ДЛЯ si #
5Л
• -7? A <r »
"V'r4 "- •-
§
• ТРОЕНИЕ

ДЛЯ ВУЗОВ
основы
ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В АВИАЦИОННОЙ
И РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
Под общей редакцией
академика B.C. Авдуевского
и Заслуженного деятеля науки
и техники РСФСР
профессора В.К. Кошкина
Рекомендовано Комитетом по высшей школе
Министерства науки, высшей шкалы и
технической политики Российской Федерации в
качестве учебника для студентов
авиационных специальностей вузов
Москва
• Машиностроение •
1992

ББК 39.52-01я73
0-75
УДК 1621.43.016.4 : 629.7] (075.8)
Авторы: В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов,
Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, Э. К. Калинин, В. К. Кошкин,
Т. В. Михайлова, А. М. Молчанов, Ю. А. Рыжов, В. П. Солнцев
Рецензент кафедра «Теоретические основы теплотехники»
МГТУ имени Н, Э. Баумана
Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-косми-
0-75 ческой технике: Учебник для авиационных специальностей
вузов/В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов
и др.; Под общ. ред. В. С. Авдуевскогр, В. К. Кошкина. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1992. —
528 с: ил.
ISBN 5-217-01333-9
Второе издание (1-е изд. 1975 г.) переработано и дополнено
материалами по радиационно-конвектнвному теплообмену в
высокотемпературных газовых потоках и теплообме'иу в двухфазных потоках.
л 2705140400-427
О -038 (0П_92 П4—91 ББК 39.52-01я73 + 39.62-01я73
ISBN 5-217-01338-9 © Издательство «Машиностроение», 1975
© В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский,
Г. А. Глебов и др., 1992, с изменениями
и дополнениями

ПРЕДИСЛОВИЕ
Создание и развитие гиперзвуковой и высотной
авиации, дальнейшее совершенствование космических летательных
аппаратов, создание космических аппаратов многоразового
действия, совершенствование энергосистем для авиационной и
ракетно-космической техники, развитие радиоэлектроники требуют
непрерывного совершенствования науки о процессах тепло- и
массообмена, развития теории теплопередачи. Все это обусловило
необходимость второго исправленного и дополненного издания
учебника.
Вопросы совершенствования современных авиационных и
космических реактивных двигателей, развитие ядерных
энергетических установок, тепловая защита высокоскоростных летательных
аппаратов, создание и развитие энергосистем прямого
преобразования теплоты в электрическую энергию, развитие криогенной
техники потребовали дальнейшего совершенствования и
развития ряда разделов науки о теплопередаче.
Второе издание учебника (первое издание вышло в 1975 г.)
существенно переработано и дополнено. При изложении
материала учебника проведена ориентация на самостоятельную работу
студентов с книгой, что потребовало более подробного изложения
ряда вопросов и рассмотрения практических примеров,
использования численных методов при решении задач тепломассообмена.
Во все главы добавлены новейшие данные. Введен новый раздел
по радиационно-конвективному теплообмену в
высокотемпературных газовых потоках, заново перестроены разделы по
теплообмену на шероховатой поверхности, методы тепловой защиты
летательных аппаратов и их элементов, тепловые режимы
космических аппаратов.
Учебник написан коллективом авторов: В. С. Авдуевским
(гл. V, VI, VII, XIV, XVII, XVIII, XIX), Б. М. Галицейским
(гл. XVIII, XIX), Г. А. Глеботым (гл. XI, XVI), Ю. И.
Даниловым (гл. XII), Г. А. Дрейцером (гл. III, VIII), Э. К.
Калининым (гл. IX, X, XIII), В. К- Кошкиным (введение, гл. I, II),
Т. В. Михайловой (гл. XII), А. М. Молчановым (гл. VII, XVII),
Ю. А. Рыжовым (гл. IV), В. П. Солнцевым (гл. XV).
Авторы выражают благодарность Кравчик Т. Н. и
Боковой Л. Н. за большую помощь в подготовке рукописи к печати.
Авторы также выражают признательность кафедре
теоретических основ теплотехники МГТУ им. Н. Э. Баумана и
заведующему кафедрой профессору В. И. Крутову за ценные
замечания, позволившие улучшить качество учебника.
1*

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а— коэффициент температуропроводности, м2/с; скорость
звука, м/с;
с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-К);
cv—удельная теплоемкость при и — const, Дж/(кг-К);
ср — удельная теплоемкость при р= const, Дж/(кг-К);
Cj — коэффициент трения;
се — константа геометрического подобия;
d — относительная массовая концентрация t'-ro компонента;
d— диаметр круглого сечения канала, м;
d;) — эквивалентный диаметр, м;
D — коэффициент диффузии, м2/с;
Е — модуль упругости,Па; плотность потока излучения, Вт/ма;
F, f— площадь поперечного сечения, м2;
G — массовый расход теплоносителя, кг/с;
g—ускорение свободного падения, м/с2;
1 — энтальпия, Дж/кг;
/0 = / + "2/2 — полная энтальпия торможения газа, Дж/кг;
Jl—спектральная интенсивность излучения, Вт/(м3-ср);
J У, р — спектральная равновесная интенсивность, Вт/(м3-ср);
Jt — спектральная интенсивность в верхнюю полусферу.
Вт/(м3-ср);
J^ — спектральная интенсивность в нижнюю полусферу,
Вт/(м3-ср);
кц—линейный коэффициент теплопередачи цилиндрической
стенки, Вт/(м-К);
А^— коэффициент теплопередачи, Вт/(м2-К);
k= cp/cv — отношение теплоемкостей (показатель адиабатного
процесса);
k—постоянная Больцмана (k = 1,38-10"23 Дж/К);
k^-—спектральный объемный коэффициент поглощения, 1/м;
kK — константа равновесия;
kf — константа скорости реакции;
ki — константа скорости обратной реакции;
I, L — длина свободного пробега молекул газа до их
соударения, м;
/—длина цилиндрической трубы; толщина пластины;
размер обтекания тела; линейный размер тела, м;
р — давление, Па;
Ар — перепад давления, Па;
Q— количество теплоты или тепла *, Дж;
* Понятия теплоты или тепла — авторы считают полезным и необходимым
сохранить оба термина как равнозначные, так как теплота и тепло являются
синонимами. Это объясняется также и тем, что классики естествознания, все
классические учебники по термодинамике и теплопередаче и большая научно-
техническая литература в равной степени применяли оба термина. Поэтому нет
никакой необходимости пользоваться только одним из указанных терминов,
исключая другой.
4

q --• плотность теплового потока (удельный тепловой поток),
Вт/м2;
</„--- плотность внутренних источников тепловыделения,
Вт/м3;
qa -- линейная плотность теплового потока, Вт/м;
Я и — радиационный тепловой поток, Вт/м2;
г„ — теплота парообразования, Дж/кг;
R — полное термическое сопротивление, м2-К/Вт; радиус
вращения, м; универсальная газовая постоянная (R —
-= 8,3 Дж/(моль-К);
Rx — радиус затупления головной части летательного
аппарата, м;
S — поверхность теплообмена, м2;
Т — температура, К;
Тп — температура набегающего потока, К;
7\ — температура насыщения, К;
и2
Т0 — Т + -к-; температура заторможенного потока, К;
Tw — температура поверхности, К;
Tj — температура окружающей среды, К;
t -- температура, °С;
U — периметр канала, м;
и, с, ш — относительные скорости, м/с;
V—вектор скорости, м/с;
х, у, 2 — декартовы координаты, м;
xl = PilP — объемная (мольная) концентрация i-го компонента;
хэф — эффективная длина, м;
х — осредненный параметр;
а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2- К);
3 — коэффициент объемного расширения, 1/К;
Г. -- радиационный параметр;
у — угол стреловидности крыла, °;
Д - - толщина ударного слоя, м;
о — толщина стенки, толщина пограничного слоя, условная
толщина динамического пограничного слоя, м;
бт -- толщина теплового пограничного слоя, м;
6* — толщина вытеснения, м;
6** — толщина потери импульса, м;
6\— термическое сопротивление слоя, м2-К/Вт;
Т) — коэффициент аккомодации;
~Т—Tlt $W—TW—7\— избыточная температура, К;
= ■= ~- — —я безразмерная избыточная температура;
к— коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);
к — длина капиллярной волны, зависимая от геометрии
фитиля, м;
^м. зкв — эквивалентная теплопроводность контактирующих
материалов, Вт/(м-К);
^эф — эффективный коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);
р.— коэффициент динамической вязкости, Па-с;
v — коэффициент кинематической вязкости, м2/с;
\ — коэффициент гидравлического сопротивления;
р — плотность, кг/м3;
рп -- плотность пара, кг/м3;
а •— эффективное сечение площади столкновения
молекул, м2;
О— коэффициент поверхностного натяжения, Па;
т—время, с; касательное напряжение трения, Па;

Тш— напряжение трения, Па;
Ф — полярный угол, °;
• Bi -- ati'X — число Био;
Da = Ikjlu — критерий Дамкелера;
Ей -- р/(р"2) — критерий Эйлера;
Fo — ailP — критерий Фурье;
Fr =-= и"1(ц1) — критерий Фруда;
Sr —- g|3 AtP/v2 — критерий Грасгофа;
Le = pCpD/% =-- Pr/Sc — критерий Льюиса;
М == и/а — число Маха;
Nu — al/X — критерий Нуссельта;
Ре = ulla ----- RePr — критерий Пекле;
Рг — х/а ----- \1Ср/Х — критерий Прандтля;
Ra — g|3 AlPha — Gr-Pr — критерий Релея;
Re = ulh -■- upl/\i — критерий Рейнольдса;
Sc = \i!(pD)— критерий Шмидта;
St -- а/(риСр) — критерий Стаитоиа;
We = ри2А/(2яа) — критерий Вебера.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В КУРС ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
1.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Теорией теплопередачи или теплообмена называется наука,
изучающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным
полем. Процессы теплообмена возникают между различными телами или
отдельными частями одного и того же тела при наличии разности температур.
Наука о теплообмене насчитывает несколько столетни, но настоящего
расцвета она достигла лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении
назревших практических задач техники. Из раздела теоретической физики
учение о теплообмене превратилось в самостоятельную научно-техническую
дисциплину.
Особенно сложные и важные задачи стоят в области изучения теплообмена
в современной авиационной, ракетной и космической технике. При
сверхзвуковых скоростях полета значительно изменяются условия теплопередачи в
отдельных элементах конструкции летательного аппарата. Возникает необходимость
его охлаждения или защиты от аэродинамического нагрева, являющегося
следствием трения между поверхностью летательного аппарата и набегающим
потоком воздуха или потоком каких-либо других газов, составляющих атмосферы
планет.
Проблема тепловой защиты космического летательного аппарата от высоких
удельных тепловых потоков и высоких температур набегающего газового потока
при входе аппарата с гиперзвуковой скоростью в атмосферы планет (и в
частности Земли) разрабатывается в течение 30—40 лет. За это время
проведено широкое исследование различных видов теплозащитных материалов
и теплозащитных покрытий, обеспечивающих надежную тепловую защиту
летательного аппарата. Разработана теория и исследованы основные закономерности
термодинамики и теплообмена процессов воздействия высокоэнергетических
и высокотемпературных газовых потоков на различные конструкционные
материалы.
Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена возникают при
конструировании современных авиационных и ракетных двигателей. Высокая
тепловая напряженность реактивных двигателей, использование криогенных
топлив и многие другие важные вопросы требуют от современного конструктора
этих двигателей умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена
в них и их агрегатах.
Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах тепловых режимов
летательных аппаратов, кабин таких аппаратов, систем жизнеобеспечения и
кондиционирования, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры, а также
в современной атомной энергетике, в обеспечении тепловых режимов ядерных
энергетических установок и их безопасности.
Учение о теплообмене является частью общего учения о теплоте, основы
которого были заложены великим русским ученым М. В. Ломоносовым. Целый
ряд русских ученых Г. В. Рихман (1711 —1753), Б. Б. Голицын (1862—1916),
С. Я- Терешин (1863—1921) н другие исследовали процессы теплообмена и
заложили основы теплопередачи. Французские ученые — математики Ж. Б. Фурье
н С. Д. Пуассон в XIX столетии создали основы математической теории тепла.
Русский ученый В. А. Михельсон был первым исследователем, поставившим
в 1890 г. вопрос об изучении зависимости лучеиспускания от температуры и
длины волны. Основной закон излучения был открыт экспериментально
австрийским ученым И. Стефаном, а теоретически был выведен на основе второго закона
7

термодинамики австрийским ученым Л. Больцманом. Немецкий ученый В. Вин,
пользуясь методами термодинамики, установил одни из законов теплового
излучения, связывающий длину волны, соответствующую максимальной
интенсивности излучения черного тела, с абсолютной температурой излучающей
поверхности.
Немецкий ученый М. Планк в 1900 г. теоретически нашел закон
распределения интенсивности теплового излучения по длинам волн при различных
температурах, а Р. 3. Ленц провел в 1869 г. экспериментальные исследования,
подтвердившие связь между коэффициентами теплопроводности и
электропроводности металлов. Теория теплообмена строилась на так называемой
феноменологической основе, заключающейся в рассмотрении отдельных явлений как
некоторых изолированных закономерностей, которые могут быть описаны
математически без раскрытия физической сущности этих явлений. Примером такого
феноменологического рассмотрения явлений теплообмена может служить формальная
математическая теория теплопроводности, созданная Фурье и развитая
Пуассоном. Позже удалось глубже выявить физическую сущность процесса
теплообмена. Одновременно с этим была разработана общая методология исследования,
обработки и обобщения опытных данных, основанная на теории подобия.
Идеи, определившие общие принципы построения исследовательской работы,
были сформулированы советскими учеными к 1930 г. При их изложении
подчеркивалось, что в противоположность старым, феноменологическим, методам
исследований, основанным на изучении тепловых машин и аппаратов в целом, в новых
работах по теплообмену необходимо не только аналитически, но н
экспериментально детально исследовать физические явления, из которых складываются
рабочие процессы изучаемых машин и аппаратов.
Конец двадцатых и начало тридцатых годов являются периодом широкого
развития учения о теплообмене. Важное значение имели работы чл.-корр. АН
СССР А. А. Радцига, который правильно оценил значение теплообмена в технике.
В 20-е годы развитие учения о теплообмене в СССР возглавил академик
М. В. Кирпичев, школа которого заложила основы теории подобия и ее
приложения к вопросам теплопередачи. Советскими учеными были разработаны
оригинальные и эффективные способы расчета процесса теплопроводности с помощью
теории регулярного режима н метода элементарных балансов; были предложены
расчет конвективного теплообмена по методу теплового пограничного слоя,
расчеты теплопередачи при кипении жидкостей и конденсации паров, расчеты
различных случаев теплопередачи и, в частности, теплоотдачи перегретого пара при
высоких давлениях, расчеты взаимной облученности тел в задачах
радиационного теплообмена. Были разработаны также оригинальные методы
экспериментального изучения процессов теплоотдачи и теплопроводности различных
жидкостей, газов и водяного пара, определены их коэффициенты теплопроводности
при высоких давлениях и температурах, составлены таблицы водяного пара
и других рабочих веществ н разработаны нормы теплового расчета паровых
котлов. Были разработаны также вопросы нестационарной теплопроводности,
исследованы явления теплопередачи в двигателях внутреннего сгорания и
теплообмена при изменении агрегатного состояния теплоносителя.
Большое значение в технике приобрели процессы теплообмена в
движущихся средах. Как известно, течение любой жидкости или газа может быть
разделено на принципиально различные области ламинарного и турбулентного
течения. Теплообмен при ламинарном и турбулентном течениях имеет различный
характер. Теплообмен в движущейся среде (жидкость или газ) представляет
собой конвективный теплообмен, или, короче, конвекцию. При этом перенос
тепла осуществляется путем перемещения объемов жидкости или газа, а
следовательно, этот вид теплообмена неразрывно связан с переносом самой среды.
Обычно при технических расчетах теплообмен между потоком жидкости, газа и
поверхностью твердого тела называют конвективной теплоотдачей. Различают
свободную (гравитационную) и вынужденную конвекции.
Свободная, или гравитационная, конвекция осуществляется в потоке
жидкости или газа в поле массовых сил при наличии разности плотностей; вынужденная
конвекция — в потоке жидкости или газа, создаваемом внешними воздействиями
(насос, вентилятор, статическая разность давлений и др.).
8

В промышленности наибольшее значение имеет вынужденная конвекция при
турбулентном течении, хотя в приложении к задачам авиации и космонавтики
важны оба вида конвективного теплообмена и при ламинарном, и турбулентном
течениях.
Скорости потока, возникающие при свободной конвекции, сравнительно
малы, так что при наличии вынужденной конвекции она и определяет картину
течения и теплообмена.
Теплоотдача при вынужденной конвекции в турбулентном потоке зависит
от распределения осредненной скорости и пульсаций скорости. Однако эти
вопросы исследованы еще далеко не полно.
До начала развития учения о турбулентных течениях жидкостей и газов,
т. е. примерно до 1925 г., исследования теплообмена при турбулентном течении
основывались на предположении, сделанном О. Рейнольдсом, о том, чт'
теплообмен и перенос количества движения осуществляются одним и тем же
механизмом. Отсюда О. Рейнольде пришел к выводу, что теплообмен пропорционален
поверхностному трению.
В дальнейшем математический анализ осредненных уравнений движения
и теплообмена в турбулентном потоке показал, что эти уравнения оказываются
незамкнутыми, так как в них появляются члены, содержащие неизвестные
величины пульсаций скорости и температуры. До сих пор не удалось построить
теорию, позволяющую вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту.
Поэтому широкое распространение получили так называемые полуэмпирические
теории турбулентности, в основу которых положено представление о том или
ином виде связи между переносимой турбулентными потоками величиной
(количеством движения, количеством теплоты и т. п.) и осредненными параметрами
потока. Основы полуэмпирической теории теплообмена в турбулентном потоке
были заложены Л. Прандтлем и Б. Тейлором. В трудах академика Л. С. Лей-
бензона была разработана гидродинамическая теория теплообмена, получившая
практическое применение при исследовании теплообмена в трубопроводах.
Современные научно-технические проблемы теплообмена в потоках
жидкости, газа и плазмы настоятельно требуют знания законов турбулентного
движения для определения как интегральных, так и локальных характеристик.
Теория теплообмена имеет непосредственную связь с одной из крупнейших
научных проблем современности — созданием теории турбулентности.
В области теплообмена наметился также определенный пересмотр взглядов
на явления теплообмена и методы их изучения. Так, наряду со среднеинтеграль-
нымн характеристиками (средними по времени и пространству) наметилось
использование мгновенных локальных значений температур, коэффициентов
теплоотдачи и трения. Появились теоретические обобщения перехода от средне-
интегральных соотношений к отдельным локальным переменным
характеристикам теплообмена.
Значительное развитие теории теплообмена, вопросов тепло- н массообмена
достигнуто благодаря трудам советских ученых. Большое влияние на это
развитие оказали труды А. В. Лыкова и его школы. С помощью их работ получили
значительное развитие самые различные вопросы теории теплообмена
(теплопроводность, теплообмен при нестационарных режимах, конвективный теплообмен
и др.).
Широкое признание получили работы по теории теплообмена С. С. Кута-
теладзе. Им развита теория подобия в процессах теплообмена при изменении
агрегатного состояния вещества и сформулированы основные идеи
гидродинамической теории кризисов кипения.
В работах ряда советских ученых были широко развиты физические основы
теплообмена в газовых потоках. Различные виды теплообмена имеют
неодинаковую физическую сущность. Кроме того, эти процессы представляют собой
сложные физические явления. Все это заставляет исследователей в области
теплообмена обращаться к непосредственным экспериментам.
Фундаментальные работы по исследованию процессов тепло- и массообмена
применительно к задачам авиационной и ракетно-космической техники
проведены академиком В. С. Авдуевским и его школой. Им разработаны новые
вопросы тепло- и массообмена применительно к высокоскоростным газовым пото-
9

кам. Дана разработка теории пространственного пограничного слоя и
трехмерных отрывных течений, разработаны методы расчета газодинамики и
теплообмена при обтекании аппаратов сложной формы под большими углами атаки
в условиях взаимодействия трехмерного пограничного слоя с ударной волной.
В. С. Авдуевским создана теория тепломассопереноса при течении сверхзвуковых
изобарных и неизобарных струй применительно к реактивным двигателям.
Фундаментальные исследования процессов тепло- и массообчена в
разреженных газах выполнены академиком Ю. А. Рыжовым. Им создано новое
направление в термодинамике и теплопередаче по изучению взаимодействия
потоков разреженных частиц различных энергий с конструкционными материалами.
Это направление работ Ю. А. Рыжова по существу заложило основы
термодинамики илазмохимии. Ряд важных прикладных вопросов теплопередачи
применительно к авиационной и ракетно-космической технике решен в работах
членов-корреспондентов АН СССР Н. А. Анфимова, А. П. Ваничева, В. М. Иевлева.
Современное развитие молекулярно-кииетической теории также
способствовало развитию ряда разделов учения о теплообмене (переносные свойства газов
и газовых смесей при высоких температурах, разреженные газы и др.). Большие
задачи в области теории н практики теплообмена лежат в направлении создания
компактных теплообменников различного назначения, начиная от стационарных
установок и кончая теплообменниками на космических летательных аппаратах.
Для решения этой важной проблемы требуется применение всего
современного аппарата теории теплопередачи, дальнейшая разработка методов
интенсификации процессов теплообмена в них и получение надежных данных,
обеспечивающих быстрое проектирование теплообменников методами
автоматизированного проектирования.
Таким образом, курс теплопередачи является одной из важнейших
теплотехнических дисциплин, необходимых для современного инженера в области
авиационной, ракетной н космической техники.
1.2. ВИДЫ ТЕПЛООБМЕНА
В общем случае под понятием теплопередачи или
теплообмена понимается учение о процессах распространения тепла
в пространстве и времени.
Понятие теплопередачи (теплообмена) охватывает весь
комплекс явлений переноса тепла между телами или между частями
одного и того же тела, обусловленных разностью температур.
В общем случае перенос тепла представляет собой сложное
явление, связанное с различными физическими процессами.
Различают три основных вида теплообмена:
1) теплопроводность;
2) конвективный теплообмен;
3) лучистый теплообмен.
Теплопроводность представляет собой передачу тепла между
непосредственно соприкасающимися частями тела.
Теплопроводность не связана с макродвижением тел или частей тела и
осуществляется путем передачи энергии от одних элементарных
частиц тела к другим вследствие микродвижения этих
элементарных частиц. Для газов, например, такими частицами являются
молекулы.
Молекулы газа в той его части, которая имеет более высокую
температуру, обладают большей средней кинетической энергией.
При столкновениях молекул газа происходит обмен кинетиче-
10

T,->Pr
Рис. 1.!. Схема nji'
бодной конвекции
lecca
сноской энергией, в результате чего тепло
передается от более нагретых частей
тела к более холодным.
В чистом виде явление
теплопроводности наблюдается в твердых телах,
в абсолютно неподвижных газах и
жидкостях при условии
невозможности возникновения в них конвективных
токов.
В газах и жидкостях явление
теплопроводности обычно сопровождается
рядом других физических явлений,
например макродвнженпем массы газа
нлн диффузией и связанным с этим
переносом тепла. 'Изучение явления
теплопроводности в металлах показывает, что в них механизм
переноса тепла аналогичен механизму электропроводности.
Согласно современным воззрениям электропроводность
металлов связана с наличием в них свободных электронов, а,
следовательно, в металлах процесс теплопроводности также связан с
движением электронов, которые играют роль передатчиков тепла.
В простейшей теории теплопроводности металлов принимается,
что свободные электроны в металлах ведут себя подобно
молекулам газа, т. е. перемещаются между атомами твердого тела и
осуществляют перенос энергии, а следовательно, передачу тепла
теплопроводностью.
Конвективным теплообменом называют процесс переноса тепла
в жидкой или газообразной среде с неоднородным распределением
температуры и скорости, осуществляемый макроскопическими
частями среды при их перемещении. Конвективный теплообмен
всегда сопровождается теплопроводностью.
В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости
или газа, различают:
а) конвективный теплообмен при свободном движении среды
(свободная, или гравитационная, конвекция);
б) конвективный теплообмен при вынужденном движении среды
(вынужденная конвекция).
Свободная конвекция имеет место тогда, когда движение
жидкости или га.за осуществляется в поле массовых сил при
наличии разности плотностей среды в рассматриваемом объеме,
что, в свою очередь, может быть обусловлено неоднородностью
температурного поля этого объема. Например, если нагревать
сосуд с жидкостью (рис. 1.1), то частицы жидкости, имеющие
более высокую температуру (Т2 > 7\), вследствие уменьшения их
плотности (р2 < f>i) будут всплывать, т. е. вытесняться более
холодными слоями, и переносить с собой теплоту; в сосуде
возникнут конвективные токи. Очевидно интенсивность переноса
тепла при прочих равных условиях будет зависеть от коэффи-
11

Рис. 1.2. Схема процесса
теплопередачи
циента объемного расширения,
плотности и вязкости среды.
Вынужденная конвекция имеет
место тогда, когда движение
жидкости или газа вызвано внешними
причинами (насосом, компрессором,
вентилятором, движением летательного
аппарата в воздухе и др.). В одной
и той же среде теплообмен при
вынужденной конвекции протекает
значительно интенсивнее, чем при
свободной конвекции, и поэтому
в технике при решении вопросов,
связанных с необходимостью
перетепла, используется вынужденная
дачи больших количеств
конвекция.
Лучистым теплообменом называется перенос тепла
излучением, обусловленный способностью нагретого тела превращать
часть принадлежащей ему внутренней энергии в лучистую или
в энергию электромагнитных колебаний, испускаемых нагретым
телом. Встречая на своем пути другое тело (вещество),
тепловые лучи частично поглощаются, и их энергия снова
превращается в теплоту, а частично отражаются и проходят сквозь
тело.
Тепловое излучение подчиняется основным законам
распространения света, т. е. законам отражения, преломления и
поглощения. В чистом виде лучистый теплообмен имеет место лишь
в условиях глубокого вакуума, например между поверхностью
летательного аппарата, совершающего полет в дальнем космосе,
и окружающими его пространством и телами. Чаще же мы имеем
дело со всеми тремя видами теплообмена одновременно, т. е. на
практике обычно имеет место сложный теплообмен. Однако
комплексное математическое изучение закономерностей,
управляющих сложным теплообменом, затруднено, поэтому часто
предварительно изучают каждый вид теплообмена в отдельности, а
затем переходят к расчету сложного теплообмена (рис. 1.2).
При решении конкретных практических задач количество
тепла, переданное теплопроводностью, излучением и конвекцией,
может быть весьма различным, поэтому в расчетах часто
пренебрегают !v,:,j.ci\;,i теплообмена, роль которых в рассматриваемом
случае несущественна, и весь процесс сводят к основному
определяющему виду теплообмена.
Для удобства технических расчетов введено понятие о двух
видах теплообмена, которые называют теплоотдачей и
теплопередачей. Теплоотдачей называется процесс теплообмена,
возникающий между твердым телом и омывающей его жидкой или
зообразной средой. Теплопередачей называется процесс тепло-
' 1» еНЭ' В03ника10ш.ий между жидкими или газообразными сре-

дами, разделенными твердой стенкой. Этим же термином иногда
пользуются и в качестве обобщающего наряду с термином
«теплообмен».
1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Процессы теплопередачи возникают между телами, если
температура их различна. Тело или среда, имеющие более высокую
температуру 7\, называются теплоотдаюпшми. Соответственно
тело или среда с температурой Т2 < 7\ называются тепловоспри-
нимающими.
Разность температур AT -= 7\ — Т2 > 0, вследствие которой
возникает процесс теплообмена, называется температурным
напором.
Количество тепла, проходящее через данную контрольную
поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком (Q).
Тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности,
называется плотностью теплового потока или удельным тепловым
потоком (q).
Всякое физическое явление протекает в пространстве и во
времени. Поэтому изучение физического явления может быть
сведено к изучению пространственно-временных изменений величин,
его характеризующих.
Математическая физика вводит понятие поля физической
величины, под которым понимается совокупность мгновенных
значений этой величины во всех точках рассматриваемой области. Так,
например, совокупность значений температур во всех точках
какого-либо тела в данный момент времени т называется
температурным полем этого тела.
Температурное ноле (рис. 1.3) в декартовой системе координат
задается уравнением вида
Т - /(х, у, z, т), (1.1)
где Т — температура, зависящая от пространственных
координат данной точки х, у, z и
времени т.
Температура Т является
скалярной величиной, поэтому и поле
температур — скалярное поле.
Приведенное определение поля
справедливо и для векторных физических
величин, показывающих не только
величину, но и ' направление
(скорость, ускорение, сила). Такое поле
называется векторным полем
величины.
В некоторых задачах теплообмена
уравнение температурного поля удобнее Рис, ьз. Схема температур-
загшеьшать в цилиндрической или ного поля
13

сферической системе координат. В первом случае уравнение (1.1)
имеет вид
T~f(r, ф, г, т), (1.2)
где Т — температура; г — расстояние от оси z до данной точки;
Ф — угол отклонения радиуса г от выбранного начального
направления; х — время.
Во втором случае
T=f(r, Ф, Ь т), (1.3)
где г — радиус-вектор; ф и ty — полярный и азимутальный углы.
Перемещение из какой-либо точки температурного ноля в
произвольном направлении будет характеризоваться некоторым
изменением температуры. Если бесконечно малым приращениям
пространственных координат соответствуют бесконечно малые
изменения температуры, то такое температурное поле называется
непрерывным. В этом случае производная от температуры по
любому направлению имеет конечную величину. Если бесконечно
малым приращениям хотя бы в одной точке поля отвечает конечное
или бесконечно большое изменение температуры, то ноле
называется разрывным. Последующие рассуждения будут относиться
только к непрерывным температурным полям.
Тепловые режимы, характеризуемые изменением температуры
во времени, носят название нестационарных, или
неустановившихся. Такому тепловому режиму соответствует нестационарный,
или неустановившийся, тепловой поток, изменяющийся по
времени. Нестационарным тепловым режимам отвечают
нестационарные температурные поля. Уравнения (1.1)—(1.3)
нестационарного температурного поля являются наиболее общими и
соответствуют случаям, когда температуры различных точек поля
изменяются по времени.
Тепловые режимы, характеризуемые неизменностью
температуры во времени, носят название стационарных, или
установившихся. Такому тепловому режиму соответствуют стационарные,
или установившиеся, тепловые потоки, не изменяющиеся по
времени. Стационарным тепловым режимам отвечают
стационарные температурные поля.
Уравнением стационарного температурного поля будет
уравнение
T = f(x,y,z), (1.4)
которое получается из условия неизменности температуры по
времени дТ/дх = 0.
В соответствии с приведенной классификацией тепловых
режимов и отвечающих им температурных полей принципиально
различают два класса задач теплообмена: нестационарные и
стационарные.
Температурные поля, характеризуемые уравнениями (1.1)—
(1-3), называются трехмерными, так как температура Т изме-

няется вдоль каждой из трех
пространственных координат. В практике
встречаются случаи двухмерного if
одномерного поля, где по одной или двум
из пространственных координат
температура не изменяется.
Так, например, уравнение вида
Т == / (х, у, т)
(1.5)
есть уравнение нестационарного
(дТ/дх Ф 0) двухмерного (дТ/дг -~ 0)
температурного ноля. Уравнение вида
Т+ДТ
Т = f (r)
(1.6)
Рис. 1.4. Схема к
определению понятия температурного
градиента
есть уравнение стационарного
(дТ/дт: = 0) одномерного (дТ/дар =
= dT/dty = 0) сферически симметричного температурного поля.
Поверхности, представляющие собой геометрическое место
точек с одинаковой температурой, называются изотермическими
поверхностями: Таких изотермических поверхностей в
рассматриваемой области поля можно провести сколько угодно. Вся
совокупность изотермических поверхностей однозначно определяет
температурное ноле в данный момент времени.
Уже из самого определения изотермической поверхности
вытекают два ее свойства:
1) изотермические поверхности не могут пересекаться друг
с другом, так как линия пересечения характеризовалась бы
неоднозначностью температуры, что физически невозможно;
2) изотермические поверхности не могут обрываться внутри
поля — они либо замкнуты, либо обрываются на наружных
границах тела.
При пересечении изотермических поверхностей какой-либо
плоскостью мы получим на ней следы в виде семейства изотерм.
Рассмотрим две весьма близкие изотермические поверхности
с температурами Т и Т + AT (рис. 1.4). Из второго закона
термодинамики и свойства изотермической поверхности как
геометрического места точек, имеющих одинаковую температуру, следует,
что тепловой поток не может распространяться вдоль
изотермической поверхности. Перемещаясь из точки А по какому-либо
направлению s, пересекающему изотермы, мы обнаружим
изменение температуры. При этом наибольшее изменение величины Т
на единицу длины будет, очевидно, наблюдаться при перемещении
по направлению нормали п к изотермической поверхности.
Предел отношения АТ/Ап при An -+- 0 называется
температурным градиентом, т. е.
AT дТ
(1.7)
jrad Т = lim
Дл ~0
Дл
дп
15

Температурный градиент есть вектор, направленный по
нормали к изотермической поверхности в точке А. Величина этого
вектора определяет приращение температуры на единицу длины
нормали к изотермической поверхности. За положительное
направление вектора градиента принимают направление возрастания
температуры. Для разных точек, лежащих на одной и той же
изотермической поверхности, величина температурного градиента
неодинакова: она будет больше там, где меньше расстояние An
между изотермическими поверхностями. Градиент температуры
может быть разложен но координатным осям: grad Т = ( —;—). +
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте основные задачи теории теплопередачи. Дайте
определение того, что понимается под общим явлением теплопередачи или теплообмена.
2. Назовите виды теплопередачи.
3. Дайте основные понятия и определения теории теплопередачи.

ГЛАВА И
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
2.1. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Количественная оценка тепла, проходящего внутри
данного тела вследствие теплопроводности, базируется на законе
французского ученого Фурье, сформулированном им в 1822 г.
Элементарное количество тепла dQ, проходящее через элемент
изотермической поверхности dF за промежуток времени dr,
пропорционально температурному градиенту дТ/дп:
dQ = -~k~-dFdx. (2.1)
Уравнение (2.1) представляет основной закон
теплопроводности Фурье, где коэффициент пропорциональности % называется
коэффициентом теплопроводности; знак минус в правой части
уравнения стоит потому, что в направлении распространения
тепла температура убывает и, следовательно, температурный
градиент дТ/дп является величиной отрицательной.
Если отнести количество тепла, переданное посредством
теплопроводности, к единице площади изотермической поверхности
и к единице времени, то получим плотность теплового потока или
удельный тепловой поток (Вт/м2)
Вектор
эйг- <">
q =-X~ = -lgradT (2.3)
нормален к изотермической поверхности и направлен в сторону
->
убывания температуры. Следовательно, векторы q и grad T коли-
неарны, но направлены в разные стороны (рис. 2.1).
На рис. 2.1 показаны различные изотермы Т + 2АТ, Т +
+ AT и др., полученные как результат пересечения
изотермических поверхностей с плоскостью чертежа.
Проекция вектора q на оси координат х, у, z
ч* = -х-дГ> я* = -*■-%-> q* = -x~dT- {2Л)
Если в каждой точке изотропного тела (т. е. имеющего
одинаковые свойства по всем направлениям) построить элементы нор-
17

grad T
Рис. 2.1.
потока
Т->-2АТ
Т+АТ
Т-АТ
Г-2 AT
Линии теплового
малей An к изотермическим
поверхностям, то совокупность этих нормалей
дает семейство кривых, называемых
линиями теплового тока. Они
указывают направление теплового потока.
Касательные к линии тока показы-
->
вают линии действия векторов q
и grad T, направленные в
противоположные стороны.
Из основного уравнения (2.1)
определим значение коэффициента
теплопроводности [Вт/(м-К)1
*" = (дТ/дп) dF dx " ( )
Численно коэффициент теплопроводности Я равен количеству
тепла, проходящего в единицу времени через единицу площади
изотермической поверхности при условии, что градиент
температур в рассматриваемой точке равен единице.
Коэффициент теплопроводности является одной из физических
характеристик вещества: он характеризует способность данного
вещества проводить тепло. Для различных веществ величина Я
различна. Лучшими проводниками тепла являются металлы, а
худшими — газы.
С помощью коэффициента теплопроводности Я и удельной
теплоемкости ср вещества с плотностью р может быть определено
другое его важное теплофизическое свойство —
температуропроводность. Температуропроводность характеризует тепловую
инерционность и выражается через коэффициент
температуропроводности (м2/с) а = Я/(ср).
Действительно, скорость выравнивания температуры в теле
зависит не только от того, как тело проводит тепло (Я), но и от
того, на сколько изменится температура единицы объема тела при
передаче ему данного количества тепла. А это последнее свойство
зависит от удельной объемной теплоемкости вещества (ср).
В зависимости от строения вещества и механизма процесса
распространения тепла различных тел значения коэффициента
теплопроводности также различны. Коэффициент
теплопроводности материала определяется экспериментально на
соответствующих лабораторных установках, конструкция которых зависит
от рода материала и его агрегатного состояния. Зависимость
коэффициента теплопроводности некоторых металлов от
температуры приведена на рис. 2.2.
В технических расчетах зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры приближенно выражают в виде линейной
функции
18
Я = Я0 (1 + bt),

где Х0 — значение коэффициента теплопроводности при 0 °С;
Ъ — постоянная, определяемая опытным путем в заданном
диапазоне температур.
Зависимость X от температуры может быть для различных
материалов и в различных диапазонах изменения температуры
как возрастающей, так и убывающей функцией.
Большинство теплоизоляционных материалов в авиационной
и ракетной технике имеют пористую структуру. Сложный процесс
распространения тепла в таких телах оценивается некоторым
средним значением коэффициента теплопроводности, увеличение
которого с ростом температуры объясняется не только
увеличением X, свойственным газам, заполняющим поры, но и
возрастанием лучистого, а возможно и конвективного теплообмена в
порах. В ряде практических случаев зависимостью коэффициента
теплопроводности от температуры можно пренебречь, проводя
расчет по некоторым средним значениям коэффициента
теплопроводности ^ср.
Согласно простейшей кинетической теории газов
теплопроводность в них осуществляется путем молекулярного переноса
энергии при соударении молекул.
Коэффициент молекулярного переноса тепла
в газе определяется следующим
соотношением:
X = _ wMLcvp,
где wM — средняя скорость движения
молекул газа, м/с или м/ч; L — средняя
длина свободного пробега молекул
газа между их соударением, м; cv —
массовая удельная теплоемкость газа
при V = const, Дж/(кг-К); р —
плотность газа, кг/м3.
Для идеальных газов Lp = const,
так как с увеличением давления в
равной мере повышается р и
уменьшается L. Поэтому коэффициент
теплопроводности для газов заметно не
изменяется при изменении давления. Однако
для очень малых давлений, когда
^длина L свободного пробега
молекул*становится больше, чем расстояние б
между теплообменивающимися
поверхностями (L > 6), коэффициент
теплопроводности такого разреженного газа
существенно зависит от давления,
уменьшаясь с понижением его. При
высоких давлениях теплопроводность
0\ 1 1 1 1 1
О ЬОО t, °С
Рис. 2.2. Кривые
коэффициентов теплопроводности
металлов:
/ ■— медь чистая; 7 — медь
99,9%; 3 — алюминий 99,7%;
4 — алюминий 99%; 5 —
марганец чистый; 6 — марганец
99,6%; 7 — цинк 99,8%; S —
платина чистая; 9 — никель
99%; 10 — никель 99,2%; // —
железо 99,2%; 12 — свинец
чистый технический
ML_
19

Ю!-Х,Вт/(м-/<)
500
400
300
200
Ю}-А,Вт/(м-К)
160
150
140
130
120
110
100
90
80
10
60
50
ио
30
20
10
О 200 400 600 800 t°C
7,
200 600 t.
——;
DC
1/
2/
<t^3
<^%
1
/
1 _
y^~
~Рис. 2.З. Кривые коэффициентов
теплопроводности различных гачов:
70
60
50
U0
30
20
te3
— водяной пар; 2
— во_*дух; 4 - аргон;
— азог; 7 — нодород
\,Вт/(м-К)
2,0
- углекислота;
5 - кислород;
2-7 S
0,16
0,12
0,08
от
-200 -100 0 t,°C100
Рис. 2.4. Кривые коэффициентов
теплопроводности гелия (1) и
водорода (2)
О 100 200 300 400 500 t,C
газов увеличивается с его ростом; так как при этом начинают
оказывать заметное влияние силы межмолекулярного
взаимодействия.
Температура газа влияет на среднюю скорость движения
молекул да„ и теплоемкость cv, в результате чего коэффициент
теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры.
На рис. 2.3 представлены экспериментальные значения
коэффициентов теплопроводности различных газов. Гелий и водород
отличаются высокой "теплопроводностью (рис. 2.4) — в Ю раз
большей, чем у других газов. На рис. 2.5 поедставлена
зависимость коэффициента теплопроводности жидких металлов и их
сплавов от температуры.
Характер зависимости коэффициента теплопроводности
жидкостей от температуры может быть объяснен на основе принятого
представления о механизме распространения тепла в капельных
жидкостях как о переносе энергии путем упругих
колебаний.
Такое представление, предложенное М. Ф. Широковым, и
теоретические положения А. С. Предводителева были использованы
Н. Б. Варгафтиком при анализе и обобщении опытных данных
по теплопроводности различных жидкостей. Из этих
положений была получена следующая формула для коэффициента
20

Рис. 2.5. Зависимость
коэффициента теплопроводности жидких
металлов и их сплавов от температуры:
Л, Вт/(м-К)
1 - натрий; 2 лапог. о - калии,
4 - о.тоап; 5 ■ <:ил.:'к состоящий т
'2о'У0 натрия н 7а% калпн; в - - инсмуа;
7 -- СНИНСЦ; > CIl.aJH. СОСТОЯЩИЙ ИЧ
44% снинца и Г>6% i-.ni.Myjj; 9 -- ртуть
теплопроводности жидкостей;
„ . 4 /3
„ /1 '-7'!'
где ср -- удельная
теплоемкость жидкости при р -■-
^■- const; (> - -плотность
жидкости; и, -масса молекулы.
Коэффициент Л пропорционален
упругих волн в жидкости и не зависит от ее природы. С изменением
температуры коэффициент Л изменяется по соотношению Лср ~
« const."Для t О "С Л = 3,58 ЛСГ3.
100 200 500 Ш 500 600 700 t,°C
скорости распространен:
2.2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При решении всех без исключения задач
теплопроводности как при стационарных, так и при нестационарных тепловых
режимах обязательным является знание поля температур, т. е.
пространственно-временного распределения температуры в
интересующей нас области. Это распределение подчиняется
основному дифференциальному уравнению теплопроводности, к выводу
которого мы и приступим.
Выделим в пространстве, занятом рассматриваемым веществом
(рис. 2.6), элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz,
параллельными
соответствующим осям координат, и
составим для него уравнение
баланса тепла.
Для этого сначала
подсчитаем количество тепла,
подведенного и отведенного через
грани процессом
теплопроводности.
Тепло dQXl, вошедшее в
параллелепипед через грань
AA1AiAs в направлении оси х,
dQXl = ЦхАР dx = qXldy dz dx,
где qXl —■ удельный тепловой
поток в сечении AA1AiA3,
21
Рис. 2.6. Схема баланса
прямоугольного элемента
тепла для

который можно выразить по закону Фурье (2.2) через
значение градиента температур в этом сечении (дТ/дх)Х1.
Аналогично выразится и тепло dQX!, покинувшее
параллелепипед через грань ВВхВгВъ, с той разницей, что удельный
тепловой поток qXl здесь будет иным: qx, — qXl -\ -~ dx, и,
следовательно, dQXl = qXldy dz dx.
Вычитая из dQXl значение dQx„ получим dQx, оставшееся
в элементе объема за время dx в результате движения тепла вдоль
оси х:
dQx -- dQXi —- dQtl =- ~dx dydzdx,
или после подстановки qx, определяемого по закону Фурье (2.3),
dQx = -j^-(%-^-)dx dydzdx. (2.6)
Выполняя те же операции для направлений у и г, получим
dQy-~{}^~)dydxdzdx (2.7)
и
dQz--=~(\-^^)dzdxdydx. (2.8)
Общее количество тепла dQx, аккумулированное в силу
теплопроводности в рассматриваемом элементарном объеме за время dx,
определится как сумма выражений (2.6), (2.7), (2.8):
dQx = dQx + dQy + dQz = [Л. (x -g-) + Л. (x *L) +
где dV = dx dy dz — объем рассматриваемого элемента.
Плотность теплового потока q, как всякий вектор, может быть
представлена через свои проекции на оси координат: qx, qy и q7
[см. формулы (2.4)1.
Если рассматриваемое вещество изотропно и однородно, т. е.
если X = const, то dQx выразится через оператор Лапласа у2 —
~^+1^+^ В ВВДе
dQ^-XV2TdVdx. (2.10)
В самом веществе могут протекать процессы, связанные с
выделением или поглощением тепла (экзо- или эндотермические
химические реакции), физические явления, сопровождающиеся
выделением или поглощением энергии (джоулево нагревание,
ядерные процессы, конденсации и др.). Если известна
характеристика этих процессов — интенсивность объемного тепловыделе-
22

ния, т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема
в единицу времени qv, то за время dx в объеме dV выделится тепло
dQv--=qvdVdx. (2.11)
Согласно закону сохранения энергии количество тепла dQv,
аккумулированное в элементарном объеме dV, вызовет в нем
соответствующее повышение температуры вследствие нагрева тела
от внутренних источников тепла.
Температура твердого тела является в общем случае функцией
четырех переменных х, у, г я х. Однако для твердого тела
пространственные координаты точек поля х, у, z не связаны с
координатой времени. Поэтому при рассмотрении явления
теплопроводности в твердом теле изменение температуры 6Г за бесконечно
малый отрезок времени dx выражается через частную
производную
8T = ~dx. (2.12)
Таким образом, тепло, аккумулированное в объеме dV в силу
теплопроводности (dQx) и объемного тепловыделения (dQv), можно
выразить через изменение температуры объема ЬТ в виде
dQx + dQv - ср dVbT. (2.13)
Подставляя сюда выражения (2.9) и (2.11), с учетом равенства
(2.12) получим
ЬТ 1 г д /. дТ \ д /. дТ \ д Л дТ \
~дГ == ~7р~ 1~дГ [к ~дГ) + 17 V ~W) +~дТ[к ~аГ J + qv
(2.14)
В случае твердого тела с изотропными и однородными
свойствами (X = const) вид уравнения упрощается:
~ = а У2Г + JV- . (2.15)
Уравнение (2.15) называется основным дифференциальным
уравнением теплопроводности при наличии внутренних
источников тепла. Оно устанавливает связь между временными и
пространственными изменениями температуры в любой точке поля,
а коэффициент температуропроводности а является
коэффициентом пропорциональности между этими изменениями, что отчетливо
видно из формы уравнения (2.15) при отсутствии объемного
тепловыделения:
-%-^а^Т. (2.16)
Можно сказать также, что в то время, как коэффициент
теплопроводности К характеризует теплопроводящую способность тел,
коэффициент температуропроводности а характеризует тепло-
инерционные свойства этих тел.
23

M(r, if, Z)
Рис. 2.7. Схема цилиндрической
системы координат точки
Рис. 2.8. Связь между
прямоугольной и цилиндрической
системами координат
Уравнения (2.15), (2.16) относятся к случаю нестационарного
теплового режима. Для стационарного теплового режима, когда
температурное поле не изменяется во времени (дТ/дх) = 0,
уравнение (2.16) перепишется в виде аУ2Г или
дх2 +
ду2
+
д2Т
дг2
= 0.
(2.17)
В технике часто возникает необходимость исследования
теплообмена и распределения температур в телах цилиндрической
формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых
стержнях и др. В этих случаях удобнее записать основное
дифференциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в
цилиндрической системе координат.
Для фиксированного момента времени температура Т является
функцией трех аргументов — координат х, у, z : Т = f (х, у, г).
В цилиндрической системе координатами являются: г —
радиус-вектор точки, ф — полярный угол, г — аппликата точки
(расстояние от основной плоскости) (рис. 2.7).
Декартовы координаты х, у, г связывают с цилиндрическими
(рис. 2.8) следующие выражения: х = r cos ф; у = г sin ф; z = z.
Подставив х я у как функции от г и ф в выражение для
температуры, получим Т = Т [х (г, ф), у (г, Ф), г] = Т (г, ф, z). Таким
образом, температура может 'быть представлена как некоторая
функция от цилиндрических координат.
Выведем выражение для оператора Лапласа в цилиндрических
координатах. Так как координата z в декартовых и в
цилиндрических координатах одна и та же, то достаточно найти выражения
для частных производных д2Т/дх2 и д2Т/ду2 в цилиндрических
координатах.
Составляя выражения первой и второй производных для
функции Т — Т (г, ф, z) и учитывая, что
получим
24
_дг_
дх
д2Т
дх2
=-0;
дг
ду
д2Т
ду2
= 0;
д2Т
дг2
0;
дг
дг
1 дТ
г дг
дг
+ ~2
= 0,
дгТ
Зф2

Следовательно, в цилиндрических координатах оператор
Лапласа примет вид
V2 = 1Й~ + Т ~д~ + ~г? 1^ + Тг~ ' (2-l ^
В случае использования сферической системы координат,
когда Т = Т (г, ф, г|>), где г — радиус-вектор точки, а ф и г|; —
полярный и азимутальный углы соответственно, оператор
Лапласа аналогичным путем легко приводится к виду
„2 _ jp__ _j__ jp_ i аг _2_ _а_ coscp _<э_
<3r2 "t* г2 <3ф2 r2 sin2 ф дф2 ' г дг ' r2 sin 9 дф
2.3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ
(УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ)
Основное дифференциальное уравнение
теплопроводности характеризует пространственно-временное изменение
температуры в любой точке поля, объединяя все без исключения
явления теплопроводности независимо от геометрической формы
тела, его физических свойств и условий взаимодействия с
окружающей средой.
Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений
теплопроводности. Для выделения из целого класса единичного
явления необходимо к дифференциальному уравнению
присоединить дополнительные условия, специфические для данного
конкретного случая. В эти дополнительные частные данные,
характеризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма
и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства
и краевые условия. Совокупность перечисленных данных
называется условиями однозначности. Таким образом, условия
однозначности подразделяются: на геометрические, характеризующие
форму и размеры тела, в котором протекает процесс; на
физические, характеризующие физические свойства тела, и на краевые,
характеризующие особенности протекания процесса в начальный
момент времени (начальные условия) и на границах тела
(граничные условия).
Условия однозначности позволяют выделить конкретный
процесс, т. е. дать полное его математическое описание. В задачах
теплопроводности начальные условия определяются заданным
распределением температур в изучаемом теле для какого-либо
момента времени т, предшествующего рассматриваемому и
принимаемому за начальный момент времени (т = 0). Уравнение
температурного поля для этого случая запишется в виде Т (х, у,
z, 0) = Т (х, у, г).
В целом ряде практических задач начальные условия имеют
более простой вид: Т (х, у, z, 0) = Т0 — const, т. е. температура
тела в начальный момент времени постоянна по всему его объему.
25

Граничные условия связаны с взаимодействием тела и
окружающей среды и для однородных тел могут быть заданы тремя
способами.
1. Граничное условие 1-го рода задается в виде распределения
температуры по поверхности в любой момент времени:
Tw = Т (*', у', г', х) = / (*', у', г', т); (х\ у', z) £ F,
где F — поверхность тела.
В стационарных задачах, а также в таких нестационарных
задачах, когда при х ->- оо тело стремится к некоторому
стационарному состоянию, функция Т (х, у, г) не зависит от времени,
т. е. температура каждой точки поверхности тела постоянна. В
частном, но весьма распространенном случае граничное условие
1-го рода может иметь вид Tw — const.
В более общих нестационарных задачах важными частными
случаями являются линейная и гармоническая зависимости
температуры поверхности от времени:
где b — постоянный коэффициент, и
Тш = Tm + A0 cos соГ,
где А0 — амплитуда; со — частота изменения температуры.
2. Граничное условие 2-го рода задается в виде удельного
теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой
момент времени:
Ц = / (*', У', z\ f); (*', У', г') £ F.
Причем, поскольку удельный тепловой поток, осуществляемый
посредством теплопроводности, согласно закону Фурье можно
представить в виде q = —Х-^-, где дТ/дп — значение производной
от температуры тела по нормали к его поверхности
непосредственно у самой поверхности тела, а X — коэффициент
теплопроводности тела, то граничные условия 2-го рода эквивалентны
заданным значениям производной дТ/дп в любой момент времени:
OJ Q 1 f / / / / \ / / / / \
~дГ = ~~ "Т = ~" X f(x ' у ' z ' т) = ф (х ' у ' z ' т)-
где ф (х', у', г', т) — заданная функция.
Этот случай граничных условий имеет место при нагревании
(охлаждении) тел посредством излучения и учитывается,
например, при расчете режимов работы радиационных холодильников
космических летательных аппаратов и др.
3. Граничное условие 3-го рода задается в виде температуры
окружающей среды и закона теплообмена между поверхностью
тела и окружающей средой. Этот процесс, как указывалось, носит
название теплоотдачи.
26

Интенсивность теплообмена между средой и телом зависит
от сложных физико-механических процессов, протекающих у
границы раздела. Их можно достаточно точно описать упрощенной
формулой теплоотдачи, предложенной Ньютоном: количество
тепла dQ, отдаваемое или воспринимаемое элементом поверхности
твердого тела dF за время dx, пропорционально разности
температур поверхности Tw и окружающей среды Tf, величине d F
и промежутку времени dx, т. е.
dQ — а (Тш — Tf) dF-dx,
где а = —-= ^r-JcTi—■ — коэффициент теплоотдачи.
\l w 1 f) иГ С1Х
Коэффициент теплоотдачи равен количеству тепла,
отдаваемого или воспринимаемого единицей площади поверхности в
единицу времени при разности температур между стенкой и тепло-
воспринимающей средой, равной одному градусу. В этот
коэффициент включена вся сложность явления теплоотдачи. Он должен
учитывать все особенности теплообмена и является функцией
большого числа переменных: плотности среды, скорости движения
среды, температур Tw и Tf, положения тела в потоке, размеров
тела, физических параметров среды (теплопроводности, вязкости,
теплоемкости и др.).
При практическом использовании уравнения теплоотдачи
приходится проводить ряд сложных экспериментов и из полученных
опытных данных находить для исследованных явлений
теплоотдачи значения коэффициента а. Поэтому все трудности расчета
теплоотдачи, заключающиеся в обилии влияющих на нее факторов,
сосредоточены в коэффициенте теплоотдачи а, так что расчетное
уравнение теплоотдачи Ньютона, несмотря на свою кажущуюся
простоту, по существу не вносит особых упрощений.
Итак, в случае граничных условий 3-го рода по закону
Ньютона q = а [Тш (х', у', z', х) — Tf], где а известно (задан закон
теплообмена и физические условия однозначности), a Tf = / (х',
у', z', х) —• известная функция координат и времени, тогда как q
и Tw неизвестны.
С другой стороны, конвективный удельный тепловой поток
у поверхности в любой момент времени равен потоку тепла внутрь
тела, осуществляемому посредством теплопроводности:
q = a(Tm- T,) = —к-дТ ,
откуда
b.JL- + a(Tw-Tf) = o.
Таким образом, математически граничные условия 3-го рода
представляют собой заданные функциональные связи между
неизвестными значениями функции Т и ее производной (дТ/дп)ш
27

на поверхности тела F. Хотя значение коэффициента теплоотдачи
а зависит от многих факторов, при решении нестационарных
задач с граничными условиями 3-го рода часто приближенно
принимают а ~ const.
К граничным условиям 2-го и 3-го рода относятся те же
замечания о возможном характере зависимости заданной функции
/ (х\ у', z', т) от времени (линейный и гармонический закон), что
и для условий 1-го рода.
Важным для понимания дальнейших разделов курса, в
частности, главы, посвященной нестационарной теплопроводности,
является то обстоятельство, что при очень больших значениях а
или малых к задача с граничными условиями 3-го рода переходит
в задачу с граничными условиями 1-го рода.
В самом деле, Tw — Tf ~- —=— и, если (к/а —> 0) (т. е.
а —>- оо или к —>- 0), то Tw -- Tf (x', у', г', т), т. е. температура
поверхности тела в любой момент времени задана и равна
температуре окружающей среды Tf.
Ниже мы рассмотрим некоторые простейшие задачи
стационарной теплопроводности в твердых телах.
2.4. ПЛОСКАЯ СТЕНКА
Если плоское тело (пластина) имеет толщину б,
значительно меньшую двух других характерных линейных размеров
(ширины и длины), граничные условия не зависят от координат
границы, можно пренебречь отводом или подводом тепла через
торцы, считая, что тепловой поток направлен перпендикулярно
поверхности пластины (рис. 2.9). Задача в этом случае является
пространственно одномерной, а следовательно, температурное
иоле зависит только от одной
координаты х, поскольку
дТ
ду
дг
При отсутствии объемного
тепловыделения (qv = 0) и постоянном к
уравнение теплопроводности (2.17) имеет вид
сРТ
dx2
= 0.
(2.19)
Рис. 2.9. Схема
распределения температуры в
плоской стенке
28
Закон распределения температур по
толщине стенки найдется двойным
интегрированием выражения (2.19):
Т =- Сгх + С2, (2.20)
где Cj и С2 — постоянные
интегрирования.

Из уравнения (2.20) видно, что распределение температур
в сгенке следует линейному закону. Изотермические поверхности
представляют собой плоскости, параллельные поверхностям
стенки и нормальные к оси х.
Для определения постоянных интегрирования Сх и С2 в
уравнении (2.20) воспользуемся граничными условиями 1-го рода,
т. е. зададимся следующим законом распределения температур
на поверхности тела для любого момента времени: при х - 0
Т ----- Тш); при х --■- б Г 7Vj, где Гш1 > Гю2.
Подставляя заданные значения температур па границах в
уравнение (2.20), найдем С2 = Тш и С\6 + 7'^ ---- Тш, откуда
Сг = Isizilsa.. (2.21)
Подставляя значения Сг и С2 в уравнение (2.20), получим
Т = '^2"" Тап х -\- Twl. (2.22)
Выражение (2.22) и есть решение задачи, так как описываемое
им распределение температур удовлетворяет как
дифференциальному уравнению (2.19), так и поставленным граничным условиям.
Для определения количества тепла, проходящего через
элемент стенки в единицу времени (<1х =-■= I), воспользуемся законом
Фурье (2.1), согласно которому
dQ -^—xJL-dF.
^ ах
Из уравнений (2.19) и (2.21) имеем -^- =- С\ -- -г1-~т~—-,
j 1
следовательно, dQ — к-^1——^ dF.
Для участка поверхности площадью F находим
Q = -j-(Tail-Tw2)F. (2.23)
Обозначим
Тш - Tw2 - ATW. (2.24)
Тогда
Q - 4 Д7\у. (2.25)
Количество тепла, проходящее через единицу поверхности
стенки за единицу времени, определяется соотношением
или с учетом выражения (2.24)
"6
Я (2.27)
<7 -— "с" A' w
29

Рис. 2.10. Схема
распределения температуры при
теплопередаче через плоскую
стенку
Из формул (2.23) и (2.26) видно,
что количество тепла, проходящее
сквозь стенку, зависит от разности
температур на поверхностях ATW.
Отношение Х/8 обычно называется
тепловой проводимостью стенки, а
обратная ей величина 6Д —
сопротивлением теплопроводности плоской
стенки.
В случае граничных условий 3-го
рода в рассматриваемой задаче
должны быть заданы температуры сред,
омывающих стенку TnTf2 (Tn > Г/2),
и коэффициенты теплоотдачи аг и а2.
Этот процесс носит название
теплопередачи через стенку и в стационарном
случае распределение температур в
средах и плоской стенке показано на
рис. 2.10. Температуры среды и стенки в точке их
соприкосновения совпадают. В качестве Tf принимается температура среды
на достаточном удалении от стенки.
Удельный тепловой поток, который получает стенка,
определяется законом Ньютона q = ссг (Тп — Twl), но из условия
непрерывности теплового потока он должен равняться тепловому
потоку, отводимому в силу теплопроводности внутрь стенки.
В стационарной задаче для плоской стенки этот поток, как было
X
показано, может быть записан в виде (2.26): q = -~- (Тш1 — Тт),
но здесь, в отличие от задачи с граничными условиями 1-го рода,
температуры Тш1 и Тт нам неизвестны.
Тепловой поток, отводимый тепло воспринимающей средой,
по закону Ньютона может быть представлен в виде q = а2 (Тш1 —
— Tw2); он также равен потоку, идущему через стенку
посредством теплопроводности.
Полученная система
q = a.1 (Тп — Тш1); q = -j- (Twl — Tw2); q = cc2 (Tw2 - Tfi),
(2.28)
где известны Twl, T^ и q, легко может быть решена путем деления
обеих частей уравнений (2.28) на аи к/б и а2 соответственно.
Преобразованная таким образом система примет вид
_1_
а.
Тп - Та
Ц -y — / ш1
Twi — Т /2-
(2.29)
Складывая почленно отдельно левые и правые части
уравнения, получим q (—+ Т" + ~) = Т*1 ~ Т'*> откУДа
q = К (Тп - 7Л), (2.30)
30

где
К =
1
1/а1 + 6/Х+ 1/я2
Величина К называется коэффициентом теплопередачи, а
обратная ей величина
R = 1//С = 1/cxi + б/А + 1/сс2 — полным термическим
сопротивлением. Это полное сопротивление является суммой уже
известного нам сопротивления теплопроводности б/А, и двух
сопротивлений теплоотдачи 1/ах и 1/а2.
Выражение для теплового потока при теплопередаче через
стенку (2.30), пользуясь понятием полного термического
сопротивления, можно переписать в виде
п — Tfl ~ rf2
R
(2.31)
Все величины, входящие в правые части выражения (2.30)
и (2.31), заданы условиями однозначности.
Неизвестные значения температур поверхностей стенки Twl
и Tw2 могут теперь быть определены с помощью первого и третьего
уравнения системы (2.28), поскольку величина q вычисляется
по формулам (2.30), (2.31).
Например,
Twl = Tn - <7/«i. (2-32)
Полученные выше решения задачи о теплопроводности плоской
однородной стенки с граничными условиями 1-го и 3-го рода
легко распространяются на случай, когда стенка состоит из ряда
слоев различных материалов.
Пусть многослойная стенка состоит из п плотно прилегающих
Друг к другу слоев (рис. 2.11), коэффициенты теплопроводности
которых равны Alt А2, ..., Ап, а толщины — 6\, 62, ..., б„
соответственно. Вследствие
стационарности задачи удельный тепловой
поток, проходящий через каждый
слой, для всех слоев будет одинаков.
Если бы было иначе, то тепловое
состояние какого-то слоя или
нескольких слоев изменялось бы во
времени, поскольку входящее в него
в единицу времени количество тепла
было бы отлично от выходящего.
Это привело бы к изменению во
времени его температуры, что
противоречит принятому в этом разделе
условию стационарности
температурного поля дТ/дг = 0. п „ ,, г
о „„ , ' „ , Рис. 2.11. Схема распределения
В случае граничных условии 1-го темПературы в многослойной
рода, т. е. когда заданы темпера- плоской стенке
31
»(**!)■
1

туры на внешних поверхностях многослойной стенки Тт и
Тш (п4Л), можно записать для удельных тепловых потоков в
каждом из слоев следующее:
q ^ ~б7 ^ТаЛ ~ Тда^; (2.33)
Ц = —5 (Тшп — Tw (гс+1))-
Напомним, что в этой системе нам ааданы лишь температуры
Тw\ и Tw (п+1), остальные величины пока неизвестны.
Перепишем уравнения (2.33) в следующем виде:
£
7-г- = Twi - Тш3; (2.34)
Ц "л— =7шп — / to (п+1)-
Производя почленное сложение, найдем
? (тГ + ТГ+--'+Хп-)=т-1" т-<^'>' (2-35)
откуда
или, что то же,
г г
'ml ' w (n+l)
4 ~ 6iAi + 61A1 + • • • + 6„Мп *
т т
_ J ml J ю (п+1)
" п >
1=1
где i — номер слоя. Очевидно сумма, стоящая в
знаменателе, есть суммарное термическое сопротивление многослойной
стенки.
Иногда при расчете многослойной стенки вводят в
рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности Я,экв, который
равен коэффициенту теплопроводности фиктивной (однослойной)
стенки, толщина которой равна суммарной толщине исследуемой
п
многослойной стенки 2 6f при условии, что разности температур
i=i
на границах однослойной и многослойной стенок одинаковы,
а количества тепла, проходящие через них в единицу времени,
совпадают.
32

Таким образом, для воображаемой однослойной стенки
Ц= %™ [Г».-Г. (г.+1)], (2.86)
где Яэкв — эквивалентный коэффициент теплопроводности,
определяемый из равенства уравнений (2.36) и (2.35):
п
1,8i
^эив = — п • (2.37)
i=i
Эквивалентный коэффициент теплопроводности дает
возможность сравнить теплопроводящие свойства многослойной стенки,
составленной из разнородных материалов, с однослойной стенкой,
выполненной из однородного материала.
Графически распределение температур по сечению
многослойной стенки (см. рис. 2.11) представляется ломаной линией, причем
внутри каждого слоя это распределение описывается уравнением
Txl = Twi - qxtlU, (2.38)
где Xi ■— расстояние от начала г-го слоя, т. е. от плоскости его
соприкосновения с (i — 1)-м слоем, где температура равна Twi.
Пользуясь этим выражением, по аналогии с выражением
(2.32) можно последовательно найти неизвестные температуры на
границах всех слоев Tw2, Tw3, ..., Twn.
Абсолютная величина тангенса угла наклона зависимости Т (х)
в каждом из слоев тем больше, чем меньше коэффициент
теплопроводности данного слоя %. Это вытекает из закона Фурье qt =
= —Xt grad T, так как при постоянстве q во всех слоях
величины % и grad T связаны обратно пропорциональной
зависимостью.
Это рассуждение распространяется и на случай однослойной
стенки с переменным значением Я., зависящим от координаты
или от температуры. Легко показать, что если в однослойной
стенке (см. рис. 2.9) Я. = К0 (1 -f ЬТ) и Ь > 0, то распределение
температур в ней не будет носить линейный характер как при
Я. = const, а будет представляться кривой, наклон которой -т~
будет возрастать с ростом координаты х, поскольку коэффициент
теплопроводности с приближением к более холодной поверхности
такой стенки уменьшается. К аналогичному выводу можно прийти,
если условно разбить однослойную стенку на ряд тонких слоев,
теплопроводность каждого из которых принять постоянной.
Если в задаче о теплопроводности плоской многослойной
стенки заданы граничные условия 3-го рода, то расчетное уравне-
2 Авдуевский 33

ние теплового потока через такую стенку легко получить, добавив
к системе (2.33) выражение для конвективных тепловых потоков
между внешними поверхностями стенки и омывающими ее
средами, аналогично выражению (2.28): q = аг (Тп — Twl); q —
= а2 [TW(n+ii — Г/2]. В этом случае удельный тепловой поток
также выразится соотношением q = К {Tfl — Г/2), только в
знаменатель выражения для коэффициента теплопередачи
К = И (2-39)
i+l
войдет сумма сопротивлений теплопроводности всех п слоев.
Полное термическое сопротивление в этом случае будет
i-+S4r+ib <2-40>
к
2.5. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СТЕНКА
Если предположить, что круговая цилиндрическая
оболочка имеет длину достаточно большую, чтобы теплоотводом
с торцов можно было пренебречь, и что граничные условия не
зависят от полярного угла ср и продольной координаты z, то задача,
как и в предыдущем разделе, становится
пространственно-одномерной. Поле температур в стационарном случае изменяется
только по радиусу г, а следовательно, основное дифференциальное
уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат
(2.17) примет вид
dr2 ^ r dr u- ^ ;
Обозначая dT/dr через и, получим -т— = и, откуда, раз-
du dr
деляя переменные, = .
После интегрирования последнего выражения получим In и =
= —In r-f С, или In и = —In r -|-,ln Ci, откуда
-#- = в = -т- (2-42)
После повторного интегрирования выражения (2.42) общее
решение уравнения (2.41) получим в виде
Г = d In r + С,. (2.43)
Из двух последних выражений можно заключить следующее.
1. Удельный тепловой поток в цилиндрической стенке q —
г. дт ,
= —л-г— непостоянен по толщине и убывает к внешней поверх-
34

ности трубы (—z—~— ), Это
связано с тем, что в стационарных
условиях должен быть постоянным
полный тепловой поток,
проходящий через участок цилиндрической
трубы длиной / и равный qF, где
F = 2лг1; поскольку же F
увеличивается с радиусом, то, естественно,
удельный тепловой поток должен
убывать.
2. Температура по толщине
цилиндрической стенки изменяется
нелинейно — по логарифмическому
закону (2.43) (рис. 2.12).
Постоянные интегрирования d и С2 находим из граничных
условий. Граничные условия 1-го рода для рассматриваемой
задачи можно записать в виде
Рис. 2.12. Схема распределения
температуры в цилиндрической
стенке
Ттг = Т (П) = Сг 1П Гг + С3;
Тш = Т (л,) = d In r2 + С2.
Решая эту систему относительно d и С2, получим
С1 =
In (rjr.z)
и С,
Т,,„ In г,
In (Va)
(2.44)
(2.45)
Подставляя эти выражения в решение (2.43), получим
следующее выражение для распределения температуры в
цилиндрической стенке:
7 = Twl 1п ^^ + Гшг 1п ^'г^
1п (/■„—гг)
(2.46)
Легко убедиться, что это решение удовлетворяет заданным
граничным условиям (2.44).
Количество тепла, проходящее через участок цилиндрической
стенки длиной / в единицу времени, согласно закону Фурье будет
Q
■%-^-12пг.
аг
Подставляя в это выражение значение dTjdr из выражения
(2.42) и учитывая равенства (2.45), найдем:
Q =
ЧГ„
Т шг)
In (Гг/rJ
2nl.
(2.47)
Из формулы (2.47) видно, что Q действительно не зависит от
текущего радиуса и определяется отношением наружного радиуса
к внутреннему.
2* 35

В практике технических расчетов
обычно относят тепловой поток Q к
единице длины цилиндрической трубы:
Q
— = <7ц
2я/
(Jwl ' аЛ)-
1П (Г,//-!)
(2.48)
Эта величина, в отличие от плотности
потока, не зависит от текущего радиуса
и называется линейной плотностью
теплового потока.
В задаче с граничными условиями
3-го рода (рис. 2.13) заданы
температуры сред, омывающих трубу с
внутренней (Tfl) и наружной (Тп) сторон, а
также соответствующие значения
коэффициентов теплоотдачи аг и сс2.
Конвективный тепловой поток на единицу длины трубы с
наружной и внутренней сторон может быть выражен согласно закону
Ньютона и должен равняться линейному тепловому потоку,
переносимому теплопроводностью через цилиндрическую стенку
(2.48). Выписав все эти выражения, получим систему:
<7ц = ai (Tfi — Тш1) 2лгх;
Рис. 2.13. Схема к задаче
с граничными условиями 3-го
рода
In (r2/ri)
<7ц — а2 \ТиЛ
(Тал — Tw2) 2ic;
(2.49)
Т,г) 2icr2,
решая которую уже известным [см. выражения (2.28) и (2.29) ]
методом, найдем
Яи = пКц(Тп-Т,2), (2.50)
где
я#ц=г_ __£L_ (2.51)
1
2ахгх 2\ rx ^2а,г,
Коэффициент /Сц называется коэффициентом теплопередачи
цилиндрической стенки. Коэффициент Кп численно равен
количеству тепла, проходящему через стенку трубы длиной в 1 м в
единицу времени от одной среды к другой, если температурный напор
между ними равен 1 К.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи,
1
2а1г1
+
1
2Я,
1п-^- +
2а8г,
(2.52)
называется полным термическим сопротивлением трубы, причем
слагаемые 1/(2а1гг) и 1/(2а2г2) называются термическими сопро-
36

"(п*Л
тивлениями теплопередачи, а
слагаемое \/(2%) In {rjri) — термическим
сопротивлением теплопроводности стенки
трубы.
Итак, в случае цилиндрической
стенки сопротивление теплоотдачи
зависит не только от величин а, и а2, но
также и от диаметров dt = 2rt и d2 —
= 2r2.
Для случая многослойной
цилиндрической стенки (рис. 2.14) и
граничных условий 1-го рода методами,
совершенно аналогичными тем, которыми
мы пользовались при рассмотрении
многослойной плоской стенки, можно получить следующее вы
ражение для линейной плотности теплового потока:
Рис. 2.14. Схема
распределения температуры в
многослойной цилиндрической
стенке
<7ц =
[Гш1 ~~ Tw (п+1)] Я
п
£ l/2Xi In (di+1/di)
(=1
(2.53)
Точно так же для цилиндрической многослойной стенки
остается в силе то понятие эквивалентного коэффициента
теплопроводности, которое было введено для многослойной плоской
стенки:
<7ц =
2я*,кв Г,
w\
w (n+l)J
In (dn+Jdj)
(2.54)
Приравнивая правые части уравнений (2.53) и (2.54), будем
иметь
1П (rfn+lM)
*"экв —
(2.55)
2 i/xt in (dtjdi)
Пользуясь выражением (2.50), напишем уравнение для
определения температуры Tw{t+\) на границе между t-м и (i + 1)-м
слоями:
Tw(i+l) = Twi- -|a- (__in-i- + -j^-ln-
г)-
+
+ TT'"4f
(2.56)
В случае многослойной цилиндрической стенки, состоящей из
плотно прилегающих друг к другу слоев с соответствующими
коэффициентами теплопроводности Хи Я^, Xg по аналогии с плоской
37

многослойной стенкой, можно написать выражения для
коэффициента теплопередачи
Яд = -п (2.57)
и для теплового сопротивления
#ц = -зг- = -V+ У^-1п4^+ —г-- (2-58)
i=i
Температура Tw (,-+1) на границе между i'-м и (i + 1)-м слоями
определяется из уравнения
2.6. КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ
ТРУБОПРОВОДА
На практике часто возникает необходимость уменьшить
теплопередачу между средой, движущейся по трубопроводу,
и окружающим трубопровод пространством. Эта необходимость
может быть связана как со стремлениями уменьшить потери тепла
горячего теплоносителя, передаваемого по трубопроводу от одного
агрегата к другому (в этом случае тепловой поток направлен
от трубы в окружающую среду), так и сохранить в заданном
фазовом состоянии криогенное рабочее тело, например сжиженный газ
при подаче его из баков. В этом случае следует уменьшить поток
тепла из окружающей среды внутрь трубопровода и предотвратить
возможность вскипания жидкости.
В обоих случаях внутренний диаметр трубопровода du как
правило, задается исходя из потребного расхода, а толщина
стенок (d2 — d,)/2 и материал (A,j) трубопровода определяются из
расчета на прочность. Температуры внутренней и внешней сред
Тп и Tfl, а также соответствующие коэффициенты теплоотдачи ах
и а2 также полагаем заданными.
Рассмотрим, как будет изменяться полное термическое
сопротивление трубы при нанесении на ее внешнюю поверхность слоя
тепловой изоляции (рис. 2.15), коэффициент теплопроводности
которой ^из = Х2 задан выбранным нами теплоизоляционным
материалом (асбест, фторопласт, пенопласт и др.). Согласно
выражению (2.58) для двухслойной трубы можно записать
^ = Х = -^г + -^г1п^г+ж1п-|- + ^Г' <2-60>
38

где d3 — внешний диаметр трубы со
слоем изоляции.
В выражении (2.60) от толщины
слоя изоляции (диаметра d3) зависят
два последних слагаемых. Термическое
сопротивление теплопроводности
изоляции In (da/d2)/(2K2) растет с
увеличением толщины теплоизоляционного
покрытия, а термическое
сопротивление теплоотдачи l/(a2ds) уменьшается,
что связано с увеличением поверхности
теплоотдачи при увеличении внешнего
диаметра трубы d3. Очевидно, что при
таком характере изменения двух
слагаемых выражение- (2.60) может иметь
экстремум.
Исследуем на экстремум функцию RJd3. Приравняем нулю
первую производную от равенства (2.60) по d3:
Рис. 2.15. Схема цилиндра
с тепловой изоляцией
Ш'
1
Zfan&r,
0.
Из полученного уравнения найдем значение внешнего
диаметра d3, при котором Rn принимает экстремальное значение:
яКр — 2л2/а2.
(2.61)
Важно отметить, что критическое значение d3 не зависит от
внешнего диаметра изолируемого трубопровода d2, а определяется
лишь коэффициентом теплопроводности выбранного теплоизоля-
тора Х2 и коэффициентом теплопередачи с внешней поверхности
трубы а2.
Для того чтобы определить, является ли термическое
сопротивление 7?ц при d3 = dKp максимальным или минимальным,
найдем знак второй производной от 7?ц по d3 в данной точке (d3 =
— dKp). Для этого подставим в выражение
Ш'—
2Ms
+
a,d?
a2d4
2Х2
критическое значение диаметра (2.61). Тогда
I ЯцУ^кр 4X1 ^ 2; вяз ->
Это означает, что при d3 = dKV полное термическое сопротивление
системы Яц минимально (рис. 2.16).
Следовательно, если диаметр изолируемой трубы d2 больше
dKV, найденного для выбранного изоляционного материала (к2)
и условий теплообмена с окружающей средой (2.61), то покрытие
трубы слоем такой изоляции уменьшит теплопередачу через
39

Рис. 2.16. Кривые изменения коэффициентов полного
термического сопротивления и теплопередачи в
зависимости от внешнего диаметра изоляции
цилиндрическую стенку. В
когда d2 < dKp нанесение на
случае же,
поверхность
трубы выбранного изолятора первоначально
приведет к возрастанию теплопередачи, и
лишь после того, как наружный диаметр
достигнет и превысит критическое значение,
тепловой поток через стенку начнет убывать,
затем станет равным исходной величине,
которая была при отсутствии слоя изоляции,
и лишь затем станет меньше ее. Тогда следует попытаться
подобрать другой теплоизоляционный материал и (или) сделать
многослойную изоляцию так, чтобы какв > 12, и> если это не удастся,
пойти на снижение теплопередачи путем значительного
увеличения толщины изоляционного слоя (d3 > dKV).
2.7. ШАРОВАЯ СТЕНКА
Рассмотрим пространственно одномерную
стационарную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами
внутренней и внешней поверхности гг и г2 (рис. 2.17) и коэффициентом
теплопроводности материала стенки К. Одномерность задачи
означает, что распределение температуры в стенке зависит только
от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение
теплопроводности в сферической системе координат [см.
выражение (2.18)] примет вид
еРТ , 2 йТ
dr* ^ г dr
По аналогии с принятым в разд. 2.6,
0.
Тогда
du
IF
dT
dr
■ и или
du
и
2dr
г
обозначим
откуда после
(2.62)
через и.

интегрирования
или
In и = —21п г+ С
(2.63)
dT
dr
А.
Гц
(2.64)
где In d = С.
После повторного интегрирования
получим
Т (г) = -С г/Г + С2.
Это и есть искомое решение уравнения
(2.62). Отметим, что здесь в силу тех же
Рис. 2.17. Схема распределения температуры в
шаровой стенке
40

причин, что и в случае цилиндрической трубы (см. разд. 2.6),
распределение температуры нелинейно. Однако в отличие от
трубы это распределение представляет собой гиперболу.
В случае граничных условий 1-го рода, когда заданы
температуры внутренней Тш1 и наружной Тш2 поверхностей шаровой
оболочки, постоянные интегрирования Сх и С2 определяются
из системы уравнении
т. е.
Тш1 = —- + С2;
TW2 = ; Г Ьа,
'а
(2.65)
С,=
1Л1-1Л1 '
(2.66)
Ч —'1
После подстановки этих констант в выражение (2.64) получим
Т If) = Tm.iMr—Vr%)-lrTwt{\lrl — \lr) _ .2щ
В стационарной задаче полный тепловой поток Q=—Х—^-4лг*
не зависит от радиуса, так как общее количество тепла,
проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность, какой
здесь является любая сфера с радиусом гх < г <^ г2, должно быть
одинаково при любом г. Используя выражения (2.63) и (2.66),
получим
Q = T7^iA7(r--T-)- (2'68)
Для многослойной шаровой стенки в случае граничных
условий 1-го рода методами, изложенными в разд. 2.7, 2.8, легко
получить следующее выражение для теплового потока:
Q = _*"(Г»1-Га>("-И))> (2.69)
2 i/xto/rt-yri+1)
1=1
где Xt и Л; — коэффициент теплопроводности и внутренний радиус
(-го слоя.
Распределение температур внутри (-го слоя шаровой стенки
определяется соотношением (2.67) с заменой Twl, Tm, rx и rs
на Twi, Tw (t-+I), г,- и п+\ соответственно.
Задачи о теплопроводности однослойной и многослойной
шаровых стенок с граничными условиями 3-го рода решаются анало-
41

Рис. 2.18. Схема теплопроводности
стержня бесконечной длины
гично тому, как это делалось в
разд. 2.7 и 2.8, а потому здесь
не рассматриваются. Получить
соответствующие решения
предлагается читателю самостоятельно.
2.8. СТЕРЖЕНЬ
БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Рассмотрим
стационарную задачу о теплопроводности
стержня бесконечной длины
(рис. 2.18). Температура одного
конца стержня поддерживается
постоянной, равной 7\. Стержень
омывается средой с постоянной
температурой Tf. Коэффициент
теплоотдачи от стержня к среде а вдоль всей его боковой
поверхности будем считать постоянным. Коэффициент теплопроводности
материала стержня Я предполагается достаточно большим, а
поперечные размеры стержня по сравнению с длиной настолько
малыми, что изменением температуры в нем можно пренебречь.
Температура стержня Т, таким образом, считается функцией
только одной координаты: Т = / (х). Разность между местной
температурой стержня и температурой окружающей среды Т (х) —
—■ Tf обозначим через в (х). В начальной точке стержня (х —
= 0) 7\ - Tf = вх.
Рассмотрим тепловое равновесие элемента стержня,
удаленного от его начала на расстояние х, имеющего длину их, площадь
поперечного сечения F и периметр сечения U.
Количество тепла, входящее в рассматриваемый элемент
стержня через сечение I—I за единицу времени, согласно закону
Фурье
<г- = -Ч-зг)/- (2J0)
Аналогичная величина в сечении II—II, расположенном на
расстоянии (х + dx) от начала стержня, будет
Согласно закону Ньютона (2.18), боковой
стержня (х + dx) будет отдано количество тепла
dQ = ави dx.
(2.71)
поверхностью
Составляя тепловой баланс для элемента стержня,
Qx — Qx+dx — dQ;
(2.72)
получим
(2.73)
(2.74)
42

Принимая во внимание, что
получим
Вводя
обозначение
(de/dx)x+dx — (de/dx)x
dx
dx2
Рг =
= а6(/.
aU
IF '
d20
dx2 '
находим
(2.75)
(2.76)
(2.77)
iJ- = p20- (2-78)
Решение полученного линейного дифференциального
уравнения второго порядка можно представить в общем виде:
в = СхеР* + С2е-Р*. (2.79)
Постоянные d и С2 могут быть найдены с помощью граничных
условий: при х = 0 в = Сх = Сх + С2; при х -»- оо в = 0 =
= de-.
Последнее равенство выполняется только при условии d = О,
следовательно, С2 = 0Х и 8 = 6ie_P*. (2.80)
Количество тепла, отдаваемое всей боковой поверхностью
стержня, можно получить как тепловой поток, входящий в
стержень через его основание
u = -^(-lrLo- <2-81)
Так как согласно равенству (2.80) (—г-j =—Рвц
dx Jx=o
то Qx = XFf,01 (2.82)
или
Qi= QiVaUkF. (2.83)
Если теплоотдача от стержня к среде идет не по всей
поверхности стержня, то под величиной U надо понимать ту часть
периметра сечения, по которой осуществляется теплообмен. Для
стержня круглого сечения с диаметром d при теплоотдаче по
всей поверхности получим
Р = 2|/^; (2.84)
Q1^~@iy%^d. (2.85)
43

2.9. СТЕРЖЕНЬ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Если длина стержня конечна, то температура на его
конце не будет равна температуре окружающей среды, а потому
выведенные выше формулы не будут справедливы.
Пусть длина стержня равна L, а превышение температуры
холодного конца стержня над окружающей средой — 6L.
Теплоотдачей с торца стержня будем пренебрегать или учтем ее
увеличением длины стержня с таким расчетом, чтобы боковая
поверхность удлиненного стержня равнялась бы полной боковой и
торцевой поверхностям реального стержня.
Общее решение (2.79) дифференциального уравнения (2.78)
в = deP* + С2е-Р* (2.86)
получено без каких-либо предположений о длине стержня, а
потому применимо и к стержню конечной длины.
Граничные же условия изменяются: при х = 0 6 = 9! =
= 0-^^02 или С2 = ®х — С\ при х = L, пренебрегая
теплоотдачей с торца, стержня, т. е. приравнивая нулю тепловой поток,
обусловленный теплопроводностью, в сечении х = L
получим
т, ^-'""°; (2.88)
По уравнениям (2.86) и (2.88) найдем
C1(ef5L + e"PL)-eie"fiZ- = 0, (2.89)
откуда
вхе-
-&!■
= ©^7ь-Жп-; (2-90)
1 ePL + e~iiL 2 ch (PL)
С,= в1-С1 = в1(1-;5Г|^) = в1^ЕГ. (2.91)
Подставляя найденные значения С\ и С2 в уравнение (2.79)
и переходя к гиперболическим функциям *, получим
0 = -тжщт (eP*e~pL + e-p*ePL) (2-92)
или
el[e-g и--*)+ее (/--*)] _ ch[p(L-x)] . ,9q„.
2 ch (pz.) . ch(pL) ' ^a^
* Напомним, что ch (ж) = (е* + е~л')/2;
sh (*) = (e* — e-*)/2;
th (ж) = sh (*)/ch (ж).
44

при х = L получаем
<^ = !hW- (2"94)
Тепловой поток, входящий в стержень и передаваемый
боковой поверхностью стержня окружающей среде, найдем, пользуясь
уравнениями (2.79) и (2.80),
или
Q = e1 /Xf^ZJ -|i|i = 6X th (PL) VaffiF. (2.96)
В случае круглого стержня диаметром d
P2 = "S"; V^dATF ^ ~У^Ш, (2.97)
rai
Q = e1-^-th(PL)Vro^. (2.98)
2.10. КРУГЛЫЕ ПЛОСКИЕ РЕБРА
Задача правильного конструирования ребер для
авиационных и космических теплообменников, цилиндров двигателей
воздушного охлаждения, экономайзеров, калориферов и других
теплообменных аппаратов, где теплоотдающая поверхность
строится путем оребрения, состоит в том, чтобы получить при
данном расходе охлаждающего агента максимальный отвод тепла
при минимальных массе и габаритных размерах самого аппарата.
Определению подлежат форма, высота и расстояние между
ребрами.
Вопрос о наивыгоднейшей форме ребра данной массы или
данной высоты может быть разрешен расчетным путем. При
постоянных массе и площади поперечного сечения ребра максимальный
отвод тепла будет, если боковые поверхности ребра имеют
вогнутую параболическую форму (рис. 2.19, а). В таком ребре
температурный градиент будет постоянным по его высоте. Однако из-за
трудностей технологического характера на практике применяются
ребра с поперечным сечением, выполненным в виде трапеции
(рис. 2.19, б) или прямоугольника (рис. 2.19, в).
Аналитическое решение задачи о стационарной
теплопроводности для ребра параболической формы и, следовательно, о
теплоотдаче с его наружной поверхности встречает ряд трудностей,
главнейшая из которых заключается в необходимости знать закон
распределения коэффициента теплоотдачи а по поверхности ребра.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении
температуры в ребре прямоугольной формы при следующих условиях:
1) температура основания ребра постоянна и равна 7\;
45

2) количество тепла, рассеиваемого за
единицу времени с какой-либо части
поверхности ребра, пропорционально разности
температур ребра и окружающей среды;
3) коэффициент теплоотдачи а одинаков
во всех точках поверхности ребра;
4) если h — высота ребра и 5 — его
толщина, то потеря тепла с торца шириной б
может быть учтена путем замены
действительной высоты h величиной ti = h + 6/2;
5) вследствие того, что толщина б мала
по сравнению с другими размерами ребра,
будем считать, что температура зависит
лишь от одной координаты х (текущее
значение высоты ребра), т. е. будем иметь дело
с одномерным стационарным температурным полем Т = f (х).
Обозначим через в разность температур какой-либо точки
ребра Т (х) и окружающей среды Tf. Тогда 6 = 7 — Tf = f1 (x).
Сделаем развертку круга плоского ребра по его среднему
диаметру rfcp (рис. 2.20). В дальнейшем задача очевидно сведется
к рассматриваемой выше теплопередаче в стержне конечной
длины h' = h -f- 6/2, площадь поперечного сечения которого
F — я^срб. Тогда роль [3 в показателях экспоненты общего
решения (2.79) будет согласно выражению (2.77) играть величина
Рис. 2.19. Схема формы
ребер
V- =
V-
2а
16
(2.99)
Рис. 2.20. Расчетная схема охлаждающего ребра
46

и распределение температуры по Щ
высоте ребра выразится в виде ",9
в (х) = вх
ch [|n (h' — д:)]
ch (\ih')
0,5
0,3
(2.100)
где вх = Т1 — Tf.
Количество тепла, отдаваемого
ребром в окружающую среду
за единицу времени, можно определить путем интегрирования
уравнения dQ — dQ2ndcvdx
0 1 2 /ih'
Рис. 2.21. Зависимость
коэффициента эффективности ребра от
величины цЛ'
Q = 2andcp \ в dx
2andcp01
th (цЛ'),
(2.101)
Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную
избыточную температуру, соответствующую в1; то количество тепла,
отданное ребром в окружающую среду в единицу времени,
выражалось бы в следующем виде:
Q = 2a.e1ndcJi'. (2.102)
Отношение тепла, действительно рассеиваемого ребром, к теплу,
которое ребро могло бы рассеять, если бы разность температур
по всей высоте ребра была постоянна и соответствовала 6Ь
называется коэффициентом эффективности ребра
tip = Q/Qi.
(2.103)
Подставляя в уравнение (2.103) значения Q и Qx из уравнений
(2.101) и (2.102), получим
ТЪ =
th (ц/г')
\xh'
(2.104)
Графическое выражение функциональной зависимости
коэффициента эффективности ребра г|р от величины цА' приведено
на рис. 2.21. Кроме того, в табл. 2.1 приведены значения
коэффициента эффективности ребра г|р для различных ребер, причем
величина коэффициента теплоотдачи а принята одинаковой для
всех ребер и равной 125 Вт/(м2-К), что соответствует скорости
обтекающего поверхность потока воздуха 40 м/с.
Таблица
Материал
Алюминий
Сталь
Медь
2.1. Значения Т]р для ребер из различных материалов
ft, мм
25
16
25,4
б, мм
2,3
0,8
0,5
|1, М-1
22,8
83
36,4
ft', м
0,0261
0,0164
0,0256
цЛ'
0,595
1,36
0,93
^Р
0,9
0,65
0,75
47

С точки зрения теплоотдачи, приходящейся на единицу массы,
выгодно иметь большое число тонких и легких ребер. Это
справедливо до тех пор, пока поток, обтекающий ребро, не начинает
искажаться под влиянием соседних ребер.
При конструировании оребрения основным вопросом является,
насколько близко можно располагать ребра друг к другу без
серьезного снижения их эффективности вследствие уменьшения
количества протекающего между ними воздуха.
2.11. ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Мы рассмотрели задачи стационарной
теплопроводности для простейших тел. В случаях, когда форма тела не
является столь простой, а условия на границе зависят от
рассматриваемой точки поверхности, задача существенно усложняется и
для ее решения часто требуется привлечение ЭВМ.
Однако в ряде случаев для приближенной оценки тепловых
потоков, передаваемых теплопроводностью в довольно сложных
телах, можно воспользоваться уже полученными в этой главе
результатами. Для этого представим выражения (2.23), (2.47),
(2.68) для стационарного теплового потока через плоскую
цилиндрическую и сферическую стенки в единой форме:
<2 = АдтТж> (2.105)
где X — коэффициент теплопроводности материала; б — толщина
плоской, цилиндрической или сферической стенок; Fx —
некоторая фиктивная расчетная теплоотдающая поверхность,
выражение для которой во всех трех рассматриваемых случаях мы
и пытаемся здесь получить; ДТ = Twl — Tw2.
Выражение (2.105) практически совпадает с формулой (2.23)
для плоской стенки. Следовательно, в этом случае Fx есть не
что иное, как площадь плоской стенки F, поток тепла через
которую мы рассматриваем, и может быть описана так:
где Fx и F2 — площади более нагретой и более холодной
поверхностей. (Очевидно, что для плоской пластины Fx ~ F2).
В случае цилиндрической трубы согласно выражению (2.47)
тепловой поток
Q== In (г2/гх) (Т»1~ Т«»ъ)-
Помножив числитель и знаменатель этого выражения на г2 —
— гх = б, а числитель и знаменатель выражения под знаком
логарифма на 2л/, получим
q _ к 2я/ (гг — rj . _ __ _\_ 2п1гг — 2п1гг . _,
4 Гг — Г\ \n[2nlr2/(2nlr1)] б ln[2nlra/(2nlr1)]
48

Это выражение сводится к выражению (2.105), если положить
F — 2rJr,i ~ 2я/г1 — F2~Fi /о 1 07\
'**-- In [2я/г2/(2я/г1)] ~ In (Fi/FJ ' \t.ivi)
где F-,, и ,F2 — площади внутренней и наружной поверхностей
цилиндрической трубы.
Аналогично можно преобразовать выражение (2.68) для
шаровой стенки:
^ "= "l/^i — l/r2 (Twl ~ Тш'^-
Проведя вычитание в знаменателе, после простых
преобразований получим
Q= 4jxW; АТ = п\^ф- АГ. (2-Ю8)
Поскольку площадь сферы равна ли2, то диаметры dx и d2
можно выразить через площади внутренней Fx и внешней F2
поверхностей шаровой стенки в виде
Рг „ л _l/ ^
^-=1/~- и Ъ-V -■• (2-109)
Подставляя выражение (2.109) в равенства (2.108), получим
Q = -£-nl/-^A7\
^ О К Я2
Это выражение сводится к формуле (2.105), если положить
FXukV = VWx- (2.110)
Итак, мы получили выражения для площади фиктивной
расчетной поверхности Fx, которые позволяют рассчитывать тепловой
поток в рассмотренных трех случаях по единой формуле (2.105).
Преимущества такого подхода в случае пластины, цилиндра и
шара весьма относительны. Однако, пользуясь формулой (2.105)
и одним из выведенных выражений для Fx [(2.106), (2.107) или
(2.110)], можно приближенно рассчитать стационарный тепловой
поток в телах более сложной формы.
Так, по формулам (2.165) и (2.106) можно оценить Q для плиты,
представляющей собой усеченный конус или пирамиду, и вообще
для элемента пластины произвольной формы в плане со
скошенным срезом.
В совокупности с выражением (2.107) по формуле (2.105)
можно приближенно рассчитать тепловой поток через
цилиндрическую стенку некруглого сечения. Та же формула (1.105), но с Fx,
вычисленной по формуле (2.110), позволит оценить тепловой
поток через стенки замкнутой несферической оболочки,
образованной, например, эллипсоидами вращения и т. п.
В ряде практических случаев температура на поверхности не
является постоянной, а следовательно, непостоянна и величина
температурного напора AT в формуле (2.105). При не слишком
49

больших изменениях температуры по поверхности можно
воспользоваться усредненными значениями температур
поверхностей:
Tm = -j-\TwdF.
F
Если же изменения невелики, то расчет теплового потока
следует вести по участкам, рассчитывая величину Qt на участке
AFh где (Т'ш)1_2 = const. Для получения суммарного потока
останется просуммировать локальные тепловые потоки Qt по
всей поверхности рассматриваемого тела.
2.12. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОМ
ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ (qv Ф 0)
Как уже говорилось, в веществе наряду с процессом
теплопроводности может протекать выделение или поглощение
тепла, связанное с какими-либо физико-химическими явлениями:
конденсацией, джоулевым нагреванием, ядерными реакциями,
экзо- или эндотермическими химическими реакциями и т. п.
С позиции теплообмена такие явления могут быть
охарактеризованы количеством тепла, выделяющегося или поглощающегося
в единице объема вещества в единицу времени qv. Эта
характеристика носит название интенсивности объемного тепловыделения.
Рассмотрим простейшие задачи стационарной
теплопроводности при наличии объемного тепловыделения, полагая, что
величина qv не зависит от времени и координат.
2.12.1. Бесконечная плоская пластина
Основное дифференциальное уравнение
теплопроводности (2.15) для этой одномерной задачи будет иметь вид
Принимая во внимание, что а = X (ср), получим
5L + TL = °- (2Л11)
Перенося qvfk в правую часть и считая qv = const, после
первого интегрирования получим
4г = —г* + с>- (2Л12)
а после второго —
f(x) = -^- + ClX + C2. (2.113)
Выражение (2.113) является общим решением уравнения
(2.111). Постоянные интегрирования находятся из граничных
условий.
50

Рассмотрим вначале задачу с
граничными условиями 3-го рода. Пусть
слева пластина омывается средой с
температурой TfX и коэффициент
теплоотдачи между пластиной и средой равен аг,
те же параметры справа от пластины
обозначим через 7^2 и а2 соответственно
(рис. 2.22).
При интенсивном тепловыделении
внутри пластины тепло может
отдаваться в омывающие ее среды с обеих
поверхностей, т. е. кривая распределения
температур по толщине пластины будет
иметь максимум. Пусть ось ординат
проходит через этот максимум на
расстоянии 82 от правой поверхности
пластины. (Величину 82 мы определим позднее.) Тогда из
равенства нулю производной dTldx при х = 0 (условие максимума)
следует, что Сх = 0, и решение (2.113) примет следующий вид:
Рис. 2.22. Схема
распределения температур в пластине
при объемном
тепловыделении
f(x) =
qvx2
2А,
■С.
(2.114)
Граничное условие 3-го рода на этой поверхности
дТ
а2 (Гш2 — Tf3) Л, •
дх
в,'
после подстановки Гш2 и
дТ
дх
а2 \Сг —
или
2А,
а2 С2 —
из выражения (2.114) примет вид
Тп \ = -X
(2.115)
Яу&1
21
~ Tf2 = qvb2
= 0], следовательно, q —
Выражение (2.115) можно интерпретировать, исходя из
физического содержания рассматриваемой задачи. Поскольку
плоскость х — 0 можно считать теплоизолированной [(dTldx)x=o =
-X —т— = 0, т. е. все тепло, вы-
dx х=о
делившееся в пластине справа от этой плоскости в единицу
времени, должно быть отведено в окружающую среду посредством
теплоотдачи с правой поверхности стенки. В противном случае
будет нарушено условие стационарности процесса, и температура
в стенке вследствие изменения ее теплосодержания будет
изменяться. Величина qvb2 представляет собой количество тепла,
выделяющееся в единицу времени в объеме пластины с толщиной б2
и площадью, равной единице. Слева же в уравнении (2.115) стоит
51

выражение для потока теплоотдачи с единицы площади
поверхности пластины.
Аналогичные рассуждения для слоя пластины, расположенного
слева и имеющего толщину Ь1 = Ь — б2, приводят к уравнению
«i (Ci - Яу (52~бз)2 - Тп) = qv(6 - б2). (2.116)
Из уравнений (2.115) и (2.116) константа С2 выражается
следующим образом:
г _ qv^ , qv% _i_ г
или
с, = м^+м^Л)!.+Гл< (2Л17)
Решая систему (2.117) относительно б2, получим
2^0, АГ, + ду 5а2 (Да1 + 2Х) (2 118)
2 ' 2flv,[fia1aa + X(a1 + a2)] ' '
где ATf — Тп — Г/2.
Этим выражением определяется положение максимума
кривой распределения температуры по толщине пластины.
Постоянную С2 в решении (2.114) найдем подстановкой выражения (2.118)
в любое из уравнений системы (2.117).
Решение задачи принимает особо простой вид в случае
симметричного теплосъема с пластины, т. е. когда ах = а2 = а
и Тп = Tf2 — Tf. Очевидно, да и из выражения (2.118) следует,
что б2 = 6/2, т. е. максимальная температура достигается в
плоскости симметрии пластины.
Тогда из формулы (2.117) находим
2~2°+ » ¥Т'\ (2.119)
™ = ![(4)'-*-] + -£ + 7V
Из решения (2.119) видно, что распределение температуры
имеет вид квадратичной параболы, а максимальная температура
Тпах = Т \х=0 =^- + ^L + Tf (2.120)
при постоянных qv и б будет тем больше, чем меньше
теплопроводность пластины К и чем хуже теплоотдача с ее поверхности, т. е.
чем меньше а.
Температура на поверхности пластины (х = 6/2), равная
т qvb
2а
Т„ (2.121)
также растет с ухудшением теплоотдачи.
52

Решение задачи с граничными условиями 1-го рода легко
получить, определив б2 и постоянную С2 из решения системы
Яу%
-\- С'2 — 1 Ш2>
2Х
/л « ча (2Л22)
Г 1>2 — I ml.
2А,
являющейся математической записью граничных условий.
Максимум температуры будет располагаться на расстоянии б2
от правой поверхности стенки, причем
e.= 4(i+-^-). <2-123)
где АГ = Тт — Twi. Решение же задачи примет такой вид:
7,(*) = 7\и +
Яу Г Г 6 /, , 2ЯДТ
2Х
1 +
2 ^ т ^6а
(2.124)
При очень больших значениях коэффициента теплоотдачи
граничные условия 3-го рода переходят в граничные условия
1-го рода с Tw = Tf. Это позволяет получить формулы
распределения температур и максимальной температуры при
симметричном теплосъеме и граничных условиях 1-го рода (Тш1 = Гш2 =
= Tw) из выражений (2.119) и (2.120), считая а -*■ оо.
Тогда
П*) = ^-[(4)2-*2] + ^ (2-125)
и
Fn,ax = -^-+7V (2.126)
2.12.2. Бесконечный цилиндр
Дифференциальное уравнение теплопроводности при
наличии объемного тепловыделения для одномерной
стационарной задачи запишется в цилиндрических координатах [см.
выражение (2.17)] в виде
-^+4-4-+^ = »- р-'И)
Заменяя dTldr на и и умножая все члены на г, получим
г-зг + "+-1Г = 0- (2Л28)
Для первых членов этого уравнения можно представить как
производную от произведения ги: Г* ~ = г -~ -\- и, а
уравнение (2.128) переписать в виде: —~- = —-.
53

Интегрируя по г, найдем ги = ~—\- Съ откуда обратной
заменой и на dTldr получим
£-~& + -^- <»■■*»
Общее решение задачи найдем повторным интегрированием:
т(г) = --?£- + с1\пг + с9. <2ЛЗ°)
Из осевой симметрии задачи (дТ1дг)г=о = 0, следовательно
Сх =-- 0.
В задаче с граничными условиями 3-го рода постоянная С2
найдется из уравнения
a\T{R)-Tf\ = -%-§-\^Rt (2.131)
где R — наружный радиус цилиндра; Тf и a — заданные
значения температуры окружающей среды и коэффициента
теплоотдачи.
Подставим в выражение (2.131) значения Т (R) и —;— из
4 ч dr \r—R
равенств (2.129) и (2.130): а (с2 - ^- - Г,) = — X (— -^-) •
Тогда c2 = -^-+igL+Ty.
Таким образом, распределение температуры по радиусу
цилиндра выразится формулой
T{r) = ^(R*-r*) + ^+Tf. (2.132)
Максимальная температура (на оси стержня) будет равна
qvR* qvR
Tmax = Т |r=0 = —^ 1 go Ь ^/' (2" ' 33)
а температура на поверхности
Tw = T(R) = -^- + T,. (2.134)
Решение для случая граничных условий 1-го рода получим из
формулы (2.132), положив d -*■ оо (Tw — 7^).
2.13. ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ПЕРЕМЕННЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При значительных изменениях температуры твердых
тел необходимо учитывать зависимость коэффициента
теплопроводности X от температуры X = X (Т).
Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для
плоской стенки в этом случае будет иметь вид
dx
54
5-(*isr) = 0- <2Л35)

Это уравнение решается с граничными условиями 1-го рода:
при х = О Т = TWl; при х — б Т = ГШ1.
Введем новую переменную Ф, заданную уравнением
•§■-*■&■• »'*»
Тогда уравнение теплопроводности (2.135) примет вид
-£?-= 0. (2-137)
Уравнение (2.137) решается с граничными условиями:
при х = 0 Ф = Фх;
при х = б Ф = Ф2. (2.138)
Проинтегрируем уравнение (2.137) два раза:
-g- = Cx;' (2.139)
Ф = С1х+С2. (2.140)
Для определения констант Сг и С2 воспользуемся граничными
условиями (2.138):
С1= Фг~Ф1 ; (2.141)
С2=Фг. (2.142)
Удельный тепловой поток (плотность потока) определяется
законом Фурье
которое с учетом (2.136), (2.139) и (2.141) примет вид
9 = -^ = -^ = ^^-. (2.143)
Для определения разности (Фх — Ф2) уравнение (2.136)
проинтегрируем в пределах х от 0 до б:
о о
откуда
т
ф2-ф1= { ЫТ. (2-145)
г
Ш1
Подставляем выражение (2.145) в формулу (2.143), имеем
т
ш1
q = ^\UT. (2-146)
г
55

Преобразуем выражение (2.146):
Обозначив
S Та„ — Т,
Ш1 J W%
™СТ) —
гшг J
ср~ Гш1-Г
Ш1 * W2
W1
j XdT,
(2.147)
окончательно получим
"ср
(■/ ш1 J ша)>
(2.148)
которая совпадает по форме с соотношением (2.26), полученным
для плоской стенки в случае X = const. Из этого результата
следует важный вывод: полученные формулы расчета
теплопроводности при постоянном X могут быть распространены и на
случаи, когда X = X (Т), если в эти соотношения подставить
среднее значение коэффициента теплопроводности Яор,
определенное по формуле (2.147).
На рис. 2.23 показано распределение температуры в плоской
стенке при различных зависимостях X = X (Т).
Распределение температуры при X = const дано на графике
(см. рис. 2.23, поз. 1).
Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент
теплопроводности X растет с увеличением температуры. Так как в нашем
случае Тш > Tw2, то при увеличении координаты х от 0 до б
температура падает, а, следовательно, увеличивается X. Плотность
теплового потока q постоянна по длине пластины, т. е.
. dT ,
л —j— = const
ах
или
dT
dx
— const.
Это значит, что при уменьшении X должна увеличиваться по
dT
модулю производная —з—, т. е. расти
крутизна кривой Т (х) (см. рис. 2.23,
поз. 2).
В случае, когда X уменьшается с ро-
- стом Т, распределение температуры в
плоской стенке описывается кривой (см. рис. 2.23,
поз. 3).
Рис. 2.23. Температурное поле в пластине при
переменном коэффициенте теплопроводности (Я =
=а+ ЬТ):
* 1 — Ь — 0; 1 — Ь > 0; 3 — Ь < О

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем существо основного закона теплопроводности? Объясните наличие
отрицательного знака в уравнении Фурье.
2. Напишите основное дифференциальное уравнение теплопроводности.
Что означает стационарный тепловой режим?
3. Что характеризуют коэффициенты теплопроводности А, и
температуропроводности а}
4. Какие существуют условия одиозиачиости? Дайте определение граничных
условий 1-го, 2-го и 3-го родов.
5. Объясните, почему при стационарном режиме функции температурного
поля в плоских однородных стенках представляются линейным законом.
6. Каков математический закон температурного поля при стационарном
режиме в цилиндрической, шаровой стенках и в стержне бесконечной длины?
7. Что понимается под коэффициентом эффективности ребра?
8. Как влияет объемное тепловыделение на распределения температуры
в плоской стенке и в цилиндре бесконечной длины?
9. Как изменяется распределение температуры в бесконечной плоской стенке
при изменении коэффициента теплопроводности с температурой?

