РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ВОЛН
В ТУРБУЛЕНТНОЙ
АТМОСФЕРЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

АННОТАЦИЯ
Турбулентная среда, в частности атмосфера,
представляет собой оптически неоднородную
среду, в которой показатель преломления ис-
испытывает беспорядочные флуктуации. При рас-
распространении электромагнитных и звуковых
волн через пеоднородпую среду имеют место та-
такие эффекты, как рассеяние волн, возникповение
флуктуации амплитуды, направления распро-
распространения п других параметров волны. Многие
из этпх эффектов оказываются существенными
для ряда практических задач, связанных с рас-
распространением ультракоротких радиоволн и
света через атмосферу.
Книга посвящена изложению теории рас-
пространепия волн в среде со случайными нс-
однородностями показателя преломления, а
также анализу экспериментальных дапных по
распрострапешт радиоволн, света п звука в
атмосфере. Она предназначена для радиофпзн-
ков, занимающихся проблемой распространения
радиоволн и света, и для геофизиков, занимаю-
занимающихся физикой атмосферы. Книга может ока-
оказаться полезной и для физиков-теоретиков, инте-
интересующихся приложениями методов кваитовон
теории поля к задачам классической физики.
Валерьян Ильич Татарский
Распростравение волн в турбулентной атмосфере
М., 1967 г., 548 стр. с влл.
Редакторы D. В. Шмидт, Л. И. Гладнсва
Техя, редактор К. Ф. БруОмо	Корректор С. II. Емельянова
Сдано в набор 7/Х 1966 г.	Подписано к печати 6/Ш 1967 г.	Бумага 60хЯО (О.
Фаз. печ. Л. 34,25.	Условн. иеч. л. 34,2").	Уч.-изд. л. 30,64.
Тираж 3250 экз.	Т 01809.	Цена книги 2 р. 13 к.	Заказ 1587.
Издательство «Наука>
Глаипап редакция фплико-ыатематической литературы
Москва. В 71, Ленинский проспект, 15
2-л типографии Издательства «Наука». Москва, Г-99. Шубинский пер. 10
2-9-7
U2-B6

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 6
Глава 1. Предварительные сведения по теории турбулентности . 9
А. Случайные поля
§ 1. Случайные функции		9
§ 2. Стациопарные случайные функции		13
§ 3. Случайные функции со стационарными приращениями .	25
§ 4. Однородпыс и изотропные случайные поля		36
§ 5. Локально однородные и изотропные случайные поля . .	40
§ G. Пространственно-временные случайные поля		50
§ 7. Локально однородные поля с плавпо меняющимися средними
характеристиками		53
§ 8. Векторные случайные ноля		56
Б. Микроструктура турбулентного потока
§ 9. Структурные и спектральные функции поля скоростей в
турбулгптном потоке	 67
§ 10. Диссипация энергии в турбулентном потоке	 69
§ 11. Уравнение Колмогорова	 71
§ 12. Структура мелкомасштабной турбулентности при очень
больших числах Рейнольдса	 73
§ 13. Микроструктура температурного ноля и турбулентном по-
потоке 	 84
§ 14. Связь характеристик микроструктуры полей скорости и
температуры с характеристиками усредненных полей . 94
§ 15. Микроструктура коэффициента преломления в турбулент-
турбулентном потоке	 103
§ 16. Турбулентность в приземном слое атмосферы	 106
§ 17. Влияние сил плавучести на микроструктуру полей ско-
скорости и температуры	 114
В., Экспериментальные данные о турбулентности атмосферы
§ 18. Измерения пространственных структурных функций ско-
скорости ветра и темцературы в приземпом слое атмосферы 117
§ 19. Аппаратура для измерений турбулентных флуктуации
скорости ветра и темцературы в атмосфере	 119
§_ 20. Связь временной и пространственной структур турбулент-
турбулентности (гипотеза «замороженносги»)	 121
% 21. Измерения спектра поля скоростей в инерционном и
вязком интервалах	 124
§ 22. Микроструктура полей скорости ветра и температуры в
приземном слое атмосферы	 130
§ 23. Структура турбулентности в нижней тропосфере .... 132

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 2. Рассеяние электромагнитных и звуковых волн в турбу-
турбулентной атмосфере	•	 139
А. Рассеяние электромагнитных волн
§ 24. Уравнения распространения волн		140
§ 25. Рассеянное поле		143
§ 2E. Средняя интенсивность рассеяния		145
§ 27. Качественная интерпретация рассеяпия		152
§ 28. Эффективный рассеивающий объем		157
§ 29. Частотный спектр рассеянного ноля		162
§ 30. Рассеяние импульса		177
§ 31. Корреляционные функции рассеянного ноля		182
§ 32. Законы распределения вероятностей рассеянного поля .	189
§ 33. Распространение ультракоротких радиоволн в тропосфере	193
Б. Рассеяние звука в турбулентной атмосфере
§ 34. Вывод уравнений распространения звука в турбулентной
атмосфере		198
§ 35. Эффективный поперечник рассеяния		202
§ 36. Эксперименты по рассеянию звука в турбулентной атмосфере	208
Глава 3. Распространение коротких электромагнитных и звуковых
волн в турбулентной атмосфере в пределах прямой видимости
Л. Геометрическая оптика
§ 37. Учет многократного рассеяния при распространении корот-
коротких волн в неоднородной среде	 213
§ 38. Вывод уравнений геометрической оптики	 222
§ 39. Решение уравнений геометрической оптики методом воз-
возмущений 	 227
§ 40. Флуктуации фазы, угла прихода и амплитуды плоской
волны	 232
§ 41. Флуктуации параметров сферической волны	248
§ 42. Флуктуации амплитуды и фазы волны, распространяю-
распространяющейся в локально изотропной турбулентной среде . . . 260
§ 43. Границы применимости первого приближения геометри-
геометрической оптики	 268
§ 44. Флуктуации параметров звуковой волны	 276
Б. Метод плавных возмущений
§ 413. Вывод основных уравнений метода плавных возмущений	280
§ 46. Флуктуации амплитуды и фазы плоской волны		290
§ 47. Структурные функции амплитуды и фазы в локально
изотропном турбулентном потоке		298
§ 48. Флуктуации фазы и амплитуды в локально однородной
турбулентной среде с плавно меняющимися средними ха-
характеристиками 		311
§ 49. Флуктуации амплитуды сферической волны		318
§ 50. Границы применимости первого приближения метода
плавных возмущений		326
§ 51. Сильные флуктуации амплитуды и фазы плоской моно-
монохроматической волны		333

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
Глава 4. Экспериментальные данные о распространении света,
радиоволн в звука в турбулентной атмосфере и их интерпре-
интерпретация •	• . . . • . . . . 355
A.	Некоторые приложения теории распространения волн в
турбулентной среде к задачам атмосферной оптики, акус-
акустики и радиометеорологии
§ 52. Частотные спектры флуктуации амплитуды и фазы волны	355
§ 53. Влияние усредняющего действия апертуры приемного
устройства на величину амплитудных флуктуации . .	370
§ 54. Мерцание источников с конечными угловыми размерами	378
§ 55. «Дрожание» изображений в фокальной плоскости теле-
телескопа		385
B.	Экспериментальные данные по распространению света, зву-
звука и радиоволн в тропосфере
§ 56. Распространение света в приземном слое атмосферы . .	393
§ 57. Распространение звука в приземном слое атмосферы . .	412
§ 58. Флуктуации диэлектрической проницаемости тропосфе-
тропосферы и распространение ультракоротких радиоволн . . .	426
§ 59. Мерцание и «дрожание» изображений звезд в телескопах	434
Глава 5. Исследование распространения волн в среде со случайными
неоднородностями методами квантовой теории поля	 449
А. Распространение волн в среде с сильными флуктуациями
§ 60. Анализ рядов теории возмущений	450
§ 61. Уравнения в вариационных производных для средней
функции Грина и корреляционной функции. Вершинная
функция	 465
§ 62. Распространение волн в среде с мелкомасштабными флук-
флуктуациями 	 480
§ 63. Корреляционная функция для случая мелкомасштабных
неоднородностей	 488
§ 64. Некоторые заключительные замечания	 497
Б. Сильные флуктуации амплитуды плоской волны, распрост-
распространяющейся в слабо неоднородной турбулентной среде в при-
приближении геометрической оптики
§ 65. Приближение малых углов	 498
§ 66. Вычисление среднего квадрата флуктуации логарифма
амплитуды	 504
Приложения:
I. Вариационные производные	 520
II. Некоторые часто употребляемые формулы	 529
Литература	 540

ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной теории распространения электромагнитных и
звуковых волн в атмосфере во многих случаях приходится при-
принимать во внимание турбулентность, вызывающую флуктуации
показателя преломления воздуха.
В некоторых случаях турбулентность атмосферы вызывает
флуктуации параметров распространяющихся через нее волн
(амплитуды, направления распространения, частоты, фазы и т. д.).
Эти эффекты являются источниками искажений и ошибок в систе-
системах связи, локации, радионавигации, системах управления. Осо-
Особенно сильны флуктуации параметров световых волн, что приобре-
приобретает сейчас особое значение п связи с развитием оптических кван-
квантовых генераторов.
В других случаях турбулентность выступает как источник
неоднородностей, вызывающих рассеяние радиоволн. Это явление
играет важную роль при дальнем распространении ультракорот-
ультракоротких радиоволн за горизонт, так как рассеянное поле может значи-
значительно превосходить поле, обусловленное дифракцией вокруг по-
поверхности Земли. По-видимому, в явлении дальнего тропосферного
распространения УКВ рассеяние на турбулентных флуктуациях
не является единственной причиной. Тем не менее подробное раз-
развитие теории этого явления и сопоставление ее выводов с экспери-
экспериментальными данными чрезвычайно существенны для выяснения
механизма дальнего тропосферного распространения (это замеча-
замечание относится, конечно, и к другим теориям, выдвигаемым для
объяснения дальнего распространения УКВ за горизонт).
Как теоретические, так и экспериментальные исследования
влияния турбулентности атмосферы на распространение радио-
радиоволн и звука получили большое развитие за последние два деся-
десятилетия, что связано как с развитием техники, так и с успехами
статистической теории турбулентности, способной количественно
объяснить наблюдаемые явления.

ПРЕДИСЛОВИЕ	7
р 1958-1959 гг. вышли в свет три монографии по этим вопро-
вопросам (Д. М. В ы с о к о в с к и й, Некоторые вопросы дальнего тро-
тропосферного распространения ультракоротких радиоволн, Изд-во
АН СССР, 1958; Л. А. Ч е р н о в, Распространение волн п среде
со случайными неоднородностями, Изд-no АН СССР, 1958; В. И. Т а-
т а р с к и й, Теория флуктуационных явлений при распростране-
распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд-во АН СССР, 1959).
В настоящее время количество работ по проблеме «волны и турбу-
турбулентность» продолжает расти как за счет расширения круга рас-
рассматриваемых прикладных задач, так и за счет работ, направлен-
направленных на уточнение принципиальных сторон теории.
В настоящей работе рассматриваются те же вопросы, что и п
монографии автора, вышедшей из печати в 1959 г. Однако здесь
материал изложен значительно подробнее, чем в первой книге.
Кроме того, рассмотрено значительное число новых задач, пред-
представляющих практический интерес.
Особое место занимает пятая глава, посвященная методам рас-
расчета флуктуации поля, выходящим за рамки теории возмущений.
Здесь находят применение математические методы, развитые в
квантовой теории поля,— диаграммная техника и уравнения в ва-
вариационных произлодных. Применение этих методов позволяет
в ряде случаев рассматривать аффекты, не поддающиеся расчету
при помощи той иди иной формы метода возмущений, например,
распространение волп в среде с сильными флуктуациями покааа-
теля преломления.
Большое внимание было уделено расчету сильных флуктуации
амплитуды волны. В настоящее время теорию этого явления
нельзя еще считать завершенной, но здесь уже получены некото-
некоторые обнадеживающие результаты, изложенные в конце третьей
и пятой глав.
Ряд вопросов, касающихся взаимодействия турбулентности
с распространяющимися через атмосферу волнами, пе затронут
в монографии. К ним в основном относятся такие задачи, где
взаимодействие турбулентности осложнено другими факторами:
наличием поверхностей раздела, атмосферных волноводов и т. п.
Книга разбита на главы, разделы и параграфы. Нумерация па-
параграфов проводится непрерывно (от § 1 до § 66). Нумерация

формул в каждом параграфе производится независимо, а при
ссылках на формулу другого параграфа вслед за номером форму-
формулы указывается номер параграфа (например, F.23) означает фор-
формулу F) из § 23).
В процессе работы над монографией автор пользовался сове-
советами А. М. Обухова, А. М. Яглома, А. С. Гурвича. При написании
ыятой главы большую пользу принесла автору помощь со стороны
Д. А. Киржница. Рукопись книги была просмотрена С. М. Рыто-
вым и Е. Л. Фейнбергом, которые высказали много полезных за-
замечаний. Очень большая работа была проделана редактором
книги В. В. Шмидтом, который проверил все многочисленные вы-
выкладки, содержащиеся в монографии. Всем этим лицам автор при-
приносит свою искреннюю признательность.
В. И. Татарский

Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
А. СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
Современная теория турбулентности является статистической
теорией. Описание турбулентного движения при помощи статисти-
статистических методов наиболее адекватно сущности этого процесса, по-
поскольку сама турбулентность является следствием неустойчивости
движения жидкости (или газа) по отношению к неизбежно воз-
возникающим малым флуктуациям. Для описания флуктуационных
явлений, возникающих при распространении звуковых и элект-
электромагнитных волн через турбулентную среду, также необходимо
использовать статистические методы. Математическая сторона
этого вопроса получила за последнее время достаточно широкое
развитие и изложена в ряде специальных работ А. Я. Хинчина,
А. М. Обухова, А. М. Яглома и других авторов (см., например,
[1—91). Однако, нам кажется полезным привести (без стро-
строгих доказательств) некоторые необходимые сведения из теории
случайных функций и полей.
§ 1. Случайные функции
Такие величины, как скорость ветра, температура, показа-
показатель преломления, в каждой точке турбулентной атмосферы ис-
испытывают нерегулярные флуктуации. На рис. 1 в качестве при-
примера приведена синхронная запись некоторых метеорологических
элементов, полученная при помощи малоинерционной аппарату-
аппаратуры. Мы видим, что значения скорости ветра и температуры испы-
испытывают беспорядочные флуктуации, которые различаются по
амплитуде и частоте и накладываются друг на друга хаотическим
образом. Для описания полей метеоэлементов в турбулентной
атмосфере применяется аппарат случайных функций. Понятие
•лучайной функции является обобщением понятия случайной вели-
величины. Например, дискретная случайная величина может прини-
принимать значения из некоторой совокупности чисел ?lt ?2, ... (сово-
(совокупность возможных реализаций ?) с различными вероятностями
Ри /^ ••• Аналогично этому мы говорим, что функция / (t) явля-
является случайной, если она с различными вероятностями может

10
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
совпадать с одпой из функций некоторой заданной сово-
совокупности /« (/) (совокупность возможных реализаций), где
а — совокупность параметров, пробегающих дискретный или
непрерывный ряд значений. Для того чтобы реально находить
вероятностные характеристики случайной функции, необходимо
иметь возможность многократного воспроизведения различных ее
реализаций.
Вертикплмая компонента
стрости v
Рис. 1. Образец синхронной записи температуры Т, скоро-
скорости ветра v и вертикальной компопепты скорости вотра
в ирпземном слое атмосферы.
Приведем дпа примера. 1) Пусть fx (t) = ехр (— at%), где а —
случайиая величина, равномерно распределенная в интервале
@, 1). Каждая из реализаций представляет собой гауссову
кривую, резко отличающуюся по своему виду от функций, изо-
изображенных на рис. 1, Тем не менее в рассматриваемом примере мы
имеем дело со случайной функцией. 2) Пусть совокупность воз-
возможных реализаций состоит из единственной функции, например,
одной из функций, изображенных на рис. 1. В этом случае при
проведении статистических испытаний мы будем получать всегда
одну и ту же функцию и придем к выводу, что она, несмотря на
свой сложный и «случайный» вид, в действительности является
не случайной, а детерминированной.
Приведенные примеры были специально подобраны для иллю-
иллюстрации того обстоятельства, что о случайном характере функции
нельзя, вообще говоря, судить по сложности изображающей ее
кривой. Совокупность возможных реализаций случайной функ-
функции, рассмотренная в примере 1, отличалась большой простотой,

§1]	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	11
так что для ое задания было достаточно одного параметра. Зна-
Значительно чаще приходится сталкиваться с более богатой совокуп-
совокупностью возможных реализаций, для описания которой необходимо
иметь очепь большое (а обычно бесконечное) число параметров.
При этом обычно вероятность получить достаточно гладкую функ-
функцию, подобную приведенной в примере 1, оказывается значи-
значительно меньшей, чем вероятность получения функции, имеющей
сложный вид, подобный кривым на рис. 1. С этим обстоятельством
и связапо распространенное представление о случайной функции
как о функции, имеющей вид, подобный изображенному на рис. 1.
В качестве параметров, определяющих совокупность возмож-
возможных реализаций случайной функции, можно, например, выбрать
коэффициенты разложения этих функций по пекоторой ортогональ-
ортогональной системе. Однако более распространенным является другой
способ описания, к наложению которого мы сейчас переходим.
Пусть / (t) — некоторая случайная функция времени. Ее зна-
значения в любой фиксированный момент tx могут быть различными в
соответствии с ее случайным характером. Таким образом, для
каждого момента времени tx должна быть задана плотность веро-
вероятности Ри (/х), определяющая вероятность события [ / (О — А | ^
Ptl(f1)dfl*).	A)
Зная Ptl (Д), мы можем находить статистические характеристики
функции / (<), относящиеся к моменту времени tXl например,
среднее значение (операция усреднения будет обозначаться при
помощи знака < >)
Pti{h)hdh	B)
—00
или дисперсию
?о
G*-(<i) = <[/('i)-</(*i»j2>= \ Ptl(h)[h-<f(h)>}idf1. C)
—оо
Плотность вероятности Ptl (/x) зависит, вообще говоря, от
выбранного момента времени^; то же самое относится, разумеется,
и к вычисленным при помощи Ph значениям </), а2 и т. д. Изме-
Изменение распределения вероятности во врсмспи выражает нестацио-
нестационарность процесса и может быть связано, например, с суточным
*) Запись & (|/ ({,) — ft\ ^ _L dft) обозначает вероятность того, что вы-
выполняется указанное в скобках неравенство.

12 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. I
или годовым ходом метеорологических элементов или с другими
причинами.
Функция Pti (fj) (которую мы в дальнейшем будем называть
одноточечной функцией распределения) позволяет определить
лишь такие статистические характеристики, которые относятся
к одному моменту времени. Зная Ри (ft), мы пе можем, например,
ответить на вопрос о том, какова вероятность того, что за время
т функция / (t) изменилась на определенную величину, или какова
вероятность для производной /' (t) иметь определенное значение.
Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо знать двух-
двухточечную функцию распределения Ptltt, (/i, ft), определенную
равенством
5е (| / (к)
h К у dU; 1 / (*2)-/а | < -i dU) =Л„,. (Л, ft) аи df, D)
и дающую вероятность того, что одновременно выполняются
два условия: при t — tx функция / (t) близка к значению /1(
а при t = t2 она близка к значению /2. Двухточечная функция
распределения несет в себе значительно большую информацию
относительно случайного процесса / (t), чем функция i>t,(/i).
однако и она описывает / (t) далеко не исчерпывающим образом.
Для полного описания случайного процесса / (t) необходимо
для любого наперед заданного числа п знать соответствующую
и-точечную функцию распределения
= Л,	tn(fu...,fn)dfk...dfn, E)
зависящую от как угодно выбранных моментов времени tv...,tn.
Функции E) позволяют ответить на вопрос о вероятности той
или иной конкретной реализации случайного процесса / (t).
Однако в приложениях обычпо бывает трудно определить все
функции E). Это оказывается возможным лишь для специальных
типов случайных процессов (например, для гауссовских процес-
процессов). В связи с этим для описания случайных функций часто
используются более простые характеристики, связанные с функ-
функцией p(ltll (А, Л).
В дальнейшем мы часто будем сталкиваться с комплексными
случайными функциями / (t) = q> (t) + ity (t). Для того чтобы
задать распределение вероятностей комплексной случайной
функции / (t), необходимо знать совместные законы распределе-
распределения вероятностей для пары функций {<р (*), tp (*)}. Например, одно-

5 г]	стационарный случайные функции	13
точечный закон распределения / (<) определяется формулой
— Ф11 < у d(Pi; I Ф(Ы — ь I < -|-Ah) = р., (фь
Аналогично строятся и многоточечные законы распределения
вероятностей комплексных величин.
В том случае, если мы рассматриваем случайные функции ко-
координат, / (х, у, z) = f (r) (обычно их называют случайными по-
полями), законы распределения становятся функциями от г. Так,
вместо A) и D) мы будем иметь
- Л | < 4 dh) = р^ (А) <*Л.
jdh;\t (г,) - /, | < у <*/.) = Pr.. r,(/i, /.) d/
, d/,.
G)
В некоторых случаях мы будем рассматривать случайные
функции, зависящие как от координат, так и от времени*): / =
= / (г, t); их законы распределения будут, вообще говоря, зави-
зависеть от г, t. Например,
/1. (8)
§ 2. Стационарные случайные функции
Случайная функция / (t) называется стационарной, если ее
законы распределения E.1) инвариантны относительно измене-
изменения начала отсчета времени:
Р<1, и	tn(/i, • • •, /п) = Ри+т,и+т	1„+т(/1, • ¦ ¦ , in)- A)
Для случая п — 1 это означает
P».(/i) = Pr,+T(/i).
Положив здесь Г = — /], получим
P«,(/i) = Po(/i>,	B)
т. е. одноточечная функция распределения стационарного слу-
чайдого процесса не зависит от времени. Для п = 2, полагая
*) Слово «случайный» не всегда является вполне удачным, так как, на-
например, «случайное» поле скорости в теории турбулентности удовлетворяет
точным соотношениям — уравнениям гидродинамики. Быть может, лучше
было бы говерить о «статистически определенных» функциях.

14	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1ГЛ. 1
Т = — tu получим
Ри. и (Л, h) = Ptl+T. .,.т(/„ /.) = Рп. w, (Л, /.),	C)
т. е. двухточечная функция распределения стационарного слу-
случайного процесса зависит лишь от расстояния <2 — t± между точ-
точками *! и *t*). Из формулы B) следует, что такие характеристики
процесса, как </ (<)>, с2 (t) и т. д., не зависят от времени:
</ (*)> = censt, с2 (t) = const.	D)
Важнейшей характеристикой случайной функции является
ее корреляционная функция, которую иногда называют также
ковариацией:
B(h, tt) = <[/(<i)-</(ii)>] \Г (h)~ </'(*i)>]>	E)
(звездочка означает комплексное сопряжение). Полагая в E)
tx = t2, получим
5(<,0 = <1/@~</@>12> = ба@-	F)
Для стационарных процессов В (t± + Т, <s -|- T) = В (tv t^), от-
откуда следует, что В зависит лишь от т = t1 — tz:
В{х) = <[/(< + г) -</>]• [/*(<) -</*>]>,	G)
В@) = < |/@ -</>|«>= А	(8)
Таким образом, значение корреляционной функции в нуле
равно среднему квадрату флуктуации. Если / (t 4- t) и / (t) ста-
статистически незаписимы (что обычно бывает при достаточно боль-
большом т), то среднее значение произведения, «ходящего в правую
часть G), равно произведению средних значений, каждое из ко-
которых равно нулю. Таким образом, В (т) характеризует статисти-
статистическую связь между флуктуациями / в моменты времени ( + т и (.
Приведем некоторые свойства функции В (t). Из E) следует,
что
В (*„ tj) - В' ft, g,	(9)
а в случае стационарных процессов
^__^__	В (-т) = В' (т).	A0)
*) Если условия A) выполпепы лишь при п = 1, 2, то функция / (()
называется стационарной в широком смысле (так как при таком определении
могут найтись такпе функция, для которых условия B) и C) выполнены, во
условие (J) при п > 3 не выполняется). Поскольку мы будем иметь дело лишь
с двухточечными характеристиками процесса, то не будем различать этш оп-
определений.

I 2]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	15
Если же процесс / (t) действительный, т. е. /* = /, то
В(-т) =В(т)	(И)
Для стационарного случайного процесса имеет место,неравенство
|Я(т)|<5@),	A2)
из которого следует, что функция В (т) имеет максимум при т = 0.
Действительно, пусть </> = 0, тогда при любом комплекс-
комплексном числе % выполняется неравенство
или
XVo\ — № (tlf tt) — ГВ* (<х, t,) + a\ > 0.
Положим % = a 5* (<!, fa), где a = a*. Тогда последнее неравен-
неравенство превращается в
a'eJ|B(*i, *») |2- 2a|B («!, <2) |* -f eS> 0.
Но, как известно, условие неотрицательности квадратичного по a
трехчлена заключается в неположительности его дискриминанта:
\B(tu tt)\*-
Отсюда следует неравенство
\B{h,
которое в случае стационарных процессов приводит к условию
A2).
Пусть / (<) — стационарный случайный процесс со средним
значением, равным пулю. Рассмотрим выражение
где ф (t) — произвольная комплексная функция. Очевидно, что
<ИР> > 0, т. е.
т
\
—Т	_Г -Г
г г
—т -г

16	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. J
Условие A3) называется условием положительной опреде-
определенности функции В (т). Оно чрезвычайно важно, так как лишь
функция В (т), удовлетворяющая этому условию, может являться
корреляционной. Положим в A3)
Тогда A3) превращается в неравенство
г г
< Iл i2> =
—т —т
Введем новые переменные интегрирования
и произведем интегрирование по t; в результате после несложных
преобразований получаем
аГ	о
A5)
Перейдем в A5) к пределу при Т -»¦ оо. В результате этого
получаем условие
1 I 	;™.d/-\ j~ ттт"/--\ — п	DРЛ
Появившаяся здесь функция W (со) является преобразованием
Фурье корреляционной функции В (т). Согласно условию A6)
она должна быть действительной и неотрицательной, в протип-
ном случае В (т) не может являться корреляционной функцией.
А. Я. Хинчип 16] доказал и обратное утверждение: если W (со) > О,
то функция
В(х)= J e*<"*W(<o)d<o	A7)
—00
является корреляционной функцией некоторого стационарного
случайного процесса. (Формула A7) является обратным преобра-
преобразованием Фурье по отношению к A6)).

2]
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	17
Если случайный процесс / (f) действителен, то В (т) = В (—т).
В этом случае A6) и A7) можно записать также в виде
В(х)= ^ сов (иг W (a) da.	A7')
—со
Из формулы A7) можно получить важное равенство, разъяс-
разъясняющее физический смысл функции W (со). Полагая в A7) т = О,
получаем
00
о* = <[/@]а>= $ ИЧсо)Жо.	A8)
—со
Пусть / (t) представляет собой флуктуационный ток, проте-
протекающий по единичному сопротивлению. Тогда Z2 (t) есть мгно-
мгновенная мощность, Среднее значение этой мощности
Из формулы A8) в этом случае можно заключить, что W (со)
представляет собой мощность, приходящуюся на единицу полосы
частот. В связи с этим в радиофизической литературе W (со) на-
называют спектром мощности шума.
В случае, когда / (t) является модулем вектора скорости жид-
жидкости, W (со) пропорциональна спектральной плотности энергии
единицы массы жидкости. В литературе по теории турбулентно-
турбулентности эту функцию называют спектральной плотностью распределе-
распределения энергии. Важная роль, которую играет в теории стационар-
стационарных процессов и ее приложениях корреляционная функция В (т),
связана также и с тем, что ее преобразование Фурье W (со) иг-
играет роль спектра мощности (или энергии) процесса.
Подобно тому как корреляционная функция В (т) стационар-
стационарного случайного процесса / (t) может быть представлена в виде
интеграла Фурье A7), сама случайная функция f {t) может быть
представлена в виде стохастического интеграла Фурье — Стиль-
тьеса
со
/@= S «""Я (Ad)	A9)
—со
(см., например, работу А. М. Яглома [1]). Функция Z является
случайной функцией интервала Дсо. Поскольку </ (*)> = О, Z (Да>)

18	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
должна удовлетворять такому же условию <Z (Д(о)> = 0. Ис-
Используя A9), напишем выражение для корреляционной функ-
функции В (<х - t2) - </ (*,) Г
В (tt —12) = 5 5 ei (Ы>-шЪ) <Z {do) Z' (dio')y.	B0)
Так как левая часть B0) в случае стационарности процесса / (t)
зависит лишь от tL — t2, подынтегральное выражение в B0) долж-
должно содержать множитель б (со — со'), обеспечивающий появление
такой комбинации из tl и ?2. Отсюда следует, что
<Z(dm)Z'(Жо')> = b((a — (a')F(dot, da').
Используя последнее выражение, получим
— со').	B1)
Сравнивая это выражение с A7), убеждаемся в том, что должно
иметь место равенство
F (da, do') - W (со) dco da'.
В этом случае выражение B0) совпадает с формулой A7).
Итак, имеет место формула
<Z (do) Z* (d»')> = 6 (ю — ю') И' (со) d» do'.	B2)
Из B2) следует некоррелированность спектральных амплитуд
Z (dco) при несовпадающих значениях частот.
Рассмотрим связь между спектральным разложением стацио-
стационарного процесса и обычным интегралом Фурье (см., например,
[165]). Функция / (t) может быть разложена в интеграл Фурье,
если сходится интеграл ot\f(t) |, взятый в бесконечных пределах,
и если / (t) имеет лишь разрывы типа конечных скачков:
| / (t -|- 0) — / (t — 0) К оо. Ясно, что стационарная случайная
функция не удовлетворяет первому из этих условий и поэто-
поэтому не может быть непосредствеппо разложена в интеграл Фурье.
Рассмотрим функцию
(/@ при |*|<-?,
/т@=	т
{ 0 при [([>—,
т т
равную нулю вне интервала (— -j, ту) и совпадающую внутри
этого интервала с непрерывной действительной стационарной

§ 2]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	19
случайной функцией / (t), для которой </ (<)> — 0, </* (t)) <| оо.
функция /т@ в отличие от / (t) может быть представлена в виде
интеграла Фурье:
B3)
Рассмотрим
< 1 Фт И Г
/г
средний
2\ *
' ' 4д3
л
@ =
со
—оо
Г/2
. 1 . С j-wlJ
-Г/2
квадрат модуля
Т/2
—г/а
Т/2
га
Т/9
Ло, 1
}
(ПД.
J
фг («):
/ /
— Г/2 —Г/2
Вводя вместо ^ новую переменную интегрирования т согласно
равенству tl = t2 + т и выполняя интегрирование по ?2, получим
после простых преобразований
г	г
<|фт(@)|2>= ^- \ COS (ОТ В (Т)??Т —^-\Т COS СОТ В (Т) ??Т.
г
Умножив это равенство на 2Я/71 и переходя к пределу при Т —>¦ оо,
получим, предполагая существование пределов в правой части
равенства:
lim
Г-+оо	1
оо	Г
11*	111*
= -р— \ созсот5(т)??т -]	Пга^г\ т cos сот В (x)dr.
—оо	^-^^ 0
Если выполняется условие
т
= 0	B4)
(для его выполнения достаточно, например, чтобы функция | 2? (т) [
при т —» оо убывала быстрее, чем t~j), to второе слагаемое

20	СВЕДЕНИЯ НО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
обращается в нуль и мы получаем соотношение
.	B5)
Т-+со	л
Из этой формулы ясно, что <|фг(со)|а)— Тл т. е. сама функция
Фг (ю) имеет порядок У^Т, так что переходить к пределу при
Г->х в формулах B3) нельзя. Поэтому обычную спектраль-
спектральную плотность ф (со) для стационарной случайной функции / (t)
определить невозможно и существует лишь случайная спект-
спектральная амплитуда Z (dco), удовлетворяющая условию B2). Тем
не менее в физической литературе часто вместо разложения A9)
используют обычный интеграл Фурье, подчиняя случайные спект-
спектральные плотности соотношению
<ср (со^Ф' Ы> = W (uhWcox - о)а),	B2')
и это приводит к правильным результатам. Смысл соотношения
B2') можно уяснить на основании разложения B3). Если, ис-
используя B3), найти величину <фт((о1)фт((о2)), то при Т —> оо
вместо соотношения B2') мы получим формулу, содержащую не
точное выражение для 6-функции, а функцию
sin I — (wi —
B6)
т
При T —* оо получим 6T (©) —> б (w) (так как 6j@) = tj— —>¦ оо и
00
\бг(со) do» = 1). При ©x = (uj в этом случае снова получается
формула B5). Таким образом, формулу B2') следует понимать
как предельное соотношение, получающееся из разложения B3)
при Т —»• оо.
Поскольку, однако, использование математически обоснован-
обоснованной формулы A9) не создает каких-либо дополнительных затруд-
затруднений по сравнению с обычной формой интеграла Фурье, мы будем
пользоваться формулой A9).
Приведем несколько примеров корреляционных функций и их
спектральных плотностей.
1. В приложениях часто используется корреляционная функ-
функция
B7)

I 2]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	21
Соответствующая ей спектральная плотность W (о>) легко вычи-
вычисляется:
'w' л" J ^ ае ' Х ~~ л (i + шЧа) '
—оо	О
Мы видим, что W (со) ]> 0, поэтому функция B7) действительно
может являться корреляционной функцией стационарного слу-
случайного процесса.
2. Легко проверить, что если
ft /т\ _ аг е^р I	— \	B9)
\ т0 /
то
>0.	C0)
3. Спектральной плотности
>0, где 4 = 4
корреляционная функция
где Ку,(х) — функция Бесселя второго рода от мнимого аргумен-
аргумента (функция Макдональда). Корреляционная функция типа C2)
была предложена Карманом для аппроксимации корреляционных
функций, возникающих в теории турбулентности. Корреляцион-
Корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности при-
примеров 1, 2, 3 приведены на рис. 2 и 3.
Установим одно полезное соотношение между масштабами
корреляционной и спектральной функций, которым мы часто
будем пользоваться в дальнейшем. Характерным масштабом кор-
корреляционной функции В (т) является так называемый интеграль-
интегральный масштаб т0:
оо
lB{x)dx-	C3)
(Если построить прямоугольник с высотой В @) и основанием
то> то его площадь будет равна площади, заключенной между
корреляционной функцией и осью т.)

22
СВЕДКИИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
Аналогичным образом вводится интегральный масштаб спект-
спектральной плотности W (о), который мы обозначим через (оо:
C4)
(Это оиределепие эффективно лишь в том случае, если W (ш)
< W @).)
Используя формулы A6) и A7), получим
1
1
¦2nW(Q),
W@)
5@),
lo- B@)
откуда иолучаем соотношение
(оото = 2я,	C5)
связывающее «ширину» спектра ш0 с масштабом корреляции т0.
0,3
0,2
0.1
О 02 04 О-В 0,8 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
tfZg
О 0,20.40.6081,01,6 1,41,61,82JJ2,22,42?
Рис. 2. Примеры нормированных	Рис. 3. Спектральные плотности
корреляциоппых функций:	W (со), соответствующпе корреля-
/ [ х I \	цыонпыы функциям, изображенным
I — Ь (т) == охр ' — -г—v I; 2-- Ь (т) =	на рис. 2 (номера возле соответствую-
. „ .	.! .	'Ц|1Х кривых рпс. 2 и 3 совпадают).
_,
Заметим, что величины ти и ш0, определяемые формулами C3) и
C4), могут в некоторых случаях и не существовать (если со-
соответствующий интеграл расходится). Однако если в этих слу-
случаях оиределить масштабы т0 и си0 каким-либо иным способом [на-
[например, определить т0 как точку, в которой Б (т0) = 0,5 В @)],
то соотношение типа C5) снова будет выполняться, но в нем мо-
может появиться числеппый коэффициент порядка единицы.

.{ 2]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	23
В заключение рассмотрим важный вопрос о практическом по-
построении статистических характеристик случайного процесса. На
практике мы обычно не располагаем достаточно обширной сово-
совокупностью реализаций случайного процесса, получеппых при
тождественных внешних условиях. Это не позволяет эффектив-
эффективно выполнить усреднение по ансамблю, й при построении ста-
статистических характеристик мы вынуждепы производить усредае-
ние до времени в пределах одной реализации случайного про-
процесса.
Пусть и (t) — величина, для которой мы хотим получить сред-
среднее значение путем усреднения по времени. Под и мы можем под-
подразумевать как саму случайную функцию / (t), так и ее квад-
квадрат, произведение / (() / (t -)- т) при фиксированном сдвиге т и
т. д. Будем предполагать, что и (t) — стационарный случайный
процесс, причем известна его корреляционная функция
(мы рассматриваем лишь действительные фупкции и (()).
Введем в рассмотрение среднее по времени за интервал Т
значение случайной функции и:
Эта величина, так же как и и, является случайной. При повтор-
повторном определении п по различным участкам кривой и (t) мы будем
получать несколько различные значения. Вычислим средний
квадрат разности между средним по времени и и средним по ан-
ансамблю <>
Подставляя сюда выражение для й, легко получим
ТТ	т t
^и = тИ 5 Bu(tl-h)dtldtt= ~\ dt\Bu(x)dx .
О 0	0	0
Докажем теперь, что при выполнении условия
г
0	C6)
будет выполняться соотношение
Vim в2-= 0	C7)

24	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
(см., например, [2]). Действительно, из C6) следует, что для лю-
любого — ¦> 0 найдется такое Го, при котором
о
С другой стороны, для любого t имеет место неравенство
t
о
так как Ви @) > Ви (t). Таким образом,
?u@)t при
Л-1 при t > Го.
IP
\\Bu(x)dt
Интегрируя это неравенство в пределах @, Т), где Т > То, полу-
получим
/2В @)
——.—,
/2В @)
——.—, то первое слагаемое в правой части не пре-
превышает второго, а их сумма не больше б Г*/2; отсюда следует не-
неравенство
т t
\
из которого немедленно вытекает C7). Таким образом, условие
C6) обеспечивает возможность замены статистических средних на
средние по времени.
Если существует интеграл
условие C6) всегда выполняется. В этом случае можно дать про-
простую оценку дисперсии отклонения среднего по времени от сред-
2
него по ансамблю. Производя в выражении для о- замену поряд-

I 3] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 25
ка интегрирования по переменным (ити выполняя интегриро-
интегрирование по t, получим
В случае , если Т ^> тш вторым слагаемым в скобках можно пре-
пренебречь по сравнению с единицей, а интеграл от первого слагае-
слагаемого выразить через т„. В результате получаем приближенную
формулу
2Вц@)гц
<3
которой удобно пользоваться для выбора необходимого интервала
усреднения, исходя из заданной точности. Формула C8) была по-
лучена Тейлором при построении теории турбулентной диффузии.
§ 3. Случайные функции
со стационарными приращениями
Реальные флунтуационные процессы очень часто могут с до-
достаточной степенью точности описываться при помощи стацио-
стационарных случайных функций. К таким процессам относится,
например, флуктуационное напряжение, которое возникает на
сопротивлении, находящемся в состоянии термодинамического
равновесия с окружающей средой. Однако можно указать и на
противоположные случаи, когда флуктуационные процессы не
являются стационарными. В качестве примера можно указать
на интеграл от стационарного процесса.
При рассмотрении нестационарных процессов необходимо иметь
возможность воспроизведения внешних условий, при которых
этот процесс протекает. Действительно, в этом случае единствен-
единственная возможность нахождения статистических характеристик про-
процесса заключается в усреднении по большому числу реализаций,
получаемых в одинаковых условиях.
Кроме того, в случае нестационарных процессов необходимо
иметь естественное начало отсчета времени при рассмотрении
каждой из реализаций; в противном случае при нахождении ста-
статистических характеристик произойдет усреднение по времени
и процесс невозможно будет отличить от стационарного.
Для устранения указанной трудности в теории турбулентно-
турбулентности для описания более общих, чем стационарные, случайных
функций вместо корреляционных функций E.2) используют так
называемые структурные функции, введенные впервые в работах
А. Н. Колмогорова [10,11]. Идея, лежащая в основе этого метода,

20	('ВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	ГГЛ. 1
заключается в следующем. В случае, когда / (t) представляет
собой нестационарную случайную функцию, т. е. когда </ (*)>
меняется с течением времени, можно вместо / (t) рассматривать
разность
Frit) -=f(t + T)-f(t)
при некотором фиксированном значении Т. При не слишком боль-
большом Т низкочастотная компонента функции / (t) не повлияет на
значение этой разности и она может оказаться (хотя бы при-
приближенно) стационарной функцией времени. В случае, когда
FT (t) есть случайная стапионарная функция t, функцию f(t) назы-
называют случайной функцией со стационарными первыми ирираще-
ниями, или просто случайной функцией со стационарными при-
приращениями.
В качестве примера рассмотрим функцию следующего вида:
f(f) = at+l @,	A)
где а — действительная случайная величина, а | (t) — стационар-
стационарный случайпый процесс, причем <а| (<)) =¦ 0. Очевидно, что если
<?> = 0, то
B)
Легко получить также формулу
В (f. t + т) - <[/ @ - </(()>] [/' (* Ч- т) - </' (t + т)>]> =--
- аН (t + т) -f Вх (т), C)
где
а^-<а4>-<а>2 и В^ (т) = <\(t)V <t + т)>.
Таким образом, процесс / (I) не является стационарным, так
как его среднее значение и корреляционная функция явно зави-
зависят от времени t.
Рассмотрим теперь
FT (t) = аТ + | (* + Т) - \ {t\.	D)
Очевидно, что
{FT (*)> = <а> Т = coast.
Вычисляя ВР (t, t -|- т), получим после простых выкладок
BF (t, t + T) = <{FT (t) - {Ft (t)>] [Ft (t + x) - <FT (t + t»J> =
- а'Г -f Wi (т) -В^г-Т)- ВЕ (г + 71)- E)

I 3] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 27
Таким образом, и среднее значение, и корреляционная функ-
функция процесса FT @ не записят от времени t (они, однако, зависят
от выбранного постоянного сдвига по времени Т).
Если бы мы рассмотрели случайную функцию типа
/ (i) = а? + Ы + с + I (t),
где снова ? (f) — стационарный процесс и а, Ь, с — случайные
величины, то, как легко показать при помощи аналогичных рас-
рассуждений, в данном случае разность FT (t) — f (t — T) — / (t)
уже не будет стациопарпой случайной функцией (ею окажется
вторая разность Ft (' + ^i) — Fr{t))- Поэтому случайный процесс
/ (t) будет процессом со стационарными первыми приращениями
лишь в том случае, когда его среднее значение яиляется линей-
линейной функцией времени. Поскольку, однако, для не очень больших
промежутков времени любую функцию можно приближенно счи-
считать липейпой (взяв ее первые члены разложения п ряд Тейлора),
то использование процессов со стационарными первыми прира-
приращениями значительно расширит наши возможности описания
реальных случайных процессов по сравнению со стационарными
процессами.
Рассмотрим действительный случайный процесс / (t) со ста-
стационарными первыми приращениями. Среднее значение </ (<)>
такого процесса зависит, вообще говоря, от t. Введем новую
величину
Б @ = / («) ~ </ (*)>,
для которой <| (/)> = 0. Случайный процесс | (t) также является
процессом со стационарными приращениями, так как его корре-
корреляционная функция может явно зависеть от t, несмотря на то, что
(.1 (*)> = 0. Рассмотрим теперь разность
PT(t) = ?<« +Л- КО;
Они является стационарным случайным процессом, и ее корреля-
корреляционная функция Bf не должна явно зависеть от времени t. Вы-
^гаслим Вр (х):
= №(t + T)-l(t)] [|(f + г + T)- l(t + тI>. F)
Применив алгебраическое тождество

28	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
получим
В> (т) = 4- KIS (t + T)-l (« + t)l«> + <[E (* + t + Г)-i (*)!•> -
- <[| (* + Г) -1 (* + т + Г)]'> - <[? (« + т) -1 (*)]»>}. G)
Обозначим через Df (tu t^ величину
D,(h, «.) = <[? («О-S(«,)J«>,	(8)
которая называется структурной функцией процесса / (Q. Тогда
G) запишется как
T + T,t+T)-±Dl(t + T,t). (9)
Так как мы предположили, что / (t) — процесс со стационар-
стационарными приращениями и, следовательно, Ft @ — стационарный
процесс, то BF не должно зависеть от t и может зависеть лишь от
т и Т. Это условие будет выполнено, если Df (tlt Q зависит лишь
от tx — t2, т. е. если
В этом случае формула (9) принимает вид
±±-T)-Dl(x).	A1)
Подставив в формулу A0) ? (t) = f (t) — </ (Q>, получим
i>/(t) = <{[/(*+ T)-/(t)J-</(* + T)-/(O>}1>. A2)
Так как левая часть A2) зависит лишь от т, то и </ (? + т) — / ()
должно зависеть только от т и не должно зависеть от t. Но от-
отсюда следует, что </ (?)> есть линейная функция
</ (*)> = я + bt и </ (* + т) - / @> = **•	A3)
Очень часто приходится иметь дело с процессами со стацио-
стационарными приращениями, для которых среднее значение </ (/)>
постоянно (к этому типу будут относиться локально изотропные
случайные поля, рассматриваемые ниже). В этом случае формула
A2) упрощается и принимает вид
Я/(т) = <[/(* + т)-/(*)]•>.	A4)
Структурная функция является основной характеристикой
случайного процесса со стационарными приращениями, заменяю-

( 3] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 29
щей понятие корреляционной функции. Грубо говоря, значение
D/(x) характеризует интенсивность тех флуктуации / (t), периоды
которых меньше или сравнимы с т. Действительно, медленные по
сравнению с т изменения функции / (/) не влияют на разность
/ (* + т) — / (<) и поэтому не дают вклада в Df (т). Разумеется,
функция Df (т) может быть построена и для обычных стационарных
случайных функций, являющихся частным случаем функций со ста-
стационарными приращениями. Если / (t) — стационарная случай-
случайная функция со средним значением, равным нулю, то
D, (т)= <[/(* + т)-
Ив стационарности / (?) следует, что
<[/@l*> = <[/(' + t)P> = i?/@).
Таким образом, для стационарного процесса
Df(x) = 2[Bl@)-B,(t)).	A5)
В том случае, когда В/ (ос) = 0 (а на практике это условие почти
всегда выполняется), D/(oo) = 25 @). Укаааиное соотношение
позволяет пыразить корреляционную функцию ВДт) через
структурную функцию Df (т):
Bt{i)=±-D,{°o)-±-Df(T).	A6)
Таким образом, в случае стационарных случайных процессов
структурные функции Dp (т) могут использоваться наряду с кор-
корреляционными; в некоторых отношениях их использование даже
более целесообразно. Действительно, приступая к изучению ка-
какого-либо случайного процесса, в стационарности которого мы
заранее не уверены, более целесообразно строить его структурную,
а не корреляционную функцию. Практическое построение струк-
структурной функции к тому же всегда более надежно, поскольку на
значение/>;(т) не оказывают влияния ошибки в определении сред-
среднего значения </ (f)>. В случае, если построенная структурная
функция при больших т оказывается постоянной, по формуле
A6) можно найти и Bf (т).
Выше приводилась формула A7.2), представляющая корреля-
корреляционную функцию действительного стационарного случайного
процесса в виде интеграла Фурье. Предполагая, что процесс
/ @ стационарный и для него существует как корреляционная, так
и структурная функция, мы можем на основании формулы A5)
получить спектральное разложение структурной функции D (т)

30	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. I
(в дальнейшем индекс / в выражениях D; и Bf опускаем). Под-
Подставляя A7'.2) в A5), получим формулу
Z)(t) = 2 [ [1 — cos сот] Vf((o)d(o,	A7)
связывающую введепную выше спектральную плотность энергии
W (со) со структурной функцией D (т).
Сравним условия, которые следует налагать на спектральную
плотность W (со) для того, чтобы существовала корреляционная
функция В (т), выраженная интегралом A7'.2), и для того, что-
чтобы существовала структурная функция D (т), выражаемая инте-
интегралом A7). Для сходимости интеграла A7.2) при т = 0 необхо-
необходимо, чтобы функция W (со) росла в нуле медленнее, чем w~\
убывала на бесконечности быстрее, чем со, т. е. чтобы выполня-
выполнялись условия
lim [aW (со)] = 0, lim [aW (со)] = 0.	A8)
0
В то же время для сходимости интеграла A7) при со -> 0 требует-
требуется менее жесткое условие, так как 1 — cos сот — со2 при со —»• 0.
При со —*¦ оо условие сходимости интеграла A7) такое же, как
и прежде. Следовательно, A7) сходится, если
lira [ш31У (со)] = 0, Hm'[(oW (со)] = 0.	A9)
О1-»0	С0-*0О
Условия A9) значительно менее жесткие, чем условия A8).
Они, в частности, допускают, чтобы функция W (со) имела в
нуле степенную особенность W (со) ~,(й-*, где ц < 3. При этом
структурная функция D (т), вычисленная по формуле A7), будет
иметь смысл, в то время как корреляционная функция В (т) уже
не будет существовать. Это обстоятельство наводит на мысль,
что спектральное разложение A7), полученное нами из спект-
спектрального разложения A7'.2) для корреляционной функции, вы-
выполняется и тогда, когда разложение A7'.2)»у?ке не справедливо.
Как показано в работе А. М. Яглома [1], это действительно так.
Таким образом, процессы со стационарными приращениями
отличаются от стационарных процессов в двух отношениях: их
среднее значение может быть линейной функцией времени, а
спектр может иметь особенность в пуле.
То обстоятельство, что при использовании структурных функ-
функций мы получаем возможность описывать процессы,'имеющие
особенность спектра в нуле (т. е. обладающие бесконечной «энер-
«энергией» в области низких частот), представляет большие удобства

I з] случайный функции со стационарными приращениями 31
для приложений, где такие процессы встречаются довольно
часто.
Сравнивая методы описания стациопарных случайных процес-
процессов и процессов со стационарными приращениями, можно также
заметить, что их описание при помощи спектральных функций
W (со) имеет преимущества перед описанием при помощи корре-
корреляционных и структурных функций. Это преимущество заклю-
заключается в том, что, ислользуя функцию W (со), можно пе заботиться
о том, является ли процесс стационарным или обладает лишь
стационарными приращениями,— в обоих случаях функция W (со)
существует и имеет тот же самый физический смысл спектральной
плотности энергии. И лишь на окончательном этапе вычислений,
когда мы хотим найти В (т) или D (т), мы пользуемся формулой
A7-2) или A7) в зависимости от того, имеет W (со) интегрируемую
особенность в нуле или нет. Второе преимущество спектрального
описания заключается в том, что функция W (со) имеет более
прямой физический смысл, чем В (т) или D (т).
Получим теперь соотношения, выражающие W (со) через D (т).
Дифференцируя формулу A7) и учитывая четность функции
W (со), мы получим интеграл типа интеграла Фурье, который мо-
может быть обращен. В результате этого получаем формулу
B0)
которой можно пользоваться, если интеграл справа сходится.
При со ^= 0 для сходимости интеграла достаточны условия:
а)	UmD'(x) = 0;
б)	существует такое число а <[ 1, что
lim тх+* Z)'(т) = const < ос.	B1)
т-»0
Условие (б) может быть заменено на более жесткое, но более
удобное условие
lim т2/)' (т) = 0.
Двукратное дифференцирование формулы A7) также дает
интеграл Фурье, который после обращения принимает вид
W(a)^ 2^- \ D" (x) cos сот dr.
и

32	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
При (д ф 0 формула B2) справедлива, если выполняются
условия:
а)	lim D" (т) = 0;
т-к»
б)	существует такое а <^ 1, что
lim т*Х>" (т) = const < оо	B3)
t-Mi
или более жесткое условие
lim xD" (t) = 0.
Заметим, что условия B1) и B3), вообще говоря, различны
и для вычисления W (со) требуется их предварительная проверка
с целью выбора той или иной формулы (см. примеры).
Подобно тому как сам стационарный случайный процесс f{t) мо-
может быть представлен в виде стохастического интеграла Фурье —
Стильтьеса A9.2), процесс со стационарными приращениями также
может быть представлен в виде спектрального разложения. Проще
всего это разложение можно получить, используя то обстоятель-
обстоятельство, что производная | (t) — -±~ от процесса со стационар-
стационарными приращениями / (t) сама является стационарным случай-
случайным процессом. Следовательно, | (t) можно представить в виде
разложения A9.2):
@ = ^W~ = Ео + $ *1И% (с/со),	B4)
где |о — среднее значение процесса | (t) и Z2 (dco) обладает свой-
свойствами
<Zi (dco)> = 0,
<Zr (dco) Z\ (d<o')> = б (© - со') Wx (со) dco do»'. B5)
Проинтегрировав разложение B4) в пределах @, t), получим
B6)
где / @) — некоторая случайная величина.
Введем функцию Z(tfco) = -^—Z^cto). Очевидно, что
<Z (dco)> = 0 и <Z(dco) Z*(do>')> = -^W1 (со) б (ш — со') rfco dco'. B7)

$ 3] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 33
Если вместо спектральной плотности Wx (<о) нроизводной ~
ввести спектральную плотность
и1(ю)
самого процесса / (t), то формулы B6), B7) принимают вид
J	,	B8)
—00
где
<Z(d©)> = 0, <Z(d©)Z*(d(o')> = 6(© — <o')W{&)d&d&'. B9)
Формулы B8), B9) и дают искомое разложение процесса со
стационарными приращениями. В указанном выше частном слу-
случае, когда </ (<)> не зависит от t, формула B8) принимает вид
оо
$	C0)
Легко проверить, что, подставляя разложение B8) в формулу
A2), мы получим формулу A7), выражающую D{x) через W (ю)
(при этом надо помнить, что /*(<) = / (t)).
Рассмотрим два примера.
1) Построим структурную функцию стационарного случайного
процесса, рассмотренного в примере 3 предыдущего параграфа.
Воспользовавшись формулой D (т) = 2В @) — 25 (т), полу-
получим
[^(^)]	C1)
При т<^т0 можно воспользоваться первыми двумя членами раз-
ложеныя в ряд функции A'v (x). В результате простых выкладок
получаем
т. е. D (т) ~ t2v. При т ^ т0 рост функции D (т) замедляется и
она стремится к постоянной величине 2а2. Спектральная плот-
плотность, соответствующая C1), та же, что и в рассмотренном выше
в. И. Татарские

34	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ (ГЛ. 1
примере:
При со^>— получаем отсюда
		C4)
Обозначая
2а»Г A — V) _ Са
BTo)av Г A + v)
мы можем записать C2) и C4) в виде
Д(т) =
Воспользовавшись известными формулами
Г(у)ГA—v) ==-r
я:
sin nv '
приведем последнее выражение к виду
W (ш) ^ -^- Г Bv) sin (лу) С* | и
Если обозначить 2v = \i, то мы получаем окончательно следую-
следующие асимптотические формулы:
D (т) ^ С2^,	C5)
Ж(и))^^Г(ц+1)8т^С*|и)|-A1+1).	C6)
Формулы C5) и C6) являются асимптотическим видом выражений
C1) и C3). которые при т -> оо и ю -> 0 стремятся к постоянным
значениям. Поэтому при больших т и малых со формулы C5) и
C6) сильно отличаются от исходных формул C1) и C3).
2) Рассмотрим теперь структурную функцию
C7)

I 3] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 35
Выражение C7) будем считать справедливым не при t «^ т0,
как в предыдущем примере, а при всех 0<т<оо. Найдем
Рис. 4. Примеры структурных
функций:
1 — Т> (т) = 2 1 — 2 /зх
Рис. 5. Спектральные плотио-
сти W (а>), соответствующие
структурным функциям, изоб-
раженным ва рис. 4 (номера
возле соответствующих кривых
РИС.4И 5 совпадав
2 —
соответствующую C7) спектральную плотность W (со). Дифферен-
Дифференцируя C7), получим
В случае, если \i < 1,
Условие
lim D' (t) = 0.
t-«x>
lim x*D' (т) = О
выполняется при всех \i"^> — 1, т. б. и при ц]>0, как в нашем при-
примере. Подставляя D' (%) в формулу B0), после вычисления
известного интеграла получаем формулу
C8)
2*

36	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
В случае, если 1 < ц < 2, условие lim Z)' (т) = 0 уже не
T-VOO
выполняется, но зато выполняются условия
lim D" (т) = 0, ИттД*(т) = 0
и можпо применить для вычисления W (to) формулу B2). Выпол-
Выполняя интегрирование, мы получаем ту же формулу C8), которая,
таким образом, справедлива не только при 0 < ц < 1, по и при
всех ц из интервала 0 < ц < 2.
Вид структурных функций и их спектров из примеров 1),
2) приведен на рис. 4, 5.
Сравнивая рассмотренные примеры, мы видим, что структур-
структурная функция вида C7), которая в первом примере являлась асимп-
асимптотическим видом структурной функции C1) стационарного слу-
случайного процесса, сама может являться структурной функцией
процесса со стационарными приращениями. В теории турбулент-
турбулентности мы имеем дело как раз с таким случаем, когда нам известен
лишь асимптотический вид структурных функций для достаточ-
достаточно малых значений аргумента т и неизвестно поведение этих функ-
функций при больших т. В таких случаях оказывается целесообразным
рассматривать случайный процесс как процесс со стационарпыми
приращениями и в тех случаях, когда зто допустимо, распрост-
распространять асимптотический вид структурных функций, известный
лишь при малых т, на весь интервал значений т.
§ 4. Однородные и изотропные случайные поля
Перейдем теперь к случайным функциям трех переменных
(случайпым полям). Понятие случайного поля вполне аналогично
понятию случайного процесса. Примерами случайных полей слу-
служат поле скорости ветра в турбулентной атмосфере (векторное
случайное поле, объединяющее три случайные компоненты ско-
скорости), поля температуры, влажности или диэлектрической про-
проницаемости (скалярные). Для случайного поля f (т) также могут
быть определены среднее значение/(г) и корреляционная функция:
(П, rt) = <[/ (г,) - </(г,)>] [/' (ф - </* (#,)>]>. A)
Обобщением понятия стационарности для случайных полей
является понятие однородности. Случайное поле называется од-
однородным, если его среднее значение постоянно, а корреляцион-
корреляционная функция не меняется при одновременном смещении пары то-
точек Г] и г2в одном и том же направлении, на одпу и ту же величи-
величину, т. е. если
</ (r)> = const, В,(ги г»)=В/(г1 + гв, г*+г0). B)

I 4]	ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	37
Выбирая в последней формуле г0 = — г2, получим, что в одно-
однородном поле5/(г1, Г2)= 5/(г! — г2, 0), т. е. корреляционная функ-
функция однородного случайного поля зависит лишь от г1 — г%.
Однородное случайное поле называется изотропным, если
Bf(r) зависит лишь от г = \г\, т. е. только от расстояния между
точками наблюдения. Например, поле, у которого корреляцион-
корреляционная функция имеет вид
Bj (гг — га) = В, [a {xi — х2) -f- р (г/i — у2) + Т (zi — г2)],
является однородным, но не изотропным.
Если в однородном и изотропном случайном поле выделить ка-
какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь
на этой прямой, то в результате получим случайную функцию
одного переменного х. К ней можно примепять все результаты,
относящиеся к стационарным случайным функциям. В частности,
можно записать разложение корреляционной функции в инте-
интеграл Фурье:
со
Bt{x)= [ cos(xx)V(x)dx.	C)
Однако более естественно пользоваться трехмерными разложения-
разложениями. Однородное случайное поле может быть цредстанлено в виде
трехмерного стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса
где
причем «амплитуды» Z (d3 x) удовлетворяют соотношению
= 6 fa — «,) Ф («0 rf3xW3x2,	E)
где
Ф (х) > 0, в (хх — х2) = б (х1;г — я*,) б (х1у — «г,) б (х1г — х2г).
Подставляя разложение D) и формулу

38	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
(предполагаем, что </(»•)> = 0) и учитывая соотношение E),
получим
(г, — г,) = J J J*1* <"-г«)Ф (х) <?3х .	F)
Поскольку для действительных случайных полей
B(r, —r^ = B(r, —ri), Ф(х) = Ф(—х),
то формулу F) можно в этом случае записать также в форме
В, (г) = [[ J cos xr Ф (х) d3x.	G)
—оо
Функция Ф (х) может быть выражена через В/ (г):
Таким образом, функции В) (г) и Ф (х) сопряжены по Фурье.
Если случайное поле / (г) является изотропным, функция
Bj(r) зависит лишь от г. Тогда в интеграле (8) можно ввести сфе-
сферические координаты и произвести интегрирование по угловым
переменным. В результате получаем выражение
00
® (*)= ^Г^гВ,(г) sin nrdr,	(9)
где х = | х ].
Таким образом, в изотропном случайном поле спектральная
плотность Ф (х) является функцией лишь одной переменной —
модуля вектора х. Это позволяет для случая изотропного поля
уиростить выражение G). Вводя в пространстве вектора х сфе-
сферические координаты и производя интегрирование по угловым
переменным, получим соотношение
ос
Bf (г) = i?- С хф (Х) Sin Хг dx.	A0)
о
Выведем полезную формулу, связывающую трехмерную спект-
спектральную плотность Ф (х) изотропного случайного поля с его од-
одномерной спектральной плотностью V (х). Обращая формулу C),

5 j]	ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	39
получим, учитывая четность функции Bf(r):
оо
V (к) = ~ [ Bf (r) cos %r dr .	(И)
о
Дифференцируя это соотношение, найдем
со
= - — J B((r) sin (хг) г dr.	A2)
о
Сравнивая A2) с формулой (9), получаем соотношение
Формула A3) позволяет находить выражение для трехмерной
спектральной плотности изотропного случайного поля, если
известна его одномерная спектральная плотность V (х).
Приведем несколько примеров пространственных корреля-
корреляционных функций и их спектров.
-1-1
1)	В, (г) = а*е ' '• I.	A4)
Воспользовавшись результатами примера 1) на стр. 20 и тем
обстоятельством, что разложение C) совершенно аналогично раз-
разложению A7'.2) для стационарного случайного процесса, можно
сразу же написать одномерную спектральную плотность V (я)
F(x) =	а8г° .	A5)
Воспользуемся формулой A3) и определим Ф (х):
ф (х) =	а*Г° .	A6)
2) Аналогичным образом для корреляционной функции
в|«=Л"^'	A7)
получим

40	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
3) Наконец, для корреляционной функции
(r)= *_(_l.yWJL)	A9)
/ v / 2vl-1r (v) \ ro I \ r0 I	v '
имеем
Г I V + -rr
ф (Х) = [ rZ г) 	 ° . .	B0)
§ 5. Локально однородные
и изотропные случайные поля
Следует заметить, что реальные метеорологические поля мож-
можно рассматривать как однородные и изотропные случайные поля
лишь в. грубом приближении. Например, статистические харак-
характеристики атмосферной турбулентности обычно являются функ-
функцией высоты над поверхностью земли. Поэтому, так же как и при
рассмотрении нестационарных случайпых процессов, при анали-
анализе пространственной структуры метеорологических и некоторых
других нолей целесообразно применять метод структурных
функций.
Действительно, на разность значений поля / (г) в двух точках
гхи гг основпое влияние оказывают лишь те неоднородности поля
/, размеры которых не превосходят расстояния | гх — га|. Если
это расстояние не очень велико, то наибольшие неоднородности не
оказывают влияния па / {гг) — / (fj), и поэтому структурная
функция (которую мы будем рассматривать лишь для действи-
действительных случайных нолей)
D (*ч,г,) - <{[/ (тч) - </ (п)>] - [/ (г2) - </ (г2)>]}2> A)
может оказаться зависящей лишь от rt — ra. В то же время на
значение корреляционной функции В (rv гг) оказывают влияние
неоднородности всех масштабов и она может зависеть от каждого
аргумента в отдельности*), а не только от разности тг —гг. Мы
•) Например, корреляционные функции метеорологических полей в ат-
атмосфере обычно зависят не только от взаимного расстояния двух точек на-
наблюдения, по и от их средней высоты над поверхностью земли, т. е. факта ¦
чески от координат обеих точек наблюдения.

{ 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 41
приходим, таким образом, к понятию локальной однородности
110].
Случайное поле / (г) называется локально однородным, если
функции распределения случайной величины / (ri) — / (г2) ин-
инвариантны относительно сдвигов пары точек г,, т2.
Таким образом, среднее значение </ (гг) — / (г2)} и структур-
структурная функция A) локально однородного случайного поля зави-
зависят лишь от гх — т2:
D(rl+r,r1) = D(r).
Локально однородное случайное поле называется локально
изотропным, если функции распределения неличины / (rt) —
— /(fa) инвариантны относительно вращений и зеркальных отра-
отражений вектора г1 — г2. Структурная функция локально изотроп-
изотропного случайного поля зависит лишь от | г1 — г2 [.'
D(r)=D (r).	B)
Локально однородное случайное поле может быть представле-
представлено в виде спектрального разложения, аналогичного разло?кению
процесса со стационарными приращениями B8.3):
00
}(г) = /@) + аг + \§ {e*r-l)Z(dsx),	C)
где / @) — случайная величина и а — случайный вектор. В слу-
случае, если поле / локально изотропно, не сущестпует выделенного
направления, от которого оно может зависеть. В этом случае
вектор а имеет изотропный закон распределения и <а> = 0.
В большинстве случаев можно считать, что и сам нектор а равен
нулю; в этом случае спектральное разложение локально изот-
изотропного поля имеет вид
00
^.	D)
Функция Z (d3 х) удовлетворяет прежним соотношениям
<Z (d» «)> =0,
<Z <c?3x) Z* (dV)> = S(x — х') Ф(х) d
где Ф ^> 0 — спектральная плотность поля,

42	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Подставляя C) в формулу A), можно получить разложение
со
В (г) = 2^A— cosier] Ф(х)<7'х.	F)
—оо
В случае локально изотропного поля, как следует из D), </(?•)> =
= const и формула A) упрощается:
D(r) = <[/(«• + г') -/(r')j«>.	G)
В этом случае спектральная плотность Ф (х) зависит лишь от
модуля вектора х:
Ф (х) = Ф (х).
Вводя в F) сферические координаты в пространстве х и произво-
производя интегрирование по угловым переменным, получим формулу
(х)х<Ле.	(8)
Выпишем формулы обращения для преобразования F). Взяв
градиент от F) и обращая получающийся после этого интеграл
Фурье, можно получить формулу
—00
В случае, если поле/ (г) является локально изотропным и D (г)
= D (г), формула (9) упрощается. В этом случае
Вводя сферические координаты и выполняя интегрирование по
угловым переменным, получим формулу
оо
ф W = ш? I D> <r)[sin xr—xr cos xr^dr-
Интеграл в A0) сходится (при х ф 0), если выполнены условия:
а)	lim rD' (r) = 0;
Г-+ОО
б)	существует такова < 1, что
()	<Q	A1)

I 5]	ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 43
или выполняется более жесткое условие
lim r*D' (r) = 0.
Применив к F) оператор Лапласа, можно получить другую
формулу обращения:
cos xr
которая для локально изотропных полей принимает вид
о
Интеграл в A2) сходится (при х =/= 0), если:
б) существует такое а < 1, что
lim га ^- [r*D' (г)] = const < оо	A3)
г-*0
или выполняется более жесткое условие
lim r -=-
Так же как и в случае процессов со стационарными прираще-
приращениями, условия A1) и A3) различны, и поэтому формулы A0) и
A2) следует применять лишь после проверки выпслнепия этих
условий.
В случае локально изотропного поля можно ввести также
одномерное спектральное разложение, подобно тому как это де-
делается в C.4):
00
D(r)=2 \ [I— cosxr]F(x)tfx.	A4)
Формула обращения для A4) аналогична соответствующей форму-
формуле для процессов со стационарными приращениями B0.3) и имеет
вид

44	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ tM. 1
Формула A5) справедлива при следующих условиях:
а)	lim ?>' (г) = 0;
г-к»
б)	существует такое а < 1, что
lim r1+aZ)' (r) — const < эо
г-»0
или выполняется более жесткое условие
lim rW (г) - 0.	A6)
Дифференцируя A5) и сравнивая получающийся после этого
результат с формулой A0), получаем соотношение между Ф (и)
и V (х), аналогичное A3.4):
**Г±±Ш	A7)
Та же формула может быть получена и из A2). Таким образом,
соотношение между одномерной и трехмерной спектральными
плотностями локально изотропного случайного ноля такое же,
как и в случае изотропного поля.
Как следует из спектрального разложения F), фигурирующий
в нем интеграл сходится при выполнении условий:
а)	существует такое а < 1, что
lim х*+аФ (х) = 0;	A8а)
б)	существует такое Р > 1, что
Итх2+Эф(х) = 0.	A86)
X-W3O
Первое из этих условий допускает наличие у функции Ф (х) сте-
степенной особенности в нуле типа х~*\ где ц <С 5.
Таким образом, используя аппарат локальпо однородных
случайных полей, мы получаем возможность описывать случай-
пые ноля, имеющие бесконечную «энергию» в области крупных
масштабов.
Помимо разложений случайного локально изотропного поля
и его структурной функции в трехмерные интегралы Фурье, бу-
будем использовать также двумерные разложения в плоскости
х -- const:
f(x,y, z)=--f{z, 0,0) + § [«low*) —l]it<dx,,dx,, *)• A9)

g 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 45
Здесь / (х, О, 0) — случайная функция, а и (dx2, dxs, x) удовлет-
удовлетворяет соотношению
^5?о Т I U (иУС d^t ОС i\ —'
причем
F (хг, х3, х) — F (х2, х3,— а;).
Рассмотрим рааность значений / (х, у, z) в двух точках плос-
плоскости х = const. Используя разложение A9), получим
f(x, у, z) — f(x, у', z') = Jj [вЧ(«.м+«Л — е* («л'+х*')] u
—оо
Вычислим корреляционную функцию двух таких разностей, взя-
взятых в плоскостях х и х'\
<[/ (х, y,z)-f {х, у', г')] [/• (х, у, z) - Г (х', у', z')]> -
^
X <u (dx2, dx3,
Используя формулу B0), получим
<[/(*, у, z)-f(x, у', z')] lf(x', у, z)-f{x', у', z')]> =	B1)
оо
=2 ^ {1 — cos [х3 (у — у') + х3 (z — г')]} /*' (ха, х3, ж — х') dx2 dx3.
В случае локально изотропного поля корреляция между разно-
разностями
/ (х, y,z)-f (х, у', z') и Г (х', у, z) - Г (х', у\ z')
обусловлена, очевидно, лишь такими псоднородностями, разме-
размеры которых превышают расстояние ' х — х' |, т. е. I ]> | х — х'\.
Поскольку масштабу I соответствует волповое число х —¦ -,-, то
корреляция мегкду указанными разностями обусловлена лишь той
частью спектра, для которой волновые числа удовлетворяют усло-
условию х | х — х' | ^ 1. Следовательно, функция F (xs, х3, х — х'),
являющаяся спектральной плотностью величины
<1/ (*, у, z) - / (*, у', z')\ [f (x\ y,z) - f (х\ у', z')]>,

46	СВЕДЕНИЯ ДО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
быстро убывает при х\х— а;'|>1. Воспользовавшись алгебраи-
алгебраическим тождеством
левую часть уравнения B1) можно выразить через структурную
функцию поля /, в результате чего формула приобретает следую-
следующий вид:
= 2 JX {1 — cos [х2 (у — у') + x3(z — z')]}F(x2, х3, х — х')
B2)
Положив здесь I = х — л:'=0, у — у' = ц, z — z' = ?, получим
оо
Z),@, ц, ?) = 2 Jj [I — cos (хат) + xs?)I F (xa, x3, 0) tfx2 cfx3, B3)
—эо
т. е. функция F (х2, х3, 0) является двумерной спектральной
плотностью величины D @, т), g). В случае локальной изотроп-
изотропности в плоскости х = const функция F (х8, xs, j х |) зависит
лишь от Ух1+х|, и тогда
00
[1 — Л(ир)] ^(х, 0)xdx.	B4)
Здесь
Найдем свяэь между функциями Ф (х) и F (х2, х3, л). Подста-
Подставляя спектральное разложение F) в левую часть формулы B2),
получим
оо
2 УХ [cos «х| — cos («i| + х2т) + xsS)] ф (*) d3« =
—ОС
оо
= 2 JJ [ 1 — cos (jch + x,C)] F (x2, x3, I) dx2 cfx3. B5)
Подставляя cos xL ? — cos (xx| + х2т) + xs?) = cos Xjl — cos xi| x
X cos (х2т] + x3?) -f- sin «il sin (xgT) + x3Q и учитывая, что

g 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 47
интеграл от произведения
sinx1|sin(xaTi + х3?) Ф(х)
равен нулю в силу нечетности этой функции по х, получим формулу
—со
со
x* dn3 ^ cos (mi?) Ф (х) dv-i. =
= g [I — cos (xiij + КзС)] ^ (Mi, Ms, I) dx2 dx3, B6)
—00
из которой следует, что
со
F (х., м,, I) = J cos (Mi?) Ф (х) dMi.	B7)
—00
Обращая этот интеграл Фурье, найдем также
, Из, 6)rf?.	B8)
Воспользовавшись последней формулой, можно получить спект-
спектральные разложения D (г), выраженные через F (х2, кэ, |). Под-
Подставляя B8) в F), после несложных преобразований, использую-
использующих формулу
оо
о
можно получить разложение
оа
D{x, у, 2) = 2 Ц F(x2, мв, 0)
—00
оо
—2UF (ха, х3, z) cos (x2y + х3г) dx2 dx3. B9)
—00
В случав, если случайное поле локально изотропно,
^(х., «з. х) = F(Vm; + m|, х).

48	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. i
Вводя новые переменные интегрирования
х2 = х cos ф, xs = х sin ф
л обозначая
у = р cos a, z = p sin а, где р2 = у2 + #,
после выполнения интегрирования с учетом известной формулы
¦х
\ cos [хр cos (ф — a) J dq> — 2я70 (хр)
получим
со	со
[	Л	C0)
где г2 = з? + р2. В частном случае х = 0 формула C0) перехо-
переходит в выведенную выше формулу B4).
Если поле / (г) является однородным и для него сущест-
существует корреляционная функция В (г), ее можно выразить через
F (х2, х3, х) при помощи легко доказываемой формулы
00
В (х, у, z) = \\ cos (х2г/-f x3z)/?(X2, x3, s)rfx2rfxg. C1)
—00
В случае, если поле / (г) изотропно в плоскости х = const, мы
получаем отсюда
00
В (г) = 2я ^ F (х, х) /0 (хр) к dx.	C2)
о
Мы будем в дальнейшем часто пользоваться формулой', получае-
получаемой отсюда при х — 0 для корреляционной функции в плоскости,
перпендикулярной оси х:
оэ
В (р) = 2я [ F (х, 0) /0 (хр)х d%.	C3)
Рассмотрим примеры.
1) Структурная функция однородного и изотропного случай-
случайного поля, рассмотренного в примере 3) предыдущего парагра-
параграфа, может быть выражена через его корреляционную функцию

g 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ II ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 49
при помощи формулы
D(r) = 25@) — 2 В (г).
Подставляя сюда
получим
[4№Ш <34>
Спектральная плотность, соответствующая C4), равна
я Vn Г (v)	v+ JL
A г к*® 2
При г<<г0
2) Рассмотрим структурную функцию
?(г)=СгП\ @<ц<2).	C6)
Одномерная спектральная плотность, соответствующая этой
функции (см. C8.3)), равна
V (х) = Г-^±^- sin (^) СЫ- ft»-»).	C7)
Воспользуемся соотношением A7) и найдем трехмерную спект-
спектральную плотность Ф (к):
ф (Х) = r^4+2)- sin (rtJ.) c^x- (и^».	C8)
Вычислим также двумерную спектральную плотность F (х, х),
соответствующую структурной функции С2 г*. Подставляя вы-
выражение C8) в правую часть формулы B7) и производя интегри-
интегрирование, получим
1Д,
• C9)

50	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. i
Так как при z ^> 1
то функция C9) приха;^>1 быстро стремится к нулю, что соответ-
соответствует указанному выше общему свойству функции F (и, х).
Рассмотренная в предыдущем примере структурная функция
при
совпадает при г <^ г0 со структурной функцией С2 г*. Спектры
этих фупкций совпадают при к г0 ^> 1 (см. рис. 4, 5).
§ 6. Пространственно-временные случайные поля
Реальные метеорологические поля являются случайными функ-
функциями как во времени, так и в пространстве. Мы кратко остано-
остановимся на их описании, которое во многом подобно описанию
рассмотренных выше вопросов.
Если действительное поле / (г, t) является стационарным во
времени и однородным в пространстве, то для его описания может
быть использована пространственно-временная корреляционная
функция
В (г, т) - </(г + тъ t + x)f (гъ *)>	A)
(предполагается, что </> = 0). В (г, т) четна как по г, так и по т,
и удовлетворяет соотношению
\В(г, т)|<Я@, 0)
и условию положительной определенности. В (г, т) может быть
представлена в виде интеграла Фурье
В (г, т) = \\\\ cos (xr + сот) и (х, со) d3xdco,	B)
где и (х, со) > 0 — четырехмерная (цространственно-времепная)
спектральная плотность. Положив в B) т = 0, получим
со	оо
В (г, 0) = В (г) = WX cos xr И и (х, со) dcol d3x.	C)
—w

§ 6]	ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	51
Сравнивая C) с формулой G.4), получаем
со
ф(у.)— \ и(%, co)dco.	D)
Аналогично, полагая в B) г = О, найдем
оо	со
В (О, т) = В (т.) = J\ cos cot [Ш и (х, со) d3x] d-r,	E)
—со	—оо
откуда получаем соотношение
со
W (<в)=№ u (x,w)d»x.	F)
Само случайное поле / (г, *) в случае его стационарности и од-
однородности представляется при помощи стохастического инте-
интеграла Фурье — Стильтьеса
/ (г, t) = Щ ^ (hw«()Z (d«x, d<o),	G)
—со
причем функция Z удовлетворяет условиям
е, dw) Z* (dV, d(o')> =
= 6(x — x') 6 (© — ©') u (x, (o) d3xd3x' dcodco'. (8)
В атом случае подстановка G) в формулу A) приводит к B).
В качестве важного примера рассмотрим случай, когда все
временнйе изменения / (г, t) связаны с переносом пространствен-
пространственного распределения поля с постоянной скоростью v, причем
перенос происходит без какой-либо эволюции («замороженное
поле»). В атом случае
/(г, t + t') = f(r-vt', t).
Подставляя эту формулу в A), получим
В (»", 1) = </(** + ГЪ t+X)f {Tlt «)> -
= <f(r + rx — vt — vx, 0) / (гх — vt, 0)> = В (г — t>t),
т. е. для «эамороженного» поля, перемещающегося со скоростью
«1 выполняется соотношение
В (г, т) = В (г - vx).	(9)

52	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Легко проверить, что формула (9) эквивалентна соотношению
и (х, со) = б (© + xv) Ф (х)	A0)
между спектральными плотностями. Действительно, подставляя
A0) в B), получим (9).
Предположим, что поле / (т, t) статистически изотропно.
В этом случае Ф (х) — Ф (х). Введем в пространстве сферические
координаты с полярной осью, направленной по вектору v, и
подставим A0) в F):
со	2п п
\ dq>\sin6d96(wсозб + <о)Ф (к).	A1)
о о
Выполняя интегрирование по ср и вводя новую переменную
cos 9 = |, запишем (И) как
СО	1
W (ш) = 2л { х2Ф (у.) dx[b (x.vx + со) dx.	A2)
О	—1
Замечая, что
получим
со
1	1	I— при
А	"" А ' ' '	1 и при | —
Подставляя это выражение в A2), найдем
A3)
Дифференцируя A3), можно получить также соотношение
Ф(*)= -2^ И<" (>«;).	A4)
Формулы A3) и A4) связывают пространственный и времен-
временной (частотный) спектры изотропного «замороженного» случай-
случайного поля. Условия, при которых реальные поля в турбулент-
турбулентной среде можно считать замороженными, будут рассмотрены в
разделе Б.
В случае, если поле/(г, t) является локально однородным по г
и обладает стационарными приращениями, оно описывается

5 7)	ПОЛЯ С ПЛАВНО МЕНЯЮЩИМИСЯ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	53
структурной функцией
D(r, т) = <{[/(«• + «•', t + т)-/(«•', 0] -
- </ (г + г', I Л- т) -/(«•', О»2)- A5)
?) (г, т) может быть представлена разложением
D(r, т)= 2^[1—cos(xr + (ot)]«(x, iu)cPxda. A6)
Соотношения D) и F) остаются в силе и в этом случае. Само
поле / (г, I) в этом случае представляется в виде стохастического
интеграла Фурье — Стильтьеса
f(r, t) = /@, 0) + ar +bt + Щ [ei (*«»«>_ 1] Z(d3x, da), A7)
причем Z (dbi, da) удовлетворяет соотношениям (8).
В случае локально изотропного поля со стационарными при-
приращениями а — 0 (см. § 5).
В случае «замороженного» локально изотропного случайного
поля соотношение (9) заменяется на
D (r, n)=D(r — vx),	A8)
а соотношения между спектрами A0), A3) и A4) не изменяются*).
§ 7. Локально однородные поля
с плавно меняющимися средними характеристиками
До сих пор мы рассматривали локально однородные случай-
случайные поля, для которых структурная функция D (ги г.^) внутри
некоторой области G с размерами порядка Lo удовлетворяла ус-
условию D (rur^ =D (г1 — г2). В теории турбулентности мы стал-
сталкиваемся с тем обстоятельством, что при 1»^ — **2|<^Lo струк-
структурные функции случайных полей имеют универсальный харак-
характер, т. е. одинаково зависят от Т\_—гг, независимо от того, в
какой части турбулентной области помешаются точки гг, г2, если
только эти точки достаточно близки друг к другу. При переходе
к Другой области G' в турбулентной среде, также имеющей раз-
размер порядка Lo и удаленной от G на расстояние порядка Lo, вид
) Интересный пример случайного поля, пространственные и временные
«фактеристнки которого связаны ограничениями, вытекающими из волно-
волнового уравнения, рассмотрен в работе [12].

54	СВЕДЕНИЯ НО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
зависимости структурной функции от гх — т% но изменяется, од-
однако может измениться общая интенсивность флуктуации, т. е.
численный коэффициент в D (гх, г2). Мы приходим, таким обра-
образом, к формуле типа
D (ги гг) = С* (!Ц-5) Do (rx - г2).	A)
Здесь функция С2 (JS) описывает плавные изменения интенсив-
интенсивности флуктуации при переходе от одной части турбулентной
области к другой; опа заметно меняется лишь при изменении JB
на величину порядка LQ. Функция Do (т-^ — т^) описывает локаль-
локальную структуру случайного поля и одинакова во всех областях
G, (?',... Функция Do (г) имеет смысл лишь при г <^L0. Однако,
если чисто формально распространить функцию Do (r) и на боль-
большие значения аргумента, мы получим возможность написать
спектральное разложение этой функции
Do (г) = 2 ^ [ 1 — cos %r] Ф„ (х)<Рх.	B)
—оо
Подставляя B) в A), получим
0(*)<Ри. C)
Эту формулу можно записать в виде
00
D (rlf П) = 2 Jg [ 1 - cos х (п - г2)] Ф (х, ^±Г-г) <Рк, D)
—со
где
Ф («. =4—) = *"(-^-2>»о(х).	E)
Таким образом, относительное распределение флуктуации
величины / по спектру одинаково во всех областях G, G\... и
описывается функцией Фо (х); от области к области меняется лишь
общая интенсивность флуктуации, выражаемая величиной
Можно, как и выше, ввести двумерную спектральную плот-
плотность

j 7]	ПОЛЯ С ПЛАВНО МЕНЯЮЩИМИСЯ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	55
связанную с функциями
D,(r,r') иФ,(х, ЦП)
соотношениями, аналогичными B2.5) — B8.5):
х3, х—х', т- 2Г ) =
00
х х Г ) rfx F)
= \
(В D)—F) мы пренебрегаем различием между значениями Cj( ' 2
в двух близких точках, удалеппых друг от друга на расстояние
| гх — г21 <^ Lo, поскольку эта функция заметно меняется лишь
при изменении ее аргумента на величину порядка Lo.)
Остановимся кратко на спектральном разложении самого слу-
случайного поля / (г). Для простаты рассмотрим пример, когда су-
существует корреляционпая функция флуктуации / вида
Bt(r, r') = ±L
(Подобные вопросы рассматривались Сильверманом [166].)
Пусть / (г) выражается стохастическим интегралом Фурье —
Стильтьеса
G)
(предполагается, что </> = 0).
Рассмотрим выражение </ (г) / (r')> = Bt (r, г'):
(г) /* (г')> = J. . .J e* f'»'^»''') <Z (d»x) Z*
Введем координаты
Тогда
xr — x'r' = (x — x') В + 1 (и + x') p

56	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. I
И
оо	х-Ьх'
$ \^~Pd^')y. (9)
Согласпо предположению
</(*•)/• («О) =
Отсюда следует, что
<Z (d3x) Z* (d V)> = M (к — x') Ф|о) f5^-) d3x dV, A0)
причем, очевидно, Л/ @) > 0 и ФуО)(х) > 0. Подставляя это вы-
выражение в (9) и производя замену переменных, получим
о* (В) = ^ М (%) e'*B d3n,	A1)
х-	A2)
—ОО
оо
В случае, когда а/ = const, M {ж — ж') — off) (х, — х') и
формула A0) переходит в E.5). Как следует из A0), в случае
переменного а/ появляется корреляция между близкими спект-
спектральными компонентами Z (сРх) и Z* (сРк'): если | х—х' | ^Lo1.
то (Z (d? к) Z* (d?x')y ф 0. (Как следует из A1), функция
М (х) заметно отлична от нуля на интервале порядка Lq1, по-
поскольку Of(Il) заметно меняется на интервале порядка Lo.)
§ 8. Векторные случайные поля
В дальнейшем мы часто будем иметь дело с векторными слу-
случайными полями, такими как поле скоростей в турбулентном,
потоке, электромагнитное поле, распространяющееся в турбу-
турбулентной среде, и т. д.
Описание статистической структуры векторного случайного
поля во многом аналогично описанию скалярного поля. Можно
было бы ввести корреляционные или структурные функции для
каждой из компонент векторного поля. Однако такие корреля-
корреляционные функции не позволят описывать связь между различ-
различными компонентами поля и необходимо рассмотреть также взаим-
взаимные корреляции между различными компонентами. Таким обра-

I 8]	ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	57
зом, мы приходим к необходимости рассмотреть корреляционный
тензор
wk (г,) - <wk(r1)>J>. A)
В дальнейшем мы будем считать <у&> = 0, т. е. будем рассматривать
отклонения поля от своего среднего значения. Для описания ло-
локально изотропных полей будем употреблять структурный тен-
тензор
Для статистически однородного поля Bik и D^ связаны соотно-
соотношением
ZMr) = 2?fk@)-2Btt(r).	C)
Рассмотрим статистически изотроппое (локально изотропное) век-
векторное поле.
В изотропном скалярном поле величина </(»*i) /(**г)) не зависит
от ориентации вектора г — гх — г2. В случае же векторных полей
понятие изотропности является несколько более сложным. Рас-
Рассмотрим, например, величину Вп (г) — <ух (г,) v1 (r^)). Здесь
vi (rk) — проекция вектора v (rk) на ось хх. Пусть точки гх и гг
расположены вдоль оси х1ш Тогда Вп представляет собой корре-
корреляцию продольпых (по отношению к вектору т = гх — г2) ком-
компонент вектора v. Повернем теперь вектор г вокруг точки гх
на угол я/2, так чтобы точки гх и г2 расположились вдоль осих2.
В этом случае vx (rA) и v^ (r4) по-ирежнему являются проекция-
проекциями v на направление оси xv Но теперь вектор г перпендикулярен
этой оси, так что ВХ1 (г) уже представляет собой корреляцию по-
поперечных (по отношению к г) компонент вектора v. Яспо, что
в рассмотренных двух случаях величины Вп не должны совпадать
между собой, так как взаимное расположение рассматриваемых
компонент вектора v относительно вектора г изменилось. По-
Поэтому в статистически изотропном векторном поле каждая компо-
компонента Bilc (r) должна зависеть от ориентации вектора г.
Пусть теперь в точке гк задан единичный произвольно ориен-
ориентированный вектор ?, а в точке га — единичный вектор т. Ориен-
Ориентацию вектора г будем характеризовать единичным вектором п,
направленным вдоль г, т. е. п — —, где г — \ г \. Рассмотрим
корреляцию проекций lv (rx) и mv (r^) поляг» в этих двух точках
на направления I ж т соответственно:
В= <(*t>(ri)).(mv (!•„))>
— hmj <yk (гг) Vj (гг)> =

58	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Повернем теперь одновременно все три вектора п, I, m при фик-
фиксированном г как жесткое целое на произвольный угол. При этом
взаимная ориентация векторов п, I, т не меняется, т. е. сохра-
сохраняются скалярные произведенияnl, nm,lm.Ясно, что если поле
v (г) статистически изотропно, то величина В в результате по-
поворота не изменится. Требование инвариантности выражения
В = ZkW,Bw (r)
относительно одновременного поворота всех трех векторов и, I,
т и является определением статистически изотропного вектор-
векторного поля.
Так как при повороте сохраняются лишь величины r,nl, тп%
1т, то В может зависеть только от них:
hnijBbi (г) = В (г, In, mn, 1т).
Но левая часть равенства линейна как по компонентам вектора I,
так и по компонентам вектора т. Поэтому правая часть этого ра-
равенства может содержать 1т лишь линейно, а величины In, mn—
только в виде их произведения. Следовательно, В должно иметь
вид
В (г, In, тп, 1т) = Р (г) (lm) + Q (г) (In) (mn) =
= Р (г) Ijirij + Q (г) кщпцщ =¦¦ lynij [P(r) 6W + Q (r) nkrij].
Сравнивая это выражение с формулой В — lkm,jBHj (r) и учиты-
учитывая произвольность lk,nij, получаем формулу
В» {г) - Р (г) ву + Q (r) nHnh	D)
которая дает общий вид изотропного тензора второго ранга.
Аналогичные рассуждения можно применить и к структурному
тензору поля v (здесь придется рассматривать не значения поля v
в точках rv u г2, а разности полей в этих точках). Поэтому для
Da получим
(г) - Л (г) в№ + S (г) щщ.	E)
Другой, более формальный вывод выражений D) и E) осно-
основан на том, что в случае изотропного поля v выражение дляBih(r)
может содержать лишь единичный вектор вдоль направления
г и единственный изотропный тензор 6jk и не может содержать
никакого другого вектора или тензора, так как с ними было бы
связано выделение некоторого направления в пространстве,
что противоречит предположению об изотропности. Единствен-
Единственное же выражение для тензора второго ранга, содержащее только
n.j и 8ik, имеет вид D). Функции Р (г), Q (г), Я (г), S (г), входя-

I 8]	ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	59
щие в формулы D), E), являются скалярными функциями ска-
скалярного аргумента г = \ г \.
Таким образом, если в общем случае тензор второго рапга
имеет девять независимых компонент, а симметричный тензор —
шесть компонент, то условия изотропности сводят число независи-
независимых компонент до двух.
Направим ось z = х3 системы координат вдоль вектора п.
Тогда компоненты вектора п будут равны {0, 0. 1}. Полагая в
формулах D), E) индексы ;, к равпыми одновременно 1 или 2,
получим
Вп = Б22 = Р, ?>п = Огг = R.
При i = к = 3 будем иметь
В33 = Р + Q, DS3 = Я + S.
Поперечные компоненты Ви, В2г равны между собой. Обычно они
обозначаются символами
= В2г — B
tt,
Продольпая компонепта Bss, D3S обычно обозначается символом
В„, D,r. Выражая функции Р, R, Q, S через Brr, Btl, Drr, Dit
и подставляя эти выражения в D), E), получим формулы
В* (г) = Вн (г) bilc + [ВГГ (г) — В„ (г)] щпк,	D')
Dtk\r) = Dtt (r) 6ilt + [Drr (r) — Dti (r)] щщ.	E')
Как известно из теории векторных полей, всякое достаточно
гладкое векторное поле может быть разложено на потенциальную
и солепоидальную части. Аналогичное разложение существует
и для случайных полей. Рассмотрим сначала соленоидальное век-
векторное поле. Примером такого поля может служить поле скоро-
скоростей в несжимаемой жидкости или поле магнитной индукции. Соле-
Соленоидальное поле удовлетворяет уравнению
(В дальнейшем мы не будем ставить знак суммирования по дваж-
дважды повторяющимся тензорным индексам, который всегда подра-
подразумевается, если это не оговорено специально. Так, div v =
з
Sdv>	„	dvi тж
-g-5- в тензорной записи имеет вид а~ . Индексы в выра-
жениях Brr, Btt, Drr, Du не являются тензорными и по ним сум-
суммирование не проводится.)

60	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ (ГЛ. 1
Продифференцируем выражение
Вт (П — г2) = <У! (п) ук (га)>
(напоминаем, что <«> = 0) по координатам точки (г,)^, а затеи
произведен суммирование (свертывание) по индексам i, /. Учи-
Учитывая условие соленоидальности F), получим
Но дифференцирование выражения Bilc (rx — г а) по координатам
гх эквивалентно дифференцированию по г = гх — г2. Поэтому
корреляционный тензор соленоидального векторного поля удо-
удовлетворяет условию:
Аналогичному условию удовлетворяет и структурный тензор
локально однородного случайного поля. Проще всего его можно
получить, дифференцируя соотношение C) и подставляя в него G):
Условие (8) получено для структурного тензора статистически
однородного поля, но оно выполняется и в случае локально
однородного поля, когда корреляционный тензор уже не суще-
существует.
Воспользовавшись условиями G) и (8), мы можем в случае
статистически изотропных (локально изотропных) полей уста-
установить связь между поперечными и продольными компонентами
тензоров В№, Due. Дифференцируя соотношения D') и E') и
учитывая формулы
дг
_ д I хь\ __ 5ц. 	?*. „ _ ^ift ~
~ ЭХ{\ Г )	Г	Г* '	Г
дп^ 	 б{{ — ii"i 	 3 — 1 	 2
дхх	г	г ~~ г '
и дп* я 6ц — nink _ пк — пк _ о
Щ ~Щ = Щ	г	г	*
получим
^ ' [B'rr-В'и] п* + [Вгт -B«]-f

S 8]	ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ	61
Отсюда следует, что
или
В,, (г) = — — (глВтт).	(9)
Аналогичная связь имеется и между компонентами структурного
тензора
Dn (r)= -—— (r2DTr).	A0)
Соотношения (9), A0), полученные впервые Карманом, позво-
позволяют выразить поперечную компоненту корреляционного (струк-
(структурного) тензора соленоидального статистически однородного и
изотропного (локально однородного и изотропного) векторного
поля через его продольную компоненту и сводят, таким образом,
число независимых компонент до одной.
Рассмотрим совокупность соленоидального векторного стати-
статистически однородного и изотропного поля (или локально изо-
изотропного поля) и скалярного однородного и изотропного поля
(локально изотропного поля) А(г). Рассмотрим корреляционную
функцию
A1)
Так как в случае изотропных полей не существует никакого выде-
выделенного направления в пространстве, то вектор Z?k (r) может быть
направлен лишь вдоль векторного аргумента рассматриваемой
корреляционной функции г. Таким образом,
Дк (г) = В (г) пк,
где В (г) является скалярной функцией скалярного аргумента г.
Дифференцируя равенство A1) и учитывая условие соленоидаль-
ности F), получаем
-гг) _ дВк(г) _
дх
Поэтому
дхП
- = В' (г) пкпк + В (г) J2L = В' (г) + ± В (г) =

62	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. i
Интегрируя последнее уравнение, получаем r'B (r) — const,
откуда
Const
Очевидно, что при г = 0 функция^ (г) должна оставаться конеч-
конечной. Отсюда вытекает, что константа в выражепии для Вк должна
быть равна нулю, т. е. выполняется соотношение
Вк (гг - г,) = <i* (г,) А (г,)> = 0.	A2)
Таким образом, статистически изотропные скалярное поле и
соленоидальпое векторное поле обладают равным нулю взаимным
коэффициентом корреляции. Аналогичное равенство может быть
установлено и для локально изотропных полей
Dbin — r,) = <[M»"i) — »*(«•»)] [А (ГО - А (г,)]> = 0. A3)
Рассмотрим теперь статистически однородное и изотропное
потенциальное векторное поле. Примером такого поля, рас-
рассмотрением которого мы и ограничимся, является градиент ска-
скалярного статистически однородного и изотроппого поля. Пусть
где А (г) — однородное и изотроппое скалярное поле с корреля-
корреляционной функцией
{А (г,) А (г,)> - Я (|п - г21) (О4> = 0).
Дифференцируя это равенство по координатам точек г1 и г2, по-
получим
ЬА (n) 8A (г2) \ _ ,	„ _ *Я A г, - г, | )
Выполняя дифференцирование, будем иметь
ik (г) = (Л* 41) лп
С другой стороны, тензор 5,-» должен иметь вид D'); сравни-
сравнивая эти выражения, найдем

{ 83	ВЙКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЙ ПОЛЯ	ГK
Исключая отсюда функцию R, получим соотношение между по-
перечвой и продольной составляющими корреляционного тензора
потенциального однородного и изотропного векторного поля
%	A4)
Аналогично
?>„(!¦) ={г?>„ (г)]'.
Соотношение A4) получено А. М. Обуховым 12].
формулы (9) и A4) позволяют произвести разложение ста-
статистически однородного и изотропного векторного поля, корре-
корреляционные функции которого убывают на бесконечности, на
потенциальную и соленоидальную части. Пусть BrT, Btt — про-
продольная и поперечная корреляционные функции исходного поля.
Положим
BTr(r)=B%>(r) + B$(r),
A5)
где индексами pus отмечены потенциальпая и соленоидаль-
ная составляющие. Согласно (9) и A4) они удовлетворяют соот-
соотношениям
Вместе с соотношениями A5) эти уравнения достаточны для
нахождения по заданным В „(г) и Btt(r) четырех функций J3»\
#r"\ B(tf\ В(?\ При выполнении условий Btt (r), Brr(r) r_^-0 рас-
рассматриваемая система уравнений имеет единственное решепие [2].
Потенциальная и соленоидальная компоненты ноля оказываются
некоррелированными друг с другом, так как имеет место общая
теорема о некоррелированности статистически однородных
и изотропных соленоида льного и дотенциального полей. Действи-
Действительно, если У(с(»*) — соленоидальное поле и щ (г) — ^ ^ —
потенциальное поле, то согласно A2)
<»* Ы и, (г,» = /Ук (Г1) ~^~У = щ <v* (г,) А (г,)> = О,
т. е.
= 0.

64	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	\ТЛ. 1
Рассмотрим теперь спектральные разложения корреляцион-
корреляционных и структурных функций для однородных и изотропных (ло-
кальпо однородных и изотропных) векторпых полей. Они опре-
определяются формулами
В* (г) = ^ cos х «• Ф« (х) <Рх,	A7)
—оо
00
Dilc (г) = 2 \\[ [1 - cos кг] Фл (х) д.4.	A8)
Поскольку в пространстве волновых чисел в случае изотропных
полей нет никакого выделенного направления, то Ф;к имеет
вид
ф*(х) = 7?(хNа4 G(x)x,xb	A9)
где F и G — скалярные функции скалярного аргумента х. Най-
Найдем вид спектрального тензора для соленоидального поля. Под-
Подставляя A7) в G), получим уравнение
^р- = - g sin Ыг)щ<Ъъ (к) dH = 0,
из которого следует, что должно выполняться равенство
х»Ф№(х) = 0.	B0)
Такое же равенстно получается и при подстановке A8) в (8).
Подставим A9) в уравнение B0):
x{F -f X;X2G = 0.
Из этого равенства мы можем выразить функцию G через F, и в
результате выражение для Ф4/? приобретает вид
(»с).	B1)
Тензор 6ц-	Ц*. представляет собой оператор проектирования
на направление, перпендикулярное вектору х.
Корреляционный тензор потенциального векторного поля
удовлетворяет уравнению
di	дхк = '	( )

j Si	ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЙ ПОЛЯ	65
которое может быть легко получено из условия потенциально-
потенциальности случайного поля rot и — 0, подобно тому как уравнение G)
было выведено из F). Подставляя A7) в уравнение B2), получим
х3Ф1Ь(х)-ккФу(х) = 0.	B3)
Белл использовать теперь выражение A9), то условие B3) при-
приводит к равенству Р = 0. Таким образом, спектральный тензор
потенциального однородного и изотропного векторного полл
имеет вид
О,* (к) = xtxj G (к).	B4)
Рассмотрим теперь спектральные разложения продольной
и поперечной структурных функций. Свертывая E') по индексам
г, к, получим
Du =-¦¦ 2Dn + DTT.
Свертывание формулы A8) приводит к выражению
со
Da (г) = 2DU (г) + Drr (г) = 2 ССС [1 - cos xr] Ф„ (и) сРх.
Но след тензора спектральной плотности Фц (х) является функ-
функцией лишь от модуля волнового числа х. Поэтому в интеграле
можно ввести сферические координаты и выполнить в явпом виде
интегрирование тш угловым переменным. Б результате получаем
00
А, (г) - 2Dtt (г) + Drr (г) = 8я J (l - ^-) Ф„ (х) иа du. B5)
о
Дальнейшие вычисления проведем раздельно для соленоидаль-
ных и потенциальных полей.
1) Соленондальныс поля. В этом случае Dtl u Drr связаны со-
соотношением A0). Следовательно,
DH(r) = Drr + ±JL[r*Drr) = -1-А №,(/•)].
Интегрируя это дифференциальное уравнение и учитывая, что
•Огг @) = 0, получим
jj	B6)
о
Подставим в правую часть B6) спектральное разложение B5),
изменим порядок интегрирования по р и х и выполним
3 В. И. Татарски*

6Г)	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ГГЛ. 1
интегрирование по р. В результате получаем формулу
со
т\ / \ о i' I ' . cosxr sinxr
At (О = 8л 3 [-3- +
0
B7)
причем в последнем равенстве было использовано вытекающее
из B1) соотношение Фц — 2 F. Спектральное разложение функ-
функции Dtt (r) можно получить, взяв полуразность выражений B5)
и B7):
со
г> / \ / С Г 2 sin xr cos w . sin кг  ^ . . , ,
v '	J L 3	кг	х2га ! х8г8 J "х '
Заметим, что при кг -^ 0 выражение в квадратных скобках
в B7) приблизительно равно ^- х*^, а соответствующее выраже-
выражение в B8) равно ^-: х2/-2. Поэтому интегралы в B7) и B8) сходятся
в нуле даже в тех случаях, когда функция F (х) имеет в нуле сте-
степенную особенность типа х~а, гдо a < 5.
2) Потенциальные поля. В этом случае аналогичные вычис-
вычисления приводят к формулам
B9)
/ \ i i ! i i c°s "r sin xr 1 _, . . „ ,	,OA.
(г) =*я)[-т + -^i	^г\ ф« («)x d«.	C0)
0
oo
P) / \ о С Г 1 sinxr 2cosxr гзтхг"!^ . . «,	,o,v
r (г) = 8л \j [^	jjjjs- + -53-.J ф„ (x) x« dx.	C1)
0
При xr —>¦ 0 выражение в квадратных скобках в последней фор-
формуле стремится к нулю как т- х2га.

