/
Автор: Дворянинов Г.С.
Теги: океанология рельеф морского дна дно океана монография атмосфера метеорология геофизика науки о земле
Год: 1982
Похожие
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
МОРСКОЙ ГИДЮФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Г. С. ДВОРЯНИНОВ
ЭФФЕКТЫ ВОЛН
В ПОГРАНИЧНЫХ
слоях
АТМОСФЕРЫ
И ОКЕАНА
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1982
УДК 551.46
Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана / Дворянинов Г. С.—
Киев: Наук, думка, 1982.—176 с.
В монографии освещаются различные аспекты волновых возмущений в
пограничных слоях атмосферы и океана, а также проблема генерации ими осреднен-
ных термогидродинамических эффектов.
Основное внимание уделяется теоретическому исследованию структуры
пограничных слоев атмосферы и океана, вязких и нелинейных эффектов,
обусловленных гравитационными и тепловыми волнами, таких, как перенос масс, осред-
ненный перенос тепла, отклонение от автомодельного логарифмического режима
скорости ветра над взволнованной поверхностью моря. Предложена модель
турбулентного слоя волнового перемешивания.
Для океанологов, метеорологов, геофизиков, а также гидродинамиков и
научных сотрудников соответствующего профиля.
Табл. 4. Рис. 57. Список лит.: с. 168—175 (198 назв.).
Ответственный редактор Б. А, Нелепо
Рецензенты Л. В. Черкесов, Л. С. Саркисян
Редакция литературы о Земле
Геннадий Степанович Дворянинов
ЭФФЕКТЫ ВОЛН В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА
Утверждено к печати ученым советом Морского гидрофизического института АН УССР
Редактор Л. К. Медникова. Оформление художника Г. М. Балюна. Художественный
редактор И. И. Косарева. Технический редактор А. М. Капустина. Корректоры П. С.
Бородянская, Е С. Мирземухамедова.
Информ бланк № 4069.
Сдано в набор 25.06.81. Подп. в neq. 12.01.82. БФ 00607. Формат 60X90/ie. Бум. книжно*
журн. Усл. печ. л. И.О. ^сл. кр.-отт. 11,0. Уч.-изд, л. 11,36. Тираж 1000 экз, За*
каз № н 1Q. Црна 2 dv6
Издательство «Наукова думка», 252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия РПО «Полиграфкнига», 252057, г. Киев,
Довженко, 3 в областной книжной типографии, 290000, Львов, Стефаника, 11.
Зак. 3107.
20806-018
М221(04)-82
23«-82 19озозо10в ©Издательство «Наукова думка», 1982
ВВЕДЕНИЕ
Определяющую роль в колебаниях погоды и климата играют
изменения в механизме взаимодействия океанов и атмосферы. В
физических процессах, протекающих при этом, основное значение,
имеют пограничные слои, примыкающие к поверхности раздела
атмосфера — океан. На их важность в общей проблеме
взаимодействия атмосферы и океана указывает, в частности, тот факт, что за
последние 15 лет появился ряд монографий, касающихся тех или
иных аспектов физики пограничных слоев. Наиболее известными
из них, суммирующими не только оригинальные исследования
авторов, но и основные знания, накопившиеся в разных областях
изучения термогидродинамики пограничных слоев, являются
получившие всеобщее признание монографии Филлипса «Динамика верхнего
слоя океана» (1966); Китайгородского «Физика взаимодействия
атмосферы и океана» (1970); Крауса «Взаимодействие атмосферы и
океана» (1972).
Физические явления, происходящие в пограничных слоях,
играют особую роль: именно через них океан и атмосфера воздействуют
друг на друга, а термогидродинамические поля претерпевают здесь
наиболее резкие изменения. Как следствие этого возникают большие
потоки импульса, механической энергии и тепла, а также
значительная диссипация энергии и передача ее от одних масштабов к другим»
Эти эффекты присущи всем пограничным слоям. Существенной
особенностью пограничных слоев атмосферы и океана, примыкающих
к границе раздела, является тот факт, что поверхность раздела
между ними подвижна. Это обусловливает передачу через нее не
только импульса, но и энергии, и вещества, что в большой степени
усложняет процессы, протекающие здесь, и соответственно их
изучение и понимание.
Задача исследования пограничных слоев сложна и обширна.
Она в той или иной степени включает в себя практически все
наиболее крупные разделы современной физики моря и классической
гидромеханики. Проблема усложняется еще тем, что в данном
случае процессы развиваются при взаимном влиянии атмосферы и
океана и в поле силы Кориолиса. Поэтому, как правило, одновременно
возникает несколько пограничных слоев. Это делает еще более трудг
нодоступной цель исследований. '
3
Но без понимания механизмов, формирующих пограничные слои,
и явлений, протекающих в них, принципиально невозможно
исследование ветровых волн, теплообмена между океаном и атмосферой
и процессов переноса тепла в них самих, формирования верхнего
термоклина в океане, ветровых течений и др. Правильное
понимание физических процессов в пограничных слоях атмосферы и
океана, примыкающих к поверхности раздела, имеет главенствующее
значение в решении этих проблем.
До последнего времени теоретические исследования физики
волновых возмущений пограничных слоев атмосферы и океана и
интерпретация экспериментальных данных развивались на основе
предпосылок о линейности и потенциальности волнового поля. В
частности, была построена теория генерации ветровых волн Филлипса —
Майлса (1959—1966). Однако экспериментальные исследования
верхнего взволнованного слоя океана и приповерхностного слоя
атмосферы, выполненные в последние годы [34, 42, 84],
принципиально изменили представление о физике волновых процессов в
пограничных слоях. Эксперименты продемонстрировали нелинейный и
вихревой характер волновых полей в пограничных слоях,
завихренность которых в основном определяется турбулентностью. Как
следствие этого в слое волнового перемешивания возникают
значительные напряжения Рейнольдса и волновые потоки тепла, играющие
существенную роль в процессах обмена количеством движения,
энергией и теплом. В пограничном слое, кроме того, волны вносят
возмущение в среднее поле воздушного потока, вследствие чего он
перестраивается, что определяет поток энергии от ветра к волнам.
Заметные осредненные эффекты вызываются волнами и в придонных
пограничных слоях.
Все эти вопросы изучены мало, а некоторые из них не
исследованы вообще. Без понимания и количественной оценки их
невозможен дальнейший прогресс в физике взаимодействия атмосферы
и океана. Поэтому исследования данного направления являются
актуальными в современной океанологии.
При постановке научных задач, изложенных в монографии,
исходным положением явилось то, что для параметризации процессов
взаимодействия атмосферы и океана, построения моделей прогноза
и оценки состояния гидрофизических полей в океане необходимо
знание физических основ явлений, определяющих процессы обмена
через границу раздела атмосфера — океан, и причин, формирующих
структуру пограничных слоев, так как через последние происходят
все существенные воздействия на океан, а также его взаимодействие
с атмосферой.
Вместе со мной в разработке этих вопросов принимали участие
А. В. Прусов и В. М. Журавлев. Им, В. В. Ефимову,
изучавшему ряд затронутых здесь проблем экспериментально, а также
сотрудникам лаборатории динамики взаимодействия атмосферы и
океана МГИ АН УССР, оказавшим техническую помощь при
оформлении рукописи, автор искренне признателен.
г
Глава 1
РЕЗУЛЬТАТЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ ВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1.1. Динамические эффекты
у поверхности раздела
Несмотря на исключительный прогресс в изучении пограничных
слоев за последние десятилетия, результаты его не обеспечивают
сколько-нибудь полного описания всей сложной природы
физических процессов, протекающих в них.
В исследовании закономерностей физики пограничных слоев
(как и других областей океанологии) существуют два направления.
Сторонники первого за основу принимают упрощение на принципе
исключения из рассмотрения некоторых явлений, считающихся в
конкретном случае второстепенными, и по возможности детальный
анализ выделенных. Сторонники второго следуют по пути
обобщения с помощью соответствующих методов, когда основой этих
обобщений и анализа являются безусловно установленные
экспериментальные факты.
При исследовании динамики волновых возмущений в
пограничных слоях теория до последнего времени развивалась на базе двух
предположений: концепции о потенциальности волнового поля и
линейности волновых возмущений. Если ставится цель выявить
нелинейные эффекты, то, как правило, это достигается при первом
условии, если же исследуются вязкие эффекты и завихренность
волнового поля, то принимается второе предположение (о линейности).
Морское волнение, в особенности ветровое,— это нелинейный
(на что указывают явление передачи энергии от одних спектральных
компонент Фурье волнового поля к другим и невыполнение
дисперсионного соотношения) и в то же время существенно вязкий,
вихревой процесс, что убедительно подтверждается наличием в нем
турбулентных напряжений Рейнольдса, отличных от нуля корреляций
между компонентами волновой скорости, а также между ними и
возвышением поверхности [38, 40, 57, 184]. И все же основным
аппаратом теории при изучении волновых задач до сих пор является
исследование решений уравнения Лапласа относительно функции
тока, или потенциала, при заданных граничных условиях для
идеальной безвихревой жидкости на поверхности и на дне [91, 92].
Этот подход отражает две особенности волнения. Первая
заключается в том, что спектр его имеет выраженный максимум на частотах,
где сосредоточена основная энергия, и это позволяет
аппроксимировать волнение одной компонентой Фурье волнового поля. Вторая
5
особенность состоит в том, что числа Рейнольдса для волнового поля
скорости велики, и это в первом приближении является основой
для пренебрежения эффектами завихренности. Это является
причиной успеха классической теории потенциальных волн малой
амплитуды при исследовании динамики волнения в океане. Был
получен ряд замечательных результатов — работы о равновесном
интервале в спектре ветровых волн [85] и теория нелинейного
резонансного взаимодействия [101, 104, 125—127, 165—167].
Исследования, основывающиеся на предположении о
потенциальности волнового движения, позволяют существенно упростить
процедуру решения задач волновых возмущениях. Однако при этом
опускаются некоторые важные особенности динамики самого
волнового движения и вторичные эффекты, к которым приводит
волновое возмущение вязкой жидкости: вязкое затухание волн,
флуктуирующие и стационарные пограничные слои, осредненный поток
Эйлера, возбуждаемый волнами. Кроме того, при исследовании
термодинамических аспектов, связанных с волнами, также выпадает из
поля зрения ряд эффектов — волновой перенос тепла,
стационарные температурные пограничные слои, создаваемые волнами, и др.
Учет вязкости и нелинейности движения приводит к выявлению
новых важных особенностей и дает возможность объяснить ряд
наблюдаемых закономерностей в волновом движении. Это является
стимулом для дальнейшего теоретического исследования эффектов
вязкости и нелинейности. Необходимость его развития
подтверждается полученными в последние годы экспериментальными данными,
которые указывают на нелинейный и завихренный характер
движений, возбуждаемых волнами в природных условиях.
Дисперсионное соотношение. Экспериментальное изучение
спектров скорости поверхностного волнения показало, что в области
основных энергонесущих спектральных составляющих их связь со
спектром возвышения поверхности хорошо описывается линейной
теорией [38, 43, 55]. В области более высоких частот возникают
особенности, связанные с наличием дополнительных пиков,
располагающихся на комбинационных частотах. Отличительной чертой
спектров является также то, что всем пикам на комбинационных
частотах соответствуют пики возвышения поверхности. Это
обстоятельство свидетельствует о более сильном (чем можно ожидать при
оценках на основании потенциальной теории) нелинейном
взаимодействии, связанном с действием турбулентности.
Важной проверкой нелинейности динамики волнения явились
прямые измерения по проверке дисперсионного соотношения [34,
43, 84]. Прямая проверка дисперсионного соотношения связана
с рядом технических трудностей. Для этого необходимы
многоточечные синхронные измерения возвышения поверхности волн с
последующим вычислением распределения энергии волнового поля в
пространстве частот-волновых чисел с достаточной степенью разрешения
и по частотам, и по волновым числам. Имеется лишь несколько
работ в этой области. Кроме указанных, к ним относятся исследова-
6
ния Гросса, Варша, Гартанга [122], Лонге-Хиггинса, Картврайта
Смита [146].
Если нелинейные взаимодействия в ветровых поверхностных
волнах невелики, то в качестве дисперсионного соотношения можно
принять соотношение, связывающее частоты ю и волновые числа
k, соответствующие максимуму сечения спектра F (k, со, 0) при
постоянном 9 = const. В случае симметричной формы F (k, со, 9)
второй характеристикой может служить ширина спектра,
определенная по уменьшению его до некоторого уровня от его максималь-
, | *А
1
4
1
4!~
I
я
г\
Li:
1
7
3 в
&Р
/
/
к А>* Х'^2
<рУ'
У
■ ШЛ
? 3
Рис. I.I. Дисперсионные кривые, соответствующие:
/ — линейной теории! 2 — осредненным экспериментальным данным без
коррекции на течение, 3—5 — экспериментальным данным различных серий,
скорректированным на течение
ного значения. В случае несимметричной формы, или достаточно
широкого распределения, необходимо знать вид самого спектра
F (£, со, 9). Ниже приведены некоторые результаты обработки и
анализа трех серий измерений, полученных в достаточно стабильных
условиях, когда поверхностное течение, скорость и направление
ветра контролировались [34, 84].
Результирующий график, связывающий значения / и k,
приведен на рис. I.I. Частоты и волновые числа по координатным осям
нормированы на значения fm и km> соответствующие основному пику
частотных^ спектров S (/). Введена коррекция на сдвиг Допплера,
вызванный средним течением. Средняя экспериментальная кривая
/ = / (k) построена по осредненным данным, скорректированным
на течения. Видно, что сдвиг Допплера заметно искажает
результаты.
7
Таким образом, можно сделать выводы: экспериментальные
точки хорошо согласуются с кривой со2 = gk в диапазоне частот / ^
^ / < 2/т; в окрестности / = 2/т наблюдается значительное отклс>
нение от теоретического линейного соотношения. Здесь в среднем
отношение экспериментальных значений къ к линейным kn равно
0,87 и не является погрешностями измерений.
Особенности, свидетельствующие об отличиях от линейного
дисперсионного соотношения, связаны со следующим. В поле
ветровых поверхностных волн имеются спектральные составляющие,
распространяющиеся со скоростями, большими (т. е. имеющие
волновые числа меньше), чем те, которые соответствуют этому
дисперсионному соотношению. Относительный вклад их по сравнению с
линейными спектральными составляющими, которые можно считать
«свободными» волнами, меняется. Он самый большой на частотах ~2fm.
Физическая природа составляющих ясна: это гармоники основных
энергонесущих волн, возникающие в силу нелинейности волнового
процесса. Начиная с двойной частоты основного максимума
спектра, волновое поле наряду с самостоятельными волнами содержит
нелинейные гармоники основной моды волны, и они
обусловливают отличие от простого дисперсионного соотношения.
На основании этих экспериментальных данных было оценено
отношение спектра вторых гармоник Sr (со) к частному спектру
«свободных» волн 5В (со) -= S (со) — Sr (со). Оказалось, что среднее
значение Sr (со)/5в (со) в области частот / « 2/т составляет 0,2—0,3.
это существенно выше теоретической оценки, основанной на
результатах потенциальной теории. Волны из-за передачи энергии ветра
достаточно далеки от свободных, и в них действие эффективной
турбулентной вязкости нельзя считать малым. Из этого следует, что
при теоретическом анализе волновых возмущений в пограничных
слоях необходимо учитывать нелинейный характер движения, а
также вязкие, в том числе и турбулентные, эффекты.
Волновые напряжения Рейнольдса. Одной из основных
характеристик верхнего пограничного слоя моря являются напряжения
Рейнольдса. Они характеризуют степень нелинейности и турбули-
зации волнового движения и позволяют непосредственно оценить
потоки количества движения и энергии от атмосферы к океану,
что является одной из самых важных задач физики
взаимодействия атмосферы и океана.
Шонтинг [182—184] первым выполнил измерения по оценкам
напряжений в волнах. Основным его выводом является то, что
коэффициент взаимной корреляции Kuw между горизонтальной и и
вертикальной w компонентами скорости в верхнем слое отличен от
нуля. Он представил два значения коэффициента: 0,3 и 0,21. Этот
результат важен, поскольку свидетельствует о существовании
больших вертикальных потоков импульса.
Шонтинг же [182—183] обнаружил, что высокочастотные
составляющие спектра затухают с глубиной быстрее, чем низкочастотные.
Следовательно, с глубиной происходит смещение максимума спектра
8
скорости в сторону низких частот — «красный сдвиг». На эту тему
имеется еще несколько работ. Ефимов и Христофоров [40, 411
выполнили измерения в природных условиях, а Кононкова, Поборчая,
Показеев [57], Доброклонский, Лесников [37] — в лабораторных.
Если бы волновое движение в океане было близко к потенциаль-
Таблица 1.1. Натурные измерения напряжений Рейнольдса
N
029*
077*
081*
099*
103*
078*
104*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
027*
028*
106*
080*
105*
1
2
3
4
5
6\
7
г» м
1,0
1,0
1.0
1,0
1,0
1,5
1,5
1,25
1,25
1,25
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
3
3
3
2,5
2,5
2,5
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
Т)2, М?
__.
—
—
—
—
—
—
0,031
0,021
0,052
0,011
0,035
0,023
0,011
0,021
0,024
0,100
—
—
—
—
0,031
0,011
0,035
0,023
0,011
0,021
0,024
V, м/с
2,0
17,2
18,2
7,0
8,0
15,0
8,0
—
—
6
8
4,5
10 5
10,5
10,5
11,0
0,5
3,0
9,5
16,7
9,5
6,0
8,0
, 4,5
10,5
10,5
10,5
0)0,
рад/с
—
—
—
—
—
—
1,84
1,7
1,54
2,6
2,1
1,3
2,2
2,1
2,0
1,1
—
—
—
—
1,84
2,6
2,1
1,3
2,2
2,1
2,0
Кцц)
0,25
—0,2
—0,12
-0,1
—0,36
—0,07
—0,38
—0,23
—0,08
—0,12
—0,11
—0,08
—0,02
—0,20
—0,24
—0,24
-0,1
0,05
0,14
—0,13
0,18
0,11
—0,09
—0,12
0,03
—0,02
-о,ц
—0,12
-0,10
т-10-4,
м*/с2
8,9
—68,8
—48,2
—21,8
—78,0
23,2
-49,7
75
14
62
11
28
4
47
69
77
102
0,8
3,0
—6,9
—27,5
20,2
16,0
5,0
-5,3
4,0
9,0
15,0
15,0
«ср»
м/с
—0,186
—0,201
—0,113
—0,186
0,362
—0,198
0,372
—
—
—
—
—
—
—
Т-
—0,256
—0,177
0,189
—0,139
0,155
—
—
—
—
—
~_
Тип
волнения
Смешанное
—
—
—
—
—
—
—
—
Смешанное
»
»
Ветровое
»
»
»
Смешанное
»
—
—
—
—
Смешанное
»
»
»
»
»
Примечание: N — номер серии измерений; z — глубина измерений; Г) — возвышение
поверхности, V — скорость ветра на высоте 10 м; <о0 — частота максимума спектра волн; Kuw —
коэффициент корреляции между компонентами скорости; х — напряжение Рейнольдса. wcp —
средняя скорость течения на горизонте измерений.
ному (именно такое представление существует в основном и до
настоящего времени [85, 168]), то Kuw должен бы быть мал, даже если
волновое движение достаточно интенсивно. Действительно, в самих
потенциальных волнах Kuw = 0, а взаимодействие их с внешней
турбулентностью приводит к эффектам третьего порядка малости
[164]. Однако экспериментальные исследования показали, что во
взволнованном слое существуют значительные величины Kuw, а,
9
следовательно, и волновые напряжения Рейнольдса т =—Uw. До
сего времени эти измерения единичны и не дают ответа на вопрос
о распределении т по глубине в зависимости от внешних факторов;
на их основании даже нельзя достаточно точно определить их
абсолютные значения. Сам факт существования значительных т еще
раз подтверждает, что волновое движение в океане в целом
нелинейно и турбулентно.
Таблица 1.2. Лабораторные измерения напряжений Рейнольдса
N
1*
2*
3*
4*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
г м
3-10-2
5-Ю-2
6-10-2
8-10-2
0,3- Ю-2
0,5- Ю-2
0,8-10-2
1,0-10-2
1,5-10-2
2,0-10-2
2,5-10-2
3,0-10-2
3,5- Ю-2
4,5-10-2
4,5-10-2
ои, м/с
10-10-2
0,5-10-2
8,25-10-2
8- Ю-2
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
ow, м/с
9,7- Ю-2
9,2-10-2
7,6.10-2
4,75-10-2
__
—
__
—
—
—
—
—■
—
—
"
ои/о'
0,615
0,585
1 0,507
0,492
—
— •
—
—
—
■—
—
—
—
~~
1
<Va/
0,598
0,568
0,467
0,289
—
—
—
—
—
—
—
—
—-
—
—
"х-10—4
м*/с*
1
—
—
—
ю
13
19
24
35
28
12
7
5
2
1,5
т-10-4,
м2/с2
— 13,39
—2,01
—
0,076
10,2
13,2
• 19,3
24,75
36,9
30,7
14,0
8,4
6,25
2,4
1,65
Примечание: ЛГ — номер серии измерений, ои, ow, a' — дисперсии: горизонтального,
вертикального компонент и полной скорости, т т — полное и волновое напряжение Рейнольдса.
В табл. 1.1 и 1.2 приведены экспериментальные данные о
напряжениях Рейнольдса в поверхностных волнах. В табл. 1.1 собраны
результаты натурных наблюдений, выполненных на близких
горизонтах. Звездочкой отмечены данные Шонтинга, а остальные
получены в 1975 г. в Черном море на полигоне МГИ АН УССР, в пос.
Кацивели, где одновременно измерялись характеристики
поверхностного волнения и ветра.
В табл. 1.2 представлены результаты лабораторных измерений
Кононковой, Поборчей, Показеева (отмечены звездочкой), а также
Доброклонского и Лесникова. Из таблиц видно, что даже по
сводным результатам нельзя сделать определенных ^выводов. Это
усложняется еще тем, что большинство исследований не были
комплексными: одновременно с измерениями флуктуирующей части поля
скорости не фиксировались поле ветра, возвышение поверхности
раздела, поле средних скоростей и течений. Кроме того, при натур-
10
ных исследованиях в каждой серии имеется лишь два-три значения
напряжений по глубине.
Интегральные по частотам величины напряжений т изменяются
в широких пределах от единиц до нескольких десятков дин на
квадратный сантиметр и превышают величины касательных
напряжений в приводном слое атмосферы, которые получаются на основе
оценок через скорость трения [55]. Основной вклад в т дают
компоненты скорости на основных энергонесущих частотах волнения,
что указывает на отличие волнового движения от потенциального.
При определении напряжений Рейнольдса существует сложность,
заключающаяся в том, что даже для максимально возможных
величин напряжений, имеющих порядок 10~3 —Ю-2 м2/с2, сдвиг фаз
между флуктуирующей горизонтальной и вертикальной
компонентами скорости очень мал. Поэтому экспериментальное его
определение — задача сложная и сопряжена с большими погрешностями.
Рассмотрим пример. Пусть имеются ветровые волны с характерными
амплитудой и частотой. Напряжения Рейнольдса в них выражаются
как
UW = Kuw (0) GuOWi (l.l.l)
где Kuw — коэффициент взаимно корреляционной функции при
нулевом сдвиге во времени; аи и ow — среднеквадратичные значения
пульсаций скорости. Вследствие высокой корреляции между и и w
и узкополосности процесса ветрового волнения волновые
напряжения можно выразить через спектральные характеристики.
Учитывая, что из (1.1.1) следует соотношение
оо
UW = j PUw (CO) dcD,
о
в котором Puw (со) — коспектр, и представляя его как
Puw М = [Su (со) Sw (co)]1/2 Ruw (со) cos qw (со),
где Ruw и фИМ) — соответственно когерентность и фазовый сдвиг,
получаем
оо
UW Ж Ruw COS qW J Say (CO) dC0 = Ruw COS q>uw Ow-
Для характерных ветровых волн [84] Ruw « 0,95, ow = 0,125 м2/с2.
Поэтому даже для больших значений напряжений Рейнольдса,
равных 10 Н/м2, имеем cos ф « 0,01, т. е. сдвиг фаз между
горизонтальной и вертикальной компонентами скорости, вызывающий
существование таких касательных напряжений, мало отличается
от л/2. Следовательно, в реальных условиях определение
отклонения от л/2 представляет большие трудности. Это является одной из
основных причин малой изученности данного вопроса, поэтому
необходимо совместно развивать экспериментальное и теоретическое
направления.
11
Результаты лабораторных исследований (см. табл. 1.2) дают
некоторое представление о распределении по глубине напряжений
Рейнольдса. Однако здесь также существует ряд моментов,
подлежащих обсуждению. Один из них — методика определения
напряжений Рейнольдса в экспериментах [37]. Она состоит в
изучении движения взвешенных частиц в волнах. Известно [73], что
скорости в представлении Эйлера и Лагранжа отличаются во
втором порядке по параметру крутизны. Но при изучении
волнового движения посредством слежения за взвешенными частицами
с последующим осреднением, как это делалось в указанных
экспериментах, для удовлетворительного определения сдвига фаз между
компонентами скорости необходимо определять его в каждый из
моментов, а не после осреднения скоростей по ансамблю. Иначе
при определении ф могут появляться заметные погрешности
(особенно при малых скоростях), которые приводят к значительным
искажениям данных о напряжениях. Но даже при определении гр в
каждый момент, возникает вопрос: каким образом в таком случае
вычислять необходимый сдвиг фаз для определения напряжений
Рейнольдса по значениям скоростей Лагранжа. Этот момент в работе
[37] не обсуждался.
Тем не менее вывод о существовании значительных напряжений
Рейнольдса, генерируемых волнами, следует из всех экспериментов.
Из этого снова вытекает факт существенной завихренности и
нелинейности волнового движения, а также необходимость учета его
при исследовании волновых возмущений и выявлении эффектов,
к которым они приводят.
§ 1.2. Перенос масс волнами в придонных слоях
Напряжения Рейнольдса обусловливают осредненные потоки
импульса и энергии. В результате под действием волновых
возмущений в атмосфере и океане должны формироваться не только
осциллирующие, но и стационарные пограничные слои.
Генерация пограничных слоев в придонном слое океана мало
изучена. Однако лабораторными и выполненными в море
исследованиями показано, что волновые возмущения приводят к
возникновению стационарных потоков, которые локализованы у дна и
осуществляют направленный осредненный перенос масс. Этот
пограничный слой в зависимости от параметров волн, возбуждаемых
движение, может быть ламинарным или турбулентным. Переход
ламинарного пограничного слоя, генерируемого волнами, в
турбулентный режим был продемонстрирован Коллинсом [112]. На основании
экспериментальных данных он показал существование критического
значения параметра Re = alVT sh kH {a — амплитуда волны, Т —
ее период, k — волновое число, Н — глубина), при котором поток,
обусловливающий перенос масс, становится турбулентным. На
рис. 1.2, взятом из его работы, ясно виден этот эффект. На нем по
12
вертикальной оси отложена скорость переноса масс (V) умноженная
на длину волны (к). Четко видна область перехода движения из
ламинарного в турбулентное. Переход происходит достаточно резко,
что видно по изменению наклона
прямых, соответствующих средним
значениям данных в обеих
областях.
В природе, как правило,
реализуются турбулентные
пограничные слои. Аботт [96]
экспериментально изучал перенос масс
приливными волнами в эстуарии
р. Темзы. На рис. 1.3. хорошо
видно, что вблизи . дна усредненная
за период скорость, т. е. V =
т
= у] и (t) dt, отлична от нуля,
о
а мгновенные ее значения имеют
Рис. 1.2. Зависимость скорости переноса
массы в окрестности границы
пограничного слоя от параметра Рейнольдса [112]
10'
.UiLcm'A
/П
ю\
/Jam
по
щный
ток
••/
J-
л&й
W
\Jsy*
&&•*
\
У
УГурбутмый
лоток
as w 2,o 5,o ю,о 20,0 то
a(fAshkhf
нерегулярный характер, что свидетельствует о турбулентности
движения.
Распределение V по глубине выявляет существование
стационарного пограничного слоя. На рис. 1.4 приведены примеры
распределения скорости, рассчитанной на основании эксперимента л ь-
Vм/с
Рис. 1.3. Горизонтальная компонента скорости на трех горизонтах в
приливном потоке [96]:
1 -— на глубине 2 м, 2 — на средней глубине, 3 — на расстоянии О.З^м от
дна, Г — период приливного потока
13
кых данных. В этом случае безразмерная переменная пограничного
слоя rj = (со/2 v)1/* г. Эпюры /—5 представляют распределение
скоростей в различных частях эстуария. Во всех случаях
распределение V типично для двойного пограничного слоя: на некотором
расстоянии от дна она достигает максимума, а затем убывает.
Плоская ламинарная теория переноса масс волнами в мелких
бассейнах была построена Лонге-Хиггинсом [143] и развита в
некоторых последующих работах.
Однако теории, учитывающей
турбулентный и трехмерный характер движения
на вращающейся Земле, пока не
существует, хотя потребность в ней оче-
Vcm/c
Рис. 1.4. Распределение по глубине
скорости переноса масс в придонном слое
приливного потока [96]
видна, так как с генерацией стационарных пограничных слоев
и переносом масс волнами связаны такие важные проблемы
гидрофизики, как передача энергии от одних масштабов движения к
другим, нанос донных осадков, эрозия берегов и др. Кроме того,
этот вопрос имеет большое значение для решения задачи о
структуре самого придонного пограничного слоя и оценки его вклада в
общую циркуляцию.
§ 1.3. Тепловые эффекты, обусловленные волнами
Флуктуации поверхностной температуры. Волновое возмущение
в пограничных слоях атмосферы и океана приводит к возникновению
не только специфических динамических эффектов, но и
температурных особенностей. Первой из них является экспериментально обна-
Рис. 1.5. Температурные волны, обусловленные возмущением
поверхности раздела [152]
руженный факт возникновения под действием поверхностных волн
температурных волновых возмущений на самой поверхности.
Амплитуда и фазовый сдвиг последних по отношению к поверхностной
волне, как показывают эксперименты, зависят от характеристик
поверхностных волн.
14
На рис. 1.5 показан пример записи сигналов, соответствующих
поверхностной (/) и температурной (2) волнам [152]. Ясно видно
существование температурной волны, обусловленной
поверхностными волнами. Амплитуда и сдвиг фаз между ц ив существенно
зависят от характеристик ветра.
**
*3
*3
ю
в
6
4
2
- 15
- 12
- 9
- 6
■ 3
2
■ ч S >^°Vv
- V/j^V/ xv
- yw-^Ny ^^—olw.
j 1 1 1 • <l—
q Ъж/см*
0.04
0
-004
-0.06
Ш
02
0.3
0.4
OS
/Гц
Рис. 1.6. Спектры потоков тепла на глубине 1,3 м (случай
смешанного волнения) [45]:
/ — полного, 2 — волнового, 3 — турбулентного; 4 — спектр пульсаций
температуры: Я — спектр гюзвышения
д Як/см*
ffu
Рис. 1.7. Спектры потоков тепла на глубине 1,5 м (случай зыби).
Усл. обозначения те же, что и на рис. 1.6
Механизм возникновения температурной волны на поверхности
при динамическом волновом возмущении понятен. Известно [178],
что на поверхности моря существует молекулярный температурный
пограничный подслой, толщиной порядка миллиметра. Он
обусловлен термодинамическими процессами на поверхности океана:
испарением, поглощением радиации, диффузией тепла и т. д. При
возникновении волновых возмущений этот подслой деформируется.
15
Деформация зависит от локальной кривизны поверхности, т.е. от
фазы волн. Следовательно, возникает периодическое изменение
толщины температурного пограничного подслоя, распространяющееся
в направлении скорости волн с
максимумом, соответствующим
наибольшей кривизне
поверхности. При этом будет изменяться
вдоль волны теплоотдача и как
следствие — возникнет
температурная волна.
Возникновение
температурной волны важно само по себе в
связи с проблемой коррекции и
интерпретации данных,
получаемых дистанционными методами
(например, со спутников). В
связи с этим в последние годы
свойства тепловой пленки интенсивно
исследуются в лабораторных и
натурных условиях. Однако не
менее важны проблемы,
сопряженные с этой задачей. Ясно, что
волновые возмущения нарушают
равновесную структуру
температурного поля,
сформировавшуюся при отсутствии волн, не
только на самой поверхности, но
и во всем поверхностном слое;
перестраиваются весь
термодинамический режим
поверхностного слоя, процесс обмена
импульсом, энергией и теплом
между атмосферой и океаном.
Следовательно, проведенные
эксперименты свидетельствуют о том,
что поверхностные волны
существенно влияют на термику
взволнованного слоя. Этот
важный вопрос не исследован.
Волновые потоки тепла. Вывод о том, что поверхностные волны
должны оказывать влияние на процессы теплообмена в
поверхностном слое океана подтверждается натурными наблюдениями
Ефимова, Запевалова [45].
На рис. 1.6 и 1.7 представлены спектры полного q (/), волнового
q (f) и турбулентного q' (f) потоков тепла для смешанного волнения
и зыби. Там же приведены спектры возвышения и температуры.
Как видим, q (/) составляет основную часть q (/) на частотах вол-
Рис. 1.8. Изменение со временем
термогидродинамических параметров в
слое волнового перемешивания:
{w, и, о} — компоненты скорости; tt, t2 —
температура; rij 4 — возвышение
поверхности моря в четырех точках.
Заглубление датчиков 1,5 м
16
нения. Сравнивая рисунки, можно отметить, что при изменении
основной частоты волнения происходит смещение пика и в спектре
потока тепла.
На рис. 1.8 приведен пример записи трех составляющих поля
скорости в воде, возвышения в четырех точках и температуры на
двух горизонтах. Данные получены осенью 1975 г. на полигоне
МГИ АН УССР в Черном море при ветровом волнении. Хорошо
видно существование сдвига фаз между флуктуациями температуры
и составляющими поля скорости, обусловливающего возникновение
волновых потоков тепла. Эти потоки имеют максимум в окрестности
энергонесущих волн.
Полный вклад волнового потока тепла на интервале частот [flf f2]
в области максимума спектра ветровых волн
и
Q=$?(/)d/
в общий поток Q0 составляет значительную часть. Оказывается,
что у = Q/Qo» как правило, больше 0,5. В случае зыби
относительный вклад волн в обмен теплом больше, чем в случае ветрового
волнения, так как при «чистой» зыби движение близко к потенциальному
и Q' (турбулентное) должно исчезать.
Таким образом, в проблеме волновых возмущений
температурного поля и их вклада в обмен теплом и формирование
квазиоднородного слоя необходимо теоретически исследовать: а) влияние
тепловой пленки на процессы обмена теплом при наличии волнения;
б) структуру температурных пограничных слоев, обусловленных
волнами; в) механизм переноса тепла волнами и оценку
относительного вклада волн в общий поток тепла.
§ 1.4. Неавтомодельность пограничного слоя
атмосферы над взволнованной поверхностью
Одной из специфических особенностей приповерхностного
пограничного слоя атмосферы является эффект отклонения профиля ветра
над взволнованной поверхностью от автомодельного
логарифмического распределения. До недавнего времени экспериментальные
исследования структуры пограничного слоя воздуха над
взволнованной поверхностью из-за сложной методики измерений и
необходимости применения нестандартных аппаратуры и оборудования
ограничивались лишь изучением средних характеристик. Однако для
правильного понимания механизма обмена между . атмосферой и
океаном и более точной его количественной оценки необходимы
детальные исследования особенностей, определяемых
взаимодействием воздушного потока с подвижной границей раздела, т. е.
тех отклонений от автомодельного режима пристеночной турбулент-
2 1-U19
17
ности, которые вызываются поверхностными волнами и
поступлением энергии в море через границу раздела.
Сведения о профилях скорости ветра содержатся в работах [42,
124, 156, 187, 192]. Однако в большинстве из них при определении
параметров воздушного потока не проводились измерения
характеристик волнения. Лишь в последнее время благодаря комплексным
измерениям, выполненным на стационарных мачтах, получены связи
возмущений скорости ветра с параметрами волнения и произведена
некоторая классификация
результатов этих
измерений [34, 42].
Спектры компонент
скорости в приводном слое
отличаются от спектров
пристеночной
турбулентности тем, что в области
масштабов, соответств у ющи х
максимуму спектральной
плотности волнения,
заметен вклад энергии
волновых возмущений.
Относительная величина
волновых пиков в спектрах
скорости сильно меняется в
зависимости от отношения
и/с, где с — фазовая
скорость основных
энергонесущих компонент
волнения; и — средняя скорость
ветра. Для малых
отношений и/с они ярко выражены, для и/с ->- оо — практически не
заметны на фоне интенсивной внешней турбулентности.
Детальные измерения, выполненные отделом взаимодействия
атмосферы и океана МГИ АН УССР на неподвижных мачтах
стационарного полигона в пос. Кацивели, показали, что совокупность
полученных профилей для нейтральной стратификации имеет
особенность в нижней части пограничного слоя — излом по отношению
к логарифмическому профилю. Он зависит от характера волнения
и может иметь как положительную, так и отрицательную
производную. Этот эффект еще ранее был выявлен Такеда [192], из работы
которого взят рис. 1.9.
Измерения волнения, проведенные одновременно с профильными
измерениями скорости, позволили количественно оценить
искажения средней скорости и ее градиента [42] (рис. 1.10). Оказалось,
что для ветрового волнения отклонение скорости в нижней части
приводного пограничного слоя достигает больших значений, а
именно Аи « 2и# (рис. 1.М). Отклонение градиента по отношению к его
значению при логарифмическом распределении поля скорости
Рис. 1.9. Распределение по высоте скорости
ветра над волнующейся поверхностью моря
/ — соответствует автомодельному
логарифмическому распределению, 2 — наблюдаемому;
Дв — разность температуры возд>ха и
поверхностного слоя моря, Т — средний период волн,
а — средняя высота волн
18
Рис. 1.10. Отклонение
градиента средней скорости ветра
от его невозмущенного
поверхностными волнами
значения [42]; цифры на рисунке —
серии регистрации
параметров
Vm/c
Рис. 1.11. Разность
измеренной средней скорости ветра
и экстраполированной
логарифмическим законом в
нижней части приводного слоя
[42]; цифры на рисунке —
серии регистрации параметров
2*
достигает ~ 0,6. Это намного больше, чем дает квазиламинарная
теория Майлса — Бенджамина [99, 153—156]. Поэтому существуют
дополнительные потоки импульса и энергии к волнам (или обратно)
по сравнению с теми, которые можно получить на основании
расчетов, базирующихся на автомодельном логарифмическом
пограничном слое. Это, очевидно, должно быть связано с возникновением
в пограничном слое, прилегающем к поверхности моря, не только
периодических, флуктуирующих во времени, но и стационарных
возмущений динамики воздушного потока. До настоящего времени
теоретического анализа и интерпретации указанных эффектов по
существу нет. Такая попытка лишь предпринята в работе Ефимова
[42], где автор проанализировал ряд результатов с позиций вязкой
динамики воздушного потока над взволнованной границей и
пришел к. выводу, что «... правильная интерпретация этих результатов
может быть найдена лишь в рамках,теоретических моделей,
учитывающих влияние нелинейных эффектов и эффектов турбулентности».
Глава 2
ЭФФЕКТЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
В ЛАМИНАРНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ
Нелинейные и вязкие эффекты в гидродинамических волнах
проявляются в удивительном свойстве возбуждать направленный осред-
ненный перенос энергии, импульса тепла и масс. Эта особенность
является свойством самой физической среды, реакция которой не
может быть мгновенной. Поэтому возникает интегральная реакция
(приспособление), при которой импульс и энергия
рассредоточиваются в конечном объеме, т. е. происходит их передача в большие
пространственно-временные масштабы движений, что является
проявлением свойства инерции среды и невозможности распространения
возмущений с бесконечной скоростью.
Исследование осредненных волновых эффектов важно как в
фундаментальном, так и прикладном аспектах. Однако оно сопряжено
со значительными сложностями, поскольку вязкие и нелинейные
свойства движений наиболее труднодоступны для исследования.
Проблема переноса масс поверхностными волнами берет начало
с классической работы Стокса [190], где она рассматривалась с
позиций гидродинамики идеальной жидкости. Анализ особенностей,
связанных с влиянием молекулярной вязкости и других
параметров, был выполнен позже Лонге-Хиггинсом [143, 144], Хантом и
Массоудом [132], Доре [115], Дворяниновым и Журавлевым [29]/
Нелепо, Дворяниновым, Прусовым [34], автором [35].
§ 2.1. Общие соотношения
Уравнения движения. При исследовании динамики волновых
возмущений пограничных слоев атмосферы и океана будем исходить
из уравнений гидромеханики
т?-+%-ё-—fr+'-Йг <21J>
"ИГ"». <2|2>
где щ — скорость, р — давление, v — коэффициент молекулярной
вязкости; xt — координаты и принято правило суммирования
Эйнштейна.
21
В общем случае динамические характеристики движения
состоят из суммы средних величин, флуктуирующих с частотой волн,
и высокочастотных турбулентных пульсаций. Поэтому представим
их в виде
{щ, р) = {щ, р) + К р} + [щ, р'} (2.1.3)
и примем такие свойства осреднения по времени и ансамблю:
7 = о, / = о, (/'> = о, fe = fa (fg)^f (g),
(fg) = / (gh (/) = /, (7) = l ~fg' = Cfg') = 0. (2.1.4)
В (2.1.4) f — среднее (осредненное за период волны)
распределение, f — флуктуирующая с частотой волн часть; f —
турбулентные пульсации; (/) — осреднение по ансамблю, которое
предполагает осреднение по большому числу реализаций, имеющих
одинаковую фазу по отношению к волновым колебаниям, так что
Ф = ] + 1 (2Л.5)
Из (2.1.2)— (2.1.4) следует, что
-ё—£—е--* <2-'-б>
После подстановки (2.1.3) в (2.1.1) и осреднения по ансамблю
получаем уравнения турбулентного движения при волновых
возмущениях
dtut + tijdjUi + UjdjUt + UjdjUi + д,- (щщ) +
+ dt (щщ) = — (dtp + дф) + v (dfijui + d,djut)9 (2.1.7)
где для краткости записи вместо оператора дифференцирования
dldXj введен оператор 5/.
Усреднение во времени (2.1.7) дает уравнение для среднего поля
Ufdf-u( = — dtp + vdjdjUi — д} (щи]) — df {щщ), (2.1.8)
Последний член (2.1.8) представляет собой напряжения Рейнольдса
т = — (ЩЩ)> обусловленные волновой частью поля скорости,
которые делают уравнения отличными от обычных, описывающих
средний турбулентный поток, и определяют вклад волн в среднее
движение. Эффекты, связанные с этим явлением, будут рассмотрены
ниже.
Вычитая (2.1.8) из (2.1.7), имеем уравнения, описывающие
динамику волновой части поля скорости:
d&t + [Ujdftii + tijdjUi] = — dtp + vd/d/И, +
+ dj (щи,- — up,) — dj ((щщ) — ЩЩ). (2.1.9)
22
Соотношения (2.1.9) и (2.1.6) не замкнуты, так как член
%'ц =»— (щи]) + щщ (2.1.10)
не известен. Однако \ц имеет ясный физический смысл. Он
представляет разность турбулентных напряжений Рейнольдса при
наличии и отсутствии волн.
Так как не известно, каким образом найти т'ц или выразить их
через и,-, описание волновых возмущений оказывается
принципиально сложной задачей, требующей дополнительных гипотез.
Некоторую оценку тц можно получить следующим образом.
Вычтем (2.1.7) из (2.1.1). Умножая получившиеся уравнения для
щ на и)9 а уравнения для и] — на щ и суммируя их, получим
уравнение относительно напряжений Рейнольдса щщ- Осредняя их
независимо по времени и по ансамблю, а затем беря разность
результатов осреднения, получим уравнение для тц
Ъ{1ц + иадаТц + Xjada^i + ЪсА (и, + И,) + т]адаЩ —
— t'jadaUi — x'iadaUf — Uad*t'ij = — {ИсА^/И/ +
+ и)иадаЩ + UiUadaUf) + да (u'iUjUa) — (tl'itljUa) ~
— (Ufdj)') + Ujdtp' — (Uidfpf) + u'idjp' +
+ v [dadaTif — 2 (daUidau'f) + 2daUidaUf], (2.1.11)
где ~Dt=zdt+~u>idi.
В (2.1.11) члены, стоящие в фигурных скобках, имеют тот же
порядок величины, что и волновое движение, т. е. О (иь).
Следовательно, волновые возмущения напряжений Рейнольдса могут быть
значительны. Поэтому при исследовании динамики волновых
возмущений величинами iih входящими в (2.1.9), в общем случае
пренебрегать нельзя. Отметим, что экспериментальные исследования
также дают значительные величины, как это было показано в первой
главе.
Энергетические соотношения. Плотность усредненной по
времени кинетической энергии при волновом возмущении
турбулентного движения есть
8syU^= -^ЩЩ + ^-и^ + ^и'м. (2.1.12)
Уравнения для ее слагаемых могут быть получены умножением
соответствующих уравнений движения на ии щ, щ и осреднением
23
по ансамблю, а затем по времени. Они имеют вид
Dt \jy uiut) = — дфщ + арфы; + u'iUjdjUi — df [щ [щи] +
+ upjn + vdf [щ (д,щ + dpi)] y v Vp* + д^*> <2л'13>
Dt (4- uiui)=—di [ui (p+4* "*•"<)]+(— "Я) <v< —
■ (— {m))) д,.щ — dj [щ (щи])] +
+ vdf [щ (д;щ + дм)] L v {д[щ + d^Y , (2.1.14)
Dt(-i-ад^= — dj [и) (/?' + -у- щщ)\ + (— ад)) д,-и{ +
(— (ад)) дум, — utdi \ -~^ /) +
+
+ vd, [щ (djut + dLuj)] lY v (djut + дм)*. (2.1.15)
Левые части (2.1.13) — (2.1.15) представляют изменение энергии
каждой из составляющих движения, которое определяется
механизмами, описываемыми правыми частями. 4
Особую роль в динамике волновых возмущений играет второй
член в правой части (2.1.13) UiUjdjUh определяющий поток энергии
к среднему движению (или от него) за счет работа волновых
напряжений Реинольдса,— (utUj). Такой же член входит в правую часть
(2.1.14), но с другим знаком. Это соответствует, тому, что если
волновое поле получает энергию от среднего, то среднее соответственно
теряет ее, и наоборот.
Последние два члена описывают работу против сил вязкости.
Первый можно интерпретировать как поток энергии, обусловленный
вязкостью, второй — как ее диссипацию в единице объема
вследствие действия вязкости.
Связь скоростей в представлении Эйлера и Лагранжа в волнах.
В представлении Эйлера вектор скорости u (x, t) рассматривают как
функцию положения х (х19 х2, х3) и времени /, т. е. u (x, t)
описывает скорость частицы, проходящей через определенную точку
пространства в определенный момент. Частные производные по х или t
представляют градиент поля в данный момент или, напротив,
скорость изменения в данной точке.
