (2; —2), с—(7; 2).
Данная система эквивалентна следующему уравнению:
xa-\-yb— с. (1)
В самом деле, уравнение
x(S; 6) +у (2; -2) = (7; 2) означает, что
(Зле + 2у; 6х — 2у) = (7; 2), откуда следует
3jc+2y = 7 6х — 2у — 2.
Решив систему и подставив х — 1, у— 2
в уравнение (1), получим с = а + 2Ь.
Таким образом, решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными есть пара чисел, являющаяся коэффициентами разложения
Получена новая геометрическая (векторная) интерпретация решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Вопросы и задачи.
«» -у
1. Решить уравнение c — xa + yb, где а =
= (2; 0), £ = (—1; 3), с — (2; 6). и дать этому решению векторную интерпретацию.
2. Известно, что система
j a1x + b1y = c1 \ а2х + Ь2у = с2 имеет единственное решение. Что можно ска- зать о векторах а — (а$ а2) и b = (bx\ b2)f
Ответ: а и b неколлинеарны.
3. Известно, что система
Г aiX + b^y^tCi
1 а2 х •+• Ь2у = с2
77


не имеет решения. Что можно сказать о век- —> . ->■
торах а = (ах; а2), b=(b1; b2), с = (сх;с2)?
Ответ: а и 6 коллинеарны, с неколлинеа-
рен ни а, ни Ь.
4. Известно, что система ахх + Ъху = сх а2х + Ь2у = с2
имеет бесчисленное множество решений. Что
ыожно сказать о векторах а = (а{, а2), b = —>
— (Ьх, Ь2\ с (сх; с2)? Дать геометрическое истолкование этому случаю в векторной форме.
Ответ: а, Ь, с коллинеарны. -> -> -> ->
5. Решить уравнение d—xa -j- yb-\-zc, где
Х=(2; 1), ^=(0; -1), с = (-1; 3), 2; 2).
Выделить из бесчисленного множества решений три решения: когда х — 0, у = 0, z—0. Дать векторную интерпретацию всем трем случаям на одном рисунке.
Решение. Данное уравнение эквивалентно системе уравнений
2х — z = — 2 х — у + 3z = 2.
Решив эту систему относительно у и z, получим
у = 4 -|- 7х
z — 2 -f- 2х.
Система имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых определяется произвольным выбором значения для х. Так, например, если положить х = 0, то получим единственное значение z — 2, у = 4, т. е. решением
является тройка чисел (0; 4; 2). Отсюда d =
= 46+2с есть единственное разложение век- —>■ —► ->
тора а? по векторам бис (рис. 3).
Если система линейных уравнений решена относительно некоторой группы неизвестных, то эти неизвестные принято в данном решении называть базисными, и векторы-столбцы, соответствующие данным неизвестным, — базисными векторами или просто базисом. Так, в нашем примере получено решение, в котором у и z —
базисные переменные и векторы & и с образуют базис. Остальные переменные и соответствующие им векторы называют свободными для данного решения. В нашем примере х — свобод-
Если свободным переменным придать нулевые значения, то соответствующее решение называется базисным. Таким образом, полученное базисное решение системы дает коэффициенты
разложения вектора d по базису Ь, с.
Рис. 3
Если b и с нзколлинеарны, то данному базису соответствует единственное базисное решение (0; 4; 2).
Если векторы а, b и с попарно неколлинеарны, то положив у = 0, получим базисное решение ^—j-; 0; -j-), соответствующее базису,
образованному векторами а а с.
При 2 = 0 получим базисное решение (—1;
—3*, 0) с базисными векторами а и Ь. Первое
базисное решение соответствует разложению d
по векторам а и с: d =
ная переменная, а 78
свободный вектор.
рое — разложению d по векторам а и b\d = = — а — 36 (рис. 3).
4. 	Скалярное умножение векторов
Пусть даны два ненулевых вектора а и Ь.
-*•
Скалярным произведением вектора а на век-
->
тор b называют число, обозначаемое символом


a-b и равное | а | пр^> Ь. Если хотя бы один из
векторов а и b равен нулю, то а-Ь = 0. Вопросы и задачи
1. Установить необходимое и достаточное условие равенства нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов.
2. Доказать переместительный закон скалярного умножения.
——>■ ■ ►
Доказательство. Пусть ОА = а, ОВ= -►
= Ь (рис. 4). Проводим
[АА^Х^ОВ) и \ВВХ\±_ (ОЛ); АОАА^АОВВ»
откуда
\ОА\ЛОВЛ=\ОВ\ЛОАЛ.
Рис. 4
—-f*
Принимая во внимание, что | ОЛх | = | пр УОА\—
-*■ ов = |пр.*а | и |0£,| = |пр_-*0/?| = |пр.+ &|ичто ь ОА а
пр^а и пр^ b всегда одного знака, получим \а\'пр^Ь = \Ь\'Щ>^а и, следовательно, а-Ь= = Ь-а.
-> ->■ -*■
3. Доказать, что (Аа)-&= а*(Х6)=^ Х.(д. £).
4. Доказать распределительный закон скалярного умножения.
Доказательство.
а-(6 + с) = |а|-пр-(6 + с) = |а| • (пр-.6 -f —► ■>
пр^ с) = | а |-пр^ £ + | а |*пр~»<7 =
-> -► -»■ ->•
5. Доказать, что | а \ — ]/ а ■ а — "[/"а2 = — у а\ + а\ , где а = (а*; а2).
6. 	Доказать теорему Пифагора.
Доказательство. Пусть А ВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С
(рис. 5). ВС +СА — ВА, отсюда ВА-ВА —
= ЯА-(ВС + СА) = ВАВС+ВА-СА=(ВС +
+ С А )• ВС + (£С*+ СЛ) • СЛ = £С2 + СЛ •
■ ВС + ВС'СА + СА2 = ВС2 + СА2, так как
£?С-СА — 0 вследствие перпендикулярности этих векторов.
Рис. 5 Итак,
ВА2=ВС2 + СА2,
т. е.
|ДЛ|2 = |£С|2 + |СЛ|2,
откуда | В А |2 == | ВС |2 +1С А |2.
7. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Доказать.
Доказательство. Пусть ABCD — па- раллелограмм и AD = a, DC==b. Тогда | AC |2 ==s (й Ь)• АС = а• ЛС ~г^* Л С ===a,{ci -j- -f-&) + £ •(**+£) = а2 + a -b -j-b-a -{-b2 =
= a2 + 2a-b + b2.
—>■ ->
Аналогично 5D2 = a2 — 2a -b -J- 62. Отсюда |ЛС|2 + |50|2 = |Л0|2 + |Л5|2 +
+1 ВС |2 +| CD I2.
8. Доказать теорему косинусов.
Рис. 6 „
79


Доказательство. Из рис. 6 видно, что 1В-~АС = СВ. Отсюда СВ-С^В =СВ-(АВ— -~АС) = СВ-АВ - СВ-АС= (АВ-АС)-АВ— -(АВ-АС)-АС — АВ2 - АС- АВ- /ТВ- ЛС-f
+ АС2.
Итак,
СВ2 = АВ: + АС2 - 2АВ- АС,
откуда
\СВ\2 = | АВР +1 АС |2 — 21 АВ | • | AC|-cos А.
Рассмотрим на координатной плоскости Оху два вектора
*> — а —(ац а2) и b = (bx; b2).
—>■ *> —>■ —> —> —>■ —>• ->
a-b = (ale1 + а2е2)-b = ах(ех -Ь) а2(е2-Ь) —
= ^ + Ъ2 е2) + а2 е2 (Ьх ех + ^2^2) —
-*• -> -> ->•
= at г>х<?2 + ах Ь2(ех-е2) + а2Ьх (е2-ех) +
а2Ь2е\= ахЬх-\- а2 Ь2.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их сходственных координат.
Вопросы и задачи
1. Доказать, что вектор п. — (а; Ь) перпендикулярен прямой ах + by = с.
2. Доказать, что параллельный перенос пря-
-»
мой ах + by = с в направлении вектора п== — (а; b) отображает ее на прямую ах -f- by— = d, где d^>c.
Доказательство. Пусть пряма я ON,
->
параллельная вектору п = (а; Ь), пересекает
прямую ах + by = с в точке N, тогда ON —
->
— \п = (\а; ХЬ) и а -Ха -}- b-lb — с, т. е. (аг+ + Ь2)к — с (рис. 7).
м
п~(а;Ь)
ах+Ьу~*
0«
'/Ип
г
}Лп
ах+Ьу^С
л/
Пусть прямая ах + Ьу = с после параллель-
ного переноса п — (а; Ь) заняла положение прямой ах by — d. Положим, что М есть точка пересечения прямых ON и ax + by = d, тогда
ОМ = \з.п = (|ла; jib) и X<^[i. Так как а-ра-\- + b-\xb — d, т.е. (a2 -f- b2)p — d и а2 -f Ь2 >0, то (а2 + Ь2)Х <1(а2 + Ь2)р. Отсюда c<C_d.
3. Найти расстояние от прямой 4х — 2у = = 15 до начала координат.
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 3) перпендикулярно вектору
« = (1; -2).
5. Найти длину стороны АВ и величину угла А треугольника АВС, если его вершинами А, В и С_ являются соответственно точки (1;0), (4; КЗ) и (4; 0).
Проблемы и суждения
Р. С. Черкасов
(Москва)
О МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ
УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ
Совершенствование методической подготовки студентов в педагогическом институте, соответствие этой подготовки высоким требованиям, предъявляемым к учителю современной советской средней школой, являются одной из важнейших задач, вытекающих из решений XXV съезда КПСС о развитии народного образования.
Переход средней школы на новое содержание обучения и завершение (в основном )перехода ко всеобщему среднему образованию, возрастающая роль школы в нашем обществе предъявляют новые, более высокие требования к профессиональной вооруженности будущего учителя математики.
В современных условиях математическое образование стало огромной силой. Трудно переоценить его значение в решении стоящих перед нашей страной трех взаимосвязанных задач: создание материально-технической базы коммунистического общества, формирование коммунистических отношений, воспитание нового человека. Как известно, вопросы народного образования, подготовки специалистов высшей квалификации стали в настоящее время предметом постоянного международного соревнования, которое проходит в обстановке острой идеологической борьбы. Наша задача — закрепить и развить свое ведущее положение в области всеобщего математического образования и подготовки учителя математики, воспитать высококвалифицирован¬