ГЛАВА Ш
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие конвективного теплообмена (теплоотдачи
конвекцией) охватывает процесс теплообмена, обусловленный
совместным действием конвективного и молекулярного переноса тепла.
Под конвективным переносом понимается процесс переноса тепла
при-перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве
из области с одной температурой в область с другой. Конвекция
возможна только при движении среды; перенос тепла конвекцией
связан с переносом вещества. Под молекулярным переносом
(теплопроводностью) понимается процесс переноса тепла
посредством теплового движения микрочастиц в среде с неоднородным
распределением температуры. Конвекция тепла всегда
сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или
газа неизбежно соприкосновение отдельных частиц, имеющих
различные температуры.
Обычно в инженерных расчетах определяют конвективный
теплообмен между потоком жидкости или газа и поверхностью
твердого тела, называемый конвективной теплоотдачей или просто
теплоотдачей.
При практических расчетах теплоотдачи используют закон
Ньютона-Рихмана
Q = a{Ta-Tt)F. (3.1)
Согласно этому закону тепловой поток Q (количество тепла,
проходящее в единицу времени через произвольную поверхность
от жидкости к стенке или от стенки к жидкости) пропорционален
поверхности теплообмена F и разности температур поверхности
тела Тщ и окружающей тело жидкой или газообразной среды 7у
Разность температур AT = Tw — Tf называется температурным
напором. Коэффициент пропорциональности а, учитывающий
конкретные условия теплообмена, называется коэффициентом
теплоотдачи.
В общем случае коэффициент теплоотдачи переменен по
поверхности и его можно определить как
а== (T„ — Tf)dF = Tw-Tf ■ (3-2)
Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность
теплового потока q (тепловой поток, отнесенный к единице площади
58

поверхности) на поверхности тела, отнесенная к разности
температур поверхности тела и окружающей среды.
Теплоотдача является достаточно сложным процессом. В
наиболее общем случае коэффициент теплоотдачи является функцией
формы и размеров тела, режима движения, скорости и
температуры жидкости, физических параметров жидкости (коэффициента
теплопроводности X, теплоемкости ср, плотности р,
температуропроводности а, коэффициента динамической вязкости и,
температурного коэффициента объемного расширения (3) и других
величин.
Величины X, р, ср, а уже использовались при рассмотрении
теплопроводности. Коэффициент динамической вязкости численно
равен касательному напряжению % в жидкости в плоскости,
ориентированной по течению, при градиенте скорости в направлении
нормали к направлению движения duldn, равном единице, т. е.
ц =-J——. Наряду с коэффициентом динамической вязкости \i
часто используется коэффициент кинематической вязкости v = нУр.
Коэффициенты |х и v существенно зависят от температуры.
У капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления
и значительно уменьшается при повышении температуры. У
газов ix увеличивается с ростом температуры и практически не
зависит от давления (например при увеличении давления от 0,1
до 10 МПа (х возрастает на 10%). Коэффициент кинематической
вязкости обратно пропорционален плотности газа и поэтому
сильнее чем |х возрастает с ростом температуры и обратно
пропорционален давлению.
Тепловое расширение жидкости характеризуется
температурным коэффициентом объемного расширения |3 =—(ди/дТ)р,
равным относительному изменению удельного объема у = 1/р при
увеличении температуры на один градус и постоянном давлении.
Для капельных жидкостей коэффициент (J сравнительно мал и
положителен (исключение составляет вода при t < 4 °С, когда
(3 < 0). Для идеального газа р = \/Т.
Процесс конвективного теплообмена зависит от природы
возникновения движения жидкости. Различают вынужденную и
естественную (свободную) конвекцию.
В первом случае жидкость или газ движутся за счет внешних
поверхностных сил, приложенных на границе системы, или
однородного поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри
системы, или за счет кинетической энергии, сообщенной жидкости
или газу вне системы.
Во втором случае движение жидкости обусловливается
действием неоднородного поля массовых сил, приложенных к
частицам жидкости внутри системы и обусловленных внешними
полями (гравитационным, магнитным, электрическим). Например,
свободное гравитационное движение обусловливается действием
59

гравитационного поля в системе с неоднородным распределением
плотности жидкости. Неоднородность плотности жидкости
вызвана неоднородным распределением температуры.
Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться
свободным движением. Относительное влияние свободного
движения тем больше, чем больше разница температур отдельных
частиц жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения.
При больших скоростях вынужденного движения влияние
свободной конвекции становится пренебрежимо малым.
Главная трудность в использовании основного закона
теплоотдачи заключается в определении коэффициента теплоотдачи.
Практически изучение процесса теплоотдачи сводится к
определению зависимости коэффициента теплоотдачи от различных
факторов.
Существенное влияние на процесс конвективного теплообмена
оказывает характер движения жидкости, так как им определяется
механизм переноса тепла. При ламинарном режиме течения
частицы жидкости движутся не перемешиваясь, и перенос тепла
по нормали к направлению движения осуществляется путем
теплопроводности. При турбулентном режиме течения частицы
жидкости движутся неупорядоченно, хаотически, направление
и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются,
а перенос тепла по нормали к направлению осредненного
движения осуществляется как теплопроводностью, так и за счет
пульсаций (конвекции), при этом пульсационныи перенос может во
много раз превышать передачу тепла теплопроводностью.
Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют
на теплоотдачу. В природе имеется большое многообразие
поверхностей теплообмена. Даже из тел простейшей формы,
например плиты и трубы, можно составить множество теплоотдаю-
щих поверхностей. Например, плита может быть с одной или двумя
теплоотдающими поверхностями, может располагаться
вертикально, горизонтально или наклонно. Из труб можно собрать
различные теплоотдающие пучки, обтекание труб снаружи может
быть продольным, поперечным и т. д. Каждая такая поверхность
создает специфические условия движения и теплоотдачи.
3.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ
УСЛОВИЯ ДЛЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
При изучений процессов теплообмена применяется
главным образом феноменологический метод исследования,
который заключается в следующем. Теплоноситель рассматривается
как сплошная среда. Его молекулярная структура не
рассматривается, а микроскопический механизм переноса тепла
учитывается посредством параметров, характеризующих физические
свойства вещества (коэффициентами вязкости \i,
теплопроводностью Я,, плотностью р, теплоемкостью ср). Эти свойства счи-
60

таются заданными величинами. Для составления математического
описания процессов теплообмена используются: первый закон
термодинамики, закон сохранения вещества и закон сохранения
количества движения. Для составления замкнутой системы
дифференциальных уравнений используются гипотезы Био—Фурье
(о пропорциональности вектора плотности теплового потока за
счет теплопроводности вектору градиента температуры) и
Ньютона (о пропорциональности касательного напряжения трения
между двумя слоями движущейся вязкой жидкости и градиента
скорости по нормали к направлению движения).
При феноменологическом методе исследования процесс пере-
дачи тепла будет однозначно определяться полями скорости v,
давления р, температуры Т в зависимости от координат х, у, г
и времени т. Для стационарного процесса v, p, T зависят только
от х, у, г.
Для определения 5 неизвестных (трех компонент вектора ско-
рости v, p, T) необходимо иметь 5 уравнений. Эти уравнения
получают из основных законов физики (законов сохранения массы,
количества движения и энергии) с использованием закона
вязкого трения Ньютона и закона теплопроводности Био—Фурье.
Найденные таким образом уравнения называются уравнениями
неразрывности, движения и энергии, и эти уравнения в сочетании
с зависимостями теплофизических свойств жидкости от
температуры и давления, геометрическими условиями, граничными и
начальными условиями составляют замкнутую систему
уравнений, описывающую процесс конвективного теплообмена и
движения жидкости.
Вывод уравнений неразрывности и движения можно найти
в курсах по механике жидкости и газа. Для однофазной химически
однородной изотропной несжимаемой жидкости эти уравнения
имеют следующий вид.
Уравнение энергии
Г дТ . дТ , дТ , дТ -\ д (. д \ .
+ £(*-£) +-И*-£)+* + ■**. (3-3>
где и, v, w — проекции скорости на оси х, у, z; qv — плотность
внутренних источников тепловыделения; Ф — функция
рассеяния (диссипации) механической энергии потока:
^ \дг ^ дх J ' V дг ^ ду J j'
61

Уравнение движения в проекциях на оси х, у, г (уравнения
Навье—Стокса):
/ ди , ди . ди , ди \ др ,
. д Г f ди дт \-]_
( dv . dv . dv . dv \ dp ,
, d Г / dv du \-\ d fn dv 2 ,. -+\ .
д Г f dv dw \ "I.
f dw , dw , dw . dw \ dp .
+ IT [^Mr + 1Г)] + ^ [^ ("Цг + ж)] +
где gx, gj,, gz — проекции вектора ускорения свободного падения.
Уравнение неразрывности
-g- + div (po) = 0. (3.5)
К этим уравнениям добавляется уравнение состояния
p=f(p, T) (3.6)
и зависимости физических свойств жидкостей от температуры
и давления
ср = ср (р, Т); к=^Х (р, Г); ц = ц (/,, Г). (3.7)
Для однофазных жидкостей ср, X, \а практически не зависят
от давления. Уравнения (3.3) ... (3.5) получены для несжимаемой
жидкости. Однако они с достаточной точностью справедливы и
для течения сжимаемых жидкостей (например газов), если
скорость их течения значительно меньше звуковой.
Для решения уравнений (3.3) ... (3.5) необходимо задать
краевые условия, к которым относятся:
1) геометрические условия, характеризующие форму и размер
тела, омываемого жидкостью;
2) граничные условия, характеризующие распределение
скорости, давления, температуры на поверхности тела 5 и во
входном и выходном сечениях канала. При феноменологическом
описании процессов теплообмена скорость на поверхности тела S при-
62

нимается равной нулю (принимается, что жидкость прилипает
к поверхности), т. е.
v(S) = 0. (3.8)
При течении жидкости в каналах граничные условия для
температурного поля могут быть заданы в виде изменения
температуры на поверхности тела (граничные условия 1-го рода):
Т = Т (S, т), (3.9)
или в виде изменения плотности теплового потока (граничные
условия 2-го рода):
q = q(S,x); (3.10)
3) начальные условия, характеризующие распределение
скорости и температуры в начальный момент времени при т = 0:
v = v(x, у, г, 0); Т = Т (х, у, г, 0); р = р (х, у, г, 0). (3.11)
Для стационарного процесса граничные условия по времени не
изменяются, а начальные условия не нужны.
Для ламинарного течения система уравнений (3.3) ... (3.5)
с учетом (3.6) ... (3.11) является замкнутой. В общем случае
получить аналитическое решение не удается, поэтому задача
решается численно и возможности ее решения определяются
возможностями современных вычислительных машин. Для
турбулентного течения рассматриваемая система уравнений
незамкнута, так как для мгновенных значений параметров задача
является нестационарной и имеющихся представлений о
турбулентном течении недостаточно для задания начальных условий
(3.11).
Для определения коэффициента теплоотдачи при решении
данной системы уравнений используется закон (2.3)
q = —Я. (3773л),, (3.12)
так как у поверхности твердого тела имеется слой неподвижной
жидкости и тепло переносится только за счет теплопроводности.
(Здесь п — нормаль к поверхности тела; индекс «s» означает,
что производная берется на поверхности тела.)
Приравнивая величины плотности теплового потока,
полученные по выражениям (3.2) и (3.17), получим
а = — - к т (дТ/дп)3. (3.13)
Уравнение (3.13) называется дифференциальным уравнением
теплообмена, оно описывает процесс теплообмена на границах тела S.
S.3. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Конвективный теплообмен представляет собой весьма
сложный физический процесс, описываемый системой
дифференциальных уравнений и условиями однозначности. Решение этих
63

уравнений встречает серьезные затруднения. Поэтому большое
значение приобретают экспериментальные исследования
конвективного теплообмена.
Экспериментальные исследования ведутся, как правило, на
моделях. При постановке эксперимента необходимо выбрать
параметры исследуемой модели, определить измеряемые величины
и методику их обработки. Естественно, что исследователь должен
знать, как перенести полученные с помощью модели данные на
другие аналогичные натурные процессы. На все эти вопросы дает
ответы теория подобия.
При исследовании сложных процессов теория подобия
позволяет объединить размерные физические величины в безразмерные
комплексы, число которых меньше, чем число размерных величин.
При этом сокращается число величин, от которых зависит искомое
значение коэффициента теплоотдачи, что упрощает эксперимент.
Безразмерные переменные отражают влияние на теплообмен
совокупности параметров, что облегчает обнаружение физических
закономерностей.
Необходимо отметить, что теория подобия дает возможность
определить только общий вид искомой функции и не позволяет
найти ее конкретный вид. Тем не менее, теория подобия
необходима как для экспериментальных, так и теоретических
исследований для анализа процесса и обобщения полученных данных.
Кратко остановимся на самом понятии подобия.
Обязательной предпосылкой подобия физических процессов является
геометрическое подобие. Геометрически подобны фигуры, имеющие
одинаковую форму и пропорциональны? сходственные линейные
размеры. Например, два треугольника со сторонами
соответственно /(, /2, h и l\, l'i, /3 будут подобны, если l[jlx — iyi2 =
= I'blh = С, где С — константа подобия (в данном случае
геометрического).
Понятие подобия можно распространить на любое физическое
явление. Оно применимо только к явлениям одного и того же рода,
которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми
уравнениями как по форме, так и по содержанию. При этом можно
сопоставлять только однородные величины (т. е. величины, имеющие
одинаковую размерность и один и тот же физический смысл)
в сходственных точках пространства и сходственные моменты
времени. Подобие двух физических явлений означает подобие
всех величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это
значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные
моменты времени любая величина <р первого явления
пропорциональна однородной величине ср' второго явления, т. е. <р' = Сфф,
где константа подобия Сф не зависит от координат и времени.
Для подобия процессов необходимо подобие полей всех
существенных для них величин.
Для теплового подобия двух процессов необходимо, чтобы
они протекали в геометрически подобных системах и чтобы во всех
64

точках системы и во все моменты времени были подобны поля всех
величин, характеризующих эти процессы, т. е. поля температур,
скоростей, давлений, плотностей, физических свойств и др.:
Т'/Т = Ст; и /и = v'Jv == w'/w ~ Cw; p'jp — Ср; р'/'р = Ср\
\i /ц = Сй; "К' 1% = Ск и т. п. При этом каждая физическая
величина может иметь свою константу подобия С, численно
отличную от других, т. е. в общем случае Ст ф Сщ Ф Ср Ф С9 Ф
Ф ^ц ф *-'\-
Однако, поскольку сами физические величины связаны между
собой, что видно из дифференциальных уравнений (3.3) ... (3.5),
то и константы подобия связаны между собой.
Для практического использования теории подобия необходимо
знать, как привести уравнения рассматриваемых процессов к
безразмерному виду. Это можно сделать различными способами.
В следующем разделе дифференциальные уравнения
конвективного теплообмена и условие однозначности будут приведены к
безразмерному виду методом масштабных преобразований.
3.4. АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА МЕТОДОМ ПОДОБИЯ
Проанализируем задачу конвективного теплообмена
с целью приведения дифференциальных уравнений процесса и
условий однозначности к безразмерному виду. Рассмотрим с
помощью метода подобия задачу о движении и теплообмене
несжимаемой жидкости у поверхности твердого тела, скорость жидкости
вдали от тела постоянна и равна и0. Длина тела /0 и другие
размеры заданы. В момент времени, предшествующий начальному
(т < 0), температуры жидкости и стенки одинаковы и равны Т0,
т. е. теплообмен отсутствует и имеет место изотермическое
течение. В начальный момент времени (т = 0) температура стенки или
плотность теплового потока на стенке мгновенно изменяется и
принимает постоянное во времени и по поверхности значение Tw
или qw. При этих условиях на поверхности тела в течение
некоторого времени будет протекать нестационарный процесс
теплообмена, а затем наступит стационарное состояние.
Будем считать физические свойства жидкости (кроме
плотности) постоянными. Зависимость плотности р от Т будем
учитывать лишь в члене уравнения движения, выражающем
архимедову силу. Примем эту зависимость линейной
р/Ро = 1 _ р (Г - 7-0), (3.14)
где р0 — плотность при температуре Т0; р = — ("дГ") =
= (~W~) —температурный коэффициент объемного
расширения.
В других членах уравнения движения и в уравнениях энергии
и неразрывности плотность будем считать постоянной.
о Авдуевский 65

Рис. 3.1. Схема задачи конвективного
теплообмена (6Д и 6Т — толщины
динамического и теплового пограничных слоев)
Полагая, что в потоке
отсутствуют внутренние источники тепла
и диссипация энергии пренебрежимо
мала, примем в уравнении (3.3)
Qv
О и цф = 0.
Расположим оси координат так,
как показано на рис. 3.1. Примем,
что ось х направлена вдоль тела и
под углом \\i к направлению
ускорения свободного падения, ось у
нормальна к поверхности тела. При
этом gx = g cos т|э.
Движение жидкости и теплообмен в рассматриваемых
условиях описываются уравнениями (3.3) ... (3.5), (3.13). С учетом
сделанных допущений эту систему можно записать в векторной
форме:
~+ vgvad T = aV*T;
p(|^ + Dgradu)=-gpp(7-70)cost|>--g- + ,iV*U; (3.15)
а •
div v — 0
Ти
Tf
(дТ/ду)у=о,
где v — вектор скорости; V2 — оператор Лапласа.
В системе (3.15) опущены уравнения для проекций скорости v
и w в целях сокращения записи. Первый член правой части
уравнения движения характеризует подъемную силу, под действием
которой в поле силы тяжести нагретые частицы жидкости
поднимаются вверх, а холодные опускаются вниз. Величина этой
силы, отнесенная к единице объема, равна g (р0 — р), где р0ир —
плотности холодных и нагретых частиц жидкости.
Согласно выражению (3.14) р0 = р [1 + р1 (Т — Т„) ] (ввиду
малости р (Т —• Т0) по сравнению с 1), следовательно, р0 — р =
= р(3 (Т — Т0) и подъемная сила принимает вид gpp1 (T — Г0) =
= gpfiAT, где AT — разность температур, вследствие которой
возникает свободная конвекция. Соответственно составляющая
подъемной силы вдоль оси х равна gp|3 (Т — Т0) cos г(з. Знак минус
перед ней в уравнении движения учитывает то обстоятельство,
что при cos\(3> 0 и Т > Т0 подъемная сила направлена против
направления движения вдоль оси х.
66

Начальные условия можно записать так: при т < 0, х ",> О
и 0 •<;/•< оо
Т = Т0; ~- = Pi(i-, -f, -7-, J~L), i = x,y,z, (3.16)
"о \ 'о 'о 'о v /
где Ft — заданные функции.
Граничные условия принимают вид:
при т ^> 0, х < О (вдали от тела)
Т = Т0; и -- и0; v =■■ w — О;
при т ^> О, 0 -^ л: -<J /0, г/ = О (на поверхности тела)
Т = Tw или Л, -f- = 9а-; и = о = а/ = О. (3.17)
В уравнениях и условиях однозначности различают три вида
величин:
независимые переменные — координаты х, у, z и время т;
зависимые переменные — это а, Т, и, о, w, p (они однозначно
определяются значениями независимых переменных, если
заданы величины, входящие в условие однозначности);
постоянные величины — и,„ Т0, Tw, /0, ц, к, а, (3, р (они
задаются условиями однозначности и для конкретной задачи
являются постоянными величинами, не зависящими от других
переменных).
Итак, искомые зависимые переменные а, Т, и, v, w, p зависят
от большого числа величин и являются функцией независимых
переменных и постоянных величин, входящих в условия
однозначности. Величины, входящие в выражения (3.15) ... (3.17),
можно сгруппировать в безразмерные комплексы, причем их
число будет меньше числа размерных величин.
Рассмотрим одумай, когда задана температура стенки Tw.
Для приведения системы уравнений (3.15) и условий
однозначности (3.16) и (3.17) к безразмерному виду введем переменную
■О — Т — Т0 и выберем масштабы: для координат и линейных
размеров /0, для скоростей — v0, для температур — vw —
= Tw — Т0. Используя эти масштабы, введем безразмерные
величины:
X = x/l0; Y =■• у Ik; Z = z/t0;
U = и/и0; V = v/u0; W = w/u0;
0 = t,/$w = (T- T0)f(Tw - Т0). (3.18)
Подставим в выражения (3.15) ... (3.17) вместо размерных
величин, для которых выбраны масштабы, произведения из
безразмерных величин на их масштабы:
х ~ 10Х; у — laY; г = l0Z;
и = uaU; v = u,jV; w ==- u0W;
T = Tw+ Q(TW -T0).
3* 67

Уравнения энергии, движения и теплообмена примут
соответственно вид:
дв , ип ,t, , ^ а ^ад.
д% ^ I,
Р"о 4£" + -т1 (V grad U) = -£P|3vroe cos ф
[_ dp _j_ Ц"0 Г72Г/.
а = --Т-(дв/дУ)у=0.
'0
Умножив уравнение энергии на /о/я, уравнение движения на
1о/ци0, уравнение теплообмена на 10/К и выполнив аналогичные
преобразования для уравнений неразрывности, начальных и
граничных условий, получим математическое описание процесса
конвективного теплообмена в безразмерной форме:
+ Ре (V grad G) = V26;
dFo
dU ' Re (? grad t/) = — -^-Gcos^-—- (Eu Re) + V2£/;
/ FoPe \
\ Re /
(3.19)
div V = 0; Nu = — (Зв/дК)„=о.
При Fo < 0; X > 0; 0 < Г < oo
9 = 0; V, = /7, (X, Y, Z, Re); i = x, y, z.
ПриРо>0; X<0 6 = 0; U = 1;
V = W = 0. (3.20)
ПриРо>0; 0<Х<1; Г = 0
6 = 1; f/ = V = Г = 0.
Полученное безразмерное описание процесса конвективного
теплообмена содержит следующие безразмерные комплексы:
Fo = -р-, крптерий Фурье;
'о
п" — ° ° — критерий Пекле;
критерий Рейнольдса;
— критерий Грасгофа;
., —критерий Эйлера;
Nu — —г2 критерий Нуссельта.
68
Re
Gr :
Т
=
«
"и
а
й010
V
g№j0
V2
р

3.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ И КРИТЕРИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
При приведении системы уравнений конвективного
теплообмена к безразмерному виду появляются безразмерные
комплексы, составленные из разнородных физических величин:
ах и0/0 иа10 р aln
~7|~' а ' v ' V2 ' pul ' Я '
Этим комплексам, называемым критериями подобия или числами
подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад
в развитие гидродинамики или тешюпереноса.
Рассмотрим физический смысл полученных в разд. 3.4
критериев подобия. Критерии Re, Eu называют критериями
гидродинамического подобия; Nu, Ре, Fo, Gr — критериями теплового
подобия.
Критерий Рейнольдса
Re = -^- = JJafsP. (3.21)
характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке
и получается, если член уравнения движения, учитывающий
инерционные силы, разделить на член, учитывающий силы трения;
ugrada u0l0 V grad U
vV2a v V2U
Критерий Рейнольдса является важной характеристикой
процессов течения жидкости. Сила вязкого трения упорядочивает
движение жидкости и противодействует возмущениям, которые
нарушают форму течения и усиливаются с ростом инерционных
сил. Таким образом, эти две силы оказывают на поток
противоположное влияние. При преобладании сил трения движение
жидкости является ламинарным, при преобладании
инерционных сил — турбулентным. Поэтому малым значениям критерия
Рейнольдса соответствует ламинарное течение, большим —
турбулентное. С ростом Re устойчивость ламинарного течения
уменьшается и при некотором критическом значении числа Рейнольдса
ReKpl начинается появление турбулентных пульсаций.
Турбулентное течение становится устойчивым при ReKp2 > ReKpl.
Критерий Эйлера
Ей = -Л- (3-22)
Р"о '
представляет собой отношение статического давления к
скоростному напору (к силам инерции). Можно показать, что он связан
с критерием Маха М = uja, где а — скорость распространения
звука в среде. Для этого умножим числитель и знаменатель
в (3.22) на показатель адиабаты k и учтем, что а = У kRT. Получим
р.. _ pk _. kpv _ kRT __ 1 «по,
tu ~ "КГ ~ kul — ku\ ~ k№ ' (°-ZO>
69

При малых дозвуковых скоростях (М <; 0,7) статическое
давление изменяется мало и критерий Ей не влияет на
теплообмен. При движении потока с большими скоростями влияние Ей
или М на теплообмен существенно и его приходится учитывать.
В уравнение движения критерий Ей входит под знаком
производной. Поэтому при течении несжимаемой жидкости
существенно не само давление, а его изменение. При исследовании
течений в каналах критерий Эйлера представляют в виде
Eu=-^r, (3.24)
где Ар — перепад статических давлений между двумя точками
системы.
В этом случае Ей представляет собой отношение перепада
статических давлений к скоростному напору и является
определяемым при исследовании гидравлических сопротивлений в
каналах.
Критерий Нуссельта
Nu = а/,Д (3.25)
характеризует теплообмен на границе стенка—жидкость и в
задачах конвективного теплообмена является обычно определяемой
величиной.
Если выразить Nu в виде Nu = (а Л Г) /(ЛТ -]—), где AT —
температурный напор, то видно, что критерий Нуссельта есть
отношение величины плотностей тепловых потоков: переданного
в процессе теплоотдачи и прошедшего через слой толщиной /
вследствие теплопроводности. Можно также трактовать Nu ==
= ytt как отношение коэффициента теплоотдачи к термической
проводимости слоя жидкости толщиной /0.
Критерий Пекле
Ре = u0t0/a. (3.26)
„ рг„и0 &Т
Если его представить в виде -^-гг-тт^* то видно, что он ха-
рактеризует отношение тепла, переданного конвекцией, к теплу,
переносимому теплопроводностью. Критерий Пекле был получен
из уравнения энергии при делении конвективного члена на член,
учитывающий перенос тепла теплопроводностью.
Критерий Фурье
• Fo = ax//2c (3.27)
можно рассматривать как отношение времени протекания
процесса т ко времени перестройки температурного поля среды l\ja,
прямо пропорциональному квадрату линейного размера системы
и обратно пропорциональному температуропроводности среды.
Критерий Фурье включают в число определяющих при
исследовании нестационарных процессов теплообмена.
70

Критерий Грасгофа
Gr = -^ = ■&£&■ (3.28)
характеризует соотношение между подъемной силой, возникающей
в жидкости вследствие разности температур ■& (или AT), и силой
вязкости. Обычно при рассмотрении теплообмена между
стенкой и жидкостью в Gr входит разность температур стенки и
жидкости вдали от стенки AT = Tw — Tf. Несмотря на то, что критерий
Gr характеризует действие подъемных сил, он считается
критерием теплового подобия, так как эти силы возникают вследствие
теплообмена.
Вышеуказанные критерии подобия получены для
определенных условий рассматриваемой задачи. При рассмотрении других
задач теплообмена возможно появление и других критериев
подобия.
Например, если в уравнении движения (3.4) рассматривать
не подъемные силы, а силы тяжести, то вместо Gr определяющим
будет критерий Фруда
Fr = uU{gl0), (3.29)
который можно рассматривать как меру отношения кинетической
энергии потока к работе сил тяжести.
Если в критерии Грасгофа заменить (5Ф = (р0 — р)/р0, где р и
р0 — плотности жидкости в двух различных точках, то получится
критерий Архимеда
Аг=#-2а^Р-. (3.30)
v2 р„ v '
Его обычно используют при рассмотрении двухфазных сред,
например при свободном движении жидкости, в которой
находятся твердые частицы, пузыри или капли другой жидкости.
В этом случае р0 и р будут соответственно плотностями фаз.
Поскольку различие критериев Re и Ре проявляется только
в физических свойствах жидкости v и а, целесообразно выделить
эти свойства в отдельный критерий подобия. Новые безразмерные
величины могут быть получены комбинированием старых
безразмерных величин, однако при этом общее число переменных
не должно изменяться.
Критерий Пекле представим как произведение двух критериев
Pe = RePr = -^ —. (3.31)
Критерий Прандтля
pr = v/a = цср/Х (3.32)
целиком составлен из физических параметров, поэтому и сам
является физическим параметром. Критерий Прандтля можно
рассматривать как меру подобия полей скоростей и температур.
71

При а = v (Pr ==1) и аналогичности условий однозначности
расчетные поля скоростей и температур в потоке будут подобными.
Для газов критерий Рг практически не зависит от
температуры и давления и для данного газа является величиной
постоянной, определяемой числом атомов в молекуле газа. Для
идеальных одно-, двух-, трех- и многоатомных (четырехатомных и
более) газов в соответствии с кинетической теорией величина Рг
равна соответственно 0,67; 0,72; 0,80; 1,00. Для реальных газов
действительные значения Рг несколько отличаются от указанных.
Для капельных жидкостей (вода, нефтепродукты, расплавы
солей) критерий Рг, как правило, лежит в пределах от 1 до 150 ...
200 и сильно зависит от температуры (в основном из-за
изменения вязкости). При увеличении температуры Рг резко
уменьшается. Например, для воды на линии насыщения при изменении
температуры от 0 °С до 180 °С Рг уменьшается от 13,7 до 1.
Некоторые жидкости (глицерин, вязкие масла) при низких
температурах имеют Рг, достигающий нескольких тысяч. Для жидкометал-
лических теплоносителей (натрий, калий, литий, ртуть) критерий
Рг изменяется в пределах 0,005 ... 0,05. Столь низкие значения Рг
объясняются их высокой теплопроводностью.
Произведение критериев Gr и Рг обозначают
Ra = Gr Pr = g$ ATlll(va) (3.33)
и называют критерием Рэлея.
Вернемся теперь к системе безразмерных уравнений
конвективного теплообмена (3.19) и безразмерным условиям
однозначности (3.20). Входящие в (3.19) и (3.20) безразмерные величины
X, Y, Z, 0, U, V, W. Nu, Re, Ре, Fo, Eu, Gr можно
рассматривать как новые переменные. Их можно разделить на три группы:
1) независимые неременные — X, Y, Z, Fo;
2) постоянные величины, заданные условиями
однозначности,— Ре, Re, Gr, а также Ей в виде (3.22) (обычно для задач
теплообмена при внешнем обтекании тел);
3) зависимые переменные — Nu, 0, U, V, W, а также Ей
в виде (3.24) (для задач теплообмена в каналах). Поэтому из
(3.19) и (3.20) следует, что
Nu = /j (X, Y, Z, Fo, Re, Pr, M, Gr (ф); (3.34)
6 = /2 (X, Y, Z, Fo, Re, Pr, M, Gr, ф); (3.35)
Eu = U (X, Y, Z, Fo, Re, Pr, M, Gr, ф); (3.36)
Ut = U (*, Y, Z, Fo, Re, Pr, M, Gr, ф). (3.37)
В уравнении (3.36), применяемом для течения в каналах, Ей
определяется по (3.24) и характеризует гидравлические потери.
Уравнения вида (3.34) ... (3.37) называются критериальными
уравнениями.
72

Вместо критерия Ей в уравнения введен критерий М согласно
(2.23). Критерий Ре, представляющий собой произведение Re, Pr,
заменен в критериальных уравнениях на Рг, так как в уравнения
уже входит Re.
Критерии подобия можно разделить на определяющие и
определяемые. Под определяющими понимаются критерии, которые
целиком составлены из независимых переменных или постоянных
величин, входящих в условия однозначности. Для
рассматриваемого случая определяющими являются параметры X, Y, Z, Fo,
Re, Pr, M, Gr, if>. Под определяемыми понимают критерии, в
которые входят искомые зависимые переменные; в рассматриваемом
случае неизвестными являются а, Т, и, v, w, p и поэтому
определяемыми критериями будут Nu, ©, U, V, W, Eu.
В зависимости от условий задачи одни и те же критерии могут
быть и определяемыми, и определяющими. Например, если для
канала задан перепад давлений, то критерий Ей будет
определяющим, а расход жидкости и скорость являются величинами
неизвестными, и Re становится определяемым критерием.
Критерий Re также становится определяемым для задач свободной
конвекции.
Критерии подобия подразделяют на комплексы и симплексы.
Комплексы — это критерии, составленные из нескольких
неоднородных величин (Re, Pr, Gr, Nu, Fo). Симплекс представляет
собой отношение двух однородных величин (например, X = Х/10;
Ux = и/щ).
3.6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ РАЗМЕР И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ
ТЕМПЕРАТУРА
В критерии Gr, Re, Ре, Nu, Fo, Ra входит
характерный или определяющий размер Ц. Обычно при течении жидкости
внутри трубы в качестве определяющего размера принимается
внутренний диаметр трубы d.
Для каналов некруглой формы в качестве определяющего
размера принимают эквивалентный диаметр канала, равный
dB = 4F/U, (3.38)
где F — площадь поперечного сечения; U — полный омываемый
периметр.
Например, для плоского канала (рис. 3.2, а) эквивалентный
диаметр d3 = ■, где Ъ — ширина; h — высота канала. Если
Ь > h (плоская щель), то d3 = 2/t. Для кольцевого канала с
внутренним диаметром dx и наружным d2 эквивалентный диаметр
d3 = d2 — dx (рис. 3.2, б). Для продольно омываемого пучка
труб, если считать, что число труб бесконечно, эквивалентный
диаметр равен daoc = [1,102 {sjdf — 1 ] d для шахматного
расположения (рис. 3.2, в) и d3QO = [1,273 (s/df — 1 Ы для коридор-
73

S) г)
Рис. 3.2. Схемы поперечных сечений различных каналов
ного расположения (рис. 3.2, г), где s/d — относительный шаг
размещения труб в пучке (s — шаг).
Иногда при расчете теплообмена на начальном участке канала
в качестве определяющего размера используют расстояние от
входа х. Это же расстояние берется в качестве определяющего
размера для внешнего обтекания тел. Часто для обозначения
используемого определяющего размера критерии подобия
снабжены соответствующими индексами. Например, Nu^ означает,
что в качестве определяющего размера в Nu используется
эквивалентный диаметр d3; Rex означает, что Re определяется по х.
Для процессов теплообмена существенен не только
определяющий размер d, d3 или /0, но и некоторые другие характерные
размеры. Например, при движении жидкости в прямой гладкой
трубе нужно вводить в качестве дополнительного размера ее
длину / или расстояние от входа х (или в безразмерном виде L =
= l/d3 и X = x/da). Для каналов сложной формы при изменении
коэффициента теплоотдачи по периметру в ряде случаев вводятся
также безразмерные координаты Y = y/d3 и Z = z/d3 или
безразмерные параметры, характеризующие геометрию канала L^ ...
Ln (например для продольно омываемых пучков труб в
качестве такого параметра используются относительные шаги труб
Lt = Sijd, для кольцевых каналов — L = d2ld1).
Входящие в критерии подобия физические свойства жидкости
или газа р, ср, ц, v, к, а, $ в общем случае зависят от температуры.
Поэтому вводится понятие определяющей температуры, т. е.
температуры, при которой определяются значения физических
свойств, входящих в критерии. При этом критерий снабжается
74

соответствующим индексом. Наиболее часто в качестве
определяющей принимают среднемассовую температуру потока в
рассматриваемом сечении Tf и среднюю для канала в целом Tf, тогда
соответствующие критерии обозначают Nu/t Ref, Pvf (в
литературе эту температуру обозначают также индексами: «ж» —
жидкость, «г» — газ, «и» — поток). Иногда в качестве определяющей
используется температура стенки Tw, тогда соответственно
критерии обозначают Nu^,, Re^,, Ргш (в литературе эту температуру
обозначают также индексом «е<> — стенка). При расчете свободной
конвекции обычно в качестве определяющей принимается
полусумма температур жидкости и стенки Тт = -5- (Tw -f Tf) и
соответствующие критерии обозначают Num, Grm, Prm (иногда
эту температуру обозначают индексом «ср» — средний).
Так как введение одной определяющей температуры не может
в общем случае учесть влияние переменности свойств среды на
теплообмен, вводятся дополнительные безразмерные параметры
Pf/Pw, ср /Ср , р.//Мчг>, Ц1Ко, составленные из физических свойств,
взятых при температурах Tw и Tf.
Для газов эти свойства зависят в основном от температуры,
и эти зависимости имеют вид
р/ / Tf }"р. срг ^(т.
Pw V т,
Л.)
w J
ч
(3.39)
где яр, пс, пк, «ц — постоянные, зависящие от природы газа и
интервала температур.
Отношение абсолютных температур стенки и потока принято
называть температурным фактором. В большинстве случаев пр =
=—I. Поэтому в критериальные уравнения теплообмена для
газов при учете влияния переменности свойств достаточно ввести
безразмерные параметры T.JT'f, пс, %, п^, а для конкретного
газа — только Tw/Tf. Таким образом, в отличие от (3.34) в общем
случаев критериальное уравнение для местной теплоотдачи имеет
следующий вид:
Nu, - / (Re„ РГ/> М, Gr„ ф, Fo,, TJTt,
пс, пх, Пц, X, Y, Z, Lx ... Ln). (3.40)
В случае турбулентного режима теплообмена, практически
наиболее интересного при обобщении опытных данных, успешно
используются безразмерные критерии подобия, включающие в себя
производные но времени от граничных условий (температуры
стенки, расхода теплоносителя и т. д.). При этом время
(критерий Fo) в уравнении (3.40) явно не входит. Данную ситуацию
называют локально-временным подобием. Для стационарного
теплообмена и при изменении коэффициента теплоотдачи только вдоль
75

продольной координаты х (например для течения жидкости в
круглой трубе, для продольно омываемой пластины и при продольном
обтекании осесимметричного тела) зависимость (3.40) можно
упростить:
Nu/ = /(Re/, Pi,, M, Gr,, ф, TjTf, ne, п%, п», X). (3.41)
Для конкретных газов эту зависимость можно выразить в виде:
Nu, = /(Re,, Pr,, M, Gr,, яр, Tw/Tf, X), (3.42)
или с учетом, что Pvf = const,
NU/-/(Re/; M, Gr,, ф, TJTf, X). (3.43)
Если влияние свободной конвекции слабое, что характерно
для турбулентного режима течения (для ламинарного режима
при небольших AT и малых размеров каналов d), то
критериальное уравнение примет вид
mt = f(Ret, M, TjTf, X). (3.44)
Для малых скоростей течения газов (обычно для М <; 0,7)
влияние М на теплообмен несущественно, и тогда
NU/ = /(Re/, TjTf, X). (3.45)
При свободной конвекции зависимость (3.43) упрощается и
принимает вид
Nuf = f(GTf, Pvf, TjTf, X). (3.46)
Во многих случаях свободной конвекции принятие в качестве
определяющей средней температуры пристеночного слоя Тт =
— -у (Tw + Tt) позволяет исключить влияние температурного
фактора TJTf, а принятие в качестве определяющего размера
продольной координаты х позволяет исключить влияние X,
т. е. критериальное уравнение примет вид
Num = /(GrmPrm). (3.47)
Для капельных жидкостей с изменением температуры
изменяются ср, [д., К, и учесть влияние их изменения на теплообмен
можно с помощью отношения Рг^/Ргш. Поскольку сильнее всего
с изменением температуры у жидкостей меняется коэффициент
вязкости, иногда вместо Рг^/Рг^, в критериальное уравнение
вводится \if/\iw. Скорости течения жидкостей обычно намного
меньше, чем газов, и М на теплообмен не влияет. Таким образом,
критериальное уравнение при стационарном теплообмене для
жидкостей примет вид
Nu, = /(Re„ Pr„ Gr„' ф, -g*-, X), (3.48)
а при слабом влиянии свободной конвекции
NU/ = /(Re/, Pr„ -pg-, X). . (3.49)
76

От аналогичных критериев в соответствующих условиях
зависят профили скорости и, v, w и профили температуры в, а также
критерий Ей.
3.7. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Уравнения типа (3.40) ... (3.49) так же, как исходная
система размерных уравнений (3.3) ... (3.5), описывают
бесконечное множество конкретных процессов конвективного теплообмена.
Уравнения будут справедливы для любого процесса теплоотдачи
между стенкой и жидкостью, удовлетворяющего принятым при
выводе уравнения допущениям. Таким образом, эти уравнения
описывают совокупность физических процессов,
характеризующихся одинаковым механизмом. Различие отдельных физических
процессов определяется с помощью условий однозначности,
которые могут иметь различные численные значения.
Сформулированные ниже условия являются определением
подобия физических процессов:
1) подобные процессы должны быть качественно
одинаковыми, т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу
и описываться одинаковыми по форме дифференциальными
уравнениями;
2) условия однозначности подобных процессов должны быть
одинаковыми во всем, кроме численных значений постоянных,
содержащихся в этих условиях;
3) одноименные определяющие критерии подобных процессов
должны иметь одинаковую численную величину.
Из первого и второго условий следует, что подобные процессы
должны описываться одинаковыми (тождественными)
безразмерными дифференциальными уравнениями и безразмерными
граничными условиями. В безразмерной форме математическая
формулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же.
Следовательно, подобные процессы описываются единой формулой
типа (3.40) ... (3.49), функция f будет одной и той же для всех
подобных процессов.
При соблюдении первых двух условий подобия исследуемые
процессы будут зависеть от одних и тех же критериев. При
соблюдении третьего условия, поскольку функции / одинаковы,
определяемые одноименные критерии будут иметь одинаковую
численную величину.
Зависимости (3.40) ... (3.49) получают обычно эмпирическим
путем, и поэтому они применимы лишь в пределах изменения
аргументов, которые подтверждены опытом.
3.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование — метод экспериментального
исследования процесса на модели вместо изучения натурного явления.
Очевидно, что процесс должен быть осуществлен таким образом,
77

чтобы результаты его изучения можно было обоснованно
перенести на натурный образец.
Этот метод применяется в тех случаях, когда трудно или
невозможно изучить натурное явление па натурном объекте,
например из-за недопустимой длительности, высокой стоимости или
невозможности провести в натурных условиях необходимые
измерения. В авиационной и ракетно-космической технике задачи
создания теплонапряженных узлов и объектов, как правило,
решаются с широким проведением моделирования. Хорошим
примером может служить создание тепловой защиты для
космических летательных аппаратов с целью их возвращения на Землю.
Условия моделирования определяются теорией подобия.
Исходя из изложенных выше условий подобия физических
процессов, при моделировании прежде всего необходимо
осуществить геометрическое подобие модели и натуры. Соблюдение
подобия условий однозначности требует подобия теплофизиче-
ских свойств жидкости и подобия процессов на границах
исследуемой системы. Первое требование особенно сложно соблюсти,
если физические параметры переменны и эта переменность
проявляется в исследуемом процессе (например в условиях неизо-
термичности потока, характерном для конвективного теплообмена,
если такие существенные для теплообмена свойства, как вязкость,
плотность, теплопроводность, теплоемкость, зависят от
температуры). Как правило, это существенно ограничивает возможности
моделирования на отличных от натурных теплоносителях
(например возможности замены газа капельной жидкостью). Второе
требование обычно обеспечивается соблюдением подобия
температурных и скоростных полей на входе жидкости в исследуемый
объект и подобия полей температур или тепловых потоков на
поверхности тел, участвующих в теплообмене.
Для подобия процессов в натуре и модели необходимо, кроме
того, равенство одноименных определяющих критериев подобия.
Например, если рассматривается процесс теплообмена при
стационарной свободной конвекции, то согласно (3.46) или (3.47)
необходимо равенство критериев Грасгофа и Прандтля:
GrM - GrH; PrM = PrH> (3.50)
(где индекс «м» относится к модели, «н» — к натурному объекту),
или
gJu^A _ £ААГ/н . УМ = Ун
v2 vl ам ан
м н
Как известно, для освоения Луны необходимо создание
герметичных лунных модулей, внутри которых необходимо создание
комфортных условий для человека. Эти модули должны оснащаться
системами жизнеобеспечения (кондиционирования, отопления,
вентиляции и др.), а для выбора их параметров необходимо
изучение процессов теплообмена внутри замкнутых помещений лун-
78

ных модулей. Эти процессы должны быть предварительно изучены
на Земле. Поскольку они в основном определяются свободной
конвекцией, необходимо при моделировании соблюдение условий
(3.50). Если в процессе моделирования соблюсти равенство полей
температур (ДГМ -— АГН) и физические свойства жидкости в
модели и натуре одинаковы, то из (3.50) следует, что gull = gJl-
Отсюда размеры модели нужно выбирать из условия 1Ы = 1Я Л/ — .
Если учесть, что gM = 9,81 м/с2, £н = 1,623 м/с2, то /м = 0,55/н,
т. е. геометрические размеры модели должны быть в 1,82 раза
меньше натурных размеров исследуемого объекта.
При моделировании более сложных процессов возникают
дополнительные ограничительные условия. Например, если для
исследуемого процесса существенно влияние как свободной,
так и вынужденной .конвекции, то помимо соблюдения условий
(3.50) необходимо равенство критериев Рейнольдса, т. е. ReM =
= ReH. Совокупность всех ограничительных условий создает
серьезные трудности при практическом осуществлении
моделирования. Часто точное моделирование оказывается невозможным
и приходится прибегать к приближенному моделированию.
В реальных условиях критерии подобия по-разному влияют
на протекание изучаемых процессов. Если влияние какого-либо
критерия проявляется слабо, то его можно исключить при
моделировании. В этом случае моделирование называется
приближенным.
Существенно расширяет возможности приближенного
моделирования проявление свойства автомоделыюсти процесса
относительно какого-либо определяющего критерия. Определяемый
критерий автомоделей относительно определяющего, если данный
определяемый критерий не зависит от рассматриваемого
определяющего. Если процесс автомоделен относительно какого-
либо определяющего критерия, то при моделировании нет
необходимости соблюдать равенство этого критерия для натуры и
модели.
Например, в реальных трубах, которые не являются
гидравлически гладкими, при достижении в них определенных значений
критерия Рейнольдса, он перестает влиять на коэффициент
гидравлического сопротивления и выпадает из числа определяющих
процесс критериев подобия. Аналогично, коэффициент расхода
диафрагм, сопел и других сужающих устройств, применяемых
для измерения расходов газов и жидкостей, при достижении
определенного значения критерия Рейнольдса также перестает от
него зависеть. Это позволяет значительно сократить объем
экспериментов, необходимых для тарировки сужающих устройств.
Ввиду трудности точного моделирования на практике часто
используется приближенный метод локального теплового
моделирования. Особенность этого метода заключается в том, что
подобие процессов осуществляется лишь в том месте, где производится
79

изучение теплоотдачи. Например, для изучения теплоотдачи
при поперечном обтекании жидкостью пучка труб часто
достаточно проведения измерений на единичной трубе, участвующей
в теплобмене. Остальные же трубы пучка обеспечивают
гидродинамическую обстановку около этой трубы и в теплообмене не
участвуют. Применение локального моделирования позволяет
удешевить и ускорить проведение эксперимента. Однако его
допустимость необходимо тщательно обосновывать.
Для изучения процессов теплообмена также используется
метод аналогий. В этом случае исследование тепловых явлений
заменяется изучением аналогичных явлений, поскольку их
экспериментально исследовать легче. Необходимо, чтобы
аналогичные явления описывались одинаковыми по форме
дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, несмотря на
различное физическое содержание. При изучении процессов
теплопроводности используется электротепловая и гидротепловая
аналогии. В первом случае используется то обстоятельство, что
явления теплопроводности и электропроводности описываются
одинаковыми уравнениями, что позволяет вместо полей температур
определять поля электрических потенциалов. Гидротепловая
аналогия основана на сходстве законов распространения тепла и
движения жидкости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. При каких допущениях получены уравнения неразрывности, движения
и сохранения энергии?
2. Какие условия однозначности необходимы для решения системы
дифференциальных уравнений, описывающих конвективный теплообмен?
3. Что такое критерий подобия?
4. Какие критерии подобия используются для описания процессов
теплообмена при вынужденной конвекции?

ГЛАВА IV
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена,
т. е. такие, в которых температурное поле по времени не изменяется и в
дифференциальном уравнении теплопроводности Фурье — Кирхгофа производная
дТ/д% =■-■- 0. Однако целый ряд важных практических задач теплообмена не может
быть рассмотрен в рамках предположения о неизменности параметров процесса
по времени. К ним относятся задачи о прогреве теплозащитных оболочек и
конструктивных элементов скоростных тетательных аппаратов, о нагреве стенок
сопел реактивных двигателей твердого топлива, о расчете поля температур в
энергетических ядерных реакторах при изменении режима работы, о тепловом режиме
искусственного спутника Земли ШСЗ). В этой главе будут рассмотрены
нестационарные процессы теплопроводности в неподвижных средах (твердых телах)
и даны аналитические и численные методы решения дифференциального
уравнения Фурье — Кирхгофа для нестационарного случая с различными краевыми
условиями.
Нестационарные тепловые процессы сопровождаются не только изменением
температурного поля по времени, но почти всегда связаны с изменением
энтальпии тела, т. е. с его нагревом и охлаждением.
Практические задачи нестационарного теплообмена можно разделить на две
основные группы. К первой относятся процессы, происходящие при переходе
тепла из некоторого начального теплового состояния в иное стационарное, обычно
равновесное тепловое состояние. Примерами могут служить изменение
температурного поля в теле, помещенном в среду, температура которой отличается от
начальной температуры тела, или выравнивание температур в теле с заданным
начальным распределением температур. Ко второй группе можно отнести
процессы, происходящие в телах, испытывающих тепловое воздействие извне,
изменяющиеся во времени по некоторому закону. Здесь можно назвать процессы
периодического изменения температуры при движении ИСЗ по орбите, часть
которой пролегает в тени Земли, суточные и годовые колебания температуры
в верхних слоях земной коры, тепловые режимы аппаратов, находящихся на
поверхности Луны, процессы в регенеративных теплообменниках и др.
В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделить три
этапа, характеризующиеся различными режимами, из которых собственно
нестационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в теле
определяется не только изменившимся тепловым воздействием, например
изменением температуры жружающен среды, ной начальным распределением
температур в теле Т0 (х, у, г) при т -- 0. Поскольку начальное температурное поле
в общем случае может быть весьма произвольным, то и тепловой режим на
этом первом этапе носит характер неупорядоченного процесса.
На втором этапе влияние начального состояния все более и более
ослабевает и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями на
границе тела, т. е. наступает режим упорядоченного процесса, в частности,
регулярный режим.
Для большинства процессов первой группы характерен еще и третий этап,
в котором температур;) тела во всех точках одинакова и равна температуре
окружающей среды. Это состояние называют состоянием теплового равновесия.
Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступает лишь
по прошествии бесконечно большого промежутка времени. Однако на практике
81

тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого к состоянию
теплового равновесия, поэтому и интересующие нас длительности нестационарных
режимов отнюдь не бесконечны.
4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Выведенное дифференциальное уравнение
теплопроводности Фурье—Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и
отсутствия внутренних источников тепла имеет вид
~=--а^Т, (4.1)
где а = У(ср) и V2 — оператор Лапласа, записанный в
прямоугольной, цилиндрической, сферической или иной системах
координат. Это уравнение устанавливает зависимость между
температурой, временем и координатами тела в элементарном объеме,
т. е. связывает временные и пространственные изменения
температуры тела.
Если заданы форма и размеры тела, а также его физические
свойства (X, с, р, ...), т. е. геометрические и физические условия
однозначности, то для решения уравнения (4.1) необходимо
задать еще начальные и граничные, или краевые условия.
Поскольку температура тела в общем случае является
функцией координат и времени f (х, у, г, т), то начальные условия, т. е.
распределение температур в теле в начальный момент, задаются
в виде / (х, у, г, 0) = Д, (х, у, г), где Д, — известная функция,
которая необязательно должна быть задана аналитически, а может
быть представлена численно или графически.
В ряде практических задач начальное условие имеет более
простой вид: f (х, у, г, 0) = Т0 = const.
Для однородных тел граничные условия могут быть заданы
трех видов: температура любой точки поверхности тела в любой
момент времени; тепловой поток у поверхности, либо температура
среды, омывающей тело; условия теплообмена тела с окружающей
средой. В отличие от стационарных задач все величины,
входящие в граничные условия, могут изменяться во времени по
заданному закону.
4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Теория подобия позволяет определить, от каких
безразмерных параметров зависит решение уравнения (4.1).
Предположим, что температура среды 7у омывающей
рассматриваемое тело, — величина постоянная. Введем новую
переменную
О = Т — Ту (4.2)
82

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности запишется
в виде
■g- - aV30. (4.3)
Я_ /д&_
а \ дп
Начальные условия: при т - = 0 # = i)0 (х, г/, ,?).
Используем граничные условия 3-го рода: i\, = ~
где X — коэффициент теплопроводности тела. Если считать, что
•&0 = const, то уравнение (4.3) можно привести к безразмерному
виду, используя в качестве масштаба температур т,'0, а в
качестве масштаба длины — характерный размер тела /. Тогда
в —ft/i)0 — безразмерная избыточная температура, х = х/l, у —
= y/l, z = г/1 — безразмерные линейные размеры.
При использовании новых неременных уравнение (4.3) примет
вид
Vh дх " I' V U'
где V2 — оператор Лапласа, записанный в системе
безразмерных координат (х, у, г). Это выражение преобразуется:
T7^U^V2e. (4.4)
Условия однозначности уравнения (4.4) имеют вид:
при т = 0, 0 = 1;
на границе тела
(£). = -т-в- <«>
Как видно, в уравнение (4.4) и в граничное условие (4.5) входят
безразмерные величины — определяющие критерии подобия —
ax/l2; al/X.
Решением является функция
" Э =/(*, у, z, ax/P, a/A). (4.6)
Безразмерный комплекс ат/72 есть не что иное, как критерий
тепловой гомохронности Фурье Fo = сп/l2 (см. гл. 3), который
характеризует соотношение между временем протекания
процесса и временем распространения температурной волны.
Безразмерный комплекс al/X обозначается через Bi — al/k и так же,
как и Fo, является критерием подобия процессов
нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий
3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует
отношение термического сопротивления теплопроводности стенки
(6Д) к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе
между телом и окружающей средой 1/а.
Критерии Fo и Bi являются определяющими критериями, а
функция в — определяемой.
83

В новых неременных уравнение Фурье — Кирхгофа имеет вид
а?Г = V20' (4.7)
а граничные условия 3-го рода
Итак,
в =f{x, у, z, Fo, Bi). (4.9)
Формула (4.9) означает, что безразмерные температуры двух тел
одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент
времени т --= 0, в сходственных точках пространства и времени
будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi.
Зависимость (4.9) можно получить аналитически и с помощью
численных методов: они представляются в виде таблиц или
номограмм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для
расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде
с постоянной температурой.
Рассмотрим несколько примеров использования этих
номограмм.
Пример 1. Стальная плита толщиной 26= 200 мм с начальной
температурой Тп ■= 955 К опущена в масляную ванну (температура масла принимается
постоянной и равной Tj — 355 К). Считая коэффициент теплоотдачи постоянным
[а— 40 Вт.'(м3-К)], определить температуру в плоскости симметрии и на
поверхности плиты через 24 мин и через 1 ч.
Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теилофизиче-
ских свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом интервале
температур X ^ 40 Вт/(м-К) и а= 0,05 м2/ч. Тогда значения определяющих
критериев Fo и Bi будут
ах 5- 10"2-2 „ „.
р01==-§Г=- 5-10-а ПрИ т = 24мин
и Fo„ — 5 при т — 1 ч; Bi ■= 0,1.
Пользуясь номограммами, приведенными на рис. 4.1, о, б, находим:
через 24 мим в15 - -^?-—^- -■-, 0,85; &w = I'f^l1- - 0,81, где вц- без-
L п — 1 f 1 п— If
размерная температура в плоскости симметрии, а 0а, — на поверхности
пластины;
через 1 ч вц -=■- 0,66; вш = 0,62.
Следовательно, через 24 мни температура в плоскости симметрии плиты
будет Т„ =--= 0.85 (Т0 — Т,) + Г/ = 0,85 (955 — 355) + 355 == 865 К, а на
поверхности — Та ■--- 0,81-600 + 355 -= 841 К-
Через 1 ч соответствующие температуры будут 7'ц = 751 К и Тю =727 К.
Пример 2. Какую минимальную толщину должна иметь стенка дозвукового
сопла для того, чтобы за 5 с работы двигателя температура поверхности,
омываемой продуктами сгорания с Tf = 2500 К, не превысила допустимой — Tw =
---- 1300 К- (Стенку рассматривать как плоскую пластину; отводом тепла с
наружной поверхности сопла пренебречь; а — 1000 Вт/(м2-К); ^= 30 Вт/(м-К);
а -— 0,05 м3/ч; начальная температура стенок Т0 — 300 К-)
Решение. Согласно номограмме (см. рис. 4.1, б) для поверхности пластины
при допустимом значении Тш безразмерной температуре &w = -=^ ■— =
'« — ' f
84

1300
2500
----- 0,54
соответствует совокупность значений Fo —• 1; 2; 3;
300 - 2500
4; 5; 6 и Bi -=- 0,5; 0,28; 0,19; 0,14; 0,11; 0,095. В то же время между Bi = аб/А,
и Но ~- ат/'б2 можно найти связь, выражая б через [б = Bi (Xla)] и подставляя
в критерий Фурье:
„ слн?
Fo
Ы-Х2 '
Для условий рассматриваемой задачи
0,05-5-10002
Fo-=
3600-303
0,093
1-е,
0,01
8 10 12 М 16 18 20 22 24 26 28 За F„
6 7
в)
Рис. 4.1. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры
[(в = (Т—Tf),'(T0— Т))] плоской бесконечной пластины:
с — в плоскости симметрии; 6 — на поверхности

Построив графически эту зависимость и нанеся на тот же график зависимость
Fo =- / (Bi), заданную таблицей значений, взятых из номограммы 4.1, б, в точке
пересечения двух кривых получим совокунность значений Fo и Bi,
удовлетворяющую требованию задачи. Этими значениями являются Fo = 4,5 и Bi = 0,13.
X
По любому из них найдем потребную толщину стенки сопла: S = Bi — =
= 0,13 -;
30
000
3,9-Ю-3 м.
Интересно рассмотреть качественный характер и некоторые
предельные случаи изменения безразмерной избыточной темпера-
Рис. 4.2. Номограммы для определения
туры бесконечного цилиндра:
безразмерной избыточной темпера-
на поверхности
86

туры по безразмерному времени (Fo) при граничных условиях
3-го рода. Очевидно, что при фиксированном числе Bi температура
поверхности Тш быстрее приближается к температуре
окружающей среды Тh чем температура в точках, расположенных глубоко
внутри тела (см. рис. 4.3). Степень этого различия в скоростях
зависит, однако, от Bi ■— а//лт. Так, при Bi —>- 0 температуры
центра и на поверхности в течение всего процесса можно считать
одинаковыми, так как приток тепла к телу вследствие конвекции
мал (мало а), и температура внутри тела успевает в каждый
момент выравняться в силу большой его теплопроводности
(большое Ц. В случае же Bi -> <х> отличие в температурах внутренних
точек тела и его поверхности будет максимальным, так как
задача, как уже говорилось, стремится к задаче с граничными
условиями 1-го рода, когда Tw — Тf в течение всего процесса.
Это легко обнаружить и на номограммах (см. рис. 4.1 ... 4.3),
сравнивая зависимости безразмерной температуры от Fo в центре
и на поверхности при малых и больших значениях Bi.
В практике часто нельзя воспользоваться решениями для тел
бесконечной протяженности (пластина, цилиндр) в силу того, что
продольный размер реального объекта (например длина цилиндра)
сравним с поперечным (его диаметром). В этих случаях задача
существенно неодномерна.
0,05 1 1,5 2 2,5 3 5 10 15 F0
S)
Рис. 4.3. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры
шара:
о. — в центре; 6 — на поверхности
87

Можно показать, что для
ряда простейших тел конечных
размеров решение может быть
получено комбинацией имеющихся
решений для тел бесконечной
протяженности. Для цилиндра
радиусом R и длиной 26
решение находится по формуле G =
== ^n.'jf ЦИЛ> ГДе "ПЛ1 ^*ЦИЛ PC"
шеиие для пластины и цилиндра
соответственно (рис. 4.4).
Для параллелепипеда с
ребрами 26ь 2б2 и 263 безразмерное
решение будет равно в — в^вд,
где вг — безразмерное решение
соответствующей задачи о
бесконечной пластине толщиной 2бг.
Построение комбинированных решений для тел конечной
протяженности, продемонстрированное здесь на примере задачи
с граничными условиями 3-го рода, возможно и в задачах с
граничными условиями других родов. Следовательно, номограммы
типа приведенных на рис. 4.1 ... 4.3 для определения температур
простейших тел в нестационарных процессах применимы к весьма
широкому кругу неодномерных задач.
Следует учитывать, что полученные с помощью номограмм
решения носят приближенный характер, так как они получены
в предположении постоянства а по поверхности, неизменности
теплофизических свойств тела но температуре и т. д.
+у ..
Рис. 4.4. Схема решения задачи о
нагреве (охлаждении) цилиндра
конечной длины (граничные условия
3-го рода)
4.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
(МЕТОД ФУРЬЕ)
Классическим методом решения уравнения (4.7)
является метод разделения переменных (метод Фурье). Идея метода
состоит в предположении, что решение можно представить в виде
произведения двух функций, одна из которых является функцией
безразмерных координат, а другая — функцией только
критерия Fo. Таким образом находятся частные решения уравнения &п,
удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие
начальным. Затем, пользуясь линейностью уравнения, находят
решение как линейную суперпозицию этих частных решений G =
сю
= 2j Ап(йп, причем такую, которая удовлетворяет уже началь-
ным условиям путем соответствующего выбора коэффициентов Ап.
Итак, представляем в в виде
Q(x, у, z, Bi, Fo) == ф (х, у, z, Bi) -ф (Fo).
(4.10)

Подстановка (4.10) в уравнение (4.7) дает
ф FTo "~- ^у2ф или фd^o '"' ^Д72ф' <4-11)
откуда
^ l V72„
i|' <i Fo ф
Здесь слева функции только времени, а справа — только
координат. Равенства (4.11) возможны лишь в том случае, если как
левые, так и правые его части — одинаковые постоянные
величины, не зависящие ни от времени, ни от координат. Обозначим
эту константу через — «т» (знак минус принят для удобства
последующих преобразований, что отнюдь не налагает каких-либо
ограничений на знак самой константы т).
Тогда исходная задача сводится к следующим двум:
1) 1 *L = _m; (4.12)
' ij> d Fo v /
2)7^ = -'"; <p- = —in-HJ-).. (4ЛЗ)
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.12)
имеет вид
ty =■ А ехр (—т Fo), (4.14)
где А — произвольная константа.
Из полученного вида решения видна непригодность
значений т < 0 в рассматриваемой задаче, так как при т < 0 функция
оказывается монотонно растущей функцией времени, что
противоречит физическому смыслу задачи, согласно которому тело
стремится к тепловому равновесию, т. е. lim \р = 0.
Fo-^oo
Решение второго уравнения (4.13) зависит от геометрии тела.
При этом оказывается, что не все положительные значения т
позволяют удовлетворить граничным условиям так, чтобы
решение не было тривиальным: <р = 0.
Дискретные значения постоянной т, при которых задача
(4.13) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным
условиям, называются собственными значениями задачи (4.13)
и обозначаются ти т2, ms, ..., тп, ... (причем тх < т2 < т8 <...
< тп ...). Соответствующие решения называются собственными
функциями задачи (4.13) и обозначаются фъ ф2, ф3, ..., фп, ... .
Общее решение ур-авнения (4.7), таким образом, имеет вид
оо
0=2 Лпф„ехр (—mnFo). (4.15)
Как уже говорилось, коэффициенты Ап выбираются из
условия удовлетворения решения начальным условиям, т. е. при Fo =
= 0
ОО
1 = 2 Ап<рп(х, у, z, Bi). (4.16)
89

Для нахождения коэффициентов
единица раскладывается в ряд по собственным
функциям фп.
Рассмотрим конкретный пример
определения собственных значений и
собственных функций задачи в простом случае
пространственно одномерной задачи об
изменении температур в плоской
бесконечной стенке толщиной 26 (рис. 4.5).
В качестве характерного размера /
возьмем б. В этом случае задача (4.13) будет
иметь вид
J_ d2q>
Ф
Рис. 4.5. Схема к задаче
об охлаждении плоской
стенки (граничные
условия 3-го рода)
Ф(1) =
ф(-1) =
—— = —Ш'
X2
1 dtp (1)
Bi dx
1 dT(-l)
Bi
dx
(4.17)
(4.18)
(4.19)
Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что
распределение ф в стенке будет симметричным относительно плоскости
х = 0. Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться
dcp (0)
dx
= 0.
(4.20)
17), удовлетворяю-
это частное решение
(4.21)
удов-
(4.22)
(4.21)
Это условие позволяет освободиться от 2-го граничного
условия (4.19) при х = —1 и свести к задаче о пластине толщиной б,
теплоизолированной от поверхности jc = 0.
Частное решение исходного уравнения (4.
щее граничному условию (4.20), имеет вид
Ф = Dcos (У~тх).
Граничному условию при х = 1
летворяет, если
Bi Dn cos У~т — Dn Yin sin ]/7n = 0.
Это уравнение получается подстановкой равенства
в условие (4.18). Отсюда получаем Ag]/"m~ = ]/7rz/Bi. Это
характеристическое уравнение позволяет найти собственные
значения, а 'следовательно, и собственные функции рассматриваемой
задачи.
Обозначая У~т через \х, получим
ctg |i = |j,/Bi. (4.23)
На рис. 4.6 показан графический метод отыскания корней
характеристического уравнения как координат точек пересечения
котангенсоид ух = ctg ц с прямой у2 — [i/Bi. Очевидно, что число
корней бесконечно, причем каждый последующий корень больше
90

предыдущего: [хх < [х2 < [х3 < ... <"
<Cfx„ < ... . Этот набор корней
зависит от Bi. Таким образом, решение
задачи (4.13) в данном случае имеет вид
ц>п(х, Bi) = Dcos(\inx),
или
Фп (х, Bi) = D cos (Ymnx)y
а общее решение (4.15)
дифференциального уравнения теплопроводности
G (х, Bi, Fo) --=
оо
, cos (y^rrinx) ехр (—тп Fo).
(4.24)
= 2 л;
п = 1
у1у>
Рис. 4.6. Графический
метод отыскания корней
характеристического уравнения
Условие (4.16) для нахождения коэффициентов Ап примет вид
1 = 2 Ancos(]^mnx), откуда Аг
2 sin 1/ тп
п^\
"lA"n + sin "l/ffln cos "l/^n
, т. е.
&(х, Bi,
оо
2 sin V rnn
га=1
/лп -j- sin у tnn cos V tnn
cos (|/ m„x) exp (mn Fo).
(4.25)
4.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Упоминавшиеся выше решения простейших задач,
которые удается затабулнровать или свести к расчетным
номограммам, получены при неизменной по времени температуре
окружающей среды Тf (или температуре стенки Тш, или теплового потока
дш), а также при одинаковой по всему объему тела начальной
температуре в момент т = 0.
В виде рядов выписывается решение в случае произвольно
заданного распределения температур при т -~ 0 для тел
простейшей формы и одномерных задач (см. разд. 4.2). Однако и в этом
случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма
трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались
и численные методы решения нестационарных задач
теплопроводности, причем с появлением электронных счетных машин эти
методы приобрели решающую роль в проведении точных
инженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий,
камер сгорания и сопел ЖРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные
методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения
нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной
формы.
91

4.5.1. Явный метод
Идею одного из простейших численных методов
продемонстрируем на примере одномерной задачи прогрева
(охлаждения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода.
Разобьем стенку изотермическими поверхностями (в
рассматриваемой задаче они параллельны поверхности стенки) на слои
равной толщины Ах. В центре каждого слоя поместим узел.
Исключение составляют слои, непосредственно прилегающие к
границам твердого тела: их толщина вдвое меньше и узлы
расположены на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и
соответствующие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые
интервалы Ать Дт2, Ат3, ..., Ат„ и т. д., температуру й-го узла
в л-й момент времени будем считать равной Tl. Считаем, что
температура между узлами в каждый момент времени изменяется
по линейному закону (рис. 4.8).
•Запишем баланс тепла для А-го слоя (см. рис. 4.8). Очевидно,
что тепловые потоки, втекающие через левую <2Л и правую Qa
границы слоя, изменяют энтальпию / рассматриваемого слоя, т. е.
<2л + <3п =
д!
д-с
(4.26)
Тепловые потоки выражаются через закон Фурье: Qn —
= __я,/?4^-; Оп = 'kF-^r-, где F — площадь поверхности слоя.
дх ох
Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на
границе слоя) температура меняется по линейному закону, то
Qn = —XF
k ~ ' к-
Ах
= IF-
' ' к
Ах
Qn = №
П-х ■
' J к
Ах
Энтальпия выражается соотношением / = pFAxcT, где с
теплоемкость материала; р — плотность.
1
Лх/2
i
•
•Лх
о
Лх
о
Лх
•
Лх
•
Лх
'
1
&к/г
Рис. 4.7. Схема решения задач неста- Рис. 4.6. Внутренний узел
циоиарной теплопроводности методом
конечных разностей
92

Ее изменение за интервал
времени Дт в предположении, что
плотность и теплоемкость
постоянны, можно аппроксимировать
выражением
—— « pF Ахс т .
дт ' Дт
Подставляя соотношения для
<3л, <2п и 4— в Уравнение (4.26),
74
дт
получим
XF-
' k—i
грП
" ' к
Ах
-\- XF
' к-i-l ~ ' к
Ах
Рис. 4.9. Граничный узел
pF Ахс ■
к
Дт
Решая это уравнение относительно Тр~\ получим
1 к
Fo(r2+, + 7'2-i) + (l-2Fo)n,
(Axf
где критерий Фурье определяется соотношением Fo
*(»-£)■
Уравнение (4.27) позволяет в явной форме определить
значения температур во всех внутренних узлах в (п -f 1)-й момент
времени, если известны значения температур в п-й момент, поэтому
такой способ численного решения называется явным.
Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 4.9).
Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла
через левую границу слоя определяется по формуле Ньютона
Qji = aF (Г/ — Т\), что энтальпия равна / — -^-pFAxcT, т. е.
-|f ^^-pFAxc-^
получим
aF(T"
откуда
" ' 1
Дт
Записав балансное уравнение (4.26),
П) + XF
Tl — Tl
Ах
■ — -н- pF Ахс
Дт
77+ = 2 Fo {T'i + Bi T") + Т" (1 - 2 Fo - 2 Fo Bi), (4.28)
где Bi = аДхД.
Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена,
необходимо знать начальное распределение температуры в теле Th.
С помощью соотношений (4.26) и (4.28) определяется
распределение температуры в следующий момент времени Ат, — Т'к- Дальше
процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут момент
времени, для которого требуется знать распределение
температуры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи
93

Остановимся на выборе шагов интегрирования Дт и Дх. Этот
выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых
соотношениях шагов можно получить результаты,
противоречащие законам термодинамики. Пусть в какой-то момент времени
в трех соседних точках температуры равны Tk-i = 200 К; Т\ =
= 100 К; Tk+\ = 200 К- Пусть интервал времени Дт таков, что
критерий Fo = 1. Определим Tnk' по формуле (4.27); Т'1~ =
= (200 + 200) — 100 = 300 К-
В первый момент времени температура /г-й точки меньше, чем
в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек.
Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени
температура /г-й точки превысила 200 К, противоречит второму
закону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов
термодинамики не будет происходить только при выполнении
условия
Fo < 1/2, (4.29)
т. е., когда коэффициент при Т1 в формуле (4.27) не является
отрицательным.
Условие (4.29) называется критерием устойчивости уравнения
(4.27). Если оно не выполняется, решение становится
неустойчивым.
Критерий устойчивости для слоя, прилежащего к границе,
имеет вид
1—2 Fo — 2Fo Bi > 0. (4.30)
Для получения устойчивого решения необходимо и достаточно
выполнение обоих условий: (4.29) и (4.30). Например, если
положить Fo = 1/4, то из (4.30) получим условие Bi < 1. Это значит,
что, если значение коэффициента теплоотдачи а достаточно
велико, необходимо уменьшить шаг Дх, что, в свою очередь,
повлечет уменьшение шага Дт согласно (4.29). Ограничения типа (4.29),
(4.30) являются существенным недостатком явных методов.
Пример 3. Рассмотрим применение описанного выше численного метода
для решения задачи, представленной в примере 1.
Решение. Разобьем плиту на 11 слоев: 9 — толщиной Ах = 0,02 и 2 —
толщиной Ах/2.
v „ D. сеЛх 40-0,02
Критерий Bi = —г— = —— = 0,02.
Выберем шаг по времени так, чтобы удовлетворялись условия устойчивости
(4.29) и (4.30).
Пусть Дх = 10 с, тогда Fo = ——^ = 0,34725 < 0,5.
Таким образом, условие (4.29) выполняется. Условие (4.30) также
выполняется.
Для решения задачи можно использовать следующую программу на языке
ФОРТРАН, основанную на уравнениях (4.27) и (4.28):
PROGRAM NESTAT
REAL L, LAMBDA
DIMENSION T (11), Tl (11)
54

500 FORMAT (IX, 5E12.5)
300 FORMAT (IX, I0E12.5)
READ 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA. A
PRINT 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA, A
NY = 11
DX=L/(NY— 1)
BI = ALFA * DX/LAMBDA
FO = A * DT/DX * * 2
DO 1 K=l, NY
1 T (K) = TO
TAU= 0
NE = NY—1
2 TAU=TAU+DT
DO 4K= 1, NY
4 T1(K)=T(K)
T (1) = 2 * FO * (Tl (2) + BI * TF) + Tl (1) * (1—2 * FO —
— 2 * BI * FO)
T (NY)= T (1)-
4DO 3 K= 2, NE
3 T (K) = FO * (Tl (K + 1) + Tl (K — 1) +
+ (1—2 * FO) * Tl (K)
PRINT 300, TAU
PRINT 300, T
IF (TAU.LE.TAUK) GO TO 2
STOP
END
В программе используются следующие обозначения: входная информация —■
DT ~ Дт; TAUK — конечный момент времени; L ~ 26; Т0 ~ Т0; ALFA ~ а;
LAMBDA ~ X; А ~ а; выходная информация — TAU (текущий момент
времени); Т (11) — массив значений температуры в узлах в текущий момент
времени.
В результате получаем:
через 24 мин — Tw = 840,16 К; Тп = 867,3 К;
Через 1 ч— Тд= 727,95 К; Тд = 748,8 К.
Эти результаты неплохо согласуются с полученными в примере 1,
4.5.2. Неявный метод
Как уже говорилось, основной недостаток явных
методов связан ограничениями на шаг по времени согласно
критериям устойчивости (4.29) и (4.30). Часто для удовлетворения этих
критериев приходится выбирать очень малый шаг Дт, что приводит
к возрастанию времени расчетов. Избежать ограничений на шаг
по времени, связанных с удовлетворением критериев
устойчивости, позволяет переход к неявным методам.
Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки
тепла через температуры на (л + 1)-м шаге по времени (а не на
л-м, как это было сделано в предыдущем разделе), то получится
следующий конечно-разностный аналог дифференциального
уравнения теплопроводности
%t т [- %F т—— = pF Дхс ; , (4.31)
Дл: ' Ах ' Ат ' ч '
95

откуда получаем систему уравнений для определения температур
на (я -f- 1)-м шаге по времени
Tnk+1 (1 + 2 Fo) - Fo Tktl - Fo Tnk±\ _ 72 = 0. (4.32)
В отличие от явного метода, при использовании которого
температура Тр~ выражается явно через остальные члены
уравнения (4.27), в данном случае необходимо решать одновременно
систему уравнений (4.32) для всех узлов. Такой метод называется
неявным. Он является устойчивым при любом значении Дт,
и в этом его основное преимущество по сравнению с явным
методом. Его недостаток — это необходимость решать систему
алгебраических уравнений.
Аналогично выводится уравнение для граничных узлов:
[1 + 2 Fo (1 + Bi)] T"+l - 2 Fo (Tif' + Bi Tnf+{) - Г" = 0. (4.33)
Таким образом, получена система из (N — 2)-х уравнений для
внутренних узлов и 2-х — для граничных. Она содержит N
неизвестных и таким образом является замкнутой.
Эту систему решают эффективным способом, описанным в главе
XVI.
4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ
Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового
режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с
постоянной температурой произвольного по форме однородного и
изотропного тела, начальное распределение температур в котором
(при т = 0) задано известной функцией координат / (х, у, г) --
= Т0. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности,
считать температуру окружающей среды Tf = 0.
Решение (4.15) можно переписать в виде бесконечного ряда
оо
Т(х, у, г, т) = 2 спОп(*. у, z)e~mn\ (4.34)
или
Т (х, у, 2, т) = c1d1e-m't + с202е--'п'т -\ (4.35)
Рассматривая поведение ряда (4.35) с ростом времени т,
убедимся, что все его члены убывают по времени, хотя и с
неодинаковой скоростью. Причем, поскольку пг1 < пг2 < пг3 ..., члены
высших порядковых номеров убывают быстрее и уже очень скоро
становятся пренебрежимо малыми. Поэтому температура какой-
либо произвольной точки тела задолго до достижения ею
температуры окружающей среды (в нашем случае Tf = 0) будет
определяться, по существу, первым членом ряда (4.35), т. е. следовать
простому экспоненциальному закону
Т(х, у, г, т)»^!^, у, г) е-»»*. (4.36)
Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно
считать следующим этому простому закону, называют началом
96

регулярного, т. е. упорядочен- in(T-Tf)i
ного режима. Функция ■& (х, у, г)
по определению не зависит от
начальных условий, а Съ хотя и
определяется из начальных
условий, но не зависит от
координат точки и является постоянной 1"в1
для всех точек тела. Поэтому in0
при наступлении регулярного
режима можно считать, что
начальное тепловое состояние тела
больше не оказывает влияния на
закон изменения температур по
времени во всех его точках.
Логарифмируя выражение (4.36), получим In T
д In T
1 Ч '
Рис. 4.10. Изменение по времени
логарифма избыточной
температуры двух точек произвольного тела
-т,т
+ F (х, у, г), а следовательно, ч—
гп1, т. е. зависимость
In T от т в области регулярного режима для всех точек
приобретает линейный характер, причем ее угол наклона одинаков для
всех точек и равен — arctg пгг (рис. 4.10). Величину m (индекс
далее опускаем) называют темпом охлаждения.
Существенно, что поле температур в теле в процессе
регулярного охлаждения остается подобным самому себе, поскольку
отношение температур любых точек тела становится постоянным и
не зависящим от времени, а определяется лишь координатами
этих точек. В этом легко убедиться, поделив полученное из
равенства (4.36) выражение для 7\ (xlt ух, гъ т) на выражение для Т2Х
X (х2, у2, 22, т):
7\
}2(х2, уг, z2)'
Темп охлаждения m зависит от формы, размеров и материала
тела, а также от граничных условий задачи. Значение m можно
определить, замеряя в эксперименте изменение температуры
какой-либо точки охлаждаемого тела по времени. Для этого,
построив график зависимости In Tот т, следует взять на
прямолинейном его участке (область регулярного режима) две точки и тогда
WaslnT(Tl)-lnr(l!)j ?)
Та — Ti
Если Tf Ф 0, то под Т следует понимать разность температур
тела и среды.
Наглядную интерпретацию становления регулярного режима
охлаждения можно дать, рассмотрев распределение температуры
по толщине плоской стенки, помещенной в среду с постоянной
температурой (рис. 4.11). Если вначале (т = 0) распределение
температуры имело вид, изображенный кривой А'А, то в
ближайшие за начальным моменты времени хг и т2 изменения температуры
отдельных точек по времени во многом еще определяются не внеш-
4 Авдуевский 97

Рис. 4.11. Распределение температуры по толщине
плоской стенки (граничные условия 3-го рода) для
различных моментов времени при произвольном
начальном распределении А'А
ними условиями [Tf < Т (х, у, г, 0) ],
а самим начальным распределением. Так,
в некоторых сечениях (близких к х{)
температура сначала начинает даже
возрастать. Но постепенно влияние начальных
условий ослабевает, и, начиная с т « т4,
температура всех точек тела начинает
падать по одинаковому
экспоненциальному закону, т. е. наступает регулярный режим. Выше было
дано представление о регулярном режиме охлаждения (нагрева)
тела в среде с постоянной температурой Tf. Понятие
регулярности режима может быть обобщено и на случай изменения Tf
во времени по таким простейшим законам, как линейный и
гармонический. (При рассмотрении регулярных режимов здесь не
делается различия между задачами с граничными условиями 1-го
и 3-го рода, поскольку ранее было показано, что при "к/а-^О
обе задачи эквивалентны (Tf --- Тш), а значит и все выводы,
полученные из рассмотрения задачи с граничными условиями 3-го
рода, легко обобщаются на случай граничных условий 1-го рода.)
В соответствии с названными выше тремя типичными законами
изменения Tf во времени различают регулярные режимы трех
родов. Рассмотренный в начале этого раздела Tf --= const
называется регулярным режимом 1-го рода. Признак регуляризации
режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в
каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех
точек:
Т = САе-"^; Сг = const; fl = d (x, у, г).
Регулярный режим 2-го рода (дТ^/дх = const = b) наступает,
когда скорость изменения температуры становится, во-первых,
постоянной, общей для всех точек тела и, во-вторых, равной
скорости изменения температуры внешней среды:
дТ dTf
дх ~~
т. е. Г = Tf + М (х, у, г).
Лх
Ъ>
7\ = Т
/о
Для регулярного режима 3-го рода (когда
-f- A cos сот) характерно, что температура любой точки тела
колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что
и температура окружающей среды, т. е. с периодом, одинаковым
для всех точек тела:
Т ■— Р sin сот-j- Q cos сот = To + Л'cos (сот — <(.),
где Р, Q, Tq, А' и ср — функции координат. (Очевидно эти
колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены

по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей
среды.)
Остановимся подробно на регулярном режиме 1-го рода. В
некоторых случаях регулярный режим может наступать сразу после
начала процесса охлаждения или нагрева тела. Пусть тело
произвольной формы, с объемом V и поверхностью F обладает
высокой теплопроводностью %, а коэффициент теплоотдачи у
поверхности а мал. Это означает, что критерий Bi —- aLfk <^ 1 и можно
считать, что температура внутри тела очень быстро выравнивается
и в каждый данный момент времени близка к постоянной, равной
температуре его поверхности Tw. Тогда уравнение теплового
баланса, приравнивающее количество тепла, поступившее через
поверхность "ела, к изменению его энкчльпии, запишем в виде
■a(Tt-T)F = pcV-^-. (4.38)
В г-.'гом уравнении Т — температура тела — не зависит от
координат (х, у, г) в силу предположения, что Bi <^ 1. Считая
теплое1 изические характеристики системы постоянными и вводя
новую переменную в ■= Tf — Т, легко проинтегрировать это
выражение:
d\n В aF .. .
—m (4.39)
или
di pcV
е = е0е-™ (е0 = г, - г,,),
где m — const.
Таким образом, при Bi <g 1 регулярный режим устанавливается
сразу пос.:е начала процесса.
Уравнение, аналогичное уравнению (4.38), можно составить
и для ■ ^учая, когда Bi произвольно, т. е. температура в
различных точках тела в данный момент времени различна. Только при
этом пришлось бы воспользоваться понятиями средней по объему
избыточной температуры Qv = -у- П 1 G dV и средней по
V
поверхности избыточной температуры 6Ш = -=- \\ QdF,
F
F~
где 6 = Tf — Т (х, у, z) — местная избыточная температура в
данный момент времени. В этом произвольном случае темп
охлаждения m отличался бы от выражения (4.39) при Bi С 1 на
коэффициент
VJJBdF
^ = "в^" = —Г77 ' (4-40)
представляющий собой отношение средней поверхностной
температуры к средней по объему (очевидно, что при Bi <^ 1, когда Тх
4* 99

X (х, у, z) — Tw, Qw — Gv и \\> = 1; другой предельный случай,
когда г(5 = 0, соответствует Bi —>• оо, т. е. максимальной
неравномерности температурного поля внутри тела).
Коэффициент 1)з, таким образом, характеризует
неравномерность температурного поля в теле и потому, естественно, зависит
от критерия Bi. Из выражения (4.40) видна также его зависимость
от формы тела (от F и V). К-тому же выводу можно прийти,
рассматривая т.; в уравнении (4.35) как ор\;, где В; — собственные
значения, определяющиеся формой тела и граничными условиями.
Однако, как уже говорилось, найти 6; для тел более или менее
сложной формы весьма трудно.
Итак, при произвольном Bi темп охлаждения
, aF
и при Bi -*- оо (а ->- оо) г|< стремится к нулю. Однако в этом
предельном случае, который очевидно сводит задачу с граничными
условиями 3-го рода к задаче с граничными условиями 1-го рода
(Tf = Tw), темп охлаждения стремится к определенному
конечному пределу, независящему от Bi и прямо пропорциональному
коэффициенту температуропроводности тела а (это утверждение
называют 1-й теоремой Кондратьева):
а = /Cm». (4.41)
В этом выражении коэффициент пропорциональности К
зависит лишь от формы и размеров тела и для задач с граничными
условиями 1-го рода, где доступно аналитическое решение (пластина,
шар, цилиндр, параллелепипед и др.), может быть получен из
показателя экспоненты первого члена ряда, представляющего
соответствующее решение.
Так, для шара радиусом R
К = №2;
для цилиндра радиусом R и длиной /
к 1
Л (2,4048/^)2 + (я//)*'
для параллелепипеда со сторонами /1; /2, /3
" 2 Why'
Его размерность — м2.
Важным с точки зрения практики является то обстоятельство,
что с увеличением Bi темп охлаждения т очень быстро
приближается к своему предельному значению т„, соответствующему
Bi -> оо.
Исходя из сказанного, укажем на некоторые практические
приложения теории регулярного режима 1-го рода.
100

В теплофизическом эксперименте часто необходимо
экспериментально найти коэффициент теплоотдачи а на каком-то участке
поверхности. В этом случае удобно воспользоваться тем
обстоятельством, что при Bi-> 0 г|;-v 1, а следовательно,
a = m^j-. (4.42)
Заделав в интересующей части поверхности тела датчик в виде
тонкой пластины из теплопроводного материала (медь, серебро)
и подсоединив в нему термопару, связанную с регистрирующим
устройством (например осциллографом), можно получить
зависимость температуры датчика от времени, после того как тело, на
поверхности которого установлен датчик, поместили в поток или
среду с постоянной температурой Tf. Вследствие малости Bi =
= аЬ/'к (толщина датчика б мала, а коэффициент X велик)
температуру в данный момент времени можно считать одинаковой по всему
датчику и равной измеренной с помощью термопары.
Перестраивая полученную зависимость в полулогарифмических
координатах [In (Tf — Т) — /(т)], определим m на участке
регулярного режима по формуле (4.37) (см. рис. 4.10). А затем, пользуясь
выражением (4.42), легко найти а. В этом случае в качестве F
должна браться лишь та площадь поверхности датчика, которая
воспринимает конвективный тепловой поток. Остальную часть
его поверхности при установке датчика стремятся тщательно
теплоизолировать, поскольку важно быть уверенным, что за время
измерений / (т) утечки тепла от датчика в корпус или иным путем
пренебрежимо малы в сравнении с конвективным потоком Q =
= a (Tf — T) F.
Основное преимущество данного метода регулярного режима
состоит в том, что при очень малых, а следовательно,
малоинерционных датчиках время измерения можно сократить до 1 с и
менее, что важно в экспериментальных установках
кратковременного действия, таких, например, как аэродинамические трубы
больших скоростей.
Другой пример практического использования регулярного
режима относится к экспериментальному определению теилофи-
зических констант материала. Поскольку при Bi ->■ <х> а = Кт<х>,
то, найдя экспериментально т^ и зная коэффициент формы К
(если образцу придана простая геометрическая форма), можно
определить коэффициент температуропроводности материала а.
Как уже говорилось, т быстро приближается к т^ с ростом Bi
(или а). Поэтому с достаточно высокой точностью при больших,
но конечных Bi можно принять т -- тх. Поместив образец в
водяной термостат, где температура поддерживается постоянной
и идет интенсивное вынужденное перемешивание,
обеспечивающее высокое значение коэффициентов теплоотдачи а, измеряют
заделанной внутрь образца термопарой величину Т через
определенные промежутки времени. Из построенной для участка ре-
101

гулярного режима зависимости In в = / (т) находят т = т„
и, зная К, вычисляют коэффициент температуропроводности а
по формуле (4.41).
4.7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ ОБЪЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ
Ранее было показано, что при наличии объемного
тепловыделения уравнение теплопроводности в твердом теле имеет
вид
дТ 1
дх ср 7"
где qv — известная функция, характеризующая объемную
плотность тепловыделения, т. е. количество тепла, выделяющееся
в единице объема тела в единицу времени.
В общем случае qv может быть функцией как координат, так
и времени. Нестационарные задачи этого типа значительно
сложнее рассмотренных ранее, поэтому в рамках этой главы мы
продемонстрируем подход к их решению на простейшем примере
пространственно одномерной задачи с однородными граничными
условиями 1-го рода.
Математическая формулировка задачи о бесконечной пластине
толщиной / при ——= / (х, т) сводится к дифференциальному урав-
нению
-^=a±L + nx,r) (4.43)
с начальным условием Т (х, 0) = 0 и граничными условиями
Т (0, т) = 0; Т (/, т) = 0. (Однородность начальных и граничных
условий принята здесь для упрощения.)
Пользуясь методом разделения переменных, будем искать
решение в виде ряда Фурье по sin I ^-j- x
Т {х, т) = ^ tn (т) sin (^- х
Для решения задачи нужно найти функции tn (т). Представим
ПП
заданную функцию f (х, т) также в виде ряда по sin(—— х
оо
fix, т) = ^Ы*) Sin(-T"x)>
л=1
где коэффициенты /п определяются по известным соотношениям
i
Ыт) = -7-р(£. T)sin(-^-E)dg.
о
102

Подставляя предполагаемую форму решения в исходное
уравнение задачи (4.43), получим
|]8Ш2»,[(^)яа,п(т)+^_Мт)]
0.
Это уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты ряда,
т. е. выражения в квадратных скобках, равны нулю:
Ё2.
d-c
= _а(.И.)Ч(т) + Мт). (4-44)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение для функций
/ш (т). Начальные условия для него найдем из начального
условия исходной задачи
оо
Т(х, 0) = J^tn(0)sm(^-x)-=0.
Отсюда следует, что все tn (0) = 0.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.49)
с этим начальным условием имеет вид
х I ЯП \2 ,
Г - — а(х~х)
tn(t) = y { ' ln(y)dx'.
о
Таким образом, решение исходной задачи представляется в виде
ряда
Т (х, т) =
л=0
а (т—г')
Ы (т) dx
sin ( —г- х ) .
Подставляя сюда функции fn (т), получим
(х, х)
ОО
яп \2
——■ а (г—г')
' I . / ЛЯ \ . / ЛЯ
sin ( -у- х ) sin t—j-
о о L n=i
X
т i
Х/(Е, T')dgdT'= V \G(x, g, т-т')/(|, T')d£dT',
о о
°° _ / Ял \2
где С(х, I, х - т') = 4 / | е
п=1
а (т—т')
/ля N / ля „ N
В качестве примера мы рассмотрели неоднородное уравнение
с функцией / (х, х) в правой части, но с однородными (нулевыми)
103

начальными условиями. Если начальные условия отличны от
нуля, то к полученному решению следует прибавить решение
однородной задачи (без внутренних источников тепла) с заданными
начальными условиями Т (х, 0) = ср (х). Что касается нулевых
граничных условий, то к ним может быть сведена задача с Т (0, т) =
= Т (I, т) = const Ф 0 простой заменой переменной.
4.8. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 4-го РОДА
В практике встречаются задачи, когда теплообмен
тела с окружающей средой происходит не излучением или
конвекцией (граничные условия соответственно 2-го и 3-го рода), а при
помощи теплопроводности. Такой случай встречается, например,
при теплообмене тела с очень вязкой жидкостью или в системе
тел, находящихся в тепловом контакте. Здесь для каждого из
тел такой системы имеют место так называемые граничные
условия 4-го рода, т. е. теплообмен между телом и окружающими его
телами или средой происходит по закону Фурье. Эти условия
при идеальном тепловом контакте соприкасающихся тел требуют
равенства температур обоих тел (или тела и среды) на
поверхности контакта, а, кроме того, тепловые потоки в обоих телах
у самой поверхности должны быть равны между собой.
Математическая формулировка граничных условий 4-го рода имеет, таким
образом, следующий вид:
7\(0, т) = Г2(0, т); -^ElBjS^-^tll^-ll, (4.45)
где индекс «1» относится к телу, а «2» — к окружающей среде
или примыкающему телу; граница раздела условно помещена
в начале координаты п — нормали к поверхности контакта.
Для иллюстрации этого случая рассмотрим простую
одномерную задачу. Пусть два полубесконечных тела, обладающих
различными теплофизическими свойствами, приведены в момент
времени т = 0 в идеальный тепловой контакт по плоскости уг
(х = 0). Протяженность первого тела не ограничена по осям у
и г и в положительном направлении оси х. Второе тело
простирается до ±о° по осям у и z и от 0 до —оо по оси х.
Температура первого тела в начальный момент времени
равна Т0, а второго — нулю. Задача состоит в отыскании
распределения температуры в телах в любой момент времени и
формулируется следующим образом:
^l£-) = aiJ!lLi£-L (т>0,*>0);
Щ^ = а2Щ^- (т>0,*<0).
Начальные условия к этой системе уравнений: 7\ (х, 0) = Т0;
Тг (х, 0) = 0; граничные условия — 7\ (0, т) = Т2 (0, -г); -—
104

Рис. 4.12. Графическая картина
распределения теплообмена (граничные условия 4-го
рода при идеальном тепловом контакте)
X
дТх (О,
дТ2 (О,
, — , ■ -. Эта задача,
дх ах м '
как и ранее рассмотренные,
допускает аналитическое решение
различными методами (разделением
переменных, операционным и др.).
Приведем здесь лишь
окончательный вид этого решения:
у///////////////////////////////,
Аг аг сг
К, а, с,
W/////////////7//, У///////////,
Тх (х, т) = Т0 -
К
К
1 +
-77- erf, _, ._
(х>0); (4.46)
Т.л (х, т) = Т0
К
-т
К
erf т=г-
2 1/fljT
(*<0), (4.47)
где К = -~ = I/ ~^-;
а:.
*:а =
(величину К
иногда называют отношением коэффициентов тепловой
активности); d и с2 — удельные теплоемкости первого и второго тел
соответственно.
Функция erf определяется хорошо известной формулой:
2 }■
erf \ = —— \ е-£2 2| — интеграл вероятности Гаусса.
V л J
На рис. (4.12) приведен характер зависимостей Т (х, т),
описываемых этими решениями.
Если т->-оо, можно найти ту единую температуру, которая
установится в обоих телах в стационарном состоянии. Так
как erf (0) = 0, то
Т1(х, оо) = Т2{х, оо) = Т0-
К
+ к-
(4.48)
При К = 1 (одинаковы тепловые активности тел) установится
средняя арифметическая температура Т (х, оо) = То/2.
Важно отметить, что на границе раздела (х = 0) это
равновесное значение температуры установится уже с самого начала
процесса, т. е. в любой момент времени:
7\ (О, т) = Т2 (0, т) = Т (х, оо) = Т0
К
1 + /С
(4.49)
105

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоит основная идея метода разделения переменных для задачи
нестационарной теплопроводности?
2. Поясните номограммы для определения безразмерной избыточной
температуры. Как их использовать для решения задач нестационарной
теплопроводности в случае тел простейшей формы?
3. Что дает использование численных методов при решении задач
нестационарной теплопроводности? Какие основные достоинства и недостатки явного
метода и неявного метода?
4. Что собой представляют регулярные тепловые режимы? Какие они
бывают?
5. Как используются регулярные режимы 1-го рода для экспериментального
определения коэффициента теплоотдачи и коэффициента
температуропроводности?
6. Что собой представляют граничные условия 4-го рода?

ГЛАВА V
ЛАМИНАРНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При конструировании двигателей и летательных аппаратов
большое значение имеют правильное определение температуры элементов
конструкции, выбор тепловой защиты и теплоизоляции. Вопросы тепловых режимов
конструкции стали особенно серьезными и во многих случаях определяющими
в связи с развитием реактивных двигателей и летательных аппаратов,
движущихся с большими сверхзвуковыми скоростями.
Рассмотрим различные случаи теплообмена при высоких скоростях и
температурах газового потока, встречающихся в современной авиационной и
ракетной технике. При движении летательного аппарата в атмосфере частицы газа,
примыкающие к стенке, увлекаются стенкой или, что одно и то же, при
обтекании аппарата из-за трения тормозятся у стенки. Процесс торможения
сопровождается выделением теплоты за счет диссипации кинетической энергии потока.
Если скорость полета достаточно велика, то вблизи стенки образуется слой газа
с высокой температурой, нагревающей поверхность аппарата.
Температура газа может достигать значений, близких к значениям
температуры торможения:
где Тн—температура набегающего потока газа; k — отношение теплоемкостей
(для воздуха к ----- 1,4); М — число Маха.
Уже при числах- М > 2,5 температура в пристеночном слое газа может
достигать 575 К, что связано с переходом от обычно применяемых в
авиационных конструкциях алюминиевых сплавов к более теплостойким материалам;
при М > 5 остальные конструкции должны быть защищены специальными
покрытиями; при М > 10 не всегда удается создать пеохлаждаемую конструкцию.
Наконец, при еще более высоких скоростях полета температура газа у стенки
и тепловые потоки станопятся такими большими, что происходит унос веществ
самой поверхности из-за плавления, сублимации и др.
В камерах сгорания и соплах ракетных двигателей, на лопатках газовых
турбин теплозые потоки также достигают очень больших значений. Температура
газа в камерах сгорания жпдкостпо-реактизных двигателей достигает 3000 ...
4000 С. В связи с использованием высококалорийных топлив значения
температуры газов непрерывно растут. Для того чтобы уменьшить размеры
двигателей, конструкторы стремятся повышать давление в них. Совместное действие
температуры и давления (повышение) ведет к резкому увеличению тепловых
потоков.
Не меньшее значение имеет расчет теплообмена и тепловой защиты
элементов воздушно-реактивных двигателей. У этих двигателей для охлаждения
отбирается часть поступающего в камеру воздуха. При увеличении числа М
температура торможения забираемого воздуха растет и соответственно растет
количество воздуха, необходимого для охлаждения, что ведет к заметному падению
тяги и экономичности.
Во всех рассмотренных случаях нагрев происходит за счет теплоотдачи от
горячего газа. Газ может иметь высокую температуру во всем потоке, либо
нагреваться вблизи стенки из-за трения при больших скоростях. Нагрев стенки
целиком определяется процессами, протекающими в тонком пристеночном слое,
107

называемом пограничным слоем. Поэтому для расчета конвективного
теплообмена необходимо провести расчет пограничного слоя.
Мы рассмотрим ламинарный пограничный слой, в котором перенос тепла
и количества движения совершается только путем молекулярной
теплопроводности и вязкости.
5.2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
При обтекании тела потоком жидкости или газа с
большими значениями числа Рейнольдса течение в окрестности тела
можно разбить на две области.
Первая область (рис. 5.1) представляет собой тонкий слой,
примыкающий к телу и называемый пограничным слоем. В
пограничном слое вязкость и теплопроводность оказывают
существенное влияние на течение. Непосредственно на стенке имеет
место явление прилипания, в результате чего скорость и
температура жидкости у поверхности равны скорости и температуре
поверхности (исключая течение в разреженном газе). При
удалении от поверхности скорость и температура асимптотически
стремятся к своим значениям в обтекающем потоке.
Толщина пограничного слоя (б) намного меньше размера
обтекаемого тела /: 6/7 ^ 1 при Re )>> 1.
Вторая область — внешний поток, идеальное течение вне
пограничного слоя. Здесь градиенты скорости и температуры малы,
а влиянием вязкости и теплопроводности можно пренебречь.
Между этими двумя областями нет резкой границы.
Разделение течения на две области существенно упрощает исследование
и расчет обтекания тел при больших числах Re.
Благодаря тому, что пограничный слой тонкий, давление
поперек его сохраняется практически постоянным. При этом расчет
обтекания тела, т. е. определение параметров потока вне
пограничного слоя, можно производить так, как будто пограничного
слоя не существует. Найденные при этом параметры внешнего
потока: давление pt, плотность рь скорость их и температура 7\
могут быть затем использованы для расчета распределения
скорости и температуры в пограничном слое.
Если эти распределения известны, то легко вычисляются
значения касательных напряжений трения на поверхности и
удельных тепловых потоков, иду-
«*
*
*
*
*
у.
Рис. 5.1. Схематическое изображение
пограничного слоя (ц„— скорость
набегающего потока)
108
(5.1)
где у — координата по
нормали к поверхности тела; индекс
т» означает, что все величины
берутся при значении у = 0.