Представление Лагранжа определяет элементы жидкости их
положением в некоторый начальный момент tQy а движение
описывает, следя за последующими положениями и скоростями этих
24
элементов. Таким образом, в этом случае
х =х(а, t — t0)9 x(a, 0) = а,
U/(a, t — *0)=d,x(a, t — t0),
так что
x-a=ju/(a, т-у dr.
(2.1.16)
(2.1.17)
Поскольку основные измерения в океане осуществляются
посредством закрепленных приборов, большинство теоретических
исследований выполнено в представлении Эйлера. В то же время при
исследовании диффузии и переноса масс важно знать движение самих
частиц, т. е. свойства движения в представлении Лагранжа. Задача
перехода от одного описания к другому в общем случае не решена.
Однако для волнового движения приближенно такую связь можно
получить.
Пусть uz (a, t) является скоростью жидкого элемента, имевшего
в момент t0 = 0 координату х = а. Тогда в последующие моменты,
согласно (2.1.17), имеем
t
х =а + \щ(г, т) с1т. (2.1.18)
о
—*■ —> —> ~> —>
Скорость в точке х равна щ (а, /) или u (x, f) — в представлении
Эйлера. Следовательно,
u, (a, t) = u a +
£uj(a, T)dx, tj =
= и(а, t) +
щ (а, т) dx
gradau(a, t)+ ..., (2.1.19)
где использовано разложение в ряд Тэйлора, a grada = d/dat —
оператор градиента. Таким образом, до членов второго порядка
малости по параметру крутизны волн имеем
t
щ (а, t) = u (а, t) + [^ щ (а, т) dt
gradau(a,0. (2.1.20)
Порядок индуцируемой скорости. Индуцируемая волнами средняя
скорость имеет порядок крутизны волн в масштабе волновых
скоростей. Выберем за характерный пространственный и временной
масштабы при волновом движении соответственно кг1 (волновое
число) и со (частоту волн); для волновой скорости — величину аш>
где а — амплитуда возвышения поверхности, а для индуцирован-
25
ной т (ясо), гдет—масштабный множитель, который необходимо
определить.
Рассмотрим ламинарный случай, что не повлияет на величину
масштаба. Обезразмеривая уравнения (2.1.9), будем иметь
dtut + те [UjdjUi + UjdjUi] = — dtp +
+ a^fdjtii + e [df (щщ — щщ)\ (2.1.21)
где 8 = akt a = (v&Vco)1/* — параметры нелинейности и вязкости
соответственно.
Наличие а2 при старших производных в (2.1.21) указывает на
существование нестационарного пограничного слоя толщины 0 (а).
Это означает экспоненциальное затухание нестационарной
завихренности вне пограничного слоя. Следовательно, силовой член д, (UiUJ),
ответственный за возникновение индуцированной волновыми
напряжениями скорости [см. (2.1.8)], также затухает вне слоя толщины
О (а). Обезразмерив (2.1.8), можно убедиться, что перед членом dfdfUt
появляется масштабный множитель та2Ye. Поэтому, чтобы
уравновесить член dj (UiUJ) в пограничном слое, его необходимо выбирать
равным а2, т. е. та2/г = а2. Откуда имеем т = 8.
§ 2.2. Перенос масс в глубоком море
Невращающийся бассейн (экватор). Итак, вязкость воды при
волновых возмущениях приводит к развитию стационарных течений —
полей индуцированного движения второго порядка по параметру
нелинейности волнового поля. Лонге-Хиггинс [144] показал, что
завихренность волновых возмущений из пограничных слоев
диффундирует в основную область, в результате чего в ней также возникает
средний перенос. Так как при анализе этих эффектов им было
принято условие равенства нулю интегрального по глубине
стационарного потока и получено, что индуцируемая скорость линейно
возрастает с увеличением глубины бассейна, анализ его справедлив
только для лотков и мелких ограниченных бассейнов.
Естественно предположить, что в океане поверхностные волны
могут возбуждать отличный от нуля общий перенос, который должен4
определяться в результате решения задачи, а скорости движения
при этом должны быть ограничены. Кроме того, поскольку перенос
масс является эффектом второго порядка по параметру крутизны
волн, то при исследовании его правильнее учитывать в
поверхностных волнах вторые гармоники, а также возможные изменения
среднего уровня поверхности океана вследствии наличия
индуцированного поля скорости. Наконец, нужно иметь в виду, что волнение
в океане изменяется в пространстве и времени. Тогда, если оно не
зависит от координаты у системы {х, уу z}y помещенной на
невозмущенную поверхность, ел:, направленной в сторону распространения
25
волн, a z — по гравитационному ускорению g, уравнение переноса
вихря, записанное через функцию тока, согласно (2.1.1), (2.1.2),
имеет вид
дМ + J № 40 = *&№, (2.2.1)
где J — якобиан.
На свободной поверхности вида
т] = а0 cos (kx — cof) e-(v*+^) -f [ul cos 2 (kx — at) +
+ a2 sin 2 (kx — cof) + 5] e-2{yx+u\ (2.2.2)
где a0 — задана, но alt a2, a нужно определить; 7 и Л, — неизвестные
параметры затухания волн по пространственным координатам и во
времени, выполняется кинематическое условие
dfl\ + dxW + дгЧдхц = 0 (2.2.3)
и отсутствуют напряжения
(д% - д2хх) У - idxr\d2xzW - 0 при z = л, (2.2.4)
— р + 2vdL^ = 0 при z = ц. (2.2.5)
Условие (2.2.4) получено Лонге-Хиггинсом [143] и Кинсманом
[137] и является точным отражением отсутствия тангенциального
напряжения, ins = 0 при z = t).
Кроме (2.2.4), (2.2.5), справедливы также условия затухания
волновых возмущений при z-> oo.
Представим решение в виде
\[Г __ е—(yx+U) [f ф £—(ух+М) р ф ei(kx—(ot)] ei(kx—nt) _|_
+ Ф(г)е-2^+^), (2.2.6)
где / (z) — решение первого, а F (z) и Ф (z) — второго порядков по
параметру е. Параметры k, со, Я, 7 действительны; 7 и А, > 0.
Подстановка (2.2.6) в (2.2.1) приводит к такому уравнению для
первого порядка:
{[v (D\ — 472/е2) + Шх — 2afeco] +
+ t [(4vvfe — со) Dx + 2X7*]} / (z) = 0 (2.2.7)
и для второго —
{[v (р\ — 647%2) + 2Ш2 + I67M +
+ I [(\6vyk - 2со) D2 + Шук]} F (z) = - 4- (7 + ») (/'Г - /Г).
(2.2.8)
в которых Dx = dL + (72 — k2)\ D2 = dL + 4 (V2 — &2), а штрих
означает дифференцирование по z.
Для стационарной части получается уравнение
(Р\ + 2XD3) Ф (z) = - 4" 7 (/о/о + /1/1 - /о/о - /,/Г) +
27
+ \ k {fof\ - fxfl - f/o + hfl) + 2yk [y (foh - fj\) +
+ М/0/0 + Ш], (2.2.9)
где /о и /i представляют реальную и мнимую части /, а
D3 = dl + 4y*.
Достаточно громоздкая процедура дает такое решение для
стационарной скорости Эйлера, справедливое до второго порядка по
е и а включительно:
и = сг sin yz + c2 sin 2x2z + eg-*»2 +
+ cgr-^2 cos x2z + сьег-^г sin x2z, (2.2.10)
в котором
cx = 2еа2 (я0со), с2 = — 8 (а0со)/|^2, с3 = -j- еа2 (а0со),
с4 = _ еа (я0со), с5 = ^" 8 (2 + а) (а0со), Хг = — 2&/а,
х2 = fc/j/2", *2 = й/а, к2 = —к(1+ а)/а.
Кроме того, определяются параметры, характеризующие
затухание волн, дисперсионное соотношение:
Х = соа2, Т = 2Ла2, 0 = [gk)u i- a3 (gkf\
а также амплитуды гармоник возмущения поверхности моря и ее
стационарное изменение в результате действия вязкости и
нелинейности
1 1-1
«1 = -у ea0, a2 = -f- 8a«o» я = 4~ 8а°*
Следовательно, когда учитываются эффекты трения и
нелинейности в изменении профиля волн, индуцированная ими
стационарная скорость Эйлера ограничена, что физически является более
приемлемым.
Последние три слагаемые в (2.2.10) экспоненциально затухают
с глубиной в пределах вязкого пограничного слоя. В основной
области стационарная скорость имеет максимальный порядок О (е),
который определяется величиной с2; в пограничном слое
максимальный порядок индуцированной скорости также равен 0 (е), что
соответствует априорным оценкам, полученным в предыдущем
параграфе.
Скорость переноса масс (индуцированный поток Лагранжа),
вычисленный по формуле (2.1.20), имеет вид
Vn = 8 (a0co) [V2 sin V2 kz - a2 sin 4a2£z + e~2k2 + — a?e~2kz/a —
— 2ae-w+aWa (sin kz/a + cos kz/a)] e~*y*+ktK (2.2.11)
28
Следовательно, скорость переноса масс также имеет порядок
О (г) в масштабе (а0(о) и ограничена. Интегральный по глубине
перенос в таком случае отличен от нуля и зависит от параметров волн.
Как следует из (2.2.11), он может быть значителен и поэтому играть
важную роль в переносе примесей в верхнем слое океана, особенно
в тех районах, где поверхностные волны имеют преимущественное
направление. Индуцированный перенос может играть, кроме того,
заметную роль в общей циркуляции океана.
Особенности генерации стационарной скорости поверхностными
волнами изучались также Ефимовым и Гришиным [44]. В отличие
от постановки Лонге-Хиггинса они рассматривали бесконечно
глубокий бассейн и выбирали прямоугольную систему координат.
Характерным масштабом средней скорости была величина е (асо).
Флуктуирующее поле скорости определялось из уравнения,
аналогичного (2.1.9), однако пренебрегалось членами, стоящими в
квадратных скобках. Ими получено решение с бесконечно возрастающей
по глубине средней скоростью; в таком случае член, стоящий в
квадратных скобках, на самом деле является основным и его
необходимо учитывать.
Индуцированные течения в слое Экмана. В море определяющую
роль играет еще один фактор — вращение Земли, в результате чего
на движущиеся частицы действует сила Кориолиса. Член,
обусловленный силой Кориолиса, имеет порядок 0 (асо), поэтому при
анализе индуцированного поля скорости во вращающихся
бассейнах пренебрежем эффектами гармоник и затуханием волн,
имеющими более высокий порядок малости. Но так как в случае действия
силы Кориолиса движение становится трехмерным, то будем
учитывать горизонтальный обмен. Снова принимая, что волнение не
зависит от координаты у, т. е. ду = 0, имеем такую систему
уравнений:
<3*Дг|) + J (Aip, -ф) — fd2v = vfilxbrip + v2dLA4>,
dfi + J (v, ip) + fdtf = vxd2xxv + v2dlzv, (2.2.12)
с граничными условиями
д\гУ — dLty — 4<Э,т)д^ф = О,
dzv = О,
dtr\ + дхЦ + дхг\дгЦ = О
при г = т] (2.2.13)
дгг|) = д*г|) = и = 0 при z-*oo, (2.2.14)
в которых v — компонента вектора скорости вдоль оси у; vt и v2 —
коэффициенты вертикального и горизонтального турбулентных
обменов, принимающиеся постоянными.
Введем те же характерные параметры, что и при оценке
индуцируемой скорости, и при получении уравнений и граничных
условий воспользуемся процедурой, описанной в § 2.1. Тогда для
59
нестационарного поля скорости имеем
дАУ —~ & + еУ (Дф, ф) + е2 (ЭДЙ^ -
^ + JL drf + 8У (у, гр) + 82 [dfipdxu - дгад^] =
= a2[dlxv + ydlv], (2.2.15)
dzv = 0, при z = ti, (2.2.16)
ЯхЧ> = (^Л — *дгЦдхг\) — г (djfdxr\)f
dzq== djp = v == О при z->oo. (2.2.17)
Здесь у = Va/v^ а <£ 1. В соотношениях (2.2.15) — (2.2.17) учтено,
что в силу периодичности по x,dxF = 0. Решение ищем в виде ряда
по параметру е
оо
{Ф, ^} = S e'{V. А (2.2.18)
/=о
Тогда для первых двух приближений получаем
дАЦ} f— dzvf - а? (д2хх + ydl) А^ = jJ (V"1, AV"1),
0 (2.2.19)
3*' + 4" <W-a2 (& + tfL) t/ = /V fl/-1, t/"1),
WL - aL) V = / hd W1 - r\dLyf-1 + 4^r)^/"1],
exV = - / (dtf-ldj\ + r\dUf~l) - (/ -1) аЛ,
d2t/ = — ix\d2zzv^ при г = 0, (2.2.20)
дгг|/ = у7 = дх^! = 0 при г ->■ оо,
где / -= 0; 1; граничные условия разложены в ряд Тэйлора
относительно невозмущенной поверхности z = 0, а знак волны для
удобства опущен.
Уравнения (2.2.19), (2.2.20) содержат малый параметр при
высших производных и могут быть решены методом асимптотических
сращиваемых разложений [8, 58]. Раскладывая if', &' в ряд по
малому параметру а
оо
{V. о7} = S «' М"1». 0(/,)}> (2.2.21)
30
имеем следующие уравнения, описывающие движение во внешней
области, т. е. вне пограничного слоя:
д№> - -L д/*п = б+ (I - 2) (д2хх + ydi) Дя|></''-2> -
_б+ (/ — 1) 2 J (Дг|)(/->.т), ^(/-1л))(
т'п (2.2.22)
W* + "5" а«*",) = 6+ (/ ~ 2) $» + Л у(/''~2) _
оо
.- б+ (/ — 1) £ J (W-l-m\ V7-1"').
где / = m + n, fi+ — ступенчатая функция
6+ JO при КО,
vs; 11 при £>0.
Порядок уравнений (2.2.22) позволяет удовлетворить лишь
граничным условиям на бесконечности, поэтому эти уравнения
описывают невязкое движение вне поверхностного пограничного слоя.
Следовательно, имеем
Згг|>('7> = irW = ЭД></.'> = 0 при г-> оо. (2.2.23)
Внутри пограничного слоя баланс сил должен быть иным.
Другим здесь также является характерный масштаб по вертикали —
толщина пограничного слоя. Поэтому, как показывает анализ, в
пограничном слое независимая переменная по вертикали должна
быть выбрана в виде
г = г/а, (2.2.24)
а асимптотический ряд для зависимых переменных — снова в виде
(2.2.21).
Подставляя (2.2.21) в (2.2.19) и учитывая (2.2.24), получаем
следующие уравнения, описывающие движение во внутренней
области:
<4ф</<>_ _L б+(/_ 1) «эУ'-'-1' -у<и№ -
= - б+ (/-2) [dL<D(/V-2)- (1 + У)<СФ(А/-2)] +
+ 6+(/-4)&«Ф</-1-*>-6+(/-_1) £ J{dW-XM\ Фи-Хт\
т,п=0
(2.2.25)
б+(/ - 1) dtv{i-'-l) + -L- дгФи'1) - v6+ (I - 1) д%Фи'-'» =
= 8+ (/ - 3) е&о"''-3' + 8+ (/ -1) £ ^ (Ф</-,,т', f(/-' %
т,п«=0
31
m + n = / + 1.
Граничные условия на поверхности моря (разложенные в ряд
Тэйлора при г = 0) в новых переменных имеют такой вид:
д*,Ф("> - 6+ (I - 2) &Ф(Л'-2) = / [т1&,Ф(/-М+1> - Л^Д)(/-М+1) +
+ 4д;eтlдLФ(/-M-,,], drVul) = /^a^(/V+1), при г = 0,
I длФ("> = - (/ - 1) д,т, + / [дгФ(/'-м+1) - цд1гФи-1'1+\
(2.2.26)
Условиями, замыкающими задачи и описывающие движение во
внутренней области, являются условия сращивания внешних и
внутренних решений
со оо
lim 2 а1 ДО/Л, и</-')} да lim £ а1 {Фи'1), vu\
Здесь мы рассмотрим случай / < со. Решение для f > со может быть
найдено аналогично.
Решения систем уравнений (2.2.22), (2.2.25), необходимые для
вычисления стационарного поля скорости, генерируемого волнами,
которые удовлетворяют граничным условиям (2.2.23), (2.2.26) и
условиям сращивания, приведены в работе [29]. Всего найдено шесть
приближений.
Внутренние решения приближений описывают динамику в
тонком по1раничном слое, примыкающем к поверхности моря, а
внешние — в остальной области. Оказывается, что в нулевом
приближении по вязкости и нелинейности (00) завихренности поля нет,
а внешнее решение дает классическое невязкое волновое решение.
В приближении (10) завихренности также нет. Она появляется лишь
в следующем приближении по а, т. е. имеет порядок О (а2). Эта
завихренность из пограничного слоя диффундирует во внешнюю
область, вызывая в ней касательные волновые напряжения Рей-
нольдса. Последние индуцируют осредненный поток количества
движения в горизонтальном направлении, который под действием
силы Кориолиса существует не только в направлении
распространения волн, но и перпендикулярно ему. Нелинейность движения
обусловливает появление вторых гармоник волнового поля..
Опуская громоздкие выкладки, приведем выражений для
волновых составляющих поля скорости:
и = — %e-®*zcoss + a-~j e^^/aj cos (_^L + s\ —
■sin
(■¥■ +
+ a
4*S
JL
4Xl
■[■
rVcosp- + s
X.„z
•)■
-sin(^
\ a
+ S
+ a2Ql
2Y^o--g-(l-V^o) +
32
+ Ц, -£- (1 - TpQg) г] е-*» sin s, (2.2.27)
у = — i- Qne-n"J sin s — a -^- e-^/a cos (J^L + s) +
+ sin (JJL + «)] + a -^- e-V/a [cos (-£. + s) +
+ -£- Q, (1 - yGo) z] е-й«г cos s,
и» = е-2»2 sin s -f- a2£2o
[2"^,
+
• (1-й;
ОТ "^г"*.1 —°°0-
)z\e~
Q°z COS S —
•a*
Д- e-^/a cos (JV_ + s) + Д. er-x** cos (-^- + s)
Сюда входят такие параметры:
т
Q\
«-('--&-П ■*--*-('+-£■)• «-vO-t)-
_ 1+t ( A A \ CO 1+f /*? ^M CD
*-~2-\ щ + ТГ/ 4/x? * ?2~" 2 ^0 + M 4Д? '
</0 = —(l+i)x?/4x2, ?4== — (l+0^/4^o, s = * — f.
Завихренность О (a2), диффундирующая в основную область
из пограничного слоя, переносит импульс. Так как скорость
распространения волнового дви- __
жения в горизонтальном на- f J3-> У ' S* °
правлении и скорость диффу- 1^>^Й5^</
зии вихря по вертикали
различны, то возникает сдвиг
02 Vw
Рис. 2.1. Распределение по
глубине волновых напряжений Рейноль-
дса uw, vw [29]:
/ — v = 1, р = 0,1; 2 — у = о,5, р =s
0,5; 3 — V = 0,5, р = 0,1; 4 — V = 1»
Р = 0,5
фаз по пространственным координатам между компонентами
скорости, что является проявлением вязких эффектов во
флуктуирующем поле скорости. Как следствие этого, возникают
касательные волновые напряжения Рейнольдса.
3 1-U19
33
На рис. 2.1 представлено распределение по глубине волновых
напряжений Рейнольдса т, = {т18, т23}, рассчитанных на
основе (2.2.27) для различных значений параметров р = /У со и
у. Видно, что xt существенно зависят от р и у. Как следует из
формул, получаемых из (2.2.27) для т13 и т23, если р ->- О, то т23 ->- О,
а т13 стремится к некоторой отличной от нуля функции. С глубиной
Ti3 и т23 экспоненциально затухают.
Волновые напряжения продуцируют эффекты более высокого
порядка, чем само флуктуирующее движение — осредненный
перенос импульса. Следовательно, первоначальной причиной,
возбуждающей осредненный перенос, являются волновые напряжения, т. е.
завихренность и нелинейность волнового поля.
Уравнения движения для осредненных горизонтальных
компонент, получаемые из (2.2.12) с точностью до О (в2) имеют вид
а?уд12Ф — if-0 = дг {uw)y Ф = и + to. (2.2.28)
Граничные условия для средних скоростей получаются
разложением (2.2.13) в ряд относительно г = 0 и осреднением по фазе
полученного результата, а также условий (2.2.14). С точностью до
порядка 0(е2) имеем
д2Ф = _ n<?L<b (0) + r\d2X2w (0) + idjtfjo (0) при г = 0, (2.2.29)
Ф = 0 при г -+ оо. (2.2.30J
Таким образом, вне пограничного слоя Экмана (г ->- оо)
задается условие затухания скоростей стационарного поля,
генерируемого поверхностной волной. Общее решение уравнений (2.2.28)
позволяет удовлетворить (2.2.29) и (2.2.30). Однако при f = 0 нельзя
одновременно удовлетворить (2.2.29) и условию затухания
скоростей, т. е. не существует предельного перехода от вращающегося
бассейна к невращающемуся с сохранением условия затухания
скоростей при z~>oo. Таким образом, последний в данном случае
должен рассматриваться самостоятельно.
Отсутствие прямого предельного перехода объяснимо.
Поверхностная волна генерирует поверхностный пограничный слой.
Когда учитывается вращение Земли, осредненный баланс сил в этом
слое осуществляется между волновыми напряжениями
Рейнольдса, вязкими напряжениями стационарной части поля скорости и
силой Кориолиса, действующей на осредненное поле. Волновые
напряжения Рейнольдса экспоненциально затухают при удалении
от поверхности океана. Однако поток, возбужденный ими в области
их существования, генерирует за счет вязкости среднее движение
и вне ее. Таким образом, здесь вязкость играет роль силы,
обусловливающей среднее движение. Если учитывается сила Кориолиса, то
ола балансирует силу трения (возникает пограничный слой Экмана)
34
и среднее движение затухает при г-^оо. Если f = О, слой Экманат
становится бесконечно глубоким, компенсирующих сил нет и
среднее движение должно охватывать всю область. Ясно, что в
реальных физических ситуациях должны учитываться такие факторы,
как возникновение среднего нагона, обусловленного волнами,
нестационарность, неоднородность движения и др. В таком случае
осредненное движение и в области экватора также должно затухать
по глубине, как это было показано в предыдущем параграфе.
Решение для индуцированных скоростей имеет вид
+ bt Sin X0Z/CC) е-(0.+>св/а)г + (д2 cos XQZ/a _|_ b2 sin XQz/a) e-(Qo+*o/a)2,
(2.2.31)
коэффициенты которого приведены в [29].
Из сравнения формул (2.2.27) и (2.2.31) следует, что
пограничные слои Экмана для флуктуирующих и стационарных скоростей
имеют различную толщину. У
стационарного поля она
меньше. Это находится в
соответствии с физикой явления,
согласно которой возникновение
стационарного поля скоростей есть
вторичный нелинейный эффект
флуктуирующего поля.
Рис. 2.2. Распределение по глубине
стационарных скоростей,
генерируемых волнами
Усл. обозначения те же, что и на рис. 2.1
На рис. 2.2. представлены эпюры средних скоростей,
индуцированных волнами, для некоторых параметров р и у. Средние
скорости экспоненциально затухают с глубиной внутри пограничного
слоя Экмана, изменяя по глубине знак. На поверхности они также
будут иметь различый знак в зависимости от параметров /? и у.
Это означает, что взвешенные частицы в зависимости от глубины
переносятся в разных направлениях, т. е. волновой дрейф будет
«сортировать» взвеси.
§ 2.3. Термогидродинамические эффекты,
обусловленные поверхностными волнами
Физика пограничных слоев у поверхности раздела вода — воздух
особенно сложна, так как движение в них нелинейно, а сама
поверхность подвижна и проницаема для тепла и масс. Важнейшим
видом взаимодействия, в большой степени определяющим
термодинамическое состояние системы океан — атмосфера, является
тепловой обмен. Он происходит через поверхность раздела и зависит от
3*
35
параметров, определяющих свойства пограничных слоев. Проблема
обмена теплом в настоящее время еще далека от приемлемого
решения.
Как указывают результаты экспериментов, в пограничном слое
моря существуют два важных явления: а) под действием
поверхностного волнения возникает дополнительный поток тепла по вертикали,
который является функцией параметров, характеризующих
волнение; б) поверхность океана обладает фундаментальным свойством —
наличием тонкого теплового подслоя (тепловой пленки толщиной
порядка 1 мм) с большими вертикальными градиентами
термодинамических характеристик среды, как показали Саундерс [178], Кат-
сарос и др. [136], Хунджуа, Андреев [88], Хунджуа и др. [89],
Гинзбург, Зацепин, Федоров [11]. Разность температуры в пределах
этого подслоя имеет величину 0,4—2° С, что обусловливает
существование направленного к атмосфере потока тепла. Поэтому
возникает необходимость более полного исследования структуры
флуктуирующих и стационарных пограничных слоев, генерируемых
поверхностными волнами, с одновременным учетом как динамических,
так и тепловых факторов. На основании этого можно было бы
оценить вклад волнового механизма переноса количества движения и
телла в общий поток и формирование средних полей скорости и
температуры.
Эксперименты, описанные в главе 1, показали, что когда на
поверхности океана существуют ветровые волны или зыбь,
температурное поле также осциллирует, причем существует сдвиг фаз между
возвышением поверхности и колебаниями температуры. Таким
образом, экспериментально установлено, что наряду с
поверхностными волнами имеют место колебания температуры с частотой волн.
( В совокупности они должны индуцировать осредненные
термогидродинамические эффекты внутри жидкости. В самом деле, вследствие
различной скорости распространения волновых возмущений в
горизонтальном и вертикальном направлениях между соответствующими
компонентами скорости возникает сдвиг фаз, являющийся
функцией глубины. Это создает волновые напряжения Рейнольдса и как
следствие — стационарный перенос горизонтального импульса по
вертикали. Таким образом, возникают стационарные течения,
имеющие вертикальный градиент, который обусловливает вторичную ос-
редненную диффузию импульса. В результате этих процессов волны
формируют стационарные динамические пограничные слои.
Параллельно этим явлениям (вернее, в совокупности с ними)
имеется сдвиг фаз между компонентами волнового поля скорости
и флуктуациями температуры, происходящими с частотой волн,
который вследствии различной инертности динамического и
температурного полей, а также разной скорости распространения в
одном и том же направлении является функцией глубины. Кроме того,
из-за различных величин коэффициентов вязкости и диффузии
скорости затухания по глубине температурного и волнового полей
также будут отличаться. Это в совокупности должно опоеделить
3G
существование отличных от нуля корреляций между волновым
полем скорости и температуры, т. е. осредненных потоков тепла,
имеющих волновую природу, которые создадут соответствующее им
среднее поле температуры. Оно будет являться функцией
пространственных координат, а следовательно, возбудит стационарный
вторичный диффузионный перенос тепла. Таким образом, волны
должны генерировать стационарные температурные пограничные слои.
Для анализа этих эффектов рассмотрим следующую модель
[78]. Пусть плоский слой жидкости глубины Н снизу ограничен
горизонтальным дном. Выберем систему координат '{х, z) с
началом на дне, z направим вертикально вверх. Движение возбуждается
повер хностной волной.
На основании наблюдений Миллера и Стрита считаем, что
поверхностная волна приводит к возникновению колебаний
температуры поверхности раздела той же частоты, сдвинутых по отношению
к ней по фазе.
Представим возвышение поверхности раздела ' вода — воздух
в виде одной компоненты Фурье волнового поля
ц = a cos (kx — со/). (2.3.1)
Температуру определим как Т (х, z, t) = T0 + 7\, где Т0 —
постоянное невозмущенное значение; Тг — возмущение, вызванное
волновым движением. Уравнения, записанные для возмущений
в приближении Буссинеска, имеют такой вид:
dtu + идхи + wd^u = дхрг + vAa,
Ро
dtw + udxw + wdzw — dj>x + v&w — g$Tu
Po
dtT + udxTx + wdzTl = -Jr A7\,
dxu + d2w = 0, (2.3.2)
где Pi — возмущение давления, р — коэффициент теплового
расширения, Pr — число Прандтля.
Введем характерные величины и обезразмерим переменные как
х ~ k, z ~ Я-1, т ~ со-1, ур ~ (асдН)-1,
Т~(еТ0)-\ р ~ (£/р0асо2),
. где введена я|) — функция тока.
Исключим давление из (2.3.2). Тогда уравнения диффузии вихря
и тепла примут вид
[<5Т + е (д^дх - дхЦдх)) ^ = -§£- дхТ + -*- ДДЧ),
1дх + е {д$дх - дхЦдг)\ Т = -^r AT, (2.3.3)
где а = (2v/©)V.7T! « 1, 6 = kH, А = д\г + 62dL, р = РТ0.
37
Параметры е <£ 1, а <<£ 1. Это требование в природных условиях
в большинстве случаев хорошо выполняется.
Граничным условием на поверхности моря является отсутствие
касательного напряжения (первое из условий (2.2.13)). Кроме того,
справедливо кинематическое условие (третье условие из (2.2.13)),
а для волнового поля температуры — существование на
поверхности температурной волны, сдвинутой по фазе относительно rj, т. е.
Т = Ocos(;t — т +7) при 2=1, (2.3.4)
где О = Go/eTo, a 7 — разность фаз между температурной волной
и поверхностной.
На дне граничными должны быть условия прилипания
гр = агяр = 0 при 2 = 0 (2.3.5)
и отсутствия волновых возмущений температуры, так что
7 = 0 при 2 = 0. (2.3.6)
Волновые поля скорости и температуры. Задача (2.3.3) — (2.3.6)
нелинейна, решение ее будем искать в форме рядов по малому
параметру 8 с последующим применением метода асимптотических
сращиваемых разложений [58]. Представим \f> и Т в виде
со
{Ч,Т}= X г'а-{%т, Тип).
После подстановки этих рядов в (2.3.3) — (2.3.6) и
приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е получаются
уравнения, описывающие поле я|) и Т в основной толще жидкости,
исключая пограничные слои, примыкающие к поверхности раздела и дну.
Чтобы получить уравнения, описывающие поля \])иГв
пограничных слоях, нужно ввести соответствующие переменные
пограничного слоя. В пограничном слое, примыкающем к свободной
поверхности, они следующие
2—1 =ос|, гр(*, 2, т) =ф(лг, £, т), Т(х, 2, т) = в(*, £, т),
а в придонном
2 = а£, ф(*, 2, т) = Ф(*, £, т), Т(х, 2, t) = G(x, £, т).
Тогда уравнения (2.3.3.) для поверхностного пограничного слоя
принимают такой вид:
[
дч + -£- (д&дх - дх<?дг)\ (д2г1 + 6W3L) Ф =
= 4" (4|1Ф + 2а«8*&аф + а2б*а^Ф) + а2 -§£- дхв, (2.3.7)
[дт + -J- ффд, - d/fdii] в = —- (4 + а«в«&) в,
38
а для придонного пограничного слоя —
[дг + -J- (ЗсФд, - дяФдо](4 + Ь*а*д1х) Ф =
= a2 -|j£- dfi + 4- (З&а + 2a26^LK + а«в«&„) Ф, (2.3.8)
[aT + -£- (<W - дяФдс)] g = ^L_ (d|£ + awel) g.
Прежде чем выражать граничные условия на свободной
поверхности в терминах переменных пограничного слоя, их необходимо
разложить в ряд Тэйлора относительно невозмущенной поверхности
z=l. Выполняя эту процедуру и представляя их в переменныхg
и ф, имеем с точностью до О (а2)
д2цц) — a282dL<P + -^§- [д|цф cos (х — т) — a282dLt9 cos (л: — г) —
— 4а2б2Й|ф sin (х — т)] = 0 при £ = 0, (2.3.9)
sin (л: — т) + дху + -^g- [<3*|ф cos (л: — т) — д|ф sin (л; — т)] = О
при 1 — 0.
Условия (2.3.4) — (2.3.6) преобразуются к такому виду:
0 = #cos(a; — t + Y) при I = 0, (2.3.10)
ф = дгФ = G = 0 при I = 0.
Кроме того, внешние и внутренние решения должны удовлетворять
условиям асимптотического сращивания [8, 58], которые имеют вид
lim {-ф, Т) » lim {ф, 0}, lim {% Г} « lim {ф, G}.
г-*Т1 £-►—оо г-»-0 С-*-00
Подставим разложения искомых функций в ряд по малым
параметрам 8 и а в соответствующие уравнения движения и граничные
условия, представляя функции я|)/т, Tim в виде
flm = 4" t^U"T) + hme-i{X-T)1l- (2-3.11)
Здесь звездочкой отмечены комплексно-сопряженные величины.
Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях а (всю
эту процедуру опускаем) и получим следующие уравнения и
граничные условия в приближениях (00) и (01):
(д« + 20 dfcfbn = 0, (д2к + 2/Рг) в0т = 0,
дк Фот (0) = 0, ф0т (0) = б"1 (1 - т), вот (0) = (1 - т) ****,
(а222^б2)^от = -(1-т)бр7;оо, Г0т-0, (2.3.12)
(^ + 20 а^Фот = 0, Ф0т (0) = д^Фопг (0) = 0,
(дй + 2tPr)Gft„ = 0, G0m (0) = 0,
39
в которых т = О, 1. Окончательный вид решений задач (2.3.12)
удовлетворяющих условиям сращивания [78]:
Фоо = б-', О00 = ЪеРеР-ЧР*4*, %о = (6 sh б)"1 sh 6г,
Too = Фоо - Goo = ©oi = 0, ф01 = (cth б) 6,
*oi = ^fsh[6(z-l)], Г01 = С01 = 0, (2.3.13)
Из соотношений (2.3.1,3) видно, что уже в этих приближениях
завихренность волнового поля скорости отлична от нуля. Однако
чтобы в дальнейшем рассчитать стационарные эффекты,
индуцируемые волновыми полями, найдем решения еще двух последующих
приближений по а. Уравнения и граничные условия для них имеют вид
(<3|| + 21) д\ъЩп = 2*62 (фо,г-2 — Ицфоп-2 — l -f" ©Ои-г] ,
Фо* (0) = 0, 4фо« (0) = — (3 — я) 6,
(a|l + 2iPr)e0n = 62G0„-2, в(0) = 0,
(dl - б2) Ьп - 4" $~ — 262aL.+ б4)^-2 - 6pf 0„-2, (2.3.14)
Т'о/г = ~2pjr (дгг — б2) То^-г,
(4 + 2i) 4ф0„ - 2/S2 (фо*-2- idl£)on-2 — i \ (Ц),
Фоп(0)-о, а^Ф0п(0)-о,
(д^ + 2/Pr) = 62Gon~2, Gon (0) - 0,
где п = 2, 3.
Кроме граничных условий, входящих в (2.3.14),
дополнительными, как и прежде, являются условия сращивания внешних и
внутренних решений. Приведем окончательный вид решений:
щ2 = - ;бе<'-<->! - i -sfSy- [&-1* - -^ е^-^ч] +
+ 2 + 2sh26 *+ 2 Г + Рг е / *
40
6«- "+4РУ e"-CT"V's- ^« = e„-0. (2.3.,5)
/Ч Л /4
"оз == -* 03 === ^оз ==s ^.
Таким образом, найдено четыре приближения волновых частей
функции тока и температуры. Внутренние решения характеризуют
распределение пульсирующих с частотой волн полей скорости и
температуры в поверхностном и придонном пограничных слоях,
а внешние — в основной толще жидкости.
Прежде чем перейти к рассмотрению стационарных эффектов,
остановимся на полученных решениях. Равномерно пригодные во
всей области решения, составленные на основе всех найденных
приближений, выражаются так:
*»- тй-+- w И^+г*Н+
+ ■'-?■ {(2 + £ ") тт- + тп- J5ifciL - ^-«"-'>«--
_ р^рр- [Pre(»-')(Z-l)/a _ e(l-0PrV.(2-l)/a] + -^|- e-<l-W»J +
^ '^ 8 [ 8(Pr —UPr'/' V
_ е(1-0Рг*А(г-1)/а)1 (Z __ 1) + -i- (1 — i) б3 Ch б зЬ^бгв-О-'»»} ,
Т(г) = ^Vi-oPr'/^-u/afi +a 62^+1") (г— 1)1. (2.3.16)
L 4Pr'2 J
Из (2.3.16) следует, что флуктуации теплового поля, вызванные
поверхностными волнами, оказывают влияние на величину и
распределение волнового поля скорости. Этот вклад имеет порядок
О (а) и существенен в пограничных слоях.
Соотношения (2.3.14), (2.3.15) и (2.3.16) указывают на то, что
в верхнем пограничном слое между флуктуациями поля температу-
41
ры и функцией тока (или вертикальной компонентой скорости)
существует заметный сдвиг фаз, который должен обусловливать ос-
редненный волновой поток тепла по вертикали. Кроме того,
волновое поле скорости обладает отличной от нуля завихренностью.
Это приводит к стационарному потоку импульса из пограничных
слоев в основную область и возникновению другого вторичного
эффекта — стационарного течения.
Поле стационарных скоростей. Уравнения (2.3.3) и условия
(2.2.13), (2.3.4) — (2.3.6) описывают поля скорости и температуры,
включающие как флуктуирующие, так и вторичные стационарные
части. Решение для первой получено в предыдущем пункте.
Уравнение (2.1.8), определяющее среднее, индуцированное
волнами поле, в данном случае приводится к виду
•\- aLn> = е фМЛ — дх№2*Л) (2.з.17)
и соответствует уравнению второго порядка для средней скорости.
Поэтому для и = д^¥ необходимо два граничных условия. Они
получаются разложением в ряд Тэйлора первого из условий (2.2.16)
относительно z = 1 с последующим усреднением по периоду волны
результата разложения и усреднением условий (2.3.5). Получаем
dlzty = g- [дгаф C0S (* — Т) — 62dLety COS (X — т) +
+ 4b2d2xzqs\n(x — T) при z=lf (2.3.18)
дгя|) = 0 при z = 0.
Решение задачи (2.3.17), (2.3.18) дает такое выражение для
стационарной скорости индуцированного волнами потока:
Ч'+т)
1i/9 / \ № sin (y + -t~ I
оА hi я е~т sh bz sin — + -£- + 4= — * +
26sh2 о \ а ' 4 / ' у2 Рг
+ е( 45" е(г-1)/а cos -i^i „"i*"1* . [Pr~> cos x
1 ( sho a 2(Pr —l)sho L
X (pr1'» J-Zl- — y) ePrV2(2~l)/a _ cos (jjzJ: y\ gU-D/aj +
. e~2/a Г 6sh6z z . sh6(z—1) 1 .. z Uc z ,
+ lihgr[g—2— CQS-2-+ Sh6 ;Jsin —-chazcos^-H-
^sh^r-^+^ct Ьб(4+ i^ipLJ^ + ^J. (2.3.19)
Формула (2.3.19) показывает, что флуктуации температуры,
вызванные поверхностными волнами, вносят вклад в генерируемое
волнами поле средних скоростей.
Таким образом, поверхностные волны распространяются на
сдвиговом течении, которое они сами генерируют. Из (2.3.19) сле-
42
дует, что при некоторых параметрах волн значения и вертикальные
градиенты средних скоростей могут достигать значительных
величин в поверхностном слое моря. Тогда можно предположить, что
это может быть одной из причин возникновения неустойчивости и
разрушения высокочастотной части спектра поверхностных волн,
т. е. генерации турбулентности в поверхностном слое моря.
Формула (2.3.19) выражает скорость среднего потока в
представлении Эйлера. Для подсчета скорости переноса масс волнами
воспользуемся формулой (2.1.20) и получим
Ул = - -«- (2Prrv'Pf> sin (T + -£)* +
, 0 е-2г/а , <f-*/a Г „ ,. г . 2sh6(z— 1) . г! ,
+ тэт + тда + -т6 cth (4 + Pr~'P*cos Ч • (2-3-20)
Таким образом, решение для средних полей скорости в
представлениях Эйлера (2.3.19) и Лагранжа (2.3.20) в отличие от
предыдущих теорий [115, 129, 143] получены без предположения об
отсутствии интегрального по глубине переноса (он определяется как
результат решения задачи).
В указанных теориях требование отсутствия интегрального
расхода было необходимо, так как в них задача для средней
скорости сводилась к уравнению четвертого порядка относительно
функции тока посредством исключения давления из уравнений движения
с последующим осреднением результатов. Поэтому был
искусственно повышен порядок уравнения и требовалось дополнительное
«граничное условие.
Осредненный поток тепла, обусловленный волнами. Решения
для нестационарного поля скорости и температуры. (2.3.16)
позволяют определить как функцию г осредненный за период волн
поток тепла в вертикальном направлении, обусловленный
корреляциями между флуктуирующим полем скорости и-температуры, т. е.
в конечном счете — волнами. Выполняя соответствующие
вычисления, имеем
^ = Ж ТПГ ePrVH2_,)/a sin [*''' <z - !> \ ~ f] • <2-3-21>
где для простоты удержан лишь главный член разложения.
Из (2.3.21) следует, что скорость затухания с глубиной
волнового потока тепла зависит от частоты волн, причем поток,
обусловленный высокочастотной частью спектра, затухает быстрее, так что
максимум спектра осредненного волнового потока тепла с глубиной
43
должен смещаться в сторону низких частот. Этот вывод согласуется
с натурными наблюдениями, выполненными в океане [86].
На рис. 2.3. приведено распределение по глубине осредненного
волнового потока тепла для различных значений сдвига фаз между
возвышением поверхности моря и амплитудой теплового
возмущения на ней при а = 0, 1; Рг =_7; б = 1. На рисунке представлен
не сам поток, а величина Q\= wflft. Видно, что распределение по
глубине Q выявляет существование двойного пограничного слоя,
величина и распределение по глубине Q в котором зависят от у.
При у = 0 максимум волно-
-0А -0.2
&4
1
02 ЯЩ
вого потока тепла
находится внутри жидкости, т. е.
тогда основную роль в
переносе тепла через границу
раздела вода — воздух играет
диффузия. Но уже на
небольшой глубине, когда
появляется сдвиг фаз между
волновыми скоростями и
волновой частью температуры,
включается механизм
волнового переноса тепла по
вертикали. При других
значениях сдвига фаз этот процесс
играет роль во всем верхнем
пограничном слое (заметим,
что все эксперименты
показали, что в реальных условиях
у Ф 0, я).
Чтобы выяснить,
насколько может быть важен вклад
термогидродинамических
эффектов, обусловленных
волнами, в общий осредненный
поток тепла по вертикали в верхнем пограничном слое
океана, сравним величины потоков, вызываемых волновым переносом,
с потоками за счет испарения и контактной теплопередачи.
Известно, что среднеклиматические значения потоков тепла в
экваториальных и тропических областях океана, обусловленных последними
двумя механизмами, соответственно равны [2] 1680—3360 и 168—
210 Дж/см2 • сут. Волновой поток Qf, рассчитанный по (2.3.21)
для волнения, характеризующегося параметрами а = 0,5 м, со =
= 1 с"1, G0 = 10~3 °С, у = 1°, равен Qf« 160 Дж'см2 • сут,
т. е. действие волнового механизма переноса тепла сравнимо с
контактной теплопередачей в экваториальных областях. При бэльших
сдвигах фаз (а таковы вполне вероятны, как было показано экспе-
S/////////////////////////////////////////////////777777
Рис. 2.3. Распределение по глубине
стационарных потоков тепла, обусловленных
волнами.
Значение v равно: 7 — 0, // — л/4, /// —
л/2, IV — Зя/4, V — л
44
риментами Миллера и Стрита [152], см. рис. 1.5) "механизм
волнового переноса тепла может обеспечивать еще больший поток, что
объясняет экспериментальные результаты, описанные в главе 1.
Итак, как следствие непотенциальности и нелинейности
волнового движения, под действием поверхностного волнения
генерируются осредненные волновые потоки импульса и тепла, которые
формируют стационарные динамические и температурные
пограничные слои. Эти слои по структуре являются двойными.
Полученные результаты справедливы, когда в/а <<£ 1. Если
отношение 8 к а больше или порядка единицы, то анализ
необходимо выполнять в системе координат, в которой поверхность раздела
является координатной линией. Кроме того, остались не
исследованными генерация пограничных слоев волнами и влияние их на
обмен теплом через границу раздела при учете существования на
ней молекулярного теплового подслоя — тепловой пленки.
§ 2.4. Влияние поверхностного волнения
на диффузию тепла через тепловую пленку
К настоящему времени показано [12, 13, 88, 98, 179], что
поверхность океана обладает фундаментальным свойством — наличием
тонкого теплового подслоя толщиной порядка 1 мм с большими
вертикальными градиентами термодинамических характеристик
среды. Знание свойств тепловой пленки (ТП) необходимо для
построения теории механизма обмена теплом, импульсом и энергией
между атмосферой и океаном, а также для анализа и интерпретации
данных, получаемых неконтактными методами, поскольку,
несмотря на то, что молекулярный подслой имеет толщину порядка 1 мм,
в пределах его происходят резкое изменение
термогидродинамических характеристик среды и основное отражение электромагнитного
излучения, применяемого при неконтактных методах получения
информации об океане.
Эксперименты и натурные наблюдения дали следующие
результаты: 1) ТП устойчива к воздействию ветра и не разрушается, если
скорость его <10 м/с; 2) толщина ТП при возникновении ветровых
волн уменьшается и зависит от фазы волн в данной точке
пространства; 3) вертикальное изменение распределения температуры вне
слоя носит экспоненциальный характер, а перенос тепла в нем
осуществляется посредством механизма молекулярной диффузии, так
что суммарный поток тепла есть
<72= — (xgrad,,:r)iM>. (2.4.1)
где х — коэффициент молекулярной диффузии тепла в воде, Т (ц) —
температура, ц — нормальная к поверхности координата,
направленная внутрь жидкости.
Монин [74] показал, что увеличение теплообмена между
атмосферой и океаном за счет среднего приращения площади поверхности
45
составляет не более 15% при очень сильном волнении. Однако при
наличии ТП волны будут приводить не только к увеличению
площади поверхности раздела, но и к уменьшению толщины ТП, т. е.
к уменьшению пути диффузии тепла и увеличению градиента
температуры по нормали к поверхности океана. Это в целом может
усилить обмен между атмосферой и океаном по сравнению с
невозмущенной поверхностью.
Модель ТП. Оценим вклад этого эффекта [32]. Наша цель —
выяснить возможное влияние поверхностного волнения на диффузию
тепла через границу раздела
Л Л атмосфера — океан при учете
существования на ней ТП.
Выберем ортогональную
криволинейную систему
координат £, £, г), начало
которой поместим на
поверхности океана. Пусть £, £ лежат
на поверхности, а г) совпадает
с внутренне*^ нормалью к ней.
Точной нижней границы ТП
нет, поэтому выберем в
воде некоторую мыслимую по-
в отсутствие волнения парал-
отстоит от нее на малом рас-
толщина ТП.
Рис. 2.4. Схема температурного
пограничного слоя
верхность Gw (рис. 2.4), которая
лельна поверхности океана G0 и v.^wlt W1 nc,
стоянии А, таком, что А « 8, однако h > 6, где б - tu^mia ш.
Таким образом, холодная пленка * будет находиться внутри
области, ограниченной поверхностями G0 и Gw, а нижняя ее граница
практически совпадает с Gw. При волнении поверхность Gw,
деформируясь, не будет разрываться до момента разрушения волн ** так
как в этой области турбулентности нет, т. е. волновое движение ла-
минарно.
