Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей - Марков А.А.

Автор: Марков А.А.
Теги: математика теория вероятностей теория чисел избранные труды
Год: 1951
Похожие
Труды по теории чисел
Избранные научные труды. Кристаллографические этюды
Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. Избранные труды
Избранные труды
Текст
                    А К А Д Е М И Я НАУК
КЛАССИКИ

СОЮЗА ССР
НАУКИ

А.А.М АРКО В

ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Р Е Д А К Ц И Я П Р О Ф Е С С О Р А Ю .В.Л И Н Н И К А

О

КО М М ЕН ТАРИ И
Ю. В . АИНН ИКА, Н .А .С А П О Г О В А ,
. В . С А РМ А Н О В А и В .Н .Т И М О Ф Е Е В А

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О

А К А Д Е М И И

i

9 51

Н А У К

С С С Р

Под общей редакцией Комиссии Академии Наук С С С Р
по изданию научно-популярной литературы
и серии „Итоги и проблемы современной науки"
Председатель Комиссии Академии Наук С С С Р
академик

С. И . В А В И Л О В

Зам. председателя член-корреспондент
Академии Наук С С С Р /7. Ф . Ю Д И Н

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

О БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ Ф О РМ А Х
ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО О П РЕД ЕЛИ ТЕЛЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Известно, что точный предел minimum’oB для совокуп
ности всех бинарных квадратичных форм данного отрицат. e. minimum’у

тельного определителя — D
формы

того же отрицательного определителя — D , а точный предел
minimum’oB для совокупности всех бинарных квадратичных
форм данного положительного определителя
т. е. minimum’y формы

того же положительного определителя D .
Но относительно этих пределов между бинарными квадра
тичными формами положительного определителя и такими же
формами отрицательного определителя обнаруживается боль
шая разница, на которую в первый раз обратили внимание
А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев.*
* A. K o r k i n e et G. Z o l o t a r e f f .
Mathem. Annalen, В. VI.

Sur

les formes quadratiques.

12

Теория чисел

А именно, точный предел minimum’oB для совокупности
всех бинарных квадратичных форм данного положительного
определителя D , не эквивалентных
j/ y Z ) { x 2— x y — l f } >
равен

тогДа как между бинарными квадратичными

формами отрицательного определителя — D можно найти,
для всякого данного положительного числа /, не превосхо
дящего у

1

такие, mmimum’bi которых равны \/Ю.

Количество j/ у D служит minimum’oM для форм положи
тельного определителя D, эквивалентных
у / \ й \ х 2 - 2 х д - д 2 \.
Подобным же образом из моих изысканий следует, что
точный предел mmimum’oB для совокупности всех бинарных
квадратичных форм данного положительного определителя
Z), не эквивалентных ни
| / у £ > { х 2— х д — д 2 ) ,
НИ
j / j D { х 2 — 2 х д — д 2 <,
равен

.. /100 г,

а это

послеДнее количество

. .
служит mini-

шиш’ом для форм положительного определителя £), эквива
лентных
l/ ^

{ 5л:2 — 11 х д — 5д 2 } .

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

Одним словом, у и у

13

представляют только первые два

члена бесконечно убывающего ряда положительных чисел
N u N t, N s, . . . . N k, N k+1, . . . .

(N)

который обладает следующими свойствами:
1) число классов бинарных квадратичных форм, для каж
дой из которых определитель равен данному положитель
ному числу D и minimum равен s/N kD t не может быть ни
нулем, ни бесконечно большим;
2) если некоторая бинарная квадратичная форма положи
тельного определителя D не может быть сделана по числен
ной величине меньше yjNuD, то minimum ее равен одному
из количеств
\/лЩ \/дЩ д

а

.

.

\j w

d

.

Предел, к которому стремится 7V& при возрастании к до
бесконечности, равен ~ •
Соответственно этому существует бесчисленное множество
классов бинарных квадратичных форм, для каждой из кото
рых определитель равен данному положительному числу D
2 __
и minimum равен у Ф .
Числа (N) зависят от некоторых периодических непрерыв
ных дробей, тесно связанных с особыми рядами целых поло
жительных чисел, которые встретились Ивану Бернулли при
решении совершенно другого вопроса.*
Исследование этих дробей приводит нас к следующим
результатам.
Каждое из чисел (N ) может быть представлено под видом
1
Л ___1_ ’
4

Q2

* Jean B e r n o u l l i . Sur une nouvelle espece de calcul. Recueil pour
iles astronomes, t. I.

Теория чисел

и

где Q — некоторое целое число.
Если уравнению
х 2 -+- у.2 - t - z 2 = 3x y z
удовлетворяют целые числа
х = т,

у — п,

z—p,

то между числами (N ) должны заключаться
1
9__1_ ’
4
т2

1
9____ 1_
4
п2

1
_9____ 1_ *
4
р2

Наоборот, если одно из чисел (N) равно
1
!9_JL_ ’
4
m2

где т целое число, можно найти бесчисленное множество пар^
целых чисел п и р , при каждой из которых
т 2 -+- п2

р 2 = Зт пр.

Поэтому введенные нами непрерывные дроби дают во з
можность найти без особенного труда все решения уравнения
X2 -+- у 2 -Ь Z2= 3x y z
при условии, что х 9 у у z числа целые и по абсолютной вели
чине не превосходят заданного наперед предела.
Эти исследования и составляют предмет предлагаемого
рассуждения.

ПОЛОЖЕНИЯ

I. Рассуждения и результаты Лагранжа, которые отно
сятся к вопросу о разыскании minimum’oB бинарных форм
и помещены в прибавлениях к „El6ments cPAlg£bre“ Эйлера,
не точны.
II. Теория приведения бинарных квадратичных форм
с целыми коэффициентами может быть распространена в
главных чертах и на формы с дробными и иррациональными
коэффициентами.
III. Для всякой бинарной квадратичной формы положи
тельного определителя можно найти бесчисленное множество
совокупностей значений переменных, при которых численная
величина этой формы не
IV.
чисел

Существует только один периодический ряд целых
. . . , Г_з,

г _ 2, / * _ ! ,

7*0, /* !,

г 2, Г з , . . . ,

удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) период его состоит из т членов, равных х, и п членов,
равных х - ь 1 ;
2) если при некотором значке к
П — Пс+1 = -Ь 1,
то первая не равная нулю из разностей
гк+2

более нуля;

гк— 1» гк+ з

Гк— 2» rk+l

3> •••

и

Теория чисел

3)

если при некотором значке к
гк

гк+1 =

1,

то первая не равная нулю из разностей
Пе—If

гк+ 3

гк— 2> Пи-4

rk— 3> •••

менее нуля.
Этот ряд не что иное, как ряд И. Бернулли для дроби
х

1Г^ _ ~ (Jean B e r n o u l l i . Sur une nouvelle espece de calcul.

Recueil pour les astronomes, t. I).

ГЛАВА I
§ 1 . Пусть
?о — (ао> К , с0) = а 0 х 0*2 -+- 26 ) х 0у 0 -+■ с0у 02

(1)

будет данная форма, коэффициенты а0, 60, с0 которой веще
ственны и определитель 602 — а0с0 = /) более нуля. Что же
касается переменных х 0 и z/0, то они должны быть числами
целыми и не могут оба одновременно обращаться в нуль.
Соответствующее уравнение
а„?2Ч -2 & Д -ь с 0= О

(2)

имеет два неравных вещественных корня.
Один из них £0 развернем в непрерывную дробь, так что
*
1
гьЕ0 = а0н-------(3)
1 -+- t~
где
а0 > 0 , < *!> (), а 2> 0 ,

ай_ т> 0 , си^ 1

и притом ос0, сии а2, . . . ,
целые числа, и соответственно
этой дроби возьмем ряд подстановок: *
* Oeuvres de Lagrange, t. Ill, Recherches d’arithmetique, § 24.
2

А. А. М арков. Избр. труды

Теория чисел

18

* 0= — (*о
x 1 = oc1 x 2 -*-!/ s

,

ffo — x, ,
ff! = x 2 ,

х 2 = <х.2х 3-* -у 3

,

у 2= х 3 ,

■^Н—1-- ^Л—1Хц~*~Ут

Уп —
1

(4)

-*м-

Тогда форма (а0, 60> Со) преобразуется в эквивалентную*
ей форму
(а». Ь„, с„) = а„ х„2 -+■ 2Ьп х л у п ■+■с„ у пг

(5>

с коэффициентами ал, Ьп, си и переменными х п и i/w, и один
из корней уравнения
a*£2-4-26n£-*-c„ = 0

(6)

равен
Легко понять, что во всех случаях, когда с0 — иррацио
нальное количество, другой корень уравнения (6) при достаточно больших значениях числа п будет отрицательным и по
численной величине меньше единицы.** А относительно тех
случаев, когда £0 равно некоторому рациональному числу
-g I где А и В — целые числа, для нашей цели достаточно
заметить только, что форма
а„ х о2 -+-2Ь0 х 0 у 0-+- с0у 0*
обращается в нуль при
х 0= А ,

у 0= В .

* Мы удерживаем для всех форм с вещественными коэффициентами
то же понятие об эквивалентности, как и для форм с целыми коэффи
циентами. С . G a u s s .
Disquisitiones arithmeticae. 1801, § 1 5 8 .—
С . J a c o b i . Mathematische Werke, В. II. — Lettres de M. Hermite, p. 229.
** J. L a g r a n g e . Traite de la resolution des equations numeriques.
1826, Chapitre III, § 19.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

T9

На этом основании в дальнейших рассуждениях мы будем
рассматривать только те формы (а0,
с0), для которых оба
корня уравнения
а0 £2 -+- 260 £ -I- с0 = О
иррациональны и один ив этих корней более единицы, а дру
гой отрицательный и по численной величине менее единицьк
Такие формы мы будем называть приведенными.*
§ 2* Пусть
£о = * о -» -—

а

1

=

----------

1
1
ам—i н------а«■+

= 0Сп“Ь

aj-

1
а»ч-1 “+*

а2 '
(7)
аИ
—1 ’

1_
I,

положительный корень уравнения (2) и
1
1
Чо

a-m -+-m— i

a__w—2

* С . G a u s s . Disquisitiones arithmeticae. 1801, § 183.

2*

20

Теория чисел

1

(8 )

1
1
отрицательный корень того же уравнения.
. Подстановки
Xo— Z o X t + y i,

Уо = х 1(

* 1 = * 1 х 2 + у 2,

У1 = Х2,

х 2 ~ а2 Х3 -+- у а,

Уг = х 3,

' ' 1 ............................................. '

Xп —1

—1

——ан

хп
■^й+1

Хп

у П9

Уп —-1

х п+1 -ь г/и+1» Уп

^ п + 1 Х<п+ 2 * У п+2»

Хп

(9)

,

^п-ы*

Уп4-1

-^п+2»

приводят нас от (а0, 60, с0) к некоторому ряду форм
(а 1,

Cl)> (а 2, ^2, с г)> (а з, \

(«п,

с з)> • • • »

с«нн)> • • •

b n, с п) , { a n + h

и подстановки
*о

Уо

= У -и

* - 1 = У—2»

У —ту

У- 1 =

У -т + 1 ----

У —т—1> У—т
X—?n—1

У —т—2>

=

— а ~ 1У -,
— а - 2 У—2 -+“ ^ —2»

0C__W

У —т

(Ю )

Х—ту

—'

ОС—wa—1 У —т—1

Х—т—1у

У—m—1 — *

^ —т—2 У —т—2

^

—

т

—

2»

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

21

к другому ряду форм
(а—1,

(а—2, ^—2,

2)» ••* » (а—ю,

w,

ш)»

-m—1, С—wi—])» •••
При этом положительный корень уравнения
а* £2 - ь 2Ьп $ + ся = 0

(11)

равен ^ и отрицательный корень уравнения
ci—m£2 -+■ 2 6_mН-+- с_,ш= 0

(12)

равен

*)_т
Если же обозначим отрицательный корень уравнения (11)

через р р

и положительный корень уравнения (12) через

получим на основании формул (9)
1
Qtw—2 “
(13)
а0 '

Vi)

и на основании (10)
^—»1---^—т~*"" а _ w+i *
(14)
?0
Соединим теперь найденные нами ряды форм в один
* ••» (а—2, ^—2>^—2)1 (а—1, 6—], с—1)> (а 0, ^0, со)>
(ат, ^1, ci)i (а2, ^2, сг)» •••

F

22

Теория чисел

Согласно формулам (9) и (10) каждые две смежные формы
^{Х> Cfx)

flfXX\L

( а |х+1, fyx-M , c { x + l ) === % + 1 Х 1 + 1

"*■" Су.У\К 9
2 6 ^ ! Хр+

1

У {л-ц

С[А+1 ^

+1

ряда F могут быть получены одна из другой при помощи
подстановок
Ху.

а у ^[х+1

Уу. =

Хр+ 1.

(15)

Уу.-*г\1

Следовательно, (.а^ Ь^ с^) и {a^+h
между собой и
а [Х— с ^ .

с^+1) эквиралентны
(16)

А на основании равенств (7), (8), (13) и (14) мы можем
утверждать, что корни уравнения
а ^ 2-* -2 Ь ^ + с[, = 0
равны
1

—1

а

а{х+2-

V - i " 1-

^ -2 -

afx-S“^

и их разность, т. е. О
2 - ^ у , ** равна
а„

1
<V+i"fejу~Ь2 *

1
V -1 -

V"*'

Отсюда следует, что (а^ 6^ с^) — форма приведенная.
* Количеством, заключенным в скобки, мы изображаем абсолютную
величину этого количества.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

23

Итак, все формы ряда F эквиваленты между собой и при
надлежат к числу приведенных.
И з формул (15) и найденных нами выражений корней
уравнения
ар

-+- 2 Ьр £

Ср — О,

кроме того, следует, что мы получим тот же самый ряд F ,
если вместо (o0j 60) с0) возьмем произвольную форму (а^ b^ с^)
ряда F и для нее по тому же способу составим ряд эквива
лентных форм.
§ 3. Пусть
(а1, 61, с1) — а 1 х 2- ь 2 Ь1х у -+ -сгу 2
будет

какая-нибудь

приведенная

форма,

эквивалентная

(во, 6о, со)«
Тогда некоторая подстановка
х 0 = кх -+ -р у ,
Ув— у х -t-by ,

(17)

где х, Р, у, S — целые числа и
ос§ — Py = rfc l

(18)

преобразует (а0) 60) с0) в (а1, Ь1, с1).
В простейшем случае, когда {3у = 0, нетрудно убедиться,
что (а1, Ы, с1) совпадает с одною из следующих трех форм:
а йх г -+-2Ь0х у

ч -с о у 2,

схл:2 — 2 b1x y

-t-aji/ 2,

С—j Xй---- 2 6 _ ! Х у -+ - а _2 у 2.

Если же хЬ— 0, то форма (а1, 61, с1) совпадает с одною
из следующих трех:

24

Теория чисел

С0х 2 — 2 b0x y

+ а 0/ ,

а хх 2 - ь 2 Ьг х у

у 2,

а _ ! х 2-+- 26_1 XI/

с—1 1/2.

Во всех прочих случаях равенство (18) показывает, что
можно найти целые числа е0> е1? . . . , £a- i , Ч, для которых имеют
место неравенства
^ 1 ^ 0 , •••» ^А—1 ^ 0 » £А^ Q»
еА- ь . . . - ь
- ь еА> 0,
и дроби
£п-+-

и
1

+

еА—1 -+-

1
£Л-1
ел

соответственно равны
Вместе с тем легко видеть, что дроби

и у имеют оди

наковый знак.
На этом основании, обозначая положительный корень
уравнения
а 112 -ь 261£ -+- с1 = 0
через £*, а отрицательный корень того же уравнения через
j

будем иметь одну из следующих восьми систем ра

венств:
* Zejeune-Dirichlet.

П

Vorlesungen

1

iiber Zahlentheorie. § 24.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

1)

И

— 80

5л -г

2)

— — сп
По
0

еЛ -1~

“5 »

1
ел—-1
И1

—1
1
И *^о “ £° " Ч - * -

$<)— £о_| с. -

^

х
«*-!*+•
ел1
.
1
и — = 6 (]н---------'По
е1 -+-

3) —Е .= « 0 -Ь г ^ г “

ел-i-t-

£Л—1 ■+

еЛ

1 = е 0 ч---------.
1
и —
Чо
ej-b

4) — Н0= е 0+

£Л—1*+

5)

* ,=

1
1
*Г

£Л—l" * --

£л—61

4- ^

И

£Л—1ел-+--

----- = £ , , Ч ------

^0

0

«X

1
V

25

Теория чисел

26

6)

= ± = е 0- ь »1о
*1-

— ^о~ь

1
4-------ел- i 4

х

1
Y|1
1
1
---=
£ПЧ---------*)о
0 si~*-

7) - 5 , = Ь + Г = Г -

в* - 1 -

£Л“*—7
Y)’
8) — £о=б<г+-гзг-

»1о

-------

• (19)

Ч—i"t-

Ч—1-

6л~ £

ел-t-S1

Относительно ц и £/, можно сделать только четыре пред
положения:
I. £о^О> ел1>0>

П.

£л= 0;

III. е0= 0, £л= 0;

IV. е0 = 0, ч > 0.
Каждое из этих предположений мы рассмотрим отдельно.
I. £0> 0 » £* > 0 .
Принимая во внимание неравенства
5o>lf

р>1, V>1,

легко убедиться, что из всех систем уравнений (19) можно
допустить только пятую

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

So=V

27

Чо

«А-*-*

1

вд—1-+

1
yjl

•а - 6 *

следовательно
■
—- 0С()> ^1 ■“

•••»

1

0СЛ— £/,

0C/,f

м форма (а1, 6\ с1) может быть выведена из
(аА+1, bh+ и ch+1) ряда F при помощи подстановки

*/,+1 =

— У,

Уп+1 =

формы

тт.

II. е „ > 0 , еА= 0.
И з всех систем уравнений (19) можно допустить только
первую
—1 _
_
£о = е -+Чо
^ *"4 •

ел-з —

£Л— 1-

следовательно
£q

0Cq>

^1> * ••9 £Л—l

&h—1>

н форма (a L, 61, с1) отличается от формы (а*,
Сл) ряда F
только в обозначении переменных.
III. е0 = 0 ; £,v= 0.
И з систем уравнений (19) должно принять восьмую:
■&>

1
ei •+■

1
*)0

4 - 1 — Ъ1

1

еЛ—1"

28

Теория чисел

следовательно
£i =

1>•••»

г __i = а _ л+1,

и форма (а1, 61, с1) может быть выведена из формы (а_л+1,
b—h+if c—h+i) ряда F при помощи подстановки
*_ *+ i =
IV. £о = 0, £Л> 0 .
Будем иметь
„
1
---- К z=z ----------------£г

tf-A+1 = =1= X.

И

1
^0

1

---- ===----- ------------

е1

1

__ 1_

1

ел-.!-*ел
поэтому
Ч = а -и

^2---^—2>* * * >

—1----^

£Л

_1_
ч1

&—л,

и форма (а1, 61, сг) отличается от формы (а_д, 6-л, с_%)
ряда F только в обозначении переменных.
Итак, не обращая внимания на обозначения переменных,
мы можем утверждать, что все приведенные формы, эквива
лентные данной (а0, Ь0, с0), заключаются в одном из рядов
•♦ •, (о—2»

-2» С—г)> fa—1»
1> С—l), («о» &о, с0) ,
(oj,
Cj), (о2> ^2> ^г)»***

и
(с—2»

2> ^—2)» (^—1>
(Ci ,
6lf 0(2), (с2,

1> a —l)> (Со>
62, о2) , . . .

§ 4. В частном случае, когда
(«о» 6 0, с 0) —

/ *^о

#о-

У0

Уо

1-н.
1+

Gaus s .

Disquisitiones arithmeticae, § 193.

К , Oq),
^ 1*

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

\/ 5+- 1

(

\(

.

V5-1

29

\

= « Д * о -------- 2-----Уо Д ^ 0"1------ 2— Уу
= «о ( V — *0 Уо — I/O2)»
коэффициенты а^, 6^,
какой угодно формы (а^, V
ряда F соответственно равны
( - 1 Г - а 0,

{— l f +1 •

,

(

<>) из

l ) |i+1 •а 0,

и наименьшее численное значение формы (а0, 60, с0) равно
(a0) = y j D .
Во всех прочих случаях одно, по крайней мере, из чисел
. . . , 5 - * , 5-1» 5о, 5.» 5 » . . .
более двух.
На этом основании, принимая во внимание
сделанное в конце § 2, мы будем считать

замечание,

5о>2.
Кроме того, имеем
?о =

(о ,о> К

С0) =

а 0 ( х 0 — с 0 У о) ( х „ - н

•

(2 0 )

А относительно х 0 и у 0 можно сделать только следующие
четыре предположения:
1) х 0 = 0 и i/0 не нуль;
2) х 0 не нуль и i/0 = 0;
3)

х0

и

у0

оба не равны нулю и - ^ - > 0 ;

4)

х0

и

у0

оба не равны нулю и - ^ - < 0 .

Каждое из этих четырех предположений мы рассмотрим
отдельно.
1) * 0 = 0.

30

Теория чисел

Форма (а0, 60, с0) получает значение
СоУо »
которое, согласно формуле (16), равно
а-1У%.
2) Уо = 0Форма (а0, 60, с0) обращается в
ао*о •
3) ^ - > 0 .
' т
И з формулы (20) следует, что неравенство
(ф оШ ао)
может иметь место только при
( * о ~ 5 » 1 Г о )< 1 .

так как

(Хо_ь" ? ) > 1 Но при
(*0

$0 Уо) ^ ^

условие
?о> 2
дает

Отсюда, принимая снова во внимание формулу (20), выво~
дим, что
(*°

^

^ 2 (у0)

всякий раз, когда
(? о )< (« о К

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

31

А неравенство
SoЗУо) <

(*0

показывает, что

равно

2 (у0) *

одной из дробей,

подходящих

к 5о.*
Между тем, полагая — равным последовательно
УО
_1_
а0> а0
а,
t а0
1 >••
а1
а1«2
получим для формы (а0, Ь0, с0) следующие значения
•о

*9

*9

« 1 * , a2z% a 3i % ..
где г — общий наибольший делитель х 0 и у 0.
4) - ^ < 0 .
7 Уо
Из формулы (20) следует, что неравенство
ОРо)^(ао)
может иметь место только при

(Х°

Z)< 2W

’

так как
(x 0— ioffo)>2(ffob

А из неравенства

(х°ч- ^ ) < т ы
следует, что

равно одной из дробей, подходящих к —

Между тем, полагая
1
<*-1 ’

1

°
1 ’
а—1 ■+•“
а_2

последовательно равным
1
1
а—1 4---------л
1
а__2-ь

а- 3

* Legendre.

§ 1 (9).

Essai sur la theorie des nombres. Seconde edition,

32

Теория чисел

и принимая во внимание формулу (16), получим для формы
(а0, 60, с0) следующие значения:
а _ 2г2, а_ 3 г2, а _ 4г , ... ,

где i равно общему наибольшему делителю х0 и z/0.
Следовательно, форма
(а0) 60. с0) = а 0х 1 -*-2 Ь 0х лу 0 -*-с0у1
может быть сделана равной какому угодно из чисел
. •. , 0 —2» ^—1» а 0> ^1»

**•

и наименьшее численное значение ее равно наименьшему из
чисел

. . . , (а_2), (a_j), (<?0), (ai), (а2)>•••
А для вычисления чисел (а^) мы получили в § 2 следующую формулу:
2 y/D

1
1

(a|i)
а р

1

.+ 2

Итак, всякой форме (а0, 60, с0), определитель которой равен
данному положительному числу D ,
наименьшее численное значение равно
численные значения не могут быть меньше
где I также данное число, соответствует некоторый опреде
ленный ряд целых положительных чисел

{

• * •» ^ —3> ^ —2» ^ —1 > а 0>

для которого { maxim,im суммы 1
I
сумма
1

^2>

• *»

/

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

2_

1
%-1

V +1'

1

33

(2 1 )

а,, _ о -+-

равен
не более i f
И з рассуждений §§ 2 и 3, кроме того, следует, что всякой
форме (а1, 61, с1), эквивалентной (а0, 60» со)» соответствует
или тот же самый ряд /, или ряд обратный

для всех целых значений (л

•. *, OCg, 0С2, 0Ц, OCq,

ос.^, ос—2»

^—3» •••

С другой стороны, зная ряд J и определитель Z), мы
легко можем составить одну из форм ряда F .
Для этой цели достаточно взять какие-нибудь две непре
рывные дроби
И

°V+i'

V -1 -+ -

2'

а|л+2 “

а|л-3

тогда форма (мы не обращаем внимания на обозначения пере
менных)
L JD

У

7JJ.+1 ■

а|А+2 ■

будет, очевидно, принадлежать к соответствующему ряду F .
На этом основании в дальнейших рассуждениях мы почти
исключительно будем говорить о рядах J и о связанных
с ними количествах L [x.
§ 5 . Мы займемся теперь разысканием рядов /, для кото
рых при всех целых значениях {л

3

А. А. Марков. Избр. труды

3}

Теория чисел

Прежде всего, заметим, что такие ряды J должны состоять
только из двоек и единиц, так как при
формула (21) дает
!^ ~ > 3

и

А *< 1Г

Кроме того, они не могут содержать ни отдельных двоек*
ни отдельных единиц, так как при

а„—i = l ,

*„ = 2,

ас,а+1 •

имеем
L, > ^ +

2+ 2

3

и

^ < з .

подобным же образом при
V _ 1 < 3 , а — 2, х (!+]'

=

1,

*

(х+2 '

получаем
1

^ 1

о

Т ^

2

Пусть теперь
aix-i = 2, ^ = 2, ос^+1 = 1, а +2 = 1.
Сохраняя обозначения § 2, находим
1

ТГ= 2 ч — 1
>
1 н----—

1

1
г + ь{х+3
г -

:2~1------

4

V —1
>+з

Затем, принимая во внимание тожество *
* Lagrange.
VI, § 68.

Traite de la resolution des equations. 1826, Chapitre

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

1

1
2

8

3S

= 1,

т

1 -4 -

1

8

легко убеждаемся, что условия
/ ^>1
3о

и

Г
L,

-I ^ о

равносильны следующим:
^ .+ з ^ \ - х

и

(22 )

1
1 н-----1-41-+> +3

а эти последние условия дают
£}а+3 ~ 1

и

1
1 н----1 -4- -

(23)

-------1
1 н------

1
£[*+3

^(А—1

В частном случае, когда одно из условий (23) удовлетво
ряется со знаком = , условия (22) могут быть удовлетворены
только со знаком = и дают

•fA+З '

1-ь ^5

V -* *
1-+-;
> -4 -3

1 -4 -

V “1

следовательно и другое из условий (23) удовлетворяется
со знаком = .
Во всех прочих случаях на основании неравенств (23)
будем иметь
3*

Теория чисел

36

£|л+з— 1

>

1.

'р.+2»Ч-1

>2

2 (г-1)

1

X'и-—
- 1' :1Н -

(24)*
1
1 н-----------2г1
= 1 +

1
1

7

1
1-ь

*(л+2г-*-1 > 2

2г
где г и г 1 — целые положительные числа (г1 может быть
равно и нулю).
А неравенства (22) могут иметь место только в следую
щих трех случаях:
1) г = гг + 1
2) г ^ г 1;
3) г = г1 — 1

и ^+2r+i ~

—2Г1—i;
(25)

И ^+2г+1 ^ 'fy—-г1- ! •

* Формулами (24) мы хотим выразить, что в непрерывных дробях
^(а+3» \ —ъ £р.+1 соответственно 2 (г — 1), 2г1, 2г первых частных знаме
нателей равны 1 и непосредственно следующие более 1.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

37

И действительно, в каждом из этих случаев L ^ и
2

не меньше ^ •
Пусть теперь
0.
В этом случае, принимая во внимание формулы (24) и
условия (25), будем иметь
V -i
^.аЧ-3--- ^ >

i

1»

г
?

’^а+3---1 '

V+5

1
I Ч~

1
2 ч-

Tia-1

и, следовательно,
2__ с
Алч-з
V+5

1 -4 -

2 чПоследнее равенство в связи с тожеством
1
1
О
1
1
1
2 н---- 1 н---------8

1ч-

= 1
1

показывает, что условие
L

> —

при сделанных нами предположениях равносильно следую
щему:
х
C 9- -Н
I ___L 1
^+5
^
2+ —
’V~x

(26)

38

Теория чисел

Сопоставляя затем неравенства (22) с (26) и принимая
во внимание соотношение
£^+з == 2 !

i 9
2 ч -~ —
*{ж+5

получаем
U £ 2 + -

и

!

2ч- —
2 ч-

ги

< ; 2 ч— ~

2ч- —

.
2 ч -Л —
>43

2 ч -2

Поэтому
^

1
= 2+ г
2ч- —

:1 Ч- \j2--2+
V +з

или
>+3 '

1
^+2р+3

2

2 Р

^ 1 = 24-

2ч
Y -V -l< 2
где р н р1 — целые числа.

1
’V-I

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

39

И з всех этих рассуждений следует, что условиям вопроса
могут удовлетворять только следущие ряды:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

у,

состоящий только из единиц,

. . . . 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ; . . ,

У

состоящий только из двоек,
. . . . 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, . . . .
содержащий, кроме единиц, только две двойки,

..., 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2,.. .,

/-

содержащий, кроме двоек, только две единицы, и, наконец,
1
•* •’ 2г_ 2 ’

1
2л__з ’

1

1
2r0 9

1
2rA ’ z ’

2r2 »■••»•/

где 2rfc вообще означает число единиц м*ежду двумя после
довательными комбинациями

2, 2
и одно, по крайней мере, из этих четных чисел не нуль.
Ряды J 0 У,, действительно, удовлетворяют условию

при всяком значке а, так как для первого из них
2

1
1 ч-

= \/5

1
1 -ч-

Теория чисел

40

и для второго
2

:2 \/2

= 2 ч--

Ряды Уоо и У00 также дают
L г----- 3
при всех значениях [л.
Кроме того, легко видеть, что для этих последних ря-

/ равно у2 , так как
дов наименьшее значение L,x
1

1

= 3

1 ч-

1ч-

Одна из форм (а , 6,
± Щ

Х- 2 д V

,
1 - ь __
1 ч-

с),

соответствующих ряду У®, будет
Л' -ь
2ч

1ч-

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

4f

У \/£>(дс----- ^ Г ~ у ) (* -+ - 3 2 Г ~ у ) =

= у V D (х2 — 'Jbxy — y*) ■
Таким образом мы получили одну из форм (а, 6, с),
определитель которых равен данному
положительному
числу Z), а наименьшее численное значение равно

D •

Подобным же образом при помощи ряда J^° получим дру
гую форму:

|

{ , _ (1 -н П )У} {* + ^

= у

=

(л:2- ( 2 J 2 — 1) ху - \/2 у2) ,

которая не эквивалентна прежней и имеет тот же определи
тель D и то же наименьшее значение

D *

Что же касается ряда J 1, то из предыдущих рассужде
ний следует, что он может удовлетворять условиям вопроса
только в том случае, когда ряд
...,

Г _з,

Г—г>, Г _ х, Г0, Ги г 2, Г3„ . . .

R

обладает следующими тремя свойствами:
1) разности
•••» Г- 3 — Г _ 2, Г—2

Г—и Г - ! — Г0, Г 0 — Г 3, ГХ— Г 2, Г 2 — Г3 , . . * ,

могут иметь только три значения ~ ь1, 0, — 1;
2) если для некоторого значка к
гъ

гк+\

то первая неравная нулю из разностей
Пр+2

более куля;

Гк— 19 ?к+3

Of—2> Г/f-i-j

Ot—3> . . .

Теория чисел

42

3)

если для некоторого значка к
f'k

r k + i:===:

1»

то первая неравная нулю из разностей
гк— 1» гк+ 3

0fc-*-2

гк~2> г М-4

3> • • '

менее нуля.*
Положим теперь, что ряд /?, действительно, обладает
этими свойствами.
В таком случае по доказанному будем иметь
i.s |

» V .S tf

всякий раз, когда
V -1 = 2, ^ = 2, ^ + , = 1, <^+8 = 1*
Подобным же образом нетрудно доказать, что
А * = Т и ^И+1 = Т ’
есл и

ос{а__2

1>

1 — 1 > а(л

2, ос^+3

2.

Следовательно, неравенство
L > —
-имеет место во всех случаях, когда

ос 3= 2 , ос = 2 , ос[А+] ■
или
*„_! = ! , а = 2 , а |Х+1
* Не должно исключать случаев, когда г^
zrk—) ПРИ всех положительных значениях X.

= -t 1 и

^■

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

43

Во всех же прочих случаях
а„ == 1
или
a ^ i = 2, otp

2,

2

к формула (21) непосредственно дает
< i

-г = 2-

откуда затем

Итак, высказанные нами условия для ряда R не только
необходимы, но и достаточны.
Вследствие этих условий абсолютная величина разности
двух производных чисел ряда R не может быть более еди
ницы.
Для доказательства допустим противное, и пусть именно
в ряду R встречаются одновременно числа
г и г1

г — 2.

Тогда в том же ряду должна быть, согласно первому
свойству, одна из комбинаций

2

А

и

где s — некоторое положительное число.
Непосредственно налево от комбинации А , согласно вто
рому свойству, может находиться только комбинация

г-2,

г---—17

s~~9

В

44

Теория чисел

где q заключается между нулем и s; а непосредственно на
право от А 1, согласно третьему свойству, должна стоять
комбинация
■—1

2.

В1

Следовательно, при сделанном нами допущении в ряду R
должна встретиться одна из комбинаций

и

из которых С противуречит третьему свойству ряда
а С 1— второму.
Итак, указанными нами свойствами могут обладать только
следующие ряды R :

где
r Q— maximum г к

и из чисел
•> S—з, S—2>

1> 50, Sj, Sg, S3, •••

одно, по крайней мере, не нуль.
Ряды R 19 Rco и /?°° обладают действительно указанными
тремя свойствами.

О бинарных квадратичных формах положительною определителя

/5

Следовательно, весь вопрос сводится теперь на исследо
вание свойств ряда чисел
. . .,

S—з, $ _ 2 »

т» S;., S „

5

S2, S3, * • .

И легко видеть, что разности
* • •»

S з

S—2»

$—2

S— i

S— ],

Sq, Sq

3 ],

5j

S2, So

могут иметь только три значения: -+-1, 0, — 1.
Кроме того, на основании второго свойства ряда
можем утверждать, что если при некотором значке к
s lc

^g, • • *

R

мы

Sfc+1 —

то первая неравная нулю из разностей
Sfr+2

Sfc—1, sk+3

$k—s> •••

$к—29

менее нуля.
А на основании третьего свойства ряда R первая нерав
ная нулю из разностей
s frHh2

s k—] у $k-1-3

s k—2 » Sfc 4 - 4

S fr_ 3 , • • •

более нуля всякий раз, когда
Sk

— Sfr-f-i =

1•

Одним словом, ряд S должен удовлетворять тем же усло
виям, какие нами были указаны и для ряда R .
Итак, он должен быть одним из следующих рядов:
Sl
5“

, . . .,

Sa

• • у

У * * *У

S'

Теория чисел

46

где
s° = maximum s/t
и ряд
2>

Г

1> ^0» ^1> ^2»

обладает упомянутыми выше свойствами рядов R и S.
Подобные рассуждения можно продолжать как угодно
далеко, и все получаемые таким образом ряды
R, S, Т ,...

(Ф)

должны удовлетворять указанным нами условиям.
С другой стороны, легко видеть, что если один из рядов
системы (Ф) удовлетворяет этим условиям, то и все предыду
щие удовлетворяют им и для соответствующего ряда J ко
личество L ^ более у

при всех значениях [л.

§ 6 . Остановимся прежде всего на случае, когда один
из рядов (Ф) состоит только из равных чисел.
Тогда предыдущие ряды (Ф), а также и ряд У1, периодичны.
Кроме того, нетрудно убедиться, что всякий раз, когда

— 2,

%

> ±1

‘

1

°V±2---1

= ,

число 2j последовательных равенств
амР2 " °V±3 ’

°VhP3

°V±4 » ••м °V+(3;+l)---а>±(2у+2)

должно быть меньше числа членов в периоде ряда /.
Следовательно, L ^ имеет только конечное число различ2 * *
ных значений и все эти значения более у •
* Легко убедиться, что

2

может быть равно у

только в тех слу

чаях, когда все числа
a |xqp2 >

°>нРЗ *

•

соответственно равны

a[A+3 » °V±4 > af»-±5» * * **
иначе сказать, когда число 2j может быть назначено более всякой дан
ной величины.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

47

Итак, можно найти бесчисленное множество рядов /, для
каждого из которых наименьшее значение L ^ более

•

Отсюда, принимая во внимание результаты § 4, мы за
ключаем, что существует бесчисленное множество классов*
форм (а, Ьу с), из которых для каждой определитель равен
одному 4и тому же положительному числу Z), а наименьшее
численное значение более у \fD •
Положим теперь, что один из рядов (Ф) будет
. . . , 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 ± 1, 8, 8, 8, 8, 8 , . . . ,
где 8 — произвольное целое положительное число.
При этом предположении все предыдущие ряды сово
купности будут следующего вида:
•••, W4>

w2> *>1,

1,

С02, С03, (04, . . .

Что же касается ряда У1, то для него при некотором
значке [л
°VhF1

2,

0Са — 2 ,

а р.нк — 1»

°V±2 ~

^

и количества

соответственно равны
°V ± 3 »

°V ± 4 »

^ ± 5 » •' *>

откуда, принимая во внимание тождество
1
2

1_
1

=3,

g

* Все эквивалентные между собой формымысоединяем в один КлассC. G a u s s .

Disquisitiones arithmeticae, § 175.

Теория чисел

48

ВЫВОДИМ

<V-i Н----------х

°V+i

а 2-^----^

а;л+2 '

аа—3 *

Следовательно, в этом случае
2

2

шах. 7 ^ — 3 и min. L [Xу

Итак, можно найти бесчисленное множество рядов /, для
каждого из которых
min. L^ — -з •
Другими словами, существует бесчисленное множество
классов форм (а, 6, с), для каждой из которых определитель
равен одному и тому же положительному числу Z), а наименьшее численное значение равно у V D •
§. 7. Будем теперь между всеми рядами J 1 искать те,
для которых при всех значениях [л

где I — данное число и больше у ;
Пусть в искомом ряду J 1 при некотором значении [л
2,

0^ = 2 ,

&Р.-4-1

1 > ^у+2 == ^

И

ам-+ 2~ а> ± 3»

а [/qp0“ а[л± 4» * * * > °V т (2У+1)= 7> ± (2/+2) •

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

49

Тогда
3 - ^

0 ----- L
2 ч------ —

анч-2
—9ч>+з*

1 Ч-

а|1ЙР2~

а{^-2>"Ь а _
>+(2/+1)
откуда, принимая во внимание тожество
1
_
1
11
—,
1
2ч1ч1
1+
аН-+2-^ а
Н-ИГ
>Т2 ^ ~(л+31
°Vqp2f

>-t-21

и условие
выводим
3

- 2

<

'

- L

i+ Ji-f|
J' и1
а;х+21

А. А. Марков. Избр. труды

50

Теория чисел

1
1

1 -ь
1

-+

1
а

+

1
1
a''+(2f+]>

VF2/

Но, с другой стороны, из теории непрерывных дробей
известно, что каковы бы ни были целые положительные
числа
°V+2>

auHF3> * * •» a^+2^»

a,u+(2/+l)»

разность

1-*aH+2" >+3
+

V F2^a

1
°VhF2#-

^

H-+-3 ^

1
V f (2./+i )

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

не больше

1

1

51

1

1-ь

1

1
1.
1
2j -н 2

2/-+-1

а эта последняя разность при всех значениях у, превышаю
щих некоторый определенный предел у1, менее данной велио
2
чины 3 — у
Следовательно, обозначая через у0 наибольшее значение
числа у для искомого ряда У1, будем иметь
У о</.
Кроме того, нетрудно убедиться, что при
rk

Гfc+i === •+-1

число р последовательных равенств
r *+ 2*

^ —2 ---- Пс+3* • • •>

Пг—р ----- Or-t-p-M

должно удовлетворять условию
( p - b 2 ) r ° ^ y 0- f - l .
На этом основании, обозначая через р0 наибольшее зна
чение р, а через
ао> т©> •••
количества, которые зависят соответственно от рядов
5, Г , . . .
4*

Теория чисел

52

таким же образом, как р0 от R , будем иметь
У о^/.
(Ро-*-2
(<r0-» -2 )s0^ P o 4 - l ,

(27)

(T 0 - + - 2 ) f !l^ c f 0 - t - l ,

Эти неравенства
можно найти ряд

показывают,

что в совокупности (Ф)

,.о ИГ,
„о
,.о
,0 ИГ,
ИГ,
ИГ,

W„о

W

состоящий только из равных целых положительных чисел;
ему предшествует ряд следующего вида:

v

v®— 1

г0 — 1

V

А число рядов
R , S, Г , . . . , U, V, W
но может быть более у1-*- 1.
В самом деле, в противном случае ряд целых чисел
Ро> * 0,

т о» • • •»

которые удовлетворяют неравенствам (27) и не могут быть
отрицательными, содержит, по крайней мере, / - b l членов,
а это невозможно.
Положим теперь, что между числами
Ро> ^ 0» т о> • • •

ряду U соответствует ^0, а ряду V соответствует у0.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

53

Тогда вместо неравенства (27) будем иметь

(Ро-*-2)г°<^/0-1-1,
(5о•+■2) S0 ^ ро-+-1,
(Хо ~+~2) v°

^28)*

фо -+-1,

w° = Xo-blА неравенства (28) допускают только ограниченное число
систем чисел

/о» ** » Ро» ^ » ®о> • • •» ^ » ^0 » ^ »
удовлетворяющих им.
Следовательно, нашему требованию удовлетворяет только
ограниченное число рядов J 1.
Поэтому и между рядами J можно найти только ограни
ченное число таких, для которых

Lr> l > 4
при всех значениях [л, так как кроме рядов J 1 этому усло
вию могут удовлетворять по доказанному только два ряда:

..., 1,1, 1,1, 1,1, 1 ,1 , . . .

/о

. . . , 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 , . . .

Л

и

Другими словами, если данное число I более

> то ему

соответствует только конечное число классов форм (а, Ь, с)
данного положительного определителя Z), численные значе
ния которых не могут быть меньше /V/).
* Если
дующие:

W совпадает с R , то эти неравенства обращаются в сле

/■°=Уо”Ь !•

54

Теория чисел

Заметим еще, что найденные таким образом ряды J
должны быть периодичны.
Пусть (а 1, 61, с1) —1некоторая приведенная форма, соот
ветствующая одному из этих рядов у.
В таком случае, обозначая положительный корень уравне
ния

ох^-\-<
гъхи - с х= о

через 51, а отрицательный корень того же уравнения через
—^

? будем иметь

1
Pg—i
и

где
f'l > •••» Pg—]> Рд
один из периодов ряда /.
Отсюда затем, введя две несократимые дроби
■=

(V

р*
Q1

V
1

: Ро-ь ^1 ■
1
i

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

55

и замечая, что по известным формулам теории непрерывных
дробей
+

и

1
’$-1"

1

получаем
r i_ £ !l± Z i
4
Q?1 Q1
и
P/)i

Q

piyjl+.Ql
Следовательно, уравнение
Q¥ — ( P — Q i)? — p i = О
п и —
- 1 , как и уравнение
имеет те же корни ^
а 1¥ -*-2 Ь 1£-+-с1= 0.
А это возможно только в том случае, когда
61 _
ai —

Р — Qi
2Q

ci _
И ai ~ '

Pi
Q

2

Итак, при 1^> '^ для всякой приведенной формы (а, 6, с)
данного положительного определителя Z), численные значе
ния которой не могут быть меньше /V/), отношения

и

равны некоторым рациональным числам.
Принимая во внимание рассуждения § 1, нетрудно убе
диться, что эта теорема может быть распространена и на
неприведенные формы.

Г Л А В А II
§ 1. Для удобства дальнейших
несколько наши обозначения.
Положим

рассуждений

изменим

w n— a 0, v ° = a 1, . . . , s ° = a „ _ 2, r ° = a „ _ i,
и затем обозначим ряды
W, V , . . . , S , R
соответственно символами
(ao)» (a 0> a i)> •••» (a 0> al>

•» aw—2)» (a0, ^1» * •

Символ (a0) означает ряд
•••»a0,

«о» «о» ^0»

« 0» * ••

символ (a0, ax) — ряд

и вообще, если символ (a0, а ъ
6ft, _ 2, б*,—1>
то ряд (a0, alf

а*) означает ряд
о»

2> •••»

а*, аА+1) можно представить так:

а*-])-

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

o/c-f-l — 1. _
gfc+i — ^ л
5+]
V м
> afe+l>
/Л
> Gfc+l»' -V— —

gfc+i — 1
•••- ak+"

a*+l>

flfe+1 — 1
l/ "*> •* *
0^2

Обозначим, кроме того, символом ^
, 6fr, —2>

_2>

57

Ъ

1> ^Лг, 0> ^Л,0>

_ ^ряд
1>

1>

2>

2> •••>

который получается через двукратное повторение членов
ряда (а0, alf . .
afc).
При такого рода обозначениях символ
( Щ, &1т •••> &п—2> &п—1> 2\
\CLq 9 # i , * • • , CLn_ g,

2 /

представляет ряд У1, для которого соответствующий ряд R
выражается символом (a0, a lf . . . , ан_ 2, a»_i).
Распространяя эти обозначения и на ряды /0 и /2, для
которых нет соответствующих рядов R , мы будем представ
лять первый из них символом

а второй с и м в о л о м ^ )

ы
/
v /Оо, а1>* ••>Ofe
Из способа составления рядов (а0, а 3, . . . , ай и {
\ао>ai> •••>а и
легко видеть, что они периодичны.
Каждому ряду (а0, а 19 . . . , а ^ , а*) соответствует несколько
периодов, которые могут быть получены из одного при
помощи круговых перемещений всех его членов.*
А именно, если
OCj, 0С2, ОСо, . . ., 0Lm_ 2 , 0СШ
_2, 0CW

П!

один из периодов ряда (а0, а г, . . . , «fc_lf а^), то все прочие
будут:
Здесь, как и во всех дальнейших рассуждениях, дело идет о перио
дах с наименьшим числом членов.

Теория чисел

58

^2> а3» •••> —2>
—I»
а3, . . . , 0Чи_2» a w—]> °Чи» °Ч> а2>
И
aw?—1> &»)?> ^1» ^2> ^3» •••» &т—2>
&ту &1» ^2» а3> •••» ^пг—29 —1•
Мы будем говорить, главным образом, о двух из этих
периодов.
Один обозначим через [а0, а 19 . . . , а ^ , а*] и положим,
что он совпадает с периодом П2; другой обозначим симво
лом {а0, а3, . . . , ajfc_lf а*}, и пусть он будет
°^х+1» •••» а»г>

а{л—1*

Из периодов ITj и П2 выведем новые периоды:
ак+-г — 1
•
я&ч-7
1
У
'> а к+ 1> '
а3
а2

1

ак+1
1
а к+ъ • • •> '
а^»и > a Jr+i

И
а^+ 1 — 1

ак+1, '

'

a(J
— 1

^
а1

* * •> а *+1> '

> •••» a*+l>

afc+i — 1
^
’> а А:+]>
am

ак+ 1 — 1
ajJL—1

из которых первый примем за {a 0, а3, . . . , а*,
а второй
за [а0, а г, . . . , afc, afc+1].
Это правило, которое, очевидно, не противуречит дан
ному раньше определению рядов (а0, а , , . . . , щ, a k+1)f мы
примем за общее.
Оно дает возможность последовательно определить
периоды
[Go* a,],

{a0, <Zj,

К

^i» ^2> a3], •••

{a0, a^ ,

[a0, a l9 a 2],

{a0, alf a2, a8}, . . . ,

и
когда известны {a 0} и [a0J.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

59

Между тем, ряд (а0) состоит только из членов а0 и потому
символы {а0} и [а0] безразлично должны обозначать одно
членный период а 0.
Таким образом, символы {а0, a lf . . . , a k\ и [а0, a lf .
а*)
вполне определены.
Например, [а0,
и {а 0,
соответственно будут
а л>
§

и

2 . Сравнивая периоды 1\ и П2 с каким угодно из про

чих периодов II
'-GJ—1»
между разностями
Я-со» * ••» &»и—о>+1

^«1—OJ+2

>* * * у

1»

найдем непременно не равные нулю, из которых первая
равн а-ь1, а последняя равна— 1; подобным же образом
и между разностями

найдем непременно не равные нулю, из которых первая
равна— 1, а последняя - 4 - 1 .
Действительно, в случае а0> 1 указанное нами свойство
отличает периоды [а0, а г] и {а0, а г\ от всех прочих периодов
ряда (а0, а г):
«1— 1
—— a lt О]
а0 — 1

а, — 1, О],

1

Теория чисел

60

Что же касается
только два периода

ряда (1,

аи аг— 1
т. е. [1, а 3] и {1, а3}.
Но зато указанное
[1, «к «г]

а г), то

и

нами

ему соответствуют

а г — 1, а 19
свойство

отличает

периоды

а2 — 1
а2 1
&2у ал—
v 11 > ^2* " а3

и О , а ъ а 2\
а2 — 1
а2 — 1
у “ 2У „
1У
2
«1
от всех прочих периодов ряда (1, а 19 а^\
а2 — 1
~
— 11 у

а 2 “- 1 »

и 2У

«2»

а2 ~ - 1

а

"

а2 — 1
а2 — 1
" ' 1 » а 2У
a i- v
1

а1 ~

<*2 — 1
’ ° 2’

<*2 — 1
а 2У

а2 — 1
' “ 1
а3
—1

а1

У а2

У

<*2 — 1
У а 21 ^ *
а\ —

\

1

Вместе с тем из способа составления периодов [а0, а ъ . . . ,
ал, a*+i] и
«I»*--» а*, ад+1} видно, что они непременно
обладают этим свойством, коль скоро периоды [а0, а 19. . . , а*]
и {а0> а3, . . . , ajc\ обладают им.
Следовательно, наша теорема имеет место всякий раз,
когда ряду (а0, а 19. . . , ад) соответствует более двух периодов.
Подобным же образом не трудно доказать, что, за исклю
чением крайних, каждые два члена периода [а0, а 3, . . . , а д ],
равно удаленные от его концов, равны один другому и чле
нам периода {а0, а1, . . . а д } , столь же удаленным от концов
этого последнего.

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

61

Крайние же члены
—1>
периодов [а0, а 19. . . , а*] и {а0, а 1У. . . 9 а к\ соответственно
равны
afc, a k — 1, а к — 1, а*.
Исключение представляет только простейший случай к = 0 :
символы [а0] и {а0} означают один и тот же одночленный
период а0.
§ 3. На основании результатов предыдущего параграфа
«О» а 1У• у С!к
легко убедиться, что для ряда
maximum
а 0у

а

У <*к

Ъ

количества -г— первой главы равен 51

а™-*&т—1'*+'

Qtm—1
1
1
а2 н-------г
а2“*-------х

а .-ь
*2“*------ 1
а2-»------а3-н

а8 -

1
ат "+

1
ат *+

1
_1_
V)1

62

Теория чисел

Сумма 51"+'”т

легко может быть выражена при помощи

Р
Р'
несократимых дробей ^ и - qt , соответственно равных
ос1 '

1
-а-----__1__
Of,wH

1
&т—] "+■

&т—1

а2-+~

а1
а,1 ч-«

i
(Хт-I-----Чы "Ь
а т~

1

•+-

агп-1 ■

а2-+-

*2

так как i;1 равняется положительному корню уравнения
Q F - i P - Q ' n - P 1^ О,
a

------отрицательному корню того же уравнения.
Таким образом, обозначив maximum количества

,
~jT , выводим

через

*

(1)

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

63

^
Р
Р1
Заметим еще, что q - > q T и потому
P Q 1 - P 1Q = -f-1 .

(2>

Формулы (1) и (2) могут быть приложены и к случаю
k = 0, причем тогда
_Р
Q

.<*0‘
<*0

W
§ 4. Количества а0,

«(Г

1

4

а к__19 а к в символах

(а19 «

(а0, «!>•••>

ер
1

:а 0

Q1

!

,

1

.

.

аЛ

/» 1/*0>

\ а 0,

afr_i, а * /

{а0, a l9. . , 9

•••>а к—19 а к\*<

ал}

по самому существу вопроса должны быть целыми положи
тельными числами.
Однако мы считаем полезным распространить понятие*
об этих символах и на тот случай, когда а0= 0 .
Условимся выводить ряды
(0, а 3, . .

а к, afe+1)

и

/0, О},. . ., о к9 о к+1\
l
I
\0, a l9. .
а к9 a k+ J

из ряда
(0, а 19. . . 9 а к)
и периоды
[0, а Х9. .

а к9 Oft+i]

и

{0, а Х9, ••,

^л+i}

из периодов
^0, а 19* . а к\ и

[0, а х. .

а к]

при помощи тех же общих правил, какие нами были указаны
и для случая а0 > 0 .

Теория чисел

64

Например, символ (0, а х) означает ряд
« !—■!

<*! — 1

<*i —1
ai — 1
О ’ ° 19
т . е.

., flj, fl], Cl\y CL\y CL\y &\y G\y ■

а символ (0, a u a 2) означает ряд
a 2— 1

Cti > u2
~»

a 2— 1

al ■f a 2»
~

«2 — 1

al

«2— 1
al

» u2»

Вообще нетрудно убедиться, что символы
(0,

/0, a j , . . . ,
0*Л _
afc_i, од, L
)» IP» ai»*'*»
\U, a3, . .
a*_-i, a kJ
{0,
a k_ u a k\

,
з afe]»

соответственно равносильны
Gfe-i, вк\
.,
а
к__19 а к)
W -у Gfe—l, Qk\еще новое

обозначение:

«и a2,. 1••»
Pi, ?2» •••»
Yi, Y*- ••» YГУ

если

несколько
о to ^

§ 5. Введем
периодов

Si, s ,,. ••» 7'ТП
связаны между собой таким образом, что для получения
периода А надо написать по порядку обыкновенного письма Ь
раз период В , с раз период С , . . . , и, наконец, / раз период F y
способ образования периода А мы будем выражать симво
лическою формулою

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

65

Прилагая это обозначение к данному нами в § 1 способу
составления периодов [а0, а и . . . , ак, а*+1] и
а г, . . . , а к, а к+1
получаем следующие формулы:
[а0, «!,•••> «ь о к+1] — [а/.+1] -+- [«/fH-i
1]
-+- [afc+1]
•+■а»н[^k+i — 1] ■+■[ait+i]
rj-\[ajf+i — 1] -ь •.
[a*+1] -ь
i [fif+i
1];
(3)
\a0, щ , . . . , a k, a k+) £ = a,
lj-+ -{a j;+3J-H a 2 {ai+ , — 1 }-*{a*+il '+'• •

ai« {«fc+i — 1} ■+■ {at+ ib

где
— {a0, a 3, . . . , a k\
и
. .-t-[a m] = fa0, a , , . . . , at].
В частном случае к — О формулы (3) дают
[а0, а3] = [а,] -+- а0 [а, — 1],
К , аЛ = а0 {а1 —
где а0- ь 1 и а г — произвольные целые положительные числа.
Полагая затем в формулах (3) к равным единице и при
нимая во внимание формулы (4), находим, что для образо
вания периода [а0, а 19 а2] надо написать по порядку обыкно
венного письма а0 раз период
[a2]-+-(a1 — 1)[аа — 1]
и один раз период
[a2]-4 -a 3 [a2— 1],
•а для образования периода {а0, а г, а2} следует написать один
раз период
а 1 \а 2

1\

и затем а 0 раз период
(a3— l ) { a 2 —
5

А. А. Марков. Избр. труды

66

Теория чисел

С другой стороны, те же формулы (3) дают
[ а 2]-+ -(а ^

— 1 ) - [а2— 1] = [аг — 1>

а 2\

а г\а 2 1} “+" \а 2\== ta i>
[а2] ~+- аг •[а2 — 1] = [а и а 2]
и
(#1

1) * {#2

---\а 1

^2^*

Следовательно
[а0, а и а 2\ = а ь [а 1 — 1, а2]-* -[а 5, а2],
{а0, а 2,
= {<*!, а 2^н -а 0 {а х—
Перейдем к более общему случаю.
Пусть будут
^9 P> Т»............
a', (*', y', •••••
P",

t" , - - - -

.

p',
A,

p> ,

соответственно периоды {a0, a l9 a2»•••> ^2/—
*i^»
^2>” ••9 a 2l—l
и
— 1, a2, . . . . ,
допустим притом символическое
равенство
{a 0, fl], а2, . . . , а2г— ==ао fai

1» а 2»•* •> #2/—i ^

В таком случае из формул (3) следует, что для образо
вания периода [а0, а ъ а2, . , . , a 2J_ i, с^] надо написать а0 раз
период
Iа 21] "+-

[ а 21 —

1]

[а 2/]

Р" [а 2/— 1] - ь . . .

[а 21]

[л." [а2* — 1]

и затем один раз период
Ia 2/]

^ [a 2i — 1]

[a 2^ ] P * Га 2/— 1] - ь . . . - ь [a2i] -+- c' [aw— 1],

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

67

С другой стороны, те же формулы (3) дают
[а2г]

а" [ а 21 — 1 ]
= = [« 1

. . . -н [а21] - ь [л" [а2, — 1] =
1»

* * * » «2/—]»

а 2/]

И

[« J

а ' [«2/— !]*+-• •
*'[а п — 1] =
“ [ а1» а2» •••> «2^—1» а2г1*

Следовательно,
[его, а 2, а2»•••> «гм » a2/]~ «ol«i
1» а2,
[а1, «2> * * * > «2/—1> «а?]“

i» «2/1

Подобным же образом, допуская одно из равенств
[&0>
а 29 •* * »«2/—
-l]
[«1» «2> • • •9«2Z—ll ^ «О[«!>
Wto a i9 а 29 • • •9 a2/^ = {ai» ci2l. . ' , а^\ -+- а0
[а0, а 1? а 2, . . . , а2г] = а0 [ах 1, а2, •. ., с%] -+•

1» «2» * * •> —13>*
1, а2, . . . , а2/},,
, а2, •. ., а2/],

получим соответственно одно из равенств
{<?()» °и а 2г• • •>«2Z—] >a 2l\ = {«] * а 2>- •• 9 а 21—U a 2l\ ~+~
~Ь- C7q CLy 1, (12у. . . , &2Z—1> «2Z} у
[<70, Oj, а2»••* >a 2Z> «&-ц] = [а ] > а 2>• • •9 a 2l> a 2l+1]
н - а 0[о3 1, а2, . . . , а2(?, ti^z-t-i]*
{а0, а1? а2, •••,
«аг-н} = а о №\ 1» а2>•••» a2z> GaM-i} “+_
\а -\1 а 29 * ••9 а 2П «23+1 }•"
Сопоставляя эти результаты с формулами (4), легко убе
диться, что
[а0, а и а2, . . . , а и_ г] = [а19 «2, . . . , <%_,]-+>4, аг, а2, . . . , ^2/—]} — «о ^a i

“*~«()[а 1 1» а2>***> «23—lL
1 > «2»---» a 2t- }\-+~+~ \а 19 а2, * * * , «23—]£>

К »

1»

«1 ,

« 2, - - - ,

«2 з ]

=

ДО [ « 3 —

«2»---»

« « ]-* “

-+-[«!, а2, . . . , с%]>
<а0» «1» «2>--‘ ,
5*

= {« 1 » «2>” -> «2^-+*+-а0 {а 1

1, а 2, . . . , а 2^

(5 )

68

Теория чисел

при всех положительных целых значениях количеств
t f а0н -1 ,

а 2, •••,

a 2f

Подставляя в формулы (5) а0*+-1 на место а0, получаем

а]> а29• •

---[а 1> ®2» ♦ • •> °2*-з] 1
"+■ (а<> •+■ l)[ « i — 1 > a2, . . • > a2H—ll»
а2,. . •> °2i—3!^ = (а о "4-1 )
^а0-+-1,
— 1, a2,.. • > a2jf--lJ -b
, о2>• • •> a2<—1»>
lo o -*-!. «1, а2,. . •» агЛ = (a0-+ -l)[a j- - 1 , a 2, .. •9 a2if] 1+ [а Лу a 2, •••> «аЛ»
а2,
.
.
{а0-ч-1, «1»
•» а2/^ = {ai, «г.- • агЛ b
-+-(a0H - l) { a j —
«2.

Отсюда затем выводим
[a n-+ -l,

«1,

a 2, • . • i °2lf—l l =

к

,

«]>

<22, • • • ,1 « 2 * - , ]
1 ,

-

a 2> • • • ? a 2l—з]>

a 2 t . . . ' > a 2*-- з Г +■ { « 0 » a i , a 2, . . . ,

{“ o 4 - 1 .

<*» a 2, . . •> a 2j _ j | =

{a j-- i ,

[a 0-+ -1,

a 29 • • •> « г Л

=

[ а ,- - i ,

a 2>. . .

\а о~*~ 1 »

a 2 , . . •> а й Л

=

K >

a 2, . . . > a 2t\\-b-

+
«3.

9

3}

a 2lll| н ~

[ a 0» « 3 .

1,

flg * • • ,

a 2, • •

«аЛ .

a .J .

§ 6 . Положим теперь

а»= 2,
т. е. перейдем к наиболее интересующим нас рядам

f a 0, а и . . ak_v 2\
\ао> а и • ■•> а2—з» 2/

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

69

В этом случае на основании результатов § 2 получаем
1
__
1
—
Я.да “

1

Яда— 1 '
Я.да— i *

Ь

1
I
1

1
1

• (7)

1
1
— ,1-1------а2 +-

1
а2 н-

OCm
—1*+•
Я-т—1 +"
Первая из
Р — 2Q
равна — q— •

этих

дробей

согласно

Я-т *
ат
обозначениям § 3

Кроме того, по известным формулам теории непрерывных
дробей имеем
p —pi
1
: а, -ь
Q — Qi
1 '
1
а»й-+1
Я.да “

Я-да-

а«нь

ai “

70

Теория чисел

я затем
Q — Q1
a j-l+ -

а2ча2“

&т—

1

‘

ОГ.щ—1 ~+"
&7П’

У-т

На этом основании равенство (7) дает
Р —2 Q _ Q — Q1
Q
Q
’
следовательно
Q1= 3Q — Р .

(8)

Сопоставляя формулу (8) с формулами (2) и (1), находим
(9)

=
И

( 10 )

Итак, для вычисления L достаточно знать соответствую
щее значение Q.
А для вычисления чисел Q мы выведем формулы, соот
ветствующие символическим равенствам (6).
Заметим здесь кстати, что формулы (8), (9) и (10) могут
быть распространены и на ряды
для первого из этих рядов

и (l)»

если примем

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

Р _о

1

1 “+ " 2

Q

и

Р1

о

Q1

^

77

а для второго
Р

1

Р1

-Q 7=1 + х
§

и QT ~+' 1 -

7. Пусть будут

^*’х- = 2-«— —
Q«;>.
а -+-

’

Qi,

х ‘ь 1

Хч-1
р
1
Г ^ = 2 -+- —
<?,>«>

( А , СО

q [:А ,

|А ■ +

СО

СО 41—

1
(О

р

Г а"! со
Q «J со

= 2 -ь

1
OtНЬ

и

1

а нь

л »

1
2+
}А ? (О

1____
•QjA5 (О

72

T еория чисел

л и

=

2-+ -

< ?U

l
1

Ct*+
a *+-

^ -t- —;--------r~
pl(A,tO*■^о[A,
шесть несократимых дробей, для которых
Qi,x = 3Q a?x — P a, X»
QJ., ш=

t0 •

(8а>

[ А , (О >

Qa, (V)= 3 Q a? w
По известным
имеем

формулам теории

непрерывных

дробей

U > Q U - p U < U . = -*-!>
Р fA }< 0 ^о( A1j t O __Р 1[ A , t oпV : f A } < D = - * - 1 >
Р
О1
л в?«о'<а,1
S On

'о

---

Р р

-1 «, X-* fAj to

(2а)

л и и « — 4 -1

. D1 Л

pi

a,Xv<{Ai<o> 1 a, to

--- р

pi

1 *, X7 [i, «о

.p i

f)l

* a, Х ^[ а, to?

( ? .,,о = ( ? ,,) .Л ,щ+ 0 ’ ,х ( ? йи, <5 a ,m = Q « ,X ^ U -+ - C ? U ^ ,

(И )

откуда на основании формул (8а) выводим

D1

---

П ,х —

op

Лtt1, л
х 1
Q7)

P>| A , U>

=3P,[ A ,

P a,1 to

=3P.a? to

to

ли- 1
QK,«

to

(9a)

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

73

<о-+- I 3Р,а, X~

Л , «а= Л , X

(3 Q ^ -

Q*,u>— Q*,\Pi{J., w

p

J

q

^ ,

.

(12>

(J-, ш
( 3 Q a,X

01, ш= о * , Л з р ^

Р а ,х )(3 0 р., ,0

P f r <о)'

Подставляя найденные нами выражения P ejt0, C?«,w и (2J ,
в последнюю из формул (8а), получаем

Р^ш-— '-b(3Q.,x-^x)(3Q fi., <о

ЗР„,
-

«>
3<2„ х />„„ <0-4- 3 ( з а , X- Л , х) Q„ о, - Р « X
р ,А____
+1
о Г)
_а>
X
Q
I ^[Х?о»
^•а, X

я

)=

«

а это последнее равенство после весьма простых преобразо
ваний обращается в следующее:
Q l .v - t - i P ^ Q v , «.■ ■Р,„ 0<2.,х)2=

= 3Q„jX Q,!,*, (X*«,xQ(ii,0)

^ l4 .0*3®, x)-

(13)

Принимая затем во внимание, что количество
Р

л* X Q

jx , о)

to

X

на основании второй из формул (12) равно
3Q X0[Х, <0

^«5 (и>

вместо равенства (13) мы можем написать
Ql,

x+ Q^u+(3Q„хQ* ш- Q«, J 2~
- |x ,

to

'

\w

a, X

[x, t o

= 3Q„, x Qu, u>(3Q«, xQ,
' a, X v

(Л, t o W

4^ a , X ^

fx , to

^

C L J>
a9 1

откуда, наконец, по раскрытии скобок выводим

QI,

х

Q 2, » +

Q .! , » =

3Q « , х

(й Q a,

(И )

Тгория чисел

74
§
с

8.

Сопоставляя

ф орм улам и

рассуж дения

(6) и (8 ),

2( + Q8R

<22 { а 0 ч - 1 ,

-+- Q2{ai — 1,
X Q

пред ы д ущ его

а 2, .

^ i>

.

параграф а

находим

а к__1У 2 \ =

* • •»

3Q

ак-и

2{-ъ

• • •t Ojc—D 2\,

(15 )*

a i>

«2»---»
о2,. .

\а0 -+ -1, a v

2 } • Q {^1

1> ^ 2 ,

2 \Х

гд е

к — 1Л а0-*-1, а„ а2, . . . ,
произвольны е
Н а

О 2

том

К

"+~ 2 ,

- f - { d j

целые

же

полож ительны е числа.

основании

GLj, d 2, • • • »

1 , d 2>• • • j

X Q {flo ' * 1>

имеем

2 } * + “ Q 2 {йф —I - 1 , d 1? d 2, • • • »
2j- — 3 Q К

I- 2,

^2, • * •у ®k—i9 2 } • Q {d j

2 ^ "+“

d j , d 2, • • • у Q-it—j9 2 \ X

1 , d2>. • •»

2 },
(16 )

Q2^l>

1>

•••»

a i>

1> 2}-+-Q2{dQ-+~l, dj, d2, •••,

-+-Q2{d0, a lf a2, . . dt_2, 2} = 3 Q { 1 , o0-+ -l, dx, a2, . .
X Q { a 0 - f - 1 , d 1? d 2, • . • , d j f ^ , 2} • Q { d 0, d j , d 2, . . . ,
Если

же

сравним

ф орм улу

(15 ) с каж д ою

из

Щ

— .1 9

2}*+■

a*_lf 2 } X
2£.

d/f_] ,

ф орм ул

(16 ),

получим

/ Q {a 0 -+- 2, а 19 а 2, . . . , а к_^ 2 }-t- Q { a 09 а 19 а 2, . . а к_ 1У 2
\

3 Q {dQ + 1 ,

d lf d 2>• . • у ^ _ i > 2 | * Q
/ Q

{ d , H " 2 , a T, d 2, . . . ,

{d^

1 , d 2, • • • ,

Qk— i9 2 }

X

cLk—j , 2 } \
(17)

\— Q {«о»

«£»•••» a *-i, 2}

)

* Мы обозначаем вообще символом Q {a , 6, с, . . . , /} количество Q
§ 3, соответствующее ряду ( * * *
\а, 6, с у . . .

у

).
I)

Подобным

же

образом

/а, Ъ, Су . . . i I \
),
\OLt Ьу Су . . . у I }

количества Р , Р 1 и Q1, соответствующие тому же ряду (
мы будем обозначать через Р {а ,
Ф1 {о , Ъ, с,
, 1\.

Ь, с, . . . , /} ,

Р 1 {а , Ь, с, . . . , 1\ и

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

75

и
( О
<*0 *
^1» ^2> •••»
1> 2| + Q
1, CZ2, •••j
2^ \
— 3Q {а0 -ь 1, Oj, а2, . . . , а*_а, 2J •Q |а0, а 1г а2, . . . . ak_ „ 2 \ ) X
/ Q {1 > Щ
1 » ^1? &2, •* * » ^Л"—1> 2} \

V

\— Q{«1 — If 02i- •*i а *-], 2}

/

=

0.

(18)

Но, с другой стороны, нетрудно видеть, что
Q { a 0-*-2 , a v а2, . . . , а*_„ 2 } > Q { a 0, a lt a g, . . . , at_ lf 2}
И

О {1 > «0

1» ^1» ^2» •••»

1> 2}

Q { Я]

1, do, •••, CLfc—li 2 j-,

следовательно, можно сократить равенство (17) на
Q {a 0-+-2, a lf a2, . . ., afr_j, 21 — Q {a0, a,, a2, . . ., a k__lf 2j ,
а (18) — на
<2{1, a0 *+-1, alf a2, . . . ,

ajt^, 2 j — Q ^ — 1, a2, . . . , а*_1э 2}.

Итак,

Q { a 0-K-2, aj, a2, . . . , a*_i, 2 } = 3 Q { a 0-t-l, alf e2, . . . , a * _ i , 2} X
X Q
1» ^2> •••» ^Ar_i>2}
Q ^a0, <ii, &2>•••> —1> 2^,
(19)

Q

«о ®
» ^A'—l» 2} 3Q |fl()“I ’ 1» Gi, ^2, •••> —]» 2^ X
X Q { a 0, flj, a2, . . . , afc_i, 2^— Q {a x— 1, a2, . . . , afc_ a, 2}.

Соотношения (19) дают удобное средство для вычисления
чисел Q, когда известны
Q{2\, Q { 1 , 2 } , Q{ 2, 2}, . . . , Q ( « , 2 ) , < 2 { a + l , 2 } , . . .
и.
Q { 1 , 1 , 2 } , Q{ 1 , 2, 2},

, Q { l , a , 2 } , Q { 1 , a + 1, 2 } ,

Теория чисел

76

А для этих последних количеств формула (15) дает
Q2 U , а, 2\ ч - Q2 {а, 2} ч - Q2 \а -

1, 2} =

= 3<2{1, а, 2* <2{а, 2} Q\a — 1, 2},

1 ;

где а — произвольное целое положительное число.
. Кроме того имеем,
=

Q № = 2,

P \ a ,2 \ = Q \ a + l , 2 l
Q 4«,2}=Q }a-l,2},

Q { 1 , 2 } = 5,

P \ a - \ , 2 \ = Q \ a,2\ ,

(21),

p ^ a - \ , 2 \ = Q \ a - \ ,2 \ ,

откуда, принимая во внимание формулы (8) и (9), выводим
<2т=з<2ш -<2ш -с?ш ,
Q{1,2} = 3 Q } 2 } - Q { l } - Q m ,
Q ( а - ь 1, 2} = 3 Q{ a , 2} •Q { 1 } - Q } a - 1, 2\

(22)

и
Q *m + Q 4iK cp m = 3Q m -Q {i}-Q m ,
Q2{ 2 } 4 - < ? { l } - + - Q 4 l } = 3 Q { 2 } - Q U } •Q W ,
(23)
< ? { a , 2 K < ? { a - l , 2 K Q * ( l H 3 Q { a , 2\ - Q \ a - 1, 2 -Q \ l\ .
Наконец, сравнивая равенство (20) с последним из ра
венств (23) и, принимая во внимание неравенство
<2{1,а,2}><2Ш,
получаем
Q U , a, 2} = 3 Q ( a , 2) •Q ( а - 1, 2 } - Q{ 1} .

(24).

Итак, для определения Q (1, а, 2} достаточно знать
Q \a,2\ и Q \а — 1 , 2 } , которые, со своей стороны, легко
могут быть вычислены по формулам (22).
§ 9. В заключение нашей статьи скажем несколько слов
о решении в целых положительных числах уравнения
X2 ч - у 2 Ч- Z 2 — 3 x y z ,
к которому мы пришли в конце § 7.

(14а)

О бинарных квадратичных формах положительного определителя

77

Предложенное уравнение симметрично относительно не
известных х , у , z.
Поэтому, зная одно из его решений
у = р, , z = y ,

х — ос,
не трудно найти еще пять:
х = я,
*

=

y — T*
P, y = V»

ii

*

*= '{>
x — ';,

* = p;
z — oc;

y = ; a,
y = ■a ,

^

y = P,

z

1>
=

a.

Все эти шесть решений могут быть, конечно, различны
между собой; однако мы условимся считать их за одно и
будем обозначать так:
х , у , г — а,

у.

Вместе с тем очевидно, что мы имеем право для большей
определенности предполагать
а^Р^ТСогласно нашему условию формулы предыдущего пара
графа дают для уравнения (14а) следующую систему решений
х , у , z — Q\\\, Q{ 1) , Q { l h
х ,у , z = Q {2 \ , Q W , Q W ;
х, у, z = Q \ l ,2 l , Q {2\, Q U b

»

X, у , z = Q \a,2\, Q {a — 1, 2 } , Q{ 1 } ;
.........................................................................
x , y , z = Q { b , a , 2\, Q { b
1, a, 2), Q { a - 1 , 2};

Jr* U> z = Q \l, j ,

b, a, 2\,

b, a, 2\,
Q \j —

1, i,

ii

. . , b , a , 2\;

78

Теория чисел

Допустим теперь, что некоторое решение
х , у , z = а, Р, 7
того же уравнения не заключается в системе Q.
В таком случае числа а, р, у не могут быть все равны
между собой, так как при
*= P = Y
решение
х, у , z = ос, jo, Y
должно совпадать с первым из решений в системе il.
Поэтому мы можем считать
а^>Р>у

и

о с> у .

и

а>у

Сопоставляя неравенства
a>(J>y
с уравнением
а 2- ь р2

у2 = Зару,

находим
ЗРу > a > ру.
Если же решим уравнение относительно а, получим
З3т dr. ^9,62 Т2 — 4

Т2).

a==--------------2------------И з двух
потому что

знаков ±

в этом равенстве

9р2 у2 — 4 (р2

у2)

р2 у2

надо

взять *+>

О бинарных квадратичных формах положительного определителя % 79

И
ЗРт - V932T2-4№ 2 -b Y2) ^ ^
2
= РТ
при всех целых положительных значениях Р и у,
Следовательно

З Р у> о с> 4 ^Т
и

разность
Зру — а

заключается между нулем и ос.
Обозначая эту разность буквою Ъ, из уравнения

О
С2-4- Р2-4- у2== Зофу
БЫ ВрД И М

Р2 -4~ у 2 *4—В2 — З Р у ^ .

Итак, из данного решения
Ху У У

Z

= CL, Р, у

можно вывести новое
Ху

у

уz—

$y

у , <5,

причем

Р-4- у -4- S < О
С-+- Р-4- у.
Новое решение также не заключается в системе 11, так
как в противном случае и начальное

У, г =

ЗРу — S, р, Y

должно заключаться, согласно формулам § 8,
системе Q.
Поэтому, преобразуя решение
* , у , z = р, у, S

в той же

so

Теория чисел

по указанному нами способу, получим еще решение
X, у , z = Р', у', S',
которое также не содержится в системе И и удовлетворяет
неравенству
- ь у' -ь Ъ' < р -ь у -tРассуждая подобным же образом далее, получим беско
нечный ряд решений уравнения (14а)
х,

у, z = v 9 р ,

у,

х, у у z = fi, у, й,
л:, I/, z = p ', у', S',
х, I/, z = p", Т".

и бесконечный убывающий ряд целых положительных чисел
•Р-ьу.

Р-

А р'

•S',

р"

V' ,
■Л

А это невозможно, так как существует только конечное
число целых положительных чисел, не превосходящих дан
ного предела ос-ь(3-ьу.
Следовательно, сделанное нами допущение противуречит
основным понятиям теории чисел.
Итак, все решения, в целых положительных числах, урав
нения (14а) должны заключаться в системе

Таблица чисел Q {ао, а\, • • • . , ал—1» 2}, не превосходящих 1000000
Q {2 } = 2

Q 0 ,2 } = 5

Q {2, 2} = 13

Q {3, 2} = 34

Q {4 ,2 } = 8 9

Q {5, 2} = 233

Q (0 =1

Q {1 ,2 } = 5

Q {2 , 2} = 13

Q { 3 ,2 } = 3 4

Q {4 ,2 } = 8 9

Q {5, 2} = 233

Q {б, 2 } = 610

Q (0 = 1

Q {1 ,1 , 2} = 29

Q {1, 2, 2} = 194

Q { 1 , 3 , 2 } = 1325

Q {1 , 4, 2 } = 9077

Q {1, 5, 2 } = 62210

Q {1 ,6 , 2} =426389 Q {1 , 1 ,2 } = 2 9

<2 {2 } = 2

Q {2, 1 ,2} = 169

Q {2, 2, 2 } = 2897

Q {2, 3, 2 } = 51641

Q {2, 4, 2} =925765

Q {1 ,2 } = 5

Q {3 , 1, 2 } = 985

Q {3, 2, 2 } =43261

Q {2, 1 ,1 , 2 } = 616S

Q {2 , 2} = 13

Q {4, 1, 2 } =5741

Q { 4 , 2 ,2 } =646018

Q {3, 1, 1, 2 } = 96557

Q {З, 2 } = 34

Q {5, 1, 2 } = 33461

Q {4 , 2 } = 89

Q {б, 1, 2 } = 195025

Q {l} = l

Q { 1 ,2 } = 5

Q { 1 ,1 , 1, 2 } = 433

Q { 1 ,1 ,2 } = 2 9

Q {2, 1, 2} = 169

Q {2, 2 } = 13

Q { 3, 2 } = 34

Q { 1 ,1 ,2 } = 2 9

Q { 2 ,1 , 2 } = 169

Q {3 ,1 , 2} = 935

Q { 1 ,2 ,2 } = 1 9 4

Q { l , 3,2} = 1325

Q { l , 1 ,1 , 2 } = 433

Q { 1 , 2 ,1 , 2 } = 14701

Q { l , 3 ,1 , 2} = 499393 Q 0 , 1 , 2, 2 } = 7 5 6 1

Q { l , 1, 3, 2} = 135137 Q { l , l , 1 ,1 ,2 } = 3 7 6 6

Q {2, 1, 2, 2 } = 294085

Q {5, 2 } = 233
Q {б, 2} = 610
Q ( 7 ,2 } = 1597
Q {8, 2 } = 4181
Q {9, 2} = 10946
Q {Ю, 2 } = 2 8 6 5 7
Q { И , 2 } = 75025
Q {12, 2 } = 196418
Q {13, 2} = 514229
П р и м е ч а н и е . Эта таблица дает вместе с тем решения уравнения л:2 + у 2 + z2 = 3 x y z при условии, что х , у , z целые положительные числа и не превышают 1 000 000. А именно можно взять за наименьшее из количеств х , y t z первое
число какого угодно из столбцов этой таблицы, а за остальные два — какие угодно смежные из прочих чисел того же столбца. Других же решений, удовлетворяющих тому же условию, уравнение дг + у 2 + z2 = Зх у г не допускает.

Таблица периодов (а0, а ъ . . . , аь] для значений к , не превосходящих 5

<2г\
i. Марков. Избр. труды

>
>

я 2
Но
U и

{Y- l f *+l)

{о — 1, Y, лг -*- 1}

(е —1, 5, Y, * + l}
7 . . .х

Y — 1 раз лг

1 . . . .x~hl

1

. . .х Ч -1

е— 1

1 . . •х*+■1
M I T 1. . х + 1
7 • • .X
. ЛГ+1
•Д
Г
5

\Г !

•

Х+1

{ tj — 1, е, 5, •(, х + l }

7 •

-Ц \ :
1.

И:
т•

-И :
7 •
1.
I""1

{б — 1, г), s, 5, у, лг + 1 }

. хЧ~ 1

. .х

. лг

.Д
Г+ 1

. ЛГ
. дг + X

8

. лг

.Л
Г+ 1

г—1

. лг

. ЛТ+ 1
. лг
. ЛГ+ 1

.лг+ 1
. лг
.ЛГ+ 1

и

. х+ 1

V)-!

. лг

.X

. ЛГ+
1 . .лг
.АГ+
U:
. лг
7 <
.ЛГ+
. лг
.ЛГ+
. лг
.ЛГ+
. ЛТ+
. лг
. лг
. ЛГ М
. лг
.ЛГ+
. лг
. лг -I. лг

И 1:

•di

. ЛГ+ 1

£—1

т.
-Hi:
7 •

1.
- 1

{I

1
1
1
1
1
1

1
1

. X+ 1

. лг
.ЛГ+ 1
. лг
.ЛГ+ 1
• лг
.ЛГ+ 1
• лг
.* + 1

П р и м е ч а н и е . Те же периоды читатель найдет в таблице, приложенной к первому тому сочинения И. Бернулли „Recueil pour
les astronomesM.

Таблица форм (а, Ь, с) произвольного положительного определителя D , чис/
ленные значения которых не могут быть сделаны меньше * 1 / 9
4

f
Формы
Щ-

j/

|

\7561/

Minimum'bi

— х у — уЦ

<*2 ~ 2хУ — У2}

/
' 5x2 ~ U x f f ~ 5у2 '

/

j / - ^ { 1 7 x 2 - 3 8 x < / - 1 7 , / 2}

/

{ 89x2 -

/1 0 0

D

] / 4 - ( |

| / { 1 3 л : 2 — 29хт/ — 13т/2}

j

D
/

) 2

к 221

z>

/ Н

ж

■ */
У _9

D

1 / 676 П
Г

К 1517

- \ / 289d
f 650

199xi/ - 89</2}
7,285

у

/ 2 5 7 0 4 5 |Ш ' !

367"

j / 2X170 *97* 2

216д^

^ / 4 ^ 7 {233x2 -

98y2!

521x7/- 2 3 3 / /2 }

1 / 9
V
4

fly .
\169/

/

/
1 / 9
f
4

D
/ 1 \2
\194/

t,

/
1 / 9
|K 4

Z>
/ 1 \2
\233/

S

Г

”

/ 9409
21170 ^

/2 1 7 1 5 6
J / 488597

Продолжение
Minimum’ы

Формы

/

У 1687397

1433,4 941,5 W S

У 2093061305,4

6 8 2 ,5

ЖуП

Л
/ 1 \2

1 / 9

У

4

\433/

,

4

D
/ 1 \2
1б10/
D

,/3 8 8 0 9 0 0
1/ 8732021

/
1 / 9

Р
/

Утят 1985,4

2139,5

1 0 5 5 5 ,1

/ 1 \2

1 / 9

У

4
/

У
]/

15800621 11325,4

22953677 11597,4

2 9 6 1 ,5

132,5,1

1 /

/
1 / 9

3571,5 159,»>! ^

4

4

/
^/ 15732684514131,г 9349,5 41815,1

12467,5 61495,1

У

7026^^-3457^2}

4

4 /9
V 4
/

23517650

>l3233x2

У / 514518485>7561^2~ 16837^ ~

l/

У

у

9
4

/
1
/
9
7639^2 >
^ 4

15800621U

/1 0 2 0 1 6 3 6
22953677

/

1 \2
\1597/

[/

^

£>

,/3 3 5 7 0 4 3 6
75533477

_

1 \2
(2897/

£>
/1

1 / 9

/
У 29663172515741,а

1 \2
(1325/

(

1 / 9

128ЭТ>! 6451,5 2927541 |/

, / 7022500

/

D

/
)/7 5 5 3 3 4 7 7

/ 93025
^ 209306

(985/
D

9
4

У

,/7 4 9 9 5 6 п
Р 1687397

1 / 69923044
\2

\4181
D
/1
(5741

1/131836324
\2,= ^ 296631725 22
/

£>
/1
У2
(б466/

, /
г

10452289
23517650

^

/2 2 8674884

D

(

157326845

)

1 \2 Г

(7 5 6 1

)

514518485

^

П р и м е ч а н и е . При составлении этой таблицы мы считаем, для удобства, все экви
валентные между собой формы за одну.

6*

О

ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, ЗАВИСЯЩ ИХ

ОТ КОРНЯ

КУБИЧЕСКОГО ИЗ Ц ЕЛОГО РАЦИ ОН АЛЬНОГО
ЧИСЛА
(К МЕМУАРУ Е. ЗОЛОТАРЕВА)

В этом мемуаре я предполагаю применить общую теорию
целых чисел, зависящих от корня алгебраического уравнения,
разработанную трудами Куммера, Дедекинда и Золотарева,
к случаю чисел, зависящих от корня кубического из целого
рационального числа, надеясь, что этот частный случай,
интересный сам по себе, может способствовать также разви
тию общего случая.
В частности, я хочу показать, как, следуя идеям Золота
рева, которого, к нашему глубокому сожалению, столь рано
отняла у науки преждевременная смерть, можно легко полу
чить разложение на простые множители всех целых чисел,
зависящих от корня кубического из целого рационального
числа.
§ 1. Обозначим через а и b два целых рациональных
числа таких, что их произведение аЬ не делится ни на какой
квадрат целого рационального числа.
Полагая, далее,
аЬ2 — А и а 2 Ь — В
и обозначая через X , У, Z произвольные рациональные
числа, мы будем рассматривать алгебраические числа вида
Y\fA + Z \ / B ~ = X + r ^ 4 + } z ^ =
=

x

-

t

г $ Ж

Число £ удовлетворяет алгебраическому уравнению третьей
степени

88

Теория чисел

5s — ЗХ12

3 (X 2 — ab YZ)Z = X 3- t - A Y 3 -*- £ Z 3 — ЗаЬХ YZ.

Абсолютное значение правой части
Р + Л Р + B Z 3— 3 a b X Y Z
этого уравнения мы назовем н орм ой числа
Z=

x

+

y

Va -+-z W ,

зависящего от ^ А (или У в ) .
Заметим, что норма произведения

двух или нескольких

чисел, зависящих от \/Л, равна произведению их норм[х].
Деля
X 3- * - A Y 3 + B Z 3 — 3 a b X Y Z на Н,
получим число
Xi + AY* + B Z a -3 a b X Y Z = ] ( , _ аЬ y Z

(a Z 2 — X Y ) \]А +

X-t-Y^/A + z (/5
M B Y ^ — X Z ) У в,
которое назовем со ю зн ы м для £.
Будем говорить, что число с, — целое, если все коэффици
енты
ЗХ, 3 {X 2 — ab YZ), X 3 + A Y 3 + B Z * — 3 a b X Y Z
соответствующего уравнения — числа целые. Ограничиваясь
исключительно целыми числами £, легко доказать, что
числа
ЗХ =х,

3 Y = y f 3Z = z

должны быть целыми.
В самом деле, очевидно, что
Ху a b y z и A y 3-*-B z 3 = a b 2y 3 ~i-a2b z 3
числа целые.

О целых числах, зависящих от корня кубического

89

Числа же
abyz

и

a b 2у д -+- a2 b z 3

могут быть одновременно целыми только в том случае, если
у и z целые, так как a b 2 и а 2 Ъ не делятся ни на какой куб*.
Установив это, имеем
З Х = х , 3 (X 2— ab YZ)
Р - ь Л Р - ь £ Z 3 — ЗаЪ X Y Z

л:3-+- а№

а26z3—ЗаЪ xyz
Р

"

и тогда условие, что £ число целое, сводится к двум сравне
ниям:
х2 = a b y z (мод. 3 ) и х 3 + аЪ2у 3-+-a2 6z3 — 3ab x y z = 0 (мод. З3).
Рассмотрим теперь два случая:
I) х = 0 (мод. 3),

И) х = ± 1

(мод. 3).

В первом из этих случаев предыдущие сравнения дают
a b y z — 0 (мод. 3)

и

a b 2y 3 ~+~а2 b z 3 = 0 (мод. З3),

x 2 — a b y z (мод. 3)

90

Теория чисел

может быть заменено двумя следующими:
у ~ у \ а х (мод. 3)

и

z = r \ b x (мод. 3).

где V) равно ± 1 .
После этого сравнение
л:3 ч- a62jy3-+-a26z3— 3 a b x y z = 0 (мод. З3)
дает
1 -+-a462v)-h-a264v) = l -+-2v) = 0 (мод. 3),
откуда следует, что

7) = 1 .
Если положить
у — ах-+ -3и ,

z — Ъх-ъ- 3v,

где и и v — числа целые, то остается удовлетворить срав
нению
х 3 -+-a b 2 ( а х - ь Зн)3 + а26 (Ъх -+- 3v)3 —
— 3 a b x (a x -* -3 u )(b x -* -3 v ) = 0 (мод. З3),
которое приводится к такому
1

а4 62-н а2 6*— За2 62 = 0 (мод. З3).

Принимая же во внимание равенства
1 - b a 462 + a264 — За2 62= (1 — а62)2-ь а й 2( а — 1)2(а-+-2) =

= (1 -ь аб2)* -ь аб2(а--ь 1)2(а ■- 2),
легко видеть, что сравнение
-+■ а2

— За2 62= 0 (мод. З3)

О целых числах, зависящих от корня кубического

91

приводится
в случае а ~ ч - 1

(мод. 3) к сравнению об2 = ч - 1 (мод. З2),

а в случае а = — 1 (мод. 3) к сравнению а62 = — 1 (мод. З2).
Другими словами, сравнение
1 ч - а 462- ь а 26* — За262 = 0 (мод. З3)
равносильно следующему сравнению
А = ± \ (мод. З2).
Сравнение
1 + а 462 + а264- З а 262= 0 (мод. З3)
можно дать также в следующей форме
а 2 (62 — а2)2 ч - 3 (а4— а 2) (62— а 2) ч + (2а2ч - 1 ) ( а 2— 1)2= 0 (мод. З3)
и далее получить сравнение, простое и симметричное по
отношению к буквам а и Ь:
62 = а2 (мод. З2),
т. е.
Ь = ± а (мод. З2).
Значит, условие, что число

г _; х -н у

i[A ч - z ^ B

3
зависящее от ^Л , целое,
(мод. З2) сравнениями

’

выражается,

у = а х (мод. 3),

в

случае

z = Ь х (мод. 3)

Ь—

92

Теория чисел

и во всех других случаях сравнениями
x = y = z = 0 (мод. 3).
§ 2. Пусть £ и Ej — два целых числа, зависящих от fyA.
Мы будем говорить, что эти два числа не им ею т общ его
м н ож и т ел я , если существуют два целых числа со и со1? зави
сящие также от ^ 4 , такие, что нормы трех чисел
Т У Т
с,
<;19 сое-к-сохТ

не имеют общего множителя в обычном смысле.
Тогда можно найти три целых рациональных числа Р , Q, R
такие, что сумма
Р •(корма Е) -+- Q •(норма £,) +- R •(норма (*)Е ч - со3
будет равна единице.
Следовательно, если £ и
не имеют общего множителя,
тогда существуют два целых числа
£' = Р •( ± союзное для £)-ь/?со (dt союзное для со^-ьсо^)*
с' — Q •( ± союзное для

( ± союзное для co^-bcoj^),

также зависящих от (/Л, такие, что
? 5 - ь 5 'Л = 1.
В противном случае мы условимся говорить, что числа
£ и
имеют общий множитель.
В частности Е имеет общий мн6*китель с целым рацио
нальным простым числом р 9 если норма Е делится на /?, и $ не
имеет общего множителя с /?, если эта норма не делится
на р .
Буквой /? мы всегда будем обозначать целое рациональ
ное простое число и буквой Е— целое число, зависящее
от ^А. Мы условимся говорить, что два целых числа

ЕиЕи

О целых числах, зависящих от корня кубического

93

зависящие от и , не имеют общего множителя, принадлежа
щего к р 9 если существуют два целых числа со и а>19 зави
сящие от
такие, что сумма со^-ьсо-,^ не имеет общего
множителя с р. В этом случае мы будем говорить также,
что Е и
имеют только различные множители с р (если
нормы £ и
делятся на р).
Установив эти определения, важно заметить два следую
щих предложения, которые легко могут быть доказаны. Если
два целых числа, зависящих от fyA, имеют только различ
ные множители со всеми целыми рациональными простыми
числами, которые делят их нормы, эти два числа не имеют
общего множителя.
Если имеем две системы целых чисел, зависящих от \/А9
и если каждое число первой системы не имеет никакого
множителя, принадлежащего к р , общего с числами второй,
тогда произведение всех чисел первой системы не будет
иметь также никакого множителя, принадлежащего к р , общего
с произведением всех чисел второй системы.
Мы условимся говорить, далее, что число
и м еет все
м н ож и т ели другого чи сла £, принадлежащие к р 9 если суще
ствует целое рациональное число Р 9 не делящееся на р ,
такое, что Р%г делится на £, т. е. что —g— будет число целое.
В силу последнего определения, для делимости числа ^
на другое число £ необходимо и достаточно, чтобы ^ имело
все множители числа £, принадлежащие всем простым числам
р 9 которые делят норму £.
Легко доказать, что число £2, имея все множители двух
чисел £ и £lf принадлежащие к р у должно иметь все множи
тели их произведения EZl9 принадлежащие к р 9 если эти числа
£ и
имеют только различные множители числа р . В соот
ветствии с этим определением мы скажем еще, что все м н о

94

Теория чисел

ж ит ели д в у х чисел $ и %19 п р и н адл еж ащ и е к р , т о ж д е 
ст вен н ы , если существуют два целых рациональных числа Р
а У не делящиеся на
и И1
такие, что р-ук - и р 1% *будут целыми
числами.
Мы условимся говорить, наконец, что все множители
принадлежащие к р, п р и в о д я т ся к о д н о м у п р ост ом у м н о
ж и т елю , если \ не содержит множителей, принадлежащих
к р , любого другого целого числа
норма которого делит
ся на р , и которое, в свою очередь, не имеет всех множи
телей числа $, принадлежащих р .
Мы определим для области целых чисел, зависящих от
$]А, каждый простой множитель с помощью некоторого
целого рационального простого числа р и числа £ (из этой
области), все множители которого, принадлежащие р , при
водятся к одному простому множителю. Этому множителю
мы припишем норму, равную р 1, если норма \ делится на р к
и не делится на р К+1.
§ 3. Предполагая теперь, что р не равно 3, мы рассмо
трим следующие случаи:
I) р — делитель а ;
II) р — делитель Ь;
III) р не делит А и А — кубический невычет р ;
IV) р не делит А , которое является кубическим вычетом р .
В первом из этих случаев число

г

х

н- у

ijA

-+- z $]В

3~
имеет множителя, общего с р только для значений х , деля
щихся на р .
С другой стороны, если х делится на р , произведение
а№
Р

£_а№ х -+• а№ у
*

А
3р

а№ z

В
~

О целых числах, зависящих от корня кубического

аЪ2у

abz

Р

Р

Ъх
Р

3

95

$в

делится на $ А . Другими словами, каждое число £, имея один
общий множитель с р , содержит все множители $А , принад
лежащие к р у и , следовательно, все множители $JA, принад
лежащие К Р
приводятся К ОДНОМУ простому множителю у
который мы обозначим через qlp.
Условимся говорить, что число £ делится на а" если £
у

содержит все множители числа
, принадлежащие к р.
Что касается числа /?, то мы положим
Р = * р\
ибо каждое число £, делящееся на /?, также делится на ар3,.
и, обратно, каждое число $, делящееся на а/ , делится на р.
Таким же образом, если р делит 6, мы положим
p = CLp\
определяя
как множитель, общий для р и
В этих двух случаях мы приписываем множителю &р норму,
равную ру согласно тому, что мы говорили раньше. Что
касается третьего случая, легко доказать, что в этом случае
каждое число £, имея общий множитель с /?, должно делиться
на р .
' В самом деле, если норма числа
z

х Ч

- у

^ ]А

Ч -

3
делится на /?, нормы чисел

Z

^ ] в

Теория чисел

96

{х -+•у УА -+- Z ^ в ) (л: — г ^ в ) = х 2— a b y z -+ -(x y — a z 2) ^А ,
{ х -л -у у А -+- 2 у в ) [ х — у \/а ) = х 2 — a b y z -+- (x z — by 2) $JB
также делятся на /?.
И з этого выводим сравнения
(х 2 — a b y z f нь Л (хг/ — az 2)3 = (х 2— a b y z f - ь
+ B (x z — 6 г/2)3= 0 (мод. /?),
которые для третьего случая тождественны таким:
x 2 = a b y z , х у = az2, xz = 6 г/2 (мод. /?),
откуда получим
x 4= a 2 62 z/2 z 2 = a 26 xz3,

х ( х 3 — J5z3) = 0 (мод. /?),

и, наконец,
x = */= z = 0 (мод. /?).
Поэтому каждое простое число р , для которого Л не
является кубическим вычетом, должно быть рассматриваемо
в области целых чисел, зависящих от ^/А, как простой мно
житель. Норма этого множителя равна, очевидно, р 3.
Останавливаясь, наконец, на четвертом случае, заметим,
что множители числа

£_х 4*у
'—

А

3“

z $]В

’

принадлежащие к р , тождественны множителям числа
х 2 — a b y z -* -{x y — az2) ^ Л = 3 ^(х —
принадлежащим к р , если х 3— Вт? не делится на р и мно
жителям числа

О целых числах, зависящих от корня кубического

97

х 1 — a b y z -+- (x z — by 2) (УВ — 3 l (л: — у (/л),
принадлежащим к р, если х 3 — А у 3 не делится на р.
Заметим также, что множители числа
х 2 — a b y z -л- (x z — b y 2) \JB,
принадлежащие к /?, тождественны множителям числа
ab (x z — b y 2) -+- (х 2 — aby z) ^JA =
= \JA [ x * - a b y z + - { x z — b y z) f 8 } ,
принадлежащим к p 9 так как p не делит А .
Значит, множители числа
г __х ч -у ^A-k-z^B
3
принадлежащие к р у тождественны множителям некоторого
числа формы
R + S f/ A ,
принадлежащим к Р , причем R и S — целые рациональные
числа, или два числа
х* — А у\

х д— B z 3

делятся на р одновременно.
Здесь нужно различать два случая:
1 ) сравнение £3 = Л (мод. р ) имеет одно решение:
t = T (мод. р);
2) сравнение /3 = Л (мод. р) имеет три решения:
* = Ti, t = T2, t = т 3 (мод. р).
7 А. А. М арков. Избр. труды

Теория чисел

98

Выберем, что всегда возможно, числа т, т 1? т2, т3 так, чтобы
разности
т 3— Л ,

т^ — Л ,

т 23— Л ,

т 33 — Л

не делились на /А
Остановимся сначала на случае, когда сравнение t3 = А
(мод. р) имеет одно решение £ = т (мод. />). В этом случае
каждое целое число формы
R -t- S Q A
имеет все множители числа

T - W ,
принадлежащие к р , если только это число R -\ -S tfA
множитель, общий с /?, ибо
{r + S $/ a ) =

= (т -

—

(т — \/л)

Уа ) { * ± 2 1 ( т Ч т ^ Л + 6 Ы

имеет

(т 3 — Л )

—

} .

а из сравнения
R 3 -+- A S 3 = 0

(мод. р )

следует
R -+- st = 0

(мрд. /?).

Что касается числа £ вида
Х^г у

__•+■ z

В

9

имеющего множитель, общий с р , то для него применимо

О целых числах, зависящих от корня кубического

99

наше предыдущее замечание о том, что это число должно
иметь все множители числа т — А , принадлежащие к р, исклю
чая случай
х 3 = А у 3 = B z 3 (мод. р).
Сравнения
x 3~ A y 3 = B z 3 (мод. р)
легко привести к следующим:
х = ту,

by =

tz,

тx = a b z

(мод. /?).

Предполагая теперь, что эти сравнения удовлетворяются,
и обращая внимание на равенство
тз — A _x + g f A + z t fB
'ix — abz
= (т 2 ч- т

* .^ = L b L fB

_______ Р

4 -6 ^ 2 ? ) — - —

У

мы видим, что рассматриваемое число $ имеет все множи
тели числа
т 2 ч- т

ч- b t y

В ,

принадлежащие к р .
Что касается чисел
т — ^А ,

т 2ч - т ^ ч - 6 ^ й ,

то они имеют только различные множители числа /?, так
как разность
(т2 + т { /Л ч - 6 {/й) — (т — УА ) (т ч - 2 (/Л),
равная 3 Ь ^ В , не имеет никакого множителя, общего с р*
Следовательно, если число £ имеет все множители чисел

7*

т -^ 4 ,

т 2ч - т ^ 4 ч - 6 ^ £ ,

то

Теория чисел

принадлежащие к р, тогда £ должно иметь также все мно
жители произведения

( Т — \/Л) (т2 -ь Т

-+- 6 У~В) = Т3— Л,

принадлежащие к р, т. е. это число £ должно делиться на р .
И обратно, если число £ делится на р, это число £ имеет
все множители чисел
т — fyA ,

т2 ч - т

В у

принадлежащие к р. Поэтому мы положим
Р = Тр
определяя ур как общий множитель р и т — ^Л , и

— как

общий множитель р и т2 т \/Л-ь 6 Z? , и будем говорить,
что число £ делится на произведение у™Sjj, если произведе
ние

делится на
(т — $ А ) т(l* +

T ^

+

t

Множителю ур мы приписываем норму р и множителю ^ —
норму р2, так как норма т — ^/Л > равная т 3 — Л , делится
на р, а норма т2 + т A -+ -b В , равная (т 3 — Л )2, делится
на р2, так что мы будем иметь
норма р — р 2 — (норма у?;) •(норма ^).
Заметим, что для делимости

О целых числах, зависящих от корня кубическою

101

на Vp необходимо и достаточно удовлетворить сравнению [2]
г/т) - ь гт 2 = 0 (мод. /?),

Ъ {х
а для делимости
.

на

> ___ х

НК г/ ^1А

z ^В

з

необходимо и достаточно удовлетворить сравнениям
х=

и by =

z

t

(мод.

р ) .

Рассматривая, наконец, случай, когда сравнение
t3 = А (мод. р)
имеет три решения
t=

* = т 2» * =

(мод. р),

мы определим число р как произведение трех множителей
v V' V"
7'
где
общий делитель
V общий делитель
V

и т 3 — у/Л ?
и т 2 — ^Л ,

общий делитель /? и т 3 — (/Л.

Действительно, каждое число £ формы
Ян-5^4,
норма которого делится на р , имеет все множители числа
Ti — ^Л , или числа т 2 — \/Л, или числа т3— ^Л , принадле
жащие к р у так как из сравнения
R 3 ~ь A S 3 = 0 (мод. /?)

Теория чисел

№

следует одно из сравнений
R 4 - ^ = 0,

R н - 5 т2 — 0 ,

/ ? ч -5 т 3 = 0 (мод. р).

Этот факт очевиден для каждого числа
у

х-*~у

В

3

'

исключая случай
х 3 = А д 3 = B z 3 (мод. р).
Система сравнений
x ^= A g 3 = B z31

х 3 - ь А д 3 - ь B z 3 — 3 a b x g z = 0 (мод. р )

приводится к одной из следующих трех систем:
1) * = У* 1,
2 ) х = у т 2,
3) х==:ут31

Ьд =
(мод. р ),
Ьд = гт2 (мод. р),
Ьд = гт 3 (мод. р).

Предполагая, например,
x = gr1

и

Ьд = гтг (мод. р),

легко доказать, что число
£

ЛГ •+" у

Z tf~ B

3
имеет все множители числа т 12 - ь т 1

^ В > принадле

жащие к р. Но множители числа г г2 чь fyA + 6 ^ 5 , при
надлежащие к р, тождественны множителям произведения

(т2— ^л)(т3 — ^4) = Т2Т3— (т2-ьт3)^4-+-6 ^ 5 ,

0 целых числах, зависящих от корня кубического

703

принадлежащим к р , так как разность
(Ti2-* -Ti ^ А - ь - Ь У В ) — (т 2 — ^Л)(т3— $А ) =
= Tj2 — T2 Ts -f-(T i-l-T 2 -f-T3) УА
делится на /?[3]; достаточно, поэтому, умножить р на число

т13—•Л ^т23—А т33 -—Л
Р

Р

Р

9

взаимно простое с р , после чего число

р

.

т,з —А т93—А

--------------------------- .

Р

то3—А

------------------ ------------------------------------

р

р

будет делиться на
(/Л
В и на (т2— ^ Л )(т3—
Значит, в рассматриваемом случае каждое целое число
у _X Чту

А ч -z

3
имея

общий множитель

’

с /?, имеет

все множители: либо

числа Tj — ^А , либо числа т2— ^А , либр числа т 3 — ^Л»
принадлежащие к р .
В то же время легко видеть, что условие, чтобы £ имело
все множители либо числа

— ^Л , либо числа, т2— ^ Л , либо

числа т3— ^ Л , принадлежащие к р , выражается соответ
ствующими сравнениями:
либо
либо
либо

Ь (х + [/т1) - ь
= 0
Ь (х Чг y r t) - ь г т 22 = 0
Ъ (х - ь г/т3) -+- zt32 = 0

(мод. р),
(мод. р),
(мод. р).

Числа

т2— ^Л?

тз

А

Теория чисел

104

имеют только различные множители, принадлежащие к р,
так как их разности не имеют никаких множителей, общих
с р . Следовательно, все множители каждого из этих чисел,
принадлежащие к р, приводятся к простым множителям.
Наконец, если число \ делится на р, это число I имеет
все множители чисел
Ъ — \JA,

т2— УА )

т3 — у А

принадлежащие к р, и обратно, если с имеет все множители
чисел
Tj — i j A ,

т 2— \!А,

т3 — ^ А ,

принадлежащие к р, это число £ делится на р. Вот почему
в рассматриваемом случае мы положили
'Р

Р

р

5

определив
\ как общий множитель р и т 3 —

\ГА

?

^р как общий множитель р и т 2 — \JА ?
\ как общий множитель р и т3 — fyA •
Множителям У!р9 V', У!” мы припишем нормы, равные р, и
условимся говорить, что число £ делится на произведение

если произведение

(
делится на
( т ,—

$

а

У (т 2 -

<! а ) ш ( т 3 -

ц а т

•

О целых числах, зависящих от корня кубического

105

§ 4. Полагая теперь р = 3, мы рассмотрим отдельно сле
дующие случаи:
I) а = 0

или

6==0

II) а 2 — 62 = ± 3

(мод. 9),

III) а 2 — 62= ± 9

(мод. 27),

IV) а* — Ь2 = О

(мод. 27).

(мод. 3),

В первом из этих случаев любое целое число

зависящее от

имеет форму
х -+ -у У А

z\j В ,

где х 9 у у z — числа целые рациональные, а условие, что это
число имеет общий множитель с 3, выражается сравнением
л: ^ 0

(мод.

3).

Легко видеть, что в этом случае число 3 играет ту же роль,
что и любое простое число, делящее А ; таким образом по
ложим
3 = сс3'\
обозначая

через а 3 общий множитель

чисел 3 и \!А или

3 и В •
Пусть теперь
а 2 _ 6 2= : ± ; з

(мод 9)

Тогда любое целое число £ имеет также форму
x -+ y $ jA -\ -z \ jB y
число Ху у у z — целые рациональные. Что касается условия,
что это число

706

Теория чисел

имеет общий множитель с 3, то оно выражается сравнением
(мод. 3),

x 3 + A y* + B z z = 0

которое эквивалентно более простому сравнению
х -ь А у

Bz = 0

(мод. 3).

А если последнее сравнение удовлетворяется, число
^— x - b - y ^ A - i - z ^ B
имеет все множители числа
а$А~ЬУВ,
принадлежащие 3, так как
а3 А

—Ь3 В

(

эг*5\_

ъ1~~а

------- о------ ( х - ъ -у \ А-+- z V В ) =
3
■( а У А — Ь У В )

(а Ч * + А\?А + В т

-

,62 — 1
— В — «— (aby - ь by ^ А-+- a z $ А ) —
— А

с*2 — 1

(a&z -+- by ^ 5 -+- az ^/Г)

а число
а3 Л — Ь3 В __ а 2 &2 (а2 — 62)

3
не

делится

на

3.

Следовательно,

3
все

множители

числа

а ф А — Ь У В , принадлежащие к 3 , приводятся к одному
простому, норма которого равна 3.
Заметим, наконец, что
(a f 4 - У в У _ _ g2 fe2 (g2 - Ь2) _ д3 62 $ / A - * - a 4 3 f B
3
3

О целых числах, зависящих от корня кубического

707

есть число целое и не имеет множителя, общего с 3 , так
как его норма, равная
&SJ3\2
не делится на 3.
В соответствйи с этим в случае
а 2— 6 * = ± 3

(мод. 9)

мы положим
3

= v3,

определяя v как общий множитель 3 и a^ JА — b^/ В у и бу
дем говорить, что число £ делится на vw, если норма этого
числа делится на 3W
.
Касаясь далее случая
а 2 — Ь2^ . 9

(мод. 27),

мы напомним сначала, что в этом случае число
? __ х-+-у

А -k-z^l В

3
будет целым, если удовлетворяются два сравнения
у = а х и z = bx

(мод. 3).

Для того, чтобы удовлетворить этим сравнениям, мы можем
положить
x = z a b s -+- Зц,

y — bs-\~ 3v,

z = as-*~ 3w ,

обозначая через s, и, v , w целые рациональные числа. После
этого норма £, равная
. л:3 -+• А I/3

Bz% — 3abxy z
э
27

108

Теория чисел

будет сравнима по модулю 3 с выражением
(и +- av -ь bzv)2 (abs + и + аи + bzu).
Следовательно, наше число £ имеет общий множитель с 3
только при
и -+- av -+- bw

0

(мод. 3)

или при
abs -+- и -+-аин- bw = 0

(мод. 3).

Но
и +- av

¥

дг ■+- ау ■+■ bz

,

__ ау

b z — 2х

/

bzu = ------- ------------abs = -------- ^-------(мод. 3)
>

I

х

оЧ

аи -+• bz

ц -f- av +- ого = ------- ^-------?

abs

поэтому мы видим, что в случае
а 2 — Ъ2 = + 9

(мод. 27),

число
г

х *+• у $ А ч- z^j В

3

"

имеет общий множитель с 3, если целые числа л:, у , z, удов
летворяющие сравнениям
x = a y = bz

(мод. 3),

удовлетворяют также сравнению
а у -л- b z — 2х = 0

(мод. 9)

или сравнению
х

ау

bz ^=0

(мод. 9).