ного, идейно убежденного и политически активного специалиста.
Важным этапом в успешном решении этой задачи было введение в педагогических институтах новых учебных планов и новых программ. Прогрессивный характер этих учебных планов и программ на математических факультетах раскрывается прежде всего в том, что общественные, педагогические и математические циклы дисциплин здесь образуют единую систему, призванную согласованно решать задачу всесторонней подготовки учителя советской школы.
Совместная работа специалистов общественных и педагогических наук, психологов и математиков должна теперь охватывать все стороны методической подготовки студентов.
В этом направлении уже сделаны первые успешные шаги. Опубликован ряд глубоких исследований по марксистско-ленинской философии, имеющих непосредственное отношение к разработке проблем методики. Несомненным успехом является издание учебного пособия но дидактике под редакцией М. А. Данилова и М. Н. Скаткина публикация ряда книг по проблемам обучения. Много интересных фактов для развития методических поисков дают лабораторные исследования психологов. Но мы находимся еще в начальном периоде организации совместной работы преподавателей различных дисциплин, которая в дальнейшем приведет к наиболее существенным вкладам в решение поставленной перед нами задачи формирования специалиста, отвечающего требованиям не только сегодняшнего, но и завтрашнего дня советской школы.
Важным свидетельством правильности выбранного nytn ' является возросшее внимание к методической подготовке студентов' со стороны преподавателей всех дисциплин, большая активность студентов в учебной работе, повышение их интереса к педагогической профессии.
Математические факультеты уже накопили некоторый опыт работы в новых условиях, который был предметом обсуждения на ряде всесоюзных научно-методических совещаний и семинаров. Из многих важных вопросов в этой статье будут затронуты лишь те, которые вызвали при обсуждениях особый интерес и оживленные дискуссии. Эти вопросы неразрывно связаны с общими проблемами современной методики преподавания математики.
Завершающаяся реформа школьного математического образования, осуществление всеобщего среднего образования, возросшая дифференциация учащихся в темпах овладения предметом и поставленное жизнью требование активизации методов обучения привели к возникновению и разработке ряда новых методических проблём и вместе с тем к необходимости правильной оценки методического наследия прошлого.
В поисках ответа на новые вопросы мы должны прежде всего исходить из задач всеобщего математического образования в советской школе и из того, что основное содержание школьного математического образования с должной полнотой определено новыми программами и учебниками, а раскрытие этого содержания, его обоснование является важной задачей курса методики математики. Поэтому в практике преподавания методики необходимо соблюдать четкое разграничение выполнения этой задачи от продолжения тех дискуссий, которые велись по поводу реформы математического образования до введения новых программ. Об этом приходится говорить потому, что до настоящего времени отдельные лекторы в своих выступлениях перед учителями школ, в работе со студентами отстаи-
1 Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики. Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., «Просвещение», 1975.
вают не общепринятую, а свою собственную точку зрения на то, каким должен быть школьный курс математики, и вместо того, чтобы учить студентов и учителей, как работать в новых условиях, дезориентируют их и наносят ущерб делу математического образования.
Конечно, в новых программах и учебниках не все частные вопросы решены с должной полнотой.
При доработке учебников и уточнении программ предстоит выполнить немалую работу по их совершенствованию и прежде всего по преодолению возникшей перегрузки, более тщательному отбору материала для обязательного изучения.
Во всех этих вопросах студент должен получить необходимую ориентировку.
Но основное внимание преподавателя должно быть направлено на раскрытие сильных сторон нового курса математики и тех широких возможностей, которые открылись при новом содержании обучения для повышения математической культуры учащихся и воспитательного воздействия предмета.
Разумеется, перспективные поиски направления дальнейшего развития школьного математического образования, дискуссии, связанные с оценкой различных аспектов новой программы нашей школы и зарубежных школ, представляют несомненный интерес. Но ставить и обсуждать эти вопросы надо правильно, как вопросы дискуссионные, в соответствующих для такого обсуждения условиях.
Перспективные вопросы развития математического образования должны быть предметом рассмотрения и на занятиях со студентами. В курсе методики математики необходимо с возможной полнотой показать на примере содержания школьного математического образования проявление одного из всеобщих законов дидактики — соответствия школьного образования уровню достигнутого научного развития, общественного npori ресса — и тем самым дать понять будущему учител^ необходимость дальнейших изменений в содержаний школьного курса математики. В то же время здесь следует показать и специфическую особенность нашего предмета, относительную устойчивость его основного содержания — «ядра», и взаимоотношения этого «ядр£» с входящими в курс не основными разделами—«оболочкой», подверженной сравнительно быстрым изменениям.
Вся система методической подготовки будущего учителя математики должна исходить из - пели среднего образования. Эти цели точно сформулированы в Программе Коммунистической партии Советского Союза: «Среднее образование должно обеспечить прочное знание основ наук, усвоение принципов коммунистического мировоззрения, трудовую и политехническую подготовку в соответствии с возрастающим уровнем развития науки и техники, с учетом потребностей общества, способностей и желаний учащихся, а также нравственное; эстетическое и физическое воспитание здорового подрастающего поколения» 2.
Из этих целей следует исходить и в решении возникшего перед обществом в последние годы вопроса: «Что представляет собой математика как элемент общей культуры современного человека?» Мы отвечаем на этот вопрос так: каждый оканчивающий школу
должен знать основы науки, а следовательно, :и владеть фактическим материалом, определенным школьной программой по математике. Овладевая этими зданиями, учащиеся получают необходимые представления об идейном содержании математики, знакомятся с ее методами, ее языком и ролью в современном обществе,
2 Программа Коммунистической партии Советского союза. Принята XXII съездом КПСС. М., Политиздат, 1974, с. 123,
81


получают навыки самостоятельного приобретения знаний.
Другое толкование вопроса о математике как элементе общей культуры современного человека мы встречаем в некоторых концепциях зарубежных педагогов- математиков, которые полагают, что при раскрытии значимости школьного математического образования выдвижение на первый план приложений математики в области естествознания и техники было характерным для прошлого и в наше время является устаревшим. В соответствии с этой концепцией в современной школе математику надо рассматривать только с точки зрения ее ценности для общего развития учащихся, т.е. как составную часть гуманитарного образования. Основной целью преподавания математики становится приобщение учащихся к абстрактному духу этой науки и ознакомление с ее важнейшими структурами.
Ясно, что такая «связь» математики с жизнью, выпячивание обобщающих моментов в школьном курсе одновременно с растущей его формализацией не только создает дополнительные трудности в изучении предмета, но и ведет к одностороннему пониманию роли математики в современном обществе. Акцентирование внимания на изучении основных структур ведет к тому, что конкретный материал ( функции, уравнения и т. д.) становится только иллюстративным. Это не способствует правильному формированию необходимых понятий и выработке у учащихся навыков, ценных для практических приложений. К сожалению, некоторые тенденции, ведущие к такому неправильному толкованию целей математического образования в школе, встречаются и в нашей отечественной методической литературе, изданной для студентов и учителей. Это проявляется в том, что, раскрывая цели изучения математики в советской школе, некоторые авторы ограничиваются, по существу, каким-либо одним аспектом, например задачей обучения различным видам математической деятельности, формированием определенных структур мышления, алгоритмов действий.
Разъясняя студентам неверность таких трактовок, следует иметь в виду, что неправильные общие методические концепции здесь нередко сочетаются с разработкой интересных, заслуживающих серьезного внимания проблем в методах изучения отдельных разделов курса, особенно в части создания новых, оригинальных по замыслу упражнений, способствующих формированию абстрактных понятий и логическому развитию учащихся.
В публикациях по методике нередко допускается неверная трактовка движущих сил и основных направлений современной реформы математического образования, в которой проблема взаимосвязи школьного курса математики и математики-науки (в современном математическом образовании) раскрывается не как следствие объективно действующих законов, а как результат, вытекающий из работ коллектива математиков Н. Бур- баки и психологических исследований Ж. Пиаже.
Во всех этих вопросах преподавателям методики математики надо иметь верную общую ориентировку и должный критический подход к различным методическим поискам и рекомендациям. Опираясь на трактовку общих положений дидактики в курсе педагогики, надо в работе со студентами не отходить от этой трактовки, а конкретизировать и развивать ее на материале своего предмета.
В тех случаях, когда по некоторым вопросам в настоящее время ведутся содержательные научные дискуссии, когда существуют различные точки зрения, достаточно широко освещенные в научно-методической литературе, студентам необходимо сообщать об этих различных точках зрения, их обосновании, поступая примерно так, как это часто выполняется в упомянутом ранее новом учебнсш пособии по дидактике.
Одним из таких важных дискуссионных вопросов является вопрос о методах обучения вообще и математике в частности. Проблема методов обучения заслуживает обстоятельного обсуждения. По-видимому, в курсе методики надо познакомить студентов с имеющимися различными подходами и классификациями методов, отражающими ту или иную специфическую особенность процесса обучения математике. Будущий преподаватель должен быть осведомлен в том, что категории материалистической диалектики, все методы познания, с которыми он знакомится при изучении философии, находят свое непосредственное отражение и применение в методах обучения математике. Тогда он лучше увидит всю сложность процесса овладения знаниями, его диалектический характер. В методике преподавания это должно получить свою конкретизацию на материале нового школьного курса математики, курса, который предоставляет для такой конкретизации богатейшие возможности.
Теперь начиная с IV класса учитель математики на материале своего предмета имеет возможность широко применять аналогию, сопоставление, всесторонний анализ, синтез, создавать проблемные ситуации и сочетать это с проверкой выдвинутых идей, развивать у учащихся способность к мотивации, к сознательному перебору возможных вариантов, к обобщению, сочетать в процессе обучения индивидуальные и коллективные формы работы, воспитывать навыки самоконтроля и т. д. (Все эти возможности были крайне ограничены в прежнем курсе математики в связи с бедностью его идейного содержания.) Здесь скрыты большие и пока мало используемые резервы для повышения уровня методического мастерства будущего учителя, раскрытия перед ним воспитательных аспектов предмета.
После введения новых школьных программ в развитии и совершенствовании обучения математике сделано немало. Новой программой созданы особо благоприятные условия для реализации принципа научности, для овладения учащимися научными методами познания. Много нового вошло в методику в связи с внедрением в учебный процесс технических средств. Включение уже на ранних этапах обучения многих абстрактных понятий приводит к более содержательному пониманию принципа наглядности. Более широкое применение получили приемы преподавания, развивающие активность учащихся. Однако следует учитывать, что иногда в новых методических поисках и рекомендациях имеют место существенные недостатки, что находит свое отражение и в содержании учебной работы со студентами, снижает ее эффективность. В методической литературе процесс познания при обучении нередко пытаются представить в виде какой-либо стандартной поэтапной схемы, часто употребляется термин «чувственная ступень познания»; говорят о «трех этапах» процесса познания, предлагая в соответствии с этим ставшие стандартными «трехэтапные» методические рекомендации. Такие рекомендации появились вследствие неверного, упрощенного толкования в ряде методических работ гениального ленинского высказывания о пути познания. В курсе философии студенты узнают, что это ленинское положение о движении познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»3 — не дает никаких оснований для деления процесса познания на различные ступени — чувственную и рациональную. В процессе познания все эти стороны, указанные
В. 	И. Лениным, не расчленены на отдельные этапы, речь идет об их взаимодействии, т. е. о трех сторонах единого процесса познания. Важно, чтобы и на заняти¬
в В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, с. 152—153. ,