Кроме того, по глубине оно здесь автомодельно. Следовательно,
ош, как и G0, представляет собой поверхность тока (Gw отстоит от
G0 на очень малом расстоянии).
Выберем в момент /0 = 0 произвольный малый элемент
поверхности 5 (*0), оконтуренный замкнутой кривой / (g, £).
Спроектируем / (g, £) на нижнюю границу Gw слоя h. Тогда в слое h будет
вырезан малый цилиндрический элемент объемом V = h {Q S (t0),
который можно трактовать как аналог частицы Лагранжа,
перемещающейся за счет волнения, деформирующейся со временем в
зависимости от фазы волны в данной точке, но сохраняющей объем.
Условие сохранения объема следует из того, что Gw выбрано совпа-
* Для определенности рассматриваем случай холодного подслоя, хотя все
последующие результаты автоматически переносятся и на случай теплого
подслоя. • л
** В последнем случае разрушается и ТП. Поэтому, естественно, снимается
вопрос о ее влиянии на тепловой обмен между атмосферой и океаном,
46
дающей с поверностью тока, а сжимаемостью жидкости пренебре-
гается.
Через промежуток времени d/ элемент поверхности волны
вследствие того, что различные точки кривой / (£, £) движутся с разными
скоростями, получает приращение dS (|t £). Тогда относительное
изменение (растяжение единицы поверхности) за дифференциально
малый промежуток времени d/ есть dR (I) = dS (l)/S (Z), а
относительная деформация со временем участка поверхности
выразится как
*<S)-J-
S (/) ~" IU С
Выберем t0 = 0 так, чтобы растяжение элемента поверхности,
ограниченного кривой / (£, £), равнялось нулю. Тогда из последнего
соотношения имеем
Я (S) = In [S(/)/S0 (/)] (2.4.2)
или
S=S0exp#(S). (2.4.3)
Умножая обе части (2.4.3) на hh0 и учитывая, что объем
цилиндрического элемента (квазилагранжевой частицы) при деформациях
сохраняется, получаем
h(S) = h0(S)exp[-R(S)]y (2.4,4)
где h0 — толщина слоя при t0 = 0.
Поток тепла через элемент поверхности волны S (£, £), согласно
(2.4.1), выражается как
Q = - {(хВДсЮ. (2.4.5)
(S)
Так как изменение температуры вне теплового подслоя
экспоненциально затухает [88], то скачок температуры в пределах ТП равен
разности температур кт — Т0 — Tw в слое h. Кроме того, ЛГ и h ^
ад б связаны между собой через пограничное число Релея [13] как
&T~KvRa*hT*/g$t где Р — коэффициент объемного термического
расширения воды, v — кинематический коэффициент вязкости *.
Поэтому с достаточной степенью точности имеем дцТ ад Д77Л =
= xvRa*/i-4/gji. Подставляя это соотношение в (2.4.5) и
учитывая (2.4.4), получаем
Q = _ ™ Ra* Г ft-4dS = ™ Ra* /^ J e4i?(S)dS. (2.4.6)
^Р (5) gP (S)
В отсутствие волн R (S) = 0. В этом случае из (2.4.6) имеем
В работе [13] показано, что для тепловой пленки Ra = 64.
47
Таким образом, коэффициент увеличения обмена теплом,
выражающий отношение потоков тепла при волнении и в отсутствие
его, есть
N, = -|_ = [ $ e-R{S)dSy $ eiR{S)dS, (2.4.7)
где использовано условие сохранения объема hQS0
(S)
Соотношение (2.4.7) справедливо при трехмерном волнении. Для
плоского волнения оно также пригодно, но во всех полученных
выше соотношениях S будет иметь смысл длины профиля
поверхностной волны.
Рассмотрим конкретные модели. Так как уравнение поверхности
пространственных волн неизвестно, то без ограничения общности
исследуемого эффекта рассмотрим примеры плоских волн. Длина
кривой, представляющей профиль поверхностной волны, на
интервале [0, л:] системы координат, связанной с невозмущенной
поверхностью, выражается как
X
где т] — уравнение кривой, образующей профиль волны.
Подставляя (2.4.8.) в (2.4.2), имеем
R (х) = In
J V\ + (дхц)Чх
(2.4.9)
Тогда относительный коэффициент увеличения обмена теплом
через границу раздела принимает вид
Na
]Vl+(dxr\)*dx J
1—1 Х.Г
d/
jU-J^1+^ad*
d/,
(2.4.10)
где X — длина волны.
Следуя Монину [74], рассмотрим S как функцию средней
квадратичной крутизны волн К, определяемой из формулы
к
К* = ±$(дхч)*йх.
Рассчитаем значения Nq в зависимости от величины /С.
Рассмотрим три модели: 1) синусоидальные волны с профилем ц = a cos kx\
2) трохоидальные волны, профиль которых задается параметрически
= —2- + a sin £, х\ = a cos£; 3) капиллярные волны с про-
как х
48
2я
филем [120]*
1 ask2
ц = a cos kx J" a*k cos %kx pr- cos Skx.
На рис. 2.5 приведены результаты расчетов коэффициента обмена
теплом Nqf выполненных по формулам (2.4.2) — (2.4.5), (2.4.7) —
(2.4.10) для выбранных моделей. Интегрирование
осуществлялось на интервале, равном длине волны, т. е. по фазе от нуля до
2я. Для сравнения представлены также результаты, взятые из
работы Монина (они тождественны результатам расчета величины
пд = exp R (X)).
Увеличение теплового потока через границу раздела зависит от
крутизны волн и заметно возрастает с увеличением /С. Расчеты
показали, что при одних и тех же параметрах волн учет ТП приводит
к существенному увеличению обмена теплом между атмосферой и
океаном по сравнению со случаем, когда она не учитывается. Так,
при той же самой крутизне волн, если ТП нет, поток тепла за счет
волнения возрастает на ~ 7—10%. При существовании ТП
увеличение потока составляет ~ 50—70%. При одних и тех же значениях
К синусоидальные волны дают больший эффект, чем капиллярные,
однако, поскольку последние могут иметь значительно большие
значения /С, их суммарный вклад представляется не менее важным.
На основании полученных соотношений можно проанализировать
изменение толщины ТП и температуры вдоль волны. Эксперименты
[152,' 194] показали, что вариации температуры (АГ) вдоль
поверхности волны имеют порядок десятых — сотых долей градуса.
Теоретическая оценка этого явления выполнена О'Брайеном и Омхоль-
том [162]. Их теория дает сильно заниженные результаты по
сравнению с экспериментальными. Из нее следует, что (ДГ) = О (Ю-5 С0).
Результаты расчетов h и AT для синусоидальных и капиллярных
волн по формулам (2.4.4) с привлечением соотношения,
связывающего А71 и /Г"3 через число Релея, приведены на рис. 2.6. На нем
в процентах представлено изменение h и ДТ относительно h0 и ДГ0,
т. е. когда волнения нет. Видно, что изменение h и Д71 вдоль волны
зависит от К. Так, для К = 0,2 вариации температуры вдоль волны
(ДТ) = [(ДГ)тах — (ДГ)т1п] имеют О (1%), а для К = 0,3
соответственно (ДТ) = 0 (1,5%). Если разность температур Д71 по вертикали
в ТП О (1 °), то (ДТ) = О (2 • 1(Г"2 °С), что сопоставимо с
экспериментальными данными. Изменение толщины ТП вдоль волны оказывается
таким, что для синусоидальной волны области минимальных
величин б находятся в окрестностях фазы волны, равных ср- = я/4;
5я/4. Максимальные значения б располагаются при ср =Зя/4;
7я/4. Максимальный поток тепла через границу раздела
существует при ф = я/4; 5я/4, минимальный — при <р = Зя/4;
* Капиллярные волны устойчивы до е = ak = 2,29 1120].
4 1—HI9
49
7я/4. Расчеты (рис. 2.6) показали наличие сдвига фаз между
волной и температурой поверхности.
Прямых измерений влияния волн на диффузию тепла или
зависимости обмена теплом от ветра не существует. Однако имеются
исследования зависимости потока газов через границу раздела
вода — воздух от скорости ветра.
Так, в работах Даунинга, Трусдей-
ла [116] и Канвишера [135]
показано, что скорость проникновения 2& / / \ -1^
20
/ / \
v, - ■
/' Х^ч
о.б о.д ю к
Рис. 2.5. Зависимость коэффициента
обмена теплом Nq между атмосферой и
океаном от крутизны волн К:
Волны:
идальные
наличии
ТП,
— капиллярные, 2 —синусо-
— трохоидальные; / — при
II — при отсутствии ТП
О 80 № 240 320а
Рис. 2.6. Изменение толщины ТП
и температуры (АТ) в
зависимости от фазы волн для:
/ — капиллярных волн,- 2 «=*
синусоидальных волн; / *— К =0,1; Л —»
К = 0,3
(диффузии) атмосферных газов в морской воде при скоростях ветра
более 2 м/с («критическая» скорость ветра, при которой начинают
появляться капиллярные волны) увеличивается приблизительно как
квадрат скорости ветра. Эти эксперименты были выполнены в
лотках. Существуют также исследования изменения обмена газом в
зависимости от скорости ветра и в природных условиях [105].
В проблеме генерации ветровых волн известно [55, 158, 170],
что характеристики ветрового развитого волнения могут быть свя*
50
заны с параметрами ветра следующим образом:
co0V
Г °8
CDV2i0=Vl,
(2.4.11)
где 0О — частота максимума спектра ветрового волнения, о —
дисперсия волнения, V — характерная скорость ветра (в данном
случае скорость ветра на высоте 20 м), V10 — скорость ветра на высоте
10 м; Cd = 1,5 • 10_t ч- 2,3 • 1СГ3 — коэффициент сопротивления,
Сх = 0,879, С2 = 0,052. Амплитуду волн можно оценить как а =
= К2а (для узкополосного
спектра это выполняется
достаточно хорошо).
Из этих соотношений и
логарифмического закона
распределения скорости ветра
можно рассчитать
характеристики волн,
соответствующих данному ветру. В
экспериментах [105, 116, 135]
имеются данные о значениях
ветра на некоторой высоте.
Используя их, можно, согласно
логарифмическому закону,
определить соответствующие
V и V10. Затем по формулам
*
/01
V(Z=lQ)Mfc
0 2 4 6 д 10 1Z
Рис. 2.7. Сравнение теоретических и
экспериментальных коэффициентов обмена
газом через границу раздела вода —
воздух (обозначения / и // те же, что и на
рис. 2.5). .
Данные: 1 — Канвишера [135], 2 — Броккера
и Пенга [105]
(2.4.2) — (2.4.4), (2.4.7)
рассчитать коэффициент
увеличения обмена для газов.
На рис. 2.7 представлены
результаты таких расчетов,
выполненных с учетом зависимости параметра шероховатости [55] от
скорости трения (кривые обозначены цифрами /, //).
Видим, что функциональная зависимость в том и другом
случаях одинакова, но теоретические значения Ne завышены. При их
получении была использована связь А71 с ЬГ через число Релея,
справедливая, по-видимому, лишь для температурного
пограничного слоя. Для концентраций газа Е естественно предположить,
что их разность на границах пограничного слоя не изменяется
при изменении волнения. В самом деле, до процесса разрушения
волн концентрация в воздухе должна оставаться постоянной; также
практически постоянной будет концентрация и в жидкости. Тогда,
принимая условие, что АЕ = const, выполняя вычисления,
аналогичные приведенным, получим
NE =
[e-R{S)ds] ' $e*(S)dS.
Расчеты, проведенные по этой формуле, отмечены на рис. 2.7
цифрой //. Теоретические кривые в данном случае лучше описывают
4*
51
экспериментальную зависимость коэффициента увеличения
диффузии газов через границу раздела от скорости ветра.
И теоретические и экспериментальные данные показывают
наличие сдвига фаз между динамической и температурной волнами.
Поэтому существуют отличные от нуля корреляции между флуктуа-
циями температуры и вертикальной компонентой волнового поля.
В связи с тем, что в области Gju лежащей ниже ТП и
непосредственно, примыкающей к ней, движение носит квазиламйнарный
характер, избыточный поток тепла через ТП, который появляется
под действием волн, не может снабжаться посредством
турбулентного переноса в области G%. Следовательно, здесь должен возникать
(или интенсифицироваться) какой-то иной механизм. Можно
предположить, что им является волновой поток. Так. как сдвиг фаз
между вертикальной составляющей поля скорости и флуктуациями
температуры обусловливается завихренностью и конечной скоростью
диффузии тепла, то этот механизм должен быть наиболее существен
в пределах вязкого пограничного слоя, примыкающего к
поверхности океана, т. е. там, где турбулентный перенос развит слабо.
Волновой механизм переноса тепла рассматривался в § 2.3.
Анализ выполнен в системе координат Декарта. При этом сделан вывод,
что он может играть заметную роль. Но так как максимум находится
©близи поверхности раздела, необходим анализ с привлечением
системы координат, отслеживающей волновое движение. Это же
вытекает и из результатов данного параграфа.
§ 2.5. Осредненный перенос тепла
и вихря волнами. Свободная поверхность
Анализ стационарной диффузии вихря от поверхностных волн вглубь
жидкости, выполненный Лонге-Хиггинсом [143, 144], а затем Фил-
липсом [851, как и результаты, изложенные в § 3 главы 2, строго
справедливы при условии е/а <^ 1. Поскольку этот эффект имеет
важное значение для оценки количества движения и энергии,
передаваемой волнами в нижележащие слои моря, для расчета
стационарных течений и переноса масс, генерируемых волнами, а
также для понимания в целом динамики поверхностного волнения,
выполним анализ в криволинейной системе координат [35]. При
этом результаты формально не будут зависеть от соотношения
амплитуды волн и толщины пограничного слоя и поэтому будут более
обоснованными.
В отличие от указанных работ, в которых тепловые эффекты
игнорировались, обратим внимание на исследование переноса тепла
волнами в толщу океана и в горизонтальном направлении.
Необходимость анализа последних факторов диктуют экспериментальные
данные, изложенные в главе 1, и результаты предыдущего
параграфа.
Поверхность океана в системе координат Декарта [х, z) зададим
в виде (2.3.1). Учитывая малое влияние на волновой режим темпе-
52
ратурного поля, в криволинейной системе координат
g+ = Xе + ае-г+ sin х+, ч)+ = z+ — сьет2^ cos л;+, (2.5.1}
связанной с поверхностью и движущейся с волной, в которой £
совпадает с изолиниями функции тока, а ц направлена внутрь
жидкости по нормали к Н, из (2.3.2) посредством тождественных
преобразований при р = 0 можно получить уравнения переноса
завихренности и тепла
d,Q + fL (идга + wdrfi) = (aV2) ДЙ,
dtT + fu (udiT + wdyf) = (a2/2 Pr) AT,
где J — якобиан преобразования из системы {х9 z) в систему {£, т|}:
J =J0 + sJlt JQ = 1, Jx = — 2 exp (—r)) cos £,
Д==^(4 + ^п). (2.5.3)
Параметры a и 8 полагаем малыми:
a = (2vfe2/co)1/8<^l, 8^1.
В данном случае рассматривается свободная поверхность,
поэтому граничными условиями на ней являются условия отсутствия
тангенциального напряжения
Чу] шш -£- [дч (fuu) + дг (//2ш)]л=о = 0 (2.5.4)
и нормальной к £ компоненты скорости
w (ц = 0) = 0. (2.5.5)
Для температуры в соответствии с экспериментальными резуль"
татами § 1.3, а также теорией — § 2.4, граничные условия имеют вид
Г(Е, Ч=0) = со8(Е+т), (2.5.6)
где 7 — произвольный сдвиг фаз между возвышением поверхности
океана и колебаниями температуры на ней.
Вне пограничного слоя для Q и Т выберем условие затухания
0(£, оо) =7(1, оо) = 0. (2.5.7)
Решение задачи (2.5.2) — (2.5.7) отыскиваем в виде разложения
в ряд по параметру крутизны волн
оо
{и, w, Q, Т) = 2 е' {н,, eav, Q/, Г,} (2.5.8)
с последующим применением метода асимптотических сращиваемых
разложений.
Представим динамические характеристики в виде суммы
величин для невязкого движения и возмущений, вносимых за счет
вязкости. Тогда безразмерная функция тока и скорость имеют вид
•ф = —т] + (ф), и = и0 + (и) и т. д., где (f) означает вязкие
возмущения решения Стокса, а щ = дтуф0. В этом случае й0 *= 0.
53
В первом приближении по е уравнения переноса вихря и тепла
таковы:
Учитывая, что и0 = — 1, J0 = 1 и в выбранной системе
координат 3/ = 0, перепишем (2.5.9) в виде
дг {Qlf Г,} = 4" (4 + <4) {Qi, TVPr} = 0.
Граничные условия при т) = 0 получаются из (2.5.5) и (2.5.7)
подстановкой в них (2.5.8) и приравниванием нулю соответствующих
коэффициентов. Они имеют вид
Qx (ц = 0) = — 23^ — 2/id^o — а0дтЛ + a\AA. . - п
^(4=0) = cos (| + 7). ( '
При г\ ->• оо имеем
ш1=й1-=Г1=0, т]-^оо. (2.5.11)
В соответствии с методом асимптотических сращиваемых
разложений решения задач ищем в виде (2.2.21). Тогда уравнения
внешнего поля будут иметь вид
dt {О10, Т10} = 0,
решения которых есть
{О10.^} = {Сю(п).'О10(ч)}.
Граничные условия, следующие из (2.5.11), дают С10 (ri) = D10 (i\) =
= 0. Этот результат естествен, так как во внутренней области, т. е.
вдали от границ, нет причин, которые бы приводили к
завихренности волнового поля в низшем порядке.
Во внутреннем поле (пограничном слое, примыкающем к
поверхности rj = 0) переменные преобразуются как Ф = Ф*, г =
= г]/а, что дает уравнения для пограничного слоя
-дг {ОГо, По} = -ydlr {Qio, По/Рг}
с граничными условиями
Gio(' = 0) = -2cosg, ПоСг =0) =cos(t+ Й-
Решения, удовлетворяющие условиям сращивания с решениями
внешнего поля, имеют следующий вид:
№ Г Го} = - Ы* (cos (Б + ij , cos (Б + -J=- + у)}.
(2.5.12)
Следовательно, в пограничном слое в этом приближении
благодаря вязкому прилипанию частиц к поверхности раздела возникает
завихренность волнового поля, экспоненциально затухающая с глу-
54
биной при удалении от границы раздела. В пограничном слое также
существуют и флуктуирующие с частотой волн возмущения
температурного поля, вызванные наличием температурной волны на
самой границе.
Из (2.5.12) с точностью до функции от £, которая определяется из
условий сращивания Q в приближении О (еа), можно определить
в пограничном слое горизонтальную компоненту скорости, а затем
из уравнения неразрывности и условия (2.5.5) — вертикальную
составляющую. Требуя условие затухания возмущений вне
пограничного слоя, отыскивая скорости О (еа) *, окончательно получаем
такие выражения для скоростей флуктуирующей части движения
и температуры:
и = — 1 + ее'11 cos I + агУ2е-ц/аsin (t + ± — -J-) ,
w = еа2 [cos g — е-ц/а cos (% + -Ml, (2.5.13)
Так как вихрь (2.5.12) в пограничном слое не равен нулю, то
осредненный перенос тепла за счет волн Q,f = {uf, wT) вдоль |
и г\ должен быть также отличен от нуля. Выполняя соответствующие
вычисления, получаем **
q= _е2{еХр[-л (1 + _^_)]cos (-J_ + V)-
— V2 exp [— ti (1 + Pr-Vi)/a] sin [tj (Рг~'л — l)/a + у + -5-]} ,
(2.5.14)
Q f = eaa2 {exp [—1\ (1 + Pr_1)/a] cos [r\ (Pr~v> — l)/a + y] —
Из (2.5.14) следует, что величина и распределение потока тепла,
обусловленного волнами, существенно зависят от сдвига фаз между
возвышением поверхности и флуктуациями температуры на ней.
Проанализируем интегральный перенос тепла волнами в
горизонтальном направлении. Интегрируя первое соотношение из (2.5.14)
* Через Q10 определяются скорости 0(еа).
** Чтобы получить размерный поток тепла, нужно Q, t умножить на
(раю Т0), где р — плотность воды.
55
по г) от нуля до бесконечности, получаем
<2} в 2в(Т+Рг) {К1 + а Рт^ C0S У ~ Sin У] ~
- a V2 [(1 - Prv')] cos (Y + -f) + (1 + Prv*) sin (7 + -J-)} .
(2.5.15)
Из этого вытекает, что в зависимости от сдвига фаз между
возвышением и флуктуациями температуры вдоль волны интегральный
-ю -$ ч -4 -2 о 2 4 Ш пеРенос тепла осуществля
ется в направлении
распространения волн или
противоположно ему. При y =
= л/2
/п\\ - s2<*Prv* у_
{Ц)\у=л/2-— 2(1+Рг) Х
Х[1 + 2aPrVt], (2.5.16)
т. е. перенос тепла
происходит в направлении,
противоположном
распространению волн. Если y = О,
то перенос положителен.
Роль волнового
механизма переноса тепла по
вертикали, как следует из
(2.5.14), возрастает при
удалении от свободной по-
Рис. 2.8. Распределение по
глубине вертикальных потоков
тепла Q t, обусловленных волнами-.
/ _ a = 0,1, v = 10~2; // — a =
= 0,3, 7 = 10—2; /// = a = 0.1,
7 = Ю; IV
■ a — 0.3, 7=10
верхности, на которой Q\ = 0, а затем Q\ при заглублении снова
экспоненциально убывает.
Таким образом, волнение приводит к тому, что через тонкий
молекулярный пограничный слой (ТП) увеличивается диффузионный
поток (§ 2.4), который в слое, лежащем ниже ТП и примыкающем
к ней, поддерживается за счет возникающего волнового механизма
переноса тепла, ниже которого уже должна располагаться область
существенно турбулентного движения, обусловленного волнами.
Здесь компенсация волнового переноса будет происходить за счет
турбулентной диффузии тепла.
Из (2.5.14) следует еще один вывод: если нижележащие слои
воды более теплые, так что поток тепла направлен из глубины к по-
56
верхности океана, то температурное поле на поверхности будет
иметь сдвиг фаз по отношению к возвышению поверхности,
принадлежащей некоторому определенному интервалу изменений у. Если
же нижние слои жидкости холоднее, т. е. Q\ > 0 (направлен от
поверхности вглубь жидкости), сдвиг фаз между температурным
полем в тепловом подслое и волной должен принадлежать другому
интервалу изменений V- Это свойство проявляется непосредственно,
если выражение (2.5.14) разложить, в ряд Тэйлора в окрестности
нижней границы ТП и
учесть, что безразмерное
б <^ 1. В этом случае по- \"\1
лучается такое выражение
для вертикального потока
тепла в ТП,
обусловленного волнами:
Q(8)f =
x6l/2cos|
х
■■(■>-*)■
Отсюда следует, что для
Q(6)f>0 и Q(6)f<0
и
соответственно
у принадлежат
интервалам.
значения
разным
Рис. 2.9. Распределение по
глубине горизонтальных потоков
тепла Q, обусловленных
волнами.
Усл. обозначения те же, что и на
рис. 2.8
Эффект изменения сдвига фаз между волновыми флуктуациями
температуры вдоль теплового подслоя и возвышением поверхности
раздела в зависимости от того нижний или верхний слой более
нагрет указан в экспериментах, на которые дана ссылка в работах
СГБрайена и Омхольта [162], а также Миллера и Стрита [152].
Необходимы дальнейшее изучение и постановка направленных
экспериментов, поскольку этот эффект может способствовать решению
задачи интерпретации термического состояния верхнего слоя
океана по данным неконтактных зондирований температурного и
волнового полей поверхности океана, т. е. одной из самых важных
проблем, возникающих при его изучении из космоса.
Оценим порядок волнового потока тепла по вертикали. Выбирая
параметры волнения, характерные для морских условий, а = 0,5 м,
со ~ 1 с-1, в0 = 0,5° С, р = 103 кг2/м3, а а = 0*1, Y = 0Д>8 = 0,1
и подставляя их в (2.5.14), получаем Q\ ~ 1050 Дж/сут • см~2.
57
Таким образом, волновой поток может играть заметную роль в
общем переносе тепла по вертикали в верхнем слое моря.
На рис. 2.8 и 2.9 приведены соответственно результаты расчетов
вертикальных и горизонтальных потоков тепла, обусловленных
волнами, выполненные для некоторых значений определяющих
параметров. Для всех приведенных случаев Рг = 7, е = 0,1, 0О =
= 0, Г С. Так как параметр е в формулах (2.5.14) входит в виде
множителя, то при других значениях изменится лишь соответственно
величина потоков, а распределение их по к\ останется таким же.
Первая и вторая кривые соответствуют у = КГ"2, а третья и
четвертая у = 10, причем для нечетных кривых а = 0,1, а для
четных — 0,3. На этих рисунках приведены размерные величины
потоков, нормированные на 4,2 Дж/сут • см2. На рис. 2.8 кривые
/, /// представляют действительные значения потоков, а кривые //
и IV — в десять раз уменьшенные, так что для получения значений
Q\ соответствующие величины нужно увеличить в десять раз. На
рис. 2.9 все приведенные величины меньше действительных в 103 раз.
Рис. 2.8 показывает, что волновой механизм переноса тепла по
«вертикали» существенен в промежуточном подслое, лежащем между
ТП и областью с развитой турбулентностью. Величина Q\ может
достигать нескольких сотен джоулей в сутки через один квадратный
сантиметр горизонтальной площади. Причем потокам разного знака,
т. е. когда Q\ > 0 или Q\ < 0, соответствуют разные сдвиги фаз
тепловых флуктуации на поверхности океана. Подчеркнем, что
волновой поток через саму поверхность, где заданы эти флуктуации
температуры, для всех <у равен нулю. Из рис. 2.9 видно, что Q
—>
максимален на поверхности, а затем экспоненциально затухает.
Знак Q также зависит от того, верхняя или нижняя область
приповерхностного слоя океана имеет более высокую температуру, причем
направления потоков Q\ и Q взаимосвязаны (см. рис. 2.8 и 2.9).
Таким образом, в тонком температурном пограничном слое
можно выделить три подобласти, последовательно примыкающие друг
к другу (основной перенос тепла в присутствии волн осуществляется
за счет разных механизмов): 1) тонкий температурный пограничный
слой, лежащий на поверхности океана, в котором основной механизм
переноса тепла по вертикали — молекулярная диффузия; 2)
подслой, в котором важен нелинейный волновой поток Щ,
обусловленный отличными от нуля корреляциями между пульсирующими с
частотой поверхностных волн полем скорости и температуры. Поток
Щ компенсирует увеличение диффузии тепла через поверхность
раздела за счет волн; 3) слой с турбулентным механизмом переноса
тепла по вертикали. Турбулентность в нем, как известно,
обусловлена волнами и сдвиговым течением.
58
§ 2.6. Влияние молекулярного подслоя
на перенос вихря и тепла волнами
На поверхности океана практически всегда есть молекулярный
динамический [62] и тепловой [89, 98, 179] подслой. В нем настолько
сильно развиты вертикальные градиенты термодинамических
величин, что, например, если бы такое изменение температуры
наблюдалось в интервале глубин, равном 10 см, то разность температуры
на его границах достигала бы 100° С, так что при наличии льда
на поверхности, на нижней границе этого слоя вода должна была бы
кипеть, и наоборот. Реально такая ситуация невозможна, но
пример показывает, что в пределах теплового подслоя
термодинамические характеристики действительно резко отличаются. Это дает
основание рассматривать его в качестве тонкого слоя другой жидкости,
лежащей на основной толще океана, имеющей отличные от основного
слоя термодинамические свойства, т. е. трактовать его как некую
пленку.
Известно [157], что наличие пленок на поверхности океана
приводит к более быстрому затуханию волн. Это должно обусловливать
больший поток энергии и осредненного импульса от поверхностных
волн к стационарному полю скорости и диссипироваться последним.
Поэтому завихренность волнового поля в таком случае должна
быть больше той, которая возникает в аналогичном случае при
чистой (свободной) поверхности. Как следствие должны возникать
большие сдвиги фаз между флуктуирующим динамическим и
турбулентным полями, т. е. возбуждаться дополнительные волновые
потоки тепла.
О. Филлипс [85] показал, что если поверхность океана покрыта
пленкой — тонкой пленкой нефти или слоем абсорбирующего
вещества, то вязкий приповерхностный слой будет мощнее, чем при
их отсутствии. Это означает, что при наличии тонких неоднороднос-
тей на поверхности океана стационарная завихренность волнового
поля, передача импульса и тепла нижележащим слоям должны быть
значительнее, чем при отсутствии неоднородностей.
Рассмотрим движение в криволинейной системе координат (2.5.1).
Уравнение диффузии вихря может быть записано в виде
wQ ■■
- /% [р+4- (и2+о>2)]+4-//2д^- (2-бл)
Умножая (2.6.1) на «Г~1/2 и усредняя по фазе за период волны,
получим
-у- d„Q - J~i/2wQ. (2.6.2)
Как следует из (2.5.12), (2.5.13), в случае, когда не учитывается
эффект тепловой пленки, низший порядок правой части уравнения
(2.6.2) есть О (е2а2), а усредненная завихренность волнового поля
тогда оказывается порядка Q ~ О (в2).
59
Отыскивая среднюю завихренность в виде (2.5.8) при I = 2,
подставляя в уравнение
-2?- д& = f/2dz(J-1/2u*) + Jd^(rluw), (2.6.3)
являющееся следствием (2.6.2) и уравнения неразрывности
дг (Г*/яи) + дц (J~*/aw) = 0, (2.6.4)
получаем, что в пограничном слое
й20 == const = й20\ц=0. (2.6.5)
Из определения вихря и (2.6.4) имеем
& = ал (/'■«) + 2/J~Var/ + 0(82а2) =
= 282 [(^ + 2УГ1/2)^/2 - ^] + О (aV, в4).
Это в соответствии с (2.5.3), (2.5.4), (2.5.13) означает, что
Q (т) = 0) = 2е2, т. е. согласно (2.6.5) Q (т)) = 2е2. Следовательно,
волновые напряжения Рейнольдса в пограничном слое имеют
порядок О (е2).
Теперь учтем существование на поверхности океана пленки.
Тогда вместо условия отсутствия напряжений на поверхности раздела
(2.5.4) имеем [85] условие
drV = д{¥д,Ъ + ду^дгц = — 1, (2.6.6)
записанное в переменных пограничного слоя. Условие (2.6.6) строго
выполняется для упругих пленок. Поэтому действие молекулярного
подсло^ здесь имитируется такой пленкой.
Подставляя в (2.6.6) выражения (2.5.1) и учитывая (2.5.8), имеем
и10 = — cos | при г = 0.
Кроме того, по-прежнему справедливы кинематическое условие
w — 0 при г = 0 и условие затухания скоростей вне пограничного
слоя и = w = 0 при г ->- оо.
Процедура решения, аналогичная использованной в
предыдущем параграфе, приводит к следующему выражению для вихря:
Glf_i = e~r [cos (g + г) + sin (g + г)], (2.6.7)
а для скоростей соответственно
и10 = cos £ — <ГГ cos (g + г),
j _ (2.6.8)
o>ii = — {* г tcos (Б + О + si" (i + r)l — (cosg + sin g)}.
Следовательно, вихрь флуктуирующего поля скорости при учете
пленки имеет порядок О (е/а) внутри пограничного слоя, что по
параметру а на порядок больше, чем дает (2.5.13) в случае
отсутствия ТП.
60
Определим величину осредненного вихря. Уравнение (2.6.3)
можно преобразовать к виду
-у- *Р = j4*wdr\ (J~lf*u) + О (е3а4).
Интегрируя (2.6.9) внутри пограничного слоя, имеем
-^- Q |J = $ /^ (<Г,/2ы) (1л » 82 J о^чМл в
(2.6.9)
^Л lo — j ti1dr]w1 drj
о
Следовательно, (2.6.9) можно переписать как
Используя, что в пограничном слое
со
{и1У wl9 Qj} = Sa"K a^i*, a^Q^i},
имеем
= b^uxwv
/г=0
1 ri
2" Q2.-i lo = «lo^n = — f* I* r — (cos r — sin r)].
Следовательно, при учете пленки средняя завихренность в
пограничном слое имеет О (е2/а), что по параметру вязкости на порядок
больше, чем при ее отсутствии. Поэтому и величины волновых
напряжений Рейнольдса также на порядок больше.
Вычислим волновые потоки тепла по вертикали и горизонтали,
учитывая наличие молекулярного подслоя. Температурное
флуктуирующее поле описывается выражением (2.5.13), а скорости — (2.6.8).
Тогда, вычисляя <?,f имеем
-►
Q = _ tfe-^'* j-e-^cos [(Рг-'/г - 1) ф + у] +
q f = ^Le-a+pr^m {_ cos [(pr-v, _ 1} ф + у] +
+ sin [(Pr-Vi — 1) tj/a + v]} —
■--*-^M^ + t)-~taf + T)]. .
Сравнение соответствующих величин с (2.5.14) показывает, что
горизонтальные потоки тепла, 'обусловленные волнами, в обоих
случаях имеют один и тот же порядок, а значение вертикальных
61
потоков при учете молекулярной пленки оказывается на порядок
больше по параметру а.
Тонкий подслой на поверхности океана иммитировался
практически нерастяжимой пленкой. В действительности молекулярный
подслой должен давать меньший эффект. Тем не менее эти результаты
свидетельствуют о том, что наличие тонкого молекулярного подслоя
(ТП и др.) может влиять на сдвиг фаз между самими компонентами
скорости волнового поля, а также между ними и флуктуациями
температуры, что будет приводить к изменениям завихренности
волнового поля, потоков импульса, дрейфа Стокса, затухания волн и
др. Поэтому при исследовании эффектов второго порядка в
волнах необходимо учитывать реально существующую особенность в
океане — наличие на его поверхности молекулярного
термодинамического подслоя.
Глава 3
ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ ВОЛНОВОГО
ПЕРЕМЕШИВАНИЯ*
В физике взаимодействия атмосферы и океана одной из наиболее
важных является проблема построения модели слоя ветрового
перемешивания, без решения которой не может быть решен ряд
задач (например, выявление процессов обмена теплом через границу
раздела вода — воздух, механизма передачи энергии, импульса и
тепла в квазиоднородном слое и через его нижнюю границу и т. д.).
Их знание необходимо для описания динамических и тепловых
процессов, протекающих во всей толще океана, а также при создании
методов прогноза и теории климата. В последние годы актуальность
задачи существенно возросла в связи с бурным развитием методов
и средств исследования океана при помощи неконтактных аппаратов
(спутников, самолетов и др.). £*ги методы обладают рядом
преимуществ, поскольку ни один из других способов не может
конкурировать с ними относительно объема и одновременности получения
информации с больших акваторий океана. Однако при
интерпретации данных, получаемых таким методом, возникает ряд
принципиальных трудностей. Например, неконтактные методы позволяют
получать данные лишь в тонком слое у поверхности раздела.
Поэтому возникает задача на их основе описать нижележащие слои, т. е.
необходима модель, связывающая процессы, происходящие в
поверхностном слое океана с термогидродинамическими
характеристиками атмосферы и океана на поверхности раздела. Названная
проблема еще далека от решения. Связано это, в первую очередь,
с тем, что термогидродинамика пограничных слоев атмосферы и
океана, примыкающих к поверхности раздела, существенно
нелинейна и турбулентна *. Уже это предопределяет большие трудности
при построении теоретических моделей. Еще одной специфической
особенностью слоя волнового перемешивания является наличие
подвижной границы раздела атмосфера — океан, на которой
должны формулироваться граничные условия. Эта особенность сильно
усложняет изучение проблемы. Для ее устранения обычно приме-
* Экспериментальными и натурными наблюдениями выявлены здесь
значительные турбулентные и волновые потоки энергии, количества движения и тепла,
что и указывает на нелинейный и турбулентный характер процессов.
63
няется метод разложения граничных условий в ряд Тэйлора
относительно невозмущенной поверхности z = 0. Однако так как в
окрестности z = 0 существуют большие значения градиентов
термогидродинамических полей, то формулировка задач в прямоугольной
системе декартовских координат и разложение граничных условий в
ряд Тейлора являются недостаточной аппроксимацией проблемы [48].
Поэтому, несмотря на значительное усложнение математического
анализа, необходимо изучать задачу в системе координат,
непосредственно связанной с волновым движением.
Указанные особенности делают задачу очень сложной как в
отношении математической постановки, адекватно отражающей
физические процессы, протекающие в океане, так и в отношении
получения решений и их анализа.
Физический смысл проблемы, исследованию которой посвящена
глава, состоит в следующем. Необходимо построить
термогидродинамическую модель процессов, протекающих в верхнем пограничном
слое океана глубины порядка характерной длины волны, когда на
его поверхности действует ветер и волны, существуют потоки тепла,
обусловленные солнечной радиацией (длинно -и коротковолновой),
испарением и контактным теплообменом. Необходимо рассчитать
поле средних дрейфовых течений, волновое поле скорости,
напряжения Рейнольдса и коэффициенты обмена количеством движения,
потоки тепла и др.
Модель, предложенная автором и Журавлевым [31, 33], в
соответствии с результатами наблюдений учитывает четыре основных
фактора: турбулентный характер движения, который описывается
на основе теории неоднородного турбулентного потока, развитой
Сафманом [175—177]; нелинейный характер процессов,
протекающих в слое волнового перемешивания; существование волновых
потоков тепла в слое волнового перемешивания; наличие подвижной
границы раздела, вследствие чего задача формулируется и
анализируется в криволинейной системе координат, связанной с
волновым движением.
Основными упрощениями теории являются предположение о
независимости функций от горизонтальной координаты,
ортогональной к направлению волн (движение считается осредненным в этом
направлении), и исключение из рассмотрения молекулярного
подслоя, примыкающего к поверхности океана.
Параметры возвышения поверхности раздела выражаются через
ветер посредством теории подобия Китайгородского [55]. Однако
модель позволяет и независимое задание их. В модели существуют
две возможности для учета средней стратификации в пограничном
слое. Одна предполагает априорное задание среднего поля
температуры, другая — возможность его расчета как внутреннего
параметра в рамках самой модели.
64
§3.1. Модель термогидродинамики слоя
волнового перемешивания
Уравнения. Физика взаимодействия атмосферы и океана, а также
структура квазиоднородного поверхностного слоя взаимно
определяют друг друга. В связи с этим в последнее время уделяется
много внимания построению теории квазиоднородного слоя. В этом
направлении наибольшего успеха достигнуто в работах, основой
которых являются дифференциальные модели [59—61, 70, 72].
В этих исследованиях не рассматриваются процессы, происходящие
в слое волнового перемешивания, а влияние волн в них учитывается
лишь через дрейфовые течения. В данной главе рассматривается
модель термогидродинамических процессов, протекающих
непосредственно в слое волнового перемешивания.
Пусть в верхнем пограничном слое океана движение вызывается
действием ветра и возмущается взволнованной поверхностью.
Учтем также потоки тепла через границу раздела, обусловленные
радиацией и испарением. Так как характерное время перестройки
течений за счет изменений стратификации (температурного поля)
велико по сравнению с характерным периодом волн [52, 66], то
влияние температуры на поле волновых скоростей несущественно,
поэтому ее можно рассматривать как пассивную примесь.
Тогда в качестве уравнений, описывающих поверхностный
турбулентный пограничный слой в системе координат Декарта, примем
ди* . L ди* 1 an . д , ,, ,/ч
— + *1? T-*?"t"Sr<-'"">' Р-1-')
Т + "-£-*в1**«Г-™ + -5г[*т-£г]. (ЗЛ'2)
ди> ди' V/. sn, , д
-*[Ъ~твТ-ч>Ч1г№-ё-]- <3131
%Ч = — (и V) = 2 -§• S" 5" б" <«''«'*>• (3-1 ■ 4>
ди' 0, (3.1.5)
дх'
т+^--£-['4-£-]~5-+»«: (ЗЛ6>
Здесь W — средняя скорость движения, Т = (в + Т + Т) —
температура со средним полем в = в (z) (может рассчитываться
или быть задана), П == Р + pgz + -у (и1ич), Р — среднее статическое
давление, g — ускорение свободного падения,
<и*и*>—кинетическая энергия пульсационного поля скорости, Stj =
5 1-U19
65
= ~2 (—-7- + ~Г7") — тензор деформации скоростей; Е —
плотность «энергии» турбулентности, Q — среднеквадратичная
«завихренность» турбулентных пульсаций, t — время, 6" — символ
Кронекера, i = 1, 3; / = 1; 3 и принято правило суммирования
Эйнштейна, I — поток тепла за счет коротковолновой радиации, В —
суммарный поток тепла, обусловленный длинноволновой и
отраженной радиацией и теплом, затрачиваемым на испарение. Дельта-
функция Дирака — б (z) — указывает, что все эти процессы
считаются сконцентрированными на поверхности океана. Первый член
в правой части (3.1.6) означает, что принято обычное предположение
о пропорциональности между коэффициентами турбулентной
диффузии тепла и количества движения, г — коэффициент этой
пропорциональности.
Поток тепла за счет коротковолновой радиации можно
представить в виде [5]
п=т
i= S Мо)^»^-**,
где I© (о) — интенсивность коротковолновой солнечной радиации
в данном участке спектра, проникающей через поверхность моря
г = 0; Aw — коэффициент поглощения солнечной радиации водой
на том же участке спектра; 10 и h — осредненные по всему спектру
величины.
Выражения (3.1.2), (3.1.3) являются уравнениями модели
неоднородного турбулентного потока, развитой Сафманом [175—177],
которая успешно применялась для исследования ряда задач теории
пограничного слоя [138, 177]*. В частности, Кнайт [138] на ее
основе исследовал турбулентный поток над волновой поверхностью.
В этих уравнениях первый член в правой части представляет
генерацию, второй — диссипацию, а третий — диффузию турбулентной
«энергии» и «вихря». Основой модели является постулат, согласно
которому турбулентность в неоднородном потоке, ответственная за
перемешивание и перенос момента, описывается плотностью
«энергии» турбулентности Е и «вихря» Q, которые удовлетворяют
уравнениям диффузии (3.1.2) и (3.1.3). Другой постулат связывает
напряжения Рейнольдса и тензор деформации скоростей в виде
(3.1.4), так что коэффициент турбулентного обмена количеством
движения можно выразить как К = y*E/Q, где 7* —
универсальная постоянная [177]. Константы исследуемой модели, полученные
Сафманом [177] на основе естественных требований к структуре
решений уравнений, описывающих движение, и универсальных
закономерностей турбулентности, соответственно равны <у* = 1; Yi = 0>3;
у2 = 0,1; 6г = 1; 6, = 0,894; о, = 0,5; а2 - 1,0.
* На самом деле (3.1.2) и (3.1.3) не являются оригинальными уравнениями
Сафмана. Его уравнения содержат Е2 и Q2. Здесь же для удобства они
тождественно преобразованы и записаны для Е и Q.
66
Важно подчеркнуть, что в теории Сафмана [175—177] плотность
«энергии» Е и «вихрь» Q не тождественны определению плотности
энергии и вихря в обычном их понимании [73]. Поэтому уравнения
их переноса не тождественны уравнениям баланса турбулентной
энергии и вихря Монина — Яглома; здесь эти уравнения
постулированы.
Как уже указывалось, для избежания трудностей при
формулировании и удовлетворении граничных условий на свободной
поверхности, исследование слоя волнового перемешивания необходимо
выполнять в криволинейной системе координат (2.5.1). Записанные
в системе {£, т)} через ковариантные компоненты уравнения
(3.1.1) — (3.1.6) принимают такой вид:
дщ , / dvt , 1 / 8J \, ч
1 дП , и/, д г , , 1 dJ
-f- + /'' -яг W + -т ^г [т"] г*\ (3-1.7)
Е ( dvf , до* \ . 7-i E I dJ , dJ
-°'-шгб'7) ~ "т ■r'(v lvi) 8ih (3-l -8)
7T + Jvi-jk = ^E VS4S^ J-EQ +
+ *'4г{-тг-ъг)- <зл-9>
+*-&&-%■}- <ЗЛЛ0>
^+^-^=^Н^-]-^ + 2^(^ (3.1.П)
dv!r = 0. (3.1.12)
dx(
Здесь »/= J~luf, Dt — ковариантная производная,
действующая на функцию // как
Dili — ~~fa7 + * *//?»
где Г}/ — символ Кристофеля, равный
17,—4-r,(^-e7 + -sr^—S-M1").
Поскольку не учитывается тонкий ламинарный подслой,
непосредственно примыкающий к поверхности раздела, то граничные
5* 67
условия могут быть удовлетворены лишь асимптотически на
внешней границе ламинарного подслоя (внутренняя его граница —
поверхность океана), т. е. при г\ ->■ 0.
Граничные условия. Согласно экспериментальным данным [195],
в непосредственной близости к границе раздела средняя скорость,
обусловленная напряжением ветра, имеет логарифмический
профиль, поэтому
и^и0-^^1п[-^^]-с + гс(ре^ при л-*0, (3.1.13)
где и0 — скорость дрейфа жидкости на поверхности раздела; и* (I) —
скорость трения в воде, которая может зависеть от фазы волн; с —
фазовая скорость волн, которая может быть как положительной
(направление распространения волн совпадает с направлением
течения на поверхности океана), так и отрицательной (волны
направлены против течения); ц* (£) <£ а, где т]*(£) — параметр
шероховатости, также зависящий от фазы волн, так как в
реальных условиях она имеется; действительная величина от выражения
{гсуе№) является скоростью частиц жидкости при т) -> 0, причем
г <£ 1; £ = j J~l/2dr\ + О (г2) — расстояние по нормали в системе
о
'£, q} до поверхности, где г) ->- 0; х — постоянная Кармана.
Граничное условие Для вертикальной компоненты скорости
должно формулироваться так, чтобы при т) -+■ 0 не было противоречия
с уравнением (3.1.13) (точно выполнялось уравнение неразрывности
при г) -> 0). Поэтому примем
w= — \ {f%u + ид^2) dr) + М при т] -> 0. (3.1Л 4)
Динамическими условиями на поверхности океана являются
требования равенства касательного напряжения, потока энергии
и завихренности, обусловленных ветром, соответственно
турбулентным величинам трения, энергии и вихря в воде. Так как
рассматривается случай малой крутизны волн, то разрыва поверхности океана
за счет их разрушений нет. Поверхность раздела океан — атмосфера
в системе координат, связанной с волной, неподвижна и, кроме того,
является поверхностью тока. Следовательно, в таком случае она
аналогична жесткой стенке. Итак, условия в этой системе координат
могут быть записаны как
-(и'аО-и2.©, £=w2.©. Q==-Yii~fL при г)->0.