Таким образом, расчет трения и конвективного теплообмена
на поверхности обтекаемых тел сводится к расчету пограничного
слоя при заданных параметрах идеального течения вне слоя.
Рассмотрим некоторые характеристики пограничного слоя.
Распределение скорости в пограничном слое характеризуется
профилем скорости й = и/иг = / (г//б), где б — условная толщина
динамического пограничного слоя, равная, например, значению у,
при котором и = 0,99. Соответствующее выражение для профиля
температуры имеет вид Т — (Т — Tw)/(Tl — Tw) = /i (г//6т),
где бт — толщина теплового пограничного слоя. В общем случае
распределения скорости и температуры, так же как и толщины
теплового и динамического слоев, не совпадают.
Практическое определение толщины пограничного слоя
затруднено, так как нельзя точно установить границу между
пограничным слоем и внешним потоком и точность определения толщины
слоя в большой степени зависит от точности самих измерений.
Поэтому в рассмотрение вводят некоторые интегральные
характеристики, определяемые более точно, ибо на их величину не
оказывает заметного влияния тот факт, что значения параметров
течения в пограничных слоях асимптотически стремятся к
значениям параметров внешнего потока.
5.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Течение вязкой и теплопроводной жидкости
описывается уравнениями Навье—Стокса, неразрывности и энергии.
Как уже было сказано, при больших значениях Re толщина
слоя намного меньше характерного размера тела 8 <^ 1. При
этом условии произведем оценку членов в уравнениях Навье—
Стокса для двухмерного течения при обтекании плоской стенки
(см. рис. 5.1). Ось х направим вдоль поверхности, у по нормали
к ней, соответствующие компоненты скорости обозначим и и v.
Уравнения Навье—Стокса для установившегося плоского
течения имеют вид:
(5.2)
(5.3)
(5.4)
109
ди. . ди др , д / ди \ , 4
4_ д ( dv \ 2 9/ dv \
+ ду \ V дх ) 3 дх [У1 ду )
dv , dv dp . 4 д / ди \ ,
,<Э/ ди \ 2 д f ди \
г"дТ {Р~ду~) ~~ Т ~ду~ [^ ~дх~) '
уравнение неразрывности
-^-(Р") + -|г(р«) = о.
д
дх
>
д
dx
}
/ ди
/ dv

Граничными условиями будут: прилипание жидкости к стенке
и = и =-- 0 при у — 0 (5.5)
и совпадение скорости вдали от стенки со скоростью
невозмущенного течения.
Для анализа приведем систему уравнений к безразмерной
форме. При построении безразмерных величин выберем масштабы
таким образом, чтобы безразмерные переменные изменялись в
узких пределах. При этом уравнение будет нормировано и можно
будет сделать оценку различных членов.
Все скорости отнесены к скорости набегающего потока иа,
все длины — к характерному линейному размеру /, который
выберем так, чтобы порядок безразмерной величины ди/дх не
превышал единицы. Давление сделаем безразмерным, разделив его
на р„ый.
Рассмотрим для простоты случай несжимаемого течения,
тогда р -— рн и [i -- jnH принимаются постоянными и с учетом
уравнения (5.4)
Безразмерные величины примут вид:
и' = и/иа; v' = v/ua; х — х/1;
у' =- у/1; р' =- p/(puul); б' = б//.
Подставим в уравнения (5.2) ... (5.4) безразмерные величины.
Уравнения Навье—Стокса примут вид
, ди' , , ди'
и
др' . 1 Г д2и' д2и' 1.
дх' "1 Re 1(ду')2 ' (dx'fj '
dp' , 1 Г r>V dV ~|
ду' ' Re 1(дх')* f (ду')"}'
, dv' „
' ду'
(5.7)
(5.8)
(5.9)
дх' ' 5(/'
, dv' . , dv'
U -т-7- + У -5-7- = —
дх ' 3#
а уравнение неразрывности
17"
где число Рейнольдса Re ^ "h!J"' .
Оценку порядка величин начнем с уравнения неразрывности.
Поскольку величина ди'/дх' имеет порядок единицы, то из
уравнения (5.9) следует, что такой же порядок имеет и величина
dv'/ду'. Но так как толщина слоя мала и имеет порядок б', то
и поперечная скорость имеет порядок 6' и о' ~ 8',
Отсюда получаем важнейший вывод, что в пограничном слое
вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с
продольной составляющей:
и/иг ~ б//. (5.10)
НО

Порядки величин, стоящих в левой части уравнений (5.7),
следующие: и', ди'/дх', pV ~ 1; v' ~ б; ди'/ду' ~ 1/6; и'ди'/дх' +
+ v'ди'/ду' ~ 1.
Оценим величины, заключенные в скобках в уравнении (5.7).
В первом уравнении
д2и' 1 5V .
(Л/')2 ~ (б')2 Ц \dx.'f~ L
Так как б' мало, то величину д~и'/(дх')2 можно отбросить как
малую по сравнению с величиной д2и'/(ду')2. Это очень важное
обстоятельство, поскольку, отбросив вторую производную по
одной переменной, мы изменяем характер дифференциального
уравнения в частных производных.
После исключения второго члена в скобках уравнения (5.7)
в нем остается член, который нужно учитывать, если его порядок
такой же или больше, чем порядок остальных членов.
Следовательно, влияние вязкости нужно учитывать, если
1, т. е. (б')2- I/Re.
(б')2 Re
Толщина пограничного слоя б, в котором проявляется вязкость
обратно пропорциональна корню квадратному из числа Рей-
нольдса:
б//- IfVlii. (5.11)
Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (5.7) ...
(5.9). Порядок величин левой части не требует разъяснения.
Порядок градиента давления пока неизвестен. В скобках в правой
части уравнения можно пренебречь первым членом по сравнению
со вторым. Далее, поскольку б' ~ l/l/~Rc, то порядок
последнего члена будет равен б', т. е. будет таким же, как и порядок
остальных членов левой части.
Окончательно получаем оценку для значения др/ду
и перепад давлений в пограничном слое
(5.12)
^p~^. (5.13)
Отсюда следует, что в принятых для пограничного слоя
приближениях давление поперек слоя можно считать постоянным
р ": р (х). Это означает, что первое уравнение системы (5.7)
можно решать независимо от второго, а значения статического
давления и его производных по х по всей толщине пограничного
слоя могут приниматься равными их значениям на границе слоя,
т. е. могут определяться из расчета течения идеальной жидкости.
При необходимости точного определения сил давления,
действующих на поверхность, следует учшывагь поправку Др. Эта
111

поправка определяется из уравнения (5.8) при заданных
значениях и, v, р. (При течении вдоль криволинейного контура, как
будет показано ниже, справедлива другая оценка.)
Все сделанные нами выводы остаются справедливыми и в
случае течения сжимаемой жидкости с теплообменом. Однако при
этом к системе уравнений (5.7) ... (5.9) должны быть добавлены
уравнения энергии, уравнение состояния газа и законы
изменения вязкости и теплопроводности от температуры.
С учетом оценок, аналогичных сделанным для уравнений
движения, выпишем без вывода полную систему
дифференциальных уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе:
ди ди др . д ( ди \ ,- , . >
др^др = 0 (5Л5)
дТ . дТ д (. дТ \ , dp . f ди \2 ,С1С.
р = PRT; tx = ц.(Г); X = X (Г). (5.17)
Эта система уравнений справедлива для так называемого
совершенного газа. Вязкость ц. и теплопроводность к для
совершенного газа являются функциями только температуры.
Наиболее распространенной является формула Саттерленда.
Например, для вязкости
|х _ /JT_\3/2 1 + (Г8/Г*)
р* ~ { т* J (T/T*) + (TS/T*) '
где Ts — постоянная Саттерленда, равная для воздуха 102 К;
Т*, и.* — значения температуры и вязкости, соответствующие
некоторому начальному состоянию. Широко применяются также
и степенные формулы [х/[х* = (Т/Т*)"1 и к/к0 = (Т/Т*)п\ где nt
и «2 —' постоянные, подбираемые для заданного диапазона
изменения температуры и изменяющиеся в пределах от 0,5 до 1.
В случае течения реального газа необходимо учесть некоторые
дополнительные свойства газа (например переменность
теплоемкости ср и газовой постоянной R, зависимость (д, и к от давления
и ряд других физических явлений, которые будут рассмотрены
позднее).
Уравнение (5.14) соответствует уравнению количества
движения в проекции на ось х. Члены, стоящие в левой части этого
уравнения, называют конвективными членами. Уравнение
неразрывности (5.16) выражает собой закон сохранения массы.
Третье уравнение (5.16) также имеет простой физический смысл,
представляя собой математическое выражение закона сохранения
энергии. Левая часть соответствует конвективному выносу
энергии из элементарного объема. Первый член в правой части
определяет подвод тепла теплопроводностью; второй член и (др/дх)
112

Рис. 5.2. Схема пограничного слоя в сверхзвуковом сопле
соответствует работе сил давления. Величина Ф -— jj, (ди(ду)2
называется иногда диссипативным членом уравнения и
определяет количество тепла, выделяемое в объеме необратимым
образом при работе сил трения.
Краевыми условиями являются условия прилипания у стенки
при у = О, Т = Тш,(х), и ----- О, v = 0 и условия вне слоя
у ->- оо; и -> Ui, T -у Ту.
Для решения системы уравнений (5.14) ... (5.17) в частных
производных необходимо задать также начальные значения по х.
При х = х0; и = / (у); Т = / (г/).
Уравнения выписаны для течения вдоль плоской поверхности.
В случае двухмерного течения вдоль искривленной стенки
координата х направляется вдоль поверхности, а у — по нормали
к ней (рис. 5.2). Если толщина пограничного слоя б мала по
сравнению с радиусом кривизны образующей г, то такая система
координат будет приближенно ортогональной, и уравнения останутся
без изменения. Из оценок, которые можно сделать для этого
случая, следует, что
др' 1 др
-г— __ или _е .
ду г ду г
Если г' аг I, то др'/ду' ~ 1 и Ар ~ 8/1, где / — продольный
размер тела. Под действием центробежных сил перепад давлений
в пограничном слое на теле с криволинейной образующей хотя и
остается малым, но значительно
больше, чем на пластине. В
случае осесимметричного
двухмерного течения, например при
внешнем обтекании
осесимметричного тела и при течении в
сопле (см. рис. 5.2, 5.3)
уравнения движения и энергии
остаются без изменения, а, уравнение
неразрывности при 6/R4C 1 имеет
вид
(puR) -]—— (pvR) — 0, Рис. 5.3. Схема образования погранич-
д* ду ного сдоя на теле вращения с криво-
(5.18) линейной образующей
113
Рн"н

где R = R (x) — радиус вращения, т. е. расстояние по нормали
от оси тела до точек образующей.
Существуют преобразования переменных, с помощью которых
система уравнений пограничного слоя на осесимметричном теле
приводится к виду, совпадающему с видом уравнений для
плоского течения.
5.4. ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Для того чтобы лучше представить физическую
картину теплообмена при переходе от малых скоростей к большим,
приведем уравнение энергии к новому виду.
Умножим уравнение движения (5.14) на и и сложим его с
уравнением энергии (5.16). Будем учитывать, что и -^- = -г— (-тр)
д ( ди \ д Г Э(и2/2П / да \2
Используя связь между статической температурой и
температурой торможения
получим вторую форму уравнения энергии:
our dT°4-ovr дТ" - д (%. JEZjl^ _L_l_rn (\ - 1 У ("2/2)1
(5.19)
Наиболее интересный вид это уравнение принимает при Рг = 1,
что приближенно справедливо для газов:
W,+<«.^--5-(xtW- <520>
рис}
дх
Полученное уравнение по виду совпадает с уравнением (5.16)
без двух последних членов, только вместо температуры газа
в нем стоит температура торможения. Уравнение (5.16) без двух
последних членов соответствует случаю течения при малых
значениях М, когда можно пренебрегать выделением тепла от трения
и сжатия. Теплообмен при этом происходит только из-за разности
между статической температурой потока и температурой стенки.
При малых скоростях потока мы использовали понятие
коэффициента теплоотдачи, записывая выражение для теплового
потока в виде qw = а (Т01 — Tw). Здесь отражен тот факт, что
тепловой поток тела тем больше, чем больше перепад статических
температур потока и стенки.
При больших скоростях (при Рг = 1) уравнение энергии
(5.20) сохраняет такой же вид, как и при малых скоростях, но
вместо температуры газа в нем стоит температура его
торможения. Теплообмен в этом случае определяется перепадом между
температурой заторможенного потока и температурой стенки
J 01 'ш-
114

Выражение для удельного теплового потока при Рг = 1
можно записать по аналогии с формулой для малых скоростей:
qw = a (Tqi — Тш), (5.21)
где коэффициент теплоотдачи а может не совпадать с его
значением при малых скоростях и должен быть определен из решения
уравнений пограничного слоя. Однако, поскольку главная
величина, определяющая теплообмен при больших скоростях, —
перепад температур торможения — выделена в виде множителя,
то отличие в а при малых и больших скоростях не очень велико.
В соответствии с формулой (5.21) поток будет нагревать тело
(qw > 0), если 70i > Tw. Статическая температура в потоке
может быть выше или ниже температуры стенки. В последнем
случае нагрев будет происходить из-за преобразования
кинетической энергии газа в энтальпию в пограничном слое. Подробнее
это явление будет рассмотрено в разд. 5.7.
5.5. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ
К УРАВНЕНИЯМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Прежде чем перейти к рассмотрению известных
решений системы уравнений (5.14) ... (5.17), остановимся сначала на
некоторых соображениях подобия, которые должны показать, от
каких безразмерных параметров зависят эти решения.
Приведем уравнения к безразмерному виду, используя в
качестве масштабов значения параметров газа в набегающем
потоке рн, цн, Лн. В качестве масштаба для продольных размеров
возьмем характерный размер тела /, для поперечных размеров —
масштаб //]/ Re, имеющий порядок толщины слоя б.
Соответственно, для продольных скоростей используем
масштаб «н, а для поперечных — uH/]/~Re. Масштабом температуры
может служить, например, перепад (Тон — Tw). Уравнения в
безразмерной форме будут иметь вид (ср = const):
, , ди' . , , ди' до' , д ( , ди' \ .- пп.
, , дТ' , , дТ' 1 д /., дТ'
дх' ' г ду' Рг ду \ ду'
+ъ£=тз№ &)'+*■£]■ (5-23>
Граничные условия в безразмерной форме имеют вид:
при 0 = 0 ы = 0, T' = TJ(T01I-Twy,
при у-+оо u'-*ujua, Г ^ 7у(Г0н - Гш). (5.24)
Законы изменения вязкости и теплопроводности в выражении
(5.17) возьмем в простейшей форме ц./[хн = (T/TH)ni; k/kH —
= (Г/Гн)"..
115

Величина, стоящая перед квадратными скобками в
уравнении (5.23), может быть представлена через известные критерии
подобия:
ul ul т (k—l)M.l
ср (Гон — Tw) срТи Гон — Гш ' (k— 1)/'2М| + 1 — TJTK ' ' ;
где k — cp/cv — показатель адиабаты.
Как видно, в уравнения и в граничные условия входят
безразмерные величины — определяющие критерии подобия —
М —- ин/ан, Рг = ИнСрАн. TJT-u, k, пг, л2. (5.26)
Число Рейнольдса не входит непосредственно в систему (5.22) ...
(5.24), что связано со специальным выбором масштабов для длин
и скоростей в поперечном направлении так, что безразмерные
значения у' = y/l Y~Re и v' = w/uH]/*Ri имеют одинаковый
порядок с х' = х/1, и' = и/ии.
В практических задачах требуется определить значения
удельного теплового потока в стенку и напряжения трения:
( ди \ I ди' \ VRe ,- 00,
Соответствующие безразмерные критерии подобия можно
представить в виде:
Nu - j= qJT . , = ±s- (~) l^Re; (5-29)
(Тон ~ Tw) Хн 1Н \ ду Jy^o r y '
С/=-т-^—= i^f~) -г-! • (5-30)
Безразмерные значения 1-=-^) , и (-j-r) , должны быть
получены из решения системы уравнений (5.22; ... (5.23) и
зависят только от определяющих параметров (5.26).
Следовательно, для ламинарного течения критериальные
уравнения для расчета теплообмена и трения в точках поверхности
х' — х/1 имеют вид
Nu/Re = /1(M, Рг, TJTS, k, nlt я2, x/l); (5.31)
С/"J/Ri = /я(М, Рг, TW/TB, k, пъ п2, х/1). (5.32)
Таким образом, при расчете ламинарного теплообмена и
трения нет необходимости определять отдельно Nu и Cf, а можно
вычислять комплексы Nu/]/ Re и Cf У Re и далее по значениям
этих комплексов определять коэффициент теплоотдачи а и на-
116

пряжение трения тш. Эта особенность является общим свойством
ламинарного течения. Если определить
ИнРн'
Nu =-- ~; С, =, -~^—; Re
то
Nu .
. тн
1 9
-у РА
Nu
Ни
"иРн'
Мнст)
Используя далее условие Яп = —=—-, получаем
Nu
Т/1'нРн"н СР .
К / Ргн '
У Re " ' ^я (5.33)
аналогично
.1,. .лПГ.л^прА
Т */ ^ j/
/
В этих формулах значения Nu/VRe и C/|/"Re представляют
собой некоторые искомые безразмерные числа, зависящие от
определяющих критериев подобия в соответствии с формулами
(5.31) и (5.32).
С учетом результатов, полученных в разд. 5.2, можно утверждать,
что для ламинарного течения в общем случае справедливы зависимо-
б 1 v 1 а I тн, 1
СТИ —г
I У Re ' "н у Re ' Рн"Нср y$J рц2 у^е
Рассмотрим далее безразмерное уравнение (5.23). Если
отношение TJTa отлично от единицы, то, как видно из уравнения
(5.25), влияние двух последних членов будет существенным только
при большом М и пренебрежимо мало, если М -*■ 0.
Это согласуется со сделанным в предыдущем разделе выводом
о том, что выделение тепла при трении и сжатии существенно
только при больших значениях М. (Если TJTH — \, то нагрев
может вызываться только трением и сжатием и последние члены
в уравнении (5.23) остаются конечными также и при М -*■ 0.
Поскольку нагрев при этом пренебрежимо мал, то этот случай
имеет чисто академическое значение.)
5.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Одной из интегральных характеристик пограничного
слоя является толщина вытеснения
*9ssii(l-*k)dy- (5-34)
о
Интегрирование от 0 до оо означает, что значение верхнего
предела интеграла превышает значение толщины слоя б. Физиче-
117

Рис. 5.4. Схема отклонения линий то
ка внутри пограничного слоя:
1 — граница слоя; 2 — линии тока
_ j скии смысл толщины
вытеснения следует из выражения
оо
6*pi"i = j (p^ — ри) dy.
° (5.35)
Интеграл соответствует
уменьшению расхода жидкости,
протекающей вдоль поверхности, из-за образования пограничного слоя.
Из-за уменьшения расхода линии тока вблизи поверхности
отклоняются так, как это было бы при обтекании идеальной
жидкостью некоторого более толстого тела (рис. 5.4). Отсюда следует,
что толщина вытеснения представляет собой некоторое условное
расстояние, на которое нужно отодвинуть стенку, чтобы при
обтекании тела идеальной жидкостью получить распределение
давления таким же, как и при обтекании истинного контура тела
вязкой жидкостью.
Следующая интегральная характеристика пограничного слоя —
толщина потери импульса б** — выражается формулой
б** =
ри
Pi"i
"1
dy.
(5.36)
Величина б** характеризует потерю количества движения
из-за трения. Физический смысл величин толщины вытеснения
и толщины потери импульса можно выявить из рассмотрения
интегрального уравнения импульса. Для вывода интегрального
уравнения используем уравнения (5.14) и (5.18) для осесимме-
тричного течения. Приняв R = const, можно будет легко
получить соответствующее соотношение для плоского течения.
Используя уравнение Бернулли для идеального газа
dp dux
47 = ~~plUl ~dT
и уравнение неразрывности для осесимметричного течения (5.18),
преобразуем уравнение (5.14) и получим
ди
-!L(Rpu*)+-jL{Rpuo)
дх
г. ди, . ,-. д
V-
ду
(5.37)
Умножая обе части уравнения (5.18) на иг (х), получаем
д {pRuu{)
дх
dipRvuJ = Rpu?!JL.
ду
(5.38)
Вычитая почленно обе части уравнения (5.37) из уравнения
(5.38), имеем
-^ [pRu (^ - и)] + -щ [pRv(Ul - и)] + R3-^ (plUl - ри) =
= -Я
ду
V-
ду
(5.39)
[18

Интегрируя обе части равенства поперек пограничного слоя
от 0 до оо, получаем интегральное уравнение количества движения
■^(Rptfb'l + ^Rpiutf^R*.,, (5.40)
где б** и б* определяются выражениями (5.34) и (5.36); тш —
= ([Л -;—) . Для случая течения вдоль пластины без
градиента давления при R = const
^(р."?б**) = тш. (5.41)
Сопротивление трения пластины шириной Ь, длиной I будет
равно
i
W = b \xwdx = bp{u\b'\ (5.42)
о
Таким образом, б** в этом случае определяет суммарное
сопротивление трения. Покажем, что этот вывод справедлив и в общем
случае течения на поверхности тела с криволинейной образующей
(рис. 5.5).
Сопротивление тела произвольной формы складывается из
сопротивления давления и сопротивления трения. Сопротивление
давления при наличии пограничного слоя изменяется, во-первых,
из-за оттеснения линий тока. Однако это сопротивление не
связано непосредственно с вязкими потерями и может быть
компенсировано путем исправления контура тела на толщину вытеснения.
Во-вторых, сопротивление давления может измениться от того,
что в пристеночном слое на криволинейной поверхности
инерционные центробежные силы будут различными в случае распределения
скорости и плотности, соответствующих течению идеальной
жидкости, и в случае распределения скорости и плотности,
соответствующих пограничному слою. Это изменение давления дает вклад
в потери импульса в сопле и может быть названо вязким изменением
давления. Рассмотрим влияние этих факторов на примере течения
в сопле, хотя выводы останутся справедливыми и для случая
внешнего обтекания тела.
Пусть параметры идеального сопла (без трения) заданы: G —
расход; иа, ра, ра — скорость, давление и плотность на срезе
сопла (см. рис. 5.5). Если
контур сопла исправлен
(расширен) на толщину вытеснения, то
эти величины останутся без
изменения в реальном сопле.
Рис. 5.5. Схема расчета потерь на
трение в сопле
119

Потери тяги в таком исправленном сопле из-за поверхностного
трения и изменения сил давления
X X
W = 2л J Rtw cos ф dx — 2л J ptR sin ф dx -f-
o о
*ид
+ 2л J Pii? sin ф <1кид, (5.43)
0
где i? — радиус вращения (расстояние по нормали от оси сопла
до точек образующей); ф — угол между касательной к образующей
сопла и осью; рх — давление на стенке сопла; индекс «ид»
относится к идеальному (не исправленному на толщину вытеснения)
соплу.
Обозначим Rn (х) радиус кривизны образующей исправленного
сопла в меридиальной плоскости. Так как приращение dxWTk
связано со значением dx соотношением йхЯд = dx (1 —■ 8*/Rn), то
* х
W — 2л J Rxw cos ф dx: — 2л J A (pxR sin ф) dx —
о о
х
— 2л J ру sin ф8*/Яп dx. (5.44)
о
Первый член в уравнении (5.44) определяет силы трения,
второй — вязкое изменение давления, третий — увеличение силы
тяги из-за увеличения поверхности сопла.
Для учета влияния центробежных сил инерции используем
уравнение импульсов в проекции на ось у
dp
dy
9
oui
Значение dp/dy < 0, если ось у направлена к центру кривизны.
Если контур исправлен на толщину вытеснения, то давление р'
на некоторой линии тока вне пограничного слоя одинаково в
идеальном и реальном соплах, а на стенке оно различно в
результате разного действия инерционных сил:
у' у'
Р1яа = р' +\prf_dy^p' Apj"Ldy--pJ*Lb*; (5.46)
J An J An ДТ1
в» О
У
Рх = р' + 1Р£*У- (5-47)
Отсюда
о
A/> = tt-/>u« = -Tr-6**. (5-48)
120

Далее из геометрических соображений
db*
Л sincp = совф-т-, Л# = 8*cosq>;
1 dw dR . /г лп\
Подставляя эти значения в уравнение (5.44), получаем
X X
W = 2я \ Rxw cos ф dx — 2л \ -^ Pi"i6**i? sin ф dx —
о о
X X
— 2я \ i?/?! cos ф -т- dx — 2я \ /?i sin ф cos ф ■ б* dx -\-
о - о
х
+ 2n\PlRslnq-b*^dx. (5.50)
о
Подставляя в уравнение (5.50) значение Rxw из равенства (5.40)
и используя очевидные соотношения
d dw , dw, dp
__с05ф = --£з1Пф И PlUx-£ = _-£,
имеем
W= 2n^-jL(RPlu2lDcos<pdx + 2n С /?p,u?6" ^^-dx -
о о
— 2л f # -^ 6* cos ф dx — 2л \ Rpx -j- cos ф dx —
о о
X X
— 2я I -j-piS* cosydx — 2л \ Rp\8' -c°scp dx =
о о
= 2л f -1- (Яр,и?б** cos Ф) dx - 2л j A (j?p,e' cos ф) dx. (5.51)
о о
Принимая в начале сопла б* = 0 и б** = 0, имеем
окончательно выражение для потери тяги, тождественно равное (5.43),
W = 2nRapaulK' COS фа — 2nRapa&a COS фа- (5.52)
Этот результат можно получить и непосредственно, сравнивая
импульс в выходном сечении идеального (без трения) сопла и
сопла, исправленного на толщину вытеснения, но с учетом трения.
121

Таким образом, толщина
потери импульса на среде
сопла 8*а* характеризует все
потери количества движения,
связанные с вязкостью и
диссипацией энергии. Изменение
количества движения, связанное
с уменьшением расхода через
пограничный слой,
характеризуется толщиной вытеснения 6д
и не является потерей тяги
сопла, поскольку может быть компенсировано изменением его
геометрии.
В качестве интегральной характеристики теплового слоя
используется толщина потери энергии 6?*. При сверхзвуковой
скорости внешнего потока
Рис. 5.6. Схема вывода интегрального
уравнения энергии
_ Г Р" Г01
■Т,
Pl"l Т01 — Т;
«~dy.
(5.53)
Эта величина характеризует количество тепла, потерянное
пограничным слоем путем теплоотвода в стенку. Для пояснения
физического смысла этой величины рассмотрим интегральное
уравнение энергии. Рассмотрим осесимметричное обтекание
некоторого тела, температура которого поддерживается постоянной
и равной Tw.
Выделим контур abed (рис. 5.6), где линия be совпадает с линией
тока, а точка с находится вне пограничного слоя. Примем, что
на тело набегает поток с параметрами ив, Т0н, рн. В сечении cd
параметры потока вне пограничного слоя рг, ult T01.
Из условия баланса энергии тепловой поток, уходящий в
стенку,
"с
Qw = mabcpT0H — 2лср риТ01 (R + у) dy,
где пгаЬ — масса, втекающая в сечение ab, причем mab — mcd,
поскольку be — линия тока; таЪ = 2я j ри (R + y)dy.
6
Внутри тонкого пограничного слоя y/R < 1 и так как Т01 =
Qw = 2лЯсррЛ (Т01 ~ Тш) f -^- ~^=^ dy. (5.54)
•J Pl"l '01 ' W
О
Окончательно получаем
Qw = 2n.RcpPiUi (Го, - Tw) бт**. (5.55)
122

Из соотношения Qw = j 2nRqwdx следует, что
о
После дифференцирования уравнения (5.55) с учетом равенства
(5.56) получаем интегральное уравнение энергии
[Ясрр,«, (Т01 - Tw) &"] = £</„,. (5.57)
dx
Из этого уравнения видно, что толщина потери энергии
пропорциональна полному количеству тепла, отданному потоком
в стенку на участке от начала развития пограничного слоя до
рассматриваемого сечения, вне зависимости от распределения
давления.
Уравнения (5.40) и (5.57) для определения толщины потери
импульса и энергии являются вполне строгими. Однако они не
являются замкнутыми, поскольку для их решения необходимо
иметь связь между xw и б**, qw и 6Т** и между 6** и б*. Благодаря
тому, что уравнения (5.40) и (5.57) не зависят от режима течения
в пограничном слое и их порядок ниже, чем порядок
дифференциальных уравнений (5.14)...(5.16), они с успехом используются
в приближенных расчетах и при обработке экспериментальных
данных.
5.7. ТЕПЛООБМЕН ПРИ МАЛЫХ СКОРОСТЯХ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим сначала случай, когда жидкость можно
считать несжимаемой: р = const, ср — const, ц = const, X =
= const и М«1. Дифференциальные уравнения (5.22) и (5.23)
при этом получают вид (штрихи над обозначениями отброшены)
ди . ди dp . д2и ._. гпч
а уравнение неразрывности
Тепловой поток и напряжение трения определяются формулами
(5.27) и (5.28):
Яш-ЧЪ-Т!^)^^; (5.61)
т =ии (^а) УЖ (5.62)
123

Используя формулу Ньютона, получаем
Граничными условиями системы (5.58)...(5.60) будут:
при у = 0 и = 0, и = 0, Г = Tw;
т г (5-63)
При у-*~00 U-*~UX, /-vij.
Рассмотрим применение интегральных уравнений для расчета
теплообмена в простейшем случае течения — вдоль плоской
пластины (dpjdx = 0). (Строгий метод решения системы
дифференциальных уравнений пограничного слоя для пластины будет
рассмотрен в разд. 5.11.)
Интегральные соотношения имеют вид
rift** т
~ = Ц; (5.64)
ах рц,
л"
т Ъё. /к р.к\
dx - Срри, (7\ - Гш) • ^-°0;
Выберем подходящие выражения для распределения скорости
и температуры таким образом, чтобы они удовлетворяли
важнейшим граничным условиям и, кроме того, содержали два свободных
параметра, которые могли бы быть определены из уравнений
(5.64) и (5.65). Примем
= Л[тП4-]=Мт,1>- (5.67)
Здесь принято, что профили скорости и соответственно
температуры в различных сечениях отличаются только масштабом
координат и что вид функций / (ti) и /х (т)1) не зависит от х.
Следствием принятого условия, обоснованного в разд. 5.10, является
также то, что отношение £ = бт/б = const.
Результаты расчета будут тем точнее, чем ближе выбранные
профили будут совпадать с истинными. Выберем вид функций
таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (5.63)
и дополнительно дифференциальным уравнениям (5.58)...(5.59)
при
у = 0- {д2и1ду2)у=0 и (д2Т/дх*)у^о = 0.
На внешней границе у -*■ оо примем условие плавности
сопряжения профилей скорости и температуры с их значениями вне
124

пограничного слоя. Аппроксимируем функции / и /х полиномами
третьей степени:
-Ц- = а0 + flii] + агЛ2 + я3Л3; (5.68)
Г-Г» = b0 + Mi + Mi + Mi-
Тл-Та
(5.69)
Для определения коэффициентов аг и bt используем восемь
условий на границах, оставив значения б и бт свободными
параметрами. Тогда получаем
JL_L
2 б
XV-
_Г-ГК
'г,
-г» _±_Л L/XV
г-Та ' 2 бт 2 UT /
(5.70)
(5.71)
Толщина потери энергии может быть представлена в виде
Т~ТШ
•■"-Ж1-»)*-
о
Если | не сильно отличается от единицы, то, интегрируя, полу
чаем
3 »« 3
20
£2 — рЛ
5 280 5 /
Соответственно толщина потери импульса
39
б** = б
280'
напряжение трения на стенке
_ / ди_\ __ 3 их
тепловой поток в стенку
дТ
qw=l
ду
у=о
3 * /I — 'а 3 .
1 Г,
(5.72)
(5.73)
(5.74)
(5.75)
Подставляя выражения (5.72) и (5.73) в интегральное уравнение
импульса, имеем
6d6
39_
280
3 Uj ,
J P"i
6 = 4,64 1/ -H.
(5.76)
(5.77)
125

Отсюда напряжение трения на стенке
2^УЖ= 0,323.
(5.78)
Подставляя выражения (5.72) и (5.75) в интегральное
уравнение энергии (5.65), получаем (при % = const)
3^ 3 |5)бйб =4-^— dx. (5.79)
правую части уравнения (5.79)
20
280
Разделив почленно левую
на уравнение (5.76), имеем
J_
Рг
22_ 63 !_ t6
13 s 13 5 '
Пренебрегая вторым членом в правой части, найдем
у
Рг
(5.80)
(5.81)
Подставляя равенства (5.77) и (5.81) в выражение (5.75),
имеем выражение для теплового потока
qw 1/Re = 0,323 Рг~2/3,
рцхСр
или, сравнивая с выражением (5.78),
Сн = -£-СуРг
-2/3
0.323
Рг"
-2/3
где Сн
cPP"i (Tt - Tw)
и коэффициент трения С1
(5.82)
(5.83)
2т
Точные решения для этого случая дают другой численный
коэффициент
Ся
С,Рг
—2/3
0,332 р 2/з
(5.84)
При значении Рг = I уравнение (5.84) переходит в уравнение
гидродинамической аналогии между трением и теплообменом.
Для этого случая справедливо также условие
■tt=b (5-85)
в чем легко убедиться, подставляя значение Т из условия (5.85)
в уравнение (5.59) и граничные условия (5.63), которые становятся
тождественными с уравнением
иг>тг
Рис. 5.7. Схема развития
пограничного слоя на пластине соступень кой
температуры
126
(5.58) и соответствующими
граничными условиями.
Аналогично может быть
получена формула для расчета
теплообмена на пластине, имеющей
переменнуютемпературу стенки.
Простейшим случаем является
ступенчатое изменение темпера-

туры, когда передняя часть пластины длиной х0 имеет температуру,
равную температуре внешнего потока 7\, а на остальной части
пластины при х.">х0 поддерживается при температуре Tw (рис. 5.7).
При этом на передней части пластины отсутствует теплообмен,
динамический пограничный слой развивается от точки х = О,
а тепловой — от точки х = хй. Отношение толщин слоев £ =
= бт/б будет являться функцией х/х0.
Решение уравнений (5.64) и (5.65) дает для этого случая
«-tW^OhFT (5-86)
0,323Рг-
-2/3
■.{Тг-TJ. (5.87)
Поскольку задача-решалась в рамках несжимаемой жидкости,
то распределение температуры не оказывает обратного влияния
на распределение скорости, т. е. решение уравнения (5.64) не
зависит от решения уравнения (5.65); напряжение трения при
этом может по-прежнему рассчитываться по формуле (5.78).
Используя линейность дифференциального уравнения энергии
в несжимаемой жидкости, полученный результат легко
распространить на случай, когда температура пластины изменяется
ступенчато на величины ATW , АТШ , ЛТи, , ..., A7V в точках xlt x2,
Лз, ■ ••, Xi.
Тепловой поток в стенку может быть представлен как сумма
где
1
Л7Ч = Г, - 74 и а, = Jb^II^^L (5.88)
V1 - (*i/*)3
рассчитываются для каждого 1-го участка в предположении, что
тепловой слой начинается в точке xt.
5.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И СКОРОСТИ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
ПОТОКА
Рассмотрим в качестве примера течение вдоль плоской
пластины. При этом dpjdx = 0 и вне пограничного слоя их =
== const, 7\ = const (а следовательно, и ТП1 = const).
Если число Рг = 1 и ср = const, то'уравнения движения (5.14)
для пластины и энергии в форме (5.20) примут вид:
ди , ди д ( ди
ди ди д ( ди \
p"a7 + p°w = wi&7: (5-89)
дх ^ри ду ду \г ду
дТа , дТп д [ дТ0\ _. __.
Р«^ + рО-^=-57Г ЦдТ Ь (5-90)
127

Граничные условия: при у — 0 и = О, Т0 — Тш; у -> <х
и ->■ их, Т0 -* Т01.
Уравнения (5.89) и (5.90) аналогичны по форме. Легко
показать, что условие
(Т0 - ТШ)/(Т01 ~ Тш) = и/и, (5.91)
является решением уравнения (5.90). Действительно, если
определить
То — —г- ('01 — Tw) -(- Тш
"1
и подставить в уравнение (5.90), то уравнение (5.90) и граничное
условие для температуры торможения станут тождественны
уравнению (5.89) с соответствующим граничным условием.
Следовательно, в этом случае справедливо условие подобия профилей
скорости и температуры торможения (5.91).
Полученное математическое условие имеет физический смысл
и является следствием того, что перенос количества движения
и энергии при Рг = 1 происходит с помощью одинаковых
молекулярных процессов.
При малых скоростях Т0 — Т и, следовательно, профили
скорости и статической температуры подобны: (Т — Тю)/(Тг — Tw) —
= ujux.
Распределения скорости и температуры при малых скоростях
потока, когда энтальпия газа значительно больше кинетической
энергии (М < 1), представлены на рис. 5.8. Как видно, при
приближении к стенке значения температуры газа в пограничном
слое монотонно стремятся к значению, равному температуре
стенки.
При больших скоростях потока (М > 1) монотонным будет
только изменение температуры торможения. Распределение
статической температуры из-за выделения тепла при торможении
газа в пограничном слое может иметь другой вид, зависящий от за-
rwf Tw2 T*s T
Рис. 5.9. Кривые распределения
температуры в пограничном слое
при М > 1:
1 - я*, > °- 2 ~ iw = о; з-
чш < о
128
Рис. 5.8. Кривые распределения скорости
и температуры в пограничном слое при
М< 1:
1 -(!,„> 0; 2- Q,„ < 0; 3 - дт = 0

дания условий теплообмена на стенке. На рис. 5.9 показан
примерный вид кривых. Для исследования этих кривых рассмотрим
некоторые частные случаи.
5.8.1. Теплоизолированная поверхность при Рг = 1
Рассмотрим случай, когда стенка теплоизолирована,
т. е. на ней отсутствует теплообмен, и число Рг = 1.
В действительности на поверхности тела всегда имеет место
теплообмен в виде, например, отвода тепла внутрь тела или
излучения во вне. Однако для исследования полезно рассмотреть
некоторую условную теплоизолированную адиабатную стенку.
В этом случае тепловой поток равен нулю: qw = Xw (— - ) = О
и да
па стенке при
/дТ \ . „ „ и2 дТ дТ„
\ ду Jw 2cp ду ду
и = 0 и поэтому {dT/dy)w = (dT0/dy)w.
Уравнение (5.90) должно решаться при граничных условиях,
когда при у = 0 dTJdy = 0, а при у -+ оо Т0 = Т01 и имеет
тривиальное решение: Т0 = Т01.
Всюду в пограничном слое при Рг = 1 устанавливается
постоянная температура торможения, равная температуре
заторможенного набегающего потока. На стенке Т0 = Tw и, следовательно,
температура теплоизолированной поверхности также равна
температуре торможения внешнего потока. Распределение
статической температуры определяется из формулы Т = Т0
Отсюда
2с г
Т =-- 7\ +
2с,
i-4
(5.92)
Температура плавно изменяется от температуры внешнего
потока 7\ до температуры Т01 у стенки. На рис. 5.10 приведены
зависимости безразмерных величин
й = —; Т= Т ~ Тх и Та = Г° ~ Tl
"i/(2cp) . ui/(2cp)
от безразмерной координаты у/Ь. При больших скоростях потока
температура газа в пограничном слое выше, чем вне его. Работа
сил трения в каждой точке внутри слоя
порождает тепло. Выделение тепла уравновешивается
непрерывным отводом тепла из области с
высокой температурой в область с меньшей
температурой. При Рг = 1 оба процесса уравкове-
Ц2
шаны, когда Т0 - Т + -к— = Т01. V
y/s
10
Рис. 5.10. Распределения безразмерной скорости
статической температуры и температуры торможения в
пограничном слое при g»= 0; Рг = 1
5 Авдуевский
ч,
>
/
У
S
То
_—
0,5
1,0 й;Т
129

5.8.2. Распределение температуры в пограничном
слое на теплоизолированной поверхности при Рг Ф 1
Если число Прандтля Рг Ф 1, то на
теплоизолированной стенке устанавливается температура, отличная от температуры
торможения внешнего потока. Для газов Рг <С 1 (например для
воздуха Рг да 0,71). В этом случае температура
теплоизолированной стенки ниже температуры торможения внешнего
потока.
Обозначим температуру, которую принимает
теплоизолированная стенка, через Те. При Рг •< 1 процессы выделения тепла
вследствие трения и отвода тепла теплопроводностью и конвективным
переносом находятся в равенстве, при этом Те <с Т0.
Введем понятие — коэффициент восстановления температуры
г = (П-П)/(П1-
= 7\(1 +г-Ц^
- 7\) или иначе
Mi'
г =
тй
Тг
"!/(2ср)
Г.= 7\+г.
2с г.
Коэффициент восстановления температуры г показывает, какая
доля кинетической энергии внешнего потока затрачена на
повышение теплосодержания газа у стенки. При ламинарном течении
вдоль плоской пластины гда]/Рг. Для воздуха г да 0,84 и
Т,
= Г,(1 +
ft —1
РгМ?
(5.93)
или при k = 1,4 Те = 7\ (1 + 0,168 М*).
Распределение скорости, статической температуры и
температуры торможения на теплоизолированной поверхности при Рг <С 1
показано на рис. 5.11. Как видно, температура торможения у
стенки ниже температуры торможения внешнего потока. Из этой
области часть энергии передалась во внешнюю часть пограничного
слоя, вследствие чего температура торможения в этой части стала
больше температуры торможения внешнего потока.
В случае, когда скорость внешнего потока переменна (ut Ф
Ф const и dpjdx Ф 0), коэффициент восстановления изменяется
по длине. Расчеты показывают, однако, что местное значение
коэффициента восстановления г = .f —i- достаточно близко
к его значению на пластине г да УРт и
у/д
1,5
1,0
0,5
\т
и 1
/\/
Г"
Т = т _| ^L
1 е — ' н Т^ г.
2съ
\+Ц.(УТт-\)
.(5.94)
0,5
1,0 П;Т
Рис. 5.11. Распределения безразмерной скорости,
статической температуры и температуры торможения в
пограничном слое при qw = 0; Рг < 1
130

В передней критической точке, где и% =0, Те
где скорость близка к максимальной, т. е. где
,,2
= Тп
J(2cp) = T0K, Те&УРтТ0я
в точках.
5.8.3. Распределение температуры в пограничном
слое сжимаемого газа на пластине при теплообмене
Рассмотрим сначала случай Рг = 1. Тогда (Т0—•
— TW)/(T01 — Tw) = ujux. Учитывая, что Т0 = Т + и2/(2ср), после
преобразования получим
Так как
Г
и? k — 1
(5.95)
2сг,
1 = Ik _l f
2 М?7\, то
7"!
±м?
i(l--i)- (5.96)
Если число М мало (М -*■ 0), то получается известное
соотношение для малых скоростей
(7 — TW)I{TX — Tw) = и/иг.
Распределение температуры и скорости поперек пограничного
слоя показано на рис. 5.12. Для случая Рг = 1, если Tw <C_ Т01,
стенка будет нагреваться. При Тш >> 701 стенка будет охлаждаться;
при Tw = 701 тепловой поток qw = Xw (дТ/ду)ш = 0.
Если Гш << 7*0!, то кривая распределения температуры имеет
максимум. Во внешней части пограничного слоя газ нагревается
от трения. Внутри пограничного слоя температура газа может
быть значительно выше температуры потока. Нагретый газ далее
передает тепло к стенке. Из-за отвода тепла б стенку температура
газа вблизи стенки понижается и непосредственно на охлаждаемой
стенке (dT/dy)w > 0.
Оценим максимальное значение температуры. Полагая Рг = 1,
дифференцируем выражение для определения 7 по у и
приравниваем производную дТ/ду нулю. Зна- ,,у
чение 7тах определится по формуле У~
* ТЛЯ* * Г!
+1
(5.97)
Рис. 5.12. Распределение безразмерной скорости
и температуры при наличии теплообмена
(Рг = 1):
u/ut
10
0,5
< Т : 2
01'
Тш - V 3
> Т ; 4 —
^ 01'
-
■
uJ
) ^N
0,5
1,0
131

Если М » 1 при Tw « Tlt то (Гшах - Та)/(Т01 - Tw) = 1/4.
Например, при числе полета М^ 20 Too = 250 К; Tw « 1000 К;
Tmax ~ 5700 К. Таким образом, хотя температура потока у стенки
не превышает 1000 К, внутри пограничного слоя устанавливается
весьма высокая температура.
Если Рг Ф 1, то распределение температур на стенке с
теплообменом имеет аналогичный вид. Однако, поскольку при
отсутствии теплообмена на стенке устанавливается температура,
отличная от температуры торможения (Те Ф Т01), стенка будет
охлаждаться внешним потоком, если ее поддерживать при температуре
Tw > Те, и будет нагреваться внешним потоком, если ее
поддерживать при температуре Tw <C Те.
5.9. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ БОЛЬШИХ
СКОРОСТЯХ
Как уже указывалось, при больших скоростях, для
того чтобы учесть выделение тепла из-за диссипации кинетической
энергии при Рг = 1, формула для расчета теплообмена должна
быть записана в виде
<7» = аСГо1-:Г»), (5.98)
где Т01 —• температура торможения вне пограничного слоя,
характеризующая полную тепловую энергию потока.
Однако, как следует из рассмотрения распределения
температуры на теплоизолированной поверхности при Ртф1, в тепло
на стенке преобразуется только часть кинетической энергии.
Максимально допустимая при этом температура Те = Тг +
+ ru\j(2Cp) может быть использована как величина,
характеризующая тепловую энергию внешнего потока для расчета
теплообмена, и выражение для расчета теплообмена может быть записано
в виде
qw = a(Te-Tw). (5.99)
Эта формула имеет еще то преимущество, что в случае
теплоизолированной стенки, когда Tw = Te, при любом а значение
qw = 0. При Рг = 1 формулы (5.98) и (5.99) совпадают.
Следует указать, что в формуле (5.99) значение Те является
некоторой эффективной температурой, численно совпадающей
с температурой теплоизолированной поверхности. Внутри
пограничного слоя на охлаждаемой поверхности температура во всех
точках меньше, чем Те.
5.10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕНИЕМ И ТЕПЛООТДАЧЕЙ
В разд. 5.6 при расчете пограничного слоя на плоской
пластине в несжимаемой жидкости методом интегральных
соотношений были получены выражения (5.83) и (5.84), связывающие
132

между собой коэффициенты трения и теплообмена при малых
скоростях потока.
Покажем теперь, что, используя определение коэффициента
теплообмена по формулам (5.98) и (5.99), можно получить
аналогичные более общие выражения, справедливые при течении газа с
большими скоростями.
Напряжение трения определяется по формуле
ди \ I ди\ _ и
f ди \ / ди \ _ и
Для случая течения вдоль плоской пластины при Рг = 1
справедливо условие (5.91). Тогда xw— -■^m"1T (-g-5-) , а при
'и — ' w \ oy jw
и-а(Л±Л -(IL\ т w i (дТ \
У \ ду Jw \-ду )ш> Та>- (T01-TW)K, Л"Ч ду У»"
Поскольку
п №р . . (дТ \
«1 ср (^01 — ^ш) '
Переходя к безразмерным величинам, получаем -^—=—г
Р1Ц1Ср(У 01 / да)
"Сев
Pl„l > откУда
st=4-c^- (5Л°°)
Используя условие Nu = St Re Рг, можно записать вместо
(5.100)
Nu = 4"C/Re. (5.101)
Найденные выражения являются условием аналогии между
теплообменом и трением. Уравнения (5.100) и (5.101) справедливы
при больших и малых скоростях.
Если число Рг^=1, то в эти уравнения необходимо внести
поправки. Аппроксимируя расчеты, проведенные на пластине
при Рг Ф 1, получаем уравнение
Nu = 4-C/RePr'/3- (5Л02)
При этом коэффициент теплоотдачи а определяется в соответствии
с формулой (5.99).
В потоке с продольным градиентом давления эта связь имеет
более сложный вид:
Ni^SC/RePr", (5.103)
где Sun зависят от распределения давления.
133

5.11. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ
ПЛАСТИНЫ
Рассмотрим простейший случай течения вдоль плоской
пластины, когда скорость и давление потока вне пограничного
слоя постоянны. Этот случай имеет большое практическое
значение. При обтекании боковой поверхности корпуса летательного
аппарата поверхности крыла сверхзвуковым потоком и в ряде
других случаев изменение давления незначительно и для расчета
теплообмена можно использовать формулы, полученные для
пластины.
Рассмотрим пластину (см. рис. 5.1). Параметры течения вне
пограничного слоя их = ин; рх = pw; Ta = 7\. Уравнения
пограничного слоя имеют вид (5.14)...(5.16) при dp/dx = 0. Для
определения теплового потока будем использовать соотношение (5.99)
и соответственно
Nu = ,r qwL . , . (5.104)
Поскольку -—- — = f (M, Рг), общий вид критериальных
* он * w
зависимостей (5.31)...(5.32) остается без изменения. Однако на
пластине нельзя указать характерный размер I, входящий в
определяющие критерии подобия.
Действительно, тепловой поток в какой-либо точке пластины
не должен зависеть от изменения общей длины пластины I. Это
связано с тем, что вверх по потоку в направлении уменьшения
х влияние длины пластины через тонкий пограничный слой,
описываемый дифференциальными уравнениями параболического
типа, передаваться не может. Физически точки, лежащие ниже
по потоку, оказывают влияние на точки вверх по потоку, однако
оно заметно только на расстоянии порядка толщины слоя б.
Поэтому пластину длиной / можно рассматривать как
полубесконечную.
Отсюда следует, что в критериальных зависимостях (5.31),
(5.32) необходимо отыскать такую комбинацию переменных, при
которой выпадает длина /. Исходя из этого, получаем условие
Nu/]/^Re ~ (х/1)~1'2 и C/J/^Re ~ (х/1)^/2, и критериальные
зависимости для течения на пластине приобретают вид
Ыих/УЖх = /3(М1; Pr1; TJT,, k, пъ л2), (5.105)
Q]/Re; = /4(M1, Ргь Тя/Т1г k, nlt яа), (5.106)
где Nux = ax/A*; Re* = ^^.
Аналогично можно получить выражение для размера
пограничного слоя, например для его толщины:
1УЖ = /.(М1, Рг, TJTlt k, nlt л,). (5.107)
134

Для любой точки х пластины при ламинарном режиме
а ~ 1 /Y~~x, tw ~ ] /у~х, б ~ V~x, v ~ 1 /У~~х-
Из формулы (5.105) следует очень важный вывод, что в любой
точке пластины отношение Nux/Y^Rex постоянно. Поэтому, при
расчете теплообмена целесообразно не рассматривать отдельно
критерии подобия NuK и Re^, а использовать новый
комбинированный критерий Nux/]/Rex, что и будет нами сделано при расчете
теплообмена.
Отнеся физические параметры р, |Л, X к условиям при
температуре стенки Tw, получаем расчетные формулы:
_ Миш т / ц1ршцш ср (те — Tw)
где
Г, = Г1(1 + г-Ц^-М?) = Г1(1+га)), (5.109)
a
со = ^Ц^-М? (5.110)
и
^ = -^(^1^^]/%^-. (5.111)
В этих формулах остаются неизвестными численные значения
комплексов Nuw/Y Rew и (С^цД/ Re^, являющиеся функциями
определяющих критериев подобия Mlt Рг^, TJTlt k, п2, п1. Вид этих
функций может быть получен на основании решения уравнений
(5.14)...(5.17) или из экспериментов.
5.12. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА В ПОГРАНИЧНОМ
СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ
Уравнения пограничного слоя в частных производных
для пластины могут быть преобразованы в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такая возможность связана с тем,
что профили скорости и температуры в разных сечениях подобны
друг другу в переменных у/Ь, или с учетом уравнения (5.107)
имеет место условие и\иг = и (г\) и TjTx = Т (г\), где г\ = у X
х V т-^г> ^-т-
Уравнения пограничного слоя (5.14)...(5.17) с учетом условия
dpjdx — 0, справедливого при обтекании плоской пластины,
135

после перехода от независимых переменных х, у к переменным х,
х) приводятся к виду
pa di\) й' = (у.й'У; (5.112)
Здесь
-[ J pudJr = (£ Т')' + ji («7 (ft - 1)M?. (5.113)
T" = dT/dr); и' = du/di\; p = р/рх;
—!- = (* —i)M?; д = -^.
ср'1 Hi
я
Обозначая J pudt] = W; и' = т; 7" = g, получаем 'систему пяти
о
обыкновенных уравнений первого порядка
й' = т; ¥' ■■= ры;
(jxx)' = — tW; Г = ?; (5.114)
с граничными условиями: при y = 0u = W = 0, Т = Тш; при
!/->■ ОО Ц-* 1, Г ->■ 1 .
Система (5.14) может быть решена с помощью ЭВМ одним из
стандартных методов. Результаты расчетов системы (5.114),
проведенных в широком диапазоне изменения М, Tw/Tlt Рг и при
различных предположениях о зависимости вязкости и
теплопроводности от температуры, могут быть представлены в виде
NuJVRe^ = 0,332 Рг'/з/С.
Соответственно из уравнения (5.108) следует:
qw = 0.332А' \ГЕМ^. Ср (Г, - Tw) Pr-
-2/3
= 0^2K9wUxCv(l^- Ta- Рг-2/3. (5.115)
Средний тепловой поток на пластине длиной х определяется по
формуле qcp = l/x J ^„/ix = 2^ш, а полное количество тепла, пере-
о
данное стенке с шириной, равной единице, — по формуле
Qw = qcpx = 2qwx. (5.116)
Коэффициент /С — фактор, учитывающий влияние сжимаемости:
К = / (со, TJTU пъ п2).
136

2Nu /(Vff?,Pr'/})
0,75
0,65
0,55
~TW/1
r,-2 -
1е-
Wrr
J>$>
1
1T~1
-0,25
0 12 3 4
Рис. 5.14. Зависимость
2Nu/(VRe7Pr1/3) от М и TjTt
М
1,0 Г, и
Рис. 5.13. Распределение безразмерной
скорости и температуры в пограничном
слое при различных числах М на
теплоизолированной поверхности Т—
_ T~Ti
= и?/(2ср)
Для значения К можно предложить различные аппроксимацион-
ные зависимости. Например, используя представления о форме
профиля температуры
Здесь индекс « * » означает, что данная величина отнесена к
максимальной температуре Т* ~ Ттах [см. формулу (5.97)], либо
Т* ~ Tw, если Тш > Те, либо Т* ~ 7\, если со << 1 — Tw/Tv
При использовании понятий определяющей температуры
Г<о> = 7\ + 0,5 (Tw — 7\) + 0,22co
П0ЛУЧИМ /ц(о)р(о)\0.Б
К
М'шРи
Ргю
Рг<°>
(5.118)
К
где верхний индекс «о» означает, что соответствующие величины
берутся при определяющей температуре.
В формулы (5.118) и (5.117) не входит в явном виде отношение
температур {TWIT^}, поэтому они пригодны при различных
зависимостях физических свойств от температуры. Если [i ~ Тп,
X ~ Тп и Рг = const, то результаты расчета хорошо
аппроксимируются зависимостью
/jhft_y/2 /0)45 + о,55^ + о,18(о Pr,/2) 2 . (5-119)
В выражении Те = 7\ (1 + гсо) в диапазоне изменения
параметров воздуха коэффициент восстановления г = 0,84.
Возможность подбора простых аппроксимирующих формул
связана с относительно слабым влиянием М и Tw/T1 на теплоотдачу
и трение. В частности, если я = 1 ир~ 1/Г, то /С = 1 и влияние
сжимаемости на теплообмен на пластине исчезает.
Профили скорости и температуры и толщина пограничного
слоя существенно зависят от значений М и Tw/T1. На рис. 5.13
137

приведены результаты расчетов для теплоизолированной
поверхности при различных М и п = 0,75, Рг = 1. По оси ординат
отложена безразмерная координата т) = ~]/Rex. Как видно, при
увеличении М толщина пограничного слоя растет, а профили скорости
становятся более прямыми. На рис. 5.14 представлены кривые
зависимости 2Nu/(]/ReiPr1/3) от М и TJT\ при п = 0,5.
5.13. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ
ДАВЛЕНИИ ВНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В общем случае произвольного распределения давления
вне пограничного слоя для расчета теплообмена необходимо решить
систему уравнений пограничного слоя в частных производных.
В настоящее время разработан ряд эффективных численных
методов решения такой системы на быстродействующих
вычислительных машинах.
Наряду с разработкой общих методов расчета теплообмена
при произвольном распределении давления возможны решения в
некоторых важных частных случаях распределения скорости вне
пограничного слоя путем преобразования системы уравнений
(5.14)...(5.17) в систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. Такие решения называются подобными.
Распределение скорости вне пограничного слоя зависит от
конкретной формы тела и условий его обтекания и может быть
самым различным (рис. 5.15, 5.16). Если скорость потока вне
пограничного слоя в несжимаемой жидкости изменяется по закону
и1 = $хт, где х — расстояние от начала развития пограничного
слоя, то при введении специальных переменных система (5.14)...
(5.17) может быть преобразована в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Это является справедливым, если
значения скорости «j существенно меньше скорости звука (Мх = uja^ <^
«1).
Рассмотрим случай, когда жидкость можно считать
несжимаемой: р = const, ср = const, v = р,/р = const, Рг =
= const и М! « 1.
Рис. 5.15. Схема
обтекания сферы сверхзвуковым
потоком:
1 ~ ударная волна; 2 —
критическая точка
Рис. 5.16. Кривая
распределения скорости в
дозвуковой части сопла
138

Уравнение Бернулли для струйки тока вне пограничного слоя
имеет вид
Р,И1£ = -£- (5.120)
Тогда дифференциальные уравнения пограничного слоя в
рассматриваемом случае принимают вид
ди . ди д2и dur ,г ,„.,
'ш + 'Z-izfr <5-122>
Для построения решения введем новую зависимую переменную
■ф. называемую функцией тока и заданную соотношениями
« = &: —&• (»■■«)
При переходе к переменной \|) уравнение неразрывности выпол-
няетсц аналогично.
Выберем некоторый характерный масштаб пограничного слоя
S (х), не уточняя пока его форму, и введем безразмерные
параметры
r\ = y/S; й = и/и1; в = (Г - Гш)/(7\ - Гш);
f = t|,/(UlS). (5.125)
Распределения и в различных сечениях будут подобными, т. е.
отличающимися друг от друга только характерными для данного
сечения масштабами скорости и длины, если функции й к f зависят
только от координаты т). Аналогично функция в тоже должна
зависеть только от т).
При переходе к новым переменным уравнение (5.121) примет
вид
/ + //(^ + ^4^)+-^(1-/2) = 0,
где штрих означает производную по х, а точка — по т\.
Для того чтобы решения этого уравнения были подобными,
величины u[S2/v и u^'S/v должны быть произвольными
константами.
Поставим условие, что коэффициент при ff равняется единице.
В результате имеем дифференциальное уравнение u[S2 + u^S'S =
= v, решая которое с учетом того, что их = fix"1 и полагая S (0) =
= 0, получим
I —m
s = V-^rwx 2 ; (5Л26>
У'+// + ^П-(1-/2) = °- (5-127)
139

Уравнение энергии (5.122) при переходе к новым переменным
примет вид
в + Рг/0 = 0. (5.128)
При этом мы приняли допущение, что Tw и 7\ не зависят от
координаты х. Уравнения (5.127) и (5.128) решаются с граничными
условиями: при т] = 0 f — f = 0, 0=0; при г\ -*■ оо / -*■ 1,
6 ->- 1. Это следует из условий (5.63).
Уравнение (5.127) интегрируется численно. При заданной
функции / (т)) уравнение (5.128) решается аналитически
■I
[ ехр Грг [ / (г) йг
0(г,) = ° L »
J ехр Г-Pr j" f (г) 4г\,
о L о J
йг
(5.129)
йг
Получив функции f (т)) и в (т)) можно определить выражения
для напряжения трения xw и теплового потока в стенку qw:
'- = i* (-§-). ^'ок <5Л30»
Величина f (0) зависит от m, a 0 (0) от т и Рг.
Рассмотрим некоторые примеры течений.
1. Плоская пластина.
В этом случае 0 = иъ т = 0. Тогда из (5.126), (5.130) и (5.131)
следует:
S{x)=irML., ^l/Slf.;
4 ' V p«i w V х у2
l/~P"iR 6(0) СР 1Т Т ч
При m = 0 f (0) = 0,4696, а функция критерия Рг ->- 0 (0) хорошо
аппроксимируется зависимостью в (0) = 0,4696Рг1/3. С учетом
этого получаем уже известные нам критериальные зависимости
1 п Тщ- 0,4696 -1 / ~ 0,332
4С,=
1 7^П
V OU,J
P"i У2 * P«i* VWX '
NUje |/"py~ 0,4^г'/» ^.^ = 0)3з2]^^Рг1/3-
2. Течение в окрестности передней критической точки (см.
рис. 5.15).
140

В этом случае т — 1, откуда
т» = 1/№Р54(0); (5.133)
?. = fippe(0)-g-(r1-ri.). (5.134)
При m = 1 величина /(0) равна 1,2326, а параметр 0 (0)
аппроксимируется зависимостью
в (0) = 0,57Рг°-4. (5.135)
С учетом выражений (5.134) и (5.135) получаем формулы для
критерия теплообмена и теплового потока:
Nu
г = тУж = №Рг0'4; <5Л36>
у, = 0,57|^Р Ср(р1г~Гд-. (5.137)
Мы рассмотрели плоские несжимаемые пограничные слои. В
случае осесимметричного двухмерного течения уравнение
неразрывности имеет иной вид [см. уравнение (5.18)], однако путем
простой замены переменных уравнения осесимметричного
пограничного слоя несжимаемой жидкости сводятся к такому же виду,
как уравнения (5.121)...(5.123), и решаются аналогично.
Расчетные формулы для теплообмена в окрестности передней
критической точки осесимметричного тела имеют вид:
Nux//Re7 = 0,77 Рг0-4; (5.138)
qw = 0,77 Viipf, ср Рг-»-6 (7\ ~ Гю). (5.139)
В случае сжимаемого пограничного слоя (р Ф const, ц, Ф
Ф const, Я Ф const) необходимо учитывать деформацию
распределения параметров внутри слоя и, переменность произведения
цр поперек пограничного слоя. Результаты численных расчетов,
проведенных при различных значениях TW/T0H и различных
законах (i (T), хорошо аппроксимируются для плоского и
осесимметричного течений в окрестности передней критической точки
следующими формулами, в которых введены поправочные множители,
учитывающие переменность ^р:
для плоского течения
,. = 0,57[1+0,107(^_1)](^Гх
ХУМ>«Р» ^оГв ; (5-140)
141

для осесимметричного течения
<?ш = 0,77 1 +0,074
(Топ - Тв)
X V \1юршК —о^ ■ (5.141)
W
Значения [iw, рш и Ргю берутся при температуре стенки Тю
и давлении в передней критической точке /?oi = ph (штрихом
обозначаются параметры за скачком уплотнения). Для определения
параметра р* = (—р-) воспользуемся уравнением Бернулли
dx
(5.120).
Продифференцируем (5.120) по х и учтем, что при х ->- 0,
и -у 0, pi -v po, р\ -v р{. Тогда имеем
Ро d(pi/p'a) 1
Р' =
Ро d(x/Re)* Rlk
Так как kp'Jp'0
точке, то
где С2 =
1 д2 (рт/ро)
* = cJtVlr' (5J42)
2 <?(*/#„) •
В случае сферического или цилиндрического затупления
приближенно по теории Ньютона С2 = 1 — Рн/р0-
При больших значениях Мн можно считать С « 1.
Из формул (5.140)...(5.142) следует, что коэффициент
теплоотдачи в критической точке обратно пропорционален квадратному
корню из радиуса затупления R0. Поэтому при больших скоростях
полета и соответственно больших температурах торможения
радиус затупления передних кромок элементов конструкции
летательных аппаратов приходится учитывать с целью уменьшения
тепловых потоков.
При произвольном значении m в зависимости скорости их =
= ffo: для критерия теплообмена в случае плоского течения с
учетом сжимаемости может быть использована приближенная формула
^ = 0,332 (т + I)'/2 Рг1/3 (Jh£L-Y/3 х
х[1+0,1б(1+^)(^г)"7". (5..43,
Значение безразмерного градиента скорости т — —-± долж-
(хХ 11-у
но определяться из газодинамического расчета.
Мы рассмотрели случай, когда значение скорости их
существенно меньше скорости звука. При Мх >> 1 подобные решения
возможны при Рг = 1 и |j, ~ T, но не в физических переменных,
а в некоторых переменных, выбранных специально.
142

5.14. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ
ПРОДОЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАВЛЕНИЯ
(МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ)
Одним из способов упростить уравнения пограничного
слоя является переход от удовлетворения дифференциальных
уравнений для каждой отдельной частицы к удовлетворению этих
уравнений в среднем по толщине пограничного слоя. При этом задача
сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
по переменной х.
Такие методы дают достаточную точность при расчете
теплообмена и меньшую при расчете характеристик динамического
пограничного слоя, особенно в ибтасти течения с положительными
градиентами давления. В том случае, когда требуется рассчитать
только теплообмен, оказалось возможным получить еще более
простые решения, используя методы эффективной длины или
локального подобия.
Изложим метод эффективной длины. Тепловой поток в какой-
либо точке тела определяется двумя факторами: толщиной
теплового пограничного слоя и формой профиля температуры в данном
сечении. При приближенном расчете целесообразно эти эффекты
разделить. Зададимся формой профиля температуры в виде
функции
T^k- = f{w)> (5-144)
где
ао
6» = f J^_jp^Ldy_ (5.145)
О
толщина потери энергии, или интегральная характеристика
толщины пограничного слоя, входящая в равенство
а/
ду/б;*
(Тв-Та). (5.146)
у=0
Вместо 6£* введем эффективную длину. Эффективной хэф
будем называть длину плоской пластины, на которой при внешнем
течении с постоянными параметрами р1и1 такими же, как в
рассматриваемой точке тела, нарастает такой же тепловой
пограничный слой, как и на длине х рассматриваемого тела с переменными
параметрами р1и1 вне слоя. В осесимметричном случае хэф будет
длиной цилиндра с радиусом, равным радиусу в данном сечении.
Для расчета теплообмена можно теперь использовать формулу
для пластины (5.115)
qw = 0,332^ -|/-М^1-Ср(Гв - Tw) Pr-2/3 (5.147)
при условии, что вместо истинной длины х в ней используется
эффективная хаф. Здесь k—поправка на переменность физических свойств
143

[формулы (5.117), (5.118) или
(5.119) ]. Дополнительно в
формулу внесена поправка kr на
влияние продольного градиента
скорости по формуле (5.126), где
2т
= 2
&ах
Все вели-
Рис. 5.17. Схема расчета *Эф
т -f- 1 ~~ dx ux
чины, входящие в формулу,
являются функциями х.
Для определения эффективной длины используем уравнение
баланса тепла. Используя обозначение для толщины потери
энергии б** (5.53), имеем
2nRcpPlul{T0i-Tw)br.
(5.148)
Таким образом, толщина потери энергии определяется
количеством тепла Qw, ушедшим из пограничного слоя. Следовательно,
для определения хэф можно использовать условие равенства потерь
тепла на эффективной пластине (или цилиндре) и рассматриваемом
теле (рис. 5.17).
На цилиндре с радиусом R = const общее количество тепла,
ушедшее из пограничного слоя на длине хэф,
Qw = 2nRxa<iqcp = 4л#<7ш*эф.
(5.149)
так как из уравнения (5.116) на пластине или цилиндре qov =
= 2qw. На рассматриваемом теле на длине х отдано количество
тепла
Q№ = 2л J Rqwdx.
о
Сравнивая выражения (5.149) и (5.150), имеем
X
2#<7шХЭф = | ЯЯт d-X,
(5.150)
а после дифференцирования по х получаем уравнение для
определения хэф : 2-^Rqwx.^ = Rqw.
После подстановки значения qw из равенства (5.147) найдем
dx
R
Nu„
= R
Nuo„
У ЦшРш"Лф ср {Те — Тш) Рг 1
■l/-^^-cp{Te-Tw)Pr\
(5.151)
Re„, r *эф
Умножая обе части уравнения на выражение, стоящее в
квадратных скобках, получаем в правой части выражение, не завися-
144

щее от Хэф. После интегрирования формула для хзф имеет вид
• (_ttow_\* цгп Шш11 J /т -т \2Рг-2,
о
| (-^==f R2w*JP (Te - Twf ъ-Чх
э* / Nu,
2 г>--2
(тйг) ^«Vi^T.-^pr-
(5.152)
В числителе стоит интеграл от некоторой известной функции
от х, в знаменателе — значение подынтегральной функции в
данной точке. В частном случае при Tw = const можно, пренебрегая
переменностью величины ^у~ ср (Те — Тш)2, упростить формулу:
цх = 0,3324*, ,* ' L• (5-*54)
PuMxR2 dx
' ** = Пййг-- (5Л53)
При подстановке равенства (5.153) в выражение (5.147) формула
для расчета теплообмена на теле с переменным давлением вдоль
образующей имеет вид
PwUiCp (Те — Tw)
(Иеэф)1
Она совпадает по виду с формулой (5.115) для расчета
теплообмена на пластине, только вместо значения числа Рейнольдса
Reo, в данной точке в нее входит усредненное значение Re^:
X
Re3$ = -^r j Я2"хРш dx. (5.155)
о
Таким образом, учет развития потока в этом методе сводится
по существу к использованию усредненного значения вместо
местного. Чтобы получить формулу для плоского течения, достаточно
принять R = 1. Здесь k1 — поправка на влияние местного
градиента скорости по формуле (5.126), где 2m/(m + 1) = 2 (dujdx) x
X (x/uj).
Формула (5.154), если в ней принять kx « 1, легко
преобразуется в формулу для расчета теплообмена, получаемую по методу
«локального подобия». Точность такой формулы достаточно высока
при малых Tw/Tol, что имеет место, например, при обтекании тел
с очень большими, гиперзвуковыми скоростями. Если Tw/T01 не
сильно отличается от единицы или если температура стенки
переменна, то большую точность дадут формулы (5.152) и (5.147).
5.15. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Рассмотрим применение формулы (5.153) в некоторых
частных случаях.
1. Плоская пластина.
их = const, R = const, px = const, pa, = const.
145

По формуле (5.159) получаем очевидный результат: хэф = х.
2. Конус при сверхзвуковом обтекании с углом атаки, равным
нулю. В этом случае так же, как и на пластине, иг = const, px =
= const, pw — const, k-L = 1, но радиус рассматриваемого тела
вращения R = х sin 6h, где Qh — полуугол при вершине конуса.
Тогда
X
хг sin2 Qh dx
*8Ф = *2sin2eft =TX- (5.156)
Из формул (5.147) и (5.156) следует, что значение местного
удельного теплового потока на конусе в У~Ъ раз больше, чем на
пластине той же длины и при тех же параметрах течения вне
пограничного слоя.
Поскольку значение хэф определяет толщину слоя (6/хэф ~
~ 1/УИеЭф), то на конусе
А ~ 1 / *эф \'/2 __ 1 1
* ~ VR^ \ x I VR^ Уз" '
т. е. на конусе из-за растекания толщина пограничного слоя в
УЗ раз меньше, чем на пластине.
3. Течение в окрестности передней критической точки щ —
= Рх (см. рис. 5.15).
Для двухмерного течения (например на кромке крыла),
принимая в окрестности критической точки pw = const, R = const,
получаем
I
$xdx
_ _o J_
Хэ*~ §х 2 X>
а удельный тепловой поток по формулам (5.26) и (5.147) будет
Tw Mi/2
qw = 0,47 [l+ 0,16 (l +-^)J
X (-^)i/3V7^cp(Tm- Tw)Pt-™-, (5.157)
для осесимметричного течения в окрестности критической точки
и __ >
К ~ X, Хщ — — X И
11/2
qw = 0,664 [l + 0,16 (l +-^)]'
X
X (j^-)mV^p~Jcp(T0B-Tw) Pr-2/з. (5.158)
Формулы (5.157) и (5.158) удовлетворительно согласуются с
формулами (5.140) и (5.141), полученными из обработки численных
расчетов.
146

Pf/Po, NuWe/^ePr^)
Рис. 5.18. Кривые изменения коэффициентов теплообмена вдоль образующей
сферы TJTB1= 0,2; 0,4; 0,6; 1,0
4. Распределение тепловых потоков по лобовой поверхности
затупленного тела. На рис. 5.18 представлены результаты расчета
распределения коэффициента теплоотдачи вдоль образующей
сферы. Здесь
NUa,0 = aR0/Kw; Re№0 = a0pa0R0/^w.
Там же приведена кривая распределения давления рх/р01 для этого
случая и обозначен примерный разброс экспериментальных точек.
Распределение скорости определялось по газодинамическим
таблицам для изэнтропийного течения, а распределение
плотности — по соотношению рю/ршо = Pi/poi-
На рис. 5.19 приведены аналогичные кривые, полученные
для случая течения около плоского торца осесимметричного тела.
Как видно, характер кривых распределения pjp01 и Миш0/(Рг0,4 X
X KRe№0) в дозвуковой части тела {pjp01 < 0,52) на сфере и
плоском торце качественно различны.
Аналогично рассчитывается теплоотдача по длине сопла. На
характер распределения удельных тепловых потоков при ламинар-
P,/PatiNuW0/(Pr^\/R^)
х1
{-- «0
"
_ Pi/Pat
ч
\
~—^
—-—■■~
0,25 0,5 0,75
Рис. 5.19. Кривые распределения тепловых потоков на поверхности плоской
передней кромки осесимметричного тела при ламинарном режиме течения
TJT01 = 0.2
147

ном режиме влияет форма сопла. В соплах с крутым входом
наблюдается резкое увеличение теплового потока до максимального
значения в критическом сечении.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое пограничный слой? Как меняется давление поперек
пограничного слоя? Запишите систему дифференциальных уравнений пограничного слоя
в сжимаемом газе.
2. Какие критерии определяют ламинарный теплообмен и трение в
пограничном слое?
3. Как выглядит распределение скорости, статической температуры и
температуры торможения в пограничном слое при высоких скоростях газового
потока:
а) на теплоизолированной стенке при Рг = I и Рг < 1?
б) при наличии теплообмена?
Объясните это распределение.
4. Запишите закон Ньютона при больших скоростях газового потока при
Рг = 1 н Рг ф 1. Что такое Те7
5. В чем состоит связь трення и теплоотдачи?
6. Как рассчитывается теплообмен в пограничном слое иа пластине? Как
меняются вдоль пластины критерий Nu/~l/Re, коэффициент теплоотдачи,
толщина пограничного слоя?
7. Что такое эффективная длина? Как рассчитывается теплообмен при
переменном давлении вне пограничного слоя?

ГЛАВА VI
ТУРБУЛЕНТНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В предыдущей главе мы рассмотрели ламинарное течение в
пограничном слое, при котором перенос количества движения, тепла и вещества
происходит в результате молекулярных процессов вязкости, теплопроводности и
диффузии. При этом значения напряжения трения и теплового потока являются
известными функциями распределения скорости и температуры. Для
ламинарного течения можно написать полную систему уравнений, и в настоящее время
существуют математические методы их решения. Расчеты требуют некоторого
экспериментального уточнения вследствие неизбежной схематизации явлений
в сложных случаях течений и неточного знания ряда физических
характеристик газа, однако вводимые поправки невелики.
Течения при очень высоких числах Рейнольдса обладают новым особым
свойством—турбулентностью. Законы таких течений значительно отличаются
от законов ламинарных течений и не описываются стационарными уравнениями
Навье—Стокса для вязкой жидкости. При турбулентном течении усиливается
обмен импульсом и энергией в поперечном направлении, в связи с чем возрастают
трение, теплообмен и массообмен.
Вследствие чрезвычайно сложной картины турбулентного течения и
отсутствия рациональных теорий турбулентности, решение задачи в строгой
математической постановке в настоящее время невозможно. При решении отдельных
задач вводится много различных предположений и упрощающих допущений,
поэтому в принятых методах расчета турбулентного теплообмена решающее
значение приобретает эксперимент.
Турбулентные течения встречаются так же часто, как и ламинарные. При
движении летательного аппарата в верхних слоях атмосферы на его поверхности
образуется ламинарный слой, но при полете на высотах ниже 30—50 км в
пограничном слое может возникнуть турбулентный. В камерах сгорания и соплах
двигателей течение большей частью турбулентное. Однако при низких давлениях
на стенках камер сгорания или на поверхностях сопел с большой степенью
расширения возможны также и ламинарные течения.
6.2. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Как уже было сказано, впервые систематические
исследования перехода ламинарного течения в турбулентное в трубах и
каналах были выполнены Рейнольдсом. Им был найден закон
подобия, согласно которому переход происходит примерно при одном
и том же значении числа Re, называемым критическим членом
Рейнольдса:
ReKp=(^)Kp) (6.1)
где цор — средняя по сечению скорость течения; d — диаметр
трубы; v — коэффициент кинематической вязкости.
149

Рис. 6.1. Схема течения и распределение коэффициентов теплоотдачи при
переходе ламинарного течения в турбулентное на пластине
Значение критического числа Рейнольдса существенно зависит
от условий входа в трубу, степени шероховатости и др. и может
колебаться в диапазоне 2300 < ReKp < 20 000. Однако, если
Re < 2300, то течение всегда ламинарное.
Переход ламинарного течения в турбулентное происходит
не мгновенно. При достижении значений Re, близких к
критическим, наступает режим перемежающегося течения, когда течение
в трубе становится попеременно то ламинарным, то турбулентным.
Поэтому область перехода занимает очень большую часть,
измеряющуюся иногда тысячами диаметров трубы.
Явление перехода было обнаружено также и в пограничном
слое на обтекаемом теле. Наиболее просто переход наблюдать
на плоской пластине. С увеличением расстояния х от передней
кромки пластины увеличивается число Рейнольдса:
Re, = "^х/щ. (6. 2)
При достижении некоторого критического значения, (Re^ =
= ReKp) наблюдается изменение режима течения,
сопровождающееся резким утолщением пограничного слоя и деформацией
распределения скорости и температуры. Одновременно возрастают
коэффициенты теплоотдачи и трения, а также изменяется характер
их зависимости от х (рис. 6.1).
Тщательные измерения, проведенные на гладких пластинах
при М ^ 0, позволили установить нижнюю границу критического
числа Рейнольдса в диапазоне 3-106...5-106. Верхняя граница,
достигнутая в специальных опытах в особенно равномерном
потоке, находится в диапазоне 3-10е...4-10е.
В некоторых случаях для определения условия перехода
используется
Re5 = ы^б/ц!, (6.3)
где б — толщина пограничного слоя на пластине при М »= 0,
связанная с расстоянием соотношением:
150

Для области перехода (Rea)Kp = 2700...9000. Полученные
значения сравнимы с соответствующими величинами, полученными
в трубах. Значение ReKP в общем случае обтекания тел потоком
сжимаемого газа зависит от большого числа факторов. Ограничиваясь
учетом наиболее важных из них, можно получить критериальную
зависимость для общего случая течения на теле с градиентом
давления:
dux
где — -^р- определяет влияние местного градиента давления (h-
высота бугорков шероховатости; и' — интенсивность
турбулентности во внешнем потоке; г — характерный линейный размер
пограничного слоя).
Использование в качестве линейного размера условной
толщины слоя б не всегда удобно из-за нечеткого определения ее
значения. Поэтому в качестве линейного размера используются
интегральные величины: толщина вытеснения б*, толщина потери
импульса б** или толщина потери энергии б** [формулы (5.36),
(5.53)1. Для определения характера зависимости (6.5) проведено
множество теоретических и экспериментальных исследований, но
экспериментальные данные часто противоречивы, не согласуются
с теоретическими предсказаниями, и к ним следует относиться
с осторожностью. Поэтому ограничимся рассмотрением влияния
отдельных факторов на величину ReKp.
Большое практическое значение имеет исследование влияния
шероховатости стенки, которая всегда присутствует на так
называемых технически гладких поверхностях. Шероховатость
вызывает возмущения в ламинарном слое, и переход в турбулентное
течение происходит при меньших значениях ReKp. Интенсивность
шероховатости можно характеризовать отношением /i/б*. Кроме
высоты бугорков h играет роль, хотя и меньшую, также их форма,
Йе ,,Re i расстояние между ними и др. На
10гк~==2г^~\ 1 1 Рис- 6.2 представлена зависи-
" мость отношения значения ReKp
па шероховатой поверхности к
Яекр/(Г1екр)0
0,8
0,6
Ofi
0,2
0
Рис. i
1(7
Vj
М-3,65
J 4 h/в*
■ i.i.ih.v ,,id].4'\;4i;j -,л ten
на ReKp при различных числах М
на теплоизолированной пластине
Рис. 6.3. Ь.тяние М на КеКр на
гадкой теплоизолированной пластине
151

/,
л
/?
4
\\
^
**.
0,2 О,U 0,6 0,8 Tw/Te
Рис. 6.5. Влияние охлаждения и
шероховатости на ReKp:
/ — гладкая поверхность; 2 — h =
— 0,025 мм; 3 — Л = 0,05 мм; 4 — h = -
значению (Re„p)0 на гладкой по- =~ °'075 мм
верхности от /г/6* для случая
течения на плоской пластине без теплообмена. Результаты для
различных форм шероховатости и различных (ReKp)0 для каждого
М укладываются па одну кривую. Как видно, с увеличением
М влияние шероховатости ослабевает, что может быть объяснено
уменьшением плотности газа у стенки.
Влияние числа М на значение ReKp при отсутствии теплообмена
недостаточно ясно. Из экспериментов (рис. 6.3) получено
уменьшение ReKp при возрастании М до 3,5 и затем медленное увеличение
при М --- 5. Однако это может быть объяснено также изменением
условий опыта при возрастании М.
Общее влияние теплообмена на момент перехода ламинарного
течения в турбулентное такое, что на охлажденной стенке (Tw/Tc <
< 1) значение ReKp увеличивается, а на нагретой (TJTe > 1) —
уменьшается. Примерный характер зависимости, предсказываемый
теорией и согласующийся с экспериментами на гладкой
поверхности, представлен на рис. 6.4.
Характер зависимости ReKp от Tw/Te резко изменяется на
шероховатой поверхности, что видно, например, из рис. 6.5, где
приведены экспериментальные данные по определению ReKp на конусе
с углом при вершине 10° при различной шероховатости.
Существование режимов обратного влияния охлаждения, когда ReKp
уменьшается при снижении Тш/Те, может быть качественно
объяснено тем, что при сильном охлаждении пограничный слой утонь-
шается и влияние шероховатости проявляется сильнее.
Исследования в потоках с продольными градиентами давления
обнаруживают общую тенденцию стабилизации ламинарного
режима в ускоряющихся течениях и, соответственно, ранней турбулиза-
ции в замедляющихся.
Экспериментальное определение точки перехода ламинарного
течения в турбулентное в аэродинамических трубах затруднено
влиянием начальной турбулентности, которая, однако, ослабевает
при больших М. Приведенные данные могут быть использованы
152
*е*р/(*е*р)а
0
1
0,8
1,0
Ь2-
У,.,
Рис. 6.4. Влияние теплообмена на
ReKp на гладкой пластине

как ориентировочные. В практических случаях, когда положение
точки перехода из ламинарного в турбулентное течение не ясно,
расчег теплообмена проводится для обоих режимов и используются
re значения козфрициентов теплоотдачи, которые обеспечивают
необходимый запас работоспособности конструкции.
6.3. ОСРЕДНЕННОЕ И ПУЛЬСАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЯ
Исследования турбулентного потока показывают, что
в каждой фиксированной точке скорость, давление и темпера) ура
не остаются постоянными но времени, а очень часто изменяются и
притом неравномерно. Такие изменения скорости, давления и
температуры называются пульсациями и являются наиболее
характерным свойством турбулентного течения. Элементы жидкости,
пульсирующие в потоке, представляют собой крупные
макроскопические образования жидкие комки, или моли.
Значения пульсаций составляют, как правило, всего несколько
процентов от средних значений скорости, но очень сильно влияют
на развитие течения жидкости. Пульсационное движение,
накладывающееся на главное движение, настолько слож\о, что его
теоретический расчет пока не представляется возможным. Поэтому
закономерности развитого турбулентного течения приходится
определять для осредненных по времени величин.
Для математического исследовании течение делят на среднее
и пульсационное. Обозначим осредненные по времени значения
скорости й, v, давления р, температуры 7'*, а пульсапионные
соответственно — и', v', р', 7" (рис. 6.6). Тогда мгновенные значения
можно записать в виде и ■- и -j- и :
Т =-- Т + Г.
Осредненное значение продольно/
может быть определено как
1 с
и
составляющей
Ат
и at.
-- р fp ;
скорос-i и
(6.6)
Чтобы осреднение не зависело от времени, необходимо для
осреднения брать достаточно большой интервал времени т. Точно
так.-к^- определяются средние значения в<-ех параметров потока
^г^A^^/v^^ww\fr■лAw\^^
in
Рис. г.
5ИД
a MJ'c i рпммы гтульсапки npi
"остапляюшл-й скорости
153

Средние значения скорости, давления, температуры
представляют собой величины, измеряемые с помощью инерционных
датчиков. Средние значения пульсационных составляющих равны
нулю: «' = 0; v' =0; р ' = 0; Т' -- 0. Точно также равны нулю
средние значения произведений типа йи' = 0; vv' = 0; рр' = 0.
Средние значения произведений пульсационных составляющих
в турбулентном потоке могут быть не равны нулю: u'v' Ф 0,
(и')2 ф 0, v'T' Ф 0. В таком случае говорят, что между
пульсациями существует корреляция. Появление в турбулентном потоке
дополнительного механизма передачи импульса и энергии, как
это будет показано ниже, связано с существованием корреляции
между пульсациями.
6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЯЗКОСТЬ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим физическую картину появления
дополнительных (кажущихся) вязкости и теплопроводности в
турбулентном потоке.
Пусть в пограничном слое распределения скорости и
температуры заданы некоторыми функциями от координаты у : и = и (у),
f = Г (у) (рис. 6.7).
Рассмотрим единичную площадку с нормалью, параллельной
оси у. Через эту площадку протекает масса газа m = pv.
Перетеканию жидкости соответствует некоторый поток импульса.
Составляющая этого потока вдоль оси х
lx = mu = pvu. (6.7)
Будем рассматривать пульсацию потока массы вдоль оси у —
— m' = (pv)', не выделяя отдельно пульсации плотности и
скорости. При наличии пульсации
К = \Щ + И'1 (й + и!) - тй + ти + (т)' й + (т)' и'. (6.8)
После осреднения за достаточный промежуток времени
получим
I* = ти -\- (т)' и' — pvu -\- (pv)' и', (6.9)
так как второй и третий члены в выражении (6.8) после
осреднения равны нулю.
Если второй член в выражении (6.9) не равен нулю, то при
наличии пульсаций появляется дополнительный перенос
импульса, равный (pv)' и'. Но поток количества движения через
некоторую площадку эквивалентен противоположно направленной
силе, с которой окружающая среда действует на площадку. Сле--~
довательно, при наличии пульсаций (турбулентности) возникает
154

Рис. 6.7. Схемы определения
турбулентной вязкости и
теплопроводности
Рис. 6.8. Схема определения пути
перемешивания
дополнительное воздействие — напряжение трения между
верхней и нижней частями потока: тт = —(pv)' и'.
Аналогично можно показать, что при наличии пульсаций
поток тепла через единичную площадку
q = pvcpT + (pv)'cpT' (6.10)
и что в турбулентном потоке возникает дополнительный перенос
энергии
qT = (pv)' cpT'. (6.11)
Легко убедиться, что значения тт и ^т не равны нулю. Частицы
жидкости, попадающие вследствие поперечного движения в слой у
снизу lm' = (pv)' > 0] из области с меньшей средней скоростью й,
вызывают в слое у отрицательную пульсацию (—и'), так что
произведение (pv)' и' < 0. Точно таким же рассуждением можно
показать, что и для частиц, проникших в слой у сверху, (pv)' и' <
< 0. Следовательно, и среднее значение (pv)' и' < 0. Отсюда
получаем, что тт =—(pv)' и' > 0, т. е. напряжение турбулентного
трения при распределении скорости (рис. 6.8) имеет направление,
совпадающее с положительным направлением оси х. Аналогично
получаем, что при распределении температуры (см. рис. 6.7)
7т — (PVY срТ' < 0, т. е. турбулентный поток направлен от
слоев с большей температурой к слоям с меньшей температурой.
Используя эти результаты, можно ввести понятия турбулентной
вязкости jj,t и теплопроводности А.т. По аналогии с ламинарным
течением
тт = — (pv)' и' -=-- |хт ~; (6.12)
9т = (pv)' cpT' = —к
dT
т dy
(6.13)
С учетом молекулярной вязкости и теплопроводности
напряжение трения и удельный тепловой поток могут быть
представлены в виде
т = (ц + цт)
du ш
dy ;
(Я + Ят)
dT
dy •
(6.14)
155

Выражения для тт и qT (6.12), (6.13) могут быть строго
получены на основании осреднения уравнений Навье — Стокса и
энергии.
Уравнения турбулентного пограничного слоя относительно
средних величин получают вид, совпадающий с видом уравнений
ламинарного слоя, только вмести молекулярной вязкости и
теплопроводности в них 1*,одят полная вязкость и теплопроводность
в соответствии с выражениями (6.14):
-к^ + ту
— дй — дй д
" дх ' ^ ду ду
дТ . — дТ
Р 1Г + Р°Ср-ду-
г(рс) = 0;
& + Ъ)1у-]—Ж'>
£[> + *.>f-] +
(6.15)
(6.16)
+ & + **)(%)*+*■&• (6-17)
Наряду с числом Рг = \лср1Х иногда используется
турбулентное число Прандтля Ргт = |д,тср/Хт и смешанное число Прандтля
Рг™ = ~(хТкГ- (6Л8)
Уравнения (6.15) ... (6.17) с учетом выражения (6.14)
называются уравнениями Рейнольдса и описывают турбулентный
поток. Однако они не замкнуты, ибо в них число неизвестных
превышает число уравнений. Чтобы получить некоторые
приближенные решения этих уравнений, в практических случаях
прибегают к дополнительным допущениям и гипотезам.
6.5. ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Формулы (6.12) и (6.13) для определения
турбулентного трения и турбулентной теплопроводности не могут быть
непосредственно использованы, поскольку в них входят
неизвестные значения пульсационных составляющих. Следующий шаг
в их решении состоит в выражении пульсаций через средние
значения. С этой целью Прандтлем была предложена идея теории
пути перемешивания.
Рассмотрим в параллельном потоке два слоя жидкости на
расстоянии Ау (см. рис. 6.8). Скорости в этих слоях различны,
и из-за пульсаций происходит обмен количествами движения
между отдельными струйками. Теория пути перемешивания
основывается на предположении, что комок жидкости,
перемещающийся из-за пульсации из одного слоя в другой, сохраняет
составляющую импульса в направлении оси на некотором
расстоянии, названном путем перемешивания. Обозначим эту
величину через /. Если расстояние между слоями (см. рис.68.) вы-
156

брано так, что At/ = /, то частицы, поступающие из нижнего слоя
в верхний, сохраняют горизонтальную составляющую
скорости u.t.
Разность между средней скоростью потока в точке г/2 и
мгновенной скоростью поступивших частиц из нижнего слоя дает
пульсацию скорости в этом месте и' = Ай = й2 (у.2) — й1 ((/,),
но если / мало, то А« = / (дй/ду). Таким образом, величина
пульсации и' = / (дй/ду).
Пульсации в поперечном направлении связаны с пульсациями
в продольном направлении. При столкновении двух комков
жидкости, движущихся со скоростями, отличающимися на величину
пульсации, возникает поперечное движение, интенсивность
которого будет пропорциональна пульсации и', поэтому можно считать,
что пульсация потока массы по оси у
т' = (ро)' ~ ри .
Окончательно с точностью до некоторого коэффициента
пропорциональности, который можно включить в /, получаем
формулы:
для турбулентного напряжения трения
дй
тт = —(pv)' и' = р/2
и для турбулентной вязкости
Цт = pi2
ду
дй
ду
(6.19)
(6.20)
Такие же рассуждения могут быть использованы при
рассмотрении переноса любой величины и, в частности, для переноса
тепла. При этом выражение (6.13) принимает вид
qT = (pv ) срТ = —Cppl
| ди
I ду
дТ
ду
К = Cpph
ди
~ду~
(6.21)
(6.22)
Значение /х может отличаться от /, и коэффициенты
турбулентного обмена при переносе импульсов и тепла не совпадают. В
функциях (6.20) и (6.21) вместо неизвестных значений пульсаций и'
и v' введены новые неизвестные / и 1г. Хотя эти величины не
являются физическими характеристиками жидкости, они могут
рассматриваться как функции точки. Во многих случаях удается
установить связи между характерными длинами в
рассматриваемом течении и длиной пути перемешивания. Эти связи можно
определить только из экспериментальных данных, поэтому
такого рода связи в теории турбулентности называются
полуэмпирическими.
Итак, необходимо указать, что теория пути перемешивания,
хотя является удачной схематизацией турбулентности, не
157

отражает ее истинной физической картины. В действительности
жидкие элементы при пульсациях проникают один внутрь другого
и смешиваются, и таким образом в процессе турбулентного
переноса эти элементы не сохраняют своей индивидуальности, а
непрерывно изменяются. Теория пути перемешивания имеет и другие
недостатки. Так, например, значения /, вычисленные из измерения
средних скоростей в трубах, имеют тот же порядок величин, что
и размеры среднего потока, в то время как при выводе формулы
6.19) предполагалось, что эта величина мала. Тем не менее,
теория пути перемешивания во многих случаях удачно
предсказывает распределение скорости и температуры в турбулентных
потоках и имеет ряд практических приложений.
6.6. СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
Для расчета турбулентного пограничного слоя большое
значение имеют данные о распределениях скорости и температуры.
При турбулентном режиме течения общее напряжение трения
складывается из напряжения трения, вызванного молекулярной
и турбулентной вязкостью (далее знак осреднения опускаем):
T = 0i + |iT)-f- (6.23)
На большом расстоянии от стенки величина турбулентной
вязкости намного превышает величину молекулярной вязкости.
Область пограничного слоя, в которой можно пренебречь
молекулярной вязкостью, называется турбулентным ядром (рис. 6.9).
Вблизи стенки турбулентные пульсации затухают, и
молекулярная вязкость играет решающую роль. Эта часть
пограничного слоя называется ламинарным подслоем. 1Чежду ними
находится переходная область, в которой величины молекулярной
н турбулентной вязкостей одного порядка.
Для описания распределения скорости и температуры
используются методы теории подобия. Если ограничиться рассмотрением
области турбулентного пограничного слоя, не слишком удаленной
от стенки, то в число физических
параметров, определяющих течение в этой
области в несжимаемой жидкости, вой-
Дут тш, р, \х,, координата у и
подлежащая определению величина скорости и.
Составляя безразмерные комплексы,
получим безразмерную скорость и/У xjp
и безразмерное расстояние yl^xjplv.
,. е „ _, л Величину VxJo, имеющую раз-
Рис. 6.9. Турбулентное ядро J ' ' ' J r
(I) течения и ламинарный мерность скорости, обозначают их и
подслой (II) называют скоростью сдвига. Тогда рас-
158

и/ит
0 1 г з ig(yux)/i
Рис. 6.10. Универсальное распределение скорости в турбулентном пограничном
слое на гладкой поверхности (закон стенки):
О. А — экспериментальные точки
пределение скорости в рассматриваемой области может быть
представлено в виде универсальной функциональной зависимости, не
связанной с Re:
"/"т = / (уЧхМ- (6-24)
Эта важная зависимость называется законом стенки.
Как показывают эксперименты (рис. 6.10), формула (6.24)
применима на значительных расстояниях от стенки как в случае
течений на пластине, так и в случае течений с градиентом
давления.
Непосредственно у стенки в ламинарном подслое
тш = ци/у,
и формула (6.4) имеет вид
и/их — yujv. (6.25)
Рассмотрим турбулентное ядро пограничного слоя. В этой
области пограничного слоя из-за турбулентного трения скорость
уменьшается по сравнению со скоростью внешнего потока на
величину (Uj — и). Это уменьшение есть результат действия
касательного напряжения трения. Масштабом скорости в этом случае
будет их = У Тщ/р, масштабом длины — толщина слоя б.
Безразмерную зависимость можно представить в виде
(и, — и)1ич = g (у/б). (6.26)
Эта зависимость называется законом убывания скорости и
выражает собой универсальный закон, хорошо подтверждающийся
экспериментами. Интересно отметить, что при обработке
результатов опытов в формуле (6.26) на единственную кривую
укладываются экспериментальные данные не только для гладких, но
и для шероховатых поверхностей, хотя распределения скорости
в обычных координатах при этом значительно различаются.
159

(ura)/u.
15
to
о
I 1 1 ^Hfm ^^
-is
-1
-0,5 0 lgy/6
Как видно из рис. 6.10 и 6.11,
функции f (ylujv) и g (у/Ь)
являются логарифмическими. Можно
показать, что логарифмический
вид функций / и g непосредственно
вытекает из условия, что
различные по виду формулы (6.24) и
(6.26) описывают одно и то же
распределение скорости.
Такой же закон может быть
получен из формулы Прандтля
(6.19):
т-Р/2(^")2- (6-2?)
Путь перемешивания / у
стенки должен быть равен нулю
и в первом приближении может быть принят пропорциональным
расстоянию от стенки / = Ку, где К — безразмерная постоянная,
которая должна быть определена из опыта. Далее предположим,
что т поперек слоя постоянно, т. е. т -— тш, тогда уравнение (6.27)
du lAWP "т „ " _ 1
— — -77 И ' ~ -
Рис. 6.11. Распррделение скорости
в турбулентном слое на гладких н
шероховатых поверхностях (закон
убывания скорости):
О, Д — экспериментальные точки
приводится к виду -т—
Кь
К
In у -4- С, или
в безразмерном виде при использовании в качестве масштаба длины
, U 1 , УТТ , „ 1 , Ux 1
величину v/uT — '"
и
Ux
■In
С-
1 , их
К v
Л V
+ С,.
К v
Полученное распределение скорости зависит от двух
постоянных.
Экспериментальные точки (см. рис. 6.10) хорошо согласуются
с формулой (при переходе к десятичным логарифмам)
уи%
— = 5,6 lg
4,9.
(6.28)
Отличие заметно только в ламинарном подслое при yux!v <; 10,
где справедлива зависимость (6.25).
При рассмотрении распределения температуры получаем
аналогично распределению скорости, что в области, не слишком
удаленной от стенки, в число определяющих параметров войдут
тш, р, и и тепловые величины: температура стенки Тш,
теплопроводность %, удельный тепловой поток в стенку qw и
теплоемкость ср.
В качестве масштаба скоростей и длин можно взять по-преж-
— и ——.
Масштаб температуры представим в виде
гр Qw Qw "I / *%»
Т ~ РСр"т ~~ СрТш V р •
(6.29)
160

Рис. 6.12. Степенные закны
распределения скорости
Тогда для распределения
избыточной температуры можно
записать безразмерную зависимость
-Z^L = /i(-f^, Pr). (6.30)
у/6
0,8
О Л
О
м=о
Hf
М=9,07
1 1
Ш"
/
/
0А 0,8
1,2 О
0,4 0,8 и/и,
В непосредственной близости от стенки в ламинарном подслое
<7ю = А,
дТ
ду
Т-Т„
или с учетом уравнения (6.29)
Т-Т„
= -^-Рг.
v
(6.31)
Распределение температуры в турбулентном ядре при
значениях Pr ~ 1, что приближенно справедливо для газов, подобно
распределению скорости:
(Т - Тш)/Т, = и/их. (6.32)
Равенство (6.32) эквивалентно условию
Выражения для распределений скорости и температуры (6.28)
и (6.32) получены при условии р = const и \i = const. Однако
экспериментальные данные удовлетворительно согласуются с
логарифмическим профилем (6.28) и при сверхзвуковых скоростях.
При построении приближенных методов расчета для
аппроксимации экспериментальных данных используются так
называемые степенные законы (рис. 6.12): ulu-^ = (г//6)п; (Т — TW)/(T1 —
- Та) = (Sf/б,)"..
Логарифмические законы являются универсальными, и
константы в них не зависят от числа Re. Значения показателей п и пх
в степенных формулах зависят от Re (изменяясь от п = 1/7 до 1/9
при увеличении Re и уменьшаясь при больших М).
В сжимаемой жидкости эффективно применяются степенные
представления распределения скорости и температуры в пре-
у
образованных координатах т] = J pdy.
6.7. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Уравнения турбулентного пограничного слоя (6.15) ...
(6.17) совпадают по виду с уравнениями ламинарного слоя.
Поэтому многие результаты, полученные при исследовании лами-
161

r/r,
ToAt
,o"-rr0
—O—on
r/r, i 1 1 1 1 1 нарного течения, могут быть
jo zdr***19- no аналогии использованы при
создании методов расчета
турбулентного слоя.
При малых скоростях
теплообмен определяется
разностью температур qw = а (7\ —
— Тю). При больших скоростях
в пограничном слое происходит
выделение тепла в результате
диссипации кинетической
энергии и при работе сил давления
[второй и третий члены в
правой части уравнения (6.17)].
На рис. 6.13 показано
распределение статической
температуры и температуры торможения
газа в турбулентном
пограничном слое на охлажденной стенке
при (TJT01) =■- 0,57 и М - 6,8.
Как видно, статическая
температура при торможении в пограничном слое растет в силу
преобразования кинетической энергии в тепловую, достигая
максимального значения вблизи стенки в ламинарном подслое.
Непосредственно у стенки температура падает и qw > 0, так как
тепло идет в стенку, хотя температура стенки больше, чем
температура внешнего потока.
Для того чтобы учесть влияние этих факторов, формула для
расчета теплообмена записывается в виде
qw = а (Те - Tw), (6.33)
где Те = Г, + ги\/(2ср) — эффективная температура; г —
коэффициент восстановления температуры.
По определению Те совпадает со значением температуры
теплоизолированной стенки (qw — 0). В частном случае при малых
и 0,2 ОЛ 0,6 0,8 y/S
Рис. 6.13. Экспериментальное
распределение температуры и температуры
торможения в турбулентном
пограничном слое (М = 6,8; TjT01 = 0,57)
fe— I
Ml< 1, значение Те ~ 7\.
скоростях, если -х—•=- —
р ■* 1 "
Коэффициент восстановления температуры г в турбулентном
слое должен зависеть от характера преобразования энергии и от
соотношения между вязкостью и теплопроводностью в
ламинарном подслое и в турбулентном ядре. Поскольку соотношение
между толщиной ламинарного подслоя бх и толщиной всего
пограничного слоя 6 зависит от Re, то можно предполагать, что
г = / (Pr, PrT, Re); Pr = \icp/X, PrT = ц.терЛ,т.
Для экспериментального определения г проводятся измерения
температуры теплоизолированной стенки, равной Те:
"!/(%)
162

0,90'
"агспио.
1255£a£
тйгйпйпа-йта
?т~ШУ>
0,86
0,821
г.
-(0,71)
V2
W5 Ю6 Ю7 Re
Рис. 6.14. Зависимость коэффициента восстановления температуры от числа Re:
д, q — М, = 2,2; О — М, = 3,8
V<
1,г
1,0
0,98 -о'
0,96
Экспериментальные исследования показывают, что
коэффициент восстановления температуры практически зависит только
от молекулярного значения Рг.
Для расчета обычно применяется формула гт = Рг,/3, которая
удовлетворительно согласуется с экспериментом. В частности,
для воздуха (Рг = 0,71) г = 0,88
(рис. 6.14).
В теоретических работах,
основывающихся на уравнениях (6.15) ...
(6.17) и данных о структуре
пограничного слоя, удается учесть
влияние Re и Ргт, которое, однако,
невелико.
Величина г < 1 и Те < Г01, что
объясняется перераспределением
энергии внутри пограничного слоя.
Этот факт удалось подтвердить ЭКС- распределение температуры тор-
периментально. Из рис. 6.15 видно, можения в пограничном слое
что температура торможения в не- "'J^^TsT П°ВеРХ"
которой части пограничного слоя
на теплоизолированной стенке превышает температуру
торможения во внешнем потоке.
о 2 и 6 у, мм
Рис. 6.15. Экспериментальное
6.8. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ТЕПЛООБМЕН НА ПЛОСКОЙ
ПЛАСТИНЕ
6.8.1. Связь между трением и теплообменом
Подобие между процессами переноса количества
движения и энергии приводит так же, как и в случае ламинарного
движения, к связи между трением и теплообменом.
Уравнения турбулентного пограничного слоя по виду
совпадают с уравнениями ламинарного пограничного слоя. Если
принять условие (ц + цт) ср/(к+ Ят), то из системы (6.15) ... (6.17)
для случая течения на плоской пластине (dp/dx — 0) с помощью
преобразований, аналогичных преобразованиям в разд. 6.7 и 6.9,
можно получить условие подобия ц/ц1 = (7'0 — Tw)liT01 — Тш).
&* 163

На стенке при у = 0 qw = Я,№ (-^-) =0 = К [~^-
= fAt« (-3—) _ • После преобразований имеем
и в безразмерной форме, приняв / = х,
St= —С, или Nux = -£-С(Яех,
и т„, =
ic/
(6.34)
где
Кех —,
Nu =
<fo
('oi — 'w) л
Полученные условия (6.34), называемые условиями аналогии
Рейнольдса между трением и теплообменом, выполняются лишь
приближенно, поскольку значения Рг и Ргт отличны от единицы.
Поэтому в более общем виде аналогия между трением и
теплообменом записывается в виде
Nu =4-C,ReS, (6.35)
где Nu = _ qwT—г-; Те — определяется формулой (6.33); S —
фактор аналогии Рейнольдса.
В общем случае S = S (Рг, М, Re). Среднее значение S можно
приближенно принять равным Рг0-43.
Наличие соотношения (6.35) облегчает исследование
пограничного слоя. Следует иметь в виду, что оно справедливо только
при постоянной температуре стенки и при отсутствии продольного
градиента давления.
6.8.2. Теплообмен и трение в несжимаемой жидкости
Результаты экспериментальных исследований трения
на плоской пластине при малых скоростях (М = 0) и отсутствии
теплообмена представлены на рис. 6.16. Там же приведена теоре-
CfW1
^**fc-4
"^ч»
^**Ws^
^*«g
^*~V^
w
w<-
w
wl
Re
Рис. 6.16. Зависимость коэффипиеита трения от Re в несжимаемой жидкости
по экспериментальным данным различных авторов:
Cf = (2 lg Res =» -0.65)-2'3; ~ -«"*«"- ~0,2
164
- Ct
0,059 Re-

Nu-10~5
2~~У .^-1
тическая зависимость,
определенная при использовании
логарифмического закона (6.28),
Cf=,(2\gRex-0,65)~2-3.
(6.36)
Хорошие результаты дает
формула
C, = 0,085Re70'29+0,on?Re-
(6.37)
В диапазоне значений Re от
10е до Ш8 можно использовать
более простую формулу
Cf = 0,059 Re70,2. (6.38)
Обобщением экспериментальных
данных (рис. 6.17) установлена
зависимость для воздуха Nu =
изменения Re от 106 до 107.
Из сравнения с формулой (6.38) следует, что в этой области
изменения Re условие аналогии имеет вид
Nu =4-С^ежРг0'43.
Re
1
0,8
0,k
0,1
JO* 10s JO6
Рнс. 6.17. Экспериментальные
исследования теплообмена в
несжимаемой жидкости:
/ — нагревание воздуха; 2 —
нагревание воды
0,0296Re$,8Pr°'4S в диапазоне
6.8.3. Турбулентный теплообмен и трение
на пластине в сжимаемом газе
Влияние числа М на значение коэффициента трения
на пластине при отсутствии теплообмена видно из рис. 6.18,
где приведены экспериментальные значения Cf/Cf0 = f (М).
Значение Cf0 соответствует случаю М = 0 и определяется по одной
из формул (6.36) ... (6.38).
Результаты исследований различных авторов хорошо
согласуются между собой и дают возможность провести единую
аппроксимирующую зависимость, проверенную до значения М = 9:
Cf/Cf0 = (1 + г<о)-°-», (6.39)
где Сг
l/2Pi"i
— коэффициент трения при значениях М,
отличных от нуля, но при фиксированном значении Re; C/0 =
2т
= —~— коэффициент трения в несжимаемой жидкости; г~0,88.
Таким образом, поправка на влияние числа М практически
не зависит от Re. Как видно, с увеличением М коэффициент трения
на теплоизолированной поверхности падает, что связано с
уменьшением плотности у поверхности, которая имеет в этом случае
температуру Те = 7\ (1 + гш).
165

Cf/Cf0
0,8
0,6
0,U
0,2
Рис. 6.18. Экспериментальные исследования
трения в сверхзвуковом потоке (Tjbe = 1)
Если температура стенки Tw
меньше Те, то тепловой поток направлен
от газа к стенке. В этом случае
характер изменения физических свойств
газа в пограничном слое будет
другим и в формулу (6.39)
необходимо ввести поправку на влияние температурного фактора TJTX.
На основании анализа результатов экспериментальных
исследований в диапазоне М = 2 ... 5 предложена эмпирическая
формула в виде
м
Cf — С/о
при 105 < Re* < Ю8;
-^)-0'35(1+ЛСО)-0:
—0,55
(6.40)
Ct = 0,059 Re0'8 (Tw/Te)-°^(l + rco)-°'55.
(6.41)
Для практических целей удобно отнести параметры течения
к температуре поверхности, используя значения (Cf)w ~
~ 2тЕ,/(ршц12); Re„, = u^pwx/\xw. Если перейти к этим
обозначениям, то формула (6.41) для расчета коэффициента трения
может быть приведена к виду
(C,)w = 0,059 Re°w-s(Tw/Te)0A(l + rco
чО,11
(6.42)
Благодаря аналогии между трением и теплообменом можно
ожидать, что влияние сжимаемости на теплообмен может быть
учтено такими же множителями. Это предположение
подтверждается экспериментами по измерению теплообмена.
При отнесении физических свойств газа к температуре
поверхности эмпирическая формула получает вид, аналогичный Лоп-
муле (6.42): * к
Миш = 0,0296 Re°l8PrM3(7Vre)°'4(l +ra)0M. (6.43)
На рис. 6.19 и 6.20 представлены экспериментальные
результаты, подтверждающие формулу (6.43).
Nu„-W~3
Рис. 6.19. Зависимость Nu^ от числа М
на пластине (Tw « 1, Рг = 0,71):
Nu„
1 +г-
-^-мЛ0-11:
О — экспериментальные точки
166

Nuw-W3
7
6
5
и
7
б
5
\
в -3-
М=1,7
&£*£?fc3I?l
М=2,5
№—«
ЯЛ^Чь-
М=4
0,7
0,8 0,9 1,0 Tw/Te
Рис. 6.20. Зависимость Kuw от Тю/Те на пластине при различных М
6.8.4. Расчет теплообмена и трения на пластине
Для расчета теплообмена могут быть использованы
критериальные зависимости
0,8
NiWRe^ == Ф (Рг, Tw/Te, ©)
(C,)w Rel =-- Ф, (Ре, TjTt, со),
(6.44)
(6.45)
где п изменяется от 0,18 до 0,1 при изменении Re от 10б до 1010,
при Re -- 5-Ю5 ... 10s можно принять п ~ 0,2.
Эксперименты показывают, что условия Nu ~ Re0,8 и Q~
~ Re-"" являются общими для турбулентного пограничного слоя
на произвольной поверхности. Поэтому при расчете
турбулентного трения и теплообмена удобнее вместо критериев Re и Nu
использовать комплексные критерии подобия Nu/Re0,8 и QRe".
Расчетные формулы для пластины при этом будут иметь вид
Nu№ fC "i K'Z cp(Te~Tw)
Чи> р„0,8
Pr
r ~ 0,88;
0,8 0,2 1,8
Тш — -s- (yfjw кеш -^2
(при п = 0,2).
(6.46)
(6.47)
Формулу (6.44) можно привести к виду
NiWRe,
0,8
0,0296 Pru,M/C
(6.48)
Величина Д'т учитывает влияние сжимаемости. Приближенные
зависимости для Кг могут быть получены разными методами.
Из формулы (6.43) следует, что
Л'т = (7ш/7е)0.4(1+гш)о,..,
(6.49)
167

В методе определяющей температуры
tfT = fo(0>/M0-2(P(0>/P»)0"e, (6.50)
где ц<°> и р<°> вычисляются при некоторой подобранной
температуре
Т(0) = -L 7\ + 4 т" + Т ^Г~ гМ2Г1- (6-51)
называется определяющей.
При малой скорости потока и большом перепаде температур
(например при течении в окрестности передней критической
точки или в дозвуковой части сопла) хорошие результаты дает
формула
К, = (Рг/Р.)0'6, (6.52)
где рх — плотность вне пограничного слоя.
Обобщая формулы (6.49) и (6.52), получим выражение для
/Ст, удовлетворительно согласующееся с опытными данными как
при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях:
Кг = (TjT.)°-w** <~шг> (1 + cor)0'11. (6.53)
6.9. РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕПЛООБМЕНА
В ПОТОКЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ
Критериальные зависимости, полученные для
расчета теплообмена на пластине, могут быть использованы в расчете
теплообмена при произвольном распределении давления вне
пограничного слоя.
Рассмотрим метод эффективной длины для расчета
ламинарного слоя. В этом методе предполагается, что тепловой поток
в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в некоторой
точке на пластине с теми же местными параметрами течения, при
условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины
одинаковы толщины потери энергии. Это условие равносильно тому,
что на пластине длиной хэф или цилиндре радиусом R в случае
тела вращения будет отдано в стенку количество тепла такое же,
как на рассматриваемом теле на длине х.
При этом учитывается предыстория развития пограничного
слоя. Для того чтобы учесть влияние местного градиента
давления, можно ввести поправки в окончательную формулу. Течение
в турбулентном слое более устойчиво к воздействию перепадов
давлений, и указанные поправки необходимо вносить только при
положительных градиентах давления вблизи точки отрыва.
При указанных предположениях выражение для удельного
теплового потока имеет вид
_ Миш р£ЧУ£2 cP(Te-Tw)
Ч*> £.0.8 „0.2 рг
168
(6.54)

где ~^- = 0,0296 Pr0-43 AV, К? = К (~, мЛ находится по фор-
Re^,' Wo /
мулам (6.49) ... (6.52); Те = Т1[\ +г-^=^-М?); рШ) ц«, Гш—
значения параметров газа в данном сечении.
Для определения эффективной длины используем условие
баланса тепла.
На цилиндре радиусом R = const общее количество тепла,
ушедшее из пограничного слоя на длине хэф, Qw = 2nR J qwdxai>,
о
Подставляя qw из формулы (6.54) и интегрируя (при условии
цх = const, pi = const, pa, = const), получаем
Qw = 2,bnRqwx^. (6.55)
На рассматриваемом теле R = var на длине x отдано
количество тепла
X
Qw = 2л \Rqwdx, (6.56)
где R = R (x).
Сравнивая выражения (6.55) и (6.56), получаем
1,25/?дшдгэф = J Rqwdx.
После дифференцирования по х имеем
~(l,25Rqwx^)= Rqw. (6.57)
Подставим в выражение (6.57) значение qw из формулы (6.54)
и получим дифференциальное уравнение для определения хэф:
1,25 ~
dx
D NUm 0,8 0,8 0,2 0,8 СР (Те Tw)
А ' од Pw Ml И-ш л эф
0,8 г» "' Г» "ЭФ рг
0,8 0.8 0,2 (гр т \
D NUjj, Ри "l V-w cp\'e— ' w) ^ (R _
= * 7l! J2 p? ' (D'D^
кеш *эф
Обозначая выражение в квадратных скобках в левой части
через г, т. е.
г, Nuc» „0,8 0.8 0,2 0,8 СР (Te — Tw)
2 — R - 08 Рш ^1 Цш X р-р ,
и умножая правую и левую части на г1/4, получаем
5 ,1/4 rfz
4 dx
169
^г./4 - =;W>

где
.5/4/ NUW \э/4 1'4 / Г,, — Tw V5''4 5/4
/(*)-* hrinr p^w*
Re0,8 гш-1Гш ^ pr
(6.59)
J #5/4pto"l d-Y
Cp \1 e * w)
известная функция от х.
После интегрирования получаем окончательно
х
\ R™ (Nu^/Re»-8)5'* pwu^ [{Te - T^/Prf* c^ dx
Хэф " R^ (KujR^f* ,V«l(xL4 l(Te - 7^/Pr]5'l Cf
Формула (6.59) справедлива при переменной температуре
стенки. Если Тш -■= const, то можно пользоваться более простой
приближенной формулой
х
Rb'ipK,uxdx
Хэф = -5—574 • (6-60)
Подставляя равенство (6.60) в выражение (6.54), получаем
следующую формулу для определения qw:
-0,2
qw = 0,0296 РГ^ЧгрлЯ"V»5
- 0,0296 Pr"0'57 KtPwUicp (Te - T.J) Re-ф0-2, (6.61)
X
где Re.,* =■= —гг— I #5/ЧРю"1 dx — среднее значение Рейнольдса.
R ' >ш J
Таким образом, расчет производится по формуле для плоской
пластины, только вместо истинного числа Рейнольдса
подставляется некоторое эффективное число Рейнольдса Кеэф.
Для плоской пластины достаточно положить R -- const и
после сокращения формула (6.60) не отличается от
соответствующей формулы для ламинарного течения.
6.10. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ
6.10.1. Распределение скорости
вне пограничного слоя
1. Плоская пластина («х = const, R = const).
Из формулы (6.60) имеем в этом случае очевидный результат хщ = х.
Теплообмен рассчитывается непосредственно по формуле (6.4G).
2. Конус, обтекаемый сверхзвуковым потоком без угла атаки.
цх = const; pi = const; pw = const; R — x sin 6%, где 0/<c — полуугол
при вершине конуса;
х
x5'4(SineK)5/idx
r _0 4
ЭФ ~" 5/4 , ■ n ,5 4 = ~TT x-
x ' (sin вк) ■ 9
170

Как и в случае ламинарного течения эффективная длина на конусе
значительно меньше, чем на пластине.
Из формулы (6.54) следует, что тепловой поток ча конусе при тех же
значениях параметров течения идеальной жидкости больше, чем на пластине: (qw)x =
= (<?ш)пл^''4)0'2 = 1,175 (<?ш)„л, где (<?ш)Пл определяется по формуле (6.46).
Физическое объяснение этому состоит в том, что линии потока при удалении от
вершины расходятся и нарастание пограничного слоя происходит медленнее.
3. Течение в окрестности передней критической точки (см. рис. 6.15).
Для плоского тела:
R = const; М] ~ 0; их — $х;
р ~ const; pw ~ const;
х
[ p.* dx
x^ = J~jr"^-Tx- (662)
Подставляя в выражение (6.54) и используя формулу (6.52), получаем
расчетную формулу в виде
qw = 0,034 Pr-°.«Pa,«iCp (TM - Тт) (P-*2/^)"0'2 (Рх/Рш)0'6, (6.63)
где
\ дх /х^о
Для осесимметричного тела:
Mj ж 0; Uj » (3.*; р2 » const; рш« const; Ядах;
(6.64)
3*9/4d*
4
qw = 0,0375 Pr-°.5'Pffi,UlCp (T01 - Tw) (px'/v»)-6'1 (Pi/Рш)0'6- (6.65)
При использовании формул (6.63) и (6.65) необходимо иметь в виду, что они
справедливы только в окрестности критической точки, где можно пренебречь
изменением pw в зависимости от х. Для сферического или цилиндрического
затупления по формуле (5.124)
где а„р — критическая скорость звука; аа —• скорость звука в заторможенном
газе; С2 = g- —£±j^L. ; С2 да (1 — Рн/Poi); Я„ — радиус сферы или
цилиндра.
Тогда формула для расчета теплообмена в точке поверхности затупления
с координатой х = xlRa имеет вид
Ъ = АРг'лМ^Ыр {Tn-Tj (-^)°'6(с l/4)°'8, (6.66)
где А = 0,034 для плоского и Л = 0,0375 для осесимметричного течений.
При увеличении радиуса затупления тепловой поток в сходственных точках
тела уменьшается обратно пропорционально У R0.
Непосредственно в критической точке турбулентный тепловой поток равен
нулю. Это связано с тем, что на границе пограничного слоя скорость равна нулю.
Ламинарный тепловой поток в этой точке сохраняет конечное значение.
171

Введя безразмерные критерии
9ш Ra
Niw, =
и Rea
OgPwRo
можно (при С0,8 == 1) привести формулу (6.66) к виду
Num/R^S-APt0-*3*0*^
(о.в (2/й)о,4>
6.10.2. Примеры расчета при различных законах
распределения скорости
Турбулентный пограничный слой на лобовой поверхности
затупленного тела. Рассмотрим в качестве примера расчет теплообмена на сферическом
и плоском затуплениях осесимметричного тела. Распределение давления на таких
телах задается из газодинамического расчета или экспериментов. Изменение
скорости определяется по формулам изоэнтропийного течения, изменение
плотности — по формуле Рш/рао = Pi/poi- Тогда безразмерная формула может быть
получена в виде
NU;
two
Re°b8Pr°-«tf
-»»(■£)"&)"(■%■)
-0.2
На рис. 6.21 и 6.22 представлены расчетные зависимости для сферического
и плоского торцов. Для сравнения с соответствующими ламинарными тепловыми
потоками на рис. 6.23 приведены распределения коэффициентов теплоотдачи при
турбулентном и ламинарном режимах для двух значений числа Рейнольдса иа
каждом режиме.
Как видно, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентный тепловой поток
снижается сильнее, чем ламинарный. Расчеты показывают, что при значении
Рчешо ~ 1,5-105 максимальные значения коэффициентов теплоотдачи при
ламинарном и турбулентном режимах течения примерно равны. При этом
устанавливается ламинарный режим на всей поверхности. Из опытов следует, что значение
при переходе ламинарного слоя в турбулентный равно на гладкой поверхности
примерно 5-106.
Турбулентный пограничный слой в сопле. Расчет теплообмена в
сверхзвуковом сопле при заданном распределении давления ничем не отличается от расчета
теплообмена вдоль образующей тела при внешнем обтекании и может быть сделан
по формулам (6.54) и (6.59) или (6.60).
При использовании этих формул возникает вопрос о начале расчета. В
ресивере или камере сгорания двигателя газ движется с относительно низкой средней
P,/Pcr. Nuw,/(Rei;Рг'--%)
0,5
0,02
0,01
0
MPoi
^fe
Pt/P,
I, Of 1,0
'or NuW0/(Re
,Pre-"3)
0,5
0,5
1,0
1,5 Х/Я,
-0,02
0,01
*- о
dbi''
1
Pt/Poi
0,25 0,5 0,75 K/R0
Рис. 6.21. Распределение давления и
коэффициента теплоотдачи вдоль
образующей сферического затупления при
турбулентном режиме
Рис. 6.22. Распределение давления и
коэффициента теплоотдачи вдоль
образующей плоского затупления при
турбулентном режиме
172

Рис. 6.23. Сравнение коэффициентов
теплоотдачи на сфере при ламинарном
(/) и турбулентном (2) режимах
течения:
8- 10';
1,3. 10'
f.Sx/fi,
скоростью. Около задней стенки
обычно образуется несколько вихревых
зон и пограничный слой сразу имеет
некоторую конечную толщину.
Значения коэффициентов теплоотдачи в
самой камере сильно зависят от условий
подачи в нее газа или горючей смеси и должны определяться
экспериментальным путем. Расчет теплообмена в камере сгорания осложняется еще тем,
что температура торможения по длине камеры растет вследствие подвода
тепла при горении. Расчетные зависимости для разных случаев
рассматриваются в специальных курсах и могут быть представлены в виде
„ 0,8 р 0.43Д-
При расчете камер сгорания ЖРД используют в качестве характерной
температуры среднюю температуру 7" = Tcp={Tw~\- Т{)/2. Тогда Кт = (р /рш) '8 X
X (ц'/ца,)".2. Значение А "~ 0,026.
При приближении к соплу течение стабилизируется и здесь пригодна
формула (6.54).
Для камер двигателей можно приближенно принять, что слой
стабилизируется на расстоянии от входа в сопло порядка радиуса камеры RK. Тогда в
начале сопла (при х — х0) Хдфо ~ RK (Рис- 6.24).
Внутри сопла
*эф :
*Эф 0 '
(рц)ы1^5/4)н , *,
} РшМ574
dx
Формула для расчета теплообмена
Рш^Я
5/4
0,2
qw = 0,0296 Pr-о.Ь' Кт -^~~ сР
Рг
где
Кт = (Tw/T„)0-*+0-3*xv (-rffl) (I + aw}
ОЛЬ
Те ==
Г„
(1+со)
(1 + cor);
-Mjl
r = 0,S
(6.67)
(6.68)
На рис. 6.25 представлены результаты расчета распределения давления
pjpm по длине сопла (см. рис. 6.24) при k = 1,4 и распределения комплекса
Nu„
(Re™,)""» PrM3*r '
где
Nu„,„
aRKl
Ke^m —-
ЯоРшо^нр
173

Pr/Pat ^щ/(^0Рг°'"3Хт)
1,0
Рис. 6.24. Схема профиля свррхзвуко-
вого сопла
0,5
Рис. 6:25. Распределение давления и
коэффициентов теплообмена по длине
сопла хЭф
Преобразуя формулу (6.68), получаем
,0,8
Re°08Pr°^r
0,0296
Ро
*:>ф
ReKp I
-0,2
Влияние химических реакций на теплообмен изложено в гл. VII.
6.10.3. Обобщение экспериментальных данных
Формула (6.54) может быть использована для обобщения
экспериментальных данных и уточнения значения Кт на основании экспериментов,
проведенных в различных случаях, в виде
(Ыиш)эф = 0,0296* r (Re°'8)34, Рг0'43, (6.69)
где
(Ыиш)Эф = Сбл;ЭфДш; (Кеш)Эф = "гРш^эф/^ш-
Если на каком-либо теле с произвольным распределением давления
измерено распределение тепловых потоков, то эффективная длина определяется из
формулы (6.55):
*эф — о сп Для осесимметричного течения;
2,5nRqa
где
*эф '
Qu
,25qu
■для плоского течения,
Qw = J Яш dF
(6.70)
(Nu*l
М_
№%(Г+гш)*»
суммарное количество тепла, отданное в стенки на расстоянии от критической
точки до рассматриваемого сечения. В случае плоского течения берется
полоса поверхности единичной
ширины.
При известном значении хЛф из
экспериментов можно уточнить
значение Кт в формуле (6.69). Если
измерения qw проводились только в одной
Рис. 6.26. Обобщенная
экспериментальная зависимость коэффициента
теплоотдачи от температуры при
использовании х0ф (для пластины
и конуса при М = 2,5 ... 4,5 и для
сопла при М = 6 ... 10)
0,0 it
0,02
0,01
0,1
0,2
ол 0,6 т„/те
174

точке и суммарный тепловой поток в стенке ие может быть найден нз
формулы (6.70) тохЭф можно определять по формуле (С.59), задаваясь видом
зависимости Кт от М и Tw/Te.
Далее значение Л'г уточняется из эксперимента и формулы (6.69). Вносимая
погрешность из-за возможной ошибки в определении ,г;,ф будет незначительна,
так как значение х',,ф входит в формулу в степени одной пятой.
На рис. G.2G представлены результаты измерений теплообмена на различных
телах при различных отношениях Tw/Te.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие основные особенности турбулентных течений Вы знаете?
2. Что такое корреляции пульсаций, и почему uv --/= 0?
3. Объясните природу возникновения дополнительных переносов импульса
и тепла в турбулентном пограничном слое?
4. Как рассчитывается дополнительная турбулентная вязкость, и что такое
длина пути перемешивания?
5. Опишите структуру турбулентного пограничного слоя.
6. Как рассчитывается турбулентный теплообмен па плоской пластине и на
теле произвольной формы?