ях по методике студенты не получали искаженных разъяснений и поняли, что только глубокое проникновение в закономерности единого процесса овладения знаниями при обучении позволяет давать обоснованные методические рекомендации.
В публикациях по некоторым проблемам методики преподавания математики все еще встречаются довольно распространенные в прошлом попытки свести процесс познания к физиологии высшей нервной деятельности4, а в некоторых конкретных методических рекомендациях в качестве аргументов для подтверждения выдвигаемой концепции приводятся результаты опытов по созданию определенных рефлексов у животных. Нередко такая литература издается большими тиражами и становится достоянием студентов.
Изучив марксистско-ленинскую философию, студенты поймут необоснованность такой аргументации, они будут знать, что физиологическое учение — необходимый фундамент гносеологии, но при этом познавательный процесс нельзя сводить к высшей нервной деятельности человека. Но это же они должны своевременно узнавать и в курсе методики математики, понимать всю необоснованность идущих от неверных концепций методических рекомендаций.
Необходимо также учитывать, что в последние годы среди появившихся многих новых дидактических, методических и психологических концепций встречаются нередко и концепции, которые еще не проверены широкой практикой. Полезные, но ограниченные по своим возможностям результаты исследований иногда трактуются как универсальные, заслуживающие немедленного и широкого внедрения. Нередко за результат исследования принимается гипотеза, которая ищет еще своего подтверждения, основательного исследования и уточнения. Например, в методической литературе нередко предлагаются стандартные схемы построения системы задач, якобы непременно ведущих к развитию математических способностей учащихся. При этом, следуя за концепциями некоторых зарубежных психологов, говорят, что предлагаемые схемы характерны для творческого мышления математика, т. е. мышления, ведущего к новым открытиям. Поэтому предлагаемая система, как якобы ведущая к развитию творческих способностей учащегося, рекомендуется для школы.
Но, как известно, исследование творческой деятельности в математике не привело к выявлению четких представлений о строений процесса познания в этой науке. К таким же результатам пришли аналогичные исследования и в области других наук 5.
Заметим, что процесс обучения, по мнению некоторых математиков, явление более сложное, чем творческая работа в научных поисках, так как первый имеет многоцелевую направленность. Так что предлагаемые заманчивые схемы построения обучения, якобы воспроизводящего творческую деятельность ученого, могут представлять интерес для исследования отдельных аспектов процесса обучения, они возможно полезны для развития некоторых сторон мышления, но никак не могут считаться в какой-то мере универсальными.
В разработке методов, развивающих творческую активность учащихся, в методике, как и в психологии, мы все еще ограничиваемся, по существу, только первым и четвертым звеном одной из классических схем творческого процесса: подготовка — созревание — вдохновение— проверка. Наиболее сложные и важные звенья этого процесса, связанные с проявлением наибольшей активности ученика, здесь выпадают. Это приводит к тому, что активность субъекта в процессе обучения, диалектический характер процесса познания,
4 Такие попытки были в некоторых выступлениях на недавних методических конференциях.
связанные с проявлением различного вида интуиции, не учитываются. Будущий учитель должен знать, что воспитание интуиции, опора на интуицию, поощрение творческих находок учащихся, связанных с проявлением интуиции, — важное, но почти не исследованное звено в его предстоящей практической деятельности. И здесь мы не должны забывать о том, что именно в так иногда называемых «традиционных методах обучения» и в практике преподавания этот вопрос находит более полное решение, чем в имеющихся пока научных исследованиях, и тщательно изучать вместе со студентами накопленный советской школой опыт.
Большое внимание к развитию творческой деятельности учащихся не должно ограничиваться, как это нередко бывает, вниманием только к воспитанию стремления ученика к творческой деятельности. Если воспитание стремления к творческой деятельности мы не дополним воспитанием потребности, привычки к упорному, сосредоточенному труду, не научим ученика преодолевать трудности, связанные с достижением творческих замыслов, то никакой ценности обучение такому творчеству не представляет. А воспитать, выработать такие качества можно только при упорном, сосредоточенном труде, в частности на уроках математики. Следует иметь в виду, что некоторые виды учебных занятий, внешне скучных, но по существу содержательных, необходимы для успешного обучения математике. Но такие занятия нередко осуждаются как якобы не отвечающие новым требованиям, поскольку активность учащихся здесь внешне не проявляется. От таких ошибочных толкований новых требований надо предостеречь будущего учителя и научить его не только развивать стремление учащихся к творческой деятельности, но и формировать у них необходимые навыки творческой деятельности. Следует помнить, что В. И. Ленин определял коммунистический труд не только с точки зрения моральных факторов, но и как «труд по привычке трудиться на общую пользу и по сознательному (перешедшему в привычку) отношению к необходимости труда на общую пользу, труд, как потребность здорового организма» 6.
Обучение математике, если оно поставлено правильно, позволяет выработать у ученика именно эти качества-потребность и привычку трудиться для достижения поставленной цели.
С большей осторожностью, чем это наблюдается в нашей практике, следует подразделять методы на «творческие» — ведущие к открытиям — и «воспроизводящие». В частности, неправомерно полагать, что методы эвристические ведут к новым знаниям, а алгоритмические этим качеством вообще не обладают.
Рассматривая проблему методов преподавания в целом, мы должны учитывать их диалектический характер. В процессе обучения неизбежно возникают ситуации, в которых происходят качественные скачки в овладении знаниями, что ведет к возможному изменению первоначального метода, различным сочетаниям тех или иных методов. Такая «перестройка» процесса обучения — явление вполне закономерное, и здесь особое значение имеет общая педагогическая культура учителя, его свободное владение своим предметом. Не соблюдению «чистоты» того или иного метода, а свободному владению каждым из них мы и должны учить будущего учителя.
В практике преподавания мы иногда допускаем односторонние увлечения, стремление не отстать от ставшего вдруг «модным» течения. При этом забываются
5 См., например: В. Быков. «Методы науки», М., «Мысль», 1974, с. 158.
6 В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 40, с. 315.
83


требования к научно обоснованному построению учебного процесса. Будущий учитель должен иметь правильную ориентировку в этих вопросах.
Развитие творческой самостоятельности студентов, формирование у них необходимых в наше время исследовательских стремлений и навыков невозможно без их широкого привлечения к научной учебно-исследовательской работе кафедр. В этой области своей работы мы, преподаватели методического цикла, еще не можем говорить о каких-либо серьезных успехах.
Возросший в связи с реформой школьного математического образования интерес будущих учителей к проблемам дидактики, методики математики создает необходимые условия для вовлечения студентов в различные виды исследовательской деятельности.
Есть основание полагать, что некоторая робость представителей методического цикла в научной работе со студентами отчасти объясняется тем, что преподаватели всерьез принимают нередко раздающиеся высказывания о том, что методика математики — не наука, что (в лучшем случае) она должна быть наукой. Такая трактовка предмета не может способствовать привлечению молодежи к исследовательской работе. Здесь, чтобы была полная ясность, придется повторить известные факты.
Методика преподавания (предметная дидактика) — педагогическая наука, имеющая, как и все науки, свое
основание, законы, основные понятия, свою теорию и идеи. Научные основы методики раскрываются в об-, щих законах педагогики и принципах советской дидактики.
Как известно, метод принципов в построений научной теории находит широкое применение во многих науках. В советской методике он сформировался на основе обобщения с позиции материалистической диалектики всего прогрессивного наследия прошлого и опыта коммунистического воспитания и обучения в советской школе, развивается и дополняется вместе с развитием всего дела обучения и воспитания.
Принципы советской дидактики и в прошлом и в настоящем нашей средней школы были и есть основа, определяющая методы обучения, и отклонение от этих принципов неизбежно ведет к отрицательным последствиям.
Поэтому не способствуют развитию методики преподавания математики возникшие в некоторых публикациях по дидактике и психологии тенденции к пересмотру этих принципов.
Общие усилия специалистов как общей, так и предметной дидактики (методики), педагогической психологии должны быть направлены на творческое применение и развитие, а не на ревизию принципов советской дидактики Именно это должно находить свое отражение и в нашей совместной работе со студентами.
Неклассная работа
С. И. Зетель
(Москва)
СВОЙСТВА
НЕКОТОРЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Треугольники, длины сторон которых а, Ъ, с удовлетворяют условию 2Ь2 = а2 + с2, т. е. квадраты длин сторон образуют арифметическую прогрессию, обладают многими интересными свойствами.
Размеры журнальной статьи позволяют остановиться лишь на отдельных примерах этих свойств, связанных с решением следующих задач: •
1) построение одной последовательности подобных треугольников,
2) построение циркулем и линейкой прямоугольного треугольника, у которого 2Ь2 = а2 + с2, где с — гипотенуза,
3) тоже — построение одним циркулем.
Преобразуем известные (назовем их основными) формулы для вычисления длин медиан треугольника по его сторонам а, Ьу с:
т\ =
2(/Я+ с2)-
2 (a2+ Р+ с2) —За2
2q2 — За2
ml-
2д2 — ЗУ
Л
ГПС==
2 д2 — 3 с2
Из формул (1) следует:
3
а) т2а + ml + т* - — q* -
б) если а^Ь^с, то та^:ть*
4
:тс,
Са2
Ь2+с2), (2) (3)
т. е. большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Теперь приступаем к решению задач с использованием условия, сформулированного в начале статьи: 2Ь2 = а2 + с2.
Задача 1. Если в треугольнике АВС 2 Ь2 = а2 -{-■ 4- с2, то 2ml = т2а + т2, т. е. квадраты длин соответственных медиан также образуют арифметическую прогрессию.
Действительно, из основных формул для вычисления медиан треугольника и условия задачи имеем:
2(b2 -J- с2)—а2 2Ь2 + 2с2 — а2
4 " 4
9 3 9 3
аналогично т~с = —а2, mb = -j- о2, а тогда
а2)-
ml -f ml.
Вводя обозначение а2 + Ь2 + с2 = q2y получим следующие формулы для та и аналогичные для тъ и тс:
0)
Прежде чем формулировать' условие задачи 2, построим треугольник, сторонами которого служат медианы данного Д ЛВС.
Пусть AD, BE и CF — медианы, треугольника АВС (рис. 1). Соединив точки F и £, получим среднюю линию FE. Проводим прямую СК, параллельную (АВ), до пересечения с прямой FE в точке К. Соединим точку К с точками А и D. Нетрудно доказать, что |Л/(| = |CF| и |£>/С| = \ВЕ\, т. е. AADK — искомый.
84


Обозначая площади треугольников через 5 с соответствующими индексами и учитывая, что из произведенных построений следует
\AJL\-\LD),\BD\-\DC\9 | FE | = | Eh\ | = 2 \LE\9
Рис. 1
получим:
SADK = ZSalk :
б-
'S
AFE
Далее будем писать короче: S,
_3^
$АВС = 4
3
4
$АВС'
St.
Задача 2. Найти зависимость между квадратами длин сторон треугольника ABC (Тi) и треугольника из его медиан (Г2), при которой треугольник Т2 был бы подобен треугольнику Тх.
Если Т1. то соответственными сторонами на
основании неравенств (3) могут быть только тс и а, то и b, та и с, а значит, площади
Так как
т
SJL
5.
2
С2
_3_
с2 ~~ 4 Отсюда 2 (62 4 с2)-
62 ' 2(^
/я£
а2
с2)-
Ас2
г2 = Зс2 и 262 = с2 + а2.
Итак, если Т2^оТх, то квадраты длин сторон трет угольника Г, составляют арифметическую прогрессию.
Докажем обратную теорему: если квадраты длин сторон Д ABC (ГО и треугольника из его медиан (Т2) образуют арифметическую прогрессию, то Л 007^.
Действительно, пусть 2Ь2 =» a2 -j- с2, тогда
2 (Ь2 4- с2) -
262 4- 2с2 — а2
с2 4с2
9
Щ
Аналогично =
4с2
3
4
поэтому
та_
с
mb
b
т. е. Т2ы Тj.
Пусть ЛВС (7*i) — автомедианный треугольник. Построим из его медиан треугольник Тг, т. е. «цшть автомедианный. Затем построим треугольник Т9 на медиан Т% и т. д. Тем самым будет построена последовательность автомедиа иных треугольников Ttt Т* Тй, с коэффициентом подобна k —
V з “ 2 •
Задача 3. Построить геометрическое место вершин автомедианных треугольников ABC по данной его средней по длине стороне АС, \АС\ = Ь.
, „А,ст°Роне АС строим равносторонний треугольник АВ С (рис. 2)^Из точки О — середины АС — радиусом . ^ г,, , ь У3
\ОВ' \ = ~2 проводим окружность, которая без точек пересечения с прямой АС и является искомым геометрическим местом точек (доказательство следует
, b у^ЗЛ
из формулы для ть = —2—).
Рис. 2
Рис. 3
Задача 4. а) Построить автомедианный прямоугольный треугольник по данному его большему катету АС, |ЛС| = Ь. б) Найти отношение его сторон.
а) Как и в задаче № 3, построим равносторонний треугольник на [АС] и окружность радиусом, равным его высоте. Затем проведем [СВ] JL [ЛС] и получим искомый автомедианный прямоугольный треугольник АСВ (рис. 3) как частный случай множества автомедианных треугольников, построенных в задаче № 3.
б) В треугольнике АСВ имеем
2Ь2-
Ь2<
с2 + а2,
Ъ2. с2«
2а2, ■ За2,
Треугольник, у которого квадраты длин сторон, а следовательно, и квадраты длин медиан составляют арифметическую прогрессию, называется автомедианным Основное свойство автомедианных треугольников: они подобны треугольникам из их медиан.
Средняя по длине медиана автомедианного треугольника равна медиане равностороннего треугольника со стороной, равной средней по длине стороне автомедианного треугольника
ь /з mb — 2 •
Нетрудно убедиться, что всякий равносторонний треугольник — автомедианный.
откуда a: b :с = \ :j/r 3, а также (Ь2+<?) : а7—5.
Построение автомедианного прямоугольного треугольника возможно и по данному меньшему катету а (рис. 4), и по данной гипотенузе с (рис. 5), где | АВ | =
«= с — 1, | BD | = -j- с, | DA | — -0- с\ значит, а =
= /3-с’ b~Y 3 с>
откуда а:Ь:с *=* 1: Y2: ^3.
Построение (автомедианного) прямоугольного треугольника с отношением сторон а:Ь:с*= 1:|/’2:у/’з имеет большое значение для обоснования построения одним циркулем (см.: А. Л Брудно. Вокруг циркуля.
85