(3.1.15)
Для температуры на поверхности задаются условия общего вида
Т + ТдцТ=0 при т| = 0. (3.1.16)
Вне поверхностного слоя волнового перемешивания возмущения
поля скорости и температуры затухают:
Ё=Й=и==ш=П = Т = 0 при л-* °° (3.1.17)
68
Параметры волн, дрейфового течения и ветра в рамках модели
могут задаваться либо независимо, либо на основе связей,
вытекающих из теории подобия Китайгородского [55, 158, 170], которая
дает соотношения (2.4.11). Скорость поверхностного дрейфа и
скорость трения в воздухе, как показано By [195] на основе
систематизации данных, связаны как и0 = 0,53и*.
§ 3.2. Задачи для среднего
и волнового динамических полей
Поставленная задача существенно нелинейна. Тем не менее можно
приближенными методами аналитически определить
характеристики динамического поля. В силу ее нелинейности решения должны
содержать стационарные части, не зависящие от фазы волн, и
слагаемые, являющиеся функциями фазы. Отыскивая решение, отделим
сразу стационарную и нестационарную части. Введем fw) = f — Д
где J— среднее поле в турбулентном пограничном слое под
невозмущенной волнами поверхностью, fw) — волновые возмущения, / —
полное поле в пограничном слое,- подверженном волновым
возмущениям.
После введения функции тока и представления искомых величин
в виде ряда по е для невозмущенного поля получаются такие
уравнения:
алт =
- vy о'^т12 =
= 0, тц = д- (и'щ), т22 = —
т12 = JL <4¥, <5„ [± П + т22] = 0,
0Ч
-|aT)£j + [Y1a^-Q]£=0,
-j-(«'<«,'),
(3
Ji)
-=- зло] + \уА^ - в«Р] о = о,
и граничные условия для них
т12=и1, v=u0 — k У, In (т|/л*) — с,
Е = уги\у Q = — yiX>~~luJv\.
(3.2.2)
Как ясно из (3.2.1), (3.2.2), задача для дрейфового поля
скорости, вызванного касательным напряжением ветра, как и общая,—
нелинейна.
Предположим, что Е не зависит от ц. Это предположение не
ограничит общности решения^ если последнее будет удовлетворять
граничным условиям. Тогда Е, удовлетворяющее условию (3.2.2),
имеет вид
Ё = const = ухи1.
69
В соответствии с этим первые уравнения из первой и второй
строк (3.2.1) дают
- — и2
T^^^T-Yi-f (3-23)
fi=Yi<52WP.
Предпоследнее уравнение из (3.2.1) выполняется в этом случае
тождественно, а последнее приобретает вид
7lM™ [In (Й/СФ)] + (y2/Yi - б2) Q2 = 0.
После подстановки .
у = In (Q/cpc)
оно легко интегрируется и решение, удовлетворяющее граничным
условиям (3.2.2), оказывается таким:
Q = — yi*~~lu*f*\.
После чего из (3.2.1) — (3.2.3) определяются остальные функции
t \_ _ (3.2.4)
тп = т22 = — -J- (и"1щ), dv\V = и0 — х'Л* In (г)/<п*) — с.
Таким образом, решения (3.2.4) описывают турбулентное
дрейфовое движение в поверхностном слое океана, возбуждаемое
напряжением ветра, без учета возмущений его волнами. При этом
распределение стационарной средней скорости имеет логарифмический
профиль в криволинейной системе координат. Плотность
турбулентной энергии и турбулентные напряжения Рейнольдса,
обусловленные сдвиговым стационарным логарифмическим течением без учета
вклада волн, оказываются постоянными во всем пограничном слое,
а завихренность турбулентного движения убывает при удалении
от поверхности раздела.
Задача определения волнового поля более сложная, и ее
решение может быть получено лишь приближенными методами.
Используем методы асимптотических сращиваемых разложений. Для этого
преобразуем уравнения и граничные условия следующим образом.
Введем функцию
ф « W — k-{ve-k\ik%* (3.2.5)
и обезразмерим переменные волнового поля как
ф = _ ak<b/u*, Е = Ё/уЦ%9 Q = — Q/Yife/*,
П = а2П/г^, т// = aHtjIul, д* = kr\9
70
где безразмерный множитель
_ (g—«о)х
а = {— ln[bj*e »• 1Г1.
Легко убедиться, что для обычных параметров волнения
а <^ 1. Следовательно, для волновых возмущений получаем задачу
с малым параметром.
Внутренняя независимая переменная (переменная пограничного
слоя) в данном случае определяется как
т|+ = kx\l\ а |.
С учетом этого уравнения внутреннего поля порядка О (ak),
примыкающего к поверхности раздела, принимают вид
(1 + a In | а | + a In r\) дцФ — аФ/г) =
= - I а | хП + х [ | а | ти - 0лти]-| а | G0e~m\
| а | (1 + а In | а | + а In г|) Ф =
= - *длП + х [ | а | txlt + д„тм] + | а | G0^,a,T),
Ti2 = -j-^j-хт]<Э^лФ + а'|а|хт)Ф +а2{ |а|xt|Q — Е —
-[2+l/|ah]e-IalT1}, (3.2.6)
оА'£ [1 + a In | а | + a In л] — xvi [д2тФ + а2Ф] =
= ay1e-lal4l/r\t — aftiylQ +
+ a2x2a2 j^-j^- дц (цд^Е) — a \ a | £J ,
^l+aln|a| + alnti][|a|»Q + -i^e-:am] +
+ {a3 (t, - 2S2Yl) ~^ ГШ ~ сАЛт«° ~
— | a | a [d„ (— — а2хй)1 + сАЛг*д„ (т|д„0) + а22ха2 -L <T:afT1} ,
в которых Auju*, G0 = —j- (u'iu'ri/ul и для удобства опущен
крестик при переменной tj.
71
Граничные условия при т) -> 0, переписанные в переменных
пограничного слоя, таковы:
т12 = 2сс2А, Е = 2а2Д, Q = А/| а \ кц,
Ф =-^-{A[a|ah(ln|a|+lnifl) —a|ah]— ■
— a|aI -^— T] — a In I a | — alnr] — a j a |r\*r\/r)* —
и*
— a | a | xcqnj/tt* — lj, (3.2.7)
' алФ = -^L {A (1 + a In | a | + a In r|) — асхД/ы* —
— a/| a | Y) — acKylu* — at\Jr\*},
где Ъ* и и# являются коэффициентами разложения скорости
трения по параметру (ak), а именно и# = и* + (ak) u*ek^. __
Во внешней области независимая переменная есть ц = кх\.
Уравнения внешнего поля имеют соответственно такой вид:
(1 + aln ц) <Э-Ф = — хП + х [тп — id-Tl2] — нО0е~ц,
(1 + a In ц) Ф = — хд-П + х [ix12 + д-т22] + xG0e-11,
тп = Go^ + 2teT| [xd-Ф + оиГ11/^],
т12 = ax^j [d^-Ф + Ф] - a2 {(2 + i) <Г* + (£ - x^Q)} , (3.2.8)
Т22 = <V_T1 — 2tati [хд-Ф + ae^h\]9
iE + *a In цЕ — Ylx [д^Ф + Ф] = — ay^ltf —
— ау^й + aoxx2 [d- (x\d-E) — rj£],
*Q + -J=-Гф + -±-e^~\ + id In rj [Q + e^/x^8] =
= V, 4r д~Ф + a {(у2 - 2fi2?1) О/л - у^Ыц* -x2a2^2 -
- xa2d- [Е1ц - хй] + x2a2d- frd-Q) + 2xa2 4- ^J .
Граничные условия для них — условия затухания на
бесконечности
{Q, Е, Ф, т//, И}-» О при ri-^0. (3.2.9)
Итак, краевая задача (3.2.6), (3.2.7) описывает динамику
волнового возмущения турбулентного пограничного слоя,
непосредственно примыкающего к поверхности раздела атмосфера — океан,
а задача (3.2.8), (3.2.9) — волновые возмущения внешней области,
которые имеют вертикальный масштаб, много больший, чем
толщина внутреннего пограничного слоя. Однако именно в пограничном
слое все волновые характеристики претерпевают наиболее резкое
изменение с глубиной, что определяет большие потоки импульса
и энергии, обусловленные волнами в этой области. Поэтому здесь
особенно важно проанализировать поведение характеристик
волнового поля, что представляет большие трудности, так как сразу
видна сложность получения решений задачи (3.2.6) — (3.2.9).
В совокупности эти задачи незамкнуты по числу граничных
условий. Недостающими, как обычно, являются условия
асимптотического сращивания внешних и внутренних решений.
§ 3.3. Расчет поля возмущений
Если выполнить общий анализ согласно методике асимптотических
сращиваемых разложений [8, 58], то можно убедиться, что в
данном случае разложение искомых функций в ряд по параметру а
имеет сложный вид, включающий логарифмические члены. Как
для внутренних, так и для внешних полей оно таково:
/=/(0^ + aln|a|/(1) + a/(2) + a2ln|a|/(3) + a2/(4)+ •••. (3.3.1)
Подставляя (3.3.1) в (3.2.6), собирая члены при одинаковых
степенях а и приравнивая их нулю, получим для внутреннего поля
в первом приближении такие уравнения:
дцФ{0) = - ,хд„тЙ\ - хд^П^ + ал (т(2°2>) = О,
тЙ> = т& = Go, т» = -^ <>Ф(0)г], (3.3.2)
<4ф(0) = о.
Последнее уравнение является не оригинальным, а уже
следствием уравнений относительно £(0) и Q(0). В дальнейшем для
простоты также не будем приводить некоторые первоначальные
уравнения, а давать сразу соотношения, являющиеся следствием их
тождественного преобразования:
Граничные условия при ц -> О имеют вид
<VD(0)=0, Ф(0, = -1/х, )
тм-0. £<°>=2Д<°> ^-^/хт,) тХ{-+0- (3'3-3)
Уравнения внешнего поля в этом приближении соответственно
есть
с)-Ф(0> = - хП(0> + х (т(,?> - id-x®) - xG0e-\
7Э
Ф<0) = - х^П(0> + (М? + д-т&) + xG0e~\ (3.3.4)
гй>-т»-О^Л т»-0.
Функции, описывающие движение во внешнем поле, должны
удовлетворять затуханию при ц ->■ оо.
Решения задачи для внешней области имеют вид *
Ф(0)=ЛеЛ П(0)=Лв^/х,
а для внутренней они таковы:
фЮ-Сл + с,, п(°)=с3, -т!°2> = о.
Удовлетворяя первым двум граничным условиям из (3.3.3), получаем
Ф(0,=-1/к, П(0,=С3, -т|°2> = 0.
Легко видеть, что сращивание решений внешнего и внутреннего
полей дает А0 = —1/х, С3 = —1/х2. Так что окончательно
решения нулевого приближения внутреннего и внешнего волновых
полей, удовлетворяющие условиям сращивания, выглядят так:
ф<°>=_1/>с, П(0)=-1/х*, .т(,? = 0, T?iex& = G0
и _ (3.3.5)
ф(0) = _^/Х) п(0) = -в^/^, т!? = 0, t?,=stS2 = G^. .
Остальные функции имеют более высокий порядок малости и
определяются в последующих приближениях.
Из решений (3.3.5) следует, что в этом приближении волны
создают нормальные напряжения и возникает завихренность волновых
возмущений, экспоненциально затухающая при удалении от
поверхности моря.
Подставляя (3.3.1) в (3.2.6) и приравнивая члены при
коэффициенте a In | а |, получаем уравнения, описывающие динамику
волновых возмущений во внутреннем турбулентном пограничном слое
порядка О (a In | а |)
алФ{1) + йсдчт$ = - дцФ{0\ д2тФа) = О,
- ^П(1) + дчт& = 0, *# = т|{> = т& = 0. (3-3*6)
Эти уравнения удовлетворяют при г\ -*■ 0 таким условиям:
дчФ(1) = 0, Ф(1) = — 1/х, тЙ = 0, 1
*■>-*», tf»-A»/kn I ПРИТ^°' (3-3'7)
Для внешней области в этом приближении уравнения оказываются
такими:
,Э-Ф(1)=-хП(1>, Ф(1)==-х<Э-П(1), т#=0. (3.3.8)
1%
Они должны удовлетворять граничным условиям
ф(1) = П(1) = т}}} - 0 при ц-+ со. (3.3.9)
Опуская выкладки, выпишем сразу решения задачи в этом
приближении, удовлетворяющие граничным условиям и условиям
сращивания:
(D<'> = _JL, DO)-Dlf
где постоянные Av и Dv на данном этапе остаются
неопределенными, они находятся при сращивании решений в следующем
порядке разложений по а, т. е. О (а). В этом порядке решения
уравнений внутреннего поля
д,Ф<2> + 1пт^Ф(0>--^ =
= —щ- хП(0) + х (т{? - iV,!') + 00щ,
налп(2) - халт!> = —^ ф<0) + rf + хс0,
*i?>=_T$=-G0Tb (3.3.10)
til' ^ х<4ф(\ = - «/| a 11|,
должны удовлетворять таким граничным условиям на свободной
поверхности:
д„Ф<2>= ±[G- 1/Л], G-^- [Д(0> + ф(0)] + А<0> ( 1 + £),
ф(2)= « -Lgti —lntjM при Ti-^O (3.3.11)
_ Л 1^ Л А (2) П(2) А (ЗЬ .
т12 = 0, £: = zz\ \ L2 ' = za />сг|,
где и(0) = м*7иа.
Динамика внешней (основной) области описывается в этом
приближении уравнениями вида
^Ф<2> + хП(2> - х (т[2) - 0-т$) = - In ^(0> + Ф(0,/л,
Ф<2> + хд-П(2) - х (*т|? + а-тй») = In лФ(0),
75
т|? = 2ixr\d-O{0\ т© = - 2/хт]д-Ф(0\
т9«кч(^°> + ф(\ (3'ЗЛ2)
а-ф(2> + хП(2) = — In tj^/x — е^/кц + 2и>Л
ф<2> + Ха-П(2) = In л^/х — 21тиГ".
Граничными условиями при х\ -> сх> снова являются требования
затухания всех искомых функций волнового возмущения в этом
приближении.
При сращивании внутреннего и внешнего решений в данном
приближении следует такое соотношение:
ахК-с(А(0) + Ф(0))]/«* + Д(0)=1.
Оно является как бы аналогом дисперсионного соотношения в
теории волн и накладывает некоторые ограничения на выбор
исходных параметров проблемы.
Решения внутренней и внешней задач в этом приближении имеют
вид
Ф(2) = — In г) | х + ал/1 а | х, П(2) = 2i + т)/х2 + 2 (In 2 + v)/x2,
оо _
<D<2> = JLe-4 ^йц + -±±^е-\ П(2>=-1п^/х«-
—л
оо
-Le* f-d-(1л + (2ix2 + Y + In2)в^/х», 4 = Dx = 0.
11
Таким образом, здесь определены значения постоянных Аг и
Dlf входящих в решение предыдущего порядка.
В приближении порядка 0 (а), следовательно, возникают
линейные и логарифмические члены в решении для функции тока,
определяющие завихренность волнового поля. Завихренность
затухает в пограничном слое как квадратичная функция глубины, а во
внешней области — экспоненциально. Так как она определяется
решением О (а), то ясно, что физически причиной ее возникновения
и диффузии во внешнюю область является одновременное действие
нелинейных и вязких свойств поля волновых возмущений скорости.
Найдем решение в следующем порядке разложения — порядке
О (a2 In |а|). Внутренняя область описывается здесь уравнениями
длФ(3) + исдцтЙ = — дпФ(2) — In г\д^Ф{1) + Ф(% — хП(1) + хП(п\
— xd^ + хдцт^ = Ф{2) + Ф(1) — йст#, (3.3.13)
76
с такими граничными условиями
ф(з, = | А(0) + Д(" _ Г«с(Д + ф) ПОП ^ + / ««0Д У') Л)
а1)ф«з, = |а«» + а"> _ ^(Д + ф)|.)| + |^(i, при ^ ^ ^
(3.3.14)
£(3) = 2Д(3\ Q(3) = Л(,)/хЛ, tS|) = 0.
Динамику внешней области порядка О (a2 In | а |) определяют
уравнения вида
д„Ф(3) + хП(3) - % (т!3) - 1дф1$) = Ф(1)Л| — In ц д-пФ11),
ф(3) + иа^п(3) — и («xSi> + a^Ti>) = ф(1)1п ц,
т$ = — тШ = 2iv\ (х^Ф(1>), (3.3.15)
Решения систем (3.3.13), (3.3.15), удовлетворяющие
граничным условиям (3.3.14), условиям затухания всех величин при
т)-*оо, а также условиям сращивания функций, описывающих
внешнее и внутреннее поля, выглядят таким образом:
ф(3> = _ 4/Xf П(3) = г) (In ц — т])/х2 + D3,
ф(3> = А#-\ П(3) = Л^/х.
Постоянные А3 и Ds определяются при нахождении решений
в следующем порядке, а здесь снова возникает дополнительная
связь между параметрами (поправка к предыдущему
«дисперсионному» соотношению)
/ ош0А \(Р , Д(0) + Д(1) _ Г ос(Д + ф) I*1) __ L
\ й* / * L "* J x
Наконец, найдем решение еще одного порядка. Во внутренней
области в этом приближении аналитически его найти не удается,
можно получить лишь* во внешней области. Этого достаточно,
чтобы определить постоянную Л3 из предыдущего приближения.
Уравнения внешней области имеют вид:
с^Ф(4) + хП(4) + Ыд^ = m\V + -52 In л^Ф(2),
л
Ф(4) + х^П(4) - х (*т$ + дф{£) = - In ф{2\ {3
т}? = — т$ = 2юл (х^Ф(2) + e-*/TJ),
т!? = *л (5^Ф(2) + Ф(2)) - [(2 + 1/ц) г-* + Е{0) — £1°щ].
77
Подставляя выражения для £(0), Q(0), Ф(2) из полученных
решений в (3.3.16), получим относительно функций Ф(4) и П(4)
уравнения вида
^Ф(4) + хП(4) = Fx (л), и^П(4) + Ф(4) = F2 (л), (3.3.17)
где Fj и F2 — очень громоздкие функции, поэтому они здесь не
приводятся, а сразу дано решение для Ф(4):
ф(4) в е_л (с4 _ ы 1П ^ _ х (27l _ ?1) Jj] _ _£lL С AglL djj -
£,(2*1) е"""^ ri ~ t i 1 о . • 2i *~~^ Г ^£Л2т|) •-
^ [M + Y + ln2 + w2] — J ^- dt|,
oo
где Ег (2л) = J v_1e~vdv, C4 — неопределенная постоянная. Ока-
зывается, что Л3 = 0. Постоянная D3 остается при этом
неопределенной, так как не производится сращивания решений (решение
О (а2) во внутренней области не найдено), но знание ее не
является необходимым для дальнейшего анализа.
Итак, найдено пять приближений решений для искомых функций.
Эти решения позволяют построить равномерно пригодное во всей
области составное решение, на основании которого можно
вычислить коэффициент турбулентного обмена, турбулентные
напряжения Рейнольдса, волновое поле скорости и т. д. в качестве функции
глубины.
§ 3.4. Динамические характеристики
турбулентного взволнованного слоя
При исследовании взволнованного слоя моря основными
характеристиками являются поле волновых скоростей, их распределение
по глубине, величины и распределение напряжений Рейнольдса
(полных и турбулентных), коэффициент обмена количеством
движения, а также индуцированное волнами поле скорости Стокса.
Именно исследованию этих параметров посвящены
экспериментальные работы [37, 40, 41, 57, 180, 181, 184]. В них исследуются
отдельные аспекты проблемы, и к настоящему времени нет
одновременных данных обо всех указанных параметрах. Теории волновых
возмущений турбулентного поверхностного слоя также не
существует.
Вычислим указанные функции. Поскольку общие выражения
для них очень громоздки, приведем их уже в размерном виде с
точностью до (ak) и О (a, In |а|) включительно. Для функции тока
и давления имеем следующие равномерно пригодные во всей области
78
составные решения:
V = V - (ok) etk* -g- L-*4 ln кц + (у + In 2) е"*4 + **>?-£-! dvt
дл¥ = u = — i£- {— In lk4*e-(c-u°w»*] + ln kr\}9
u2 [ -
П = (afe) cos kl -^- In [kr)*e~(c-uo)*/»*] -f (In 2 + 7) <Г*Л —
CO ч
2fcn ^
2ЛТ1
Отсюда для скоростей получаем такие формулы:
и = - -g- (1 + a In *т|) + (^cosA^ In *q <TfeT1 +
СО ч
2kr\ *
w = — (ak) sin kl -^- \е~кц ln to) + (y + ln 2) е~кц +
CO ч
+ M^dvL (3.4.1)
Напряжения Рейнольдса выражаются формулами
тп = i- ( и1щ)+ -|- (и\) бГ*11 cos *g + 2 (я&) йф X
X [(с — ы0) х — w^ ln kr}#] kr\e~ky] sin ug,
т22 = 3- (ul Щ) +-j- (и lut) cos ££ — 2{ak)u* [(c — u0) x —
— и* In Лг)^] kr\e~ky] sin fcg, (3.4.2)
L «• J
Таким образом, волновые возмущения физических величин
экспоненциально затухают с удалением от поверхности раздела. Из
(3.4.1) следует, что тангенциальная составляющая скорости состоит
из двух частей: стационарного дрейфового течения, возбуждаемого
касательными напряжением ветра, с логарифмическим профилем и
волнового движения, являющегося следствием распространения
79
поверхностных волн. Величина его пропорциональна крутизне
волн и зависит от их фазы, так что общее значение скорости
максимально на вершине волны, а минимально — на подошве.
20 40 60 ^-Профили бмн
40 Хш
Рис. 3.1. Распределение скорости дрейфового течения вдоль
профиля ветровой волны [1]
На рис. 3.1 приведено распределение тангенциальной скорости
в волнах, полученных экспериментально в лабораторных условиях
Анисимовой и др. [1]. Согласно этим данным, максимальные зна*
vl^P? № чения скорости также на-
\{чггш/р ходятся на вершине волн,
а минимальные — на их
подошве.
Из (3.4.2) следует, что
нормальные турбулентные
напряжения Рейнольдса в
волнах, обусловленные
пульсациями горизонталь-
Рис. 3.2. Сопоставление
нормальных напряжений
Рейнольдса в волнах при v* = 51,8 см/с,
а — 4,5 см, X = 43 см,
рассчитанных на основании
экспериментальных (/) и теоретических
(2) данных
ных и вертикальных составляющих скорости, равны лишь в зыби,
т. е. когда и* = 0. В ветровых же волнах они различны, но все-
таки сопоставимы по величине.
Соотношения (3.4.2) показывают, что напряжения
Рейнольдса равны с точностью до величин О (ak) по параметру крутизны е.
Однако, как видно из этих формул, на самом деле в зависимости
от параметров волн и течений - (и#, и0, сит. д.) нормальные
напряжения могут отличаться заметно, так как поправки порядка (ak)
входят в них с разными знаками. Но их средние за период
теоретические значения равны между собой.
На рис. 3.2. показано сравнение теоретических и
экспериментальных данных, полученных в лабораторных условиях Добро-
80
клонским и Лесниковым [37] Видно, что отношение величин,
характеризующих осредненные нормальные турбулентные напряжения
в волнах, полученных экспериментально, близко к теоретическому.
Экспериментальные точки хорошо ложатся на теоретическую
кривую.
Наблюдения, выполненные в природных условиях Байем[106] и
в лабораторных условиях Шемдином [1811 показали, что средняя
скорость по глубине в волнах распределяется по логарифмическому
закону. Соотношение (3.4.1) также дает логарифмическую
зависимость средней скорости от глубины.
Согласно данной теории, давление зависит от фазы волн; при
щ. -> 0 оно переходит в давление для потенциального движения
-2
П = — (ak) -j^s- cos Щ = — (ak) vm cos ftg.
Для плотности энергии турбулентных пульсаций и
турбулентного вихря решение соответственно будет таким:
Е = у^й] [1—2 (ak) уге~~кУ] sin ftg]f
Q=-yi^-L[\-(ak)y2e-k*sinkZ].
Следовательно, эти функции также состоят из двух частей: одна
генерируется стационарным дрейфовым течением, возбуждаемым
в пограничном слое напряжением ветра, а другая —
экспоненциально затухающая с глубиной — волновым полем скорости. Эти
величины также зависят от фазы волн.
Решения для Е и Q позволяют определить функциональное
поведение с глубиной коэффициента трубулентного обмена
количеством движения, которое в системе координат Декарта имеет вид
К = Y* -§-~ — "*хг 1! - (ak) (2Vj — Ye) z~kZsinkx) —
— u^n (ak) e-*2 cos kx.
Таким образом, коэффициент турбулентного обмена
количеством движения в слое волнового перемешивания является суммой
линейной и экспонециально затухающей функции, зависящей от
фазы волн, которая является поправкой О (ak).
В первой главе указывалось, что еще нет. Систематических
натурных исследований распределения по глубине напряжений
Рейнольдса в слое волнового перемешивания. Поэтому
сопоставление теоретических и экспериментальных данных может быть в
основном проведено качественно, а количественно — только по
порядкам величин.
На рис. 3.3 и 3.4 приведены распределения по глубине
касательных турбулентных напряжений Рейнольдса i\2y рассчитанных на
основе решений до О (ak)2, предварительно преобразованных в
систему координат Декарта.
6 1—1419
81
На рис. 3.3 показано распределение по глубине изменяющейся
вдоль волны части tJ2 (ф) при V* = 30 см/с, ^ ^
10 3 см для
различных фаз волн ф = k\. Видно, что хХ2 (ф) при z = 0 всегда
положительны. В интервале 0 < ф < я/2 они в зависимости от
глубины изменяют знак, переходя в отрицательную область, где
имеют максимум величины, а затем, затухая по величине,
становятся снова положительными. Для я/2 < ф ^ я величины т\2 (ф)
положительны по всей глубине. Максимум величины т\2 (ф) распо-
Ч0 s о j /о ылм лагается при постоянном z
и для данного напряжения
ветра, действующего на
поверхность океана,
достигает ~15 дн/см2. При
других реальных параметрах
ветра теоретические
данные дают максимальные
Рис. 3.3. Распределение по
глубине турбулентных
напряжений Рейнольдса т[2 (ф),
рассчитанных с использованием
теории подобия [55].
Ф равны: / — 0, // — я/4; /// —
Я/2, IV — Зя/4, V — я
значения касательных напряжений в интервале 5—20 дн/см2.
Это гораздо больше значений, предсказываемых ламинарными
теориями, не учитывающими воздействия ветра [44, 78, 144].
Результаты, полученные теоретически, сопоставимы со значениями
касательных напряжений, получаемых при наблюдениях в море
(см. главу 1).
На рис. 3.4 показано распределение по ц турбулентных
касательных напряжений Рейнольдса х[2 (ф) для различных фаз волн,
когда параметры волн и ветра задавались не на основе теории
подобия, а из данных лотковых измерений Доброклонского и Леснико-
ва [37]. Здесь длина волны % = 43 см, а = 2,25 см, щ = 30 см/с,
и* = 1,44 см/с; а — соответствует случаю, когда ветер и фазовая
скорость волн совпадают, б — когда они противоположны. Снова
Ti2 (ф) являются функцией ф, имеют максимум на некоторой
глубине, а величина и знак и\2 (ф) зависят от взаимного направления
распространения волн и течений. При изменении взаимного
направления меняется знак т\2 (ф), причем когда волны распространяются
против течения значения i\2 (ф) увеличиваются. Пунктирная
кривая на этом рисунке представляет т\2, осредненное за я.
Полученные решения позволяют, кроме полных напряжений,
оценить и осредненные турбулентные напряжения Рейнольдса,
обусловленные непосредственно волнами, имеющие порядок О (akf.
Опуская вычисления, выпишем выражения для них в системе
82
координат Декарта:
2 3
Ti2 = (ak) ит\-к- +
(Akz— 1)[(с — и0)х— м# In kr\*] ) _2te
Эта формула справедлива во внешней области, где z > 6 и б <£ 1.
т. е. вне окрестности 2 = 0.
На рис. 3.5 приведено распределение %\? по z для различных
величине*. Расчеты проводились с учетом связи (2.4.11). На ри-
-ю -5
5 Ю _ 40 ~*5
t0 15
Рис. 3.4. Распределение по глубине турбулентных напряжений Рейнольдса
т'12(ф), рассчитанных для данных Доброклонского и Лесникова [37].
Обозначение фаз такое же, как и на рис. 3.3
сунке представлено напряжение, нормированное на величину
(ak)2 и*. Из формулы для хХ2 и рисунка следует, что г\2 имеют
максимум на определенной глубине, после которой
экспоненциально затухают. Глубина, которой соответствует т'тах, зависит
от параметров волн. Максимальные значения т' для приведенных
случаев ~15 дн/см2.
Для параметров волн, равных V* = 51,8 см/с, a = 2,25 см,
Я = 43 см, в [371 экспериментально были получены т'тах« 3 дн/см2.
Теоретические значения Ттах также ~ 3 дн/см. Таким образом,
максимальные значения экспериментальных и теоретических
величин т' согласуются. Теория предсказывает и глубину, на которой
располагаются ттах.
На рис. 3.6 сопоставлены теоретически рассчитанные для этого
случая величины т' и экспериментальные значения как функции
глубины. Легко убедиться, что максимальные значения и глубина
83
их залегания в обоих случаях совпадают. Согласие также
наблюдается в функциональном их распределении от г. Как отмечалось,
Доброклонским и Лесниковым при экспериментах был
использован подход Лагранжа. При достаточно малых значениях
волновых скоростей (вдали от поверхности раздела) и при относительно
малых сдвигах фаз (в окрестностях поверхности) в таком случае
могут возникать заметные ошибки. Именно в этих областях
наблюдается наибольшее расхождение теоретических и
экспериментальных данных. Возможно, это обусловлено указанной причиной.
Однако теория нуждается также
в усовершенствовании, например,
следует учитывать ламинарный
подслой, который может дать
соответствующие поправки у
поверхности раздела.
Волновые напряжения Рей-
нольдса, обусловленные корреля-
%(дн/Ьм<)
Рис. 3.5. Распределение по г
турбулентных напряжений Рей-
нольдса, обусловленных
волнами, для различных v%, см/с
/ — 30, // — 40. /// — 50
Рис. 3.6. Сопоставление
распределения по z теоретических (1) и
экспериментальных (2) напряжений
Рейнольдса т' при:
i>* = 51,8 см/с, а = 2,25 см, К =*
=з 43 см
циями между компонентами скорости, нельзя вычислить на
основании полученного решения. Для этого необходимо найти решение
последующих приближений по 8. Но исходя из того, что в случае
установившегося однородного волнения полное напряжение, как
это следует из осредненного по фазе волны уравнения
горизонтального движения Рейнольдса (см. также [85]), в слое волнового
перемешивания постоянно, можно ожидать, чтот также имеют
функциональное по z распределение, аналогичное т\о. Эксперименты дают
именно такое распределение (см. рис. 2 в работе [37]).
84
§ 3.5. Расчет температурного поля
взволнованного слоя
В первой главе показано, что волновые возмущения в
поверхностном слое не только перестраивают его динамику, но и определяют
ряд важных особенностей в температурном режиме взволнованного
слоя. Анализ и оценка степени возмущений теплового режима
важны для понимания всего механизма теплообмена и
трансформации теплового поля в океане и атмосфере, а также для описания
и параметризации этих процессов. Кроме того, важной задачей
современной физики моря является построение моделей, которые
позволили бы по результатам неконтактных измерений (данным о
термогидродинамическом состоянии морской поверхности и
приводного пограничного слоя атмосферы) рассчитывать динамический
и термический режимы верхнего деятельного слоя океана.
Распространим анализ на температурное поле. Представим
коэффициент диффузии тепла в виде суммы молекулярного (X) и
турбулентного X = X (х, z) коэффициентов. Тогда, подставляя
выражение rEIQ = % + Х (ху г) в (3.1.11), имеем такое уравнение
диффузии тепла:
д/Г + J (идгТ + оЗД = / {дг [(X + X) д(Г + дц [(X + X) дг?}} -
— (X + X) [д^д^Т + дгЩТ] — J \дг1 + д^1]. (3.5Л)
Как и в случае поля скорости, температура может быть
представлена в' виде суммы стационарной части, зависящей лишь от
координаты г], и части, обусловленной волновыми возмущениями.
Аналогично представим турбулентный коэффициент диффузии
X, поток тепла, обусловленный радиацией I, и якобиан
преобразования J. Тогда (3.5.1) можно переписать в виде
(и + и)д{Г + wd^f + f) = dl[(X + X + X) дгТ] +
+А К* + зс + х) ал (f + f)] - г1 (% + х + х) дц (? + f) дц1 +
+ J~l(X + X + X) dtfdt J — di(I +1) — d„ (Г + f). (3.5.2)
В (3.5.2), кроме того, учтено, что в системе координат,
связанной с волнами, д,Т = О, а Бб(г|) вынесено в граничные
условия.
Представляя решение для Т в виде суммы гармоник для первой
из них, можно получить такое уравнение для Т(1):
'идхТ^ + wd^f = дг [(к + X) <Э6Т(,)] + <ЭЛ [(X + X) д^1}] +
+ дп [Хдг?] + -L (% + х) Г\]дъТ - дг1 - д£. (3.5.3)
85
Для Т уравнение соответственно приобретает вид
дц™Т{Х) = di [Xd}f{l)] + д„ [(к + X) дцТ] + д„ [ХдцТ{{)] -
5- ft + ЗС) д„ [Г(1)дл/] + ЗИЛJd„f - дц1 -
lT(h + %)dlJdlfil). (3.5.4)
Точные уравнения имеют более громоздкий вид. Но, имея в
виду, что динамическое поле рассчитано с точностью до порядка
О (е) включительно, здесь удержаны главные члены. Учет
членов более высокого порядка сделал бы эту достаточно сложную
задачу еще более сложной; в то же время поправки не имеют
практической значимости.
Отметим один важный момент. Среднее поле температуры,
входящее в уравнение (3.5.3), описывающее флуктуационную часть
Г, включает в себя не только стационарное поле температуры,
сформированное радиацией, испарением и диффузией, но, как было
показано во второй главе, волны возбуждают осредненные потоки
тепла, что приводит к формированию ими «собственного»
стационарного поля температуры. Поэтому непосредственно на основе
(3.5.3) нельзя рассчитать флуктуирующую часть поля температуры,
так как априори неизвестна стационарная часть 7\
обусловленная волнами.
Для преодоления этой трудности проинтегрируем один раз
уравнение (3.5.4):
(X + X) дцТ = wf{l) + I + С0 — Xdt|f(1) + J [)ад дцТйц +
+ Т" $ ft + *> W(1> dTl + 4" 5 ft + *> dJd^dq.
Согласно результатам предыдущего параграфа,
флуктуирующие вдоль волны поправки для % имеют порядок е. Имея в виду,
что J ~ О (е), получаем
дцТ = (wfil) + I + С0)/(Ь + X), щ (3.5.5)
где С0— постоянная интегрирования, выражающая некоторый
поток тепла по вертикали.
На основе соотношения (3.5.5) можно рекомендовать способ
экспериментальной оценки коэффициента турбулентной диффузии.
Для этого достаточно в некоторой точке с координатой r\t
измерить разнесенными на Ат] датчиками температуры поле Т и
одновременно I, а также вертикальную скорость в волнах при ц = %.
Тогда, выделяя при обработке д^Т\ Т\ до-, можно легко рассчитать X.
Этот способ, по-видимому, достаточно надежен, так как в волнах
w велико и хорошо измеряется, а кроме того существуют измери-
86
тели температуры, позволяющие определить ее с большой
точностью. Подстановка (3.5.5) в (3.5.3) исключает стационарную
температуру из уравнения для флуктуирующей части Т
й^> + ^"> + г_+с0 в [(Я + -%) ^ +
А. + Х
+ 5л № + X) d„f(1)] - -^ [^Г(1) + I + С0] V. (3 5.6)
Это уравнение является основой для расчета температуры.
Поле скорости и турбулентный коэффициент диффузии известны
из решения задачи о динамике взволнованного слоя. Граничные
условия получаются из соответствующих общих граничных
условий (3.1.16) и (3.1.17).
В уравнении (3.5.1) и соответственно в (3.5.6) нет члена 256 (ч),
входящего в правую часть уравнения (3.1.6). Слагаемое,
которое выражает суммарный эффект проникающей
длинноволновой радиации, испарения и отраженного излучения, здесь опущено
и включено для удобства в граничные условия. Это можно сделать,
так как все указанные процессы действуют на самой поверхности,
что отражает дельта-функция Дирака б (ri). Учитывая
решения, полученные в предыдущем параграфе для динамической
задачи, относительно функций 0Х и 62 имеем уравнения:
a4[(s + 4)e4e1]-(S + 4)e1-x"2(4- + in4)e,=a
= -е(1 + С0)х-2<гЛ (3.5.7)
дц [(S + ч) дцв2] - (S + ч) в2 + >Г2(±. + In 4) 0х =
-е^.(Г + С0)/х4(5 + ч),
в которых
f= вг (ч) Re (eV*) + в2 (ч) Jm (e*%
W = In це-ч + (у + In 2) е-* + ег* J -^- dv, 5 = — Шсррш^
2ц
{I, с0}=—{I, с0} х/7/,еоРср.
Таким образом, температурное поле взволнованного слоя может
быть рассчитано на основе решения системы уравнений (3.5.7).
В общем случае они могут быть решенылишь численно.
Если среднее невозмущенное поле температуры не
рассчитывается на основе заданных потоков тепла через границу раздела,
а известно из наблюдений или определено каким-либо независимым
87
способом (например, моделируется), уравнения (3.5.7)
преобразовываются таким образом, что их правые части заменяются
соответственно на
— 8 (S + т]) дцТе-ч — в первом уравнении
и на
ex~V^T
гдц[{у2 — 2у1)г\е"^д^Т\ — во втором.
Граничные условия для функций 0, и 62 в общем виде таковы:
МтА + дА = /lf
Щдф2 + п^х = /2 при in = гц0, (3.5.8)
©х =г 02 = 0 При У] ->• ОО.
Следовательно, есть две возможности расчета возмущений
температуры, обусловленных волнами: когда задано распределение
-2 45 -/ -05 0 0,5 1 1.5 Q„ среднего невозмущенного
' *~ поля температуры и
когда совместно
рассчитываются среднее поле
температуры и ее волновые
возмущения. На рис. 3.7 и
3.8 представлен первый
случай. Иммитировался
верхний квазиоднородный
слой с резким изменением
температуры на нижней
Рис. 3.7. Распределение по
глубине вертикальных волновых
потоков тепла, обусловленных
волнами, в турбулентном
пограничном слое
границе. Распределение по глубине невозмущенного поля
температуры задавалось в виде
(Ти-Т0) С
T(z) = ±(T0 + TH)+ %
Vn
4ty
(3.5.9)
где Т0 и Тн — соответственно температура на поверхности раздела
атмосфера — море и ниже слоя скачка, глубина которого равна
20; b — коэффициент, характеризующий скорость изменения
температуры с глубиной.
Уравнения (3.5.7), описывающие диффузию тепла, в этом случае
будут иметь вид
aт,[(^ + л)^®l]-(^ + Л)®l-^2(a", + 1пт])02 = -еД(Л-т1) х
88
d„ [(/ +1]) W - (/ + т,) 02 + x-2 (a- + In T)) 0, =
= еЛе-[Т1+р<т,-,1',,] X"2
In t) + (y + In 2) + e
2ti J
- (?. - 2Yl) [1 + (2Рло - О Л - 2Рч»] ,
(3.5.10)
где
А = Гн""3 ft; / =
XrSM ' Р *2 '
0.5 (О
15
Рис. 3.8. Распределение по глубине горизонтальных потоков тепла,
обусловленных волнами, в турбулентном пограничном слое
Расчеты выполнены для таких значений определяющих параметров:
и20 = 12 м/с, А, = 120 м, 8 = 6.10-2, а=3.10~3, а = 1,1 м,
г0 = 10 м, в0 = 0,1°, Т0-Тн = 2° С.
Функциональная зависимость температуры вида (3.5.9) хорошо
описывает ее распределение по глубине в квазиоднородном слое.
Именно в верхней области при 0 < z ^ z0 температура очень
медленно изменяется. В окрестности z = z0 она испытывает резкий
скачок, убывая, а затем при z > z0 снова меняется очень медленно.
Из рис. 3.7 и 3.8 видно, что как горизонтальный, так и
вертикальный волновые потоки тепла максимальны у поверхности
раздела. Затем там, где градиенты средней температуры по
глубине практически исчезают, исчезают и волновые потоки. Их
89
убывание компенсируется другими , механизмами переноса, в
частности, увеличением диффузии, обусловленной вторичным,
индуцированным волнами полем средней температуры, и
турбулентным переносом.
В окрестности нижней границы квазиоднородного слоя
волновые потоки вновь возрастают. Таким образом, поверхностные волны
могут возбуждать волновые потоки тепла через нижнюю границу
квазиоднородного слоя в нижележащие слои. Эти потоки для
реальных параметров невелики. Они достигают нескольких джоулей
через квадратный сантиметр в сутки и, как показывают расчеты,
тем меньше, чем меньше вертикальный градиент температуры в
этой области. Но сам факт существования этих потоков выявляет
новый механизм передачи тепла по вертикали в океане. Легко
понять, что аналогичную, но только меньшую, роль играют и
внутренние волны.
Глава 4
СТРУКТУРА ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ,
ГЕНЕРИРУЕМЫХ ГРАВИТАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ
В ПРИДОННОМ СЛОЕ
В предыдущих главах описывались пограничные слои,
возмущаемые поверхностными волнами. Основное внимание уделялось
исследованию структуры динамических и температурных
пограничных слоев, примыкающих к поверхности раздела вода —
воздух и обусловленных волнами с крутизной, характерной для
ветровых волн и зыби. Таким образом, эта теория описывает
пограничные слои и возникающие в них эффекты, причиной появления
которых является именно этот класс волн. Однако в океане существует
не менее важный с точки зрения мезо- и крупномасштабных
явлений класс длинных волн. К ним относятся приливные волны, волны
Свердрупа, Кельвина и др.
Если ветровые волны и зыбь затухают на глубинах десятков
метров от поверхности раздела, и поэтому основной их эффект
проявляется вблизи поверхности раздела, а у дна лишь в случае
мелких бассейнов, то длинные волны воздействуют на всю толщину
океана. Из-за малой амплитуды возмущения поверхности раздела
и очень малой крутизны они практически не возбуждают у
поверхности океана явно выраженных пограничных слоев. Однако в
придонном слое их эффект важен. Здесь происходит основная
диссипация энергии посредством молекулярного и турбулентного трений,
что хорошо известно, например, в проблеме приливных волн [50,
51, 71].
Естественно, возникает необходимость исследования структуры
пограничных слоев, генерируемых длинными волнами в придонном
слое океана. Актуальность этой проблемы обусловлена не толькр
фундаментальными задачами физики моря. Детальное знание
структуры пограничных слоев, возникающих в море под действием
приливных или гравитационных волн, важно для решения ряда
прикладных задач, таких как,прогнозперемещения донных веществ
в шельфовой зоне, устьях рек и для учета вклада течений,
обусловленных волнами, в общую циркуляцию океана. Несмотря на
относительно небольшие скорости этих течений, в случаях, когда они
индуцируются длительным воздействием волн постоянного
направления (например, приливами), эффект влияния стационарных
течений на динамику и термику моря существенны.
91
§ 4.1. Гидродинамическая модель
пограничных слоев, генерируемых волнами
На необходимость учета турбулентного характера движения в
придонном слое моря указывают экспериментальные работы [96, 112].
Коллинс показал, что в придонном слое при R& > 160 (где R$ =
= V08/v\ V0 — амплитуда орбитальной волновой скорости на
внешней границе пограничного слоя толщины б = (2v/co)v»; v —
кинематическая вязкость жидкости; со — частота волны) поток вблизи
дна переходит в турбулентный. Отсюда следует, что в обычных
натурных условиях, например в приливном потоке движение будет
турбулентным. Очевидна также необходимость учета трехмерности
движения и вращения Земли при расчетах придонных
стационарных течений, возбуждаемых длинными волнами. Тем не менее до
сих пор теория развивалась на основе плоских моделей [96, 130,
134], причем исследовалось главным образом ламинарное движение.
Эффект силы Кориолиса при анализе переноса масс на внешней
границе ламинарного пограничного слоя учитывался Хантом и
Джонсом [131]. Задача сводилась к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений четвертого порядка, а движение внутри
самого пограничного слоя не анализировалось.
Автором совместно с Прусовым [24, 27, 28] сформулирована
модель движения, возбуждаемого гравитационными и приливными
волнами в поле силы Кориолиса, учитывающая турбулентный
характер движения. Она рассматривает движение, вызываемое в
придонном слое осциллирующим внешним потоком. Периодические во
времени и пространстве скорости его представляют
распространяющиеся или стоячие волны — приливы, гравитационные,
барические волны и др.
Расположим оси х, у системы координат Декарта в плоскости
дна; х ориентируем на восток, у — на север, z — против
гравитационного ускорения. Запишем уравнения баланса количества
движения, учитывающие напряжения Рейнольдса и вращение Земли,
и присоединим к ним уравнение неразрывности:
dtu + ид#и + vdyti + wdju — 2vQ sin <p + 2wQ cos cp =
= — dxP + dx (vdxu — u2) + dy (vdyU — uV) + d2 (vdxu — hW),
dfl + udxv + vdyV + wdjj + 2uQ sin q> = (4.1Л)
= — -у дуР + дх (vdxv — uV) + ду (vdyv — v'2) + дг (vdzv — JV),
(4.1.2)
dtw + udxW + vdyw + wdjw + 2uQ cos cp + g =
92
= дгР + дх (vdxw — u'w') + ду (vdyw — v'w') + д2 (vdzw — до'2),
(4.1.3)
дхи + д^ + дгм = 0, (4.1.4)
где Q — угловая скорость вращения Земли (Q = 7,29 • 10~5 с-1);
Ф — географическая широта; и\ v'y w' — компоненты
турбулентных флуктуации скорости; черточка означает осреднение за время,
меньшее периода 2я/(о волнового потока, вызывающего движение
в жидкости, но большее характерного времени пульсаций скорости.
Волновой поток задан вне придонного слоя в виде
U=±[U (*, у) еш + £/* (*, у) е-4"],
2 (4.1.5)
У = ±1У{х9у)еР+У*(х9у)е-ш].
Граничными условиями будут: прилипание жидкости на дне,
т. е.
и = v = w = О при z = О, (4.1.6)
и совпадение волновых скоростей и, v на внешней границе
пограничного слоя со скоростями £/, V внешнего волнового потока, т. е.
м = (/, v = V при г->оо. (4Л.7)
Для замыкания системы уравнений (4.1.1) — (4.1.4)
воспользуемся известными соотношениями полуэмпирической теории
турбулентности [73], связывающими напряжения Рейнольдса с полем
средних скоростей
— u'w' = N (z) (dji + dxw), — u'v' — N (z) (dyu + dxv),
— ^/=N(z) (dzv + dyw)> —u'2 = C + 2N (z) dji,
— v2=C + 2N (z) dyvy —w2 = C + 2N (z) d2w.
В них N (z) — коэффициент турбулентной вязкости, который
полагается ограниченной функцией переменной z; С — постоянная,
характеризующая энергию турбулентных пульсаций.