5 9	СТРУКТУРА СКОРОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ	67
Б. МИКРОСТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА
Как известно, при больших числах Рейнольдса Re = —
(у — характерная скорость, I — характерный масштаб по-
потока и v — кинематическая вязкость жидкости или газа) дви-
движение имеет турбулентный характер. В отличие от ламинарного
потока, где скорость движения является детерминированной фупк-
цией, в турбулентном потоке скорость является случайной функ-
функцией координат и времени. Это означает, что при многократном
повторении (при фиксированных внешних условиях) экспери-
экспериментов с турбулентным течением мы каждый раз будем получать
новые реализации поля скоростей.
Турбулентное течение жидкости или газа описывается при по-
помощи уравнений гидродинамики: уравнения Навье — Стокса и
урапнения неразрывности. С большой точностью для описания
турбулентного движения можно использовать модель несжимае-
несжимаемой жидкости (это допустимо в случае, если скорости движения
малы по сравнению со скоростью звука с и отношение характер-
характерного масштаба, на котором происходит заметное изменение ско-
скорости, ко времени, за которое происходит это изменение, также ма-
мало по сравнению с с).
В некоторых простейших случаях на основании этих уравне-
уравнений удается решить задачу об устойчивости движения и найти
значение критического числа Рейнольдса (см., например, [164]).
При возникновении турбулентного движения в результате
дробления вихрей на все более и более мелкие происходит пере-
перераспределение кинетической энергии движения — она передается
от крупномасштабных компонент движения мелкомасштабным.
А. Н. Колмогоровым была высказана гипотеза о том, что струк-
структура движения в малых масштабах обладает важным свойством —
локальной однородностью и изотропностью. Эта гипотеза позво-
позволила в значительной степени упростить описание мелкомасштаб-
мелкомасштабной турбулентности и привела к существенному продвижению
теории.
§ 9. Структурные и спектральные функции поля
скоростей в турбулентном потоке
Как уже отмечалось, турбулентное движение с большой сте-
степенью точности можно считать несжимаемым при тех реальных
скоростях и периодах движений, которые наблюдаются в атмо-
атмосфере. Кроме того, согласпо гипотезе Колмогорова поле скоро-
скоростей в области малых масштабов можно считать локально одно-
однородный и изотропным.
3*

68	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. I
Из условия несжимаемости
div v = 0	A)
следует, что поле скоростей является соленоидальным случай-
случайным полем. Поэтому для его описания можно применить развитый
в предыдущем параграфе аппарат. Для структурных функций
поля скоростей справедливы формулы E'), (8), A0), A8), B1),
B7) и B8) предыдущего параграфа.
Остановимся более подробно на связи спектральной плотности
поля скоростей с кинетической энергией турбулентности. Пред-
Предположим на премя, что турбулентность однородна и изотроппа.
Тогда наряду со структурными функциями поля скоростей су-
существуют и корреляционные функции. Формула, аналогичная
B5.8) для следа корреляционного тензора поля скоростей, при-
принимает вид
о
Положив здесь г = О, получим
00
Вц@) = 8я \ F (x)
о
Но при г = О имеет место равенство
Обозначим через Т среднюю кинетическую энергию единицы мас-
массы жидкости (в системе координат, движущейся вместе со сред-
средней скоростью потока). Тогда мы получаем разложение
Т =
Обычно в теории турбулентности вводят спектральную плот-
плотность средней кинетической энергии единицы массы жидкости
согласно формуле
Т= [ E(x)dx.	B)
о
Выражая функцию F через Е, получим

{ 10]	ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ	69
Спектральный тензор поля скоростей связан с Е (х) формулой
а продольная и поперечная структурные функции выражаются
через Е (х) при помощи соотношений
i "I	..
D)
о
00
п / \ off2 sinw cos хг
Dll{r) = 2)[—	Si=	-^-
о
§ 10. Диссипация энергии в турбулентном потоке
Важной характеристикой турбулентного движения является
величина энергии в, переходящая в тепло за счет вязкости в
единицу времени в единице массы жидкости. Эта величина равна
(см. [13])
v Tdvi 9vk-Vt _ Г/dvjY ¦ дщ dvkl
Нас будет интересовать среднее значение скорости дисси-
диссипации энергии <е>, которое мы также будем обозначать в дальней-
дальнейшем через е, опуская знак усреднения. Усредняя выражение
для е, получим
Стоящие справа величины можно выразить через производ-
производные в нуле от структурных функций D^. Для этого запишем
^ в виде
&>?« I ' jr,-r,|->0
Преобразуем величину в правой части, используя однородность:
Ш
-rt)_ д*Вц(п - га)	д*Вц (г) ,~,

70	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
л а
Учитывая, что	= Д (оператор Лапласа) и равенство ДВ!; =
=	=- ADU, следующее из C.8), получим
Аналогично преобразуем и второе слагаемое в (]):
dvH(rt)\ _
, *** / "
= lim gjLfE-Bu.fr-rJ^O D')
в силу уравнения .ik = 0. Поэтом^' мы имеем окончательно
е = -^-ДД«@).	E)
Функция Da (г) обладает свойствами Dit @) = 0 и Da @) =
= 0 (первое следует из определения структурпой фупкции, а
второе — из ее четности). Поэтому разложение в ряд Тейлора
функции Da (г) при малых г начинается с квадратичного члена:
Du (r) = ar* + ...	F)
Вычисляя Д?>и = -^-^-^гв-^-), получим Д?;=6а+... и,
следовательно, Д?>и @) = 6а. Подставляя это зпачение в E),
получим е = 3va, откуда а = ^- и
±
G)
Воспользуемся теперь формулой B6.8), выражающей Drr через
Dh (г). Подставляя в нее разложение G) и производя интегри-
интегрирование, получви
О„(г) = ~г*+...	(8)
При помощи соотношения A0.8) связывающего Dh и DTr,
найдем также разложение
DH(r) = ^^^+...	(9)

$ 11]	УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА	71
Таким образом, вид структурных функций поля скорости при
малых значениях г определяется скоростью диссипации кине-
кинетической энергии турбулентности е и вязкостью v.
Установим также связь между введенной в § 9 спектральной
плотностью энергии Е (х) и величиной е. Дважды дифференци-
дифференцируя G) и полагая затем г = 0, после чего все остальные (невы-
писанные в G)) члены разложения обращаются в нуль, получаем
Воспользуемся теперь формулой B5.8). Разлагая 1 —
в ряд и подставляя Фи — г , найдем
X/*
Двукратно дифференцируя это выражение и полагая затем г = О,
имеем
00
i	= 4 "V"
Отсюда мы получаем важную формулу
оо
е = 2v Jj v?E (x) d-л,	A0)
и
выражающую е через Е(х). Тот факт, что Drr{r)— г2 при малых
г, эквивалентен сходимости интеграла A0). Так как в этом
интеграле содержится быстро растущий множитель х2, то для
его сходимости необходимо, чтобы при больших х функция Е (х)
убывала достаточно быстро (быстрее, чем х"). Более подробное
обсуждение смысла формулы A0) будет проведено ниже (см.
§13).
§11. Уравнение Колмогорова
Все сформулированные выше результаты были получены на
основании соображений об изотропности и несжимаемости турбу-
турбулентности и формулы для е. Уравнение же Навье — Стокса
dv,	dvt I dp .
тг = - "* i? - тйг

72	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
где р — давление, р — плотность, не использовалось. Можно
попытаться использовать это уравнение для того, чтобы получить
дополнительное уравнение для структурной функции Drr(r).
Это можно сделать, умножая A) на vt (r) и затем усредняя полу-
получающееся уравнение. При этом члены \vi(r')—gp-/ и
(vi (г') Ду4 (г)> могут быть преобразованы в —7 д!"' и
ADn(r, t). Однако нелинейный член уравнения vR ~^- после
умножения на vi{r') будет содержать выражение типа
(Vi (Г') Vk (Г) Vi (Г)).
Введем тензор
Яш И = <1Мг + г') - иг(г')] [ик(г + г')- v* (г1)] х
Точно так же как тензор D^ (r) при помощи уравнения несжимае-
несжимаемости и условия изотропности был выражен через единственную
скалярную функцию DTT (r), тензор B) может быть выражен че-
через продольную функцию:
Drrr (г) = <{n [v (г + г') - v (*•')]}*>,	C)
где п = —.
Таким образом, умножая A) на у( (г') и производя усредне-
усреднение, мы можем выразить все величины входящие, в получающе-
получающееся после этого уравнение, через Drr (r) и DTTr (r). В результате
после довольно громоздких преобразований можно получить
уравнение
3	2 dt	6г* дг	г4 дг \ дг J	^ '
Уравнение D) описывает процесс вырождения турбулентности.
Действительно, уравнение A) не содержит внешних сил, которые
могли бы быть источником энергии. В то же время в A) присут-
присутствует вязкий член \tkVu обусловливающий диссипацию энер-
энергии турбулентности. Поэтому решение уравнения A) должно
затухать со временем. То же относится и к возможным решениям
уравнения D).
Можно, однако, видоизменить постановку задачи. Если вве-
ввести посторонние источники энергии с мощностью е на каждую
единицу массы жидкости, то они скомпенсируют диссипацию
энергии за счет вязкости, в результате чего установится стацио-
стационарный режим. В этом случае в уравнении D) член —-^ будет

$ 12]	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	73
равен нулю, а величина е должна рассматриваться как внешний
параметр, равный величине той мощности, которая затрачивает-
затрачивается источниками для компенсации диссипации энергии. Урав-
Уравнение для стационарной турбулентности приобретает, следова-
следовательно, вид
2 _ 1 Г 1 d (r4Z>rrr)	d / dD
Умножая E) на г4 и интегрируя по г, получим с учетом обраще-
обращения в нуль структурных функций при г = О
Уравнение F), связывающее функции Drrr иДт было полу-
получено А. Н. Колмогоровым.
То обстоятельство, что в уравнении F), помимо функции Drr (r),
появилась новая неизвестная функция Drrr (г), не позволяет
проинтегрировать это уравнение. При попытке получить допол-
дополнительное уравнение для функции Drrr мы столкнемся с анало-
аналогичной трудностью: в уравнение для D^ войдут новые неизвест-
неизвестные фупкции — момепты четвертого порядка разности скоростей.
Таким образом, попытки получить замкнутую систему уравне-
уравнений для определения структурных функций наталкиваются на
принципиальные затруднения. В спязи с этим все дальнейшие
результаты теории турбулентности связаны с применением до-
дополнительных гипотез, основанных на тех или иных соображе-
соображениях физического характера.
§ 12. Структура мелкомасштабной турбулентности
при очень больших числах Рейнольдса
Выше были получены формулы
{к)с1к,	A)
о
00
2?(x)<fx,	B)
выражающие кинетическую энергию Т и скорость диссипации
энергии турбулентности е (обе величины относятся к единице
массы жидкости) через спектральную плотность энергии Е (к).
Из экспериментальных данных известно, что функция Е (х)
имеет максимальное значение в области малых к (крупных мас-
масштабов) и довольно быстро спадает при увеличении х. В области

74
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
вблизи некоторого максимального числа х = хт функции Е (х)
начинает убывать сильнее и быстро стремится к пулю. Пример-
Примерный вид функции Е (х) приведен на рис. 6. Основное значение
интеграла, выражающего Т через Е (х), получается при интег-
рировапии по области малых значений х (па рис. 6 соответствую-
соответствующий участок / оси х отмечен жирной линией). Этот интервал
волновых чисел носит название энергетического интервала. Ве-
Е(х)
личина
ха ра ктеризующая
волновые числа, соответствующие
минимальным по размерам нс-
однородностям поля скорости,,
зависит от числа Рейнольдса Re
потока и возрастает вместе с
ростом Re.
Рассмотрим теперь функцию
2vxa? (x), интеграл от которой
определяет величину е. За счет
множителя хг, обращающегося в
нуль при х = 0 и малого при ма-
малых значениях х, произведение
Рис. 6. Примерный вид спектраль- ** Е (*) мало в энергетическом ин-
ной плотности энергии турбулент-
турбулентности ? (к) (верхняя кривая) и спек-
спектральной плотности скорости дис-
диссипации энергии турбулентности
2vxs? (x) (нижняя кривая).
Участок I оси волновых чисел соответ-
соответствует пнергетическому интервалу спек-
спектра турбулентности, участок 11 — вяз-
вязкому интервалу (интервалу диссипа-
диссипации), участок между ними — инерцион-
инерционный интервал волновых чисел.
тервале и имеет максимум в обла-
области больших волновых чисел.
Согласно экспериментальным дан-
данным функция Е (х) убывает в об-
области х<^хт быстрее, чем воз-
возрастает функция х2, и поэтому
максимум функции я2 Е (х)' рас-
расположен вблизи точки кт, где
Е (х) быстро обращается в нуль.
Примерный вид функции 2vxa?(x) также приведен на рис. 6.
Область вблизи х = хт, интегрирование по которой дает основ-
основной вклад в е, носит название интервала диссипации, или вяз-
вязкого интервала (на рис. 6 соответствующий участок // оси х
отмечен жирной линией). Тот факт, что диссипация энергии свя-
связана в основном с областью больших волновых чисел, следует
из того, что е пропорциональна квадрату градиента скорости
(см. формулу A.10)), максимальное значение которого связано
с наименьшими по размерам неоднородностями поля скоростей.
Так как между масштабом неоднородностей I и соответствующими
волновыми числами х имеет место соотношение х/ ~ 2л; (см.
C5.2)), то это и означает, что е связано с наибольшими волновы-
волновыми числами в спектре турбулентности.
В случае, если число Рейнольдса достаточно велико, интервал
диссипации, расположенный вблизи точки хт, отделен от энер-

§ 121	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	75
гетического интервала некоторой областью волновых чисел,
называемой инерционным интервалом. Инерционный интервал
имеет тем большую величину, чем больше число Рейнольдса Re
(отношение размеров наиболее крупных неоднородностей к раз-
размерам наиболее мелких неоднородностей имеет порядок Re5/*
1131).
Рассмотрим режим стационарной турбулентности. В этом слу-
случае, как мы отмечали в предыдущем параграфе, необходимо ка-
каким-либо способом передавать турбулентному движению энер-
энергию от внешних источников, причем для того, чтобы скомпенси-
скомпенсировать диссипацию энергии, происходящую в вязком интервале
волновых чисел, мощность источников энергии должна равнять-
равняться е на каждую единицу массы жидкости. Эти источники пере-
передают энергию турбулентному движению в том же энергетическом
интервале, где сосредоточена основная часть энергии турбулент-
турбулентности.
В то же время весь расход энергии сосредоточен в интервале
диссипации, отделенном от энергетического интервала инер-
инерционным интервалом волновых чисел (см. рис. 6). Следовательно,
практически вся расходуемая мощность е без сколько-нибудь
существенных потерь передается через инерционный интервал
от энергетического к вязкому интервалу. Процесс передачи энер-
энергии по спектру от малых волновых чисел к большим, т. е. от
крупномасштабных неоднородностей (вихрей) к малым, можно
наглядно представить себе как дробление вихрей. Если число
Рейнольдса исходного потока велико, то он теряет устойчивость
и при этом образуются вихри с размерами порядка размеров
исходного потока Lo. Число Рейнольдса, характеризующее дви-
движение этих вихрей, уже меньше, чем число Рейнольдса исходного
потока, но все еще достаточно велико, так что и возникшие вихри
также являются неустойчивыми и дробятся на более мелкие.
В процессе такого дробления энергия от крупного распавшегося
вихря переходит к более мелким, т. о. переходит от малых волно-
волновых чисел к большим.
При каждом акте дробления число Рейнольдса возникающих
вихрей уменьшается. Процесс дробления будет продолжаться до
тех пор, пока не образуются вихри с числом Рейнольдса, мень-
меньшим критического. Такие вихри уже являются устойчивыми и
не распадаются на более мелкие. Ясно, что количество последо-
последовательных актов дробления тем больше, чем больше число Рей-
Рейнольдса Re исходного потока. Поэтому размеры наименьших
вихрей, возникающих в результате всех актов дробления, тем
меньше, чем больше Re. Это эквивалентно тому, что макси-
максимальное волновое число хт, характеризующее размеры минималь-
минимальных вихрей, возрастает вместе с Re. Для существования

76	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
инерционного интервала необходимо, чтобы вязкий интервал был
отделен от энергетического. Это возможно, таким образом, при ус-
условии Re ^> Reb (где Reb — критическое число Рейнольдса). Практи-
Практически для существования инерционного интервала необходимо,
чтобы было Re > 106 ч- 107.
Из проведенного рассмотрения следует, что структура турбу-
турбулентности в инерционном интервале волновых чисел целиком оп-
определяется величиной передаваемой по спектру энергии е, а
в вязком интервале — величинами е и v. Последнее подтверждается
формулами (8.10) и (9.10) для функций DTT и Dlt. Дополнительным
аргументом в пользу этих предположений является то, что в урав-
уравнение Колмогорова входят лишь величины е и v.
Совокупность инерционного и вязкого интервалов спектра
турбулентности носит название интервала равновесия. Введем
характерный масштаб Ьй, имеющий порядок наиболее крупномас-
крупномасштабных неодпородпостей поля скоростей, принадлежащих к
энергетическому интервалу. Обычно величина Lo, называемая
внешним масштабом турбулентности, имеет порядок расстояния,
на котором заметно меняется средняя скорость потока. Масштабы
г, принадлежащие интервалу равновесия, малы по сравнению с
Lo, т. е. r<^L0.
А. Н. Колмогоров в 1941 г. выдвинул гипотезу, согласно кото-
которой структура турбулентности в интервале равновесия при очень
больших числах Рейнольдса определяется лишь параметрами
е и v, а в инерционной подобласти интервала равновесия зависит
лишь от е и не зависит от v. Эти гипотезы позволяют установить
вид функции DTT (r) в инерционном интервале.
Согласно первой гипотезе при всех г <^. Lo функция Drr (r)
имеет вид
Drr(r) = Drr(e, v, r).	C)
Из величин е и v можно составить единственную комбинацию,
имеющую размерность длины *)
и единственную величину, имеющую размерность скорости
v0 = ply.	E)
Величина 10 носит название внутреннего масштаба турбулент-
турбулентности.
*) Напомним, что е имеет размерность смг • сек"* в системе CGS нлн
вт/кг в системе СИ. v имеет размерность см.г ¦ сек'1.

I 12J	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	77
Поскольку в величины /0 и v0 входит вязкость v, то отсюда
становится ясным, что 10 и v0 характеризуют масштабы и скорости
наименьших неоднородностей (вихрей) в турбулентном потоке.
Это ясно и из того, что величина lovo/v (число Рейнольдса для
движений с масштабом /0 и характерной скоростью v0) равна, как
легко проверить, единице.
Единственной безразмерной комбинацией из величин е, v и г
является отношение г/10. Отсюда согласно известной П-теореме
теории размерностей (см. [14]) следует, что Drr, имеющая размер-
размерность квадрата скорости, может быть представлена в виде
^гг (г) = vl / (-?-) при г < Ьо,	F)
где / (х) — некоторая безразмерная функция безразмерного ар-
аргумента. Вторая гипотеза Колмогорова позволяет установить
асимптотический вид функции f (х) при ж^>1, т. е. при г^> 19.
В этом случае из формулы F) должна выпасть вязкость v. Записы-
Записывая F) как
мы видим, что для того, чтобы это выражение не зависело от v,
необходимо, чтобы / (х) имела вид / (х) — С*х'1*. В этом случае мы
получаем
О„ (г) = С W- при /o</-<Lo	G)
— «закон 2/3» Колмогорова — Обухова *). В области г<^.10 вид
1 Р
функции DTT был установлен выше: Drr (г) = т= — г*. Точка пере-
пересечения кривых, изображаемых этими двумя асимптотическими
формулами, находится при г — lt — A5 СйУ'1о. Точный вид функ-
функции Drr (г) вблизи точки г = lt на основании сформулированных
гипотез установить не удается. Однако следует отметить, что от
деталей поведения функции DTT (r) вблизи этой точки в сильной
степени зависит вид спектральной функции Е (и) вблизи точки
«=хт.
Воспользовавшись формулой A0.8) Dtt — — ^-(ггВгг), можно
найти вид функции Dtt в инерционном интервале:
Dtt (г) = 4 С W- при /0</-<L0.
*) Этот же закон был найден другим путем А. М. Обуховым в 1941 г.
(см. [15, 16]). Позднее к аналогичным результатам пришли также Л. Онза-
гер, К. Вейцзеккер, В. Гейзенбрпг [167—169].

78	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Подставляя G) в уравнение Колмогорова F.11), получим со-
соотношение
Drrr (г) = —i вг + 4C«veV.r-V. = - -*- ег [l - 5С* (-?-)"']. (8)
-
Так как в рассматриваемой области — <^1, то вторым членом в
квадратной скобке можно пренебречь и мы получаем
Атг(г) = — -g- ег при /0<r<Lo.	(9)
Из формулы (9) следует, что третий момент продольной разности
скоростей Дуг отрицателен. Отсюда и из того факта, что среднее
значение продольной разности скоростей равно нулю, следует, что
эта разность скоростей Диг большую часть времени является не-
небольшой положительной величиной (т. е. частицы расходятся
с небольшой скоростью) и лишь изредка наблюдаются большие по
абсолютной величине отрицательные значения Avr (т. е. сравни-
сравнительно редкие, но более интенсивные сближения частиц).
Важной характеристикой распределения вероятностей про-
продольной разности скоростей является асимметрия S этого рас-
распределения, определяемая как
S = Dr" (г), .	A0)
Подставляя сюда формулы G) и (9), получим
Таким образом, в инерционном интервале асимметрия S посто-
постоянна и входящая в G) константа С2 выражается через нее при
помощи формулы
Установим теперь вид функции Е (х), эквивалентный выраже-
выражению G) для DTY(r). Проще всего это можно сделать, вычислив след
тензора Dih.
Как следует из формулы A8.8), функция Бц (г) разлагается
в интеграл того же типа, что и структурная функция скалярного
ноля (см. F.5)):

S 12]	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	79
причем роль функции Ф (х) играет Е (х)/2лх2. Z>it (r) можно раз-
разложить и в одномерный интеграл
DH(r) = 2 ^ [1 —cosxr]F(x)dx,
—оо
причем согласно A5.5)
со
^) sin Kr D« (r) dr
и Ф (х) = ^ а выражается через V (х) при помощи формулы
A7.5):
2ях Ас
Используя эти формулы, получаем соотношение
позволяющее вычислить Е (х) по известной функции А,(г).
Функция Z>ti(r) = 2Z)(( + Drr в инерционном интервале равна
D» (г) = ~ CV W., /0 < г < U.	A4)
Мы предположим сначала, что функция DH (r) выражается
формулой A4) не только при указанных значениях г, но при всех
г @ <! г ^ оо). Затем мы укажем, какие изменения в функции
Е (к) следует ввести, чтобы учесть, что Dti ~- г2 при г <^ lQ. Под-
Подставляя A4) в A3) и вычисляя известный интеграл, получим пос-
после простых выкладок формулу
Е (х) = g^L Г (~) cos -J- СЧ'-л-^!' = 0,7GCte''4r1': A5)
Отметим, что трехмерная спектральная плотность F (х), соответ-
соответствующая «закону 2/3», равна
F (х) = JH = 0,061 CVZ-x-11"".	A6)
Если, пользуясь выражением A5), попытаться вычислить вели-
величину

80	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
то мы получим бесконечность, так как интеграл расходится в обла-
области больших зпачений х. Это связано с тем, что мы распростра-
распространили выражение A4),справедливое в области г^> 10, на.все зна-
значения г > 0. Для того чтобы устранить эту расходимость, нообходи-
мо учесть, что в области к-~>хт= -j— вид функции Е (х) уже не
to
соответствует формуле A5) и Е (х) убывает при х ^хт быстрее,
чем х~3, что должно обеспечить сходимость интеграла, представля-
представляющего е через Е (х). Однако установить вид функции Е (х) в интер-
интервале диссипации на основании простых гипотез Колмогорова уже
не удается. В связи с этим в работах многих авторов был пред-
предпринят целый ряд попыток получить вид функции Е (х) в интерва-
интервале диссипации па основании дополнительных гипотез.
В качестве иллюстрации мы опишем одну из таких работ [17],
отличающуюся сравнительной простотой. Как мы установили
выше, в инерционном интервале асимметрия 5 распределения
вероятностей для продольной разности скоростей постоянна/Ясно
также, что величина S постоянна при малых г (в вязком интерва-
интервале). Действительно, Drr— г2 при г<^ /„, что означает линейную
зависимость разности скоростей от г. Но в таком случае вели-
величина DrrT (г) должна быть пропорциональна г8, а отношение
DriT{r)j[Drr (r)]"« пе должно зависеть от г. В связи с этим в
работе [17] было сделано предположение, что величина S постоян-
постоянна не только в инерционном интервале, но и при всех г <^L0.
Таким образом, было предположено, что
при
Это соотношение позволяет выразить величину Drrr (r) через
DTr (r):
Подставляя последнее выражение в уравнение Колмогорова, мы
получим обыкновенное дифференциальное уравнение для опреде-
определения функции DTr (r):
Вместе с начальным условием Drr@) = 0 это уравнение опре-
определяет единственную функцию DrT (r), которая была вычислена в
указанной работе при помощи численного интегрирования. Од-
Однако, как было показано в работе [18], если, основываясь на полу-
полученном решении, вычислить функцию Е (и) (это можно сделать,
например, при помощи формулы A3)). то при некоторых значе-

S 12]	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	81
ниях х функция Е (х) становится отрицательной. Этот факт гово-
говорит о том, что гипотеза о постоянстве S при всех г из инерционного
и вязкого интервалов неудовлетворительна.
В ряде работ (см., например, [20]) делались другие предполо-
предположения, позволяющие получить замкнутую систему уравнений для
определения функции Е (х) или DrT{r). Однако все эти предполо-
предположения наталкивались на определенные трудности, о которых мы
не будем здесь говорить.
Следует отметить работу Е. А. Новикова [21] , где предприня-
предпринята интересная попытка установить вид функции Е (х) в интервале
диссипации. Им была получена формула
Е (х) = de'Ax-'A (xlof ~Т ехр (— all к2),	A7)
где к — некоторое число из интервала
0,5 < fe < 2 и а^2(к2 - к + II/..
Формула A7) справедлива в области к/0^>1. Если, однако,
предположить, что при xZ0 <^ 1 она должна переходить в выраже-
выражение A5), справедливое в инерционном интервале, то величина
к должна быть выбрана равной 2/3. В этом случае формула A7)
принимает вид
Е (х) = -?i- в'/'х-*/. ехр (- aZ0V).	A8)
гЫ
Значение константы Сх выбрано так, чтобы A8) удовлетворяло
условию нормировки
Выражение A8) удовлетворяет условию Е (х) > 0. Кроме того,
оно обладает тем преимуществом, что в модели со спектральной
со
плотностью A8) сходятся все интегралы типа \ v?nE (x) dx, что озна-
о
чает конечность средних квадратов от производных поля скоростей
-любого порядка.
Воспользовавшись формулой D.9), можно вычислить продоль-
продольную структурную функцию Drr (r), соответствующую спектраль-
спектральной плотности A8). Интегрирование можно провести, разлагая
функцию
1 . cos у-т 	sinxr
3	у?т^

82 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
в степенной ряд. В результате может быть получена формула
где
.«¦/<. ~ ,ч_4 л. А *, «(« + D _«* ,	.. ,Г(Т) V Г(»+а) г"
— вырожденная гипергеометрическая функция. Воспользовав-
Воспользовавшись этим разложением, из A9) при г <^ 10 можно получить фор-
формулу
D (г) — — — г2 -г-
игг КГ) - 15 v г -г ...
При г ^> 1а можно воспользоваться асимптотическим разложе-
разложением
Г (т) г a_Y/^ /	j	ч	/ОП^
где
б (а, р, ^1+^+а(
Так как в нашем случае г =	 - <[ 0, то можио отбросить
экспоненциально малое второе слагаемое асимптотического раз-
разложения. Ограничиваясь первым членом в формуле для G (т. е.
полагая G т 1) и пренебрегая единицей по сравнению с f—| ',
получим асимптотическое выражение
3/2Г D-)
Drr(r)~	-\ff a'VVx	B1)
Сравнивая это выражение с формулой G), можно найти соотноше-
соотношение между константами С2 и а:
№ (т)
С2--, 	~La'''xO.9T2atr:	B2)
Г (-в")

5 12]	СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	83
Таким образом, выражение A9) удовлетворяет необходимым
требованиям при г <^ 10 и г ^> /0 и позволяет определить вид
Drr (f) и при промежуточных значениях г.
В настоящее время уже имеется богатый экспериментальный
материал, подтверждающий, что Е (х) в инерционном интервале
пропорциональна е'-'т'*1*. В появившейся сравнительно недавно
работе [22] экспериментально исследована спектральная плот-
плотность Е (х) и в вязком интервале (см. раздел В). Результаты этой
работы указывают па то, что в области х ^; Ц1 функция Е (х) убы-
убывает с ростом х медленнее, чем ехр (—а/„х2). Полученные
в ней спектры с высокой степенью точности аппроксимируются
формулой
Е (х) = 3<х '' t e'"->cJAe- V7r^,	B3)
™ D)
где численный множитель выбран так, чтобы удовлетворялось
условие
е = 2v 5 к2Е (х) Ас.
о
Численное значение величины За*-'«/20Г (-2-), полученное в этой
работе, равно 1,35 :Ь 0,06, что соответствует а = 4,78 4-0,17.
Выражение B3), как и A8), убывает достаточно быстро, так что
оо
интегралы типа \ ха"Е (х) йу. сходятся при сколь угодно больших п,
ч
но в отличие от A8) лучше согласуются с пока еще немногочислен-
немногочисленными экспериментальными данными.
Вычисляя при помощи формул B3) и B5.9) функцию Drr (r),
можно убедиться в том, что при г <^ /0 выполняется соотношение
D — — — г2 4-
а при г ^> /0 будет Drr --¦ С2ё:>г">, причем С2 и а связаны соотно-
шением(его можно получить, сравнивая B3) и A5))
С* = А,Ж».	B4)
(Значению а = 4,78 4; 0,17 соответствует С2 — 1,77 Ч- 0,08.)
В дальнейшем мы будем пользоваться выражением A8), рас-
рассматривая его как удобную аппроксимацию для Е (к).

84	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ.- 1
§ 13. Микроструктура температурного поля
в турбулентном потоке
В турбулентном потоке не только сама скорость движения v
является случайной функцией координат и времени. Такие вели-
величины, как температура, влажность, давление, диэлектрическая
проницаемость и т. п. характеристики воздуха, также испытывают
флуктуации, обусловленные турбулентностью.
Мы рассмотрим сейчас микроструктуру температурного поля
в турбулентной среде. Возникновение температурных флуктуа-
флуктуации легко понять, исходя из физической картины явления. Пред-
Представим себе, что в среде, в которой происходит турбулентное дви-
движение, имеется зависимость среднего значения температуры от
координат {например, от высоты над землей). Так как при турбу-
турбулентном движении происходит перемешивание жидкости, то от-
отдельные порции ее, характеризуемые некоторым значением Т
температуры, в результате этого перемешивания окажутся в точ-
точке, где до этого находилась жидкость с другим значением темпе-
температуры Т'. Таким образом, в каждой точке среды возникают тем-
температурные флуктуации. Микроструктура температурпогс поля
была рассмотрена в работах А. М. Обухова {23], А. М. Яглоыа [24],
Корзина [25] и некоторых других.
Здесь мы изложим этот вопрос, следуя работам [23, 24]. Рас-
Распределение температуры в движущейся среде описывается урав-
уравнением теплопроводности
Z S
где-jr — полная производная по времени, % — коэффициент тем-
температуропроводности среды, Т — отклонение температуры от сред-
среднего значения {Ту, которое предполагается в этом параграфе по-
постоянным, и vk — флуктуационная скорость. Учитывая несжи-
несжимаемость жидкости -~- — О и считая % = coast, запишем это
уравнение в виде
Обозначим через Т* значение температуры в другой точке с ко-
координатами х{. Умножим уравнение A) на 7" и внесем значение
Т', не зависящее от zk, под знак производной т— :
+ ^^Н	B)

{ 13]	МИКРОСТРУКТУРА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ	85
Запишем такое же уравнение, поменяв местами точки х^ и хк. При
этом Т и 7" поменяются местами, а вместо !^Иг- войдут vk и ~—,-:
-
Сложим уравнения B) и C). Учитывая, что
„, дТ , тдТ' дТТ
улучим
Усредним уравнение D). Вводя корреляционную функцию
температурного поля и предполагая его статистическую однород-
однородность, получим
BT(r-r\t) = (TT'y	E)
и
9В*(""-Ч) + ± iv.TT'у + Л-^Г'Г) - ХА5т - х№^0, F)
k
AS
где Л = ~]Г72~"~ оператор Лапласа в точке г'. Выразим члены
уравнения F) через структурную функцию
DT(r~r\ t) = ({T-T'f).	F')
Раскрывая правую часть F'), имеем
DT(r-r', t) = <P(r, t)> + <T*(r', *)> —2?T(r —r', t). G)
Так как мы предположили статистическую однородность темпера-
температурного поля, то <Г2> = <Г'2> и
, t)}-2BT(r-r', t).	(8)
Продифференцируем равенство (8) по времени:
dPT(r-r', t) оЭ<Г»(г, t)> оЭВт(г-г'. t)
	at	 =^	at	А Ft	{y>

8Й СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
По аналогии со скоростью диссипации энергии е введем величину
Тогда из (9) мы получим
ЭВт(г~г; I) I »DT{r-r\t)
	Tt	—-лг — T	ЪТ~~-
Возьмем тепорь лапласиан от обеих частей равенства (8). Учи-
Учитывая, что в силу однородности <Г2> не зависит от г, получим
Д?>т(г — r', t) = — 2Д#Т (г — г', I).	A2)
Но так как Вт зависит лишь от г — г', то А'Вт = АВт и A2) можно
записать также в виде
ДВГ + А'ВТ = — ADT (г — г', t),	A3)
где в правой части можно считать Д = —	, - .
а (**-**)
Итак, мы выразили первый и два последних члена уравнения
F) через DT (r, t). Чтобы выразить величины (v^TT") и {щТ'Ту че-
через разностные характеристики полей »иГ, введем величину
DtTT {г-г', t) - <[i-t(r, t) — vk(r', OJ IT (r, t) — T(r', 012>. A4)
Раскрывая произведение в правой части A4), получим
- 2 <vkTT'> + <vkT'*> —
\	2 (v'bT'Ty - <^2>. A5)
В силу статистической однородности полей 1% и Т величина <i\T2>
не зависит от координат и поэтому (,vkT2) = <^7>, так что первый
и последний члены в A5) взаимно уничтожаются.
Рассмотрим теперь величину <i>fcr>. Она представляет собой
корреляцию скорости в точке г с квадратом температуры в точке
г'. Но согласно общей теореме, доказанной в § 8, соленоидальное
поле скорости (несжимаемое движение) не коррелировано ни с ка-
каким скалярным полем, в частности с Г2, если поля vH и Т являются
статистически однородными и изотропными. Следовательно,
= 0.
Учитывая это равенство, можно записать A5) в виде
.	A7)

5 13]	МИКРОСТРУКТУРА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ	87
Заметим теперь, что <vkTT"> зависит лишь от р = г — г' =
= {?i, ?г> 1з\ и поэтому
Дифференцируя A7) по |fc и учитывая эти соотношения, получим
i дРчтг (р, t) а -_,, а
- т —g?= ц	,
Подставим соотношения A1), A3) и A8) в уравнение F):
Величина DkTT = <[yft — i^] [Г — 7"]4> является вектором. Так
как мы рассматриваем статистически изотропную модель, то этот
вектор модает быть направлен лишь по вектору п = р/р, т. е.
DkTT = ntDTTT(p),	B0)
гцеОгТТ (р) -^скалярная функция скалярного аргумента р, пред-
представляющая собой среднее значение произведения квадрата раз-
разности температур в точках г, и г + р на разность продольных ком-
компонент скорости в этих же точках. Дифференцируя B0), получим
Подставляя это выражение в A9) и учитывая, что
получим уравнение
Уравнение B1) аналогично уравнению D.11) для поля скорос-
скоростей. Подобно тому как входящая в D.11) величина е была связана
со средним квадратом поля скоростей, величина N может быть
выражена через среднее значение квадрата градиента температу-
температуры. Чтобы получить эту связь, умножим уравнение A) на Т,

88 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
взятое в той же точке г, и произведем усреднение:
Используя уравнение несжимаемости, второй член в B2) запи-
запишем в видо
Последнее слагаемое в B2) можно записать в форме
* V дхк дхк / — дхк [% Х-* дхк /\ + Х \1
Используя эти выражения, представим уравнение B2) в виде
. B3)
Но, согласно теореме о некоррелированности поля скоростей со
скалярным полем, первый член под знаком дивергенции равен
нулю. Второй член можно представить в виде -к- —д	, откуда еле-
дует, что он равен нулю в силу однородности флуктуации темпе-
температуры «Г2) = const). Таким образом, имеет место уравнение
= 0	B4)
или
Вернемся к уравнению B1). Это уравнение описывает процесс
затухания со временем температурных флуктуации, так как ис-
исходное уравнение A) не содержало источников тепла и процесс
теплопроводности со времепем должен привести к полному вы-
выравниванию температуры.
Можно, как и в случае уравнения D.11), видоизменить поста-
постановку задачи. Введем внешние источники тепла с интенсивно-
интенсивностью N,= % ((grad Т)яу, которые скомпенсируют процесс вырав-
выравнивания температуры. В этом случае мы получим некоторое ста-
статистически стационарное состояние, при котором величина DT
уже не будет зависеть от времени. Величину же N в этом случае
следует рассматривать как некоторый внешний параметр, опреде-
определяющий интенсивность флуктуации. В этом случае уравнение B1)

§ IS]	МИКРОСТРУКТУРА ТЕМПЕРАТУРНОГО БОЛЯ	89
принимает вид
-*»-¦??«««> + *?(.>?)-о.
Умножим B6) на р2 и проинтегрируем по р от 0 до г:
в результате чего приходим к уравнению, полученному А. М. Яг-
ломом [24],
DrTT = - -у Nr + 2%D'T (r),	B7)
и аналогичному уравнению Колмогорова для поля скорости.
Рассмотрим малые по сравнению с внутренним масштабом тур-
турбулентности 10 расстояния г. Для этих расстояний Т — Т' — г и
Dt (г) — г2, так что правая часть B7) пропорциональна г. В то же
время Dttt ~ т3- Поэтому для г<^ 10 можно пренебречь величи-
величиной DrTT и Dt (г) = т>~ Nr- Интегрируя это уравнение, получим
йт(г) = {|гЧ..., г<^1а.	B8)
Отсюда можно получить также формулу
Дт@) = -|-|.	B9)
Формула B8) аналогична формуле Drr (г) — -^ — гг +-•• для
поля скоростей. Однако, так же как и уравнение Колмогорова,
уравнение B7) недостаточно для определения функции DT(r),
так как в него входит новая неизвестная функция Drrr. Для того
чтобы получить возможность найти функцию DT (r), необходимо,
как и в случае поля скоростей, ввести в теорию дополнительные
гипотезы.
Одна из таких гипотез, примененная в работе А. М. Обухова
123], заключалась в предположении, что при r<^L0 функция
DT (г) зависит от JV, %, г и от единственной величины е, определяю-
определяющей структуру мелкомасштабной турбулентности. В области же
'»"^ г<^^о функция DT(r) но должна зависеть от Х- Из величин N,
X, в можно составить единственную величину
C0)

90	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
имеющую размерность температуры, и единственную величину
/о = У&- ,	C1)
имеющую размерность длины. Так как в C0) и C1) входит тем-
температуропроводность X, то эти величины характеризуют наиболее
мелкомасштабные неоднородности температурного поля. Функ-
Функция D-r (г) = DT (N, X, е, г) согласно П-теореме должна иметь вид
C2)
При г ^> 1^ из C9) должна выпасть величина %. Отсюда следу-
следует, что F (х) = аах!/» при х ^> 1, где а — численная константа по-
порядка единицы. В этом случае
DT(r) = а* -?-r% = CV'\ где С!г=^иККА. C3)
Таким образом, в инерционном интервале DT (r) также про-
пропорциональна !*¦'».
В инерционном интервале, где D? (г) выражается при помощи
формулы C3), последний член уравнения B7) мал по сравнению
с остальными. В этом случае
DrTT(r)=--^-Nr, /o<r<?o.	C4)
Рассмотрим величину
Bm.	C5)
Используя C3), C4) и DTr — С2 e'V», получим
S' = ~~ W = const-
В работе А. М. Яглома [24] предположение S' = const было
принято за дополнительную гипотезу, позволяющую определить
Dr(r) из уравнения B7). В этом случае B7) превращается в урав-
уравнение
2XD'T (r) + \S'\ Y^Ar)DT (r) = A Nr,	C?)
где |5'| = -5'.

§ 13]	МИКРОСТРУКТУРА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ	91
Уравнение C7) — линейное уравнение относительно DT(r).
Если функцию Drr (r) считать известной, то решение уравнения
C7), как легко проверить, имеет вид
е *	dx.	C8)
о
Полагая DTT (р) = -гг—р2, из C8) можно получить выраже-
выражение B8). Полагая DTT (p) = С2е"зр'Л и используя асимптотическое
разложение получающегося в результате интеграла, можно полу-
получить формулу C3), в которой о2 связано с S' соотношением C6).
Роль внутреннего масштаба турбулентности для температур-
температурных флуктуации играет величина 1Х, определенная формулой C1).
Она отличается от масштаба 10 = у — заменой v на %. Поскольку
величшш -v и % в атмосфере и море имеют одинаковый порядок, то
практически h ~ 10.
Выпишем также спектральную плотность, соответствующую
структурной функции вида C3). Воспользовавшись результатами
примера 2) из § о, получим для трехмерной спектральной плотно-
плотности Фт (к) температурного поля
/ 8 \ . я
I-п- SH1-о" Д	,,
13,;2 3 7^"*-"Л = °'033 Я* '\	C9)
/72ДГ	,,
"Л °033 Я '
где снова использовано обозначение С% = a*N&~ '. Спектральная
плотность вида C9), как и соответствующее выражение для Е (х),
применимо лишь в области 2я/^1<^х<^2л/г1, При x^v.m —
<—> 2пГ^ функция Фт (х) должна быстро затухать. Для аппрок-
аппроксимации выражения Фх (и) при всех х ^> 2яЦ?~ мы применим фор-
формулу, аналогичную A7.12):
Фт (и) = ~ х-"'- ехр (- чЧ\к%	D0)
где А и у — численные постоянные. При н1г <^ 1 D0) имеет вид,
согласующийся с выражением C9), при >di^> 1 функция D0)
быстро затухает с ростом х. Между постоянными А и у имеется
связь, накладываемая уравнением B9). Действительно, согласно
формуле (8.5)
СУ?
$^)фг(»с) *«<?*.	D1)

92 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
Дифференцируя это соотношение и подставляя в B9), найдем
{f	D2)
Подставляя в D2) выражение D0) и производя интегрирова-
интегрирование, получим соотношение
Подставляя ^'' =%е-'>, получим формулу
Т% = ЗяГ (-|-) А = 0,851 Л,	D3)
связывающую константы у и Л.
Вычислим теперь структурную функцию DT (r). Подставим для
этого D0) в D1) и произведем интегрирование, разложив в ряд
sin хг. В результате почленного интегрирования получим вырож-
вырожденную гипергеометрическую функцию, так что
Dt W _ ,8„Г
$)% «Г'.)''' [А ( -4". f - 4) -1 ] ¦ D4)
Воспользовавшись асимптотическим разложением функции 1Fl
при больших отрицательных значениях аргумента B0.12)
3 ' 2	.T^Jp/il
получим
DT (r) = ^NE^'r1' = Сгтг'\	D5)
где
Таким образом, при г ^> /х мы получаем прежнюю формулу для
Dr{r). При r<^ ^ первые два члена ряда для1^'1 также приводят
к прежнему выражению для От (г):

I 13]	МИКРОСТРУКТУРА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ	93
Введем масштаб %а, определяемый как точка пересечения асимп-
асимптотических разложений Dt (г) = Стг'^ и Вт (г) = -=— :
Nyr^l
откуда %? = Зх^1^.
Подставляя сюда С\ = a%Nt~ '*, получим соотношение
%'{' = За2/'/1, или а2 = -J- (Хс / /i)Vi.
Следовательно, все числовые параметры А, а2, у, связанные
между собой формулами D3), D5), выражаются через отношение
двух внутренних масштабов %0 и /х = %'и е" /f:
e« = _^^f'; Л = 0,011 (~)Vl; Г = 0,169-?-. D6)
Выражение для Фр (х) мы выразим через наиболее удобные пара-
параметры С\ и Я.о:
фг (Х) = 0,033 Стх~"''е х",	D7)
где
т. е.
xmU = ojeg =' 5'92-
В заключение параграфа рассмотрим микроструктуру концент-
концентрации консервативной пассивной примеси. Под консерватив-
консервативностью примеси подразумевается, что в процессе турбулентного
перемешивания концентрация примеси может изменяться только
за счет процессов молекулярной диффузии (теплопроводности) и
не изменяется за счет каких-либо других процессов: химических
реакций, фазовых переходов, рекомбинации и т. п. Это означает,
что концентрация примеси 0 удовлетворяет уравнению диффузии
тг+ъ^™'	D9)
где D — коэффициент молекулярной диффузии данной примеси.
Под пассивностью примеси подразумевается независимость
турбулентных движений от 0 (9 не должна входить в уравнения
движения). Примерами консервативных пассивных примесей

94	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
могут являться концентрация водяных паров (при пренебрежении
процессами конденсации), концентрация электронов в ионосфере
и т. д.
Поскольку уравнение D9) идентично уравнению теплопровод-
теплопроводности A), все полученные выше статистические закономерности,
касающиеся температурного поля, без изменений переносятся на
величипу 6. Строго говоря, температура Т не является пассивной
примесью, так как при отклонениях Т от среднего значения воз-
возникают архимедовы силы (силы плавучести), влияющие на режим
турбулептности.
Однако при незначительных отклонениях температуры от рав-
новеспого распределения этот эффект мал. Таким образом, прове-
проведенное рассмотрение даже с большими основаниями можно отне-
отнести к концентрации консервативной пассивной примеси, чем к тем-
температурному полю. Ниже будут указаны те изменения, которые
возникают в теории, если учесть, что температура не является
пассивной примесью.
§ 14. Связь характеристик микроструктуры полей скорости
и температуры о характеристиками усредненных полей
Величины е и N, определяющие иптепсивность флуктуации
скорости и температуры в турбулентном потоке, можно связать
с величинами, характеризующими усредненные поля скорости и
температуры.
Рассмотрим сначала более простой случай температурного
поля. Как мы установили выше, для поддержания статистически
стационарного режима необходимы постоянно действующие ис-
источники тепла. В этом случае уравнение теплопроводности прини-
принимает вид
Чдесь уже Т = То + Т', где То (г) = <Г> и <7"> = 0. Усредняя
уравнение A) и учитывая, что (ty) = 0, получим
_ ХД7\> + A <l?kr> = ?(*•),	B)
причем мы учли, что при стационарном режиме -^- = 0.
Заметим, что теперь уже не имеет места равенство <Ук7"> = 0,
которое неоднократно использовалось ранее, так как из-за нали-
наличия источников тепла появляется выделенное направление, оп-
определенное вектором VT0.

i 14] СВЯЗЬ МИКРОСТРУКТУРЫ ПОЛЕЙ С УСРЕДНЕННЫМИ ПОЛЯМИ 95
Вычитая B) из A), получим
Умножим уравнение C) на Т' и усредним. Учитывая, что при
стационарном режиме, который мы здесь рассматриваем,
(Г'3) = 0, получим
at
А	Я	/А	ЛТ"
Ч dxK^Vk °>/ \ dxkV* / Ч 9хк дхь/
где мы учли также, что
эт0
Преобразуем первое слагаемое в D) с учетом равенства ~-^ = 0:
Точно так же
/г'У
\ дх
Подставляя все эти равенства в D), получим
Но, как мы установили в предыдущем параграфе, среднее значе-
значение дивергенции случайного поля равно пулю *). Поэтому послед-
последнее слагаемое в E) исчезает и мы получаем равенство
= X <(э^) > =	<г ^> а^7'	F)
*) Это утверждение относилось к однородному полю. В рассматриваемом
здесь случае поле Т уже не является однородным, так как То зависит от г.
Поскольку, однако, в уравнение (о) входит лишь —9, то в случае локально
дхк
однородного поля, когда --Л = const, это утверждение остается в силе.
дхк

96 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
связывающее величину N с градиентом средней температуры. Из
F) следует, 4ToiV = 0 в случае j-5 = 0, т. е. в случае, когда
средняя температура постоянна, флуктуации температуры отсут-
отсутствуют. Этот результат легко объясняется на основании простых
качественных соображений. При турбулентном перемешивании
температурно-однородной среды флуктуации температуры не воз-
возникают, так как при перемешивании меняются местами массы
жидкости с одинаковой температурой.
Помимо множителя *-2, в F) входит также величина
{Т'ицУ = (ft, пропорциональная турбулентному потоку тепла*).
Пользуясь уравнением B), мы смогли бы выразить и эту вели-
величину через То и Q. Однако ото неудобно, так как обычно функция
Q неизвестна. Поэтому для определения величины q* использу-
используют другой метод. Поток тепла, вызванный молекулярной диффу-
зией qM, пропорционален величине ^—:
По аналогии с этой формулой вводят коэффициент турбулентной
температуропроводности Кт согласно соотношению
<n>»> = -Xr-g*.	G)
К
Это эквивалентно утверждению, что турбулентный поток тепла
пропорционален градиенту средней температуры и имеет по отно-
отношению к ному обратное направление. Величина коэффициента
турбулентной температуропроводности Кт на много порядков
превышает величину %. Используя G), запишем формулу F)
в виде
Формула (8) удобна для численных оценок величины N, так
как входящие в нее величины могут быть сравнительно просто
получены из метеорологических наблюдений (см. раздел В). Струк-
Структура этой формулы аналогична структуре формулы N=%/(-r—) \
м °xk I /
но с заменой истинного градиента температуры на градиент сред-
средней температуры и коэффициента молекулярной температуропро-
температуропроводности на коэффициент турбулентной температуропроводности-
*) Турбулентный поток тепла равен Qk = pCpqk, где Ср -4- теплоемкость
единицы массы газа при постоянном давлении, р — плотность.

§ 14] СВЯЗЬ МИКРОСТРУКТУРЫ ПОЛЕЙ С УСРЕДНЕННЫМИ ПОЛЯМИ 97
Рассмотрим теперь иоле скоростей. В случае статистически
стационарного режима мы должны рассмотреть движение под
действием постоянных внешних сил /<. В атом случае уравнение
движения принимает вид
dv.
др
где Vi — полная скорость:
Щ — Ui + Vi, <l>i> = Щ (г),	v' — v'i (Г, I).
Умножим уравнение (9) на vt. Учитывая, что
dvi
(
t \ р
dvi\ , fdvi
) + (
получим
В правой части A0) стоит работа, производимая в единицу време-
времени внешней силой /t. Выразим Д через скорость усредненного
движения. Для этого усредним уравнение (9). Учитывая, что
ди.	я	dv-
получим
g- («iUk + <wiy'K» — vA«i = /4.	A1)
к
Величина
<»!»*> = TiS	A2)
пропорциональна тензору напряжений Рейнольдса *). Умножим
уравнение A1) на v{ и усредним:
*	^	A	A3)
*) Тензор напряжепий Рейнольдса равен <ру4г>к> —

98	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Уравнение A3) также можно преобразовать с использованием
уравнения несжимаемости -^ = 0:
дХу.
SxiK д	ди-
9 I	^"i \ , / дщ \2
*»*\	дхх1 \дх I
Тогда получим
Эм, / ди, 8	?
Усредним уравнение A0) и в правую часть усредненного урав-
уравнения подставим выражение A4). При этом мы опустим слагае-
слагаемые типа дивергенции, которые исчезают при усреднении по
объему:
\	ди,
В левой части последнего равенства мы подставили
)
Следовательно, имеет место равенство
В рассматриваемом случае статистически стационарного ре-
режима величина (vl2"} не зависит от времени. Согласно же уравне-
уравнениям A.10) и DМ0) второе слагаемое в левой части A5) представ-
представляет собой величину е. Следовательно, в стационарном случае
имеет место равенство
ди.
Уравнение A6) выражает величину е через градиенты сред-
средней скорости потока щ и напряжения Рейнольдса xik. Это уравне-

§ 14] СВЯЗЬ МИКРОСТРУКТУРЫ ПОЛЕЙ С УСРЕДНЕННЫМИ ПОЛЯМИ 99
Д<ТТ
ние аналогично уравнению F), выражающему N через -~-. Фи-
гурирующие в A6) напряжения Рейнольдса т,к представляют со-
собой турбулентный поток количества движения. Подобно тому
как турбулентный поток тепла направлен против градиента сред-
ней температуры -^ и по величине пропорционален ему, турбу-
турбулентный поток количества движения пропорционален градиенту
средней скорости, т. е.
ди- ди
где К — коэффициент турбулентной вязкости (коэффициент тур-
турбулентного обмена). В правой части A7) взята симмотризованная
по индексам ink величина, что должно обеспечить симметрию
тензора т1к, которая следует из определения A2). Коэффициент
турбулентной вязкости К, вообще говоря, не совпадает с введен-
введенным выше коэффициентом турбулентной температуропроводно-
температуропроводности Кт-
Подставляя A7) в формулу A6), получим
р	?)р, A8)
3аЪ	dxi j dxk * >
или, в эквивалентной форме
ди,	д
Выражения A8) и A8') по своей структуре совпадают с выраже-
выражением A.10) для е, но в них истинные градиенты скорости заме-
заменены на градиенты средних скоростей, а кинематическая вяз-
вязкость v — на коэффициент турбулентной вязкости К.
Введенные величины К, Кт позволяют выразить турбулентный
«поток температуры» <i^ 7"> и напряжения Рейпольдса т^ через
градиенты средних значений температуры и скорости. Вообще
говоря, эти величины должны быть определены из точных реше-
решений соответствующих нелинейных задач. Поскольку, однако, мы
не располагаем такими точными решениями, мы вынуждены вво-
вводить в рассмотрение величины типа К и принимать для них те или
иные аппроксимирующие формулы. Такой подход к задаче носит
название полуэмпирической теории турбулентности.
Оказывается полезным рассмотреть аналогию между процес-
процессами молекулярной и турбулентной теплопроводности. В кинети-
кинетической теории гавов (см., например, [26]) для коэффициента

100 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
температуропроводности найдено выражение % ¦— Xv, где X —
длина свободного пробега молекулы и у — ее среднеквадратичная
скорость. Точно такое же выражение (с другим численным коэф-
коэффициентом) справедливо и для кинематической вязкости v. Со-
Составляя аналогичное выражение для коэффициента турбулентной
вязкости К, мы должны учесть, что в процессе турбулентного пе-
перемешивания роль молекул играют отдельные перемещающиеся
неоднородности. При этом вместо среднеквадратичной скорости
молекул v следует использовать среднеквадратичную скорость
турбулентных пульсаций и вместо длины свободного пробега X —
так называемый путь перемешивания (понятие, введенное Пранд-
тлем [27]), который по порядку величины совпадает с радиусом
корреляции Lo поля скоростей. Таким образом, величина К имеет
вид
К~ Ьйи.	A9)
Коэффициент пропорциональности в формуле A9) устанавливается
для каждого конкретного типа движения на основании экспери-
экспериментальных данных. Ниже будет приведено выражение К для
одного из наиболее полно исследованных типов турбулентного
движения в приаемном слое атмосферы.
В некоторых случаях для коэффициента турбулентной вязкости
К используется выражение, получаемое из следующих модель-
модельных соображений. Рассмотрим выражение для турбулентного
потока тепла
(которое, по существу, является определением Кт) для частного
случая, когда То — То (z). В этом случае можно представить себе,
что флуктуация температуры Т" на уровне z обусловлена тем,
что на этот уровень переместился элементарный объем воздуха
с другого уровня г", расположенного ниже z на некоторую вели-
величину V:
z' = z - V.
V представляет собой случайный «путь пробега» рассматриваемого
элементарного объема. В этом случае
Подставляя это выражение в (у27"), получим
*) Мы пренебрегли здесь изменением температуры про перемещении
{см. § 15)

§ 14] СВЯЗЬ МИКРОСТРУКТУРЫ ПОЛЕЙ С УСРЕДНЕННЫМИ ПОЛЯМИ 101
откуда вытекает следующая формула для К^:
Это выражение для коэффициента турбулентного обмена ис-
используется в некоторых работах по турбулентности, оперирую-
оперирующих с попятием «пути пробега» или «пути смешения». Его вывод не
связан фактически именно с турбулентным потоком тепла, так
как вместо температуры можно было бы рассмотреть и любую дру-
другую переносимую примесь *).
В условиях атмосферы обычно все усредненные характери-
характеристики ветра, температуры, влажности и т. д. зависят лишь от
высоты z над поверхностью. В этом случае
B0)
Подставим эти величины в формулу С% = а' -п-, определяю-
щую коэффициент в «законе 2/3» для температурных флуктуации;
обозначая через а величину—^ = а, получим
1
Пользуясь формулой B2), можно связать величину К с внеш-
внешним масштабом турбулентности Lo. При наличии градиента сред-
средней температуры имеется систематическая разность температур
между иаходящимпся на различной высоте точками. Эта вели-
чина АТ0 приблизительно равна АТ0 ж -pAz, а ее квадрат
(Д71,,J х (~j (Аг)я. В то же время между этими точками сущест-
существует случайная разность температур, средний квадрат которой
равен Ст( Azf:*. При малых значениях Az величина С\ (Дг)*» на-
-г-2-] Дга (т. е.
случайные разности температуры намного превышают система-
систематические). Можно, однако, указать такое Дг0, при котором обе
*) Заметим, однако, что соотношение A9') не позволяет экспериментально
пределить К у, так как «путь смешения» Г— слишком неопределендая ве,
личипа, которую невозможно измерить.

102 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
величины сравняются и при Az ^> Az0 систематическая разность
уже будет превышать случайную. Эта величина Дг0 играет роль
масштаба перемешивания по вертикали. Ясно, что «закон 2/3» бу-
будет выполняться лишь для расстояний г, не превышающих этого
масштаба перемешивания. Поэтому величину Az0 можно принять
за внешний масштаб турбулентности.
Для определения Az0 мы имеем уравнение
Подставляя сюда B2), получим
За внешний масштаб турбулентности Ьп мы примем величи-
величину, отличающуюся от Дг0 лишь численным коэффициентом:
~~ а'1г а'*
Lo связано с К соотношением
П\а?\	B3)
Формула B3) является лишь некоторым видоизменением форму
лы A9), поскольку фигурирующая в A9) величина и пропорцио
нальна Lo \-^-
. Используя B3), мы можем представить выражение
Г2 ~*?т'1'1 йТр\
B2) в виде
Нет особенно веских оснований для того, чтобы отдать пред-
предпочтение одной из формул B2) или B4) для определения Ст через
характеристики усредненных полей То, и. По-видимому, величина
Lo в условиях реальной атмосферы более устойчива и легче под-
поддается непосредственному определению.
Формулы B2) и B4) могут быть использованы для оценок вели-
величины Ст в атмосфере. Особенно эффективно их использование в
приземном слое атмосферы, где имеется большой эксперимен-
экспериментальный материал, позволивший непосредственно проверить эти
соотношения и найти фигурирующие в них численные коэффици-
коэффициенты. Что касается их применения к условиям свободной атмос-
атмосферы, то они правильно дают порядок величины Ст, но нуждаются
в проверке на значительном экспериментальном материале.

§ 15]	МИКРОСТРУКТУРА КОЭФФИЦИЕНТА ПРКЛОМЛЁПЙЯ
§ 15. Микроструктура коэффициента преломления
в турбулентном потоке
Коэффициент преломления радиоволн сантиметрового диапа-
диапазона п является функцией абсолютной температуры Т, давления
р (в миллибарах) и упругости водяных паров е (в миллибарах):
n — l=r-.10t-f-[p-\--ir).	A)
Нетрудно понять, что входящие сюда величины Т и е, строго
говоря, не являются консервативными примесями. В самом деле,
известно, что при вертикальных перемещениях малых объемов
воздуха происходит непрерывное выравнивание давления в них
с давлением окружающего воздуха на данной высоте. Изменения
давления вызывают изменения температуры, подчиняющиеся
уравнению адиабаты
dT __ т — 1 dp
*
Q
где Т = т^" — постоянная Пуассона. Величина dp связана с
нением высоты барометрической формулой dp = — pgdz, где
р — плотность воздуха и g — ускорение силы тяжести.
Таким образом,
**-- Т-1 P*dz- T~1 8 dz
^	1ZZ1JL__X	r	I4\
dz	f IR ~ Cp ~ 'a*	( >
Величина уа — 0,98 град/100 м посит название адиабатического
градиента температуры (поднимающийся объем воздуха охлаж-
охлаждается на 0,98 град на каждые 100 м подъема). Проинтегрировав
уравнение B), получим Т + yaz = const. Следовательно, при
вертикальных перемещениях частиц воздуха величина
Н = Т + Та2,	C)
которая приближенно совпадает с известной в метеорологии по-
потенциальной температурой *), сохраняет свое аначение и может рас-
рассматриваться как консервативная примесь.
Упругость водяных паров е, входящая в формулу A), также
не является консервативной величиной, так как зависит от
*) Потенциальная температура 0 определяется так: 6 = T(pjp)a,
Вде^о — 1000 мб и а — (С„ — C0)/Cv — 0,286. Разлагая Ов ряд с исполь-
использованием барометрической формулы, получим C).

104 СВЙДЙНЙЯ ЙО ТЕОРИЙ ТУРЙУЛЁЫТНОСТИ	[ГЛ. i
давления. Она может быть выражена через так называемую удель-
удельную влажность q, представляющую собой концентрацию водя-
водяных паров в воздухе (т. е. отношение массы водяного пара в еди-
единице объема к массе влажного воздуха в этом объеме), при помощи
приближенной форму с ы:
е = 1,62 рд.	D)
Величина q — консервативная примесь (предполагается, что во
время перемещений влажного воздуха не происходит конденсации
водяных паров). Заменяя в формуле A) величины Т и е на Я — yaz
и 1,62 рд соответственно, получим формулу
™^)	E,
выражающую коэффициент преломления через консервативные
пассивные примеси Я и д. Величина N зависит от z через р (г),
Я (г), д (г) и непосредственно от г:
N = N(z,p (z), H (z), g (z)).
Представим себе, что объем воздуха с уровня г17 характеризуе-
характеризуемый значением
N1 = N (г* р (Zl), Я (Zl), g (*,)),
в результате действия турбулентного перемешивания оказался
на уровне гя. Поскольку величины Н (г) и д (г) не изменяются
при перемешивании объема, а величины г и р (г) принимают на
уровне z2 новые значения z2 и р (z^, тот же объем воздуха па
уровне г2 будет характеризоваться значением
Ni = N(zz, p(z,), #(*), q(zx)).
Значение N[ отличается от «местного» значения N на уровне z2 на
величину
AiV = JV(zat p(tt),H{zj), q(z1))~N{zi, p(z2), H (*,),?(*,))«
dN dH dN dq
Таким образом, возникающие флуктуации N пропорциональны
не градиенту п, а величине
' dN dH , dN i
	79-10-6p 1ц , 15500?\ I dH	7800
—	7>2	I1 ~\	j5 ) j —=
Л
_ _ 79-lQ-gp /. 15500?

§ 15]	МИКРОСТРУКТУРА КОЭФФИЦИЕНТА ПРКЛОМЛННИЯ	105
Выражение F) должно использоваться при нахождении величины
флуктуации коэффициента преломления п.
Структурная функция коэффициента преломления атмосферы
может быть представлена формулой
^г"' при г>Я„
Фигурирующая здесь величина С„ может быть найдена из со-
соотношения
Г^1 V аш*'&М*.	(8)
(Постоянная а' может незначительно отличаться от введенной
выше величины а.)
Трехмерная спектральная плотность, соответствующая G),
имеет вид
Фп(х) = 0,033 CW>> ехр (	?Л	(9)
где хт связано с величиной Ко соотношением хтк0 = 5,92.
Заметим, что учет изменений температуры, происходящих при
вертикальных смещениях воздуха, приводит к тому, что флуктуа-
флуктуации температуры пропорциональны не величине {dT^jdzY, как это
записано в формуле B2.14), а величине {dTJdz +Го)г- Поэтому
вместо формулы B2.14) следует писать
В нижнем (приземном) слое атмосферы обычно наблюдаемые
градиенты температуры намного превосходят величину уа и поэто-
поэтому ею можно пренебречь в A0). В случае же свободной атмосферы,
когда градиенты температуры сравнимы с та. необходимо пользо-
пользоваться формулой A0).
Учет этого эффекта легко произвести, если во все формулы,
содержащие температуру То, подставить вместо То потенциаль-
потенциальную температуру // = То -f- TqZ. Имея в виду эту возможность,
в дальнейшем мы иногда не будем специальпо отмечать различия
между То и Я.

106 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. i
§ 16. Турбулентность в приземном слое атмосферы
Приземный слой атмосферы, т. е. слой толщиной в несколько
десятков метров над поверхностью Земли, по своей структуре
сильно отличается от свободной атмосферы. В этом слое основным
фактором, определяющим движение, является трение о подсти-
подстилающую поверхность. За счет действия турбулентного перемеши-
перемешивания явление трения распространяется на весь приземный слой.
Если рассмотреть силы, играющие роль при движении воздуха
над подстилающей поверхностью земли, то в случае отсутствия
архимедовых сил (что мы предполагаем сначала) оказывается, что
напряжение трепия о землю намного превышает все остальные
силы (градиент давления, сила Кориолиса). Напряжение трения
уравновешивается при стационарном режиме рейнольдсовыми
напряжениями, которые, таким образом, постоянны в пределах
приземного слоя.
Рассмотрим движение над плоской (в среднем) подстилающей
поверхностью.
В этом случае все усредненные характеристики движения мо-
могут зависеть лишь от высоты z над землей. Направляя ось х по
направлению средней скорости ветра и, получим их = и (z), uy =
= иг = 0. Основной характеристикой движения является величи-
величина турбулентных напряжений Рейнольдса на единицу массы
Из соображений симметрии ясно, что отличными от нуля ком-
компонентами этого тензора являются тш т2г, т33 (средние квадраты
флуктуации компонент скорости) и т13 = т31. Компоненты же
т12 = тг1 и т23 = тЭ2 равны нулю (поток количества движения
направлен вертикально). Величина т13 = т31 — рейнольдсово на-
напряжение, уравновешивающее напряжение трения,— постоянна
в приземном слое. Вместо т13 вводят величину vt согласно соот-
соотношению
Tie = - V*.	A)
Так как т^ имеет размерность квадрата скорости, то vt пред-
представляет собой некоторую характерную скорость в приземном
слое, называемую скоростью трения.
В приземном слое единственным масштабом длины является
высота над подстилающей поверхностью.
Величина их зависит лишь от г. Ее производная может зави-
зависеть лишь от у(нг *). Из соображений размерности ясно, что
— — -••	B)
*) Это, разумеется, справедливо, когда высота г велика по сравнению с
характерными размерами неровностей подстилающей поверхности.

16]
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОВ АТМОСФЕРЫ i07
где и — числовая константа — постоянная Кармана (не смешивать
с волновым числом!).
Воспользуемся теперь соотношением A7.14), связывающим
Tis и r^i; положив i = 1, к = 3, получим, используя A) и B):
откуда находим выражение для коэффициента турбулентного об-
обмена
К = xv.z.	C)
Определим также величину скорости диссипации энергии тур-
турбулентности е. Воспользовавшись формулами B1.14), B) и C),
получим
Y.Z
D)
Из формулы B3.14) мы можем найти выражение для внешнего
масштаба турбулентности Lo:
Lo = y,z,	E)
который, естественно, оказывается просто пропорциональным
высоте.
Интегрируя уравнение B), можно получить и вид зависимости
u(z):
вB) = -^-1п^,	F)
где г0 — постоянная интегрирования. Величина z0 связана с раз-
размерами неоднородностей подстилающей поверхности, и поэтому,
в силу примечания к формуле B), выражение F) справедливо при
z Jg> z0. Таким образом, профиль ветра в приземном слое оказы-
оказывается логарифмическим. Величина z0, входящая в F) и носящая
название высоты шероховатости, зависит от структуры подстила-
подстилающей поверхности. Пользуясь формулой F), можно определять
величину v, по сравнительно простым измерениям средней ско-
скорости ветра на различных высотах. При этом используется опреде-
определенное экспериментально значение постоянной х, приблизитель-
приблизительно равное 0,4 (см. раздел В).
В приземном слое атмосферы е зависит от высоты согласно
формуле D). Подставляя D) в формулу G.12) для DTT, получим в

108 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. i
инерционном интервале
гг х' • (X«)V-
Таким образом флуктуации разности скоростей убывают с вы-
высотой: Drr — г~*Ь. Внутренний масштаб турбулентности 10 =
= v'/*E~'h также зависит от высоты.
Подставляя п это выражение формулу D), получим /0— z"«.
вЗакон 2/3» справедлив, как уже упоминалось, при r«^L0. Так
как в приземном слое Lo — кг, то G) выполняется лишь в случае,
когда расстояние г между точками наблюдения мало по сравнению
с высотой. В случае же, когда т сравнимо или превышает г, раз-
разность скоростей больше не является статистически изотропной
й Drr зависит от ориентации вектора г.
Рассмотрим также структуру температурного поля в призем-
приземном слое атмосферы. Полученные выше выражения относились
к случаю, когда влиянием архимедовых сил на динамику потока
можно было пренебречь. Это означает, что температурная страти-
стратификация соответствует безразличному равновесию. Как мы уста-
установили в предыдущем параграфе, при вертикальных адиабати-
адиабатических смещениях элементарного объема воздуха его температура
меняется по закону Т' = Го — уа&.г. Поэтому для того, чтобы
при таких смещениях не возникали архимедовы силы, необходимо,
чтобы температура окружающей среды в точке, куда сместился
рассматриваемый объем, также была равна То — ya\z. Отсюда
следует, что при безразличной температурной стратификации
профиль температуры описывается линейным законом: Т (г) =
= То — yaz. В этом случае температурные флуктуации отсутству-
отсутствуют, так как величина -т—|- уа, входящая в формулу A0.15), обра-
обращается в нуль.
Рассмотрим температурную стратификацию, слабо отличаю-
отличающуюся от безразличной. В этом случае в первом приближении
влиянием архимедовых сил на турбулентный режим можно еще
пренебречь, но величина -^- -|- уа уже не равна нулю, так что
в среде возникают температурные флуктуации.
Установим вид профиля средней температуры для этого слу-
случая. Исходным здесь является предположение о постоянстве
турбулентного потока тепла, аналогичное предположению о по-
постоянстве турбулентных напряжений. (Практически все тепло,
поступающее от поверхности земли, передается без потерь через
приземный слой.) Тогда согласно формуле G.14)
— <Ги'г> = Кт -^ = const = axvj.,	(8)

16]	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ	109
где введена характеристика температурного поля 7\, имеющая
размерность температуры.
В формулу (8), являющуюся определением Тт, введена величи-
величина а = Кт/К (а — турбулентное число Прандтля). Так как в
приземном слое турбулентный поток тепла не зависит от высоты,
то аки,Тщ — const. Мы будем считать, что Tt — const и, следова-
следовательно, а — const (это предположение с достаточной точностью под-
подтверждается экспериментально).
Подставляя в (8) Кт — ос К —axvtz, получии
dT0 = T,
dz	z
(9)
T«(z) = Т. In-t-+T(z0).	A0)
Таким образом, при стратификации атмосферы в приземном
слое, близкой к безразличной, профиль средней температуры,
как и профиль средней скорости ветра, имеет логарифмический
вид. Величина Tt легко может быть определена эксперименталь-
экспериментально по измерениям средней температуры на нескольких высотах.
Подставляя (9) в формулу A0.15), получим для инерционного
интервала
(Т 4- т «У2
DT (г) = aV<ад v ' ,/° г1/..	A1)
Z'3
Таким образом, флуктуации разности температур в приземном
слое убывают с высотой как zr*l* (величиной yaz обычно можно
пренебречь).
Рассмотрим теперь случай, когда влиянием архимедовых сил
на турбулентный режим пренебречь нельзя.
В этом случае в уравнениях движения добавляется слагаемое,
учитывающее архимедову силу. Оно имеет вид gT'JT0, где 7" —
пульсация температуры в точке г. Таким образом, в задаче появ-
появляется новый размерный параметр В — -?-, который вместе с вели-
чипами v,, Tt определяет режим турбулентного движения. Из
параметров vm, J1, и f можно составить единственным образом
(с точностью до численного множителя) масштаб длины
введенный в работах А. М. Обухова и А. С. Монина [28—31], ко-
которым мы и следуем при дальнейшем изложении. Коэф-
Коэффициент турбулентного обмена К, который при безразличной

110 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
стратификации выражался формулой К = y.vtz, теперь может
быть записан в виде
где ф (z/L) — безразмерная функция безразмерного аргумента
z/L. В случае, если турбулентный поток тепла равен нулю, что
соответствует безразличной температурной стратификации, Т\ —
= 0 и L = ос. В этом предельном случае формула A3) должна
переходить в прежнюю формулу C), откуда следует, чтоф @) = 1.
При z <^.\L\ получимф ^ 1; отсюда следует, что при z<^\L\
влиянием архимедовых сил можно пренебречь. В связи с этим
величину L называют толщиной подслоя динамической турбу-
турбулентности.
Подставляя в уравнение A7.14) Ti3 = — v* и выражение A3)
для К, получим (при i — 1, к = 3)
du v,
Точно так же, подставляя в (8)
будем иметь
Интегрируя уравнения A4) и A5), получим
[(^)(^)]	A7)
где
\f	A8)
Из A6) и A7) следует, что профили скорости ветра и темпера-
температуры подобны. Это является следствием предположения о постоян-
постоянстве а = Кт/К. Так как ф(?) ш 1 при \ <^ 1, то в этом случае т. е.
/ (?) «5 In ? + const,
при z<^.L, профили ветра и температуры имеют логарифмический
характер. При больших значениях ? функция /(?) сильно откло-
отклоняется от логарифмической. При этом вид функции /(?) при

S 16]	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ	Щ
? > 0 (что соответствует L> 0, т. е. Гф > 0) и при ? < 0 (Г, <0.)
различен. Так, например, при ? <<! — 1 (Г. < 0, неустойчи-
неустойчивая стратификация, конвективные условия) / (?) = Сг Jf'^ -f-
+ const. Вид функции /(Ц_(или соответствующей ей функции
ф (?) = ?/'(?)) был изучен экспериментально в ряде работ (см.
раздел В).
Выразим через функции ф или / (?) величины е и 7V.
Выше (в § 14) на основании уравнений движения была полу-
получена формула B1.14) е = К \-rr-) для скорости диссипации энер-
энергии турбулентности. Положенные в основу уравнения движения
не содержали слагаемого, описывающего архимедовы силы. Это
слагаемое появляется в z-компоненте уравнения движения и имеет
вид РГ'. При составлении уравнения для е в § 14 мы умножали
уравнение движения на скорость и затем усредняли его. Допол-
Дополнительное слагаемое -f $7" даст при этом вклад + р" {T'vz} =
= $дг в величину е, которая оказывается равной
ди.
Подставляя сюда выражения
а также A3), A4) и A5), получим
или
Полученное выше (§ 14) выражение для N остается в силе и в
рассматриваемом случае:
Используя выражения A9) и B0), можно паписать формулы,
определяющие структурные функции Drr и Dj в инерционном

СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
интервале:
ПТ = а> -? /'¦ = *>аЧТ1 (^\т. (?)"' ¦ B2)
Формулы B1) и B2) отличаются от соответствующих формул для
случая безразличной стратификации наличием дополнительных
множителей, записящих от z/L и обращающихся в единицу при
L = оо.
Важной характеристикой температурной стратификации ат-
атмосферы является так называемое число Ричардсона [32]
g dz
I dz
являющееся отношением мощности, расходуемой на преодоле-
преодоление архимедовых сил, к мощности рейнольдсовых напряжений.
Первая из этих величин равна (см. вывод формулы A9))
(мы учли здесь разницу между обычной и потенциальной темпера-
температурами), вторая— К (-J-J- Их отношение (с точностью до мно-
множителя (— а)) и равно числу Ричардсона B3). В случае устой-
устойчивой температурной стратификации Ri ]> 0. При неустойчивой
стратификации (конвективные условия) Ri <С 0- С увеличением
числа Ri увеличивается доля энергии, расходуемая на преодоле-
преодоление архимедовых сил, что приводит к ослаблению турбулентно-
турбулентности. (Напомним, что согласно A9) и B3) е = К (-J-) A —осШ).)
Таким образом, можно ожидать, что характеристики турбулен-
турбулентности будут зависеть от Ri.
В приземном слое атмосферы параметр стратификации связан
с Ri. Действительно, пренебрегая в B3) величиной уа и подстав-
подставляя A4), A5) и A2), получим формулу, связывающую Ri и ф ^~\:

§ 16]	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ	ИЗ
Эта формула позволяет для заданного L найти Ri для любой
высоты z. Следовательно, параметры Ri яЬ однозначно связаны и
вместо того, чтобы указывать значение L, можно указать величину
Ri для какой-либо высоты и по ней найти L. Для приземного слоя
использование величины L более удобно, так как в этом случае
мы имеем дело лишь с одной числовой характеристикой стратифи-
стратификации, а не с функцией Ri (z). Однако использование в качестве ха-
характеристики стратификации числа Ричардсона имеет свои пре-
преимущества; так Ri сравнительно легко может быть определено пе
только для приземного слоя, но и для свободной атмосферы, где
универсальные профили ветра и температуры не существуют.
Поэтому, выражая все экспериментальные зависимости, получен-
полученные в приземном слое, через Ri, можно попытаться экстраполи-
экстраполировать их и на случай свободной атмосферы.
Считая, что функция <р (z/L) известна, мы можем найти связь
между Ri и ? = -у. Это позволит выразить <р (z/L) как функцию
Ri; обозначим
()	.	B5)
Тогда -^- =aRi-if(Ri). Выражая величины vt ихГ, при помощи фор-
формул A4) и A5) через производные —, -j—, подставляя полученные
значения п B1), B2) и вводя Lo = кг, получим формулы
B6)
Ut (г) = а <х	г-.	гг Гм> —з— -г—I >	{^')
записанные в виде, позволяющем применять их не только в при-
приземном слое, но и в свободной атмосфере *). Функция-ф (Ri), входя-
входящая в B6) и B7), была определена экспериментально несколькими
независимыми методами и приведена в § 22.
Отметим, что в случае даже сравнительно небольших по абсо-
абсолютной величине отрицательных значений чисел Ri режим тур-
булонтности соответствует режиму свободной конвекции (пере-
(переход к этому режиму происходит при Ri < —0,05). В этом случае
*) Разумеется, применимость этих формул к условиям свободной атмо-
атмосферы нуждается в экспериментальной проверке.

114 СВЕДЕНИЯ НО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
И
Подставляя указанное значение <р (?) в формулу A9), получим
для |? | ;> 1 (точнее, для ?<< — 1)
т. е. при режиме свободной конвекции и z !>>[?| e не зависит от
высоты. В то же время
1
т. е. N убывает с высотой как zfl; Следовательно, при свободной
конвекции флуктуации скорости не зависят от высоты, а флуктуа-
флуктуации температуры убывают с высотой как г4/», т. е. значительно
быстрее, чем при режиме чисто динамической турбулентности.
В случае режима свободной конвекции как е, так и N могут быть
выражены через «поток температуры»
Подставляя L = t>*/ax2pT, в формулы для е и N и выражая vtTt
через q, получим
-Р* *-,&-!&•	B8)
§ 17. Влияние сил плавучести на микроструктуру
полей скорости и температуры
В предыдущем параграфе мы рассмотрели влияние сил плаву-
плавучести (архимедовых сил) на характеристики среднего движения
(и (z), T {?)). Однако эти силы оказывают влияние не только на
параметры усреднепного движения, но и на микроструктуру ско-
скорости ветра и температуры. Этот вопрос рассматривался в работах
А. М. Обухова [33, 34], Р. Больджапо [35], А. С. Монина [36].
Микроструктура полей скорости и температуры в инерцион-
инерционном интервале при отсутствии сил плавучести определялась
параметрами е и N. При учете сил плавучести к ним необходимо до-
добавить новый параметр р = g/T0. Из е, N и Р можно составить
величины с размерностью масштаба
Ls = e^Vr*';	A)

$ 17]	ВЛИЯНИЕ СИЛ ПЛАВУЧЕСТИ	115
скорости
B)
и температуры
тк = в VV.	C)
Пользуясь этими величинами, можно составить выражение
для спектральных плотностей Е(к) и Фт(«)- Так как единственной
безразмерной комбинацией, которую можно составить из е, N,
3 и х, является величина nLk, то, воспользовавшись соображения-
соображениями размерности, можно написать
Е (х) - hvl f (x/4) = eV^V (xeV"'"^*).	D)
Фг (х) = Igrbp (xL») = бф"'ЧГ\ (w'T'1'^')'	E)
Если параметр [i устремить к нулю (что соответствует отсут-
отсутствию архимедовых сил), то он должен выпасть из формул D) и
E). Отсюда можно получить асимптотические выражения
lim / (х) = С&-Ч', Hm <p (*) - С2аг"/.,
х-*оо	эс-к»
которые приводят к прежним выражениям
Е {х) = Cie'/че-»/., Фт (ч) = Crs^Ve-l/-x-JI'«,
справедливым в инерционном интервале. Из этих асимптотичес-
асимптотических формул видно, что прих?к5^>1, т. е. в области % 5s> ?-, спект-
*
ры флуктуации скорости и телшературы имеют прежний вид.
Следовательно, влияние сил плавучести сказывается в основном
в области сравнительно крупных масштабов, определяемых вели-
величиной Zfc. Соответствующие характерные масштабы скорости и
температуры даются формулами B) и C).
В области волновых чисел, удовлетворяющих условию nL^*^. 1,
влияние архимедовых сил становится преобладающим. При этом
в случае устойчивой температурной стратификации энергия круп-
крупномасштабных движений расходуется в основном на работу по
преодолению архимедовых сил, а не на передачу к более мелко-
мелкомасштабным компонентам. Это означает, что при устойчивой
температурной стратификации в области xLj <^ 1 из формул D) и
E) должна выпасть величипа е. Отсюда следует, что при х ^ 1
/ (х) ~ х-х\ Ф (х) ~ аг"'..

116 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
Следовательно, при xL^ <^ 1 имеют место формулы, полученные
в работе Р. Больджано [35]:
Е (х) = const .iVVV7',	F)
Фт (х) - const• p-vW*VVi.	G)
В случае неустойчивой температурной стратификации, как
показано в работе А. С. Монина [3G], при х -* 0 / (.т) — а;5 и
Ф (х) — ж. В этом случае функция / (х) имеет максимум при
Xj = 1,01, а функция х\ (х) при а;ф = 0,46.
Подводя итоги этому рассмотрению, можно сказать, что в об-
ластн у. J^> -у- спектры флуктуации скорости и температуры
имеют тот же вид, что и при отсутствии сил плавучести (т. е.
в области г «^ Lit структурные функции Drr и DT имеют прежний
вид). При и % j- влияние архимедовых сил становится уже
существенным (область r^L^). В случае устойчивой температур-
температурной стратификации в этой области волновых чисел спектраль-
спектральные плотности имеют вид (С) и G). Соответствующие им структур-
структурные функции имеют вид
Drr(r)~N!/>f>r'\
?r(r)~JV*/iP"V/i.
Масштаб L^, определяющий размеры неоднородностей, на ко-
которые существенное влияние оказывают архимедовы силы, мож-
можно связать с внешним масштабом турбулентности Lo. Для этого
воспользуемся формулами B0.14), A9.16) и B3.16):
dTa
Подставляя эти величины в A) и привлекая определение
B3.16) числа Ричардсона, которое в нашем случае (цри прене-
пренебрежении величиной т„) имеет вид
Ri и, L?-
получим

5 18]
ИЗМЕРЕНИЯ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
117
На основании этой формулы можно сделать вывод, что Lk^-
~^> Lu при | Ri | <^ 1 и в этом случае влияние архимедовых сил
проявляется лишь вне инерционного интервала турбулентности.
Если же | Ri | велико, то масштаб Lk попадает внутрь инерцион-
инерционного интервала и делит его на две части: при устойчивой страти-
стратиб	б L ^ ^ L	ф
фикации в области масштабов Lo
(8) (9
р у	р
Lk справедливы форму-
формуг ^> 1й — прежпие фор-
форф	o ^
лы (8) и (9), а в области масштабов Llt
мулы для Drr и DT.
В работе Л. С. Мопина [36] спектральные плотности Е (х) и
Фг (х) рассчитаны для произвольных значений параметра хЬь
и различных условий стратификации (устойчивой, безразличной
и неустойчивой).
В. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
О ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ
§ 18. Измерения пространственных структурных функций
скорости ветра и температуры
в приземном слое атмосферы
Первые измерения микроструктуры скорости ветра в атмо-
атмосфере были выполнены в работах Гедеке [37], Обухова [38], Креч-
мера [39] и др. [40, 41]. Для измерений в этих работах применял-
применялся термоанемометр, представляю-
щий собой тонкую платиновую
нить (диаметром в 10—20 мк, дли-
длиной порядка 1 см), нагреваемую
током до температуры в несколько
сотен градусов Цельсия. При по-
постоянном нагревающем токе тем-
температура, а следовательно, и со-
сопротивление нити сильно зависят
от скорости обтекающего ее воз-
воздушного потока. По измеренным
значениям сопротивления нити
можно, имея тарировочную кри-
кривую термоанемометра, определить
и скорость ветра. Постоянная вре-
времени термоанемометра в воздухе
обычно имеет порядок одной сотой
секунды (в воде постоянная вре-
времени термоанемометра значительно
меньше). При измерениях струк-
структурной функции скорости ветра два термоанемометра включа-
включаются в противоположные плечи моста, что позволяет измерять
разность скоростей.
л
'г-
i
j
/
W
/
3
2 4 в 16 32 60 г
Рис. 7. Образцы эмпирических
структурных функций продольной
компопепты скорости, получеппые
па высотах 1,5; 3 и 15 м.
По оси абсцисс в линейном масштабе
3 _
отложена величина Yr, по оси ординат^
±

Н8
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Ггл. i
Уже первые измерения структурных функций скорости ветра
обнаружили их хорошее согласие с «законом 2/3». На рис. 7
приведены образцы структурной функции скорости ветра, полу-
полученные в работе Обухова [38]. По оси абсцисс отложена величина
rV«, по оси ординат У &гАг). «Закон 2/3» в этих координатах дол-
должен изображаться прямой линией (причем за счет инерции дат-
датчиков она выходит не из начала координат). Из рисунка видно, что
с достаточной точностью экспериментальные данные согласуют-
согласуются с «законом 2/3». В указанной
работе Обухова были произведе-
произведены оценки величины е для тех же
моментов времени, когда измеря-
измерялась функция Drr (г), для чего
использовались измерения сред-
средней скорости ветра на нескольких
высотах и формулы логарифмиче-
логарифмического пограничного слоя § 16. Для
константы С2, входящей в фор-
формулу Drr — CV'V», таким обра-
образом было получено ориептировоч-
ное значение С2 = 0,9, что не-
несколько меньше значения С2 = 1,5,
полученного в аэродинамических
24 8 16
32 г, см
Рис. 8. Образец эмпирической
структурной функции темпера- трубах в работе [42].
туРы*	Измерения пространственных
структурных функций темпера-
температурного поля проводились в работах [43, 44]. В качестве дат-
датчиков использовались термометры сопротивления с постоянной
времени т st: 0,01 сек. Многочисленные измерения функции Dt в
приземном слое атмосферы также обнаружили хорошее согла-
согласие с «законом 2/3». Образец структурной функции температур-
температурного поля приведен на рис. 8.
Уже первые измеропия структурпых функций Drr (г) и/)г(г)
в атмосфере позволили определить характерные значения пуль-
пульсаций скорости ветра и температуры в приземном слое атмосфе-
атмосферы. Случайная разность скоростей Дув двух точках, располага-
располагающихся на одной высоте z на расстоянии г друг от друга порядка
г — 0,5z, имеет характерное значение Д у -— vt. Для грубой оцен-
оценки vm можно использовать формулу vt ^ 0,1вг=2*и ГДе иг=2м —
средняя скорость ветра на высоте 2 лг. Таким образом, характер-
характерное значение Ду имеет порядок нескольких десятков см/сек.
Аналогичная величина Д77 для температурного поля сильно за-
зависит от температурной стратификации и может достигать 1° С.
Характерная величина е в приземном слое атмосферы составляет

5 19]	АППАРАТУРА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	119
несколько сотен единиц CGS, а внутренний масштаб /0 =l/ —
имеет порядок 1 мм. Внешний масштаб турбулентности Lo в при-
приземном слое равен, как уже отмечалось выше, xz, где х zz 0,4.
Таким образом, отношение LJlu, характеризующее ширину
инерционного интервала («динамический диапазон» турбулент-
турбулентности), имеет в приземном слое порядок \& -j- 104.
§ 19. Аппаратура для измерений турбулентных флуктуации
скорости ветра и температуры в атмосфере
На основании приведенных оценок можно сформулировать
основные требования, предъявляемые к аппаратуре, предназна-
предназначенной для измерений турбулентных пульсаций скорости ветра
и температуры во всем диапазоне масштабов, начиная с /0. Точ-
Точность и чувствительность измерений скорости должна быть по-
4
рядка нескольких сантиметров в секунду (v0 = ]^ev имеет этот
порядок величипы). Размер датчиков должен быть не больше
внутреннего масштаба турбулентности 10 л= 1 мм. Наибольшие
частоты пульсаций ветра имеют порядок п/10, где п — средняя
скорость ветра. Отсюда при п = 5 м/сек и 10 = 1 мм получаем
/о~' 5000 гц. Следовательно, постоянная времени датчиков долж-
должна быть порядка /о — 2 • 4 0~4 сек, а полоса пропускаемых аппа-
аппаратурой частот — порядка 5 кгц. Точность измерений температуры
должна быть порядка 10 град.
Аппаратура, удовлетворяющая сформулироваппым требова-
требованиям, позволила бы исследовать микроструктуру турбулентно-
турбулентности вплоть до ее внутреннего масштаба. Такая аппаратура была
создана лишь в самое последнее время [22, 174] и проведенные
с ней измерения спектров турбулентности в инерционном и
вязком интервалах дали чрезвычайно интересный для теории тур-
турбулентности материал, послуживший прямым подтверждением
теории Колмогорова — Обухова (см. § 12). Большая же часть экс-
экспериментальных исследований была выполнена с более грубой
аппаратурой, позволившей производить измерения лишь в инер-
инерционном интервале.
В работах [45—49] для измерений компоненты скорости ветра
использовался акустический микроанемометр. Его принцип дей-
действия основан на зависимости скорости распространения звука
в движущейся среде от скорости среды. Пусть с0 — скорость зву-
звука в неподвижной среде. Тогда фазовая скорость звука в напра-
направлении п. равна с = с0 + nv, где v — скорость среды относи-
относительно неподвижного источника звука. Пусть излучатель звука
И (рис. 9) излучает звуковые волпы с частотой <о, которые

120
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
воспринимаются микрофонами Мх и М2. Скорость звука на пути
ИМ1 равная — с0 — vn, а на пути ИМ2 г2 = с0 + vn, где vn =
= nv. Набег фазы на пути ИМ1 = I равен <о//с17 а на пути ИМ2 =
= I он равен <а1/с2. Разность фаз звуковых колебаний в точках
Mlt Mt равна
Так как v\
с*0, то с достаточной точностью
2а>1
Генера-
Генератор
М,
М,
Усили-
Усилитель
Фазо-
Фазометр
Усили-
Усилитель
Регистрирую-
Регистрирующий лшаш
т. е. разность фаз колебаний, воспринимаемых микрофонами Мг
и Мй, пропорциональна компоненте скорости ветра вдоль базы
МХМ2. Таким образом, акусти
ческий микроанемометр являет-
является линейным датчиком, что вы-
выгодно отличает его от термоапе-
мометра, являющегося нелиней-
нелинейным прибором. В некоторых
образцах акустических анемомет-
ров(см. [45 ])база 11 имела размер
около 2 см. Постояппая времени
акустического анемометра равна
1/с0 и вносимое сю усреднение
ничтожпо по сравпспию с прост-
пространственным усреднением на
Ряс. 9. Блок-схема акустического базе 21. Многочисленные изме-
анемометра.	рения микроструктуры скоро-
скорости ветра при помощи акусти-
акустических анемометров проводились в работах [47, 49].
Для обработки результатов измерений микроструктуры турбу-
турбулентности пообходимо производить очень большое количество
вычислений. В последнее время в экспериментальной технике
нашли широкое применение приборы для автоматического ста-
статистического анализа: многоканальные частотные анализаторы,
коррелометры и т. д. [50].
При этом оказалось значительно удобнее исследовать не нро-
страпственную, а временную микроструктуру турбулентности
в одной или нескольких немногих точках пространства. При-
Применение повой экспериментальной техники позволило за срав-
сравнительно короткое время получить и обработать очень большой
экспериментальный материал, соответствующий сотням часов
наблюдений.

J 20]	ГИПОТЕЗА «ЗАМОРОЖЁННОСТЙ»	121
§ 20. Связь временной и пространственной структуры
турбулентности (гипотеза «замороженности»)
В разделе А при рассмотрении пространственно-временных
спектров была сформулирована высказанная Дж. Тейлором гипо-
гипотеза о «замороженности» турбулентности, которая сводилась к то-
тому, что вся пространственная картина случайного поля / (г)
движется со средней скоростью вотра и:
f(r,t + t') =f(r- ut', t).
Отсюда была получена связь между пространственно-временны-
пространственно-временными структурными функциями D (г, т) и чисто пространственными
функциями D (г):
D (г, т) = Z) (г - их).	A)
Была получена также формула, связывающая временной
(частотпый) спектр случайного скалярного поля W (©), опре-
определенный соотношением
В
00
(т) =2 ( W (ю) cos шт d&,
о
с его пространственной спектральной плотностью Ф (х). Для слу-
случая локально изотропного поля, когда Ф (х) = Ф (х), эта связь
выражалась формулой
00
W(m)= Щ- \ Ф(х)хсЬс	B)
или
^W'{y.v).	C)
В случае, если Ф (х) соответствует «закону 2/3», т. е. имеет вид
Ф(х) = А х-*/.,	D)
частотный спектр W (©) выражается формулой
W((a)=~Av4*\&\*l\	E)
т. е. W (ш) пропорционально <в~"-«.
Сравнивая C) с формулой A3.4) Ф (х) = — Bлх)'1У (х), легко
получить соотношение
у (х) = VW (x v),	F)

122
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРПУЛКНТНОСТЙ
Ггл. t
связывающее одномерный пространственный спектр F(x) ло-
локально изотропного поля с его временным (частотным) спектром
W (<л) в случае «заморожепности» поля.
VT(x),
т3
го1
to-
, град*/см-'
iff4
JO3
70'
7О-
7О-
jg-S
а)
7О'5 70'4 7(Г} 70-* JO''
Рис. 10. Сопоставление «пространственного» и «временного» (частотного
спектров температурных флуктуации.
р
«Пространственные» спектры получены путем измерений временного частотного^ектра
при помощи быстро движущегося датчика, установленного на самолете. «Временные»
спектры Зучены с использованием неподвижного датчика температуры, Устаноиешюго
на вншке на высоте 70 м. Скорость самолета 88 м/сек (а) и 55 м/сек (б), скорость ветра
9 м/сек. Черные кружки — «временной» спектр, белые кружки — «пространственный»
спектр.
Попытаемся выяснить условия, при которых можно ожидать
выполнения гипотезы замороженпости. Для этого рассмотрим
движение неоднородности поля скорости, имеющей характерный
размер /. Время, в течение которого эта неоднородность проходит
мимо точки наблюдения, имеет порядок Т = 1/п, где п — сред-
средняя скорость ветра. С другой стороны, «собственное время жизни»
неоднородности, за которое происходит ее существенное

20]	ГИПОТЕЗА «ЗАМОРОЖЕННОСТИ»
изменение (эволюция), имеет порядок
123
I
I
I
ч*
Ясно, что для того, чтобы можно было пренебречь эволюцией
неоднородности за то время, пока она проходит мимо точки на-
наблюдения, необходимо, чтобы выполнялось условие т ^> Т,
т. е. Z'/з/б1 з ^> ИГ1, откуда
70 г
TIT* г
то-'.
70
-з
Но последнее условие всегдо
выполняется, если l<^L0, гд-
Lo — внешний масш таб турбу
лентности. Действительно, ы~
>—< (eL0)'t*, что и приводит к
условию I <^.L0. Таким образом,
отступления от «замороженно-
сти» можно ожидать лишь в
области крупных масштабов вне
инерционного интервала турбу-
турбулентности. В инерционном же и
вязком интервалах можно ожи-
ожидать хорошего выполнения «ги-
«гипотезы замороженности».
Экспериментальная провер-
проверка «гипотезы замороженности»
проводилась в работах [51,52].
Для этого в [52] производились
одновремеппые измерения ча-
частотных спектров температур-
температурных флуктуации в неподвиж-
неподвижной точке на высоте 70 м (выш-
(вышка) и измерения частотного
спектра на самолете, летевшем на той же высоте 70 м со ско-
скоростью' vc. Так как самолет движется с очень большой скоро-
скоростью по сравнению со скоростью ветра, то можно считать, что
оп пересекает неоднородности практически мгновенно и получен-
полученный с его помощью частотный спектр YVc((o) (после перехода
ь>
к пространственным волновым числам х = ~^~) является практи-
практически одномерным пространственным спектром случайного поля.
V (к) можпо рассчитать из Wc (w) при номощи формулы, анало-
аналогичной F):
V (х) - vcWc(xvc).
:\
! V
гтттттт
-
1—
iiiiili г
	Самолет
	 Привязной
аэростат
\
ч
\i
Ё
V
0.1
го
Рис. 11. Сопоставление «простран-
«пространственного» и «временного» спектров
показателя преломления.

124 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
По измерениям частотного спектра W (со) в неподвижной точке,
пользуясь гипотезой «замороженности», также можно рассчи-
рассчитать V (х):
В случав выполнения «гипотезы замороженности» оба выра-
выражения для V (и) должны совпадать. На рис. 10 приведены два
таких сопоставления, из которых видно, что в исследованной
области волновых чисел, доходящих до 10"Б см~1, гипотеза «за-
«замороженности» выполняется очень хорошо. Область волновых
чисел, в которой экспериментально подтверждается эта гипотеза,
оказывается даже значительно большей, чем можно было бы
судить на основании приведенной выше оценки I <^ Lo. Анало-
Аналогичные результаты получены в [51] и по отношению к полю пока-
показателя преломления (рис. 11).
Прямой проверки «замороженпости» для поля скоростей не
производилось, однако имеется множество косвенных подтвержде-
подтверждений этой гипотезы, получаемых из сопоставления основанных на
ней выводов с экспериментальными данными.
§ 21. Измерения спектра поля скоростей
в иперционном в вязком интервалах
В упоминавшейся уже работе [22] были исследованы частот-
частотные спектры продольной составляющей скорости в море*). Дат-
Датчиком скорости служил термоанемометр с размером чувстви-
чувствительного элемента менее 0,5 мм. Это позволило экспериментально
исследовать как инерционный, так и вязкий интервал волновых
чисел.
Установим связь между спектром продольной компоненты ско-
скорости и функцией Е (и). Воспользовавшись формулой C.9)
запишем выражение DiX (r):
*) Аналогичные исследования были затем выполпены п в атмосфере (см.
A74, 183|). Результаты этих работ находятся в прекрасном согласии с ре-
результатами описываемой здесь работы [22].

§ 211	ИЗМЕРЕНИИ В ИНЕРЦИОННОМ И ВЯЗКОМ ИНТЕРВАЛАХ	125
Направим ось х ло вектору г; тогда г = {г, 0, 0} и Du (r) =
= Drr(r). Тогда при i = к = 1 получим
—оо
00
Это выражение имеет вид одномерного спектрального разло-
разложения
оо
DTT (г) = 2 jj A - cos Яхг) Угг (Xl) dxlf
—оо
где
Производя в интеграле замену переменных х2 = A, cos ф, х3
= к sin ф и выполняя интегрирование по ф, получим
что после подстановки Я2 + х\ = х'2 дает
о*2	«2
Эта формула выражает одномерную спектральную плотность
У fa) через Е (х). Дифференцируя это соотношение, получаем
откуда, умножая обе части равенства на — и снова дифференци-
дифференцируя, получим
d

126
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
Следовательно, если известна функция Vrr (х), то Е (х) может
быть найдена по формуле
B)
Скорость диссипации энергии
е = 2v [ v?E (x) rfx
можно выразить непосредственно через функцию Vrr (x). Под
ставляя выражение для Е (х) и 2 раза интегрируя по частям, по-
получим формулу
е =
C)
В описываемой работе [22]
было произведено 17 измере-
измерений спектральной функции
Vrr (x) ПРИ различных усло-
условиях (в работе приводится функ-
функция ф (х) = 27,.Дх)). На рис. 12
приведен в логарифмическом
масштабе один из таких спект-
спектров. Левая верхняя часть гра-
графика на рис. 12 представляет
собой прямую линию с угло-
угловым коэффициентом — 5/3, со-
соответствующим теории Колмо-
Колмогорова — Обухова. В области
больших волновых чисел за-
заметно отступление от прямоли-
прямолинейного закона, обусловленное
влиянием вязкости. Исполь-
Используя измеренную функциюVrr (x),
можно вычислить величину е. На рис. 13 приводятся в полуло-
полулогарифмическом масштабе функции х Vrr (x) и x3Vrr (x). Площадь
под первой кривой в используемых координатах пропорциональ-
пропорциональна энергии турбулентности
оо
— \ xKrrd Inx,
Рис. 12. Образец эмпирической спек-
спектральной плотности продольной ком-
компоненты скорости в инерционном
и вязком интервалах ф (х) = 2Vrr (x).
Прямолинейный участок кривой соответ-
соответствует степсмпому закопу к"''».

5 21]	ИЗМЕРЕНИЯ В ИНЕРЦИОННОМ И ВЯЗКОМ ИНТЕРВАЛАХ
а площадь под второй кривой пропорциональна е
127
00	00
е ~ \ y?Vrr (х) tfx = ( x3Frr (x) d In x.
о	о
Из графиков рис. 13 непосредственно видно разделение энерге-
энергетического и вязкого интервалов и существование инерционного
интервала турбулентности.
2*V№(x,
|Рис. 13. Образец эшшрической спектральной
плотности продольной компоненты скорости (/)
в спектральной плотности скорости диссипация
энергии B).
По оси абсцисс отложены волновые числа в логарифмиче-
логарифмическом масштабе, ;по оси ординат—2xVrr (х) (кривая 1)
ж 2 Xs Vrr (x) (кривая г). В этих координатах площади под
кривыми la г пропорциональны полной анергии турбулент-
турбулентности (кривая 1) и скорости диссипации энергии (кривая г).
Данные иллюстрируют разделение этгергосодержащего
и вязкого интервалов.
Согласно колмогоровской теории турбулентности функция
Vrr (*) .в инерционном и вязком интервалах может быть пред-
представлена в виде
где /0 = (v'eI/» и F (х) — безразмерная функция безразмер-
безразмерного аргумента. Следовательно, если для каждого измерен-
измеренного спектра Vrr (x) определить е по формуле C), затем по-
построить график, в котором по оси ординат отложена величина
Vrr (x)/(8V6I/«, а по оси абсцисс xl0 — х, то мы должны получить
универсальную функцию F (х). На рис. 14 в логарифмическом

128
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
масштабе приводятся все 17 спектров в координатах Vrr (и)/ (evs)"«,
х/0. Видно очень хорошее совпадение всех данных, полученпых
при совершенно различных г, которое менялось в пределах от
5,01
4,0
3,0
2,0
1,0
О
'-2,8 -2,4 -2,0 4,6 -7,2 -0,8 -0,4
О
Рис. 14. Пространственная спектральная плотность У„ (х) продольной компо-
компоненты в безразмерных координатах.
По оси абсцисс отложено в логарифнвческок масштабе произведение волнового числа на
колмогоровский масштаб длины. По оси ординат, также я логарифмическом масштабе,—
нормированная на (ev^'/« спектральная плотность. Необходимая для пормировки вели-
величина е определялась для каждого из помещенных здесь 17 спектров как площадь под кри-
кривой 2 аа рис. 13. Приведенные на этом графике данные являются прямым эксперименталь-
экспериментальным подтверждением универсального вида спектра турбулентности в инерционном и
вязком интервалах.
0,0015 до 1,2 см2/сек?. График на рис. 14 является прямым экспе-
экспериментальным подтверждением колмогоровской теории турбу-
турбулентности *).
В области х «^ xm ^; l^1 измеренные значения Vrr (и) хорошо
аппроксимируются формулой
(множитель 9/55 введен для удобства). Так как значения е извест-
известны на основании измерений Vrr (и) в области диссипации, то это
*) Одновременно он подтверждает и гипотезу «заиороженности», приме-
нявшуюся для получения пространственного спектра по временному.

i 24	ИЗМЕРЕНИЯ В ИНЕРЦИОННОМ И ВЯЗКОМ ИНТЕРВАЛАХ	129
дает возможность определения константы А. Значения этой кон-
ставты, определенные по каждому из 17 спектров, оказались очень
близкими. Среднее значение А оказалось равным 1,35 -I- 0,06.
g
Функции Vrr (x) = — А в''пС*<> согласно формуле B) соответствует
Если вычислить структурную функцию Drrt соответствующую
этому спектру, то она, как уже отмечалось, равна
причем С% связано с А формулой
л 36л l U
(см. раздел Б). Отсюда для С2 можно получить значение
С2= 1,77 4:0,08.
Во всей области волновых чисел, включая вязкий интервал,
экспериментальные данные хорошо аппроксимируются форму-
формулой
Е(п) = Ая'М*1*е-уЯ*г	D)
причем а и А связаны соотношением
~»DГ
вытекающим из условия
о
Сплошная кривая, проведенная на рис. 14, построена по фор-
формуле A) с применением D). Как видно из графика, спектральная
плотность вида D) хорошо согласуется с экспериментальными
данными во всей области волновых чисол.
Значение постоянной а, соответствующее значению А =
= 1,35 ~ 0,8, равно а = 4,78 + 0,17. Постоянную а можно оп-
определить также и по виду спектра в интервале диссипации из
сопоставления экспериментальных данных с аппроксимирую-
аппроксимирующей функцией VTT (x), основанной на D). Это приводит к значе-
значению а = 4,36, близкому к величине, полученной по инерцион-
инерционному интервалу спектра. Значению а = 4,36 соответствует кон-
константа С3, равная
С2 = 1,55.
5 В. И. Татарский

130
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. 1
§ 22. Микроструктура полей скорости ветра
и температуры в приземном слое атмосферы
В приземном слое атмосферы проводились многочисленные из-
измерения основпых характеристик турбулентности [47—49, 53—55].
Образец структурной функции иоля скорости был приведен
на рис. 7. На рис. 15 в безразмерных координатах приводит-
приводится частотный спектр флуктуации вертикальной составляющей
скорости ветра, полученный в [49] усреднением по большому коли-
а 07 ¦
0,01 Щ 0,2 1,0 5 20 100 2л
Рис. 15. Эмпирический частотный
спектр вертикальной компоненты
скорости ветра л приземном слое
атмосферы, построенный в безраз-
безразмерных координатах в логариф-
логарифмическом масштабе.
70,0 -
07
О.ОО7,
0,07 0,7 7,D . Wfz/п
Рис. 16. Эмпирический частотный
спектр температурных флуктуа-
флуктуации в приземном слое атмосферы,
построенный в безразмерных ко-
ордипатах в логарифмическ ом
масштабе.
честву измерений при одинаковых условиях (число Ричардсона
близко к нулю, так что отступления от безразличной темпера-
температурной стратификации несущественны). Спектр, изображенный
в логарифмическом масштабе, имеет прямолинейный участок, соот-
соответствующий степенному законуЕ (х) -~х~'« (экспериментально
найденный показатель степени оказался равным —1,64, что с до-
достаточной точностью соответствует теоретическому значению
—5/3 = —1,67 и гипотезе «замороженпости»), В области крупных
масштабов, соответствующих внешнему масштабу турбулентности
L = к наблюдается отклонение от степенного закона (сдектраль-

S 22] МИКРОСТРУКТУРА ПОЛЕЙ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 131
ная плотность при безразличной стратификации имеет максимум
приблизительно при х/2я zz 0,06 z).
На рис. 16 приведен полученный в [53] частотный спектр флук-
флуктуации температуры, также усредненный по большому количеству
наблюдений. Как и на частотном спектрепульсации скорости, здесь
имеется участок, соответствующий зависимости спектральной
плотности от частоты вида }-'>. Среднее значение показателя
степени, определенного из этих экспериментов, равно — 1,67,
что находится в согласии с теорией Обухова и гипотезой «замо-
роженности» турбулентности.
В работах [49, 54] изучалась также зависимость интенсивно-
интенсивности флуктуации от внешних условий. Согласно B6.16) и B7.16)
Drr (г) =
(r) =
- а
Ha рис. 17 изображена функция /i (Ri) = A — a Ri)f/t [ф (Ri)]"v',
полученная в [49] из сопоставления наблюдаемых значений
флуктуации вертикальной компоненты скорости ветра с градиен-
градиентами и и То. Значение константы
С2, входящей в формулу для Drr,
оказалось равным, согласно
[49], С* = 0,83 (в [49] приво-
приводится значение •=- С2 = 1,1).
О
На рис. 18 изображена ана-
аналогичная функция
получепная в [54] из измере-
измерений температурных флуктуа-
флуктуации. Значение постоянной cuz2,
входящей в DT (г), оказалось
равным аа? = 2,8 [185]*).
При отрицательных Ri <[
—0,05 функция \|з (Ri) хоро-
хоро-as -as -o,4 -o,2 о
Рис. 17. Функция /х (Ri), определяю-
оттнгатрйт™Y Ri <-" щ?я влияние температурной страти-
отрицательных m <^ фикации на флуктуации скорости.
шо согласуется с асимптотикой, указанной Пристли [56] для
*) Некоторые данные указывают на зависимость а от Ri, которая должна
приводить к парушепию подобия профилей и (г) и То (г). Наблюдения обнару-
обнаруживают некоторое отступление от подобия этих профилей. В работе Свиибека
[57] приводится зависимость а =^ а (Ri).

132	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
режима свободной конвекции (§ 16)
[ГЛ. I
причем численный коэффициент в этой формуле оказывается
равным 0,37:
1/
Отметим также работу А. С. Гурвича [48], в которой прове-
проведены измерения асимметрии 5 = DTrrj{DrT)'^. Эта величина
(при числах Рейнольдса порядка 106 н- 10е) оказалась равной
	0,42 и, в пределах точности измерений, не зависящей от г
(измерения проводились при
г = 25 см и 50 еле).
По измеренной величине S
можно рассчитать константу С4,
связанную с S формулой Сг =
= j [5 Г1 (см. 11.12). Это дает
для Сг значение Сг = 1,54, близ-
близкое к значению, полученному
из измерений спектра турбу-
турбулентности в море. Отметим так-
также, что в работе Таунсенда [42]
приводится значение С2 = 1,60.
Детальный анализ результатов
многочисленных измерений ми-
кроструктуры поля скоростей
приведен в монографии А.С.Мо-
-Q5-Q4-O,3-O,2-Q1 О 0,7 Ц2 0,3 Ц49.
фикации на флуктуации температуры.
р
нина и А. М. Яглома[185]. На основании этого анализа авторы
рекомендуют, как наиболее надежное, значение С2— 1,9, точность
которого приблизительно равна 10%. Оту величину мы и будем
употреблять для численных оценок.
§ 23. Структура турбулентности в нвжней тропосфере
Измерения флуктуации скорости ветра, температуры и по-
показателя преломления проводились в последние годы на высотных
мачтах [58], привязных аэростатах [51] и самолетах [51, 59, 60].
Кроме того, о флуктуациях показателя преломления можно су-
судить и на основании косвенных данных по распространению ра-
радиоволн и света (такие оценки будут сделаны в гл. 2 и 4).
На рис. 19—22 приведено несколько спектров флуктуации по-
показателя преломления, полученных в работах [35, 61] (самолет-
(самолетные данные). Как видно из графиков, эти спектры хорошо согла-
согласуются с законом W (<о) —- (о~5/3, соответствующим теории. На

t 23]
СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НИЖНЕЙ ТРОПОСФЕРЕ
133
рис. 23 приведены в относительных единицах одномерные про-
пространственные спектры пульсаций температуры, полученные
Цвангом [59] при самолетных измерениях. Из графика видно,
что в области мелких масштабов довольно хорошо выполняется
зависимость V (х) -~ х~6/». В области крупных масштабов наблю-
наблюдаются небольшие отступления от этого закона, закономерно
связанные с высотой, на которой производились измерепия.
Качественно эти отступления согласуются с теорией, учиты-
учитывающей влияние архимедовых сил на спектр температурных флук-
флуктуации.
1
(N-едР
гц
0,1
пт
\
\
а)
0,5 1 2 10
1 0,1 0,2 0,5 1
0,1 02 0,5
Час/пата, гц
Рис. 19. Примеры эмпирических частотных спектров флуктуа-
флуктуации показателя преломления в тропосфере, построенные
в логарифмическом масштабе.
Прямые соответствуют степенной зависииостя ввда /"*"; значения т ука-
указаны на графиках.
На рис. 24 приводятся спектры флуктуации вертикальной
компоненты скорости ветра, полученные в [60]. Здесь, как и в
предыдущих случаях, хорошо соблюдается закон Е (х) — уг1/:
Для практики представляет большой интерес зависимость
интенсивности флуктуации от высоты. Эта зависимость изуча-
изучалась в работах [59, 60]. Прежде чем переходить к анализу экспе-
экспериментальных данных, выясним, как флуктуации зависят от
высоты в пределах приземного слоя. В случае безразличной тем-
температурной стратификации величины Drr (г) и DT (r) зависят от
высоты как 2"*/», aeaJV пропорциональны z. Поэтому при без-
безразличной температурной стратификации можно ожидать доволь-
довольно резкого уменьшения флуктуации с высотой. В случае же не-
неустойчивой температурной стратификации практически уже при
Ri ^ —0,05 наступает режим свободной конвекции. (Так как
число Ричардсона в приземном слое по абсолютной величине

134
СВЕД1ШИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ.
(N-e9)!-70'3
гц
7
0,8
0.4
0,2
7,1
О,'
0,08
0,04
0,02
Ш
0,006
Q004
0,002
0001
OfiOOB
qooos
0,0004
0,0002
0,0001,
0,7 0,2 0,4 0.60.81 2 4 6 810 [0 40 ЕО 80100
Частота, гц
Рис. 20. Примеры эмпирических частотных спектров флуктуации
показателя преломления в троиосфере, построенные в логариф-
логарифмическом масштабе.