в
Рис. 4
«Квант», 1972, № 10). Маскерони в 1797 г. доказал, что всякая задача на построение, решенная циркулем и линейкой, может быть решена одним циркулем. За 125 лет до Маскерони это было доказано, как недавно выяснено, датским математиком Г. Мором. Мор дал построение одним циркулем отрезков а У2, а у^З по данному отрезку а, т. е. построение одним циркулем автомедианного прямоугольного треугольника по меньшему катету а. Вот это построение:
Опишем радиусом а окружность с центром в некоторой точке О. Из произвольной точки М окружности засечем ее радиусом а в точке N. Из точки N аналогично засечем окружность в точке Р, а из Р — в точке Q (рис. 6).
MN = 60°; МР = 120°; MQ = 180°.
Из точек М и Q (концов диаметра MQ) проводим дуги радиусом | МР \ = | QN | = а у^З до пересечения в точке С. Треугольник с вершинами в точках Му О и С искомый: | МО | = я, | ОС | = а >^2, | МС | = а У 3.
Рассмотрим соответствие между некоторым подмножеством прямоугольных треугольников и множеством автомедианных треугольников.
Пусть дан прямоугольный треугольник (а, Ь, су п а < b С с; тогда, если существует треугольник [х, у, г] со сторонами х = b — а, у = b + а, г — с, то он — ав- томедианный. Для существования треугольника [х, у, г] необходимо и достаточно, чтобы (Ь + а) — (Ь — а) < с, т. е. 2а<с, аСс/2 и 0°< а <30°.
Итак, каждому прямоугольному треугольнику (а, b, с) с углом а, меньшим 30°, соответствует [*, у, г] — авто- медианный, где х = b — а, у = b + а, г = с.
Рис. 6
Каждой пифагоровой тройке (х, у, г) соответствует ав- томедиарная тройка (х — у, z, х + у), т. е. тройка чисел, квадраты которых образуют арифметическую прогрессию, иначе: уравнение (х — у)14- (* + у)2 = 2г2
имеет бесконечное множество целочисленных решений (*, У, г).
О б о б щ е н и е. Уравнение (тх + пу)2-\-(пх — ту)2= = (т2 +/г2)г2, где т и п — целые, имеет бесконечное множество целочисленных решений.
Каждая пифагорова гройка (х, у, г) — решение уравнения (тх -f пу)2 -f (пх — ту)2 — (т2 -f n2)z2y что видно из следующих преобразований т2х2 -+* + п2у2 + п2х2 + т2у2= (т2 4- п2) (х2 + у2) = (т2 + n2)z2.
Пример: (3* — 2у)2 + (2х -j- 3у)2 = 13г2. Это уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений: всякая пифагорова тройка — его решение, например (9, 40, 41), (55, 48. 73), в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—У КЛАССОВ
1731. Решить уравнение
ху2 == (г/ — 1) хху.
И. Т. Михалкович (Минская
обл.)
1732. Шашка стоит в левом нижнем углу шахматной доски размером 4X4. За один ход она может передвинуться на 1 клетку по вертикали или горизонтали. Ка- ких клеток доски она мооюет достичь, побывав предварительно на као/сдой из остальных клеток ровно по одному разу?
1733. Произведение двух целых чисел равно 217. Чему равны эти числа, если каждое из них меньше 7?
Ю. А. А л е н к о в (г. Харьков)
1734. Число, состоящее из 1976 цифр, начинается с цифры 2. Любые две цифры этого числа, стоящие рядом, образуют число, делящееся либо на 13, либо на 27. Какова последняя цифра данного числа?
Г. С. Прокопьев (г. Ульяновск)
1735. Расшифровать пример на сложение, в котором одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:
озорник з о р н и к о р н и к р н и к ник и к к
555332 1
В. 	Г. Махров (Калужская обл.)
86


ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1736. Две окружности касаются одновременно обеих сторон прямого угла. Найти отношение их радиусов, если одна из окружностей проходит через центр другой.
1737. Дан треугольник ABC, в котором А = а. На луче С А построена точка D так, что I CD | = «=* I АВ |. Через середины отрезков AD и ВС про- веоена прямая L Найти величину угла между прямыми I и АВ.
1738. Через вершину А треугольника ABC проведена прямая перпендикулярно его медиане AD. Сумма расстояний 01 вершин В и С до этой прямой равна S. Найти необходимое и достаточное условие, при котором 2mc < S < с, где тс = \AD\, с = \АВ|.
Э. 	Г. Г отман (г. Арзамас)
1739. 	Диагонали АС и BD описанного около окружности четырехугольника пересекаются в точке О. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АО В, ВОС, COD и DO А, равны соответственно R\, R2, Rs и R4. Доказать, что площадь такого четырехугольника может быть вычислена по формуле
з
S ==
«R-Rl)(R-Ri)(R-Ra)(R- R.))'
(RiR„ + R2Rdi
где 2R = R\ + 4- Rz “Ь ^4*
Б. И. Кашин (Калининская обл., г. Осташков)
1740. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и N. Биссектриса I угла А треугольника пересекает прямую MN в точке Р. Доказать, что (CP) ± I. (Попытайтесь применить преобразования.)
Р. Г. Носик (г. Оренбург)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1741. Найти все действительные значения х, при которых выражение
х
х2 — 5х + 7 является целым числом.
Э. 	А. Я с и н о в ы й (г. Куйбышев)
1742. 	Доказать неравенство
1-3*.(2л— 1).
2-4*6-...-2л
<
1
(п е N).
у 2 п 4- 1
С. 	И. М а й з у с (г. Запорожье)
1743. Вычислить сумму
п i
s(n> = 2 2^-
i—\ j= 1
К. В. Ветров (г. Братск)
1744. Доказать, что при M >N выполняется равен- тво
М N
s(m, N) = 2 2м-*|-
t=zlk=l
1
1) 	N (N + 1) + — MN (M — N).
Математический кружок 173-й школы г. Киева (рук. Р. П. Ш е й н ц в и т)
1745. Доказать, кто функция
/ (х) = cos х 4“ cos х }/"2 -{“ cos х •
... + cos х j/"п (п > 2) непериодическая.
1746. Решить неравенство
х — 1 < log6 (х* 4- 13) (х £ Z).
1747. Найти фигуру, состоящую из конечного числа точек, отображающуюся на себя при повороте на 7е вокруг некоторой фиксированной точки.
1748. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Через середину S хорды BD проведена прямая SM, пересекающая хорду АС в точке К. Доказать, что
\АК\ : \КС\ « \АМ\*: |CAf|2.
Г. Г. Казакова (г. Хабаровск)
1749. Применением скалярного произведения век- торов найти наибольшее и наименьшее значения
функции у = угх 4- 4 |/ 1 —
3. 	А. Скопец (г. Ярославль)
1750. Дан треугольник ABC и прямая I такая, что /f] (АС) = С j, / П (АВ) = Ви /П (ЯС) = М. Найти предельное положение точки М, когда точка В{ стремится к точке В, a Ci — к С, причем \B{Ci \ = \ВС\.
Т. А. Иванова (г. Горький)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Тригонометрия
1751. Доказать тождество
sin a bin (а 4- 5°) sin (а 4- 10°).. .sin (а + 175°) = sin 36<х *= 235 "•
С. 	Т. Берколайко (Белгородская обл., с. Котово)
Биномиальные коэффициенты
1752. Вычислить сумму
п fk /з
2 2 • • • 2 2 aix •
ik= 1 = 1 <,=1
где alt =» 1 (/j = 1, 2 /2).
Перемещения и подобия плоскости
1753. Даны два треугольника ABC и PQR и точка F£ Д PQR. Построены треугольники ABC, ВСА и САБ, соответственно подобные треугольникам с вершиной F и со сторонами PQ, QR и RP и одинаково с ними ориентированные. Доказать, что треугольники ЛВС и PQR подобны.
В. 	К. Л и н и с (г. Рига)
1754. На прямых а, b и с, попарно пересекающихся в трех различных точках, даны соответственно точки X, У и Z. Построить точки Хх g a, Yb, Zx £ с, чтобы треугольники X\Y\Z\ и XYZ были конгруэнтны и одинаково ориентированы.
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
Аффинные преобразования
1755. Дано эквиаффинное преобразование ф плоскости такое, что ср(Л) = В, ср(В) = А, где А и В — две данные различные точки. Используя классификацию аффинных преобразований, охарактеризовать данное преобразование, если оно 1) второго рода (меняет ориентацию),
2) 	первого рода (не меняет ориентацию).
М. X. При еде (г. Даугавпилс)
87