Перенос масс вблизи дна, как и у поверхности, обусловлен сив-
местным эффектом вязкости и нелинейности. Стационарный поток,
генерируемый волнами, локализуется в придонном слое [21—28,
96, 112, 134], где величины членов в уравнениях (4.1.1)—(4.1.4),
зависящих от турбулентной вязкости /V (z), имеют по крайней мере
один порядок с инерционными членами, а во внешней области
Движение близко к потенциальному. Естественно поэтому
выполнять исследование в рамках теории пограничного слоя. Анализ,
аналогичный общепринятому в теории пограничного слоя [95],
93
дает такие уравнения и граничные условия:
dtu + идхи + идуи + wdzu — fv = dtU + UdxU + VdyU —
— fV + dA(v + N(z))dj*lt (4.1.8)
dtv + udxv + vdyV + wdzv + fv = dtV + UdxV + VdyV +
+ fU + dt[{v + N(z))djj)f (4.1.9)
dxu + dyv + dzw = 0, (4^ 1.10)
u(x9y909t)=*v(x9y90tt) = w(x9y909t) = 09 (4.1.11)
и (x9 y9 oo, t) = U {x9 y91)9 v {x9 y9 oo,t) = V {x9 yy t). (4.1.12)
Теория, построенная на основе (4.1.8) — (4.1.12), справедлива при
больших числах Рейнольдса, т. е. когда Re = 2nc/kv ^> 1, где с —
фазовая скорость волн. Считаем также, что амплитуда
возмущающего потока имеет порядок О (е), т. е. U ~ V ~ О (е), где е <^ 1.
В предлагаемой модели горизонтальная вязкость не
учитывается, т. е. исключаются из рассмотрения пограничные слои у
боковых стенок, поэтому боковые границы трактуются следующим
образом. При подходе к меридиональным границам требуется
условие V = О (е), a U ->• 0. Аналогично у зональной границы U —
= О (е), а V -^ 0.
Так как вдали от экватора обе горизонтальные компоненты
скорости имеют величины порядка О (е) (вектор скорости волн из-за
силы Кориолиса вращается) то стремление их у соответствующих
границ к нулю должно происходить монотонно через величины
порядка е^, где у>\. Эти требования отвечают условиям
скольжения на твердых стенках.
§ 4.2. Плоский турбулентный пограничный слой
Исследование структуры пограничных слоев, генерируемых»
волнами у дна, начнем с анализа плоского невращающегося пограничного
слоя [21, 22, 24]. Положив д9 -/ = v = 0 в (4.1.8) — (4.1.12),
получаем такую краевую задачу:
dtu + идхи + wd2u = dtU + UdxU + vd2 [K (z) дги]9
дхи + dzw = 0,
и(х9 0, t) = w(x9 0, 0 = 0, (4в2 j
и(х9 oo, t)~U (x9 0,
в которой U {x9 t) = 8 V (х) ехр (Ш) — заданная комплексная
периодическая во времени и по пространственной координате
величина, а К (z) = [1 + N (z)/v] —функция, описывающая поведение
коэффициента обмена с высотой; v — кинематический коэффициент
молекулярной вязкости; V (х) — распределение внешнего потока
по координате х.
94
Введем безразмерную переменную пограничного слоя г\ =
= (co/2v)1/2 z и будем отыскивать решение в виде разложения в ряд
по малому параметру е.
Подставляя его в первое уравнение (4.2.1), для главного члена
разложения имеем
dtUi — Т" ^[К fa) д^ = 1<*Уеш- (4-2.2)
Решение для иг можно представить следующим образом:
Ui = V(x)[l—F(r\)]eM,
где функции F (г\) удовлетворяет краевой задаче
^[^(Л)^]-2^ = 0,
F(0) = 1, F(oo) = l. l ■ * '
Анализ уравнения движения во втором порядке разложения
показывает, что решение его имеет слагаемое, не зависящее от
времени. Эта стационарная скорость и2 удовлетворяет уравнению
-у юдл (tf d4«t) = иДы, — дли! J длёл — UdJU. (4.2.4)
о
Граничное условие для нее при г) = О, следующее из (4.2.1), есть
и,(0) = 0. (4^2.5)
Однако для того, чтобы удовлетворить условию затухания и2 на
бесконечности, необходимо рассматривать второй пограничный слой,
в котором в отличие от (4.2.4) в балансе сил существенную
роль играют нелинейные ускорения [191]. В рамках модели одного
пограничного слоя, описывавшегося в работах Джонса [134],
а также автора и Прусова [21, 22, 24] и который рассматривается
здесь, можно удовлетворить лишь условию ограниченности
скоростей, индуцируемых волновым возмущением. Таким образом,
и2 (оо) — ограничено. (4.2.6)
Учитывая, что только действительная часть иг имеет физический
смысл, после подстановки формы решения для иг в (4.2.4) — (4.2.6)
получим
Ui (ЯЭД = \F{y\)\*-F (ri)-F* (г)) + dj* I Л— J^Ttfdt)
(4.2.7)
б(0) = 0, б (оо) — конечно. (4.2.8)
в Уравнениях (4.2.7), (4.2.8)
"i = 4" V* М d*V (*) G (Л)- (4.2.9)
Решение задачи (4.2.7), (4.2.8) может быть получено в
квадратурах, включающих F. * J '
95
Интегрируя (4.2.3) от 0 до л и используя результат, из (4.2.7)
имеем
Кдф - К (0) дф (0) - - Im [(1 - F*) Kd^F] - -i- [Kd^F* -
- К (0) d^F* (О)] + -i- [(Kd^F - Я (0) d„F(0) F*)] + F*r|. (4.2.10)
Так как F ->• 0 при ^ -► 0, то неограниченное возрастание G (r|)
может дать только постоянные члены. Поэтому, чтобы удовлетворить
условию ограниченности, положим (это возможно, так как
граничные условия для G еще не удовлетворены)
К (0) d^G (0) = - -±- К (0) a^F* (0).
Интегрируя с учетом этого (4.2.10) при условии (4.2.8),
получаем
G = ^ [FF* + F — 2F*] i- J F*aT1Fdri —
о
л
Г 5 F*K~{ Р'Л + К (0) d^F (0)] d4. (4.2.11)
А о
При т) -> оо, т. е. на внешней границе пограничного слоя, имеем
ч
G = L Г F* [a^F + /Г1 (2*т| + /С (0) d4F (0))] йц. (4.2.12)
Выражение (4.2.12) представляет собой нижнее граничное
условие для стационарной скорости во втором пограничном слое.
Оно является обобщением на турбулентный случай условия,
полученного Стюартом [191] для ламинарного движения.
Скорость переноса масс представим в виде
v» - 4" !< (Ч) V*dxV, (4.2.13)
тогда, согласно формуле (2.1.20), имеем
L (ц) = G (ч) + ± К | д^ |2 - 4 ^F (0) d^F* +
+ i^[l_2ReF + |/7|2 — W7*]. (4.2.14)
Таким образом, если известна F, по (4.2.11) вычисляется G, а
затем по (4.2.9) и (4.2.13), (4.2.14) соответственно подсчитываются
скорости в представлении Эйлера и Лагранжа.
Рассмотрим несколько случаев.
L Коэффициент К имеет вид
К^Коо + (\ — /Ссо)*"», где а <0. (4.2.15)
96
f (4) = ■»„,--■, n- , ^=K (4.2.17)
При таком выборе /<" вязкость на дне соответствует молекулярной,
а с удалением от него интенсивность турбулентности увеличивается,
что соответствует действительному ее распределению в природе.
Подставляя это выражение для коэффициента обмена в
уравнение (4.2.3), получаем
дц {[Кос + (l—K«>)e*"]dnF}—2iF = 0. (4.2.16)
Делая замену переменных F (ц) = Ф (у)\ у = (1 — /С») е?ъу
сведем (4.2.16) к следующему виду:
Это уравнение является гипергеометрическим с общим решением
Ф = С1у-ая(1— а, —а, 1—2а, 1_-Х-Л +
+ C#4i[\ + а, а, 1 + 2а, —-£—) •
где Сх, С2 — произвольные постоянные; а = — (1 + i)la V7(lo,
a H — гипергеометрическая функция.
Возвращаясь к переменной г| и удовлетворяя граничным
условиям из (4.2.3), получаем такое решение задачи (4.2.3):
е°^Я[1+ос, a, l + to, (1-Q еат>]
Я(1+а, а, 1 + 2а, l-O
Вещественная Fx и мнимая F2 части его имеют вид
[#i (0) Я2 (т|) + Я2 (0) Ях (л)] cos раЛ + [Я2 (0) Ях (л) -
г _ Ляп — //j (0) Я2 (л)] sin рал
Я?(0)+Я22(0)
[Я! (0) Я2 (л) - Я2 (0) Я, (л)] cos Рал + [#i (0) Нх (л) +
f ^ е$ат\ + Я2 (0) Я2 (л)] sin рал
2 Я?(0) + Я2(0)
где р = — (а/Соо)"1.
Таким образом, для данного К (ц) задача о стационарных
скоростях, генерируемых в придонном пограничном слое длинными
волнами, имеет аналитическое решение.
2. Коэффициент обмена линейно возрастает с увеличением г],
а затем остается постоянным
f U + SY1, 0 ^ Ц ^ /,
где s определяет скорость возрастания /С. Заменой переменных
F (л) = Ф (у); г/2 = 8 (fx + sr])/s2 уравнение из (4.2.3) при 0 < rj <
< / сводится к уравнению Бесселя
7 1—1419 97
Общее решение его есть Ф (у) = Сх\0 (V'iy) + С2К0 (]Лу),
где 10, К0 — модифицированные бесселевы функции, а Съ С2 —
произвольные постоянные.
Для ц > / решение уравнения (4.2.3) имеет вид
F (л) - С3 ехр [- (1 + i) VK[TM~].
Удовлетворяя условию равенства скоростей при ц = / и
краевым условиям (4.2.3), окончательно получаем
I СА ( ^г~ Vifr + sn)) + СаК0 (^L Vi(v + sn))
F (ц) = j при 0 <[ г| < /,
1 С3 ехр [— (1 + 0 tj/VV + si ] при Ti > /.
В этом решении постоянные имеют такой вид:
-а2) Qdi l,
«2 = Io {^Г- Vifa + St)) •
/
0
63 = [ K0 (-^- Kf(|A + ST|)d4)f dx = exp [- (1 + i) IfVJ+ll],
0
* = V?+? {exp [-(1 + 0tlVVT^T] — 1},
Л = a2d2 — аъйъ В = &2d2 — bgd^
3. Коэффициент обмена задан в виде
/Coo ехр (яг|) при 0 ^ г| < /,
* (Л) ~ 1 /Ссо ехр (а/) при т| > / (а> 0). (4-2-19)
Выполнив замену переменных F (rj) = Ф (у); ехр (аг\) = у~!,
уравнение (4.2.3) снова сводим к уравнению Бесселя. Решение
задачи (4.2.3) в таком случае выглядит следующим образом:
F(4) =
+ С,к|-УТ_£^етр(--2-т))1 при 0<л<'.
{ С3 ехр [— (1 + i) ц/УК^] при т] > /,
98
в котором постоянные выражаются через заданные параметры такг
Сх =
-VI.
с, =
2^2
"V**
В
= 1„
№-
а2 Cxd
—i
-*т-$кМ-+)}
«з = J h
-VJ
- 2^1"
«У**
аУК,
exp(--f-*l)
dn,
-КГ-НД,
аУКа
d1 = exp[(l4-tV/l//<"ooe0M,
4 =
К*.
„а/
{1 — ехр[(1 + i)llVK«>e«l ]},
A = a2d2 -
Полученные решения позволяют по формулам (4.2.9), (4.2.11),
(4.2.13), (4.2.14) рассчитать индуцированную волнами
стационарную скорость в представлении Эйлера, скорость переноса масс, а
также волновые напряжения Рейнольдса.
На рис. 4.1—4.3 приведены некоторые результаты расчетов для
случая бегущей и стоячей волн, для которых соответственно
V(x) =
а(х)
sh kh
pikx
V (x) = — i
aco
shkh
sin foe. (4.2.20)
Подставляя последовательно выражения из (4.2.20) в (4.2.9) и
(4.2.13) и удерживая действительную часть, найдем, что мнимые
части G и L дают распределение по глубине скоростей Эйлера и
Лагранжа для прогрессивной волны, а действительные — для
стоячей. Распределение волновых напряжений Рейнольдса по г
описывается функцией Kd^G (сами же величины uw и Kd^G не равны).
На рис. 4.1. показано распределение волновых напряжений
Рейнольдса с высотой, которое существенно отличается для
прогрессивных и стоячих волн.
На рис. 4.2 представлено распределение по z осредненных за
период волн стационарных скоростей Лагранжа, индуцированных
стоячими (L±) и прогрессивными (L2) волнами, для различных
моделей коэффициента К (z). Во всех случаях в окрестности дна ил
7* 99
имеет одно и то же направление, которое для прогрессивной волны
сохраняется в пределах всего пограничного слоя, а скорость,
генерируемая стоячими волнами, с удалением от плоскости дна
меняет знак. Максимальная величина L2 в ламинарном случае
несколько больше, чем в турбулентном, однако на внешней границе
пограничного слоя величины скоростей одинаковы. Особенностью
является то, что на внешней границе пограничного слоя средние
скорости дрейфа частиц, обусловленные прогрессивной волной,
-5 -4 -J
Рис. 4.1. Распределение по т]
волновых напряжений Рейнольдса,
генерируемых прогрессивными (сплошная
линия) и стоячими (штриховая линия)
волнами; at, a2 и б — результаты для
соответствующих моделей,
приведенных в § 4.2 при /Соо = 50, 100; в —
случай молекулярной вязкости.
Рис. 4.2. Распределение по глубине
скорости перенос*' масс ил,
индуцированной волнами.
Обозначения те же, что и на рис. 4.1
одинаковы (L2 «• 1,25), а внутри
пограничного слоя' они
различны. Также различны'толщины
пограничных слоев, что определяет
больший перенос масс в случае турбулентного движения. Для
стоячих волн скорости дрейфа различны во всей области, вк;лючая и
внешнюю границу. Причем ул, как и иъ знакопеременна ло z.
Для большинства зависимостей К (z) задача (4.2.1) исследовалась
численно. Расчеты показали, что даже в «экзотических» случаях
поведения К (z) основные результаты, полученные аналитически,
сохраняются.
Теоретические работы по формированию стационарных
пограничных слоев волнами и переносу масс в ламинарном пограничном
слое у дна [85, 143] хорошо предсказали распределение скоростей
переноса масс и их величины для ламинарного движения, т. е.
когда Re6 = V08/v < 160. Однако эксперименты дают
систематическое расхождение с этими теориями при Re6 > 160, т. е. в
случае турбулентного характера движения. В океане реализуется
последний случай движения.
100
При расчетах (рис. 4.3) безразмерная глубина kh полагалась
равной 0,1 и 0,01, амплитуда волн а = 0,5—1,5 м. Зная эти
величины, для значений HlVT sin kh, равных 7,5; 10; 15; 20,
определялись соответствующая частота волн, а затем по дисперсионному
соотношению длина волны. Наконец, по (4.2.12) — (4.2.14) для
некоторых значений К™ с использованием зависимости коэффициента
обмена (первый случай) рассчитывалась скорость переноса масс
на внешней границе
пограничного слоя. Прямые на графике
соответствуют результатам, полученным
теоретически.
На основании проведенного
сопоставления можно сделать
вывод, что теория с учетом
турбулентного характера движения
Рис. 4.3. Сопоставление теоретических
расчетов с экспериментальными данными
Коллинса [112] по скорости переноса
масс в турбулентном пограничном слое.
Точки — данные наблюдений, линии —
теоретические; /Соо = 1 см/с — ламинарный
случай
25Re
достаточно хорошо описывает экспериментальную зависимость
скорости переноса масс на внешней границе турбулентного
пограничного слоя от параметров генерирующих ее волн. При kh =
= 0,1-7-0,01 результаты практически идентичны. Это можно
объяснить тем, что в обоих случаях удовлетворяется требование X ^> ht
т. е. реализуется случай длинных волн. Рисунок демонстрирует,
что лучшее совпадение теоретических и экспериментальных данных
происходит при К = 50 см • сгК
§ 4.3. Общие соотношения теории
придонных пограничных слоев
во вращающихся бассейнах
При учете трехмерности движения и вращения Земли уравнения
первого порядка по параметру 8, получающиеся из (4.1.8) —(4.1.10),
когда решение отыскивается в виде рядов по е, имеют такой вид
[27, 28]:
dfh — fvx — 4" юдл [К (л) <3ri Щ\ = d№i —fVx,
dfli + f*h y «Я* IK Ol) dift] = dtVx + fUl9
дхиг + dyvx + (o)/2v)V2 drfox = 0. (4.3.1)
101
(4.3.3)
Они должны удовлетворять следующим граничным условиям на
дне и вне пограничного слоя:
Щ. {х, у, О, t) = v, (*, у, 0, t) - wx (*, у, 0, 0 = 0, (4.3.2)
«1 (*. », Л, 0-^ ^i (*. У. 0 ПРИ Л-* °°>
*>i (*. У. Л. 0"* ^i (х, У, t) при т|-*оо.
Решение для главных членов разложения иъ vx будем искать
в виде
{«1. »i} = U. -0 {Хх [1 — Fi (т|)] ± Кж [1 _F, (т|)]} е*-,
где
{*i (х, У), К, {х, У)} = 4 ^ ± ^iJ *""'•
В последних выражениях, как и во всех последующих
комплексных соотношениях, физический смысл имеет лишь вещественная
часть. После их подстановки в (4.3.1) — (4.3.3) имеем две
независимые задачи относительно функций Flt F2. Таким образом, введение
функций Xlf Yj позволяет свести решение задачи к независимым
уравнениям второго порядка. Имеем
dr][K(r\)dr]Fi} + 2i
(_1)/JL_i
F/ = 0,
(4.3.4)
Z7/ (0) = 1, F/(oo) = 0, /=1; 2. (4.3.5)
При К (л), заданных в виде (1—3) (см. § 2), можно снова получить
аналитические решения.
Вертикальная компонента скорости определяется из уравнения
неразрывности (4.3.1) и условия (4.3.2):
■/••
wx=— (2v/o>)/2
{dt-idjX^-JFM +
+ (дх + idy) Yx L - J F%dr\
рШ
(4.3.6)
Уравнения второго приближения по е имеют вид
дщ2 — /о, L <одч (Кд^щ) = dtU2 - fVt + UxdjJ\ +
+ y^J^i — I" A"i + Vjd/i! + (co/2v)v> drfjj,
dpt + /«, j- (o^ (/ca„u2) = d,V2 + fUt + UldxVl +
+ VJyVt - [UJ& + v1dyv1 + (o)/2v),/! дм].
(4.3.7)
Важная особенность уравнений (4.3.7) — наличие в их решении
стационарных слагаемых, как это следует из подстановки
выражений для ul9 vx в (4.3.7). Эти стационарные скорости — следствие
102
нелинейности, обусловливающей возникновение волновых
напряжений Рейнольдса,— определяют перенос масс. Уравнения
относительно усредненных за период скоростей имеют такой вид:
сод„ [/Са„ (ы2, й2}] + /2 {у2, —й2} =
= {l,-i} R.Y] (дх - idy) X, + {1, - *} R2X\ (дх + idу) X, +
+ {1, -1} R3Y\ (дх + idy) Yt + {1, i} RXx (дх + idy) Y, +
+ {1, i) RbY\ (дх - idy) Yx + {1, i) ReXl (dx - idy) Хг. (4.3:8)
Здесь функции Rm, где т = 1, 2, ... , 6, равны соответственно
Rl^(F1-l)Fl-F1 + dnF'2 U - j FJrj , R2 = (F, - 1)F\ -Flt
R3 = djl U - J ЗДJ, Rt = (F2 -1) F\ - F2 + drf Ы - J F,drA,
К ».} = -§-{i. -»'MQi±Qib
id*!
\ о
Введем такие соотношения:
"2
Qx = 4 [Y\GX (r,) (d, - 0,) Xx + X\G2 (r,) (a, + »,) Xt +
+ Y\GS (t|) (a, + id,) Гх}, (4.3.9)
q2 = -|- {x\g, (r,) (a, + ю„) y, + rjG5 (r,) (a, - idy) yx +
+ X\Ge(rl)(dx-idy)X1}.
Тогда из уравнений для стационарных индуцированных скоростей
(4.3.8) получим уравнения и граничные условия относительно
функций Gm
afl(/caf|Gm)=F2i4-o« = ^«.
ю (4.3.10)
Gm(0) = Gm(oo) = 0,
в которых знак минус соответствует т = 1, 2, 3, а плюс m =
-4, 5, 6.
Таким образом, для нахождения средних скоростей и2, Щ
надо решить шесть независимых краевых задач (4.3.10).
В отличие от плоских моделей, использующих условие
ограниченности средних скоростей на внешней границе слоя, условия
(4.3.10) выражают более физические явления — затухание
средних скоростей. При учете вращения Земли баланс сил
стационарной части поля в слое, непосредственно примыкающем ко дну и
имеющем толщину порядка (/Соо/со)1/*, осуществляется между силой
Кориолиса, вязкостью и волновыми напряжениями Рейнольдса,
103
генерирующими стационарное движение. Вне этой области
напряжения Рейнольдса исчезают. Однако нижележащий слой за
счет трения возбуждает здесь стационарное движение и баланс
происходит между напряжением трения, силой Кориолиса и
инерционными силами, обусловленными нелинейностью стационарной
части поля.
Мы предполагаем, что нелинейные члены стационарной части
поля малы по сравнению с силой Кориолиса и основной баланс
существует между напряжением трения и силой Кориолиса, в
результате возникает слой Экмана, в котором происходит затухание
скоростей. Если / ->- 0, т. е. сила Кориолиса исчезает, то
относительный вклад нелинейных ускорений возрастает, а баланс сил в
этом слое изменяется — вязкие члены балансируются
нелинейными, т. е. эта область будет представлять собой второй
пограничный слой, в котором происходит затухание средней скорости
(подробнее см. [191]). Так как при описании средней части поля не
учитываются нелинейные члены, обусловленные самим полем, которые
полагаются меньше, чем сила Кориолиса, то непосредственный
предельный переход f -> О с сохранением условия затухания
средних скоростей невозможен. В таком случае аналогично двумерной
теории, не учитывающей вращения Земли, на внешней границе
первого пограничного слоя удовлетворяется условие
ограниченности средних скоростей [21, 22, 134, 191]. Требование затухания
можно выполнить, лишь рассматривая двойной пограничный слой,
в котором в балансе сил учитываются нелинейные ускорения.
Поэтому случай / = О приведен ниже самостоятельно.
Вектор скорости ил Лагранжа вычисляется по-прежнему по
формуле (2.1.20). Если ввести соотношения
{Йл. ^л} = -у-{1» — *} {Qto±Q2n}t
то получим, что (йл и <22л также выражаются формулами (4.3.9),
в котЬрые вместо Gm соответственно входят Lm, определяемые
как
U. = Gi + -Т td - Fl) (1 - F,) dnFl L - $ F^J.
L^Gt + ^V-FJil-F]), L3 = G3- ^^U-j^drib
(4.3.11)
Lt = Gt + ±[(l-Fb (i-FJ -d^\ L-If^J ,
Lb = G&+-L-(l-F2)(\-Fl), ^ = 0в-4^11-|^сЫ. *
104
Таким образом, флуктуирующая часть скорости трехмерного
нелинейного поля прогрессивных и стоячих гравитационных волн
рассчитывается из (4.3.4) — (4.3.6) и соотношений, связывающих
ии vx с Xlf Yl и Ft, F2t а стационарные скорости Эйлера и перенос
масс, генерируемые этими волнами, полностью определяются затем
из (4.3.8) — (4.3.11).
На внешней границе слоя (г\ ->- оо) в силу (4.3.5) и граничных
условий из (4.3.10), а также требования гладкости решений задач
(4.3.4), (4.3.5) имеем Fx = F2 = d^Fj == d^F2 = 0. Поэтому при
т] -> оо, Lx = L2 = L4 = Lb = i/2, L3 = L6 == 0_и из (4.3.9),
(4.3.11), а также соотношений, связывающих иЛ9 vn с Q^, Q2л,
следует, что
+ Y]{dx-idy)(Xl±YJ). (4.3.12)
Таким образом, турбулентность не оказывает влияния на
скорость переноса масс на внешней границе придонного слоя,
генерируемого волнами в поле силы Кориолиса. Согласно (4.3.12) ил (оо)
и ул (оо) не зависят от коэффициента обмена импульсом. Отметим,
что аналогичный вывод был сделан на основе экспериментов
Джонсоном 1134], который указал, что качественное объяснение этому
дал Лонге-Хиггинс.
Задачи (4.3.4), (4.3.5) при произвольной зависимости
коэффициента турбулентного обмена количеством движения от
координаты у\ могут быть решены лишь численно. Но при К (л) = const
имеет место аналитическое решение задачи в целом [21, 22, 28].
§ 4.4. Случай невращающегося бассейна.
Турбулентные пограничные слои
Выше отмечалось, что случай / = 0 * не вытекает из соотношений,
полученных в § 4.3, так как при / = 0 условия затухания средних
скоростей на внешней границе слоя должны быть заменены
условиями их ограниченности. Все остальные соотношения § 4.3 остаются
справедливыми, но принимают более простой вид. Так, из (4.3.4),
(4.3.5) следует, что при / = 0, Ft = F2 = F, поэтому имеем R± =
= Я4, #2 = Я5, #з = /?в. Я4 = #2 + Rb- Таким образом, задача
(4.3.10) вырождается в следующую [22, 28]:
дп (Kd^GJ = Rm9 Gm (0) = 0,Cm (oo) - ограничены, (4.4.1)
где т принимает лишь значения 2 и 3, а
#2 = FF*-2ReF, R3 = d„F* (tj - J FdF ) •
* Случай / — 0 не только соответствует движению в плоскости экватора, но
и модели мелкого моря.
105
Функции G2, G3 имеют аналитические выражения
G^^l-^ + F-F^ + ^FF^-^F^FdJ,
L О J
°з=4 {4" -F* + 4-ff* - J *~lf *[2^+* <°) v (°)i *i} *
(4.4.2)
так же, как и другие определяющие функции:
L2 = G2 + 4 (* - F - f* + FF*)•
^=g3+4 * «* - 4 * (°) ^ (°) d*F* - 4 w7*»
4 4 J (4.4.3)
Gx = G4, G2 = G5, G3 = G6, G4 = G2 + G3,
При произвольном распределении по глубине коэффициента
обмена величина F может быть определена из (4.3.4), (4.3.5)
численно. Для некоторых К (л), достаточно хорошо описывающих
распределение по глубине коэффициента обмена, она найдена
аналитически в § 4.2. Таким образом, в этих случаях для трехмерной
задачи в целом также имеется аналитическое решение.
Пример. Пусть длинная невращающаяся волна
распространяется под углом ф к берегу, который совпадает с у = 0.
Возвышение £ и потенциал Ф скорости тогда будут иметь вид [64]
£ = h + A cos qy cos (px + со/),
Ф = Jchrz C0S дУ Sm № + **)'
где
оз2 = gr th rft, r2 = p2 + q2, ф = arctg fa/p).
Из соотношений для £ и Ф следует, что волна вдоль береговой
линии прогрессивна, а перпендикулярно ей — стоячая. Скорости
переноса масс, обусловленные этой волной, выражаются как
"- = - rMh Im ^ (L* + L*> + l2P2L* ~ "2 (L* ~^)] cos Ш.
(4.4.4)
5* = ТЖГ Re W - r2) L* + r2L3>sin 2W-
В случае /С (л) = const формулы (4.4.4) дают следующие
значения ил vJl на внешней границе слоя:
«- - - -¥Ж ^ + С + 4^2) cos 2^Ь
IQ6
которые совпадают с выражениями, полученными в работе Ханта
и Джонса [131] для ламинарного случая.
Выберем К (ц) в виде (4.2.15). Тогда функция F, как было
показано, имеет аналитическое выражение (4.2.17). По формулам
(4.2.17), (4.4 2) — (4.4.4) были рассчитаны скорости переноса масс,
обусловленные волной, распространяющейся под углом к берегу.
На рис. 4.4 приведено распределение по глубине скоростей в
представлении Лагранжа для ламинарного (/(со = 1, сплошная линия)
и турбулентного^ (/Со* = 102, штриховая линия) движений: а —
распределение ил, когда отношение волновых чисел р и q равно
0,5, б — отношение plq = 2. На графиках нанесены
ванные на величину pqA^lAm sh 2rh, «
т. е. значения выражения, стоящего в §
фигурных скобках формулы (4.4.4).
Видно, что в окрестности самого дна j
скорости переноса в случае ламинарно- /
го движения несколько больше, чем при ж[
\
Рис. 4.4. Распределение по глубине средних _ j
I
1
37J
Нис. 4.4. Распределение по глубине средних _ j\ ^^^ j К а
скоростей в представлении Лагранжа ил при ^ *у **---^ CV1
123
у = knlq: -12 40 -Ь ~6 -Ь -2 0
I — ламинарное движение, // — турбулентное
турбулентном движении. Однако толщина турбулентного
пограничного слоя много больше, и если существуют взвешенные
частицы, то интегральный перенос их в таком случае также больше.
Вектор годографа (рис. 4.5) в каждой точке представляет
вектор скорости, компоненты ил и vn которого соответственно
нормированы на величины A2gpq2/rto sh 2r/i, 42g"^3/rco sh 2rh.
Все стационарное движение разбивается на полосы,
параллельные линии берега. Причем к плоскостям у = (k + 1) n/q
происходит дивергенция, а в окрестностях у = (2k + 1) nl2q —
конвергенция движения. Следовательно, движение вдоль берега носит
струйный характер, а в направлении, перпендикулярном ему,
представляет периодическую картину с периодом 2я.
Сопоставление теоретических данных с экспериментальными
наблюдениями. Постановка экспериментов по определению
скоростей переноса масс волнами в придонном пограничном слое
требует создания специального оборудования, разработки новых
приборов, методики измерений и анализа полученных материалов.
Поэтому такие эксперименты являются уникальными и существует
лишь несколько работ, посвященных изучению этого явления.
Наиболее полными были эксперименты, результаты которых приведены
Лонгиновым [67] и Шадриным 193]. Сравним с данными этих
измерений величины скоростей переноса масс в придонном
турбулентном пограничном слое, даваемые теорией.
В течение нескольких лет на Анапском побережье Черного
моря Лонгинов и Шадрин с помощью волнографов и приборов ВДК,
107
0 y=(2k+l)ff/2<j
О
у=(дк+5)я/в<1
ЛНО
VA\ y=(4k+f)tf/4(f
f*~S
Рис. 4.5. Годографы вектора средней скорости в представлении Лагранжа для
различных расстояний от берега: ф
а — p*/q* =а 0,25; б — p2/q2 =* 1; в — p2/q2 = 4. Цифры /, 2, 3,... соответствуют
глубинам n — 12,5; 25; 37,5;...
расположенных попарно на нескольких вертикалях по профилю
береговой зоны, получили большое количество синхронных
записей. На основе этих измерений вычислялись скорости переноса масс
на горизонте ~ 10 см от дна. Все записи проводились при
установлении мертвой зыби, направленной почти перпендикулярно линии
уреза. Поэтому при сравнении теоретических данных с
экспериментальными надо положить vn э 0.
108
В табл. 4.1 приведены данные о параметрах волнения и
возбуждаемых им стационарных скоростях переноса, взятые из
монографии Шадрина. Эти данные получены осреднением результатов
измерения в каждой точке. В экспериментах наблюдался как
положительный (в направлении берега), так и отрицательный перенос.
Как следует из расчетов, представленных в § 4.4, прогрессивная
волна обусловливает в турбулентном пограничном слое прямой
перенос, а стоячая дает прямой перенос масс только в очень тонком
придонном слое. В основной толще турбулентного пограничного
слоя она вызывает обратный поток. Это хорошо видно на рис. 4.2.
Таблица 4.1. Теоретические и наблюденные величины скоростей
переноса масс в придонном пограничном слое
И м
4,0
2,5
2,7
1,1
0,9
1,1
а. м
0,30
0,40
0,44
0,46
0,25
0,13
Т, с
8,0
7,7
7,3
7,1
4,9
3,5
К м
39,0
38,0
29,0
23,5
15,0
11,0
иизм
0,44
5,08
4,12
13,39
4,40
0,79
Л
62,7
64,1
65,6
66,5
80,1
94,7
"л
0,51
2,63
2,11
12,36
5,94
1,13
Примечание. Н — глубина в точке установления приборов; а — амплитуда, Т —
период; Л, —длина волны; иИШ — измеренная скорость переноса масс; ti =* Yh z/iTv)1/* —
безразмерное расстояние от дна (в данном случае 2 = 0,1 м); иЛ — теоретическое значение скорости,
вычисленное на основе формул (4.2.17), (4.3.9), (4.4.4) и выражения для скоростей Лагранжа
через функции Q.
Обратные течения, которые имели место при наблюдениях
в придонном слое, в некоторых случаях могли вызываться
стоячими волнами, возникающими при набегании зыби на берег.
Возможны и другие механизмы образования обратных течений. Во всяком
случае, обратный перенос масс нельзя считать чисто волновым. По
этой причине такие данные нельзя сравнивать с теоретическими.
Поэтому в таблицу внесены только положительные значения
скоростей переноса.
Коэффициент турбулентного обмена импульсом задавался в
виде (4.2.15). Во всех случаях /С* = 0,5 • 10~2 м2/с. При таком
значении К придонный пограничный слой имеет толщину ~ 0,3 м.
Таким образом, измерения Лонгинова и Шадрина выполнены в
пограничном слое.
На рис. 4.6 на оси ординат отложены величины измеренных
скоростей, а по оси абсцисс — теоретические значения.
Подчеркнем, что каждая точка на рисунке отмечает результат проведенного
нами осреднения серии экспериментальных значений скорости,
полученных в одном и том же месте в разное время и при достаточно
одинаковых условиях волнения. Приведенные точки обобщают
большое количество измерений (более 50), т. е. представляют
достаточно обеспеченные экспериментальные результаты. Необходимые
109
для теоретических расчетов длина волны, ее высота и период
(частота) получались как средние значения из данной серии
наблюдений. На рис. 4.6 проведена прямая мизм = ил, на которую
в случае полного совпадения теоретических и экспериментальных
данных легли бы представленные точки. Видно, что измеренные и
вычисленные величины
скоростей переноса масс достаточно
близки, что свидетельствует о
разумных результатах,
полученных теоретически.
Отметим, что для расчета
движений наносов в
прибрежной зоне особенно важны
данные о скоростях переноса
масс именно в слое,
примыкающем к самому дну,
поскольку перемещение основной
Рис. 4.6. Сопоставление
теоретических данных (1) с результатами
наблюдений (2) скорости переноса
масс в придонном слое прибрежной
12 ujcM/c) зоны моря
массы наносов определяется динамикой придонного слоя. Не менее
важно знать скорости и направления переноса в придонном слое
моря вдали от прибрежной зоны. Здесь роль генераторов
стационарного движения играют волны типа внутренних, приливных,
топографических (волны Кельвина, Свердрупа и т. п.). Но для
описания такого рода движения важный эффект вносит вращение
Земли (сила Кориолиса), а само движение трехмерно.
§ 4.5. Пограничные слои,
генерируемые волнами Кельвина и Свердрупа
По общим соотношениям трехмерной теории генерации
пограничных слоев, учитывающей вращение Земли, можно рассчитать поля
осредненных скоростей Эйлера и Лагранжа, возбуждаемых волнами
Кельвина и Свердрупа [27, 28].
Перенос масс, продуцируемый волнами Кельвина, Для волны
Кельвина, распространяющейся на юг, зональная и
меридиональная составляющие ее скорости равны
U = О, V = — А -^ ехр (— fx/c) cos (ky + otf), (4.5.1)
где с2 = со2/&2 = gh, h — глубина бассейна, А —^постоянная.
Тогда из выражений, связывающих ии vx с Х1у Уг\ ил, ил с Qu,
ПО
i
Q2jl и (4.3.9), (4.3.12), (4.5.1), имеем
Я, v„} = ± \ (-А/[{Re, Im} {(l - -L) (L5 + Z.6 T L4) +
+ (l + -L)(I4TL2=FL3)}]e-We, (4.5.2)
где Lm (m = 1-^6) определяются соотношениями (4.3.11), а скорости
Эйлера — (4.5.2), в которые вместо Lm входят соответственно Gm
из (4.3.10).
j у
Рис. 4.7. Зависимость величины $'
максимальной скорости переноса
масс, обусловленного волной
Кельвина, от широты ф при А = 0,75 м, SO
х = 200 км.
Кривые / —• 3 соответствуют h — 30, 40, 0
50 м
На внешней границе слоя, т. е. при ч\ -> сю, скорости переноса
масс, определяемые из (4.3.12), (4.5.1), равны
"л (*. У. <*>) = 0, х)л (х, #, со) = j (-£-J exp (— 2fxlc).
Если волна Кельвина распространяется в северном
направлении, то скорость переноса масс на внешней границе слоя есть
"л==0, ул=с(-^-) sh-^-*.
Из этих соотношений следует, что перенос масс на внешней гра"
нице пограничного слоя, обусловленный волнами Кельвина, у
западного берега осуществляется в южном направлении, а у
восточного — в северном. Причем, если в случае распространения
волны в южном направлении скорость переноса масс
экспоненциально затухает при возрастании параметра Кориолиса, т. е. при
удалении от экватора, то для волны северного направления с
возрастанием / скорость переноса также увеличивается. Так, для
волны северного направления при А ~ 0,75 м, h = 40 м, х = 105 м,
Ф = 15°, vn будет 6 • 10~3 м/с. Если q> = 45°, а остальные
параметры те же, то vn ~ 1,2 10~"2 м/с. Кроме того, ил
существенно зависит от глубины моря А, а значит, и от фазовой скорости
распространения волны с. Кривые 1—3 на рис. 4.7 показывают
зависимость скорости переноса масс or широты ср и глубины h.
Видно, как при уменьшении h растет значение максимальной
скорости в представлении Лагранжа.
Распределение стационарных скоростей Эйлера и Лагранжа
в самом пограничном слое рассчитывалось численно методом
матричной прогонки [94]. Задачи (4.3.4), (4.3.5), (4.3.10) решались
для произвольного К (ц) и использовалась разностная схема
второго порядка точности. Результаты расчетов для волн, распростра-
111
няющихся в южном направлении, представлены на рис. 4.8. На
нем приведены функции, стоящие в квадратных скобках
соотношений (4.5.2) (с учетом знака), т. е. скорости, нормированные на
величину -~- (A/h)2 X ехр (—fxlc). Коэффициент обмена во всех
примерах был задан в виде К = К™ + (1 — Коо) ег^. Величина Коб
принята равной 102. Верхняя часть рисунка воспроизводит поле
скоростей в представлении Лагранжа, нижняя — в представлении
Эйлера. Штриховые линии соответствуют молекулярному случаю
(аналитическое'решение), сплошные — турбулентному.
На рис. 4.9 построены проекции годографов векторов скоростей
в представлении Лагранжа (а) и Эйлера (б) на плоскость дна.
Эти результаты показывают, что различие полей скорости в
представлении Эйлера и Лаг- _^ ^ _^ q по 04 ^
ранжа в молекулярном и 1 '• ! —
турбулентном случаях суще-
Рис. 4.8. Скорости переноса масс
(а) и стационарные скорости в
представлении Эйлера (б),
генерируемые волной Кельвина, при
//со = 0,5:
Рис. 4.9. Проекции на плоскость z
годографов вектором скорости в представлении
Лагранжа (а) и Эйлера (б). Значения
параметра//со = 0,5; 1; 2; 3, ... соответствуют
расстояниям от дна т] = 0,8; 1,6; 2,4 ...
ственно. Максимальные скорости в ламинарном движении
всегда больше, чем в турбулентном, однако турбулентное
движение захватывает гораздо большую по вертикали область.
Этот эффект проявляется еще больше, если /Соо увеличивается,
поскольку толщина пограничного слоя пропорциональна (/Coo)v*.
Однако, несмотря на то что толщина пограничных слоев и
коэффициенты обмена различны, скорости на внешней границе слоев оди-
112
наковы (движение стремится к ламинарному). Распределение по
глубине скоростей Эйлера и Лагранжа существенно различно.
Значения скоростей в представлении Лагранжа выше
соответствующих величин в представлении Эйлера, т. е. в этом случае заметную
роль играет дрейф Стокса. Этот факт необходимо принимать во
внимание при экспериментальном исследовании процессов
волнового переноса вблизи морского дна: данные, полученные с помощью
обычных измерителей скорости течения, реагирующих на импульс,
могут привести к неточному
представлению об истинных скоростях и f|
направлениях переноса масс. йп-
4 3 2
Л
Рис. 4.10. Зависимость величины
максимальной скорости переноса масс, обусловленно- 30\
го волной Свердрупа, от широты q> для А =
= 0,6 м, h = 40 м.
Кривым /—4 соответствуют значения со == 1,34 X
X КГ"4; 1,45 ♦ 10—^; 1,74.10—4; 2,18 • 10—^ с—1- 0Я Q6 1.0 1А
Особенно сильное влияние на величины скоростей, их
распределение по глубине и интегральный перенос оказывает
соотношение частоты вращения Земли и частоты волн. Кроме того,
соотношение /У со влияет на толщину стационарного пограничного слоя Экма-
на, в котором происходит перенос масс.
Волна Свердрупа, распространяющаяся в южном
направлении. Для нее компоненты скорости определяются формулами
U = -j^- cos (ky + at), V = — -~~- sin (ky + orf),
& = (<& —f*)lgh. (4'5*3)
В этом случае выкладки, аналогичные предыдущим, дают такой
результат:
Я, v„} - -|gr [{Re, Im) {(-£- - l) (Lx + L4) -
- ("t - lJ <L* =F L«) " ("5- + ■)'(Ls Т M] *
При г) ->- oo получаем такие скорости в представлении Лагранжа:
ил(х,у> оо)= 0, vAx, у, °о)=(х) {J_h4, •
Из полученных соотношений видно, что скорость переноса масс
волнами Свердрупа существенно зависит от со (рис. 4.10). При
малых значениях со скорость ил существенно зависит от широты ф;
с возрастанием со эта зависимость ослабевает, а сами скорости
становятся меньше.
Результаты расчетов скоростей в пограничном слое,
нормированные на со Л2/2 kh2, представлены на рис. 4.11; 4.12. Штриховые
линии представляют ламинарный случай при К™ = 1
(аналитическое решение). Здесь также видны различие в структуре скоростей
8 1- M19
113
ламинарного и турбулентного движений и значительное влияние
на поле стационарного движения параметра //со. В то же время
скорости движения, индуцируемые волнами Свердрупа, сущест-
. венно отличаются от движения,
'* индуцируемого волнами
Кельвина.
-0,6 -0.4 -0.2
0.2 0,4
-0А -0.4
2
L 0A
' 5
-0.2
Рис. 4.11. Скорости переноса масс (а)
и стационарные скорости в
представлении Эйлера (б), генерируемые волной
Свердрупа при //ю = 0,5:
Рис. 4.12. Проекции на плоскость z =
= 0 годографов векторов средних
скоростей в представлении Лагранжа (а)
и Эйлера 0).
Обозначения те же, что и на рио. 4.9
На рис. 4.13 и 4.14 представлены годографы векторов
стационарных скоростей, генерируемых соответственно волнами
Кельвина и Свердрупа. Хорошо
видно, как эти векторы
вращаются при увеличе-.
нии расстояния от дна.
Таким образом, взвешенные
частицы будут
переноситься по различным
направлениям и с различными
Рис. 4.13. Годографы векторов
скоростей в представлении
Лагранжа (а) и Эйлера (б) при
//© = 0,5; /Соо = Ю2. Перенос
обусловлен волной Кельвина
114
скоростями в зависимости от их расположения по вертикали, т. е.
стационарное движение, вызванное в придонном слое волнами
Кельвина иСвердрупа, как и движение, обусловленное
поверхностными волнами, должно «сортировать» взвешенные частицы. Это
распределение скорости соответствует индуцированному волнами
стационарному пограничному
слою Экмана. Следовательно, и
и для скорости переноса масс
распределение носит
характер спирали.
Таким образом, теория
показывает значительное
влияние турбулентности и
вращения Земли на структуру
генерируемых пограничных
Рис. 4.14. Годографы векторов
скоростей в представлении Лагранжа
(а) и Эйлера (б). Перенос
обусловлен волной Свердрупа.
Параметры те же, что и на рис. 4.13
О-02-0,4-0,6 Н
слоев. Эти факторы играют особую роль в природных
условиях. Однако в природных, условиях потоки, возбуждаемые волнами
у дна (вследствие наличия взвесей, содержащих донные осадки),
имеют характер двухслойных течений. Поэтому возникает
необходимость проанализировать еще влияние двухслойности на
структуру пограничных слоев, возникающих под действием волн.
§ 4.6. Стратифицированный пограничный слой
Стратифицированный пограничный слой, обусловленный стоячими
волнами, изучался Хантом [130]. Но он исследовал влияние
двухслойности лишь на скорость переноса масс на внешней границе
пограничного слоя и не анализировал движения внутри самого
пограничного слоя. Полученное им решение не дает предельного
перехода к результату Шлихтинга [95] для однослойной жидкости
при стремлении коэффициента вязкости в нижнем слое к
бесконечности, и этот результат трактуется как особый эффект
двухслойности. Однако действительная причина в том, что решение Ханта
содержит ошибку. Точное же решение позволяет получить во всех
предельных случаях классический результат Шлихтинга для
стационарной, скорости, индуцируемой стоячими волнами [23].
Изложим основные результаты работы [23]. Рассмотрим
двухслойную жидкость с различными, но постоянными в слоях
плотностью и коэффициентами обмена импульсом с поверхностью
раздела, параллельной дну и удаленной от него на расстояние Н. Пусть
в системе координат {х, z) (ось х лежит в плоскости дна, ось г
направлена против гравитационного ускорения) движение в погра-
8*
115
h
ничном слое вызывается волновым движением вида (4.1.5) при
У = 0. .
В пограничном слое оно описывается следующими уравнениями:
dtUj + tijdxiij + Wfdluf = vfdzZuf — Ph
P/ (4.6.1)
djcUj + dzWj = 0,
которые являются обобщением уравнения (4.2.1) на случай
двухслойной жидкости при Vj = const; / = 1 соответствует верхнему
слою, а / = 2 — нижнему.
На дне справедливы условия прилипания
и2 (*, 0, t) = w2 (*, 0, t) = 0. (4.6.2)
На границе раздела г = Я скорости и тангенциальные
напряжения сдвига должны непрерывно переходить из слоя в слой, так что
здесь
их (х, Я, t) = и2 (х, Я, f), wx {х, Я, t) = w2 (*, Я, t)t
* i * \ (4.6.3)
Снова отыскивая решение для каждого слоя в виде рядов по
параметру е, после соответствующей процедуры получим такие
уравнения первых двух приближений:
Р' (4.6.4)
д<и? - ч&и? = -fiL. UdJJ - updjt? - wfdj#\
в которых давление опять выражено через скорость внешнего
потока в соответствии с теорией пограничного слоя.