§ 23]
СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НИЖНЕЙ ТРОПОСФЕРЕ
135
монотонно возрастает с высотой, то практически режим свобод-
свободной копвекцвги устаналивается при неустойчивой стратифика-
стратификации на сравнительно небольшой высоте.) В этом случае (см.§ 16)
е не зависит от высоты, а Лг — z~*l», т. е. флуктуации скорости по-
постоянны по высоте, а флуктуации температуры убывают кан
> о
л Ч.
> о
Ы-
о '
к
о
о
J0
%11Г
X*
иг4
360	36
'.'аотота, гц
Рпс. 21. Пример эмпириче-
эмпирического частотного спектра
показателя преломления
в приземном слое атмосферы,
v = 18 м/сек.
Прима л лилия соответствует за-
зависимости /-•/,.
о
4°ffih
О
о
>
о
	 _L X
3B00	360	SB
Частота, гц
Рис. 22. Пример эмпириче-
эмпирического частотного спектра по-
показателя преломления в при-
приземном слое атмосферы,
v — 1,2 м/сек.
Прямая линия соответствует за-
зависимости /-•/».
z~'l*. Таким образом, зависимость флуктуации от высоты резко
меняет свой характер в зависимости от температурной стратифи-
стратификации.
На рис. 25 представлена полученная в [59] зависимость от
высоты величины С\ — cPN«-*!*, входящей в формулу DT (z) —
= Сх7*'". Величина Ст определялась из спектров флуктуации
температуры.
График на рис. 25 получеп путем усреднения десяти различ-
различных высотных зависимостей С% — С\ (z), полученных в сходных
условиях, относящихся к конвективному режиму (жаркий лет-
летний день, 12—14 часов). Пунктиром на рис. 25 проведена
прямая, соответствующая убыванию С\ (z) по закону (?т —
— z-"l'. Следует отметить, что пе только усредненная по несколь-
нескольким полетам кривая Cj (z) хорошо подчиняется этому закону, но и
каждый из высотных разрезов хорошо соответствует этой формуле.
На рис. 26 приводен высотный ход величины б (z), получен-
полученной в той же серии полетов {но в другое время) на основании из-
измерений частотных спектров горизонтальной компоненты скоро-
скорости ветра [60]. Величина е, как видно из рис. 26, почти не

136 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ	[ГЛ. 1
зависит от высоты вплоть до z^ 1 км. (На высоте порядка 1,5 км
располагался слой облачности и температурная стратификация
уже не соответствовала неустойчивости.)
Как видно из сопоставления
данных, относящихся к зависи-
зависимостям С*т (z) и е (z), форму-
формулы е (z) = const и С% (z) -~.z-''»,
полученные для неустойчивой
температурной стратификации
—- Уоом
—	200 м
—- 500 м
—	7000 м ,и . ,.ч ,п
	50м
— 700 м
	200 м
	500 м
—- 3000м
70
71Г3
Рис. 23. Одномерные горизонталь-
горизонтальные пространственные спектры флук-
флуктуации температуры на различных
высотах втропосферевотносительных
единицах ив = 10"* см'1.
Рис. 24. Одномерные горизонталь-
горизонтальные пространственные спектры
вертикальной компоненты скоро-
скорости ветра на различных высотах
в тропосфере в относительных еди-
единицах щ = Ю~8 см'1.
для приземного слоя атмосферы, оказываются справедливыми для
всего слоя конвекции (до высоты порядка 1 км). Как было уста-
установлено выше (см. B8.16)), для режима свободной конвекции е
л Ст = ~п- связаны соотношением
Зове* ft''

§ 23]	СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НИЖНЕЙ ТРОПОСФЕРЕ 137
Численный коэффициент в этой формуле можно оценить по дан -
ным работ [49, 54, 62]; он оказывается приблизительно
равным 0,7 (это значение не очень надежно и нуждается в
уточнении). Таким образом,
\ z
Для проверки этого соотношения воспользуемся данными,
приведенными на рис. 25 и 26. Для z = 500м, Ст = 4 -10"* град*/см'''
Ж3-
КГ4
m~s
Е,см*/сек3
1Ог
so ioo 200 500 woo гтзт
W
50 7D100 Ш 500 1030 ЖОШ
z,r	z,m
Рис. 25. Образец зависимости струк-	Рис. 26. Образец зависимости скоро-
турноя характеристики томпоратур-	сти диссипации анергии турбулентно-
ных флуктуации с\ в тропосфере от	сти е в тропосфере от высоты в усдо-
высоты в условиях свободной кон-	виях свободной конвекция,
векции.
и е = 370 ел*2 .сек~3. Полагая Р = gfT = 3,5 ел -сек~* -град'1, получим
1 / 370 \V,
т. е. численное совпадение с точностью до коэффициента 2, что
следует считать вполне удовлетворительным, поскольку сравни-
сравниваются усредненные данные, получаемые к тому же не одно-
одновременно и, возможно, при разных числах Ричардсона. Сопо-
Сопоставление величин е и С\ на других высотах также дает хорошие
результаты.
Таким образом, данные, приведенные на рис. 25 и 26, свиде-
свидетельствуют, что в конвективных условиях теория «приземного
слоя» может быть применена ко всему слою конвекции, который

138	СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1
распространяется до высот в несколько километров.
В то же время измерения е, проведенные на 300-метровой
башне [58] при условиях, близких к безразличной стратифика-
стратификации, указывают на быстрое уменьшение е с высотой (е падает
от нескольких десятков см*/сек* па высото 25 м до нескольких
единиц на высоте 300 м).
В заключение оценим величину флуктуации показателя пре-
преломления в оптическом диапазоне, вызванных наблюдаемыми
флуктуациями температуры. Согласно A.15) в радиодиапазоне
. 79-10-6 /
П —1 = —-f	[P-i
4800е \
j,—;,
где Т — в °К, р и е — в миллибарах.
Н оптическом диапазоне, где влажность несущественна,
п — 1 = —'-=—-*). Флуктуации п связаны с флуктуациями Т
s	80-10-вр.™
соотношением on = — „2—-61 , а структурные характеристики
С\ и Ст выражаются друг через друга при помощи формулы
Величина С\ согласно рис. 25 меняется в пределах от 10"в до
10~3 град2 слт*!*. Подставляя р — 850 мб и Т — 280°, получим,
что С'п меняется в продолах 5-10~19 -ь- 5-10~16 еда-*/» или Сп —
—0,001—0,020 N-ед./см'1'. (Для отклонения показателя преломле-
преломления от 1 в радиометеорологии часто применяются так называе-
называемые ^-единицы. 1 ^-единица равна 10~6.) Эти значения Сп со-
согласуются по порядку величины со значениями Сп, полученны-
полученными па основании прямых измерений с. рефрактометрами [G1].
*) Приведенное значение численного коэффициента в этой формуле
относится к середине видимой области оитического диапазона. Более точ-
точные зиачония рнвны: 82,9 для X = (),3.кк.и, 79,2 для А, — 0,5 мкм, ПА для
Х = 0,1 мкм.

Рлава &
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
И ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Вопрос о рассеянии волн атмосферной турбулентностью при-
привлек к себе значительное внимание в связи с экспериментально
обнаруженным явлением дальнего тропосферного распростра-
распространения ультракоротких волн. Наблюдаемые за горизонтом зна-
значения напряженности поля при этом значительно превосходят
тот уровень, который может быть объяснен дифракцией радио-
волп вокруг поверхности Земли. Букер и Гордон [63] высказали
Рис. 27. Геометрия рассеяния при распространении радиоволн
за горизонт.
г — пыеста цеитра рассеивающею сСъгшя, 0 — 5ГГЛ I ассеяиня.
предположение, что это явление может быть объяснено рассея-
рассеянием радиоволн на неоднородностях диэлектрической проницае-
проницаемости атмосферы (см. рис. 27). Затем последовало большое
количество теоретических и экспериментальных работ по рас-
рассеянию радиоволн. Были выдвинуты также и другие возможные
механизмы, объясняющие дальнее тропосферное распростране-
распространение УКВ.
Вероятнее всего, что явление дальнего тропосферного рас-
распространения объясняется одновременным действием многих
причин, среди которых рассеяние играет одну из главных ролей.

140	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
А. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛП
§ 24. Уравнения распространения волн
Распространение электромагнитных волн описывается урав-
уравнениями Максвелла
A6)
div eg = 0,	Aв)
где % и Ж — напряженности электрического и магнитного по-
полей и е — диэлектрическая проницаемость.
Мы предполагаем, что магнитная проницаемость ц = 1 и
проводимость среды а = 0. Диэлектрическая проницаемость сре-
среды испытывает флуктуации, вызванные турбулентностью. Мы
будем предполагать, что характерные частоты этих флуктуации
малы по сравнепию с частотой колебаний электромагнитного поля.
В этом случае целесообразно ввести величины!? (г, t) и Н (г, t) со-
согласно равенствам
) = .Е («•,<)*-*",	Bа)
Ж (г, t) = H(r,tyer*«.	B6)
Е и Л представляют собой медленно меняющиеся комплексные
амплитуды полей. Подставляя B) в A), получим уравнения
rot E = ikH — -^-^~,	(За)
rot H = — iteE + — %?- •	(Зб)
С 0v
div гЕ = 0,	(Зв)
где к = (о/с.
Применим к (За) операцию rot и воспользуемся уравнением
C6); получим
retro, *_ВД + ^!?.-.^«.	D.)
Воспользовавшись также формулой rot rot E — —Д Е + grad div E,
перепишем это уравнение в виде
?ig 4?	D6)

I 24]	УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН	141
Уравнение (Зв) можно записать в виде е iivE + JE grade = 0,
откуда div.E = —Е grad lne. Подставляя это выражение в
D6), получим
LE 4 hHE = -grad (?grad In e)--^M+|««, Dв)
Мы будем в дальнейшем рассматривать распространение элект-
электромагнитных волн в среде со слабыми флуктуациями диэлектри-
диэлектрической проницаемости. Положим в = <е> + ва, где <е> — сред-
среднее значение еие1=е — <е> — флуктуирующая часть. Оче-
Очевидно, что в силу определения <вх> = 0. Малость флуктуации
овначает, что <| ех |>*^< е>. Это условие с большой точностью выпол-
выполняется в тропосфере, где <е> имеет порядок 1, а <|ех|> ~ 1(Г*—10"".
Условие <|e1|>«^<e> может нарушаться в ионосфере вбли-
вблизи слоя, где <е> обращается в нуль, поэтому этот случай тре-
требует отдельного рассмотрения (см., например, [64]). Среднее зна-
значение <е> может, вообще говоря, зависеть от координат и времени.
Такие изменения <е> обусловливают эффекты систематической
рефракции (или сверхрефракции), и их рассмотрение не входит
в нашу задачу. Мы поэтому ограничимся случаем <е> = const.
В этом случае мы можем считать просто <е> = 1. Полагая е =
= 1 + ех и считая < |ех |> *^ 1, преобразуем уравнение Dв) так,
чтобы ех фигурировало лишь в его правой части.
Полагая In A + еа) яа ei, получим
E)
Первый член в правой части E) имеет порядок величины
j/*; второй можно оценить как bxEfi.l0 при А,*^ 10 и как ЪъЕ/%
при 10 <^ X, где к = 2 п/к — длина волны, 10 — внутренний мас-
масштаб турбулентности. Следовательно, сумма первого и второго
членов имеет порядок е^/А,2 при А,*^ 10 или ВхЕ/1*0 при 10 <^ А,.
т, 2ik деЕ „	. ,
Рассмотрим теперь член	^-—. Подставляя в = 1 4 *ii
С	01
будем иметь
Но -§?~—, где т—характерное время, за которое изменяет-
изменяется ед т *~ Ifjv, где v — скорость перемещения неоднородностей
(скорость ветра). Таким образом,
„ dei eiEv
Ol	la

142	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	ГГЛ. 2
Оценим теперь член -~-.. Для характерного времени измене-
изменения Е можно указать две величины. Первая связана с измене-
изменениями ех и соответствующее время имеет порядок т, тан что
dE_^E^	Ev_
dt x l0 '
Вторая причина изменения^ — возникновение допплеровских
», г> dE v г, vE
частот ири перемещении неоднородностеи. одесь -^г	wt—• -=-.
Таким образом,
dE Ev Ev _ „ ( 1	1 \
в
в
случае
случае
10<
€*-
dE
Tt
dE
dt ~'
Ev
Ev
k
о тр
В обоих случаях величина -^т оказываотся большой по срав-
сравнению с Е -^	r~8i практически для всех представляющих
dt	tQ
интерес длин волн. Итак,
дъЕ Ev
дъЕ Ev	, ^,
_	_ при /„<>,.
Сравним теперь порядок третьего члена правой части у-рав-
нения E)	д— с величиной его первых двух членов.
С 01
При X «^ 10 их отношение имеет порядок
[с dt J / \%* ) е:с
При 1й<^Х получим
L с
dt
Таким образом, если выполняется условие

§ 25J	РАССЕЯННОЕ ПОЛЕ	143
то в уравнении E) можно пренебречь третьим членом по сравне-
сравнению с первыми двумя. Условие F) хорошо выполняется в атмо-
атмосфере, уде Ej — 10~в — 10~s и	10~8. Последний член в пра-
вой частя E) имеет следующий по v/c порядок малости и им мож-
можно пренебрегать практически всегда. Имея в виду, что условие
F) выполнено, получим уравнение
&Е + к?Е = -А^-Е - grad (E grad ej,	G)
в котором время входит лишь в виде параметра.
§ 25. Рассеянное поле
Пусть на некоторый объем V, заполненный средой с флуктуи-
флуктуирующей диэлектрической проницаемостью elf падает волна Е9(г),
причем, очевидно
divE0 = О	A
(условие поперечности).
Наличие неоднородпостей в рассеивающем объеме приводит
к рассеянию волн. Мы рассмотрим здесь случай слабого рассея-
рассеяния, когда можно ограничиться приближением однократного
рассеяния. Этому приближению соответствует решение уравне-
уравнения G.24) при помощи метода малых возмущений с ограничением
линейными по et членами. Положим
Е = Ео + Е„
где Е, — рассеянное поле, пропорциональное флуктуациям 8j.
Подставляя это выражение в G.V), учитывая, что АЕ0 + №Е9 =
= 0, и оставляя в правой части уравнения лишь член с Ео (так
как учет Ueпривел бы к квадратичным по е1 членам), получим
AEt + №Et = — Д^е^о — grad(i?0 grad ej.	B)
При решении уравнения B) мы не будем учитывать гранич-
граничных условий на поверхности земли и будем считать, что объем
V помещен в безграничном пространстве. В этом случае един-
единственное условие, накладываемое на решение уравнения B),—
это условие излучения. Удовлетворяющее ему решение урав-
уравнения B), как известно, имеет вид
. (г) = ^ \ ij^j- {кЧ, (г') Е„ (г') + grad (Eo grad 6l (г'))} <Рг'.
C)

144	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	Ц*Л. 2
Преобразуем второе слагаемое в этом выражении при помо-
помощи теоремы Гаусса в форме
grad vdV = \\uvd9 — \v grad иdV.	D)
\u grad v dV = \\uv da — \v
Здесь da — вектор величиной da, направленный по внешней
нормали к поверхности S, охватывающей объем V. Тогда
- СЕ (г') grad 8l (r')) gradr- (~^
Поверхностным интегралом в E) можно пренебречь, так как в
случае достаточно большого по величине рассеивающего объема
роль поверхностных эффектов мала по сравнению с объемными
(первые пропорциональны L2, а вторые — L3, где L — харак-
характерный размер рассеивающего объема). Вычислим также входя-
входящий в E)
'Ir-r-l = ~ L |r-f | - |r-r'|«J k'-r| •	F)
Величина [»• — r'| — расстояние от рассеивающего объема до
точки наблюдения. В случае, если к\ г — r'j^>l (эта область но-
носит название волновой зоны), второе слагаемое в F) можно от-
отбросить и E) приобретает вид
Второе слагаемое в G) также содержит градиент и его опять мож-
можно преобразовать по теореме Гаусса, причем ее приходится ис-
использовать в форме

§ 26\	СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ	145
Преобразуя G), мы снова пренебрежем поверхностным инте-
интеграл он, а при дифференцировании выражения
3??(г)
будем дифференцировать только экспоненту, так как 	;— = О
в силу условия div Ео = О, а остальные множители в волновой
зоне меня1ртся значительно медленнее, чем экспонента. В ре-
результате Bqex преобразований получаем формулу
Единичный вектор
направлен из переменной точки интегрирования г' в сторону точ-
точки наблюдения г. Воспользовавшись формулой Ео — п (п Ео) =
= \п [Ео п]], мы можем записать (8) также в форме
(8а)
Выражение (8а) для рассеянного поля является достаточно
общим, так как при его выводе не вводились какие-либо ограни-
ограничения на вид падающей волны Ео, величину рассеивающего
объема V и расстояние от него до точки наблюдения (за исклю-
исключением того, что эта точка должна находиться в волновой зоне).
§ 26. Средняя интенсивность рассеяния
Эта величина определяется вектором плотности потока энер-
энергии (вектор Пойятинга)
В случае использования комплексных амплитуд полей среднее
за период колебания значение вектора S равно
8 = ^Ъе1ЕЖ.].	A)

146	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[|*Л. 2
Для нахождения Н, воспользуемся уравнением (За.24),
1 дН
в котором можно опустить член - -%т:
С ut
При вычислении rot Et дифференцировать в (8а. 25) следует
лишь е'*1р"~р'1, так как в волновой зоне эта величина меняется
наиболее быстро, а дифференцирование других множителей дает
члены порядка т-. Напомним, что начало координат выбирает-
выбирается внутри рассеивающего объема, и поэтому г — это расстояние
от рассеивающего объема до точки наблюдения. В результате
получаем формулу
8i
Выражение для S принимает вид
-r'H"-r'l
X l(E'o — n' (Eon')) [n" El']] d*r' d3r\ C)
где для сокращения записи обозначено
Е'о = Ео (г'), Е"о = Ео (г"), п' = п (г, г'), п" = п (г, г").
Величина S является случайной, так как зависит от случайных
величин Ех (г1), ех (г"). Найдем ее среднее значение:
X {п" l(E'oE'o") — (E'on') (El'n1)] + E'o" [(n'n"	)}
D)
Здесь f?e(r', r") — корреляционная функция флуктуации в.
Сделаем предположение о статистической однородности флук-
флуктуации, т. е. будем считать, что#е (г', г") = Bs (г' — г").
Обозначим р = г' — г" и разложим п"=п (г, г") в ряд по р;
после простых вычислений получим

§ 261	СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ	147
Ьеяичина р в D) по порядку величины не превышает радиуса
корреляции Lo флуктуации е, так как при бблыпих значениях р
функция Вг (р) обращается в нуль. Поэтому, если расстояние г
от рассеивающего объема до точки наблюдения велико по срав-
сравнению с ?0, то второй член в E), имеющий порядок LJr, мал.
Что кАсается величины п' п", то, как легко видеть из E), она
отличается от единицы на члены порядка Lo/r2. Следовательно,
второй члей в фигурных скобках в D) по иорядку величины равен
ElLJr, в то время как первый имеет порядок Е\. Считая, что вы-
выполняется условие
L.<r,	F)
мы можем отбросить второй член в D).
С той же относительной ошибкой порядка LJr мы можем за-
заменить п" на п' в первом члене в фигурных скобках D) и г" на
г' в знаменателе подынтегрального выражения (но, конечно, не в
фазовых множителях). В результате получаем формулу
*&[! *•-*•'[-fr-r"|J
X п' 1(ЕоК) — (Е'оП1) (Кп1)] d*r' d3r".	G)
Дальнейшие упрощения формулы G) мы проведем в предпо-
предположении, что поле падающей волны создается некоторым излу-
излучателем, расположенным в точке 22. В этом случае Ео (г) имеет вид
1?о(г) = ^о (г) e*l *-'i.	(8)
Функция Ао (г) (вообще говоря, комплексная) мало изменяет-
изменяется при изменении г на величину порядка длины волны X. Ее
заметные изменения происходят лишь на расстояниях порядка
величины рассеивающего объема L. Вид функции Ао (г) зависит
от диаграммы направленности излучателя. Подставляя (8) в G),
мы можем пренебречь различием Ло (г1) и Аа (г"), так как отно-
относительная величина разности этих функций не превышает по
порядку величины Lo/L и мала при соблюдении условия
(9)
В этом случае мы получаем
EqEo —(ЕоП')(Е0 п.') ~
^ A0(r') Alir1) sin*%(V) ехр{Не ЦВ —г'\-\R-г'\)}, A0)
где % (г) — угол между векторами Ао (г) и п (г).

148	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	tr&. 2
Подставляя A0) в G), получим
»\*п С Г »(*•') | А (К) |2 sin» Х (f) Д, (f - f) „
Ы Re	[7^7?	х
Разложим величипы |г — г"| = [г — г' + р | и I JR — т"\ =
= \В — г' +р| в ряды по степенямр; после простых выкладок
получаем
где
A2)
...
A3)
— единичный вектор, направленный от излучателя в точку г'
(рис. 28).
Рис. 28. Система координат при вычислении
рассеяния. Начало координат внутри рассеи-
рассеивающего объема.
it и г — координаты источника и точки наблюдения,
г' — произвольная точна внутри рассеивающего
объема, m (г') и п (г') — единичные векторы.
Последний член разложения A2) по порядку величины равен
L%jr, так как в существенной для интегрирования области вели-
величина р ограничена условием р ^С Lo. Так как величина | г — г"\
входит в A1) в экспоненту с множителем к, то для того, чтобы
можно было пренебречь последним членом разложения A2),

I 26]	СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ	149
необходимо выполнение условия
^	или -^<1,	A5)
означающего, что радиус первой зоны Френеля должен быть
большим по сравнению с радиусом корреляции флуктуации е.
Аналогично при выполнении условия
можно пренебречь последним членом разложения A3). В этом
случае формула A1) принимает вид
<8(г)у = ? (? JRe Кj» <">' A^l
A7)
где
К (г) - к [т (г) -п(г)]	A8)
— вектор рассеяния, равный разности волновых векторов падаю-
падающей волны к0 = km и рассеянной волны к3 = кп.
Введем в A7) вместо г* новую переменную интегрирования р.
Внутренний интеграл по р примет вид
.	A9)
Он может быть просто выражен через Фе (х) — спектральную плот-
плотность флуктуации е, связанную с Bt (p) формулой
B0)
Подставляя B0) в A9), получим
/ (К) = \ \ \ Фе (х) d.4 \ е»<«+м>Р d3p.	B1)
9
Рассмотрим функцию

150	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
В случае, если V — бесконечный объем, бу(х) = б (х), т; е. пред-
представляет собой 6-функцию (трехмерную). В случае конечного
объема бу (х) представляет собой «размазанную» б^функцию.
Она обладает свойствами:
Следовательно, 6у(х) заметно отлична от нуля лишь в области Т
пространства волновых чисел с объемом порядка Т = —?-, со-
сосредоточенной иблизи точки х = 0.
Отсюда ясно, что интеграл B1) равен
1(К) = 8п*Ф,(-К),	B2)
где черта означает усреднение в пространстве волновых чисел по
Q О
объему порядка Т = -у-. Действительно, применяя теорему
о среднем, имеем
В случае, если спектральная плотность Фе (х) вблизи точ-
точки х — — К меняется слабо, операция усреднения мало меняет
функцию Ф? (х) и в этом случае Ф? (— К) ^ФЕ (—.К). (Заметим,
что операция усреднения существенно меняет вид Фе (х) вблизи
точек, где эта функция имеет резкий максимум. Этот эффект мо-
может быть существенным при рассмотрении рассеяния вперед.)
Подставляя B2) в A7) и опуская знак Re, так как Фе (— К) —
действительная (и положительная) величина, получим
(мы учли равенство Ф? (— К) = Фе (К)).
Формуле B3) можно придать более удобный вид. Для этого
предварительно запишем ее в дифференциальной форме
= n(r') Iij^LL sin» х(О Ф* (K(r'))dV. B4)

§ 26]	СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ	151
(d8 (->*)> представляет собой плотность потока энергии, рассеян-
рассеянной элементом объема dV (г') в точку г. Величнпа
= "Т	B5)
представляет собой плотность потока энергии падающей волны.
Умножим B4) на п' \г — г' |а dQ; в результате мы полу-
получаем энергию dE, рассеянную в направлении п' в телесный угол
dQ:
dE = So (r') eo(r')dV'dQ7	B6)
гдо
(г) = -?¦ /с'Фе (Ж (г)) sin3 х И	B7)
представляет собой эффективный поперечник рассеяния из еди-
единицы объема в единичный телесный угол в направлении т. При
помощи величин So (г), с0 (г) формулу B3) можно записать в виде
^',	B8)
| г — г'
Формула B8) имеет прозрачный физический смысл: согласно
B6) величина рассеянной в телесный угол dQ энергии равна dE;
создаваемая этой энергией плотность потока энергии равна
dE	S^(
— r'fdQ	r— r
2
где \r — r'l2dQ —величина площади, на которую распреде-
распределяется рассеянная энергия.
Отметим, что при выводе формулы B8) никакие ограничения
на размеры рассеивающего объема (за исключением слабого огра-
ограничения (9)) не накладывались. Формулы B7), B8) справедливы
в том случае, если радиус корреляции флуктуации Lo мал по
сравнению с радиусами первой зоны Френеля У^г и Y^R и с
расстояниями г и R. Этим приведенный вывод формул B7), B8)
отличается от обычного (см., например, [65]), когда делаются
предположения о малости величины рассеивающего объема по
сравнению с YXr.
Следует отметить, что сделанное выше предположение о ста-
статистической однородности флуктуации, т. е. предположение,
что Bt (rv г j) — /?е (г1 — г2), являлось излишним и было при-
принято лишь для того, чтобы не отвлекать внимания от хода
основных рассуждений. Те же результаты можно получить и в слу-

152	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
чае, если средний квадрат флуктуации е зависит от координат:
5, (гь гш) = 7~* (П+LTL) bt (n - ra) F,@) = 1). B9)
В этом случае спектральная плотность флуктуации также зави-
зависит от координат (см. гл. 1) и имеет вид
(х).	C0)
В этом случае формула B7) принимает вид
а окончательная формула B8) сохраняется.
§ 27. Качественная интерпретация рассеяния
Остановимся более подробно на формуле B7.26) для эффектив-
эффективного поперечника рассеяния. В случае достаточно большого рас-
рассеивающего объема, когда Фе (К) ш Фе (К), она имеет вид
ао (г) = ^- sin* х (г) Ф, (ko'r) - ks (r)),	A)
где к0 и к, — волновые векторы падающей и рассеянной волн.
Абсолютная величина вектора рассеяния К — ко — к, равна
К = Ik sin -|- ,	B)
где в = arc cos ( kt i — Угол между векторами /е0 и fes, т. е. угол
рассеяния. Как следует из формулы A), интенсивность рассеяния
на угол 6 определяется одной спектральной компонентой неоднород-
ностей, соответствующей масштабу (пространственному периоду)
_	_
"ЗГ-	в~-——в~-	C)
к sin ~ 2 sin -g-
Формула C) является известным условием Брэгга для дифрак-
дифракции на пространственных структурах.
Чтобы разъяснить смысл формулы A), рассмотрим модель
неоднородностей диэлектрической проницаемости в виде
ex (r) = d cos (^p-«w)	D)

I 27]	КАЧЕСТВЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАССЕЯНИЯ	153
— пространственная синусоидальная дифракционная решетка
с периодом I в направлении единичного вектора а. Для простоты
вычислений предположим, что рассеивающий объем V предста-
представляет собой прямоугольный параллелепипед с одной из осей
вдоль вектора а. Чтобы облегчить выкладки, предположим так-
также, что размеры ?l7 Lt, La рассеивающего объема удовлетворяют
условиям L<^r и La<^ Xr. В этом случае мы можем в формуле
(8а.25) разложить величину \г — т'\ в экспоненте в ряд с точно-
точностью до членов второго порядка: \г — r'|?sr — r'fi, где п =
= г/г, а в знаменателе положить \т — г'\ ж г. Кроме того, будем
считать падающую волну плоской
Ео (г) =
а вектор и (г') m rjr. В этом случае формула (8а.25) дает
Еа (г)« ^йГ- tn f A«nU \ cos (-y-et-) eW^VrdV. E)
v
Вычисляя входящий сюда интеграл, получаем
dk*eikr г» г л «и *^ь1|ЦПГг~в""р v
sin (-^ KL3 cos <р + ——) sin (
——) sin (-у ATZ« cos ф — -у
cos ф + ——	-у XL3 cos ф — —j—
F)
где <р — угол между векторами а и К = 1е0— кп, ось z направлена
по а, плоскость xz содержит векторы К, а и ЬъЬг, L3 — размеры
рассеивающего объема вдоль осей х, у, z.
Рассмотрим множитель
—2~ sin ф) sinf ftLj sin -g- sin ф)
sin ф	acLj sin -я- sin Ф
В случае, если kL^sin |^» 1, что обычно выполняется, так
как размер рассеивающего объема велик по сравнению с длиной
волны, этот множитель мал при всех <р, за исключением близких
к нулю значений <р, удовлетворяющих условию

154	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
при выполнении которого этот множитель близок к единице.
Таким образом, заметная дифракция на рассматриваемой
периодической структуре будет осуществляться лишь при близ-
близких к нулю значениях <р, т. е. в случае, когда векторы К и а парал-
параллельны (с точностью до малого угла порядка 1/ZfcLj). Нетрудно по-
понять, что параллельность векторов К и а означает зеркальность
отражения, т. е. равенство углов падения и отражения волны по
отношению к плоскостям равных значений е,.
Однако условия <р ?s 0 еще недостаточно, так как F) содер-
содержит второй множитель
/	в	reLs \	/ • в	я/,з \
sin ( kLs sin -5- cos ф + i ¦) sin I kLs sin -5- cos <p — —j—J
kL3 sin -5- cos <p + —j—	kLs sin -*- cos <p — —j—
который также очень мал везде, за исключением значений аргу-
аргументов, близких к нулю. Считая, что условие G) уже выполнено,
и полагая cos <р = 1, получим новые условия в виде
или
(8)
Таким образом, лишь при значениях в, удовлетворяющих ус-
условиям
(с точностью до малого угла порядка Я,/лХ8), будет наблюдаться
заметная дифракция.
Резюмируя, мы можем сказать, что дифракция синусоидаль-
синусоидальной пространственной дифракционной решетки имеет место лишь
при соблюдении двух условий — условия зеркальности и условия
Брэгга 1100]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется
(с указанной выше точностью), падающая на такую решетку элект-
электромагнитная волна «свободно» проходит через нее, не испытывая
заметной дифракции.
В случае, если мы имеем целый набор периодических прост-
рапственных дифракционных решеток с различными периодами и
различной ориентацией, то при заданных векторах к0 и ftj диф-
дифракция может произойти только на одной из решеток — с векто-
вектором а, параллельным fc0 — ft3, и с величиной I, удовлетворяющей
условию (8). Все остальные решетки не окажут влияния на рас-
рассеяние.
Приведенные элементарные расчеты поясняют, почему рас-
рассеяние на определенный угол, описываемое формулой A), зависит
лишь от одной спектральной компоненты неоднородностей.

§ 27]	КАЧЕСТВЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАССКЯНИЯ	155
В действительности и формулу B7.26) пходит не Фе (К), а
Ф? (-К).т. е. спектр, усредненный по некоторой области простран-
пространства волновых, чисел объемом8ns/V. При таком усреднении в Фе (К)
входят, очевидно, и близкие к К спектральные компоненты. При
элементарном рассмотрении, проведенном в этом параграфе, ана-
аналогичное этому обстоятельство проявилось в том, что условие
зеркальности и условие Брэгга должны были выполняться с точ-
точностью до углов порядка %jL. Таким образом, в рассеянии на дан-
данный угол принимают участие близкие спектральные компоненты.
Это обстоятельство легко объясняется при помощи следующих
рассуждений. Дифракция на бесконечной синусоидальной диф-
дифракционной решетке дает бесконечно узкий дифрагированный пу-
пучок в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга. В слу-
случае конечных размеров решетки L угловой размер дифрагирован-
дифрагированного пучка имеет порядок XjL. Это приводит к тому, что при нали-
наличии некоторого набора дифракционных решеток рассеяние на дан-
данный угол обусловлено не только той решеткой, которая в точности
удовлетворяет условию Брэгга, но и близкими по размерам и
ориентации решетками, основные максимумы которых не совпадают
с избранным направлением, но дифракция от которых захватывает
данное направление за счет расплывания дифрагированных пучков.
В заключение параграфа рассмотрим качественно вопрос о
пространственной корреляции рассеянных полей. В гл. 1 было
установлено, что в случае статистически однородной турбулентно-
турбулентности имеет место формула
<Z? (cFx) Z\ (d3x')> = Фе (х) S (х — «') d:>K d V,	(9)
где Zt (сРх) — спектральная амплитуда (случайная) флуктуации
е, соответствующая волновому числу х. Из (9) следует, что спект-
спектральные компоненты, соответствующие различным х, не коррели-
рованы.
Рассмотрим поля, рассеянные в двух направлениях 9Х и 9г.
В случае бесконечного рассеивающего объема*) рассеяние на каж-
каждый из углов обусловлено в точности одной компонентой спектра
турбулентности. В силу (9) различные компоненты спектра не кор-
релированы, следовательно, при бесконечном рассеивающем объе-
объеме поля, рассеянные на любые два несовпадающих угла, не корре-
лированы. В случае конечного рассеивающего объема поле, рас-
рассеянное в определенном направлении, обусловлено группой спект-
спектральных компонент вблизи точки % = К, расстояние между
*) В действительности, конечно, нельзя рассматривать бесконечный рас-
рассеивающий объем, так как при этом будет нарушено условие применимости
<| ?| |) <g Eo рассматриваемого приближения.

156	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
которыми не превышает по порядку 1/ -тг = -г- • Следовательно,
поля, рассеянные в двух направлениях, будут коррелиро-
ваны в том случае, если объемы в пространстве волновых чисел,
обусловливающие рассеяние в данных направлениях, пере-
пересекаются. В этом случае имеет место соотношение
В случае, когда в обоих направлениях рассеивается одна и та же
волна, Кх = к0 — fc,i, -К2 = к0 — Jett, и в этом случае
Если угол между fc,i и кп равен А6, то последнее условие сво-
сводится к неравенству'
о . ;Д6 ^ X
2sm-r-<-?-
или (так как обычно
Таким образом, угловой радиус корреляции рассеянного поля
имеет порядок XjL.
В случае, если две точки наблюдения находятся на одинако-
одинаковом расстоянии г от рассеивающего объема, расстояние Аг между
ними связано с А9 формулой Аг = гА8, и в этом случае расстоя-
расстояние, на котором сохраняется корреляция рассеянных полей,
ограничено условней
Дг<-?.	A2)
Таким образом, линейный радиус корреляции при поперечном
разносе точек наблюдения имеет порядок kr/L.
Рассмотрим также корреляцию двух полей различной частоты,
рассеянных в одном и том же направлении. В этом случае Кг=
= ki(rn — п), Кг = ka(m — и) и
Подставляя это выражение в A0), получим условие, при котором
поля, различающиеся по частоте на Д/ и рассеянные в одном и том

{ 28]	ЭФФЕКТИВНЫЙ РАССЕИВАЮЩИЙ ОБЪЕМ	157
же направлении, остаются коррелированными:
^	A3)
r
21 sin -5-
Здесь в качестве L следует брать размер объема V в направлении
вектора (»» — п).
В случае, если при помощи рассеяния передается сигнал, за-
занимающий конечную полосу частот, для его неискаженной пере-
передачи требуется, чтобы флуктуации различных спектральных ком-
компонент сигнала были полностью коррелированными. Как следует
из A3), это будет выполнено, если ширина спектра сигнала удов-
удовлетворяет условию A3). В связи с этим величина	—а- может
2
быть названа полосой пропускания канала связи, работающего на
рассеянии*).
§ 28. Эффективный рассеивающий объем
Выше мы не конкретизировали форму рассеивающего объема
V, считая его заданным. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос более
подробно. Представляет интерес рассмотреть случай, когда рас-
рассеивающий объем создается пересечением диаграмм направлен-
направленности передающей и приемной антенн. Будем исходить из форму-
формулы (8а.25) для напряженности рассеянного поля в точке г.
Функция Ео (г1) (поле падающей волны) может быть представлена
в виде
E0(r')^e0(r')f0(rn(r')),)	A)
где т (г') = (г' — R)l\r' — R | — единичный вектор, направлен-
направленный от излучателя в точку г', а ео{г') — поде диполя, у которого
направление максимального излучения совпадает с направлением
максимального излучения нашего излучателя. Интенсивность
диполя подбирается так, чтобы диаграмма направленности /0 (т)
в этом направлении была равна 1.
Найдем среднее поле, воспринимаемое приемной антен-
антенной. Оно может быть получено интегрированием поля Е,(г)
•) Эта величина на практике оказывается достаточно большой, что позво-
позволяет передавать при помощи рассеяния даже телевизпопные передачи, тре-
требующие полосы пропускания порядка нескольких мегагерц.

158	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
(рассеянного поля в точке г) по плоскости раскрыва приемной
антенны 2, центр которой помещен в точк/ г0:
Разлагая ] г0 — г' -г р | в ряд, получаем равенство
eifc |ro-r'-p|	gtfc;r,-»-' |- ikn(r')P
C)
справедливое при выполнении условия Ара/|г0 —г'\ <^ 1, когда
можно не учитывать следующий член разложения.
Но величина р имеет порядок размера антенны/?. Следователь-
Следовательно, это условие можно записать в виде
го>^.	D)
Условие D) означает, что рассеивающий объем находится в
зоне дифракции Фраунгофера, или в зоне, где сформировалась
диаграмма направленности антенны /х (п). Последняя представля-
представляет собой функцию
$	/i(n).	E)
Используя E) и A), мы можем записать %>, (т0) в виде
Эта формула отличается от (8а.25) лишь тем, что в ней область
интегрирования бесконечна, но под интегралом стоят два допол-
дополнительных множителя /„ (*»(г'))и/1 (и (г')), описывающих диаг-
диаграммы направленности излучающей и приемной антенн. Эти
множители принимают максимальные значения на осях диаграмм
направленности и быстро спадают при удалении от этих осей.
Поэтому интеграл F) фактически распространен на область пере-
пересечения диаграмм направленности передающей и приемной аптепн.
Если, пользуясь выражением F), вычислить плотность потока
рассеянной энергии, то мы снова придем к формуле, аналогичной
B8.26), но под знаком интеграла появится дополнительный мно-
множитель |/i(w)|2, описывающий диаграмму направленности прием-
приемной антенны (по мощности), а область интегрирования будет

§ 28]	ЭФФЕКТИВНЫЙ РАССЕИВАЮЩИЙ ОБЪЕМ	159
бесконечной:
5^^p	G)
Еще более наглядный вид этой формуле можно придать, если
положить
S0(r') = s0(r')\f,(m(r'))\*,	(8)
где s0 (г1) — плотность потока энергии, создаваемая диполем е0
(см. A)), и | /0 (т) |2 — нормированная диаграмма направленности
излучателя по мощности (в направлении максимального излучения
/0 = 1 ). Тогда
> = \п(г') ^.ПУр0 I /о (т (г')) |«. | /, (я (г')) |гdK'. (9)
Два различных случая могут осуществляться в зависимости
от скорости изменения функций s0 (?•') <т0 (г')/ \г — г' р и | /o/i|2.
Пусть диаграммы направленности /0 и Д являются «острыми», т. е.
меняются много быстрее, чем функция s0 (*•') а0 (**')/\г — г'\г
(ниже мы подробнее остановимся на условиях, когда этот случай
осуществляется). В этом случае интеграл (9) можно вычислить
приближенно, вынося значение я (г1) su (г') а0 (г')/\г — г'|2,
взятое в точке пересечения осей диаграмм направленности. Обо-
Обозначая эту точку через ги получим
где эффективный рассеивающий объем Уэ равен
5(ш(г'))h(n(г1)) [4V.	(И)
В некоторых простых случаях величину Уо можно вычислить.
Например, если поверхности раскрыва передающей и приемной
антенн — одинаковые прямоугольники, то
Здесь d — расстояние между антеннами (по прямой), fi ~ угол
между осью диаграмм направленности и направлением на первый
минимум диаграммы направленности антенны в вертикальной
плоскости (совпадающей с плоскостью векторов к0 и ft,), у2 —
аналогичный угол для диаграммы направленности антенны в
горизонтальной плоскости (рис. 29).

160
РАССЕЯЯИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
В общей случае произвольной формы сечения раскрыва антен-
антенны для V (в случае у < в0) можно легко получить приближенную
формулу
где в отличие от A2) у1а и уга — эффективная ширина диаграммы
направленности по половинной мощности в вертикальной и гори-
горизонтальной плоскостях (в A2) тх и т« — полуширина по первый
минимумам).
У,
Рис. 29. К вычислению эффективного рассеивающего
объема антенн с прямоугольны)! сечением раскрыва.
Рассмотрим пример, когда величина К = 2к sin ^ лежит внутри
инерционного интервала спектра флуктуации е. В этом случае
- 0,033 С1
и согласно B7.26)
со (г') ^ 0,052C&v' sin* x B sin ^l)""'1.
A3)
Пусть г' получает приращение Аг' такое, что угол рассеяния в0
меняется на величину порядка у, где т — ширина диаграммы на-
направленности. В этом случае величины /0 (т) и /х (п) резко ме-
меняются от своих максимальных до минимальных значений.
Подсчитаем, насколько при этом изменится величина а0. Бе
относительное изменение имеет порядок
н

§ 28]	ЭФФЕКТИВНЫЙ РАССЕИВАЮЩИЙ ОБЪЕМ	161
Следовательно, если выполняется условие
т < е0,	A5)
то измепение поличины ст0 несущественно и можно пользоваться
формулой A1). В случае же, когда выполняется обратное соотно-
соотношение
г > е„	A6)
величина подынтегрального выражения в (9) меняется в большей
степени из-за изменения множителя о (г'), нежели из-за множите-
множителей fofv В этом случае эффективный рассеипающий объем ограни-
ограничивается уже не шириной диаграммы направленности у, а умень-
уменьшением интенсивности рассеяния из-за увеличения угла 0.
Дополнительные изменения о0 (**') могут быть вызваны изме-
изменением с высотой величины С\. Например, в случае свободной
конвекции величина С\ (г) убывает с ростом высоты % над поверх-
поверхностью земли как z~*!<> (см. гл. 1, раздел Б). В этом случае
аа (г1) ~ г ~ G'6,	A7)
так как 0 (г') ^ Azjd.
Таким образом, в случае широких диаграмм направленности
при изменении угла рассеяния 8 от своего минимального значения
80 на величину порядка самого в., интенсивность рассеяния резко
падает. Это означает, что величина эффективного рассеивающего
объема в этом случае определяется не величиной т, а величиной 0О.
Подставляя в A2) 0О вместо у, получим
к, ~ с?еог при е0 <г; % < 1.	A8)
Величина рассеивающего объема, как было выяснено выше,
определяет корреляционные свойства рассеянного поля. Следо-
Следовательно, радиусы корреляции рассеянных полей, а также полоса
пропускания Д/ будут в случае узких и широких диаграмм направ-
направленности выражаться различными формулами. Например, угловая
корреляция рассеянных в двух направлениях полей распростра-
распространяется до углов порядка
де—--^ при г-<0о,
A9)
Д0 ^ при >9
откуда следует, что при разносе точек наблюдения перпендикуляр-
перпендикулярно направлению на источник радиусы корреляции имеют порядок
^ D, И, Татарский

162	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРК	[ГЛ. 2
величины
«к	~- при г-<9о,
B0)
ак~ -^ при г>>0"-
Формулы для величины полосы пропускания Д/ имеют вид
B1)
где Го = d/c — время распространения волн от передающего до
приемного пункта.
Все формулы A9) — B1) написаны с точностью до численных
коэффициентов, и некоторые из пих будут уточнены ниже.
§ 29. Частотный спектр рассеянного поля
До сих пор мы ограничивались вычислением средней интенсив-
интенсивности рассеянного поля. Обратимся теперь к временной автокор-
автокорреляционной функции и частотному спектру флуктуации рассеян-
рассеянного поля. Для облегчения вычислений заметим, что формула
B7.26) для эффективного поперечника рассеяния, выведенная нами
при условии Lo <^. У Кг (Lo — радиус корреляции неоднороднос-
тей среды, г — расстояние до источника или точки наблюдения),
может быть получена значительно проще, если выполняется зна-
значительно более жесткое условие L<^. У Кг, где?— размер рассеива-
рассеивающего объема. Поскольку результаты в обоих случаях совпадают,
при выводе выражения для временной автокорреляционной функ-
функции мы будем предполагать выполненным условие L<^. У%г. В этом
случае, воспользовавшись разложением
exp {ik \r — г' |} ^ exp {ikr — iknor'}	(i)
для фигурирующей в (8а.25) экспоненты, где п0 = г/г, а г'
пробегает рассеивающий объем, и заменив в знаменателе
\ г — г' | ^ г, мы получаем

§ 29]	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	163
Считая, что падающая волна Ео (г') плоская (для этого необ-
необходимо выполнение условия L <^! уТ/^, где It — расстояние до
излучателя), положим
Ео (г) = Лое^г.
Кроме того, под знаком интеграла будем считать и-(г') = п0 (что
законно при соблюдении условия ?-<§;г). Обозначая [п[Аоп]]~ а
и *о — кт0, получим
^ J
C)
Es представляет собой комплексную амплитуду рассеянного
поля, связанную с полем %, формулой
До сих пор мы явно не выписывали зависимость величин ех и
Es от времени. При переходе к % мы учтем и эту зависимость:
(г,«) «'«'»—.)'•' d»r'.	D)
Рассмотрим теперь временную автокорреляционную функцию
рассеянного поля
Подставляя D) и учитывая, что в случае статистически однородной
и стационарной турбулентности
<«1 (г', 0 ег (г", t+ т)> - 5е (г' _ г", т),	F)
получим
Введем в G) вместо г" новую переменную интегрирования
р = г' — г". Тогда подынтегральное выражение будет зависеть
лишь от р и интегрирование по т' можно выполнить в явной фор-
форме *); оно дает величину рассеивающего объема V, Подставляя,
кроме того, а2 = А\ sin2 х, где % — угол между векторами Ао и
*) Вообще говоря, пределы инаегрнровапия по р зависят от г', однако
учет этого обстоятельства приводит лишь к несущественным поправкам.

164	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
п0, получаем
к* I3 Fsin у	,
h^ Вг (р> т) ei
Воспользуемся теперь спектральным разложением простран-
пространственно-временной корреляционной функции, введенным в гл. 1:
Bt (р, т) = Щ ^(>ср+ах) Ие {х> Q)
—00
где щ (ж, Q) — пространственно-временной спектр неоднород-
ностей (четность функции иг как по х, так и по Q позволяет писать
экспоненту вместо косинуса). Подставив (9) в (8) и вспоминая
определение функции 6у (ж) и операции усреднения по объему
Т = 8ns/V в пространстве волновых чисел %, получим формулу
> Q)dQ,
где снова обозначено К = к (ж0 — щ) — разность волновых век-
векторов падающей и рассеянной волн.
Производя в A0) замену переменной Q' = <в — Q, можно за-
записать Bg (т) в виде интеграла Фурье по времени:
-со
Отсюда следует, что частотный спектр рассеянного поля Wg (Q)
имеет вид
т. е. функция Ws (й) пропорциональна пространственно-времен-
пространственно-временному спектру неоднородностей диэлектрической проницаемости.
При этом пространственное разложение в спектр осуществляется
самим процессом рассеяния, а временное разложение — прибором,
анализирующим частотный спектр рассеянного поля.
Заметим, что функция пе (К, ш — ?2) отлична от нуля лишь
в области небольших значений, своего аргумента: \<а— ?2]<^ AQ
(обычно AQ имеет порядок 103 гц>.
Так как частота электромагнитного поля со значительно превы-
превышает частоты флуктуации диэлектрической проницаемости, то

§ 29]	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	165
функция A2) будет отлична от нуля лишь при
|(о_ Q|^AQ.	A3)
Таким образом, спектр рассеянного поля сосредоточен вблизи
несущей частоты со и занимает область частот порядка Аи.
Если же мы рассмотрим автокорреляционную функцию оги-
огибающей поля, т. е. величины Е, то соответствующая формула бу-
будет отличаться от A0) лишь отсутствием множителя exp (tax)
и поэтому спектр огибающей We (Й) будет иметь вид
nkAVsiD?v-
WE (О) = 	Ij^—-ut (К, Я)	A4)
и в отличие от Wg (Q) спектр огибающей WE (Q) сосредоточен
вблизи нулевой частоты (по форме же он совпадает со спектром
поля <8).
Рассмотрим подробнее случай «замороженной турбулентнос-
турбулентности», когда согласно A0.6) имеет место соотношение
иг(К,п) = Ф^(К)Ь(п + Кг),	A5)
где v — скорость движения неоднородностей (скорость ветра).
В A4) фигурирует не сама величина ие (К, Q), а величина
й. (К, Й) ж ~ $ ие (К + %, О) d3n,
A6)
Q Л
где Т = -^	объем в пространстве волновых чисел вблизи точки
х = 0. При вычислении A6) функцию Фе (К), как сравнительно
плавную, можно вынести 8а знак интеграла, и мы получаем
пш (К, й)« Ф* (К) ¦ ^г J б (й + Kv + xv) йЧ. A6')
г
Направим ось хг по вектору v, так что v = {v, 0, 0}. Тогда %v =
= у-iV. Для простоты вычислений предположим, что объем Т
представляет собой прямоугольный параллелепипед с одной из
8я3
осей по вектору v. Тогда Т = , . , и
«'Li	t/f-a	П/Li
'Li	t/f-a
'f	7	—Я/Л1
A6")

166	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
Так как
4 (П+КГ 4- Xi).
то внутренний интеграл в A6") легко вычисляется и равен
где
1 при
и, следовательно,
1 0 при х-<0,
Введем t = Li/y — время, за которое движущаяся неоднород-
неоднородность пересекает рассеивающий объем. Тогда, подставляя пе в
A4), получим
ф.(Д) ^-е(^-1о + ж^1). A8)
Функция 0 (-?- — | Q + Kv l) равна нулю при | Q + -К» I >-^ >
т. е. при Q + Kv > — и при Q + Ж-w ¦<	—, иными сло-
словами, при Q> — Kv+— и при &¦< — JKv	—. Внутри же
этого интервала, т. е. при
5	i	A9)
функция 0 |-^	| Q h Kv\j равна единице.
Таким образом, в случае «замороженной турбулентности»
спектр частот лежит вблизи частоты
Йо = - Kv	B0)
и занимает полосу частот
Qo представляет собой допплеровский сдвиг частоты, обусловлен-
обусловленный движением неоднородностей.

! 29]	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	167
В случае, если Lt —> оо,
так как интеграл от этой функции всегда равен единице, а значе-
значение ее в максимуме, равное г/2я, стремится к бесконечности при
1л—*¦ оо. В случае конечного Lt мы имеем «размазанную» 6-функ-
цию, дающую конечную ширину для полосы частот. Форма спект-
спектра в виде единичной функции 0 (—— | Q + -Кг> |) в нашем расчете
является следствием примененной аппроксимации объема Т в виде
прямоугольного параллелепипеда. В действительности Т является
областью с «размазанными» границами, и в связи с этим вид спект-
спектра также не является столь простым, как это следует из A8). Одна-
Однако, очевидно, формулы B0) и B1) сохраняют свою силу, причем
B1) дает уже не точную, а эффективную ширину спектра.
В случае, если, помимо общего движения со скоростью v,
имеются также относительные скорости различных рассеивателей
(со средним значением, равным нулю), происходит дополнитель-
/ А П\/	й"
нов уширение полосы частот на величину порядка (Ail) ~ ш —,
где 8у — порядок величины относительных скоростей внутри
рассеивающего объема. Отношение этих величин имеет порядок
(Дй)' Lkdv
ДЯо	v
B2)
В реальных условиях параметр kL^>l, a —<^1, однако в слу-
случае турбулентных пульсаций скорости величина bv/v обычно имеет
порядок 0,1—0,3, так что отношение B2) может быть большим.
Это означает, что в реальных условиях ширина спектра определя-
определяется не конечностью размеров рассеивающего объема, а относи-
относительными скоростями рассеивателей внутри него. (Этот эффект, ко-
конечно, также описывается формулой A4).)
Общее же смещение спектра на величину й0 = — Kv имеет
место во всех случаях (при наличии случайных флуктуации ско-
скорости под v следует понимать среднюю скорость движения внутри
рассеивающего объема).
Более подробно вопрос о частотном спектре рассеянного сиг-
сигнала в случае рассеяния на блуждающих неоднородностях иссле-
исследовался в работах [66—701. Мы подойдем к этому рассмотрению
на основании общей формулы A2).
Для расчета пространственно-временной спектральной плот-
плотности и (ж, Q) можно применить метод, аналогичный использован-
использованному в {70J. Ниже будет показано, что временная автокорреляцион-
автокорреляционная функция огибающей рассеянного поля быстро спадает до

168	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
малых значений за столь короткое время, в течение которого ско-
скорости движения отдельных неоднородностеи (которые мы теперь
предполагаем различными в разных точках) можно считать посто-
постоянными. Это означает, что для достаточно малых времен твыполпя-
ется соотношение
8l (r, t -|- т) = в1 (г - v (r, t) т, 0,	B3)
где v (r, t) — скорость (лагранжева) того элемента среды, который
в момент (t + т) проходит через точку г.
Поскольку мы считаем т достаточно малым, то при изменении t
на величину порядка t скорость v практически не меняется (ниже
будут произведены соответствующие оценки). Поэтому в B3) мы
не делаем различия между v (r, t + т) и v (r, t) и пишем vx вмес-
вместо \-vdx. Условие B3) означает консервативность переносимой
турбулентностью характеристики жидкости — в данном случае
диэлектрической проницаемости. Таким образом, мы пренебрегаем
эффектом выравнивания неоднородностеи за счет процессов моле-
молекулярной диффузии и теплопроводности за малое время (возникаю-
(возникающие при учете этого эффекта поправки имеют тот же порядок мало-
малости, что и непостоянство локальной скорости переноса v).
Условие B3) по внешнему виду напоминает условие заморожен-
ности, но в отличие от него скорость v в B3) меняется от точки
к точке и не является постоянной в течение длительных проме-
промежутков времени. Условие B3) можно назвать условием «локаль-
«локальной завороженности».
При подсчете пространственно-временной корреляционной функ-
функции мы будем считать, что флуктуации величин ех и v статистиче-
статистически независимы. В действительности эти величины в локально
изотропном турбулентном потоке являются некоррелированными
(см. гл. 1). Если предполагать, что закон распределения еъ v
является нормальным, то отсюда вытекает и их независимость *).
Чтобы получить пространственно-временную корреляционную
функцию для 8ц умножим равенство
&i (г + р, t + т) = ех (г + р — v(r + p, t) т, t)
на ej (r, t) и произведем усреднение как по флуктуациям е1(
так и по флуктуациям v. Так как мы предположили независимость
et и v, то эти два усреднения можно выполнить независимо. Усред-
Усредняя выражение
«Ч (г + р, t + т) ех (г, t) =
= ех (г + р - v (г + р, t)x, <)в! (г, О
•) Законы распределения величины ех и «близка к нормальным. Что ка-
касается закона распределения для разности скоростей в двух точках, то он
заведомо не является нормальным, так как <^(A»j)8) ф 0 (см. гл. 1).

§ 29]	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	169
по 6], мы получаем (согласно определению) корреляционную функ-
функцию Ве, которая, однако, содержит еще случайный параметр v:
<е, (г + р, t + т) б1 (г, *)>.. = ВЕ (р - v (г + р, 0 т). B4)
Это выражение должно быть дополнительно усреднено по v:
Bt (р, Т) = «в! (Г + р, * + Т) в! (Г, 0>., >0 = <5г (Р - V (Г + р, ОТ)>„.
B5)
Представим Вг (р) в виде интеграла Фурье. Тогда
#е (Р, Т) = Д е«ГР
= \
Фе (х) d3x.	B6)
Но согласно определению
<tff..(r.i)>B = Xrif(a))	B7)
— характеристическая функция закона распределения вероят-
вероятностей для скорости v в точке г в момент t. Так как мы предпо-
предполагали статистическую однородность поля v, то % фактически не
зависит от г, t. Следовательно,
Ве (р, т) = J е«"РХ (- хт) Фе («) rf3x.	B8)
Взяп преобразования Фурье по р и t от B8), получаем
со
и, (х, Q) =¦¦ 2^- Фе (х) J в-«'х (— *т) dt.	B9)
Формула B9) и определяет пространственно-временнбй спектр
диэлектрической проницаемости при условии «локальной заморо-
женности». Взяв преобразование Фурье по Q от B9), можно по-
получить формулу
позволяющую построить функцию %(а), если из экспериментов из-
известна ие (х, Q).
Рассмотрим пример, когда v(r, f) имеет нормальный закон
распределения со средним значением v0 и дисперсией каждой ком-
компоненты

170	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
(здесь суммирования по г нет). В этом случае
%{а) = е а	=е в	C0)
Подставляя C0) в B9) и выполняя интегрирование, получаем фор-
формулу
Формула C1) является обобщением формулы
w, (х, Q) = Фе (х) б (Q + х«0),
которая справедлива для чисто «замороженной» турбулентности,
на случай «локально замороженной» турбулентности. В случае,
если ol = 0, C1) переходит в эту формулу.^
Из C1) следует, что эффективная ширина спектра имеет поря-
порядок
—	Ли.
Оценим время корреляции т0 из соотношения т0 • AQ — 1,
откуда То ~ (хаг)-1. Вместо величины х мы должны поставить
L^1, где Lo — характерный масштаб, т. е. внешний масштаб тур-
турбулентности. Таким образом,
При выводе соотношения B9) было сделано предположение,
что скорость жидкого элемента можно считать постоянной за вре-
время т. Так как время корреляции имеет порядок т0 ~ LJov, то
фактически требуется, чтобы скорость жидкого элемента мало
менялась за время т0. Но изменение скорости жидкого элемента
за время т0 имеет порядок [13]
At4~/eTo~
где е — скорость диссипации энергии турбулентности (не сме-
смешивать с диэлектрической проницаемостью!). С другой стороны,
па основании «закона 2/3» имеем (eL0J 3 ~ а*, откуда Дут, ~ <V
Требование малости изменения скорости за время т0 по срав-

I 29]	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	171
нению со средним значением скорости ь>0 принимает поэтому вид
о* < v0.	C2)
Это условие хорошо выполняется в реальной атмосфере. Таким
образом, сделанное при выводе формулы B9) предположение
о постоянстве v за время т выполняется при выполнении усло-
¦вия C2).
Подставляя C1) в формулу A4) (и пренебрегая различием ме?к-
ду и и w, подробно проанализированным выше), получим
Ф. (* >Т^= охр (-?±?2). C3)
Из этой формулы следует, что максимум спектра лежит на
допплеровской частоте — Kv0, связанной со средним движением
рассеивателей, а форма частотного спектра повторяет закон расп-
распределения вероятностей для флуктуации компоненты скорости,
направленной по вектору рассеяния К.
Представляет интерес рассмотреть также частотный спектр
флуктуации интенсивности рассеянного поля. Последняя про-
пропорциональна величине / = <?8* = ЕЕ*. Используя C), имеем
(tor)*
ft
8» to- <> El ^ V W^fr* d'r,. C4)
Рассмотрим величину
Вi (т) = <(/ (t + г) -</(*+ т)>) (/ (*) - </ @»> =
= </ (t + x) I (f)> - (</>J C5)
(в последнем равенстве использована стационарность турбулент-
турбулентности). В величину </ (t + x) I (t)y, как видно из C4), входят
четвертные моменты поля ei {r, t):
4. C6)
Для вычисления C6) сделаем предположение, что четвертные
моменты поля ei связаны со вторыми таким же соотношением, как
при нормальном законе распределения (так называемая гипотеза
Миллионщикова). Если аи a.it a3, at — случайные величины под-
подчиненные четырехмерному гауссовскому закону распределения

172	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
вероятностей и <в4> = 0, то
Применяя это соотношение, получим
<ei (а. <+т) 8i (r2, t+r) ei (r3, 0 ei (r4,*)> =-4 (ri, r2) ra,rt, t, t)=
= <Bi (a. t + T) ei (Г., * + т)> • <в! (Г3, t) Bj. (r4, t)> +
+ <ei (a. t + x)si (r3, 0>-<«i fo> * + *) ei (r4, t)> +
+ <ei (n, t + t) ei (r4, 0> ¦ <ei (гг, t + т) Cl (r3, *)>. C7)
Применяя теперь соотношение B3), получим
А = Ве (Г! — Гг) #е (*Ъ — П) + 5г (П — Г3 — « (n, t) t) X
х Bt(r2 — rt~v(riy t)t) +
+ Be (А — А- — »(А, 0 т) В* (Г2 — гз — V (а, 0 т). C8)
Подставим C8) в C6). При этом, как легко видеть, первое слагае-
слагаемое в C8) приводит к величине </>г; вычитая ее из обеих частей
C6), получим формулу
У
X К*\ Ве (га — r4
+ [Jj Be (A — A — »(A, 0 т) e'^C-'J rf3ri rf3r4 ] x
X [W Be (A - A " v (A, 0 t) *-**<•*-.><f r2 <Рг,]^рТ C9)
где скобки < >„ означают усреднение по случайному полю v.
Прежде чем выполнять это усреднение, заметим, что первое
слагаемое в C9) равно нулю, если только К =4= 0. Действительно,
вводя в первом интеграле новые переменные (ri — г3) и (г% + **з)
и выполняя интегрирование по переменной (п + г3), которая
входит лишь в exp (iK (rx + г3)), получим 6V (К)- Однако при
К =1=0 величина 6у(К)?х 0, так что первым слагаемым в C9) дей-
действительно можно пренебречь. Во втором слагаемом в C9) введем
вместо п новую переменную рх = п — г4, а вместо г3 — пере-
переменную р2 = г2 — г3. После этого получаем
5 d»r, < J Be (pi - v (a, *) т) e«* d3Pl X
X JB? (p, - v (a, 0 т) e-**P.d»p,^B. D0)

§ 291	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	173
Рассмотрим интегралы по р:
е (р — Vit) eiK<>dsp= jj Bt (p —
С
где Ф — усредненный (согласно B2.26)) по некоторому объему
пространства волновых чисел спектр. Аналогично
{К),
v
и формула D0) принимает вид
Bt{x) = (*>УХ)<Bя)« [Ф.(Ж)]« CdV» $d»r,<*'*[-<r..
V	V
D1)
В отличие от формул для спектра поля, в спектр флуктуацнй
интенсивности входят лишь разности скоростей в двух точках.
Обозначим через vK (r, t) проекцию скорости в точке г на направ-
направление К:
Kv - KvK и &vK (ru rt) == vK (ru t) — vK (»•„ t).
В D1) входит выражение
<els'Av^-r'\ = XA,Kir,.rAKr),	D2)
где
— характеристическая функция распределения вероятностей
Для 2?-компоненты разности скоростей в двух точках п и г2- Та-
Таким образом,
р)\	lluUvK(rt^(Kx). D3)
Перейдем к частотному спектру флуктуации интенсивности.
Вычисляя преобразование Фурье по т от D3) и учитывая, что ха-
характеристическая функция случайной величины &vK связана с
плотностью вероятностей P&VK (и) формулой

174	РАССЕЯНИЕ ПОЛЯ В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
получим
D4)
В локально однородном турбулентном потоке распределение
вероятностей для разности скоростей в двух точках Тх и т% зависит
лишь от т\ — Гг- То же, очевидно, относится и к характеристиче-
характеристической функции этого распределения. Поэтому в D3) и D4) можно
ввести новые переменные интегрирования Т\ и р = гх — га и вы-
выполнить интегрирование по п, дающее величину V. В этом случае
получаем
$
$*	D3')
Bя)а [^^	(^)
Заметим, кроме того, что, полагая в A0) т = 0 и учитывая,
что
со
—оо
имеем
@) = </>, jj we (Я, Q) du = Ф. (К),
Поэтому формулы D3') и D4') можно представить в виде
Вт(х) = ОУ 4- l%A,K(P)(Kr)d3p,	D3')
= </>¦ ^ С Р
У
Полагая в D3°) т = 0 и учитывая, что %s»K(p) @) = 1> полу-
получаем В[ @) = </>*, откуда для коэффициента корреляции bj (т)
имеем формулу
Заметим, что величина Q/A" является тем значением Л"-ком-
Л"-компоненты разности скоростей, которой соответствует разность доп-
плеровских частот, равная Q.

S 291	ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	175
В качестве грубого примера можно рассмотреть модель гауссов-
ского распределения вероятностей для разности скоростей. В дей-
действительности, как уже отмечалось, это распределение заведомо
не является гауссовским и наш пример должен лишь дать поря-
порядок входящих в D3"), D4") величин.
Для гауссовского закона распределения
D6)
Но
Д»к (Р) = 4 KAv W = -ТС K*Avi W>
так что
Подставляя выражение
Ау(р) = Dtt (р) во + ф„ (р) - Dtt (p)) щщ,
где п = р/р (см. гл. 1), получаем
= />„ (р) sina # + Дгг#(р) cos3 0,
где ¦& — угол между векторами К и р. Подставляя также
Ягг (р) = CeV^v, „ /)„ =_- ^.Drr
(формулы, справедливые в инерционном интервале), получаем
UvK(P)(P) = e *	L 3 J.	D6')
Подставим D6') в D5') и введем сферические координаты с цент-
центром внутри рассеивающего объема и полярной осью вдоль вектора
К. Тогда
— sm!el
3 Vain«<?p(fq>(f«. D7)
Пусть размер рассеивающего объема V имеет порядок V*1' — L,
так что p^V1'. В случае, если т:2КгС2 (eFVj)v'<^ 1, или тг<^;
-СтЦ, где
D8)

176	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
имеем bj (т) -х-1. В случае же, когда т2 ^> tjj или т^К^С2 (в7;У'г ^> 1,
интегрирование по р в D7) можно распространить от 0 до оо.
В этом случае простое, но довольно громоздкое вычисление при-
приводит к формуле
где ЛГ=1/ ^f- = 2,35.	D9)
Таким образом, величина т0 является временем корреляции
флуктуации интенсивности рассеянного сигнала. В отличие от
времени корреляции для флуктуации поля (эта величина, опреде-
определенная выше, имела порядок Lja,,) величина т0 определяется лишь
локальными характеристиками флуктуации (а именно скоростью
диссипации энергии &). Это связано с тем, что спектр флуктуации
интенсивности определяется лишь разностями допплеровских
частот различных рассеивателей, а следовательно, только разно-
разностями их скоростей. В связи с этим условия, при которых приме-
применимы формулы D3), D4), могут оказаться более широкими, чем
это имело место для соответствующих формул B8), C1), опреде-
определивших спектр флуктуации поля.
Действительно, т0 имеет порядок величины К/А v (L), где
Д v (L) — порядок разности скоростей на краях рассеивающего
объема. Так как при достаточно больших размерах объема V ве-
величина Дт; (L) ~ av, то время корреляции флуктуации интонсив-
ности в K/Lo раз меньше времени корреляции флуктуации поля
(напоминаем, чтоХг0 — радиус корреляции флуктуации скорости).
Поэтому условие постоянства скорости движения жидкого эле-
элемента за время т0, положенное в основу проведенного вывода,
выполняется лучше, чем условие C2).
Изменение скорости движения за время т0 имеет порядок
Уех0. Однако эта величина теперь должна быть малой не по срав-
сравнению со скоростью движения рассеивателей, а по сравнению с
характерной разностью их скоростей. Последняя величина имеет
порядок (eLf1'. Требуя выполнения неравенства |/ет0 <^ (еЬ)'Ь и
подставляя выражение D8) для т0, получим условие
>1 или 8'/а >(fcL)"Vz	E0)
(9 — угол рассеяния), при выполнении которого можно пользо-
пользоваться принципом «локальной замороженности». Условие E0)
не содержит характеристик турбулентности и выполняется почти
во всех реально осуществляемых опытах.
Заметим, что при исследованиях турбулентности формулы D8),
D9) можно попытаться использовать для определения величины
е из наблюдений за спектром интенсивности рассеянного сигнала

5 30]	РАССЕЯНИЕ ИМПУЛЬСА	177
[69], хотя при этом лучше исходить из формул D3"), D4"),
не основанных на предположении о нормальном распределении
разности скоростей.
Следует подчеркнуть, что выражение D8) для времени корре-
корреляции флуктуадий интенсивности не зависит (с точностью до чис-
численного множителя) от принятого закона распределения разности
скоростей. В. то же вромя асимптотическое поведение фупк-
ции bj (т) при т ^> т0, выражаемое формулой D9), является след-
следствием принятого при вычислениях нормального закона распре-
распределения для \v.
§ 30. Рассеяние импульса
В современной технике связи передаваемые сигналы очень ча-
часто имеют импульсный характер. Поэтому представляет интерес
рассмотреть вопрос о рассеянии импульсов. Мы рассмотрим зада-
задачу о рассеянии прямоугольного импульса с огибающей
A (t) -
т
Ао при |t|<C-2~.
О при \t\^> -^-.
Для упрощения задачи рассмотрим случай скалярного уравнения
в приближепии дифракции Фраунгофера. Затем результаты будут
распространены и на более общий случай.
Уравнение, определяющее рассеяние в скалярном прибли-
приближении, имеет вид
причем
где функция A (t) определена равенством A). В C) т — к/к —
единичный вектор в направлении распространения падающей
плоской волны. Функция g0 (r, t) отлична от нуля в слое
толщиной сТ, дпижущемся в направлении m со скоростью с.
Решением уравнения (J) является, как известно, функция
\г — г'
\г-г'\ ¦

178	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
В зоне фраунгоферовой дифракции можно, как это уже неод-
неоднократно делалось выше, положить \г — г'\ = г — пг' + ...,
где п = г/г — единичный вектор, направленный из центра рас-
рассеивающего объема на точку наблюдения, иг — расстояние от
центра рассеивающего объема до этой точки. В знаменателе D)
можно считать [г — г'\~г + •<< В этом случае
8x(r, t) = *LU(r')«,(r\ «-? + -^)dV,	E)
и после подстановки выражения C) мы получаем
F)
Обозначим через V (J) общую часть (пересечение) рассеиваю-
рассеивающего объема V и движущегося плоского слоя
_r-f rf-^.«m-n)r<c* +^~П
V (t) = 0, если эти области не перекрываются, и V (t) = V, если
рассеивающий объем целиком лежит внутри указанного слоя.
В общем случае V (t) равно той части рассеивающего объема, ко-
которая лежит внутри слоя.
Используя обозначение V (/), можно переписать F) в виде
Ч(г')е*(—) '<Рг:	G)
v (О
Огибающая рассеянного поля (которая теперь зависит от t) да-
дается формулой
V'(f)
Это выражение отличается от аналогичной формулы C.29) лишь
заменой V на V (t).
Рассмотрим теперь среднее значение потока рассеянной энер-
энергии, пропорциональное ?х?^. Так как в случае монохроматиче-
монохроматической волны это выражение было пропорционально V, то в нашем
случае оно будет пропорционально V (t). Следовательно, зависи-
зависимость интенсивности рассеяния от времепи определяется лишь
этим множителем (так как остальные величины от времени не за-

§ 30]	РАССЕЯНИЕ ИМПУЛЬСА	179
висят)*). Заменяя в выражении D5.29) для / = ЕхЁг величину V
на V (t) и учитывая множитель sin2 %, появляющийся при пере-
переходе от случая скалярной волны к электромагнитному полю, будем
иметь
I @ = (*М
Исследуем более подробно функцию V (t). Введем внутри рас-
рассеивающего объема систему координат с осью z, направленной по
вектору ж—я.. Тогда «г—n = J0, 0, 2 sin —|иуравнения границ
слоя
имеют вид

2 sin
Толщина этого слоя
ь
п —
его скорость движения
V
9
2
: Z
2
ct-
еТ
2 sin
с
sin т
— г —
2 sin
в '
2
¦2- с!
9
2
A0)
A1)
A2)
Таким образом, чтобы найти среднюю форму принятого сигна-
сигнала, мы должны рассмотреть равномерное движение в направлении
вектора «г — п со скоростью v = —?—— плоского слоя толщины ft.
2sin-!j-
Средпяя мощность принятого сигнала пропорциональна (если пре-
пренебречь общим запаздыванием сигнала) той части рассеивающего
объема V, которая находится в данный момент внутри этого слоя.
Если толщина слоя h превосходит размер Н (в направлении век-
вектора»»— п) объема V, то некоторое время весь рассеивающий объем
будет находиться внутри слоя, следовательно, принятый сигнал
*) Некоторое различие имеется в операции усреднения функции по про-
пространству волновых чисел, приводящей от Ф к Ф, так как в нашем случае
объем волнового пространственно которому производится усреднение, явля-
является иеремепным. Но так как Ф ~ Ф, т. е. операция усреднения мало меняет
функцию Ф (К), то отмеченное различие несущественно.

180
РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
будет иметь плоскую (в среднем) вершину. При этом время нара-
нарастания (и спадания) импульса определяется размером // и ско-
скоростью движения v плоскости %, т- е- временем прохождения
фронта импульса через рассеивающий объем
Я 2Я . .
тФе = ~г = -г sm T
2 '
A3)
Это время тем меньше, чем меньше угол рассеяния 0. Легко
понять (рис. 30), что плоская (в среднем) часть импульса длит-
длится время Т — ТфР, а весь импульс имеет длительность Т + тфр.
в)
^%; *)
-Л'
Рнс. 30. Три последовательных момента прохождения
импульса через рассеивающий объем (а, б, в) и средняя
форма рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертнкаль-
0
вый размер рассеивающего объема меньше, чем cT/2sin ?>.
На рис. 30 схематически изображено построение формы им-
импульса в случае, когда h~^> Н, а на рис. 31 — в случае h <^ //.
При Н ^> h весь рассеивающий объем ни в один из моментов вре-
времени целиком не принимает участия в рассеянии и поэтому ам-
амплитуда принятого сигнала падает по сравнению с предыдущим
случаем. Общая длительность импульса в этом случае также равна
Т + тфр, но эта величина может уже значительно превышать пер-
первоначальную длительность Т. Искажения формы импульса малы,
если выполняется соотношение тфр <^ Т, и велики, если вели-
величины тфр и Т сравнимы или если тфр ^> Т. Поэтому естественно
назвать величину 1/тфр «полосой пропускания» канала связи,

I 30]	РАССЕЯНИЕ ИМПУЛЬСА
работающего на рассеянии,
181
е
2Н sin у
Заметим, что Д/ совпадает с величиной максимальной расстрой-
расстройки, при которой еще наблюдается корреляция интенсивности двух
рассеянных сигналов, имеющих частоты / и / + Д/.
Рис. 31. Три последовательных момента прохождения импуль-
импульса через рассеивающий объем (а, б, в) и средняя форма рас-
рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертикальный размер рас-
свивающего объема больше, чем сТ/2 sin у.
В случае «узких» диаграмм направленности И ^ aR — г/2 ad
(а — угловая ширина диаграммы направленности) и
Д/=:
, . в '
act sin у
2с
add '
A5)
Для «широких» диаграмм направленности Н ж QR = у&2 и
Д/ =
Q4 "
A6)
При обычных значениях а, 6 и d величина Д/ может достигать
значений нескольких мегагерц, что удовлетворительно даже для
целей телевидения.
Остановимся на физической интерпретации выведенных фор-
формул. Представим себе, что в точке Пг (рис. 32) находится передаю-

182
РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
щая, а в точке П% — приемная антенна. Если в некоторый момент
t из Пг излучается «мгновенный» сигнал, то в момент t + т в Пг
будут поступать сигналы, рассеянные теми рассеивателями, сумма
расстояний которых до Пг и Пг равна <?т. Все эти рассеиватели
располагаются на поверхности эллипсоида вращения с фокусами в-
Пг и П2, величина большой полуоси которого равна а = -^ сх (ось
проходит через 11\ и Пг), малая полуось равна Ъ —'-^ Ус?тв — d*
{d — расстояние между Пх и Я2). Пусть рассеивающий объем,
малый по сравнению с d, находит-
находится вблизи конца малой полуоси
эллипсоида. Угол рассеяния 9
0	связан с d и т соотношением сх =
~ ——. В момент т' "> т в точку
^2 будут проходить волны от
рассеивателей, расположенных
на поверхности большего эллип-
1
Рис. 32. К построепию формы рас-
рассеянного сигнала.
с полуосями а' = — с с' и
соида
Ь' = -i /cV2- d? . При этом по-
поверхность эллипсоида, пересекающая рассеивающий объем, пере-
переместится вверх. Скорость движения этой поверхности равна
__ db 	 с сх 	 с
dx 2 V^Sf«	(Р	. в
'	2 sin-«-
и совпадает с A2).
В случае, если объем V достаточно мал, в его пределах поверх-
поверхность эллипсоида можно заменить касательной плоскостью, и мы
приходим к изложенным выше результатам. Приведенные рас-
рассуждения поясняют, какие видоизменения надо внести в наши
результаты, если отказаться от приближения фраунгоферовой
дифракции. В этом случае все построения формы импульса, приве-
приведенные выше, останутся в силе, если плоские границм движуще-
движущегося слоя заменить поверхностями увеличивающегося со временем
эллипсоида.
§ 31. Корреляционные функции
рассеянного поля
Выше мы уже рассматривали качественно вопрос о корреляции
рассеянных под различными углами полей. Здесь мы рассмотрим
этот вопрос более подробно [71, 72]. Напряженность рассеянного

i 31]	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	183
поля в точке гг определяется формулой (8а.25):
~
г, г') [Е0(г')п(Гг,г')]]п3г',
где п (rlf г') = (гг — г')/\г1 — г'\. Рассеянное поле в точке гъ
имеет вид
B)
Вычисляя среднее значение от произведения A) на комплексно
сопряженное к B) выражение, получим
' ] - | гг-г" | ]
''«(«"-Ох
:-г'1|г»-
X lft(n, г")[?;(гя)п(гг, «-"HJdVdV. C)
Как и при выводе выражения для средней интенсивности рас-
рассеяния, будем считать, что Ео (г) имеет вид
В,(г) = 4о(г)е**1«^1,	D)
где JJ0 — точка расположения излучателя, а Ло (г) — амплитуда,
зависящая от диаграммы направленности передающей антенны.
Выражение C) принимает вид
exp {ik [| г^-г1 \ - | га- г"] + | В0-г' |-|Вр-г" |]> ge(r'- r")
|Г1_Г'|.|Г2_Г»|	X
X Uo (г') - п {Гг, г') 'Ао (г') п (гг, г'))} X
X {Ло (г") — п («•„ г") (Ао (г°) п (г„ г'))} cPr' d3r". E)
Введем новые переменные интегрирования х — -^ (г' + »•"),
р = г' — г" и координату It = у (гг + **г) Для центра отрезка,
соединяющего точки наблюдения г г и »*2, а также г — тг — гг.

184	РАССЕЯНИИ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	ГГЛ. 2
Выразим все величины, входящие в E), через новые переменные:
Гх—г' = М — Х +!(»• — р); n — ^ = Jt — x—j(r—f),
Разлагая модули этих выражений в ряд по формуле бинома, полу-
получим
2 J J» —
где 0 (а;) — члены порядка, не превосходящего х. Аналогично
|Во-г'| =
= LKq — X \
Введем
Ra — x+-i
Во —ж Р
|Во-сс| 2
(9)
— a>\l\2) \\ Ro — <с\ 2 1
j_g_.). (Ю)
— единичный вектор, направленный из точки -Ко в х. Выведем
условия, при которых в формулах (8) и A0) можно ограничиться
первыми членами.
Величины (8) и A0), умноженные на А, входят в E) в экспоненту.
Величина р ограничена неравенством р ^ Lo, где Lo — радиус
корреляции флуктуации е, так как при больших значениях р
подынтегральное выражение в E) близко к нулю за счет множителя
Вг (Р).

§ 31]	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	185
Величина \ R — х | имеет порядок R. Поэтому условие, при
котором в A0) можно ограничиться первым членом, имеет вид
kL3
-б^-«<1 или 1%<^\Я2.	A2)
Условие A2) хорошо выполняется в реальных условиях при даль-
дальнем тропосферном распространении радиоволн.
Из (8), помимо того же условия A2), вытекает также ограниче-
ограничение на величину допустимого разнесения г точек наблюдения:
г3 < ЯЛ2.	A3)
Но выше, при качественном анализе, было найдено, что при по-
поперечном разнесении точек наблюдения радиус корреляции г0
имеет порядок rQ — XR/L, где L — размер рассеивающего объема.
Подставляя в A3) вместо г указанное значение г„, получим усло-
условие:
Я2Я<^,	A4)
которое также не является существенным ограничением в прак-
практически важных случаях.
Величины I?*! — г'\ и \гг — г"\ в знаменателе E) можно заме-
заменить первыми членами разложений F) и G) при выполнении
очевидных условий r<^.H, LQ<^H. При выполнении этих же
условий можно считать п (rlt r') st п (гг, г") я? п (-R, ас). Кроме
того, если функция Аа (г) мало меняется при изменении г на ве-
величину порядка Ьо, то можно считать Ао (г') =» Ао [г") — А0(х).
Так как функция Ао существенно изменяется на расстоянии по-
порядка L (величина рассеивающего объема как раз и определяется
той областью, где Ао отлична от нуля), то последнее условие име-
имеет вид
Lo << L.	A5)
При выполнении всех перечисленных условий можно записать
E) в виде
•	/ кг \2(Ч* «**¦'"* (в' *)"" (¦*• *))P+Ue» (В. ж) г
\4Я / JJ	| ?С X I
W
ХЛ (ф\ Qin2 v /*тЛ /
Л() \Ллf Sill д, \Jv) *-
Выражение A6) отличается от аналогичной формулы A7.26) по-
помимо множителя с/8ямножителем ехр (iknr), с которым и связана
зависимость корреляционной функции рассеянного поля от г.
Выполняя в A6) интегрирование по р и снова вводя обозначение

186	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
К (х) = к (т (-R, х) — п (-R, аи)), получим
<Я8 (Г1) Es (r2)> = ВБ (г) = B»)« (-&) \ e|R_xp X
х Л* (ж) sin2 X (ж) Фе (К (х)) d3x. A7)
При выводе формулы A7) мы предполагали, что флуктуации
диэлектрической постоянной статистически однородны, т. е.
i?e(»'\ г") — Bt(r'~r"). Это предположение, по существу, не яв-
является необходимым. Все вычисления можно провести и в том слу-
случае, когда статистические характеристики флуктуации плавно
меняются, т. с. корреляционная функция Ве (г', г") имеет вид
(см. раздел А)
В, (г ; г") - Ц Г-^") К (г' - г"),	A8)
где ht (р) — нормированная (bt @) = 1) корреляционная функция
флуктуации Ej, зависящая лишь от разности аргументов р —
= г' — г", а в* (г) — зависящий от координат средний квадрат
флуктуации. В этом случае и спектральная плотность флуктуа-
флуктуации зависит от координат:
ФЕ(г.«) = С*(г)Ф?)(*).	A9)
В рассматриваемом случае проведенный выше вывод формулы
A7) не изменяется и следует лишь заменить Фг(К (х)) на выраже-
выражение A9)
В, (г) = Bя)« (^) J -^вг^г ^ (*) sin^ X (х) х
хС?(гв)Ф<9)(Я(зс))^- B0)
Чтобы более ясно представить физический смысл формулы B0),
предположим, что вектор п (R, х) можно разложить в ряд по сте-
степеням х/П
n(R, х) = по — ±-(х-по(п,х)) + О (^8).	B1)
Здесь n0 = It[R — единичный вектор, направленный из центра
рассеивающего объема в центр отрезка, соединяющего обе точки
паблюдения. Последним членом в B1) можно пренебречь при
условии (более жестком, чем A3)):

§ 31]	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	187
В этом случае
п (В, х) г зё nor — -д- (аег — (пог) (щх)) = ПоГ — аеД», B3)
где
Г — ОТр (ЩТ) _
— разность двух единичных векторов, направленных из центра
рассеивающего объема в точки наблюдения.
Как и при рассмотрении средней интенсивности рассеяния
положим
где функция / (т (х)) описывает диаграмму направленности излу-
излучателя. Кроме того, введем под интеграл B0) функцию f\ (n (ас)),
описывающую диаграммы направленности приемных антенн *),
но пределы интегрирования распространим на бесконечную об-
область. В результате получаем
Вя(г) - Bп)(^)^^^
^))d3z. B5)
Множитель exp (iknor) перед интегралом обусловлен система-
систематической разностью фаз между рассеянными полями в точках
¦В+~2~*'> если эти точки расположены на разных расстояниях от
рассеивающего объема (лишь в этом случае гпа =/= 0). Интеграл в
B5) имеет вид преобразования Фурье (при х = АДп) от произве-
произведения
F (ж) = /S («1» (ас)) f\ (n (ж)) С\ (х) Ф[о) (К (х)) \It~x\~\ B6)
Прежде всего следует отметить, что этот интеграл зависит лишь
от Ди, (г), но не от самого значения г. Таким образом, корреляция
рассеянных полей в двух точках не изменится (за исключением
фазового множителя exp (iknor)), если эти точки перемещать
вдоль лучей, проходящих через центр рассеивающего объема (при
таких перемещениях Дп (г) не изменяется). Иными словами, кор-
корреляция рассеянных полей зависит лишь от угла, под которым
¦) При более строюи рассмотрении следовало бы вводить в отдельности
каждую из диаграмм направленности приемных антенн. Если, однако, счи-
считать, что диаграммы паправленпостп идентичны и мало меняются при иамсне-
нии угла на величину порядка L0IR {Lo — радиус корреляции флуктуацпй), то
мы придем к результату, указанному в тексте.

188	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
видны точки наблюдения из центра рассеивающего объема. Од-
Однако это справедливо лишь в случае выполнения неравенства B2)
и не имеет места в общем случае, когда формула B3) несправед-
несправедлива.
Радиус корреляции флуктуации определяется размерами той
области, в которой заметно отлична от нуля функция F(x) B6).
Пусть размер этой области име-
ет порядок а. В этом случае ве-
+	личина An, при которой еще
" °х +	наблюдается корреляция рас-
°	сеянных полей, связана с с
„	+ ° о	соотношением
Цв
0,6
14
кАп0	, т. е.
а
О 12 3?	Эта формула совпадает с при-
приводившейся в § 28.
Рис. 33. Корреляционные функции	Величина а может в основ-
рассеянного поля при поперечном
разнесении точек наблюдения в слу-	ном определяться или диаграм-
чае широких диаграмм направлен-	мами направленности аытенн
ности.	(это — рассмотренный в § 28
По оси абсцисс отложено расстояние меж- случай ОСТРЫХ Диаграмм), ИЛИ
ду точками паблюдеиия, отнесенное к ве- , ,-„ ,™,л,. „ „.»л%,л" .
личине Х,/пв, где \ — длина волны и 6 — убыванием С ВЫСОТОЙ MHO-
угоАглкат°а^"^ан^афэ™пер™^ов:Ре- жителя С\(х), или уменьшением
2 Fell 3=Vo м? 7-Т-"й «Td - ф" {К (*)) ПРИ Увеличении угла
= 190 км; п—*.=зо' см, з м. d = 365 км. рассеяния. Вообще говоря, все
факторы действуют совместно.
Радиус корреляции флуктуации возрастает при уменьшении
эффективного рассеивающего объема: при сужении диаграмм на-
направленности антенны, при более резком убывании интенсивно-
интенсивности флуктуации диэлектрической проницаемости с высотой.
На рис. 33 приведены экспериментальные данные о корреля-
корреляции рассеянного поля при разнесении точек наблюдения поперек
трассы. Отобраны эксперименты, в которых угловая ширина ди-
диаграмм направленности превышала угол рассеяния. В этом случае
эффективный рассеивающий объем имеет размер (в направлении
поперек трассы) порядка а — QR, откуда Дгс0 — ^. Но Дп^д,
где 5 — расстояние между точками наблюдения. Следовательно,
радиус корреляции флуктуации 50 имеет порядок Я/0, а величина
С	А О	А
Y = Т или пропорциональная ей величина I = у k$Q является
безразмерным универсальным аргументом корреляционной функ-
функции. Если откладывать коэффициент корреляции b (?) как функ-
функцию величины \, то вид функции не должен зависеть от конкрет-

§ 32]	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	189
ных значений к и Э, имевших место в опытах. Это хорошо под-
подтверждается приведенными на рис. 33 экспериментальными дан-
данными.
Конкретные расчеты по формуле B5) производились в работах
[71, 72] для различных моделей флуктуации и их зависимости от
высоты.
Следует заметить, что вид корреляционных функций сильно
зависит от распределения интенсивности флуктуации по высоте.
Поэтому на основании сравнения экспериментально определенных
корреляционных функций с теоретическими едва ли можно наде-
надеяться получить какие-либо сведения о спектре турбулентных флук-
флуктуации е. Более того, так как в реальной атмосфере распределение
интенсивности флуктуации с высотой может, вообще говоря, иметь
самый причудливый вид и сильно меняться от случая к случаю,
то экспериментально измеренные корреляционные функции рас-
рассеянного поля в деталях могут отличаться друг от друга весьма
значительно. Можно лишь утверждать, что в случае «широких»
диаграмм направленности радиус корреляции при поперечном (по
отношению к трассе) разнесении антенн имеет порядок А/9, а при
разнесении вдоль трассы Я/02.
§ 32. Законы распределения вероятностей рассеянного поля
Рассеянное иоле (в приближении однократного рассеяния,
которое мы здесь рассматриваем) является интегралом от произ-
водения детерминированной функции и случайной функции
Ci (т'). Размеры рассеивающего объема значительно превосходят
радиус корреляции Lo флуктуации ех. В этом случае закон распре-
распределения рассеянного поля близок к нормальному ь силу предель-
предельной теоремы теории вероятностей*). Более того, можно считать,
что случайное поле Ег{г) является гауссовским.
Для упрощения дальнейших выкладок мы рассмотрим случай
скалярного уравнения в приближении дифракции Фраунгофера.
В этом случае рассеянное поле имеет вид B.29)
'	A)
(начало координат помещено в центре рассеивающего объема).
Нас будут интересовать законы распределения вероятностей для
значений рассеянного поля в двух точках гг и г2. Так как Е„ —
*) Для применения предельных теорем требуется выполнение некоторых
специальных условий (в частности, достаточно быстро должна убывать корре-
корреляционная функция флуктуации ei). He вдаваясь в этот вопрос подробно, бу-
будем считать необходимые условия выполненными.

190	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
комплексная величина, то в каждой из точек ru г4 мы имеем две
случайные величины:
Так как величины Си Du C2, Z)s подчинены четырехточечному
нормальному закону распределения, то для нахождения его па-
параметров, как известно, достаточно найти матрицу вторых момен-
моментов для величин d, ?>4.
[Рассмотрим сначала (Е, (rx) Et(r%))>. Используя A) и предпо-
предполагая статистическую однородность флуктуации г, имеем
В. (г' - г") е* <*'¦""> dV dV. B)
В B) можно ввести переменные интегрирования (г' — г")
и (г' + г"). Интеграл по (г' + г") дает функцию бу (К), которая
для достаточно больших У близка к нулю при К =?= 0. Таким
образом, можно считать, что
0.	C)
Подставляя Et (rO = С (гг) + iD (rt), получаем
С (г2)> - ф (г,) Z) (г,)>] +
+ i [<C (r,) D (г,)> + <С (г,) i) (Г!»] = 0,
откуда
<С A4) С («•¦)> = <? A4) Я (г,)),	D)
= - <С (г,) i) (n)>.	E)
Найдем теперь (?s (rJE] (»v)> = ВЕ (»*i, r2). Эта величина
была вычислена в предыдущем параграфе. Подставляя Е, — С +
+ Ш, получаем с учетом D) и E)
Bs{ri, r2) = <1С (П) + Ш(п)] [С(г,) — iD(r,)]> -
) С(г2)> + 2J <i)(n) C(r3)>.
Таким образом,
а = (С (п) С (r,)> = <i) (n) ^> (г,)> = у Re BE (rlf r,), F)
= - <С (г,) Z> (r,)> = | Im BL. (n, r,). G)

§ 32]	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ	191
Рассмотрим, прежде всего, закон распределения поля в од-
одной точке т. Полагая в D) и E) гг — г2 = г, получаем
= <?>*>, <С(г)Л (г)> =0.
Из F) при тх = гъ инеем
Таким образом, величины С и D распределены по нормальному
закону с равными дисперсиями и не коррелированы. Следова-
Следовательно, плотность вероятностей распределения величин Р (С, D)
равна
^	(8)
где
Перейдем к законам распределения амплитуды рассеянного
ноля Л = УС* + D2 и фазы ф = arctg ^:
-»-.	(9)
Из (9) следует, что фаэа рассеянного поля распределена равно-
равномерно в интервале (— я, л), а амплитуда распределена по закону
Релея:
Р(А) = ?е-&.	A0)
Воспользуемся формулой A0) для подсчета флуктуации мощ-
мощности рассеянного поля. Последняя пропорциональна величине
/ = А*. Используя A0), легко подсчитать, что (Аг) = 2а2 и
<Л*> = 8а4. Следовательно,
- <Л2>2 = 4cs4 = <А*)*,
или
<[/-</>]»> = </>4.	A1)
Таким образом, среднеквадратическое значение флуктуации мощ-
мощности рассеянного сигнала равно среднему значению мощности,
т. е. вся принятая мощность имеет «флуктуационный» характер.

192	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
Обратимся теперь к закону распределения вероятностей для
совокупности величин С {rx),D (r2), С (r2), D (г8). Предполагая,
что интенсивности рассеяния в обеих точках одинаковы, т. е.
что
получим для матрицы вторых моментов
С
<C(r,)C(rO>
Характеристическая функция закона распределения вероятно
стей для Clt Dlt C2, O2 равна
A3)
а плотность вероятности определяется обратной квадратичной
формой.
Если в законе распределения для Сх, Dlt Ся, D2 перейти к
новым переменным — амплитудам А (г,) = rfC* (г,) -\- D2 (»*,)
и фазам ф (г,) = arctg с 3 , и затем полученный совместный
закон распределения амплитуд и фаз проинтегрировать по ф1ч ср2,
то мы получим совместный закон распределения для А (г^, А (г2).
Результат такого преобразования хорошо известен [73]:
Здесь р — ——3 , /0 (х) — функция Бесселя от мнимого аргу-
аргумента.

§ 33]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	193
Зыая Р {Ai, Л2), можно найти ковариацию флуктуации амили-
туды в точках гг и г2 [73]:
. A5)
{А (г,) А (г,)> = J 5 АХА%Р (Аи A,) dAx dA2 =
и о
Здесь К (р), ? (р) — полные эллиптические интегралы первого и
второго рода.
Найдем также коэффициент корреляции флуктуации ампли-
амплитуды
(АА\
Воспользовавшись разложениями в ряды функций Е и К, легко
получить формулу
= 0,921^ + 0,058р* + 0,014/ + .. . A6)
Таким образом, коэффициент корреляции для флуктуации ампли-
амплитуды выражается через квадрат модуля корреляционной функции
флуктуации поля
'Wta.	(")
Имея конкретные выражения для ЬЕ (г), легко по A6) найти соот-
соответствующее значение ЬА (г).
§ 33. Распространение ультракоротких радиоволн
в тропосфере
В этом параграфе мы сопоставим экспериментальные данные о
дальнем тропосферном распространении УКВ с теорией рассеяния
турбулентными неоднородностями тропосферы.
Прежде всего произведем сравнение наблюдаемых значений
мощности сигнала с величиной, рассчитанной на основании теории
рассеяния. При этом мы будем пользоваться простейшим вариан-
вариантом формулы B8.26), считая, что плотность потока рассеянной
энергии Л1 дается формулой
В. И. Татарский

194	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
где So — плотность потока энергии падающей волны, V - пели-
чина рассеивающего объема, г — расстояние от его центра до точ-
точки наблюдения,
a0 = ^-k'Ot(K)sin*x	B)
— эффективный поперечник рассеяния из единицы рассеивающего
объема в единичный телесный угол.
Считая, что А' = 2к sin у @ — угол рассеяния) лежит внутри
инерционного интервала турбулентности, имеем
0>.(Я)- 0,033 C\K-nj' B?.<2fcsin-§-<-fp).	C)
так что [743
о0 (9) = 0,G52ftv'Ci B sin ~ j^'sin» %.	D)
Сравнение с экспериментальными данными удобно произво-
производить не для величины S, а для принятой за счет рассеяния мощ-
мощности
P,	E)
где А — эффективная площадь приемной антенны. В свою очередь
где Ро — излучаемая мощность, Ло — расстояние от излучателя
до центра рассеивающего объема п Go — усиление {по мощности)
излучающей антенны. Подставляя (б) в E), получаем
_
Величина N носит название «потерь передачи». •
Вместо N иногда удобнее пользоваться отношением мощности,
принятой за счет рассеяния, к мощности, которая была бы при-
принята при тех же антеннах и аппаратуре в свободном пространстве.
Если расстояние от передающей до приемной антенны равно d
(обычно d ш г + Ro), то мощность, принятая в свободном про-
пространстве /*сп, равна

Е 33]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	195
Сравнивая это выражение с G), найдем
(9)
В (9) явно не фигурируют параметры применяемых антенн, что
удобно для сравнения различных экспериментов. Однако вели-
величина рассеивающего объема V зависит от углоп раствора диаграмм
направленности применяемых антенн.
В случае, когда ширина диаграммы направленности мала по
сравнению с углом рассеяния 9 и Э -^ 1,
A0)
v ~ 86
(см. | 28), где Yi — эффективная ширина диаграммы направлен-
направленности в вертикальной плоскости, Та — то же в горизонтальной
плоскости, причем предполагается идентичность принимающей и
передающей антенн.
Коэффициент усиления G для остронаправленных антенн свя-
связан с Ti, Тг приближенным соотношением G = 4я/т1т2 (отношение
полного телесного угла 4л к телесному углу Tfi2, в котором сосре-
сосредоточено излучение). Поэтому, если принять Ti — Тг = Т» то
р~5,6-^-.	A0')
Величина А связана с G общим соотношением (вытекающим из
термодинамических соображений [75])
Используя это соотношение и A0'), получим для входящего d G)
произведения
е •
Таким образом, величина PJP0 возрастает при увеличении коэф-
коэффициентов усиления обеих антенн как ]/G, в то время как при
передаче в свободном пространстве PCn/Pq — G2. Этот эффект носит
название падения усиления антенн при дальнем тропосферном
распространении и хорошо изучен экспериментально. Он явля-
является прямым следствием того факта, что рассеянная мощность про-
пропорциональна объему, участвующему в рассеянии.
Используя формулы (9), A0) и D), можно по экспериментально
измеренным значениям PJPCn и известным для экспериментов
7*

196
РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
значениям 9, G и т. д. установить необходимое значение величины
С«, входящей в выражение для спектральной плотности флуктуа-
флуктуации е.
Обработка результатов таких экспериментов (см., например,
[76, 77]) приводит к значениям Се = D-10~9 -=- 1,5-10"') анГ1';
необходимым для объяснения реально наблюдаемых уровней
полей при дальнем тропосферном распространении УКВ. Если
ввести величину Сп — 2Ct, характеризующую флуктуации пока-
пока(г	б	Сп
Цдб
О
-50
-1ОО
-141?
Рис. 34. Зависимость интенсивно-
интенсивности сигнала от расстояния при
дальнем тропосферном распро-
распространении D) я соответствующая
кривая, рассчитанная по дифрак-
дифракционным формулам (В).
1
в
\
ч
ч
¦
¦¦а.
1
W Ж 300400500600 700
у
зателя преломления п (пг = е), то необходимые значения
составляют 0,002-|-0,080 N/
(iyV-единица = 10~в). Прямые из-
измерения флуктуации показателя
преломления, выполненные при
помощи рефрактометров [35, 61],
приводят к значениям С„ порядка
0,020 УУ-ед/сл1/,.
Более многочисленные измере-
измерения флуктуации температуры в
тропосфере после пересчета на
значения Сп приводят к значени-
значениям 0,001 -г- 0,020 N-en/смЧ'. Сопо-
Сопоставление приведенных значений
С„ с экспериментами по дальнему
тропосферному распространению
УКВ приводит к выводу, что
эффект рассеяния радиоволн тур-
турбулентными неодно родностями спо-
способен объяснить «слабую компоненту» принимаемого сигнала,
наблюдающуюся большую часть времени. По-видимому, более
редкие и интенсивные поля при дальнем распространении УКВ
могут быть обусловлены и другими механизмами распространения
(атмосферные волноводы, отражение от слоев атмосферы с силь-
сильными градиентами показателя преломления и т. д.).
Рассмотрим также зависимость интенсивности рассеянного
Р
поля от расстояния. На рис. 34 приведены значения N = 10 lg p*
в зависимости от расстояния d [78], полученные эксперименталь-
экспериментально в различных работах (кривая А), и кривая В, рассчитанная по
дифракционным формулам. Кривая А приблизительно соответ-
соответствует закону Р,/РСа — сГ6.
Найдем теперь эту зависимость, исходя из теоретических сооб-
соображений. Подставляя в (9) выражения D) и A0'), получим
СП
Q'U
A1)

I 33]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	197
Величина Я» пропорциональна d, так что dP/ftl ¦— d. Угол рас-
рассеяния в также связан с d. Если а — радиус Земли, то G яй dja.
Таким образом, (PRpQr™!* —¦> d-"t*. Однако величина C\(z) также
зависит от d. Действительно, z (высота рассеивающего объема)
связана с d и а соотношением
- d*
Величина же С\ зависит от высоты. В дневных условиях, когда
хорошо оправдывается схема свободной конвекции (см. гл. 1),
Следовательно,
СП
что находится в хорошем согласии с экспериментальными данными
по дальнему тропосферному распространению УКВ.
Наконец, рассмотрим зависимость мощности рассеянного по-
поля от частоты. Согласно D) она определяется лишь множителем
к1!3, т. е. PJPcn ~-' k'1. Однако большинство экспериментов
свидетельствует о том, что эта величина скорее пропорциональна
первой степени длины волны. Был поставлен специальный экспе-
эксперимент, описанный в [35], когда одновременно на двух частотах
D17 и 2290 Мгц) из одного и того же рассеивающего объема
принимался рассеянный сигнал (для этого диаграммы направлен-
направленности всех антенн были сделаны идентичными). В описываемом
эксперименте отношение величин Рг/Рса, полученных на двух
частотах, прямо позволяло определить зависимость интенсивности
рассеяния от частоты. Было выяснено, что примерно в 99% случаев
показатель степени в формуле PjPca ~~ Яа превышает значение
(— =), в 50% случаев его значение больше, чем +1, и в 1 % больше,
чем +2. Среднее значение этого показателя степени близко к +1.
Таким образом, частотная зависимость интенсивности сигнала
при дальнем тропосферном распространении УКВ не согласуется
с теорией рассеяния на турбулентных неоднородностях.
Резюмируя, можно сказать, что явление рассеяния радиоволн
турбулентностью атмосферы, несомненно, играет определенную
роль в явлении дальнего тропосферного распространения, так
как наблюдаемые уровни сигнала (точнее, слабая компонента
сигнала, существующая большую часть времени) хорошо соответ-
соответствуют экспериментально исследованному уровню флуктуации
показателя преломления.

198	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
Теория рассеяния хорошо объясняет такие эффекты, как бы-
быстрые замирания сигнала, падение усиления антенн, зависимость
от расстояния и некоторые другие. В то же время имеются фак-
факты, которые не находят объяснения в рамках теории рассеяния (за-
(зависимость от частоты), что свидетельствует о наличии одновре-
одновременно действующих других механизмов дальнего тропосферного
распространения.
Б. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Рассеяние звуковых волн в турбулентном потоке во многом ана-
аналогично рассеянию электромагнитных волн. Скорость распростра-
распространения звука зависит от температуры и от скорости ветра. Обе
эти величины испытывают флуктуации, обусловленные турбулент-
турбулентностью, что и приводит к рассеянию. Рассеяние звука в турбулент-
турбулентной атмосфере рассматривалось А. М. Обуховым [79] в 1941 г.
В дальнейшем появилось большое количество работ по этому
вопросу [80—86], в которых проводилось уточнение постановки
задачи*). Наконец, в работах [87, 88] это явление было детально
изучено экспериментально.
§ 34. Вывод уравнений распространения звука
в турбулентной атмосфере
Распространение звука в турбулентной среде описывается урав-
уравнениями гидродинамики. Если пренебрегать диссипативными про-
процессами при распространении звука, то уравнением движения будет
являться уравнение Эйлера
Ы ~	* dXlt	р ~Щ ¦
К этому уравнению добавляется уравнение неразрывности
|E	O.	B)
Распространение звука является адиабатическим процессом.
Поэтому третье уравнение имеет вид
^ ^	= O,	C)
*) В большинстве ранних работ по рассеянию звука в турбулептпой атмо-
фере исходили из слишком грубых исходных уравнений. Этот вопрос был
окончательно выяснен в работах Крейчнана [85] и Монина [86].