Занимательная страница
(!0Л —Л’) У.
Действительно, X, У — /г-значные N = ХУ = 10пХ + У и по условию
10** + У = X2 + У2.
числа, поэтому
0)
Аналогичная запись для числа (iO7* — X) У дает (10* — X) 10я + У = (10" — X)2 + У2. (2)
Легко видеть, что если справедливо (1), то справедливо и (2).
Автор статьи отмечает, что ему неизвестно, конечно ли множество таких чисел, и ставит перед читателем задачу: найти эффективный метод их получения.
Назовем эту задачу «задачей Линдона». Она увлекла учителя математики Н. И. Нестеренко (с. Лесная Поляна Ворошиловградской обл.), давно и активно наблюдающего разнообразные курьезные свойства натуральных чисел.
В сообщении о своем решении этой задачи Н. И. Нестеренко указывает две группы искомых чисел, каждая из которых содержит бесконечно много решений уравнения (1) на множестве N.
Первая группа чисел, удовлетворяющих условию задачи Линдона, определяется, например, такими тождествами:
1Сбл — 1С4/г 4- 102/2 = (103" — Ю”)2 + (102Л)2
или в другой записи
99... 900... 0 100... 0 = 99...900...О2 +
2 п 2/2—1 2 п 2 п п
+ 00...0 100...О2.
/2—1 2 п
При п = 1 имеем: 990100 = 9902 -f- 1002.
Для получения второй группы искомых чисел предварительно решим (1) как квадратное уравнение отно¬
сительно X и тем самым преобразуем его к равносильному уравнению
10" ± / Ю2Я — (4 У2 — 4К)
2 ’ '
Х =
ЗАМЕТКИ О СОСТАВЛЕНИИ ЧИСЛОВЫХ КУРЬЕЗОВ 1 О задаче Линдона
В статье В. В. Анисимова «Числа, що самопоро- ждуються» (сб. научно-популярных статей «У CBiTi математики», вып. 4. Киев, «Радянська школа», 1973, с. 153—154) сообщается о существовании 2/2-значных натуральных чисел N вида N = ХУ, равных сумме квадратов своих я-значных частей — чисел X п У:
YV=X2 + У2.
Например, 1233 = 122 + ЗЗ2.
В статье приведено замечание Линдона, изучавшего такие числа, о том, что они всегда возникают парами: если 2я-значное число N -= ХУ обладает указанным свойством, то этим свойством обладает " и число
или
X
10" ± / 102Я + 1 — (2Y — 1)а
(3)
Заменяя подкоренное выражение через (2/t)2, сведем задачу к решению вспомогательного уравнения
Ю2” + 1 = (2k)2 + (2 У — 1 )2 (4)
или, другими словами, к задаче представления чисел 102Л + 1 в виде суммы квадратов двух натуральных чисел: четного 2k и нечетного 2У — 1. Число (2&)2 подставим в (3) и получим искомое
Х-—-f—. (5)
Алгоритм для подбора чисел 2k и 2Y —■ 1 возникает из следующего частного наблюдения над числом 102п 4- 1 при п = 2:
104 -f 1 = 10001 = 73-137 = (82 + З2) • (42 4- II2).
Теперь, воспользовавшись тождеством
(а2 + Ь2) (с2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — be)2, (6)
получаем требуемое разложение числа 104 4* 1:
104 4- 1 = 652 4* 762.
Значит, 2k = 76, 2Y — 1 = 65, п = 2 и
X =
102 4- 76
( 88, I 12.
у as зз, что дает два искомых числа:
8833 = 882 + ЗЗ2 и 1233 = 122 4- ЗЗ2.
Комбинируя разложение числа 104 4- 1 с разложениями других чисел, например вида 104п — 102п 1 =
= (Ю2п — l)2-f(10n)2, п £ N, и применяя тождество (6), можно получить бесконечно много решений задачи Линдона.
Примеры. 1) Найдем группу решений уравнения (1), соответствующих числу 1012 4- 1:
Ю12 4- 1 = (104 4- 1) (Ю8 — 10* 4- 1) =
« (652 4- 766) ((104 — I)2 4- (10*)*)’—
. 6575352 4- 7534242 ■ (652 4- 76)2 (99992 + 1002)« '
4
6423352 4- 7664243
Отсюда следует:
106+ 753424
а) 	X = 2
У =
657535 4- 1
и окончательно
876712328768 ;
123288328768.
10е 4- 766424
б) 	X - *
■ 8767122 4- 3287682, 1232882 4- 3287682; 642335 4-1
Обзор составил Б. А. Кордемский.
2 ’ 2 и окончательно
883212321168 - 8832122 4- 3211682, 116788321168 = 1167882 4- 3211682.
2) 1030 4-1 = (1012 4- I) (П>24 — 10*2 + 1} в (Ю12 + 1) х
X (99...92 + 100...О2) = ...
12 6
3) Ю20 4- 1 = (10* 4- I) (К)15 — 1012 4- 108 _ 104 + 1) _ = (652 4- 762) (999G002 + 9999000012) -


И еще:
94122353 = 94122 + 23532,
7416043776 = 741602 + 437762, 88321167883211678833 = 88321167882 + 32116788332.
Соответствующие числа, образующие пару с каждым из этих трех чисел, желающие могут найти самостоятельно.
О числах, «раздвигаемых» при умножении
В книге Д. С. Фаермарка «Задача пришла с картины» приводятся три примера на умножение (на с. 151), которые давал своим ученикам известный деятель просвещения С. А. Рачинский:
111-91 = 10101, 126-81 = 10206, 285-73 = 20805.
В каждом произведении повторились цифры большего множителя, только они, по выражению Рачинского, оказались «раздвинутыми» вклинившимися нулями. По поводу этих примеров Фаермарк пишет: «Неизвестно... существуют ли еще пары чисел, обладающие указанным свойством».
В. 	Г. Еськов (г. Симферополь) сообщает, что им найдены две пары таких чисел: 115-87 = 10105 и
131-71 = 10301. Он полагает, что среди произведений трехзначных чисел на двузначные нет других пар, обладающих требуемым свойством («если, конечно, не считать модификаций 222-91, 333-91, ..., 262-71,
393-71, ...»).
Сколько существует таких пар чисел в случае произвольной значности большего множителя? В. Г. Еськов указывает два примера: 15*7 = 105, 2331-871 = 2030301. А есть еще?
Квадратное число с квадратными частями
Требуется найти девятизначное квадратное число, все три триады цифр которого являются различными трехзначными квадратами.
Заметим, что любоё девятизначное квадратное число является квадратом некоторого пятизначного числа а • Ю3 4- Ъ, где 10 ^ а ^ 31, Ъ < 103.
Тогда искомое число
(а-103 + Ь)2 = а2-10б + 2а&-103 + Ъ2.
Автор приведенного далее решения судовой врач океанского теплохода, пожелавший назвать себя А. Орешкиным, не предпринимает поиска всех возможных решений поставленной задачи, а ограничивается исследованием возможности того, чтобы числа а2, 2ab и b2 были неодинаковыми трехзначными квадратами.
Для этого необходимо, чтобы а ф Ь, 10 ^ b ^ 31, число 2ab принадлежало множеству четных трехзначных квадратов и 2а6>200.
В таблице находим 8 таких квадратов: 256, 324, 400, 484. 576, 676, 784 и 900. Только два из них разлагаются на подходящие множители 2, а и b и дают 4 решения задачи:
2 ab
а
| Ъ '
| Искомый квадрат
576
16
18
160 1 82 «= 256576 324
18
16
180162 = 324 576 256
900
18
25
180252 «= 324 900 625
25
18
250182 - 625 900 324
Поиском решений, не укладывающихся в предложенную схему рассуждений, можно заинтересовать любознательных учащихся. Так, например, при а = 12, b = 35, где b > 31, также получается число, удовлетворяющее условию задачи:
(12 -103 + 35)2 = 120352 = 144 84 1 225.
Как справедливо замечает А. Орешкин, этим приемом можно сотворить «хоть стозначные числа» с требуемыми свойствами, и, чтобы не загромождать страницу длинными записями чисел, он предлагает полюбоваться лишь парой таких чисел:
484 000 3382 = 234 256 327 184 114 244, где 234 256 = 4842. 327 1 84 = 5722, 114 244 = 3382.
20 800 234 000 000 010 400 1172 =
= 43264 97344 54756 43264 97344 54756 10816 24336 13689.
Обобщенные курьезные тождества
В числе примеров «курьезных квадратов чисел» («Математика в школе», 1973, № 6) был такой:
99...92 = 99^9 800.. .01.
п п—1 п—1
Г. Е. Смородинский (Ленинград) справедливо полагает вполне доступным для старшеклассников обоснование более общих курьезных закономерностей этого вида:
1) ^j3-33_:3= 1^^109^.^9 88...^9;
ТП п п—1 /71—Я п—1
2) 66. „6-66. „6 = 44. „4399...955...5 6;
m п п — 1 m—n п— 1
3) 99„ Л)-99.. .9 = 99.. .9899.. .9 СО.. .о I;
т п п—1 т—п п—1
4) 33. .^3-66. .^6 = 22^ „219Э.._.9 77. „7 8;
т п п—1 т—п п—1
5) 33. „3-99. .^9 = 33.. .3299. „9 66. ..67;
т п п—1 т—п п—1
6) 60. .^6-99 9 - 66. „6599...933. „3 1.
т п п—1 т—п п—1
Во всех случаях п.
Г. Е. Смородинский подметил и обосновал эти закономерности еще в 1928 г., будучи учеником VIII класса. А в 1957 г. методическая разработка темы для внеклассных занятий с учащимися «Быстрый и устный счет», выполненная Г. Е. Смородинским, содержащая, в частности, и эти тождества с их обоснованиями, была экспонатом постоянной педагогической выставки в Ленинградском ИУУ.


LF';"Bn
ЗА РУБЕЖОМ
в
Б. В. Гнеденко
(Москва), Мария Клерико
(Рим)
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ В ИТАЛЬЯНСКОЙ ШКОЛЕ
1. 	Структура итальянской школы
Взаимное ознакомление с системами и содержанием образования в различных странах мы считаем важным элементом сотрудничества между народами. В данной статье мы даем общий очерк организации школьного образования и объема сообщаемых матема- тических знаний в Италии.
До последнего времени детских садов в Италии было немного, и дети непосредственно поступали в школу. В последние годы, в связи с тем что многие женщины стали работать, сеть детских садов стала интенсивно расти. Детские сады предназначены для детей от 3 до 6 лет
Заметим, что в последние годы создано небольшое число коммунальных детских садов, в которых не взимается плата.
Для подготовки воспитательниц детских садов используются технические институты для молодых женщин (Istituto technico feminale) и магистральные институты (Istituto magistrate).
Обязательное школьное обучение начинается с 6 лет. В государственных школах оно бесплатно. Помимо государственных имеются частные школы и школы, принадлежащие церкви. Плата за обучение в школах двух последних типов колеблется приблизительно от 15 до 30 тыс, лир (17—34 руб.) в месяц. В этих школах обучаются лишь дети состоятельных родителей; подавляющая же часть учащихся (свыше 95%) обучается в государственных школах. Учебники для нуждающихся детей (а в элементарной школе для всех детей) выдаются школой бесплатно. Это весьма существенно, поскольку книги в Италии дороги. Первые пять лет обучения составляют элементарную школу (Scuola elementary, В элементарной школе нет предметной си¬
1 Тетер* организуются также детские ясли (asili nfdo) для детей от б месяцев до 3 лет*
Ю
стемы и один учитель проводит все занятия с 8.30 до 12.30 с одним 15-минутным перерывом.
После окончания элементарной школы обязательно обучение еще в течение трех лет в средней школе (Scuola media).
Диплом об окончании трехлетней средней школы дает право поступления во все учебные заведения второй стадии среднего образования, которая не обязательна для всех, но бесплатна в государственных учреждениях.
С дипломом об окончании средней школы можно поступить или в лицей (классический, научный или артистический), или в технический институт (Istituto tec- nico) с пятилетним сроком обучения, или в магистральный институт (Istituto magistrale) с четырехлетним сроком обучения. Лицеи преследуют те же цели, что и советские средние школы,— дать общее образование. В отличие от классического в реальном лицее не преподается греческий язык и увеличено число часов на естественные науки. Назначение всех средних специальных учебных заведений такое же, как и техникумов в Советском Союзе. Магистральные институты подготавливают преподавателей элементарной школы, таким образом они соответствуют педагогическим училищам в СССР. Окончание лицея или техникума (Istituto tecnico или magistrale) дает право поступления в высшие учебные заведения без экзаменов.
Каникулярный период в школах Италии достаточно велик — четыре месяца летом (с 1 июня по 1 октября), 15*дневные рождественские и 5-дневные пасхальные каникулы.
Для тех, кто не успел по тем или иным причинам закончить среднюю школу первой ступени, имеется возможность продолжить обучение в вечерней средней школе. Вечерние средние школы имеются двух типов— с трехлетним и с годичным сроками обучения. Профсоюзные организации добиваются, чтобы все вечерние школы были с годичным обучением, поскольку в них учатся уже взрослые люди, получившие в жизни достаточно большой запас общих сведений.
2. 	Содержание математической подготовки в элементарной школе
Как уже было сказано, в элементарной школе нет поурочной системы, преподаватель поочередно занимается различными предметами, иногда в течение весьма короткого времени. Математике отводится ежедневно около 1 часа.
В течение пяти лет обучения в элементарной школе учащиеся знакомятся с арифметикой и началами геометрии. Кроме того, на базе понятий целых и дробных чисел вводится понятие группы; учащихся знакомят с элементами теории множеств и операциями над множествами, конечно, на совершенно наивном уровне. В V классе вводятся символы е, с:, f|, U- Программа по арифметике предусматривает знакомство с целыми числами, четырьмя арифметическими действиями, десятичной системой счисления. Учащиеся получают представление о делимости чисел и о признаках делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Рассматриваются системы счисления с различными основаниями, в частности двоичная система счисления. Учащиеся знакомятся с простыми и десятичными дробями. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого числа примеров, в том числе практического содержания. От учеников требуется отчетливое знание материала и свободное оперирование с целыми числами. В дополнение излагаются .системы мер длины, веса, времени, объема сыпучих и жидких тел (литр).
Курс геометрии в начальной школе носит наглядный характер, упорядочивающий и расширяющий уже име¬