ГЛАВА VII
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ХИМИЧЕСКИХ
РЕАКЦИЯХ
7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При высоких температурах газа, например в камерах сгорания
реактивных двигателей и вблизи поверхности тел, движущихся в атмосфере с
большими скоростями, течение в пограничном слое сопровождается химическими
реакциями. Если поверхность непроницаемая и химически не взаимодействует
с газом внешнего потока, то химические реакции могут протекать в виде
диссоциации и рекомбинации газа. Химические реакции происходят также в случае
подачи в пограничный слой через проницаемую поверхность веществ, способных
вступать в реакцию с газом внешнего потока. В ряде случаев при высоких
температурах и больших тепловых потоках возможно разрушение поверхности тела
или специального теплозащитного покрытия, нанесенного на поверхность. Это
может быть плавление, сублимация или горение поверхности. Частицы
разрушенной поверхности могут вступать в химические реакции между собой и с газом
внешнего потока.
При температурах газа (10—15)-103 К, что соответствует, например,
условиям в лобовой точке тела при скоростях потока 10—15 км/с, возможна также
частичная ионизация газа, в результате чего в потоке кроме нейтральных частиц
появляются ионы в электроны.
При наличии химических реакций в пограничном слое необходимо
учитывать дополнительное выделение и поглощение тепла внутри слоя. В этих случаях
кроме совокупности уравнений пограничного слоя нужно рассматривать
уравнения, определяющие условия протекания химических реакций. Рассматривая
движение смеси газов в целом, нужно иметь в виду, что физические параметры
смеси р, fi, X, D, ср будут зависеть от состава, давления и температуры смеси.
Определение этих параметров (особенно характеризующих переносные свойства
газовых смесей) связано с некоторыми предположениями, которые делаются
заданием потенциалов взаимодействия при столкновении частиц различных типов.
Ряд предположений приходится делать при задании кинетики химических
реакций. Поэтому расчеты (даже в случае ламинарного режима течения в пограничном
слое) должны обязательно сопоставляться с экспериментальными данными. Кроме
того, при высоких температурах появляется еще выделение и поглощение тепла
путем излучения. Влияние излучения в воздухе растет при увеличении
температуры и особенно существенно при скоростях полета более 10 км/с. Во многих
случаях влияние излучения на конвективный теплообмен невелико, при этом
лучистый и конвективный потоки могут рассчитываться независимо. В главе
весь анализ приводится для ламинарного пограничного слоя, однако полученные
выводы могут использоваться и для расчета турбулентного пограничного слоя.
7.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассматривая теплообмен с химическими реакциями,
мы будем иметь дело с газовыми смесями, состоящими из N
компонентов, отличающихся по своим физическим свойствам. Введем
некоторые определения, характеризующие течение смеси газов.
Обозначим через nt полное количество частиц t-ro компонента,
находящихся в элементарном единичном объеме вблизи точки
176

с координатами (х, у, г) в момент времени t. Полное количество
частиц всех компонентов в единице объема
л=£л,. (7.1)
Введем еще обозначения. Если mj — масса частицы /-го
компонента, то плотность t-ro компонента
р( = ntmt. (7.2)
Очевидно, что плотность газовой смеси
Р = S Р» = -S "г"1»- (7-3)
; i
•*•
Пусть Vt — средняя скорость частиц i-ro компонента, тогда
средняя массовая" скорость смеси определяется по формуле
?~т2р'^- {7-4)
Диффузионная скорость t-ro компонента
v = Vt - V. (7.5)
Для парциального давления t-ro компонента pt справедливо
уравнение состояния
Л--Й-ЛГ, (7.6)
где Mt — молекулярная масса t-ro компонента; R —
универсальная газовая постоянная (R = 8,3 Дж/(моль • К)).
По закону Дальтона давление смеси
Р=Ел. (7-7)
Введем понятия массовой концентрации i-ro компонента
Ct = p(/p, (7.8)
объемной (или мольной) концентрации t-ro компонента
*i = Рх'Р- (7-9)
Из выражения (7.3) следует, что
N '
£^ = 1, (7.10)
а из (7.7)
Е*, = 1. (7Л1)
177

Используя уравнения (7.6). (7.7) и (7.8), получаем уравнение
состояния для смеси
Р - VRT У ±;
R ■ п.
(7.12)
где .Vfv
N
> -~ J средняя (кажущаяся) молекулярная масса
■ i i
смеси.
Из уравнении (7.7) и (7.12) можно выразить объемную
концентрацию Л'; чере? массовую С;
P. u.RTAL. (с Л1„ Л1,- Г-/И-
(7.\:\)
Из уравнении (/.13) получаем еще одно выражение для средней
молекулярной массы
-Их-- Ц xtMt. (7.14)
Значение Ct через .vf может быть определено по формуле
x,-\U .y,-U,-
С,
Л),.
(7.15)
Неоднородность полей макроскопических величин (Г, 7',
С,-. /) и т. д.) является причиной молекулярного перенога и сазе
количества движения, эперпш, массы и т. п. Введем понятие
вектора плотности потока некоторой физической величины.
Физическим смысл ее состоит г. том, чт составляющая потока в любом
направлении равна количеству приветствующей «величины-),
проходящему в единицу времени через единицу нлошадп
поверхности, нормальной к этому направлению.
При определении * по гока количества движения и энеппм!
необходимо ннапне кочффппненюв вязкости н теплопроводности
газовой смеси и н )..
Для смеси газов можно использовать приближенные формулы:
М
V.CL
0,5
V -
V (Xi,\,)
(7.16)
(7.17)
где иг. ?.г — соответственно вязкость и теплопроводность i-ro
компонента.
178

7.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Основные уравнения динамики вязкого
многокомпонентного реагирующего газа могут быть получены из уравнения
Больцмапа. В приближении плоского пограничного слоя они
имеют следующий вид.
1. Уравнение неразрывности
IpL^.IpL-.o. (7.18)
дх ду '
2. Уравнение количества движения
ди . ди д ( ди \ dp ,_ , ,..
3. Уравнение неразрывности 1-го компонента
4. Уравнение энергии
а/ , а/ д . (ди у , dp ,_ ol.
эх г ^ дУ - ду ч» 1 г \ ду; ] ~ dx
Уравнения (7.18), (7.19) сохраняют прежний вид [см.
уравнения (5.14), (5.15)1.
Появилось дополнительное уравнение переноса i-ro компо-
цента (7.20). В нем учитываются gi — плотность диффузионного
потока 1-го компонента; giy — составляющая gt в направлении
поперек пограничного слоя; wt — скорость образования /-го
компонента. Диффузионный поток
gt "- Pi"» 0'.22)
или
N
1 Л1,Р
Ml
^DfygracHMjC,), (7.2Д
где I)'/ — коэффициенты диффузии многокомпонентной смеси,
зависящие от состава смеси, 'температуры и давления.
Для бинарной смеси (N ~ 2) диффузионные потоки
определяются законом Фика
gi-=-—pDugradC(I (7.24)
где Dtj— коэффициент диффузии бинарной смеси. D,;-
пропорционален температуре в некоторой степени и обратно
пропорционален давлению. Для каждой пары газов Dtj может (),:;;•
подсчитан с помощью кинетической теории газов. Коэффициент
/)*; могут быть выражены через Dt) и концентрации компонентов,
причем О'/ = 0.
179

В некоторых случаях формула (7.24) используется и для
многокомпонентной смеси
gt = —pDt gradC,. (7.25)
При этом так называемые обобщенные коэффициенты
диффузии D являются сложными функциями концентрации, давления
и температуры. Однако в ряде случаев такая запись дает хорошее
приближение и удобна.
Заметим, что формула (7.23) учитывает перенос массы только
под действием градиента концентраций. В общем случае
необходимо учитывать влияние градиентов температуры и давления
(термо- и бародиффузия). Однако в пограничном слое вклад
термодиффузии и бародиффузии пренебрежимо мал. Итак,
*|у = -Р0|-^-, (7-26)
или
_ Щр_ у д(С{Мд)
8ly~ м\ 2j '7—Ту—• (7-2,)
Скорость образования i-ro компонента wt является сложной
функцией температуры и состава смеси. Вопрос определения wt
будет рассмотрен в следующем разделе.
Фактически нет необходимости решать все N уравнений
неразрывности компонентов (7.20). Достаточно (N — т) уравнений,
где т — число элементов, из которых состоят данные N
компонентов. Обозначим через zh концентрацию элемента k и через
\ik — массовую долю элемента k в г'-м компоненте. Например,
цп 2 16'
в молекуле п20 доля водорода равна -т^-, а кислорода щ-.
Очевидно, что
Zh = Т> Civtk-
Умножая уравнение (7.20) на vlh и суммируя по i, получим
рв1г+р°-ж-= -•£-£*»v'k+ Z>^- (7-28)
Последний член в правой части этого уравнения имеет смысл
скорости образования элемента k в процессе химических реакций
и, соответственно, равен нулю.
Таким образом, уравнение неразрывности для &-го элемента
имеет вид
PB-^"+P°-t" = -^rSv«*«'» (^=1-2, ...,т-1). (7.29)
i
Система включает (N — т) уравнений (7.20) и (т— 1) (7.29).
Если смесь состоит из компонентов, молекулярные массы которых
не слишком отличаются друг от друга, коэффициенты Dt в
формуле (7.26) примерно равны (Dt = D).
180

Тогда
2 giyvih = -PD J] %± vih = -pD ±- £ Ctvih = -PD -g*- . -
i i t
(7.30)
На непроницаемой поверхности решением уравнений (7.29)
при условии (7.30) является zh = const = zkl, т. е. концентрации
элементов поперек слоя постоянны.
Перейдем теперь к уравнению (7.21). Оно отличается от
аналогичного уравнения энергии (5.16) тем, что вместо температуры Т
используется полная энтальпия /, которая учитывает не только
термодинамическое теплосодержание, зависящее от температуры,
ио и химическую энергию, которая выделяется в процессе
химических реакций:
/ = S hCu (7.31)
где / —■ полная энтальпия г'-го компонента, рассчитываемая по
формуле
г
Л = Л. + j cPi dT ~ (7.32)
(здесь cpi — удельная теплоемкость 1-го компонента, Дж/(кг-К);
ht — теплота образования г'-го компонента, равная энергии,
которую необходимо затратить, чтобы получить единицу массы данного
вещества из стандартных компонентов при стандартной
температуре Т0). Величина ht зависит от выбранной системы отсчета.
Обычно в качестве стандартной температуры берут Т0 — 293 К,
а в качестве стандартных компонентов — наиболее стабильные
соединения при нормальных условиях: Os, H2, N2 и др.
Например, при реакции горения водорода при начальной
температуре Т0 выделяется на единицу массы воды тепло Q0
H2 + i-02=H20 + Qo- (7.33)
Из определения следует
Ан.о = —Qo, (7-34)
т. е. теплота образования воды — отрицательная величина.
Вторая особенность уравнения (7.21) состоит в том, что
удельный поток тепла- q должен учитывать перенос энергии за счет
диффузии в дополнение к переносу под действием градиента
температуры
q = — I grad Г + 2 pZjt. (7.35)
С учетом (7.22) получаем
? = -*gradr+2£/(. (7.36)
t
181

а в приближении пограничного слоя рассматриваем удельный
поток в направлении
Ъ^-Ь-^+^еч**- (7-37)
i
Выражение (7.37) может быть упрощено, если использовать
формулу (7.26) для giy.
Сначала заметим, что из формул (7.31) и (7.32) следует
д! _ \Л r dli . \\ . dCt _ \Г\ r dl VI „ dCt
£-2*-£+2'.-£-2^-*-■<-2'
г dy
i i i - i
dT , VI r dCt
-p
V 1 dCi
dy Zj dy
l
где cp = SCjC^i — теплоемкость смеси. Отсюда
ду
JL/JZL— V / dCi \
аР [ду Zi Ц ду 1 ■
Используя выражения (7.26) и (7.37), получим
X ,дТ \\ г dCt\ \У . n dCt
^_AiLtA.V//'i_ pzVp) dCi
ср ду • ср Li *\l X ) ду'
Введем безразмерные критерии подобия: Рг — |хср/А, — критерий
Праидтля; Sc; — ii/(pDt) — критерий Шмидта 1-го компонента;
Le; = pcpDJK — Pr/Sc; — критерий Льюиса t-ro компонента.
Тогда выражение для qy примет вид
'. = -£f-£2'<<u<-"i- <7-38>
Таким образом, основные уравнения ламинарного пограничного
слоя при наличии химических реакций имеют следующий вид
^ + ifi-0; (7.39)
^ + "f-iK)4i C7.40)
■»■& + е$ = i ( 2 *"£f) <* " '• 2 »" '>: <742>
182

ду
£Е7^
1 ду
dp
^ (£)+"& P-«)
P
R r
(7.44)
Эту систему дополняет условие (7.10). Система является
замкнутой, если заданы зависимости коэффициентов u., Scb Pr и скоростей
образования wt от параметров течения, а также связь / с Ct и Т
|формулы (7.31) и (7.32)].
В некоторых случаях удобнее вместо уравнения (7.43)
использовать уравнение энергии во второй форме. Введем понятие полной
эпталыши торможения
/0 - / + «72. (7.45)
Умножим уравнение (7.40) на и, сложим его с (7.43) и получим
n«lri^i(£|F) + iK1-w)£F] +
+
ду
LV MLe-- П^1
or 7, 'iW Ч ду
Pr
(7.46)
Это уравнение аналогично уравнению (5.19), полученному
для ламинарного пограничного слоя без химических реакции.
Приведем еще одну форму уравнения энергии, удобную для
решения ряда задач. Из формул (7.31) и (7.32) следует
д1 _ дТ_
дх '" Р дх ' Zj ' дх *
д!_ дТ_ , VI d£i
ду ; :Ст ду r 2j h ду'
(
Г, учетом этого, а также выражения (7.37), уравнение (7.21) пре-
олшзуется к виду
дТ . VI SC, . дТ , VI , ЭСг
5y I, <Э(/
ar
Уравнение (7.20) умножим на Iu просуммируем по i и вычтем
его из полученного уравнения энергии
дТ , / . ул
ат
* дх т | •""-!» ~г Zj "р"5'» I ay ~"a7 \K If) +
+^)'+«£-5>,. <7-47>
183

Уравнение энергии в форме (7.47) записано для температуры
и отличается от соответствующего уравнения пограничного слоя
без химических реакций (5.16) тем, что в правой части учитывается
дополнительное тепловыделение (или теплопоглощение) за счет
химических реакций, а в левой части — перераспределение тепла
за счет различия теплоемкостей компонентов (при одинаковых
теплоносителях cpt = ср и D, = D). Этот член равен нулю, так
как из (7.26) следует
2 Siy = — Р£> J] Srad С, = — pD grad J] С, = 0.
с с
Уравнения турбулентного пограничного слоя с химическими
реакциями имеют такой же вид, как и уравнения ламинарного,
только вместо коэффициентов fi, X, Dt должны использоваться
эффективные коэффициенты, учитывающие дополнительный
перенос за счет турбулентности.
7.4. ЭЛЕМЕНТЫ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ
В уравнение неразрывности химических компонентов
(7.20) входит скорость образования wt. Для того чтобы записать
для нее выражение, необходимо ознакомиться с элементами
кинетики химических реакций.
7.4.1. Гомогенные газовые химические реакции
Рассмотрим реакции, протекающие в газовой фазе,
т. е. между газовыми компонентами. Если Ct — концентрация
i-ro компонента, a Mt — его молекулярная масса, то число кило-
молей 1-го компонента в единице объема равно
{At) = CtP/Mt. (7.48)
Пусть протекает реакция диссоциации
02 -+ 20. (7.49)
Число киломолей О, образующихся в единицу времени в
единице объема, пропорционально числу столкновений, которое
в свою очередь пропорционально числу молекул реагирующих
веществ в единице объема: kf [Aot], где kf— так называемая
константа скорости реакции. Скорость образования компонента О
в реакции (7.49) равна w0 = 2Mokf [A0l]. Реакции идут обычно
в обе стороны, и поэтому общая скорость образования О
шо =2M0{kflAo,]-kr\A0}2}, (7.50)
где kT — константа скорости обратной реакции.
Обычная форма записи выражений для констант скорости
реакций имеет вид
k = ВГР exp (TJT), (7.51)
184

где В, р, Та — числовые константы (берутся из справочника).
Произвольную химическую реакцию можно записать в
следующем общем виде:
SvMi-21v4. (7-52)
i=i (=1
где г'-й химический компонент обозначен символом А(; v'{, vj —
стехиометрические коэффициенты прямой и обратной реакций
соответственно.
Пронумеруем химические компоненты: А1 = N2, A2 — Ог
As = N, Л4 = О, Аь = N0. Тогда в рассматриваемой химической
реакции
vi = 0; V2 = 1; V3 = 0; v4 = 0; V5 = 0;
v, = 0; v"2 = 0; v3' = 0; v4 ■= 2; v5 = 0.
Скорость образования j-го компонента в реакции (7.52) примет
вид
( N v, N v")
wt = M, (v"t - vj) \k, П [Л/] - fer П [Aj] ' , (7.53)
где символом П обозначено произведение.
Введем константу равновесия kc и условные величины
(порядки) соответственно прямой и обратной реакций п и ft":
N N
kc = kf/kr; n = S v'f; n" = J] v'c (7-54)
f=i
j=i
Тогда с учетом (7.48) получаем
а>< = Л*<(^ —v',)fypn'
п
yW
п
/ Су\ /
(7.55)
/=1 /=1
Если в газовой смеси протекает L реакций, то скорость
образования 1-го компонента складывается из скоростей образования
1-го компонента в каждой реакции
w,
St
iyci — vci) kfip
Ш
П&
'si pni~ni N
kci
П&"
/=1
/=I
(7.56)
где индекс / относится к параметрам реакций под номером /.
Как уже указывалось, достаточно (N — т) уравнений
неразрывности компонентов, поэтому формула (7.56) используется
только для (N — т) компонентов.
В воздухе при температурах от 2000 до 8000 К в основном
играют роль следующие химические реакции:
1) 02 + X «* 20 + X;
2) N2 + X ч± 2N + X; (7.57)
185

1) о.
(7.5;
О I- Л" ^ NO : ,Y;
N ^. КО | О;
О -„>-. NT) , N;
G) N.. ; О, ^ 2NO,
где .V --- означает каталитическую частпиу.
Выражения для г.оиетаг.т скоростей и равновесия содержатся
в опс-пиальных справочниках.
Таким образом, в данном случае Л7 Г>, L G
Пмс
Лт т .'j \ равнения пераарывпости химических компонентов
со скоростью образования (7.GG) и 2 уравнения для элементов.
* 7.4.2. Химически равновесные и замороженные
течения
Гпетсма уравнений существенно \ пронесется и
пре :сл:>пы ; случаях. Таившем уравнение неразрывное:,
к.омнеиччп'а О. Для вросто;ы сначала преднюложпм, '■<"■■•
только моделвпая реакция (7.49), а смесь --- бинарная:
"'■•о , <1Со
1 <>Х ' ' Чу
О
U <)СС)
: 2й/Р
1Г-- -Гл- - |. (/.;,f.j
о,
Перейдем в лом уравнении к безразмерным величина:
и, v, р., введя и качестве масштаба длины характерный ра
маенпнба i коректп н3, масштаба плотности (>t и масппнГ
кости и,:
Р. -V,
сер .',
()(/ " ' а-с1 с*</ \ -V'0 ид )
2р
'С0,'"о
f'Q,
Л!,
А> л;п
(7.59)
(7.GO)
"i [_ "Jo2
В квадратных скобках в правой части стоит безразмерная
величина.
Введем параметр
Da т'"^--- —
1/С, «!
критерии Дамкелера, физический смысл которого отношение
характерного времени нахождения частицы газа в потоке (/,лд)
к' времени протекания химической реакции.
В зависимости от значения критерия Дамкелера течения
бывают химически равновесными (Da >- 1), химически
неравновесными (Da ~ 1) и замороженными (Da <; 1). В первом и третьем
случаях решение значительно упрощается.
Изложенное выше справедливо и для прои.звидвпого числа
А: компонентов газовой смеси, в которой идет L химически",
реакции. Только выражение для характерного вре:менп
протекания химических реакций имеет более сложный вид.
18С>

При Da -• I последний член в правой час-] и \ равнения (7.2ч!'
значительно меньше остальных члепоп и им можно прел-.''.речь.
Таким образом, уравнения неразрывности компонентов
принимают вид
ОС: . dCi
pit — - -г- pV -т-
г ОХ ' г О у
— ~-giV (i --- 1, 2, 3,
оу ' ч
Л; -т).
Во вюром преде;!!.пом случае (Da . ]) конвективные п
диффузионные ч.теш,[ значительно меньше скорости образовании
и ими можно пренебречь. Тсчда мы приходим к системе
i л
'/
Cr.it
О
J 1 • а;/ д-,; 1 1 l Mj!
. / -| / -1
(/ 1,2,..., Л' - т), (7.6Г,
Эта система при L ;;• Л' — т имеет тривиальное решение
/Г л v;7
П &)
"г-"/ Л'
«- П Й
О
(7.62)
л
/--■ 1
или
Кл
II
М\
(I 1, 2, . .. , Л' - т). (7.63)
Фактически число уравнений (7.63) равно /,, но нам достаточно
(Лг --- т! уравнении. Константы равповсчн kct являются
известными ф\ пкцнями тем.ператл ры.
Система (7.63) дополняется (т — 1) уравнениями (7.29), и
решение имеет вид
C}~Cj(T, р, ги гъ ... , г,), (7.64)
т. е. концентрации компонентов являются функциями
температуры, давления и концентраций элементов, находимых из решения
уравнений (7.29).
7.5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Рассмотрим случай, когда все критерии Льюиса Le£ =
= 1. Тогда уравнение энергии (7.46) примет вид
<3/0 . 5/0 д г ц д!а\ , д г /. IN 3 (ц,/2) "1 _
Это уравнение аналогично соответствующему уравнению энер-
1ии (5.19) при отсутствии химических реакций, но вместо
температуры торможения Т0 в нем стоит полная энтальпия торможе-
187

ния /.„. Это дает основание ввести видоизмененную формулу
Ньютона для химически реагирующих потоков, в которой вместо
температур используются энтальпии. Вместо формулы (5.99),
по которой удельный тепловой поток пропорционален разности
(Те — Tw), используем формулу
а
?» = f4/. -/„), (7.66)
с
где
р
I. = Ji + ruV2, /i=2(/<)i(C,)i; /. = E/toCft»,
С I
г — коэффициент восстановления энтальпии, равный для
ламинарного пограничного слоя J/7%, а для турбулентного •— т/~Рг.
Для расчета коэффициента теплоотдачи а необходимо
использовать критериальные уравнения. Введем критерии подобия
Nu^, Rew и Ргш, используя в качестве определяющего размера
эффективную длину хЪф.
Nu^ = ахэф/кш; Rew = ршИЛф/И^; Ргш = ^wCpl^. (7.67)
Тогда основные критериальные уравнения на изотермической
непроницаемой поверхности имеют вид:
для ламинарного пограничного слоя
Nuw/V~R^, = А Рт¥кКх.ы\ (7.68)
для турбулентного пограничного слоя
Nun/Re™ = 0,0296Рт0МКК„ы- (7.69)
Использование в качестве определяющего размера х3ф
позволяет распространить результаты, полученные для течения
на плоской пластине, на течения с произвольным распределением
параметров на внешней границе пограничного слоя (на пластине
хэф = х). Коэффициент А в формуле (7.68) учитывает деформацию
распределения параметров внутри слоя (на пластине А = 0,332).
Коэффициенты К и /Схим учитывают соответственно переменность
}ip поперек поперечного слоя и наличие химических реакций.
Формулы для определения х3ф аналогичны полученным в
разделах 5.14 и 6.9 и для изотермической поверхности имеют вид:
для ламинарного режима
1
-*»rih ~~"" '
\ulPlR2*dx; (7.70)
ЭФ " «л** j
для турбулентного режима
х
1 {ulPlRU25* dx, (7.71)
■*яЛ —"
ЭФ «Л*1'85* о
где z — 0 — для плоского и z = 1 для осесимметричного течений.
Формулы для хЭф в различных частных случаях содержатся
в разделах 5.15 и 6.10.
188

Как уже говорилось, на плоской пластине А = 0,332. Такое же
значение имеет коэффициент А на конусе. На передней
критической точке можно использовать следующие формулы для А:
для плоского течения
А = 0,358 (1 + 0,267TJT0H)I/2; (7.72)
для осесимметричного течения
А = 0,35 (1 + 0,185ГШ/Г0Н),/2. (7.73)
Коэффициент К, учитывающий переменность р.р, можно
рассчитать по следующим формулам:
для ламинарного режима
ftwPw J \ \^wPx<t
гдер,* и р* рассчитываются при «условной» энтальпии /*
/i, при со = и?/(2/0< 1 — /ш//ь
1
К = (J^-) ( JM£i_y/,5r-/r" (7.74)
/* =
/i [/-/Л + i(l + «> - '-/'О2] - (7-75)
при со> 1 — IJIX;
где |х*р* вычисляется при условной энтальпии
/• =0,5(/.+ /0 + 0,22со, (7.77)
для турбулентного режима
*(£)"(£)• <"«
где ц. * и р* вычисляются при условной энтальпии
Я = (^)т (1 + гш)0,11 (т = 0,4 + 0,2 ехр (— ear)). (7.80)
Влияние диссоциации, ионизации и других химических
реакций на теплопередачу при ламинарном течении наиболее просто
оценивается при помощи коэффициента Кхяы для химически
равновесного и замороженного пограничных слоев. Для
равновесного пограничного слоя при отсутствии диссоциации газа на
стенке множитель равен
Кгши = 1 + (Ье0,52 - 1) 0/(/я - /„). (7.81)
Зависимость критерия Le и приведенного теплового эффекта
диссоциации и ионизации Q = 1 — 0,23 /о, — 0,77/Nj для
воздуха от / представлены соответственно на рис. 7.1 и 7.2.
189

a-
10 *,кДж/кг
Le
1,0
0,5
10 ^
• Л. Заннсммосп, критерия Le от
пни для воздуха
7
г
1
2-10^ 3-10^ 1,кДж/кг 0 1
н>
2 J 41-10'ч,кДж/кг
Р;'с. 7..'. Зависим осп. ирине.'к-к- . >i-. >
n-илового эффекта Q от антальшш /
для воздуха
R (формуле (7.81) величины Le и Q рассчитываются по
условной энтальпии /* [формула (7.75)].
Для расчета замороженного пограничного слоя можно
использовать выражение
А'хчм ■"■= 1 : ■ (Le
п—
'01
Q
/о
(7.82)
где Le и Q определяются по тем же графикам (см. рис. 7.1 и 7.2),
по по энтальпии 1Х.
Как показывают поправки (7.81) и (7.82), при Le — 1 тепловой
поток не .зависит от скоростей химических реакций (/<хнм — ))■
И случае турбулентного пограничного слоя коэффициент /СХ11М
определяется по формуле (7.81), однако показатель степени при
Le и(меняется в диапазоне 0,67 < 1.
Используя формулы (7.68) ... (7.82), можно рассчитать
критерии теплообмена: для ламинарного пограничного слоя Nuu,/V Re^,
и тля турбулентного Nu^/Re^. Тогда тепловой поток
рассчитывается по формулам:
для ламинарного пограничного слоя
для турбулентного пограничного слоя
0.ЯП.2
NbL(P-tti) ' 'С (/.-U
Re.
1эф
Рг„
(7.83)
(7.84)
С
\ля определения /в и Iw должны быть заданы 7\, Tw и Си
Параметры 7\ и Сп известны из расчета внешнего обтекания.
Температура на стенке Та, обычно задана в качестве граничного
условия. Для химически равновесного пограничного слоя можно
считать, что концентрации являются функциями только Т и р.
На рис. 7.3 приведена зависимость энтальпии воздуха от
температуры и давления. В химически замороженном пограничном
190

/, кДх/кг
10s
с tni
5'ltr
О
Ш*^
J*
&
2^*
р-10'Па ,
' wl*
•^10*
3 6 7 9 11 11 T-nrjK
Рис. 7.3. Заьнсиыосгь полной ^ага.а.шш 1 ..:к;духа от -.емги'ратуры . ,.ancieunл
сюе на каталитической стенке для рекомонппрх юнгнх
компонентов можно записать
С-
С;,
w'.Nr0
r"c att,j — параметр каталитической рекомбинации.
(Очевидно, что при awi --<- ю б.бсоличпю кага.тптическая стенка)
атомы польчкчыо рекомбнпир\ ю!, а при аи; =0 (абсолютно
пекнталншческая стенка) Сivj - - C;i.
7.С. МЕТОД ПОЛНЫХ КОЭФФЛЦИЕЛТОВ
ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ РАВНОВЕСНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Ранее было попала по, что дли расчета химически
равноосных течений пет необходимости решать нею систему уравнений
(7.39) ... (7.44). Дифференциальные уравнения неразрывности
химических компонент он заменяются алгебраическими уравнении ми
Г.03). Решение системы при этом существенно упрощаемо;, но
все же остается еще достаточно сложным из-за нелинейности
\ равнений (7.63). Система уравнений, описывающих течение
.. химически равновесном пограничном слое, может быть еще
больше упрощена и одном практически важном случае.
В разделе 7.3 показано, что па непроницаемой сгепке при
соблюдении условия Dt --- D (все коэффициенты диффузии равны
между собой) копцен!рации элементов поперек пограничного слои
постоянны, т. е.
-?i = 0 (А: - 1, 2 т)
оц ч ' '
(7.86)
С учетом этого, а также то;о, что для химически равновест
течения справедливо условие (7.64)
Ct =- Ct(T, p, zlt га, ... , zt),
юго

получаем следующее выражение для плотности диффузионого
потока
X
giv = — pD
dCt
Р [дТ ду ^ dp ду ~г Li dzh ду I •
Так как в пограничном слое <3р/<3у = 0, то
e* = -*>Dw?i- <7-87>
При этом производная dCJdT является, также как и Ct,
функцией температуры Т, давления р и концентраций элементов zh.
Тогда для удельного теплового потока (см. формулу (7.37))
получим
qy = ~ Х ~ду~ + 2 8lv!l = ~ к
<=1
дТ_
ду
* + рЯ££'/.
Введем обозначение
(=i
п дТ \л dCt .
pDly-LlfIi =
(7.88)
N
КФ = Я. + pD V § /,
тогда
<7у Я-эф
3? •
(7.89)
(7.90)
Очевидно, что эффективный или полный коэффициент
теплопроводности А,эф является функцией Т, р и z1} z2, ..., zr и для
каждого элементного состава может быть затабулирован. На
рис. 7.4 в качестве примера представлена зависимость Хэф воздуха
от температуры для различных значений давления р.
Напомним, что полная энтальпия / выражается через формулы
(7.31) и (7.32):
/ = S 7<С< " 2 [h А + С, J cpt d А
иро
-2
Продифференцировав это выражение по у, получим
dCidT . 5С,дТ С ,т , ~ дТ
д!_
ду
htTiTW + W-ajlcPldT+ ci°pQy
= 2 (A| + p„drj|?+Cie„
Е'Ф+2С*-
L <
^fS^.ar' + ^W
192

К3(р-10'},хВт/(м-/<)
1,0
ср зф,кДж/(кг-К)
гл
1,0
Чл
2
У\з
24
20
16
П
8
12 T-10'U
О
J
А
/
йи
\\
й
у
[
'/■
ь
п т-го^к
Рис, 7.4. Зависимость полного
коэффициента теплопроводности ХЭф
воздуха от температуры:
I . . 3 — р — 0.1; 1,0; 10 МПа
соответственно
Рис. 7.5. Зависимость полной
теплоемкости воздуха от температуры:
/ ... 3 — р = 0,1; 1,0; 10 МПа соответ.
Введем обозначение полной удельной теплоемкости
ср эф = ср + 2j ^ W'
(7.91)
которая так же, как и ^эф, является в рассматриваемом случае
функцией Т, р, гъ гъ ..., гт. На рис. 7.5 представлена зависимость
срэф для воздуха от температуры.
Таким образом, получаем
д!
= с
дТ
т. е.
дТ
д/
ду "Р»Ф ду ' *• *" ду срэф ду-
Тогда для удельного теплового потока из (7.90) следует
^эф • д!
Я,
ьр Э(
Ф ду
(7.92)
Подставляя это выражение в исходное уравнение энергии (7.21),
получим
д1 , 31 _д_ (_ ^эф а/'
ду
ри
л+Р°л7
+ и (£)■ + .£. <™3>
Сраф 00,
Таким образом, метод эффективных коэффициентов позволяет
описать течение в химически равновесном пограничном слое
всего тремя дифференциальными уравнениями: неразрывности
7 Авдуевскнй 193

(7.18), количества движения (7.19) и энергии в форме (7.93). Эти
уравнения полностью аналогичны соответствующим уравнениям
в случае пограничного слоя без химических реакций (5.14) ...
(5.17) и решаются аналогично.
В заключение еще раз отметим, что указанное упрощение
возможно только в случае химического равновесия и постоянства
элементного состава поперек пограничного стоя.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие особенности появляются при теплообмене при наличии химических
реакций?
2. Что такое диффузионный поток н как он рассчитывается и химически
реагирующих газовых смесях?
3. Как влияют на приближение к химическому равновесию скорость
газового потока и характерный размер течения?
4. Чем отличается закон Ньютона для расчета теплообмена при наличии
химических реакций от закона Ньютона в случае совершенного газа?
5. Какова последовательность расчета теплового потока при наличии
химических реакций в пограничном слое?

ГЛАВА VIII
ТЕПЛООБМЕН ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
8.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Свободное движение возникает при изменении в
жидкости массовых сил. Такими силами могут быть сила тяжести,
центробежная сила и сила, возникающая при наведении в жидкости
электромагнитного поля. Наиболее распространено и хорошо
изучено свободное движение жидкости, вызванное
гравитационными силами.
Свободной гравитационной конвекцией называется движение
жидкости, возникающее в поле сил тяжести при наличии
градиента температуры.
Плотность как жидкости, так и газа зависит от температуры.
Поэтому при наличии в жидкости или газе градиента температуры
массовые силы в различных точках gp различны. Это вызывает
движение жидкости, определяемое направлением поля массовых
сил, распределением температур в жидкости и геометрической
формой объема. При свободной конвекции поля скоростей и
температур существенно взаимосвязаны. Поэтому для описания
свободной конвекции необходимо совместное рассмотрение уравнений
неразрывности, движения и энергии.
Свободная гравитационная конвекция широко
распространена в природе и технике. Она определяет циркуляцию воздуха
в атмосфере Земли, воды в озерах, морях и океанах, теплообмен
в жилых и производственных помещениях, в кабинах и отсеках
летательных аппаратов, в топливных баках ракет и самолетов,
тепловых процессах в различных технологических устройствах
и энергетических установках, в системах охлаждения
радиоэлектронного оборудования.
Различают ламинарную и турбулентную свободные
конвекции. При ламинарном движении частицы жидкости перемещаются,
не перемешиваясь по своим траекториям, и в каждой точке среды
скорость определенна. При турбулентном движении частицы
жидкости перемещаются хаотически, неупрочненно, направление
и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются.
Скорость жидкости в каждой точке среды пульсирует. Поэтому
при турбулентном течении обычно рассматривают
среднестатистические значения скоростей и температур, используя осреднен-
ные уравнения движения и энергии.
Опытные данные свидетельствуют о том, что при свободной
конвекции' основная область тепловых и гидродинамических
7* 195

\/
л
/
/
//
)'
/">
1
"ч4
s
>
N
\
с-^—<
^
\
\
\
^-
N
Pi
-2
/
и, см/с
0,32
о,ги
0,16
Г, К
370
350
330
310
290
270
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 у,см .
Ри. 8.1. Распределение скорости
и температуры в ламинарном
пограничном слое на расстояниях I см
(П и 24 см (2) от начала обогрела
вертикальной пластины при
свободной конвекции в большом объеме
воздуха:
температура;
координат эта система нрпни
причем уравнение движения
член правой части характерна
нении учитывается изменение
температуры:
Р = Ро/П + Р(Т--Го)]
возмущении сосредоточена в
относительно топком пограничном
слое ЖИДКОСТИ ОКОЛО IIOBt'pXIiuCill
■■ллообмеиа. Например, в ниж-
i.v.ii части нагретой вертикальной
и пггы образуется ламинарный по-
1рапичпый стой. С ростом высош
плиты теплоотдача уменьшается
из-за возрастания толщины но-
I раничшно слоя (рис. 8.1, 8.2).
На определенной высоте
ламинарное течение нарушается и
переходи! в турб> леппюе.
Для описания
свободно-конвективного ДВИЖеНИЯ И '!'. ПЛО-
обмепа нспользлклея законы
сохранения количества движения,
массы и энер! ии в жидкосш,
движущемся под действием массовых,
поверхностных и инерционных
сил. В прямоугольной епен'ме
мает вид уравнений (3.3) ... ("3.7),
принимает вид (о 1Р>), где первый
ует подъемною си.(\. В этом урав-
илотности только из-за изменения
- Ро [1 - р <Т
тп
5.1)
Данная система уравнений является простейшей моделью
термической конвекции и называется приближением Буссннсска.
Сравнение решений в этом приближении с экспериментальными
данными показывает, что оно правильно отражает основные
особенности тепловой конвекции.
В уравнения движения (3.4) и (3.15) входит ускорение силы
тяжести gn И'-1 поверхности Земли. В общем случае плотность
массовых сил на летательных аппаратах при их движении с
ускорением равна сумме ускорений полета и плотности массовых
сил гравитационного поля в данной точке пространства F — а +- g
и ее как ускорение силового поля, действующего в системе,
координат, связанных с летательным аппаратом, нужно рассматривать
в уравнениях движения.
Для ламинарной свободной конвекции приведенная выше
система уравнений (3.3) ... (3.7) в конкретных случаях может
быть численно решена на ЭВМ.
Для обобщения результатов экспериментов и численных
расчетов нужно использовать безразмерные параметры, определяющие
!9й

теп/ д ту при спооодной конвекции. В общем случае крите-
риалс .••• } равнение (3.40) примет ннд для газов
NU/-- /(Gr„ Pr„ if. Fo„ TJT„
nc, n}.,, «„, x, y, zL, hx . . . Ln) (8.2)
И ДЛЯ Ж.НДК1.Ч НИ
K'dj /(Gr/( P17, "ф, Fo,, р./рш.
,';1//с;)г. р,/ц,,, у^, а-, у, z, Lx.. L„), (8.3)
где x, у, ;• - безразмерные координаты точек поверхности
теплообмена; Lb ...,/_„— безразмерные геометрические параметры;
ф — \ гол между поверхностью и вектором силы тяжести.
Для стационарного теплообмена п изменения коэффициента
теплоотдачи только вдоль продольной координаты х (например,
для свободной конвекции вдоль вертикальной пластины или
цилиндра) зависимости (8.2) и (8.3) упрощаются и принимают
соответственно вид
Kuj - /(Слд, Рг,, \|\ TJTf, nc, п}, п^, х); (8.4)
Nu/-- /(Gr;, Рг;, г|>, Рг/;Рг:;!, х). (8.5)
Как уже отмечалось, отношение РгуРгш позволяет учесть
влияние переменности свойств жидкости ср, к и }i па теплообмен.
Для коикретого газа и конкретного угла наклона поверхности
зависимость (8.4) примет вид
Ku,-:-f(Gvfl РГ/, TJT,, х), (8.6)
или при принятии в качестве определяющей средней температуры
пограничной: слоя Тт ~ 0,5 (Tw -f Tf)
Num=-/(GrmPrm, x). (8.7)
Рис, 8.2. Схема ~t-:e-.:■;:. и изменение к'^ффмч,иен~а теплоотдачи тпя
свободной конвекции на вертикальной стенке:
1,2,3 — ламинарная, переходная, турбулентная области соответственно; а — 7"ш > Г..
6- Tw> Tf
197

В ряде случаев при принятии в качестве определяющего
размера продольной координаты удается исключить влияние х и
уравнение (8.7) принимает вид (3.47), а уравнение (8.5) для жидкости
упрощается:
JVu, :=/(аГ/РГ/, Pr;/Prm). (8.8)
8.2. ТЕПЛООТДАЧА В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
При свободной конвекции у вертикальной поверхности
основные изменения полей скоростей и температуры
сосредоточены в сравнительно тонких пограничных слоях (см. рис. 8.1).
Пограничный слой, в котором сосредоточено изменение поля
скорости, называется гидродинамическим, а ноля температур —
тепловым. В общем случае (Рг Ф 1) толщины этих слоев Ьа и Ьт
могут не совпадать. Из расчетов н эксперимента извести*,', что
при Рг < 1, бг ~ 6g, а при Рг ,:> 1, Ьт < 6Ь,. В турбулентном
пограничном слое при Рг > 1 обычно 6r ~ 6„ и не зависит от
продольной координаты X. Рассматриваемый случай называют
свободной конвекцией в большом объеме. Это значит, что объем
жидкости настолько велик, что свободное движение,
возникающее у других тел, расположенных в этом объеме, не сказывается на
рассматриваемом течении.
8.2.1. Вертикальная стенка
Развитие свободного конвективного течения вблизи
обогреваемой вертикальной стенки показано на рис. 8.2.
Движение возникает под действием архимедовых сил, выталкивающих
нагретые и, следовательно, менее плотные слои жидкости,
находящиеся вблизи горячей стенки, вверх. В нижней части стенки
развивается ламинарный пограничный слой, при этом, как
видно из рис. 8.2, а, коэффициент теплоотдачи убывает по высоте
поверхности вследствие роста толщины пограничного слоя.
Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит
в диапазоне Сгх-Рг = 109 ... 6-Ю10, определяющим так
называемую переходную область. При турбулентном режиме течения
коэффициент теплоотдачи а (х) практически не изменяется по
высоте поверхности, так как вместе с ростом толщины пограничного
слоя увеличивается интенсивность турбулентного переноса. В
области перехода коэффициент теплоотдачи может изменяться от
минимального значения, характерного для ламинарного режима,
до максимального, соответствующего турбулентному режиму.
Если температура стенки ниже температуры жидкости, вблизи
стенки более плотные слои будут опускаться вниз, и картина те
чения будет обратной по сравнению со случаем горячей стенки
(см. рис. 8.2, б).
Наличие тонкого пограничного слоя позволяет существенно
упростить систему уравнений, воспользовавшись приближениями
пограничного слоя. Для ламинарной свободной конвекции на вер-
198

- 0; (8.9)
(8.10)
UU U U OAT" ' °"U /О 1 1 \
»-дтг ; V^T= S^1 I v-7wr- (8-П)
тнкялынш пластине в стационарном режиме и при (х -•-■ con.st
и л соп>1 уравнения неразрывности, энергии и движения (3.15)
примут вид:
ди , до
дх ' ду
дТ , дТ д2Т
I/ — . у .-. #-——
их ' (1у
суди да пат. . 53«
-j7 < v~dy-= ^Л7 t V1JF
Граничные условия: у - 0, « - - у •--■- 0, Т — Тш; г/ •=■- б, и — v -~
- О, Т 7\.
Результаты численного расчета по местной и средней
теплоотдаче обобщаются зависимостями
.NU*- Vf^^ ^^ <8Л2>
NuJ---1]1i^or.(Grl)o.», (8.13)
справедливыми при 10' < GrxPr < 10е, Рг = 0,01 ... 1000 для
таких шнервалов изменения температурного напора ЛТ, в кото-
pi>ix и н л мало изменяется. Однако и для больших ЛТ, если
физические свойства относить к средней температуре пограничного
слоя Т,п - - 0,5 (Т№ -г Т,), получается удовлетворительное
совпадение с экспериментом, причем как при Тш ----- const, так и при
q~. - con^t. Здесь NuK -■ а (х) х/Х, Nu; =- сс^/л; а — средний
коэффициент теплоотдачи; / — высота пластины.
При GrvPr < 10' приближение пограничного слоя
неприемлемо, так как его толщина становится большой. В диапазоне
Gr.Pr - ■ 5-Ю2 ... 109, Рг -= 0,7 ... 10 можно с достаточной
точностью для расчета местной теплоотдачи использовать уравнение
Nusm - 0,6 (Grx Pr)Si2S, (8.14)
которое хороню согласуется с экспериментальными данными для
вертикальных пластин и труб, включая свободную конвекцию
в криогенных жидкостях. В качестве определяющего размера в
выражении (8.14) принято расстояние х, отсчитываемое от места
начала теплообмена, а в качестве определяющей принята средняя
температура пограничного слоя Тт.
Средний коэффициент теплоотдачи обычно определяется как
отношение средней по поверхности плотности теплового потока
к среднему температурному напору. В рассматриваемом случае
а =
ц (х) dx \ а ДГ dx
7 = -1 (8.15)
\ Л 7 (х) dx С ЛГ dx
о 0
199

Если Tw = const и температурный напор по длине пластины
ЛГ = Тш — Tf постоянен, то
i i
° ° - 5
При qw — const получаем al = -j- a.^, т. е. расчетная
формула для средней теплоотдачи принимает вид
N^!m = 0,75 (Gr, Pr)0^25, (8.16)
где за определяющий размер принята длина пластины /,
отсчитываемая от начала теплообмена.
Формула (8.16) справедлива и для горизонтальных цилиндров,
так как около них из-за малой протяженности поверхности по
высоте обычно свободная конвекция происходит при ламинарном
режиме. В качестве определяющего размера принимается диаметр
цилиндра d.
При малых значениях GrxPr = 10~3 ... 5-Ю2 можно
использовать эмпирическую формулу М. А. Михеева
Nuim = l,18(Gr:cPr)0^5. (8.17)
Для турбулентной свободной конвекции Эккертом и Джексоном
было получено теоретическое решение интегральным методом в
приближении пограничного слоя для постоянной температуры
стенки. Они заложили в решение bg = 6Г, постоянные физические
свойства (кроме плотности) и эмпирические данные для полей
скоростей и температур. Обобщение решений имеет вид
Nur = 0,0295 Gr2/ Pr7/15 (l + 0,494 pr2/3)-2/5 (8.18)
для местной теплоотдачи в сечении х и
Nu, = 0,0246 Gr?/5Pr7/15 (1 + 0,494 Pr2/3)_2/5 (8.19)
для средней по длине / теплоотдачи (если вдоль всей поверхности
поток турбулентный).
Эти уравнения хорошо согласуются с результатами
экспериментов, проведенных на воздухе и воде (Рг = 0,7 ... 10) в
диапазоне GrsPr = 10е ... 1012.
В этом же диапазоне Рг можно использовать и более простые
формулы
Ният = 0,15(ОгхРг)^/3, (8.20)
Nuim = 0.13(GriPr)i,/a. (8.21)
справедливые соответственно для местной и средней теплоотдачи.
На рис. 8.3 показана зависимость местной теплоотдачи на
вертикальной поверхности от (Gr^Pr)™ для ламинарного и
турбулентного режимов. В переходном режиме (GrxPr)m = 109...
6-Ю10 процесс течения неустойчив, в этой области течение может
200

10 2
W1
"^■1
I
I
i
1
—-""" i
i
i
i
i
i
i
i
i
\
10s W6 W 10s 109
w"
W" 10n(&rtPr)n
Рис. 8.З. Местная теплоотдача при свободной конвекции на вертикальной
поверхности:
1 — ламинарный режим; j .. турбулентный режим; 3 — область возможных изменений
коэффициента теплоотдачи в переходной области
быть ламинарным, может быть и турбулентным. В среднем в этой
области теплоотдача возрастает от величины, соответствующей
ламинарному течению, до величины, соответствующей
турбулентному течению (см. рис. 8.3); предельные значения коэффициентов
теплоотдачи определятся по формулам (8.14) и (8.20).
Для расчета теплоотдачи при турбулентной свободной
конвекции к вертикальному цилиндру предложена зависимость,
обобщающая результаты теоретических расчетов:
Nu, -- Nu,e l f 0,0265
0.04782
(8.22)
где Nu/o — теплоотдача для вертикальной плоской стенки, опре-
ределяемая по (8.19); В - 0,565СгГ°лРГ~8/15 (l + 01494Рг2/3)0'1 —
отношение толщины пограничного слоя при х = / к высоте
цилиндра /; d — диаметр цилиндра.
8.2.2. Горизонтальные поверхности
Движение жидкости и интенсивность теплообмена на
горизонтальной поверхности зависят от ориентации поверхности и
направления теплового потока. На рис. 8.4 представлено 4
возможных варианта. При нагревании жидкости на пластине,
обращенной поверхностью вверх (см. рис. 8.4, а), подъемная сила
способствует выталкиванию нагретой около стенки жидкости
вверх, на ее место поступает холодная жидкость. Конвекция около
стенки носит сложный ячеистый характер. При охлаждении
жидкое) и па пластине, обращенной поверхностью вниз (см. рис. 8.4, б),
опускная сила выталкивает охлаждаемую около стенки жидкость
вниз (течение аналогично рассмотренному выше варианту).
Результаты экспериментов по средней теплоотдаче на
квадратных пластинах со стороной I Для двух вышеупомянутых
случаев обобщаются следующими уравнениями:
NuIm = 0,54 (Gr, Pr)
0,25
(8.23)
201

p 1 If I \lf
б) г)
Риг 8.4. Схемы течения к профили течпераг. ры при cbhOo.ih^h к.жп'-киии
н.ч ' |ризонт;:.:ьных поверхностях:
а нагргн.ччк ( Т ^ ■ 7Д); 6 •• охлаждение (''ш -■ Г,). « - о.хл г:,,,д« ш,с (Т.,,-- Т f)
, - ,ыЧч-,.,,„„, (Гк, .. Г/}
для ламинарной конвекции в диапазоне 1(>' (Gr,Pr)m • 2-10'
н
Nu,„, 0,14 (GnPr)!,,'3 («.24)
тля турбулентной конвекции в диапазоне 2-К)7 •' (Gr,Pr)m •
-. з- Го,п.
Соотношения (8.23) и (8.24) справедливы также н для криогенных
жидкостей при ускорениях nig,, - 1 ... 20.
Следует отмстить, что при ламинарном режиме, когда
показатель степени при Gr равен 0,25, завпспмосп> Ko^jxpimncn i а тепло-
01Дачи or размера / является слабой (-~/ и--'•'), а при турбу -ieni ном
режиме, когда показатель степени равен 1/3, длина / вообще не
влияет на коэффициент теплоотдачи.
Нелп поверхность при нагреве обращена вниз (см. рис. 8,4, ■?),
нагретая жидкость не может опуститься вниз, тсче1 вдоль
поверхности и затем поднимается вверх за пределами пластины.
Диалогичный характер течения жидкости при охлаждении па
поверхности, обращенной вверх (см. рис. 8.4, а). '! еплошдлча
в -лих случаях значительно меньше, чем для вариантов, показанных
па рис. 8.4, а, 6, и обобщается зависимостью
Nu,m-0.27 (Gr;Pr)"i25, («.25)
справедливой для 3-Ю5 < (Gr, PGm < 3-Ю10.
Для неквадратных пластин при использовании приведенных
выше зависимостей рекомендуется пользоваться средним
размером /.
■ЛУ2

Как показали результаты летного эксперимента, расчетные
зависимости можно применять для расчета теплообмена в
большом объеме водорода и кислорода при пониженных ускорениях
До a/go = 8-Ю-4.
8.2.3. Наклонные поверхности
Теплоотдача при свободной конвекции па наклонных
поверхностях изучена менее подробно, чем вышерассмотреппые
поверхности, однако имеются расчетные рекомендации,
полученные теоретически и эксперимента тыю.
Дли расчета местной теплоотдачи при ламинарной свободной
копнекшш численным решенном для Рг - 0,1 ... 100 получены
следующие зависимости:
для Tw -- const_
Nnx 0,75 Рг0-" [2,5 (1 ;-2Рг0'5 \ 2 Рг)] °'=5 (ОгЛ. cosi)-)"'2"'; (8.2G)
для qw - eon-~t
Nux ■ Рг0"1 (4 ' - 9 Рг0-5 ;- 10 Рг)- о-2 (Gr* cos ф)°Л (8.27)
где GrJ -- ff/f>^7:,.л''j<-/('112a) — модифицированное число Грасгофл,
применяемое в случае задания на стенке плотности теплового
потока (/.,; ф — угол наклона, отсчитываемый от вертикали.
Экспериментально показано, что при Tw -- const переход от
ламинарного течения к турбулентному на наклонных
поверхностях начинается при
(ОгхРг)1ф t - - 6,3-10Ч ехр (—4,95ф) (8.28)
и заканчивается при
(GrvPr)I;p2 --- 1,6- 10s exp (—3,0ф,). (8.29)
При ламинарном течении местная теплоотдача обобщена в виде
зависимости
Nu,- - 0,39 (GrxPr cos ф)0-25, (8.30)
справедливой для 2-Ю1 -. GrvPr <' (GrAPr));p,, а при
турбулентном течении представлена формулой
Хих (0,1 0,0Гд|-/л)(Ог:сРг),/3. (8.31)
Средняя теплоотдача при ламинарном течении для 1,5-10'"' <7
Gr,Pr cos \\- _ (GrfPr)Kp , обобщена формулой.
Nu, 0,54 ((ir/ Pr)°--V; (8.32)
при турбулентном для (GisPn,.,,^ ..,_'. ОггРг -< I010
Nu: ■-=-- (0,1 -г 0,05.17л) (Gr, Ргф'з. (8.33)
Формулы (8.28) ... (8.33) справедливы для 0 -д ij' ! 80'.
10о

8.3. ТЕПЛООТДАЧА ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Коли обьем жидкости невелик, то свободные движения,
возникающие у других тел или частей данного тела,
расположенных в этом оГл.еме, могут влиять на рассматриваемое течение.
Раздел;пь эти течения и рассматривать их отдельно затруднительно
или вообще невозможно.
Движение и теплоотдача в этих объемах зависят не только от
рода жидкости, ее температуры и температурного напора, но и от
формы, размеров и ориентации пространства. В рассматриваемом
случае, имеет место свободная конвекция в ограниченном или
замкнутом пространстве, называемом также иногда газовой или
жидкой прослойкой.
Для инженерных расчетов переноса тепла через прослойки
вводят понятие среднего условного числа Нуссельта
Ш "= ITrr^-T-v {8-34)
где qw — осредненная по поверхности прослойка—плотность
теплового потока; 6 — толщина прослойки; Twl и
Tw2—температуры стенок прослойки; кт — коэффициент
теплопроводности жидкости, определяемый обычно по средней по толщине
прослойки температуре среды Тт -■= 0,5 (Тт + Tw2).
Величину q:^l(Twl — Тш2) называют эффективным
коэффициентом теплопроводности прослойки и обозначают \)фф- Тогда
Nu ■ ^.,фф/Ат. Отношение Я^ффД показывает, во сколько раз
перенос тепла в прослойке выше, чем в случае чистой теплопроводности.
Поскольку рост переноса тепла в этом случае обусловлен
конвекцией, это отношение называют также коэффициентом
конвекции
е.< ■=- ^,фф/лт. (8.35)
Значение коэффициента ек позволяет легко рассчитать
плотность теплового потока, переносимого через прослойку
Qw ек-^-(Г0)1 •- Тш2) --ек<7гепл, (8.36)
где с/Теил - i! топгость теплового потока, переносимого
теплопроводностью.
Теплообмен при свободной конвекции в жидких и газовых
прослойках эффективно исследуется с помощью численных методов.
8.3.1. Горизонтальные прослойки
Рассмотрим горизонтальную прослойку, образованную
двумя пластинами с постоянными по поверхности температурами
и заполненную жидкостью или газом. Боковые стенки прослойки
теплоизолированы.
204

wwwlLfffVfwiwiiiwvwilf wv
V a)
;c. Я.Г, Схема гори^чп:
ttmtmittimt
DO
tfttttttttttttttt
9 *)
При подводе тепла сверху (рис. 8.5, а) при малых б и
постоянной К свободная конвекция в прослойке не возникает, т. е.
в этом случае е„ — 1 и qw ~- qren,,.
При подводе тепла снизу (рис. 8.5, 6) возникновение свободной
конвекции определяется числом Рэлея
Ra
6m
&ТЪгп РГП
Р?> С !>"■ б3
kt та pm1 m
Mm An
(' toi " " ' шг)-
(8.37)
Численным расчетом было установлено, что свободная
конвекция возникает лишь при Ra > RaKp ~ 1700. Когда верхняя
граница жидкости свободна, критическое число Рэлея уменьшается
до RaKp ~ 1100 (здесь 6 — толщина слоя жидкости).
Следует обратить внимание на то, что при подогреве сверху
слоя газа или жидкости отсутствие конвекции возможно лишь
в строго горизонтальном слое и при однородном распределении
температур на границах слоя. В этих условиях более плотная
холодная жидкость находится у нижней стенки и менее плотная —
у верхней, т. е. расслоение плотности является устойчивым.
При нагревании прослойки снизу при некоторых условиях
также возможно гидростатическое равновесие в слое газа или
жидкости. В частности, при нагреве снизу идеального газа условием
устойчивости среды будет —г— < -£—. Возникающая при -т~>
ау Ср
8
dy ^- ср " " " " "г" dy
j> -j— свободная конвекция стремится перемешать газ так,
чтобы установился в среднем адиабатический градиент
температуры. Это означает, что увеличение плотности в направлении
сверху вниз иод действием силы тяжести компенсирует
уменьшение плотности за счет нагревания нижней стенки при выполне-
dT . a
нии условия —— > -2— и гидростатическое равновесие в
прослойке нарушается. В. И. Полежаевым было показано, что
критическое число Рэлея является функцией параметра g/lcv (dT/dy)},
числа Прандтля.
При Ra „> RaKp в прослойке возникает свободная конвекция,
имеющая ячеистую структуру (рис. 8.5, б). Эго могут быть
двухмерные ячейки в виде вращающихся в противоположные стороны
«валиков», или трехмерные ячейки, которые в плане могут иметь
форму шестигранника, квадрата, треугольника. Горячая среда
205

to
ш,
кг
•
^ИА*£.&*
г
W* 2 J 4 S 6 78910'' 2 3 4 5 6789 Ws 2 3 4 5 67/?a,
m
Рис. 8.6. Зависимость коэффициента кпнпсмяш через топкие горизонтальные
пр. слойки от числа Рэлея по экспериментальным данным:
С — для воды; + — для гептана; # — для силиконового мдсла; д, д - для воздуха
поднимается вверх в центре ячеек, а холодная опускается вниз
по их краям, или наоборот.
Реализация того или иного вида ячеистой структуры зависит
от начальных условий, геометрии прослойки, неоднородности
распределения температуры и др. Имеющиеся численные решения
получены для заданных форм ячеек. При увеличении числа Рэлея
упорядоченная ячеистая структура постепенно разрушается (в
диапазоне Ra — 3-Ю4 ... 107) пока не наступит полностью
турбулентная конвекция.
С ростом Ra коэффициент конвекции возрастает. На рис. 8.6
представлены результаты экспериментов и численных расчетов
теплоотдачи через тонкие прослойки, выполненные В. И.
Полежаевым и М. П. Власюком. Число Ram определено по равенству
(8.37) с нспользоваппем в качестве определяющей температуры
Тт — 0,5 (Тш1 -г
Для расчета
формулу
коэффициента конвекции можно использовать
ек =-= С (Gr5 Pr)"„ (8.38)
где при (Gr6Pr)rn < 1700 С-
С - 0,105, п = 0,3; при 106
1, п = 0; при 1700 < (GrfiPr)m<106
C(GraPr)m ч; I0ln С --- 0,4, я -- 0,2.
8.3.2. Вертикальные прослойки
Рассмотрим вертикальную прослойку, температура
одной из боковых стенок которой равна Tttll, а другой — Т,„2,
причем Twi > Тю2. Горизонтальные стенки прослойки
теплоизолированы. Характер свободной конвекции в среде, заполняющей
прослойку, определяется числом Рэлея и отношением высоты
прослойки / к толщине прослойки б. Кроме того, на теплоотдачу
и характер течения влияют сжимаемость среды, зависимость
206

6,0
3,0
1.0
I
f*
/ /*
,^„
>— o—A^,^^
■P""-°-o ^^
i_ i ..( i i i 11
^^ о
i i~"T" i i
0,1
1,0
10
1/6 100
Рис. 8.7. Занн нм.н-тъ коэффициента конвекции or ■
прослойки для различных чисел Рэлея:
О - - зксперимгнг, - --- расчет (верхняя криная Ra-
тиопк'иил длины к ширине
"5-10*, нижняя--Pa 104)
теплофизических свойств от температуры и характер распределения
температуры по поверхности стенок.
При малых значениях числа Рэлея Ras свободная конвекция
практически не влияет на процессы переноса тепла, определяемые
целиком теплопроводностью. С ростом Rau возникает
конвективное движение. Около горячей стенки жидкость движется вверх,
а у холодной — вниз. Это увеличивает теплоотдачу, если
пограничные слои на горячей и холодной стенках не касаются друг
друга. Если пограничные слои сомкнулись, профиль температур
линейный и тепло через них передается только теплопроводностью,
т. е. ек ----- 1. При Ijb -> со основная часть прослойки занята
сомкнувшимися пограничными слоями и тогда е„ —>■ 1. При //6 —v 0
и теплоизоляции горизонтальных стенок теплообмен также будет
происходить только за счет теплопроводности.
Зависимость гк от //б имеет максимум. Рис. 8.7 показывает,
как изменяется коэффициент ек в зависимости от //6 для двух
значений Rae. Максимальное значение е„ приходится на 1/5 ~ 1,5.
Для этого значения //б на рис. 8.8 показаны изотермы (г) ~ (Гш1 --
— - 7')/(Гш, — Гц,.,), линии тока \{- и профили скоростей для
ламинарной свободной конвекции по данным В. И. Полежаева.
Рис, - S Оацпопарное распределение в вертикальной прослойке нзшерм (а),
линий гока [и), скорости (а) для //6 = 1,5 я Ra= 104
207

igRa
Риг. 8.9. Основные режимы
конвективного движения в вертикальном слое
при Рг -- 0,7:
I -- стлцнонарный одноячейковый режим,
II - стлцнонарный многоиченкотлй
режим; Ш --- нестационарный многоячей-
ковый режим
В этом случае возникает
двухмерный вихрь. Жидкость по
высоте стратифицирована:
горячая расположена выше
холодной.
Рекомендуется для расчета
теплообмена в вертикальных
прослойках в диапазоне //6 =
= 1 ...20; Рг = 1 ... 1000; Ra =
= 10э ... 107 зависимость
e„r-.0,28(Rae)°-::5(//6) °--5.
(8.39)
Из нее следует, что в случае
экранной изоляции,
заполненной газом, более эффективными
будут длинные прослойки, не
разделенные горизонтальными
перегородками.
Режим течения и теплообмена
в вертикальных прослойках при
постоянных значениях Twl и Tw2 определяется безразмерными
параметрами Ra, Pr и 6/7, или их сочетаниями. На рис, 8.9 в
координатах Ra и 6/7 приведены границы конвективной
устойчивости. Для больших значений б// вблизи Ra -■-- 10° проходит
граница между стационарным и нестационарным режимами и граница
между течениями с разной структурой. При Ra — 10:i перенос,
тепла происходит путем теплопроводности. Увеличение Ra до 104 ...
Ю6 приводит к возникновению системы вытянутых по
вертикали ячеек. Расстояние между ячейками зависит от определяющих
параметров. При Ra ^-- 2-10° взаимодействие встречных потоков
ослабевает; между ними образуется застойная зона, что ведет
к исчезновению системы вихрей. Влияние устойчивой
стратификации усиливается и приводит к тому, что вблизи горцев
образуется зона повышенной устойчивости и основная циркуляция
оттесняется из этих областей. При Ra -3-Ю5 возникает новая
форма движения: восходящий вдоль нагретой стенки ноток разделяется
на высоте 0,75/ на две части, одна из которых продолжает
восходящее движение, а другая переходит во встречный поток вдоль
холодной стенки, который аналогичным образом расщепляется па
высоте 0,25/.
При Ra = 7-Ю5 появляются колебания температуры н
скорости в пристеночной области, Дальнейшее увеличение Ra до
(2 ... 4)- IО6 .... 10я и соответствующее повышение интенсивности
движения приводит к появлению нерегулярных вихревых
структур, характерных для переходного и турбулентного
режима,
208

8.4. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ
И ОПОРОЖНЕНИИ ЗАМКНУТЫХ ЕМКОСТЕЙ
8.4.1. Методика расчета процесса заполнения
емкости газом и вытеснения из нее жидкости
Задача расчета теплообмена в замкнутых емкостях при
их заполнении горячим газом и вытеснения из них жидкости весьма
сложна и актуальна. В данном случае имеют место нестационарные
процессы теплообмена между горячим газом и стенками емкости,
а также между газом и зеркалом жидкости. Интенсивность этих
процессов определяется характером изменения температур стенок
и зеркала жидкости, т. е. данную задачу нужно решать в
сопряженной постановке. Использование коэффициентов теплоотдачи,
зависящих от нестационарных граничных условий, позволяет при
заданных геометрических параметрах емкости, расходе горячего
газа и его температуре на входе определить изменение по времени
температуры стенки и средней температуры газа. Это позволяет
в конечном итоге рассчитать количество горячего газа,
необходимого для вытеснения жидкости из емкости.
Движение в газовой подушке обуславливается как свободной
конвекцией (из-за разности температур, стенок и газа), так и
вынужденным движением газа от входного устройства до зеркала
в процессе вдува газа в бак. Поэтому и теплообмен газа со стенками
и зеркалом обуславливается совместным влиянием свободной и
вынужденной конвекции. Надежные
данные по тепло- и массообмену в
газовой подушке могут быть получены
только в специально проводимых
экспериментах, тщательно моделирующих
условия работы реальных баков.
Существующие системы расчета
ставят своей целью определение
температуры газа Ть и расхода газа Gb0.
Для этого рассматриваются для
газовой подушки уравнение сохранения
массы (рис. 8.10)
^IL = Gb (8.40)
и уравнение сохранения энергии
-71 г Р-тг-— h — Ць, (0-41)
где р6 — плотность газа в подушке;
Уъ — объем газовой подушки; т —
время; Gb — суммарный расход газа,
поступающего в подушку, Gb = Gb0 —
— GTp — GKC—Ga (Gb0—расход газа, по-
209
Рис. 8.10. Схема емкости
при ее заполнении газом и
сливе жидкости

пающего в емкость; GTp—расход газа на вытравливание через
предохранительный клапан; GKC — расход пара,
сконденсировавшегося на стенках; G3 — расход пара, сконденсировавшегося на
зеркале); иь = срЬТь — удельная внутренняя энергия газа в
сосуде;
* Ь = (Jbo'bO ^тр'тр ^кс'кс ^з'з == ^ЬосрЬо' Ьо — GTpCp трУ тр —
^ис^р кс-' кс ^з^рз^ з = Zj ^tCpi* i
i
(G;, cpU Tt — соответственно расход, теплоемкость и температура,
с которой газ поступает или уходит из рассматриваемой системы);
Qb — отток тепла в стенки и в жидкость через зеркало.
Из уравнений (8.40) и (8.41) получаем выражение для скорости
изменения температуры газа в баке:
,т h — Qb — P—7- ОьСоьть
£±Jl = Ц. . (8.42)
Для расчета оттоков тепла к стенкам бака и к жидкости в
общем случае необходимо рассматривать нестационарное трехмерное
температурное поле в газовой подушке. Однако в практических
расчетах нас обычно интересуют не температурные поля, а лишь
изменение по времени средней температуры газа и тепловых
потоков в стенку и зеркало. Поэтому в инженерной практике
вводится средняя температура газа Ть, а влияние реального
трехмерного температурного поля учитывается зависимостью
коэффициента теплоотдачи от граничных условий, геометрии бака,
зависимости свойств газа от температуры и т. д.
Обычно в газовой подушке нет существенных градиентов
температур по радиусу бака и по углу; существенно только изменение
температуры газа по высоте бака. Этим обстоятельством
существенно упрощено определение средней температуры газа по слоям
и средней температуры по всей газовой подушке.
При практических расчетах рассматривается либо осредненная
система, в которой не учитывается изменение температуры газа и
коэффициента теплоотдачи по поверхности бака, а учитывается
их изменение только по времени, либо распределенная система,
в которой температура газа и коэффициент теплоотдачи являются
функцией координаты вдоль оси бака х и времени т.
Первую систему называют иногда нольмерной, вторую —
одномерной. В первом случае рассматривается средний коэффициент
теплоотдачи по поверхности газовой подушки а (т) и суммарный
поток тепла от газа в стенки:
Qbw = a(x)F(Tb-Tw), (8.43)
где Tw — средняя температура стенок; F — поверхность; Ть —
средняя температура газа в подушке.
210

Для одномерной модели
X X
Qbw = J dQbw = j a (x, x) (Tb - Tw) nD dx, (8.44)
о о
где D — диаметр бака, Tw — температура стенки в данном
сечении.
Для расчета теплообмена с зеркалом жидкости для обеих
систем рассматривается средний коэффициент теплоотдачи и
средняя температура газа в подушке.
При расчете теплообмена необходимо знать притоки тепла из
окружающей среды или потери тепла в окружающую среду для
поверхности бака, контактирующей с газом, Qbw окр и для
поверхности, контактирующей с жидкостью, Q![aoKp (см. рис. 8.10).
Для определения тепловых потоков от газа к стенке Qbw и
от газа в зеркало Qb3, от зеркала к жидкости Q3l и от стенок к
жидкости Qiw необходимо знание коэффициентов теплоотдачи.
Для замыкания системы (8.40), (8.41) необходимы уравнения
для температуры стенок бака в газовой и жидких полостях, а
также уравнение баланса энергии для жидкости (см. рис. 8.10).
Кроме этого необходимо условие для определения температуры
зеркала жидкости Т3. Если значительна доля паров жидкого
компонента в подушке, то Т3 определяется как температура
насыщения Тв при парциальном давлении паров в подушке бака.
При малой доле паров парциальное давление
неконденсирующегося газа у зеркала жидкости (следовательно, и Т3)
определяется по уравнениям диффузии для компонентов газа. Для
определения GKC и G3 необходимо произвести расчет массообмена на
стенках и зеркале.
Решение данной задачи как при использовании
сосредоточенных параметров, так и при одномерной схеме с распределенными
параметрами, выполняется численными методами.
8.4.2. Картины течения
Для замыкания приведенной в 8.4.1 системы уравне-
нений необходимо знание коэффициента теплоотдачи газа со
стенками бака (при нольмерном описании — среднего, при
одномерном— местного), а также среднего коэффициента
теплоотдачи газа с зеркалом жилкости.
Ниже излагаются результаты экспериментальных
исследований, выполненных Г. А. Дрейцером, А. С. Неверовым и А. С. Мякочи-
ным. Эксперименты ставились следующим образом. В модельный
бак, частично заполненный жидкостью, вдувался определенный
расход горячего газа и происходил разогрев стенок. При
достижении заданного давления в газовой подушке начиналось
вытеснение жидкости из бака и продолжался разогрев стенок. После
окончания слива подача газа прекращалась и шло его остывание
211

в баке. Эксперименты
проводились в двух баках различных
диаметров для двух схем вдува--
осевой струей и через
полусферический инжектор,
обеспечивающий равномерное распределение
вдуваемого газа по сечению бака.
Проведенные исследования
позволили установить следующее.
При вдуве горячего газа осевой
струей в замкнутую полость струя
практически распространяется по
законам затопленной струи до
взаимодействия с поверхностью
жидкости. На эту струю
оказывает тормозящее воздействие
архимедова сила. Измеренные,
скорости течения газа у стенки при
горячем наддуве оказались выше,
чем скорости при изотермическом
наддуве (как и скорости на оси
бака).
При вдуве в бак осевой струи
ее взаимодействие с
поверхностью жидкости протекает по
известным законам для
турбулентной струи, набегающей перпендикулярно па стенку Срис. 8.11).
Движение газа у стенки при осевом вдуве обусловлено
вторичными отраженными от зеркала жидкости потоками,
формирующими у стенки кольцевую полуограниченную струю,
направленную вверх. Распространению движений этой струи
противодействует свободная конвекция, причем тем существеннее, чем
сильнее рассматриваемый слой газа отдален от поверхности жидкости.
Непосредственного воздействия струи на стенку нет. Движение газа
у границ газовой подушки протекает более интенсивно с
увеличением скорости и температуры газа на входе и уменьшением
расстояния от среза инжектора до зеркала жидкости.
При равномерном вдуве в замкнутой полости практически по
всему сечению бака течение газа направлено вниз до
взаимодействия с поверхностью жидкости, причем амплитуда образуемых на
поверхности жидкости волн примерно в два раза меньше, чем при
осевой струе. Течение газа от инжектора типа «полусфера»
непосредственно воздействует на стенку, и это воздействие,
по-видимому, будет усилено свободной конвекцией. С увеличением
расхода газа на входе при равномерном наддуве у границ газовой
подушки реализуются большие значения скоростей. У
поверхности жидкости на движение газа оказывает влияние
волнообразование. Как и при осевом наддуве, взаимодействие газа с по-
212
Рис. 8. П. Схема «течения в баке
при вдуве осевой струи; слева от
оси — первый момент вдува, справа
от оси—последующие моменты над-
дува

верхностью жидкости можно приближенно описать с помощью
той же модели.
Проведенные эксперименты показали, что на процесс
теплообмена is газовой подушке влияют: вынужденное движение,
обусловленное вдувом газа, свободное движение, обусловленное
разностью температур газа и стенки; нестационарные граничные
условия на стопке.
8.4.3. Теплообмен в газовой подушке
Теплообмен в газовой подушке при вдуве в нее
горячего газа в общем случае зависит от чисел Рзлея (R а), Рейнольдса
(Re), температурного фактора (Тш/Ть), расстояния от инжектора,
конструкции инжектора, а также от параметра тепловой
нестационарности. При -рассмотрении теплообмена на стенках бака в
качестве такого параметра был выбран
влияющий на интенсивность теплообмена при нестационарной
свободной конвекции. Здесь / — характерный размер, определяемый
как расстояние по образующей бака от верхнего сечения
обогреваемой поверхности до рассматриваемого сечения; Т — 0,5
(Tb + Tw). Как будет показано ниже, для конкретной
геометрии инжектора опытные данные по теплообмену на стенках бака
при принятии в качестве определяющей температуры Т не
зависят от Tw/Tb, Re и расстояния от инжектора.
Опыты проводились в вертикальном цилиндрическом сосуде.
Горячий воздух подавался в сосуд, частично заполненный водой,
двумя способами: осевой струей и равномерным по сечению бака
вдувом с помощью полусферического насадка. Все исследуемые
процессы состояли из трех стадий: 1) вдув горячего газа в сосуд
с повышением давления в нем до заданного значения при x/D =
= const и Gi~ 0; 2) вытеснение жидкости горячим газом при
рьо ~- const; 3) остывание газа в замкнутом объеме при Gb0 —
-= G, --- 0.
Основные параметры эксперимента изменялись в следующих
диапазонах: Рь -= 0,1 ... 1,1 МПа; Тьо -^ 373 ... 650 К; *СЬо =
= (2,5 ... 15)- К)"8 кг/с; Gt = (0,4 ... 1,8)-10'3 кг/с; числа Рэлея,
определенные по /, Ra — 105... 5-10й; числа Рейнольдса,
определенные по параметрам газа на входе в сосуд и его диаметру, Ra0 =
= 300 ... 2000; числа Рейнольдса, определенные по диаметру
дросселя, Red = (4 ... 80)-103.
Методика расчета позволяла получать местный коэффициент
теплоотдачи на стенке aw (по высоте сосуда и по времени) и среднее
значение коэффициента теплоотдачи на зеркале жидкости щ.
Газовая полость по высоте сосуда разбивалась на 16 слоев, в каж-
213

д
о
{
(
▲
•
\
\
S
с,
_л
А
•\
)
>
~°1
т
V
к
г
1
И
1
□
**И*'
Гп
рос
Зд
дом из которых определялась
плотность теплового потока в стенку
по темпу ее разогрева, а осш
определялся как отношение плотности
теплового потока к разности
температур между газом и стенкой
в рассматриваемом слое.
Плотность теплового потока в зеркало
жидкости определялась по
балансу энергии в газовой полости, а
аг — как отношение плотности
теплового потока в зеркало к
разности между средней
температурой газовой подушки и
температурой слоя жидкости, лежащего под
зеркалом.
При осевом вдуве горячая струя
непосредственно воздействует на
зеркало жидкости, над уровнем
которого устанавливается
максимальная температура газа по
высоте сосуда, что
соответствует области растекания струи
при ее ударе о зеркало.
Воздействие струи интенсивно
перемешивает газовую подушку, по
высоте которой практически устанавливается постоянная температура
до слива. Сразу с подачей горячего газа идет прогрев пристенной
области, формирующейся кольцевой полуограниченной струей
у стенки (вследствие растекания по зеркалу и отражения у стенок
осесимметричной струи). Прогрев пристенной области тем
интенсивнее, чем ближе сечение к зеркалу жидкости. Более интенсивный
прогрев стенки в сечениях, непосредственно лежащих у зеркала
жидкости, объясняет полученные значения К = 5,46 ... 18,93
(для x/D = 1,3 .... 1,7), которые превышают значения для слоев,
лежащих выше, К = 2,56 .... 13,53 (для x/D = 0,6 ... 1,2)
(рис. 8.12). Значения К тем больше, чем раньше рассматриваемый
момент времени. Действительно, в процессе первой стадии
эксперимента с ростом давления падает дальнобойность струи, в
последующие моменты времени в пристенной области возникает
гравитационная конвекция, направленная вниз. Все это
противодействует воздействию струи на стенку, и теплоотдача
уменьшается. Теплоотдача на стенке интенсифицируется влиянием струи
тем интенсивнее, чем больше расход газа Gb0 и выше уровень
жидкости (меньше xQjD).
С наступлением второй стадии режима, когда сосуд
опорожняется и объем газовой полости увеличивается, интенсивность
пер.емешивания газа падает, ослабевает влияние воздействия струи
214
20
18
16
п
12
ю
в
6
2
О 10 20 JO W 50 60 70 ГС
Рис. 8.I2. Зависимость К от
времени для стенок бака при
различных x/D:
А, •. ■ — x/D = 0,293; 0,626;
2,359 — равномерный вдув; д, О. D —
x/D = 0,293; 0,626; 2,359 — осевой
вдув

на стенку, не наблюдается прогрева пристенной области. Для
данного периода теплоотдача на стенке обуславливается
нестационарной свободной конвекцией, К = 2,0. При остывании газа
в замкнутом объеме после отсечки подачи газа и слива
жидкости К =: 1,3, затем постепенно падает до значений, меньших
единицы, когда свободная конвекция затухает и наступает
режим нестационарной теплопроводности.
Анализ опытных данных по теплоотдаче позволил установить
линейную зависимость К = / {KTi) в логарифмических
координатах, которая расслаивается по высоте сосуда. Эта связь не
нарушается и для значений /С < 1. В сечениях, где наблюдается
прогрев пристенной области за счет воздействия струи, значения К
несколько выше (в 2—3 раза), чем значения, соответствующие
линейному характеру lg К = f (lg KTi), при тех же величинах
параметров нестационарности /СГ1. Наибольшие отклонения К
характерны для слоев, лежащих у зеркала, в начальной стадии вдува
газа, пока воздействие отраженной от зеркала струи на стенку
существенно.
При равномерной подаче газа в сосуд поля температур и
структура газовых течений в замкнутом объеме формируются иным
образом. Нет непосредственного воздействия вдуваемого газа на
зеркало жидкости. Максимальная температура газа по высоте
сосуда соответствует средним сечениям начального объема газовой
подушки, а не близлежащим к зеркалу, как для осевого вдува.
Отсутствует постоянство температуры газа по высоте сосуда.
Нет интенсивного перемешивания газа в объеме, как при осевой
подаче. Этим объясняется, что прогрев газа по высоте при
равномерном вдуве выше, чем для осевой подачи, хотя практически
температура газа на входе для двух режимов одинакова.
Пристенная область газовой подушки прогревается менее интенсивно,
чем ее центральная часть. По-видимому, по радиальному сечению
сосуда движение газа направлено только вниз (для x/D = 0,6
1,7), обусловленное возникновением нестационарной свободной
конвекции при остывании газа у холодной стенки. Теплоотдача-
на стенке и в ее верхних сечениях протекает интенсивнее. Так
К = 5 ... 9,5 для x/D = 0,793 выше, чем К = 3,5 ... 6,8 для
x/D = 1,626.
На второй стадии режима с удалением зеркала жидкости от
входного устройства температура газа существенно расслаивается
по высоте. Теплоотдача па стенке по высоте осредняется значением
К = 2,5. Однако для сечений, открывающихся из-под жидкости,
К — 5 ... 2, что объясняется быстрым ростом темпа нагрева стенки
и некоторым падением AT — Тъ — Tw для этих сечений.
Процесс остывания газа после отсечки Gb0 и G; протекает дольше, а
значение К— 1,6 затем медленно падает до значений, меньших единицы.
Опытные данные для равномерного вдува аналогично осевому
характеризуются линейной связью К — f (Кп) в логарифмиче-
215

"f
120
то
80
60
00
20
о i
i
! '
4- ,
[ ] Г Г- 1
i
H—+- 1 , ^ i
i-^ T "^ "~ ""
4U-M J
Lki-^ \-i
iwTl.t^ ,
» •« t T t I t i
<?;
0
<j
^
0
с
г'
,0/
a
bo r
1 , С
и
b ^
0 fl> «0 Л? 80 100 120 140 X,С
5)
Рис. 8.13. Зависимости Kt, Kj
на зеркале от времени:
О, • — при осевом в
равномерном вдуве для x/D — 2,43 при
расчете Nu0 no зависимостям для
стационарной конвекции (а) и по
зависимости для взаимодействия
струи с преградой (б)
ских координатах. Теплообмен
газовой подушки со стенкой при
равномерном вдуве характеризуется лишь
нестационарной свободной
конвекцией в отличие от осевого вдува,
когда на стенку воздействует
отраженная от зеркала
полуограниченная струя.
Сравнение результатов опыта с
различными режимными
параметрами (Gb0, ТЬй, рЬй, xQ/D) позволило
установить, что расслоение значений
по высоте обусловлено различными
значениями Ra. Учет влияния Ra
позволил устранить расслоение по
высоте.
Установлено превышение
теплоотдачи на стенке при равномерной
подаче газа в сосуд над
теплоотдачей при осевом вдуве.
Полученные опытные данные
обобщаются следующими зависимостями:
для равномерного вдува в
диапазонах Kti = Ю~5 .... 1; Ra, =
= 106 ... 1012; RaD = 5-10e .... 5-Ю8;
Re^ = 300 ... 2000
Nu - 0,724/Сп Ra?'09 Ra?,'6, (8.46)
где Ra; определено по характерному размеру /, a RaB
метру бака D;
для осевого вдува
по диа-
Nu --= 0,16/Сг?2
D„0'14 D«°>°7 П.Л625
Ra/ Red RaD
— )
D J
0,21
(8.47)
Формула (8.47) справедлива при KT% = Ю-5 .... 1; Ra, =
= 10J ... 1012; Red = 103 ... 2-10й; RaD = 5- 10е ... 5-108; d/D =
- 0,008 ... 0,025.
Таким образом, установлено, что теплообмен газовой подушки
со стенками сосуда в основном обусловлен нестационарной
свободной конвекцией. С целью уменьшения теплообмена газа со
стенками эффективнее использовать осевой вдув.
Опытные данные по теплоотдаче на зеркале также значительно
превышают значения Nu0, подсчитанные по зависимостям
квазистационарной свободной конвекции у горизонтальных пластин
в неограниченном объеме. Как уже отмечалось, теплообмен на
зеркале для осевого вдува протекает гораздо интенсивнее, чем
при равномерной подаче газа (рис. 8.13, а). При осевом вдуве
216

имеет место непосредственное воздействие струи на зеркало
жидкости как на преграду. Особенно это проявляется в начальной
стадии вдува (Kf = 120 ... 20), пока еще противодавление
незначительно и струя добивает до зеркала. В последующие моменты
времени струя воздействует на зеркало, как и поток газа при
равномерном вдуве, вследствие расширения и гашения скорости
по оси струи у границы раздела газ—жидкость. Теплоотдача
в этот момент времени для двух форм вдува определяется значением
К, = 8 ... 12.
Ясно, что недопустимо производить расчет теплообмена на
зеркале по рекомендации для свободной конвекции как при
осевом, так и при равномерном вдуве.
Сравнение опытных значений Nu/ со значениями Nu/,
подсчитанными по зависимости для средней теплоотдачи при
взаимодействии осесимметр-ичной струи с плоской преградой дало значения
K't = Nuf/Nuf = 3,2 ... 1,2 (см. рис. 3.13, б).
Значения Nu^ превышают Nuf в среднем на 20 ..,50%, что
можно отнести на долю интенсификации теплообмена за счет
волнообразования на поверхности жидкости и нестационарных
эффектов при остывании газа у зеркала.
Таким образом, в условиях проведенных экспериментов
теплоотдача от газа к зеркалу обусловлена непосредственным
воздействием потока газа от входного устройства. Количественно
теплообмен на зеркале при осевом вдуве можно оценить как
Nu, = K'f Nub (8-48)
где К} = 5 ... 1,5 (период Gb0 ф 0; Gt = 0); K'f ~ 2 ... 1,1
(период Gb0 =^= 0; G[ Ф 0);
Nu/
0,15 Pr0'33 Re
0,29Pr0'12Re°/38 + 16
.0,17 Do0,3
Pru'" Re
d
, , Г.-1.2Б , 15,8 Pr1'4 noo\°'8 / 15,8 Pr'/4
-+- А/ ~Г -Г578-7ГУ/8 2-3»
f5/8Re3/8 —J \rl»Re*'>
При равномерном вдуве, если определить скорость по площади
инжектора, то К; си 0,4.
8.5. ТЕПЛОВАЯ СТРАТИФИКАЦИЯ
В ВЕРТИКАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЯХ
Тепловая стратификация в емкостях возникает из-за
подвода тепла к боковой поверхности емкости или через зеркало
жидкости от горячего газа наддува. Как показал опыт применения
криогенных топлив, тепловая стратификация в баках ракет и в
хранилищах оказывается наибольшей, когда тепло подводится
сбоку. Она может быть значительной и при подводе тепла со
свободной поверхности жидкости, при тепловыделении в самой
жидкости и при подогреве емкости снизу. Для баков двигателей ле-
217

тательных аппаратов,
работающих на криогенных топливах,
стратификация нежелательна.
Явление температурного
расслоения играет важную роль при
проектировании и эксплуатации
топливных баков; оно оказывает
влияние на выбор дренажных
устройств, теплоизоляции,
насосов, конструкции бака; определяет
неиспользуемые остатки топлива
в баке, т. е. сильно нагретые
верхние слои криогенного
топлива, которые, попав в магистраль
и насос двигателя, могут
оказаться перегретыми (Те > Ts)
относительно локального давления
и вскипать, что недопустимо по
условиям работы насоса.
Давление в баке
непосредственно связано с температурой
поверхности раздела, которая
определяется процессами
конвективного теплообмена в баке.В баке
с жидким водородом повышение
температуры поверхности раздела
жидкость — пар на 1 К
сопровождается увеличением давления на ~0,4-10а Па. В результате
температурного расслоения давление в криогенных баках
значительно превышает значение, соответствующее давлению
насыщенных паров при среднемассовой температуре жидкости.
Рассмотрим широко известную модель температурного
расслоения Кларка. Температурное расслоение жидкости вызывается
происходящим в результате естественной конвекции движением
нагретой жидкости вдоль боковых стенок бака наверх и вдоль
поверхности раздела. На поверхности раздела жидкость течет
по направлению к центру бака, смешиваясь с ненагретой
жидкостью. Затем нагретая жидкость проникает внутрь бака. Глубина
проникновения увеличивается по времени, она называется
толщиной слоя температурного расслоения. Предполагается, что
течение жидкости вдоль стенок может рассматриваться как
течение в пограничном слое. В сечении х = 0 (рис. 8.14) начинает
развиваться пограничный слой, толщина которого б
увеличивается по высоте. Затем этот слой пересекается с нижней границей
слоя температурного расслоения А (%) и перемещается с этим слоем
в область V (т). Основная масса жидкости, которая не затронута
перемешиванием, сохраняет свою начальную постоянную
температуру.
218
Рис. 8.14. Схема к пояснению
модели температурного расслоения:
1 — подвод газа наддува; 2 — газ
наддува; 3 — слой температурного
расслоения; 4 — распределение скорости
и. (£/); 5 — неперемешаниая жидкость;
6 — отвод жидкости к ТНА

Для уменьшения неравномерности температурного поля в
емкости можно установить перегородки на внутренней стенке.
Во время течения вдоль загроможденной стенки тепловой
пограничный слой разрушается при встрече с перегородкой, а затем по
другую сторону развивается вновь. Перегородки снижают среднее
значение коэффициента теплоотдачи на стенке. Их влияние на
интенсивность расслоения становится существенным, когда их
ширина больше местной толщины пограничного слоя.
Для 1 ... 6 перегородок, направленных вниз, были выполнены
эксперименты на воде и азоте в вертикальных сосудах при Gr =
= Ю11 ... 6,31-1014; Рг = 2 ... 7,5; Ga = 1,6-10" ... 3-Ю16; х =
= H/D = 0,84 ... 3,427.
Путем расстановки перегородок на внутренней стенке сосуда
можно уменьшить интенсивность расслоения на 15—20% по
сравнению с сосудом без перегородок.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое свободная гравитационная конвекция?
2. Какие уравнения необходимо использовать для описания процесса
теплообмена при свободной конвекции?
3. Почему при свободной конвекции около вертикальной стенки
коэффициент теплоотдачи при ламинарном режиме течения падает с ростом расстояния
от начала обогрева или охлаждения, а при турбулентном — не зависит от этого
расстояния?
4. Что такое коэффициент конвекции для замкнутых полостей?
5. Как влияет отношение длины к высоте плоского зазора на процесс
переноса тепла в зазоре?
6. Как влияет ориентация поверхности на процесс теплообмена при
свободной конвекции?
7. Каковы особенности процесса теплообмена между газовой подушкой и
стенками бака при горячем наддуве?
8. Как сказывается влияние тепловой нестационарности на процесс
теплообмена между газовой подушкой и зеркалом жидкости в процессе наддува?
9. Каким образом можно уменьшить температурную стратификацию
топлива в баке?
10. В чем особенности одномерного описания тепловых процессов в баке?