$ 34]	УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА	199
где S - - энтропия. Для идеального газа
S= Cvlnp — Cplnp,	D)
где Су и Ср — удельпис теплоемкости при постоянных объеме и
давлении.
Уравнение B) может быть представлепо и виде
-Л- + v grad р + р div и = О
или, после деления на р,
—-Q-t	h v grad In p --- —-^— — — di
Из уравнений C) н D) мы имеем (у = CpjCy)
dlnp _ 1 din p	....
at	f dl	'
Подставляя (За) в Bа), получим
	¦?-?¦ = — div v.	E)
f at	v '
Кроме того, нреобразуем последний член в правой части уран-
пепия A):
J_ dp _ р д\пр _ с"- dlnp
р дх^	р дх^	f d^i
где с2 = уЛТ1 = Т — квадрат скорости звука, который мы
считаем заданной функцией координат и времени. Тогда уравне-
уравнение A) принимает вид
QV\	OVi	С* О In p	,nv
Уравнения E) и F) образуют замкнутую систему относительно
функций р, v.
Положим Vj = ?; -(- Uj, где ?4 — акустическая скорость и
щ — заданная скорость турбулентного движения. Мы будем счи-
считать, что div и = 0, т. е. турбулентное движение несжимаемо.
Положим также р — р0 + ра, где ра — постоянное внешнее дав-
давление и ра — акустическое давление. Тогда

200	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
Считая, что \pafpa | -^ 1, положим In A + Щ л; ?» и введем ве-
величину
П = 1&- = -it- ,	G)
пропорциональную акустическому давлению. Так как мы предпо-
предполагаем, что р0 = const, то
1 д\ар =дП 1 dlnp du
Т дщ ~ дац И у Л ~" * *
Наконец, будем считать, что температура Т испытывает флуктуа-
флуктуации, п положим Т = То + Т', где То = const. Тогда
y где cl = ГДГо = const.	(8)
Подставляя все указанные величины в E) и F) и линеаризуя
получающиеся уравнения относительно акустических величин,
получим *)
ы - содхг с°т^Ш1 и*щ; 1*д^>	w
an К,, an
и
В дальнейшем мы будем считать, что акустические величины П
и |,- зависят от времени лишь посредством множителя ехр (—tot).
Функции миГ также зависят от времени, однако мы будем
предполагать, что все характерные частоты их спектра малы по
сравнению с со. В этом случае при решении задачи мы можем счи-
считать и, Т' не зависящими от времени и ввести эту зависимость в
окончательные результаты (подробнее этот вопрос обсуждался в
разделе А для электромагнитных волн).
Заменяя в (9), A0) щ на(—ico), получим
*) Мы отбрасываем все члены уравнения, содержащие лишь и, так как
они должны скоьгаенсироваться в силу уравнений двнжепия для и.

S 34]	УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА	201
Взяв дивергенцию уравнения A1) и подставляя ее в A2), по-
получим
) +
011
Чтобы исключить из A3) акустическую скорость ?, снова вос-
воспользуемся уравнением A1). При этом мы можем взять лишь
первый член в правой части A1), так как учет остальных членов
после подстановки в A3) приводит к величинам второго порядка
малости по и, Т'. Умножая, кроме того, A3) на (— ico), получим
«тт	•	ЗЛ	а д ( Т дП\
ЭЧ1
Рассмотрим члены правой части A4), содержащие и. Используя
уравнение дщ/дхц = 0, можно внести величину иц под знак про-
производной
, 0П . icl 0 Г 0MI , 0П дчП
А = — i ти^ д	1	д—- и% -=— ¦ - -j	i. =
) / 0П \ . 0П 9г
Используя тождество
ЗП дщ д I дП \
дх дх	дх \ ' 9ar /
получим
.-.2
Но, как видно из уравнения A4), выражение ДП + -5 П линейно
со
по малым величинам и, Т', следовательно, последнее слагаемое в
выражении для А имеет второй порядок малости и его можно
отбросить.
Учитывая, что

202	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
окончательно запитом уравнспие A4) в виде (к = —)
Уравнение A5), правая часть которого выписала с точностью
до членов первого порядка по tt, T', описывает распространение
звука в атмосфере с флуктуирующими зпачепиями температуры и
скорости ветра [86]. Так как уравнение A5) липейпо, то такому
же уравнению удовлетворяет и сама величина акустического дав-
давления ра, отличающаяся от П лишь постоянным множителем.
Заметим, что после того, как из уравнения A5) определена
величина П, акустическая скорость § может быть найдена
из уравнепия A1), в котором сохранен лишь первый член справа
(учет остальных слагаемых приводит к величинам второго порядка
малости по и, Т').
Вектор плотности потока энергии определяется через комплек-
комплексные величины ра, |:
S=- Re/vRe?.	A6)
Выражая ра и | через П, легко получить формулу
Нас будет интересовать среднее за период одного колебания Т
значение jSop:
о
Так как П — eriai, то величина ПУП содержит множитель
е-*ш, который после усреднепия ио времени дает нуль. В то же
время П* V П от времени не зависит и не меняется посде усред-
усреднепия. Следовательно,
igUII).	A8)
В дальнейшем мы не будем писать индекс «ср».
§ 35. Эффективный поперечник рассеяния
Найдем выражение для рассеяпного поля. Для этого положим
в A5.34)
П = По + Пв(
где По — падающая волна, удовлетворяющая уравнению ДП0 +
+ /сгП0 —¦ 0, и П, — рассеянное иоле. Так как рассеянное поле

% 35]	ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОПЕРЕЧНИК РАССЕЯНИЯ	203
Us зависит линейно от и, Т', то в правой части A5.34) можно
положить П = По. Таким образом, мы получаем уравнение
ДПв+mi. = -4- {?¦*¦?*-) - - it- '»<5?)> (»)
описывающее однократное рассеяние звука. Решение A) имеет
вид
П. (г) =
Как мы видели в предыдущем разделе, выражение для эффек-
эффективного поперечника рассеяния можно получить, вычисляя инте-
интеграл B) в приближении дифракции Фраунгофера (для этого не-
необходимо выполнение условий L <^ r, kr^>L2, где L — размер
рассеивающего объема и г — расстояние от него до точки наблю-
наблюдения). Однако получаемый таким образом результат, как было
показано п предыдущем разделе, справедлив при выполнении ме-
менее жесткого условия Xr^>Ll, где?0 — радиус корреляции флук-
флуктуации. Положим в B)
\Г — Г'\
где п — единичный вектор, направленный вдоль г. В качестве
По возьмем плоскую волну:
По(г') = Ле«''.	C)
Тогда для П, получим выражение
j^^'lc i' r . .31 Т' (г') ¦	2 д / i	\1
8 ^	Алг J	дх\ [ ^"о '	«ю За;'. V	/J*
D)
Преобразуем интеграл D) по теореме Гаусса, причем пренебре-
пренебрежем получающимся при этом поверхностным интегралом, так
как поверхностные эффекты малы по сравнению с объемными.
Получим
A eikr г • .	Т' [г')
2 i-	я	,
V 0—iftnr __т /j*. //*»'\ ?• />ifcr'\ /73r'	/^\
и» ^	to.

204	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	{ГЛ. 2
Второй интеграл, в E) снова преобразуем по теореме Гаусса, пре-
пренебрегая при этом поверхностным интегралом. В результате полу-
получаем
П3 (г) - - -g^ к [»Ж J ««*' ^fl dV +
или, после замены в первом слагаемом индекса суммирования i
на /,
Чтобы найти плотность потока рассеянной энергии, необхо-
необходимо вычислить УПв. Дифференцируя F) по г, можно ограничить-
ограничиться лишь дифференцированием множителя exp (ikr), так как при
кг ^> 1 (волновая зона) дифференцирование второго множителя
г дает слагаемое порядка (кг)
Ц^~1кП1п.(г);	G)
следовательно,
St = -^ 1ш (П* V П) = -i- р0сзИгП, (г) П; (г).	(8)
Таким образом, поток рассеянной энергии направлен по век-
вектору те. Его среднее значение равно
^л<П8(г)П;(г)>.	(9)
Воспользовавшись выражением F), получим
5	k
Предполагая, что турбулентность статистически изотропна, бу-
будем иметь (см. гл. 1)
п) 7" (г«)> = 5Г (П - г,), <Mi (ri) u, («•«)> = By (Г! - г,).

§ 35]	ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОПЕРЕЧНИК РАССЕЯНИЯ	205
Вводя координаты р = i\ — i\, выполним интегрирование
по г2, которое дает величину V рассеивающего объема:
Аналогично формулам предыдущего параграфа
{	A2)
\ е**> B{i (p) d*p = BлK Фу (К),	A3)
и мы получаем для
В рассматриваемом случае статистически изотропной турбу-
турбулентности Ф1;- (К) имеет вид C.9)
^)	A5)
где ? (Z) — спектральная плотность энергии турбулентности,
Обозначим через 0 угол рассеяния. Тогда кп — к cos 9 и
Oti (К) - -^ A - №-) Е (К).
Но если к = тк, то
К _ т — п	К _ тп — 1 cos 8 — 1 	 . в
~К ~ 11» - п | ИЙТ" \m-nj = Г~в~ ^ sin T •
ill Olll Q
Следовател ьно,
в
соз2-^-
A6)
и выражение A4) принимает вид
^\-Чг- + ~~-л^-\- A?)
¦]¦

206	РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 2
Введем эффективный поперечник рассеяния из единицы рассеи-
рассеивающего объема в единичный телесный угол аа (б)
<§?,	A8)
где So — плотность потока энергии падающей волны, равная со-
согласно формулам A8.34) и C)
а
So — | -gr- 1ш (П* V По) = -у Ро<^^о-
Подставляя в A8) выражения A7) и A9), получим
е \ -
.B0)
9 \	9	/	в \
2	& ! 2k sin -тр '
	 /	9 \	9	/
Фг (^2ft sin ~y j ros2 ~y & ! 2k
Из B0) следует, что рассеяние на угол 9 = у отсутствует (об-
(обращается в нуль множитель cos2 9) при любом виде спектральных
функций Фт (и) и Е (и). Рассеяние же на угол 9 = я (рассеяние
назад) происходит в основном лишь на температурных неоднород-
ностях, так как множитель cos2 -^ при 9 = л обращается в нуль
(но этот эффект частично компенсируется операцией усреднения
по пространству волновых чисел). Отсутствие рассеяния пазад на
пульсациях скорости является следствием несжимаемости турбу-
турбулентного течения. Отсутствие же рассеяния на угол у может быть
легко интерпретировано на основании формул Френеля *).
Действительно, при падении под углом а на границу раздела
двух сред с параметрами рь су и р2, сг коэффициент отражения
Френеля Н равен
/—тт;	s
'¦ — Pici у 1—I —;— sin a I
г "¦ . с	—г2
Par2 cos а -(- piCi у 1 — f-^—sinaj
(мы рассматриваем лишь случай температурных флуктуации).
Он обращается в нуль при a = a0, где
COS2 «о =
Для идеального газа с\ = -^-, с\ = ^-, где р0— гидростатиче-
*) Приводимые ниже соображения принадлежат В. М. Боошеверову.

§ 35]	ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОПЕРЕЧНИК РАССЕЯНИЯ	207
скос давление, одинаковое по обе стороны границы раздела.
Подставляя эти значения, получим
cos8 й0 = —i^— •
Pi Н- Рг
В рассматриваемом случае слабых температурных флуктуа-
флуктуации р! ^ р2, так что cos2a0 = у и а0 — -j. Следовательно, рассея-
рассеяние на угол 0О = я — 2а0 = -—- не происходит. Аналогично, но
несколько более сложным образом можно показать, что и отраже-
отражение звука от слабого скачка скорости не происходит для угла
80 = у. Выше (§ 24) мы убедились в том, что рассеяние на опре-
определенный угол определяется лишь одной спектральной компонен-
компонентой неоднородностей, соответствующей пространственной сину-
синусоидальной дифракционной решетке, ориентированной так, чтобы
выполнялось условие зеркальности (как и в формулах Френеля).
Но такую дифракционную решетку можно составить из совокуп-
совокупности небольших скачков, к каждому из которых применима фор-
формула Френеля для коэффициента отражения. Таким образом, рас-
рассеяние на угол 8 = у не должно происходить в случае слабых
флуктуации температуры.
Вернемся к формуле B0). В случае, если величина 2к sin у ле-
лежит внутри инерционного интервала спектра турбулентности, т. е.
2я
имеют место формулы (см. гл. 1)
фг (Х) = 0,033 С\ угх4>,	B1)
Е (и) - 0,76С*е'Л к-*/-	B2)
(С2 zz 1,9 — численная константа). Здесь С\ — характеристика
температурных пульсаций, входящая в «закон 2/3» для темпера-
температурного поля: < \Т (rj) — Т (г2)]2> = Ст \ гу - r^-'-, e — ско-
скорость диссипации энергии турбулентности. Подставляя B1) и B2)
в формулу B0), получим
Со (в) - 0,38/cV, cos2 9 B sin -|-Г"Л [^-cos2 i- + 0,13 %]. B3)
В условиях реальной атмосферы С2е''/Со и Сг/^о имеют одина-
одинаковый порядок величины. Так как их соотношение зависит от
метеорологических условий, то и вид функции о0 = <з0 F) зависит
от них, что несколько затрудняет экспериментальную проверку
формулы B3).

208
РАССВЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
§ 36. Эксперименты по рассеянию звука
в турбулентной атмосфере
Косвенные указания на существование эффекта рассеяния
зпука в турбулентной атмосфере были получены еще в 1940 г.
Зыгом [89], обнаружившим связь между наблюдаемым ослабле-
ослаблением звука и скоростью ветра. Однако сравнить эти измерения
¦ЧЫ-
Рис. 35. Блок-схема установки для исследования рассеяния зву-
звука в атмосфере.
с теорией рассеяния весьма затруднительно, так как при расчете
ослабления необходимо учитывать многократное рассеяние (см.
гл. 3 и 5).
Эксперименты по рассеянию звука, специально поставленные с
целью сравнения их результатов с теорией, были проведены
М. А. Каллистратовой [87, 88].
Для проведения эксперимента были разработаны специаль-
специальные конденсаторные излучатели и микрофоны с размерами
100 X 120см2, которые на рабочей частоте 11 кщ имели ширину диа-
диаграммы направленности по половинной мощности J-l°. Излучатель
и микрофон располагались на расстоянии нескольких десятков
метров друг от друга. Для того чтобы избавиться от прямого
сигнала, поступающего непосредственно с излучателя на микро-

$ 36]	ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ ЗВУКА	209
фон (без рассеяния) за счет боковых лепестков диаграммы направ-
направленности, применялся импульсный режим работы. При этом пря-
прямой и рассеянный сигналы приходили в точку расположения ми-
микрофона с временным сдвигом, достаточным для их разделения.
Блок-схема эксперимента представлена на рис. 35. На ней, по-
помимо основного канала, предназначенного для измерений рассея-
рассеяния (на частоте 11 кгц. X — 3 см), изображен дополнительный
Рис. 36. Фотографии излученного A), пряного
B) и рассеянного C) импульсов с экрана осцил-
осциллографа при различных значениях угла рас-
рассеяния.
Видно увеличение вренеишЗго расстояния между
прямым и рассеянным импульсами я уменьшение
амплитуды рассеянного импульса с увеличением утла
рассеяния.
канал, работающий на частоте 7 кгц и предназначенный для
отделения прямого и рассеянного сигналов.
На рис. 36 приведены фотографии излученного, прямого и рас-
рассеянного импульсов, полученные с экрана осциллографа при раз-
различных значениях угла рассеяния.
При помощи описанной аппаратуры были проведены много-
многочисленные измерения рассеяния звука в диапазоне углов в от
16° до 180° при различных метеорологических условиях,

210
РАССЕЯНИЕ ВОЛИ В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 2
контролировавшихся путем измерений вертикальных профилей
скорости ветра и температуры.
Для исключения влияния нестациопарности метеорологиче-
метеорологических условий измерения величины ао@) всегда сопровождались
¦ЦВ -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -Ц!
—Ц—г1' и i' i—Н—Н—I i'i
35 40 4550 so 70 aommwe*
У5-
1,5-Ж3-;
9,В-10'4
6,6-W4-
Рис. 37 Эмпирическая зависимость эффективного попе-
поперечника рассеяния звука (в относительных единицах) от
угла рассеяния.
• —d = 140 .«; о—d — Ж) м; х—d = 40 м; Д—d = 20 м (по измере-
измерениям 1У59 г.); 1—d = 40 м (по измерениям 1958 г.).
«стандартным» измерением величины аоB5э) (в некоторых случаях
значение стандартного угла было другим). Для получения индикат-
индикатрисы рассеяния сравнивались не зависящие от метеорологических
условий отношения <з0 F)/зоB5;) при разных 6. На рис. 37 приве-
приведены экспериментально полученные значения <з0 @)/<зоB5°). Вер-

Зй]
ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ ЗВУКА
211
тикальными черточками обозначен 5%-ный доверительный интер-
интервал. Сплошная кривая построена по теоретической формуле, соот-
соответствующей рассеянию на неоднородностях скорости ветра. Дан-
Данные рис. 37 представлены также в табл. 1.
Таблица 1
в
1 *, . ,.,
1 — п , CM
2 sin,}
Оо@)/3о B5 °), теор.
во F)/з0 B5 °), эксп.
Число измерений
в
2 sin 2
Со F)/з„ B5°), теор.
бо(8)/3о B5°), эксп.
Число измерений
le °
И
5,5
4.8
17
20°
8,6
2,4
2,2
42
50 °
3,5
0,035
0,029 (
50
25 •
6.9
1
1
60 °
3,0
1-Ю
25
30°
5,8
0,45
0,49
43
70°
2,6
2,7-Ю
1,3-10-8
23
35°
5,0
0,23
0,25
56
90 •
2,1
0
0,9-10-5
4
42°
4,2
0,094
0,085
53
130 °
1,7
5-10-*
2-10»
4
Приведенные данные свидетельствуют о хорошем согласии
теоретических и экспериментальных результатов. Кроме того, не
наблюдается заметных отступлений от закономерностей, соот-
соответствующих инерционному участку спектра. Последнее обстоя-
обстоятельство позволяет утверждать, что внутренний масштаб турбу-
турбулентности п приземном слое атмосферы не превышает значения
нескольких миллиметров.
Проводились также сопоставления абсолютной величины рас-
рассеянного сигнала со значениями, рассчитанными на основании
теоретической формулы. Для отношения мощности, принятой за
счет рассеяния, к мощности, принимаемой при прямом наведении
излучателя и микрофона друг на друга, справедлива формула
(9.33)
_ До F) V т, _ rR
A)

212
РАССЕЯНИЕ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
1ГЛ. 2
3
где г и У? — расстояния от центра рассеивающего объема V до
микрофона и излучателя и d — расстояние между микрофоном и
излучателем. В экспериментах отношение Р, @)/Рсп измерялось
непосредственно для в = 30° (так как индикатриса рассеяния
хорошо согласуется с теоретической, то достаточно проверить
соотношение A) лишь для одного угла). Выражение для б0 @),
входящее в A), дается фор-
формулой B3.35).
Величины С\ и е, входя-
входящие в B3.35), рассчитывались
на основании измерений вер-
вертикальных профилей ветра и
температуры по формулам,
полученным в гл. 1. При
этом учитывалось влияние
температурной стратифика-
стратификации на турбулентный ре-
режим, выражаемое функциями
Л(ВЛ) и /,(Ri) (см. рис.
17, 18 на стр. 131, 132).
На рис. 38 приведена за-
зависимость экспериментально
измеренной величины PJPcn
от рассчитанной на основа-
основании измерений профилей
ветра и температуры. Коэф-
25
20
15
10
0,25 ?145' Ц65 Ц85 1,05J25-1tr3
(РЖ)*»*
Рис. 38. Сопоставление измеренных зна-
значений рассеянного сигнала F = 30°)
с ожидаемым значениями этой величи-
величины, вычисленными на основании изме-
измерений средних профилей скорости ветра
и температуры в приземном слое.
фициент корреляции между
теоретическими и экспери-
экспериментальными значениями ве-
величины PJPcn равен 0,7. Од-
Однако имеется систематическое
(в 2 раза) различие между этими величинами, которое, по-види-
по-видимому, может быть объяснено неточностью при вычислении вели-
величины рассеивающего объема и при измерениях прямого сигнала,
Несмотря на отмеченное расхождение в численном множителе,
соответствие между теоретическими и экспериментальными значе-
значениями следует признать хорошим.
Таким образом, приведенные в работах [87, 88] эксперименты
являются прямым подтверждением изложенной теории рассеяния.
Эти эксперименты можно также рассматривать как веский аргу-
аргумент, подтверждающий правильность развитых выше представ-
представлений о рассеянии электромагнитных волн в тропосфере.

Глава 3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
И ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
В ПРЕДЕЛАХ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ
В предыдущей главе было подробно рассмотрено однократное
рассеяние электромагнитных и звуковых волн в турбулентной
среде. Приближение однократного рассеяния оказывается доста-
достаточным при рассмотрении поля вне пределов прямой видимости.
Однако в том случае, когда точка наблюдения лежит на пути
распространения основной (падающей) волпы, становятся суще-
существенными эффекты многократного рассеяния. Действительно,
как было установлено выше, индикатриса рассеяния в случае
коротких волн сильно вытянута вперед. Поэтому при распростра-
распространении волн в неоднородной среде на значительные расстояния
возможно многократное рассеяние.
В результате воздействия неоднородностей среды возникают
флуктуации фазы, амплитуды, частоты, направления распростра-
распространения и других параметров волны. Эти эффекты имеют существен-
существенное значение в целом ряде прикладных вопросов, связанных с
распространением радиоволн, света и звука в атмосфере (точность
работы навигационных систем, атмосферные шумы в линиях связи
и т. п.).
В настоящей главе мы рассмотрим распространение коротких
волн, длина волны которых мала по сравнению с внутренним
масштабом турбулентности*) (А,<^/й).
При изучении распространения коротких волп в среде со слу-
случайными неоднородностями с успехом применяются метод геомет-
геометрической оптики (когда наряду с условием к<^10 выполнено усло-
условие малости радиуса первой зоны Френеля по сравнению с внут-
внутренним масштабом турбулентности) и метод плавных возмущений
(при нарушении второго условия).
А. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 37. Учет многократного рассеяния
при распространении коротких волн в неоднородной среде
Рассмотрение геометрической оптики мы начнем с выяснения
связи этого метода с многократным рассеянием волн на неоднород-
*) Влияние эффекта многократного рассеяния на распространение длин-
длинных волн рассмотрено в гл. 5.

214	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
ностях среды. Уравнения геометрической оптпки обычно выводят-
выводятся из волнового уравнения (см. § 38). Здесь мы получим решение,
соответствующее этому методу, путем приближенного учета мно-
многократного рассеяния. Приводящийся нпже вывод не претендует
на строгость; его цель — в явном виде показать, как геометриче-
геометрическая оптика приближенно учитывает многократное рассеяние
волн на малые углы.
Как было установлено в предыдущей главе, рассеяние элект-
электромагнитных волн на малые углы вперед можно рассматривать с
достаточной точностью на основании скалярного волнового урав-
уравнения, так как в этом случае дополнительный множитель sin у,,
связанный с поляризацией волны, близок :с единице. Поэтому рас-
рассмотрим скалярное уравнение
АЕ + к* [1 + вх (ru t)\E -- б (»¦ - В)	A)
в безграничном пространстве. Здесь Е — комплексная амплитуда
одной из комгонент электрического поля, et — отклонение ди-
диэлектрической проницаемости от средиего значения, ранного 1.
Для достаточно малых значений eL (r, t) решение A) можно запи-
записать в виде ряда теории возмущений.
Пусть
O0(r r)-	4п1г-г'|	B)
— решение уравнения
AG0 (г, г') + к* Go (г, г') = б (г - г'),
удовлетворяющее условиям излучения (предполагается, что
\	0), при помощи которого решение уравнения
АЕ + кгЕ = / (г)
записывается в виде
^0(r — r')f(r')d3r'.	C)
Запишем уравнение A) в форме
АЕ + Ш = б (г — JR) — tf^E
и применим к нему формулу C):
Е (г) = Go (г — В) — к? [ Go (r~r') e, (r1) E (r1) d* •'. D)
В D) неизвестная функция Е входит в правую часть.

37]	УЧЕТ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ	215
Подстанляя в правую часть D) выражение Е (г'), даваемое фор-
формулой D) (т. е. итерируя уравнение D)), получаем
Е (г) = С, (»— R) - & ( Go (r — г') е, (r') Gc (r' ~ В) d3r' +
-\- А4 [[ Go (г — г') В! {г') Go {г' — г") et (r") E (r") d3r'<Pr\
Повторяя эту операцию, можно получить бесконечный ряд
DO
Е(г)= ? ?„(«¦),	E)
П—0
где
E0(r)= G0(r- В),
Еп (го) - (- A2)" J ... J Go (го — гх) Go (г, - rt). . .
(п)
... Go (r^ - rn)G0(rn — В) щ (г,) et (r2).. . ?l (rj d»r,... d*rn (G)
(здесь ради единообразия обозначено г0 = г), п-й член ряда E),
даваемый выражением F), представляет собой: гс-кратно рассеян-
рассеянную волну и ряд E) учитывает эффекты рассеяния сколь угодно
большой кратности.
Исследуем выражение F) и случае, когда длина волпы много
меньше характерных размеров неоднородное! ей. Выделим в F)
интеграл по переменной г^\
-i — П) Go (rk — n+i) ei {rk) d*rK =
rft_t-rt|-Hrt-rtrt |}
-^Hr,-^!	^O)^- G)
m
Рассмотрим подробнее структуру экспоненциального множите-
множителя.
Если rh пробегает прямую, соединяющую точки rK-i и
т. е.
П-П-1 + «(П.1-Пч), где
то 1 гк-\ — Гц | + | Гк — Г(с+1 | = | ?";;_! — r^i | = Const И ЭКСПОНенга
не испытывает осцилляции.
Рассмотрим теперь другой случай. Пайдгм геометрическое
место точек, для которого величина к [ |a*fc_1 — гк\ — \rk — rt,i \]
принимает заданное значение а, т. е.
| П-1 — гк\ + \гк — п+1 i = -j- -	(8)

216	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Так как |гм — гк\ — расстояние от точки гк до r^-i, a
\гц — rft+l| — ее расстояние до rfc+1, то поверхность, задаваемая
уравнением (8), — эллипсоид вращения с фокусами в точках
f'k-x, *Vi» большой полуосью а/2к и малой полуосью
yV — Л2|п-1 — гЛт1|а/ 2к. При а = ао = к\ n_,.— n+1 | мы полу-
получаем рассмотренную выше прямую. При изменении а на вели-
величину я экспонента умножается на —1. Ближайшая к оси повер-
поверхность задается уравнением аг = щ> + л. Малая полуось этого
эллипсоида равна
Величина |г^_1 — *Vi| имеет тот же порядок, что и рассто-
расстояние
|
|r —J?| от источника до точки наблюдения, В случае,
если k\r—Ji\^>n (т. е. точка наблюдения находится в вол-
волновой лоне), аа^>п и малая полуось первого эллипсоида
приближенно равна
v Ш=4"
Точно так же, если а отличается от а0 на величину гпл, то на соот-
соответствующей поверхности эллипсоида подынтегральное выраже-
выражение в G) получает дополнительный множитель (—1)"*. Малая по-
полуось соответствующего эллипсоида равна
Рассмотренные эллипсоиды отделяют друг от друга области про-
пространства (зоны Френеля), в которых сохраняет знак экспонен-
экспоненциальный множитель в G). Расстояние между соседними поверх-
поверхностями вблизи середины отрезка, соединяющего точки r^-i и
Гц+i, имеет порядок pt и медленно убывает с ростом номера зоны
Френеля. Вблизи концов большой оси это расстояние имеет
порядок ~ = — .
Сделаем теперь предположение, что минимальные размеры
неоднородностей диэлектрической проницаемости, которые мы
обозначим через 1а, удовлетворяют двум следующим условиям:
*„> *.	(9)
/0:>/aZ, где L = \r — S\.	A0)
Проведем через точки гКн1 и гЛ+1 две плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярные вектору rvi — Гк+1. Построенные выше эллипсоиды пересе-

j 37]	УЧЕТ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ	217
кают эти плоскости по окружностям с радиусами Ял/2 (для л-го
эллипсоида и не слишком больших л). Таким образом, вне слоя,
заключенного между этими плоскостями, экспонента в G) меняет
знак при изменении rs на величину порядка Я/2. В силу условия
(9) остальная часть подынтегрального выражения меняется па
расстояниях порядка X очень слабо. Отсюда следует, что интег-
интеграл по внешним областям будет близок к нулю, так как подынте-
подынтегральное выражение быстро осциллирует и амплитуды положи-
положительных и отрицательных осцилляции практически совпадают.
Таким образом, при выполнении условия (9) можно, не делая
заметной ошибки, распространить интеграл G) лишь на область,
заключенную между проведенными плоскостями. Направим ось
хь по вектору rk+1 — rir-i. Тогда G) можно записать в виде
*!t-l -»
A1)
Используя также условие A0), можно произвести дальнейшее упро-
упрощение в A1). Для этого заметим, что /& представляет собой одно-
однократно рассеянную волну от точечного источника, помещенного
в точке »v1( которая наблюдается в точке ?*т. Но, как мы знаем,
максимальный угол рассеяния имеет порядок 6 —' ,-. Так как рас-
'0
стояние | хиц — аъ-i | между источником и точкой наблюдения имеет
порядок L, то рассеянные волны приходят в rjt+i лишь из тех точек,
которые удалены от оси х на расстояния, не превышающие
0L— ^ = V\Z- ^Ц^ <g VKL (так как в силу A0) ^
'о	'о	\	'о
Таким образом, в A1) существенное значение имеет лишь первый
эллипсоид (или несколько первых эллипсоидов). Но поперечные
размеры такого эллипсоида значительно меньше его продольных
размеров. Поэтому величины | rk-i — Гь | и | тк — ri+11 можно разло-
разложить в ряды:
^ 1 -*\-—1 — ^к I
"'тлГ—' + ••• (i2)
В экспоненте в A1) мы ограничимся первыми двумя членами
этого разложения. Так как величина [(ун-i — УнK Ч" (zt-i — Ч L12

218
РЛС.ПРОСТРЛНКПИК КОРОТКИХ ВОЛЫ И АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 3
имеет порядок (hLJ, то это будет законно при выполнении условия
к (лХ
или
(т. е. точка наблюдения должна находиться в волновой зоне).
В знаменателе же (И) мы ограничимся лишь первым членом раз-
разложения A2). В силу условия A0) можно пренебречь также зави-
зависимостью е, (х, у, z) от поперечных координат у, z, так как эта функ-
функция является достаточно плавной по сравнению с экспонентой.
В результате мы получаем
(
d
ilk \ {lJ^ - Ч2 - <г^1
Внутренний интеграл по
и оказывается равным
.j—-—i^	—i_L_ I.
(хк — xk-i)	J >
A3)
может быть легко вычислен *)
2 (^fc+l - **-l)
После этого мы получаем для 1к формулу
где под Go следует понимать не точное значение B), а получаемое
из него с применением разложения A2):
G0(z, у, z)^-
схр
Применим формулу A4) для приближенного вычисления вели-
величины Еп. Предварительно сделаем замечание относительно выбора
направления интегрирования вдоль оси хк. Эта ось была направ-
направлена от точки Гк-!к А-+1- Сами же точки rlt r%,... могут, вообще го-
говоря, быть расположенными в пространстве произвольным об-
образом, так как они являются переменными интегрирования. По-
Поэтому и направления осей хк при различных к могут не совпадать
*) При вычислении используется предположение, что Im
что среда обладает поглощением.
0, т. е.

$ 37]	УЧЕТ МНОГОКРАТПОГО РАССЕЯНИЯ	219
друг с другом. Мы сделаем дополнительное предположение, что
все оси xjc совпадают с направлением г — JJ. Такой выбор осей
соответствует в методе геометрической оптики интегрированию
вдоль спрямленного луча, что законно лишь в случае слабых
флуктуации е: (см. § 39).
Перейдем теперь к вычислению Еп. Проводя в F) сначала ин-
интегрирование по уъ zu получим согласно A4)
(n-l)
... XGo (rn — B) Ei (r2) ex (r3). . . E! (rn) jj^ (x,, 0, 0) dx!. A5)
¦To
Появляющийся здесь (п — 1)-кратный интеграл по переменным
г2,..., 1'п имеет в точности такой же вид, что и n-кратный иптег-
рал в Еп. Таким образом, интегрирование по переменным ух,
zx понизило кратность объемпого интеграла на единицу, не
изменяя его вида, и добавило иод знаком интеграла множитель
Хг
Хс
Применяя теперь формулу A4) к интегралу по у2, г2, получим
Еп (п) ж (— к*)п щу2 U d3r3. . . d3rnG0 (r, — r,)... Go (г„ — -В) X
A1-2)
X,	Xt
:i(x2. 0, 0)<fx2\ e1(x1,0,0)dx1. A6)
Пределы интегрирования переменной х2 выбраны от х0 до х3,
так как в A5) г2 входит в множитель G0(r0 — r^) Go (r2 — т3). При-
Применяя аналогичные рассуждения п раз, получим формулу
х
(- A»)" Go(^~R) \ dx^ (хп, 0, 0)
х
хп	X,
X J dxn_lEl (xn_!, 0, 0). .. jj dXlex (хь 0, 0). A7)
X,	Xo
Это выражение может быть значительно упрощено. Введем функ~
цию
при х>0'
0 при х<0.

220	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Тогда можно записать равенство
С
x^tet (z*_i, 0, 0) = ^ Э (хк — x,t_i) et (xs_b 0,0) dxk-u
при помощи которого интеграл A7) записывается в виде
х х
Еп (г„) = С„ («•« — В) (|)" J • • . J 9 (хп — *„_,) 9 (я,-! - х„_2
. . . 9 (х-г - хх) в! (хп, 0° 0)... ех^х, 0, 0) Л*... dxn. A8)
Произведем d A8) аамену переменных интегрирования, обозна-
обозначив Xi — хк, хь — xv, а затем отбросим штрихи. Это приведет
лишь к перемене местами величин л^, sft. Выражение ег (х„, 0, 0)...
...в! (хг, 0, 0) при этом не изменится, так как все переменные вхо-
входят в него симметрично, и изменится лишь множитель, содержа-
содержащий функции 0. Таких замен переменных можно совершить и!
Они соответствуют dccm возможным перестановкам величин хъ...
..., Хп. Совергаим в A8) все возможные перестановки и возьмем сред-
среднее арифметическое получающихся выражений. В результате
получим
х х
Еп (г0) = Go (г, - R) (|fij J... J ex (Xl, 0, 0). . . в, (хп, 0, 0) х
X*	Хд
X [6 (хп — xn.i) 6 fa-! — хп_2). .. Э (хг — хг) +
+ В(х1 — хп-1)...в(хг — хп) + ...)dxl.. .dxn. A9)
В квадратных скобках стоит сумма произведений функций 0,
соответствующих всем возможным порядкам расположения вели-
величин ?!...., х„. Покажем, что эта сумма равна единице. В каждой
точке л-мерного куба, по которому производится интегрировании
в A9), величины хи..., хп можно расположить в порядке их
убывания: artl, хц,..., хКп. Соответствующий член
в К - •**,) б (**, - хмJ. . . Э (xtn^ - xHJ	B0)
в сумме A9) будет равен единице, так как все разности xkl — хк^,...
положительны. Все остальные слагаемые в рассматриваемой сум-
сумме будут равны нулю, так как они получаются из B0) перестанов-
перестановкой каких-либо координат, а каждая такая перестановка влечет
за собой появление отрицательных разностей координат. Таким
образом, сумма, фигурирующая в A9), равна единице (разумеется,
в различных частях гс-мерного куба будут отличны от нуля и равны
единице различные слагаемые этой суммы).

S 37]	УЧЕТ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ	221
Таким образом,
п х х
Еп (го) = Go (re — -В) (у) jjj J ¦ • • I «1 («г. 0. 0)... в, (*„, 0, 0) dx,...
х
rtl j_ 2 J
X,
где мы записали распадающийся на множители п-кратный интег-
интеграл в виде n-й степени одномерного интеграла. Подставляя B1)
в формулу E), получим
оо	X
Е (г0) = Go (г0 — В) 2 -I [у *\ е» (а;' °» °) dxT
или, свертывая известный ряд в экспоненту,
х
{yj«i(*. °. O)da;J.	B2)
Хо
Подставляя в B2) выражение B) для Go и учитывая, что \г0 — К \ =
= X — х0, можно записать выражение B2) в виде
А'
4я|г/-В
х„
X
= ~4я|г,1й| ехР {iAS [4 + Т8^Ж
Мы видим, что выражение B3) отличается от Go (r0 — М) тем,
что вместо набега фазы к\г0 — М\, фигурирующего в Go, выражение
B3) содержит фазовый сдвиг
х
J(X,O,O) = *J[l + i.e1(*f 0,0I dx	B4)
Xt,
(интегрирование в B4) проводится вдоль прямой, проходящей
через точки r0, J2). Величина S удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению первого порядка. Чтобы получить его, сместим
точки г0 и JS с оси х.
Тогда
S(x, у, «) = *§[! + | ег (х', у, z)]dx.	B4а)

222	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ПОЛП В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Дифференцируя это выражение по х, у и z, получим
3S (х, !/, г)
V
dS(x, у, z) __ 1 ,Г дг, (х', у, г) , ,	.„
' а^ - Тк У Щ х'	( >
ГС,
Как уже отмечалось выше, при приближенном вычислении Еп
мы ввели интегрирование вдоль спрямленного луча, что законно
лишь в случае малых ех: г (г) = 1 + »i (»*), <Iei|> ¦< *• Воз-
Возведем выражения B5), B6) и B7) в квадрат, сложим и сохраним
лишь члены первого порядка малости по е, (при этом выпадут
квадраты выражений B6), B7), так как они пропорциональны
вторым степеням sj:
[V5 (х, у, 2I2 = А« A + Bl (x, у, z)) = А2е (х, у, z). B8)
Обычно это уравпенис принято записывать через показатель пре-
преломления
П2 {г) = е (Г),	B9)
|V5(r)P = W(r).	C0)
Уравнение C0) носит название уравнения эйконала.
Мы получили уравнение C0) несколько необычным способом,
имевшим целью подчеркнуть связь геометрической оптики с мно-
многократным рассеянием волн, Уравнение C0) может быть получено
и непосредственно на основании волнового уравнения; последний
способ более удобен, так как позволяет исследовать это прибли-
приближение детальнее, получить следующие приближения метода и
оценить границы его применимости. К этому вопросу мы сейчас и
перейдем.
§ 38. Вывод уравнений геометрической оптики
Рассмотрим однородное волновое уравнение в среде с заданным
показателем преломления п2 = е:
AY + k*n2 (rLf = 0.	A)
В случае, если пг= const, A) имеет решение вида V — Лехр (iknmr),
где т — единичный вектор. Для случая, когда п не является по-

§ 38]	ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	223
стояаной величиной, но меняется медленно, естественно искать
Т в виде
Ч' (г) --^ F (r) exp (i*0(r)),	B)
где F (г) и 0 (г) — медленно меняющиеся функции.
Величину F (г) будем искать в виде ряда по степеням малой
величины 1/к (по существу, разложение ведется по степеням малой
величины к/1й)
F(r) = F0(r) + jFJ(r) + ^Fi(r) + ...	C)
Подставим выражения B), C) в уравнение A) и приравняем нулю
группы членов при одинаковых степенях к. Приравнивая нулю
группу членов при к2, получим уравнение
(?)•-„•(*.*,, *,) = о. D)
Группа членов при к1 дает уравнение
FDAB + 2VFO\70 = 0.	E)
Его удобно записать в несколько иной форме. Умножая E) на Fo
и учитывая, что 2F0VF0 — V(Fl), получим
F'lAQ + V (Ft) V0 = 0,
что эквивалентно уравнению V(FlA0) = 0, т. е.
div(Fi|grad0) = O.	(f5)
Уравнение для Ft имеет вид
FiAQ + 2\FXVQ = iAF0,	G)
и вообще уравнение для Fi при 1^1
F гД6 + 2VF;\70 = i4F,_i-	(8)
Уравнение D) вместе с необходимыми граничными условиями
определяет 0. После того как 0 найдено, из уравнения F) мы нахо-
находим Fo, затем из G) находим /\ и т. д.
Величина S = кВ является фазой решения @ носит название
эйконала) лишь с точностью до членов порядка i/к в C). Действи-
Действительно, если п* = п (т. с. поглощение отсутствует), то из D)

224	РАСПРОСТРАНВНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
следует, что 6* = 6, т. е. эйконал —действительное число. Тогда
из F) следует, что F*o = Fo, т. е. и Fo действительно. Но из урав-
уравнения G) тогда вытекает, что Fx — чисто мнимая величина. Вооб-
Вообще Fit = jF2i, Fu+x = —jF2;+i. Таким образом, все нечетные члены
разложения F чисто мнимы и поэтому дают вклад в фазу Ч".
Величина F в связи с этим является амплитудой лишь с точностью
до членов порядка \jk.
Прежде всего займемся решением уравнения D). Оно является
нелинейным дифференциальным уравнением в частных производ-
производных первого порядка типа
,*„ х„ в, ^, ^, wJ = 0.
Уравнения такого типа решаются, как известно {см., например,
[90]), следующим образом.
Пусть A=^.^i = ^.Xi=^,« = ^. Тогда 6 может
быть найдено из решения системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
dxy 	dxz _ dx3 _ 	d6	 	 —dpi 	 — dpi __ — dp3
причем константы интегрирования должны быть выбраны так,
чтобы удовлетворялось уравнение
f{xi, хъ, х3, 6, />,, р2, рз) = 0.	(9)
В нашем случае Pi = 2р;, Х, — — ^-,z = 0 и система урав-
уравнений принимает вид
dxi	ctej _dx3 	dd	 dpi 	 rfpa 	 dp$	ds .,..
Величина s введена как независимая переменная (множитель
Bл) при ней введен для удобства).
Прежде всего найдем один из интегралов системы A0). Выпи-
dxx	dpi /
шем уравнения ^ = ЬпЧдх- (здесь суммирования no i нет)
^ dx% = Ipdpi, -g^ dx3 = 2psdpa
в виде
и почленно сложим их. В результате получаем
*|« =

§ 38]	ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	225
откуда
р*+ р\-\- р* = п* + const.
Значение постоянной можно определить из условия (9), откуда
следует, что она равна нулю. Тогда
PJ+Pj+Pj = »'(«!. *•• *3).	(И)
Приравнивая каждый из членов системы A0) к ее последнему
члену, запишем систему в виде
§¦ = ? (« = 1,2,3),	A2)
dpi _ I дп* _ дп
ds ~ЪГЩ — Щ'
причем при написании A4) учтено равенство A1).
Введем вместо величин р< новые неизвестные /{ согласно ра-
равенству pi = nlt. Тогда из A1) вытекает равенство
Й+Й + Й=1.	(«5)
Уравнение A2) записывается в виде
а уравнение A3) принимает вид
Но
dnli	dh , , дп dxj	dL , , , дп
ds	ds	l dxj ds	ds ' ' dxj
Подставляя это выражение в A3а), получаем
Уравнение A4) остается без изменений.
Подставляя A6) в равенство A5), получаем
ds* = dx\ + dx\ + dx\.
Таким образом, введенный чисто формально параметр s является
длиной кривой х (s). Из A6) мы видим, что I = -г — единичный
8 В. И. Татарский

226	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
касательный вектор к кривой х (s). Уравнение A7) можно запи-
записать в векторной форме
nd^=Vn — l(lVn) = [l[Vnl]].	A7а)
Уравнения A6) и A7) вместе с граничными условиями определяют
кривую х = х (s). После этого величина 0 может быть найдена из
уравнения A4) в виде криволинейного интеграла
6= $n(r(s))tfs	A8)
вдоль линии г (s) (г = х).
Как известно, вектор V0 ортогонален к поверхностям 0 = const
(к поверхностям равной фазы). Так как pi = т— , то I = — V0.
Следовательно, найденные линия х (s) ортогональны к поверх-
поверхностям равной фазы, т. е. являются лучами. Таким образом, 6
находится интегрированием п вдоль луча. Уравнение A7) можно
получить также из вариационного принципа Ферма, потребовав
минимума интеграла A8) вдоль траектории луча (см., например,
[91, 92]).
Обратимся теперь к уравнению F), в котором заменим V6 на
величину п(г) I:
div (nF%l) = 0.	(fia)
Рассмотрим некоторую поверхность 0 (г) = const и проведем
на ней замкнутый контур, охватывающий некоторую малую пло-
площадь da. Проведем через каждую точку этого контура лучи до
их пересечения с некоторой другой поверхностью 0 (г) = const.
На этой поверхности лучевая трубка вырежет некоторый контур,
вообще говоря, с другой площадью dat. Проинтегрируем уравне-
уравнение Fа) по объему, заключенному внутри лучевой трубки между
двумя выделенными поверхностями 6 = const. Преобразуем
объемный интеграл в поверхностный на основании теоремы
Гаусса:
^ nFtlmds = 0.	A9)
Здесь т — единичный вектор внешней нормали к поверхности
интегрирования. На боковой поверхности лучевой трубки 1т = 0.
На исходной поверхности 0 = const величина 1т = —1, а на втором
«торце» этой области 1т = + 1.

( 39]	МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ	227
Следовательно, уравнение A9) дает для данной лучевой трубки
условие
nFqd<s = const.	B0)
Величина nF% пропорциональна (в первом приближении) вектору
плотности потока энергии. nF% da представляет собой мощность
волны, распространяющейся внутри данной лучевой трубки. Изме-
Изменения величины do вдоль лучевой трубки, с которыми связаны
изменения амплитуды Fo, определился уравнениями луча.
Таким образом, и амплитуда, и фаза решения легко могут быть
определены, если уравнения лучей A7) решены.
Уравнения A7) сравнительно просто решаются в случае слоис-
слоисто-неоднородной среды, когда п зависит лишь от одной координа-
координаты. Для этого случая легко можно записать
ЧГ = F0 exp(ifcG)
при произвольной функции п (z) (см., например, [93, 94]). Одна-
Однако нас интересует значительно более сложный случай, когда
п (г) является случайной функцией трех переменных, т. е., по су-
существу, произвольной функцией из некоторой совокупности воз-
возможных реализаций. При такой общей постановке задачи уравне-
уравнения лучей проинтегрировать не удается и приходится использовать
приближенные методы.
§ 39. Решение уравнений геометрической оптики
методом возмущений
Используем теперь малость флуктуации показателя преломле-
преломления для приближенного интегрирования уравнения луча. Разде-
Разделив уравнение A7а.38) на п, запишем его в виде
?a	A)
Положим, как это уже делалось выше, п* = е = 1 + ег	Тогда
In п = у In A + ej) ж у е,
и уравнение A) принимает форму
g = i[*[VM]].	B)
Для удобства дальнейших выкладок положим 8i = v -,	где
v = V"<e|> «< 1 — малый параметр, по которому мы	будем

228	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
производить разложение. Функция а (г) = — ех (г) имеет по-
порядок единицы.
Будем искать I в виде ряда по степеням v:
l = lo+vl1 + v»I, +...	C)
Соответственно этому
х = xo + vx1 + v2xa +...	D)
Подставляя C) в уравнение B) и приравнивая нулю группы чле-
членов при одинаковых степенях v, получим цепочку уравнений
7F = *b	F)
g^	^ = I,.	G)
Из E) имеем
l0 = const, зс0 = Zes,	(8)
т. е. в первом приближении луч представляет собой прямую, вы-
выходящую в заданном направлении. При интегрировании уравне-
уравнения F) следует учесть первое приближение (8), т. е. считать Va =
= V<x(M- Тогда
в
ii=4 S [*°[Va t1**1) г°]] d$r=[т г° [(SVa
О	О
Из (9) следует, что
hh = 0.	A0)
Интегрируя уравнение -*- = Zi, получим

( 39]	МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ	229
(При переходе от A0) к A1) изменен порядок интегрирования по
&'ii sf) Подставляя (9) и A1) в разложения C), D) и заменяя vcc
на 81( получим формулы:
= го'+1 [ h[(Jv8l (io»f) ds1) го]]+ ... = i0 + &h +..., A2)
0
8
x (s) = los + \ [l0 Ц (* - *') V8l (&) ds', h]] + •. • =
+ ... A3)
Докажем, что величина l0 = 110 \ равна единице. Вообще гово-
говоря, должно выполняться равенство
Раскрывая A4), получаем условие нормировки в виде
Й + 2vMi + v> [г? + 2ш + 2V3 [г0г3 + Ш + • •. -1. A5)
Но ?0?х = 0. Докажем, что ма == ?J + 2?0?2 ==0, Us =
= 2 (?0?з + ^г) = 0, и т. д. Для этого рассмотрим
Подставляя сюда выражения F) и G), получаем (с учетом равен-
равенства Z0?a = 0) dujds = 0. При s = 0 «, = 0, отсюда следует, ч*о
иг = 0. Точно так же доказывается, что и$ = 0, ..., откуда следует,
что
|1„1=1	A6)
(заметим, что при произвольном v A6) есть единственный возмож-
возможный способ выполнения равенства A5)).
Формула A3) дает уравнение луча, выходящего из точки х —
= 0 в направлении единичного вектора 10. В первом приближении
— это прямая линия. Второе приближение дает поперечное сме-
смещение луча относительно этой прямой.
Воспользовавшись уравнением A8.38), найдем 6:
9 (ас (.)) = J п (ас («)) ds = ^[l + ±&1(los + bx (*))] ds. A7)

230	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Разлагая вг в ряд с точностью до членов второго порядка, будем
иметь
et (hs + Ьх (*)) = 8l (Zos) + V8l (Zos) Sac (s) + ... =
= *i (los) + -| V8l (loS) [Zo [J (« - Si) V8l (ZoS]) dsb Zo]] + . . . A8)
0
Следовательно, 9 выражается рядом
3	S	S,
6 = s + -Tj- ^ 6i (Zbs) rfs + j \ dsA ds2 (s± — s2) {Vej (Z0Si) Vei (ZoS2) —
0	0	0
— (ZoV8l (loSl)) (Z0Vei (Z^3))} + ... A9)
Если ограничиться линейным по е1 членом формулы A9), то
это эквивалентно пренебрежению величиной бх в A7), т. е.
интегрированию вдоль прямой х = los вместо интегрирования
вдоль искривленного луча. Значение 9, определяемое формулой
A9), следует отнести к точке х (s), определяемой формулой A3).
Таким образом, функция 0 (х) определена в параметрической
форме:
+ ба; (s)) = s + 1 jj 8l (los) ds + О (v3).	B0)
о
Значительно удобнее иметь явное выражение для функции
6 (as). Для того чтобы получить такое выражение, разложим 6 (lus)
в ряд по Ьх:
= в <(Zos + вас) — баг) = в (hs +oac)~ Sac (s) V0 (los + бх) +•¦•
Но согласно формуле A2.38)
Следовательно,
V6 (Zos + «ас) = A + 4 Bl) (Zo + vZx (s) + ...)
и
баг(s) • V9 (Zes + 6aj) = го»зс (s) (i + y 8i) + vh («) fix (*) + ... B1)
Но 1фх (s) = 0, a 8x (s) имеет порядок v. Следовательно,

; 39]	МЕТОД ВОЗМУЩЕНИИ	231
выражение B1) имеет порядок \г, т. е.
9 (los) = 9 A3S + бае) + О (v8).	B2)
Таким образом, с точностью до членов второго порядка малос-
малости имеет место формула
<
l(	B3)
дающая явное выражение для функции 6 (х) в виде интеграла
вдоль прямолинейного луча, идущего в точку наблюдения.
Поскольку при решении задачи о нахождении 6 (г) мы все
время считали, что 9 @) = 0, то формула B3), по существу, опре-
определяет лишь изменение эйконала на пути s. Заметим, также, что
она совпадает с формулой B4.37), выведенной непосредственно
из решения волнового уравнения.
Перейдем к определению флуктуации амплитуды. Из уравне-
уравнения Fа.38) имеем
div (nFU) = nF% div I +1 grad nF\ = 0
или
г grad (In wFj) = — div J.	B4)
Ho I grad / = j-s, откуда получаем
—2—— = — div?.	B4a)
Интегрируя это уравнение вдоль луча, получим [92]
In [л (х (Sl)) Ft (х (л))] - In [п (х (s0)) Fl (х Ы)] = — j div I (s) ds.
B5)
Уравнение B5) определяет изменение логарифма амплитуды вдоль
луча. Значение div l, входящее в B5) и определяющее изменение
сечения лучевой трубки, уравнением луча полностью не опреде-
определяется. Действительно, значение I (s), даваемое формулой A2),
определяет изменение I вдоль данного луча. Для определения же
div I необходимо знать производные от I не только вдоль, но и
поперек луча, т. е. изменения I при переходе к соседнему лучу.
Для того чтобы иметь возможность определить div l, необходимо
задать закон изменения 10 на некоторой начальной поверхности.
Например, в случае, если падающая волна является плоской,
10 постоянно не только вдоль данного луча, но и для всех лучей.

232	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Для сферической же волны 10 — ,г-]~Го где г0 ¦- координата ис-
источника.
Конкретные расчеты для случаев плоской и сферической волн
будут проделаны в следующих параграфах.
§ 40. Флуктуации фазы, угла прихода
и амплитуды плоской волны
Пусть среда со случайными неодпородностями показателя
преломления заполняет полупространство х > 0, па которое па-
падает плоская монохроматическая волна
Т, = Лв<Н««.	A)
Нас будет интересовать поле в некоторой точке г внутри неодно-
неоднородной среды.
Прежде всего рассчитаем флуктуации оптического пути (эй-
(эйконала) 0 в точке г. Воспользуемся формулой B3.39) для 0
х
9C, у, г) = х + ^ъA, У, *)*?•	B)
о
Среднее значение 0 равно <0) = х, а отклонение от среднего
jje,(i, у, z)dt	C)
о
Средний квадрат флуктуации 9 выразится формулой
JJi&Ketfo, у, *)вх(|„ у, *)>. D)
о о
Считая флуктуации е статистически однородными, получим
<ei (?ь у, z) в1 (Ь, у, *)> = Bt (h - U, 0, 0)	E)
t{ll~h> 0) 0)'
Двойной интеграл в F) можно преобразовать в однократный.
Так как в дальнейшем нам часто придется пользоваться анало-
аналогичным преобразованием, проделаем его в общей форме.

{ 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	233
Пусть / (х) = f (—x). Тогда
X
I
о
Меняя порядок интегрирования по г\ и |й, получим
6
i
—X	—Я	О
X	О
5	$
О	—X
Таким образом, если f (х) = f (—я), то
XX	X
5 dh J <*Ы (li -- &,) = 2 J (ж - 6) / F) d|.	G)
DO	О
Применяя эту формулу к F), получим
X	X
^[^)t(l, 0, O)rfS. (8)
Будем считать, что проходимый волной в неоднородной среде
путь х намного превышает радиус корреляции флуктуации Ц,.
В этом случае можно пренебречь величиной %/х по сравнению с
единицей, а верхний предел интегрирования заменить на оо:
о»
$Я«($,0,0)<*&.	(9)
о
Введем одномерный интегральный масштаб флуктуации со-
согласно формуле
00
J,F, 0, 0)d%,	A0)
где aJ = Bt(O) = <e*>. Тогда (9) можно записать в виде
A1)

234	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Как видно из этой формулы, о? линейно возрастает с ростом х.
Это является следствием предположения х ^> L, сделанного при
переходе от (8) к (9). В этом случае на пути луча укладывается
большое количество некоррелированных неоднородностей а, как
известно, средний квадрат флуктуации пропорционален числу
неоднородностей, т. е. х. Следует также отметить, что а\ пропор-
пропорционально интегральному масштабу неоднородностей, т. е. в ос-
основном определяется крупномасштабными составляющими их
спектра. В случае, если неоднородности е описываются «законом
2/3», мы не имеем возможности, не выходя за его рамки, пайти
величину а* — она оказывается бесконечной. Это указывает на
то, что величина о\ не определяется локальными свойствами неод-
неоднородностей, описываемыми «законом 2/3».
Выразим величину а\ через спектр неоднородностей Фг (х).
Предполагая статистическую ивотройность флуктуации, будем
иметь
»1а= $B.(g, 0,0)<$*=¦§.$ В, (Ь 0,0)<*? =
СО
= 2я2СкФе(и)dx.
—со	О
Следовательно,
оо
б» =Я2Х^Фе(х)Х??Х.	A2)
о
В случае «закона 2/3» Фе (к) —х~"'> и интеграл A2) расходится
в области малых и. Это указывает на необходимость учета отступ-
отступлений от «закона 2/3» в области крупных масштабов.
Перейдем к определению флуктуации разности оптических
путей в двух точках, находящихся на расстоянии р друг от друга
в одной и той же плоскости х = const
х
в (в, у, z) — 6(z,y',z')= ljj[ei(?,y, *) —ei(E,y\ z')]rff.
о
A3)

5 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	235
Вовводя A3) в квадрат и усредняя, получим
— y', z —z') = <[(9(a;, у, z) —6(я, у', z')]a> =
I, г/, z) - 8l(E, г/', z')] [8l (I', y, z) - 8l(?, y', z')]>.
о о
A4)
Воспользуемся тождеством
и представим подынтегральное выражение в A4) через структур-
структурные функции е, которые мы будем считать зависящими лишь от
разности координат (статистическая однородность):
— Dt(ri — r2).	A5)
Получим
X	X
U О
+ Di(l — I', у' —у, z'— z) — Dtit — ?', 0, O)-Dt{l — I', 0,0)].
A6)
Учитывая, что
иъ \\s — Si У — У i z — z ) — ut \c, — 5 , у — г/, z — z)
(это равенство выполняется в случае локальной изотропности
флуктуации), получаем
X	X
D*(i\, C) = f \dt^dl'[Dt(t — I', т), Q — Dtd-t', 0, 0)]. A7)
о о
Подьштегральное выражение в A7) является четной функцией
равности (\ — %'). Применяя формулу G), получим
X

236	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3
Разность Д. (|, т|, ?) — DE (|, 0, 0) становится малой при ?^>
^> у г\2 + ?2 *). Поэтому, если вьшолняется равенство я^У^2 + ?2
в A8) можно пренебречь величиной ? по сравнению схв разности
(я — |), а интегрирование по | распространить до бесконечности
.(?. Ч, ?) — /). (Б, 0, 0)]rfg.	A9)
В случае локально изотропной турбулентности подынтеграль-
подынтегральное выражение является четной функцией ?, поэтому интегрирова-
интегрирование можпо распространить на интервал (—со, -4- оо):
00
A>(Tb?)=-J I ID.A, Л, « — Л. (Б. 0, 0I dg. A9а)
Как и выражение (9), величина D9 пропорциональна х. Однако,
в отличие от величины a2, D» (л, S) определяется структурными
функциями флуктуации е. При этом поведение структурных
функций при | ^> Yrf + Са практически на значении интеграла
A9) не сказывается, так как в этой области подынтегральное вы-
выражение мало. Это означает, что величина D9 (т), |) определяется
неоднородностями с масштабами порядка ]/т]2 + ?*> т. е. расстоя-
расстояния между точками наблюдения. Запишем уравнение A9) в спект-
спектральной форме. Подставим
. (Б, О, О) = 2ТО 11 — е*
*) Если, например, i?e (r) = С\г*, то
о,«. ч. О - о.«. о. 0) - с; да + л> + и" - {>) -
При п2 + ?! <^ С* разложением в ряд получаем
ирп ? -¦ оо и Ц -< 2. При ц < 1 интеграл A9) сходится на верхнем пределе.

{ 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	237
в равенство A9а):
, t) = \ jj§ [1 — в* <«*+«Л] ф.
00
= пх\\\ [1 — е'<х«ч+«л>] Ф,.(Х1, к,, х3) в (хх) сРу. —
—оо
00
= пх № [1 — е1 о«.ч+*л>-] фе @, кг, х3) dx^Xg.	B0)
—00
Последнее равенство представляет собой двумерное разложение
Фурье структурной функции De (ть ?), причем соответствующая
спектральная плотность равна
^•(xi, Хв)=2«вФ.@, хг, х,).	B1)
В случае статистической изотропности
Фе@, х,, х3) = Ф.(/^+х«) и Д,(ть t) = ^аA/^ТТ2)=А(р).
При этом равенство B0) после введения полярных координат и
интегрирования по угловой переменной принимает вид
оо
D* (р) = 2яая J [1 — /о (xp)J Фе (х) х dx,	B2)
о
где /0 (х) — функция Бесселя нулевого порядка. Интеграл B2)
отличается от A2) дополнительным множителем [1 — /0 (хр)] под
знаком интеграла. Этот множитель обращается в нуль при хр ->
—> 0 как (хр)8. Поэтому крупномасштабные составляющие спект-
спектра Ф« (х), соответствующие малым х, оказываются подавленными.
В случае степенной функции ФЕ (х) — к~>> вклад в интеграл B2)
значений х, меньших р и больших р-1, примерно одинаков. Это
означает, что основную роль играют компоненты спектра, соот-
соответствующие величине базы р.
Бели перейти от эйконала 6 к фазе S = /сб, то формулы для
структурной функции фазы получатся из соответствующих формул
для Dq умножением на /с2:
00
Ds (л, С) = х S [Z)«E' Ъ t) ~ ^>. (Б, 0, 0)] dl, B3)
—00
оо
DB (p) = 2n*k*x ) [ 1 — Л, (хр) ] Ф« (х) х dx.	B4)
о

238
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
(ГЛ. 3
Найдем также средний квадрат и корреляционную функцию
флуктуации направления распространения. В предыдущем пунк-
пункте была получена формула для единичного вектора I, касатель-
касательного к лучу:
!(«)=.
[h
')h]] =>
Так как lo6lL = 0, т. e. вектор 6Zt перпендикулярен 10> то[61Х| =
= tg а, где а — угол между векторами I и 10. Так как | Ыг \ <4^ 1,
т. е. а<<1, то, заменяя tga на а, получаем ее ^= 16?х |. При рас-
расчете флуктуации угла прихода можно, однако, исходить и из
формулы B3), что будет для нас несколько удобнее.
Пусть две точки наблюдения находятся на малом расстоянии
т) друг от друга в одной и той же плоскости х = const. Тогда
разность фаз 6S между ними связана, с поворотом фронта волны
а (который мы считаем малым) соотношением
&S 69
<Х = -г- = — .
At) I]
B5)
Устремляя т) —*¦ 0, мы в пределе получаем точное значение угла
прихода а. Следовательно, средний квадрат флуктуации угла
прихода (в одной плоскости) можно получить на основании фор-
формулы
<<х2> = hm
= lim
11-«О
D9(T}, 0)
B6)
получающейся из B5) возведением в квадрат и последующим усред-
усреднением.
Разлагая структурную функциюDs (т), 0) в ряд по т), учитывая.
, 0) = 0 в силу четности Ds (rj, 0) по ц, получим
так что
I. 0)
(г), 0)
ч=о
4=0
B7)
Если ввести также угол р в плоскости (х, г), то для него можно на-
написать аналогичную формулу
@,
B8)

; 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	239
а для суммы квадратов этих углов мы получим
<а»> + <р»> = ^_ A3z>s @, 0) = -i A.D, @, 0),	B9)
где
** = & + &	C0)
— поперечный оператор Лапласа. Воспользовавшись формулой
A9), получим
В случае изотропных флуктуации
4=0
Тогда
C2)
При малых | структурная функция ?»е (|) — |2, так что D\ (%)/%
не имеет особенности. При |—»¦ ос функции/?е (|) убывает, так что
интеграл C2) сходится на обоих пределах. Однако для его вычисле-
вычисления необходимо учесть, что при малых 1 функция^ (|) имеет квадра-
квадратичный характер, в противном случае мы получим расходящийся
интеграл. Таким образом, наиболее существенный вклад в <а2>
производят мелкомасштабные неоднородности.
Найдем также корреляционную функцию флуктуации Ва (р).
Ее можно получить на основании формулы B5). Для этого следует
рассмотреть значение 6 в четырех точках плоскости х = coast:
Тогда
ач Уи 0)t Mt{xt г/i + ti, 0),
(я, г/а, 0), Мл(х, у2 + г), 0).
Й1 =
= lim

240
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
«Л) = Iim Л <(Bi — 92) (93 — 94)> =
C3)
im 4г KFi - е4)* > + <(еа -е3)г> - <(9а -е,)«> - <(9а - 94)а>].
0 I
Но
<(9х — 9«)*> = D, 0/3 - у, + т)), <(92 - 93)»> = D* (у, - ух — -л),
<Fi - 93J> = <(9г - 94)*> = Z)9 (у, - ?/1).
Если обозначить г/4 — ух = у, то на основании C3) получим
„ (у —1|) — 2i)e (у)]. C4)
= В* (у) = Iim J-
•Л-М) "I
Разлагая
{у ± ц) в ряд
D9 {у ± r\) =
+
(у) ± r\D'a (у) +
Рпс. 39. К вычислению корреляци-
корреляционных функций флуктуации угла
прпхода.
Для нахождения <а|2.> кан<лая из точек
наблюдения разделяется на две бесконеч-
бесконечно близкие точки (Af|, М2) и (М„ МО,
причем компонепты каждоП из пар разно-
разносятся вдоль оси г. Для нахождения <р|р.>
компоненты точен (М(. М2) и (Afs, Jf») раз-
разносятся на бесконечно малое расстояние
вдоль оси у.
g (у) + .. ., подставляя
это разложение в C4) и перехо-
переходя к пределу, получим формулу
Ba{y) = ±D't(y) C5)
для 5а (у). При у = 0 C5) пе-
переходит в B7). Формула C5)
дает корреляцию углов прихода
в плоскости, проходящей через
оба луча. Можно также рас-
рассмотреть и корреляцию флук-
флуктуации угла прихода в плоско-
плоскостях, проходящих через каж-
каждый из лучей и перпендикуляр-
перпендикулярных плоскости, содержащей оба
луча (рис. 39). Если направить
ось у от точки Мх к точке
М2 (Mt = (х, У, 0), АГ, =
= (я, у -\- т\, 0)), а разнос точек
наблюдения произвести вдоль
оси z (Ж3 = <х, у, z), Mi =
¦=(х, у + т]1; z)), то для углов прихода прлучим
¦п-И)

; 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	241
Я
Яр = <ЭА> = lim -дг <@i -в,) (в, - 94)>.	C6)
Эта формула выглядит так же, как C3), однако теперь
<Fi-e4J> = ?>e(ri, z) = DiiY'rfT^2)
(последнее равенство записано для случая изотропных флук-
флуктуации),
<(е2 - е3)*> = о, (л, г), <(б! - е3)*> = <(е2 - е4)*> = D, @, *),
Яр (z) = lim ^- 2 [?»9 (т,, z) — ?>« @, *)] =
= lim -L lDe (Y*+l\a) - D* (z))	C7)
(для изотропного случая). При t) <^ z
После подстановки этого выражения в C7) и перехода к пределу
при т| —> 0 получим
= ^-.	C8)
При z —*¦ 0 это выражение стремится к пределу В$ @) = = D» @)
в соответствии с B8), в чем проявляется изотропность флуктуа-
флуктуации. Однако при z ={= 0 выражения C5) и C8) не совпадают и в
случае статистически изотроппой модели турбулентности.
Величину Ва (у) удобно назвать продольной, а Вр (z) — попе-
поперечной корреляционными функциями флуктуации угла прихода.
Найдем также взаимную корреляционную функцию
В«э(*) = <«!&>.	C9)
Вычисления, аналогичные проведенным выше, приводят к резуль-
результату
В«„ (г) = lim JL{D* (z + ц) + D, (/?+!?) - ?>„ (z) -
Ч-И) *'l
D0)

242	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Разлагая в ряд:
+ т))* + Ла) = D, (г + т|) + ^t ^
А, (/FTtfj = А. B) + Ц- А B) + О (Л3),
подставляя эти выражения в D0) и переходя к пределу при tj -*¦ 0,
получаем формулу
<«А> = 0,	D1)
т. е. колебания угла прихода луча в двух взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостях не коррелированы.
Рассмотрим также величину
в* (р) + Вь (р) = 4
и выразим ее через спектр флуктуации е. Для этого применим
формулу B2). Воспользовавшись известным равенством
получим
Ва (р) + 5Э (р) = яЧ J /о (хр) Ф« (х) х3 rfx.	D2)
о
Множитель х3 в D2) быстро возрастает и для сходимости интеграла
при р = 0 и к —*¦ оо необходимо, чтобы функция Фе (х) убывала
быстрее, чем к. Если подставить в D2) Ф8 (х) •— х"и/», то при
р = 0 интеграл разойдется в области больших х. Сходимость
D2) можно обеспечить введением «обрезающего» множителя. При
этом величина D2) будет определяться введенным масштабом,
т. е. внутренним масштабом неоднородностей (конкретные вычис-
вычисления для турбулентной среды будут проведены позднее).
Обратимся теперь к амплитудным флуктуациям.
Амплитуда волны (в настоящем параграфе мы будем обозна-
обозначать ее через А) удовлетворяет уравнению
div (A* grad 6) = ЛаД6 + grade grad Аг = 0	D3)
или, если разделить D3) на Аг и ввести обозначение
X = In А = 1 In A\
grade-grad х +4-Де = 0-

{ 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ- ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	243
Подставим сюда выражение B) для 6. Тогда
grad в =
о
Подставим эти значения в D4). При этом учтем, что в grad б
первая компонента, содержащая 1, велика по сравнению с осталь-
ныни (величина V% имеет порядок малости elt так как для плос-
плоской волны в однородной среде Vx = 0). Поэтому если оставить
в произведении V6Vx лшпь член первого порядка малости по elt
то мы получим
У,
дх
= O. D5)
Проинтегрируем D5) по а; от 0 до х, считая, что % @, у. z) = 0
ei @. У» z) = 0; будем иметь
х х'
%(х, у, z) = — jje, (х, у, z) + ух' ^ dlA^id, У
Меняя во входящем сюда интеграле порядок интегрирования по
|их'и выполняя интегрирование по х\ получим
х, у, г) = -±{ы(х, у, z) +^х-Ъ)b^iX, у, z)d^ . D6)
Найдем корреляционную функцию флуктуации % для случая,
когда обе точки наблюдения лежат на одинаковом расстоянии х

244	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. Я
от границы области, занятоп неоднородностями
ж, 2/i, zx) X (х, г/г, za)> = #х (г/х — г/а, zx — zs) =
о
X
, (x— I) <ex (x, 2/1, zx) Aj_ex (|, уг,
, г/2, z2) Aj_et (|, Уи zi)> ^i +
0 0
Ho
<8l (X, !/!, Zi) ex (X, 2/2, Za)> = Be (j/i — 2/2, Z! — Z2),
2/г, z2)> = AxBt (x — |, j/x — y4, zx — za) =
= — у Дл.^е (х — Ei г/i — 2/a, zi — za).
(В последнем равенстве при переходе от Ве к Z?t использована
формула De (г) = 2Ве @) — 2Ве (г).) Точно так же
2/1. zi) Aj.81(Eb, 2/2, z2)> =
= ~- у AiDe (|i — Ea, г/i — J/a, гл — za)
Подставляя эти значения в D7) и обозначая yt — j/a = у,
гх — z2 = z, получим
Вх B/, z) = ^- [Bt (у, z) - J (х - 1) AxDt(х - Б, у, z) d? -
о
хх
-1[\ (х- Ei)(х - Ei) AlA (Ei-Ei, У, г)dEi^} - D8)
о о
Введем в первом интеграле новую переменную, положив
х — ? = |', а во втором положим |= ?х— ?а, т[ = х — 2 щ ^огДа
интегрирование по г\ может быть выполнено в явном виде

$ 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	245
и формула D8) примет вид
х
Вх (У, я) = -i- {в, (у, z) - jj lALDt A, у, z) dl -
о
X
_ i J Bж + g) (* -1J Д2хЯе (|, у, z) dl}. D9)
Оценим входящие в D9) члены. Функция Ax.Ds (l, у, z) замет-
заметно меняется при изменении своего аргумента на величину поряд-
порядка внутреннего масштаба турбулентности /0, который является
характерным масштабом этой функции (это является следствием
того, что к функции Dt применен оператор Д^, подчеркивающий
мелкие масштабы). Значение функции AxZ?e (O)—"^. гДе °1 —
'о
= <8*>. Поэтому первый из интегралов в D9) имеет порядок
Функция A±De также имеет характерный масштаб 10, но ее зна-
значение в нуле порядка alflo. Поэтому второй интеграл имеет поря-
порядок
е /я
о	°
(в подынтегральном выражении можно пренебрегать ? по сравнению
с х). Поэтому при выполнении условия ^^>1 в D9) можно оста-
оставить лишь последнее слагаемое, что эквивалентно пренебрежению
первым членом в D6). Тогда
В*{y,z) = -±\j(x+ -|)(х- 1)г &\Dt(I, у, z)dl. E0)
Формула E0) может быть упрощена еще более. Действитель-
Действительно, так как характерный масштаб функции Aj^e равен
1о «^ х, то в E0) можно пренебречь I по сравнению с х, а предел

246	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
интегрирования х заменить на °с. Тогда
(Б,гм)<*Б.	E1)
00
Полагая здесь у = z = О, получаем формулу
00
определяющую средний квадрат флуктуации логарифма ампли-
амплитуды.
Формула E1) дает окончательное выражение для корреляцион-
корреляционной функции плоское волны в приближении геометрической опти-
оптики [92].
Запишем выражение для спектра корреляционной функции
Вх {у, z). Для этого подставим в правую часть E1)
со
A\Dt&, г/, z) = Д^2 ^5 [1 — &**+**+*">] <Dt(x)d3x =
—00
оо
* + х»)а Фе (хь х4, х3) d3x.
—00
Проинтегрируем это выражение по ?. Учитывая четность функ-
функции A±Dt (|, у, z) по I, получим
оо
, z) dl = -1 J A]_Dt (g, у, z) d| =
оо
х, ха, xs) d3
—00
оо
= — 2л ^ $ $ &*•»<¦*>*) (х? + х2.)8 Ф? (хь xs, х3) 6 (xL) d3x =
—ОО
оо
= — 2я 5 5 «г!<х-у+х'г> (х| + х2J Ф, @, ха,
—00
Подставляя это выражение в E1), мы получаем формулу типа
оо
Вх (г/, г) = J S е*<™>+**>Рх (х3, х.) dxa dx3,	E2)

I 40]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	247
где
Fx (x,, xs)= ^ (х» + x«J» Ф. (О, х,, х,).	E3)
Соотношение E3) является спектральным эквивалентом форму-
формулы E1).
Как следует из E1), корреляционная функция флуктуации
логарифма амплитуды пропорциональна кубу проходимого в
неоднородной среде расстояния. В случае локально изотропных
флуктуации е
Ф« @, Щ, Х3) = Фе (/х« + X») = Ф« (X),
где к = У"л\ + х|. В этом случае Fx также зависит только от х:
Множитель х4, входящий в E4), обращается в нуль при х = О,
что приводит к подавлению крупномасштабных составляющих
спектра турбулентности. В случае, если Ф» (к) — x~U/>, Fx (х) —
— xVj( т. е. спектральная плотность Fx (x) обращается в нуль при
х = 0 и возрастает с ростом х. Максимум функции F* (х) будет
наблюдаться в тон области, где на Фе(х) начинает сказываться
теплопроводность, т. е. в области внутреннего масштаба турбу-
турбулентности. Следовательно, флуктуации амплитуды в приближе-
приближении геометрической оптики обуслоллены наиболее мелкомасштаб-
мелкомасштабными флуктуациями диэлектрической проницаемости, а радиус
корреляции флуктуации амплитуды имеет порядок 1й.
Следует обратить внимание на равенство
*М0) = 0,	E5)
которое эквивалентно соотношению
00
\ \ Вх {у, z)dy dz = 0,	E6)
—оо
а в случае изотропных флуктуации —
оо
E6а)

248	РАСПРОСТРАНЕНИИ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Соотношение E6) является следствием закона сохранения энер-
энергии *). Из него вытекает, что корреляционная функция В% обя-
обязательно имеет отрицательные участки.
Выведем полезную формулу, связывающую амплитудные и
фазовые флуктуации. Применив к формуле B3)
Ds (л, ?) = -^ jj [Л. (S, Ч, S) - -De (С, 0, 0)] d%
оператор Д^, получим
о
Сравнивая эту формулу с E1), найдем
(Л- I) = - -гЩ- Д±А» (Л, С).	E7)
Формула E7) является следствием того обстоятельства, что в гео-
геометрической оптике амплитуда волны полностью определяется
ее фазой (см. D4)).
Формула E7) позволяет вычислить В% (ц, ?) по известной функ-
функции Ds (ц, ?). Следует подчеркнуть, что так как в E7) входит
(л> ?)> то для определения <%а> =ВХ @, 0) необходимо знать
поведение функции Ds (Ц, ?) при малых р = у^л2 + S2» удовлетво-
удовлетворяющих условию р <^ 10.
§ 41. Флуктуации параметров сферической волны
В настоящем пункте мы рассмотрим флуктуации параметроп
сферической волны от точечного источника, расположенного в сре-
среде со случайными неоднородностями.
*) Если случайная величина <р (х) ( «р> = 0) удовлетворяет закону
00
сохранения \ ср (ar) dx = 0, то из него умножением на ф (аг0) и усреднением
получим
00
00	ОО
\ В (аг — аг») dx = \ В (х) dx = 0.
—оо	—оо
E0) является следствием двумерного аналога этой теоремы.

ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
249
Ясно, что средний квадрат флуктуации полного набега фазы
для случая сферической волны совпадает с соответствующей вели-
величиной для плоской волны. Рас-
Рассмотрим средний квадрат раз- ff
ности фаз для двух лучей, рас-
расходящихся под углом1»)) из источ-
источника (рис. 40). Поместим начало S
координат в точке расположе-
расположения источника, плоскость х, у
проведем через источник й обе
точки наблюдения, а ось х на-
направим от источника к середине
Рис. 40. Расположение лучей при
вычислении флуктуации разности фаз
сферической волны.
отрезка, соединяющего точки
наблюдения. Мы ограничимся
случаем, когда обе точки наблюдения удалены от источни-
источника на одинаковое расстояние ar/cos^- Тогда
X
Si-(S<> = Л
о
cos
2 cos.-
A)
.где а = tg ~. Аналогично
B)
2 cos ~2 и
Следовательно, для Sx — S2 мы получаем
ДМ1>«1, 0)-«
а|, 0)]
C)
I — ei(?, — а?, 0)]х
4 cos» ~y о о
X [8Х (г), ац, 0) — вж (Т1, — ar), 0)]>d?dri. D)
ГТ	1
Применяя тождество (а — 6) (с — d) = -77 [{а — df +

250	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
+ (Ь — сJ — (а — сJ — (Ь ¦— dJJ, запишем D) в виде
X X
к"
- Dt (I - т), - а (I - п), 0)] dl dT).	E)
Для случая локально изотропных флуктуации е
и E) принимает вид
XX
4cos4r
. F)
Будем считать угол "ф малым, т. е. а<^; 1, и равложим величину
V + а2 11 - т|[) в ряд по а:]
Подставляя это разложение в F), получим
XX
fc*
±
2
8cos*-|- П
G)
Второй интеграл в G) является четной функцией (? — i\),
и его можно преобразовать по формуле G.40) в однократный инте-

§ 41]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	251
грал. В первой интеграле введем новые переменные интегрирования
1
2
и = 1 - ij, v = 5 (? + Л), т. е.
Так как подынтегральное выражение в G) является четной
функцией и, интегрирование по этой переменной можно распро-
распространить лишь на область и ^> 0, введя дополнительный мно-
множитель 2. Тогда
х
~Ъ 28
_ ?гK) = —^_ | С л, С du [Dt (У us + 4aV) — De (u)] +
о)
du [Dt У ua + 4а2у») — Dt (u)] J
T
4cos*-y о
(8)
Заметим теперь, что интегрирование по и в первом интеграле мож-
можно распространить до бесконечности, так как при и^> 2v разность
Dt (Yul + 4а2уа) — Dt (и) имеет порядок малости <ха:
Dt {Yu* + 4a^-Dt (и) = Dt [и ]/l + ^-) -D,(и) =
и интеграл от нее в пределах по и от 2v до ос сходится.
То же самое можно сделать и во втором интеграле. Тогда
приближенно имеем
oo
dr^ [Z>, (У us + 4aat;8) — Z)c (и)] du
2cosa-y 5 о
X
\ \'+... (9)
4cos!-tt о

252	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Внутренний интеграл в первом слагаемом в (9) связан со струк-
структурной функцией фазы в плоской волне Ds (р). Действительно,
умножая формулу A9.40) на /с2, имеем (в случае изотропных флук-
флуктуации)
(p) ft2 2D4 (p)
- = -^-. A0)
Полагая здесь р = 2av, получим
L^^DBBav)dv+ я'*^ ^l(x — l)D\(l)dl +.. . A1)
Положим в первом интеграле v = рх. Величина 2ах — Ъ — рас-
расстояние между точками наблюдения. Заменяя cos 4; на 1, получаем
= Ji s(bp)dp+ аЧ\ ii{x-i)D't(l)dl + ... A2)
о	4 cos2 y 5
Теперь произведем оценку входящих сюда выражений й выяс-
выясним, при каких условиях в A2) можно оставлять лишь первое
слагаемое. Пусть Dv (|) = С%*. Тогда согласно формуле B3.40)
оо
Ds(p) = j!f-)[C(? + p*)v
.0
где
оо
ЛГ = 5 [A -
О
dp = i

I 41]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	253
Для второго интеграла в A2) инеем
Отношение второго слагаемого в A2) к первому поэтому равно
(считаем cos2-^ в знаменателе равпым 1)
X	1
Но 5 = га' так ЧТ0 ^ — alil' СлеД°вательно> в случае ц < 1
о
(например, ц. = ^-) 6 = О (а1'*) и вторым слагаемым в A2) мож-
можно пренебрегать. В этом случае мы получаем общую формулу,
связывающую средний квадрат флуктуации разности фаз на базе
Ь для сферической и плоской волн
A3)
Так как 0<JZ?s Фр) <^Ds Ф), то флуктуации разности фаз сфе-
сферической волны всегда меньше, чем для плоской волны, прошед-
прошедшей то же расстояние, что ясно и из наглядных представлений.
Формулу A3) можно записать также в виде
A3a)
который легко обобщается на случай, когда не вся среда между
источником и точками наблюдения является неоднородной. Бели
расстояние между лучами на одном конце трассы равно Ьи а на
другом — Ь„ то формула A3а) принимает вид
(p)d9.	A36)
В выражении A36) одно из расстояний можно считать отрицатель-
отрицательным— этому соответствует случай, когда лучи пересекаются. При
этом следует, конечно, брать значение аргумента структурной

254	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. Э
функции под знаком интеграла по абсолютной величине:
1 Р
- &)¦> = -~^- \ DB(\p|) dp.	A3в)
b
\
—bi
Формулы A3а — в) мы применим в следующем параграфе для
вычисления угловой корреляции разностей фаз в двух пучках плос-
плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.
Имея выражение A3) для <($! — 52)%>. по формулам преды-
предыдущего параграфа можно найти выражения для корреляционных
функций флуктуации направления распространения.
Перейдем к вычислению флуктуации амплитуды волны. Для
этого снова воспользуемся формулой
yA0 = O	A4)
(X = ln-<4), связывающей амплитуды и фазу (вернее, эйконал)
волны. Поместим начало сферической системы координат (г, О, ср)
в точку расположения источника волн. Тогда 6 будет выражаться
формулой
9(г, 0,ф) = г + 1^б1(р, 0,q>)dp.	A5)
Воспользовавшись формулами, определяющими grad 6 в сфериче-
сферических координатах,
получим
В сферической волне величины у«% и УфХ связаны только с
неоднородностями показателя преломления и поэтому имеют по-
порядок малости ех. Сохраняя в V/V9 лишь члены первого порядка
малости по еъ получим
1-в! (г, в, <р)]|?.	A6)

i 41]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	255
В отличие от плоской, в случае сферической волны ^ убывает с
расстоянием как Ыг за счет расхождения волны, так что д%/дг
включает в себя неслучайную компоненту. Полагая в A6) ^ =
= <^> + я' и пренебрегая членом второго порядка по elf получим
g 4^-e1(r,»,9) + ^.,	A7)
так что A4) принимает вид
1Г
Но из A5) мы получаем
<в>-г, A
Усредняя A8), получаем
Вычитая A9) из A8), получаем уравнение для ^'
где
Следовательно,
A9)
или, заменяя ех, согласно равенству
».^M) = ^yti,	B0)
следующему из A5), получаем окончательно
В сферических координатах
5ff ^	B2)

256	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	1ГЛ. 3
Проинтегрировав это уравнение по г от 0 до Л, получим, счя-
дг
R
- <25)
о
Первый слагаемый в B5) можно пренебречь, подобно тому как
это было сделано для случая плоской волны. Подставляя в B5)
г
Q'{r, *, ф) =у$ег(р, *, ф)ф,
о
получим
R r
Х' (Л, О, Ф) = -1 jj -?- JdpQ (ф, Ф) в1 (р, О, Ф).	B6)
о о
Изменим порядок интегрирования и выполним интегрирование по
г. В результате получим
- B7)
Но, как видно ив B2), B3), -^ Q — Д_]_ — поперечная часть опе-
оператора Лапласа. Следовательно,
R
X'(Я, *, <р) в _ IJ iL(Л -р) Aje, (p, Ф, Ф)dp.	B8)
Формула B8) отличается от соответствующей формулы для плос-
плоской волны дополнительным множителем р/Л под знаком интеграла.
В случае, если неоднородности е присутствуют только при значе-
значениях р ^ Л, множитель р/Я ^ 1и B8) переходит в соответствую-
соответствующее выражение для плоской волны. Из B8) видно, что так как
множитель р/Л <^ 1, то флуктуации амплитуды сферической
волны меньше флуктуации амплитуды плоской волны, прошедшей
то же расстояние.

§ 41]	ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	257
Найдем средний квадрат флуктуацций амплитуды сферической
волны. Ив B8) имеем
яя
<(Х' (#, ft, <р))^> = ^5" 5 5 PlP* (R — Pi) (Л — Pa)x
о о
X (. Д_|_в1 (pi, ft, ф) Aj_8i (Рл> ft) ф)) <^Pi <^Рг ^
= — Wrt\[ PiP* (Д - Pi) (Д — РО А1^« (Pi — Р^' °' °) dPi dP^- B9)
о о
(Мы снова воспользовались соотношением А\Вг — —-^ А\Ог.)
Введем новые переменные интегрирования
Тогда, воспользовавшись четностью подынтегрального выраже-
выражения по |, получим
я
$ДхДе(?, 0, 0)d|x
D
C0)
Характерным масштабом функции A]_De является величина /0
(см. предыдущий параграф). Величина т] в C0) порядка Я. Поэто-
Поэтому в C0) можно пренебречь g по сравнению с т), что дает
(Сравните с аналогичным расчетом для плоской волпы.) Следова-
Следовательно,
R	оо
о

258	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Сравнивая C1) с формулой E1а.4О), получаем простое соотно-
соотношение
<{х')гф> = ±.<(х')гл>,	C2)
справедливое при любой корреляционной функции (см. также
раздел Б, § 49).
Рассмотрим выражение
RR
<5с' (Д» ^ii Ф1) х' (Д| ^2i ф-г)} = |ди \ \ piP-2 (Д — pi) (Д — Рг)X
о о
X^Aj^8i(pi, ¦&!, Ф1) Aj^ei (pj, ¦ftj, фг)I dpi ??р«. C3)
В случае, если углы^ — ^,91 — ф2 малы, операторы Д^, дейст-
действующие по различным направлениям, отличаются друг от друга
на величину второго порядка по малому углу, и этой разницей
можно пренебречь. Тогда приближенно
(Pi, *i, ф]
~ — j Д1#е (Pi, Pa! *i. *г-, фи фг).
В случае локально изотропных флуктуации Dc зависит лишь от
расстояния
г = Ур« —
где
cosij) = cosV^ cos^2 + sin фх sin ¦fl'jcos (ф2 — фа)
и^ — угол между направлениями из центра на точки наблюдения,
который мы будем считать малым.
Положим снова I = рх — р2, « = -i (Pi + Pa)- В атом случае
г = ]/^cosa^- + 4rJsin21« ]/|2 + 4т|» sin81-.
Область интегрирования ограничена прямыми т) = 4- -д-1,
!<]=/?+ -j |. Так как после перехода к переменным т), | подынте-
подынтегральное выражение в C3) четно по ?, интегрирование по | можно

5 41]	ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	259
распространить на область | > 0, удвоив этот интеграл. Тогда
2	2i)
(ла - ¦§-) [(^ - Л)8 - ?
о о
¦	R в(й-ч)
X A'jfl. ( у |а + 4Ч' sin) + $ ^Л $ dg (л« - -5-) X
R
Как и при выводе формулы для <(Х')^ф), в C4) можно приближенно
считать
(л2 - ?) [(* - лJ -
Тогда
а
X 5 dlAiD. [yi2 + 4ла am" А
и
2(Я-Я)
5
sin* %)}. C5)
Воспользуемся теперь формулой E1.40) для корреляционной
функции амплитудных флуктуации для плоской волны
которая в случае изотропных флуктуации может быть записана в
виде
^ AID. (/I^TP) dl = - ^^- .	C6)
о
Интегрирование по 5 в C5) может быть распространено на
пределы @, оо), так как функция A±DS быстро убывает при | ^ /0.
9*

260	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Поэтому C5) принимает вид
(^)^	C7)
Положим b = 2R sin 1 (Ь — расстояние между точками на-
блюдения) и введем новую переменную интегрирования р =-3.
Тогда C7) принимает вид
<ХА>сф = 3 \ Рг A - Р? Вх (Ьр) dp.	C8)
о
Формула C8) связывает корреляционную функцию логарифма
амплитуды сферической волны с корреляционной функцией для
плоской волны, прошедшей то же расстояние в неоднородной среде
[95]. Положив в C8) 6 = 0, мы получим после интегрирования
формулу C2).
Множитель rf(R — т)J в C7) дает относительный вес различ-
различных участков вдоль луча в эффекте возникновения флуктуации.
Как известно, линза, помещенная непосредственно вблизи источ-
источника света или вблизи точки наблюдения, не меняет интенсивнос-
интенсивности света. Поэтому множитель i]2(R — tj)* и обращается в нуль в
этих точках.
Этим же эффектом объясняется относительная малость флук-
флуктуации сферической волны по сравнению с плоской — неоднород-
неоднородности, непосредственно примыкающие к источнику, не вызы-
вызывают флуктуации интенсивности волны.
Следует отметить, что между формулами A3) и C8), связываю-
связывающими флуктуации фазы и амплитуды сферической и плоской волн,
имеется существенное различие. Если мы рассмотрим две плоские
волны, расходящиеся под углом ф, и произведем для них расчет
флуктуации разности фаз, то результат будет совпадать с форму-
формулой A3). В то же время для амплитудных флуктуации в этом слу-
случае будет получен результат, отличный от C8) (см. гл. 4).
§ 42. Флуктуации амплитуды и фазы волны,
распространяющейся в локально изотропной
турбулентной среде
Настоящий параграф посвящен вычислению амплитудных и
фазовых флуктуации для плоской и сферической волн, распрост-
распространяющихся в локально изотропной турбулентной среде. Как
было установлено выше, в приближении геометрической оптики

§ 42]	ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ	261
все характеристики флуктуации амплитуды и угла прихода могут
быть вычислены, если известна структурная функция для фазы
плоской волны.
Воспользуемся формулой B2.40) для структурной функции
эйконала (расстояние, проходимое волной в неоднородной среде
мы обозначаем буквой L вместо х):
00
Оь (р) = 2n'L J [ 1 — Jo (хр)] Фе (х) х й-л.	A)
Для функции ФЕ (х) мы используем аппроксимацию, даваемую
формулой (9-16):
Ф, (к) = О.ОЗЗС^-"/. ехр — 4- ,	B)
где хт связано с внутренним масштабом Яо пульсаций диэлектри-
диэлектрической проницаемости соотношением *)
Vffl = 5,92	C)
и к0 является точкой пересечения асимптотических разложений
DT (г) при малых и больших значениях г. Подставляя B) в A)
и используя разложение
получим
оо ( —
Д, (р) = -0,033 2n*C\L ^ v (я1); J х 3 ехр (- ^-) х At. D)
Совершая замену переменных х2 = «?,?, получим
00 . 11
6 оо	б ,	Б
*) Напомним, что величины /0 и Хо отличаются друг от друга лишь числен-
численный коэффициентом.

262	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
И
оо /	JL'
JL
Л^ (-4-Т«^ E)
Учитывая определение вырожденной гипергеометрической
функции
со
F (а г z) — ИФ У г (" + ») -и
запишем E) в виде
D, (р) - 0,033я»Г (- -!") Cj/лц?' fl — ^ f - -|- . 1, - ^1 '
\	D /	1	\	о	Ч
Исследуем поведение DQ (p) в области больших и малых р. При
хтр^>1, т. е. р^>А,0, используем асимптотическое разложение
функции XFX при больших отрицательных значениях аргумента:
откуда
и [96, 97]
Д9 (р) =^ О, 73CeV= (P > U).	G)
Асимптотику функции De (p) при малых р можно получить
взяв первые два члена ряда для xF^.
р ( 5	х^	^
Подставляя, кроме того, хт = 5,92/Я0, получим
i^V	o).	(8)
Перейдем к вычислению корреляционных функций флуктуации
угла прихода.

g 42]	ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ	263
Поперечная корреляционная функция угла прихода В^ (р)
связана с D9 (p) соотношением C8.40)
В,(р) = 4-^.	(9)
Подставляя сюда (б) и используя формулу
-^1Fl(a,T,z) = ^-1F1(a + l,r + l,z),
получим
Вэ (р) = 0.46СЫ; x/''х (-1, 2, - ^п).	A0)
Полагая р = 0, найдем средний квадрат флуктуации угла при-
прихода
Разделив A0) на A1), получим нормированную поперечную кор-
корреляционную функцию флуктуации угла прихода
Аргументом 63 (р) является безразмерная величина х^р*/4, откуда
следует, что радиус корреляции флуктуации угла прихода имеет
порядок х^~?10, т. е. порядок внутреннего масштаба турбулент-
турбулентности.
Для продольной автокорреляционной функции флуктуации
угла прихода имеем C5.40):
ва (р)=4-D* (p)-
Производя дифференцирование, получим
Ва (р) =	[ (	^)
Полагая здесь р = 0, получим естественное равенство <<х2> =
= <р>, а для нормированвой продольной корреляционной функ-
функции получаем
&а(р)= Л^-g-, 2, — —J—а"Л ^-б"'3'	—)*

264
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 3
Масштабом корреляции для а также служит величина V Функ-
Функции A2) и A4) изображены на рис. 41 и рис. 42.
Из формул A0) и A3) следует, что и величина, и радиус кор-
корреляции флуктуации угла прихода определяется внутренним
40 50 ВО 70 80 %„р
Рис. 41. Корреляционная функция Ъа флуктуации
угла прихода в плоскости, содержащей оба луча (см.
рис. 39), в приближении геометрической оптики.
/О ZO 30 40 50 ВО 70 80 хтр
Рис. 42. Корреляционная функция Ьр флуктуации
угла прихода в плоскостях, перпендикулярных пло-
плоскости, содержащей оба луча (см. рис. 39), в при-
приближении геометрической оптики.
масштабом турбулентности А,в/Однако, если угол прихода волны
измеряется антенной (объективом) с характерным размером d,
то в результате усреднения по поверхности объектива роль мелко-

S 42]	ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ	265
масштабных неоднородностей будет подавлена и величина флук-
флуктуации будет определяться размером d (см. ниже).
Рассмотрим корреляционную функцию флуктуации амплитуды.
Она связана с функцией D9 (p) соотношением E7.40)
„ . .	L* Аа л , ч	I? i d Г d Г 1 d ! «И>е(Р)
ВЛ9) = A^(P) =	Ip(p
Подставляя выражение F) и производя дифференцирование, по-
получим формулу
91
Полагая здесь р = 0, получим
(f ,4,-
91
4-
+ 13824
Последовательно применяя формулу
гЛ(я,Г, «) = (Т —l)[i^i(«,T-l, z) — Л (а - I, r —1, z)],
a затем формулу
,/?, (a, r, z) - ^^(a -1, г, г) + J^ji/^a -1, Г- I, «).
можно привести выражение для bx (p) к виду
A7)
Из выражений A6) следует, что средний квадрат флуктуации
логарифма амплитуды увеличивается с уменьшением внутренне-
внутреннего масштаба турбулентности Яо. Из A7) следует также, что радиус
корреляции флуктуации амплитуды в приближении гео-
геометрической оптики совпадает с внутренним масштабом тур-
турбулентности.

266
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ
[ГЛ. 3
Функция A7) изображена на рис. 43. При больших значениях
аргумента
6Г
4)
Найдем теперь характеристики флуктуации сферической вол-
волны. Структурная функция флуктуации эйконала сферической
волны ?>е,Сф (р) связана со струк-
структурной функцией эйконала пло-
плоской волны Du (p) соотношением
A3.41)
1,0
0,9
0,8
H7
0,3
0,2
0.1
О
2 3
A8)
Мы но будем подставлять сюда
выражение F) в общем виде, а
исследуем отдельпо случаи р <^ Яо
и р^>А,0. В первом случае со-
согласно (8)
Рис. 43. Корреляционная функция
флуктуации логарифма амплитуды
в приближении геометрической
оптики.
так что
о, с$ (Р) = 4 D* (р)
). A9)
Бели, пользуясь этим выражением, вычислить средний	квадрат
флуктуации угла прихода сферической волны, то мы	получим
простую формулу
у*сф/ = -~- ча /•	("")
Для случая р^>Я0 в интеграле A8) область малых р^<^ Яо
мало существенна и можно использовать формулу G).	В этом
случае
<-* Г\ I _ \ ПОТ Лв Г _ 1\ / 5-^ 1 \	i пл \
Таким образом, структурные фупкции флуктуации фазы сфери-
сферической волны отличаются от соответствующих функций для плос-
плоской волны лишь численными коэффициентами, которые связаны
с эффективной «средней» базой вдоль трассы.
Что касается амплитудных флуктуации, то, как уже было отме-
отмечено выше, средний квадрат флуктуации логарифма амплитуды
сферической волны в 10 раз мопыпе соответствующих флуктуа-
флуктуации в плоской волне.

5 42]
ФЛУКТУАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ
267
В заключение настоящего параграфа рассчитаем коэффициент
корреляции флуктуации разности фаз в двух плоских волнах,
распространяющихся под углом у друг к другу. Эта задача пона-
понадобится нам в дальнейшем при ин-
интерпретации явления «дрожания»
изображений звезд в телескопах.
Пусть две плоские волны
(рис. 44), распространяющиеся
под углом у друг к другу, наблю-
наблюдаются в точках А ж В. Разность
случайных набегов фаз для одной
из них равна (Sx — S2), для дру-
другой — равна (Sa — <S4). Здесь ин-
индексами отмечены соответствую-
соответствующие рис. 44 лучи. Подсчитаем
величину
¦ь-
\в
Рис. 44. Расположение лучей при
вычислении флуктуации разности
фаз для плоских волн, распро-
распространяющихся под углом друг
к другу.
Для отдельных входящих в это
выражение слагаемых можно применить выведенные в предыду-
предыдущем параграфе формулы A3а — в), в которые можно подставить
выражение
B2)
для структурной функции фазы плоской волны, получающееся
из G) умножением па к\ При вычислении следует различать два
случая. Если выполняется соотношение Ltg(T\<^—jt лучи
2, 3 не пересекаются, мы должны подсчитывать член <(?2 — SaJy
по формуле A36). В противоположном случае расчет этого члена
ведется по формуле A3в).
Вычисления проводятся элементарно, в результате мы полу-
получаем следующее выражение для коэффициента корреляции (нор-
(нормированное на единицу при у = 0);
(
1
JL-fi-
)'!' - A - *)'/• - 2*
B3)
3_

268	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
§ 43. Границы применимости первого приближения
геометрической оптики
Метод геометрической оптики в той форме, в каков он был при-
применен выше, включает в себя два различных разложения. Первое
из них проводится по параметру к, т. е. фактически по отноше-
отношению Я,/А,о, где Я,о — внутренний масштаб турбулентности. В резуль-
результате этого разложения было получено уравнение эйконала и урав-
уравнение, связывающее амплитуду и фазу волны. Для случая, когда
рассматривается распространение волн в слоисто-неоднородной
среде, уравнение эйконала может быть решено точно. В этом слу-
случае границы применимости метода геометрической оптики опре-
определяются следующими членами разложения по АД0. Однако в
случае распространения волн в среде со случайными неоднород-
ностями само уравнение эйконала решается приближенно, путем
разложения по малому параметру ^ = е — < е>. В этом случае
границы применимости метода будут ограничиваться также нели-
нелинейными эффектами, связанными с членами порядка е*. Рассмат-
Рассматривая вопрос о границах применимости всего метода в целом, сле-
следует сначала рассмотреть вторую часть задачи.
В § 39 получено разложение функции 6 (г) в ряд по величине
v = У<«?>.
Комбинируя формулы A9.39), B1.39), запишем выражение
для 6 с точностью до членов порядка ej:
+ 6х (s)) — Ьх (s) V6 A& + &х (s)) =
s	<
= * -t- -L jj ^ (l<>s')ds' + -|- Jjbx (ef) v*i (Jos') ds' — Ьх (в) «(*)+.• •
о	о
(*)
Подставляя выражения A2.39) и A3.39), после простых преобра-
преобразований можно привести A) к виду
X (s - s') [ V6l (los') Ve, (los°) — (I.Vei (I*')) (Z0Vei (I.»'))] + • • • B)
Найдем среднее значение поправки к 6, возникающей из-за
нелинейных эффектов
»	»'
=	^ \ (s — s') ds' J < Vex (IoO Vex (!•) —
. C)

g 43]	ПРИМЕНИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	269
Вычислим входящее под знак интеграла среднее значение. Диф-
Дифференцируя формулу
Вг (« — Гг) = <
получим
\
,,.
где р = «"i — ra, p= {li, 1г, ?з}- В случае локально изотропной тур-
турбулентности Bt (р) = Bt (p) И
Следовательно,
В нашем случае р = Zos' — los" = ?о (s' — s"), p = s' — s*, p / p = Zo
и ?i/p = #¦ Поэтому
(Испэльзовано равевство би = 3.) Дифференцируя равенство
Dt (p) = 2Ве@) — 2Л? (р), получим —2B't (p) = Z>e (p), так что G)
принимает вид
Подставляя (8) в C), получим
8	а' • ,
<6Э (?os)> =	5" \ (s — s') ds' \ ——,	s— ds".	(9)
О	V
Произведем замену переменных, положив s" = s' — p. По-
После этого изменим порядок интегрирования по s' и р и выполним
интегрирование по s'. В результате лолучим формулу
A0)

270	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Функция Dc (р)/р имеет резкий максимум вблизи точки р = 0
(если Dz (р) = Clp'1', то ^р' -> ос при р -» 0, но при учете вли-
Р
яния вязкости и теплопроводности этот предел становит-
становится конечным). Поэтому основное значение в A0) имеет об-
область малых р и можно положить (s — рJ ~ sa, а предел интегри-
интегрирования распространить до бесконечности. Тогда получим
^«.	(И)
о
Сравнивая это выражение с формулой C2.40) для среднего квад-
квадрата флуктуации угла прихода (мы обозначим дистанцию через
L вместо х)
получим соотношение
i).	A2)
Найдем теперь условие, при котором можно пренебрегать
поправкой <б8>. Эту величину следует сравнивать с характерным
значением флуктуации разности оптических дутей на расстояниях
порядка радиуса корреляции флуктуации угла прихода волны
(на таких расстояниях фронт волны поворачивается как целое).
Соответствующее значение разности оптических путей равно
A,oaa. Следовательно, условие, лри котором можно пренебрегать
нелинейной поправкой к 9, имеет вид Lal<^ A,oaa или
о.<ТГ
Условие A3) можно также записать в иной форме. Подставляя
в A3)
о\ =-- 0,
получим
5
Величина С\ L3}^1'' пропорциональна среднему квадрату флуктуа-
флуктуации амплитуды волны. Следовательно, условие A3) можно также
записать в виде

j 43]	ПРИМЕНИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	271
т. в. флуктуации амплитуды должны быть малыми. Необходимо
рассмотреть еще одно условие применимости, связанное с тем, что
при выводе формулы A9.39) для 6 было использовано разложение
величины ех в ряд Тейлора
ех (los + Ьх (*)) = ех (Zos) + уЁ1 (los) баз («) +...
Ясно, что такое разложение закоипо лишь в том случае, если
величина бас мала по сравнению с внутренним масштабом турбу-
лептности, так как лить при |бас2[ <^ Я^ приращения ^ линейны
по Ьх- Поэтому помимо A4) необходимо требовать выполнения
условия <6x8><^!^o- Найдем величину (бас2). Используя выражение
A3.39), получим
9 Я
L
— (JoVei) (JeVeO> de'ds". A5)
Подставляя (8), получим
S	8
<*««> = 4" IМI ds" (s ~ s') (* -
О	О
Произведем замену переменных s' — s" = p, s — s' = ?:
J (E + P)^dp.	A7)
В интеграле A7), как и в A0), существенна лишь область ма-
малых р, поэтому можно заменить | + р на |, а интегрирование
по р распространить от минус до плюс бесконечности. В результа-
результате получим формулу
<erf> = -J-j4Mrfp,	A8)
о
где учтена четность функции D'% (p)/p. Выражая входящий в A8)
интеграл через ol (L), найдем, заменяя s на L,
§Ь).	A9)
Условие малости <ба;2> <^ Я^ принимает вид
Г 2-2

272	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
что после подстановкиа2, снова приводит к условию A4). То обстоя-
обстоятельство, что условие <6ае2><^А,о совпадает с условием <^а> <^ 1,
легко объяснить при помощи простых рассуждений. Действитель-
Действительно, флуктуации амплитуды вызываются изменением сечения лу-
лучевой трубки, и в тох местах, где это измспопие велико, одновре-
одновременно велики как <6ава>, так и <у,а>»
Условие <Ха><^1 появилось в результате приближенного ре-
решения уравнения эйконала. В тох случаях, когда это уравнение
решается точно (например, для слоистых сред), условие A4) не
является необходимым.
Перейдем теперь к нахождению условий, при которых можно
не учитывать высших приближений геометрической оптики *).
Волновое поле Т (г) мы искали в виде ряда
причем ограничились определением величин 9 и Fg. Уравнение
для Fi имеет вид (см. G.38))
Q + FjA0 = iAF0.	B0)
Подставим в B0) найденные выше выражения для 9, Fo = А и
ve = ni = (i + -L 8l) (z0 + dz + • • •) = г» + (-g-ta -гм) -f ¦ ¦ •
Для плоской волны
Д6 = div^-ylog.! + 6Z) + • • •
Для У, — In (A/Ao) мы имеем выражение D6.40), в котором, как
было установлено, можно оставить лишь интегральный член:
X (х, у, z) = - -i- jj (x - I) A±ei (I, y, z) d%.	B1)
о
Дифференцируя формулу А — Aoexj> A), получим
Поскольку мы будем считать условие A4) выполненным, можно
считать |х| <^ 1. В этом случае АА ^z AOA1. Дифференцируя B1),
получим
х
о
*) По этому поводу см. также [94].