С другой стороны, если
а у ь b z — 2 х zz 0 (мод. 9) или х -ь ау

= 0 (мод. 9)

О целых числах, зависящих от корня кубического

109

число
х

у

Ачг z $ В

имеет соответственно все множители числа
ab -f- Ъ

нн а $~В

или числа
( а $ А - Ь $ В ) 2_ Ь $ А - * - а $ В — 2аЬ
3 аЬ

принадлежащие к 3, так как

аЬ

а 2 --- Ь2

а 2 — Ъ2 j a b -ч-b^] А

Ч г

а

хчгу ЦА ч -z ^ B

В ^

X ~+"

ay -+- oz
bz — 2х а ?/ f i \ __ab

“3

ау — х

■ {Ь $]А — a^J В)
^ г .

b $ А ч- а ^ В

Ч г

V

3

\

ау — х а ^ А ч - Ь у В — а2 — Ь2 в ау
ау-ч
ч - bbzz — 2х
lx

9
з/ ~л\i

/

+~~---- §------- а (а — У А )}

а 2 — 1)2 \2

х -Н у

А

Чг

Z

^В _

|4 г Н Г А ч - а У В - Ш __ ь 5 £ ^ ± ( ^ 4 _ „)
: - + - а у - ь б 2 \ _ 6 $~А + а

-аЬ '■

3

г)"

—2аЪ ^

3

а2 — 62 ау — bz

3

b2 ч- а $ А-ч- Ъ ^]В

^

_

110

Теория чисел
х

ау -+• bz fa b Hh b t f A
9
[
Г

Числа
ab + b{i A + a $В

и

3

b $ A - * - a ^ B — 2ab
3

имеют только различные множители числа 3, потому что их
разность, равная аЬ, не имеет общего множителя с 3 .
В то же время легко видеть, что каждое число £, деля
щееся на 3, должно иметь все множители произведения
( а Ъ - * - Ь $ А-*-а $ в \ 2 Ь $
V
3
/ *

Л+ а $ В — 2 а Ь __ ab (а2— 62)2
3

~

27

*

принадлежащие к 3 , и обратно, — если \ имеет все множителя
чисел
(ab + b f A + a $ в у

V

з

b tf~A -+■ a ^ B — 2ab

/ ’

з

’

принадлежащие к 3, то это число Е делится на 3.
Поэтому в случае
а 2 — Ь2= ± 9

(мод. 27)

мы положим
3 = [3 ]Ч З > ,
определяя
[3] как общий множитель 3 и
iol

^

о

о

ab ЧН 6 $] А Чг a tfB

3

ь

?

fA + a $ B -2 a b

как общий множитель 5 и ------------^----------- -

Этим простым множителям мы припишем нормы, рав
ные 3, и будем говорить, что число Е делится на произве
дение
[ з г \зу\

О целых числах, зависящих от корня кубического
есл и

111

произведение

делится на
Ц ву

А - * - а $ В — 2abJ

Наконец, в случае
а 2 — Ь2 — 0

(мод. 27)

мы положим также
з = т з к
определяя
[3 ] как общий множитель 3 и

4 а Ь - * - Ь $ Л -н 1 6 а $ В

и
{3} как общий множитель
_

0

(4 а ^ / А - Ь ^ / В ) 2

3 И

3аЪ

6 f A + 1 6 b t f B — Sab

3
Этим простым множителям мы припишем норму, равную 3 ,
и будем говорить, что число \ делится на
[ З Г { 3 } М,
если произведение
(а&Г+и • (

\ - -)

•5

делится на
^4a6-t-6

-ч- 16g ^]В j ” _

—8afej w_

В обоих случаях — III и IV — условие, что число

112

Теория чисел

делится на [3 ], выражается сравнением
ay~ *~ bz— 2 х ~ 0

(мод. 9),

а условие, что это число делится на {3}, выражается срав
нением [4]
x -+ -a y -+ -b z ^ 0

(мод. 9).

§ 5. После того как определены простые множители
и степени этих множителей, легко определить п р ои звед ен и е
ст епеней р азл и ч н ы х п рост ы х м нож ит елей как делитель
всех чисел 2, которые делятся на эти степени, и только
этих чисел 2.
Этому произведению мы приписываем норму, равную
произведению норм простых составляющих множителей, в о з
веденных в соответствующие степени, которые показывают,
ск ол ьк о р а з наше произведение со дер ж и т каждый из этих
множителей.
Что касается разложения на простые множители числа 2,
то оно приводится к следующему.
Определим сначала все простые делители р нормы \ и
разложим эти делители на простые множители, определенные
раньше, тем самым будут найдены все простые множители,
которые могут делить рассматриваемое число 2, и остается
найти для каждого из этих множителей наивысшие степени,
которые действительно делят
Тогда разложение 2 на простые множители будет закон
чено, так что можно рассматривать 2 как произведение най
денных выше степеней, и обратно, как мы будем говорить,
это произведение приводится к 2.
Нужно заметить здесь, что в теории разложения на про
стые множители все числа
нормы которых равны единице,
рассматривают как единицы; их называют ком п лексн ы м и
ед и н и ц а м и .
Все комплексные единицы, взяты е со знаком - ь или — ,

О целых числах, зависящих от корня кубического

113

равны целым положительным или отрицательным степеням
осн овн ой комплексной единицы.
Не останавливаясь на верных, но трудных методах нахо
ждения основной комплексной единицы, мы заметим, что
для малых значений а и Ъ легко найти комплексные единицы
путем подбора, рассматривая несколько чисел Е, содержащих
одни и те же простые множители.
Обозначая через со простой множитель или произведение
нескольких простых множителей (или, наконец, целое число Е,
зависящее от и \ мы будем говорить, что два числа £ и
сравни м ы по модулю со, если их разность £ — % делится на со.
В соответствии с этим мы разобьем Ьсе числа £ на не
сколько классов по модулю со, относя к одному классу все
числа, сравнимые по модулю со.
Число этих классов равно норме со.
Мы рассмотрим это разбиение на классы по модулю 3
в случае
а 2—
0 (мод. 9).
Норма 3 равна 27, и, следовательно, можно разбить все
целые числа £ на 27 классов по модулю 3.
Предполагая
а 2 — Ь2~ 0 (мод. 9),
мы разобьем эти 27 классов на 6 следующих групп.
1 ) Один класс чисел, делящихся на 3.
Эти числа имеют вид
х -+- у \JA - ь z $В ,
где л:, у , z — целые рациональные числа, удовлетворяющие
сравнениям
x = ay = bz (мод. 3).
2 ) Д ва класса

чисел, делящихся на произведение [3] {3J
и не делящихся на 3 .
8

А. А. Марков. Избр. труды

Теория чисел

114

Эти числа имеют вид
x -t-y fy A -t-

z

^/B,

где х , у , z — целые рациональные числа, удовлетворяющие
сравнениям
х

—

а у ^ ± 1,

х -+ -az/-+-6 z = 0 (мод. 3).

3) Ш есть классов чисел, делящихся на [3] и не делящихся
на {3}.
Эти числа имеют дробный вид
х + у fA + z fB

3

’

где х, у у z — целые рациональные числа, удовлетворяющие
сравнениям
х = ± 1

(мод. 3),
a y -+ -b z

ау

— х = 0,

± 3 (мод. 9),

— 2х = 0 (м о д . 9).

4) Ш есть классов чисел, делящихся на {3} и не деля
щихся на [3].
Эти числа имеют также дробный вид
х

-н у

3

-+- z

’

где х, у у z — целые рациональные числа, удовлетворяющие
сравнениям
Х =

=ъ1 (мод. 3),

ау

х - \ - а у -+ -bz

—х

=

0, ± 3 ( м о д . 9),

= 0 (мод. 9).

5) Ш есть классов чисел вида
х - + - у fy A -*-z ^ B >

которые не имеют никаких общих множителей с 3 .

О целых числах, зависящих от корня кубического

115

Для этих шести классов целые рациональные числа х ,
z удовлетворяют одной из шести следующих систем
сравнений:
1/,

о

in
§>
1

)

х — bz = -+-1 }

X

ау = 0

1

х — b z = —1 1

х

а у ===—
н1 \

х — bz = 0

J
(мод. 3 ).

III

О

1

ОЫ

1

т—1

1

III
§>

X

|

х — 6 z = -+-1 J

х — bz = — l j

6 ) Ш есть классов чисел дробного вида

X-+- у ^[А •+■Z^fB
3
’
которые не имеют никаких общих множителей с 3 .
Для последних шести классов целые рациональные числа
л:, у> z удовлетворяют одной из следующих систем сравнений:
х = ± 1 (мод. 3)
ау = х

(мод. 9)

bz = 4х

(мод. 9)

х = ± 1 (мод. 3)
» ау = 4х
bz = x

* = ± 1 (мод. 3)

(мод. 9) • а у = 1х

(мод. 9)

(мод. 9)

(мод. 9)

bz = 1 х

Мы имеем здесь три группы 3), 4) и 6 ) чисел $ дробного
вида, по отношению к которым легко доказать следующие
утверждения.
Произведение числа из группы 3 ) или группы 4) на число
той же группы или число из групп 5 ) и 6 ) принадлежит
также соответственно группе 3 ) или 4 ) и, следовательно, оно
имеет дробный вид.
Произведение числа из группы 3 ) на число из группы 4)
принадлежит группе 1 ) или группе 2 ).
Произведение двух чисел из группы 6 ) принадлежит
группе 5).
Произведение числа из группы 6 ) на число из группы 5}
принадлежит группе 6 ).
8*

116

Теория чисел

Действительно, пусть
Г __х\ -+•У\^А -лг z1 ^B

и

3~

Г __х2
; 2—

У2 ^ 4h Z2"\/В
з

два числа группы 6 ) и
=

^А + г ' Ы

число группы 5).
Тогда
х-! х 2 и- ab (i/j z 2 -и z xy 2) =
= (x j — а у г) (x 2 — a y 2) -+- a y x(jc2 — 5 a y 2 -+- b z 2) -+- * - а у г (х 1 — 5 а у 1-4-Ь г1)-4 -9 а 2у 1у г ^=0 (мод. 9),
а (х г y 2-* -x 2y 1- * - a z 1 z2) =
= (a!h — 6 zj) (ay2 — b z 2)
яг/, ( * 2 — 5ai /2 -b 6 z2) -t-i- a y 2 (xt — 5 at/j -+- 6 z j ) -+- 9a 2 y t y 2 -+- (a 2 — b2) z x z 2 == 0 (мод. 9)
6 (xx z 2 +- x 2 z x -f- 6 t/j z/2) =
= (a^i — &Zj) («i/а— 6 z2) ■+■ 6 z x(x 2— 56z2 -+- a y 2) -+— 56zj -+- ai/j) -+- 962 zx z 2 h- (6 2— а Е)# 1 # 2^ ° (мод. 9)
дгх x ' -4- a b (y x z -+- zx i/) = (x j — ayx) x' -+• ay' (6 z x— a y t) -+- ,
-+- «I/, {x -+- bz -4- a г/') ± 1 (мод. 3),
так как
х л — 5 а у г - ь 6 z 3= х 2 — 5ш /2 b z 2 — * i — 56z3 -+-t- ш/3 = x 2 — 56 z 2 - ь ai/2= О ( м о д . 9)
и
У ч - 6 z' нь ш/ = ± 1 (мод. 3).
Следовательно, произведение
£ г __ *1 *2 ■+- ab (У! г2
Vl^2 —
9

^1 Уг) . *1 2 ~+- х2 ffl + azl z2
"*
9

принадлежит к группе 5 ), а произведение

О целых числах, зависящих от корня кубического

хх X -4- аЬ (yi z* н- Zi у')
3

Х\ и

*!

117

az] г у - д

У' А

принадлежит к группе 6 ).
В частности квадрат каждого числа из группы 6 ) принад
лежит группе 5).
Комплексные единицы принадлежат к группам 5) и 6 ).
Следовательно, если существуют комплексные единицы
дробного вида
х + у $A +-z^B
3
тогда их квадраты будут иметь вид
Х + Y \lA-+-Z$lBy
где X , Y, Z — целые рациональные числа.
С помощью комплексной единицы дробного вида мы
можем представить каждое число из группы 6 ) как произве
дение этой единицы на число группы 5 ).
§ 6 . Мы будем называть теперь простые множители и их
произведения, определенные ранее, просто м н ож и т ел я м и .
Если множитель не приводится ни к какому существую
щему числу £, мы назовем его и д еа л ь н ы м ч и сл о м . Назовем
п р ои звед ен и ем д в у х м нож ит елей т и аз! такой множитель
to", который содержит каждый простой множитель точно
столько раз, сколько м и со' вместе.
Два идеальных числа назовем эк ви вален т н ы м и , когда их
произведения на один и тот же множитель приводятся к су
ществующим числам
В соответствии с этим разобьем все идеальные числа на
классы таким образом, что два идеальных числа принадлежат
к одному классу или различным классам, смотря по тому —
эквивалентные они или не эквивалентные.

Теория чисел

118

Число этих классов, к которым добавим еще класс суще
ствующих чисел Е, всегда конечно.
В самом деле, пусть со— идеальное число и N — норма со.
Обозначим через g целое рациональное число, опреде
ленное двумя неравенствами
Я3< ^ < ( £ + 1 )8.
и рассмотрим все числа

где х 9 у , z имеют значение

О, 1, 2, . . . ,

g.

Между этими числами обязательно существуют два раз
личные
Г=

и

%' = х ” -*-у " Ч А -*-г" У В >

которые сравнимы по модулю со, так как их число (g -+ -l )3
больше нормы со. Разность
Н' _ g" = ( * ' _ * " ) Ь (у' - у ”) УА Н - (Z -

Z") у В

будет делиться на со, так что мы можем рассматривать эту
разность как произведение со на другой множитель со', норму
которого обозначим через N f.
При этом норма
— Е" будет равна произведению NN'
норм со и со' и меньше
g 3 (1 +

Л

+

В

+

3 ab)y

так как
— g ^ x ' —x"<g,

— g ^ d ' — y !' < g ,

—

— z"< g.

Следовательно
N N ’ < ^ ( \ - ^ - A - ^ B - ^ 3 a b ) £ N { \ - * - A - ^ B + 3ab) ■

О целых числах, зависящих от корня кубического

119

и
N' < 1 - * - А + - В - * - З а Ь .
Мы видим, что для каждого идеального числа со суще
ствует другое идеальное число со' такое, что произведение
ако' привЪдится к существующему числу £, и норма которого
меньше, чем
1 ~ь А -+- В -+- ЗаЬ.
Таким образом мы добились того, что можем рассматри
вать только те множители, нормы которых меньше 1 ч - А -+ч -В -*~ З аЬ и число которых, очевидно, конечно. Пусть

— эти множители.
О стается найти между ними те, которые приводятся к су
ществующим числам, и разбить другие на классы эквивалент
ных чисел.
Для этого, очевидно, достаточно определить все суще
ствующие числа $, к которым могут приводиться

и произведения
, сУ сУм\
, <УГ<УМ\

со(“) сУм>.
Нормы этих произведений меньше ( 1 + Л + 5 - ь ЗаЬ)2 = Н .
Положим теперь, что мы уже нашли комплексную единицу 5 о > 1 .
В теории разложения на множители числа
' Л " " ? , ...

120

Теория чисел

играют одну и ту же роль, и поэтому можно всегда выбрать
между ними число, лежащее между 1 и
Выбирая таким образом числа

^_х -+- у

$А

-+- zijB

нормы которых меньше //, будем иметь неравенства

2 i®+
х

А д 3+ Вга —З аЬ хдг _

У $А~*-2 $В

= 1 * — У ^ а ) ~*~(х — г $ в ) ~*~(уУА — г Ц в ) < 1 8 Н
и далее
— \ 1 Ш < х — у % А < \ [ Ш , — Vl 8H < x — z \ B < y j W T ,
— ViШ < У \fA ~ z V ~ < V iW ,
3 — 2 V l W < Зл: < 3^0- ь 2 \/1Щ
3 — 2 \ / 1 8 / 7 < З у ^ < 3 ? о - ь 2 V is # ,
3 — 2 ) J l 8 H < 3 z ЦБ < 3?o-и 2 V18/7T
И з этого следует, что для того, чтобы определить точное
число классов идеалов, достаточно рассмотреть конечное
число существующих чисел с й разложить их на мно
жители.
Эти общие рассуждения могут быть упрощены для частных
случаев, как мы увидим дальше.
§ 7. Частные случаи.
I.

а — 2,

6 = 1,

Л = 2,

В=4.

О целых числах, зависящих от корня кубического

12J

В этом случае числа £ имеют вид
х

у \ j2 - + - z ^ 4 ,

где jc, I/," z — целые рациональные числа.
Что касается комплексной единицы, то она равна
1

*+- ^2 -+- v^4 = £0.

Наконец, все множители приводятся к существующим
числам, потому что это имеет место для всех простых мно
жителей, нормы которых меньше 1 ~ь 2 - ь 4 - ь 6 = 13:
2

=

3 = (^2 - ь I )3 ( $ 2

—

1) =

1 (^2 -+ - 1 )3,

5 = Щ ч - 1) (1

2 \j2 — f 4 ) ,

7 — простой множитель,
И = $ 4 -+- ^2 - 1)(2 ^ 4-*- 3 ('г -

1)-

13 — простой множитель.
а = 3,

6= 1,

£= х

А = 3,

г/^3

5= 9.

2 ^/9.

Основная комплексная единица
4

3 ^3 -ь 2 ^9 = £0-

В се множители приводятся к существующим числам £*
так как
2 = (^3 — l ) ( l -+- УЗч- #9),
3 = (V3):;!

122

Теория чисел

5

= (2 — ^3) (4 + 2 ^ 3 н - \/9),

7 — простой множитель,
11 = ( 2 -+-(/3)(4 — 2 \/3-+-</9%

1 3 — простой множитель,
17 — (2 ~ь $ 9 ) (4 н- 3 ^3 — 2\/9 ),
19 — простой множитель.
III.

а=5,

6= 1,

А = 5,

5 = 25.

S = л: -+- z/ ^5 -f- z ^25.
Основная комплексная единица
4 1 н -2 4 ^ 5 н - 1 4 ^ 2 5 = ^.
В се множители приводятся к существующим
так как

числам

2 = (3 -+- 2 ^5 н~ ^25) (^25 — ^5 — 1 )?

3 = (2 -^ 5 )аЛ ,
5 = ((/5)3,
7 — простой множитель,
1 1 = (6 - t - 3 ^ 5 - ь 2 ^25) (6 -н 2 ^5 — 3 ^25),

13 = (2 -+- #5) (2 f 5 — 3) (2 - ь 2 ^5 н - Щ ) ,
17 = (^25 — 2) (4 -+- 5 ^5 -ь 2 ^25),
19 — простой множитель,
23 — (7 — 4 %Ь) (49 -+-28 $5--+- (/25),
29 = ((/25-+-2 (/5 — 6 ) ( 2 6 - ь 17(/5 н- 1 0 ( /25\

О целых числах, зависящих от корня кубического

31 — простой
37 — простой

множитель,
множитель,

41- = (l -ь 2 ( 6 ) (1 — 2 ^5 -+- 4 $25),
43 — простой
IV.

а — 6 9 6 = 1,

множитель.
Л = 6,

х - * - у ^6

5 = 36.

^36-

Основная комплексная единица
109 4 - 6 0 ^ 6 4 -3 3 ^ 3 6 = ^.
Все множители приводятся к существующим числам
так как
2 = (2 — $ 6 )3 •с0,

3 = (3 -+- 2 (^6 -t-^36)s •£„-1 ,
5 = ($ 6 — l ) ( l -+- ^6-+-^36)?
7 — (l -*-^ / 6)(7-+ -4^ 6-ь 2^ 36)(^ 36-+ - $ 6 — 5);
И = ((/36 — С'б •
— 1) (7 - ь 5 (/6-4-2 (/36),
13 — простой множитель,
17 = (2 ^36 — 3 (/6 — 1) (37 - ь 21 ('б -+ -11 (/36),
19 — простой множитель,
23 = (23-+-13(/6-+-7 (/36)(8 $ 3 6 — 5 ^6 — 17),
29 = (5-+-2 (/6 +- (''Зб) (13 — 4 ('б — (/36),
31 — простой множитель,
37 = (1

(/36) (3 $6 — 5) (7 -+- 3 ('б +- 2 (/36),

123

124

Теория чисел

41 = (4 \/б— 7) (49 -+-28 (/6 - ь 16 ^36)4 3 — простой

множитель,

47 = ( 2 ^ 1 ) ( 1 + 2 ( ,6 + 4 Ш .
53 = (5 +• 3 ^6 -+- ^36) (7-— 9 ^6 -ь 4 ^36)59 = (^36 -+- ^6 — 1 ) (2 ^36-+-7 (/6 — 5),
61 — простой множитель.
V.

а — 7,

6= 1,

А = 7,

В — 49.

^—х-л-y^Jl -л- z \]А9.
Основная комплексная единица
4 h~ 2 y/7 ^

v/49

= ?o.

В этом случае мы имеем два класса идеальных чисел:
1 ) идеальные числа, нормы которых сравнимы с ± 3

па

модулю 7,
2 ) идеальные числа, нормы которых сравнимы с ± 2 по
модулю 7, к которым нужно добавить класс существующих
чисел £, нормы которых сравнимы с ± 1 по модулю 7.
Действительно:
2 = уЛ ,
3 = v\

у/ == 1

V''7,

V = 1 — (/7-1- (/49,

уул = ^7 — 1,

5 = T5S5»

уу5== 2 -ь (/ 7 ,

7 = (^ 7)3,
И = Ти.

ТгТи = 2 -+-\/7"Ь \/49,
1 3 — простой

17 — Yi7^37,

Y2 Y17 = 3-+- V7,

множитель,

О целых числах, зависящих от корня кубического

19 = >,i9 Х19 >i9,
23

=

у 23 ^23-

v>.i9 = 4 — ^7,

VT23 —

125

vXio — 1 -f-2 \/7, vXie = 2-ь(/49,

5 — 2 (/7,

29 = (2 \/7 — 3) (9 -i- 6 ^7 -+- 4 y49)3 1 — простой множитель,

*

37 — простой множитель,
41 = (^ 49— 2) (4 -г- 7 ^7 -н 2 у'49),
43 — простой множитель,
у

Т « 7

=

4 -*-3 \ /7 -+ •2 ^ 4 9 ,

47 =

т«8*7.

53 =

У53 ^53,

Y2 Y53 — 4 - ь У '7 - - ^ 4 9 ,

59 =

У59 ^59>

Y * Y 8e =

5 — iff,

61 — простой множитель,
67 — простой множитель,
4

7 1 = { 4 - + - f l ) (1 6 - 4 ^ 7 - + - ^49),
73 = ^73 X73 X73,

у2 Х7з = 5 \/7— 9,

у2 Х73:= 6 -+- \/7 ~+~(/49,

Y2 = X73 = 3 — 2 ^7-+-^49.
Рассматривая этот случай, а также случаи
Л = 13

и

Л = 19,

я пришел к заключению, что число классов (идеальных и
существующих) должно быть кратным 3 для всех простых
чисел А , сравнимых с 1 по мод. 3, так как если бы это
число классов не делилось на 3, все простые числа /?, для
которых А — кубический вычет, были бы кубическими выче
тами А .

Теория чисел

ш

VI.

а = 10,
y

6 = 1,

Л = 10 ,

х чь у V 10 -+- z \ 1 0 0

£ = ----- -------------------- ,

__

В = 100.

__

/

* = # = * ( МОД.З).

Основная комплексная единица
23 + 1 1 s / I o + 5 ^ 1 0 0 .

3

’

квадрат ее равен
181-+-84 \/10 + 39 \/Ю0.
В этом случае все множители приводятся к существую
щим числам £, так как это имеет место для всех простых
множителей, норма которых меньше 141.
В частности

|3 | _

1

+

0 0 + ^10 0

и

1

— 2 ^1 0 + 0 0 0

Таким же способом я рассмотрел случаи
Л = 1 1 , 12, 13, 14, 15, 17 и 19
и нашел, что
для А = 12 и 17
все множители приводятся к существующим числам*
для Л = 11 и 15
Существует один класс идеальных чисел, и

127

О целых числах, зависящих от корня кубического

для А = 13 и 19
существуют два класса идеальных чисел.
Заканчивая, я приведу из области чисел,

зависящих

от ^17, следующие примеры:

7 -* -2 ^ 1 7 -ь ^ 2 8 9

5 -ь ^17 — \J/289

3

3

1

3 _ ^ 4 -4 -2 fl7 -t-^ 2 8 9 ^

70

+

5 3 -4 -2 2 ^

2

( 4 4 - 2 ^17 4 -^ 2 8 9 \ _
\

з

4. 4 - 2

4-^289

^

4-

_

з

+

4 — 4 ^ 174- ^ 289_

^

(

^

^

3

'

5 4 -^ 1 7 -^ 2 8 9

g

28 4 -1 1 ^17 4 - 4 ^289

2 ^17 4 - ^289 7 4 - 2 \/174- \/289 _

3

2^

+ 8 ^289

+

3
4

4 — 4 ^ 1 7 4 -^ 2 8 9

У

7 4 - 2 ^ 4 -^ 2 8 9 j

’

3

2 4 - ^17 4 - 2 ^289 _

1г _ п Г ! _ №

32 4 - 13 ^17 -+- 5 ^'289

—

35
э

)=

g ^

1Ь

! ( М

1>.

Теория чисел

128

<единицы

Комплексные

А

2

1+

3

<;2 +

а

4 - ь З ^ З -» -2 ^ 9

’v'T-t- 14

5

41-4-24

6

1 0 9 -ь б 0 {/б -нЗЗ </36

7

10

4 -+- 2

23

-4-

+

<Т

-

11 </1б 3

4

+

4

-

\г,25

</49

5 </100

-

11

89

12

5 5 + 2 4 ^ 1 2 + 21

13

94 + 4 0 < /1 3 + 1 7 < Т б 9

14

29

15

17
18

40<ТГ

+

+

324 + 126 <Т7

+

^'Гз

12 </Й + 5 </196

--------5
„ = 5401
( 5 - 2 </15)3

55

18 </121

2190 </15 + 888 </225

+

49 <'289

24 ^12 + 21 </18

О ц елы х ч и с л а х , за в и с я щ и х от корня кубического

А

Комплексные

единицы

19

14 ч 5 ^ 1 9 ч 2 ^361
3

20

1 1 ч 4 ^ Й )ч 3 ^ 5 б

21

3/ 3 ^
= 1705 ч 618 ^21 ч 224 ^441
(3 - ^21)*

22

23

l ( 2 + { ® V _
6 \ 3 - 02 )

7 9 3 ч -283 \/22ч- 101 ^484

( l ч- \-2з) = 2166б73601
9(3 - 03У

7 6 ]gvsego $23 ч-

ч- 267901370 $529
26

9 ч 3 $26 ч $26^

28

9чЗ$28ч$282

29

30

(1 9 ч 6 $ 2 9 ч 2 $ 2 9 а )6
3 (70 — 32 $ 2 9 ч З \/292)3

3— г— = 811 ч 261 $ 30 ч 84 $ Ш
($ з о -з )3

129

Теория чисел

7SO

Комплексные

А

31

/1 .
\2
)
- : с = Ю1209
($ 3 1 - З ) 5

35

32218 ^31 ч- 10256 $312

($ 3 3 - l ) 3

33

34

единицы

(2 ч -9 $ 3 3 - 3 $ З Р ) 5

2 (^ 3 4 -3 у

= 334153 -+- 103146 $ 34 ч- 31839 $342

( l ч- $35) 3

278 ч- 85 $35 ч- 26 $352

3 ($ Й -2 ) ($ 3 5 -3 )£“

37

3

100 н- 30 $37 -н 9 $372

38
(т

39

41

- 1 п < т - з у “ 2,0 ,1 * 8647 ^

(4 J Щ

$

-

3)» = 5М ^ 156 №

310 (7 _+_ v '4l)12(2 ч- </4i) 21
(5 -

\v4 l) 42

* 2572 №

О целых числах, зависящих от корня кубического

А

Комплексные

7
— -■—

42

43

44

45

46

47

50

_
,___
■у, = 21169 ч - 6090 $ 4 2 ч- 1752 $/42*

4 9 -*-1 4 $/43-*-4 i W

1 (

$/4 4 — 2 V _

4007 ч - 1135 $ Щ ч -643 $/242

4 \2$44 — 7 / ~

3

3* *-3
^
— 1477441 ч- 415374 $/45 ч - 116780 $455’
( $ / 4 5 - 3 )9

33 • 22 (2 ч- $/4б) _ 16449049 ^ 4590798 Щ

1281255 $/46*

( 4 - $ ' 4 б )9

з ( 2 ч -$ '4 7 )6(1 ч -$ '4 7 )3
($/47 — з)® (2 $/47 — 7)®

1 1 ч - 4 $ ,2 0 ч - 3 $ 5 0

(З ч - $ 5 l) ( $ J l — l)
51

единицы

_ Ю7846641

з ( 2 ^51 — 7) ($'51 — з)
ч- 7841994 $ /5 р

29081484 $/Й ч-

131

132

Теория чисел

Комплексные

А

52

(4 _

единицы

- 2 0 9 + 56 i/52 + 1 5 ^

( 7 + ^ 5 з )5 ( 1 + ^ Й ) 6

53

.

3 (4 — ^53)5 (5 — ^53)5 (2 ^53 — i f

55.715 (7 _

55
(4 -

^ й ) 18

^55)18 (^ 55 - З)15 (^ 55 + l ) 15 (5 -

^ ) 15

(з + ^57)4 (8 — ^57)
57

3 (4 — ^57)* (^/57 — l ) (^57 — з ) ( з ^57 — l l )
= 1460968 + 379620 ^57 + 98641 ^57*

58

59

7----- -— — ==929 + 240 ^58 + 62 ^58*
(4 - ^ 5 8 ) 3

(l + ^59)’5
3® (^59 — 3 )® (4 — 0 ) П

60

----- -— - = 2161 + 522 ^60 + 1 4 1 </Ш
(4 - ^ 6 0 ) 3

О целых числах, зависящих от корня кубическою

133

Комплексные единицы

А

61

---- ------ — =

3905 -+- 992

<(/бТ•+•252

62

---- -------- =

8929 -4- 2256 Щ

63

16-

65

16-4-4^ 65-4-^ /652

^61®

-+- 570 Ц Ш

(а - Ы

4

-

4 \/<53 +- S/'632

66

---- ----- -- =
U '66- 4 )3

67

3
1^67 - 4 ) 3

=

68

4
(\3/б8 —4)3

—2449 -4-600

9505

- 4-

2352 Щ -ь 582 ^66»

4289 -4- 1056 (/'67 -+•260 ^67*

Щ -4-147 Ц Ш

3’ (1 -н ^69)30

69
(3

70

•+- \/69)e (б -

,
6
N
( v '7 0 - 4 ) 3

0 ? Ъ( ЦШ — 4)3°

—1121-4-272

^ 7 0 -4 -6 6 '5/7№

Я убежден, что почти все эти единицы являются основными.

О ПРОСТЫХ Д ЕЛ И ТЕЛ Я Х ЧИСЕЛ ВИДА
1 -+- 4х2

*Д о л о ж ен о в з а с е д а н и и

Ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к о г о о т д е л е н и я
19 а п р е л я 1895 г.

В известном „Cours de М. Hermite“ приведено* замеча
тельное предложение о простых делителях чисел вида л 2 -+- 1 ,
сообщенное г. Эрмиту на словах Чебышевым.
Это предложение можно формулировать так: если
озна
чает наибольший простой делитель чисел
l - f - 2 2, 1 -+-42, 1 ч - 6 2, . . . , 1 ч-4Л Р,
то отношение
N

возрастает беспредельно вместе с N.
Разбирая бумаги Чебышева, я нашел небольшой обрывок,
который позволяет восстановить доказательство приведен
ного предложения.
Возьмем сумму
N log (1 -+-4jt2) = lo g (l -+-22) ч -lo g (1 -+- 4 2) ч - log (1 + 6 2) +
ч - . . . ч - log (1 ч - 47V2).
Она разбивается на логарифмы простых чисел вида
4т ч - 1 , не превосходящих притом
Чтобы узнать, сколько раз в нашу сумму входит лога
рифм какого-нибудь простого числа q , рассматриваем сравне
ния
1 ч-4л:2^ 0 (мод. (/), 1 ч - 4 л 2 = 0 (мод. q2),
1 ч - 4 х 2 = 0 (мод. <73), . . .
* Cours de М. Hermite. Quatrieme edition, p. 197.

Теория чисел

738

и считаем число решений каждого из них при условии
x^N .
Сумма этих чисел, т. е. общее число решений наших
сравнений, покажет, сколько раз log <7 должен входить
в состав вышеуказанной суммы
log (1

2В) -+- log (1 -ь 42) чь . . . ч - log (1 ч - 4iV2).

А число решений сравнения
1 ч - 4 x 2 :ee: 0 (м од.<7*)

при условии
[N
наверно не больше

2N
7

a

ч- 1
log (1 и- 4 № )

и равно нулю, если к больше - - 5

•

Отсюда заключаем, что логарифм простого числа д вхо
дит в состав нашей суммы с множителем меньшим, чем
log (1 -ь 4№ )
log 9

N Г — г- —« ч— ^—ь . . . I

2

Следовательно,
2 ь г (1 н -4 д с *)< 2 ^ 2 -^

<p(f*)log(l 4 - 4 TV2}.

Зд есь q означает все простые числа вида 4т ч - 1 , не
превосходящие
а <р(ц)— число их.
С другой стороны, имеем
5 > g < i -+-4jr2)> 2 iV lo g 2 -+ 2 log 1 •2 •3 ••■7V>2/Vlog7V— N.
И з неравенств

О простых делителях чисел вида 1 + 4х2

•V log (1 -+- 4 х 2) < 2 N ^

139

-I- <р(ц) log (1 +- 4 Л г)

И

2

log (1 -+- 4л:2) > 2 N \ o g N — N

выводим следующее:
log N ^
log ix ^

1 у
log fx

logy
у— 1

9 (и-) log (1 -b4iV2)
, 2 N log p.

1
2 log p "

Пусть, далее, q r означает все простые числа вида 4 т
меньшие [х.
Вспомним,* что
у

log У f У
q

3,

lo%gf

отличается от logjx менее, чем на 2 , а разность
У

^

__У

—

logy'

у'

остается конечной при беспредельном возрастании числа и.
Поэтому при беспредельном возрастании [х каждое из
выражений
* 1 У logy и
1 V 1 logy'
log 1х
q
log p
q*
1

стремится к пределу у , равно как и выражение
1 у logy
log Р 4и1 У— 1
После этих замечаний станем увеличивать N беспредельно.
Вместе с N должно увеличиваться беспредельно и (х, причем

.log
J L [J. У
* Mertens.

journal, B. 78.

Ein

Beitrag

12М

L и _21og1 _ р

у— 1

zur analytischen

Zahlentheorie. Crelle’s

Теория чисел

140

будут приближаться соответственно к пределам -у и 0 .
Правая часть неравенства
log ТУ ^
1
^
log pi ^ log р.

bg д ^ у (р.) log (1 ~ь 47V2) ^ 1
q —1
27Vlog p.
2 log lx

содержит, кроме
1
2 log jj. 9

еще
9 (и») log (1 -+~ 47V2) __ 9 (p.)
27V log p.

p.

lo g(lH h 47V 2)
log TV2

jx
log pi

log TV
N

Обращаясь к последнему выражению, допустим, что отноIх остается меньше некоторого числа Л,
L превосходя
шение -jy
щего единицу.
Тогда
р.
log ja

log TV ^
TV

,

и
9 ( р-) log (1

47V2)

9 (р-)

27Vlog р.

log (1 +- 47V2)
log TV2

pi

Что касается выражений
9 (р.)

~9

log (1

"

и

4TV2)

]og№

то они при беспредельном возрастании N и
соответственно к пределам нуль и единица.
Мы видим, что сумма
1
\
log р.

lo g y
q— 1

9 (p .)io g (l-t -4 7 V 2)
27Vlogp.

приближаются

1
2 log pi

должна приближаться к пределу | , если N возрастает беса
предельно, а отношение -дг остается конечным.

О простых делителях чисел вида 1 + 4х2

Итак, если отношение

147

остается конечным при беспре

дельном возрастании N, то для достаточно больших значе
ний N отношение
log N
log [Л

будет, в силу неравенства
log N ^

1

log Jj. ^

log |А

^
jm saU

log g j 9 (и-) log (1 -+- 4ТУ2) I
9

1

2iV log JJ.

1
2 log fJL *

меньше всякого данного числа, которое больше у .
С другой стороны, если отношение -jy остается конечным
при беспредельном возрастании N, то для достаточно боль
ших значений N отношение
log N
log м-

должно быть больше единицы или сколь угодно близко
к единице.
Такое противоречие показывает, что при беспредельном
дг
fi.
возрастании 7V отношение
не может оставаться конечным,
а

должно также возрастать беспредельно.

О Н ЕОПРЕДЕЛЕН НЫ Х ТРОЙНИЧНЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ Ф ОРМ АХ

Д о л о ж е н о в з а с е д а н и и Ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к о г о о т д е л е н и я
2 5 а п р е л я 1901 г.

В настоящей статье мы имеем в виду заняться вопросом
о последовательных точных высших пределах для наимень
ших значений неопределенных тройничных квадратичных
форм одного и того же определителя.
Подобный вопрос для бинарных форм был решен нами
в диссертацйи „О бинарных квадратичных формах положи
тельного определителя" [*].
Для тройничных форм мы не можем пока дать полного
решения поставленного вопроса, которое сопряжено с боль
шими затруднениями, и установим здесь только два высших
предела, из которых первый нам был давно указан профес
сором А . Н. Коркиным.
Относительно рассматриваемых нами форм
/ = а х 2 + а ^ 2- ь а " z2-+- 2 b y z н~ 26' z x н- 2 b" х у
мы будем предполагать, что их определитель
а а а" - ь 266' 6 " — a b 2 — a f 6'2— а" 6"2
равен единице.
Мы имеем право сделать такое предположение, вносящее
некоторое упрощение в наши вычисления, ибо каждая трой
ничная форма, не приводящаяся к бинарной, по разделении
яа кубический корень из ее определителя обращается в одну
из форм, имеющих определителем единицу, а те тройничные
формы, которые приводятся к бинарным, мы не рассматри
ваем.
Ю

А. А. Марков. Избр. труды

Теория чисел

146

Вместе с формою / мы будем рассматривать союзную ей
форму
F = А Х 2 + Л ' Р + A 11Z 2 + 2 B Y Z + 2В 1Z X + 2 B " Х У ,
коэффициенты которой связаны с коэффициентами / форму
лами:
А = а а " — Ь\ В = Ь1У — ab, а = А 'А "— В \ Ъ = В , В , — А В ,
A f= a " а — 6 '2, B ' = b " b — a fbf, а ’= А " А — В * Ь!= В ”В — А ’В\
А " = а а ! — Ь"2, В "= Ъ Ъ '— сУЪ\ а " = Л Л '— В"2, Ъ"— В В ' — А'В"+
Из теории квадратичных форм известно также следующее
предложение.
Если подстановка
х = а*,

z„

преобразует / в эквивалентную ей форму
Л = «1 * i 2

а\ У * -+- о 1 -г!2 •+■

^ -+- 2Ъ\ г хлу -ь 26'/ * , S l,

то подстановка
Л ^ а Л Г ч - а ' Y -+- a" Z,
^ = у Л ч -у ' Г - b f Z
преобразует .F в форму
Л = Д Х 2ч - А [ Y 2- * - A ;, Z 2-+ -2B l У ^ ч ч - 22 ?^Z j

ч- 2

эквивалентную F и союзную с /1в
В частном случае, когда

Z x Kj,

О неопределенных тройничных квадратичных формах

U7

приведенные нами подстановки преобразуют бинарные формы
a>y*-+-2byz + a"z*

и

A 'Y * + 2 B r Z -+ -A " Z *

в эквивалентные им формы и не изменяют коэффициентов
а, А , так как в этом случае
а 1— а

и

А 1— А .

Для наших выводов важно обратить также внимание на
разложение формы / на квадраты:
,

Г

Ь'

А " f __ В _
а \У
А"

Ъ"

f = а\х
н----z н-----I
а
а

J

А" ‘

Это разложение обнаруживает, что для всякой неопреде
ленной формы /, по меньшей мере, одно из двух чисел
а, А "
должно быть отрицательным.
На таком же основании должно быть, по меньшей мерег
одно отрицательное число и в каждой из следующих пяти
пар:
а, А'; а', А ; а ’, А ”; а ”, А ; а\ А !.
Приступая к нашим исследованиям, прежде всего усло
вимся для упрощения рассуждений рассматривать только
такие формы, все коэффициенты которых можно привести
к целым числам посредством одного и того же множителя;
хотя наши выводы можно распространить и на формы, не
удовлетворяющие этому условию. При указанном ограниче
нии форма / имеет наименьшее значение и допускает такое
преобразование, после которого первый ее коэффициент а
становится равным, по числовой величине, ее наименьшему
значению.
Согласно этому мы положим

Теория чисел

148

при всех рассматриваемых нами значениях х, у, z , т. е. при
всех значениях целых чисел х , у , z, кроме
x — y = z = 0.
Наши выводы будут основаны на том соображении, что
коэффициент а, представляющий наименьшее значение трой
ничной формы /, вместе с тем должен служить наименьшим
значением и для бинарных форм
ал:2-*-26" х у + а ' у 2 и

ал:2 -ь 2 6 ' x z -* -a 'fz 2.

Различим два случая:
1 ) а > 0,

2 ) а < 0;

остановимся сначала на первом из них.
При а > 0 коэффициенты союзной формы А\ А" должны
быть отрицательными числами, и, следовательно, формы
а х 2 - ь 26" х у -+ -а !у 2,

ах2

26' x z - ь a" z2,

определители которых равны
- Л " , — Л ',
должны быть неопределенными.
Если одна из форм
ах% -t- 26// ху н- af у 2

а х 2 •+- 26' лгг *+• a" г2

эквивалентна форме
% = } / ^ ;(х * — х у — у*)

или

<Pi = j / ^ ( x 2 — 2 х у — у 1),

то простым преобразованием можно перейти от первого
случая ко второму, при котором а < 0 .
Если же формы

О неопределенных тройничных квадратичных формах
а х 2 + 2Ь" х у -ь а' #2
у/

:

*2 Ч~ а ' 22

ал:2 -Ь

’

149

у/^гд

не эквиваленты ни <р0, ни <р1? to , как известно, должно быть
a < j/ - ± A '

и

а < у /-}А ",

ш потому
А 'А ".
С другой стороны, рассматривая

квадратичную

форму

A' Y 24 - 2 B Y Z - t - A " Z 2,
определитель которой равен— а, мы можем, не изменяя а,
преобразовать ее так, чтобы было
А' А " < :| а.
Присоединяя последнее неравенство к неравенству
.

а *< у ± А 'А ',

получаем

Следовательно, первый случай модшо свести ко второму,
если только численное значение формы / нельзя сделать
\ /Т
меньше 1/ -g- *
Во втором случае, когда а <С 0^ форма
A 1 Y 2- * - 2 B Y Z + A ”Z 2
принадлежит к числу неопределенных, и мы можем предпо
лагать ее приведенною таким образом, что
А г< 0 ,

Л "> 0

Теория чисел

150

и корни уравнения

выражаются непрерывными дробями
1

<х0

и

■1

*1

02-+

>

1

а3-4-

где все а*-— целые положительные числа.
Придерживаясь обозначений, введенных
упомянутой диссертации, положим
5 » = ** +

1

а*+1 -+

= ал-! +

1

afc+ 2

нами в выше
1
1

afc—-2 <----------

И

При таких предположениях и обозначениях имеем
A ’=

— L 0V — a

и

Л* = £ _ г У — а,

и посредством простых преобразований можем заменить
пару чисел L 0, L_^ любой парою Z,2/>
ГДе I означает
число целое.
С другой стороны, рассматривая формы
ах

2-+- 26' atzч - а" г2,

а х 2 ч- 26"

ху

ч- а' #2,

можем установить равенства
а —

— [лУ

^ А '

и

a= -v V Z ,

О неопределенных тройничных квадратичных формах

751

где
[ь2 < у

и

V2<1

•

Указанные нами равенства по исключении А
a= - ^

L

и А

дают

‘* = - f n r j '

Переходя затем от пары

к паре
1*21> ^21—1>
получаем

где также
5

"

'* =

3

В дальнейших выводах мы положим
з

a^ \ J w
и таким образом

исключим из рассмотрения все формы,

численное значение которых можно сделать меньше
После такого исключения первый случай ( а > 0 ) сводится
ко второму, как было уже замечено, а числа L 2l и
будут ограничены неравенствами
L n > -Д = >

>_я_ *

= v,2 V5

откуда выводим
- f - < ^ 2V i o < V 6 ^
1*21 —

Теория чисел

152
И

2^

^

v^VIO^ | / ^ < 4 . 3 .

При соблюдении этих неравенств ряд
* _ 4, а _ 2, а 0> а2, а4, . . .
может состоять только из двоек и единиц, а ряд
. . а _ 8> £_], а , а3, . . .
может, кроме единиц и двоек, заключать только тройки^
Сверх того нетрудно заметить, что а и может быть двой
кою только

при ^ 2==гу ’ ибо при ;лг2<С у имеем ;^2 ^ ~

и неравенство
x -< [V V io
дает

2.
То же неравенство обнаруживает, что [V не может быть
меньше половины, ибо при ;л2< С у оно дает
А
у /V1iu
о^
< .11 .э,
5
Ь21<=Ж221
между тем как в силу неравенств
а 2/~1

^ 4

И

ЭС2Л-]

<С 4

должно быть

£ > » •
Итак, по исключении форм, которые достигают значений
3 1~2
меньших у /~5 > для [лг2 возможны только две величины:

О неопределенных тройничных квадратичных формах

153

Отсюда ввиду постоянства произведения
\
х?

1

следует, что все значения L n равны или отличаются друг
8

от друга множителем - j •
Сообразно этому мы положим сначала
и 21+2
и посмотрим, какие заключения вытекают из такого нера
венства.
На основании наших обозначений можно представить
только что допущенное равенство в таком виде:

л21+1 '
а отсюда без труда получаем
&21+3 ^21+2 -+ -1 —

^si-*-1

^9

и потому
^2Л-2 = *>21+1•
Что же касается последнего равенства, то оно равно
сильно системе равенств
^

21+2

&219

а

2/+3

У' 21— 1 »

^

2Л * 4

^ 2 1—29 *

К таким равенствам приводит нас допущение
1*21 ~ ^*21+2*
Если же мы допустим двойное равенство
1*21—2 — ^ 2* =

• '•

Теория чисел

154

то получим не одну, а две системы равенств:
а 2Н -2
а 2/ =

=

а 2/ »

а 2 И -3

=

0С2/

—

1>

2>

У* 21 + 1 =

а 2 / + 1 = ' У 21 — 3 »

OCg/— 2>

а 2/ +5

а 2 Л - 2 = = = ^ 2 / — 4>

а 2< — 3 f

~

^2/+ 3 =

5» * * *

Ив
этих двух систем нетрудно заключить оравенстве
всех ос&, с четными значками к, н о равенстве таких а*, раз
ность значков которых делится на четыре:
<Х2г

= <Х2/—2 = 0С2/+2 = %2i—4 = а&+4 = ■•* »

а 2 И -1 =

а 2^ ~ 3 =

a 2/+S ^

a 2 J—7 “

а 2Н -9 =

а 27—1 ~

а 2Н -3 =

а 2/ ~ 5 =

У 21+ 7 ~

Л2/~9 = = • • •

•■*>

Отсюда нетрудно видеть, что при существовании двойного
равенства
/

^

21—2

— 1 = 1

------ ^

2 1 ---------^ 2М “2

все Lb, с четными значками, имеют одну и ту же величину.
С другой стороны, нетрудно заметить, что при установ
ленном нами неравенстве

2
1*21
ряд
. . . , а _ 4, а _ 2? а0> а 2, а4, хв, . . .
не может состоять из одних двоек, так как сумма

3+

3-е
2-е

равная i / f у больше ^6.4.
Таким образом, принимая во

внимание все

возможные

О неопределенных тройничных квадратичных формах

155

предположения об ал с нечетными значками к , мы при допу
щении двойного равенства
^ 2/

1^21—2

^21+2

получим для $2/ девять возможных разложений в непрерыв
ную дробь:
1 ) %21--- 1

"g2/ > 2 ) ; 2J--- 1 *+"

]! » 3) $2/— 1 4

f

’ 6*
4)

— 1 н------- 1
1 -н —

5) ^2/— 1 4 ------- 1
1 -*- —
1+ '5Г

6)

— I й------- j

8 ) 5а — 1 н---- —

»

7) 5а = 1

----- — !

> 9) 5а = 1 и-----— j

i

1 нь

1+ -

^2/
Этим девяти непрерывным дробям соответствует шесть
различных случаев, так как от непрерывных дробей 4)* 5)
и 6 ) можно перейти к 7), 8 ) и 9) посредством изменения
числа I на одну единицу.
Разберем подробно намеченные нами шесть случаев.
В случае 1), когда
5а — 1 “*■

1

Теория чисел

156

мы можем положить

A' Y 2-+-2BYZ-+- A" Z 2—
число же

[V

— | / = у ^ ( У 2—

должны приравнять

у

Y Z — Z 2),

? так как произведение

1 4
2
у •у меньше установленного нами предела у •
Тогда

и остальные коэффициенты формы / будут связаны уравне
ниями
Ъ"2=

5

в силу которых получаем
/ = — J { (х — т Ь' z —

(у 2 — Уг — г 2) } •

Определитель всех форм, к которым мы пришли, равен
единице; но ни для одной из них ее наименьшее значение
не равно

4

у

> что противуречит нашему предположению отно

сительно а.
Чтобы убедиться, что численное значение каждой формы
вида
~ У { ( * — J h' Z - J Ь" y j 4 - j ( g 2 — g z — г 2) }
можно сделать меньше
4) # = 0 > 2 = 1 ;

4

у

? положим последовательно

2) у = 2 = 1 ;

3) i/= — 1 , г = 2

и дадим х такие значения, при которых числовая величина
алгебраической суммы

157

О неопределенных тройничных квадратичных формах

меньше единицы, но не меньше половины.
Мы получим для численного значения / три величины

4

из которых, по меньшей мере, одна меньше у э ибо в про
тивном случае было бы

откуда по исключении Ь' и 6 " вытекает невозможное равенство
х » -*-х 2— З х} =

2

ИЛИ

±

у

ИЛИ

±

у

•

Еще скорее устраняется случай 2), так как при ;^2= y

соответствующая величина V оказывается равной у и сле
довательно больше

•

Случай 3) также отпадает, так как в этом случае
-больше у4
4
не только при [лг2 = -у>
но и при ' Vо= у1 *
Перейдя к случаю 4), получаем
A' Y2 + 2 B Y Z -*-A " Z * = —

{ 5 Y 2— 6 Y Z — 3 Z %

v^2

Теория чисел

т

Количества р я д

должно подобрать так, чтобы числовая

величина / не могла опускаться ниже
На этом основании, полагая сначала
2=

1,

у =

О

z =

0,

у ~ 1 ,

и затем

получаем два неравенства

которые должны быть выполнены при всех целых числах х .
И з приведенных неравенств нетрудно заключить, что обе
разности
1

p - j

и

1

?— у

должны быть целыми числами.
Отсюда получаем один класс форм, которые эквивалентны
форме
— V

t

{ [x — \ z — j y J - + - \ ( 3 y - — 6 y z — 5z*) } =

=

— j / j $

-+- y^

=

— j/ | { (x — z)2-*-(y — z f ~ ( x — z ) ( y — z ) ~ 2 z 2 }

yz

xz

xy } =

и наименьшее значение которых равно j /

, как нетрудно

убедиться.
Случаи 5) и 6 ) отпадают на таких же основаниях, как
2 ) и 3).
Допустил* теперь такие равенства

О неопределенных тройничных квадратичных формах

А г

— т — т

— А/

2 ----- ^ 2 1 ------ ^ 2 1 + 2 ------

g

g ^ 2 2 + 4*

При этом допущении имеем
5

( а 2/—1 ^

1 ) ==:: ®

(^ 2 ^ —1 Tl2 l—1

1)

И
^2/+2==:

Отсюда без большого труда выводим
а 21 = = а 2^ +2 =

% 21~2 = = %21+ 4 =

1»

вместе с тем в силу неравенств

должно быть
а21—1---&21+1----3.
На этом основании получаем четыре равенства
1

1х
.

У

*21+2

3-»

^2?+]»

I

о

Т>21+1 ---^ -+■

*

*2/+2
,

_

5 у

—1 --- ft
8 ^

1

3 -+-

1

^2/—1
1

1

Q
8

*■ « -3

’

а из них последовательно выводим
Г
~

7^214-2 -+- 2

V

3i2i+2 -+- 1 ’

^

__ ^2/— 2
+

__ ^ гг—i
121+1 — з ^ _ г

°- —

.
7 - 3?2/ >

5-*-*12/
5s — 5 (*)2г - 3)
^

2 __ 35% ч- 9 ___
г— 2
1 — 15?2г •+■ 5 ~~ 7 — 3?и

и, наконец, приходим к уравнениям
1 2 0 ^ — 2 4 3 ^ — 73 = 0

1 2 0 ( - i ) ’ - 2 4 3 ( - i ) - 73= ° .

159

Теория чисел

160

которые дают для

величину

V

94089
- 14400

большую установленного нами предела ^6 . 4 .
О стается рассмотреть предположение, что нет равенства
^21

—

21+ 2

^

ли для какого значения 1.
Такое предположение дает систему равенств
. . .

—L
— ~5 L^ 2 1 — L
* * 2 1 —2
^ 2 / + 2 — 85 ^/2 / - М —
-------

Допустив эту систему, мы должны положить
4

'■\J4 - з : ' г г- 1 ' : 2

lJ i+1 ~

вместе с тем легко убеждаемся, что ряд
y„2lf

. . . ,

^ «2 / 4 -8 »

•

состоит только из двоек* ряд
. . . ,

0С2/ — б>

&21—2>

а 2/+2»

а £ /+ 6 >

состоит только из единиц и, наконец, ряд
. . . ,

У~21—3> а 2^— 1>

а 2 г+ 1>

а 2 г+ 3 >

должен состоять только из троек. Следовательно,

О неопределенных тройничных квадратичных формах

161

34?2

^ = 2 -ь
1+

1_
%21

и соответственно этому мы можем положить
A' Y2-+-2BYZ-+- A " Z* = — у ~

{ 5 К 2 — 10 Y Z — 3Z 2 \

и затем
/ = — }/ -§ -{ ( x — p z — qy)2- 4 - j y * — j y z — j z 2 }•
Количества р к q должно подобрать так, чтобы числовая
величина / не могла опускаться ниже
На этом основании, полагая сначала
z = 1,

*/= 0

и затем
* = 0,

7/= 1 ,

получаем два неравенства
{

( х — я )2 } 2 > i

и

(л:— q f > i ,

которые должны быть выполнены при всех целых числах х.
Из приведенных неравенств нетрудно заключить, что обе
разности
1

Р— 2

1

и

должны быть целыми числами.
Таким образом мы получаем один класс форм, которые
эквивалентны форме

\

11

{ { х ~

Y

z ~ ~ j y )

А. А. Марков. Избр. труды

- + - J

(3 /

—

Ю г/Z —

5 z 2) } —

162

Т еория чисел

/2
Т { x 2— x ( y + z) — (y +

V

и наименьшее значение которых равно

+ 2у2 \
как нетрудно

убедиться.
Итак, на основании произведенного нами ^исследования
мы можем высказать два предложения относительно всех
неопределенных тройничных квадратичных форм любого опре
делителя D .
Н аи м ен ьш ее численное зн ач ен и е ф ор м , экви вален т н ы х

fo~ —j / j D { х2-+-хд +-д2— 2 z 2 } ,
равно

3/2

гАе (D ) о зн а ч а ет

числовую величину D , а

д л я всех п рочи х ф орм т ого же оп р едел и т ел я D он о м ен ьш е

y/Jm Н аи м ен ьш ее зн ач ен и е ф ор м , экви вален т н ы х
■

f l = y / ^ D \ x 2 - x y - g 2 - 2 z 2 \,

3 / 2 -----равно Л
/ а
он о м ен ьш е

д л я ф орм 9 не экви вален т н ы х ни /0, ни f lr

у/2
?т -

Первое предложение было сообщено нам 20 лет тому
назад профессором А. Н. Коркиным.
Вопрос о точном высшем пределе для наименьших значе
ний форм, не эквивалентных ни /0, ни /3, остается^открытым,
и мы можем утверждать только, что этот предел не меньше
3
1 / у ( £ ) ) ввиду существования формы

О неопределенных тройничных квадратичных формах

|/р <х 2

765

у 2— З г 2 } ,
3 /---

наименьшее значение которой равно V
У f(D
h )

В о в р ем я п еч ат ан и я эт ой зам ет к и я у б е д и л с я , чт о
з /1
у у (/?) служ ит т очн ы м вы сш им п р едел ом д л я н аи м ен ьш и х
зн ач ен и й всех ф ор м , не экви вален т н ы х ни /0, «и /,.

ТАБЛИЦА Н ЕОПРЕДЕЛЕН НЫ Х ТРОЙНИЧНЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ
ЩИХ

НУЛЬ,

ФОРМ, НЕ

ДЛЯ

ВС ЕХ

ПРЕДСТАВЛЯЮ 

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ

ОП РЕДЕЛИТЕЛЕЙ D £ 50

§ 1 . В 41-м томе „Crelles Journal" Эйзенштейном была
дана таблица неопределенных тройничных квадратичных форм
для всех определителей, меньших 20 , не имеющих квадратных
множителей; среди форм таблицы Эйзенштейна содержатся
также формы, представляющие нуль.
Моя таблица не содержит форм, представляющих нуль,
зато я не исключаю определителей, делящихся на квадраты.
По моему мнению, важно рассматривать формы, определители
которых делятся на квадраты, тем более, что эти формы
встречаются в исследовании точного верхнего предела мини
мумов форм одного и того же произвольного определителя.
В
заметке „О неопределенных тройничных квадратичных
формах" (Mathem. Annalen, В. 56) я доказал следующую
теорему.
Т очны й верхн и й п р едел м иним ум ов всех н еоп р едел ен н ы х
ф орм
/ = а х 2 -I- а у 2-*- a ' z 2 -f- 2 byz

2 У x z -н 2 Ъ" ху

одн ого и т ого же оп р едел и т ел я
D = a a а ч - 2ЬЪ’ Ъ” — а№ — а ^ — а ц Ь
р авен

f /f w -

768

Теория чисел

т . е. м и н и м ум у ф ор м , экви вален т н ы х ф орм е
<Ро= — |/~| D (х2- t - x f f- t - у 2— 2z s).
Д ля форму не эк ви вален т н ы х ф орм е <р0, эт от
р а в ен
з / 9 -----

п р ед ел

V f
т . е. м иним ум у ф орм , эк ви вален т н ы х ф орм е
?1 = | / f £>(х2

* 1/- .у2 -

2 z 2).

Д ля ф орм , не эк в и вален т н ы х ф орм ам <р0 и fy, эт от п ре
д е л р авен

т . е. м иним ум у ф о р м , эк в и вален т н ы х ф орм е
Ъ = ~ У ^ О { х * - * - у * - Ъ г 2).
Н а к о н е ц , если и склю чит ь ф ор м ы , экви вален т н ы е ф ор
м ам <р0,
9 2» 7710 т огд а д л я лю бой ф орм ы / м ож но у к а з а т ь
т ак у ю си ст ем у ц елы х чисел х , у , z (х 2 z/2 -+- z 2 ]> 0 ), ч т о
аб сол ю т н ое зн ач ен и е / б у д ет м ен ьш е

При Z) = 12 и D = 20 выражения

V 'P

" \ /Р

обращаются в целые числа; соответственно
таблице найдем две замечательные формы
— 2 х 2 — 2 x 1/— 2# 2 -*-4 z 2 и

этому в моей

— 2 х 2 — 2 х у -+ -2 у 2 — 4z2,

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

169

определители которых равны 12 и 20 и имеют квадратный
множитель 4.
К формам <р0, <р1? <р2 мы можем теперь добавить форму
¥з —

(—

2дг2 — 2xi/ * 2i/2 — 5z2),

определитель которой равен D, утверждая при этом, что для
любой формы /, не эквивалентной формам <р0,
<р2, <р2,
абсолютное значение / может быть сделано меньше

При D — 25 форма 93 обращается в форму
— 2 х 2 — 2 х у -+- 2 у 2 — 5z2,
содержащуюся в моей таблице.
Продолжение моего ряда

V I VI V1* -Vi
является трудным, и моя таблица содержит только две формы
— 2 х 2 — 2 у 2 — 2x z — 2y z -t- 6 z 2 и — 2 х 2 — 2 х у — 2у2 -ь 10z\
наименьшие абсолютные значения которых равны 2 , а опре
делители соответственно равны 28 и 30.
§ 2 . Составляя свою таблицу, я рассматривал наименьшие
значения форм и установил, что эти значения в пределах
моей таблицы не превосходят 2 , ибо для
D = l , 2 , 3 , . . . , 50
мы имеем

] / ! р < 4 и | / у ^ < 3’
а равенство

| /р = з
невозможно.

770

Теория чисел

Установив это, легко заметить, что искомые формы при
водятся к следующим типам:

± x2-f- A±d (г/, z),
=*= 2* 2 + \ Ф±22>(У у *)>
2
~ 2 [*

■ +■ ~2 y'j
~2 У

~2 ^-±2в (у > z)t

~2 z'j - Ь ~2

где через
$ ± н (у > z )

обозначена бинарная квадратичная форма
а у 2 -ь 26г/г - ь сг/2,
в которой коэффициенты
а, 6 , с
целые числа и удовлетворяют условию
ас — Ь2 = =ь Н .
Что касается определителей тройничных форм, то мы
будем считать их положительными, так как определитель
тройничной формы изменяет свой знак с + на — и обратно
с — на + , если форму умножить на — 1 .
Отыскание форм я вел в таком порядке. Прежде всего
я искал формы, которые достигают своего минимума только
положительным значением; эти формы представляются сле
дующими типами:
/о = X2 — а у 9
- — 2 by z — CZ-,

f i = 2 x 2 — у (а y 2-*-2 b 'y z -*-с z z),
Л = 2 (де- b y у ) “ — j (о у г ■+■“2Ь' y z -+- с z \

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

/3 = 2 [ х \

171

j z ) — у (а' у~-*-2Ь' у z н- c ' z 2),

где срормы
a y 2 -+-2byz н- cz 2

и

a ! y 2-+-2bf y z + c z 2

— положительные формы и выражения
ас — 62 и а' с' — 6'2
соответственно равны D и 2D .
Все числа
а, 6 , с, а', 6 ', с'
целые и, кроме того, целыми также являются числа:
для

/

1
2

/ 1 гf 1 г
а » 2 ®’ 2 с ’

для //2 т1 а г,
для /з

1

J_

1
2

,
1
а н-

Су

2

*

1

//
о

1 1
~2 ? ~2^с

Из множества форм типа / 0 нужно исключить все формы,
которые принимают значения 0 или — 1 . В силу этого исклю
чаются, например, случаи, когда коэффициенты а и с равны
1, 2, 4, 5, 9, 10.
Исключение лишних форм типа / 0 производится довольно
легко; для оставшихся в малом числе после исключения
форм легко убедиться, что они не принимают ни значения 0 ,
ни значения — 1 .
Из типов /г, /2, / 3 нужно исключить все формы, которые
люгут представлять 0 , 1 , — 1 , — 2 .

Теория чисел

772

Принимая во внимание простые равенства
2 — 2 = 0, 2 — 3 = — 1, 2 — 4 = — 2, 2 •З2 — 5 •2 2 = — 2,

мы должны из типов /х, /2, /3 исключить все формы, где
коэффициенты а и с меньше 1 2 .
С другой стороны, известно, что любая положительная
форма
а у 2 -+-2ЬГу z

с z2

может быть приведена так, что ее
будет не больше

первый

коэффициент

(а с — Ь'2),
а этот корень в рассматриваемых случаях не

V

превышает

у •100 и, значит, меньше 1 2 .

Следовательно, все формы типов
Наибольшее число форм моей
к типу
— х 2ч - а у 2

2 by z

/2, / 3 отпали.
таблицы принадлежит
cz2,

где
Ь2 — а с = D,
так как типы
— 2 (x + ^i/ + [bzf -f- y (а 'у 2

26' y z ■ +- с' z 2),

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

173

где
1 = 0 или ~ , [Л= 0 или

y

, У 2 — а! с — 2 Д

дают только 12 форм, не представляющих ни 0 , ни ± 1 .
Составляя свою таблицу, я пользовался таблицей Кэли
бинарных квадратичных форм (G relle’s Journal, В. 60. — The
collected Math. Papers of Arthur Cayley, Vol. V); а так как
таблица Кэли вычислена для всех определителей до ± 1 0 0 ,
я смог продолжить свою таблицу только до определи
теля 50.
Важно заметить, что все формы моей таблицы ясно отли
чаются одна от другой некоторыми характерными свойствами.
Пользуясь этим, я всегда убеждался, что две формы экви
валентны, если их различие не обнаруживается легко уста
навливаемыми характерными свойствами.
Необходимость установления возможной эквивалентности
форм представляет основную трудность при составлении
таблицы тройничных неопределенных квадратичных форм.
Я преодолел эту трудность в пределах своей таблицы, и,
таким образом, она содержит все возможные классы и не
содержит никакого два раза.
§ 3. Для форм, определители которых меньше 37, моя
таблица дает также подстановки, переводящие эти формы
сами в себя. Эти подстановки выбраны таким образом, что
они позволяют установить некоторые неравенства, ограничи
вающие представление чисел формами.
Для краткости таблицы я указываю только простейшие
неравенства, но, анализируя их и выводя подходящие след
ствия, нетрудно убедиться, что приведенные представления
действительно ограничены моими неравенствами так, что
нахождение приведенного представления данного числа дан
ной формой с определителем, меньшим 37, сводится к конечному
числу элементарных операций. Найдя приведенные представ
ления, мы можем получить все другие с помощью ряда под

174

Теория чисел

становок, комбинируя их с изменением знаков и перестанов
ками X , У у Z .
Нужно заметить, что для упрощения моих исследований
я ввел в некоторых случаях дробные представления.
Следующие примеры служат для пояснения пользования
моей таблицей при нахождении представлений чисел формами.
П р и м е р 1. Представить число 61 формой
— х 2 — y 2 + l 5 z 2.
Так как 6 1 — число положительное, то мы можем ограни
чить целые числа, удовлетворяющие уравнению
—

.2

Х‘

z/2-*-1 5 z 2 = 61,

неравенствами
x< y< 3z,

x -+ -y < 5 z ,

указанными в моей таблице.
И з этих неравенств для суммы

нетрудно получить следующее неравенство:
* 2-+-z/2< 1 3 z 2.
Следовательно, мы будем иметь
61 = — х 2 — у 2 н- 15z2 > 2z 2
и далее
Z2 < - f ,

z< 6.

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

175

С другой стороны, очевидно, что z^> 2 . Значит, нужно
испытать только три значения z:
z = 3,

z — 4,

z = 5.

Полагая z = 3, получим уравнение
х 2 4-^2 — 13 5 — 61 — 74,
откуда находим
* — 5,

г/= 7 ;

для z — 4 имеем невозможное равенство
х 2-* -у 2 ~ 240 — 61 = 179;
полагая, наконец, z = 5, получим уравнение
Х *Ч -0 3= 375 — 61 = 314,
которое дает
л: = 5,

у = 17.

Исследуя два полученных представления
х = 5,

у — 7,

z—3

и
* = 5,

у = 17f

z — 5,

заметим, что второе не удовлетворяет условию
*/ < 3 z
и, следовательно, не будет приведенным представлением.
Действительно, достаточно сделать подстановку
*1

= х,

— # 1 = 4 г/— 15z,

— Z ) = y — 4z,

Теория чисел

176

чтобы преобразовать представление
х = 5,

г/ = 17,

z—5

в приведенное представление
х = 5,

у = 7,

z = 3.

Что касается других представлений числа 61 формой
— х 2— г/2- ь 1 5 г 2,
то их можно получить из приведенного представления, ком
бинируя подстановки моей таблицы с изменением знаков и
перестановками х и у.
П р и м е р 2 . Представить число —13 формой
х 2 — 3у 2 — 2y z — 6 z2.
В этом случае моя таблица дает для приведенных пред
ставлений неравенства
(у

-

4-

6z) > Зх или (Зг/ *+■ z) > Зх, или (2у — 5z) > Зх

(х — число положительное). Из простых тождеств
з д> + 2 i/2 +

=

6г)2},

3l /2 I 2t/2-+-62 2= -y | 1 7 2 2 -b (3 i/ -b 2 )ab
3i /2 -+- 2 1/2 н- 6 г 2= у {17 (г/

z f ~ь (2 i/— 5г)2^

и из наших неравенств просто выводится неравенство

3i/2+ 21/2 -ь б2 2— л:2> у дс2.

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

177

В силу этого неравенства мы имеем
9 ^

13 • 7

X2 < .- у - =

ЛС

С

45.5

и, следовательно, нужно испытать только семь значений х:
х = 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5, 6 .
Получим
для
ДЛЯ

для
ДЛЯ

для
для
для

х =
X=
х=
х=
х=
х=
х=

0
1
2

3
4
5
6

уравнение Зг/2 2 y z *+■6 z 2 = 13,
уравнение 3у 2 - ь 2 y z *+- 6 z 2 = 14,
уравнение Зг/2 -+- 2 y z -+- 6 z 2= 17,
уравнение Зг/2 н~ 2 z/z -ь 6 z 2 — 22 ,
уравнение 3 у 2 2y z - ь 6 z 2 = 29,
уравнение Зг/2 2y z -+- 6 z 2 = 38,
уравнение Зг/2 -+- 2 y z +• 6 z 2 = 49.

Решая эти уравнения, можно считать одно из чисел у , z
неотрицательным; пусть z^> 0 .
Кроме того, нетрудно получить с помощью предыдущих
неравенств неравенства
#2< ^ - { 3 y 2 -+ -2 y z-*-622}

И Z2< ^ y { 3 # 2 -+-2l/Z-*-6z2},

из которых следует, что
У2 < -jy •49 < 25

и

z2 < ^ - - 4 9 < 9 .

Очевидно также, что все случаи, где y z = 0 , невозможны,
так как никакое из чисел
13, 14, 17, 22, 29, 38, 49
не делится на 3 .
Значит, достаточно комбинировать два значения 1 и 2
Для z с восемью значениями ± 1 , =t 2 , =ьЗ, ± 4 для у .
Результаты этих комбинаций ясно представлены таблицей:
12 А, А. Марков. Избр. труды

Теория чисел

178

2= 1

2= 2

З#2 -Ь 2# 2 -н б22

3» 2 -I- 2г/ -Н б

З#2 -+- 4# ■+- 24

0 = ±1

11.7

31.23

у= ± 2

22.14

44.28

у = ± 3

39.27

63.39

S= — 4

62.46

88.56

Таким образом находим два представления числа — 13
формой
х 2— 3 у 2 — 2 y z — 6 z2:
х = 1 , у = — 2, z = 1

и

х = 3, у = 2 , z — 1 .

Второе представление приводится к первому
подстановки
x 2 = 3 y - + - z — 2x,

— y 2 = 2 y + z — v,

с помощью

z 2 = z.

Значит, остается только одно приведенное представление
* = 1,

У — — 2,

z = l.

Что касается других представлений числа — 13 формой
х 2 — 3у 2 — 2y z — 6 z2,
то их можно получить из этого приведенного представления,
комбинируя подстановки моей таблицы с изменением знака х
и одинаковым изменением знака у и z*

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

Пример

179

3. Представить число — 15 формой
— х 2 — 2#24 - 1 3 z 2.

В этом случае моя таблица для приведенных представлений
дает неравенства
3x>13z

или

x -» - 4 z / > l 3z,

или

3 x -*-4 */ > 1 7 z

(числа х, I/, z — положительные).
И з простых тождеств
X2 н - 2у2 = \ \(хн~АуУ ч - 2 ( 2 х — у )2},
X2+ 2y2— - - j {(Зх -+-4у )2 + 2 (3у - 2 x f\
и наших неравенств выводится, очевидно, неравенство
х 2 нь 2у2 — 13 z 2 > 4z2.
С другой стороны, анализируя подстановки моей таблицы,
можно заметить, что в рассматриваемом случае можно ввести
числа дробные, но так, чтобы числа 2х, у у 2z, х-\~ z были
целыми. В силу этого число z, меньшее

может иметь

только четыре значения:

Получим
для

z= 0

уравнение

х 2ч - 2 у 2 = 15,

для

z~ \

уравнение

(2х) 2 - ь 8 */2= 73,

для

z= 1
3
z= у

уравнение

х 2 - ь 2у2— 28,

уравнение

(2х )2 \ 8 г/2 = 177-

для

Теория чисел

780

Первое и третье

из этих уравнений невозможны,

второе

дает
2х = 1,

у = 3,

и, наконец, четвертое дает два решения
2 х = 7,

у—4

и

2 х = 13,

у = 1.

Итак, нашли три дробных представления:
1) х

~2

у

7

2) х ~ У >

3) х

__ 13

у — 3,

z

«/= 4,

2 > 1/

~2 ?

3

g ;
3

1> ^— 2 ’

Эти три представления удовлетворяют условиям, указан
ным в моей таблице, но третье представление можно отбро
сить, приведя его к первому с помощью подстановки
2 х 2 = 7х -+-12у — 39 z y
у 2 — 3х-+- 3y — 1 3 z y
2z 2 = 3 x - b 4у — I5 z .
Значит, остается два приведенных представления

Внимательно рассмотрев этот пример, можно сделать
общее важное замечание.
Неравенства, данные в моей таблице для ограничения
представлений отрицательных чисел, достигают цели, но,
желая сократить число приведенных представлений, нужно
принимать во внимание также неравенства, ограничивающие
представления положительных чисел, требуя при этом, чтобы

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

181

они удовлетворялись во всех случаях, где соответствующие
неравенства последнего столбца не имеют места.
Например, исследуя приведенные представления отрица
тельных чисел формой
— х 2— 2 r - f - 1 3 z 2,
можно различать три общих случая
1) 3 х > 1 3 z,
2) х < 3z,
3) 3 x ^ > 1 3 z ,

л:-+-4г/> I3z и, значит Зх —
I- 4г/ > 17z;
x h - 4 i/^ > 1 3 z , 3 x - f - 4 z / > 17z;
x-*-4#<C 9z, Зх-к-4г/^> 17z

и два исключительных случая, когда
х = 0 и 4y=13z

или

3x = 13z и у — 0.

Возвращаясь к представлениям числа — 15 формой
— х 2— 2у2

13z2,

7
: 2 ’

1!
4*.

1
2 ’

II
Oj

заметим, что все они могут быть получены из двух приве
денных представлений:
1
z — 2 ’
3
Z = 2 >

с помощью подстановок моей таблицы, комбинируя эти под
становки с изменением знаков чисел х, у , z.
Легко получить и представления в целых числах; для
этой цели достаточно сделать подстановку
2 х 3 = Зх н- 4 у — 13z,
У з~
2z3 =

х ~*~5у — 13г,
х -+- 4у — l l z ,

182

Теория чисел

и из представления

мы найдем представление
х = 1,

у — 3,

z — 2.

Неравенства, которые ограничивают приведенные пред
ставления, можно, очевидно, применять также для доказа
тельства невозможности представления некоторых чисел фор
мами.
Я должен констатировать, что у меня во всех рассматри
ваемых случаях эта невозможность есть следствие невозмож
ности удовлетворить некоторым, легко устанавливаемым,
сравнениям. В соответствии с этим я убедился, что любое
целое число представляется данной тройничной неопределен
ной формой, если невозможность такого представления не
обнаруживается легко устанавливаемыми сравнениями.
§ 4. Заканчивая, я должен упомянуть о двух очень
талантливых математиках — А. Мейере и Г. Вороной.
Работы Мейера, очень трудные для изучения, содержат
важные результаты об эквивалентности тройничных неопре
деленных квадратичных форм и о возможности представле
ний чисел этими формами. (C relle’s Journal, В. 98, 112— 116
и Inauguraldissertation „Zur Theorie der unbestimmten ternaren quadratischen Formen“).
Что касается Г. Вороного, то он не смог опубликовать
свои исследования о неопределенных формах, и поэтому
я не могу утверждать, что он имел полное решение основ
ных вопросов, относящихся к этим формам. Мне известно
только, что он надеялся устранить принципиальные трудности
исследования с помощью принципа Эрмита и геометрических
соображений. Польза геометрических соображений при нахо
ждении приведенных представлений чисел является для меня
несомненной, так как они не только упрощают анализ полу

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм

183

ченных неравенств, но, кроме того, они помогают при нахо
ждении подстановок.
Важно заметить также, что по поводу моей краткой
заметки „О трех неопределенных квадратичных формах",
опубликованной на русском языке (И зв. Акад. Наук, 1902,
сент., т. XVII, № 2), Г. Вороной говорил мне, что число
условий, которые ограничивают приведенные представления,
не остается одним и тем же для различных форм, а может
значительно варьироваться. Это утверждение Вороного под
тверждается до некоторой степени моей таблицей, где нахо
дим для приведенных представлений чисел формой
— х 2— 2 у 2— 2 y z

14z2

четыре неравенства, а для представлений формой
— х 2 — 2у 2 — 2y z

17z2

— девять неравенств.
Вопрос о числе этих неравенств в общем случае остается
открытым, так же как и вопрос об общем методе нахожде
ния неравенств и соответствующих подстановок и даже
вопрос о существовании приведенного представления для
любой формы.
С некоторой точки зрения неопределенные формы заслу
живают большего внимания, чем формы определенные, иссле
дования которых сводятся непосредственно к конечному
числу элементарных операций.

Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм, не представляющих нуль, для всех положительных
определителей D
50
Приведенные представления
D

1. 2

Форм нет

3

— х 2 — у 2 -4- 3z 2

4

Форм нет

— 3 * 2 — 3у 2 + z 2

— х 2 — 2у 2 — 2y z -4- 2 z2

для
положительных
чисел

= 2 л: — Зг,
— У>
z i ~ х — 2z ,

*1
#1

mj

= 9 h — 20 z ,

л-2 — л*
y 2 = 2 y — 3z
z 2 ~ y — 2z

X< Z

у < z

лг2 = a + Зл: — 5z

для
отрицательных
чисел

y> 3z

2а

5z

и -< 2z
— 5 х 2 — 2у 2 — 2y z -4- 2 z 2

5
и — 2у

Подстановки

Союзные

Формы

Zi = 4u — 9 z,

но = 2н + 2лг — 5z

x i — x,

z 2 ~ и + 2x — 4z

Xt ~ 5x — 12z,

дг2 — 4л: + 3# — 12z

z i — 2x — 5 zy

y 2 — Зл- + 4y — 12z

У1 ~ y ,

z 2 ~ 2 x + 2y — I z

или
и -4- 2лг <С 3z

z

и + 2 л: >■ 5z

1

I
х > 3z
у < х < 2z

6

— х 2 — у 2 -4 6 z2

— б х 2 — бу - -4 z 2

или
х + у <3z

7

— х 2 — у 2 -4- 7z 2

8

Форм нет

9

х 2 — 3у 2 — 3 z 2

— 1х2 — Ту2 + z 2

x\ ~ 2z -4- 2y — I z , у i = 2x 4b 5y — 14z
z\ — x -1- 2 у — 6z

9 х 2 — 3^2 _

Зг 2

x \ ~ 2 x — 3y,
yl~ x

1

X -4- у > 4z

— 2y,

X<у
х

+

2у < 5z

х -+- 2у >■ l z

x 2 = 2x — 3z
z 2 — x — 2z

х> 3у, x> 3z

X< у

10

— л2 — 2г/2 + 5z-

— Юлг2 — 5у2 + 2z-

xi = 9х — 20*,

* 2 = 2* + 2у — 5z

z\= 4л* — 9*,

у2 — х + Зу — 5z

2 * > 5*

* *< 2*
* + 20

3*

z2 = х + 2у — 4z

11

— * 2 — у2 + l l * 2

— x- — у2 Ч~ 12* 2

-

-

Их2 - И у2 + z2

12*2 -

12у2 + г2

= р2 (мод. 3), н р2 (мод. 5)

— 12*2 + 6у2 — 2* 2

— х2 + 2у2 — 6*2

Ег 0 (мод. 2)

12
Форма Коркина
— 2* 2 — 2*0 — 2у2 + 4* 2
НО (мод. 2)

— 8 * 2 + 8ху — 8у2+ 3*-

= 2 [— и1— 3«2 + 2z2]

a=x + i

= - у

= 10* — 33*,

* 2= 3* + б 0 - 2 2 *

*1

= 3 * — 10*,

0 , — б* +

8 г/—

33*

01 = У,

*2

*1 = 7* — 24*,

* 2 = 2 * + 3# — 12*
= 3 * + 2у — 12*

«1 = 2* — 7*,

У1 =

У*

= 2 * + Зу — 12*

*2 = * + 0 — 5*

* ! = 3* — 40,

0 , = 20 — 3*

01 = 2* — 30,

Zl— у — 2*

*1 = * ,

*2 = *

uj = Зм — 4*,

ц2 = Зо — 2*

*1 = 2и — 3*,

г»2 = м + 2г> — 2*

vi = v

*2 = и + Зг> — 3*

х < у <3z
2* + Зу < 11*
У <3z

* + 2у ;> 5*
3* > И *
или
2 * + 30 >• 13*
У > 4*

X + у < 4*

или

х< у

* + 0 > 6*

X< у
3* < 0

и

z

и + Зо ■< 2*

х>2у
или
* >0

м

2*
или

и + Зо >■ 4*

, v = JL

— х2 — 2 у2 — 2yz + 6* 2
13

*1

или

{ - 2 * » - и 2+ 1 3 *0

-

13*2 - 6у2 + 20* + 2* 2

и = 2у + z

2«! = Им — 39*, * 2 = 5* + м — 13*
2*i = Зм — 11*, 2 м2= 4* + Зм — 13*
*1 = * ,
2*2 = 4* + м — 11*

м ■< 3*
м + 4 * < 9*

* 3 = 3 * + 3 и —13*, 2мз= 12* + 7м—39*
2*з = 4* + Зм — 15*

Зм — 4 * < 13*

Зм > 13*
или
м + 4* > 13*
или
З м + 4 * > 17*

2*i = 3 * + 30 — 14*
* + 30 < 10*
14

— х2 — у2 + 14z2

— 14*2 — 14г/2 + z2

2 0 ! = 3 * + 110 — 42*
2 * ! = * + 3 i/— 12*

х <у

лг + 30 > 14*

[родолжение

Приведенные представления
Формы

D

Союзные

— 15х2 — 15у2 + * 2
— х 2 — у 2 -Ь 15z 2

= Р 2 (мод. 3), = Р 2 (мод. 5)

Подстановки

xi

=

— — л- + Зн2 — 5 гг
15

к — Зг - 1- у , v ~ 2 z + у

— х 2 + 2 у2 + 2 yz- — l z 2

— — Д.2 _ 3„2 _|_ 5у2
к — Зг +

— 15л:2 — 1у- — 2г/г + 2 z2
— р 2 (мод. 3), Ег 2 р 2 (мод. 5)

х2=

6х +

у 2 —■5л: -Ь 6р — ЗОг

у,

z 2 = 2х -\- 2у — 11z

=г 2л: — Зц,

и» = 4н — 5гт

и | — 4л: — 2и,

— 3 ц — 4 гг

х > 5z
У < х < 3z

или

у + х <5z

у+

X > Зн

л:2 — л:

н, — 4ц — 5v,

х 2 ^=-9х — 20v

— 15л:2 + 1 у 2 + 2y z — 2z 2

V\ ~ 3 и — 4v,

v 2 = 4х — 9v

= Р 2 (мод. 3), — 2р 2(мод. 5)

Xi

=

V >■ и
Зи

и •< V

U2 = и

X,

х$ ” Зл: + 6п — Югт, «з — 2л:

или

5v •< Зн

x< 2v

+ 2и — 5v

2 х > 5v

2х + Зн -< 5г>

2л: Ч- 3

7г>

Форм нет

xi

=

2у + 12z — 5х, х 2 — Зу

z\— У +
11

5v

или

V3 = 2 х + 2и — 6v
16

X > 6z

X •< и

г>1 — г>,

v — 2z -+- у

для
отрицательных
чисел

5у — 30z

Z\ — х — 4г ,
yi —

— х 2 — 2 у - — 2y z + l z 2

4х — 15z,

для
положительных
чисел

х2 — 3у2 — 2 yz — 6 z2

17л:2 — бу 2 + 2yz — 3 z 2

У\

5 z — 2z, у 2 — 2у

— — У*

+

z — 2л:

+

z — л-

Z2— — Z

хз — 8л: + 6у — 15z, у з — 3 х

+

(у + 6z) > Зл:
(у

+

(Зу
Зу — 5z

+

6z) С 2л:

или

z)< x

(Зр -+- z) > Зл:

(бу — 15г) <; l x

или
(2р — 5г) > Зл:

z 3 = — Зл: — 2у -+- 6z

1

.
в

л

$

xi — 2х + 4у — 19z, х 2= 1 9 х -{-1Sy—114z

я
3

cn

A
+

+
a

X
V

I

I

A
£

B

x -+- 4y «< 17z

x + 4y >■ 19г

N
CT\

I

N
T
*
<M

«
*

^
Л
г
T
X

a>

+

X

I

CN CN s

cs

^

+ +
a

V

v

+
x

t

£
+
X

a

II II

a> <
m
N +
§
X
II N
II
I

I
4s

а

+

7

I

I

ц

I! II

+

I! II

+
%

I
ъ

%

s>

in|fvj t i
&
>
I

S»>
+

a> »>

I I I
i$ $ 4*
I! II II
I
£
+
x

A

X

V
5»

I

A
A

f S
5

+
&
J
?x
I

+ II
+2
xN©
C
III
X

I
Ъ
I

Продолжена е

П ри вед енны е

D

Ф орм ы

—

—

=

—

н

H —

—

+

3t

—

—

u\ —2a — 3vt
и2 8и— 21
~ и 2v,
w~
2—Зи 8
10y2—2yz 2 2
—w,
v>—V
2
из—20а— — го, щ—7и
zo3—6а 6v
= •-

z

o j

—

Злг +

П о д с тан о в к и

С ою зны е

х2 2у2 2yz 10 2
2 »2 7хо2
у 10
v х+ у z
w—х —3z

—

2 1y 2 —

z

—

р

+

ДЛЯ

для

пол ож и тел ьны х

о три ц ател ьн ы х

чисел

чисел

го

—

—

< ;

z

42

— 8 о — 14

—

—

и

v

3v и
Зги<1 и

«)

( м о д .З ) , — р ^ м о д . 7 )

2 1о

3

п ред ставл ения

zv

21v

+

или

7w7>3и

42и> < С

19 и
или

13 w

2w> и

© +

21
х2 2у2 2yz
и2 2 2 2
П—2y
Z, V
—

+

=

—

v

+

—

.Y +

—

—

t» z —

10 2
2
z

—
—

—

2 1y 2 +

10 2 2
y

+

# z° —

u i = 3 a

22
z

l l z

# —

P ' (м о д . 3 )»

—

z ,
z ,

2

Z|

z ,

—

-р ’ См од. 7)

Y

—

v3—

4v 2 u2— 4u
2 vz=■ 2u—v
zz— и+ v + 3z
3v z, v3—2ч+ v 6
3
и
2

u — So —

i> i =

4h +

2— y2+ 22 2

— 22y 2—

z

22if

-i- z

—

— 9

—

2

—

—

—

z ,

2y 2

2 4 z,

y

—2\y —
z\ — Sy—
x1 x,
1/1

11 5 z,

—

y

2

— y~+

—

2 3 z2

23y 2

— 2 3 y2+

z

2

y

3

— 12 y

11л :

I

1

+

(
+

z)

<

—

+

2z 2

3y

+

x>—

IQ y + 2 7

z

11

zJ

20z

у —1 3 8 z

27x+82y—
z2— +
—
—
y3=8x +
z3~3x + 4y—

+ 15 #

9 2 z,

18 p

©

+

>• 2и

z)
или

а

(© +

4 z)

<

(© —

3 z)

■< и

3 (© +

>

4 z)

5и

или
3 (© —

Y

+ 5у <
х + у < 6z
х <у
22z

Sy <
x + Зу <C

y

+

3 z)

5

>> 5 u

у 7> 2 6z

или
3y

+

<

3 i/

Р>

22
z

5 z

23z

4 14 z

6y

2

и

z

9y 66
у — 66
3y —

9y

или
15 z

9 1z

3y
3 x -h 4 y

<

+

9#

>

46z

23z

12 y— 69z

24z

. 1

(2v

z

у2 =

2 4 z,

23

© +

— llO z ,

z i=

12 z

7 z

—

2x\—
у 22
—
2yx—Sx+23y
2y-i—
2
+5у—
—
— y + 5

—y

3 © —

—

Z

22

—

или
x

<

у
3y

+

4у

25 z

1

1

1

.....

х2-

3у 2 - 8 z 2

24л:2 — 8 у 2 — Зг2

Не представляет — 1

z\

=

Уi = x

х — 3z,

-

х 2 - у 2 + 2Az2

- х 2-

У\

=Г Р2 (мод. 8)

— 24л:2 — 8 г/2 + Зг2

3у 2 + 8 z 2

24

ЕЕ Зр2 (мод. 8)

— 24л:2 + 12 у2 — 2z2

— х 2 + 2 у2 — 12z 2

= 0 (мод. 2)

=

5y

— 2y

=

* i — У — 5z,

y,

X\ = X,

z2= x

Ax

+

+

9y — 48z

3x — 8z,

л-2 — 5л- Ч- 12p — 2Az

x — 3z,

y 2 = Ax

+

1 3 y — 2Az

z 2 = 3x

+

9y — 17г

zi

=

— y>

Уз

=

$У

— 8z>

z3

=

3y

x3 ~ x

x2 —

y 2 = 6x — YJy + 36z

zv = zt

z , — 2x — 6 y + 13z

— 2л:2 — 2у 2 + 6 z 2
— 12л:2 — 12р2 + 4г 2

x\

— 2л:2 — 2ху + 2у 2 — 5z 2
Юг2)

-

Юл:2 -

10л:г/ + Юр2 -

гг = 2лг + у

5г2

2 гг2 = Згг — 5p

z i = 2y — 3z,

2y 2 — u — 3y

или
р > 2г
х>2у

х < У

или

3z < у

л: + 6z >- Зг/
или
2z 7" 7

X<Z, у < z

y> 3z

— 26л-2 — 13у 2 -+- 2 z 2

i = .9»

z> y
2 z < .у
н< у

Ui = и
2x i = l b -

— г 2 — 2у 2 + 13г 2

Зг/ < Ах

или
л: + Зг/ > 6z

—X

y i = ?y — 4*,

2*! = 3* 26

<. 16г

x

Zl = У — 2z

ЕЕ 0 (мод. 2)

= - i ( - н- + 5i/2 -

9у

У 1 = Z y - Sz

= — 2 (х2 + у 2 — 3z 2)

25

Л- > 4г
х < .2 z

Зх + 18 z •< 8у

Уз = $y — 12*» z 3 — 2y — 5z , x 3 -

6z

х + 2у > 12г

у

5x — 12p + 2Az

x i = 3 x — 4y ,
y i = 2x — 3y ,

>

<

Зх

— 5z,

у

или

х

=

yi

У <Az

У>Х

х + 2у < Юг

2y — l b

xi

2z > x

или

Зу<х

x 2 = 3x + Ay — 2 b

— 2 Azt

1

4*

z2—z

У1 = У>

— 24л-2 — 24г,2 -+- г 2

1

x 2 = 2x — 3p

л*1 = Зл- — 8z,

z2 — Z

39*

2 x 2 — l x + 12у —39z

lb ,

y 2 = Зл: -+- Зу — 13z

2*^ = Зл- + 4г/ — 15z

2лг3= 3 x + ' y - V’*» У2 — х
5у — 13г
2z3 — г + 4р — l b

или
гг > 5.7
Зл: > 13г

x< 3z
Зх + Ау < 13г

л- + Ay < 9z

или
Зл: + Ау > 17г
или
л: + 4г/ -< 13г

Продолжение

Приведенные представления
Формы

D

Союзные

•

Подстановки
для
положительных
чисел

x1 — 6 #2 — 6yz — 6z2
= x 2—6н2 — 18u2

z

— 27х2 — 6у2 Ч- 6yz — 6z2

z

B= v+ T * ° = т

х\ = 5х — 12а,

х2 — 5х — 6и — 18о

«1 = 2л: — 5и,

иг = х — 2 и — 3v

Vl — V,

Vz — х — и — 4v

для
отрицательных
чисел

2н > л:

Зи<х

или

3u + 9 v < 2х

и 4 Зо > .т

He представляет — 1

— x24- Зу2 — 9z-

27

xi = 2Х — Зу,

- 21х2 4- 9у2 - 3z2
—0 (мод. 3)

— 27х2 — 27у2 Ч- z2

— л-2 — у2 4- 27z2

у, — 2у — 3z

У1= х — 2у,

z , = у — 2z

z\= z

Хг — x

у v= 26у — 135z,

х2 = Зл: Ч- 10# — 54z

z I — 5# — 26z,

у2 - : 10л:Ч-24#—135z

яг1 = л:

z2 = 2л: 4- 5# — 28z

хз — 10л:4-12#—81z, #з— 12л:4-17#—108z
Z3 = Зл: Ч- 4# — 26z
л-i = 2л:4-5#—28z, х2= 7х 4-20# — 112z
# у=5х+26у—140z, #2= 20л: Ч- 49# — 280z

— х2 — у2 + 28z2

28

zy=x + 5у — 27z, z2= 4л- + 10# — 57z

— 28л:2 — 28i/ 2 Ч- г 2

хз = &х+ 7у — 56z, уз = 7х 4-8# — 56z
z3 = 2х 4-2 # — 15z
1

1

i

X > Зу

х< у

или

3z < у

Z> #

5# > 27z

у < 5z
2х 4- 5#
Зл: 4- 4#

25z

2л: 4- 5# > 29z
или

х <у

Зл: 4- 4# >■ 27z

х Ч- 5# < 26z
2л: 4- 5#

или

27z

28z

х + у <7z
х< у

х

4- 5# >■ 28z

или
2л: 4- 5# > 29z
или

X 4- # > 8z

1

1

1

1

x v — 7л:Ч-4р — 2 8 2 , л:2 — 5л:Ч-8р — 28z

2х

у

9z

2х + у < C lz
Pi — 2л: — 72,

— 28л:2 — 14р2 Ч- 2z 2
— л:2 — 2у 2 ч- 1422

р 2 = 4 л - ч 9 р — 28z

или
л: Ч- 2 р > 72

л: Ч- 2р ■< 62
21

= 0 (мод. 2 )

= 2л* Ч-р — 8 2 ,

22 =

2л*Ч-4р — 13z
Зр < 72

л:3 — л:,

Рз

— 8р — 21 2 , 2 3 = Зр — 82

Р

или
> З2

28
— 2 л:2 — 2 р 2 — 2 xz — 2 y z + 6 2 2
= 0 (мод. 2 )

— 13л:2 Ч- 2л:р — 13р2 —
~ 4л:2 — 4рг Ч- 4 г 2

2«х = Зн Ч- Зо — 14го
м Ч З о < Юго
2 г»1

= 2 { —н2 — » 2 + 14я»2}

= Зн Ч- Н о — 42го

н Ч- Зо Р> 1 го
и <С v

2гоу = и Ч- Зо — 12го
“= * + Т

• ° = » + | > я ,= у

2 hi = 27h — 1452,

2zi = 5u — 27 z,

— х 2 — 2у2 — 2yz Ч- 14z1
29

= - 1 { - 2л:2 -

a2 + 29z2}

— 29л:2 — 14p2 — 2p2 4-

2z

л”1 = л*,

л*2 = Зл* Ч- 5и —

29z

2u-z=20л:Ч-23н— 1452
2^=4

х + 5и — 31z

2

и = 2y + z

хз =

19л: Ч- 9 н —87 z,

х^ =

15л: + 2

и з= 1 8 л + 1 0 н — 872, 2 и4 = 8 л:

—

и

и — 58 2
—

29z

5и >■ 292

н < 52
4л: Ч- 5н < 29z

2х + и < 9z

или

8х + и <С292

-30z2

: р2 (мод. 3), — р2 (мод. 5)

30
- 30л:2 — л:2 — 2у2 + 1522

15р2 Ч- 222

х\ = 11л: — 6O2,

2 л:2

2 ) = 2л* — I I 2,

2р2=15л:Ч-23р—1592

Pi = у,

2z2=3x Ч-

= 7л:Ч-15р—902

5

у — 32z

л*1 = 4л*— 152,

2л:2 — Ил:Ч-6 р — 452

2 j — л: — 42,

2р2 = 3х + 4у — 15z

- р 2 (мод. 3 ),= 2р2(мод. 5)
У1

= у,

2zz= 3x Ч- 2л: — 13л:

2л:з= — х Ч- бу—152, 2рз —Зл: Ч- 16р— 452

2гз = х Ч- 6у — 172

6л: Ч- Зн >

292

или
8л: Ч- н >• ЗЗ2

г з — 6х + 3и — 28г, 2 24 = 8 л: Ч- и — 31г

— 30л:2 — ЗОр2 Ч- 22

или
4л: Ч- 5н > ЗЗ2

У >

у <5z
Зх Ч- 5у ■< ЗО2
х <у

х + 6у <1 152

Зл: Ч- 5р > 342

X> 52

л* < 32
Зл: Ч- 2у <

6г

или

llz

или
Зл: Ч- 2р >• 152
или

х + 6 у > 192

Продолжение

Приведенные представления
Формы

D

— 30*- + 15у2— 2z2
— * 2 + 2#2 — 15z2

Подстановки

Союзные

— р2 (мод. 3), — 2р2(мод. 5)

xv— Зх — 4ij,

у, — 11# — 30z

yv— 2* — 3#,

z2 = 4# — 1lz

zt — z,

X2—
—X

хз = 2х — бу 4- 15г, уз = Зх — 7у + 15z

для
полож ительн ых
чисел

х <у
3z < у

X 4- 5z < 2#

Для

отрицательных
чисел
*> 2#
или

5z> 2y
или

Зх 4- 15z >■ 8у

z3 = x — 2# 4- 4z
30
— 2 * 2 — 2ху — 2у2 + 10z2

ui = 9a — 20г»,

y> = 4# — 5v

— 0 (мод. 2)

vi = 4 h — 9v,

v2 = 3y — 4v

У\ = У,

ut — u

= ----- \ ( “2 + 3у2 — 5v2}

- 202 4- 20ху - 20у2 4- 3z2

из = 3u 4- 6y — Юг», уз= 2и + 2y — 5г»

и = 2х + у, v = 2z

#1 = 11* + 2# — 62z, # 2=10* 4- 5# — 62z
— * 2 — #2 4- 3lz2

— 3 lx2 — 31у2 4- z2

z [ = 2 2*4-2# — 123z, z2= 5 * 4- 2# — 30z
*3 = 32*4-31#—248z, #3=31*4-32#—248z
z3 = 8 * 4- 8# — 63z

,

У<v
2а 4- 3# < 5v

2и р> 5г»
или
3# > 5г»
или
2и 4- 3# >• 7г»

г»з = 2н 4- 3# — 6 г»

*1=122*4-11#—6S2z, * 2=26*4-10# —155z

31

и •< 2г»

11* 4- # •< 61z
5* 4- 2# < 29z
4 * 4- 4# < 31 z

x>y

11* 4 -У > 62z
или
5* 4- 2# > 31z
или
* 4- # > 8z

32

•

Форм нет

1 ...............................

______

!

1

х- —

ЗЗлг2 — lli/2 — За2

Зу- — 11а-

~ р2(м од. 3), - — р- (мод .11)
Не представляет — 1

х- — 6у2 — 6yz — 7Z2
= х2 — 6и- — 22»2
z

ЗЗлг2 — Ту- Ч- 6yz — 6а2
rr _ р? (мод. 3), ~ р'2(мод. 11)

Z

*=д + т , » = т

33

х |— 2л: — 3у,

хг — 15л:— 12^—44а

у\ — х — 2у,

у, — 4X — 4у — llz

z [ = a,

z , — 4х — Зу — 12а

л:3 = Юл: — 33а,

а3 = Зл: — 10а, у3~у

х\

— 5х — 12а,

иi = 2х — 5п,
»,

хг — 8х — 9« — 33»
2 «о —

Зх — 5» — 11»

У

3у < х

\

6у ч- 22а < Тх

=

ух

— 23у — 132а,

Z\

— 4у — 23а,

х

или
За > л:

11а < Зл:

2и> х

За < л:

или

9« Ч- 33»

Тх

За Ч- 11» >■ З.г

2v> — Зх — За — 13»

»1

>

или
Зу + 11г > 4л:

Не предс+авляет — 1

— ЗЗлг2 — 33у- Ч- а 2
гг р2 (моД.З),
— х-

—

у- Ч- 33а2

р (мод. 11)

vл-з=17лН30г/—198а
у $ = 3 0 х + 4 9 у —330а
z j -= 6х ч- lQy — 67а

хх = х ,

х ,~ - lO.v |ЗЗу—198г, л:,=33л4-32(/—264а

-

34

—65а

— х1 — 3i/2 — 2yz — 11г 2

2 пi — За — 5»—w,

и, —8н Ч- 3» Ч- 21ш

=

2 у|= и — 3v — w ,

w,

— 5»2 — 2vw — l w 2

и — Зл- Ч- 2у Ч 12а
v

1

1 —■34г'2 — И#2 — 2y z Ч- 3а2 W\ — V ),

— — х — 3z

W —х

+ у + 4z

х ч-

Зу •< 18г

Зл: Ч- 5у

Зи Ч

v

Ч 8w

Зл- Ч- 9у 7* 55а

33а

иля
Зл: Ч- 5у > 34а

х Ч- у <С 8 г

v2— V

аз = 19а — 24»Ч-36га, г»я——6иЧ-7»—12а»
\

1

го, — 6а — 8» Ч- 11«»

ИДИ

х < у

(5» Ч го)

> 6а
или

у . = 33*ч-98р—594а, y 4 - 3 2 x + 3 3 y - 2 6 4 z
z t = 6л: Ч- 18#--109а, а4 = 8 * Ч 8у

и2

У

2у < И a

4л: Ч- 41/ > 33а

и

I

5и

или

3 (» Ч- Tw) < Та
2 (2» — Згу) < За

(5» Ч- ш)

(» Ч- 7гу) > За
!

или

; 3 (2» — 3 w) !> 5и

1

Продолжение

Приведенные представления

D

Формы

Союзные

— 35*2 — 35у2 + zl
— * 2 — #2 + 35z2

~ Р2 (мод. 5),

Подстановки

#1 = 6# — 35z,

* 3= 1 2 6 * + 125г/—1050г

zi = у — 6z,

#з=125*+126#—1050*

Р2 (мод. 7) х\ — х,

*з = 30л: + 30# — 251 z

* 2— 1 9 * + 30у — 210*, #2— 30л:+ 44# — 315*
* 2 — 6 * + 9# — 64z

35
— х 2— 2у- — 2#* + Hz'
— — л*’ + 5»'- — 7га’
о = 1/ Ч- 4z

zv— у + 3z

— 35*2 — 17у2 — 2yz + 2z'~
= 2р-,(мод. 5),

р2 (мод. 7)

»1 = 71 » —84 га,

*5 = 3 3 *—160»+1б8га

w\~ 6 0»— 71га,

»5= 32*—159»+168га

*i = *,

w-j—
~24x—120»+127га

* 2 —9* — 120»+ 140га,

*е = 3 3 *—120»+112га

Ог — 24*—289а+33бга,

vq= 24* — 89о + 84га

о>о= 20* — 240о+279га, wq= 16 *— 60о + 57га
* 3 = 27* — 210о + 238га, * ---6 3 * —2 00»+ 168га
о3 = 42* — 316о + 357га, гь= 40*—126о+105га
га3= 34* — 255» + 238га, га- = 24* — 75» + 62га
* 4—6 3 * — 360» + 392га, * 8 = 27* — 70о + 42 га
»* = 7 2 * — 406» + 441га, »8= 1 4 * — 36» + 21га

W4—56x — 315» + 342га, гад — 6* — 15» + 8га
• * 9 = 9* — 20», »9 = 4 * — 9», га9 = г»

1

для
положительных
чисел

У > 7z

у < 5z
2 * + 3у

для
отрицательных
чисел

21 z

2* + 3# < 25*

или
6* + 9# > 65z

*< У

или
5* + 5# > 42г

6га < 5»

7га > 6»

14га + * < 12»

или
168га + 12* ;> 145»

17га -+- 2х

15»

49га + 8 * ^ 45»
84га + 16* < 79»

21га + 6х <С. 22»
21га + 8 * < 25»
Зга + 2 * < 5»
* < 2»

или
357га+ 42* > 3 1 7 »
или
441га + 72* > 407»
или
21га + 4л >■ 20»
или
14га + 4*

15»

или
40* + lOSza^ 127»
или
21га + 14* >■ 37»
или
2 * > 5»

y

vj== 1 6

»i = v,

W3 —

E.2p° (мод. 5), ~ —p- (мод. 7)

x>—

-»

25» —

5y 4 - 4 » — 14 w ,

xo2~

10 y +

Ис представляет — 1

y2 —

36y 2 — 6y2 — 6z ’
=. 0(мод. 7)

3i/2 — 12z2
36y ° - I2y2 - 3y 2

36

1 0 » — 29 w ,

0 (мод. 2)

— 24y 2 -4- 24yу — 24#2 -4- 3z2

56w

=

2y hh 1 1 » — 14 w

w{ —

2 y -4 -1 0 » — 13

6w,

—

w

Y

Xi--Sx—12y,

x2= 11y — 24y — 12z
y, —4x —9y —4z

Zi~Z,

z, —2x — 4 у — 3 z

x i= 2 x —3y,
y i~ x — 2y,

2 —- 3 Y — 8Z,

y

2

+

2y

-4- 4 » <C Ixo

x

-f- 5 » < ; 6 w

»<я/

zz~2x + у — 5z

10» >

I8 w

или

x -4- 5 »

lw

5 » >• 7w

2у >

3y<x

Y

или

12у -4- 6z <C 5x
y>z

2y -4- z У> x

У> x
или

6z <£. x

(y ) <

У2= у

3 tO

или

= 5y -4- 2y — 12z

z t~ x — 3z,

>

ИДИ

5y +

3y<x

У 1~ — X+ у + 4z,

»

14 w

y 5~ y

yi = 2x — 5y,

Y

—2y 2 — 2y 5|t— 2#2+ 12z2

—

2 0 y 4~ 4 0 » — 7 1 w

— 3y - f - 10 » — 14 w

и*- — 5 »

Z{~Z,

He представляет — 1

4
{/4
y

H

6#2 — 6z2

70 w ,

n3

y2 —

+ 31»

5 y -4- 5 » <

»^ =

v^--6v— 7 w,

y

ИЛИ

i
?

3z

24y

3y C 7 w

i
-

xo — у +

wi~~3x —8w,
- - 3 5 y 2 -4 - 17y~ + 2 yz — 2 z'

II

v — у + 4z

— 3 9 y + 8 0 v — 14C»>

yj

to

Iw 1

3X0

Y >

21zo,

x

— .y 2 - - 5 » 2 ~4-

35

—

II

2 y z — 11z

- 8y

£
II
^

-4- 2if- +

i

2z >

Y

(y ) >

4

2z

z

или

( 2 y -4

y)

4z

(У) < (x)

(2 y

-4 -

y) > 6z

Продолжение

Характеристические
свойства

Характеристические
свойства

D

Формы

37

— л:2 — 2у2 — 2yz + 18г 2

— 37л:2 — 18р2 — 2yz + 2z2

38

— ж2 — у2 -Ь 38z2

— 38л:2 — 38у2 -+- z°-

.... -...-

— 39*2 — 39у2 -f- z1

— р2(мод.З),

Союзные

— X- — у2 + 39z-

— х2 — 2у2 — 2yz + 19z2

— З9лг2 — 19у2 — 2yz + 2z2

— х- + 2у2 + 2yz — 19z2

— 39г2 + 19jr2 + 2yz - 2z2

--------------

p2 (мод. 13)

—р2(мод. 3), ~ 2 р 2(мод. 13)

£1 р2 (мод. 3),

2р2(мод. 13)

к
1

Г

40л-2 — ly2

Не представляет — 1

6yz — 7z2

iI

1

'

39

'

— 40л-2 — 13#2 — 2yz + 3z2

— л:2 — 3у2 — 2yz + 13z2

40

---

— х2 -+- 3у2 -1 2yz — 13z2

— л-2 — 2у2 + 20г 2

— 40л:2 + 13y2 + 2yz — 3z2

0

i

— 3z2 (мод. 8)

— 40лг2 — 20у1+ 2z2

—

— 2л-2 — 4i/2 — 4yz + 4z2

1

--------------

ЕЕ 3z2(мод. 8)

(МОД.