ГЛАВА IX
ОСОБЕННОСТИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
В КАНАЛАХ
9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При внешнем обтекании пластины вязкой жидкостью ее
взаимодействие с поверхностью пластины распространяется на определенную область
потока, которую называют гидродинамическим пограничным слоем, В
пограничном слое екоропь изменяется от пуля на стенке до величины, близкой к скорости
набегающего гпнокн. на внешней границе пограничного слоя.
Толщина пограничного слоя расчет по длине пластины. Дело в том, что
изменение импульса ла.мпнарно! о потока вследствие торможения у стенки передается
вглубь со скоростью, пропорциональной коэффициенту кинематической
вязкости v. А так как поток сам движется вдоль стенки с определенной скоростью,
то более удаленные от стенки слои воспринимают это изменение, пройдя больший
путь вдоль стенки, чем близко расположенные слои. Поэтому толщина
пограничного слоя растет по длине тем быстрее, чем больше, кинематическая вязкость v
и чем меньше скорость течения потока, Турбулентный аналог кинематической
вязкости ех, называемой коэффициентом турбулентного переноса импульса,
много больше чем v, что определяет более быстрый рост толщины турбулентного
пограничного слоя, чем ламинарного.
При течении гидродинамический пограничный слой во входной части трубы
растет кольцеобразно по всей поверхности трубы. На некотором удалении от
входа пограничные слои смыкаются и все сечение потока как бы становится
пограничным слоем. Это означает, что в каждой его точке, кроме оси потока,
производная скорости по радиусу трубы отлична от нуля.
Расстояние от входа, на котором происходит смывание пограничных слоев,
называется участком гидродинамической стабилизации. В отличие от пластины,
в трубе на начальном участке поток вне пограничного слоя ускоряется, так как
в пограничном слое он тормозится.
В трубе смыкание пограничных слоев происходит на оси канала в конце
участка стабилизации. В каналах некруглой формы смыкание пограничных слоса
происходит постепенно на всей длине участка стабилизации и начинается с углов
канала. Это значительно усложняет картину течения.
Если температура стенки отличается от температуры потока, то между ними
возникает теплообмен. Однако поле температур в потоке возникает не сразу:
оно, так же как и поле скоростей, формируется на определенной длине канала.
Прогрев жидкости по нормали к стенке происходит с конечной скоростью,
пропорциональной коэффициенту температуропроводности а в ламинарном потоке
и коэффициенту турбулентного переноса тепла fq в турбулентном. Так как
жидкость движется, то по аналогии с. гидродинамическим пограничным слоем
возникает тепловой пограничный слой. Длина входного участка канала, на
котором происходит смыкание тепловых пограничных слоев, называется участком
тепловой стабилизации. Толщины гидродинамического и теплового пограничных
слоев, так же как и участки гидродинамической и тепловой стабилизации, обычно
не совпадают, даже если они начинаются в одном сечении. Обычно v Ф а или,
другими словами, число Прандтля Рг = \!а ^ 1; то же самое имеет место и при
турбулентном течении, так как турбулентный аналог числа Прандтля,
называемый турбулентным числом Прандтля Ргт = Bx/sq, обычно отличается от
единицы.
В силу этих особенностей начальных участков теплообмен и гидродинамика
на них существенно отличаются от теплообмена в области гидродинамической
и тепловой стабилизации течения в каналах.
220

В гл. IV говорилось, что решение замкнутой системы уравнений для любого
конкретного случая конвективного тег-лообмона позволяет найти поля всех пара-
w.'ipoB. О низко нна.'пп :;ч< • кое решение такой системы уравнении (в общем елу
чае трехмерной) даже для ламюырно! о течения возможно в редких елччлях.
1 IpiB.'i ., Oi." тро'. [>.-•-in нт»1'- ЭВ.Ч (я е biji-мя pa. hi up нет k]i\ г задач, где решение этой
emit мы может оин, полу н-ио численными методами
;'1ля Typf'VjH'iM w,ix [еж-пни. как <лмечнло< ь в гл. IV, система уравнений
I! общем (..'Viae получается незамкнутой. Ье удается замкнуть лишь С помощью
частные ' :«'\ |ю:ц( ней для рж пр., деления турбулентных параметров, получаемых
в полузмеинпче.'Кей теории т\'р6у„'и нтноети
И 'с же время в инженерных приложениях при расчете тенлооПменных
У'1 рой; тч на'то и не н'-.окно .oiari. распределение всех параметров но сечению
кал 1 :а , Ксыточно иии лить, Х"Ж нзменякося интегральные характеристики
течения 7 у, 7„, и qw по длине канала. Поэтому в большинстве инженерных
приложений рз< че-1 к плообмена н гидравлических потерь в каналах теилообменнпх
Vi ; poic in нот-!'а на 'uiuaie i аномертч'о, т.е. по . чти дела интегрального (по
<оч!-нн!',; онш.лши изиообменных процессов. 'I огда основные уравнения упро-
шаклеж
уравш пне неразрывности
уравнение движения
/_7^ -^--°* <0Л)
и ог <)х Ох '
где /у,- -- проекция платности массовых енл на ось х; f - - площадь поперечного
сечения канала: уравнение оперши
Щ- + с%... U.,r.-r„ + ,^-^-^.) + , ^+^. р.»,
где ("-■ периметр капала.
При одномерном описании предполагается, что вес; параметры потока
изменяются но времени и лишь в одном измерении по длине канала, т. е. по х\ а по
сечению канала они постоянны и равны некоторым средним значениям. В
качестве этих средних значений принимают:
а) среднемаесовую энтальпию
put dj
f l
J pudf
1
G
где p, n, i — плотнек ть. скорость и удельная энтальпия в струйке потока,
протекающей через данный элемент сечения какала о//; / - - полная энтальпия потока,
а 67 — кассовый расход;
б) г реднемас! овую температуру Tf, соответствующую !;;
в) среднерзеходную скорость
и = Cl(pff),
где р/ -- плотность теплоносителя при температуре Tf.
Кроме, того, в уравнении (9.2) ф < 1 — доля градиента давления,
расходуемая на кредоление сил вязкости, т. е. на преодоление тренкя теплоносителя
о стенки и ня перестройку распределения скорости. Из уравнения (9.2) имеем
*-гГ = 77БГ J [grad(-AMiv«)+2divM]^ (9-4)
221

В уравнении (9.3) а = qwl{Tw — Tf) — коэффициент теплоотдачи; ХЭф =
х —средний эффективный коэффициент теплопроводности, опреде-
~ f(dTf/dx)
ляющий перетечки тепла по теплоносителю вдоль оси канала; о — средняя
скорость роста энтропии в единице объема теплоносителя из-за необратимости
перехода кинетической энергии в тепло, в силу вязкого трения
Jtf<
fCbU
fdx
f dx
где Ф — диссипативная функция (см. уравнение (3.3)).
Для большинства теплообменных процессов в каналах первый член правой
части уравнения энергии много больше остальных трех. Поэтому уравнение (9.3)
можно упростить:
с dp
Ьсли —т— мало или теплоноситель — совершенный газ (р = pRT), то dt'y =
= cpfdTf и
^■%L+Gc,i&- = U*iTm-Ti). (9.6)
Основные три уравнения (9.1), (9.2) и (9.6) содержат 12 неизвестных: pf,
G, и, /, Fx, \|), p, cPf, Tj, U, а, Тш. Чтобы получить одномерную
математическую модель процесса, удобную для инженерных расчетов, следует замкнуть
систему уравнений и сформулировать граничные условия.
Из условий однозначности задачи должны быть заданы: поле плотности мас-
—*- -^ —*
совых сил F (обычно это гравитационное поле F = g); площадь поперечного
сечения канала /; периметр канала U.
Выпишем недостающие 6 уравнений:
G = p/u/; cpf = cpf(Tf);
Р/ = PiipT); a = a (*, г)
и $ = \|> (*, т). (9.7)
Краевые условия: т = 0 — задаются Tf = Tf (х) и G = G (х); т > 0 —
задаются G — G (т) при х = 0, а также температура стенки Tw = Tw (т, х)
или плотность теплового потока на стенке qw = qw (т, х).
Таким образом, получается замкнутая система уравнений, т. е. одномерная
математическая модель тепловых процессов в каналах. Простота этой модели по
сравнению с трехмерной достигается ценой введения двух коэффициентов <х
и \|\ Появление этих коэффициентов в одномерных уравнениях как раз и есть
следствие описания реальных трехмерных процессов одномерной теорией.
Поэтому они не могут быть определены в рамках одномерной модели и находятся
либо из эксперимента, либо из решения трехмерной системы уравнений с помощью
их определения и одномерных уравнений (9.1 ... 9.3).
Для обобщения экспериментов или численных решений трехмерной системы
уравнений скачала устанавливают, от каких параметров зависят а и я|). Это можно
сделать для каждого конкретного случая на основе анализа трехмерной системы
уравнений (или особенностей механизма процесса) и уравнений (9.1) ... (9.3).
Затем представляют размерную зависимость в безразмерном виде, используя
методы подобия и размерностей, и лишь после этого подбирают безразмерную
эмпирическую функцию, наилучшим образом обобщающую экспериментальные
данные или результаты численных расчетов.
Нахождение зависимостей для определения а и 1)5, таким образом, является
основной задачей прикладных исследований теплообменных процессов при
течении однофазных теплоносителей в каналах.
222

Заметим, что аналогичное положение наблюдается и при внешнем
обтекании тел в пограничном слое. Интегрируя уравнения пограничного слоя по тол-
шине, переходят к интегральным (т. е. одномерным) уравнениям пограничного
слоя. В них также появляются коэффициенты теплоотдачи и трения, которые
находят либо из эксперимента, либо из решения дифференциальных уравнений
пограничного слоя.
9.2. ТЕПЛООБМЕН В ТРУБАХ ПРИ ТЕЧЕНИИ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПО СЕЧЕНИЮ
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
Рассмотрим лишь некоторые специальные случаи
конвективного теплообмена в каналах, которые часто встречаются
в практике расчета теплообменных устройств двигателей и
различных систем летательных аппаратов.
В теплообменных устройствах летательных аппаратов часто
передаются большие удельные тепловые потоки. Интенсивный
теплосъем с поверхности обычно достигается при значительных
градиентах температуры теплоносителя по радиусу канала, т. е.
при больших температурных напорах (Tw ■— Tf). Теплофизические
свойства теплоносителей (коэффициент теплопроводности X,
коэффициент динамической вязкости \i, плотность р, удельные
теплоемкости ср и cv) зависят от температуры. Поэтому чем больше
температурный напор, тем сильнее изменение теплофизических
свойств теплоносителя по сечению канала. Это, в свою очередь,
ведет к перестройке профилей температуры и скорости и,
следовательно, к изменению теплоотдачи и гидравлического
сопротивления.
Анализируя систему дифференциальных уравнений вязкой
жидкости при наличии теплообмена и граничные условия,
изложенные в гл. III, а также уравнения (9.1) ... (9.3), можно
установить, от каких размерных параметров зависит коэффициент
теплоотдачи. Масштаб изменения теплофизических параметров
учитывают введением их значений при среднемассовой
температуре теплоносителя в данном сечении трубы диаметром d и при
температуре стенки Tw. Такой анализ для стационарного течения
теплоносителей дает следующую размерную зависимость для
коэффициента теплоотдачи:
a = f[d, х, и, g$ (Tw— Tf), pf, Pa,, kf, Xw, fi,, \iw, cPf, cpw].
Применяя к этой зависимости я-теорему теории размерностей
или приводя систему уравнений к безразмерному виду (см. гл. III),
получим соответствующую безразмерную зависимость:
Nu, = / (x/d, Re„ РГ/, Gr„
Рш/Р/, K/h> fWP-л cPw/Cpf). (9.8)
Аналогично для коэффициента гидравлического сопротивления
найдем
lf = f (x/d, Re,, Gr,, рш/р,, [iJiif, IJlf, cpw/cPf), (9.9)
223

где Nuf — ad/Xf — число Нуссельта; Grf — g$ {Тш — Tf) x
X Pfd"'/\i'f —число Грасгофа; Re# — p,ud/af— число Рейнольдса
(и = AG/pnd% — среднерасходная скорость); Рг,- = ufpf/kf —
число Прандтля; |^ = jjto коэффициент
гидравлического сопротивления.
В большинстве случаев для газов и капельных жидкостей
вдали от критической точки зависимость теплофизическнх свойств
от температуры можно представить в виде степенной функции:
Р/Ро = (Т/Т0)\ ХДо = (Т/Т0)\
Н-/М-0 = (Т/Т0р»; ср/ср0 = 1Т/Т0)\
где пр, пк, пи, пс — константы, в общем случае зависящие от
рода теплоносителя и интервала температур, причем пр может
зависеть и от давления.
9.2.1. Капельные жидкости
У различных теплоносителей не все физические
свойства изменяются с температурой одинаково. Например, у
капельных жидкостей наиболее сильно изменяется вязкость, т. е.
отношение |v/|А/, и гораздо слабее плотность pw/pf,
теплопроводность XJXf и теплоемкость cpa,/cpf.
Следовательно, можно ожидать, что, оставаясь достаточно
точными, для капельных жидкостей уравнений (9.8) и (9.9)
упростятся соответственно:
Nil, = / (x/d, Gr,, Рг/, |v/M.y Ref);
It = / (x/d, Gr,, Re7, \ij\>.t).
У капельных жидкостей изменение температурных напоров
(Tw — Tf) в сечении канала в первую очередь приведет к
изменению профиля скоростей (поскольку наиболее сильно изменяется
вязкость) и, как следствие этого, к дополнительной деформации
профиля температур. Изменения профилей скорости ч температур
будут большими в ламинарных потоках и меньшими в
турбулентных. В турбулентных потоках профиль скорости зависит от ц
лишь около стенки, где динамическая вязкость и турбулентная
динамическая вязкость щ (см. гл. III) соизмеримы или (х >> |хт.
В ядре потока fiT ~^> \i. Однако интенсивность турбулентности, а
значит величина и распределение |лт по радиусу трубы косвенно
зависят от \i, так как от него зависит градиент скорости около
стенки dujdr, который входит как множитель в слагаемое
уравнения баланса турбулентной энергии ри'хи'г (диу/дг),
определяющее переход кинетической энергии осредненного движения потока
в кинетическую энергию турбулентных пульсаций, т. е.
определяющее порождение турбулентности.
224

На рис. 9.1 показаны
типичные изменения скорости, массовой
скорости рих> температуры и
плотности теплового потока по
радиусу трубы при ламинарном
течении масла МС-20 в условиях
нагрева (кривые / и 2) а в
условиях охлаждения (кривые 3 и 4).
Как видно, при нагреве,
когда температура масла растет or
оси к стенке, а вязкость,
наоборот, падает (pwVr) < i. профиль
скорости становится более
заполненным (кривые 1 л 2) вследствие
того, что касательное
напряжение т = р. (дих/дг) изменяется
линейно по радиусу трубы от тш на
стенке до нуля на оси. При
нагреве, несмотря на некоторое
уменьшение плотности масла с
ростом температуры, профиль
массовой скорости рих тоже
становится более заполненным.
Теплоемкость ср капельных жидкостей
i rfc. 9,1. Распределение свойств
масла по радиусу трубы при
ламинарном сечении:
п — температуры; б — скорости; в —
масс скорости; г — плотности
теплового потоке (Го и о-з — значения на
оси трубы); ) .. 4 — V-wjV-f — 0,163;
0,460; 3,82; 51,3 соответственно;
постоянные физические свой-
при нагреве изменяется мало,
а у масла даже немного растет.
Следовательно, количество тепла,
переносимое жидкостью сррих,
протекающей около стенки, при
нагреве возрастает, что улучшает
съем тепла. Поэтому
распределение удельного теплового потока
по радиусу приближается к линейному, а профиль температуры
становится более заполненным. При охлаждении (и-ш/Р-/) > *
картина будет существенно отличной (кривые 3 и 4) в силу
обратного изменения упомянутых свойств.
В ламинарном потоке влияние изменения вязкости на
теплообмен мало зависит от характера температурного граничного условия
по длине трубы. Это влияние почти одинаково при Тш — const
и qa — const и в первом приближении может быть учтено
зависимостью
Num - Nuo Ыц,)-", (9Л°)
где п = 0,14 ... 1,16; Num соответствует определению теплофк-
зичееких свойств среды при осредпенной температуре Тп, —
~ ~2~ (Tw + Tf), a Nuu — при постоянных физических свойствах
(малые значения Tw — Tf).
о Авдуевский
225

При турбулентном течении капельных жидкостей качественно
картина изменения профилей скорости и других параметров
напоминает рис. 9.1, Как в ламинарном, так и в турбулентном
потоках при нагреве теплоотдача растет, а сопротивление падает.
При охлаждении — наоборот.
По данным эксперимента для турбулентного течения в
диапазоне значений \ij\i, = 0,08 ... 40; Re = 10* ... 1,25 106; Рг =
= 2 ... 140 Nuf/Nu0 = {\iw/\if)~n, где п = 0,11, при нагрузке и
п = 0,25 при охлаждении.
Гидравлическое сопротивление в диапазоне \iw/\if = 0,3 ... 2;
Re = 104 ... 3-Ю5 и Рг = 1,3 ... 10 можно рассчитывать при
нагреве капельных жидкостей ([хш/[Х/ < 1) по зависимости
где В = (i^/m, — 1) ((Ущ»)0"17; n = 0,17—2-10е + 1800/Re, а при
охлаждении (\iwf\if^> 1) по рекомендации Б. С. Петухова
№ - GWM0-24-
9.2.2. Газы
Кривые изменения по радиусу скорости и других
параметров при ламинарном течении газов качественно аналогичны
кривым на рис. 9.1, но по эффекту нагрев у газов совпадает с
охлаждением капельных жидкостей, а охлаждение — с их нагревом.
Различное протекание кривых для газов и жидкостей объясняется
противоположным характером зависимости вязкости от
температуры.
У двухатомных газов, как показали численные расчеты,
влияние всех физических свойств при ламинарном течении с хорошим
приближением может быть учтено введением в уравнениях (9.8)
и (9.9) лишь одного температурного фактора.
В турбулентном течении газов изменение теплофизических
свойств, особенно плотности, существенно влияет на интенсивность
порождения турбулентных пульсаций
— ри'хи'г (дих/диг).
Порождение турбулентных пульсаций, т. е. переход
кинетической энергии осредненного потока в кинетическую энергию
турбулентных пульсаций, происходит, главным образом, около
стенки и определяется в трубе произведением турбулентного
касательного напряжения —рихи'г на градиент осредненной скорости
дих/диг, т. е. членом —pu'yur-dujdr. Характер изменений
профилей температуры, скорости, плотности теплового потока,
массовой скорости и коэффициента турбулентного переноса импульса
при нагреве и охлаждении воздуха в трубе по данным численного
расчета представлен на рис. 9.2.
226

>
'l
"xlux
4
f
1
*>**
Ь
1==
--*■
При нагреве газа Tw/Tt>l f^W/fo V
плотность его около стенки
падает, что снижает
интенсивность порождения
турбулентности и значение
турбулентной теплопроводности Хт,-
зато К около стенки
возрастает. Поэтому тепловое
сопротивление тонкого слоя
около стенки (где % ^> Хт)
уменьшается, а всего
остального потока (где к <^ Я,т)
возрастает. Уменьшению р
способствует также ускорение
потока газа.
Доля тепла,
воспринимаемая газом, протекающим
около стенки (где X ~^> Х.с),
вообще не велика, а из-за
падения плотности при нагреве
она становится еще меньше.
Этот тонкий слой газа около
стенки при нагреве играет
роль своеобразной изоляции
для теплового потока,
который проходит через него и в
основном расходуется на
нагрев более удаленных от
стенки слоев газа. Поэтому
некоторое увеличение теплопроводности в тонком слое около стенки не
может компенсировать уменьшение А,т в остальном потоке.
Результатом является падение коэффициента теплоотдачи при
нагреве газа.
Для расчета теплоотдачи при нагреве простых и многоатомных
т
по
100
да
60
w
20
О' 0,2 0/t 0.6 (f-r)/ra
О 0,2 Ofi 0,6 (1-r)/r0
Рис. 9.2. Влияние нагрева и охлаждения
воздуха на распределение по радиусу
трубы безразмерных параметров потока
при Rea) = 4,3-104; Рг = 0,7 ... 0,71:
/ — нагрев при Т lb * ~ 3,11; 2 —
охлаждение при TIT. — 6,383;
постоянные фнзические свойства
—
/
/
У
—
^>
т2^
[ /
2%
/
L
газов в диапазоне Tw/Tf = 1 ... 6
комендована зависи мость
Nu, = 0,022ег Re°'
и Re = 7-К)3 ... 1,25-10* ре-
РгГ X
X
_ Го.бз+г Ш te -^1
(cPJcJ!\Klh)V\TJTt) L ' uf J
, (9.П)
где влияние расстояния от начала обогрева учитывается двумя
поправками:
f (x/d) и ег = 1 +-tSt- ехР (-0Л7х/ф. (9.12)
ег учитывает большее значение теплоотдачи на участке тепловой
стабилизации длиной (20 ... 25) d, имеющее место и при маломе-
8* 227

няющихся теплофизических свойствах, а / (x/d) учитывает
изменение влияния значения Tw/Tf на теплоотдачу следующим образом:
х\ а
f (x/d)
10
0,11
20
0,24
30
0,3S
40
0,55
50
0,73
60
0,89
70
1,02
80
1,13
90
1,21
100
1,27 ... 1,5
Подобное влияние объясняется отчасти тем, что среднемассовая
температура теплового пограничного слоя TVпсущественно
отличается от Ту, приближаясь к ней с ростом x/d. Поэтому при
нагреве газа (Tw/Tf > TJJ\. п) и нужно брать Tw/Tf в меньшей
степени, чтобы получить тот же эффект влияния на теплоотдачу, как
если бы мы взяли Tw/TT_n.
Для нагрева одно- и двухатомных газов проведено много
исследований, результаты которых сравнительно близко
совпадают. Например, для Re = !■ Ю8 ... 2-106; x/d = 1,2 ... 144;
TJT, = 1 ... 7,5;
Ми,- = 0,024 Re?'8 Pr?'4 (Tw/Tfr°J [1 + (x/d)~0J (Tw/Tff7]. (9.13)
Гидравлическое сопротивление при нагреве газов падает,
так как уменьшается интенсивность порождения турбулентности.
Некоторые исследователи рекомендуют
It = 0,316/Re?'25 (Tw/TfT0-6 [1 -j- (x/d)-0'9 (TJT;f6]. (9.14)
При охлаждении двухатомных газов эксперименты при
TwjTf — 0,15 ... 1 не обнаруживают влияния температурного
фактора ни на теплоотдачу, ни на гидравлическое сопротивление,
если за определяющую температуру принята Tf. Это можно
объяснить возрастающей ролью тонкого пристенного слоя. При
охлаждении газа в нем растут плотность и доля воспринимаемого
им тепла. Поэтому падение в нем X компенсируется частично
ростом выработки турбулентности и, следовательно, Х7 в остальном
потоке, а отчасти радиальными перетечками газа, которые могут
возникать из-за разной скорости падения температуры газа на
оси канала и около етенкк и замедления газа.
Аналогично этому падение гидравлических потерь из-за
уменьшения и. около стенки компенсируется ростом интенсивности
порождения турбулентности, вследствие увеличения выработки
турбулентности и возникновения радиальных перетечек тепла при
замедлении газа.
В околокритической области состояния вещества, где все
физические свойства изменяются существенно и в разной степени,
обобщать экспериментальные данные приходится в виде уравнения
(9.8) и (9.8). Так же можно обобщать данные для равновесно
диссоциирующих газов, если под их теплофизнческими свойствами
понимать так называемые эффективные значения, рассчитанные
с учетом реакции диссоциации.
228

9.3. ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА
Перед конструкторами теплообменных аппаратов (ТА)
всегда стоит главная задача, добиться минимальных габаритных
размеров и массы аппарата при заданных суммарном тепловом
потоке Q, гидравлических потерях, температурах и расходах
теплоносителей. Если поверхность теплообмена выбрана, то заданные
условия однозначно определяют габаритные размеры и массу
ТА и температуру стенки ТА или генерирующего теплоустройства.
Естественно конструктор стремится выбрать такую форму
каналов, чтобы в единице объема поверхность теплообмена была
максимальной. В каждом конкретном случае это стремление
ограничено соображениями надежности, технологичности и удобства
эксплуатации конструкции ТА. В результате учета всех
соображений к требований конструктор приходит к некоторому
компромиссному решению.
Следовательно, выбор теплообменной поверхности — один из
важнейших моментов создания любого теплообменного устройства.
Лучшей будет та поверхность, которая при прочих равных
условиях обеспечит наибольший коэффициент теплоотдачи. Поэтому
интенсификация теплообмена в каналах — реальный путь к
уменьшению габаритных размеров и массы ТА и к снижению
температуры стенок при охлаждении элементов конструкции или атомного
реактора.
Метод интенсификации определяется характером течения
(однофазное или двухфазное, ламинарное или турбулентное и др.).
Рассмотрим методы, интенсификации теплообмена только при
турбулентном течении однофазного теплоносителя в прямых каналах.
Для таких течений часто возникает идея интенсификации
теплообмена путем искусственной турбулизации потока. Этого можно
достигнуть закруткой потока, созданием в нем вихрей, отрывных
зон и др. Но все эти способы связаны с увеличением
гидравлических потерь в канале, поэтому важно иметь критерии для оценки
целесообразности методов интенсификации теплоотдачи. Удобно
сравнивать каналы, имеющие устройства для искусственной
турбулизации потока, с такими же гладкими каналами без этих
устройств. Тепловой и гидравлический расчеты теплообменных
устройств (см. гл. ХШ) для выбранных типов и эквивалентных
диаметров гладких каналов однозначно определят их размеры, числа
Рейнольдса в них и температуры стенск.
Интенсификация теплообмена в этих каналах увеличит по
сравнению с гладкими как число Нуссельта Nu/Nu0, так и
коэффициент гидравлического сопротивления |/£0. Важно найти такие их
значения, при которых поверхность теплообмена (габаритные
размеры и масса) уменьшится, что при заданных габаритных размерах
обеспечит и уменьшение температуры стенки.
Для определенности рассмотрим трубчатый ТА, в котором
один теплоноситель течет в трубах, а другой — между ними в
параллельном направлении. Пусть теплоноситель в трубах имеет
229

меньший коэффициент теплоотдачи при допустимом значении
гидравлических потерь. В этом примере в первую очередь следует
интенсифицировать теплообмен в трубах.
Запишем уравнения для теплового потока, потерь давления
и расхода теплоносителя:
Q = Fa\fw-ft\ = kF ATI
Ар = А\ Re2 Ijd; (9.15)
G = В Re nd,
где А я В для данного теплоносителя и диаметра трубы —
размерные константы; п — число трубок в пучке; I — длина трубок.
Тогда при заданных значениях Q, Ар, G можно получить:
(Nu/Nuo)? > (£/Ы. (Re/Reo)1,2 (fw - Tff0/(TW - fff. (9.16)
Если интенсификация в каналах сопровождается выполнением
условия (9.16), она обеспечивает уменьшение габаритных
размеров теплообменного аппарата.
Из уравнения (9.15) получаем Tw — Tf = — AT. Без учета
термического сопротивления стенки коэффициент теплопередачи
k = aa,J(a + а2), где а2 — коэффициент теплоотдачи в
межтрубном пространстве. Тогда Tw — Tf = —~— AT и нера-
венство (9.16) будет иметь вид
I Nu0 /i-^V go Л V Re0 ; l NuJ Uo + cJ' ^ '
Таким образом, интенсификация теплоотдачи внутри труб
наиболее эффективна, если она сопровождается такой же или
большей интенсификацией теплоотдачи в межтрубном пространстве
или если а2 ^> а. Помимо удовлетворения условию (9.17) метод
интенсификации теплоотдачи должен быть технологичным как
при изготовлении поверхности теплообмена, так и при сборке,
и не должен снижать надежность и эксплуатационные качества ТА.
Удовлетворить всем этим требованиям не так просто. Поэтому
из большого числа описанных в литературе методов
интенсификации на практике используются лишь немногие. Остальные либо
не технологичны, либо не удовлетворяют неравенству (9.17).
Найдем, каким должен быть метод интенсификации
теплообмена, чтобы наилучшим образом удовлетворять неравенству
(9. J 7). Из уравнения для плотности теплового потока в
направлении радиуса трубы q = (X + %т) ~ = срр (а + eq) —^- и
pr-ic. 9.2 нетрудно прийти к выводу, что большая часть
располагаемого температурного напора срабатывается в тонком пристенном
слое. В нем q близок к qw, а е? мало. Этот слой тем меньше, чем
больше число Прандтля. В ядре потока, где q мало, а еч велико,
230

срабатывается не более 20—30% располагаемого температурного
напора у газов и не более 5% у жидкостей с Рг > 1.
Значит искусственная турбулизация должна увеличивать
интенсивность турбулентных пульсаций и гч только в тонком слое
около стенки. Нет смысла затрачивать энергию на увеличение eq
в ядре потока. Дополнительная турбулизация всего потока
значительно увеличит \ и очень мало увеличит число Nu, Покажем,
каким образом можно увеличить значение ед около стенки, прак-.
тически не изменяя его в ядре потока.
Анализ показывает, что этого можно добиться созданием
небольших отрывных зон (вихрей), расположенных около стенки на
определенных расстояниях по длине канала. При образовании
вихря около стенки на его верхней границе градиент скорости имеет
максимум, а турбулентное касательное напряжение ри'хи'г
достаточно большое значение. Поэтому порождение турбулентных
пульсаций рихи'г —~г— на верхней границе вихря происходит
весьма интенсивно.
Возникшие продольные пульсации скорости, распадаясь,
передают свою энергию более мелким пульсациям. Причем энергия
проходит сложный путь через пульсации давления к поперечным
пульсациям и т. д., пока не произойдет ее диссипация. За это
время пульсации скорости переносятся основным потоком вдоль
линий тока и диффундируют в стороны от них. Если вихрь него
граница расположены близко к стенке, то возникшие на ней
пульсации скорости увеличат е? вблизи стенки и тем самым
интенсифицируют теплоотдачу.
При слишком частом расположении таких вихрей энергия
возникших на них пульсаций скорости не успевает затухать на пути
до следующего вихря и, в основном, диффундирует в ядро потока.
Так происходит в шероховатых каналах, в которых ед
увеличивается по всему сечению канала. Это нерациональный метод
интенсификации теплоотдачи, так как дополнительная
турбулизация ядра потока почти не увеличивает теплоотдачу, ибо в ядре
потока ед и так достаточно велико, a q — мало, но ведет к большим
гидравлическим потерям.
Целесообразно вихри около стенки располагать на таком
расстоянии друг от друга (порядка 10 высот турбулизатора и больше),
чтобы кинетическая энергия возникших на вихрях пульсаций
частично успевала диссипировать на пути до следующего вихря.
Тогда ее диффузия в ядро потока будет несущественна.
Большие вихри также нерациональны. Они ведут к большим
гидравлическим потерям, а возникшие на их верхней границе
пульсации переносятся потоком далеко от стенки и турбулизируют,
в основном, ядро потока.
Вихри можно образовать, разместив на стенке поперек потока
небольшие выступы или канавки. В случае выступов некоторую
роль в интенсификации теплоотдачи будет играть подвод тепло-
231

NuiNua
• 0,2 0,5 1,0 2 у RP-W"
Рис. 9.3. Влияние числа Re на эффективность интенсификации теплообмена:
/ — Re = Re* (граница слабой зависимости Nu/Nun от Re); 2 — d/D = 0,983; t/D = 0,5;
3 — d/D = 0,Э6С; t/D = 0,5; 4 — d/D = 0.943; f/D « 0,5; 5 — d/D = 0,9!2; </u =
«= 1,0; в — <//D = 0,92, t/D = 0,5; ,' — <z"/i) = 0,375, t/D = 0,5
носителя из ядра потока к стенке в зоне присоединения потека.
В качестве примера метода интенсификации теплоотдачи,
разработанного с учетом сказанного выше, можно привести метод,
предназначенный для интенсификации теплообмена в трубах
и трубных пучках при их продольном омывании.
Трубка по специальной технологии накатывается роликами.
На ее внешней поверхности образуются периодически
расположенные поперечные канавки, а на внутренней — выступы (диафрагмы)
с плавной конфигурацией (рис. 9.3). Эта трубка при оптимальных
типах накатки сохраняет прочность, обеспечивает интенсификацию
теплоотдачи с двух сторон и не изменяет технологии сборки;
стоимость ее накатки низкая.
Для определения соотношений Nu/Nu0 и |/£0 внутри таких
накатанных труб были проведены исследования на газах, воде
и водно-глицериновых смесях и других теплоносителях при
различных сочетаниях d/D и t/D. На рис. 9.3 представлена
зависимость Nu/Nu0 от числа Re для различных размеров диафрагм.
При ламинарном течении между выступами диафрагм создаются
застойные зоны. Они служат дополнительным термическим
сопротивлением и ухудшают теплоотдачу. Но с ростом x/d этот эффект
уменьшается, благодаря возрастающему влиянию свободной
конвекции.
При увеличении числа Рейнольдса за диафрагмами возникают
вихри, что приводит к росту уровня возмущений в потоке и
переходу к турбулентному течению при меньших, чем в гладкой трубе,
критических числах Рейнольдса. Заметное уменьшение значения
ReKp наблюдается при d/D < 0,94. Например, при d/D —
= 0,875ReKp — 1580 вместо ReFp = 2300 для гладкой трубы.
Переход к турбулентному течению, как и в гладких трубах,
сопровождается возникновением турбулентных пробок. Возникнув
в начальных сечениях трубы, эти турбулентные пробки, чередуясь
232

' 0,86 ujio o,4i* от it/в ' J>
Рис. У.4. Влияние ;шсиш тур- Рис. 9.5. Слрмы каналов, образованных плот-
булизаторов на эффективность ной упаковкой шахматного пучка труб (а);
интенсификации теплообмена sldH = 1 (б)
(t/D = 0,5):
/ — Рг = 5; Ке = 4. 10s; 2 — Рг —5;
Re = 4. 10*; 3 — Рг =-- 0,7; Re =
=4. 10'
с ламинарными (перемежаемость течения), движутся вниз по
течению. В этом движении они непрерывно увеличивают свою длину;
теплоотдача в них почти в 2 раза выше, чем в ламинарных пробках.
Диапазон чисел Re, в котором наблюдается перемежаемость,
меньше, чем в гладких трубах.
Как видно из рис. 9.3, теплоотдача в переходной области
течения (ReKp <C Re -< Re*) выше, чем в гладких трубах, особенно
при djD <Z 0,94. При развитом турбулентном течении (Re >
> Re*) отношение Nu/Nu0 слабо зависит от Re. При больших
числах Re это отношение может уменьшаться.
С ростом чисел Re или Рг толщина слоя, в котором
срабатывается в гладкой трубе основная часть (90—99%) температурного
напора, все время уменьшается.
Когда верхняя граница вихря, примерно совпадающая с
верхней кромкой диафрагмы, достигает границы этого слоя (см.
рис. 9.3, поз. 1), эффективность интенсификации максимальна.
Если граница вихря выходит за этот слой (дальнейший рост Re
или Рг или увеличение высоты диафрагмы), то турбулизируются
слои с малыми градиентом температуры и достаточно большим eq.
Дополнительная интенсификация теплоотдачи в этом случае
мала, а гидравлические потери продолжают расти. На рис. 9.3
это область с Re>Re*.
Сказанное хорошо иллюстрирует рис. 9.4, на котором видно,
как с ростом чисел Re и Рг наступает «насыщение» роста Nu/Nu0
при увеличении высоты диафрагм djD,
Экспериментально было установлено, чю с уменьшением djD
влияние температурного фактора при течении газов ослабевает,
так как плотность газа около стенки с ростом турбулизации
приближается к средней для всего сечения. Для жидкостей при
нагреве влияние изменения физических свойств также ослабевает
о ростом высоты диафрагмы.
233

Для определения отношений Nu/Nu0 и £/£0 в продольно
омываемом пучке труб с поперечными канавками также были
проведены эксперименты, где было установлено, что при ламинарном
течении канавки не влияют ни на теплоотдачу, ни на
гидравлическое сопротивление.
С ростом числа Re в широкой части ячейки (расстояние 2—3
на рис. 9.5) поперечного сечения пучка труб, где наибольшие
градиенты скорости, в канавке возникает вихрь. Он обуславливает
более раннее, чем в гладкой трубе, возникновение турбулентного
течения в широкой части ячейки. Вначале турбулентное течение
охватывает малую часть периметра трубки (в районе точки 3
на рис. 9.5), поэтому оно больше сказывается на увеличении
E/Eoi чем на Nu/Nu0.
С дальнейшим увеличением Re мощность вихря растет, и он
постепенно распространяется по всему периметру канавок.
Следствием этого является быстрый рост теплоотдачи, который затем
стабилизируется. Увеличение шага расположения канавок t
заметно снижает Nu/Nu0 и £/£0.
Интенсификация теплоотдачи в межтрубном пространстве так
же, как и в трубах, уменьшает влияние температурного фактора
на теплоотдачу и гидравлическое сопротивление.
Опыты на шахматных пучках при нагреве воды при s/dH = 1,16;
1,2; 1,34; 1,4 показали, что эффект интенсификации убывает с
ростом шага (здесь s — расстояние между осями трубок пучка,
ad — наружный диаметр трубки).
В пучках труб с большим шагом эффективной будет
интенсификация путем создания поперечных небольших ребер на внешней
поверхности трубок.
Применение рассматриваемого выше (см. рис. 9.3) метода
интенсификации теплоотдачи (полученной внутри трубок и снаружи
трубок) позволяет при прочих равных условиях уменьшить
габаритные размеры и массу трубного пучка в 1,5—2 раза по сравнению
с гладким, что при дешевизне накатки, сохранении надежности и
без усложнения сборки ТА позволяет рекомендовать его для
трубчатых ТА.
Для других типов каналов на основе изложенного анализа и
примера можно выбрать свой технологический метод
интенсификации теплоотдачи, учитывающий специфику работы и производства
теплообменного устройства.
9.4. ТЕПЛООБМЕН В КАНАЛАХ НЕКРУГЛОГО
СЕЧЕНИЯ
Исторически исследования теплообмена и
гидродинамики проводились сначала в круглых трубах. Когда возникла
потребность в расчете теплообменных процессов в каналах некруглого
сечения, исследователи сделали попытку распространить на них
уже известные данные для круглых труб. Для этого предлага-
234

лось использовать формулы для труб, заменяя в них диаметр трубы
на эквивалентный диаметр рассчитываемого канала dg = if/U,
который был определен как учетверенная площадь поперечного
сечения /, деленная на периметр канала U. Для трубы d =
= 4nd2/4nd.
Так как каналы с различной формой сечения геометрически не
подобны, то из теории подобия следует, что и тепловые, и
гидродинамические явления в них не будут подобны.
Однако Л. Шиллер, Д. Никурадзе показали, что в области
развитого турбулентного течения в каналах без острых углов расчет
по формулам для труб с заменой диаметра трубы на d3 = if/U
дает удовлетворительные результаты для определения
коэффициента гидравлического сопротивления.
В турбулентном потоке гидравлические потери главным
образом обусловлены переходом энергии осредненного потока в
кинетическую энергию турбулентных пульсаций. Этот переход
осуществляется, в основном, около стенки, ибо порождение
турбулентности, равное для несжимаемой жидкости произведению
турбулентных касательных напряжений —ри'хи'г на градиент
скорости дих/ду (ось у — по нормали к стенке, ось х — вдоль
стенки), обычно максимально около стенки.
Правило эквивалентного диаметра обеспечивает приближенное
подобие лишь по переходу энергии осредненного движения в
турбулентные пульсации при равном с трубой отношении площади
сечения к периметру канала и примерно одинаковом значении
порождения турбулентности на этом периметре. Поэтому оно не
может распространяться на каналы, у которых значительная часть
периметра приходится на узкие области с малым значением
Наоборот, в каналах с более эффективным чем в трубе
использованием периметра (продольное обтекание пучка с большим
шагом s/da; кольцевые каналы с большим отношением RBJRn
и т. п.) такой расчет дает заниженные значения \.
Применение правила эквивалентного диаметра для расчета
теплоотдачи турбулентного потока может быть эффективно для
еще более узкого круга типов каналов, ибо требует наложения
дополнительных условий на приближенное подобие полей
температур около стенки.
Требования к точности расчетов возросли, и следует применять
это правило с осторожностью. Например, при продольном
обтекании турбулентным потоком шахматных пучков труб и стержней
(см. рис. 9.5, б) оно дает удовлетворительное совпадение с
экспериментом лишь в узком диапазоне изменения шага пучка s/dH =
= 1,15... 1,2.
Для ламинарных течений правило эквивалентного диаметра
вообще неприемлемо. Строго говоря, гидродинамика и теплообмен
теоретически или экспериментально должны исследоваться для
235

каждого тина некруглого канала отдельно с последующим
распространением результатов на близкие типы (например шахматные
пучки труб с разными s/dH).
При изучении теплообмена в таких каналах вопрос
оказывается еще более сложным, так как в некруглых каналах
температура стенки по периметру, в отличие от круглой трубы,
существенно изменяется. Законы распределения температуры по
периметру стенки заранее неизвестны. Они зависят не только от
гидродинамики и физических свойств теплоносителя, но и от стенки —
от ее конфигурации, размеров, физических свойств, а также от
распределения источников тепла в ней. Это вынуждает
рассматривать сопряженные задачи, когда к системе уравнений,
описывающих поток, добавляются уравнения теплопроводности для
стенки канала и условия сопряжения, т. е. условия равенства
температур и тепловых потоков на границе с двух ее сторон, а
граничные условия задаются на внешней по отношению к потоку
поверхности стенки канала.
Решение сопряженных задач, хотя принципиально и возможно,
но оно еще сложней, чем нахождение полей скорости и
температуры только в потоке при известных граничных условиях (т. е.
решение системы уравнений только для потока).
Анализируя сопряженную задачу для треугольных каналов,
можно показать, что в этом случае решение будет содержать
дополнительный параметр Фк = lkw8w/(Xfd3), где %f и kw —
коэффициенты теплопроводности жидкости и материала стенки; 6И, —
толщина стенки канала; d3 —эквивалентный диаметр. При
переменной по периметру температуре стенки возникнут перетечки
тепла как по самой стенке (пропорциональные Я,шбш), так к по
теплоносителю (пропорциональные Xfd0). Параметр Фк
характеризует отношение этих перетечек. При Фк ~> 0 перетечки тепла
по стенке отсутствуют. Это соответствует граничному условию
qw = const, а Фк ~> оо (Хш ~> оо) — граничному условию Тш =
— const по периметру канала. В реальных каналах параметр Фк
имеет некоторое промежуточное конечное значение, обычно
заранее неизвестное.
Для круглой трубы при равномерном распределении по
периметру наружной температуры стенки и источников тепловыделения
и при отсутствии свободной конвекции для любого значения
параметра Ф„ одновременно по периметру имеют место оба граничных
условия qw = const и Тш = const.
Таким образом, круглая труба — частный случай некруглых
каналов при полной симметрии по углу. Но и в круглой трубе при
нарушении симметричности граничного условия на наружной
стенке (трубы с продольными ребрами и т. п.) или
несимметричности условий теплосъема внутри (свободная конвекция в
горизонтальной трубе и т. п.) граничное условие на внутренней стенке
перестанет быть симметричным. Оно также будет зависеть от Фк
и не будет известно заранее.
236

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое одномерная математическая модель тепловых процессов в
каналах?
2. Как учитывается в эмпирических формулах для числа Нуссельта и
коэффициента гидравлического сопротивления изменение теплофнзических свойств
по сечению канала?
3. Какие существуют способы интенсификации теплообмена в
каналах?
4. Как влияет форма поперечного сечения канала на теплообмен и
гидравлическое сопротивление в нем?

ГЛАВА X
ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ И КОНДЕНСАЦИИ
10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Теплообменные процессы, сопровождающиеся
кипением и конденсацией, широко распространены в технике. Они
встречаются во многих типах энергетических установок
летательных аппаратов, в системах кондиционирования воздуха в кабинах,
при термостатировании баков, отсеков с аппаратурой и отдельных
приборов. Применение криогенных топлив для двигателей
летательных аппаратов также сопряжено с большим разнообразием
теплообменных процессов, сопровождающихся кипением и
конденсацией в области низких температур.
Для лучшего понимания процессов кипения и конденсации
рассмотрим их некоторые термодинамические особенности.
На рис. 10.1 изображено в безразмерных координатах
уравнение состояния я = / (ф, т), которое называется приведенным.
Здесь я = р/ркр; ф = v/vKp и т = Т/Гкр, где ркр, икр и Ткр —
соответственно давление, удельный объем и температура в
критической точке. В термодинамике установлено, что вещества с
близкими в критической точке значениями комплекса N = RTKp/(pvvx
X икр) (N — называется критическим коэффициентом)
описываются одинаковыми приведенными уравнениями. Такие вещества
называются термодинамически подобными, а их состояния с
одинаковыми значениями любых двух приведенных параметров —
соответственными состояниями.
Из табл. 10.1 видно, что, в частности, криогенные жидкости
имеют близкие значения критического коэффициента rV. Они
относятся к термодинамически подобным веществам.
Термодинамическое подобие следует учитывать при обобщении
экспериментальных данных по теплообменным процессам с фазовыми
переходами.
Рассмотрим процесс нагрева жидкости при постоянном
приведенном давлении лг (линия 1—6). Жидкость в точке 1, имеющая
температуру ниже температуры насыщения при данном давлении,
называется недогретой жидкостью, а разность Тв — Т (где Ts —
температура насыщения) называется недогревом жидкости.
Жидкость в точке 2, лежащей на линии насыщения (т — xs и Т = Ts)
называется насыщенной жидкостью при данном давлении (яг =
= ns) (см. рис. 10.1). Процесс 2—5 от нижней пограничной кривой
(точка 2) до верхней пограничной кривой (точка 5), происходящий
при постоянной температуре, равной Ts, представляет собой
238

Рнс. 10.1. Графическое представление уравнения состояния я — / (ф, т)
испарение со свободной поверхности жидкости. Как известно,
пар при температуре Ts называется насыщенным, а при более
высокой (например, точка 6) — перегретым, а разность Т — Ts
называется перегревом пара. Таким образом, в процессе испарения
со свободной поверхности жидкости температура ее остается
постоянной и равной Ts. Поэтому изотерма тя = const между
точками 2 и 5 совпадает с изобарой.
Если процесс происходит равновесно, то каждой точке на
участке 2—5 соответствует определенное значение массового
Таблица ЮЛ. Критические параметры некоторых веществ
Вещество
Азот
Аммиак
Аргон
Вода
Водород
Гелий
Кислород
Фреон-12
Фреон-13
гкр- к
126
405,5
150,7
647,3
33,2
5,2
154,3
384,7
487,3
Ркр> МПа
3,28
10,93
4,71
22,13
1,25
0,225
4,87
3,9
3,3
Ркр. кг/м"
311
235
531
307
31
69,3
430
—
—
_ ^^крРкр
Ркр
3,54
4,21
3,49
4.13
3,35
3,35
3,34
3,7
3,7
239

паросодержания х, равного отношению массы вновь
образовавшегося пара Мп к первоначальной массе жидкости Мжо = Мж -J-
+ Ми. Очевидно, что в точке 2 х — 0, а в точке 5 х = 1. Пар
между точками 2 и 5 (при 0 < х < 1) называется влажным
насыщенным паром. Процесс конденсации, т. е. превращение пара
в жидкость, будет идти в обратном направлении: от точки 5
к точке 2.
Однако все реальные процессы протекают термодинамически
неравновесно. В частности, при испарении, чтобы обеспечить
тенлоподвод к поверхности раздела фаз, необходимо создать
градиент температур по нормали к поверхности жидкости тем
больший, чем интенсивней процесс парообразования.
Если подвод тепла к поверхности раздела фаз осуществляется
через жидкость, то для создания градиента температур жидкость
должна быть на некотором удалении от поверхности раздела фаз
перегрета (до температуры 7Ж > Ts). Такая жидкость называется
перегретой, а разность Тт — Ts называется перегревом жидкости.
Жидкость в перегретом состоянии может существовать лишь
вдали от поверхности раздела фаз. Такое состояние возможно
только для неравновесных процессов; оно называется метаста-
бильным. Ему соответствует область А—К—С (см. рис. 10.1),
а при лг — const — линия 2—3. При перемещении по изобаре от
точки 2 к точке 3 будут пересекаться изотермы (т = const) со все
большим значением т. Температура, соответствующая точке 3,
называется предельной температурой перегрева жидкости '1 щ,
или тпр {для приведенного давления лх). При достижении 7;1;.
для данного давления жидкость неминуемо спонтанно вскипает
по всему объему. Термодинамически это объясняется
невозможностью существования участков изотерм 3—-3' с (dp/dv)? > 0.
Для равновесного существования парового пузыря в жидкости
давление в нем pv из-за поверхностного натяжения должно бьггь
выше, чем в окружающей его жидкости рж. По уравнению
Лапласа
Рп — Рж = С (!/#!-+- 1/К2),
где RL к R.2 — главные радиусы кривизны поверхности раздела;
а — поверхностное натяжение.
Дл« сферического пузыря радиуса R перепад давлений на
границе раздела
Аргр =- Рп — Рт ■= 2с/R. (ЮЛ)
Кроме того, кривизна поверхности раздела влечет
дополнительное увеличение температуры насыщения по сравнению с Т3
при давлении пара рп для плоской поверхности на величину,
эквивалентную приращению давления,
ДРж - —^—Аргр. (Ю.2)
240

Тогда температуру насыщения на границе раздела фаз пузыря
можно найти по зависимости Т3 = Т5 (ps) для данной жидкости
при давлении р,к + Аргр + Арж или приближенно с учетом
уравнений (ЮЛ) и (10.2):
Та (рж + Дргр + Арж) = Т„ (рт) + -^f" (Аргр + /±рж) =
= Т.{рж)+^--^^-^. (Ю.З)
dps R (рж
По уравнению Клапейрона—Клаузиуса
dTs Г3(рж-Рп)
(10.4)
dps 'пРжРп
Из уравнений (10.3) и (10.4) минимальный радиус
равновесного пузыря, соответствующий данному перегреву жидкости,
будет
Лт,п""'дг(Рж-р„) dPs гиРплг ' ии-о;
где AT = Тш — Ts — перегрев жидкости. При предельном
перегреве жидкости Гпр — Ts (pm) радиус непрерывно спонтанно
возникающих паровых областей имеет порядок Rmln по уравнению
(10.5) при AT = Тпр — Та. Если при заданном перегреве AT R <
< jRmim то возникающий пузырь лопнет; если R > Rmin, он будет
расти за счет испарения в него окружающей жидкости. Такой
пузырь называется зародышем пара.
На основании молекулярно-кинетической теории частота
образования зародышей пара z в единице объема при данной
температуре Тж может быть подсчитана по формуле Деринга—Фоль-
гера:
m V {2 + p/ps)nm eXP L kTK 3kTm (p, - pf J' ^^>
где fe= 1,38-Ю-23 Дж/К — постоянная Больцмана; m — масса
молекулы.
При приближении температуры жидкости к Тпр частота
спонтанного образования зародышей резко возрастает, а время т
существования жидкости в объеме V в перегретом состоянии
и = 1/(гУ) падает.
Эксперименты показали хорошее совпадение Тпр с расчетом
по уравнению (10.6) при z = 1037 мГ3-с-1.
На рис. 10.2 в безразмерных термодинамических координатах
представлены расчетная зависимость Тпр от давления и
экспериментальная для ряда термодинамически подобных жидкостей.
Как видим, для термодинамически подобных жидкостей
зависимости TJTK и Тпр/Тк от р/рк совпадают.
Процесс, при котором паровая фаза возникает внутри жидкости
или на греющих стенках, в оыичие от испарения называют
кипением.
241

рис, 10.2. Зависимость
приведенных температур предельного
перегрева и насыщения
термодинамически подобных жидкостей от
приведенного давления:
1 — линия насыщения: 2 — расчет Т
по уравнению (10 6); О — Н-пентан;
Д — Н-гексан; Q — Н-геотаи;
V — этиловый эфнр
О 0,1 Ofi (1,6 0,8 р/рк
Аналогичный анализ позволяет объяснить существование мета-
стабильной области В—К—D (см. рис. 10.1). Пар в этой области
называется переохлажденным паром. Температура Тпр0,
соответствующая изотерме г = хпр 0 = const, которая касается изобары
Ях = const в точке 4, называется предельной температурой
переохлаждения пара для приведенного давления яг. При этой
температуре вероятность спонтанного образования капель с радиусом
порядка равновесного Rmln будет близка к единице.
Следовательно, переохлаждение пара Та — Гпр0 будет с учетом
кривизны и других эффектов обеспечивать конденсацию на каплях
жидкости R > Rmn, которые в большом количестве образуются
при Тпр0. Такая конденсация будет происходить по всему объему
пара с большой скоростью, пока выделившееся при конденсации
тепло не нагреет пар и жидкость до Ts.
Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев
конденсация возникает при переохлаждениях, много меньших
предельного. Аналогично кипение возникает при перегревах
жидкости, намного меньших предельного, т. е. меньших Гцр — Ts.
Так, на греющей поверхности в воде при атмосферном давлении
кипение начинается при перегревах Тж — Ts порядка 16 ... 17 К,
тогда как для этого давления Гпр — 7\, = 202 К. Для перегрева
в 16 ... 17 К формула (10.5) дает Rmn — 2,5-10~3 мм, что примерно
в 104 раза больше радиуса спонтанных зародышей, возникающих
при предельном перегреве жидкости.
Это объясняется тем, что в реальных условиях помимо
спонтанного возникновения паровых зародышей в толще жидкости
существуют и другие возможности их возникновения, требующие
меньшего перегрева (образование пузырей на твердой стенке,
наличие примесей других газов и жидкости).
10.2. РОСТ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ В БОЛЬШОМ
ОБЪЕМЕ ЧИСТОЙ ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
Процесс образования и роста паровых пузырей в
большом объеме жидкости представляет довольно сложное явление
и определяется взаимодействием многих факторов. В их числе:
условия и возможности подвода тепла к поверхности пузыря
на испарение жидкости;
инерционное и вязкое сопротивление жидкости росту пузыря;
давление в жидкости, окружающей пузырь;
242

поля температур и скоростей жидкости;
ориентация гравитационного поля, а также ряд других менее
существенных факторов;
материал и обработка поверхности нагрева.
10.3. РОСТ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
НАГРЕВА ПРИ КИПЕНИИ
Временем роста парового пузыря тр считают время
от момента активации парового зародыша до отрыва парового
пузыря от стенки. Затем в течение некоторого времени тВ)
называемого временем выжидания, происходит восстановление
перегрева жидкости около стенки, необходимого для новой активации
парового зародыша.
Нет единой точки зрения на механизм теплообменных
процессов, определяющих рост паровых пузырей на стенке, однако
уже накопленные опытные данные позволяют следующим образом
описать этот механизм. При отрыве паровой пузырь увлекает
за собой слой перегретой жидкости, и стенка в районе центра
парообразования приходи" з контакт с холодной жидкостью.
При этом температура стенки и жидкости в месте их контакта
(на границе) примет некоторое промежуточное значение 7'гр
между начальными температурами жидкости Тт0 и стенки Тт.
Из решения одномерной задачи нестационарной
теплопроводности для полубесконечных слоев жидкости и стенки найдем
ГгР — Г"П_ т::_ _—L . (Ю.7)
Two — Tmg I -у- У'(рсл)н,/(рсЯ,)а.-
Слой жидкости и стенку можно считать полубесконечными,
если за рассматриваемое время контакта хн их толщины бж и бш
таковы, что критерий Fo =-• ажтк/5'ж < 0,25 и Fo = —гг— <
<0,25.
Однако за счет подвода тепла от соседних участков стенки
или тепловыделения в ней температура стенки и прилегающей
к ней жидкости будет расти в течение Бремени выжидания. За
это время прогреется слой жидкости толщиной б = у яажтв
и снова восстановятся условия, необходимые для активации
центра парообразования.
Зародившийся паровой пузырь отталкивает от стенки
перегретый слой жидкости и растет в его окружении. В период роста
пузыря тепловой поток для испарения жидкости может
подводиться следующими путями:
1) от перегретых слоев жидкости, окружающих паровой пузырь
с противоположной от стенки стороны (рис. 10.3);
2) от перегретого слоя жидкости, расположенного между
поверхностью пузыря и стенкой (если этот слой достаточно толстый,
см. рис. 10.6):
243

1 2 J
77777777777-/Я77Х7777777777777777
Рис. 10.3. Упрощенная схема роста
первого пузыря на стенке с
испарением из перегретого наружного слоя
жидкости:
.' — жидкость; 2 — слой перегретой
жидкости; 3 — пар
Рис. 10.4. Схема роста
полусферического пузыря с испарением из
микрослоя жидкости на стенке (%х <С
< т2 < т3; 6„ = с Т/с1жт,):
/ — жидкость; 2 — пар
3) теплопроводностью через тонкий слой жидкости, отделяющий
пузырь от стенки (рис. 10.4). При этом имеют место
нестационарные процессы подвода тепла от перегретых слоев
жидкости, или от стенки через слой жидкости между пузырем и
стенкой, к самой жидкости.
В действительности могут реализовываться все три способа
подвода тепла сразу, но чаще какой-либо из них преобладает.
Так, при малых давлениях в жидкости из-за малой плотности
пара пузырь растет быстро и под действием инерционных сил
деформируется из сферического в полусферический, как показано
на рис. 10.4. В этом случае преобладающим является третий путь
подвода тепла, который дополняется первым. Тогда зависимость
радиуса полусферического пузыря от времени можно представить
уравнением:
№»_"V4kV I о -I /" 3
# =
0,8 УРгн
Т/я
Г (РЩЖ I
1/2
■Уажх,
где
Ут =
Рт (ср)т (Two — Ts)
Уп
Рж (ср)ж (Тжо — Ts) .
Pn's
Tw0 и Тт0 — начальные температуры стенки и жидкости.
Первое слагаемое — вклад от испарения микрослоя под
пузырем (третий путь подвода тепла), а второе слагаемое — от
охлаждения перегретой жидкости на внешней поверхности пузыря
(первый путь).
При увеличении давления скорость роста пузырьков
существенно падает, так как растет плотность пара в них и снижается
влияние инерционных сил. Пузыри все время сохраняют
сферическую форму. В этом случае подвод тепла к ним на испарение
осуществляется, главным образом, двумя первыми путями. А тепло
на перегрев жидкости, в основном, отбирается от стенки путем
ее охлаждения в период выжидания после отрыва пузыря.
244

V . Ж Г к
l= ^ ък кк шш
а) в) с) d) e) f)
^ л; у Vj ^ О
Рис. 10.5. Схема роста и ивчезновения парового пузыря на поверхности нагрева
в недогретой жидкости
Если жидкость, в которой происходит кипение, в целом не
догрета до температуры насыщения, то в процессе роста пузыря
его внешняя поверхность со временем попадает в недогретые слои
жидкости, и тогда на внешней («холодной») границе пузыря будет
происходить конденсация пара. Это может привести к
уменьшению и захлопыванию пузыря после его отрыва или даже до отрыва.
Схема такого процесса изображена на рис. 10.5, где vm —
скорость жидкости около пузыря, q — тепловой поток; Ts —
температура насыщения.
10.4. ДИАМЕТР ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ ПРИ ОТРЫВЕ
ОТ СТЕНКИ И ЧАСТОТА ИХ ОТРЫВА
В ряде работ для определения отрывного диаметра
пузырька, растущего на поверхности, выписываются условия
равновесия сил, действующих на пузырь (или части из них):
архимедовой; сцепления с поверхностью из-за поверхностного
натяжения; инерции со стороны жидкости; лобового
сопротивления и др. Из условия равновесия всех этих сил находят отрывной
Диаметр пузыря. Это удается сделать в силу приближенного
характера выражений для перечисленных сил.
Можно показать, что такой подход ошибочен, так как согласно
принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на пузырь,
включая силы инерции, должна равняться нулю в течение всего
периода его роста. Д. А. Лабунцов предложил две предельных
оценки отрывного диаметра пузыря,
При больших давлениях, когда динамические эффекты
малосущественны, следует использовать аналогию с отрывом
газового пузыря, медленно вдуваемого в жидкость через отверстие
Диаметром d0 (рис. 10.6;.
245

Рис. 10.6. Схема роста сферического парового пузыря
на стенке
По данным опытов для вдува газа
отрывной диаметр пузыря
D0 = K i/б —r^s.— ,
у giPm—Pu)
где коэффициент пропорциональности К
немного меньше единицы, a d0 — расстояние
между шероховатостями порядка
нескольких микрон.
2. При очень малых давлениях определяющим является
инерционная реакция жидкости. Тогда баланс сил инерции и
подъемных
-^ (пта>ц) = g (рж - рп) V (т),
где т = ржУ/2 — мгновенная присоединенная масса жидкости;
V (т) — переменный по времени объем сферического пузыря;
wn = dhjdx — скорость перемещения центра пузыря (л — высота
центра пузыря).
Полагая i? ~ т" и рп « рш, получим
Л- (т>. *.) _ 2gT».
Решая это уравнение, находим h (т) = gt2/(l + 3ft). Принимая
в момент отрыва т0 условие h (т0) = R0 = D0/2 и полагая п —
= 1/2, находим R0 = 0,4g-x|.
Экспериментальные данные ряда специалистов лучше
согласуются с этим уравнением, если вместо 0,4 принять
коэффициент 0,6.
Частота отрыва паровых пузырей зависит от многих факторов.
К ним относятся: нестационарные процессы теплообмена между
жидкостью и стенкой в период ожидания; нестационарные
гидродинамические и тепловые процессы при росте пузыря; процессы,
определяющие существование паровых зародышей (угол
смачивания, материал и качество обработки поверхности и др.);
гидродинамическое и тепловое взаимодействие соседних центров
парообразования; гидродинамические и тепловые процессы в объеме
жидкости и ее потоке и т. п.
Частота отрыва ш =■- 1/(т0 + тЕ) носит статистический характер
и имеет закон распределения, близкий к нормальному.
Экспериментальные исследования, выполненные на воде, показали, что со
практически не зависит от теплового потока и слабо зависит от
давления (при давлении 0,1 ... 2,0 МПа среднее значение со =
= 35 Гц, а при 5,2 МПа — около 45 Гц). Однако при пониженных
давлениях (10 ... 50 кПа для воды) частота отрыва существенно
246

снижается (до 1 ... 20 Гц) и заметно расгет с ростом теплового
потока.
При кипении щелочных металлов со значительно меньше, чем
на воде при одинаковых q и р/ркр, очевидно, из-за большего
значения (рсХ)ж/(рск)т. С увеличением теплового потока, а точнее
с увеличением (Та — ts), возникают условия для активации
новых центров парообразования и, следовательно, их число растет.
10.5. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
Процесс пузырькового кипения определяется сложным
взаимодействием нестационарных процессов роста, отрыва и
всплытия паровых пузырей, теплоотдачи свободной и
вынужденной конвекцией от стенок к жидкости, нестационарной
теплопроводности в зоне центров парообразования и др.
Не все эти процессы достаточно хорошо изучены даже для
отдельного пузыря. Еще менее изучено их взаимодействие при
одновременном росте большого числа паровых пузырей. Поэтому
построение расчетных зависимостей опирается, главным образом,
на представление о физическом механизме процесса, на методы
подобия и эксперимент, Существуют различные способы
построения эмпирических зависимостей.
Способ, предложенный С. С. Кутателадзе, основан на
предположении, что весь сложный процесс пузырькового кипения
описывается в конечном итоге теми же уравнениями, что и для
системы с одной непрерывной поверхностью раздела. Поэтому
критерии подобия могут выводиться из этих уравнений для всего
процесса пузырькового кипения. Дополнительно необходимо лишь
ввести уравнения или параметры, определяющие размеры
паровых пузырей и вероятность их распределения в пространстве,
исходя из того, что сначала все тепло от стенки передается
жидкости, а затем (в процессе испарения) в паровые пузыри. Поэтому
предполагается, что решающее значение имеют условия
распространения тепла в жидкой фазе.
В систему уравнений включены:
а) уравнения энергии, движения и неразрывности для
несжимаемой жидкой фазы;
б) уравнения движения и неразрывности для несжимаемого
пара;
в) условия теплового взаимодействия на границе раздела фаз
(индекс s):
—К (-gir)s = rnPrMun, (Ю.8)
2арж Я, ( дТ \ лГ~ЩК
# (Рж — Рп) гп \ да К у Рп J '
(10.9)
247
т. = тп +
Ти(Рп
■Рп)
ГпРжРп

в которых уравнение (10.8) представляет собой равенство
тепловых потоков по обе стороны границы раздела фаз (где ипп —
скорость пара по нормали п к поверхности раздела), а уравнение
(10.9) определяет температуру насыщения на границе с учетом
кривизны поверхности R и кинетики испарения;
г) условия механического воздействия на границе раздела фаз:
__ (дщ^\ __ (дик
- ■_ _?£_ • "" _""
Psn Psm ~f p ' ^ns UH{S,
где uns, ums — скорости пара и жидкости на границе раздела;
д) масштаб для отрывного радиуса пузырей R0
RoV
Рт—Рп_ = rlQ
е) величина микрошероховатости 6{ и ее распределение по
размерам nt по поверхности и др.; тогда, пренебрегая влиянием
вязкости пара, получаем при заданном AT — Tw — Ts
1 vm L g(pm-Pn) J '
л Рп N о «жог0
V Рж / ' w„ Л ч ,2 >
S (Рт ~ Рп) *0
пРп
о гпРп is is
б, l/"
g(pato'pn), щ.. Л. (10.10)
При задании плотности теплового потока <?ш на стенке в
уравнение (10.10) вместо параметра —рр— войдет
сж Л' Рж
Ч» - 1 / ° -= Ре
ГцРцЯж V g(Pm-Pa) Ж'
В уравнении (10.10) Kt= - - (r—)!
СжТпРж У go (рт — Рп)
К.р = ■ р —; w0n. — характерная скорость жидкости;
У go (Рж — Рп)
в — угол смачивания; /0 — характерный размер; гп — теплота
преобразования.
В большом объеме обычно принимают
/„
V-
0 V g (Рж — Рп) '
В уравнении (10.10)
Nu = alJKm; a = qJ(Tw — Ts).
248

Ряд исследований строит расчетные уравнения из различных
упрощенных, но конкретных представлений о механизме
пузырькового кипения. Такие формулы носят полуэмпирический
характер: содержащиеся в них константы находятся из эксперимента.
Дополнение уравнения типа (10.10) законом соответственных
состояний приводит для случая развитого пузырькового кипения
в большом объеме к уравнению В. М. Боришанского:
-'"ЬЭТ'+^ЬЭТ-
где М — молекулярная масса.
По другому методу одной из важнейших характеристик
является средняя скорость роста паровых пузырей, равная
произведению отрывного диаметра 2R0 = D0 на частоту отрыва
пузырей со. Тогда для кипения в большом объеме
JL л/ а ~ =-7 5 ( qw У'7 ( Vm )~°'2
Я- V г(рж— Рц) ~ ' \ 'nPiAw / \ аж ) '
где экспериментально определяемой величиной для конкретных
условий как раз и является Dg.
Каждый из рассмотренных методов обобщения опытных
данных по теплоотдаче при пузырьковом кипении в большом объеме
насыщенной жидкости фактически основан на учете лишь одних
сторон процесса кипения при игнорировании других. Поэтому,
несмотря на то, что результаты такого обобщения представляются
часто в критериальном (безразмерном) виде, они носят достаточно
частный характер, зависящий от условия проведения
эксперимента. Так, например, все рассмотренные методы не учитывают
нестационарного теплового взаимодействия жидкости со стенкой
в процессе роста паровых пузырей на стенке. Расчеты с опытом
по ним расходятся для сочетания материала стенки и жидкости
с заметно отличными значениями отношения (р<Л)ж/(рсХ,)ш. Вообще,
неучет нестационарных аспектов пузырькового кипения может
приводить к существенным ошибкам при расчетах.
Рассмотренные зависимости, как правило, не учитывают также
шероховатости поверхности, угла смачивания и др. Для
развитого кипения натрия, калия и цезия в большом объеме на
металлических стенках даются единые эмпирические зависимости:
К п I Ps \п
fongp \1'3 \ Ркр / '
„2/3
9 { °П
где С = 8 и п = 0,45 при р5/ркр = 4-10~6 ... Ю"3; С = 1 и п =
= 0,16 при р8/ркр = 10"3 ... 2. Ю-2.
Заметным шагом вперед является полуэмпирическая
зависимость, полученная для насыщенных обыкновенных и криогенных
жидкостей Е. В. Аместистовым и В. А. Григорьевым. Эта
зависимость получена на основе анализа развитой ими модели роста
249

парового пузыря, учитывающей тепловое нестационарное
взаимодействие пузыря со стенкой и наличие парового пятна в основании
пузыря. Сочетание анализа этой модели с приближенной теорией
Д. А. Лабунцова позволило получить с точностью до
коэффициентов вид расчетной зависимости. Коэффициенты были найдены
из экспериментов, что позволило представить расчетную
зависимость в следующем виде:
. П Q 1 П "* hg/rfin ('w — ^ s)2 Г ] | , rnPnvHt ~|
^„-и.У-iU А + с vmamT, L Г kw(Tw~Ts) J'
(10.11)
где
С =-- 712 —^Ш=- ; A = 0,5 Хш(Ги,~-^ V200 4.
У(рсК)а Г°Рп V(pcX)w
V
0|5 п^т, e __ ww 1= + liidlg^IiL/s(в,) x
\ Vsin 0 / v (PCV™
К - / Ре N0,125 Pr0'25- * /« \ sin6i .
VvZ) ,l2(Vi)- (1Ч_с05в1)2(2-собв1)'
/1 (ei) = f2(e,)sine,;
6i — динамический (в процессе роста пузыря на границе сухого
пятна) угол смачивания. Из опытов для обыкновенных и
криогенных жидкостей 6i « 60°.
Формула (10.11) получена для достаточно толстых (аштр/б^, <
< 0,25) поверхностей нагрева с обычным классом шероховатости.
Она хорошо учитывает влияние сочетания теплофизических
свойств жидкости и стенки, которое особенно сильно сказывается
при кипении криогенных жидкостей.
10.6. РЕЖИМЫ ТЕПЛОСЪЕМА
ПРИ ПАРООБРАЗОВАНИИ В УСЛОВИЯХ СВОБОДНОЙ
КОНВЕКЦИИ
В предыдущих разделах было показано, что процесс
пузырькового кипения определяется многими факторами
(количеством растворенного газа в жидкости, адсорбцией газа на
стенке, шероховатостью стенки, сочетанием теплофизических
свойств жидкости и стенки, углом смачивания, давлением,
взаимодействием растущих пузырей друг с другом, характером свободной
конвекции, недогревом жидкости, размером и ориентацией в
гравитационном поле поверхности нагрева и др.). При таком
множестве определяющих параметров и сложном характере влияния
их на процесс пузырькового кипения точный учет каждого из
них практически невозможен, тем более, что многие из определя-
250

Рио. 10.7. Кривая кипения насыщенной жидкости в условиях свободной
конвекции:
I — теплосъем конвекции прн небольших перегревах жидкости ва теплоотдающей
поверхности; 11 — теплосъем при пузырьковом кипении; Па и 116 — теплосъем при не
большой и большой плотности действующих центров парообразования соответственно-
Ит ~~ ""^0съем ПРЯ переходном кипении; IV — теплосъем при пленочном кипения;
IVa и 1V0 — вклад и перенос тепла излучением мал н значителен соответственно- С —
переход от пузырькового кипения к пленочному: D — переход от пленочного кипения
к пузырьковому прн q = const; л — граница между развитым пузырьковым кнпеинем
и переходным; я, — граница между развитым пленочным кипением и переходным; q
"пер' "пл ~ плотности тепловых потоков прн пузырьковом, переходном н пленочном
кнпении соответственно
ющих параметров заранее вообще бывают неизвестны. Поэтому
к исследованию пузырькового кипения с самого начала
приходится подходить как к случайному процессу, реализация
которого в том или ином виде носит вероятностный характер.
Следовательно, важно изучать механизм пузырькового кипения
и в ряде случаев методами математической статистики оценивать
условия реализации различных его режимов и границ их
существования. Именно это позволит с достаточной для практики
надежностью построить инженерные методы расчета теплоотдачи
в каждом из режимов кипения и методы определения условий
перехода одного режима в другой.
Режимы теплосъема при парообразовании в условиях
свободной конвекции обычно иллюстрируют с помощью кривой кипения
насыщенной жидкости в координатах lg qw, lg (Tw — Ts) =
= lg AT, показанной на рис. 10.7. Однако эта кривая не
исчерпывает возможных режимов кипения, особенно пузырькового.
Она соответствует кипению таких жидкостей, как вода, и наиболее
вероятному в обычных условиях характеру смены режимов
кипения. Рассмотрим различные области температурных напоров на
кривой кипения (см. рис. 10.7). В области температурных
напоров I при небольших перегревах жидкости у стенки теплосъем
осуществляется свободной конвекцией. Нагретая жидкость
всплывает к свободной поверхности раздела фаз и там охлаждается
путем испарения.
Область температурных напоров Па — неразвитое
пузырьковое кипение с малой плотностью действующих центров парообра-
251

зования. Здесь роль теплосъема конвекцией еще достаточно
велика.
Область 116 — развитое пузырьковое кипение,
характеризующееся большой плотностью центров парообразования и пре-
небрежимой ролью конвекции в суммарном теплосъеме. В этой
области тепло в основном переносится паровыми пузырями и
увлекаемой ими горячей жидкостью. С ростом перегрева стенки,
т. е. величины температурного напора AT = Tw — Ts, число
центров парообразования растет, растет и доля тепла, переносимая
паром (эта доля тепла всегда меньше единицы). При достижении
точки я (см. рис. 10.7) на части поверхности возникает
неустойчивая паровая пленка, что ведет к снижению темпа роста qw при
увеличении Тш — Ts. Так как теплосъем с поверхности, занятой
паровой пленкой, резко падает по мере ее роста, то и qw, пройдя
через максимум в точке С, начинает падать. С ростом AT тепловой
поток достигает минимума в точке D, когда почти на всей
поверхности имеет место пленочное кипение.
Точка С, где qw достигает максимума, называется точкой
кризиса пузырькового кипения или первым кризисом.
Соответствующую ей плотность теплового потока называют критической
<7кР1 или максимальной qmax. Температурный напор, при котором
достигается кризис, называют критическим ATKpi = Ткр1 — Ts.
Аналогично, точку D называют кризисом пленочного кипения
или вторым кризисом. Соответствующие ей значения qw и ДТ
обозначают qm[n или qvpU и АТкр11 = Ткр11 — Та.
Область III между точками С и D называется переходным
кипением. В этой области сильно колеблющаяся граница раздела
фаз периодически в разных местах кратковременно касается
стенки. За время контакта тк в этих местах осуществляется
интенсивный теплосъем путем нестационарной теплопроводности и
успевающего развиться пузырькового кипения. Доля площади,
на которой жидкость контактирует со стенкой f, с ростом AT
непрерывно падает от 1 в точке л до 0 в точке щ. Переходный
режим характерен резкими падениями температуры стенки в
местах контакта с жидкостью. Интенсивность этих пульсаций
температуры стенки, главным образом, определяется значением
Tw — Тж и (pcK)J(pcX)w.
Область IV устойчивого пленочного кипения условно
разбивается на два участка: IVa, где вклад излучения в общий
тепловой поток пренебрежимо мал, и IV6, где перенос тепла излучением
уже необходимо учитывать.
Полностью кривая кипения, изображенная на рис. 10.7,
может быть реализована, если процесс определяется изменением
AT. Когда же задано изменение тепловой нагрузки
(электронагрев, атомный реактор и др.), то при увеличении qw свыше qmzx
процесс из точки С с большой скоростью (определяемой
теплоемкостью поверхности нагрева) перейдет в точку Е, которое
соответствует значительно более высокое значение AT. Переход из
252

точки С в точку Е при кипении воды, жидких металлов и
органических теплоносителей опасен, так как приводит к расплавлению
и разрушению поверхности нагрева. В этом и заключается одна
из причин интенсивного излучения кризиса пузырькового
кипения.
Наоборот, при уменьшении qw процесс из точки D, минуя
переходную область, перемещается прямо в точку F, т. е. в
область пузырькового кипения с малыми AT. Конечно, реальные
процессы, особенно в области пузырькового кипения, гораздо
многообразней, чем это следует из анализа кривой кипения на
рис. 10.7.
10.7. КРИЗИС ПУЗЫРЬКОВОГО КИПЕНИЯ
Физически правильно считать кризисом пузырькового
кипения левую границу области переходного кипения (точку я
на рис. 10.7). Начиная с этой точки, при увеличении ДГ тепловой
поток растет медленнее, чем по закону развитого пузырькового
кипения, а затем, пройдя максимум, даже начинает падать
вследствие того, что тепловой поток на участках поверхности, покрытых
паром, много меньше, чем на участках, покрытых жидкостью,
а доля площади, покрытая паром, растет с ростом AT.
Таким образом, появление паровых пятен в количестве,
заметно влияющем на характер изменения qw (точка я на рис. 10.7),
и следует считать кризисом пузырькового кипения.
Аналогично, кризисом пленочного кипения следует считать
правую границу переходного кипения (точка D на рис. 10.7).
Эту границу практически можно определить тогда, когда тепло-
съем в местах контакта жидкости со стенкой начинает
существенно изменять закономерность теплового потока при пленочном
кипении (заметно увеличивая его при уменьшении А Г).
В литературе исторически принято считать кризисом
пузырькового кипения точку qw = qmm (по новым исследованиям в этой
точке уже заметная доля поверхности покрыта паром), а кризисом
пленочного кипения —точку qw = qmln (точка D). Если
гидродинамика взаимодействия пара и жидкости такова, что жидкость
не допускается к поверхности нагрева, то кризис пузырькового
кипения называют гидродинамическим. Если же контакт
жидкости с поверхностью невозможен из-за сильного перегрева этой
поверхности за время роста парового пузыря, то такой кризис
пузырькового кипения называют термодинамическим
(температура поверхности в месте контакта больше Тир). В
действительности оба вида кризиса могут проявляться не только обособленно,
но и в сочетании друг с другом.
Одной из первых и наиболее распространенных теорий
кризиса кипения является гидродинамическая теория кризиса,
предложенная С. С. Кутателадзе в 1951 г., а затем развитая в работах
других исследователей. В основе этой теории лежит
предположение о том, что кризис кипения есть следствие гидродинамической
253

устойчивости процесса и что существует гидродинамическая
аналогия между пузырьковым кипением и барботажем жидкости
газом, вдуваемым через пористую поверхность с достаточно
малыми размерами отверстий. Методами теории подобия С. С. Кута-
теладзе получает критерий гидродинамической устойчивости.
Далее рассматриваются условия устойчивости двухфазного
граничного слоя над неограниченной горизонтальной пористой
поверхностью. Предполагается, что объем жидкости не ограничен, она
неподвижна, а ее вязкостью можно пренебречь. В этом случае
могут воздействовать только кинетическая энергия вдуваемого
газа рпШп/2, гравитационные и поверхностные силы в двухфазном
граничном слое.
За кризис принимается возникновение газовой или паровой
пленки по всей поверхности. Работа оттеснения жидкости из этой
паровой пленки толщиной б будет g6 (рж — рп). Возникновение
кризиса (потеря устойчивости пузырьковой структуры
двухфазного граничного слоя) в рассматриваемой модели равновероятно
в любом месте бесконечной пористой поверхности. Отношение
рассматриваемых величин должно быть постоянной величиной
(полагая в момент кризиса wn — wRp);
■ J****9 , - const.
go (рж — Рп)
Толщина паровой пленки
о ЛГ а Рп^кр рХр ,
О ~ I/ —; г И —Г7 \ — ' / ' = COnSt.
V е(Ы — ?п) §0(рж—рп) ~\/gO(pm — Рп)
Или, извлекая квадратный корень, получим критерий
устойчиво сти в виде
Ь — ""kP УРп
«1 — 4/- — =Г -
V SO (Рж — PnJ
При кризисе кипения, полагая, что весь тепловой поток «7Kpi
идет на испарение, найдем критическую скорость пара шкр =
— 9кр i/(/"nPn) • Тогда критическая плотность теплового потока
в большом объеме жидкости с р> = 0 при свободной конвекции
находится из выражения
<7кР 1 = Vn К Рп Vga (рж — On)- (10.12)
Из экспериментов kx = 0,14 ... 0,16.
Формулы типа (10.12) не согласуются с опытами при кипении
жидких металлов ни по величине, ни по характеру зависимости
<7kpi от давления. Основная причина этого расхождения
заключается в том, что по гидродинамической теории кризиса весь
тепловой поток qKpl идет на испарение и отводится паром. Это
даже для воды приближенно справедливо лишь при достаточно
высоких давлениях. Жидкие металлы кипят обычно при давле-
254

ниях, много меньших критического, и обладают большой
теплопроводностью. Следовательно, даже при кризисе значительная
доля тепла отводится жидкостью.
Тогда, предположив, что формула (10.12) определяет лишь
тепловой поток, отводимый паром, можно ее модифицировать
9кР1 = (1 + <7жА7п) kfoVp^Vgo (рж — рп). (10.13)
Из сопоставления уравнения (10.13) с опытами по кризису
в большом объеме натрия, калия, цезия и рубидия при р —
= (Ю-8 ... 0,35) МПа было найдено
<7ж/<7п = С/Рн (Рв/РкГт>
где рк — критическое давление (точка К на рис. 10.1); С =
= 4,5 МПа для развитого кипения и С = 1,8 МПа для
неустойчивого кипения; k — 0,14 и т = 0,4.
Все больше исследуются термодинамический характер кризиса
пузырькового кипения и влияние нестационарных аспектов
кипения на него. Эти исследования показывают, что в
околокритических режимах центральная часть поверхности под растущим
пузырем высыхает. Отвод тепла паром от этой части поверхности
много ниже, чем жидкостью, и ее температура растет тем быстрее,
чем (при заданном тепловыделении) тоньше стенка (меньше ее
теплоемкость) к хуже перетечки тепла теплопроводностью в
область, смоченную жидкостью.
Если температура сухого пятна превысит Гпр за время роста
пузыря, то последующий контакт с жидкостью в этом месте,
даже после отрыва пузыря, окажется невозможным, пока из-за
перетечек тепла и охлаждения через пленку пара локальная
температура поверхности не упадет до значений, допускающих
контакт с жидкостью. Эксперименты показали, что при qw,
близких к <7npi> центральная часть парового пятна может оставаться
несмоченной в 10 и более раз дольше времени роста пузыря.
Анализ этих экспериментов с учетом нестационарного
взаимодействия жидкости и пара со стенкой позволяет заключить, что
<7kpi должно, например, быть пропорционально бш = pc/xm, aw =
= xm/Rm, (pcK)m/(pc'k)w, а также зависеть от распределения
источников тепла в нагревателе и его геометрии. Здесь бш —
толщина стенки; Rm — максимальный радиус сухого пятна под
пузырем; хт — время его достижения.
Когда кризис определяется термодинамическими причинами,
то он характеризуется не значением <?Kpi. а значением (Гкр1 —
— Ts). Таким образом, кризис пузырькового кипения, как и само
пузырьковое кипение, помимо гидродинамических явлений в
значительной мере определяется условиями локального
нестационарного теплообмена между стенкой, жидкостью и паровым
Пузырем и возможностью контакта жидкости со стенкой.
В свете сказанного о механизме кризиса пузырькового
кипения можно объяснить влияние недогрева жидкости на <7нр1- Из
255

экспериментов известно, что отрывной диаметр DQ и время жизни
пузыря тр на стенке с увеличением недогрева жидкости убывает.
Следовательно, для возникновения паровых пятен и увеличения
температуры стенки в них выше Тпр требуются значительно
большие тепловые потоки. Поэтому <?кр i растет с ростом недогрева
жидкости как по этой причине, так и вследствие роста теплового
потока, идущего только на нагрев жидкости.
Ограниченность гидродинамических теорий кризиса
проявляется и в характере зависимости дгф1 от величины ускорения
гравитационного поля. Существующие эксперименты показывают,
что теплоотдача в области развитого пузырькового кипения
практически не зависит от величины ускорения g
гравитационного поля. Это объясняется тем, что подъемные силы играют
второстепенную роль в процессе роста и отрыва паровых
пузырей.
Отношение влияния инерционных и подъемных сил в этом
процессе можно характеризовать числом Фруда:
Fr
3R2R2 + R3R
R*g
2 Г(Гв
Т.) СжРж ,
)1/2T
где R, R и R — соответственно текущий радиус, скорость и
ускорение роста парового пузыря.
Даже в земных условиях при g/g0 = 1, р = 0,1 МПа, Tw —
— Ts = 9К и R = 0,127 мм значения числа Фруда по данным
Кларка для жидких водорода, кислорода, азота и воды
соответственно будут: 352, 546, 452 и 13 900. Следовательно, для
представляющих практический интерес ускорений g/g0 = 0 ... 15
влияние подъемных сил на рост пузыря пренебрежимо мало, и
поэтому влияние ускорения
на <7кр не должно
проявляться.
Гидродинамические же
теории возникновения
кризиса приводят к
следующей зависимости:
?кр 1 (g) = ( J_V/4
?кр 1 (Во) \ Во )
(10.14)
Эти соотношения по-
Рис. 10.8. Схема режимов течения
двухфазного потока в горизонтальной трубе:
/ — пузырьковый; 2 — пробковый; 3 —
стратифицированный (расслоенный); 4 —
волновой; 5 — снарядный; б — кольцевой; 7 —
днсперсняй
256
строены для
горизонтальной бесконечной
пластины, а для других
случаев могут иметь более
сложную зависимость.
При вынужденном тече-
йии кипящей жидкости в

/ 2 J 4 5
Рис. 10.9. Схемы режимов течения дтхчЬязного потока в вертикальной трубе:
/ — пузырьковый; 2 — снарядный; 3 — полукольцевой; 4 — кольцевой; 6 — дисперсный
каналах qKX>1 зависит от гораздо большего числа параметров,
чем в большом объеме. Значительное влияние, в частности, на
значение <7кр1 'оказывают гидоодинамическая структура
двухфазного потока (так называемые режимы течения) и гидродинамика
конкретной магистрали (возникновение колебаний расхода
и т. п.).
Наиболее типичные оежимы течения соответственно в
горизонтальной и вертикальной трубах представлены на рис. 10.8
и 10.9. Накоплен достаточно большой экспериментальный
материал. Однако он не получил еще удовлетворительного обобщения
из-за недостаточной изученности механизма кризиса и
зависимости его от многих факторов.
qKVJ[raVog (рш~Рп)] = 0,0145 [Fr (^J-)]"* ,
где Fr =Wo/gVo/p (рж — рп) справедливо при Fr (рж/рп) =
= 600 ... 4-106 (Fr (рж/рп) — скорость жидкости на входе в трубу).
Существующие эмпирические зависимости применимы лишь
для частных случаев, но даже при этом они не всегда между собой
согласуются. Имеются попытки составления таблиц для наиболее
распространенных каналов и теплоносителей (например для воды
в трубах). Использование критериальных зависимостей,
полученных на воде для криогенных жидкостей, дает результаты, на
порядок превышающие экспериментальные значения.
Исследование кризиса пузырькового кипения при
вынужденном течении является актуальной задачей дальнейших
исследований.
10.8. ПЕРЕХОДНОЕ КИПЕНИЕ
При переходном кипении (область III на рис. 10.7)
на поверхности нагрева в каждый момент времени имеются
смоченные и сухие участки, а каждая точка поверхности попеременно
контактирует то с жидкой, то с паровой фазой. Фактически, как
отмечалось при анализе кривой кипения на рйс. 10.7, область
переходного кипения лежит между точками я и jij.
9 Авдуевскив 257

Из анализа экспериментов в среднем
(Г, - Т,)/(Твр1 - Т.) - 0,78 и <7„/<71(р, - 0.86. (10.15)
Однако экспериментальное определение точек я и яг и,
следовательно, <7л» 7"я. <7я1 и Гя1 крайне сложно, поэтому обычно
фиксируют и принимают за границы переходного кипения точки С
и D и соответствующие им значения ^Kpl) Гнр, и ^кр г, 7"кр5.
Обобщение опытных данных дает в среднем
(Ткр ! - Г,)/(ГКП„ - Ts) =-- 0,6 и <7КР j/?^ 2 = 0,2. (10.16)
Можно следующим образом представить физический механизм
переходного кипения. При высоких значениях температуры стенки
Tw жидкость отделена от поверхности нагрева пленкой пара
(область устойчивого пленочного кипения). С уменьшением Тт
паровая пленка становится более тонкой, при этом развитие
колебаний Гранины раздела фаз может привести к контакту
жидкости с поверхностью нагрева. В месте контакта с горячей
стенкой жидкость прогревается. По достижении определенного
перегрева прилегающего к стенке слоя жидкости происходит
возникновение устойчивых зародышей паровой фазы. Далее паровые
пузыри растут, сливаются в сплошную пленку и оттесняют
жидкость от поверхности нагрева. Образовавшаяся при этом
паровая пленка оказывается гидродинамически неустойчивой,
что приводит к возникновению очередного контакта жидкости
со стенкой, и процесс циклически повторяется.
По мере уменьшения температуры стенки увеличивается
длительность контакта жидкости с поверхностью нагрева и
интенсивность теплоотдачи в переходной области кипения возрастает
от низких значений, характерных для пленочного кипения, до
высоких значений, характерных для пузырькового кипения. При
дальнейшем снижении температуры поверхности нагрева число
образующихся паровых зародышей уменьшается до такой
степени, что растущие паровые пузыри достигают отрывного размера
прежде, чем происходит их слияние, и переходное кипение
сменяется устойчивым пузырьковым кипением. В области
переходного кипения средняя по времени интенсивность теплоотдачи
на каждом участке поверхности нагрева зависит от средней
длительности его контактов с жидкой и паровой фазами кипящей
среды и от характеристик теплообмена на каждом этапе
циклического процесса.
Созданная на основе изложенного физического механизма
теория переходного кипения включает математические модели
трех процессов, определяющих возникновение и прекращение
контактов жидкости с поверхностью нагрева: развитие
гидродинамической неустойчивости границы раздела фаз пар—жидкость;
прогрев жидкости в месте ее контакта с поверхностью нагрева;
возникновение и рост паровых пузырей до их слияния в сплошную
пленку.
258

Анализ гидродинамической неустойчивости паровой пленки
позволил получить зависимость коэффициента нарастания
амплитуды доминирующей волны Рд от определяющих параметров
процесса. При определении длительности существования
неустойчивой паровой пленки tn принималось, что значение tu обратно
пропорционально коэффициенту нарастания амплитуды
доминирующей волны [Зд и зависит также от температурного напора,
недогрева и других условий, определяющих среднюю толщину
паровой пленки.
Длительность первой стадии контакта жидкости со стенкой /т
(прогрев жидкости за счет теплопроводности) определялась на
основе расчета температурных полей в месте контакта из условия
достижения перегрева, необходимого для образования
устойчивых паровых зародышей:
_ 0^(1+cos в)5 /Tt-Tm\
где а — коэффициент поверхностного натяжения; в — краевой
угол смачивания; рп — плотность пара; гп — скрытая теплота
парообразования; ат — коэффициент температуропроводности.
Анализ процесса роста и слияния паровых пузырей опирался
на известные из теории пузырькового кипения эмпирические
соотношения для поверхностной плотности центров
парообразования и скорости роста пузыря. Из условий слияния пузырей
определялась длительность второй стадии контакта жидкости
со стенкой (от возникновения паровых зародышей до образования
сплошной пленки пара)
f _ °2ts t Г ржсрж (Г, - Тт) 1
СЛ ftHTrt-T.fajjtl Рп'п J'
где Ja =P«<Wr--7'«> _ вдело Якоба.
РпГп
Математическая модель теплообмена при переходном кипении
учитывала три основных физических механизма, последовательно
сменяющих друг друга на каждом участке поверхности нагрева:
прогрев тонкого слоя жидкости в месте ее контакта со стенкой
за счет теплопроводности до образования устойчивых паровых
зародышей;
механизм, сходный с пузырьковым кипением в период роста
паровых пузырей до слияния их в сплошную пленку;
механизм, сходный с пленочным кипением в период паровой
изоляции поверхности нагрева пока развитие гидродинамической
неустойчивости границы раздела фаз не приведет к очередному
контакту жидкости со стенкой.
Э» 259

Представление средней плотности теплового потока при
переходном кипении в виде суммы трех составляющих с учетом доли
времени, приходящейся на каждый процесс,
<7ППр = г-г-. -, (10.17)
позволило получить зависимость
_ апл^пАГа + 2еж YkT/n 4 ацуПАГ-^сл ,. -
где А»п, AtT, &сл — эмпирические константы; еж = \^рсК}Н —
тепловая активность жидкости.
Экспериментальное исследование физического механизма
переходного кипения проводилось на воде, этаноле и фреоне-113
в большом объеме путем измерения локальных пульсаций
температуры поверхности нагрева (в период контакта с жидкостью
температура стенки падает, в период контакта с паром она растет).
Для всех исследованных жидкостей средняя длительность их
контакта со стенкой тж уменьшается с ростом температурного
напора и падением недогрева, а средняя длительность контакта
стенки с паром 1п изменяется наоборот. Частота контактов
жидкости со стенкой f (которую можно рассматривать и как частоту
возникновения сухих пятен) достигает максимума в средней части
переходной области кипения. При уменьшении высоты
микронеровностей поверхности нагрева наблюдается некотроый рост
значений тж — tT -j- tcn.
Полученные экспериментальные зависимости характеристик
физического механизма от параметров процесса совпадают с
результатами теоретического анализа. В частности, длительность
контакта жидкости со стенкой тж резко падает в зоне низких
температурных напоров (тж ~ AT'*), а с увеличением AT скорость
падения замедляется (тж ~ АТ~2). Такая зависимость
объясняется тем. что при низких AT доминирующая часть времени
контакта приходится на рост и слияние пузырей (длительность
этого процесса /сл ~ ЛТ~4), а при высоких — на прогрев жидкости
за счет теплопроводности tT ~ AT"2. Это позволило не только
обобщить опытные данные по средней длительности контактов
жидкости со стенкой безразмерной формулой
аж'жРп/пд:г2 /лпп , 1,34.10е
(«о + т) х
4ст2П + cos в)2 7^
X Г14- 0,025 P*Wr«-r»H> 1 (10.19)
L Рпягп J
с погрешностью ±30% (при изменении значений тж на два
порядка), но и определить составляющие tT и tc.„: первой из них
в (10.19) соответствует коэффициент 490. второй — 1.34 • 10e/Jaa.
Опытные данные по длительности контакта поверхности нагрева
260

ц,*Вт/мг
a) В)
Рис. 10.10. Влияние на переходное кипение a.una толщины низкотенлопровод-
ного фторопластового покрытия ФП-4 ня медной пластине (и) и угла наклона
пластины (б):
1 ... 7 — толщина покрытия 0; 10; 35; 40; 70; 100; 120 мкм соответственно (с толщины
120 мкм начинается зона автомодельное™); 8 ... 11 -- угол наклона пластины к
горизонту 0°; 90°; 135°; 180° соответственно. (Толщина покрытия ФП-4 составляет 100 мкм.)
с паровой фазой обобщены с погрешностью +30% безразмерной
формулой
t /P>Kg3W" _. 01 .106СрпАГ|Хтедп, Г 0 Q1 №pm{T,-Tm) -1-»
" V. а / ~" гпржё1:1 L " РпЛ J
(10.20)
Выражения (10.19), (10.20) применимы для переходного
кипения в большом объеме на горизонтальных высокотеплопроводных
(еш > еж) поверхностях нагрева с шероховатостью Rz = 0,5...
0,6 мкм для жидкостей, термодинамически подобных воде, этанолу
и фреону-113 (имеющих при безразмерной температуре Т/Тк =
= 0,625 безразмерное давление насыщенного пара pJpK = 0,0046 ...
0,0168, где Тк и рк — температура и давление в критической
точке вещества).
Анализ результатов экспериментального исследования
теплообмена при переходном кипении показал, что характеристики
поверхности нагрева и термодинамические параметры жидкости
влияют на процесс в большом объеме и при вынужденном течении,
причем наиболее существенным является влияние эффективной
тепловой активности еЭф (с учетом толщины покрытия и стенки)
и ориентации поверхности нагрева, давления, недогрева и
скорости течения (рис. 10.10 ... 10.13). При уменьшении эффективной
тепловой активности поверхности нагрева (за счет применения
материала с меньшей теплопроводностью или нанесения
низкотеплопроводных покрытий различной толщины) переходная
область кипения сдвигается в область более высоких температурных
напоров. Это объясняется тем. что на стенке с низким значением
еаф при контактах с жидкостью происходит более глубокий спад
261

400
200
'лУ
\
у^
Н^
—
о
30
ЛТК
?• «Вт1м2 , . , , температуры и существенно
возрастает длительность этих контактов,
характеризующихся наиболее
интенсивным теплосъемом. Изменение
ориентации поверхности нагрева от
горизонтальной, обращенной вверх
(у — 0'), до вертикальной (7 ~= 90°)
и далее до горизонтальной,
обращенной вниз (у — 180е), приводит
к снижению интенсивности
теплоотдачи и некоторому сдвигу
переходного кипения в область меньших
температурных напоров. Это связано
с увеличением средней
продолжительности периодов пяпоной
изоляции поверхности нагрева за счет
повышения гидродинамической
устойчивости границы раздела фаз и ухудшения условий отвода пара,
вызывающего утолщение паровой пленки.
Исследование теплообмена при переходном кипении в большом
объеме из плоских, цилиндрических и сферических рабочих
участков показало, что определяющим фактором является не
форма, а локальная opiicin. ция каждого участка поверхности
q, кВт/мг
400
60
Рис. 10.11. Влияние leuiiepa-
туры (АТН) недогрева фреона 113
на переходное кипение на
медной горизонтальной пластине;
С.Л-4Гн-0; 18; 36; 54 К
соот ветот вен но
too
Ш.
*~\
"\
1
V
^
V
\
N
!■—-*
10
20
зо а т, к W го
а)
30
5)
40 AT,К
а,кВт/м?
400
200
•гьл
г
4\Yj NS^
JO
60 AT,К
i'iic. И) \"1. Влияние ни переходное кипение
давления и скорости течения недогретого
азота в трубе:
:i - скорость 4,6 м/с; недогрев 14 К; / ... 4 — р =
■- 0.2: 0,6; 1,2; 2.1 МПа соответственно; б— р —
0,6 МПа; недогрев 18 К; 5 ... 8 — v = 1,7;
■1,6; 8,1; 12,5 м/с соответственно
Рис. 10.13. Влияние на переходное кипение
насыщенного и недогретого этанола
шероховатости медной горизонтальной пластины:
/ и 2 -- недогрев 12 К. шероховатость 0.54 и
и 6,1 мкм соответственно; 3 н 4 - - недогрев 0 К*
ыерохиьатоеть 0.5-1 и 6.1 мцм соответственно

нагрева. С увеличением недогрева жидкости до температуры
насыщения переходная область кипения расширяется, смещаясь
в область более высоких значений температурного напора, а
интенсивность теплообмена возрастает. Это вызвано ростом
длительности контактов жидкости с поверхностью нагрева и сокращением
перерывов между этими контактами.
С повышением давления границы переходного кипения
сдвигаются в сторону меньших температурных напоров, а плотность
теплового потока при заданном температурном напоре снижается.
Это объясняется тем, что при высоком давлении облегчается
образование паровых зародышей и ускоряется рост пузырей,
что приводит к уменьшению продолжительности контактов
жидкости со стенкой. Увеличение скорости течения приводит к
интенсификации теплообмена при переходном кипении за счет
сокращения периодов паровой изоляции поверхности нагрева в связи
с возрастанием гидродинамической неустойчивости границы
раздела фаз. При уменьшении шероховатости поверхности нагрева
плотность теплового потока в переходной области кипения при
постоянном температурном напоре возрастает. Это связано
с уменьшением плотности действующих центров
парообразования, что приводит к росту длительности контактов жидкости со
стенкой за счет более позднего слияния растущих пузырей в
сплошную пленку. В области кризиса пленочного кипения влияние
шероховатости исчезает, поскольку уменьшается вклад
теплоотдачи в местах контакта жидкости со стенкой в суммарный
теплообмен.
10.9. КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
Для возникновения кризиса пленочного кипения
необходимо выполнение по крайней мере двух условий для контактов
жидкости со стенкой: гидродинамического и термодинамического.
При пленочном кипении в условиях вынужденного течения и на
вертикальных и горизонтальных поверхностях в условиях
свободной конвекции гидродинамическая возможность контакта
гребней волн и капель со стенкой обеспечена даже при температуре
стенки, значительно превышающей температуру предельного
перегрева жидкости Тнр.
В этом случае кризис пленочного кипения носит
термодинамический характер и происходит следующим образом. В месте
случайного контакта жидкости со стенкой устанавливается некоторая
температура Тгр, которую можно в первом приближении получить
из решения одномерной нестационарной задачи
теплопроводности для полубесконечных слоев жидкости и стенки с
начальными температурами Тш0 и Тш0:
т*~т™+-т?££-- (10-21)
263

где ев = КРигСиЯ»; еж = V РжСжЯж — тепловые активности
материалов стенки и жидкости соответственно.
Если локальная температура на границе контакта жидкости
со стенкой Тгр превышает температуру метастабильного
перегрева жидкости Тпр, то происходит взрывообразное вскипание
тонкого слоя жидкости, коснувшегося стенки. При Тгр < Тпр
контакт жидкости со стенкой будет более длительным и приведет
к увеличению теплоотдачи за счет нестационарной
теплопроводности и пузырькового кипения, если оно успеет развиться за
время контакта. В последнем случае Тгр станет меньше величины,
оцениваемой формулой (10.21). Длительность каждого контакта
и доля поверхности нагрева, контактирующей с жидкостью
в данный момент времени, тем больше, чем ниже значения Т,„0
и Тж0 и чем больше отношение tm/ew. Интенсивность теплоотдачи
в местах контакта существенно выше, чем в области пленочного
кипения. Поэтому для заданных условий кипения существует
некоторая температура Tw — Ткр2, начиная с которой с
уменьшением температурного напора тепловой поток возрастает за счет
интенсивного теплообмена в местах контакта жидкости со
стенкой.
Экспериментальное исследование термодинамического кризиса
пленочного кипения проводилось на азоте, кислороде, фреонах-12,
-13, -22 и воде в большом объеме и на жидком азоте при
вынужденном течении. Анализ результатов экспериментального
исследования кризиса пленочного кипения показал, что температурный
напор АТкра не зависит от размера нагревателя D (при D =
= ^(Рж — Рп) g° > 5), от шероховатости поверхности нагрева
в диапазоне высоты микронеровностей Rz — 0,5 ... 300 мкм, от
скорости Wm в условиях вынужденного течения (при №ж -<
•< 8 м/с) и от нестационарности процесса (в условиях
нестационарного охлаждения снижение температурного напора за один
цикл контакта стенки с жидкой и паровой фазами не превышало
3%). Температурный напор, соответствующий кризису
пленочного кипения, повышается при уменьшении угла наклона
поверхности нагрева от 180° до 0° (см. рис. 10.10, б), при уменьшении
эффективной тепловой активности материала стенки (см.
рис. 10.10, а), при снижении давления (рис. 10.12, а) и увеличении
недогрева жидкости (см. рис. 10.11). Это объясняется тем, что
при указанном изменении факторов возрастает вклад в теплообмен
за счет контактов жидкости со стенкой, в результате чего вклад
становится заметным при более высоких значениях
температурного напора. Опытные данные по температурному напору АТкр2
с погрешностью ±30 % обобщены формулой
А1 нр ъЩ к ' ж) —
-(0,16 + 2,5 ]/гёж7<^ + е2ж/еш) (1 +0,13 cosy) (1 +cos6)/2,
(10.22)
264

полученной в следующем диапазоне определяющих параметров:
еж/еш = 5- КГ3 ... 1; в < 50°; у = 0 ... 180°;
D V(Pm — pn)g/o > 5; pnw^2/(рж#6) < 10;
plpK = 0,005 .. . 0,63; (Гкр2 - Т,)1(ТК - Гж)< 1,5.
Для тонких стенок и покрытий в выражение (10.22) вместо ew
подставляется гЭф.
Если Tw меньше чем Тпр, т. е. по термодинамическим
условиям контакт жидкости со стенкой возможен, то кризис
пленочного кипения будет иметь гидродинамический характер.
Например, это может иметь место на горизонтальной поверхности в
большом объеме спокойной жидкости.
Несмотря на то, что на практике гораздо чаще имеет место
термодинамический кризис пленочного кипения, в литературе
наиболее распространенной является гидродинамическая теория
кризисов. При кризисе пленочного кипения устойчивость паровой
пленки связана с соотношением динамических воздействий
(пропорциональных рп, ш„), сил тяжести и поверхностного натяжения.
Поэтому для определения дкр2 применим критерий устойчивости
&2, аналогичный коэффициенту kx в уравнении (10.12).
Но при пленочном кипении поверхность раздела фаз, а,
следовательно, и свободная энергия двухфазного граничного слоя
меньше, чем при пузырьковом кипении. Поэтому, если скорость
парообразования достаточна для равномерного питания уже
возникшего сплошного парового слоя, этот слой более устойчив,
чем двухфазный слой при пузырьковом кипении.
Это позволяет предположить, что
<7кР 2/<7кР 1 = KIK = const < 1.
Сопоставление с экспериментом дает <7Кр2/<7кр1 — 0.2.
10.10. РАСЧЕТ КРИВОЙ КИПЕНИЯ
Расчет теплового потока (кривая кипения) в области
переходного кипения производится следующим образом.
1. Для определения апл и а^ в уравнении (10.18) полагаем
возможной экстраполяцию кривой кипения в областях
пузырькового и пленочного кипения на область переходного кипения
линейными функциями
<7пу3 = al + b1 АГ; (10.23)
<7пл = а, -г *, Д7\ (Ю.24)
где коэффициенты а2 и Ь2 в (10.24) находятся экстраполяцией
расчетов пленочного кипения.
265

2. Вводим безразмерные величины Qnep = qmv/qKp i\ ■& —
= AT/ATKpl и приводим уравнение (10.18) к безразмерному виду
п B2fl + At + Я*"1 4- Btf-* + Лх*-6
спер
1 4- G^-з + Я§-6
(10.25)
где А2 =-- а2/б7кр1; 52 = 62 &TKpJqKpl.
В уравнении (10.25) пять неизвестных безразмерных
коэффициентов Е, G, Ах и By можно найти, полагая, что кривая кипения
(см. рис. 10.7) проходит через три точки с известными
координатами (qn, ДТ„), (с7„р1, АТкр1), (</кр2, ЛТкр 2) и в последних двух
точках кризисов имеет первую производную по AT, равную
нулю. Из этих пяти условий в безразмерных координатах
получаем систему линейных алгебраических уравнений
Ах = Ь,
где матрица А и векторы b и х имеют вид
Л =
Ъ =
1
1
5
1
5
#„
1
4
#хр2
4§кр2
0я(<2„
1 -
-Qn
— 1
— 5
— Qkp 2
— 5QKp2
- Афп)
А,
Qn$l
_1
— 3
- QkP 2 ■<
■3QKp2i
X —
Stp2
>кр2
By.
Ai
E
H
G
1
1
Фкр2
■&кр2
-Ba-
B2
A,
^кр 2 (Qkp 2 — 52 — /42§Kp 2)
^а^крг
Сопоставление расчета по (10.25) с экспериментами различных
авторов при определении ЛТЯ, ATKPi, Д7'кр2, Яп, <7кР i, <7кР2, <72. Ь2
дало совпадение расчетных и экспериментальных кривых кипения
в переходной области с точностью ±20 % .
Для априорных расчетов по уравнению (10.25) можно
рекомендовать определять qKp i — максимальную плотность теплового
потока — по формуле (10.12) с поправкой на ориентацию
поверхности нагрева в поле массовых сил:
<7кр1 = 0,13гп|/рп1 (рн
190э
X
X
1 4- 0,065 f^L
1 V Рп
0,8 С,
-к (' s ' »
(10.26)
или по другой соответствующей конкретным условиям формуле;
минимальную плотность теплового потока — по приближенной
зависимости
Чщ1 г
26, AT
кр2'
(10.27)
266

полученной из условия (10.24); А7*кр2 находится из уравнения
(10.22), ЛТкр1 — из (10.16), АГ„ и 9л — из (10.15).
Сопоставление таких априорных расчетов и экспериментов
дало точность ±30%.
10.11. ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
Большинство опытных данных по теплоотдаче при
пленочном кипении в большом объеме обычных и криогенных
жидкостей получено при кипении насыщенных жидкостей (Тш —
— Ts) и на поверхностях нагрева (шары, горизонтальные и
вертикальные цилиндры, пластины и др.), характерный размер
которых превышает критическую длину волны колебаний раздела
фаз:
Все эти опытные данные могут быть удовлетворительно (со
среднеквадратической погрешностью 25%) обобщены единой
формулой."
^и„ = 0,155 (Gau i^prili±^)1/3 . (10.29)
al a I S^\
Здесь число Нуссельта Nun -- -r±- ----- -— "■ l ; Gan =
А и Ли (1 ш — J s) Vn
число Галилея; 0„ = (<?;,)„ (Tw — Ts)/ru — безразмерный
температурный напор; Pra ----- jxn (с;,)и/Хи — число Прандтля; g —
ускорение свободного падения; 1Х — длина критической волны по
уравнению (10.28); ги — скрытая теплота парообразования; р =
= Рп/Рж-
За определяющую температуру в формуле (10.29) принята
Тп = (Тш -f Ts)/2. Формула верна в следующем диапазоне
изменения параметров:
4--105<Ga1I-^=-H-Prn<5,3-10!>; 0,12 <вп< 8,5.
Влияние недогрева жидкости АТ„ — Ts — Тж на теплоотдачу
при пленочном кипении в большом объеме исследовано лишь
качественно. Трудность заключается в определении теплового
потока qm, идущего на прогрев жидкости.
Распределение суммарного теплового потока qw на испарение
жидкости, на прогрев пара qu и на прогрев недогретой жидкости qm
всегда саморегулируется так, чтобы при любых значениях
температурного напора (Tw — Ts) и недогрева ДГН = Г, — Тж
обеспечить на поверхности раздела фаз температуру насыщения
(или свести к минимуму колебания ее около Ts).
Чем больше недогрев, тем больший тепловой поток должен
быть пропущен транзитом через пленку пара. Это требует
уменьшения ее теплового сопротивления, что можно достигнуть либо
267