I 43]	ПРИМЕНИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	273
В этом выражении также можно оставить лишь интегральный член;
тогда для АЛ получим
х
АЛ {х, у, z)« - ± J (х - Б) А5.в1 (|, г/, z) d\.	B2)
о
Мы инеем теперь все выражения, которые следует подставить
в уравнение B0). Так как правая часть B0) линейна по ех и V0
включает в себя член 10, то ясно, что Ft также содержит линейное
по 6j слагаемое. Если ограничиться лишь этим членом в выраже-
выражении для Flt то можно положить V9 = Zo и ДЭ = 0, так как учет
остальных членов уравнения B0) приведет к членам более высо-
высокого порядка малости по ех в Fx. Таким образом, уравнение B0)
принимает вид
X
где учтено, что 10 = {1, 0, 0}.
Интегрируя уравнение B3) с начальным условном ^ @, у, z) =
= 0, получим
х х'
Fx (х, y,z)=- ^dx' J (x' - Б) Дг±е1 (Б, у, z) dl. B4)
Изменим порядок интегрирования, после чего выполним интегри-
интегрирование по х'\
х
Fx (х, у, z) = - ^ J (х - 1У Д2Х в1(Б, у, z) й\.	B5)
о
Найдем величину Q (х, у, z) — {\FX (x, у, z)|a >:
Q (L, у, z) =
LL
у, «)>d|1dEi- B6)
о о
Для случая однородной турбулентности имеет место формула
Л	Уг, Z2)> =
*±Ве (Бх — Is. У1 — 2/г, Z! — г-г) —.
= - 4- А^А (Б1 - St. 0i - 2/2, «1 - и). B7)

274	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Подставляя B7) в B6), получим
Q (?, У, г) =
= —т (if)' S S(L - ь>" (L - *•>" А^. & - *¦• °'0) d|* ^ B8)
о о
Произведем замену переменных ?x — ?г = ?, ?x + ?2 = 2ж.
Так как функция Д^5 (S> 0> 0) быстро убывает, то интегрирование
по | можно распространить па пределы (— оо, + оо). Тогда
Q (^ У, ^ =
Так как в интеграле по ? существенна лишь область | % | ^ Ло,
во внутреннем интеграле можно пренебречь величиной | по срав-
сравнению с L — х. Выполняя интегрирование по х, получим
00
Q (/,, у, z) = - ? (^J J Д1Д? (|, 0, 0) dS.	C0)
Выразим величину (?через спектр флуктуации. Дифференцируя
формулу
со
/>е (Б, у, г) = 2 jjjj [I —
—оо
по у, г, получим
AiZ)e (?, у, г) = - 2 JJ (xi
-00
Полагая здесь у = г = Ои интегрируя по 1, получим
—СО
ОО
Фе (Xi, Х2, Х3) (Хг + Хз
Хг + ХзL Фе (О» Х-2, Хз^ «Хг ах3-

$ 4S]	ПРИМЕНИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	275
Для случая локально изотропной турбулентности, когда
Ф« @, к„ к,) = Ф« (Ук? + х?) = Фе (х),
в последнем интеграле можно ввести полярные координаты и
выполнить интегрирование по угловой переменной:
00
Л}./). (?, 0, 0) dg = — 8я2 J х»Фе (к) Ас.
II
Следовательно, C0) принимает вид
ОО
Q (I, y,z) = ^ [$ff $ х»Фе (к) At.	C1)
и
Подставим в C1) Ф, (х) = 0,033СЪс"и ехр (— х2/ к„). Выполняя
интегрирование, получим для величины ^А
5 U6 I	2	^««mA -
1&?	^^Х^Ч1. C2)
Чтобы получить границы применимости первого приближения
геометрической оптики, следует сравнить величину
и потребовать малости их отношения. Используя формулу
получим необходимое условие в виде
Таким образом, помимо условия <х2) "^ ^ должно также выпол-
выполняться условие C3), согласно которому радиус первой зоны Фре-
Френеля не должен превышать внутреннего масштаба турбулентнос-
турбулентности Я,о 198, 99]. Следует отметить, что, так как величина Ft чисто

276	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
мнимая, условие C3), по существу, обеспечивает отсутствие иска-
искажений в фазе волны за счет пренебрежения высшими приближения-
приближениями разложения
¦)ехр(Ш).
§ 44. Флуктуации параметров звуковой волны
В заключение настоящего раздела мы рассмотрим флуктуации
звуковых волн в приближении геометрической оптики. В разде-
разделе Б гл. 2 было получепо уравнение A5.34) для безразмерного дав-
давления акустической волны П = —\:
где Т' — флуктуации температуры, и — скорость ветра, а вместо
<о подставлено кс0. Разделим уравнение A) на П и используем фор-
формулы, которые легко проверить непосредственным вычислением:
2,	B)
?(V ln П)] + ?(V ln nJ> C)
Х_Ё!_(Л1Ё?^_!_(_!!1МЛ Л
П дх.дх.\ с, дх.) ~ дхгдх^\ с0 Ьх^ ) п' с0
Положим в B) — D) 1пП = х + **9, гДе X = 1пЛ и 9 — эйко-
эйконал. Подставляя эти выражения в A) и приравнивая нулю члены
уравнения, стоящие с коэффициентом к*, получим уравнение
= 1.	E).
Так как уравнение A) выводилось люпь с точностью до линейных
по Т' и и членов, то E) можно с той же точностью представить в
виде
" Ъ-	(в)

I 44]	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ	277
При произвольных функциях Т' (г) и и (г) уравнение F) можно
решать лишь приближенно, полагая
ve = ni = (i + щ) (г0 ч- аг н—) = и + щг0 + ыл—,
где пх — отклонение показателя преломления от единицы, 10 —
касательный к лучу единичный вектор, | 1й | = 1, ijbl = 0. Под-
Подставляя это разложение в F) и сохраняя лишь линейные по щ, Т'
и и члены, получим
П	G)
Таким образом, отклонение показателя преломления звука от
единицы складывается из двух членов. Первый из них связан с
флуктуацией местной скорости звука, второй — со «сносом» зву-
звуковой волны ветром. С учетом G) уравнение F) может быть пред-
представлено в виде обычного уравнения эйконала
(V6)« = A + щ)* = п\	(8)
Однако необходимо помнить, что при переходе от E) к (8) несколь-
несколько раз существенно использовалась малость параметра пх (для
случая электромагнитных волн уравнение типа (8) было получено
лишь при помощи разложения по 1/к).
Если после подстановки B)—D) в A) собрать группу членов
при первой степени к, то мы получим уравнение, связывающее
X и в. Это уравнение содержит (V6)a. Если использовать для
(V6)a формулу F) и учесть лишь линейные по Т'/То и п/с0 члены,
то это уравнение примет вид
= _Ae_div(f ve)-2* fp?). (9)
В правой части (9) стоит малая (линейно зависящая от Т', и)
величина. Поэтому ясно, что VX также будет иметь порядок ма-
малости 7", и. Отсюда следует, что коэффициент при V% следует
взять лишь в нулевом приближении, т. е. положить равным 2/0.
Тогда
= 2^-.	A0)
В правой части (9) следует положить V9 = 10 во втором и третьем
слагаемых, где уже имеются малые множители Т'/То и и/с

278	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Тогда мы получим уравнение
(f)e^(iJ)	A1,
В дальнейшем мы для простоты рассмотрим случай плоской
падающей волны, когда Iq = const. В этом случае
где us = /*и4 — проекция скорости на луч. Тогда A1) принимает
вид
ds
0
. A2)
Интегрируя A2) вдоль луча, получим
eds.	A3)
Но, как мы убедились выше, при расчете флуктуации амплитуды
интегральный член в A3) значительно превосходит локальный
член пи который может быть отброшен. В этом случае связь меж-
между амплитудой и эйконалом для звуковой волны выражается той
же формулой, что и для электромагнитного поля.
Все расчеты флуктуации амплитуды, фазы и других характерис-
характеристик, проведенные выше, могут быть перенесены и на случай зву-
звуковых волн, если заменить величину б!, входящую в формулы
для электромагнитного случая, на величину
Структурная функция величины е^ может быть выражена
через структурные функции DT (r) и D^ (r) полей Ги«, Если
предположить некоррелированность полей Т'ни (она всегда имеет
место в локально изотропном турбулентном потоке), то легко по-
получить формулу
^l f	(t5,

] 44)	ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ	279
В отличие от электромагнитного случая функция Dt. (r) не явля-
является изотропной; она зависит от взаимной ориентации векторов
!о и **•
В случае локально изотропной турбулентности для ?>у (г)
справедливо выражение
А, (г) = Dit (r) o{j + (В„ - Dn) щщ,	A6)
где п = «*/г- Используя A6), найдем
№fri(r) = Dtt + (Ar - Ai) (J0rJ = Dttsin3<p + Drr cos2<p, A7)
где<р — угол между векторами 10 и п- Таким образом,
Яе< {г) = ^Р + 4 [ Ai (О sin2 q) + DTr (г) cosa q>]. A8)
10	C0
Рассмотрим структурную функцию фазы плоской волны. Для
нее было получено выражение в виде двойного интеграла по двум
параллельным лучам, причем в подынтегральное выражение
входили структурные функции е, аргументом которых был вектор
г = Г\ — Гг> соединяющий две точки интегрирования на лучах.
Мы рассматриваем случай, когда длина трассы L намного превос-
превосходит расстояние р между лучами. В этом случае в большей части
области интегрирования угол (р очень мал. Условие sin8 <p <^ 1
может нарушаться лишь в небольшой части области интегрирова-
интегрирования, которая вносит малый вклад в интеграл. Поэтому при расче-
расчетах флуктуации звуковой волны в формуле A8) можно положить
<р = 0, т. е. считать
Функции DT (r) и DrT (r) имеют, вообще говоря, несколько раз-
различные внутренние масштабы, однако ввиду того, что число Пранд-
тля для воздуха близко к одинице, их с достаточной точностью
можно считать равными. В этом случае все полученные выше фор-
формулы остаются без изменения *), если под С% понимать величину
1 о
*) Более детальный учет анизотропности функции Dt. (r) приводит к не-
небольшим изменениям численных коэффициентов в формулах для средних
квадратов флуктуации.

280	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
где С — численная постоянная, входящая в «закон 2/3» для про-
продольной компоненты скорости, С? — структурная характеристи-
характеристика, входящая в «закон 2/3» для температурного поля.
Б. МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рассмотренный в предыдущем разделе метод геометрической
оптики приспособлен для решения задачи о распространении ко-
коротких волн. Его границы применимости определены условиями:
I «^ l0, №L? <! Ьо, <Ха> *< *. гДе Ь — длина волны, 10— внутрен-
внутренний масштаб турбулентности, L—расстояние, проходимое вол-
волной в неоднородной среде, <ха> — средний квадрат флуктуации
логарифма амплитуды волны. Первые два ограничения вызваны
приближенным методом решения волнового уравнения, третье—
приближенным решением уравнения эйконала.
Метод геометрической оптики может быть улучтоен. В част-
пости, второе ограничение может быть в значительной степени
ослаблено, если учесть дифракционные эффекты.
Наиболее удобным методом для построения уточненных ре-
решений является метод плавных возмущений, предложенный
С. М. Рытовым [100] и примененный к задаче о распростране-
распространении в среде со случайными неоднородностями А. М. Обуховым
[101], Черновым [92, 102—104] и многими другими авторами
[105—112].
Этот метод, так же как и метод геометрической оптики, при-
приспособлен для изучения распространения коротких (?i."^?>,0) волн.
Однако в нем снято ограничение %%ЬЪ <^ Х-о» устанавливающее
границы применимости первого приближения геометрической оп-
оптики. Более того, метод плавных возмущений применим и в тех
случаях, когда теряют силу не только первое, но и высшие
приближения геометрической оптики (см. § 45).
§ 45. Вывод основных уравнений
метода плавных возмущений
Как и в методе геометрической оптики, мы будем исходить
из скалярного уравнения, поскольку при Х«^Х„ поляризацион-
поляризационные поправки малы. Мы будем рассматривать случай монохрома-
монохроматической волны, в которой зависимость от времени определяется
множителем ехр (— Ш). В этом случае волновое уравнение при-
принимает форму
ДУ + &* A + б1) У = 0.	A)
Разделив уравнение A) на ? и учитывая, что
получим уравнение
ДФ + (УФJ + к3 + 4% = 0,	B)

§ 45]	УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	281
где Ф = ln^P — комплексная фаза. К уравнению B) следует до-
добавить условие излучения.
Уравнение B), так же как и уравнение эйконала, является
нелинейным. Основное преимущество метода геометрической оп-
оптики, объясняющее его широкое применение, заключается в том,
что в случае слоистых сред нслинеипое уравнение эйконала реша-
решается точно (то же относится и к квазиклассическому приближе-
приближению квантовой механики).
Однако в рассматриваемом нами случае, когда ех (г) — про-
произвольная функция из некоторого статистического ансамбля,
точное решение уравнения эйконала получить не удается и это
уравнение решается лишь приближенно методом последовательных
приближений. В этом случае оказывается целесообразным решать
не уравнение эйконала, уже являющееся приближенным, а урав-
уравнение B), являющееся точным следствием A).
Введем малый параметр v = Y(e\), и положим ех (г) — va (r).
Функцию ф (г) будем искать в виде ряда по степеням v:
Ф (г) = Фо (г) + v фа) (г) + Vs фB) (г) +...
Подставляя это разложение в уравнение
ЛФ + (УФJ + к2 + ft*va (г) = О
и приравнивая нулю группы членов при одинаковых степенях v,
получим уравнения:
ЛФ0 + (УФ0J + ft» = 0,	C)
ДФ<Ч + 2 УФоУф(« = — к2* (г),	D)
ДфB) + 2УФ0УФ<*> = — (УФ(«J,	E)
Дф(з) _|_ 2УФ0УФ(ЭД = — 2УФ<1>УФ<*),	F)
Нелинейное уравнение C) может быть решено точно, так
как оно соответствует распространению волн в среде без флуктуа-
флуктуации. Все остальные уравнения для Ф<?> {?> 1) имеют одинаковую
форму
Ди + 2VO0V№ = -/ (г),	G)
причем правые части каждого из уравнений известны, если решены
предыдущие уравнения. Уравнение G) является линейным. При
Помощи подстановки
и = е~фЪ>	(8)

282	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
оно сводится к уравнению
Aw + khi; = — еФ7-	(9)
Решение уравнения (9) для свободного пространства, удовлет-
удовлетворяющее условиям излучения, хорошо известно:
Таким образом, решение уравнения G) имеет вид
(r')d°r>.	(И)
Вместо Фо(**> в формулу A1) удобнее ввести функцию vF0(r) =
= ехр(Ф0(г)), являющуюся решением уравнения
и представляющую собой невозмущенную волну. В этом случае
A1) принимает вид
Подставляя в качестве —/ (г) правые части уравнений D), E), ...,
получим Ф'¦*>, Ф(а), ... Если обозначить Фд = уФA>, Ф2 = у2Ф*2> и
вернуться к функции ек (г), то мы получим
Ф(г) = Фо(г) + Фх(г) + Ф,(г) + .. .,	A3)
Ряд A3) является рядом по степеням малой величины ex. Од-
Однако, как и в случае геометрической оптики, каждый член ряда
A3) эквивалентен сумме бесконечной подпоследовательности ряда
теории возмущений для уравнения
Действительно, Ч? (г) выражается через Ф при помощи формулы
Т(г) = еф = Ч|"оеф'еф»... Разлагая ехр Ф1 в ряд, получим
Т (г) =Т0 (r)[l + Фх 4 ^- Ф? + • • • }ф° • • •	A6)

I 45]	УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	283
Подставляя выражение для Ф1У легко убедиться в том, что даже
при пренебрежении величинами Ф2, Ф8, ... A6) представляет собой
ряд, описывающий многократное рассеяние.
Рассмотрим более подробно случай, когда падающая волна
?0 (г) плоская. Выбрав ось х вдоль направления распространения
этой волны, получим
kx).	A7)
Подставляя A7) в формулы A4), A5), получим
X
(*'.*'. z')dx'dy'dz', A8)
'"*[ У (*-*')* +(у-у'J+ ('-*')'-(*-*')
X IXFQiix', у', z')]4x'dy'dz'. A9)
До сих пор при выводе выражений для Ф мы не использовали ма-
малость длины волны. Используем теперь условие л<^А0 для дальней-
дальнейшего упрощения формул A8), A9). Обычный прием, при помощи
которого исследуются выражения такого типа при к —> оо,— это
метод стационарной фазы (см., например, [94]). Однако в случае,
когда мы хотим избавиться от ограничения |^лХ <^ ^, этот метод
в его обычной форме неприменим. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим более подробно поведение фазового множителя exp (iS),
где
-xy + (y-y')* + (z-zy-(x-x')]. B0)
Найдем уравнения поверхностей, на которых S — Sm — nm.
После простых преобразований получаем эти уравнения в виде
PS,= (У- У'? + (*- О* = ml(x-x') +^. B1)
Уравнение B1) задает семейство параболоидов вращения, вер-
вершины которых располагаются в точках хт = х + rnKji. Найдем
величину pm+i — pm = Apm, равную расстоянию между соседними
поверхностями. Простые вычисления дают
Х ~ Р-	B2)

284	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛ11 В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Для т J^> 1 и (х — х') J^> тк B2) превращается в
В случае, если У к (х — х')^>%0, фазовый множитель exp (iS)
при изменениях р меняется значительно медленнее, чем функция
ev (z\ У'> z')> которая может менять знак на расстояниях порядка
нескольких Яо.
Поэтому в A8) вблизи оси х (т. е. для не очень больших т)
множитель exp (iS) нельзя рассматривать как быстро осциллирую-
осциллирующий, что необходимо для применения метода стационарной фазы.
Это можно делать лишь в случае, если У Я (х — ?')«^Я0, т. е.
в случае применимости первого приближения геометрической
оптики. Однако вдали от оси х', т. е. при больших т, величина
Арт может стать меньше Яо. Соответствующее значение т можно
найти из неравенства
m
откуда
те^ Х(х~х') . XL
где L — расстояние, проходимое волной в неоднородной среде
до точки наблюдения. Подставляя последнее выражение в B1),
найдем соответствующие значения р:
XL
Заметим, что область пространства, ограниченная обратным
^ XL	- „
неравенством Р<Стт~' пРеДставляег собой ту часть пространства,
в которой сосредоточено рассеянное поле. Действительно, макси-
максимальный угол рассеяния имеет порядок АД0, так что соответствую-
соответствующий поперечный размер имеет порядок "KLfk
В области х' <^ х при р ^--т— функция exp (iS) является быст-
быстро осциллирующей по сравнению с г1 (г'). Что касается области
х' ]> х, то в ней расстояние между соседними поверхностями
S = пт и S — л (т + 1) не больше, чем к/2 (при х' = х Ар J[=
= к/2), т. е. при условии Я«^Я0 функция exp (iiS) всегда меняется
значительно быстрее, чем ег (г1).
Разобьем область интегрирования в A8) на две части плоскостью
х' — х и найдем вклад в Фх от области х'^>х. В этой области, как

{ 45]	УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	285
мы установили, функция ехр (iS) быстро осциллирует по сравнению
с в! (**') и поэтому интеграл может быть приближенно вычислен
при помощи метода стационарной фазы.
Применяя этот метод к интегралам по у', z', мы должны раз-
разложить экспоненту в ряд вблизи стационарной точки у' = у,
z' = z, а медленно меняющиеся множители взять в точке стацио-
стационарности
(x - x'f + (у - уУ + (z-zy-(x-x') =
-2(т' у\ <У~/У+ (*-*)' ¦
Обозначая вклад в Ф] (х, у, z) от области х'^>х через Фи, по-
получим
ki «? e-3ifc(oc-x')
ФХ1(а:, у, г) як ^ (-g-1,^ 6i(^; У. г) da:' X
х
—00
к*
X
00
= ±r^e***e1{x + x',y,z)dx'. B4)
о
Так как величина Фц является случайной, оценим ее средний
квадрат:
оооо
<(Фи (X, У, 2)J> = - X S е%* ^^ В* {Х> ~ Х>>) dX> dX"' B5)
00
Вводя новые переменные | = х' — х" и 2т| = х' + ж", получим
00	00	00
<Ф?! (Я, у, Z)> = - .* С Ве (Б) rf| С «*1 dri = - 4 ^ *»"* 5г (I) Й|.
»	-ft	*
B6)
Входящий в B6) интеграл можно вычислить приближенно,
вынося медленно меняющуюся функцию Bt (|) за знак интеграла.

286	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Предполагая, что среда обладает поглощением (т. е. Imft > 0),
получим
<а4(»,у.Я)>Я!ЗДв4-	<27>
Таким образом, ошибка, совершаемая при отбрасывании в A8)
интеграла по области х' > х, лежащей за точкой наблюдения,
в случае Wt,0^>l имеет порядок — се<^1. Как мы увидим ниже,
интегралы по области х' <^х всегда приводят к величинам, про-
пропорциональным La№, где а, р ^> 0; в этом случае мы всегда мо-
можем пренебрегать величиной о*, по сравнению с этими «интеграль-
«интегральными» величинами, растущими с L.
Рассмотрим теперь ту часть интеграла A8), которая распро-
распространена на область х'<^х, р^> . х . Ясно, что интеграл
и и э этой области будет имегь не больший порядок, чем Фи.
Таким образом, интеграл A8) можно вычислять лишь по облас-
i ^	^--Ъ(х — х')	-.
ти х <С.х, р<^ .	-, совершая при этом ошибку порядка <з,
(разумеется, аналогичные оценки справедливы и для интеграла
A9)). В области р<С—*~г	^-подынтегральное выражение может
быть в значительной степени упрощено, если использовать соот-
соотношение Jt<^Jt,0. В этом случае р<^(я — х') и мы можем вос-
воспользоваться разложением в ряд
к [ f(x — х'У + р3 — {х — х')\ =к[\х — х'\ — (х~х') +
Основной вклад в интеграл A8) дает интегрирование по облас-
области, в которой р<Г-^-т——• Потребуем, чтобы в этой области мож-
но было ограничиться первым членом формулы B8). Это приводит
к ограничению
^ Х(х-х')
а с учетом неравенства р<;—*—=	'-	к условию
Awe
^>f	B9)

g 45]	УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	287
Условие B9) является значительно менее жестким ограничением
на L, чем условие применимости первого приближения геометри-
геометрической оптики —-,-<^1,так как B9) можно представить в форме
\
HI il' .,	IL _- *¦!!
ir-j-<1 или ir*<u--
При вьшолнении условия B9) можно пользоваться первым
членом разложения B8) не только в области р <[ ^л (х — х'),
но и при всех р, так как вклад в интеграл A8) от той области, где
условие B9) нарушается, мал (он имеет порядок а?). В действи-
действительности интеграл по области р > Х^Х (х — х') с ядром, заменен-
замененным по формуле B8), не совпадает с интегралом по этой же облас-
области, вычисленным с точным ядром. Однако, так как оба ядра имеют
в этой области одинаковый быстро осциллирующий характер, то
оценка B7) имеет место для обоих ядер.
Итак, при выполнении условия B9) и малости величины at
по сравнению с интегралом по области х' <^х (уточнение второй
оценки будет произведено ниже) формулы A8) и A9) можно при-
приближенно записать в следующем виде:
Г.. г(у-у'J+ (*-*')'!
ехР 11"	977	Z*\	~ Г
	[-	L±X7X)	-W.i/'.z'),
C0)
у, z) =
1.	со	ixJ&to-V'r + l'-W
^dx' Ц dy' dz' -Л	 ^-^	*¦ IV<Dx (x', y', z'))*,
C1)
a	—oo
причем начало координат помещено на границе неоднородной сре-
среды. Выражение C0) является точным решением дифференциаль-
дифференциального уравнения
ф igL—лм.	C2)
которое получается из уравнения D) при подстановке в него УФ0 =
= ik = (iA, 0, 0) и пренебрежении членом -. д1. В этом можно
убедиться, вычисляя производные от C0) и подставляя их в левую
часть C2). При дифференцировании C0) по верхнему пределу

288	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
следует учесть легко доказываемую формулу
являющуюся обобщением известной формулы теории теплопровод-
теплопроводности (диффузии) на мнимый коэффициент диффузии. Само урав-
уравнение C2) аналогично уравнению диффузии в плоскости у, z, пер-
перпендикулярной направлению распространения, причем роль вре-
времени играет координата х, а коэффициент диффузии равен D =
— -sr-. При этом C0) представляет собой распределение «концент-
рации» диффундирующей примеси, создаваемой «нестационарным»
источником ех (х', у', z').
В заключение настоящего параграфа рассмотрим связь метода
плавных возмущений е геометрической оптикой. Предположим,
что выполняется соотношение yidj ^ к0, так что в C0) функцию
е± (г') можно считать плавно меняющейся (мы не требуем выпол-
выполнения более жесткого условия у^АХ-^Я^). Тогда к интегралу
*><*, У- ¦> = ? §
C3)
можно применить метод стационарной фазы, который в данном
случае сводится к разложению функции eL (z', у + ц, z + Z) в
ряд по степеням ц, Z,. Так как экспонента является четной функ-
функцией т), Z,, то в этом разложении следует сохранить лишь четные
по т|, ? слагаемые:
0
', y,z) ^2 , 1 дЧг {х\ у, г) Г2 , 1 д*е1(х',у, г)„4 ,_
- 134)
Выполняя интегрирование по г], ?, после простых вычислений
получим
X
ОМа;, У, г) = -^^{^в! (ж\ г/, г) —-^-(а; —ж') Ах^^', у, z) +
©]+••¦}*•¦-

о
X
45]	УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	289
у, z) dl —
16А jv" ъ/ "_i_4Vbt ui z)a|-r . . . C5)
о
Сравним выражение C5), являющееся рядом по степеням 1/&,
с решением, получаемым методом геометрической оптики (в пер-
первом приближении по ех). В разделе А было получено выражение
B.40) для эйконала 6, из которого следует, что поправка к фазе
волны, обусловленная наличием неоднородностей, равна
2
о
Это выражение совпадает с первым членом C5). Выражение для
логарифма амплитуды плоской волны, полученное методом геомет-
геометрической оптики, имеет вид D6.40):
X
%{х,у,г) =	|-jj(s- IYA± 8iE. -
(здесь опущен первый член формулы D6.40), который, как было
показано в § 40, пренебрежимо мал по сравнении; и приведенным).
Это выражение совпадает со вторым членом C5). Наконец,
при рассмотрении границ применимости первого приближения
геометрической оптики была получена поправка второго порядка
по 1/А, равная B5.43)
Это выражение совпадает с третьим членом C5).
Таким образом, разложение интеграла C0) в ряд по /с'1, по-
получаемое методом стационарной фазы, приводит к соответствую-
соответствующему ряду метода геометрической оптики, включая высшие при-
приближения последнего метода. Как мы убедились, разложение C5)
можно получить при выполнении условия yidj «^ \, при котором
к интегралу C0) можно применить метод стационарной фазы.
В случае же нарушения этого условия, как ясно из структуры
выражения C0), это разложение теряет смысл. Следовательно,
при нарушении условия YkL<^,Ku теряет смысл не только первое

290	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
(по к-1) приближение геометрической оптики, но и вообще весь
этот метод, так что и учет высших членов разложения по кГ1
не дает положительных результатов. В то же время выражение
C0) для Ф1 (г) сохраняется, если только не нарушено гораздо более
слабое ограничение B9).
Таким образом, метод плавных возмущений имеет более широ-
широкую область применимости, чем метод геометрической оптики, да-
даже если последний и исправлен путем учета конечного числа своих
высших приближений. В некотором смысле метод плавных возму-
возмущений суммирует бесконечное число высших приближений мето-
метода геометрической оптики.
§ 46. Флуктуации амплитуды и (фазы плоской волны
Применим метод плавных возмущений к расчету флуктуации
фазы и амплитуды плоской волны, распространяющейся в турбу-
турбулентной атмосфере. При выполнении конкретных расчетов удобнее
исходить из уравнения C2.45):
Воспользуемся для решения A) методом спектральных разложений.
Представим et (х, у, z) и (Dj (х, у, z) в виде двумерных стохасти-
стохастических интегралов Фурье — Стильтьеса A9.5):
в1 (х, у, z) = Bi (х, 0, 0) + g [ei<*.H-«*> _ 1] Ut (Ac,, rfx3, x), B)
—oo
oo
<t>i (x, у, z) = Ot (x, 0, 0) + g [el <*«+«*> — 1 ] и© (Ac,, dx3, *). C)
—CO
Подставляя разложения B), C) в уравнение A), получим
§	кЦ- х|) иФ (Ac, dx3, х) + Ш "^'^ +
1 "
оо
оо
2ik
—оо
00
к* Ц \&(«.^«i») — \]ut(rfx2, d*3, x). D)
—оо

5 4в]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	291
Положив в D) у = z = 0, найдем
00
S + из) «ф(d»d, rfxs, г) + 2iA^'У' = -*"Bl (*, О, О).
E)
Вычтем E) из D):
—00
+ ш
dx3, x). F)
Отсюда следует, что функция ггф(йхг, dx3, а;) удовлетворнет урав-
уравнению
Ш ^- — (х! + х|) цФ = — Aaue (rfx*. rfx3, ж).	G)
В дальнейшем мы будем обозначать -л\ + х| = ха. Решение
уравнения G) с граничным условием Иф (dx2, <fx3, 0) — 0 (это гра-
нвчное условие вытекает из формулы C0.45) для Ф^ имеет вид
х
, а;) = -у- \ ехр | —
n
tx iT
Формула (8) является двумерным преобразованием Фурье выра-
выражения C0.45).
Перейдем к вычислению структурных функций амплитуды и
фазы. Положим Ф= In A + iS, где А — амплитуда и 5 — фаза
волны. Тогда Фо = 1пА0 + iSv, тдеА0 и 50 — амплитуда и фаза
падающей волны,
Ф! = ф — Фо = In-4- + i (S — So),
т. е.
Фх = X + «1,	(9)
гДе X = In (A/Aq), Si — S — So. Нас будут интересовать струк-
структурные (корреляционные) функции амплитуды, фазы и их взаим-
взаимные корреляции; Все три функции могут быть получены
ю*

292	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
из следующих двух функций 11131:
<(<Di (П) - Фх (га)) (О! (i*i) - Ф1 (г,))> = />i (rlf г.,), A0)
<1ф1 (Г1) _ ф, (,.,)]!> = Z>2 (Гь Г,).	(И)
Действительно, подставляя Ф1 = X + ^п получим
А (ГЬ г,) = Z>x (ГЬ ra) + Ds (rlt га),	A2)
#2 (Л, Г2) =» Z)x (П, Г,) — Z>S (ГЬ Г,) + 2ШХ8 (Гь Г8), A3)
где
Da(rltrt) =
,r2) = <fx(ri)
Разрешая систему уравнений A2), A3), получим
A4)
A5)
А««4-1ш/)-	A6)
Выразим структурные функции Dt и D2 через спектральную
плотность иф. Мы будем рассматривать Dl {rv r2) при хх = хг.
В этом случае, подставляя C) в A0), получим
00
Dx(x,y, z;x,y',z') —
х
Z)a(x, у, г; ж.у'.г') = $§5$ [««сад*».*)—««(«.w+v')] x
—00
X [eWv+x.'^—e^'y'+x»'*')] <Цф (dX2i dx3) х) иФ (rfKj, dxs, ж)>. A8)
Воспользуемся формулой (8) для вычисления входящих сюда сред-
средних значений:
ъ, dn3, х)
XX
и о
d
X <ut (dx2, dx3, x') Ue (dfy, dx3, x")> dx' rfx*.	A9)

46]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	293
Учитывая соотношение
8, dx3, x') ut (dxj, dn3, x")) =
= б (хг — x2) в (x3 — x3) Ft (x-j, x3, z' — x") dxa d x3 dv.[ dv^, B0)
где ^e — двумерная спектральная плотность флуктуации е, и
подставляя B0) в A9), получим
, dx,3, х) u<b(dnt, rf%, а;)>=б (хг — х^) в(х3—
х У ^ ехр {'*' (аз~ *')} F. (х„ хз, х' - х") dx'dx'. B1)
о о
Обозначим через Ft (x2, х3, х) следующее выражение:
X X
О О
B2)
Подставим B1) в A7) и выполним интегрирование по х':
а;, г/, г; я, у', z') = С С
-оо
_е«с«1!;'+*^')] х
X [е-«к.1/+*.*> _ е -iCxtW'+x.i')] i?! (Ха, Х3,
=2 ^ {1 — cos [щ(у- у') + х3 (z - я')]} f! (х„ хя, я!)d**lx3. B3)
Вычислим теперь величину
- -?- JJ exp { - -ji-f х*(г -*')+. x'« (x - x")] } X
[| П
X <ue (^x2, dx3, x') ut (dxj, dx3, x')> rfx' dx". B4)
Так как величина et действительна, то, подставляя в равенство

294 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3
г[ = ех разложение B), получим
ОО	00
СС [е«(«,у+к.г)__l]Ut(dxg, dx3, x) = W [e-i<x*+v>—=1]и1(^х»,^х3,я:).
—00	—ОО
Производя в правом интеграле замену переменных интегрирова-
интегрирования ха -> —х2, х, —»• —Хд, получаем
.-со
охкуда следует соотношение
ut (dx,, dx3, ж) = Ue (—dxg, —dx8, i)
или, полагая dxt = —
* (d
«* (dxj, Ats, ж) = ut (—<1щ, — dx^, ж).
Подставляя это выражение в B0), получим
<и. (dx2, dx3, а;7) м, (—dx\, — dx, x")) =
= 6 (Иг — \) 6 (х3 — хр ^ (х2, хз, ж' — ж") dx2 dx3 ofx^ dn*.
Полагая здесь х = —х^, х^ =—х^, окончательно найдем
<ue (dx2, dx,, ж') м, (dx^, dx3, ж")> =
= S (x, + x;) б (хз + x5 F% (я,, х„ ж' — ж') dx4 dx3 dx; dx;. B0a)
Подставим B0а) в B4):
<Иф (dx2, dx3, ж) мф (dx^, dx^, ж)> —
= о (xj + x^) б (x3 + x3) dx2 dx^ dx3 dx^ F2 (x2, x3, ж), B5)
где
(x2, х„ ж) = - -? J J exp {— -g- Bж - ж' -ж")} x
о о
X Fz (Иа, хз, ж'— ж") dж' dx". B6)
Подставляя B5) в A8) и выполняя интегрирование по щ, х'3,
получим
ОО
Di (ж, у, z; ж, у', г') = 2 С \ {1 — cos [х2 (у — у') + х3 {г — г')j} х
~°°	ХР» (хг, хз, ж) dx2 dx3. B7)
Таким образом, функции Fy и /*г, определяемые соотношениями
B2), B6), дают спектральные разложения функций Dlt D3.

I 46]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	295
Перейдем к вычислению этих функций. При этом мы учтем ука-
указанную в гл. 1 характерную особенность функции Ft (ха, х3, |),
заключающуюся в том, что эта функция заметно отлична от нуля
лишь в области х| ^ 1. Поэтому в интеграле B2) существенна
лишь область | х (х' — х") | ^ 1. Но в этой области
-	*_
-	2*"'
Максимальные значениях, которые могут нас интересовать, имеют
порядок xm — j-. Поэтому
в силу малости длины волны по сравнению с внутренним.масшта-
внутренним.масштабом турбулентности. Таким образом, в существенной для интег-
интегрирования области аргумент экспоненты мал и можно считать
1
Следовательно,
4
[ [ F, (хг, х3, ж' — ж") rfx' dx".	B8)
и о
Функция/"е (Xj, х3, ж'— а;") является четной функцией (а;'—х").
Применяя форму iy
X X
J J / (*' - *') dx' dx" = 2 J (x -1) f (|) rfg,	B9)
о о
выведенную в разделе А, получим
^i (xt, Хз, x) = ~ \ (x — I) Pt (xt, x3,1) dg.	C0)
Значения структурных функций Dv Да будут интересовать нас
лишь в области У {у т— у')г + (г — z')a<^ я. В этом случае су-
существенны лишь значения х, удовлетворяющие условию нх ^> 1.
В то же время в C0) существенны лишь значения | из области
я|^ 1, т. е. |«^ х. Поэтому в C0) можно положить х — I ш
~ х, а интегрирование по ? распространить до бесконечности:
00
^i (х2, хз, L) = ^ 5 F, (х,, хз, №¦	C1)

296	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Исиользуя формулу
5 F. (х,, х„ 1) d% = яФе @, х,, к,),	C2)
о
связывающую двумерную и трехмерную спектральные плотности
(см. B8.5)), окончательно получаем
^i (хв, Из, L) = -y& ^Ф, (О, и,, из) •	C3)
Перейдем к вычислению F%. введем в интеграле B6) новые пе-
переменные интегрирования ? = х' — х", г\ = -%¦ (х' + %*)• Об-
ласть интегрирования в переменных (?, т|) — ромб, уравнения
границ которого г[ = -дI, ti== — yl. Л = ^ — 4"^'1J=a;"^ ^-
Как мы уже установили, существенной для интегрирования яв-
является лишь область малых ?: 11|<^ х, так как вне этой области
Ft (ха, и3, %) пренебрежимо мала. Поэтому интегрирование по ?
можно распространить с внутренней части ромба на бесконечную
полосу, ограниченную прямыми tj = 0, г\ = х. Следовательно,
F* (м,, из, *) ж - -^ jj ехр { _'«М*-Ч>| dT1 J /г, (Xli Хз, |) dg. C4)
Учитывая C2), получим
Ft (х„ из, а) *= - ^- Ф. (О, к,, из) ^ ехр {- '*' (rft~ *»> ] di\.
Выполняя интегрирование по т), получим окончательно
^(n2(H3,L)--^-5-(i-exp(-i^)H,(O, и2(к3). C5)
Из формул A4)—A6) следуют аналогичные соотношения для
спектральных функций F:
FiL = -Y[Fi.+ T\eFt],	A4а)
A1s = -|~lA'i —Re/?«I«	A5a)
4" Iltt F*-	A6a)

I 46]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	297
Подставляя сюда найденные выражения для Flt F%, иолучим
Fk (х2, х3, L) = ^ (l- Jjj- sin ^)фе @, хг, х,), C6)
Fs (х,, хз, L) = ^ A + -^ sin1^) Фе @, х„ х3), C7)
Fxs (х„ х3, L) = g (l - cos ^) Ф« @, х,, хз).	C8)
В случае локально изотропной турбулентности
Ф«@, х„ х3) = Ф. (Уу%лЩ = Ф. (х)
и функции /\, Fs, ^xs зависят только от х:
Fx(x, L) =-- ^(i- -^ sin^) Ф. (х),	C6а)
FB(x,L)= 5^A+-^ sin^)Ф.(х),	C7а)
^xs (х, L) =- g sin* ^ Фе (х).	C8а)
Отметим некоторые особенности формул C6)—C8). В случае,
если выполняется соотношение -т-*^ 1. т- e- ^i<^ ^, формулы
C6)—C8) можно приближенно записать в виде
gx),	C9)
D0)
(x, L) ж -J- *1Лх«Ф, (х).	D1)
При выполнении условия Я?<^А^, как мы убедились выше,
метод плавных возмущений переходит в метод геометрической
оптики. Поэтому выражения C9) и D0) совнадают с формулами
E4.40) и B1.40), полученными методом геометрической оптики
(D0) отличается от B1.40) множителем А*, так как последняя
формула написана не для фазы, а для эйконала).
В случае, если условие kL-^.1%, не выполняется, формулы
C9)—D1) справедливы для малых х, удовлетворяющих условию
х-^ Yk/L. Таким образом, геометрическая оптика всегда примени-
применима к крупномасштабной части спектра турбулентности.

298	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Даже в случае, когда Ф« (х)— х-ш», т. в. обращается в беско-
бесконечность при х -»> 0, имеет место соотношение F* (О, L) = О, отку-
откуда следует, что интеграл от Fx (x. L) сходится. Это означает,
что наряду со структурной функцией логарифма амплитуды су-
существует и ее корреляционная функция
= $ $ cos ("а1! + хз0 F* («г- хэ, х) d-Ki dx3, D2)
удовлетворяющая соотношению
0.	D3)
Аналогичное формуле для Fxe множитель ~тA—cos^r-j при
х -> 0 пропорционален х2, так что даже в случае, когда Фг (х) —
~ х-и'», интеграл от Fxs по х4, х8 сходится. Это означает, что су-
существует взаимная корреляционная функция
,) =
00
= 5 5 cos ("«Ч + **Z) Fxs (к«. 5*з, Ц dxj dx3, D4)
—оо
связанная с функцией DXe соотношением
Dx8 (р) = 2BXS @) - 2BXS (p).	D5)
В частности, при гх = га
<Х (I) Si (L)> = ^ J ^xs (х„ к,, L) dx2, rfxs.	D6)
§ 47. Структурные функции амплитуды и фазы
в локально изотропном турбулентном потоке
Найдем структурные функции Dx и Dt для локально изотроп-
изотропной турбулентности, когда Фе (х) задается соотношением
фе (х) = O.C
В случае, когда Fli2 зависит от х = г х| + х*, формулы B3.46),

$ 47]	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИЙ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ	299
B7.46) принимают вид
j"	B)
о
Подставляя C3.46) и A), получим
-? W C)
После замены переменных н = хтУ t формула C) принимает вид
со
Dt (р) = 0,03Ъл*к*ЬС1к^' I (I —Jo (xmp /О	(^)
Интеграл D) вычисляется, если разложить Jo в ряд. Вычисления
вполне аналогичны тем, которые проводились в разделе А при
вычислениях по методу геометрической оптики. Для D t (p) полу-
получаем после интегрирования
E)
Вычислим теперь ?>а (р). Подставляя в B) выражения C5.46)
и A), получим
со
D2 (р) = 0,033 2пЧк3С2Л [I— /0(хр)] х
о
При х-+0
так что интеграл F) сходится в нуле.
Обозначим
G)

300	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Нас интересует значение ЛA4/3). Интеграл G) сходится при
всох р <^ 5. Разобьем его на два слагаемых
оо
В (Р) = { [1 - Л (хр)] кг» ехр (	?-) Лс,	(8)
оо
= { [1 - Л (х
(9)
Интегралы (8) и (9) сходятся при р < 3. В точке /> = 3 функции
В (р) ж С (р) имеют полюсы. Однако в разности В (р) — С (р)
особенности при р = 3 компенсируются и функция А {р) ири
3 <^ р <С 5 может быть определена как аналитическое продол-
продолжение по р разности В (р) — С (/>). Интегралы (8) и (9) имеют тот
же вид, что и C), и вычисляются аналогичным образом:
A0)
С (р) можно получить из В (р), если заменить 1/х„ на 1/х^ + iL/k,
т. е.
i ц •
Таким образом,
Выражения A0) и A1) имеют полюсы при р — 3 (обращается
в бесконечность множитель F (— ^—)). Образуем разность А (р)—
= В(р)-С(р):
=. -4 г (-
A2)

5 47]	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ	301
Покажем, что фигурная скобка обращается в нуль при р — 3.
Действительно, при р = 3 мы получаем tFt (—1, 1, z) = 1 — z,
т. е.
4
и фигурная скобка обращается в нуль, что компенсирует прос-
простой полюс функции Г (— РТ ). Таким образом, мы можем рассмат-
рассматривать выражение A2) для р < 5 (при р = 5 появляется следую-
следующий полюс гамма-функции). Полагая, в A2)/?=14/Зи подставляя
A2) в F), получим выражение
§ г D-) fl
Функция Z)8 (p) зависит от двух безразмерных параметров:
(Z) носит название волнового параметра). Формулу A3) удобно
записать в виде
= - 0,033 ш* U Г (-i-) *2^ х^«L-i- X
- A+ «Z))iw[Л(--У-, 1.- j^L) -1]}. A3а)
Рассмотрим предельные случаи малых и больших D. В случае
D -> 0 разложим правую часть A3а) в ряд с точностью до чле-
членов порядка ZJ (это разложение несколько проще получать непо-
непосредственно из F), разлагая в ряд ехр (— iv?Ljk))
A4)

302	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
При помощи A4) можно найти функции Ds, Dx и Dxs для случая
D <§J 1, когда должна быть справедлива геометрическая оптика.
Подставляя E) и A4) в фориулы A4.46)—A6.46), найдем
0,033 я*Г D)
Dx (р) =	тГ^
G	\
¦g-, 1,— gj-*O, так что
0,033 л* Г
/>х (ос) = 2?х @)	^Г
Отсюда мы получаем для <%2> = Вх @) прежнее выражение A6.42),
полученное непосредственно при помощи геометрической оптики.
Если otDx (р> перейти к Вх (р) = у U?x (o°) — ^х (рI, то полу-
получим выражение A7.42).
При вычислении Dg (p) достаточно взять лишь первый член
A4):
D8(р) = 0,033яа|-Г{^)^LClC[xFi(-^, l,-*)-l]. A6)
Это выражение совпадает с формулой F.42), полученной при помо-
помощи метода геометрической оптики (в F.42) отсутствует множитель
/с2, так как это выражение записано для эйконала, а не для фазы).
Наконец, выпишем Dxs (p)'-
Acs (Р) = °'°3 4 ^ CfyLh& [l - xFx ({, 1,- g)} . A7)
Рассмотрим величину
Z>x (p) Ds (p) - <[X (ri) - X (*-гI!> <[^i (»'.) - А1, (г,I*> '
представляющую собой квадрат коэффициента корреляции между
флуктуациями разности фаз и разности логарифмов амплитуд
в двух точках тг и гг = Г\ -\- р. Подставляя в формулу для Rxs
выражения A5), A6) и A7), получим
i5ri,iD,i,*)T
nt 	L	И1	IS		1АЯ\
xs = 1	п	ш—/—5 \—т • ( >

j 47	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ	303
При р = ORxs =УЪЩ>~ 0,33, при р -> оо Rxs ^0. Тот факт,
что при малых р коэффициент корреляции оказался существенно
меньшим 1, объясняется тем, что одни и те же компоненты спектра
турбулентности по-разному влияют на амплитудные и фазовые
флуктуации. При р — > оо наибольший вклад в флуктуации раз-
разности фаз вносят неоднородности с размерами порядка р, в то
время как флуктуации амплитуды (при D <^ 1) определяются
неоднородностями порядка Яо, что и приводит к малым Rxs-
Рассмотрим теперь случай больших значений волнового пара-
параметра D, когда существенно начинают влиять дифракционные
эффекты. В этом случае
и
д2(р) = —0,033 /ngg:
7i(-^, l,-^-)-l]}. A9)
В области D ^>1 функция D2 (p) зависит от двух безразмерных
параметров: g и -|г- = ТТ*= 1ШГ • Параметр g/Z) пропорционален
квадрату отношения р к радиусу первой зоны Френеля.
Рассмотрим сначала случай g<^.\ ¦ Тогда и g/D <^ 1 и мы можем
взять первые члены разложения функции 1/'1 в ряд. В результате
получаем
0,033 л2 Г (~)
(р)«	^^ C*ft«Lx?p» + • • • ,	B0)
... B1)
Таким образом, при g*^i, т. е. р<^Я0, структурные функции Ог
bD2 квадратичны по р. То же относится и к функциям Dx, Ds, D%s-
11 x
0,033 я3Г -д-
1 — -г- COS -nr
= 0,41 Clk^Lkt1' [ 1 — 0,87 (-^-j 'J p* + .. . ,	B2)
Ds (p) = 0,41 C'tk*LkaU i ¦+ 0,871 yf I p8 + . . . B3)

304	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Таким образом, при 1>^>1 и g<<l функции Dx (p) и Ds(p) сов-
совпадают (с точностью до малой поправки порядка D''*).
Для Dxs (p) получим
Dxs (р) = 0,071 Clk"'- L'V + • • •,	B4)
а коэффициент корреляции оказывается равным
При/) ^> 1 величина RXs @)<^ 1, тогда как при малых значепиях
волнового параметра мы имели RXs @) ~ 0,33. Относительно боль-
большое значение Ry.s при D <^ 1 объясняется тем, что в случае гео-
геометрической оптики амплитудные флуктуации (изменения сече-
сечения лучевой трубки) определяются фазовыми флуктуациями.
Перейдем к рассмотрению наиболее важного случая D ^> 1,
g ^> 1. При этом параметр-^- = -—-может быть произвольным.
Используя асимптотику функции 1F1 при больших значениях g,
найдем
0,033 Л* D) Г D")
Z>x (р) =	}5/ КЧ CfrLp1' - 0,73 СУсЧр'1',	B6)
г (т) ^
36
- Г(«) (f)"" х
(р)
г(?)
х[^(-11,1,-Х)_1]}. B7)
Используя B6) и B7), запишем выражения для/)* (р):
Dx(Р) = |
B8)
Прежде всего найдем ?>х (°°), поскольку эта величина опреде-
определяет средний квадрат флуктуации. Для этого необходимо выяс-
выяснить асимптотику входящей в B8) функции XFX. Асимптотический

I 471	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ	305
ряд для Ji (а, у, г) имеет вид
гР 1 <*, Г, г) = Г(^а) (- *Г" G (а, а + 1 - Г,- г) +
+ ^Л-тС(г —а, 1 —а, г), B9)
где
Рассмотрим случай а = —И/б, у = 1. Так как z чисто мнимо, то
|е*| — 1. Величина а — у < 0, поэтому достаточпо рассмотреть
первое слагаемое в B9). В выражении для G мы возьмем первые
два члена, так как остальные приводят к малым поправкам
гЛ (- -g-, 1,- ш; = —^ 1Ж) [1 + (-е ) у + • • .J ¦
Подставим это разложение в B8). При вычислении действительной
части от i"f> 1F1 (—11/6, 1, —g/iD) главный член разложения исче-
исчезает, так как он после умножения на ?"/• становится чисто мни-
мнимым. Поэтому
lim Dx (p) = lira \ 0,73 \c\ k*Lp'i° + 1 l^rf r (?) Cj x
O-K»	O-*0O ^	I	\11/	\ " /
— V6^ /—V" — COS ( — ^1
Подставляя -~ = -Л~, убеждаемся, что члены, содержащие р1'»,
взаимно уничтожаются и что искомый предел есть
Dx (оо) = °^1 21'* 1Г (Ц) (- cos ^) C!fcf/' L"!'= 0,154 С*й"' ^"л. C0)
Отсюда мы получаем выражение для среднего квадрата флуктуа-
<Х2>- 0,077C\kVtt'\	C1)
Выведем также формулу для нормированного коэффициента
корреляции флуктуации амплитуды
Вх(Р) у[Д»(оо)-/>»(рI	Dx(p)
Ьх(Р) = 1МоГ =	г——	-^Я^Г- C2)

306	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Подставляя сюда выражения B8) и C1), получим после простых
преобразований
Из формулы C3) следует, что при D^>1 в области р^>^0
функция Ьх (р) зависит лишь от безразмерного аргумента ^- =
= 2?т' т> е- от отношения расстояния между точками наблю-
наблюдения к радиусу первой зоны Френеля. Формально мы можем
рассматривать C3) и при р—*0 (соотношение Ьх@) — 1 выпол-
выполняется), но при этом нарушается условие g^>l, т„ е. р^>А,0,
использование при выводе этой формулы. Формулой C3) можно
?	1
пользоваться при g^>i, т. е. -^-^"уг- Т1ри значениях же ар-
аргумента -JT- = ~ ^ -jj- <^ 1 формула C3) перестает быть спра-
справедливой и уступает место формуле, вытекающей из B2), C1)
и C2):
6,(р) = 1-12,Э ;'+... (р<Ьо).	C3а)
В области значений А.о<^ р<^ УАХ вид функции Ьх (р) опреде-
определяется формулой C3), в которой взяты лишь первые члены ряда
для ^j:
iir(ir)S)n?2-
= 1 - 2,3В (f)'U + 1,71 ^ - 0,024 (*-f J + ... C4)
Чтобы получить асимптотику функции Ьх (р) при р -* оо, следует
взять первые четыре члена в формуле B9) для G (— -g-,— у,— ^т-).
В результате можно получить выражение
где
-	= 0,0242.
Функция C3) изображена на рис. 45.

I 47]	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ
307
Рассмотрим теперь структурную функцию фазы I>s. Выра-
Выражение для нее удобнее всего получить из формулы
Подставляя сюда
Dx (р) = 2ВХ @) - 2ВХ (р) = 2 <Х*> [1 - Ьх (р)]
и используя выражение B6) для функции Dx(p) при D ^> 1,
долучим
Ds (р) = 0,73 С\к* 1р'/.- 0,154 Clk'1' L°u [1 — bx (p)]. C6)
При р^У^ЯХ второй член в C6) стремится к постоянной величине.
го
0,9
0.8
0,7
ИВ
0,3
0.2
01
О
-07
0,2 0,4 0.6
Рис. 45. Корреляционная функция флуктуации логарифма
амплитуды при условии V~
Z)s(p) = 0,73 С\кгЦ>'и (р>УХ1).	C7)
используем первые два члена разложения C4) функ-
в то время как первый возрастает и в выражении для
оставить лишь первое слагаемое:
При ^ У
ции Ьж (р):
Подставляя это выражение в C6), найдем
D8 (р) = ~ 0,73 C\k*Lp''' (
можно
C6а)

308	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3
Таким образом, выражения для/)s (р) при p^>]/AL и p^]
отличаются лишь коэффициентом 1/2. При р <^ Я,о функция
Ds (p) имеет квадратичный вид B3).
Выражение для Dxs легко получить из B7), взяв мнимую часть
/)s (р). Мы приведем лишь выражение -j- Z)xS(oo) = 5xS @). Ис-
Используя асимптотическое разложение функции tFlt получим
Bxs @) = <X^i> = ctg ? <х*> = 0,28 С? **'• Ln/\	C8)
Из этой формулы видно, что <X<^i> —' <Х2>-
Выражения для корреляционных функций флуктуации угла
прихода можно получить из структурной функции Ds (p) по фор-
формулам, аналогичным C5.40) и C8.40) (введя лишь дополнительный
множитель кг2 в правые части этих формул). Средний квадрат
флуктуации направления распространения на основании форму-
формулы B3) при D ^> 1 равен
<а*> = 0,41 C\Lktu.
Эта формула отличается от соответствующего выражения A1.42),
полученного методом геометрической оптики, лишь коэффициен-
коэффициентом 1/2. Радиус корреляции флуктуации угла прихода, как и в
случае D <^. 1, имеет порядок Kq.
В заключение этого параграфа дадим наглядное объяснение
полученных результатов. Основные формулы, определяющие
структурную функцию фазы, и выражение для среднего квадрата
флуктуации амплитуды можно вывести с точностью до численных
коэффициентов на основании простых качественных рассуждений.
Рассмотрим сначала случай геометрической оптики. Пусть
два луча длиной L располагаются параллельно друг другу на
расстоянии р, причем р ^> /0. Разобьем эти лучи на отрезки, дли-
длина каждого из которых также равна р. Число таких отрезков N
на каждом из лучей будет равно Л^ = L/p. Разность фаз, возни-
возникающая после прохождения волной выделенной пары отрезков,
имеет порядок AS -— крАп (р). Величина An в среднем равна
нулю. Средний квадрат разности фаз после прохождения одной
пары отрезков равен <Д^2>1—' А2р8< Ди2(р)>. Полное же значение
среднего квадрата разности фаз после прохождения всех N отрез-
отрезков равно
= N <Д5>х AV <Д" (Р)> у
Подставляй

I 47]	СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ	309
йолучим
V
т. е. выражение для структурной функции фазы при р ^> 10.
Если же р <^ /о, то длину рассматриваемых отрезков следует взять
равной 10, так как в пределах этого расстояния значение п при-
приблизительно постоянно. Тогда AS— W0An(p), N — -=- и
•о
Но в рассматриваемом случае (при р <^ Q
так что
Обратимся теперь к амплитудным флуктуациям. Пусть на
собирающую линзу с фокусным расстоянием F и радиусом R
падает плоская волна. Проведем плоскость, перпендикулярную
оптической оси линзы, на расстоянии х от линзы, т. е. на расстоя-
расстоянии F — х от ее фокуса. Тогда сечение пучка в этой плоскости
определится из равенства R/F — г/ (F — х), т. е. Rjr —F/ (F —х).
Если амплитуда волны до линзы равна Ао, а в сечении х она
равна А, то, очевидно, Л^Д2 = Л2г*, откуда А — AqR/г и
Отсюда относительное изменение амплитуды
61 _ х
Ао F — x'
Пусть x<^.F. Тогда ЬА/А0 — x/F. Отсюда сшедует, что если
имеются линзы с различными фокусными расстояниями, то наи-
наибольший эффект произведут те из них, фокусное расстояние кото-
которых минимально. Фокусное расстояние линзы определяется
известной формулой F = R/ (п — 1), где R — радиус кривизны
линзы. Если роль линз играют турбулентные неоднородности, то
п — 1 — CnR>h и F — R%ltICn. Тогда для наименьших линз
Я — 10 будет F — йг1Сп и -^j— ~-j?". Пусть на пути луча имеется

310	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
множество линз со случайными значениями F. Их число N равно
N = -г- , где L — длина трассы. Величина х для различных линз
'о
различна, но всегда ииеет порядок L. Тогда суммарный эффект
по порядку величины будет равен
Мы получили формулу для среднего квадрата флуктуации ампли-
амплитуды в приближении геометрической оптики.
Учтем теперь дифракционные эффекты. Они проявляются в
рассеянии волны на малый угол Х/1, где I — размер неоднороднос-
неоднородности. Никаких существенных изменений в механизме образования
флуктуации фазы при этом учитывать нет необходимости. Что
же касается флуктуации амплитуды, то здесь картина может су-
существенно измениться.
Если согласно геометрической оптике радиус пучка в плоскос-
плоскости х был равен г, то за счет дифракции он изменится на величину
порядка -д-. Если -^ <^ r^zR (при слабых флуктуациях г ж R),
т. е. \x<^.R2, то это изменение несущественно. Если же ~п-х^>
^>R, т. е. kx^>Rl, то дифракционная картина полностью опре-
определяет распределение освещенности в сечении х и весь фокусирую-
фокусирующий эффект линзы исчезает (дифракционная картина от слабой
собирающей и слабой рассеивающей линз приблизительно оди-
одинакова). Поэтому линзы, для которых kL^>R2, не обладают фоку-
фокусирующими свойствами и не влияют существенно на флуктуации
амплитуды волны. Если в турбулентной среде имеются линзы раз-
различных размеров, часть которых удовлетворяет условию XL^R2,
а часть — нет, то флуктуации амплитуды в основном будут вызы-
вызываться наименьшими из тех неоднородностей, которые еще обла-
обладают фокусирующими свойствами, т. е. неоднородностями, для
которых XL—R2. Отсюда следует, что в случае, когда XL^> $,
величина /0 в формуле, определяющей <FЛД4J), должна быть за-
заменена на У XL. Тогда мы получим
т. е. выражение, полученное методом плавных возмущений для слу-
случая yXL^> l0. Из приведенных рассуждений следует, что эту фор-
формулу можно интерпретировать как результат применения геометри-
геометрической оптики к среде, из которой изъяты мелкомасштабные неод-

{ 48]	СРЕДА С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	311
породности с размерами, меньшими у'XL. Такая интерпретация этой
формулы в некоторых случаях оказывается весьма полезной
(см. раздел Б гл. 5).
Отметим, что полученные выражения справедливы только
при условии/, <^ F. Если это условие не выполняется и, наоборот,
имеет место неравенство F<^L, то картина резко меняется. Если
рассмотреть короткофокусную линзу на большом рассстоянии
от точки наблюдения, то независимо от «знака» линзы ее присут-
присутствие приведет к расширению пучка (лучи будут казаться расхо-
расходящимися или из действительного, или из мнимого фокуса, при-
причем расстояние 2F между этими фокусами мало по сравнению с
расстоянием от линзы до точки наблюдения). В этом случае уве-
увеличение числа или «силы» линз, находящихся далеко от точки
наблюдения, практически не меняет амплитуду. Сильные же из-
изменения амплитуды будут вызываться лишь теми линзами, фоку-
фокусы которых лежат вблизи от точки наблюдения. В этом случае
при увеличении длины трассы ее «эффективно работающий» учас-
участок все время будет примыкать к точке наблюдения и относитель-
ный уровень флуктуации будет меняться очень слабо: наступает
насыщение флуктуации амплитуды.
Количественный расчет этого эффекта достаточно сложен и
еще не завершен окончательно. Мы приведем два варианта рас-
расчета — в последнем параграфе этой главы и в разделе Б гл. 5.
§ 48. Флуктуации фазы и амплитуды
в локально однородной турбулентной среде
с плавно меняющимися средними характеристиками
До сих пор мы рассматривали случай, когда интенсивность
флуктуации е была постоянна в пространстве.
Легко обобщить полученные результаты на тот случай, когда
величина С\ является функцией координат [108]. Такая модель
турбулентности была рассмотрена в гл. 1. В этой модели струк-
структурная функция DE (гь га) = <[в! (г{) — ei (гг)]2> имеет вид
D, (П, г2) = С?(^р)М0>(Г1-г2).	A)
Аналогичный вид имеют и спектральные плотности:
Ф. = С\ (ЦП-} ф»> (х) = Фе (*, U+П),	B)
Ft = С\ (П+П) Ff (х„ хя, Xl - xt) = Ft (х2. х,. х, - *,. ^р) .
C)

312	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Формулы B2.46) и B6.46) для двумерных спектральных плот-
плотностей FY и F% справедливы и в этом случае, так как при их выво-
выводе предположение о постоянстве С\ не использовалось:
х3, ж) =
X X
— x")
= T \ \ exp j—^	-} Ft (х2, х3, ж' — х",Ц^-) dx' dx", ('•)
о о
*й\Х2» Хз, X) —
X X
= — т *\[ехР {— 5ГBх — х'—х")\Ft(xi,na, х'—х",*' X Х") dx' dx".
E)
Здесь учтена зависимость функции Ft лишь от продольной коор-
координаты (х' + i")/2, так как характерный размер Lo> на котором
заметно меняется функция Ct (r), велик по сравнению с интере-
интересующими нас поперечными размерами (с радиусом корреляции
амплитудных флуктуации )/XL или с аргументом р функции D, (р)).
Подставим в D) выражение C) для Рг:
F\ (xi, x2, x) =
X X
= "Т \ \ С* {*' +2 Xl) ехр {"^аГ*"*} Р<°У (х*- хз. х> — х") dx'dx". F)
и о
Введем новые переменные % = х' — х", г\ — -^ (х' + ж").
Интегрирование по ? можно, как и раньше, распространить
на пределы от —оо до +оо, а экспоненту считать равной единице.
Используя соотношение
5 ?' (х,, х3,1)dl = 2яФ<0) @, х3, хз),	G)
—00
получим
х
Fi (хь xj, а;) = уЯ*Ч>10) @, х», х.) J СЦ (tj) ^
о
или, используя обозначение B),
L
Фе @, х,, х3, х) drc.	(8)

§ 48]	СРЕДА С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	313
Аналогичным образом вычисляется и функция F2-
—ОО
X
\ ^eO)(^«3,
ИЛИ
L
Ft (х2, х3, L) = — ^ \ ехр |—lK tLA~gj| Фг @, ха, х3, х) dx.
о
В формулы (8) и (9) входят интегралы от переысппой спектраль-
спектральной плотности. При этом в /\ входит просто усредненное вдоль
луча значение Фе, в то время как в F% усреднение происходит с
Г ЫЧ L —1I
весом expj	^	'Л.
Произведем расчет функций Dt и D3 для случая, когда ФеЭ)
задается формулой
Ф<0) (х) = 0,033 х-11''ехр (-¦?-)•	(Ю)
Подставляя A0) в (8), получим
?>х (р) = 4я 5 A -Л (xp)I Fx(x,
о
I.	ОО
= 2tf.0,033к*\ C2t(x)dx\
о	о
Это выражение отличается от формулы C.47) лишь тем, что в ней
вместо величины LCI фигурирует
LC\~>\c\(x)dx.	A2)
о
Следовательно, выражение для Dl (p) можно получить из соответ-
соответствующих выражений случая С\ = const при помощи замены A2):
A3)

314	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Найдем теиерь выражение для D2 (р) для спектра A0;:
x^ [1—
Используя формулы (9.47) и A2.47), в которых вместо L следует
подставить (L — я) и положить р — в/з, получим
._*n5/.
х)\ "
где снова обозначено g = .
Как и в случае С| = const, рассмотрим случаи D<^1 и
Если D<^\, то \ -\	^—-г	ш 1 Hi)i(p)s; — Dj (p). Поэтому
As (р) = 0,033 ла у Г A) ЛЛс^' X
Таким образом, фазовые флуктуации определяются интегралом
от С\ (х) вдоль луча.
Найдем теперь Dx (p). В этом случае следует разложить A4)
в ряд по D = ¦ т с точностью до членов второто порядка (это
разложение проще выполнить в интеграле, который приводит

I 48]	СРЕДА С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	315
к A4)):
D% (p) = -D1 (р) - 0,033 я« ikV (I) х? x
L-xJCf(z)dz+...	A6)
Найдем Я* (p) - 1 [/>! (p) + Re jD2 (p)]
L
^ (P) = Й 0>033 Г (j) «m [l -1^1 A, 1, - g)] J [L - ж)а С* (z) Лс.
"Ь	A7)
Сравним эту формулу с формулой A5.47), справедливой при
Cl = const. Мы видим, что вместо величины -^1?С\ в A7) фигури-
дует интеграл
Поэтому все формулы для амплитудных флуктуации в случае
D <^ 1 можно получить из соответствующих выражений случая
С\ — const заменой A8). Например,
A9)
Рассмотрим теперь случай/) ^> 1. В этом случае почти во всей
области интегрирования в A4) x-^/L — х)/к^>1, так что можно
считать
Аналогично
И——)»,^ f;- -.

316	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
так что
Въ (р) = - С1' 0,033 я*1Г D) A7' J С* (*) (L - хL' X
Из этой формулы видно, что вид функции D2 (р) зависит от функ-
функции С\ (х). Поскольку С\ (к) — произвольная функция, то,
не задавая ее конкретного вида, мы не сможем получить опреде-
определенной функции #2 (р)- Однако выражение для <%2> можно полу-
получить в общем виде. Так как
и <xs> = -o-^x (°°)i то нам необходимо найти D^ (p) и ZL (p) при
р -¦ оо. Из A3) легко получаем
Dl (p) *	tttv^-^'h\c*^dx
Подставляя асимптотическое разложение
5 1 ^Pa )	1
в B0), получим
о.озз я»-IГ Ш*'/»	j[f
Re /), (p) =	5 \6/ k'<- p'' \ C\ (x) dx +
+ cos A я) 0,033 Яа 1Г (I) A7' J C* (x) (L - xLt dx. B2)
и
Складывая B1) и B2), получим
Dx (P) = 0,033 л4 cos (™ я) | Г (j) **'• J Cj (as) (L- *)v' dx + O (-1) ,
B3)

} 48]	СРЕДА С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ	317
откуда найдем окончательную формулу:
x)Vtdx. (jD>1). B4)
о
Если в B4) положить С\ (х) = const, то мы получим прежнюю
формулу C1.47).
Функция Ds(p) может быть определена из соотношения
Z)g + Dx = Dt. Из него следует, что при р^>УКЬ, когда функ-
функция Dx{p) посгоянна и мала по сравнению с Du Ds(p) ~ А(р).
Таким образом,
D8(p) = 0,73*у/.$ Cl(x)dx (p> Y%L).	B5)
о
В области же р^-УкЬ вид функции Ds(p) существенно зависит
от Dx (p), т. е. в конечном счете от функции С* (х), и поэтому не
является универсальным.
Из полученных формул следует, что вклад различных неодво-
родностей в флуктуации фазы не зависит от их координат (напри-
(например, сдвиг фазы, вносимый плоскопараллельпой пластинкой,
не зависит от того места на луче, куда помещена пластинка).
В то же время вклад неоднородностеп е в образование амплитуд-
амплитудных флуктуации тем больше, чем дальше от точки наблюдения на-
находится неоднородность. Это находится в согласии с хорошо извест-
известным фактом, что если линза находится непосредственно перед
точкой наблюдения, то она не вызывает изменения интенсивности
излучения в этой точке *).
*) На первый взгляд может показаться, что формулы A9), B4) противо-
противоречат принципу взаимности, так как значения интегралов зависят от того,
помещено начало координат в точку наблюдения или вблизи источника. Ме-
Меняя местами источник и точку наблюдения, мы получим согласно A9), B4)
равные значения <^s>. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что фор-
формулы A9), B4) справедливы для плоской волны. Однако для применения прин-
принципа взаимности к плоской волне необходимо рассмотреть бесконечно уда-
удаленный точечный источник, расположенный за неоднородным слоем в свобод-
нон пространстве. Поэтому применительно к плоской волне принцип взаим-
взаимности утверждает, что если поместить точечный источник в точку наблюдения,
а точку наблюдения отнести на бесконечность (в свободное пространство за
неоднородным слоем), то уровень флуктуации в этих двух случаях будет
одинаковым. Но такая перестановка не эквивалентна перемене местами ис-
источника плоской волны и точкп наблюдения. Отметин, что для источника
сферической волны весовая функция при С\ (х) в интеграле, определяющем
<Х*>. симметрична относительно х и (L — х) я в этом случае <х2> одинаково
для волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

318	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
§ 49. Флуктуации амплитуды сферической волны
Для расчета флуктуации сферической волны используем
выражение A4.45), дающее значение Фх(г) для случая произволь-
произвольной функции 4% (г):
^S^f^"-	A)
В случае, если Yo (r) — сферическая волна, распространяющаяся
из начала координат,
и формула A) принимает вид
gilt | r-r' |+tk 0-'-r)
При К «^ Я.о в C), как и для случая плоской волны, существенна
лишь область между источником и точкой наблюдения, примыкаю-
примыкающая к прямой линии, соединяющей эти точки. Направим ось х
на точку наблюдения. Тогда г — {х, 0, 0} и в существенной для
интегрирования области \х — х' \ ji> \y' |, | z' |. Поэтому, как и в
случае плоской волны, можно положить в экспоненте
\г-г' | -х-х'- \-?±±L+	a\
а в знаменателе C) — просто \т — г' \ = х — х' + ... Интегри-
Интегрирование по х' распространяется на участок 0 < х' <[ х по у'
и z — на бесконечный интервал. Величину г' в экспоненте также
можно представить в виде г' = х' + ^—^р	V ¦••, а в знаменателе
положить ее равной х'. В результате получаем для Ф2 формулу
X	00
_	. » к?т [' dx' (Т , , , ,	Г.. *(j/'2 -f- г'2)!	, , ,
E)
Найдем величины ^^|> и <Ф1>, определяющие средние квадраты
флуктуации логарифма амплитуды и фазы. Вначале мы будем
предполагать турбулентность однородной. Для <ФХФ1> имеем
II	СО
СС	dx'dx"	CCCC (ikx
О О	—со
.? ^^ i- , у 	 у , 2 ^— Z ) Qlf CLZ Ну UZ r

{ 49]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	319
Положим у' — у" = т|, z' — z" = ?, у" = у, z" = z:
О 0
Внутренний интеграл по у, z легко вычисляется и равен
Подставляя это выражение в G), получим
dx'dx"
о о
5 Веix> ~х"^, С)
Воспользуемся двумерным спектральным разложением C1.5)
функции Bt(x' — х", г], I)
00
Bt (х' — х", т|, С) = Jj е* (*¦"+*.«) F? (ха, яа, х' — ж") rfxa rfx3. (9)
—оо
Подставляя (9) в (8), найдем
Цv-x%x-x-xl S-<*•• w*x
Й 0
X
—CO
Интегрирование по r\, t легко выполняется, и мы получаем фор-
формулу
XX	оо
<Ф1Ф1*> = J?.^dx' dx" W F, (я,, «з, я:' — я") X
О О	—оо
X expj—-—=—2кх~~—~~—•г^х2^«з, A1)

320	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
где введено обозначение ха = к\ + х|. В существенной для инте-
интегрирования по х области j х (х' — х")\^ 1. Поэтому
х! (х' — х") (х — х' — х")
х (ж —** — **) | к
2кх	^\	2кх	| к
так как х/А: ^ А,/А,о<^1. Поэтому экспоненту в A1) можно счи-
считать равной единице:
IS	ОО
О О	—ОО
ОО	'IX
= 4~ \{ dy-* dxs \ \ Ft («2, «з, х' — х") dx' dx\ A2)
—оо	О О
Подынтегральное выражение во внутреннем интеграле — четная
функция от (х' — х"). Применяя формулу
XX	X
\ \ Г е [Л2у »з, X — J. ) UJ, ил — 4 \ (Л	Ъ/ г t V*2i лз> Sj ug,
о и	о
получим
оо	х
<фгф*> = Щ- \\ dxa dx3 ^[ (ж — I) F, (Хз, «s» E) <*&.	A3)
—оо	О
При вычислениях флуктуации амплитуды, как было установ-
установлено выше, наибольший вклад вносят волновые числа порядка
t/Ykx. Отсюда следует, что в A3) существенное значение имеет
лишь область |^ У*кх<^.х. Поэтому можно считать х— | ^ х,
а интегрирование uo x распространить до бесконечности. Учиты-
Учитывая формулу
J * («2, «з, 6) dg = яФ« (О, X., х.).
о
получаем
оо
<Ф1Ф1> = -i^- JJ Ф€ @, ми X,) d«a rfx,.	A4)
—оо
Перейдем к вычислению величины <Ф?>:
О О	—00
]\	dz' W dz"-

§ 49]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛПЫ	321
Как и при вычислении интеграла F), введем у' — у" — т), z' —
— z" — С, у" — Уу z" ~ 2. Интегрирование по у, z легко может
быть выполнено, и мы получаем формулу, аналогичную (8):
хх	со
Снова воспользуемся спектральным разложением (9) и выполним
интегрирование по переменным т], ?:
XX	СО
*> = _ !L ^ dx' dx" Ц dxt da3 Ft (x,, «8, г' — a;') X
!L ^
<—-)J}. A7)
Введем новые переменные и = x' — х", v = -^-(x' + г").
Показатель экспоненты принимает вид
Но в существенной для интегрирования области хи ^ 1, поэтому
- 1 ^.
Акх
и, следовательно, величину иг/2 в A8) можно отбросить. Интегри-
Интегрирование же по и в силу быстрого убывания функции Fe (s^, x3, и)
можно распространить на бесконечные пределы. В результате по-
получаем
со	х
2
—со
Нас будет в дальнейшем интересовать величина Re <Фг>, через
которую выражаются флуктуации амплитуды и фазы. Действи-
Действительно, используя выражение Фа = % + iSu получим
<фгф^ =_• (%2у
откуда
В. И. Тататэский

322	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Взяв действительную часть A9), получим
СО	X
Re <Ф5> = - ^- Jj Ф, @, х2) х3) Ас. с/хз jj соя {кЧ> (^~ Р)} Л>. B0)
—00	О
Рассмотрим интеграл
$os*i?^*,.	B1)
При помощи подстановки | =	^—1" v получим
—JC/2
о
Входящие сюда интегралы выражаются через интегралы Френеля
г лС*	¦,	\ . Tit2
J	2 '	J	2
о
и мы получаем для / формулу
I -, / у.'-х \
\У }
Подставляя B2) в B0), получаем
Пс<ф1> =
При подстановке A4) и B3) в формулу
<Х2> = 4"
получим
sin ~S ( ]/U) ] Фе @, х2, х.,) dx2 dx3. B3)
. B4)

} 49]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	323
Для случая изотропной турбулентности, когда ФЕ@, х2,х3) =
= ФЕ (х), в B4) можно ввести полярные координаты по хг, х3 и
выполнить интегрирование по углу:
- <25>
При х -¦ 0 фигурная скобка в B5) стремится к нулю как х*. По-
Поэтому интеграл B5) сходится и в том случае, если при х —*¦ О
фе (к) имеет особенность (например, Фе (х) ~-х-113). Физически
это означает, что на флуктуации амплитуды крупномасштабная
часть спектра турбулентности не оказывает существенного влия-
влияния (как и для плоской волны). Это обстоятельство позволяет рас-
распространить формулу B5) и на случай локально изотропной тур-
турбулентности, хотя при ее выводе делалось предположение о ее
однородности. Выражение для среднего квадрата флуктуации
фазы сферической волны отличается от B5) лишь знаком перед
вторым членом в фигурной скобке. Однако в результате этого
выражение для <<$?> в случае локально изотропной турбулентнос-
турбулентности оказывается бесконечным (как и в случае плоской волны).
В предельном случае у\х<^'к0 величина oSF"^* во все**
существенной для интегрирования области.
В этом случае, разлагая подынтегральное выражение в ряд,
можно получить формулу
-	B6)
Сравнивая это выражение с соответствующей формулой, получен-
полученной для сферической волны методом геометрической оптики,
можно убедиться в их тождественности. В частности, при ]/\я«^
«^ h0 средний квадрат флуктуации логарифма амплитуды сфери-
сферической волны в 10 раз меньше, чем для плоской волны [65, 95, 112].
Произведем расчет флуктуации амплитуды для случая, когда
Фе (х) = О^ЗЗС^х-и*ехр (	?-\.	B7)
Соответствующие вычисления удобнее произвести, основываясь
на промежуточной формуле A9). Если подставить B7) в A9),
11*

324	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
то мы получим расходящийся интеграл. Однако, подобно тому
как это делалось при вычислениях флуктуации плоской волны,
мы подсчитаем эти интегралы для спектра вида
Ф? (и) = О,ОЗЗ<^х-* ехр (— ~)	B8)
при таких значениях р, при которых интегралы сходятся, а затем,
11
после образования нужной комбинации, положим р = -д-.
Подставляя B8) в A9), получим
о
СО
О2\dv\ «И>ехр|— у? [-\- +ij^^]}dx. B9)
0 0	m	¦
Внутренний интеграл вычисляется и равен
Следовательно,
<Ф?> = _ 4- 0,033я»Г A - -f) С\к- J [-i- + ^
C0)
Подстановка и = -у- + ? приводит к выражению
[-*-+ ?-?]*"«. CD
В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда |^0
(противоположный случай рассмотрен методом геометрической
оптики). Тогда в C1) 1/х^ <^ | ixjik | и величиной 1/х^ можно пре-
пренебречь:
?> « - о,оззя»г A - -I-) с*р E-
= — (i"") о,оззл2г D—^г1-"^*8"
C2)

; 49]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ	325
Входящий в C2) интеграл выражается через Г-функцию
t) dt- 2 B^-g-, 2 j- 2
о	Г[—
Подставляя это выражение в C2), учитывая формулу
nn-g-
и веяв действительную часть от C2), найдем
Найдем теперь величину <ФХФ*>* Используя A4), получаем
00
[ Фе (х) хdx = 0,033ягС\кгх
= -|- 0,ОЗЗл2Г (l — -|-) CtAAcST». C4)
Оба выражения, C3) и C4), получены при р < 2, когда схо-
сходятся представляющие их интегралы. Однако, как было показано
при анализе формулы B5), выражение для <х*>. равное полусум-
полусумме C3) и C4), конечно и при р >• 2, в частности при р = -j-.
Поэтому в выражении
<*'> = "Нт" °'033"аг t1 - -г) ^ka^"x-
можно уже положить ^= 11/3 *). Заметим, что отношение перво-
первого слагаемого в C5) ко второму имеет порядок
. V? 5/6
*> Легко убедиться в том, что при р = 2 выражение C5) остается конеч-
конечным, т. е. это выражепие является аналитической функцией р при р <. 4 и
им можно пользоваться при /> = -«- <С 4.

326	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
так как параметр у Хх/к0 предполагается большим. Поэтому в C5)
можно сохранить лишь второе слагаемое и мы получаем
'xu/'. C6)
Формула C6) для <хг> отличается от соответствующей формулы
для плоской волны лишь численным коэффициентом 0,031 вместо
0,077. Таким образом, при У"а-ж^>Я0 средний квадрат флуктуации
логарифма амплитуды сферической волны приблизительно в 2,5
раза меньше соответствующей величины для плоской волны.
Разница между флуктуациями амплитуды плоской и сфериче-
сферической волн постепенно уменьшается с ростом глубины проникнове-
проникновения х в неоднородную среду. Если при х <^J \1/Х отношение отих
Я2	?2
величин равно 10, а при ж^>-^оно равно 2,5, то при х^>-^-,
где Lo — внешний масштаб турбулентности, эти величины ста-
становятся одинаковыми. Последнее следует из формулы B5), из
которой видно, что в случае очень больших х второе слагаемое
в фигурной скобке несущественно, так же как и в аналогичной
формуле для плоской волны, и в этом случае мы имеем для них
одинаковые выражения.
§ 50. Границы применимости первого приближения
метода плавных возмущений
Метод плавных возмущений основан на приближенном реше-
решении уравнения для логарифма поля Ф путем разложения в
ряд по малому параметру е^ Кроме того, как и в методе геомет-
геометрической оптики, используется разложение по малому пара-
параметру Х/к0. Однако последнее разложение накладывает на ре-
решение значительно менее жесткие ограничения, чем в мето-
методе геометрической оптики. Как было показано в § 45, переход
от точного ядра дифракционной задачи exp {ikRjjR к ядру
exp (ik -^—j x с одновременным отбрасыванием интеграла по
области, лежащей за точкой наблюдения (это эквивалентно заме-
замене полного оператора Лапласа ДФ на оператор Д^Ф), может
быть произведен, если <Фц> =-т$а1 мало по сравнению с <Ф^>.
Вместо последней величины мы можем использовать <хг> (по-
(поскольку <5х> всегда больше, чем <х2»- Воспользовавшись фор-
формулой C1.47)
<Х2> = 0,

j 50]	ПРИМЕНИМОСТЬ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	327
мы сможем записать это условие в виде
— ai^O^nClk^L"':	A)
Условие A) содержит величину а*, определяемую крупномасштаб-
крупномасштабными компонентами турбулентности. Ее можно оце-
оценить при помощи приближенного соотношения а\ ^ 2ClL'o",
где Lo — внешний масштаб турбулентности, вблизи которого
происходит «насыщение» структурной функции Dt (r). Исполь-
Используя эту формулу, запишем A) в виде
'>1	B)
или
Из Bа) видно, что при %<^L vlL > Lo (что всегда выполняется
на практике) это условие не накладывает существенных ограниче-
ограничений на входящие в него величины. Более существенным является
условие B9.45)
L<?.	C)
использованное при переходе от точного дифракционного ядра
к френелевскому.
Перейдем теперь к оценкам, связанным с приближенным ха-
характером решения нелинейного уравнения для Ф [94, 114—116].
Решение уравнения для Ф было получено в виде ряда Ф =
= Ф1 -f Фгт •¦-, причем был использован его первый член Фх. Для
Ф2 мы имеем выражение C1.45)
L	м	Г- (У-УР-Н»-»')»!
*"*	луп \ 1 If —	г
X [VO!(x't y\ z'))\ D)
Найдем прежде всего среднее значение поправки

328	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	ГГЛ. 3
Для ее вычисления необходимо предварительно найти величину
([VOj]2). Рассмотрим для этого корреляционную функцию гра-
градиента Фх в плоскости х = L:
< V<Di (га) V«Di (г,» = ВуФ (г, - г,).	F)
При вычислении УФХ можно ограничиться лишь его «поперечной»
частью Vj_ (так же как при замене Д на Д^). Следовательно,
— г,)«
Но <Ф! (г\) Ф] (^2)> зависит лишь от г1— г%, поэтому можно заме-
заменить Vj^ (r2) на — Vj^ (Г]):
В?Ф (га - r,j = - Vi <Ф3 (г,) Фа (г,)>.	G)
Применим оператор V\ = A± к равенству A1.46):
As (П — г») s <[ФХ (rt) — Ф1 (г2)]а> = 2 <Ф?> — 2 <Фг (п) Фх (гв)>.
В результате получим
- А± <Ф2 (г,) Ф, (г,)> = -|- A±D* (^1 ^ ^),
так как (Ф?) зависит только от продольных координат.
Подставляя это выражение в G), найдем
5Уф(г1-г2) = -^-Д1/)г(г1 — г,).	(8)
Положим здесь гх = г2:
а]*> - Вуф @) = ± A±D2 @).	(9)
Для нахождения правой части (9) воспользуемся спектральным
разложением функции D2 (p):
оо
А (р) = 2 jjj [1 - в» <«.ч+«*)] F2 (х,, х„ *') йхг сЬсз, (Ю)
где {см. C5.46))
Р* (*„ х3, в') - -f-g- [l - ехр (-¦^)] Фе @, х,, х,). A1)

I so]	ПРИМЕНИМОСТЬ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯ	329
Применяя к A0) оператор Ах. полагая затем т| = ? = 0 и подстав-
подставляя A1), получим
= ^г $ t1 ~ехр (~"иг")]Фе @) Xtt
Выражение A2) не зависит от у', z . Поэтому в E) можно выполнить
интегрирование по этим переменным, в результате чего получаем
L
<O2(L, у, *)> = ^-^[УФх^', у', z')\^dx'.	A3)
о
Подставляя A2) и выполняя интегрирование по х', найдем
X Фе@, х2,
Рассмотрим отдельно действительную и мнимую части <Ф2>:
Re<<D,(L, у, z)> =
00
- 5ЙГ sin
00 oin2 ——
Im <Фа (L, г/, г)> = — ^f \\ 	f=- Ф, @, x,, x») <fxa dxs. A5)
В § 46 нами были получены формулы C6.46) — C8.46) для спект-
спектральных плотностей флуктуации Fx и FXs~ Сравнивая A4) с C6.46),
убеждаемся в том, что
—oo
oo
[/, x2, x3)dx2dx3 = — <x2 (?/)>, A6)
= — \\ F*s(L, x2, xs)dxsdx3 =—<x (L) Ji (L)>.
A7)

330	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Выше, в § 47 (см. C8.47)), было установлено, что величины <х5х> и
<Х2> пропорциональны друг другу (они отличаются лишь числен-
численным коэффициентом). Поэтому условия применимости первого
приближения метода плавных возмущений, вытекающие из
A6) и A7), по существу, одинаковы:
<Ха (?)> < 1.	A8)
При выполнении этого условия как логарифмы амплитуды, так
и фазовый множитель падающей волны мало отличаются от при-
принятых при расчете невозмущенных значений 1ш40, ехтрAкх).
Условие A8) непосредственно связано с законом сохранения
энергии. Волновое поле Y связано с Ф соотношением Y = ехр Ф.
Плотность потока энергии (если пренебречь несущественными
флуктуациями направления распространения, приводящими к
поправкам более высокого порядка малости) пропорциональна
4"F* = ехр (Ф + Ф*) = Al ехр (Фг + ф 4- Ф, + (tf +...) =
Записав Фг = <Фа> 4- [Фа — <Ф2>], получим
?	Re <Ф2»ехр {2% +2Re [Фа — <Фг>] 4- .. .}.
Усредним это выражение. Очевидно, что при распространении
плоской волны в неограниченном пространстве, не обладающем
поглощением, плотность потока энергии должна сохраняться,
т. е. должно выполняться соотношение <ЧГ?*> = const. Так как
случайные величины х и Re [Ф2—<Ф2>] стоят под знаком экспо-
экспоненты, то для выполнения операции усреднения необходимо знать
закон распределения вероятностей этих величин. Величина %,
как было установлено выше, выражается при помощи интеграла
от случайной величины ех. В случае, если расстояние L значитель-
значительно превышает радиус корреляции Lo флуктуации е, в силу цент-
центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распре-
распределения х приближается к нормальному *).
Аналогичные рассуждения можно было бы применить и к вели-
величине Ф2 — <Ф2>, но при выполнении усреднения мы не будем учи-
учитывать этого члена, так как он приводит к величинам более вы-
высокого порядка малости.
*) Для этого должны выполняться некоторые специальные условия,
налагаемые на моменты функции в], но мы не будем касаться здесь этого
вопроса.

j 50]	ПРИМЕНИМОСТЬ МЕТОДА ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ	331
Для любой случайной величины {¦ (распределенной по нормаль-
нормальному закону) имеет место формула
Применяя эту формулу, получим
<W> = 4ехр {2 Re <Фа» ехр {2 <Х8>} =
= ^exP{2[<x2>+Re<02>]}.	A9)
Подставляя сюда A6), приходим к соотношению
<ТТ"> = Al = const.
Таким образом, чтобы не вступать в противоречие с законом
сохранения энергии, необходимо учитывать в выражении для сред-
среднего поля второе приближение метода плавных возмущений. Если
же мы ограничимся лишь величиной Фи то необходимо требовать
выполнения условия A8), при котором доля энергии, переходящая
от регулярной падающей волны в энергию флуктуации, мала.
Можно было бы полагать, что, учитывая ослабление среднего
поля, даваемое формулами A6) и A7), можно существенно рас-
расширить область применимости метода плавных возмущений.
В этом случае в качестве падающей волны следовало бы задать
Фо = In Ао + ikr — <ха (г)> — i <x (г) Si (r)>,	B0)
где величины <ха> и <X^i) вычислены в первом приближении. Ос-
Основываясь на B0), можно найти уточненные значения и для флук-
туационной части поля Фг. В этом случае формулы для средних
квадратов флуктуации логарифма амплитуды и фазы волны совпа-
совпадают с полученными выше, но флуктуации в них понимаются как
отклонение от среднего значения B0), а не от невозмущенной вол-
волны. Однако более подробный анализ, который мы не приводим
ввиду его чрезвычайной громоздкости, приводит к выводу, что в
этом случае в выражении для <Ф> поправка следующего порядка
малости пропорциональна <х2J- Выражение для <Ф>, полученное
с точностью до членов четвертого порядка малости, для модели
«закона 2/3» равно
<Ф> = In Ао + ikr - <ха (г)> - i <х (г) Sx (r)> -
B1)
Поэтому формула B0), описывающая ослабление среднего поля,
также верна лишь при малых <х>а.
Этот вывод на первый взгляд находится в противоречии
с соотношением A9), из которого следует, что при Фо, задаваемой

.432	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРК	[ГЛ. 3
формулой B0), закон сохранения энергии выполняется. В дейст-
действительности же это означает просто, что в случае <хг> ~ 1 одно-
одновременно становятся существенными все члены ряда теории
возмущений как в выражении для среднего значения логарифма
поля, так и в выражении для среднего квадрата флуктуации лога-
логарифма амплитуды.
Возникает естественный вопрос: поскольку и метод плавных
возмущений ограничен условием малости флуктуации логариф-
логарифма амплитуды A8), то имеет ли смысл использовать этот метод и
не проще ли ограничиться методом возмущений применительно
к исходному волновому уравнению? Если в методе плавных
возмущений заменить логарифм амплитуды его первым членом
разложения в ряд| то получающиеся таким образом выра-
выражения можно непосредственно получить и* методом малых воз-
возмущений.
Формально преимущество метода плавных возмущений заклю-
заключается в том, что условие малости накладывается не на флуктуа-
флуктуации поля, а на флуктуации его логарифма, что является значи-
значительно более слабым ограничением. Однако имеется еще одно
существенное обстоятельство. В методе малых возмущении рассеян-
рассеянное поле является случайной комплексной величиной с гауссов-
ским (в силу центральной предельной теоремы) законом распреде-
распределения. Отсюда следует, что закон распределения вероятностей для
амллитуды является в общем случае смещенным законом Релея.
Но для этого закона распределения отношение < [А—(Л)]2)/^J
не превышает —— = 0,27. В то же время метод плавных
возмущений приводит к логарифмически нормальному закону
распределения для флуктуации амплитуды. Этот закон распреде-
распределения допускает любые значения отношения <[Л — <Л >]*>/< Л >г.
В экспериментах (см. гл. 4) очень часто наблюдаются значения
<1Л —<Л>]2>/<А>', превышающие 0,27 и, следовательно, не могу-
могущие быть объясненными при помощи метода возмущений. В то
же время логарифмически нормальный закон распределения очень
хорошо оправдывается экспериментально.
Таким образом, несмотря на существенное ограничение A8),
метод плавных возмущений имеет значительно более широкую
область применимости, чем метод малых возмущений, описываю-
описывающий лишь однократное рассеяние.
При экспериментальном исследовании флуктуации амплитуды
света, распространяющегося в приземном слое атмосферы, было
установлено, что метод плавных возмущений оправдывается экспе-
экспериментально при выполнении условия
/Op} = 0.28C,*' "L"'" < 0,8.

СИЛЬНЫМ ФЛУКТУАЦИИ	333
При этом значение отношения (U — <4>]г>/<^4>г равно 0,90. Та-
Таким образом, имеется большой диапазон условий, при которых
ложно пользоваться методом пяавных возмущепий, но уже непри-
неприменим метод малых возмущений.
Однако в тех случаях, когда полученная путем расчета вели-
величина
превышает 0,8, наблюдается резкое расхождение результатов
эксперимента с теорией (см. рис. 60 на стр. 406), объясняющееся
неприменимостью первого приближения метода плавных возму-
возмущений.
В следующем параграфе намечен метод расчета, пригодный
и в случае больших флуктуации логарифма амплитуды, когда
условие A8) не выполняется.
§ 51. Сильные флуктуации амплитуды и фазы плоской
монохроматической волны [178]
Как было выяснено в предыдущем параграфе, первое прибли-
приближение метода плавных возмущений позволяет рассчитать лишь
слабые флуктуации логарифма поля, ограниченные условием
<Х>2<^1. Между тем даже в такой слабонеоднородной среде, как
атмосфера, могут наблюдаться сильные флуктуации амплитуды
волны. Значение
o}(L)= 0,077СЗ№\	A)
представляющее собой вычисленную в первом приближении метода
плавных возмущений величину <х>2, при достаточно больших
к и L может значительно превосходить единицу (например, для
света, распространяющегося в приземном слое, aj становится
равной единице при обычных метеорологических условиях для L
порядка нескольких километров (см. гл. 4)).
В случае а? ^> 1 первое приближение метода плавных возму-
возмущений уже недостаточно. Более того, учет нескольких следующих
членов ряда теории возмущений, т. е. Ф2, Фа, ... , также не мо-
может дать удовлетворительного результата, так как одновремен-
одновременно становятся существенными все члены этого ряда. Таким об-
образом, для вычисления <х*> и Ds (p) в этом случае необходимо
применить другое разложение.
Прежде чем переходить к выводу соответствующих уравнений,
проведем качественное рассмотрение.

334	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Средний квадрат флуктуации разности фаз на расстоянии р
в плоскости х = L равен согласно C7.47)
DSl{9) = 0,lZC\&L9V'	B)
(фаза S снабжена индексом 1, означающим, что B) вычислено в
первом приближении). Подсчитаем на основании этой формулы
средний квадрат флуктуации разности фаз на расстоянии
р =YXL—УЬ/к, соответствующем радиусу первой зоны Френеля:
Таким образом, в случае, когда а\ (L) -~ 1, флуктуации разности
фаз на краях первой зоны Френеля становятся не малыми. Это
означает, что окружность радиуса}^XL в действительности больше
не является линией, отделяющей область, из которой в точку наб-
наблюдения приходят синфазные колебания. Внутри этой окружнос-
окружности можно выделить несколько областей, имеющих неправильную
форму, из которых излучение будет приходить в точку наблюдения
в фазе и которые будут в действительности являться зонами Фре-
Френеля. В отличие от общепринятого термина их можно назвать «ста-
«статистическими» зонами Френеля.
Появление статистических зон Френеля в корне меняет карти-
картину распространения волны. Промежуточную плоскость х = const,
на которой имеется много беспорядочных изменений фазы на
расстояниях порядка У XL, можно уподобить излучателю
высокого порядка, который, как известно, дает значительно
меньшее излучение, чем синфазный излучатель.
Рассмотрим простой пример. Пусть на пути плоской волны,
распространяющейся вдоль оси х, помещена линза, вносящая
сдвиг фазы
где т], ? — координаты в плоскости х = 0, где располагается
выходная плоскость липзы. Поле Е (х, у, z) в точке (х, у, z)
за линзой можно вычислить в приближении френелевской диф-
дифракции
к JKR	^
где R = У%% + у2 + z2. Подставляя

I 51]	СИЛ>ДЫБ ФЛУКТУАЦИИ
и выполняя интегрирование, получим формулу
335
Е (х, у, г) =
х. у. г)
V
1 +
2Ra !|
1Ч--
2fib
(мы не выписываем выражение для фазы, так как оно не пона-
понадобится в дальнейшем). Таким образом, логарифм амплитуды
равен
In A = la Au	ir
2Ra
г
Будем считать теперь коэффициенты а и Ъ случайными, причем
<а> = <Ь> = (ай)^ 0. Для простоты расчета примем, что а и b
имеют одинаковый закон распределения вероятностей
О при | я О q.
Найдем среднее значений
<ln Ay = и In A p (a) p (b) da db.
Производя несложное вычисление, получим
<1п А) — In Ао — -г- Is la |s2 — 1| + In
где
— величина, пропорциональная среднему квадрату флуктуации
разности фаз на расстоянии радиуса зоны Френеля. Точно так же
может быть найдена и величина
В случае s2 «^ 1 мы получаем отсюда
Заметим, что последнее выражение мы получили бы, считая, что
флуктуации фазы малы, и применяя метод возмущений. Если пост-
построить теперь согласно (*) зависимость </2> от <x*>i= -h-s2» to мы

336	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ЯОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
получим следующую картину. Прл <х2) <^ 1 эти величины равны
друг другу. При <Х2>1= 0,238 величина <х2> принимает максималь-
максимальное значение 0,713, а при дальнейшем увеличении <xa>i стремится
сверху к постоянному значению 0,5.
Из рассмотренного примера видно, что теория возмущений при-
применима к логарифму амплитуды лишь до тех пор, пока малы флук-
флуктуации разности фаз на зоне Френеля, т. е. пока не появляются
«статистические» зоны Френеля. В случае же, когда <Xa>i^>l>
величина <Х2> перестает возрастать при увеличении <x2>i-
Перейдем к более строгому расчету. Из приведенных рассуж-
рассуждений следует, что для получения результатов, справедливых, при
о\ ^> 1, необходимо учесть искажение распространяющейся плос-
плоской волпы.
Вернемся к исходному уравнению B.45)
ДФ + (V<DJ + к2 + k4i (г) = 0	C)
и произведем в нем подстановку
Ф = 1пЛ0-МА!г + ф(г).	D)
Тогда УФ = Не + V<p, АФ = Дер и C) примет вид
Дф + 2г'ЛУф + (УфK + к2гу (г) = 0.	E)
Произведем подстановку
Ф = uw.	F)
Тогда
Уф = uVw -f- u>Vm, Дф = мДш + 2Уи Vw + wAu
и уравнение E) после группировки членов принимает вид
uAw -f- [2Vw + 2?&ы -f- u?Vw + uw^ju] \jw +
+ [Am + 2ifeVM + uWuWw + w (Ум)а] w + к2ег (г) = 0. G)
Так как вместо одной искомой функции ф мы ввели две функции
и и w, то можно ввести дополнительное уравнение, связывающее
эти функции. Потребуем, чтобы коэффициент при Vu? в G) обра-
обратился в нуль:
2Vu + 2ihu + u*Vw + uwVu = 0.	(8)
Разделив это уравнение на и, получим
2Vln« + 2ik + uVw + wVu = 0,
или
V [2 In и + uw] = — 2ik.	(9)

g 51]	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	337
Интегрируя это уравнение, найдем
2 In и + uw =; — 2ikr	A0)
(постоянная интегрирования выбрана равной нулю). В уравнении
G) выпадает член с Vw и оно принимает вид
uAw + [Аи + 2ik\u + uVuVw + w (yuf] w + PEl (r) = 0. A1)
Применим к (8) оператор V. Перенося затем часть членов в пра-
правую часть равенства, получим выражение для коэффициента при
w в (И):
F = Аи + 2ikVu -f uVuVw + w (VwJ = —Аи — 2uVuVw —
— «2Au> — uwAu = — Aw — и [wAu + 2VwVu 4- uAw} —
= —Ди —иД {uw) = —u[AInu + (VlnuJ+ A(uw)].
Применяя к (9) оператор Д, имеем
2Д1пм + A(uw) = 0,
откуда
Подставляя это выражение в A1), окончательно получаем после
деления на и:
Aw + [Mnu — (Vlnu)*]w + ^^- = 0.	A2)
Система уравнений A0), A2) эквивалентна исходному уравнению
E). Первое приближение метода плавных возмущений эквивалент-
эквивалентно пренебрежению в уравнении E) членом (Vtp)*. Па языке функ-
функций и, w это эквивалентно пренебрежению членом то в A0).
В этом случае (отмечая первое приближение индексом 1)
u1 = erif",	A3)
Д In иг — (V 1м М1J = к2,
так что
Д wx + khvi. = — кЧг {г, е*'.	A4)
Это уравнение совпадает с (9.45). Поэтому	A5)
«Pi = «i^i = Фг
Чтобы учесть отличие падающей волны, роль которой играет и,
от плоской, в уравнении A0) следует сохранить член uw.

338	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Мы произведем учет этого члена методом последовательных
итераций. В первом приближении будем считать его равным,
согласно A5), Фг Дальнейшие итерации будут выполнены после
анализа первого приближения. Подставляя в A0) uwzz<t>i, полу-
получаем
2 In и = — likr — Фх (г),
откуда
и (г) = е 2	A6)
Подставим A6) в уравнение A2). Для коэффициента при w
получим
Д in и— (V In uJ = кг— ~	^
(в последнем равенстве использовано уравнение, которому удов-
удовлетворяет Oj). Тогда
_ ^_вг (г))	L (УФ.K] w = _A«eilkr+ 21ф'(г)?l (r). A7)
Как следует из этого уравнения, w имеет порядок малости еь
так как правая часть A7) содержит этот множитель. Поэтому
в левой части A7) можно отбросить величины более высокого
порядка малости eyw и (УФ,J». Учет этих членов позволяет
описать эффект убывания среднего поля за счет рассеяния
(см. гл. 5), которым мы будем здесь пренебрегать. Тогда уравне-
уравнение для w принимает вид
&w + Pw = - k*eihT+ Т Ф'(Г) в, (Г).	A8)
В отличие от соответствующего уравнения A4) метода плавных
возмущений, рассеиваемая волна в A8) имеет вид
ехр (ikr +4 Oi(r)).
т. е. в ней учитываются (в первом приближении) искажения фазы
и амплитуды, описываемые множителем ехр (~^- Ф1 (г)\ .
Множитель
ехр D-Фх) = ехр (— X! + ± Si)

j 511	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	339
содержит как амплитудные искажения Хи так и фазовые 5Х.
Легко видеть, что определяющую роль играет множитель ехр(| Si),
который может, в отличие от ехр [yXil» менять знак. Кроме того,
в турбулентной среде <х|) имеет конечное значение, в то время
как <5i> для модели «закона 2/3» равно бесконечности. Мы поэто-
поэтому для простоты расчета учтем лишь фазовые искажения рассеи-
рассеиваемой волны. Тогда уравпение A8) примет вид
-	A9)
Решение этого уравнения дается формулой
dV.	B0)
Умножая B0) на выражение A6) для и, в котором также отбро-
отброшен малосущественный множитель ехр -=-Xi (**) > получим
4" tSl<r/)-S'<r)]
Направим ось х по вектору к и разложим, как и в первом прибли-
приближении метода плавных возмущений, | г — г' | в ряд
\г~г'\ - \х-х']+ (у-УУ+ («-«')' |
Ограничим область интегрирования слоем 0 <[ х' <^ х, что бы-
было обосновано выше. В результате получаем
, , , ,
dy'dz
^^8'^. B2)
Эта формула отличается от выражения для Ф1 добавочным мпо-
жителем ехр |-^- Ь5г (г') — 5х (г)]\ под знаком интеграла. Заме-
Заметим, что она содержит члены ряда теории возмущений для Ф лю-
любого порядка, т. е. Фг, Ф2, Ф8 и т. д., в чем легко убедиться, если
разложить в ряд ехр Г-|- (^ (г') — 5Х (г)) . Поэтому формула
B2) приближенно суммирует бесконечную совокупность членов
ряда Ф = Фх + Ф2 +...

340	РАСПРОСТРАТТКНИК КОРОТКИХ. ВОЛН В АТМО(',ФЕ1'К	lr;i. Я
Действительная и мнимая части B2) дают выражения для ло-
логарифма амплитуды и флуктуации фазы:
х
<23>
B4)
Средние значения выражений B3) и B4) уже не равны нулю,
так как величины St (r') и eL (r1) не являются статистически неза-
независимыми Можно, однако, утверждать, что корреляция между
ними очень мала. Действительно, Sx (r) определяется интегралом
от ег по большому объему, примыкающему к лучу, входящему
в точку г. Поэтому коэффициент корреляции между е, (г) и Sx (r)
имеет порядок Ljx «^ 1, где?0— радиус корреляции флуктуации
е1. Поэтому в первом приближении можно считать, что величины
ех и St (г') — Sx (r) статистически независимы, и в этом случае для
величины <х) мы получим нуль. В действительности путем прямого
вычисления легко показать, что (х) — величина второго порядка'
малости по е^ Мы найдем <%> после вычисления <%2>i а сейчас обра-
обратимся к вычислению последней величины. Здесь мы также исполь-
используем соображение о независимости St (г') — Sx (r) и eL (r'},
а также учтем, что Sx (г') — 5Х (г) как величину, определяемую
интегралом от гг по большому объему, можно считать распределен-
распределенной по гауссовскому закону в силу центральной предельной тео-
теоремы.
Возведем B3) в квадрат и усредним. Введя обозначения
получим, учитывая независимость olia и ех (г'):
X <cos (a, -f ax) cos (a2 + aa)>. B5)

§ 511	СИЛЬНЫЙ ФЛУКТУАЦИИ	IVl1
Преобразуя произведение косинусов, имеем
<cos (их + Лг) cos (аг + <Ха)> ^
J.
~2
= -=- <cos (ay + Oh. + <*i + «2)> + -^ <cos (ar — аг + at — <x2)> =
= -i- cos (ai + a2) <cos (cti + oc2)>	i- sin (aj + аъ) <sin (аг + аг)> +
+ ~y cos (at — a^ <cos (ai — я2)> — -у- sin (ai — аг) <sin («i — as)>.
Теперь заметим, что для случайной величины у «т> — 0), рас-
распределенной по гауссовскому закону, имеет место формула
откуда
<cosr> = exp(	5~<Т2>), <sinr> = 0.
Величины ax ± «г имеют гауссовское распределение вероятностей,
и их средние значения равны нулю. Применяя последнюю форму-
формулу, получим после небольших вычислений
<sin(a1±a2)> = 0,
<cos(a, —<ц)> = exp {_-l-Z)Sl(r', r
<cos(aH- a2)> = exp \— ^[2DSl(r,r')+2D8i(r,r")~DBl(r',
B6)
где
DSl(ri, rt) = <[51(r1)-
Подставляя эти выражения в B5), получим
О	0	00
X В, (г', г") {ехр [_-J-Д8, (г', г")] cos
+ exp [- -1- Bi>s, (*•• *") + 2D8l (r, r") - D8l (r', r"))] X
i-де
PS = (У - У')

342	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	?ГЛ. 3
Это выражение отличается от соответствующей формулы первого
приближения метода плавных возмущений наличием дополнитель-
дополнительных экспоненциальных множителей. Аналогичная формула для
<?"> отличается от B7) знаком перед вторым слагаемым в фигур-
фигурных скобках.
Произвести расчет по формуле B7) довольно затруднительно.
Поэтому мы используем ряд дальнейших упрощений, которые но-
носят характер довольно грубых оценок, но физический смысл ко-
которых достаточно ясен.
Используем то обстоятельство, что продольный радиус корреля-
корреляции флуктуации фазы, как показывает простой расчет, очень велик
и имеет порядок длины всей трассы. Например, в приближении
геометрической оптики, которое хорошо описывает флуктуации
фазы, St (rf) определяется интегралом от ех вдоль луча, идущего
в точку г'. Если рассмотреть вторую точку г" на том же луче,
то в интеграле, определяющем St (r"), большая часть пути инте-
интегрирования будет той же самой, что и в интеграле для Sx (rr).
В структурной функции DSl (rr, г"), входящей в B7), точки г', г"
имеют различные продольные координаты х', х". Используя силь-
сильную корреляцию флуктуации фазы вдоль оси х, можно приближен-
приближенно записать
DSl(г', О « А,, (^4^ , | Pi - р. |).	B8)
где DSl (х, р) — структурная функция фазы в плоскости
х — const. Через рх и р3 обозначены векторы с компонентами Pl =
= @, y — y',z- z'), p2 = @, у - у", г - z").
Рассмотрим теперь выражение
А = WSl(r, r') + 2DSl (r, r") - DSl(r', г").
Используя те же соображения, можно приближенно считать
Мы упростим это выражение еще больше, заменив его на
B9)
Основанием для такой замены является близость структурной
функции
•°s, (x, p) = const р*'«

J 51]
СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
343
к функции const ps, для которой последнее соотношение выполня-
выполняется точно. Кроме того, оно выполняется в точках рг = 0 или р, =
= 0 в случае DSt (x, p) ~ р5^ *).
Используя приближенные соотношения B8), B9), запишем
выражение B7) для <хг> в виде
X В?
о	о	со
? (г', г") {exp [_^-/)S|(fl+fl
x-p,)] X
Рассмотрим первое слагаемое в C0). Существенная для интегри-
интегрирования по р!, рг область определяется множителем
cos
Г *pj	*p8 1
[2(х-Х') 2(»-»-)J-
Аргумент косинуса имеет порядок
*<Р?-р2а)
чение знаменателя). Интеграл по области, где
(вэято среднее ана-
— х-—х"
за счет осцилляции косинуса мал. Поэтому основное значение
имеет интегрирование по области
*<р}-р!>
* 	 д.' 	 д."
<1
В этой области аргумент | рх—р21 функции Ds, ( —t
имеет порядок
Pi—Рг
2г — I'— х"
C1)
*) Простые оценки показывают, что совершаемая при атом в показате-
показателе экспоненты ошибка в существенной для интегрирования области, опре-
определяемой формулой C2), не превышает значения 0,25.

344	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
где (J — некоторая численная постоянная порядка единицы. Такие
же рассуждения можно применить и ко второму слагаемому в
C0), что приведет к оценке
-;'-*"	C2)
для аргумента функции DSt (—~— , \ pL -f р2|). Постоянные (j
в C1) и C2), вообще говоря, могли бы быть различными, однако
для упрощения расчетов они взяты одинаковыми.
Используя C1) и C2), получим для <ха>
<33>
Аналогичная формула для <<S> отличается от C3) заменой
косинусов в C3) на синусы. Формула C3) сводит рассматриваемую
задачу к решенной выше задаче о флуктуациях амплитуды и фазы
в среде с плавно меняющимися средними характеристиками тур-
турбулентности. Действительно, если рассмотреть «эффективную»
корреляционную функцию
(г\ г') = Яе (г\ г") ехр {- ±D
C4)
X'
зависящую от —-=— , то мы приходим к этой задаче. Применитель-
Применительно к «закону» 2/3» для флуктуации ех формула (.34) дает зависи-
зависимость «эффективной» структурной характеристики С\ от координа-
ты | =
или
С% (I) = С\ ехр {^-1^, F, P|/^f^) }	C5)
С\ (|) = С\ ехр {-0,16pV#4 (« -1)"-},
где мы использовали формулу B) для DSl (я, р).