Вводя функцию тока и безразмерную переменную пограничного
слоя как г\ = г (соЛ^)7*, представим решения для Ч*/* в виде
^ e \ (^Г lV {X) Fi (Y)) ^ + У* {Х) F* (T,) ^
Тогда, используя это выражение, из (4.6.4) в первом приближении
получаем такие уравнения относительно функций Ft (r\):
OW^<MW"g^. (4.6.5)
Граничными условиями, соответствующими (4.6.2), (4.6.3),
будут
' ^(оо) = 1, ^(0 = 5^(0)= 0, *
(4.6.6)
^i = F* № = <Va> d?mfi = -^- d2mF2, при г\ = Л,
где fi = Я (co/v)Vi.
U6
Решения уравнений (4.6.5), удовлетворяющие условиям (4.6.Щ„
имеют вид
1 + |
Р,=
Pi
Р/
А,
(1— /) + ехр
+ В,
(/ — 1)ехр
1 +
V~2
(4.6.7)
в которых А,- н В/ выражаются формулами
Ах = '-' * + И-*>*М+ПТ) ехр(1 + 0Л//2,
/2
Qa + «Qi
л 1-,- (i-d)T + d(l+Y)exp(l+')r
г~ /2 2Y(Q3 + 'Qi)
Y^v^, d = P!/p2) Г=тЛ/1/2,
Qs + #i = У sh [(1 + ») Г] + ch [(1 + i) Г],
B^A + d^ + ^a-ft), В2 = Л2-(1— i)fV2y.
Во втором приближении скорость имеет слагаемое, не
зависящее от времени. Представляя его в виде
"/2> = i[F* W d*K W G/ (T1> + F w a*F*G>(Tl)1, (4-6-8)
из (4.6.4) и выражений, связывающих ЧГ^ и F,- (т|), получаем такие
уравнения относительно функций Gt:
%flt = —f -Tf ("g- - V? + Mm*7/) • (4-69>
Граничные условия для G/ имеют вид
Gx (oo) — конечно, . G2 (0) = 0,
Gx (h) = G2 (ft), td^ (h) = a,G2 (/i).
Решения задач (4.6.9), (4.6.10) получаются легко, но громоздка
и выглядят так:
(4.6.10)
l — i
2/2
^-u+iwi'I + _1±± | лх |« е~^ + Jn + K,
4
d2a*
-g- ^2e + —g
Я,**4 + -^f- Bl
L a*
+
+ (A, + B2 - r,)] e«*n - -^- /t2* [-|г - (A2 + B2 - (4.6.11)
117
Таким образом, в данном случае получено общее решение, .
включающее в себя случаи как стоячих, так и прогрессивных волн. §
В этом решении мнимая часть описывает распределение по глубине i
стационарной скорости, индуцируемой прогрессивными волнами, 1
а действительная — стоячими; а = (1 + i) y/V%, a /, F, E, К
находятся из условий (4.6.10) и имеют вид
F=--^fl\B1\> + (l-d)hl-2ReB1 + (l-d)h]}+±id\
J = 0,
£ = YMl-d)Re[Aiexp( L±Ujj+^_72(1_d2)ft_
—Ly>(l-d)Bu
K=ih ° ~d) Re [(1" °Ai exp (" "W- h)\ -
—J-(i-72)IAI2e-^—Ly4(\-d)h* +
+ [1^r(l + 0 0-d)+4(1-V2)(-fii + ft)]x
X Л,*ехр[— (1 — i)h/V2] + Eh + F + -J-i (1 — d) (1 + 3d).
Так как из (4.6.8) и (4.6.11) следует, что
и? (*, оо) = -L [V* (х) dxV (x) Gl (oo) + V (х) dxV* (x) G? (со)] =
= i W* (x) dxV (x) + K*V (x)dxV* (x)), (4.6.12)
то действительная часть коэффициента К, т. е. Re (К) — Ки
определяет значение скорости на внешней границе слоя, генериру- ',
емой стоячей волной, а мнимая — Im (К) = /С2 — бегущей.
В предельных случаях: 1) h = 0; 2) 7 — d = 1 Для стационар- ;
ной скорости на внешней границе слоя имеем
Gi(°°) = 7-0-0,
(4.6.13)
и(2) (х, оо) = —JL Re [(1 - О У* (*) dxV (x)\, \
*
мто совпадает с результатом Шлихтинга [95], полученным им для |
стоячей волны в однородной жидкости.
Третий предельный случай у -> оо физически соответствует
однородной жидкости, так как нижний слой при этом «отвердевает»,
и значение скорости на внешней границе пограничного слоя долж-
118
но совпадать с (4.6.13). Действительно, при у ->• 0 следует, что
^i = -у£- ехр [(1 + 0 hlV2\, В, = V2f(l + i) + h,
£ = 0, F = 4^2, и /С = |_(l_f).
Это и доказывает высказанное утверждение.
Расчеты, выполненные на основании полученных решений,
показывают, что при у2 ^ 1 изменение соотношения между
коэффициентами обмена количеством движения наиболее влияет на
скорости переноса масс в нижнем слое. В верхнем слое распределе-
-йв -0А
Рис. 4.15. Распределение Lx (у\), L2 (т)) для прогрессивных (/) и стоячих (//) волн:
а — v2 = d = 1; б ~ 72 = 0,2, d ■■
д — V2 = o,2, d = 0,3
0,9; в — v2
= Ю-2,
d = 0,5; г — v* ~ 5, d = 0,5;
ние скоростей и их величина изменяются значительно меньше.
Если 72 > 1» то скорости переноса масс заметно изменяются и в
верхнем слое. Скорости в представлении Лагранжа, обусловленные
прогрессивными волнами, имеют одно и то же направление в
пределах обоих слоев, а на внешней границе слоя Im L~ 1,25 для
d = 1 при всех у. В случае стоячих .волн скорости переноса масс
знакопеременны по глубине, а вне пограничного слоя они различны
для разных у.
Кроме того, существует еще одна важная особенность: скорости
переноса масс на внешней границе слоя, индуцируемые
прогрессивными волнами, при фиксированном значении у не зависят от
соотношения плотностей в верхнем и нижнем слоях. В случае стоячих
волн такая зависимость существует. Аналогичный результат
приведен в § 4.2 для зависимости скорости переноса масс на внешней
границе слоя от коэффициента обмена количеством движения при
постоянной плотности.
На рис. 4.15 представлено распределение по глубине скорости
переноса масс при некоторых значениях параметров у и d,
характерных для придонных течений, генерируемых приливами.
119
Скорость в представлении Лагранжа для этого случая,
выраженная через скорость Эйлера, имеет вид
(4.6.14)
Lf = G, + -f (dfflrfi + FfdmF*).
Скорости внешнего волнового движения для бегущей и стоячей
волн соответственно задаются соотношением (4.2.20). Полученное
решение описывает стационарные поля скоростей в
представлениях Эйлера и Лагранжа, индуцируемых стоячими и
прогрессивными волнами. Однако в реальном океане, как правило,
существуют одновременно оба типа волн, поэтому перенос масс
описывается суперпозицией решений. Но если перенос в случае
прогрессивных волн происходит вдоль всей плоскости распространения
самой волны и существуют линии тока, непрерывно переходящие
из одной перемещающейся ячейки, определяемой длиной волн, в
другую, вдоль которых и осуществляется движение частиц, то в
случае стоячих волн конвективные ячейки фиксированы в
пространстве и стационарная циркуляция замкнута внутри них.
Согласно (4.6.14), (4.2.20), циркуляция происходит в ячейках,
ограниченных вертикалями х = т&/4, где т — целое число.
Видно, что для стоячих волн непосредственно у дна Lx > 0, поэтому
в этой области дрейф частиц будет направлен к узлам волны, а в
основной толще, где Lx < 0 — к пучностям. К узлам частицы
движутся в очень узкой области, и величина переноса намного
меньше, чем величина переноса к пучностям, который захватывает
большую область. Таким образом, нанос, обусловленный стоячими
волнами, будет периодическим, что и наблюдается обычно в
природных условиях вблизи берега.
На рис. 4.15, г видна еще одна интересная особенность: при
некоторых соотношениях между параметрами волн, вязкости и
стратификации в распределении скорости переноса масс волнами
могут наблюдаться два максимума. Один располагается в области
скачка плотности, а другой — вне его. В таком случае перенос масс
имеет струйный характер и частицы в слое скачка переносятся с
большими скоростями, чем в соседних областях. Вследствие этого
должен происходить. «подсос» их из выше- и нижележащих
областей. Кроме того, так как здесь существуют большие вертикальные
градиенты скорости, т. е. завихренность стационарного поля,
генерируемого волнами, эти области должны быть слабо устойчивыми.
Тогда происходит разрушение резкого скачка плотности.
Глава 5
ДИНАМИКА ВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
У ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА АТМОСФЕРА — ОКЕАН
В геофизической гидродинамике до настоящего времени одной из
самых важных является проблема описания физических
процессов, протекающих в окрестности границы раздела океан —
атмосфера при их взаимодействии, т. е. когда существуют поверхностные
волны и происходит обмен импульсом, энергией и теплом. В этой
области много неясных, неизученных моментов, а
экспериментальных данных недостаточно, чтобы осветить эти проблемы. Поэтому
большое значение приобретают теоретические исследования физики
пограничных слоев у поверхности раздела и, в частности, их
волновых возмущений.
§ 5.1. Связь между волновым потоком энергии
и импульса в приводном слое
Поверхностные волны вносят такие возмущения в
приповерхностный слой атмосферы и верхний слой моря, что динамические
величины в них не могут быть представлены в виде простой
суперпозиции средних невозмущенных и флуктуирующих с частотой волн
полей. Это было продемонстрировано в работе Такеда [192] на
основе натурных наблюдений, а затем при исследованиях,
выполненных на полигоне пос. Кацивели МГИ АН УССР.
Наблюдения показали, что волны изменяют стационарную часть
ветрового поля, и это связано с существованием стационарного
переноса импульса и энергии от среднего ветра к поверхностным
волнам (или от них). По-видимому, можно предположить, что
физика этого явления такова: возникающий фазовый сдвиг между
волновыми компонентами скорости вследствие инертности волнового
поля приводит к появлению отличных от нуля волновых
напряжений Рёйнольдса, которые осуществляют отрицательную по
отношению к среднему полю работу (см. § 2.1), обусловливая поток
энергии от среднего ветра к поверхностным волнам. Действительно,
если волны возмущают среднее поле ветра V (z), зависящее
от вертикальной координаты z, то уравнения возмущения
приводного слоя воздуха в системе координат, движущейся с волнами в
положительном направлении х, можно представить в виде
121
(V - с) дхи + wdzV = 1- дхр, (5.1.1)
Ро
(V -c)dxw + pg=-^- дгр, (5.1.2)
(У -0)3^ + 6^=0, (5.1.3)
dji + д2ш + ~ [(К - с) д^> + d^w] = 0. (5.1.4)
Ро
Здесь р — возмущение плотности воздуха за счет действия волн,
р0 — невозмущенное ее значение, с — фазовая скорость волн.
Умножая (5.1.4) на р и осредняя результат по фазе за период
волн, получаем
pdxii + дг(pw) — wd~p =■£-рд~р + -j-dzp0(pw) = 0. (5.1.5)
Ро Ро
Подставляя затем дхи и д2р, выраженные соответственно из
(5.1.1) и (5.1.2) в (5.1.5), после алгебраических преобразований
имеем такое уравнение:
дг<^)+(^-—j^)/^=(V-c)-^55-№ (5-1.6)
Таким образом, соотношение (5.1.6) описывает осредненный
поток энергии по вертикали, обусловленный корреляциями
вертикальной компоненты скорости волновых возмущений и давления.
Если умножить (5.1.1) на величину [р0 (V — с) и + р] и снова
произвести фазовое осреднение, а также соответствующие
преобразования, то получается связь через скорость между потоком
энергии и импульса, возбуждаемых волновыми возмущениями слоя
воздуха
pw = — (V — с) р0иш, (5.1.7)
и обусловленных возникновением волновых напряжений Рей-
нольдса.
Подставляя (5.1.7) в (5.1.6), имеем
д» (pQuw) + N2uw = J,
2JL° _« (5.1.8)
J = уЛ— pw—-±- рдхр9 N2 = a2p0/p0,
откуда следует, что распределение волновых напряжений Рейнольд-
са и их величина существенно зависят не только от скорости ветра,
но и от стратификации воздуха как по вертикали, так и по
горизонтали. Это означает, что при одной и той же скорости ветра для
установившегося волнения, но при различных температуре и влажности
122
воздуха напряжения Рейнольдса и сдвиги фаз между компонентами
волновых возмущений скорости будут различаться. Поэтому при
исследовании волновых возмущений скорости ветра необходимы
одновременные измерения температуры и влажности воздуха —
только тогда возможна классификация и достаточно верная
физическая интерпретация данных наблюдений. Однако к настоящему
времени таких измерений по существу нет и поэтому нет
взаимосвязанного анализа.
Кроме отклонения профиля ветра над взволнованной
поверхностью от автомодельного логарифмического режима и
существования больших волновых напряжений Рейнольдса, наблюдениями
выявлены еще такие важные особенности, как скачок на 180°
относительного фазового сдвига между тангенциальной составляющей
скорости ветра и возвышением поверхности раздела при переходе
через слой совпадения, где локальный вектор скорости ветра равен
фазовой скорости волн. Физика этого явления понятна и связана
со следующим. Предположим, что ветер возбуждает волны, а
распределение его таково, что на некоторой высоте гс имеется совпадение
скорости ветра и фазовой скорости распространения волн. Так как
ветер генерирует волны, то поток энергии должен быть направлен
в сторону поверхности раздела вода — воздуха и сохранять знак
при г = z0. Но вследствие того что при переходе через критическую
высоту разность (V — с) изменяет знак, величина т = — uw также
должна изменить его на противоположный, как это следует из
(5.1.7), чтобы левая часть этого соотношения сохранила знак.
Следовательно, должен произойти «скачок» фазового сдвига между
горизонтальным и вертикальным компонентами и скорости, т. е.
между и и т], что и выявляется при наблюдениях.
Важной наблюдаемой особенностью также является изменение
фазы на 180° между компонентом и и возвышением поверхности
раздела вода — воздух при изменении направления ветра на
противоположное.
Поскольку появление волновых напряжений Рейнольдса есть
эффект совместного действия турбулентной вязкости и
нелинейности, то при построении и физической интерпретации наблюдаемых
особенностей волновых возмущений приводного пограничного слоя
атмосферы необходимо учитывать эти два основных фактора.
Кроме того, поскольку описанные особенности являются
проявлением эффектов порядка крутизны волн, исследование следует
выполнять в системе координат, связанной с волновым движением,
и учитывать искривленность поверхности.
В последние годы интенсивно развивается теория генерации
ветровых волн. В этом направлении есть определенный успех,
достигнутый усилиями таких ученых как Бенджамин [99], Майлс
[155], Филлипс [85],' Стюарт [187, 189], Заславский и Красицкий
[136], Чаликов [68, 90]. Однако направленного систематического
исследования упомянутых явлений практически нет. Так, в работе
123
Ефимова 139] предложена ламинарная модель, в которой не
учитывается искривление подстилающей поверхности и на поверхности
моря приняты условия скольжения. В модели Дэвиса 1113] априори
задаются турбулентные напряжения Рейнольдса и также не точно
учитываются граничные условия. В работе Ли [140], касающейся
изучения отклонения ветра от логарифмического распределения за
счет поверхностных волн, задача формулируется без учета
искривленности поверхности моря, а профиль ветра выбирается не
логарифмическим, что не позволяет сопоставить теоретические
данные и результаты эксперимента.
Цель этой главы — рассмотреть теоретическую модель
волновых возмущений приповерхностного взволнованного слоя
атмосферы и поверхностного слоя моря, учитывающую реально
существующие в природе факторы: турбулентный характер волнового
движения в окрестности поверхности раздела, ее подвижность и
нелинейные эффекты. На ее основе дать интерпретацию наблюдаемых
особенностей — появление в атмосфере и море значительных
волновых напряжений Рейнольдса; скачок фазы <р ~ при V = с;
отклонение режима ветра от автомодельного логарифмического
профиля, характерного для пристеночного турбулентного
пограничного слоя; скачок фазы ф - при изменении знака разности (V — с).
§ 5.2. Гидродинамическая модель
слоев возмущения
При формулировании гидродинамической основы модели,
описывающей пограничный слой атмосферы над волнующейся
поверхностью и взволнованный слой моря, учтем три основных фактора:
существование среднего потока ветра над волнами с
логарифмическим распределением скорости по высоте; турбулентный характер
движения, обусловленный возмущениями поверхностными волнами;
наличие искривленной подвижной границы раздела атмосферы
и океана.
Уравнения. Уравнения, описывающие волновые возмущения
пограничных слоев атмосферы и океана у поверхности их раздела,
получаются из общих уравнений волновых возмущений (2.1.9).
Переходя в криволинейную систему координат, связанную с
самим волновым движением (2.5.1), и выражая в ней турбулентные
напряжения Рейнольдса (последний член в (2.1.9)) на основе
полуэмпирической теории турбулентности [73] через тензор деформации
скоростей волнового поля и коэффициенты турбулентного обмена *,
которые считаем заданными функциями координаты г), получаем
такие уравнения модели:
др + е [иЧ1/2дгГ~1/2 + дг (и2) + дц (ш)] =
* Очень громоздкие выкладки опускаем.
124
= - f-^jr) дър + Re~' ач K^X" + «a,/-'^ - J~r%w) J] +
- t/4^4vi + a„ (f'^r*1*) vx + (/4^/a) Vi +
+ 2 (f^r4*) v2] u + v^ (<V + dtw)}9 2
d,a> + e/'2 [ J~*% (uw) — d^1 V] =
в —"рй?" ^ + Re~' ^[У (■ГН°' - «'"'Ч* - V~N] +
+ Re"1/72 {2d^dX[w + [2J4id^%v2 + 2<3Л {/%Г4*) v2 -
- ^ (//e<V~V£) vi - (diJ^/2d^fluJ) vj и + 2v2d2^ +
+ /%Г*'* (2v2 + vj <V + V& {дгхю + <V) -
— f%J-1/>(v1 + 2v2)dlu}.
В уравнении (5.2.1) v, и v2 — коэффициенты турбулентного
обмена, связывающие соответственно касательные и нормальные
напряжения Рейнольдса со сдвигом скоростей волнового поля;
произведено обезразмеривание с характерными масштабами,
принятыми в § 2.1 при определении порядка индуцированной скорости,
Re = co/vfe2.
Так как целью является интерпретация на основании теории
наблюдаемых возмущений, вносимых поверхностными волнами в
динамику пограничных слоев атмосферы и океана, примыкающих
к поверхности моря, то общее поле скорости в системе координат,
движущейся с фазовой скоростью волн, представим в виде суммы
скорости невозмущенного ветра (течений) — V (tj), поля скорости
волновых возмущений — {и (£, т]), w (£, т))} и стационарной
поправки и (г|) к среднему невозмущенному полю автомодельного режима
над (под) поверхностью раздела, генерируемой волновыми
возмущениями в силу вихревого и нелинейного характера движения.
Таким образом,
u = V(r\)—c + u&, Т)) + "(Л)>
w = w(l, г)).
В последние соотношения входит фазовая скорость волн с,
поскольку система координат (|, г\) выбрана движущейся со скоростью
волн. Для вертикального компонента скорости нет стационарной
поправки, так как средняя скорость зависит от нормальной к
поверхности раздела координаты т), поэтому, согласно уравнению
неразрывности и обращению в ноль w9 на поверхности раздела имеем
125
В § 2.1 было показано, что индуцируемая волнами средняя
скорость и (г\) по параметру крутизны е по крайней мере на порядок
меньше скорости набегающего потока V (ц) и скорости волновых
возмущений. Характерная величина ее равна е (асо), что будет
учтено при выводе окончательных уравнений.
Применяя к (5.2.1) операцию вихря, выражая якобиан в
соответствии с (2.5.3) и отыскивая волновые скорости в виде
и^[у(У + ш) J-] +
+ е (З^ф! + Vi [дъ (V + вй) е^]} cos £ + гд^щ sin £,
( Г - 1 "I - 1 (0.2.2)
w = 8 \Ф1 + [V (У + ей) —\е ^ J sin I — 8ф2 cos |,
после всех вычислений получаем такие уравнения для функций
<Pi и ф2:
{yiyi ~ ir)(а™ ~1} ф/ _ ^у/ф/"
2i
(1 + v{) (д2^ +1) Фу —jI-j. d4v{ (4
8/Re/ - ■ -/-.,-. . "/ т g/Re/ ч-.x ЛЛ
- 1) drfff + -r^-j- С^лф' Г-Г d2mv{ (4л + 1) ФУ +
8' Re' 8' Re7
т e'Re' WT * „ Л
. , (5.2.3)
F' = -тЬ" К1 + v() (<4 + 1)г V7 +
8' Re'
+ 1(д%р{ - 2) З^У' - 2 (v{ + 2д^2) дУ +
+ (2v{ - 4v£ + d4v{) (дч - 1) дяУ' + (1 - v() V'} е^ -
e'Re'
В (5.2.3) введена функция ф/ = ф{ + *ф;2; П7 — представляет
нелинейную часть, которая громоздка и имеет следующий порядок
малости по е по сравнению с представленными членами, а верхний
индекс / = 1,2, причем / = 1 соответствует пограничному слою
атмосферы, а / = 2 — слою моря, примыкающему к поверхности
раздела; v — масштабный множитель, равный отношению
характерных величин скорости невозмущенного ветра и его волновых
возмущений. Он изменяется в зависимости от конкретных физических
ситуаций. В этом еще одно отличие данной модели от моделей
Ефимова и Ли.
Так как в реальных условиях величина скорости ветра, как
правило, на порядок больше скорости волновых возмущений, то
введение такого параметра необходимо. При этом результаты расчетов
будут более реалистичными.
126
Граничные условия. Частицы воздуха прилипают к поверхности
моря, поэтому при ц = 0 выполняется равенство скоростей
воздушного потока и воды. Поскольку ветер создает дрейфовое
поверхностное течение и{о\ то при ц = О
поэтому при г| = 0 имеем относительно подвижной системы
координат
{«, i} = {[cosg-(^-42))], О}. (5.2.4)
Тогда из (5.2.2), записанных при ц = 0, получаем
ф/ = 1/8/, а^ф/ = 1/8/ — yfd^ при г] = 0. (5.2.5)
Вне пограничных слоев волновые возмущения должны затухать,
следовательно,
ф/ = длф/ = 0 при т] -> ± оо. (5.2.6)
Соотношения (5.2.3) — (5.2.6) являются гидродинамической
моделью возмущений пограничного слоя атмосферы и поверхностного
слоя моря, примыкающих к поверхности их раздела. Однако при
непосредственных расчетах нужно учитывать дрейфовое течение,
так что относительно движущейся системы координат необходимо
вносить в скорость ветра поправку на дрейф, который должен
соответствовать конкретным значениям ветра при т) -+ +оо. Если
изучается пограничный слой моря, возмущаемый поверхностными
волнами, то на поверхности моря должен выполняться третий закон
Ньютона, т. е. условие равенства тангенциального напряжения в
жидкости напряжению, создаваемому действием ветра. Выраженное
через функцию тока, оно имеет вид
дц (Jd^W) — дг (JdtW) = т (V) при ц = 0,
где т (V) — величина напряжения, обусловленная действием ветра.
В случае зыби т (V) — 0, что означает условие отсутствия
напряжения на поверхности моря.
Уравнение (5.2.3) является обобщением уравнения Орра — Зом-
мерфельда, широко используемого в теории устойчивости. Если
в нем положить коэффициенты обмена постоянными и опустить
члены, которые появляются в результате учета искривленности
поверхности и нелинейности, а также заменить условия
прилипания (5.2.5) на условия скольжения и положить/ *= 1, то получим
задачу, изучавшуюся Ефимовым. При соответствующих
упрощениях получается и задача Ли.
Основные соотношения. Если задачи (5.2.3), (5.2.5), (5.2.6)
относительно ф/ решены, то по (5.2.2) определяются флуктуирующие
с частотой волнения поля скорости, а также все характеристики,
которые обычно рассчитываются на основе экспериментальных
127
данных: относительные фазовые сдвиги <р'; дисперсии компонент
скорости <г~, а~\ волновые напряжения Рейнольдса т/. Для них
имеем
»£, - arct8 {- <rt[»l + (t'V - -i-),-«]},
Эти величины записаны в безразмерном виде, так что для
нахождения истинных значений необходимо умножить дисперсии на (aw),
а напряжения на (асо)2.
На основании сформулированной модели можно изучать
отдельно динамику волновых возмущений пограничного слоя атмосферы,
примыкающего к поверхности моря, пограничный слой моря у
поверхности раздела, а также одновременно область, включающую
оба эти пограничных слоя с поверхностью раздела.
Решение задач (5.2.3), (5.2.5), (5.2.6) в общем случае может быть
найдено лишь численно. В уравнениях (5.2.3) коэффициенты при
нечетных производных могут быть знакопеременными, поэтому
разностные аналоги производных должны записываться с учетом знака
коэффициентов, стоящих перед ними [69]. Поэтому первую
производную заменим таким ее разностным аналогом
(Kfitft)t = [(1 — ay) ф,+1 + (2a, — 1) % — ауф*_1]/Л,
где
{ 1, если /C/>0f
а/~( 0, если /С/<0,
а индекс i указывает номер точки, в которой вычисляется
производная.
Производные других порядков аппроксимируются разностными
аналогами следующим образом:
4лФ = (Фж — 2(Р* + <P;-i)/ft2> длплФ = дг\ (<5™Ф)>
128
Тогда уравнения (5.2.3) и граничные условия (5.2.5), (5.2.6) могут
быть соответственно представлены их разностными аналогами вида
ЛРй-2 + A\%-i + Bt% + C\%+i + С|2)ф,+2 = Ft9
Фо =7о» ^оФ-i + Л^0ф0 + М0фх = £0, при г| = 0, (5.2.8)
Фл/ = 1n> DNqN-X + NNyN + MNq>N+i = ENу при х\ ->■ oo,
в которых
ф{
т{
, Ft~
F{
Fi
векторы f0, £0, /W, En определяются соответственно правыми частями
граничных условий (5.2.5), (5.2.6), индекс ноль относится к
граничной точке г) = 0, а индекс N — к границе при ц = Я, где Я —
некоторая достаточно большая высота, имитирующая бесконечно
удаленную верхнюю границу. Она выбирается так, чтобы ее
изменение уже не влияло на результаты решения.
Чтобы исключить большие ошибки расчетов в окрестности
границ (где наиболее сильно изменяются все характеристики и важно
их точное определение), связанные с грубой аппроксимацией
граничных условий и уравнений, на нижней и верхней границах
вводились фиктивные точки, выходящие за область определения
решений: i = —1, i = N + \. Искомые переменные в них исключались
совместным решением разностных уравнений и граничных условий,
записанных при i = —1 и i = N + 1 соответственно. Система
алгебраических уравнений (5.2.8) решалась методом матричной
прогонки для уравнений высших порядков [941.
§ 5.3. Возмущение ламинарного потока
волновой подстилающей поверхностью
Проанализируем вначале влияние вязкого ламинарного подслоя,
примыкающего к поверхности, на осредненные характеристики поля
скорости. Для лучшего понимания численных расчетов полной
задачи (5.2.2), (5.2.3)—(5.2.7) и их интерпретации рассмотрим
упрощенный вариант, позволяющий получить аналитическое решение.
Изучим случай, когда средняя скорость набегающего потока
равна нулю, V (г») = 0, что будет в определенной степени
имитировать условия зыби. Для ламинарного движения v = const, а так
как нет осредненного воздушного потока, то эффекты будут
обусловлены вязким прилипанием частиц воздуха к поверхности и
сосредоточены в пределах толщины ламинарного пограничного слоя б.
Задача аналогична рассматривавшимся в главе 4. Поэтому в
качестве характерного пространственного масштаба выберем толщину
ламинарного слоя 8 = (2г/(о)г/«, а в качестве скорости —
амплитудное значение скорости на бесконечности, которая возникает
9 1-1419
129
вследствие того, что система координат выбрана связанной с
волновой поверхностью, так что относительно последней пограничный
слой воздуха испытывает периодические колебания. Тогда
уравнение диффузии вихря (2.5.2), записанное через функцию тока, имеет
вид
где
"■-"-/(■т-Г
Граничными условиями для него являются
^ = дчЧ = 0 при г) = 0, (5.3.2)
dg^-^O, dt/F-^cosx прит]-*оо.
Отыскивая решение в виде ряда по 8 ^ 1, в первом приближении
имеем задачу Стокса с известным решением [95]
^рг = г) cos т Н—^=- [е-1* sin (т — т) + я/4) — sin (т + я/4)].
Представляя решение во втором приближении по 8 в виде
^2т = ф2^ (л, т) + d^¥l€rl^efk\ т = О, 1, 2, ...
и полагая & Re <£ 1, получим такую задачу относительно ср20:
1 /Л2
э2
|дт - -^ ($п - Щ (д^ - k2) ф20 = О,
ф2о(0) = 0, drftnM^-dJPAO),
Ф20(00)==<ЭЛФ20(00) =0.
Решение этой задачи представляется формулой
ф2o(т^) = {7=Teft,,fe-(v+ft,т,-1]ert},
где
Y* = (# + 20, | arg v К я/2.
Для следующего приближения по параметру вязкости а задача
относительно функции ф21 имеет правую часть, выражающуюся
через решение предыдущего приближения, и выглядит так:
|вт—s-(ain —л»)
(д2т - к*) Фз1 = - -±- W (д2т - £2) ф20 +
4-—д2
Ф21 (0) == ЗпФи (0) = 0» Фи (О©) = дЛф21 (°°) = 0-
Легко видеть, что правая часть уравнения для ф21 содержит
независимое от времени слагаемое. Поэтому решение задачи отно-
130
сительно ф21 должно содержать стационарную часть ф21, для которой
справедливы такое уравнение и граничные условия:
«4-*2)Фа1 - {Л+у+*)(1 _е-<жт) _
— (1 0—<*—v>n) g--<i—i)r\\ p- yr\9
Ф21 (0) = длф21 (0) = 0,
ф21 (оо) = апф„ (оо) = 0.
Так как для зыби характерное волновое число удовлетворяет
соотношению k <g 1, то найдем решение именно для этого случая,
т. е. когда kx\ ~ О (1). Имеем для амплитуды индуцированной
скорости
и = (Элф21 = -J- £2Re (1 — fen) е-**, (5.3.3)
где учтено, что физический смысл имеет лишь действительная часть
решения.
Из дисперсионного соотношения со2 = gk следует, что при
уменьшении k уменьшается и со, т. е. увеличивается толщина ламинарного
пограничного слоя трения б = ^v/co)1/*. Следовательно,
индуцированное в нем среднее движение охватывает все большую область.
Чтобы найти решение в слое б, мы должны положить г| ~ О (1)
в масштабе б, тогда получаем
— £2Re f 3 1 ]
и = —^— j-g y е~2п —(cos Л + 4 sin r^e-^ + (cos ц + sin r\) r$r**\.
(5.3.4)
Таким образом, (5.3.3) представляет решение внешнего поля, а
(5.3.4) — внутреннее решение в слое Стокса, примыкающем к
поверхности.
Итак, при обтекании волновой поверхности, как следствие
нелинейности и вязкости прилипания частиц, возникает стационарный
пограничный слой, примыкающий к поверхности, с максимальными
скоростями в ее окрестности. Если существует осредненное
первоначальное движение, то оно будет деформироваться за счет
вторичного потока вблизи границы, т. е. здесь будет возникать
«внутренний» пограничный слой. Распределение скоростей будет, конечно,
более сложным, но сам факт возникновения стационарного
движения в слое Стокса справедлив и в этом случае, что является одной
из причин отклонения профиля ветра от логарифмического
распределения.
9*
131
§ 5.4. Волновые напряжения Рейнольдса.
Фазовые сдвиги
Волновые напряжения Рейнольдса и фазовые сдвиги между
компонентами волновой скорости и возвышением поверхности моря
являются одними из основных динамических характеристик волновых
возмущений пограничных слоев, так как зная их, можно рассчитать
передачу импульса и энергии от ветра к волнам, а также поток ее
от волнового движения к индуцированному стационарному полю,
т. е. распределение в большие временные масштабы.
Физика этих явлений сложна и до настоящего времени не
изучена. Здесь, как и во многих случаях волновых явлений, имеется
аналогия с эффектами, связанными с электромагнитными
колебаниями.
В электрической системе, обладающей сопротивлением и
индуктивностью, т. е. «вязкостью» и инерционностью, при изменении
равновесного состояния возникает электродвижущая сила
индукции, ток которой компенсирует причины возмущения (направлен
против), делая скорость нарастания возмущений конечной.
Известно, что это является следствием инертности, выражающейся в
возможности распространения и нарастания возмущений лишь с
ограниченной скоростью. Эти законы действуют и в случае возмущения
пограничных слоев ветровым волнением; здесь существует аналогия
с электрическими колебательными системами: при воздействии
касательного напряжения ветра на поверхности моря возбуждаются
волны. Так как трение, препятствуя распространению возмущений
с бесконечной скоростью, обусловливает сдвиг в каждой точке
пространства, то он при переходе от одной точки к другой изменяется,
а следовательно, является функцией координат. Инертность
(инерционные силы) приводит в результате этого к появлению вторичных
напряжений — волновых, обусловливающих поток энергии от
волнового поля к полю с другими характерными
пространственно-временными масштабами, которым является индуцированное
течение.
В воздухе процесс протекает аналогично. Поверхностные волны
возмущают генерирующий их поток ветра. Возмущения могут
распространяться только с конечной скоростью, поэтому вязкость
вызывает сдвиг в волновых полях, т. е. препятствует мгновенной
реакции всего поля на волновые возмущения. Как следствие ее
действия возникают волновые напряжения Рейнольдса, которые
действуют против первичного источника их появления —напряжения
сдвига, создаваемого ветром. Такое противодействие обязано
существовать, иначе волны должны были бы развиваться, а волновые
возмущения распространяться с очень большой скоростью, т. е.
практически мгновенно.
Таким образом, при развивающемся волнении волновые
напряжения Рейнольдса действуют противоположно сдвиговым
напряжениям, обусловленным средним полем ветра. В силу этого по-
132
следние совершают работу против индуцированных напряжений,,
отдавая часть энергии среднего поля ветра волнам. Поэтому поле
среднего ветра деформируется и нарушается его логарифмический
автомодельный режим. Ясно, что волновые возмущения, кроме того,
являются причиной возникновения турбулентных напряжений
(см. § 2.1), т. е. причиной увеличения эффективного механизма
«откачки» энергии, что в целом усиливает описанный эффект. Если
скорость ветра мала, так что wr
1ЯП Г~12м*Ц&>-<ь-ъ--1—
т\
[с г
т
4
Т"
Bfi
IT
02 0,3
A -&f
Волна
Л-Ь-^ТГТГоТоО^?55^""
2
д
02
Рис. 5.1. Изменение разности фаз между и
—»• —>
и т] при изменении ориентации V и с:
1 — теоретические расчеты, 2 — наблюдения
Кондо и др. II39 J
волны отдают энергию, то
аналогичный процесс идет в
обратном направлении.
Рассмотрим
непосредственно результаты расчетов,
выполненных на основе
численного решения
квазилинейной задачи (5.2.2), (5.2.3),
(5.2.5) —(5.2.7).
Фазовые сдвиги. На
рис. 5.1, 5.2 приведены
результаты расчетов по проверке
физического эффекта,
выявленного по натурным
наблюдениям в пограничном слое
воздуха над морем,
выполненных Кондо, Фудзинава и На-
ито [139], а также другими
исследователями [189]. Как
указывалось, явление состоит
в том, что фазовый сдвиг
между возвышением поверхности
моря и горизонтальной ком-
. понентой волновых
флуктуации ветра зависит от
относительной ориентации между
вектором средней скорости
ветра и фазовой скоростью
распространения волн.
Причем имеют место три
основных момента: 1) случай,
когда (V — с) < 0 означает, что
волны распространяются с
большей фазовой скоростью, чем ветер, и отдают ему энергию,
затухая; 2) случай V да су который реализуется, когда происходит
генерация волн и на некоторой высоте существует слой совпадения
(критическая высота), где V = с\ 3) условие V > 0 > с
выполняется над слоем совпадения гСУ когда он находится на конечной высоте.
Кроме того, это условие справедливо, если волны распространяются
против ветра.
0°\
-тл
0J
02
0,3
Рис. 5.2. Изменение разности фаз между
и иг\ при переходе через критический
уровень.
Теоретические данные: J — Майлса, 2
минарный случай, 3 — турбулентный
чай при v*j°* = 102, vy*= 99,9, 4 —
турбулентный, квазилинейный вариант; 5 —
результаты наблюдений 1139]
- ла-
слу-
135
При расчетах зависимость скорости от высоты задавалась
функцией
V = -*- In (1 + Vflo) при А <ц < Н,
(5.4.1)
где т|0 — параметр шероховатости; А — некоторая высота,
отождествляемая с толщиной ламинарного подслоя.
На самом деле модель позволяет произвольное задание ветра,
однако в основном будет использоваться зависимость (5.4.1), так
как она соответствует распределению ветра в тонком ламинарном
подслое, а также правильно описывает основную турбулентную
пограничную область.
Функциональная зависимость коэффициента турбулентного
обмена отг\ задавалась в виде функции v,- = v(,0) — v/!) exp [— (т])2/Г/].
Эта зависимость при v*/* = 0 представляет ламинарное движение.
При соответствующих значениях v(/0), v(/\ Г, она дает в тонком слое,
примыкающем к поверхности моря, распределение v/f близкое к
постоянному, что соответствует ламинарному подслою, а в остальной
области коэффициент обмена возрастает до некоторой заданной
величины v/0). В целом модель позволяет также произвольное задание
коэффициента обмена.
Расчеты проводились для различных значений параметров, но
при этом величины А и Гу согласовывались так, чтобы толщина
ламинарного подслоя для скорости соответствовала толщине для
коэффициента обмена.
На рис. 5.1 показано сопоставление результатов расчета
фазового сдвига между ц и и, а также экспериментальных данных Кондо
и др. Расчеты выполненны при v0 = vJy* = 2; Re = 50; v£ = 0;
e = 0,08; tin = 10"5; A = 0,05. В данном случае v(,0) = 100; v^ =
= 99,9, так что при ц = 0 коэффициент обмена молекулярный.
Расчеты соответствуют здесь т|«2м. Видно, что теоретическая
кривая описывает эффект скачка фаз на 180° при изменении
направления ветра на противоположное. Расчеты показали, что скачок фаз
происходит и при других значениях v/0) и v(/\ он имеет место й при
постоянном значении vf (и даже молекулярном). Это означает, что
данный эффект не является следствием действия турбулентности.
Однако величина и распределение vy влияют на наклон
теоретической линии, представляющей фазу как функцию частоты.
Как уже отмечалось, существует другой факт, связанный с
зависимостью фазового сдвига от скорости ветра, выявленный
экспериментально,— скачок фазы горизонтальной составляющей
волновой скорости при переходе через критическую точку, т. е. когда
V (ц) = с. Наиболее полно он исследован в лабораторных условиях
Стюартом [187, 189], а в натурных — Кондо и др. [139].
134
На рис. 5.2 сопоставлены результаты расчета с
экспериментальными данными Кондо и др. Кривая 4 представляет результат, когда
последовательными приближениями учтена нелинейность. Видно,
что теория действительно предсказывает скачок фазы
горизонтальной скорости по отношению к возвышению поверхности, однако
для разумных значений параметров он происходит при меньших
скоростях, чем таковой по результатам наблюдений. Кроме того,
теоретический скачок фазы
предсказывается не таким
резким, каким он получен при
наблюдениях. При этом
вязкая теория дает более
реалистические результаты, чем
квазиламинарная. Однако
Рис. 5.3. Распределение по к\
волновых напряжений Рейнольдса при
Т = 5 с, а = 50 см, Re = 50, г<0)=
= 102, v </> = 99,9, К = 10~3. I
расхождения между теоретическими данными и результатами
эксперимента значительные, и это, по-видимому, связано с тем, что
в теории не учтены некоторые эффекты, имеющие место в природе.
К ним относятся трехмерный и случайный характер волнения.
Таким образом, существуют проблемы, которые необходимо еще
исследовать.
При изменении скорости воздушного потока .изменяются не
только фазовые соотношения, но одновременно перестраивается и
вся динамика. Изменяются величины и распределение по к\
волновых напряжений Рейнольдса, индуцированное ими среднее поле
скоростей, потоки энергии от ветра к волнам и др.
На рис. 5.3 показано, изменение т при варьировании скорости
—> ->
воздушного потока в случае, когда V и с совпадают по
направлению, а рис. 5.4 соответствует случаю их противоположного
направления.
Хорошо видно, что в обоих случаях величина и распределение т
зависят от величины V, т. е. от суммарного вектора V + с.
Выявляются следующие общие особенности: неравномерное увеличение т
по высоте — существует один или два максимума на некотором
расстоянии от волн; затухание т для больших высот порядка k~l и
резкое изменение напряжений Рейнольдса в окрестностях границы
раздела. Это свидетельствует в пользу того, что ламинарный
подслой играет важную роль, а также подтверждается и изменениями
разности фаз ф~ и ср~ в пределах ламинарного подслоя.
135
Когда направление ветра совпадает с направлением
распространения волн, существует такая особенность в поведении т: для
малых значений V (ц) напряжения Рейнольдса почти во всем слое
(см. случай / на рис. 5.3) положительны, т > 0. Это соответствует
физическому эффекту передачи энергии от волн воздушному потоку
при V — с < 0, так как мощность, передаваемая от ветра волнам,
и наоборот, определяется как
оо
dtE = ] TdtiVdri,
о
(здесь энергия Е нормирована на плотность воздуха).
-**0 -950 -200 450 400 -50 0 50 ЮО /50 200
Рис. 5.4. Распределение пот] волновых напряжений Рейнольдса при
значении и0:
/ = 0,3; 11 = (—1, 0); /// = (-2, 4); IV = (—2. 6): V = (—4, 5)
Остальные параметры те же, что и на рис. 5.3
Итак, при V — с <С 0 поток энергии положителен, т. е. энергия I
передается волнами ветру — волны при малых скоростях ветра
будут постепенно затухать и останутся гармоники, для которых ';'
V — с ^ 0, что соответствует эффекту скачка фаз при V — с.
При увеличении V происходит перестройка поля напряжений
Рейнольдса: возникают изменения в области, прилегающей к
волнам. Здесь постепенно величина т приобретает отрицательные зна- |
чения (см. случай //, /// на рис. 5.3), обязанные своим возникно- '.
вением действию вязкости в ламинарном подслое и его окрестности, "
с постепенным увеличением относительных максимумов как поло- -
жительной, так и отрицательной части. При возрастаний V все
большая часть нижнего воздушного потока за счет действия вязких сил .«i
возмущается таким образом, что область с отрицательными т
расширяется, величины их растут, а воздействие положительных зна- •
чений т уменьшается. Таким образом, с возрастанием V происходит
136
постепенное уменьшение потока энергии от волн к ветру (г\
направлена от поверхности раздела вверх).
Ветер изменяется с максимальной скоростью в нижней части,
примыкающей к поверхности волн (d^V — максимальна при малых
т] и во много раз превосходит его значения для больших т}). Поэтому
наибольший вклад в процесс передачи энергии вносят напряжения
Рейнольдса вблизи поверхности раздела.
Наконец, при дальнейшем увеличении V наступает момент,
когда поток энергии от волн к ветру исчезает, он изменяет знак,
происходит «накачка» энергии от
среднего поля ветра к волнам
(случаи IV, V на рис. 5.3). Отрицательные
напряжения Рейнольдса в нижней
части в таком случае становятся
существенными. Как видно из рисунка,
даже интегральная во всей области
величина их меньше нуля, а если
учесть, что именно в нижней части
значение дл7 велико, то ясно, что
тогда д(Е <Г 0, т. е. поток энергии
существует от ветра к волнам. Как
показывают расчеты, дальнейшее
увеличение V приводит к
монотонному возрастанию и dtE.
На рис. 5.5 представлена
зависимость мощности, передаваемой ветром
волнам, от v0 = —. Параметры волн
те же, что и на рис. 5.3 и 5.4.
При малых скоростях
действительно происходит передача
энергии от волн ветру, а при возрастании скорости ветра процесс идет
в обратном направлении — волны получают энергию, развиваясь
(рис. 5.5). Монотонное возрастание энергии, передаваемой ветром
волнам, подтверждается экспериментами, выполненными Шемдиным
[1811, а также косвенно на основе данных о зависимости параметра
сопротивления от скорости трения в воздухе, приведенных,
например, в работе [189]. .
Когда ветер и волны направлены навстречу друг другу, поток
энергии возрастает быстрее, что физически естественно, так как
в этом случае относительная их скорость больше.
Таким образом, сравнение рис. 5.3 и 5.4, а также графиков на
рис. 5.5 показывает, что при одинаковом изменении величины V
—*• —*
перестройка динамического поля в случаях, когда V и с совпадают
по направлению и когда они противоположны, происходит
существенно по-разному. Так как величина потока энергии в обоих
случаях различна при одинаковых значениях величины V, то раз-
Рис. 5.5. Зависимость мощности,
передаваемой ветром волнам за
счет работы волновых
напряжений, от величины и
относительного направления скорости
ветра.
Направления ветра и волн: I -*-
совпадают, // — противоположны
137
витие и затухание волн под действием ветра должны происходить
с различными скоростями — второй процесс происходит быстрее.
Следует подчеркнуть, однако, что поскольку описанные
особенности изучались на основе линейной теории, т. е. в уравнениях
(5.2.3) член П полагался равным нулю и не учитывалось изменения
средней скорости ветра за счет действия индуцированного потока,
то эти вопросы необходимо исследовать, используя более строгую
нелинейную теорию.
§ 5.5. Причины наблюдаемых отклонений ветра
от логарифмического режима
Одним из наиболее важных эффектов, вносимых волнами в
прилегающий слой атмосферы, является отклонение ветра от
логарифмического распределения [42, 192]. Нарушение логарифмического
режима у границы раздела существенно определяет потоки импульса
и энергии, передаваемые от ветра к волнам.
По оценкам Ефимова [42] (см. рис. 1.10), вклад волновых
возмущений в изменение градиента средней скорости может даже
превосходить (!) градиенты, обусловленные средним полем ветра. Это
должно изменять потоки импульса и энергии от ветра к волнам
более чем в два раза. Вопрос принципиален и поэтому необходимо
исследовать все возможные причины, вызывающие искажения
профиля ветра, и выполнить оценки действительного вклада волн в
процесс возмущения среднего поля ветра.
Ефимов и Ли объясняют отклонение скорости ветра от
логарифмического режима возникновением вторичных течений,
индуцируемых волновыми напряжениями Рейнольдса, которые возникают при
возмущениях воздушного потока волнами. В действительности при
экспериментальном исследовании поля скорости, по-видимому,
существует несколько причин, которые дают эффект отклонения от
логарифмического распределения.