— 20л:2 — 8у2 — Byz -f- 8z2

2)
i

= 0 (мод. 2)

—

41

х2 — Зу2 — 2yz — H z ’
— л2 —* у2 -4- 42z2
- л:2 ~ 2у2 + 21z2

Не представляет — 1

J

-

j

41 х2 — 14i/2 + 2yz — 3z2

------------------- ---------------

~ 42л-2 — 42y2 + z2

— p2(мод. 3), ^ р2(мод. 7)

-- --------------------------------

— 42л-2 - 21y2 + 2z2

“ — р2(мод.З), ~ р 2(мод. 7)

~ \2x2 -4- 2\y2— 2z2

~ p2 (мод. 3/, — p- (мод. 7)

42
- x2 -t- 2у2 — 2lz 2
- 2x" — 2y2 — 2yz -l- lOz2
- X

44

2— у2 -4- 44z2

* 2 ~ 3у2 — 15z2
— x2 — 2y2 — 2yz + 22z2
- x'2 -4- 2y2 -4- 2t/z — 22z2
- x2 — Зу2 Н- 15z2
- л:2 — *>у2 — 6yz -4- 6z2

47

- х2 — у2 -4- 46z2

—• л:2 —

у 2+

47z2

— 21*2 ~ 20y2 — 4tyz -b 4z2
— 44л*2 — 44y2 + г 2

~ * 2 + 2у2 — 22z2
— 2л:2 — 2уг — 2*z — 2yz -4- 10z2

46

0 (мод. 2)

- 44л*2 -4- 22y2 — 2z2
0 (мод. 2)
He представляет ~ 1

- 21*2 -I- 2xy —2It/2 — 4xz — \yz

= 0 (мод. 2)
4z2

45r2 — 15y2 ~ 3z2
- 45л-2— 22y2— 2yz

2z2

- 45r2 -4- 22t/2 -I- 2yz — 2z2
- 45лг2 — 15у2 -4- 3z2
- 45л:2 — 6у- — 6yz Ч- 6z2
— 46л:2 — 46у2 + z2

■ 47л г2 — 4 7 у2 +

z2

s . — P2(мод. 3), — 2p2(мод. 5)
— р2(мод.З), — 2р; (мод. 5)
— О (мод. 3), — 2р2 (мод. 5)
. О (мод. 3), _ р2 (мод. 5)

Продолжение

Характеристические
свойства

Союзные

&

Не представля:т — 1

48л:2 - 8у'- — вz2

Не представляет — 1

48л:2 — 8у2 + 8yz + 8z2

— 0 (мод. 8)

— х 2 — г/2 + 48z2

— 43л:2 — 48у2 -|- z1

г= р2 (мод, 8), z : р2 (мод. 3)

— г 2 + Зу- — 16z2

- 48л:2 + \6yl — 3z-

~ X* + 2у2 — 24z2

— 48л:2 -f 24у2 — 2z2

Е — 2р2(мод. 8 ),Е р 2(мод.3)

— х- — 4 у2 + 12z2

— 48л:2 — 12у2 + 4z2

Е 4 р 2(мод. 8), Е р 5(мод. 3)

г

<?
0
1
s

£

г

\
**

‘н
00
1

Формы

D

Характеристические
свойства

Е — 3р2(мод. 8),

р2(мод. 3)

48

— 2л:2 — 2ху — 2у2 + 16г2

— 2л:2 — 2у2 -4- 12z2

— 0 (мод. 2)

— 32л:2 + 32ху — 32у2 + 3z2

Е 0 (мод. 2)

— 24л:2 — 24у2 -+- 4z2

1
1

50

1

49

— X1 — 5у1 + Юг2

Не представляет — 1

49л:2 -

7у2 — 7z2

— 50л*2 — 10у2 + 5гг

Е 0 (мод. 4)

ДО К АЗАТЕЛ ЬСТВО ТРАН СЦ ЕН ДЕН ТН О СТИ
ЧИСЕЛ е И тг
(НЕВОЗМОЖНОСТЬ КВАДРАТУРЫ КРУГА)
ПО СТАТЬЯМ ЭРМИТА И ЛИНДЕМАННА.
ОБРАБОТАЛ А. МАРКОВ

Предмет настоящей статьи составляют рассуждения
Эрмита и Линдеманна, приводящие к доказательству тран
сцендентности чисел е и
(Н е г m i t е. Sur la fonction exponentielle Comptes rendus*
T. X X V II; отдельной брошюрой в 1874 г.).
(L i n d е m a n n. Ueber die
Zahl ~. Matem. Annalen,
B. X X ).
Результаты всех этих рассуждений резюмируются в сле
дующей теореме.
Т е о р е м а . К а к о в ы бы ни были алгебраи чески е ч и с л а *
* 1, * 2,

•••■

и
в

Д ], A Sf Д 3, . . . у

равенст во
А^е 1 - ь

е 2+

е ' + . . . ч - А а е*а = 0

(1 )

невозм ож но.
Для доказательства допустим противное и покажем, чторавенство (1 ) приводит к противуречащим результатам.
* Надо помнить, что всякое число S называется алгебраическимг
если оно удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению
Pi

Рп+ 1 ? -Ъ

р п

= О

с рациональными коэффициентами ръ р2, .. . » Рп—ъ Рп*
Напротив, число называется тренсцендентным, если не удовлетво
ряет никакому уравнению этого вида

Теория чисел

202

При этом мы предполагаем, конечно, все показатели ос
различными, а коэффициенты А не равными нулю.
Остановимся сначала на том случае, когда все коэффи
циенты А — числа целые.
§ 1 . Преобразование

р а в е н с т в а (1 )

Умножая сумму
А 1 е 1 4 - А 2 € 2 + А$ е 3 + . . . 4 ~ А а е а

(а)

на другую подобную же
В 2 е^1

-+- В

2

-4- .. . 4- B f ,

е^ь?

(Ь)

получим в произведении сумму

которая на основании равенства (1 ) также должна быть
равна нулю.
Если теперь все числа £ различны и ни одно из чисел
В не нуль (о числах а и Л уже сделано такое предположе
ние), то

содержит по крайней мере один член

у которого, во-первых, коэффициент A 4B j не нуль и, вовторых, показатель а, ~ь(3у отличен от всех прочих показате
лей О
С
*
* Возьмите из всех а/ то, вещественная часть которого имеет наиболь^
шее значение, а если таких несколько между ними, остановитесь на
том, у которого коэффициент при }/— 1 наибольший; так же выберите
-и

Доказательство трансцендентности чисел е и

тс

203

Поэтому, соединяя в один все члены с равными показа
телями ос*н-ру# приведем наше произведение к виду

Cl с71 -I- С2е72 + . .. + Се е7с?

(с)

где также все у различны и ни одно из чисел С не нуль.
Подобным же образом, перемножая сколько угодно выраже
ний вида (с), всегда произведение их приведем к тому же
виду (с), и результат наш должен быть .равен нулю, если
в числе множителей заключалось и (а).
Числа
<*1, ^2> * ••>
можно рассматривать., конечно, как корни одного и того
же уравнения
z 4
z q~ l
-н
z - + -p q = Q
с неизвестною z и рациональными коэффициентами
Ри

•••>Pq—D

Pqy

причем можно предполагать, что
равных корней.
Составим из корней его
Z \9

это

уравнение не имеет

Z %9 • • * 9 Z q

все сочетания
Z i,9

Z i , f 9 • • • 9 z i (<* )

no а; число таких сочетаний, как известно, равно

ч (я ~
Между

а ■+■!).

ними, конечно, будет и такое
*1 0^2, ••. , 0Са.

Поэтому произведение всех выражений
А Ле * -ъ-А 9 е 1! нь
должно равняться нулю.

-А а е'Ю

Теория чисел

204

Составим это произведение, и в нем, считая z l9 z2,
неопределенными, соединим в один все члены с равными
показателями при е.
Оно представится под видом суммы
2 СеЛ,**г+ h**ir' + •* * + h*>*i(Vу

где

•г -гг
I У

•* I№

— какое-нибудь размещение значков
1 , 2 , 3 , . . . ( 7,

а С и Аг, А2, . . . , h q — числа целые (надо помнить, что
коэффициенты А и А 2, . . . , Л Я мы предполагаем числами
целыми).
Различным значениям
Aj, Л2, •••, hq
могут соответствовать различные С, но для всех выражений

К zv

К z ift ■+■•••

z tf),

которые отличаются друг от друга только порядком знач
ков при z y коэффициент С при

должен иметь, конечно, одно и то же значение, так как от
перестановки корней
Zj, Z2y •••, Zq
изменяется только порядок множителей
А,е

-f- А« е *г -+“ . . . -+~А а е

но ни в каком случае не произведение их.
А все выражения
К

V * - •••-!-Л, z i<n,

Доказательство трансцендентности чисел е и те

205

выводимые друг из друга посредством перестановки значков
при z y удовлетворяют одному и тому же алгебраическому
уравнению
X (Z) —

Zr

+- S i z ~ l -Ь

. . .

н- s r - i z ч- sr= 0

.с неизвестной z и рациональными коэффициентами s у
So, . . . 9sr. X ( z ) равно произведению всех различных межд 1 >
собой по виду (т. е. при неопределенных значениях z u
z 2y . • • z q) выражений
z — h x z e — h 2 z („ — . . . — h q *;(«),
которые можно получить из одного, перестанавливая значки
Таким образом из равенства (1 ) мы выводим

С] (eTl>1ч- еТ2»1ч- . .. -+- ет^> *) ч-+- С2(e(l>2ч- еТ2»2 -ь- . . .
е'Г2>2) чч - ................................................. чч- С*(е^3»*ч- е^2>*ч- . . . ч- е'*ъ 0 = 0,

(2)

где вообще
Yi,!» Тз, <»•••»

Y»*, *

означают все корни некоторого алгебраического уравнения

Xi(z) = 0
г ,-й степени с неизвестной z и рациональными коэффициентами (при этом двукратные корни повторяются дважды,
трехкратные трижды, и т. д.).
Разложим теперь все наши уравнения
X 1{z) — 0y X>(z) = 0 , . . . , X t { z ) = z 0
на неприводимые
Y ,(z) = 0, Y2{ z) = 0, . . . , y i ( z ) = 0.

(3)

Теория чисел

206

Коэффициенты при различных степенях z в Г мы предполагаем также все числами рациональными.
Соответственно этому разложению равенство (2) можно
переписать в следующем виде:

Д 2es' -+- А 2е5*+ - - . + А
ГДе

О,

(4)

^3»^2»••-Л

означают, соответственно, все корни неприводимых уравне
ний (3).
Если
Y'hz . . . У/М,

Х г= У ^

—
—
- У ^ л у ъ , 2 . . . Y?*.*,

Х < = У*М У я/ > 2 . . . У/М,
то
А =

1Q

92, 1 А -+- ••.

А ~ ?1, 2А

<7^1 А»

?2,2А ■ +"••*■+■?/, 2А

А = <7i, IА “*“ $2, <•С 2 ч - ... ч -

Согласно замечанию,
ждений, числа

сделанному

qtf ICt.

в начале этих рассу

А, А» •••>А
не могут все вместе обратиться в нуль.
Чтобы не иметь дело с дробными числами, умножим
все (> на некоторое целое положительное число <7, причем
произведение
обозначим одной буквой
Тогда будем иметь

А

1l

А

ii

1L
+ ••. - ь Д ^ е * — 0 ,

(5)

и целым числом от можем распорядиться так, что все £ будут

Доказательство трансцендентности чисел е и тт

207

целыми алгебраическими числами, т. е. они будут удовле
творять таким неприводимым уравнениям
Л ( * ) = 0 , /г2 (г) = 0 , . . . , F i ( z ) = 0,

(6 )

в которых коэффициент при высшей степени z — единица,,
а при прочих степенях z все коэффициенты числа целые.
Надо помнить, что

означают, соответственно, все корни уравнений (6 ) и равных
между ними нет.
§ 2. П р е о б р а з о в а н и е

р а в е н с т в а (5)

Для краткости положим
F M 'F M '''F M = F (z\
Кроме того,
выражение:
а « (£ .

введем

в наше

(7)

рассмотрение

следующее

(8)

у) -

Здесь m означает какое угодно целое положительное
число; m! = 1 •2 •3 •••( т — 1 ) •т ; нижний предел интегриро
вания а — число данное (например нуль); верхний предел
Е— один из корней уравнения
П * ) = 0,

.

(9)

наконец у — число переменное, не зависящее от х.
Путь интегрирования на значение выражения
у)
не влияет.
Для определенности можно принять этот путь прямоли
нейным.
Тогда, полагая
* = а
(с— a) t,

Теория чисел

208

будем иметь
( 5»

1

у)

т\

а+

F (a4 -(i-a)t-F (g )
а — у + (5 -а )/

а

f

(1 0 )

X { F ( « + ($ -a )/ r< / f,

где t получает только вещественные значения от 0 до 1 .
Впрочем, для наших целей удобнее Qm(E, у) оставить под
видом (8).
Интеграл, который здесь встречается, взять нетрудно.
А именно неопределенный интеграл

х
можно принять равным произведению е a на некоторую
вполне определенную целую функцию Фт(х, у) от х ; коэф
фициенты при различных степенях х в
(jc, у) — сами це
лые функции от у *
Соответственно этому
а

(I, у) — е

3 ф,„ (£, у ) — е

3 Ф„, (а, у).

Полагая Е последовательно равным всем корням уравне
ний (6 ), получаем

'-е3 Ит& > У ) = - - * К & , у ) - е

а
а

Фт (а, у) •

* Полагая
1
гс!
т\

F(x)~F(y)
■ lF(x)\«> = Ч'т {х, у),
—уи
хх—

можем написать следующее равенство:
Фш (ху у) = — сг

Л

—

(* , у)

_9

ф ш(л:, у)

Тх-------- + * --------- Tfi--------

*

Доказательство трансцендентности чисел е и it

ъ

209

——

2 е 9 а м(^2, г/) = 2 Фт (^, у) — е

9 Ф« (а, у ) •2 е 9 ,

М.
—2.
Al
2 е 9 йт (?;, у ) — 2Фт ($,, у) — е 9 Фт (а, у) • 2 е ° ,
откуда затем на основании равенства (5) выводим
Д 2 е° Qw($lf z/)-h . . .
ii

А 2 Ф»г (5ц #) -+- . . *

. . . + Д 2 е б Ow($/, г/)

■• • + Д

(

11)

(5/, у)

Надо помнить, что Д , Д ,
А — данные целые числа,
m — произвольное целое положительное число, а у — совер
шенно произвольное число.
§ 3 .0

п е р в о й ч а с т и р а в е н с т в а ( 1 1 ),
т. е. о с у м м е
€i
Д 2 е° Qw(?i, г/)А 2 е° М 5 ь */ ).

Дадим г/ какое-нибудь определенное значение.
З а £ примем также какой-нибудь определенный корень
нашего уравнения
F ( z ) = 0.

(9)

Кроме того, обозначим буквой р модуль разности £ — а,
а буквами К и Z, — соответственно наибольшие значения
модулей
-R-e)<

F (fl- t , ( S - fl) Q - F ( g )
а —^
— а) ^

F [ a + (5 - a ) t ]

для всех вещественных значений f между 0 и 1 .
14 А. А. Марков. Избр. труды

Теория чисел

210

Тогда на основании формулы ( 10 ) можем написать модуль
pK Lm

Я ) < 1 . 2 • 3 • ••
А выражение

*
m
$K L m

1 .2 - 3 ... m

при возрастании т до бесконечности стремится к пределу*
раэному нулю.
Отсюда, принимая во внимание неравенство*

мод.

А

2е

°

&т(Еъ у)

- + - .. . ч~ Di

<

<

Л
°

(Zj, у)

2 мод. ( д е " ) •мод. Qm(£i, у) ■+■
2 мод. ( Д е * ) •мод.

(&, у)

заключаем, что, каково бы ни было данное число у , при
достаточно больших значениях т модуль первой части ра
венства (1 1 ) будет сколь угодно мал.
§ 4 . О второй части равенства
т. е. о с у м м е
А

1Фтill, у) - Ь

...-+ - А

2 Ф ТО( £ ;,

(11),

у)

О с н о в н а я л е м м а . Пусть будет

/(*> у) =

бо Xs ■ +- егл:8-1

* 62 х8-2-Н... -+- 68_JX-+-

какая-нибудь целая функция от х.
Коэффициенты ее
д1 >

•••> Vs—ъ

* Модуль суммы меньше суммы м о д у л е й и модуль интеграла меньше
интеграла о т модуля.

Доказательство трансцендентности чисел е и 7г

211

мы предполагаем целыми функциями другой буквы у, не за
висящей от х.
Всегда можно подобрать целую функцию от х
g (*> У) = 'Сох * 1 Сг х 8* 1

С2 х 8~2

‘С - 1 х •+- С»

где
У
У у
sc> 41 >

У

у'rs

• • •> 4 s — I t

— тоже целые функции от у , таким образом, что будет
иметь место равенство
__ X

_Х _

\ e~T f ( x , y ) . { F ( x ) d x —

e g (х, у) •{ F ( x ) } m+

е

X

{ F { x ) Г ' - 1 dx.

n a g ( l S)-\ e~

( 12 )

З д есь суммирование 2 распространяется на все корни £
уравнения
F ( z ) = 0.

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о . При s ^=0 имеем
X

х

‘ 60{/ *< *)}“ </* =

\ е ~ Т f { x , y ) . { F { x ) T d x = \e
X

X

= — е ~ Т * % { F { x ) Г ч - т<те0J е~ T F ( x ) { F ( x ) Г " 1 d x * =
X

X

= — e~ T (70 ( F ( * ) }№ I- m 2 3e0 [ e~

{ F W ) " - 1d x **

и равенство (1 2 ) будет удовлетворено, если положим
g ( x ,y ) = a % = 3 f(x ,y ).
* Интегрирование по частям
**

Р (х ) = £
14*

.

Теория чисел

212

Переходя к случаю s = 1, замечаем, что

Jе

X
_X
* f(x , g ) d x ~ J
'

е (0О-+- bt) d x =

я:

= —е

а ( 0о с х н- б2 з -+• 0оа2)

и затем посредством интегрирования по частям получаем
X

X

Je ’ (0О
х -н бд) •{F(*)}“d x = — е *(
0О
зх-+- а -+-60з2)X
X { F ( x ) }т
Но

J

Ж

m е“ 7 ( 0О<тл: -+- 0, <7- ь 60з2) •F (х) { F ( x ) Г " 1 dx.

(90зх-+-0Jи-+-0О
з2)F'(х)= n%(sF(л:)-I-(х, у),

причем
<*>1

(х»у)._V

0)1

_V

^

F ( at) — ^ / Ч б Н х - б ) “

^ ■+“ 3•*"

Зд есь и впредь буквой п мы обозначаем степень поли
нома F (x ).
Следовательно,
_ X
X

Je *(0ох-1-01){/',(х)}в,</х=— е *(0озх-+-01з-ь0оз2)-1Ж

-+- 77Ш0Ов

Jе~7 { F ( x ) }тd x -+X

-+• m l

(0О
з£-+- 0Х
з-ь 0О
з2)•Jе~7

{ F (x )

Отсюда, принимая во внимание
равенство (случай s = 0)
X

Je 7 { F ( x ) } md x =
X

т2зJе~7

уже доказанное

X

—

Г-1 dx.

е_73{F(x)}w-+{F ( x ) У”- 1 dx,

нами

Доказательство трансцендентности чисел е й

ъ

213

заключаем, что при s = 1 равенство ( 12 ) будет удовлетво
рено, коль скоро положим

8(х, у)—

01

■+
■ воа2

0О
(j2-

Проверивши таким образом нашу лемму для случаев s = О
и s = l , не трудно распространить ее последовательно и на
все значения показателя s.
Для этой цели, конечно, достаточно показать, что она
должна иметь место при s = sf, коль скоро справедлива при
S ===S*— 1.
Буква s' означает у нас какое угодно целое положитель
ное число.
Итак, пусть s = s .
Кроме того, для краткости
X

je °f(x,y) dx= —се ”|/(х, у)-t- <
гdf^ g) ч.

.

обозначим через

r s d af ( x , g )

\

X
—е

° (л (х, у).

Интегрируя по частям, получаем
X

Z

J«Г7/<*,у){F i x ) г dx= - е7[л(*, у) {F ( x ) Г+
*

Ж

н- m f «Г > (*> я) F (х) {F(x) Г " 1dx.
Перемножим [л(х, у) и F'(x) и произведение их будем
делить на F(x) до тех пор, пока не дойдем до остатка
wi (* , у) низшей степени относительно х, чем F(x).

Теория чисел

214

В частном мы получим некоторую целую функцию / г (х 9у)
от х такого же характера, как и / (х, у), только степень
этой новой функции будет уже не s', a s '— 1 ; так что
[’■(х, у) F ' ( x ) = Л (х, у) F (* ) -+- о»! (х, у)
И

(*»g) _X1 <°i(s.у) _X1м
-(S,у)

FW

* —5 ’

Следовательно, во-первых,
fie

х

je ~ 7 f(x ,y ){F (x )r d x = -e ~ ° v .(x ,y ){F (x )r 4 X

-bmje

e f 1( x , y ) { F ( x ) } mdx-+X

+ m M I,y )je
и, во-вторых,
написать

допуская

7{S r{F (x )r~ 4 x

нашу лемму для s — s — 1 , можем

X

fe

X

" f l ( x , y ) { F ( x ) ) md x = — е

я v (х, у) { F ( x ) }т -+-

X

-+•

(|, у) | е~ ^ ^ = 1 ™

Г " 1Л .

а отсюда видно, что равенство ( 12 ) удовлетворяется при

g ( * , У) = Р (*> у) - ь

(*,

у)-

Таким образом, основную лемму можно считать доказан
ной вполне.
П р и м е ч а н и е 1 . Равенство ( 12 ) можно переписать еще
в следующем виде:
^ -fe

° f { x , y ) { F ( x ) } md x = — e

J g ( x , y ) { - (j ) ** -t-

X

■+
■

Je 'afej/HF(x)Г-1

Доказательство трансцендентности чисел е й тс

215

где
« (*> # ) = %(£> У ) - т ~ г
не что иное, как остаток от деления на F ( x ) произведения
g ( x , y ) - F'(x).
П р и м е ч а н и е 2. Если f ( x , y ) — целая функция от х и у
с целыми коэффициентами, то g ( x , у) й <д(лг, у) также не
могут содержать членов с дробными коэффициентами.
Действительно, ни употребляемое нами интегрирование
по частям, ни деление на F ( x ), где коэффициент при высшей
степени х — единица, не могут ввести никаких дробей.
С л е д с т в и е . » Если / (л:, у) относительно х и у — целая
функция с целыми коэффициентами, то, применяя нашу лемму
тп— 1 раз, получим

]\ е
8 1 * ’ У)
■+-

° f(x ,g ){F (x )}~ d x =
т!

(т _ 1)!

1

. . . -ь £„,_!(*, y)F(x)-*-gm{x,y)

(13)
J

где
g (х, у), g x(х, у),

g,„-x (х, у), g m (х, у)

— некоторые целые функции от х и у также с целыми коэф
фициентами.
Притом относительно х все эти функции, за исключением
g ( x , y ) не выше, как п — 1 -й степени; так что g m{x , у) озна
чает остаток от деления выражения, стоящего в скобках [ ],
на F { x ) .
П р и м е ч а н и е 3. Если степени

Теория чисел

216

относительно у соответственно равны
О, 1 , . . . , s

1 » s,

то степени
Со, Си

С.

соответственно равны тем же числам.
Мало того, коэффициент при у к в
равен произведению
<т на коэффициент при той же степени у , т. е. при*#х в 0Х.
Другими словами, если f ( x , y ) — целая функция s-й сте
пени относительно х и у вместе, то относительно тех же
букв g ( х 9 у) — также целая функция s-й степени и, каково бы
ни было \ коэффициент при у Хx s“ x в g (х, у) равен произве
дению <7 на коэффициент при том же выражении х x s~~K
В g (х, д ) ‘
Это примечание нетрудно оправдать, полагая s последо
вательно равным
О, 1 , 2 , 3, . . .
В случае s = 0 оно проверяется непосредственно, так как
тогда

f ( x ,y ) = K

а

g { x ,y ) — <*K

А затем формулы
1* ( * »

у) — < * / ( * , у) ■+■ ®2

d f ( x , у)
dx

+

ах8

и
g (* , у) = к- (х, у) -+- mv (х, у)
показывают, что оно должно быть справедливо при s = s',
коль скоро имеет место при s = s '— 1 ; так как
<*/(*» у)
d2f ( x , у)
d s f ( x , у)
dx
*
dx2
* *** *
с?*5

И /) (x, у)

Доказательство трансцендентности чисел е й т:

217

относительно х и у вместе только s — 1 -й степени и v(x, у)
для f i { x , y ) играет ту же роль, как g ( x , y ) для f ( x , y ) *
Приложение
ф

общих р е з у л ь т а т о в
х

=

{ ? ( * ) } " <*х

т F(x)-F(y)

I.

—

к

-------- целая функция от х

и у с целыми ко

эффициентами. Поэтому остаток от деления Фш(х, у) на
F ( x ) — также целая функция от х и у с целыми коэффи
циентами [см. формулу (13)].
Что же касается сумм

2Фт {^,

у ),

2 Ф 1П( Ъ , у ) ,

2 4> m ( E it у ) ,

то они, будучи симметричны относительно корней уравнений
F t (z) — О,

F 1( z ) = Q , F 2( z) = Q,

* Основную лемму со всеми примечаниями к ней нетрудно оправ
дать и непосредственно при всяком s, как это делает в своей статье
„Sur la fonction exponentielle** Эрмит.
Все сводится к определению коэффициентов

Со» Cl, С2» ...,С *- 1, С,
под условием, чтобы в целой функции от х

1

е°

ПШ(*'

d

Гг

J е-

-

— [ F (л:) }«■-! * 1х

а f { x , У) { F ( x ) ) m dx-t-

"1

_±
_ н-е

= { / ( * . у ) ----- “ £(*> у) -*• —

1 F ( x ) ~+~ mg (х, у ) ■Р ( х )

исчезли все степени х выше п — 1. А такое требование дает систему
уравнений первой степени, из которых неизвестные
Гл Г

**0» ^»1» •••» Y'эЗ
легко находятся последовательно одно за другим.

Теория чисел

2 /8

приведутся к целым функциям от одного у с целыми ко
эффициентами.
А вместе с ними, конечно, — и выражение
А 2

ф .»

у) -+- А 2

ф №($2.

у) -+- •••■■+■А 2

ф .( Ь .

г/)-

Это последнее для краткости обозначим через х(у)*
II. Пусть будут
^1»

*3, * •

*й—1»

— все корни уравнения
F (z) = О
в каком-нибудь произвольном порядке.
Произведение всех разностей
(zj

z 2) (^1

Z3) . . . (zj

Zw) (z2

Z3) •••(z2

ZR) . . *

zn)

обозначим одной буквой Л.
Пусть, далее,

Ун 1/2» Уз» • • *• Уй—и Ул
будут какие-нибудь различные между собой числа.
Произведение всех разностей

(у 1 — У2) (У1 — У2) •

• • (У1

— Ун) (у 2— Уэ)---(У2 — У»)--- (Ун-, — Уп)

обозначим буквой А'.
Наконец, определитель

Фш(*И У1), Ф™(*2» y i ) f - » Фт(*п» У1)
Фт (-^1> У?)» Фт (^2> У2)»• • •> Ф»г(^й» У2)
ф*(«1, Уй), Фт(^2> У«г)>• • •> Фй»(-^й» Уй)
обозначим через

Доказательство трансцендентности чисел с и т:

219

Мы имеем в виду доказать следующее равенство:
П,

%19

•••у

1

= (-!)*

W(w—1)

w+1

( - )- 5 -

^ i > Угу • • •у Уп.

А*А2“ " 1. (14

Для этой цели заметим, что
c«~l 4 - ( у + . . . ) х*~г -4- (g* -+-. . .) х Г *

x —g

-4- (ffn~2^ . . ) x
и потому на основании нашей леммы и примечания 3 к ней
можем написать
[ саххп* - 1+ (<зу-t - . . . ) x n 24 - ( j i /24 - . . .)л:,«—з
Ф,
\F(x)}"
X 1 - 2- m

- (<jyn 2 -+-. . .) X -+- (jyn 1v (« * г 1- н-(3I/-H. . . ) ^ - 2+ . . . + 1
r«~ 1_|_ J
jZd \-f- ipyn '

X

l(*> Zi)t (15)

где для составления суммы 2 надо полагать / последова
тельно равным
1 , 2 ,. •., п.
Зд есь и далее во всякой целой функции от у мы указы
ваем для краткости только тот ее член, где у входит
в высшей степени.
Заменяя в (15) х корнями
Z\y %2У* * 4У Zfi
нашего уравнения
F ( z ) = О,
получаем п равенств такого вида:
Ф,

^

'<»•»>= 2

z”- 1-+- (<зу - Ь . . . ) г ’} ~2 -+- (вг/2 -+-

С Г . н (суп

Z) ■+■<ууп 1 ■
X Ф*п—1 (zfrt Zt).
2

X

Теория чисел

220

А эти последние показывают, что
Z \9

П„

Z 29 • • • 9

Z 9l

У19 У2> • • • > У *

равняется произведению
Ф*й—\(^1> z i)i

t.

1(-^2»^l)> ••

Ф«г—1 (-^м» -^l)

Ф»я—1 (-2^1» z 2^9

Ф «г—1 (-2^2>z 2^9 * •• j

Фщ- i

Ф »г

( z l9

z n )t

—1 (z 2*z

n )t • • •

9

Ф т —1 { z m z 2^

Ф «г

—1 ( z

ny z n )

e.

Цm — 1

c \9 * 2 9 *

\-2^i, ^ 2»* • •9

Z H/

на
« Г 1-+- ( w

i

• ••) 4 ‘~ 2

. - и—1

•
, _ M—1

..)z £ ~

., az2'”1-i-(cxz/rt...)4I~’2’+ '*

. - и—1
1 •••••• •» <Т2”_1-Ь(<ГУи...)22_2-+--.

24 r . .

.

—1
••

'А
Уп

, _ Н—1

Что же касается последнего определителя, то он равен
произведению *
г »—1 -п—2
1
^1 » ^1 »• • •» ^1» А
г н-1
н-2
1
9 *2
9 •• *9 * 2 * 1
'А * 2
с •
*П

9

*п

9

• • •9

*919

1

1 . У1

У!2-

Ь #2

1/22 - Ь ............... ..

*

-

-

I/?- 1
1 ■+■•••

1 , Чп- ь . . . , £/«2 - ь ..................г / ^ - ь . . .

т. е.
<тп Д (— 1 ) 2

А'.

* B a l t z e r . Theorie und Anwendung del* Determinanten. Vierte verbesserte Auflage, 1875, § 6, 3; § 10, 1 и 3.

Доказательство трансцендентности чисел е и т:

221

Итак,
и(и--1)
Н ( Zu
т \У

г Л = ( _ 1 )'

2

............ Уп/

1»

Z \9 Z 29 • • • 9 z n

«“ Д А 'П ^

Z l9

Z2l • • •» z n

На тех же основаниях

/ Z19 Z29
* иД2пт.—
21 _
* kZ19 Z29

п т- л г. ' !2.........! й ) = ( - 1)и(И21>
Z \9

n.

Z2> •

• •9 Z n

w(w—1)

Z 19 Z 29 • • • 9 Z tl
Z l9

Z 29 * * * 9 * П

^Zl9 Z29* * '
»" Д2п0(
^1> z29• •

Отсюда затем по перемножении выводим

*"Ur(-i)^ V

u J*"
■\Ul9 У29 •••9 y j

7

*“

-*

д—

п0 h

’

......... Zn)
z 29 ••* 9 Zn/

Нетрудно видеть, кроме того, что вообще

П„

п(и—1)

Z 1 9 Z 29 * * * 9 Z n

= (--- 1 Г ( --- 1 )

У«

У19У29-

2

<7МДД'

и в частности
^

-г \

’ ’ 2......

П(м-1)

И) = ( - 1 Г ( - 1 ) “ ^'<7"Д2,

Z 19 Z 29 • • • 9 Z n /

так как
® o ( x ,y )

= e° j е °

- ь (— Gy +-. . .) Xй-2 Ч-. .

у

(У)dx——gx^1-ь

(— 0уп~*-+-. . .) Х -н (

Gyи-1-Ь . . .).

А из этих результатов равенство (14) вытекает непосред
ственно.
Оно показывает, что, каковы бы ни были числа
D\ Z ) " , .. ., D«l\

Теория чисел

222

между выражениями

Drфт (z l9 у^) -+- D" Фт(z2, У г) -*“ •••■+" D
Drфт (z l9 У 2 ) ■+■ DnФт(z2, У 2 )

{n) фт(zM i/i),

Z); Фт{zl9 Уп) “+" ^ (z2>Уп) -+" •••"+“^ (W)

®rn ( z * f У 2 )»

(*n> */n)

при всяком m найдется по крайней мере одно не равное
нулю; за исключением, конечно, того случая, когда все D
равны нулю.
З а к л ю ч е н и е . Полагая
У \==: 1 > у 2'= z

• • •> Уп

я,

заключаем, что
Х(1). 5С (2),..., Х(я)
— числа ц елы е и, по крайней мере, одно из них не нуль*
§ 5. П р о т и в о р е ч и е , п р о и с ш е д ш е е
и з д о п у щ е н и я р а в е н с т в а (1 ) п р и ц е л ы х
з н а ч е н и я х к о э ф ф и ц и е н т о в Аи А 29. . . , Ап
Рассматривая первую часть равенства ( 1 1 ), мы убедились*
что при достаточно больших значениях т все выражения

х(1), х<2). — • z(n)
будут по численной величине сколь угодно малы.
А рассматривая вторую часть того же равенства, мы
пришли к совершенно противоположному результату: числен
ное значение одного, по крайней мере, из выражений

х(1)> ЗС(2)......... х(п)
не менее единицы.
Такое противуречие результатов служит достаточным
доказательством невозможности равенства ( 1 ), по крайней
мере в том случае, когда все коэффициенты

Доказательство трансцендентности чисел е и х

Д \ 9

^ 2 9

* • • 9

223

Д а

—-числа целые.
Линдеманн рассуждает несколько иначе. А именно он
полагает
У \ ------- Z \9

У % ------- Z %9 • • 9 9

У п ------- Z n •

V

Тогда также между числами
z ( z 2) , . . . , х(г«)
должны быть не равные нулю.
Выделим их. Пусть это будут
X (^ l)j

^ { Z 2^9 • • • 9

напротив,

X (zn'+1)

X

(zn'+2)» •

• •9

X( z w)

мы предполагаем равными нулю.
Произведение

X(z i)> Х (*2)- • • Х(*«')
— число целое, так как оно не что иное как коэффициент
при у п~п в многочлене
уп—

••-+- хЛ*п) у*1” 1 -*- • ••-+-

+ ( - 1 Г Ц г 1)х(г2)...х(гп),

равном произведению

\у ~ Х (г,)} • \у—Х (*2)}' •• {у—X (>„')} {у—X(z„'+i)l ••' \у—X (*«)}
и потому симметричном относительно всех корней уравнения
F ( z ) = 0.
А отсюда заключаем, что модуль по крайней мере одного
из чисел

X(*i)> x (za) , . . . , х(*п)

ш

Теория чисел

не меньше единицы, и затем приходим к прежнему противуречию.
§ 6. Д о п о л н е н и я , п р и в о д я щ и е к д о к а з а т е л ь с т в у
н е в о з м о ж н о с т и р а в е н с т в а (1 ) в о в с е х с л у ч а я х
Случаи дробных коэффициентов
А\у А%, •••» А а
не трудно свести к случаю целых, умножая выражение
Л 1 е“1 + 4 2 е °‘2+ . .

А а е*а

на некоторое целое число.
А случай алгебраических коэффициентов
А ц A 2t •••> А а
не трудно свести на случай рациональных, умножая выра
жение

А ! еа‘ -ь А2еа*-ь. . . -4- Ааеа«
на другие подобные же.
Нужно только, чтобы все корни тех алгебраических урав
нений (с рациональными коэффициентами), которым удовле
творяют

вошли симметрично в результат.
Вдаваться в более подробные рассуждения по по
воду последнего преобразования мы считаем лишним; тем
более, что главное значение имеет случай целых коэффи
циентов.
Таким образом теорема, высказанная в начале этой
статьи, доказана вполне.

Доказательство трансцендентности чисел е и тс

§7.

Трансцендентность

чисел

225

е й тс

Каковы бы ни были целое положительное число п и ра
циональные числа
P i* Р 2» • • *» Рп—1 »

равенство
. en + Pl е 1~ г -+-

еп~2 +

+ р п_ , е -Ь р п = О*

невозможно, так как оно представляет частный случай (1 ).
Таким образом мы убеждаемся в трансцендентности
числа е.
Число тс также должно быть трансцендентным, потому
что в противном случае равенство
*

е**н - 1 = 0 ,*
представляя частный случай ( 1 ), не могло бы иметь места.
Подобным же образом равенство
еЪе Л— ^4 *
служит достаточным доказательством трансцендентности
Нэперовых логарифмов всех алгебраических чисел.
Исключение представляет только один из логарифмов
единицы и именно нуль.
Трансцендентность е в первый раз была доказана Эрмитом, а трансцендентность тс и вообще Нэперовых логарифмов
всех алгебраических чисел — Линдеманном.
А именно Эрмит предположил в выражении
. - ь Д е а«
коэффициенты
^4]» ^ 2»* ••»
и показатели
<*1, ^2»* ••»
числами целыми.
* е° = 1 .
15 А. А. Марков. Избр. труды

1

226

Теория чисел

Тогда равенство (1) прямо представляется под видом (5),
и потому преобразования, о которых говорится в §§ 1 и б
нашей статьи, излишни.
Допуская это равенство и затем рассуждая, как указано
у нас в §§ 2, 3 и 4, Эрмит пришел к противуречию § 5.
Линдеманн же обобщил рассуждения Эрмита на все слу
чаи, когда
^1» ^2»* * •»

^ 1 » ^ 2»***»

'— числа алгебраические.
В ся суть работы Линдеманна, можно сказать, заклю
чается 6 §§ 1 и 6 нашей статьи.
Н е в о з м о ж н о с т ь к в а д р а т у р ы к р у г а . Из дока
занного, между прочим, следует, что квадратура круга
в общепринятом смысле невозможна. Другими словами,
по данному радиусу круга нельзя построить сторону квад
рата, площадь которого равна площади нашего круга, если
пользоваться только циркулем и линейкой.
Действительно, какие бы ни были произведены построе
ния циркулем и линейкой, они могут дать только такие пря
мые, отношения которых к данной, т. е. к радиусу (других
данных нет), выражаются числами алгебраическими,* между
тем как отношение стороны искомого квадрата к радиусу,
равное у^, — число трансцендентное.
Совершенно так же нетрудно убедиться в невозможности
спрямления окружности круга, т. е. в том, что по данному
радиусу круга циркулем и линейкой нельзя построить пря
мую, длина которой была бы равна окружности нашего
круга.
Таким образом дан окончательный ответ на один из
вопросов, завещанных нам древними.
* W a n t z e l . Recherches sur les moyens de reconnaitre si un proЫёше de geometrie peut se resoudre avec la regie et le compas. Journ. de
Mathem. pures es appliquees, 1 serie, T. II, 1837.

Доказательство трансцендентности чисел е и я

227

Заметим здесь кстати, что еще раньше был решен дру
гой вопрос древних.
А именно после упомянутой работы Вантцеля можно
считать доказанной невозможность трисекции углов вообще
и в частности, например, невозможность трисекции угла
в 60°.

ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАКОН БОЛЬШ ИХ ЧИСЕЛ И СПОСОБ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТО В
(ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ А. А. МАРКОВА К А. В. ВАСИЛЬЕВУ)

23 сент. 1898 г.
Мемуар Чебышева „О двух теоремах относительно вероят
ностей" р] имеет важное значение. К сожалению, это значе
ние сильно затемняется двумя обстоятельствами:
1 ) сложностью выводов,
2 ) недостаточною строгостью суждений.
Теорема, которую доказывает Чебышев в упомянутом
мемуаре, давно считается верною, но установлена она при
помощи крайне нестрогих приемов. Я не говорю доказана,
так как нестрогих доказательств я не признаю, если не
усматриваю возможности сделать их строгими.
Итак, цель Чебышева состояла не в том, чтобы устано
вить теорему хотя бы и не строго, а в том, чтобы доказать
ее. Известный вывод теоремы, о которой идет речь, не строг,
но прост. Вывод Чебышева, напротив, очень сложен, так как
он основан на предварительных исследованиях. Поэтому
преимущество вывода Чебышева перед прежним может заклю
чаться только в строгости суждений.
А между тем вывод Чебышева изложен так, что в стро
гости его можно сомневаться.
Ввиду этого возникает* вопрос, отличается ли вывод
Чебышева от прежнего только излишнею сложностью, по
существу же дела аналогичен прежнему, или этот вывод
можно сделать строгим.
Ваш очерк трудов Чебышева укрепил мое давнишнее
желание упростить и вместе с тем сделать вполне строгим
анализ Чебышева.

Теория вероятностей

234

Для начала беру теорему о математических ожиданиях,
которая составляет главное содержание мемуара „О двух
теоремах относительно вероятностей".
Е е можно формулировать так.
Е сли м ат ем ат и ч ески е ож и д ан и я н езав и си м ы х величин
•^1» «^2» *3» *
р ав н ы нулю у а м ат ем ат и ч еское ож и дан и е ст епени

д л я всякого целого п олож ит ельн ого числа к ост а ет ся числом
кон еч н ы м , к огд а п в о зр а с т а ет б есп р ед ел ь н о , т о при бес
п р едел ьн ом в озр аст ан и и числа п п ри бли ж ает ся к п р ед ел у
н у л ь к а ж д а я и з р а зн о ст ей
х1 +- *2 +-.

м. о.

■хп

Х\

г

-ь

Х2 +

- . . . +- х п

VVi

-

где т — ц елое п ол ож и т ельн ое чи сло и [2]
+00

Ат

22

&

J

Г е~1гск.

Я приведу элементарное доказательство* этого предло
жения.
Согласно известному обобщению формулы Ньютона, имеем
/ Xj + - * 2 - + . . . - + X „ \ т __

\

Vn

;

~

m!

2 d ах!' а2!.. ,а$!

S * 1'*2'---'**'

(Vnf

’

где ocj, осп,. . . , ос,-— целые положительные числа (не нули\
удовлетворяющие условию
ocj - ь ос2 - § - ... -4- ос,- = т
* Это доказательство найдено мною давно, но до сих пор не опуб
ликовано.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

235

означает симметричную функцию чисел
■*-1» *^2»••* » Хцу
для определения которой может служить один ее член

Число членов указанного вида этой симметричной функ
ции не больше произведения
п (п — 1 ) (п — 2 ). . . (п —

i-ь

1 );

оно равно этому произведению в том случае, когда все
числа а 1э а2, . . . , а* различны между * собой, в остальных же
случаях составляет часть указанного произведения
п {п — 1 ) ( п — 2 ) . . . ( п — г ч - 1 ).
Обращаясь к математическим ожиданиям, находим, что
математическое ожидание выражения

равно сумме

В последней сумме исчезают, согласно одному из усло
вий теоремы, все те члены, где какое-нибудь из чисел

OCj, ос2, . . . , ос*
равно единице.
Следовательно, остаются
которых каждое из чисел

не меньше 2 .

только те слагаемые ее, для

Теория вероятностей

236

Полагая соответственно этому
а г > 2 , <х21 > 2 ,..., ос,1>2,

из равенства
СС1 *4“ СС2 "+* . . . ~+~

==:: 771

заключаем, что в остающихся членах наибольшим значением i
^

ш—1

га

будет — 2— ? если m нечетное, и - у > если m число четное.
Важно заметить также, что при тп четном рассматривае
мое нами число i достигает своей наибольшей величины - у
только в том случае, когда
ct1 = 0L2 = . . . = осе- = 2 ;
.
m
в других же случаях это число г меньше - у •
С другой стороны, в силу одного из условий теоремы
отношение
м. о. S aь
g*
п (л — 1) (л — 2 ) . . . (л — i

1)

должно оставаться числом конечным, когда возрастает бес
предельно. Поэтому при i < y - каждое из отношений
М. О.

“2’

(ЛГ)Я
должно стремиться к пределу нуль, когда п возрастает бес
предельно. Отсюда тотчас заключаем, что при беспредельном
возрастании числа п математическое ожидание выражения
Х1

х 2~*~ • • •

Хп

должно приближаться к пределу нуль, если m число не чет
ное.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

237

.****^’
Если же m четное, то к пределу нуль должна прибли
жаться разность
м. о

с

^ 2 , 2, 2 , . . . , 2

ш\

■ХП

* 2лг

при том же, конечно, предположении, что п возрастает бес
предельно.
Сравним теперь
м. O .S 2’ 2’ 2..... 2

С
х

1 -*-

Хо

X п

^

\

) I

Положив для краткости
2

м. о. XI = С и
имеем
м. о.

/

хг + Х2+ ^ . Х г А 2_

\

Cl +

C2 +

/

. .

.-ьс„

п

Математическое же ожидание *S2’ 2, “..... 2 равно симметри
ческой функции чисел
с2, . . . , сп, которая определяется
одним ее членом сг с2лллст.
Применяя затем обобщенную формулу Ньютона к сте
пени
f С1

с2

сп У

получаем
т

С1 *+■с2

Сп

г

______

-

2

(?)1

[Aj! n2! ... цу!

С'.и,

1ч

Теория вероятностей

238

где [/-и
* ••»
— целые положительные числа (не нули),
удовлетворяющие условию
тп

^1-+-[Л2-+-. . .-+-[Лу-- -J,

и С 1*" 14......ь ' означает симметрическую функцию чисел
Clt ^2»•••» С«»
для определения которой может служить один ее член
с^с^--сЪ \
Из условия
ТП

видно, что число j

меньше - у

для всех рассматриваемых

нами выражений

кроме одного
С 1,1’ 1 ......1,
которое совпадает с
м. о. S

2 , 2 , 2 ..........2

Поэтому при беспредельном возрастании числа п все сла
гаемые суммы
QM, ^2,..., М/
I»
5
П2
кроме одного

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

которое равно
г* 2, 2
_тп . м. о. о ~’ ’

1-2

239

,3

п

приближаются к пределу нуль.
Следовательно, разность

С1

с2

‘

' сп\

S *• — 1

1 •2

приближается к пределу нуль, когда п возрастает беспре
дельно.
Сопоставляя этот результат с найденным выше, заклю
чаем, что при беспредельном возрастании числа п должна
приближаться к пределу нуль разность
м. о. ^ *i •+- *2

у4т |м. О. ^

-Х„
'Jn
•хп

х 1 + х2 \/п

где
Ш Hh00
A m—

1 •3 •5 ••• ( т

22 • -? !

- I)=^ I

г л.

Зд есь тп означает любое данное четное положительное
число.
Таким образом теорема -доказана при тп четном.
Для нечетных же m она доказана уже раньше, так как
при тп нечетном имеем
+

00

—

00

Je ~ p t m d t =

О

240

Теория вероятностей

и
' х2 "
Vп

предел м. о.

= 0 .*

ч

00

5 октября
Чтобы притти, в конце концов, к известному предель
ному выражению вероятности в виде определенного интеграла
V
_1_
J e~x*dx,
Лг
мы должны преобразовать теорему первого письма в сле
дующую:
Т е о р е м а . П ри б есп р ед ел ьн о м в о зр а с т а н и и числа п
к аж дая р азн ост ь
м. о. ^

*2 -

+ ХП___ у

_1_

\/7С

\/2 М. О. ( * ! - н * 2 -

f

tme - p dt

п ри бли ж ает ся к п р ед ел у н у л ь .
Это преобразование не представляет никаких затрудне
ний, но требует нового условия; именно: мы должны предпо
ложить, что
м. о. (x ] +
возрастает
отношение

беспредельно

x 2+

вместе

м. о. (*!

...+ 4)2
с п и

притом

так,

что

х2 --*-... -ь х п)2

п
не стремится к пределу нуль или, лучше сказать, не может
быть произвольно малым. Указанное условие играет важную
роль и в давно известном выводе приближенного выражения
вероятности [3].
* Аналогичные рассуждения можно найти на стр* 168— 186 сочине
ния: P o i n c a r e . Calcul des probabilites.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

241

На частном примере я покажу, что при нарушении этого
условия интеграл

не представляет не только приближенной величины^ вероят
ности, но и предела вероятности.
Пусть вообще значениями х * будут
9

которым соответствуют вероятности
м

1 .

Ми-1 И М и -Г
Пусть далее
_1_ _ 1_
Ml ’ N 2

_L
'

N3

представляет сходящийся ряд положительных чисел и сумма
его меньше 1 .
При таких условиях легко выразить вероятность, что
сумма
число отрицательное.
Действительно, эта сумма будет числом отрицательным,
если все слагаемые ее
*^1» ^2»••* >
будут числами отрицательными, и будет числом положитель
ным, если какое-нибудь из ее слагаемых окажется числом
положительным, т. е. единицей. Поэтому, согласно теореме
об умножении вероятностей, искомая нами вероятность, что
сумма
+
+
— число отрицательное, выражается
произведением
АГх
N2
Nn
ЛГх-ь-1 * N 2+ 1 “ ■ N n - * - l ’
16 А. А. Марков. Избр. труды

Теория вероятностей

242

которое равно

(*— jv jti) (* ~ а^ гт ) *■•i 1 ~~ л е т )

( 1 * ж ) (1 ' * " ж ) " ' ( 1 ' * " ж )
Следовательно, рассматриваемая нами вероятность больше
N-\-t- 1

ЛГч4 -1

'N n + 1 5

но меньше
,

1

1

1

1 + —---Н-Т5---Н ...+ д7~
Ni
N2
Art
Числа N 19 N 29. . . 9 N n были до сих пор ограничены одним
условием
1
1\ 1
1
г = Ъ -+ -м 2
Аз
К этому условию мы* можем присоединить такое:
i> _L_.
2 —

N2

Тогда окажется, что при беспредельном возрастании числа п
рассматриваемая нами вероятность сумме
. .~ ь х п
быть числом отрицательным приближается к пределу, большему

1

~2

•

Напротив, этот предел будет меньше половины,
назначим числа N l9 N 29 . . . так, чтобы было
1=

А,

А2

если

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

243

Например, если
= (& - ь 1 )(&-+- 2 ) ■
—1,
ТО

1

Nj + 1

, -_L - ,
Na + - 1

__L +J__,_
-------------

2-3

3-4

4-5

_1
------------

^2

’

и рассматриваемая вероятность имеет пределом число, большее
1

-~2 ~; если же
N k = k ( k + 1),
то предел вероятности меньше

1

*

Этот результат показывает нейриме нимость к данному
случаю теоремы Чебышева, так как согласно ей предел
вероятности сумме х г -+- х 2 -+- . . . - ь х п быть числом отрица
тельным должен быть равен половине.
Обращаясь затем к
м. о. (хг -ь х 2 -+- . . . х п)2,
видим, что это математическое ожидание равно

1

1

Ж Ж

“'

1
N„

и остается числом конечным, когда п беспредельно возра
стает.
В этом и состоит причина неприменимости теоремы Чебы
шева к данному случаю.
9 о ктября
Для лучшего выяснения дела мне кажется полезным оста
новиться еще на видоизменении моего примера.
Я предполагал прежде положительные и отрицательные
значения каждого числа х к не равными по числовой вели
чине и не равновероятными.

Теория вероятностей

244

О погрешностях же наблюдений обыкновенно предпола
гают, что погрешности, отличающиеся только знаком, равно
вероятны.
Сообразно этому предположению я и видоизменяю пример.
Пусть значениями х к будут
I

1

1

Nk ’

-*~ N k ’

Ч~ 1 ’

которым соответствуют такие вероятности:
1

2(ЛА»-*-1)’

1

Nk

Nk

2 (Nfc-t-1)’

2 ( ^ + 1)’

Тогда математическое
равно

2 (Nk

ожидание х п будет

1) ’

попрежнему

1

(*
Сумму ряда
1

Я Г*

1

1

*2 ’

Nk

который мы предполагаем сходящимся, обозначим через 2 12
и будем рассматривать вероятность, что сумма
х г -*-х 2

*'

заключается в пределах

i
2

С

Легко показать, что интеграл -^=т J е~ х%d x не будет прео
делом этой вероятности, если мы распорядимся надлежащим
образом рядом чисел N u N 2f N3, . . .
Действительно, рассматриваемая нами вероятность больше*
вероятности, что сумма х 1-+'Х2 '+‘ . . .
заключается в пре
делах

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

245

Последняя же вероятность больше вероятности того, что
ни одно из чисел х и х 2, . . . , х п не равно =t 1 , т. е. больше
указанного раньше произведения
Nx
N x -th i

N2
Nn
’ N2 -h 1 ‘ " Л Ь + Г

^

Установив это, положим
7Vi = 2 - 3 ,

JV3= 4 - 5 ,

N 2= 3 - 4 ,

7V4 = 5 - 6 ,

и t . д.

Тогда сумма

равна Vg? следовательно

t

= -j- и
i_

*

2

-P= f e~ *'d x = ^= f e~ x'd x < 0.53.
V7T J
Y7T J
0

0

Произведение же

^

N,
+ Г

Nn
Л^2 нь1

’

представляющее величину, меньшую рассматриваемой вероят
ности, оказывается больше у ^1 — у ) = у 5=2 0*^7 •••>так» как
N2

TV»»

N3___________ N n

1

N3+1

+ Т

Отсюда ясно, что интеграл

1

1______ 1____

7V2

246

Теория вероятностей

не представляет приближенной величины вероятности и не
может с л у ж и т ь ее пределом при возрастании п до оо*[4].
Обращаюсь, согласно выраженному Вами в Вашем письме
желанию, к способу наименьших квадратов. Не допуская
определенного закона распределения погрешностей отдельных
наблюдений, мы можем притти к способу наименьших ква
дратов, исходя из следующих положений: 1 ) мы рассматри
ваем только такие приближенные равенства, которые, по
нашим предположениям, не содержат постоянной погрешности;
2 ) каждому приближенному равенству мы приписываем опре
деленный вес, причем веса различных приближенных равенств
мы считаем обратно пропорциональными математическим ожи
даниям квадратов погрешностей; 3) достоинство каждого при
ближенного равенства мы оцениваем его весом и соответ
ственно этому для каждого неизвестного отыскиваем такое
приближенное равенство, вес которого наибольший.
Только этот вывод способа наименьших квадратов я счи
таю рациональным; он указан Гауссом.
Рациональным я считаю этот способ главным образом
потому, что он не заменяет условность способа наименьших
квадратов.
Придерживаясь такого вывода, мы не приписываем спо
собу наименьших квадратов способности давать наивероят
нейшие или наиблагонадежнейшие результаты, а рассматри
ваем его только как общий прием, дающий приближен
ные величины неизвестных с условною оценкою результа
тов [б].
Астрономы любят другой вывод, по которому способ наи
меньших квадратов представляется дающим наивероятнейшие
значения неизвестных.
* Интересный, но более сложный пример можно найти в известном
сочинении: P o i s s o n . Recherches sur la probabilite des jugements en
matiere criminelle et en matiere civile. Можно составить и такие при
меры, где математические ожидания квадратов представляют расходя.
щиеся ряды.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

247

Так как этот другой вывод заимствован также от Гаусса,
то я считаю полезным привести мнение самого Гаусса, взя
тое из письма Гаусса к Бесселю.
Вот что пишет Гаусс (взято мною из книги: C z u b e r .
Theorie der Beobachtungsfehler, стр. 289):
„Dass ich tibrigens die in der Theoria Motus corp. coel.
artgewandte Metaphysik fur die Methode der kleinsten Quadrate
spaterhin habe fallen lassen, ist vorzugsweise auch aus einem
Grunde geschehen, den ich selbst offentlich nicht erwahnt habe.
Ich musse es namlich in alle W ege fur weniger wichtig halten,
denjenigen W ert einer unbekannten Grosse auszumitteln, dessen
Wahrscheinlickeit die grosste nst, die ja doch immer nur unendlich klein bleibt, als vielmehr denjenigen, an welchen sich haL
tend man das am wenigsten nachteilige Spiel hat; oder wenn
f ( a ) die W ahrscheinlichkeit des W ertes a fur die Unbekannte x
bezeichnet, so ist weniger daran gelegen, dass f ( a ) ein Maximum
werde, als daran

ausgedehnt durch alle

moglichen W erte des x ein Minimum werde, indem fiir F eine
Funktion gewahlt wird, die immer positiv und fiir grossere Argumente auf eine schickliche Art immer grosser wird. Dass man
dafiir das Quadrat wahlt ist rein willkiirlich, und diese WiHkiirlichkeit liegt in der Natur der Sache. Ohne die bekannten
ausserordentliche grossen Vorteile, die die Wahl des Quadrats
gewahrt, konnte man jede andere jeden Bedingungen entsprechende Function wahlen...“ [6].
Нужно быть очень упрямым, чтобы, несмотря на приве
денные мною слова Гаусса, продолжать держаться рассмо
трения наивероятнейших гипотез.
Возвращ аюсь к том у выводу, который я считаю един
ственно рациональным.
По моему мнению, он дает все, что нужно для практики;
но он не дает нам вероятной ошибки [7].
Я полагаю, что эта сомнительная величина не нужна;
если же необходимо ее иметь во что бы то ни стало, то еле 1

248

Теория вероятностей

дует допустить известное выражение для вероятности в виде
интеграла j е~~р d i для каждой ошибки в отдельности, незави
симо от того, выведена ли она из одного или из нескольких
наблюдений.
При такой постановке вопроса, конечно, нам нет уже на
добности искать предел вероятности или доказывать какиенибудь неравенства относительно вероятностей.
Можно только спросить, существуют ли резонные осно
вания допускать упомянутую формулу для каждого наблю
дения в отдельности.
Одно из известных мне оснований состоит в том, будто бы
это допущение согласно с указанием практики; это согласие,
однако, трудно установить.
Другое состоит в том, будто бы ошибку каждого наблю
дения можно рассматривать как совокупность многих ошибок,
независящих друг от друга.
Затем остается сослаться на теорему о пределе вероят
ности, и мы придем к желаемой формуле.
Такое рассуждение приведено, например, в книге Пуанкаре
„Calcul des probabilites“, на стр. 181.
Но, во-первых, теорема о пределе вероятностей может
быть установлена только со многими ограничениями, и, во-вто
рых, представление ошибки в виде суммы многих независимых
ошибок следует отнести, как я полагаю, к области фантазии.
Перейдем к выводу способа наименьших квадратов, осно
ванному на теореме, по которой предел вероятности выра
жается известным интегралом.
Рассматривая известную формулу как предельную и не
допуская ее для одного наблюдения, мы не имеем права до
пустить эту формулу ни для 2 , ни для 1 0 , ни для 100 и во
обще ни для какого данного числа наблюдений.
В действительности же мы имеем дело всегда с данным
числом наблюдений и можем говорить о пределе, только при
думав искусственно продолжение этих наблюдений.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

249

Мы занимаемся не предельным выводом, к которому при
дем, когда продолжим наши наблюдения до бесконечности,
а выводом из данного числа наблюдений. Теорема, по кото
рой предел вероятности выражается известным интегралом,
не указывает, насколько в каждом данном случае вероят
ность уклоняется от этого интеграла.
^
Вопрос о размере уклонений остается открытым; они
могут быть весьма значительными и, главное, различными
в различных случаях.
Поэтому, считая известный интеграл за приближенную
величину вероятности и делая его наибольшим, мы, однако,
не можем утверждать, что вместе с тем достигает наиболь
шей величины и сама вероятность. Если же мы сохраняем
неизменною величину интеграла, то не можем утверждать,
что остается неизменною и сама вероятность.
Вот почему теорема о пределе вероятности не может
служить доказательством, будто бы способ наименьших
квадратов дает наиблагонадежнейшие результаты, т. е.
такие результаты, в которых тем
же пределам по
грешности
соответствует
наибольшая вероятность или
той же вероятности соответствуют теснейшие пределы
погрешности.
В русской литературе по теории вероятностей встречаются
также попытки выводить основания способа наименьших ква
дратов из теорем, доказанных Чебышевым в мемуаре „О сред
них величинах".
Одну из таких попыток, весьма смутную по существу
дела, можно усмотреть в известном сочинении „Изложение
способа наименьших квадратов" Н. Маиевского.* В §§ 31 и
32 этого сочинения говорится о каком-то „начале арифмети
ческой средины".

5:5 Я привожу это сочинение только для определенности, но аналогич
ные рассуждения можно встретить и в других книгах.

250

Теория вероятностей

В § 31 автор занимается выводом этого начала для весьма
большого числа наблюдений, не установив, в чем собственно
состоит оно.
И только из § 32 можно догадаться, что это начало
состоит в известном предположении Гаусса, что среднее
арифметическое из наблюденных величин представляет наи
вероятнейшее
значение
неизвестной
измеряемой
вели
чины [8].
Рассматривая же рассуждения § 31, мы убеждаемся, что
из них не вытекает ничего подобного, так как все время
говорится только об арифметическом среднем и никаких срав
нений этого среднего с другими не сделано.
Заключение § 31 состоит в том, что с увеличением числа
наблюдений до оо приводится к единице вероятность, что
среднее арифметическое наблюденных величин разнится от
истинного значения неизвестного менее чем на какую-нибудь
данную величину.
Отсюда, однако, ничего не следует, так как с увеличе
нием числа наблюденных величин до оо приводится к единице
и вероятность, что другие средние (линейного вида) из наблю
денных величин разнятся от истинного значения неизвестного
менее чем на какую-нибудь данную величину.
Наконец, мне известно, что некоторые русские математики
пытались выводить способ наименьших квадратов посредством
неправильного применения теорем Чебышева о том, что ве
роятность больше некоторой величины.
Имея в виду этот результат Чебышева, они требовали
от вероятности, чтобы она была больше заданного наперед
числа, и при том же неравенстве для вероятности искали
теснейшие пределы погрешности.
При этом забывалось, что одному и тому же неравенству
удовлетворяет бесчисленное множество различных чисел и что
вероятность может быть больше некоторого данного числа
и в то время, когда неравенство Чебышева этого не обна
руживает.

Закон больших чисел и способ наименьших квадратов

251

Других выводов способа наименьших квадратов я в на
стоящую минуту не могу припомнить.
Повидимому, я пересмотрел все и могу только повторить
свое мнение, что единственно рациональный вывод основай
на прямом рассмотрении математического ожидания квадрата
погрешности. Этого вывода я и держусь на своих лекциях.

О КОРНЯХ УРАВНЕНИЯ

П р ед ст а в л ен а 4 н оябр я 1898 г.

Теорема

1 . В с е корн и у р а в н ен и я

dxm

0

=

с о д е р ж а т с я м еж д у
log т

V^Iog ТТЛ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменяя в равенстве
Im

( - 1 )’

dmе - *
dxm = (2 X)”

т ( т — 1) (п .л т - 2 .

1

( т ( т — 1 ) ( т — 2) ( т — 3)

(2 х)*

__

произведения

т (т—1)(т—2)(т—3),
т(т—1)(т—2)(т—3)(т—4)(т—5), ...
соответственно через

т*—6/п3, т6н-15т5, т8—28т7, т10-+-45т9,.
мы получим неравенство
е*” dm е~+ ^ ч
—
(— 2jc)wC?JCm*
3
— -тt 2{I v
где t означает

<2

/3
1- 2- 3

5 -6
7 •8
t “t- 2 •3 • 4 • 6
2-3.6
4дг2

' Г- 2 - 3 - 4

9

-

10

2 • 3 • 4 • 5 •6

Теория вероятностей

256

Сумма
1 — f -ь

*3

*2
1-2

1 • 2 •3

1-2-3-4

равна е~“*, а значение суммы
ч
l4_

5 •6
,
7.8
,2
9 • 10
2 - 3 - 6 f 4 _ 2 - 3 - 4 . 6 * “b 2 - 3 - 4 - 5 - 6 f

меньше, чем е
Таким образом, из предыдущего
более простое неравенство

неравенства

следует

—
? е А/т

(— 2х)т

С другой стороны, если
^

log m

t S , —т ~ >

то
A ^ 2 e2^ 3 ( l o 4 m)2< 1
т
1® Vm
Поэтому выражение
е*2

d m е~~х~

(— jc)w

<£jtW

имеет положительное значение для всех значений х , удовле
творяющих неравенству

m
4лг2

>log m

иди

М >

\/logr

откуда немедленно вытекает теорема 1 .

О корнях уравнения

Теорема
у р авн ен и е

2.

257

П ри д о ст ат оч н о б ол ьш и х
*4

зн а ч ен и я х т

Itn ^—X1
« е

*

dxm

им еет корн и в л ю бом з а д а н н о м и н т ер вал е.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и Ь — два заданных поло
жительных числа.
Мы предполагаем эти числа положительными только для
упрощения выкладок; легко видеть, что это ограничение не
Ьлияет на общность наших выводов.
Обозначив через с наибольший корень уравнения
1Wл—ж"

„2 а
с

е
dxm

9

ПОЛОЖИМ

(с -ъ а) (с -+- Ь) = d ,
гч/ v

Si ( * ) =

(х — а)(Ь — х) — z

(

2z +

d \2

<cos [л arc cos — ^— >
m—1

у

m—2

где ^ — целое число, равное —^— или —§—
Известно, что функции
d m е~
dxm

можно рассматривать как знаменатели подходящих дробей
непрерывной дроби, соответствующей интегралу

I

—00

£= 7*-

Поэтому, если обозначить через
•^1»
17 А. А. М арков. Избр. труды

••* у

Теория вероятностей

258

все корни уравнения

dm
mе
dx™

и определить соответствующие коэффициенты
А \ 9

^ 2 9

* •*

f

по формулам
в-* Ф(0

Л ,.= J

( t

—

X j)

Ф1 (х,)

Л,

где
?(*) =

dxn>

то, по известному свойству непрерывных дробей, мы будем
иметь
J е *' ii (х) с/х = - Д Q (х,),
ибо степень полинома Й(х) меньше, чем 2 т .
Коэффициенты А( суть положительные числа, и
и-00
Aj *+■ А 2 - ь . . . -ъ
— j
с/х.
Предположим теперь, что уравнение
|МЛ—5Са
р** в _ е
dxm

не имеет корней в интервале (а, 6). Тогда все числа xt удо
влетворяют неравенствам
Ь < Xi < с

или

— с < x t < а,

и все числа
*,•=(*< — а) (6 — х 4)
заключены между 0 и — с/, откуда следуют неравенства.
_ 1 < 2£i + d < _bl >

0(jC ()< 1>

О корнях уравнения

259

и, следовательно,
+00

J

+00

е ~ я 2 12 (л:) с/х = 2 Л, 12 (xf) < 2 Л , =

J

е~~х* dx~ '

В то же время легко видеть, что функция 12 (х) будет
положительной для всех значений х и удовлетворяет нера
венству

для значений х , заключенных между а и Ь.
В самом деле, равенство, определяющее 12 (х), сводится
к следующему:

если
а < х < 6,

и, следовательно,

о (*)> <

( ' - ^ У т У А ' - ’ ^-т У

>

> [ l -н 2ц - 1 ) -J-J > 4рь(ц - 1 )
Следовательно, имеет место неравенство
Ь

+CD

! е~* Q(x) d x >

—00
17*

{с + а ) (Т-?Ь)

1 е~*2( х

&

- а ) ( Ь - Х) d x ,

Теория вероятностей

260

Сравнивая это неравенство с предыдущим неравенством
+00

+00

| е~~ф Q (л:) d x <
—00

J

е

dxf

—00

мы найдем, что отношение
(с -+ а) (с чн Ь)

4м-(гх—1)

больше, чем отношение
ь
| е~ х\ х — -л)(Ъ — x )d x

+00

f
—

00

Н о, в силу теоремы 1 , отношение
( с + а) (с -t- Ь)

4м- (м —1)
должно стремиться к нулю, когда тп неорганиченно возрас
тает.
Следовательно, наше предположение, что уравнение
9 Л™
ех d е

dx™

не имеет норней в интервале (а, 6), не может выполняться
для достаточно больших значений т ; теорема, таким обра
зом, доказана.
Т е о р е м а 3. П олож и м
+оо

и * (* )= J

—00

О корнях уравнения

261

С ум м а
V

Р *
Ф(*,•)

а
р асп р о ст р ан ен н ая на все корни Xi у р ав н ен и я ф(х) = 0 , з а 
клю ченны е в д а н н о м и нт ервале (а ,1 р), при неограниченном
в озр аст ан и и т ст рем и т ся к п р ед ел у , р ав н ом у

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначая через % и £ff два корня
уравнения 9 (х) = 0 , удовлетворяющих неравенствам %< а <С
и наиболее близких к а, и через т/ и т/* два корня того же
уравнения, удовлетворяющих неравенствам
и наи
более близких к р, мы, как известно, будем иметь нера
венства

Но в силу предыдущей теоремы при т —> °о числа 5' и
должны стремиться к а, а числа г! и т)" — к fi.
Следовательно, интегралы
J e~ x*dx

и

[ е

dx

и сумма

се
заключенная между ними, при
нии т стремятся к пределу
%

неограниченном

e~~x2dx.

возраста

Теория вероятностей

262

Примечание.

Предел
Р
J e^ d x

суммы

Ф(*<)
(*«)
не изменится, если к ней добавить или от нее отнять какоелибо число членов

Ф(х<)

соответствующих корням х 4 уравнения

9 (*) — О,
наиболее близким к а и р.
Например, сумма

2

р

©

«’ < **< л

распространенная на корни x h удовлетворяющие неравен
ствам
Г < * < 7 ) ',
и сумма

распространенная на корни x i9 удовлетворяющие неравенствам
? < х 4< * Г ,
стремится к тому же пределу

f e ~ x‘d x ’
когда m неограниченно возрастает.

О корнях уравнения

263

Это примечание не требует специального доказательства.
Доказанные нами теоремы о корнях уравнения

тиогут служить для простого доказательства следующего
предложения, которое отличается от теоремы Чебышева
только второстепенными деталями.
Т е о р е м а 4. Е сли все ф ункции f n(х) п о сл ед о в а т ел ь н ост и
Л (*)>

/г (*)>

/з (*). •••

у д о в л ет в о р я ю т н ер авен ст ву
/ « ( * ) > о»
а сум м ы

+G0

2

/« м»

2

xf* w»

2

/»(■*)»•• •

ст р е м я т ся , со от в ет ст в ен н о, /с п р едел ам
•+■ 00

J e~ x'dx,
—00

+ оо

+00

J x e ~ l*dx,
—00

f дc2e~*Vx, ...

— 00

к о г д а п неограни ченно в о зр а с т а е т , т о сум м а
Р
2

«

/ .w .

р асп р о ст р ан ен н ая н а все зн а ч ен и я х , за к л ю ч ен н ы е в з а д а н ■
иол* и н т ервале (а, (3), ст р ем и т ся при неограниченном в о з 
р аст ан и и п к п р еделу

Теория вероятностей

264

Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы доказать эту теорему, не
обходимо и достаточно показать, что для достаточно боль
ших значений п разность
Р

Р

/ « (*)— J e ~ * dx

2
а

а

будет по абсолютной величине меньше сколь угодно малого
положительного числа.
Сохраняя наши обозначения, введенные в теореме 3 и
в примечании, и обозначая через в данное положительное
число, предположим, что пг приняло значение настолько
большое, что разности между интегралом
J е %id x
и суммами

2

Ф(*«)

и V 1 ФЫ) (Г
9' (хд

ф' Ы

по абсолютному

значению стали меньше, чем - у ; по тео

реме 3 это возможно.
П осле этого рассмотрим подходящие дроби для непре
рывной дроби, соответствующей сумме
+00

У

fn(t)

—со

т. е. ряду
00+

4 -2 / .W —СО

+00

+00

—00

—00

обозначим через
Jw
H j)

О корнях уравнения

265

одну ив этих подходящих дробей, определяя ее требованием,
чтобы степень <р(х) была равна т .
Коэффициенты дроби
Ф(*)
ф(дг)
являются рациональными функциями от количеств
а 1 = ^ x fn (*)> •••|

1 ===%х2т 1 fn (x )

и, следовательно, корни уравнения

9(х ) =

О

являются алгебраическими функциями от этих количеств.
Но количества
* 0, ^1» ^2» •••> y*2*n—1
стремятся, соответственно, к пределам
+00

j
—00

+ 00

+00

e~ ^ dx9

| x e ~ %'d x 9 . . .,

J

dx9

—с®

—00

когда п неограниченно возрастает.
Отсюда следует, что корни
■^1»

•••9 Хт9

уравнения
? (*)= о
отличаются от соответствующих корней
х 19 х 29 .

и

уравнения
? ( * ) = ()
на величины сколь угодно малые, когда п достаточно велико;::
х% и л*, являются соответствующими корнями уравнений
9 (л:) = 0

и 9 (х) = 0

Теория вероятностей

266
ОСЛИ положить
Х 1< х 2 <

. . . < Х ет И

X j < X 2<

. . . <дг,„.

По той же причине разность

Ф(*?•)

Ф{ x j)
? '(*< )

4 s (X i)

стремится к нулю для каждой пары соответствующих кор
ней Х4 и Х{, когда п неограниченно возрастает.
Следовательно, для достаточно больших значений п раз
ность между
у
^

ФСзд)
$ ? < x t < y f ) и X 1 Ф(*.)
x—i ?' (xi)
*'(*<)

(

¥

<

Х

;

<

и разность между

будут по абсолютной величине меньше, чем у ; здесь
>5f, т)" — корни уравнения
9 (х) = 0 ,

соответствующие корням
т/, у/' уравнения <р(х) = 0 .
С другой стороны, по известным свойствам подходящих
к непрерывной дроби, для суммы
+00

2

—00

/п (О
х

—

должны иметь место неравенства
Р

t

О корнях уравнения

267

и

2 л м < 2 йф (Лт-,) < ? < * • < п

ч

Отсюда следует, что для достаточно больших значений
Р
сумма ^ /п(л:) больше, чем
«

J

е ~ хЧ х — у

—

у »

*

и меньше, чем

j е -^ Л с -ь у н - у . К
После того как теорема 4 доказана, как заметил Чебы
шев,* почти немедленно получается следующее важное пред
ложение теории вероятностей.
В е р о я т н о с т ь , чт о сум м а
и 2 -ь . . . 4 -Цй

Н1

н еза в и си м ы х величин
и г, н2, . . . , н*
со д ер ж и т ся м еж д у
а у /2 (а 1 - ь а 2 + . . . 4 - а й) и (S V2 («1 -+- а 2 ч~ •••“+■ ап)*
где а 2, а 2, . . . , а й— м ат ем ат и чески е о ж и д ан и я величин
2

2

2

Hi, И2, . . . , Нп
и ос и р — две каки е-ли бо за д а н н ы е вели ч и н ы , ст р ем и т ся
при н еограни ченном в о зр а ст а н и и п к п р е д е л у , р ав н ом у
* П . Ч е б ы ш е в . О двух теоремах относительно вероятностей.
Приложение № б к LV тому „Записок имп. Академии Наук". [*].

268

Теория вероятностей

«
если б еск о н еч н а я п о сл ед о в а т ел ь н о с т ь н езав и си м ы х величин:
и1» и2> •••>и«
у д о в л е т в о р я е т сл еду ю щ и м у с л о в и я м :
1 ) м ат ем ат и ч ески е о ж и д а н и я величин

нД н*3, ыД . . .
о с т а ю т с я кон еч н ы м и д л я к о н еч н ы х зн ач ен и й к в сл у ч а е 7
к огд а к н еогран и чен н о в о зр а с т а е т ;
3) м ат ем ат и ч еское ож и дан и е величины

не д е л а е т с я б еск он еч н о м ал ы м , к огда к н еогран и чен н о в о з 
раст ает .
В самом деле, чтобы доказать это предложение, доста
точно, в силу теоремы 4, доказать, что математические ожи
дания величин

стремятся, соответственно, к пределам

О корнях уравнения
-1-00

*7 =
V 7T

I* x 3 e~**dx,

J
— 09

269

+00

-7 =

[ х* e~* 2d x , . .

V7T J
— 00

V

когда л неограниченно возрастает и выполняются вышеука
занные условия.
Но соображения, с помощью которых Чебышев доказал
это свойство математических ожиданий, могут быть заме
нены другими, более простыми и в то же время строгими,
как я показал в своих письмах к г-ну М. Васильеву, про
фессору Казанского университета.*
Заканчивая, я должен заметить, что до исследования
Чебышева предложение о пределе вероятности было дока
зано только для самых простых частных случаев.

* Изв. Физ.-матем. общ. при Казанск. уник., 1898, т. VIII. См. также:

Р о i n c a r t . Calcul des Probabilities, pp. 169—186.

НЕРАВЕН СТВА ЧЕБЫШЕВА И ОСНО ВН АЯ
ТЕОРЕМ А
(ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ КНИГИ „ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"*

§ 54. Для приложения метода Бьенэме— Чебышева (ме
тода моментов) к доказательству второй предельной теоремы
исчисления вероятностей мы должны рассматривать непре
рывные дроби вида
Qi
ZЧг bi

С?2

2

62 —
2

«3

--

в связи с рядами вида
е J __t - S —z2

°0

где число z переменное, а остальные буквы означают числа
постоянные или переменные, не зависящие от z. Как ряд,
так и непрерывная дробь будут у нас бесконечными, но мы
не имеем надобности предполагать их сходящимися, ибо ряд
служит нам только для образования конечных сумм

>*-i
с произвольным числом слагаемых, а непрерывная дробь
нужна только ради ее подходящих дробей
18

А. А. Марков. Избр. 'груды

Теория вероятностей

274

Ф>» (*) _____ а 1 __
„2
»м (г)
z-*-bx---- j — ^

причем целые функции
(*).

Фг (-г).

Фз (*). •••

И

“ > i l z ) , w 2 ( z ). ыз(-г)> • • •

последовательно определяются формулами
i i (z) = а3, ф2 (z ) — а г (z -ь Ь2);
(Oi (z) = z -+w2 (z) = (z -+- Ьг) (z -+- 62) — a 2;
(^) :=r
«.«(z) = ( : + 6W)

tym—2 (^)>
(z) — amtom__2 (z).

1 (z)

Числа

мы должны ограничить условием, что среди определителей

S0, *^1 So, Sj, *S2
Slf S2 » Si, s2, S3
s2, S3, S4
нет равных нулю. Такое условие необходимо и достаточно,
чтобы можно было связать ряд с непрерывною дробью
общим равенством

й « ( г ){-^ 0

7

» ~+“ • • •} — Ф т ( г ) =

__ .___ 0_
zm-h1 1 zm+2 ~t~ * * * *

Неравенства Чебышева и основная теорема

275

которое имеет следующий смысл: если множить целую функ
цию
(z) по обычным правилам на бесконечную сумму
So 7 “*“ S 1

-р-

то в получаемом таким образом произведении должны при
водиться к нулю коэффициенты при
1

z

целая

же

часть

±
J_
* г2 * Z3 . . > zm 9

этого

произведения

образует

функцию

Полагая

(z) = Z/Q+ Z-JZ "4- Z^2

+ ...

L“m
,—1

1■+■Z>n,

мы получаем отсюда систему уравнений
So А

S j L>i -+- . . . -i- S ^ ^ L>rn—\ ■+■S w = 0 ,
-*- . . . -+- *SmL m_ x -+-S m+1 = 0 ,

S wi—i A) ‘ I ' S m

“+- . . . ' I

—2 ^«1— 1 ^" Sgjjj—i

0,

которая действительно определяет коэффициенты
А , -А» •••»Aw_i
целой функции ^ ( z ) , если только, согласно вышеупомяну
тому условию, определитель

So, Sv ...•, c —
1
Si, s „ . . c

Sm
.-1»Sm, . . ., S^m.
не равен нулю.
18*

Теория вероятностей

276

Обозначая затем для любой целой функции
<р(Z) = С 0•+• Cl Z -I- С 2 Z2

. . •-+- Cft zfe

символом
[? (* )]
сумму

50С0■ +■

Ci ■ +**S2Q

Sic a

,

мы можем представить вышеприведенную систему уравнений
так:

К ,(*)] = 0, [*<*т(х)] = 0 , . . . , [хт- 1от (х)] = 0,
и можем заменить ее даже одним равенством
[0 (*)« « ,(* )] = О,

если под 0 (z) будем подразумевать все целые функции
m — 1 -й степени.
Введенный нами символ [<р(х)] удовлетворяет, очевидно,
простой теореме сложения
[? (*)] -+- У. (*)] = [? (*)] -+ [у. (*)]•
На этом основании не трудно проверить, что функции
«т - 1 (z ) 9 Wm_ 2 (z)
связаны между собой уравнением вида
{z) = (z -+- Ьт)

(z )---a m0)m_2 (z).

В самом деле, каковы бы нй были постоянное число Ьт
и целая функция 0 (z) /п — 3 -й степени, имеем
[6 (■*) «т (*)] = 0

и

[(х - ь 6т) 0)т _ 1 (х) 0 (х)] = 0 ,

и потому разность
(z) — (z -+- 6 т) CDW_ 3 (z),

Неравенства Чебышева и основная теорема

277

согласно вышеприведенной теореме сложения, должна удовле
творять уравнению
4
[0 (д ) {wm(д) - ( x - i - Ь„) <йт_, (* )}] = О,
где 0 (z) — также произвольная целая функция тп— 3 -й степени; а при некотором определенном значении коэффициента
bm эта разность приводится к целой функции m — 2 -й сте
пени, и тогда она может отличаться только постоянным мно
жителем от функции о)да_ 2 (z), которая как раз определяется
уравнением
[6 (х) cow_ 2 (*)] — О,

где степень произвольной целой функции 0 (z) равна m — 3,
Что касается целой функции ^m{z ) 9 то при помощи вве
денного нами символа она может быть определена форму
лой
• W - L ----- 1Г=Гг------J
Последняя формула представляет сокращенное выраже
ние следующей:

Ф- (z) =

ч- (S0L m^ + s x) zm~2ч-

(5 0 L m__2 -+-

L m_ 1 -t- 5 2) z m~:]

Следует заметить также, что неравенство определителя

So,
Su

' Su .

Srn—D S'
нулю указывает
уравнений
[? (* )] =

S'

s„ .
.

•,

на невозможность удовлетворить системе

о , [ x < p ( x )] =

0,

[x m 1 ф (*)] =

О

Теория вероятностей

278

никакой целой функцией <р(z), которая не равна тожде
ственно нулю и имеет степень, меньшую т . И, наоборот,
если только что приведенной системе уравнений нельзя
удовлетворить целой функцией <р(z) степени ниже т , не
приравнивая всех ее коэффициентов нулю, то наш опреде
литель
So,
S i, . ■
- •t —]
s„
s 2, •• c
S' . . •f S^m—2
Sm—1» ^mt
не равен нулю.
На этом основании мы можем для тех рядов
~2"***^2

•••>

которыми специально будем заниматься, заключать о суще
ствовании соответствующей непрерывной дроби
«1
«2

без вычисления определителей [2]
So, s ,

So9 S u S 2

S 0, Su S 2 9 Sit S 2t S d
S2, S Z9

Не делая пока никаких особых предположений, обратим
внимание на то, что коэффициенты целых функций
(Z)

и

'bm(z)

представляют некоторые рациональные функции чисел

Неравенства Чебышева и основная теорема

279

Следовательно, корни уравнения
( 2 ) —- 0

^

алгебраические функции тех же чисел, и потому при непре
рывном изменении последних они также должны изменяться
непрерывно.
Если же для некоторой совокупности чисел
\

*“Vl, •••»

-2, ^ 2'i

все эти корни различны, то мы можем установить равенство
Фт (г) _

р

Wm{z)

z

?

—£ .

где суммирование, обозначенное символом ^

распростра-

няется на все корни уравнения
«т (£) = О,
а значения р определяются формулой
Фm(ё)
Р=

и обе формулы
Фт(г) _

(}Ут(2)
сохраняют свою
чисел

V 1

Р
2

Ф т(ё)

-

о/тф)

силу при достаточно малых
\

изменениях

*^2, •••, ^ 2т—2, $ 2т—1,

непрерывными функциями которых будут все р подобно
Положим теперь, что мы имеем некоторую совокупность
вещественных чисел, общий член которой обозначим буквою

Теория вероятностей

280

х ; положим также, что каждому из этих х соответствует свое
определенное число р .
Наконец, положим, что имеют смысл суммы

2 X* *

2 ^ X’

2^ **’

X

2х * 7*3’ •••

распространенные на всю нашу совокупность чисел х , и этим
суммам приравняем, соответственным образом, коэффициенты
вышеприведенного ряда
■ *^1

23

так что, вообще, будет
Sk—

р х к.
х

При таких предположениях, - на ^которых мы специальна
остановимся, введенный нами символ

обращается в сумму
х
А система уравнений, которой подчинены коэффициенты
функции <dm(z), может быть выражена равенством
У , р Ъ (х )и т(х) = О,
Я

гд е 6 (z) попрежнему произвольная целая функция т — 1 -й
степени.
Вместе с тем нетрудно видеть, что сумма
2

р 'р М ' р М

Неравенства Чебышева и основная теорема

281

может быть нулем только для таких вещественных целых
функций
которые сами обращаются в ну^ь, коль скоро
z
равняется любому из чисел х нашей совокупности [3].
А отсюда следует, что требованию, выражаемому равенством

2х р®(*)?м=°»
где 0 (z )— произвольная целая функция m — 1 -й степени, не
может удовлетворить никакая целая функция <p(z) тп— 1 -й
степени, если совокупность х содержит более тп— 1 чисел.
Поэтому, если наша совокупность х содержит более
тп — 1 чисел, то существование вышеуказанных дробей
Фх О)

Фг О)

а>! ( z ) *

coo (г) ’

Фmjz)
‘ ‘ ‘ ’ com ( z ) ’

определяемых первыми 2 m членами ряда
*^0 7

*$1

•+- $ 2

не подлежит сомнению [4]. При том же предположении не
трудно убедиться, что число вещественных различных корней
уравнения
wmU) = 0
должно быть равным т , а не меньше пг.
В самом деле, если различными вещественными корнями,
нечетной кратности, для уравнения
Ю
да(*) = 0
будут к и только к чисел
С*9
то произведение
(z — с3) (z — с2) . . . (z — ск) t*m (z)

Теория вероятностей

282

при всех вещественных значениях z будет числом положи
тельным и будет нулем только вместе с oxm(z), и потому,
если & <Г пг, то сумма
^ р { х — С!)(х — с2) . . . (х — ск)
X

(х),

содержащая не менее тп слагаемых и среди них не более [5]
7

тп — к

m

—

к

нулей, не может быть нулем, между тем как она при k < l m
должна быть нулем, в силу общего равенства

2/>9(*) *>•»(*)=о,
определяющего функцию vm(z).
Итак, к = т, и соответственно этому <om(z), должна раз
лагаться на тп различных вещественных множителей первой
степени
(z)

Cl) •••

(z

Таким образом, мы приходим к следующим выводам, на
которых будут основаны дальнейшие наши заключения.
Если совокупность вещественных чисел х содержит не
менее [/. членов и если соответствующие им числа р положи
тельны, то для
/л — 1 , 2 , 3, •••,[-**
существует целая функция ww(z) m-ой степени, определяемая
системой уравнений
2

Р^т(х) —
X

о,

^

р х а т(х) — 0,

X

= о

(1 )

и условием, что у ней коэффициент при zm равен единице.

Неравенства Чебышева и основная теорема

Эта функция разлагается на m
множителей первой степени
(^ )===
Полагая затем

£l) ( z

<т 'т ( г ) = ^
X

различных

вещественных

$2) ••• (z

р

u>mQ) — (От (*)
z

283

—X

(2 )

(3)

имеем, при тех же условиях насчет х и р, установить фор
мулы
Фго ( * ) _

р

£
Р

(4)

z —%’

Фго(ё)

•Се ’

где
^

"?!,

* * *<j

и общее равенство
V pQ(Q = 2 PQ (*)
5
*
для любой целой функции

(5)

(z), степень которой не выше

2т — 1.
В самом деле, если степень целой функции Q (z) не пре
восходит 2 т — 1 , то мы можем установить равенства
Й ( г ) =

й 0 ( z ) - + - 6 ( г ) <от ( г )

и
‘Ш

=

У

,

У

д

Шй

где степень целой функции 6 (z) не превосходит m — 1 .
Вместе с тем имеем

Теория вероятностей

284
И

(*>т (а:) — <*>т(%)

2

* “• < * > = 2 0 (0 2

следовательно,

Ж

p °w = =

2

X

^а о ^ = 2

£

что и выражается равенством (5).
Наконец, рассматривая два ряда целых функций

to0(z) = l ,

Wj Oz),

cd„(z),

«^(z)

Ф о (« )= 0 ,

^ (z ),

ф2 (г),

^ (z ),

И

мы убеждаемся, что каждые три смежных функции этих рядов
связаны между собой линейными формулами
^пг

==z ( z

* ' &m ) ^ tn ~ l (^ )

(^) —" (z
коэффициенты
ствами

Ьт) 1(^)

&m

—2 (^ )i

Фт—2 (^)»

которых am и bm можно определить равен'
2

b'Hl

"

pX<X)m__i ( х ) сош__1 (дг)

X
p^m — i (* )

1 (X )

(7)

x

иИ
2 Р0)„г_ 1 (х) 03Ш
_ ТО)

Or/г'
при m l > 2,

%

2 P®rn- 2 (х) мт-2 (*)

( 8>

Неравенства Чебышева и основная теорема

285

Для полного определения функций
+1 ( 2 ). « 2(г ). Ф2 (г). •••, «vCs),<lv(z)
следует присоединить еще четыре равенства

a 1{z) = z - * - b u

J/1 (z) = a 1

и

Ч 1р , ь г = —
Из формул (6 ) и (8) вытекает важное для нас простое
равенство
Фт (г)

Wm_ i

(z) — фт _ х(z)

в силу которого
такою [7].

можно

— 2 pWm_j (X) W ,„ _ j (jf),

заменить

вторую

(9)

из формул (4)

1 (х) (дт—\ (х)

2
Р:

Wm (z)

х_________________
(S)
1 (?)

(10)

Если совокупность чисел х со своими положительными
числами р изменяется, но суммы
5<>= 2

X

р ’ Si== 2

X

................5 » « - 1 = 2

X

рх

2^—1

(П)

сохраняют неизменные величины, то функции
0>m(z) И tym(z)
остаются также неизменными и вместе с тем, конечно, сохра
няют свои значения связанные с ними числа Е и р.
Если же с изменением чисел х и р изменяются и суммы
( 1 1 ), то мы можем все-таки утверждать, что при достаточ

T еория вероятностей

28b

но малом изменении этих сумм функции
<*>«(*) и tym(z ) 9
определяемые уравнением ( 1 ) и формулой (3), не перестанут
существовать и все корни уравнения
*>«.(*) = О
останутся вещественными [8] и различными, равно как оста
нутся вещественными и числа р, определяемые формулой (4 )
или равносильною ей формулою ( 10 ).
Согласно вышесказанному, эти числа $ и р должны быть
непрерывными функциями сумм

2 *

2 * * ’ ■••’ 2

p x **~ k

§ 55. Сохраняя предположение, что числа
•So,

^ 2, * * •,

1

задаются формулой
X
и рассматривая только такие совокупности вещественных
чисел х и положительных чисел р , для которых существуют
наши функции

“ »(*) и +„,(*).
и уравнение
(^)--- 0
не имеет ни мнимых, ни кратных корней, мы установим заме
чательные неравенства, на которые впервые было обращено
внимание Чебышевым в краткой заметке „Sur les valeurs
limites des int6 grales“, помещенной в журнале Лиувилля за
1874 г.

Неравенства Чебышева и основная теорема

287

Эти неравенства мы представим в немного измененном
виде; что же касается их доказательства, t q о н о впервые
было дано в статье* моей „Доказательства некоторых нера
венств П. Л. Чебышева", откуда мы его и возьмем.
Н е р а в е н с т в а Ч е б ы ш е в а . Пусть а будет какоенибудь вещественное число, а Г и с" — два ближайших к нему
корня уравнения
(^)
так что
Если
V1

2 »

х< а
V

2

р

£Сё'
V .

*угл

. 2 * .

означают, соответственно, суммы всех значений р
для j c < a и для х<С а
и суммы всех значений р
для £ < £ ' и для
то должно быть
х<а

2

Р^

* Примечание.
корней уравнения

Sj Р и

Уй"

^

Р-

(12)

Если ос не превосходит наименьшего из
«т (z) = О,

го первое из неравенств ( 12 ) надо заменить очевидным

Подобным же образом, если а не меньше наибольшего из
корней уравнения
(z) ==: О»*
* Сообщения Харьковск. матем. общ., 1883.

Теория вероятностей

288

то второе из неравенств (1 2 ) следует заменить также оче
видным [9]

£

*

Д о к а з а т е л ь с т в о . Останавливаясь на доказательстве
первого неравенства, образуем целую функцию Q (z), 2 m — 2 -й
степени, согласно условиям:
1)

Q( £) = 1

при

2 ) Q, (£) = 0

при

3) £2'(£) = 0

при

£<Х

$ не = £',

где с означает, подобно прежнему, все корни уравнения
o>m( z ) = 0 .
Для этой цели полагаем
а (г) = 120(z )

(0m(z) Oj (z),

а целые функции Q0(z), m — 1 -й степени, и ^ ( z ) , m — 2 -й
степени, составляем, по известной формуле Лагранжа, со
гласно определяющим их условиям
Q0(E) = 1

при

Q0(E) = 0

при

{■>£',
при

£не=£'.

Установив существование нужной для нас функции £2 (z),
замечаем, что ее производная
(z) обращается в нуль m — 1
раз при всех корнях уравнения
(^)

Неравенства Чебышева и основная теорема

289

за исключением
и еще тп — 2 раза во всех промежутках
между смежными корнями этого уравнен ия, за исключением
промежутка от 5' до смежного корня, мен\>шего
Этот
смежный с
корень на нашем схематическом чертеже, пока
зывающем ход функции Q(z), обозначен символом £°.

А так как степень Q'(z) равна 2 m — 3, то указанными
нами исчерпываются все корни уравнения
Q'(z) = 0.
Отсю да следует, что в промежутке от z = Z° до z — ^l
постоянно должно быть
Q '( * ) < 0 .
И затем, согласно приведенному схематическому чертежу,
мы легко убеждаемся [10] в верности неравенства
1

при

Q(* )< 0

при

LI (z)

z <C ^

и неравенства
следовательно,

ж
С другой стороны, имеем
^ рО (дг)= ^
х
И

5
19 А. А. Марков. Избр. труды

pii(E)

Теория вероятностей

290

в силу условий, определяющих функцию 12 (z), и общего
равенства (5).
Остается сопоставить последние равенства с только что
установленным неравенством
\ рй (х) < V
X

р,

и мы тотчас придем к первому из неравенств ( 12 )
я<а

KV

Подобным же образом нетрудно доказать и второе нера
венство. Надо только немного изменить условия, определяю
щие вспомогательную функцию 12 (z), а именно, теперь еле
дует положить
1 ) а © = 1 при
2 ) Й © = 0 при £ > $ " ,
3) й г(Н) = 0 при Е не = £".

Д ля определенной такими равенствами целой функции
12 (z), 2 m — 2 -й степени, имеем
X<а

2

^ р П ( х ) ^

р>

2

Р

X
и вместе с тем

V

рЙ(х) = ^

pQ(£) =

2

r>

S

X

откуда тотчас вытекает второе неравенство

2
§

^

2

*

56. Займемся теперь применением наших общих выво-

дов к замечательному ряду и соответствующей^ему: непре-

Неравенства Чебышева и основная теорема

297

рывной дроби; мы придем таким образом к предложению,
которое служит основанием для доказательства теоремы
о пределе вероятности, по способу Чебышева. Предвари
тельно, однако, сделаем еще общее замечание о возможности
заменить суммы

2

X

X

2

рх> 2

X

р х ‘>г • ■ •

интегралами
ь

ъ

ь

J f(x )d x ,

j f(x ) x dx,

J x 2f ( x ) d x ,

a

a

a

где а и b означают любые вещественные числа, или — оо
и + оо, а вещественная функция f ( x ) удовлетворяет нера
венству

о.
Нетрудно понять, что такая замена сумм интегралами не
нарушает ни наших формул, ни наших заключений, если
только интегралы имеют смысл [п].
Установив это, мы возьмем ряд
s 0± + s A - * - s a
коэффициенты которого определяются одною формулою
+00

s k= ~

J

e-*'x k dx,

или, что все равно, совокупностью двух формул
+00

с ,—

^

19*

\/n

f

J

-,-*s Y^k j y — — . А
X ax
2
2

(13)

292

Теория вероятностей

+00
S 2*+1 = ^

J

е ~ * л * + Ч х = О,

—СО

где к означает целое положительное число или нуль[12].
Для такого ряда функции wm(z) определяются формулою
я*

Wm { z ) =

jm

—z"1

( _ 2)m------ ^

»

(14 )

ибо из формулы (14) следует:
+OD
^=г j* e~lS О(х) wm(л:) d x =

+■ 00

_

( - 1)т
2т Vu

е-*!
dxm d x

J е (х)

+00

1
2т Vir

f

с/х,

какова бы ни была целая функция 6 (z), и потому
+00

J

e~*s 0 (х )м т (х) d x = 0,

— 00

коль скоро степень целой функции 0 (z) меньше то.
Отсюда вытекает также важное для нас равенство
+00

~

J e -*J мт (х) com(х) d x = 1-'- 2 23т ' ' ' т >
—оо

в силу которого формула ( 10 ) приводится в данном случае
к такой:
1 • 2 . 3 ■ • ■ ( т — 1)
Р

Неравенства Чебышева и основная теорема

293

С другой стороны, из формулы (14) нетрудно вывесть
ряд простых соотношений
\

, , V_

2ze2%
«Г е - г'
е 27
(— 2)m ' dzm
”+' ( — 2)ra '

__
(

d m ( - 2z e ~ * ) _
dzm

_____

me
a
e
2)w—T * dzm~~1

\z )i

i \__ d m- 1 ( - 2 z e - 0’ ) _ _

( _ 2)m '
ze ^

jw
a i—1 e—г2

( _ 2)»»-l *

'

dz'" - 1

/

£^2Ш
~”г

/ — li )чe
(m
e 2 (— 2)m“ 2 ’

aim—2 e—-г2 __

J2W“ 2

m—1
о

Равенством
(2 ) = m '" ,- 1 (г)
мы воспользуемся, прежде всего, для преобразования выше
приведенного выражения р к следующему виду
л_

1 •2 • 3 . . . m

Р _ 2т~} «4 (S)<4(*) ’
Последнее выражение р послужит нам для вывода заме
чательно простого неравенства, из которого вытекает важное
для нас предложение:
пред,

р=

0.

т=оо
Это неравенство и его вывод мы заимствуем из статьи
академика Н. Я. Сонина „О точности определения предель

Теория вероятностей

294

ных величин интегралов4*,* не передавая, однако, буквально
ее содержания.
Начнем с того, что заменим квадрат

входящий в знаменатель рассматриваемого выражения р рав
ною ему суммою
« к ® ,
подбирая вспомогательный коэффициент В
изводная по z целой функции
Wm(z) wm(z)

так, чтобы про

(z) “m(Z)

делилась на квадрат
w'».(z) Wm(z )На первую степень
целой функции, равная

(z) производная составленной нами

2wm(z)

(z) “Н

(z)l.

делится при всяком В ; на квадрат же
(z)

(z)

она будет делиться при
В = 2т,
ибо, согласно вышеприведенному соотношению между
« т (Д

<

( z)

И

b £ (z ),

имеем
а " (г)

+

2/п ы ( г ) =

2 z w ^ (г).

Зап. Акад. Наук. т. LX IX , кн. I, 1892.

Неравенства Чебышева и основная теорема

295

Мы приходим таким образом к равенству

I

(*) “* (z) 1 2тй„, (z) W (z)}' = 4zco^ (Z) w'„ (*),

которое показывает, что сумма
“ m(z) Wm(z) •+■2 т « т (z) (0,„ (г)
достигает своего наименьшего значения при z = 0 .
• Отсю да тотчас выводим неравенство
__________ 1 - 2 - 3 - - - т___________

Р ^ 2— 1 -I<о'ж(0) «1т(0) -н 2т<от (0) шм (0)} ’
разбором и упрощением которого мы займемся.
Для этого обращаемся к равенствам
(z ) = z,

м2 (z) = z 2 —

(0W(z )---Z(Hm—i (z)

2

*
2 (^)э

которые могут служить для определения всех функций c*>m(z),
и принимаем во внимание формулу
(*) =

1 (z).

Мы видим, что при т четном о/г(0 ) приводится к нулю
вместе с са^ДО), значение же о)г/г(0) определяется из ряда
последовательных равенств
w2 (0) =

— J »

« 4 (0) = - | « 2 (0) = у - | »
Ы6 (0) = — -|w4 (0) = — J •у - у »

296

Теория вероятностей

и оказывается равным
m

5 . .. (т — 1 )
m

1 •з

Напротив, при пг нечетном
«>т ( 0) = 0
и
(0) =

(°) = (“ 1 ) 2 1 3 : 5

••( т — 2) т
тп—1

2 23

Следовательно, при пг четном имеем
^ 2 . 4 •6 . . . (тп — 2)
Р<" 3 - 5 - 7 - - - ( т - 1 ) ’
а при пг нечетном
>

2 • 4 ■б ■■■ ( т
1) .
3 . 5 • 7 ••• т
’

другими словами, при
т = 2 /~+-1

и

m ~ 2 l -f-2 ,

где /— любое целое положительное число, имеем
^
Р^

2 • 4 •6 ••• 2Z
3 . 5 • 7 ••• (2/ -ь 1) ’

Чтобы притти к еще более простому неравенству, заме
чаем, что квадрат выражения
2 •4 • 6 ••• 21
3 • 5 •7 ••. (21 -*- 1)

Неравенства Чебышева и основная теорема

можно представить в виде произведения

297

дроби ^[2+-

известное выражение

на

'

2
2
4
4
2/
1 ’ 3 ’ 3 ' 5 * ’ ’ 21 — 1

2/
2ГТ Т ’

которое, при возрастании /, постоянно возрастает и, согласно
формуле Валлиса, стремится к пределу — , когда I возрас
тает беспредельно. Это выражение, конечно, меньше своего
предела. Из
неравенство

нашего замечания вытекает,

таким образом,

или, что все равно,
4/*-*-2 *

при
пг = 21 -+-1

и

7п = 2 /-к- 2 .

Немного усложняя вывод, мы могли бы заменить 4 /-+- 2
числом 4/ -4-3, которое указано Н. Я. Сониным, но для наших
заключений такая замена не имеет значения.
§ 57. Теперь уже нетрудно установить вышеупомянутое
предложение, которое составляет главную цель этой статьи.
Т е о р е м а . * Е сли совок у п н ост ь вещ ест вен н ы х чисел х ,
со свои м и п ол ож и т ельн ы м и чи слам и р у и зм ен я ет ся т а к ,
чт о сум м ы

2

р>

* A. M a r k o f f .

2

рх>

2

р* 2’ ^

Sur les racines de ^equation

de PAkad. de St.-Petersbourg, 1898 [13]).

р* 3’ •••
x%dme~x“
!

dxm

0. (Bull..

Теория вероятностей

298

п р и б л и ж аю т ся , со от в ет ст в ен н о, к п р ед ел а м
+00

+00

- L- j е~х' d x ,
Vt: J

+00

у=- I е~%гх й х , -L- j
Vtt
V7T J

— 00

— 00

х 2d x ,. . . ,

— 00

т о д л я лю бого дан н ого числа а обе сум м ы
х< *

2

и 2 ^

р

п р и б л и ж аю т ся к п р едел у

~ k f е~*! rfx— 00

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим для наглядности, что
последовательность изменений х и р определяется целым
числом п, возрастающим беспредельно. При помощи этого
вспомогательного числа мы можем выразить основное усло
вие теоремы так: для любого данного положительного
числа i и для сколь угодно малого неизменного положитель
ного числа X должно быть такое число v, что неравенства
+00

— X<

р х к---- ~г | е~х~х к d x <С X
— 00

%

обязательно имеют место
при к = 0 , 1 , 2 , . . . , / и

n>v.

Нам надо доказать, что при таком условии численные
значения обеих разностей
5С<^а

а

— 00

а

a?j<<x

е~ * йх

и

2 > - 7 ? I

— 00

e ~ * dx

будут меньше любого данного положительного числа г, при
всех достаточно больших значениях п.

■Неравенства Чебышева и основная теорема

Для этой цели разбиваем число s на два
также положительных и определенных:

299

слагаемых,
%

например:

Затем берем целое число I настолько большим, чтобы
было

и полагаем
т = 2 /ч - 1

или

21 -+~2 .

Дальнейшие наши рассуждения, в которых I и тп будут
предполагаться неизменными, можно провести как при
тп = 2Z —
»—1 , так и при т = 2 / ч - 2 . Этою двойственностью
числа m мы воспользуемся, чтобы для упрощения рассужде
ний устранить из рассмотрения случаи, когда уравнение

допускает корень
Возможность устранения таких случаев вытекает из того,
что уравнение

не может допускать одинаковых корней при двух смежных
значениях т :
при т — 2 Z-»- 1 и при т = 2 /-+-2 .
Итак, приравнивания тп одному из двух чисел
2 / -Ы

и

2 / -н 2 ,

300

Теория вероятностей

мы будем предполагать, что ни один из корней уравнения

которые мы обозначим символом
не совпадает с а.
Сохраняя установленные ранее обозначения
Р

для переменной совокупности чисел х и р> мы для только
что рассмотренного специального случая, который сейчас
будет играть роль предельного, заменяем эти обозначения
такими:
Р*

^пг {%)*

Соответственно этому и неравенство (16) мы заменим
следующим:
? < )/ 4 / ^ 2 ’
откуда выводим

Р<тдля всех рассматриваемых нами величин р.
Пусть, далее,
с' и
будут два смежных корня уравнения
(^)

О,

т. е. уравнения
А*п 0—м1
е„ л — о
е*5? dzm
v
между которыми лежит число а, так что

Неравенства Чебышева и основная теорема

Применяя к нашему специальному случаю
Чебышева (12), находим

1

e~ " d x <

2

301

неравенства
>

р

— 00

и отсюда выводим неравенства

2

’Р > v H

—СО

e^ d x - z

И

1<*'
2

ё < -^

f e~ *d x 4 rt!,
—X*

принимая во внимание, что разность
С<Т

1<(г
е -^ е

2

равна сумме двух значений р, соответствующих
.£ = !'

и $ = ? '.

С другой стороны, в силу указанной нами непрерывности
корней уравнения
ы,„ (z) = О
и соответствующих им количеств р, можем утверждать, что
коль скоро числовые величины разностей

Теория вероятностей

302

при
к —

О, 1, 2, 3 , . . . , 2m — 1

все будут меньше некоторого достаточно малого числа X,
будут иметь место следующие обстоятельства:
1 ) ни одно из чисел
т. е. ни один из корней уравне
ния
(-^)---О»
не будет совпадать с числом ос, так что среди них найдутся
два смежных числа
г,
удовлетворяющие неравенствам

2 ) числовые величины обеих разностей

!<£'

1 <Г"

будут меньше данного числа г".
Пусть X настолько мало, что указанные обстоятельства
имеют место, коль скоро выполняются неравенства
+00

— X<

р х к ----- ^=г | е~хг х кd x <С X

при
к=

0, 1 , 2, 3 , . . „ 2m — 1 .

Предполагая введенные нами числа
^у £ > Л

х

неизменными, будем увеличивать число л*
Согласно основному условию теоремы, при достаточно
больших значениях л, т. е. при всех л, превосходящих неко

Неравенства Чебышева и основная теорема

303

торое определенное число v, только что приведенные нера
венства обязательно будут выполняться.
И для всех этих значений п обе суммы
«О

будут отличаться от
а

~
f е~х' d x
V7T J
—со

менее чем на е.
В самом деле, в силу неравенств Чебышева (12), имеем

Вместе с тем, при
n>v
должно быть
гс<¥

US'

У?<У

р -н е"

Присоединяя же к этим неравенствам установленные раньше
а

ISР> - ^Г e~*'dx—£'
J

И

—сю

Теория вероятностей

304

легко убеждаемся, что обе суммы

и

5

р>

при n > v , разнятся от

1

k
менее чем на

А отсюда тотчас следует, что и обе суммы
я<а

2

ж<а
и

Р

лежащие между
КП'
\ р

и

%

при выполнении указанных условий, т. е. при всех достаточно
больших значениях п, будут разниться от

- р

f

V7T J

е~~х d x

менее чем на s.
Теорема наша, таким образом, доказана. А из нее выте
кает следствие, которым мы будем пользоваться.
С л е д с т в и е . Каковы бы ни были данные числа t± и t2f
второе из которых больше первого, при соблюдении условий
вышеприведенной теоремы, четыре суммы
ti<x<l2

Неравенства Чебышева и основная теорема

305

распространенные на все значения х 9 которые удовлетво
ряют неравенствам
v
*1 < X < tz,

с присоединением или без присоединения значений
x = tx и

x = t2

стремятся к одному пределу

Jе

1

\/тс

dx.

Рассматривая, наконец, положительные числа р как
вероятности соответствующих значений х 9 мы можем пред
ставить это следствие в виде теоремы, относящейся к исчис
лению вероятностей.
Предельная
теорема
Ч е б ы ш е в а . * Если со во
к у п н ост ь всех в о зм о ж н ы х зн ач ен и й н екот ор ой вещ ест вен 
ной величины х у вм ест е с и х в ер о я т н о с т я м и 9 и зм ен я ет ся
т а к 9 чт о д л я вся кого д ан н ого целого п олож и т ельн ого
числа т 9 не и ск л ю ч ая н у л я 9 м ат ем ат и ч еск ое ож и дан и е х т
ст р ем и т ся к п р ед ел у
+ 00
- i

f е~~х* х т d x 9

V7T J

* Мы соединяем с этой теоремой имя Чебышева, хотя он рас
сматривал только неизменные совокупности х , р 9 точно удовлетворяю
щие условию

1-W
L f
yjiz J
20

А. А. Марков. Избр. труды

- х'’~dx,

306

Теория вероятностей

m o в ер оя т н ост ь вы п олн ен и я н ер авен ст ва
h < х < *2,
с п р и соеди н ен и ем или б е з п р и соеди н ен и я край н и х зн ач ен и й
X = tj

И

X — t2,

д о л ж н а ст р ем и т ься к п р едел у
*2

к ак о вы бы ни бы ли д а н н ы е чи сла t2 и t2^>t1.
Если сопоставить эту теорему с доказанной в главе III
(§ 2 1 ) [н] теоремой о математических ожиданиях, то получится
теорема о пределе вероятности, при тех предположениях,
которые были приняты в теореме главы III. Но мы на этом
не остановимся, так как предложение, которое мы могли бы
сейчас установить, представляет только частный случай того,
которое будет предметом следующей статьи [15].
§ 58. Желая придать нашему доказательству возможно
большую простоту и ясность, мы воспользовались замеча
тельным неравенством Сонина, которое основано на особых
дп е —я2
свойствах функции е*2 —^ — , что лишает нас возможности
распространить наши выводы на другие случаи, с которыми
нам придется встретиться. К счастью, оно играет у нас
только вспомогательную роль: мы воспользовались им для
доказательства, что при беспредельном увеличении значка т
функции <Ьт{х) разность

р—
становится бесконечно малою. Но того же можно достигнуть
иным путем, не пользуясь неравенством Сонина.

Неравенства Чебышева и основная теорема

3 07

Пересматривая наши выводы, нетрудно притти к такому
общему п р е д л о ж е н и ю :
N
П уст ь совок у п н ост ь вещ ест вен н ы х чи сел х со свои м и
п олож и т ельн ы м и числам и р и зм ен я ет с я т ак, чт о сум м ы

2

X

2

р>

рх%

X

X

2

р* 2’ 2

х

рх3> •••

п р и б л и ж аю т ся , соот в ет ст в ен н о, к п р ед ел а м
-4-00

+ао

j f( x ) dx,
—

00

+00

J x f(x ) dx ,

| x 2f ( x ) d x , . . .
— 00

— JO

или при со б л ю д ен и и от н оси т ел ьн о х н еравен ст в а<С х
к п р ед ел ам
ъ

ъ

ь

J f(x )d x ,

J x f(x )d x ,

j х 2 f ( x ) d x ,. . .

a

a

a

6,

П у ст ь при эт ом ф ункция f ( x ) н еп р ер ы вн а и не п олу
чает от р и ц ат ел ьн ы х зн а ч ен и й .
П у ст ь д а л е е
Фт ( * ) __
а
(*) ~ L . ,

а
*

ь2
От

Xнн Ът
о б о з н а ч а ет тп-ую% п о д х о д я щ у ю д р о б ь в ф орм ульн ом р а з 
лож ении в н еп реры вную д р о б ь инт еграла
+ 00

Г / (у) dy или
J X— у

—

20*

00

Ъ

а

308

Теория вероятностей

П ол ож и м , чт о в соот вет ст ви и с п р ои зво л ьн ы м п ром е
ж у т ком , где f ( x ) не ост а ет ся п о ст о я н н о нулем , сущ е
ст ву ет число т 0 т а к ое, чт о при т^> т 0 у р ав н ен и е «,п(л:) = 0
им еет корни в эт ом п ром еж ут ке. Т огда д л я лю бого д а н 
н ого чи сла ос обе сум м ы

2 »

“

2 >

п р и б л и ж аю т ся к п р едел у
*
J

f(x )d x .