} 51]	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	345
Воспользуемся теперь формулой B4.48) для среднего квадрата
флуктуации логарифма амплитуды в среде с переменным С\
л.
<Х2> = Ц- ¦ 0,077А% jj С\ (?) (х - |)М	C6)
о
и подставим в пес выражение C5):
X
<Х4> = ^-0,077Clkv- jj (х -?)''• exp {-0,16р"'№? (х - ?)"'} dg.
о
C7)
Произведем замену переменной 5 = хр. Тогда
1
<Х2>
Подставляя 0,077Ctfc!'x"!l = <s\(x) — результат расчета <х2>
в первом приближении метода плавных возмущений, получим
<Х2> = -у- о? (х) J A - р)% ехр {- 2,lW (Я) р A - jo)''} djp. C8)
Мы видим, что (%гу является функцией от величины а\ (х), най-
найденной в первом приближении. Анализ выражения C8) показывает,
что при о\*^ 1 <Х2> ~о\, а "Ри а\ ~* оо величина <^2> стремится
к постоянному пределу
11
Обратимся теперь к структурной функции фазы. Восполь-
Воспользовавшись формулой B5.48)
X
Ds (x, p) = 0,73*V'. \ Cl (I) dl,	C9)
и
подставляя C5) и вводя 5 = рх, получим
DSl (х, р) = 0.73CJAV'* $ ехР {-2,ipViaJ (*) p(i- P)'U} dp =
и
,lp'/a o\(x)), D0)

346	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
где
Таким образом, Ds, (х, р) отличается от DSl (х, р) дополнитель-
дополнительным множителем <р. Функция <р (г) ш 1 при г^ 1. При z —* оо
имеет место асимптотическая формула ю (г) » —.
Таким образом, при а*^>1 функция Z?g2 (x, р) сильно отли-
отличается от принятой при расчете функции Dst (x, р). Это означает,
что первое приближение для uw, взятое при расчете, оказывается
недостаточным. Подставим функцию D0) в C5), а затем получен-
полученное исправленное значение С\ — в C9):
Ds,(x, р) = 0,73С!*у.$ехр{—J-
о
В результате получим следующее приближение Dg,- Повторяя
эту операцию многократно, и учитывая, что процесс последова-
последовательных итераций сходится, получим в пределе соотношение
Ds{x, P) = 0,73Cfry/^exp{--l-Z)s(i, p ]/2^-g))}^, D1)
представляющее собой интегральное уравнение для определения
предельной функции Ds (ж, р).
Докажем, что процесс последовательных итераций, производимых
по формуле
*, Р) = DSl {x, р) -
о
сходится. Рассмотри»
Так как ?>Si>0, т° J^s.<^^>Si- Кроме того, очевидно, D
Рассмотрим теперь Ds . Используя неравенство DSi<^DSi, получим

I 51]	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	347
т. е. -Ds>jDSj. Но, так как Z>s,>0, то, очевидно, Ds><^DSt. Итак, мы
показали, что Рд^?'s,^>-^s»- Рассмотрим теперь DSt; с одной стороны,
используя неравенство ?>gt<C DSi, найдем
$
о
G другой стороны, из неравенства ^g,]> -Dg, следует
11
о	о
Таким образом, из доказашшх вьппе неравенств DSi~>DSu> Ds^ вытека-
вытекают перавепства Us > Ds > Z>Sj. Последнее рассуждение можно повторить
и дальше, в результате чего получим •E*s,<^st<^sJ • ^s^^s.^-Psj
и т. д.
Таким образом, результат каждой последующей итерации лежит меж-
между результатами двух предыдущих итераций, откуда и вытекает сходи-
сходимость этого процесса.
Введем масштаб / согласно соотношению
2,1 PV @ = 1, т. е. 2,1-0,077 f'Clk'L'l"'- = 1.
Этот масштаб определяет расстояние, на котором средний квадрат
флуктуации логарифма амплитуды становится по порядку вели-
величины равным единице. Будем искать функцию В3 (х, р) в виде
Da (х, р) = 0,7ЪС1кУ'х • / (~г).	D2)
где / (?) — безразмерная функция безразмерного аргумента. Под-
Подставляя D2) в уравнение D1), получим, полагая р = -|-:
Р.	D3)
Обозначим t = xfl. Воспользовавшись определением /, получим
Следовательно, уравнение D3) принимает вид
1
/ @ = jj ехр {- t'4'p A - р)У (pt)} dp.	D3a)

348	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Положив здесь t = 0, получаем / @) = 1. Дифференцируя D3а)
по т = t"/' и полагая затем т = 0, можно найти [df (тг)Д?т]т=0,
откуда получаем разложение в ряд Тейлора
Найдем асимптотику / (t) при t^>i. В этом случае в D3а)
существенными для интегрирования являются две области:
pta/t<i и A — p)''VVl < 1. В первой из них ^=-1_<<1и
функцию / {pt) можно считать равной единице, а A — р) zz. 1.
Тогда интеграл по области вблизи р = О^цаст const t~ ''. В обла-
области же A — р) V'' < 1, примыкающей к р = 1, функцию / (pt)
можно приближенно заменить на f if), р — на 1 и
1	1
/ @ « J ехр {- f"/./ (t) A - Р)Ц dp = jj exp {- ta'1 (t) РЦ dp «
о	о
Разрешая это уравнение относительно / (t), получим
D5)
Так как D5) убывает при t -» оо как Г1, а интеграл по области
р <^ 1 дает вклад const Г"'', то существенной оказывается только
область р яа 1 и асимптотика / (f) имеет вид D5).
При промежуточны 1 значениях t функция / (t) может быть
определена при помощи численных расчетов методом итераций
уравнения D3а). График функции / (t) приведен на рис. 46.
Решение уравнения D1) эквивалентно проведению бесконеч-
бесконечного числа итераций по члену uw в исходном уравнении A0) (сле-
(следует, конечно, иметь в виду, что при этом остаются все погрешно-
погрешности расчета, не связанные с приближенной аппроксимацией этого
члена).
После того как определена функция Ds (x, р), мы снова можем
воспользоваться формулами C5) и C6) для определения <ос2).
Однако теперь мы будем подставлять в C5) найденную путем реше-
решения уравнения D1) функцию Ds (x, р) вместо фигурировавшей
ранее функции Ds, (x, р). Легко видеть, что это приведет к появле-
появлению в экспоненте формулы C7) дополнительного множителя / (I/O-

j 51]
СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
После перехода к переменной интегрирования р
1
Снова вводя t = x/l, 2,lp'/*a? (x) = t'1', получим
349
получим
D6)
<Хг (*» = X
Исследуем полученное выражение. При о\ (х) «^ 1 из D6)
следует, что <х2 (я)> ^=^ crj. Рассмотрим теперь случай с* (х) ^> 1,
или f ^> 1. В интеграле D6а) при этом становятся существенными
fXt)
10
0,9
0,8
Ц7
ае
0,5
0,4
0,3
Q2
123456 783 70 t
Рис. 46. Функция / (*), представляющая собой ре-
решение уравнения D3а).
два участка интегрирования: pt"'<^l и A—p)"tl'<C.i-
В первом из них pt < —— «^ 1 и можно считать / (pt) я^ 1, A — р) ss
?^ 1. Тогда интеграл по участку вблиаи р = 0 приближенно равен

350	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Рассмотрим теперь второй участок интегрирования вблизи р = 1
Здесь можно считать / {pi) <x f (t), p zzz 1, так что
Н = \ A - Р)"' ехр {- *ц/-/ @ A - Р)Ц dp =
о
Подставляя сюда асимптотическое выражение D5) для / (t), полу-
получим
Таким образом, оба участка интегрирования вносят сравнимый
вклад в интеграл D6) при t J§> I. Подставляя вместо интегра-
11 —lf't
лав D6) /j + /2 ^=; -^-1 , получим асимптотику <ОС2(а;)> при
D7)
Таким образом, при о* -* оо величина (%г (ж)> стремится к постоян-
постоянному пределу а2, зависящему лишь от р. Используя D7), исклю-
исключим из D6) величину (В. Тогда D6) можно записать так
-pL*f{pt)}dp, D8)
о
причем t связано с <%2 (ж)> /а2 соотношением
Из формул D8), D9) следует, что отношение <оса (ж)> /а2
является функцией величины oj(x)/aa. Ha рис. 47 приведен гра-
график функции У (у? (х)у / а, полученный путем численного интегри-
интегрирования выражения D8).
Исследуем также выражение D2) для структурной функции
фазы. В области х<^.1, где / (x/l) t=z 1, имеем
E0)

$ 51]	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	351
В области же х^>1, где можно использовать асимптотическую
формулу D5), мы получаем
0s(*,p) = O,76OVA (*>Q,	E1)
т. в. структурная функция фазы, так же как и средний квадрат
логарифма амплитуды, перестает возрастать с расстоянием. Однако
Рис. 47. Зависимость среднего квадрата логарифма амп-
амплитуды от среднеквадратичного значения флуктуации ло-
логарифма амплитуды, вычисленного в первом приближении
метода плавных возмущений.
в отличие от <х2 (я)> уровень насыщения не является универсаль-
универсальным, а зависит от С\, так как I зависит только от этой величины
как I ~ (С*)""".
Средний квадрат флуктуации логарифма амплитуды выражает-
выражается через величины <%2> и <х> согласно формуле
Первая из этих величин была определена выше. Перейдем к нахож-
нахождению <х>. Это можно сделать несколькими способами. Можно
усреднить выражение B3) и учесть корреляцию между е,и<$ (г).
Более удобный путь — воспользоваться уравнением E). Усред-
Усредняя это уравнение и учитывая, что для плоской падающей волны
все усредненные величины могут зависеть только от х, можно по-
получить уравнение, связывающее <^> с величиной <VxV<S), кото-
которую можно рассчитать аналогично <Х2>- При этом опять можно
воспользоваться предположениями о независимости ei и S (г),
а также о гауссовском распределении S (г).

352	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
Однако наиболее простой путь нахождения величины <х> —
использование закона сохранения энергии. Плотность потока
энергии выражается через % при помощи формулы
Р — const А*п = const e** W n {г),
где п — единичный вектор, указывающий направление распрост-
распространения волны. Очевидно, что для плоской падающей волны
средняя плотность потока энергии не зависит от х. Это приводит
к соотношению
<е4Х <r>ra (r)> = const.
Если, как это обычно имеет место в реальной турбулентной атмо-
атмосфере, флуктуации направления распространения малы, в по-
последнем соотношении можно заменить вектор п его невозму-
невозмущенным значением п0. В этом случае должно выполняться равен-
равенство
<егх (г)ч, = const	E2)
Для того чтобы в явном виде выполнить усреднение в этой фор-
формуле, необходимо знать закон распределения вероятностей для
величины х (»')• Обратимся к выражению B1) для (р. Это выражение
получено как первое приближение по члену ию уравнения A0).
После выполнения итераций (что свелось в нашем случае к реше-
решению интегрального уравнения D1)) в выражении B1) следует за-
заменить первое приближепие для фазы на S:
iJt;r-r'|-ifc(r-r')	JLrS(r')—S(r)l
\r-r'\	bir1)**	<*V. E3)
Из этой формулы следует, что величина ф (г) является линейным
функционалом от случайной величины
?l (г') ехр {4 IS (V) - S(г)]} .	E4)
Хотя функция S (г) и является сильно коррелированной в про-
продольном направлении (направлении распространения волны),
она значительно слабее коррелирована в поперечном направле-
направлении. Что касается функции е^ (г), то она имеет конечный радиус
корреляции Lo. Поэтому произведение E4) также имеет характер-
характерный масштаб корреляции порядка Lo. Если выполняется соотноше-
соотношение х ^> Lo, то интеграл E3) можно разбить на сумму большого
числа некоррелированных слагаемых — интегралов по облас-
областям с размерами порядка Lo. Отсюда следует, что величина <р,
а значит, и величины % и S имеют гауссовское распределение ве-

§ 51]	СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	Xhi
роятностей. Ранее такой же вывод был получен для флуктуации
логарифма амплитуды и фазы в первом приближении метода плав-
плавных возмущений. Тот факт, что аналогичный вывод получен
для нелинейного уравнения E), решение которого уже не являет-
является линейным функционалом от ех (поскольку S в E4) зависит
от &х), трудно было предполагать заранее. Он связан с тем, что
решение нелинейного уравнения E) оказалось возможным при-
приближенно представить в виде линейного функционала от случай-
случайной величины E4). Экспериментальные данные, приведенные в
гл. 4 по распределениям вероятностей флуктуации логарифма
амплитуды в области сильных флуктуации, хорошо подтверждают
вывод о гауссовском распределении для логарифма амплитуды.
Произведем усреднение выражения E2). Подставляя %=
= <Х> + X'. получим
где мы воспользовались формулой <е^> = е<5!>/2, справедливой для
гауссовской случайной величины со средним значением, равным
нулю. Подставляя сюда <х'2> = <Х2> — <Х>а на основании E2),
получаем
[<'y>j const
Но при х = 0 const = 1, так как <^2> = <х> = 0 при х=0. От-
Отсюда следует, что при всех х выполняется соотношение
<Ха (*)> - <Х (z)>2 + <Х (*)> = 0.	E5)
Разрешая это уравнение относительно <х>, получим
<х> = 4" 14 - К?о?>Т!]	E6)
и для величины а2 = <х2> — <Х>2 на основании E5) и E6) будем
иметь
= -00 = 4"
Функция а8 (х) может быть определена отсюда лишь с точностью
до неизвестного параметра а2, который не может быть определен
при использованном выше грубом методе расчета. При aj -> оо ве-
величина а2 стремится к постоянному пределу
/
-+4-4-
Это предельное значение может быть оценено из эксперименталь-
экспериментальных данных (см. гл. 4) приблизительно как а^ — 0,8. Соответст-
12 В. И. Татарский

354	РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ	[ГЛ. 3
вующее значение параметра а приблизительно равно единице,
а значение параметра ($, необходимое для объяснения наблюдаемо-
наблюдаемого уровня насыщения, оказывается равным 1,4, что представля-
представляется вполне разумным. Ниже, в гл. 4, производится сопоставление
функции E7) с экспериментальными данными.
Использованный в настоящем параграфе метод вычисления
<Ха>, как легко можно было заметить, является довольно гру-
грубым и, по-видимому, может претендовать скорее на качествен-
качественное, чем ни количественное объяснение сильных флуктуации.
Возможно, что более точное вычисление интеграла B7) могло
бы дать лучшие результаты.
Отметим также, что в разделе Б гл. 5 расчет сильных флуктуа-»
ций амплитуды производится на основании уравнений геометри-
геометрической оптики,

Глава 4
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЕТА, РАДИОВОЛН
И ЗВУКА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
В настоящей главе будут рассмотрены некоторые приложения
развитой в предыдущей главе теории к конкретным задачам,
возникающим при распространении света, радиоволн и звука в
турбулентной атмосфере (раздел А), и проведено сопоставление
теоретических расчетов с экспериментальными данными (раз-
(раздел Б).
А. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
в турбулентной среде к сдачам атмосферной оптики,
АКУСТИКИ И РАДИОМЕТЕОРОЛОГИИ
При экспериментальном изучении влияния атмосферной тур-
турбулентности на распространение электромагнитных и звуковых
волн значительно проще поддаются измерению не простран-
пространственные, а временные характеристики принятого сигнала. В связи
с этим мы рассмотрим задачу о частотном спектре флуктуации
амплитуды и фазы принятого сигнала. Далее будет рассмотрено
влияние усредняющего действия апертуры приемного устройства
¦на флуктуации амплитуды и фазы. Так как это влияние в ряде
случаев оказывается весьма существенным, без его учета не-
невозможно интерпретировать экспериментальные данные.
§ 52. Частотные спектры флуктуации амплитуды
и фазы волны
6 разделе Б гл. 3 были получены выражения для простран-
пространственных корреляционных и структурных функций амплитуды
и фазы волны. Исходя из этих выражений, можно построить
ж временные корреляционные функции.
В первом приближении для перехода от пространственного
к временному описанию можно воспользоваться предположением
о переносе как целого всей совокупности неоднородностей без
учета флуктуации скорости переноса и эволюции неоднородно-
неоднородностей в процессе их движения (гипотеза замороженности). Затем
можно учесть флуктуации скорости переноса и оценить влия-
влияние эволюции.
12*

356	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Прежде всего, необходимо отметить, что основную роль играет
движение неоднородностей поперек направления распространения
волны. Действительно, амплитуда волны в точке наблюдения опре-
определяется интегралом по вытянутой вдоль луча параболической
области с поперечным размером порядка У АХ и с продольным раз-
размером L^> У XL. Разложим скорость перемещения неоднородностей
v на две компоненты »| h»j_ вдоль и поперек направления рас-
распространения волны.
За время т продольное и поперечное смещения неоднороднос-
неоднородностей составят соответственно и у т и vjx. При этом, если и±т—"^аХ,
то амплитуда в точке наблюдения существенно изменится, так
как произойдет смена всех неоднородностей, влияющих на ампли-
амплитуду поля. В то же время продольное смещение будет иметь поря-
порядок
и за его счет произойдет лишь незначительное изменение неодно-
неоднородностей на концах трассы, несущественное в силу того, что об-
общий эффект носит интегральный характер. Поэтому при выпол-
выполнении условия
можно учитывать лишь поперечное движение неоднородностей.
Более существенное ограничение на отношение vц /их накла-
накладывают флуктуации направления скорости V.
Направление вектора v обычно испытывает флуктуации поряд-
порядка 0,1. Поэтому, если vj_ — 0,1уц , то в поперечном движении неод-
неоднородностей появляется случайная компонента, сравнимая со
средним значением v±. В этом случае необходимо учесть и флук-
туационную составляющую vj_.
Рассмотрим сначала случай, когда неоднородности движутся
с постоянной скоростью Vj_ поперек трассы. В этом случае значения
X {т, t) и х (*•,* + t) связаны очевидным соотношением
).	A)
Введем временную корреляционную функцию
Дх (т) = <х (г, t + t)x (г,«)>.	B)
Подставляя A), получим соотношение
C)

g 52]	СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ	357
где Вх (р) — пространственная корреляционная функция, най-
найденная в предыдущей главе.
Перейдем теперь к частотному спектру флуктуации w% (/).
Функции Wx (/) и Rx (т) связаны соотношением
D)
(мы пользуемся разложением по положительным частотам /' =
= у для облегчения непосредственного сравнения результатов
расчета с экспериментами). Учитывая четность функций Яу. (т)
и Wy. (/), запишем обращение "преобразования D):
оо	оо
Wx (/) = 4 \ cos Bя/т) Rx (т) dx = 4 \ cos Bят/) Вх (v±x) dr. E)
о	о
Для вычисления И)х (/) удобнее выразить Вх (fj.T) через спект-
спектральное разложение
00
R* (х) = Вх (v±x) = 2л ^ Fx (x, L) /о (xyj.t) x dx.	F)
о
Подставляя F) в E), меняя порядок интегрирования и учитывая,
Г . , . , , , г(х»Р1-4я»Л
\ /0 (иу г т) cos 2я/т dt = \
J	I 0
что
Л^" при *
0	при y?v\ < 4лг/2,
получим формулу
оо
= 8n \ Fx (к, L)

(Последняя формула получена путем замены переменной
' и2у1 — 4я2/а = и'у^) . Формула G) связывает частотный спектр
флуктуации % с его двумерным пространственным спектром F*.
Воспользуемся теперь формулой C6а.46)
]х>,	(8)

358	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
в которую подставим
Ф« (и) = А CV^exp (—4 ), Л*-- 0,033.
В результате получаем
.
[ГЛ. 4
Введем величину /0 согласно равенству
/o = -
dx. (9)
а также новую переменную интегрирования z = —г- . Безраз-
Безразмерную величину
W	-U
обозначим через Q. В результате (9) примет вид
X
X (z
, A0)
где D ——	волновой параметр. Коэффициент ACJt 'L '
в A0) пропорционален среднему квадрату флуктуации <х2 (^)>.
Рассмотрим случай больших D ^> 1. Тогда в A0) можно опустить
множитель ехр /— * D ) , и после подстановки z = пгх мы по-
получим
X \ 1 —
и

g 52] СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ Й ФАЗЫ ВОЛНЫ 35Й
Замечая, что согласно определению В-функции Эйлера
*v2~l dx в A
Г v2~l
получим
X hV — JL Jsin [Q2 (ac + 1I (as H- ^-"/"a-vya! . A2)
L	l)	J
Рассмотрим
00
/ (Q) = Jsin [Q« (ж + 1)] (a; + iy-w/»
о
оо
= Im J eiQ! (* +1) (a; + l^^arVVa;.	A3)
0
Имеет место формула (см., например, [117])
= г (
*l-Vi(« + l-T,2-T.*)], (Re«>0). A4)
1	4
Полагая z = — iQ*, a = -^ , у =— -=-, получим
= Im е«'
Таким образом,
евЧ-ЛЙ .»,_«>.)]
хА(f - f - «¦) + (ШЧ- ^Л(
• 15)

360	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	^Л. 4
В области малых частот Q<^1, воспользовавшись первыми
четырьмя членами разложения ^(Yg. —Vs> — *^2) и первым
членом разложения ^("/в. 10/з< — *&2) ~ 1. получим формулу
-- i 4 Sr D) ^
Подставляя численные коэффициенты и заменяя
0,077О
получим
Wx(/)« 0,15 <х«> ^.[l+o,48fi*» +...],. (Q<1). A6а)
В области Q ^> 1 воспользуемся уже неоднократно применяв-
применявшимся асимптотическим разложением функции.
+ ?gje**«—'G(t —«,1—«,*), A7)
где
В нашем случае для обеих гипергеометрических функций в A5)
основную роль играет второе слагаемое асимптотической форму-
формулы, однако эти главные члены асимптотических разложений, про-
пропорциональные Q"/; после подстановки в A5) взаимпо унич-
уничтожаются. Поэтому для вычисления асимптотики A5) при Q ^> 1
следует взять первые слагаемые в асимптотической формуле A7)
и квадратная скобка в A5) оказывается пропорциональной Q~x.
Поэтому wx (/) при Q ^> 1 имеет следующий вид:
= 1,14<ха> ^ •	A8)
Таким образом, функция wy.{f), равная wx@)=0,15-^
/о
при / = 0, слабо возрастает с ростом /, имеет максимум вбли-
вблизи f — /0, а затем убывает как /~'«. Безразмерная величина

g 521 СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ
361
F (Й) = " Л ¦ зависит от безразмерного параметра Я = ¦?-.
функция F (Q), построенная по формуле A5), изображена на
рис. 48.
Рассчитанная таким образом функция wx(f) соответствует
движению неоднородностей с постоянной скоростью. В действи-
действительности, как уже указывалось выше, скорость v^ испытывает
флуктуации, причем различные
на разных участках трассы. Это
приводит к тому, что картина
распределения амплитуды в
плоскости х = L движется не
как едипое целое и не с постоян-
постоянной скоростью.При наблюдении
же в фиксированной точке этот
эффект проявляется в виде
флуктуации скорости движения
(взятой в данной точке) диф-
дифракционной картины. Так как
Рис. 48. Частотный спектр флуктуа-
флуктуации логарифма амплитуды при посто-
постоянной скорости движения неодно-
неоднородностей.
скорость движения дифракцион-
дифракционной картины обусловлена сум-
суммарным действием всех неоднородностей вдоль трассы, можно
считать, что флуктуации скорости переноса распределены по
закону Гаусса.
Оценим величину этих флуктуации. Средний квадрат флук-
флуктуации vj_, который мы обозначим через а^, в случае равенства
средних квадратов флуктуации всех трех компонент скорости
ветра равен аа± — 2/з <Л гДе °8 — средний квадрат флуктуации
модуля скорости ветра. С другой стороны, среднее значение v±
равно <у> sin а, где а — угол между скоростью ветра и направлени-
направлением распространения волны. Поэтому отношение
а,	0,8з
<г>> sin a
в значительной степени зависит от угла а. Обычно — —0,1,
поэтому для <* — -?- отношение -j=-~8—10%, но это отношение
может сильно возрастать при уменьшении угла а.
Выражение для частотного спектра Юх СО, усредненное по
флуктуациям v±, можно получить из A5), умножая это выраже-
выражение на плотность вероятностей для vj_ и интегрируя. При произ-
произвольном соотношении между <#!> и а этот расчет в аналитической
форме выполнить трудно. Однако можно получить сравнительно

362	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
простые выражения для случая, когда <у^> =0, т. с для слу-
случая л = 0. Здесь удобно исходить из формулы F). Умножим ее на
е *° и проинтегрируем по vj_. Учитывая формулу
где /0 — функция Бесселя от мнимого аргумента, получим
(x, L) e~i~" /о (^)и^и.	A9)
о
Подставляя A9) в E), получим
соэBп/т)е *~/0(^|^)йт. B0)
6
Учитывая, что
00	а'т'х'
(см., например, [117]), где Кй — функция Макдональда, полу-
получим
Ц? (^).	B1)
Подставим в B1) выражение (8) для Fx(x, L), причем, как и
выиие, пренебрежем множителем ехр(—ха/хт) (что -чаконно Ери
¦ т-- ^>1). В результате получим
g	X

S 52} СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ 363
Введем характерную частоту
о , к \1.ч
пропорциональную отношению характерной скорости к радиусу
зоны Френеля, и безразмерное отношение
о п? л/L - f
Ql = Т У Т ~ /7"
Тогда, совершая в интеграле B2) подстановку -~- — х, получим
формулу
п V2nAk*LCl(?
В случае йг^> 1, т. е. в области / ^> Д, вторым слагаемым в квад-
квадратных скобках под знаком интеграла можно пренебречь. Ос-
Остающийся интеграл вычисляется [117J, и мы получаем формулу
Таким образом, и в этом случае высокочастотная часть
спектра зависит от частоты как f-'1. Сравнивая эту формулу с
A8), мы убеждаемся, что в случае отсутствия систематической
скорости численный коэффициент в B4) меньше, чем в A8).
Поскольку в обоих случаях
со	со
то уменьшение функции (wx (/)> при / ^> /t должно компенси-
компенсироваться ее увеличением в области f-^fi по сравнению с A6).
Действительно, из формулы B2) следует, что <м>х (/)> — In (fjf)
при/^Л (так как K0(z) ^ In x/z при |г|<^1). Таким образом,
в этом случае н>х @) — оо. Этот факт соответс вует тому, что при
отсутствии систематической скорости движения наибольшую ве-
вероятность имеют нулевые скорости. В общем случае, когда от-
отношение (vj_y/a произвольна, расчет (wx (/)> становится слишком

364	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
громоздким. Однако качественная картина ясна и в этом слу-
случае. При а <^ Oj_> происходит лишь незначительное «размазы-
«размазывание» спектра, даваемого формулой A5). При а — Oj_> максимум
спектра начинает смещаться к нулю, и при а ^> <fj_> этот мак-
максимум начинает сильно возрастать.
Оценим теперь, в каких случаях можно пренебречь неравно-
неравномерностью движения дифракционной картины. Амплитудные
флуктуации вызваны в основном неоднородностями среды с мас-
масштабами порядка I =\%L, перемещающимися со скоростью О±>-
Наряду с перемещениями, вызываемыми средним ветром, имеют-
имеются также собственные хаотические скорости движения этих неод-
нородыостей, имеющие порядок Vi <—• (eZI/j, где в — скорость
диссипации энергии турбулентности. Время, в течение которого
эти скорости постоянны (время их «жизни»), зависит лишь от е
и I и имеет порядок т -~ е~"=Г^ [13]. Время же, в течение ко-
которого неоднородность, двигаясь со скоростью <i>j_>, проходит
расстояние I = УкЬ, имеет порядок Т — J/Oj_>- Ясно, что из-
изменениями скорости переноса за счет эволюции можно пренебречь
в том случае, если т ^> Т, т. е. e~V» I'U ^> lf(vj_).
Это приводит к соотношению {v±)^> {el)t/s, т. е. малости раз-
разности скоростей на расстоянии I по сравнению со средней ско-
скоростью переноса. В случае же, если <i>x) = 0, вместо Ох) в
последнее условие следует подставить величину в± — характер-
характерную скорость, с которой неоднородности размеров I переносятся
крупными вихрями с размерами порядка внешнего масштаба тур-
турбулентности Lo. Величина ах имеет порядок ах — (еЛ0)'/».
Таким образом, изменениями скорости переноса во времени
можно пренебречь при условии
Lo > f\L.	B5)
Перейдем теперь к вычислению спектров флуктуации фазы.
Вначале проведем расчет на основании гипотезы «замороженной
турбулентности», когда имеет место соотношение, аналогичное A):
Sj (r, t + т) = S± (г — г>хт> f)-	B6)
Рассмотрим временную структурную функцию фазы:
-Sa(r,0]2> =
Представим Hs{t) в виде интеграла Фурье
00
= 2С [1 — cos2afr]ws(f)df,	B8)
о

g 521	СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ	365
а функцию Ds (v±t) — Ds(vrt) — в виде
со
As (ujt) = 4я ^[\. — Л (ки ±т)\ Fa (х, L) х dv..
и
Подставим эти разложения в B7) и продифференцируем получаю-
получающееся равенство по т:
со	со
4я\sin B л/' т) f'ws (f')df' = 4да>х \ /х (хухт) Fs (x, L) x2rfx. B9)
о	и
Умножим B9) на е2"'1'', где / >• 0, и проинтегрируем по т
в пределах (— оо, + ос). Учитывая, что
00
jj sin Bя/'т) еа«/^т = 4 [б Bя/ -|- 2л/') — 6 Bл/ — 2л/')] ==
—00
получим слева
= -^/u;.s(/),	C0)
где мы учли, что б (/ + /') = О при / > 0 и 0 < /' < оо.
Для правой части равенства B9) получим
00	ОО
4яух \ Fs (х,Л) х2 dx
A	—ОО
Рассмотрим
оо	оо
Vx (xv±x) dx = i \ sin Bя/т) /
2г
00
0

366	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
(см., например, [117]). Следовательно, C1) принимает вид
00
16л2г/ \ s(*' *=.	C2)
Приравнивая выражения C0) и C2), получим
F	, L)Y.dv. 8
C3)
Формула C3) по своему виду совпадает с формулой G) для
спектральной плотности амплитудных флуктуации. Подставляя
в C3)
мы убеждаемся в том, что формула для wg (/) будет отличаться от
формулы A5) для wx (/) лишь зпаком перед вторым членом в фи-
фигурных скобках:
Г1-Н
. X
Найдем асимптотику ws (/) при малых и больших Q. В обла-
области малых Q<^1, как мы убедились при анализе формулы для
м>х(/), второй член в фигурных скобках равен N + О (Q'/s) (поэтому
в формуле для Wx (/), отличающейся от C4) знаком, величина Л^
при ?2<^1 сокращается). Поэтому при Q <^ 1
ws(f) = NnA&JfHIP*^ = в.г-КГ'С^М*/-*». C5)
/о
В области Q ^> 1 вторым членом в фигурных скобках в C4) мож-
можно пренебречь и в этом случае
we (/) = 4,1 • 1 (T3Clk*Lv ff^3.	C6)
Мы видим, что эти асимптотические разложения отличаются друг
от друга лишь множителем */а (как уже отмечалось выше, круп-

$ 52]	СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИЯ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ	367
номасщтабная компонента флуктуации фазы описывается при-
приближением геометрической оптики, в котором формула для фазо-
фазовых флуктуации отличается множителем 2 от соответствующей
формула случая D = -т- ^> 1. Следует также отметить, что функ-
функции ws (/) и wx (f) совпадают в области Q ^> 1 (см. A8)).
Таким образом, за исключением сравнительно узкой переход-
переходной области / — /0 спектр фазовых флуктуации пропорционален
/"*/'. Естественно, что этот вывод не распространяется на об-
область очень низких частот порядка VjJLo (Lo — внешний масштаб
турбулентности), где нарушается «закон 2/з» для флуктуации
показателя преломления.
Рассмотрим также частотный спектр пространственной раз-
разности фаз 8PS в двух точках плоскости х = L, находящихся на
расстоянии р друг от друга:
-*- т) = ^i (г —»±т, t) — Si (r + р — v±x, t),
,t) — Si{r + p,t)] x
x [S1(r — v1x,t) — S1(r + p — v1x,t)]>. C7)
Применяя тождество (а — b) (с — d) = — [(a — dJ -\-(b — cJ—
— (a — cJ — (b ¦— d)a], получим
Rbs (т) = 4 {D8 (p - v±x) + Ds (p + v±x) - 2D8 (v±x)}. C8)
Формула C8) справедлива при произвольной взаимной ориента-
ориентации векторов р и v±. Рассмотрим более подробно частный случай,
когда р параллельно v±. Тогда р = -?- v± и
Ds (Р - «it) - Ds [v± (^ - т) ) •
Применяя формулу B7), получим
Точно так же

368	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Подставляя эти выражепия и B8) в формулу C8), получим после
простых преобразований
= J cos Bя/т) 2 Г 1 - cos ЭД ws (/) df.	C9)
Из этой формулы следует, что при р ][ -t?j_ частотйый спектр
пространственной разности фаз m?§s(/) связан с ws(J) формулой
= 2 [ 1 - cos ^ j wa (/) = 4 sin* ^j »s (/). D0)
В области низких частот при / -^ —— в формуле D0) можно
заменить сипус его аргументом и wbS (/) ~- fws (/). Если вели-
величина р не превышает внешнего масштаба турбулентности Lo, то
в этой области u>s — f1^, так что и?ьв —¦ Г'!'- Несмотря на то,
что в этом случае Wbs @) = <х>, эта особенность интегрируема,
так что
т. е.
/
lira \wbs(f')df = 0.
~* о
Это обозначает, что в области вблизи / = 0 сосредоточена лишь
небольшая доля «энергии» флуктуации.
В области высоких по сравнению с — частот спектр и>Ъ5 (/)
обращается в нуль на частотах /п = ——. Этот факт находит
наглядное объяснение. Поло St (х, у, z) в плоскости х = L мож-
можно представить себе в виде суперпозиции синусоид с различными
«длипами волн» Л, движущимися в этой плоскости со скоростью
vj_. Синусоида с периодом Л вызывает флуктуации фазы с ча-
частотой f = ~г • Пусть две точки наблюдения находятся на рас-
расстоянии р друг от друга. Тогда, если между ними укладывается
целое число длин волн с некоторым периодом Л„, т. е. р = иЛ„,
то вызываемая этой синусоидой разность фаз будет равна нулю,
так как в обеих точках наблюдения значения синусоиды

5 52 f	СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ	369
одинаковы. Поэтому соответствующая частота
будет отсутствовать в спектре флуктуации разности фаз.
Практически величина v± не является строго постоянной,
а флуктуирует. Это, как видно из формулы D0), приводит к пере-
перемещениям цоложения нулей спектра, т. е., в конечном счете,
к их «заплыванию». В области /^>— даже небольшие флуктуа-
флуктуации vj_ приводят к исчезновению нулей. Действительно, пусть
v~l ж Vl\
Тогда
яр/ _ яр/ 	npfbv
v0
т,	npfbv			я
Ьслн величина -i-ir— сравнима с -к-, то минимум синуса сме-
»о	г
нится на его максимум, т. е. в этом случае осцилляции в спектро
исчезнут. Необходимое значение bv имеет порядок
или, заменяя б у на среднеквадратичное значение а„
Таким образом, частота /т, выше которой осцилляции в спект-
спектре должны смазываться, имеет порядок
Jm 2 р av'	^1}
Чем выше отношение vo/av, тем более четко и тем в большем диа-
диапазоне должны проявляться провалы в спектре iPjg. В области
же частот / >• /т величину sin2 ^ следует заменить на со
среднее значение, равное 1/а- В этом случае
.	D2)
Таким образом, wbS—(/)-"¦¦'» при f ^> fm . Заметим, что ввиду
быстрого убывания функции w$ (/) в области больших / большие

370	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[?Л. 4
оо
частоты не вносят существенного вклада в интеграл \ w?s (/) df.
о
Выше мы уже убедились в том, что и область очень малых ча-
частот дает несущественный вклад в этот интеграл. Таким образом,
значение этого интеграла в основном определяется частотами по-
порядка vjp.
Если — «^—у==, т. е. р^> I^AX, то в формулу D0) можно под-
р	у XL
ставить вместо ws (/) ее асимптотику, соответствующую /<^ тт^=,
т. е. й <^ 1. В этом случае
wbS(/) = 0,033 С\рЬо!?sin' (^-} Г'1' (р> УЩ. D3)
В противоположном случае р «^ УкЬ можно использовать асимп-
асимптотическую формулу C6). В этом случае
u*s(/) = 0,01 bC\PD>'lsin2 №-\ Г'1' (р< \ГЩ- D4)
В случае р>> |/АХ <6S2> = Ds(p) = О,73С*Аг1р'/э• Подставляя
это выражение в D3), запишем w«s (/) в виде
_ 0,045 Sfr Sin» (.-fe)-(-fc)-*.	D5)
где /в — ~ характерная частота для флуктуации разности
фаз. В случае р «^ y^L Ds(p) = <652>, так же как и D4), имеет
дополнительный множитель 1/г, поэтому формула D5) справед-
справедлива и в случае р <^ Y^L. Эта формула нарушается лишь в обла-
области р
§ 53. Влиянке усредняющего действия апертуры приемного
устройства на величину амплитудных флуктуации
Выше были рассчитаны корреляционные функции флуктуации
амплитуды в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
пространения, и было установлено, что при -?~ ^> 1 радиус
корреляции флуктуации имеет порядок Y"kL. Пусть излучение
принимается приемным устройством с конечной апертурой. Для

§ 53]	ВЛИЯНИЕ АПЕРТУРЫ ПРИЕМНИКА	371
определенности мы будем говорить об объективе телескопа, хотя
все рассуждения переносятся и на случай зеркала антенны или
акустического преобразователя. В случае, если диаметр объектива
телескопа значительно превосходит радиус корреляции флук-
флуктуации YkL, в его пределах будут находиться участки фронта
волны с противоположными знаками флуктуации, в результате
чего полный световой поток через объектив будет флуктуировать
относительно слабее, чем для маленького (по сравнению с Y%L)
объектива.
Пусть / (у, z) — интенсивность света. Тогда полный световой
поток через объектив Р равен
P = \\j(y,z)dydz,	A)
где 2 — площадь объоктива. Флуктуации Р, определяемые как
Р' = Р — СР>, выразятся при помощи формулы
P' = \\r(y,z)dydz,	B)
где Г = I — </>. Для среднего квадрата флуктуации имеем
/' {уи Zl) Г (у2) Za)> dy1dz1dy2 dz2.	C)
Функция Bi = </' (уг, Z]) Г (уй, z<j)> зависит лишь от расстояния
между точками 1 и 2, т. е.
Bi = Bi (yt — уа, ix — Za) = Bi (p).
Введем функцию F (у, z), равную нулю вне поверхности
объектива и единице на его поверхности. Тогда C) можно запи-
записать в виде
— г/2, zi — zi) F (j/lt zx) F (г/2, z2) dyt dzt dy2 dz%.
D)
Введем новые переменные интегрирования у ~ У\ — у%, z =
= zx — ц. Тогда D) принимает вид
00	ОО
<-Р'*> = 5 BI(y,z)dydz ^ F(yuzl)F(y1-y,zl-z)dyldzl. E)

372	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Введем обозначение
оо
К (у, *)=§F B/1. *i) F (j/i — .У. *i - z) dSl dzL	F)
Функция К зависит только от формы освещаемой поверхности
объектива. Практически наиболее интересным является случай,
когда приемная поверхность представляет собой круг радиуса R.
Подсчитаем функцию К для этого случая. F (ylt zt) = 1 при
у\ + z\ <\R«; F (у - Vl, z - Zl) = 1 при (у - У1J + (z - z^<
Первая область — круг радиуса R с центром в начале коорди-
координат, вторая — такой же круг с центром в точке {уи Zj). К {у, z)
представляет собой площадь области, образуемой пересечением
этих кругов. Очевидно, что К (у, z) = К {Yv* + z3)- Элемен-
Элементарный подсчет этой площади приводит к формуле
р>27?.	G)
Таким образом, для круглой диафрагмы телескопа E) при-
принимает вид
2R	р
[(^)J/^J	(8)
Функция, стоящая в квадратных скобках в (8), равна л/2 при
р = 0 и спадает до нуля при р = 2Д. В случае, если У^Х ^» В,
функция Bi (р) при 0 -^ р <^ 2R приблизительно равна В\ @)
и ее можно вынести из-под знака интеграла. В этом случае, учи-
учитывая, что
1
V (агссоз х — х у'Ч — х2) х dx — ¦—,
о
получаем

$. 53]	ВЛИЯНИЕ АПЕРТУРЫ ПРИЕМНИКА	373
Это означает, что в случае R <^ ]/яХ полный световой поток
флуктуирует так же, как и интенсивность света.
Вместо <.?'*> удобнее рассматривать относительную вели-
величину
о
Для точечного объектива она равна
Q @) -
Усредняющее действие объектива удобно характеризовать отно-
отношением G (R) = -^-tqt , показывающим, во сколько раз относи-
относительные флуктуации полного светового потока через объектив
радиуса R меньше, чем для точечного объектива:
ав
В, (р)
где Ьт (р) = в	нормированный коэффициент корреляции
флуктуации интенсивности. Функция G (R) равна единице при
R = 0 и монотонно убывает с ростом R.
Для окончательного нахождения G {R) необходимо найти
функцию bi (p). Интенсивность / пропорциональна квадрату
амплитуды:
Величина х» как уже отмечалось, распределена по нормальному
эакону. Отсюда следует, что
Рассмотрим теперь
</ (г,) / (ra)> = a* At
- а?А\ ехр {4 [<Хг> + Вх {г, - г,)]}.

374	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
По определению
[ГЛ. 4
Подставляя найденные выше выражения, получим
В случае <хг> <^ 1 из A1) следует
т. е. в этом случае радиус корреляции для / также имеет поря-
порядок YkL.
На рис. 49 приведена кривая G (R) — -~^-ц,ля малых зна-
значений <х2>. Функция G фактически зависит лишь от отношения
которое и отложено по
оси абсцисс. При R ^
r
0 0,2 Ц4 0,6 U8 10
вый взгляд может показаться,
что G (Л) при R -» оо должна
убывать обратно пропорцио-
пропорционально числу независимых не-
однородностей, укладывающих-
укладывающихся в пределах диафрагмы те-
лескопа, что не согласуется
с указанной асимптотикой. Од-
нако в действительности это не
Рис. 49. Относительное уменьшение
величины флуктуации полного свето-	так, ибо при больших R, когда
вого потока через объектив радиуса	в /щ можно заменить функцию
R в зависимости от Я (при условии	/"^
на ее значение в нуле, равное
л/2, остающийся после этого интеграл стремится к нулю, а не
к постоянной величине в силу отмечавшегося выше условия
Это и объясняет более быстрое спадание функции G (R).

g 53]	БЛИЯНИЕ АПЕРТУРЫ ПРИЕМНИКА	375
Рассмотрим теперь частотные спектры флуктуации светового
потока Р. В этом случае аналогично A.52) мы можем записать
A2)
Р'(< + т) = S V {у' — VyT' z' ~ VzX) dy'dz>'
Перемножая эти выражения, усредняя и вводя функции F (у, z),
F (у' z'), получим
= Щ F {у, z) F (у1, а') Вт (у — у' + vvi, z — z' + vzj) dy dz dy' dz'.
—oo
A3)
Представим Bj (y, z) в виде двумерного прострапственного спект-
спектрального разложения
Bj (у, г) -= JJ Fj (и,, х,, L) e^iw) dKi dn3.	A4)
—оо
Подставляя A4) в A3), получим
х
X '(\ F(y, z) e*<«.!/«»*) dy dz \\ F(y', г')ег1<*>****'Ыу' dz'. A5)
—со
Функция
УЕ <х2, х3) = Ц F(y, z)e'-'<**+**)dydz = ^e^^^dydz A6)
описывает фраунгоферову дифракцию на отверстии 2. Исполь-
вуя A6), имеем
со
lip (т) = \\ Fj (x2, x3, L) | КЕ (х2, х3) |8

376	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Перейдем теперь к частотному спектру wP (/)
оо	оо
wP (/) = 2 jj cos Bл/т) RP (т) dx = 2 \ е-*п^ВР (т) dr =
—ОО
со
= 2 jjjj ^г (х2, х3, Z-) I V* (ха, х,)
—CO
со
= 4я (\ F: (xa, x3, L) | FE (x.2, x3) |2 6
[ГЛ. 4
, — 2я/) dx% dx3.
A7)
Рассмотрим снова круглую диафрагму. В этом случае
КЕ (хг, х3) =
Функция ^х (х2, х9, L) в случае локально изотропных флуктуа-
флуктуации также зависит лишь от х = Ух! + J& Введем в A7) поляр-
полярные координаты. Тогда х2уу + xsvz = xyj^ cos (p и
Wp (/) = 4я \ Fi (х, L) (яЯ2 —„ ^ ) х dx \ б (xpj^ cos ф — 2я/) йф.
о	о
A9)
Интеграл от б-функции легко вычисляется:
==- при 4л8/2 <xVl,
2*
\ d (xyj_ cos ф — 2я/) е?ф =
О
при 4я2/а>х3у\.
Подставляя его в A9), получим
А —4л2/2
dx.
B0)

53]
ВЛИЯНИЕ АПЕРТУРЫ ПРИЕМНИКА
377
Если вместо спектра величины Р' рассматривать спектр от-
относительных флуктуации мрцр) (/), то его можно получить из
B0) делением на </>>г = (л#2 </»*:
9° ^ I
<'>¦
d-л.
B1)
Формула B1) отличается от соответствующей формулы G.52) на-
наличием дополнительного множителя
-1^
Ry **+
B2)
под знаком интеграла. При R = 0 этот множитель обращается
в единицу и мы получаем прежнюю формулу. При R Ф 0 этот
множитель меньше единицы, что соответствует уменьшению от-
относительных флуктуации за счет усреднения по объективу. В слу-
случае, если	>»1. т. е. f^-^R' множитель B2) мал при
всех х. Это означает, что в области высоких частот усредняю-
усредняющее действие объектива ослабляет действие неоднородностей
всех масштабов. В случае же, когда /"^тлД"' ПРИ К<^~П" мно"
житель B2) близок к единице и становятся малым при и ^>~п.
Таким образом, вклад крупномасштабных неоднородностей
в низкочастотную часть спектра практически не ослабляется, но
масштабы, малые по сравнению с радиусом диафрагмы, подавля-
подавляются.
В случае слабых флуктуации
где А = 0,033. Подставляя B3) в B1), вводя обозначения

378
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
ГГЛ. 4
и заменяя переменную интегрирования х на г = -^ , получим
X (z + QtyV'dz. B4)
Итак, безразмерная величина F(Q, р) — 0/>/)/x>
зависит от двух безразмерных параметров: р — отношения
Рис. 50. Зависимость частотного спектра флуктуации
светового потока через объектив от диаметра
объектива.
радиуса объектива к радиусу первой зоны Френеля и Q — от-
отношения частоты к характерной частоте пульсаций
V I
Функция F (Q, р) при различных р изображена на рис. 50.
При р = 0 она совпадает с F (Q) (рис. 48).
§ 54. Мерцание источников
с конечными угловыми размерами
Из астрономических наблюдений хорошо известно, что пла-
планеты мерцают слабее звезд, находящихся на том же зенитном
расстоянии. Этот эффект во многом схож с ослаблением мерца-
мерцания за счет усредняющего действия объектива. Обозначим через
7 угловой размер планеты. Тогда в точку наблюдения приходит
пучок плоских волн от различных точек диска с угловым раз-
размером у. На границе преломляющей атмосферы расстояние между

S 54]	МЕРЦАНИЕ ИСТОЧНИКОВ С КОНЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ	379
лучами, направленными к крайним точкам диска, равно yL, где!, —
толщина атмосферы в направлении на планету. Если yL ^> YkL,
то флуктуации в различных лучах происходят некоррелирован-
некоррелированно и должно наблюдаться ослабление мерцания. Из этого рас-
рассуждения следует, что при у ^> у0 — У^Ь мерцание должпо су-
существенно ослабляться, при Т *^ То этот эффект мал. Угол у0
можно назвать углом корреляции.
Перейдем теперь к количественному расчету [118]. Пусть
?F,ср) — интенсивность света, излучаемого планетой и приходя-
приходящего в точку наблюдения под углами 8 и ср (полярная ось систе-
системы координат направлена к центру диска планеты). Различные
точки диска планеты являются некогерентными источниками
света и поэтому суммарная интенсивность равна интегралу от i
по диску:
, <p).	A)
Аналогичная формула имеет место и для флуктуации:
2л	Y
Г = [ d<f[sinQdQi'{Q, <p).	B)
о о
Мы будем рассматривать в дальнейшем относительные флуктуа-
ции У = ту\ • Из A) следует
4rtsin2— о
Для среднего квадрата относительных флуктуации имеем (в слу-
случае г <^ 1 можно считать sin 9л8)
2л	2л	Y	V
О
Свяжем величину <t' (Qu q>x) г" С62, ф2/> с корреляционной
функцией логарифма амплитуд двух пчоских волн, распростра-
распространяющихся под некоторым углом t|) друг к другу. Используя

380	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
равенство i = А\ ехр B% (В, ф)) и факт нормального распределения
X, легко получить формулу, аналогичную (И.53):
. <Ра)> — Фг _ .4Вх№,Ф„е„»,) , ,,,
где вх (е1? фп е2, ф2) = <х (е1( ^)% (еа, фз»
Таким образом, для вычисления а* необходимо сначала най-
найти Вх (Эх, фц 0а, фг). Перейдем к расчету этой функции. Для
X (х, у, z), исходя из C0-45), легко получить выражение
оо
• F)
Это выражение записано в специальной системе координат, в ко-
которой ось х направлена вдоль вектора к. Перепишем это выраже-
выражение в ковариантном виде. Пусть к = kn, где h — единичный век-
вектор вдоль направления распространения. Очевидно, что
ж —S = *(r —р),
где г = (х, у, z), p = (|, т), ?),
(У - ЛJ + (z - СJ = (г - Р)а - (п (г - р))«.
Интегрирование ведется по бесконечному слою, в котором |> О,
т, е. пр > 0, и (ж — |) > 0, т. е. » (г — р) > 0. Если
9(х)=( * пРиа;>0'
[ 0 при я < О,
то неравенства пр> 0,» (г — р)> 0 можно удовлетворить
введением в подынтегральное выражение множителя
б (np)Qj(n (г — р)). Тогда F) можно переписать в виде
^——^р	^р.
—от
G)
В этой форме G) можно применить для произвольного направ-
направления вектора и. Следует заметить, что в формуле G) при п ф
=^={1, 0, 0} интегрирование производится по области, границы
которой не перпендикулярны оси х. Если граница неоднородного
слоя в действительности перпендикулярна оси х, то при этом

I 54]	МЕРЦАНИЕ ИСТОЧНИКОВ С КОНЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ	381
совершается незначительная ошибка, практически несущест-
несущественная.
Пусть п = {cosij;, 0, sin -ф}, г = (L, 0, 0). Тогда
п (г — р) = cos 1|> • (L — I) — sini|; • ?,
(г - р)а - (п (г - р)J = [(L -g) sin ф + С созф]« + п2,
X
(L- ^)cost —Ssin *'
Ga)
Пусть угол ij) мал, так что
(L - |) cosij) - С sini|> ж (L - |) - ?ф.
Величина
[(? _ 6) ф + ?]» + n« = p'i
под знаком косинуса представляет собой квадрат расстояния точ-
точки р от оси пучка, проходящей через точку наблюдения. В суще-
существенной для интегрирования области она по порядку величины
не превосходит р	т— (здесь к0 — внутренний масштаб тур-
турбулентности, К/Ка — угол дифракции). Представим аргумент ко-
косинуса в виде ряда
2[(L— ?)cosif — ?sinij>] ~(.L — l — ?ф) '
и выясним условия, при которых в нем можно оставить лишь пер-
первый член. Величина ? имеет порядок Lty. Поэтому необходимое
условие принимает вид
XL
Условие (8) не является жестким ограничением, так как угол
корреляции То ~ у тг и -^—¦-г-<^1. Следовательно,ф может
принимать зпачения, существенно превосходящие у0, что виол,
не достаточно для наших целей. Учитывая ограничение (8)-

382	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
можно выражение для косинуса в G) представить в виде
cos \k
cos L
2 (i - %) .г
Кроме того, величину (L— |) cos\|> — ?sinij> в знаменателе
Gа) можно заменить на L — ?. Поскольку \J)<^ 1, пределы ин-
интегрирования по | в G) можно заменить на 0 и L. В результате
получаем для логарифма амплитуды волны, распространяющей-
распространяющейся под угломi|> к оси х (эту величину обозначим через % (if)), сле-
следующее выражение:
Для волны, распространяющейся в точку наблюдения вдоль
оси х (ее логарифм амплитуды обозначим через % @)), мы имеем
формулу F), в которой надо положить х = L, у = z = 0. Пе-
Перемножая эти выражепия и усредняя, получим формулу
Дальнейшие вычисления удобно производить, подставив
= JJ Fe (х„ х3, | — Г) e'[
После этой подстановки интегралы по переменным tj, r\', ?,, ?,'
легко вычисляются сведением к интегралу Пуассона, интеграл
по переменной (? + i')/2 также вычисляется точно, а интеграл
по переменной (? — %') вычисляется приближенно с использо-
использованием того свойства функции Ft (x, ?)> что она быстро убывает
при g % — (аналогичные вычисления неоднократно прово-
дились выше и поэтому мы их опускаем). В результате для #х(г(>)

§ 54]	МЕРЦАНИЕ ИСТОЧНИКОВ С КОНЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ	383
получаем формулу
ехр |^— i (-?- — x2i
/х2	\	'
1 \к~ ~" ^*2)
1- (*i)
Перейдем к полярным координатам х2 = х cos <р, х3 = х sin
и используем формулу
а также аналогичные формулы для остальных слагаемых в A1).
После этого интегрирование по ц> выполняется и приводит к бес-
бесселевой функции. Для Вх (т{)) получаем, подставляя
Фе (х) = - АС\уГ"!* (А = 0,033),
следующее выражение:
\ °°
J U — cos '^]Л (xth|>)x-*'''dx. A2)
Интеграл в A2) можно вычислить, разложив функцию 70 в
ряд. В результате для 6Х (г|з) = Вх (ty)/Bx @) получаем выражение
11
где
/31
(это определение у0 отличается от употреблявшегося ранее в ка-
качественных рассуждениях численным мпожителем). Как и сле-
следовало ожидать, функция Ьх (if) зависит лишь от отношения

384
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
Функция Ьх (ур), вычисленная по формуле A3) с использованием
пяти первых членов ряда, представлена на рис. 51.
Вернемся теперь к вычислению а* по формуле D). Выражение
D) удобно несколько преобразовать. При т <^ 1 можно рассмат-
рассматривать (91( (Pi) и (Э2, ф2) как ци-
цилиндрические координаты то-
точек круга радиуса у, причем
sin 0 tfO с?ф гк 6 dQ dy ^ dl —
элемент площади этого круга,
луг = 2 — его площадь. Обоз-
Обозначим р! ~ (Э17 (р)) и р2= (Э2,ф.2)
— радиусы-векторы соответ-
соответствующих точек. Согласно
формулам E) и A3) подынте-
подынтегральное выражение в D) зави-
		СИТ ЛИШЬ ОТ \J) = | р! — р2 [. По-
0 A2 0,40,60,810 7,?7?^—^*^~ Ус этому D) можно записать в виде
Рис. 51. Корреляционная функция
флуктуации амплитуды двух пло-
плоских волн, распространяющихся под
углом г|) друг к другу.
. A4)
Введем снова функцию Fy (p), равную нулю вне круга ра-
радиуса у и равную единице внутри этого круга. Тогда
1^~ Щ5 F (Pl) F (рг)
- p) dSb A5)
Учитывая определение функции K{f) (см. F.53)), а также ее
конкретный вид G.53) для круга, получаем
1т. if
о о
X [arccosx — x Yl — x2]xdx. A6)

I 55]	*ДРОЖАНИЕ» ИЗОБРАЖЕНИЙ В ФОКУСЕ ТЕЛЕСКОПА
В случае т = 0 формула A6) дает
385
,@) = [е4<х> — 4J "iT"J [arCC0SX~x
о
Введен функцию
.. f , (<х*)Ьу(ЭДс) ., ,
.	16 V [e * —11 [arccos2—x
=Р ] ж dz = <?4<х'> - i.
— я2
я [«*<*>-!]
A7)
равную отношению среднего квадрата флуктуации интенсивно-
интенсивности протяженного (у=|=0; и точечного (у = 0) источников.
1,75 2,0 Го
Рис. 52. Зависимость относительного уменьшения величины
флуктуадпй иптенсии иости для источника света с угловым диа-
диаметром у от у при различных значениях параметра 4 <хг>:
1 — 1, <„•> _ 0; г — 4 <х>> = 0,5; 3 — 4 <х»> = 1; 4 — 4 <*•> = 2,5.
Так как функция bx (if) зависит от отношения 1|> /т0, то а? (т)/о"? @)
зависит от отношения 2т/т0 и, кроме того, от параметра 4 <х*>-
На рис. 52 представлены функции а? (т)А*? @). полученные в ре-
результате численного интегрирования, при некоторых значениях
параметра 4 <^а>.
§ 55. «Дрожание» изображений
в фокальной плоскости телескопа
Флуктуации фазы вызывают хорошо известный в наблюда-
наблюдательной астрономии эффект «дрожания» изображения. В пер-
первом приближении его можно описать следующим образом. Пусть
имеется интерферометр (или фазометр) с бавой Ь, на который

386	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
падает волна, прошедшая через турбулентную атмосферу, причем
среднее положение фронта волны параллельно базе. Тогда слу-
случайный поворот фронта волны на угол л вызывает разность фаз
Д5 = kb sin a ~ kba, т. е. л можно определить через А«5 как
а = -тг-• Средний квадрат флуктуации а равен
В случае, если мы имеем объектив радиуса R, эта формула
может быть применена приближенно, если подставить в нес b =
= 2R. Однако ясно, что в случае объектива дело обстоит не-
несколько сложнее. Неоднородности поля S более мелкие, чем R,
не должны вызывать смещения изображения, а должны приво-
приводить к его размытию, т. е. к ухудшению качества изображения.
В то же время крупномасштабные неоднородности должны вы-
вызывать смещение изображения. Рассмотрим этот вопрос подроб-
подробнее. Пусть мы имеем линзу с фокусным расстоянием F, на которую
падает возмущенная волна. В фокальной плоскости линзы об-
образуется некоторое распределение интенсивности. Эффективное
значение угла прихода можно определить по «центру тяжести»
этого распределения интенсивности, координаты которого будут
случайными величинами. Определив средний квадрат флуктуа-
флуктуации координат центра тяжести, мы сможем пересчитать
его на средний квадрат флуктуации эффективного угла
прихода.
Эта же задача может быть сформулирована еще проще. Пусть
мы имеем диафрагму объектива (без липзы); падающая на нее
волна испытывает дифракцию, в результате чего вдали от ди-
диафрагмы (в зоне дифракции Фраунгофера) образуется угловое
распределение интенсивности дифрагированного поля. Извест-
Известно, что если картину распределения интенсивности в фокальной
плоскости линзы перевести в угловые единицы, то полученное
угловое распределение будет совпадать с упомянутым выше уг-
угловым распределением дифрагированного на диафрагме поля в
зоне Фраунгофера. Так как мы, в конечном счете, интересуемся
флуктуациями утла прихода, воспринимаемого телескопом, то
будет удобнее рассматривать непосредственно угловое распре-
распределение дифрагированного поля в зоне Фраунгофера.
Итак, пусть на диафрагму 2 падает волна W, значение которой
при х = 0 (в плоскости 2) есть
Т„ (у, z) = Ао ехр (х (у, z) + tS (у, г)).	A)

§ 55]	«ДРОЖАНИЕ» ИЗОБРАЖЕНИЙ В ФОКУСЕ ТЕЛЕСКОПА	387
Поле за диафрагмой может быть определено из волнового
уравнения
= О
с граничным условием A) при х = 0 и условием излучения при
х = оо. Эта задача, как известно, имеет следующее решение:
B)
где
г* = хг + (у — лJ 4 (г — ?J. Обозначим также R*o — хг + у% + z2.
В нашем случае интегрирование в B) распространяется лишь
на пределы диафрагмы Е. Разложим величину
г =/*« +(у-ч)«+(*-?)¦= Vi?J
в ряд по 1], ?:
«4а±ЛТ^2а±* ^. D)
Поместим начало координат в центре диафрагмы. Тогда по-
последний член разложения D) имеет порядок Ri/R0, где R — размер
диафрагмы. В экспоненте, входящей в C), можно отбросить этот
L D2
член разложения, если -~— <^ 1, т. е.
«о
Но это и есть условие того, что точка наблюдения находится
в области дифракции Фраунгофера. Обозначим
^- = sin«, ?-= sinp.	E)
аир представляют собой углы между нормалью к диафрагме и
направлением на точку наблюдения х, у, z, которые отсчитывают-
ся в плоскостях (х,у) и (x,z) соответственно. Очевидно, что
?- = У\ — sin2 a — sin* p.
Заменяя в экспоненте C) г на До — (r| sin a + I sin P), a в зна-
знаменателе — просто на Ra, пренебрегая величиной i/ikR0 и
13*

388	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	ГЛ. 4]
считая углы аир малыми (это справедливо в случае К <^ Ко), по-
получим
V(x,y,z) = ±
(л, С) ег«*'*+К> <h\ dl	F)
Распределение интенсивности по углам определяется величи-
величиной W
I (а, р) = W =
^	*1"^""'»if«'. G)
Найдем теперь угловые координаты центра тяжести этого распре-
распределения. Обозначая их а0, ро, имеем по определению
(8)
JJ /(a,P)cfarfp	JJ / {а, р) rfot dp
—оо	—оо
Вычислим сначала интеграл в знаменателе:
/ (а, р) da rfp = ^ gg То (л, С) to" (Л', О <?Л « ^л'«' X
оо
—оо
Учитывая,
получаем
что
00
(Л'. С) X
/ (ot, P) cfo dp - JLg | Vo (t|, C) I2 *i dt.	(9)
Перейдем к вычислению величины
а/ (а, р) da d? = -^- Ш То (Ч, С) Tj (т,', ?') rftj rf? d4' < X
о
00
X
—ОО

§ 55]	«ДРОЖАНИЕ» ИЗОБРАЖЕНИЙ В ФОКУСЕ ТЕЛЕСКОПА	389
Последний интеграл в A0) вычисляется следующим образом:
рассмотрим
Дифференцируя это равенство по и, получаем
our™ da = 2яЬ' (u)i.
Дифференцируя по и .функцию б (ки) = -т- б (и), имеем 6' (ки) к =
= _б'(м), откуда
Используя эти равенства, получаем
al (а, р) da d? - -^ Щчго (ц, С) ^ (т,', С) х
х б (fc (? - S'l) й' (* (ri - т]'
В последнем равенстве использована формула
J / (j)8'(ж - *.) d* = -/'(
Разделив A1) на (9), получаем
. И ^
д.	1	S
Аналогичную формулу можно написать и для р. Формуле
A2) удобнее придать несколько другой вид. Интегрируя по час-
частям и учитывая, что Wo = 0 на границе 2, получим
«о - - i- ^-.-.-	•	A2а)
И

390	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Взяв полусумму этих выражений, имеем
«о -- Т
1 'if
Д
Подставим теперь выражение W№ = Aoer-iSi:
A4)
Из этого выражения следует, что основную роль в A4) иг-
играют флуктуации фазы: в случае Sx = const o0 = 0; амплитуд-
амплитудные же флуктуации играют роль поправки второго порядка.
Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь, т. е.
положить х = 0. В этом случае
Найдем теперь средний квадрат а* флуктуации а0:
Преобразуем выражение цод знаком интеграла:
/в
\
Снова вводя функцию
11 внутри Z,
[О вне 2,
F (Ч, С) = {(

§ 55]	«ДРОЖАНИЕ» ИЗОБРАЖЕНИЙ В ФОКУСЕ ТЕЛЕСКОПА	Н91
цэлучим
5$$р (n>
—со
где снова проведено преобразование, аналогичное переходу от
D.53) к E.53).
Учтем теперь изотропность флуктуации. В этом случае
As On, 5) - *>s(YWTe) = As (p\
и рассмотрим случай круглой диафрагмы радиуса R. Введем в
A7) полярные координаты т) = pcosq>, ? = psinq» и подставим
выражепие G.53) для А':
6i = О,...»;.
X
A9)
Подставим в это выражение конкретный вид структурной функ-
функции Дз (р). При этом следует различать два случая. Если 2й <^
<</аХ, го
As (Р) = у ¦ 0J3C\Lp'<' (р < /XI)	B0)
у
(небольшим квадратичным участком функции Ds (p) при р^0
можно пренебречь, так как интеграл A9) при Ds(p), даваемой
формулой B0), сходится в нуле). В случае же, если 2/?/lZ
в большей части области интегрирования
B1)
и следует пользоваться этим выражением. Проведем расчет, под-
подставив B0) в A9). (Для случая Y\L -^ 1R в окончательном

392	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
результате достаточно будет удвоить численный коэффициент.)
Вводя новую переменную х — ~, получим
1
в» = Ц*-C\LBЛ)-1 л^~- jjх*1*[arccosx~x /Г^аГя] da:. B2)
о
Интеграл / в правой части B2) легко вычисляется. Второе
его слагаемое подстановкой х2 — t приводится к Л-функции Эй-
Эйлера, первое слагаемое приводится к ней же после интегриро-
интегрирования по частям.
В результате
г 9 У я 1 \ 3 )
и выражение для о~„ принимает вид
о\ = 0,97 Щ- C\L BR)-4> {ко < 2Л < уЩ.	B3)
Оно отличается от значения, даваемого формулой A) при Ъ =
= 2JR лишь численным коэффициентом 0,97. В случае 2i?Jg> j/AZ
имеем формулу
si = 0,liClL{2R)-*'> B7? >> УХХ).	B3а)
Кратко остановимся и на второй стороне этого вопроса —
о качестве изображения. Формулы B3) дают средний квадрат
флуктуации центра тяжести изображения. В то же время внут-
внутренняя структура движущегося изображения также флуктуи-
флуктуирует. Соответствующий расчет можно произвести, если рассмот-
рассмотреть среднее значение интенсивности в системе координат, дви-
движущейся вместе с центром тяжести (формула A5). Мы не будем
приводить этот расчет ввиду его чрезвычайной громоздкости и
укажем лишь, что поело перехода в движущуюся систему коорди-
координат исключается влияние крупномасштабных неоднородностей
и внутренняя структура движущегося изображения определяет-
определяется мелкомасштабными флуктуациями. Угловой размер движуще-
движущегося пятна определяется средним квадратом флуктуации угла
прихода
О8(Р)
*V f>=0
(эта величина была вычислена в предыдущей главе). Отметим, что
расчеты структуры поля за линзой содержатся также в работах
[ИЗ, 119-123].

§ 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 393
Б. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
ПО РАСПРОСТРАНЕНИЮ СВЕТА, ЗВУКА
И РАДИОВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ
§ 56. Распространение света
в приземном слое атмосферы
Эксперименты в приземном слое атмосферы весьма привле-
привлекательны тем, что в них, помимо измерений величины мерцания
источника света, можно одновременно производить измерения
флуктуации показателя преломления (т. е. определить величину
Се) и проводить измерения при различных и точно известных
значениях L. Таким образом, наземные опыты могут дать экспе-
экспериментальный материал, который удобно сравнивать с теорией
явления [124-127, 1701.
Работы [124—126, 170] проводились на Цимлянской научной
станции Института физики атмосферы АН СССР, расположенной
на ровном участке степи. Рельеф местности обеспечивал однород-
однородность турбулентности вдоль всего пути распространения луча
(свет распространялся в горизонтальном направлении на при-
приблизительно одинаковой высоте над подстилающей поверхно-
поверхностью). Расстояние между источником и приемником света выби-
выбиралось равным 250, 500, 1000, 2000 м. На меньших, чем 250 м,
расстояниях эффект мерцания становился сравнимым с собствен-
собственными шумами аппаратуры и поэтому измерения здесь не прово-
проводились. Использовать большие, чем 2000 м, расстояния было
затруднительно из-за неровностей рельефа. Средняя высота лу-
луча над поверхностью земли составляла приблизительно 2 м.
В работах [124—126] измерегшя производились ночью, когда
флуктуации показателя преломления сравнительно невелики.
В работе [170] изморепия производились в дневное время в жар-
жаркие летние дни с очень интенсивными флуктуациями показателя
преломления.
Остановимся сначала на результатах, полученных в [124—
126].
Здесь источником света служила 30-ваттная лампа накали-
накаливания. Свет от нее при помощи светосильного объектива фокуси-
фокусировался на диафрагму диаметром 0,5 мм. За диафрагмой поме-
помещался диск обтюратора, имевший 150 щелей и вращавшийся со
скоростью 100 об/сек. Диафрагма находилась в фокусе выходного
объектива (фокусное расстояние 25 см, диаметр 10 см), из ко-
которого выходил слаборасходящийся пучок модулированного с
частотой 15 000 гц света. Модуляция света с последующим резо-
резонансным усилением сигнала на несущей частоте позволяла изба-
избавиться от посторонних смодулированных источников света, а

394
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ДАННЫЕ
ГГЛ.4
также упростила приемную аппаратуру (исчезла необходимость
применять усилители постоянного тока).
Приемник света (рис. 53) состоял из двух фотоумножителей
ФЭУ-19, свет на которые попадал через две диафрагмы (gx и ?2),
Рис. 53. Схема эксперимента по исследованию мерцания назем-
наземного источника света.
расположенные в плоскости, перпендикулярной лучу, и систе-
системы призм. Расстояние р между диафрагмами могло меняться в пре-
пределах от 0,5 до 50 см. Диаметр приемных диафрагм был равен 2 мм,
что полностью устраняло эффект «усреднения объектива».
Переменные составляющие напряжения на выходах ФЭУ,
амплитуды которых пропорциональны / (il/t) и / (М2) (I (M) —
мгновенное значение светового потока через диафрагму, помещен-
помещенную в точке М), усиливаются резонансными усилителями с по-
полосой пропускания порядка 2000 гц, а затем детектируются. На
выходе детекторов образуются напряжения V1mV3, пропорциональ-
пропорциональные / (Af t) и / (Мг)- В усилителях имеется специальная следя-
следящая система, обеспечивающая выиолпение соотношения Fx = V*
(усреднение с постоянной времени 100 сек). После отделения
постоянных составляющих образуются напряжения Fx = Vl —
—VlnVi — F2 — F2, пропорциональные флуктуациям светового
потока /' (Л/,) = 1(Мг) — / (Мг) и /' (Мг) = I (Мг) - 1 (Мг).
Напряжения Fx и У2 подвергались автоматическому статисти-
статистическому анализу при помощи специального комплекса аппара-
аппаратуры (см. [128]).
Измерялись (в одинаковых единицах): распределение веро-
вероятностей флуктуации /' (Мг); средний квадрат флуктуации

§ 50] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВИТА В 1Ш13ЕМН0М СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 395
</'г(А/,)>; среднее значение </ (Л/»)>; корреляционная функция
</' (Mj)-J' (Л/г)> = Bj (А/,, М2); частотный спектр флуктуации
/' (Mj) в диапазоне частот от 0,05 до 1000 гц.
Одновременно с изменениями мерцания наземного источника
света на трассе производились метеорологические измерения,
позволявшие рассчитывать величину С\. Измерялись профили
температуры в слое от 0,5 до 12 м, профили скорости ветра в тех
же пределах, а также направление ветра.
На основе этих измерений можно было определить параметры
турбулентности е, К, Tt.
Поскольку эксперимент производился над очень ровным
участком степи и турбулентный режим над различными участ-
участками трассы был одинаков, метеорологические измерения были
организованы лишь п одном пункте.
Приведем основные результаты измерений.
а. Функция распределения вероятностей флуктуации интен-
интенсивности света. Из теории явления следует, что логарифм ампли-
амплитуды световой волны выражается через флуктуации показателя
преломления на пути распространения при помощи интеграла
типа
Всю область интегрирования D в этом интеграле можно разбить
на большое число областей Z>{, с линейными размерами порядка
внешнего масштаба турбулентности Lo, который в условиях экс-
эксперимента определялся высотой луча над землей.
Флуктуации ft' (r) в таких областях не коррелированы между
собой. Поэтому в силу центральной предельной теоремы величина
In (A/Ao) должна быть распределена по нормальному закону.
Так как In (///0) = 2 In (A/A,,), то и величина In (///0) должна
быть распределена нормально, а величина / — логарифмически
нормально. Эксперимент хорошо подтверждает этот вывод. На
рис. 54 приведены эмпирические законы распределения вероят-
вероятностей флуктуации /. По оси ординат отложена величина
Р (I <V0) в вероятностном масштабе (т. е. в линейном масштабе
откладывается величина Ф (Р (I < /0)), где Ф'1 (х) — функ-
функция, обратная интегралу вероятности
По оси абсцисс отложено /0 в логарифмическом масштабе.
В этих координатах логарифмически нормальный закон распреде-

396
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
ления имеет вид прямой линии. Всего было обработано около ста
эмпирических функций распределения F (I). Все они хорошо
согласуются с гипотезой о нормальном распределении величины
In/.
Рис. 54. Примеры эмпирических законов распределения веро-
вероятностей логарифма интенсивности света, распространяющегося
в приземном слое атмосферы.
п
Закон распределения, которому соответствует U)r,j = 2,96, взят из изме-
измерений, проведеаяых в дневное время [1701.
Используя логарифмически нормальный закон распределе-
распределения для /, можно связать измеряемые в эксперименте величины
(/> и о? = ([/—</>]2> и входящую в теорию величину
= 4б2х = In [l + ^
а» = <[1а / -
Эта формула использовалась при дальнейшей обработке экспери-
экспериментальных данных.
6. Корреляционная функция флуктуации интенсивности света
в плоскости, перпендикулярной лучу. Как уже отмечалось, при
выполнении условия У XL^>X0 (для света это условие в призем-
приземном слое атмосферы, где л0 имеет порядок одного-двух милли-
миллиметров, выполняется уже при L порядка нескольких десятков

5 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 397
метров) радиус корреляции флуктуации интенсивности света
имеет порядок У"КЬ, а корреляционная функция флуктуации
интенсивности зависит от аргумента р/УХЬ.
В приводившихся экспериментах непосредственно проверялась
эта гипотеза подобия. Измерения коэффициента корреляции R
делались при различных значениях У"КЬ, соответствовавших
L — 2000, 1000 и 500 м. Однако расстояния р между диафраг-
диафрагмами устанавливались таким образом, что величина р/У^Ь всегда
принимала одинаковые значения 0,25; 0,5; 2; 4 и 8.
Измеренные R имели довольно большой разброс, обусловлен-
обусловленный недостаточной точностью измерений. Однако многочислен-
многочисленность измерений R значительно уменьшила ошибку, так что сред-
средние значения R, полученные при одинаковом р1*]/"кЬ и при раз-
различных У^Ь, очень хорошо согласуются друг с другом. В табл. 2
Таблица 2
р
V5E
0,25
0,5
1,0
2
4
8
L = 2000 м
V"XL = 3,2 см
R
0,58
0,27
0,09
—0,05
—0,08
—0,08
п
8
9
11
7
;
/, = 1000 л
YTL — 2,2 см
п
0,46
0,31
0,10
—0,05
—0,09
—0,03
п
15
10
18
15
13
14
L — 500 м
V"XL = t,6 см
R
0,27
0,16
—0,07
—0,03
—0,13
п
12
15
14
14
9
Средние для всех
R
0,50
0,29
0,12
—0,055
—0,062
-0,072
т»
23
40
43
36
33
30
5%-ные
доверит,
пределы
0,05
0,05
0,06
0,08
0,08
0,06
приведены величины R, полученные при различных значениях L,
а также средние для всех L данные, п — количество изме-
измерений.
Данные табл. 2 графически представлены на рис. 55. Различ-
Различными знаками отмечены значения R, полученные при разных L.
Как видно из графика, различие в значениях R, полученных при
разных У XL, укладывается в пределы точности измерений (вер-
(вертикальными линиями на графике изображены 5%-ные довери-
доверительные пределы).
Полученные результаты достаточно убедительно подтверждают
теоретический вывод о том, что корреляционная функция зави-
зависит от р/УТЕ и что радиус корреляции флуктуации интенсив-
интенсивности имеет порядок У%Ь.

398
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
Таким образом, все попытки определения «среднего размера
неоднородностей» по радиусу корреляции флуктуации интенсив-
интенсивности света обречены на неудачу, поскольку из этих наблюдений
можно извлечь лишь величину |/АХ.
в. Частотный спектр флуктуации интенсивности. Частот-
Частотный спектр флуктуации светового потока измерялся при помощи
О $5 7,0
Рис. 55. Эмпирическая корреляционная функция флуктуации
интенсивности света.
частотного анализатора, имевшего 30 фильтров, с полосой про-
пропускания в 0,5 октавы каждый (отношение верхней границы по-
полосы пропускания фильтра к нижней равно j^2), расставленных
через 0,5 октавы от 0,05 до 1160 гц.
Было обработано 80 спектров мерцания, полученных на рас-
расстояниях L = 1000 и' 2000 м. На основании синхронных метео-
метеорологических измерений вычислялась перпендикулярная лучу
компонента средней скорости ветра vj_. Измерения на каждом
из расстояний были разбиты на три группы в зависимости от
величины vj_: l<Xl <С 2 м/сек; 2 < v± < 3 м/сек; 3 <^ i>j_ <^
<4 м/сек.
Для каждой группы были получены средние спектральные
плотности флуктуации w (/) (усреднение производилось в лога-
логарифмическом масштабе).
Затем вычислялись «нормированные» спектральные плотно-
плотности
о

I 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 399
На рис. 56 в логарифмическом масштабе приведены величины
соответствующие различным скоростям ветра Vj_, которые яв-
являются средними для данной группы измерений.
Из графика видно, что с увеличением средней скорости ветра
кривые и (/) сдвигаются в сторону высоких частот. Можно най-
найти частоты fm, соответствующие максимуму кривой и (/) (/то оп-
определялось как полусумма значений частот, при которых и (/) =
= у [и (/)]гаах)- В табл. 3 приведены значения средней скорости
ветра vx для групп величины fm, а также fm i/\L/i>j_.
Таблица 3
»,, м/сек
vl
L = iOOO м
1,46
20
0,31
2,18
25,6
0,26
3,46
45,7
0,30
? = 2000 м
1,61
18,1
0,35
2,59
25,6
0,31
3,51
39,8
0,36
Величина fm y~XL/vi приблизительно постоянна, ее среднее
значение равно 0,32. Таким образом, частоты fm связаны с Vj_
соотношением
U = 0,32
A)
Отметим, что расчет, основывающийся на гипотезе «заморожен-
ной» турбулентности, приводит к соотношению fm — 0,55-^==.,
отличающемуся от A) численным коэффициентом.
Однако теоретическое соотношение между пространственным
масштабом корреляции Ro (Ва (Во) = 0) и }т, которое имеет
вид
i?« = 0,44 -^ ,

400
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
L=2000m
0,1
%t &
= 16м/сек
г,бм/<хг(
f,1 Z3 4,5 3 18 36 73 1452S0589№
а)	*
° Ч = 2,2м/сек
л VL = 3,5м/сек
ЦМ 0,3 ЦВ 1,1 2,3 4,5 9 78 ЗВ 73 145 290 580ПВО
б)	Z*"
Рис. 56. Эмпирический нормированный частотный
спектр флуктуации интенсивности света прн различ-
различных скоростях ветра.
По оси ординат отложена величина и = /го (,Т\{<уУ>. По оси
абсцисс — частота / в логарифмическом масштабе. В этих
координатах площадь под каждой из кризых равна единице.

§ 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЯТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 401
хорошо выполняется, так как, согласно экспериментальным дан-
ным, Ro = 1,5 у XL, что приводит к формуле Яо = 0,48 -т^=-.
Все частотные спектры, изображенные на рис. 56, изображе-
изображены на рис. 57 в виде функций от аргумента / YkLJvx. Как видно
из графика, преобразованные таким образом спектры весьма
0,07	0,7	7	70 vx
Рнс. 57. Эмпирические частотные спектры флуктуации интенсивности
света, построенные в зависимости от безразмерной частоты
По оси ординат отложепа величина uHf) ¦¦
незначительно отличаются друг от друга; это подтверждает вы-
вывод о том, что функция и (/) зависит лишь от аргумента /
М/) _,
Jv(f)df
Функция, стоящая в правой части этого равенства, выше (стр.
359) была рассчитана теоретически на основании гипотезы «замо-
«замороженной» турбулентности.
«& На рис. 58 приведено сопоставление теоретической кривой с
экспериментальными данпыми, полученными усреднением гра-
графиков рис. 57. Как видно из рисунка, теоретическая кривая «уже»

402
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
экспериментальной; это, по-видимому, связано с тем, что при рас-
расчете предполагалось постоянство скорости ветра по всей трассе.
Остановимся теперь на важных результатах, полученных в ра-
работе М. Е. Грачевой и А. С. Гурвича [170]. В этой работе про-
проверялась полученная выше формула <Х2> = 0,077Cjfc'".L" • = oj (L)
для среднего квадрата флуктуации логарифма амплитуды.
и. (П
05
0,4
0,3
0,2
Q1
°0,005Ц01
fVXE
10
Рис. 58. Сопоставление эмпирического (кривая /) и теоре-
теоретического (кривая 2) частотных спектров флуктуации ин-
интенсивности света и (/) = fw (/)/ <хг>.
При сопоставлении результатов теории и эксперимента не-
необходимо учитывать, что источник света фактически излучает
не плоскую волну, а слаборасходящийся пучок плоских волн.
Действительно, каждая точка светящегося тела в фокальной
плоскости объектива осветителя дает плоскую волну, распро-
распространяющуюся под некоторым углом к оптической оси. Различ-
Различные точки светящегося тела являются некогерентными источни-
источниками света, так что на выходе объектива мы имеем набор некоге-
некогерентных плоских волн, распространяющихся внутри некоторого
телесного угла. Поэтому на приемник света одновременно прихо-
приходят некогерентные волны с несколько различпых направлений,
подобно свету от планеты с конечными угловыми размерами. Выше
было рассчитано ослабление мерцания, вызванное конечпостью
углового размера источника света. Этот расчет экспериментально
проверялся в работе A71], причем было обнаружено хорошее
согласие результатов измерений с теорией. В работе [170] при
сопоставления результатов эксперимента с теорией учитывалось
усредняющее действие источника света и вносились соответствую-
соответствующие поправки — результаты измерений пересчитывались на ис-
источник света с бесконечно малыми угловыми размерами,

I 58] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА D ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 403
Измерения производились в дневных условиях при сильной
конвективной неустойчивости атмосферы, когда флуктуации по-
показателя преломления особенно велики. Источником света слу-
служила 250-ваттная ртутная лампа сверхвысокого давления, питае-
питаемая мощным генератором с частотой 2500 гц. Так как лампа уд-
удваивает частоту, то из объектива осветителя, в фокусе которого
была расположена лампа, выходил пучок света, модулирован-
модулированный с частотой 5000 гц. Источник света располагался на фоне за-
зачерненного экрана для ослабления рассеянного света, попадаю-
попадающего в приемник от посторонних источников.
Расстояние между источником и приемником света менялось
в пределах от 125 до 1750 л*. При изменениях расстояния осве-
осветитель диафрагмировался так, чтобы величина т/т0, где т0 =
= Y2rkjnL — характерный угол, определяющий ослабление мер-
мерцания из-за усреднения но источнику, оставалась постоянной.
Угловой размер источника у в рассматриваемом эксперименте
был равен его видимому угловому размеру DjL, так как ширина
испускаемого пучка света памного превосходила эту величину.
Поэтому при изменениях расстояния сохранялось постоянным
отношение диаметра диафрагмы D осветителя к радиусу первой
зоны Френеля УТЬ.
Приемник света представлял собой фотоумножитель ФЭУ-19,
перед которым располагалась зачерненная внутри труба длиной
около метра с помещенными внутри нее диафрагмами для умень-
уменьшения постороннего света. Диаметр диафрагм равнялся 2 мм,
что было вполне достаточно для устранения эффекта усреднения
по приемному отверстию. Сигнал с фотоумножителя усиливался
усилителем с полосой пропускаемых частот от 4500 до 5500 гц,
детектировался линейным детектором, а затем поступал в спе-
специальные блоки, измерявшие величины </>, <|/—(/>|>. Про-
Производились также записи сигнала с детектора на шлейфовый
осциллограф, которые затем обрабатывались для получения зако-
законов распределения вероятностей флуктуации интенсивности (при-
(пример такой записи приведен на рис. 59).
Одновременно с измерениями флуктуации интенсивности све-
света производились измерения вертикальных профилей скорости
ветра и температуры, но которым затем рассчитывалась вели-
величина С\. Эти расчеты производились по формулам, приведенным
в гл. 1 с учетом зависимости параметров турбулентных пульса-
пульсаций от числа Ричардсона.
Так как в эксперименте измерялись величины <|/— СО|>,
</>, а для сравнения результатов теории и экспериментальных
данных необходимо знать величину а2 — <[1п/ — <1п/>]а>, то
необходимо найти связь между ними. Для ее установления

404
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
достаточно знать закон распределения вероятностей величины /.
Поэтому было предпринято специальное исследование 8акона
распределения флуктуации амплитуды. В области применимости
первого приближения метода плавных возмущений этот закон
распределения должен быть логарифмически нормальным, что
t сек
„О "линия
6)
Рис. 59. Примеры осциллограмм сильных флуктуации интенсивности света:
а — ^«l; б — аг » 5.
Скорости ветра, do время которых получены записи, приблизительно совпадают [182].
и было подтверждено предыдущими измерениями. В описывае-
описываемых экспериментах зачастую осуществлялись такие условия, при
которых величина а\ = 0,077A^'C^Z/1'1 намного превышала еди-
единицу (ее максимальные значения доходили до 25). Оказалось, что
и в этой области закон распределения очень близок к логарифми-
логарифмически нормальному*). Пример эмпирического закона распределе-
распределения, относящийся к области сильных флуктуации, приведен на
рис. 54. Значение параметра а\ равно для этого примера 9.
*) Небольшие отступления от логарифмически нормального закона рас-
распределения иногда наблюдаются в областях маловероятпых значений / (т.е.
при очень больших и очень малых значениях /).

$ 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 405
Основываясь на логарифмически нормальном законе распре-
распределения, можно по измеренным значениям </>, <]/ — </>{> вы-
вычислить величину ра = <[/ — </>]2>/</>а (мы не приводим со-
соответствующую формулу ввиду ее громоздкости). После нахож-
нахождения величины р2, относящейся к мерцанию источника света с
конечным угловым размером, по кривой, изображенной на рис. 52,
производилось приведение результатов измерений к источнику
с бесконечно малыми угловыми размерами. После этого по фор-
формуле а? = ехр ф2) — 1 рассчитывалась величина флуктуации
логарифма интенсивности
а\ = <[1п/ — <1п/>]а> -4<[1пЛ — <1пЛ>]2>.
Полученная таким образом зависимость экспериментально
измеренной величины <jj = 2ох от параметра 2alt соответствую-
соответствующего расчету по первому приближению метода плавных возму-
возмущений, приведена на рис. 60. Такая же зависимость была полу-
получена впоследствии теми же авторами при помощи прибора,
измерявшего не величины </>, <|/— </> |>, а непосредственно
средний квадрат флуктуации интенсивности света <[/— </>Р">
и </>.
На рис. 60 можно четко разделить две области: область слабых
флуктуации, соответствующую зпачениям аг — 0,28 CJt1" L" <
<0,8, и область сильных флуктуации, соответствующую зна-
значениям этого параметра, превышающим 0,8. В первой из этих
областей наблюдается хорошее согласие теоретических значений,
полученных при помощи первого приближения метода плавных
возмущений, с экспериментальными результатами. В области же
сильных флуктуации наблюдается «насыщение» эксперименталь-
экспериментальных значений среднего квадрата флуктуации логарифма интен-
интенсивности. Таким образом, на основании результатов описывае-
описываемой работы можно сделать вывод, что первое приближение метода
плавных возмущений справедливо для амплитудных флуктуа-
флуктуации до значений а\ = 0,077 (*kv'L"h <0,64.
Что касается области сильных флуктуации, то она рассматри-
рассматривалась выше, в § 51. Произведенный там расчет не позволил
найти численное значение уровня «насыщения», но объяспил
полученные в экспериментах М. Е. Грачевой и А. С. Гурвича ре-
результаты. Если принять для входящего в теорию численного пара-
параметра о^ экспериментальное значение 0,64 и нанести теоретичес-
теоретическую кривую на график рис. 60 (сплошная кривая на этом рисун-
рисунке), то мы получаем хорошее совпадение результатов теории и
эксперимента при всех исследованных значениях параметра
?<25

406
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
1ГЛ. 4
Ниже (см. гл. 5, § 66) приведен еще один вариант теории силь-
сильных флуктуации, дающий объяснение экспериментально наблю-
наблюдаемой зависимости ах = } (oj). Получепаая в § 66 зависимость
д 70 v
2s,
Рис. 60. Сопоставление экспериментально полученных значе-
пий среднего квадрата флуктуации логарифма интенсшшости
света Bзх) с соответствующей величиной, рассчитанной в первом
приближении метода плавных возмущений
Сплошная кривая проведена на основании расчета, произведенного в § 51
(см. также рис. 96 на стр. 516),
Ох — / (cTi) может быть с большой точностью аппроксимирована
формулой
л ,	1
и хорошо согласуется с приведенными на рис. 60 эксперимен-
экспериментальными данными (см. рис. 96 на стр. 516).
Заметим также, что из теории, развитой как в § 51, так и в
§ 66, следует, что закон распределения для флуктуации интен-
интенсивности в области сильных флуктуации должен быть близок к
логарифмически нормальному.
г. Измерения флуктуации угла прихода света. В работе [129]
производились измерения флуктуации угла прихода световой
волны («дрожания* изображения).

§ 56] РАСПРОСТРАНВНИЕ СВЕТА В 11РИЗЕМН0М СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 407
Для определения статистических характеристик «дрожания»—
дисперсии и частотного спектра—была разработана схема измере-
измерений, изображенная на рис. 61. Источник света с диафрагмой,
подбираемой так, чтобы его угловые размеры составляли всегда
около 2", помещался на расстоянии L от телескопа. Объектив
телескопа имел фокусное расстояние 80 см и диаметр 8 см. Ме-
Между объективом телескопа и его фокусом на расстоянии 1 см
от фокуса находилось зеркальце шлейфового гальванометра.
Отраженный от зеркальца пучок света фокусировался при помо-
помощи второго объектива на вертикальной щели шириной в 30 мкм,
что примерно в 2 раза мень-
меньше увеличенного вторым
объективом изображения
источника. За щелью поме-
помещался фотоумножитель. Фо-
Фокусировка системы при изме-
изменении расстояния до источ-
источника света осуществлялась
перемещением объектива те-
телескопа.
Для измерения «дрожа-
«дрожания» применялась следящая
система, работающая на несу-
несущей частоте / = 5 кгц, кото-
которая позволяла исключить
влияние «мерцания» (измене-
(изменения интенсивности принимае-
принимаемого света) на результаты
Рис. 61. Блок-схема экспериментальной
установки для измерения флуктуации
угла прихода света.
ИС — источник света, О — объектив, Г—
тлейфовый гальванометр, Щ — щель, ФЭУ —
фотоумножитель, Ф —фильтр на частоту 5 кгц,
У— усилитель, СД — синхронный детектор,
? — суммирующий иост, ЭУ — электромет-
электрометрический усилитель, УВ — управляемый
„ высоковольтный выпрямитель, ЗГ— звуковой
ИЗМереНИЯ. Работа СЛеДЯЩеИ генератор, ЧА — частотный анализатор,
системы происходит слепую- эду ~ »»«отм"»™с«-« умножитель.
щим образом. Напряжение
несущей частоты со звукового генератора через суммирующее
устройство (уравновешенный мост) подается па шлейф. Амплитуда
колебаний изображения на щели была порядка 35—АОмкм. Колеба-
Колебания совершаются в горизонтальной плоскости перпендикулярно
щели. Напряжение с нагрузки фотоумножителя подается на уси-
усилитель с полосой пропускания от 4800 до 5200 гц. Если среднее
(за период 1//) положение изображения источника света находит-
находится на середине щели, то в сигнале на выходе фотоумножителя
имеются составляющие с частотами 2/, 4/ и т. д. и отсутствует
составляющая с частотой /. Амплитуда этой составляющей про-
пропорциональна смещению среднего положения изображения от
середины щели, а фаза совпадает с фазой колебания шлейфа или
сдвинута на 180е в зависимости от того, в какую сторону от се-
середины щели сдвинуто изображение. Усилитель пропускает

408
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
только частоты, близкие к /. На выходе усилителя находится син-
синхронный детектор, ток с которого через суммирующее устройство
подается на шлейф. Фаза управляющего напряжения, подавае-
подаваемого на синхронный детектор, подбирается так, чтобы в описан-
описанной следящей системе осуществлялась отрицательная обратная
30
25
20
75
10
4
5
-
¦
-
X
а
Hi ;
О 725259 5S0
IOCS
2000L,m
Рис. 62. Зависимость среднего квадрата флуктуа-
флуктуации угла прихода от расстояния.
Большой разброс экспериментальных значений вызван
значительными вариациями метеорологических условий.
л
Крестиками обозначены средние значения аф для каждого
из расстояний.
связь и измонение угла прихода <р0 волн компенсировалось бы по-
поворотом зеркальца шлейфа на соответствующий угол.
Таким образом, ток на выходе синхронного детектора про-
пропорционален усредпенному за период нескольких колебаний шлей-
шлейфа значению угла прихода световой волны.
Одновременно с измерениями характеристик «дрожания» про-
проводились измерения вертикальных профилей средней скорости
ветра и средней температуры. Всего было проведено около 60

§ 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 409
измерений дисперсий и частотных спектров на расстояниях 125,
250, 500, 1000 и 2000 м. При каждом измерении в качестве вели-
величины дисперсий и спектральных плотностей брались их средние
значепия за 10 мин.
На графике рис. 62 приведены значения а*, измеренные при
различных расстояниях L и различных метеоусловиях. Этот
рисунок дает представление о величинах а^; из него видно, что
в среднем имеет место линейная зависимость а2 от L. Из этого же
графика ясно, что шум прибо-
прибора 0"щ, пересчитанный в угло-
угловые единицы, равен приблизи-
приблизительно 1". Линейная зависи-
зависимость от расстояния хорошо
согласуется с теоретической
формулой
"
О 7 2 3 4 5 6 7
8
сек
Аналогичные измерения недав-
недавно были выполнены А. С. Гур-
вичем и М. А. Каллистратовой
[1841 в дневных условиях,
когда величина С\ обычно боль-
больше, чем ночью. В этой ра-
работе для более детального
сопоставления результатов из-
измерений с теорией по данным
о средних значениях скорости
ветра и температуры вычисля-
вычислялось значение С\ по формулам,
приведенным в гл. 1 (с учетом
зависимости от числа Ричардсо-
Ричардсона). Сопоставление рассчитанных и измеренных значений аФ приве-
приведено на рис. 63, где по оси абсцисс отложены теоретические значения
<тФт, а но оси ординат — экспериментально определенные значепия
дисперсий «дрожания» афэкспс учетом шума. Прямая на рис. 63
означает полное совпадение. Из графика видно, что измеренные
значепия ложатся около этой прямой. Коэффициент регрессии
величины о"фэкси на теоретическое среднеквадратичное значение
ает равен 0,98.
Как било установлено в разделе А, произведение
Рис. 63. Сопоставление эксперимен-
экспериментально измеренных значений средне-
среднеквадратичной величины флуктуации
угла прихода света (<5<,,эксп) с величи-
величиной <ЗуТ, рассчитанной на основе из-
измерений профилей средней темпера-
температуры и скорости ветра.

410	ЗКОПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
(F (/) — спектральная плотность мощности флуктуации на ча-
частоте /) является безразмерной функцией безразмерной частоты
fb/v±:
fw (/) = const sm'(^
где v± — нормальная к лучу компонента средней скорости ветра
и b — диаметр объектива. Эта формула получена в предположе-
предположении, что справедлив «закон 2/3» и что можно пользоваться гипо-
гипотезой «замороженной турбулентности». На рис. 64 приведен
спектр, получепный усредпением нормированных и приведенных
к безразмерной частоте спектров fw (/). Для сравнения с теорией
указано асимптотическое поведение теоретической функции fw (/)
на низких частотах / при -^—
и на высоких частотах при
На графике отмечено значение безразмерной частоты-— = 0,22,
соответствующее максимуму теоретического спектра.
Из графика видно, что экспериментально определенный спектр
имеет тот же характер, что и теоретический. Максимум спект-
спектральной функции находится на частотах того же порядка, что и
максимум теоретического спектра. Более быстрый по сравнению
с теоретическим спад спектральной функции в области низких
частот объясняется, по-видимому, тем, что в крупномасштабной
области спектра турбулентности, ответственной за низкочастот-
низкочастотный участок спектра «дрожания», «закон 2/3» выполняется недо-
недостаточно точно. На рис. 64 пунктиром нанесен также спектр
флуктуации угла прихода звуковых волн (см. ниже), форма ко-
которого довольно близка к спектру «дрожания» источника света.
В заключение сформулируем основные выводы, которые мож-
можно сделать на основе анализа проведенных экспериментов.
В области слабых флуктуации при а? =
= 0,077 С?/сЧп/'< 0,6
1.	Флуктуации интенсивности света, вызванные турбулент-
постью атмосферы, распределены логарифмически нормально.
2.	Зависимость

§ 5fi] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА П ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 411
подтверждается количественно вплоть до значений величины
0,077 C\kVtLu-' порядка 0,6.
3. Непосредственные измерения подтверждают теоретический
вывод о том, что корреляционная функция флуктуации интен-
интенсивности света зависит от р / "|Ал?, а масштаб корреляции имеет
порядок ~\/TL.
0,007
0,007 Q01	0,1	1,0	1Ц0
Рис. 64. Частотный спектр флуктуации угла прихода света.
Пряные линии соответствуют теоретическим асимптотикам в обла-
области низких и высоких частот. Значение fb/v^ — 0,22, отмеченное
вертикальной пунктирной линией, соответствует положению мак-
максимума теоретически рассчитанной функции fW (/). Пунктиром
нанесен экспериментальный спектр флуктуации угла прихода
звуковых волн.
4.	Подтверждается, что частотный спектр флуктуации интен-
интенсивности света зависит от fYhL/v±, и обнаруживается хорошее
согласие временного и пространственного масштабов корре-
корреляции.
5.	Средний квадрат флуктуации утла прихода световых волн
ири распространении в турбулентной атмосфере пропорциона-
пропорционален расстоянию, проходимому светом в турбулентной среде.
6.	Экспериментальные данные о средних квадратах флукту-
флуктуации угла прихода находятся в хорошем согласии с расчетными
значениями, полученными на основании измерений распределения
скорости ветра и температуры с высотой в приземном слое ат-
атмосферы.
7.	Вид частотного спектра флуктуации угла прихода света
находится в согласии с теоретическим, однако для объяснения
ширины спектра необходимо учесть флуктуации скорости перено-
переноса неоднородностей.

412	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
В области сильных флуктуации при
ст?>2
1.	Закон распределения вероятностей флуктуации интенсив-
интенсивности света близок к логарифмически нормальному.
2.	Средний квадрат флуктуации логарифма интенсивности
света не зависит (или зависит очень слабо) от расстояния, прой-
пройденного в неодпородной среде, и от характеристики флуктуации
диэлектрической проницаемости С\.
3.	Величина <[1п/— <1п/>]а> в области сильных флуктуа-
флуктуации равна приблизительно 2,5, чему соответствует
§ 57. Распространение звука
в приземном слое атмосферы
Экспериментальные исследования распространения звуковых
волн в турбулентной атмосфере выполнялись в работах В. А. Кра-
сильникова и К. М. Иванова-Шиц [130, 131], Б. А. Сучкова [132],
Г. С. Голицына, А. С. Гурвича и автора [133].
В экспериментах Красильникова измерялись временная
структурная функция флуктуации фазы ([S (t + т) — S (?)]2>
и средний квадрат флуктуации логарифма амплитуды звуковой
волны <[1п4 - <1п4>]а>.
Остановимся сначала на флуктуациях фазм волны. В том слу-
случае, когда за время t неоднородности в распределении скорости
ветра и температуры не успевают заметно измениться, можно
считать, что они лишь переносятся (без «эволюции») со средней
скоростью ветра*). Если направление ветра перпендикулярно
направлению распространения звука и скорость его vj_, то зна-
значение фазы S (t -f т) в точке М совпадает со значением фазы
в момент t в точке, отстоящей от М на расстоянии v^x- Таким
образом,
Согласно соотношению C7.47) при Хо <^ р
D8(p)~k*LCy>.
Таким образом, должно выполняться соотношение
*) «Условие замороженностп» подробно обсуждалось в гл. 1, где приво-
приводились также экспериментальные'данные по проверке выполнения этого усло-
условия в реальной атмосфере.

S 57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 413
т. е. изменчивость фазы пропорцвональна структурной постоян-
постоянной Сп, частоте звука, корню из проходимого звуковой волной
расстояния и интервалу времени в степени 6/«-
На рис. 65 приведена полученная В. А. Красвльниковым и
К. М. Ивановым-Шиц [130] зависимость оу от расстояния L,
а на рис. 66 зависимость ст3 от v . т (частота звука 3000 гц, расстоя-
расстояние L = 22; 45 и 67 м, v± = 5 м/сек, т = 0,04; 0,08 и 0,2 сек)-
ss, град
40
30
20
10
6 8 10
О
Рис. 65. Зависимость средне-
среднеквадратичного значения вре-
временной изменчивости фазы
8вука <?? от длины трассы L.
Рис. 66. Зависимость среднеквад-
среднеквадратичного значения временной
изменчивое™ фазы звука og от
По оси абсцисс отложена величина
(vri)*'; по оси ординат — усреднен-
усредненные по различным значениям L вели-
величины <jg.
Как видно из графиков, зависимость стд от L в v. т удовлет-
удовлетворительно согласуется с приведенной формулой. Эксперименты,
проведенные с ультразвуком на частотах до 50 кгц, также при-
приводят к удовлетворительному совпадению экспериментальных
и теоретических результатов [131). Таким образом, зависимость
C7.47) находит экспериментальное подтверждение в диапазоне
частот от одного до пятидесяти килогерц.
На рис. 67 приведена зависимость величины о"д =
= у \ *ПХ / от Расстояния (все данные приведены к расстоя-
расстоянию 22 м). Зависимость ста от L удовлетворительно аппроксими-
аппроксимируется формулой стд = ALa, где а гг; 0,8. Заметим, что согласно
формуле C1.47) следовало ожидать величины а -х- 0,92 (в рас-
рассматриваемых экспериментах УХь^>%0). Опыты Красильникова

414
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
и Иванова-Шиц, таким образом, удовлетворительно согласуются
с теоретической формулой C1.47).
На основании результатов измерений величин <rg и аА можно
произвести оценки входящей в формулу C1.47) и C7.47) величины
Сп, характервзующеи интенсивность флуктуации скорости звука.
Сп, найденная по формуле
С —
l,7kL'(v±r)'
со значениями <rg = 46° = 0,8 рад, к = 58 лГ1 (/ = 3 кгц).
L=%1 м, vx=b м/сек, т= 0,2 сек, оказалась равной 0,0010 м~'!=.
Эта же величина, определенная из со-
отпошения
ЦЗ
0,1
о
20 40 60 ВВ'м
со значением о,= 0,44 и теми же зна-
значениями к и L, оказалась равной
Рис. 67. Зависимость сред- 0,0016 м~Ч' (<ГД и <rg взяты из работы
фд^ти^г^Тотар^фмГТ^ ИЗО]). Если учесть, что значения as и
плитуды звуковой волны от <гд получены в результате обработки
расстояния.	записей флуктуации фазы и амплитуды
звука, имеющих различную длитель-
длительность, то полученное совпадение величин Сп следует считать
удовлетворительным. В гл. 2 была получена формула, связы-
связывающая С„ для звуковых волн с величинами С\ и С\ определяю-
определяющими флуктуации температуры и скорости ретра:
где с0 — средняя скорость звука. Воспользовавшись формулами
B6.16) и B7.16), выражающими С\ и С\ через характеристики
среднего профиля <Т (z)>, <y (z)>, получим
A)
в которой использованы значения <Г> = 290° К, с0 — 340 м/сек,
Сп выражено в м-\ а ^- и ^ выражены здесь в "С и в м/сек
на мегр соответственно. Функции jx (Ri) и /2 (Ш) изображены
на рис. 17, 18.

57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 415
Значение Сп — 0,0010 м~'/г, полученное выше, соответствует
разности скоростей Аи для высот ze = 8 ж и zt — А ж, равной
1 м/сек, что представляет собой типичную величину. Таким об-
образом, полученные выше формулы для средних квадратов флук-
флуктуации амплитуды и фазы дают пра-
правильные результаты и по порядку
величин.	020
Весьма подробные измерения
флуктуации амплитуды звуковой O/S
волны были произведены Б. А. Суч-
Сучковым [132] в 1954 г. Измерения о/О
флуктуации амплитуды звука сопро-
сопровождались одновременными измере- д@
ниями профилей средней температу-
температуры и средней скорости ветра, что
позволило рассчитать Сп, пользуясь О 7 2 3 4 5L.M
формулой A).
На рис. 68 представлена получен- Рпс> 68- Зависимость средне-
ная Б. А. Сучковым зависимость	^ЯГВДГЕ^ЙЙ"
ультразвуковой волны от рас
стояния.
от L (частота 76 кгц). Как видно из графика, экспериментальные
результаты хорошо описываются теоретической формулой
Я„, а\ < 1).
(во всех опытах соблюдались условия
С	б
д	у	y ^ „ < )
Б. А. Сучковым было произведено 28 серий измерений зависи-
зависимости а\ — / (L) на частотах от 3 до 76 кгц. Экспериментальные
данные аппроксимировались формулой ал = ALa. Среднее для
звуковых частот A8 серий) значение а оказалось равным 1,1,
вреднее значепие а для ультразвуковых частот C0—76 кгц) —¦
0,95. Полученные значения а близки к теоретическому зна-
значению а= -тк = 0,92.
Б. А. Сучков производил при помощи формулы типа A) (без
учета / (Ri)) расчет величины аА на основании измерений про-
профилей температуры и скорости ветра.
На рис. 69 приведено сопоставление величин а\, полученных
в результате прямых измерений и на основании одновременных
измерений профилей средней температуры и средней скорости
ветра. Коэффициент корреляции между величинами lgo^ и lg стмег
равен 0,90 (на графике помещено 97 точек) *>.
*) Заметим, что все экспериментальные точки на рис. 69 лежат в области
слабых флуктуации.