уменьшением толщины, либо увеличением уровня турбулентности
в пленке пара. Величина qm помимо недогрева определяется
характером свободной конвекции в жидкости, скоростью
движения границы раздела фаз, увлекаемой паром, интенсивностью
и характером ее колебаний.
Интенсивные колебания поверхности раздела фаз турбули-
зуют прилегающие слои жидкости, увеличивая эффективную
теплопроводность в них и, следовательно, qm. С другой стороны,
большие недогревы и qm оказывают сильное демпфирующее
воздействие на колебания поверхности раздела фаз. Когда
значение <7ж соизмеримо с qw, изменение толщины пленки пара при
колебаниях границы раздела фаз ведет к значительным
локальным колебаниям qw. При движении поверхности раздела к стенке
температура пара возрастает, увеличивая интенсивность
испарения жидкости. Возникают реактивные силы и силы давления,
препятствующие движению жидкости к стенке.
Наоборот, при удалении поверхности жидкости от стенки
ее температура из-за роста теплового сопротивления пленки
пара может упасть ниже 7%, что сразу же вызовет конденсацию
пара на этом участке и падение давления, которое будет тормозить
движение границы раздела фаз.
Учет всех этих явлений при постановке и обобщении
экспериментов или в теоретических решениях представляет большие
трудности, которые еще предстоит преодолеть в последующих
исследованиях.
10.12. ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ
ТЕЧЕНИИ В КАНАЛАХ
Интенсивное изучение теплообмена и гидродинамики
при пленочном кипении было начато в 60-х годах для описания
физики процессов и разработки методов расчета захолаживания
магистралей криогенных ЖРД, заправочных и других
магистралей, криогенных систем. Оно актуально при расчете закризисных
аварийных режимов работы атомных реакторов и котлов.
Решающий вклад в изучение пленочного кипения в каналах был внесен
учеными МАИ.
На рис. 10.14 показаны характерные структуры потока всех
режимов пленочного кипения в вертикальной (а) и
горизонтальной (б) трубах. Если процесс происходит стационарно (при
внешнем подводе тепла), то эти режимы сменяют друг друга по длине
трубы, как показано на рис. 10.14. При нестационарном процессе
захолаживания трубы, когда, например, в «горячую» трубу
пускается «холодная» криогенная жидкость (рис. 10.14), картина
во времени перемещается по трубе слева направо по мере
охлаждения трубы. Тогда в сечении 0—0, которое тоже двигается вправо,
происходит кризис пленочного кипения, левее которого следуют
области переходного и пузырькового кипения, а за ними по мере
охлаждения трубы — область конвективного теплообмена. Однако
268

K=4
К*=9
Рис. 10.14. Режим пленочного кипения в каналах:
а — вертикальный канал; подъемное и опуь кное течения; 6 ■- гпризонiильный канал.
Режим; СА -- стержневой автомодельный; СН — стержневой неавтомодельный, П —
переходный; ДК — дисперсно-кольцевом; Д — дисперсный; ОП — однородный пар;
Р — расслоенный (индексы; «оп» — опускной; «под» — подъемный; «од» — стенка; «s» —
насыщение; «ж» — жидкость; «п» — пар; «одн» — однофазный; «гр» — граничный)
при захолаживании наиоолее важными являются именно режимы
пленочного кипения, на которые приходится около 90% всего
времени захолаживания.
Рассмотрим основные режимы пденочного кипения (см.
рис. 10.14).
1. Стержневой режим. В центральной части канала движется
жидкий стержень в общем случае недогретой жидкости,
отделенный от стенок пленкой перегретого пара. На границе фаз
температура равна 1\. Этот режим делится на две области:
автомодельную (СА), когда тепловой поток от стенки qw не
зависит от ее температуры Тш и определяется тепловым потоком
на прогрев жидкой струи qm. Это имеет место при больших недо-
гревах и расходах жидкости, так как чтобы пропустить большой qm,
тепловое сопротивление пленки пара должно быть небольшим.
Тогда qw ж qm > (qa -4- qr);
неавтомодельпую (СН). Она наступает тогда, когда но мере
прогрева жидкой струи q-A, падает, и паровая пленка растет,
следовательно, растут тепловые потоки на испарение qT и
перегрев пара qa.
В горизонтальном канале стержневому режиму соответствует
расслоенный режим (Р), при котором жидкость смещена к нижней
269

части канала, а пар к верхней, хотя и он отделяет жидкость от
стенки по всему периметру.
2. Переходный режим (П). Он возникает, когда жидкий
стержень догревается до температуры, близкой к Т5, и под
гидродинамическим воздействием пара разваливается на крупные жидкие
структуры. Иногда он возникает из-за колебаний расхода в
магистрали при инерционном отрыве крупных кусков от конца
жидкого стержня.
3. Дисперсно-кольцевой режим (ДК). В этом режиме крупные
капли в виде кольца со средним радиусом около 0,8 радиуса трубы
(для турбулентного течения пара) движутся около стенки, а более
мелкие капли — равномерно по всему потоку. Такое
расположение крупных капель определяется совместным действием на них
аэродинамических сил, определяемых распределением градиента
скорости и турбулентных пульсаций пара в канале и реактивных
сил от испарения капель в сторону стенки.
4. Дисперсный режим (Д) характеризуется примерно
равномерным распределением мелких капель по всему потоку. При их
полном испарении наступает однофазное течение перегретого
пара.
Теоретический анализ и обобщение экспериментальных данных
при пленочном кипении в каналах сопряжены с большими
трудностями:
наличие термической неравномерности двухфазного потока,
когда в каждом сечении канала одновременно существуют
перегретый пар около стенки и насыщенная или недогретая жидкость
вдали от нее, что не позволяет по количеству тепла, сообщенного
потоку, судить о том, какая часть жидкости превратилась в пар;
сложность гидродинамики двухфазного потока и процессов
теплообмена в нем;
весь тепловой поток от стенки снимается частично паром,
а частично излучением. Тепловой поток, снимаемый паром qw,
в свою очередь включает в себя три составляющих: тепловой поток
на перегрев пара дп от температуры насыщения на границе
раздела фаз до Тш около стенки; тепловой поток на испарение
жидкости qr с поверхности раздела фаз и, наконец, тепловой поток
на прогрев жидкости qHi, если она не догрета до температуры
насыщения Ts.
Трехмерное (или двухмерное в случае осесимметричного
потока) рассмотрение процесса в настоящее время практически
возможно лишь для стержневого режима. Причем, для турбулентного
течения в жидком стержне и в паровой пленке такой подход
возможен лишь приближенно — при использовании различных
гипотез о распределении турбулентных параметров по сечению.
Какие-либо исследования по структуре двухфазных турбулентных
потоков пока неизвестны,
Для трехмерного рассмотрения дисперсного режима
дополнительно требуется знать закономерности распределения капель
270

жидкости по размерам и по потоку, что еще больше усложняет
задачу теоретического анализа.
Поэтому, для построения инженерных методов расчета
целесообразно использовать одномерные (для жидкости и для пара)
модели описания двухфазных потоков при пленочном кипении.
Они также перспективны и для описания двухфазных потоков при
пузырьковом кипении.
В одномерных моделях предполагается, что все параметры
пара и жидкости изменяются лишь по длине канала и во времени,
но постоянны по сечению. Для этого вводятся среднерасходные
скорости пара wu и жидкости юж и среднемассовые температуры
пара Тп и жидкости ТЯ!. Температура раздела фаз всегда
принимается равной температуре насыщения Г„ а стенки канала —
Тш. Получим теперь замкнутую систему уравнений для
одномерного описания двухфазных потоков как обобщение
аналогичной системы уравнений для однофазного потока (см. гл. V). Тогда
уравнения движения энергии и неразрывности для жидкой и
паровой фаз будут:
Рж ^f - gd>« - f- + sign (шп - ww) Sga; (i 0.30)
•Si5+ o**jJ = *»</,.; (Ю.31)
d-§f Sm f ^ = - -^; (10.32)
Pn ^ = gj>n ~ % ~ Sign (wn - Wm) ^ - b^L.; (10.33)
"I "-Ж + G« 5 - V" - '"> % == *-U' ~ <* - **> u™ ^ °-34)
где
V4J
Фг
dt
*nsj
Ls„ +
G,„ =
Gn =
' дг '
дг
■- РиДО
-РпЬУ,
дш = а(Гш
'" 7Ши QI
UmQr
Гц
п
~Г8).
(10.35)
(10.36)
(10.37)
(10.38)
Кроме того, должны быть заданы физические свойства X,
ср, ц. для жидкой и паровой фаз как функции температуры и
давления, что дает еще 6 уравнений, а также ins = / (р), гп =
~ f (1"пз) и уравнения состояния для пара и жидкости. Для
каждого режима течения задаются условия однозначности и могут
быть получены по два соотношения между площадями сечения
канала, занятого паром Sn, жидкостью SyK, и периметром
жидкости Un{ в данном сечении канала. Чтобы замкнуть полученные
системы уравнений, необходимы еще 6 уравнений, например для
271

qw (или
a)> Яжг Ягг т>о>> ^ж и ф — Sn/(SU -f- Sm) объемного паро-
содержания (или х = Gj(Gn + G») массового паросодержания)
как функций координаты z и времени £.
Эти уравнения не могут быть получены в рамках
рассмотренной одномерной модели, ибо именно они характеризуют, как
реальное трехмерное течение проявляет себя при его одномерном
описании данной моделью (это аналог а и хш для одномерного
описания однофазной жидкости). Они могут быть получены из
эксперимента (или из трехмерной математической модели, когда
она возможна). Причем в экспериментах эти параметры
находятся из рассмотренной системы уравнений, которая замыкается
с помощью измерений соответствующего числа величин. Когда
измерений недостаточно, используют различные допущения и
гипотезы, вытекающие из физического механизма течения.
В тех случаях, когда необходимо рассчитывать
нестационарные процессы (например захолаживание магистралей
криогенными жидкостями в процессе их заполнения), методика расчета
строится на рассмотренной системе уравнений, замкнутой
эмпирическими уравнениями и уравнением теплопроводности для
стенки канала:
с w = тdiv <*• grad T) + •?■ <! °-39)
или
~ = — Д7\ (10.40)
когда Я, = consf и нет тепловыделения в стенке (qv = 0).
Для такой задачи граничные условия задаются на внешней
поверхности стенки канала, а на внутренней — условия
сопряжения, т. е. равенство температур и тепловых потоков по обе
стороны поверхности стенки. Эту задачу принято называть
сопряженной. Такой подход к исследованию пленочного кипения в каналах
позволил с самого начала сформулировать задачи для всего
комплекса экспериментальных исследований, требования к
измерениям и методику основных экспериментов.
Эти задачи включали раздельное исследование всех режимов
пленочного кипения в каналах при подъемном, опускном и
горизонтальном течении кипящей жидкости и определение условий
перехода одного режима пленочного кипения в другой (по длине
канала и во времени для нестационарного случая). Поскольку
преимущественно изучалось пленочное кипение применительно
к захолаживанию магистралей, то в задачи экспериментов
входило изучение кризиса пленочного кипения как его границы и
переходного кипения. Важное внимание уделялось методам
интенсификации пленочного кипения и управления его кризисом.
Изучение механизма физических процессов рассматривалось как
составная часть основных экспериментальных исследований,
необходимая для их правильного проведения, интерпретации и
272

обобщения опытных данных в виде замыкающих эмпирических
уравнений.
Из рис. 10.14 видно, что при опускном движении в
стержневом режиме пленочного кипения давление в канале растет, так
как жидкий стержень движется под действием силы тяжести,
увлекая за собой пар. При подъемном движении давление падает
во всех режимах и скольжение шп — wm > 0. Теплоотдача
в стержневом режиме по длине канала уменьшается. В
автомодельной области из-за уменьшения недогрева жидкости
коэффициент теплоотдачи монотонно снижается. В неавтомодельной
области это снижение продолжается еще и благодаря росту
толщины паровой пленки, но при достижении KW~K>K :--:ru!(i}KS—.(',„)>
;> 10 начинается резкое уменьшение а, которое в конце
стержневого режима проходит через минимум. Это падение — следствие
интенсивного роста толщины паровой пленки.
Границей между автомодельной и неавтомодельной областями
стержневого режима пленочного кипения можно считать
. !__ПП11К *ж ' _f RemPm\lm_\0-25
i
где
i 0,0115T-n ,,,Д , n dn f-Re"'oW* Г , (10-41>
Kw 1+0.3L+l,3exp(—0,4L) \ рпЦп / v
К ^n
'ns
Pn» \ ilL J
При этом значении Кш имеем 1 < qjq,u <C 1>1- Границей между
стержневым и переходным режимами пленочного кипения служит
развал жидкого стержня, который происходит в опускном и
подъемном течениях при ф = 0,7, что сопровождается резким
увеличением поверхности жидкости, ростом парообразования
и а, достигающем максимума в этом сечении канала.
В горизонтальном канале граница между расслоенным и
переходным режимами пленочного кипения определяется равенством
критерия гидродинамической устойчивости пара
К = (wn — шж) VpJY'ga (Р« - Рп) =■■ 4- (10.42)
В переходном режиме пленочного кипения а сначала резко,
а потом медленно убывает из-за уменьшения теплового потока
в жидкость и на испарения, хотя и происходит развал крупных
жидких конгломератов на капли.
Когда параметр К = (wn — w,„) VpJYe0 (Рж — Рп) < !Л
наступает дисперсно-кольцевой режим пленочного кипения, при
котором крупные капли перемещаются вблизи стенки,
постепенно делясь на более мелкие. Дисперсно-кольцевой режим
переходит в дисперсный, когда тепловые пограничные слои смыкаются
на оси потока.
273

В этих режимах все параметры мало различаются для
опускного, подъемного течений и течения в горизонтальном канале,
так же как и для пленочного кипения, возникающего после
наступления кризиса второго рода при пузырьковом кипении (за-
кризисная область после высыхания жидкой пленки на стенке
канала).
В горизонтальном канале граница между переходным и
дисперсно-кольцевым режимами определяется при
К* = wu WJVgo (рж - Рп) = 9. (10.43)
Граница между дисперсно-кольцевым и дисперсным режимами
находится из условия равенства отношений бт**/R для
двухфазного и однофазного потоков, где R — радиус канала, а б** —
толщина потери энергии.
В дисперсно-кольцевом режиме обычно wn/wm — 2 ... 1,3,
а в дисперсном 1,3 ... 1. При достижении истинным массовым
паросодержанием значения х — 1 дисперсный режим пленочного
кипения переходит в однофазный поток пара.
Для всех рассмотренных режимов пленочного кипения в МАИ
были получены эмпирические уравнения для qw, qm, qT, xw, тж,
^ж (ф). позволяющие замкнуть систему уравнений (10.30) ...
(10.38).
Естественно, при расчете захолаживания реальных
магистралей большое значение имеют теплообмен и гидродинамика в
различных изгибах, вентилях и другой арматуре. Их исследования
проводятся и публикуются в специальной литературе.
Для сокращения времени и потерь криогенных жидкостей при
захолаживании применяют различные методы интенсификации
теплообмена при пленочном кипении: используют возможность
смещать кризис пленочного кипения и область переходного
кипения в сторону высоких температур стенки путем нанесения на
внутренние стенки магистралей тонких низкотеплопроводных
покрытий.
10.13. ТЕПЛООБМЕН ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА
Конденсация представляет собой процесс перехода
пара' или газа в жидкое состояние. Это явление широко
встречается на практике в ряде теплотехнических устройств.
Процесс конденсации всегда происходит с выделением тепла,
и поэтому он неразрывно связан с явлением теплообмена.
Конденсация может происходить как в объеме пара, так и на
соответствующих поверхностях теплотехнических устройств
(теплообменников, конденсаторов и др.).
Спонтанное образование паровых зародышей в объеме жидкой
фазы требует перегревов 6ГП ^ Тир — Ts, ограниченных
температурой предельного перегрева жидкости Тпр. Аналогично,
спонтанное образование зародышей жидкости в объеме пара тр$-
274

бует переохлаждения пара 6ГЖ <; Ts - Т"пр, ограниченного
температурой предельного переохлаждения пара Тпр (для воды при
атмосферном давлении Тпр — 7\. ш 220 К. a Ts — Тар ~ 44 К).
При увеличении переохлаждения пара критический радиус
капли RKp уменьшается и, следовательно, вероятность
спонтанного образования капель с ^ > RKp в объеме возрастает. Когда
переохлаждение достигает своего предельного для данного
давления значения Ts — Г„р, число капель с i? > RKp, возникающих
в единицу времени и в единице объема, становится столь большим,
что конденсация пара происходит по всему объему.
Капли с R < RKp неустойчивы. Возникнув в результате
флуктуации плотности, они быстро испаряются. Наоборот, если
R > ^кр> то такие капли из-за конденсации на них пара
непрерывно растут (если Тп.и р постоянны).
Капля, находящаяся в термодинамическом равновесии с
паром, называется зародышем или ядром жидкой фазы, а ее
радиус — критическим:
^кр = felwT Т^ТрГ' (10'44)
где а — поверхностное натяжение капли; Rn — газовая
постоянная для пара; рп — давление пара; ps — давление насыщения
пара над плоской поверхностью жидкости для данной
температуры Т.
Отношение pjps > 1 называется степенью перенасыщения
пара. При выводе формулы (10.44) учтено, что под действием
поверхностного натяжения давление внутри капли рж больше
давления окружающего пара рп на величину 2а/р.
Спонтанная конденсация пара в объеме часто встречается
на практике при течении пара в соплах, в паровых турбинах,
в магистралях при наличии резких расширений и т. п. В этих
случаях происходит быстрое адиабатное или политропное
расширение пара, при котором его температура падает ниже Ts для
текущего давления р, следовательно, пар переохлаждается (Та <
< Ts) и перенасыщается (р > ps).
В сечении потока, где переохлаждение достигает предельного
значения, возникает огромное количество зародышей жидкости
с R ;> RKp. На этих и новых зародышах со все возрастающей
скоростью происходит конденсация пара. Размеры капель при
этом растут, и резко растет тепловыделение при переходе пара
в жидкость. Это тепловыделение так велико, что пар, несмотря
на расширение канала, успевает нагреться до Ts и конденсация
прекращается. Поэтому в сечении канала, расположенном по
потоку несколько ниже сечения, где Тп достигала Тпр и где
образовались зародыши, возникает так называемый скачок
конденсации, сопровождаемый ростом температуры и давления пара.
Таким образом, процесс конденсации при течении пара в соплах
происходит термически неравновесно.
275

Энергия, необходимая для возникновения зародыша жидкой
фазы на гладкой твердой поверхности, значительно меньше, чем
для образования зародыша в объеме пара. Поэтому конденсация
на твердой поверхности начинается при переохлаждении пара,
много меньшем предельного. Переохлаждение это тем меньше,
чем больше угол смачивания в. Еще меньшие затраты энергии
требуются для возникновения новой фазы в углублениях и
трещинах.
Таким образом, при конденсации пара на твердой
поверхности с Тш < Ts зародыши жидкости сначала возникают в
углублениях и трещинах с малыми углами раствора, а затем
конденсация идет на поверхности этих зародышей.
Если жидкость смачивает поверхность (В -^ 90°), то эти
зародыши растут и сливаются в сплошную пленку жидкости, на
поверхности которой в дальнейшем и происходит конденсация
пара.
Такая конденсация называется пленочной. В процессе
пленочной конденсации температура поверхности жидкой пленки
Гж, в большинстве случаев близка к Тв, но Ts — Tms > 0.
Аналогично, при испарении с поверхности TyKS — Та > 0. Этот
скачок температур на границе раздела фаз называют тепловым
сопротивлением фазового перехода.
Величина Ts — Tms зависит от рода жидкости, давления,
коэффициента конденсации iiK и интенсивности фазового перехода.
Коэффициентом конденсации или аккомодации называется
отношение числа молекул пара, оставшихся в жидкости, к числу
всех молекул пара, столкнувшихся с поверхностью жидкости.
Пока нет надежных методов его расчета. Для абсолютно чистой
жидкости и пара т)к ~ 1. Однако даже следы примесей могут
уменьшить т]к до значений много меньших единицы. Для обычных
и криогенных жидкостей при атмосферном давлении (вообще
при не очень малом значении р/ркр) разность Ts — TiKS в
практически важных случаях пренебрежимо мала. Однако при очень
малых р/рНр, особенно для жидких металлов, разность Т, — T,KS
может достигать 10 ... 15 К.
В процессе пленочной конденсации на поверхности раздела
фаз выделяется тепло, которое необходимо отводить через пленку
конденсата к стенке. Тепловое сопротивление пленки зависит
от ее толщины, коэффициента теплопроводности, степени турбу-
лизации, наличия волн на поверхности и т. п. Поэтому условия
отвода конденсата с поверхности и режим течения жидкой пленки
наряду с режимом течения пара определяют интенсивность
конденсации пара на стенках при заданном значении Тп — Тш.
Если жидкость не смачивает поверхности, то при конденсации
образуется не сплошная пленка, а отдельные капли конденсата
на поверхности. В микроуглублениях, трещинах или на
смачиваемых инородных вкраплениях возникают зародыши жидкой
фазы. Они растут из-за последующей конденсации на них пара и
276

CLth.8m/(M'-K)
7
I
4/10
JIIO
200
WO
0 SO 60 911 121! 1bO /i,°
Рис. 10.15. Зависимость
коэффициента теплоотдачи от угла
наклона поверхности к
горизонту:
360 кВт/м»;
2 -0W-
0° поверх-
= 626 кВт/м' (при Р
вость обращена вверх; при (5
= 180" — вниз)
захвата его молекул, первоначально
абсорбированных на поверхности
между каплями, а затем
диффундирующих вдоль поверхности к
зародышам. При соприкосновении
соседних капель друг с другом они
сливаются в общую каплю. На 1 см2,
как показали опыты, может
располагаться более 1 млн зародышей,
а капля в процессе своего роста
может иметь до 400 000 слияний.
Коэффициент теплоотдачи при
капельной конденсации в 2—20 раз
выше чем при пленочной.
Большинство используемых в технике
жидкостей смачивает поверхность. Поэтому
пленочная конденсация на практике
встречается значительно чаще.
Однако применение специальных покрытий (для воды, например, золото
и другие благородные металлы, а также ряд органических
веществ), не смачиваемых жидкостью, позволяет использовать
в технике капельную конденсацию. Этим достигается
значительное уменьшение габаритных размеров и массы
конденсаторов.
При капельной конденсации, так же как и при пленочной,
основной задачей является отвод конденсата с поверхности.
С этой целью используют силовые поля (гравитационное,
центробежное, электрическое, магнитное) или вынужденное движение
пара. Наиболее часто используют гравитационное поле и
вынужденное движение пара. Капли конденсата, достигнув
критического размера, скользят или катятся по наклонной поверхности
под действием сил тяжести, а на их месте возникают новые и т. д.
Критический размер капли зависит от значения величин угла
смачивания, угла наклона поверхности и поверхностного
натяжения.
На рис. 10.15 дана зависимость коэффициента теплоотдачи
от угла наклона поверхности к горизонту при капельной
конденсации водяного пара на медной поверхности, покрытой тонкой
пленкой золота.
При вертикальной ориентации поверхности капли находятся
на поверхности минимальное время, частота их отрыва
максимальна, а критический размер минимален. В этом положении
образуется максимальное число зародышей. Все эти величины
довольно слабо зависят от угла наклона в диапазоне от 30° до
150°, а затем зависимость от угла усиливается. Наихудшие
условия для отвода конденсата и минимальная теплоотдача создаются
на горизонтальной поверхности, обращенной вверх. На ней через
некоторое время после начала капельной конденсации капли
277

сливаются в сплошную пленку и капельная конденсация
переходит в пленочную.
Процесс капельной конденсации (механизм роста капли,
отвода тепла от ее поверхности, закономерности ее движения и др.)
в настоящее время изучен еще недостаточно для построения
количественных зависимостей.
10.14. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
НЕПОДВИЖНОГО ПАРА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Расчет теплоотдачи при пленочной конденсации в
основном сводится к определению толщины пленки конденсата и ее
теплового сопротивления. Однако, если в паре имеется примесь
неконденсирующегося газа, то у поверхности конденсации
образуется диффузионный пограничный слой. Концентрация примеси
газа в этом случае увеличивается по направлению к поверхности
пленки конденсата. Газ переносится к пленке конвекцией пара,
а удаляется в поток диффузией. Это снижает парциальное
давление пара у поверхности раздела фаз, затрудняет приток массы
конденсирующегося пара к поверхности и, тем самым, служит
тепловым сопротивлением, которое необходимо учитывать.
Примеси инертного газа существенно снижают теплоотдачу при
конденсации.
Исследования показали, что влияние примеси
неконденсирующегося газа тем сильнее снижает теплоотдачу, чем больше
концентрация примеси в потоке; чем больше интенсивность
конденсации, т. е. чем больше Ts — Тю, и меньше давление
конденсирующегося пара.
Так же было проведено исследование влияния перегрева
пара на теплоотдачу при конденсации. Подтвержден физически
ясный вывод о том, что влияние перегрева пара тем больше, чем
меньше скорость конденсации пара и чем больше тепловой поток
от пара конвекцией и теплопроводностью. В этом случае доля
теплового потока, передаваемая через пленку конденсата к
поверхности теплопроводностью и конвекцией от перегретого пара,
естественно, возрастает. Поэтому влияние перегрева пара на
теплоотдачу при конденсации тем сильнее, чем меньше Т3 — Тш,
чем больше концентрация неконденсирующегося газа в паре и
больше давление пара.
Если предположить течение пленки конденсата ламинарным,
а распределение температуры в ней линейным, пренебречь
тепловым сопротивлением фазового перехода и недогревом пленки
конденсата, не учитывать ускорения пленки и трения ее о пар,
то можно теоретически получить уравнение для среднего
коэффициента теплоотдачи при конденсации чистого насыщенного
пара на поверхности длиной L в виде
<g-sin ррж (рж - рп) г'п Т/4
а 0,943
278
М-ж (Т:1 — Tw) L
(10.45)

где В — угол наклона поверхности к горизонту; rJJ —
эффективная теплота парообразования, учитывающая недогрев пленки и
отклонение профиля температур в ней от линейного. При
с* (Т, - Тш)/гп < 2
г'п = г„ + 0,68сж (Ts — Tw).
Учет трения поверхности раздела фаз уменьшает
теплоотдачу тем сильнее, чем больше сж = (7Л, — Tw)lrw если трение
о пар тормозит движение пленки. Колебания поверхности
раздела, наоборот, увеличивают среднюю теплоотдачу.
Уравнение (10.45) справедливо и при конденсации пара на
горизонтальном цилиндре с диаметром dH, если положить sin В = 1
и заменить в нем L = 2,78dH.
Для конденсации пара на пучке горизонтальных труб,
расположенных друг над другом в п рядов,
а = 0,728 Г1+0,2Сж(Тз;,~Гю)(/г-1)]
"ЯРж(Рж-Рп)^
X
X
"ж^п
ndap. (Ts — Гц
1/4
(10.46)
Эта формула рекомендуется при (п — 1) сж (7, — Tw)lrn < 2*
Конденсация внутри коротких горизонтальных труб диаметром
dn при Re -< 35 000 также может рассчитываться по формуле
(10.46), полагая sin f> = 1 и L = 8,4<iH.
Конденсация жидких металлов имеет свою специфику. Расчет
теплоотдачи пленочной конденсации жидких металлов по
формулам (10.47) и (10.46) дает величины, значительно превосходящие
данные экспериментов (до 30 раз).
Причинами этого расхождения могут быть следующие.
1. Тепловое сопротивление на поверхности конденсации из-за
окисных пленок, адсорбированных газов и других загрязнений
поверхности.
2. Наличие в паре примесей неконденсирующихся газов.
Непрерывная очистка пара и тщательная герметизация всего
контура позволяют устранить примеси неконденсирующихся
газов.
3. Тепловое сопротивление фазового перехода Та — Tms,
где 7Ж5 — температура поверхности жидкой пленки, которая
в большинстве случаев близка к Та, но Ts — Tms > 0.
Типичное распределение температуры при конденсации
насыщенного пара жидкого металла представлено на рис. 10.16. Как
видим, около поверхности конденсата существует тонкий слой
279

/.
фг*
'ms
Рис. 10.16. Типичное распределение
температуры при пленочной конденсации
насыщенного пара жидкого металла:
/ - насыщенный пар; 2 — пленка конденсата;
3 — поверхность конденсата
переохлажденного пара,
состоящий из «медленных» отраженных
и испарившихся молекул, а
также молекул, с которыми они
успели столкнуться. Ряд
проведенных исследований показал, что
10/, где / — средняя длина свобод-
толщииа этого слоя б*
ного пробега молекул. С помощью молекулярно-кинетической
теории газов было показано, что
А, 0
' ф ' Ж8
Здесь
г 2r)h .
G„ (ср)а (В + б*)
- Pms) У
(10.47)
м
2nRyТф
М — молекулярная масса пара; Ru — универсальная газовая
постоянная; рф и рж„ — давления насыщения, соответствующие
^Ф и Tms;
5 =
Ргп(Ср/с„)п+Т;
/ =
1010p-n
266,93 У2МТфп
(10.48)
[хп — коэффициент динамической вязкости пара; п = ps {кТф) —
количество молекул пара в 1 м3; k = 1,38-10~23 Дж/К —
постоянная Больцмана.
Тепловой поток при конденсации рекомендуется определять
по уравнению qw = G„r"tt*, где с учетом переохлаждения пара и
недогрева жидкости в пленке
Гп = \Ср)п ('|—' Жз) "Т~ ra -j 8~Сж (' «s ' <"/■
Падение температуры в пленке Tms — Тш может быть
определено по формуле
Tms-Tw = qja, (10.49
в которой d находится по уравнению (10.45).
Расчет по уравнениям (10.47) ... (10.49) удовлетворительно
обобщает известные экспериментальные данные по конденсации
натрия, калия и ртути в диапазоне р = 0,01 ... 100 кПа при
постоянном коэффициенте конденсации r\h = 1 и б* = 10.
280

Неучет переохлаждения пара у поверхности раздела
приводит к кажущемуся значительному уменьшению T)ft с ростом р
пои р, — 1 кПа.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие факторы определяют рост паровых пузырей при кипении?
2. Как объяснить физически характер кривой кипении при естественной
конвекции?
3. Что такое кризисы пузырькового и пленочного кипения?
4. Как влияет вынужденное течение в каняле на кризис пузырькового
кипения?
5. Каков физический механизм переходного кипения?
6. Какие существуют режимы пленочного кипения в каналах, как в них
взаимодействуют пар и жидкость?

ГЛАВА XI
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
11.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Лучистым (радиационным) теплообменом называется
передача тепла, обусловленная превращением внутренней
энергии вещества в энергию излучения, переносом излучения и его
последующим поглощением другим веществом.
Все тела постоянно испускают и поглощают лучистую энергию.
Однако при низких температурах количество излучаемой
энергии невелико и может не учитываться при расчете теплообмена
между телами. При повышении температуры тел излучение их
резко возрастает, вследствие чего при высоких температурах
перенос тепла излучением становится преобладающим по
сравнению с теплопроводностью и конвекцией. Роль лучистого
теплообмена также возрастает при понижении плотности среды,
заполняющей пространство между телами, а в условиях глубокого
вакуума он становится единственно возможным видом
теплообмена. Поэтому значение лучистого теплообмена особенно велико
в современных областях техники, связанных с применением
высоких температур или глубокого вакуума, таких, как ракетно-
космическая и авиационная, ядерная, плазменная,
металлургия и др.
Тепловое излучение представляет собой процесс передачи
тепла с помощью электромагнитных волн, скорость
распространения которых в вакууме равна скорости света (3 108 м/с). Таким
образом, характерными особенностями лучистого теплообмена
является очень большая скорость носителей и возможность
передачи тепла от одного тела к другому при отсутствии какой-
либо промежуточной среды между ними.
Источниками электромагнитных волн являются заряженные
частицы (ионы и электроны), входящие в состав вещества.
Различные виды движения этих заряженных частиц относительно
друг друга приводят к испусканию электромагнитных волн
различной частоты. Так, например, колебание ионов около
положения равновесия в твердых телах вызывает испускание
электромагнитных волн низкой частоты, движение свободных электронов
в металлах относительно ионов приводит к испусканию
электромагнитных волн различной частоты.
При этом необходимо отметить, что лучистая энергия
испускается телами не непрерывно, а отдельными дискретными
порциями — квантами света (или фотонами;.
282

Точно такая же физическая природа излучения и
высокотемпературных газов. Переход электронов в атомах с более высокого
энергетического уровня на более низкий сопровождается
испусканием атомами фотонов определенной частоты.
Следовательно, тепловое излучение, как и свет, обладает
как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Поэтому
тепловое излучение можно представить как поток квантов света
(или фотонов), распространяющийся в пространстве со скоростью
света, функция распределения которых является волновой.
Физическая природа процессов испускания и поглощения
достаточно полно представлена в современной теории теплового
излучения. Однако для решения практических задач расчета
лучистого теплообмена, ввиду его большой сложности,
целесообразно использовать феноменологический метод исследования,
рассматривая среду как сплошную, а не дискретную, и
обладающую некоторыми суммарными характеристиками, определяющими
лучистый перенос энергии.
При таком макроскопическом рассмотрении процесса
лучистого теплообмена между телами или излучающей средой (газом) и
поверхностью тела (стенкой) тепловое излучение можно
приближенно описать по аналогии с геометрической оптикой системой
тепловых лучей, распространяющихся в разных направлениях
прямолинейно со скоростью света. Результирующий эффект
испускания или поглощения лучистой энергии обуславливается
суммарным воздействием всех лучей, проходящих через
рассматриваемый элемент пространства или поверхности. Для этого должна
быть известна интенсивность лучей во всех направлениях.
Распространение излучения в пространстве характеризуется
расходящимися в пределах сферы или полусферы лучами, и под
направлением луча подразумевается направление осевой линии
элементарного телесного угла, внутри которого происходит
перенос лучистой энергии.
В макроскопической трактовке испускание и поглощение
тепловых лучей выражается количественно с помощью
коэффициентов излучения и поглощения, отнесенных к единице площади
поверхности тела или единице объема газовых сред. Коэффициенты
излучения и поглощения зависят от природы тел и являются
функциями их состояния. С их помощью можно математически описать
излучение и рассчитать лучистый тепловой поток между телами
или между газом и поверхностью.
Тепловое излучение, как и любой другой вид
электромагнитного излучения, занимает определенное положение в единой
классификации электромагнитных волн по длинам волн, м:
космическое 0.05-10""
V-излучение 0,5- Ю-12 ... 0,1- КГ"
рентгеновское Ю-13 ... 20-10~*
ультрафиолетовое 20- 10~* ... 0,4-10~"
видимое 0,4- 10~в ... 0,8-10 "
263

инфракрасное 0,8-10"* ... 0.2-10"*
радиоволны 0,2-10"' ... 10- 10s
При температурах до 4000 К основная доля из общего
количества лучистой энергии приходится на область спектра с
интервалом длин волн К от 0,7- 10-в до 50-Ю"6 м. В этой области
большая часть энергии излучения падает на инфракрасные лучи
и небольшая часть — на световые.
При температуре выше 6000 К уже больше половины энергии
излучения приходится на видимую и ультрафиолетовую части
спектра (К = 0,2- 10_в ... 0,7-10~вм). Таким образом, с увеличением
температуры происходит не только абсолютное увеличение
интенсивности излучения, но также изменяется его спектральный состав.
Реальные твердые и жидкие тела в своем большинстве являются
непрозрачными для тепловых лучей. Такие тела излучают и
поглощают инфракрасное излучение в очень тонком слое,
непосредственно примыкающем к поверхности. Поэтому тепловое
излучение не зависит от массы таких тел и полностью определяется
лишь геометрией и состоянием их поверхности. В связи с этим все
количественные характеристики излучения для непрозрачных
тел относят к единице площади их поверхности, а сам процесс
теплового излучения приближенно рассматривается как
поверхностный.
В отличие от непрозрачных тел, газы и некоторые твердые
и жидкие тела при ограниченных толщинах слоя излучают и
поглощают тепловые лучи во всем своем объеме. Такие тела или
среды в отличие от абсолютно прозрачных (диатермичных) будем
называть полупрозрачными.
Тепловое излучение таких сред зависит от их массы или объема.
Поэтому количественные характеристики излучения для
полупрозрачных сред относят обычно к единице их объема или массы.
Различают интегральное и спектральное (монохроматическое)
излучения. Интегральным называется суммарное излучение во
всем диапазоне длин волн от 0 до оо. Спе_ктральным
(монохроматическим) называется излучение в узком интервале длин волн
от X до A, -f dX. Все величины, описывающие спектральное
излучение, относятся к единичному интервалу длин волн и
обозначаются подстрочным индексом «л».
Плотностью потока излучения Е называется полное
количество лучистой энергии, излучаемой в полусферу за единицу
времени единицей площади поверхности.
Полный поток излучений Q с поверхности площадью F может
быть выражен через плотность потока излучения интегралом:
Q^"\EdF. (11.1.)
р
Следовательно,
£-#. (11.2)
284

/77777777V
Рис. 11.1. Схема к определению Рис. 11.2. Графическое определение
яркости излучения спектральной интенсивности
излучения
Распределение излучения по направлениям в пределах полусферы
характеризуется величиной яркости.
Яркостью (или калорической яркостью) излучения называется
количество энергии, излучаемое единицей площади поверхности,
расположенной перпендикулярно направлению излучения, в
единицу времени, в единицу телесного угла:
В = .п * , (11.3)
dQdF cos q> ' ' '
где dQ<p — элементарный поток излучения в данном
направлении, Вт; dQ. — элементарный телесный угол, ср; dF —
элементарная площадка, м2; <р — угол между направлением излучения
и нормалью к площадке dF (рис. 11.1).
Распределение излучения по длинам волн характеризуется
величиной спектральной интенсивности излучения Е%.
Спектральной интенсивностью излучения Е% называется количество
энергии, излучаемой единицей площади поверхности за единицу
времени в единичном интервале длин волн по всем направлениям
полусферического пространства (рис. 11.2):
fli—f-. 01.4)
где dX — элементарный интервал длин волн. Е% зависит от длины
волны, температуры, вида и состояния поверхности.
Связь между Е% и Е можно записать в интегральной форме
следующим образом:
Е = j Е%. dk,
(11.5)
т. е. плотность потока излучения Е выражается площадью под
кривой Е% в интервале длин волн от 0 до со.
Распределение спектрального излучения по направлениям
характеризуется величиной спектральной яркости В^.
Спектральной яркостью излучения В%. называется количество спектральной
энергии, излучаемое единицей площади поверхности,
расположенной перпендикулярно направлению излучения, в единицу вре-
285

Рис. 11.3. Распределение падающего излучения
мени, в единицу телесного угла, в единич-
^W//A$№///////// H0M интеРвале Длин волн:
Ж
В,=^. (11.6)
Связь между интегральной и спектральной яркостью
излучения
оо
В =\ Bj.dk. (11.7)
о
Энергия теплового излучения, падающего на тело, может
поглощаться, отражаться и пропускаться этими телами (рис. 11.3):
•^пад = -Сцогл ' Г с- отр "Г ^прои- \\ ' •")
Поглощательной способностью А называется отношение
поглощенной телом лучистой энергии к падающей:
" == ^■погл/'Спад1 (•'•'•У/
Отражательной способностью R называется отношение
отраженной телом лучистой энергии к падающей:
R = Eorp/Enan. (11.10)
Пропускательной способностью D называется отношение
прошедшей сквозь тело лучистой энергии к падающей:
'-' = Спрош-Слад- (* ' ■■' */
Очевидно,
А + R +D = 1. (11.12)
В частных случаях один или два коэффициента в выражении
(11.12) могут быть равными нулю. Если D = \, а А = R = 0,
то такое тело называется абсолютно прозрачным (диатермичным);
если D = 0, Л -f -R = 1, то тело называется непрозрачным;
если i4 = l,a/?=D = 0, то тело называется абсолютно черным;
если R = l,aA=D=0, то тело называется абсолютно белым,
когда отражение диффузное, т. е. яркость отраженного излучения
во всех направлениях одинакова, или зеркальным, когда
отражение излучения подчиняется законам геометрической оптики.
Абсолютно белых, абсолютно прозрачных и абсолютно
черных тел в природе не встречается. Однако понятия о таких телах
оказываются весьма полезными при изучении законов лучистого
теплообмена между реальными телами.
Особенно большое значение имеет понятие абсолютно черного
тела, т. е. такого, которое целиком поглощает всю падающую
на него лучистую энергию. Законы излучения абсолютно черного
тела как наиболее простые и универсальные положены в основу
всех расчетов теплового излучения.
286

11.2. ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Закон Планка выражает зависимость спектральной
интенсивности излучения абсолютно черного тела Е%.0 от длины
волны X и температуры.
Аналитическое выражение указанной зависимости от длины
волны было получено М. Планком на основе квантовой теории:
£ю = С1Х-Чес'""'>-1]-1, (Н.13)
где d = 0,374-КГ" Вт-м2 и С2 = 1,4398 10"2 м-К; X. — длина
волны, м; Т — абсолютная температура, К.
Излучение абсолютно черного тела характеризуется
непрерывным спектром с диапазоном длин волн от 0 до оо (рис. 11.4).
Кривые спектральной интенсивности излучения характеризуются
наличием максимума с резким спадом в сторону коротких волн
и более пологим в сторону длинных.
Закон смещения Вина устанавливает зависимость
положения максимума спектральной интенсивности излучения от
температуры. Указанная зависимость может быть получена
аналитически из формулы Планка (11.13), для чего необходимо вычислить
производную dEJdk и приравнять ее нулю.
В результате несложных преобразований получается
соотношение
ЬтахТ = Ь,
(11.14)
где b = 2.896 -10~3 — постоянная Вина, выражающая закон Вина,
согласно которому при повышении температуры длина волны А,шах,
соответствующая максимуму спектральной интенсивности
излучения абсолютно черного тела, уменьшается.
Наглядным качественным подтверждением закона Вина
является изменение цвета раскаленного металла при повышении
температуры (красный, оранжевый, желтый) в направлении более
коротких волн в области видимой части спектра.
Закон Стефана—Больцмана устанавливает зависимость
интегральной плотности потока излучения абсолютно черного тела £
от температуры. Эта зависимость также
может быть получена из формулы £-Дй
Планка (11.13) с учетом соотношения
(11.5):
оо
£„ ■= J СгХ~ь [ес./<^> - 1 ]-> dX.
(11.15)
Для того, чтобы проинтегрировать
выражение (11.15), введем новую
переменную Рис. II.4. Спектры
излучения абсолютно черного
X = С,АГ. (11.16) тела
287

Отсюда следует, что
Я. = Сг/хТа, dX^ — -^dx. (11.17)
При этом изменились пределы интеграла (8.15).
При X = 0 х — оо, а при X = оо х = 0.
Подставим (11.16) и (11.17) в подынтегральное выражение
для Е0 (11.15), получим
оо
£0=-§f-r4_f-~^-. (11.18)
о
Для интегрирования выражения (11.18) воспользуемся
функцией Римана
оо оо
\-^-vdx = T(n)YJK-\ (11.19)
о е k=i
где Г (п) — гамма-функция.
Следовательно,
оо оо
j_^.^==r(4)J]^-4- (И.20)
0 е А=1
С учетом (11.20) выражение для плотности потока излучения
абсолютно черного тела (£0) принимает вид
£0 = аоГ4, (11.21)
оо
где а0 = -§-Г (4) ^ К'4 = 5,668-10'8 Вт/(м2. К4) - коэффициент
излучения абсолютно черного тела.
Таким образом, по закону Стефана—Больцмана плотность
потока излучения абсолютно черного тела пропорциональна
абсолютной температуре в четвертой степени.
Закон Ламберта характеризует распределение энергии
излучения абсолютно черного тела по направлениям. Согласно этому
закону яркость как спектрального, так и интегрального излучения
абсолютно черного тела не зависит от направления (В0 = const;
Вхо = const), т. е. излучение диффузное.
Из закона Ламберта следует, что яркость излучения абсолютно
черных поверхностей не зависит от их формы, а количество
лучистой энергии, испускаемой в данном направлении, определяется
только величиной проекции этих поверхностей на плоскость,
перпендикулярную направлению излучения. Так, например,
лучистые потоки сферы и круга того же диаметра в направлении
нормали к плоскости пластины одинаковы, если излучение их
диффузное.
Из условия постоянства яркости по направлениям может
быть получена зависимость между плотностью потока
излучения £0 и яркостью В0 абсолютно черного тела. Для этого необ-
288

Рис. 11.6. Спектры излучения:
1 — абсолютно черное тело; 2 —cepot
тело
ходимо вычислить интеграл по полусфере с использованием
соотношения (11.3):
2л
£„= J B0cosq>dQ, (11.22)
о
Элементарный телесный угол dQ может быть выражен через
углы ф и G согласно рис. 11.5:
dQ=*L= rdyrsinydQ =slnq)d(pdej {]L23)
Тогда
2л л/2
£„ = В0 J d8 J cos ф sin ф Жр. (13.24)
о о
После интегрирования получим
£0 = яВ0, (11.25)
т. е. плотность потока излучения абсолютно черного тела £0
численно в я раз больше величины яркости его излучения.
Аналогичный результат получается для спектрального
излучения:
Ем = лВХ0. (11.26)
П.З. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ
Излучение всех твердых, жидких и газообразных тел,
встречающихся в природе, существенно отличается по характеру
распределения спектральной интенсивности излучения по длинам
веян от излучения абсолютно черного тела. По абсолютной
величине спектральная интенсивность излучения реальных тел Е%
всегда меньше спектральной интенсивности излучения абсолютно
черного тела £\0 при той же температуре и длине волны X.
Многие же тела излучают энергию в небольших интервалах длин
волн (рис. 11.6) и имеют прерывистый спектр. Особенно это
относится к газам, которые при умеренных температурах излучают
в определенных, сравнительно узких интервалах длин волн
(nolo Авдуеввкий 289
Риг. ::.;'■. С.;\с.м:. к определению
телеиюго угла

£л
н
ti
о
2
а
,Brr
\
—
/м'
Г \
К V
|^ ;
/ 1
>- А „, К I» Iм
-Л'/ '
t
\ 1
о^
/ Л, Д'Л
11/t
;),1
U,'2
0
м
1 Z J К,мкм
Рис. U.7. Спектр излучения воль- Рис. 11.8. Спектр излучения пла-
при Г = 2450 К тины при Г = 1335 К
лосах). Для характеристики излучения реальных тел удобно
ввести понятие спектральной степени черноты
Ы. = ЕЛЕШ (11.27)
представляющая собой отношение спектральной интенсивности
излучения реального тела к спектральной интенсивности
излучения абсолютно черного тела при той же длине волны и при
одной и той же температуре обоих тел.
Для большинства реальных тел спектральная степень
черноты зависит от длины волны и температуры. На рис. 11.7 и 11.8
приведены примеры распределения спектральной интенсивности
для вольфрама и платины по длинам волн. Для сравнения там же
нанесены спектральные интенсивности для абсолютно черного
тела. Как видно, спектры излучения вольфрама и платины лишь
только в общих чертах напоминают по своему характеру спектр
абсолютно черного тела. Причем расположение максимумов
спектральной интенсивности у них различное. В силу этого
спектральный коэффициент черноты для этих материалов существенно
зависит от длины волны. На рис. 11.9 представлены зависимости
спектральной степени черноты от длины волны для различных
материалов в большом диапазоне длин волн.
Приведенные примеры показывают, что для реальных тел &х
может существенно изменяться с длиной волны. В практических
расчетах удобно использовать интегральную степень черноты 8,
представляющую собой отношение плотностей потока излучения
данного тела (Е) и абсолютно черного тела (Е0):
в = Е/Ей. (11.28)
Для некоторых материалов, например шамота, интегральная
степень черноты высока (0,8 .,, 0,85), а спектральная степень
черноты значительно изменяется по длинам волн.
При практическом исследовании лучистого теплообмена
излучение и поглощение многих реальных тел приближенно можно
рассматривать как излучение и поглощение серых тел. Серым
290

ел
0,8
0,6
Oft
0,2
^
^
jfca
гЛ
1
/
к
fe
V
Т""
^г-
д
8 11 16 10 К,мнм
Рис. Н.Э. Зависимость спектральной
степени черноты ед, от длины волны:
1 — платина; 2 — вольфрам; 3 — шамот;
4 — нержавеющая сталь (без
термообработки); 5 — титан (без термообработки);
в — алюминий полированный
Рио. 11.10. Спектры излучения серых
тел:
J — е = 1 (абоолютио черное тело); 2 ...
4 — е ■= 0,8; 0,6; 0,4 соответственно
(серы© тела)
телом называется такое тело, спектр излучения которого
непрерывен и полностью подобен спектру абсолютно черного тела при
той же температуре (рис. 11.10), а спектральная степень
черноты 8х постоянна во всем диапазоне длин волн от 0 до оо и не
зависит от температуры.
Очевидно, величины спектральной и интегральной степени
черноты для серого тела равны: г% = е. К серому телу применимы
с поправкой на степень черноты 8 законы Планка и Стефана—
Больцмана. Закон Планка для серого тела имеет вид
Ях = еС1^-6[ес'/(1Г)-1]
закон Стефана—Больцмана
Е = В0ОГ* ~ аТ\
(11.29)
(11.30)
где а = еа0 — коэффициент излучения серого тела.
Закон Вина полностью справедлив для серых тел.
Интегральная степень черноты 8 для реальных тел может
существенно изменяться в зависимости от температуры. Примеры
такой зависимости для некоторых материалов представлены на
рис. 11.11. Закон Ламберта, справедливый для абсолютно
черного и серого тела, т. е. для диффузного излучения, применим
к реальным телам лишь частично.
На рис. 11.12 изображены типичные индикатрисы
относительной яркости излучения для различных тел. Диэлектрики
(изоляторы) и окисленные металлы, как правило, подчиняются
закону Ламберта в диапазоне изменения угла ф от 0 до 60°.
Излучение полированных металлов подчиняется закону Ламберта
в более узком диапазоне изменения угла <р (от 0 до 30°). При этом
яркость излучения диэлектриков при больших углах ф
уменьшается, а полированных металлов возрастает.
10* 291

e
0,8
0
WO 600 800 1000
f'HC, ! . i ' , ls-i нсттмпс*;1- iii;t;" ' i
черноты различных материа;юь о
туры:
1 — фарфор; 2 — шамот; 3 -- медь окис
4 ~ нержавеющая сталь (прокат); 5 — ти
термообработки)
Г-
Z-
5-
—
-^
_J_=
■
В
^J
^^"
^
■<
то т,к
те.
гемперл-
1 (без
ip=?0°
цельной яркости
I — абсолютно ч пно
серое тело; 3 — диэлектрики и
окисленные металлы; 4 —
полированные металлы
При расчетах излучения нечерных тел используется понятие
эффективного (полного) излучения, представляющего собой
совокупность собственного излучения тела и отраженного излучения
других тел. Плотность потока эффективного (полного) излучения
£Эф представляет собой сумму плотности потока собственного
излучения тела Е и плотность отраженного потока излучения £отр:
= £-{-£
отр
Е
(1 -А)Еаая.
(11.31)
Аналогично для спектрального излучения
£>,Эф = Ех + Ех отр = £Y-f-(l -f A}.) Ex nan, (11.32)
где А% — поглощательная способность спектрального излучения.
11.4. ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ НЕПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ
Закон Кирхгофа устанавливает зависимость между
плотностью потока излучения и поглощательной способностью
тел.
Рассмотрим систему, состоящую из двух плоских бесконечно
протяженных тол 1 и 2 (рис. 11.13), находящихся в тепловом
равновесии. Тело 1 — любое нечерное и
характеризуется плотностью потока
излучения Е и поглощательной способностью А.
Гело 2 — абсолютно черное. Плотность
потока излучения для него равна Е0, а
поглощательная способность А0 = 1.
Температура обоих тел одинакова. Количество
энергии, которое излучает абсолютно черное
тело 2 с единицы поверхности в единицу
С/
е±ЛЕ°
fa
I
I
1 г
Рис. i i. ю. .,u .,a
вывода закона Ки хгофа
292
времени, Е2 ,:<

Количество энергии, излучаемое серым телом 1 с единицы
поверхности в единицу времени, Eia$ = Е + (! — А) Е0. Из
условия теплового равновесия системы (Е1 эф — Е2 Эф) Е-{- (\ —
— А) Е„ ~- Е0, откуда получаем соотношение между плотностью
потока излучения и поглощательной способностью тела
El А = £0, (П.ЗЗ)
представляющее собой математическое выражение закона
Кирхгофа. Сущность закона Кирхгофа состоит в том, что отношение
плотности потока излучения тела к его поглощательной
способности не зависит от физических свойств тела и для всех тел равно
плотности потока абсолютно черного тела при той же температуре.
Аналогично выражение закона Кирхгофа для
монохроматического излучения
EUAk=--EM. (11.34)
т. е.. отноигеннс спектральной интенсивности излучения тела при
определенной длине волны к его спектральной поглощательной
способности при той же длине волны для всех тел одинаково
и равно спектральной интенсивности излучения абсолютно
черного тела при тех же длине волны и температуре.
Сопоставляя выражения (11.27) и (11.Н4), можно записать
закон Кирхгофа для монохроматического излучения в следующем
виде:
Ч = А%. (11.35)
Соответственно для интегрального излучения из выражений
(11.28) и (П.ЗЗ)
s = А. (11.36)
Таким образом, при равновесном излучении степень черноты
тела численно равна его поглощательной способности как для
интегрального, так и для монохроматического (спектрального)
излучения,
11.5. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ДВУМЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
При исследовании лучистого теплообмена между
твердыми телами пользуются двумя методами: методом многократных
отражений и так называемым методом сальдо.
Преимущество первого метода состоит в том, что он наглядно
вскрывает механизм протекания лучистого переноса тепла от
одного тела к другому. Однако метод многократных отражений
связан с громоздкими выкладками. Метод сальдо базируется на
использовании плотности эффективного или полного потока
излучения Е,Цф и позволяет рассчитать лучистый теплообмен между
любыми произвольными твердыми телами по довольно простым
соотношениям. В данном разделе используется метод сальдо.
Расчет процессов переноса лучистой энергии между твердыми
293

У j Рис. 11.14. Схема лучистого теплообмена между двумя
j'/ £ ф /. . серыми поверхностями
t-is, */ телами проводится для частного случая,
/j £"9_ f когда тела являются серыми и, следователь-
'/ '/ но, степень их черноты и поглошательные
у/ (, способности не зависят от температуры и дли-
j 2 ны волны. Излучение серых тел как
монохроматическое, так и полное подчиняется
закону Ламберта во всех направлениях.
Рассмотрим две параллельные серые пластины бесконечной
протяженности (рис. 11.14), имеющие разную температуру и
разделенные диатермичной средой. Первая пластина с
температурой 7\ обладает собственной плотностью потока излучения Ех
и поглощательной способностью Ах. Вторая пластина с
температурой Т2 характеризуется соответственно собственной плотностью
потока излучения Е2 и поглощательной способностью Аг. Примем,
что 7\ > Т2. Тогда пластины будут обмениваться лучистой
энергией, в результате чего между ними установится стационарный
лучистый тепловой поток, направленный от более горячей
поверхности 1 к более холодной 2:
Qii — Ei эф — ^2 эф» (11.37)
где Е1вф, Е2вф — полные плотности потока излучения 1-го и
2-го соответственно.
По определению полной эффективной плотности потока
излучения
Е1эф = Ех + (\ -AJ Е2аф; (11.38)
£2эФ = Е2 + (1 — Аг)Е10ф. (11.39)
Преобразовав систему уравнений (11.38) и (11.39) относительно
Ei эФ и £2 Эф, получим
Е„ „г- Ег + ([—Аг)Е1
£г.эф i_(1_4i)(1_/42) • (4-<я;
Подставив значения £1Эф и Егаф из выражений (11.40) и (11.41)
в равенство (11.37), найдем величину лучистого теплового потока
*» = тп^&г- (1L42)
Согласно закону Стефана—Больцмана
Ei = w0T* и £2 = e20O7l. (11.43)
Подставляя выражения Ег и £2 из системы (11.43) в равенство
(11.42) и учитывая, что е1 = Ах и е2 = Аг, после преобразования
получим окончательные формулы для расчета лучистого тепло-
294

обмена системы двух серых параллельных поверхностей
бесконечной протяженности:
или
?12
1/е,+1/е,-1
а0 {Т\ — Т\)
<7i2 = 8прао(Г1 — Тг),
Впр~ i/ei + i/e,-i '
(11.44)
(11.45)
где епр — приведенная степень черноты системы тел 1 и 2;
(11.46)
П.6. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ДВУМЯ АБСОЛЮТНО
ЧЕРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ, ПРОИЗВОЛЬНО
РАСПОЛОЖЕННЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим два абсолютно черных тела, произвольно
расположенных в пространстве. Выделим на поверхности первого
тела (рис. 11.15) элементарную площадку dFlt а на поверхности
второго — элементарную площадку df2. Примем, что
температура поверхности первого тела больше, чем второго. Количество
лучистой энергии, которое излучает элементарная площадка dFx
в направлении площадки dF2 за единицу времени, согласно
уравнению (11.3)
dQi^a = В01 cos,,, dQi dPi, (11.47)
а площадки dF2 в направлении площадки dFx —
dQ2-i = В02 cosW8 сиг dF2, (11 -48)
где В01 и £02 — яркости тел 1 и 2; dQ1 и dQ% — элементарные
телесные углы, под которыми «видны» площадки dFj и dF.2 из
точки на противоположной
площадке; фх и ср,2 — углы между линией
центров и нормалью к площадкам dFt
и dF3 соответственно.
Так как температуры тел не
одинаковые (7\ > Т2), то результирующий
лучистый поток
dQn = dQi^2 — dQ,2^i.
Телесные углы
__ dP1 cos ц>х
dQ,
(11.49)
(11.50)
(11.51)
где т — расстояние между центрами
элементарных площадок dFt и dF%.
Сделав соответствующие
подстановки в равенство (11.49), найдем
величину результирующего лучистого теп-
' 1.15. Схема к рас-
лучистого теплооб-
между поверхностя-
произвольно
расположенными в пространстве
295

лового потока с элемента поверхности первого тела на
элемент поверхности второго тела:
aQn - (А* ~ Вп) ^if«!L dFxdF,. (11.52)
Выразив яркости В01 и Вйг согласно формулам (11.25) и (11.30)
-От — —zr~ — —~—' ) о о? — ~—'
и проинтегрировав выражение (11.52) по обеим поверхностям,
получаем окончательно полный лучистый поток от первого
тела ко второму
Ql9 = „0 (Т\ - 71) j J I^^li dF, d/Л (11.53)
или
где
Ql9^ a([(T)-Tt)H,2! (П.54)
имеет размерность площадки и называется взаимной поверхностью
излучения тел 1 и 2.
Из условия симметричности выражения (11.55) вытекает, что
Я1Й = Нп. (11.56)
Таким образом, расчет лучистого теплообмена между двумя
абсолютно черными телами, произвольно расположенными в
пространстве, по существу сводится к определению взаимной
поверхности излучения Ни, которая является геометрической
характеристикой системы.
Другой геометрической характеристикой системы является
коэффициент облученности ц>. Коэффициентом облученности (или
угловым коэффициентом) называется отношение потока
излучения одного тела, падающего на другое тело, к полному
полусферическому потоку излучения первого тела.
Коэффициенты облученности и отличие от .Ни безразмерны
и для каждого из двух тел индивидуальны:
фи = Qi-wQ,; <.[■-,, = Q;..-,/02. (11.57)
Выражения Qi^: n Q;^i получаются интегрированием
равенств (11.47) и (11.48) по F, и /7. с соответствующими подсташнз-

ками, аналогичными использованным при получении выражения
(11.54), и имеют вид
F,F,
п 4 Г Г cos cpj. cos ф2 , r , г-
Qa-t ~ а0Г2 } j -^ ---■ dFi dF2.
(11.58)
Полные потоки излучения тел 1 и 2
Qx = £0lFi = ooTtFi; Q2 = а0Г^2. (11 -59)
Сделав подстановки в равенствах (11.57), получим окончательное
выражение дли коэффициентов облученности системы из двух тел:
1 Г С cos Ф, cos ш2 ,r. j с
, ^-^ (П.60)
Связь между коэффициентами облученности и взаимной
поверхностью излучения HV1 вытекает из сопоставления выражений
(11.55) и (И .60):
■• Ф12 = HJFL; ф2] = H.JF,, (11.61)
но так как Я1г = Я21, то
Фи = 4>2iFJFi- (11.62)
Соотношение (11.62) выражает так называемое свойство
взаимности лучистых потоков.
Расчетную формулу (11.54) для лучистого потока между
двумя абсолютно черными телами можно записать с помощью
коэффициентов облученности:
Qi2 =- ао (7! - П) ЛФ2 = сто {Т\ - 71) F-mx 01 -63)
или
Qi* = &Фи — <2зФи- (1!-64)
Коэффициенты облученности и взаимные поверхности излучения
зависит от' формы и расположения тел. находящихся в лучистом
взаимодействии друг с другом. Расчет этих зеличин трудоемок
и для сложных систем bbh/j.iHiic-rc на Э3..1.
Для наиболее простых случаев л^'Ч i^rcro теплообмена, часто
BCTpc-icU'j.HAcH з тсл пчу.С', X'Ji'.'.'.'r. ■.!,.- '■' ' i облученности и
взаимные поверхности пелучення рас ■■-: .'^ :Ы и приводятся в
справочниках.
297

Рис. W.16. Схемы к определению коэффициента Рис. 11.17. Схема лучи-
облученности и взаимных поверхностей излу- стого теплообмена между
чения некоторых систем телом (1) и оболочкой (2)
На рис. 11.16 представлены примеры некоторых часто
встречающихся в практике случаев расположения излучающих
поверхностей в пространстве, для которых величины ф1а, <ра1 и Н12 могут
быть вычислены по формулам
m — hlh2 F ■ т — ЛЧ F •
фы ~ цргА»« ф21 ~ 1&г ^i-
12 = Л41 = ~£рГ Г 10а.
11.7. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛОМ
И ЕГО ОБОЛОЧКОЙ
Рассмотрим лучистый перенос тепла между двумя
серыми телами (рис. 11.17), из которых одно (тело 1), не имеющее
вогнутой поверхности, находится внутри тела 2 (оболочки).
При этом все излучение с поверхности тела 1 попадает на
поверхность тела 2. Излучение же с поверхности тела 2 только
частично попадает на поверхность тела 1; другая часть этого
излучения проходит мимо тела и облучает собственную
поверхность тела 2. Эта часть излучения характеризуется
коэффициентом самооблучения ср22. Примем, что температура 7\ тела 1 выше
температуры Т2 его оболочки.
Полный лучистый поток, посылаемый телом 1 в единицу
времени,
<2i34,-Qi+ (1-^)9^,4, (11.65)
и, соответственно, поток от второго тела
Qa эф = Q2 + (1 — А%) Qi эф -t- (1 - Аъ) «PssQi эф> (11 -66)
где Qi и Q3 — собственные лучистые тепловые потоки тел; Ах и
А.2 — поглощательные способности тела; ср22 — коэффициент
самооблучения.
298

Результирующий лучистый тепловой поток от тела 1 к телу 2
Q12 = Qia<j) — ф21<2гэф- (11.67)
Учитывая, что для тела 2 сумма коэффициентов облученности <ра1
и самооблучения ф22 равна единице, т. е.
Ф21 + Ф22 = 1, (11-68)
найдем выражение для полного лучистого потока с поверхности
тела 1 (Qib4>)- Для этого в уравнение (11.65) подставим значение
для Q2 Эф из уравнения (11.66) и после несложных преобразований
получим
П [1 - (1 - Ла) (1 - ФаЛ Qt + (1 - AJ 921Qa п\ QQ\
Аналогично из уравнений (11.65) и (11.66) с учетом выражения
(11.68) найдем
Г) Qa + O A2) Q\ /1 | 7П\
Ч2эф — Т—-—~Т~А Т~А~аГ ■ (11-IV)
Подставив выражения (11.69) и (11.70) в равенство (11.67),
получим
Qn = А^" A^Q; . (11.71)
Согласно закону Стефана—Больцмана (11.30) собственные
лучистые потоки обоих тел
Qi = £,iFi = e1a0T"SlFi; Q2 = £2F2 = e2o-0T2,F:
2-
Приняв приближенно, что А1 — elt а Л2 — е2, получим
а0(^-ф214s-^)
Qls = —Ц p-li i Fx. (11.72)
12 1/е1 + ф211/еа — ф21 * v
Так как коэффициенты облученности связаны с взаимной
поверхностью излучения соотношениями (11.61), а ф12 = HiJFi —
= 1, то ф21 = Hn/Fit и выражение для результирующего
лучистого потока через взаимную поверхность излучения имеет вид
Qi2=enpo-o(7l-7t)#12, (11.73)
1
где епр = ——| — —- — приведенная степень черноты
'/е1 ~Г ф31 U/e2 Ч
системы.
Для того, чтобы найти коэффициент облученности ф21,
предположим, что система находится в термодинамическом
равновесии. В этом случае температура обоих тел одинакова 7\ = Т.2 = Т,
а результирующий лучистый тепловой поток Q12 равен нулю.
Тогда из равенства (11.72) получаем
1 - ф21/У^ = 0 и ф21 = FjFt. (11.74)
299

7777777777Z
1
ijhc. ,1.1В. ел. :ы ::>.-.-ль!!Ь!'
случат соотношения поверхностью тела
(П и оболочки (2):
а — F, a F,: б — Fx fifi
стек .,j двух поверхностей (i. 2),
одн: из которых не имеет вотлу-
". -1 ей
Окончательно результирующий лучистый тепловой поток
можно представить в виде
Qi2 = епра0 {Т\ — ?1) F\, (11.75)
где приведенная степень черноты системы
1
-'пр
l/ei-r-^i/^Ml/e*- 1)
(11.76)
В частном случае, когда площади поверхности тел Fx и /\,
близки по величине, т.е. FJF2^ 1 (рис. 11.18, а), выражение
для е11р (11.76) совпадает с ранее полученным для двух бесконечно
протяженных параллельных поверхностей (11.46). В этом случае
согласно выражению (1 1.74) ц..г1 « 1, т. е. все излучение с оболочки
(тело 2) попадает на тело 1. К ел и одно тело мало по сравнению
с другим (Fx < F2) (рис. 11.18, б), то значение коэффициента
облученности ц\п »0, a &U[1 « ex. Аналогичный результат имеет
место независимо от соотношения площадей /г1 и F2, когда
оболочка является абсолютно черным телом (e.z -- 1).
Полученные соотношения для лучистого теплового потока
(11,75) и приведенной степени чернош системы (11.76) пригодны
для произвольных замкнутых систем, в которых одна из
поверхностей не имеет вогнутостей (рис. 11.19).
11.8. ВЛИЯНИЕ ЭКРАНА НА ЛУЧИСТЫЙ
ТЕПЛООБМЕН
Лучистый тепловой поток о г одною тела к друому
может быть значыелыю уменьшен, если между ними помеси!
непрозрачные экраны. Экраны уеынанливаю1ся ирюшна-
направлению лучнешго потока и выполняются из мд.ги. ,лип
с малой пот Питательной и большой 01ражательной способнистг >
(полированные тонкие; листы из меди, алюминия и других *■
риалов). В результате отражения экранами большого колит >тва
лучистой энергии в направлении, обратном распространению
лучистого nujoKa, величина результирующего радиационного
теплового готика существенно уменьшается.
300

Рис. U.2C. Схема к расчету лучистого теплообмена
при наличии экрана
Г3,£з
Рассмотрим для простоты две
параллельные бесконечно длинные плоские стенки
(рис. 11.20), выполненные из одного и того же
материала с одинаковыми коэффициентами
черноты г1 — е2 = е. Если принять, что
температура первой стенки больше, чем 1
температура второй, то результирующий лучистый тспло^ш'
ток между ними равен
1
'V'
■ !0-
Цм. = е,фоч, \1
\-П),
(11.77)
где
2/е-
приведенная степень черноты системы без
экранов.
Поместим между этими стенками два тонких непрозрачных
экрана (см. рис. 11.20), выполненных из очень теплопроводного
материала (например полированный лист меди) с малым
коэффициентом черноты. Материал экранов один и тот же. Следовательно
можно принять, что ел - в.)2 =- ed. Рассмотрим лучистый
теплообмен в такой системе. Так как экраны выполнены из материала
с высокой теплопроводностью, а его толщина достаточно мала,
то можно считать, что на обеих поверхностях каждого экрана
установится одинаковая температура (соответственно Тэ1 и ГЭ2).
Внутри рассматриваемой системы при отсутствии внутренних
источников тепла между стенками (1 и 2) при наличии двух
экранов устанавливается стационарный лучистый тепловой поток
</i2 — enpao
(2)
<7l2 = бпрОо
(3)
Я\2 — КпрСГо
(71 - г4э1);
■ (ти-rt),
(11.78)
проходящий через все экраны. Здесь е11р — приведенная степень
черноты t'-й системы (с — 1, 2, 3).
Выразим из системы уравнений (11.78) разность температур
в четвертой степени
Т\ — Т-а ■■--=■ —рл- ((/i2/оо);
6(i)
ТЭ1 — ТЭ2 = —pjT WI2/0o)»
(2)
"пр
ти-
т\
ШГ {q'uloa).
е(3)
(11.79)
301

Сложив уравнения системы (11.79), получим выражение для
лучистого теплового потока
q"\i = ВпРоо(т1 — 71), (11.80)
где приведенная степень черноты (e„P) системы при наличии двух
экранов
епр=. fcii .. (11,81)
(2/е--1)+ £ (2/ев- l)j
При наличии п экранов лучистый поток существенно
уменьшается
J?12_ (2/е — 1 ) ,. . „„.
<?„ --(2/e-l) + (2/ee-l)n ' ^>'°^
Если экраны и стенки выполнены из одного и того же материала
(е = еэ), то соотношение (11.82) значительно упрощается
<7W<7i2=l/(n + l). (11.83)
т. е. величина лучистого теплового потока между стенками
уменьшится в (п + 1) раз.
При наличии двух экранов, когда в[ = &2 — еэ, q'u/gu = 1/3,
т. е. лучистый тепловой поток снижается в 3 раза.
Если, например, п — 2; ех — е2 — 0,8; еэ1 —■ £эа = 0,1, то
q'nlqii — 1/26,3, т. е. тепловой поток снижается в 26,3 раза,
а если число экранов увеличить до п — 5, то лучистый тепловой
поток уменьшится в 64 раза.
Из этих примеров видно, что тепловые экраны целесообразно
делать многослойными и из материалов, имеющих малую степень
черноты и соответственно высокую отражательную способность.
11.9. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ГАЗОВ
При высоких температурах газа, которые развиваются
в камерах сгорания ЖРД, в электродуговых установках, при
полете летательных аппаратов в атмосфере с гиперзвуковыми
скоростями, необходимо учитывать перенос тепла излучением.
Тепловое излучение газа зависит от его термодинамического
состояния и состава.
Спектр излучения высокотемпературного газа, состоящего из
молекул, атомов и ионов, очень сложный. Он состоит из линий,
полос и непрерывного спектра. При переносе тепла путем
излучения в таком газе необходимо учитывать вклад излучения всех
составляющих газа: молекул, атомов, ионов в широком диапазоне
длин волн — от ультрафиолетовой области (к = 0,01 мкм) до
инфракрасной (К = 50 мкм).
В качестве примера на рис. 11.21 приведено распределение
спектральной излучательной способности (Е%) для различных
компонентов слоя воздуха. Из рис. 11.21 видно, что излучение
302

О,! О, J 0,5 0,7 Х,мкм
Рис. 11.21. Спектральная излучательнан способность (£jj слоя воздуха
толщиной I = 1 см при Т = 12 000 Кир --= р„ (нормальная плотность 9):
А — суммарное излучение; В ~- 0,1 интенсивности излучения черного геля; Ыг{1*),
A/s{2+), Л'а (1~) — излучения 1-й, У-й положи! ельной и 1-й отрицательной полос молеку-
N 0
лярного азота; [Xpe и Дре — излучения от свободно-связанных переходов атома азота
и кислорода: м,св св — излучение от свободно-свободных переходов
высокотемпературного газа происходит в широком диапазоне
длин волн.
При рассмотрении процессов теплового излучения газа
целесообразно использоватв феноменологические методы исследования.
В этом случае газ рассматривается как сплошная среда,
обладающая дополнительными, с ранее известными (вязкость и
теплопроводность) свойствами, определяющими лучистый перенос тепла.
При этом поле излучения можно представить как поток тепловых
лучей, пронизывающих газовый объем по всем направлениям
согласно концепции геометрической оптики. Специальные
исследовании показывают, что применение указанного метода оправдано
в случаях, когда характерный размер значительно больше длины
волны излучения, а время процесса много больше периода
колебаний всех частот, содержащихся в излучении.
Поток тепловых лучей, распространяющихся в газовом объеме,
характеризуется величиной спектральной угловой ишенснвчоети
излучения Ух (или сокращенно — спектральной ншепепвпостью
излучения). Для определения спектральной интенсивности
излучения рассмотрим в тазовом обьеме произвольно ориеп i ированную
элементарную площадку dF (рис. 11.22). Выберем на этой нло-
303

щадке точку Р и из нее проведем нормаль п к площадке. В
заданный момент времени тепловые лучи, составляющие поле излучения,
пересекают заданную элементарную площадку dF во всех
направлениях. Выберем произвольное направление L, составляющее
угол ф с нормалью п и рассмотрим излучение в данном
направлении. Примем линию в направлении L за ось элементарного конуса
телесного угла dco. Из каждой точки площадки dF построим конусы
с осями, параллельными L, и телесными углами dco при вершине.
Эти конусы образуют полубесконечный усеченный конус с
телесным углом dU н площадью поперечного сечения, содержащей
точку Р, перпендикулярной направлению L и равной dFcos ср.
Если полное количество спектральной лучистой энергии,
проходящее через площадку dF внутри конуса dQ в интервале длин
волн от К до X -j- d% за единицу времени, равно dQ-^, то
спектральная интенсивность излучения определяется следующим
выражением:
h= ЙР dQxlo^ • (П-84)
Л dF cos q> dQdX x '
Спектральная интенсивность излучения J % — это количество
спектральной лучистой энергии, заключенное в единичном
интервале длин волн и в единичном телесном угле, которое проходит
за единицу времени через единичную площадку, расположенную
перпендикулярно к направлению излучения.
Величина спектральной интенсивности излучения зависит от
длины волны К, времени т, координат х, у, г рассматриваемой точки
Р и направления луча L. Если J % не зависит от направления L,
поле излучения называется изотропным.
Если спектральная интенсивность излучения J\ не зависит от
положения точки Р (координат х, у, г), поле излучения называется
однородным.
Если известно распределение спектральной интенсивности по
направлениям и по длинам волн, то величина лучистого теплового
потока с/д, проходящего через произвольную единичную площадку,
определяется формулой
со
Яп= \\ J),cos<pdQdX. (11.85)
4Я Q
11.10. РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
Взаимодействие поля излучения с газовой средой
определяется способностью этой среды испускать, поглощать и
рассеивать лучистую энергию. Указанные свойства газовой среды (так
называемые радиационные свойства) выражаются с помощью
соответствующих коэффициентов излучения х^,, поглощения а%
и рассеяния р\, которые могут рассматриваться как некоторые
физические характеристики среды.
304

Спектральным объемным
коэффициентом излучения хх называется
количество лучистой энергии, излучаемое
единицей объема среды за единицу вре-
.мени в единичном телесном угле и еди- _
ничном интервале длин волн, т. е. ' "Ч^л;
V'
_ (dQ\!t)m33i /11 og-i Рис. 11.23. Схема прохожд;-
х " dV dQ d% \ ■ / ния ЛуЧа через газовую среду
Коэффициент излучения хх зависит от длины волны и параметров
состояния среды; кроме того, он зависит от направления луча.
Однако для газовых сред экспериментально было установлено,
что коэффициент излучения як является изотропным, т. е. зависит
от направления излучения. Если известен коэффициент излучения
х>,, то количество спектральной лучистой энергии подсчитывается
по формуле
№gM„ = MNQdL (11.87)
Полная спектральная лучистая энергия, излучаемая элементом
объема dV в интервале длин волн от X до X 4- dX в единицу времени
во все пространство,
ТОизл = *W!V dX. (11.88)
Для характеристики интегрального излучения используются
понятия интегрального объемного коэффициента излучения (или
просто коэффициента излучения)
о
и интегральной интенсивности излучения
K=\*xdk (11.89)
J=\ Jt.dk. (11.90)
Полное количество лучистой энергии, излучаемое единицей
объема среды за единицу времени, по всем направлениям, во
всем диапазоне длин волн от 0 до оо, равно
х\ = 4лх. (11.91)
Наряду с коэффициентом излучения необходимо ввести
характеристики, с помощью которых можно было бы определить
ослабление интенсивности излучения в среде.
Рассмотрим прохождение теплового луча со спектральной
интенсивностью />, через элементарный, оптически неоднородный
газовый объем, площадь основания которого (рис. 11.23)
перпендикулярна направлению излучения.
Интенсивность луча будет ослабевать вследствие поглощения
и рассеяния излучения газа в рассматриваемом объеме. В реальных
305

условиях такие газовые среды встречаются очень часто. Например,
продукты сгорания топлива, протекающие но сопловому аппарату
ЖРД, содержат во взвешенном состоянии частицы сажи и твердые
частицы, мелкие твердые частицы, образующиеся при горении
твердого топлива в РДТТ, частицы ныли, дыма и капельки жидкости
в атмосфере Земли и др. При рассмотрении переноса излучения
в средах, в которых содержатся частицы различных размеров от
долей микрона до сотен микрон, процессы рассеяния играют
существенную роль, и ослабление интенсивности излучения происходит
как в силу поглощения, так и в силу рассеяния лучистой энергии
средой.
Относительное ослабление спектральной интенсивности луча
при прохождении через слой газа толщиной dl пропорционально
длине пути луча в этом же слое, т. е.
dJ%--=~Kxhdl. (11 92)
Интенсивность излучения меняется по экспоненциальному
закону при прохождении через слой толщиной /:
A = A(0)expf-J^d/j, (11.93)
где J% (0) — спектральная интенсивность луча на входе в
рассматриваемый газовый объем.
Коэффициент пропорциональности К\ называется
спектральным коэффициентом ослабления. Этот коэффициент,
характеризующий ослабление интенсивности излучения при прохождении
луча через слой газа из-за поглощения и рассеяния, складывается
из двух коэффициентов — спектрального коэффициента
поглощения ак и спектрального коэффициента рассеяния р\ т. е.
Кх = а% + {\. (11.94)
Коэффициент поглощения ак зависит от длины волны
излучения, состояния газовой среды и состава газа. Определение
коэффициентов поглощения является сложной физико-математической
задачей, составляющей предмет специальных исследований.
Зная коэффициент поглощения ах, можно рассчитать
количество лучистой энергии, поглощаемое за единицу времени
элементарным объемом газа (см. рис. 11.23) с площадью поперечного
сечения dF и длиной dl в направлении луча:
№)ши-л -= - а»Л dF dl dQ dl. (11.95)
Аналогично, количество лучистой энергии, которое рассеивает
элементарный обьем (ем. рис. 11.23) за единицу времени, равно
(dQx)pac =~ — М* dF dl dQ dX. (11 -96)
Рассеяние лучистой энергии твердыми частицами в оптически
неоднородной среде происходит неравномерно по различным
306

направлениям. Для характеристики рассеяния излучения в
определенном направлении необходимо рассчитать индикатрису
рассеяния у (L, Lx) и коэффициент рассеяния. Индикатриса рассеяния
у (L, Lj) определяет долю общего излучения, входящего в
элементарный объем (см. рис. 11.23) в направлении L и рассеянного этим
объемом в произвольном направлении Lt внутри телесного угла
dOj. Вероятность рассеяния теплового луча внутри телесного угла
dQi в направлении Llf составляющего угол (3 с направлением входа
луча L в элементарный газовый объем, равна
■—-yit.tjdCi,.. (11.97)
Очевидно, что вероятность рассеяния теплового луча по всем
направлениям пространства должна равняться единице, т. е.
-^ j у (I, li) d«! = 1. (П.98)
4Я
В случае сферической индикатрисы рассеяния, когда
у (L, Lx) ~ 1, имеет место изотропное рассеяние излучения.
В действительности рассеяние излучения различными оптически
неоднородными средами существенно отличается от изотропного.
В этом случае распределение рассеянного излучения по
направлениям зависит от двух параметров: от I — d/X, представляющего
собой отношение диаметра рассеивающей частицы к длине волны
спектрального излучения, и от комплексного показателя
преломления вещества т = 1/ % — i ■З'к, определяемого для заданной
длины волны X значениями диэлектрической постоянной % и
электропроводности а. Параметр / учитывает влияние на эффект рассеяния
Дифракционных явлений, а параметр т —• влияние
электрооптических свойств вещества частицы.
Для малых частиц (когда / ^ 1) одинаковой геометрии, но и.;
разного материала, индикатрисы рассеяния будут совершенно
различные. Для диэлектрических частиц (малые т и ml <^ 1)
индикатриса рассеяния описывается формулой Релея:
y(LL1) = C(l 4~cos2p), (11.99)
где С — константа.
На рис. 11.24 изображена индикатриса рассеяния на малых
частицах, построенная по формуле (11.99). Видно, что индикатриса
307

Рис. 11.24. Релеевская индикатриса Рис. 11.25. Индикатриса рассеяния
рассеяния для малой частицы для малой идьально проводящей
частицы с | т \ -»- оо
рассеяния является симметричной. Максимальная интенсивность
рассеяния имеет место при |3 = 0 (вперед по лучу L) и (3 = я
(в обратном направлении луча L). Рассеяние в перпендикулярном
направлении в 2 раза меньше чем вдоль луча L.
Для идеально проводящих (отражающих) частиц (/ <^ 1,
| т | ->- оо) распределение рассеянного излучения по направлению
существенно отличается от релеевского (рис. 11.25). Видно, что
максимум интенсивности рассеянного излучения направлен
противоположно ходу луча L.
Для больших частиц с d > X (/ ^> 1) индикатриса рассеяния
(рис. 11.26 и рис. 11.27) вытянута вперед по ходу луча. Такой
специфический характер индикатрис объясняется наличием особых
дифракционных явлений на больших частицах. По мере увеличения
с//л дифракционно-рассеянное излучение все более
концентрируется в узком пучке, направленном вперед вдоль падающего
луча.
Расчет индикатрис рассеяния и коэффициентов рассеяния для
различных частиц (как по размерам, так и по материалу, из
которого состоит частица) является сложной физической задачей.
На рис. 11.28 представлена зависимость коэффициента рассеяния
р\ от параметра я/ для капли воды (| т\ --- 1,33). Из рисунка видно,
что по мере увеличения d/X ослабевает зависимость коэффициента
рассеяния от параметра /. В пределе при / —>- оо р\ стремится к
постоянному асимптотическому значению и не зависит от /.
Если известны радиационные свойства среды, то можно
рассчитать поле излучения (т. е. распределение интенсивности излучения
,'ис. II ~'i. Индикатриса р^сенния
для част ни углерода (di/, ~ 0,75)
308
Рис. '.1:2.'. К.-.^да.р.-са ргсееяния
для идеально npjm д>|щих частиц
(/ = 10; т ->- оо)

(7 4 8 II lb 20 24 28 J2 JTL L'/
Рис. 11.28. Зависимость коэффициент» Рис. П.29. Схема вывода уравне-
рассеяния Р> от величины параметра ния переноса излучения
al(]m\= 1,33)
Д по направлению). Для этого необходимо воспользоваться
уравнением переноса излучения по направлению, вывод которого
рассматривается ниже.
11.11. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
Пусть пространство заполнено оптически неоднородной
средой, содержащей твердые частицы из одного материала и
одинакового размера, способной излучать, поглощать и рассеивать
лучистую энергию. Радиационные свойства среды, а также
индикатрисы рассеяния частиц, находящихся во взвешенном состоянии
в среде, известны. Рассмотрим тепловой луч интенсивностью Д,
проходящий через элементарный цилиндр с площадью поперечного
сечения dF и длиной dl (рис. 11.29), ось которого совпадает с
направлением луча X. Основания рассматриваемого элементарного
цилиндра перпендикулярны к направлению луча L. Изменение
интенсивности излучения Jx при прохождении через элементарный
цилиндрический объем, заполненный оптически неоднородной
средой, определяется процессами излучения, поглощения и рассеяния,
происходящими внутри данного элементарного объема.
Количество лучистой энергии, входящее через основание
элементарного цилиндра dF за единицу времени внутри телесного
угла dQ в интервале длин волн от X до X + dX, определяется из
выражения (11.81):
(dQx)BX=--J),dFdQd\. (11.100)
Количество лучистой энергии, выходящее из рассматриваемого
элементарного объема через основание dF в направлении луча L,
№b)*i** = (h + dJb)dFdadk. (11.101)
Изменение интенсивности излучения, проходящего через
элементарный объем газа на величину dJj,, определяется следующими
процессами, происходящими внутри цилиндра:
(dQb)m„ = Xt.dFdldQdk. (11.102)
309
/л
/
1
1/ ^

Излучение газа элементарного объема вызывает увеличение
интенсивности излучения Jx. Поглощение
(dQxhorn = —ocxJxdFdldQdX (11.103)
и рассеяние излучения газом на длине dl
(dQK)pao = -pxJxdFdldQdl (11.104)
вызывает ослабление спектральной интенсивности излучения Jx.
Кроме того, увеличение спектральной интенсивности излучения
Jx в направлении L вызывается рассеянием в данном направлении
твердыми частицами лучистой энергии всех тепловых лучей,
пересекающих данный элементарный объем по всем направлениям
пространства:
№)Рао = -^ dF dl dQ dX j УХ1 у (tih dQi. (11.105)
4JT
Составляя баланс излучения для элементарного объема газа,
с учетом уравнений (11.100)...(11.105) получаем
dJK dF dQ dX = xx dF dl dQ dX - axJx dF dl dQ dX —
- р\Л dF dl dQ dX + -^-dF dl dQ dX J J^y (ГХГ) dQx.
4Л 4Я
(11.106)
Если рассматривать процессы переноса излучения как
стационарные, уравнение (11.106) после сокращения принимает вид
■4^ = -K + p\)A-f-^-f--|^ ^J^yiL^dQ,. (11.107)
4Я
Полученное уравнение (11.107) называется уравнением
переноса излучения. Оно является сложным интегродифференциальным
уравнением, решение которого встречает большие математические
трудности, так как необходимо вычислять интеграл по всему
пространству для известных индикатрис рассеяния излучения
частицами.
В случае излучающей и поглощающей среды уравнение (11.107)
принимает вид (при р\ = 0 и К\ = ky)
^- = -Vb + x„. (П.108)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
для спектральной интенсивности, решение которого не
представляет никаких затруднений.
11.12. ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ ГАЗОВ
Закон Кирхгофа, целиком вытекая из второго начала
термодинамики, устанавливает связь между спектральными
коэффициентами излучения и поглощения среды и формулируется сле-
310

Риа. 11.30. Схема газа а абсолютно черной емкости (ею -- I,
дующим образом: отношение спектрального ко
эффициента излучения хх к спектральном^
коэффициенту поглощения k% зависит только
от длины волны и температуры и не зависит
от природы среды.
Рассмотрим замкнутую оболочку (рис. 11.30),
внутренняя поверхность которой является
абсолютно черной (г№ — 1). Оболочка заполнена газом, чаходя-
щимся с ней в термодинамическом равновесии, т. е. температура
газа Т равна температуре оболочки Тш. В этом случае теплообмен
между газом и стенкой будет отсутствовать. Следовательно,
перенос излучения но любому направлению в газе будет равен нулю:
4г^0' (ПЛ09)
а спектральная интенсивность такого равновесного излучения
будет зависеть только от длины волны и температуры. Обозначим
ее через У^р. Очевидно, что уравнение переноса излучения для
излучающей и поглощающей сред (11.108) примет вид
откуда получаем
*?./^.-Л.Р. (11.110)
Это отношение между спектральными коэффициентами является
математической формулой закона Кирхгофа.
В силу того, что оболочка является абсолютно черной, яркость
поверхности оболочки (В%0) постоянна по различным
направлениям. Так как газ и твердая поверхность находятся в
термодинамическом равновесии, то
Лр - Вм '= -^-5 [еС2/(А7') _ !]_!. (11ЛП)
Закон Кирхгофа строго справедлив только при термодинами-
4v.kom равновесии. Следует иметь в виду, что при теплообмене
между высокотемпературным потоком газа и поверхностью
термодинамического равновесия пет. В этом случае уравнение (11.110)
неприменимо. Тем не менее в большинстве практических задач пг
теплообмену при обтекании поверхности высокотемпературным
газовым потоком выполняется условие локального
термодинамического равновесия. Г.сли среда находится в локальном
термодинамическом равновесии, то процессы излучения в элементарном
объеме газа, имеющем температуру Т, аналогичны процессам
излучения, происходящим в рассмотренной оболочке при этой же
температуре. Причем нет необходимости в том, чтобы среда была
изотермической. Температур:! в среде может изменяться от точки
к точке, но каждый элем<чл-; рный ooi.cnl cp<uu !пл\чт(д и погло-
311

щает так, как если бы он находился в термодинамическом
равновесии.
Часто в практических задачах удобно использовать
интегральные характеристики: интегральный коэффициент излучения х
[уравнение (11.89)1, интегральную интенсивность / [уравнение
(11.90)]. Для случая термодинамического равновесия
оо
■fp = j Лр <й =-£ 7", (1.1.112)
о
где сг0 = 5,668-10~8 Вт'/(м2- К4) — коэффициент излучения
абсолютно черного тела.
В практических задачах часто рассматривается модель серой
среды (или серого газа), коэффициент поглощения которой не
зависит от длины волны, т. е. используется некоторый осредненныи
по длинам волн (или частотам) коэффициент поглощения
оо
*=Ч; • (н-пз)
J ^PdX
о
Для серого газа закон Кирхгофа имеет вид
-J- = В0 = -£■ ТУ (11.114)
Зная радиационные свойства газа (хь k^), можно рассчитать
поле излучения, т. е. определить интенсивность по направлению
(Jь) и величину лучистого теплового потока.
11.13. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВЫХ СРЕД
Оптические свойства газовых сред (поглощательная
способность Л*,, степень черноты е*,) тесно связаны с переносом
излучения через газовый объем. Поглощательная способность
газового слоя Ах определяется как отношение лучистой энергии,
поглощенной при прохождении теплового луча через слой газа,
к падающей лучистой энергии (8.9). Степень черноты s*,
определяется как отношение потока собственного излучения среды к
потоку черного излучения при той же температуре.
Исследование оптических свойств газов связано с решением
уравнения переноса излучения. В общем виде решить уравнение
переноса излучения (11.107) аналитически невозможно, поэтому
для определения оптических свойств среды рассмотрим
излучающую и поглощающую газовую среду и воспользуемся уравнением
(11.108). Для большого круга практических задач, особенно при
исследовании теплообмена от высокотемпературного газа к поверх-
312

Рис. 11.31. Схема
прохождения теплового луча
через полусберический
газовый объем
ности при гиперзвуковых скоростях
полета летательных аппаратов, величина
рассеянной тепловой энергии
пренебрежимо мала. В этом случае газовая среда
является только излучающей и
поглощающей и для нее справедливо
уравнение (11.108).
Рассмотрим прохождение теплового
луча (рис. 11.31) интенсивностью /,, (0)
испускаемого элементарной
площадкой dF, через полусферический
газовый объем радиуса г. Газ, заполняющий
полусферу, является однородным и изотермическим.
Следовательно, температура и плотность газа по всему объему постоянны.
Радиационные свойства газа (х»,, kt), которые являются функциями
длины волны и термодинамических параметров (р и Т) для
монохроматического излучения будут постоянны по всему объему.
В этом случае все направления излучения по полусфере являются
равноценными, т. е. интенсивность излучения J% не зависит от
->
угла ф. Рассмотрим одно какое-нибудь направление L.
Интенсивность излучения J% вдоль этого направления будет изменяться
в силу поглощения и излучения лучистой энергии газом вдоль
рассматриваемого направления.
Уравнение переноса излучения (11.108) с учетом закона
Кирхгофа (11.110) имеет вид
^- = -МЛ-Яло). (П.115)
Решение этого уравнения с граничным условием
г = 0; Jx = Jx (0)
(11.116)
для изотермического слоя газа имеет вид
Л = Л(0)е-^г+Вм(1
e-V).
(11.117)
где первый член уравнения представляет собой интенсивность
излучения, вошедшего в рассматриваемый объем извне от каких-
то внешних источников и ослабленного из-за поглощения на длине
радиуса г, второй член уравнения — собственную суммарную
интенсивность излучения, полученную сложением излучений
всех элементарных слоев полусферического газового объема,
-»-
расположенных вдоль луча L (от 0 до г), и ослабленную
поглощением на этом же отрезке луча.
Для серого тела уравнение переноса излучения можно
представить как
(11.118)
dJ
J£. = -k(J-BJ,
313

а решение с учетом граничного условия (г = 0; J = J (0)) имеет
вид
J = J (0) е-*' + А> (i ~ е-*г). (11.119)
Если собственное излучение газа много меньше ослабляемого
средой внешнего излучения, то уравнения (11,117) и (11.119)
принимают соответственно следующий вид:
Л - Л (0) е-**г
(11.120)
./ = /(0)е-*'. {11Л 21 j
Для спектрального излучения поглощательная способность
определяется как
для серого газа
Л =
J 7, (0)
■/ (0) - J
J (0)
1 - е-*'.
(11.122)
(11.123)
Для случая, когда собственное излучение среды много больше
падающего,
A^-SxoO-e-V), (11.124)
/ = В0(1 -e-*0-
Отсюда спектральная степень черноты
/л
е>.
В л
= 1
е *■ .
(11.125)
(11.126)
Соответственно, для серого газа можно определить степень черноты
газового объема
8 = J/B0 = 1 - e-kr. (11.127)
Из ура,- '- (11.122) и (11.126) видно, что спектральная
ноглоща-^льн , обностъ Ак и спектральная степень черноты
10
10
10 й*-
1
-■/
-*
6
/^
1-
*р==10МПа
-^Г~
10
sw-*~
ioL^
^0=10-*
МПа
р=ЮМПа_^-
1-у^
10^,
1U~2y
1I173,
.р=НГ''МПп
I
—-
* 8 12
а)
Рис. 11.32. ^геиеиь чернота
турах и давлениях:
6-J" * см; 5 — 1 = 10 см
314
16 T-W~J,K
ПЛОСКОГО L
</
•ши в..
8
j дух а
12
/V)
при pai
16 t-wJk
'■ НЧ ... : J.,;!

е^ зависят от длины волны, толщины газового слоя и плотности
газа (или давления р).
В случае серого газа
А = е = f(p, I), (11.128)
где I — толщина газового слоя.
На рис. 11.32 приведены зависимости степени черноты 8,
плоского слоя воздуха толщиной / = 1 см и плоского слоя воздуха
толщиной / = 10 см от температуры и давления. Видно, что
степень черноты 8 сильно зависит от температуры, давления и
толщины газового слоя.
11.14. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ТОЛЩИНА СЛОЯ
ИЗЛУЧАЮЩЕГО И ПОГЛОЩАЮЩЕГО ГАЗА
Степень черноты (гх) или поглощательная способность
(А)) газа зависит от длины пути, который проходит луч в среде
в заданном направлении. Даже в средах сравнительно простой
геометрической формы (таких, как сфера, цилиндр, плоский слой)
длина пути, проходимого лучами в различных направлениях через
газовый слой, существенно неодинакова. В случае сферического
слоя (рис. 11.33) максимальную длину пути, равную диаметру
сферы, будет проходить только один луч, пересекающий центр
сферы. Длина пути других лучей будет уменьшаться по мере
увеличения угла ф.
В случае бесконечного плоского слоя (рис. 11.34) длина пути
луча в направлении нормали к поверхности слоя будет, наоборот,
минимальной и равной толщине слоя б. Во всех остальных
направлениях длина пути лучей будет возрастать по мере увеличения ф
от б до бесконечности.
Таким образом, если диаметр сферического газового объема
равен толщине плоского слоя б, то средняя длина пути лучей в
бесконечном плоском слое, существенно больше, чем у сферы.
Соответственно степень черноты плоского слоя газа больше, чем
сферического газового объема.
Расчет степени черноты различной геометрической
конфигурации является весьма сложной и громоздкой задачей. Для наиболее
i
,
*а
In /- L
HF
1 ,ic. .33. Сферический газовый Рис. 11.34. Плоский слой газа
объем
315

простой геометрии — сфера, цилиндр (конечный и бесконечно
длинный), бесконечный плоский слой — получены решения:
для сферического газового объема —
^ = 1+1^D О+ВД. (11Л29)
где D — диаметр сферы;
для бесконечного цилиндра —
Ex=l-<b(ky.R), (11.130)
где R — радиус цилиндра;
для бесконечного плоского слоя —
ех=1-Ф(М), (11.131)
где б — толщина слоя.
Функции Ф (k^R) и Ф (&х,б) рассчитаны и затабулированы.
На рис. 11.35 приведена зависимость степени черноты для плоского
слоя, цилиндра и шара от спектральной оптической толщины
i% = k%D (или &х,8), характеризующей поглощение излучения
в среде. Видно, что при равных значениях тк наименьшей
степенью черноты обладает шаровой излучающий 3 и поглощающий
слой 2, а наибольшей — бесконечный плоский слой 1.
Аналитический метод расчета степени черноты даже для
газового объема простой геометрической конфигурации является
весьма сложным, а решения в большинстве случаев не могут быть
доведены до конечного результата. Тем более аналитические методы
непригодны при определении степени черноты объемов сложной
геометрической формы. На практике для расчета степени черноты
таких сложных по форме газовых объемов используют метод
эквивалентного радиуса. Этот метод основан на том, что для
полусферического газового объема с радиусом R длина пути всех лучей,
проходящих через полусферический слой газа от поверхности до
центра основания, одинакова и равна радиусу полусферы R.
Всякий другой газовый объем сложной геометрической
конфигурации может быть заменен эквивалентным полусферическим газо-
рл'^' объемом, т. е. полусферой радиуса ^э, излучающей в свой
_,ai>> ,-ке количество лучистой энергии, какое излучает на
рассматриваемый элемент поверхности действительный газовый объем.
Например, сферический газовый объем диаметром D, излучающий
на элементарную поверхность dF (рис. 11.36), может быть заменен
полусферой радиусом Rs = 0,65Z), излучающей на элементарную
поверхность dF, расположенную в центре основания полусферы,
такое же количество лучистой энергии, что и сферический газовый
объем.
Соотношение между характерным линейным размером газового
объема заданной формы и радиусом эквивалентного полусфериче-
316

О 2 <t 6 ГА dF
Рис. 11.35. Зависимость степени черпотш ><^\ \ / /%v
от т* /С\\\.1////\
Рис. 11.36. Схема замены сферического г~~~--^>^^/>4><^*-~"—\
газового объема эквивалентным полусфе- I ^^"^ашаг^* 1
рическим объемом газа dF %з
ского объема, излучающего то же количество энергии,
представлено для наиболее типичных случаев лучистого теплообмена.
Сфера диаметром D 0,60Z)
Куб со стороной а 0,60а
Бесконечный цилиндр диаметром D, излучающий на центр основания 0,90D
Бесконечный цилиндр диаметром D, излучающий на боковую
поверхность 0,90D
Прямой цилиндр (высота Н равна диаметру основания D), излучающий
иа центр основания 0J7D
Тот же цилиндр, излучающий на всю поверхность 0,60Z)
Бесконечный цилиндр полукруглого поперечного сечения с радиусом R,
излучающий на середину плоского основания 1,26/?
Слой толщины Я между безграничными плоскими пластинами. . . . 1,80Я
Прямоугольный параллелепипед со сторонами аХ 2аХ 6а, где а — длина
наименьшего ребра, излучающий на любую из граней (аХ 2а; аХ 6а;
2аХба) . . ■ . • 1,06а
Зная Rs, можно степень черноты для газового изотермического
объема заданной конфигурации определить по формуле
ех = 1 - е-**-"». (11.132)
Соответственно для серого газа
е = 1-е-*\ (11.133)
где Rs берется из таблицы или подсчитывается для объемов
сложной формы по приближенной формуле
Ra = m4V/F, (11.134)
где т — поправочный коэффициент (т = 0,9); V — объем
рассматриваемого газового слоя; F — площадь поверхности,
ограничивающей газовый объем.
Расчет лучистого теплообмена между высокотемпературным
газовым потоком и поверхностью неразрывно связан с расчетом
317

поля течения вязкого газа, т. е. с решением уравнений
пограничного слоя. Из этих соображений исследование лучистого
теплообмена между газовым потоком и стенкой, а также влияние поля
излучения на поле течения будет рассмотрено в гл. XVI.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое тепловое излучение и его источник?
2. Что такое спектральная интенсивность и спектральная яркость?
3. Назовите законы излучения абсолютно черного тела.
4. Каков физический смысл коэффициента облученности?
5. Как рассчитываются оптические свойства газового объема сложной формы?