ющиеся первичные представления. Учащиеся знакомятся с понятиями линии, геометрической фигуры — треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, многоугольника. При изложении постоянно используются примеры практического характера. При знакомстве с понятием множества привлекаются полученные геометрические сведения. В частности, рассматриваются соотношения между множествами всех квадратов, прямоугольников, параллелограммов, трапеций. Для наглядности используются диаграммы Эйлера — Венна. Понятия длины и площади вводятся интуитивно и первоначально только для прямолинейных фигур. Вводится понятие угла и дается представление об его измерении. В заключение учащимся дается представление об окружности и ее длине, круге и его площади.
В итальянской школе нет стабильных учебников по математике. Имеется большой выбор книг различных авторов, каждую из которых может, в зависимости от своих склонностей, рекомендовать учитель. Основное содержание всех этих учебников одно и то же и диктуется обязательной программой, но в деталях, методическом подходе, дополнительном материале они различаются.
3. 	Содержание математического образования в средней школе
В 1962 г. демократические силы одержали серьезную победу, добившись закона об единой программе обучения в средней школе и обязательном среднем образовании детей от 6 до 14 лет. Теперь все учащиеся обучаются по единой программе, в ее математическую часть входят арифметика, алгебра и геометрия.
В I классе средней школы систематизируются и пополняются знания арифметики. Особое внимание обращается на действия с простыми и десятичными дробями. В процессе обучения учащиеся должны решить большое число примеров, в том числе и практического содержания. При рассмотрении конкретных примеров вводятся отрицательные числа, целые и дробные. Учащиеся приобретают опыт оперирования с отрицательными числами.
Алгебраические сведения ограничиваются ознакомлением с буквенными обозначениями, производством операций с одночленами и многочленами, решением уравнений первой степени. В программу алгебры входит также знакомство с декартовой системой координат, графиками прямой и обратной пропорциональности, уравнениями параболы, кубической параболы, окружности. Изучение графиков увязывается с материалом, проходимым на уроках физики.
Геометрия с I класса изучается как дедуктивная наука: учащиеся знакомятся с математическими доказательствами, получают представление о полноте логических рассуждений, доказывают основные теоремы планиметрии, вычисляют площади фигур на плоскости, изучают простейшие пространственные тела — параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, вычисляют их объемы и поверхности.
Как и в советской школе, преподаватели проводят систематический текущий учет успеваемости учащихся. После окончания школы все учащиеся держат устный экзамен за все три года обучения, на котором предлагаются вопросы теоретического характера, и письменный экзамен, на котором предлагаются задачи стандартного характера.
Если учащиеся плохо успевали по тому или иному предмету, в октябре они держат переэкзаменовку. В случае неудачи на переэкзаменовке учащийся остается на повторный год.
В последние годы оживилась работа по исследованию возможности модернизации математического образования в средней школе. Рядом исследователей проведены экспериментальные работы с учащимися различных классов, изучены психологические возможности усвоения школьниками нетрадиционного материала. Большое внимание уделено также методическим аспектам преподавания, развитию активности учащихся. Появились экспериментальные учебники, проводящие различные методические концепции. Изложение результатов опытов опубликовано в педагогических журналах, а также в виде специальных монографий. Мы познакомим читателей с содержанием одного из таких учебников, созданного известным итальянским педагогом, принимающим активное участие в международном движении по модернизации математического образования, Эммой Кастельнуово.
4. 	Содержание экспериментальных учебников
Э. 	Кастельнуово 2
Учебник Э. Кастельнуово вышел в двух частях «Числа» и «Геометрия». Приведем содержание каждой из книг.
Содержание книги «Числа»:
Глава 1. В мире чисел и меры.
Глава 2. Большие и малые числа. Степени.
Глава 3. Множество натуральных чисел.
Глава 4. Новая операция: возведение в степень.
Глава 5. Операции. (Четыре действия арифметики;^ вращение Квадрата около центра; свойства опера¬
ций — ассоциативность и дистрибутивность; неравенства и уравнения.)
Глава 6. Законы мышления (логика высказываний, операции над множествами, электрические цепи).
Глава 7. Умножение и множители (условия делимости, простые множители, общее наименьшее кратное, общий наибольший делитель).
Глава 8. Множество относительных целых чисел (структура целых чисел, числа как знаки, квадраты и кубы чисел, квадратичная и кубическая параболы, структура группы, равенства и уравнения, неравенства, абсолютная величина числа).
Глава 9. Множество рациональных чисел.
Глава 10. Отношения и пропорции.
Глава И. Множество действительных чисел (иррациональные числа, операция извлечения корня, квадратные корни).
Глава 12. Уравнения (первой степени).
Глава 13. Эмпирические явления и математические законы (эмпирические графики, величины пропорциональные и обратно пропорциональные, параболическая зависимость; поверхность, объем, смысл вероятности, взгляд в будущее через математику).
Глава 14. Число и сущность математики.
Упражнения (эта часть книги занимает почти 200 страниц).
Приложения. Сборник таблиц: простые числа до 5000, квадраты, кубы, квадратные и кубичные корни (от 1 до 1000). Таблицы не вплетены в книгу, и поэтому ими легко пользоваться.
Содержание книги «гГеометрия»:
Часть I. Планиметрия.
Глава 1. Построение многоугольников (треугольников, четырехугольников, многоугольников).
2 Emma Castelnuovo. La via della matematica. 1. J numeri. VIII + 504 + 15 с. таблиц. Цена 2850 лир.
2. 	La geometria. XVIII + 482 + 32, цветные вклейки. Цена 2850 лир. Изд. La Nuova Italia, 1974.


Глава 2. Симметрия (симметрия в природе, симметрия в искусстве).
Глава 3. Эквивалентность (площадь и периметр).
Глава 4. Теорема Пифагора.
Глава 5. Равенства (угол, сумма углов треугольника).
Глава 6. Подобие.
Глава 7. Круг.
Глава 8. Геометрические преобразования. (Пространство, освещенное лучами солнца. Пространство, освещенное точечным источником искусственного света. Пространство движений.)
Глава 9. Плоское «отражение чисел и уравнений» (элементы аналитической геометрии).
Глава 10. Геометрические преобразования с аналитической точки зрения (аффинные, подобие, осевая симметрия, структурное тождество).
Часть И. Геометрия тел.
Глава 11. Многогранники.
Глава 12. Прямые и плоскости в пространстве. Правильные многогранники.
Глава 13. Цилиндр. Конус. Шар. Плоские сечения конуса и цилиндра.
Размышления о курсе геометрии.
Упражнения.
В тексте и во вклейках приведено большое число репродукций архитектурных сооружений и снимков представителей фауны для иллюстрации геометрических понятий.
Следует отметить, что в книге Э. Кастельнуово имеется только описательная часть геометрии, но нет доказательств теорем и выводов формул. Так что в традиционном смысле слова эта книга не может считаться учебником. Скорее это книга для чтения. В обеих книгах имеются сведения по истории математики и о выдающихся событиях человеческой культуры, объясняется реальный смысл математических знаний, в том числе теорем, формул, аксиоматического метода. Автор обращает внимание читателей на социальные моменты в жизни общества. Так, на с. 222 книги «Числа» автор сообщает, что, по сведениям Юнеско, приблизительно из 1750 млн. взрослого населения (старше 15 лет) земного шара 700 млн. неграмотны. Поскольку эти данные приведены в упражнениях к главе 10, то автор добавляет, что отношение числа неграмотных к числу взрослых жителей Земли равно 2/5. На с. 228 сообщено, что скорость искусственных спутников Земли, запущенных СССР и США, составляет от 28 000 до 30 000 км/ч. Там же сказано, что первый искусственный спутник запушен Советским Союзом 4 октября 1957 г. На основе сведений о скорости космической станции «Восток», на которой впервые человек (Юрий Гагарин) поднялся в космос, построено несколько арифметических примеров.
Книги Э. Кастельнуово, несомненно, пользуются в Италии успехом. «Геометрия» была впервые издана в 1949 г. До 1974 г. она выдержала 5 изданий и 15 допечаток тиража. Книга «Числа» с 1962 по 1974 г. выдержала 4 издания и несколько допечаток. Опыт книг Кастельнуово показывает, как назрела необходимость издания помимо учебников по математике книг для чтения в плане программы, связывающих учебный материал с жизнью, с практикой, с историей науки и человечества и с современной жизнью.
5. 	Математическое образование в средних школах второй ступени
Как мы уже говорили, после трехлетней средней школы можно продолжать образование в различного типа средних школах второй ступени (Scuola media su- periore). Содержание математического образования в них существенно зависит от направления специализации шко¬
лы. Перечислим вкратце основные учебные заведения второй ступени и укажем принятую в них программу.
Классические лицеи. Этот тип школы имеет гуманитарную направленность обучения и поэтому математика в нем имеет лишь вспомогательное значение. Содержание программы сравнительно невелико и включает в себя следующие разделы: 1) систематический
курс алгебры, включая уравнения и системы уравнений второй степени, 2) комплексные числа, 3) полный курс геометрии Евклида в классическом изложении, 4) плоскую тригонометрию, 5) элементы аналитической геометрии с изучением наиболее простых функций.
Научные лицеи. В них стремятся дать естественнонаучное образование. Математике отводится значительное место.
В первые два года изучается полный курс классической алгебры и курс евклидовой геометрии также в классическом изложении.
С третьего по пятый год изучаются уравнения параболы, эллипса, гиперболы; основы анализа — последовательности, пределы, производная, интеграл, простейшие функции; плоская тригонометрия, включая изучение тригонометрических функций и тригонометрических уравнений. Изучение теории сопровождается решением большого числа упражнений, в том числе и практического характера.
Индустриальные техникумы. Программа по математике почти совпадает с программой научных лицеев, но изложению придается более специальный характер, направленный на соответствующую область техники.
Торговые и финансовые техникумы. Программа по математике примерно такая же, как в научных лицеях, но изложение менее строгое, с выходами в коммерческие вопросы и проблемы организации производства. В качестве особых курсов излагаются финансовая математика и элементы математической статистики. В ряде техникумов этого типа введены элементы программирования для ЭВМ.
Педагогические техни кумы. Программа обучения математике здесь не велика и включает стандартный курс евклидовой геометрии и алгебру до уравнений первой степени (включительно). В последний год обучения учащиеся проходят практику в элементарных школах.
Имеются еще особые технические институты для молодых женщин (Istituto tecnico feminale), в которых получают квалификацию по женским специальностям, в том числе и воспитательниц детских садов.
После обучения в каждом учебном заведении типа лицея сдается государственный экзамен, в который обязательно включается математика.
Подготовка преподавателей для средней школы. Преподаватели для средних школ подготовляются на математических отделениях естественнонаучных факультетов и в Педагогическом институте в г. Генуе. Всего в Италии 27 университетов. Старейшие из них: в Болонье (основан в 1158 г.), в Виченце (основан в 1205 г.), в Ареццо (основан в 1215 г.), в Падуе (основан в 1222 г.), в Неаполе (основан в 1224 г.), в Риме (основан в 1303г.), в Перудже (основан в 1308г.), во Флоренции (основан в 1349 г.)
Математические отделения университетов разделяются на три далеко не одинаковые по числу студентов части: педагогическая (с максимальным числом студентов), теоретическая, прикладная.
6. 	Несколько слов об экспериментировании
В последние годы итальянские педагоги и университетские математики проводят широкие экспериментальные исследования как в отношении методики преподавания, так и в отношении содержания математического
92