416
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
Б. А. Сучков производил также измерения временной авто-
автокорреляционной функции флуктуации амплитуды звуковой вол-
волны, В том случае, когда направление ветра перпендикулярно
направлению распространения звука и когда время корреляции
-10
-0,5
-0,5
-w
-1,5
Рис. 69. Сопоставление измеренных среднеквадратичных
значений флуктуации логарифма аиплитуды (аА) со зна-
значениями этих величин, рассчитанными на основании из-
измерений профилей скорости ветра в температуры (зиет).
Измерения производились в диапазоне частот от 3 до 76 кщ.
значительно меньше, чем z/vt, приближенно выполняется со-
соотношение
\
/
Функция ВА (р) при Y^L ^* ^о была рассчитана выше (см.
рис. 45, стр. 307). Масштаб корреляции флуктуации ампли-
амплитуды равен по порядку величине Y"kL. Отсюда следует, что время
корреляции флуктуации амплитуды имеет порядок YkL/v^.
На рис. 70 изображены полученные Б. А. Сучковым корре-
корреляционные функции флуктуации амплитуды, причем по оси абс-
абсцисс отложена величина ту^/]/хХ. Различные кривые соответ-
соответствуют разным расстояниям между излучателем и приемником

§ 57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 417
D; 8 и 16 м). Если величины
/In -4~ In -^^ = / СО
нанести на график в натуральном масштабе, т. е. в виде функций
от т, то кривые, полученные для различных L, имеют различный
Рис. 70. Эмпирические нормированные автокорреляционные
функции флуктуации логарифма амплитуды звука.
Кривые 1,2,3 получены при L — i м, 8ди lt>« соответственно.
вид. После приведения масштаба к величине т0 = —— все три
кривые сближаются друг с другом, особенно при малых значе-
значениях v^x/YJX.
Эксперименты Б. А. Сучкова находятся в хорошем согласии
с изложенной в гл. 3 теорией флуктуации. Сопоставление на-
намеренных и рассчитанных значений величины аА иллюстрирует
возможность количественных оценок величины флуктуации ам-
амплитуды звуковых волн на осповании простых измерений профи-
профилей скорости ветра и температуры в атмосфере.
Измерения частотных спектров флуктуации амплитуды и раз-
разности фаз звуковых волн было проведено в работе [133].
Измерения производились в конце лета 1958 г. на открыток
и ровном участке степи в районе пос. Цимлянского (Научная
станция Ин-та физики атмосферы АН СССР). Схема эксперимен-
эксперимента представлена на рис. 71.
14 в. И. Татарский

418
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
Сигнал, вырабатываемый звуковым генератором 1, поступал
на усилитель 2, мощностью в 25 вт, нагруженный на громкого-
громкоговоритель 3 с коническим рупором. Громкоговоритель располагал-
располагался на высоте 1,5 м над земной поверхностью. Излучаемый сигнал
воспринимался микрофонами Мг и М2, которые помещались на
высоте 9 м над землей на гори-
горизонтальной ферме и могли пере-
перемещаться по ней на специаль-
специальных тележках. Применение «на-
«наклонной» трассы и рупорного
громкоговорителя позволило
значительно ослабить отраже-
отражения от земли, так как «отражаю-
«отражающая зона» находилась вне основ-
основного лепестка диаграммы на-
направленности рупора. Коэффи-
Коэффициент отражения от земли под
углом 10°, измеренный при по-
помощи импульсной аппаратуры,
описанной в [88], был менее
0,1 по амплитуде. Сигналы с
микрофонов поступали на старт-
Рис. 71. Блок-схема измерений ча-
частотных спектров флуктуации амп-
амплитуды и разности фаз звука.
1 — звуковой генератор, г — усилитель,
3 — громкоговоритель, М,, М, — микро-
микрофоны, 4 — фазометр, S — усилитель с де-
детектором, в — частотный анализатор.
стопный фазометр 4 и, с одного
из микрофонов, на усилитель
с линейным детектором на вы-
выходе 5. Напряжение с выхода
фазометра или детектора пода-
подавалось на 30-канальный частот-
частотный анализатор 6. Напряжение
с детектора подавалось также на интегрирующий вольтметр, по-
показания которого были пропорциональны средней амплитуде звука.
Каждое измерение частотного спектра производилось с об-
общим усреднением в 10 мин E последовательных записей спектров,
усредненных интегрирующими цепочками анализатора частот по
интервалу в 100 сек).
Одновременно с акустическими измерениями производились
измерения скорости и направления ветра, а также температуры
на высотах 0,5; 1; 2; 4; 8 и 12 ж. На основе этих измерений опре-
определялись характеристики турбулентного режима атмосферы, не-
необходимые при анализе результатов измерений.
Измерения производились на трех частотах: 2; 6 и 8,5 кгц.
Длина трассы L менялась от 21 до 80 м, база Ъ — от 0,4 до 3 м.
Применявшийся фазометр позволял регистрировать пульса-
пульсации фазы в пределах ± п. Поэтому в случаях больших флуктуа-
флуктуации показателя преломления измерения проводились на малых

I 57) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 419
расстояниях, малых базах и меньших частотах. Относительные
пульсации амплитуды ад/<Л> составляли 0,1—0,42.
Всего для обработки было взято 16 спектров флуктуации амп-
амплитуды и 21 спектр разности фаз, полученных в основном в ноч-
ночное время. Были отброшены спектры, во время получения которых
0.1
007
о,ж
-LJ		I '"
-J	I	I I I I
-J	L.
005 01 02030405071,0 2 34 5 7 10 2030405070700
Ряс. 72. Эмпирические частотные спектры флуктуации амплитуды
звука, полученные при различных расстояниях, частотах и метео-
метеорологических условиях.
ветер был направлен почти вдоль луча (в пределах 30°), или когда
абсолютная скорость ветра была менее 1 м/сек, поскольку слабый
ветер измеряется с малой точностью.
Результаты измерений частотных спектров представлены на
рис. 72 и 73, где в логарифмическом масштабе отложены по осям
14*

420
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
{ГЛ.
ЦО7
ЩХЛ
цот
I I I I I I I I
Ц05 07 Ц2О?Щ5О,770 2 3 4 S 7 70 20304050707(Ю
Рис. 73. Эмпирические частотные спектры флуктуации разности
фаз звука, полученные при различных расстояниях, частотах,
базах и метеорологических условиях.

§57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 421
абсцисс частота, по осям ординат — безразмерные величины
0,05
0,05
(/)<*/
где wA {f) и W&S (f) — спектральные плотности флуктуации ам
плитуды и разности фаз звуковой волны. Величины их и
подчинены условию нормировки
и представляют собой нормированную спектральную
ность «мощности» флуктуации в
логарифмическом масштабе. На
рис. 72 и 73 объединены частот-
частотные споктры, относящиеся к
различным расстояниям, часто-
частотам, величинам базы и метео-
метеорологическим условиям; этим
объясняется большой разброс
полученных спектров.
Теоретический расчет частот-
частотного спектра флуктуации раз-
разности фаз был проведен в раз-
разделе А. Там было установлено,
что безразмерная функция
«дз(/) =
плот-
при —— << 1 имеет вид
0,44 ( У-
т. е. в области низких частот
^f1*- При
функция
Хара-
Рис. 74. Теоретический вид функции
цдд, определяющей частотный спектр
флуктуации разности фаз (кривая 1);
кривая 2 — результат обработки экс-
экспериментальных данных, представ-
представленных на рис. 73 (см. также рис. 77).
(/) убывает как
ктерная частота Д, при которой
идя (/) имеет максимум, равна /1 = 0,22-g-:, т. е. определяется
размером базы и скоростью ветра. Функция кДд (/) изображена на
рис. 74(теоретическая кривая!; способ получения кривой Сбудет

422
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
пояснен ниже). Как видно из этого рисунка, наибольший вклад
в энергию флуктуации разности фаз производят неоднородности
с размерами порядка длины базы. Следует отметить, что при
анализе спектра флуктуации разности фаз частотным анализато-
анализатором с полосой пропускания большей, чем v± jb, провалы в спект-
спектре, соответствующие нулям множителя sin2 {nbf/v±), не будут
пО)
ЦОО7
Q02 Ц05 7.0 0,2 ЦЗ Q5Q7W 2 3 4 5 7 70 2030 50 ШО
Ряс. 75. Эмпирические частотные спектры флуктуации амплитуды, построен-
построенные как функции аргумента / VJJL/v^ (см. для сравнения рис. 72, где
эти же частотные спектры приведены как функции частоты /).
обнаружены. Кроме того, за счет флуктуации в скорости пере-
переноса неоднородностей положение нулей должно изменяться, что
в среднем также приведет к выравниванию спектра. Поэтому
форму спектра в высокочастотпой области можно получить, за-
заменяя sin* (nbf/v_i) его средним значением, равным 1/2:

§ 57| РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОЙ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 423
Вернемся теперь к анализу результатов измерений. Величины
(/) и uas (/) являются функциями безразмерных частот ///д
частоты
для
и f/fs, где /д = у4=., /s = -±- — характерные
флуктуации амплитуды и разности фаз волны. Для проверки
0,7
ff.01
QOO1
.' ' ¦ ¦ I'll
J—I—I I 111 III 11	I	t	¦	I
0,02 ЦО5 0,7 0JQ3 Щ71,0 2 345 710 203040
Рис. 76. Эмпирические частотные спектры флуктуации разности
фаз звука, построенные как функции аргумента fb/v^ (см. для
сравнения рис. 73, где эти же частотные спектры приведены
как функции частоты /).
указанной «гипотезы подобия» частотные спектры, изображенные
на рис. 72 и 73 в координатах (нА, /) и (u^s, f), представлены на
рис. 75 и 76 в координатах (иА, f //A) и (uAS, f/fs), Сопоставляя
рис. 72 и 73 с рис. 75 и 76, легко обнаружить, что частотные
спектры, которые на рис. 72 и 73 были довольно сильно сдвинуты

424
ЙКСПЁРИМЁНТАЛЫ1ЫЁ ДАННЫЙ
1гл. 4
7,0
друг относительно друга, на рис. 75 и 76 сближаются, образуя
довольно узкую «полосу». Это является подтверждением того
факта, что частотные спектры флуктуации амплитуды и фазы
звука действительно можно считать функциями безразмерных
аргументов fb/vj_ для разности фаз и / Y%Llv± для амплитуды. Ес-
Если учесть, что измерения проводились в различное время суток
при различных метеорологических условиях, на разных часто-
частотах и трассах, то полученные результаты следует признать хо-
хорошим подтверждением закона
ujs	подобия. Закон подобия по па-
раметру/д= -+= для флуктуа-
флуктуации амплитуды воли был ранее
подтвержден в экспериментах
со светом (см. предыдущий
параграф).
Спектр флуктуации разно-
разности фаз, полученный усредне-
усреднением всех спектров рис. 76, при-
приведен на рис. 74 (кривая 2).
Экспериментальная и теорети-
теоретическая кривые довольно хорошо
согласуются друг с другом.
Провалы, соответствующие вы-
сокочастотпой части спектра, па
ЦО7
QO01
Ц0ГЩЩЦ7Щ4'Щй'2345770 20
?Ь_
Ч.
Рис. 77. Усредненный частотный
спектр флуктуации разности фаз зву-
звука в логарифмическом масштабе.
экспериментальной кривой от-
отсутствуют по причинам, указан-
указанным выше. Усредненная спек-
спектральная плотность флуктуа-
флуктуации разности фаз, представлен-
представленная в логарифмическом масштабе на рис. 77, убывает с ростом
частоты как (fb/vjj'1^. Здесь показатель степени довольно бли-
близок к значению —1,67, предсказываемому теорией. В области
низких частот, fwAS ~ /°>8, показатель степени 0,8 отличается от
теоретического значения 0,33. Это различие вполне естественно,
так как в этой области играет роль низкочастотная часть спектра
турбулентности, где уже нарушается «закон 2/3». Действитель-
Действительно, как видно из рис. 72, максимум частотного спектра приходит-
приходится на частоты порядка 1 гц, что при средней скорости ветра
3—5 м/сек соответствует масштабам 3—5 м, т. е. тем сравнимым с
высотой луча масштабам, для которых нарушается «закон 2/3».
1	I	2. \
Поэтому вместо величины -=- = 1 — ц, { ja = ~—:
для показателя
степени
шему ц.
мы получаем значение,
соответствующее
мень-

мень% 57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 425
На рис. 78 приведен усред-
усредненный по всем спектрам рис. 75
частотный спектр флуктуации
амплитуды A), соответствующий
теоретический спектр B) и
спектр, полученный при измере-
измерениях мерцания наземного источ-
источника света C). Спектр флуктуа-
флуктуации амплитуды для звука, так
же как и для света, шире и ни-
ниже, чем теоретический спектр.
Расплывание и уменьшение мак-
максимума спектра может быть
объяснено флуктуациями скоро-
скорости переноса неоднородностей
по трассе. Можно объяснить
также некоторый сдвиг спектра
для света влево, а для звука —
вправо от теоретического. Раз-
Размер зоны Френеля для света был
порядка нескольких сантимет-
сантиметров, что уже близко к внутрен-
внутреннему масштабу турбулентности.
Для звука же, наоборот, размер
зоны Френеля составлял 1—2м,
т. е. уже был сравним с внеш-
внешним масштабом турбулентности
(в нашем случае средней высо-
высотой луча над землей).
На рис. 79 усредненный экс-
экспериментальный спектр флук-
флуктуации амплитуды звука пред-
представлен в логарифмическом мас-
масштабе. Как видно из рисунка,
форма экспериментального ус-
усредненного спектра хорошо со-
согласуется с теоретической. При
/ ^ VjJ\f\L эксперимент дает
убывание спектра с частотой
* ' , теория —¦/-1-«. При
v^jY%L экспериментальное
значение показателя степени
0,9; теоретический показатель
степени 1.
V ¦
О
гптй м§иг rt/Ki и i //л ii^ Li г яи t^tmj t /_ ___ --
Рис. 78. Усредненный частотный
спектр флуктуации амплитуды звука
A), теоретическая кривая B) и часгот-
ньш спектр флуктуации интенсивно-
интенсивности света C), как функции аргумента
/ YkL/v±.
"л
W ¦
ZJ
щ
Ц№
цог цюш (B qtQjyi гз457ю 2О407от
Рис. 79. Усредненный частотный
спектр флуктуации амплитуды звука
в логарифмическом масштабе.

426	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. к
Теоретическое значение последнего показателя степени не за-
зависит от показателя степени в структурной функции коэффициента
преломления, и поэтому в случае флуктуации амплитуды нару-
нарушение «закона 2/3» в области низких частот не приводит к изме-
изменению показателя степени в спектре флуктуации амплитуды.
Из анализа экспериментов со звуком можно сделать следую-
следующие основные выводы.
1.	Зависимость величины флуктуации а.мплитуды от расстоя-
расстояния удовлетворительно согласуется с теоретической: о^^Ь"".
2.	Масштаб корреляции имеет порядок YXL, соответственный
временной масштаб YkL/vj_.
3.	Флуктуации фазы растут с расстоянием по закону ais ~ L.
4.	Характерный масштаб для флуктуации разности фаз на
базе совпадает с Ъ. Соответствующий временной масштаб имеет
порядок bjv^.
5.	Обнаруживается хорошее согласие частотных спектров
флуктуации света и звука после их приведения к безразмерному
виду с использованием соответствующих масштабов.
6.	Предположение о постоянстве скорости переноса неодно-
родностей не позволяет полностью объяснить «ширину» спектра
флуктуации амплитуды и фазы и нуждается для своего объясне-
объяснения в рассмотрении флуктуации скорости переноса.
§ 58. Флуктуации диэлектрической проницаемости
тропосферы и распространение
ультракоротких радиоволн
Изучению микроструктуры показателя преломления тропо-
тропосферы посвящено большое количество экспериментальных работ.
Первоначально основное внимание уделялось определению наи-
наиболее грубых характеристик: среднего квадрата флуктуации по-
показателя преломления1 <би2) и радиуса корреляции флуктуации Lo.
Это было связано с тем, что в первую теорию рассеяния радио-
радиоволн на турбулентных неоднородностях тропосферы, развитую.
Букером и Гордоном [63], входили именно эти два параметра,
вернее, их отношение <6rc2>/L0. Для величины ?0 (определяемой
при аппроксимации корреляционной функции <би6?г'> экспонен-
той вида <бгс2> е~р 1-°) получалось обычно значение от 50 до 100 м.
Это значение Lo с точки зрения теории турбулентности можно
трактовать как внешний масштаб турбулептности. Величина
<би2> сильно меняется от случая к случаю и претерпевает резкие
изменения с высотой.
Сведения о структуре турбулентности, заключенные в этих
двух параметрах, весьма скудны. Если перевести их на

$ 58]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	427
«спектральный язык», то
а 2 n/La характеризует величину того интервала спектра, на ко-
котором сосредоточена основная доля «энергии» флуктуации.
В реальных условиях основная часть «энергии» турбулентных пуль-
пульсаций сосредоточена в крупномасштабных неоднородностях (при
и ^ -Д V Если же нас интересует вид спектра Ф„ (х) при и > -р-,
то параметры <6гсг) и La не характеризуют его. Действительно,
легко можно построить корреляционные функции с одина-
одинаковыми <6п2> и Lo, но с совершеппо различным видом Ф„ (х)
. 2я
при v. > -г—.
В более поздних работах по экспериментальному изучению
флуктуации показателя преломления большее внимание уделя-
уделялось измерениям вида частотного спектра е. На рис. 19 и 20
приведены частотные спектры е, полученные на самолете [35,
134], а на рис. 21 и 22 — в наземных измерениях [135]. Как вид-
видно из рисунков, экспериментальные частотные спектры можно хо-
хорошо аппроксимировать степенной функцией. Показатель степе-
степени т фупкции вида /~т близок к 5/3, хотя в отдельных измерениях
я отличается от этого значения.
В работе [61] исследовано пятнадцать частотных спектров
флуктуации показателя преломления в свободной тропосфере на
высотах от 2 до 6 км. В этой работе указывается, что частотные
спектры хорошо описываются степенной функцией вида const /~m,
причем для т приводятся границы:
1,52 < т < 1,62.
Это значение т, как отмечает автор 161], хорошо согласуется g
теорией турбулентности Колмогорова — Обухова. По приводя-
приводящимся в [61] частотным спектрам можно оценить и величину С„.
(Величины Сп и Се связаны соотношением Сг — 2 Сп.) Она ока-
оказывается приблизительно равной 0,020 Лг-ед-сл~1/»*).
Следует иметь в виду, что самолетные измерепия Ьп дают
горизонтальную структуру нооднородностей и «горизонтальные»
спектры. В то же время при рассеянии радиоволн вектор К =
= Л?о—ks обычно направлен вертикально, т. с. для задачи
*) iV-единицы применяются для измерения отклонений показателя
преломления от 1. Одна Л'-единица равна 10 "в.

428	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. к
о рассеянии радиоволн существенное значение имеют вертикаль-
вертикальная структура неоднородностей и «вертикальный» спектр. Вооб-
Вообще говоря, возможна анизотропия турбулентности, приводящая
к различию ее спектров по различным направлениям. Однако
такую анизотропию можно ожидать лишь в области спектра,
относящейся к крупным масштабам.
На основании графиков рис. 21 и 22 можно оценить величину
Сп; опа оказывается равной 5 -10~8 си";'» — 0,05 N-ед -сзСЧ'
для v= 18 м/сек (рис. 21) и 0,09 iV-ед• слГ1/* для v ~ 1,2 м/сек
(рис. 22).
Сравним эту величину с другими наземными измерениями.
В работе [44] проводились многочисленные измерения структур-
структурных функций температурного поля в приземном слое. Для вели-
чипы Ст, входящей в выражение для структурной функции тем-
температурного поля (<G\ — 7\,J> = С%г''«), в этой работе при раз-
различных метеорологических условиях были получены значения от
нуля приблизительно до 0,150 град-см'1'. Как известно, вели-
величина показателя преломления п атмосферного воздуха связана
с его температурой Т (в °К), давлением р(ъ миллибарах) и влаж-
влажностью е (в миллибарах) формулой
(и-1I0в = ^
Если рассчитать значение Сп> обусловленное такими флуктуация-
ми температуры, то мы получим Сп = @ -4- 0,15) W-ед • см~>/з.
Таким образом, величина Сп, рассчитанная по единичным
измерениям частотных спектров показателя преломления вбли-
вблизи земной поверхности [135], хорошо укладывается в пре-
пределы, найденные по нескольким сотням измерений, проведенных
при различных метеорологических условиях.
Следует, однако, отметить, что флуктуации показателя пре-
преломления вблизи земной поверхности (в первых нескольких де-
десятках метров) значительно интенсивнее, чем в свободной тропо-
тропосфере. Величина Сп (z) (z — высота над земной поверхностью)
при z ^ 50 м убывает с высотой как z~ll*\ при больших значениях
z закон изменения Сп может быть и другим. (Например, в усло-
условиях свободной конвекции С* <— г~*/г.) Но несомненно, что типич-
типичные значения Сп для свободной тропосферы намного меньше,
чем в приземном слое.
В работе Цванга [52, 59] приводятся результаты измерений
частотных спектров флуктуации температуры на высотах до 5 км.
Полученные в этой работе спектры (общим числом 26) хорошо
согласуются с «законом 2/3»г и рассчитанная по ним величина Сп
лежит в пределах от 0,004 до 0,010 ЛГ-ед • см'1: В действитель-

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ
429
вести эта величина может быть и больше за счет флуктуации
влажности.
Перейдем теперь к оценкам флуктуации показателя прелом-
преломления тропосферы на основании анализа флуктуации фазы и
амплитуды радиоволн и света.
В настоящее время имеется довольно большое количество на-
наблюдений за мерцанием и дрожанием изображений звезд. Из
этих наблюдений (см. следующий
параграф) можно извлечь величину '/(AS2), град
п СГ* '	70
Рассмотрим теперь эксперименты
по измерению характеристик флук-
флуктуации фазы сантиметровых радио-
радиоволн. Такие измерения производи-
производились в марте — июне 1955 г. в США /
вблизи Колорадо Спрингс [ 135, 136],
а также в ноябре 1956 г. на острове
ЭДауи (Гавайские острова) [137).
В работе Гербстрайта и Томсона
1135] приводится зависимость сред- W
неквадратичного значепия флуктуа-
дий разности фая на базе 150 м от
частоты (рис. 80). Как видно из при-
приведенного графика, зависимость
<Д5*> ~ к2, которая должна вы-
выполняться при любом виде спектра
турбулентности, хорошо оправды-
оправдывается на опыте.
На рис. 81 приведен частотный
спектр флуктуации фазы децимет-
дециметровых радиоволн (/ = 1046 Мгц)
на пути L = 18,5 км. Трасса проходила от вершины Pikes Peak
(высота 4300 л) до пункта Garden of the Gods (высота 1950 л).
Прямая линия на графике соответствует степенному виду спектра
Ws(/); ее наклон соответствует формуле Ws (/) — f~'f*. Данные
графика свидетельствуют о том, что в указанном диапазоне ча-
частот хорошо оправдывается формула A8.52).
Этот результат трудно было ожидать заранее. Действительно,
«закон 2/3» для флуктуации показателя преломления, вообще го-
говоря, должен быть справедлив для масштабов, меньших внешнего
масштаба турбулентности Lo, т. е. для частот f^>~.B рассмат-
рассматриваемом случае величина v ^ 3 м-секГ1 (см. стр. 432). Поэтому
диапазон частот 1/3600—1/36 гц соответствует расстояниям от
100 м до 10 км, которые значительно превышают величину Lo.
J
V/
А
Y
10*
7О9
70®
Рис. 80. Зависимость средне-
среднеквадратичного значения флук-
флуктуации разности фаз на базе
150 ж от частоты.

430
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. i
град2гц~'
Таким образом, частотный спектр на рис. 81 дает нам сведения
о сравнительно крупномасштабном участке спектра турбулент-
турбулентности, для которого нет достаточно надежной теории. Однако
на основании этого эксперимента можно утверждать, что в рас-
рассматриваемом случае структура тур-
турбулентных неоднор одностей описы-
описывается «законом 2/3» и в этой обла-
области масштабов.
Поскольку вид частотного спектра
Ws (/) хорошо соответствует «закону
2/3», можно ожидать, что в экспе-
экспериментах Гербстралта и Томсона для
флуктуации разности фаз на неко-
некоторой базе Ь будет справедлива фор-
формула C7.47), основанная на предпо-
предположении о справедливости того же
закона. Это позволяет нам оценить
величину Сп на основании данных
рис. 80. Эти данные получены на
трассе длиной 6,5 км и базе 150 ле.
Взяв к = 0,22 слГ1 и 6,1 -Ю рад <
1,7-10"* рад (что соот-
JO3
JB*
Iff
7
7ff-f
7Гг
W'3
X
\
¦ \
4
о
3SOO
_
380
36
Ряс. 81. Частотный спектр
флуктуации фазы радиоволп
дециметрового диапазона (/ =
= 1046 Мгц) на трассе протя-
протяженностью 18,5 км при скоро-
скорости ветра 2,7 ж/сек.
ветствует разбросу точек на рис. 80
для / = 1046 Мгц), получим на осно-
основании C7.47), что Сп меняется от
0,007N-qr-cm-Ч' до 0,019tf-ед-слгЧ'.
В работе [135] изучались также величины
Ал (г, т) = S (г, t + х) - S (г, t)
и Д8 (г, т)= Дл (г, t + т) - Дл (г, t)
(первая и вторая временные разности фаз в некоторой точке).
Легко выразить эти величины через частотный спектр флуктуа-
флуктуации фазы W$ (/):
<Д2> = 2 $ A - cos 2ji/t)Ws (/)<*/,
A)
<Дг> - 2 \ [3 — 4cos Bя/т) + cos
Ws (/) d/.
B)
В случае, если Ws (/) = const•/-"•, интегралы легко вычисляют-
вычисляются и мы получаем формулу

I J8]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	431
Таким образом, соотношение величин <д!> и <Д?> зависит толь-
только от вида частотного спектра Ws (/). На основании приведенных
в 1135] значений V7Jf> = 4,92°, /<Д|> = 2,83° (т = 300 сек)
можно при помощи C) определить величину т. Она оказывает-
оказывается равной 2,87, что близко к значению 8/3 = 2,67.
В работе Гербстрайта и Томсона приводятся также корреля-
корреляционные функции вида
Приняв гипотезу «замороженной» турбулентности, легко выра-
выразить величины р2 и р2 через структурную функцию фазы
D8(\vv-b\)-2Ds(b)
	 ,	D)
Ds(\2vx+b\)+Ds(\2vx-b\)-ADs(\vx + b\)
2Da BvX) — 8Da (VX)
Здесь v — эффективная скорость движения неоднородностей по-
показателя преломления.
Авторы [135] сравнивают экспериментальные результаты с
теорией, развитой в [138] на основании аппроксимации корре-
корреляционной функции показателя преломления функцией е~Т^.
Для того чтобы добиться хорошего согласия экспериментальных
данных с теорией, они полагают Lo — 360 м для кривой р1 (Ь).
Однако чтобы добиться хорошего согласия и по кривой pt (Ь),
им приходится положить Lo = 146 м, что в 2,5 раза меньше пер-
первого значения. Это свидетельствует просто о неудачном выборе
функции erriL* в качестве корреляционной функции показателя
преломления. Если принять дляDs(p) выражение Dsfp)= const- pl/»,
соответствующее измеренному в этой работе спектру флуктуации
фазы и согласующееся с теорией, то выражения D) и E) примут
вид
)
Ь р
F)

432
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
На рис. 82 изображены экспериментальные данные Герэ-
страйта и Томсона вместе с кривыми, построенными по формулам
F) и G). Для того чтобы совместить экспериментальные точки с тео-
теоретическими кривыми, мы приняли их = 320 м. При этом значе-
значении vx экспериментальные точки и теоретические кривые сбли-
сближаются одновременно для обеих величин pt и р2, в отличие от
аналогичного графика в [135], где авторам пришлось брать
различные значения Lo. На основании полученного значения
vx и известного т = 300 сек можно опре-
определить эффективную скорость переноса
неоднородностей v — 2,7 м-сек'1. Она ока-
оказывается заключенной между значениями
скорости ветра в верхней точке трассы
(v ж 18 м ¦ сек'1) и скорости ветра в нижней
точке (уг^ 2м-сек~1).
Используя это значение у, мы можем
определить величину Сп на основании ча-
частотного спектра Ws (/) (рис. 81), а также
исходя из измеренного значения <Д?>.
Воспользовавшись формулой C6.52)
и подставляя в нее к = 0,22 ел*, L =
= 18,5км, v = 2,1 м-сек'1, получим Сп =
= 0,021 УУ-ед • си'3. Для того чтобы найти
величину Сп по измеренному значению
<Ai>» перепишем формулу C7.47), положив
р = vx:
Г
98
US
Рг
75Z 435585 h м
Рис. 82. Пространствен-
Пространственные корреляционные
функции для первой н
второй временных разно-
разностей фаз.
Сплошная линия — теорети-	^Л2\ = 2 Q/fc*/ (vtY/'C
ческие кривые; кружки—	\«-»iv «,«n.^\^i./ -^«.
экспериментальные данные.
На	основании значений у(А\ > = 4,92°,
vx = 820 м и прежних значений к и L
получим Сп = 0,015 .ЛГ-ед • си~">, что с точностью в 30% согласу-
согласуется с предыдущим значением.
Одновременно с измерениями Гербстрайтом и Томсоном флук-
флуктуации фазы проводились измерения флуктуации разности фаз
на нескольких базах от 5,5м до 150 м на длине волны 3,2 см [136].
Приведенные в этой работе экспериментальные структурные
функции фазы имеют сравнительно большой разброс, вследствие
чего по ним трудно определить вид структурной функции флук-
флуктуации фазы. Во всяком случае, он не противоречит формуле
C7.47). Среднеквадратичное значение разности фаз на базе
150 л» колеблется от 1° до 8°. В этих опытах L = 5,5 км, X =
= 3,2 еж. Определенная по формуле C7.47) величина Сп колеб-
колеблется от 0,002 iV-ед ¦CK-t/> до 0,018 TV-ед • ел*-'э. Эта оценка С„
по порядку величины хорошо согласуется с предыдущими.

§ 58]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УКВ В ТРОПОСФЕРЕ	433
В статье Нортона [1371 приводятся спектры флуктуации фазы
сантиметровых радиоволн (X = 3,2 см), измеренные на трас-
трассе протяженностью 30 км на острове Мауи (Гавайи) (рис. 83
Прямые линии на графиках соответствуют зависимости Ws (/)—
~ f'u и хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Таким образом, спектры на рис. 83 и 84 дают тот же резу-
результат, что и спектр из работы 1135] на рис. 81. Однако спектры
рис. 83 и 84 относятся к более высоким частотам (масштабы от
1 м до 2 кд), чом споктр на рис. 81, и охватывают больший
70s
W7
Ю*
ю*
10
1
\
D
ч
V
\
к'-
Йр,
\
\
ИГ* 70-'
Рис. 83. Пример частотного спек-
спектра флуктуации фазы сантиметро-
сантиметровых радиоволн (/= 9414 Мщ) на
трассе протяженностью 30 км, при
скорости ветра 2,2 м/сек.
Рис. 84. Пример частотного спек-
спектра флуктуации фазы сантиметро-
сантиметровых радиоволн (/ = 9414 Мщ) на
трассе протяженностью 30 км при
скорости ветра 0,5 .и/сек.
интервал масштабов. Высокочастотная часть отих спектров, не-
несомненно, относится к инерционному участку спектра турбулент-
турбулентности (т. е. к участку, на котором должен выполняться «закон
2/3»); для этого участка показатель степени —8/3 в функции
Ws if) является вполне естественным. Тот факт, что вид функ-
функции W3 (/) не меняется существенно и в области более низких
частот, говорит о том, что в данном случае «закон 2/3» выпол-
выполняется до сравнительно больших масштабов, так же как это
было и для данных рис. 81.
В заключение этого параграфа приводом табл. 4, суммирую-
суммирующую значения Сп, полученные в различных экспериментах [139],

434
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Таблица 4
Сп. W-ед. см-Vi
На основании каких данных получена приводимая
оценка
1
2
3
0,004-0,010
0,020
0,050»)
0,090»)
0—0,150*)
0,007
7
8
9
10
11
0,007-0,019
0,002-0,018
0,021
0,015
0,130—0,180
Прямые измерения спектров флуктуации темпера-
температуры на самолете [52, 59].
Пряные измерения спектров флуктуации показателя
преломления на самолете [61].
Спектр флуктуации показателя преломления (Gar-
(Garden of the Gods, Колорадо, США, июнь Ь—6 ч
[135]).
Спектр флуктуации показателя преломления (Pikes
Peak, Колорадо, США, нюнь, 5—6 ч [135]).
Измерения структурной функции температуры
в приземном слое атмосферы [44].
Мерцание и «дрожание» звезд [140].
Флуктуации разности фаз на базе 150 м яа часто-
частотах от 173 до 9350 Мгц (Колорадо, США, март,
15 ч [135]).
Флуктуации разности фаз па базах до 150 м,
k — 'S см (Колорадо, США, март [136]).
Частотный спектр флуктуации фазы, А, = 30 ем
(Колорадо, США, июнь [135]).
Изменчивость фазы за 5 мин на А, = 30 см (Коло-
(Колорадо, США, июнь [135]).
Спектр флуктуации фазы X = 3,2 см (Мауи, Гавайи
[137]).
•) Значения Сп относятся к призекному слою атмосферы.
§ 59. Мерцание и «дрожание» изображений звезд
в телескопах
Мерцание звезд — одно из наиболее полно изученных явлений,
относящихся к рассматриваемому кругу вопросов. Оно прнвле-
каег внимание астрономов как один из факторов, затрудняю-
затрудняющих наблюдения. Например, при измерениях спектров звезд
флуктуации интенсивности могут существенно исказить резуль-
результаты измерений.
Из астрономических наблюдений известны следующие основ-
основные факты.Величина мерцания агр (средний квадрат относительных
флуктуации светового потока через телескоп) зависит от зенитного
угла звезды 6. Эта зависимость разная лри различных диаметрах
объектива телескопа [141—143]. На рис. 85, а, б, в, г изображены
четыре кривые, относящиеся к телескопам с диаметром объектива

i 59]	МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД	435
D=7,6cw,24 см, 32 ел и 38 ел. Из этих рисунков видно,что для малых
диаметров телескопа величина <jp сначала возрастает вместе с в.
-02
%
ОЯ 04 OS
igsectf
eJ
0,2 0-4 0,6 OS
02 04 Ц6 OS 1,0 1,2 1,4
г)
Рис. 85. Зависииость среднеквадратичной величины флуктуации
светового потока через диафрагму телескопа of зенитного угла
для телескопов различных диаметров D: а — D = 7,6 см; б — D =
= 24 см; в — D = 32 см; г — D = 38 см.
а затем начинает убывать. Для больших диаметров D при малых 6
функция а2р (Э) возрастает быс-
быстрее, чем для малых D, но при
больших 6 происходит «насы-
«насыщение» кривой вместо ее спада,
как при малых D. На рис. 86
изображена зависимость о2р =
= f(D) при малых зенитных
углах [141].
Если рассматривать распре-
распределение освещенности на по-
поверхности объектива телескопа
(это делается при помощи спе-
специальной линзы), то можно об-
обнаружить отдельные более тем-
темные и светлые пятна, переме-
перемещающиеся по поверхности в
некотором направлении. Эти пятна носят название бегущих те-
теней. Их размер — порядка 10 см. На рис. 87 изображена по-
полученная в работе [144] корреляционная функция распределе-
0
ак
Рис. 86. 'Эмпирическая зависимость
величины мерцания от диаметра те-
телескопа.
1 — Зима, г — лето.

436
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. k
ния освещенности на поверхности объектива. 13 ряде работ с
размером бегущих теней связывали ралмер реальных неоднород-
ностей показателя нреломлепия атмосферы.
В астрономических наблюдениях было установлено, что пла-
планеты мерцают значительно слабее, чем звезды, находящиеся на
том же зспитпом расстоянии (этот вопрос рассматривался в
разделе А 1146]).
Наконец, следует отметить так называемый эффект хромати-
хроматического мерцания. Он проявляется в том, что звезды, наблю-
-	даемые вблизи горизонта, слу-
чайным образом меняют свои
спектральные характеристики—
-o,s
-7,0
-7,4-
0
10 75 20 25р,см
Рис. 87. Эмпирические корре-
корреляционные функции распреде-
распределения освещенности на поверх-
поверхности объектива телескопа.
0,4
I
а.)
0,4 0,8
Lg sec ^
б)
Рис. 88. Влияние ширины спек-
спектрального интервала на зависи-
зависимость мерцания от зенитного угла.
а — Полоса пропускания 90 А; б — ин-
интегральный свет.
мансиум спектра хаотически перемещается из одной области в
другую. При визуальных наблюдениях этот эффект проявляется
как изменение цвета звезды. Зависимость мерцания от зенит-
зенитного расстояния 6 звезды при наблюдениях в узком участке
оптического спектра отличается от аналогичной зависимости,
получаемой в интегральном свете. На рис. 88 приведены две
зависимости а%> @), полученные при одновременных наблюдениях
в участке спектра шириной 90 А и в интегральном свете. Ив
этих графиков видно, что, в то время как в интегральном све-
свете кривая а% @)в области больших 0 падает, в узком участке
спектра такого падения не наблюдается [145].
В ряде работ [см. 147] проводились сопоставления скорости
движения бегущих теней со скоростью ветра на различных
нысотах. Было установлено, что наибольшая корреляция наблю-

5 59J	МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД	437
дается между скоростью движения бегущих теней и скоростью
ветра на высотах порядка 10 км (вблнзи тропопаузы).
Все перечисленные особенности явления мерцания звезд нахо-
находят естественно объяснение с помощью изложенной выше теории,
Как уже указывалось выше, параметр Lk =АоД, определяю-
определяющий расстояние, в пределах которого справедлива геометричес-
геометрическая оптика, в атмосфере имеет порядок 100 м при Я = 0,5 мк.
Поэтому средний квадрат флуктуации логарифма амплитуды
волны при наблюдении «точечным» приемником имеет вид B4.48)
L
<Х2> = 0,56fcv- J Cl(x)x^x.	A)
о
Здесь вместо С\ введена величина С\ — -rCl, которая предпола-
предполагается зависящей от координат. Начало координат в A) помещено
в точке наблюдения и интегрирование производится вдоль луча.
Если Сп зависит лишь от высоты над поверхностью земли, т. е.
от z = х cos 6, то, производя в A) замену переменных х — z зесб,
получим	^
<Х2> = 0,56/с"° (sec 9)"/. $ С\ (z) * V*	B)
о
(верхний предел интегрирования можно заменить на бесконеч-
бесконечность, учитывая, что С\ (г) быстро убывает при больших г).
Таким образом, при наблюдениях при помощи телескопа с не-
небольшим (по сравнению с радиусом корреляции флуктуации) диа-
диаметром D для ст| = 4 <х2> имеем формулу
сю
а) @) = 2,2*v' (secв)"* \ С\ (z) z'Mz,	C)
о
т. е. о) ~ (sec G)"'1. На графике рис. 85, а проведена прямая ли-
линия, соответствующая степенной зависимости oj ~ (sec в) °»9,
весьма близкая к теоретической oi ~> (sec 0)"/ls = (sec 6) °'82.
Объяснение насыщения кривой о\> = / (Э) будет дано ниже, а
сейчас мы обратимся к зависимости флуктуации от диаметра
объектива D. В § 53 предыдущего раздела была вычислена функ-
функция G (R), равная отношению среднего квадрата флуктуации пол-
полного светового потока через объектив радиуса R к средпему квад-
квадрату флуктуации интенсивности света. Эта функция фактически
зависит от безразмерного параметра RjYTL. Сопоставляя теоре-
теоретическую кривую с экспериментальной зависимостью, изобра-
изображенной на рис. 86, можно подобрать такое значение У"КЬ, при
котором эти зависимости практически совпадают. Сопоставление
этих данных приведено на рис. 89. Из него следует, что /lZ

438
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
= 9,2 см ± 0,5 см для зимних измерений и ]/ХХ = 8,1 d- 0,5 см
для летних измерений. Принимая А, — 0,5 мк, можно найти
эффективную толщу атмосферы, ответственную за мерцание, поряд-
порядка 13—16клс. Величина L связана с толщиной//этого слоя (по вер-
вертикали) соотношением L = Н sec 6. Значение sec 6 для данных
рис. 86 менялось в пределах от 1 до 1,5. Разделив полученное
значение L на среднее значение sec 6,
равное 1,25, получим для эффектив-
эффективной толщины Н величину 10 км
(летние измерения) и 13 км (зимние
измерения). Как следует из C), мно-
множитель z'1' под интегралом, обращаю-
обращающийся в нуль при z = 0, сильно
уменьшает роль низких слоев в атмо-
атмосфере. В результате произведение
C\zl'> имеет максимум в сравнитель-
сравнительно высоких слоях атмосферы, что и
объясняет большое значение Н. По-
Полученное значение Н хорошо согла-
согласуется по порядку величины со зна-
значениями, получаемыми из сопостав-
сопоставления скорости движения бегущих
теней и скорости ветра на разных
высотах.
Вернемся к зависимости 6р =/ F).
Для объектива радиуса R она имеет
0,2
OJ
Ц2 0,4 0.6 Ц8
Рас. 89. Сопоставление эмпи-
эмпирической и теоретической за-
зависимостей бр«= / (D), где В—
диаметр телескопа.
Пв оси абсцисс отложены значения
функции П\ .	], приведенной на
рис. 49 ва стр. 374, по оси ординат—
ъ взятые с рис. 86.
вначення
р
вид
c5
Подбирая величину Y\L, можно
Добиться линейной зависимости ме-
между этими величинами. Слева X I
и справа от точек, соединенных
пряной, помещены точки, соответ-
зГачГ™ YkXZLZ ужеГе где G- функция рассчитанная в §53
располагаются на прямых линиях. Как ВИДНО ИЗ D), Зависимость ОТ 0
Кривая 1 - анма, 2 - лето.	обусловлена, ПОМИМО МНОЖИТСЛЯ
(sec О)"'», еще и функцией G. Если R «^ ]fXH, то можно считать
G = 1 и мы снова приходим к формуле C). Если R ^>}^А,Я, то
можно воспользоваться асимптотическим разложением функции
G (х) ~ х~'!' при х ^> 1, и в этом случае мы получаем
E)
Таким образом, при D ^-У%Н зависимость ар от 6 выражается
множителем sec3 6. При промежуточных значениях отношения
- R-"''HVl sec3 9 J Cl (z) z'Hz.

59]
МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД
439
D/УХН зависимость а% — / F) можно аппроксимировать форму-
формулой а]> ¦-- (sec G)a, где-7j-<^a <^ 3. Этот вывод хорошо согла-
согласуется с полученной экспериментально зависимостью a (i?) I141]:
2 В, см
а
2,5
1,8
7,6
2
15,2
2,4
32
3
На рис. 85, в сплошная линия проведена по формуле D).
Таким образом, изменение начального участка кривой с\ =
= / F) при изменении размера диафрагмы R объясняется усред-
усредняющим действием объектива. Этим же эффектом объясняется и
деформация частотных спектров мерцания (см. теоретические
кривые па рис. 50 и экспериментальные данные на рис. 90).
Обратимся теперь к поведению кривых а% — f (9) в области
больших 9 (8 > 60°).
Прежде всего отметим, что при наблюдениях в узком участ-
участке спектра кривая о% = /@) не испытывает насыщения в области
больших 8 (см. рис. 88). Таким образом, эффект насыщения свя-
связан с хроматическим мерцанием.
Рассмотрим этот вопрос подробнее [148].
Так как атмосфера обладает слабой дисперсией, то рефракция
лучей с разными длинами волн различна. Поэтому, если два
луча с длинами волн Xj и Я2 сходятся в одну точку на поверхности
земли, то на некоторой высоте z они разделены расстоянием р,
которое с достаточной степенью точности выражается формулой
[149]
, 9) = 0,
F)
Здесь ДЯ = Xj — \; Do (9) — функция, рассчитанная в [149];
А = 8 км — высота однородной атмосферы; п (Я.) — показатель
преломления *). Как следует из формулы F), на высотах поряд-
порядка 10—15 км, существенных для мерцания, расстояние между лу-
лучами р (ДЯ., 9) уже мало меняется при изменениях z, и поэтому
с достаточной точностью можно считать, что лучи идут парал-
параллельно друг другу на расстоянии р (Д Л, 6), определяемом фор-
формулой F) при г = 10 км. Поэтому для расчета хроматического
*) При 1^>йил (Ях) — п (A*j) = 5,9 • 1(Гв (крайние лучи в диапазоне
видимого света) о принимает следующие значения: 0 при в < 10е; 0,2 см при
в = 20°; 0,8 ел при 0 = 30°; 2,1 см при 0 = 40°; 4,9 см при 6 = 50°; 11,6 см
при 0 = 60°; 31,2 см при 0 = 70°; 128 см при 0 = 80° и 1283 см при в - 88°.

0,03
дог
Ц07
о
70
50 700
500
Рис. 90. Частотные спектры флуктуации светового потока для телескопов с различными диаметрами:
а — D *- 2,5 см; б — D = 7,6 си; « — D = 15 см; г — D — 32 см; 1 — аима, 2 — лето.
п
я
н
¦о
К
m
н
s

J 591	МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД	441
мерцания достаточно вычислить коэффициент корреляции
между флуктуациями амплитуды для такого идеализированного
случая, когда через атмосферу в одном направлении (без рефрак-
рефракции) распространяются две плоские монохроматические волны
(с длинами волн А,х и %г), а точки наблюдения находятся на рас-
расстоянии р (ДХ, 0) друг от друга в плоскости, перпендикулярной
лучам. Исходным является уравнение метода плавных возму-
возмущений
описывающее возмущения амплитуды А и фазы S плоской моно-
монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси х. Здесь
ЯеФ = In А — <1п4> = %.
Записывая решение G) в спектральной форме (см.8.46), имеем
% (L, y,z)= J J в* <*'"«*) [h J [sin *'(з~ж) un (rfx2, dx3, x)] dx]. (8)
О
Умножая (8) на аналогичное уравнение, записанное для другой
точки наблюдения и другой длины волны Х^ — -^-, и усред-
усредняя, после некоторых преобразований, в процессе выполнения
которых существенно используется условие Х<^%0, получим
00
о
х S [cos - \f^ -cos
с.б.ч)-w-
мерная спектральная функция флуктуации показателя прелом-
преломления.
Интеграл (9) может быть выражен через корреляционную
функцию флуктуации амплитуды монохроматической волны. Дей-
Действительно, полагая kt = к2 = к и Af1 = 0, получим
- cos *8(I'~T1)] F (х,, хз, h Л) ^^ ^Ч,
A0)

442	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
где В а (р, к) — корреляционная функция флуктуации лога-
логарифма амплитуды плоской монохроматической волны с Я = -?- .
Легко видеть, что интеграл (9) может быть представлен в виде
разности двух функций типа A0):
<Х (Mi) х(#.)> = -^ ВА (р(ЛЯ, в), А) - ^ ЛА (р (в, ДЯ), 2А).
A1)
Здесь Бд (р, 2 4)- корреляционная функция флуктуации ло-
логарифма амплитуды некоторой фиктивной волны с длиной волны
-jjj- = ~2~ (К — Ю' Функция ВА (р, к) для монохроматической
волны была найдена выше. В случае, когда Яо <^ У XL <^ Lo,
где Lo — внешний масштаб турбулентности (практически в за-
задаче о мерцании звезд это условие всегда выполняется), имеет
место формула
Вл (р, к) = 0,56 kv>(sec8)и/< ЬА ( р ) i C*n (z)P> dz,
\ у ХН sec 9 ] J
где ЬА — коэффициент корреляция флуктуации логарифма ам-
амплитуды; Н — толщина (по вертикали) оптически активного слоя
атмосферы.
Найдем коэффициент корреляции R (ДЯ, Э) между флуктуа-
циями логарифма амплитуды для волн с длинами Х1 и X,. Вос-
Воспользовавшись формулами F) и A1), получим
? р(А"'е)
Уг yXHsecQ
A3)
где введено обозначение е = г——^ .
Аг + Л]
На рис. 91 приведены значения Я (ДЯ, 6) для различных в,
построенные по формуле A3). В качестве Ь\ взята функция, рас-
рассчитанная для случая, когда флуктуации показателя преломле-
преломления подчиняются закону двух третей. Для УХН принято зна-
значение 10 см, р(ДЯ, G) подсчитывал ось по формуле F) при z =
= 10 км. На этом же графике помещены экспериментальные точ-
точки, полученные в Пулковской обсерватории при 0 — 76°, 65°,
50° и 40°. Экспериментальные данные находятся в удовлетвори-
удовлетворительном согласии с теоретическими кривыми.
Хроматическим мерцанием объясняется и тот факт, что ве-
величина мерцания, наблюдаемого в интегральном свете при

I 59]
МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД
443
помощи достаточно малого по диаметру телескопа (диаметром до
6—7 см), уменьшается с ростом зенитного расстояния при 6 >
>60°.
Пусть I (X) — спектральная плотность интенсивности света.
Тогда интегральный световой поток J равеп
/ =
а средний квадрат флуктуации / выражается формулой
Л, А,
т. е. зависит от корреляционной функции флуктуации спект-
спектральной интенсивности светового потока в разных участках
спектра. Для малых флуктуации (что практически выполняется
в большинстве случаев) </' (К) Г (А/)) пропорционально R (ДЯ, 8).
Пользуясь формулой A3), можно
рассчитать функцию F (8), рав-
равную отношению среднего квадрата
флуктуации интегрального свето-
светового потока в диапазоне (A,lt Я,) к
среднему квадрату флуктуации
монохроматического света с дли-
длиной волны Яо -¦¦ -=- (Ях+Яг). (Сред-
(Средний квадрат флуктуации монохро-
монохроматического светового потока вы-
выражается формулой D)).
F F) можно определить из
экспериментальных данных додмя
независимыми путями. С одной
стороны, эная функцию
о
Х7^*Г - п.
АХ,мк
Рис. 91. Коэффициент корреляция
флуктуации интенсивности света
в зависимости от разности длин
волн при различных зенитных рас-
расстояниях.
Точками отмечены экспериментальны
дапные:
О — в = 76», • — в = 65°; Л — в =
= 50°; х — в = 40°.
ее можно построить на основе
экспериментальной зависимости aj=<p(sec6), сравнивая ее с
формулой D). С другой стороны, эту функцию можно найти как
отношение мерцания в интегральном свете к мерцанию в моно-
монохроматическом свете.

444
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
[ГЛ. 4
На рис. 92 сплошной линией изображена функция F (9),
полученная на основании A3) путем теоретических расчетов
для А-! = 0,3 мкм, А^ = 0,6 мкм. На этом же графике приведены
экспериментальные точки. Звездочки — полученные в Пулков-
Пулковской обсерватории (Л. Н. Жуковой) значения отношения мерца-
мерцания в интегральном свете к мер-
F	цанию в узком участке спектра
10 fb	(шириной 90 А). Остальные точ-
точки — результаты обработки по-
08 \\ „	лученных различными авторами
зависимостей мерцания в интег-
интегральном свете от зенитного
расстояния при помощи фор-
формулы D)
0,2
Рис. 92. Отношение F среднего квад-
квадрата относительных флуктуации ин-
интенсивности света в диапазоне длив
волн (Хц X,) к среднему квадрату от-
относительных флуктуации интенсив-
интенсивности монохроматического света дли-
а)	D = 15" [142];
б)	D = 10" [1431;
в)	D = 3" 1141];
г)	D -12" [141].
ны волны
как функция
зенитного угла.
Сплошная кривая — теоретическая, точ-
точки — результат измеревий.
Входящая в G(D/yXoffsecQ)
величина У Х^Н была принята
равной 10 см. Все величины
нормированы на 1 при 8 = 0.
Хорошее согласие полученных
независимыми способами экспе-
экспериментальных данных между
собой и с теоретической кривой
свидетельствует, что эффект
уменьшения мерцания в интегральном свете при увеличении
зенитного расстояния может быть объяснен хроматическим мер-
мерцанием.
Таким образом, все основные закономерности мерцания звезд
находят естественное объяснение в теории.
Рассмотрим теперь эксперименты по наблюдению «дрожания»
изображений звезд. В разделе А была получена формула
Для случая неоднородной турбулентности она имеет вид B5.48)

i 59]	МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД
а в случае, когда &п зависит лишь от высоты,
оо
<Й = 2,84{2R)-''tsec q\ C%{z)dz.
445
A4)
Из этой формулы следует, что неоднородности, находящиеся на
различных высотах пад поверхностью земли, входят в <тЛ с оди-
одинаковым весом. Однако, так как обычно С\ (z) имеет максимум
f"ffff
SPSS'7ff° 75°7?°77°7в°79°в0о 81" 82" S3" 84"'0
4
В
Рис. 93. Зависимость среднеквадратичного значения флуктуации
угла прихода света звезд от зенитного угла.
при малых z, в основном «дрожание» изображений обусловлено
именно нижними слоями атмосферы (большое значение могут
иметь даже флуктуации показателя преломления в непосред-
непосредственной близости ог пункта наблюдения). Это, в частности,
объясняет отсутствие корреляции между мерцанием и «дрожа-
«дрожанием» изображений звезд.
Зависимость аа от 9 дается множителем sec 9. Эта зависи-
зависимость в среднем оправдывается экспериментально (рис. 93);
однако в отдельных наблюдениях довольно часто имеются от-
отступления от этой формулы, которые, вероятно, можно объяс-
объяснить сильный влиянием местных условий (см. [151—153]).
Весьма обстоятельное исследование «дрожания» изображег
ния края Солнца было выполнено в работе [173]. Здесь была
применена аппаратура, описанная выше при изложении резуль-
результатов измерений «дрожания» искусственного источника света в
приземном слое.
Измерения проводились в жаркие летние дни с хорошо размы-
размытой конвекцией. В этом случае профиль пульсаций температуры

446	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
выражается полученной в гл. 1 формулой
[ГЛ. 4
.. ¦
••	• ••
Измеряя одновременно с флуктуациями угла прихода про-
профили скорости ветра и температуры в приземном слое атмосфе-
ры, можно по этой формуле рассчитать ожидаемую величину
среднего квадрата флуктуации
угла прихода лучей. Результа-
Результаты сопоставления измеренных
и рассчитанных величин при-
приведены на рис. 94. Здесь по
оси ординат отложено средне-
среднеквадратичное значение флуктуа-
флуктуации угла прихода, приведенное
к зениту. По оси абсцисс отло-
отложены вычисленные на основа-
основании метеорологических наблю-
наблюдений в приземном слое атмо-
атмосферы значения среднеквадра-
среднеквадратичной величины флуктуации
угла прихода (в угловых секун-
секундах). Крестиками на графике
отмечены средние по группам
близких точек значения.
Приведенный график свиде-
свидетельствует о том, что изложен-
05
* • • •
0,5
г/, се*
Рис. 94. Сопоставление измеренных
(а аэксп) и рассчитанных на основа-
основании метеорологических измерений
(<5а нет) среднеквадратичных значе-
значений флуктуации угла прихода света
от края диска Солнца.
ная теория дает вполне удов-
удовлетворительное количественное
описание явления «дрожания»
изображений.
В этой же работе изучались частогные спектры флуктуации
угла прихода. Сигнал с выхода прибора, измерявшего мгно-
мгновенное положение края диска Солнца, подавался на 30-каналь-
ный частотный анализатор, аналогичный применявшемуся в экс-
экспериментах с наземным источником света. Результаты измере-
измерений сведены на графике (рис. 95). Здесь по оси ординат отложено
произведение нормированной на 1 спектральной плотности флук-
флуктуации угла прихода на частоту флуктуации (в логарифмичес-
логарифмическом масштабе). По оси абсцисс отложена частота флуктуации,
также в логарифмическом масштабе. Сплошная кривая изобра-
изображает теоретическую зависимость, полученную в разделе А. Точ-
Точками обозначены экспериментальные данные, усредненные по
нескольким десяткам частотных спектров, полученных при раз-
различных условиях. При усреднении различных спектров все они

5 69]
МЕРЦАНИЕ И «ДРОЖАНИЕ» ЗВЕЗД
447
строились в безразмерных координатах fw* (/), —, в которых
максимум спектра приходится на безразмерную частоту — =
= 0,22. Для того чтобы дать представление о реальных частотах
флуктуации, частота на рис. 95 приведена в герцах, но отмечено
положение характерной частоты 0,22 v j/b, соответствующей
ЦОГ
7ЦО
Рис. 95. Эмпирический частотный спектр флуктуации угла
прихода света от края диска Солнца (кривая /) и теорети-
теоретическая кривая B).
максимуму произведения /а>а (/). (Чтобы получить на основа
нии приведенного обобщенного спектра реальный спектр флук-
флуктуации угла прихода при конкретных значениях Ъ и Vj_, необ
ходимо вычислить характерную частоту 0,22 vjjb и затем так
сдвинуть частотную ось, чтобы эта частота заняла правильное
положение па шкале.)
В заключение этого параграфа произведем оценку величины
Сп на основании данных о мерцании и «дрожании» изображений
звезд.

448	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	[ГЛ. 4
Сначала произведем оценку на основании данных о мерцании.
Удобнее всего исходить из формулы C), считая, что
где Сп ср — среднее по слою толщиной Н значение Сп, вычислен-
вычисленное с весом z\ Согласно экспериментальпым данным oj = 0,2
для 9 = 0 и D <^ У КН. Подставляя найденное выше значение
/7=10 км, к = -т- , К = 0,5 мкм, получаем Сп ш lCPW-ед-гл-1^.
Эта величина относится к высоким слоям атмосферы (г ~ 10 км).
Из наблюдений «дрожания» изображений звезд в телескопах
можно найти величину Сп, характеризующую более низкие слои
атмосферы. Предварительно необходимо определить порядок ве-
величины эффективной толщины слоя атмосферы, ответственного
за это явление. Такую оценку можно произвести, сравнивая с
теорией данные о коэффициенте корреляции флуктуации угла
прихода света от звезд с близкими угловыми координатами. В
гл. 3 была получена формула для коэффициента корреляции
флуктуации угла прихода двух лучей, расходящихся под углом у:
Та —!—	 при х <^ i,
б(т)=	t *	и
Та —	—~~ При Х^>1,
ID	Я?	-^
2L t
где х = -у tg-|-> Ъ — диаметр телескопа (см. B3. 43) на стр. 267).
Из этой формулы видно, что характерный угол корреляции
определяется величиной b/L, т. е. отношением диаметра зрачка
телескопа к эффективной толщине слоя атмосферы, вызывающего
«дрожание» изображения. Исходя из приведенных в работе
И. Г. Колчинского [154] экспериментальных данных об угловой
Корреляции флуктуации угла прихода, можно оценить величи-
величину L как 0,5—1 км.
Применим теперь формулу A4) и подставим в нее аа ss;
я; 1,7-10 рад, 2R = 40 см, L = 0,5 км. Тогда для среднего по
слою значения Сп получим оценку Сп ~- Ю JV-ед • сл^-'». Это зна-
значение Сп хорошо согласуется с данными таблицы, приведенной в
предыдущем параграфе.

Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
В СРЕДЕ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
МЕТОДАМИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
А. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
С СИЛЬНЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ
Рассмотрение всех задач в предыдущих главах в основном
велось при помощи той или иной модификации метода возмуще-
возмущений. Естественно, что получаемые таким образом результаты
справедливы лишь в случае слабых флуктуации показателя пре-
преломления.
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые методы, выхо-
выходящие за рамки теории возмущений. Задача о распространении
волн в среде со случайными неоднородностями имеет много об-
общего с квантовой теорией поля. Эта аналогия основывается на
том факте, что задачи квантовой теории поля требуют для своего
разрешения нахождения решений уравнений поля в среде с
произвольными внешними источниками, взаимодействующими с
полем, с последующим усреднением по квантовым флуктуациям
источников. Эта задача во многом аналогична рассматриваемой
нами. Однако задача о распространении волн в среде со случай-
случайными неоднородностями существенно проще, поскольку в кван-
квантовой теории поля перестановочные функции, аналогичные кор-
корреляционным функциям нашей задачи, всегда сингулярны, что
приводит к появлению расходимостей. В задаче же о распрост-
распространении волн в случайно неоднородной среде такие расходимо-
расходимости не появляются.
Использование математических методов, развитых в кван-
квантовой теории поля, позволяет выйти за рамки теории возмуще-
возмущений и получить решения, справедливые и в случае сильных флук-
флуктуации. При изложении материала этой главы мы пс предпола-
предполагаем, что читатель знаком с этими методами.
Следует также отметить, что излагаемая в этой главе теория
еще далека от своего завершения и носит в значительной степе-
степени методический характер. Однако ввиду чрезвычайной пер-
перспективности указанных методов мы сочли целесообразным вклю-
включить в книгу и эту главу.
В основном изложение ведется применительно к скалярному
уравнению. Однако обобщение на случай уравнений Максвелла
не представляет труда и может быть легко выполнено.
15 в. И. Татаюский

450	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
§ 60. Анализ рядов теории возмущений
Рассмотрим уравнение
a(r-r0),	A)
где &i(r) — случайная функция координат. Введем оператор
Lo (г) = Д(г) + А2. Оператор Ц,1 = Мо, обратный Lo, можно
получить из уравнения La(r)y(r) = f (r) и условий излучения.
Решение этого уравнения, как известно, имеет вид
где
Решение уравнения Lo (г) ф {т) — f (r) можно записать в сим-
символической форме при помощи оператора Мо = Щ1 как ф (г) =
= Мо (г) / (г). Сравнивая эту формулу с явным видом решения
для ф, мы видим, что Мо — интегральный оператор с ядром B).
Заметим, что запись Мо f (r) означает, что преобразованная
оператором Мо функция /, т. е. функция Maf, берется в точке г.
Правильнее было бы писать (Мо /) (г), где (MJ) означает новую
функцию, однако, имея в виду это замечание, мы будем употреб-
употреблять простую запись Мо / (г).
Очевидно, что
Go (г, р) = М06 (г - р).	C)
Запишем уравнение A) в виде
Lo {r)rp = - Рв! (г)Ч> (г) + Й (г - г0)
и подействуем на него оператором Мо:
ф (г) = - AWo8l (г) ф (г) + G0(r- r0) =
= - A3 j Go (г, р) ех (р) ф(р) сРр+ Go (г - г0). D)
Уравнение D) представляет собой интегральное уравнение, эк-
эквивалентное A). Решение D) можно получить методом последо-
последовательных итераций, многократно подставляя в правую часть D)
вместо ур (р) выражение, даваемое формулой (<i).
Удобнее, однако, получить решение D) в символической форме.
Записывая это уравнение в виде
[1 + *4Мо81Ы> = G0(r- г.) = Мо б (г - г,)

§ 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ	451
и вводя оператор
[1 + *«дгЛ]-1=2(-^
п=О
получим
00
ф (г) = 2 (— &Woei)"Mod (г — Го) =
П=0
= [ А/о — AWo^Afo 4- к^М^М^Мо — . .. ] б (г — г0). E)
В E) каждый ив операторов Af0 действует на все сомножите-
сомножители, стоящие справа от него. Например,
и т. д. Ряд E) является рядом теории возмущений. В дальнейшем
мы будем интересоваться средним значением <t|> (r)> и корреля-
корреляционной функцией (ур (г^ф* (га)>. Рассмотрим сначала <t|>>. Пред-
Предположим, что случайное поле et является гауссовским. Это
означает, что <ex> =0, <el(r1) ^ (гг) ^ (г3)> = 0 и вообще
(ei (**i)"-8i (»*8n+i)> = 0, а моменты четного порядка выража-
выражаются через вторые моменты:
<«i (Л) еа (r2)ei(r8) e, (r4)> = <8l (rje! (r,)> X
X <e1(rt) e^n)) + <El (rjex (rs)> -(^ (r2) ех (г4)> +
l (rj>. F)
Аналогичную формулу можно написать и для моментов ше-
шестого порядка (она содержит 15 слагаемых, каждое из которых
представляет собой произведение трех корреляционных функций)
и т. д. Момент порядка 2/г выражается через сумму Bя — 1)!!
слагаемых, каждое из которых является произведением п кор-
корреляционных функций, причем среди всех Bга — 1)!! слагаемых
встречаются все возможные сочетания величин ^(г*), e^rj).
Пользуясь этим правилом, произведем усреднение формулы E).
Величина <т|з (r)> = G (г, г0) является усредненной функцией
Грина*):
г0) = [Мо + к*
+Ав<Л/ое1Мое1М0е1М0е1М0>+...] Ь (г - г0). G)
*), Напомним, чтоф (г), являясь решением уравнения A) с правой частью
6 (г — г„), по определению есть функция Грина этого уравнения.
15*

452 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Первое слагаемое в G) равно М0Ь(г—r^=Gn(r, r0). Рассмотрим
подробнее второе слагаемое:
к* {Мов1Мое1Мо> б (г — п) =
Go (г, р,) е, (рО Gu (р17 р2) б! (р2) Go (р8, р3) б (р3 — r0) x
X «Pfhd'psd'p,^ = ^4^G°(r' РОСо(р„ ps)G0 (p8, г«) X
X <el(p1)e1(p2)>d3p1d3pa. (8)
Сопоставим выражениям, входящим в G), графики, которые
будем строить следующим образом. Функцию Go (pu р2) будем
изображать прямой линией, начало и конец которой находятся
в точках р1т р3:
Go (pi, p2) ~ pi pi.
Множители А;2 будем изображать точками, помещаемыми в
те места диаграммы, к которым относятся множители вг(р,)
(вершины графика), а пунктирная черта будет соединять те точ-
точки, для которых функции е1(р1) и ех(рг) входят под общий знак
усреднения
Выражение (8) изобразится при помощи графика
r Pi Рг
По всем внутренним вершинам графика (рх и р2) производит-
производится интегрирование. Таким образом, по интегралу (8) можно
единственным образом построить график (диаграмму Фейнма-
на) и, наоборот, по диаграмме Фейнмана восстановить интеграл.
При помощи этого же графика мы будем изображать ядро ин-
интегрального оператора, действующего на б (р0—^о):
(г, Р,) <?, (Pt) Мо(рирг) ?, Срг)> Мо (рг, г0)
р2
Рассмотрим следующий член формулы G). В нем под инте-
интегралом содержатся четыре множителя е1т взятые в разных точ-
точках. Применив к ним формулу F), мы разобьеи интеграл на три

$ 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ	453
слагаемых, которые изобразятся диаграммами четвертого (по
числу вершин) порядка:
Если функцию G (г, г0) изображать жирной линией,
G (г, г0) — г Го ,
то разложение G) представится в виде
=	ь	<
4-
к ,
-wy> + 'Ч\^у +
-I-
Закон построения высших членов ряда ясен из этого графика.
В диаграммах 2я-го порядка следует соединить вершины по-
попарно всеми возможными способами и взять сумму всех таких
графиков.
Диаграммы, входящие в G, можно разделить на два класса:
слабо связных и сильно связных. Слабо связные диаграммы
распадаются на две части при разрыве одной линии Go. К ним,

454	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
например, относятся диаграммы
и т. д.
Остальные диаграммы — сильно связные. Из ряда G) мож-
можно выделить совокупность слабо связных диаграмм. Проще все-
всего это можно сделать, если представить гр (г) в виде
if (г) ¦= <$ (г)> + ф (г), <ф> - 0.	(9)
Подставляя (9) в уравнение A), получим
U (г) <Ч> (r)> + U (г) Ф + кЧг <гр> + А«в1ф = 6 (г - Го).	AС)
Усредняя это уравнение, получим (учитывая, что <в!> = <<р>	= 0)
U{r) <Ч>> + к2 <е,Ф> = б (г~го\	A1)
Вычитая A1) из A0), найдем
Lo(r)<p{r) + А«е, <гр> + к* (в,<р — <едФ>] = 0.	A2)
Уравнения A1), A2) эквивалентны исходному уравнению A).
Подействуем на A2) оператором Мо:
ф(г) - — к'Мое^у -к*М0 [е,ф — <е,ф>].	A3)
Интегральное уравнение A3) можно решать последователь-
последовательными итерациями. Это приводит к ряду
Ф = —
— ка {М^МфуМоЧ — Мое1Мо ^М^)) <я1?> -f- ... A4)
Умножим A4) па №гг и усредним:
— <е1Мое1>Л/о<е1Мое1»-.. .] <¦$> = — (? <i|>>, A5)
где Q — интегральный оператор (с ядром, которое мы также обо-
обозначим через Q = Q (rlt r2)):
- <e,ilfoe1> il/e<e1AfoeI>J + - • •

S 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ	455
Оператор Q (являющийся аналогом так называемого массо-
массового оператора квантовой теории поля) представляется диаграм-
диаграммой
За счет выделения из \j) средней части Сф> оператор Q не содер-
содержит слабо связных диаграмм. Подставим A5) в уравнение A1):
Оно имеет вид L ($} = 6 (г — г0), где
L=L0- Q.	A7)
Пусть М — ZT1, так что
Мб (г - г0) = <$> = G>, П).	A8)
Из A7) следует
Рассмотрим выражение
Мо -\- M0QM — Л/о + Мо (Мо1 — М) М = Мс -{- М — Мо = М,
Таким образом, мы получаем формулу, связывающую М и Q
(уравнение Дайсона):
М = Мо + M0Qitf.	B0)
Применив B0) к б-функции, получаем уравнение
G(r, гй) = G0{r, r0) +M0(? G (г, г0).	B1)
В графической форме B0) имеет вид
В том случае, если Q известно, уравнение B1) может быть реше-
решено. Таким образом, G может быть выражено только через
сильно связные диаграммы, входящие в Q.

456	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Покажем графически, что решение уравнения B0') действи-
действительно дает G. Уравпение B0') можно графически решать при по-
помощи итераций, подставляя B0') в правую часть B0'):
ч	I
Здесь первое слагаемое — Go, во второе входят все сильно связ-
связные диаграммы, в третье — все слабо связные диаграммы, рас-
распадающиеся на две части (каждая из которых сильно связна),
в четвертое — слабо связные диаграммы, которые могут быть
разделены на три части и т. д.
Можно дать также графический вывод уравнения Дайсона
(в дальнейшем аналогичный вывод будет проведен для корреля-
корреляционных функций).
Всю совокупность диаграмм, изображающих G, можно раз-
разбить на следующие классы:
1. Сильно связные диаграммы
Эту совокупность диаграмм можно представить так:
2. Слабо связные диаграммы, содержащие лишь два сильно
связных элемента:
-\—/У-»*
Очевидно, что эту совокупность диаграмм можно представить
в виде
3. Слабо связные диаграммы, содержащие гри сильно связ-
связных элемента. Эта совокупность диаграмм представима в виде

§ 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
и т. д. Ясно, что
457
Но это выражение представляет собой юешение уравнения
если последнее решать методом итераций.
Вернемся к уравнению B1). Пусть корреляционная функция
Bt (rlF r2) зависит лишь от гг — гг (статистическая однородность).
В этом случае, так как G0(ru r2) = Gu(rx— r2), ядро оператора <?
также зависит лишь от гг — «у Q (rl7 rt) = Q (rl — r%). В этом
случае уравнение B1) принимает вид
2) oA i) +
+ jjj Gu (ra - pi) Q (Pi - p.) G, (pa — r.) d3Pi d»pt. B2)
Это уравнение может быть решено при помощи преобразова-
преобразования Фурье. Положим
B3)
= \q (x) е'*'
Найдем интеграл в правой части B2):
Go (п — рО Q (pi - р2) G (р2 — ra) d3P
X d3pi
(«О
= (8л3)а JJJb (sk2 — x2) S (x8 — x2) X
X ei
(*) 9 (x) g(*
Подставляя B3) и B4) в уравнение B2), получим
g (*) = ^о (х) + (8п3J ?0 (и) q (x ?
B4)
B5)

458 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
откуда
B6>
Подставляя B6) в B3), имеем
Функция g0 (*) имеет вид
(проще всего B8) можно получить, решая уравнение AG0 + }i?G0=
= б (г) при помощи преобразования Фурье). Величину к в B8)
следует считать комплексной (ImA^>0), чем определяются пра-
правила обхода полюсов в B3) и обеспечиваются условия излуче-
излучения. Следовательно,
eixrd*K	1 С	eixr(Px
Мы, таким образом, получили вид решения для G. Однако
в него входит неизвестная функция Q, определенная лишь в ви-
виде бесконечного ряда.. Если в выражении для Q мы ограничим-
ограничимся лишь первым членом разложения, т. е. заменим "С^ на
, то получаемое таким образом решение Gt (r) пред-
представится графиком (получаемым из предыдущего графика ука-
указанной заменой)
6, =
, _i
Таким образом, даже учет лишь одного члена разложения
для Q приводит к тому, что получаемое из B9) при Q (г) ж
~ Qi(r) — k*G0(r) Bt (r) приближенное решение суммирует беско-
бесконечную подпоследовательность ряда теории возмущений. Учиты-
Учитывая в Q следующий член разложения, т. е. полагая
о «
т*'

t 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ	459
подучим
в, =
т. е. более обширную совокупность диаграмм. Используя форму-
формулу B9), можно получать явные выражения для функций Gu Ог,...
Более подробно свойства функций Glt G% и т. д. будут рассмотре-
рассмотрены ниже, а сейчас обратимся к корреляционной функции
Произведение средних значений в данном случае нас не ин-
интересует, и мы рассмотрим лишь (^^"-^ ф* (**г))- Усредняя E)
и вычитая усредненную формулу из неусредненной, найдем
= {— /cWoeiMo + к" [MoexMoEiMo — <MoeiMoeiMo> ] —
— &М&1.Мф1Мф1.Мч + ...} б (rj — г„), C0)
ф' (г,) = {— k-MlbMl + к" [M&M&Ml — (Л/оеЖе.Мо)] -
— kHM#1M'o*iMUiM'o + • • •} б (r2 — го). C1)
Перемножим уравнения C0) и C1) и усредним:
* (г2)> = {| к |4	;'
+ ft»** <(Л/0е1Л/0)
+ | * |8
+ клкг* ((MoBi.M&MoeiMo) (Mq8iA/J)> + ...} б (n — r0) 6 (г, - г„>.
()
В формуле C2) группа операторов, заключенных в круглые скоб-
скобки, не действует на функции е^ стоящие в другой круглой скоб-
скобке. Группы операторов М6 действуют на б {г± — г0), а операторы
Мо — на б (г2 — г0). Сопоставим формуле C2) диаграмму, на
которой верхние линии и вершины изображают функции G9
и множители к2, а нижние — функции Gl и к*'. Тогда C2)

4Ъ0 ПРИМКНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
изобразится графиком (пунктирная линяя по-прежнему изображает
йе(Г1, Г,))
Щ.ЪРо.р1) =
1—& _ ^
Ро
1	+ „ ' + I I
+ i *' +	|	+ ~+...,	C3)
-i	 —*— 	i-	v ;
причем
<Ф (П) Ф* (r,)> =-• JJIV (rlf r2; ро, р;) б (ро — r0) б (р; - r0) d3p0d3p'n =
^ь r2; r0, r0).
В результате выделения среднего значения Сф> из этой сово-
совокупности диаграмм выпадают так называемые несвязные диа-
диаграммы типа
содержащие отдельные, не соединенные друг с другом части. Из
графика, представляющего <ф (rj) ф* (гг)> ясен закон построения
высших членов разложения. Для построения диаграмм 2ге-го
порядка следует расположить одну вершину на верхней прямой,
Bи — 1) — на нижней и соединить их всеми возможными
способами; затем берутся две вершины на верхней прямой,
Bп —2) — на нижней и т. д.; всегда учитываются лишь связные
диаграммы. Для диаграмм, представляющих <ф (»*1)ф* (га)>, также
можно ввести понятия сильно и слабо связных. Диаграмма назы-
называется слабо связной, если ее можно разрывом двух сплошных
линий (Go и Go) разделить на две части, каждая из которых имеет,
по крайней мере, две вершины. Остальные диаграммы будем на-
называть сильно связными. Из диаграмм четвертого порядка сла-
слабо связными являются диаграммы
—т	 	т— —т-1— 1 ks	kj t
I	I	I I	I	I

S 60]	АНАЛИЗ РЯДОВ ТЕОРИЙ ВОЗМУЩЕНИЙ
а сильно связными — диаграммы
461
т
Выделим из ТУ подпоследовательность сильно связных диаграмм
П	Ро
-г
= I
	1
J N.
_,' 1 ^
+ УС +
C4)
(часть сильно связных диаграмм шестого порядка можно полу-
получить из приведенных здесь поворотом плоскости чертежа на 180°
вокруг горизонтальной или вертикальной оси).
Слабо связные диаграммы можно получить из сильно связ-
связных одним из следующих способов.
на
1. Заменой одной из внешних линий функции
линию усредненной функции Грина	. Н апример, диаграмма
является одним из элементов совокупности диаграмм
если в
О
выбирается элемент
т
I
а в
— эле-

462 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
мент —{"\ ,_ . Все слабо связные диаграммы, содержащие
лишь один сильно связный элемент, могут быть представлены
как один из членов совокупности диаграмм
2. Диаграммы, содержащие лишь два сильно связных эле-
элемента, являются одним из членов совокупности диаграмм
Например, диаграмма
-т—г
I I
¦4—i-
получается в случае, если из
выбирается
1
а из
— линия
Диаграмма I I будет получена, если в качестве эле-
элемента в верхней средней линии 	 будет взята диаграмма
, а в остальных случаях — простые линии
3. Аналогично, если диаграмма содержит к сильно связных
элементов, то она принадлежит совокупности диаграмм
Из проведенных рассуждений следует разложение
х~Г=~|оГ+ПоПо
о
о
о
-C5)

S во]
АНАЛИЗ РЯДОЛ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
463
Из разложения C5) легко получить уравнение, аналогичное
уравнению Дайсона:
C6)
Действительно, решая C6) последовательными итерациями, мы
получим
т. е. равенство C5).
Перепишем уравнение C6) в аналитической форме. Для этого
введем функцию I Q | , которая уже употреблялась при вы-
выводе уравнения C6). Если
Рз
C7)
Рг Р4
то Р определяется из равенства
и (гг, г2; ро, р;) =^G0(r1, рО G'0(rz, pj) P(pi, р2; p3,
X Go (p3, po) Go (p4, pi) ^
Так как согласно определению C4)
«(ru гг\ ро, р'о) =
- | к \* jg Go (ru p,) G'o (r2, p2) BE(Pt, P2) G0(pi, рв) G; (p2, P;
X Go (рь Po) Bt (px, p3) Bt {pi, p4) d3pi
• • •, C4a)

464
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. 5
\ га, П) - | к |4 б (г,. — г8) о (г, — г«) #Е (гь г2) +	C7а)
(п — г3) (?; (г», Р) Go* (rt, р) Яе (ги Р) Ве (г„ А) <*>р + . • -
ТО
Р (
Используя функцию C7), запишем уравнение C6) в анали-
аналитической форме
2; р0, р'о) =ЦЦб(г1, pi)?'(r2, p2)P(pi, р2; р3, р4) х
X G (рз, Ро) S* (P4, Ро) d3pi ^3P2 <*8Рз d3p4 +	C6a)
р4; р0,
Это уравнение является аналогом уравнения Бете — Солпитера
квантовой теории поля.
В отличие от аналогичного уравнения B2) уравнение C6а)
в общем случае не решается в аналитическом виде. .Как уравне-
уравнение B2), так и C6а), по существу, не являются замкнутыми, так
как содержат функцию, определенную в виде бесконечного ряда
(Q или Р). Если бы, подобно тому как это было сделано при ре-
решении уравнения Дайеона, удалось выразить решение уравне-
уравнения C6а) W через заданную функцию Р, то даже использование
первого члена ряда для Р эквивалентно суммированию некото-
некоторой бесконечной подпоследовательности из C3). Если, например,
в C6а) положить
P(Pi, ?г, Рз, P4)^J°i(Pi, р2; Рз, р«) =
= | к |<6 (Pl - рз) о (р, — р4) ЛЕ (Pl - р.)
(первый член ряда C7а)), то C6а) принимает вид
Wi (rt, r2; p0, p'o) =	C8)
4- | ft |« jj S (ri, pa) G* (r,, p.) Bt (Pl - p.) W1 (Pl, p2; p0, p'o
Графически оно имеет вид
C8a)

§ 61J	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРВДНКЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	465
Решая C8а) графически при помощи итераций, получаем
+... C9)
Таким образом, решение уравнения C8) суммирует диаграммы
«лестничного» приближения уравнения Бете — Солпитера. Урав-
Уравнение C8) будет решено ниже для специального вида функции
Bt (r).
§ 61. Уравнения в вариационных производных
для средней функции Грина и корреляционной функции.
Вершинная функция
Проведенный в предыдущем параграфе анализ относится к
частному случаю, когда закон распределения вероятностей для ^
был гауссовским. Сейчас мы рассмотрим более общий случай
и установим его связь с развитым выше методом.
Случайная функция ег (г) полностью определена, если задан
ее характеристический функционал
)	A)
Все моменты случайного поля гг (р) могут быть получены из
A) как вариационные производные*) при v = 0:
с=0
Рассмотрим функционал
llv('UM*<'	B)
Функция \[) (г), являющаяся решением уравнения A.60), в ко-
которое входит е2 (г), статистически связана с е, и поэтому пе мо-
может быть вынесепа из-под знака усреднения в B). Среднее значе-
значение <г)> (г)> может быть определено на основании B) как G [0; г].
Умножим уравнение
-ф = — к% (г) ф (г) + 6 (г — г0)
на exp U \ v (p) et (p) dsp| и усредним:
Lo(r)G[v; r) = ^F<6l(r) Ли(р)?1(р)<Р^(г)) + д(г-гп)Ф
*) Оиределение и некоторые основные правила действий с вариационны-
вариационными производными приведены в приложении в конце главы.

466 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Дифференцируя B), получим соотношение
Подставляя D) в C), получаем уравнение
-Го)Ф1и]	E)
для функционала G [v; r].
Положим
G [v; r]=glo;r]<S>lv], G[0; г] = g[0; г] = <г|з(г)>. F)
Учитывая равепства
Lo(r)G[v; r] =<blv]L0{r)g[v; r],
г] _/T,bg \v\ г]
&v(r) ^ 6l""J 6v (г)'
6Ф1>]_61пФ
_
"Ф б» (г) ~ &v (г)'
получим, после деления E) на Ф:
Уравнение G) является аналогом уравнения Швингера. В от-
отличие от уравнений предыдущего параграфа G) является зам-
замкнутым уравнением, содержащим лишь один неизвестный функ-
функционал.
Аналогичным образом можно вывести уравнение для корре-
корреляционной функции. Для этого введем функционал
Я [V, га, rg] = <oj> (п) V (г,) ЛР$""Р>.	(8)
Дифференцируя (8), найдем
Умножая уравнение для ф(г) на
усредняя и учитывая (8) и (9), получим
L0(r)Hlv;r,r'] =
^r']i^sM'P^. A0)

I 611	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	467
Но согласно B)
Поэтому уравнение A0) можно записать в виде
.к% Ml!g?l_h {r) H[v. ry j + в(г-го) G' [- v; r'] = 0.(H)
Положим
II [v; r,r')=<b[v)-h{v\r,r'\;
Я[0; г, r'j=A[0;r,r'] = <i|»(rL»*(rl)>.	A2)
Подставим A2) в A1). Учитывая, что
G' [ - v, r'] = g* [- v, г'] Ф- [ - v) = g- \ - v; г'] Ф [v],
после деления на Ф получим
ДМ»-.*-.*-! + даА ( г ^, 61пФ _
—»; »*'] = 0. A3)
В уравнениях G) и A3) характеристический функционал фи-
фигурирует только в виде логарифмической производной. Это яв-
является одним из существенных преимуществ уравнений G) и
A3) перед уравнениями E) и A1). Действительно, из определе-
определения A) следует, что |Ф| ^ 1, поскольку усредняется равная по
модулю единице величина. Поэтому разложение Ф в ряд по сте-
степеням v всегда должно содержать бесконечное число членов,
так как полином конечной степени всегда неограничен при v —* оо.
В то же время условие ограниченности не накладывается на 1пФ.
Рассмотрим в качестве примера случай гауссовского случайного
поля в! (р). В этом случае и
является гауссовской случайной величиной. Найдем теперь
<ехр z>. Для любой гауссовской случайной величины z со сред-
средним значением, равным нулю, имеет место формула <ехр z> =
-ехр (у<гг>)- Но
= - Ц Bt (pb p.) v (p,) v (pa) rf3Pl ePp,. A4)

468	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Следовательно, для гауссовского случайного поля
1пФ [v] = -1^5?(Р1, р2) v (Pl) v (р.) d3pirf8p2.	A6)
В случае, если случайное поле вх не является гауссовским,
In Ф может содержать, помимо квадратичного члена, более вы-
высокие степени v (разложение по кумулянтам).
Рассмотрим приближенные методы решения уравнения G).
Наиболее простой метод решения G) — метод последовательных
итераций. Для его осуществления следует применить к G) опе-
оператор Мо:
g [v; г] = Go (г, г0) +
Решение уравнения A7) методом последовательных итераций
эквивалентно обычной теории возмущений, однако в отличие от
предыдущего параграфа здесь легко можно рассмотреть случаи
негауссовского поля ev
Рассмотрим другой приближенный метод, основанный на
разложении искомого функционала g [v; r] в ряд:
g [v; r] = g0 (г) + ^gi (r, р) v (р) d3p +
ft (r; pi, p.) v (pO i> (p2) d3Pl «Pp* -f .. . A8)
В разложении б In Ф/бу (г), помимо члена, даваемого формулой
A6) для гауссовского поля, учтем и следующие члены разложе-
разложения, используя корреляционную функцию третьего {F) и более
высокого порядков:
+ IJJ F (г, рь р,) v (рО v (р.) d3Pl rf8p2 4-... A9)
Подставим разложения A8) и A9) в уравнение G), а затем,
пользуясь произвольностью функции v, приравняем нулю груп-
группы членов при одинаковых степенях {в высших членах разложе-
разложения следует учитывать лишь симметричную по всем переменным,
входящим в множители v (p;), часть подынтегральной функ-
функции). Таким образом, можно получить систему уравнений для

§ 61]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	469
функций g{:
U (r) go (г) = б (г - го) + №gt (r, г),	B0)
Lo (r) ft (г, р) = - гР Ве (г, р) ёо (г) + 2 i*»g, (r; г, р), B1)
Lo(r)gt(r; pi, ря) = — ik* [5e(r, pjft (г, р2) + Bs(r, pi)ft(r, Pi)] +
г; г, plt p2) - ft«fo (r) ^ (r, Pl, p,), B2)
В уравнение B0) для g0 входит функция glt в уравнение B1)
для gi входит g2 и т. д. Таким образом, мы получили бесконеч-
бесконечную цепочку связанных уравнений. Простейший прием при-
приближенного решения заключается в том, что мы искусственно
положим равной нулю одну из функций gh. Чем больше номер к,
тем более точное приближение мы получаем. Заметим, что так
как имеет место разложение
G[v\ г] = [*„(*•)+$*1 (г, р)р(р)(Рр+...]ф[»1,
то, полагая gh — 0, мы не считаем равной нулю корреляцию
(ei (**) *Р(»")> и корреляции более высокого порядка, а наклады-
накладываем на них некоторое дополнительное условие.
Полагая gt = 0, из B0) сразу же получаем g0 = Go (г, г0),
т. е. решение для среды без флуктуации. Полагая g2 = 0, полу-
получим систему уравнений
К (г) go (г) = б (г - r0) + ik*gl (r, г),	B0а)
К (г) Si {г, р) = - ift*B. (r, р) g0 (r).	B1а)
Из B1а) имеем
ft (г, р) = - Д2 $ Со (г, р') Ве (р'( р) g0 (р') d»p',
B3)
Запишем B0а) в интегральной форме (применив оператор Мо):
So (г) = С, (г - Го) Н г^2 $ Go (г, р) ft (p, p) d3p. B4)
Подставляя B3) в B4), получим
(r, p)G0(p, p')J».(p', P)x
B5)
Здесь мы ввели в аргумент функции ^о (г) также г0, поскольку
ясно, что ga зависит и от »•„. Изобразим уравнение B5) графически,

470 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
полагая
Решая B5а) последовательными итерациями, получим
B5а)
Сравнивая этот график с графическим представлением функции
Gi на стр. 458, мы видим, что g0 = Gu т. е.
go (г, г,) = Ox (r-r0) = w, J Д2_х2_^1Со(р)^(#)в-,Жр^ •
B6а)
(Разумеется, B6а) можно получить и как решение уравнения
B5).)
Таким образом, положив g2 = 0, мы пришли к тому же при-
приближению, что и в предыдущем паратрафе при Q = A^G^Bg.
Отметим, однако, что следующее приближение, получающееся
при предположении g3 = 0, уже не эквивалентно учету еще од-
одного члена в массовом операторе Q, но приводит к суммированию
более обширной совокупности диаграмм и, вообще говоря, учи-
учитывает отклонение от гауссовского закона распределения, так
как решение будет зависеть от F.
Необходимо отметить еще одно обстоятельство. При выводе
выражения B6а) нам не потребовалось предполагать, что слу-
случайное поле ех является гауссовским, поскольку отличие Cj от
гауссовского поля, описываемое функцией F {г, р1? рг), никак
не сказалось на решении. Однако условия применимости реше-
решения B6), которые будут исследованы ниже, завися» от того, на-
насколько закон распределения ^ близок к гауссовсксиу.
Таким же способом, т. е. разложением h [v; г, г'\в ряд по v
можно решать и уравнение A3). Положив /ц = 0, можно полу-
получить систему уравнений, которая регааотся при помощи преобра-
преобразования Фурье. Однако получающееся таким образом решение
не удовлетворяет очевидному условию
Я* [у; ги гг]=Я[—у; г2, П]
и нуждается поэтому в дополнительном уточнении. Корреляция
поля будет рассмотрена ниже в «лестничном» приближении урав-
уравнения Бете — Солпитера.

I 61]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	471
В заключение настоящего параграфа приведем вывод форму-
формулы, связывающей массовый оператор с так называемой вершин-
вершинной функцией. Для этого введем в уравнении A7) вместо функ-
функционального аргумента v {p) новый аргумент и (р) согласно ра-
равенству
Заметим, что из равенства <ех (р)> = 0 следует, что и (р) =0
при v (р) = 0. В случае гауссовского распределения связь между
и я v является линейной:
u(p) = i^Bt(p, p')v(p')tPp'.	B8)
В более общем случае и (р) — нелинейный функционал от v.
Преобразуем входящую в уравнение A7) вариационную про-
производную по аргументу v в производную по аргументу к. Вос-
Воспользовавшись общей формулой
bg [у, р, г») _ Р 6g [и; р, г0] 6ю [у; р'{ „ ,
fl»(p)	J 6и(р') 6г(р) ар
и подставляя в нее выражение B7), получим
&g[y, Р, го] _ 1 (• 6а1пФИ 6g[u; р,
6у (р) &> (?') 6и (?¦) " * '
Входящий сюда функционал S2 In Ф J6v (p) f>v (p') обозначим
через
При у = 0 он превращается в корреляционную функцию
Bt(p, p') случайного поля е^ (р). В случае гауссовского распреде-
распределения Bi[v; p, р'] является просто корреляционной функцией и
не зависит от v. Еслл, используя соотношение B7), перейти в
By [v\ p, p'] к аргументу ы, то получающийся при этом функцио-
функционал мы обозначим через В [и; р, р']. Так же как и Вх [v; p, р'],
при и = 0 он превращается в корреляционную функцию
ВЕ(р, р'). После перехода к новому аргументу уравнение A7)
принимает вид
g \и; г, г0] = (?с (г, г„) — к1 \ Go(г, р) g[u; р, г0] и (р)d*p —
-ft» ^G0(r, р)Ш^У1в[и; р, p'ld'p dy. C0)

472	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Пусть g'1 [и; р, г0] — функционал, обратный к g \и; г, р], т. е.
§?[«; г, p]g~l[u; p, го]йРр = б(г —г0).	CJ)
Пусть, кроме того,
]grllu; r, p']g[u; p', p]dy=6(r-p).
Умножая последнее соотношение на g'1 [к; р, гх], интегрируя
по р и учитывая C1), получим
g"y[u; rlt r2] --=g'-L[u; rb ra],
откуда следует
\g~4u; г, p']g[u; p', р]^р' = б(г —р).	C1а)
Дифференцируя равенство C1), получим
Г 6g [»: *•> Pi г-1гц. D r , ^q _
Умножим это соотношение на g [и; г0, Т\\ и проинтегрируем по
г0. Учитывая C1а), получаем для bg[u; p, **01/би(р') выражение
; p,
Определим вершинный оператор Г [и; г', р"; р'] соотноше-
соотношением
1 [и, г, р , pj	""ЩТ)	'	( '
Тогда, подставляя C2) и C3) в C0), получим уравнение
g[u; r, ro] = Go(r, ro) — k2^Go(r, p)u(p)g[u; p, ro]i*p +
+ fta SSSSG°(r' Р)^1ц; P' Piiri»; pi, p"; p']?[«; p', n] x
xB[u; p, p'l^pcfp'^px^p". C4)
Полагая в этом уравнении и = 0, получаем соотношение
g(r, re) = Go(r,r,) + ft«$$$$GD(r, p)S(p, px)X
ХГ[О; Pl, р; р']5(р*, nM?(p, p'J^pd'p'd'Pid'p'. C5)
ВершинныЁ оператор C3) при равном нулю функциональном ар-
аргументе будем называть вершинной функцией и введем для нее

$ «1]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	473
обозначение
Т(ги гг; г3) = Г[0; гг, тг; г3].
Сравнивая уравнение C5) с уравнением B2.60), которое было
получено выше графическим путем, можно получить связь меж-
между массовым оператором Q (plt рг) и вершинной функцией
Г (rlt гг; г3):
Q (Pi. Р.) = ** \ \ G (рх, р') Г (р\ р2; р") Я? (рь р") d»p' <*У • C6)
Целесообразно ввести массовый оператор и при не равном
нулю функциональном аргументе и. Для этого представим урав-
уравнение C4) в виде, аналогичном B2.60), но при и =f= 0
g [и; г, г0] = Go (г, п) + ^ $ G° (»•> Р) 9 [«; Р' Р'1 ? 1и> Р'. *•
C7)
Сравнивая C7) с C4), получим для q [и; г, гх):
q [и; г, гг] =
= A2 J J 4'1и;г, р! Г [и; р, гг, р'] В [и; г, р'] d3pd*p'—k*u (rjd (r-r?.
C8,
Умножим теперь уравнение C7) на ^[м; г0, г^ и проинте)
рируем по г0; учитывая C1), получим
6 (г — п) = J Go (г, r0) g'1 [и; Го, rj] сРг0 + J Go (»*, р) q [и; р,
Подействуем на это уравнение оператором Lo (г) = А (г) + к2;
учитывая, что Lo (r) Go (г, г') — f> (r ~ r'), получим
Lo (г) 6 (г - п) = Г1 [»; г, г,] + 9 [и; г, г,]. C9)
Это соотношение между д [и; г, rjn q [и; г, га] является обоб-
обобщением формулы A9.60). Дифференцируя C9) и подставляя
в C3), получим еще одно выражение для вершинного оператора:
Г [»; г,, г2; гз] = - 6-^^].	D0)
Выражение D0) позволяет получить простую связь можду
графиками для вершинной функции и массового оператора в
случае гауссовского распределения диэлектрической проницае-
проницаемости. Чтобы получить ее, построим выражение для g [и; г, г0]
в виде ряда теории возмущений. Воспользовавшись формулой

474 ПРИМКНЕНИЁ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
E.60), запишем выражение для неусредненной функции Грина
(мы будем обозначать ее здесь не как т!р (г), а как G(r, r0)):
G (r, Го) = Go (г, п) + 2 (— *2)" )...] Go (г, р,) Go (р1( р.). . .
... Go(pn-i, pn) Go {pn, r0) ei (pi). . . eu (pn) d8pi... d?pn. D1)
Умножим D1) на exp{i\e1(p) v (p) <?р} и усредним. В резуль-
результате получаем выражение в виде ряда для G [v, r, г0]. Восполь-
Воспользовавшись также формулой
получим
G[v; r, re] =
+ S (^a)"i • • ¦) Go (r, pO .. . Go (pB, n) X
Разделив это выражение на Ф [у], получим g1 [d; г, г0):
g[v; г, г«] = G0(r, г0)-\-
j
D2)
Теперь, воспользовавшись соотношением B8), мы должны перей-
перейти в D2) к новому аргументу и (р). Проще всего это можно сде-
сделать, если обратить соотношение B8). Предположим, что су-
существует функция S (г, р), удовлетворяющая уравнению
, p)Bt(p, r')&р = д(г-г').	D3)
Сразу же отметим, что эта функция не входит в окончатель-
окончательную формулу и поэтому вопрос о ее существовании и факти-
фактическом нахождении не является существенным. Из симметрии
корреляционной функции следует, что функция S (г, р) также
симметрична и поэтому является обратной к Bt (p, «•') не только
слева, но и справа. Умножая B8) на S (г, р) и интегрируя, с
учетом D3) получим
J J(r, p)u(p)d3p.	D4)

S 61]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	475
Подставляя D4) в выражение A5) для характеристического функ-
функционала, получим после выполнения интегрирования
] D5)
Снова используя равенство B9) в форме
перейдем от дифференцирования по и к дифференцированию по
и. В результате получаем следующее выражениедля g[u; г, г0]:
g[u; r,r,] = Go(i\re) + S (-*¦)*$ ¦•• J <?•(*-. Pi) G
n=l
...Go(pn, ro)Be(pi, р!)ве(рг, p'i)-..Be{pn, p'n)x
п-й член ряда D6) представляет собой полилинейный функцио-
функционал п-й степени и содержит как не зависящие от и слагаемые,
так и линейные по и члены и т. д. Поэтому, если разложить
g[u; r, г0] в ряд по степенным функционалам, то все коэффициенты
этого ряда (аналогичные функциям g0, gt, glt... в A8)) будут пред-
представлять собой бесконечные ряды. Мы будем интересоваться толь-
только не зависящим от и и линейным по и членами ряда D6). Для
того чтобы выписать эти члены в явном виде, необходимо выпол-
выполнить дифференцирование в D6) и собрать вместе вес члены, не
содержащие и и линейные по и. В результате дифференцирова-
дифференцирования экспоненты в Ф1 в выражении D6) будут появляться функ-
функции S (p'v p^). Используя равенство D3), мы каждый раз смо-
сможем выполнить соответствующие интегрирования, так что функ-
функции S (г, р) не будут фигурировать в окончательном выражении.
Для того чтобы представить функционалу [и; г, г0] в обозримой
виде, снова воспользуемся диаграммами Фейнмана. Сплошная
линия по-прежнему соответствует функции Go (р;, р,), пунктир-
пунктирная — функции #e(Pi, ру), точка соответствует множителю А2.
Множитель м(р) мы будем изображать крестиком, помещенным
в вершину с соответствующим аргументом. Тогда функционалу
g\u; r, г0] будет соответствовать сумма графиков, представлен-
представленных следующей графической формулой:

476 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
ffiu;r,re] =	X— ¦+	*—*	+	^
	«XX	X Г"»	rf'^N	*~\ м— +
+ X М И X + X X Г"» + X <-Г^ f X ^'^ X +
+ S% V-4*- ¦+ Vx^ X И- *"> X X f Г'Ъ rf +
^» - М *"» <~'Ч - X
- х
D6a)
Знак перед диаграммой равен (—1)п, где п-—число вершин.
Здесь полностью выписаны все члены до четвертого порядка
включительно; из членов пятого порядка приведены лишь ли-
линейные по и. Из рисунка ясен закон построения диаграмм любо-
любого порядка. Одна диаграмма содержит п множителей и (р). За-
Затем два каких-либо множителя u (pi), и (pj) заменяются пунктирной
линией, соединяющей соответствующие вершины, и берется сум-
сумма всех возможных диаграмм такого типа. Затем еще одна пара
из оставшихся множителей и (р;), и (р,) заменяется на пунк-
пунктирную линию и т. д. В диаграммах четного порядка мы в конце
этого процесса получим графики, содержащие лишь пунктирные
липии, в диаграммах нечетного порядка — графики, содержащие
один множитель и(р).
Обратимся теперь к уравнению C7). Сравнивая его решение,
полученное путем последовательных итераций, с выражением
D6а), легко убедиться в том, что подпоследовательность сильно
связных диаграмм соответствует члену
$$¦
r, f>)q[u; p, p']G0(p\ ro)d8pd3p'
ряда итераций. Поэтому графики, соответствующие д [и; р, р'],
можно получить из D6а), взяв совокупность сильно связных диа-
диаграмм с отброшенными слева и справа сплошными линиями.
В дальнейшем нам потребуются только первые два члена раз-
разложения q [u\ р, р'] в ряд по степеням и, представленных

{ 61]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
следующей графической формулой:
477
- < К v4»^ - «-" К «"» >. - < \
D7)
В аналитической форме это выражение имеет вид
<?("; р. р'] = ?(р, р')—л2б(р—р')и(р)-
р, р')
р')х
., D7а)
где сумма всех членов, не зависящих от и, обозначена, как и
выше, через Q (р, р'). Подставим выражение D7а) в формулу
D0), определяющую вершинный оператор, и после дифферен-
дифференцирования положим м (р) = 0. В результате мы получим вер-
вершинную функцию Г (rlt r2; г3). Ясно, что, полагая и = 0, мы
обращаем в нуль вклад от всех диаграмм, содержащих более
одного множителя и (р). Графически процесс дифференцирования
сводится к тому, что внутренняя вершина графика, помеченная
крестиком, становится внешней (без крестика) вершиной с ар-
аргументом, соответствующим аргументу дифференциального опе-
оператора. Что касается второго слагаемого в D7а), то оно после
дифференцирования и смены знака дает в вершинную функцию
вклад к2д (гг — г3) о (гг — г3). Таким образом, мы получаем для
вершинной функции разложение
Г(гь
l, r3)G0(r2,r3)+
rt)Bt(rlt p.) x
X
Графически оно представлено формулой
D8)
А* А
D8а)

478	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Установим теперь связь между графиками для массового
оператора Q (р, р') и вершинной функции Г (р, р'; г). Ясно, что
графики, представляющие линейные по и члены разложения
g [и, г, г0], отличаются от графиков, представляющих Q (г, г0)
добавлением одной помеченной крестиком вершины на каждую
из сплошных линий, входящих в графики для Q (г, г0). Это сле-
следует из анализа формулы D6а). Так как процесс дифференци-
дифференцирования графически сводится к замене отмеченной крестиком
внутренней вершины на внешнюю вершину, то все графики для
вершинной функции, за исключенном первого из D8а), можно
получить из графиков, представляющих массовый оператор
Q (г, г0), добавляя новую вершину на каждую из линий, соот-
соответствующую функции Go (р(, pj). Так, диаграмма № 2 в D8а)
получается из диаграммы JV2 2 из D7), диаграммы №№ 3, 5, 7
из D8а) порождаются диаграммой № 4 из D7), диаграммы
№№ 4, 6, 8 из D8а) — диаграммой № 5 из D7) и т. д.
Возвратимся теперь к формуле C6), связывающей массовый
оператор с вершинной функцией и с усредненной фупкцией Гри-
Грина. Графически это соотношение может быть представлено в виде
C6а)
Выше была получена формула, выражающая усредненную функ-
функцию Грина через массовый оператор. Заменяя массовый опера-
оператор его первым членом разложения в ряд, мы получили функцию
Gx (В). Условия, при которых можно ограничиться этим прибли-
приближением для G, связаны с возможностью пренебрежения последую-
последующими членами ряда для Q (более подробно эти условия будут
проанализированы в следующем параграфе). В случае, если пре-
пренебрегать следующим членом разложения в ряде для Q уже
нельзя, возникает необходимость частично просуммировать этот
ряд. Эта задача и решается наиболее удобно при помощи урав-
уравнения C6). Действительно, если даже ограничиться первым чле-
членом в разложении D8) и подставить в диаграмму C6а) вместо
вершинной функции Г(гг, г2; г3) простую вершину к*& (гг — fs)X
X й(**г—**3), для массового оператора мы получаем вместо первого
члена разложения сумму бесконечного ряда. В действительно-
действительности мы не можем сделать этого, так как в выражение для мас-
массового оператора снова входит искомая функция (т (г, г0). По-
Поэтому для получения замкнутой системы уравнений мы должны
подставить C6) в уравнение Дайсона, т. е. фактически вос-
воспользоваться уравнением C5). Графически оно выглядит

§ 61]	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ГРИНА	479
следующим образом:
	 =	 + /''"~\	.	C5а)
Если даже в уравнении C5) мы используем первый член разло-
разложения D8), т. е. будем рассматривать уравнение
г, г„) = G, (г, г,) Ч- *« J J Go (г, р) G/ (p, p') G, (p', r0) x
хйе(р, p')*WV, C56)
то оно является уже нелинейным; однако решение уравнения
C56) суммирует уже гораздо более обширную совокупность диа-
диаграмм, чем функция Gi (г, г0).
Дальнейшее уточнение решений заключается в построении
уравнения для Г (rlt гг; га). Однако в отличие от CGa) оно не яв-
является замкнутым и имеет вид
D9;
Уравнения C5а), D9) образуют весьма сложную систему
нелинейных интегральных уравнений, которую очень трудно
использовать для практических расчетов.
Необходимо сделать еще одно замечание относительно урав-
уравнения C5). Приведенный в настоящем параграфе вывод этого
уравнения не опирается на предположение о гауссовском рас-
распределении для флуктуации е2. От вакона распределения зави-
зависит лишь конкретный вид вершинной функции. В частности, пред-
представление массового оператора через усредненную функцию Гри-
Грина и вершинный оператор универсально (не зависит от закона
распределения), но связь между диаграммами для вершинной
функции и массового оператора, вытекающая из общего соот-
соотношения D0), которая была сформулирована выше в виде пра-
правила построения диаграмм вершинной функции, зависит от за-
закона распределения вероятностей. Из этого замечания следует,
что в том случае, когда условия применимости приближенной
теории допускают замену вершинной функции на простую вер-
вершину, результаты не зависят от конкретного вида закона рас-
распределения вероятностей флуктуации диэлектрической прони-
проницаемости.