ГЛАВА XII
КОНТАКТНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
12.1. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
Контактным теплообменом называется передача тепла
между соприкасающимися твердыми поверхностями. Если через
две соприкасающиеся поверхности проходит тепловой поток,то
температура их будет одинаковой лишь в том случае, когда
контакт этих поверхностей идеальный и термическое сопротивление
в зоне контакта равно нулю. Однако поверхности деталей машин
никогда не бывают абсолютно гладкими, на них всегда имеются
неровности, зависящие как от технологии обработки, так и от
механических свойств самого материала. Поэтому контакт
соприкасающихся поверхностей всегда имеет дискретный характер.
Возникающее вследствие дискретного характера
соприкосновения поверхностей термическое контактное сопротивление приводит
к соответствующему перепаду температур в зоне контакта,
величина котооого при большой плотности тепловых потоков,
характерной для современных энергетических и силовых установок,
может составлять десятки и даже сотни градусов.
Вопросы контактного теплообмена имеют большое значение
при исследовании проблем охлаждения ядерных реакторов,
передачи тепла в установках, непосредственно преобразующих тепло
в электричество, охлаждения элементов авиационных двигателей
(диски, лопатки турбин), нагрева обшивки космических
летательных аппаратов, охлаждения элементов электронных устройств
и т, п.
В задачи исследования контактного теплообмена наряду с
определением величины контактного термического сопротивления
входит также изучение зависимостей этого сопротивления от
различных факторов и нахождение способов его уменьшения.
Зона контакта представляет собой область, состоящую из
выступов микронеровностей, часть которых при соприкосновении
деформируется и образует контактные пятна, и межконтактных
вазоров, находящихся между выступами. При этом суммарная
площадь контактных пятен (площадь фактического контакта)
всегда составляет незначительную часть номинальной площади
контактирования, определяемой геометрическими размерами
поверхностей. В межконтактных зазорах может быть вакуум, газ
или жидкость.
Обычно коэффициент теплопроводности контактирующих
материалов во много раз больше коэффициента теплопроводности
319

i
_j
i
)
'
L>2
\
ysK
(Ml
1 1 1
T, = const
1 '
т—Г '
\ \ ^=f
'—(—:-
Jrrst I
Рис. 12.1. Контактирование шероховатых поверхностей
среды, заполняющей межконтактные зазоры. Поэтому наличие
в контактной зоне газовой прослойки и особенно вакуума
значительно затрудняет переход тепла от одной поверхности к другой
через зону контакта.
На рис. 12.1 схематично показаны линии теплового тока 1 и
изотермы 2 в зоне контакта на стационарном тепловом режиме.
Как видно, вблизи контактной поверхности тепловой поток
раздваивается: одна часть его проходит через пятна фактического
контакта, а другая — через среду, заполняющую межконтактные
зазоры. Так как теплопроводность контактных пятен, как правило,
значительно выше теплопроводности среды, заполняющей зазоры,
то к этим пятнам стягиваются линии теплового тока, а
изотермические поверхности, параллельные друг другу вдали от
контактной зоны, принимают в области контакта сложный характер.
Плотность теплового потока вблизи пятен контакта сильно
возрастает, что приводит к увеличению температурного градиента
в зоне контакта.
На рис. 12.2 представлено распределение температуры в
составном теле при идеальном и при реальном контакте двух тел с
шероховатой поверхностью. В случае идеального контактирования
температура на границе тел одинакова. При соприкосновении
реальных тел,
поверхности которых имеют
микронеровности, в зоне
контакта возникает
дополнительный температурный
перепад Л'ГК, величина
которого зависит от целого
ряда факторов: теплофи-
. зических свойств среды,
. . л а1 ' заполняющей межконтакт-
Рис. 12.2. Распределение температур при
контактировании двух пластин: ные зазоры; состояния
о = идеальный контак >: 6 - реальный контакт КОНТЭКТИруЮЩИХ ПОВерХ-
320
А,
н
ш
щ]
щ
Р
ш
//НУ,
/////
^
•ч
Тг

ностей; теплофизических и механических свойств материалов
контактной пары; средней температуры в зоне контакта;
нагрузки на контактные поверхности; величины теплового потока
и др.
Величина расчетного температурного перепада АГК может
быть определена экспериментально путем линейной экстраполяции
графика распределения температуры в контактирующих телах до
поверхности соприкосновения.
Перепаду температур в зоне контакта АТК соответствует
контактное термическое сопротивление
Як = Д7у<7к, (12.1)
где qK — средний удельный тепловой поток, проходящий через
зону контакта.
В местах .фактического контакта тепло передается
теплопроводностью. В зазорах передача тепла может осуществляться
теплопроводностью, конвекцией и излучением. Как правило,
размеры межконтактных зазоров весьма ограничены, что
препятствует возникновению конвективных токов, поэтому конвективным
теплообменом в зазорах можно пренебречь. При температурах в
зоне контакта до 1000 К поток тепла, передающийся излучением,
не превышает 2—3% от общего теплового потока. Поэтому при
умеренных температурах лучистым теплообменом в первом
приближении можно также пренебречь.
Таким образом, можно считать, что тепло от одной
соприкасающейся поверхности к другой передается лишь за счет
теплопроводности места фактического контакта и газовой прослойки в
межконтактном зазоре.
Термическая проводимость контакта ак (величина обратная
термическому сопротивлению RK) определяется как сумма
термических проводимостей контактных пятен (ам) и среды,
заполняющей межконтактный зазор (ас), т. е.
ак = °См + ас (12.2)
или
1/Ян = 1/Ям+1/Яо, (12.3)
где RM — термическое сопротивление контактных пятен; /?0 —
термическое сопротивление среды.
12.2. ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО
КОНТАКТА
При теоретическом рассмотрении вопросов контактного
теплообмена обычно прибегают к модельным представлениям
теплового контакта. При построении модели контакта шероховатых
поверхностей принимается, что фактическая площадь контакта
составляет незначительную долю номинальной и образуется
пятнами контакта в среднем одинакового размера, равномерно
11 Авдуевский 321

Риг
12.3.
тактного элемета
распределенными по поверхности сопри-
косновення. Тогда контактирующие
поверхности можно представить в виде плот-
нон упаковки одинаковых правильных
шестиугольных npimi, киж шя на кою
рых имеет одно пятно касания Таким
образом, контактирующие поверхности расс-
ма i ршзаются как бы составленными in
таких элементарных параллельных теп
ловых каналов смыкающимися по
контактным пятнам. Течение тепла во всс\
каналах происходит идентично, по'ломл
теплообмен на боковых поверхностях oi
сутсгвует, а тепловые процессы,
происходящие в отдельном тепловом канале,
отражают особенности контактного
'теплообмена для всей контактирующей поверхности.
Большинство исследователей в качестве тепловой модели
контакта шероховатых поверхностей принимали контактный элемент
в виде прямого круглого цилиндра конечного радиуса г„ с
кольцевой проточкой и рассматривали трехмерное поле чемперщур при
соответствующих краевых условиях.
Согласно современным достижениям теории механического
контактирования со пр и касающиеся поверхности моделируются
в виде наборов сферических сегментов с определенным законом
распределения по высоте, поэтому тепловые модели представляются
в виде цилиндров со сферическими соприкасающимися
поверхностями (рис. 12.3).
Определив термическое сопротивление выделенных контактных
элементов, находящихся под нагрузкой, и используя выражения
по нахождению геометрических характеристик соприкасающихся
тел, можно определить тепловое сопротивление всего контакта.
Для определения термического сопротивления контактного
элемента необходимо определить и проанализировать темпера!урпое
ноле в рассматриваемой области, то есть решить уравнение .Пан-
ласа со смешанными краевыми условиями.
Уравнение Лапласа в безразмерных координатах:
1 д ( дТ \ , д~Т
р op v да / c>zz
где
р р/г„ и z - г/гп
при следующих граничных условиях:
на поверхности 1 (см, рис. 12.3) при 0-с
0.
Р < air,,.
(12.4)
Си
7\
Т
0;
на поверхностях 2 и 2' (см. ряс. 12.3) при р., <д р -;' 1 п
мается идеальный контакт газа с поверхностью твердого
322
(12.5)
р и ни-
тела

Соотношения между температурами u,t поверхностях оудут
определяться из условия
~i^h" ь~>~^- (12-6)
На поверхности 3 (см. рис. 12..')) при - оо<г< : оо ггринимн-
ются условия теплой юлнрованпост п ооковой поверхности
^■-ZL\ о. (1-2.7)
На поверхностях 4 и 5 (см. рис. \'2.','>) при л --*■ оо принимается
условие постоянства плотное:и теплового потока
кч у~ -2-- q. (12.8)
Ввиду сложности граничных условии аналитическое решение,
поставленной задачи невозможно, поэтому данная задача решается
численным методом, методом конечных эле.мепюв.
По резулыатам расчета температурного поля вычисляется
величина полного контактного термического сопротивления
модельного элемента:
#.;.<■■<. ^-^^-, (12.9)
где
Т? о ■■— температура при г ■■- О и прохождении равномерного
теплового потока; 7V ,.,t, температура на пятне контакта модельного
элемента со сферическим окончанием; ц — плотность теплового
потока вдали от плоскости контакта.
Для сопоставления полученных результатов с данными других
исследователей величина контактного термического сопротивления
представляется в виде предельного значения
R7 при гп -v оо:
R? - 0,25-1/(<7Л) (12.10)
и функции фгф, учитывающей конечность радиуса элементарного
цилиндра:
tc, -^- (12-11)
Полученное выражение термического сопротивления
модельного элемента распространяется на всю контактную поверхность.
При построении модели контакта шероховатых поверхностей
принималось, что площадь фактического контакта образуется
пятнами контакта в среднем одинакового радиуса. Термическое
сопротивление всех пятен кошаиа действует параллельно. На
номинальную поверхность сопри катающихся тел (А„) приходится
п пятен фактического контакта
п - Ал!{лг„). (12 12)
n* -m

Термическое сопротивление контактных пятен шероховатых
поверхностей
Лм='Фс<1А/2<Лм.эквЛ. (12.13)
Вьтажая число пятен контакта через относительную площадь
контакта, получим
Средний размер единичного пятна контакта а и значение
относительной фактической площади т]ш определяются величиной
деформации и формой неровностей, г|\,ф — коэффициент
дискретности контакта, определяемый из выражения
■Феф= "*t [l +0,315 ^±il- 0,0375 (^f^lLf~J, (12.15)
где
■ф4 = 1 — l,409a/rn + 0,296 (a/r0)* + 0,052 (а/г0)ь; (12.16)
^м. экв — эквивалентная теплопроводность контактирующих
материалов —
J _ ^cpi+^cp2 . по 17\
йср l/^i "+- "ер ь'^'2
^сри ^ерг — средние высоты микронеровностей соприкасающихся
тел.
Заполненное газом пространство между неровностями
контактирующих поверхностей, в зависимости от состояния газа
находящееся в континуальном или свободномолекулярном состоянии,
тоже обеспечивает соответствующий вклад в перенос тепла между
твердыми поверхностями.
В реальных случаях термическое сопротивление газового
зазора (Rc) можно рассматривать как сумму объемного
сопротивления газа, находящегося в континуальном состоянии /?Kohti и
сопротивления на границах (газ находится в свободном
молекулярном состоянии) (Rc. м).
Лс = Яконг-т-Лс.м; (12-18)
Яс^б^Ае-Н/а-.м, (12.19)
где бэкв — эквивалентная толщина зазора, определяемая как
объем газа во впадинах неровностей, приходящегося на единицу
номинальной площади контакта |3].
Общая тепловая проводимость контакта шероховатых
поверхностей определится формулой
' ' i ' ^м, гжвЧш | ^х (Л о 90^
Rk ~ Ru Rc ~~ я«Ч'сф ' 5экв -t kc/ac. м '
Из этой зависимости видно, что определяющую роль в
формировании тепломеханического контакта оказывают вид деформации
и физико-механические свойства контактирующих материалов
324

Рис. 12.4. Зависимость контактного термического
сопротивления различных материалов от нагрузки
в вакууме при Тк =--- 925 К:
/ _ Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и А120, (9 кл,
шероховатости); 2 -- Мо (8 кл. шероховатости) и A^d
(8 кл. шероховатости); .? — Х18Н9Т (9 кл.
шероховатости) и ВсО (8 in. шероховатости); 4 — Х18Н9Т (9 кл.
шероховатости) и Мо (8 ил. шероховатости); 5 — AI^O,
(7 кл. шеоохоратости) и графит (6 кл. шероховатости).
6 — Мо (8 кл. шероховатости) и графит (6 кл.
шероховатости)
Формула (12.20) правильно отражает
качественные и количественные
зависимости контактного термического
сопротивления от различных факторов и может
быть использована для определения
величины /?„, но приближенный характер не- чью Рк,МПа
которых закономерностей, положенных в
расчет, указывает на необходимость
экспериментальной проверки, обобщения опытных данных и получения
на этой основе окончательных расчетных соотношений,
необходимых в инженерной практике. В основу расчетов контактного
термического сопротивления положены полуэмпирические соотношения,
полученные в результате обобщения многочисленных
экспериментальных исследований контактного теплообмена.
Рассмотрим зависимости контактного термического
сопротивления от различных факторов, полученные в экспериментах.
Удельная нагрузка Рк (средняя нагрузка на контактирующие
поверхности) оказывает сильное влияние на величину термического
сопротивления контакта /?к (рис. 12.4). С ростом нагрузки
контактное термическое сопротивление /?к уменьшается, особенно сильно
в области нагрузок [до 5...10АШа], что объясняется характером
изменения площади фактического контакта.
Средняя температура в зоне контакта Тк оказывает
значительное влияние на величину RK. Характер изменения контактного
термического сопротивления от температуры определяется
совокупностью зависимостей физических и механических
характеристик материалов контактных пар от температуры. В зависимости
от свойств контактирующих материалов и условий
контактирования повышение температуры в зоне контакта может вызвать как
увеличение, так и уменьшение контактного термического
сопротивления (рис. 12.5).
Шероховатость контактирующих поверхностей также
оказывает влияние на величину ^к, С улучшением чистоты обработки
контактных поверхностей термическое сопротивление контакта
уменьшается; особенно интенсивно это происходит при улучшении
обработки поверхностей до 6—7 классов шероховатости, что
объясняется соответствующим ростом площади фактического контакта.
Наличие газовой среды в межкоптактпых зазорах оказывает
значительное влияние на величину контактного термического
325
RK-W,MZK/Bm

RK-W *мг-К/Вт
^
>*--^
N„7
Ь<
4
Г ^
v
\
500
700
900 T„,K
Рис. 12.5. Зависимость контактного
термического сопротивления различных
материалов от температуры зоны
контакта в вакууме под нагрузкой 2,5МПз:
/ — X18H9T (9 кл. шероховатости) и AisOj
(9 кл. шероховатости); 2 — Мо (8 кл.
шероховатости) н А1,03(8 кл. шероховатости);
3 — Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и ВеО
(8 кл. шероховатости); 4 — А1,0, (8 кл.
шероховатости) н графит (6 кл.
шероховатости); 5 — Мо (8 кл. шероховатости) и
графит (6 кл. шероховатости)
RK-10^MZH/Bm
1
2
__/
В 12 рк,МПа
Рис. 12.6. Зависимость контакт';;-го
термического сопротивления от
нагрузки для контактной пары Мо (8 кл.
шероховатости) и Х18Н9Т (8 кл.
шероховатости) в разных газовых средах
при Тк = 825 К:
/ — вакуум; 2 — азот; 3 — гелий
сопротивления (рис. 12.6). Чем больше теплопроводность среды,
заполняющей межконтактные зазоры, тем меньше термическое
сопротивление контакта.
На основе рассмотренной выше теоретической модели
контактного теплообмена и обобщения результатов экспериментальных
исследований получена полуэмпирическая формула для
определения термического сопротивления контакта:
Я,
= 1,15-10**.»
ти
ЗавЕ Тс
•К'
0,302
(12.21)
где Рк — удельная нагрузка на контактные поверхности; ств —
предел прочности более мягкого материала; Е =- 2E1EJ(E1 4
4- Е2); Еи Е2 — модуль упругости контактирующих материалов;
Тк — температура в чопе контакта; Тпл — температура плавления
более легкоплавкого материала; К — коэффициент, показывающий
изменение геометрических характеристик соприкасающихся
поверхностей и зависящий от высоты микровыступов следующим
,-6-. т,ъ / 30 J \2/3
образом: К=1 при /zcpl-j-/1гр2 >3-Ю-6 м; К2 = (
при 1(П,</гср1 4- /гср2<3-1(Г5 м;/С= U ~
■ . . - , V "сD1 I "С
"СР1 + "СР 2
-) при /гср1
4
4 h
326
ср з
10~6 м.

Приведенная формула позволяет получить достаточно
достоверные значения термического сопротивления контакта для
обширного круга материалов.
12.3, ТЕРМИЧЕСКОЕ КОНТАКТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
КОАКСИАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАРЫ
В ряде технических устройств (цилиндрические пары
качения и скольжения, элементы термоэмиссионных
преобразователей, реакторов и др.) тепловой поток передается через
прилегающие друг к другу поверхности коаксиальных цилиндров 1 и 2
(рис. 12.7). При' проектировании и расчете указанных устройств
необходимо знагь величины контактного термического
сопротивления и соответствующего температурного перепада в контакте.
Принципиальной особенностью контактирования замкнутых
поверхностен, образованных полыми цилиндрами, посаженными
один в другой с предварительным зазором или натягом по
посадочному диаметру dultr, является зависимость удельного давления на
' посадочных поверхностях р,( от температурного режима, размеров
цилиндров, посадки, а также от теплофизических и механических
свойств контактирующих материалов, тогда как при
контактировании плоских незамкнутых поверхностей величина контактного
давления рк могла выбираться произвольно.
Нетрудно убедиться в том, что при заданной величине
удельного теплового потока с/ и заданной температуре одной из трубок
цилиндрической пары в ней за счет их разного термического
расширения автоматически установится стабильный режим
теплопередачи с определенной величиной перепада температур в зоне
контакта Д7"к и определенной величиной давления на контактные
поверхности рк.
Пусть заданы температура внутренней трубки Т1 и удельный
тепловой поток на расчетном режиме а. Тогда увеличение разности
температур внутренней и наружной трубок ДГ„ = Т1 — Г2
, может быть достигнуто охлаждением наружной трубки (будем
для простоты рассуждений пренебрегать небольшим падением
температуры в стенках трубок). Примем, что вначале температуры
Рис. 12.7. Схема
цилиндрической пары ЛТ,1
02
Т, =ю list
у^Ч E(q=const)
Pij'c. 12.8. Теплоконтакт- уА' \/
пая характеристика ци- 1 -—__
линдрической коаксиаль- ' * »-
ной пары Рк
327

внутренней 1 и наружной 2 трубок одинаковы (7\ = Га) и между
ними имеется некоторый зазор. При этом, конечно, и тепловой
поток равен нулю.
Если теперь уменьшить температуру наружной трубки Та,
то вследствие появления разности температур между трубками
возникает тепловой поток q, а величина зазора в силу разницы
термического расширения этих трубок станет уменьшаться.
При определенной температуре Тг произойдет соприкосновение
поверхностей. Этому моменту соответствует точка 1 на диаграмме
.в координатах АГК — рк, так как рк = О (рис. 12.8). При этом
термическое сопротивление контакта RK еще очень велико, и для
прохождения через зону контакта заданного теплового потока
q необходима очень большая разность температур ЛГ„ (точка 2).
При дальнейшем уменьшении температуры Т2 и, следовательно,
увеличении ЛГК между трубками возникает натяг, будет возрастать
контактное давление р„ соответственно кривой А и тепловой поток
будет увеличиваться. Но при увеличении Р„ будет уменьшаться
термическое сопротивление контакта RK, а, следовательно, и
разность температур ДГК, необходимая для прохождения через
место контакта заданного теплового потока q, соответственно
кривой Б. При некотором определенном'значении ЛГК его величина
станет равной необходимой для прохождения через место
контакта заданного теплового потока — в точке 3 пересечения кривых
А и Б. Таким образом, установится также и определенное давление
в месте контакта рк, соответствующее точке 3. Совокупность
зависимостей А я Б называется теплоконтактной характеристикой
коаксиальной пары.
Рассмотрение ряда теплоконтактных характеристик,
построенных для различных условий контактирования, помогает выбрать
наивыгоднейшие конструктивные параметры цилиндрической пары
(размеры, материалы, посадку и т. п.).
Для расчета зависимости давления в контакте рк от разности
температур АГ„ можно использовать соотношение между
давлением и величиной натяга б из теории упругости:
8/dnoc ^
Рк~ ' Г 1 + №AW)2 „1, ' Г 1 + (duoM* -I '
El L i-(rfiAW)2 ^J"*" Ег L i-(<W/d2)3 +F2J
(12.22)
где dnoe, d1 и d2 — номинальные размеры трубок (см. рис. 12.7);
£ъ £2 — модули упругости материалов внутренней 1 и наружной
2 трубок; fi1,\i2 — коэффициенты Пуассона.
Диаметральный натяг б можно рассматривать как разность
посадочных размеров трубок в нагретом состоянии,
обусловленную разницей их термического расширения:
б - б0 - [а,Г, - аг (7\ - АГК) 1 dnoc, (12 23)
328

где 6n — диаметральный зазор при Т — 273 К; <х1( аа —
температурные коэффициенты линейного расширения материалов трубок
1 и 2.
Тогда аналитическая зависимость давления в месте контакта
от разности температур контактирующих поверхностей имеет вид
_^ <%А*пос — («1 — «г) Т\ — аг&Тк
~ _L Г '+№/rf"oc)2 „ 1 | ' Г ' + (dnoc/di)* , 1 ■
*i L 1-№/^пос)2 М+ E, L (\ - (dnoc/d2)* "^J
(12.24)
Как видно из выражения (12.24), зависимость рк от ЛГК
линейная, если не учитывать изменений Е, (х, а и Я, с температурой.
Если известна аналитическая зависимость контактного
термического сопротивления RK от давления рк, например уравнение
(12.21), то, имея в виду, что АГК = RHq, расчет сводится к решению
уравнений (12.21) и (12.24), из которых найдутся численные
значения ЛГК и рк на установившемся режиме.
Однако в виду сложности и недостаточной точности
эмпирических зависимостей RH от параметров удобнее применять
графоаналитический метод расчета, используя для построения тепло-
контактных характеристик непосредственно опытные данные по
контактным термическим сопротивлениям RK, полученные на
плоских моделях. Это допустимо, так как в любых мыслимых
конструктивных ситуациях толщина зоны «трубок» контактов мала
в сравнении с радиусом кривизны.
Проводя расчеты для различных условий, можно выбрать
наивыгоднейшие конструктивные параметры (размеры трубок,
посадку, материалы), а также параметры теплового режима
(удельный тепловой поток, рабочие температуры трубок).
При этом из анализа теплоконтактной характеристики можно
заключить, что выбором посадки б0 можно уменьшить падение
температуры в контакте ЛГК, но лишь ценой повышения давления
рк, а это в случае тонкостенных трубок недопустимо, так как
может привести их к пластической деформации в радиальном
направлении.
Очевидно в цилиндрических системах более целесообразно
снижение термического сопротивления одним из способов,
рассматриваемых ниже и не требующих повышения рк. В этом случае
не только уменьшается падение температуры ЛТК, но и
одновременно снижается давление в контакте рк, что благоприятно
отражается на надежности конструкции при длительной работе.
12.4. РЕГУЛИРОВАНИЕ ТЕРМИЧЕСКОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для решения некоторых технических задач необходимо
регулировать термическое сопротивление контактирующих
поверхностей, причем в одном случае возникает необходимость интенси-
329

I'm:. 12.9. Зависимость контактного
термического сопротивления от нагрузки в
вакууме при Гк Ст.'З К для контактной
пары X181 ЮТ (8 кл. шероховатости) и Мо
(8 кл. шероховатости):
/ - б<м покрытии; 2 -- с прокладкой из
серебра: Л - с прпкры i нем поверхности стали ссрео-
|ч»м 6 _= о мкм
фицировать теплообмен через зону
контакта, т. е. уменьшить его
термическое сопротивление, а в другом,
наоборот, создать на пути
теплового потока повышенное
термическое сопротивление.
Существуют различные способы
регулирования контактного
термического сопротивления RK. Увеличение
д 7 2 3а МПа УД^лыгого давления р„ на контакти-
к' рующие поверхности сильно снижает
термическое сопротивление, особенно в области малых нагрузок.
Однако возможности этого способа ограничены, так как во многих
конструкциях не всегда бывает возможным или выгодным изменять
нагрузку на контактирующие поверхности.
Улучшение чистоты обработки контактирующих поверхностей
до 7—8 классов шероховатости особенно эффективно сточки зрения
уменьшения контактного термического сопротивления. Однако
дальнейшее повышение класса шероховатости технически сложно
и дает небольшой эффект.
Наиболее эффективным способом уменьшения контактного
термического сопротивления является введение прокладок и
покрытий из мягких и теплопроводных материалов в зону
контакта. Эксперименты показывают, что применение очень тонких
(порядка высоты микроиеровностей) металлических покрытий,
наносимых на одну или обе контактирующие поверхности
различными способами (гальванический, плазменное напыление и др.),
существенно снижает величину контактного термического
сопротивления. В качестве материалов покрытий могут быть применены
теплопроводные металлы и их сплавы (серебро, медь, никель,
олово и др.).
Установлено, что максимальное снижение величины
контактного термического сопротивления наблюдается, когда толщина
покрытия равна высоте микровыс1упив ыорой непокрытой
поверхности (/*(.,, ■■■■- 6П,,К(,). Такая толщина покрытия является
оптимальной с точки зрения снижения величины RK для данной
микрогеометрии контактирующих поверхностей. Применение покрытий
оптимальной толщины из серебра и меди позволяет снизить
величину R,. до 10 раз в вакууме, а в среде высокотеплопроводного
газа (гелий, аргон) — на 20—-50%.
330
RK-10, м-К/Вт
14
12
10
8
б
г
.2
Vs
V /

В тех случаях, когда нанесение покрытий затруднено, примерно
тот же эффект может быть получен путем постановки тонких
прокладок из мягких теплопроводных материалов. Максимальное
снижение контактного термического сопротивления при
использовании прокладок получено, когда толщина прокладки равна
сумме средних высот микронеровностей контактирующих
поверхностей (барокл = hlcp + й2ср). Применение прокладок такой
толщины из серебра и меди снижает величину RK в 3—5 раз в вакууме
по сравнению с чистым контактом. Применение прокладок при
контактировании в высокотеплопроводной газовой среде
малоэффективно, уменьшение RK весьма незначительно.
На рис. 12.9 приведены результаты некоторых экспериментов,
иллюстрирующие эффективность прокладок и покрытий.
Наряду с металлическими покрытиями возможно также
применение мягких неметаллических покрытий (эмалей, мастик).
Заполнение межконтактного зазора газами с высокой теплопроводностью
является также достаточно эффективным способом снижения
контактного термического сопротивления. В отдельных случаях
возможно заполнение межконтактных полостей жидким металлом.
При этом термическое сопротивление контакта практически
сводится к нулю. Однако осуществление этого способа технически
сложно. Для более широкого регулирования величины
контактного термического сопротивления возможно применение
комбинированного воздействия перечисленных выше способов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каковы причины возникновения контактного термического
сопротивления?
2. От каких факторов зависит термическое сопротивление контакта?
3. Какие способы уменьшения контактного термического сопротивления?
4. Как влияет среда, заполняющая межконтактные зазоры, на величину RK7
5. Как зависит RK от давления на контактирующие поверхности?

ГЛАВА Х111
ТЕПЛОВОЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
13.1. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ АВИАЦИОННЫХ
И РАКЕТНЫХ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
Основными элементами системы охлаждения являются
теплообменные аппараты и излучатели, параметры которых в свою
очередь сильно зависят от используемых теплоносителей. Свойства
теплоносителя, конструкция теплообменных аппаратов и
коммуникаций определяют необходимую мощность на прокачку
теплоносителей и тин циркуляционных насосов.
Рассмотрим кратко основные схемы авиационных и ракетных
теплообменных аппаратов, их гидравлический и тепловой
расчет.
Выбор схемы того или иного теплообмениого аппарата всегда
связан с компромиссом между различными предъявляемыми
к нему требованиями.
Основные требования к авиационным и ракетным
теплообменникам следующие.
1. Надежность в пределах заданного ресурса времени работы.
2. Минимальная масса и габаритные размеры.
3. Высокая эффективность.
4. Удобство компоновки.
5. Малые гидравлические потери.
6. Технологичность конструкции.
7. Удобство эксплуатации.
8. Минимальная стоимость.
В каждом конкретном случае важность каждого из этих
требований и их сочетание различны, что определяет многообразие
реальных схем теплообменников.
Все теплообменпые аппараты по способу передачи тепла могут
быть разделены на две большие группы: поверхностные и
контактные (рис. 13.1). Во всех поверхностных теплообменниках оба
теплоносителя омывают обычно разделяющую их твердую стенку,
которая таким образом участвует в процессе теплообмена.
Каждая поверхность стенки образует так называемую поверхность
теплообмена. В зависимости от назначения теплообмениого
аппарата эти поверхности также часто называют поверхностью нагрева
или охлаждения. В контактных теплообмепных аппаратах тепло
передается путем непосредс! венного контакта двух теплоносителей:
горячего и холодного; при этом теплообмен сопровождается и
массообменом. Все поверхностные теплообменники разделяются
на рекуперативные и регенеративные.
332

ОсноВные типы
теппообме^шш аппаратов
Поверхностные

Рекуперативные
теплообменники
1—j

Регенеративные
теплообменники
Контактные

Теплообменники
смешения
БарВотажные

теплообменники
Рис. 13.1. Классификация теллообмеипых аппаратов
В рекуперативных аппаратах (рис. 13.2) одна поверхность
стенки все время омывается одним теплоносителем, а другая —
другим. Тепло от одного теплоносителя к другому передается через
разделяющую их стенку из теплопроводного материала.
Направление теплового потока Q в стенке остается неизменным.
В регенеративных аппаратах одна и та же поверхность
теплообмена попеременно омывается то одним, то другим
теплоносителем. В период нагрева, т. е. при проходе горячего теплоносителя,
стенки теплообменника и набивка в виде шаров, колец и др.
нагреваются, в них аккумулируется тепло, которое в период
охлаждения отдается протекающему вторичному теплоносителю
(рис. 13.3). Направление потока тепла в стенках периодически
меняется. Примером таких установок являются
воздухоподогреватели газотурбинных установок, воздухоподогреватели типа
Юнгстрем и др.
Рекуперативные теплообменные аппараты, в свою очередь
могут быть классифицированы по следующим признакам: 1) по
роду теплоносителей в зависимости от их агрегатного состояния
(рис. 13.4); 2) по конфигурации поверхности теплообмена.
7
2
-^
У/////////////Л
Н)
Н)
2
Рис. 13.2. Принципиальная схема
рекуперативного теплообменника:
1 — первичный (горячий) теплоноситель;
* — вторичный (холодный) теплоноситель;
3 — поверхность теплообмена
Рис. 13.3. Принципиальная схема
регенеративного теплообменника:
1 — перьичный (горячий) теплоноситель;
2 — вторичный (холодный) теплоноситель
333

Пара—
жидкостные
Рекуперативные
теплообменники
Шидкостна-
жидкюлные
Газо-
жидкостные
Газа-
газовые
Паро-
газоЗые
Рис. 13.1. Классификация рекуперативных тецлиобчешшкоп по виду
агрегатного состояния теплоносителей
Теплообменные аппараты классифицируются также по наличию
или отсутствию изменения агрегатного состоянии теплоносителей
при прохождении их в теплообмен ном аппарате. Соответственно
имеются аппараты: 1) без изменения агрегатного состояния
теплоносителей, 2) с изменением агрегатного состоянии одного
теплоносителя — конденсация пара (первичного теплоносителя) или
кипение жидкости (вторичного теплоносителя); 3) с измене;;нем
агрегатного состояния обоих теплоносителей, например
конденсация первичного пара и кипение вторичной воды, подогреваемой
этим паром.
Кроме приведенных основных классификационных признаков
теилообменных аппаратов, они могут также классифицироваться
по целому ряду дополнительных признаков.
Так, например, все теплообменные аппараты поверхностного
типа можно классифицировать но виду взаимного направления
потоков теплоносителей. Все поверхностные теплообменники могут
быть: 1) прямоточные, когда оба теплоносителя движутся
параллельно в одном направлении (рис. 13.5, а): 2) противогочные,
когда оба теплоносителя движутся в противоположных
направлениях (рис. 13.5, б); 3) с перекрестным током, когда теплоносители
движутся во взаимно перпендикулярных направлениях;
перекрестный ток может быть однократным и многократным (рис. 13.5, в и г);
4) с более сложными схемами различного сочетания прямотока,
ппогивотока и перекрестного тока (рис. 13 о, д и е).
Кроме всех приведенных отличительных признаков, теплооб-
I
а)
В)
,
<
)
)
Рнс. 13.л. Классификации
поверхностных теилообменных
аппаратов по виду взаимного
направления потоков
теплоносителей :
а - - прямогик, 6 -- противоток;
е -- однократный перекрестный ток,
г многократный
(четырехкратный) перекрестный ток; д, е —
СЛОЖНЬ.'Г* СХСМЫ
г)
Ю
е)
334

Рис. 13.Ь, Tiimriiibu
аппаратов:
а - «труб,, н .р\'Г,,-« :,|м
ный, MHur,v,;i,:74i,:il к,т
чато-реб[1ис.'i,];t п.-; ч i.r.i
е) t 1~ ' ")
г['ук inuiii.it схемы peh\'!if-p,4inii!!i,i \ псмЛчибмепных
., О - KivlCV.X,
мй го к; ,- 1
',Uh, / ГОР;
КО Ж у X СП руб-
Ж ПЛН1ТНН-
Х'МОДНЫЙ HOW
менные аппарамт можно также классифицировать по назначению
(подогрела гели, охла.имели и т. д.), материалу поверхности
теплообмена, числу ходов теплоносителя и т. и.
На рис. 1 .'-5.fi для нллюсфацин приведены некоторые типичные
схемы теплообменник аппаратов различного назначения.
1.4.2. ТЕПЛОНОСИТЕЛИ
Во MHoinx случаях геплоноеители не выбираются, а
задаются, например, если требуется охлаждать масло топливом
или воздухом и др В rex случаях, когда этот выбор возможен, он

обычно производится в результате рассмотрения совокупности
многих факторов и требований. Иногда выбор теплоносителя
связан с расчетом и конструктивной проработкой двигательной
установки и даже всего летательного аппарата в целом (например
космические летательные аппараты).
Короче говоря, выбор теплоносителя и типа теплообменного
аппарата, т. е. системы охлаждения, в ряде случаев представляет
сложную задачу и не может решаться в отрыве от объекта в
целом.
При выборе теплоносителей большое значение имеют их тепло-
физические и эксплуатационные свойства, такие, как
теплопроводность, вязкость, теплоемкость, плотность, агрегатное состояние,
коррозионные свойства, химическая стабильность, температуры
и теплоты плавления и кипения и т. п.
В авиационной и ракетной технике в качестве теплоносителей
применяются самые различные вещества: газы, топлива, масла,
специальные органические и неорганические жидкости, вода,
жидкие металлы, криогенные жидкости и т. д.
Наша задача — рассмотрение методов теплового и
гидравлического расчета теплообменных аппаратов. Это предполагает,
что для каждого варианта расчета теплоносители и схема тепло-
обменного аппарата заданы. Поэтому анализ выбора
теплоносителей и схемы теплообменного аппарата не приводятся. Как уже
отмечалось, выбор теплоносителей и схемы теплообменного
аппарата производится на основе анализа конструктивной проработки
и вариантных расчетов всей двигательной установки,
энергосистемы или системы охлаждения с учетом задач и требований,
предъявляемых к объекту в целом.
13.3. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
Задача гидравлического расчета теплообменного
аппарата заключается в определении потерь давления теплоносителя
Ар между входом рх и выходом рг. Этот перепад давлений Ар =
== pj — р2 необходим для прокачки теплоносителя с заданным
расходом через теплообменный аппарат. Перепад давлений
необходим для преодоления:
трения теплоносителя о стенки каналов;
местных сопротивлений (сужения, расширения, повороты
потока, вентили, задвижки и т. п.);
массовых сил (силы тяжести в гравитационном поле и т. п.);
инерционных сил (ускорение потока во времени при
нестационарном движении теплоносителя, ускорение потока по длине
канала при изменении его удельного объема вследствие
нагрева).
Искомый перепад давлений Др может быть найден из решения
уравнения (9.2), если известна зависимость г}> = (х, т).
На практике принято учитывать потери на трение при одно-
336

мерном описании не коэффициентом г|5, а коэффициентом
гидравлического сопротивления
где и — среднерасходная скорость теплоносителя в канале (для
некруглых каналов вместо диаметра трубы d используют
эквивалентный диаметр d:t -~ 4f/U, где / — поперечная площадь канала,
a U — его периметр). С учетом уравнения (13.!) одномерное
уравнение движения (9.2) будет
Т-&+0&-№-'-£-«-£• 03.2,
Коэффициент гидравлического сопротивления £ обычно
находится из эксперимента, реже — из теоретического решения
трехмерной системы уравнений для течения в соответствующем канале.
Согласно формуле (9.9) в общем случае стационарного течения
в каналах
I ----- ф [x/d, Re, Gr, [>Jpf, \xj\if, kjkf, (cp)J(cp)f].
Рассмотрим важные частные случаи решения уравнения
(13.2).
1. Стационарное течение несжимаемых жидкостей (р = const).
Тогда уравнение (13.2) будет
Его решение
Ар - Рх - Р* - I-^г-4"--Р'У' (13.4)
где £ —- средний на длине / коэффициент гидравлического
сопротивления
i
1-4" j £(*)<&.
Аналогично,
о
i
Fx = — \ Fx M dx-
о
Если в канале имеются местные сопротивления, то они
учитываются коэффициентом местных потерь £, который по определению
равен
?^_^L (13.5)
где Дрм — гидравлические потери на местном сопротивлении;
"м — характерная скорость в местном сопротивлении.
Значение £ для различных типов местных сопротивлений обычно
находят из опыта по уравнению (13.5).
337

Тогда суммарные гидравлические потери на прокачку жидкости
через теплообменныи аппарат с учетом местных потерь будут
п f
Ар*-=С -тг-4" - Р^ + £ :<-Г1- (13.6)
2. Стационарное течение газов при дозвуковых скоростях
(р = var, M « 1).
Уравнение (13.2) принимает вид
или с учетом, что G = puf, после разделения переменных
G С2
dp -=— du^-% 2pf2d dx — pFxdx.
Интегрируя по длине канала от 0 до /, находим
G2 /
Ар = Pi - Pi -= G/f ("a - "О + I пщг -j- - pFJ- (13.7)
i i t
Здесь в выражениях \ — dx--- — \ £ dx = — l и \ pFxdx --- p \ Fxdx -=
о oo
= pFJ использована обобщенная теорема о среднем, так как
|/р и pFh — интегрируемые на [0, /] функции. При этом \ и Fx не
меняют знак, а 1/р и р ограничены на [0, /]. Таким образом, g, p
и Fx — среднеинтегральные значения соответствующих величин
на длине канала /; и2 и их — среднерасходная скорость
теплоносителя соответственно в конце (х = /) и начале (х — 0) канала.
Если газ совершенный, т. е. его уравнение состояния будет
р = pRT, (13.8)
тогда уравнение (13.7) можно записать так
Ьр=*НПТ1Т1__Щ__^р (13.9)
Так как в выражении (13.7) обычно неизвестны иг и р, а в
уравнении (13.9) — р2, р и 7, то используют метод
последовательных приближений, который здесь.быстро приводит к цели.
При М < 0,8 можно пользоваться более общим уравнением
(13.2). Учет местных потерь при течении газа производится так же,
как и при течении жидкости, т. е. в правые части уравнений
(13.7) и (13.9) добавляется член
п
Е £<Р*и?/2.
Средний коэффициент гидравлического сопротивления в
экспериментах определяется с помощью этих же формул: для
жидкостей — (13.4), а для газов — (13.7).
338

13.4. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ
Цель теплового расчета заключается в определении
основных габаритных размеров и температурного состояния
выбранной конструктивной схемы теплообменного аппарата, исходя из
заданных условий. Обычно задаются тепловой поток, расходы
теплоносителей, их температуры, допустимые гидравлические
потери, допустимые габаритные размеры или масса и др. в
зависимости от конкретного назначения теплообменного аппарата. Как
правило, окончательная конструктивная схема теплообменного
аппарата выбирается в результате теплового и гидравлического
расчетов различных ее вариантов и их сравнительного анализа
с учетом требований, предъявляемых к объекту в целом. При
этом расчет теплообменного аппарата производится на
номинальный режим, а затем расчетом проверяется его работа на других
режимах, включая в ответственных случаях и нестационарные
режимы работы.
13.4.1. Изменение температуры теплоносителей
и стенки по длине канала
В этом разделе тепловой расчет теплообменных
аппаратов будет подробно рассмотрен только на примере прямоточной
(см. рис. 13.5, а) и противоточной (см. рис. 13.5, б) расчетных
схем. Для третьей расчетной схемы с перекрестным током (см.
рис. 13.5, е) будут даны в конечном виде некоторые рекомендации
для стационарного случая. Тепловой расчет теплообменных
аппаратов с учетом трехмерного температурного поля в нем, т. е.
с учетом температурных полей теплоносителей и стенок,
чрезвычайно сложен и в большинстве случаев пока не может быть
выполнен. Поэтому обычно тепловой расчет проводят при одномерном
описании течения каждого из теплоносителей, т. е. полагают, что
скорость и температура теплоносителя могут изменяться только
в одном измерении — в направлении движения. Основные
уравнения для описания теплообмена в этом случае получены в гл. IX.
Для теплового расчета теплообменных аппаратов обычно
используется уравнение энергии в виде (9.3), которое записывается
Для каждого из теплоносителей.
Тогда вместо qw = a (Tw — 7\) вводят qw = k (Т1 — Т2),
где k — коэффициент теплопередачи, определяемый выражением:
k = q/{T1-Ti), (13.10)
гДе 7\ и Т2 — среднемассовые температуры «горячего» и
«холодного» теплоносителей, разделенных стенкой, в сечении х
(рис. 13.7).
Если известны коэффициенты теплоотдачи для горячего ах
и холодного а2 теплоносителей, коэффициент теплопроводности
материала стенки Kw и ее толщина б, то можно определить и ко-
339

т
'а,
Inw
тпг
**^**^^
>C~-^^
^vS^\
\S\.
^sS4,
\^
Tn
TLw
TL2
a)
5)
Рис. 13 7. Изменение ггчпергпури , i.ionoi и к-jieii lift д.nine
il — ПРИ ПрНМОГОК*- б — ПрИ llpCJTHbUTOK-.1
эффициент теплопередачи k. Покажем это па простейшем примере
плоской стенки.
Удельный тепловой поток через стенку можно найти по
следующим формулам:
q--=--k(Tl-r.i); ц -а, (7\ - Г,,,;
q а.г 0\ш Т.:).
{Тш
Т..,..
(13.11)
Решая выражении (13.11) относительно ратное гей температур
и учитывая, что (7\ — 7'2) — (Т{ — TI:1,) -\- (Tia —T.„s,) • (Г.2..„—
Т2), получим q/k --- q-t/ai —q6/Xw , q/a., или, решая огноентельпо
к, окончательно найдем
к
1/а,
6//.ш -г 1 г'-;
пз.12)
Для труб в выражениях (13.11) тепловой поток па внутренней
и наружной стенках будет разным. Поэтому коэффициент
теплопередачи будет зависеть or того, к какой поверхности трхбы он
отнесен. Повторяя приведенные выше выкладки, можно получить
выражения для определения коэффициентом теплопередачи для
трубы:
1 d, , d, i ф \
А и» - l/(-
In —r-
при отнесении к внутренней поверхности, и
^
^Лк
П3.13)
(13.14)
-- при отнесении к наружной поверхности.
Здесь а1 и йг — соответственно внутренний 'и наружный
диаметры трубы.
Нел и умножим к (см. формулу 13.121 на ширину пластины у,
k„„ и кн [см. формулы (13.13 и (13.14)1 на соответствующий
периметр трубы, мы получим выражение для вычисления
коэффициента теплопередачи, отнесенного к единице длины пластины или
трубы:
340
(13.15)

для
Tpyt
kl
эы
- kHnd2 -~
l
Oi-ld-L
1
1 In d> | '
2^ш dx a2d2
(13.16)
Тепловой поток на единицу длины
ql = Uq^kl{T1~-T2). (13.17)
Рассмотрим для простоты стационарные процессы. В
стационарных процессах уравнение энергии (9.3) примет вид
0-£—* (13.18)
или с учетом уравнения (13.17)
°ЧГ=кЛТг-Т%). (13.19)
Записывая формулу (13.19) для горячего и холодного
теплоносителей, получим систему дифференциальных уравнений для
определения температур теплоносителей Тг и Т2:
Как известно из термодинамики, для любого рабочего тела
в изобарном процессе (р = const)
IT = <ср)'-S-' (/=1.2). (13.21)
Для совершенного газа (т. е. газа, уравнение состояния
которого р = pRT) уравнение (13.21) справедливо при любом
процессе. Для практически несжимаемых жидкостей ср = cv = с
уравнение (13.21) тоже справедливо. Тогда система (13.20) примет
вид
Т -— Т ( \ср/2 dl 2
1 2-г *« dx ' (13.22)
т — т ' Gi (cp)i ^i
7S- / г-1 % W
Для решения системы (13.22) сведем ее к уравнениям второго
порядка, подставляя 7\ из первого уравнения во второе, а Т2
из второго в первое:
-1^лт = 0 (/' = 1'2)- (гз-23)
Здесь А — —' •щ'1 "*"Шэ--> (полагаем св и k, постоянными), где
w3j = Gj (cp)j — так называемый водяной эквивалент. В случае
прямотока w31 и о/э2 положительны. Для противотока водяной
эквивалент теплоносителя, текущего в положительном
направлении оси, положителен, а в противоположном направлении —
отрицателен. Так как А = const, то общее решение уравнения
341

(13.23) имеет вид Tj — qe^* + с2еР>х, где рх и Р2 — корни
характеристического уравнения р2 + Aft — 0. Отсюда находим
Pi = 0. Рг = —А, и тогда
r^q + Cjje--4*. (13.24)
Рассмотрим два способа задания граничных условий для
определения постоянных в уравнении (13.24).
1. Заданы температуры /-го теплоносителя на входе Toj (х = 0)
и выходе TLj (x = L).
Получаем систему Т01 = сг + с2; TLj = сг + с2е~лх\ Отсюда
находим сг и с2. Подставляя их в формулу (13.24), получаем
Т,м = Toi + -~^Й- О - е~Ах)- (Г3-25)
2. Заданы температуры обоих теплоносителей в сечении х = 0
или а: = L.
Тогда из уравнения (13.22) можно найти значения dTjdx
для соответствующего сечения, и после обычных преобразований
соответственно получим при задании температур в сечениях х = 0
и х = L:
7, (х) = 70/ + -¥J2- Л- (1 - е-**); (13.26)
^ М = Ть1+ ^ -А. [1 - е-* <*-*>]. (13.27)
Здесь Д7Х = (72 — Тг), а Д72 = (7Х — Г2) при х = 0 или х = L.
Частный случай решения уравнения (13.23) получается для
противотока при А = 0, ш1э = w,d2. Так как в этом случае корни
характеристического уравнения Pi = Р2 = 0, то решение
уравнения (13.23) будет
Tj = clXe^x + c2eP.* = схх + с2. (13.28)
Это означает, что температуры обоих теплоносителей изменяются
линейно.
При первом способе задания граничных условий получим
Т}(х)= TLi~[Toi x + T0, (13.29)
а при втором способе соответственно для задания температур
теплоносителей в сечении х — 0 и х = L найдем
Гу (*) = А" Д7Л (*) + Го,; (13.30)
Tj(x) = ^-AT]L(x-L) + TLi. (13.31)
Из формул (13.30) и (13.31) видно, что кривые температуры обоих
теплоносителей имеют одинаковый наклон, т. е. они параллельны
друг другу.
342

13.4.2. Температура стенки в произвольном сечении
Так как а} = (Tjw — Tj) Uj dx = kx ATjdx, то
температура стенки в любом сечении
г> = г; + 4^-' <13'32)
где Tjw — средняя по периметру температура стенки,
омываемая теплоносителем; Uj— обогреваемый периметр этой стенки.
При перекрестном токе теплоносителей определить их
температуры значительно сложней, так как задача сводится к решению
системы двух уравнений первого порядка в частных производных
или уравнения второго порядка в частных производных.
13.4.3. Температурный напор
Определим температурный напор при стационарном
процессе и постоянной теплоемкости. Температурный напор в
любом сечении (см. рис. 13.7) может быть определен как разность
температур, найденных по одной из формул (13.25) ... (13.31).
Однако во многих расчетах и на первых этапах почти любого
расчета нет нужды знать температуры теплоносителей, но нужно
знать их разность, т. е. температурный напор. Беря разность
Тг (х) и Т2 (х), определенных последовательно по формулам
(13.25) и (13.27), получим соответственно три выражения для
температурного напора в произвольном сечении х:
AT (х) = 7\ (х) - Т2 (х) = ЛТ0 + \ZX-al (АГь - Д^о); (13.33)
AT (x) = АТ0 е~Лх; (13.34)
AT (х) = ATLe~A (*-*■>, (13.35)
где АТ0 = AT (0) и ATL = AT (L),
Эти выражения можно найти и непосредственно из
дифференциального уравнения
-^^ + ЛДГ-0, (13.36)
полученного путем вычитания второго уравнения системы (13.22)
из первого.
Зная температурный напор AT (х), можно найти тепловой
поток в этом сечении на длине dx : dq = k,AT (x) dx.
При расчетах обычно надо знать тепловой поток на всей длине:
L L
Q= J ki AT (x)dx = kl j AT (x)dx, (13.37)
о о
HO
L
\ AT(x)dx = LATcv, (13.38)
о
343

где ЛГгр среднеинтегральный температурный напор. Тогда
Q = k,bTn,L. (13.39)
Найдем с учетом формулы (13.34) среднеинтегральный
температурный напор
L L
ДГ,Р -^ j А Г (х) dx ~ \ АГ0е- ** dx ^f- (l e- **-).
о 6
Из равенства (13.34) при х ~= L
ATr- AL In -%Ь-. (13.40)
АТ0 > ДГ£,
Тогда окончательно
__АГ„ - AfL (14 41)
Это выражение в литературе часто называют среднелогариф-
мическим температурным напором. При его выводе использовано
выражение (13.34). С тем же успехом можно использовать
выражения (13.33) и (13.35). Выражение (13.41) справедливо для
прямотока и противотока. Его можно записать в виде
ЛТ - аГд А7 м 1 — (АТм/ДГц) . „ . ,, . г,.
а'ср- 1п(ДГ0/ДГм) - -1п(ДГм/ДГб)Д/б' (Ы'^
где ЛГС и Д7"м — соответственно больший и меньший из
температурных напоров (АТ0 при х = 0 и Д7\ при х = L).
Аналогично, среднеарифметический температурный напор запишется так:
дГар-. -^^-^^ ^4- (' t 4?т)Л^- (13.43)
Деля уравнение (13.43) на (13,42), найдем ATap/A7Vp ----
= / (АГм/ДГб).
Легко подсчитать, что при ДГм/Д7'б > 0,5 и 1 < Д7\,р/Д7\.р <
->J 1,04 и можно с ошибкой менее 4% пользоваться вместо средне-
логарифмического более простым среднеарифметическим
температурным напором. При одинаковой разности температур
теплоносителей на входе в теплообменный аппарат наибольшим является
средний температурный напор при противотоке, наименьшим —
при прямотоке. Для перекрестного тока и смешанных токов
средний температурный напор находят по выражению
АГгр -:(Д7ср)ирит'ф, (13.44)
где ij,- < 1
Вычисление ф для перекрестного тока и различных смешанных
случаев течения трудоемко и обычно в литературе дается в виде
графиков и таблиц. Так, например, величина ф, представляющая
собой отношение среднеинтегральных температурных напоров
при перекрестных токе и противотоке, может быть представлена
табл. 13.1 как функция %1 = (Т10 — T1L)/(T10 — Т20) и %.г =
-■"■" СЛ;я — TiL)/(Tw — Ti0) (см. обозначения на рис. 13.7).
344

Т а б л и и а 13.1. Значения »f для перекрестного тока
Xi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Xt
0
0,1
1
0.996
0,993
0,990
0,987
0,984
0,980
0,975
0,961
0,928
0,2
1
0,994
0,988
0,983
0,975
0.967
0,955
0,942
0,919
0,867
0,3
1
0,992
0,983
0,974
0,962
0,95
0,935
0,911
0,872
0,801
0.4
1
0,988
0,975
0,962
0,948
0,935
0,909
0,875
0,824
0,738
0.3
1
0,984
0,967
0,952
0,935
0,910
0,877
0,832
0,758
0,672
0.6
1
0,978
0,955
0,935
0,909
0,875
0,835
0,780
0,698
0,581
0.7 | 0,8
1
0,973
0,942
0,308
0,873
0,832
0,780
0,710
0,614
0,490
1
0,961
0,919
0,872
0,824
0,765
0,698
0,614
0,500
0,360
0,9
1
0,937
0,873
0,810
0,738
0,665
0,581
0,485
0,360
0,220
13.5. ТЕПЛОПЕРЕДАЮЩИЕ ТРУБЫ
КАК ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
Теплопередающая труба (иногда называемая тепловой
трубой) представляет особый вид теплообменного устройства.
В известных теплообменных аппаратах тепло от одного
теплоносителя или охлаждаемого элемента передается другому через
твердую или жидкую поверхность теплообмена, а в теплопередающеи
трубе тепло от охлаждаемой поверхности отбирается испаряющейся
жидкостью и потоком пара переносится на значительное
расстояние и отдается тепловоспринимающеи поверхности в процессе
конденсации рабочего тела. Теплоноситель — рабочее тело в
жидкой фазе — возвращается к месту испарения капиллярными
силами с помощью фитиля той или иной конфигурации. Таким
образом, теплопередающая труба простейшей схемы (рис. 13.8)
имеет зону подвода тепла I, паропровод III, зону конденсации II,
фитиль IV, корпус V и теплоизоляцию VI. Известны, правда,
более простые схемы, где возврат рабочего тела к жидкой фазе
производится гравитационными или центробежными силами.
Рис. 13.8. Принципиальная схема теплопередающеи трубы:
I — зона подвода тепл.,. испарения; II — зона отвода тепла, конденсации. III — зона
трубопровода; IV — фитиль; V — корпус трубы; VI — теплоизоляции адиабатной зоны;
А* — перепад высот, определяющий гидростатический напор
345

Рис. 13.9. Схемы различных форм капиллярной подсасывающей системы —
фитиля:
а — продольные каналы прямоугольной или клиновидной формы; б — канавки,
накрытые сеткой; в — многослойная сетка; г — сеченне TT артериального типа в зоне
транспортировки жидкости (адиабатной); д — в зоне испарения н конденсации имеется фитиль,
расположенный по поверхности теплообмена, соединенный с артерией фигурным фитилем
Рассмотрим основные физические процессы, определяющие
работу теплопередающей трубы. На участке подвода тепла
жидкость испаряется с поверхностей менисков, образованных
ячейками фитиля, и для того, чтобы теплопередающая трубка
действовала, жидкое рабочее тело должно хорошо смачивать элементы
фитиля. Тогда при испарении жидкости мениск имеет вогнутую
форму, и поэтому у поверхности испарения образуется зона
пониженного давления, обеспечивающая подсос жидкости из зоны
конденсации. Это разрежение зависит от капиллярных свойств
жидкости и фитиля и определяется уравнением Лапласа
р = +ст/Ям, (13.45)
где о — коэффициент поверхностного натяжения; RM— радиус
мениска (знак + для смачивающей жидкости, —для несмачиваю-
щей жидкости).
Капиллярное давление Ьра устанавливает разность между
давлением жидкости и давлением пара
AAj = Рист — Ржет- (13.46)
Однако практически удобнее рассматривать реальную
геометрию капиллярного элемента (рис. 13.9) и учитывать
характеристику смачиваемости материала фитиля жидким рабочим телом
с помощью краевого угла смачиваемости в. Тогда капиллярный
движущийся напор определяется
4 a cos 9 i\o лт\
Ара = —ё , (13.47)
*<эф
где #Эф — эффективный радиус пор в фитиле (щель, круглое,
овальное отверстие, четырехугольная сетка).
В свою очередь R^ связан с геометрией поры так, что для
круглого отверстия со сферическим мениском
. 2сг cos 9 /л о ла\
Др0= ^ ■, (13.48)
где R — радиус отверстия в фитиле (поры).
346

Для цилиндрического мениска
(щелевой фитиль)
. и cos 9 ,. о .„.
&Ро = g •, (13.49)
где Ъ — полуширина канавки.
Для фитиля из сетки с
квадратной ячейкой с размером
стороны квадрата 2а
&Ро =
a cos 9
(13.50)
0 Испарение
Конденсация I
Рис. 13.10. Диаграмма
распределения полных и статических давлений
пара и жидкости по длине тепло-
передающей трубы
Для обеспечения
максимального перепада давлений в зоне
конденсации желательно радиус
мениска иметь максимальным.
Этому соответствует случай, когда капиллярная система в зоне
конденсации покрыта тонким слоем жидкости. Тогда капиллярные
силы совсем не препятствуют отсосу жидкости из этой зоны.
В общем случае с учетом разности высот расположения концов
теплопередающей трубы (Нг— h2) (см. рис. 13.8), давлений пара
[pi и рг) и капиллярных сил, выраженных через радиусы пор
(Ri и R2) и краевые углы смачивания (вг и в2), перепад
давлений, под действием которого происходит движение жидкости,
Если Rz
. n / cos 9, cos 92 N
ЛРж = Рж1 — Рт2 = 2а (^ R R-^-j —
— (Pi — Pi) — 9шё (hi - Нъ).
■* се и hx ~ /la. уравнение принимает вид
2a cos 9X
ДРн
Rx
— Pi — P-L-
(13.51)
(13.52)
На рис. 13.10 показано распределение полных и статических
давлений жидкости и пара по длине трубы.
Количество тепла, переносимого по оси трубы, зависит от
массового расхода пара Gn и теплоты парообразования т:
Q = Gar. (13.53)
Переносимый поток тепла Q или удельный тепловой поток
на единицу площади поперечного сечения q зависит от геометрии
теплопередающей трубы и фитиля, длины трубы, наличия
силового поля.
Опыты с первыми теплопередающими трубами (ТТ), а затем
и теоретические исследования их работы показали, что работа
трубы, ее теплопередающая способность определяются рядом
явлений и процессов: достижение в паропроводе скорости звука;
унос с поверхности жидкости, возвращающейся в зону испарения,
частиц пара и капель жидкости; теплообмен между жидкостью и
347

паром; ограниченные возможности капиллярного насоса;
закипание жидкости в зоне нагрева и, наконец, конструкторские и
техно топические ограничения (температура плавления корпуса ч
фитиля, массоперепос и т. п.).
Рассмотрим технологические ограничения.
Звуковой предел. Своеобразие ТТ заключается в том, что
скорость пара и его расход по длине трубы переменны. В зоне
испарения но всей длине трубы количество пара и его скорость
увеличиваются. Опасность достижения скорости звука и «запирание»
ТТ имеется именно в этой области. В зоне транспортирования пара
за сч"т тепломассообмена возможно увеличение скорости несколько
выше скорости звука. В зоне конденсации пара расход
уменьшается, поток тормозится. Если достигнута скорость ю выше
скорости звука а. при торможении возможно появление, скачков
уплотнения, а это—дополнительные необратимые потери, в частности,
полного давления.
Из сказанного вытекает нежелательность использования ТТ
па режимах со скоростью пара w - а. Эл'а граница применимости
ТТ определяется расходом тепла
Q = apvrnF, (13.54)
где а — ] kRT — скорость звука (растет с увеличением Т);
р„ — плотность пара; гп—скрытая теплота парообразования;
F — поперечное сечение ТТ.
Унос жидкости в зоне транспортировки. Срыв капель с
поверхности определяется числом Вэбера — соотношением сил
инерции пара и сил поверхностного натяжения жидкости:
We =--р^Шло), (13.55)
где X — длина капиллярной волны, зависящая от геометрии
фитиля.
При достижении числа Вебера We — 1 возможно начало срыва
капель. Поэтому ограничение Q — | 2лпгог?]/%.
Капиллярное ограничение. Если капиллярных сил
недостаточно, чтобы «дотянуть» жидкость до начала зоны испарения, фитиль
начинает высыхать и Q уменьшается. Значит должно быть
2 Л/7П0ТРрЬ < /Spa (капиллярное давление Ар„ равно разности
давлений жидкости и пара).
Закипание жидкости приводит к нарушению работы
капиллярного насоса и определяется предельно возможной скоростью
испарения А/?потерь жидкости с ее поверхности. При этом Q «
« л„рп (2л#7уМ)->/2,
где М - молекулярная масса пара.
Высокотемпературное ограничение. При использовании высо-
кокппяшнх материалов зона работы ТТ может ограничиваться
тугоплавкостью, жаростойкостью материалов фитиля и корпуса
трубы (Тпред), разложением рабочего тела.
348

Риг. 13.11. Характеристика тепло-
передяющей трубы, отражающая
физические ограничения:
/ — звуковой предел; 2 — уног
жидкости: Л — капиллярный предел; 4 —
чакипянне; :> расплавление
конструкции; /> рабочая зона
На рис. 13.11 даны
перечисленные ограничения,
очерчивающие рабочую зону конкретной
тепловой трубы. На этой диаграмме
можно проследить перемещение
Гранин при изменении параметров
трубы, можно предположить
влияние и деградацнопных процессов
в ТТ (засорение пли размывание
фитиля, влияние ударов и
вибраций и др.).
Реальные границы рабочей
зоны ТТ оцениваются расчетом,
но определяются
экспериментально. Зависимость Q -- f СП
называется характеристикой ТТ. На
рис. 13.12 приведены
экспериментальные характеристики различных ТТ. На реальных
характеристиках ТТ можно проследить все описанные выше
ограничения (например для 1\:Н:1, С;НЧ, CHF,C1, Cs).
Вопросы выбора рабочего тела и материалов для теплопереда-
ющих тр\'б следует рассматривать совместно. В табл. 13.2
приведены примеры сочетания конструкционных материалов и
рабочих тел теплопередающнх труб.
В процессе циркуляции основного рабочего тела в теплопере-
дэющей трубе одновременно возможен и перенос всевозможных
примесей как газовых, так и твердых, имеющихся в материале
теплопередаюшей трубы и рабочем теле. Тугоплавкие примеси,
как правило, переносятся в зону испарения, а
неконденсирующиеся газы-в зону конденсации. При этом в зоне конденсации
возможно образование газовых пробок, которые уменьшают размер
зоны конденсации и снижают эффективность действия всей тепло-
передающей трубы. Для устранения этого явления необходимо
Q кап, кВт/см2
101
iOl
10
H20t
1
/ ь
А
/ *v
CHFzCl
/^сГ
Na
«-"Or-
£^TL
Pb
Ba
200 600
WOO
nog mo zzoo r,°c
nlC; 13Л2' Ха-Пакэристики реальных теплопередающнх труб, работающих на
различных рабочих телах
349

Таблица 13.2. Основные характеристики возможных рабочих тел и материалов теплопередающнх труб
о
Рабочее
тело
CjH.OH
NH,
Н,0
Cs
К
Na
Li
Ва
Pb
Ag
'пл; 'кип- с
(прн р =-- 0,1 МПа)
— 114,4
—77,7
0
28,5
63,6
97,8
180
710
327
961
78,3
—33,4
ПО
705
760
883
1317
1700
1737
2212
Рабочий
диапазон
температур, "С
—50...+ 100
—40 ... 0
15 ... 260
330 ... 730
380 ... 830
500 ... 930
880 ... 1400
1180 ... 1630
1330 ... 1830
1580 ... 2330
Теплота

парообразования
прн р =
= 0,1 МПа,
кДж
308
1 380
2 256,7
603
2 076
4 345
19 595
1 088
860
2 320
Давление
("Р* Гпл).
им ртутного
столба
—
—
—
2- Ю-"
I-10-'
1,26-10~10
7,6- КГ1
3,26- Ю-»
2,65-10-»
Поверхностное
натяжение (прн
/ = 900 ... 1600 "С),
Н/м"
—
—
—
35- Ю-3
86-Ю-3
ПО-3
(210 ... 300)-10 3
0,400
0,385
0,75
Материал
фитиля
Медь
X ромоннкелевая
сталь
То же
»
»
»
Молибден
Тантал
»
Вольфрам
Материал
стенки
Медь, бронза
То же
>
»
>
»
Сталь,
молибден, тантал
То же
»
»

т,к
800
400
200
1/21
JU
т
5
]
\/ 1
г 1
/ V
) ,_
£* ♦ -М'М Г
6 в
'
«
о
10 15 20 25 Т,мин
Рис. 13.13- Распределение
температур по длине теплопередающей
трубы в процессе запуска:
1 ... 6 — результаты измерений в
соответствующих точках схемы
применять в теплопередаюгдих
трубах сверхчистые материалы
(для фитиля, корпуса и рабочих
тел примеси не должны превышать
1<Г3—10-5%).
Материал фитиля должен
максимально смачиваться жидким
рабочим телом. С точки зрения
устойчивости теплопередающей
трубы ко всякого рода
нерасчетным отклонениям от рабочего
режима выгодно иметь материал
самой трубы также смачиваемым
рабочим телом. Тогда перегрев
поверхности не приводит к
возникновению пленочного кипения и разрушению конструкции, а
кратковременная работа на режиме пузырькового кипения не
представляется очень опасной.
При пуске теплопередающей трубы следует иметь в виду, что
многие рабочие тела для этих труб в эксплуатационных условиях
могут находиться в исходном состоянии в жидком или даже
в твердом виде, когда особенно сложна проблема запуска тепло-
передающей трубы.
При этом все устройство должно быть прогрето достаточно
плавно, чтобы рабочее тело расплавилось по всей длине трубки
и чтобы капиллярный насос успел подсосать жидкость, не давая
испарительному участку перейти в опасный режим работы, когда
вследствие высыхания испарительного участка он перестанет
действовать.
На рис. 13.13 показано развитие процесса запуска
теплопередающей трубы на натрии по времени. Опыт показывает, что тепло-
передающую трубу можно вывести на рабочий режим за несколько
минут. Проблемы ускоренного запуска в настоящее время
изучаются. После снятия тепловой нагрузки также имеет место
переходный режим, который в отличие от запуска не угрожает
опасными последствиями.
Намечаются пути дальнейшего усовершенствования тепло-
передающих труб. Так, трубы, с составным фитилем, т. е. фитилем,
пористость и капиллярность которого оптимизирована по длине
трубы (например максимальная подсасывающая способность в зоне
испарения, минимальные гидравлические потери в адиабатной
зоне и др.), имеют теплопередающую способность,и максимальную
длину значительно выше.
Теплопередающие трубы обладают способностью
трансформировать удельную тепловую нагрузку на единицу поверхности,
могут регулироваться по времени путем присоединения
управляемого объема с газом. Газ, будучи вытеснен в рабочую полость
теплопередающей трубы и скапливаясь на конце конденсационного
351

Рис. 13.14. Схема секции холодильника - нчлучатели космической ядерной
энергоустановки с панелями из теплопередающих труб'
/ --■ трубы с теплоносителем: J -- модули тецлопередлющих труб, ув'мнчнпающих
поверхность Получения ТСЧ!Л.1 О КОСМОС
участка, будет выключать из работы часть конденсационной зоны,-
и тем самым будет изменяться режим работы трубы. Наконец,
большие возможности открываются при варьировании геометрии
теплопередающих труб: искривления, разветвления, применение
кольцевых труб и т. п.
Теплопередающие трубы несмотря на явные их преимущества
еще не нашли широкого применения. Известны примеры
использования теплопередающих труб в системах терморегулирования
космических аппаратов. Здесь перспектива применения
теплопередающих труб очень велика в широком диапазоне температур от
глубокого холода до сотен градусов тепла.
Особые преимущества имеют теплопередающие трубы при
использовании в конструкциях ядерных энергетических
(реакторных и радноизотопных) установок космических аппаратов.
На рис. 13.14 для отвода тепла, не использованного в
термодинамическом цикле (Q2), показан пример конструкции излучателя
с теплопередающими трубами. Отвод тепла от реактора или радио-
изотопного источника к преобразователю энергии (Q,) может быть
осуществлен также теплопередающими трубами, что значительно
упрощает систему, так как не требует циркуляционных
устройств. Известны проекты ядерных термоэмиссионных
энергоустановок с использованием теплопередающих труб.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие схемы теплообменных аппаратов используются в авиации и
ракетной технике?
2. Как определяется температурный напор в теплообменнике?
3. Что включает гидравлический расчет теплообменника?
4. Какие исходные данные необходимы для теплового расчета
теплообменников?
5. Чем объясняется очень высокая эквивалентная теплопроводность тепло-
передающей трубы?

ГЛАВА XIV
ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТЯХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ ПРИ ТРЕХМЕРНОМ ОБТЕКАНИИ
14.1. ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Во многих случаях течение вблизи поверхности тела
является трехмерным. Это наблюдается при полете летательных
аппаратов, при полете осесимметричных тел с углом атаки, при
обтекании стреловидных крыльев, рулей, надстроек на
поверхности обтекаемого тела и др. (рис. 14.1). Вообще, строго
двухмерные течения, плоские или осесимметричные, на практике
встречаются редко, но во многих случаях трехмерностью можно
пренебречь и такие течения рассматривать как двухмерные. Рассмотрим
методы расчета теплообмена в наиболее важных случаях
трехмерного течения, когда непосредственное использование формул (см.
гл.У—VI), выведенныхдлядвухмерныхтечений, является неверным.
В рассматриваемом ранее плоском течении все линии тока
идеальной жидкости у поверхности так же, как и линии тока в
пограничном слое, лежали в параллельных плоскостях, нормальных
к поверхности тела, и поэтому течение в пограничном слое
зависело только от двух координат.
В случае пространственного осесимметричного течения линии
тока лежат в меридиональных плоскостях, пересекающихся на
оси вращения обтекаемого тела. Линии тока у поверхности тела
расходятся, но в каждой меридиальной плоскости течение
одинаково и при соответствующем
выборе системы координат может
быть описано двухмерными
уравнениями.
Трехмерные течения —это
такие течения, когда все
характеристики пограничного слоя
зависят от трех координат.
Примером может служить течение у
поверхности конуса, обтекаемого
под некоторым углом атаки а
(рис. 14.2). На передней, или
наветренной, поверхности такого
конуса давление повышается, и
благодаря этому линии тока Рис. ,4.i. Схемы возникновения
Идеальной ЖИДКОСТИ искривляют- трехмерных течений:
СЯ И раСХОДЯТСЯ, Образуя Течение а — сопло с газовым рулем; б — спу-
d />™~~ скаемый аппарат; в — управляемая ра-
В СТОрону ПОНИЖеННОГО ДаВЛеНИЯ. кета; г - космический аппарат
'' Авдуевский 353

Рис. 14.2. Схема обтекания
конуса под углом атаки:
1 — линии тока у стенки в
пограничном слое; 2 — линии тока иде- ^
альной жидкости; 3 — ударная волна /-"
Рис. 14.3. Схема распределения " /
скорости в трехмеррюм погра- /
ничном слое (координата х со- /
впадает с линией тока идеаль- /
ной жидкости) /
В пограничном слое газ обладает меньшей скоростью и меньшим
количеством движения, вследствие чего линии тока внутри
пограничного слоя искривляются еще сильнее. Благодаря этому
внутри пограничного слоя также образуется течение в сторону
пониженного давления. Распределение скоростей в пограничном
слое носит пространственный характер, т. е. вектор скорости
непрерывно поворачивается внутри пограничного слоя в плоскости,
параллельной стенке, отклоняясь по мере приближения к стенке
на больший угол от вектора скорости в идеальной жидкости.
Если разложить векторные скорости на составляющие,
совпадающие по направлению с линиями тока идеальной жидкости
и по направлению, нормальному к ним (рис. 14.3), то можно
разделить течение в пограничном слое на основное, лежащее в
поверхностях, нормальных к поверхности тела и проходящих через линии
тока идеальной жидкости, и вторичное.
Оба указанных эффекта, связанных с трехмерным течением
искривление и расхождение линий тока идеальной жидкости и
образование вторичных течений — существенным образом влияют
на теплообмен. На конусе при угле атаки, равном пулю, также
имеет место расхождение линий тока идеальной жидкости. Это
ведет к тому, что пограничный слой становится тоньше и тепловые
потоки на конусе больше, чем на пластине. На конусе,
обтекаемом под некоторым углом атаки, на наветренной стороне, т. е.
обращенной к потоку, расхождение линий тока быстро растет
с увеличением угла атаки, что ведет к еще большему утоньшению
пограничного слоя. Это явление усиливается вторичными
течениями, вызывающими дополнительное перетекание газа внутри
пограничного слоя. Так как на наветренной стороне возрастает
давление, можно на ней ожидать существенного увеличения
теплового потока из-за резкого утоньшения пограничного слоя и
возрастания плотности газа.
На кормовой, или подветренной, стороне конуса все эти
эффекты действуют в обратную сторону, но течение здесь обычно
сопровождается отрывом пограничного слоя и образованием
отрывной области. Указанные свойства, рассмотренные на
простейшем примере, справедливы в общем случае произвольного
трехмерного течения.
354

14.2. ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Для расчета теплообмена необходимо решить
уравнения трехмерного пограничного слоя в выбранной системе
координат. Наиболее просто уравнения могут быть записаны в
ортогональной системе координат, связанной с поверхностью тела.
Для этого на поверхности строится координатная сетка х, г
криволинейных координат, причем в каждой точке линии х =
— const ортогональны линиям z = const. Ось у направлена в
каждой точке по нормали к поверхности (рис. 14.4). Внутри
тонкого пограничного слоя система координат при этом будет с
точностью приближений пограничного слоя ортогональной.
Координаты х, г могут быть заданы самым различным
образом, но наиболее удобно их связать с какими-либо
характерными линиями, самой обтекаемой поверхности либо с линиями
тока идеального течения на поверхности тела.
Например, при обтекании осесимметричного тела (рис. 14.5)
целесообразно линии х направить вдоль образующих, линии z —
по окружностям, линии у — по нормалям к поверхности. Тогда
элемент длины в пограничном слое определится выражением
dh = dx2 + R2dz2 + dy\ (14.1)
где z — координата, отсчитываемая от некоторой меридиальной
плоскости z = 0, умноженная на единицу длины R = R (х)
(радиус вращения тела).
В общем случае произвольной ортогональной системы
координат можно записать
dh = h\dx2 + hsdz* + h3dy\ (14.2)
где /ij и h% — коэффициенты Ламе, связывающие приращения
координат dx и dz с приращениями длины. Значение hs — 1,
поскольку при расчете пограничного слоя у является линейной
координатой.
Наиболее удобной для решения практических задач является
так называемая полугеодезическая система координат, когда
линии х (z — const) направлены вдоль геодезических линий на по-
z=cpnst Ряс. 14.4. Система координат на поверхности
7-С 0 list
Рис. 14.5. Система координат на осесимметрич-
ном теле
12*
355

верхности, обладающих тем свойством, что их геодезическая
кривизна
При этом система координат зависит только от формы поверхности,
и уравнения пограничного слоя могут быть упрощены. Примером
геодезических линий являются, например, линии, совпадающие
с образующими тел вращения. На поверхностях,
развертывающихся в плоскость, геодезической является всякая линия,
являющаяся на развертке прямой.
Если линии х связываются с линиями тока идеального
течения, то система координат зависит как от формы тела, так и от
характера обтекания тела, угла атаки и других факторов. Такая
система более удобна для построения приближенных методов
решения, так как при этом четко можно выделить основное и
вторичное течения и сделать некоторые упрощения.
14.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТРЕХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть и, w, v — компоненты скорости вдоль осей х,
z, у соответственно. Система уравнений пограничного слоя в
общем случае сжимаемого газа с химическими реакциями имеет вид:
уравнения движения в проекции на оси х и z —
ри ди , рои ди , ди , , , „
-КГ ~^7 + ИГ ИГ + ^ИГ + kipuw - kipw =
\ dp , д ( ди \ ,, , ,
ри dw , pw dw , дш . ,
ТГ ~Ш + ИГ ИГ + PV~W ~ klpw ]'
+ ktPuw^--±--%L+-±- (ц-g-); (14.5)
уравнение неразрывности —
1 дри 1 dpw , д(ю , . , ,. ,,«,■>
ИГ ~д7 "1" ИГ ~дГ + ИГ ' fe'2p" ! felpa' -■ °- (14Ь)
где
р = Ф (х, г); кг =.- -±- 4-- ; k-2 -т'т- 4^ (И.7)
геодезические кривизны линий х и z;
уравнение энергии —
ри д/ pw dl dl (I „ дТ \
И' ИГ ~ ИГ ИГ r 9V~du Пи' (Л Иу I
П
д V* , , 1 dp . 1 dp г, ди \2 гЬ \П
(14 8)
356

Физический смысл отдельных членов в уравнении (14.8)
такой же, как и в уравнениях (5.16). Значения др/дх и dp/dz
связаны со скоростями идеального течения соотношениями
1
pftl
1
<м
дх
''/'1
{Л*
их дих
hx дх
и Y ды\
hy дх
ai1 дщ
Aj dz
dz
+ fci«i^i — &2o>i; (14.9)
- Ai«i + kzU\W\, (14.10)
которые переходят в обычное уравнение Бернулли в случае
двухмерного течения. Если координатные линии х совпадают с
линиями тока внешнего течения, то wx = 0 (но внутри пограничного
слоя w Ф 0) и вместо уравнений (14.9) и (14.10) получаем
1
дх
с>Р\
= и.
РА
dz
дх '
—k\uf.
(14.11)
(14.12)
14.4. ЛИНИИ РАСТЕКАНИЯ
При расчете трехмерного пограничного слоя важное
значение имеют так называемые линии растекания. Эти линии
образуются на наветренной стороне тела, и в окрестности этих
линий тепловые потоки и трение достигают наибольших значений.
Если какая-нибудь линия z =- const является геодезической
линией и одновременно линией тока идеальной жидкости на по-
— —х = 0 и из уравнения (14.12)
верхности, то wt
следует
0, кг
dpi
dz
dz
- 0.
(14.13)
энергии при этом
Используя выражение (14.13), получаем из уравнения (14.5)
тривиальное решение w — 0. Таким образом, всюду вдоль этих
линий, которые называются линиями растекания, составляющие
полного вектора скорости лежат в одной плоскости, как и при
двухмерном течении.
Уравнения движения вдоль оси х и
по виду совпадают с уравнениями
двухмерного пограничного слоя.
Следует однако указать, что dw/dz ^0в
отличие от двухмерного течения, и
уравнение неразрывности (14.6) не
совпадает с уравнением двухмерного
течения. Струйки тока вне пограничного
слоя и внутри его расходятся в обе
Стороны ОТ ЛИНИИ растекания (рис. 14.6). Рис' 14-6- Лииии Растекания:
ГЬ\т^„„. » - 1 — У стенки; 3 — идеальной
пограничный слои может рассчиты- жидкости
357

ваться на этих линиях независимо от расчета слоя на всей
поверхности. При двухмерном течении такими свойствами
обладают передние критические точки.
14.5. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА НА ЛИНИЯХ
РАСТЕКАНИЯ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
Рассмотрим наиболее важные случаи течения на
линиях растекания, когда система (14.4) ... (14.8) преобразуется
в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общий вид формул такой же, как и при расчете двухмерного
пограничного слоя.
Обозначим
Ыиш = а1/кш; Rew = «pJ/Цщ,
где I и и — характерная длина и скорость; Хш, рш, \iw —
значения теплопроводности, плотности и вязкости в рассматриваемой
точке при температуре стенки.
Выражение для коэффициента теплоотдачи имеет обычный
вид:
_а_ __ Num -I / \iwPwu" 1 ... . .
ср Уяьв v l Рг ' \ - I
Все расчеты в этой главе будут проведены для случая Рг — 1
и ftp = const поперек' пограничного слоя. Для учета
переменности свойства газа и отличия Рг от единицы нужно ввести
поправочные множители К и /Сх. Влияние отличия числа Le от
единицы незначительно и им можно пренебречь.
Значение К может быть аппроксимировано формулой (5.117):
Kl = /Ji!£l)I/3 (Jb£L.Y Wv = ±f. (14.15)
V \lwPw / V VwPw /' 15 1п ч '
Здесь (i* и р* определены в точке максимальной энтальпии
/* = /1[-Г + тН1+ю--7г)8] (НЛ6)
или Iw = /х при (о < 1 — Iw/Ii.
Величина ш = и1/(211) — важный параметр,
характеризующий сжимаемость газа; для совершенного газа
«.«^-«i^lM!. (14.17)
Значение /С2 = Ргл», где гс2 изменяется от 0,33 до 0,45. Учитывая,
что значение Рг не сильно отличается от единицы, примем n2 ~ 0,4.
14.5.1. Теплообмен по линии растекания на конусе
Здесь может рассматриваться теплообмен на
наветренной стороне круглого конуса под углом атаки (а) или на
линии максимального давления на конусе произвольной, например,
эллиптической формы (см. рис. 14.2).
358

Выберем систему координат так, чтобы
линии г -— const совпадали с
образующими конуса, а линии х = const были
направлены по нормали к ним. Получаем
- неко-
от формы
Для круг-
hx = 1 и /г2 = ф (z)-x, где ср (z)
торая функция, зависящая
поперечного сечения конуса,
лого конуса ht — 1; h2 = R = х sin вк,
Рис. 14.7. Схема расчета
теплообмена по линии
растекания иа конусе
где вк — полуугол при вершине конуса.
Коническое течение обладает тем
свойством, что вдоль линий х и, соответственно,
вдоль образующих тела все параметры
течения постоянны. Поэтому, всюду на поверхности дрх/дх = 0; dujdx~
= 0; dwjdx ~ 0. На линии растекания из определения следует
также, что wv— 0, dpjdz = 0, и далее из уравнения (14.9)
получаем dujdz -■= 0. Влияние трехмерности течения будет
определяться значением
daiy
= ь.
Введем безразмерный параметр для круглого цилиндра под
углом атаки в виде
„__2_ _dwjd2 (ИЛ8)
Ц, SIII I
Значение с зависит от угла атаки, полуугла при вершине конуса
и числа М„
для линии
набегающего
растекания
1_ dpj
' ' On
потока. Из уравнения (14.10) имеем
идеальной жидкости
дг
= ДО,
dwx
uxwx sin 6K.
(14.19)
Дифференцируя уравнение (14.19) по х и решая относительно
dwjdz, получаем
С = — — 4- — l/TTT7"'1" ~^4а- • 0 4"2°)
3 ^ 3 V ^ х wism2 ®к v '
где с{ =
dz2
'г-0
Pi. Pn — значения на линии
растекания.
Значения сг, ь>г, иг, pw могут быть получены из решений
газодинамики идеальной жидкости или по формулам теории Ньютона:
Pl/Рн
1 -|- АМн sin2 (a -f вк); щ/ин — cos (а
sin а cos вк
■в»
(Oi
С2 =
'' " sin (а + в„)
шн cos2 (а + вк)
(0Н
1
М|
(14.21)
1 + шн sin'2 (а + ®к)
Результаты расчетов теплообмена по линиям растекания на
конусе (рис. 14.7), проведенные в широком диапазоне значений
чисел М (при М > 3), полуугла при вершине конуса вк и угла
359

Ifi
Nuw(sineK)
s^S
^•в„-м'
^^^^
0,4
0.Z
о 20 ьо 60 (&+e),°
Рис. 14.8. Кривые теплообмена по линии растекания на конусе, обтекаемом под
углом атаки
атаки а, могут быть представлены в виде универсальной
зависимости
nUe) (sin e„)1/2
/(а + ек),
(14.22)
УР^МнРг1'3
где
(ReJH = (pJH uax/\iw; Ыиш = ax/Xw; uH — скорость
набегающего на тело потока; (рш)н — плотность газа при давлении в
набегающем потоке и температуре стенки; х — расстояние от
вершины конуса.
Тепловой поток в стенку
4w =
VWwk
уГК
(рш)н М-щ 'е — ' п
Рг
■kklt
где /в = /х + г ■
1п
(1 + гщ);
УШ;
(14.23)
/о =
2 1 +е»1
= (ср)н Тн + «1/2; о)! определяется по формуле (14.21).
Представление результатов в форме (14.22) удобно, поскольку
при использовании кривой (рис. 14.8) легко интерполировать на
промежуточные значения вк. При расчете по формулам (14.23)
и (14.21) необходимо знать только параметры набегающего потока
"н> Рн и температуру стенки Tw.
14.5.2. Теплообмен по линии растекания
на кромке стреловидного крыла под углом атаки
Передняя кромка стреловидного крыла при больших
скоростях всегда имеет некоторое затупление, которое может
рассматриваться как цилиндрическое.
Обозначим R0— радиус затупления, у — угол стреловидности
крыла, или угол скольжения для передней кромки (рис. 14.9).
360

Направим линии z = const вдоль обра,
зующих цилиндра, при этом hx — h2 = 1.
Обозначим постоянную скорость вдоль
передней кромки (скорость
скольжения) иг = а, скорость, направленную
перпендикулярно линии растекания —
wx = bxz, где z — расстояние от линии
растекания. Параметры течения а и bu x
pw, со1? необходимые для расчета, могут
быть найдены из условия, что скачок
уплотнения при сверхзвуковом
обтекании кромки параллелен образующей.
Если стреловидное крыло расположено
под углом атаки а, то эффективный угол
скольжения по отношению к набегающему потоку уэф будет
отличаться от у и может быть найден: из условия sin уэф = sin cos a;
из уравнения энергии
Рис. 14.9. Схема к расчету
теплообмена по линии
растекания на цилиндре со
скольжением или на
передней кромке
стреловидного крыла
со, =
щн sm- 7эф
1 + шн cos2 7эф
(14.24)
Значение Ьг определяется по формуле
h - -i2-
с, где с = —
д» (Pi/Pn)
рн и сн — давление газа и скорость звука у поверхности тела в
идеальной жидкости, рассчитываемые в предположении, что
кромка обтекается потоком, направленным перпендикулярно
образующей при числе М„ = Мн cos \эф. Зависимость уэф от угла
стреловидности у и угла атаки d показана на рис. 14.10.
На рис. 14.11 ... 14.14 представлены результаты расчета
—, w в функции от 7эл при разных Мн. Как видно,
y(Rem)HPr°.*M„ VJ Гэф
при такой обработке влияние Мн невелико. Здесь
Num = a,R0/Xw; (Rew)H = uH (рш)н Ro/\iw,
где R0 — радиус затупления.
Тепловой поток вычисляется по формуле
Nu№ -1 /~~ Ин (рш)н Иге 1
Яш ~ (Re.). У Ro
Рг
(14.25)
где (рю)н вычисляется при Т = Tw и р = рн.
В целом кривые на рис. 14.13 и 14.14 в области больших
значений а + вн близко согласуются с кривой рис. 14.8 при уэф =
= я/2 — (а + ©н) с учетом того, что R = х sin вн. Это
свидетельствует о том, что при больших значениях d + ©к
пограничный слой на конусе определяется местным значением радиуса ко-
361

ГэФ>
во
10
60
50
40
30
20
10
Л
\ин
Г 7 \ J2U. аТ^ч
1
OL=0oi0}05°y/
,2°
-4°
У^^-10°
-**~^-20°
-~ ^~-зо°
-40°
~"-50°
"-60°
~~-70°
Е=80°
о ю га зо чо 50 60 то во 90 у,°
Рис. 14.10. Занисимогть у>ф от у при оотекании стреловидного крыла с
цилиндрической кромкой
Nuw Nuw
0,4
0,2
^^
Мн=
10;20;30
"и=3
Щ^/5
10 40 60 80 уэф°
Рис. 14. П. График для расчета
теплообмена по линии растекания на
цилиндрической кромке стреловидного
крыла при TW!T0 -С 1
0,4
0,2
0 20 40 60 80fi9,°
Рис 14.12. График для расчета
теплообмена по линии растекания на
цилиндрической кромке стреловидного
крыла при TwlTa <C 0,6
==^
мн-
--10;20;30
м„=з
V. 5
нуса и развивается так же, как на цилиндре со скольжением —
с теми же местным радиусом и углом между образующей и
вектором набегающего потока.
14.5.3. Расчет теплообмена в окрестности
трехмерной критической точки
Если передняя кромка не является осесимметричной,
например имеет эллиптическую форму (рис. 14.15), то
распределение скорости может быть записано в виде ых = ах, шх = Ьг,
где х и z
362
плоские координаты (h1 — h.z = 1).

Nuv
Ни*
{щ;мнрго
#ола°
0,1
Ми'
^
=15;20;25
.5
0,1
Мн
=15;20;25
70
75
ВО
85
Укр,
70
75
во
85
7эф,
Рис. 14.13. График для расчета
теплообмена по линии растекания иа
стреловидном крыле Tw/T0 < 1
Рис. 14.14. График для расчета
теплообмена по линии растекания на
стреловидном крыле при TjTa — 0,6
N4wj(Nuw)t
1,0
Рис. 14.15. Система координат для
расчета пограничного слоя в окрестности
передней критической точки в случае
трехмерного затупления
Рис. 14.16. График для расчета
тепловых потоков при
пространственном течении в окрестности
передней критической точки (ux = dx;
и>1 = Ьг)
Трехмерность характеризуется параметром с = а/b; с = 0
соответствует плоскому случаю (например обтеканию кромки
крыла); с = 1 — осесимметричному случаю.
Результаты расчета для случая течения в окрестности
трехмерной критической точки представлены на рис. 14.16, где
приведены значения 1Миш/(Миш)ос = / (с). В качестве линейного
размера использован размер затупления в той плоскости, где он
имеет меньшее значение. Как видно, зависимость от с является
почти линейной: с ~ R0/Ri, где R0 я Rx — характерные размеры
затупления вдоль осей г и х. Для осесимметричного течения
[NuJY (Кеш)н Pr°>4] = 0,8. Значение qw определяется по
значению R0, формуле (14.25) и графику рис. 14.16.
14.6. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
Расчет теплообмена на теле произвольной формы
требует решения полной системы уравнений (14.4) .... (14.8). Задача
осложняется тем, что не во всех случаях разработаны эффективные
методы расчета обтекания тела идеальной жидкостью, и в этих
случаях используются экспериментальные данные о
распределении давления и скорости на поверхности тел.
363

Nuw{sLnBK)
1/2
Рис. 14.17. Результаты расчета
теплообмена на поверхности конуса
при различных углах атаки (8„ =
= 15°, Мн= 6)
Nuw(sineK)'lz
V(*ew)H Рг1/3Ми
Oh
OJ
0,2
OJ
^\а = <*0°
/я^*"--^
^^
ct=W
^^fl"
~J0°
a 60 120 z,°
Рис. 14.18. Результаты расчета течлооб-
мена на поверхности конуса при
различных углах атаки (вк = 30°)
Сложность расчета теплообмена определяется, главным
образом, наличием вторичных течений. Однако, если температура
стенки значительно ниже температуры торможения внешнего потока,
газ у стенки становится более плотным и влияние вторичных
течений ослабевает. При этом можно проводить расчет теплообмена
вдоль линий тока идеальной жидкости, учитывая их расхождение,
но пренебрегая вторичными течениями. В этом случае хорошие
результаты дает метод эффективной длины. По этому методу
теплообмен рассчитывается по формулам для плоской пластины, только
вместо истинной длины используется эффективная длина:
' Nun
х,ф
Ъ_ (/. - /«)/Рг,
(14.26)
где хэф — эффективная длина, определяемая из выражения
(14.27)
ту, \ V\pw (hifds;
1э* - U,Pw(h',
Vy — полный вектор скорости идеальной жидкости; s
—расстояние вдоль линии тока идеальной жидкости от передней
критической точки (точки растекания); h'2 — коэффициент Ламе в коорди-
364

Nu„{sineK)
m
\Щ^МНРГ^
0,2
0,1
a-0"
5
10
&=20°
JO 60 90 ПО 150 z,'
натах, связанных с линиями тока
внешнего течения,
характеризующий расхождение линий тока.
В случае двухмерного
плоского течения h'i -- С, в случае
осесимметричного —h'2 -- R, и
получаем соответственно формулу
(5.136).
В общем случае для расчета
необходимо иметь распределение
параметров течения на
поверхности тела, заданное в координатах,
связанных с геометрией поверхности. Пели задано распределение
и\ = и\ (х, z)\ W\ (х, г), то значение h'z может быть выражено через
иъ шь hu /i2..
На рис. 14.17... 14.19 приведены результаты расчета
теплообмена на поверхности круглого конуса, обтекаемого при
различных углах атаки, справедливые приближенно при различных
Мн и трех углах конусности Вк === 15°, 30° и 40°.
В формуле (14.26)
1'iic. 14 19. Распределение тепловых
потоков на поверхности круглого
конуса при различных углах атаки
(«и*
40°)
Nu^, ---- ax/Xw; (Rew)„ =■ г*н(рш)„ дг/цш,
где ын — скорость набегающего потока; (рш)н — плотность при
Т — Tw и р — рн ; х — расстояние от вершины вдоль образующей
z -= const.
Значение qw определяется по формуле (14.23). При
использовании результатов расчета, приведенных на рис. 14.16 и 14.18,
следует иметь в виду, что при больших значениях z в окрестности
линий стекания может возникнуть отрыв пограничного слоя, и
истинные значения qw, начиная с точки отрыва, будут практически
постоянными.
14.7. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТРЕХМЕРНОМ
ОБТЕКАНИИ ТЕЛ И ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
В расчете теплообмена при турбулентном режиме
течения предполагается, что тепловой поток в данной точке
определяется толщиной пограничного слоя б и полным вектором скорости
идеальной жидкости V:
PwVlVe— Iw)
= /(Ree); Re6
VlPl6
(14.28)
При использовании условия (14.28) расчет теплообмена может
быть проведен по методу эффективной длины. Тепловой поток
в некоторой точке на поверхности, обтекаемой трехмерным пото-
365

ком, может быть рассчитан по формуле (6.54), приобретающей вид
Nuro о,8 о.гЛо.в —о,2 (т т \ г, — i ,< , ОГ1Ч
Яш =рГо^Р»' Pw Vy' Хэф \Ie — Iw)Pr ■ (14.29)
Значение Nu^/Re^8 при этом определяется на основании
экспериментальных исследований на плоской пластине:
Nu«,/Re°'8 = 0,0296Pri'5/C, (14.30)
где К = / (М, /ю//е) характеризует влияние сжимаемости. Можно
принять из гл. 6
Kc±(IJIe)™(\+ar)°-". (14.31)
Величина х9ф — эффективная длина, вычисляемая вдоль линии
тока идеальной жидкости:
s
хэф = -5-^ , (Н.32)
PmVAhtf'**
где ds — приращение координаты вдоль линии тока; h'i —
коэффициент Ламе в координатах, связанных с линиями тока
идеальной жидкости.
Легко видеть, что при /i2 = 1 и h'i = R формула (14.32)
переходит в формулы для плоского и осесимметричного движений
соответственно. Рассмотрим некоторые примеры применения
формулы (14.32).
14.7.1. Передняя кромка стреловидного крыла
или цилиндр со скольжением
Для линии растекания (см. рис. 14.9) скорость вдоль
образующей ии скорость, нормальная к образующей, дох = Ьг.
Тепловой поток может быть рассчитан по формуле
<7. = 0,0308^,2рш8и?'V'2 (/« ~ /ш)Рг"°,5?- (14.33)
На рис. 14.20 и 14.21 представлены результаты расчета
теплообмена по линии растекания на передней цилиндрической кромке
стреловидного крыла в зависимости от эффективного угла
стреловидности. По оси ординат отложена величина
Num
(Re^)HM'-6Pr°'43(/jg0'6'
Как видно, при этом кривые при различных Мн и IJIe
хорошо согласуются между собой.
Тепловой поток по параметрам набегающего потока
определяется по формуле
., .0,8 0.8..0,2 ,
л — NUw Рн "н Pw Ie — Iw л д ом
?"~(Rej2'8 <S РГ '
366

Рис. 14.20. Результаты расчета тепло- Рис. 14.21. Результаты расчета теп-
обмена по линии растекания на цилин- лооомена на кромке стреловидного
дрической кромке стреловидного крыла крыла в зависимости от угла стрело-
при турбулентном режиме течения видности при больших уЭф
где R0 — радиус затупления; /е =■= /0/(1 + ын) (1 -+- rcoj); ^
определяется по формуле (14.24); Nu[0/(Re[0)"'8 определяется по
графикам для заданных значений РгМн; IJIe.
При малых значениях уэф турбулентный тепловой поток
быстро убывает, стремясь к нулю при ■ууф -*- 0- При этом тепловой
поток на линии растекания должен определяться по формулам
ламинарного течения (14.25) и графикам, показанным на рис. 14.11
и 14.15.
Как видно, в отличие от ламинарного режима с увеличением
угла стреловидности до 45° тепловые потоки возрастают, что объя-
и Ю Hi U г=Щ.
Рис. 14.22. Распределение тепловых потоков i = а поверхности цилиндрического
затупления со скольжением при различных знлениях у
367

Ни»
1^<"г"'"'Ы'е)
n,t
сняется увеличением плотности
тока puj из-за увеличения скорости
скольжения. При дальнейшем
увеличении удф тепловой поток
уменьшается из-за снижения ргих в силу
быстрого падения давления.
На рис. 14.22 приведен график
распределения тепловых потоков по
поверхности цилиндрического
затупления с радиусом R0 при разных уэф.
При у > 45° кривые имеют
максимум на линии растекания z = 0.
При у < 45° максимум смещается
в область 0 < z/Rn < 0,7.
Случай уэф = 0 соответствует
поперечному обтеканию цилиндра. На
рис. 14.23 приведены максимальные
значения Ыию на поверхности
цилиндрического затупления в
зависимости от 7эф- Как видно, в
отличие от ламинарного течения
увеличение угла стреловидности при у < 45° может привести к
возрастанию тепловых потоков.
о 20 ьо 60 уэф;
Рис. 14.23. Максимальные
значения критерия Нуссельта иа
поверхности кромки крыла в
зависимости от угла стреловидности
14.7.2. Турбулентный теплообмен в окрестности
линии растекания на остром конусе
Тепловой поток в подобном случае при обтекании под
некоторым углом атаки может быть рассчитан по формуле
qm = 0,0348(1 +
dwjdz
9 ut sin 6
г)
°'2 „, 0,2 0,8, 0,8 — 0,2
(/. - /„) РГ
0,6
(14.35)
При dw-Jdz — bi = 0 формула (14.35) будет соответствовать
случаю обтекания конуса при угле атаки, равном нулю. При
больших углах атаки с учетом того, что ba = bx sin вк, формула
(14.35) переходит в формулу (14.33) для цилиндра со скольжением.
На рис. 14.24 представлены результаты расчета турбулентного
теплообмена по линии растекания на конусах с различными
полууглами при вершине в„ и различными углами атаки а. Видно,
что зависимость
Nu„
(**»)!
0,8
Pi-0'43 (^f)-0'6 М71,6 (sin el-2 = / (а + е.))
слабо зависит от значения вк. Во всех случаях максимальное
значение 1\1иш имеет место при (а + вн) ~ 60°. Тепловой поток рас-
368

считывается по формуле
Nuo,
0,8„0,8„0,2
( \0,8 0.8 •
где
/. =
/о
(Re-)0-'
(1 + гщ); г
Рг
(14.36)
Рг1/3; cuj и а>j определяются по
(1 4- шн)
формулам (14.21); х — расстояние от вершины конуса.
Приведенные примеры относятся к отдельным важным
случаям теплообмена при трехмерном обтекании.
Зависимости, полученные для острого конуса и цилиндра со
скольжением, можно использовать и для расчета теплообмена
на поверхности тел овальной формы, обтекаемых под некоторым
углом атаки. При этом каждое сечение такого тела может
рассматриваться как соответствующее сечение конуса или цилиндра
с тем же суммарным местным углом атаки.
Следует указать, что пока расчеты теплообмена могут быть
достаточно точными только в окрестности линий и точек расте-
Nuw(iineKf2
0,02
0.01
(а+вк),°
Рис, 14.24. Зависимость критерия Нуссельта от суммарного угла (а +• 6К)
при разных значениях 6К
369

кания. При приближении же к линиям стекания обычно возникают
отрывные области, существенным образом влияющие на внешнее
течение. При расчете таких случаев приходится учитывать
взаимодействие вязкого и невязкого потоков, завихренность
внешнего потока и другие эффекты, строгие схемы учета которых в
настоящее время разработаны недостаточно.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоят основные особенности течения и теплообмена при
трехмерном обтекании?
2. Что такое линии растекания, и как проводится расчет теплообмена на
линиях растекания при ламинарном течении?
3. Как рассчитывается тепловой поток при трехмерном обтекании при
ламинарном течении, при турбулентном течении?