образования. Все чаще выдвигаются требования приближения обучения к нуждам реальной жизни. Демократические круги рассматривают школу как важную социальную структуру, формирующую молодежь, ее знания и умения для участия в предстоящей работе для общества. Эти требования тесно связаны с приближением программы обучения к современному состоянию науки и совершенствованием методики изложения. Сейчас все чаще раздаются голоса, требующие продлить обязательное обучение еще на два года, расширить экспериментирование в отношении методов обучения и его содержания, а также ввести большее разнообразие направлений обучения в эти последние, пока еще не обязательные, два года. Что касается математического образования в школе, то имеется стремление сделать его более актуальным, для чего предлагают ввести новые главы математики.
В школьные учебники и книги для чтения все более и более вводится информация об истории математики
и об ее связях с другими областями науки и практической деятельности.
Сейчас идут серьезные дебаты вокруг вопроса о введении в школьную программу элементов программирования для ЭВМ. В ряде школ в качестве эксперимента это проводится в жизнь. В небольшом числе школ имеются собственные вычислительные машины, и учащиеся знакомятся с принципами работы на них.
Довольно большое число преподавателей и исследователей работают над вопросами использования в школе технических средств обучения, в частности телевидения. В некоторых, наиболее передовых школах имеются специально оборудованные классы. По техническим средствам обучения проводятся специальные конференции, устраиваются специальные выставки. В 1975 г. на выставке, проходившей в Болонье, итальянские и зарубежные фирмы демонстрировали многочисленные экспонаты— от простейших кубиков до электронных систем управления учебным процессом.
Математический календарь на 1976/77 учебный год
Ноябрь
2 ноября —150 лет со дня рождения английского математика, члена Лондонского Королевского общества Генри Джона Стефана Смита (1826—1883). Смит родился в Дублине, был профессором геометрии Оксфордского университета. Он является автором многих научных трудов и учебников по геометрии, алгебре, теории чисел и теории множеств. Особый интерес представляют его работы по теории множеств, в частности он четко сформулировал определение интеграла Римана, доказал признаки интегрируемости по Риману, ввел верхний и нижний интегралы, которые позже были названы верхним и нижним интегралами Дарбу, дал доказательство их существования (см.: Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX в. М., 1965).
16 ноября — 90 лет со дня рождения Марселя Риса (1886— 1969). М. Рис с 1911 г. жил и работал в Швеции, вначале в Стокгольмском, а с 1927 г. в Лундском университетах. Его первые работы относятся к рядам Фурье, рядам Дирихле, расходящимся рядам и неравенствам. С 1933 г. он работал
над вопросами применения интегрирования дробного порядка к решению уравнений математической физики (см.: «Успехи математических
наук», 1950, 5, №5; Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 2. М., 1959).
19 ноября — 75 лет со дня рождения советского математика, Нины Карловны Бари (см.: «Математика в школе», 1965, №2).
Декабрь
3 декабря — 75 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН ГССР, заслуженного деятеля науки ГССР Левана Петровича Г о к и е л и (1901—1976). Гокиели родился в Кутаиси, окончил Тбилисский университет (1924), доктор физико-матема- тических наук (1935), профессор (1936). С 1925 г. работал в Тбилисском университете, с 1935 г. — также в АН ГССР. Работы Л. П. Гокиели посвящены истории и философии математики. Известны его работы: «Математические рукописи К. Маркса» (Тбилиси, 1947), «О понятии числа» (Тбилиси, 1951) и др. (см.: История отечественной математики, т. 3—4. Киев, 1968—1970),
19 декабря — 70 лет со дня рождения советского математика, академика АН АрмССР Арташеса Ли- паритовича Ша гин я на (см.: «Математика в школе», 1966, №5).
29 декабря — 80 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН УССР Вадима Евгеньевича Дьяченко (см.: «Математика в школе», 1971, № 5).
31 декабря — 80 лет со дня рождения немецкого математик Карла Людвига Зигеля. Он родился в Берлине. В 1922—1958 гг. работал во Франкфурте-на-Мзйне, Г еттингене и Принстоне (США). Зигель провел глубокие исследования в аналитической теории чисел (трансцендентные числа, квадратичные формы) и теории функций. С его именем в теории чисел связаны метод Зигеля, теорема Зигеля, Зигеля нуль. Работал также над проблемой трех тел в механике. На русский язык переведены его сочинения: «Автоморфные функции нескольких комплексных переменных» (М., 1954); «Лекции по небесной механике» (М., 1959) и др. (см.: БСЭ, Изд. 3-е).
Д. И. Бородин
(г. Донец:'}


КРИТИКА В БИБЛИОГРАФИЯ
Е. С. Вентцель
(Москва)
ШКОЛЬНИКАМ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ *
Теория вероятностей — наука, изучающая закономерности в случайных явлениях — занимает особое место в семье математических наук. Для нее характерны особая, специфическая методология, особый подход к явлениям, особый характер утверждений и предсказаний. Для того чтобы не формально, а по существу овладеть методами теории вероятностей, необходимо специальное воспитание, своего рода перестройка мышления. Не секрет, что многие профессиональные математики (будучи даже крупными специалистами в своей области) совершенно не владеют вероятностным мышлением и испытывают серьезные трудности, сталкиваясь с непривычным для них миром случайных явлений, с его «зыбкостью и неуловимостью», со спецификой вероятностных суждений и прогнозов.
Вместе с тем роль теории вероятностей как прикладной математической науки за последние десятилетия резко возросла и продолжает расти. Наука о случае, широко распространяясь, завоевывает все новые
1 Б. А. Кордемский. Математика изучает случайности. М., «Просвещение», 1975.
94
знаний
IV
изуча
Б-А-КОРДЕМСКИЙ
1атематик ет случай
\
- г
Ч 1
а
ности
и новые области применения,. Физика, химия, астрономия, биология, экономика, медицина, даже лингвистика и литературоведение — все эти науки широко пользуются методами теории вероятностей и математической статистики. Особую роль эти методы приобретают в нашу эпоху научно-технической революции, когда на первый план выдвигаются проблемы оптимального управления сложными системами, объединяющими в себе массивы технических устройств, человеческие коллективы, средства управления и контроля. Функционирование всех таких систем неизбежно связано с наличием случайных (непредсказуемых) воздействий и факторов, сложным образом переплетающихся между собой. Просто отбросить их из рассмотрения не удается, так как они представляют собой органическую часть явления и самым существенным образом влияют на его ход.
В наше время никакая область целенаправленной человеческой деятельности не может быть правильно организована без учета сопутствующих ей случайных факторов. Теория вероятностей учит нас предсказывать и принимать разумные решения, несмотря на кажущуюся «хаотичность» изучаемого явления; без знания теории вероятностей, без активного владения ее средствами и методологией это было бы невозможно.
Добавим ко всему сказанному еще одно соображение. Проблема автоматизации управления — одна из кардинальнейших проблем нашей эпохи, — требует оперирования с большими массивами всевозможной информации. Всю эту информацию необходимо собирать, обрабатывать, перерабатывать, хранить и передавать по линиям связи наиболее разумными, экономичными методами. Решение таких задач также требует свободного владения аппаратом теории вероятностей и математической статистики.
Теоретико-вероятностный подход к явлениям окружающего мира, умение разбираться в кажущемся хаосе случайностей и отыскивать в нем устойчивые законы требуют особого математического воспитания, привычки к понятиям и проблематике случайного.
Опыт преподавания в вузах показывает, что теория вероятностей с ее прикладными разделами — математической статистикой, теорией информации, теорией массового обслуживания и т. д. — представляет серьезные трудности для студентов. Здесь сказывается некая инерция мышления, непривычка к особому образу мыслей, специфичному для вероятностных задач. Наибольшую трудность для студентов представляет не математический аппарат (ои-то как раз в большинстве случаев несложен), а постановка вероятностных задач на жизненном материале. Умению ставить такие задачи и решать их средствами теории вероятностей очень трудно научить в те короткие сроки, которые отводятся для этого вузовской программой (это почти то же, что усвоить иностранный язык за несколько дней).
А необходимость в таком умении огромна. В многочисленных спорах вокруг программ по математике в вузах все сходятся в одном: необходимо усилить вероятностную подготовку студентов! В настоящее время теория вероятностей и математическая статистика включены как обязательные в программу всех без исключения втузов, а также экономических, сельскохозяйственных, биологических и других факультетов и высших учебных заведений. Однако ознакомление студентов с этим циклом наук, с этим видом мышления, как уже указывалось выше, встречает ряд трудностей как методического, так и психологического характера. Студенты, до сих пор встречавшиеся только со строго детерминистическим описанием и анализом явлений, плохо* воспринимают новый для них вероятностный подход.
Одним из возможных выходов из создавшегося положения может явиться более раннее, чем сейчас, озна¬