—СО

Таким образом вопрос о существовании указанного пре
дела для сумм
л'О

яг<£а

и
сводится к вопросу о существовании корней уравнения
— 0 в любом данном промежутке. Этот последний
вопрос представляет затруднения только в случаях, когда
оба предела интегралов или один из них бесконечны. Рас
суждения, относящиеся к случаю бесконечных пределов, дают
решение и для случая конечных пределов а и Ь, причем
в этом случае вопрос решается утвердительно очень просто.
Останавливаясь на случаях, когда оба предела интегралов
бесконечны, и обозначая буквою g наибольшее из численных
значений корней уравнения Ч ю М = 0 , мы докажем такое
предложение:
Е сли при б есп р ед ел ьн о м в о зр а с т а н и и зн а ч к а т от н оg
ш ен и е ~ ст р ем и т ся к п р ед ел у 0 , т о м еж д у лю бы м и д а н 
ны м и числам и c u d д ол ж н ы бы т ь корни у р ав н ен и я <«v„, (*) = 0 ,

Неравенства Чебышева и основная теорема

309

при в се х д ост а т о ч н о б ол ьш и х зн а ч ен и я х т , или
грал

инт е
N

д

[ / (*) d x
С

д о л ж ен п р и в о д и т ься к н у л ю .
Для доказательства вводим новое переменное
f — {x — c ) { d — л:) и его целую функцию ■
е\ /j.\

о

(

число

2 t-t-h )2

= |cos [л arc cos — ^— >

при h = ( g -+- |cj) (g -н \д)9 где символы ]с\ и \д\ означают абсо
лютные значения с и д, и при и, равном целой части числа
— 2— • Степень целой функции LI (t) относительно х равна 4 [л
и потому не превосходит 2т — 2 , в силу чего, согласно
доказанному выше, можем установить равенство
+00

j / ( х ) а ( х ) Л = 1 Л !!( У

где

0" — 1» 2, 3 , . . . , т ),

означает все корни уравнения <*>ш(л:) = 0 и
Д __ Фяг fe)
’

Ч .& ) ’

С другой стороны, не трудно убедиться, что для всех
значений х 9 лежащих в промежутках от — g до с и от д
до g , со включением пределов нР g , функция О (f), оставаясь
числом положительным, не превосходит единицы; ибо при
таких значениях х имеем
t = (х — с) (д — х) < О,

t< h ,

2f -

h

< 1,

2ik - > -

1

.

Теория вероятностей

310

А для значений х %лежащих между с н д 9 получаем
2

(*lt *+- h

о(*)=

►)

2

t > о, ^

1,

и затем

а ( 0 >

>

2

> (l -4- 2[Л([А— 1) j}~ > 4|ф — 1) j - .
Следовательно, если допустим, что между с и д нет ни
одного корня уравнения, то придем к таким неравенствам [16]:
д

+ 00

J / И а (0 d x > J f ( x ) a (t) d x >
с

— со

> f r « r . i ) < r i U / <*—

w

с

-

* > /« *

И
+

2 Л о (6 )< 2 ^ =

00

J /И Л ,
—

00

откуда вытекает следующее неравенство:

J( ^

- с ) 0 - . ) / ( х ) Л

< М

№

J f(x )d x ,

\

Неравенства Чебышева и основная теорема

311

правая часть которого, при беспредельном возрастании т ,
должна стремиться к пределу 0 в силу условия
пред.
т—оэ

т

= 0.

Итак, при соблюдении указанного условия при доста
точно больших значениях т в промежутке от с до д должны
быть корни уравнения <i>m(x) = 0 или интеграл
*
J (л: — с )(д — л:)/ ( х ) dx
е

должен равняться нулю, что равносильно равенству
д

J f(x )d x =

0.

е

Имея в виду вопросы исчисления вероятностей, остано
вимся на тесно связанных разложениях в непрерывные дроби
интегралов

J ~ ~ ~ ~ ~

>0) и J

( & -* -! > 0),

где |#| означает абсолютное значение г/, при ^= у ( у — 1 )
второй из них сводится к первому подстановкой х 2 на место z
и у 2 на место у :
dy .

х^у
У I^ dy

=
при

Z

j

e~~yi у т dy -

Теория вероятностей

312

Нам важны только знаменатели подходящих дробей;
обозначая их символами оИ1 (дг) и о>w (z), мы для определения
этих целых функций степени тп от х и от z получаем такие
общие уравнения
-+- оо

со

j е~9' IУ |т <>\п(у) ? (у) d y = о и J е~° у м<’"> (у) <p(y)dy = 0,
—00
О
где <р(г/)— произвольная целая функция от у степени пг — 1 ,Ввиду четности функции е~у1\у |т, относительно функции
<ош(х) не трудно заключить, что она должна быть четною
при тп четном и нечетною при тп нечетном. Что же касается
функции w(m)(z), то для нее нетрудно установить довольно
простую формулу
<*<'»)( z ) =

e*

d m (e~~z z5+ m)

dz?1

как доказывает следующее равенство

j

e~y y 0+m

dm? (У)
dym

dy.

Вместе с тем нетрудно убедиться, что при z = x 2 функ
ция ы{тЦг) совпадает с <*>2т (л:); ибо для любой целой функ
ции о (z) степени т — 1 имеем
-4-00

00

0 = j e - « y ° < ^ ) ( y ) < ? ( y ) d y = J e-v -\ y f+ ^ (" H y > )9 (y*)dy,
О
—00
и для любой нечетной целой функции 9 (л:) интеграл
-+■оо
— СО

также равен нулю.

Неравенства Чебышева и основная теорема

31Г

Наконец, для получения w2m+1 (jc) достаточно в выражении
N
• 1
/ 1 ш .ж 7 ¥ d™e~*z*+>n+1
(— 1 ) е z
-------^ ------ »
равном произведению \jz на некоторую целую функцию 0W
7(z)
©т z степени га, заменить z на х 2. В самом деле, х0т (х 2)
представляет нечетную целую функцию от х степени 2 га
в силу чего интеграл
ч- 00
f е -Р |у |£0+1 ф ш (у-) ? (у) dy
—00
приводится к нулю для всякой четной целой функции 9 (1/)
и для всякой нечетной целой функции 9 (у), степень которой
не превосходит 2 га — 1 ; имеем
+

00

^

+

00

/ r

[ е ~ * j у Г +] уЬ,п(у2) <р(у) d y = | е~иу уЬ,п (у) У

к

J

=J

(е—&^8+m+l)

ф (v/y )
V'.g

п

m(m ч- Ь)
7

1

?m— 2

*

.
4

dy

dy =

Таким образом мы приходим к следующим

« £т(л:) = (— 1 )щег г - г

V»

V

формулами

d?1

m ( m —l)(m +

o)(m + 5- i l l XS»>~* .

1 -2

Теория вероятностей

314

- Ь

« * .« ( * ) = < - ! T e ’ z

-

2 сР*1€ * ^в+ю+1
dz™

. „2»»+1_m(m + Js + l) X2*»-1.

■Л

m ( m - l ) ( m - b $ + l) (m + 8)

1 •2

W 2W _

2»w-3__

*

( - 1 r +1 ** z - s

=

x 2»n+2__ (m + l ) ( m + S + l) ^ £ю

при z — x c; откуда посредством вычитания выводим
w2m+2 (х) =

xcd2W+1 (* )

— (m н- S

W2»»+l (•*) ===: X®2tn («^)

1 ) (o2w(*),

1 (■*)»

п затем последовательным делением приходим к ряду дробей
со2 (*) __

_ ^+ 1
х

0)1 (X)

< * > з ( * ) _______ 1
’

w2 (дг)

w2 (д:) :

(л) *

^2»ч-1 (*) ____________ ™______ f

w2m(■*)
С02Ш+2 (

*

W2»w(*) J ^Oijm—1 (•*•)
)

<*>2»*+1 (-*0

_______

ТП Ч г Ь Ч г 1 ____

W2»*+l С*) •w2m(*)

Желая установить высший предел числовых значений кор
ней уравнений
Ы2 (х) = 0 , и>3(х) = 0 , . .

ы2„(+, (х) = 0 , w2m+2(x) = 0 , . .

мы можем ограничиться положительными значениями х ; ибо
(-^)

W2«*+l (

^)> ^2»И-2 С*") == ^2w-4-2 (

%)•

Неравенства Чебышева и основная теорема

<*>2»»(*')

Мы докажем, что отношение
х

°2т —1 (■*) * W2W—2 (•*)

315

равное

j

9

больше у х ПРИ всех значениях х, превосходящих \/Л(т -+-S),
1
и отношение ^>2^4-1 (*)- больше у х, если превосходит наиболь
w2»w(*)
шее из чисел \j4rn и \/4(m~f-?>), для чего последовательно
будем полагать т равным 1 , 2 , 3 , . . .
При т — 1 получаем
м 2т ( х) _
W2W*—l ( * )

<»2

(*) _

^ __ 1 -Ь

С01 ( * )

*

> *

если х 2 ]> 4 (1 ч - S ) ,
н
' I

(*) __ ^3 (*) __ .
Ю2т (х)

со2 (X)

со2 (х) : (*>! (х) ^

л

1
2

х

если х 2 > 4 и 4 (1 -4- Ь).
Затем остается выяснить последовательный переход от
одного значения т к следующему. Допуская, что только
что высказанное предложение справедливо для некоторого,
значения т , получаем
D2m+2 (х)
^2т+1

в-*- 1
: X — ^ 2т -+-1 (х ) : а>2»п(х) > *

-х2

1

если х 2 > 4 ( т - + - 5 - ь 1 ) ,
и
Ц2>Ц-ЬЗ(*)
и2 п* + 2 (*)

— Х^
w2»H-2 ( X) : <*>2m+ l ( * )

если х 2 ^>4 (т

> *

4

1

1 ) и 4 ( т -+- 1 ),

\

> 21

Х

>

Теория вероятностей

316

и таким образом убеждаемся, что оно остается в силе и при
увеличении m на единицу. Следовательно, оно справедливо
■ри всех значениях т [ 37].
Отсюда следует, что числовая величина корней уравне
ния (о2т (л:) = 0 не превосходит у4 ( т -ь S), а числовая вели
чина корней уравнения <o2w+1 (л:) = 0 не превосходит наиболь
шего из чисел у4т и У4 {т и- 8). А так как оба отношения

\'4(тнь<5)
т

.

— и

У4т

т

бесконечно малы при бесконечно больших т , то на основа
нии вышеустановленного предложения оба уравнения
«£».(*) = О и (0£,„+ 1 (д:) = 0 ,

при достаточно больших т , должны иметь корни в любом
данном промежутке. Принимая же во внимание, что корни
уравнения
(л: ) = 0 — квадраты корней уравнения <л>2ш( х ) = 0 ,
заключаем, что при достаточно больших значениях т они
также должны быть в любом данном промежутке. Ввиду
доказанного можно предельной теореме придать более общий
вид:
О б о б щ е н н а я п р е д е л ь н а я т е о р е м а . Е сли со в о 
куп ност ь в сех в озм ож н ы х зн ач ен и й н ек от ор ой вещ ест вен 
ной величины х у вм ест е с их в ер оя т н ост я м и у и зм ен я ет ся
таку чт о д л я всякого дан н ого цёлого п олож и т ельн ого
числа т , не и ск л ю ч ая н у л я 9 м ат ем ат и ч еск ое ож и дан и е х т
ст р ем и т ся к п р ед ел у

A

+ 00
j е~х2\х\у х тс/х у
—00

I

Неравенства Чебышева и основная теорема

317

где
+

00

A J е-*'\ х\ Ч х = 1,
—

00

и л и , если х п олу ч ает т о л ь к о п олож и т ельн ы е зн а ч е н и я , —
к п р ед ел у
00

В \<е~х х ь+т d x ,
е
гд е
00

В [ е~~х х dx = 1 ,
о
/по в ер оя т н ост ь вы п ол н ен и я н ер авен ст ва
ti <

^ ^2 »

с п ри соеди н ен и ем или б е з п р и соеди н ен и я край н и х зн а ч е
ний x = t1 и x = L 9 д о л ж н а ст р ем и т ься со от вет ст вен н о
к п р ед ел у
U
A J е~ Хг\х |r d x
ti
s первом сл у ч а е, или к п р ед ел у
h
В J e - x x°dx
h
в о вт ор ом сл у ч а е, к ак о вы бы ни бы ли д а н н ы е числа tu t2,
кот ор ы е во вт ор ом случ ае д о л ж н ы б ы т ь , к о н еч н о, п ол о
ж и т ел ьн ы м и .

318

Теория вероятностей
Литература

S t i е 11 j е s Т. J. Quelques recherches sur la theorie des quadratures
dites mecaniques, Ann. de l*Ec. nor., 3 ser., I, 1884.
P o s s e C. Sur quelques applications des fractions continues algebriques. St.-Petersbourg, 1886.
S t i e 11 j e s T. J. Recherches sur les fractions Continues. Ann. de la
Fac. de Toulouse, VII, Paris, 1902.
А. М а р к о в . Исчисление конечных разностей. 2-е изд., 1911.

ТЕОРЕМ А О ПРЕДЕЛЕ ВЕРОЯТН ОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЕВ АКАДЕМИКА А. М. ЛЯПУНОВА
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ КНИГИ „ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ'*

§ 59. Приближенное выражение вероятности в виде инте
грала, указанное нами в § 2 0 [1], было известно давно и, по
справедливости, должно быть связано с именем Лапласа.
Но теорема, что этот интеграл представляет предел
вероятности, была, за исключением случая Бернулли,* впер
вые высказана и доказана для определенных случаев Чебы
шевым в мемуаре** ,,Sur deux theor£mes relatifs aux probabilites".
В этом замечательном мемуаре, ясно показавшем значе
ние метода математических ожиданий, оставались некоторые
пробелы как в формулировке, так и в доказательстве тео
ремы; они пополнены мною в статьях „Закон больших чисел
и способ наименьших квадратов" *** и „Sur les racines de
I ’equation

£xm ~ — 0 “-

Таким образом были установлены условия, при соблюде
нии которых теорема о пределе вероятности, несомненно,
должна иметь место; этих условий достаточно для существо
вания теоремы, и они являлись необходимыми, чтобы можно
было притти к ней путем известных простых рассуждений.
* Для этого случая доказательство ее, названное мною доказатель
ством Лапласа, было уже намечено Моавром в „Miscellanea analytica"
{1730).
** Сочинения П. Л. Чебышева, т. II, 481—491 [2].
*** Изв. Физ.-мат. общ. при Казанск. унив., серия вторая, т. VIII,
1898 [3].
21 А. А. Марков. Избр. труды

322

Теория вероятностей

Впоследствии академик А . М. Ляпунов поставил себе
целью притти к теореме о пределе вероятности иным путемг
дополняя надлежащим образом обычный вывод приближен*
ной формулы, и вместе с тем установить эту теорему для
возможно большего числа случаев, что и сделано им в ме
муарах* „Sur une proposition de la theorie des probabilites“
и „Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite".
Общность выводов в последней работе А . М. Ляпунова
далеко превзошла ту, которая была достигнута методом
математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов
методом математических ожиданий казалось даже невозмож
ным, ибо он основан на рассмотрении таких математических
ожиданий, в неограниченном числе, существование которых
в случаях А, М. Ляпунова не предполагается [5].
Для восстановления поколебленного таким образом зна
чения метода математических ожиданий необходимо было
выяснить, что вышеупомянутыми работами он далеко не
исчерпан до конца. Об этой задаче я думал довольно долго,
и мне удалось решить ее, можно сказать, в двух направле
ниях. С одной стороны, я нашел, как надо дополнить метод
математических ожиданий, чтобы
охватить все случаи
А. М. Ляпунова; а, с другой стороны, ряд моих работ пока
зал, что тот же метод дает довольно легкое средство для
распространения предельной теоремы на связанные вели
чины. И з последних работ я изложу здесь, в измененном
виде, только одну; но сначала мы займемся доказательством
предельной теоремы для случаев А. М. Ляпунова.
Пусть будет
Z]_, ^ 2»•••9 Zfr, • • •9 ZW
|
— неограниченный ряд независимых величин; пусть, вместе
с тем, при всяком к существуют
а* — м. о. Zjfc, bk = M. о. (Z* = afc)2
Bull, de Г Acad. des sci. de St.-Petersb., V serie, t. XIII. — Mem.
de PAcad. de S t.-P etersb., VIII serie, t . XI [*].

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М. Ляпунова

323

и
bk

' — M .o.

Zk — а к I

,

где S — некоторое положительное число, а символ \V\ для
любого количества V означает абсолютную его величину.
Положим, наконец, что отношение

(&1 “Ь

"Ь Ьп)

приближается к пределу нуль, когда п беспредельно воз
растает.
Таковы условия А . М. Ляпунова. Нам надо доказать,
что при соблюдении их оправдывается теорема о пределе
вероятности: д л я л ю б ы х д а н н ы х чисел t1 и t2, и з к от ор ы х
в т ор ое б ол ьш е п ер вого, в ер о я т н о ст ь н еравен ст ва
h <

v2

' Zn ■ ■gl —а2 —• •— CLn
< t2 .
•••“*"■&м)

ст р ем и т ся к п р едел у

когд а n в озр аст ает б ес п р ед ел ь н о .
Для этой цели введем вспомогательное число 7V, которое
будем увеличивать беспредельно вместе с п, и совокупность
всех возможных значений каждой разности
Zk — ak
разобьем на две совокупности, одну из которых пусть со
ставят числа Х к, лежащие между — N и -+--/V, а другую —
числа У», лежащие вне этих пределов. Предполагая, что
У]с = 0 при — N < L Z k---+
и
X k = 0 при Zk — a k < — N и при Zk — a k ^> N ,
21

Теория вероятностей

324

мы можем положить
Zk ---CLt — Xic-i- У\\
вместе с тем нетрудно установить равенства [в]
м. о.(Z u— а*) = 0 = м. о. Х к “+■ м. о. Уку
Ьк = М. о. Х к^нн м. о. У*2,
ftP + « ) =

M. o . | Z fe|2+5 +

M. о .| П

Г 1.

Математических ожиданий других степеней
Zb

a kt \Zk

&k\t У к и | У к [»

при условиях А . М. Ляпунова, мы не должны рассматривать.
Но как бы велико ни было введенное нами число А, мы
можем рассматривать математические ожидания любых поло
жительных степеней Х к и |Х к |. Введем следующие обозна
чения:
■+" Ь2 . •. ■+- Ьп= В п,

6(12+S) -+- b?+i)

^ 2+5>= в 'н,

|м. о. Х к |= |м. о. Yk |= 4 1», [ м. о. Х% |= 4 а)
при а — 2, 3, 4 , . . . Вместе с тем обозначим символом р к
вероятность равенства
Z k---CLk = X kt
равносильного неравенствам
— N £ Z k~ a k£ N ,
и символом q k вероятность противоположного равенства
Zk — a k = Y k, при П

не = 0 ,

иначе сказать, вероятность неравенства
(Zk- a kf > N 2;
так что
Рк

*+" Як

—

1.

Теорема о пределе вероятности для случаев А . М. Ляпунова

325

Вспомогательное число N , возрастающее беспредельно
вместе с л, мы подчиним двум условиям. И прежде всего
постараемся распорядиться числом N так, чтобы разность
между вероятностью неравенств
X ^ X z - h . + Хп
< к
Ш п

* i<

и вероятностью неравенств
+ ^ 2 + < " +

f

^ « — q l — g 2 — • • •— a 'i ^

Ж

^

I

2

приближалась к пределу нуль вместе с — •
Так как первые неравенства равносильны вторым во всех
случаях, когда
Yi = Y2 = . . . = Yu = 0,
то числовая величина разности между вероятностями их
не может превзойти вероятности нарушения, по крайней
мере, одного из равенств
г , = 0, n = 0 , . . . ,
а эта последняя
больше суммы

вероятность,

YH= О,

как не трудно видеть, не
• • + <7«-

Обращаясь к сумме
9 г

Я 2

• • •~ь

<7и

и принимая во внимание равенство
г (2 -Ь о )

О*

=м.

О.

. у

2+6

I у

I ? + -5

\Лк \ -н м . о .! Гк I

устанавливаем неравенство

,

Теория вероятностей

326

и отсюда выводим
<7д<

<71“* -<7г

В„
8+6
N■

Сообразно этому мы подчиним число N условию, чтобы
дробь
к
приближалась к пределу нуль вместе с — • При соблюдении
такого

условия разность между

вероятностью

неравенств

' %п — а1— а2 — «•. — а»
< t2
\'2Ви

<1 <

и вероятностью неравенств
* i<
должна,

согласно

Х-у нн Х2 + . . •+ Xf

< t2

вышеприведенным объяснениям, прибли

жаться к пределу нуль вместе с ~ ; и, следовательнб, при
разыскании предела вероятности первых неравенств мы мо
жем заменить их вторыми.
Обращаясь к разысканию предела вероятности этих вто
рых неравенств
Хл Х >■
■х п
* i<
V2Вп
мы подчиним N другому условию, при соблюдении которого,
вместе с первым, не трудно для всякого положительного
числа тп установить формулу
-х«
пвп

+ оо
■ Хп

==~= J e~ e tmdt,
—СЮ
что, в силу заключительной теоремы предыдущей статьи,
немедленно приведет нас к цели.
пред. м. о.
w =oo

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М. Ляпунова

327

При рассмотрении математического ожидания степени
Х>
+ Хп \т
v'2Вп
нам придется повторить вычисления главы III, § 21 [7].
Согласно обобщенной формуле Ньютона имеем
-X»

Х2
V2В п

=

V

т!

5 е*

••••Х

X!

а! (*!

(2ВМ
)2

где а,
. . . , X — целые положительные
удовлетворяющие условию

числа (не

нули),

ос •+•^ + . . . -+- X = пт
и 5 “’ ^ * ‘ * *л означает симметрическую функцию величин
^1» ^2> •••» ^»г»
которая определяется одним ее членом
Y%
A
l, Л 2» •••» ЛY*, .
Отсюда, в силу теорем о
сумм и произведений, выводим

математических ожиданиях

т\
G*’ ^ * Х
■+* Х2 ■+■ . . . + 2Cfi И _ у
( — ^ аГ(М...Х! ' (^2Дг)ш ’
У2Д,
р....... X
где G
означает математическое ожидание суммы
р, . . . , X
и получается из нее через замену степеней величин

м. о.

•^1» -^2» •••»
математическими ожиданиями тех же степеней.
Относительно выражения
G * ' р......... х

(V2 Вп)"
мы докажем,

что при надлежащем

выборе числа N оно

Теория вероятностей

328

будет приближаться к пределу нуль вместе с — , для всякой
возможности системы чисел а, |3, . . . , л, кроме одной

ос= (J = . . . = X= 2,
которая возможна только при пг четном.
Для намеченной цели обратим внимание на простое нера
венство
№.
№
№.
№
1C
'< ■
Л

в\

в:

в2

правая часть которого составлена из множителей вида
cW ^ e(0 .

>)

где е может получать значения 1 , 2 , 3, . . .
В силу приведенного неравенства можно утверждать, что
для всякой совокупности чисел
X, ,6, . . . , ).
не состоящей из одних только двоек, отношение
q °ч Р* •••*

будет, наверно, стремиться к пределу нуль вместе с * ) если:
мы распорядимся числом N так, чтобы было
пред.

Ле)

,.<«).

>)
=

п = со

в!
при
е = 1 , 3, 4, 5, . . .
Относительно выражения
г<2)-*.Д2),(2)

0

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М . Ляпунова

329

легко убедиться, что при значениях 7V, удовлетворяющих
вышеустановленному условию, оно должно стремиться к пре
делу 1, когда п возрастает беспредельно. В самом деле,
сопоставляя равенство
4 2>ч-м. о. Yf = bk
с

неравенством
т/-2
м. о. У * <

к

в справедливости которого нетрудно убедиться, находим
I(2 + 8)
Ьк----- ,

Ьк

откуда посредством сложения выводим
г<2>-4- М .
1 >

,( 2)

> 1

в„

К
в„ ■N 8

Что же касается выражения
К_

BUN* ’
то его можно представить в виде произведения двух мно
жителей

Вы\
вш
которые при наших условиях оба стремятся к пределу нуль
1

вместе с —
п.
Нетрудно также убедиться, что условия, которыми мы
подчинили уже число N , достаточны для того, чтобы отно
шение
с(11 )

( 1)
п

'

1

Теория вероятностей

330

1

приближалось к пределу нуль вместе с — : это вытекает из
простых неравенств
С*Х) <С м. о. | Yk |
(2 м. о. |Y\ }2
••■+" Яп) - м. о. Yk2 <С Д , -qic.
Обращаясь к отношениям

В1
при е = 3 , 4, 5, . . . , принимаем во внимание неравенство
c P < N e- 2 b k
и на основании его находим
—

2

~2

Отсюда следует, что все рассматриваемые нами отношения
> )е

будут наверно стремиться к пределу нуль вместе

с

—» если

число N мы подчиним условию, чтобы отношение
№

Вп
стремилось к пределу нуль вместе с

. Это новое условие

может быть выполнено одновременно с ранее установленным,
которое выражается равенством
в
пред. •
N2
»<=оо

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М . Ляпунова

33J

Действительно, если положим

■то обе дроби
№

Вп и

jV2+s

приведутся к одному и тому же выражению

в'

/

\ t + *

В .* Т
которое, в силу одного из принятых нами условий А. М. Ляпу1

нова, должно стремиться к пределу нуль вместе с — .
Итак, положив
1

N = (B n B rn) i + \
м ы можем утверждать, что разность между вероятностью
неравенств
Zi ~НZ%•+• . . . -Ь Zn — ail — flg — »»•— а * ^ ^
*!<■
V2Ви
и вероятностью неравенств
•*«
<2 В п

< t2

будет приближаться к пределу вместе с — , что отношение
„(2)

в„
будет в то же время приближаться к пределу единица и
что, наконец, в сумме

V

m!

С*’ Э....... Х

а ! 3 ! . . . X!

(2ДЛ*

Теория вероятностей

332

равной математическому ожиданию
( Х1■+•/Sfj + . . . + Хп

I

/ *

7Ш

будут стремиться к пределу нуль, вместе с

все

слагае

мые ее, кроме одного, которое определяется равенствами

и входит в состав этой суммы только при m четном.
Принимая же во внимание простое неравенство
( с Г г с л ^ - 2^
при
л — 2, 3, 4

, ,

легко можем установить неравенство

которое показывает, что при наших условиях приближаются
1

к пределу нуль, вместе с — , и все отношения вида

к

Отсюда следует, что при указанных нами условиях мате
матическое ожидание любой положительной нечетной степени
отношения
Xj -+- + . . , + Хц
7ЩГ
должно приближаться к пределу нуль вместе с*—*
Если же m число четное, то
стремиться две разн ости :*
* Глава III, § 21 [S].

к пределу нуль должны

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М. Ляпунова
-ь Ло
Х2
-*-Х„
у'
ГХ
Л1г -Ь
•••"+
■ |
‘‘ ° ‘ I
7Ш Г
Г7

m!

333

G2’ 2’ ' ' ' ’ 8
{2В„)г

Да>* Да>.

! \ G8’ 2----- - 2 ,

2В„

( 2В „)2

для второй разности это заключение основано на тождестве
„(2 ) \

2ВМ

m

тп »
__
2 *

2

J

.

-

{л! v! . . . со!

(2ВН) 2

и на неравенстве

Я :' ............. < <(С1(2)Г -г-. . . -ь(с(„2)П . . . { (ci*>r -ь ••
где //|А
’ v ** * ’ ш означает симметрическую функцию величин
c i~\ с 2^, . . . » ci2\ которая определяется одним ее членом

(с[2>Г(сру . . А Ф Т .
Итак, при тп нечетном
•

Ж ? - "■ »• { х ' ^ ш

ч-ао
' " Х’ Т = о = ^

I * * •

а при тп четном
г + А«>+ ... + Ап
пред. м. о. { —------ ^7= --------- }
п_ оо
^2Вп
'

+00

=

ш!
f 1 —<2 ,т /,
---- 7—г—
р е - " Ч мй ,
2т /т | j ^ ^

что немедленно доставляет нам вышеприведенную предель
ную теорему.
Подобным же способом можно установить ее и в неко
торых других случаях.

334

Теория вероятностей

Заметим, по примеру А. М. Ляпунова, что его условия
выполняются, если числовые величины всех разностей Z k— а к
не превосходят одного и того же неизменного числа и,
вместе с тем, сумма
Ь\ -+- h2

. . . -ь Ьи,

обозначенная символом В п, возрастает беспредельно вместе
с п. Действительно, если при всех к выполняются нера
венства

где L — постоянное положительное число, то для любого
положительного числа § имеем
Ь?+Ъ) = М. о. I Z* — at |2+5 < L bbk
и потому
К

Ьъ

4

------ Г < - ~ Г ’

ч

к

откуда тотчас следует
В*
пред------\ = * 0 ,
-т®
и4
Вп 2
если только В п возрастает беспредельно вместе с п.
И не трудно видеть, что вышеизложенное доказательство
теоремы о пределе вероятности, для этих последних слу
чаев, значительно упрощается, так как исчезает надобность
вводить вспомогательное число N и разбивать все значе
ния Zk — а к на две совокупности.
Если же числовые величины разностей
Lk— ак
могут быть произвольно большими, то для существования
теоремы о пределе вероятностей недостаточно одного бес

Теорема о пределе вероятности для случаев А . М . Ляпунова

335

предельного возрастания суммы
6 -j "+■ &2

&п»

как показывает мой пример.
П р и м е р . Пусть Zfe, при достаточно больших значениях к
может иметь три значения

о, (log*y\ — (log k f ,
вероятности которых соответственно равны
^

2

1

1

к(\о%кУ

к(\о%кУ

k (]o g k y * 9

где а и v — данные положительные числа и

2[i* — v -4-1

0;

для прочих же величин к пусть Zk~ 0 , так что в сумме
^2 Ч" •••

^1

отпадает определенное число к 0 первых членов.
В этом случае имеем:
а* = 0 при.всех значениях Л,
м. о. |Zfcp = 0 при
,

2 (log &)2{Х~

м . о. Z k = bk = ^ - ^ V L~

о»
при

к > к0

и вообще
м.

О IZ *

2 (log

при

к> к0

для любого положительного числа /.
Следовательно, для нашего примера
о

_

л—

2 {log ( f r - t - 1 ) }

Ао+ 1

2|Л
—м

2 {log п } ^

V

Теория вероятностей

336

и
Г,'

_ 2 {log (к 0

1) } ( 2+4)

' .

.

2 {log n}<2+3> ^

В "—

п

*

Сравнивая последние суммы с соответствующими инте
градами, легко усматриваем, что отношения
Д.
(lo g n )^ 8^ - v + 1

2;л—v-f 1

( l°g п У

не могут возрастать беспредельно и не могут становиться
произвольно малыми. Поэтому и произведение
Д.

(log п)

>4

Д
равное

К

/

вп

х

‘

(•<>2 n )(2 + 8 )H -v + l • V ( l 0 g n )^ "~ V+1 /

также не может ни беспредельно возрастать, ни становиться
произвольно малым.
Отсюда тотчас заключаем, что при v < 1 условие А. М. Л я
пунова
пред.
П—ОО

К

= 0

в У

выполнено и, следовательно, теорема о пределе вероятности
имеет место.
Напротив, при v
1 условие А. М. Ляпунова, очевидно,
не выполняется, что, однако, не доказывает еще непримени
мости к данному случаю предельной теоремы, ибо это
условие установлено как достаточное, но не как необходи
мое.

Теорема о пределе вероятности для случаев А. М. Ляпунова

337

При v }> 1 и достаточно больших величинах &0 мы легко
можем обнаружить эту неприменимость, рассматривая вероят
ность, что сумма
^1

точно равна нулю. Если бы теорема о пределе вероятности
в данном случае имела место, то вероятность равенства
Zj нь Z2 + . . .

ь- Zn — О

приближалась бы к пределу нуль, при беспредельном во з
растании п.
Между тем нетрудно видеть, что вероятность нарушения
этого равенства не больше суммы вероятностей равенств
Z k'+ 1 = — (log ( h -+-1))'\ . . . . z n = ± (log nY,
которая составляет часть бесконечной суммы
, ...

2

,_______ ____________ . . . '

(&0 НЬ 1) (lo g (&о •+* 1 )}V

(&0 -+■ 0 0 ° g (&0- *- 0 Г

и потому должна оставаться меньше
2_____
(v — l)(lo g / :0V_ 1

как бы велико ни было число п. Поэтому, взяв к 0 настолько
большим, чтобы дробь
_____ 2
(V— 1) (log

к 0У ~ 1

была меньше единицы, мы можем утверждать, что вероят
ность равенства
Z l -t-Z 2- . . . + ZW= 0
постоянно остается больше положительного числа
(V — 1) (log /го)"” 1

и, следовательно, не стремится к пределу нуль.
22 А. А. Марков. Избр. труды

Теория вероятностей

338

Например, при
v

2 и к 0= 1 0

вероятность равенства

Z] + Z2

. . . ■+■Zn— О

постоянно больше
1 ------- ---1

log .0 ^

8 ‘

Таким образом неприменимость теоремы о пределе ве~
роятности к указанным сейчас случаям, при v > l , выяснена^
причем в силу неравенства

2[л — v ь 1 > О
сумма
Ь\ ■+- 62

. . . -+- Ьп = В п

возрастает у нас беспредельно вместе с п [9].

РА СП РО СТРАН ЕН И Е ЗАКОНА
БОЛЬШ ИХ ЧИСЕЛ НА ВЕЛИЧИНЫ,
ЗАВИСЯЩ ИЕ ДРУГ ОТ ДРУГА

Закон больших чисел, в силу которого, с вероятностью
сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать,
что среднее арифметическое из нескольких величин, при
достаточно большом числе этих величин, будет произвольно
мало отличаться от средней арифметической из их матема
тических ожиданий, выведен Чебышевым* из рассмотрения
математического ожидания квадрата разности между суммой
этих величин и суммой их математических ожиданий. А именно,
из рассуждений Чебышева ясно, что указанный закон боль
ших чисел должен оправдываться во всех тех случаях, когда
математическое ожидание квадрата разности между суммой
величин и суммой их математических ожиданий, при бес
предельном возрастании числа величин, возрастает медлен
нее, чем квадрат их числа, так что отношение этого мате
матического ожидания к квадрату числа величин имеет пре
делом нуль.
В своих выводах Чебышев ограничился простейшим и
потому наиболее интересным случаем независимых величин;
в этом простейшем случае, как показал Чебышев, матема
тическое ожидание вышеуказанного квадрата, при беспре
дельном возрастании числа величин, может возрастать только
с такой же быстротой, как число их, если математические
ожидания квадратов самих величин остаются конечными,
а не возрастают беспредельно.

* Сочинения П. Л. Чебышева, т. I, о средних величинах [*].

Теория вероятностей

342

Конечно, условия Чебышева далеко не исчерпывают
всех случаев, к которым можно применить вышеуказанный
закон, если даже мы ограничимся независимыми величинами.
Мы не имеем, однако, в виду заниматься разысканием условий,
необходимых и достаточных для применимости этого закона,
а укажем только, что выводы Чебышева можно распростра
нить и на некоторые случаи довольно общего характера,
когда величины зависят друг от друга.
§ 1. На первом плане можно поставить случай, когда
связь величин такова, что увеличение любой из них влечет
за собой уменьшение математических ожиданий остальных.
Остановимся на этом случае; пусть рассматриваемые
нами величины будут
«^1»

Хц

•••

9 Xf l t

•••

9

а математические ожидания их соответственно равны
« 1» .............. «л» •••;
положим еще для краткости
хг — а г = zj.
Рассматривая математическое ожидание квадрата
(*\ - ь z2

-+- zn)2,

разлагаем его на слагаемые
Z\ - ь z 22 -

I

-

zn2-н 2 z Tz2 -+- 2 zxz3

2 г п_ гг п

и пользуемся известным предложением, что математическое
ожидание суммы равно сумме математических ожиданий
слагаемых.
Для независимых величин математические ожидания произ
ведений вида zizjt все равны нулю, и потому математическое
ожидание (z1-*-z2+ . . . -ь z M)2 приводится к сумме матема

Распространение закона больших чисел

343

тических ожиданий квадратов величин z 19 z 2, . . . » z n. В на
шем же случае математическое ожидание каждого произве
дения zizic — число отрицательное и потому
м. о. ( z j - b z o - b . . . + z w)2< - м. о. z k2 (k — \, 2 ,

п)*

Чтобы в этом удостовериться, положим, что совокупность
чисел

расположенных в возрастающем порядке, представляет все
возможные значения z lt а вероятности их соответственно
равны
'
п
Pv Pi » * ••» Pi >
пусть, наконец/ при
»
математическое ожидание zjt соответственно равно
afc» а к»
При таких обозначениях математическое ожидание произве
дения zizic выражается суммою
pWia i

!Г ft ft

P lz l a i

-p p z p a p ,

а математические ожидания самих величин z\9
нулю, могут быть представлены в виде сумм

равные

р\г \ + р >;г '; + . . . + ^ г ъ
и

p W i - * - p 'i a t

-*-••• - + - р (Г ) а Р -

И так как для рассматриваемого
предположению, должно быть

нами случая,

а 'н> а 1 > •••> 4 Ш)>

согласно

Теория вероятностей

344

то в силу известного неравенства Чебышева* имеем
2

р?> г ? 4 « ) < 2

р

Р

•2

р

¥>

= о.

Следовательно, к рассматриваемому нами случаю можно
применить закон больших чисел, если только математическое
ожидание z 2 остается конечным, а не возрастает беспре
дельно вместе с п.
К тому же неравенству
м. о. (zx -+- z 2-н

z n)2 <С 2 м. о. Zfr2,

а следовательно, и к тому же заключению о применимости
закона больших чисел не трудно придти и в случае, когда
математическое ожидание дс*, при всяком к , уменьшается
с увеличением суммы
xi

х2

x k—i ;

для этого нужно только воспользоваться тождеством
(Zi + z 2 ■+" • .. ■+* z n)2 z 2-+- z 2 - f - . . . + z 2 + 2 z 3z 2
-H 2
+ z 2) z 3 + 2 (zj + Z2 + Z 3)Z 4 + , , ,
Указанные условия выполняются, например, в случае, когда
сумма
Х1

Х2

__ +" х п

равна числу белых шаров среди п шаров, вынутых после
довательно из сосуда при следующих условиях:
1 ) первоначальное число белых шаров в сосуде равно 2 а,
а остальных шаров 2 Ь;
2 ) вынутые шары обратно в сосуд не возвращаются;
* О приближенных выражениях одних интегралов через другие.
(Сочинения П. Л. Чебышева, т. И, стр. 716—719 [2] . — К о г k i n е. Sur
un theoreme de М. Tchebycheff. Comptes Rendus, t. XCVI).

Распространение закона больших чисел

345

3)
когда в сосуде остается а-л- b шаров, в него прибав
ляют а белых шаров и b других шаров.
В силу закона больших чисел в данном случае, совер
шенно так же, как в известном случае, когда отношение
числа белых шаров к числу всех шаров в сосуде сохраняет
неизменную величину “ i y } мы можем утверждать с вероят
ностью, сколь угодно близкою к достоверности, что отно
шение числа появившихся белых шаров к числу всех выну
тых шаров, при достаточно большом числе их, будет
отличаться от а ~ £ менее>чем на любую заданную величину.
§ 2. Повторяя, что мы даем только достаточные, но не
необходимые условия, остановимся на одном из тех случаев*
на которые выводы Чебышева можно распространить по той
причине, что влияние величин
* 1, * 2, ••

*п,

друг на друга быстро убывает по мере увеличения их вза
имного расстояния. В нашем случае
Xi + х 2 + . •. + х п
будет представлять число появлений некоторого события А
при п последовательных испытаниях, связанных таким обра
зом, что вероятность события А при каждом испытании
имеет вполне определенное значение р\ если событие А
появилось при непосредственно предшествующем испытании,
и другое определенное значение р ч— в противном случае,
каковы бы ни были результаты прочих предшествующих ему
испытаний; если же результаты всех испытаний остаются
неопределенными, то вероятность события А для каждого
из них равна одному и тому же числу р.
Приступая к рассмотрению этого случая, положим для
краткости
1—р~ч>

1 —р'~я'у

i —p"=q‘

346

Теория вероятностей

и заметим, что числа р , р г9 р" связаны между собой простым равенством
p = p p ’ + qp',
на основании которого по данным двум из этих чисел не
трудно найти третье; оно дает

р' = 1-*-рГ-

2L
р

1-V
Р 1 —р

Так как числа х ц х к соответственно означают число
(О или 1 ) появлений события А при испытаниях, отмеченных
нумерами I и к, то нетрудно установить равенства
сц = а к = р .
Нетрудно также убедиться, что математическое ожидание
произведения z i z k, равного
Хг х к — а г х к — а к х%нь а к а/?
приводится к разности
м. о.

х г х к — р~.

Что же касается математического ожидания произведения
хг х к} то оно равно вероятности появления события А при
обоих испытаниях, отмеченных нумерами I и к, которая,
в свою очередь, в силу теоремы об умножении вероятностей
может быть выражена произведением числа р , представляю
щего вероятность появления события при испытании с нуме
ром 1У на некоторое число R lkJ представляющее вероятность
появления события А при испытании с нумером к , когда
известно, что событие А появилось при испытании с нуме
ром I.
Придя таким образом к равенству

Распространение закона больших чисел

347

мы должны заняться разысканием числа R 1 которое зависит,
как не трудно убедиться, только от разности к — I и потому
может быть обозначено более простым символом
R k-lПри к — 1= 1 в силу наших условий имеем
*1 = Р1
затем нетрудно последовательно найти
R 2 = R 1p ' + ( l - R i ) p " = p ' p ' + 4 p \
R s = R 2р' - ь (1 — R 2) р\
R m+1 = R mP’ + ( 1 - R m) р " = р ” -н [р' - р ”) R M.
Уравнение
R m^ = p ^ ( p ' - Ptl) R n
принадлежит к числу тех, для решения которых нетрудно
указать общую формулу; а именно, это уравнение дает нам
R m= p - * - C ( p ' - p T ,
причем постоянное число С определяется из условия
R: =
и оказывается равным
Итак,
м. о.
и,

1

—

P =

ZiZk=

p
Я-

p q ( p r— p " f~ l

следовательно,
М. О. ( ^ H - Z o - Ь . . . - Ь Zfr_3)

^ р я \р -

р"

М р' - р ? +

Zk =

...

Отсюда следует, что при р'<^р" математическое ожидание
произведения
(Z]

Z 2 "Ъ . . • - Ь Z fc -j) Zfc

Теория вероятностей

348

— число отрицательное, и потому
м. о. (г г

z 2 -ь . . .

z w)2 < npq\

если же р ^>р\ то математическое ожидание произведения
. . . -h ^Л- l ) Zk
меньше
1

(я ' — р")
— р' Чгр»*

и потому
м.

о. (гх-ь z2-4- ... -t- z nf < npq (l
^

npq(l-Hp' — ptr)

^

l-p'+ p "

<

Таким образом мы пришли к неравенствам, которые ясно
обнаруживают, что к данному случаю можно применить
закон больших чисел.
В силу этого закона мы можем, с вероятностью сколь
угодно близкою к достоверности, утверждать, что при доста
точно большом числе наших испытаний отношение числа
появлений события А к числу испытаний будет разниться
от р на величину, меньшую любого данного числа.
§ 3. Выражение математического ожидания произведения
z\ z *5 найденное в предыдущем параграфе, можно вывести из
общих формул, которыми мы займемся и которые могут
служить основанием для дальнейших исследований.
Обозначим, при предположениях предыдущего параграфа,
символом P m^it вероятность, что в первые к испытаний собы
тие А появится ровно тп раз.
Мы можем положить
Р mrk--где Um^ic и Vm^ означают ту же вероятность, как и Р т^> но
при следующих условиях:
1 ) * 4 , и — при условии, что при последнем испытании собы
тие А не имеет места;

349

Распространение закона больших чисел
2)
Km, fc— при условии, что
событие А имеет место.
В связи с величинами
функции произвольного числа £:

.

при

последнем

испытании

введём еще три

Ф* = Щ ъ -ь Uhk I -н */2,* ? ч - . . . £/*_,
fc£ -+Qfc =

H2 -+- . . . - + - Vjc^ic
P k,k% k =

/ \ f e 4 - P ]?)^ 4 - P 2?fcE2 - l - • • •

X&k

Мы покажем теперь, что функция Q& может быть опреде
лена как коэффициент при tk в разложении по возрастающим
степеням произвольного числа t довольно простого выра
жения.
Для этой цели, пользуясь теоремами сложения и умно
жения вероятностей, устанавливаем два равенства

Um,k — q f Vmj—i-t-q"
Vm,1e— p
Применяя затем эти равенства к функциям Фк и Wk9 полу
чаем два уравнения
Фк — q r^к—г

з»

из которых, наконец, посредством исключения одной из двух
функций Ф или W, выводим
ф^ 1 -

( p i + ?") ф * -ь (/ - / )

= о,

W t+ ] -

(рЧ - + -

=

<7")

+

0>' -

р")

0.

А так как
^Л= Фк “+■
то должно быть также

-- (р' %

q ) &к

(Р

р ) &к —]

0.

350

Теория вероятностей

Отсюда следует, что Q* можно определить как коэффициент
при tk в разложении, по возрастающим степеням £, дроби
вида
А ч- Bt

(р' S + ? '7) t + (p'

1-

’

где Л и В не зависят от t .
Для определения А и В остается рассмотреть 12* при двух
значениях к ; при к = 1 и к = 2 легко находим

а 2 = 99 " -+- (9 р" н - Р 9 ') -+- до' с2,

откуда выводим
Оо = 1 Разлагая же нашу дробь по возрастающим степеням t и огра
ничиваясь двумя первыми членами, находим
А + {В + р ^■+* Cf,r) t == i-(j *+■ t r—
= 1 -f- ( q + p E ) t,
что дает нам два равенства
А = 1,

B = {p— p')i + q — q',
из которых последнее не трудно привести к такому виду:
в = { р " - РШ + р \
Итак, окончательно находим
-i-(p”— p')(q£ + p)t __ ____
(р 5 -+- q") t ~h (р ' — р")

1
1—

^ 12^+ 12^t +• 122

+ ...

Эта формула может служить основанием для дальнейших
исследований* и, в частности, из нее нетрудно вывести
* См. в „Известиях Академии Наук" за 1907 г. мою статью „Иссле
дование замечательного случая зависимых испытаний".

Распространение закона больших чисел

35 7

результаты предыдущего параграфа, на чем, однако, мы не
остановимся.
§ 4. Д ля выяснения дела приведем еще пример, к кото
рому нельзя применить закон больших чисел.
Пусть подобно прежнему (§ 1 ) сумма
JCj -Ь х 2 -+- . . . -+- х п
равна числу белых шаров среди п шаров, вынутых последо
вательно из сосуда, только при новых условиях, которые мы
установим так:
1 ) первоначальное число белых шаров в сосуде равно а,
а остальных Ь;
2) каждый вынутый из сосуда шар поступает обратно
в сосуд вместе с другим шаром того же цвета.
В данном случае увеличение суммы
* 1

- Ь

Х2

-+ -

. .

.

- ь

X

* - !

непременно ведет к увеличению математического ожидания
X](t и потому математическое ожидание произведения
(z2 Ч- Z2 -Ь . *. . Ч-

Zk

оказывается числом положительным.
Для вычисления математического ожидания квадрата
(z 1 -4- Z2 -Ь . . . -+- z n)2
заметим, что оно может быть выражено суммою
—

Р *!п(т==(у, 1 , 2 ,

где Р°^ьп означает вероятность, что среди п вынутых шаров
будет равно т белых, и определяется, как нетрудно убе
диться, формулой
p a (t
т,п

1 •2 •3 ••• п *а (а ~н 1) ••• (а
т — 1) b (Ь -*- 1) ••• {Ь
п — т — 1) ^
1 •2 ••• т • 1 • 2 ••• (п — т) (а чн b) (а -+-6-+-1) ••• (o + i + n — 1)

Теория вероятностей

352

Из приведенной формулы вытекают следующие простые
равенства:
ра, ъ .
р а+ 1,(
т ,п

а

b

«*—1,и—1>

тV
( т ~ 1 /) Р т^, мп= ("-(П
Р 04 -(16 Ч
Г 22,
8' »п-„
а +■-“
о ) (Q
+'-1
1А
) Р пг—
на основании которых получаем

У

ра,Ь _

m ».,»

X?

2L

...

а+ 6

n (n -l)a (fl+ l)

i\ D a .i

* ) 4 . - ( fl + J ) ( 0 + } + 1 ) ’

'

где
m = 0 , l , 2 , . . n.
Последние равенства, вместе с очевидным равенством
' V Р а'ь — I
jim/md. л т , п ---- 1 ?
дают возможность определить искомую сумму

для чего ее следует разложить на три части:
^

т {т — 1 )Р Ц . — (■— * £ — l ) ^

- п’ ( « 4 т
Остается произвести простые выкладки, по выполнению
которых получаем
_
^

—

a

Da,6 __
Г т ,п —

паб (л -+■ а -+• 6)
(а ^

^)2 ( й +

^ +

1) ’

Основываясь на этом результате, мы можем показать, что
к данному случаю закон больших чисел не применяется; так

Распространение закона больших чисел

353

что при достаточно малом значении г вероятность неравенств
— £<
не может быть произвольно близка к единице, как бы ни
было велико число п .
Для этой цели обозначим буквою (J вероятность неиспол-,
нения неравенств
=

а
5s + £
a -irb

п

и примем во внимание, что квадрат
/ гп
\п

а
\8
а+ 6/

не может превосходить наибольшего из чисел

[a i b ) ' И ( Г Ы ’ ’
которое обозначим буквою *£.
При таких обозначениях .из
нетрудно вывести неравенство

найденной

5 Р > (а -+- Ь)2(а -ь b -+-1)

нами формулы

■;2,

которое показывает, что р не может быть произвольно малым,
если только
^ ^ } / (о + 6)2(а + 6 + 1) ‘

Интересно заметить, что в нашем примере наивероятнейшая
величина числа т , которую мы обозначим буквою [л, опре
деляется простыми неравенствами
(а — 1 ) п — Ь -+- 1

(а

(а — 1 ) п - ь а — 1

( а -f- 6 — 2 )[/.,

23 А. А. Марков. Избр. труды

b —

2 ) [л,

Теория вероятностей

354

и отношение

, при беспредельном возрастании п, имеет

пределом

а

а—1

не « 4 *- 67 ^ а а1 нь* ог—
— Iо7^
но, конечно, нельзя рассчитывать, чтобы при больших знатп -

‘

а—1

чениях п отношение — было произвольно близко к - ^ ^ _ 2 ?
/m
\2
так как математическое ожидание квадрата I—-----g j дости
гает своей наименьшей величины при g — ^-ц^ и эта наимень
шая величина, как видно из найденной нами формулы,
стремится, при беспредельном возрастании п, к пределу
аЪ

{а + Ь? {а + ь + 1 ) ’ отличному от нуля.
В простейшем случае, когда
а = Ь = 1,
неприменимость закона больших чисел очевидна; так как в
этом случае все предположения
m = 0, 1, 2 , 3, . . . , тг
имеют одну и ту же вероятность

1

‘

16 января 1Г07 г.
§ 5. Выводам § 2 можно придать значительно большую
общность; а именно, вместо числа появления некоторого
события можно рассматривать сумму величин, связанных в
цепь таким образом, чтр, когда одна из них получает опре
деленное значение, следующие за ней становятся независи
мыми от предшествующих ей. Пусть будет
■*•3* ^ 2) •••>

•••

■
— бесконечный ряд величин, связанных таким образом, что
xu+i при всяком к не зависит от
*з, *г, •••, Хк-ъ
когда известно значение х^.

Распространение закона больших чисел

355

П усть, далее, совокупность чисел
а, р, у, . . .
представляет все возможные значения любой из наших вели
чин, а система
Р 043»
Р Ча»

•••»

Ро» Р

» •••>

представляет вероятности, при данном значении
величине
Xk+i иметь определенное значение, причем первый значок
у р указывает данную величину Хщ а второй — предполага
емую величину Xk+i\ например при

вероятность равенства
**+ i = Y
имеет значение
Эти вероятности мы предполагаем независящими от значка
к у чтобы не очень усложнять наши обозначения и рассужде
ния.
Пусть, наконец,

#»?>,

,

р\к\

• ••

соответственно означают вероятности для
а, Р, у. •• •,
пока все величины
*1,

*2,

*3,

•••

остаются неопределенными. Числа
P 0L4 а» Ра5р» Pa.-)V * * * *

Р&***

P&>v #* ' *

иметь значения:

356

Теория вероятностей

должны быть, конечно, положительными; кроме того, они
должны удовлетворять равенствам
••• = 1 ,

•••= 1*

Р»*'*'Рм'*'Рв>1

никакими другими условиями эти числа не ограничены.
Что же касается чисел
» №)?

Р а

D [r k )

Р$

;

п (*>?

Р -\

* * * 9

которые, конечно, должны удовлетворять условию
Ра]

P f}

то их нельзя задавать
напротив, по значениям

P f'

•••= 1 >

независимо

для

всех значений

Ра, Pr Pv

можно вычислять последовательно все величины
D(*) Л*) ? Ру
D(fr)?

Ра ?

на основании простых формул
Га
Р\3

-------ту

ту(1д а .
^ ” j3, [3 /*3

Т ) № —I— ту

----- Ра, (3 /^а

Обращаясь к математическим ожиданиям наших величин
при различных данных, обозначим попрежнему символом
<*к
математическое ожидание jcjt, пока все величины
Xh * 2,

•••

Распространение закона больших чисел

357

остаются неопределенными, а символами
А® J ^3
ЛФ ? A f ,
математические ожидания величины
X k+ l

соответственно при
Хъ =

ъ,

£S,

Хк —

х к =

. . .

\\

При таких обозначениях не трудно установить следующие
равенства:
о . = * > ';'* -I Р'!1 С'+
«,-»=*>*> ^ 5 -ь р 1? -41? - * - <

••■.
....

A *= p„
- D 3 ^3
Л^” 1) ■
■ ^ , И Г 1К

Л ? = р ,,Л ^

На основании этих равенств мы докажем, что все величины
a *+i, л г

А<$. А % . . . .

при беспредельном возрастании числа /, приближаются к
одному пределу. Для этой цели прежде всего заметим, что
в силу приведенных нами равенств число а £+|* лежит между
наибольшим и наименьшим из чисел
А® Лф Л (,<)

..

а эти последние числа все заключаются между наибольшим
и наименьшим из чисел
A(i~1) Л(*-Л
a

J ^

3

Рассматривая затем разность

J

^

Т

»

'

'

*

Теория вероуггностей

358

на основании тех же формул получаем
А® — А<$ = (Р*, « — Рр а)

(Р«, ц— Р р )

■‘ •*

и так как сумма
(Р а, а---Р№а) _+' (Р«,, --- Р,,;,) “•“ •••
равна нулю, то, отделяя в системе
Ра, a

Р&$* ***

Pfl,*> Ра,$

положительные числа от отрицательных и заменяя последние
их числовыми величинами, мы получим две совокупности
положительных чисел, образующих одинаковые суммы.
Важно заметить также, что эти суммы меньше единицы,
ибо члены одной из них меньше
Ра, а» Pa,tf Ра,у> •••»
-а члены другой меньше
Р&>*9 Р&Р Р \
35/» ‘ ‘ ‘
Поэтому, заменяя одни из чисел
A(i~l)

М-1)

A(i-1)

^ а У^ 8 ‘ ^

т

5

наибольшим, а другие наименьшим из них и обозначая сим*
волом

разность между наибольшим и наименьшим из наших чисел
M i - 1)

H ( i-l)
л

a

J

л

р

M i - 1)
J

л

Y

5

?

мы можем установить неравенство
числ. знач. (А® — A ip )< C h l(I — 1 ),

Распространение закона больших чисел

35Р

где h равняется сумме всех положительных чисел системы
Рсц *

Р (-5 CL>Poi)fi

P sp 3» • • * t

и меньше единицы.
Совершенно подобное же заключение можно вывести отно
сительно разности любых двух чисел системы

Л» Л®, Л» . . .
Поэтому, рассматривая вместо

разность Д« между наибольшим и наименьшим из чисел
дм AV А (‘> ___
мы можем установить неравенство
д ^ С Я д ^ 1),
где Н означает некоторое постоянное число, лежащее между
О и 1.
Это неравенство показывает, что Д(<) приближается к пре
делу нуль, ко,гда i возрастает беспредельно.
Следовательно, при беспредельном возрастании числа i
все количества

ам

Л » Л®, Л<’>,

приближаются к одному пределу, от которого они отлича
ются на величину меньшую Д(<); вместе с тем имеем
Д^ < С Н \
где С и Н — числа постоянные и
О < Я < 1 :

Теория вероятностей

360

Обращаясь затем к математическому ожиданию квадрата
(x 1 — a 1-H x 2 — a 2 -i- . .. -* -х н — а и)2,
мы разложим этот квадрат на такие же слагаемые, как и в
§ 2 , полагая
Xк &к %к*
И в силу доказанного, рассуждая совершенно так же, как
в § 2 , мы легко приходим к неравенствам
м. о. z k iz , -+- * 2 -ь . . . -+- z k- i ) < D ( Я - ь Я 2 -ь . . . -f- Н к~1)
и
м. о.

+

— а 2- ь . . .

— а п)2<CGn,

где D и G — числа постоянные.
С другой стороны, сравнивая математическое ожидание
(хг — а г -н х 2 — а 2 н- . . . -н х л — а п)2
с математическим ожиданием
(xj + х 2 -ь . . .

— ла)2,

где
а = пред. a k+i (i = оо),
находим, что разность математических ожиданий этих квад
ратов равна
(а 3 — а + а 2 — а -ь . . . + а й— а )2
и сохраняет конечное значение при беспредельном возра
стании числа л. Следовательно, при беспредельном возра
стании числа л математическое ожидание квадрата
^ *1 + х2

Xп

2

должно приближаться к пределу нуль,
А отсюда тотчас вытекает для данного случая

закон

Распространение закона больших чисел

361

больших чисел; как бы малы ни были положительные числа
\ и у;, вероятность выполнения неравенств
— S < ** +
будет больше 1 — ?) для всех достаточно больших значений п.
Итак, независимость величин не составляет необходимого
условия для существования закона больших чисел.
25 марта 1907 г. [3].

РАСП РО СТРАН ЕН И Е ПРЕДЕЛЬНЫ Х ТЕОРЕМ
ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТН ОСТЕЙ НА СУММУ
ВЕЛИЧИН, СВЯЗАННЫХ В ЦЕПЬ

..Д ол ож ен о в з а с е д а н и и Ф и зи к о-м ат ем ат и ч еского от д елен и я
5 д е к а б р я 1907 г .[г]

В статье „Распространение закона больших чисел на вели
чины, зависящие друг от друга", помещенной в X V томе
2 -й серии „Известий Физико-математического общества при
Казанском университете" [2], я показал, что известный закон
больших чисел, установленный Чебышевым для независимых
величин, распространяется и на многие случаи зависимых
величин.
И з этих случаев особенного внимания, по моему мнению,
заслуживают случаи величин, связанных в цепь таким обра
зом, что, когда значение одной из них становится известным,
следующие за ней оказываются независимыми от предше
ствующих ей.
Рассматривая один из таких случаев, можно сказать про
стейший, в статье* „Исследование замечательного случая
зависимых испытаний", я доказал для него теорему о пре
деле математического ожидания, из которой вытекает пре
дельное выражение вероятности в виде известного интеграла
Лапласа.
Этот результат наводит на мысль, что теорема о пределе
математического ожидания должна иметь место и в других
случаях величин, связанных в цепь.
Мое доказательство было основано на одной особенности
данного случая: на симметричности искомых выражений отно
сительно р и <7; но достаточно небольших изменений, чтобы
сделать его независимым от указанной особенности частного
* Изв. Акад. Наук, 1907.

366

Теория вероятностей

случая, и станет ясной возможность перенесения подоб
ных рассуждений и соответствующих выводов на другие
случаи.
Мы не будем возвращаться к разобранному случаю, а рас
смотрим другой, более общий случай и на нем выясним дока
зательство, имеющее общий характер.
§ 1. Пусть будет
X], Х21 •••, Х]С) -Xfc+i, . . .
— ряд величин, связанных в цепь.
Пусть, далее, для каждой из этих величин возможно только
три значения
- 1 , 0, - ь 1 ,
и система чисел
р> <h Гу
Т
р\ я>п Г ,
п
р", я . Г
представляет соответственно: в первой строке — вероятности,
равенств
Хк+г^1 1 » X]c+i —
—0 , х к+1 = -+-1
при Хк— — 1 , во второй строке — вероятности тех же равенств
при Xfc = 0 и, наконец, в третьей строке — вероятности их при
Хк = -*~ 1 .
Эти вероятности, конечно, не могут быть числами отри
цательными и должны удовлетворять условиям
р - н <7 -+-г = 1 ,
р - * - q J -ь г = 1 ,

(1 )

p'f -+-qff-t- r” = l .
Мы предположим, кроме того, что ни одна из них не равная
единице; такое предположение особенно важно сделать отнсгсительно
f и
Р

у

Я

у

Г

у

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

367

чтобы наш ряд
Х-\9 лг2, х$9 •..
не мог оказаться простым повторением одного числа.
Наконец мы должны ввести еще три числа

Л

Q, R,

соответственно равные вероятностям для х г иметь значения
— 1, 0 , -4- 1.
При таких условиях мы займемся рассмотрением вероят
ностей различных предположений о величине суммы
* 1 '_Ьл:2 “Ь •••"+* *п 9
для любого данного значения п 9 и начнем с малых значений
п 9 а затем перейдем к большим и к возрастающим беспре
дельно.
При п = 1 наша сумма сводится к одному числу х г и соот
ветственно этому может иметь только три значения
— 1, 0 -4- 1,
вероятности Ткоторых, по условию, равны

Л

Q, R.

При я = 2 имеем сумму двух чисел

для которой возможно пять значений
—2 , — 1 , 0 , -4-1, -+~2 ,
и вероятности этих значений, как не трудно видеть, соответ
ственно равны
Р р 9 P q -4- Qp\ P r -4- Qq1-4- R p 9 Q r'-*-R q\ R r".

Теория вероятностей

368

Для суммы
*1 “+■ *2

*3

возможно уже семь значений
—3, —2, —1, 0, -4-1, -4-2, + 3 ,
и вероятностями их по порядку будут
Р р р , Р {p q

qp')
Q p р , P { p r - * - q q -*-rp")-bQ (p q -+- q' p')
/>,
P iqr' H- r?") -+-Q {p' r + q' q' - 1- r' p ') -+- /? (p" <7 9 '' p').

Prr"-t-Q ( 9 ' r '-+-rq') + й (р "г + <7 "<7 '
QrJr" + « ( / r ' + r" ? ,' ) 1 tfr V '.

r"p"),

Поступая затем подобно тому, как в упомянутой статье
„Исследование замечательного с л у ч а я ..." для последова
тельного увеличения числа п на единицу, представим вероят
ность равенства
-Ь Л*2 + . . . Н“ Х п = 772,

X]

для любых данных значений п и тп, в виде суммы
Р

-4 - Р

-4 -

Р

обозначая символами
Р
1 m.ni лР m.m
вероятности выполнения того же равенства и добавочного
условия, которое соответственно порядку вероятностей вы
ражается равенствами
х,

1,

Хп . О,

хп

—
t—
1.

При таких обозначениях не трудно установить следующие
уравнения
W7.H+1" -рР ,W+],n

-р'р<WJ +

1.W

-Р Рп

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

Рщ^ п+1
-4 -

ЯР

Я

369

(2 )

Я

___

-fr-

Р »»,п+ 1 === rP m -l^ n

г Р т — ^п~*~Г

Р щ —1,л

при
1 , 2, 3 , . . .

Этими уравнениями можно пользоваться для последова
тельного вычисления вероятностей

1Рт ,м » 1Ряг,п» 1Р»м,п
при
п — 2, 3, 4, . . . ;
надо только принять во внимание основные равенства

P —i,i = Ру

Л ),1 =

Р 1,1 — R

С>,

( 3)

и заметить, что все остальные выражения

_

Р

ю ,1

1

Р

1 ет?,1

у

+

Р

W2,l

1

должны равняться нулю, как вероятности невозможных пред
положений.
Мы находим таким образом

Р-2,2=РРу P-h2=P'Q, Po,2=p"Ry
Р — 1 ,2 ~==‘ЯР* Р^2 — Я Qy Р 1,2 ==Я Р*
Р 0,2 := Т*Ру Р 1,2 = r Qy
остальные же выражения

_

Р

1

ет?, 2

у

Р

1

^ >2,2 =

Г ^ Р*

+

м , 2»

Р

1

«?,2

равны нулю; затем получаем
Р -з ,з = РрР> P - 2, s = P P ' Q +

p '<j P ,

P - w = P q P , Р - 2,з = ° .

Р - 2 , 3 -*-Р-2,3-*~ Р - 2 ,3 — P ( p q - *- я р ) -+- Qp' Р
и т. д.
24 А. А. Марков. Избр. труды

Теория вероятностей

370

Устраняя из наших рассмотрений случай, когда определи
тель

Ру Р

уР

Яу Я у я "
г, г', г "
равен нулю, мы можем ввести еще три числа

_

+

Р о ,О У

Р 0,0» Р 0,0»

определяя их уравнениями

Р — рРо,о-+-р'Ро,о-*-р"Ро; о»
Q = Яр 0, о~*~Я Ро,о~*~ я" Л , о»
R = гРо,о + г Р 0,о

г" Р 0, о,

в силу которых имеем
Л,о

Р 0, 0

Л,о

Если вместе с тем символам

_

1•

+

Л ,,,0 * ^(я,0»
при тп, отличном от нуля, мы придадим значение нуль, то
можем распространить найденные нами уравнения и на слу
чай п = 0 .
§ 2. Введя вспомогательное переменное t и его функции
?* = 2 />

Г , % = W m,n tm, фя = 2 Р М)ПГ ,
<

мы, во-первых, можем определить вероятность равенства

JCi-+- *2-+-... ч-х„ =

m

4>

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

371

как коэффициент при tm в разложении Фм по степеням t и,
во-вторых, из уравнений (2 ) вывести

(5)

А из этих последних уравнений вытекает для всех функций
М
одно и то же линейное уравнение в конечных разностях,
которое мы можем представить для функции Фп довольно
просто в символическом виде
Р

я>

(6 >

где по выполнении указанных .выкладок следует вместо
Ф»+3

ф '''+ 2 (

ф «+1

ф*

поставить
Фп+3>

Фп+2» Фп+1> Фп,

причем
п — 0, 1 , 2 , . . .
Мы обращаем внимание на символический вид уравнения
на том основании, что он ясно обнаруживает, как распро
страняются наши выводы на другие случаи, более общего
характера, когда Хи может иметь более трех различных зна
чений.
В обыкновенном виде уравнение ( 6 ) представится так:
Фм+З
24*

^Ф «+2

ВФп+1

ОФп — О,

Теория вероятностей

372

где
А = у + ? ' + r" t,

В =

p q —p q

i - p r "— p " r M q ' r ”— q 'r')t,

г\
•
Г >г
.
V
D
= p q I г ft — p q U г * -*-р
q г — р г q r ,г -+-р'
q r f — р Ч q 1 г.

(7)

С другой стороны, согласно нашим обозначениям, имеем

Ф0= 1
и прямое рассмотрение случаев п = 1 и п = 2 дает нам
Ф1 = />j + Q + Й ,
ф8 = P p-jr 1 (P q 4 Qp') у -+- P r -+- Qq' -+- Rp" -+-ь (Q r! -ь R q n) t -t- R r rf t2.
По этим данным мы можем найти, на основании уравне
ния (6 ), все остальные функции Фл. И не трудно видеть, что
все функции Фм можно определить как коэффициенты при z il
в разложении по возрастающим степеням нового вспомога
тельного переменного z некоторой рациональной его функции
/ (*, z)
F (t ,z

\
)’

знаменатель которой определяется формулою
p z — t,

p 1z,

p 4z

qz,

q ' z ■ i,

q ,!z

rz,

r z

F ( t , z) :

а числитель
относительно
Функция
правой части

= 1 —A z

B z 2— D z \ (8 )

представляет целую функцию второй степени
z.
/(£, z) определяется тремя первыми членами
формулы

/ ^ 7) =

Ф0

г +

Ф2 г 2 + . . . +

Фп

'+ '• • • 5

(9 )

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

простое умножение ряда, стоящего
мулы (9), на F ( t , z) дает нам

в правой части

373

фор

f ( t , z) — Ф0ч - (Ф, — АФ0) z -+- (Ф2 — А ф г н - ВФ 0) 2 2.
Для нашей цели важно заметить, что при t = 1 все функ
ции
должны приводиться к единице, и, следовательно,
/ ( !,* )_
F (l,z)

1
1 - * ’

§ 3. Найденные формулы мы приложим к вычислению
математических ожиданий различных степеней суммы
. . . + х п— па,
причем число а подберем таким образом, чтобы математиче
ское ожидание первой степени этой суммы оставалось конеч
ным при беспредельном возрастании числа л.
Так как в функции Фн, согласно определению ее, коэф
фициентом при любой данной степени t служит вероятность,
что сумма
Х1

Х2 "*7 * * *

хп

равна показателю этой степени, то вероятность, что сумма
Х\

х 2 Чг •••

равна данному числу, мы можем
по степеням t произведения
L

Хп---Па
определить разложением

1 п»

как коэффициент в этом произведении при той степени tr
показатель которой равен данному числу.
Отсюда не трудно заключить, что математическое ожи
дание
( * i -+- х 2 -+- . . .
х п — па)\

Теория вероятностей

374

где i — любое целое положительное число, можно получить
при помощи произведения
следующим образом.
Полагаем
затем составляем производную
s t~m Фп
du*'
и в ней приравниваем и нулю; полученный таким образом
результат

даст нам искомое математическое ожидание; переход от t к еп
нам нужен для того, чтобы при дифференцировании не изме
нялись показатели.
Вместе с тем не трудно видеть, что ряд

получается из ряда
Ф0 - ь Фг z

-+- Ф 2 z 2 -t- ..-. - ь

ф н z tl

...

посредством замены числа z произведением

Следовательно, на основании формулы (9), имеем
/(*, **~а)
F (t, zt~a)

Ф0 -f-

t~cl Ф ] 2

+

t~2a Ф 2 z 2 - f -

и математическое ожидание
(Xj + лт2 н - . . . + х п — тш)*

. . .

(1 1 )

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

375

можем определить как коэффициент при z n в разложении
выражения
*

d i / / (еи, ze~~au) \

(12)

dui V/^(en ze~~au) f к=о

по возрастающим степеням z.
§ 4. Остановимся на математическом
степени
xi
х2
•••-*- х п — па,

ожидании

первой

чтобы найти число а.
Это математическое ожидание, согласно нашим выводам,
выражается коэффициентом при z n в разложении по возра
стающим степеням числа z такой его функции
/«=го (еП» z e - * u)

/ (1, z)

F'u= о(еи, z e~ mi)

F (l,z)

F {l,z)

F (l,z)

’

^

где символы
/:=0(е", z e - ' )

и F'l=0{en, ze~ m)

означают соответственно значения производных
d f ( e , ze~ au)
du

И*

d F ( e llt ze~~au)
du

при U = 0 .
Для исследования разложения указанной функции по воз
растающим степеням z мы прежде всего займемся разложе
нием ее на простейшие дроби, причем для нашей цели важно
выделить только одну дробь со знаменателем ( 1 — z )1.
Знаменателями искомых простейших дробей, очевидно,
могут быть только простые множители целой функции F ( 1 , z).
Одним из множителей функции /^(1, z) служит
1 — z,

так как ее значение при z — 1 выражается определителем

Теория вероятностей

376

который в силу основных условий
р ч - q ч - г — р 7-+- q f -+- г 1— р ]] -+- q n -+- г" — 1
равен нулю.
Обращаясь к другим простым множителям функции F ( 1 , z)r
положим
(14)
F (1 *) = (!
— У2 ^);
здесь числа

h Уи У2
представляют три корня уравнения

Р — У>
<7,
г,

Р\
ч'

Г

у.

Р"
= 0.
я"
г" — у

(15)

Относительно этого уравнения мы докажем, что корень
его единица — простой и что модули остальных его корней
меньше единицы.
Д ля этой цели составляем производную по у от левой
части уравнения (15) и полагаем у — 1 ; результат мы можем
представить в виде суммы трех разностей
{ Я" г — (1 — д') (1 — г")} -+■ {р " г — (1 — р ) (1 — г")) -н
+ {р 'д -(1 -р )(1 -д ')},
ни одна из которых не может быть положительным числом
и которые могут все одновременно обратиться в нуль только
в исключенных нами случаях, когда по крайней мере одно
из чисел
t ч
Р> Я у г

равно единице.
Убедившись таким образом, что единица — простой, а не
кратный корень уравнения (15), переходим к другим корням
Ун У2

того же уравнения, отличным от единицы.

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

371

Пусть у — одно из двух чисел
У1> #2»
безразлично какое.
К этому числу у можно подобрать систему чисел
а , ,й» у»
не состоящую из одних нулей и удовлетворяющую уравне
ниям
-+-я$ -*~п>
$ У = р '*
уу — р п ос -f- q v (3 -+- г ] у.
Разности
ос —

ос — у,

(3 — у

также не могут все быть равными нулю, так как при
а = £= у
из уравнений, обусловливающих значения ос, (3, у, вытекает
равенство
У = 1.
Остановимся на той из разностей
а — [3,

а — у,

Р — у,

которая имеет наибольший модуль; пусть она будет ос — (3.
Соответственно этой разности вычитаем [3у из ху, что
дает нам такое равенство:
(а — Р) У — (р — р') * -+• (я — я ’) Р -+- (г — г ) у.
Зд есь множители
р —р,

Я~Я>

г — г'

при ос, (3, у по числовой величине меньше единицы и так как
их сумма равна нулю, то один из них имеет знак ± , противо
положный знаку
двух остальных, и по числовой величине
равен их сумме.

Теория вероятностей

378

Для определенности положим, что р — р и q — q f имеют
один знак, а г — г г— другой.
При таком предположении, 'заменяя в вышеприведенном
равенстве разность г — г равною ей суммою разностей
р ’ - р ч - q ' — q,
получаем
у=

— q')

Р — тг
а — Р’

и потому
мод. у<С; числ. знач . ( р — //)-+-числ. зн -{q — q ) =
= числ. зн. (г — г')<С 1 .
Итак, модули коэффициентов у и у 2, входящих в разло
жение (14) функции F ( \ ,z ) на простые множители, меньше
единицы.
Поэтому в известных разложениях, по возрастающим
степеням z, дробей вида
1

1

( l — yiz)1

И

( l — U2z)1

коэффициенты при z n должны стремиться к пределу нуль
1

вместе с — •
Что же касается разложения,
ням z, дробей вида

по возрастающим степе-

1
(1 - * У ’

то в силу формулы
гг __ (гг Ч - 1) (гг -4- 2) . . . (гг -+- / — 1)

'С,‘ —

1 •2

— 1)

’

определяющей коэффициенты этого разложения
1

( 1 -«-*)' = 1 - ь Е г z -+- Е 2 z 2- ь . . . - 1- Е п z n - + - . . . ,

Pacnpocfранение предельных теорем исчисления вероятностей

379

имеем
пред. Е п
М—00 п1~ 1

1
Еп
и пред.
п1- 1+£
1 -2 ... (/ — 1 )
п -0 0

О,

где s означает любое данное положительное число.
Применяя наши выводы к функции (13), заключаем, что
в разложении ее, по возрастающим степеням z, коэффициент
при z n, равный математическому ожиданию суммы
x i ■+■*2 "Ь •••

*п — па,

возрастает беспредельно вместе с п в тех, и только в тех,
случаях, когда дробь
/ (Ь * )

ь {е\ ге~ ^ )

F(hz)e

F(lf z)

не сокращается на 1 — z .
Желая, чтобы это математическое ожидание не возрастало
беспредельно вместе с л, и принимая во внимание, что в силу
установленного раньше равенства
/(l,i)_

1

F(l,z)— l - z

целая функция / ( 1 , z) не может содержать множителя 1 — z,
мы должны дать а такое значение, чтобы множитель 1 — z
содержался в функции
F U 0 (e\ ге~ “").
Таким образом мы приходим к уравнению
е~т) = 0,
которое не трудно привести к следующему виду:
ай»

Теория вероятностей

3S0

Коэффициенты этого уравнения, которое допускает одно
и только одно решение, можно вычислить по формулам

{ "Ц г 1 L i
-

= ч" r ' - V - ч) (1 -

(1 - р ) (1 -

г") +

р " г -

(17)

г") + p ' q - ( \ - p ) ( l - я’),

— 7')(1 — г")— я'' г —(1 — р){ 1 - я ) - + - р ' я § 5. Перейдем к рассмотрению высших степеней суммы
xi

•••■+■х п — па

х2

при найденной нами величине а .
По доказанному, математическое ожидание
(х 3 -ь х 2 -f- . . . - ь х п — па)г
можно определить как коэффициент при zn в разложении по
возрастающим степеням произвольного числа z следующей
его функции
di

/ / ( е м, ze~~au)\

с1 и *\ Р (ег1, z e ~ au) !u ~О

Приступая к исследованию этой функции, мы для сокра
щения письма положим
/(еи, ze~ an) = U ,
du*

’

F {e \ z e - an) = V ,

*Я

du*

(18)

: U®.

При таких обозначениях по формуле для дифференциро
вания произведения имеем
d.I

(19)

d uН
i у

и по формуле дифференцирования функции от функции полу
чаем
(-v f
X!

V-l

v!

. . . , ( 20)

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

381

где суммирование надо распространить на все возможные
совокупности целых чисел
'V .

j, \

удовлетворяющие двум уравнениям
X ч - [л ч - v ч - . . . = у,
X + 2[л + 3v -в—. . . = i
и неравенствам
О

0,

[ ^ 0,

(2 1 )

v i> 0 ,.

Мы имеем в виду доказать, что при беспредельном воз
растании числа п отношение математического ожидания
( * ! ч - х 2 ч - . . . ч- х п — па)%
к п

2

стремится к пределу, равному произведению
А 4-00
1_
С* f t'e-^ d t,
\fT:

где С означает некоторое постоянное число.
Для этой цели, в виду предыдущих выводов, надо выяс
нить, что знаменатель рациональной функции числа z, пред
ставляемой значением производной
d*
du1
при и = 0 , может содержать множитель 1 — z, конечно после
надлежащих сокращений, только в степени, не превосходящей -~2 ~ для i нечетного и не превосходящей у + 1 для г
четного.
Рассматривая при и = 0 одно из произведений
£/(о

сР- 1
du*~l

у

Теория вероятностей

382

входящих в формулу (19), мы замечаем, что множитель 1 — z
не может содержаться в знаменателе этого произведения
в высшей степени, чем в знаменателе второго множителя

А об этом втором множителе мы можем сделать важные
для нас заключения на основании формулы (20 ), заменяя
в ней число i разностью i — L
В самом деле, не трудно видеть, что при выбранном нами
значении а общий член
ЛЛ
V3+1

( - V't
X!

формулы ( 20) приводится при и = 0 к такой несократимой
дроби, знаменатель которой содержит множитель 1 — z в сте
пени не больше
У"+" 1 —
так как при и = 0 функция V1 содержит множитель 1 — z y
функция же V не делится на (1 — z)2.
С другой стороны, из условий, ограничивающих величины

У,

X, [Л, V ,. .

не трудно вывести неравенство
( 22 >

Х > 2 у — /,
которое ограничивает значения X при 2 j^ > i.
Пока 2j< C .i, разность
У -ь 1 — X,
где ХЛО, остается, очевидно, меньше
венства (22 ) разность

У■+*1 — к

в силу

нера

Р аспространение; предельных теорем исчисления вероятностей

остается меньше у -# -1 и при 2у > /

383

и только при у = у г

если такое значение возможно, и при 1 = 0 она может достиг
нуть значения у - н 1 .
Останавливаясь на предположении
z = 2у,

1 = 0,

которое возможно только при г четном, находим, что этому
предположению соответствует только один член формулы (20 )

1 -2 ... г

к2

22

так как при у = у *и 1 = 0 из уравнений (2 1 ) и присоединен
ных к ним неравенств следует
1* = т .

Следовательно, при г нечетном ни одна из дробей, к кото
рым приводятся производные
& ( 1\
Ли* V К Г

1 /1 \
Ли*-1 \ К /5

/1 \
Лц*-2 \ v ) 9' " 9

когда мы полагаем н = 0 , не может содержать в знамена
теле, конечно после надлежащих сокращений, множитель 1 — z
i+ 1
в степени выше
, а при г четном только первая из этих,
дробей, получаемая из производной

du*

Теория вероятностей

384

может содержать в знаменателе множитель 1 — z в степени
у - н 1 ; если же из этой первой дроби вычесть выражение
1-2.3...*

(— V " Y
г+1

V2

при и — 0 , то разность после надлежащего сокращения при
водится к такой дроби, знаменатель которой содержит множи
тель 1 — z в степени меньшей y - f - 1 .
Сопоставляя этот результат с формулой (19) и принимая
во внимание обозначение (18), заключаем, что при i нечетном
рассматриваемое нами выражение
ё
du{

// (еп, ze-*» )\
\ F ( e u, z e ~ au) / u =о

*■

n9v
'

приводится к такой рациональной дробной функции числа z,
знаменатель которой содержит множитель 1 — z в степени
меньшей у - 1- 1 .
А отсюда, в силу выводов исследований §§ 3 и 4 , тотчас
вытекает, что при i нечетном отношение
М. О. (^ + ^2 + . . . + ^! -- гш)г

должно приближаться к пределу нуль, когда п возрастает
беспредельно.
Не трудно также найти ту простую дробь со знаменате1

лем (1 — z)

, которую надо выделить из выражения ( 12 ),
—+i
чтобы знаменатель остатка не содержал множителя (1 — z ) 2 5
а мог содержать только низшие степени 1 — z .

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

385

В самом деле, эта дробь должна совпадать с той, по выде
лении которой из выражения
i

1 •2 •3 ••• i l U \
I — 7"\T
1
v W * = o \ v /„=0
22

остается дробь, не содержащая в знаменателе множителя
1 — z в степени выше - j — 1 .

На этом основании, принимая во внимание равенство
(l/)«= o~

1— z ’

(1 0 )

установленное в § 2 , находим, что искомую дробь можно
представить в таком виде
*
1 • 2 • 3 •. • i

Ст

•

j
»
*9 + 1

(1 - z ) 2
где число С определяется формулою
^ ; = 0 (е« ,

е~ои)

i ( i. *)

(23)

Придя к такому выводу и сопоставив его с исследова
ниями §§ 3 и 4, мы уже без большого труда убеждаемся,
что отношение
м. о . (л^ - ь

х2

при I четном стремится к пределу
1-2-3.

2* •1 •2 •■

когда п возрастает беспредельно.
25 А. А. Марков. Избр. труды

-i- хп — па)*

Теория вероятностей

386

О стается принять во внимание, что интеграл
-t-uj

И

t f ~ *

при i нечетном равен нулю, а при i четном равен числу
1 •2 •3 - -

2*

•

1•2

i
•••

1

1

и мы придем к окончательному заключению.
Если число а определено уравнением (16), а число С —
формулою (23), то должно быть
пред м. О.
м=оо

• —п а )

f хг ч- х2 ■

4 +00

Vn

как при i нечетном, так и при i четном, и, следовательно*
при беспредельном возрастании числа п вероятность выпол
нения неравенств
sJCn <С х х - ь х 2 - ь . . . ч - л:л — n a< C t2 'JCn,
где ^ и £2 — любые данные числа, причем t2^>tlf должна
приближаться к пределу, равному
и
h

§ 6. Рассмотрев один случай величин, связанных в цепь,
и заметив, что этот случай не представляет никаких харак
терных особенностей, а отличается от других только про
стотою данных, мы можем в немногих словах перенести наши
выводы и на общий случай величин, связанных в цепь, уста
новленный в вышеупомянутой статье „Распространение закона
больших ч и с е л ...".

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

387

Придерживаясь обозначений этой статьи, положим, что
различными возможными значениями чисел цепи
х и *2, •••, Хк, х к+1.
будут
а» Р, Т>- ••

(24)

и что система
р«, а» Р*>&1 Ра%у» * *
р» ос» Р» s’ Р& v ••
Рь а» Р ь р > Pt, ft • •

(25)

представляет вероятности, при данных значениях х величине
Xjt+1 иметь определенные значения, причем первый значок
у р указывает данную величину л:*, а второй — предпола
гаемую величину Хк+1.
Числами (24) и (25) определяются наши окончательные
заключения, но для постановки вполне определенной задачи
мы должны ввести еще числа
Г
Г
!
Ра* 'Р$> Р^> 1 * •»
которые, подобно числам Р , Q, R частного случая, исчезают
в окончательных выводах и соответственно служат вероят
ностями равенств

*1 = *.

*1 = Р.

Jfi = Y........

пока все величины нашей цепи
■^1»

* * *»

ЭСм•••

остаются неопределенными.
Приступая к рассмотрению различных
о величине суммы
Х! + ДС2+ . . . + Х Й,
25*

предположений

Теория вероятностей

388

обозначим вероятность равенства

Х\ -+* х2-н . . .

хп= m

символом Рщп и введем функцию Ф„ произвольного числа t>
определяемую формулой
Ф
— I,Pп 1
1 ti---m

•

(26)

Поступая затем так же, как в частном случае, разлагаем
п на слагаемые
(27)
и вводим ряд функций
(28)
подразумевая под символами
а

Р

Т

1Р Щп» Р1 ЩПУ Р1

п•••

вероятности выполнения того же равенства
* i ■+■х 2 -+■ . . . -н х п = m
и добавочного условия, которое соответственно выражается
одним из равенств
х п — ос,

хп

При таких обозначениях не трудно, согласно условиям
вопроса, установить уравнения

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

389

и от них перейти к уравнениям
Ф« t

*—

а Ф п _ 1 ~*~ Рр « Ф » - 1

Ру, а Ф п - 1 •+■ • • • »

Фй Г * = />а, рФ«_1 -Ь р,, Фя_ ! -+-ру, ? Ф„_г -+- . . .,

Т
Ф» t

р

а

— Р а, у Ф « - 1

-г

(29>

Р ь, у Ф « - 1 - + - Ру, у Ф и- 1

А из уравнений (29) вытекает для всех функций
а
Р
Ф #1» Ф
4 И»
а

Ф.» = Ф

Т
ф« , . . .

т

р

»

Ф

а-*“

•••

одно и то же линейное однородное уравнение в конечных
разностях, которое мы можем представить довольно просто
в символическом виде
Р ъа — t

Яр,

/»р,р— Г

а»

рф ’

Я Г» а» * * •

^

р>---

Ра,Г» Рр,Т> Р ы ~ { ТФ«-- '

(30)

где по выполнений указанных выкладок следует вместо
фп фм+1 ф*+2
поставить
Ф«, Фн-Ы, Ф«+2, . . .
В силу этого уравнения все функции
ф о,

ф 1.

Ф 2, • • • ,

ф «

можно определить как коэффициенты в разложении по воз
растающим степеням второго вспомогательного числа z

Теория вероятностей

390

некоторой рациональной его функции
/(*»«)
*■<*.
’
знаменатель которой определяется формулою
Р

а^

^

а

Р а» 0
F(t,

г) =

а

•

ГР, Рт. 3 2 ,.

'а? Г г.

Р ы г — { Т’ -

(31)

Прежде чем перейти к дальнейшим выводам, необходимо
отметить, что мы рассматриваем только такие цепи
•^ 1»

-^ 2 » •

•

• »

Х ц у • • • у

где появление одних из чисел
а, р, у ,...
не исключает окончательно возможности появления прочих.
Это важное условие можно выразить при помощи определи
телей таким образом: определитель
Р$) а> Ру, а» •••

Ра1

V* Рь з> •

• •

Р Т1 P p v
с произвольными элементами

и, ги,.. .
не приводится к произведению нескольких определителей
того же типа.
Этого условия для наших целей, однако, не достаточно,
и мы должны предположить / 4 что указанный нами опреде* Наши выводы можно распространить и на многие из исключенных
нами случаев.

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

391

литель не приводится явным образом к произведению несколь
ких определителей и при -

н =/>«,«,

v = P p p

w = p b V ...

Как в частном случае, так и в общем наши выводы отно
сятся к математическому ожиданию степени
(xi-bJC 2 - t - . . , + х „ — па)',
где число а мы определяем условием, чтобы при /= 1 это
математическое ожидание не могло возрастать беспредельно
вместе с п.
Установив попрежнему, что рассматриваемое математи
ческое ожидание можно выразить коэффициентом при zn
в разложении, по возрастающим степеням z, значения про
изводной

при и = 0 , замечаем, что для перенесения заключений частного
случая на общий нам надо рассматривать разложение функции
F ( 1 , z) на простые множители
F (\ , z) = ± ( l — z ) ( l — y 1z ) ( l — y 2 z ) . . .
и доказать, что множитель 1 — z встречается в этом разло
жении только один раз и что модули чисел
Уi. У%>- ■■
меньше единицы.
Другими словами, мы должны убедиться, что единица
служит простым, а не кратным корнем уравнения
Ра? а У> Рр а» Ру, а» * * *

;с(> Р р

У>

Р*) V P & V

Рь f

Ра,

Q

Ру,
#>•••

(32)

392

Теория вероятностей

и что модули остальных корней
Уи У ^

-

того же уравнения меньше единицы.
Для доказательства, что единица простой, а не кратный
корень уравнения (32), может служить следующее предложе
ние относительно определителей.
Если все элементы определителя
и,

hi,

Cj, . •.

#1, Vt

Cgj. . .

^2>

^2>

***

удовлетворяют неравенствам
а^О ,

6* ^ 0 ,

Cf c^O, . . .

(*)

и неравенствам
ы ^ «1 -ь а 2~*~. .. »

v >; 6 i - ь 62ч - . . . ,

w

сг -*- с2-+-. . ., . . ., (**)

то он не может быть числом отрицательным и может быть
нулем только в крайних случаях, когда все неравенства (**)
обращаются в равенства или когда он приводится, ввиду
обращения некоторых из неравенств (*) в равенства, к про
изведению нескольких определителей того же типа и среди
этих последних находится такой определитель, для которого
все неравенства, аналогичные (**), обращаются в равенства.*
Мы убеждаемся в верности этого важного для нас пред
ложения, рассматривая ц, v , zu, . . . как переменные числа
и замечая, что производные от нашего определителя по и,
v , zu, . . . выражаются подобными же определителями низшего
порядка; такое рассмотрение дает возможность постепенно
распространять теорему с определителя 2 -го порядка, для
* Подобное предложение встречается также в заметке Германа
Минковского: Zur Theorie der Einheiten in den algebraischen Zahlkorpern.
Nach. v. d. Kon. Gesel. der Wiss. zu Gottingen a. d. J. 1900.

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

393

которого она очевидна, на определитель 3 -го порядка,
с определителя 3-го порядка на определитель 4 -го порядка,
и т. д.
И з доказанного таким образом предложения тотчас сле
дует, что при поставленных нами условиях производная
по у от левой части уравнения (32) не обращается в нуль
при у — 1 , так как эта производная, по умножении на = ь 1 ,
может быть представлена в виде суммы определителей
1
Рр Г» ^

Pfi V •■•

ч-

Ра? а>

Ру, а» * * *

Ра, у» ^

Ру? у» •••

удовлетворяющих условиям теоремы и не подходящих под
крайний случай.
Итак, число единица, которое в силу условий
Ра, а ^ Р о ^ ^ Р о с,

... = 1 ,

должно удовлетворять уравнению (32), не может быть крат
ным корнем этого уравнения.
Обращаясь к другим корням уравнения (32), положим,
что у — любой из них.
К этому числу у можно подобрать систему чисел
Р', У', — ,
не состоящую из одних нулей и удовлетворяющую уравнен
ниям
^ 'У — Ра, я*' -+- Ра, ^

+ P * ,t i

V У = Р р *.*’ -*-P p zV -+-/>(*, г
•••’
т'у = р г,««'-*-/>т, 0 Р' + p b i i - + - •••.

394

Теория вероятностей

Числа а', (3', у',. . . не могут все иметь одно и то же зна
чение, так как при допущении полной системы равенств

из уравнений, которым по условию удовлетворяют эти числа,
тотчас следует

9= I-

Приняв это во внимание, предположим сначала, что
числа ос', (3', у ',... не имеют одного общего модуля. При
таком предположении, ввиду поставленных нами условий,
среди уравнений, которым подчинены числа ос', (3', у ',...,
должно быть, по меньшей мере, одно, где в левой части
множителем при у служит какое-нибудь из чисел

Р', У ' , - - *
с наибольшим модулем, а в правой части входит с коэффи
циентом, отличным от нуля, и такое из наших чисел
<*', Р',
модуль которого не достигает упомянутой наибольшей вели
чины. Отсюда тотчас следует
мод. у<С 1 ,
так как сумма коэффициентов при

а', р', у ',...
в правой части каждого из установленных нами уравнений
равна единице.
Перейдем к предположению, что все числа

Р', У ' , - . имеют один и тот же модуль.

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

395

Мы знаем, однако, что они не все равны друг другу.
Поэтому совокупность их можно по отношению к первому
числу а' разбить на две группы: на группу чисел, равных ос',
и на группу чисел, не равных ос', причем последние отличаются
от ос' величиною аргумента.
С другой стороны, ввиду одного из основных наших
условий, совокупность сумм
/>«,«*'

нельзя
чисел

разбить на две

£$'-*- /ЧгГ'

совокупности так, чтобы из всех

суммы первой совокупности содержали, с коэффициентами,*
отличными от нуля, только равные ос', а суммы второй сово
купности только не равные ос'.
Следовательно, одна из этих сумм, наверно, содержит,
с коэффициентами, отличными от нуля, как числа, равные ос',
так и числа, не равные ос'; и потому модуль ее, равный
произведению модуля у на модуль ос', должен быть меньше
модуля ос', так как для чисел различных аргументов модуль
их суммы меньше суммы их модулей, а не равен ей.
Отсюда тотчас вытекает неравенство
мод. у < 1 у
которое нам надо было доказать.
Д оказав таким образом, что
F ( l , z) на простые множители

в разложении

функции

F {\ , z) = ± ( \ — z ) (\ — y 1z ) {\ — y 2z ) . . .
* В статье „Распространение закона больших чисел . . .“ я остано
вился на простейшем предположении, что среди этих коэффициентов
вообще нет равных нулю.

Теория вероятностей

396

множитель 1 — z входит только в первой степени, а модули
коэффициентов
Уи У2> •* •
меньше единицы, мы можем все дальнейшие рассуждения,
проведенные нами для частного случая, перенести без изме
нения на общий случай.
Ввиду полной неизменности этих рассуждений мы не ста
нем повторять их, а приведем только окончательный вывод.
Если при установленных нами условиях и обозначениях
числа а и С мы определим равенствами
_

(*» 1 )

1 г

< = о (* и> е~аи)

которые не приводят ни к невозможным, ни к неопределен
ным результатам, то должно быть
+00

пред м. о.
«=00

Х 1

(
\

-+- х 2ч

,. ■+■х п — па
у
/п

для любого целого положительного числа г, и, следовательно,
при беспредельном возрастании числа п вероятность выпол
нения неравенств

i, VCn

+

— na<C.t2Veil,

где t 1 и t 2 — любые данные числа, причем t2 '3 > tjJ должна
приближаться к пределу, равному
и

Распространение предельных теорем исчисления вероятностей

397

Относительно чисел а и С можно заметить также, что
они соответственно равны пределам, к которым стремятся
м. о

хп
п

и 2 м. о

•х п — па\ 2
у/ п

когда п возрастает беспредельно.
Это замечание позволяет распространить наши заключе
ния и на те случаи, когда совокупность чисел

а, р, у, . . .
не исчерпывается конечным числом членов.
Наши выводы можно распространить также и на сложные
цепи, в которых каждое число непосредственно связано не
с одним, а с несколькими предшествующими ему числами.

О СВЯЗАННЫХ ВЕЛИЧИНАХ,
НЕ ОБРАЗУЮЩИХ НАСТОЯЩЕЙ ЦЕПИ

Д ол ож ен о в з а с е д а н и и

Ф и зи к о-м ат ем ат и ч еского от д ел ен и я

19 я н вар я 1911 г. [г]

В книге Г. Брунса (Н. B r u n s . Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Kollektivmasslehre) и в статье того же автора „Das
Gruppenschema fiir zufallige Ereignisse* (Abhandlungen der
mathematisch-physischen Klasse der Koniglich Sachsischen Geselschaft der Wissenschaften, 1906, В. X X IX ) рассматриваются
замечательные случаи зависимых испытаний, не подходящие
под установленное нами понятие о цепи испытаний, к кото
рым, однако, с успехом можно применить метод математи
ческих ожиданий.
В цепи испытаний, как мы ее понимаем, все испытания
связаны между собой и независимость между некоторыми
испытаниями появляется только по установлении результатов
известного числа промежуточных испытаний; а в случаях
Брунса все испытания, достаточно удаленные друг от друга,
оказываются независимыми, пока не установлены результа
ты промежуточных испытаний, а по установлении этих ре
зультатов могут, напротив, оказаться зависимыми друг от
друга.
Для выяснения дела мы прежде всего рассмотрим один
из простейших случаев Брунса.
§ 1. Пусть ряд чисел
w u w 2, . . ., zuk, wk+u . . . , w„, . . .
связан с рядом независимых испытаний!таким образом, что
wk равняется 1 или 0 , смотря по тому, появилось ли собы
тие А при к~м испытании или нет; пусть вероятность собы
тия А при каждом испытании равна а, а вероятность проти26 А. А. М арков. Избр. труды

Теория вероятностей

402

воположного события В мы обозначим буквою j3, так что

Пусть, наконец,
. . . wn

m = w 1w 2 ^~ zu2

При таких условиях и обозначениях произведение
и>к гик+1
равно 1 или 0 , смотря по тому, появляется ли при паре
испытаний с нумерами

к и к ч- 1
комбинация А А или нет; число же т , определяемое выше
указанной суммой, равно числу комбинаций А А во всех
парах испытаний:
1-е и 2-е, 2-е и 3-е, 3-е и 4-е,

п-е и п -+- 1 -е.

Наши пары испытаний образуют ряд испытаний, в кото
ром связаны друг с другом, по отношению к комбинации А А ,
только смежные испытания; ибо два произведения
Щ m +i

и wk wk+1

не зависят друг от друга, если ни одно из равенств
i= k,

/= &-+- 1 ,

1 -н \ = к

не имеет места.
Рассматривая этот ряд двойных испытаний и называя
комбинацию А А событием Е , мы займемся разысканием
вероятности, что при определенном числе испытаний число
появлений события Е , т. е. число комбинаций А А , будет ле
жать в известных границах.
Для намеченной цели вводим ряд обозначений.

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

405

Во-первых, символом
п
обозначим вероятность, что при п испытаниях событие Е по
явится равно m раз. Затем разбиваем эту вероятность на
две, полагая
Р
= Р1
•Р*т
п
* т,п
л т,
т, п
и обозначая символами
Р м,
1 и и

лР °т,п

также вероятность событию Е появиться в п испытаний
равно т раз, но при добавочном условии, которое для
А
выражается равенством
гоп+1 = 1 ,
а для

п — равенством
Wn+i— О,

и без большого труда составляем уравнения
Р т, п = аР*п—1, ♦?—1

^Р т, п—1?

Р т, п = $Р т, п- 1 ^ РР«, n—1 г
которые преобразуем в следующие:

введя вспомогательное переменное 5 и его функции
Т«

* го. м^
Тп
Г» 1
■
v
p
i
р
ф
(
0
)
=
Р
9»):
го, « ^ > Tw
го, и ^
Отсюда для функции <рп легко выводим линейное уравне
ние в конечных разностях второго порядка, которое в сим
26*

404

Теория вероятностей

волическом виде можно представить так
— 9,

а

Р , Р

9 = 0,

а по устранении символизма оно будет
<ри+1 — (а$ -+- р) <ри+1 -ь оф (£ — 1 ) % = 0 .
Соответственно этому уравнению, введя новое вспомога
тельное переменное tf мы можем установить формулу

l+<(p, + <2lj)2+ ...+ fip i,+ .. ' = 1—(«!-<-&)f-«-00(g—l)f2 !
где С и D определяются равенствами
с = 1 , D = ^ — ос£ — (3 = оф(1 — I).
Подобную формулу мы находим у Брунса. Применяя же
к данному случаю метод, выясненный нами в статьях „Иссле
дование замечательного случая зависимых испытаний" [2] и
„Распространение предельных теорем исчисления вероятно
стей на сумму величин, связанных в цепь" [3], приходим
к заключению, что вероятность неравенств
f! \/2 bn < m — па 2 < t2 \/2bn,
где tr и t2 — любые данные числа, число же Ь определяется
формулой

6 = - £ { 1 - ( ^ н-ьР)е-“2“-ьаР(е« - 1 ) е - ^ “}и=0 =
= а 2 р (1 -+-Зос),
должна приближаться к пределу, равному

если п возрастает беспредельно.

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

405

Заметим, что в данном случае простые выкладки дают
м. о. (тп — пси2)2 — ш 2 (1 — а2) + 2 (л — 1 ) а 3 ( 1 — а) —

=па2(3(1ч-За)—2а3(3,

что мы находим также у Брунса.
§ 2. Сообщая теперь нашим выводам возможно большую
общность при сохранении известной простоты, положим, что
мы рассматриваем неограниченный ряд чисел
X ],

Х 2,

Хд, . . . ,

-ЛГгЧ-1 > • • • »

• • •>

• • •>

которые, не образуя настоящей цепи, не представляют,
однако, вполне независимых величин, но связаны особым
образом: а именно, если числовая величина разности к — i
больше некоторого постоянного числа с, то
X i И Xfc

не зависят друг от друга в смысле исчисления вероятно
стей, если же числовая величина разности к — i не прево
сходит су то
X i и Xfc

зависят друг от друга.
Относительно чисел
Х\9 Х 2> • • • » Xfc, . . . , ХПУ . . .

мы предположим, что квадраты их не могут быть произвольно
большими, так что существует постоянное число L , удовле
творяющее неравенству

при всех возможных значениях х п, как бы велико ни было
число п.
Это предположение, ведущее к значительному упрощению
вывода, выполняется, например, когда сумма

406

Теория вероятностей

X l - b * 2 4 - . . . -f-x„
выражает, известным образом, число появлений некоторого
события при п испытаниях.
Введем следующие обозначения
М. О.

Xjc — Qjcy х к

а к'— %к

и станем рассматривать
м. о. (z, - ь z 2 ч - . . . ч - z n)r>\
при
m = 1 , 2 , 3, . . .,
как мы это делали в статьях „Закон больших чисел и спо
соб наименьших квадратов" (Изв. Ф из.-мат. общ. при Казанск. унив., т. VIII [4]) и „Исследование общего случая
испытаний, связанных в цепь" (Зап. Акад. Наук, 1910 [5]).
Математическое ожидание суммы

очевидно, равно нулю; нетрудно также убедиться, что отно
шение
М. о . ( z 1 - h z 2 ■+■ . . .

z,i)2

n

должно оставаться числом конечным при беспредельном
возрастании числа л, а именно, легко установить неравенство
М. О. (^1 4 - 2 :2 - * - . . . 4 - Z n)2
п

< 4 L 2(l-*-2 c ).

Подобного неравенства, как известно, достаточно для
возможности распространить на данный случай закон боль
ших чисел.

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

407

Что же касается дальнейших наших выводов, то для
возможного упрощения их мы предположим, что отношение
М. О.

-+- Z2

п

не может становиться и произвольно малым.
§ 3. При таких предположениях мы докажем, что отно
шение
М. о. (zj + 2|) + . . . Ч-.ДГУ|)т

m
{ м. о. (2:1 -+- ^2 ■ +■ . . . -+- zn)%} 2

должно приближаться к пределу
+00

h i

г е- ‘- л ,

если п возрастает беспредельно; а отсюда вытекает извест
ное предельное выражение вероятности.
Для намеченной цели обращаемся, как обыкновенно,
к формуле Ньютона, согласно которой имеем
M. О. (ZjH-Zg-f- . . . Zf$ n =

где

^ N

х ZV
Лjх!
м. О. z } z bf . . . z)
Z

_____ 1 ■2 . . . m_____
?! $! . . . X! р.! v! . . . <г!

и суммирование 2 должно быть распространено на все воз
можные значения
е, f ,

i, j , к ,

s

И

У»

•••, \

V............

удовлетворяющие неравенствам
е < / < . . . < i < j < k < . . . <s,
У > 0 , & > 0 ..........х > 0 , (Х > 0 , v> 0, . . . , <т>О,

Теория вероятностей

408

вместе с равенством
у н—S ~н . . . + “к *+■ [л-I- v чь-. . . +

g

= m.

Обращаясь затем к математическому ожиданию произве
дения
а
z s?
z \ z ) . . . z \ z fz l
сгруппируем в нем в особые произведения все те множители,
где последовательный ряд значков дает разности, не пре
восходящие с, так, например, при
/ —е~с
мы соединяем множители
*1

И Zf

в одно произведение, а при
у — /~ с и

к—

у^с

мы соединяем в одно произведение множители
z }, z$ и z ;.
Такая группировка множителей в частные произведения,
число которых мы обозначим буквою со, дает возможность
представить математическое ожидание произведения

в виде произведения математических ожиданий независимых
величин, которые будут или отдельными множителями

или произведениями нескольких множителей.
Если какая-нибудь из этих
величин совпадает с отдель
ным числом

О связанных величинах, не образующих настоящей &егш

409

причем соответствующий показатель
Y*

а

равен единице, то математическое ожидание ее равно нулю,
а вместе с тем, конечно, приводится к нулю и математиче
ское ожидание всего произведения.
Устранив подобные произведения, мы для всех прочих
произведений
Z1 у.
Z tk z 3
,J- zlк . .
Z e Zf

без

большого труда

убеждаемся,

что со не больше - у и

достигает этого значения только в тех случаях, когда наши
* со множителей не представляют ничего иного, кроме квадратов
отдельных членов ряда
•••» z fh
и произведения их по два, взятых притом в первой степени.
С другой стороны, нетрудно также убедиться, что отно
шение числа произведений
4 4 ••• 4 ,
для которых со имеет одно и то же значение, к п* должно
при наших условиях оставаться конечным, а не может возра
стать беспредельно вместе с п.
Поэтому при рассмотрении предела отношения
О. (Zi -+- Z2 '

-zn)n

{ м. о. 2 (zi -+- z2 ■
мы можем в вышеуказанной сумме
м. о. 4 4 • • • 4 4 4 * " 4
сохранить только те члены, для которых
тп

Т еория вероятностей

410

При m нечетном таких членов не оказывается, и потому
мы имеем
+00

пред .
п =
00

м. o.(zi

= о= —

zn)m
™

{ м. о . 2

(z i

y j~

-+- Z 2 *+■ •* •*+* z n )% } 2

Г e~ptmdt
)

е

00

Случай тп четного требует, конечно, дальнейшего иссле
дования, для выполнения которого полезно ввести новые
обозначения: а именно, мы положим
м. о.

и м. о. 2 ZiZj — a ^ j

—

при
i <. j = i

с.

При таких обозначениях сумму
м.

о.

z SI

z j z j ••• z )z ? z l

m

распространенную только на те члены, для которых с«>= — >
можно представить произведением
1-2-3 •
•••
mп "V1
••т
а е, g a h, i a k t l “ * a r t в »

где
0 < J g — е < с , A— g > c , 0 < , i — h < , c , к — / > с , . .
О

s—г^ с.

Принимая же во внимание, что нас
отношение этой суммы к выражению,

интересует только
m

{ м. о. 2 ( z1 +
2

z 2+

. . . + z„)2 } 2 ,

которое возрастает как п , мы можем
равенства
h — g > c, к —г> с,

исключить здесь не

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

411

предполагая только, для устранения многократного повто
рения одного и того же произведения
д

i

а?

I

что в ряду разностей
h

— е,

к

— А, . . .

последовательных первых значков
е, Л, к , . . . . , г

нет отрицательных чисел и что при обращении одной из
этих разностей в нуль ей соответствует, в ряду разностей
вторых значков

i — g, l — i,. . .,
число положительное*
Мы вводим таким образом в нашу сумму ряд членов,
отношение числа которых, а следовательно и суммы их,
m

к я 2 имеет пределом нуль, когда п возрастает беспредельно.
С другой стороны, имеем
м. о. (zj-t-Z g -t- ••• - b z w)2 = 2 a«,b
где
О<
и потому
{ М.

О. ( Z i +

к

— / <С с

m
Z2 +

. . . +

Z „f }2 =

2

Q ( а е, д f («А, *) '( « t , i f " "

где
1 -2 - 3 - - ~
Q —

£>0»

£>0,..

5! -n! ?! - - - 6! ’

0^>O,

X -+- V) -+- C

0 — “ 2“ ’

!

Теория вероятностей

412

а суммирование 2 должно быть распространено на все воз
можные комбинации значков
е, g, А, I, k, I,

г, s

без повторения одинаковых произведений несколько раз*
для устранения одинаковых произведений мы можем поста
вить как раз вышеприведенные условия, что среди разно
стей
А — е, к — А, . . .
нет отрицательных чисел и что при обращении одной из этих
разностей в нуль ей соответствует, в ряду разностей
i — g, l — i,
число положительное.
В сумме же

2

Q

(<Цg f (а,,,,)п (а*, i f

•••

(аг, 8)6

главную роль играют те члены, где все показатели
*•9»

Kt ••• 9 ^

m

равны единице, так как отношение числа прочих членов к п '
стремится к пределу нуль, при беспредельном возрастании
числа п.
Поэтому в нашем исследовании можно заменить
m

{ м. о. (zi -f-z 2~b . . . + z w)2 } 2
произведением
1 -

- Огув%

где значки
е, А, А, . . . , г и g, z,

s

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

413

удовлетворяют вышеуказанным условиям. А так как, согласно
вышеприведенным объяснениям, мы можем заменить
м. о. (z 1 -Ь z 2 -Ь . . . -+- zj™
произведением
1-2-3 ••mV1

gr

г ••• Г, 5»

где значки
г, h , к , . . . г и g, i, I, . . . , s
удовлетворяют тем же условиям, то немедленно можем уста
новить* формулу
пред.

n==0°

м. о. (zi -+■ z2 -+■ . . . н- sw)m
{ M. O. 2 (z j *4- 2^2

__ 1 • 2 • 3 ••• m __

. "+* Я»)** }

2>M•2 -

2

+00

= 4V7T

f

•>

e - t!tmdt.