Влияние индуцированной скорости. В § 5.3 показано, что при
возмущении слоя воздуха волновой поверхностью возникает
стационарный пограничный слой, примыкающий к поверхности, с
максимальными скоростями в ее окрестности. Таким образом,
индуцированное течение в слое Стокса является первой возможной
причиной отклонения среднего профиля скорости от его невозмущенного
распределения. Однако этот эффект относительно мал, так как
имеет порядок О (k • k Re), где одновременно k <^ 1 и k Re <£ 1.
В реальных условиях действует турбулентная вязкость. Поэтому
необходимо провести анализ для такого случая.
В § 1 второй главы получены общие уравнения (2.1.8),
описывающие скорости, индуцированные волнами. Записывая их
для i = 1 в криволинейной системе координат {£, ц) и учитывая,
что w s 0, а также используя уравнение неразрывности, получаем
для данного случая такое уравнение индуцированного движения:
Re-^r, [v (г)) дф\ = — дпт. (5.5.1)
138
Таким образом, средняя скорость, индуцируемая
поверхностными волнами, определяется из (5.5.1).
Интегрируя (5.5.1) один раз, получаем
Re~lv (r\) дци + т= CV (5.5.2)
В левой части этого уравнения стоит полное напряжение,
обусловленное волнами. Оно состоит из суммы волновых напряжений
и напряжений сдвига средней скорости, возбуждаемой этими
напряжениями *. Итак, суммарное напряжение, обусловленное
волновыми возмущениями, не зависит от координаты т). Поскольку на
бесконечности волновых возмущений нет, то можно предположить,
что и левая часть уравнения (5.5.2) обращается в нуль **. Поэтому
Сг а 0, следовательно, удовлетворяя условию прилипания при
т) = 0, получим
и = с — Re J [т (tO/v (r|)] dT). (5.5.3)
о
В неподвижной системе Декарта скорость и определяется лишь
вторым слагаемым правой части, так как фазовая скорость волн с
в уравнение (5.5.3) входит за счет того, что система координат
движется с ее скоростью.
На рис. 5.6 представлены результаты расчетов индуцированной
скорости при различных параметрах волн и средней скорости
ветра, выполненных на основе задачи (5.2.3)—(5.2.6), (5.5.3).
Результаты пересчитаны и представлены в неподвижной системе
координат Декарта, так как измерения ведутся именно в этой системе.
Величина и направление индуцированных скоростей при
фиксированных параметрах волн зависят от скорости ветра и относи-
—> —*
тельной ориентации V и с. Оказывается, что генерируемые скорости
в ламинарном случае больше, чем в турбулентном. Кроме того,
они изменяются с изменением параметров волн; это происходит
аналогично тому, что наблюдалось при изучении генерации среднего
потока волнами у дна.
Из анализа результатов расчета и графиков на рис. 5.6 следует,
что действительно индуцированная волновыми напряжениями Рей-
нольдса средняя скорость резко изменяется в окрестности
поверхности раздела атмосфера — океан. Это обусловливает
существование значительных вертикальных градиентов. Однако при реальных
параметрах волн в случаях одинакового и противоположного на-
—> —* _
правлений V и с величины и достаточно малы, и их существованием
* Для того чтобы получить общее напряжение в воздухе, к левой части
выражения (5.5.2) необходимо еще добавить напряжение сдвига среднего
невозмущенного ветра v (vfrd„V.
** Это соответствует физическому процессу, при котором осредненный
волновой импульс передается среднему движению, создавая дополнительные
напряжения сдвига. В общем случае Сг может быть отлично от нуля, но в таком случае
нет разумных физических соображений для его* определения. Поэтому кажется
естественным требование Сг= 0.
139
нельзя объяснить экспериментально наблюдаемые величины
отклонения от логарифмического профиля [42, 192]. Поэтому возникает
необходимость выявить другие возможные причины этого эффекта.
Влияние поверхностного дрейфа. Рассмотрим третью причину
нарушения логарифмического режима. Под действием ветра на
поверхности океана развиваются не только волны, но и стационарный
дрейф Экмана. By [195] обобщила собственные исследования, а
также исследования других авторов и сделала вывод, что скорость
поверхностного дрейфа, генерируемого касательным напряжением
ветра, равна %> = 0,53и*, где v* — скорость трения в воздухе.
Так как [181] V^ = (15-
+ 25) 0*, где Vco — скорость
ветра на расстоянии
порядка 20 м от поверхности
раздела, то при скоростях
ветра Voo = Ю м/с
получаем vgo да 0,2 м/с.
Рис. 5.6. Зависимость
стационарной скорости,
индуцированной волнами, от величины и
направления скорости ветра;
К = КГ3
Параметры те же, что и на рис. 5.3
и 5.4
Таким образом, частицы воздуха, примыкающие к поверхности
раздела, кроме волнового движения, движутся со средней скоростью
дрейфового течения. В результате в сдвиговое движение вовлекается
некоторый слой воздуха в окрестности поверхности раздела. Как
следствие этого появится отклонение скорости ветра от
логарифмического профиля и возникнет изменение градиентов среднего ветра
на границе раздела, которое в силу вязкости воздушного потока
будет оказывать влияние до некоторой высоты г|. Этот эффект
может оказаться важным, так как в окрестности г| = 0 сами скорости
ветра относительно поверхности малы — меньше vgo.
Итак, реальное распределение ветра с учетом сдвигового потока,
обусловленного поверхностным дрейфом в море, должно иметь вид
^ = ^4 + 1)-Мл),
(5.5.4)
где vg (ц) — сдвиговый поток Экмана в воздухе, обусловленный
течением в океане, генерируемым ветром.
По-видимому, в частности, этим можно объяснить наблюдаемое
резкое отклонение ветра от логарифмического закона в
окрестности границы раздела, выявленное, например, Дэвисом [ИЗ] и
Шемдиным [181]. Вклад этого механизма может быть более
существен, чем предыдущих.
Эффект обтекания. Еще одной причиной, определяющей
наблюдаемое отклонение среднего ветра от логарифмики, является вклад
НО
обтекания. Он заключается в следующем. Ветер обтекает
поверхность волн, и линии тока частиц воздуха будут в
значительной степени повторять профиль волн. Поэтому если бы не
действовали другие причины отклонения скорости ветра от
логарифмического распределения, то такое распределение для каждой фазы
волны выполнялось бы в системе координат {£, т)}, т. е. в
зависимости от координаты ц = z — гег~г cos x.
Поскольку все изменения выполняются посредством
закрепленных датчиков и сравнение распределения скорости ветра с
логарифмическим законом проводится не в подвижной системе координат
{£, т]}, а в прямоугольной {х, г}, то проверяется распределение не
всего вектора скорости, которое имеет логарифмический закон в
системе {£, г]}, а лишь его проекции на ось х. Если даже закон
распределения в каждый момент времени (для каждой фазы волн)
выполняется для скорости ветра как функции координаты т), то
измерения покажут отклонение от него. Причем заметное отклонение
будет фиксироваться именно в нижней части, так как при
возрастании т] координаты {£, ц] выпрямляются и разница исчезает.
Наблюдения фиксируют наибольшее отклонение от логарифмического
распределения в нижней части, где имеет место описанный эффект.
Важно подчеркнуть, что такая регистрация отклонения является
не физическим, а методическим эффектом. Он не ответственен за
динамическое взаимодействие ветра и волн и не вызывает
дополнительного потока импульса и энергии через границу раздела. Поэтому
при интерпретации данных это необходимо учитывать.
Рассмотренный эффект параллельно приводит к регистрации фиктивных
флуктуации горизонтальной скорости с частотой, равной двойной частоте
волн. В самом деле, так как линия тока вблизи поверхности раздела
повторяет профиль волны, то направление вектора скорости частиц
воздуха, совпадающее с касательной к линии тока, испытывает
периодические колебания в вертикальной плоскости с удвоенной
частотой волн. Значит, в каждый момент времени датчик фиксирует
горизонтальную составляющую, равную и = | V | cos р (ф), где Р (<р) —
угол между осью х и касательной к линии тока (т. е. между х и V),
являющийся функцией фазы волн. Такие флуктуации наблюдаются
и трактуются как нелинейность. Нелинейный вклад на двойных час-
стотах существует, поэтому тем важнее при интерпретации данных
исключать указанный выше эффект.
Эффект осреднения. Имеется еще один важный момент. При
существовании волнения мгновенное расстояние датчика скорости от
поверхности волн изменяется в зависимости от фазы волн.
Предположим, что скорость соответствует логарифмическому
распределению. Тогда в каждый момент времени (для данной фазы
волн) датчик измерит значение V, равное
141
но не значение, соответствующее расстоянию от невозмущенного
уровня т\. Если возвышение поверхности есть £ = £ (*), то среднее
за период значение скорости для любой высоты не равно значению
скорости, вычисленному по (5.5.5) при х\ = т). Следовательно, если
даже распределение скорости от подстилающей поверхности (от
поверхности волн) и до больших высот подчиняется логарифмиче-
Таблица 5.1. Отклонение горизонтальной скорости ветра от
логарифмического закона за счет вертикального смещения датчика
относительно поверхности волн
г
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
AV
—0,84
—0,29
—0,16
—0,11
—0,08
г
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
AV
—0 03
—0,03
—0,03
—0,02
—0,01
г
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
ДУ
—0,07
—0,06
—0,05
—0,04
—0,04
г
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
AV
—0,02
—0,02
—0,01
—0,01
0,01
скому закону, то в силу того, что датчик закреплен (т. е., напротив,
совершает периодические вертикальные движения относительно
системы координат, связанной с волнами), он будет измерять
фиктивное отклонение от логарифмики. Это снова методический, а не
физический эффект. Он не определяет динамики взаимодействия, т. е.
обмен импульсом и энергией, и его необходимо также исключать
при анализе данных измерений скорости ветра над волнами, тем
более, что такой «вклад» не меньше, чем скорость, индуцированная
волновыми напряжениями.
Чтобы проиллюстрировать возможные ошибки, в табл. 5.1
приведены результаты расчета разности осредненных за период
мгновенных величин скорости ветра и значений скорости в
соответствующих точках, высота которых отсчитывается от невозмущенного
уровня. Из таблицы видно, что наиболее значительный «вклад»
происходит непосредственно над волнами (брались лишь точки,
находящиеся выше вершины волны). В таблице приведены расчеты для
параметров: г]0 = 1(Г"5; и0 = 1; е = 0,1, а остальные параметры
соответствуют приведенным на рис. 5.3.
Подводя итог, можно сделать вывод о том, что взаимодействие
ветра и волн приводит к генерации стационарных вторичных
потоков, в результате которых ветер будет иметь небольшие отклонения
от логарифмического профиля. Однако существуют факторы,
которые могут внести значительные поправки в результаты анализа
экспериментальных данных и наблюдений. Поэтому, чтобы решить
вопрос о действительном вкладе волн в эффект отклонения скорости
ветра от автомодельного логарифмического режима,
экспериментальные данные необходимо отфильтровать с учетом указанных
методических эффектов.
Глава 6
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ТЕПЛОВЫХ ВОЛН
В предыдущих главах показано, что под действием
гравитационных волн возникают стационарные пограничные слои,
являющиеся следствием нелинейности и завихренности волнового поля
скорости. В этих слоях происходит стационарный перенос импульса,
масс и тепла.
В атмосфере и океане, кроме гравитационных, существует
широкий класс тепловых волн. Хорошо известно, что температуры
поверхностного слоя океана и воздуха над ним имеют почти
гармонический суточный ход. Если учесть, что в результате вращения
Земли тепловой фронт распространяется, то его движение можно
рассматривать как прогрессивную волну с периодом, равным
суткам! Вследствие того что скорость диффузии тепла в вертикальном
направлении меньше скорости распространения самой волны, будет
возникать фазовый сдвиг скоростей по вертикали. Появляется
механизм, порождающий корреляции скорости, т. е. напряжения
Рейнольдса, которые должны продуцировать стационарный поток.
Диффузия тепла и вихря в общем случае происходит с различными
скоростями, поэтому возникают корреляции между флуктуациями
скорости и температуры, что должно также приводить к
направленному переносу тепла.
§ 6.1. Математическая модель. Общий анализ
Рассмотрим индуцирование не только флуктуирующего, но и
направленного осредненного переноса масс и тепла в море или ат>
мосфере распространяющимися термическими волнами.
Пусть плоский турбулентный поток жидкости глубины //, для
которого справедлива аппроксимация Буссинеска, снизу ограничен
твердой, шероховатой горизонтальной поверхностью. Движение
индуцируется термической волной, распространяющейся либо на
свободной поверхности, либо по всей толще жидкости со скоростью V
в отрицательном направлении горизонтальной оси. Вертикальная
ось совпадает с направлением гравитационного ускорения. На
параметры тепловой волны пока никаких ограничений не
накладывается.
143
В природных условиях необходимо учитывать, что движение
имеет турбулентный характер. Поэтому будем исходить из
уравнений Рейнольдса
дщ дщ г 1 др . д I дщ ^ ' ' О
ы
дип.
- = о,
дха
дЪ
dt
<
<Ъ'ш> = Ъ~, /=1,2, 3.
В них щ = {и, О, w) — скорость с компонентами вдоль осей
координат Декарта xt = {*, 0, z) в горизонтальном и вертикальном
направлениях; Gt = {0, 0,— bgz) — сила плавучести; S —
коэффициент термического расширения \ц\ \л — кинематические
коэффициенты турбулентной и молекулярной вязкости; и, —
коэффициенты турбулентной и молекулярной теплопроводности; р —
средняя плотность; р — отклонение давления от гидростатического;
Ф — температура; Сц—турбулентная энергия, принимаемая
постоянной, так как турбулентность считается развитой и изотропной; а —
индекс суммирования.
Введем функцию тока
{u,a»}-{-J-d,Y, —~kHdxw]
и следующие преобразования:
t* = со-1*, х* = к-хх, г* = Hzy Ъ* = 70О,
где звездочка относится к размерным величинам, а со, k и Т0
обозначают частоту, волновое число и амплитуду температурной
волны. Тогда уравнения (6.1.1) можно переписать в виде
№-Т$^ (6.1.2)
д^-^1уд1^ + д1щ^^^у (6.1.3)
Здесь ААТ = Й; Aft = h2d2xx + dL> vx = (v13 + \i)\ % =* (v33 + fi);
n = v3/vt; h = kH; у = ус3к2/хг, а Рг = vx/x, S = a-1 = <uH2/vlt
F = g6T0khl(D2 — числа Прандтля, Струхаля и Фруда
соответственно. Параметр п = 1 соответствует случаю ламинарного движения
(молекулярной вязкости), п = 0 описывает случай изотропной раз-
Н4
витой турбулентности. Таким образом, полуэмпирическая теория,
когда коэффициент турбулентного обмена полагается постоянным,
приводит к изменению характера уравнения относительно вихря.
Так как предполагается возможность индуцирования тепловыми
волнами не только флуктуирующего, но и стационарного потока,
решение, как и прежде, представим в виде суммы стационарной и
волновой частей. Тогда в установившемся случае получаются
такие уравнения для средних величин:
adlzii = дг (uw),
— (6Л.4)
aPr~ldtz$ = d2(w$).
Итак, если тепловые волны генерируют стационарный поток
и некоторое стационарное распределение температуры с глубиной,
то эти поля определяются нелинейным характером флуктуирующих
полей.
При получении аналитических решений для определения
флуктуирующих с частотой волн величин, входящих в правые части
уравнений (6.1.4), будем исходить из линеаризованных уравнений
(6.1.2), (6.1.3)
дА& - * №dxxxxW + 2 (2п - l)h*d4XX2ZV + &„V] = - РдхЪ9 (6Л .5)
dfii = -£- 1уд1Л + д\\Ь\ = 0. (6.1.6)
Основанием тому, что квадратичными членами, которые могут
обусловить появление заметных средних эффектов, при нахождении
нестационарных величин можно пренебречь, является различие в
самой структуре уравнений, которым они удовлетворяют. В
пределе с малой диффузией флуктуационная часть квадратичного члена
балансируется временным изменением поправок, вносимых флук-
туациями. Средняя часть квадратичного члена, в данном случае
не зависящая от времени, балансируется только диффузионным
членом, связанным со средней скоростью. Если диффузионный член
флуктуирующего поля принимается малым, величина среднего поля
должна быть компенсационно большой. Ясно, что условием
справедливости такого квазилинейного приближения есть | Т | ~ о (1).
Решение уравнения (6.1.6) может быть найдено независимо от
(6.1.5). Вычислим поле скорости для произвольной правой части
(6.1.5), т. е. для произвольного температурного поля, затем
рассмотрим конкретные случаи тепловых волн.
Динамическими условиями на свободной поверхности являются
отсутствие касательных напряжений и кинематическое соотношение,
а динамическими условиями на дне — условия прилипания
f (0) = d2gzW (0) = W (1) = d2W (1) = 0, (6.1.7)
ага(0) = м(1) = 0.
Ю 1-1411
146
Определение флуктуирующего и стационарного полей скорости.
Решение для флуктуирующих величин может быть представлено
в виде
{Y, 0} = Re {[Ф (z), Э (z)]} е«х+*К
Тогда (6.1.4), (6.1.5), (6.1.7), переписанные в терминах амплитуд
Фурье, выражаются как
ia [^? — 2(2«— 1) Л»д1ф] + Л4Ф + д2ггФ — /г2Ф = N (z), (6.1.8)
0<z<l,
ф (0) = ЙЛГ(0) = Ф (1) = д2Ф(1) - 0;
д22гй = ^дг{1т[Ф(г)д2Ф% 0<г<1, (6.1.9)
дгй(0) = й(1) = 0,
где N (г) = FQ (z).
Положим а <^ 1, тогда возможно разложение решения (6.1.8)
по степени а
ф = 2о/\ (6 л. ю)
/«о
Требование а <£ 1 физически означает следующее. Так как
где X — длина волны, то для волн, длина которых сравнима с
глубиной бассейна, так что h ~ О (1), разложение (6.1.10) справедливо
лишь для достаточно больших чисел Рейнольдса. Если длины волн
превосходят глубину бассейна, то разложение (6.1.10) справедливо
для широкого диапазона значений Re.
Подставляя (6.1.10) в (6.1.8) и собирая коэффициенты при
одинаковых степенях а, имеем для первых двух приближений
&Ф/-Л"Ф/ = (1-/)^(2), С = 0,1). (6.1.11)
Таким образом, разложение нерегулярно, существуют пограничные
слои, поэтому решение находим методом асимптотических
сращиваемых разложений. Общее решение уравнений (6.1.11) имеет такой
вид:
г
Ф, = Afihz + Bje-hz + (1 — /) J h-1 sh [h (z — X)] N (X) dX. (6.1.12)
о
Оно должно сращиваться с пока неизвестными решениями в
поверхностном и придонном пограничных слоях.
Внутренняя переменная (выбираемая из соображений, что
члены, обусловливающие вязкость и конвекцию, должны быть одного
146
порядка) и разложение функции Ф в поверхностном слое есть
со
z = cr-1/^, 0 < z < + оо, Ф = aVi £ a/%,
/=о
а уравнение первых двух приближений —
(JL^iJL\q ijN{0h (/ = o,i). (6.1.13)
При получении уравнений (6.1.13) правая часть (6.1.8) была
разложена в ряд Тэйлора по степени z в окрестности z = 0.
Граничные условия при z = 0 для первых двух приближений
записываются в виде
?/(0) = а27^/(0) = о, (/ = о; 1). (6114)
Решения уравнений (6.1.13), ограниченные при z ->- оо и
удовлетворяющие условиям (6.1.14), имеют вид
9/^С;г-/{^(0)[1 + ^г2-ехр(-^г)]}, (/ = 0; 1).
(6.1.15)
Внутренняя переменная в придонном пограничном слое и
соответствующее разложение записываются как
z* = (z — l)aV2, _ oo<z*<0, ф = а1/*2 fh
/=о
а уравнения первых двух приближений есть
[ik-*-£*■)*'~--ilN{l)' <i=0:1>- (6-ые)
Здесь функция N (z) снова разложена в ряд в окрестности z* = 1.
Граничные условия на дне для // приобретают такой вид:
М0) = д«-М0) = 0. (6.1.17)
Решения уравнений (6.1.16), ограниченные при Z* -> — оо и
удовлетворяющие (6.1.17), выражаются таким образом:
/y=D,[l + -^2*-exp(^±i-2*)] + /W(l)^-, (/ = 0; 1).
(6.1.18)
Разлагая в ряд по степеням z в окрестностях z = 0; 1 решения
внешней области (6.1.12) и введя подходящие промежуточные
пределы для верхнего пограничного слоя как
>0, т|(а)-*0, (ц(а)/Уа)^ + оо,
~* Л («)
10* 147
так что z = гц (а)/]/"а -* оо, z = г^ц (а) -> 0 при фиксированном
2т, и е -> 0, а для нижнего пограничного слоя как
Zi = f^f<0, 6(«)-*0f 6(«)^-*-оо,
так что
z=l+g(a)"zfe-^ 1, г»==Ег6/Ка-^—оо
при фиксированном Z| иа-^О, после сращивания получаем
следующие решения по областям:
,i_J^L(it-«T|r)[i + J^-A-ep(^)].
ь--^-яг(*-*'-юг)г"-и'(0)[1 + :?—
-^(--^-z)]. (6.1.19)
ь " -Йг(«- *тп-)[« + -W-"-«p(-W-«*)]+
+ лг(1)-^-,
где
1 1
Л1= J ^О-Ц fr(?i)d?t, tf = Jchft(l— X)tf(A.)db.
о о
На основе соотношений (6Л. 19) можно найти составное
равномерно-пригодное во всей области решение по двум приближениям
0 = _M-g^ + f **(«-*) N{k)dK +
о
+ ^TT(«-*-Br)[-Sf~«p(-W-7Jr)] + °W-
(6.1.20)
Таким образом, (6.1.20) описывает флуктуирующее движение
для произвольного распределения температуры (плотности) по
глубине. Выражение для средней скорости, удовлетворяющее задаче
148
(6.1.9), есть
2
и=-^- jlm(0)(z)d2(l>*)dz. (6.1.21) '
Итак, полученные соотношения (6.1.20) (6.1.21) позволяет для
произвольного изменения плотности вычислить флуктуирующее и
стационарное поля скоростей, волновые напряжения Рейнольдса,
фазовый сдвиг между компонентами скоростей и т. д.
§ 6.2. Квазилинейное движение
Рассмотрим возбуждение стационарного потока тепловыми
волнами, когда движение квазилинейно. Основываясь на общих
результатах, исследуем случаи тепловых волн, распространяющихся
в атмосфере, в открытом море и море, покрытом льдом.
Волна, распространяющаяся с постоянной фазой по глубине.
Пусть движение возбуждается температурной волной вида ft =
= Re [exp {/ (х + /)}]. Такое распределение имеет место в
атмосфере, так как солнечная радиация пронизывает атмосферу почти
мгновенно и сдвигом ее фазы с высотой можно пренебречь. В данном
случае длина температурных волн много больше толщины слоя,
охваченного движением, так что h <£ 1; для простоты анализа
положим h = 0. В таком случае
N(X) = K=*F, M=±F. (6.2.1)
Из соотношений (6.1.19) следует, что при этом для низшего
порядка аппроксимации в верхнем пограничном слое и в основной области
вертикальная скорость перемещающейся конвективной ячейки
запаздывает по фазе на я/2 в зависимости от изменений
температурного поля. В нижнем пограничном слое, т. е. где существенно влияет
трение, сдвиг фаз отличается от я/2 и зависит от z. Таким образом,
конвективные ячейки флуктуационною поля в этой области
деформированы. Поле волновых скоростей порядка О (]/ а) отстает на я/4
от основного течения, так что общий флуктуационный поток
запаздывает по фазе от возмущающей волны, причем разность фаз
изменяется с высотой, что, естественно, вызовет стационарный поток
импульса.
Функция тока, согласно (6.1.20) и (6.2.1), имеет следующий вид:
ф_4-{(2-1)2 + ^^[2-ехр(Л±1^-)]}. (6.2.2,.
Следовательно, в окрестности z = V2 существует область
максимальных вертикальных волновых скоростей, т. е. под действием
тепловых возмущений возникают внутренние волны с амплитудой
порядка О (F).
14$
Подставляя соотношения (6.2.2) в (6.1.21), получаем выражения
для средней скорости
f2 / Г 2— 1 . 2—1 , Л z—l\ 2—11 У2а\
U = -g- 11 — —==- Sin _, + ( 1 т=- I C0S у— К ~
8 \ L /2а /2а \ /2а / /2а J J
-^Tl' + K' + TrJ-TS"*
+ (1-75Г-)~ТВ-](тЕ-1)''^}- (6'2-3)
Из формулы (6.2.3) следует, что условие справедливости
квазилинейного приближения изучаемой проблемы есть требование
F ~ о (1), что соответствует оценкам, полученным в § 6.1, и
стационарный перенос может индуцироваться с достаточно большими
скоростями, если j/a ~ о (F). Кроме того, в зависимости от
определяющих параметров принципиально возможен поток как в
направлении распространения теплового источника, так и в
противоположном ему.
Таким образом, корреляции вертикальной флуктуирующей
скорости с флуктуирующей горизонтальной скоростью такого же знака
приводят к возникновению волновых напряжений Рейнольдса,
продуцирующих перенос положительного горизонтального момента
количества движения в направлении от границ жидкостей во
внутреннюю область, который поддерживает средний поток. Этим
объясняются наклон конвективных ячеек и возможность максимальных
значений средних скоростей во внутренней области.
Волнаj распространяющаяся в море, покрытом льдом. Если
движение возбуждается тепловой волной в море, покрытом льдом, то
на верхней границе должно быть условие прилипания, так что
требования (6.1.14) заменяются условиями
?/(0) = ^у(0) = 0, (6.2.4)
а (6.1.7) — условиями
и(0)=и(1) = 0. (6.2.5)
Уравнения движения (6.1.11), (6.1.13), (6.1.16) и граничные условия
(6.1.17) остаются прежними.
Рассмотрим случай h -> 0. Анализ, аналогичный тому, который
выполнен в предыдущем параграфе при получении общего решения
для функции Ф, дает следующее выражение для функции тока
флуктуирующего поля при произвольном распределении
температуры:
150
+ A^- (К - 2М) zj + О (а), (6.2.6)
в котором М = j (1 — X) N (Я) dX, К = J N (X) dX.
о о
Тогда решение уравнения (6.1.9) с граничными условиями (6.2.5)
и правой частью, определяемой (6.2.6), имеет вид
и =■
J=- f [(2M — К)Х — М](г — X)N(X)dX~
2а [$
2K2S
— z§l(2M — K)b — M](l—%)N(X)dk\.
В частном случае, когда температура описывается как
t> = Re {exp [i (х + t)]} получаем *
т. е. условие справедливости квазилинейного приближения, как и
прежде, приводится к требованию F ~ О (1). Снова при У а ~
~ О (F) возможно стационарное движение с большими скоростями
и существует сдвиг фаз между возмущением температуры и
флуктуирующим полем скорости. Скорости генерируемого,
стационарного движения, как и прежде, пропорциональны Р.
Движение, индуцируемое волной, распространяющейся на
поверхности. Этот случай может иметь приложение к изучению
циркуляции, возбуждаемой в море температурными волнами атмосферы, а
также к исследованию циркуляции атмосферы, возбуждаемой
температурными волнами, распространяющимися в вышележащих
слоях.
Для нахождения функции N (z), входящей в соотношение
(6.1.20), необходимо найти решение уравнения (6.1.6) при
следующих граничных условиях:
О (0) - Re И*+<>], dfi (1) = 0. (6.2.8)
В терминах амплитуд Фурье задача определения
флуктуирующего температурного поля, задача (6.1.6) и (6.2.8) имеют такой вид:
d22ZQ — (Y + iPr/a)6=0, 0<z<l.
e(0)=i, d2e(i) = o. (6,2,9)
Решение ее выражается следующим образом:
в = ch Qz — th Qsh Qz, Q2 = у + iPr/a.
* В этом частном случае выражение (6.2.7) совпадает с соответствующим
выражением, приведенным в работе [128], если записать их в одной системе
координат.
151
Имея в виду, что N = F@ (z), из (6.1.20), (6.1.21) и последней
формулы получаются выражения для флуктуирующего и
стационарного полей скорости. Эти соотношения очень громоздки, поэтому
здесь непосредственно представлены некоторые результаты,
полученные на их основе.
Как и в предыдущих случаях, флуктуирующие скорости
оказываются пропорциональными F, а средние — F2. Кроме того, средняя
скорость возрастает с увеличением параметра Струхаля как Sv*;
от параметра h поток практически не зависит, когда h мал; при к
порядка единицы имеется некоторое уменьшение скорости при уве-
•8
' 1
-6
1
-i -2 i
• 1
tf^fl*
тяг,
9 2 4
Ч \1 1 —
li-uf
mm
Рис. 6.1. Распределение по
глубине волновых напряжений Рей-
нольдса т, индуцированных
тепловой волной, при 5= 20 и Рг= 1.
F равны: / — 0,75, // — 0,4
Рис. 6.2. Распределение по глубине
средних скоростей и, генерируемых
тепловой волной.
Параметры те же, что и на рис. 6.1
личении А. Наиболее интересная особенность существует в
зависимости волновых напряжений Рейнольдса т = — (uw)
(характеризующих степень нелинейности и завихренности волнового поля по
глубине и продуцирующих стационарный перенос) от параметров
F, S, Рг. В зависимости от них напряжения Рейнольдса имеют
различное распределение по z. В некоторых случаях интегральное на-
1
пряжение т* = — \ (uw) dz может иметь положительное, а в некото-
0
рых — отрицательное и нулевое значения. Как следствие этого пол-
1
ный по глубине расход Q = \ udz может быть меньше и больше
о
ноля, а также обращаться в ноль. Распределение самой средней
скорости по глубине носит при этом различный характер.
На рис. 6.1 приведены примеры такой зависимости. При
заданных Рг и 5 в первом случае (F = 0,75) т* > 0, а во втором (F = 0,4)
т* < 0. Причем само распределение т по z также различно. В
первом случае область максимальных значений величины т
располагается в интервале 0^2^ 1/2, во втором, напротив,— в
интервале 1/2^z^l. Средние скорости, соответствующие этим
случаям, представлены на рис. 6.2. Как для F = 0,75, так и для F =
152
= 0,4 область максимальных значений располагается в интервале
0^2^ 1/2. Но если в первом случае в этой области поток
совпадает с направлением распространения волны, то во втором — он
противоположен. Как следствие, в первом случае Q < 0, а во
втором Q > 0.
Таким образом, в зависимости от параметров тепловых волн
для данной общей глубины бассейна ими может индуцироваться
стационарный поток в направлении распространения волн,
противоположно этому направлению, а для некоторых значений F
интегрального переноса нет.
§ 6.3. Нелинейное движение,
индуцированное тепловыми волнами
Квазилинейная теория показывает, что тепловые волны могут
возбуждать значительные осредненные потоки количества движения,
которые в зависимости от параметров волн и области, где
происходит возбуждение движения, могут иметь различные знаки или
этих потоков может не быть. Вопрос принципиален, поскольку в
таком случае изменяется соответственно знак интегрального
переноса тепла волнами.
Предыдущий квазилинейный анализ, демонстрируя возможность
больших скоростей переноса (особенно в атмосфере), сам при этом
оказывается недостаточно обоснованным, так как в этом случае
движение существенно нелинейно. Поэтому достаточно строгое
решение задачи может быть выполнено лишь численно.
Исследуем возможность возникновения среднего переноса под
действием волнового теплового источника в случаях ламинарного
и турбулентного движений, когда полностью учитываются
нелинейные эффекты [19]. Случай ламинарного движения для однородной
средней плотности рассматривался Янгом, Шубертом, Торрансе
[198].
Для изучения нелинейной реакции среды на тепловое
возмущение необходимо получить решение следующей задачи:
dtQ + дх (QdtW) — дг (Одх1Г) — aA^Q =
= a4/i2 (n - 1) дххххУ - Fdx$t (6.3.1)
dfi + дх (ОЗД) - дг (ЪдхУ) - (уд2хх + д\г) О = 0, (6.3.2)
ДАТ = Q, (6.3.3)
V(0,0 = Q(0. ЛТ(0, 0 = T(1, 0=^(1,0=0, (6.3.4)
. * (0, *) = cos (х + 0, 0(1, 0 =0. (6.3.5)
Здесь Q (t) — неизвестная функция времени, которая должна
отыскиваться в процессе решения. В самом деле, величина Т (1, t) —
1
^¥ (0, 0 = i "dz определяет интегральный по глубине поток, а он
о
153
в общем случае отличен от нуля, поэтому нельзя одновременно
приравнять нулю *¥ (О, t) и¥(1, t). Таким образом, полагая, согласно
условию прилипания, функцию тока на твердой границе равной
нулю W (1, t) = О, мы должны определить функцию W (0, t) = Q (t)
в процессе решения задачи как полный поток через вертикаль (до
решения задачи интегральный поток, т. е. W (0, t) = Q (t), нам
неизвестен). Решение находилось численно в прямоугольнике О^х^
< 2л, 0 < z < 1 с z = (/ — 1) Az, 1 < i < 50, 1 < / < 100. Для
счета на вертикалях х = 0 и х = 2я область расширялась на один
шаг по х (на одну вертикаль) слева и справа. Это не представляет
затруднений, так как по х все периодично. Всем линейным
производным ставились в соответствие их трехточечные разностные
аналоги, а всем конвективным производным, записанным в
дивергентной форме,— односторонние разности с учетом знака, чтобы
выполнялись законы сохранения. Например,
дх (дхШ) = JL {/ (дяЧ)ц ft., - т <Э,Т>/-1,/ Q*-i./ +
+ (1 -0<W/./a+i./-(l -mXd.Y^ua./}, (6.3.6)
где (6^)1,/= -ejrl(d21¥)i+itj + (дгЧ%/]. Если (д2Ч0 положительны,
то множители т и I равны единице, а если они отрицательны, то
соответствующий множитель равен нулю. Сами жедг\Р представля-
ляются центральными разностями.
Для решения задачи (6.3.1) — (6.3.5) как следствие уже
сформулированных условий (6.3.4) необходимо определить граничные
условия для Q и функцию Q (t). Граничные условия для Q
определяются следующим образом. На свободной поверхности вихрь
задан, так как Q (0) = dzW (0) = 0. Для нахождения Q (1)
разложим W в ряд в окрестности z = 1 и, учитывая (6.3.4), имеем
Q(l)=[Y(l-Az) + d^(l)-^-]-A-,
где V (1 — Az) — значение функции тока на линии,
непосредственно примыкающей к твердой границе. Аппроксимируя дг Q (1)
односторонними разностями, получаем с точностью до второго порядка
значение вихря на границе через его значение и значение функции
тока на линии (1 — Az)
Й W = -ЕГ ^ (1 - Д*2) Y й 0 - Д*)- (6-3-7)
Полный поток продуцируется осредненными нелинейными
эффектами. Следовательно, для подсчета Q (t) в каждый момент
времени можно проинтегрировать уравнение горизонтального
движения по глубине с учетом (6.3.4) и результат осреднить по фазе. Тогда
получаем следующую связь полного потока и вихря:
154
или в разностях
<f+"®=(f>(t)—y-Q(l)9 (6.3.8)
где At — временной интервал.
Численная схема. Процедура решения следующая. Стартуя от
заданных начальных условий (и0, иР, Q0, 4го, ft0), на один
временной интервал At развивается поле температуры как ft'+A/ =
= ft' + At X (конечно-разностная аппроксимация
пространственных производных). Затем, используя найденные значения ft,
продвигается во времени вперед на А/ вихрь. По известному полю вихря
определяется поле W как результат решения уравнения Пуассона
(6.3.3) страничными условиями (6.3.4) и (6.3.8). Эллиптическое
уравнение (6.3.3) решалось методом расщепления и прогонки [69]. По
известным Ч^,/ центральными разностями рассчитывались
внутренние поля uij и wij. Наконец, по (6.3.7) через Qij и Wtj получалось
граничное условие относительно Q для следующего шага по
времени. Это замыкает весь цикл. Решение считалось найденным, когда
выполнялись условие неразрывности и уравнения движения. При
решении эллиптического уравнения (6.3.3) итерации прекращались
после выполнения условия
max | 4f+l> - 4fj |
-^ - — <6= {КГ4-г КГ3},
max|4f+i)|
*./ '
где б выбиралось экспериментально и изменялось в зависимости
от параметров задачи. Экспериментально подбирался и параметр
релаксации в методе расщепления. Он принимался таким, чтобы
его дальнейшее уменьшение не приводило к изменению решения.
Требование устойчивости при интегрировании параболических
уравнений (6.3.1) и (6.3.2) во времени и пространстве накладывает
ограничения на шаг по времени при заданных шагах по
пространству. Это ограничение, определяемое критерием устойчивости по
Рихтмайеру [82], получается следующим образом.
Представим разностные аналоги уравнений (6.3.1), (6.3.2) в виде
Ц\/~* = GjQ/+i,/ + G2QLi,/ + G8Q£/ + G4Q*/+i + G5Q"/-i + Fy
®?tl = Wf i,/ + tf.eELif/ + KMi + KaW.i+i + KMi-i.
Коэффициенты G, К зависят от времени, но постоянны для данного
временного интервала /г.
Условия устойчивости выполняются, если
5 \ Г 5
max
[h |Gml}<l, max{s \Кт\\<1,
\m=\ ) i,j im=l )
которое эквивалентно тому, что Gm ;> О и Кт ^ 0. Для
использовавшейся аппроксимации пространственных производных спра-
155
5
ведливо соотношение £ Gm = J] Km =* 1, которое легко про-
m=l m=l
верить, представив уравнения (6.3.1), (6.3.2) в разностях -с учетом
знака при первых производных. Уравнение (6.3.6) приводит к тому,
что Gm и Кт для т = 1,2, 4, 5 всегда положительны. Коэффициенты
G3 и /С3 могут быть сделаны положительными посредством
наложения ограничения на шаг по времени. Для уравнения переноса
тепла такое ограничение приводит к тому, что
at < [<в.чг - dxwki + ^ + -j^[\
если (d.Y —dxY)f./>Of и
Дт<[тах<|дД|> + тах(^
если (д^ — d,Y)ff/<0.
Критерии для уравнения диффузии вихря имеют несущественное
отличие от приведенных соотношений. Однако их недостаточно
при решении уравнения вихря. Поэтому потребовалось введение
меньшего шага по времени.
Просуммируем вначале результаты квазилинейной теории.
Квазилинейный анализ предсказывает волновые скорости,
пропорциональные F, а скорости среднего потока — пропорциональные F2
независимо от граничных условий, т. е. от конкретного бассейна,
в котором возбуждается движение. Флуктуирующее поле скорости
и средняя скорость зависят от Л, когда оно мало.
Согласно квазилинейной теории, средний поток для данного
z положителен или отрицателен в зависимости от величин 5 и Рг.
Это приводит к существованию критического числа Прандтля для
интегрального по глубине среднего переноса момента количества
движения. Когда S мало, Ргкр не зависит от 5, но когда S становится
больше Ргкр, последнее изменяется пропорционально S~8/a.
Общая зависимость и и Q от S и Рг очень сложна.
Анализ. На рис. 6.3—6.6 приведены распределения функции
тока в изучаемой области и температура, рассчитанные на основе
решения задачи (6.3.1) — (6.3.5). Эти значения числа Прандтля
характерны тем, что для выбранных F = 102 и 5 = 10 в ламинарном
случае между ними лежит критическое число Прандтля. Для
значений Рг < Ргкр интегральный по глубине расход положителен
(направлен против распространения температурной волны)> а для
Рг > Ргкр — он отрицателен. В общем случае Ргкр является
сложной функцией F и 5. При фиксированных 5 и Рг имеется критическое
значение числа F, при котором также изменяется знак Q. Как и в
линейном случае, скорости осредненного по фазе -имения возрастают
почти квадратично в зависимости от F для всех Рг и 5; для всех
значений Рг ~ О (1) возникает неустойчивость. Это относится и
к процессу увеличения S. В случае турбулентного характера движе-
156
Рис. 6.3. Интегральная циркуляция,
возбуждаемая тепловой волной при 5 = 10,
Рг = 0,1, F= 102.
Случай: / — ламинарный, // —
турбулентный
ния границы значений параметров, при которых решение устойчиво,
несколько расширяются. Отличием турбулентного движения от
ламинарного является то, что для всех комбинаций параметров
задачи область максимальных скоростей расширяется, а сам максимум
заглубляется. Величины потоков и волновых напряжений Рей-
нольдса также изменяются.
Конвективные ячейки еще
более искривляются, и
существует несколько большее
отставание по фазе потока от
температурной волны в
пограничных слоях.
Интересной особенностью
циркуляции, возбуждаемой
температурными волнами, как
видно из рис. 6.3 и 6.4,
является то, что в интервале [0,
2я 1 она разбивается на
замкнутые конвективные ячейки.
Причем в окрестностях # =
= 0; 2я и в случаях, когда
средний перенос направлен в
сторону распространения
волны, а также когда он
противоположен, осуществляется
подъем вод; в окрестности х =
= л существует опускание
вод. Эти замкнутые
конвективные ячейки,
перемещающиеся в том или другом
направлении со скоростью,
удовлетворяющей условию
периодичности, охвачены
незамкнутыми в пределах 0 <! х <! 2л
непрерывно переходящими из
одного интервала в другой
изолиниями (изолинии с),
вдоль которых происходит
стационарный перенос.
На рис. 6.5 и 6 6
представлено распределение по
глубине осредненной по фазе
температуры. Величина и распределение ft по глубине, как
и средней скорости, существенно зависят от параметров
задачи. В частности, для фиксированных 5 и Fjipu увеличении
числа Рг также возрастает и средняя температура f}, обусловленная
волновыми возмущениями, если произведение S Рг, определяющее
толщину температурного погранчиного слоя, меньше единицы.
157
Рис. 6.4. Интегральная циркуляция,
возбуждаемая тепловой волной при 5 = 10,
Рг=0,3, F= 102
Случаи: / — ламинарный, // —
турбулентный
Когда SPr становится порядка единицы и больше, Ь перестает
заметно изменяться. Этот эффект объясняется тем, что при больших
5 Рг толщина температурного пограничного слоя очень мала, вне
пограничных слоев флуктуации температуры затухают
экспоненциально, и хотя существует некоторая диффузия тепла во
внутреннюю область, величина (оуО), являющаяся силовым членом в
уравнении (6.1.4), также затухает. Таким образом, как только
температурные пограничные слои стягиваются, член (дой) исчезает, что
в силу уравнения (6.1.4) приводит к исчезновению d2f>. Следователь-
-02 -a/ J щ_
-0.2
0.1 $
Рис. 6.5. Распределение
по глубине средней
температуры Ф для
параметров, приведенных на
рис. 6.3
Рис. 6.6. Распределение
по глубине_средней
температуры ft для
параметров, приведенных на
рис. 6.4
но, согласно условию (6.3.5) исчезает и О. Итак, для данных F
существует число (SPr)m, для которого величины О максимальны.
С глубиной функциональное распределение температуры
оказывается аналогичным в случаях, когда поток положителен и когда
он отрицателен. На рис. 6.5 и 6.6 видно, что для тех же самых
величин F, S, Рг изменение распределения за счет влияния
турбулентности незначительно.
Однако, несмотря на то что при тех же самых F, S, Рг формально
эта разница незначительна, на самом деле существуют
количественное и качественное их различия. В самом деле, предположим, что
для некоторых условий реализуется случай, представленный на
рис. 6.3 и 6.4. Так как коэффициенты молекулярной вязкости и
диффузии тепла на несколько порядков меньше соответствующих
турбулентных величин, то это означает, что в ламинарном случае
циркуляция, показанная на рис. 6.3, 6.4, может иметь место только
при совершенно отличных условиях, скажем, под действием волны,
существенно отличающейся по амплитуде, частоте, или, напротив,
под действием той же самой волны, но в жидкости, резко
отличающейся по глубине и т. д.
158
Качественное подтверждение полученных выводов приведено в
работе Ждановой [47], где изложены лабораторные
экспериментальные результаты по генерации средних движений тепловыми
волнами. На рис. 6.7, взятом из ее работы, представлена зависимость
относительной скорости индуцированных тепловыми волнами
средних потоков от параметра (FS2). Верхняя зависимость представляет
направление потока, противо-
MY
tfY
положное распространению
волн, а нижняя — прямой
поток. Измерения подтверждают
теоретический вывод о
возрастании скорости индуцированного
потока и интегрального
переноса с увеличением параметров У
FhS.
Таким образом, линейный и
нелинейный анализы показали, %А
Рис. 6.7. Зависимость относительной
скорости индуцированных потоков от
F. Re2 [47]
Ю\
€
si_Li
/О К F$*-/0*
что температурные волны возбуждают стационарные переносы масс
и тепла, скорости которых могут быть значительны. Это имеет место
и в ламинарном, и турбулентном случаях. В зависимости от
физических параметров перенос совпадает с направлением
распространения волн или противоположен ему. Этот фактор, вероятно, может
существенно влиять на формирование структуры физических полей
океана и атмосферы, для которых в данных природных ситуациях
реализуются условия возбуждения достаточно сильных
стационарных течений и средних градиентов температуры.
§ 6.4. Связь между потоком энергии и импульса
Как уже говорилось, скорости стационарных движений могут быть
значительными. Этот эффект важен. Если такие процессы могут
возникать в реальных условиях, тогда его необходимо учитывать
при прогнозе распространения температурных аномалий.
Возникает вопрос: возможна ли ситуация, когда стационарный
перенос тепловой энергии, обусловленный тепловым возмущением,
для волн с одними параметрами может осуществляться лишь в
определенных направлениях, а для волн с другими параметрами
происходит рассеивание энергии во всех направлениях, т. е. в первом
случае осуществляется в некотором смысле захват энергии, а во
втором — рассеивание ее.
Проблеме захвата энергии гравитационных волн в океане
посвящено много работ. В частности, возможность существования
краевых волн для различных профилей шельфа исследовалась Кларком
159
{Ill], Джонсом [133], Мюзаком [160]; захват волн островами и
подводными горами и связанный с этим явлением стационарный
перенос масс — Лонге-Хиггинсом [147, 148], Райнсом [172] и др.
Имеется несколько работ о захвате энергии гравитационных волн
как в атмосфере, так и в океане [186], [159] в окрестности экватора
и генерации ими стационарных течений. Для атмосферы в ряде
работ исследовался также стационарный перенос импульса и энергии
гравитационными волнами, возбуждаемыми тепловыми источниками
{в частности, волновыми), локализованными в пространстве [26,
121, 141, 142]. В этих работах рассматривалось движение в
вертикальной плоскости и не учитывался эффект вращения Земли, что
для явлений большого масштаба вносит существенные погрешности.
Кроме того, в них описывались стационарные потоки, генерируемые
волнами, распространяющимися в вертикальном направлении.
Возможность захвата тепловых волн, распространяющихся в
горизонтальной плоскости, изучалась автором [26].