комление с данным кругом идей, формирование «привычки к случайному» еще на школьной скамье.
В настоящее время идет активный процесс перестройки школьного математического образования. Как всякий процесс радикальной перестройки, он не обходится без отдельных просчетов и неудач, но в целом его направление надо признать разумным. Раннее введение алгебраической символики, ознакомление учащихся с понятием множества, изучение в старших классах элементов математического анализа — все это можно только приветствовать. Чем раньше познакомится ученик с методом координат, понятиями функции, производной, интеграла, тем лучше, тем органичнее врастут эти понятия в его сознание. Разумеется, для этого нужно, чтобы ознакомление с ними проводилось не на формально-логическом, а на наглядном уровне.
В круг тех понятий, раннее ознакомление с которыми, безусловно, полезно школьнику и будущему студенту, следовало бы включить и основные понятия теории вероятностей (случайное событие, вероятность, частота, основные правила вычисления вероятностей и т. д.). Все эти понятия при разумном (неформальном) изложении, несомненно, доступны школьнику, обладают эмоциональной привлекательностью, расширяют его кругозор, не требуя сложного аппарата, — одним словом, представляют собой благодарнейший материал для изложения в средней школе. Но, к сожалению, реформа школьного математического образования остановилась перед этим естественным шагом. До сих пор еще элементы теории вероятностей, которые «так и просятся» в школьную программу, остаются практически за ее пределами. Надо надеяться, что в будущем и теория вероятностей найдет свое место в школьном курсе. Пока этого еще нет, крайне полезно ознакомление школьников с элементами теории вероятностей хотя бы в порядке самообразования или (еще лучше) в системе школьных математических кружков. Возможно, было бы целесообразным включение несложных задач по теории вероятностей в программу математических олимпиад — это стимулировало бы интерес к предмету.
Для всего этого в первую очередь необходимо наличие соответствующих пособий, написанных на доступном для школьника уровне и притом живо и занимательно. Этим требованиям вполне удовлетворяет книга Б. А. Кордемского «Математика изучает случайности».
Пособие читается как своеобразная «серия новелл» на тему о случайности и ее законах. Автор в непринужденной, увлекательной форме знакомит юного читателя с основными идеями, принципами, правилами и методами теории вероятностей. В книге удачно сочетаются занимательность изложения с серьезностью содержания, доступность — с должной (не чрезмерной!) математической строгостью.
Нередко авторы аналогичных пособий, пытаясь излагать серьезные и сложные вещи в упрощенной, «забавной» форме, впадают в вульгаризацию (этим грехом особенно заражены зарубежные, в частности американские, пособия, где содержание тонет во множестве «оживляющих» подробностей). Такой опасности Б. А. Кордемский счастливо избежал. Его книга, будучи занимательной, даже шутливой, сохраняет высокое достоинство точного знания, приближаясь этим к лучшим образцам научно-популярного жанра.
Большим достоинством книги Б. А. Кордемского является то, что она разнообразными способами вовлекает читателя в размышление, в активную умственную работу. Ему не предлагается набивать руку на решении так называемых типовых задач. У Кордемского каждая новая задача — новое приключение, новое размышление. Это глубоко правильно, ибо в жизни крайне редко встречаются «типовые задачи», и уча¬
щегося надо приучать не к стандарту, а к разнообразию.
Отметим еще один удачный методический прием: автор часто предлагает читателю «проверить свою интуицию», т. е. ответить на вопрос без вычислений, на глазок. Например, оценить и сравнить между собой вероятности тех или других событий: какое из них более, какое менее вероятно, какое совсем маловероятно. К сожалению, такой педагогический прием — призыв к интуиции учащегося — редко применяется в стандартных курсах математики. Напротив, как правило, учащихся старательно приучают «выключать» свою интуицию, не доверять ей, базироваться только на точном знании, почерпнутом из целой цепочки преобразований, За формальной стороной этих преобразований нередко теряется здравый смысл — способность человека оценивать ситуацию в целом, без подробностей и выносить правильное решение. Именно этой своей способностью человек выгодно отличается от машины, даже самой современной и совершенной.
Не ограничиваясь простейшими традиционными задачами теории вероятностей, где речь идет о бросании монет, игральных костей и т. д., Б. А, Кордемский знакомит читателя с гораздо более серьезными вопросами (проблемой случайного блуждания, броуновского движения, моделированием случайных процессов методом Монте-Карло, поисками алгоритмически организованного, оптимального поведения в ситуации, содержащей случайные элементы). Вся книга написана в стиле непринужденной беседы; автор не возвышается над читателем неприступным авторитетом, а все время как бы советуется с ним: «А вы как думаете?»
Особый интерес в книге представляют частые экскурсы в область истории науки (а история формирования теории вероятностей как раз очень поучительна и своеобразна). Попутно устанавливаются связи между вероятностными задачами и проблемами других областей науки (в том числе с великой теоремой Ферма — этой математической загадкой).
Книга изобилует забавно-поучительными, живо описанными и истолкованными примерами (например, об Али-Бабе, входящем в пещеру только при определенном положении сельдей в бочке; о букашке, попадающей в ловушку; о термите, прогрызающем себе дорогу в деревянном кубе и т. п.). Названия ряда главок носят интригующий, завлекательный характер: «Быть или не быть частице в круге?», «Дерево с числами на ветвях», «Наилучшая стратегия игры» и т. п. Автор заинтересовывает, привлекает внимание юного читателя, не выходя, как правило, за пределы чувства меры и такта.
Все это дает основание ожидать, что хорошо задуманная и интересно написанная книга Б. А. Кордемского окажется очень полезной не только школьникам, желающим самостоятельно изучать теорию вероятностей, но и учителям, подбирающим материалы для школьных кружков. Кстати, некоторые примеры, имеющиеся в книге, отнюдь не тривиальны и дадут пищу для размышления.
Книга, как и всякая другая, не свободна от недостатков. Укажем некоторые из них.
На мой взгляд, говоря о случайности, автор иной раз впадает в излишне мистическую фразеологию, например; «это сокровенная тайна случая, ее знать никому не дано» (с. 23), «за кулисами своенравного случая» (с. 53) и ряд аналогичных мест. Здесь, как мне кажется, автор в погоне за увлекательностью чуть-чуть потерял чувство меры. Пожалуй, лучше было бы, говоря о случайности, взять более простой, деловой тон, подчеркивая как раз предсказуемость (в известных пределах) результатов массовых случайных
95


явлении, заставляя читателя самостоятельно делать предсказания и проверять их на опыте.
Другое замечание: вводя пространство элементарных событий для опытов, обладающих симметрией возможных исходов (равновероятные элементарные события), автор, на мой взгляд, слишком подчеркивает значение этой схемы, не оговаривая, что в подавляющем большинстве реальных задач она неприменима. Создается впечатление, что он солидаризуется с «принципом недостаточного основания» Лапласа («если мы ничего не знаем о вероятностях элементарных событий, нужно считать их равновероятными»). Этот методический недостаток сказывается и в неаккуратной постановке отдельных задач, например о выключателях, каждый из которых «случайно» может быть включен или нет (не оговаривается, что с вероятностью 1/2).
Не везде удачны обозначения, в частности параллельное применение знаков U и + Для объединения (суммы) событий, знаков П и • для их пересечения (произведения). Книга легче читалась бы начинающими, если бы автор выбрал что-нибудь одно (оговорив вначале, что возможны и другие термины, обозначения).
Некоторые замечания могут быть сделаны по отбору материала для книги. Желательно было бы включить в нее такие вопросы, как формула полной вероятности, формула Бейеса, задачи на оценку надежности технических устройств. Очень украсило бы книгу включение в нее простейших понятий теории информации, вопросов кодирования и декодирования сообщений — все это может быть изложено доступно, эффектно и увлекательно, в духе основного содержания книги. Разумеется, нельзя включить указанный материал без увеличения объема книги — если бы оно по какой-либо причине оказалось невозможным, можно было бы пожертвовать кое-чем менее важным. В частности, слабее всего в книге Б. А. Кордемского выглядят вопросы математической статистики, скажем, построение доверительного интервала по Стьюденту (в то время как не включены куда более важные вопросы оценки вероятности по частоте, оценки значимости расхождений между двумя частотами, двумя средними и т. д.). Выпадает из общего тона книги и вся глава 6 («Дополнения»), которой, в крайнем случае, можно было бы и пожертвовать.
Все эхи замечания не ставят под сомнение общую высокую оценку книги и высказываются здесь главным образом, имея в виду ее возможное (и желательное) переиздание. В целом книга Б. А. Кордемского «Математика изучает случайности» представляет собой хороший образец научно-популярной литературы, специально рассчитанной на юного читателя, не потерявшего заряда любознательности и готового к восприятию новых идей. Она, безусловно, будет способствовать повышению математической культуры в школе и поможет преподавателям ознакомить учащихся с теорией вероятностей — одним из мощных средств изучения закономерностей природы.
Е. И. Олерский
(г. Тамбов)
СЛОВО УЧИТЕЛЯ О КНИГЕ «МАТЕМАТИКА ИЗУЧАЕТ СЛУЧАЙНОСТИ»
В школьной программе пока нет элементов теории вероятностей. Правда, эти элементы встречаются в некоторых пособиях для внеклассной работы, но выбор этих пособий весьма ограничен.
Теория вероятностей является основой математической статистики. Она широко используется в ядерной физике, астрономии, термодинамике, баллистике, теории связи, биологии и многих других науках. На теорию вероятностей опираются новые, недавно возникшие области математики — теория информации, теория игр, теория надежности, теория массового обслуживания.
Б. А. Кордемский, автор книги «Математика изучает случайности», поставил перед собой цель — помочь учителям и школьникам овладеть первоначальными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики. Думается, что этой пели он достиг.
Для лучшего усвоения материала, который предлагается автором, книгу необходимо читать с карандашом в руке и с тетрадью на столе.
Книга вполне доступна школьникам старших классов. Она написана живо, образно, увлекательно.
ХРОНИКА
КОНФЕРЕНЦИЯ В ЭЛИСТЕ
Научно-практическая конференция по проблеме «Метод укрупнения дидактических единиц в обучении» состоялась 12—14 мая 1976 г.
На конференции было обсуждено более 20 докладов, авторами которых были В. Т. Ковешников (Ворошиловград), Г. Г. Репникова (г. Ставрополь), А. И. Крупен* ников (г. Ставрополь), 3. А. Макоев (г. Орджоникидзе), Л. И. Балашова (г. Коломна), А. Г. Глущенко (г. Сла- вянск), В. И. Турукин (г. Сызрань), Р. Б. Басангова (г. Элиста), В. Т. Андрианов (Павлодар), П. А. Калика (г. Баку) и другие.
Работа конференции началась с посещения и обсуждения уроков математики, проведенных в 1—VI классах
96
учителями г. Элисты, работающими по экспериментальным учебным пособиям, составленным доктором педагогических наук профессором П. М. Эрдниевым.
Участниками конференции был заслушан основной доклад П. М. Эрдниева на тему «Итоги и перспективы исследования проблемы обучения методом укрупнения дидактических единиц».
В работе конференции принял участие доктор физико-математических наук профессор Б. Л. Рождественский (МИФИ).
На конференции было решено организовать в 1980 г. следующую встречу исследователей, разрабатывающих проблему укрупнения учебной информации.
Р. Б. Басангова (г. Элиста)


В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА (Год двадцать восьмой)
На заседании 18 сентября 1975 г. В. В. Щенников рассказал о преподавании элементов программирования в средней школе.
16 октября 1975 г. Р. С. Черкасов посвятил свое выступление методической подготовке будущих учителей математики (по материалам Всесоюзной научно-мето- дической конференции в Могилеве).
20 ноября 1975 г. А. Н. Колмогоров рассказал об итогах десятилетней работы по обновлению содержания школьного математического образования.
18 декабря 1975 г. 3. А. Скопец посвятил свое выступление векторным решениям геометрических задач.
15 января 1976 г. секция средней школы ММ О провела заседание совместно с научно-методическим семинаром АПН «Основные проблемы преподавания математики в средней школе», работающего под руководством А. И. Маркушевича и Б. В. Гнеденко. Был обсужден доклад Н. Я. Виленкина «Реформа преподавания математики в начальной школе».
150-летнему юбилею открытия неевклидовой геометрии был посвящен доклад Н. М. Бескина 19 февраля 1976 г.
18 марта 1976 г. Л. Ю. Березина рассказала о применении графов в преподавании математики.
15 апреля 1976 г. были рассмотрены планы издания математической литературы для учителей и школьников. Докладывали Б. В. Гнеденко («Знание»), Н. А. Са- бецкий («Мир»).
20 мая 1976 г. И. М. Яглом рассказал о некоторых характерных для нашего времени направлениях геометрии. В докладе «Точки, прямые, плоскости» были рассмотрены некоторые факты и идеи «конечной» геометрии.
На этом же заседании выступление А. В. Архангельского было посвящено 80-летнему юбилею П. С. Александрова. Он отметил достижения юбиляра в области топологии и его интерес к вопросам преподавания математики в средней школе.
И. Г. Зенкевич посвятил свое выступление памяти И. Я. Депмана в связи с 90-летием со дня его рождения.
На заседании 17 июня 1976 г. обсуждались итоги Всесоюзной математической олимпиады школьников (Душанбе, апрель 1976 г.). Заседание вели руководители московской делегации А. П. Савин и А. Г. Кушне- ренко.
А. Я. Маргулис (Москва)