А отсюда, как известно, вытекает заключение, что для
любых данных чисел tx и t2 вероятность неравенств
XI -+ х2

—дг—g2— ... —ап

* i < у/ 2 м. о . (jcj — а 1 ч - х 2 — а2 -н . . . -ь

— а п)2

< *2

должна приближаться к пределу
JL_

если п возрастает беспредельно.
§ 4. В заключение статьи остановимся на интересной ком
бинации случая Брунса с простой однородной цепью.
Мы придем к такой комбинации, рассматривая, как в § 1 ,
сумму
Щ w2 -f- W2 w3 -*- . . . -ь П)пП)п+1У

Теория вероятностей

414

но предполагая при этом числа
w 29

.. .,

w n9 z v n+1,

...

не независимыми, а связанными в цепь того типа, который
был рассмотрен в статье „Исследование замечательного
случая зависимых испытаний".
Согласно этому вероятность равенства
m +i — 1
будет у нас иметь три значения
Р

у

Piy Р оу

•

первое из которых относится к случаю, когда ни одно иаг
чисел

Щу щ, .. ., гок, . . .
не установлено, второе — к случаю
wk = l
и третье — к случаю
и>к = 0 .
Числа
Р

у

Р\ у Р оу

связаны известным равенством
p = p p i - * - Q — p)Pto
удовлетворяя которому, мы полагаем
P l = p ^ - b q , qi = q — bq, Рй = р — Ьр, q0= q где

q—l—p, 9j=1—Р, q0—l —p0.
Вводя те же обозначения, как в § 1 ,
Р т,п* Р 1т,пУ Р°тцпу

О связанных величинах, не образующих настоящей цепи

415

последовательно выводим уравнения
п
P « t ,

n =

=

9 i

~P0Pi«3, и—1?

1, и—

Pi
P

I

и—

i

“ *“

9 0 Р щ

, и — 1>

затем
‘И

= Pi ЗД- 1 ■+■Ро 9^i >

п(°)^=
и, наконец,
? « + 2

— ( P i t - * - Я о) % +1 -+- ( P i Я о 5 — Ро <7i) ? * = 0 .

Последнее же уравнение приводит нас к формуле
А
1

* 2 ? 2 - 1-

*

? 3

1—

(^1

? -ь <7о) ^

Bt

(/>1 <7о% —

5 V

Ро 9 i ) t 2

где

Л = 1, 5 = ? i —

— Яо =

—

Pi?(£ — 1) — S.

О стается применить к дроби
1

•Я*
(pi £ "*" 9о) * •+■(/>1 <7о? — <7о<7i) *2

наш метод, что никаких особых затруднений не представ
ляет.
Таким образом, для данного случая мы приходим к за
ключению, что при беспредельном возрастании п должна
приближаться к пределу

вероятность неравенств
<

W\

-^rW^W3 -

- w n w n +1

PP1

Теория вероятностей

416

где ti и t2 — любые данные числа, число же
формулой
Ь (1 -Ъ ) =

= ■- £

{ 1

- (Pi в“ -+- Чо)

b

“ -+- (Pi Чо е" - Ро Яг)

— Р Ч Р 1 { 1 -+-S -*-(1 — &)(3 — Ь ) р } ,

или, что все равно, формулой
Ъ= p q p i {

(

3

— Ь)Р } •

определяется

" } и=0 =

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИСПЫТАНИЙ,
СВЯЗАННЫХ В СЛОЖНУЮ ЦЕПЬ

.Д олож ено в з а с е д а н и и Ф и зи к о-м ат ем ат и ч еского от д ел ен и я
19 я н ва р я

1911 г. [1]

^ § ==ап

В конце статьи „Распространение предельных теорем
исчисления вероятностей
на сумму величин, связанных
в цепь" * мною было уже указано, что предельные теоремы
исчисления вероятностей можно распространить и на слож
ные цепи. Но с увеличением числа непосредственно связан
ных элементов возрастает не столько значение окончатель
ного результата, сколько сложность его и приводящих
к нему вычислений, если только мы не поставим себе спе
циально целью разыскать такие случаи, где значительная
общность соединяется с особою простотою результата.
Один из таких случаев я и предполагаю отметить в на
стоящей статье. При этом я имею в виду также указать на
одно обстоятельство, которое для простой однородной цепи
не имеет места, а для сложной цепи, которую следует оха
рактеризовать названием однородной, оказывается возмож
ным. А именно, из моей статьи „Исследование замечатель
ного случая зависимых испытаний"* видно, что для простой
цепи испытаний дисперсия, определяемая выражением

не может

быть

нормальной, т.

е.

невозможно

* Зап. Лкад. Наук, VIII серия, т. XXII [2].
* Изв. Акад. Наук, 1907.

27*

равенство

420

Теория вероятностей

если только § не нуль, иначе сказать, если испытания, дей
ствительно, связаны друг с другом, а не являются незави
симыми. Для сложной же цепи испытаний дисперсия может
быть нормальной.
Таким образом, предельное выражение вероятности для
испытаний, связанных в однородную сложную цепь, может
вполне совпадать с соответствующим выражением вероят
ности для простого случая Бернулли.
§ 1. Мы будем рассматривать вопрос о числе появлений
некоторого события Е при известном числе последовательных
испытаний, связанных между собой таким образом, что вы
полняются следующие условия.
I. Вероятность события Е при каждом испытании имеет
одну и ту же величину р, пока результаты их вообще остаются
неопределенными.
II. Вероятность события Е при каждом испытании, если
установлен только результат предшествующего испытания,
имеет одно из двух значений
Ри

Ро>

смотря по тому, появилось ли Е при предшествующем испы
тании, или, напротив, появилось противоположное событие,
которое мы обозначаем буквою F .
III. Наконец, если установлен результат
Е Е , EF, F E , F F
двух испытаний, предшествующих рассматриваемому, то ве
роятность события Е 9 при этом испытании, принимает соот
ветственно значения

Л, 1

P h o Р о ,г

Ро,о>

эти последние величины вероятности остаются неизменными
и по выяснении результатов прочих испытаний, предше
ствующих рассматриваемому, но не следующих за ним.

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

421

Таким образом, каждое испытание непосредственно свя
зано с двумя предшествующими. ,
Введенные нами вероятности события Е
Р> Р 1 » Ро> Р i,i>

Pi,о» Po,i> Ро,о>

к которым мы присоединим еще соответствующие вероят
ности события F

<7= 1 — Р.

Pi,i>

Яг,о =

^

4i = l —Pi,

<7о= 1— Яо,
А,о. ^0 ,1 == 1 Ро,и <7о,о~ 1 — />о,о»

не могут быть заданы все произвольно; в силу поставлен
ных нами условий они связаны некоторыми простыми соот
ношениями.
Вывод этих соотношений не представляет больших затруд
нений. И прежде всего не трудно установить равенство
Р ^ Р Р г +

ЯРо,

с которым мы уже встречались при рассмотрении простой
цепи.
Удовлетворяя ему, мы, подобно прежнему, полагаем
Pi = P - + - * 9,

Я1 =

Р о = р - +-Ър,

q0 = q + bp.

Ч — Ъя>

Вместе с тем важно вспомнить, что вышеуказанное ра
венство равносильно следующему
P4i =

9Po

и что при соблюдении его числа

,

\

P i и р 0>

в силу основных предложений исчисления вероятностей, ока
зываются вероятностями события Е при любом испытании,
когда установлен соответствующим образом результат не

422

Теория вероятностей

предшествующего испытания, как мы раньше предполагали,
а последующего. Таким образом, намечается возможность
повернуть наш ряд испытаний в обратную сторону; эта
возможность вполне установится, когда мы разберем все
наши условия.
Для вывода других соотношений между вышеуказанными
вероятностями мы предположим, что результат одного испы
тания
Е или F
установлен. Тогда для обоих смежных испытаний вероят
ность появления события имеет одну и ту же величину
Pi или р0.
С другой стороны, вероятность события Е при испыта
нии, следующем за тем, результат которого дан, мы можем
вычислять при помощи чисел
Ph 1 » Ph 0» Ро*И А),О
на основании теорем сложения и умножения вероятностей,
принимая во внимание возможные результаты предшествую
щего испытания и их вероятности. Мы приходим, таким обра
зом, к двум равенствам
P i— Pi Phi ^ 9iPo,i>
Ро == Ро Ph о

Чо

которые равносильны следующим:
и Ро Чьо = ЧоРо,о>

P i4 h i~ 9 iP o ,i

удовлетворяя им, мы вводим два новых числа
£ И

У)

и полагаем

<?i,i= 9 i ( l — e), Po,i—Pi(l-~^), 9i,о=
P i,i~ P i+ 4 i>

9o,i = 9i-+-zp»

9о(1— *0> Ai,o = Po(l ~

Piyo — P o - * - ^ ,

9o,o— 9o-*~ripo'

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

423

По установлении этих формул наше предположение о по
стоянстве вероятностей
Р

Р

у

ъ

Р

о

во всей цепи будет выполнено; не трудно также убедиться,
что нашу цепь можно рассматривать в направлении, обратном
принятому нами, но последнее обстоятельство не имеет зна
чения для нашего исследования.
Итак, в дальнейших рассуждениях мы будем предпола- *
гать, что вероятности
Р\у

91»Роу9о>•••»РоуОу *7о,о

определяются по числам
Р , <7 =

1 ~Р>

Ь ъ

вышеприведенными формулами.
§ 2. Обращаясь к вопросу о вероятности различных
предположений о числе появлений события Е в п первых
испытаний, рассматриваемых нами, мы должны ввести ряд
обозначений.
Вероятность
р

1 П1)П
событию Е в п первых* испытаний появиться ровно m
мы разбиваем на четыре части
Г)1Д

р1,0

рОД

раз

р0,0

л ш,и, * т, м, * т, «, * т, и?

каждая из которых представляет подобную же вероятность,
но по присоединении требования, чтобы последние два испы
тания приводили, соответственно, к определенным резуль
татам
__________
ЕЕ, Е Е , FE, F F .
* Наши выводы относятся не только к п первым испытаниям, но и
вообще к п последовательным испытаниям.

Теория вероятностей

424

При таких обозначениях не трудно установить следующие
формулы:

р

_ рм - pi,о . ро, 1 . ро,о
т,п
т ,и
т, и
т , п?
P m]n — Pl,\ P liU , п- 1^
п-1,
*яуи

^

?1,1 Р )п]п—1

= ^ 1,0 ^

?1,0 ^

г, и—1

n -l*

/^о,о

1, «—1»

Р^Лп~ Я1,0Р]п^п—
1, Я0,0Рт^и—1 •
Введя же затем вспомогательное переменное число £ и
рассматривая его функции

<•' = г р ц . «*- » г = 2 P :'t, ? - ,
мы можем из вышеприведенных формул вывести такие урав
нения
9 /1

= Р 1 ,Ж ± 1 + Р

оа

?»° = 4 i , i 9 l ± i + 7 o ,i

=<7i,o?«-°i-+-9o,o?ri;
а на основании их не трудно притти* к обыкновенному ли
нейному уравнению в конечных разностях, которое в симво
лическом виде можно, при помощи определителей, пред
ставить так
<р,

91)1

о .

Ро,Л>

о

0

>
?« 9o,i 1
0
» /’ьо
?» р 0)0£

0

.

9i,o .

0

,

<7о,о — 9

Последнее же уравнение дает нам возможность опреде
лить <р„ как коэффициент при tn в разложении некоторой
* Исчисление конечных разностей. Второе издание, отдел второй,
§ 28.

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

425

рациональной дробной функции нового вспомогательного
переменного f, по возрастающим степеням его, причем зна
менателем для этой дробной функции служит
Рь 1 ^ — 1.
о, ^ 0jl, о
Яь 1
»
Яо-л^> 0
0
» Pi,o&, — 1, />о,о &
0
> 9i,o
0 , <70)0 f

1

Итак, мы имеем
1 -ь

t ч - <р2 12 -t- . . . ч - <рмf" - +- . . . —

»

где
/ ( 5, t) и F (£ , f)
— целые функции вспомогательных переменных Е и t и вто
рая из них определяется установленной нами формулой.
§ 3. Вывод предельного выражения вероятности можно
основать, как выяснено в вышеуказанной моей работе, на
рассмотрении целой функции F (£ , t).
Что же касается другой целой функции /(£, t), то со
ставить ее, конечно, не трудно, но для нашей цели нет на
добности на ней останавливаться.
Рассматривая разложение целой функции
^ ( i , <)
на множители первой степени

F ( l , f) = ( l — otj.f) (1 — a2f)(l — <x3*)(l — a4f)
и применяя указанные ранее приемы, мы легко убеждаемся,
что одно из чисел
<*1, ^2»

^4

равно единице, а модули остальных меньше единицы. И затем,
на основании прежних исследований, тотчас можем заклю

Теория вероятностей

426

чить, что для любых данных чисел
Щз
известный интеграл

щ
: f e~ ^ dx
тг: J
щ

выражает предельное значение вероятности числу появлений
события Е при п последовательных испытаниях заключаться
между
па ~ь Hl yj2bn

и

па + ц2 / 2 Ь п ,

где
f ;= i (i , о

)

О=

о

Таким образом, вся наша задача сводится к рассмотре
нию выражений а и Ь.
Д ля удобства вычислений, которые мы проведем с надле
жащею подробностью, чтобы их легко было проверить, вве
дем вместо £ новое переменное число z, связанное с £ и t
равенством
it = z.
Тогда F ( i f t) превратится в

Л , 1 - г — 1»

Ф (z, t) =

Я ы

*

>

0
- 1

0

,
,

о

,

P h 0

0

,

<7l,0 ^ >

Яо, 1 *»

0

- 1 ,

/>о,о z

0 ,

Выражая производные
1)

F L i ( % *),

К = Л е Ш,

<7п,о ^

1

Об одном случае испытаний, связанных в сложную и^пъ

427

ч е р е з производные функции Ф(:г, t) по z и по t, получаем

и затем

О стается произвести выкладки, которые несколько сложны,
но не трудны; заметим, что эти выкладки между прочим
должны подтвердить, что а равняется р .
Располагая функцию Ф (г, f), равную

(1 — Pi,i z) (1 — <7о,о0 “ Л,о * (Pi,i г — 1) <7 o,i * (<7о,оt —1) —
— <7i,i 1<7i,ut Po,i *Po,oz
<7i,ot (Pi,i г — 1) 9o,i *Po,o ^ -+<7i,i * Pi,o *Po,i г ( 7 p, 0 * — 1),
по степеням z и t, получаем
Ф (z ,

t) =

£2 -+- B z 21

Czf 2 -+- D zt

hh Gz -+-

Ht -ь i ,

где
^4 — <7i,oPi,i 4o:iPo^o Pi,оPi,i 70,1 <70,0-+' <7i,iPi,oPo,i <7 o,o
<7i,i <7i,oPo,i Po,o= (Pi,i <7o,i <71,1Po,i) (<71,0Po,o
— Pi,o <7o,o) = (pi,i — Po,i) (Po,o — />i,o) = — £yi,
В =Pi,o Pi,i <7o,i 91,1Pi,oPo,i — Pi,o (Pi,i 9o,i 9i,i Po,i)=
= 6Pi,o
С — Pi,о<7o,i <7o,o 9i,o <7o,i Po,o — <7o,i (Pi,o <70,0 <7 i>oPo.o)
= *!<7o,i>
£>= Pi,i 9o.o— Pi,o 9o,i = (1 — 9i,i) 0 “ Po,o) —
— (Po,o b r') (<7i,i -i- s) = 1 — 67j — (1 -+- d) qrj,, — (1 -+- e) />o,o*

Теория вероятностей

428

По этим величинам коэффициентов функции <J>(z, t) легко
проверяется равенство
А -+-

+

+

1 = 0,

согласно которому
Ф(1, 1) = 0.

Затем простые выкладки дают нам
(z y 1 ) — 2 А + 2 5 + С + Z? + G — у! + В — Н — 1 =
= £ 0>i,o — г') — Ро,о = — Рп,о ( 1 — в ) = —
— />(1 — S ) ( l — е)( 1 — Г),

Ф^__г ( 1 , t) = 2^4 + 5 + 2С + Z) -I- // = А + С — G — 1 ^

= •*)(<7<м— е) — 9ы = ~

Яы(1 — *>) =

— qr(l— S)(l— е)(1— Ч),

ф ; =1^

, 1) +

ф ;=1(1,

—

o = -(i-s )(i-e )(i-y )),

Ф”=1 (г, 1 ) = 2 Л - ь 2 5 = 2 ^ 0,0, Ф ^ ( 1 , f) = 2 Л -+-2 С == 2491,1.
Ф”=1(г » 1 ) - ь Ф '=1(^ 1 ) = - ( 1 - 3 6 ) ^ 0 =
— (1 — Зе) (1 — S) (1 — п),
0 + (I‘U ( l , <) = - ( ! — Эч)9ы =
- 9 ( l- 3 r ,) ( l- S ) ( l- e ) ,

{j t 7 Z r L L , = t = 4 A * ' iB + 2 C + D =
— 2 ер0)0-+• 2 v)g'1}1 -ь 1 — £7] —
— ( 1 н- vi) q hl — ( 1 н- s) р0}П
—
= 1 — ет) — (1 — 7))
— (1 — z)po,o =
= 1 — £7) — (1 — b) (1 — e) (1 — 7)),
и, наконец,
n — ~ P ( 1 — S ) ( l — £)(1 — vi)
— (1 — S) (1 — e) (1 — 75) ~

b—pq

.

0,

1 — a — q,

{9(1— 3e)(l— 7))-t-p(l— 3t))(1— e)— 2(1- -e)(l—У})>(1 —g)-«-2 ( 1—S7»>
(1 — 8) (1 — e) (1 — kj)

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

429

Стремясь к возможно простейшим выводам, мы положим
еще
г = т),
тогда по сокращении последней дроби на

1 — s = l — 7)
получим
L_____— (1 — (1 — е) -*-2 (1 + е)__
° — pq
(1 — S) (1 — е)
~

(1 + 8) ( 1 -1-.)
(1 — S) (1 — е) '

Итак, если для рассматриваемых нами последовательных
испытаний имеем
P l = p -+ -b q ,
Л ,1 =

/ 71

Яъ г^^Яг

qi — q — bq,

£ 9Г1» P04\==zPl

£<7i> <70,1 ~

Ч

Ро = р — Ьр,

q0 = q - *-%р,

ZP l 9 PhO:==Po “ * ~ е<7о> /*о,о = А >
\

гР и

Яьо =

Чо

£<7о> <70,0~

еРо>

еА)>

то вероятность неравенств
/ а

(1 -+■ В) (1 -+■ б)

^

1 /о

(1 *4- В) (1 -4- е)

пр -+- щ у 2npq ( 1 _з) (х__е) <С гп <С пр н - и2 у 2 npq ^
где и г и и2 — любые данные числа, должна
к пределу, равному

ц __ 6) ,

приближаться

«2

T sJ е~%Чх'
«1

•>
когда число п станет возрастать беспредельно.
Пусть, наконец,
е= —
В этом случае имеем
P j ,i = P ~ * ~ ^ tl* Ре,\ = Ры ~+~^> P w ~ P w ~ Р ^ ~ Р

Чы— Ч— ^Яг

—

&Р*

= 9 i , i 4h0~4Qfi~*-\ Ч о^ Ч + ^Р

430

Теория вероятностей

и можем утверждать, что известный интеграл
М
2
I e~x^dx
Vк J
«1

служит пределом для вероятности неравенств
пр ■+- иг \/2 npq <С m <С пр ч - и2 V2 n pq >
при беспредельном возрастании числа испытаний /г.
Таким образом мы, действительно, пришли к случаям,
где предельное выражение вероятности для связанных испы
таний вполне совпадает с соответствующим выражением
вероятности для независимых испытаний с постоянной ве
роятностью.
§ 4. Остановимся на предположении
е = г),
при котором мы получили для b замечательно простое вы
ражение
(1 -нб) (1 -1-е)
Ь
(1 — S) (1 — е) р ч \
постараемся найти то же выражение другим способом, кото
рый был уже нами применен для подобной же цели в заметке
„Распространение закона больших чисел на величины, зави
сящие друг от друга".*'
Как известно, Ь равняется пределу, к которому стремится
отношение
м. о. (пг — пр)2

п
при беспредельном возрастании числа п.
Выражая же m известною суммою
+ Л’2 + . •• I Хп
* Изв. Физ.-мат. общ. при Казанск. у,нив., 1907 51.

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

431

и полагая для краткости

Xk — p = vk,
имеем
м. о. г^ = 0 , м. о. vk = p q 9
м. о. ( т — пр)2 = м. о. (vt - ь v2- ь . . . - ь v n)2 =
= м. о. ^ 2 + м. о. i>2 (t;2 + 2 ^1) + i . , + M . о. <
Уп(<
ул- 1- 2 г;п_ 1 '+~
+ . . . + 2vj) = 2 м. о,
(Vk •+- 2 ,У£_1 -+- 2vk 2 "+“ •••“*" 2 ^ ).
С другой стороны, согласно объяснениям только что упо
мянутой заметки, имеем
м. о. Vic vk_i = р (Ri — p) — p q k i9
где R i означает вероятность события Е при к-м испыта
нии, когда появление события Е при к — i-м испытании
установлено.
Таким образом, вопрос о величине b мы можем свести
к разысканию предела суммы
1 + 2АХ-f~ 2А2 + 2 Ag -f~. . . + 2АЛ;_ 1
при беспредельном возрастании числа
бесконечная сумма

в самом деле, если

1 + 2 Aj + 2 А2*+■ 2 Ад + . . .

имеет смысл, не трудно, на основании вышеприведенных
формул, установить равенство
I

b == p q (1 + 2Aj -f~ 2А2 + 2Ag -f~ . . . ) .
Приступая к рассмотрению слагаемых этой суммы, вво
дим четыре вероятности
Я }’1, R ) \ R »S,
событию

Е

появиться

при к-м испытании соответственно

Теория вероятностей

432

четырем возможным результатам
ЕЕ, EF, FE, F F
испытаний с нумерами к — i и к — z '-t-l.
При таких обозначениях имеем

Ло=1, Яо’1==1. *о°= 1>К А = о, *®.®=o,
/?1=л,
=i, R[fi =о,
= 1, /г®
-®=о,
и не трудно установить четыре уравнения
* & = Л . 1 ^ Д - * , 1 Я }’° ,

— <7ьо*<’ °,
+ <7о,о*?’°,
а из них вытекает для Ri линейное уравнение в конечных
разностях четвертого порядка, которое символически можно
представить так:
/»1,1 —
0

,

Р 0,1

У

0

,

0 ,
<7ы»
-R ,
РцОУ
Чо,1» - R ,
0 ,
Ро,ОУ

0

<71,0
0
Чо,о

0.

R

Рассматривая соответственно этому уравнению в конеч
ных разностях обыкновенное алгебраическое уравнение
р»

\p i , \

0
Р ъ,Л

0

9 1 ,1 .

0

,

0

— р . Яъо > <7i,o
» <
7 о,1 » — Р» 0
,

,

0

,

/>0,0 > <7о,о

= 0,

Р

замечаем, что один из корней его равен единице, а осталь-

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

433

яые три удовлетворяют уравнению
Р
<7o,i

?],]»
<7i,i>
9i, 1»

P i, о» 4h‘)
Р> 0
Р о ,о » <7о,о

= 0 ,
Р

которое по выполнении выкладок приводится к такому?
f3---(&-Ь £ ----£§) р2----£ (1 ----S “Ь £<$) р -Ь £2 — 0.
Один из корней последнего уравнения равен £, а осталы
лые два удовлетворяют уравнению второй степени
р2 — &(1 — е) р— £ = 0.
Поэтому мы можем положить
/?,* ^ а + Ъ£* + г,*,
тд е гх удовлетворяет уравнению второго порядка
П+2 — &(1 — е) г<+1 — ег,- = 0 ,
45уквы же а и b означают постоянные числа.
Относительно а не трудно заключить, что оно равняется p f
так как при беспредельном возрастании i все выражения
R) \ R] \

°

.должны стремиться к общему пределу р\ следовательно
*
q A, = R { — р = Ыг -ь
З а тем не трудно убедиться, что b равно нулю.
Для этой .цели рассматриваем

<7Д0= 1 — p — q, q k ^ p i — p^bq,
<7Д2= Р г Р г , 1 -*-4iPi,o — P= P\,i-*~Яг ( Р г , о—

= ?(*+ »(1-е)),12
8

128 А. А. Марков. Избр. труды

Р г ,г )

—Р

=

Т еория вероятностей

434
q^ s-P -iP h iP h i

+ А ЯыРьо

■+•9\ <h,oPo,o—
— P\9i,\ - + - Pi,о■+■

9iPi,oPo,i

= P i-p -*-P i

Р—

-+• <7i 9i,o(Po,o— Po,1) = ^ - +-< 7i(P (,i-f- 4 ri,o)(Po— P i ) ( l — 0 =

= М 1 “ (1 - ^ ( 1 - # )
и замечаем, что полученные нами выражения
А»
удовлетворяют уравнениям
А2 — S ( l —

s) A j

— еА0 =

0

и
А3 — &(1 — е) А2 — еДх =

О,

каждое из которых требует равенства
= 0.

6

Установив таким образом, что А,- удовлетворяет уравне
нию
Д»+2

^ (1

£) ^М-1

£^t ===

мы можем, введя новое вспомогательное переменное у к
рассматривая его функцию
А1 -«- b 2y -+ -/izy 2-+- . . . = 2 Д<0 <~1,
записать формулу

^

,Я

1 —

8 (1 —

t) у —

еу2 ’

где А и В — числа постоянные и легко определяются ра~
венствами
А — А3 =
В — Д2 — (1 — г) Ах= в.
А эта формула при

У=

1

Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь

435

дает

8-t- е
(1 —В) ( 1 — s)

и, следовательно,

1

2А] ■+-2А2■+- 2А3

. . . = 1 -+- ц

(i_i е)

(1-^-В) (1 — s)
(1 — S) (1 — .) *

Таким образом, мы приходим к прежнему результату
Ъ

(! — 8) ( 1 - е )

§ 5. В заключение статьи остановимся на одном примере
испытаний, связанных в цепь, который, при надлежащем
обобщении, может вести к многосвязным цепям.
П р и м е р . Из сосуда, содержащего а белых и b шаров
иного цвета, вынимают последовательно шар за шаром, ко
торые и возвращают обратно в сосуд, но не немедленно по
выходе из сосуда, а таким образом, что каждый шар остается
вне сосуда, пока не вынуто двух следующих за ним шаров.
Называя событием Е белый цвет шара и рассматривая
последовательный ряд шаров, мы имеем в данном примере
как раз случай испытаний, связанных в сложную цепь вышеразобранного типа.
И не трудно определить соответствующие значения

Р у Р\у Piy Ph 1 » Pi,О» Ро,1 > Ро,0>
I
а именно, простые соображения дают

Р

м

а —2

аЧ г-Ь 9 Р 1

_

_____ _____

а ч - Ь — 2 ’ *>1’°
28*

а-*- b — 1 *

^°>1

а — 1

а + 6 — 1*

__

а -*-6 — 2 ’ ^°’°

а

ач-Ь — 2 *

Теория вероятностей

436

Отсюда затем выводим

и
_
Р Ч

(1-ьВ)(1 - * - £ ) _
(1 — S) (1 — £)

аЪ
(а - * - Ь )

2’

— 2 ) ( а Ч - £ — 3)
(я + 4 ) ( в + 6 - 1)
’

Итак, если буквою m мы обозначим число белых шаров
среди вынутых последовательно п шаров, то на основании
вышеизложенного исследования вероятность неравенств
1 /2 а Ь (а ч~ Ъ — 2) (а ■+* b — 3)
п (а -+ -Ь )Ц а

-нЬ—1)

У
V'

а

^

^

где u lt и2— любые
к пределу

m

^ 7Г

^ / 2а& (a
[а +
-+• tЬ — 2) (a
(в +
•+•6 — 3)

"2У

данные

п (а-»-6)3(а-»-6-1)
(а •+•6)3 (а -Н Ь — 1)

числа,

’

должна приближаться

при беспредельном возрастании числа п.

ОБ ИСПЫТАНИЯХ, СВЯЗАННЫХ В ЦЕПЬ
НЕНАБЛЮДАЕМЫМИ СОБЫТИЯМИ

Д ол ож ен о на з а с е д а н и и Ф и зи к о-м ат ем ат и ч еского от д ел ен и я
11 ап р ел я 1912 г. [*]

Цель настоящей заметки состоит в распространении
сделанных нами раньше выводов на новые случаи, которые
охарактеризованы заглавием ее.
§ 1 . Оставляя для наблюдаемых событий прежние обозна
чения *
Е и Ff
мы для связи испытаний в цепь введем другие события.
Пусть, для определенности, этих последних событий
будет три:
А, В , С;
они единственно возможны и несовместны.
Полагая, что относительно событий
А, В , С
рассматриваемые испытания образуют цепь в установлен
ном нами смысле,, мы считаем данною следующую систему
чисел:
а

Ь

с

р , р, р ,
а

b

с

а

Ь

с

я>-я> я>
Г, Г, Г,
* Исследование замечательного случая зависимых испытаний. Изв.
Акад. Наук, 1907.

Теория вероятностей

440

первая строка которой

а Ь с
Р, Р, Р

представляет вероятности события А при любом испытании,,
соответствующие трем возможными результатам
А, В , С
непосредственно предшествующего испытания, а вторая
и третья — такие же вероятности событий В и С.
Эти числа, конечно, должны удовлетворять равенствам

а

а

а

Ъ

Ъ

р -f- q -л~ г = р
Надо помнить
событий

q

притом,

Ъ

с

г= р

с
q

с

г = 1.

что по установлении, какое из

Л,

в, с

имеет место при некотором из наших испытаний, все сле
дующие за ним становятся, по отношению событий
А , В , С,
независимыми от предшествующих ему испытаний.
События А , В , С должны быть, известным образом,
связаны с событиями Е и F . Выбирая для исследования
возможно простейшие случаи, мы предполагаем, что каждое
из наших испытаний становится, по отношению события Е ,
независимым от прочих, коль скоро выяснено, какое именно
из событий
Л, 5 , С
имеет место при этом испытании.
Сообразно этому мы вводим в наше исследование еще
три постоянных числа

а Ь с
Р» Р» Р.

Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями

441

представляющие вероятности события Е при любом из на
ших испытаний, если только соответственно установлен
результат его
А, В , С,
и их дополнения до единицы
а

b

с

3,
представляющие подобные же вероятности события F .
К указанным данным надо было бы присоединить еще
вероятности

p f, q', г!
событий
А, В , С
при первом испытании, если бы наша задача состояла в точ
ном вычислении вероятностей различных предположений
о числе появлений события Е , при определенном числе
последовательных испытаний. Но для предельных теорем,
которые мы специально имеем в виду, числа р\ q\ г ! не
нужны, так как в окончательном результате они исчезают.
Представляя символом
п

Рш

вероятность событию Е в первые п испытаний появиться
ровно m раз, мы разложим эту вероятность на три слагае
мых
>
п
п
п
п
E m А т I В т I■Ст)
которые равны также вероятностям появиться Е в п пер
вых испытаниях ровно т раз, но с присоединением добавоч
ного условия, состоящего в появлении при п-м испытании
события
п
п
п
А для А т1 В для В т и С для С т .

Теория вероятностей

442

При таких обозначениях не трудно вывести, посредством
известного перехода от л к л + 1 испытаниям, следующие
уравнения:
нч-1

а( а п

Он

сп

ап

\а /

Ьп

А т'—*^ \рАт р В т I ■рСщJ ^ Р \рАт—\”* ' Р$т—1
пч-1

Ъ/ а п

Ьп

с «

\0 /

ап

Ьп

сп

\

рСт—у >

с гг

\

В т'•
—- с \qAmн- q B m- 1 qCm) "Ь* р (q А-m— i ' * q B m_ i ~+~ q C m_^J ,
n+1

clan

bn

cn \

clan

On

Cm — G [r A m-H r B m “+- rC m) -4- p

cn

\

■+■ г В т_ г -Ь гС т_ л) .

Вводя затем вспомогательное переменное с и рассматри
вая его функции
; » + 2 л л ю,

? „ = 2 c mr , <рй= 2 я мг ,

последняя из которых равна сумме трех первых, можем
свести только что установленные уравнения к таким:
tt

[а

?и + т=

U -+- р:/

а \ (а а

?«+i = I*7
с
/с

bb

с с 1

-*~Р%

pU 1<7?« -+- q% -+- q% l,
с \f a а
ЬЬ
сс 1

?й+1 = U -+- ?Ч 1П>« ■+■ г% -+- f?»fМы пришли таким образом к системе линейных уравнений, из которых вытекает для всех четырех функций

а

0

с
%, ?п

одно и то же линейное уравнение в конечных разностях
третьего порядка.
Последнее уравнение в известном символическом виде
будет

Об испытаниях, связанных в \цепь ненаблюдаемыми событиями

443

А такому уравнению соответствует, как известно, фор
мула вида
1-

4 - - + - • • •

= 4 ^ 0 ' ’

где t — новое вспомогательное переменное, /(?, t) — некоторая целая его функция и, наконец »

F & *■) =

[а
а \а
/а
U-+p t — 1 , (<7
ji
И а
/Ь
■+■рс/ q t ,
(с

<'у\а

^сн-рс/ r t,

Iе

а \6
рУ p t,

/а

‘иU
■+■рl)p t

\ь
qt — 1 , (с-ьрН ; qt
1е
СЛ с
СЛ ь
у<7 -f~ рС] r t
rt,

Ь

Все дальнейшие наши выводы могут быть основаны, как
выяснено в статье* моей „Распространение предельных
теорем исчисления вероятностей на сумму величин, связан
ных в цепь", на рассмотрении одной функции F ( l , t).
Но прежде всего надо убедиться, что уравнение
F ( 1, 0 = 0
допускает один и только один корень, равный единице,
и что модули двух других его корней больше единицы; при
этом обнаруживается необходимость ограничивающего усло
вия
Л (1 , 0 не = 0 .
t- 1
С подобным условием мы ук е встречались; оно исклю
чает только некоторые особенные случаи и по существу
дела необходимо, так как к исключаемым случаям наши
выводы не применяются.
Особенность этих случаев состоит в том, что в них
появление какого-нибудь, определенного, из трех событий
А , В , С при одном испытании устраняет уже для всех испы* Зап. Акад. Наук, 1908, т. XXII, № 9 [2].

Теория вероятностей

444

таний возможность появления двух прочих событий: напри
мер, появление А устраняет навсегда возможность появле
ния В и С и само навсегда устраняется появлением послед
них событий.
Исключив такие случаи, мы можем ввести в наши
вычисления три числа

Р, q, г,
вполне определяемые системой уравнений
а

Ь

с

p — p p - t - q p + rp,
а

Ь

с

q — p q -i- g q + rgt
а

Ь

с

Г = р г -Ь q r Ч- ГГ,
1 = р

и представляющие
событий

-+-

~f- Г,

(jf

соответственно

пределы

вероятностей

Л, В , С
для испытаний, безгранично удаляющихся от первого.
Вместе с тем можем установить простые равенства
а

Я—
Ь

с

Я

Р

= hp,

1> Р

а

г, г - 1

с
с 1

Ь

Л= ^ ( М ) =

= hq,

Г, Г --- 1
Я — 1, 7
Ь

С

-н

г, г — 1

Чу <7 — 1

й

а

с

р— 1 р
а

Ь

р — 1» р
а b

с

г, г — 1

-ь

hr,
Ь

р — 1> р
а
b
7> 7 — 1

По числам
<7, г нетрудно вычислить и соответствую
щие предельные величины
р и (7
вероятностей событий Е для испытаний, безгранично уда-

Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями

ляющихся от
нам формулы

первого:

простые

соображения

а
Ь
?= Р ?-« -9 Р

а

сг=

445

доставляют

с

Ь
с
н- qe Н—гсг.

Т а же величина р определяется равенством
_

F U ( 6, 1 )

р

о’

жбо
1> =

а
Ас
Ру
Р у
Р
/>— 1. р> р
Ь
с
С
1 а
а а Ь
с
9. 9 - Ьр
Р 9. 9 — 1. 9 - ь р 9.
а

Ь

с

а Ь с
г, г, г — 1

a to
г, г,

и

«с

Ь

р — 1,
а

Ь

с

р
с

9. 9 — 1. 9

с

а Ь

г— 1

Гу Г,

Ъ

р,

с
Г

с

== р hp + р h q -+-р hr.
О стается вычислить величину
1

Л\

А«*

е-Р«)\
/?,=0’

которую мы обозначим буквою А, чтобы можно было при
менить к данному случаю предельную теорему: при во з
растании числа испытаний п вероятность неравенств
f 3 V2Aп < т — пр < t2 \/2Ап,
.для любых данных чисел tx и t29 стремится к пределу

V^TT

1

<1

Теория вероятностей

446

Производя простые выкладки, находим
f d 2F(eu, е~Ри) \

ЗР

у*
— Ка

___

/м=0-

К ь -+- К с ч - 2L a (р<> — <>р) (р<у — сгр) чь

ос — cpj (ре — epj -+- 2 L c (рс — ерj \ри — u p j,
с
а Ь

Ру я
а

АГЙ= (оог2

р

b

с

сгр2) Чу 9 — 1» Ч
а

Ь

с

г,

г,

г— 1

/ а

К а - * - К ь -+- К с =
/ а

(рс2Ч-<;р2у,

е\

Ь

\рр -+-9Р -ь гру <J2 h
с \

Ь

-+- \ръ -+- q<s-t- г <у) р2 А = Арсг,
а

Ь

с

Р — 1, Р у р
La

=

а

с

Ь

а

_ р — 1* р ~h Р у Р — 1
а
Ь
с
а
Чу Ч
Ь с
Чу Ч
Чу
Ч
Г, Г

а

Ь

Чу
а

Г,

с

L a= h (q -*-r)-*-p — 1 ,
4
U = Л (/• •+•/>) -+- q — 1 ,
С

L e= h (p ~ i-q )4 -r — 1 .
Сверх того, мы можем разности
6

рСГ

Ь

с

<ур, рСГ

с

а

(jp, р<7

а

<7р

заменить равными им разностями
р. р— р» р-

Таким образом, мы получаем для Д довольно простое:

Об испытаниях, связанных вi Цепь ненаблюдаемыми событиями 447

выражение
д = р®-ь2Л/в (р — р) (р — р)
2Л/С(р

2ЛГ* (р — р) (р — р) -

р) (р

р),

где
М(1-

q -\-г

Ь

Ь

Г-+-Р

Mh

> Мс = р - ь </ —

Отмечая случай, наиболее подходящий к ранее рассмо
тренному случаю испытаний,* связанных в простую цепь,
положим, что Е совпадает с А .
Для этого случая
а

а

О с

Р= 1, 5= 0,

О

? =

Р=

с

0, <7= 5= 1,

и наши формулы дают.
?=

Р>

* =

\Ь

Ь

с

Я

-Г I
-р\-

Если же положим
0

с

Р = Р у

то получим для А выражение, вполне совпадающее с найден
ным нами раньше
А
/1
v1+ ^
д = р (1 — р ) т = т *
причем
1 — p = q -\ -r и

а
Ь
= р — р.

Приведем еще один пример.
Пусть два белых и два черных шара разделены, как-ни
будь, на две Пары, между которыми производится затем
* Исследование замечательного случая зависимых испытаний.

Теория вероятностей

448

последовательный обмен шаров. Таким образом мы полу
чаем неограниченный ряд последовательных испытаний,
состоящих в одновременном перемещении по одному шару
из первой пары во вторую и из второй в первую. Обращая
внимание на состав одной из этих пар, мы в результате
каждого испытания можем различить три события:
оба ев шара белые,

один белый,

другой черный,

оба черные,

которые соответственно обозначим буквами
А , В , С.
Положим далее, что имеются три сосуда, содержащие
белые и черные шары и никаких других, и обозначим сим
волами
а

Ь

с

Р> Р» Р»

а

Ь с

<7, <7, (7

отношения числа белых и числа черных шаров для первого,
второго и третьего сосуда.
Эти отношения мы считаем данными неизменными числами,
т . е. мы предполагаем состав сосудов неизменным.
П усть, наконец, каждое из установленных нами сейчас
испытаний соединяется, соответственно результату его
А

В , С,

с выниманием одного шара из первого, второго или третьего
сосуда.
Рассматривая для п таких испытаний, непосредственно
следующих друг за другом, отношение
m
п
числа белых шаров, вынутых из наших трех сосудов, к числу
испытаний, равному числу всех вынутых шаров, и предпо

Об испытаниях, связанных в &епь ненаблюдаемыми событиями

449

лагая, что последнее число безгранично растет, мы для при
менения к данному случаю вышеизложенных общих вы во
дов должны установить величины

ай
Р

с

Ь с а Ь

а

Р у Р у Я у Яу Яу Г,

у

с

Г,

Г

и по ним вычислить
Р

у

Я **> h) Р» 6) Мау Ml» Мс.
у

Сделать это нетрудно. А именно, весьма простые сообра
жения дают

а

Ь

с

j

Р = О» Р = -4 > Р = ® у

а
Ь
1 с
9 = 1» 9 = У» 9 = 1»
a

b

г — 0,

г=

с

-I
1

г = 0.

Подставляя же эти числа в наши формулы, находим

ph —

- Ь

1

— 1,

1

= У * 9Л=
т*

-

0, - 1

1
-1»

0

т

_1

rh =
1» - Т2

'

4’

1 ,
2
6 * <! = Т ’
•а

Ь

с

а

р - ь 4р -н р

р= —

6—

Ь

с

+

’

—

6—

ма= | , м6=о, м е= \ ,
д — pg ч~

р)

(2р ~ Р

29 А. А. М арков. Избр. труды

р)

:р<Г-

= 1,

Теория вероятностей

45 0

§ 2 . В первом параграфе мы занимались теми случаями,,
когда событие Е не оказывает самостоятельного влияния
на установленную нами, по отношению событий А , В 9 С %
цепь испытаний; соответственно этому мы предполагали, что
присоединение к данному результату

А, В , С
какого-нибудь испытания указания на появление или непояв
ление события Е при этом испытании не изменяет соответ
ствующих вероятностей
а

b

с

Р у

Р у

Р у

а

b

а

b

с

я, я. я>
с

Г, Г, Г
событий А , В , Су при непосредственно следующем за ним
испытании.
Для полноты исследования мы считаем, однако, необхо
димым остановиться и на случаях иного рода, которые встре
чаются при довольно простой постановке вопроса и легко
могут быть смешаны с предыдущими.
В этих новых случаях, вместо одной системы
а

Ь

с

Р у

Р у

Р у

а

b

с

Я>Я, я,
а

Ь

с

гу

Гу

Гу

задаются две системы чисел:
ае

be

се

р >

Р у

Р у

ае

be

се

1)я> я> я>
ае

be

се

Гу

Гу

Гу

«/ 0/
а/ 0/
2) 9
,
о/ с/
с/

Р у

Р у Р у

с/

Ч у

Ч у

bf

Гу

Гу

Гу

Об испытаниях* связанных в jцепь ненаблюдаемыми событиями 451

первая из которых представляет вероятности событий А , B f С
при любом из наших испытаний, когда для предыдущего
испытания вместе с определенным результатом
А, В , С
дан его же результат Е , а вторая — такие же вероятности*
но по замене Е на F .
Оставляя прочие условия вопроса неизменными, мы мо
жем сохранить прежние обозначения
а

Ь

с

Р>р. Р.
а

Ь

с
G

(J, <7,

длявероятностей событий Е и F при любом из наших испы
таний, результат которого
А, В, С
установлен. Мы можем сохранить также и обозначение
п
рт
для вероятности событию Е в п последовательных испыта
ниях появиться ровно тп раз; но разложим ее мы теперь не
на три, а на шесть слагаемых:

п

в, w '

Pm — А т

/,»

е, п

/,

п

е, п

А т-+- В т- ь В т -+- С т

j\ п
у

С т;

эти слагаемые представляют также вероятности в п первых
испытаниях событию Е появиться ровно т раз, 'но с доба:
вочным условием, которое, соответственно порядку слагае
мых в сумме, состоит в появлении при п-м испытании:

событий А и Е, событий А

И

F,

событий В

И

Е,

и т. д.

При таких обозначениях не трудно установить шесть ли
нейных уравнений, из которых мы приведем только два,
достаточно выясняющие состав их всех:
29*

Теория вероятностей

452
е ,н - 1 - 1

а е е ,п

be е,п

« / / ,«

bf f , n

се ехп

с/ / ,п

Введя затем производящие функции

легко находим для них также шесть
вполне характеризуются двумя из них

^

—

а/

аеае
м
ае

а /а /

?«+1 =

Р9п

1 Р%

be be

bfbf

уравнений, которые

се се

с /с /

-+- Р % -Ь Р<?п -+- Р % -+- Р % .

Последние уравнения, прежде всего, устанавливают про
стые соотношения между функциями 9 , отличающимися друг
от друга только значками е й / :
аае

<Г?„—

а а/

= о,

Ь be

b bf

ссе

с с/

—р£<р„= О, <т<р„—р&р„= 0.

Принимая во внимание эти соотношения, мы можем свести
разыскание шести функций
ае

а/

be

Ь/

се

с/

? « , % , 9 п , 9п , 9п, 9п

к разысканию трех функций
С

се

с/

~+~фц

Об испытаниях, связанных в день ненаблюдаемыми событиями

453

посредством которых выражаются прежние согласно форму
лам
ае

а а

а/

а а

6е

6 6

?»— р?Ф«> фи= *ф«> ?к=р?фн, и т- дВместе с тем шесть уравнений, установленные нами для
функций < р , сводятся к трем
а

(а е а

.

. <$/л\ я

6/6\ 6

/Ь е Ь

/мс

.

e fe

\в

Ф*+1= IЯР?
ф„-+-(яР? -ья<г/фи-t-(яр?
Фй»
(а еа
а/а \ a
(ЬеЬ
Ф«+1= Iq?l чч Ф
»-+-wp
? -+-чч Ф« wp? чч ф«
taea
а/а\ а
(ЬеЬ
(сес
с/с\с
6

6/6 \

6

с

6/6\

6

/с«с

е/с \

с

Фя+1 = Up?-1- г а ) Ф«-+- \гр? -ь г<т/ фи-+- ( гр;-н г а ) ф,и
откуда не трудно, по известным
всех функций
а

правилам,* вывести

для

с

6

Фл» Фй» Фй
одно и то же линейное уравнение, в конечных разностях^
третьего Порядка.
Тому же уравнению будет удовлетворять и функция

?«(?)=2 k l m,
равная

а\ а

(а

/6

6\

6

tc

с\ с

р ? - 4 - c j ф „ н - ( р ? а ) ф „ - ь ( р ? -+- с ) ф„.

Соответствующая ему Целая функция F(Z, t), на которую
следует помножить бесконечный ряд

1 -М<р,ч-*2<р2ннf t Ф3-+-...
для получения,

в произведении,

* А. М а р к о в .
рое, 1911,

целой

функции перемен-

Исчисление конечных разностей.

Издание *вто

Теория вероятностей

45 4

наго t , определяется формулой
( аеа

vfa\

( аеа

а/а\

( аеа

afa\

bfbЛ

(beb

pc

p fc - t - p o jt — l ,

q&-+-qc)t,
rp^H -rs/f,

fceo

Us- - c/cp c \) t

h

(beb

bfb \

(^ н

qa J t - 1, U p;- - q c ) t

l beb

bfbД
’

[cec

(rp?H

rff) t ,

(rpl- - r c j t -

icec

c/e \

При i = 1 эта новая функция F(%, t) совпадает с соответ*
ствующею функциею
а

Ь

с

pt — 1,

pt,

pt

qt> q t — \>
rt,

qt

rt9 r t — 1

первого параграфа, причем
a
Р у

b
Р

c
у

Р у

a

b

Я у

c
Я у

a

b

Я у

Г >

i
Г >

Г

определяются, по новым данным, простыми формулами
а

аае

aaf

b

р = ? р -*-ер ,
«

аае

aaf

b

q = 9 q -t-c q ,
а

аае

bbe

hbf

с

р = ? р -*-°р ,
bbe

aaf

b

bbe

c

bbf

ccf

c

cce

ccf

r — pr 4 - <sr,

правильность которых очевидна.
И попрежнему, устранив известные
мы можем ввести числа
Я у

ccc

q = p q 4 -cq ,

r — pr -+- <7r,

Р у

c cf

p = ? p -*~ °p ,

bbf

q = ? q - * - *q,

Г = р г -Ь <7Г,

cce

особенные

случаи,

О

определяемые формулами
Ъ

с

q — 1» я
hp —
Ь с
Г, Г — 1

а

, hq

—

р—

с

1» Р
а
с
г, г —1

а

,

hr

—

р

b

— 1,
а

р
Ь

Я><7^-1

Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями 455

i ( l , <) =

к=

ь

с

7 — 1*

ч

Ь

Р —

с

Г, Г — 1

с

Г, Г

а

Ь\

Р —

ь

1 »

а

4

Р

! »

а

Ь

7» 7 — 1
и представляющие, соответственно,
событий
Л, В , С

пределы

вероятностей

для испытаний, безгранично удаляющихся от первого.
Затем простые вычисления дают нам:
1)=
____

/ ’с = : 1 ( £ ,

1 )

«

а

Ь

а

{ ^ Г~{е<гУ— “ } _ 0—

.

a/ a

ae a

Г

f)<7?

b

c

p ,

p

■+■

c

b
q —

7Pff2 - + - q c f ,
ae a

7 = рЛ (per2

1 ,

af a

b

C

r « p “ ,

r,

r

а

(

b

p?
=

A

—

c\ t
r ?)

7 P
(<r2 p - h

a
7 »
a

p?c

■be b
q ?a —
be b

Г

p ff

I
Л р

p 2 <r) =

2I

a
p

—

p a p ,

p p °

c

bfb

q * p
b fb

,

rc rp ,

b

® -+ -

A p < r,

(fc

се c
—

<rp2),

1

beb
1 ,

е

с•+•2S a -+-25 j- i - 2 5 c,

af a

P?5" -+-p° p

Ь

<! = p c -t - q a - ^ r a ,

ч

ac a

Arp,

с

4

? ~~~Р— ri ZT~P?~*~4?
* t-\

€

Л р р hq?

7P < r

— P *P
cfc

cec

—

q °
cfc

r

r a p

per —

p

7®

e\
-+ - r c /

=

Теория вероятностей

456

а/

ае а

р

Pff—

аеа

ь
р
ь

а

рц,
а /а

я ? ° — я * р.
ае

а

а /а

ае а

<7P<j —
ае а

се

Ье Ь

— р ° р»

c fc

p f a — paf
с

о/с

1, <7Р«7— 9®р

ь
г

а /а

г fa — r a f ,
ае а

я—

с

се

,

се с

,

cfc

г fa — raf
bfb

с

p f a — р * Р» Р

б/ft

а /а

be Ь

я°?>

q f a — я * р»
htb

o f а

г f a — г с р,

b fb

г f a •— Г<5р ,

с

я
е

Г

-- 1

Таким образом мы убеждаемся, что рассматриваемый
теперь новый случай отличается, с принятой нами точки
зрения, от случая первого параграфа только величиною Д,
которая для нового случая определяется формулою
Д = р<у

— (Sa -ь S b

S c).

Мы не будем заниматься преобразованием этой формулы
в какой-нибудь более удобный вид, а применим ее к одному
частному примеру, который, по моему мнению, заслуживает
особого внимания.
Пусть совокупность е белых и / черных шаров распреде
лена на два сосуда, причем в один сосуд помещено только
два шара, а все остальные — в другой. Затем производится
последовательный обмен шаров между этими сосудами, при
сохранении неизменным числа шаров в каждом сосуде, т. е.
производится ряд таких операций: из первого сосуда извле
кается один шар и переносится во второй и, одновременно,
один шар второго сосуда перекладывается в первый. Эти
операции мы называем испытаниями, а событием Е назовем
белый цвет шара, переносимого из первого сосуда во вто
рой; наконец, событиями
А, В, С

Об испытаниях, связанных в день ненаблюдаемыми событиями 457

мы назовем соответственно три различных предположения
о цвете обоих шаров первого сосуда:
оба белые, один белый, другой черный, оба черные.

При таких условиях имеем
а

ае

Р =
а

^

Р =

м

Ь/

___ 2

e+

f -

2

е ■+•/ — 2 ’

а

ае

г=

г = 0,

v

be

г ___ ^

г=

1,

bf

р=

р

о,

=

с/

е

9
cf

е+ ./_ 2 ==9’

5= 0,

с

=

р

bf

е—1
e-t-f — 2

/

q — q

с/

р= о= ^

’

4 ~ ~ e - t - f — 2'
е ___ 2

с

г = = г = = е -« -/— 2 ’

5= т ,

р= 0,

5= 1

и по этим данным находим
*4 5 , < ) =
е—2
e-t-f — 2

& - 1,

__ /

e-t- f — 2 &

е— 1

2 (е-ь/ — 2)
(е — 1)?

’

1

/~ 1

о

7

1»

e-t-f— 2

е

е+/ —2

/~ 1
2 (е -+- / — 2) ’
rn ~

е + /- 2

/~ 2

а

2 (e-t-f-2 )

_ 1
2 ’

рЛ

*

2 ( e - t - f — 2)

—е
e-t-f — 2

е(е-1 )
~~ 2 ( e - t - f — 2)2 ’

2 ( e - t - f — 2)2 ’

-/

?Л =

с+ /-2

о
,

A

2e f
2 ( e - + - f — 2)2 '

’

’

/

e-t-f— 2
vj

(e + / ) (e -*- / — 1)

2 ( e - t - f — 2)2

(p -t~ q -t-r)h

e (e — 1)
~ (e-t-f) ( e - t - f -

_

1)

’

’

2ef

(e-b /) (e -b /-l )

Теория вероятностей

458

_

. _

/ ( / - 1 )

( е + / ) ( е н - / - 1) »

е (е - н / — 1 )

_

е

____ /

( е + /)(«-+-/— 1) ~ е + / ’
-

( е ~ 1 )Р

1,

2 (е - н / — 2 )
(е - 1 ) Д - ( / - 1 )р

/Р

-/-2

’

2 (е

Р<7

-

1,

Р*7

(е

“

° 6 ~ ~ 2 ( е ч - / — 2)3

е - 2 ,

е —

0
— Р(Г

1 )/

(/— 1 ) е,

( / - 1 )/
1

,

0

,

0
/ ~

/ - - 1

>

У
1,

,

0

2,
,

=

е
/ - 2

0
1X

___ рт (2е / — З е —
1

>

е —

+
03
CS

1
1

/ -2

2 ( е + / - 2)2

е~- 1
—

1,

е

р<т (— е / -§- 2е — / )

2,

Р*
/

-ь /-2 )2

/ — 2

О

( / - 1 )/, / - 2
Р<*(— е/ч-2е — /)
2 (е-+-/— 2)2
е —

о _

е +

— (е — 1 )е

О,
/— е ,

~ 2 (е -н / — 2)2

/~ 2

2 (е-ь/ — 2)
1,

2 ( е - » - / — 2)3

e-t-f — 2

/ — 2)

(/ - !) *

О,

_

е-*-/ ’

3 /- 4 )
2)8

/ - 2

* __ р<т ( - е / + 2/ - е )
2(е-4-/ — 2)2
-Р^
64 - / — 2
и, наконец,
Л =

рс

4 (с - ь / — 2)

(>

\

( е - ь / ) ( е - ь / - 1)/

. Мы предполагали все время, что число ненаблюдаемых
событий
Л Д С,

Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями

459

играющих, однако, важную роль при установлении цепи
испытаний, равно трем. При таком предположении мы про
вели общие вычисления, можно Сказать, до конца, выразив
результат довольно простыми определителями. Общий харак
тер наших выводов остается одинаковым при любом числе
событий
А , В , С, . . . ,
но вычисления, конечно, усложняются с увеличением этого
числа.
Замечательно, однако, что последнему примеру мы мо
жем придать значительную общность, не усложняя суще
ственным образом окончательного вывода. Этой общности
мы достигаем, предполагая, что в первый сосуд помещено
не два, а любое определенное число шаров.
Итак, пример наш, относящийся к случаям, когда число
событий
А , В, С , . . .
как угодно велико, определяется нижеследующими усло
виями.
Совокупность е белых и / черных шаров распределена
на два сосуда, причем в один сосуд, который мы назовем
первым, помещено к шаров, а все остальные — в другой;
число шаров во втором сосуде, равное е - ь / — к , обозначим
буквою L
Между этими сосудами, не содержащими никаких других
шаров, производится последовательный обмен шаров, т. е.
производится ряд таких операций: из первого сосуда извле
кается один шар и переносится во второй и, одновременно,
один шар второго сосуда переносится в первый. Указанные
операции мы называем испытаниями, а событием Е назовем
белый цвет шара, переносимого из первого сосуда во вто
рой; наконец мы назовем событиями
А , 5, С , ...

Теория вероятностей

460

различные предположения о цвете шаров первого сосуда:
все белые, к — 1 белых, один черный,

все черные;

для удобства мы можем обозначить эти события символами
(к),

( к - 1 ),

( к - 2 ), . . . . ( 1 ),

(0),

где в скобках поставлены предполагаемые числа белых шаров.
Числа
ft к* Л
связанные равенством
е ч- / =
конечно, мы считаем данными.
Что же касается первоначального распределения щаров
между сосудами, то в наших исследованиях, имеющих в виду
предельные теоремы, оно может оставаться совершенно не
определенным.
На основании поставленных нами условий не трудно
определить для всех возможных значений г и j величины
(к—г) {к —г) (k —i),e (* —«),/

Р>

Р,

(*-»

Р

,

(*р-Л

которые представляют такие вероятности: первая — вероят
ность шару, переходящему из первого сосуда во второй,
быть белым, когда известно, что непосредственно перед
моментом этого перехода в первом сосуде было ровно к — i
белых шаров; вторая — вероятность тому же шару, при тех
же условиях, быть черным; третья — вероятность, что за
появившейся совокупностью событий
{к — г), Е
следует, непосредственно, событие
( к — Л,
и,

наконец,

четвертая — вероятность

событию

(к — j )

не

Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями

461

посредственно следовать за появившейся совокупностью
{к — г), F .
А именно имеем:
(к —г) £ _ . (&—•),«
г_ •
Р = —Г— ,
— -J-—
К (*—*—1)
z
(fc_*)
г* (*-•).«
<7 = -г , р = ----- >------ =
К

(к —*)

остальные же числа

(к —г),/
р , при / > г ,
(k—i)
(*-•)./
р
, при е > & — г;

(к~ »+ 1)

1

(k—i), в
, р .
(Л-Л

Р

(к — j )

— нули.
По этим данным можно тотчас представить соответствую
щую функцию
F ( b t)
в виде определителя * ч - 1 -го порядка.
Рассматривая затем миноры первого порядка этого опре
делителя, находим для пределов

(*) (k-i)
Р,

(fr-o

/>, ••.,

Р,

(1 ) (о)

.. .,р , /?,

к которым стремятся вероятности предположений
( к ),

( к -

1),

•••,(!), (0)

при неограниченном обмене шаров, простую общую формулу
(fc- 0
Р ~
_
1.2*3...*
е (е — 1) ••* (е — * -*-/ - 4 - 1 ) / ( / — 1) - •- (/'--z-f-1)
— 1 • 2 • (* — г)1 • 2 . . . г
(е -*- / ) (е -н / — 1) ••• (/ -f -1)

Вместе с тем оказывается, что предельные величины
р

и о

Теория вероятностей

462

вероятностей событий Е и F для испытаний, безгранична
удаленных от начального, выражаемые суммами
(k-i)

(* -t)

(Яг- 0

Р и 2а

2а Р

(fc— О

,

Р

соответственно равны
е
е+/

/
И е+/

'

О стается вычислить А . Наши формулы дают для А весьма
сложное выражение. Но путем рассмотрения частных случаев
мне удалось притти к замечательному, простому равенству
е/
■(в-*-/)8 {»•

2«
(в-*-Л<в- * - /=_!!)
»}•

Итак, обозначив буквою п число произведенных испыта
ний, т. е. число шаров, переложенных из первого сосуда во
второй, а буквою m соответствующее число появлений собы
тия Е у т. е. число белых шаров среди этих п шаров, мы мо
жем высказать такое предложение: при беспредельном во з
растании числа п вероятность неравенств
2kl
s

(s

\ ^ тп

— 1)/ ^

2k l

\

*(• -1)/1

п

где
s — e -t-f,
a tx и t2— любые данные числа, удовлетворяющие
венству t2 '^>t-i , стремится к пределу

Что касается отношения
А :

е/
И / ) 2’

нера

Об испытаниях, связанных в #епъ ненаблюдаемыми событиями 463

которое можно назвать коэффициентом дисперсии, то мы
считаем интересным отметить следующее:
1 ) этот коэффициент, в данном случае равный
1

2И
(в-*-/) ( в - * - / - 1 ) >

меньше единицы,
2 ) он не зависит от е и / в отдельности, а только от
суммы их,
3) при одной и той же величине е + /, но при различных
значениях к и /, он достигает наименьшей величины, равной
1
2

1
2 (е - ь / — 1)

1
ИЛИ 2

1
2 (е -ь /) »

когда
& = / или £ — /— dt ~ .

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ
ИСПЫТАНИЙ, СВЯЗАННЫХ В ЦЕПЬ

.Доложено в з а с е д а н и и Ф и зи к о-м ат е м ат и ч е ск ого от д ел ен и я
3 ф евраля 1910 г.

I

Исследуя простейший случай испытаний, связанных в цепь,
мы выяснили* возможность распространения на этот случай
закона больших чисел, а затем установили** для него и
теорему о пределе математического ожидания, из которой
вытекает, в силу работ Чебышева и моих, теорема о пределе
вероятности.
Наши выводы были основаны, в наиболее трудной своей
части, на рассмотрении производящих функций, которые для
данного случая выражаются довольно просто.
Рассмотрение производящих функций дало нам также
возможность перенести те же выводы на любую однород
ную *** цепь величин.****
Для неоднородных цепей этот прием едва ли может
вести к упрощению исследования, ввиду сложности самих
производящих функций.
Поэтому, желая распространить теоремы о пределе мате
матического ожидания и о пределе вероятности на величины,
* Распространение закона больших чисел на величины, зависящие
друг от друга. Изв. Физ.-мат. общ. при Казанск. унив., вторая серия,
т. X V , Jfe 4 [1].
** Исследование замечательного случая зависимых испытаний. Изв*
Акад. Наук, 1907.
*** Я полагаю, что этим термином можно охарактеризовать рас
смотренные нами цепи, в отличие от других цепей связанных величин*
**** Распространение предельных теорем исчисления вероятностей
на сумму величин, связанных в цепь. Зап. Акад. Наук, серия VIII;
т. XXII, № 9 Р].

30*

468

Теория вероятностей

связанные в неоднородную цепь, мы вынуждены возвра
титься к тем приемам, которые с успехом были нами приме
нены к различных случаям независимых величин и состоят
в том, что математическое ожидание степени суммы мы раз
лагаем, в силу формулы Ньютона, на отдельные суммы, из
которых затем выделяем суммы, возрастающие быстрее
всех прочих, с увеличением, конечно, числа рассматриваемых
величин.
В настоящей статье мы займемся общим случаем испы
таний, связанных в неоднородную цепь, которая не содержит
таких мест, где вероятность события может оказаться рав
ною нулю или единице, или произвольно близкою к этим
числам. Заметим, что под словом вероятность мы подразуме
ваем здесь, для каждого испытания, не одно, а три числа,
соответствующих различным данным, как было уже установ
лено в работе „Исследование замечательного случая зави
симых испытаний".
§ 1. Начиная наши исследования, мы прежде всего должны
установить условия вопроса и ввести ряд обозначений.
Мы будем рассматривать неограниченный ряд последова
тельных испытаний, которые будем отличать, по порядку,
друг от друга нумерами 1 , 2 , 3, . . .
При каждом из этих испытаний может появиться как не
которое событие Е , так и противоположное ему F '. Наши
испытания связаны в цепь таким образом, что для любого
целого положительного числа к имеем:
1 ) вероятность события Е при к - t - 1 -м испытании имеет
определенную величину р ^.м , пока результаты их вообще
остаются неопределенными; вероятность F при тех же усло
виях равна
<7*4-1 ^ 1

Рк+и

2 ) вероятность события Е при &~н 1 -м испытании прини

мает другую определенную величину р к + 1 , если результаты
последующих испытаний попрежнему остаются неопределен

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

469

ными, а непосредственно предшествующее испытание, т. е.
к-е, привело к событию Е , каковы бы ни были результаты
прочих испытаний, т. е. 1 -го, 2 -го, . . . , & — 1 -го; вероятность
события F при этих новых условиях равна
^

Рк+1>

3)
наконец, вероятность Е при £ - * - 1 -м испытании прини
мает третью определенную величину p^+v если результаты
последующих испытаний также остаются неопределенными,
а непосредственно предшествующее испытание, т. е. &-е, не
привело к событию Е , каковы бы ни были результаты про
чих испытаний, т. е. 1 -го, 2 -го, . . . , к — 1 -го; вероятность
событий F в этом последнем случае равна
Чк+1

1

Рк+1»

В силу этих условий к - ь 1-е испытание связано с 1-м,
через посредство к -го испытания и
становится независимым от них, коль скоро результат к-то
испытания определен.
К указанным данным нам надо прибавить еще вероят
ности
Pi и Яг — l — Р!

2 -м, . . . , & — 1 -м только

событий Е и F при первом испытании в предположении, что
результаты всех испытаний, вообще, остаются неопределен
ными.
Числа

Pv Р29 Р2>

Pv Рь*

• ••

можно задать произвольно; и по этим данным не трудно
последовательно найти

Р2у Рьу ••*уРк* Pk+it •* •
на основании простой общей формулы
Рк+1= Рк Рк+1

Як Рк+1-

(1)

Теория вероятностей

470

Эта формула может служить также для другой целй: при
помощи ее мы можем выразить
гг
Pk+V Pk+V Чк+V Чк+ 1
через
Рк+V Чк+1 » Рк' Як

и

К+1

Рк+1

Рк+1 -

В самом деле: полагая
н
Рк+1

г
Рк+1

^
°к+V

из формулы (1) ВЫВОДИМ
Рк+1= р'к+1 (Рк ■+■ я ь)— К+1 Чк= р'к+1— К+1 Як
и на этом основании тотчас можем установить ряд простых
равенств
Рк+1 ~ Рк+1
Рк+1 ~ Рк+1

К+1 9к> Як+l =

Чк+1 — К+1 Чк>

К+1 Рк> Як+1 == Чк+1

^

К+1 Рк-

Поэтому можно ввести в наши вычисления вместо
Pk+V Pk+V Як+V Чк+1
числа
Pk+it Чк+11 K+lt

что мы и сделаем, имея в виду сообщить нашим выводам
возможную простоту.
Следует заметить, что числа
г
tf
Pk+V Рк+1

~

ограничены только неравенствами
o < ^ ; +1 ^ i ,
в силу которых имеем

o£

p '1+1< L i

,

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

Если же вместо

и р £+1 мы введем числа
Pk-t-i и

1>

то, как не трудно убедиться, числа
ничены новыми неравенствами
_рк±1
+1<
= ,А *+
1 = —
Як
Як <
а числа

471

и

рк

должны быть огра

=

—

РК

’•

должны удовлетворять только неравенствам
о < ^ *+ 1^ 1 .

§ 2 . Остановимся теперь на важном для нашей цели
вопросе о вычислении вероятности события Е при £-м испы
тании, сначала под условием, что Е появилось при z-м испы
тании, а затем при противоположном условии, что Е не
появилось при z-м испытании, причем i < i k .
Для этой цели, обозначив первую из указанных вероят
ностей символом Р^\ а вторую — символом Р® и рассматри
вая их при различных величинах нижнего значка, выводим
простые уравнения

=/>*+r
p (0 — р й '
,
* fc+i Г ъ Ptc+l ^ ( i - /■?)

=

Вместе с тем замечаем*, что в силу установленных нами
обозначений должно быть
P Z l = P i t.l = Pi+ 1НЧ +1 Яо

Л +i = р'ш = Рм — &<+1 P i.
%

Ввиду таких равенств, не трудно из вышеприведенных
уравнений последовательно вывесть
Р !+2 =

P i+ 2

p {iU =

P i+ i -+• S i + 1

'\ '+ 1
2 ^i+3 Яг ,

Л + 2 =

P i+ 2 — \ + 1 К + 2 P i

P \% =

P i + 3 — \ + l & « + * \ +3 P i,

472

Теория вероятностей

и вообще

Так определяется, при условиях разбираемого вопроса,
вероятность события Е при к-м испытании, когда известен
результат /-го испытания, причем /<С к .
Не трудно также установить формулы для вычисления
вероятностей

события Е при /-м испытании под условием, что Е имеет
место при к-м испытании, и под условием, что Е не имеет
места при к-м испытании, причем попрежнему /<С к.
Эти последние формулы вытекают непосредственно из
формулы (3) и следующих простых равенств

а именно, имеем

(4)
Останавливаясь на формулах (3) и (4), заметим, что,
согласно сказанному нами в предисловии, ни одно из чисел
ръ и q k не равно нулю и не может быть сколь угодно близ
ким к нулю; так что для некоторых постоянных чисел р°
и р оправдываются неравенства
1 > Р ° > Р * > Р > 0

при любом значке к.
Делая подобное же предположение относительно всех
чисел р к+1 и р к+1, мы должны также установить общие не-

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

• 413

равенства

где S сохраняет одну и ту же величину при всех значе
ниях к .
Указанные неравенства будут играть важную роль в на
ших заключениях о предельных значениях исследуемых нами
выражений.
Можно, конечно, поставить вопрос о распространимости
окончательных выводов и на те случаи, для которых среди
чисел рк, 1 — Рк и Ък+ 1 встречаются произвольно близкие
к единице. Но мы не будем здесь заниматься этим трудным
вопросом, оставляя его открытым для других исследова
телей.
Напротив, не желая долго останавливаться на разборе
одного довольно сложного выражения, для выяснения бы
строты его возрастания, мы считаем рациональным в настоя
щей статье ограничить числа Ьк+1 некоторыми добавочными
неравенствами, при соблюдении которых выяснение этой
быстроты не представляет никаких затруднений. Эти нера
венства мы введем в надлежащем месте, а пока нам доста
точно вышеустайовленных неравенств.
Так, например, вышеустановленных неравенств достаточно
для того, чтобы из формул (3) и (4) вытекали неравенства
числ. зн •
числ. зн

( ^ ’>—

Р к ) < Ъ к '>

ЧИСЛ. з н . (Z ^ 0 — / > * ) < & *

*>

числ. зн

на основании которых мы можем заключить,
ности

что все раз

приближаются к пределу нуль, когда разность к — i возра
стает беспредельно. Но последнее заключение, конечно

Теория вероятностей

474

может оправдываться во многих других случаях, на которых
мы не останавливаемся.
§ 3. Обращаясь к рассмотрению совокупности первых п
испытаний, обозначим для нее буквою тп число появлений
события Е и, согласно известному правилу, положим
ТП—

Хг

-+- х 2 нн . . . Ч~ Х)с

х п.

(5)

Здесь Х]с означает единицу, если при к -м испытании
появляется событие Е , и нуль в противном случае, когда
при k -м испытании появляется событие F .
О возможных значениях числа тп мы будем рассуждать
в предположении, что результаты всех испытаний, вообще,
остаются неопределенными. При таком предположении мы
будем рассматривать математические ожидания различных
степеней разности
••• - + - р » ) ,

равной сумме
х 3 ~—р } ~+~х2~~р2-л- . . . -+-*« — Рп,
и сравнивать эти математические ожидания со степенями
числа п, ставя себе целью выделить из каждого математи
ческого ожидания главную его часть, определяющую закон
его возрастания, при беспредельном увеличении числа испы
таний. п .
Математическое ожидание первой степени разности

очевидно, равно нулю, ибо
м. о. х г = р и м .о.щ х2= р 2,

м. о. х п = рп.

Не трудно составить и математическое ожидание квадрата

47S

Исследование, общего случая испытаний, связанных в цепь

ее. Для этой цели пользуемся известным равенством
{xi — P i- * - x 2— p 2 -+- . . . + J C „ - / ) J 2 =
=

2

(х к — Р * У - * - 2

к = 1,2,. . . ,п

2

( * • ' - л ) ( * * — Рк)

* = 1 , 2 , . . . , и - 1; It = 1 4 - 1 , . . . , п

и затем вычисляем математические ожидания
(Xk — P k f И произведений (*:<— р () ( х к— р к).
Пользуясь при этом формулами (3), находим

квадратов

м.о. (х к — р к)2 = р к qk2 q k р к2 — р к qk,
м. о. (Xi— р{) (х к — р к) = Pi 9 , ( f p — р к) — q ( р( (р (0 — р к) =
=

P i 4 i (P l ° — W

)

—

^+2 •••

P i 4 i,

следовательно,
м. о. {m — p 1 — p t — . . . — p nf —

— 2
— Pi

P* 4* ^ 1

<7i (1 H

~ *~ Р *Ч ъО -

2<\+1 S(+2 4- . . .

i 2§,+1

=

-+- 2<1 + -... -+-2&2S3... §„)-ь
2S3-+-2&3 -+-... -+-2^3§4 ...

...................• * • • • • • • • • • • * • • •
Pn—i Яп- i (1 2Stt) -+- p n qn).

(6 )

Выражение математического ожидания квадрата разности
m — (р 1

. . . - ь р п),

составленное нами, дает возможность очень просто распро
странить на данный случай (теорему Бернулли) закон боль
ших чисел, если только числовые значения всех Ьк+1 оста
ются меньше одного и того числа Ь9 которое само меньше
единицы, как мы и предполагаем, согласно выше поставлен
ным условиям.
В самом деле, при

Т еория вероятностей

476

ни одна из сумм
1 -4- 28и, 1 ч - 28п_ 1 ч - 2$п_ 1 8n, . . . ,
1 ч- 2\ ч- 2\ 83 ч- . . . ч- 2 ^ 83 •••8W
не достигает величины

| ^ = 1-+-28ч-282ч-2834- . . . ч - 28“чи потому формула (6 ) дает нам неравенство
м. о. {пг — р, — р 2— . . . — р п)2< - £ •

g•

А из такого неравенства выводится закон больших чисел
путем известных рассуждений; так что с вероятностью, сколь
угодно близкою к достоверности, мы можем, при достаточно
большом п, утверждать, что разность
m

Pi

Р2

п

Рп

п

будет, по числовой величине, меньше любого данного числа.
Для дальнейших наших рассуждений, относящихся к мате
матическим ожиданиям высших степеней суммы
*]—

P l~ *~ X 2 —

р2Ч- . . .

- + - Х п — р п,

важно, чтобы отношение
м. о. (хг •— р г -ь х2 — р 2 ч - . . . •+•х„ — р п)2

п
не могло становиться произвольно малым.
Мы не остановимся на вопросе, достаточно ли вышеука
занных неравенств для того, чтобы последнее требование
было выполнено, а отметим только несколько случаев, когда
не трудно удостовериться в выполнении его. Во-первых, если
все

К К ...

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

477

числа положительные, то каждая из сумм
1 ■+1 нн 2%2

1 ■+- 2Ъп_ г ■+- 2§п_ г Ьм . . . ,
2Ь2
. . . -+- 2§2

не меньше единицы, и потому из формулы (6 ), при сохра
нении общих неравенств
1> Р ° > Р к > р > 0 у

вытекает простое неравенство
М. О. (хг

Pi Н- х 2 — р 2 и - . . . - * - хп — рп)2 ^

0\

(Л

------------------------------- ------------------------------> р (1 — р ).

Если же среди чисел
&з, . . .
встречаются отрицательные, но при этом введенное раньше
число S меньше -j- > то каждая из сумм
1 -ь 2\ , 1 -ь

28 ,^!

■+■2§и_ ] ЬП1 . ..

больше положительного числа
^

388 = 1 — 2Ь — 2S2 — 2 Р — . . . .

и потому мы можем установить, на основании формулы (6 ),
также простое неравенство
м. о. (х 1 —-/>! -н х2 — р 2

хп — р п)2 \

1 — 38

f

0\

------------------------------ -------------------------------> T Z T / > U — Р ).

Выяснив таким образом существование случаев, для кото
рых отношение
М. О. (* ! —- Р] -Н *2 — Р2

П

хп — Рп)2

Теория вероятностей

478

не может быть произвольно малым, мы в дальнейших выво
дах будем предполагать, что это условие выполнено, оставляя
под сомнением, заключает ли оно новое ограничение или
выполняется как следствие установленных ранее.*
§ 4 . Прежде чем заняться математическим ожиданием
t* i—

— р2

. . . + х й— р п)т

для любого данного целого положительного числа т , мы
остановимся еще на частном случае

т = 3,
разбор которого может служить для освещения некоторых
особенностей предстоящих рассуждений.
Нам надо доказать, что выражение
Х1 — Pi

х2 — Р2

v V О. (* 1 •— P i

хп

Рп

* 2 "— Р2 “+• • • • "“*" ХП— Рп)2,

стремится к пределу нуль, когда п возрастает беспредельно.
Для этой цели заметим, что исследуемое выражение должно
стремиться к пределу нуль, если к такому пределу прибли
жается отношение
М. О. (■*!

P l "+~ Х2

pg -Н . . . Н - Хп

3

р

» )3

’

п2
от которого оно отличается только конечным множителем
согласно условию, установленному нами в конце предыду
щего параграфа. Затем обращаем внимание на известное
простое равенство
(Xl— P i+ X z — Pz-*- . . .

— р пу =

1 <*<*
* Мы устраним это сомнение в конце статьи.

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

-+-3 ^

-*-6

2

479

(x t — р ,){х к — p kf-+ -

{Xi— Pl){x.lc — Pk)(xi — Pi),

вытекающее, как частный случай, из обобщенной формулы
Ньютона относительно степени суммы, и соответственно ему
рассматриваем математические ожидания сумм
2

2 (х 1— р*У (хк — р к), 2 (х<— р {)(х к— р„)г,

2 (*< ~~ р*)

— ръ) (*<— Pt)-

Математическое ожидание первой из них равно сумме
2

л *(*? -/ > ? ),

состоящей из п слагаемых, ни одно из которых не дости
гает по числовой величине

*

; поэтому отношение

м. о. 2(дц — jpQ3
п

остается числом конечным; и отношение
м. о. 2) (*,• — р,)3

приближается к пределу нуль, когда п возрастает беспре
дельно.
Обращаясь ко второй сумме, находим
м. о. (х, — P i f (хк — р к) = Pi q) ( p f — р к) 1 < 7 , (Н ° — Рк) —

= р 4<7,-(<7, — /з.) <*<+1 (\+2. . . Ьк
и отсюда выводим
м .о. v

(x . — P i y ( x k — p k) =

Теория вероятностей

480

— Pi Яг (Я г — Pi) {
-+~Р2 Я2 (Я 2 -- Р 2) { ^3
~ъ~Р 11—1 Яп—1 {.Яп—1

•••“^ А ^ з •* •К }

•••<>п*} ■+-

Pn-l) ^и*

А это равенство обнаруживает, что отношение

м. О. 2 (xj —-Pi)2(xjc —-pic)
п

остается также числом конечным, и потому
пред.
1*=оо

М. о. 2 (*г-—- Pi)2(xjc — р к )
3

= 0,

ибо по числовой величине все произведения

Pi 4i (<7i — Pi)i Pi <7a(Ч2 — Pi)> • • •, Pn-i <7«-i (<7*i-i — Pn-i)
меньше
^ •+ 1

> а любая из сумм
г\ ч ы ^ + 2

Ч ”

^

4 -1 ^ + 2 ^ * + 3

■ + “

• • • Ч ~

f\ * + 2

* * •

при наших условиях, меньше
8

1—8 ’

Подобным же образом для третьей суммы получаем
м. о. (х( — Pi) (х к — р ку = Pi q( { Р р

— Р кУ) p i — Р к ) ql —

— (1 — ~P{k ) p l f = P i 9 i ( q k — P k )h + A + 2 •••Ъ
и на основании этого равенства легко приходим к заключе
нию, что отношение

М.О. 2 (Xi

—

P i ) ( Хк

—- Р к ) 2

3_

п¥
также стремится к пределу нуль вместе с ~ •

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

481

О стается рассмотреть математическое ожидание последней
суммы, состоящей из произведений

(*< — Pi) (х* — Pi) (Xi — pi),
где

i<k<l.
К выражению математического ожидания произведения
(Xi— Pi) (хк— р к) (хг — Pi)
при

i<к<1,
можно придти различными путями. В основание наших вычи
слений мы положим то обстоятельство, что
и хг становятся,
по условиям вопроса, независимыми друг от друга, когда
значение Xk определено. А для х^ возможно два значения
О и 1 , вероятности которых соответственно равны рц и q
Вместе с тем не трудно видеть, что при х*- = 1 математи
ческие ожидания
X г И Хг

соответственно равны
Р?> и р\к\
а при
= 0 математические ожидания тех же величин x i9 Xj
соответственно равны
П

] и

W

-

На этом основании, принимая во внимание формулы (3)
и (4), находим
м .о . ( x i — p i) ( x k — ' p k) ( x l — pi) =
i<k<l

r::::rPi 9i (Як

Pk) ^t+i • • • \ ^Ач-i • • •

А. А. Марков. Избр. труды

Теория вероятностей

482

и потому
м .о . 2

(*; — Pi) (*к — Рк) (*< ~ Pi) =

— 2

Pi 4i (я* — />1,-)4+1 . . . 4 4+1 • • • ^ =

=

Pi <7. Си

\<i<k<l<n

^

где

С< = ^

(Як— Рк) 4+1 • • • 4 ^+1 • • • 4 =

i<k<<l<n
=

^

(? *— ^ ) 4 + i •••4 Dk

D k--- 2 <Wl •••^ ---f\ +l ~+~^c+l ^Лч-2

<Wl ^+2 ••*

Рассматривая же последовательно Dk и С,, получаем про
стые неравенства

(

8

\2

ТЗГ§) »

1 —а

откуда тотчас выводим

- р*) (xk —pit) (*г — pi) ^ 1 / 5 \2
числ. зн. м. о. 2 (х{ —
*
4 4ll-S/
и, наконец,

„ „ ж м. о. 2 (xj — pj) (xk — р к) (xi — pj) _л
пред.
w=°°

з
-sna

"*■—о.

Итак, при беспредельном возрастании числа п все четыре
отношения
м. о. 2 (xj — р»)3
3

м. о. 2 (xi — pi)2 (xk — рк)
7

3

n

м. о. 2 (xi —pi) (xk — pk)2
’

3

y

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь
м.

о.

483

2 ( д с * — P i)( xic — P k ) ( x i — p i )

п2
стремятся к пределу нуль, а вместе с ними должно стре
миться к нулю и отношение
м. о. (хл — Pi -н х 2 — Р2 -+• ••. "Ь

— Ря)3

в силу вышеуказанного простого равенства.
§ 5. Перейдем, наконец, к общим выводам, не останавли
ваясь в отдельности на случаях
m = 4, 5, . . .
В силу обобщенной формулы Ньютона мы можем для
любого данного целого положительного числа тп установить
равенство
(*i ~~ Pi

*2~

Р2 ■ +- • • •

х н — р»Уп =

= 2Х „
,.х 2 (*.•-?.')’ (*у - Pj)t (хк — РкУ . . . { x i - p i f
а,Р.....X
4,j,
где
✓-у

(7)

__________________ 1 •2 •3 • • • m_______________ _
* х—
- •1 •2 • • •X ’

а суммирования должны быть распространены на все сово
купности целых положительных чисел а, (3, . . . , ^, удовле
творяющие условию
а -»-(3-+-у ■+- . . . ч -Х = т ,
и на все совокупности целых положительных чисел /, /, к
удовлетворяющих неравенствам

г < 7 < & < . . . < /< п.
31*

Теория вероятностей

484

Важно заметить, что число сумм
— р *У

2

~~

( * * — РкУ ■■- ( х ,— p t)\

которые нам приходится рассматривать, не возрастает бес
предельно вместе с п, а остаётся конечным.
Останавливаясь на одной из этих сумм, станем рассмат
ривать ее математическое ожидание, что приводится к рас
смотрению математических ожиданий ее слагаемых

(*«— p i t ( x j —

p j f (хк

рнУ ■ ■ ■

(*; —

Pif.

Математическое ожидание подобного произведения пред
ставляется суммою конечного числа слагаемых вида
6

~ P iY & “

p jV

•••(Sr~ PiY A { B + G8,+1 . . . bj) (С-ь/Йу+1 . . . h ) ...

З д есь каждое из чисел
Ь,

6

равно единице или нулю, А равно вероятности равенства
=
сумма В - ь Gbi+1 . . . Sy равна вероятности равенства
Ху = £у, когда установлено уже равенство л:,- = £у, сумма
С-ь//^у +1 • • •
равна вероятности равенства х* = £&, когда
установлено равенство Ху = £у, и т. д.
Для нас важно заметить, что все числа
А , В , G, С, Н , . . .
остаются всегда конечными, ибо они определяются равен
ствами
А = р (
С

или <7,, B
— р к или

или
#= ±

— pj

или ±<7,,
или ± <7Л ...
G = ± P i

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

485

Составленное нами выражение математического ожидания
произведения
(*< — PiY (x j — P ) f • ■ '{ х I — P it
не трудно представить также в виде суммы

L - ^ M 1й;+1 bi+2) • • • Sy -ь М 2bj+1 Sy+2 • • • -ь . . . -ь
St+1 bi+2 • • •Sy Sy+1 ••• 8*
ч-

(8 )

расположенной по произведениям
<Wi <W2 • • •К h + i • • •4
и по различным сочетаниям их в сложные произведения.
И в силу приведенных объяснений можем утверждать, что
для любой данной системы показателей
а, р, у, . . ., *
все количества
I , М3, Af*

7V1? . . .

остаются конечными, к^к бы
и каковы бы ни были значки
Л j

у

велико

ни

было

число

п

•••у К

ограниченные только неравенствами
i < j < k <

. . . < / < л,

хотя бы л возрастало беспредельно.
Преследуя определенную цель, мы не остановимся на
разборе состава выражений
Ly Л/3, М%у . . . , */V3, •..}
но отметим только, что исключение из суммы (8) всех чле
нов, содержащих определенное произведение из нашей сово

Теория вероятностей

486

купности произведений
'\+1 • • •8/, '\+! • • •К

•••

равносильно разрыву цепи величин
*/,

Хг

в соответствующем месте, так что вместо одной мы полу
чаем две цепи, что ведет к замене рассматриваемого нами
математического ожидания произведением двух математиче
ских ожиданий. Если же мы оставим в сумме (8) только те
члены, которые не содержат нескольких из произведений
W

, <V+i * * ‘

•••>

то цепь величин
*у, Хщ

Хг

будет разделена на несколько отдельных цепей, и вместо
рассматриваемого математического ожидания мы получим
произведение нескольких математических ожиданий.
Например, если из суммы (8) мы исключим все члены,
содержащие множитель Sy+1 • • • то оставшаяся сумма будет
равна
м. о. (х , — p i f {х ^— p f f X м. о. (хк — р ку • ■ ■{xt — Pi f ;
если же мы оставим в сумме (8) только те члены, которые
не содержат ни bi+1 • • • ни Sy+1 • • • то вместо рассматри
ваемого математического ожидания получим
М. О.

—

Р (У

X М. о. (лгу —

P jf

X М. о.

( х к — р ку

• • • (х I —

P if.

Наконец, первый член L нашей суммы, к которому она
приводится по отбрасывании всех членов, содержащих мно
жители

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

равен, конечно, произведению
отдельных степеней
м. о.

X М. о.

математических

(X j — p f f

• • • X м. о. (xj

487

ожиданий

Pi) *

Приведенными соображениями о разделении цепи на
несколько отдельных цепей мы воспользуемся для опреде
ления главной части выражения
м .о . 2 (*,•— p t) * { x j — p , f - ■ •(x,— pif,
т. е. той его части, которая в нашем исследовании играет
решающую роль.
Но предварительно установим формулу
м. о. 2

•(xi — p i f =

(*< — Р:Т (Xj — p f f {х к -

= 2

£ + 2 ^ A -iW

-

Л -+ - •••
i 1■* • : -f- . . . 4 -

*

- ь ...................................................(9 )
на основании указанного выше выражения (8) математиче
ского ожидания произведения
(Xi — Pi)* (x j — P j f ■ • •(* , — P tf.
Суммы, обозначенные здесь буквою 2 , распространяются
на все возможные величины значков, удовлетворяющие
неравенствам
i< j< k < ...< l£ n .
Мы можем привести эти суммы к многократным, причем
каждое суммирование будет относиться только к одному
значку. Располагая эти отдельные суммирования в порядке
убывающих значков
/ > . . . > & > у ’> г,
мы должны каждому значку, занимающему у нас определен
ное место, придавать, для составления соответствующей

488

Теория вероятностей

суммы, все возможные значения, превосходящие следующий
значок, но не превосходящие числа п. Число этих суммиро
ваний равно числу показателей
а, р, у, • ••,
Обращаясь к вопросу о возможной быстроте возрастания
наших многократных сумм

.........
при беспредельном возрастании числа я, мы можем, по отно
шению к каждой из них в отдельности, разбить только что
упомянутые последовательные суммирования по значкам
/, •••,

У, i

на две группы таким образом, что для нашей цели все сум
мирования первой группы можно сравнивать с повторением
я раз одного и того же числа, а суммирование второй
группы — с геометрической прогрессией, для которой отно
шение последующего члена к предыдущему равно
И отсюда не трудно заключить, что отношение рассма
триваемой многократной суммы к степени числа я, равной
числу соответствующих суммирований первой группы, должно
оставаться числом конечным, при беспредельном возраста
нии я .
В частности, для

SZ,
все суммирования по отдельным значкам мы должны причи
слить к первой группе, и соответственно этому, в тех случаях,
когда мы не можем установить равенства
L = О,
мы можем утверждать только, что должно оставаться конеч
ным отношение

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

489

ZL

где

g

означает число показателей
1^» У» • • •>

Для любой из прочих сумм, составляющих вторую часть
формулы (9), число суммирований первой группы меньше с,
и потому отношение ее к п должно стремиться к пределу
нуль, при беспредельном возрастании п; например, для

следует отнести ко второй группе суммирование по значку у,
и потому в первой группе останется только <з — 1 суммиро
ваний, а для

надо отнести ко второй группе как суммирование по значку
у, так и суммирование по значку к , и, следовательно, в пер
вой группе остается только а — 2 суммирований.
Поэтому мы можем утверждать, что разность
м. о. 2 (х{ — р 4)* (x j — p jf i • • - (дч — p i t
n®

где a — число показателей а, (3, . . . , Х ,
к пределу нуль, при беспредельном
Вместе с тем сумма 2 1 , равная
2

2L
na

должна приближаться
возрастании числа п .

М. о. {Xi— p i f X М. о. (x j — p j f • • • X м. о. (xi — p i f ,

будет у нас главным членом выражения
м. о. 2 {Xi — P t f i x j — P j f •••(хг — pif
во всех случаях, за исключением тех, когда среди показателей
а, р, y , ••-,

а

Теория вероятностей

490

встречаются равные единице. В этих последних случаях,
которыми мы сейчас займемся, сумма ZL приводится к нулю,
ибо все слагаемые ее L оказываются равными нулю.
§ б. Останавливаясь на случаях, когда среди показателей
а, р, у, . . . , X встречаются равные единице, введем для сокра
щения речи следующие выражения: 1 ) при
i < j < k < ...< l
будем называть произведения
^*’+1 ^+2 * * *

^ ‘+2 * * *

***

соответственно коэффициентами связи
/су,

у с к, . . . ,

2 ) в произведении

{xt— PiYixj— pjY •••(xi— pif
будем называть

ос, р, . . . , X
соответственно показателями значков
/, у, . . . , / .
Введенные нами выражения дают возможность кратко
и ясно формулировать такое предложение: если в п р о и зв ед е
нии
(*. — PiY (*/ — P , f (■**•— РкУ ' • •{х г — P it,
где

i<j<k<Z ...

< Z,

п о к а за т е л ь какого-ли бо и з зн а ч к о в

i,j, к, ...,1

Исследование общего случая испытаний, связанных в иепь

491

р ав ен ед и н и ц е, т о в вы раж ении (8 ) м ат ем ат и ч еского ож и
д а н и я п р о и зв ед ен и я
(Xi — PiY (Xj — PjY (xk — p ky • • - ( x i— pi)'
нет ч л ен ов , не со д ер ж а щ и х , по край н ей м ер е% од н ого и з
коэф ф и ц иент ов св я зи эт ого зн а ч к а со см еж ны м и зн а ч 
кам и ; в част н ост и , при & = 1 в со ст ав вы раж ен и я ( 8 ) д о л 
жен в х о д и т ь общ им м н ож и т елем коэф ф ициент с в я з и
зн а ч к а i с п осл еду ю щ и м зн а ч к о м у, равн ы й
^*+1 ^«’+2 * * *

>

а при 1 — 1 в со ст ав вы раж ен и я (8) д ол ж ен в х о д и т ь общ им
м н ож ит елем коэф ф ициент с в я зи зн а ч к а I с н еп о ср ед ст в ен н о п редш ест вую щ и м ем у зн а ч к о м .
Это предложение можно доказать кратко и просто при
помощи приведенных нами раньше соображений о разделении
цепи величин
X j 9 X j 9 Xkf

• • •» Х\

на несколько отдельных цепей.
В самом деле, если мы выделим один из значков
и л К •••> I
и исключим из выражения (8) все члены, содержащие коэф
фициенты связи этого значка со смежными, то оставшаяся
сумма будет представлять, как было уже нами замечено, не
математическое ожидание произведения
(x t— p iY ix j — p j f • • •( х ,— р,)\
а произведение трех или двух математических ожиданий.
И одно из них будет членом ряда
м. о. ( х ,— PiY, м. о. ( x j — pjY ,

м. о. (х,- — Pl f ,

соответствующим выделенному нами значку.

Теория вероятностей

492

Наше замечание относится ко всем случаям. Если же
показатель выделенного значка равен единице, то соответ
ствующий ему член ряда
М. О. {Xi — piY, м. о

М. о . ( x j — p i f

равен нулю, ибо
м. о.

(X i

— P i ) = м. о.

(x j

—P

j)—

. . . = м. о. (хг — рг) = 0.

Тогда, конечно, приводится к нулю и наше произведение
трех математических ожиданий, равное сумме всех членов
выражения (8) кроме исключенных нами; следовательно, в этом
случае выражение (8) состоит только из исключенных нами
членов, в состав которых входит множителем, по крайней
мере, один из коэффициентов связи выделенного значка со
смежными значками.
Таким образом наше предложение доказано.
Оно послужит нам основанием для дальнейших заключе
ний о суммах, составляющих вторую часть формулы (9),
специально в тех случаях, когда среди показателей
а, р, у, . . X
встречаются равные единице.
Относительно этих сумм нами было уже замечено, что
они сводятся к последовательным суммированиям по отдель
ным значкам, расположенным в убывающем порядке. Что же
касается последовательных суммирований, то мы разбили их
на две группы: суммирования первой группы мы сравниваем
с повторением одного и того же числа, а суммирования вто
рой группы — с геометрическою убывающею прогрессиею.
И соответственно этому мы заключили, что отношение
каждой из наших сумм, составляющих вторую часть фор
мулы (9), к степени числа гг, равной числу соответствующих
суммирований первой группы, должно оставаться числом
конечным, при беспредельном возрастании числа гг.

Исследование общего случая испытаний, связанных в \цепь

493

Высшим пределом для числа суммирований первой группы,
во всех случаях, может, конечно, служить число показателей
*» Р» Y* •••» X.
Для нашей Цели этого предела достаточно, если только
среди показателей
Р» У» •••» ^
нет равных единице. А именно, если при
ос

(3 + у ■+■ •••■+* У>—
—-тп

имеем

то число показателей
а, р, у, . . . , \
равно

тп

~2

> и мы можем установить равенство
пред.
п—00

м. о. 2 (*,• — pi)2 (xj — pj)2 •••(*< — pQ3

m

2 c/jt Cj^j *

m

с/, i

( 10)

= 0,

где
С„< = M. О. (л, — р,)2, Су,у = М. О. (jfy — Ру)8, •••,
С/,/ ——м. о.{x x — p i f
i< j<

... < 1 < п .

На том же основании не трудно установить равенство
пред.
п—00

м. о. 2 (xj — p i f (ху — p j f ■ ■ ■ (х/ — рг)х
m

9

п«

если среди показателей
*9 Р, Т,

q

1

\

/

494

Теория вероятностей

не только нет равных единице, но и встречаются большие
двойки, ибо число их тогда меньше

*

Если же среди показателей
а, Р, у,
встречаются равные единице, то нам необходимо установить
другой высший предел для числа суммирований первой
группы, меньший числа показателей ос, (3, . . ., 1.
Другими словами, нам надо установить теперь некоторый
низший предел для числа суммирований второй группы,
отличный от нуля. А так как число суммирований второй
группы для каждого члена равно числу коэффициентов связи,
входящих в состав его, то наша задача приводится к разы
сканию низшего предела этого последнего числа.
Для установления такого предела остановимся на сово
купности коэффициентов связи, входящих в состав какоголибо одного из неуничтожающихся членов второй части
формулы (9), или, что все равно, соответственного ему члена
выражения (8).
В этой совокупности должно быть, в силу доказанного
предложения, по крайней мере по одному коэффициенту связи
со смежными для каждого значка, показатель которого равен
единице. И двум таким значкам может соответствовать один
общий коэффициент связи только тогда, когда между ними
в ряду возрастающих значков
У»

* ••> I

нет промежуточных, а стоят они рядом.
Отсюда уже не трудно заключить, что для любого члена
второй части формулы ( 9 ), не исчезающего, а действительно
в нее входящего, число суммирований второй группы не
меньше половины числа всех показателей
Р, у,

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

495

равных единице, и может ей равняться только в том случае,
если все значки, показатели которых равны единице, разби
ваются на отдельные пары смежных значков, и в выбранном
нами члене находятся все коэффициенты связи этих пар
в отдельности, но нет никаких других коэффициентов связи.
Следовательно, если совокупность показателей
У> •••, ^
состоит из
у1 единиц, $ двоек, у' троек, Ъ* четверок и т. д.,
то

/п ^ ос + (3+ у + . . . + X;—

у ! нн 2В

Зу + 4У + . . . ,

а за высший предел числа суммирований первой группы, для
всех рассматриваемых нами сумм, мы можем взять
2

и этот высший предел достигается только при указанных
нами условиях.
С другой стороны, не трудно видеть, что сумма
^ - - b p '- b - y '- b S '- b . . .
меньше половины суммы

а'ч-2р'-ьЗу'-н4§'-ь . . . ,
если только не все числа

у г, Ъг . . .
равны нулю.
Поэтому мы можем равенство
пред.

м. о. 2 (xj — р,)а (xj — ру)Р • • • ( * ! — p i t

♦и

О,

(И)

Теория вероятностей

496

о котором была уже речь, распространить на все совокуп
ности показателей
а, Р, Г» •••> А
удовлетворяющие условию
ОС -t~ (3 +

V - 4 - • . . —I - к = ■ /71

и не состоящие исключительно из двоек и из пар смежных
единиц.
§ 7. Распространив таким образом равенство (11), мы на
основании его и формул (7) и (9) немедленно заключаем, что
при m нечетном отношение
М. О. ( * ! - - P i

Хп —

* 2 — Р 2 -*" • • •

m

п

о

должно приближаться к пределу нуль, если п станет возра
стать беспредельно; ибо совокупность показателей

*» Р. Y» • • • » *
не может состоять
двоек, если сумма

только
ОС +

+

из
у

пар смежных единиц и из
. . . +

А

— число нечетное.
А так как, в силу сказанного в § 3, отношение
м . о . ( х 1 —•P i -Ь х 2 — Р2 -+■ ■ • • -+• х п — Рп) 2

п
оставаясь конечным, не может быть у нас произвольно
малым, то последнее заключение, для любого нечетного поло
жительного числа т , мы можем выразить простою формулой
пред. м. ° . {
П—00

•Х „ --- Р п
n/ m . 0 . 2 ( х Х —

P l -+-

х 2 — р2 *+•...

\m

-Ь х п — рп)2'
(12)

= -L

f tme - p d t,

V7T —оо
-

правая часть которой, при m нечетном, равна нулю.

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

497

Чтобы притти к той же формуле (12) и для четных пока
зателей т.у нам надо окончательно выяснить главную часть
м.

0

.

P iY (x .i — P j f ■••(*; — Pi)'

для тех совокупностей показателей
а, р, у, . . . , X,
которые состоят только из двоек и из отдельных пар смеж
ных единиц.
Согласно замеченному в предыдущем параграфе, для
таких совокупностей показателей
&9

Р»

У 9 • * * 9

главным членом второй части формулы (9) будет тот, кото
рый содержит все коэффициенты связи отдельных пар и не
содержит других коэффициентов связи, причем число сумми
рований первой группы в нем как раз равно половине числа
771

=

ОС - f -

Р

“ 1“

у

+

.

. .

+

к.

В силу же приведенных раньше соображений о разрыве
цепи на несколько цепей нетрудно заключить, что этот член,
служащий главною частью для
м. o . ^
y i {xi — p iY {x j - - p if . . . (*г ---р,)\
в рассматриваемых нами случаях равен сумме произведений,
составленных надлежащим образом из математических ожи
даний квадратов одних из разностей
Xi — p i,

x j — p j, . . . , xi — pi

и математических ожиданий произведений
взятых попарно.
32 Л. А. Марков. Избр. труды

других из них,

Теория вероятностей

498

Это заключение можно представить такою формулою

пред.

м. о. 2 (*• — Ре) ( х / — P f) (Xff — Рд) (хъ — р и ) . . .

m
о

(1 3 )
= 0,
где
< V = M- о .(х е— p f)(xy —

Pf),

c!l>h = u . o . ( x 9— p g)( x h — p !l), . . .

и значки
е 9 /» §У hy •••У
число которых в каждом произведении
(хе —

р е) (X f — p i) (.Хд —

Рд) ( x h —

Р h) .. . И C h j Сд ,

. . .

равно ту ограничены только неравенствами
• . . <>п,
причем двойственность знака
между е й / , между g и А*
и т. д. устраняется, когда выяснены все квадратные множи
тели произведений
{ х е — Ре) (xf — P f) (хд —

Рд) ( x h — р,) . . .

Формула (13) заключает в себе, как частный случай, от
меченное раньше равенство ( 10 ), к которому мы придем, если
положим
* = / » g = hy •••
Для удобства дальнейших выводов
обозначения: а именно, положим
С , у = М . О . ( л Г , — р ()2 =

введем

И 2cf V = 2 M . 0 .(х,—

еще новые

Pi)(Xf—

pj) =

Dif

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

499

при i < C j ; второй значок у, в выражении Д-,у, никогда не
будет у . нас меньше первого /.
Употребляя эти новые обозначения, мы прежде всего
можем представить математическое ожидание квадрата
( * ! — Oj-bXa — р2-н . . .

— р„У

в виде суммы

2 Д ,у ,
распространенной на все
неравенствам

значки i и у,

i^

удовлетворяющие

У ^

где знак <С, между i и j , не фиксирован, как в формуле (13),
а остается двойным.
Затем на основании формул (7), ( 1 1 ) и (13) не трудно
установить, при тп четном, следующую формулу

пред.

м. о.

(х ' 1

—

Р-, -н * 2

— Р2

т

• • . ■+-

Х1г— рп)т

п2
1 •2 •3 ••
т

!2 Д , / Д

(14)
= 0,

(2 п ) ~

где значкам
/»

h-i • • •>

число которых в каждом произведении
Д ,/
равно т , надо давать все значения, удовлетворяющие нера
венствам
. .. < > ,
32*

Теория вероятностей

500

причем знаки
между е й / , между g и Л, и т* д.
не фиксированы, как в формуле (13), а остаются двойными,
как в только что упомянутой сумме 2 А , у
О стается сравнить сумму
2 д ,/ Дг,л * * * >

которая входит в формулу (14) и которую для краткости мы
обозначим одною буквою S , со степенью
m

( 2 А ,/ ) 8 •

Эта степень содержит всю нашу сумму
s

= 2

a

,,a ,* -

с коэффициентом
1 - 2 - 3 . . . —и другие произведения того же вида

А , / Дг,л •• •.
но не удовлетворяющие нашим неравенствам
e < L f < g < . h < ...
Нам надо доказать, что отношение суммы последних произведений, взятых, конечно, с надлежащими коэффициентами
для образования разности
тп
( 2 а , у)2 - 1 - 2 - 3 - - — S,
m
~2~
к п , стремится к пределу нуль, когда п возрастает бес
предельно.

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

501

Рассматривая совокупность произведений
Dff^u •• • ,
образующих разность

m

Qto,,)T - t - 2 . 3 - f

5,

мы, для избежания повторения одних и тех же произведений
много раз и для выяснения состава исследуемой совокуп
ности, установим некоторый порядок во множителях: а именно,
мы будем всегда располагать первые значки
е,

g, . . .

в возрастающем порядке, а при одном и том же пер
вом значке расположим в возрастающем порядке вторые
значки.
Установив, таким образом, порядок множителей произве
дения
л , / А , * *** >

мы легко можем решить вопрос: входит ли оно в сумму S
или, напротив, принадлежит к той совокупности, которая
образует разность
m
( 2 Д , у) 2 — 1 ■2 • 3

S

и которую нам надо исследовать.
Если произведение
А ,/ А , л
принадлежит к исследуемой теперь совокупности, то в нем
один из вторых значков
/, h, . . .
должен быть не меньше следующего за ним первого значка:
например, /"> <?.

Теория вероятностей

502

Этим замечанием мы воспользуемся
суммы, содержащей *все члены разности

для

образования

(2 Д ,/ - 1 -2 - 3 --fS
и потому дающей, по замене количеств Д ?у их абсолютными
величинами D\ ., число, заведомо большее этой разности.
Рассмотрим совокупность тех произведений
Дг,Л ' * ' >
в состав которых входит один и тот же множитель Д .,5 и
притом так, что правый значок множителя, следующего за
Д ., 5, не превосходит число s. Не трудно заметить, что эта
совокупность составляет часть той, которая получается по
выполнении выкладок из выражения

A,,. -+- A, i+i 1 A,.)f+2
A+l,r+l -+■ A+l,)+2
-ь Д ?9 -ь Д.,8+1 ь Д,.9+2

•••

где первый множитель
.\
Ч

тп ( тп
~2\2

определяет коэффициент, с которым наши произведения могут
m

входить в (2 д , / .
Заменяя в составленном выражении все D с разными
значками их числовыми величинами D с теми же значками
и складывая получаемые таким образом выражения при всех
возможных значках г и s, мы приходим к сумме
1

1

? ( i M A U Z a .,)

r<Cs*Cn

2- 2

Dr

ID’

1

' А-.Г+2'

■)
d

’ +

d в,
: S+l

/У + 2
*^s,s

J

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

503

которую мы для краткости обозначим просто буквою 2 и
которая, наверно, превосходит числовую величину разности

1 -2

(2 д , /

3--^ S .

С другой стороны, согласно выводам § 3, имеем неравенства
Ж

, < т - г а ’
<г

Д .г 4 ” Д г+1 ~Ь Д ,,+2

2 (1 — В) ’

А , * ■+■A '.s+ i“H А , а+2~ь •••< 2 ( 1 — 5) ’
на основании которых получаем
--2

2 < т ( 1 - 1) г ( т Ь ) ( т й Г
^

_Л

m { тп

и

(1+2S + 3S + 4S4-...)
--2
/гг 1 —
I—о \ 2

Следовательно, численная величина разности
m

(2 Д ,,)Г - 1 - 2 - 3 - ~ 5
также должна быть меньше
пг

пг [ пг

Л\

п

/ п 1 + ^2

1 / 4 ( 1 — В)3 \ Т

~Т\~2

’

Т ^ Ъ )

и потому мы можем установить формулу

пред.

m

¥

>)

1-2-3

m

Т

«S'

*

_ 2

= 0,

(15)

Теория вероятностей

504

где 5 означает ту самую сумму

которая входит у нас в формулу (14).
О стается сопоставить формулу (15) с (14) и принять во
внимание известное равенство
+00

Ч^ТГ J

HL

-0 0

чтобы немедленно,
к формуле

2 2

для любого четного числа т ,

Хп— Рп

.У! — Я! -+ х 2 — Р2

пред. м. о. {
П= 00
^V m . О. 2

(* 1 — P i •+■

Х2 —

' хп — рп)2 J

Р2 •

( 12)

TW

— f

V7T

придти

t me ~ p d t ,

^

которая была уже нами раньше установлена для нечетных
показателей.
Убедившись в справедливости формулы ( 12 ) при всех
целых показателях т , мы на основании ее можем, как из
вестно, заключить, что для любых данных чисел ^ и
вероятность сохранения неравенств
< i<

xl —pi~*rX2 — Р2 '
2 (xi — P i -+- Х2 ■ "Р2 *

V^M. О.

•Рп
<
■ •■Рн)5

-Хп ■

или, что все равно, неравенств
t <
1

171 ^
Р» •
Ум. о. 2 (m — р! — р2 — . . . — рп)2

приближается к пределу* равному
^2

когда п возрастает беспредельно.

i

2

t 2

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

505

Что касается математического ожидания квадрата
(,пг— р 1 — р %— . . . — р п)\
то оно определяется формулою (6 ), установленною раньше.
Таким образом мы распространяем теорему о выражении
предела вероятности интегралом Лапласа на общий случай
испытаний, связанных в цепь, при некоторых ограничениях,
которые указаны выше и вызваны ходом наших рассуждений.
§ 8. В заключение статьи вернемся к математическому
ожиданию квадрата
(пг — р г — р 2~ . . . — р п)\
которое, согласно формуле (6 ), равно
Р\ Я\ (1
2^2 + 2^2 S3 НН . . . + 2S26g •••SM
) -ь
■+■Р2 Я2
2^3 ~+~2^3 -+■ . . . “t“ 2S3 •••Sw)-+Рп—2 Як—3(1
2§м_ г + 2Sn—-j Sn) —
ь-pn_i (jn—1(1 “+"2<^) i РпЯп*
и постараемся выяснить, что условие, установленное нами
в § 3, не вводит новых ограничений, сверх указанных в пре
дисловии.
Для этой цели выводим из формул (2) простые равенства-

.