480	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ S
§ 62. Распространение волн в среде
с мелкомасштабными флуктуациями
Вернемся к формуле B9.60) для усредненной функции Грина
G(B):
Рассмотрим случай, когда радиус корреляции флуктуации
мал по сравнению с длиной волны Я, т. е.
Аа<1.	B)
В этом случае в функции Q можно ограничиться первым чле-
членом разложения, равным Qx = k*Bt (р) Go (р), так как ряд,
представляющий Q, расположен до степеням малого параметра к
(уточнение условий, при которых можно ограничиваться первым
членом в Q, будет проведено ниже). Произведем вычисления для
корреляционной функции Bt (р) = aie~al>, где а2 = <ef> и а —
радиус корреляции флуктуации.
Вычисляя интеграл в знаменателе A), после несложных вы-
выкладок получим формулу
Подставим C) в A), введем сферические координаты по х и вы-
выполним интегрирование по угловым переменным. В результате
получаем формулу
о А"— к +
[00 OO	~t
Г 	W^	 f	*е~ив d»	I
D)
Полюсы подынтегрального выражения совпадают с корнями
уравнения
(А8 — х2) [ (а — iftJ + xa] + А*о2 =* 0	E)
и равны
!,, = ^= /&"_(«_ ,-А)» ± /а2 (а - 2ikf + 4А«а2, F)
Хз,4 = 	"l,2-

§ 62]	МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	481
Замыкая контур интегрирования в первом интеграле вверх, а
во втором — вниз и вычисляя вычеты в полюсах F) (при этом
учитывается, что ImA > 0), после несложных, но громоздких вы-
вычислений получаем
G1(R) = C11W- + Ci^w-,	G)
J.
Учитывая, что в силу B) а^> к, можно записать выражение
для x,j в виде
(8)
Из этого выражения видно, что второй член в G) мал уже при
R— — — а. Поэтому, если мы интересуемся областью R^>a,
ОС	\^
его можно не учитывать. Другими словами, если нас интересует
область R^>a, то можно не учитывать появление новых полю-
полюсов в D), а учесть лишь сдвиг старых полюсов х = ± к. Это
эквивалентно тому, что величина . _ц« , 8 в знаменателе
D) заменяется просто на . _ -А.а . В более общем случае произ-
произвольной корреляционной функции ее поведение в области боль-
больших R ^» а также определяется асимптотикой спектра при ма-
малых х, причем, как и в рассмотренном примере, не следует учи-
учитывать появление новых полюсов- подынтегрального выраже-
выражения A). Полагая в A) ег*** = 1, мы получаем таким образом
асимптотику функции & (R) при R^> а:
Обозначим
l.	A0)
Выражение (9) отличается от спектрального разложения функ-
функции Go (R) лишь заменой к на kv Следовательно, асимптотика
функции Ъ (R) при R ^> а имеет вид
16 в. И. Татарский

482 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ.5
Подставляя выражение A5.60) для Q и учитывая, что	в силу
равенства Q(plt р2) = Q (Pi — рг) интегрирование по	рг — р2
эквивалентно интегрированию по рх, получим
к\ - к* = - A* J Go (р) В. (р) d:1p -
— А8 \ \ \ G« (Р» — Р») G° (?2 — Рз) Go (Ра — Р«) [Я, (р: — р3) X
X В. (р, — р4) + В, (Pi — р*) Bt (р2 — р3)] d'Pl^рг^рз — ... A2)
Вычислим входящие сюда интегралы при условии ка'<^. 1:
t (p) d3p = 4п ^ Go (р) Ве (р)
о
ikp+ .. .]
О	0	0
A3)
Введем интегральный масштаб корреляции а согласно опреде-
определению
Тогда
о
Для первого интеграла в правой части A3) можно записать
A5)
где (х — числовая постоянная, зависящая от вида корреляцион-
корреляционной функции
^1^1	A6)
Ряд A6) расположен по степеням малой величины ка, и поэтому
в нем можно ограничиться его первыми членами.
Оценим теперь следующие члены ряда A2). Рассмотрим сна-
сначала интеграл
1 = \ \ \ G> (Р* — Р»>G- (Р* — Р3> G<> (Р» — Р«) В« (Р« ~ Р») В« СР*— Р«)Х
X d3pi d3pa (Рр, = $ $ J Go to — г,) Go (r2 - r,) G» (»•,) Be to — rs) X
V^Va. A7)

§ 62]	МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	483
В силу условия ка «^ 1 функции Bt (р) под знаком интегралов
можно представить как Bt (р) = <х2а3 ба (р), где Ь„ (р) — «разма-
«размазанная» на область порядка а б-фупкцвя. В тех случаях, когда
при интегрировании с «неразмазанной» 6-функцией не возникает
расходимостей, ее можно заменить на обычную б-функцию;
в остальных же случаях (при возникновении расходимостей)
следует пользоваться правилом
$/(rNo(r)i3r~/(a).
В применении к A7) это правило дает
— Г„) 6О (Га — Г3) dsr3 ~ Со («),
(а) $ Gl (r.) d°r2 ~ ^
мы учли, что при ка «^ 1 Go (а) —-а1, а интеграл вычисляется
и имеет порядок $Gl (г) <Рг — А).
Аналогичным образом оценим интеграл
S SS	г2-^з)Ge(r8M? (n—r,) B^r^nd1 тгх
(мы учли, что аргументы после интегрирования с ба (г) совпадают
лишь с точностью до а и поэтому особенности функций Gu (r)
не сливаются). Учитывая, что
( [G0(r)]3d3r—In—-,
имеем
Подставляя найденные значения в формулу A2), получаем
А" = # [l + JL 0%V -f ± cflW + const -e1^» +
-1- const ¦ 6*ft«oeln J-+ • • •] •
Следующий, не выписанный здесь член разложения в квадрат-
квадратных скобках имеет порядок aG (ка)е (он связан с члеиом
•^"Чг^-ч оператора 0.
17 в. И. Татавский

484 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Заметим, прежде всего, что ка lny- <^ 1 при ка <^ 1, так что
последнее слагаемое в A8) мало по сравнению с а*к6аь. Условие,
при котором в разложении функции Q в ряд можно ограничить-
ограничиться первым членом, можно получить из A8):
с*&5а5 <^ 1 4- -г— а2к2а2	A9)
(член о^а3 всегда мал по сравнению с о2к?а?). В случае, если
о2к*а? <^ 1 условие A9) выполняется всегда. Если же о*к-аг ^> 1,
то из A9) мы получаем ограничение
о* (ЬK<1.	B0)
При выполнении этого условия малы и следующие члепы раз-
разложения, так как отношение последующих членов ряда A8) к
предыдущим имеет порядок а2 (каK.
Так как ка <^ 1, то условие B0) накладывает на величину
слабое ограничение
о*к2а? < -^,	B0а)
из которого следует, что о*кга2 может быть большой величиной.
Учитывая условие B0), запишем Ах в виде
h = к У 1 + Ji- ъ*кЧъ X
Г,
L
Х Г	I	S	T+const	+...|. B1)
Величина ^ входит в A1) в экспоненту exp (iky R). Поэтому
последним членом в B1) можно пренебрегать лишь при условии
ЪЯ	J"a	<sH.	B2)
Если o-8AV<;l, то B2) дает
B2а)
B26)
Если же ааА;гаг ^> 1, то мы получаем
кЯ<

§ 62]	МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	485
Для того чтобы при выполнении условия B26) можно было рас-
рассматривать большие значения kR, необходимо выполнение не-
неравенства <т*А:4а* «^ 1, что эквивалентно условию
йг.-	B3)
Условие B3) является более жестким, чем B0а), но и оно не
накладывает на а'А:ааг условия малости.
Итак, при выполнении условий A9) и B2) мы имеем следую-
следующее выражение для къ:
	Л • B4>
kl=к у 1+?-°2к*а* Г1
Постоянная распространения кг может значительно отличать-
отличаться от к, если средний квадрат флуктуации аа достаточно
велик.
Пусть к = р0 + iy0, причем Уо^Ро- Положим^ = пэр0 + iy',
где иэ— эффективный показатель преломления, у' — коэффициент
ослабления. Тогда, пренебрегая влиянием у0 на гсэ и выписывая
у' лишь с точностью до линейных по т0 членов, получим
B5)
Из B5) следует, что эффективный показатель преломления пэ >
> 1, причем возможен случай пэ !§> 1. Возрастание иэ описы-
описывает среднее увеличение оптического пути за счет многократ-
многократного рассеяния на флуктуациях. Коэффициент ослабления со-
состоит из двух слагаемых. Первое из них пропорционально по-
поглощению у0, но отличается от него на множитель Bп| — 1)/пэ.
В случае, когда пэ ^> 1 этот множитель может быть весьма
значительным. Возрастание поглощения в флуктуирующей сре-
среде также является следствием увеличения оптического пути за
счет многократного рассеяния.
Второе слагаемое в B6) связано с обратным рассеянием на
флуктуациях. Действительно, эффективный поперечник одно-
однократного рассеяния из единицы объема в телесный угол <Ш
17*

486	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
равен (см. гл. 2)
f (sm±.) dQ,
гдо Фе (х) — спектральная плотность гг. В случае ка «^ i при
всех 9
Фе Bfcsin j) » Фе @) = Bя)~3 Jfie {r)d3r = Bя) oV.
Следовательно,
Эффективный поперечник рассеяния из единицы объема в
заднюю полусферу а равен
Следовательно, B6) можно записать в виде
Г' = 2n'~i Го + — •	B6а)
п9	%
Вычисляя ослабление за счет рассеяния в первом приближении
метода возмущений мы получили бы величину а. Таким обра-
образом, учет многократного рассеяния приводит к уменьшению
ослабления. Это вполне естественно, так как за счет многократ-
многократного рассеяния часть рассеянной энергии возвращается в пер-
первоначальном направлении.
В заключение настоящего параграфа мы кратко обсудим
возможные способы улучшения полученного решения, которые
должны ослабить неравенства A9) и B2).
Прежде всего ясно, что учет нескольких следующих членов
разложения функции Q не может существенно улучшить поло-
положение, так как при нарушении условия A9) отношения после-
последующих членов ряда к предыдущим будут не малыми для целого
ряда диаграмм высших порядков. Поэтому заметного улучшения
результатов можно добиться лишь в том случае, если просумми-
просуммировать наиболее существенные диаграммы, входящие в мас-
массовый оператор Q. Для этого мы располагаем уравнением
C6а.61).
В настоящем параграфе мы использовали наиболее простой
график из совокупности C6а.61), который получается при за-
замене усредненной функции Грина на G0{r, r0) и вершинной функ-

8 G2]	МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	487
ции на простую вершину. Выше мы оценивали поправки к пер-
первому приближению массового оператора, обусловленные сле-
следующими членами его разложения в ряд. При этом оказалось,
что поправка / ~ о^АГ1, связанная с заменой усредненной
функции Грина на Go, памного превосходит поправку
1 /	1 \
J—'О*а* In -г- (их отношение ?fjl — kaln^-j, связанную с за-
заменой вершинной функции на простую вершину. Поэтому, же-
желая улучшить найденное выше приближение, мы прежде всего
должны учесть поправки в массовом операторе, обусловленные
отличием G от Go, и можем вначале пренебречь поправками, свя-
связанными с вершинной функцией. Мы, таким образом, приходим
к уравнению C56.61):
Gi(r, го) = Go (г, го) Н-
+ ft» JJ Ge(r, p)Gi(p, p')Gi(p\ го)В. (р, р')^Р<*3Р'. B7)
Решение этого уравнения — достаточно сложная задача, и
мы здесь пе будем пытаться решить ее строго. Однако можно по-
попытаться оценить, к каким изменениям в эффективном волновом
числе приведет уравнение B7). Для этого воспользуемся форму-
формулой A0), подставив вместо Q выражение, даваемое формулой
C6.61) при замене вершинной функции простой вершиной,
а вместо неизвестной функции Gi (r, г0) подставим ее асимптотику
в области больших | г — го\, т.е. — Dл|г — rc|)-1 exp (iki\r — ro\).
Оценку произведем для корреляционной функции экспоненци-
экспоненциального вида Вг (р) = а2 ехр ( — ар). В этом случае входящий
в A0) интеграл легко вычисляется и мы получаем для кх урав-
уравнение четвертой степени:
Если |v •?¦ \<^i, то это уравнение совпадает с прежним вы-
выражением для ki. В то же время, если это условие нарушено, то
элементарный анализ решения уравнения B8) показывает, что
зависимость kL от ст, v уже не выражается прежней формулой и
имеет вид
Мы не будем, однако, заниматься более подробным исследованием
этого решения.

488 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
§ 63. Корреляционная функция для случая
иелкомасштабных неоднородноотен
Для нахождения корреляционной функции в случае ка <^ 1
мы воспользуемся уравнением Бете — Солпитера в «лестнич-
«лестничном» приближении C8.60):
G (г„ Pl)G*(r2, р.) В. (pi — Р«) S (рь ро)х
х G* (р2, Р;) <PPl d3p2 +1 к11jj $ 5 in, po G* (г„ Ра) х
X Bt (Pl - р2) Wx (рь р4; р„, р;) d\ d\. A)
Точное решение этого уравнения для произвольной функции
Bt (p) получить не удается, и мы воспользуемся поэтому при-
приближением, существенно использующим условие ka<^i.
Прежде всего заметим, что Wt (rt + a, rt -\- а; р0 + а, р^+ а)
удовлетворяет тому же уравнению, что W± (r1( г2, р0, рд), в чем
легко убедиться непосредственно. Поэтому W1 зависит факти-
фактически лишь от трех переменных. Положим
-	- ri + Ро — гг — р'о
Г1 + Г2 T Pp T ?0	B)
Тогда
го — 2	2 ' ^о ~~ 2	2^ '	\ '
Функция Wi фактически не зависит от координаты -?•, входя-
входящей аддитивно во все аргументы. Положим
W"i(rb га;р0, р;) =
Ч^1^Ч^)*-.С). C)
откуда вытекает обратное соотношение
Wx(ru г2; р„, р;) = р{гг-р„ г2-pj,
pj,
Подставим (За) в уравнение A); производя в интегралах замену
переменных
— p2,

§ 63]	корреляционная фупк;о,я	489
получим уравнение
(	tZ)(; -и) х
X G\r — v) + F[* — u,r — v, ^^ +Cj]d3ud3v. D)
В уравнении D) удобно перейти к спектральным плотностям.
Положим!
E)
F (§' Ч. С) = S $ \ 1 (*i. «•, «•) е«*»*+*л**И ^х2 й»и2Лс,, F)
ВЕ (r)= J Фе(х)е'хг^3х.	G)
Подставляя E), F), G) в D), после несложных преобразова-
преобразований получим уравнение
X? (- х2 - ^) Фе (xs) Ч- BяN1 А41 i (к, Ч• ^-) X
3х. (8)
В случае Ara<^ 1 функция Фе (х) мало меняется на расстояниях,
соотпетстпующих характерному масштабу изменения функцийg и/.
Воспользовавшись этим, получим приближенное решение уравне-
ния (8). Для этого запишем (8) для точки хх -> ха	s-, ха -> х2 +
+-J-1 х3—>-х3 — х', умножим его на ФЕ(х') (чтобы образовать
в левой части такой же интеграл, как и справа) и проинтегри-
проинтегрируем по х':
X Фе (X') d3*' ¦ ?(*! - ^-) ? (- Х2 - f-
2n)«|u*|Jg(x1 + -S.-x')?(-x1+^.
Х' $Ф. (X)/ (хх— ^, *2 + ^, Хз-Х-

490 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Во внутреннем интеграле справа произведем замену перемен-
переменных, положив х + %' — х". Тогда внутренний интеграл примет
вид
$(?	)	(Ю)
Область изменения я' определяется функциями g во внешнем
интеграле и имеет порядок к'. Если выиолнено условие к'а -^ 1,
то в A0) можно пренебречь разницей между Фе (х"— х') л
Ф, (х"), так как при изменении своего аргумента на величину
порядка к функция ФЕ почти не меняется. Поэтому вместо A0)
можно записать Q (xj, x2, х3), и мы получаем уравнение
-г Q (*ь *1, *з) Bn)e |*I4Jg(xi + -у - х')х
решая которое, находим
Q (х1( х2, х3) =
= Bл?! к |*
X? (- "j, + -^ - x'j ф? (х, - х') Ф, (W) dx'a X
Подставляя A1) в правую часть уравнения (8), получим
i,*.)=Bn)»|ft|<i(»«iH--T-)«'(K«--T)?(~xH""
Xg'(-ха- ^3)Ф,(х3) + Bя)в jAI1 х
g(x, + "у - X') р (- Х8 + -^ - X') ф (x'J Фе (к, - X') <й«'
'	f	' '	f	i	 A2)
- Bn)s i к |« jj f (к, + ^- _ к') ? (- к, + -T^- - к') Ф( (к') d°K'
Снова воспользуемся плавностью функции Фс (х) и вынесем
за знак интеграла в числителе A2) множитель Фс (х3 — х') при
х' = 0. В результате, после приведения подобных членов,

§ 63]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ	491
получаем
/(*!, Х2, Х3) =
1 - Bп)« | * |i J *(*, + -^- - х') ? (- х2 + Ц- - х') Фе (*') йс'
A3)
Это выражение является приближенным решением уравнения
(8) при ка ^ 1 (оно превращается в точное решение этого урав-
уравнения в случае Фе = const). В случае слабых флуктуации, когда
знаменатель в A3) можно положить равным единице, A3) пе-
переходит в решение, получаемое методом возмущений, что не-
непосредственно видно из уравнения (8), в котором в этом случае
можно пренебречь вторым членом в правой части. Корреля-
Корреляционная функция <ф (г,) q>* (r2)> связана с Wx соотношением
<<Р W Ф* (^2)> = Wi (П, г2; р01 р0). Помещая начало координат
в точку р0, получим
= W, (п, г2; 0, 0) = F (гь г2 ^^) A4)
(мы воспользовались формулой (За)). Подставляя в A4) спект-
спектральное разложение F), найдем
<ф(гЛср*(г2)> = \\ ei(Xiri+"»r«)o(x1, x2)(fKid8x2,	A5)
где
Подставляя сюда A3), будем иметь
а (х1( *2) = Bл)81 к |4 g{K{) 1" (— яа) X
J f(X! х„) ^( Ха х8) Фе (хз) сРх3
1 - Bл)Ч к |« J J(xi - х') ? (- щ - х') Фе (х') Лс'
Выражение A7) представляет собой спектральную плотность
корреляционной функции j
Рассмотрим интеграл
ха)= 5F(Xi — х3)?*(— х2 —
(*) ? (* - («1 + «1» ф« («1 - »)
Используя опять плавность функции Фе, можно приближенно
заменить Ф» (хх — х) на Фе (—х) = Фе (х) (заметим, что считать

¦492 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
функцию Фс просто копстантой нельзя, так как это в итоге при-
приводит к расходимости). В этом случае
/(»!, *,)«/(*!+ *»)= $?(*)?(« —(*i + «i))<D.(x)d»x, A9)
г. е. / зависит лишь от %1 + х2. Найдем средний квадрат флук-
флуктуации
а (*ь * — *i) ^3«1-	B0)
Он определяется преобразовалием Фурье от
4(*) = Ja(xb * —«Orfxi.	B1)
Подставляя сюда A7), A8) и A9), получим
B2)
Входящий сюда интеграл легко вычисляется, если мы учтем,
что
g(*) = ^
и подставим вместо G ее асимптотическое выражение G (R)
ъ. —e'ltiRf'inll, В результате получим
g{*i) ? (« — »i) Л«1 = т^Г •
так что B2) принимает вид
Вычислим теперь/(к) для случая, когда 56 (г) = а2-ехр (— аг).
Этой корреляционной функции соответствует спектральная
плотность
Подставляя B4) в A9) и выполняя интегрирование по угло-
угловым переменным в сферических координатах, получим (мы учли,

S 63]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ	493
что g (х) = Bя) (ft* - х2Р)
Bя)« 1 (х) « Щ-	*	гг 1п*\"(К'"К)'^'- B5)
Из B5) видно, что при х —> эс I (х) убывает быстрее, чем х.
При х -» 0 B5) стремится к конечному пределу
B„,.у @, .
Интеграл легко вычисляется, если учесть, что кх лежит в верхней
полуплоскости и &L — в нижней. В результате несложных вы-
вычислений можно получить формулу
4; + eff -Цк\- *;') |31 *, Г + «' (ft! + *,") - a'l). B7)
Для hi мы используем полученную выше формулу B4.62). Лег-
Легко убедиться в том, что при ка<^.1 и А2а%<^ 1 (эти условия вы-
выполняются при условиях лримонимости B4.62)) l^al^l, т. е.
\кх\ «^ а. Поэтому в B7) можно оставить лишь главный (по а)
член:
Bя)« I @) л	2'з: . « -?-,	B7а)
где у' определяется формулой B6.62).
Обратимся к вычислению <qxp*>. Подставляя B3) в B0), по-
получим, учитывая, что I (х) = I (х):
у	»ч	/Г SIB W | , , 9 7
<ФФ > = 4я \	• о (х) ха rfx =
J кг
о
*,,	B8)
(к) •	;
Интеграл B8) сходится, так как I (х) убывает при х -» ос. При
больших г, которые нас будут интересовать, поведение этого
интеграла определяется поведением спектра в области малых х.
Однако если просто положить в B8) I (х) = I @), то в

494	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
оо
результате мы получаем несуществующий интеграл у sin иг dx.
о
Если, однако, учесть хотя бы сколь угодно слабое убывание
второго сомножителя цри и —> оо, то интеграл сразу же при-
приобретает смысл. Проще всего его найти как
00
lim \ е-5* sin иг dv. = — .
U
В результате в области больших г получаем
_ Bл)в \к\*ЦО)
1 —¦
причем мы подставили а3 = вла, где а — введенный ранее
интегральный масштаб корреляции.
В процессе решения уравнения (8) мы существенно исполь-
использовали условие малости ка<^1. Из самой структуры формулы
B9) видно, какие ограничения необходимо наложить на этот па-
параметр .Действительно, величина |/с|*ог а3 [8ЯУ'] должна быть
малой по сравнению с единицей, ибо в противном случае мы
можем получить отрицательные значения <ФФ*>. Рассмотрим
это условие подробнее. Для т' мы получили выше формулу
где Го — коэффициент поглощения и ri — коэффициент рас-
рассеяния:
C0)
(мы пренебрегли здесь разницей между \к\ и рь). Таким обра-
зом, условие ' ,— <^.1 фактически устанавливает соочноше-
ние между хп и у: —,	г<С1, т. е.
A3)

% 63]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ	495
Подставляя C0), получаем
|fel462a3 ^.,	,п, v
о—7П	^—<^1>	\й1а)
8я Bлj — 1) f (
Рассмотрим отдельно случаи Bп2— 1)як1 и Bга?—1)^>1.
В первом случае | & |2 а2а2 <^; 1 и условие C1а) дает
Ы'<-Т-Ш& (з^а8 < 1).	C2)
Это ограничение не слишком жесткое, ибо в правой части в зна-
знаменателе стоит малая величина. Во втором, случае ст*А;2а2 *^> 1 .отку-
.откуда следует, что Bп| — 1) »~ст2А;2а2, и условие C1а) дает
Аа<^-.	C3)
При выполнении этих условий можно B9) записать в виде
«РФ') _ Ifc^a'a3	/о/ч
| <t|>> |* ~ 8лт' '	у '
где мы учли, что | <ip> |2 = A6 nV2).
Проанализируем формулу C4). Прежде всего обращает на
себя внимание появление в знаменателе поглощения у. В слу-
случае среды без поглощения мы получили бы бесконечные флук-
флуктуации поля. Это объясняется тем, что мы рассматриваем поле
стационарного источника в бесконечном пространстве, где «ра-
«радиус действия» рассеянных волн определяется именно поглоще-
поглощением. При этом оказывается существенным истинное поглощение
в отличие от ослабления, так как условие C1) требует, чтобы
коэффициент поглощения был велик по сравнению с коэффициен-
коэффициентом рассеяния.
Подставим в C4) у' = —	у0 (в силу условия C1) вторым
слагаемым в у' можно пренебречь):
C4а)
8ято 2л? - 1
s
Первый множитель в C4а) представляет собой относительное
значение среднего квадрата флуктуации при пэ = 1, т. е. в при-
приближении однократного рассеяния. Множитель ——'— всегда
меньше единицы, т. е. при учете многократного рассеяния

496
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. 5
средний квадрат флуктуации меньше. Это объясняется уменьшением
«радиуса действия» рассеянного поля за счет увеличения погло-
поглощения при многократном рассеянии. В случае пь ^> 1
1
?fa!*!a
и из C4а) мы получаем
«РФ*>
j к |3 д^д
8
C46)
т. е. в данном случае флуктуации пропорциональны кубу часто-
частоты и лишь первой степени а.
Условие применимости C1) для формулы C4) можно запи-
записать в виде
<фч>*>
C16)
Оно сводится к малости относительной величины флуктуации
поля. При этом, однако, не накладываются условия малости
на флуктуации показателя преломления, а рост б (при соблюдении
C3)) приводит к уменьшению флуктуации поля.
В заключение настоящего параграфа поясним смысл введенного
ограничения ^31), которое позволило отбросить последний
множитель в B9). Отбрасывание этого множителя эквивалентно
тому, что в уравнении
мы оставляем лишь первый член в правой части. Он отличается
от первого члена ряда теории возмущений"
лишь заменой G» на G, т. е. фактически заменой к на ki. Таким
образом, можно сформулировать следующее правило для вычисле-
вычисления различных эффектов: их нужно сначала рассмотреть в первом
приближении метода возмущений, а затем произвести замену к
на fci в окончательных результатах.

§ 64]	НЕКОТОРЫЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	497
§ 64. Некоторые заключительные замечания
Развитые выше методы решения волнового уравнения в среде
со случайными неоднородпостями, несомненно, требуют дальней-
дальнейшей разработки. К рассматриваемой задаче они были приме-
применены сравнительно недавно в работах [155—159]*). Можно
указать на целый ряд вопросов, требующих дальнейшего рас-
рассмотрения.
Во-первых, изложенная теория может быть обобщена на систе-
систему уравнений Максвелла. Некоторые трудности при этом возни-
возникают в связи с тем, что в отличие от скалярного волнового урав-
уравнения функция Грина для системы уравнений Максвелла сингуляр-
сингулярна [175]. Поэтому при обобщении изложенной теории на случай
электромагнитного поля приходится пользоваться специальными
приемами для исключения особенностей (см. [175, 176];. Разви-
Развитые выше методы начинают находить применения при решении
различных конкретных задач. Так в [i76] рассчитана простран-
пространственная дисперсия неоднородной среды, в работе [177] вычислен
тензор эффективной диэлектрической проницаемости сильнонеод-
сильнонеоднородной анизотропной среды.
Вместе с тем имеется ряд вопросов принципиального харак-
характера, требующих дальнейшего рассмотрения. Что касается области
ка<^. 1, то здесь улучшение метода требует перехода к нелинейным
уравнениям, что в результате должно ослабить ограничения на сгг,
R, ка. Сюда же относится и более аккуратное решение уравне-
уравнения Бете — Солпитера для корреляционной функции. В обла-
области коротких волн &ajs>1 вычисления среднего поля произво-
производились в работах [159, 179, 180], причем в последней работе под-
подробно исследуется связь метода плавных возмущений с теорией
возмущений в массовом операторе. Наконец, следует подроб-
подробнее рассмотреть случай негауссовских флуктуации показателя
преломления, где уже невозможно использование диаграммной
техники и необходимо рассматривать непосредственно уравнения
с вариационными производными.
Решение перечисленных вопросов требует еще большой ра-
работы и выходит за рамки настоящей книги.
В разделе Б этой главы мы рассмотрим случай распростра-
распространения коротких волн, исходя из приближения геометрической
оптики. В отличие от раздела А изложение последующего мате-
материала ведется менее строго, однако это, в конце концов, позволяет
получить более конкретные результаты.
*) Отметим, что в опубликованных ранее работах [160—162] среднее по-
поле в среде со случайными неодпородностями вычислялось методом возмуще-
возмущений при более жестких ограничениях.

498	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Б. СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ,
РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В СЛАБО НЕОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ
СРЕДЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Расчет флуктуации амплитуды методом возмущений в при-
приближении геометрической оптики был приведен в разделе А гл. 3.
Здесь мы приведем расчет, пригодный и в случае сильных ампли-
амплитудных флуктуации [181].
Содержание этого раздела нелосредсгвенно примыкает к ма-
материалу, изложенному в разделе А гл. 3. Однако, так как при-
привлекаемый математический аппарат ближе к используемому в
настоящей главе, излагаемый пиже материал помещен именно
здесь, хотя это и повлекло за собой необходимость некоторых
повторений.
§ 65. Приближение малых углов
Рассмотрим плоскую волну, падающую на турбулентную сре-
среду, занимающую область х > 0.
Уравнения распространения волн в приближении геометри-
геометрической оптики имеют вид
+ ei(r),	A)
0.	B)
Здесь G — эйконал, А — амплитуда, п — показатель прелом-
преломления, st — флуктуирующая часть диэлектрической проницае-
проницаемости. Уравнение Bа) можно также записать в эквивалентной
форме
2V6Vx + Дй = 0,	Bа)
где х = In (А/А 0) и Ао — амплитуда невозмущенной волны.
Введем единичный вектор
7 _ V6 _ ^е W
I V0 | ~ п{г) '
направленный вдоль луча, проходящего через точку г. Тогда
d	,
где 2	производная вдоль луча (s — длина, отсчитывае-
отсчитываемая по лучу). Уравнение Bа) может быть записано в виде

§ 65]	ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛЫХ УГЛОВ	499
и его интегрирование приводит к соотношению
выражающему логарифм амплитуды через криволинейный ин-
интеграл.
В гл. 3 при вычислении интеграла C) было использовано при-
приближение, в котором луч заменялся на прямолинейный. Теперь
мы откажемся от этого упрощения и выполним интегрирование
вдоль истинного луча, что позволит получить результат, спра-
справедливый и в области сильных флуктуации амплитуды.
Для того чтобы осуществить такое интегрирование, нам
понадобится иметь в явной форме уравнение луча. Его можно по-
получить, предполагая малость флуктуации направления луча.
Запишем уравнение A) в виде
(?)	{)	(la)
Величина
\i±\
_ '"!' _
дх
где a — угол, который составляет луч с осью х. Если считать,
что |а| «^ 1, то величину (Vj_ ОJ можно считать малой. В этом
случае уравнение Aа) можно решать путем последовательных
итераций, полагая
В качестве исходного приближения возьмем Vj_ 0О = 0. Тогда
E)
и т. д. Считая, что (Vj Q^^i, мы можем ограничиться
выражением D) для 0*). Более того, если | et \ «^ 1, то можно
*) В условнях реальной атмосферы максимальные зпачепия <а2> имеют
порядок от 102 до 100.

500 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
использовать и более простое выражение:
dE,	F)
справедливое с точностью до величин порядка е*, аа. Перейдем
теперь к нахождению уравнения луча. Его дифференциальное
уравнение имеет вид
^ = * = ™.	G)
ds	п	у '
Взяв ж-компоненту этого уравнения, найдем
*=±"Ui.	Ga)
ds п Эх	х '
Таким образом, в рассматриваемом приближении можпо счи-
считать s = х (так как различие между х и s сказывается лишь во
втором порядке малости по а). Обозначив р (s) = {у (s), z (s)},
получим из G), заменяя ds на dx:
^	p(X)).	(8)
Согласно F)
х
Vхв (*, р (х)) = i J V±ei (I, p (x)) d$,	(9)
u
т. е. Vx © является величиной первого порядка малости по &,.
Поэтому с той же точностью мы должны полагать п = 1 в зна-
знаменателе (8). Тогда
X
Уравнение A0) содержит р под знаком интеграла в аргумен-
аргументе случайной функции гг. Поэтому A0) представляет собой не-
нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, решить которое
точно не представляется возможным. Приближенное решение
уравнения A0) можно получить, заменяя под знаком интеграла
р (х) на 0. В этом случае мы получаем

i 85]	ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛЫХ УГЛОВ	501
Именно это уравнение использовалось нами в гл. 3 при оценках
границ применимости первого приближения геометрической
оптики. Исходя из уравнения, совпадающего с A0а), там было по-
получено выражение для среднего квадрата величины р (х) в турбу-
турбулентной среде:
Чтобы оценить границы применимости уравнения (Юа),
можно воспользоваться выражением для <р2 (я)>, полученным
Л. А. Черновым с использованием уравнения Эйнштейна —
Фоккера — Планка для «диффузии» луча [92]. Выражение A1)
оказывается справедливым в случае, когда
>~<а*><1.	A2)
При нарушении же условия A2) закон (И) заменяется харак-
характерным для диффузии законом <р2 (ж)> — х. Таким образом, вы-
выражение для <р2 (х)}, получаемое при помощи уравнения A0а),
оказывается справедливым в той же области <<ха> <^ 1, которую
мы здесь рассматриваем.
Используя A0а), найдем уравнение луча, проходящего через
точку наблюдения (L, 0, 0), т. с. луча, для которого выполняется
условие
Второе граничное условие -^-^ = 0 уже использовано нами
при написании пределов интегрирования в A0а).
Интегрируя A0а) по а- и заменяя порядок интегрирования по
| и х, получим
X
р [х) = у J (х -1) V±6l F, 0) dl + const,
о
Значение const определяем из условия р (L) = 0, откуда
т.
COnSt =	i- jj (L - I) Vj.8! (I, 0) dl
0
)
о
X
,0) d|-

502 ПРИМЕНИНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТЮЛЯ [ГЛ. 5
Л
X	I,
	1. [J (L - x) V±6l F, 0) dg + J (L - I) Vxei (I, 0) d|] .
0	x
Пусть # (я) = О при x < 0, # (x) = 1 при x > 0. Введем функ-
функцию
Af (L, e, g) = d (a: - g) (L - a) + * (g - x) (L - I). A3)
Тогда выражение для р (z) можно записать в виде
L
Р (*) =	5" J ^ (Ь, х, ?) Vxei (E, 0)d*.	A4)
Выражения C), F) и A4) позволяют вычислить величину
у (L) = In ¦ \ в приближении малых углов. Заметим, что так
как в этом приближении ds = cfx, то C) можно записать в виде
*—-fS"*-
Величина Д0 согласно F) имеет порядок малости 8j. Поэтому
в знаменателе в последней формуле можно считать п = 1. За-
Записывая
можно выполнить интегрирование первого слагаемого, что при-
приводит к величине
_ J_ г да <д>. о> ае(о, р(о)) i
2 L 9а;	' di J'
Как мы убедились в гл. 3, этот «локальный» член дает незначи-
незначительный вклад в средний квадрат флуктуации In А и им можно
пренебрегать. Поэтому мы будем использовать в дальнейшем
формулу
г.
^	4J, f(x))dx.	A5)

i 65]	ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛЫХ УГЛОВ	ГH3
Прежде чем переходить к расчету среднею квадрата флук-
флуктуации In А, установим еще одно полезное соотношение, спра-
справедливое в приближении малых флуктуации направления
луча.
Усредним уравнение Bа), в котором подставим V6 = nl:
div«,4awZ» = 0.	A6)
В случае, если статистические характеристики флуктуации
показателя преломления не зависят от у, z (однородность в плос-
плоскости х — const) и падающая волна плоская, из соображений
симметрии ясно, что <А2 nl} зависит только от координаты х.
В этом случае A6) принимает вид
±(A*nlxy^Q.	A6а)
Но, как следует из (8), 1Х = 1 (с точностью до членов порядка а2).
Подставим п = 1 + -^ ех. Тогда
Второе слагаемое имеет порядок <-42> оЕ, где ае — среднеквад-
среднеквадратичное значение флуктуации ех. Поэтому с точностью до чле-
членов порядка <тЕ, <аг> имеет место соотношение
Al	A7)
Подставляя -j-=e7-, получим
<е«> = 1.	A8)
Но согласно C) величина х представляет собой интеграл (кри-
(криволинейный) от случайной величины ДО/n. В случае, если радиус
корреляции этой величины, имеющий порядок 10, мал по срав-
сравнению с L, х распределено по нормальному закону в силу пре-
предельной теоремы теории вероятностей. Но для гауссовской слу-
случайной величины | имеет место формула
Подставляя \ = 2Х, получаем из A8)

504 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
откуда
с* = <х8> —<Х>а=—<Х>-	A9)
На основании этого соотношения мы можем для определения
о"! найти величину (%), что значительно проще, чем вычисле-
вычисление <х*>.
§ 66. Вычисление среднего квадрата флуктуации
логарифма амплитуды
Согласно формуле A5.65) <%> определяется интегралом от
<Дj6(x, р (х))> = F (х). Применив к F.65) оператор Д^ и под-
подставляя затем р = р (х), получим
?(*))><*?.	A)
Согласно A4.65) р (х) является функционалом от ev Поэтому
при нахождении величины
необходимо учитывать корреляцию случайной функции ег с ее
случайным аргументом р (х).
Чтобы найти, выражение B), используем равенство
со
Дj_6i (!;, р (х)) = \\ 6 (р — р (х)) Aj_ei (|, р) d2p =
—оо
00
=	\\\\ е*"['>~'>(х)] Д 18i (Е, р) d2pd2x.
—со
После усреднения получим
00
1 iW ..-„. . ._^л„. » ^6i ^^ p^ rf2p di%	^3)
Рассмотрим функционал
/.	со
Ф [а] =/ехр{Кс?|' ^ d2p'a(l', p') Vxet (|', р')|\	D)
О —со
где а = {аз, а3} — плоский вектор. Если в качестве а взять вы-
выражение
«о(Г, Р') = 4- *^(Ь, х, 1')б(р'),	E)

§ 66]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	505
то зпачение функционала D) с учетом A4.65) будет равно
ф [ао1 = /exp \t%--i-[M(L, х, ?') V_e_ (_', O)d|'V> =
о
Возьмем теперь вариационную производную от D) в точке ?, р:
I,	оо
6Ф [а] _ _ _____
б	¦1<о
О
G)
(В дальнейшем к, I, n пробегают значения 2, 3.)
Применив к G) оператор — г^—, получим
. д
д
л($, р)
L	со
= /Д1б1 (I, p) exp {l Jd%' JJ d2p'a (Г, p') Viei (I', p')}\. (8)
0
Если в (8) в качестве аргумента а взять функцию E), то мы полу-
получим выражение
>—f ^
которое согласно C) определяет величину <р (х, ?).
Найдем теперь функционал Ф [а]. Если поле ех является
гауссовским, то интеграл, входящий в D), является гауссовской
случайной величиной. Однако он будет близок к гауссовской
случайной величине и в том случае, когда само случайное поле
8j (r) и не является гауссовским, так как в этом случае для функ-
функций а, близких к а0, опять можно привлечь предельную теорему.
В частности, при а = а0 гауссовской величиной будет р (х),
Используя справедливую для гауссовской случайной величины
g (при <?> = 0) формулу <ехр (г|)> = ехр (— -<.??», получим
'" \

506	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Пусть Ej — однородное и изотропное случайное поле. Диффе-
Дифференцируя соотношение
<«1 (Г, Р') 8! (Г, Р")> = Вг (Г - Г, Р' ~ Р').
получим
/дъъ; р') аъ{\-, р")х _ а«д.(^-Г. р'-р") =
;	* /
1
2
причем в последнем равенстве использовано соотношение
Dt(r) = 25Е @) — 2Вг (г) между корреляционной и структурной
функциями. Таким образом,
L L	оо
ф [а] — ехр {	д- \ d%' \ d\" \\\\ d*p' dap° x
">Р'^-ап(|',р')аг(Г, р'I (И)
Вычислим теперь вариационную производную от A1) (ос-
(основные правила вычисления см. в приложении):
00
и —оо
Применяя согласно (9) оператор —i^— к A2), получим
_ . _д_ ЬФ[а] _
1 дрк 6ак (I, р) ~~
О
Подставим теперь а = а0 (см. E)). Тогда получим
<А1е1(?,р) *-*»*<«> =
dpi
о

i 6(i]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	507
Заметим, что согласно F)
Но в случае статистически изотропных флуктуации ei, очевидно,
<Рк (ж) Pi (а;)> — 6/riT (я) и. свертывая по к, I от 2 до 3, получим
2т (х) = <р2(ж)>. Поэтому
<р*(*)р,(*)> =-у* <*"(*)>.
Подставляя A4) в A3), имеем
о
Подставим выражение A5) в C):
оо	L	Л1» г, ,
.(-В--да-55
\
О
00
X 2 х, ехр (j*p — -1- ха <ра (e)>J d*x. A«)
—00
Внутренний интеграл по я легко вычисляется:
?2
4Ь . j =
—00
4"
Подставляя последнее равенство в A6), получаем
"Л') L %„.	'—Pie
—со о	'
A7
Формула A7) дает общее решение интересующей нас задачи

508 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Дальнейшие вычисления удобно производить в спектральной
форме. Используя двумерное спектральное разложение струк-
структурной функции диэлектрической проницаемости
получим
= 2i g x«x^pF. (Б - Г. *) **. A8)
—оо
Подставим это разложение в A7) и выполним интегрирование по
р, подобно тому как было выполнено интегрирование по х при
переходе от формулы A6) к A7); после простых вычислений полу-
получаем
оо	!	L
2 ii	<?	A7a)
Формула A7а) эквивалентна A7), но записана в спектраль-
лом виде. Она более удобна для дальнейших вычислений, так как
Ft (? — S'i *)¦ как функция (| — |'), сосредоточена в узкой об-
области | | — S' I <С —• За счет множителя х4 в интеграле по х
существенными являются наибольшие значения х, при которых
^ еще заметно отлична от нуля, т. е. и — хт — I J. Поэтому
/"е, как функция | — |', заметно отлична от нуля в области
| | — ?' | sg ?o- Воспользовавшись этим обстоятельством, можно
приближенно вычислить интеграл по |' в A7а). Подставляя вы-
выражение A3.65) для М (L, х, |'), получим
L-r)^(I-r,*)dr- A9)
Согласно формуле A) 0 <[ | <[ ж. Поэтому в первом интеграле
аргумент | — |' меняется в пределах —(х — S) <С ? — I' <С?>
т. е. пробегает всю область | | — \' j < /0, в которой функция Ft
заметно отлична от нуля. Так как вне этой области' Ft (| — |',х)

§ 86]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	509
быстро стремится к нулю, то
Аргумент | — |' функции Ft во втором интеграле в A9) меняет-
меняется в пределах —(L — ?) < g — ?' < — (х — |), т. е. всегда
остается отрицательным и не захватывает область | ? — ?' | <^о«
Поэтому второй интеграл в A9) пренебрежимо мал и мы имеем
—оо
= 2jt(L —а;)Ф,(х) при ?<я. B0)
В последнем равспстве мы воспользовались формулой B8.5)
оо
I F.d, х)**|-2яФ€(х),
связывающей двумерный спектр Fe с трехмерным спектром
ф« <*).
Воспользовавшись формулой B0), получим
Используя статистическую изотропность флуктуации е, введем
в последнем интеграле полярные координаты и выполним интег-
интегрирование по угловой переменной:
B1)
Как следует из B1), ф (х, I) не зависит от ?. Поэтому, подстав-
подставляя B1) в A), можно выполнить иптсгрировапис по |, что при-
приводит к формуле
00
F (х) = пЪ (L — х) \ Ф, (х) exp f — -1- у? <р2 (*)>} кБ rfx. B2)

510 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
Подставляя B2) в A5.65), получаем
B3)
Согласно соотношению A9.65)
L	оо
J{4	}5<^- B4)
Обратимся теперь к вычислению <ра (х)>. Используя A4.65),
имеем
Н'
= \ ГС M (L, х, Ъл) М (L, я, Ю (V^^, 0) VjLe^^, 0)> d6i d6.. B5)
Но (см. вывод формулы A1) из A0))
= 4~ Д±Яе (El - Ь. °) =
Подставим это выражение в B5) и изменим порядок интегриро-
интегрирования по х и (?lt ?j):
оо	LL
± Jj х» d2x g Af (L, я, 60 M (L, x, 60 ^. (^ - 6.. x) d6i d6,. B6)
О О
Внутренний интеграл / по ^ , ?2 может быть легко найден по-
после перехода к новым переменным интегрирования м = 6i — 6г>
v = -^(l1 + 6а)> Подставляя М из A3.65), мы получим для /
сумму четырех интегралов, которые в переменных 6ц ?а Рас"
пространены по областям @ -=- х, 0 -=- х) (x^-L, x-^-L),
(О -н х,х н- L) и (а; -=- L, 0-hi) соответсгвенно. Два последних
интеграла пренебрежимо малы, так как в их областях интегри-
интегрирования всегда или и ^> 0 или и <^ 0, т. е. наиболее существен-
существенная область | и | < 10, где функция FE (и, х) заметно отлична
от нуля, не содержится. В первых же двух интегралах пре-
пределы интегрирования по к можно раздвинуть от минус до плюс

5 66]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	511
бесконечности, так как функция Ft (и, х) очень быстро убывает
с ростом | и \. Получающиеся при этом интегралы по и имеют
вид
оо
\ Ft {и, х) du = 2лФе (х)
—оо
И
(за счет множителя и2, малого в наиболее существенной для ин-
интегрирования области). Таким образом, можно получить форму-
формулу
IX
J M (L, х, 60 М (L, х, 60 ^s F1 — Ei, x)
00
е (х) [ж (L — z)a + ¦(?7*)'] = -§- пФе (x) (Z/S ~"
так что выражение для <р2 (ж)> принимает вид
00
<Р2 («)> = •?¦ №3 — ЗЬж2 + 2а;3) JJ х2Фе (х) dax =
оо
= ij- (L3 - 31«« + 2х3) J х^Ф, (Хх) dXi.	B7)
о
В соответствии с граничным условием р (?) = 0 выражение
B7) обращается в нуль при х = L. В формулу B4), определяю-
определяющую стД входит выражение
где
оо
Jx0dx,.	B8)
Введем в B4) вместо х новую переменную интегрирования

512	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
Тогда, меняя порядок интегрирования по г и х, будом иметь
00
0 =
о	о
и после вычисления интеграла получим окончательно
00
Sх3ф (х) t1 ехр (~ ^~ Qx^dx- {29)
Формула B9) дает общое выражение для а\ в случае ироиз-
вольного вида спектра Фе (х). Из выражения B9) видно, что в
случае, когда L3Q x^ <^ 1 и экспоненту можно разложить в ряд,
мы получим
00
I)
В случае же, когда QLhPm ^> 1, экспонента в B9) несуществен-
несущественна и
а* -¦ 1 при L -» оо.	C1)
Рассмотрим в качестве примера случай турбулентных флук-
флуктуации elt когда Ф( (х) имеет вид
_ X»
Фе(х) = ЛС?2х-"/* x™,	C2)
8 \ я
—jsm-з-
¦ 0,033.
В этом случае интеграл B8), определяющий Q, вычисляется
сведением к Г-функции и оказывается равным
2 _
к'
C3)
Найдем также величину а\, определяемую формулой C0) (а\ пред-
представляет собой значение а*, соответствующее области малых
флуктуации, т. е. теории возмущений):
C4)

66]
ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ
513
При иомощи выражений C3) и C4) показатель экспоненты
в B9) можно записать в виде
'•m
и B9) для данного случая принимает вид
\ 6 /0
Входящий сюда интеграл легко вычисляется, и мы получаем
a»x = i-	Ц-^.	C5)
[1 + 41
Таким образом, а| является функцией от aj, т. е. от величи-
величины а*, вычисленной методом возмущений. При а* <^ 1 а* л; а*,
при а* ^> 1 величина сг| -* 1 в соответствии с C1).
Если вид спектра Ф? (х) отличается от C2), то зависимость
а* = / (а*) будет, конечно, отличаться от C5), однако асимпто-
асимптоты при aj ~» 0 и а\ -» оо будут одни и те же для любых возмож-
возможных спектральных плотностей Фе (и).
Приведенный здесь расчет основан на методе геометрической
оптики в приближении малых флуктуации направления луча.
В случае турбулентных пульсаций диэлектрической проницае-
проницаемости A1.42)
<а2> ~
1
*7П >
<а2> (xmLJ. Условие <aa>
принимает вид а\ (ктЬ)~2 <^ 1 или
так что а*
1 применимости метода
C6)
Условие C6) является очень слабым и практически не мешает
использовать формулу C5) в реальных условиях.
Попытаемся дать наглядное истолкование полученного ре-
результата. Как следует из принципа Ферма, истинная траектория
луча стационарна. Отсюда следует, что если взять лу?, прихо-
приходящий в точку (L, 6р), бесконечно близкую к точке наблюдения

514	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. 5
(L, 0) и находящуюся на той же поверхности 0 — const, то раз-
разность эйконалов в них будет порядка 6ps. Если же интегриро-
интегрирование производить не вдоль истинных лучей, а, например, вдоль
прямых линий, проходящих через эти точки, как это делается
в методе возмущений, то разность эйконалов будет порядка бр.
Таким образом, для истинного луча поперечное изменение эйко-
эйконала меньше, чем для произвольно выбранной линии, а поэтому
и амплитудные флуктуации, определяемые поперечными изме-
изменениями эйконала, меньше, чем при расчете по методу воз-
возмущений.
Следует также сделать одно замечание к проделанному рас-
расчету. Принятое уравнение луча A0а.65) всегда имеет единствен-
единственное решение, в отличие от точного уравнения A0.65). Это
означает, что мы пренебрегаем возможностью попадания точки
наблюдения в область вблизи каустики, где лучи могут пересе-
пересекаться. Но учет этого эффекта нельзя провести в рамках геоме-
геометрической оптики, которая вблизи каустики несправедлива.
Однако согласие результатов проделанного расчета с данными
эксперимента (см. ниже) дает основание предполагать, что этот
эффект не играет определяющей роли и может, по-видимому,
изменить результат не очень существенно.
В заключение мы попытаемся включить в рассмотренную схе-
схему дифракционные эффекты. Для этого сравним формулу, полу-
получаемую для а\ в приближении геометрической оптики:
с формулой C6.46), определяющей эту величину в приближении
метода плавных возмущений:
C7)
Формулу C7) можно трактовать как результат расчета флуктуа-
флуктуации амплитуды в приближении геометрической оптики для фик-
фиктивной среды, неоднородности диэлектрической проницаемости
которой описываются спектром
Т^Г * Ф. (*)•	C8)
V * J

S 66]	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	515
Действительно, если подставить C8) в C0), то это приводит
к формуле C7) метода плавных возмущений. Спектральная плот-
плотность Ф(еэ) (и) отличается от Фе(х) тем, что в ней подавлены мел-
мелкомасштабные компоненты с размерами, меньшими радиуса
лирвой зоны Френеля, в области же больших масштабов ФеЭ) ~ Фе-
Можно предположить,— хотя это, конечно, требует дополнитель-
дополнительного серьезного обоснования для области сильных флуктуации,—
что, подставляя в формулы B8), B9) спектральную плотность
C8), мы учтем дифракционные эффекты. Если произвести таким
образом расчет, исходя из спектральной плотности C2), то в слу-
«а п
чае -_2_! ^> 1 (т. е. в случае, когда геометрическая оптика уже
к
неприменима из-за дифракционных эффектов) можно легко по-
получить формулу
12
17	'"I
где d = -jT- tg -^я- -j- и сх определяется выражением
<s2 = — • — • — Г (—) sin — АСг/с11Ь";'	C9a)
4 5 11 \ 6 / 12
полученным в гл. 3 методом плавных возмущений.
Функция о\ — f (of), определяемая формулой C9), по свое-
своему виду значительно отличается от функции, задаваемой форму-
формулой C5), однако их численное сравнение показывает, что рас-
расхождение между ними очень мало и не превышает нескольких
процентов. Поэтому C5) можно рассматривать в данном случае
как аппроксимацию формулы C9).
На рис. 96 приведено сравнение полученных М. Е. Граче-
Грачевой и А. С. Гурвичем [170] экспериментальных данных с функ-
функцией C5). Можно сделать заключение о том, что они удовлетво-
удовлетворительно согласуются друг с другом.
Сделаем также еще одно замечание о возможной интерпре-
интерпретации полученных формул. Выражение B9) можно рассматри-
рассматривать как спектральное разложение величины 0*1- В этом случае
двумерная спектральная плотность Fx (L, х) будет иметь вид
Fx (L, х) = -±г- х* [l - i "^ QX'l ФЕ (х)	D0)

516 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
в соответствии с общей формулой
x(L, x)xdx.
Корреляционная функция Вх (р) определяется * выражением
D1)
Бх (р) = 2л J /0 (хр) Fx (L, х) х dx =
со	я'Г>
-e U "]<D,(x)x»dx.
При о? —' 0 выражение D1) переходит в полученное в гл. 3
спектральное разложение корреляционной функции флуктуации
3 4 5 В 7 в 9 10 11 72
Рис. 96. Эмпирическая и теоретическая зависимость вх от бь
амплитуды. В случав же сильных флуктуации выражение D1),
конечно, требует более серьезного обоснования. Однако выводы,
которые можно сделать из формулы D1), имеют ясный физичес-
физический смысл. В случае, когда а\^> 1, дополнительный по сравне-
сравнению со случаем oj<^l множитель
13Г

§ 66)	ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ	517
возникающий в спектральной плотности Fx (L, х), подавляет
спектральные компоненты, для которых
т.е.
Но, как следует из формул B7), B8),
так что «о —' <Ра (О)). Таким образом, при Oi ;j> 1 радиус
корреляции флуктуации амплитуды имеет порядок Y(p* @)>,
т. е. определяется размером той области, в которой может нахо-
находиться луч за счет случайных блужданий. Этот вывод представ-
представляется физически оправданным.
Наконец, в случае учета дифракционных эффектов в формулы
D1) и B8), определяющие Вх (р), следует подставлять спектраль-
спектральную плотность C8). Для случая, когда Фг (х) задается формулой
х4 L
C2) и выполняются условия Л	^§>1, хт р^>1, в C2) мож-
К
К
I ха \
но опустить множитель ехр I	— . в этом случае
оо	Tt«L8	i	* • "*^"
fix (P) = -^ J Л (хр) ха [i - е" "^ °>	
00 ,g1~^"sin
• О	—=
После вычисления интеграла, определяющего Q, можно по-
получить формулу
пгЬ8 ~ 6 . я L г
<?	ctg6
где erf определяется выражением C9а). Вводя новую перемен-
переменную интегрирования ц2 = ^~ и выражая Q через ст*, получим
формулу
Bx(p)=p\jt(au)[l-~i~][i~s^.y"du, D2)
18 в. И. Татарский

518 ПРИМВНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5
где
n	2-5-11-17	. 17 , л 1	Т
"dl
Из D2) следует, что В (р) зависит от двуг безразмерных па-
параметров: а = У2п —~ и а\.
Интеграл, входящий в D2), может быть сведен к комбинации
табличных интегралов [117, F.631.1)] (при этом вместо множите-
множителя и4/* в D2) вводится множитель и* и используется принцип
аналитического продолжения по ц), В результате получим
17
О t/05 A C\
При (г* «^ 1 функция D3) переходит в формулу для В (р), полу-
полученную в гл. 3 методом плавных возмущений. При а\ J§> 1 ра-
радиус корреляции флуктуации логарифма амплитуды, определяе-
определяемый соотношением Вх (Ро) = 0> увеличивается пропорциональ-
пропорционально в\'"':
Ро ~
В области а2 :>1, az^>6i, асимптотический вид функции D3)
определяется равенством
_	„,.	«0,12.
Функция
* ^Р^ = В (О)'	^
для значений а\ = 25 и б* —*¦ 0, построенная по формулам D3),
D4), приведена на рис. 97. Отметим, что увеличение радиуса
корреляции флуктуации амплитуды при а\ 5&> 1 по сравнению
с его значением в области слабых флуктуации отмечается в работе
М. Е. Грачевой [1821 (см. также рис. 59,а, б, где непосредствен-

66]
ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ
519
но видно увеличение временного масштаба флуктуации с рос-
ростом <Jj.).
Приведенный в настоящем разделе расчет сильных флукту-
флуктуации амплитуды в области применимости геометрической оптики
0.2 -
Рис. 97. Корреляционные функции флуктуации логарифма амп-
амплитуды при различных значениях иараметра <зь
является, по-видимому, значительно более корректным, чем
расчет сильных флуктуации в § 51 гл. 3.
Аналогичный расчет для области, где существенны дифра-
дифракционные эффекты, может быть выполнен и на основе метода
плавных возмущений. Для этого вместо эйконала 0 в уравнение
div (i4aV9) = 0 следует подставить фазу S, найденную с учетом
дифракционных эффектов (мнимая часть выражения C0. 45)).
Последующие вычисления аналогичны проделанным выше и
приводят к результату, хотя и не совпадающему буквенно с вы-
выражением C9), но очень близкому к нему численно.
Однако полученные таким образом результаты, по-видимому,
нельзя считать окончательными и они еще нуждаются в даль-
дальнейшем уточнении.

Приложения
I. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
В настоящем приложении даются понятие и некоторые пра-
правила вычисления с вариационными производными. За более под-
подробными и строгими сведениями по затрагиваемым здесь вопро-
вопросам необходимо обратиться к специальной литературе по функ-
функциональному анализу.
Мы говорим, что задан функционал Ф |/ ($I, если каждой
функции / (§), принадлежащей некоторой области, поставлено
в соответствие число Ф, зависящее от этой функции.
Например,
ь
$	A)
где функция а (?) фиксирована, представляет собой линейный
функционал, определенный для тех функций / (?), для которых
интеграл A) сходится. Примером нелинейного функционала яв-
является билинейный функционал
ъ ь
Ф [/ AI = ^ А (|, Л) / (|) / (л) d\ dr\,	B)
аа
или функционал вида
ь
Ф 1/FI = $*" (/(!)) dl,	C)
а
где F (х) — заданная функция и F (J (?)) — функция от функции.
Пусть задан функционал Ф [/ (I)]. Рассмотрим его значение
на функции / (|) + б/ (I), где fi / (|) равна нулю всюду, кроме
окрестности Д (х) некоторой точки х из интервала (а, Ь). Значе-
Значение Ф [/ (|) -\- в/ A)] отличается от Ф[/ (?)] на вариацию функ-
функционала
причем скобки { } означают, что берется линейная по 6/ часть
этой разности. 6Ф обращается в нуль вместе с б/ (?). Рассмотрим

I. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	521
отношение
и устремим Д (х) к пулю, стягивая этот интервал к точке х. Если
предел выражения E) при этом существует, он называется ва-
вариационной производной от Ф[/(?)] в точке х и обозначается
6ФI/ EI _ .:_, {Ф'1/ E) Ь У EI - Ф I/ №)]>
В качестве примера найдем вариационную производную от
функционала A)
в/(&)]=
причем в последнем равенстве мы учли, что б/ (?) отлична от нуля
лишь на интервале Д (х). В данном случае Ф [/ (|) -f 6/ (?)] —
— Ф [/ AI линейно по б/, так что
J
д(
Если а (|) непрерывна в точке х, то интеграл в числителе по тео-
теореме о среднем равен
а(х') [
где i'ei (x), так что
так как при Д — 0 х -*. х. Таким образом,
ь
] «(*)•	G)

522	приложения
В качестве второго примера найдем производную от функ-
функционала B):
ь ь
= ]] А (|, г,) lf(l) + */(?)] [/ (л) + S/ (Л)]
а а
ьь	ь ь
а а
Ь Ь
Последнее слагаемое в этом выражении квадратично по 6/ и его
следует отбросить при вычислении вФ:
&{х)	а Д(х)
, тО-MOl, l)]f(l)bf(r\)
а Д(я)
(в последнем равенстве была использована замена переменных
интегрирования ? «-»¦ т]). Вычисляя интеграл по т) при помощи
теоремы о среднем, получим
ь
(l)[A&tx')+ A{x',Q]dl J bf(r\)dr\,
так что
ь ь	ь
Заметим, что А (Е, л) всегда можно считать симметричной
функцией. Действительно,
А (Е, г)) =-- 4& ^ : Л {-^ }- Л(^'Г1)~ Л^''}.
Подставляя это выражение в B), легко убедиться в том, что ин-
интегрирование второго слагаемого дает нуль:
\ь ь
~ Ц[АA, г\)-А(г\,
2
а а

I ВАРИАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	523
(для этого достаточно в одном из интегралов в (*) произвести за-
замену I <-> г\).
Поэтому в функционале B) можно считать Л(|, г\) = Л(ц, ?).
В этом случае
ьь	ь
Аналогично, если Лп(|х, ?2v> ?п)— симметричная функция
всех аргументов, то
ft	Ь
б
- к^Ап (ll, ¦¦; In) fill) ¦¦¦/(In) dlL ..dla\ =
Ь	b
J (rv-l) J
а	а
Эта формула является аналогом формулы
^- пх
п-1
Важным частпым случаем формулы G) является
Эту формулу можно получить из G), если положить
перейти к пределу при а -» 0 и учесть, что lim а (I) — 6 (^).
а-и)
Формула (9) позволяет упростить дифференцирование многих
функционалов.
Легко установить формулу
>i [/ AI Ф* И	„, шРи^1Ш 1 л г

524	приложения
В качестве иллюстрации применения формул (9) и A0) еще
раз вычислим производную от B):
ь ь	ь ъ
а а
Ь Ь
= Jjjj A (I, Ti) [б «-г)/(л) + /(!) 6(T)-z)]dtdr\ =
а а
Ъ	Ь	Ъ
- $Л (х, т|) / (n) dr\ + у (I, х) / (I) (% = 2 ^А (I, х) / (I) d|.
а	а	а
Выведем важную формулу
^	^р-	(И)
для дифференцирования функции от функционала. Пусть
Тогда
Т [/ (I) + й/ (|)] = F (Ф[/ (|) +«/ (|)]) = /¦ (Ф [/ (I)] +Щ =
= F (Ф [/ (I)]) + Г (Ф[/EI) «Ф + ...,
Подставляя это выражение в определение F), получим формулу
(И). Пример:
ь	ь
\
e/<*)
Как мы убедились на примерах, ЙФ [/ (?)]/й/ (х) снова является
функционалом, но зависит еще и от точки х, т. е. является обыч-
обычной функцией х.
Можно рассматривать вторые и т. д. производные:

I. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
525
Они являются функциями точек хх, х2,... Например,
Для функционалов можно вывести формулу, аналогичную ряду
Тейлора:
'=U
lf(*)-fo(x)\dx+
A2)
ь ь
Эту формулу легче всего получить, рассматривая значение функ-
функционала Ф [/ (х)] на ступенчатой функции
/п (X) =
/о при а
b — a
при Л<|<2Л,
A3)
В этом случае
Ф I/™ (жI = *" (Л. Л,..., W,
т. о. Ф превращается в функцию п переменных /0,..., fn-i- При
этом имеет место формула
5/(я) — A
A4)
где/ft = /„ (xfc) (см. A3)). Для F (fQ	fn-j) имеет место формула
Тейлора
F (/о, /i	/n-i) = ^(/S, /S, • • ., /™-i) +

526	ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставляя сюда A4) и аналогичные формулы для высших
производных, получим
Переходя к пределу при п —> ос (h --» 0), получим формулу A3).
Рассмотрим преобразование функциональных производных при
замене переменных. Пусть вместо функции / (х) вводятся новые
функции ф (х) согласно равенству
/ (х) = Т [q> (|); ж],	A5)
где W — некоторый функционал функции <р (?), зависящий так
же и от х. Тогда функционал Ф [/ {%)] является некоторым слож
ным функционалом от ц>:
Ф [/ ($)] = Ф [Т [<р (л); ?11 = Фх [ф (БI.
Используя A3) и A4), легко показать, что
6Ф. [ф (I)] _ \ 6Ф [/ (|I 6У [Ф (Ti); х-]
а
В качестве примера рассмотрим переход от функционального
аргумента к его преобразованию Фурье. Пусть
/ (as) = ) е**ф(к)dk = ? [ф(к); х].
—оо
Тогда
6ЧЧФ (*);*! = eik.x
и согласно A6)
*Ф[/[ф(А);х]]
В заключение приведем (без вывода) формулу, позволяющую
восстанавливать функционал Ф [/ (I)], если задана его вариа-
вариационная производная

t. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	527
являющаяся непрерывным функционалом [1631:
; x]dx+
. A7)
Здесь 9 (х) = 0, если я < О, и 6 (х) = 1, если а; > 0, так что
аргументом функционала F под знаком интеграла в A7) являет-
является функция, равная /0 (?) при ? < хи. f (?) при |> х. Функционал
Р [/ (I); я] должен удовлетворять условию
6/(г2)	- 6/(г,)
вытекающему из очевидного равенства
FI
6/
Рассмотрим пример. Пусть
= 2 5
а
Условие A8) требует, чтобы выполнялось равенство
i	Ь
= 2 $ А (я, 6)M6)d? + 2 J >? i.-л
а
и согласно A7)
Ь
{х, |)/F) d|} + Ф [foil)] =2\dx\dlA{x, l)f (x) f (|) -
Ь x
— 2 J rfz J d| Л (i, |)/o (i) /o F) + Ф I/o F)] +
a a
6 ж	b 6 ¦
+ 2 J dx \di A (x, I) f (x) U(I) -2 J rfa; J d| А (ж, I)/(I)/.(x).
Последние два интеграла взаимно уничтожаются после
перемены порядка интегрирования и последующей замены

528	приложения
переменных ? ¦*-> х в одном из них. Аналогичным образом легко
показать, что
ь ь	ь ь
2 \ dx J dlA (х, Б)/(*)/(Б) = JS 4 (*,!)/(*)/F)<fa<$,
ax	a a
так что
ь ь
Ф [/ AI = SS^(x. I) [f(x)f(l)-f, (*)/oE)] <fod? + Ф [/•(*)]•
a a
Если f0 (I) — 0 и Ф [0] = 0, то мы получаем функционал B).
Точно так же формулу A7) легко проиллюстрировать на функ-
функционалах л-й степени.
В теории случайных функций основную роль играет так на-
называемый характеристический функционал, определяемый как
Ф [/ (I)] = <ехр [ф (&) е A) dlj),.	A9)
где е (|) — случайная функция и. < > означают усреднение по
всем возможным реализациям функции е (?). Случайная функ-
функция е (|) полностью определена своим характеристическим функ-
функционалом. Среднее значение, корреляционная функция и мо-
моменты более высокого порядка могут быть легко определены, ес-
если известен функционал A9). Например,
так что
Аналогично
и т. д. Из характеристического функционала легко получить
характеристические функции любого порядка п. Например,
—	характеристическ ш функция одномерного распределения ве-
вероятностей. Точно так же
Ф[М (I — *!) + иа6 F —х,)] = <exp{iluie(at,) + и«е(а;1)]}>
—	характеристическая функция двумерного распределения ве-
вероятностей, и т. д.

П. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ	529
Если закон распределения вероятностей для е (<с) гауссов-
ский и <е> = 0, то
где Ве (хи х%) = <е (хх) е ()>
В заключение отметим, что все вышеизложенное очевидным
образом переносится на случай функционалов от функций мно-
многих переменных.
II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
К главе 1
В (h, h) = <I/ (h) ~ </ (*i)>] V* («,) - <f* («>]>,
B* (tlt tt)=B ft, tj, I В {tu t2) Ia < В (llt tt) -B &, «,).
Для стационарных процессов
В (h, t2) =B{tY- t2, 0) = B (x) (t = tY - t%), B* (x) = В (-т.).
Для стационарных и действительных процессов В(—т) = В(х).
В(т)=
Для действительных стационарных процессов W{—ю) ='W(ai),
СО	00	ОО
В (т) = ^ W ((u) e^dto = ^ W (со) cos шт dco = 2 ^ VF (m) cos ют <7ю.
-со
Для действительных процессов со стационарными приращениями
в случае </ (f)> = const
Если / — стационарный процесс, то
D (т) = W @) - 25
а если В (оо) = 0, то и
оо	оо
[1—е»"т] W (ю) da = 2 \ [1—cos сот]
-со	-оо

530	ПРИЛОЖЕНИЯ
Для структурной функции вида
D (т) = Са|т|М0<ц<
спектральная плотность равна
Для однородных действительных случайных полей
В (р) = <[/ (г + р) - </>] [/(г) - </>]>,
00
В(р) = 55\ Ф(х)ei
-оо
Для однородных и изотропных полей
В(р) = В(р) = 4
5
о
Если одновременно имеет место разложение
оо
В(х)= \ V (у.) cos их dx,
—оо
оо
V (х) = ^- \ 5 (a) cos «ж da,
—ОО
то функции V (н) и Ф (х) связаны формулой
Для локально однородных действительных случайных полей
постоянным средним значением
= < 1/1*4- Р) —/(r)lf>,
00
D (р) = 2 J J 5 [1 — cos хр] Ф (х) d3x.

II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ	531
Для локально изотропных полей
Д(р) = Я(р), Ф(*) = Ф(х),
[l-cosxp]y(x)dx,
Двумерное спектральное разложение
, Л, О— D(l, 0,0)=2 ^ [1 — cos(x2ti + х3?) ]F(xs, xs,
—oo
oo
Z>@, т|, C) = 2 JJ [f — cos(x«ti + x,E)]F(x,, x3
-00
CO
x8, |) =
-oo
oo
Ф (хь х4, кя)=~'\ Р{кг, x3,
-oo
Для локально изотропных в плоскости х = const нолей
D (I, л,С) = # (Е. ^2 + ^2) = D (I, р),
F(х,, х„ Б) = F (У х» + х«, Б) = /¦ (х, |), р2 = г|»+ ^2, ^= х* + х|
о
00
D @, p) = 4n
о
Если случайное иоле статистически однородно и изотропно, то
D (г) = 2В @) - 25 (г)
и наряду с прежним разложением имеет место формула
оо
В (г) = 2я J Л (*р) F (х, |) х rfx, ra = |2 + р2.
A

532	приложения
Для структурной функции вида
D (г) = С"г* @ < р < 2)
спектральные плотности равны
У(„\ — Г(Р+ "
Ф(х) =
sin
(чх)
(хх)
„р+2
Формулы локально изотропной турбулентности
D* (г) = A,(r) 6ifc+ [Дгг (г) -Du(r)] гцпк (п = у) ,
и (г) = 2 $ $ $ [1 — cos *r] Ф^
ltl(r)=lir4> ПРИ
Z)rr (г) = WA
?(x)=0,7r>CVAHJ/» (^-

II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ	533
Температурное поле
N = X<(V?T> (х — молекулярная теплопроводность,)
) = j \ г* + ... = С\ tf- @ + ...
Dr(r) = а3 — г'/. = С\г\ где Cj = -^- (X, < г
ФТ (х) = АС*тк-и<' (-g.<x<-5-),
Л = 5Г (|)sin^- / 12л* = 0,033.
Во всей области х ^> т^ используется аппроксимация
Фг (х) = ACWV'e "Х>/К, хтХ0 = 5,92.
К главе 2
Эффективный поперечник рассеяния единицы объема
, (о 2л , -.	u
где к = — = -г-; й0 и «s — волновые векторы подающей и рас-
сеянной волн; Фе (х) — пространственная трехмерная спектраль-
спектральная плотность флуктуации диэлектрической проницаемости; х —
угол между электрическим вектором падающей волны и векто-
вектором Л,; Фе (х) — функция Фе (х), усредненная в пространстве
вектора х по объему размером 8л3/^вфф вокруг точки х = к0 — fts
|*,-*,| = 2ftsin|,
где 0 — угол рассеяния (fcofcs = к2 cos в), I @) = -rj-	=—,- =	н-
|«0 — «8 |	о '
2
— пространственный период рассеивающей фурье-компоненты по-
поля е. В инерционном интервале спектра турбулентности
ф, (х) =
Угол корреляции рассеянного поля AQ-^X/L, где Z- — размер
рассеивающего объема в плоскости угла А0.
Пространственный радиус корреляции рассеянного поля при
поперечном разнесении точек наблюдения Лг ~ гДО = Яг/L,

534	приложения
где г — расстояние от рассеивающего объема до точки наблю-
наблюдения.
Диапазон частот, в котором рассеянные на один и тот же
угол 8 поля с разными частотами коррелировали (| А — /2 | <С А/)
А/
Величина Д/ определяет также полосу пропускаемых частот
канала связи, использующего рассеяние.
Эффективный рассеивающий объем для случая узких диа-
диаграмм направленности
Здесь d — расстояние от передатчика до приемника, уъ 7г —
эффективная ширина диаграмм направленности антенн по поло-
половинной мощности в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
В случае широких диаграмм направленности эффективный
рассеивающий объем определяется соотношением F^ — d3^,
где 0о — минимальный угол рассеяния, соответствующий ниж-
нижней части рассеивающего объема. В случае узких и широких диа-
диаграмм направленности в формулы для радиусов корреляции рас-
рассеянного поля следует подставлять в качестве L величины, со-
соответствующие различным выражениям для
К главе 3
Геометрическая оптика
Условия применимости: к<^ Хо, у XL<^.\0, <х2) «^ 1, где L —
расстояпие, проходимое волной в неоднородной среде, % ~ In -j—
логарифм амплитуды.
Общие соотношения. Плоская волна. Структурная функция
эйконала 0 = -г-:
D,(L, 1!, |) = <[G(L, it, &) —0(L, 0, 0)]«> -
<х>
— е> '«¦-•»¦¦ -I--'-'^]фе @. х2. Из) dv.2(}щ.

П. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ	535
В случае изотропных флуктуации диэлектрической проницаемо-
проницаемости
D* (I, ть I) = A, (L, р), ра = if + t1,
оо
Z>9 (L, р) = 2n2L С [1 — /о (ир)] Ф, (х) х Ас.
о
Средний квадрат флуктуации направления распространения в
плоскости х,у на расстоянии L от источника
2	вп»
3 случае изотропных флуктуации
«Продольная» корреляционная функция флуктуации направле-
направления распространения (угол отсчитывастся в плоскости х, у, раз-
разнесение точек наблюдения в направлении оси у)
1 W,(ilP)
Ва (L, р) = у ^^— .
«Поперечная» корреляционная функция флуктуации направле-
направления распространения (угол отсчитывается в плоскости х,у, раз-
разнесение точек наблюдения в направлении оси г)
5р(^,р)^ар.
Взаимная корреляция 5ар(р) = 0. Корреляционная функция
флуктуации логарифма амплитуды в плоскости х — L
Вх(Ь,ц, 0 = <[х(?. Л, t) —<X>llX(i, 0, 0) —<x>]> =
= —АЯ \Ai^(i. Ч,
Сферическая волна. Если две точки наблюдения расположены
на одинаковом расстоянии L от точечного источника и на рас-
расстоянии Ь друг от друга, а угол между лучами мал, то

536	ПРИЛОЖЕНИЯ
где Dt (L,p) — структурная функция эйконала для плоской
волны. Бели расстояние между лучами на одном конце трассы
равно blt а на другом — fe2 (точечный источник помещен вне не-
неоднородной среды), длина каждого луча L и угол между лучами
нал, то
Ь,
(формула пригодна для пересекающихся лучей, в этом случае Ь1
отрицательно).
Для корреляционной функции флуктуации логарифма ампли-
амплитуды сферической волны в случае малого угла между лучами
имеем выражение через соответствующую корреляционную функ-
функцию для илоской волны:
[Вх (L, р)]сф = 3 J q* (i — gL Вг (L, pq) dq.
Соотношения для турбулентной среды. Плоская волна.
Асимптотика при р ^> А,о и р ^ Яо:
Z>9 (L, р) х 0,73 С1Ц>™ и D9 (L, р)« 0,82 Cj
Средний квадрат и корреляционные функции флуктуации напра-
направления распространения:
<<%•> = 0,82 Ci
p/1 2

II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ	537
Средний квадрат и корреляционная функция флуктуации лога-
логарифма амплитуды:
Средний квадрат поперечного смещения луча
«вас)") = \l? <а*> =0,55 C\U^.
Сферическая волна.
[D9,^(L, p)J = 1/),.M(L, p). (р<Ял). <а*ф> =
D9, сф (L, р) = 4 D,, ПЛ{Ь, р) = 0,27С\Ц>У* (р
<Х>
Метод плавных возмущений
Границы применимости первого приближения: №L << X*t
<X2>*<i- Соотношения для турбулентной среды, плоская волна:
Г>,(Ь, р) - <[X(L, л, «-*(?, 0, 0)]»> = °i№.P)
, p) = <[?(/,, т,, С) - J(L, 0, 0)]
, p) = <[X(L, ti, 0 — x(L, 0, 0)]
^(L, p) = | jiMC^W»],^ (_ |, 1, -*) -1],
p) = -^n*T(±r)i
где ^Гк1 = 8,8^, 25=^ = 5,6^, A = 0,033.

ГK8	приложений
При D <^ 1 отсюда могут быть получены формулы геометриче-
геометрической оптики.
При
#1
D, (L, р) = 1 АпТ (|) С\к*Ь>&У + ...,
Dt (L, p) - 1 • 4 Л л2Г (f)
1-0,87(^)
DS(L, p)«0,41 C!ft«IA^w[l + 0,87 (^)] p»
При
D > 1, g > 1 (P > Xo) <ХЯ> = 0,

ТТГЫ8ШТ2
(L, p) = 1 _ 2,36 (*-?)&;e + 1,71 ? - °>024 (?J + • • ¦
\/,L/ '
6X (L, p) = -0,122 (?)/6 (Р > /XT,)
?>s (L, p) = 0,7?>Clk*LpM — 0,154C*A:'/eLH''e [i _bx (L, p)],
?>s (L, p) = 0,730*^3 (p> yiL),
Ds (L, p) = 1.0,73C^aZ.pW (^o < P < /XT),
^> = ctg g <хг> = 0,28 OT/»L«'«, <<**> = 0,41 CW3.
Для переменного С\:
L
(/XT<Xo), <Xa> = 2,4Xo7iJ
0
- |. L -g) -l]JcJ^d*.

TI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
539
2.D
= 0,141 к«\с\ (х) (L — xf4x.
уЩ
К главе 4
Частотные спектры флуктуации. Приближение заморожен-
ности, справедливое для частот / > ^:
= jj cos Bл/т) Р^х (/) aj,
(т) =
Я8(т) = D8(v±x) = 2|j [I -cos 2я/г] lfs(/j d/,
Для турбулентной среды
X
х
1\
3/ с /i
•(-т)
X
где " = —. /о -
Асимптотические разложения в области больших и малых частот:
1
/о
WK (/) = 1,14 <х2> ^Q-3'3 (Q > 1),
И'а (/) = 8,2 • Ю-гсУРЬ^Г** (®< 1).
Ws (/) = 4,1 • iQ-*C№Lvff->* (Q > I)-

ЛИТЕРАТУРА
1.	А. М. Я г л о м, Введение в теорию стационарных случайных функций,
УМН 7, вып. 5, 51 A952).
2.	А. М. Обухов, Статистическое описание непрерывных полей, Тр.
ГеоФИАН № 24, 3 A954).
3.	А. М. О б у х о в, Вероятностное описание непрерывных полей, Укр. ма-
тем. ж. 6, № 1, 37 A954).
4.	А. М. Я г л о м, Некоторые классы случайных полей в n-мерном про-
пространстве, родственные стационарным случайным процессам, Теория
вероятностей и ее применения 2, вып. 3, 292 A957).
5.	А. М. Я г л о м, Теория корреляции непрерывных процессов и полей
с приложениями к задаче о статистическом экстраполировании времен-
временных рядов и к теории турбулентности, Дисс. ГеоФИАН, 1955.
6.	А. Я. X и н ч и н, Теория корреляции стационарных случайных про-
процессов, УМН 5, вып. 5, 42 A938).
7.	A.M. Я г л ом, Корреляционная теория процессов со случайными
л-ыи приращениями, Матем. сб. 37, вып. 1, 79 A955).
8.	В. С. П угачев, Теория случайных функций и ее применение к за-
задачам автоматического управления, Физматгиз, 1962.
9.	Р. Л. Стратонович, Избраппые вопросы теории флуктуации в
радиотехнике, «Сов. радио», 1961.
10.	А. Н. Колмогоров, Локальная структура турбулентности "в не-
несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса, ДАН СССР
30, № 4, 299 A941).
11.	А. Н. Колмогоров, Рассеяние энергии при локально изотропной
турбулентности, ДАН СССР 32, № 1, 19 A941).
12.	М. И. Ф о р т у с, Об экстраполяции случайного поля, удовлетворяю-
удовлетворяющего волновому уравнению, Теория вероятностей и ее применения 8,
вып. 2, 220 A963).
13.	Л. Д. Ландау, Е. М.Лифгаиц, Мехапика сплотпых сред, Гос-
техиздат, 1953.
14.	Л.И.Седов, Методы подобия и размерности в механике, Гостехиз-
дат, 1954.
15.	Л. М. О б у х о в, О распределении энергии в спектро турбулентного
потока, ДАН СССР 32, № 1, 22 A941).
16.	А. М. О б у х о в, О распределении энергии в спектре турбулентного
потока, Изв. АН СССР (сер. геогр. и геофиа.) 5, № 4—5, 453 A941).
17.	А. М. О б у х о в, А. М. Я г л о м, Микроструктура турбулентного
потока, ПММ 15, вып. 1, 3 A951).
18.	Г. С. Голицын, О структуре турбулентности в области малых мас-
масштабов, ПММ 24, вып. 6, 1124 A960).
19.	W. Heisenberg, On the theory of statistical nnd isotropic turbulen-
turbulence, Proc. Roy. Soc. A195, № 1042, 402 A948).
20.	Дж. Бэтчелор, Теория однородной турбулентности, ИЛ, 1955.
21.	Е. А. Н о в и к о в, О спектре энергии турбулентного потока несжи-
несжимаемой жидкости, ДАН СССР 139, № 2, 331 A961).

ЛИТЕРАТУРА	541
22.	Н. [.. Grant, R. W. Stewart, A. Moilliol, Turbulence
spectra from a tidal channel, J. Fluid Mech. 12, № 2 241 A962).
23.	A. M. Обухов, Структура температурного поля в турбулентном по-
потоке, Изв. АН СССР (сер. геогр. н геофиз.) 13, № 1, 58 A949).
24.	А. М. Я г л о м, О локальной структуре поля температур в турбулент-
турбулентном потоке, ДАН СССР 69, № 6, 743 A949).
25.	S. С о г г s i n, On the spectrum of isotropic temperature fluctuations
in an isotropic turbulence, J. Appl. Phys. 22, № 4, 469 A951).
26.	А. Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ,
1955.
27.	L. Р г а п d 11, Bericht fiber Untersucbungen zur ausgebildeten Tur-
bulenz, Z. angew. Math. Mech. 5, № 2, 136 A925).
28.	А. С. М о H и и, А. М. О б у х о в, Безразмерные характеристики тур-
турбулентности в приземном слое атмосферы, ДАН СССР 93, № 2, 257
A953).
29.	А. С. М о п и п, А. М. О б у х о в, Основные закономерности турбу-
турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы, Тр. ГеоФИАН
J* 24, 163 A954).
30.	А, С.Монип, Структура атмосферной турбулентности, Теория веро-
вероятностей и ее применения 3, вып. 3, 285 A958).
31.	А. С. М о н и н, О структуре полей скорости ветра и температуры в
приземном слое воздуха, Тр. ИФА АН СССР № 4, 5 A962).
32.	Л. С. Гандин, Д. Л. Л а й х т м а п, Л. Т. Матвеев,
М.И. Юдин, Основы динамической метеорологии, Гндрометивдат, 1955.
33.	А. М. О б у х о в, О влиянии архимедовых сил на структуру темпера-
температурного поля в турбулентном потоке, ДАН СССР 126, № 6, 1246A959).
34.	А. М. Обухов, О структуре температурного поля и поля скоро-
скоростей в условиях свободной конвекции, Ивв. АН СССР (сер. геофиз.)
№ 9, 1392 A960).
35.	R. Bolgiano Jr., A meteorological interpretation of wavelength
dependence in transhorizon propagation, School of Electrical Engineering,
Cornell Univ., Ithaca, New York. Res. Rept. ЕЕ 385.
36.	А. С. М о н и н, О спектре турбулентности в температурно-неоднород-
ной среде, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 3, 397 A962).
37.	К. G о d е с k e, Messungen der atmospharische Turbulenz, Ann. Hyd-
rogr. № 10, 400 A935).
38.	A. M. О б у х о в, Характеристики микроструктуры ветра в приземном
слое атмосферы, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 3, 49 A951).
39.	С. И. Кречмер, Методика измерений микропульсаций скорости
ветра и температуры в атмосфере, Тр. ГеоФИАН № 24, 43 A954).
40.	С. И. К р е ч м е р, А. М. О б у х о в, Н. 3. П и н у с, Результаты
экспериментальных исследований микротурбулентности свободной ат-
атмосферы, Тр. ЦАО, вып. 6, 174 A952).
41.	А. В. Перенслкипа, Некоторые результаты исследования тур-
турбулентных пульсаций температуры и вертикальной составляющей ско-
скорости ветра, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 6, 765 A957).
42.	А. А. Townsend, Experimental evidence for the theory of local
isotropy, Proc. Cambridge Philos. Soc. 44, № 4, 560 A948).
43.	С. И. Кречмер, Исследование микропульсаций температурного
поля в атмосфере, ДАН СССР 84, № 1, 55 A952).
-44. В. И. Татарский, Микроструктура температурного поля в при-
приземном слое атмосферы, Иэа. АН СССР (сер. геофиз.) № 6, 689 A956).
45.	А. С. Гурвич, Акустический микроанемометр для исследования
микроструктуры турбулентности, Акуст. ж. 6, вып. 3, 368 A959).
46.	В.М. Бовшеверов, В.П.Воронов, Акустический флюгер,
Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 6, 882 A960).

П42	ЛИТЕРАТУРА
47.	А. С. Г у р d и ч, Спектры пульсащш вертикальной компоненты скоро-
скорости ветра п пх связи с мпкрометеоролошческимн условиями, Тр. ИФА
АН СССР, JSs 4, 101 A962).
48.	А. С. Г у р в и ч, Измерепие коэффпциепта асимметрии распределения
разности скоростей в приземном слое атмосферы, ДАН СССР 134, J\6 5,
1073 A960).
49.	А. С. Г у р в и ч, Частотные спектры и функции распределения веро-
вероятностей пертикальной компоненты ветра, Изв. АН СССР (сер. геофнз.)
№ 7, 1042 A960).
50.	В. М, Б о в ш е в е р о в, А. С.Гурвич, М. И. М о р д у х о в и ч,
Л. Р. Ц в а и г. Приборы для измерении пульсаций температуры и
скорости ветра и для статистического анилина результатов нзмерепий,
Тр. ИФА АН СССР № 4, 21 A962).
51.	Е. Е. A о s s а г d. Power spectra of temperature, humidity and ref-
refractive index from aircraft and lathered balloon measurements, IRE
Trans. AP-8, № 2, 186 A960).
52.	Л. Р. Ц в а н г, Некоторые характеристики спектров температурных
пульсаций в пограничном слое атмосферы. Изв. АН СССР (сер. геофиз.)
№ 10, 1594 A963).
53.	Л. Р. Ц в ан г, Измерение частотных спектров температурных пульса-
пульсаций в прлземпом слое атмосферы, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 8,
1252 A960).
54.	Л. Р. Ц в а и г. Измерения турбулентных потоков тепла и спектров
температурных пульсаций, Тр. ИФА АН СССР № 4, 137 A962).
55.	А. С. Гурвич, Т. К. Кравченко, О частотном спектре пульса-
пульсаций температуры в области малых масштабов, Тр. ИФА АН СССР № 4,
144 A962).
56.	С. Н. В. Р г i e s t 1 у, Free and forced convection on the ground, Quart.
J. Roy. Meteorol. Soc. 81, X° 348, 139 A955).
57.	W. С Swinbank, An experimental study of eddy transports in the
lower atmosphere, C. S. I. R. O. Div. Meteorol., Phys. Techn. Pap. 2,
№_2 A955).
58.	Л. Р. Ц в а н г, С. Л. 3 у б к о в с к и й, В. Н. Иванов,
Ф. Я. К л и и о в, Т. К. К р а в ч в н к о, Измерения некоторых ха-
характеристик турбулентности в нижнем 300-метровом слое атмосферы,
Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 5, 769 A963).
59.	Л. Р. Ц в а н г, Ивмерения спектров температурных пульсаций в сво-
свободной атмосфере, Изв. АН СССР (сер. геофцз.) Ns 11, 76 A960).
60.	С. Л. Зубковский, Экспериментальное исследование спектров
пульсаций вертикальной компоненты скорости ветра в свободной атмо-
атмосфере, Иав. АН СССР (сер. геофиз.) ,Ys 8, 1285 A963).
61.	Г. N.Edmonds Jr., An analysis of airborne measurements of tropos-
pheric index of refraction fluctuations. Statistical methods in radio wave
propagation, Pergamon Press, 1960 (p. 197).
62.	А. В.Перепелкина. Об определении турбулентного потока теп-
тепла, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 7, 1026 A959).
63.	Н. В о о к е г, W. G о г d о и, A theory of radio scattering in the tro-
troposphere, Proc.IRE 38, № 4, 401 A950).
64.	H.Г.Денисов, О влиянии области отражения на рассеяние радио-
радиоволн в ионосфере, Изв. вузов (Радиофизика) 3, № 2, 208 ?1960).
65.	В. И. Татарский, Теорияфлуктуационных явлении при распро-
распространении воля в турбулентной атмосфере, Ивд-во АН СССР, 1959.
66.	Г. С. Г о р е л и к, К теории рассеяния радиоволи на блуждающих
неоднородностях, Радиотехника и электропики 1, выи. 6, 696 A956).

ЛИТЕРАТУРА	543
67.	Г. С. Г о р с л и к, О влиянии корреляции скорости рассенвателей па
статиептческне свойства рассеянного излучения, Радиотехника п элект-
электроника 2, вып. 10, 1227 A957).
68.	М, И. Р о д а к, А. В. Ф р а н ц е с с о н, О применении творил турбу-
турбулентности к рассеянию радиоволн на блуждающих неоднородностях.
Радиотехника и электроника 4, вып. 3, 398 A959).
69.	А. Г. Г о р е л и к, В. В. К о с т а р е в, А. А. Ч е р н и к о в, Ра-
Радиолокационные намерения турбулентности в облаках, Метеорология и
гидрология № 5, 12 A958).
70.	А, Г. Горелик, Использование статистических характеристик ра-
радиолокационного сигнала для изучения динамических процессов н мик-
микроструктуры облаков и осадков, Дисс. ЦАО, 1961.
71.	Н. S t а г a s. Forward scattering of radio waves by anisotropic turbulen-
turbulence, Proc. IRE 43, № 10, 1374 A955).
72.	В. И. Т а т а р с к и й, Г. С. Г о л и ц ы н, О рассеянии электромаг-
электромагнитных волн турбулентными неоднородностямп тропосферы, Тр. ИФА
АН СССР Л» 4, 147 A962).
73.	Б. Р. Л в. в и л, Теория случайных процессов u dd применение в радио-
радиотехнике, «Сов. радио», 1957.
74.	R. A. S i I v e r m a n, Turbulent mixing theory applied to radio scat-
scattering, J. Appl. Phys. 27, № 7, 6S9 A956).
75.	Дж. Л. Пол, Р. Н.Брейсуэлл, Радиоастрономия, ИЛ, 1958.
76.	J. Н. С hi s h о 1 ш, Р. А. Р о г t m a n n, J.T. de В е 11 e п. с о-
u r t, J. F. R о с h e. Investigations of angular scattering and multipath
properties of tropospheric propagation of short radio waves beyond Ihe
horizon, Proc. IRE 43, „Ys 10, 1317 A955).
77.	К. В u 1 1 i n g t о n, Radio transmission beyond the horizon in the
40—4000 me band, Proc. IRE 41, № 1, 132 A953).
78.	Ф. Б. Черный, Распространение радиоволн, «Сов. радио», 1962.
79.	А. М. О б у х о в, О рассеянии звука в турбулентном потоке, ДАН
СССР 30, Лг 7, 611 A941).
80.	Д. И. Блохинцев, Акустика неоднородной движущейся среды,
Гостехиздат, 1946.
81.	G. К, Batchelor, Wave scattering due to turbulence, Proc. Inter-
Internet. Symp. on Naval Hydrodynamics, 1956.
82.	В.И. Татарский, К теории распространения звуковых волн в тур-
турбулентном потоке, ЖЭТФ 25, вып. { G), 74A953).
83.	С. L. P e k с г i s, Note on Scattering in ati inhomogeneous medium,
Phys. Rev. 71, № 4, 268 A947).
84.	M, J. L i gh th i 1 1, On the energy scattered from the interaction
o[ turbulence witii sound or shook waves, Proc. Cambridge Pliilos. Soc.
49, № 3, 531 A953).
85.	R. H. К г a t с li n a n, The scattering of sound in a turbulent medium,
J. Acoust. Soc. America 25, № 4, 822 A953).
86.	А. С. М о н и н, Некоторые особенности рассеяния звука в турбулент-
турбулентной атмосфере, Акуст. ж. 7, вып. 4, 457 A961).
87.	М.А.Каллистратова, Экспериментальное исследование рассе-
рассеяния звука в турбулентной атмосфере, ДАН СССР 125, № 1, 69 A959).
88.	М. А. Кал л нстратов а, Экспериментальное исследование рас-
рассеяния звуковых волн в атмосфере, Тр. ИФА АН СССР № 4, 203 A962).
89.	Н. S i e g, Ober die Schallaus breitung im Freien und ihre Abhangigkeit
von den Wetterbedingungen, Elektr. Nacbr. Tech. 17, № 9, 193 A940).
90.	И. Г.Петровский, Лекции по теоршг обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, Гостехпздат, 1947.
91.	Л. Д. Л а п д а у, Е. М. Л н ф ш и ц, Электродинамика сплошных
сред, Гостехпздат, 1957.

544	ЛИТЕРАТУРА
92, Л, А. Ч е р н о в, Распространение волн в среде со случайными неод-
неоднородностями, Изд-во АН СССР, 1958.
93.В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плаз-
плазме, Физматгиз, 1960.
94.	Е. Л. Ф е й н б е р г, Распространение радиоволн вдоль земной поверх-
поверхности, Изд-во АН СССР, 1961.
95.	Ф. Г. Б а с с, А. В. М е н ь, Пространственная корреляция флуктуа-
флуктуации волн, распространяющихся в неограниченной турбулентной среде,
Акуст. ж. 9, вып. 3, 283 A963).
96.	В. А. К р а с и л ь и и к о в, О влиянии пульсаций коэффициента пре-
преломления в атмосфере на распространение ультракоротких радиоволн,
Изв. АН СССР (сер. геогр. и геофиз.) 13, J* 1, 33 A949).
97.	В. А. Красильни ко в, О- распространении звука в турбулент-
турбулентной атмосфере, ДАН СССР 47, № 7, 486 A945).
98.	Т. Н. Ellison, The propagation of sou ad waves through a medium
with very small random variations in refractive index, J. Atraosph. Terr.
Phys. 2, № 1, 14 A951).
99.В.И. Татарский, О критерии применимости геометрической оп-
оптики в задачах о распространении волн в среде со слабыми неоднород-
неоднородностями коэффициента преломления, ЖЭТФ 25, вып. 1 G), 84 A953).
100.	С. М. Р ы т о в, Дифракция света па ультразвуковых волнах, Изв.
АН СССР (сер. физ.) № 2, 223 A937).
101.	A.M. Обухов, О влиянии слабых неоднородностей атмосферы на
распространение звука и света, Изв. АН СССР (сер. геофиз.) № 2, 155
A953).
102.	Л.А.Чернов, Корреляция флуктуации амплитуды и фазы при рас-
распространении волны в среде со случайными неоднородностями, Акуст.
ж. 1, вып. 1, 89 A955).
103.	Л, А. Ч е р н о в, Корреляционные свойства волны в среде со случай-
случайными неоднородностями, Акуст. ж. 2, вып. 2, 211 A956).
104.	Л. А. Ч е р и о в, Корреляция флуктуации поля, Акуст. ж. 3, вып. 2,
192 A957).
105.	В. И. Татарский, О пульсациях амплитуды и фазы волны, распро-
распространяющейся в слабонеоднородной атмосфере, ДАН СССР 107, № 2,
245 A956).
106.	Н. Г. Д е н и с о в, О флуктуация! амплитуды и фазы волны, прошед-
прошедшей с через слой со случайными неоднородностями, Изв. вузов (Радио-
(Радиофизика) 2, Mi 2, 316 A959).
107.	Н. 4\ Д е н и с о в, В. А. Зверев, Некоторые вопросы распро-
распространения волн в средах со случайными неоднородностями, Изв. вузов
(Радиофизика) 2, № 4, 521 A959).
108.В. И. Татарский, О распространении волн в локально изотроп-
изотропной турбулентной среде с плавно меняющимися характеристиками, ДАН
СССР 120, № 2, 289 A958).
109.	Н, Г. Д е н и с о в, Л. Н. П о л я н и н, Флуктуации амплитуды и
фазы волны, распространяющейся в неоднородной поглощающей среде,
Изв. вузов (Радиофизика) 2, № 6, 1010 A959).
110.	Ю. А. Р ы ж о в, О взаимной функции корреляции флуктуации ампли-
амплитуды и фазы волны, распространяющейся в неоднородной среде, Радио-
Радиотехника и электроника 7, вып. 10, 1824 A962).
111.	Ю. А. Рыжов, Э.П.Лаптева, Флуктуации параметров тригар-
монической волны при распространении ее в локально однородной среде
Изв. вузов (Радиофизика) 3, *ё 6, 976 A960).
112.	В. Н. Караванников, Флуктуации амплитуды и фазы в сфе-
сферической волне, Акуст. ж. 3, вып. 2, 165 A957),

ЛИТЕРАТУРА	545
113.	Н. Г. Денисов, О влиянии приемного устройства на флуктуации
принимаемого излучения, Изв. вузов (Радиофизика) 4, № 6, 1045 A961).
114.	В. В. Писарева, О границах применимости метода плавных возму-
возмущений в задаче о распространении излучения через среду с неоднородно-
стями, Акуст. ж. 6, вып. 1, 87 A960).
115.Т. А. Широкова, Второе приближение в методе плавных возму-
возмущений, Акуст. ж 5, вып. 4, 485 A959).
116.	В. И. Т а т а р с к и й, Второе приближение в задаче о распростране-
распространении волн в среде со случайными неоднородностяыи, Изв. вузов (Радио-
(Радиофизика) 5, № 3, 490 A962).
117.	И. С. Градштейн, И. М. Рыжнк, Таблицы интегралов, сумы
рядов и произведений, Физматгиз, 1962.
118.	А. И.;К о н, В. И. Т а т а р с к и й, Мерцание источников конечных
угловых размеров, Изв. вузов (Радиофизика) 7, № 2, 306 A964).
119.	В. А. Зверев, Влияние направленности приемного устройства
на среднюю интенсивность сигнала, принимаемого за счет рассеяния,
Акуст. ж. 3, вып. 4, 329 A957).
120.	Н. Г. Денисов, В. И. Татарский, О средней дифракционной
картине в фокальной плоскости линзы, Изв. вузов (Радиофизика) 6,
№3,488A963).
121.	И. Г. Д е н и с о в, Ю. А. Р ы ж о в, О флуктуациях излучения в фо-
фокусе линзы, Радиотехника и электроника 9, № 1, 33 A964).
122.	М. Н. Крои, Л. А. Ч е р н о в, Влияние флуктуации в падающей
волне на распределение средней интенсивности вблизи фокуса линзы,
Акуст. ж. 4, вып. 4, 341 A958).
123.	Л. А. Ч е р н о в, М. Н. К р о м, Зависимость дифракционного изо-
изображения в линзе от величины флуктуации в падающей волне, Тр. сове-
совещания по исследованию мерцания звезд, Изд-во АН СССР, 1959.
124: В. И. Т а т а р с к и и, А. С. Гурвич, М.А. Каллистрато-
ва, Л. В. Терентьева, О влиянии метеорологических условий
на интенсивность мерцания света в приземном слое атмосферы, Аст-
рон. ж. 35, вып. 4, 123 A958).
125.	А. С. Г у р в и ч, В. И. Т а т а р с к и й, Л. Р. Ц в а н г, Экспери-
Экспериментальное исследование статистических характеристик мерцания назем-
наземного источника света, ДАН СССР 123, № 4, 655 A958).
126.	А. С. Г у р в и ч, В. И. Татарский, Л. Р. Цвапг, Мерцание
наземных источников света, Труды совещания по исследованию мерца-
мерцания звезд, Изд-во АН СССР, 1959.
127.	D. J. Port man, F. С. Elder, Е. Пузпаг, V. Е. Noble,
Some optical properties of (Turbulence in stratified flow near tbe ground,
J. Geophys. Res. 67, № 8, 3223 A962).
128.	В. М. Б о в ш е в е р о в, А. С. Г у р в и ч, В. И. Татарский,
Л. Р. Ц в а н г, Приборы для статистического анализа турбулентности,
Й)уды совещания по исследованию мерцания звезд, Изд-во АН СССР,
59.
129.	В. М. Б о в ш е ве р о в, А. С. Г у р в и ч, М. А. К а л л и с тр а т о-
в а, Экспериментальное исследование «дрожания» искусственного источ-
источника света, Изв. вузов (Радиофизика) 4, № 5, 886 A961).
130.	В. А. Красильников, К. М. Иванов-Шиц, Некоторые
новые опыты ш> распространению звука в атмосфере, ДАН СССР 67,
М 4, 639 A949).
131.	В. А. Красильников, О флуктуациях фазы ультразвуковых
волн при их распространении в приземном слое воздуха, ДАН СССР 88,
Ni 4, 657 A953).
132.	Б. А. Сучков, Флуктуации амплитуды звука в турбулентной среде
Акуст. ж. 4, вып 1, 85 A958).

546	ЛИТЕРАТУРА
133.	Г. С. Г о л п ц ы н, А. С. Гурвич, В. И, Татарский, Ис-
Исследование частотных спектров флуктуации амплитуды и разности
фаз звуковых волн в турбулентной атмосфере, Акуст. ж. 6, вып. 2,187
A960).
134.	С. М. С г a i n, Survey of airborne microwave rcfractometer measure-
measurements, Proc. IRE 43, Л1 10, 1405 A955).
135.1, W. Herbstrei t, M. C. Thompson, Measurements of the
phase of radio waves received over transmission paths with electrical
lengths varying as a result of atmospheric turbulence, Proc. IRE 43,'Ла 10,
1391 A955).
136.	A. P. D e a m, В. М. F a n n i n, Phase-difference variations in 9350-
megacycle radio signals arriving at spaced antennas, Proc. IRE 43, .\? 10
1402 A955).
137.	K. A. N о г t о п., Recent experimental evidence favouring the p Kj(p)
correlation function for describing the turbulence of refractivity in the
troposphere and stratosphere, J. Atmosph. Terr. Phys. 15, № 3/4, 206
A959).
138.	R.B.Muchraore, A. D. Wheelon, Liue-of-sigbt propagation phe-
phenomena, Proc. IRE 43, № 10, 1437, 1450 A955).
139.В. И. Татарский, Радиофизические методы научения атмосфер-
атмосферной турбулентности, Изв. вузов (Радиофизика) 3, N° 4, 551 A960).
140.	В. И. Татарский, Интерпретация наблюдений мерцания звезд
и удаленных наземных источников света, Труды совещания но исследо-
исследованию мерцания звезд, Изд-во АН СССР, 1959.
141.	W. М. Р г о t h е г о е, Preliminary report on stellar scintillation, Cont-
ribs. Perkins Obaerv. 2, № i A954).
142.	H. E. Butler, Observations of stellar scintillations, Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc. 80, K° 344, 241 A957).
143.Л. Н. Жукова, Регистрация мерцаний ввезд фотоэлектрическим
методом, Изв. ГАО АН СССР 21, выи. 3 (№ 162), 72 A958).
144.	G. Keller. The relation betweon the structure of stellar shadow pat-
patterns and stellar scintillations, JOSA 45, № 10, 845 A955).
145.	Л. Н.Жукова, Наблюдения мерцания звезд на телескопе АСИ-5 в
Пулкове, Труды совещания по исследованию мерцания звезд, Изд-во
АН СССР, 1959.
146.	М. А. Е 1 1 i s о n, H. S e d d о n, Some experiments on the scintilla-
scintillation of stars and planets, Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 112, № 1, 73
A952).
147.	Ph. Barnhart, The photoelectric determination of the direction and
velocity of motion of the scintillation layer, Contribs. Perkins Observ, 2,
JV- 6,84A955).
148.	В.И. Татарский, Л. II. Ж у к о и а, О хроматическом мерцании
звезд, ДАН СССР 124, № 3, 567 A959).
149.	J. М. Petntet, F. M. E x n e г, Meteorologische Optik, Wien/J.eip-
zig, 1910.
150.	И. Г. К о л ч п н с к и и, Об амплитуде дрожания изображений звезд
в телескоиах в зависимости от зенитного расстояния, Астрон. ж. 29,
вып. 3, 350 A952).
151.	И. Г. К о л ч и н с к и и, Некоторые результаты наблюдений дро-
дрожания изображений звезд на площадке ГАО АН УССР в Голосееве,
Астрон. ж. 34, вып. 4, 638 A957).
152.	О.А.Мельников, И. Г. К о л ч и п с к и й, Н. И. К у ч с р о в,
Мерцание и дрожание изображений звезд. Астроклимат, Труды
совещания по исследованию мерцания звезд, Изд-во АН СССР,
1959.

ЛИТЕРАТУРА	547
153.	А. X. Д а р ч п я, Л. Ф. Ч м п л ь, III. П. Д а р ч и я, Исследование
дрожания звезд в экспедициях 1956—1958 гг., Иаи. ГАО АН СССР 21,
вып. 6 (№ 165), 52 A960).
154.	И. Г. К о л ч и п с к И Й, Автокорреляционная функция пульсаций
углов прихода световых лучей по наблюдениям дрожания изображений
звезд, Изв. ГАО АН УССР 4, вып. 1, 13 A961).
155.	R. С. В о и г г е t, Propagation of randomly perturbed fields, Canad.
J. Pliys. 40, № C, 782 A962).
156.	R. C. Bourrot, Stochastically perturbed fields with applica-
applications to wave propagation in random media, Nuovo Cim. 26, № 1,
. A962).
157.	K, Furutsu, On the statistical theory of electromagnetic waves in a
fluctuating medium, J. Res. NBS D67, Кг 3, 303 A963).
158.	В. И. Татарский, М. Е. Герценштейн, Распространепие
волн в среде с сильными флуктуациямн показателя преломления, ЖЭТФ
44, пып. 2, 676 A963).
159.	В.И.Татарский, Распространение электромагнитных волн в сре-
среде с сальными флуктуациями диэлектрической проницаемости, ЖЭТФ,
46, вып. 4, 1399 A964).
160.И. М. Л и ф ш и ц, М. И. К а г а но в, В. М. Цукерник, Рас-
Распространение электромагнитных колебаний в неоднородных анизотроп-
анизотропных средах, Учеп. зап. Харьковского ун-та 2, 4i A950).
161.	Ф. Г. Б а с с, О тензоре эффективной диэлектрической проницаемости
в среде со случайными неоднородностями, Изв. вузов (Радиофизика) 2,
№ 6, 1015 A959).
162.	J. В. К. е lie r, Wave propagation in random media, Proc. of Symp.
in Appl. Math., vol. 13, Hydrodynamic Instability, 1962. (См. перевод:
Джозеф Б.Келлер, Распространение волн в случайной среде,
в кнпге: «Гидродинамическая неустойчивость», изд-во «Мир», 1964, стр.
265.)
163.	В. И. Татарский, О первообразном функционале я его прнмене.
вии к интегрированию некоторых уравнений в вариационных производ"
ных, УМН 16, вып. 4, 179 A961).
164.	А. С. М о н и н, А. М. Я г л о м, Статистическая гидромеханика, ч. I,
«Наука», 1965.
165.	С. М. Р ы т о в, Теория электрических флуктуации и теплового излу-
излучения, Изд-во АН СССР, 1953.
166.	R. A. Silverman, Locally stationary random processes, IRE
Trans. Inform. Theory 3, № 3, 182 A957).
167.	L. О n s a g e r, Statistical hydrodynamic, Nuovo Cim. Suppl. 6, № 2,
279 A949).
168.C. F. W e i z s а с k e r, Das Spektrum der Turbulenz bei grossen Rey-
nolds'schen Zahlen, Z. Phys. 124, 614 A948).
169.	W. Heisenberg, Zur statistiscben Theorie der Turbulenz, Z. Phys.
124, № 7—12, 628 A948).
170.	M. E. Грачева, А. С. Г у р в и ч, О сильных флуктуацпях ин-
интенсивности света цри распространении в приземной слое атмосферы,
Иэв. вузов (Радиофизика) 8, № 4, 717 A965).
171.	А. С. Г у р в и ч, А. И. К о н, Зависимость мерцания от размеров ис-
источника света, Изв. вузов (Радиофизика) 7, № 4, 790 A964).
172.	J. Ratcliffe, Reports. Piogr. Pbys. 19, 188 A956). (Пере-
(Перевод: Дж. Ратклифф, Некоторые вопросы дифракции и их приме-
применение к ионосфере, ПСФ № 10, 5 A957).)
173.	М.А. Каллистратова, О флуктуациях угла прихода световых
волн в атмосфере в конвективных условиях, Изв. вузов (Радиофизика) (в
печати).

54ft	литература
174.	M. M. G i b s о n, Spectra of turbulence at high Reynolds number, Na-
Nature 195, J4S 4848, 281 A962).
175.	В. М. Финкельберг, Диэлектрическая проницаемость смесей,
ЖТФ 34, выл. 3, 509 A964).
176.Ю. А. Р ыж о в, В. В. Тамойкин, Б. И. Татарский,
О пространственной дисперсии неоднородных сред, ЖЭТФ 48, вып. 2,
656 A965).
177. Ю.А.Рыжов, Тензор эффективной диэлектрической проницаемости
сильно-неоднородной анизотропной ср«ды, Изв. вузов (Радиофизика 9,
№ 1, 39(ltN6).
178.В. И. Татарский, О сильных флуктуациях параметров световой
волны в турбулентной среде, ЖЭТФ 49, вып. 5, 1581 A965).
179.И. В. Андреев, Электрон в случайном поле, ЖЭТФ 48, вып. 5,
1437 A965).
180.И. В.Андреев, К теории распространения волн в среде со случай-
случайными неоднородностями, Препринт ФИАН, М., 1965.
181 .В. И.Татарский, О сильных флуктуациях амплитуды волны, рас-
распространяющейся в среде со слабыми случайными неоднородностями,
Изв. вузов (Радиофизика) 10, № 1 A967).
182.М. Б. Грачева, Исследование статистических свойств сильных
флуктуации интенсивности света при распространении в приземном слое
атмосферы, Изв. вузов (Радиофизика) (в печати).
183. S. Pond, R. W. S t e w a r t, R. W. В и г 1 i n g, Turbulence Spectra
in the wind over waves, J. Atmosph. Sci. 20, Ms 4, 319 A963).
184.А. С. Гурвич, М. А. Каллистратова, Экспериментальное
исследование флуктуации угла прихода света в условиях сильных флук-
флуктуации интенсивности, Изв. вузов (Радиофизика) (в печати).
185. А. С. М о нин, А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика, ч. 2,
изд.-во «Наука» (в печати).