Так как для тепловых источников, связанных с солнечной
радиацией (прямая солнечная радиация, тепловые волны,
обусловленные движением облачных систем, и т. д.), скорость распространения
много больше скорости течений в океане, то последней можно
пренебречь по сравнению со скоростью тепловых возмущений. Тогда
линеаризованные уравнения, описывающие движение невязкой
жидкости в поле силы Кориолиса, обусловленное воздействием
теплового источника, есть
dtu + fv= — -^-дхру dtv — fu = —-±-dyp,
Ро Ро (6.4.1)
dtw + 8gT=: 1-дгр, dtT + Tw=Q,
Ро
дхи + dyv + dzw = 0,
где {и, у, w) — компоненты вектора скорости вдоль
соответствующих координат z-системы с началом на поверхности океана, х%
направленной на восток, у — на север; Т — отклонение
температуры от невозмущенного равновесного состояния Т0 (z); р —
возмущение давления; Q — приток тепла от источника (может быть
отрицательным); б — параметр плавучести; Г = dzp0 — параметр,
характеризующий статическую устойчивость.
Выполним следующий анализ. Из (6.4.1) имеем
u=-^(dl + f2rl(fdy-dtdx)p,
v = —i-(& + /2Г* (fdx + dtdy) p,
Po (6.4.2)
w=~ ^г(a* ~ 7^rr' (dtzP ~ MgTQ>>
P - -£- (дгГ1 КЙ - Т£Г) Т - dtQ].
160
tfikx+vt)9 (6.4.5)
В (6.4.2) компоненты скорости.и давления формально выражены
в явном виде посредством некоторых операторов, действующих на
физические функции. Смысл действия операторов типа ( )—!
будет ясен ниже. Подставляя первые три уравнения из (6.4.2) в
уравнение неразрывности, получим следующее уравнение относительно
возмущения температурного поля:
дАТ + ф1 + П (dl - ygrr1 д1т =
= (dl - ygT)"1 [dlAQ + (dl + f2) (dl - y.g?rl dlzQ +
+ ygF (dl + /2) (dl - ye?)"1 &Q], (6.4.3)
в котором Д = д\х + dly.
Не ограничивая общности, представим поток тепла в виде
Q = в (у, z) exp [i (kx + (ot)], (6.4.4)
Тогда и, v9 p можно выразить как
(V(y,z)
= \V(y, z)
\Р(У, г)
где физический смысл имеет лишь действительная величина.
Естественно, что источник тепла (6.4.4) будет возбуждать
движение. Вычислим импульс, передаваемый за период волновым
движением среднему. Для этого необходимо определить среднюю за период
величину
I {у, г) = Щ = ± { (uv) dt = -± {[Ue'**™ + l/V*****] x
О О
х [VeM*+<»t) + у^-юн-fflOj dt ^ JL Re ((/*у), (6.4.6)
где т — период волны. Подставляя в (6.4.6) соответствующие
величины из (6.4.2) и учитывая (6.4.5), получаем
■ ке \и iv ) = ■
2pg(/2-~<D2)
Соответственно поток энергии от волн к среднему движению за
период выражается как
Е (у, г) = Ш - 4- J (vP) dt = 4г I [Vf*** + V*e-ilkx+^\ x
О О
х [Реп**+**> + р*в-<<**+«0] dt = _^_ Re (ур*)ш (6 4 8)
Илц, исключая скорость, его можно переписать в виде
Е (у, г) = ~ Im (РдуР*). (6.4.9)
2р§ (/2 — со2) v у ' v '
11 1-1419 161
I (У, z) = ±Re (U*V) = ft * _ Im (РдуР% (6.4.7)
Сравнивая (6.4.7) и (6.4.9), приходим к соотношению,
связывающему потоки энергии и импульса, обусловленные волнами,
генерируемыми тепловыми источниками:
Е(уу Z)=-JjLHy9 г)шш-сЦу, г), (6.4.10)
где с — фазовая скорость распространения теплового возмущения.
Таким образом, соотношение (6.4.10) связывает импульс и
энергию, передаваемые волновым движением, генерируемым тепловой
волной, среднему полю.
Связь (6.4.10) является обобщением на неадиабатический
случай соотношения между потоком энергии и импульса, выведенного
для адиабатических гравитационных волн в [103].
Соотношение (6.4.10) является также обобщением (на случай учета
вращения Земли) результата Фелса и Линдзена [118] для гравитационных
волн, генерируемых тепловыми источниками, и показывает, что в
случае волн, распространяющихся и в поле силы Кориолиса, имеет
место аналогичная связь между потоком энергии и импульса,
обусловленных волнами.
Отметим, что соотношение (6.4.9) при помощи (6.4.2) может быть
переписано в терминах температуры и будет представлять потоки
тепла от волнового движения к среднему полю.
§ 6.5. Излучение и захват энергии волн,
генерируемых тепловым источником
Периодичность прогрева поверхностного слоя атмосферы и
поверхностного слоя океана солнечной радиацией может быть источником
возбуждения колебаний.
В поверхностном слое океана проникающая радиация имеет
экспоненциальную зависимость от вертикальной координаты [5],
Для простоты рассмотрим именно этот случай [26].
Положим
в (у, z) = flfc (у) Z(z)t Z (z) = Г* (6.5.1)
где Р > 0 — заданный параметр, определяющий скорость
поглощения с высотой. Тогда (6.4.3) может быть преобразовано к виду
В этом уравнении параметр % определяется из соотношения
и по физическому смыслу является горизонтальным (в направлении
у) волновым числом распространяющихся волновых возмущений.
Вначале исследуем возможность излучения на бесконечность
энергии волн, генерируемых тепловыми источниками. Рассмотрим
162
тепловую волну, распространяющуюся в интервале lylt у2]
параллельно берегу, расположенному при у = 0.
Тогда
( 0, 0^y<yv
*<»)=* Of). Уг<У<У2, (6.5.4)
( 0, у2<у.
Условие отсутствия нормальной составляющей скорости к
берегу v (0) = 0, согласно (6.4.2), дает
(ъ+-^)т = -w=*r 1д'+4-) * при у - °- <6-5-5>
Другим является условие излучения тепловых волн из интервала
T~exp(—iky) при у>#2. (6.5.6)
Из (6.5.3) следует, что условия излучения могут быть выполнены
лишь в том случае, если % — действительна, т. е. справедливо
неравенство
которое в свою очередь реализуется, если удовлетворяются такие
попарные неравенства
Л Т£Г<со2 или /2, Yg,r>02. (6.5.8)
Таким образом, соотношение (6.5.7) определяет длины волн,
для которых для данной широты, стратификации и степени
затухания с глубиной теплового источника разрешено условие излучения.
Покажем, что (6.5.2) в этом случае действительно имеет решение,
удовлетворяющее (6.5.5), (6.5.6).
Найдем функцию Грина задачи
(д2уу + Я2) G (у, 0 = S (у, О,
G (у, 0 = 0 при у = 0,
О (у, £) = Ле-^ при */>£.
Ее решение имеет такой вид:
G = Л sin у при у < £,
G = 5^af/ при */>£.
Удовлетворяя условиям непрерывности функции G
+ +
G/_= 0, d,G|_=l при у «С,
окончательно находим функцию Грина
G==_JHL*Le-^ при у>& (6.5.9)
G = j- е-а$ sin Я# при у <£.
И* 163
Тогда решение (6.5.2), (6.5.3), (6.5.5), (6.5.6) представимо в таком
виде:
со
T--$^[PW+-§-$N<S>e-*b]-
О
У со
_ er-tky j JiEAL fj (C) dg _ JHL^_ j e~*W (£) d£, (6.5.10)
0 V
где функции N (у) и F (у) определяются формулами
1(0
(6.5.11)
Следовательно, решение (6.5.10) удовлетворяет (6.5.5), (6.5.6) при
произвольных правых частях в уравнении (6.5.2) и граничном
условии (6.5.5).
Если функция ft (у) задана в виде (6.5.4), то решение (6.5.10)
преобразуется к следующему виду:
Т =
Уг
У\
+ -|-И<»в-Л:#
At I kfe'
а£ ' kf-
[
-iXy
■iha
<Уи
Р(У) +
,-л»
+
j N (?) sin ад - -^- J tf (D e-^d? +
» (6.5.12)
kfe
Ух
Г-&У
cT-foy
у* Г
-J at ©.Hi ад+ -^5-
Р(У) +
+ -%-"§ N®e~<4ud, y>y2.
Из (6.5.12) вытекает, что на внешней границе области
распространения теплового источника (в направлении от берега) и вне ее
возмущение поля температуры есть
Т(У)
164
^- J N (О е~*Щ - -4- J N (С) sin ад, */ > у,.
У|
Уг
Из этого следует, что вне области распространения теплового
источника генерируются гравитационные волны е горизонтальными
волновыми числами вдоль у, удовлетворяющими (6.5.7), (6.5.8); они
переносят во внешнюю область импульс и энергию теплового
источника.
Пример. Рассмотрим случай, когда зависимость теплового
источника от у имеет вид
«(S) = sinn(l^-),
где Ау = у2 — ух.
Тогда поток энергии во внешнюю область, согласно (6.4.2),
(6.4.9), (6.5.10), (6.5.11), выражается такой формулой:
р /-л №* /Г (D(fe/ReIi--fo)ImI1) I2 1*
КЮ Ро (/2 - о)2) (Т£Г ~со2) \[ (ЭД2+(Яш)2 ~J +
Г iD(kf Imlj + h^Relj) }2\ <вЧ)Ъ
+ L(W+ <*©)■ J Г (b'5'1J)
где 12 и 12 определяются как
I = A*/ e~f ^ + g"-**' т _ Ay sm%yi + sm'Ky2
1 я 1 — (ЯЛ#/я)2 ' 1з ~~ я 1 — (ЯДу/я)2
Из этих соотношений следует, что при
К = я/Д#
поток энергии достигает максимума, который равен
J,
8 Ро(/2-*>2)(7£Г
(fe/)2Ay2 . 2 Гя_ yf + y> 1 .
^ я2 Sin L 2 Ay J
Следовательно, поток энергии из области действия теплового
источника наибольший для волн, длина которых вдоль у равна
Ly « -~ = 2Д#,
т. е. двойному поперечному масштабу теплового источника.
Таким образом, если реализуются условия, близкие к этим,
распространение теплового источника будет сказываться на
термодинамическом состоянии примыкающих областей. Если длина волн
вдоль у существенно отличается от последнего соотношения,
влияние окажется значительно меньшим.
Если существует какой-либо естественный демпфирующий
термогидродинамический барьер, так что за его пределы возмущение
практически не распространяется, то при у = 0 приближенно
можно записать условие отсутствия возмущения давления
/>(0) = 0.
Етях = J nfeAyZ* Г 2 vkfAy . ух + у2 1
165
В таком случае решение, удовлетворяющее условию излучения,
снова может быть найдено методом функции Грина. Записанное
для давления, оно имеет вид
Р =
У\
,-^у у*
У\ У\
Уг
Jtf(£)sinX£d£f У>У*
у,
Можно показать, что если ft (у) задано снова в виде ft (у) = sin л х
X (у — #i)/A#, то также существует максимум потока энергии при
L2 = Ay
Из (6.5.13) следует, что если частота тепловой волны близка к
частоте инерционных колебаний или к частоте Брента — Вяйсяля,
возникают резонансные условия и поток энергии возрастает.
Захват энергии тепловых волн. Рассмотрим другую
возможность, когда гравитационные волны, генерируемые тепловым
источником, не могут распространяться из области его действия во
внешнюю область и не происходит рассеивание энергии. Тогда в задачах
(6.5.2) — (6.5.6) вместо условия излучения на бесконечность (6.5.6)
необходимо поставить условие экспоненциального затухания
возмущения теплового поля вне интервала [у19 у2]> т. е.
/ ~ е-ьу при у > уь (6.5.14)
где К — действительная положительная величина. Последнее
может быть выполнено, когда в соотношении (6.5.3)
т. е. если реализуются условия, при которых справедливы
следующие неравенства:
7£Г<со2</2 или /2<со2<7£Г.
Решение задачи (6.5.2), удовлетворяющее условиям (6.5.5), (6.5.14),
также может быть найдено методом функции Грина и имеет вид
\ У °°
Т = - -^- J sinKNd) d£- -5^2_ $ AT(Qe-«d; +
о у
166
Если тепловой источник задан в виде (6.5.4), то это решение
принимает такую форму:
shXy
■?tf(Oe-*dt+-!
Ух
kfe
>—%у
- соЛг
Р(У) +
Ух
f О < у < у1у
Р—Ьу
Уг й
• J N (О sh Ш S^f- ) N (£) е->>Щ +
Ух У1
+
kf
kf — <A
F(y) + -jjr$N(t)er-Xdb Уг^У^У*
(6.5.16)
У\
е—Ъу
УС kfe-K
.JiVttJsillXCdC + ^g
Ух
+ » (лг(де-«с1С
Vi
У>У*-
Р(У) +
Из (6.5.16) видно, что тепловое возмущение вне области
действия источника экспоненциально затухает. Согласно (6.4.2),
возмущение давления, генерируемое воздействием теплового источника
с волновыми числами, определяемыми условием (6.5.15), также
будет затухать экспоненциально вне области его действия. Поэтому
в соответствии с (6.4.7), (6.4.9) на этих волновых числах не
происходит переноса импульса, энергии и тепла из области действия
теплового источника. Таким образом, в этом случае волновая
энергия не рассеивается из интервала [0, у2], т. е. происходит захват
волн.
Следовательно, существует эффект, заключающийся в том, что
если реализуются условия захвата, то энергия может переноситься
на большие расстояния в определенном направлении и значительно
влиять на термодинамическое состояние удаленных областей и в то
же время практически не оказывать воздействия на
термодинамический режим прилегающих районов. Это в определенном смысле
справедливо для любых тепловых источников, так как если
источник представляет собой не уединенную волну (например, прогрев,
связанный с нерегулярностью облачных систем), то его можно
представить в виде
Q(x,y, *)=S ®(y,z)ellkx+<at)
и в силу линейности системы (6.5.1) — (6.5.5) общий результат
будет равен сумме реакций на каждую моду.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анисимова Е. П., Доброклонский С. В., Лесников Б. М., Сперанская А. А.
О трансформации профилей скорости ветра и дрейфового течения вдоль
профиля ветровой волны.—Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1978, № 4, с. 445—446.
2. Атлас теплового баланса океанов/Под ред. А. Г. Колесникова.—
Севастополь : Мор. гидрофиз. ин-т АН УССР, 1970.— 88 с.
3. Баренблатт Г. Я. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика:
Теория и приложение к геофизической гидродинамике.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1978.— 207 с.
4. Бенилов А. Ю., Заславский М. М. К определению волновых и турбулентных
составляющих случайных гидродинамических полей приводного слоя
атмосферы.— Изв. АН СССР, Сер: ФАО, 1974, № 6, с. 628—635.
5. Богуславский С. Г. Температурное поле Тропической Атлантики.— Киев:
Наук, думка, 1977.— 162 с.
6. Бортковский Р. С, Бютнер Э. К., Малевский-Малевич С. П.,
Преображенский Л. Ю. Процессы переноса вблизи поверхности раздела океан —
атмосфера.— Л.: Гидрометеоиздат, 1974.— 240 с.
7. Бютнер Э. К- Динамика приповерхностного слоя воздуха.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1978.— 157 с.
8. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.—
312 с.
9. Ветровые волны/Под ред. Ю. М. Крылова.— М.: Изд-во иностр. лит.,
1962.—441 с.
10. Волков Ю. А. Спектр пульсаций скорости и температуры воздушного потока
над взволнованной поверхностью моря.— Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1969,
№ 12, с. 1251—1265.
11. Гинзбург А. Я., Зацепин А. Г., Федоров /С. Я. Тонкая структура
термического пограничного слоя в воде у поверхности раздела вода — воздух.— Изв.
АН СССР. Сер. ФАО, 1977, № 12, с. 1268—1277.
12. Гинзбург Л. Я., Федоров К- Я. Термическое состояние пограничного слоя
охлаждающейся воды при переходе от свободной конвекции к вынужденной.—
Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1978, № 14, с. 778—785.
13. Гинзбург А. Я., Федоров /С. Я. О критическом пограничном числе Рэлея при
охлаждении воды через свободную поверхность.— Там же, с. 433—436..
14. Давидан Я. Я., Лопатухин Л. Я., Рожков В. Л. Ветровое волнение как
вероятностный гидродинамический процесс.— Л.: Гидрометеоиздат, 1978.—
286 с.
15. Дворянинов Г. С. О некоторых геострофических моделях,—Метеорология и
гидрология, 1974, № 12, с. 83—87.
16. Дворянинов Л С. О движении, генерируемом тепловой волной в атмосфере.—
Мор. гидрофиз. исслед., 1975, № 3, с. 76—85.
17. Дворянинов Г. С О движении, генерируемом тепловой волной в мелком
море.—Там же, № 4, с. 38—48.
18. Дворянинов Г. С, Сизов А. А. О вертикальных потоках тепла, обусловленных
колебаниями скорости ветра.— Там же, с. 97—103.
19. Дворянинов Г. С Возбуждение стационарного переноса в океане и атмосфере
термическими волнами,—- Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1976, № 1, с, 57--67#
168
20. Дворянинов Г. С. Осредненный поток тепла через границу раздела,
обусловленный пульсациями ветра.— Мор. гидрофиз. исслед., 1976, № 3, с. 17—23.
21. Дворянинов Г. С., Прусов Л. В. Перенос масс в турбулентном пограничном
слое у дна, обусловленный волнами.— Океанология, 1976, 16, вып. 5, с. 760—
767.
22. Дворянинов Г. С, Прусов Л. В, Перенос масс в турбулентном пограничном
слое у дна, обусловленный волновым движением.— В кн. Докл. на между-
нар. симпоз. по исслед. турбулентности и процессов диффузии примесей в
море. М., 1977, с. 203—209.
23. Дворянинов Г. С, Прусов Л. В. Перенос масс в стратифицированном
пограничном слое у дна, обусловленный волнами.— Океанология, 1977, 17, вып. 3,
с. 411—416.
24. Дворянинов Г. С, Прусов А. В. К теории переноса масс гравитационными
волнами.— Мор. гидрофиз. исслед., 1977, № 1, с. 59—67.
25. Дворянинов Г. С, Прусов Л. В, Перенос масс гравитационными и
приливными волнами в турбулентных и стратифицированных пограничных слоях.—
В кн.: Тез. докл. к I съезду сов. океанологов. М.: Наука, 1977, вып. 1,—
130 с.
26. Дворянинов Г. С. Перенос и захват энергии неадиабатических воли.— Mod
гидрофиз. исслед., 1977, № 2, с. 48—60.
27. Дворянинов Г. С., Прусов Л. В. Теоретическая модель переноса масс
гравитационными и приливными волнами.— Океанология, 1978, 18, вып. 6, с. 978—
990.
28. Дворянинов Г. С, Прусов Л. В. Модель переноса масс гравитационными
волнами.— В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь: Мор.
гидрофиз. ин-т АН УССР, 1978, с. 41—54.
29. Дворянинов Л С, Журавлев В. М. Стационарный перенос, возбуждаемый
волнами в слое Экмана.— Мор. гидрофиз. исслед., 1978, № 3, с. 17—29.
30. Дворянинов Л С, Тимченко И. Е., Чехлан А. Е. К теории генерации
стационарных потоков в пограничном слое поверхностными волнами.— Мор.
гидрофиз. исслед., 1978, № 1, с. 5—14.
31. Дворянинов Г. С, Журавлев В. М. Динамика турбулентного поверхностного
взволнованного слоя.— Мор. гидрофиз. исслед., 1979, № 4, с. 5—21.
32. Дворянинов Г. С. Влияние поверхностных волн на обмен теплом между
океаном и атмосферой.— Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1979, № 9, с. 953—963.
33. Дворянинов Г. С, Журавлев В. М. К теории турбулентного слоя волнового
перемешивания.— Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1980, № 5, с. 536—547.
34. Дворянинов Г. С, Ефимов В. В., Нелепо Б. Л. Комплексные
океанографические исследования Черного моря. Киев: Наук, думка, 1980, с. 3—36.
35. Дворянинов Г. С. Влияние молекулярного подслоя на перенос импульса и
тепла поверхностными волнами.— Мор. гидрофиз. исслед., 1980, № 2.
36. Дворянинов Г. С. Возмущение пограничного слоя атмосферы
поверхностными волнами.— Мор. гидрофиз. исслед., 1980, № 3, с. 16—27.
37. Доброклонский С. В., Лесников Б. М. Исследование динамических
характеристик дрейфовых течений при ветровой волне в лабораторных условиях.—
Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1975, № 9, с. 942—950.
38. Ефимов В. В., Христофоров Г. Я. Некоторые особенности поля скорости
в слое ветрового волнения.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1969, № 10, с. 93—
96.
39. Ефимов В. В. О структуре поля скорости ветра в приводном слое атмосферы
и передача энергии ветра морским волнам.—Изв. АН СССР, Сер. ФАО.
1970, № 10, с. 1043—1058.
40. Ефимов В. В., Христофоров Л Я. Волновые и турбулентные составляющие
спектра скорости в верхнем слое океана.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1971,
№ 2, с. 200—211.
41. Ефимов В. В., Христофоров Г. И. Спектры и характеристики статистической
взаимосвязи пульсаций скорости в верхнем слое моря и поверхностного
волнения.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1971, № 12, с. 1290—1310.
42. Ефимов В. В, Динамика волновых возмущений в пограничных слоях
атмосферы и^океана. Дис. ... докт. физ.-мат. наук.— М., 1972.— 449 с.
169
43. Ефимов В. В., Соловьев Ю. /7., Христофоров Г. Я. Экспериментальное
определение фазовой скорости распространения спектральных составляющих
морских волн,—Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1972, № 4, с. 435—446.
44. Ефимов В. В., Гришин Л Л. Динамика поверхностных волн при учете
турбулентного характера движения.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1972, №1,
с. 52—66.
45. Ефимов В. В., Запевалов А. С. Спектральные характеристики температурных
пульсаций в слое ветрового волнения.— Океанология, 1975, 15, вып. 4,
с. 592—598.
46. Ефимов В. В., Дворянинов Г. С, Запевалов Л. С, Сизов А. А. Об осредненных
потоках тепла и количества движения', вызванных флуктуациями скорости
и температуры.— В кн.: Тез. докл. на Межвед. симпоз. по первым науч.
результатам исследования атмосферы в АТЭП. М., ГМЦ, 1975, 16 с.
47. Жданова Е. О. Экспериментальные исследования эффекта движущейся
температурной волны.— Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физика, Астрономия. 1978, 19,
№ 5, с. 63—65.
48. Заславский М. М. О динамических уравнениях теории генерации ветровых
волн.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1978, № 3, с. 308—317.
49. Зилитинкевич С. С. Динамика пограничного слоя атмосферы.— Л. :
Гидрометеоиздат, 1970.—291 с.
50. Каган Б. А. О придонном трении в одномерном приливном потоке.— Изв.
АН СССР, Сер. ФАО, 1971, № 11, с. 1190—1200.
51. Каган Б. А. О законе сопротивления в приливном потоке.— Изв. АН СССР,
Сер. ФАО, 1972, № 5, с. 533—542.
52. Каменкович В. М. Основы динамики океана.— Л.: Гидрометеоиздат, 1973.—
240 с.
53. Китайгородский С. А. Некоторые приложения теории подобия при анализе
ветрового волнения.— Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1962, № 1, с. 105—117.
54. Китайгородский С. А., Волков Ю. А. О расчете турбулентных потоков тепла
и влаги в приводном слое атмосферы.— Изв. АН СССР. Сер. ФАО, № 12,
с. 1319—1336.
55. Китайгородский С. А. Физика взаимодействия атмосферы и океана.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1970.— 283 с.
56. Колесников А. Л, Дворянинов Г. С. О возникновении стационарного
придонного пограничного слоя, вызываемого волновыми напряжениями Рейнольд-
са.— Мор. гидрофиз. исслед., 1971, № 1, с. 24—31.
57. Кононкова Л Е., Поборчая Л. В., Показеев К. В. Исследование поля скорости
поверхностных волн.— Метеорология и гидрология, 1973, № 3, с. 85—87.
58. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.— М.: Мир, 1972.—
276 с.
59. Кочергин В. П., Сухорукое В. А., Цветова Е. А. Моделирование процессов
вертикальной турбулентной диффузии в океане.— В кн.: Численные методы
расчета океанических течений. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР: 1974, с. 129—
152.
60. Кочергин В. П., Сухорукое В. А. Двухпараметрическая модель развитой
турбулентности.— Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск,' ВЦ
СО АН СССР: 1975, 6, № 5, с. 81—93.
61. Кочергин В. П., Климок В. И., Сухорукое В. Л. Турбулентная модель экма-
новского слоя океана.— Числ. методы механики сплошной среды.
Новосибирск, ВЦ СО АН СССР : 1976, 7, № 1, с. 72—84.
62. Краус Е. Б. Взаимодействие атмосферы и океана.— Л.: Гидрометеоиздат,
1976.—294 с.
63. Кузнецов А. А., Пыркин Ю. Г., Соколов Л. В. Экспериментальное
исследование характеристик придонного плотностного потока в натурных условиях.—
Вестн. Моск. ун-та, 1978, 19, № 3, с. 19—23.
64. Ламб Л Гидродинамика,—М.; Л.: Гостехиздат, 1947.—928 с.
65. Лайхтман Д. Л, Физика пограничного слоя атмосферы.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1961.—253 с.
66. Линейкин П. С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя
моря..— Л. .-Гидрометеоиздат, 1957,— 139 с.
170
67. Лонгинов В. В. Динамика береговой зоны бесприливных морей.— М.: Изд-во
АН СССР, 1963.—380 с.
68. Макин В. /(., Чаликов Д. В. Численное моделирование структуры воздушного
потока над волнами.—Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1976, № 3, с. 292—299.
69. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды.— Л.: Гидрометеоиздат,
1967.—356 с.
70. Марчук Г. И., Кочергин В. /7., Климок В. И., Сухорукое В. А. Математическое
моделирование поверхностной турбулентности в океане.— Изв. АН СССР,
Сер. ФАО, 1976, N 12, № 8, с. 841—849.
71. Марчук Г. #., Каган Б. А. Океанские приливы.— Л.: Гидрометеоиздат,
1977.—295 с.
72. Марчук Г. Я. Физика атмосферы и океана и проблема прогноза погоды.—
Вестн. АН СССР, 1976, № 2, с. 115—125.
73. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965.
Ч. 1.—640 с.
74. Монин А. С. О площади поверхности волнующегося моря.— Изв. АН СССР,
Сер. ФАО, 1967, № 3, с. 667—670.
75. Монин А. С, Каменкович В. М., Корт В. Г. Изменчивость Мирового
океана.— Л. : Гидрометеоиздат, 1974.— 262 с.
76. Нелепо Б. А. Доклад на общем собрании Академии наук Украинской ССР.—
Вестн. АН УССР, 1977, № 6, с. 44—46.
77. Нелепо Б. А., Тимченко И. Е. Системные принципы анализа наблюдений в
океане.—Киев : Наук, думка, 1978.—222 с.
78. Нелепо Б. А., Дворянинов Г. С, Прусов А. В. Генерация стационарных
температурных слоев поверхностными волнами.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1979,
№ 3, с. 314—325.
79. Нелинейная теория распространения волн/Под ред. Баренблатта Г. И.—
М. :Мир, 1970.—231 с.
80. Нестеров С. В., Секерж-Зенькович С. Я- Неустойчивость границы раздела
потоков при флуктуациях их относительной скорости.— Изв. АН СССР,
Сер. ФАО, 1978, № 9, с. 947—952.
81. Рашевский Я. /С. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М.: Наука,
1964.-664 с.
82. Рихтмайер Р., Мортон К- Разностные методы решения краевых задач.— М.:
Мир, 1972.-418 с.
83. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Гостехиздат,
1955.— 520 с.
84. Соловьев Ю. П. Пространственно-временные спектральные характеристики
ветрового волнения : Дис. ... канд. физ.-мат. наук.— Севастополь, 1979—
168 с.
85. Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана.— Л.: Гидрометеоиздат,
1980.— 318 с.
86. Христофоров Г. Н., Запевалов Л. С. Волновые составляющие спектра
пульсаций температуры в верхнем слое моря.— Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1978,
№ 4, с. 412—420.
87. Христофоров Г. Н., Запевалов А. С. Параметризация спектров короткопери-
одных температурных флуктуации, измеренных в слое ветрового волнения.—
Изв. АН СССР, Сер. ФАО, 1979, № 6, с. 846—854.
88. Хунджуа Г. Е., Андреев Е. Л Экспериментальные исследования теплообмена
между морем и атмосферой при мелкомасштабном взаимодействии.— Изв.
АН СССР, Сер. ФАО, 1974, № 10, с. 1110—1112.
89. Хунджуа Л Ф., Гусев Л. М., Андреев Е. /\ и др. О структуре
поверхностной холодной пленки океана и о теплообмене океана с атмосферой.— Изв.
АН СССР, Сер. ФАО, 1977, № 7, с. 753—758.
90. Чаликов Д. В. Математическая модель ветрового волнения.— Докл. АН СССР,
1976, № 5, с. 1083—1086.
91. Черкесов Л. В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн.— Киев :
Наук, думка, 1976.—363 с.
92. Черкесов Л. В. Поверхностные и внутренние волны.— Киев: Наук, думка,
1973.— 247 с.
171
%
. 93. Шадрин Я. Ф. Течения береговой зоны бесприливного моря.— М.: Наука,
1972.—128 с.
94. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ.—
Киев: Изд-во АН УССР, 1963.— 196 с.
95. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969.— 744 с.
96. Abbott M. R. Boundary layer effects in estuaries.— J. Mar. Res., 1960, 18, N 2,
p. 83—100.
97. Bagnold R. A. Sand movement by waves: some small-seale experiments with
sand of very low density. — J. Inst. Civil Eng., 1947, 27, N 4. p. 447—469.
98. Ball F. K. Sea surface temperatures.— Austral. J. Phys., 1954, 7, p. 649—651.
99. Benjamin Br. T. Shearing flow over a wave boundary.—J. Fluid Mech., 1959,
6, N 2. p. 161—205.
100. Benjiamin Br. Т., Feir J. E. The disintegration of wave trains on deep water.
P. 1. Theory P. 2. Experiments.—J. Fluid Mech., 1967, 27, N 3, p. 559—592.
101. Benny D. I. Non-linear gravity waves interaction.—J. Fluid Mech., 1962, 14,
N 4, p. 577—584.
102. Benny D. /. The flow induced by disk oscilating in its own plane,—J. Fluid
Mech., 1964, 18, N 3, p. 385—391.
103. Booker J. /?., Breiherton F. R. The critical layer for internal gravity waves in
a shear flow.—J. Fluid Mech, 1967, 27, p. 513—519.
104. Br ether ton F. P. Resonant interaction between waves.— J. Fluid Mech., 1964,
40, p. 457—480.
105. Broecker W. S., Peng T. H. Gas exchange rates between air and sea.— Tellus,
1974, 26, p. 21—35.
106. Bye I. A. T. Wind driven circulation in unstratiiied lakes.— Limnol. Ocean-
ogr., 1965, 10, N 3, p. 451—458.
107. Chang С P. Forcing of stratispheric Kelvin waves by tropospheric heat
sources.—J. Atmos. Sci., 1976, 33, p. 729—739.
108. Chang С. P. Vertical structure of tropical waves maintained by internally —
induced Cumulus Heating.—J. Atmos. Sci., 1976, 33, p. 740—744.
109. Chang M. S. Mass transport in deep-water long — crested random gravity
waves.—J. Geophys. Res., 1969, 74, p. 1515—1536.
110. Chang — Yi —W. On high-frequency oscillatory viscous flows.— J. Fluid Mech.,
1968, 32, p. 55—68.
111. Clarke D. /. Long age waves over a continental shelf.— Deutsche Hydrography
Z., 1974, 27, H. 1, p. 1—48.
112. Collins J. I. Inception of turbulence at the bed under periodic gravity waves.—
J. Geophys. Res., 1963, 68, N 21, p. 6007—6014.
113. Davis R. E. On the turbulent flow over a wavy boundary.— J. Fluid Mech.,
1970, 42, p. 721—731.
114. Davy A. The motion of fluid due to a moving sourse of heat at the boundary.—
J. Fluid Mech., 1967, 29, p. 137—150.
115. Dore B. D. Mass transport in layered sistems.— J. Fluid Mech., 1970, 40,
p. 113—126.
116. Downing A. L., Truesdale G. A. Some factors affecting the rate of oxygen in
water.—J. Appl. Chem., 1955, 5, p. 10.
117. Dvorianinov G. S., Efimov V. V. Generation of stationary currents by wave
disturbances.— In: 2nd Intern. Colloq. the Exploit of the Oceans. Bordeaux
(France), 1974, p. 18—29.
118. Fels S. В., Lindzen R. S. Interaction of thermally excited gravity waves with
mean flows.— Geophys. Fluid Dynamics, 1974, 6, p. 149—191. . ч
119. Grant И. L., Stewart R. W. Determination of the rate of dissipation of
turbulent energy near the sea surface in the presence of waves.— J. Geophys. Res.,
1962, 67, p. 3177—3183.
120. Grapper G. D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary
amplitude.—J. Fluid Mech., 1957, 2, p. 532.
121. Green I. S. Л. Atmospheric tidal oscillations: An analysis of the mechanics.—
Proc. Roy. Soc, London, 1965, A288, p. 264—274.
122. Gross P. L., Warsh /C. L., Gartang M. Despersion relation and wave shapes.—
J. Geophys. Res., 1972, 77t p. 3902—3906.
172
123. Halley E. An historical account of the trade winds and mosons.— Phil. Trans.
Roy. Soc. London, 1886, vol. 16.
124. Harris D. L. The wave driven wind.—J. Atmos. Sci., 23, N 6, p. 688—
693.
125. Hasselman K. On the non-linear energy transfor in a gravity wave spectrum,
p. i._ j. Fluid Mech., 1962, 12, p. 481—500.
126. Hasselman K. On the non-linear energy in gravity wave spectrum. P. 2.—
J. Fluid Mech., 1963, 15, p. 355-398.
127. Hasselman K. Non-linear interaction treated by the methods of theoretical
Physics (with application to the generation of waves by wind).— Proc. Roy.
Soc, А 2Э9, N 1456, p. 77—100, 1967.
128. Hinch M. J., Schubert G. Strong streaming indused by moving thermal
waves.—J. Fluid Mech., 1971, 47, p. 291—304.
129. Huang N. E. Mass transport induced by wave motion.— J. Marine Res., 1970,
28, p. 35—50.
130. Hunt J. N. Oscillation in viscous liquid with an application to tidal motion.—
Tellus, 1961, 13, p. 79—84.
131. Hunt J. N„ Johns B. Currents induced by tides and guavity waves.— Tellus,
15, N 4, p. 343—351.
132. Hunt J. N.t Massoud S. K. A. On mass transport in deep water waves.— Pure
and Appl. Geophys., 1962, 53, p. 65—76.
133. Johns B. Fundamental mode edge waves over a steeply sloping shelf.— J.
Marine Res., 1965, 23, p. 200—211.
134. Johns B. On the mass transport induced by oscillatory flow in a turbulent boun«
dary layer.—J. Fluid Mech., 1970, 43, p. 177—185.
135. Kanwisher J. On the exchange of gases between atmosphere and the sea.—
Deep-Sea Res., 10, N 3, p. 195—208.
136. Krasitskii V. P. and Zaslavskii M. M. Comments on the Phillips'—Miles'
theory of wind wave generation.— Boundary — Layer Meteorology, 1978, N 14,
p. 199—215.
137. Kinsman B. Wind waves, their generation and propagation on the ocean
surface.— Englewood cliffs. New Jork: Prentice — Hall. — 676 p.
138. Knight D. Turbulent flow over a wavy boundary.— Boundary — Layer Meteo-
rol., 1977, 11, p. 205—222.
139. Kondo J., Fujinawa Y., Naito G. Wave — induced wind fluctuation over the
sea.—J. Fluid Mech., 1972, 51, p. 4, p. 751—771.
140. Lee F. A. On the nonlinear mechanics of wind — wave interaction.— Memoires
Soc. Roy. Sci. Liege, 6e ser. 1973, t. 6, p. 35—46.
141. Lindzen R. S. Internal gravity waves in atmospheres with realistic dissipation
and temperature. P 1. Mathematical development and propagation of waves
into the thermosphere.— Geophys. Fluid Dynamics, 1970, 1, p. 303—355.
142. Lindzen R. S. Wave — CISK in the tropics.— J. Atmos. Sci., 1974, 31, p. 156—
179.
143. Lonquet-Higgins M. S. Mass transport in water waves.— Philos. Trans. Roy.
Soc, 1953, A245, N 903, p. 535—581.
144. Lonquet-Higgins M. S. Mass transport in the boundary layer at a free
oscillating surface.—J. Fluid Mech., 1960, 8, p. 293—306.
145. Lonquet-Higgins M. S. Resonant interaction between two trains of gravity
waves.—J. Fluid Mech., 1962, 16, p. 138—159.
146. Lonquet-Higgins M. S., Cartwright D. E., Smith N. D. Observation of the
directional spectrum of sea waves using the motions of the floating buyo.— Proc.
Conf. Ocean Wave Spectra, Englewood Cliffs, New Jork : Prentice — Hall, 1963,
p. 11—132.
147. Lonquet-Higgins M. S. On the trapping of wave energy round islands.—
J. Fluid Mech., 1967, 29, p. 781—796.
148. Lonquet-Higgins M. S. Steady currents iduced by oscillation round islands.—
J. Fluid Mech., 1970, 42, p. 701—720.
149. Masoud S. K. A. The effect of viscosity on deep water waves and the mass —
transport velocity.— Proc. Math, and Phys. Soc. OAR, 1966, N 30, p. 35—
42.
173
150. Matsuno Y. Quasi — geostrophic motions in the equatorial area.— J. MeteoroL
Soc. Japan, 1966, 44, p. 25—43.
151. McGoldrick L. F. Resonant interactions among capillary — gravity waves.—
J. Fluid Mech., 1965, 21, p. 305—332.
152. Miller A. W., Street R. L. On the existence of temperature a waves at wavy
air —water interface.—J. Geophys. Res., 1978, 83, N C3, p. 1353—1365.
153. Miles /. W. On the generation of surface waves by shear flow.— J. Fluid Mech.,
1957, 3, p. 185—201.
154. Miles J. W. On the generation of surface waves by shear flow. Part 2, 3.—
J. Fluid Mech., 1959, 6, p. 568—598.
155. Miles J. W. On the generation of surface waves by turbulent shear flow.—
J. Fluid Mech., 1959, 7, p. 469—478.
156. Miles Л W. A note on the interaction between surface waves and wind
profiles.—J. Fluid Mech., 1965, 22, N 4, p. 823—827.
157. Miles J. W. Surface — wave damping in closed basins.— Proc. Roy. Soc, A 297,
1967, p. 459—475.
158. Moskowitz L. Estimates of the power spectrum for fully — developed seas for
wind spead of 20 to 40 knots.—J. Geophys. Res., 1964, 69, p. 5161—5179.
159. Munk W. H., Moore D. Is the Cromwell current driven by equatorial Rossby
waves.—J. Fluid Mech., 1968, 33, p. 241—259.
160. Mysak L. A. On the theory of continental shelf waves.— J. Marine Res., 1967,
25, p. 205—212.
161. O'Brien E. E. On the flux of heat through laminar wave liquid layers.— J.
Fluid Mech., 1967, 28, p. 295—304.
162. O'Brien E. E„ Omholt T. Heat flux and temperature variation at a wave water—
air interface.—J. Geophys. Res., 1969, 74, p. 3384—3385.
163. PhillipsO. M. The equlibrim range in the spectrum of wind—generated
waves.—J. Fluid Mech., 1958, 4, p. 426—434.
164. Phillips О. М. The scatering of gravity waves by turbulence.— J. Fluid Mech.,
1959, 5, p. 177—192.
165. Phillips О. М. On the dynamics of unsteady gravity waves of finite amplitude.
Part 1.—J. Fluid Mech., 1960, 9, p. 193—217.
166. Phillips О. М. On the dynamics of unsteady gravity waves of limite
amplitude. Part 2.—J. Fluid Mech., 1961, 11, p. 143—185.
167. Phillips 0. M. A note on the turbulence, generated by gravity waves.— J.
Geophys. Res., 1961, 66, p. 2889—2895.
168. Phillips О. М. Theoretical and experimental studies of gravity wave
interaction.— Proc. Roy. Soc. London, 1967, 299, N 1456, p. 104—119.
169. Phillips 0. M., Banner M. L. Wave breaking in the presence of wind drift and
swell.—J. Fluid Mech., 1974, 66, p. 625—640.
170. Pierson W. J., Moskowitz L. A proposed spectral form for fully developed wind4
seas based on the similarity theory of S. A. Kitaigorodskii.— J. Geophys. Res.,
1964, 69, pi 5181—5190.
171. Pierson W. J. The interpretation of wave spectrums in terms of the wind
profile instead of the wind measured at a constant height.— J. Geophys. Res.,
1964, 69, p. 5191—5202.
172. Rhines P. B. Slow oscillations in an ocean of varying depth. Part 2. Islands
and seamounts.—J. Fluid Mech., 1969, 37, p. 191—205.
173. Roll X. Physics of the marine atmosphere.—New York and London:
Academic press, 1965.— 486 p.
174. Rubatta A. Harmonic components of viscaus fluid waves in uniform depth.—
Mecanica, 1968, N 3, p. 11—19.
175. Safman P. G. Note on decay of homogeneous turbulence.— Phys. Fluids, 1967,
10,' p. 1347—1363.
176. Saffman P. G. A model for inhomogeneous turbulent flow.—Proc. Roy. Soc.
London, 1970, A317, p. 417—433.
177. Saffman P. G. Model equatios for turbulent shear flow.— Stud. Appl. Math.,
1974, 53, p. 17—34.
178. Saunders P. M. Aerial measurement of sea surface temperature in the infrared.—
J. Geophys. Res., 1967, 72, p. 4109—4119.
174
179. Schooley A. U. Temperature differences near the sea — air interface.— J. Marine
Res., 1967, 25, p. 60—68.
180. Shemdin R. I. L. Laboratory investigation of air turbulence alone simple
water waves.—J. Geophys. Res., 1971, 76, p. 7334—7350.
181. Shemdin R. /. L. Wind generated currents and phase speed of wind waves.—
J. Phys. Oceanogr., 1972, 2, N 4, p. 411—419.
182. Shonting D..H. Measurement of particle motions in ocean waves.— J. Marine
Res., 1967, 25, p. 162—181.
183. Shonting D. #. Autospectra of observed particle motions in wind waves.—
J. Marine Res., 1968, 26, p. 43—65.
184. Shonting D. H. Observation of Reynolds stresses in wind waves.— Pure Appl.
Geophys., 1970, 61, p. 202—210.
185. Stern M. E. The moving flame experiment.—Tellus, 1959, 11, p. 175—179.
186. Stern M. E. Trapping of low frequency oscillations in an equatorial
«Boundary Layer».—Tellus, 1963, 15, p. 246—250.
187. Stewart R. W. Wave drag over water.—J. Fluid Mech., 1961, N 10, p. 189—
194.
188. Stewart R. W., Grant #. L. Determination of the rate of dissipation of
turbulent energy near the sea surface in the presence of waves.— J. Geophys. Res.,
1962, 67, p. 3177—3186.
189. Stewart R. W. Laboratory studies of the velocity field over deep — water
waves.—J. Fluid Mech., 1970, 42, p. 733—754.
190. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves.— Trans. Camb. Phil. Soc,
1847, 8, p. 314—326.
191. Stuart /. T. Double boundary layers in oscillatory viscous flow.— J. Fluid
Mech., 1966, 24, p. 673—689.
192. Takeda A. Wind profiles over sea waves.— J. Oceanogr. Soc. Japan., 1963,
19, N 3, p. 136—142.
193. Torpe S. I. On wave interactions in a stratified fluid.—J. Fluid Mech., 1966,
24, p. 737—752.
194. Van der Watering W. P. M., Wiggert J. C. Surface temperature fluctuations
due to waves.— Trans. Amer. Geophys. Union., 1968, 49, 204 p.
195. Wu J. Wind-induced drift currents.—J. Fluid Mech., 1975, 68, p. 49—70.
196. Witting J. Effect of plane progresive irrotational waves on thermal boundary
layers.—J. Fluid Mech., 1971, 50, p. 321—334.
197. Witting J. Temperature fluctuations at an air — water interface caused by
surface waves.—J. Geophys. Res., 1972, 77, N 18, p. 3265—3269.
198. Young R. E., Schubert G., Torrance К. Е. Nonlinear motions induced by
moving thermal waves.—J. Fluid Mech., 1972, 54, p. 1963—1987.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение , 3
Глава 1. Результаты специальных экспериментальных исследований
волновых возмущений 5
§ 1.1. Динамические эффекты у поверхности раздела 5
§ 1.2. Перенос масс волнами в придонных слоях 12
§ 1.3. Тепловые эффекты, обусловленные волнами 14
§ 1.4. Неавтомодельность пограничного слоя атмосферы над
взволнованной поверхностью 17
Глава 2. Эффекты поверхностных волн в ламинарных пограничных слоях
§ 2.1. Общие соотношения 21
§ 2.2. Перенос масс в глубоком море 26
§ 2.3. Термогидродинамические эффекты, обусловленные поверхностными
волнами 35
§ 2.4. Влияние поверхностного волнения на диффузию тепла через
тепловую пленку 45
§2.5. Осредненный перенос тепла и вихря волнами. Свободная поверхность 52
§ 2.6. Влияние молекулярного подслоя на перенос вихря и тепла волнами 59
Глава 3. Турбулентный слой волнового перемешивания 63
§ 3.1. Модель термогидродинамики слоя волнового перемешивания ... 65
§ 3.2. Задачи для среднего и волнового динамических полей 69
§ 3.3. Расчет поля возмущений ! 73
§ 3.4. Динамические характеристики турбулентного взволнованного слоя 78
§ 3.5. Расчет температурного поля взволнованного слоя 85
Глава 4. Структура пограничных слоев, генерируемых гравитационными
волнами в придонном слое 91
§ 4.1. Гидродинамическая модель пограничных слоев, генерируемых волна*
ми 92
§ 4.2. Плоский турбулентный пограничный слой 94
§ 4.3. Общие соотношения теории придонных пограничных слоев во
вращающихся бассейнах 101
§ 4.4. Случай невращающегося бассейна. Турбулентные пограничные слои 105
§ 4.5. Пограничные слои, генерируемые волнами Кельвина и Свердрупа 110
§ 4.6. Стратифицированный пограничный слой 115
Глава 5. Динамика волновых возмущений пограничных слоев у поверхности
раздела атмосфера — океан 121
§ 5.1. Связь между волновым потоком энергии и импульса в приводном слое 121
§ 5.2. Гидродинамическая модель слоев возмущения 124
§ 5.3. Возмущение ламинарного потока волновой подстилающей
поверхностью 129
§ 5.4. Волновые напряжения Рейнольдса. Фазовые сдвиги 132
§*5.5. Причины наблюдаемых отклонений ветра от логарифмического режима 138
Глава 6. Нелинейные эффекты тепловых волн 143
§ 6.1. Математическая модель. Общий анализ 143
§ 6.2. Квазилинейное движение . 149
§ 6.3. Нелинейное движение, индуцированное тепловыми волнами .... 153
§ 6.4. Связь между потоком энергии и импульса 159
§ 6.5. Излучение и захват энергии волн, генерируемых тепловым источником 162
Список литературы 168
176