Pk+i Ян+г = (Pk+i

\+1 Рк) ( Як+1 •+■

= 4+1 Рк Як •+■\+1 (Рк Я м

Як) =
Рк+г я'к+1

ЯкРк+i)

и
Рк+1Як+l ~ (Рк+1

= 4+1 Рк Як—

К+1 Як) (

( PkPk+i

К+1Рк) ~

Як я*+0 +

и на основании их заключаем, что разность
Рк+1 Як+1

^*+1 Рк Як

не меньше одного из произведений
Рк+1 Як+1

и Рк+1 Як+1

pm

Як+г

506

Теория вероятностей

и потому не может быть произвольно малою, если только,
согласно сказанному нами в предисловии, ни одно из чисел
•
П
г
П
Pk+l> Pk+l* 9k+l> 9к+1
не может быть произвольно малым.
Принимая это во внимание, полагаем
Р м Я » +1 — Ц+1РнЧк = Ьк
и в составленном нами выражении
м. о. ( т — р 1— р 2— . . . — p Kf
последовательно заменяем:
p n qn равною ему величиною

qn_x-+~ Аи_ ! ,

р и_1 qn-i равною ему величиною
Р 2 Ч2 равною ему величиною

Д,_2,
Дг

Таким образом, мы приводим формулу (6 ) к следующему
виду:
м. о. (т — р л— р 2 — . . . — Рп)2 =
Г 2д
Гм
2Аи—1,
Т
2- 1 А»г—2
1 м
1 1 а 0>
где
^ о ~ Pi 9 и Тп — 1, Тп_ х= 1 чь Ьп — 1 -+- Ьп Т9Ъ,
Тп_ 2 — 1 ■+- Ьп__г -ь
Ьп = 1 -+Tn__j
ж вообще
Та-—1 = 1 ■+■К Tfe — 1

^к"+■

Sfc<Wi ••*

Вместе с тем имеем
Т А*+1 •+■ Тк = ( l ■+■&к) Тк

2Sfc 7fe -+-1 —

Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь

507

откуда заключаем, что сумма
T L i + 71,
для любого значка к> не может быть произвольно малою,
а должна постоянно оставаться не меньше
1
1 + Р*

Следовательно, отношение
м. о . ( т —

- р 2 — • • ♦ — РпУ1

п
также не может быть произвольно малым, если только вы
полнены условия, указанные нами в предисловии.
Итак, выводы этой статьи не требуют других ограниче
ний, кроме указанных в предисловии, которые состоят в том,
что числа
t

Pk+V

t i t

Р к+ 1»

Як+V

г

Як+1

при всех значениях к остаются больше некоторого постоян
ного положительного числа.
Вопрос о возможном сокращении введенных нами ограни
чений остается открытым.

О ЗАДАЧЕ ЯКОВА БЕРНУЛЛИ

Д олож ено в з а с е д а н и и Ф и зи ко-м ат ем ат и ческого от д ел ен и я
22 ян вар я 1914 г.

Главная цель этой краткой заметки состоит в выяснении,
что известное выражение вероятности интегралом Моавра—
Лапласа дает едва ли не крайнюю границу приближения к ней,
которого можно достигнуть, если представлять вероятность
не суммою, а интегралом, иначе сказать — площадью. Дру
гими словами, я хочу показать, что от замены известной
показательной функции другою нельзя ожидать существенной
пользы при выражении вероятности площадью, так как глав
ная погрешность такого выражения проистекает от замены
совокупности отдельных точек вероятности сплошною линиею.
Обозначим буквою п число независимых испытаний, бук
вою р вероятность некоторого события А при каждом из них
и буквою т возможное число появлений события А при со
вокупности всех этих п испытаний; наконец, положим
р

Г т 'п

__ _______ 1 * 2 * 3 * • ■ П________

1 *2

т • 1 * 2 .*• (п — т) Р

т

п— т

4

'

где <7= 1 — р . При таких обозначениях сумма
т2

распространенная на значения т , лежащие между т 1 и т 2,
будет, как известно, выражать вероятность, что т лежит
между т г и т 2.
Выражение это точно, если сумма и вероятность отнесены
к одним и тем же величинам т ; но не надо забывать, что

512

Теория вероятностей

в случаях, когда тп1 и т 2 принадлежат к совокупности целых
чисел 0 , 1 , 2 , . . . » л, мы можем придавать как сумме, так и
вероятности четыре различных значения, присоединяя или
нет крайние числа тл и т2 к числу допускаемых значений т .
Из этого точного выражения вероятности выводится при
больших значениях п (или, лучше сказать, npq) известное при
ближенное выражение Моавра—Лапласа, которое служит пре
делом вероятности при п — со: а именно, вероятность нера
венств
пр -ь zx\J2npq <Сга <Спр нн z2 \/2npq9

с присоединением знаков равенства или без них, прибли
женно выражается интегралом
dz.
Z\

При этом, конечно, пренебрегают размерами скачков
вероятности, которая не представляет непрерывной функции
пределов zл и z2; размеры же скачков, когда они наступают,
приблизительно измеряются выражениями
у/2прдт.

^2прдт:

Указанные размеры пренебрегаемых величин характери
зуют не специально формулу Моавра, а вообще замену выше
приведенной суммы интегралом, иначе сказать — замену функ
ции, меняющейся только скачками, непрерывною. Следова
тельно, переход от формулы Моавра к другой формуле
того же типа может быть признан действительно нужным,
хотя бы он вел, подобно формулам I {ирсона, к существен
ным усложнениям вычисления, только при условии, что по
грешность формулы Моавра—Лапласа далеко выходит из
указанных границ.

О задаче Якова Бернулли

513

Между тем ни теоретические вычисления, ни частные
примеры не свидетельствуют о столь больших погрешностях,
пока мы рассматриваем всю совокупность разнообразных
предположений о числе т , а не останавливаемся специально
на маловероятных предположениях.
Некоторую теоретическую оценку погрешности формулы
Моавра дает нам, при больших значениях п, разложение
логарифма выражения
пр+г\2npq, п
1

в ряд по степеням -т=; продолжая это разложение на один
Vn

член далее, чем нужно для вывода формулы Моавра, полу
чаем
np+z>/2tipq, п

V2прук

1

-f

(3 z -2 * 3 )Q > -? )\ ^

3 V^2np q

)

что доставляет нам для выражения вероятности неравенства
т

пр

■ +"z

\/2n p q

новое приближенное выражение
00

(‘

z

3 y/2npq

J

или, что все равно,
_1_
\7Т

f e~*dz

(1— 2z*)(p — q) е_ г!
6 )/2прдт:

Следует отметить, что то же приближенное выражение
дают нам два первые члена ряда, которым заключена не
большая, но весьма важная статья Чебышева „О двух тео
ремах теории вероятностей" [*], поэтому мы можем назвать
его формулой Чебышева для отличия от формулы Моавра.
3 3 А. А. Марков. Избр. труды

Теория вероятностей

514

Выводы Чебышева основаны на рассмотрении математических
ожиданий различных степеней z, равного

V2npq

. Приведен-

ная формула дает точные величины для математических ожи
даний zy z2 и z3 и дает первый член в разложении матема
тических ожиданий z2k и zlk+1 (к = 2, 3, 4, . ..) по возра
стающим степеням -7 = • Продолжая начатый ряд
УП

(3z — 2z3) (р — q)
1 Н------------ ----------------- ?
2 V2 п рд

мы можем увеличивать число степеней z , математические
ожидания которых даются формулой точно, а для прочих
доводить приближение до любой степени -7 = • При этом окаУТ1

зывается необходимым несколько перестроить ряд Чебышева*
так как он не расположен по степеням

\п

• Такая пере-

стройка ряда, согласно вычислениям Чебышева, относящимся
к более общей задаче, вызывается тем, что разложение
выражения [2]
М ( з)
AfC&)
лгн>
У it

Y^n3

у/ п

в ряд по степеням s соединяет вместе члены с различными
степенями

1
\п

* а разложение того же выражения по степеням

"7 =- соединяет члены с различными степенями s. После укаУП

занного преобразования ряд Чебышева принимает вид
! ,

(*)

Зф4 (*)

\!2npq

. 7' Фб(z)

тФб(*) , ^5 (*) -ь

2npq

\/(2npq}3

^8 (z)

И-Фы(z)

V^12 (z) .

(2 npq)*

где
+ з (* )>

Фо ( z )> • • •

(*) ,

О задаче Якова Бернулли

515

определяются известною формулою
d k e — z<l

ф» ( * ) =

е г’

dz^

>

остальные же буквы означают целые функции р и <7 , не
зависящие ни от z, ни от п. Вот первые три члена
I

г (р—я) (3* —2 *3)
3

4 (1 —

A pq)

t

> /2 n p q

*6 — 12 (2 — 7p^) *4 -I- 9 (3 — 8p q ) *2 — 3 (1 — p?)
36np9
*

которые дают математические ожидания всех целых положи
тельных степеней z с точностью до второй степени —L вклю\п

чительно, что нетрудно проверить. Таким путем мы можем
подойти, как угодно близко, к математическим ожиданиям,
но не к рассматриваемой вероятности.
Мы видим, что главное изменение приближенной величины
вероятности, которого можно ожидать при переходе от фор
мулы Моавра к другой формуле того же типа, выражается
членом
1—2*2
(p — q)e~*\
6 У/2прдт:

который от вышеприведенного скачка вероятности отличается
только множителем
(1-2*2) (р -у)
6

А этот множитель становится значительным только при
довольно больших величинах z2, когда все произведение ста
новится весьма малым. Отсюда заключаем, что переход от
формулы Моавра к вышеприведенной формуле Чебышева и
к другим, более сложным формулам, выражающим прибли
женно вероятность интегралом, не может принести большой
пользы.
33*

516

Теория вероятностей

Разбор же частных случаев подтверждает это заключе
ние. Если пр— число целое, то формула Чебышева указы
вает совершенно правильно, что при малых положительных
значениях z вероятность неравенства т > пр -+- z \j2npq пре
восходит вероятность неравенства тп<^пр — z^2npq, а при
больших, наоборот, вероятность второго неравенства больше
вероятности первого, пока, конечно, обе они не приводятся
к нулю; разность этих вероятностей приблизительно оцени
вается выражением
1 —2*2
3 >/2 n p q l с

(p — q)e-*\

Например, в моей книге „Исчисление вероятностей" при
ведено при
п = 6520,

? = -§ -’

<7=Т

вычисление вероятностей неравенств
.

m > лр ч-

1

^

1

п и т < пр— адрп,

которые сводятся к таким:
т
п

4043 и т ^ 3 7 8 1 .

Установлено, что первая вероятность лежит между
0.000472 и 0.000465,
а вторая — между
0.000501 и 0.000491;
вторая вероятность оказалась, согласно формуле Чебышева,
больше первой; но разность между ними меньше обоих
чисел [3]
^ 4 0 4 3 »6520 ^ 0.0000409 и Р3781, 6520

0.0000428.

517

О задаче Якова Бернулли

Обращаясь затем к сравнению результатов, доставляемых
формулами Моавра и Чебышева, с действительными вели
чинами вероятностей, находим, что последние остаются
неизменными и потому не выходят из указанных нами гра
ниц, пока число z в неравенствах
т^> пр *+- z ^2npq и т<Спр— z\/2npq

лежит между
130
V2 • 6502 • 0.24

=7^2.324 и

131

у/2 •6520 •0.24

7 ^ = 2 .3 4 1 .

Формула же Моавра дает при z — 2.324 для обоих вероят
ностей общую приближенную величину
0.000507,
а при z — 2.341 — другую общую величину
0.000465;
наконец, поправка Чебышева
1 -~2z2
6 y/2npq7Г(р

я)е

в рассматриваемом случае приблизительно равна
— 0.000014
и, составляя около третьей части размера скачков, про
является в разности вероятностей только благодаря одно
временности скачков.
Что касается случаев, когда пр не равно целому числу,
то относящиеся к ним факты мы покажем при сравнительно
небольших значениях п, когда таблицы вероятностей требуют
немного места и составление их rie особенно утомительно.

Теория вероятностей

518

Следующие две таблички дают при р = ~$ и при л = 18
и п— 19 действительные величины вероятностей неравенств
m>np +

z

\l2npq

и m < n p— z\j2npq ,

с пятью знаками после запятой, и приближенные их вели
чины по формуле Моазра в пунктах скачков вероятностей [4].
л = 18

Вероятности неравенств
Z

0.00000
0.06804
0.27217
0.40825
0.61237
0.74845
0.95258
1.08866
1.29279
1.42887
1.63299
1.76908
1.97320
2.10928
2.31341
2.44949
2.65361

m

пр

■+• z

\2npq

0.56344
0.56344 — 0.37428
0.37428
0.37428 — 0.20876
0.20876
0.20876 — 0.09417
0.09417
0.09417 — 0.03278
0.03278
0.03278 — 0.00823
0.00823
0.00823 — 0.00132
0.00132
0.00132 — 0.00010
0.00010
0.00010 — 0.00000
0.00000

тп <^пр — >/2n p q
0.43656
0.43656
0.43656 — 0.26316
0.26316
0.26316 — 0 13471
0.13471
0.13471 — 0.05765
0.05765
0.05765 — 0.02028
0.02028
0.02028 — 0.00575
0.00575
0.00765 — 0.00128
0.00128
0.00128 — 0.00021
0.00021
0.00021 — 0.00003

По Моавру
0.50000
0.46667
0.35015
0.28685
0.19324
0.14492
0.08897
0.06189
0.03375
0.02165
0.01046
0.00618
0.00263
0.00143
0.00052
0.00027
0.00009

п = 19

Вероятности неравенств
Z

0.00000
0.13245
0.19868
0.46359
0.52981

тп^> пр

z ^ 2npq

тп<С. пр — z ^2npq

0.48778
0.48778
0.48778 — 0.30807
0.30807
0.30807 — 0.16292

0.51222
0.51222 — 0.33252
0.33252
0.33252 — 0.18609
0.18609

-+ -

По Моавру
0.50000
0.42571
0 3 4436
0.25605
0.22685

О задаче Якова Бернулли
0.79472
0.86095
1.12585
1.19208
1.45699
1.52321
1.78812
1.85435
2.11925
2.18548
2.45039
2.51661
2.78152

0.16292
0.16292 — 0.06961
0.06961
0.06961 — 0.02296
0.02296
0.02296 — 0.00546
0.00546
0.00546 — 0.00083
0.00083
0.00083 — 0.00006
0.00006
0.00006 — 0.00000
0.00000

0 .1 8 6 0 9 — 0.08848
0.08848
0.08848 — 0.03523
0.03523
0 .0 3 5 2 3 — 0.01156
0.01156
0.01156 — 0.00307
0.00307
0.00307 — 00064
0.00064
0.00064 — 0.00010
0.00010
0.00010 — 0.00001

519

0.13053
0.11169
0.05567
0.04591
0.01961
0.01561
0.00572
0.00436
0.00136
0.00100

0.00026
0.00019
0.00004

Мы видим, что почти до самого конца этих табличек
при каждом скачке вероятности формула Моавра дает число,
лежащее между величинами вероятности до скачка и после
скачка. Вместе с тем обнаруживается существенная раз
ница между двумя этими случаями при небольших значениях z :
оказывается, например, что вероятность неравенства т^> пр
больше половины при п — 18 и меньше половины при п = 19.
Так, при р = g- отличаются случаи п = 3 (мод. 5) от случаев
л ===4 (мод. 5).
В приведенных примерах разность р — q составляет у
Останавливаясь еще на примерах, где эта разность ближе
к единице, мы должны дать л значительно большие зна
мения, чтобы npq не было очень малым.
р = 0.9, <7= 0.1, л = 99

Вероятности неравенств
Z

0.02369
0.21320
0.26058
0.45009
0.49747
€.68698

т ^ пр н- z >J2npq

т <С пр — z 'Jln p q

0.46448
0.46448 — 0.33261
0.33261
0.33261 — 0.21524
0.21524
0.21524 — 0.12338

0.53552 — 0.40336
0.40366
0.40366 — 0.28511
0.28511
0 .2 8 5 1 1 1 - 0.18852
0.18852

По Моавру
0.48664
0.38151
0.35624
0.26222
0.24086
0.16564

Теория вероятностей

520
0.73436
0.92387
0.97125
1.16076
1.20814
1.39765
1.44503
1.63454
1.68192
1.87143
1.91881
2.10832
2Л 5570
2.34521
2.39259
2.62948

0.12338
0.12338 — 0.06115
0.06115
0.06115 ~ 0.02540
0.02540
0.02540 — 0.00847
0.00847
0.00847 — 0.00212
0.00212
0.00212 — 0.00035
0.00035
0.00035 — 0.00003
0.00003
0.00003 — 0.00000
0.00000
0.00000
/> =

0.18852 — 0.11669
0.11669
0.11669 — 0.06767
0.06767
0.06767 — 0.03680
0.03680
0.03680 — 0.01880
0.01880
0.01880 — 0.00903
0.00903
0.00903 — 0.00409
0.00409
0.00409 — 0.00174
0.00174
0.00174 — 0.00070
0.00070 — 0.00027

0.9, q=

0.14951
0.09559
0.08979
0.05034
0.04377
0.02404
0.02048
0.01040
0.00869
0.00406
0.00333
0.00143
0.00115
0.00046
0.00021
0.00010

0 .1 , П — 101

Вероятности неравенств
Z

0.02345
0.21108
0.25779
0.44561
0.49252
0.68014
0.72705
0.91468
0.96158
1.14921
1.19612
1.38374
1.43065
1.61827
1.66518
1.85281
1.89971
2.08734
2.13425
2.32187
2.55604

т ^ > пр

-+ -

z \ 2npq

0.56997 — 0.43825
0.43825
0.43825 — 0.30939
0.30939
0.30939 — 0.19716
0.19716
0.19716 — 0.11120
0.11120
0.11120 — 0.05419
0.05419
0.05419 — 0.02212
0.02212
0.02212 — 0.00725
0.00725
0.00725 — 0.00178
0.00178
0.00178 — 0.00029
0.00029
0.00029 — 0.00002
0.00002
0.00000

т

<

пр — z \/2npq

0.43003
0.43003 — 0.30895
0.30895
0.30895 — 0.20806
0.20806
0.20805 — 0.13131
0.13131
0.13131 — 0.07770
0.07770
0.07770 — 0.04316
0.04316
0.04316 — 0.02253
0.02253
0.02253 — 0.01107
0.01107
0.01107 — 0.00512
0.00512
0.00512 — 0.00224
0.00224
0.00224 — 0.00092
0.00092 — 0.00036

По М оавру
0.48677
0.38266
0.36261
0.26429
0.24305
0.16806
0.15193
0.09791
0.08693
0.05206
0.04536
0.02518
0.02152
0.01105
0.00926
0.00439
0.00361
0.00158
0.00127
0.00051
0.00015

О задаче Якова Бернулли

521

Эти новые примеры отличаются от предыдущих только
тем, что отступления от формулы Моавра, превосходящие
размеры скачков, обнаруживаются гораздо раньше. Отступ
ления эти значительны, но во много раз меньше неизбежной
погрешности при первых скачках.
Наконец, при тех же величинах р = 0.9 и <7= 0.1, поло
жим п = 180 000 и z — 2. При таких данных имеем
пр — 162000,

п<7 =

18000, ^2пр<7 = 180, z yj2npq = 360,

и поступая так, как показано в моей книге [5] на другом
примере, убеждаемся, что вероятность неравенства
m > пр -ь z \j2npq = 162 360,

с присоединением равенства т— 162 360, меньше интеграла
00

2

который, по таблице, выражается числом 0.002339, но она
больше 0.00226; вероятность же равенства т = 162 360 вы
ражается числом 0.0000565. .. Следовательно, в этом послед
нем примере формула Моавра дает нам число, не лежащее
между двумя вероятностями, которые соответствуют рас
сматриваемому скачку. Отступление в сторону, указываемую
дополнительным членом Чебышева, сделалось явным, так
как оно не составляет только малой части соответствующего
скачка; однако, по сравнению с первоначальным скачком,
погрешность формулы Моавра и здесь оказывается малой:
наименьшая из двух рассматриваемых вероятностей больше
0.00220 и отличается от 0.002339 менее, чем на 0.00014,
первый же скачок измеряется числом

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ДИСПЕРСИИ

Д о л о ж ен о в з а с е д а н и и О т д е л е н и я ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к и х
н а у к 2 7 а п р е л я 1916 г.

Не останавливаясь на вопросе о значении коэффициента
дисперсии для статистики, я имею в виду в настоящей
заметке, во-первых, доказать предложение профессора
А. А. Чупрова, что математическое ожидание коэффициента
дисперсии в случае независимых испытаний с постоянной
вероятностью точно равно единице, если не извлекать корня
квадратного, а придерживаться определения, принятого в моей
книге „Исчисление вероятностей" (1913), и, во-вторых, устано
вить для случая одинаковых серий довольно простое при
ближенное выражение математического ожидания квадрата
отклонения этого коэффициента от единицы, несколько пре
восходящее точную величину последнего математического
ожидания, как обнаруживает мой вывод f1].
Предложение о математическом ожидании коэффициента
дисперсии я связываю с именем профессора А. А. Чупрова
по той причине, что, насколько мне известно, А. А. Чупров
первый стал рассматривать не в отдельности числитель и
знаменатель этого дробного выражения, но самую дробь и
пришел к вышеуказанному заключению, по крайней мере
в случае одинаковых серий.
Что касается второго вопроса, то некоторое решение
его давно найдено профессором Л. Борткевичем, но оно
соединено с такими допущениями, каких мы не можем при
нять, заботясь о точности и ясности определений и о полной
строгости выводов.
Возьмем общий случай нескольких серий независимых
испытаний с постоянной вероятностью. Число серий обо

526

Теория вероятностей

значим буквою <7 и, отличая их нумерами 1, 2, . . . , <7, обо
значим символом Si число наблюдений (испытаний) серии
с нумером г и символом х{— соответствующее число появ
лений отмеченного события Е, наконец, буквами п и т обо
значим, соответственно, суммы
S1

s2

• • • Ч ~ S <J

И

Х 1

Х 2

буквою р — постоянную вероятность события Е и буквою Q —
коэффициент дисперсии для рассматриваемой совокупности
серий, который определяется формулой

ч-ч
2 „(?-?)*
(сг — 1) тп(п = тп)

(а- — 1) тп (п — тп)

а квадрат его — формулой
2
л2лг-4гл:л
* 2 т 2

> - 1 ) 2
' ( » — 1 )2

V

тп2(п — тп)2

Эти выражения Q и Q2 теряют смысл при т = 0 и~при
гп— т
г, когда их числители и знаменатели обращаются в нуль;
в указанных исключительных случаях мы будем считать
< ?= < ? = 1 .

Для вычисления математических ожиданий Q и Q2 мы
должны помножить приведенные их выражения на вероят
ность

Р
совокупности чисел
* : »

Х 2,

> * а,

равную произведению
S1 *

#

s2 •

Я'х! S! — х } \ х 2\S2 — я2!

m n — u.

s o~

jP я

у

О коэффициенте дисперсии

Где

<7

=

1

527

— р, и составить суммы
2PQ и

2

PQ 2

для всех возможных совокупностей
■^1» *^2» • • • » ^о*
«

Это суммирование, которое не следует смешивать с ^

и

*\ i

^ , мы разобьем на две операции: в первом суммировании
мы будем предполагать сумму
Xl -Ь х2 -ь . . . -f- ха,
обозначенную буквою т , неизменною, а во втором нам при
дется изменять одно число тп. Такую последовательность
операций можно, при помощи двух знаков 2 , изобразить так:
m = 0 f 1, 2, . . , и

2

х х+ х2+

2

х

а— т

^

m = 0, 1, 2, . . . , п

*

хх + х 2+ . . . + ха = т

2

2

w

При первом суммировании знаменатели т (п — т) и
т2(п — т ) 2 выражений Q и Q2 сохраняют постоянные зна
чения, и потому задача о разыскании сумм
хл + х2 + -------I-

2

=

т

PQ

х х+ « 2 + . . .
«

= т

PQ’-

2

сводится к разысканию сумм
Л

+«2 +

- ••*<! =

»»

хх+ х 2 +

..

=

m

х, + л 2+

2 р ’ 2 Рх-2 ’ 2

.. . +

z a — wi

* 1 + * 2+

... +

arff =

in

’ 2 Px<xi г

где г и у означают какие-нибудь два значка нашей системы
1 , 2 , 3, . . . , сг, остающиеся при суммировании неизменными.
Для разыскания всех этих сумм вводим <т—
t- 1 произ

528

Теория вероятностей

вольных величин
5 ,,^

. . . Л , *

и составляем их функцию
W= (pte*1■+■</)51. . . (pte^ ч- q)*i. . .

ч- <7 )^,

которая разлагается на слагаемые
7)^1

+ ^ + ••+

+а?2$2+ •••+

Чтобы найти при помощи W сумму
+ ^ 2 -*-•••

2

=w

"

•

стоит только приравнять все & нулю и затем, разложив полу
ченное таким образом выражение
Щ1^ 2= . . . ^ = 0 = ( р1^ дУ

по степеням t, взять коэффициент при tm:
_______________ 1*2*3* ••п
_______________
ш п—т
1*2 * * т* 1* 2* * •(п— т)Р Ч ’

который и будет равен искомой сумме

X|+ %
ч+ •. •+Я(у—И
!
Р

Подобным же образом коэффициенты при tmв выраже
ниях

будут, соответственно, равны суммам
+

—т

х1 + х 2+ . . . + ха = т

+ х (3= т

О коэффиииенте дисперсии

529

Последние суммы" нам надо рассматривать только при
О<С т
п п> так как, согласно установленному определению,
т= О

т-0

т=м

т—п
2

и

/>q = = 2

PQ 2=jP”-

Останавливаясь сначала, для вычисления математического
ожидания Q, на первой из только что указанных сумм,
находим
= Si pt (pt -+- q)n~x-t- Si (s< — \)рЧ2(pt -ь qf~ ~

^1—^2—•••~ ^C
I

и отсюда выводим
n nxi {--(
n
—1! j -+-(sf - 1
--------

P —

si

l m — 1!

—

n

m l

x *

) ---------l n p ^ q ”-™ .
— 2!
—
J
/

m

n

m l

r

^

Следовательно,
xt+ x2+

(

. . . + r 6= m
/>

у

2
^

l Si

2
+

s2

)

sa

J

1 • 2 • • • ( m — 1 ) 1 • 2 - • • (n — m ) ^ 71

1)4~

1 * 2 * 3 * • • ( n — 2) • n
~

2
___ f

/

=

iv

■+* (n — ®) (/n — 1) — m (n — 1)} pmqn~m=
________(5 — 1) • 1 • 2 • 3 • • -( n — 2) n

(m — 1) • 1 • 2 • • • (n — m — 1)

1 -2

m n—m

P Я

»

потому
+ ж2+ . . . +Яа = 1
V

p q

=

1*2*3*

1 •2

•m • 1 •2

п________
p mqn~m.
• (n — m)

Эта формула выведена нами при О<Ст <С. п, а раньше
она была установлена при т= 0 и при т= п. Произведя
второе суммирование, получаем предложение профессора
А. А. Чупрова
m= 0,1, 2, ..., и х{+х2+...+ха=т
2
^ PQ = (p + qY = 1.
34 А. А. Марков. Избр. труды

530

Теория вероятностей

Переходя к математическому ожиданию ( Q — I)2, которое
в силу доказанного равно разности
m= 0, 1, 2,
М. О. Q2

п*

2

т п\

п

—

mп—m
m l

Р

У

9

мы ограничимся случаем, когда все числа sl9 s2 .. . , s„ имеют
одно и то же значение s.
В этом частном |случае Q приводится к единице при
m = 1 и при /п = тг— 1, как показывает прямое вычисле
ние [2], так что в выражении
м. о. Q 2 — {p + q)n
пропадают не только старшие степени р и q, но и произве
дения pn~~xq и pqn~~l. И на основании формул
= p t ( p t - ^ q ) n~1-ь 7 (s — 1) p 4 2(pt-+-q)n- 2-+t= . . . = $o = 0

6 (s — 1) (s — 2) pH*(pt -ь q)n~d
+ (s - 1 ) (s - 2) (s - 3)pV (pt q)*-*
и
2
s2

= p42{pt-+-q)n- 2-b

-+- 2p ¥ (s — 1) (pf -+- q)n~3-+- (s — l)2piti {pt -+- q)n~*
без большого труда находим

*2

*l+ +...+*„=>»
2

P(Q2- l ) =

____________ 1 • 2 • 3 * - • (n — 4) (n — 1) npmq n m
________ p(m )
(er — l ) 2 1 • 2 • 3 • • • (m — 1) m2 • 1 • 2 • • • (n — m) (n — m)2
1

где
7 g 2 (s---- 1 ) ( / 7 ----- 3) ( / 7 ----- 2 ( / 7 ----- 1 ) ( /7 7 ----- 1 )

6з2) s -- 1) (s--- 2) (/7--- 3) (/7 — 1) (/72 --- 1) (/72-- 2)

О коэффициенте дисперсии

531

■+" сг2(s — 1) (s — 2) (s — 3) (л — 1) ( m — 1) ( m — 2) ( m — 3) нь-t- л з(в — 1) (л — 3)(л — 2) ( л — l)(m — 1 )- ь
2па (а — 1) (s — 1) (л — 3) (л — 1) (т — 1) (т — 2) ч-ь пз (<>— 1) (s — I)2 (л — 1) (т — 1) (т — 2) ( т — 3) —
— 2 т 2о (п — 3) (л — 2) (л — I)2 —
— 2лг2 ( л — а) (л — 3) (л — 2) (л — 1) ( т — 1) -ь
-+- т 3 (л — 3) (л — 2) (л — I)2 —
— (з — 1)2лг(л — т ) 2(л — 3)(л — 2).
Для облегчения исследования довольно сложного выра
жения
можно воспользоваться тем обстоятельством, что
Q не изменяет своей величины при замене всех чисел лс<
разностями s — x t, что ведет к замене числа т разностью
л — т . В силу этого обстоятельства имеем
«I +

= т

^

p n-mqm

P ( Q 2~

1

)=

3*1+ х 2 + . •. 4-х0=п —т
= р т<Г~я

■

^

P(Q2 — 1 ),

и потому
т Я {ш) =

(п — т ) R (n~ m)-

Отсюда прежде всего следует, что R^ содержит множитель п — т. Установив затем прямою выкладкою равенство
/?(1) — о ,

мы раскрываем присутствие в выражении R^m\ которое представляет целую функцию третьей степени относительно т ,
не только множителя т — 1, но и множителя л — т — 1.
Следовательно,
делится на произведение
(л — т)(п — т — 1) (т— 1),
и для полного его определения остается рассмотреть только
коэффициент при т 3, равный выражению
34

532
A

Теория вероятностей

= <r2(s — l) (s — 2 )(s — 3)(n — 1) -+•

— 1) (s — l)2 (n — 1)
-+-(n — 3)(n — 2)(n — l)2 — (<x— l ) 2(n — 3 ) ( n - 2 ) —
— (n — a ) ( n — 3)(n — 2)(n — 1),

где n — sa. Соединяя последние три члена выражения А ,
находим
(п — 3) (л — 2) (п — I)2 — 2 (п — <;) (п — 3) (п — 2) (л — 1) —
— (<j — 1 » — 3)(п — 2) = — (п — 3)(л — 2) (л — <;)2 =
= — (°2 (« — I)2 (п — 3) (п — 2),

что дает нам возможность выделить из
Дальнейшее вычисление ведем так:

А

множитель <r2(s— 1).

^4 =<72( s — i ) {(s — 2) (s — 3)(n — ! ) -t-b (n — s)(s — l)(n — 1) — (s — l)(n — 2) (n — 3)} =
= u*(s — 1) {(s — 2)(s — 3) (n — 1) — (s — 2) (s — 1 )(n — 1) •+
H - ( „ - 2 ) ( s - l ) ( n - l ) - ( s — l)(n — 2 ) ( n - 3 ) } =
= 2<r2 (s 1) {— (n — 1) (s — 2) -ь (n — 2) (s — 1)} =
= 2<?2 (s — 1) (n — s) = 2 c h (s — 1) (g — 1).

Итак,

X ______ J
1 •2 •••m•1 •2 •••(n —m) P Ч
И

м. o. (Q — 1)!
X

m —1

откуда немедленно вытекает неравенство

О коэффициенте дисперсии

ибо произведение

тп— 1
тп

533

п — тп— 1
п — тп

постоянно остается меньше единицы.
Если же <j J>5, то из найденного нами неравенства не
трудно вывести очень простое [3]
м. о.
Указанный нами высший предел математического ожида
ния (Q — I)2 представляет также приближенную его вели
чину, при больших значениях п, ибо в сумме
п—1, 2 , , п—1
X 1

171— 1 п — тп— 1 ________ \ • 2
m

n

— m

• • • п __________
m
l * 2 * * * m * l « 2 * * « ( / i — m) ^

n — m

^

главное значение имеют те члены, для которых m близко
к пр, а разность п — т
п близка к nq, а для таких членов
произведение
тп— 1 п — тп— 1
тп
п — тп

мало отличается от единицы, если n = s (J число большое [4].
Пользуюсь случаем, чтобы сказать несколько слов о мод
ной теории корреляции. К этому побуждает меня статья
Е. Тихомирова „Метод корреляции и его применения в метеорологии“, помещенная в 3-м выпуске второго тома Геофи
зического сборника.
Положительная часть теории корреляций не велика н
состоит в простом применении способа наименьших квадратов
к разысканию линейных зависимостей. Но теория кор
реляций, не довольствуясь приближенным определением раз
личных коэффициентов, указывает еще их вероятные погреш
ности, и здесь она вступает в область фантазии, гипноза и
веры в математические формулы, которые в действительности
не имеют твердого научного основания.

5 34

Теория вероятностей

Такова, например, формула Пирсона, которая в статье
Е. Тихомирова играет важную роль и приведена вслед за
напрасной ссылкой на мою книгу „Исчисление вероят
ностей" [5].
Гипноз теории корреляции проявляется в следующих
словах той же статьи: „При г, равном нулю, говорят, что
между элементами корреляции не существует, и в этом
случае судить по отклонениям одного элемента об измене
ниях другого совершенно нельзя". В действительности же
не трудно составить сколько угодно связей, совершенно не
обнаруживаемых коэффициентом корреляции, в которых,
однако, изменения одного элемента определяют изменения
другого. Некоторое указание на подобные случаи находится
и в статье Е. Тихомирова (стр. 34). Оно начинается даже
заявлением „Важно отметить..." , но, противореча выше
приведенным словам, остается безрезультатным и заканчи
вается так: „В таком случае говорят, что переменные не
находятся в корреляции, но в то же время не являются
независимыми друг относительно друга".
К области веры надо отнести и такое мнение: „Уравне
ние регрессии означает только, что, зная, чему равняется xi7
можно сказать, что наиболее вероятным значением
будет
г ~~х “ (там же, стр. 26).
Для характеристики утверждений, основанных на теории
корреляции, может служить пример, приведенный в табл. IV
той же статьи (стр. 43). Для 23 пар величин Ах и ку этой
таблицы коэффициент корреляции оказывается малым (0.09),
а его вероятная ошибка сравнительно большою (0.14). Отсюда
сделано заключение, что существование корреляции между
этими величинами нельзя считать доказанным; такого неоп
ределенного заключения, конечно, я не стану опровергать.
Однако, если вместо всех 23 пар взять последние десять,
то коэффициент корреляции превысит 0.7, а Пирсоновская
вероятная ошибка упадет до 0.1 и будет менее -г- коэф

О коэффициенте дисперсии

535

фициента корреляции. Тогда придется сделать совершенно
иное заключение, согласно правилу, указанному на стр. 24
той же статьи: „На практике обыкновенно принимают, что
о существовании корреляции между рассматриваемыми эле
ментами можно утверждать с полной достоверностью, если
коэффициент корреляции превышает вероятную ошибку не
меньше, чем в шесть раз. Это равносильно условию суще
ствования многих тысяч шансов против одного в пользу того,
что связь действительно существует".
Во избежание недоразумений и возможных споров о том,
что 10 число малое, а 23 достаточно большое, замечу, что
даже в теории ошибок наблюдений я не придаю большого
значения так называемым вероятным погрешностям и счи
таю их только средством для условного сравнения достоин
ства различных наблюдений. Что же касается коэффициента
корреляции, то, пока речь идет о данной совокупности
чисел, он имеет вполне определенную величину, которую
можно вычислить без всякой погрешности. Если же эта
совокупность рассматривается как часть совершенно неиз
вестной совокупности, то коэффициент корреляции последней
нельзя определить ни в случае, когда данная совокупность
состоит из 10 пар, ни в случае, когда она состоит из 23
или гораздо большего числа пар. При желании можно,
конечно, считать приближенною величиною этого коэффици
ента, самое существование которого подлежит сомнению,
число, найденное для данной совокупности; но вероятную
погрешность такого определения и связанный с нею подсчет
шансов нельзя не признать чистою фикцией [6].

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ДИСПЕРСИИ
(ВТОРАЯ ЗАМЕТКА)

Д о л о ж е н о в з а с е д а н и и О т д е л е н и я ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к и х
н а у к 19 м а я 1920 г.

Цель этой краткой заметки состоит в выводе предельной
формулы для вероятности коэффициенту дисперсии заклю
чаться в данных пределах при условии, что число испытаний
в каждой серии возрастает беспредельно. Сохраняя обозна
чения первой заметки и введя новые величины tl9 t2, • • .ta, t,
связанные с числами х,- равенствами
— $гР -*~ti^s1pq,
f _<1 ^si

x2= s2p-+-t2Vs2pq,
Vs„pq,
h
-*-taVs8
\/n

f

имеем
m= np

1Vnpq,

n — m= nq — t \Jnpq,

и

__________ ( n - D S ^ - o ________

Величины tl9
ta не зависят друг от друга. И мы
знаем, что при беспредельном возрастании всех чисел s3,
-s2, . . . , s6 математическое ожидание степени tf* стремится

Теория вероятностей

540

к пределу

+оо
1 •3 •5 •

(2к~ 1 ) = ж

J* ' т

для любого целого положительного четного показателя 2к
и для любого значка / = 1, 2, 3 , . . . , <5, а математическое
ожидание нечетной степени t2i+1 при st-= оо приводится
к нулю, что также можно представить интегралом
1

Г

\/2тг J

Г**

Вместе с тем вероятность, что tlf
ta удовлетворяют
каким:либо определенным неравенствам, стремится к пределу,
равному интегралу
_ <12+*22+...-Ид2

распространенному на значения tu 12, . . . ,
которые удов
летворяют тем же неравенствам; а математическое ожидание
любой целой функции
^ ifJ 9 ^2»• • • 9 О
стремится к пределу
+00

1^2ж
)* I
'

+00

+00

_ _ /|2+f2~J+ ••- - H q 2

J ' " J е

— 00 ~ o o

Ф

*2’ ‘ ‘ **

dtj - ■ • dtg.

— с»

При таких условиях пределом для Математического ожида
ния любой нечетной степени величины
.

t\
~

\is2•+•...+■ iqVsq
4n

будет нуль, а предел математического ожиданий t2Hтакже

О коэффициенте дисперсии (Вторая заметка)

541

равен произведению
1 •3 •5 •••(2к — 1),
как показывает следующая простая выкладка:
пред. м. о.

* 1=оо, »2= о о ,..., »а=оо

V — > г т „ 9„
^ ^

“ Si

...1

9

л---- , Х

1 ' 2 - ••2 g q п

X 1 •3 •••(2g1— 1) ••• 1 •3 •••(2g„— 1) =

_1 о

(ov

-.4 XT'

1 ' 2‘ 3 ••• к

414• •• 4 °

1 • 2 ••• g i ■■■ 1 • 2 ••• g a

'

(S j-t-s2-4- . . . -H S(J)* ■

= 1 * 3 - 5 •••(2k — 1).

А предел математического ожидания произведения

где / и г — любые целые положительные числа, можно пред
ставить многократным интегралом
+00

«ЯГ

1 - 1

е

{t\

При г нечетном этот интеграл, очевидно, равен нулю.
Чтобы вычислить его и при четном г, в равенстве
{\I2-kJ

—2~(*12+*22+. ■•+V)

1-1

•-Ж= 1 -3-5- •-{2к—1),

правая часть которого служит, как и левая, пределом для
математического ожидания t2k при Sj = оо, s2= оо,..., за= о о 9
заменяем все переменные /,•произведениями /*•\/£, вводя новое
переменное £, не зависящее от t19 /2, .. ., ta. Из полученного
таким образом равенства
+00

(\2~)
М J-

6

1 •2 •3 - ••(2к—1)
t dt^ ••ate——
"
^ (* ч

Теория вероятностей

5 42

произведя I раз дифференцирование по $ и полагая затем
5 = 1 , выводим
4-00

+”

(v'2~)3 —
^оо —100
: (2к ■+■ а)(2к + J + 2)

‘ ^ ( 2 ф гл , dt2 - - d t a=

е

(2к -ь <г-+- 21— 2) 1 •3 •5 •••{2к - 1).

Зная предельную величину математического ожидания
произведения f2fr(2£?)* при любых целых положительных пока
зателях к и Z, без особого труда находим предельную вели
чину математического ожидания всякой целой положительной
степени выражения
— t2:
пред. м. о.

Vr— пред. 2 м. о.

S i— 0 0 , « 2 = 0 0 , . . . , « д = 0 0

« 1 = 0 0 , « 2—- 0 0 , . . . , « 5 = 0 0

(-lp fr—-!)••• (»•-* + !)<** .

= S ( - !>*' (Г
... ( , ч -2г - 2 ) = \

*

V

l)

2у - к _

1 ■ 3 • 5 ■ ••(2* - 1 ) (« + Щ

\ . г ' з . . . ь .....

Z 2 г (2г -

■

-

2> - -

*•*(2г -—2к + 2)(с + 2к) •••(а •+- 2г —2)—(<>— 1)(<j "Ь1) (<>ч-З) •**
•••(* ч-2г — 3) = 2,T ( a~,' ^ ~ - ) ; Г ( ^ )
согласно известной формуле исчисления конечных разно
стей [*]
/ < * > = 2 * ( , ~ ь Г з ! ~ £ — 1'w

h

u

f{z) = (a -t-2z)(<s 4-2z ч-2) • (<j -b2z ч- 2r — 2)

и

при

z= — ^

Итак, при беспредельном возрастании всех чисел slf
s2, . . . , s 0 математическое ожидание Vr стремится к пределу

О коэффициенте дисперсии (Вторая заметка)

543

со

о
каково бы ни было целое положительное число г.
Этот результат позволяет нам заключить, что вероятность
неравенства
V<A,
где А — любое данное положительное число, стремится к пре
делу

если все числа sl9 s2, . . . , <7б беспредельно возрастают.
Остается совершить переход от К к

или к (а— 1) £/, вся трудность которого заключается в дели
теле

так как при беспредельном возрастании п множитель ^ —
стремится к пределу 1. Для намеченного перехода вводим;
вспомогательное число е, которое будем приближать к пре
делу 0, и из всей совокупности значений t выделим те, при.

Теория вероятностей

М 4

которых произведение

р а в н о е^ - - ^
лежит вне пределов 1 — е и 1 - ь е . Вероятность выделенной
совокупности мы обозначим буквою р; согласно теореме
Бернулли, она должна стремиться к пределу нуль вместе
с

. Для остальных же значений t имеем
п

—1
п

Г ? 7 « —

» U<

п—1
п

V
1— е

На этом основании не трудно заключить, что вероятность
неравенства
(* — t ) U < A
меньше суммы числа р с вероятностью неравенства
^ < ^ ( 1 + »М ,
но больше вероятности неравенства
V < {\ - г ) А
без числа р; ибо во всех случаях, когда V < ! —^ -(1 -ь е )(с — 1 )U
и (<7— 1 )U < ^ A , выполняется неравенство

V<С

(1 ~*~£) А

и во всех случаях, когда (ff— 1 ) п ( 1 — z)U <C (n — 1) V и
К <С (1— ь )А , выполняется неравенство (с — 1) £/<С А ; что же
касается .выделенных нами случае?, то вероятность соедине
ния таких случаев с теми или иными значениями U и V не
может превышать общей вероятности их р. Увеличивая затем
S], s2, . . . , s0 беспредельно, мы приближаем р к пределу нуль,
а вероятности неравенств
K ^ Y d

+ e ) ^ И V < ( 1 — * )A

О коэффициенте дисперсии (Вторая заметка)

545

— к пределам
(1-еМ

о
и
(1-Н
с)А

в
Если же вместе с тем станем приближать г к пределу
нуль, то последние два интеграла будут приближаться
к одному общему пределу
А

Отсюда, наконец, можем заключить,
выполнения неравенства

что

вероятность

и<в
етремится к пределу
(«-1 )в

если В и число серий с остаются неизменными, a s}, s
возрастают беспредельно.
35 А. А. Марков. Избр. труды

546

Теория вероятностей

При значительном числе серий з для облегчения прибли
^вычислений полезно подвергнуть последнее выраже
ние известному преобразованию Лапласа, что сведет вычис
ление вероятности для величин U, близких к единице*
к пользованию таблицей значений интеграла

ж ен ны х

i

Представив предельное выражение
отношения двух интегралов

вероятности в виде

(сг-1) В _ Т_ s—3
[

е

2

t 2 dt

о
•’

со

_

, 0—3

,

f • 2 <* *
О
делим в обоих интегралах подинтегральную функцию на
о—3

о—2
— 3 )~

и вместо t вводим новое переменное z, связанное с t урав
нением

t — a— 3 -ь 2z \Ат—3.
Вероятность различных значений z быстро убывает
с возрастанием z 2, поэтому мы обращаем главное внимание
на значения z, близкие к нулю, и на основании разложения
логарифма подинтегральной функции в ряд
о—З

—

Z

— 3 -+* z \А* — 3 — z2 н—

заменяем [£] ее показательною е *\

Vс — 3

—...

О коэффициенте дисперсии (Вторая заметка)

547

Замечаем, что значениям z, близким к нулю, соответ
ствуют значения
t
с — 3 а 2Z \ '<3 —3
0

—1

0

—1 4

о" ^

1

»

близкие к единице, и рассматривая на этом основании вместо
неравенства

и<в

два неравенства
2А
\о

<и-

■ 1<V
А0 .

мы, но замене обеих разностей з — 1, <т— 3 одним числом з,
находим для вероятности последних неравенств приближен
ное выражение
_1

>/к

[ е

i2 city

которое служит пределом ее, если вместе с числом испыта
ний каждой серии возрастает также беспредельно и число
серий.

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛАПЛАСА

Д ол ож ен о в з а с е д а н и и Ф и зи к е-м ат ем ат и ч еского о т д ел ен и я
7 я н ва р я 1915 г.

Задача, которой посвящена эта заметка, рассмотрена
Лапласом в его „Theorie analytique des probabilites" (Livre H,
Chapitre troisieme, § 17); она находится в некоторой связи
с задачей, приведенной в конце моей заметки „Об испыта
ниях, связанных в цепь не наблюдаемыми событиями" (И зв.
Акад. Наук, 1912, стр. 551 —572) [х].
В обоих задачах рассматривается результат продолжи
тельного обмена шаров между двумя сосудами. Различие их
состоит в том, что задача Лапласа относится к составу
шаров после обмена и потому соединена с предположением,
что число шаров в каждом сосуде неограниченно велико
ш находится в определенном отношении к числу шаров, пере
ложенных из одного сосуда в другой, задача же моей
прежней заметки имеет в виду состав этих последних шаров,
число которых — одно только — предполагается неограни
ченно большим.
Благодаря указанному предположению задача Лапласа
имеет, по моему мнению, искусственный характер, что не
лишает, однако, ее математического интереса.
Заметим кстати, что она представляет интерес и для
истории математики, так как при решении ее Лаплас поль
зуется теми полиномами, которые ныне принято называть
функциями Эрмита или функциями Чебышева. Он представ
ляет эти полиномы сначала определенными интегралами,
а затем дает и конечное их выражение, отмечая вместе
с тем основное их свойство обращать известные интегралы
в нуль.

Теория вероятностей

552

Цель моей заметки — выяснить, что к задаче Лапласа,
даже значительно обобщенной, можно с успехом приложить
метод математических ожиданий.
Пусть в одном из двух сосудов находится п шаров,
а другом гг1 шаров; пусть, далее, число белых шаров в обоих
сосудах равно (п -*- щ )р , а черных— (п -+~ щ) q, где p -+ - q — 1.
Число белых шаров в первом сосуде обозначим буквою х ;
оно неизвестно и будет изменяться, но предполагаются
установленными вероятности всех возможных его значений,
до начала обмена.
Обмен этот состоит в последовательных перекладываниях
по одному шару из одного сосуда в другой и обратно.
Число произведенных перекладываний обозначим буквою г;
последнее число мы будем увеличивать беспредельно вместе
с л и Пт. Обозначим, наконец, символов
г
вероятность, что после г перекладываний в первом сосуде,
содержащем постоянно п шаров, будет ровно х белых шаров
и, следовательно, будет п — х черных шаров, иначе сказать,
во втором сосуде будет (п - * - п г) р — х белых и n1q — тгрчнл:
черных шаров.
Таковы условия задачи, которую рассматривал Лаплас
при p — q =

^ и 72 = 72т. На основании их нетрудно соста

вить уравнение [2]
r-ц

__ х

—

n iq — njo + д: + 1

~

Zx+h r -Ь

п --X-+- 1 (/lHh/l])p —X -+- 1
-f- --- —
~
Г*!

п

^ ] лт
'п

(л -+- щ ) р — х ^
rii

п—х
п

П] q — пр
щ

для последовательного вычисления величин
Z 1»

2»

3» •* •

Г х

} z^ »*

Ой одной задаче Лапласа

553

по данным величинам х х^0. Последовательное вычисление
z x.r служит основанием, но не целью исследований Лапласа;,
задача их, которой мы здесь займемся [3], состоит в прибли
женном определении г ХцГ для весьма больших значений nf
пи г.
Отметим один случай, для которого не трудно дать точное
выражение z^,., при произвольных п, щ и г и выполнить
требуемый переход к предельной формуле. Положим, что
наполнение сосудов шарами произведено таким образом.
Сначала все п -л -щ шаров, среди которых ( n - t - n ^ p белых
и (п нн щ) q черных, помещены во второй сосуд, а затем из
него вынуто и положено в первый п шаров, так что во втором
сосуде остается щ шаров. Тогда вероятности z x, 0, как
нетрудно видеть, будут заданы по формуле
,

1 -2 -3 - п
о — i . 2 . . . * . 1 . 2 •••(п — х ) А

а (а — 1) ••• (а — х
1) b (Ь — 1) ••• (Ь — п -н х +~ 1)
(п -+(п -#- ni — 1) ••• (nj -ь 1)
9

где
а = / ? (п + п])

и

b = q (n -+ -n 1),

Подставляя же это выражение z x, 0 и соответствующие
выражения zw ? 0 и z x_ h0 в правую часть выше прнведеннвго уравнения при г — 0, находим
z cc, 1

z x, О»

на том же основании получим
^«5 2 == ZX, ] >
и вообще переход от г к г + 1 дает нам равенство
Z X) r + l =

г=

Z X, <>•

Ивы видим, что z*?r оказывается, в данном случае, не.

554

Теория вероятностей

зависящим от г и определяется по вышеприведенной фор
муле.
Этот частный результат нетрудно было и предвидеть,
ибо при указанной подготовке сосудов, сколько бы затем
ни было сделано перемещений шаров из первого сосуда
во второй и обратно, у нас всегда останется одно и то же
данное, что (п -* -щ ) р белых и (п + п ^ черных шаров раз
биты на две группы, из которых одна содержит я, а другая
шаров.
Не трудно догадаться также, что при других начальных
условиях выражение
________ 1 - 2 ••• п _________ а

(а —

1 • 2 •- • х • 1 • 2 ••• (п — л:)

1) - - - (а — л:-*-!)&(& — 1) - - ■( b —

n +

л

:-н1)

(п Ч- щ ) (п •+- П] — 1) ••• (n j - t - 1)

будет служить пределом вероятности z x, когда г возрастает
беспредельно. При всей ясности последнего предположения,
отмеченного уже в прежней моей заметке, аналитическое
доказательство его представляет некоторые затруднения и не
входит в нашу задачу.
Оставляя в стороне отмеченный особенный и предельный
случай, приведем вывод Лапласа, измененный сообразно
обобщению задачи. Полагаем

и, рассматривая U как функцию ;х и р, допускаем возможность
разложения
Z x ,r+ 1 9

в такие ряды

г» z x — lr r

Об одной задаче Лапласа

_rr

z x_ h г — U

1 к /l+а
у

2;^

*

555

1ч-а

ди

d* U

Ipqn ' №

* * *’

где U и все производные от (/ по р и по [х представляют
1
величины одного и того же порядка относительно — •
На это допущение следует обратить особое внимание,
ибо оно составляет главный слабый пункт вывода Лапласа
и принадлежит к числу часто и легко принимаемых.
Подставляем указанные ряды в уравнение, связывающее
Zx) НН> ^*+1, г» Zx—1, г И Zx, »■»
и разлагаем
1
НЯМ "7= *•
Vn
*4 -1
п

коэффициенты его

также

П] q — п р Ч - * Ч Hi
p z-t-q

2 /нуоф-2

• • •’

п
п — X4- 1

(п

П])

П

Р ----

ni —
р + q y.

n
*

в ряды по степе-

(n + nt) p — *

:= pq ~ ' к ^ ^ qa)
2p q Q^2

n (l + a)

^ n— x

nl
у
/п

(p — q)(l — 7.)

q — np 4 - n __

n\
i p q a\J^
n (1 4 - a)

Производя выкладки, мы получаем таким образом в обеих
частях уравнения ряды, расположенные по возрастающим
степеням
степени

. О стается сравнить множители при младшей
1
, т. е. при — , и мы придем к линейному дифVn

Теория вероятностей

556

ференциальному уравнению
di

д2 и
^2 *

= 2 U + 2 ^ -

решение которого Лаплас представляет определенным инте
гралом
+ 00

__

U = e-*‘ f
—X
и затем рядом
{1 -4- L , «Г»

U=

({I) + L 2е_4р ?2(|л)

где
— известные целые функции переменного [/*, опреде
ляемые условием
+оо
j

е“ <*г у’ f k (a)

d\i. —

О

—00
при i = 0 , 1 , 2 ,..., к — 1 . По Лапласу, они могут быть опре
делены общею формулою
+ 00

Ъ (”•) =

j

(.х -i- s V— i f d s ,

если требовать, чтобы коэффициент при старшей степени [л.
был равен единице; откуда находим
*(*-1 )
1 -2
.

к

( к

- !) ( * - 2 )

( к

1 •2 •3 • 4

- З

)

1
2
Ъ З

fc-2
*_4 _

' 2 •2 ‘

Очевидно, что эти функции Лапласа вполне совпадают'
с функциями Чебышева — Эрмита.

Об одной задаче Лапласа

557

Что касается коэффициентов Z*, то они определяются
по начальному выражению U, при о — О,
(1 + Ъ Ь (к) ■+ Ц <р2 (;,) ь . . . ) ,

которое должно быть задано так, чтобы связь между U и п
ограничивалась только множителем Дм..
Переходя к рассмотрению математических ожиданий сте
пеней [л, полагаем
|J.

y/ 2 p q n n 1

и

Vn -+-

Г

—

?
^ f, 1

и, принимая во внимание равенство
х = пр н- t 9
преобразуем уравнение, связывающее
—1, г» ^г. г

r+]>
в следующее:
= (Р -Ь “

)(

'

f + l\ 7
П!

1; ' ) * * -

'( *

Затем вводим обозначение
YW
г
для математического ожидания степени Г после г перекла
дываний, т. е. полагаем
S Z fcrf“ = y J " ) ;

Теория вероятностей

558

вместе с тем, в силу связи t с «л имеем
Щ__ /1 O
lV-~
“ ■°-'f = f e r r '

•

Умножим теперь все члены только что полученного урав
нения, которое связывает
Д*, г+1> Ди-1, »-> Д?—1, Г И Д?, г»

на £И
1 и, пользуясь простыми тожествами
г = (*
=

-ь1)м—

у (f -Н l ) ’”- 1 -I- m

(t — 1 ) " - + - у ( t — l ) ”' - 1 +- m

(f -+- I f - 2 — . . . =
1} (* — l ) ”' - 2 -+- . . . ,

расположим множитель при z t+ur по степеням ^—
»—1, а мно
житель при z t_ h г по степеням t — 1.
Рассматривая полученные таким образом равенства при
всех возможных значениях t и складывая почленно правые
и левые части их, приходим к линейному уравнению
mr + 1 = {I l — m
m (m — 1)

- —

\ n

щ/

nni

( p - 7 > ( 1 - ^nil
) Пr - ” -*

r<“)
■
r

)

m (m — 1)

2

2 /I 11

I 4
, ((m
m—- 22)) ((m
m—
- 33))
) j y,(m_ 2)
l n ^ n\j
nj
3 •2nnj
) r

m (m — 1) (m — 2) (m — 3)
1 •2 •3 •4

- ai— ;Hr.i т ~3)
. .

,

{2pq-

(m — 4)(m — 5)|
5 • 3nnj
/ 7 <-

m -3)

Y<-

£- a ■ *
•••’

которое равносильно ряду линейных уравнений первого по
рядка

Об одной задаче Лапласа

559

уо> —
1 г+1
{* - -U
11

{>--2(1'*“У"*'У) Уг( 2 ) _ <Р-9)(7Г- У П ” 1
1\
Ь 1 У (3 )_
- 3 ( р - 9 ) ( ^ - У > ?> -*г
{ 1 - -3(п
пх 7
nrrjJ

у(з> =

i- 3 |2р 7
У(4) —
i г+1

У-- 4(п

щ/

ч- в { 2 р Я -

j

ппг)

У™-

- У

5? ’ -

Ч)

Щ

-у

Y V + 2pq,

Отсюда нетрудно вывести последовательно формулы та
кого вида

= C „h\ -t-а 2 Сх h\-+-b2;

Y?‘

Cm-i K - i

am-1 C m_2hrm_t

У<в'>
= C tn h rn
rm-+- a tn C tn
m— l, h rtn
m— l, -+- bm
Cmm— z 2 hm —' x r
m
где вообще
1

1\ L
nr

множители
z2, o2, as, o3, "3»
выражаются определенным образом через р , <7, п,
конец, коэффициенты
С if

С2, Сд, •. Cffl, . . •

и, на

560

Теория вероятностей

находятся по значениям
Y W

уЧ 2)

V (3 )

утс~)

В частности
(л«-1 — U « .» = - у * - 0» —

(А,„_2 — А,„)

^

= ”*■—g ""(/>— <?)

»

а,„_1 -+■

(тЧНтта~3)}
Полученные нами формулы сложны, но из них можно
выделить сравнительно простые главные члены, если предпо
ложить, что п и пг возрастают беспредельно и что при г = 0
математические ожидания всех степеней ;х стремятся к ко
нечным пределам [4].
Предположение это, тесно связанное с выводом Лапласа,
выражается таким общим равенством

где

вовсе не зависит от п и п, или зависит от их отно

шения — г которое предполагается неизменным, а
1
мится к пределу нуль вместе с —

1

стре-

•

При таком условии, принимая во внимание, что в правой
части уравнения
Ч

|м,771 (т

пг1

пп1

т ( т — 1)

_1

2

п1

множитель при

1)| у(т) _
>

г

*П-1)

представляет величину бесконечно ма

лую того же порядка, как

(в случае Лапласа он даже

561

Об одной задаче Лапласа

равен нулю) н все разности
Н т— i

h -m i

. . •,

h tit—2

h i

h my

1

h my

а множитель при У£п~“2) отличается от т (т — l ) p q на подоб
ную же бесконечно малую величину, и наконец, множители
при
уЧт-З) уХ»-4)
1)
1г
> 1г
»•••» 1 г >
как и свободный от них член, величины бесконечно малые
пли конечные, мы можем установить общее равенство

где
остается бесконечно малой величиной при всех зна
чениях г как конечных, так и бесконечно больших , а
«определяется формулами
= Л < » Л ;,
Xf>

= A f h l + Af,
= A ^ h l -+- A f h\ -»- Л<°>,

х р
ИИ

= л м Л;;, -+- A % -v h rm_ 2-*- A % -v
Л<0) = 1,
=
— VW — Л(т~2) — Д{т-А) —
10
Л »1
' »

И ( т - 2 ^ ____т

А (т—4)

л я

(т ~

1)

,4 (т _ 2 )

т (т ~ !) Л( т - 4 )

2 -4
-

т

+ ....

2 -2 i

Л »-2

1)

И ( т - 2П _

«и-2

36 А. А. М арков. Избр. труды

т ( т — ! ) ( т — 2) ( т — 3) ^ ( т - 4 )

22 •2 •4

Л т-4 !

та (in — 1) ••• ( т — 2i — 1)

2* ■ 2 • 4 • б ••• 2г

,tln_m
^>«-24 •

Теория вероятностей

562

Пока

г остается конечным, выражение

отличается

только на бесконечно малую величину от
Дело изменяется, если г тоже возрастает беспредельно**
Мы различим два случая.
Если г возрастает быстрее, чем п и nlf то все выраже
ния
Aj,

Ag, . . . , h'm

стремятся к пределу нуль и наши формулы последовательно
дают
пред. м. о. р. = 0,

преп. м. о. pi2 = у =
+00

= ^J
7

— 00

+00
пред. м. о. р2*+1 == 0 =

J

р^+1е“ ^2с/[л,

—00

ok
—1
ок—о
пред. м. о. р/ = — 2— * пред. м. о. р. 2 =
+00

= 4 = f a«ke-i*Vu.
v rc J
—oo
Вместе с тем, в силу известного предложения,* можна
утверждать, что, каковы бы ни были данные числа t1 и
*2 ^ * 1» вероятность неравенств
и < К- < ч
стремится в таком случае к пределу

___ _
* А. М а р к о в . Исчисление вероятностей, йзд. 3-е, стр., 329—330,

Об одной задаче Лапласа

563

Если же, подобно Лапласу, который не останавливается

г

на случае ~ = с с , положим попрежнему
г

а

то из предыдущих формул найдем для предельной величины
математического ожидания
такое выражение
пред. Ш м))м=оо=

е-2тр ч - Л $ Г 2) е~2 (— * )р

,

коэффициенты которого
л (т) л (т-2) л(т—4)
Л)и ? jrtrn , Л т
»**
определяются вышеуказанными равенствами.
Чтобы сблизить последний наш вывод с выводом Л а
пласа, снова введем функции Лапласа— Чебышева— Эрмитй.
у v
Ь (\Ч —

eV -2

(Z2ji

d * e — V-2

•

Для таких функций имеем

1

1

+00

f

1с

_П2 / ч / _1 * 2 • 3 • • •

Jf К-

k-uvi

'

_((2 / \ 7 _ 1 • 2 • 3 ••• ( к +- 2i)
е 11 фгс(р-) </р. —
2,+к . 2 . 4 ... 2г

—00

Поэтому, если вместо чисел

л?>. л ?1, л?’, . . .
мы введем новые числа
Zq,

36*

к

— j ^ е 1‘ 9»(|Д .)ф =------- 2*------ ’
—00
+00

/уд, .

564

Теория вероятностей

связывая их с прежними общим равенством
1 • 2 • 3 -4 . . . к т
2к

'к,

то вышеустановленное равенство
л

(m—2 г ) __ m(m — 1 ••• (m — 2 i + -1 )

Лт

2* •2 •4 •6 •••2i

^m -2i

заменится следующим:
2i) =

--о 2>т -“- *2 2о •3 4; - •
•• 2i

-

*

и затем
+00

Л<Г"2i)=

j = L m_ 2i

J

e - ^ Y ? m- A v ) d v -

—00
Вместе с тем найденное нами выражение для предела Х№
тотчас приведется к такому виду:
+оо
пред. Х У ]= ± = [ а™ (1 -ь L 1 е~2Р?1 (ц) -н

L 2е“ 4? <р2(р*)
Наконец, стоит только допустить, что математические
ожидания степеней [л определяют вероятность, и немедленно
придем к интегральному выражению
*2
-^= [ е~*г(1 н - L x е_2Р <р3([л) -+- L 2 e~if <р2 ([*.) -4- . . . ) d\j.

для предельной величины вероятности неравенств
*1< Р « 2 .
которое вполне соответствует дифференциальному выраже
нию Лапласа:

0 6 одной задаче Лапласа

565

^ в " * (1 -+- Z,j е " » ?1 ([л) -+- L 2 е~4Р? , ( ( * ) + . . . )•
Лацлас останавливается также на замечательных частных:
случаях своей задачи, для которых решение ее особенно
просто. К частным случаям Лапласа метод математических
ожиданий применяется еще с большим успехом, ибо для
них U имеет вид
А е~ ь^ -& Д|л,
где Ь и g не зависят от р., и потому переход от математи
ческих ожиданий к вероятности можно основать теперь уже
не на допущении, а на доказанной теореме.
Рассмотрим сначала случай g = 0, который имеет место*
если X
определяется общею формулою
+во __
X lm) = -TJ =

f е
7 —oo

1+V M^ ,

иначе сказать, если
0=

X

o)—

X

q)=

... = X o * +1)— ...

и

X fp = l •3•5"2k{2k~ 1} (1 -bIf.
Подставляя эти величины
y(J) y(2) y(3) y(*)

Л о , -Ло , Л о , Л. о , . . .

в найденные нами предельные выражения
и полагая
для краткости e-4f> = o, последовательно получаем:
О= пред. .Д^1)= п р е д . ^ 3)= . . . = пред. ^ 2*+1)= . . .
пред.

=

-+-/) — у } » - Ь у = у (1 -*-/») =

566

Теория вероятностей

V'(1 -+ fa)

-±1_

-л

пред ^ 4)= { 4 и - о2-

1 + ia

1

[J-2 Ф .

- 4 } 3 2 I Ze
+00

_ 1 •з
—

2•2

I*

1
V^l-Hh /о-) 7U
—00

(1+/C F)2

(2т-2) _
пред. X 1 • 3 ••• ( 2 т — 3)

2т—1

'
1
=
>/(1 —
I—/б)

+со
Г

1+' > 4ф .

V-3+f?

е

»<tn—*>

[i."

? __

“ар* =

г-тт

(1 -+- /ff)’" - 1 =

1 3

2т(^Г

^ X

г—О
( т

х

—

1 ) ( т - — 2 )

■

( т

—

Q

у(2т)__1*3 •••( 2 т

пред. Аг

^ y n

- t ’- i

!(М*

1 •2 •3 .. г
---

2т

1) j т

|*

|

I—ги

X 1 т (т — ! ) • • • (т — ! ) 1 //—\««—^—■

j£d
г= 0

1 •2 3 - - - 0(z +
нн 1)
1)

1 . 3 ••• ( 2 т — 1)

2m

'

+00 __ {А-

(1-ь Ь Г = ^

=

\(1 -+- /гг)т

Итак, имеем
пред. м. о. ^

j е 1+1> " > .

+°0
-t-w __ [x*
1+fcr

V(1

L=
fe
Z<j)
J

I-

/<т)

7Г

m *
f/. d^f

и на основании известной теоремы можем утверждать, что
интеграл

Об одной задаче Лапласа

567

должен быть пределом вероятности неравенств
{*•

t2

для любых данных значений tr и £2> £ 1в
Разбор этого частного случая у Лапласа связан с выше
указанным общим разложением искомой функции по поли
номам <рш([л) и приводит к такой формуле:
-■
y Jl

У

1

е

ч-

№ы (м-)

1~\-h

•2 •3 ••• к

h

'

Случай

где g не нуль, Лаплас рассматривает совершенно независимо
от общего, доказывая, что выражение
тт__

A jjl

i+ ie ~ * 9

U ~ V(1 -+- /е-1Р) т ‘ е
удовлетворяет дифференциальному уравнению
d*U

wdp = 2 U ~ ‘b W
d\x

*

Но при помощи только что приведенной формулы не
трудно связать и этот случай с общим.
Действительно, на основании ее имеем
1

J0*

(и—qQ)2
i+*62

v/ЦГ/р е

Vl-t-ZOS
>

откуда, принимая во внимание простую формулу
(

а

Iх

\

/V

т а

/ ч

Ж/ — ? т W v+~ [ if 9^—i (Iх)

т

(т

— 1) а2

1 . 2/а 02

/ \ .

9т—2 (Iх) “*“ •••»

568

Теория вероятностей

выводим разложение по степеням б такого вида
1
vvT/P6

О*—дб2)

где коэффициенты Пт не зависят ни от б, ни от [л.
Для нашей цели нет надобности останавливаться на исследовании количеств Dm и на приведении их к возможно про’
стому виду, а достаточно только установить, что разложе
ние по степеням б функции
0 *—дб)2

\!\ + т
переменных [а и б оказывается вместе с тем разложением
по полиномам (рт((а).
Установив совпадение двух разложений, мы заключаем,
что ряд
1 -+- U e~2f 9 j ((а) -+- L 2 e~if «р2 (а) -I- L s е_6? о., (а)
даст разложение по полиномам Лапласа— Чебышева— Эрмита
для
_ (и—qg~“2P)2 . ...
|

1+ 1 е~ *Р

И

V 1 -н / е - * Р 6

если ряд
1 -н

((а) -»- L %92 ((а)

А3 9s (ja) -+- . . .

будет разложением по тем же полиномам
0 *-а )2

1 е
ч-/

1-И

ч-н-2
5

что и доставляет нам результат Лапласа: если при р= 0
имеем

Об одной задаче Лапласа

569

(у— аУ

Ар»-

и =

1+1

е

то вообще
(Н— а # ~ 2Р)2
1 + / е - “Р

Ар*.
е
U—
\/(1-+-7е-^

Переходя от вероятности к математическим ожиданиям
и принимая во внимание выясненную связь наших выводов,
относящихся к математическим ожиданиям, с дифференциаль
ным выражением вероятности по Лапласу
е—У-2Api

У/7Г

{ 1 - * - 2Р9] ([*•)-+-Z,2е 4Р? 2((/.)-+- . . . } »

можем сделать затем такое заключение: если значения X fa»*
установлены формулою
1+J

и __

' (И— а ) 2

XS

V

(1 - +

I) 7Г

ТО

+оо
V4'(т )_
пред. Лг

у
/

1 Чг1е

\ГФ*>

(у.— а $ —

гР)2

1+/в““4Р т 1
|л а(л.

А отсюда, наконец, можем сделать переход к интеграль
ному выражению вероятности:
1
у/1ТГ/е-4Р

^2

(у -—

ае—2Р ) 2

1+/«~4р

служит пределом вероятности неравенств
* !< > < * £ •
Число 1 -+-1 в этих формулах не может быть отрицатель
ным. Вывод Лапласа принимает парадоксальный характер*

570

Теория вероятностей

и при 1 = — 1, так как выражение
({а—ае-ЧУ
1
е
у/1 -е-4Р

1 -е —

теряет определенный смысл при р = 0. Рассмотрение же
математических ожиданий степеней (л обнаруживает возмож
ность случая I — — 1, по крайней мере при а = 0; но
к нему не применимо дифференциальное выражение вероят
ности

—

(1 -ь L x

((а) -»~L 2<р2((a)

-ь . . . ,

ибо до обмена шаров между сосудами [а имеет только одно
значение нуль.
Такой особый случай представляется, если сосуды напол
нены шарами так, что в первом находится ровно пр белых
и nq черных шаров, а во втором, конечно, пхр белых и пг р
черных.
Тогда все значения
xbm) и 4 m)
точно равны нулю и наши формулы дают

y2fc

1 • 3 ••• (2k —1) /,

—

пред. Xr — --------- ---------- ( 1 — е

.

Откуда при всяком р, отличном от нуля, можем заклю
чить, что вероятность неравенств

должна стремиться к пределу, равному

Об одной задаче Лапласа

557

если tu t2 и р будут оставаться неизменными, а п и щ будут
беспредельно возрастать.
Можно указать и такие случаи, к которым заключения
Лапласа совсем не применимы, но мы на них не остановимся.
4

января 1915 г.

О НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ
ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Д о л о ж ен о в з а с е д а н и и О т делен и я ф и зи ко-м ат ем ат и ч ески х н а у к
18 я н вар я 1917 г.

В исследованиях о повторении испытаний весьма важную
роль играет случай, когда число испытаний увеличивается
беспредельно без изменения остальных элементов задачи.
К этому, именно, случаю относится известное предельное
выражение вероятности в виде интеграла Моавра— Лапласа.
Однако могут представлять интерес и такие случаи,
в которых с увеличением числа испытаний изменяются также
другие элементы. Например, если дело идет о последова
тельном извлечении шаров из сосуда, состав которого не
иосстановляется, а постепенно исчерпывается, то мы не
можем увеличивать беспредельно число испытаний (извлече
ний), не увеличивая, также беспредельно, первоначального
числа шаров в сосуде. Этому случаю в известном трактате
А . Мейера (A. M a y e r . Vorlesungen liber Wahrscheinlichkeiten) посвящено особое прибавление под заглавием „Ausdehnung des Bernoullischen Theorems auf Factoriellen von Bino
men", там выведена приближЬнная формула, которая может
служить также предельною, если только sehr grosse Zahlen
Мейера заменить бесконечно большими числами. Заметим
кстати, что с тем же случаем связы вает Пирсон свои эмпи
рические формулы. Другая замечательная предельная фор
мула была указана Пуассоном в его „Recherches sur la probabilit6 des jugements en matiere criminelle et en m ature
civile" и получила довольно большую известность в матема
тической статистике благодаря работе Л . Борткевича „Gesetz
der kleinen Zahlen"; она относится к случаю, когда для не
зависимых испытаний общая постоянная вероятность события

576

Теория вероятностей

предполагается убывающею при беспредельном возрастании
числа испытаний, так что произведение ее на число испыта
ний остается неизменным.
Указанные случаи связаны с тою совокупностью, на ко
торой мы предполагаем остановиться и могли бы быть к ней
причислены; но мы исключим их, предполагая, что вместо
сосуда неизменного или исчерпываемого состава взят по
стоянно пополняемый сосуд растущего состава. Заметим
еще, что формулы, относящиеся к нашей совокупности,
заключают, как частный случай, также известное выражение
вероятности будущих событий (a posteriori). Некоторая ве
личина будет у нас целым положительным числом, в указан
ных же случаях она равна 0 или — 1; наконец, в формуле
для вероятности a posteriori она приводится к н -1 .
Мы предполагаем, что в сосуде находится первоначально
а белых и b черных шаров и нет никаких других. Из него
вынимают, последовательно, п шаров, причем каждый выну
тый шар немедленно заменяют в сосуде а + 1 шарами
того же цвета. Возможное число белых шаров, среди выну
тых таким образом п шаров, обозначим буквою т , а число
черных шаров, равное п — т , буквою /; наконец, символом
ра’ *
^т,и
обозначим вероятность [*] каждого значения т . При таких
условиях и обозначениях не трудно установить общую фор
мулу
рй, ь __
1 •2 •3 •п
1 •2 ••• m •1 •2 ••' / Х
а (а -ь а ) ••• (a-+-(m — 1)а) 6(6-t-a) ••• (6-+- (/ — 1)<х) _
( a + i ) ( o + l + a ) . .. ( a + 4 + ( n - l ) a )
_

1 -2 •3
п
jJ.(|x4-l) . . . ([л-+-т —1)Х (Х-+-1) . . . (Хч-/ —1) _
1 *2 ■>•т ■1 •2*■ •/
(|а+ X ) *+■X + 1 ) •••(]л + X + п — 1)
______ L O ^ t1)
Г 0*-ып)Г(Х-+-/)Г(|лн-Х)
Г (т -ь 1 )Г (/ ч -1 ) * Г(ц)Г(Х)Г(!А-*-Хн-п) ’

О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей

577

где
j __ а_
у __
[х
а и

9

а символ Г означает известные функции гамма.
В частном случае, когда а — Ь — си, это выражение
Р а, Ь
т, п
не зависит от тп и приводится к —
.
п -+• L
двойного равенства нет, то отношение
ря, Ь

Если же такого

т+1, и__а -*-т а _____ /1 — т

ря» &
■* т, «

/л ~f” 1 b -+- (п — т — 1) а

может быть постоянно больше единицы, или постоянно
меньше единицы, и может также один раз переходить, при
постепенном возрастании числа т , от значений больших
единицы к значениям меньшим ее, или наоборот — от значе
ний меньших единицы к значениям большим ее, соответ
ственно тому, сохраняет ли разность
(а -к- т а ) (п — тп) — (m + l ) ( J + ( n — m — 1) а),
равная
(а — а) п — (а -н Ь — 2а) т — Ъ чь* а,
постоянно один знак -+- или — или же переходит от значений
положительных к отрицательным, или, наоборот, — от отри
цательных значений к положительным. Вместе с тем, конечно,
в средней части совокупности
rya, ^
^
Г)Я, Ь
гуа, Ь
Л О, W,, 1 1, М, •••! i n —
-], W, i w,n
может не быть ни наибольшего, ни наименьшего ее числа
или там будет лежать одно из них.
Предположим сначала, что а, 6 и а остаются неизмен
ными. В таком случае, при достаточно больших значениях п,
37

А. А. М арков. Избр. труды

578

Теория вероятностей

в средней части совокупности
ра» ь р а»Ъ
р я»ь
г 0, п>
1, п» **•> г п—1, п»
как нетрудно убедиться, будет лежать наибольшее число*
если обе разности а — ос и b — ос больше нуля, и напротив —
наименьшее, если обе разности а — а и Ъ— а меньше нуля.
Если же (а — ос) ( Ь — ос)<^ 0, то как наибольшее, так и наи
меньшее число приходятся на крайние члены
О, и

как бы ни было велико число п . И нетрудно видеть, что
отношение наивероятнейшего значения m при а — ос^>0 и
Ь— ос> 0 или наименее вероятного значения [2] m при а — о с < 0
и Ь — о с < 0 к числу п приближается к пределу
а—а
а ч -Ь — 2а

’

когда п возрастает беспредельно; а отношение математиче
ского ожидания m к п во всех случаях равно дроби [3]
а
а Ч- b

И даже при максимуме вероятности в средней части нашей
совокупности не оказывается около него такого соединения
вероятных значений т , какое имеет место для задачи
Я . Бернулли; так что первый закон больших чисел здесь не
применяется, как было уже указано в моей заметке „Распро
странение закона больших чисел на величины, зависящие
друг от друга" (Изв. Ф из.-мат. общ. при Казанском унив.*
2 сер., X V , № 4 [4]).
Обращаясь к выводу предельной формулы для постоян
ных значений отношений

О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей

579,

и беспредельно возрастающих значений п, остановимся на
таких значениях т , для которых дроби

не приближаются произвольно близко к нулю; так что, сле
довательно, оба числа тп и п — тп= 1 возрастают у нас
беспредельно вместе с п. При таких условиях и обозначег
ниях мы можем применить к гаммам
Г ( п - ь 1 ) , Г ( т + 1), Г(/ -*-1), r(pi + m), Г(Х-*-/), Г ( Х ч ^ + п)
известную предельную формулу, называемую формулой
Стирлинга
J4 * -* -!)
1
=1
пред.
y/2TZx х х

—е ~х (

9

что доставит нам вместо Р ^ °п выражение
_ 1 г(^-ьр) /
~~ n

Г (Х )Г (|л )

!А
—1/ Х-И

\ Х + [А -1 -м /

Г (g-fm)w \m j (k + l)n \l

\ X -+ -^ -f-w J

\ (X + jA -b w )m j

\ (X + fx + w )lj

>

а затем — еще более простое выражение
р > __1
г “ ПГ

^ —i / 1 __£\x- i
(X) Г (р.) ^
^

которые для рассматриваемых нами значений \ удовлетво
ряют условию
пред.
в силу вышеприведенной
предельных равенств
(Х+[л)ю>

пред, е

п

(*+!*)* __х
пред, е п
37*

=1

= пред.

формулы Стирлинга и простых

j(A+m)n

\п)

.(X + [А - н п ) т )п —со

(Хч- 1 ) щ у
_
(Л-#- }л п) 1)п=ор

580

Теория вероятностей

Отсюда немедленно заключаем, что для любых данных
чисел с и д > с , лежащих между нулем и единицей, вероят
ность неравенств
с < ^ « ?
стремится, при рассматриваемых нами условиях, к пределу,
равному
Г (X -ь }л)
Г(Х)Г (\х)

f е-1 d-S)’- 1d i
с

Что касается исключенных нами значений т , для которых
пред. (— )
\

п

/ п

=оо

= 0

или 1,

то вероятность их должна иметь пределом нуль ввиду того,
что найденное нами выражение

г& г$

Л

С

отличается от единицы сколь угодно мало; если с и 1 — д
достаточно близки к нулю.
Перейдем к предположению, что при беспредельном
возрастании числа п число X возрастает беспредельно, а [л
остается неизменным. Относительно быстроты возрастания
числа различим три случая:
1) пред. ( ^ ) и=оо= 0 ,

2) пред. ( £ ) н=оо = *

и 3) пред. ( х ) и=со= ° >
где g — какое-нибудь данное положительное число.
В первом случае наши вычисления будут относиться,
подобно прежнему, к значениям т и п — т , возрастающим

О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей

$81

беспредельно вместе с п 9 но вместо отношения — прихо
дится ввести другую величину
m k

для которой мы будем рассматривать вероятность неравенств
с< х < д 9
при любых данных положительных числах с и д — с.
Ввиду того, что к и };-*-[/. возрастают теперь беспре
дельно, мы можем применить формулу Стирлинга также к
Г ( Ч н Г ( Х + |1);
таким образом, вместо прежнего выражения Р получим новое
р

X f-H -

/Х+ ^)\х

*

и Г({л )

у

)

X

/ Хч-I
\

Х + { л

+

н

)

\х / Qx+ m)»

\\ + р + п )

y (X +

jA +

\m (

w )m y

(к+ l) н

\(X +

для которого имеем:
пр^д.

I Р&УЬ
> f*

“

п= 00

=

1.

И так как в данном случае произведения
€

А -Н }АXх
\

^

/

/ X-ь /
*

НЬ JJLH-

\

п/

/

*

/ (Хч»/)п

(|А-Ь т ) п

\ (^ +

]А +

п)

wX
У” п
е
Ш /

тХ

У

\(Х-ь pi-t-п)// е
стремятся к пределу 1, то простое выражение
Р '---

^

р~х « .!*— 1

Г ~ ' пТ (|А) е

Х

•

тпк
где х — —^- также удовлетворяет условию

V

(i-H i)I/

9

*

Теория вероятностей

582

Отсюда тотчас следует, что в рассматриваемом
случае вероятность неравенств
с<

нами

д,

где с -и д — произвольные данные положительные числа и
д ^ > с стремится к пределу
dx,

когда п возрастает беспредельно. Этот результат показывает также, что вероятность тех предположений о величине т ,
,

тХ

для которых отношение -— имеет пределом нуль или возра
стает беспредельно, должна при рассматриваемых нами сей
час условиях стремиться к пределу 0, ибо
Т Ы \ < Г * х » -Ы х = 1.

Если же X возрастает настолько быстро, что отношение —
стремится к некоторому пределу g > 0 , то мы должны рас
сматривать уже определенные величины т , так как в этом
случае каждому данному значению m Соответствует некото
рое предельное выражение вероятности, отличное от нуля.
При данных [л и m формулу Стирлинга мы можем приме
нить только к
Г (п -ь 1 ), Г (/-+ -1), Г(Х-Ь[л), Г(Х), Г (Х ч -0 , Г (X -ь [л -+-п),
что доставляет нам такое выражение
р

—

г 0 * - * - ”*)

Г (т

Г

П

)

Г

1) Г (ji.) \X +(A +nj t X

X-H jJl

^ ( (Х-|-/)(Х-+-}л)^

f

п

(/ н - X)

(JL-f- n ) \(XHh JJL-f* n) XJ 1/ (X-f-JJH-n)J

О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей

583

я затем еще более простое выражение
Р' =

Г(И--Нт)

Г(т

1)

Г (|Л)

/ 1

У» < S

1г н-1/

Y

1^ -Ы / »

которое в разбираемом случае служит пределом для вероят
ности
р « .6
* т, п
в силу простых равенств
п

m

\т

X •+- [Л -+- nftt —OO

- 1

1

)

X -н р. \\*
_ /
я
1и1
[X -+■ {Л-4" п ) п =00
1 g ■ +•1 JГ ’
[

т д+ ц
' (X

Г) (X -+- р.) ]L1
. (X + р. 4- n) X JГ
1n= 00

“
1^

ff+1

1

niff-n

Г

п (/ -*- X)

) — „ м -1
— е

[ / (X -+• р ■ + п) )

Наконец, если

отношение

— возрастает беспредельно

вместе с п, то вероятность одного значения т = 0 стре
мится, как нетрудно убедиться, к пределу 1.
Остается рассмотреть те случаи, когда оба числа [л и X
возрастают беспредельно вместе с п. Х од возрастания трех
чисел X, (л, п может быть различным, и потому нам опять
придется различить несколько случаев.
Если X, [л, п — бесконечно большие величины одного и
того же порядка, то, повторяя известный вывод, относя
щийся к вероятностям a posteriori [5], мы легко находим для
вероятности неравенств
2Х{АП ( п -4- X -+- }х)

¥

( X -н р.)3

<

т -

X ^
1 >/2Х{лп ( л X -+- р.)
Х ч П х ^ *2 ^
(Х-ьр.)3

584

Теория вероятностей

при любых данных значениях tx и
жение в виде известного интеграла
i.

предельное выра

Тот же результат остается в силе* и при различных по.
А
}А
рядках л, (л, п, если оба произведения п — и л - у также
бесконечно велики. Но в этих случаях его можно еще не
сколько упростить: а именно под знаком
можно в сумме
п -н А-«-[а из двух слагаемых п и А-*-»л сохранить только
величину высшего порядка или в сумме А-*-[л отбросить
одно из слагаемых, или, наконец, соединить обе эти опе
рации.
Пусть, наконец, [л — величина низшего порядка, а про
изведение у|[л — того же порядка, как А. Тогда опять при
ходится рассматривать вероятность данного любого значе
ния т . Вычисления подобны предыдущим, и потому мы не
станем их приводить, а укажем только предельное выраже
ние вероятности
е~-9 gm
1 •2 •3 - - m ’

где £ = пред. {”у“ }я

• Это

самое предельное

выражение

дано Пуассоном для независимых одинаковых испытаний*
при условии, что вероятность события при каждом испыта
нии, в отдельности, стремится к пределу нуль, а произве
дение ее на число испытаний стремится к пределу g.
Если же не только [л, но и произведение П(л — величина
низшего порядка, чем А, то, как нетрудно убедиться, вероят
ность одного предположения т — 0 имеет уже пределом
единицу [6].

* См. мою заметку „О вероятности a posteriori'* в XIV томе 2-й
серии „Сообщений Харьковского математического общества**.

О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей

585

Таким образом, нами исчерпаны все предельные формулы,
которые можно получить из вышеприведенного выражения
вероятности
испытаний

если
п,

а

другие

беспредельно
элементы

увеличивать

число

задачи Х= ~ и

=

оставлять неизменными или увеличивать число испытаний п,
*

Ь

а

а другие элементы задачи л = — и [л= —

оставлять

не

изменными или увеличивать беспредельно с различной
быстротой.
Для других задач [7] могут быть и иные предельные
формулы; но среди всех этих формул особое место зани
мает формула Моавра— Лапласа для случая независимых
или связанных испытаний с постоянною вероятностью.

ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ
О

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ

ОБМЕНЕ

ШАРОВ

Д олож ено в за сед а н и и О т деления ф изико-м ат ем ат ических
н ау к 8 н оя бр я 1917 г.

В статье „Применение способа математических ожиданий
к связанным рядам величин" (И зв. Акад. Наук, 1915) была
рассмотрена задача о последовательном обмене шаров в двух
сосудах.
Мы выяснили, что к этой задаче с полным успехом при
меняется способ математических ожиданий: точное выра
жение вероятности, по существу вопроса, весьма сложно,
а предельные величины математических ожиданий дают во з
можность установить известное предельное выражение вероят
ности, которое при продолжительном обмене может служить
приближенной величиной вероятности. Размер погрешности,
конечно, остается неопределенным, но мы можем утверждать,
что при достаточно продолжительном обмене он будет сколь
угодно мал. Рассматривая последовательный обмен шаров
между несколькими сосудами, мы можем придать нашей
задаче значительно более общий характер. При таком обоб
щении вычисления, требуемые способом математических ожи
даний, весьма усложняются, ибо приходится последовательно
рассматривать не отдельные уравнения, как в случае дву*
сосудов, а целые совокупности уравнений с несколькими
неизвестными. Однако при удачном выборе неизвестных
можно и в общем случае притти к довольно простым пре
дельным выводам.
Если обозначим число сосудов буквой т , количества
белых и всех шаров буквами а и $ с нумерами 1, 2, 3, . . . ,
т , число произведенных одновременно перекладываний —
из 1-го сосуда во 2-й, из 2-го в 3-й,
из тп — 1-го в т -й

Теория вероятностей

590

и из m-го сосуда в 1-й — через

п

и, наконец, символом

«а....... ..

Р»

вероятность, что при этих перекладываниях будет вынуто
белых шаров — из первого сосуда а 3, из второго ос2, . . . , из
m -то &т и, следовательно, шаров другого цвета п — alt
л — а2, . . . , п — ат , то общее уравнение между вероятно
стями, служащее для последовательного увеличения числа п,
можно представить сокращенно т а к [5]:
Р®*» ®2’ ----с
^м+1
__f'*
---••* v-/m■< и

- --Г>а1 Ei>

е2» •••1а1 £ь »•■»а?п—

•

где множители С 3, С 2, . . . , Ст определяются формулой

Q — (1 — £,) S{ -ь (2вг— 1) (а, — at н- х,__3 -к- в, — £у__2),
и суммирование I должно быть распространено на все
совокупности чисел е19 е2, . . . , ет = eit равных 0 и 1.
На основании этого общего уравнения между вероятно
стями мы получим ряд уравнений между математическими
ожиданиями различных выражений, которые последовательно
будем рассматривать. Такими выражениями будут раз
ности [2]
ATj

(&i
•••,

Ot«i)==; Щ
Хт=

ат —

(^1
(<хт —

^о)>

(&2
У = * ч

—

* * *>

пр,

где
а1

а2
Ч-

■. . -+~
. . . Ч- $т

произведения вида

1), Xj(лг^ 1) (Xj

2), ••

xm(xm—l)(xm
—2), ..

x m{xm

1),

Обобщение задачи о последовательном обмене шаров

591

степени
у\ 9 1, ■■■
и комбинации из всех приведенных выражений:
— 1)*2» Xj Xj Xs, у х и

лг2,

1), y 2x v у 2 ХуХ2, и т. д.

Условившись обозначать математическое ожидание каждой
величины W после п обменов символом ( W)nf мы прежде
всего находим для математических ожиданий величин х г
х 2> . . . , х му связанных равенством
xi

х т= а г -f- а 2 ■ + -... -+- ат,

х2

такие простые уравнения [3]:
Sj Sm

1 ) Sm

---- (S j

Sj (лГт ) п,

Si s2 (x 2)n+1 = Sl (s2 — 1) (x2)n -b s2 U i)*,
s2 S3 (-^з)п+1:=: S2 (S3

Sfw—

1

Sw ( ^ m ) n + i

Sm—

1

1) (^з)п

(s w

S3 (x 2)rt,

1 ) ( x #/j)n “ I Sm (лТт —j ) w.

И з приведенных уравнений находятся предельные значе
ния [4] ООп, (х 2)п, . . . , (х т)п при п = со:
(*l)c o

=

S i

Р у ( х 2) со =

s2Р у

.

. . ,

(*т )с о

=

Sm р .

Вместе с тем нетрудно заключить, что все разности
со

разлагаются на слагаемые вида

у которых модуль £ меньше единицы и оба числа А и £ не
зависят от п.

Теорйя вероятностей

592

Переходя к произведениям

— 1), х2(х2— 1),

xm(xm— 1), хгх2, x1xs, . . .

• • •f

X m—i

X -m y

m (m -+- 1)

составляем -----g----- уравнении:
$1

(-^l (**i

l )) f t+ l

($1

2 ) Sw ( aTj ( aTj

l))n

2 (Sj

1 ) ( aTj x m) n,

s2 sx (x2(x2— 1))й+1 = (s2— 2) s, (x2 (x2 — 1))„ H- 2 (s2— 1)

х2)в>

Sj s2sm (xj -^2 )11+1 — (®i 1) (s2 1) Sffl C*i ^г)«
— 1 ) )« -+ - S2 (x, X,„)« b S1 (s2— 1) (x2X m)ft,
Si S2 s3sm(x, x3)n+1 = (Sj — 1 ) (s3— 1 ) S2 Sm (X j x3)„ -*• (Sj — 1) s3sm (xt x2)n■+■(s3— 1) Sj s 2 (x3x4)„ -+- st s3(x2x m),
- b S2 Sm ( X j

И T. Д.

На основании их и тождества

■^
i (^i
=

( а г -+- a 2

1) * •••

x m( x m

1) +

Xj

. . . + f l №) ( a j + f l 2 4 - . . . - * - a m — 1 ) ,

где суммирование 2 распространяется на все пары различных
чисел г(1, 2, 3 , . . . , т ) и j (1, 2, 3 , . .
т ) , получаем систему
уравнений между предельными величинами рассматриваемых
произведений при п = оо:
(*1 (Х1

1 ))ср __ (*1 Хт)оо

(хо ( * 2 — 1 ))оо __ ( Х 1 х 2)рО

S2 — 1
«1
(x2Xm)co
(*1 Хт)оо \
(*1 * 2)00
( С* 1 * 2)00
--------------/•
Sm
Si
Sm } = » ,
«2
( x i Л '2 ) о о
(X1 * 3)00 _ (x3 х**)ао
(*1 *з)о
(Sl — 1 ){
}-t-(s3— 1){ Si S3
S3 sm b
sl s 3
sl «2
*1

- 1

__(x% Xm)jo

s2 sm

( * 1 * 3)0
Si S3

Обобщение задачи о последовательном обмене шаров
fX |

1))оо ^

1))оо

• • * + 22

593

----

— (аг -+- а 2 -+- . . . -+- а т) {аг -+■ а 2 - ь . . *' ■+- а т— 1),
которая разрешается общими формулами
{ х { (х%
Si { s i

— 1))оо _
— 1)

( * i x j ) 00

___

S iS j

**

a i+ fl2 +
Si ~+" s2 *+" . . .

Sm

— 1 e
— 1

На доказательстве, что эта система уравнений не до
пускает других решений, мы не станем останавливаться; но
необходимо отметить, что все разности
(* * (* < —

1))„ —

( * < ( * , — 1))оо

и

(*<

Xj)K•— (х,- Х>)оэ

также должны разлагаться на слагаемые вида
А ?,
где А и £ не зависят от п и модуль \ меньше единицы.
Для у = осх— пр получаем простое уравнение
S 1 (ff)n+1

“ S1 (у)п

(*l)n

S1 Р у

на основании которого и вышесказанного о разности
(jc^ — (Х])а> заключаем, что при беспредельном возрастании
71 количество (y)ib должно стремиться к некоторому пре
делу (г/)со и что разность (у)п— (у)& разлагается на сла
гаемые того же типа А^\
Затем для произведений
{у х г)т (ух^ м . . -, {у х т)п
получаем следующие уравнения:
s* Sm(yx^n+i = (sj — 1)sm{yxj)n -«- Sj (yxm)tl -b Sm( * T(хг — 1)\ “+*
’ * C^i ^m)ft

P (S j

S 1 s 2 ( У Х 2)>t+-l = = ( s 2

1)

Sm ( * i ) n

1 ) S 1 (УХ%)n

PSi (-^»и)л!
S2 i y X ^ %

-H (s2 — 1) (х г x 2)n — psj (s2 — 1) (x 2)n-b (1 — p ) S2 (хг)м
38

а.

А. Марков. Избр. труды

594

Теория вероятностей

«1s2 ( у х з)л + 1 = st s 2(s3 — 1) ( у х 3)н-+- s t s3 (y x 2)n -ь
S2 (s3 — 1) ( х г x 3)„ -b s3 (x 1 x 2)№
— p s ±s 2(s3 — 1) (x3)« — p s t S3 (x2)w
Si Sm_ i Sm

Sj Sw—i (sm
$m—l (Sm

Sm ( aT
jA
Tw__i)n

pSi

1)

-t- Sj Sm ( y x m—1^| Hh-

1) (-^l X m) n ■ +■

Sw_ j (sOT 1) (x w)w

p S i S m (лГя,— i)||f

к которым надо присоединить очевидное равенство
(уХ!)п-*-(уХ2)н -*- . . .

(ухт)п — («1

а2 ■"!“ •••“ЬОтИг^А*

Отсю да, принимая во внимание предыдущие предельные
формулы, выводим
1

\

(ff*l)oo
*1

(0*з)оо
s3

(0*м)со
«и

1
8

s2

i

(9 x 2) 0 ,

«1

si P 9
Si -f- s2 -H . . . *■+- Sm— 1

(sj -+- s2
. . . + % — s2) p q
Sj + s2 + . . .
Sm — 1

( 0 * 2)00 _
Si +

s2

(y x m —i ) cd _

Sw—1

}

S2

«3 P 9
+ . . . -t- 5ni--- 1

Sm p q
si + s2 + . . .

— 1

н
( 0 * 1)00

*1

— р (у ) СО

________________ P
(«1 И - $2 ■+* • • • +

9 l , s i sj

sm) («1

_______________ _ *

s2 НИ . . . “Ь Sm

где
9 = 1 — р.
Имея эти результаты,
новое уравнение
*1

обращаемся к у 2 и составляем

(itfWi = Si Ып -+- 2 ( у х г)п — 2s, />(t/)M•+■(! — 2р) (хх) + p2s„

которое немедленно доставляет нам предельную величину

Обобщение задачи о последовательном обмене шаров

отношения

(яг)п
при
п

f (у2)»»\
Ь
= РЧ V
\ п L=<x>

п —

595

СО

(sj ~+* S2 Hh . . •

2 2 si &j
sm) («!“♦“*2

••

. _.

т
— 1) /

В частности, при т = 2 последняя формула вполне совпа
дает с найденной нами в вышеупомянутой статье

И по аналогии с прежними выводами, относящимися к част
ному случаю т — 2, можем установить соответствующие
предельные формулы для вероятности.
Для сообщения такому заключению полной строгости
следовало бы рассмотреть и высшие степени
но мы на
этом не остановимся.
15 октября 1917 г.

П Р И Л О Ж Е Н ИЯ

БИОГРАФИЯ А. А. МАРКОВА

Мой отец, Андрей Андреевич Марков, родился 2 июня
{ст. ст.) 1856 г. в Рязани. Он был сыном чиновника Андрея
Григорьевича Маркова, служившего в Лесном департаменте
в чине коллежского советника, а затем вышедшего в от
ставку и работавшего частным поверенным, или „ходатаем
по делам", как тогда называлась эта профессия. Отец
Андрея Григорьевича, Григорий Маркович Марков, был сель
ским дьяконом где-то близ Рязани.1
Отставка Андрея Григорьевича была связана с тем, что
им были раскрыты злоупотребления вышестоящих служащих
Лесного департамента. Чтобы скрыть следы своих про
делок, влиятельные жулики заставили его подать в от
ставку.
Андрей Григорьевич был женат дважды. От первой жены,
дочери чиновника, Надежды Петровны, он имел шестерых
детей: Петра, Павла (умершего в детстве), Марию, Евгению,
А н д р е я и Михаила; от второй жены, Анны Иосифовны,—
трех: Владимира, Лидию и Екатерину.
И з братьев отца стал известным Владимир Андреевич
(1871— 1897). Он показал себя первоклассным математиком,
но туберкулез свел его в могилу в возрасте 26 лет.
1 В биографии отца, вошедшей в посмертное издание его книги
„Исчисление вероятностей* (М., 1924), ошибочно сообщается, что Андрей
Григорьевич сам был сельским дьяконом. К сожалению, эта ошибка
перешла и в некоторые другие биографии отца.

т

А . А . Марков

Сестра отца, Евгения Андреевна, была одной из первых
русских женщин-врачей. По специальности психиатр, она
долгие годы работала в различных больницах для душевно
больных. Умерла она в 1920 г.
Врачом является и ныне живущая в Ленинграде сестра
отца Екатерина Андреевна (род. в 1875 г.). Сестра Лидия
Андреевна была учительницей в средних школах. Она умер
ла в Ленинграде в начале 1942 г. Брат отца, Михаил Андре
евич, умерший в глубокой старости незадолго до Великой
Отечественной войны, был многие годы лесничим на Украине.
В начале 60-х годов прошлого века Андрей Григорьевич
переселился с семьей в Петербург. По выходе в отставку он
устроился управляющим имением Екатерины Александровны
Вальватьевой. У нее было две дочери: Мария (1860— 1942)
и Елизавета.
Андрюша Марков был болезненным ребенком. Он страдал
туберкулезом коленного сустава и ходил на костылях.
Впрочем, он умел обходиться и без них, но тогда скакал
на одной ноге, — другая была согнута в колене и не разги
балась. В этих способах передвижения он достиг, однако,
большого совершенства и мог даже с успехом играть в го
релки.
Когда Андрюше было 10 лет, ему сделали операцию.
Известный хирург Кадэ разогнул ему ногу, и он получил
возможность ходить нормально. Правда, он потом, всю жизнь,
слегка прихрамывал, но это не помешало ему стать хорошим
пешеходом, любителем дальних прогулок. „Будешь жив, пока
на ходу", — любил он цитировать слова одного врача, ска
занные какому-то почтальону.
В 1866 г. Андрюшу отдали в Петербургскую 5-ю гимна
зию. Это „классическое" учебное заведение с его казенщи
ной пришлось мальчику не по вкусу. На всю жизнь он
сохранил мрачное воспоминание об этом месте, где его ста
рались не столько учить, сколько муштровать и отуплять,
чему в особенности способствовало преподавание древ-

А. А. Марков (1886).

Биография А . А . Маркова

т

них языков (латинского и греческого), построенное
на
зубрежке бесчисленных правил и исключений — всевозмож
ных „много есть имен на is — m ascu lin i g e n eris " , и т. п.
По большинству предметов он учился плоховато и часто
получал неудовлетворительные отметки. Исключение состав
лял только один предмет — математика, по которому Андрю
ша неизменно получал пятерки.
— Насчет дочерей Маши и Ени я спокоен,— говорил
как-то Андрей Григорьевич, — они учатся хорошо. А вот
с Андреем беда! Опять меня вызывали к директору. Ничем
Андрей не хочет заниматься, кроме математики!
Андрей действительно был очень увлечен математикой еще
в школьный период и изучал эту науку самостоятельно.
Одно время ему казалось, что он изобрел новый метод
интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Об этом своем
открытии он сообщил известным русским математикам того
времени: Буняковскому, Золотареву и Коркину. Из них пер
вый ничего не ответил на письмо гимназиста Маркова, а
два других подробно и обстоятельно разъяснили ему* что
этот способ в действительности не является новым. Так завяза
лось знакомство моего отца с профессорами Петербургского
университета А. Н. Коркиным и Е . И. Золотаревым.
Андрей Григорьевич Марков, однако, ошибался, когда
полагал, что его Андрей ничем кроме математики не инте
ресуется. На самом деле он зачитывался статьями вели
ких публицистов-шестидесятников — Чернышевского, Добро
любова, Писарева, под влиянием которых находилась тогда
лучшая часть учащейся молодежи. В одном из своих школь
ных сочинений об „Евгении Онегине" он трактовал это
произведение в духе Писарева, за что удостоился следующей
ремарки педагога: „Вы начитались борзописцев, отрицающих
чувство прекрасного".
Во время пребывания Андрея в выпускном классе про
изошел инцидент, едва не окончившийся исключением его из

602

А. А. Марков

школы. Как-то раз во время молитвы после учения он складывал
книги в портфель. На его беду последний урок вел „немец*,
усердно искавший повода для придирок. Он не столько
молился сам, сколько следил за поведением учеников
во время молитвы. „Вы нарушаете благоговейное чувство
класса, — заявил он ему по окончании молитвы.— Я сообщу
директору*. Когда товарищ Андрея, Капустин (впоследствии
физик, профессор Петербургского университета), пытаясь
заступиться за него, сказал преподавателю, что благого
вейное чувство класса не было нарушено, рассвирепевший
учитель закричал: „Вы никакой адвокат! Ступайте в карцер!*.
Педагог пожаловался директору; директор вызвал Андрея
Григорьевича Маркова и заявил ему, что не потерпит у себя
в гимназии „атеистов и нигилистов*. История умалчивает
о средствах, к которым пришлось прибегнуть Андрею Гри
горьевичу, чтобы утишить гнев директора— тройного ренегата,
несколько раз менявшего религию и в конце концов остано
вившегося на православии.
В 1874 г. отец окончил гимназию и поступил в Петер
бургский университет. Там он слушал лекции Пафнутия
Львовича Чебышева, влияние которого отразилось на всей
его научной деятельности. Слушал он также профессоров
А. Н. Коркина и Е . И. Золотарева, которые помимо лекций
вели кружковые занятия с лучшими студентами. Он уча
ствовал в этих занятиях, быстро решая трудные задачи,
которые там ставились. По его собственному признанию,
беседы с Коркиным послужили началом для многих его
самостоятельных трудов.
31 мая 1878 г. он окончил Петербургский университет
по математическому разряду физико-математического факуль
тета со степенью кандидата. В том же году он был награ
жден золотой медалью за сочинение на предложенную факуль
тетом тему „Об интегрировании дифференциальных уравнений
при помощи непрерывных дробей* и был оставлен при
Университете „для приготовления к профессорскому званию*.

Биография А. А. Маркова

603

В 1880 г. он защитил свою знаменитую магистерскую
диссертацию „О бинарных квадратичных формах положи
тельного определителя", сразу выдвинувшую его в первые
ряды русских математиков.
В 1881 г. он защитил докторскую диссертацию „О неко
торых приложениях алгебраических непрерывных дробей".
В 1880 г. началась его преподавательская деятельность
в Петербургском университете в качестве приват-доцента. В
учебных 1880/81 и 1881/82 гг. он читал повторительный курс
дифференциального и интегрального исчислений. В 1883 г.
ему был передан курс „Введения в анализ", до того читавшийся
Ю . В . Сохоцким и К. А. П оссе. В том же году из Универ
ситета ушел Чебышев, и отец первый раз читал курс теории
вероятностей. С учебного 1885/86 г. он читал этот курс
непрерывно из года в год.
В 1883 г. он женился на Марии Ивановне Вальватьевой.
Знакомство моих родителей началось еще в их детские годы,
на даче Екатерины Александровны Вальватьевой. Потом,
когда отец уже был студентом, а мать училась в гим
назии и ей не давалась математика, Екатерина Александровна
Вальватьева пригласила „сына управляющего" в качестве
учителя математики к своей дочери.
Вскоре он просил у Екатерины Александровны руки ее
дочери. Он, однако, не сразу получил согласие. Бабушка
долго колебалась, опасаясь выдать дочь за человека, по ее
мнению, недостаточно обеспеченного, не имеющего опреде
ленного „места". Лишь в 1883 г., когда отец был уже при
ват-доцентом, собирался защищать докторскую диссертацию
и в перспективе намечалась профессура, Екатерина Але
ксандровна дала согласие, и свадьба состоялась.
13 декабря 1886 г., по предложению Чебышева, отец был
избран адъюнктом Академии Наук, 3 марта 1890 г. — экстра
ординарным академиком, 2 марта 1896 — ординарным акаде
миком. В 1886 г. он был назначен экстраординарным про
фессором Петербургского университета, а в 1893 г. — орди

604

А. А. Марков

нарным. В 1905 г. отец вышел из Университета в отставку
со званием заслуженного профессора, но курс теории ве
роятностей продолжал читать. Стремясь найти полезное
практическое применение для этой своей основной научной
специальности, он принимал деятельное участие в расчетах
Эмеритальной кассы Министерства юстиции при ее основании
и обзорах ее действий.
Значение работ отца для науки подробно освещено
в статье настоящего сборника „Очерк работ А. А. Маркова
по теории чисел и теории вероятностей", и я не буду здесь
касаться этого. Мне хочется осветить другие стороны его
деятельности и рассказать о том, каким он был как чело
век и гражданин.
Это был человек открытый, прямой и смелый, никогда
не изменявший своим убеждениям, всю жизнь яростно бо
ровшийся со всем, что считал глупым и вредным. Его гра
жданское мужество было очень стойким: он не считался
ни с лицами, против которых выступал, ни с последствиями,
которые его выступления могли иметь для него самого.
Когда ему возразили как-то на одно его предложение, что
оно идет вразрез с „высочайшим постановлением", он во
всеуслышание сказал: „Я вам дело говорю, а вы мне —
высочайшее постановление!".
Вот несколько фактов и документов, характеризующих
отца.
Как известно, 25 февраля 1902 г. на соединенном засе
дании Отделения русского языка и словесности и Разряда
изящной словесности Академии Наук был избран почетным
академиком А . М. Горький. 1 марта в „Правительственном
вестнике" об этом появилось официальное сообщение. Оно
взбесило царя Николая II, который решил немедленно кассиро
вать выборы. С этой целью царь через министра народного
просвещения П. С. Ванновского потребовал от „августей
шего" президента Академии Наук вел. кн. Константина
Константиновича Романова опубликования в том же „Пра

Биография А. А. Маркова

605

вительственном вестнике" объявления о кассации выборов
от имени самой Академии Наук. Такое объявление и было
опубликовано, правда сначала (10 марта) не от лица Ака
демии Наук и лишь затем (12 марта), по новому настоянию
Ванновского, от ее лица. В качестве мотива кассации
в объявлении делалась ссылка на то, что Горький находится-де под гласным надзором полиции. На этот акт гру
бого произвола „самодержца" и трепетавшего перед ним
президента Академии Наук, действовавшего от лица Акаде
мии без ведома и согласия ее Общего собрания, отец реаги
ровал следующим заявлением:
В Общее собрание Академии Наук.
Честь имею предложить Собранию настаивать, чтобы объявле
ние о кассации выбора г. Пешкова в почетные академики было
объявлено недействительным или исправлено, так как, во-первых,
это объявление сделано от имени Академии, которая в действи
тельности не кассировала выбора г. Пешкова, и, во-вторых, при
веденный в объявлении мотив кассации лишен значения.
А. Марков.
6 апреля 1902 г.

Свое заявление он хотел прочесть на заседании Общего
собрания Академии Наук, однако волей президента это не
было допущено. Тогдашний непременный секретарь Акаде
мии Н. Дубровин на заявлении наложил резолюцию: „Оста
вить под протокольными бумагами". Это означало, что
заявление не будет опубликовано в протоколах Академии
Наук. Так прислужники царя старались тогда заглушить
всякие публичные выступления ученых против царского
произвола.
Отец предпринял тогда дальнейший шаг: 8 апреля 1902 г.
он подал на имя президента прошение об отставке. Мне
не известен текст этого прошения, и о самом его существова
нии известно лишь по другим документам. Президент, разу
меется, постарался скрыть его от общественности. В связи
с отставкой отец заявил также о том, что не будет прини

606

А. А. Марков

мать дальнейшего участия в издании Академией Наук трудов
Чебышева. Отставка его, однако, не была принята, и он
возобновил свою работу по изданию трудов Чебышева, опа
саясь, по всей вероятности, передавать это ответственное
дело в другие руки.
В начале 1905 г. он возобновил свой протест против
кассации выборов Горького. Он направил в Академию Наук
следующее заявление:
В Общее собрание Академии Наук.
Желая верить и надеяться, что высочайший указ 12 декабря
19С4 г., в котором признано неотложным „ . . . принять действитель
ные меры к охранению полной силы закона, . . . дабы ненарушимое
и одинаковое для всех исполнение его почиталось первейшею
обязанностью всех подчиненных нам властей и м е с т ..." , откры
вает новую для России эру законности, считаю своим долгом
напомнить Общему собранию о беспримерном случае нарушения
закона, касающемся почетного академика г. Пешкова, который до
сих пор не внесен в академический список и лишен возможности
пользоваться правами почетного академика.
Конечно, о кассации выбора г. Пешкова в почетные акаде
мики было объявлено в газетах, как будто, Академией Наук, но
мы знаем, что это объявление ложно. Подобные объявления могут
иметь силу только там, где царит неограниченный произвол, и
падают сами собой с устранением последнего.
Поэтому я предлагаю внести имя г. Пешкова в список почет
ных академиков и пригласить его принять участие в жизни Ака
демии согласно закону.
Академик А. Марков.
8 января 1905 г.

Это заявление также не было допущено к оглашению на
основании §§ 97 и 98 устава Академии. Горький был пригла
шен на заседание Отделения русского языка и словесности
и разряда изящной словесности лишь после февральской
революции 1917 г.
В марте 1903 г. отец подал в Правление Академии Наук
следующее заявление:
В Правление Академии Наук.
Ввиду присланного мне, по определению Правления, уведом
ления о порядке производства вычета за ордена, честь имею

Биография А. А . Маркова

607

покорнейше просить Правление принять во внимание, что я
никаких орденов не прошу и не желаю получать.
А. Марков.
23 марта 1903 г.

Суть этого заявления состояла, конечно, не в том, что
отец не хотел платить вычетов за ордена, взимавшихся
тогда у орденоносцев, — эти вычеты были весьма незначи
тельными. Она состояла в его отказе от дальнейшего полу
чения орденов от царского правительства и в его пренебре
жительном отношении к орденам имевшимся. Он восполь
зовался первым представившимся поводом, чтобы заявить
об этом.
Как известно, 3 июня 1907 г. царское правительство
распустило неугодную ему II Государственную думу и издало
новый закон о выборах в III Государственную думу, нару
шив тем самым свой манифест 17 октября 1905 г., согласно
которому оно должно было издавать новые законы Только
с согласия Думы. В связи с этим отец обратился в Правле
ние Академии Наук со следующей просьбой:
Правлению Академии Наук.
Просьба академика А. А. Маркова
Ввиду того, что созыв III Государственной думы соединен с на
рушением закона и потому она будет не собранием народных пред
ставителей, а каким-то незаконным сборищем, честь имею покорнейше
просить Правление не вносить мое имя в списки избирателей.
Академик А. Марков.
11 июня 1907 г.
Вильманстранд (Финляндия)
Имение Скинарилла.1

На этом заявлении тогдашним непременным секретарем
Академии Наук С. Ольденбургом была наложена резолю
ция: „Оставить без последствий".
1 В этом имении на берегу озера Сайма отец снимал дачу в 1907
и 1908 гг.

А. А. Марков

608

В 1908 г. Министерство народного просвещения издало
в связи со студенческими волнениями циркуляр, в котором
пыталось возложить на профессоров Университетов поли
цейские функции. В связи с этим отец подал в Министер
ство следующее заявление:
Его превосходительству господину министру
народного просвещения
Заявление Андрея Маркова
Ввиду известного циркуляра, который основан на разъяснении
Сената и был мне предъявлен в канцелярии С.-Петербургского уни
верситета 25 сентября, считаю своим долгом сообщить вашему пре
восходительству, что я решительно отказываюсь быть в Университете
агентом правительства, хотя согласно желанию Физико-математиче
ского факультета сохраняю за собой чтение лекций по теории
вероятностей.
Академик А. Марков.
2 октября 1908 г.
В. О., 7 линия, 2.

На этом документе имеется резолюция министерства:
„Возвратить заявление академику Маркову, как неподлежаще
поданное".
Как известно, „святейший" Синод отлучил от православ
ной церкви великого русского писателя — Л . Н. Толстого.
Чтобы выявить всю смехотворность этой пахнувшей средне
вековьем акции, отец 12 февраля 1912 г. сам подал в Синод
прошение об отлучении его от церкви.
.Вот полный текст этого прошения. 1
Святейшему Правительствующему Синоду
Прошение
академика А. А. Маркова
Честь имею покорнейше просить Святейший Синод об отлучении
меня от церкви.
Надеюсь, что достаточным основанием для отлучения может служить
ссылка на мою книгу „Исчисление вероятностей*4, где ясно выражено
3 Архив АН СССР, @ . 173, on. 1, Ш 65.

А. А. Марков (1 9 1 8 ).

Биография А . А. Маркова

609

мое отрицательное отношение к сказаниям, лежащим в основании еврей
ской и христианской религии.
Вот выдержка из этой книги (стр. 213—214): „Независимо от матема
тических формул, на которых мы не остановимся, не придавая им боль
шого значения, ясно, что к рассказам о невероятных событиях, будто бы
происшедших в давно минувшее время,* следует относиться с крайним
сомнением. И мы никак не можем согласиться с акад. Буняковским,
(«Основания математической теории вероятностей», стр. 326), что необхо
димо выделить известный класс рассказов, сомневаться в которых он
считает предосудительным.
„Чтобы не иметь дело с еще более строгими судьями и избежать
обвинений в потрясении основ, мы не останавливаемся на этом пред
мете, не относящемся непосредственно к математике.44
Чтобы не оставалось никаких сомнений, о чем идет здесь речь,
приведу соответствующую выписку из книги Буняковского: „Некоторые
философы, в видах предосудительных, пытались применять формулы,
относящиеся к ослаблению вероятности свидетельств и преданий, к веро
ваниям религиозным и тем поколебать их44.
Если приведенной выдержки недостаточно, то покорнейше прошу при
нять во внимание, что я не усматриваю существенной разницы между
иконами и идолами, которые, конечно, не боги, а их изображения, и не
сочувствую всем религиям, которые подобно православию поддержива
ются огнем и мечом и сами служат им.
Академик А. Марков.
12-го февраля 1912 года.
С.-Петербург, В. О., 7 линия, 2 (Академия Наук).

Это заявление отца уже невозможно было возвратить,
как „неподлежаще поданное". Оно вызвало страшный пере
полох в правительственном лагере. Черносотенные газеты
подняли дикий вой. Петербургский митрополит прислал
к отцу для „наставления и увещания" „духовного пастыря" —
протоиерея Орнатского. Отец заявил, однако, протоиерею,
что согласен разговаривать с ним лишь о математических
вопросах, а это совсем не устраивало священнослужителя.
Синоду пришлось удовлетворить прошение отца, в связи
с чем производилось забавное расследование того, не был
ли он сектантом, был ли он крещен, кем были его роди
тели, и т. п.
39 А. А. Марков. Избр. труды

А. А. Марков

610

В 1913 г. по указке правительства праздновался юбилей
300-летия дома Романовых. В противовес этому фальшивому,
черносотенному юбилею отец организовал юбилей научный:
200 -летие закона больших чисел.
В одном из своих писем к С. Ф . Ольденбургу Алексей
Николаевич Крылов так пишет об этой борьбе отца с быв
шим правительством „за правду":
„Вы, конечно, помните его резкий протест, заявленный Академии
по поводу исключения, по распоряжению министра Сипягина, Горького
из Академии. Наверное вы помните также, что в первое же мартовское
1917 г. заседание Академии Наук Андрей Андреевич внес предложение,
единогласно принятое, о включении вновь Горького в число почетных
академиков. Сколько раз выступал Марков в университете с протеста
ми против мероприятий бывшего правительства и полиции по отношению
к университету и студентам, — одно время он даже был отставлен от
должности профессора за эти выступления. Припомните его протест
против Синода по поводу отлучения Толстого от церкви; ведь таких про
тестов, всегда заявлявшихся открыто и явно, не перечислить, и, конеч
но, самое имя и ученая слава Маркова придавали им силу и распро
странение, не способствовавшие упрочению бывшего правительства4*.1

Очень большое внимание уделял отец постановке препо
давания математики в средней школе. Он энергично протесто
вал против различных вредных экспериментов в этой области.
В частности, такие эксперименты пытался проводить про
фессор Московского университета П. А. Некрасов, черно
сотенец и мистик, стремившийся сделать из математики
опору православию и самодержавию. В 1915 г. Некрасов, свя
занный с руководством Министерства народного просвеще
ния и бывший попечителем одного учебного округа, высту
пил совместно с П. С. Ф лоровом с проектом введения
теории вероятностей в курс средней школы. По существу
этот проект сводился к внедрению в умы школьников пута
ных, лженаучных воззрений его авторов на теорию вероят
ностей, математическую статистику и математику вообще. По

1 А. Н. К р ы л о в ,

Собр. трудов, т. I, ч. 2, стр. 320.

Биография А. А. Маркова

61 f

инициативе отца, в Академии Наук была создана „Комиссия
по обсуждению некоторых вопросов, касающихся преподав
вания математики в средней школе", подвергшая проект
уничтожающей критике.
Проект не был осуществлен, хотя некоторые опыты
в этом направлении и делал Флоров в руководимом им
Урюпинском реальном училище.
В учебном 1917/18 г. отец сам преподавал в средней
школе. В сентябре 1917 г. он решил прямо с дачи (мы
жили тогда на даче около гЗрода Старица в б. Твер
ской губ.) ехать в город Зарайск (б. Рязанской губ.),
где жили тогда его родственники. Он испросил у Ака
демии Наук командировку „для продолжения научных заня
тий, на год внутрь России", и зиму 1917/18 г. мы провели
в Зарайске. („Мы" — это в данном случае мои родители, тетя
моей матери, Серафима Александровна Москвина, и я). Мне
пришлось перейти из 5-го класса Петроградской 8 -й гимна
зии в 6 -й класс Зарайского реального училища. Матема
тику в 6 -м классе преподавал директор училища Гильвег,
старательный и педантичный. Он неукоснительно требовал
на уроках геометрии, чтобы все чертежи делались тща
тельно: чтобы прямые проводились обязательно по линейке,
окружности обязательно циркулем, и т. п. Неожиданно он
вышел в отставку, и старшие классы остались без мате
матика. Чтобы выручить училище, а быть может, и для
удовлетворения своей постоянной потребности в педагоги
ческой деятельности (ведь он до этого 37 лет подряд пре
подавал в университете!) отец безвозмездно предложил свои
услуги в качестве преподавателя математики. Это предло
жение было с благодарностью принято, и я стал таким обра
зом официальным учеником отца.
Первый его урок несколько испугал и озадачил нас.
Тут не было ничего похожего на внешнюю аккуратность его
предшественника. Даже формулы писались отцом не очень
в ранжир. Потом к „профессору" (так называли отца его

612

А. А. Марков

юные ученики) стали привыкать, однако усвоенные от Гильвега навыки некоторое время мешали взаимному пониманию.
Так, однажды отец, вызвав к доске на уроке геометрии
одного из лучших учеников, пришел в ярость, когда тот,
вместо изложения решения задачи, стал медленно делать
на доске тщательный чертеж циркулем и линейкой. „У нас
тут урок геометрии, а не черчения!"— гневно крикнул отец.
Главный упор отец делал на решение задач. Для желаю
щих усовершенствоваться в этом деле он вел дополнитель
ные занятия во время каникул и по воскресеньям. Эти не
обязательные занятия охотно посещались многими учениками
и принесли им пользу. З а всю эту свою краткую, но интен
сивную деятельность отец получил от педагогического со
вета Зарайского реального училища благодарственный адрес,
до сих пор хранящийся у автора этих строк.
Осенью 1918 г. наше семейство вернулось в Петроград.
Отца, всегда стремившегося отдать все свои силы на благо
Родины, непреодолимо потянуло к любимой педагогической
работе в университете, начавшей в это время налаживаться.
В Петрограде ему пришлось сделать глазную операцию.
Он уже несколько лет страдал глаукомой — тяжелой глазной
болезнью, проявлявшейся под старость у многих представи
телей нашего рода.
Глазная операция была сделана удачно доктором Выгод
ским. Зрение отца улучшилось, и он возобновил чтение
лекций в Петроградском университете. Однако переезд из
Зарайска в Петроград плохо отразился на общем состоянии
здоровья отца. В 1920/21 учебном году я водил его на лекции
под руку, чего раньше никогда не требовалось. Это были
лекции по теории вероятностей, соответствовавшие его изве
стной книге. Как один из слушателей, я могу засвидетель
ствовать, что они читались безукоризненно, несмотря на то,
что лектор едва держался на ногах.
В этот же период отец напряженно работал над четвертым
(вышедшим уже после его смерти) изданием своей книги

Биография А. А. Маркова

613

„Исчисление вероятностей". Как известно, это издание зна
чительно отличается от предыдущего.
Осенью 1921 г. отец слег в постель. У него была тяже
лая форма радикулита с мучительными болями. Весной 1922 г.
к этому присоединилась новая б о л езн ь— аневризма, образо
вавшаяся в ноге. Начались кровотечения. Отцу, однако,
к этому времени очень надоело лежать в постели. Он стал
стремиться на воздух, на лоно природы. Лечивший его
доктор разрешил переезд в находившийся в Детском Селе
(ныне г. Пушкин) санаторий Комиссии по улучшению быта
ученых. Вероятно, это было ошибкой, так как езда в машине
подействовала на отца неблагоприятно. Кровотечения уси
лились, и главный врач санатория признал необходимым не
медленное возвращение в Петроград для операции — удаления
аневризмы. После операции отец чувствовал себя лучше, темпе
ратура снизилась. Но через несколько дней появились угро
жающие симптомы, резко повысилась температура. Конси
лиум врачей установил общее заражение крови и признал
состояние отца безнадежным. 20 июля 1922 г. в 10 часов
вечера отец скончался.
Он похоронен на Митрофаниевском кладбище в Ленин
граде.
В 1923 г. в Академии Наук отмечалась годовщина со
дня его смерти. С яркой речью об отце как ученом, человеке и
гражданине выступил его друг, тогдашний вице-президент
Академии Наук Владимир Андреевич Стеклов.
Прошло уже 30 лет со дня смерти Андрея Андреевича
Маркова. Но Марков-ученый не умер и не умрет. Его
идеи и результаты — знаменитые „марковские цепи", дока
зательство закона больших чисел, теоремы о минимумах квадра
тичных форм и другие блестящие достижения — вошли в
основной фонд науки и будут жить века.
А . М арков.

ОЧЕРК РАБОТ А. А. МАРКОВА ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Научное творчество академика Андрея Андреевича Мар
кова по своему стилю и духу относится к тому направлению
в математике, начало которому было положено П. Л. Чебы
шевым и главные результаты в котором принадлежат ему
и его ученикам — представителям знаменитой Петербургской
математической школы* Будучи одним из виднейших учени
ков П. Л . Чебышева, А. А. Марков в значительной степени
вдохновлялся идеями своего великого учителя.
Научные интересы Андрея Андреевича были широки и
разнообразны. Ему принадлежит около 70 работ, относя
щихся к теории чисел, конструктивной теории функций,
дифференциальным уравнениям, теории вероятностей, в том
числе две классические книги „Исчисление конечных раз
ностей" и „Исчисление вероятностей". В каждой из названных областей творчество А. А. Маркова оставило глубокиеследы и до сих пор оказывает и долго еще будет оказы
вать большое влияние на исследования других ученых.
В особенности им обогащены теория чисел и теория вероят
ностей.
Отличительной чертой работы Андрея Андреевича как
представителя Петербургской математической школы является
конкретность в выборе предмета исследования, соединенная
с большой общностью постановок задач и доведением реше"
ния до числа и алгорифма. Вместе с тем исследуемые А. А .

Очерк работ А . А . Маркова

615

Марковым вопросы всегда представляли большое научное
значение. Например, его идеи о зависимых случайных вели
чинах, лежащие в основе современной теории стохастических
процессов, играют фундаментальную роль в новейших схе
мах физики и некоторых вопросах техники.
Д ля стиля работ Андрея Андреевича характерна ясность
и четкость языка, тщательная отделка деталей и доведение
результатов до возможности практических приложений. Его
рассуждения и доказательства весьма эффективны и дают
определенные оценки рассматриваемых величин.
Подобно некоторым другим крупным ученым А. А . Мар
ков любил и умел вычислять. Непревзойденными образчиками
его вычислений являются: таблица комплексных единиц
чисто кубического поля, таблица неопределенных тройнич
ных квадратичных форм, не представляющих нуль, для всех
определителей Z ) ^ 5 0 , таблица значений интеграла Лапласа,
вычисленных с 1 1 знаками после запятой.
Настоящий очерк научных трудов А. А. Маркова посвя
щен его работам в двух областях, представленных в этом
сборнике: теории чисел и теории вероятностей.

1. Теория чисел
1 . Работы А. А. Маркова в этой области относятся глав
ным образом к теории неопределенных квадратичных форм,
причем почти все они посвящены решению очень трудного
вопроса — нахождению экстремальных 'неопределенных квад
ратичных форм данного определителя.
Д ля неопределенных двойничных квадратичных форм этот
вопрос был впервые поставлен А. Н. Коркиным и Е. И.
Золотаревым. В работе „Sur les formes quadratiques“ (1878)
ими указаны две первые экстремальные формы положитель
ного определителя, а также замечено существенное разли
чие между точными верхними границами минимумов форм
отрицательного и положительного определителей.

616

Ю. В . Линник, Я . А Сапогов и В . Я . Тимофеев

Для двойничных квадратичных форм отрицательного опре
делителя Z) точной верхней границей минимумов является
V i |£>|, причем между двойничными квадратичными формами
определителя D можно найти для всякого данного положи4

тельного числа /, меньшего -д-, такие формы, минимум кото
рых равен \l\D\. Для двойничных квадратичных форм по
ложительного определителя D картина совершенно иная.
А именно, точной верхней границей минимумов здесь является
| / -| -Д минимум формы "j/ -y Z )(x 2— х у — л:2) определителя D;
если же исключить форму У т W

— х у — у 2) и ей экви

валентные, то точной верхней границей будет уже y \ D .
А. А . Марков в своей магистерской диссертации „О би
нарных квадратичных формах положительного определителя**
(1880) показал, что^числа у и у

являются лишь первыми

членами бесконечного убывающего ряда чисел
^ 2» W3, * •* »

•••,

обладающих следующими свойствами:
1 ) для каждого из этих чисел N k существует класс не
определенных двойничных квадратичных форм определи
теля Д минимум которых равен \/Nk D;
2 ) если значение неопределенной двойничной квадра
тичной формы определителя D не может
быть сде
лано по абсолютной величине меньше \/Л^Д то ее минимум
равен одному из чисел

Що, УКа s/ а д . . Шо-,
3) предел N k при к —> оо равен

•

Очерк работ А. А. Маркова

617

Для предельного значения чисел N k существует бесчис
ленное множество
классов неопределенных двойничных
квадратичных форм определителя Z), минимум которых равен

Кроме того, в своей диссертации А. А . Марков находит
замечательную связь чисел N k с решениями неопределенного
уравнения
Г + г/2 + 22 = 3 x y z.
Как доказывает А. А. Марков, любое число N k может быть
представлено в виде
1

9
4

m2

где тп — целое число, причем для чисел m можно подобрать
бесчисленное множество пар целых чисел п и р , таких, что
m2+ n2+ /)2= 3тппр,

и обратно, если целые числа т, п, р удовлетворяют урав
нению

X2■ +"У2 Z2— Зхyz,
тогда среди чисел N k содержатся числа
1

1

9^__ 1_ ’

_9 _

4

4

т2

1

JL *
п2

4

р2

Введенные А. А. Марковым непрерывные дроби позво
ляют находить все решения уравнения х 2 -f- у 2 -+- z 2 — 3x y z
в целых числах х , у , z, не превосходящих заданного пре
дела.
Отметим основные идеи диссертации. В начале ее Андрей
Андреевич излагает теорию приведения неопределенных

618

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

двойничных квадратичных форм. Выясняется, что нахожде
ние форм, минимум которых равен \/Ш, сводится к нахожде
нию рядов
. . . . 0С_2, <*_!, ОС0, 0Си 0С2------ ,

таких, что для любого

J

должно быть выполнено неравенство

°v+l ■

Далее исследуются ряды J при

2

и доказывается, что

они могут состоять только из единиц и двоек.
Исследуется структура рядов J и обнаруживается их
периодичность.
Далее вводятся некоторые непрерывные дроби, соответ
ствующие периодам неполных частных рядов J . Устанавли
вается связь между знаменателями этих дробей и решениями
неопределенного уравнения х 2
у 2 -+- z 2 — 3 x y z в целых
числах.
Эта работа А. А. Маркова положила начало новой
области экстремальных задач в теории диофантовых прибли
жений.
2.
Д ав полную картину распределения минимумов для
неопределенных двойничных квадратичных форм ^по крайней
мере для

Андрей Андреевич рассматривает анало

гичный вопрос для неопределенных квадратичных форм
с тремя и четырьмя переменными.
В 1901 г. в работе „О неопределенных тройничных квадра
тичных формах" он дает первые две экстремальные формы
и приводит без доказательства третью экстремальную форму;
доказательство экстремальности последней было проведено

Очерк работ А. А. Маркова

619

в его работе „Sur les formes quadratiques ternaires ind6 finies“ (1903). В 1909 г. А. А. Марков снова возвращается
к этому вопросу и в работе „Table des formes quadratiques
ternaires indefinies ne representantes pas zero, pour tous les
determinants positifs D ^ 50" приводит (без доказательства)
четвертую экстремальную форму. Там же он особо отмечает
две формы, которые, как это выяснилось из работы проф.
Б . А. Венкова (1945),1 являются шестой и седьмой экстре
мальными формами.
Для случая четырех переменных А. А. Марков в работе
„О неопределенных квадратичных формах с четырьмя пере
менными" (1902) устанавливает первые две экстремальные
формы.
3.
Несколько в стороне от этого основного направления
в теории чисел — исследование минимумов квадратичных
форм — стоят работы Андрея Андреевича: „Доказательство
трансцендентности чисел е и тс“ (1883) и „Sur les nombres
entiers d 6 pendants d’une racine cubique d’un nombre entier
ordinaire" (1892).
В первой из них А. А. Марков, используя метод Эрмита
и Линдеманна, дает сравнительно простое и отчетливо вы
деляющее основные идеи доказательство трансцендентности
констант е и тс.
Во второй работе Андрей Андреевич изучает арифметику
чисто кубических полей, т. е. полей, образованных У А , где
А — целое рациональное число.
З д есь им дается исчерпывающий результат относительно
разложимости целых рациональных чисел на идеальные мно
жители в поле ( У л ) . К работе приложена таблица кубиче
ских единиц для всех А ^ 7 0 .

1 Б. А. В е н к о в . Об экстремальной проблеме Маркова для неопре
деленных тройничных квадратичных форм. Изв. АН С С С Р, серия матем.,
JSfe 9, 1945.

Ю. В .

620

Ли н н и К у

Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

П. Теория вероятностей
1 . Работы А. А. Маркова по теории вероятностей отно
сятся главным образом к центральной предельной теореме
для сумм независимых величин, к предельным теоремам для
зависимых величин, в том числе связанных по введенной
им схеме цепи, к урновым схемам и к вопросам математи
ческой статистики, куда, в частности, входит обоснование
им способа наименьших квадратов.
2. Вопросы, связанные с теоремой, которая теперь назы
вается центральной предельной теоремой для случая неза
висимых слагаемых, занимают А. А. Маркова в течение
десятка лет — с 1898 по 1908 г. Последовательно преодоле
вая значительные трудности и не считаясь со сложностью
вычислений, он в эти годы применяет метод моментов П. Л .
Чебышева к изучению распределения суммы независимых
слагаемых и показывает, что этим методом можно получить
результаты почти исчерпывающей общности.
В начале указанного периода деятельности Андрей
Андреевич изучает лишь суммы таких независимых слагае
мых, для которых существуют любые моменты, а в конце
этого периода находит способ избавиться от этого отяго
щающего предположения и тем придать выводам нужную
общность.
В письме к А. В. Васильеву от 23 сентября 1898 г. А. А .
Марков рассматривает сумму независимых случайных вели
чин Хг, Х 2, . . . , Х п таких, что М (Х 4) = 0 и для всякого це

лого к сущ ествует &-тый момент М^Х1^ , и он ограничен по
абсолютной величине числом С^, зависящим, вообще говоря,
от к , но не от п.
Пусть Yn — Xl
ЧТО при 71

Vп

''' Хп . А. А. Марков доказывает*

00
т

м ( г ; ) - А т\ м {у * )Г -+ о,

<0

Очерк работ А. А. Маркова

621

где
m
—

д .= |

СО

f Г е ~"Л -

—00

Подобный вопрос рассматривался еще в мемуаре П. Л .
Чебышева „О двух теоремах относительно вероятностей",
однако в формулировках и доказательствах имеется пробел,
которого нет у А . А. Маркова.
Д оказательство (1) основано на простых свойствах обоб
щенной формулы бинома Ньютона и математических ожида
ний. Это доказательство сохраняет свое значение
как
составная часть во всех работах А. А . Маркова, касающихся
центральной предельной теоремы для независимых величин,
соответствующие видоизменения которого применяются им
в последующих работах о величинах зависимых по схеме
цепи и другим схемам.
3.
Дальнейшие работы Андрея Андреевича завершаются
достижением успеха в двух направлениях:
1 ) построение аппарата, дающего возможность находить
из соотношений типа ( 1 ), касающихся предельного поведения
математического ожидания различных целых степеней суммы,
предельное
распределение
вероятностей
нормированной
суммы.
Этот аппарат основывается на аналитической теории
непрерывных дробей и относящихся к ним „неравенствах
Чебышева";
2 ) освобождение от ограничений, связанных с существо
ванием и равномерной ограниченностью моментов высоких
степеней. Оно проводится с помощью „срезанных" случай
ных величин.
Неравенствами Чебышева в теории непрерывных дробей
А . А . Марков занимался еще в 1883 г., а подробное приме
нение их к проблеме моментов с теоретико-вероятностными
приложениями дано им впоследствии. Эти исследования не

622

Ю. В. Аинник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

относятся непосредственно к теории вероятностей, но их:
удобно формулировать в теоретико-вероятностной термино
логии.
4.
По существу, рассматриваются два различных случая:
величин, имеющих дискретное распределение, и величин,,
имеющих непрерывную плотность вероятности. Рассмотрение
общего случая вывело бы доказательство из рамок класси
ческого анализа X IX в., которых оно придерживается.
В случае дискретного распределения рассматривается
последовательность случайных величин X , для которых су
ществуют все моменты целых степеней

Далее рассматривается разложение суммы

в форX
мальную непрерывную дробь для каждой из случайных
величин последовательности и устанавливаются свойства
т — X подходящих дробей

- Знаменатель

имеет про

стые реальные корни £, и получается разложение подходящих
дробей на простейшие:
Фm(z) __

и равенство, годное
^ 2 т — 1:

Р __ #

для любого

5

полинома

12 (z)

степени

*

Из него с помощью весьма тонких соображений выво
дятся следующие неравенства Чебышева:
если а лежит между двумя смежными корнями % и Р

Очерк работ А. А. Маркова

623

полинома <dm(z), то

(2 )
*<*'

5^5"

если вместо дискретного распределения рассматриваете*
распределение с непрерывной плотностью /(л:), то вместо
Y—x

наДлежит

рассматривать

формальный

интеграл

X
СО

j

~z '- L x dx > тогДа получается

-с о

В

частности, можно рассматривать таким образом фор
се

dz
1 IГ е
мальное разложение -=■
J С х* ■
—"Sl х

У

И ДЛЯ него получим

— 00

(4 )
1<V
где через р и $ обозначены соответствующие коэффициенты
и корни. Если m неограниченно возрастает, то коэффициенты
р или р становятся сколь угодно малыми.
Если теперь в последовательности случайных величин
выполняются для каждого целого к соотношения
00

X

—СО

при X , пробегающем последовательность, то из конструкции
легко усмотреть, что при фиксированном тп будем иметь

624

Ю. В . Линник, Н. А. Сапогов и В. Н . Тимофеев

Различие кратных сумм в (3) и (4) состоит лишь в коэффи
циентах р или р для корней
£" или
£г/, и так как р
и р —^ 0" при m -> оо, то этим доказывается основное соотно
шение
00

когда
пробегает последовательность.
5.
Это давало полное доказательство предельной теоремы
для случая, рассмотренного А. А. Марковым в 1898 г., когда
предполагались существование и равномерная ограниченность
всех моментов и ограниченность снизу отношения дисперсии
суммы к числу слагаемых.
Такая теорема имела меньшую общность, чем централь
ная теорема А. М. Ляпунова, но зато метод доказательства
позволял вывести соотношения о зависимости приближения
распределений от приближения моментов, которые централь
ная предельная теорема не дает.
Фундаментальные работы А. М. Ляпунова появились
в 1900 и 1901 гг. В них автор пользуется методом характе
ристических функций и не использует метода моментов
Чебышева— Маркова.
Для независимых случайных величин Z lf Z2> . . . , Zn с
М (Zk) — a k,

D (Zk) = bk

предполагается еще существование
b f +i) = M{\Zk - a k\ ^ } ,
где S ^>0 — какая-либо константа. Для выполнения предель
ной теоремы требуется лишь условие:
П

Очерк работ А. А. Маркова

625

Последующие исследования показали, что здесь дости
гается почти исчерпывающаяся общность.
Как указывает А. А. Марков в работе „Теорема о пре
деле вероятности для случаев академика А. М. Ляпунова",
„общность выводов в последней работе А. М. Ляпунова
далеко превзошла ту, которая была достигнута методом ма
тематических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов
методом математических ожиданий казалось даже невозмож
ным, ибо он основан на рассмотрении таких математических
ожиданий, в неограниченном числе, существование которых
в случаях А. М. Ляпунова не предполагается " . 1
В течение около 8 лет — с 1900 по 1908 г. — А . А . Марков
работал над таким приложением метода моментов, которое
дало бы возможность доказать предельную теорему в усло
виях А. М. Ляпунова. В 1908 г. он достиг успеха. Основной
идеей нового приложения метода моментов было введение,
наряду с основными величинами Zk— a kl вспомогательных
„срезанных" случайных величин
Xb — Zb — aii

при

\Zk — a k\ < N

И

X k= 0

при

IZ k — a k\ ^ N .

Такие величины имеют уже любые моменты, а распреде
ление суммы их при подходящем выборе числа N мало отли
чается от распределения исходной суммы. Эта идея Андрея
Андреевича и по сие время с успехом применяется в теоре
тико-вероятностных исследованиях.
6.
Выяснению условий приложимости предельной теоремы
для суммы случайных величин А . А . Марков придавал боль
шое значение; еще в 1898 г. в письмах к А. В. Васильеву
он строит примеры сумм независимых случайных величин,
не приближающихся к нормальному распределению ввиду
1 Стр. 322 наст, сборника.
40

А. А. Марков. Избр. труды

626

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

сравнительной медленности роста дисперсии суммы; в этих же
письмах он критикует взгляды А. Пуанкаре на обоснование
приложимости нормального закона в теории ошибок наблю
дений.
В работе „Теорема о пределе вероятности для случаев
академика А. М. Ляпунова" А. А. Марков приводит примеры
сумм, не приближающихся к нормальному распределению
ввиду нарушения условий, которые в современной термино
логии называются условиями Линдеберга— Феллера.
Заметим еще, что Андрей Андреевич занимался, хотя и
не решил его до конца, вопросом распространения предель
ной теоремы для сумм независимых двумерных векторов.
В работе 1915 г. „Применение способа математических ожи
даний к связанным рядам величин" он изучает суммы
п

Sn = (sti1 » s»2) — JV j (x i > у д одинаково распределенных неза
висимых случайных векторов (**, гд), z = 1 , 2 , . . . и доказы
вает, что смешанные моменты всех порядков величин snl, s n2
при надлежащей нормировке стремятся к соответствующим
смешанным моментам двумерного нормального распределения.
Первое строгое доказательство двумерной предельной тео
ремы принадлежит С. Н. Бернштейну (Усп. матем. наук,
вып. X , 1944).
7.
А. А. Маркова следует считать основателем очень
важного и большого отдела современной теории вероятно
стей, посвященного изучению зависимых случайных величин.
Основные вопросы, интересовавшие его здесь, относятся
к закону больших чисел и центральной предельной теореме
п
для сумм
зависимых величин X i.
8.
В работе „Распространение закона больших чисел на
величины, зависящие друг от друга" (1907) указывается не
сколько достаточных условий, когда к суммам S n зависимых

Очерк работ А. А. Маркова

627

величин Х { закон больших чисел применим. Эти условия по
лучаются как следствие применимости закона больших чисел
м
к 5„= ^

Х {, каковы бы ни были величины X i9 обладающие

«=1

вторыми моментами, лишь бы только
п1

п

-» со,

где D (S n) — дисперсия S n.
Самая возможность существования достаточно общих
условий, при которых закон больших чисел оказывается прип

менимым к суммам зависимых величин S n —

X i9 повиди*=л
мому, не была до появления рассматриваемой работы вполне
ясной, и А. А. Марков счел нужным в конце своей работы
специально подчеркнуть, что „ . . . независимость величин не
составляет необходимого условия для существования закона
больших чисел " . 1
В § 1 этой работы доказывается, что закон больших чисел
п

применим к S n —

X ,, если дисперсии D (X 4) 9 i = 1 , 2,
t=i
ограничены и связь величин Х 4 такова, что увеличение зна
чения, принимаемого одной из этих величин, влечет за собой
уменьшение математического ожидания любой другой из них.
В конце § 1 указывается, что закон больших чисел остается
применимым также и в том случае, когда математическое
ожидание М (Х 4) каждой величины Х 4 убывает с увеличением
t—1
значения суммы

Х^.
k= 1

1 Стр. 361 наст, сборника.
40*

628

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

В качестве следующего примера зависимых величин, под
чиняющихся закону больших чисел, рассматривается после
довательность случайных величин
Х \ ,

J C ‘2.9 • • •

9 Х п,

• * * 9

связанных, по современной терминологии, в простую и одно
родную ц е п ь М а р к о в а , причем предполагается, что каждая
из величин Х 4 принимает только одно из двух значений:
О или 1 . Такого рода последовательности зависимых величин
{или зависимых и с п ы т а н и й ) , названные позднее самим
Андреем Андреевичем ц е п я м и , вводятся им впервые именно
в этой работе, хотя само наименование ц е п ь здесь еще не
употребляется. По существу говоря, вывод о применимости
п
закона больших чисел к S n =

Xi в рассматриваемом слу*=1

чае получен как следствие эргодического свойства простой
и однородной цепи с двумя возможными состояниями, всегда
имеющего место, если вероятности перехода отличны от 0 и 1 .
В § 4 приведен пример неприменимости закона больших
чисел для зависимых ограниченных величин X *. Сущность
этого примера состоит в том, что закон больших чисел не

п

применим к

^ Xi, если величины Xi ограничены,
f=i
Xi\<ZL при всех i и D (S n)^> сп2, где постоянная с > 0 .
Наконец, в конце работы речь идет о величинах, связан
ных в простую и однородную цепь, но число возможных
значений величин Xi уже не ограничено двумя. Закон больп
ших чисел для S n =
Х 4 и в этом случае получен опять-таки
f=i
как следствие эргодического свойства рассматриваемой цепи.
9.
В том же 1907 г. А . А. Марков публикует в „И зве
стиях Академии Наук" работу „Исследование замечательного
случая зависимых испытаний", где доказывает применимость

Очерк работ А. А. Маркова

629
п

центральной предельной теоремы к суммам S n =

Х 4 слуi=i
чайных величин
связанных в простую однородную цепь,
принимающих только два возможных значения 0 и 1 и веро
ятности перехода для которой отличны от 0 и 1 .
Андрей Андреевич отмечает, что этот случай доставляет
пример, и, насколько известно, первый пример применимости
предельной теоремы к суммам зависимых величин. Д оказа
тельство результата получено с помощью метода моментов,
причем оно основано на симметрии некоторых выражений
относительно р и <7, где р и q суть, соответственно, вероят
ности равенств
Х 4 = 1 и Х< = 0..
Указанная симметрия, обусловленная особенностью р аз
бираемого случая, состоящего в том, что Х{ имеет только
два возможных значения, не может быть использована при
других предположениях о числе возможных значений т ^> 2
величин Х{.
10.
Разбору этих более общих случаев посвящена работа
1908 г. „Распространение предельных теорем исчисления ве
роятностей на сумму величин, связанных в цепь". З д есь
А. А. Марков сначала особенно тщательно изучает гипотезу,
что величины Х (, образующие простую однородную цепь,
имеют только три возможных значения: — 1 , 0 , нн 1 , и таким
образом видоизменяет метод доказательства, использованный
в предыдущей работе, что он становится применимым к боль
шому числу новых случаев зависимых величин X iy рассматри
ваемых друг за другом в ряде последующих работ Андрея
Андреевича.
Интересно обратить внимание на то, что в этой работе
н
А . А. Марков при вычислении моментов сумм S n = ^ Х^
•=i
по существу говоря, вводит характеристические функции

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

630

Фл(£) = Л^ е‘^ ~ аи>
величин S n— ал, где постоянная а определена из условия,
что математическое ожидание M (S n — ап ) остается по абсо
лютному значению ограниченным при л —
Действительно,
сначала строится функция

ЯйН2 п <м*)г'‘’

(5)

представляющая собою производящую функцию функций

которые, в свою очередь, являются производящими функ
циями вероятностей Р {S n — т ) равенств S tl = m. Затем де
лается замена переменных
t= е

,

z — z xe

которая превращает функцию (5) в п р о и з в о д я щ у ю
фу н к ц и ю х а р а к т е р и с т и ч е с к и х функций
(£) при
мнимом значении аргумента £ = —
/ (ец>

е

аи)

F(euyzx е ~ « м)

'Nk 1

/

и\ /

п

j /

—аи\п

) \z l e

)

п

тп V

• \ п
ш / zl *

так как
ф „ (-ш )= 2

е*

Р

(5,l =

=

Прием введения характеристических функций фп(£) был
в последующем подробно разработан В. И. Романовским,
изучавшим с его помощью как случай собственно цепей Мар
кова, так и различного рода их обобщения; изложение метода
и сводка результатов даны в его книге „Дискретные цепи
Маркова" (1949).

Очерк работ А . А. Маркова

631

В конце рассматриваемой работы А. А. Марков распро
страняет свой результат о применимости предельной теоремы
п
к суммам
= ^ Xi на более общий случай, когда связан•=i
ные в цепь величины Х< имеют произвольные возможные
значения ос, (3, у, . . .
11.
Тот же метод, как уже было отмечено, применяется
Андреем Андреевичем и в некоторых других работах. В статье
1911 г. „Об одном случае испытаний, связанных в сложную
цепь“ рассматривается следующая вероятностная схема. Пусть
некоторая с и с т е м а S принимает в зависимости от случая
одно из своих возможных с о с т о я н и й
£1» £2» * * * »
смена которых происходит в дискретно расположенные мо
менты времени

Пусть вероятность оказаться этой системе в момент вре
мени tn в состоянии е,- зависит не только от ее состояния
в непосредственно предшествующий момент времени tn__l9 как
это имеет место в случае простой цепи, но зависит от всех
ее состояний за определенное число m предшествующих
моментов времени
tn —m i

tn —m + 1»

•

•

•

»

tfh — A

и не зависит от п и от ее состояний в моменты £/, / < п — т .
Если каждому моменту tn относится случайная величина
Х п, принимающая значение x i9 когда система находится
в состоянии
то последовательность величин
У

У

У

связана, по определению, в с л о ж н у ю (однородную) цепь.

632

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

Задача, привлекшая внимание А. А. Маркова в этой рап
боте, состоит в изучении сумм

такого рода веi=i
личин, при частных предположениях, состоящих в том, что
т = 2 и каждая из величин Х { имеет только два возможных
значения: 0 и 1 . Андрей Андреевич доказывает, что к сум
мам S n применима при некоторых ограничениях, накладывае
мых на вероятности перехода, центральная предельная тео
рема, причем отмечает важное обстоятельство, отличающее
случай сложной цепи от простой: дисперсия предельного рас
пределения для сложной цепи может оказаться в точности
такой же, какая должна быть для соответствующего ряда
независимых величин.
Это показывает, между прочим, что, располагая данными
п
о предельном нормальном распределении S n — % X i9 нельзя
»=i
решить, будут ли величины Х 4 вполне независимыми, или
определенным образом связанными в сложную цепь.
12.
В работе „О связанных величинах, не образующих
настоящей цепи“ (1911), А. А. Марков решает своим методом
задачу, изучавшуюся с иной точки зрения Брунсом (1906).
Речь идет о величинах
Х %— Wn Wn+1, п — 1 , 2 , . . . ,
представляющих собою произведения двух смежных членов
Wn и Wn+1 последовательности
Wl, Щ , - - ;

(6)

независимых случайных величин Wn, принимающих только
значения 1 или 0 с вероятностями, соответственно, а и Р,
ач~р = 1 . Эта последовательность зависимых величин
Х г, Х 2, . . . , Х п, . . .

(7)

Очерк работ А. А. Маркова

633

представляет собою простейший случай, как теперь говорят,
цепи Маркова— Брунса.
Ряд зависимых величин (7) отличается тем свойством, что
зависимыми оказываются только рядом стоящие члены Х$
и X i+1. Если |/— у | > 1 , то величины X ; и X j независимы.
Это служит А. А. Маркову поводом рассматривать более
общий случай произвольно распределенных, ограниченных
величин Х м п — 1 , 2 , . . . , каждые две из которых, Х { и X jr
могут быть произвольно связанными друг с другом только
при |i — / | ^ с , где с — некоторое постоянное число. Если же
|/— j\^>c 9 то Х 4 и X j предполагаются независимыми* С по
мощью метода моментов Андрей Андреевич доказывает, что
п
к 5 Й= ^ ^ применима центральная предельная теорема,
•=i
если потребовать еще, чтобы
B n = D (S n) > a n ,
где постоянная а ^ > 0 .
Существенное развитие такой постановке вопроса дал
С. Н. Бернштейн в работе „Распространение предельной
теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин"
(Усп. матем. наук, вып. X , 1944). Используя метод характе
ристических функций, автор для широкого класса случаев
доказывает применимость центральной предельной теоремы
п
к Sn=

Xrt, где любые величины могут быть

г та ягая и ы ь т м и .

лишь бы только влияние одних величин Х { на другие X j
было, в известном смысле, достаточно слабым, если расстоя
ние между величинами |i — j\ велико.
Возвращ аясь к рассматриваемой работе А. А. Маркова,
отметим, что в конце ее он дает некоторое обобщение про
стейшего случая исследованных сначала величин Брунса,
а именно допускает, что величины Wn (6) не являются неза
висимыми, а образуют простую однородную цепь.

634

Ю. В . Линник, Н. А . Сапогов и В . //. Тимофеев

13.
Работа А. А . Маркова „Об испытаниях, связанных
в цепь не наблюдаемыми событиями" (1912) посвящена во
просу, относящемуся, по современной терминологии, к цепям
векторов.
Рассмотрим некоторую систему S с возможными состоя
ниями еа, . . . , efc, и пусть процесс изменения состояний этой
системы, смена которых происходит в дискретно расположен
ные моменты времени
^ ^2 ^

tn <С ••• ,

представляет собой простую однородную цепь Маркова с мат
рицей переходных вероятностей ||Рву||j,y=ijr Отнесем к момен
там времени tn, п = 1 , 2 , . . . случайные векторы
Хп

(лП] , . •• ,

п — 1 , 2, . . .

из эвклидового А-мерного пространства E h, каждый из кото
рых имеет одни и те же возможные значения

причем будем считать, что вектор Х п имеет значение SW,
если система S оказалась в момент времени tn в состоянии е*.
Определенная таким образом последовательность связан
ных векторов
Х ц Х 2, . . •, Х м . . .
образует ц е п ь в е к т о р о в .
Вероятностная схема, изучаемая А. А . Марковым, может
рассматриваться как частный случай цепи векторов из эвкли
дового пространства Е 2.
События А , В , С в комбинации с событиями Е и F , рас
сматриваемые А. А. Марковым, образуют шесть возможных
состояний:
А Е , B E , С Е, А Р ; B F и C F .

Очерк работ А . А . Маркова

635

Пусть векторы Х л = {х п19 х п2), принадлежащие Е 2, имеют,
соответственно, следующие возможные значения:
« (1), 1 ), (£ 2), 1 ), (^(3), 1 ), (£(1)> 0), (5®, о)

и

(F>, о),

где £(1>, £(2) и £(3)— произвольные числа. Задача, решаемая
А . А. Марковым, состоящая в исследовании предельного
распределения числа появлений события Е за п испытаний»
когда п —> оо, превращается, таким образом, в задачу иссле
дования предельного распределения суммы случайных Бели-

го

чин

х %г* Различие в постановке отдельных задач,
t=i
разбираемых А. А. Марковым, сводится к различным пред
положениям о матрице вероятностей перехода Н Л Л ./ -П Решение их Андрей Андреевич получает с помощью своего
метода, подробно изложенного в работе „Распространение
предельных теорем исчисления вероятностей на сумму вели
чин, связанных в цепь“.
14.
Во всех работах, о которых шла речь, А. А. Марков
занимался однородными цепями. В работе 1910 г. „И ссле
дование общего случая испытаний, связанных в цепь“ ста
вится задача изучения предельного распределения суммы

го

=

величин X iy образующих неоднородную цепь.
•=1

Предполагается, что величины X t могут принимать только
значение 1 или 0 с Переходными вероятностями
^ = ^ ^ = 1 1 ^ = 1 },

^/ = ^ ^ = 1 1 ^ = 0 } .

Д оказывается, что центральная предельная теорема при
менима к S m если

P o < P i< 1 — /V

Ро<

Pi < 1 “ / V

где р 0 — некоторое положительное постоянное число. Дока
зательство этого результата снова проводится методом

636

Ю. В. Линник, Н. А. Сапогов и В. Н. Тимофеев

моментов, но вычисление самих моментов выполняется совсем
не так, как это делалось в работах, посвященных однородным
цепям. Скорее можно сблизить способ вычисления моментов
в этой работе с тем способом, который был применен А. А.
Марковым для независимых величин. Он состоит в разложе
нии подлежащего вычислению математического ожидания
с помощью формулы Ньютона для степени многочлена на
отдельные суммы и выделении из них главных членов.
В ходе своего рассуждения Андрей Андреевич использует
неравенство
D (S n) > c n ,

с > 0,

л= 1,2,...,

(8)

которое, как выясняется весьма остроумными соображениями
в конце работы, всегда имеет место, если введенное выше
постоянное число р 0 строго больше нуля. Для распростра
нения в последующем предельной теоремы на более общие
неоднородные цепи, когда число возможных значений величин
не ограничивается двумя, пришлось прежде всего соответ
ствующим образом обобщить неравенство (8). Это сделано
С. Н. Бернштейном в 1936 г.
В связи с рассматриваемой работой Андрея Андреевича
отметим, что С . Н. Бернштейну принадлежит другой метод
доказательства предельных теорем для неоднородных цепей,
с помощью которого удалось существенно обобщить резуль
таты А. А. Маркова. Этот метод применим также и для более
общих видов зависимых величин, и подробно изложен в уже
упоминавшейся работе „Распространение предельной теоремы
теории вероятностей на суммы зависимых величин".
15.
Свои общие результаты А. А. Марков чаще всего
иллюстрирует на случайных величинах, конструируемых с по
мощью урновых схем, т. е. с помощью вероятностных схем,
реализуемых тем или иным числом урн, содержащих шары
различных цветов, которые служат для производства и с п ы 
т а н и й . Под этим понимается извлечение из урн на удачу~

Очерк работ А. А. Маркова

6 37

одного или нескольких шаров, производимое по точно пред
писанным заранее правилам. Задача состоит в исследовании
предельного распределения при п —> оо числа шаров опре
деленного цвета, появляющихся за п испытаний. Вообще
такого рода урновые схемы привлекали внимание А. А. Мар
кова не только для иллюстраций, но и служили самостоя
тельным предметом его исследований.
16. После А. А. Маркова многие ученые занимались про
должением и развитием его идей, относящихся к цепям.
В особенности подробно, естественно, изучались однородные
цепи. Новые важные идеи в этой области внесены Москов
ской школой теории вероятностей. С. Н. Бернштейн и его
ученики в Ленинграде продолжали дальнейшее развитие тео
рии неоднородных цепей.
Отметим также, что в особенности важным представляется
то дальнейшее развитие идеи А. А . Маркова о величинах,
связанных в цепь, которое содержится в теории стохастиче
ских процессов марковского типа А . Н. Колмогорова и тео
рии стохастических дифференциальных уравнений С . Н. Берн
штейна.
17. Важное место в творчестве Андрея Андреевича зани
мают идеи, относящиеся к математической статистике. Сюда
относятся вопросы обоснования метода наименьших квадра
тов, разбираемые им в упоминавшихся уже письмах к А. В.
Васильеву в 1898 г. и в курсе „Исчисление вероятностей",
а также его исследования о коэффициенте дисперсии.
В своем обосновании метода наименьших квадратов,
А. А. Марков, по существу, вводит новые важные понятия,
эквивалентные применяющимся теперь понятиям несмещенной
и эффективной статистик, для оценки постоянных парамет
ров законов распределения на основании выборки.
Эти понятия вводятся в терминах наблюдений или изме
рений с погрешностями, употребительных в методе наимень
ших квадратов. При обосновании этого метода Андрей Ан
дреевич исходит из следующих трех положений:

638

Ю . В . Л инник, Н . А . С ап огов и В . Н .

Т и м о ф еев

„1) Мы рассматриваем только такие приближенные равен
ства, которые, по нашим предположениям, не содержат
постоянной погрешности; 2) каждому приближенному равен
ству мы приписываем определенный вес, причем веса раз
личных приближенных равенств мы считаем обратно пропор
циональными математическим ожиданиям квадратов погреш
ностей; 3) достоинство каждого приближенного равенства
мы оцениваем его весом и соответственно этому для каждого
неизвестного отыскиваем такое приближенное равенство, вес
которого наибольший".1
В простейшем случае измерения одной величины а , когда
имеются результаты независимых равноточных измерений
^ 1 9

Х

2 у • • •

у

Х

п,

причем относительно закона распределения погрешностей
k — X — а не делается никаких предположений, кроме суще
ствования математического ожидания, дисперсии и равенства
Zs(A) = 0 (отсутствие постоянной ошибки), получается „пра
вило среднего арифметического". Именно, если рассматривать
линейные функции l 1X 1-i- . . . -л~\ьХ п „без постоянной ошибки"
(несмещенные), так что
\ьХ п) = а,

Е ( \ Х 1-^

то среди них наименьшую дисперсию имеет среднее арифме
тическое, для которого
\=

_1
п

Заметим, что, как выяснилось из последующих исследо
ваний, если предположить еще нормальность закона распре
деления ошибок, то среднее арифметическое будет наивыгод
нейшим в смысле указанных принципов А. А. Маркова не
только среди всех линейных функций наблюдений, но и среди
широкого класса всех „регулярных" и несмещенных статистик1 Наст, сборник, стр. 245.

О ч ер к работ А

.

А . М аркова

639

18.
В более общем случае нахождения m чисел (без из
вестных связей)
* ^1» ^2> * * * »

по значениям

Ь ^ = у г-«-Л/;

1= 1, 2,

1//=

•+- •••-+-

п>/п,

где
}

а(;

у4<.')

при г = 1, 2, . . . т ; 1 = 1, 2, . . . , п — известные числа, а Д; —■
случайные ошибки наблюдений, с условиями
Е (М ) = 0,

D (M ) = Д

(р (1) —■вес наблюдения), — применяются те же принципы.
Для оценки а% применяются статистики V Ьг - ь . . . - ь № Ьп
с условиями несмещенности и минимальности дисперсии.
Эти статистики совпадают с теми, которые находятся
по известному способу наименьших квадратов, чем и дается
его обоснование с точки зрения принципов А . А. Маркова.
19.
В работе о коэффициенте дисперсии рассматри
вается <з серий независимых испытаний в количествах
S 4(i = 1, 2, . . . , <т), в которых наблюдается появление собы
тия Е , имеющего постоянную вероятность Р . Если Х{ — число
а

появлений события в /-той серии, п =

аг

m—
i= 1

то
1=1

коэффициентом дисперсии называется

Q

(сг — 1)

тп ( п

— т)

А. А. Марков вычисляет математическое ожидание и дис
персию Q и тем делает возможным применение Q для по
строения приемов для испытания гипотезы о постоянстве
вероятности Р (гипотезы однородности серий испытаний).

640

Ю . В . Л и н н и к , Н . А . С а п о г о в и В . Н . Т и м о ф еев

В более поздней работе дается асимптотическое рас
пределение Q при п -> оо, что уточняет критерий для боль
ших п.
Надо отметить, что в|работах о коэффициенте дисперсии
А . А. Марков дает также критику применения выборочного
коэффициента корреляции для оценки генерального коэффи
циента корреляции, в тех случаях, когда неизвестен тип рас
пределения генеральной совокупности.
/О. В . Л и н н и к9 Н . А . С ап огов и В . Н . Т им оф еев.

КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ
К работе „О бинарных квадратичных формах положительного
определителя"
Работа напечатана отдельной книгой в 1880 г. и представляет
магистерскую диссертацию А. А. Маркова. В своей диссертации
А. А. Марков дает решение одной из труднейших проблем в области
диофаитовых приближений— проблемы о распределении минимумов двой
ничных квадратичных форм положительного определителя.
Впервые этот вопрос был поставлен А. Н. Коркиным и Е. И. Золо
таревым в работе „Sur les formes quadratiques“ (1878), где они приво-

/T
ь/Т
дят два первых минимума, l\/
-g- и Л/ ^ > и указывают на существен
ное различие между наибольшими минимумами форм положительного и
отрицательного определителей. В диссертации А. А. Марков исследуераспределение минимумов, больших — . Вопрос о распределении мини-

w

L „ «

„

.

.

_

время об этом распределении почти ничего неизвестно.
Легко можно показать, что в интервале

( /т Т ’ /

у

) нет ни

одного минимума, т. е., что какое бы ни было число I из этого интерт
вала, не существует двойничной формы^положительного определителя D f
минимум которой был бы равен / V^Z). Действительно, пусть
/ = а х 2 -+- 2Ьху

су 2

неопределенная форма определителя Z), минимум которой равен I \/D*
Заменим / на эквивалентную форму
Л = (/ \AD-+- Ь )
41 А. А. Марков. Избр. труды

(

х

-ь ау

) 2

— Фу2,

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

642

где 0 ^ ос ^ — , <p(/V/5 -н t>) = D , а о достаточно мало. Полагая теперь

v = 2, !7 = —1,
предположим, что

(/ v'Z) -н 8 )(2

— а)2 —

9</V£>,

тогда

(/

-+-.S)(2 — а)2 — tp *£ — / 'J'D,

откуда
£> = ? (/

\/D

-+■ 8) ^ (/

и значит /

\/D

-+■ 8) [(/

-f- 8) (2 — a)2

/<

JD ]

>

. Если же

(/ v(D-*- 8) (2 — a)2 — 9 > / v(D,
TO

__

Z) ^ 3/2 £) -+- 78/ v/£) -+- 482,

откуда

следует l >

-g . Числа | / ~

и

13

являются минимумами

форм
D (x2 -+* xy — 3y2)
определителя D.
Точно так же можно доказать, что интервал

(/Н У т т )

тоже

не содержит минимумов, так что дискретность спектра минимумов имеет
место и в области, не исследованной А. А. Марковым. При доказатель
стве существования просветов в спектре минимумов, следующих за мини
мумами Маркова, мы воспользовались идеей А. Н. Коркина, с помощью
которой он в своей работе „О бинарных формах положительного опре
делителя*4 (нзоаконченная рукопись) находит два первых минимума,

l/ т и / т Покажем теперь, как, используя эту идею, можно получить и все
следующие минимумы Маркова. Будем считать, для простоты изложения,
что минимум форм достигается и равен единице. В таком случае можно
ограничиться исследованием форм вида

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

643

где
с?> 0.
Положим

у = 1, X= — 1,
тогда

/ = (1 — а)2— Ф<1,
и значит
(1 — а)2 — ср ^ — 1,
откуда
Ф> 1 -ь (1 — а)2
^ 4
и далее ф>
, причем

знак равенства возможен лишь при а =

1

•

Таким образом мы получили первую форму Маркова

h = ( x + \ y ) 2~ т » 2
и первый минимум
Исключив теперь из рассмотрения форму / 1э положим
У = 1>

х = 1,

тогда

/ = (1 + а)г -< р < 2 — 1 = 1,
значит

(1 ч- а)2 — ф ^ — 1,
откуда
Ф ^ 1 + (1 + &)2 ^ 2.

Равенство достигается только при а = 0, что дает вторую форму Мар
кова
к = * 2 — 2у2
и второй минимум
Предположим теперь, что ф> 2. Выбирая х так, чтобы
\х? ~h 2а] =£ 3
41*

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

644

и полагая у = : 2, будем иметь
/ = ( * ' чн2а)2 — 4 ф < 9 - 8 = 1,
{х* -+- 2а)2 — 4ср^ — 1

1 -н (дг' -н 2а)2

и

Итак, если ф> 2, то ф должно удовлетворять двум неравенствам
Ф ^ 1 + (1 +

^ ------Исследуя эти неравенства, найдем, что наименьшее возможное зна221

1

чение Ф равно ~|qq~ и соответствует a = - j ^ *
Форма

221
100
является третьей формой Маркова, и соответствующий минимум равен
100

. Для о

221

JQQ- положим у = 5, а х" выберем так, чтобы

V7^1

t l .l !

тогда Ф должно удовлетворять следующим неравенствам:
Ф ^ 1 ч - (1 ч - а)2,
^ 1 ч н ( * '- ь 2 а ) 2

Ф> ----- “ i------Ф>

1 -+- (х"
25

5а)2

рассматривая которые, найдем четвертую форму и четвертый минимум
Маркова.
Продолжая этот процесс, мы последовательно найдем все формы и
минимумы Маркова, определяя каждый раз наименьшее значение ф из
некоторой системы неравенств.
Исследование А. А. Маркова о двойничных квадратичных формах
положило начало целому ряду работ в области диофантовых приближе
ний.

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

645

Часть из них, принадлежащая чл.-корр. АН СССР Б. Н. Делоне,
Д. С. Горшкову, Ремаку и др., посвящена непосредственно задаче
Маркова. Эти математики дают геометрическое истолкование всех
результатов А. А. Маркова, а также новые методы их получения.
Другая часть работ относится к нахождению минимумов квадратич
ных форм е тремя и четырьмя переменными,1 минимумов произведений
линейных однородных и неоднородных форм (задачи Минковского), мини
мумов двойничных кубических форм.
Для задачи Минковского о произведении линейных однородных
форм получены только два первых минимума, когда п = 3. Первый мини
мум был найден Морделлом и Б. Н. Делоне, второй — Давенпортом.
Для п = 4 не найден даже первый минимум.
Что касается задачи Минковского о произведении линейных неодно
родных форм, то здесь основные результаты принадлежат Минковскому,
Ремаку, Давенпорту, Н. Г. Чеботареву, Б. Н. Делоне и Диссону.
Точная константа для п — 2 была получена Минковским, для п = 3 —
Ремаком и для п = 4 — Диссоном. Для
4 точная константа не най
дена. Весьма сложное доказательство Ремака впоследствии было значи
тельно упрощено Давенпортом.
Н. Г. Чеботарев в заметке „К одной теореме Минковского" доказал,
п

что для любого п константа Минковского меньше 2 2 -+• е.
Для двойничных кубических форм первый минимум был найден
Морделлом и Давенпортом. Здесь, как показал Давенпорт, первый
минимум не является изолированным, т. е. существуют формы, минимумы
которых сколь угодно близки к наибольшему. Первый минимум для форм
положительного определителя получен также Б. Н. Делоне в работе
„Локальный метод в геометрии чисел". Двойничные формы высших степе
ней не исследовались.
Все перечисленные результаты были получены геометрически, так
как геометрическое исследование рассматриваемых задач является
наиболее простым и естественным. В целом ряде работ Б. Н. Делоне дает
общую чисто геометрическую постановку задачи, которая объединяет,
по существу, все вопросы теории диофантовых приближений и которую
Б. Н. Делоне называет общей задачей Маркова.
Приведем формулировку этой задачи.
Пусть в п-мерном пространстве задана некоторая область у и рас
сматриваются все п-мерные решетки, вовсе не имеющие точек в области у,
кроме точек, обусловленных некоторым так называемым д о п о л н и 
1
О работах, относящихся к квадратичным формам с тремя и четырьмя
переменными, см. в этом сборнике комментарий к работе „О неопреде
ленных тройничных квадратичных формах" (стр. 649).

646

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

т е л ь н ы м условием. Такие решетки мы будем называть д о п у с т и 
мыми. Всякое непрерывное преобразование допустимой решетки, при
котором она все время остается допустимой решеткой, мы будем назы
вать д о п у с т и м ы м п р е о б р а з о в а н и е м . Допустимые решетки,
не имеющие таких допустимых преобразований, которые лишь уменьшают
объем основного параллелепипеда, будем называть п р е д е л ь н ы м и .
Задача состоит в нахождении всех предельных решеток для данного п,
данной области у и данного дополнительного условия.
С этой точки зрения А. А. Марков в своей диссертации дает все
предельные решетки для случая, когда п = 2 , а область у есть область
точек (u, v), для которых |ци|<1; дополнительным условием здесь
является:
1) площадь основного параллелограма не должна превышать 3;
2) центр области у находится в точке решетки.
В задаче о минимумах тройничных форм п = 3, у — область точек
(и, v , w )t для которых |u2~h-v2 — w21< 1, дополнительное условие —
центр области у находится в точке решетки. Здесь А. А. Марков нашел
четыре первые предельные решетки, а в дальнейшем Б. А. Венков — еще
семь. Теория минимумов положительных квадратичных форм, данная
А. Н. Коркиным, Е. И. Золотаревым и Г. Ф. Вороным является также
частным случаем задачи Маркова; здесь область у — п-мерныя шар,
дополнительное условие — центр шара находится в точке решетки.
Решение общей задачи Маркова представляет значительные трудно
сти, и пока в этом направлении получен лишь ряд частных результатов,
наиболее глубокими из которых являются результаты А. А. Маркова.
В . Тим оф еев.

К работе
„О целых числах, зависящих от корня кубического из целого
рационального числа"
Перевод с французского языка мемуара А. А. Маркова „Sur les nombres entiers dependants d’une racine cubique d'un nombre entier ordinaire",
напечатанного в 1892 г. в „Memoires de EAcademie imperiale des sciences
de st.-Petersbourg" (VII® serie, t. XXXV III, № 9, pp. 1—37).
В мемуаре дается полное решение вопроса о разложении целых
чисел чисто кубического поля на простые множители.
Работа А. А. Маркова непосредственно связана с работами
Е. И. Золотарева „Об одном неопределенном уравнении третьей степени"
(1869) и „Sur la theorie des nombres completes" (1885).

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

647

В первой из этих работ Е. И. Золотарев дает алгорифм для нахо
ждения основной еденицы чисто кубического поля, во второй — разрабаты
вает полную теорию идеальных чисел.
А. А. Марков приводит обширную таблицу комплексных единиц для
всех А ^ 70. По поводу вычисления единиц он пишет: „Не останавли
ваясь на верных, но трудных методах нахождения основной комплексной
единицы, мы заметим, что для малых значений а и Ъ легко найти ком
плексные единицы путем подбора, рассматривая несколько чисел S,
содержащих одни и те же простые множители”.
Наиболее простой алгорифм нахождения основной комплексной
единицы для кубических полей был дан Г. Ф. Вороным в докторской
диссертации „Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей”
(1897). Этот алгорифм и по настоящее время является наиболее удобнымв
Вычисления А. А. Маркова числа классов, проведенные им для А = 2,
3, 5, б, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, были продолжены Дедекиндом
для А = 2 0 , 21, 22, 23, 28, 44, 45, 63.
Приведем примечания к некоторым местам работы.
1 (стр. 88). Докажем это независимо от общей теории алгебраи
ческих чисел. Заметив, что
X

s i 'a
X

x3 -+- A y* *+- B z 3 — 3abx y z =±= Z 0
s fA

z
,

s fA

Z^B

X

мы получим

(*1 -ь

А у 1

нн B z{ — 3 a b x x у x zx) (x| -t- Ay\ -t- B z 2 —- 3 ab x2 y 2 z 2 ) =

*1

S i s/ a

zi в

*1

Si У A

Z^B

У1 $ A

Z1 tf~B

*1

У2 ^

xx x2 *+~ ab у ! z2 -+■ ab zx y 2,
(xi z2 -+- byj y 2
(x x У2 ■+“ У1 x2

x2

zx x2) siB,

z2 i/B

S2 $ A
x2

S2

X

z2 W

(xx y 2 -+- y x x2 -+- a zx z2) tfA ,

(xx z2

b y x y 2 -+• zx x2) i'B ,

= (л*1 x2 H- a b y xz2 -+- a b z, y 2)3

by x y 2 -+- zx x2) $ 8

У%“+~У1 x2

x x x2 -+■ ab y x z2 -+• ab zx y 2,

<*zi z2) SM » (*1 z2

A

a z l z2)

x x x2 -t- a b y x z2 ~+- ab zx y 2

A (xj y2+ 5 ^ 2 + azxz2)3 -+-

-+- В (xx z2 -+- by I y 2 ■+- zx x2)3 — 3 ab (xx x2 -+- ab y x z2 -+• ab zx y 2) (x x y 2 -b
-+- Ух *2 -+- o z x z2) (xx z2 •+■ b y x y2-+■ ZXx2),

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

648

что и доказывает утверждение, приведенное в работе.
2 (стр. 101). Действительно, из равенства
тз — A
p

x + y j A - * - z ? [B _ (т
3
^ xt ч- рт2 ч- afez
3p

Г хт2 ч- ab zt ч- ah2 p ^
7L
3p

^ bx 4 - бхт ч- zt2
3p

j

мы заключаем, что необходимое и достаточное условие делимости £ на
ур приводится к трем сравнениям:
лет2 -+- cib zt “4* a b2 р = 0 (мод. р),
хт ч- рт2 ч- ab z == 0 (мод. р),
6л: -+- брт ч- zt2 = 0 (мод. р),
которые, в свою очередь, в силу т3 = Л = а62 (мод.р)
к одному:
Ь (х Ч г рт) ч- zt2 = 0 (мод. р),

приводятся

указанному в работе.
3 (стр. 103). Докажем делимость числа т22 — т2 т3 ч- (т2 -ь ^ 2 + т3)
на р. Из сравнений
Т23 = т23 == Т^З =Е Л (мод.р)
и из того факта, что т2, т2, т3 несравнимы попарно па мод.р, следует
т12 Т1 т2
т22 = 0 (мод.р),
т22 ч~ т2 т3 -+•т82 = 0 (мод. р),
Тз2 ч- т3 т2 ч- т22 == 0 (мод. р),
откуда легко получим
т2ч -т 2 ч -т3 = 0 (мод.р) и т22 — т2т3 = 0 (м од.р),
что и доказывает делимость числа т22 — т2 т3 ч -(т 2 ч -т 2 ч -т3)
4

на р.

(стр. 112). Оба сравнения
а у ч -b z — 2л: = 0 (мод. 9) и x + ai/ + k = 0 (мод. 9)

легка можно получить, рассматривая коэффициенты X , Yf Z и Х\ Y*,
Z' в соответствующих равенствах
ab (64а* — 62)2
27

(х + , ^ [ + ZJ W ) _
3

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

(64а2— 62)2 (х -I- I/ 'уО? -+- z
27
3

649 •

)
“

b$A-*-16a^tfB —8ab ^х , _^у'<[Ач-г' $В).
В , Тимоф еев,.

К работе „О простых делителях чисел вида 1 -* -4 х 2“
Эта работа напечатана в 1895 г. в „Известиях Академии Наук*"
(т. Ill, № 1, стр. 55—58) и является переводом письма А. А. Маркова
к Эрмиту. В том же томе „Известий* (стр. 361 — 366) опубликована работа
И. И. Иванова, обобщающая теорему П. Л. Чебышева на простые дели
тели чисел вида А -+- х2.
И. И. Иванов доказывает следующую теорему:
Е сли А — целое полож ит ельное число и р. — наибольш ий прост ой
д ел и т ел ь чисел

4 + 12,

а ч

л-+г2,

-22 , . . . ,

то от нош ение
V-

Z
неограниченно в озр аст ает вм ест е с Z,
Доказательство проводится, в основном, при помощи тех же р а с суждений, что и в работе А. А. Маркова.
.
В , Т и м оф еев.

К работе „О неопределенных тройничных
квадратичных формах*
Работа была напечатана в 1901 г. в „Известиях Академии Наук*
(т. XIV, № 5, стр. 509— 523).
А. А. Марков здесь впервые ставит вопрос о нахождении экстре
мальных неопределенных тройничных квадратичных форм. Используярезультаты своей магистерской диссертации, А. А. Марков находит'
в работе две первые экстремальные формы

з/ у
2 -+• ху -+- у 2 — 2z2}

и

V-

D {х 2 — ху — у 2 — 2z2}.

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

650

В конце работы он указывает третью экстремальную форму
+

+ 3z2},

экстремальность которой доказывает в мемуаре „Sur les formes
quadratiques ternaires indefinies" (Mathem.
Annalen,
1903, B. 53).
В 1909 г. в „Table des formes quadratiques ternaires indefinies
ne representantes pas zero, pour tous les determinants positifs D < 50"
(наст, сборник, стр. 165). А. А. Марков приводит без доказательства
{ — 2х2 — 2ху ч - 2у 2 — 5z2 { и под

еще одну экстремальную форму

V

черкивает трудность нахождения полного ряда последовательных мини
мумов

кг-

v~h у Ь

у

25

После работ А. А. Маркова до самого последнего времени не было
найдено ни одной экстремальной формы. Только в 1945 г. проф. Б. А. Вен
кову в работе „Об экстремальной проблеме Маркова для неопределен
ных тройничных квадратичных форм" (Изв. АН СССР, т. 9, 1945,
стр. 429—494) удалось продолжить ряд экстремальных форм, не используя
при этом существенное предположение А. А. Маркова, что данная трой
ничная форма достигает своего минимума. Б. А. Венков в своей работе
.доказал следующую теорему.
П уст ь д а н а н еоп р ед ел ен н а я т ройничная ф орм а
/ f а У'
f ( x , y , z ) = ( b" a f
\<У Ъ
оп р едел и т ел я

У
ъ

=

а х 2 4 - а у^ 4 - а "

4-

2Ь" ху 4 - 2У xz

ЧЬ 2

byz

а"
а

Ь" У

d= У а Ь >0
У

Ь

ап

с п рои звольн ы м и вещ ест венны м и коэф ф и ц и ен т ам и . Е сли / не эк в и в а 
лен т н а од и н н а д ц а т и ф орм ам в и д а а ^ к (а — п ост оян н ая), к — 1 , 2, . . . , 1 1 ,
то перем енны м х, у , z м ож н о д а т ь т аки е ц ел ы е, не р авн ы е о д н о в р е
м енно нулю зн а ч ен и я , при кот оры х

I/ ( * . У> г) I

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Формы Ч\* имеют вид:

651

652

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Для всех этих форм минимум |W& (х, у , z) | равен 1 при целых дг
z y не равных одновременно нулю.
Доказательство Б. А. Венкова чисто геометрическое и основана
на введенном им понятии внешней вершины для совокупности целых
точек, лежащих вне асимптотического конуса / (х, у , z) = 0. Что касается
экстремальных неопределенных квадратичных форм с четырьмя пере
менными, то и здесь первые две формы были найдены А. А. Марковым
в 1902 г. в работе „О неопределенных квадратичных формах с четырьмя
переменными*4 (Изв. Акад. Наук, т. X IV , № 3, стр. 97— 108). Дальней
ших результатов для форм с тремя и четырьмя переменными пока не
получено.
1 (стр. 145). См. стр. 9 наст, сборника.
В , Т и м оф еев.

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

653

К работе „Таблица неопределенных тройничных
квадратичных форм» не представляющих нуль» для всех
положительных определителей D ^ 50“
Печатается на русском языке впервые. Эта работа А. А. Маркова
*была опубликована в 1909 г. на французском языке в „Memoires de
rAcademie imperiale des sciences de St.-Petersbourg" (VIIP serie, т. XXIII,
№ 7, стр. 1—24).
А. А. Марковым найдены не только все формы с определителем
D ^ 50, не представляющие нуль, но также вычислены все производя
щие автоморфизмы форм с определителями D ^ 36. Кроме того, для
некоторых форм в таблице указаны характеристические свойства этих
форм, с помощью которых А. А. Марков устанавливал неэквивалент
ность форм, приведенных в таблице. Таблица содержит также нера
венства, определяющие приведенные представления чисел формами
таблицы. На ряде примеров А. А. Марков показал, как, пользуясь
этими неравенствами, можем найти все представления данного числа
данной формой.
Особый интерес представляют приведенные в таблице производя
щие автоморфизмы, все они второго порядка. Это, естественно, наводило
~на мысль, что для любой формы можно найти полную систему произво
дящих автоморфизмов только второго порядка. Однако, как это дока
зал И. С. Соминский, это справедливо лишь для форм с определите
лями £) <С 46, и неверно для формы 46л:2 — у 2 — z2 определителя Z) = 46.
Полная система производящих автоморфизмов этой формы обязательно
должна содержать автоморфизмы бесконечного порядка.
Следует отметить, наконец, что в своей работе А. А. Марков указал
/впервые четвертую экстремальную форму
минимум которой равен

приведя при этом еще две формы

— 2х2 — 2у 2 — 2xz — 2y z -+- 6z 2 и

— 2х2 — 2ху — 2у 2 ч- Юг2,

^которые он, несомненно, считал экстремальными. Экстремальность
тюследних установил проф. Б. А. Венков в работе „Об экстремальной
проблеме Маркова для неопределенных тройничных квадратичных форм"
<Изв, АН СССР, т. 9, 1945, стр. 429— 494).
В • Тим оф еев.

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

654

К статье „Доказательство трансцендентности
чисел е н 7га
Издана отдельной брошюрой в 1883 г. (СПб., типография Акаде
мии Наук).
В статье дается подробно и просто изложенный вариант доказа
тельства теорем Эрмита и Линдеманна.
Ю . В . Л и н н и к.

К статье „Закон больших чисел и способ
наименьших квадратов*
Статья А. А. Маркова, опубликованная в 1898 г. в „Известиях
Физико-математического общества при Казанском университете* (серия
вторая, т. VIII, № 3, стр. 110— 128), представляет собою извлечение
из писем к А . В. Васильеву, профессору Казанского университета.
1 (стр. 233). См.: Поли. собр. соч. П. Л. Чебышева, т. II, Изд.
АН СССР, М.— Л ., 1948.
2 (стр. 234). Эта формулировка А. А. Маркова выгодно отличается
от не совсем правильной формулировки П. Л. Чебышева в указанном
мемуаре.
3 (стр. 240). Такой вывод дан в статье А. А. Маркова „О корнях
dm е - * 2
: 0 м (см. стр. 255 наст, сборника).
уравнения ех2

dx™

4 (стр. 246). В приведенных примерах даны случаи, когда нару
шается условие, называемое теперь „предельной пренебрегаемостью*.
Примеры, где оно не нарушено, а математические ожидания квадратов
представляют расходящиеся ряды, даны в конце статьи. Эти примеры
нужны во второй части статьи (письмо от 5 октября 1898 г .), где кри
тикуется обоснование нормального закона для распределения ошибок
наблюдений с помощью „гипотезы элементарных ошибок*.
5
(стр. 246). Применение принципа Маркова для вывода известных
расчетов способа наименьших квадратов в простейших случаях проте
кает так: пусть измеряются неизвестные величины alf
^ посред
ством измерения линейных функций а ц
^
ч
- o«v*r(i = 1, 2, . . ., п)
и получаются ошибки Дг-, так что
уг—

»

Дг +

гт

Otj *+~ CLi%

HF—. . . Hh- a,у &2

<72

случайные величины. Пусть м. о. Д* = 0 и дисперсии Дг- равны —
P i

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

65$

(p i— „веса" наблюдений). Тогда в качестве приближенного значения
будем брать линейную функцию

#1 *+■ •* *

#аг—

при условиях:
1) м. о. Тк — Ч (отсутствие постоянной погрешности), 2) диспер
сия 7fc минимальна.
[6] (стр. 247). Перевод:
„Впрочем, то, что я впоследствии оставил обоснование метода
наименьших квадратов, применяемое в «Theoria Motus corp. coel.»,
произошло на основании, которое я не указывал в явном виде. Именно,,
я должен считать, что во всех смыслах менее важно найти то значение
неизвестной величины, вероятность коего наибольшая, и все же беско
нечно малая, чем такое, при котором получается наименее убыточная
игра; или если / (а) означает вероятность значения а неизвестной лг, то
следует придавать меньшее значение тому, чтобы f (а) был максимумом,
чем тому, чтобы $ f (х) F ( х — a ) d x , распространенный по всем возмож
ным значениям х , был минимумом, причем за F выбирается функция
всегда положительная и при увеличении аргумента подходящим образом
увеличивающаяся. То, что избирается квадрат, — вполне произвольно,
и этот произвол лежит в основе дела. Если бы не было известных,,
исключительно больших преимуществ, доставляемых выбором квадрата,
можно было бы взять всякую другую функцию, удовлетворяющую ука
занным условиям".
[7] (стр. 247). Вычисление „вероятной ошибки" требует знания диспер
сий ошибок наблюдений, а не только относительных весов.
[8 ] (стр. 250). В современной математической статистике этому утвер
ждению придается иной смысл („способ максимального подобия"). При
этом предполагается, что ошибки наблюдений распределены по нормаль
ному закону и независимы.
В этих условиях возможно установить некоторую связь указанного
способа с принципом Маркова.
Ю . В . Л и нни к.

d>n е—х2

К статье „О корнях уравнения ех<1 д х т ~ ~ 0й
Статья опубликована на французском языке в 1898 г. в „Известиях
Академии Наук" (серия V , т. IX, № 5, стр. 435—446) под названием
dm е—л<1
„Sur les rafcines de ^equation e&—
— = 0".

656

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Более подробное изложение соображений, приводящих к теоре
мам 1—4, имеется в статье „Неравенства Чебышева и основная теорема**,
помещенной в настоящем сборнике (см. стр. 271).
Ю . В . Л инник.

К работе „Неравенства Чебышева н основная
теорема**
Настоящая статья взята из приложения к посмертному, четвертому
изданию книги А. А. Маркова „Исчисление вероятностей** (Гос. изд.,
.М., 1924). Работа была впервые опубликована в 1913 г., в третьем изда
нии той же книги. Доказанные в работе теоремы служат основой для
следующей статьи „Теорема о пределе вероятности для случая акаде
мика Ляпунова** (см. наст, сборник, стр. 319). Основой доказательства
первой из теорем служит рассмотрение разложения интеграла

j

z— t

dt

-в формальную непрерывную дробь, рассмотрение подходящих дробей
и неравенства Чебышева (в обобщенном виде найденного А. А. Марко

се
е —Р dt при любом ос, с коэф-

. вым), которое связывает значение

— со
фициентами в разложении подходящих дробей на простейшие.
1 (стр. 275). Указанные соотношения принадлежат к элементам
аналитической теории непрерывных дробей. По этому поводу см. ука- занный в конце работы список литературы (стр. 318).
2 (стр. 278). Имеется в виду, что будут употребляться такие системы
чисел Sq, S i , S 2, - . . ч т о система уравнений

[?(*)] = о,

[ х ф ( * ) ] = 0, . . . ,

[ х » - 1 ф(*)] = 0

не может быть удовлетворена никаким полиномом ф(х) степени ^ тп — 1,
неравным 0 тождественно. Тогда определители•

S1
^1* $2 »
•будут все

0.

So. Si. S2
Si. s2, S3
S2, S3, Si

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

657

3 (стр. 281). Такое утверждение получается при дополнительном
требовании положительности всех чисел р. Это требование и выдви
гается в дальнейшем.
4

(стр. 281).

Иначе

было

в частности, 2

бы,

Я 9 (* ) 9 (* ) = О,
х

9 (х) = 0 для всех х , и полином степени тп— 1 имел бы больше тп — 1
корней.
5 (стр. 282). Действительно, c lf с2,
Cfe предполагаются корнями
нечетной кратности, чтобы всегда было (z — C i ) . . . ( z — Cfc) (Om (z) > 0.
Могут быть еще вещественные корни четной кратности, число которых
тп

—

к

меньше или равно — ^— *
6 (стр. 284). Формула (6) следует из общей теории, изложенной
вначале. Для получения (7) и (8) умножаем первую из формул (6) сперва
на
(z), полагаем z = х, при каждом х умножаем на р и суммируем
по х. Тогда
2

X

pu>m—i (* ) <*)т—2 (х ) = 0

и

2

X

Р°>т (* ) W/и—Т (*) = 0

по общей теории полиномов (от (д:). Оставшиеся члены определяют Ьт•
При помножении той же формулы на р(от—2 (х) и суммировании по х
при z = х, получается сперва

2 рх
( х ) 0Ут—2 (х)
_X
Of}} '
*
2
ри>т~2 (х) 2 (*)
х
Далее из уравнения
to»?—i (z) = (z Hh bm—i)

2 (z) — Пт—I wm-3 (Z)

при помножении на tom__]_ (x) тем же приемом находим
2

X

<*>т—

1

( х ) (от

— 2

(х ) =

2

X

Р*0 ™—1 ( х ) Ww—1 М >

что дает (8).
7 (стр. 285). В (9) при z = Z исчезает второй член слева, и полу
чается выражение для фт (£).
8 (стр. 286). Вещественность корней wm(z) доказана для любых
систем х и р^> 0.
9 (стр. 288). Следствие (5) при Q (z) = 1.
42 А. А. Марков. Избр. труды

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

658

10 (стр. 289). Q' (z) есть полином степени 2 т — 3. Он не обращается
в нуль в полуоткрытом интервале (S°, S'), ибо обязан обращаться в О
при всех S ф S' и еще m — 2 раза в промежутках между корнями о)т (z),
согласно теореме Ролля. Но Q (Ё°) = 1, О (S') = 0. Значит, О (z) убывает
в указанном промежутке, и Q '(z )< [0 там.
Далее, при z < i S', непременно Q ( z ) ^ l . Ибо имеем Q(£) = l при S<^S',
что дает нам соответствующее количество корней Q' (z) при z <СS'.
Если бы было где-либо Q (z) > 1 при z < ' S', появилось бы значение zf
с 0 ( г ') = 1, где z'^frS, что добавило бы, по крайней мере, один лиш
ний корень к О '(г). Это невозможно. Аналогично убеждаемся, что
О (z) ^ 0 при z
S'.
11 (стр. 291). Объединение обоих типов распределений может быть
совершено с помощью интегралов Стилтьеса. Однако А. А. Марков
придерживается рамок старых классических понятий анализа.
12 (стр. 292). Числа
S i, S g ,.. . связаны с формальным раэложе00

1 Г е -* 2
1
нием интеграла —=■ I -------- dt в ряд по степеням — ; полином о)т (z) —
J

Z

t

Z

— оо

с его формальным разложением в непрерывную дробь.
13 (стр. 297). См. наст, сборник, стр. 255.
14 (стр. 306). См.: А . А. М а р к о в . Исчисление вероятностей, 1924..
15 (стр. 306). См. наст, сборник, стр. 319.
16 (стр. 310). Первое неравенство следует из неотрицательности / (х )
н Q (х). Второе — из того, что Q (S*) ^ 1 для S« <С с и S* > с?, а в проме
жутке между e n d нет чисел S4 по предположению.
17 (стр. 316). Здесь следует заметить еще, что у смежных о)*- ( * )
и соу (л:) нет общих корней ф 0 . Ибо, по соотношениям между (от (х),
оУт—i (*) и С0щ_2 (*)> они оказались бы корнями всех (ош(х) с меньшими
номерами, включая (Oj (х) и со2 (х). Поэтому при обращении числителя:
наших дробей в 0, знаменатели в 0 не обращаются.
Ю . В . Л инник.

К работе „Теорема о пределе вероятности для случаев академика
А. М. Ляпунова*
Работа впервые опубликована в 1913 г. в третьем издании книги А. А.
Маркова „Исчисление вероятностей*. В настоящем сборнике воспроизво
дится по посмертному, четвертому изданию той же книги (Г о с .' и зд.,
М., 1924).
1 (стр. 321). См.: А . А. М а р к о в. Исчисление вероятностей, 1924..

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

659

2 (стр. 321). См. также: Поли. собр. соч. П. Л. Чебышева, т. II
Изд. АН СССР, М .- Л ., 1948, стр. 233.
3 (стр. 321). См. наст, сборник, стр. 233.
4 (стр. 322). См. также: А. М. Л я п у н о в . Избранные труды. Изд.
АН СССР, 1948, стр. 179 и 219.
5 (стр. 322). Комментируемая статья А. А. Маркова непосредственно
примыкает к предыдущей. В ней метод математических ожиданий впер
вые приводится в такую форму, которая позволяет доказать „централь
ную предельную теорему теории вероятностей" А. М. Ляпунова. Эта
теорема была доказана А. М. Ляпуновым методом характеристических
функций, который имеет то преимущество, что характеристические функ
ции существуют для любой случайной переменной, в то время как ма
тематические ожидания каких-либо степеней ее не всегда обязаны
существовать. А. А.^ Марков вводит здесь „срезанные" случайные вели
чины Х к — такие функции исходных случайных величин Zk — a ki что для
них существуют моменты любых целых степеней X kf а сумма их имеет
то же предельное распределение, что и сумма исходных в условиях
и

Ляпунова. Далее к

применяется метод математических ожиданий,
fc = l

выводы которого основаны на предыдущей статье. В конце статьи при
водится пример, когда предельная теорема не имеет места; при этом,
разумеется, условия Ляпунова не выполнены.
6 (стр. 324). Если предположить для простоты, что Zk — а к не при
нимает значения 0 и имеет дискретное распределение, то имеет для
распределений Хк и Yk
Р
P
P
P

{X k =
{X k =
{Y k =
{ Yk =

Z — a k } = Р {Z]c — ак = Z — ак } при
0 } = P { \ Z k - a k \ > N };
Z — ak } = P { Z k — a k = Z — a k } ;
0 } = P { \Zk — ak \^ N } ,

\Z— я | < N ;

откуда сразу вытекает равенство

42+5)= -•

+

о.| Г*|г+\

Общий случай трактуется аналогично.
7 (стр. 326). В этой главе книги „Исчисление вероятностей" дока
зывается предельная теорема для гораздо более узких условий.
8 (стр. 332). См. примеч. 7.
9 (стр. 338). Пример, приведенный А. А. Марковым, возможно также
исследовать с помощью современной теоремы Линдеберга—Феллера—
С. Н. Бернштейна, которая дает также возможность выяснить неразо

42*

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

660

бранный случай v = l . Согласно этой теореме, обозначая закон распре-

Ь]с

деления Z& — аи через F k (x ), считая, что шах.
цри п->оо, нек <:п п п
обходимым и достаточным условием применимости указанной предельной
теоремы будет
-J-

J х 2 dFk (х ) -> 0

при

п -> оо

h^ n \х\>г>!в~п
и любом фиксированном £ > 0. При всяком таком £ и v < 1г ввиду того,

'Гвп
(Inn)

заключен

между

положительными константами, для

М--

достаточно больших п неравенство \Zk\^> г^ В п невозможно, и условие^
выполнено. При v > 1 имеем: для достаточно малого vj
& < п и при достаточно большем п, будет

| x* d F k {x ) = h

и

0, к > е7*1пи,

6t < ^ o 4 2,i- v+1,

Условие нарушено. /С0» ^1»* • •— положительные константы. При v = l
и заданном £, для &

j

е^1е1пи получим

x * d F k {X) = bk

и —-^

4< < * , « * ,

i r 2 \x\J >в^Вп
*a^*w >Tfc ^ n

Условие нарушено, и предельная теорема не применима.
Ю . В . Л и н н и к.

К работе „Распространение закона больших чисел на величины,
зависящие друг от друга”
Опубликовано в „Известиях Физико-математического общества при
Казанском университете" (серия вторая, т. XV, № 4, стр. 135— 156).

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

661

В этой работе рассматриваются условия применимости закона боль-

п

ших чисел к суммам *S '«= 2

г=1

случайных

^

зависимых величин X {t

причем речь идет только о достаточных условиях. Результаты основаны
на простом, но важном замечании, что закон больших чисел применим
к S n, если

D
(Sn) л
-----О----- > 0, п -> 00,

где знаком D (X ) обозначена дисперсия величины X,
В начале работы используется одно н е р а в е н с т в о Ч е б ы ш е в а ^
которое в нужной для Маркова форме читается так:
если

рfit >

0,

/= 1 , 2 , . . . , » :

2 4 0s= l.
1=1

(1)
Считая (0 > 1, убеждаемся в справедливости этого неравенства следую
щим образом.
Ясно, что

4 1)> г =21 р^ 4 ° > 4 ш>.
поэтому существует индекс г‘о> 1 ^
4 ') — 2

«=1

^ (0» Для которого

p f t a f t > °>

4 , ~ 2 я )4 4 0 ,

г ^ г0*
i > i„.

»=1

Тогда
о)

2 4 4 °

1—1

Г

L

I

to

Г

*о

4 i)- 2 4 )4 ) = 2 4 4 °
t=i

-

*=i

■"

+

2

i—iQ-f-1

4 4 °

1—1

'

a ft- 2 4 4 °
i—1

* - i=l
г ё Л )- 2 < м >
откуда и вытекает (1).

4 ° - 2 4 0в1

I—

(О

=

0,

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

662

Одним из примеров зависимых величин, к которым применим закон
больших чисел, для Маркова служит простая и однородная цепь, рас
сматриваемая впервые именно в этой работе. В § 5 работы рассматри
вается такая цепь при условии, что все вероятности перехода
положительны. Следует отметить, что это сильное ограничение не
вызвано необходимостью. Все рассуждение и выводы Маркова остаются
без изменения, если требовать только, чтобы существовал хотя бы один
индекс v такой, что

/у, >
каков бы ни был индекс р..
Из последующих работ других авторов, посвященных закону боль
ших чисел для зависимых величин, укажем на работу С. Н. Бернштейна
„О законе больших чисел** (Сообщ. Харьковск. матем. общ., т. XVI,
1918, стр. 82—87) и работу автора этих строк „О законе больших чисел
для зависимых случайных величин** (Изв. АН СССР, серия матем.,
т. 14, № 2, 1950, стр. 145— 154).
1 (стр. 341). См. также: Поли. собр. соч. П. Л. Чебышева, т. 2,
Изд. АН СССР, 1947, стр. 431—437 (на переплете стоит 1948 г.).
2 (стр. 344). См. также: Поли. собр. соч. П. Л. Чебышева, т. 3,
Изд. АН СССР, 1948, стр. 128— 131.
3 (стр. 361). На обложке № 4 „Известий** указан 1906 г.
Н. Сапогов.

К работам „Распространение предельных теорем исчисления
вероятностей на сумму величин, связанных в цепь**» „О связан
ных величинах» не образующих настоящей цепи**, „Об одном
случае испытаний» связанных в сложную цепь**» „Об испытаниях,
связанных в цепь не наблюдаемыми событиями**
Задачи, решаемые в этих работах, состоят в доказательстве при
ложимости центральной предельной теоремы теории вероятностей

п

к суммам S n •= ^

случайных величин Хц 1) связанных в простую

г=1
однородную цепь; 2) связанных в сложную однородную цепь; 3) пред
ставляющих собою двумерные векторы, связанные в цепь; 4) связанных
в цепь Маркова—Брунса. Все эти работы объединены единым методом
исследования, подробно изложенным в первой из них, а именно в ра
боте „Распространение предельных теорем исчисления вероятностей на
сумму величин, связанных в цепь**. В этой работе изучаются величины
Хг, образующие простую однородную цепь, причем особенно детально

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

653

исследуется предположение, что возможными значениями величин X f
являются —1, 0, -t-1. Для вычисления моментов величины S n вводятся
производящие функции

Ф» (О = 2 Pm, « Г
m
вероятностей рт >п равенств S n = m и исследуется производящая функ
ция функций Фя (/)

п

Главную роль в дальнейших вычислениях играет знаменатель этой
дроби F (t, z)t который оказывается многочленом третьей степени отно
сительно 2, причем, если ввести некоторые общего характера ограниче
ния относительно вероятностей перехода, оказывается, что F ( l , z) имеет
простой корень z = l и два других, модули которых больше 1. Функция
f ( t , z), напротив, не играет большой роли, и ее влияние не сказывается
на результатах вычислений при п - » оо. Относительно моментов
выбранное постоянное число, путем
исследования функции

f i t , г) доказывается, что
F (t ,z )

а)
каково бы ни было целое
i

= 0, 1, 2... •»

где

Доказательство этого основано, главным образом, на том, что z == 1
является простым, и притом единственным минимальным по модулю
корнем функции F ( l , z). Поэтому при этих условиях о корнях функции
F ( 1, z) аналогичное рассуждение, приводящее к (1), может быть вос
произведено и для многих других случаев величин S n. Это дает осно
вание Маркову в остальных из комментируемых работ опускать подроб
ности в вычислениях; так же он поступает и в некоторых других своих
работах.

664

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Сделаем несколько замечаний по поводу отдельных мест рассматри
ваемых работ.
В конце работы „Распространение предельных теорем исчисления
вероятностей на сумму величин, связанных в цепь*4, где изучаются связаные в цепь величины Х {, возможные значения которых суть

а, Р, Т, ...»
♦»
Марков доказывает применимость к 5 1г« = 2 ^ » ' центральной предельной
*=1

теоремы при условиях, на наш взгляд формулированных недостаточно
отчетливо. На стр. 390 он говорит, что
мы рассматриваем только
такие цепи

xlt х2* •••»

•••f

где появление одних из чисел
Р, Г , • ••

не исключает окончательно возможности появления прочих44.
Другими словами, по современной терминологии, речь идет об одно
родных цепях, матрица вероятностей перехода которых (стохастическая
матрица) является простой (С. Н. Б е р н ш т е й н . Теория вероятностей,
1946, Добавление V), или все состояния цепи образуют один к л а с с
с у щ е с т в е н н ы х с о с т о я н и й (А. Н. К о л м о г о р о в . Цепи Марко
ва со счетным множеством возможных состояний. Бюлл. Моек. Г о с.
унив., 1937).
Далее Марков выставляет такое условие:
. определитель
u » Яр, a*

Я-у, а» * * •

v »

Я-у, а» •••

Ра, -у» Яр, -у»

w » • ••

Ра, р*

с произвольными элементами

и, v, го, . . . t
не приводится к произведению нескольких определителей того же типа44,
а также: „указанный определитель не приводится явным образом к про
изведению нескольких определителей и при
и = Р*,а> « ^ Я р . р » •••.«> = Р ъ " -

Затем утверждается, что при этих условиях характеристическое урав
нение

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Ра, а

*

Ра, у

» •••

Рр,а

> Р ? ,? ~ ^ ’

Р$, р

Pp,-j

> •••

Ру, а

>

Р^,?

665

(2)

1 P"t, у

имеет только один корень с модулем |X |= 1, а именно X = 1, все же
остальные корни имеют модуль |X |< 1. Как известно, в случае простои
стохастической матрицы, необходимым и достаточным условием для
того, чтобы уравнение (2) имело только один максимальный по модулю
корень, а именно X = 1, является, принимая терминологию С. Н. Берн
штейна, регулярность рассматриваемой стохастической матрицы, дру
гими словами, период ее должен быть равен 1.
Также недостаточно отчетливо выглядит формулировка аналогичного
условия, исключающего некоторые особенные случаи рассматриваемой
Марковым цепи, даваемая им на стр. 443—444 работы „Об испытаниях,
связанных в цепь не наблюдаемыми событиями". В той же работе, на
стр. 462, Марков, иллюстрируя общие выводы, приводит без доказатель
ства формулу

д=

е/ -

(е+ / )2 {>

2И
(е + / )(в -ь / -1 )

указывая, что она получена им путем рассмотрения частных случаев,,
так как общие формулы дают для А весьма сложное выражение. В дру-.
гой своей работе „Применение способа математических ожиданий к свя
занным рядам величин44 (Изв. Акад. Наук, 1915, № 14) он дает доказа
тельство этой формулы во всех подробностях.
В заключение заметим, что для безукоризненности выводов Мар-

п

кова о применимости центральной предельной теоремы к S n = ^ Xj
i= l
необходимо потребовать еще, чтобы неотрицательная постоянная С,
вводимая равенством (33) работы „Распространение предельных теорем
исчисления вероятностей на сумму величин, связанных в цепь", и ана
логичные величины в других работах были больше нуля.
Н . С ап огов.

К работе „Распространение предельных теорем исчисления веро
ятностей на сумму величин, связанных в цепь44
1 (стр. 363). Работа опубликована в „Записках Академии
(по Физико-математическому отделению, т. XXII, № 9).
2 (стр. 365). См. наст, сборник, стр. 339.

Наук44'

666

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

К работе

„О связанных

величинах, не образующих
цепи"

настоящей

1 (стр. 399). Работа опубликована в 1911 г. в „Известиях Академии
Наук" (серия VI, т. V, стр. 113—126).
2 (стр.
404). См.
Изв.
Акад. Наук, 1907.
3 (стр.
404). См.
наст,
сборник, стр.363.
4 (стр.
406). См.
наст,
сборник, стр.231.
5 (стр.
406). См.
наст,
сборник, стр.465.

К работе „Об одном

случае

испытаний, связанных в сложную
цепь"

1 (стр. 417). Работа опубликована в 1911 г. в „Известиях Академии
Наук" (серия VI, т. V, стр. 171— 186).
2 (стр. 419). См. наст, сборник, стр. 363.
3 (стр. 430). См. наст, сборник, стр. 339.

К работе

„Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми
событиями"

1 (стр. 437). Работа опубликована в 1912 г. в „Известиях Академии
Наук" (серия VI, т. VI, стр. 551—572).
2 (стр. 443). См. наст, сборник, стр. 363.
Н . С ап огов.

К работе
„Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь"
Опубликована в 1910 г. в „Записках Академии Наук" (по физикоматематическому отделению, т. X X V , № 3).
В этой работе методом моментов доказывается применимость цен-

п

тральной предельной теоремы к суммам Sn =s 2

|

г=1

Xi случайных вели-

чин Xiy связанных в простую н е о д н о р о д н у ю цепь при предполо
жении, что возможные значения для Х { суть 0 и 1 и
0
f

<

Ро

<

Pi

< 1 — Р0>

0 < ро <

Pi

< 1—

Ро>

ft

где p i и p i — вероятности перехода:
Л = р [X i = 1 1

= 1 }, p i = Р {X i = 1; X i - i = 0 },

а р0 — постоянное, не зависящее от п число.

К ом м ент арии и п ри м еч ан и я

667

Вопрос о применимости центральной предельной теоремы к суммам
S n при условии, когда допускается неограниченное приближение р0
к нулю, оставлен А. Марковым открытым.
С. Н. Бернштейн в работе 1926 г. „Распространение предельной
теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин** (Усп.
матем. наук, вып. X , 1944) другим методом получил формулированный
выше результат А. Маркова и доказал, что центральная предельная
теорема остается применимой к S n, если

1
,
„ если а = ~1 •
, и может быть
не применимой,
э
о
В двух других работах, опубликованных в 1926 и в 1928 гг. (Изв. АН
СССР, серия VI, т. X X , 1926, стр. 1459—1478;
Докл. АН
СССР,
серия А, 1928, стр. 55—60), С. Н. Бернштейн доказал то же утверждение
где постоянная а

для случая произвольной постоянной а < — •
Автором этих строк доказана применимость центральной предель
ной теоремы (Докл. АН СССР, т. LVIII, № 2, 1947, стр. 193—196)
лри условии

п
где — ср (п) — произвольная, неограниченно возрастающая при п -» о о
функция.
Ю. В. Линник (Изв. АН СССР, серия матем., т. XIII, 1949,
стр. 65—94) рассматривал более общий случай неоднородной цепи огра
ниченных величин Х% с произвольным конечным числом возможных
значений х^\ 1 ^ к ^ к{, для каждой величины Х{ и доказал примени
мость центральной предельной теоремы к S n, если
перехода отличаются от 0 и 1 не менее, чем на

все

па *
. 1

тде постоянная a<^-g- и

_1_

2к=1

ГJJC)
L

> с > 0.

вероятности

668

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

Аналогичный результат в дальнейшем был получен и для случая
цепи Л-мерных векторов (Н. А. С а п о г о в, Докл. АН СССР, т. LXIX*
№ 2, 1949, стр. 1 3 3 -1 3 5 ).
1 (стр. 467). См. наст, сборник, стр. 339.
2 (стр. 467). См. наст, сборник, стр. 363.
Н . С апогов.

К статье „О задаче Якова Бернулли"
Опубликована в 1914 г. в „Известиях Академии Наук" (серия VI*
т. VIII, стр. 237—246).
В статье исследуется точность аппроксимации биномиального распре
деления с помощью интеграла Моавра-Лапласа. Основная мысль заклю
чается в том, что дискретный характер биномиального распределения,
при аппроксимации его непрерывным распределением всегда вызовет
отличия за счет „скачков вероятности".
Изучается с помощью числового материала аппроксимация интеграла
Моавра-Лапласа в точках скачков, причем делается вывод, что погреш
ность ее будет порядка максимальных скачков, что говорит в ее пользу.
1 (стр. 513). См.: О двух теоремах относительно вероятностей. Поли,
собр. соч. П. Л. Чебышева, т. III, Математический анализ, Изд. АН СССР,
М.—Л ., 1948. Исследования Чебышева в этой статье относятся к случаю
непрерывных распределений, но выводы пригодны и для данного слу
чая.
2 (стр. 514). Числа М Юв мемуаре П. Л. Чебышева суть коэффициенты
разложения логарифма производящей функции суммы случайных вели
чин по степени ее аргумента (в математической статистике они иногда
называются полуинвариантами).
3 (стр. 516). Знак ф означает приближенное равенство.
4 (стр. 518). Знак ^ означает наличие „скачка".
5 (стр. 521). А. А. Марков имеет в виду свою книгу „Исчисление
вероятностей" (1913).
Ю , В . Л инник.

К статье „О коэффициенте дисперсии"
Статья опубликована в 1916 г. в „Известиях Академии Наук"
(серия VI, т. X , № 9, стр. 709—718).
1
(стр. 525). Коэффициент дисперсии Q, выведенный в указанной
здесь форме А. А. Марковым, дает возможность установить некоторый
критерий однородности в серий независимых опытов — именно критерий
для испытания гипотезы о постоянстве вероятности наблюдаемого
в этих сериях опытов события.

К ом м ент арии и п р и м еч ан и я

669

При верности этой гипотезы, Q будет иметь указанные в этой
статье значения математического ожидания и дисперсии, допускающие,
например, применение неравенства Чебышева.
2 (стр. 530). Вычисление можно провести так.
При
m = 1, s* = s (f = l , 2 , . . . , о)
имеем

П— б

• S,

X]

ха =

1,

откуда один из х* = 1, а все остальные равны 0. Поэтому Q необходимо
иметь вид

Q=

л (л — 1)
( .- .И .- .г К т Ч ) ’

с — 1

S

«■-»

i ] -

<>2S2г ] - ^

SS /

При m = n — 1, один из xt = s — 1, а все остальные равны s. В этом
случае

-1

п (п — 1) s
( в - 1 )(п

3

as — 1\2
as

п

(стр. 533). Имеем

1 —-

2о^ s ($ — 1)
(а .- 2 ) ( а . - 3 ) ( а - 1 )

о-1

Остается показать, что при а > 5

1~ г < ( 1--^-)(1— I ) '
Имеем при

<7 >

5

1
—

1
S

6
^

ОС
ZD

1

1

2 ^
S"2

S

4
(стр. 533). Это утверждение следует, например, из неравенства
Чебышева в форме

Комментарии и примечания

670

Р { ( m — n p ) > n i) <
при подходящ ем выборе ?.
5 (стр. 534). В указанной статье Е . Тихомирова формула К . Пирсона
приводится в виде: „вероятн ая

1—
V/i

ошибка равна 0.674 —

“

(стр. 23).

Буквально понимаемая формула не имеет смысла уже хотя бы потому,
что выборочный коэффициент корреляции г — величина случайная. Т о ч 
ный смысл и условия применимости формул К . Пирсона таковы : при
выборках из нормальной двумерной генеральной совокупности (X , У),
где коэффициент корреляции между X и Y равен р, и |
р|ф 1, при объеме
выборки п - > о о , выборочный коэффициент корреляции г приближается
к нормальному распределению, причем математическое ожидание г стремится к

р,

V*— V)

/г*

а дисперсия г асимптотически равна ------------ . (С м . по этому
п
поводу: Р . О . К у з ь м и н ,
Д окл. АН С С С Р , т. X X II, № 6, 1939,
стр. 302—305).
Р азу м еется, если нет оснований для предположения нормальности
генеральной совокупности (X , Y), формула К . Пирсона не будет иметь
научного основания.
6
(стр. 535). А . А. Марков указы вает зд е сь , что н ельзя говорить
о распределении выборочного коэффициента корреляции, не зн ая типа
исходного „генерального*4 распределения (X , Y). В настоящ ее время
сущ ествую т расчеты такого распределения для случая нормальности
( X , Y ). Распределение выборочного коэффициента корреляции о казы 
вается при этом зависящ им только от „генерального" коэффициента
корреляции р и объема выборки п.
При большом числе наблюдений
это позволяет делать для данного случая оценку р.
Ю . В , Л инник.

К статье „О коэффициенте дисперсии.
(Вторая заметка)**
Статья опубликована в 1920 г. в „И звести ях Российской А кадемии
Наук** (серия V I, т. X IV , стр. 191— 198).
В этой статье дается асимптотическая формула для распределения
коэффициента дисперсии А . А. Маркова прн условии, что числа испы
таний в сериях sj_, s2, . . . » sc неограниченно возрастаю т. Это даст новую
возмож ность для составлени я критерия однородности с помощью коэф
фициента дисперсии при больших числах Sj, s2, . . . > sg*
1 (стр. 542). Имеем при Л = 1:

Комментарии и примечания

671

А/ ( 2) = / {z -+- 1) — / ( 2 ) := (сг -4- 2Z -+- 2) . . . (<7 -t- 2Z + 2 г ) --— (<7 + 2z) (б -#- 2z -+- 2) . . . (с + 2z + 2г + 2) =
= [(в + 2z + 2г) — (с + 2z + 2) . . . (<j + 2z + 2т — 2) =
= 2г (с -t- 2z

2) . . . (сг *+- 2z нь- 2r — 2 )].

П олагая:
Ьь f ( z ) =

2 r (2 r — 2 ) . . . ( 2 r — 2h -+- 2 ) ( s -+- 2 z - i- 2 h ) ...( < j - * - 2 z - + - 2 r — 2),

найдем:
Д/г+1 / (г) = 2r {2r — 2 ) . . . (2r — 2Л -+- 2) (s -f- 2z 4 - 2 -t- 2Л ). . . (s -f- 2z -+- 2r) —
— 2r (2r — 2 ) . . . (2r — 2 h 4 - 2 ) ( G 4 - 2 z - b 2 h ) . . . ( G - * - 2 z - i - 2 r — 2) =
= 2 r ( 2 r — 2 ) . . . ( 2 r — 2 h - i r 2 ) ( 2 r — 2 h ) ( < J 4 - 2 z 4 - 2 h - + - 2 ) ...( c -+ - 2 z r + - 2 r — 2 ).
П олагая 2 = 0, получим требуемый коэффициент.
2
(стр . 546). Более подробно обосновать возм ож ность такой замены
можно, например, так..
Полагаем г = а Vu — 3, считая большим числом. Тогда

о—З
{(1-ь 2а)е-2«}

<

а-3
2

< (-1 т У
_ _

Если

|а| > (<т— 3)

_ (а -3 ) —

12, то это выражение меньше е

чина эта мала. Если же

12 , т.

е. вели

, 12/

|а|<С (сг — 3)

, то \z\ <[ у(<г— 3) и
о—З

1п е

~2~

?Уо—З

h

A

)

-

■ f+ O l-T u

т. е. функция е ~ г'1 доставляет хорошее приближение подинтегральной
функции там, где эта последняя имеет ощутимые значен ия, а в других
точках обе функции будут весьм а малы. Л егко подсчитать, что получается

Комментарии и примечания

672

хорош ая аппроксимация и самих интегралов, а не только подынтеграль
ных функции.

Ю. Б . Л инник.

К статье „Об одной задаче Лапласа*
Статья опубликована в 1915 г. в „И звести ях Академии Н аук" (серия V I,
т . IX , № 2 , стр. 87— 104.
1 (стр . 551). См. н аст, сборник, стр. 439.
2 (стр. 552). Приводим краткий вы вод этого основного для всей статьи
рекурентного соотнош ения.
П осле г
1 перекладывания в первом сосуде может о казаться х
белых шаров (вероятн ость этого zx r + 1 ) только при одном из следующих
четы рех н е с о в м е с т и м ы х случаев.
1)
После г перекладываний в первом сосуд е был х + 1 белый шар^
(вероятн ость этого
г), при этом условии из первого сосуда вынут
Х Ч -1\

белый шар ^вероятность

п )'

щ q — пр •

перемножая эти три вероятности, получим

-)>

*1

а из второго — черный ^вероятн ость

первое слагаем ое правой части рекурентного соотношения.
2) П осле г перекладываний в первом сосуд е был х — 1 белый шар
(вероятн ость этого гх_ г г) и при этом условии из первого сосуда был
•
/
п— х
1\
вынут черный шар I вероятность этого ------ - --------1, а из второго — белый
•^вероятность этого

(п-нп^р — х«1
*)■

перемножая эти

вероятн ости ,

получим второе слагаемое.
3)
П осле г перекладываний в первом сосуде было х белых! шаров
(вероятность этого zx г), при этом из первого сосуда вынут белый шар
^вероятн ость

этого

(п -+■пг) р — х

пг

)■

из

f )-

второго — белый

^вероятность

этого

перемножая эти вероятн ости , получим третье слагаемое.

4) После г перекладываний в первом сосуде было х белых шаров
(вер о ятн о сть этого zx г ), но при этом из первого сосуда вынут черный
шар ^вероятность этого

(

вероятн ость этого

п— х \

—

Г

n j q — пр -#- х

«1

из второго сосуда — тоже черный шар
; перемножая эти возмож ности, полу

)■

чим четвертое, последнее слагаем ое.
3
(стр . 553). Вкратце содержание этой статьи А.
изобилующей сложными выкладками, сводится к следующему.

А.

М аркова,

Комментарии и примечания

673

В м есто случайной величины х — числа белых шаров в первом сосуде
после г перекладываний — рассм атр ивается линейная функция этой
случайной величины (нормированное уклонение, по современной терми
нологии)
х — пр

(J-

у
или
г

пропорциональная

1 \-> оо,
[/1
---- 1------I
\ п

п г

р.

когда п - >

2рдпп1
п -ь Hj

величина

/ = х — пр.

При

условии,

что

оо, nx-> оо, п оказы вается, что моменты р.

/

приближаются
г (л~~*~п~) “

к
“

моментам

нормального

закона

распределения.

При

const* моменты р по мере роста г, п, rij приближаются

ж моментам „обобщ енного нормального закона*4 с пертурбационным
множителем 1 ч е ~ 2р фх (pi) -н Ь 2 е—4р Ф2 ( р ) - ь . . . > разложенным в ряд
по полиномам Чебышева — Эрмита
(pi), Ф2 (р*),..«
О днако, если только „начальное** распределение х (до переклады
ваний) было нормальным, непосредственн ое суммирование ряда показы 
вает, что и в этом случае предельный закон "pi будет нормальным
с плотностью
([л — а е “ - 2Р )'-

] +1е-<?

1
Vk yJl-t-le-W 6

центр ае“ 2Р и стандарт VT ч -/ е- ^ которой зависят от р.
4
(стр . 560). Следует обратить внимание читателей на один весьма
простой частный случай перекладывания шаров, приведенный в книге
С . Н . Бернштейна „Теория вероятн остей4* (изд. 4-е, стр. 127— 130), где
^предположен известны м состав обоих сосудов до перекладываний.
О. В . С а р м а н о в .

К статье „0 некоторых предельных формулах
исчисления вероятностей44
Статья
опубликована в 1917 г.
феерия V I, т. X I, № 3, стр. 177— 186).

в

„И звести ях Академии Наук*4

1 (стр . 576). Вывод развернутого выражения вероятности Р ^ Ьп можно
найти, например, в книге С .
*(изд. 4 -е , 1946, стр. 74).
43 А. А. Марков. Избр. труды

Н.

Бернштейна

„Теория вероятностей*4

Комментарии и примечания

674

2
(стр . 578). Мы можем найти наивероятнейшее (или наименее
вероятное) значение т , заменив целочисленные переменные т на непре
рывное переменное х в равенстве

ря» *

г m+l, п __ а -#- т а
6
т -f- 1

1 т,п

b

п — тп
__^
— тп— 1) а

-b- ( п

'

Полученное относительно х уравнение первой степени имеет корень
__(а — а ) п — ( Ь — а)
(а — а) -ь (fc — а) ’
если х целое, оно равно т , если х дробное, т
чем на 1 .
И з приведенного выражения очевидно, что

Д™

х __
”

~п

(а

отличается от х меньше

а — а
__
а —а
— а)
(Ь — а)
а -ь Ь — 2а

*

причем если (а — а) (Ь — а) ]> 0, то указанное предельное выражение
есть правильная дробь. В этом случае наивероятнейш ее (или наименее
вероятное) значение т лежит внутри ряда 0, 1, 2 , . . . , п и поскольку
|т — х\ < 1
lim — = lim — •
М->00 п
и-»оо п
3

(стр. 578). В том, что
м. о. т __
а
п
а -ь-Ь

при всех п можно убедиться, например, следующим образом. О бозначим
через х]с число появлений белого шара при fc-м вынимании; лг&= 0 или
1 с вероятностями 1 — ри и р ъ , где рк — вероятность появления белого
шара при к -м вынимании.
и

™— 2 хк>
к=1
поэтому

п
м. о. т =

2
fr=l

М . О . Х]с ==■

п
2

»= г

р»:

Комментарии и примечания

675

а
Pi = --------j- по условию ; Р 2 = Р ъ что легко проверить непосредственн о;
если доказано, что
Рк—1 =

Pfc—2 —

• • • — Р2 — Pi»

то легко доказать по индукции, что
=

P i-

И так, все
г* = р
следовательно,
а
м. о. m = n ------- г - ,
т. е.
м. о. т _____ а
п
а + 6
при всех п.
4 (стр. 578). См. наст, сборник, стр. 339.
5 (стр . 583). Упомянутый в этой фразе „ ...в ы в о д , относящийся
к вероятностям a posteriori**, можно найти, например, в добавлении
четвертом книги С . Н . Бернштейна „Теория вероятностей** (и зд. 4-е ,
1946, стр. 458— 461).
6 (стр . 584). Следует рекомендовать вниманию читателям добавле
ние третьей книги С . Н» Бернштейна „Теория вероятностей** (и зд . 4 -е ,
1946, стр. 448— 457), где подробно и сследован а схема А. А . М аркова при
помощи дифференциального уравнения, которому должно удовлетворить
предельное выражение

/ а. Ь
а. Ь \
п ( Р т + 1 , п — Р т , п ) ПР И П - » о о .

7
(стр. 585). Обобщение задачи А . А . Маркова приведено в книге
С. Н . Бернштейна „Теория вероятностей** (изд. 4-е, стр. 135— 139).
Обобщение состоит в том, что после каждого вынимания шара из урны
в нее добавляется R шаров р а з н о г о цвета.
О. В . С а р м а н о в •

43*

676

Комментарии и примечания
К статье „Обобщение задачи о последовательном
обмене шаров"

Опубликована в 1918 г. в „И звести ях Российской Академии Н аук"
(серия V I), т. X II, № 5, стр. 261—266.
1 (стр. 590). Приводим вы вод этого уравнения для т = 2.
Событие, состоящ ее в том, что за п *+-1 перекладывание из первого
сосуда было вынуто ос2 белых ш аров, а из второго ос2 белых шаров
(вероятн ость этого события

^ ), может произойти в одном из следую 

щих четырех не совместимых случ аев.
1) З а п перекладываний из первого сосуда вынуто а2 белых шаров,
и з второго а2 белых шаров (вероятн ость этого Р
вии в п + 1-м перекладывании из первого
шар ^вероятность этого

S] — (<*1 —

+ <*2) 1

1) и
Ч
(«2' -ос2 . •а2>^

шар ^вероятность этого

Ла) и при этом у сл о 

сосуда

был вынут черный

из второго — тоже черный

s2

Вероятность первого случая
Р яь «а i l l

•а г -ь а2 — а2

s2 —

а2

Ч

-ь а2 — а2 ^

s2

2) З а п перекладываний из первого сосуда вынуто а 2 — 1 белых
ш аров, а из второго а2 — 1 белых ш аров, при этом в п -+ -1 -м перекла
дывании нз обоих сосудов вынут белый шар. Вероятность второго
случая равна
рху~

1 , а2—1 flj

—

М

<*1

а2

0^2

«1

—

а2 "*"а1

.

s2

3) З а п перекладываний из первого сосуда вынуто а2 — 1 белых шаров
и а2 — из второго, при этом в п-+ -1-м перекладывании нз первого сосуда
вынут белый, а из второго — черный шар. Вероятность третьего случая
равна

раi—1, «1

«1*

- ос2 нн 1 -4- ос2

s2 — п2 ~+- а2 — ot2 + 1

si

s2

4)
3 a n перекладываний из первого сосуда вынуто а 2 белых шаров
и a2 - r l из второго, при этом в n - l - l -м перекладывании из первого
сосуда вынут черный шар, а из второго белый. Вероятность четвертого
случая равна

ра и а2— 1 s 1 — 02-4- а2 ~ а2 -f-JL

а2 — а2

1 — а2 ^

Комментарии и примечания
Сумма этих четырех вероятностей равна Р

677
если

это, равенство

умножить на
s2, мы и получим уравнение, приведенное А . А. М арко
вым (для случая m = 2).
2 (стр. 590). х\, х 2 , . . . , *ж есть числа белых шаров в первом , вто
ром,
в m-м сосуде после п перекладываний, их сумма неизменно
равна общему числу белых шаров
Я] -+- а 2 -+- . . . -4- а п*

Если бы все шары сложить в один сосуд, то величина
р — gl

g2

S1 s2

Q»»

••■"+* sm

дала бы нам вероятность вынуть из этого сосуда белый шар.
3
(стр. 591). Д ля примера приведем вы вод первого из этих уравне
ний. .
Введем следующие обозначения:
сосуде после
из
хт

первого

— число белых шаров в первом

п перекладываний; лг^4"1^ — число белых шаров, вынутых
сосуда

при

п •+* 1-м

перекладывании

= 0

или

— т0 же Для т -го сосуда.

*< и+1> = j*f> - 4 M+1>-f- х%+1\
так как шары, вынутые из m-го сосуд а, перекладываются в первы й;
м. о. x f +1*>= u . о. Х ^ — м. о. x f +1) + u, о. х% + 1\
ио по определению
М. О . * < П +1> = ( * , ) „ + ! ,

(»г+1)
м. о. x i
•

М. О.

м. о. Х р

Ч

=

(**).■
ч

-аналогично
м. о.

x(w+l)

(хт)п

следовательн о,
(*l)«
U'Oa+i — (*l)i»---------

S1

{Хщ)п
Sm

1)'.

Комментарии и примечания

618
или окончательно
$1

s*n ( * i W i = sm ($i — 1) ( * i ) w

{x m)n.

4
(бтр. 591). Предельные значения (л:»)оо 1 = 1, 2 , . . . , m можно найти
т а к : заменить (*«•)», (х г* ) » + 1 в вышеприведенной системе на (x i) оо и решить
полученную систему совместно с соотношением
(*i)oo + ( * 2)00

С ^)оо —■cii + Оо

О. В . С а р м а н о в .

БИБЛИОГРАФИЯ
В настоящую библиографию вошли сведения о трудах академика
А . А. М аркова, опубликованных в печати, со времени появления первой
работы Андрея А ндреевича, напечатанной в 1879 г ., до выхода в 1948jj\
тома его избранных сочинений „Избранные труды по теории непрерыв
ных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля4*.
Библиографические описания расположены в предлагаемом указав хронологическом порядке по годам опубликования работ А . А. Мар
кова и в алфавите заглавий в пределе года. При этом отзы вы и
некрологи, принадлежащие перу А . А . Маркова, помещены не в об
щем алфавите каждого года, а в конце его. Д алее в библиографии
приведен алфавитный список литографированных курсов лекций, читан
ных Андреем А ндреевичем, литература о его жизни и деятель
ности и, наконец, сокращенные обозначения названий журналов, при
нятые в тексте библиографии и полные их названия.
У к азател ь подготовлен в итоге просмотра книг и журналов Библио
теки Академии Наук С С С Р , Государственной Публичной Библиотеки
им. М. Е. С алты кова-Щ едрина, Научной Библиотеки Ленинградского
Государствен ного университета им. А , А . Ж данова и каталогов Библио
теки М атематического института Академии Наук С С С Р в М оскве.
Библиография составлена сотрудником Библиографического отдела
Библиотеки Академии Наук С С С Р В . П. А лексеевой под редакцией
К . И . Ш афрановского.

I. Труды А. А. Маркова, опубликованные в печати
Научные

труды

1879
1. Sur les form es quadratiques binaires ind efinies. — Mathem. Annaleir,
L p z., B d. 15, 1879. S S . 381—406.

680

Библиография трудов А. А. Маркова
Р еф .: 1) N e t t о. — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d . M athem ., B d . 1Г
(1879), B r l., 1881, S . 147; 2) F . M e y e r . — Ja h rb . ub. d. F o rts c h rd. M athem ., Bd. 12 (1880), B r l., 1882, S S . 143— 144.
C m . 1880 r., № 3, 5.

1880
2. О Бернуллиевом вопросе.— Речи и протоколы V I-го С ъ езд а русских
естествоиспы тателей и врачей в С.-П етербурге с 20-го по 30-е декабря
1879 г. СПб. 1880. Стр. 188— 189.
3. О бинарных квадратичных формах положительного определителяРассуждение А . М аркова. СП б. 1880. V I, 48, 1 стр.
То же. — У спехи матем. наук, М.— Л ., т. 3 , 1948, вып. 5 (27)*
стр. 7— 51 с и л л ., 1 л. портр. Вступит, статья Б. Н. Делоне (стр . 3— 5).
М агистерская диссертация; изложение содержания диссертации
с комментариями см. в кн .: Б . Н . Д е л о н е . П етербургская школа,
теории чисел. М.— Л . 1947. Стр. 146— 193 с фиг.
См. также 1879 г ., № 1.
t
п
Разложение J е —*г в непрерывную дробь . — Речи и протоколы
V I -го С ъезда русских естествоиспы тателей и врачей в
с 20-го по 30-е декабря 1879 г. СПб. 1880. Стр. 211.

С .-П етербурге

5.
Sur les form es quadratiques binaires indefinies. (Second m em oire). —
M athem . Annalen, Lpz., B d. 17, 1880, S S . 379— 3 9 9 .
Р еф .: 1) N e 11 о . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d . 11
(1879), B r l., 1881, S . 147; 2) F . M e y e r . — Ja h r b . iib. d. F o rtsc h r.
d. M athem ., Bd. 12 (1880), B r l., 1882, S S . 1 4 3 - 1 4 4 ; 3) B u ll. d. s c i.
mathem., P aris, 2-em e serie , t* 7, 1883, 2-de p artie, pp. 236— 237.
C m . 1879 г ., № 1 и 1880 г ., № 3.
1882
6.
Sur une question de Jean B ernoulli. — Mathem. Annalen, L pz.,
B d . 19, 1882, S S . 27— 36.
Р еф .: 1) F . M u l l e r . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 13 (1881), B r l., 1883, S . 313; 2) A . H. — B u ll. d. s c i. m athem .,
P a ris, 2-em e serie, t. 8, 1884, 2-de p artie, p. 124.
1883
7.
Д оказательство трансцендентности чисел e и тс, (Н евозможность
квадратуры круга). По статьям Эрмита и Линдеманна. Обработал
А . М арков. СП б. 1883. 30 стр.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h r b . iib. d . F o rtsch r. d. M athem-,
Bd. 15 (1883), B r l., 1886, S . 370.

Библиография трудов А. А. Маркова

68 Г

1884
8. Д оказател ьство некоторых неравенств П. Л . Чебышева. — Сообщ .
и проток, з а с е д . Матем. общ. при Х арьк. унив. 1883 г ., II, 1884,
стр. 105— 114, 1 л. табл.
То ж е. О тд. оттиск. Х арьков. 1884. 10 стр ., 1 л. табл.
D em onstration de certain es inegalites de M. T ch eb y ch ef. — M athem .
Annalen, Lpz., B d. 24, 1884, S S . 172— 180, ill.
To же. О тд. оттиск. Б . м. и г. 172— 180 стр.
То же, на русск. я з . — В кн .: А . А . М а р к о в . И збранные труды
по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее укло
няющихся от нуля. М.— Л . 1948. Стр. 15—24 с 2 фиг.; примечания
Н. И. А хи езера (стр . 377—378).
Р еф .: 1) A. W a s s i 1 i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 17 (1885), B r l., 1888, S S . 168— 171; 2) H о p p e. - Ja h rb . ub.
d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 16 (1884), B r l., 1887, S S . 236— 237;
3) A x, H . — B ull. d. s c i. mathem., P aris, 2-em e serie, t. 11, 1887,
2-de partie, p. 7.
9. Записка магистра математики А . Маркова (занимающ его кафедру
Теории вероятностей в С .-П етербургском университете) о расчете
вероятных оборотов эмеритальной кассы судебного ведом ства. СП б.
1884. 13 стр. (Напечатано по распоряжению
М инистерства, ю сти
ции ).
10. О некоторых
приложениях алгебраических
непрерывных
дробей.
Рассуж дение А . М аркова.
СП б. 1884.
[2],
И, 131 стр,
с фиг.
Д окторская диссертация.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 17 (1885), B r l., 1888, S S . 168— 171.
11. Определение наибольшего и наименьшего значения некоторой
величины. — Сообщ. и проток, за се д . Матем. общ. при Харьк. унив.
1883 г ., II, 1884, стр. 95— 104.
То же. О тд. оттиск. Харьков. 1884. 10 стр.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. Mathem'.,
B d . 17 (1885), B r l., 1888, S S . 168— 171.
12. О пределение некоторой функции по условию наименее откло
няться от нуля. — Сообщ. и проток, за се д . Матем. общ. при Харьк. унив.
1884 г ., I, 1884, стр. 83— 92.
То же. О тд. оттиск. Харьков. 1884. 10 стр.
Реф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 17 (1885), B r l., 1888, S . 369.

М2

Библиография Трудов А. А. Маркова
1885

13. Д оказательство сходимости
многих непрерывных дробей. —
Сообщ . и проток, засед* Матем. общ. при
Харьк. уиив. 1885 г .,
1 , 1885, стр. 29— 33.
То же. О тд. оттиск. Х арьков. 1885. 5 стр.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 17 (1885), B r l., 1888, S . 171.
14. S u r la methode de Gauss pour Ie calcu l approche des integra
t e s . — M athem. A nnalen, L pz., B d. 25, 1885, S S . 427— 432.
Р еф .: H o p p e . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d . 17
(1885), B r l., 1888, S . 275.

1886
15. О
распределении
корней
некоторых
уравнений. — Сообщ .
и проток, засед . Матем. общ. при
Харьк. унив. 1885 г., II, 1886,
-с т р . 89— 98.
То же. О тд. оттиск. Х ар ьков. 1885. 10 стр.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 18 (1886), B r l., 1889, S . 161.
Cm.
17.
16. E x tra it d’une le ttre ad ressee a M. H erm ite. [О предельных вели
чинах интегралов]. — A nn. sci. de P E co Ie normale super., P aris, ser. 3,
t. 3, 1886, pp. 81— 88.
To же, перевод на русск. я з . Л . И. Волковыского под загл . „Выдержка
из одного письма Эрмиту44. — В кн.: А . А . М а р к о в . И збранн ое труды
по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняю
щ ихся от нуля. М .— Л . 1948. Стр. 25—33; примечания Н . И . А хи езера
(стр . 378).
Р еф .: 1) T o e p l i t z . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 18 (1886), B r l., 1889, S S . 248— 249; 2) Bull. d. sci. m athem .,
P a ris, 2-eme serie, t, 12, 1888, 2-de p artie, p. 20.
17. Sur les racin es de certain es equations. — M athem. Annalen, Lpz.,
B d . 27, 1886, S S . 143— 150.
To же, перевод на р у сск. я з . Л . И . Волковы ского под загл . „О корнях
некоторых уравнений4*. I . — В к н .: А . А . М а р к о в . Избранные труды
по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняю
щ ихся от нуля. М.— Л . 1948. Стр. 34— 43; примечания Н. И. А хиезера
.(с т р . 378— 382).

Библиография трудов А. А. Маркова

683

Реф .: 1) N e t t о. — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 18
(1886), B r l., 1889, S . 69; 2) Bull. d. sci. m athem ., P aris, 2-em e serie,
t . 13, 1889, 2-de p artie, pp. 59— 60.
Cm. № 15.
18. Sur les racin es de certain es equations. Second e note. — Mathem.
A nnalen, Lpz., B d. 27, 1886, S S . 177— 182.
To же, перевод на русск. я з. Л . И . Волковы ского под загл . „О кор
нях некоторых уравнений". I I . — В кн.: А . А . М а р к о в . Избранные
труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее укло
няющихся от нуля. М.— Л. 1948. Стр. 44— 50; примечания Н . И . Ахиезер а (стр. 378— 382).
Реф .: 1) N e t t о . — Jah rb. ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 18
(1886), B r l., 1889, S . 69; 2) B u ll. d. sci. mathem., P a ris, 2-em e
se rie , t . 13, 1889, 2-de p artie, pp. 61— 62.
См. также № 17.
19. Sur une question de maximum et de minimum proposee par
-M. T ch eb y ch eff. — A cta m athem ., Stockholm , 9, 1886, pp. 57— 70.
Реф.: 1) T o e p l i t z . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 18 (1886), B r l., 1889, S S . 2 4 7 - 2 4 8 ; 2 ) E . G .— B u ll. d. s c i. mathem.,
P aris, 2-eme serie, t. 14, 1890, 2-de partie, p. 129.
1887

20. О дифференциальном уравнении гипергеометрического ряда. —
Сообщ. и проток, за се д . Матем. общ. при
Харьк. унив. 1886 г., II,
1887, стр. 51— 62.
То же.. Отд. оттиск. Х арьков. 1886. 12 стр.
S u r Tequation d iffe re n tie lle de la serie hypergeom etrique. (P rem iere
n o t e ) .— Mathem. Annalen, L pz., Bd. 28, 1887, S S . 586— 593.
Р еф .: 1) A- W a s s i 1 i e f f. — Jah rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 19 (1887), B rl., 1890, S S . 330—331; 2) H a m b u r g e r. - Jah rb .
ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 19 (1887), B r l., 1890, S . 330; 3) B u ll,
d. sci. m athem ., P a ris, 2-em e serie, t . 13, 1889, 2-de p a rtie , p. 82.
См. также № 21.
21. О дифференциальном уравнении гипергеометрического р я д а.
{В тор ая зам етк а). — Сообщ . и проток, засед . Матем. общ. при Х ар ьк .
унив. 1886 г ., II, 1887, стр. 95— 113.
То же. Отд. оттиск. Х арьков. 1887. 20 стр.
Sur Fequation d ifferen tielle de la serie hypergeom etrique. (Second e
n o te ). — Mathem. A nnalen., L pz., B d. 29, 1887, S S . 247—258.
Р еф .: 1) A . W a s s i 1 i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d.
M athem ., B d. 19 (1887), B r l., 1890, S S . 330— 331; 2 ) H a m b u r -

Библиография трудов А. А. Маркова

684

g е г . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r d. M athem. Bd. 19 (1887), B rl.
1890, S . 330; 3) Bull. d. sci. mathem ., P aris, 2-em e serie, t. 13,
1889, 2-de partie, pp. 86— 87.
' См. также № 20.
7888
00

22.

Table des valeurs

de P in tegrale J* e —^ d t.

S t.-P b g .

1888.

[2].

X

XXVII, [1] 98 p.
Доложено 12 января 1888 г.
Реф.: 1) A. W a s s i l i e f f . — Jah rb . iib. d. F o rtsc h r. d. M athem .,
Bd. 20 (1888), B r l., 1891, S S . 433— 434; 2) J . T. — Bull. d. sci.
m athem ., P aris, 2-em e serie, t. 12, 1888, l-e r e p artie, pp. 194— 195.
1889
23. И счисление конечных разностей. Отдел первый — второй. С П б.
1889— 1891.
О тдел первый. И нтерполирование. 1889. [4], 122 с т р .; литература
к отдельным главам.
О тдел второй. Уравнения в конечных разностях и суммирование^
1891. [4], 124 стр .; литература к отдельным главам .
Differenzenrechnung. A u to risierte deutsche Ubersetzung von Th. F rie sendorff und E . Priimm. M it einem V orw orte von R. Mehmke. Lpz. 1886.
V , [1], 194 S ., ill .; литература к отдельным главам .
Реф. и рец .: 1) A . W a s s i l i e f f . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d.
M athem ., Bd. 21 (1889), B r l., 1892, S S . 285—286; 2) A . W a s s i 
l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 23 (1891), B rl.,
1894, S . 347 ; 3) H a m b u r g e r . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d.
M athem ., Bd. 27 (1896), B r l., 1899, S . 261; 4) J . T . — B ull. d. s c i.
m athem ., P aris,
2-m e serie,
t. 21, 1897, l-e r e
p artie, pp.
137— 140;
5) L . Autonne. — Rev. gen. d. sci. pures et ap p l.,
P aris, t. 8, 1897, № 18, p. 756; 6) M onatshefte f. M athem . u .P hysik,
W ien, 8, 1897, S . 6 ; 7) G . Bohlm ann. — G o ttingisch e gelehrte A nzeigen,
B r l., B d. 1, 1898 № 7, S S . 536— 547; 8) R. F ric k e . — Z eitschr. f.
M athem. u. Physik, L pz., 1898, Bd. 43 (H itfo risch -literarisch e A btei^ung)* S S . 143— 147; 9) D. A . M urray. — Bull, of the A m er. mathem.
s o c ., L a n ca ste r.— New Jo rk 2 n d series, vol. 5, 1899, № 6, pp. 313— 316.
2-е нзд. cm . 1910 r . , № 93.
24. К вопросу о черчении карт. — Сообщ .
2 -я серия, т. 1, 1889, № 3, стр. 113— 128.

Харьк.

матем.

общ.,-

Библиография трудов А. А. Маркова

685

То же. О тд. оттиск. СПб. 1888. 16 стр.
Реф.: В о b y l e w . — Ja h rb . Ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 20
(1888), B r l., 1891, S S . 870— 871.
25. Н есколько примеров решения особого рода задач о наибольших
и наименьших ве л и ч и н а х .— Сообщ. Харьк. матем. общ ., 2-я серия, т. 1,
1 8 8 9 , № 5 и 6, стр. 250—276, 1 л. табл.
То же. Отд. оттиск. Б . м. и. г. 27 с т р ., 1 л. табл.
Реф .: 1) A. W a s s i 1 i e f f. — Ja h rb . Ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 21 (1889), B r l., 1892, S S . 267—268; 2) В о b у 1 e w. — Jah rb.
Ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d. 21 (1889), B r l., 1892, S . 383.
Об одном вопросе Д. И .
26. Su r les series

М енделеева.
2

1889. См. 1890 г., JNb 27.

-p- • (E x tra it d’ une le ttre

adressee a

M. H e rm ite ).— Com ptes rendus hebd. des seances de FA cad . des s c i.,
P a ris, t. 109, 1889, pp. 934— 935.
Реф .: 1) W e l t z i e n . — J ahr b. Ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 21 (1889), B r l., 1892, S . 249; 2) Bull. d. sci. m athem ., P aris,
2-em e serie, t. 15, 1891, 2-de p artie, p. 68.
1890
27. Об одном вопросе Д . И. М енделеева. — Зап. Акад. Н аук, СПб*,

т. 62, 1890, стр. 1— 24.
То же. О тд. издание. СПб. 1889. 24 стр.
То же. — В кн .: А . А . М а р к о в . Избранные труды по теории непре
рывных дробей и теории функций, наименее уклоняющ ихся от нуля.
М.— Л . 1948. Стр. 51— 75; примечания Н. И. А хиезера (стр. 382—383).
Доложено 24 октября 1889 г.
Реф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 22 (1890), B r l., 1893, S S . 283— 284.
28. Пример распространения способа Маклорена решать вопрос
о сходимости рядов на многократные суммы. — Дневник V I II -го С ъ езда
русских естествоиспы тателей и врачей, 1890, № 6 (3 января), стр. 2.
Реферат сообщения в заседании Секции математики и астрономии
С ъ езд а 2 января 1890 г.
29. M emoire sur la transform ation des series peu convergentes en
se rie s tre s convergentes. S t.-P b g . 1890. [2], 18 p. (M em oires de FA cad em ie des S cie n ce s de S t.-P e te rsb o u rg , V II serie, t . 37, № 9).
Доложено 13 февраля 1890 г.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 23 (1891), B r l., 1894, S S . 249— 250.

686

Библиография трудов А. А. Маркова
1891

Исчисление конечных разностей. О тдел второй. У равнения в конеч
ных разностях и суммирование. 1891. См. 1889 г., № 23,
30. S u r la th eo rie des equations d iffe re n tie lle s lin eaires. Note de
M. A ndre M arkoff, presentee par M. H erm ite. — Com ptes rendus hebd..
des seances de l’A cad. des s c i., P aris, t . 113, 1891, pp. 790—791.
Р еф .: l ) W a l l e n b e r g . — Jah rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 23 (1891), B r l., 1894, S S . 316; 2) Bull d. sci. m athem ., P a ris,
2-em e serie , t . 17, 1893, 2-de p artie, p. 86.
31. S u r la th eo rie des equations d iffe re n tie lle s lin eaires. N ote de
M. A ndre M arkoff, presentee par M. H e r m ite .— Com ptes rendus hebd.
des seances de Г A cad. des s c i., P aris, t. 113, 1891, pp. 1024— 1025.
Р еф .: W a l l e n b e r g . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 23 (1891), B r l., 1894, S . 316.
32. Sur les equations d ifferen tielles lin eaires. N ote de M. A ndre
M arkoff, presentee par M. H erm ite. — Com ptes rendus hebd. des sean ces
d e TA cad. des s c i., P aris, t. 113, 1891, pp. 685— 688.
Реф.: 1) W a 1 1 e n b e r g. — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 23 (1891), B r l., 1894, S . 316; 2) B ull. d. sci. mathem., P a ris,
2-em e serie, t . 17, 1893, 2-de p artie, pp. 85— 86.
33. Su r une classe de nombres com plexes. E x tra it d’une le ttre ad ressee a M. H erm ite. — Com ptes rendus hebd. des seances de T A cad . des
s c i., P aris, t. 112., 1891, p p . 780— 782, 1049— 1050, 1123— 1124, 1288.
Р еф .: F . M e y e r . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d . 23
(1891), B r l., 1894, S . 185.
1892
34. О целой функции, равной произведению двух гипергеометри
ческих рядов. (И звлечение из письма к К . А . А ндрееву). — Сообщ .
Харьк. матем. общ ., 2-я серия, т. 3, 1892, № 5, стр. 252— 256.
То ж е . О тд. оттиск. Харьков. Б . г. 5 стр.
Р еф .: А . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 24 (1892), B r l., 1895, S S . 408— 409.
35. Об одном линейном уравнении третьего порядка. — М атем. с б .,
М ., т. 16, 1892, вып. 2, стр. 352— 355.
То ж е. О тд. оттиск. М осква. Б . г. 4 стр.
Читано П. А . Н екрасовым в заседании Математического общ е
ства 18 февраля 1892 г.
Реф .: 1) A . W a s s i l i e f f . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 24 (1892), B r l., 1895, S . 3 13; 2) B . M l o d z i e o w s k i . - R e v .
sem estr. d. publ. m athem ., t . 2, l-e r e partie, A m sterdam , 1894, p. 106.

Библиография трудов А. А. Маркова

687

36. Sur la serie hypergeom etrique. (E x tra it de deux le ttre s adressees
a Mr. F . K le in ). — M athem. A nnalen, L pz., Bd. 40, 1892, S S . 313—316.Реф .: 1) H u r w i t z . — Ja h rb . ub. d. F o rtsc h r. d. M athem .,
B d . 24 (1892), B r l., 1895, S . 409 ; 2) J . С . К I u у v e r. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 1, l-e r e p artie , A m sterdam , 1893,,
pp. 27— 2 8 ; 3) J. D.— B ull. d. sci. m athem ., P a ris, 2-em e serie , t. 27,
1903, 2-de p a rtie , p. 63.
37. Sur la serie hypergeom etrique. N ote, p resentee par M. H e rm ite .---Com ptes rendus hebd. des seances de FA cad . des s c i., P aris, t , 114,,
1892, pp. 5 4 - 5 5 .
Реф.: 1) H u r w i t z . — Ja h rb . ub. d. F o rtsc h r. d. M athem .,
Bd. 24 (1892), B r l., 1895, S S . 409— 410; 2) B u ll. d. sci. mathem.,
P aris, 2-em e serie, t . 18, 1894, 2-de p artie, p. 72.
38. Sur les nombres en tiers dependant d ’une racin e cubique d*un
nombre entier ord in aire. (A la memoire de G . Z o lo tareff). S t.-P b g . 1892.
[2], 37 p. (M em oires de FA cadem ie des S cie n c e s de S t.-P e te rsb o u rg ,
V II serie , t . 38, № 9).
Доложено 4 декабря 1891 г.
Р еф .: 1) A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 24 (1892), B r l., 1895, S S . 1 8 2 - 1 8 3 ; 2) P . M o l e n b r o e k . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t . 2, l-e r e p artie, Am sterdam ,
1894, p. 110.
39. Д оклад Комиссии по присуждению в 1890 г. премии им. В . Я . Буняковского. [О тзы в о работах Н . Я . Сонина: 1. „Об определении максим аль
ных и минимальных свойств плоских кривы х". 1886; 2. „О приближен
ном вычислении определенных интегралов и вычислении входящ их при
этом целых функции". 1887; 3 . „О Бернуллиевых полиномах и их при
лож ениях". 1889; 4 . „О б одной формуле приведения кратных интегра
л о в ". 1889; 5. „О приведении одного кратного интеграла". 1889; 6. „О пред
ставлении логарифма и Эйлерова постоянного определенным интегралом".
1889; 7. „О прерывной функции (х ) и ее применениях". 1 8 8 9 ] .— З ап .
А кад. Наук, СПб., т. 67, 1892, стр. 16—21.
Совместно с В. Г. Имшенецким н П. А. Чебышевым.
1893
40. Д оказательство сходимости многих непрерывных дробей. — Зап.*
А кад. Наук* СПб., т. 72, 1893, стр. 8— 15.
То же. О тд. издание. СПб. 1893. 8 стр.
Доложено 3 марта 1893 г.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,.
B d . 25 (1893— 1894), B r l ., 1897, S S . 329— 330.

Библиография трудов А. А . Маркова

688
41.

О целой функции

п— A

"2
XF

и
—

п -+- А

2k

■п + 1 — А

’ ”

2
2/: —

п-

, 1-

7 )Х

А

-*• т )

и о функциях более общего характера. S t.-P b g . 1893. [2], 37 р. (Memoires de PA cadem ie des S c ie n c e s de S t.-P e te rsb o u rg , VII se rie , t . 41, № 2 ).
Доложено 4 ноября 1892 г.
Р еф .: 1) A . W a s s i I i е f f . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 25 (1893— 1894), B r I., 1897, S S . 752— 753; 2) D . A . G r a v e . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t . 5, 2-eme partie (O cto b re 1896 —
A vril 1897), A m sterdam , 1897, p. 131.

7894
42. И звлечение из письма академика А. А . Маркова к профессору
К . А . А ндрееву [по поводу посмертного издания работы В. Г. Имшенецкого „Сравнение способа проф. Н. В. Б угаева с другими приемами
разы скивания рациональных дробных решений дифференциальных урав
нений4* в Сообщениях Х арьковского математического общ ества, 2-я с е 
рия, 1893, т. 4 , № 1 и 2]. — Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я сер ия, т. 4 ,
1 8 9 4 , № 4 , стр. 146— 149.
То же. О тд. оттиск. Харьков. Б . г. 4 стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d. 25
(1893— 1894), B r l., 1897, S . 537; 2) M. T i k h о m a n d r i t z k y. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 2, l-e r e
p a rtie , A m sterdam ,
1895,
p. 137.
См. также № 44.
43. О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные
дроби. СПб. 1894. [2], 30 стр. (Приложение к 74-му тому Записок
А кад. Наук, № 2).
То ж е .— В к н .: А . А. М а р к о в . И збранные труды по теории
непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля.
М .— Л . 1948. Стр. 76— 105; примечания Н. И . А хиезера (стр. 383— 384).
То ж е, перев. на англ, я з ., под загл. „Functions gen erated by d ev e
loping power series in continued fractio n s44. — Duke mathem. ‘jo u rn ., D u r
ham , vol. 7, 1940, pp. 85— 96.
Доложено 13 октября 1893 г .'
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 25 (1893— 1894), B r l., 1897, S . 330.

Библиография трудов А. А. Маркова

689

44.
По поводу комментария профессора К . А . А ндреева [к статье
.академика В . Г . Имшенецкого о разыскании рациональных решений
нелинейных дифференциальных уравнений, помещенного в Сообщениях
Х ар ьковского математического общ ества, 2-я серия, т. 4 , 1894, № 4 ]. —
С ообщ . Харьк. матем. общ ., 2-я серия, т. 4 , 1894, № 4, стр. 175— 176.
То же. О тд. оттиск. Харьков. [1894]. 2 стр.
См. также № 42.

1895
45. О наивыгоднейших изображениях некоторой части данной по
верхности вращения на плоскости. — И зв . Акад. Н аук., С П б., V серия,
-г. 2 , 1895, № 3, стр. 1 7 7 - 1 8 7 .
То же. Отд. оттиск. СПб. 1895. 177— 187 стр.
Д оложено 11 января 1895 г.
Реф .: S i n t z o w . — Jah rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 26
(1895), B r !., 1898, S S . 772— 773.
46. О предельных величинах и н тегр ал о в.— И зв . Акад. Наук, С П б.,
"V серия, т. 2, 1895, № 3 , стр. 195—203.
То же. О тд. оттиск. СПб. 1895. 195— 203 стр.
Доложено 25 января 1895 г.
Р еф .: A . W a s s i 1 i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 26 (1895), B r l., 1898, S S . 322— 323.
47. О простых делителях чисел вида 1 -* -4 л :2. — И зв. А кад. Наук,
С П б ., V серия, т. 3, 1895, № 1, стр. 55— 58.
То же. Отд. оттиск. С П б. 1895. 55— 58 стр.
Доложено 19 апреля 1895 г.
Реф .: A. W a s s i l i e f f . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 26 (1895), B r l., 1898, S . 201.
См. также № 49.
. _

48.

„

О

псевдоэллиптических

интегралах вида

f
xdx
........................ ■. . - • —
J (х8 + с ) ^ + ()

З а п . А кад. Наук, С П б., т. 75, 1895, стр. 111— 128.
То же. О тд. издание. СПб. 1894. 18 стр.
Доложено 26 января 1894 г.
Р еф .: A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsc h r. d. M athem .,
B d. 25 (1 8 9 3 -1 8 9 4 ), B r l., 1897, S . 773.
49. D em onstration d*un theorem e de Tch ebychef. (E x tra it des papiers
laisses par Fau teur). (L e ttre ad ressee a M. H erm ite). — Com ptes rendus
hebd. des sean ces de FA cad . d es s c i., P a ris, t. 120, 1895, pp. 1032— 1034.*
44 А. А. Марков. Избр. труды

Библиография трудов А. А. Маркова

690

Д оказател ьство одной теоремы Чебышева. (Письмо к Эрмиту). —
Полное собрание сочинений П. Л . Чебышева. Т . I. Теория чисел*.
М .— Л . 1944. Стр. 283— 284.
То же. — Полное собрание сочинений П. Л . Чебышева. Т . I. Т ео р и я
чирел. [И зд . 2-е, стереотипное]. М .— Л . 1946. Стр. 283— 284.
Р еф .: 1) Р . S i m o n . — J ahr b. Gb. d. F o rtsch r. d. M athem .*
B d. 26 (1895), B r l., 1898, S S . 2 0 0 - 2 0 1 ; 2) L. van E l f r i n k h o f . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t. 4, l-e r e p a rtie , Am sterdam ,,

1896, p. 55.
С м . также № 47.
50. D eux dem onstrations de la con vergence de c ertain es fractio n s
continues. — A cta m athem ., S to ck h o lm , 19, 1895, pp. 93— 104.
To же, перевод на русск. я з. Л . И . Волковы ского под загл. „Д ва.
доказательства сходимости некоторых непрерывных дробей14. — В кн .:
А . А . М а р к о в . Избранные труды по теории непрерывных дробей
теории функций, наименее уклоняющ ихся от нуля. М .— Л . 1948С тр. 106— 119; примечания Н. И . А хи езера (стр. 384— 387).
Р еф .: 1) R. M u l l e r . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 26 (1895), B r l., 1898, S . 234; 2) J . de V r i e s . — Rev. sem estr d. publ. m athem ., t. 3, 2-em e p a rtie , A m sterdam , 1895, p. 147;;
3) J . Hadamard. — Bull. d. sci. m athem ., 2-em e s e rie , t. 22, 1898,
2-de p artie , pp. 215—216.
51. N ote sur les fractio n s continues. — И зв . Акад. Наук, С П б.,,
V серия, т. 2, 1895, № 1, стр. 9 — 13.
То же. О тд. оттиск. S t.-P b g . 1895. 9— 13 стр.
Доложено 30 ноября 1894 г.
Р еф .: 1) A . W a s s i l i e f f . — J ahr b. Gb. d. F o rtsch r. d M athem ., Bd. 26 (1895), B r l., 1898, S S . 233— 234; 2) P . M o l e n b г о e k. — R ev. sem estr. d. publ. m athem ., t. 3, 2-em e partie,,
A m sterdam , 1895, p. 146.
1896
52. Новые приложения непрерывных дробей. СПб. 1896. [2], 50 стр.
(Записки А кад. Наук по Ф изико-математическому отделению, V III сер ия*
т. 3, № 5).
Доложено 30 августа 1895 г.
Р еф .: A. W a s s i l i e f f . — J ahr b. Gb. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 27 (1896), B r l., 1899, S S . 174— 175.
См. также № 55.
53. О нулях целой функции Эрмита и функций Л ям э. (И звлечение
из письма академика А. А. М аркова к проф. А . М. Л я п у н о ву ).— Сообщ Х ар ьк. матем. общ ., 2-я серия, т. 5, 1896, № 1 и 2, стр. 74—80.

Библиография трудов А. А. Маркова

691

Т о же. О тд. оттиск. [Х ар ьк ов]. Б . г. 7 стр.
Реф .: 1)
A . W a s s i l i e f f . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d.
M athem ., B d. 27 (1896), B r l., 1899, S . 334; 2) M. T i k h o m a n d r i t z k y . — Rev. sem estr. d. publ. jn ath em ., t. 4 , 2-eme p a rtie , A m ster
dam, 1896, p. 135.
См. также № 56.
54. Об одном дифференциальном уравнении. СП б. 1896. [2 ], 17 стр.
(Запи ски А кад. Наук по Ф изико-математическому отделению, V III сер и я,
т. 3, № 10).
Доложено 10 января 1896 г.
Р еф .: 1)
A . W a s s i l i e f f . — Jah rb . ub. d. F o rtsch r. d.
M athem ., Bd.
27 (1896), B r l., 1899, S S . 256—257; 2) D . G r a v e . R ev . sem estr. d. publ. m athem ., t. 6, l-e r e p artie (1897, A vril —
O cto b re ), Am sterdam , 1898, p. 139.
D ifferenzenrechnung. 1896.

Cm.

1889

r., № 23.

55. N ouvelles applications des fractio n s continues. — M athem. Annalen,
L p z., B d. 47, 1896, S S . 579— 597.
To ж е, перевод на русск. я з. Л . И. Волковы ского под загл . „Новые
приложения непрерывных д р о б е й " .— В кн .: А . X . Марков. Избранные
труды по теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М .— Л .
1948. Стр. 120— 145; примечания Н. И . А хиезера (стр. 387— 388).
Р еф .: 1) R. M u l l e r . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 27 (1896), B r l., 1899, S S . 176— 177; 2) J . C . K l u y v e r . - R e v .
sem estr. d. publ. m athem ., t. 5, l-e r e p artie (1896, A v r il — O cto b re ),
A m sterdam , 1897, p. 32; 3) J . D r a c h .— B ull. d. sci. m athem ., P aris,
2-eme serie , t . 29, 1905. 2-de p artie, p. 97.
Cm. № 52.
56. Sur l ’equation de Lame. (E x tra it d’une le ttre adressee a M r.
K le in ). — Mathem. A nnalen, L p z., Bd. 47, 1896, S S . 598— 603.
Реф .: 1) H a m b u r g e r . — Ja h rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 27 (1896), B r l., 1899, S . 252; 2) J . C . K l u y v e r . - R e v .
sem estr. d. publ. m athem ., t . 5, l - e r e p artie (1896, A vril — O cto b re ),
Am sterdam , 1897, p. 32; 3) J . D r a c h .— B ull. d. sci. m athem ., P a ris,
2-eme serie, t. 29, 1905, 2-de p a rtie , pp. 97— 98.
См. также № 53.
1891

57.
О дифференциальном уравнении гипергеометрического ряда
с пятью параметрами. СП б. 1897. [2 ], 23 стр. (Записки А кад. Наук
по Ф изико-математическому отделению, V III сер ия, т. 5, № 5).
Доложено 9 октября 1896 г.
44 !

692

Библиография трудов А. А . Маркова
Р еф .: 1) A . W a s s i l i e f f . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d.
M athem ., B d. 28 (1897), B r l., 1900, S S . 2 8 8 - 2 8 9 ; 2) D . G r a v e . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t . 6, l-e r e p artie (1897, A vril —
O cto b re ), Am sterdam , 1898, p. 139.

1898

58.
О предельных величинах интегралов в связи с интерполирова
нием. СП б. 1898. [2], 69 стр. (Записки А кад. Наук по Ф изико-м атем а
тическому отделению, V III серия, т. 6, № 5),
R ech erch es sur les valeurs extrem es des integrates et sur Fin terp olat i o n . — A cta m athem ., Stockholm , 2 8 , 1904, pp. 243— 301.
To же, на русск. я з . — В кн .: А . А . М а р к о в . Избранные труды
по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняю
щ ихся от нуля. М .— Л . 1948. Стр. 146— 230; примечания Н . И . А хиезера
(с т р . 388— 389).
Доложено 15 января 1897 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 29 (1898), B r l., 1900, S S . 252—253; 2) D . A . G r a v e . — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 6, 2-em e p artie (O cto b re 1897 —
A vril 1898), A m sterdam , 1898, p. 154; 3) S t S c k e l . — Jah rb . ub.
d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 35 (1904), B r l., 1906, S S . 372— 373;
4) J . de V r i e s . — Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t. 13, l-e r e
p artie (1904, A vril— O c to b r e ), Am sterdam , 1905, p. 156; 5) P . Drouin. — B u ll. d. sci. m athem ., P aris, 2-eme serie, t . 41, 1917, 2-de
p artie, pp. 67— 69.
d m e-a'“
: 0 . — И зв . Акад. Наук,
59. Sur les racin es de ^equation ex~ dxm
С П б ., V серия, т. 9, 1898, № 5, стр. 435— 446.
То же, перевод на русск. я з. Л . И. В олковы ского, под загл .

dmе—*2

-„О корнях уравнения ех2— д~ИГ~

— В кн .: А . А . М а р к о в . И збран

ны е труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее
уклоняющихся от нуля. М .— Л . 1948.
С тр. 231— 243; примечания
Н . И . А хи езера (стр. 389).
Доложено 4 ноября 1898 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 29 (1898), B r l., 1900, S . 188; 2) N. N. S a 11 у k о w. — R ev .
sem estr. d. publ. m athem ., t . 9, l-e r e partie (1900, A vril — O c to b re ),
A m sterdam , 1901, p. 150.

Библиография трудов А . А . Маркова

693

1899
60. Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. (И звл е
чение из писем А . А. Маркова к А . В . В а с и л ь е в у ).— И эв. Ф и з.-м атем .
общ. при К азан ск . ун и в., 2-я серия, т. 8, 1899, № 3, стр. 110— 128.
То же. Отд. оттиск. Казань» 1898. 19 стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. ub. d. Fo rtsch r. d. M athem .,
B d. 29 (1898), B r l., 1900, S . 188; 2) A . W a s s i 1 i e f. — R ev .
sem estr. d. publ. m athem ., t. 8, 2-em e p artie (O cto b re 1899 —
A vril 1900), A m sterdam , 1900, p. 141.
Cm. № 63.
61. Записка академика А . А . Маркова по вопросам, рассм отрен
ным IV поверочною эмеритальною комиссиею. [Эмеритальная касса
военно-сухопутного ведо м ства]. Б . м. [1899]. 8 стр.
62. О доказательстве С ильвестера трансцендентности числа тг.— П ро
токолы С.-П етербургского математического общ ества 1890— 1899. С П б.
1899. Стр. 9 - 1 0 .
Содержание сообщения в заседании О бщ ества 15 февраля 1891.
Р еф .: Sintzow. — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 30
(1899), B r l., 1901, S . 386.
63. О твет [на заметку П. А . Н екрасова „По поводу статьи А . А. Мар
кова «Закон больших чисел и способ наименьших квадратов» и моего
сообщения, доложенного Математической секции Х -го С ъ езд а русских
естествоиспы тателей и врачей в К и еве4*, помещенную в И звести ях
Ф изико-м атематического общ ества при К азан ском университете, 2-я
сер ия, 1899, т. 9, № 1]. — И зв. Ф и з.-м атем . общ. при К азан ск . унив.,
2-я серия, т. 9, 1899, № 3 , .стр . 41— 43.
То ж е. О тд. оттиск. К азан ь. 1899. 3 стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 30 (1899), B r l ., 1901, S . 215; 2) A . T . P c h e b o r s k y . - R e v .
sem estr. d. publ. m athem ., t . 11, l-e r e p artie (1902, A vril — O cto b re),
Am sterdam , 1903, p. 142.
Cm. № 60.
64. Приложение непрерывных дробей к вычислению вероятностей. —
И зв . Ф и з.-м атем . общ. при К азан ск . унив., 2-я сер и я, т. 9 , 1899, № 2,
стр. 29— 34.
То же. О тд. оттиск. [К азан ь]. 1899. 6 стр.
Реф .: 1) S i n t z o w . — Ja h rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 30 (1899), B r l., 1901, S . 215; 2) A . W a s s i 1 i e f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t . 8, 2-em e partie (O cto b re 1899—
A vril 1900), Amsterdam , 1900, p. 142.

694

Библиографий, трудов А. А. Маркова

65. Сочинения П. Л . Чебышева, изданные под ред. А. А.
к о в а и Н. Я. С о н и н а . СПб. 1899— 1907.
Т . 1. 1899. V I, 714 стр ., 1 л. портр.
П редисловие А . Маркова и Н. Сонина (стр. III— IV ).
Т . 2. 1907. IV , X X , 736 стр. с илл., 2 л. портр.

М а р-

O euvres de Р . L. T ch ebychef, publiees par les soins de MM. A . M ar
ko ff et N. Sonin, membres ordinaires de FA cadem ie des S cie n c e s.
S t.-P b g . 1899— 1907.
T . I. 1899. V I, 714 p ., 1 portr.
A . M arkoff, N. Sonin. P re fa ce (pp. Ill— IV ).
T . II. 1907. IV , X X , 736 p ., ill., 2 p o itr.
Реф. и р ец .: 1) G . M a n n o u r y . — Rev. sem estr. d. pub!,
m athem ., t . 9, 2-eme partie (O cto bre 1900—A vril 1901), Am sterdam ,
1901, p. 155; 2) G. D. — Bull. d. s c i. mathem., P aris, 2-m e serie,
t . 24, 1899, 1-ere p artie, pp. 28—29; 3) B oll, di bibliogr. e storia d .
s ci. m atem ., Palermo — T orino, 1900, pp. 47— 48.
1900
66. И сследование о предельных
величинах
интегралов. СП б.
1900. [2], 34 стр. (Записки А кад. Наук по Ф изико-математическому
отделению , V III серия, т. 10, № 9).
Доложено 19 апреля 1900 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem.,
B d . 31 (1900), B rI., 1902, S S . 313— 314; 2) D . M. S i n t s o w . —
Rev. sem estr. d. pub!, m athem ., t. 10, 2-eme partie (O ctobre 1901—
A vril 1902), Am sterdam , 1902, p. 153.
67. Исчисление вероятностей. С П б. 1900. [2], 279, [1] стр.
Реф. и рец .: S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 31 (1900), B r l., 1902, S S . 228— 230; 2) L ’Enseignem ent m athem.,
P a ris — Geneve, III, 1900, pp. 299— 230.
2 - е изд. c m . 1908 r ., № 86.
3 - е изд. c m . 1913 r . , № 102.
4 - е изд. c m . 1924 r . , № 126.
68. О вероятности a p o s te r io r i.— Сообщ . Х арьк. матем. общ .,
2 -я серия, т. 7, 1900, № 1, стр. 23— 25.
То же. О тд. оттиск. Харьков. [1900]. 3, [1] стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem.,
Bd. 31 (1900), B rl., 1902, S . 228; 2) M. A . T i k h o m a n d r i t z k y . —
Rev. sem estr. d. publ. mathem ., t. 9, 2-eme partie (O cto bre 1900—
A vril 1901), Amsterdam , 1901, p. 142.
Cm. 1914 r. , № 107.

Библиография трудов А. А. Маркова

695

1901
69. О неопределенных тройничных квадратичных ф ор м ах.— И зв .
А кад. Наук, С П б ., V серия, т. 14, 1901, № 5, стр. 509— 523.
То же. Отд. оттиск. СПб. 1901. 509— 523 стр.
Доложено 25 апреля 1901 г.
Р еф .: 1) S i n t z о w. — Jah rb. iib. d. F o rtsc h r. d. M athem .,
P d . 32 (1901), B r I., 1903, S . 212; 2) D . M. S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 10, 2-em e partie (O cto bre 1901—
A vril 1902), A m sterdam , 1902, p. 152.
C m . 1903 r . , № 78.
70. Об одном механизме Ч ебы ш ева.— И зв. А кад. Н аук, С П б .,
V серия, т. 14, 1901, № 2, стр. 201—214 с илл.
То же. О тд. оттиск. [С П б. 1901]. 201— 214 стр. с черт.
Доложено 17 января 1901 г.
Р еф .: D . М. S i n t s о f . — Rev. sem estr. d. publ. m athem .,
t . 10, 2-em e partie (O cto b re 1901— A vril 1902), Amsterdam * 1902,
p. 152.
71. Теория сравнений. Сочинение П. Чебышева. И зд . 3-е. [И здатель
А . М арков]. СПб. 1901. X V I, 279 стр.
А. Марков. От и здателя (стр. III).
72. [Мнение орд. проф. Н . Е . В веден ского, проф. А . А . М аркова,
за ел . проф. Ф . Ф . Петруш евского и других о порядке назначения на
открывающ иеся кафедры С .-П етербургского университета. СПб. 1901].
4 0 стр. (Н а правах рукописи. Печатано с разреш ения ректора С .-П етер
бургского университета).
1902
73. О неопределенных квадратичных формах с четырьмя перемен
н ы м и .— И зв . А кад. Наук, С П б ., V сер и я, т. 16, 1902, № 3, стр. 9 7 — 108.
То ж е. О тд. оттиск. [С П б . 1902]. 97— 108 стр.
Д оложено 29 января 1902 г.
Реф .: D . М. S i n t s o f . — Rev. sem estr. d. publ. mathem .,
t. 11, l-e r e p artie (1902, A vril — O cto b re), Am sterdam , 1903, p. 153.
74. О трех неопределенных тройничных квадратичных формах. —
И з в . А кад. Наук, С П б ., V серия, т. 17, 1902, № 2 , стр. 109— 119.
То же. Отд. оттиск. [С П б. 1902]. 109— 119 стр.
Доложено 24 апреля 1902 г.
Реф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 33 (1902), B r l., 1904, S S . 223— 224; 2) D . M. S i n t s o f . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t . 12, l-e r e partie (1903, A vril —
O cto b re), Am sterdam , 1904, p. 157.

696

Библиография трудов А. А. Маркова
1903

75. К вопросу о разорении игроков. (И з письма к проф. А . В а
с и л ь е в у ).— И зв . Ф из.-мате,м. общ. при К азан ск . унив., 2-я серия, т. 13,
1903, № 1, стр. 3 8 —45.
То же. О тд. оттиск. [К азан ь]. 1903. 8 стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .y
Bd. 35 (1904), B r l., 1906, S S . 236— 237; 2) A . P. P c h e b о r s k y. —
Rev. sem estr. d. pub!, mathem ., t. 12, l-e r e partie (1903 A vril —
O cto bre), Amsterdam , 1904, p. 152.
76. Об одном предложении алгебры, которое установлено Чебыше
в ы м .— И зв . А кад. Наук, С П б ., V серия, т. 18, 1903, № 1, стр. 1— 1 3 .
То же. О тд. оттиск. [С П б. 1903]. 13 стр.
Д олож ено 8 января 1903 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. Fo rtsch r. d. M athem .,
Bd. 34 (1903), B r l., 1905, S . 101; 2) D . M. S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 12, l-e r e partie (1903 A vril — O cto b re),
Amsterdam , 1904, p. 157.
77. Прения между академиками Ф . А . Бредихиным, О. А . Баклундом, Б . Б . Голицыным, А . М. Ляпуновым и А . А . Марковым, происхо
дившие в заседан и ях 1-го отделения Академии Наук в начале 1903 г.
[в связи с избранием Б . Б . Голицына в ординарные академики]. С П б.
1903. 50 стр.
78. Sur les form es
quadratiques ternaires
in d e fin ie s.— Mathem.
A nnalen, L pz., B d. 56, 1903, S S . 233—251.
To же. О тд. оттиск. [L p z .]. Б . г. 233— 251 стр.
Р еф .: 1) Landau. — Jah rb. ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 33
(1902), B r l., 1904, S . 223; 2) J . С . К l u y v e r . — R ev. sem estr.
d. publ. m athem., t. 11, l-e r e partie (1902, Avril — O cto b re), A m ster
dam, 1903, p. 43.
См. также 1901 г ., № 69.
1904
79. О предельных величинах отношения двух и н тегр ало в.— И зв.
А кад. Наук, С П б ., V сер ия, т. 21, 1904, № 1, стр. 23— 32 с 1 илл-.
То же. О тд. оттиск. [С П б. 1904]. 23— 32 стр.
Доложено 1 сентября 1904 г .
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 35 (1904), B r l., 1906, S S . 3 1 7 - 3 1 8 ; 2) D . M. S i n t s o f . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t. 14, 2-em e partie (O cto b re 1905—
A vril 1906), Amsterdam , 1906, p. 128.
R echerches sur les valeurs extrem es des integrales et sur T in terp o latio n . 1904. C m . 1898 r ., № 5 8 .

Библиография трудов А. А. Маркова

697

1905
80. Tch ebych eP s theory of congruences. — B ull, of the A m er. mathem.
so c ., L ancaster — New Y o rk , 2nd series, vol. 11, 1905, № 6, p. 337.
Р еф .: 1) L a m p e. — Jah rb . iib. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d. 3 6
(1905), B r l., 1908, S . 291; 2) D . J . К о r t e w e g. — Rev. sem estr,
d. publ. m athem ., t . 13, 2-em e partie (O cto b re 1904— A vril 1905),
Amsterdam , 1905, p. 7.
81. [О тзы в о работах Г . В . Хилля (G . W . H ill) в области небесной
м ехан и к и ].— И зв. Акад. Н аук, С П б ., V серия, т. 22, 1905, № 5, Отчет
а [2-м ] присужд. премии Ф . Ф . Ш уберта, стр. 5— 7.
Совместно с О. А . Баклундом, Н . Я . Сониным, А . М. Л япу
новым, А . А . Белопольским.
1906
82. Новый случай задачи Понселе о приближенном выражении^
квадратного корня из суммы к в а д р а т о в .— И зв. А кад. Наук, С П б .,
V сер ия, т. 24, 1906, № 1/2, стр. 65— 81.
То же. Отд. оттиск. СП б. 1906. 65— 81 стр.
Д оложено 8 февраля 1906 г.
Реф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem.,
B d . 37 (1906), B rl., 1909, S S . 202—203; 2) D . M. S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. mathem ., t. 15, l-e r e partie (1906, A vril — O ctobre)*.
Amsterdam , 1907, p. 102.
83. Распространение закона больших чисел на величины, зависящ ие
друг от д р у г а .— И зв . Ф и з.-м атем . общ. при К азан ск . ун и в., 2-я
серия, т. 15, 1906, № 4, стр. 135— 156.
То же. Отд. издание. К аза н ь. 1907. [2 ], 22 стр.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. Mathem.,.
B d . 37 (1906), B r l., 1909, S . 265; 2) G r. G r o u s i n z e f f . — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 21, 2-em e partie (O cto b re 1912—
A vril 1913), Am sterdam , 1913, pp. 115— 116.
1907
84. И сследование замечательного случая зависимых испытаний. —
И зв. А кад. Наук, С П б ., V I серия, т. 1, 1907, № 3, стр. 61—80.
Доложено 14 февраля 1907 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem.,
B d. 38 (1907), B r l., 1910, S . 274; 2) D . S i n t s о f. — Rev. sem estr.
d. publ. mathem ., t . 16, l- e r e partie (1907, A vril — O cto b re), A m ster
dam* 1908, p. 118.
С м . также 1908 г ., № 88 и 1910 г ., № 94.

698

Библиография трудов А. А. Маркова

85.
О некоторых случаях теорем о пределе математического ожида
ния и о пределе вероятн ости . — И зв. А кад. Н аук, С П б ., V I серия, т. 1,
1 9 0 7 , № 16, стр. 707— 714.
Д оложено 24 октября 1907 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. cL F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 38 (1907), B r l., 1910, S S . 274— 275; 2) D . S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t . 16, 2-em e partie (O cto b re 1907—
A vril 1908), A m sterdam , 1908, p. 120.
Распространение закона больших чисел
друг от друга. 1907. См. 1906 г ., № 83.

на величины,

зависящ ие

7908
86. И счисление вероятностей. 2-е издание. СПб. 1908. IV , 283, [1]
стр. с ч ер т.; литература к отдельным главам.
* 1 W ahrscheinlichkeitsrechnung. N ach der 2. A uflage des russischen
W erk es iibersetzt von H einr. Liebmann. Lpz. u. B rl. 1912. V II, 318 S ., ill.
Реф. и р ец .: 1) S i n t z o w . — J ahrb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 39 (1908), B r l., 1911, S S . 291—292; 2) T i m e r d i n g. — Jah rb.
ub. d.
F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 43 (1912),
H. 1, B r l.,
1914,
S S . 291—292; 3) H . Liebm ann. — Jah resb er. d. D eutsch . Mathem.
V ereinigung, Lpz,, B d. 21, 1912, 2. A b t., S . 100; 4) A . Boulanger. —
B u ll. d. sci. m athem ., P aris, ser. 2, t . 36, 1912, l-e r e p artie,
pp. 327— 328; 5) Nyt tid sskr. f. mathem ., K 0benhavn, B , t. 23, 1912f
pp. 91— 93; 6) A . C . Lunn. — Bull, o f the Am er. mathem. s o c .,
L an caster — New Y o rk , 2nd se r., vol. 19, 1913, № 10, pp. 535— 536;
7) C . S . Ja c k s o n .— The Mathem. gazette, London, vol. 7, 1913,
№ 105, p. 123; 8) B o ll, di bibliogr. e storia d. sci.m ate m ., Palerm o —
Torino, t . 15, 1913; 9) G . B o h lm an n .— A rch . d. Mathem. u. P h y s.,
Lpz. u. B r l., 3 -te R eih e, Bd. 23, 1914, 1. H eft, S S . 47— 50.
1-е изд. c m . 1900 r . , № 67.
3 - е изд. c m . 1913 r . , № 102.
4 - е изд. c m . 1924 r . , № 126.
87. О некоторых случаях теоремы о пределе вероятности. — И зв.
А кад. Наук, С П б ., VI сер ия, т. 2, 1908, № 6, стр. 483—4 9 6 .
То же. О тд. оттиск. С П б. 1908. 483— 496 стр.
Доложено 5 марта 1908 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
Bd. 39 (1908), B r l., 1911, S . 292; 2) D . S i n t s о f. — R ev. sem estr.
d. publ. m athem ., t. 16, 2-em e partie (O cto bre 1907— A vril 1908),
Am sterdam , 1908, p. 120.

Библиография трудов А. А. Маркова

699

88. Распространение предельных теорем исчисления вероятностей
на сумму величин, связанн ы х в цепь. СП б. 1908. [2 ], 29 стр. (Запи ски
А кад. Наук по Ф изико-математическому отделению, V III сер и я, т. 22,
№ 9).
Доложено 5 декабря 1907 г.
Реф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 39 (1908), B r l., 1911, S . 292; 2) D . M. S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 17, l-e r e partie (1908, A vril — O cto b re),
A m steidam , 1 9 0 9 , p . 1 0 5 .
89. F. Ф. Вороной. 1868— 1908. Н екролог. — И зв . А кад, Н аук, С П б .,
М\ серия, т. 2, 1908, № 17, стр. 1 2 4 7 -1 2 4 8 .
Доложено 12 ноября 1908 г.
Р еф .:
S i n t z o w . — J ahrb.
iib. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 39 (1908), B r l., 1911, S . 42.
90. [З апи ска об ученых трудах проф. Г . Ф . Вороного]. — И зв .
А к а д . Н аук, С П б ., V I серия, т. 2, 1908, № 1, стр. 11.

1909
91. Table des form es quadratiques ternaires indefinies ne representant
pas zero, pour tous les determ inants positifs D ^ 50. С П б. 1909. [2 ], 22 стр.
(Записки А кад. Наук по Ф изико-математическому отделению, V III серия,
•т. 23, № 7).
Доложено 26 ноября 1908 г.
Р еф .: D . М. S i n t s o f . — Rev. sem estr. d. publ. mathem .,
t. 18, 2-em e partie (O cto b re 1909— A vril 1910), A m sterdam , 1910,
p. 122.

1910
92. И сследование общего случая испытаний, связанн ы х в цепь.
С П б . 1910. [2 ], 33 стр. (Записки А кад. Наук по Ф изико-математическому
-отделению, V III серия, т. 25, № 3).
Д олож ено 3 февраля 1910 г.
Реф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. iib. d. F o rtsc h r. d. Mathem*,
B d. 41 (1910), B r l., 1913, S S . 261— 262; 2) P . S o m o f f . — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 19, l-e r e partie (1910, A v r il — O cto b re),
A m sterdam , 1911, p. 107.
93. И счисление конечных разностей . 2-е издание, пересмотренное
ж дополненное автором. О д есса. 1910. [Н а обложке: 1911]. V I, [2 ],
.274 с т р .; литература к отдельным главам.

700

Библиография трудов А. А. Маркова

Числеиня сюнченних р!зниць. Переклад з другого р осш ського
видання Л . М. Матл1са. Харш в — Khib. О Н ТИ . Держание науковотехш чне видавництво У крайни. 1936. 234, [1J с т р .; литература к отдель
ным главам .
Реф .: S i n t z о w. — Jah rb . ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., Bd. 41
(1910), B rI., 1913, S S . 366—367.
1-е изд. c m . 1889 r ., № 23.
94. R echerches sur un cas rem arquable d’epreuves dependantes. —
A cta m athem ., Stockholm , 33, 1910, pp. 87— 104.
Р еф .: 1) L a m p e. — Jah rb. ub. d. F o rtsch r. d. M athem ., B d . 40
(1909), B rI., 1912, S . 282; 2) J . de V r i e s . — Rev. sem estr. d. publ.
m athem ., t. 18, 2-em e partie (O cto bre 1909 — A vril 1910), A m ster
dam, 1910, p. 132; 3) P . Drouin. — B u ll. d. sci. m athem ., 2-eme serie,
t. 42, 1918, 2-de p artie, p. 67.
См . также 1907 г ., № 84 и 1908 г ., № 88.
95. И справление неточности. [По поводу статьи П. А . Н екрасова
„М атематическая статистика, хозяйственное право и финансовые о б о 
роты11, напечатанной в И звести ях Р усского географического общ ества,
т. 45]. — И зв . А кад. Наук, С П б ., VI серия, т. 4, 1910, № 5, стр. 346.
Доложено 17 февраля 1910 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — Jah rb. ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 41 (1910), B r l ., 1913, S . 271; 2) D . M. S i n t s о f. — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 18, 2-em e partie (O cto b re 1909—
A vril 1910), A m sterdam , 1910, p. 122*
С м . также 1899 г ., № 63, 64.
1911
96. О связанн ы х величина*, не образующих настоящей цепи. —
И зв . А кад. Н аук, С П б ., VI серия, т. 5, 1911, № 2, стр. 113— 126.
Доложено 19 января 1911 г.
Р еф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d. 42 (1911), H. 1, B r l., 1913, S . 251; 2) P . S o m o f f . — Rev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 19, 2-em e partie (O cto bre 1910—
A vril 1911), A m sterdam , 1911, p. 114.
97. Об одном случае испытаний, связанны х в сложную цепь. —
И зв. А кад. Наук, С П б ., VI серия, т. 5, 1911, № 3, стр. 171— 186.
Доложено 19 января 1911 г.
Р еф .: 1) S i n t z о w . — Jah rb. ub. d. F o rtsch r. d. M athem .,
B d . 42 (1 911), H . 1, B r l., 1913, S S . 251— 252; 2) P . S o m o f f . —
Rev. sem estr. d. publ. m athem ., t. 19, 2-em e partie (O cto b re 1910—
A vril 1911), A m sterdam , 1911 ^ p. 114.

Библиография трудов А. А. Маркова

701

98. Об основных положениях исчисления вероятностей и о законе
больших чисел. — Журн. Мин. народи, пр о ев., С П б ., нов. сер ия, ч. 31,
1911, февр., отд. Критика и библиография, стр. 369 — 374.
По поводу книги А. А. Чупрова „Очерки по теории статистики“.
99. Сочинения А . Н . К оркина, изданные под редакцией проф. В . А .
С теклова и акад. А. А. Маркова, при содействии проф. К . А . П о ссе,
акад. А. М. Ляпунова и проф. А . Н. К ры лова. И здание Ф и з.-м атем .
факультета С.-П етербургского
университета. Т .
I. (С
портретами
А . Н. Коркина и Е. И. З олотарева). СПб. 1911. [6 ], V , 469 стр ., 2 л.
портр.
1912
100. Об испытаниях, связанны х в цепь не наблюдаемыми событиями. —
И зв. А кад. Наук, С П б ., V I серия, т. 6, 1912, № 8, стр. 551— 572.
Доложено 11 апреля 1912 г.
Реф .: 1) S i n t z o w . — J ahr b. iib. d. F o rtsc h r. d. Mathem.
B d. 43 (1912), H. 1, B r l., 1914, S . 296; 2) P . S o m o f f . — R ev.
sem estr. d. publ. m athem ., t. 21, l-e r e partie (1912, A vril — O eto b reJ,
A m sterdam , 1913, p. 123.
101. О тповедь П. А. Н екрасову. [По поводу статьи П. А. Н екрасова
„ К основам закона больших чисел, способа наименьших квадратов и
статистики*1, помещенной в М атематическом сборнике, т. 27, вып. 4]. —
Матем. с б ., М., т. 28, 1912, вып. 2, стр. 215— 227.
То же. Отд. оттиск. М. 1911. 15 стр.
Реф.: S i n t z o w . — Jahrb. iib. d. F o rtsch r. d. M athem., Bd. 43
(1912), H. 1, B r l., 1914, S . 292.
W ahrscheinlichkeitsrechnung. 1912. C m. 1908 r ., № 86.
1913
102.
И счисление вероятностей. 3-е издание, пересмотренное и зн а 
чительно дополненное. С портретом Я кова Бернулли. СП б. 1913. [2 ],
IV , 381, [1] стр. с ч ер т., 1 л. портр. (К 200-летнему юбилею закона
б о л ьш и х чисел).
Содержание: П редисловие 3-го издания (стр . I —II), П редисло
вие 2-го издания (стр. III— IV ), Исчисление вероятностей (стр .
1-—г298), Приложение метода математических ожиданий — метода
моментов — $ выводу второй предельной теоремы исчисления

X

вероятностей

(стр.

299— 374),

Таблица

значений

(стр. 375— 381); литература к отдельным главам.

2_

j

d t

702

Библиография трудов А. А. Маркова

1-е изд. см. 1900 г., № 67.
2-е изд. см. 1908 г., JSfe 86.
4-е изд. см. 1924 г., № 126.
103. Пример статистического исследования над текстом „Евгения
Онегина*1, иллюстрирующий связь испытаний в цепь. —Изв. Акад. Наук,.
СПб., VI серия, т. 7, 1913, N° 3, стр. 153—162.
То же. Отд. оттиск. СПб. 1913. 153—162 стр.
Доложено 23 января 1913 г.
Реф.: Р. Somoff.—Rev. semestr. d. publ. mathem., t. 21,
2-eme partie (Octobre 1912—Avril 1913), Amsterdam, 1913, p. 120.
104. Demonstration du second theoreme —limite du calcul des probabilites par la methode les moments. (Supplement a la 3-me edition
russe du „Calcul des probabilites**). Avec un portrait de Jacques Ber
noulli. St.-Pbg. 1913. IV, 66 p., 1 portrait. (Bicentenaire de la loi des
grands nombres. 1713—1913).
Прил.: „Litterature** (8 назв.).
Реф. и рец.: 1) Polya. —Jahrb. lib. d. Fortschr. d. Mathem.,
Bd. 45 (1914—1915), H. 3, Brl. u. Lpz., 1922, SS. 1262—1263;
2 ) Boll, di bibliogr. e storia d. sci. matem.,*Palermo —Torino, 1915,
pp. 55—57.
См. также 1913 г., № 102 и 1924 г., № 126.
105. Предисловие. —В кн.: Часть четвертая сочинения Якова Бернулли „Ars conjenctandi.** СПб. 1913. (К 200-летнему юбилею закона боль
ших чисел). Стр. V—VI.
1914

106. Двухсотлетие закона больших чисел. —Вести, опыты, физ.
и элемент матем., Одесса, 2-й серии 1-го семестра № 3, 1914, № 603,
стр. 59—64 с портр.
То же. Отд. оттиск. Одесса. 1914. 8 стр. с портр.
Речь А. А. Маркова на торжественном собрании Академии
Наук 1 декабря 1913 г. в ознаменование 200-летия закона больших
чисел, включенная в программу заседания под названием „Очерк
развития закона больших чисел как совокупности математических
теорем**.
107. О вероятности a posteriori. (Вторая заметка).—Сообщ. Харьк*
Матем. общ., 2-я серия, т. 14, 1914, № 3, стр. 105—142То же. Отд. оттиск. Харьков. Б. г. 8 стр.
Реф.: Jahrb. йЬ. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922).
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1407.
C m . 1900 r., № 68.

Библиография трудов А . А . Маркова

703

108. О задаче Якова Бернулли.—Изв. Акад. Наук, СПб., VI серия,
т. 8, 1914, № 3, стр. 237—246.
Доложено 22 января 1914 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 49 (1923), Brl.
u. Lpz., 1927/28, S. 727; 2) P. Somoff. —Rev. semestr. d. publ.
mathem., t. 22, 2-eme partie (Octobre 1913—Avril 1914), Amster
dam, 1914, p. 112.
109. Письмо в редакцию [по поводу неправильной справки о мемуаре
Бьенемэ „Considerations а Гаррш de la decouverte de Laplace", приве
денной в заметке И. Ш. „Памяти Якова Бернулли". (Страх, обозр.,.
1914, №1, стр. 16—17)]. —Страх, обозр., Пг., 1914, № 8 (авг.), стр. 558.
1915

110. К вопросу о преподавании математики в средних учебных за
ведениях. (По поводу одного задачника). —Журн. Мин. народи, проев.,
СПб., нов. серия, ч. 56, 1915, март, стр. 126—130.
То же. Отд. оттиск. [СПб]. Б. г. 126—130 стр.
111. К вопросу о функциях, наименее уклоняющихся от нуля. —
Сообщ. Харьк. Матем. общ., 2-я серия, т. 14, 1915, № 5, стр. 198—199.
То же. Отд. оттиск. Харьков. Б. г. 2 стр.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1371.
112. О проекте П. С. Флорова и П. А. Некрасова преподавания тео
рии вероятностей в средней школе. —Журн. Мин. народи, проев., СПб.,
нов. серия, ч. 57, 1915, Май, отд. Современная летопись, стр. 26—34.
113. Об одной задаче Лапласа.—Изв. Акад. Наук, Пг., VI серия, ,
т. 9, 1915, № 2, стр. 87—104.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1915. 87—104 стр.
Доложено 7 января 1915 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
Brl. u. Lpz., 1928, S. 1404.
114. Применение способа математических ожиданийк связанным рядам
величин. —Изв. Акад. Наук, Пг., VI серия, т. 9, 1915, №14, стр. 1453—1484.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1915. 1453—1484 стр.
Доложено 16 сентября 1915 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1405.
115. Николай Яковлевич Сонин. Некролог.—Изв. Акад. Наук., Пг.,
VI серия, т. 9, 1915, № 5, стр. 369—372, 1 л. портр.
Читано 7 марта 1915 г.; прил. список сочинений акад. Н. Я. Сонина (стр. 371—372).

7 04

Библиография трудов А. А. Маркова
1916

116. О коэффициенте дисперсии. —Изв. Акад. Наук, Пг., VI серия,
т. 10, 1916, № 9, стр. 709—718.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1916. 709—718 стр.
Доложено 27 апреля 1916 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, BrI. u. Lpz., 1928, S. 1406.
См. также 1920 г., № 124.
117. О коэффициенте дисперсии для малых чисел. —Страх, обозр.,
Пг., 1916, Nq 2 (февраль), стр. 55—59.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1916. 5 стр.
118. Об одном применении статистического метода. —Изв. Акад.
Наук, Пг., VI серия, т. 10, 1916, № 4, стр. 239—242.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1916. 239—242 стр.
Доложено 17 февраля 1916 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1407.
119. Доклад Комиссии по обсуждению некоторых вопросов, касаю
щихся преподавания математики в средней школе. —Изв. Акад. Наук,
Пг., VI серия, т. 10, 1916, № 2, стр. 66—80.
Состав комиссии: А. А. Марков, А. М. Ляпунов, В. А. Стек
лов, Н. Я. Цингер, Д. К. Бобылев, А. Н. Крылов.
1917

120. О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей. —
Изв. Акад. Наук, Пг., VI серия, т. 11, 1917, №3, стр. 177—186.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1917. 177—186 стр.
Доложено 18 января 1917 г.
Реф.: Jahrb. lib. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1406.
121. Марков, Андрей Андреевич. [Автобиография]. —Материалы для
биографического словаря действительных членов Академии Наук.
Ч. 2-я. М-Я. Пг. 1917. (Акад. Наук. 1889—1914. III). Стр. 16—18.
Список трудов А. А. Маркова (стр. 16—18).
1918

122. Несколько задач исчисления вероятностей. —Изв. Акад. Наук,
Пг., VI серия, т. 12, 1918, N9 18, стр. 2101—2116.
То же. Отд. оттиск. Пг. 1919. [2], 2101—2116, [2] стр.
Доложено 30 октября 1918 г.

Биб.шография трудов А . А . Маркова

705

Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1406.
123. Обобщение задачи о последовательном обмене шаров. —Изв.
Акад. Наук, Пг., VI серия, т. 12, 1918, № 5, стр. 261—266.
Доложено 8 ноября 1917 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, SS. 1405—1406.
1920

124. О коэффициенте дисперсии. (Вторая заметка).—Изв. Акад.
Наук, Пг., VI серия, т. 14, 1920 (1922), № 1—18, стр. 191—198.
Доложено 19 мая 1920 г.
Реф.: Jahrb. ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 48 (1921—1922),
H. 8, Brl. u. Lpz., 1928, S. 1281.
См. также 1916 г., № 116.
1922

125. Трудность метода моментов; два примера неполного разрешения
ее.—Изв. Акад. Наук, Л., VI серия, т. 16, 1922 (1924), № 1—18,
стр. 281—286.
Доложено 8 февраля 1922 г.
Реф.: Rev. semestr. d. publ. mathem., t. 32, 1-ere partie,
Groningen, 1926, pp. 160—161.
1924

126. Исчисление вероятностей. Переработанное автором 4-е, по
смертное, издание. С портретом автора и биографическим очерком проф.
А. С. Безиковича. Научно-технической секцией Гос. Ученого совета
рекомендовано в качестве руководства для высших учебных заведений.
М. Госиздат. 1924. [2], XIV, 588, [1] стр., 1 л. портр. (Специальные
пособия для высшей школы).
Содержание: А. С. Б е з ико вич. Биографический очерк
(стр. III—XIV), [А. А. Марков]. Исчисление вероятностей
(стр. 1—486), Приложение метода математических ожиданий—
метода моментов —к выводу второй предельной теоремы исчисле
ния вероятностей (стр. 487—588); литература к отдельным
главам.
1- е изд. см. 1900 г., № 67.
2- е изд. см. 1908 г., № 85.
3- е изд. см. 1913 г., Л'Ь102.
4 5 А. А . Марков. Избр. труды

706

Библиография трудов А. А . Маркова

127.
Об эллипсоидах (эллипсах) рассеяния и корреляции. —Изв.
Акад. Наук, Л., VI серия, т. 18, 1924, Ns 1—11, стр. 117—126.
Доложено 9 февраля 1921 г.
Реф.: 1 ) Jahrb. Ub. d. Fortschr. d. Mathem., Bd. 50 (1924),
Brl. u. Lpz., 1928/29, S. 350; 2) Rev. semestr. d. publ. mathem.,
t. 32, 1-ere partie (Octobre 1924—Avril 1925), Groningen, 1926,
p. 162.
1936

Числения скшчених р1зниць. 1936* См. 1910 г.,

Ns

93.

7940

Functions generated by developing power series in continued fractions.
1940. C m . 1894 r., Ns 43.
1944

Доказательство одной теоремы Чебышева. 1944. См. 1895 г.,

Ns

49.

128.
Пафнутий Львович Чебышев. Краткий биографический очерк. —■
В кн.: Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева. Т. I. Теория чисел..
М.-Л. 1944. Стр. 5—9.
То же. —В кн.: Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева. Т. I.
Теория чисел. [Изд. 2-е, стереотипное]. М—Л. 1946. Стр. 5—9.
Совместно с Н. Я. Сониным.
1946

Доказательство одной теоремы Чебышева. (Письмо к Эрмиту). 1946.
См. 1895 г., Ns 49.
Пафнутий Львович Чебышев. Краткий биографический очерк. 1946.
См. 1944 г., Ns 128.
1948

129.
Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории
функций, наименее уклоняющихся от нуля. Биографический очерк и
примечания Н. И. Ахиезера. М.—Л. ОГИЗ. Гос. изд. технико-теорет.
литер. 1948. 410, [2] стр. с илл., 1 л. портр. (Классики естествознания.
Математика. Механика. Физика. Астрономия).
Содержание: От издательства (стр. 5—6), Н. И. Ахиезер.
А. А. Марков. Биографический очерк (стр. 7—12), Избранные
труды [А. А. Маркова]: Доказательство некоторых неравенств

Библиография трудов А . А. Маркова

107

П. Л. Чебышева (стр. 15—24, см. 1884 г., № 8), Выдержка из
одного письма Эрмиту (стр. 25—33, см. 1886 г., Ия 16), О корнях
некоторых уравнений. I (стр. 34—43, см. 1886 г., № 17), О кор
нях некоторых уравнений. II (стр. 44—50, см. 1886 г.э № 18),
Об одном вопросе Д. И. Менделеева (стр. 51—75, см. 1890 г.,
№ 27), О функциях, получаемых при обращении рядов в непре
рывные дроби (стр. 76—105, см. 1894 г., № 43), Два доказатель
ства сходимости некоторых непрерывных дробей (стр. 106—119,,
см. 1895 г., № 50), Новые приложения непрерывных дробей
(стр. 120—145, см. 1896 г., № 55), О предельных величинах инте
гралов в связи с интерполированием (стр. 146—230, см. 1898 г.,
№ 58), О корнях уравнения

ех

(Г
—

е ~ х*

— = 0 (стр. 231—243,

см. 1898 г., № 59), Лекция о функциях, наименее уклоняющихся
от нуля (стр. 244—291, см. № 147), Лекции о непрерывных дробях
(стр. 292—374, см. N° 146), Н. И. Ахиезер. Примечания
(стр. 377—390); Приложение: К. А. По с с е. К вопросу о пре
дельных значениях интегралов или сумм (стр. 391—410).
О бинарных квадратичных формах положительного определителя.
1948. См. 1880 Г., № 3.
Литографированные курсы лекций
130. [Введение в анализ. Лекции’ 1881—82 г. СПб.]. Литогр. С. Ф.
Яздовского. [1884]. Листы 1—25. 396 стр. с черт. [На каждом листе
подпись: пр.-доц. А. Марков; без заглавия, тит. листа и обложки, —
заглавие взято из сигнатуры и с корешка переплета].
131. Введение в анализ. Лекции, читанные в СПб. университете
в 1881/82 ак. году приват-доцентом Марковым. Издание студента
Ф. Подгурского. СПб. Литогр. Яздовского. Б. г. Листы 1—6. 96 стр.
с черт. [Листы 1—3 подписаны: А. Марков; конец отсутствует; описано
по экземпляру Библиотеки Академии Наук СССР].
132. Введение в анализ. [СПб.]. Литогр. Н. Евстифеева. [1891].
Листы 1—22. 352 стр. с черт. [На каждом листе подпись: проф. А. Мар
ков; без тит. листа и обложки; вместо стр. 217—224: „Объяснительные
замечания к теории определителей.4* Сост. И. Алексеевский (стр. 1—8,
отдельная пагинация); в конце вплетено: [Сферическая тригонометрия].
Листы 1—4 (см. № 148)].
133. Введение в анализ. [СПб.]. Литогр. А. Ф. Маркова. [1898].
Листы 1—15. 240 стр. с черт. [На каждом листе подпись: профессор
А. Марков; без тит. листа и обложки; на корешке переплета: листы
1—22].

708

Литографированные курсы лекций

134. Введение в анализ. [Издатель П. Лучнн. СПб.]. Аитогр.
А, Ф. Маркова. Б. г. Листы 1—22. 352 стр. с черт. [На каждом листе
подпись: профессор А. Марков; без тит. листа и обложки].
Рекомендуемая литература (стр. 120, 352).
135. Введение в анализ. [Издание студента В. Звонарева. СПб.].
Литогр. А. Маркова. Б. г. Листы 1—22. 352 стр. с черт. [На листах
1—21а подпись: за профессора Вл. Звонарев; листы 21 Ь, 22 подписаны:
профессор А. Марков; без тит. листа и обложки; в конце вплетено:
Сферическая тригонометрия. Листы 1—5 (см. № 152)].
Рекомендуемая литература (стр. 352 —9 назв.).
136. Введение в анализ и сферическая тригонометрия. Лекции
профессора А. Маркова 1886/7 г. СПб. Типо-литогр. А. Ф. Маркова.
1888. Листы 1—4, 1—22. [2], 62, 352 стр. с черт. [На каждом листе
подпись: проф. А. Марков; тит. лист отпечатан типографским спо
собом].
137. Введение в анализ и сферическая тригонометрия. Лекции про
фессора А. А. Маркова. Издание студента В. П. Звонарева. СПб.
Типо-литогр. А. Ф. Маркова. 1894. Листы 1—22. 352 стр. (С.-Петер
бургский университет). [На листах 1—21а подпись: За профессора
Вл. Звонарев; листы 21Ь, 22 подписаны: профессор А. Марков; без
тит. листа; обложка отпечатана типографским способом].
Рекомендуемая литература (стр. 352 —9 назв.).
138. [Дифференциальное исчисление. Лекции А. А. Маркова 1897/8.
СПб.]. Литогр. Маркова. Б. г. Листы 1—21. 336 стр. [На каждом листе
подпись: Проф. А. Марков; без тит. листа и обложки].
139. Дифференциальное исчисление. СПб. Типо-литогр. А. Ф.
Маркова. 1898. Листы 1—21. 336 стр. с черт. (С.-Петербургский уни
верситет). [На каждом листе подпись: проф. А. Марков; без тит. листа;
обложка отпечатана типографским способом].
140. Дифференциальное исчисление. Лекции проф. А. А. Маркова
СПб. Типо-литогр. Маркова. 1901. Листы 1—21. 332 стр. с черт. (С.Петербургский университет). [На каждом листе подпись: за профессора
Н. Попов; без тит. листа; обложка отпечатана типографским способом].
141. Дифференциальное исчисление. Лекции профессора А. А. Мар
кова. Издание студента В. Мрочека. СПб. Типо-литогр. Петш. 1903.
Листы 1—19. 304 стр. с черт. (С.-Петербургский университет). [На
каждом листе подпись: издатель В. Мрочек; без тит. листа; обложка
отпечатана типографским способом].
142. Дифференциальное исчисление. Лекции профессора А. А. Мар
кова. Издание студента В. Мрочека. СПб. Типо-литогр. Петш. 1904.

Литографированные курсы лекций

709

Листы 1—19. 304 стр. с черт. (С.-Петербургский университет). [На
каждом листе подпись: издатель В. Мрочек; без тит. листа; обложка
отпечатана типографским способом].
143. Исчисление конечных разностей. Курс приват-доцента А. Мар
кова. 1885/6 года. [СПб.]. Литогр. Вацлик. [1886]. Листы 1—15. 229 стр.
с черт. [На каждом листе подпись: пр.-доц. А. Марков].
Лекции о непрерывных дробях. См. О непрерывных дробях.
144. Лекции по теории конечных разностей, читанные -в С.-Пе
тербургском университете прив.-доцент. А. А. Марковым. 1884/5 г.
СПб. Литогр. Гробовой. Б. г. Листы 1—7. [2], 108 стр. [На каждом
листе подпись: пр.-доц. А. Марков; в сигнатуре загл.: „Теория ко
нечных разностей"].
145. Начала учения о пределах. [Издание студента В. Звонарева.
СПб.]. Литогр. А. Ф. Маркова. [1894]. 241—352 стр. [В сигнатуре
заглавие: „Введение в анализ". Листы 16—22; на листах 16—21а под
пись: за профессора Вл. Звонарев; листы 21 b и 22 подписаны: профес
сор А. Марков; без тит. листа и обложки].
Рекомендуемая литература (стр. 352 —9 назв.).
146. О непрерывных дробях. Составил по лекциям академика А. А.
Маркова Н. Михельсон. [СПб.]. Литогр. Богданова. 1906. Листы 1—6.
92 стр. [Без подписи А. А. Маркова]; литература (стр. 91—92, 22 назв.).
То же, незначительная переработка под загл.: Лекции о непрерыв
ных дробях.—В кн. А. А. Марков. Избранные труды по теории непре
рывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля.
М. — Л. 1948. Стр. 292—374; Примечания Н. И. Ахиезера (стр. 390).
147. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Составлено
по лекциям академика А. А. Маркова. [СПб.]. Литогр. Богданова. 1906.
Листы 1—4. 65 стр. с черт. [Без подписи А. А. Маркова]; литература
(стр. 65).
То же, незначительная переработка под загл.: Лекции о функциях,
наименее уклоняющихся от нуля. —В кн.: А. А. Марков. Избранные
труды по теории непрерывных функций, наименее уклоняющихся от
нуля. М. —Л. 1948. Стр. 244—291; Примечания Н. И. Ахиезера
(стр. 389—390).
148. [Сферическая тригонометрия. СПб.]. Типо-литогр. Н. Евстифеева. [1891]. Листы 1—4. 62 стр. с черт. [На каждом листе подпись:
проф. А. Марков; без заглавия, тит. листа и обложки; заглавие взято
из сигнатуры; сплетено вместе с „Введением в анализ" (см. № 132)].
149. Сферическая тригонометрия. Лекции профессора А. А. Мар
кова. Издание студента Вл. Звонарева. СПб. Типо-литогр. А. Ф. Маркова. 1893. Листы 1—б. 80 стр. с черт. (С.-Петербургский университет).

710

Литографированные курсы лекций

(На каждом листе подпись: профессор А. Марков; обложка отпечатана
типографским способом].
Рекомендуемые пособия (стр. 80 —2 назв.).
150. Сферическая тригонометрия. Лекции проф. А. А. Маркова.
СПб. Литогр. А. Ф. Маркова. 1894. Листы 1—5. 80 стр. с черт. [На
каждом листе подпись: за профессора Вл. Звонарев].
Рекомендуемые пособия (стр. 80 —2 назв.).
151. Сферическая тригонометрия. [СПб.]. Литогр. А. Ф. Маркова.
[1898]. Листы 1—5. 80 стр. с черт. [На каждом листе подпись: профес
сор А. Марков; без тит. листа и обложки].
152. Сферическая тригонометрия. [СПб.]. Литогр. А. Ф. Маркова.
Б. г. Листы 1—5. 80 стр. с черт. [На каждом листе подпись: за про
фессора Вл. Звонарев; без тит. листа и обложки; сплетено вместе
с „Введением в анализ" (см. № 135)].
Рекомендуемые пособия по сферической тригонометрии
(стр. 80 —2 назв.).
153. Теория вероятностей. Лекции, читанные в С.-П. университете
приват-доцентом А. Марковым в 1882/3 акад. году. Издание студентов
4-го курса. [СПб.]. Литогр. Шепердсон; со 2-го листа: типо-литогр.
С. Ф. Яздовского. Б. г. Листы 1—14. 219 стр. с черт. [На листах 1—2
подпись: пр.-доц. А. Марков].
Прил.: „Программа по теории вероятностей" (стр. 1—4, 2-я
пагинация).
154. Теория вероятностей. Лекции, читанные в С. П. Бургском
университете приват-доцентом А. А. Марковым. 1884/5 акад. год.
Издание Петрова. [СПб.]. Литогр. Яздовского. [1885]. Листы 1—10.
[2], 158 стр. с черт. [На каждом листе подпись: пр.-доц. А. Марков].
155. Теория вероятностей. [СПб.]. Литогр. Яздовского. [1888].
Листы 1—14. 221 стр. с черт.' [На каждом листе подпись: проф. А. Мар
ков; без тит. листа и обложки].
156. Теория вероятностей. Лекции профессора С.-Петербургского
университета А. Маркова. [Издал Ф. Ясевич]. СПб. Литогр. Ю. Семечкиной. 1891. Листы I —XIII. 199 стр. с черт. [На каждом листе
подпись: профессор А. Марков; без тит. листа; обложка отпечатана
типографским способом].
157. [Теория исчисления конечных разностей. СПб.]. Типо-лнтогр.
С. Ф. Яздовского. Б. г. Листы 1—5. 67 стр. [На каждом листе подпись:
пр.-доц. А. Марков; без тнт. листа и обложки].
158. Теория конечных разностей [1887—88 г. СПб.]. Литогр. Яэдовского Б. г. Листы 1—9. 144 стр. [На каждом листе подпись: А. Марков;
без тит. листа и обложки].

Литература о А . А. Маркове

711

II. Литература о А. А. Маркове

Сенин, Н., Бак лун д, О., Бредихин, Ф. Записка об уче
ных заслугах экстраординарного академика А. А. Маркова. —Протоколы
Акад. Наук, Физ.-матем. отд., 1896, №II, заседание 24 января. Приложение.
То же. —Протоколы Акад. Наук, Общее собрание, 1896, № II, за
седание 10 февраля, IV-e приложение.
Прил.: „Список трудов А. А. Маркова" (30 назв.).
Марков (Андрей Андреевич). —Энциклопедический словарь. Изд.
Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон. Т. XVIII А, [Кн.] 36. СПб. 1896. Стр.
658—659.
Марков, Андрей Андреевич. —Биографический словарь профессоров
и преподавателей С.-Петербургского университета за истекшую третью
четверть века его существования. 1869—1894. Т. 2-й. М—Я. СПб. 1898.
Стр. 3-5.
Прил.: „Список опубликованных трудов А. А. Маркова44
(стр. 4—5).
Markow, Andrei Andrejewitsch.—В кн.: J. С. Poggendorff. Biographisch-literarisches Handworterbuch. Bd. III. Lpz. 1898. S. 873; Bd. IV.
Lpz. 1904. S. 961; Bd. V. Lpz. —Brl. 1926. S. 808; Bd. VI. Theil 3.
L - R . Brl. 1938. S. 1652- 1653.
Марков, Андрей Андреевич. —Большая энциклопедия под ред.
С. Н. Южакова. Т. 12. СПб. Т-во „Просвещение". 1903. Стр. 653.
Стеклов, В. Отзыв академика В. Стеклова о необходимости
избрать академика А. А. Маркова почетным членом С.-Петербургского
университета.—Проток, засед. Совета С.-Петерб. унив. за 1913 г.,
Пг., 1918, № 69, отд. Прил. к проток, засед. 2 декабря, стр. 193—196.
А. Н. Марков, Андрей Андреевич. — Энциклопедический словарь
Т-ва „Бр. А. и И. Гранат н Ко". 7-е изд. Т. 28. М. [1915]. Стлб. 218.
Марков, Андрей Андреевич.—Новый энциклопедический словарь.
Изд. Акц. общ. „Издат. дело б. Брокгауз —Ефрон". Т. 25. Пг. [1915].
Стлб. 754.
Марков, Андрей Андреевич. [Автобиография]. —Материалы для
биографического словаря действительных членов Академии Наук. Ч. 2-я.
М—Я. Пг. 1917. (Академия Наук. 1889—1914. III). Стр. 16—18.
Список трудов А. А. Маркова (стр. 16—18).
Марков, Андрей Андреевич.—В кн.: С. А. Венгеров. Источники
словаря русских писателей. Т. IV. Лоначевский —Некрасов. Пг. 1917.
Стр. 182.
Ольденбург, С. Ф. Речь непременного секретаря академика
С. Ф. Ольденбурга. Читана в торжественном заседании [Росс. Академии
Наук] 29 декабря 1922 г. [СПб. 1922]. 26 стр.
О А. А. Маркове (стр. 2—3).

712

Литература о А. А. Марков<

Стеклов, В. А. Андрей Андреевич Марков. (Некрологический
очерк). —Изв. Росс. Акад. Наук, 1922 (1924), т. XVI, JSfa 1—18,
стр. 169—184.
Безикович, А. Работы А. А. Маркова по теории вероятностей. —
Изв. Росс. Акад. Наук, 1923, т. XVII, № 1—18, стр. 45—52.
Гюнтер, Н. М. О педагогической деятельности А. А. Маркова. —
Изв. Росс. Акад. Наук, 1923, т. XVII, № 1—18, стр. 35—44.
Безикович, А. С. Биографический очерк —В кн.: А. А. Мар
ков. Исчисление вероятностей. 4-е изд. М. 1924. Стр. III—XIV.
Марков, Андрей Андреевич (1856—1922).—Малая советская энцикло
педия. Т. 4. М. 1930. Стлб. 882.
Архив Академии Наук СССР. Обозрение архивных материалов.
Под общ. ред. Г. А. Князева [Т. I]. Л. 1933. 259 стр. 18 л. табл. (Ака
демия Наук СССР. Труды Архива. Вып. 1).
Обозрение архивного фонда А. А. Маркова (стр. 71);
прил. факсимиле прошения А. А. Маркова в Святейший прави
тельствующий синод об отлучении его от церкви (на 2-х вкл.
листах).
Колмогоров, А. Н. Марков, Андрей Андреевич (1856—1922). —
Большая советская энциклопедия. Т. 38. 1938. Стлб. 152—153.
Бернштейн, С. Н. Петербургская школа теории вероятностей. —
Уч. зап. Лен. гос. унив., 1940, № 55, серия матем. наук, вып. 10,
стр. 3—11.
То же.—Природа, Л., 1939, № 8, стр. 17—22 с портр.
О П. Л. Чебышеве, А. М. Ляпунове и А. А. Маркове.
Гнеденко, Б. В. Очерки по истории математики в России.
М. —Л. 1946. 247 стр. с черт, и портр., 1 л. табл.
Биографические сведения [о А. А. Маркове] (стр. 125—128),
А. А. Марков как гражданин (стр. 128), Круг научных интересов
(стр. 128—129), Первый период работ по теории вероятностей
(стр. 129—131), Второй периодисследований по теории вероятностей
(стр. 132—133), Последействие идей Маркова (стр. 133).
Ах ие з е р, Н. И. Русский математик А. А. Марков. К 25-летию
со дня смерти.—Природа, Л., 1947, № 8, стр. 76 —81.
Делоне, Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.—Л.
Изд. АН. 1947. 419, [4] стр. с черт., 6 л. портр. (Академия Наук СССР.
Научно-популярная серия).
Андрей Андреевич Марков (1856—1922) (стр. 141—145, 1 л.
портр.); О бинарных квадратичных формах положительного опре
делителя. [Изложение магистерской диссертации А. А. Маркова,
с комментариями] (стр. 146—193); список работ А. А. Маркова
по теории чисел (стр. 413).

Список сокращенных обозначений периодических изданий

713

Ахиезер, Н. И. Андрей Андреевич Марков. Биографический
очерк. —В кн.: А. А. Марков. Избранные труды по теории непрерывных
дробен и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М. —А.
1948. Стр. 7—12.
Гнеденко, Б. В. Андрей Андреевич Марков. —Люди русской
науки. Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники. М. —
Л. 1948. Стр. 179—185 с портр.
Прил.: „Главнейшие труды А. А. Маркова*4 (стр. 185) „[Лите
ратура] о А. А. Маркове44 (стр. 185).
Гнеденко, Б. В. Развитие теории вероятностей в России. —Тр.
Инст. истории естествознания, т. И, 1948, стр. 390—425.
О А. А. Маркове (стр. 402—404).
Марков, Андрей Андреевич.—Краткая советская энциклопедия.
М. 1948. Стлб. 995.
Список сокращенных обозначений периодических

изданий
Вести, опытн. физ. и элемент, матем.—Вестник опытной физики
и элементарной математики. Одесса.
Жури. Мин. народи, проев. —Журнал Министерства народного
просвещения. СПб.
Зап. Акад. Наук —Записки Академии Наук. СПб.
Изв. Акад. Наук, V серия. —Известия Академии Наук, V серия. СПб.
Изв. Акад. Наук, VI серия.—Известия Академии Наук, VI серия.
СПб., Пг., Л.
Изв. Физ.-матем. общ. при Казанск. унив.—Известия Физикоматематического общества при Казанском университете. Казань.
Матем. сб. —Математический сборник, издаваемый Московским
математическим обществом. М.
Сообщ. и проток, засед. Матем. общ. при Харьк. унив.—Сообще
ния и протоколы заседаний Математического общества при Харьковском
университете. Харьков.
Сообщ. Харьков, матем. общ.—Сообщения Харьковского матема
тического общества. Харьков.
Страх, обозр. —Страховое обозрение. Пг.
Успехи матем. наук. —Успехи математических наук. М. —Л.
Acta mathem. — Acta mathematica. Stockholm.
Ann. sci. de l’Ecole normale super.—Annales scientifiques de
ГЕсо1е Normale superieure. Paris.
Arch. d. Mathem. u. Phys. —Archiv der Mathematik und Physik. Lpz. —
Brl.

7U

€писок сокращенных обозначений периодических изданий

Boll, di bibliogr. е storia d. sci. matem. —Bolletino di bibliografia
e di storia delle scienze matematiche. Palermo —Torino.
Bull. d. sci. mathem. —Bulletin des sciences mathematiques. Paris.
Bull, of the Amer. mathem. soc. —Bulletin of the American mathema
tical society. Lancaster —New York.
Comptes rendus hebd. des seances de ГAcad, des sci. —Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des Sciences. Paris.
Duke mathem. journ.—Duke mathematical journal, Durham, N. C.
L’Enseignement mathem. —L’Enseignement mathematique. Paris —
Geneve.

Jahrb. iib. d. Fortschr. d. Mathem.—Jahrbuch uber die Fortschritte
Mathematik. Brl. —Lpz.
Jahresber. d. Deutsch. Mathem. Vereinigung. —Jahresbericht der
deutschen Mathematiker-Vereinigung. Lpz.
Mathem. Annalen.—Mathematische Annalen. Lpz.
Mathem. gazette.—The mathematical gazette. London.
Monatshefte f. Mathem. u. Physik.—Monatshefte fur Mathematik und
Physik. Wien.
Nyt tidsskr. f. mathem.—Nyt tidsskrift for mathematik. K0benhavn.
Rev. gen. d. sci. pures et appl. —Revue generale des sciences pures
et appliquees. Paris.
Rev. semestr. d. publ. mathem. —Revue semestrielle des publications
mathematiques, redigee sous les auspices de la Societe mathematique
d*Amsterdam. Amsterdam—Groningen.
Zeitschr. f. Mathem. u. Physik. — Zeitschrift fur Mathematik und
Physik. Lpz.
der

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адамар Ж. 690
Андреев К. А. 686, 688
Ахиезер Н. И. 681—683, 685, 688,
690-692, 706, 707, 709, 712,
713
Баклукд О. А. 696, 697, 711
Бальтцер 220
Безикович А С. 705, 712
Белопольский А. А. 697
Бернулли Иван 13, 16
Бернулли Яков 321, 420, 475, 509,
544, 578, 680, 701—703
Бернштейн С. Н. 626, 633, 636, 637,
659, 662, 664, 665, 667, 673,
675, 712
Бессель 247
Бобылев Д. К. 685, 704
Больманн Г. 684, 698
Борткевич А. 525, 575
Бредихин Ф. А. 696, 711
Брунс Г. 401, 404, 405, 413, 632,
633, 662
Буланже А. 698
Буняковский В. Я. 601, 609, 687
Бьенэме 273, 703
Валленберг 686
Баллис 297
Вальватьева Е. А. 600, 603

Вальватьева М. И. 603
Вантцель 225, 227
Васильев А. В. 231, 269, 625, 637,
654, 680—693, 696
Введенский Н. Е 695
Вельтцин 685
Венков Б. А. 619, 650, 652, 653
Волковысский Л. И. 682, 683, 690—
692
Вороной Г. Ф. 182, 183, 646, 647,
699
Выгодский 612
Гамбургер 683, 684, 691
Гауе К. 18, 19, 28, 47, 246, 247,
250, 682
Гнеденко Б. В. 712, 713
Голицын Б. Б. 696
Горшков Д. С. 645
Горький А. М. 604—606, 610
Граве Д. А. 688, 691, 692
Грузинцев Г. 697
Гурвиц 687
Гюнтер Н. М. 712
Давенпорт 645
Дедекинд 87, 647
Делоне Б. Н. 645, 680, 712
Джексон 698
Диссон 645

716

Именной указатель

Добролюбов 601
Друэн П. 692, 700
Золотарев Е. И. 11, 87, 601, 602, 615,
641, 646, 647, 687, 701
Иванов И. И. 649
Имшенецкий В. Г. 687—689
Кадэ 600
Капустин 602
Клейн Ф. 687, 691
Клюйвер 687, 691, 696
Князев Г. А. 712
Колмогоров А. Н. 637, 664, 712
Коркин А. Н. 11, 145, 162, 344,
601, 602, 615, 641, 642, 646, 701
Кортвег Д. 697
Крылов А. Н. 610, 701, 704
Кузьмин Р. О. 670
Куммер 87
Кэли А. 173
Лагранж 15, 17, 18, 34, 288
Лампе 697, 700
Ландау 696
Лаплас 321, 365, 505, 511, 512, 546,
549, 551—554, 556, 560, 563, 565,
567—569, 571, 575, 585, 615,
668, 703
Лежандр 31
Лежен-Дирихле 24
Либманн Г. 698
Линдберг 626, 659
Линдеманн 199, 201, 223, 225, 226,
619, 654, 680
Линник Ю. В. 667
Лиувилль 286
Лоначевский 711
Лэнн (Лунн) 698
Лямэ 690
Ляпунов А. М. 319, 322, 323, 331,
334, 336, 625, 626, 656, 659, 690,
696, 697, 701, 704, 712

Маиевский Н. 249
Маклорен 685
Маннури 694
Марков А. Г. 599, 600—602
Марков В. А. 599
Марков Г. М. 599
Маркова А. И. 599
Маркова Н. П. 599
Матлис Л. М. 700
Мейер А. 182, 575
Мейер Ф. 680, 686
Менделеев Д. И. 685, 707
Мертенс 139
Минковский Герман 392, 645
Млодзеевекий Б. 686
Моавр 321, 511-513, 515, 517-519,
521, 575, 585, 668
Моленбрук П. 687, 690
Морделл 645
Мюллер Ф. 680, 690, 691
Мэррей Д. А. 684
Некрасов П. А. 610, 686, 693, 700,
701, 703, 711
Нетто 680, 683
Ньютон 234, 237, 327, 407, 468„
479, 636
Ольденбург С. Ф. 607, 610, 711
Отонн 684
Петрушевекий Ф. Ф. 695
Пирсон 512, 534, 575, 670
Писарев 601
Поггендорф 711
Полна 702
Понселе 697
Поссе К. А. 318, 603, 700, 707
Прюмм 684
Пуанкаре 240, 248, 269, 626
Пуассон 246, 575, 584

Именной указатель

Пшеборский А. 693, 696
Ремак 645
Рояль 658
Романовский 630
Салтыков Н. Н. 692
Сапогов Н. А. 668
Симов П. 690
Синцов 688, 689, 692—701
Соминский И. С. 653
Сомов П. 699—703
Сонин Н. Я. 293, 297, 306, 698,
694, 697, 703, 706, 711
Сохоцкий Ю. В. 603
Стеклов В. А. 613, 700, 704, 711,
712
Стилтьес 318, 658
Стирлинг 579, 581, 582
Тёплитц 682, 683
Тимердинг 698
Тихомандрицкий М. А. 688, 691,
694
Тихомиров Е. 533, 534, 670
Толстой Л. Н. 608, 610
Феллер 626, 659
Фриз де 690, 692, 700
Фризендорф Т. 684
Фролов 610, 611, 703

717

Хилль Г. В. 697
Хоппе (Гоппе) 681, 682
Цингер Н. Е. 704
Чебышев П. Л. 137, 233, 243, 249,
250, 263, 267, 269, 271, 273, 286,
287, 291, 301, 303, 305, 321, 341,
342, 344, 345, 365, 467, 513—517,
521, 551, 556, 563, 568, 602, 603,
606, 614, 620-622, 645, 649, 654,
656, 659, 661, 662, 668, 669, 673,
681, 683, 687, 689, 690, 694—696,
706, 707, 712
Чернышевский 601
Чубер 247
Чупров А. А. 525, 529, 701
Штекель 692
Шуберт Ф. Ф. 697
Эйзенштейн 167
Эйлер 15
Эльфринкхоф фан Л. 690
Эрмит Ш. 137, 182, 199, 201, 217,
225, 226, 551, 556, 563, 568, 619,
649, 654, 673, 680, 682, 685—
687, 689, 690, 706, 707
Южаков С. Н. 711
Якоби 18

СОДЕРЖАНИЕ

Теория чисел
О бинарных квадратичных формах положительного определи
теля .......................................................................................
О целых числах, зависящих от корня кубического из целого ра
ционального числа.................................................................
О простых делителях чисел вида 1 -f- 4лг2 ............................... .
О неопределенных тройничных квадратичных формах................
Таблица неопределенных тройничных квадратичных форм, не
представляющих нуль, для всех положительных определителей
D < 5 0 ................................................................................
Доказательство трансцендентности чисел е и зг. (Невозможность
квадратуры круга).................................................................

Стр.
9
85
135
143
165
199

Теория вероятностей
Закон больших чисел и способ наименьших квадратов................
2

dme ~~x2

231

О корнях уравнения ех ^ т—= 0 ......................... . . . .
253
Неравенства Чебышева иосновнаятеорема.................................
271
Теорема о пределе вероятности для случаев академика А. М. Ля
пунова ....................................................
319
Распространение закона больших чисел на величины, зависящие
друг от друга.......................................................................
339
Распространение предельных теорем исчисления вероятностей на
сумму величин, связанных вцепь..........................................
363
О связанных величинах, не образующих настоящей цепи . . . .
399
Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь............
417
Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями . 437
Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь . . . .
465

О задаче Якова Бернулли..................................
О коэффициенте дисперсии........................................................
О коэффициенте дисперсии. (Вторая заметка)............................
Об одной задаче Лапласа........................................................*
О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей . .
Обобщение задачи о последовательном обмене шаров...............

Стр.
509
523
537
549
573
587

Приложения
Биография А. А. Маркова. Проф. А . А. Марков . • ...................
Очерк работ А. А. Маркова по теории чисел и теории вероятно
стей. Проф. Ю . В . Липни к, доц. Н . А . Салогов, В . Н . Ти
мофеев ................................................................................

599
614

Комментарии и примечания........................................................
Библиография. Составила В . А л е к с е е в а .....................................
Именной указатель............ • ...................................................

643
679
715

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Академии Наук СССР

*
Редактор издательства П. И. Малявко
Технический редактор А. В . Смирнова
Корректор Н. 77. Ракова
*
РИСО АН СССР N9 4640. М. 43363.
Подписано к печати 16/Х 1951 г.
Бумага 70 X
Бум. л. 221/г.
Печ. л. 52.65 + 3 вкл. Уч.-изд. л. 34.8.
Тираж 3000. Зак. № 46. Цена в пере
плете 32 руб.
9 2 V

ig

.

1-я тип. Издательства АН СССР,
Ленинград, В. О., 9 л., д. 12.

ШмШШШ

ШШШШШ
т*Ш