ГЛАВА XV
ТЕПЛООБМЕН НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
И В ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ
15.1. ТЕПЛООБМЕН НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В данной главе рассматриваются особенности течения и
теплообмена на шероховатой поверхности и в отрывных зонах
при движении газа с дозвуковой скоростью.
Одним из факторов, влияющих на конвективный теплообмен,
является состояние поверхности. В ряде практически интересных
случаев поверхность, участвующая в конвективном теплообмене,
не является абсолютно гладкой. Появление шероховатости может
быть следствием механической обработки поверхности, коррозии
материала, отложения солей, разрушения поверхности под
действием высокотемпературного газового потока. В настоящей
главе рассматривается влияние на теплообмен шероховатости,
равномерно распределенной по поверхности. Рассмотрим вначале
влияние шероховатости на переход ламинарной формы течения
в турбулентную. При вынужденном движении среды переход
ламинарного течения в турбулентное определяется величиной
критерия Рейнольдса, который характеризует соотношение в
рассматриваемом потоке сил инерции и трения. Если величина
критерия Re мала, то это означает, что малы силы инерции по
сравнению с силами трения, возникающие в пограничном слое
возмущения гасятся силами трения и течение в нем остается ламинарным.
Наличие шероховатости вызывает дополнительные
возмущения, что способствует потере устойчивости ламинарной формы
движения. Уровень возмущений, вызываемых шероховатостью,
зависит от высоты выступов h, параметров потока и определяется
величиной критерия Рейнольдса, в котором определяющим
размером является высота элементов шероховатости.
Reh = uh/v.
При небольшом значении Reh возмущения, вызываемые
шероховатостью, малы и шероховатость не оказывает влияния на
переход ламинарного движения в турбулентное. В этом случае
переходное сечение определяется величиной (Rex)Kp — uxKV/v,
соответствующей гладкой поверхности. Влияние шероховатости
начинается со значений Reh > 100 и характеризуется заметным
уменьшением (Rex)Kp (рис. 15.1). Указанное влияние
шероховатости приводит к увеличению тепловых потоков в сечениях, где
пограничный слой стал турбулентным, и к увеличению суммарного
V\

о wo ю a jtiOReh
Рис. 15.1. Влияние
шероховатости на значение критического
числа Рейнольдса,
определяющего переход ламинарного
течения в турбулентное
для всей поверхности теплового
потока за счет большего участка с
турбулентным пограничным слоем.
Шероховатость поверхности не
только способствует переходу
ламинарного пограничного слоя в
турбулентный, но и оказывает
существенное влияние на теплообмен в
области образовавшегося турбулентного
пограничного слоя. При
шероховатой поверхности интенсивность
теплообмена определяется состоянием
газа, заключенного во впадинах,
образованных элементами
шероховатости. Из имеющихся
экспериментальных данных следует, что
характер движения газа во
впадинах зависит от значений Rch
и относительного шага шероховатости s/h. где s — расстояние
между соседними элементами шероховатосп! (выступами).
Рассмотрим вначале влияние на теплообмен равномерно
распределенной плотной шероховатости с величиной 1,5 <; s/h <; 2. В этом
случае состояние газа во впадине целиком определяется
величиной Reh, при вычислении которой в качестве определяющей
температуры следует брать температуру газа во впадине Гвп.
Значение 7ВГ, может быть определено из соотношения (Т„п — Tw)/
(Т, - Гю) = 0,6.
При Reft < 100 во впадинах образуются зоны со слабым
движением газа, которые являются своего рода изоляцией,
вызывающей уменьшение тепловых потоков. Так, например, результаты
экспериментов с ламинарным пограничным слоем указывают на
то, что тепловой поток на шероховатой поверхности в области
значений Re,. < 100 на 10—15% меньше, чем на гладкой поверхности
в тех же условиях, а при Reh = 100 тепловые потоки на
шероховатой и гладкой поверхностях одинаковые. При турбулентном
пограничном слое диапазон значений Reh от 100 до 530
характеризует переходный режим от соответствующего гладкой
поверхности до полного проявления шероховатости. В этом интервале
значений критерия Рейнольдса происходит постепенное развитие
движения газа во впадине.
Развитое течение с полным проявлением влияния
шероховатости на теплообмен наступает при значении Reh > 530. При
этом в случае плотной шероховатости \,5~</s/h ■< 2 во впадине
наблюдается одновихревое течение, при котором центр вихря
примерно соответствует центру впадины (рис. 15.2). На
наветренной грани элемента шероховатости образуется критическая
линия, от которой происходит растекание потока в направлении
вершины впадины и ее основания. Распределение статического
372

давления /;<.,. по поверхности впадины указывает на сложный
характер движения газа во впадине, при котором имеют место
как ускоренные, так к замедленные участки течения, что приводит
к существенному различию условий тел тообмена на разных
участках поверхности. Максимальное значение коэффициента
теплоотдачи, соответствующее окрестности критической точки а,ф,
примерно в четыре раза выше минимального а в донной части
впадины. Для многих задач при расчете теплообмена достаточно
определить среднее значение теплового поюка в рассматриваемом
сечении, а для этого необходимо знать среднее значение
коэффициента теплоотдачи на поверхности вг:аднньг
Для получения простой инженерной методики расчета
теплообмена на шероховатой поверхности важным обстоятельством
является тог факт, что при плотной шероховатости (Reh .^- 530)
среднее значение коэффициента теплоотдачи а,ср для всей
поверхности впадины совпадает с величиной агл для гладкой поверхности
в том же сечении. На рис. )5.3 экспериментальные точки
соответствуют значениям аср для шероховатой пластины, а сплошные
линии — коэффициенту теплоотдачи па гладкой пластине ссгл,
определенному из уравнения
Nil* -0,0296Re£8Pr2;w(r„/re)0-w. (15.1)
Показатель степени при температурном факторе TJTe принят
равным 0,53 согласно экспериментальным данным для малой
скорости потока, полученным при М < 0,5.
Из равенства а,.р —- агл следует, что тепловые потоки в области
полного проявления шероховатости больше тепловых потоков на
гладкой поверхности на величину отношения Fm/FFn, где Fm —
площадь поверхности шероховатой пластины; Frn — площадь
поверхности гладкой пластины.
а, Вт/(м2Х)
Рис. 15.2. Схема течения газа во впа- Рис. 15.3. Сравнение среднего по
подине при полном проявлении шерохо- верхности впадины значения коэффи-
ватости циента теплоотдачи аср с расчетной
величиной а..л дли гладкой
поверхности в рассматриваемом сечении:
X, • J — Reft --= 3,46.10*; 6,92.10*;
1.3Я- 10е соответственно
373

Ъ-ср1Ъгл_
8
о
о
э
о
' О 5 10 s/h 0 5 10 s/h
Рис. 15.4. Зависимость среднего по Рис. 15.5. Зависимость коэффици-
поверхности впадины значения ко- ента В от параметра s//i
эффициента теплоотдачи аср с
расчетной величиной агл от параметра slh
Указанная особенность дает возможность использовать для
расчета аср критериальные уравнения, полученные для гладкой
поверхности. При этом расчет теплообмена на шероховатой
поверхности сводится к определению аср из уравнения (15.1)
и теплового потока из уравнения
Q = cccp(T1-Tw)Fm. (15.2)
Экспериментально доказана возможность использования для
определения аср уравнения (15.1) в широком диапазоне значений h.
При определении критерия Нуссельта через средний коэффициент
теплоотдачи NuCp — асрх/к получается одна расчетная зависимость
для пластин с п = 0 ... 10 мм.
Изложенная методика расчета теплообмена дает хорошие
результаты для различных форм плотной шероховатости.
Рассмотрим расчет теплообмена на шероховатой поверхности
при Reft >> 530 и различных значениях s/h. С увеличением
относительного шага s/h одновихревая схема течения с центральным
расположением вихря при плотной шероховатости постепенно
деформируется и при больших значениях s/h превращается в двух-
вихревую. Вихревое движение занимает в этом случае только часть
впадины — участки, расположенные у граней, — а между ними
находится область турбулизированного течения. При этом среднее
значение коэффициента теплоотдачи для шероховатой поверхности
увеличивается, стремясь к некоторому максимальному значению
при s/h = 12 (рис. 15.4). Увеличение аср объясняется
интенсификацией теплообмена в донной части впадины, где при плотной
шероховатости условия теплообмена хуже, чем при гладкой
поверхности .
Расчетная зависимость для определения среднего коэффициента
теплоотдачи при переменной s/h имеет вид Nucp = A Nurjl, где
значения А -— аср/агл берутся из графика на рис. 15.4, а критерий
Нуссельта для гладкой поверхности NurjI определяется из
уравнения (15.1).
374

Анализируя влияние шероховатости на тепловой поток, следует
иметь в виду, что при возрастании s/h одновременно с увеличением
аср уменьшается отношение Fm/Frn, так как в этом случае
поверхность шероховатой пластины постепенно приближается к Frn.
Поскольку в ряде конкретных случаев затруднительно
определение площади шероховатой пластины, то удобно расчетную
зависимость для определения теплового потока представить без
множителя Fm.
р
Перепишем для этого уравнение (15.2) в виде Q = аср-~- (7^—
' гл
Т ) F
1 w> L гл*
Учитывая связь аср и агл, которая при переменном s/h
определяется соотношением аср = Аагл, будем иметь Q =
Р
= А -тг^- агл (Т1! — Tw) FFa. Или, записывая соотношение
/"гл
AFm/FrjI в виде множителя В, получим зависимость для
определения теплового потока
Q = BaP„(T1-T„)FrB. (15.3)
В уравнении (15.3) множитель В одновременно учитывает
как увеличение аср, так и уменьшение поверхности при изменении
параметра s/h. Для шероховатости, выполненной в виде
трапециевидных выступов, значения В приведены на рис. 15.5. Из рисунка
следует, что с ростом s/h возрастание аср почти компенсируется
уменьшением отношения Fm/Frn, что приводит в области 4 <
< s/h < 12 практически к постоянству коэффициента Вив
конечном счете указывает на слабую зависимость теплового потока
от параметра s/h. Естественно, последнее замечание относится к
значениям s/h < 12. Из характера зависимости аср/аГл = / (s/h)
(см. рис. 15.4) и из физических соображений о влиянии
шероховатости на теплообмен следует ожидать, что при s/h > 12
отношение аср/ссгл будет уменьшаться. Отношение Fm/FrJ1 также
уменьшается, асимптотически приближаясь к единице, следовательно,
в этой области s/h уменьшается коэффициент В и тепловые потоки
на шероховатой поверхности приближаются к их значениям на
гладкой пластине.
Используя зависимость (15.3), следует иметь в виду, что могут
быть формы шероховатости с отношением Fm/Frj!, отличным
от величины, которой соответствуют значения коэффициента
В, приведенные на рис. 15.5. Поскольку по имеющимся
экспериментальным данным не отмечено заметного влияния формы впадины
на средний коэффициент теплоотдачи, а коэффициент В =
~ acpFm/Frsi, то для шероховатости с другим отношением
^ш/^гл коэффициент В может иметь другие значения. Расчеты,
в частности, показывают, что при прямоугольной форме впадины
значение Fm/FTil, а следовательно, и В для s/h =1,6 на 30%
выше приведенных на рис. 15.5. С увеличением s/h разница в
значениях В убывает: при s/h = 3,6 отличне составляет 18%, а при
s/h = 12— только 6%.
375

'пер
¥
па
о
о
о
э о
—О—|
500
1000 Reh
Рис. 15.6. Данные по теплообмену в
области переходного режима
Приведенные расчетные
зависимости для определения
теплового потока
справедливы для случая полного
проявления шероховатости,
которое наступает при Reh>530.
Рассмотрим далее
теплообмен на шероховатой
поверхности в области
переходного режима. Ранее
отмечалось, что переходный
режим течения находится в диапазоне значений Reft от 100 до
530. При Ren = 100 ... 530 постепенно увеличивается влияние
шероховатости на сопротивление и теплообмен. Измерение
скорости в пограничном слое, образующемся на шероховатой
поверхности, показало, что для фиксированного значения Reft
безразмерный профиль скорости одинаков при различных
значениях х. Аналогичная картина наблюдается и при исследовании
теплообмена. С увеличением Reh теплообмен интенсифицируется,
при этом среднее значение коэффициента теплоотдачи возрастает.
Критериальное уравнение для определения аср в области
переходного режима имеет вид
Nucp = ЛперЫигл, (15.4)
где Лпер = аср/агл характеризует развитие вихревого движения
во впадине.
Экспериментальные значения Amv приведены на рис. 15.6.
При достижении Reft значения 530 развитие вихревого течения во
впадине заканчивается, Лшр становится равным единице, а аср =
= агл. Следует заметить, что данные рис. 15.6. соответствуют
плотной шероховатости, выполненной в виде сплошных
трапециевидных выступов, расположенных перпендикулярно к
направлению потока. Использование этих данных для других форм
шероховатости, в том числе и плотной, может дать лишь приближенное
значение аср.
Так, например, для шероховатости, выполненной в виде
отдельных плотно расположенных четырехгранных усеченных
пирамидок, расчет теплообмена с использованием данных рис. 15.6
приведет к завышению теплового потока в среднем для всей
области перехода примерно на 15%.
15.2. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И
ТЕПЛООБМЕНОМ
Связь между теплообменом и трением, установленная
для гладкой поверхности,
St = 4- С,Рг-2?3
(15.5)
376

является следствием одинакового воздействия определяющих
параметров потока на условия теплообмена и сопротивление.
При течении у шероховатой поверхности теплообмен и
сопротивление определяются как параметрами потока, так и
параметрами шероховатой поверхности. Результаты исследования
теплообмена указывают на то, что в области полного проявления
шероховатости условия теплообмена не зависят от высоты
выступов шероховатой поверхности.
Вместе с тем зависимость коэффициента сопротивления от
высоты выступов может быть представлена в виде Cf = (2,87 +
-f-1,58 lgx/Zi)-2-5. Различная зависимость теплообмена и
сопротивления от h указывает на нарушение связи между этими явлениями
при течении над шероховатой поверхностью. Использование
формулы (15.5) для шероховатой поверхности может привести к
существенной ошибке, что видно из данных рис. 15.7, на котором
приведены значения числа Стантона, определенные по результатам
измерения теплового потока и аср и рассчитанные по зависимости
(15.5) с использованием экспериментально определенных
значений Cf. При этом коэффициент сопротивления определялся из
выражения
J_r — rf6**
2 Lf- dx •
Толщина потери импульса б** вычислялась по измеренным в ряде
сечений пограничного слоя пластины значениям температуры и
скорости.
Сравнение проведено для шероховатости К = 10 мм. Ошибка
в определении условий теплообмена по формуле (15.5) непостоянна.
С уменьшением К разница в значениях St будет
уменьшаться.
Результаты исследования теплообмена и сопротивления на
шероховатой поверхности указывают на те мероприятия,
осуществление которых дает возможность получить увеличение
теплообмена при наименьшем возрастании сопротивления. Такая задача
возникает, например, при
разработке экономичных теплообмен-
ных аппаратов.
Максимальный прирост
теплообмена получается при плотной
шероховатости с высотой
выступов h, обеспечивающей значение
Reji > 530. Большие значения h
не приводят к увеличению
теплообмена. Вместе с тем, с
уменьшением h уменьшается
сопротивление шероховатой поверхности.
Следовательно, при плотной
шероховатости минимальное сопро-
0,01
0,005
о
8
1
•
8
1
•
и
i
100 100 300 400 х,мм
Рис. 15.7. Данные связи
теплообмена и трения иа шероховатой
поверхности:
• — по уравнению (15.5); 0_— по
"/
377

тивление при максимальном возрастании теплообмена будет иметь
место при наименьшей высоте выступов /imln, обеспечивающей
выполнение условия pu/t/jx ;> 530. Таким образом, /imln =
= 530u/(pu).
Кроме того, с увеличением параметра s/h теплообмен
уменьшается незначительно (см. рис. 15.5), а сопротивление уменьшается
в несколько раз. Следовательно, для увеличения теплообмена при
минимальном возрастании сопротивления целесообразно
выполнять шероховатость с А = /imln и большими значениями s/h,
естественно не превышающими значение s/h = 12. При решении
задачи о тепловой защите поверхности желательно обеспечить
условия, при которых тепловой поток от горячей среды в
поверхность уменьшается. С этой целью целесообразно сделать
поверхность гидравлически гладкой, т. е. такой, неровности которой не
приводят к увеличению теплообмена. Допустимая высота
шероховатости /iRp, которая не вызывает увеличение теплообмена,
определится из условия ReKp = uhKV/vBU = 100, где vBn определяется
по температуре газа во впадине.
Для отдельных технических задач допустимая высота
шероховатости имеет следующие значения.
1. При полете самолета со скоростью 800 км/ч на небольшой
высоте (р = 0,1 МПа) допустимая высота шероховатости обшивки
/г1ф — 0,01 мм.
2. Для лопаток турбины ВРД при температуре газа 1075 К
и давлении р — 1,0 МПа ftKp — 0,004 мм.
3. Для поверхности сопла ВРД при температуре газа 775 К
и давлении р — 0,2 МПа hKV = 0,01 мм.
4. В критическом сечении сопла ЖРД при температуре газа
3275 К и давлении р — 4,0 МПа допустимое значение высоты
шероховатости составляет 0,001 мм.
15.3. ТЕЧЕНИЕ СРЕДЫ И ТЕПЛООБМЕН
В ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ
ПЕРЕД ПРЕПЯТСТВИЯМИ
Отрыв потока от обтекаемой поверхности встречается
во многих отраслях техники. В большинстве случаев отрыв потока
явление нежелательное, так как приводит к увеличению
сопротивления тел, перемещающихся в среде, уменьшает подъемную
силу крыла, увеличивает сопротивление движению газа или
жидкости в трубопроводах, ухудшает характеристики диффузорных
устройств и др. Наряду с этим есть примеры положительного
влияния отрывных течений на характеристики летательных
аппаратов. К этим случаям относится установка иглы перед плохообте-
каемым телом, перемещающимся в сверхзвуковом потоке.
Отрывное течение, вызываемое иглой, приводит к образованию перед
телом косых скачков уплотнения вместо прямого, что уменьшает
сопротивление тела.
378

В авиационно-космической технике для управления
летательными аппаратами используются свойства отрывных течений
вызывать существенное изменение давления на поверхности аппарата.
Отрывные зоны образуются перед и за различными выступами
в виде антенн, различных обтекателей, сопел управляющих
двигателей, рулей, люков на поверхности летательного аппарата
при его движении под углом атаки и т. д.
Возникновение отрывных зон повышает необходимость тепловой
защиты поверхности летательного аппарата, так как тепловые
потоки в зонах отрыва могут в несколько раз превышать потоки,
наблюдающиеся при безотрывном обтекании.
15.4. ДВУХМЕРНЫЕ ОТРЫВНЫЕ ЗОНЫ
Торможение потока перед препятствием вызывает
повышение давления, которое при дозвуковом течении
распространяется вверх по потоку. Распределение давления перед плоским
уступом показано кривыми 1 и 2 на рис. 15.8. Пограничный слой
перед препятствием (до точки S) развивается в условиях
положительного градиента давления. Происходящая при этом деформация
профилей скорости в пограничном слое также показана на рис. 15.8.
Наличие трения в пограничном слое приводит к уменьшению
полного давления струек газа. Оставшейся кинетической энергии
частиц газа, движущихся вблизи стенки, недостаточно для преодо-
гис. 15.8. Схема течения газа перед плоским уступом
379

ления всей области повышенного давления. На некотором
расстоянии от препятствия частицы газа, израсходовав ьесь запас
кинетической энергии, останавливаются, и пограничный слой
отрывается от поверхности. Характерным для отрывного течения
является равенство нулю градиента скорости у стенки (du/uy)w ~.
= 0.
Оторвавшийся в сечении точки 5 пограничный слой
присоединяется к поверхности уступа на некотором расстоянии от его
вершины — в точке R. В общем случае в эту точку приходит некоторая
струйка газа пограничного слоя с давлением pR. Струйки газа,
расположенные ниже этой линии тока, не могут преодолеть
давления, устанавливающегося в точке R, и начинают двигаться
к основанию уступа, образуя область циркуляционного течения.
Линия SAR отделяет газ, движущийся в циркуляционной зоне,
от внешнего течения. В циркуляционной зоне часть газа движется
к уступу, а другая — в направлении, обратном основному течению.
Эти потоки разделяются линией SBR.
Между газом, движущимся в циркуляционной зоне, и внешним
потоком осуществляется интенсивный турбулентный обмен на
линии раздела SAR. Интенсивный турбулентный обмен существует
также между частицами газа, движущимися внутри
циркуляционной зоны, где согласно экспериментальным данным значение
интенсивности турбулентности достигает 40 ... 60%. Течение
внутри циркуляционной зоны может осуществляться по разным схемам.
Уровень давления и характер течения определяются отношением
толщины вытеснения в точке отрыва б* к высоте уступа И и
значением критериев Рейнольдса Re = u^H/Vf и Эйлера Ей —-
= Роо/(рос«оо)-
При малом значении Re и большой величине критерия Ей
статическое давление плавно изменяется от максимального
значения вблизи основания уступа (точка #,) до величины давления
в точке отрыва (кривая 1).
При увеличении критерия Re и уменьшении Ей характер
распределения давления существенно изменяется (кривая 2).
Появляется ярко выраженный минимум статического давления,
расположенный в сечении, проходящем через центр вихревого
движения.
Внутри циркуляционной зоны газ от точки R движется к
основанию уступа (к пластине) вначале в области отрицательного
градиента давления до точки а на кривой рис. 15.8, а затем на
некотором расстоянии от пластины ha начинается торможение
потока, сопровождающееся ростом давления. Наличие
положительного градиента давления вызывает отрыв потока в точке 5, и
прилипание его на пластине в точке Rx. При этом у основания
уступа образуется дополнительная отрывная зона SjORj. В точке
присоединения потока /?ъ которая является критической,
давление на пластине имеет максимальное значение. При распределении
статического давления (см. рис. 15.8, кривая П газ, двигаясь от
380

*sl!L
1,2
1,0
0,6
ОМ
-
-2*
,/•
•
со •
» *
1
fec*^
<
в
I \
\
0,10
1,00 $*/Н
hR/H
0,8
0,6
Oh
I
t
ЭЛД|
A
-
д
Л
k&5
u
5RJ
ДЗ
1X0
ЙЛ?
0,/<?
7,<W ^s*///
Рис. 15.9. Зависимость длины
отрывной зоны от параметра 6*///:
X, •. А. О - (ReJ^. 10-» = 0,2. 1,0:
2,0; 2,8 соответственно
Рис. 15. Ю. Зависимость координаты
присоединения потока hrt/ll от
параметра S"/W при различных скоростях
(им м/с):
х, о. •• А - «0
соответственно
30; 50; 120; 270 м/с
точки Нг к отрывному сечению точки S, разгоняется и давление
падает.
В случае наличия минимума давления (кривая 2) поток у
пластины, двигаясь от точки {{г, вначале разгоняется, а затем
в области положительного градиента давления затормаживается.
При определенном соотношении параметров потока положительный
градиент давления становится настолько значительным, что
вызывает отрыв потока от пластины в точке .S2 с последующим
прилипанием его в точке/cV При эюм в циркуляционной зоне
образуется вторая дополнительная отрывная зона S2 - /V2. Для расчета
теплообмена внутри циркуляционной зоны существенное значение
имеет давление на линии присоединения потока на уступе (ср)п
и характерное давление в зоне (ср)ь. Из имеющихся
экспериментальных данных следует, что коэффициенты давления (ср)к --
PR — Poo / ч Dh — Ооо „ с * , г ,
= ~Ъ~и~1Т н (срЬ "" ^ГТГТГ 0ПРедел;1ются величиной б*,///.
• оо ои/ г о:;' ос/
Значение (cp)R в диапазоне 6*/# =- 0,033 ... 1,5 может быть
определено из соотношения (св)к ~- 0,43 (Я/б*)0'25. При 6?/# <г
< 0,033 величина <cp)R асимптотически приближается к единице.
Коэффициент давления (г )ь при 61/И --00,28 ... 1,5, Ей-- 1,1 ...
230, Re ------ 2-10* ... 4,5-К)5
(сР)ь^ 0,37 (#,6.Г)°-25.
Геометрическими характеристиками циркуляционных зон
являются длина зоны xs и расстояние от точки присоединения потока
До основания уступа hn E случае двухмерного течения длина
отрывной зоны и hr, являются функцией отношения 6'JH и не
зависят от критериев Re и Ей. Зависимость *,/// - / (Л*///)
приведена на рис. 15.9.
Для определения координатв1 присоединения потока hR
могут бвгть использованы экспериментальные данные, приведенные
на рис. 15.10.
381
определяется из соотношение

16.6. ТЕПЛОВЫЕ ПОТОКИ ВНУТРИ
циркуляционной зоны
Сложная структура потока (в отрывной зоне), наличие
внутренних отрывных зон, отсутствие данных по величине ReKp
в условиях отрывного течения, повышенная турбулентность
потока и отсутствие надежных данных по влиянию турбулентности
на передачу тепла в отрывной зоне затрудняют разработку теории
теплообмена в условиях отрывного течения. Отсутствуют
критериальные уравнения для вычисления местного значения
коэффициента теплоотдачи во всей области отрывного течения.
На рис. 15.11, а приведены экспериментальные значения
коэффициента теплоотдачи для участка пластины OS, где ат —
максимальное значение коэффициента теплоотдачи на этом участке,
а а, — значение его в отрывном сечении. Для определения а
на вертикальной поверхности уступа могут быть использованы
экспериментальные данные, приведенные на рис. 15.11, б.
Характер качественного изменения а на участке от точки R до
основания уступа для разных значений параметров внешнего потока
не одинаков.
Кривая 1 соответствует случаю, когда от точки R до основания
уступа течение в пограничном слое ламинарное. При этом
максимальное значение коэффициента теплоотдачи на участке отрывной
зоны имеет место в точке присоединения потока R (см. рис. 15.8).
При увеличении Re» (кривые 2 ... 4 на рис. 15.11, б)
интенсивность движения газа в циркуляционной зоне возрастает,
и на некотором расстоянии от точки R происходит переход
ламинарного пограничного слоя в турбулентный, что вызывает
заметное увеличение коэффициента теплоотдачи. На участке
турбулентного пограничного слоя кривая изменения а может иметь
максимум. Уменьшение коэффициента теплоотдачи при приближении
к основанию уступа объясняется ростом толщины пограничного
слоя, особенно, если иметь в виду участок течения с положитель-
(oc-ots)/(otm~c(s) a/aR
1
1
1
А\
1,0 1,2
0,8 1,0
0,6 0,8
0/1 0,6
0,1 Ofi
0.2
Г1Т7ГП
/f3s
/v~j
-V-LaX^
/ / i
l/\ \
' \ \
i i
i
i i
, i i
i
—^—i
1
i
Л/Л5 1,0 0,8 0,6 Ofi 0,2 0 0 0,1 l/fi 0,0 /;///R
a) 6)
Рис. 15.11. Распределение коэффициента теплоотдачи по поверхности уступа:
1 ... 3 — Re„, = 10': 1,5-10*: 4.5-10*; 4, 5 — Re„, = 1,5-10»
382

A
г-ю3 то* ю5 Re,
Рис. 15.12. Зависимость коэффициента пропорциональности А при расчете
теплообмена по линии растекания па вертикальной поверхности уступа от
критерия Кеш при различных значениях (Cp)R:
X — 0,4 ... 0,7; 0 — 0,85
ным градиентом давления, па котором кроме того деформируются
профили температуры, что еще сильнее уменьшает градиент
температуры на стенке.
, Уровень тепловых потоков в отрывной зоне зависит от o*/W.
В качестве примера этого влияния на рис. 15.11, 6 приведены
кривые 4 и 5, для которых критерий Рега имеет одинаковое
значение, а б*/Я соответственно равно 0,033 и 0,1.
Коэффициент теплоотдачи на линии растекания R
определяется с использованием критериального уравнения
Nu„, -■■• Л Re№r -^Ч ■ (15.fi)
Ранее указывалось, что линия растекания является
критической — по ней происходит разделение потока. Часть газа
втекает в циркуляционную зону, а основная масса обтекает верхнюю
кромку уступа. На линии растекания скорость потока равна пулю.
Как известно, теплообмен в таких критических линиях пли
точках зависит от градиента скорости. Величина градиента
скорости на вертикальной поверхности уступа определяется
перепадом давлений (cp)R — (ср)а (см. рис. 15.8) и размером уступа.
Принимая в качестве определяющего размера hR и определяющей
скорости итях ~ (cv)R — (ср)а, запишем критерии подобия
Г\иш =-- aRhR/lw и Rero --- ршы1Па,/1„;аа,.
Учитывая, что итах ^---UaoYJiCpht (cJXl (W(>u, получим для
критерия Рейнольдса выражение в виде
Р и h„ Г 7,
Re„-=— I/ \(ср)п (с )„]-!—.
t'w * {'a
Результаты экспериментальных исследований указывают на
зависимость коэффициента пропорциональности А из формулы
(15.6) от турбулентности потока в окрестности линии растекания.
Эта зависимость определяется значениями Re^ и Ь\1Н. Влияние
6*/Я удовлетворительно учитывается значением (cb)R.
Зависимость А от указанных параметров приведена на рис. 15.12.
383

ат^и/лт
1
i
к'
/
у
X
! i ! 1 i [ ; 1! хх/
i ,':'.'. J^*s
XX
' *^
\ i
X у. у
*ЙВ$— —
х ;
>
хх*/:
хх
/£*-
'
х>' хх
<
1
; i |
!
1
:
1 !
' i
■
т\—i i i i i _j 1 1—i—i—i_i_u 1 1
5-103 70 4 10s J-10s
Рис. 15.13. Зависимость максимального значения коэффициента теплоотдачи
на горизонтальной поверхности уступа от определяющих параметров
Значение максимального коэффициента теплоотдачи на
пластине на линии растекания может быть найдено с помощью
данных, приведенных на рис. 15.13, где в качестве определяющего
размера принята величина hR.
15.6. ТРЕХМЕРНЫЕ ЗОНЫ
При обтекании уступов с относительно небольшим
значением D/H или В/Н (где D — диаметр цилиндрического, а В —
ширина плоского уступов) возникает новое явление в виде,
вытекания части газа из отрывной зоны в боковых направлениях.
Одна из возможных схем течения с боковым вытеканием
приведена на рис. 15.14. Пограничный слой, развивающийся в
условиях положительного градиента давления перед уступом,
отрывается от поверхности по линии 5 — а и присоединяется на
лобовой поверхности уступа. Часть газа из области присоединения
потока поступает в циркуляционную зону перед уступом, откуда
частично эжектируется внешним потоком, а частично вытекает
в боковом направлении.
На лобовой поверхности уступа схема присоединения потока
может быть различной и определяется, в основном,
геометрической характеристикой уступа (D/H или В/Н) и, кроме того,
относительной толщиной пограничного слоя в точке отрыва. При
DIH > 4 и В/Н > 2 поток присоединяется с образованием линии
растекания R—R (рис. 15.15, а). Характер течения на уступе
384

вблизи плоскости симметрии напоминает течение в случае
двухмерной отрывной зоны. Уменьшение DIH до 2 или В''Н до 1
приводит к перестройке схемы присоединения и образованию точки
растекания (рис. 15.15, б).
При DIH < 1 и BIH < 0,5 в плоскости симметрии появляется
линия растекания R—R', заканчивающаяся точками
растекания R и R' (рис. 15.15, е). На рис. 15.15 линиями 1 у основания
уступа показано положение образующейся дополнительной
отрывной зоны.
Для приближенной оценки трехмерности течения з отрывной
зоне можно использовать параметр К. ~ -~ /-irr, гл-й w и v —
скорости потока по осям г я у (см. рис. 15.14).
Анализ экспериментальных данных по распределению
статического и полного давлений в диапазоне изменения отношений
ширины уступа к высоте от 0,25 до 24 и толщины пограничного
слоя в точке отрыва к высоте уступа от 0,2 до 2 показал, чте
приближенно можно принять
-^--~ и ~~ ~ Uea У1(с^^(с^]/Ад (см. рис. (15.8).
Тогда
Значение параметра А' зависит как от D/H, так и от б*/£>, т. е.
от обоих параметров, определяющих схему течения на уступе,
Для цилиндрических уступов при К < 0,5 трехмерность
течения в плоскости симметрии невелика и поток присоединяется
к уступу с образованием линии растекания R—R (см. рис. 15.15, а).
При К > 0,5 на уступе образуется точка растекания R (см.
рис. 15.15, б) или линия растекания R—R' (рис. 15.15, в).
В отрывной зоне на пластине осуществляются те же схемы
течения, которые наблюдались в случае двухмерного уступа
(см. рис. 15.8) с образованием одной (Sx—R,) или двух (S1—Rx
и 52—R2) дополнительных отрывных зон.
Рис. 15.14. Схема течения газа перед Рис. 15.15. Схемы течения газа у
уступом при DlH > 4 вертикальной поверхности уступа
13 Авдуевскнй 385

15.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ ОТРЫВНЫХ ЗОН
Размеры трехмерных отрывных зон зависят от формы
и размеров препятствия, а так же от относительной толщины
пограничного слоя перед отрывом и не зависят от критерия Рей-
нольдса. Изменение критерия Эйлера до Ей > 2, что
соответствует числам Маха М < 0,55, также не оказывает влияния на
размеры отрывных зон.
Для цилиндрических уступов зависимость hRIH и xJH от
ЬЦН приведена на рис. 15.16 и 15.17. Там же для сравнения
нанесены размеры двухмерной отрывной зоны 3.
Размеры отрывных зон, образующихся перед прямоугольными
уступами при В/Н = 2 и 4 и ЬЦН < 0,12, почти совпадают с
размерами двухмерной отрывной зоны. При В/Н = 1 и б^/Я = 0 03'
0,07 и 0,1 величина xJH = 0,72, a hRIH = 0,5; 0,53 и 0,62.
Изменение локальных коэффициентов теплоотдачи в отрывной зоне
перед цилиндрическим уступом при D/H = 2 и b'jH -=0 ,1
приведено на рис. 15.18. Как и в двухмерном случае, характер
распределения а зависит от Re. При малом значении Re
максимальный коэффициент теплоотдачи на уступе наблюдается в точке
присоединения потока R, а на пластине — в точке присоединения
#i (см- рис. 15.8). Увеличение скорости внешнего потока приводит
к перераспределению тепловых потоков, и коэффициент
теплоотдачи вблизи основания уступа становится больше, чем в точке
присоединения R, что так же, как и при двухмерном уступе,
объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в
турбулентный.
В отрывной зоне на пластине увеличение Re приводит к
существенному возрастанию а на ускоренном участке течения (от
точки R1 к точке S), появлению в конце ускоренного участка
второго максимума, положение которого приблизительно
совпадает с положением минимального значения статического
давления (см. рис. 15.8). Следует иметь в виду, что величина
коэффициента теплоотдачи и характер его изменения в отрывной зоне
зависят от трехмерности течения, которая в свою очередь опре-
1>м1Н_
0,5
0.1 -
0,01
оИН
-^JPSU
у
Y#
о
\ i
г
,
0,02 Ofi't 0,06 0,10
о,г о о, jo
Рис. 15.16. Зависимость координаты
присоединения потока hkjH от б*/Я
при различных значениях D/H:
1 (С) — 1: 2 (•) — 2; кривая 3 — D/H -* оо
386
'J L I I I ' 1 »— ' '
0,01 0,02 ОМ 0,06 0,060,10 0,20 0J0
Рис. 15.17. Зависимость длины
отрывной зоны xJH от d'JJi при различных
значениях D/H:
1 (.")— 1; 2(#) — 2; кривая 3 — D/H -* »

•
о
-Л—П
TZl:'
i «j
••
•%••
, - - -
u u°
щр<х
' %
1
1
<f
looo^
a,£
да
«да
>
200
п/(м2
Ч)
II'1!
•
•
1
^°i
•
г °°
1
1
j '
Г |
*^« • * .-i
• •
о о о
1
о ^
х/Н
1,5
1
0,5
О О
0,2
О А
0,6 0,8 h/H
Рис. 15.18. Распределение коэффициента теплоотдачи в плоскости симметрии
цилиндрического уступа при различно» скорости потока (их м/с):
0 — 71; 0 — 341
деляется формой и размерами уступа, а так же параметрами
потока.
Определить коэффициент теплоотдачи в характерных точках
отрывной зоны можно по установленным зависимостям. Для
расчета а на линии растекания R—R (см. рис. 15.15, а)
используется критериальное уравнение (15.6), в котором коэффициент А
может быть определен из данных рис. 15.12. При большей
трехмерности течения, когда на вертикальной поверхности уступа
осуществляется схема течения с линией растекания R—R' (см.
рис. 15.15, е), в качестве определяющего необходимо брать
поперечный размер уступа. В этом случае в критериальном
уравнении 1\1лш = Afte-fPu
0.44
критерии Нуссельта Nuw =
= aDI%w и Рейнольдса Rera = pwUoJ)i\yw. Значение
коэффициента Аг на линии R—R' равно коэффициенту
пропорциональности при обтекании бесконечного цилиндра. В случае схемы
течения с точкой растекания величина Ах зависит от параметра
6yD. Указанная зависимость для цилиндров с DIH — 2 и DIH = 1
приведена на рис. 15.19.
Рис. 15.19. Зависимость
коэффициента Ах от DIH при расчете
коэффициента теплоотдачи в точке
растекания потока на
вертикальной поверхности цилиндрического
уступа
13*
А,
1,2
W
Ъ|
~*~
К
Л/Н=1
2
:
\
. Л
20
U0
60 В/Я;*-.
387

avyAw
s i__: j i i i i i i i i iii
7/7* 2 J <i S 6 7 a 9 W5 Z J 5-10s
Pw Uoohn/р
Рис. 15.20. Зависимость коэффициента теплоотдачи от определяющих
параметров в области растекания потока на горизонтальной поверхности перед уступом
при различных значениях Dili:
X — 4; в — 2; А — 1: Ш — 0.25
Коэффициент теплоотдачи в точке растекания Rt на пластине
может быть рассчитан по экспериментальным данным,
приведенным на рис. 15.20, удовлетворительно характеризующим условия
теплообмена для уступов разной формы при различных
значениях 6*/#. Влияние формы уступа и толщины пограничного слоя
учитывается в данном случае через зависимость hR от указанных
факторов.
15.8. ДВУХМЕРНЫЕ ОТРЫВНЫЕ ЗОНЫ,
ОБРАЗУЮЩИЕСЯ ЗА УСТУПОМ
При обтекании потоком газа обратного уступа
пограничный слой, образовавшийся на поверхности 0—S (рис. 15.21),
отрывается в точке S и присоединяется к поверхности в точке R,
образуя за уступом циркуляционную область движения газа.
Линия 1 отделяет невозмущенный поток, движущийся со
скоростью и,», от пограничного слоя и циркуляционного течения.
Область циркуляционного течения отделяется от внешнего потока
линией постоянной массы 2. В отрывном (циркуляционном)
течении часть газа, расположенная выше линии 3, движется в
направлении основного потока, а между линией 3 и основанием
уступа течение газа происходит в обратном направлении. Обратное
течение подразделяется на ядро потока и пограничные слои.
В области линии 3 пограничный слой образуется в результате
взаимодействия течений, движущихся в прямом и обратном
направлениях, а у стенки — при взаимодействии газа с твердой
388

Рис. 15.21. Схема течения газа за обратным уступом
поверхностью. Скорость газа в ядре обратного течения возрастает
от нуля в точке R до некоторого максимального значения и затем
уменьшается. При натекании на уступ обратный поток
тормозится, пограничный слой под действием положительного
градиента давления (рис. 35.22) отрывается (точка Sx на рис. 15.21)
и присоединяется"на вертикальной стенке уступа (точка Rt на
рис. 15.21). В углу уступа образуется дополнительная зона отрыва.
СР
о,г
0,1
-0,1
-0,2
*
о,
ОД
2
щ
0
т
у
*
ч
о
к,
6
\
о
о
X
»
?
»
^
#
8
Л
*
I
А
хо
V
1
$**
?
0
1
%
2
£
*
'
<
4
х/
^
*r
Рис. 15.22. Изменение статического давления на горизонтальной поверхности
за уступом при различных скоростях потока (ик>, м/с):
♦ — 26; д _ 45: X — 77: О — 101
389

Изменение статического давления за уступом показано на
рис. \o.ll, где ср — —-, а хд характеризует расстояние от
основания уступа до точки присоединения потока. Максимум
статического'давления имеет место при xlxn = 1,1, т. е. распола-
1ается за точкой присоединения потока. Значение (ср)д заметно
ниже величины (с;;)шах. В окрестности точки присоединения в
диапазоне значений х'хп от 1 до 0,fe5 статическое давление выше
давления в невозмущенном потоке. Во всей остальной области
отрывного течения давление ниже давления окружающей среды.
Минимум давления достигается при x,xR ~ 0,6. От xlxR — 1 до 0,6
статическое давление уменьшается. На этом участке скорость
обратного течения растет. При xlxR < 0,6 градиент давления в
направлении обратного движения положителен. Из рис. 15.22
следует, что величина коэффициента давления не зависит от
критерия Re.
Для разных высот уступа практически одинаковым является
безразмерное давление, представляемое в виде р = (р —
— Pmin)'(Pm.ix — Ртт)- Точка (линия) R является критической,
в ней скорость потока равна нулю. Как известно, теплообмен
в критической точке или, в случае двухмерного течения, линии
растекания зависит от градиента скорости.
15.9. ТЕПЛООБМЕН ВНУТРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ
ЗОНЫ
Изменение коэффициента теплоотдачи на
горизонтальной поверхности за уступом приведено на рис. 15.23.
Максимальное значение а соответствует точке присоединения потока R.
Левее положения максимума находится циркуляционная область
а.'а #
"
1
1
-1
х*£
хХх х
~х? Ц
ххххх
~ Их4
ХОХХ
■ГТГх
^ _L J | ххх
- I
i
t ,.. д _х
**• <
XX
X
XwX
хх
£хх
г
Xv X
ххх
X
хх>
' Xх ' X X X
XX Xv х
ХХ>
< х
[ XX
X
1
х2
Хх>
< X
X
О 0,5 1,0 1,5 х/хя
Рис. 15.23. Изменение коэффициента теплоотдачи на горизонтальной
поверхности уступов высотой от 12 до 137 мм в области присоединения потока при
различной толщине пограничного слоя
390

течения. В зоне обратных токов величина коэффициента
теплоотдачи существенно переменная. В точке присоединения потока
значение коэффициента теплоотдачи примерно в 4 раза выше, чем
у основания уступа.
Условия теплообмена в отрывной зоне зависят от критерия
Рейнольдса (Re — роо«ооЯ/|а,оо), высоты уступа и толщины
пограничного слоя перед отрывом. Увеличение скорости внешнего
потока приводит к интенсификации движения газа в отрывной
зоне, что вызывает рост тепловых потоков.
Ранее отмечалось, что при увеличении высоты уступа
уменьшается градиент скорости на линии растекания, что вызывает
уменьшение тепловых потоков. Увеличение толщины
пограничного слоя перед отрывом потока также приводит к уменьшению
коэффициента теплоотдачи aR. Обработка экспериментальных
данных в координатах сх/ай ■--- f (x/xR) дает возможность
получить одну зависимость, удовлетворительно характеризующую
изменение коэффициента теплоотдачи в отрывной зоне при разных
значениях критерия Рейнольдса внешнего потока и разных
высотах уступа (см. рис. 15.23). Подобие в распределении
коэффициентов теплоотдачи позволяет построить методику расчета
теплообмена в отрывной зоне через определение характерного
значения а, что при наличии аппроксимирующей зависимости
(см. рис. 15.23) дает возможность рассчитать его местные значения
в любом сечении зоны отрыва. В качестве характерного
значения а принята величина коэффициента теплоотдачи в точке
присоединения потока R. Значение aR удобно выразить через
коэффициент теплоотдачи, который определяется с помощью известных
критериальных уравнений. В качестве такого коэффициента
теплоотдачи целесообразно выбрать коэффициент теплоотдачи в точке
отрыва потока а$, величина которого непосредственно влияет на
значение aR.
Результаты обработки экспериментальных данных в виде
зависимости ад/ocs = f (б5**/Я) приведены на рис. 15.24. Толщина
потери импульса и коэффициент теплоотдачи в точке отрыва
потока определяются по известным зависимостям. Длина
отрывной зоны зависит от высоты уступа, толщины пограничного слоя
перед отрывом и практически не зависит от Re^. С ростом
высоты уступа и 6S длина отрывной зоны увеличивается. Значение xR
может быть определено по зависимости XrIH = f (6J*/#),
полученной при изменении высоты уступа от 12 до 137 мм и величины 8„
от 3 до 13 мм (рис. 15.25). При 6Г/Я > 0,02 отношение xRIH
остается примерно постоянным. В этой области длина зоны отрыва
равна примерно 5 высотам уступа. Таким образом, для
определения теплового потока в конкретном сечении зоны отрыва
необходимо рассчитать as и 6". Пользуясь рис. 15.24 и 15.25,
возможно определить значение коэффициента теплоотдачи в точке
присоединения потока и длину отрывной зоны xR. Величина
местного коэффициента теплоотдачи в других сечениях отрывной
391

ал/а
1.6
1,2
J,8
4
t-\ -
-l_JP
_1_ L_i.
(7 #<?/ <?,02 0,93 III"' 0,05 $**//■!
Рис. 15.24. Зависимость коэффициента
теплоотдачи на линии присоединения
потока aR от параметоа 8**/// для
уступов высотой // — 12 ... 137 мм:
ф — гладкая поверхность перед уступом:
О — шероховатая поверхность перед
уступом
у*
й
н
?
•
•
\HTlLlT
л'А^
»
_j
Ч <
1
1
1
ГП1
О 0,07 0,01 0,03 0,04 0,05 $**/н
Рис. 15.25. Зависимость длины
отрывной зоны за уступом от 6**7 Я для
уступов высотой #=12 ... 137 мм:
$ — гладкая поверхность перед уступом;
О — шероховатая поверхность перед
уступом
зоны определится по данным рис. 15.23 и, наконец, тепловой
поток — из зависимости qw — а (Та, — Tw).
15.10. ВЛИЯНИЕ НА ТЕПЛООБМЕН ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ВНЕШНЕГО ПОТОКА
Ранее указывалось, что при рассмотрении
взаимодействия потока газа или жидкости с твердой поверхностью все
течение целесообразно разделить на две области: тонкого
(пристеночного) пограничного слоя и располагающегося над ним
внешнего потока. При этом могут реализоваться три режима течения:
1) во внешнем потоке и в пограничном слое — течение
ламинарное; 2) внешний поток турбулентный, а течение в пограничном
слое ламинарное; 3) во внешнем потоке и в пограничном слое —
течение турбулентное.
Второй режим течения встречается в большинстве
технических задач. Он имеет место в начале взаимодействия внешнего
турбулентного потока с гладкой поверхностью, в окрестности
критического сечения затупленного тела, во впадинах
шероховатой поверхности, в отрывных зонах и т. д.
Теория ламинарного пограничного слоя, расчетные
зависимости, полученные на ее основе, справедливы для первого случая,
когда внешний поток и пограничный слой ламинарные или для
тех частных случаев второго режима, при которых
турбулентность внешнего потока не оказывает заметного влияния на
характеристики ламинарного пограничного слоя.
Вместе с тем, в ряде случаев второго режима течения
результаты расчета теплообмена с использованием положений теории
ламинарного пограничного слоя существенно отличаются от
экспериментальных данных. Наблюдающееся несоответствие
объясняется тем, что между пограничным слоем и внешним потоком
нет непроницаемой границы и при турбулентном внешнем потоке
пульсации могут проникать в ламинарный пограничный слой.
392

При этом пограничный слой не становится турбулентным, он
остается своеобразным ламинарным слоем, переносные свойства
которого существенно возрастают за счет участвующих в этом
процессе пульсаций внешнего потока.
Пограничный слой остается ламинарным в силу того, что
при малых значениях критерия Рейнольдса силы трения велики
и пульсации внешнего потока гасятся ими, не вызывая еще
перехода течения в пограничном слое в турбулентное.
Следует однако заметить, что из рассуждений о физическом
смысле критерия Рейнольдса с ростом его, т. е. с относительным
уменьшением сил трения, влияние пульсаций внешнего потока
на характеристики ламинарного пограничного слоя будет
возрастать, так как уменьшится интенсивность диссипации
турбулентной энергии в пограничном слое.
Турбулентность внешнего потока характеризуется
интенсивностью и масштабом турбулентности. Интенсивность
турбулентности определяется как отношение среднеквадратичной пульса-
ционной составляющей скорости к скорости осредненного
движения. Под масштабом турбулентности мы будем понимать
размер пульсирующего образования — моль. В турбулентном потоке
существует целый спектр масштабов турбулентности от
минимального до максимального, определяемого размером и условиями
течения среды. Актуальность задачи расчета теплообмена при
ламинарном пограничном слое, существующем в условиях внешнего
турбулентного потока, определила появление большого
количества исследований этого явления. При этом в большинстве
случаев анализ результатов исследования проводился на
основании только параметров турбулентности невозмущенного внешнего
потока, т. е. параметров турбулентности, которые существуют
в потоке вдали от тела. Следует отметить противоречивость
полученных в этом случае результатов исследования.
Так, например, изучая теплообмен в окрестности передней
критической точки сферы при одних параметрах потока Re =
= 5-Ю4 и е = 10%, одни исследователи (Гостовский и Костелло)
получили увеличение теплового потока по сравнению с расчетным
на 30%, а другие (Ньютон, Спэрроу и Эккерт) — на 15%. Лой-
цянский и Шваб при Re = 5-104 и е = 3% установили увеличение
теплообмена на 30%. Еще более противоречивы данные по
влиянию масштаба турбулентности.
Для того, чтобы понять, каким образом турбулентность
потока оказывает влияние на теплообмен, необходимо
сформулировать физическую модель этого явления.
Выше отмечалось, что во внешнем потоке существует целый
спектр масштабов турбулентности. При этом следует, по-видимому,
исходить из того, что на переносные свойства ламинарного
пограничного слоя будут оказывать влияние масштабы
турбулентности, размер которых соизмерим с толщиной пограничного слоя.
Именно пульсации таких масштабов могут проникать внутрь
393

E/£c
u'/u'„
0
+ A
J I_t i±AA
О 0,2 О,1* 0,6 0,8 x/d
Рис. 15.26. Изменение интенсивности
турбулентности при приближении к
преграде в виде торцев с различными
диаметрами id, мм):
О — 10; -| 20; Д — 37
0,6
0,4
0,2
О
L
+ С
А
о
4
и
>
1>+дЛТ+ 1
42 о,4 0,6 0,8 к/а
Рис. 15.27. Изменение пульсационной
скорости при приближении к преграде
в виде торцев с различными
диаметрами (d, мм):
О — 10; Н 20: д — 37
пограничного слоя, существенно изменяя при этом переносные
свойства среды. Следовательно, для определения влияния на
теплообмен турбулентности внешнего потока недостаточно знать
его параметры на бесконечности, а необходимо уметь определять
параметры турбулентности потока на границе пограничного слоя
в том сечении, в котором определяется тепловой поток. Значения
параметров турбулентности на границе пограничного слоя
зависят как от параметров турбулентности невозмущенного потока,
так и от условий взаимодействия его с конкретным телом.
Рассмотрим это на примере взаимодействия бесконечного
потока с установленными в нем телами в виде дисков разного
диаметра. При взаимодействии потока с преградой изменяются
параметры потока. Скорость потока на оси симметрии
уменьшается до нуля в критической точке тела. Интенсивность
турбулентности увеличивается, так как пульсационная составляющая
уменьшается медленнее, чем средняя скорость потока (рис. 15.26).
Уменьшение пульсационной составляющей показано на рис. 15.27.
Заметим, что зависимость уменьшения относительной пульсации
скорости от безразмерного расстояния до тела имеет одинаковый
вид для торцев разного диаметра. При приближении к телу
изменяется не только пульсационная составляющая скорости, но
и масштаб турбулентности. Экспериментальное определение
масштаба турбулентности достаточно сложная и трудоемкая задача.
Масштаб турбулентности обратно пропорционален частоте
турбулентных пульсаций. Результаты измерения частоты
турбулентных пульсаций показывают, что при приближении к телу масштаб
турбулентности существенно уменьшается.
Взаимодействие дозвукового потока с помещенным в него
телом теоретически начинается на бесконечно большом расстоя-
394

нии. Однако измерения показывают, что заметное изменение
параметров потока начинается с расстояния, примерно равного
размеру тела. Таким образом, при установке в потоке тела большего
размера изменение параметров потока начнется на большем
расстоянии от тела. При этом при приближении к телу значительная
часть молей спектра турбулентных пульсаций уменьшается до
диссипативиого размера и диссиппруст, пе достигнув границы
пограничного слоя. В этом случае на границе пограничного слоя
будут пульсации, масштаб которых соизмерим с толщиной
пограничного слоя, но с относительно небольшой суммарной
энергией. Пульсации внешнею потока проникнут в пограничный
слой и увеличат его переносные свойства пропорционально своей
энергии.
При уменьшении размера тела уменьшается диссипация
турбулентной энергии вдали от модели, и па границе пограничного
слоя возрастает энергия турбулентных пульсаций, масштаб
которых будет еще соизмерим с толщиной пограничного слоя. Это
приводит к еще большему росту турбулентной вязкости и
теплопроводности, т. е. к увеличению переносных свойств пограничного
слоя. При дальнейшем уменьшении размера тела продолжает
уменьшаться деформация спектра турбулентных пульсаций, и
границы пограничного слоя будут достигать все больше масштабов
турбулентности, размер которых существенно превосходит
толщину пограничного слоя.
Начиная с некоторого размера модели, возрастание масштабов
турбулентности приведет к тому, что суммарная энергия
масштабов, соизмеримых с толщиной пограничного слоя, начнет
уменьшаться. Таким образом, при данных параметрах турбулентности
внешнего потока его воздействие на переносные свойства
пограничного слоя будет максимальным при некотором размере тела
/кр. При / > /кр большая доля турбулентной энергии диссипи-
рует до достижения границы пограничного слоя, а при / < I
на границе пограничного слоя
будет много масштабов
турбулентности, превосходящих
размер пограничного слоя.
Результаты
экспериментальной проверки изложенной
физической модели воздействия
параметров турбулентности внешнего
потока на теплообмен при
градиентном течении в окрестности
критической точки затупленного
тела приведены на рис. 15.28.
Данные получены при
сравнительно небольшой интенсивности
турбулентности е =2,7% . С
увеличением е влияние турбулент-
кр
Nu3jNu[
Рис. 15.28. Влияние параметров
турбулентности потока на условия
теплообмена в окрестности критической
точки торцев и сфер при значениях
Есо = 2,7, Leo = 1,9 мм, Цоо = 21 м/с:
D — торцы; О — сферы
395
t.

ности возрастает. Исследование теплообмена в окрестности
критической точки проведено на дисках разного диаметра,
устанавливаемых в один и тот же внешний поток. По оси ординат отложено
отношение критерия Нусеельта, подсчитанного по
экспериментальным данным, к критерию Нусеельта, определенному по
теории ламинарного пограничного слоя. По оси абсцисс приведены
значения диаметров дисков, на которых проводилось
экспериментальное исследование. На рис. 15.28 приведены также результаты
исследования теплообмена в критической точке сферических
моделей.
Результаты исследования указывают на необходимость учета
влияния на теплообмен турбулентности потока, так как при
определенных условиях действительные тепловые потоки в
критической точке тел могут в несколько раз превосходить тепловые
потоки, рассчитанные по теории ламинарного пограничного слоя.
Отметим, что существуют полуэмпирические теории расчета
теплообмена, учитывающие влияние турбулентности потока. При
этом наряду с традиционными уравнениями неразрывности,
движения и энергии приходится рассматривать уравнения,
учитывающие порождение, диссипацию и диффузию турбулентной анергии
внешнего потока.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как рассчитать конвективный тепловой поток при обтекании газом
шероховатой пластины?
2. Как за счет шероховатости получить максимальное увеличение теплового
потока при минимальном возрастании сопротивления?
3. Как и почему параметр s/h влияет на теплообмен?
4. Как определить тепловой поток на линии растекания на вертикальной
поверхности тела в двухмерной отрывной зоне, образующейся перед уступом?
5. Как рассчитать тепловой поток на линии растекания на вертикальной
поверхности тела в трехмерной отрывной зоне, образующейся перед уступом?
6. Как рассчитать тепловой поток на горизонтальной поверхности тела в
двухмерной отрывной зоне, образующейся за уступом?
7. При каких условиях и почему влияние турбулентности внешнего потока
на теплообмен в окрестности критической точки имеет максимальное значение?

ГЛАВА XVI
РАДИАЦИОННО- КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
16.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При полете летательных аппаратов в плотных слоях
атмосферы Земли или других планет (Марса, Венеры, Юпитера
и др.) со сверхорбитальными скоростями одной из основных и
очень сложных проблем является расчет теплообмена при
обтекании поверхности тела потоком частично ионизованного газа.
Наличие в ионизованном газе свободных электронов
оказывает значительное влияние на коэффициенты переноса (диффузии,
теплопроводности, электропроводности), которыми определяется
аэродинамический нагрев поверхности летательного аппарата.
Большая подвижность электронов существенно влияет на
интенсификацию диффузионных потоков ионно-электронных пар по
направлению к поверхности тела. Попадая в холодный
пристеночный слой, эти частицы рекомбинируют с выделением очень
большой энергии ионизации. Эти два явления значительно
увеличивают плотность теплового потока от ионизованного газа
к поверхности тела.
Аналогичные процессы имеют место в высокоэнергетических
установках, где в качестве рабочего тела используется
низкотемпературная плазма (электродуговые установки, двигатели
с электромагнитным разгоном, МГД-генераторы и др.).
При обтекании поверхности тела потоком частично
ионизованного газа (низкотемпературной плазмы) наряду с переносом
тепла теплопроводностью, конвекцией и диффузией необходимо
учитывать также и лучистый теплообмен. Радиационный перенос
тепла в высокотемпературном ионизованном потоке (Г > 104 К)
становится сравнимым, а с увеличением температуры — и
преобладающим по сравнению с конвективным теплообменом.
На рис. 16.1 показан вклад
лучистого теплообмена по
отношению к конвективному при полете
летательных аппаратов с орби-
Рис. 16.1. Кривая зависимости
отношения лучистого теплообмена к
конвективному при полете ЛА с орбитальными и
сверхорбитальными скоростями:
р* V, КА: сВосток» и «Зонд» соответственно
с орбитальными скоростями; S — ЛА со сверх-
оровтальнами скоростями
397
wmu
!
/-^
'
//
1J уйх.км/с

тальными и сверхорбитальными скоростями. Видно, что при
гиперболических скоростях входа летательных аппаратов (uRX >
> 12 км/с) в плотные слои атмосферы Земли, радиационный
тепловой поток становится доминирующим в суммарной тепловой
нагрузке.
Таким образом, учет лучистого теплообмена, влияния поля
излучения на поле течения является необходимым условием при
расчете теплообмена при обтекании поверхности потоком частично
ионизованного газа (или низкотемпературной плазмы).
16.2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При обтекании тела потоком частично ионизованного
газа па поверхности образуется пограничный слой (рис. 16.2).
,)ь\ ^ Рассмотрим ламинарный режим
р,\^ /^ течения вязкого, теплопроводного,
.-.Тл'1!^— Хл и с излучающего газа.
■х При отсутствии внешних
электрических и магнитных полей
стационарное течение частично иони-
— зованпого газа, состоящего из v
Рис. 16.2. Схема обтекания тела элементов и п компонентов, ОПН-
потоком частично ионизирован- сывается следующей системой урав-
ного газа J • г
нении:
1) уравнение неразрывности для смеси
дх
где х, у — координаты; и, v
д (ригк) + ~ (риг*) = О,
(16.1)
компоненты скорости; р — плот-
0 — для пластины;
радиус вращения; k — \ 1 —для осесимметрнчного
тела;
ность; г
2) уравнение количества движения
да , да
др . д ! да
дх ду дх
3) уравнение неразрывности для компонентов
ОС;
' дх
ри-
дС;
дК,
----- Wt (i ■-= 1, 2,
(16.2)
v), (16.3)
ду ду
где С; — массовая концентрация; Ki — массовый диффузионный
поток i- го компонента; Wt
массовая скорость ооразования
-у V
i-ro компонента. Для реакции типа Лг *-- ^ рг5; массовая ско-
К /=л
рость образования
i
U=i
1)Р
(16.4)
398

где An = 2 Pj-ft — 1; Ct — Сг/Л4г; 7Иг — молярная масса t'-ro ком-
понента;
4) уравнение диффузии для элементов
Р»^- + Ри^ + ^- = 0 ^==1. 2. ...,v-l), (16.5)
п
где Ст = 2 MxnxiCi/Mi — концентрация химического элемента;
Мт — масса атома элемента; Кх — 2 MxnxiKi/Mi — массовый
i=i
диффузионный поток элемента;
5) соотношения Стефана—-Максвелла для тяжелых частиц
(молекул, атомов, ионов)
дх, М
ду Р
4 Li MjDtj Mt Zj Dtj
!Фе \Фе
kT
(i = 1, 2, ..., /г-2), (16.6)
где xt = УИС; — мольная концентрация; DtJ — коэффициент
диффузии бинарной смеси; М — молярная масса смеси; k —
постоянная Больцмана;
6) скорость диффузии для электронов
1 -, Г IkT Г д In Т „ дхр епр „ „П /1С-Ч
о.д-Ф = -2-1/ l^l-aeo^f~ + riCe0-1F + -w-Ce0Ej, (16.7)
где те — масса электрона; ае0 и Се0 — нулевые коэффициенты
разложения по полиномам Сонина; Е — напряженность
внутреннего электрического поля;
7) уравнение энергии
где Ij — полная энтальпия компонента; /0 —■ полная энтальпия
торможения газа; qR — плотность лучистого потока;
■8) закон Дальтона
2*i = i; (16.9)
i=i
9) уравнение квазинейтральности
V
2j С(i) —- Се;
(0 = 1
399

10) уравнение для замыкания массовых диффузионных потоков
2*0 = 0; (16.10)
11) уравнение состояния
p = pRT/M; M = (2,Cj) \ (16.11)
где R = 8,3 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная.
В изолированной системе, когда поверхность тела является
электрически нейтральной, при отсутствии внешнего
электрического поля ток через плазму (ионизованный газ) отсутствует.
Это значит, что в ионизованном газе, вследствие его поляризации,
возникает внутреннее электрическое поле напряженностью Е,
которое компенсирует ток, обусловленный градиентами
температуры (дТ/ду) и концентрации электронов (dxjdy), т. е.
£ = _о^_оТ +_ш^а*е_ (16.12)
ое ду ' ае ду v ;
где коэффициенты переноса ае, сое, ае определяются через
нулевые коэффициенты разложения аей и Се0;
12) уравнение переноса излучения
_-^ = МЛ,р-Л), (16-13)
где J% — спектральная интенсивность излучения; k^ —
спектральный объемный коэффициент поглощения; Д
—спектральная равновесная интенсивность.
Если известна основная характеристика поля излучения (Д),
то радиационный тепловой поток определяется по формуле
оо
qR = | | Jx cos cpdQ dX. (16.14)
Система уравнений (16.1) ...(16.14) решается при наличии
следующих граничных условий:
на поверхности
0 = 0; u = v = 0; Т (0) = 7ш; /С,, „ = 0; (16.15)
во внешнем потоке
у-+оо; а-+иг CT(oo)->Ctil; С, (оо)-»-С,л; Г («>)-> 7\. (16.16)
Граничные условия для излучения сформулируем ниже.
16.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАДИАЦИОННОГО
ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И ЕГО ДИВЕРГЕНЦИИ
В теории гиперзвукового обтекания поверхности
летательного аппарата излучающим высокотемпературным потоком
газа широко используется модель плоского слоя, так как его
400

Рис
ния
6.3. Схема к выводу ур
ЛуЧИСТОГО И'П.'ЮВОГО ПОК
толщина намного меньше
характерного размера тела. Кроме того,
температура и плотность газа
очень сильно изменяются поперек
слоя, что позволяет пренебречь
градиентами температуры и
плотности вдоль плоского слоя. Это
позволяет принять допущение
о том, что спектральная
равновесная интенсивность (Д, р) не
зависит от угла ср н является функцией только поперечной
координаты. Такой одномерный перенос излучения в плоском слое
вполне оправдан, потому что поперечняя составляющая лучистей.)
потока много больше продольной составляющей.
Для вывода уравнения плотности лучистого теплового потока
и его дивергенции разделим спектральную интенсивность (Д.)
на две составляющие: прямую (Д+;) и обратную (Д_>) (рис. 16.3),
т. е. Д+) — спектральная интенсивность в верхнюю полусферу;
Д_)— спектральная интенсивность в нижнюю полусферу.
Тогда полная спектральная интенсивность в любой точке слоя
Л = Д+,-Д-"'. (16.17)
С учетом того, что dl = dy/cos ср, уравнения переноса
излучения для составляющих Д+; и Д-) имеют вид (см. рис. 16.3)
cos
cos ср
д+:
dy
dy
= ЫД. р-Л+));
k% (Л, Р — Д;').
(16.18)
(16.19)
Обозначим т = 1/cos ср. Для тепловых лучей, направленных
в верхнюю полусферу (т. е. от стенки), справедливо условие
(см. рис. 16.3)
О ■< ср <: я/2; 1 -< т -< оо,
а для лучей, направленных в нижнюю полусферу (к
л/2 <; ср <Г. я; — оо <С m <Г. — 1.
Проинтегрируем уравнение (16.19), используя для
ничное условие:
при у ■— А Ду'л, = Д. д.
Получим выражение для спектралькс
в нижнюю полусферу
(16.20)
стенке),
(16.21)
него гра-
(16.22)
интенсивности [Д~'(#)]
"'(#) = А. Дехр
\
ky, (r\) mdr\
(
+ I h, р (П) К (г\) т ехр \ — \ h (s) mds йц.
у \ у I
(16.23)
401

Уравнение (16.18) решается с граничными условиями на
стенке. Считая процесс отражения тепловых лучей от стенки
диффузным, запишем
Д+) (0) - Ях (Г.) + (1 - еш) Л-'(О)
cos <р
(16.24)
Принимая степень черноты поверхности летательного
аппарата близкой к единице, проинтегрируем уравнение (16.18) и
получим выражение для спектральной интенсивности [jy(у)]
в верхнюю полусферу:
/ у \ у
Л+) (у) - Вх. о (Tw) ехр — J k% (tj) md ц + j J x, p (n) kx (r\) m
x
/
x exp
J kk (s) mds dr\.
(16.25)
Подставив выражения для спектральной интенсивности J%
(16.17), (16.23), (16.25) в выражение для лучистого теплового
потока (16.14), получим
<7в = 2я
&*, (s) ds
Л, р (n) h (л) Е2
у
j k% (л) dt\
_[л,Р(л)Ыл)£
j kK (s) ds j dr) d% + 2я j
J МлМЛ
Ч,Л-Сз
dn —
Bx,o(Tw)E3 X
dX, (16.26)
где £„ (т^) = j m~nexp(—mix)dm -- интегроэкспоненциальная
i
функция порядка n in = 1, 2, 3...); т^ = j &>, (г/) dy —
спектральная оптическая толщина слоя.
Продифференцировав уравнение (16.26) по у, получим
выражение для дивергенции лучистого теплового потока, которое
используется в уравнении энергии (16.8):
у
- 2я kx
4" А, д-^а
2/ь,р(у) -Byt0(Tw)Et
f Мл)^Л
+
j л (Л) ^Л
.V
] ki (s) ds
Л,Р(л)Ыл)£1 X
dr\
dl.
(16.27)
402

16.4. Ступенчатые модели
Если подставить выражение
дивергенции лучистого
тепловою потока (16.27) в
уравнение энергии (16.8), то
получим сложное уравнение,
имеющее пнтегродифференциаль-
ный характер. Решение этого
уравнения усложнено тем, что
спектральный коэффициент
поглощения (кк) является очень
сложной функцией от длины
волны. Это обстоятельство
приводит к тому, что строгое
решение задач радиационпо-копвективпого теплообмена с реальным
спектром при наличии линейчатой области невозможно даже
на самых современных Э13.М. Следовательно, необходимо
разрабатывать приближенные, но достаточно эффективные методы
интегрирования радиационных характеристик газа по длинам
волн, причем заранее, до решения системы уравнений радиа-
циопно-конвективного теплообмена.
Одним из таких наиболее простых ранних методов является
приближение «серого газа», когда делается предположение о пол-
нон независимости коэффициентов поглощения от длины волны.
Такая модель резко упрощает решение задачи радиационно-коп-
вективного теплообмена, она широко использовалась в ранних
работах многих специалистов, однако погрешность в определении
лучистого теплового потока очень высока. Поэтому эта модель
применяется крайне редко.
Для учета селективности в переносе излучения широко
используются ступенчатые модели, когда коэффициент поглощения
считается постоянным в определенном интервале длин волн.
На рис. 1(1.4 представлены ступенчатые модели различного типа,
аппроксимирующие оптический спектр высокотемпературного
воздуха. Количество ступеней варьировалось различными
исследователями от двух до восьми. Однако ступенчатые модели пригодны
только для описания непрерывного спектра.
Чтобы получить более точные расчеты поля излучения,
применялись более сложные ступенчатые модели (п — 21 ... 128),
приближающиеся к реальному спектру, которые можно
рассматривать как метод прямого интегрирования по длинам воли. Но н
здесь при наличии линейчатой структуры молекулярных спектров
возникают непреодолимые трудности при интегрировании по
длинам волн даже с применением самых современных ЭВМ.
Разработан новый интегральный метод расчета переноса
излучения — метод парциальных характеристик. Он позволяет
провести интегрирование по длине волны и углам в выражении для
лучистого теплового потока н его дивергенции заранее, до
решения системы уравнений радиациоино-конвектнвного теплообмена.
403

При этом необходимо отметить, что интегрирование по длинам
волн проводится по всему реальному спектру, включающему
в себя произвольное число спектральных линий. Это —
трудоемкая задача, требующая для своего решения на современных
ЭВМ времени на порядок больше, чем решение самой задачи
теплообмена, выполняется заранее (один раз). Интегральные
парциальные характеристики в зависимости от термодинамических
параметров газового объема (температуры и давления) табулируются
в виде справочного материала. Используя их, можно быстро
рассчитать в каждой точке горячего газового слоя величину
лучистого теплового потока (qR) и его дивергенцию (dqR/dy).
В качестве "наглядного примера рассмотрим радиационно-
конвективный теплообмен в окрестности передней критической
точки затупленного тела, движущегося со сверхорбитальной
скоростью.
16.4. РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА
Рассмотрим обтекание сферы радиусом RN (рис. 16.5)
гиперзвуковым потоком воздуха. Перед телом возникает
отошедшая ударная волна 1, за которой образуется ударный слой 2,
в котором термодинамические параметры (давление, температура,
плотность) близки к параметрам торможения. Толщина ударного
слоя (А) составляет несколько процентов от характерного
размера тела (радиуса затупления), поэтому можно сделать
допущение, что
AARjv « 1. (16.28)
Если температура и давление торможения в ударном слое
таковы, что оптическая спектральная толщина газового слоя
мала для всех длин волн (т^ •< 0,01)
д
T>. = \kxdy, (16.29)
о
то ударный слой является адиабатным. Профили всех параметров
интенсивно изменяются лишь в тонком пограничном слое, для
которого справедливы уравнения Пра-
ндтля.
Существенно усложняется картина
течения излучающего и поглощающего
газа в ударном слое, когда поле
излучения начинает взаимодействовать с
полем течения. В результате этого
взаимодействия изменяется профиль
полной энтальпии поперек ударного
слоя (см. рис. 16.5), который перестает
быть адиабатным, изменяются также
профили всех физических параметров
Рис. 16.5. Схема обтекания
сферы
404

газового потока, в том числе и скорости. Наблюдается такая
картина, как-будто пограничный слой «разбухает», и вязкостные
эффекты необходимо учитывать во всей области течения за
ударной волной.
Поэтому при исследовании тепло- и массопереноса в
излучающем и поглощающем газе, обтекающем поверхность тела,
делается допущение, что ударный слой является вязким, а давление
поперек него не изменяется. В этом случае с учетом допущения
(16.28) систему дифференциальных уравнений, описывающую
течение излучающего газа за ударной волной, можно свести к
системе дифференциальных уравнений пограничного слоя (16.1) ...
(16.13).
При наличии термодинамического и термохимического
равновесия в ударном слое систему уравнений (16.1) ... (16.13) можно
существенно упростить, воспользовавшись методом полных
коэффициентов. В этом случае течение излучающего и поглощающего
газа в окрестности передней критической точки затупленного
тела, где ударный слой можно считать плоским, описывается
следующей системой дифференциальных уравнений:
1) уравнение неразрывности для смеси (рис. 16.5)
^(Р^) + -|г(Р^) = 0; (16.30)
2) уравнение количества движения
ди . ди др , д I ди \ ,,„„,.
3) уравнение энергии
ои —+ ov~ д I %еП д! \ dqu П6 32^
Р" дх + pV ду ~ ду \cVeti ду) ду ■ (1Ь-^
Здесь использован метод полных (эффективных)
коэффициентов. Лучистый тепловой поток и его дивергенция определяются
уравнениями (16.26) и (16.27).
Система уравнений (16.30) ... (16.32), (16.26), (16.27)
решается при следующих граничных условиях:
у = 0; и = v = 0; Г (0) = Tw; 1(0) = Iw; ^ = 1; /„(0) = Вх<0.
(16.33)
На ударной волне
у = А; рнин = РдИд; рн + Рн«н = Рд -f Рд»д; /я + ufa/2 =
= /д + о!/2; /х.д = 0. (16.34)
405

16.5. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ
В окрестности передней критической точки
затупленного тела, где скорость внешнего потока является линейной
функции продольной координаты
иА =-- $х, (16.35)
решение является подобным, т. е. система дифференциальных
уравнений (16.30) ... (16.32) в частных производных
параболического типа сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Для этой цели используются специальные переменные
х
ъ :— J ^шршидГ их\
0 (16.36)
У
Чтобы удовлетворить уравнению неразрывности, введем
функцию тока т|:, положив
риг --- ----- , pvr --= ~ . (16.37)
' оу г ох у '
Б\дем искать решение для функции тока г|з в виде
4'--/(i; у\)-У1\. (16.38)
Выразим производные по х и у через новые переменные
(16.39)
Подставим выражение для функции тока т|з (16.38) в уравнения
(16.37). L учетом (16.39) получим
— = Д-; (16.40)
д
дх
<)х
д
—+
(шлг
V'2E
д ц д
дх di]
д
дг\
Л.(^+^/Щ+^у214-]- (16.41)
дх I р/оТ ' dl ' ъ) дх r s дц ] ч ;
Введем также безразмерные зависимые параметры скорости
Ф=-|^ = и/ид (16.42)
406

и полной энтальпии торможения
g = ///д. (16.43)
Уравнения количества движения и энергии (16.31), (16.32)
в новых переменных с учетом уравнений (16.40) ... (16.43)
принимают вид
(¥)' +№ + т(~- - v') - 21 (<р-Ц- - ф'-f-); (16.44)
В окрестности передней критической точки затупленного
тела (при \ —>- 0) имеем следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
1) уравнение количества движения
W)' + Лр' + у (рд/р - ф2) = о; (16.46)
2) уравнение энергии
^g'y + fg'-gR-O; (16.47)
3) уравнение для функции тока
д
f-= \ ydr\, (16.48)
где
I = (PP)l{v-wPw)\ PreW = WPeff/keff; у -= 2 (-g-nrf")
fl-H=.-T_^===-; (16.49)
штрих означает производную по координате т].
Граничные условия в новых переменных имеют вид:
т| = 0; / (0) = Ф (0) == 0; g (0) = gw- еш = 1. (16.50)
На ударной волне
Ро = "н/^; Ф (А) = 1; / (А) = Рнин/У 2ци,р1„Ро"; g(A)-l- (16.51)
16.6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО (УДАРНОГО) СЛОЯ
Для решения нелинейной системы дифференциальных
уравнений (16.46) ... (16.48) разработано достаточно много
эффективных численных методов, например
дифференциально-разностный, конечно-разностный метод, интегральных соотношений. На
практике для численного решения дифференциальных уравнений
чаще применяется метод конечных разностей. Конечно-разностный
метод является наиболее универсальным и наиболее точным
численным методом.
407

Для разработки алгоритма счета представим систему (16.46,
16.47) в виде общего нелинейного дифференциального уравнения
2-го порядка:
Qi-^+Rt-^ + Cf + D^O, (16.52)
где для уравнения количества движения
f =■■ сР (Л); Qi = / (л); Ri = /' + f (л);
Ct = —тф Oi); £>! = трд/р; (16.53)
для уравнения энергии
F^g(4); Q2 = /(T))/Pre//; ^/(rO + ^p^); Ca = 0;
Da = —q'R- (16.54)
Для интегрирования уравнения (16.52) по координате ц
разбиваем всю толщину ударного слоя на N узловых точек (для
практической реализации задачи достаточно положить N =
--— 180 ... 200). Шаг по координате т) = h.
Для конечно-разностной аппроксимации дифференциального
уравнения (16.52) воспользуемся неявной разностной схемой
с погрешностью 0 (/г2)
Qh ^±'~2^ + f^ + Rh ^^- + ChFh + Dh = 0
(A = 1, 2, . ... ЛГ- 1). (16.55)
Обозначим
ah = 2Qk - h*Ck; h - Qft -f 4~^; V* = Q* ~ Т"^. 6* = ft"D*
(A = 1, 2, ..., N — l). (16.56)
С учетом (16.56) получим систему нелинейных алгебраических
уравнений
- гЛ-1-г «*Л. - MVi = 0 (*=1. 2, .... tf-1) (16.57)
с трехдиагональиой матрицей коэффициентов, которая эффективно
решается методом прогонки. Для этого воспользуемся
рекуррентным соотношением
^ы = ЛьЛ + Вм (k = l, 2, ..., N). (16.58)
Подставив (16.58) в уравнение (16.57), получим выражения
для прогоночных коэффициентов:
В* -= (6„ + Y*Bfc-iV(afc - Yft^fc-i) (* = 1, 2 ЛГ - 1). (16.59)
Начальные значения прогоночных коэффициентов (А0 и В0)
определяются из граничных условий на поверхности (16.50).
408

Определив прямой прогонкой коэффициенты ^ и Bh,
находим из обратной прогонки функцию (Fh), воспользовавшись
рекуррентным соотношением
Fh = AhFh+1 + Bh (k = N-l, N-2, ..., 2, 1, 0). (16.60)
По данному алгоритму была составлена программа на языке
ФОРТРАН IV.
Программа состоит из 6 модулей: из основной программы
и пяти подпрограмм — VICH, RESH, SIMPS, LUCH, PROGON,
которые используются в основной программе.
Численный метод решения системы дифференциальных
уравнений полностью представлен в основной программе.
Методика решения состоит из следующих операций:
1. Задаются (произвольно) начальные профили скорости ф&"
температуры Т*0), полной энтальпии gf\
2. По известному профилю скорости определяется функция
тока
/(л) = /» + | Ф(Л)*1- (16.61)
о
Уравнение (16.61) интегрируется методом криволинейной
трапеции (методом Симпсона) с использованием подпрограммы
SIMPS.
3. Зная профиль температуры поперек ударного слоя,
рассчитываются термодинамические и переносные свойства
высокотемпературного газа — р, Мсм, ср , (х, А,е^, /, Preff с помощью
подпрограммы VICH.
4. Обращаясь к подпрограмме RESH, вычисляются
коэффициенты дифференциального уравнения (16.52) Qh, Rk, Gh, Dk.
5. С помощью подпрограммы LUCH определяются лучистый
тепловой поток (qR) и его дивергенция (dqR/dr\) по методу
парциальных характеристик.
6. С помощью подпрограммы PROGON методом прогонки
решаются уравнения движения и энергии, в результате чего
определяются профили скорости ф* и полной энтальпии
торможения q{n).
7. По профилю полной энтальпии торможения определяем
температуру в ударном слое
я
ТЪ) = Тш+и\1-&ш, (16.62)
используя для расчета интеграла в уравнении (16.62)
подпрограмму SIMPS.
409

8. Для расчета лучистого потока и его дивергенции на каждой
итерации определяется физическая толщина ударного слоя г/д
Пд
у*--У-ж-)— <I6-6d>
О
с использованием подпрограммы SIMPS.
9. Зная новый профиль всех параметров (скорости, полной
энтальпии торможения, температуры), повторяем процесс расчета.
Таким образом, задача решается методом итераций, пока не
будет достигнута заданная точность расчета е — Ю-3 ... 10"4
/г СО
(16.64)
10. После решения задачи, определив структуру ударного
слоя, определяем параметр теплообмена на стенке
/ Nu\ _ (/д ~ Iw) / dg
ll/Re/ш /д \ dr\
и приведенную величину теплового потока qwY~RN/p0
V
(16.65)
»-iv£r).^^)(2-S-) vfc- <16-66»
RN _ I Nu \ ■./-—— /' l\~lw \ i о Po \1/4
16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА РАДИАЦИОННО-
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПОЛЕТЕ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С ГИПЕРЗВУКОВЫМИ
СКОРОСТЯМИ
В большинстве ранних теоретических исследований
излучающего ударного слоя для расчета лучистого теплового
потока использовалась модель оптически прозрачного газа.
Предположение о прозрачности газа справедливо в том случае, если
д
оптическая толщина ударного слоя тх = I k%,dy мала для всех
о
длин волн (тя, ■< 0,01).
При этом пренебрегали влиянием лучистого переноса энергии
на параметры газа в ударном слое (температуру, скорость,
полную энтальпию и др.), т. е. не учитывали влияние поля излучения
на поле течения.
В окрестности передней критической точки затупленного тела
это предположение эквивалентно тому, что ударный слой
считается адиабатным с постоянными параметрами (Т, 1) поперек
слоя. Выражение для радиационного теплового потока от
плоского ударного слоя газа в окрестности передней критической
точки тела к поверхности летательного аппарата имеет вид
<7*.о = 2kpbo0Tl (16.67)
410

где kP — средний коэффициент поглощения по длинам ноли для
серого газа; А—толщина ударного слоя; Т0— температура
торможения в ударном слое.
Используя результаты исследования для толщины ударного
слоя
• А -0,78-#Л.(Рн/рд) (1G.G8)
и обработав данные расчета излучательной способности ударною
слоя Es = 2kpa0T4 в зависимости от параметров набегающею
потока воздуха, получим выражение для радиационного
iсилового потока к поверхности летательного аппарата ог оптически
прозрачного ударного слоя с постоянными параметрами:
1) для ин •< 8 км/с
л—2п /„ / \1.42 8.5
О Rn (Рн/Ро) «н ;
<7я,о = 9
2) для 8 км/с < ан< 12 км/с
а с 1 п—9 п / ■ \ 1.42 16,5
Qr. о = 9,6-10 /?л-(рн/ро) ин ;
3) для 12 км/с < ин
км/с
<7я.о= l,6/?w (рв/ро)1,42"н'э,
(16.69)
(16.70)
(16.71)
{,-«;'*/*'
где цн •— скорость полета летательного аппарата, км/с; р„ —
плотность воздуха на высоте, кг/м3; р0 — плотность воздуха при
нормальных условиях (р = 106 Па, Т — 288 К), кг/м3; RN —
радиус затупления головной части летательного аппарата, м.
Полученные уравнения (16.69) ... (16.71) потребуются при
разработке инженерной методики расчета лучистого теплового
потока от ударного слоя газа с реальным спектром излучения.
Первым шагом при расчете излучения от
высокотемпературного газа с учетом поглощения было использование в уравнениях
(16.46 ... 16.51) ударного слоя модели серого газа. Был проведен
расчет вязкого ударного слоя и
определены конвективный и лучистый тепловые
потоки. Установлено, что учет излучения
и поглощения в сером газе существенно
снижает величину радиационного потока.
На рис. 16.6 приведены результаты
расчета лучистого потока для оптически
прозрачного ударного слоя(кривая 1) по
уравнениям (16.69) ... (16.71) в зависимости
от радиуса затупления головной части
летательного аппарата, летящего на
высоте 61 км (рн/Ро = 3-Ю"4) со скоростью
15,25 км/с. Температура торможения в
ударном слое в этом случае равна
15-103К. Здесь же нанесены результаты
работы (кривая 2), где использована
модель серого газа. Видно, что лучистый
к
11
\у
■"Г"
-
^
03 0,6
Рис. 16.6. Г\ у.-:.~;-"л
расчета лучистою
теплового потока
411

0,8
С 6
Oft
о
—-—[jj^i,
t
1
1 1
1 i
. . i
V l!
01
0,"
16 Г.
Рис. 16.7. Зависимость
конвективного теплового потока
от параметра Г.
?W?<<"/-' qw/<!wu тепловой поток значительно
уменьшается с возрастанием радиуса
затупления по сравнению с оптически
прозрачным слоем и он становится
пропорциональным не радиусу
затупления в первой степени (Rn), a R'n,
где т < 1 (т ~ 0,5). За счет
высвечивания высокотемпературного газа в
ударном слое снижается также
величина конвективного теплового потока.
Для учета селективности
излучения и поглощения газа в ударном
слое многие исследователи
использовали ступенчатые модели с
большим количеством ступеней (с малым шагом по длине волны).
Показано, что совместный учет охлаждения ударного слоя
излучением и селективного самопоглощения, в вакуумной
ультрафиолетовой области при К <0,12 мкм снижает лучистый тепловой
поток на порядок (см. рис. 16.6, кривая 4). Однако, если учесть
вклад спектральных линий атомов, то это приводит к увеличению
радиационного теплового потока на 30—40% (см. рис. 16.6,
кривая 3). Здесь же нанесены результаты, полученные при
решении системы уравнений ударного слоя (16.46) ... (16.48) с
использованием метода парциальных характеристик для расчета
лучистого потока и его дивергенции. Расчеты проводились в
широком диапазоне граничных условий (скорости полета, полной
энтальпии торможения, температуры) и радиуса затупления
головной части летательного аппарата. Результаты расчета
хорошо совпадают с данными других исследователей.
Результаты расчета радиационно-конвективного теплообмена
при полете летательных аппаратов со сверхорбитальными
скоростями можно обобщить, если ввести радиационный параметр
Гл =
(16.72;
представляющий собой отношение потока энергии, излучаемой
оптически прозрачным ударным слоем с постоянными
параметрами (в направлении к поверхности тела и ударной волны)
к потоку энергии, втекающему в этот слой через ударную волну.
На рис. 16.7 приведена зависимость конвективного теплового
потока при наличии излучения от радиационного параметра
(Гд). В представленном диапазоне скоростей набегающего потока
(до ия = 16 км/с) эту зависимость можно представить в виде
следующего уравнения (кВт/м2):
<7ш, о
1 + 0,245ГД'3
412
(16.73)

где qw> 0 — конвективный тепловой поток к поверхности тела
от оптически прозрачного ударного слоя, кВт/м2.
На этом же рисунке нанесены результаты расчета лучистого
теплового потока к поверхности летательного аппарата с учетом
вклада как континуального излучения, так и спектральных
линий атомов. Используя метод наименьших квадратов, было
получено следующее уравнение для радиационного теплового потока:
*- = -прйЬг. (16-74)
где qm — радиационный тепловой поток к поверхности
летательного аппарата от оптически прозрачного ударного слоя,
который определяется по формулам (16.69) ... (16.71).
16.8. ПРОГРАММА И ЕЕ СИМВОЛИКА
REAL Т(181), А1(181), Fl(181), G(181), Fll(181), Gl(181), ETA(181),
*R2(181), ROMU(181), АЦ181), PREF(181), F(181), CPEF(181), F12(I81),
*Q1(181), Q2(181), R 1(181), Cl(181), C2(181), Dl(181), D2(181),
*T2(181), R0(181)
CALL ASS1GN(1, 'DK: PROG. REZ')
С ВВОД ДАННЫХ
DATA TW, Ul, U2, All, AIW, AIOXL, N/500., 4.E3,5.E3,2.2E5,
1.E6.0., 131/
c
FORMAT (IX, 79 С—')/16X, 'Ul=\ F6.0.8X, 'Tl=\ F6.0.8X, 'TW
F6.0
*/1Х, 79(*—')/2X, 'CP *SQRT(RE)', 6X, 'R\ 10X, 'A1E', 5X,
'NU/SQRT(RE)',
*2X, 'Q*SQRT(X)\ 2X, 'TR *SQRT(X)7lX, 6E12.5/1X, 'J=\ 13/1X,
79('-')
*//10X, 'ETA', 10X, T, 12X, "FY, 11X, 'G\ 12X, 'AY, 11X, TV
*(3X, 6E13.5))
34 F0RMAT(1X, 4E12.5)
KOD=l.
2 J=0
Tl=220.
FW=0.
BO=0.
M=N—1
DH=.l
MA=N—2
DM=.l
GW=(A1W—A11)/(U1 » *2/2.)
DO 3 K=1,N
ETA(K)=DH * (K— 1.)
3 F1(K)=1. —EXP(— ETA(K) * * 1.4)
F1(N)=1.
G(N)=1.
DO 44 K=1,N
G(K)=GW+(1. — GW) *F1(K)
A1(K)=A1W+(G(K)—FI(K) * *2).U1. *2/2.
413

44 T(K)--T1-| (CAUK)--АП)/(АIW--AI11)) . (TW—T1)
А1Т1 --AI1-4-U1 * *2/2.
4 L---О.
\\'R1TL(5,34HT(K), K=T,N)
DO 5 K=---1,N
T2[KV-=T(K)
FIWK)-FI(K)
5 G1(K)-=G(K)
F!2(l)---=fFI(2)~FI(l))/DH
F!2(\)--0.
DO G К -2,М
С F12iK) ■ ■■(FUK-i-1)--FI(K— l))/2./DH
CALL SLMRS(Ei, F, DH, N, M, BL, ROD)
CALL ViCJ-RT, PREF, CPEF, ROMU, RO, AL, N)
CALL LUCIRT, Y, DS, DS1M, QR, DQR, M, N)
AlW- CPEF(l) *TW
PREFW- PRRF(l)
CALL. RESH(FL F, PREF, AL, QR Q2, Rl, R2, CI, C2, Dl, D2, F12,
RO, DH, BO, N, M)
CALL PROGON(FI, Ql, Rl, CI, Dl, DH, N, L, M, GW, FW, PREFW
AlW, A10XL, Ul,
* ROD)
L-L+l
CALL RPOGON(G, Q2, R2, C2, D2, DH, N, L, Л1, GW, FW,
PREFW, AlW, A10XL, Ul,
* KOD)
DO 7 lv----RN
FRK)- -FIl(R)-1-(П(К)-ПиК)) * DM
G(K)-=Gl(K)-!-(G(K)-ni(10) * DM
7 А1П\)---=АП(К)+(С(К)—FI(K) * * 2) « Ul * * 2/2.
T(N)-T1
T(M)-T(X)--(A1(\)--AI(M)) *(1./CPEF(N)+ l.,'CPEF(M))/2.
1F(AI(M).LT.7.6E5)T(M)---AI(M)/1000.
DO 8 K=--l, MA
I = N—К
T(I-.l) = T(Hl)-(Al(I+l)-~Al(I~-l))*(l./CPEF(l+I)+4./CPEr(I)+
-4./CPEF
* (I — П) .'6.
1F(AI(I —1).LT.7.6E5)T(I—1)=AI(I—1)/1000.
8 CONTINUE
T(1) = TW
EPS-. 01
DO 9 K=1,M
T(K)-T2(K)+(T(K)-T2(K)) * DM
EPS1 = (G(K)—GWK)VD.M
IF(ABS(EPS).LT.ABS(EPS1))EPS=EPS1
9 CONTINUE
WRITE(5,70)EPS
70 FORMAT(lX, 70(,--')/30X, 'EPS=', F7.-3)
J = J-fl
DM = DM+.l
IF(DM.GT..5)DM=.5
IF(ABS('F.PSRGT..0l)GO TO 4
PTR = 2. *(FI(2)-FI(1))/DH
R=SQRT(PREF(N))
AIE=AIH-R *U1 * *2/2.
PT0=(AIT1 —AIWVYAIE—AIW) * (G(2)~-G(Ry'DH
OW=-PTO*SQRT(ROMU(Li -Ul) * (A1E—A1W)'PREF(l)
TP = PTR/2.*U1 »SQRT(ROMU(l)*Ul)
WRITE(5,1)U1, Tl, TW, PTR, R, AIE, PTO, QW, TR, J,

*(ETA(K), T(K), FI(K), G(K), AI(K). F(K), K=l, N)
WRITE(1,1)U1, Tl, TW, PTR, R, AIE, PTO. QW, TR, J,
*(ETA(K), T(K), FI(K), G(K), AI(K), F(K), K=l, N)
J=0
U1=U1+1000.
IF(U1.LE.U2)G0 TO 2
STOP
END
В программе использовалась следующая символика:
Т(К) ~ГК; Л/(*)-/„; Fl(K) - Ф„;
G (К) ~ g„; ETA (К) ~ r\K; Y (К) ~ ук;
AL(K)~lK; PREF(K)~Prem;
F (К) ~ fK; CP£F (У?) ~ Сре//К;
ROMU (К) ~ (РЦ)К; #0 (К) ~ Рк;
Q/? (К) ~ (?Як; DQ/? (/() ~ (dqRldx\);
П~ГД; ГН7~Гш; ВОН ~ р; UH - Ur;
ЛЛ~/Д; Л/И7~/ш; RN~RN; MUW--\iw;
/?0№ ~ рш; DS (К) — парциальный источник;
DS1M (К) — парциальный сток.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое оптическая толщина ударного слоя?
2. Что такое серый газ?
3. Какие модели использовались при расчете лучистого переноса тепла?
4. Какой слой называется адиабатным?
5. Как поле излучения влияет на поле течения?

ГЛАВА XVII
ТЕПЛООБМЕН ПРИ 'ПОЛЕТАХ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
17.1. ГАЗ КАК СОВОКУПНОСТЬ ОТДЕЛЬНЫХ
МОЛЕКУЛ
Область полетов летательных аппаратов лежит в
широком диапазоне высот и скоростей. Баллистические ракеты
достигают высот более 300 км. Искусственные спутники Земли
летают в диапазоне высот от 150 до 30 000 км при скоростях ~8 км/с.
С увеличением высоты уменьшаются давление и плотность
атмосферного воздуха, газ становится разреженным. Исследования
показывают, что законы течения разреженных газов отличны от
законов течения при обычных давлениях. Это связано с тем, что
гипотеза сплошности среды недействительна для разреженной
атмосферы и необходимо пользоваться кинетической теорией
газов.
При исследовании течений газа при больших разрежениях
необходимо учитывать, что газ представляет собой совокупность
отдельных молекул. При рассмотрении молекулярной структуры
газов предполагается, что молекулы находятся в беспорядочном
движении, сталкиваются между собой и ударяются о поверхность
обтекаемого тела. Предполагается также, что к столкновениям
молекул применимы законы ударов абсолютно упругих шаров.
В промежутке между столкновениями силами взаимодействия
молекул пренебрегают.
Исходя из этих представлений, можно ввести понятие длины
свободного пути (свободного пробега) молекулы как расстояния,
проходимого молекулой от одного соударения до другого.
Поскольку молекулы двигаются с различными скоростями и имеют
разные длины свободного пробега, то обычно рассматривают
величину среднего свободного пробега молекулы /. Средняя длина
свободного пробега и связанное с ней число столкновений молекул
зависят от размера самих молекул. Методы газокинетической
теории устанавливают, что
I = 1/(пс), (17.1)
где п — число молекул в единице объема; о — эффективное
сечение столкновения молекул.
Из физических соображений следует, что чем меньше I, тем
ближе среда к гипотетической сплошной. Значение / увеличивается
при уменьшении давления, т. е. при увеличении высоты полета.
В таблице 17.1 представлены длины свободного пробега молекул
на различных высотах.
416

Таблица 17.1. Зависимость длины свободного пробега от высоты
Высота, км
0
10
30
60
100
200
300
Давление, Па
1,013-10s
2,649
1,184
2,412
3.241
1,363
104
103
101
10""2
10~4
1,595-10~5
Число частиц
в 1 м1
2,55-1026
8,6-1024
3,7-1023
6,9-1021
2,9-101В
8-Ю16
8-1014
i, м
6.4-10~8
1,75-10~>
4,08- 10'6
2,27-10'*
5- 10~а
200
2000
Формула (17.1) неудобна для практического применения,
так как площадь эффективного сечения молекул трудно
определить непосредственным измерением. Удобнее выразить / через
коэффициент динамической вязкости ц.
Из кинетической теории газов следует, что коэффициент
динамической вязкости
(х = 0,499рб/, (17.2)
где v — средняя скорость хаотического движения молекул,
которая связана со скоростью звука а соотношением v = а У~8/(лк);
k — показатель адиабаты; р — плотность.
Исходя из этого, получаем формулу для длины свободного
пробега
/ = 1,255. уТр7(ра). (17-3)
17.2. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Характер обтекания тела зависит от соотношения
значения длины свободного пробега (/) и характерного размера
рассматриваемой области (Lxap)
--хар
1,255 Т/Т р. и
ра^хар
= 1,255 УТ
М
Re
хар
(17.4)
где и — скорость потока; М
и/а
число Маха; Re =
= puLxap/(.i — число Рейнольдса. Отношение 1/L
хар
называют
числом Кнудсена Кп. Бели Кп <С Ь т0 среда может
рассматриваться как сплошная, и в этом случае применимы все законы
газовой динамики. При больших значениях числа Кнудсена
необходимо принимать во внимание дискретность среды. Эта
область называется областью разреженных газов. Перейти из
области газовой динамики в область разреженных газов можно
либо в результате снижения давления, либо в результате
уменьшения размеров рассматриваемого тела.
При рассмотрении пограничного слоя линейной величиной,
определяющей размер рассматриваемой области, является тол-
14 ЛВДУ<;ВСКИЙ 417

щина пограничного слоя 6. Число Кнудсена в этом случае Кп =
— -jr — ~ ~г~ • Здесь L — размер тела (например расстояние
от переднего края при обтекании пластины, диаметр шара и т. п.).
В этом случае
КП ' -^ ».255УГ, L = li255/T M
Lb paL б ' у Re б '
где Re = puL/ц. Значение S/L — отношение толщины
пограничного слоя к размеру тела — при ламинарном течении имеет
порядок 6/L ~ 1/У Re.
Таким образом, в том случае, когда можно говорить о
существовании пограничного слоя (достаточно большие значения Re)
Kn~M/]/Re. (17.5)
При малых значениях Re, когда нельзя выделить пограничный
слой, размер области течения около тела имеет порядок
размера тела:
Lxap ~ L и Кп ~ M/Re. (17.6)
Исследования показали, что при Кп <0,01 можно пренебречь
дискретностью среды и рассматривать газ как континиум.
Значения Кп > 0,01 соответствуют течению разреженных газов.
При очень больших разрежениях, когда длина свободного
пробега молекул значительно больше размеров тела, при расчете
обтекания можно пренебречь числом столкновений молекул между
собой по сравнению с числом столкновений с поверхностью. Эта
область называется областью свободно-молекулярного течения.
Она характеризуется тем, что Кп > 10. Исследования в области
свободно-молекулярного течения проводятся методами
кинетической теории газов.
Между областями газовой динамики и
свободно-молекулярного течения находится наиболее трудная для исследования
переходная область, которую условно можно разделить на
промежуточную область (1 <; Кп <; 10) и область течения со
скольжением (0,01 -< Кп < 1).
В области течения со скольжением наблюдаются два эффекта.
Первый из них состоит в том, что скорость газа у стенки не равна
нулю, а газ скользит по поверхности с конечной скоростью —
отсюда название области. Вторым эффектом потока со
скольжением является температурный скачок у стенки при теплообмене
газа с поверхностью. Температура газа у поверхности не равна
температуре поверхности.
Таким образом, с учетом выражений (17.5) и (17.6) можно
определить следующие границы областей течения газа:
1) M/V^Re < 0,01 — газовая динамика, континиум;
418

100
0,1
CSoSo дно-
молекулярное
течение
lM/]/Re-0,01
'Область
течения
со скольже-у
нием / Область
газоВой
динамики
10
/0°
10г
10-
10"
10°
Re
Рис. 17.1. Границы областей течения газа
2) М/У"17> 0,01, M/Re < 10 — переходная область, 0,01 <
< M/J/Re < 1 —течение со скольжением, M/]/~Re > 1, M/Re <
< 10 — промежуточная область;
3) M/Re > 10 — область свободно-молекулярного течения.
На рис. 17.1 представлено графическое изображение границ
областей.
Указанные значения относятся к аэродинамическим явлениям
в газе и являются приближенными. При экспериментальном
исследовании отдельных вопросов теплообмена может оказаться,
что границы областей сдвинутся.
17.3. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Теплоотдача и сопротивление при
свободно-молекулярном течении могут быть рассчитаны на основании кинетической
теории газов. Очень многое зависит от того, как происходит
взаимодействие молекул со стенкой. Предельными видами
взаимодействия являются зеркальное и диффузное взаимодействия.
При зеркальном отражении молекулы ведут себя подобно
абсолютно упругим шарам. Энергия до и после соударения не
изменяется. При диффузном отражении молекулы в результате
соударения практически полиостью абсорбируются стенкой,
передавая ей свой импульс и энергию, а затем по истечении какого-
либо малого промежутка времени отражаются от стенки с
энергией, соответствующей температуре стенки. Практически большая
часть молекул взаимодействует со стенкой по схеме диффузного
отражения и лишь несколько процентов — по схеме зеркального.
Таким образом, большая часть, но не все молекулы газа,
падающие на стенку, приспосабливаются, аккомодируют к
условиям на поверхности. Соответственно, средняя энергия
отраженных молекул не равна энергии, которая была бы, если бы все
молекулы взаимодействовали со стенкой по схеме диффузного
14* 419

отражения. Это явление характеризуется коэффициентом
аккомодации
Л = (£х - Ет)1{Ег - £»), (17.7)
где Ei — энергия, подводимая тем числом падающих молекул,
которое приходится на единицу площади в единицу времени;
Ет — энергия, уносимая отраженными молекулами; Ew —
энергия, которая уносилась бы отраженными молекулами, если бы
они имели энергию, соответствующую температуре стенки Тш.
Значение ц < 1 зависит от физических свойств газа и стенки.
Его величину определяют только экспериментально.
Исследования показывают, что значения коэффициента аккомодации для
воздуха, взаимодействующего с алюминием и сталью, составляют
от 0,87 до 0,97. Для гладких поверхностей и легких молекул
(водород или гелий) величина г\ может составлять примерно Ю-2.
Суммарный удельный тепловой поток к стенке можно
определить как разность энергий падающих и отраженных молекул:
<7 = £i-£r (17.8)
или с учетом выражения (17.7)
q=x[(E1-Ea). (17.9)
Выражения для Ег и Ew получаются на основе кинетической
теории газов. Не вдаваясь в подробности этой теории, запишем
окончательное выражение
a-noRT лГ*Т7{уК\к ] * (fe+') т« [ х
<7-W<'il/ 2л {I 2 Т k-l 2(&— 1) 7а J X
X [е-*!+ФVH{\ -erfФ)]--^Ц, (17.10)
где pi, 7\ — соответственно плотность и температура
невозмущенного потока; Mi — число Маха невозмущенного потока; ср =
= Y~k/2 Mi sin в; в — местный угол атаки (угол между
направлением невозмущенного потока и касательной к поверхности);
ф
2 Г
erf ф = 1_ \ е~г2 dz — интеграл вероятностей, для расчета ко-
v о
торого составлены математические таблицы; R — газовая
постоянная.
Формула (17.10) существенно упрощается в двух практически
важных случаях.
1. ср > 1. Это условие выполняется при гиперзвуковых
скоростях (Mi > 1) при G > 0. В этом случае е_ф2 = 0, erf ср ~ 1,
величиной k/(k — 1) можно пренебречь по сравнению с М^/2
<7 = W?7\j/ _^l,—^^2-11_тгт_]2ф)/^.
420

Подставляя значение q>, после преобразований получаем
q = \ лр.ы, sin в ^±^ H [т1тТГ М'Г' - Г-] • <17Л !)
Полагая в этой формуле q = О, найдем температуру
теплоизолированной стенки
т*= T+~i')M'ri <17-12)
7" 7"
и коэффициент восстановления температуры г = ^—=г-, где
^ 01 — '1
7"oi = 7"i (1 Л о—^')* ^Ри больших скоростях (Mj > 1)
Toi « ^^ М?Г, » Ти Те » Г,.
Отсюда получаем
r~Te/T01~2k/(k+l)>l. (17.13)
Таким образом, получен довольно интересный результат,
заключающийся в том, что температура адиабатной стенки в
свободно-молекулярном потоке больше, чем температура
торможения. Для объяснения этой аномалии рассмотрим энергии
падающих и отраженных молекул. Можно показать, что при Mi > 1 и
в > 0 энергия падающей на поверхность молекулы при свободно-
молекулярном течении совпадает с соответствующей величиной
5
при континуальном течении и равна -к- кТх. Здесь к — постоянная
Больцмана. Энергия отраженной молекулы при свободно-моле-
5
кулярном течении равна 2хГг, а при континуальном „- %ТТ.
Таким образом, для одной и той же температуры Tw поверхность
в случае свободно-молекулярного течения отдает меньше энергии
молекуле по сравнению со случаем континуального течения.
Теплоизолированная поверхность отдает такое же количество
энергии, какое на нее падает, и, следовательно, температура при
свободно-молекулярном обтекании должна быть выше, чем в
континуальном случае.
Выражение перед квадратными скобками формулы (17.11)
имеет смысл коэффициента теплоотдачи:
а = -L nPlUlR sin в -|^} = 4" ЛР1"1 sm в сл£±11, (17.14)
где ср = kRI(k — 1) — удельная теплоемкость при постоянном
давлении.
Введем число Стантона
St = —— = т! ягт = 4- Ч sin в Щ^- (17.15)
Piucp Pi"iCp (Те — 7\) 2 ' k ■ v ;
Формула (17.1!) допускает упрощение, если ограничена
температура стенки и выполняется условие Tw С Тв. Тогда с учетом
того, что MjTj -= u\l{kR), получаем
q = (npjuf sin 6)/2. (17.16)
421

Можно ввести число Стантона несколько иначе, чем по формуле
(17.15):
St„ = <7/fPi"iCp (7V - Tw)\. (17.17)
При Мх » 1 и Тт « Тл
St0 sa q/(pxulCpToi) cz ?/(p,«X/2).
После подстановки сюда выражения (17.16) получаем
St0 = Ti sin в. (17.18)
В частности в окрестности передней критической точки (9 = я/2)
имеем
St0 = л- (17.19)
2. Второй интересный случай — теплообмен при течении вдоль
пластины с нулевым углом атаки (в = 0). В этом случае ср = 0;
erf ф = 0. После подстановки этих условий в выражение (17.10)
и преобразований получаем
Отсюда температура теплоизолированной стенки (q =0) Те и
коэффициент восстановления
T. = Ti[l + М*^**?]; (17.21)
Г.-Гг _ k+l Ml 2fe
'"T-.x-Ti- (fe-1) -(fe+1)' I1'""J
так как
7V
7,1(l+-VLM')
Сравнивая формулы (17.22) и (17.13), убеждаемся, что на
произвольно расположенной по отношению к потоку поверхности
(6 >> 0) коэффициент восстановления температуры стремится при
увеличении М\ к значению г на плоской пластине.
Коэффициент теплоотдачи на плоской пластине
а критерий Стантона
St
Pi"xCp kR u,fey2nfe3 Mi2feVHfe '
ЛРх^ |/ "
PluX
VkRTv
kRTl
ink
kR
(li-
St =
(* + l)
2(*-l)
1)
t|(* + l)
ga(fc+l) .__ Л(*=+0
так как аг
Итак,
2Шх1/2яА
422
(17.24)

Рис. 17.2. Зависимости
модифицированного коэффициента восстановления
и модифицированного числа Стантона
от числа Маха для различных случаев:
1 — поперечно обтекаемая плоская
пластина; 2 — продольно обтекаемая плоская
пластина; 3 — поперечно обтекаемый
цилиндр; 4 — шар
Иногда удобнее
пользоваться критерием Нуссельта Nu =
= St Re Pr. Для плоской
пластины
(*+l) Re
Nu = т)
■Pr,
2k ~]/2nk Mi
(17.25)
где Nu = ax/hy. Re — Pi«x^/Hi,
Pr = UrCjJXy.
При M > 1 и Tw < Te можно
получить из уравнения (17.20)
простую формулу для расчета
удельного теплового потока к
плоской пластине
1
о
St'
0,8
0,6
о,1*
0,2
\
tS
't ?
*^
^2^3030
9 =
Ч>\Щ
(17.26)
2МгУ2п/г
В общем случае, когда скорости не слишком велики и угол
атаки 8^=0, для расчета удельного теплового потока приходится
пользоваться формулой (17.10).
Для некоторых типичных форм тел с помощью формулы (17.10)
были просчитаны тепловые потоки при условии Tw = const,
т] = const. Результаты этих расчетов обобщены на рис. 17.2.
Пусть <7ср = <2/5,где Q — суммарный тепловой поток,
поступающий через всю поверхность тела S. На рис. 17.2 представлена
зависимость от числа Маха модифицированного коэффициента
(Те-Тг) (fe+0
восстановления
Т = " (Тп - Тг)
и модифицированного числа Стантона
9ср
St'-
(17.27)
(17.28)
riPi"icp (Te~Tw) (k+\)
для поперечно обтекаемой плоской пластины (1), продольно
обтекаемой плоской пластины (2), поперечно обтекаемого цилиндра (3)
и шара (4).
Для расчета среднего удельного теплового потока сначала
необходимо определить
Те = Г, [l -f r' k
(*-'>.м?
затем, используя формулу (17.28), получим
■ St' TjPi"iCp (Te — Tw).
(17.29)
/ср
(17.30)
423

17.4. ТЕЧЕНИЕ В ПЕРЕХОДНОЙ ОБЛАСТИ
Эта область течения менее всего изучена. Для получения
точного решения задач теплообмена необходимо решать так
называемые уравнения Больцмана, которые позволяют определить
функцию распределения скоростей молекул. Уравнения
Больцмана являются интегрально-дифференциальными; их решение
представляет большую сложность и требует огромных затрат машинного
времени и объема памяти при использовании наиболее
современных ЭВМ. Наиболее часто для их решения используется метод
Монте-Карло. Возможны и другие более простые подходы к
решению задачи.
Для расчетов в области скольжения можно пользоваться
следующим приближенным приемом. Удельный тепловой поток к
стенке рассчитывается по формуле
Kb-fr+^-f-U (17-3I)
где у — координата нормальная к стенке; иу=о — относительная
скорость газа у стенки, которая рассчитывается по формуле
"-°=4f-Lc <17-32>
I —• средняя длина свободного пробега молекул.
Уравнение (17.31) используется совместно с обычными
уравнениями пограничного слоя, полученными для континиума.
Явления скольжения учитываются граничными условиями: для
скорости — условие (17.32); для температуры —
^-re = izi^-Af«L) , (17.зз)
у Т) (/г+1) [icp \ ду Jy=o' v '
где Тут=о — температура газа у стенки.
Можно использовать вместо условия (17.32) модифицированное
граничное условие
Т)Ы; = 2/
ду /;у=о'
где Ui — скорость и на расстояние / от стенки.
При использовании граничных условий (17.32) и (17.33)
получено отличное совпадение результатов расчета с
экспериментальными данными.
Для расчета теплообмена в переходной области можно
пользоваться эмпирическими формулами, полученными для некоторых
частных случаев.
1. Течение в окрестности передней критической точки осесим-
метричного тела при больших скоростях (Мн > 1).
Если определить число Стантона по формуле
St«-77T7-(f—7П~> (17'34)
IV-u' р Си ' е)
424

StjStsr
ia~
w
w
w~
w" кп*
Рис. 17.3. График к расчету
теплообмена при течении вдоль плоской
пластины
10"
ю-'
70
-1
10й
Рис. 17.4. График
обмена на конусе
10'
w
1
к cos в'
к расчету тепло-
то в переходной области справедливо
9
st0 =
Stft
WStcM
1 +
i К
(17.35)
9 ReH
где Мн — число Маха набегающего потока; Re„ = рнин/?0/[хн;
Stft — критерий Стаптона, рассчитанный по формулам для
континиума; StCM — критерий Стантона, рассчитанный по
формулам для свободно-молекулярного течения; R0 — радиус
затупления обтекаемого тела.
2. Течение вдоль плоской пластины при нулевом угле атаки.
В данном случае для расчета теплообмена можно использовать
следующее соотношение, полученное для k = 1,4, Мх = 10...25;
TjTn = 0,05...0,2,
St =-^[1 - th(0,911gKn*-f 1,1)],
St
si
где
Кп*
Sts/ = (0,3687ш/701
Tu' Щс/Кех
Тп
Rex =
0,0684) [M^c/ReJ372
St= q
(17.36)
(17.37)
M-i
с =
Pi«icp (T01 — Tw)
V-Jw '
Формула (17.36) справедлива для Кп* < 0,1. Для больших
значений Кп можно воспользоваться графиком, представленным
на рис. 17.3.
3. Течение вдоль конуса при нулевом угле атаки.
На рис. 17.4 представлена эмпирическая кривая зависимости
параметра —|L-(l__p^) от параметра -|i!2__-!__, где
ыи 6К
Шс k cos tiK
425

Hug Рис. 17.5. Зависимость числа Нус-
сельта от числа Рейнольдса для
сферы:
— — — — эмпирическая зависимость
(М = 2,7 ... 6); 1 — теория сплошной
среды (Мн = 0); 2 — теория свободно-
молекулярного течения при различных
значениях Mi
"''0,1 1 10 10г Rf'0
St = —— -pf, т^Г' ®к—полуугол при вершине конуса; Rex =
rl"lcp W 01 " J w)
= PjU^/h-i,' x — координата вдоль образующей конуса; с =
= Mto7\/(H-i7\«)- Эта зависимость справедлива при 15 <С Мх ■< 25,
ек<20°, гш/г0~о,1.
4. Обтекание сферы.
Получение теоретической зависимости для расчета теплообмена
в переходной области при обтекании сферы представляет большую
сложность.
На рис. 17.5 приведена эмпирическая зависимость числа
Нуссельта Nu = acpD/Xe от числа Рейнольдса Re0 = рбм^/н-' для
сферы, где аср — средний коэффициент теплоотдачи; D — диаметр
сферы, %е — коэффициент теплопроводности при температуре
восстановления Те. Число Рейнольдса Reo строится по параметрам за
прямым скачком уплотнения. Видно, что в области Reo от 10 до
102 ни та, ни другая теория не согласуются с экспериментом.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое длина свободного пробега молекулы?
2. Какие области течения газа Вы знаете? Каковы характерные особенности
этих областей?
3. Как рассчитывается теплообмен при свободномолекулярном течении?

ГЛАВА XVIII
ТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
И ИХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК
18.1. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
При полете летательных аппаратов с большой скоростью
в результате преобразования кинетической энергии внешнего
потока вследствие трения в тепло температура поверхности может
значительно превышать допустимую, при которой происходит
разрушение современных конструкционных материалов. Например,
при гиперзвуковых скоростях полета М = 10... 15 температура
неохлаждаемой поверхности летательного аппарата может
достигать 5 000...10 000 К- В энергетических установках летательных
аппаратов, например в реактивных двигателях, также
осуществляется разогрев рабочего тела до температуры 2 000...5 000 К,
превышающей допустимую для современных конструкционных
материалов. В плазменных установках температура рабочего тела
может достигать 50 000 К и более. Во всех этих случаях
необходимо обеспечить тепловую защиту элементов конструкции
летательных аппаратов и их энергоустановок, подвергающихся
воздействию высокотемпературного потока газа и большим тепловым
нагрузкам.
Рассмотрим основные способы тепловой защиты поверхности
и методы их расчета.
Наиболее простым способом тепловой защиты теплонапряжен-
ных конструкций летательных аппаратов и энергоустановок
является использование теплоемкости материала, т. е. способности
материалов поглощать тепло. Такой способ тепловой защиты
используется при кратковременных тепловых нагрузках,
например в неохлаждаемых ракетных двигателях на твердом
топливе.
Если в начальный момент времени (в момент запуска двигателя;
стенки камеры сгорания и сопел реактивного двигателя
подвергаются тепловой нагрузке определенной интенсивности, то при
нестационарном процессе его прогрева (теплопроводности)
подводимое тепло будет расходоваться на разогрев материала стенок и
температура достигнет допустимого значения только по истечению
определенного промежутка времени (гдоп).
Время воздействия тепловой нагрузки (время работы
двигателя) выбирается из условия не превышения допустимых (из
соображений прочности) значений температуры поверхности при
нестационарном прогреве конструкции. Если в качестве
допустимой принять температуру плавления материала конструкции Гпл,
427

то максимальное количество тепла,
которое она может поглотить
Q == тс (Тпл - Та), (18.1)
где m — масса материала
конструкции; с — ее теплоемкость; Т0 —
начальная температура материала кон-
,о , г СТруКЦИИ.
L™ охлажде^: K0™eK™B- Следовательно, эффективность дан-
1 - высокотемпературный газо- НОГО СПОСОба ТеПЛОВОИ ЗНЩИТЫ (0Т-
вый поток; 2 — охладите.-ь вода тепла) тем выше, чем больше
теплоемкость материала с и
температура его плавления 7ПЛ. Из теории теплопроводности
следует, что чем меньше значение критерия Био Bi = аб/Хы, тем
более равномерная температура по сечению стенки и тепло без
существенного запаздывания распространяется по ее сечению.
Следовательно, при малых значениях критерия Bi максимально
допустимого значения температуры (например температуры
плавления) достигает одновременно как наружная, так и внутренняя
поверхности стенки. По этой причине для данного способа тепловой
защиты целесообразно использовать материалы с высоким
значением коэффициента теплопроводности, что обеспечивает
поглощение ими тепла равномерно по всей массе материала. Недостатком
этого способа тепловой защиты является ограничение по времени
воздействия тепловой нагрузки, которое с увеличением
температуры газового потока и интенсивности теплообмена уменьшается.
Наиболее распространенным способом тепловой защиты
является конвективное охлаждение теплонапряженной поверхности.
В этом случае поверхность омывается с одной стороны
высокотемпературным потоком газа и охлаждается жидкостью или газом с
другой стороны (рис. 18.1). Конвективное охлаждение широко
используется для тепловой защиты камер сгорания и сопел
жидкостных ракетных двигателей, лопаток и дисков турбин
газотурбинных реактивных двигателей, оптических систем лазерных
установок.
В случае конвективного охлаждения плоской пластины с
коэффициентом теплопроводности X и толщиной б (см. рис. 18.1)
где Tn, Tn—температуры газового потока и охладителя; Тш1,
Тт — температуры поверхности с внешней и внутренней сторон
пластины; ах, а.,_ — коэффициенты теплоотдачи со стороны
горячего потока газа и охладителя.
Из данного соотношения следует, что эффективность
конвективного охлаждения будет определяться относительной температурой
« .. ZiiZlIsik. = ! —. (18.3)
428

Рис. 18.2. Способы интенсификации процесса теплообмена в
ждаеыых лопаток газовых турбин:
а — ребра; 6 — цилиндрические интенсификагоры
каналах охла-
Из данного соотношения следует, что чем больше коэффициент
теплоотдачи от внутренней поверхности к охладителю (а2) и
меньше его температура (7^), тем меньше температура наружной
поверхности, т. е. больше эффективность конвективного
охлаждения. Поэтому для повышения эффективности конвективного
охлаждения целесообразно использовать охладители, обладающие
большим значением теплоемкости, что обеспечивает небольшой их
подогрев, и применять различные способы интенсификации
процесса теплообмена между внутренней поверхностью и охладителем,
что обеспечивает увеличение коэффициента теплоотдачи а2. Для
интенсификации процесса теплообмена на внутренней поверхности
устанавливаются различного типа иптенсификаторы: ребра,
продольно или нормально расположенные по отношению к осповпому
течению охладителя; различного типа турбулизаторы в виде
изолированных элементов. В этом случае интенсификация теплообмена
достигается как за счет увеличения теплообменпой поверхности,
так и вследствие перемешивания жидкости вблизи поверхности
посредством индуцирования вторичных вихревых течений.
На рис, 18.2 приведены схемы интенсификации процесса
теплообмена в охлаждающих лопатках газовых турбин как посредством
продольно ориентированных ребер, так и цилиндрических интенси-
фикаторов. Наиболее эффективным способом конвективного
охлаждения теплонанряжепной поверхности является струйное охлажде-
429

Рис. J8.3. Струйное охлаждение поверхности:
а — схема струйного охлаждения; б — струйное охлаждение лопатки газовой турбина:
/ — высокотемпературный газоный поток; 2 — охладитель; 3 — наружная оболочка;
4 — дефлектор
ние. В этом случае охладитель в виде системы струй подается по
нормали к охлаждаемой поверхности (рис. 18.3) и эффект
увеличения коэффициента теплоотдачи (а2) достигается в результате
уменьшения толщины пограничного слоя вследствие повышенного
значения градиента скорости в зоне натекания струи на
поверхность и высокой степени турбулентности. Интенсивность процесса
теплообмена при взаимодействии струй с поверхностями примерно
на порядок выше, чем интенсивность теплообмена при других
способах его интенсификации.
Струйная система охлаждения находит широкое применение
в различных областях техники и, в частности, для охлаждения
оптических систем лазерных установок и лопаток газовых турбин.
На рис. 18.3, б приведена схема струйного охлаждения лопатки
газовой турбины. Охлаждающий воздух поступает во внутренний
дефлектор, а затем через систему предусмотренных в нем отверстий
подается в виде струй на охлаждаемую поверхность. Такой способ
охлаждения позволяет существенно повысить эффективность
тепловой защиты лопатки газовой турбины, особенно, в наиболее тепло-
напряженном ее участке — на внутренней поверхности передней
кромки лопатки, где реализуется максимальная ее теплонапря-
женность.
Однако конвективное охлаждение теплонапряженных
поверхностей при высоких температурах и больших тепловых потоках
является неэффективным способом тепловой защиты. В самом
деле согласно соотношению (18.1) даже при достаточно высоких
значениях коэффициентов теплоотдачи охладителя а2 -*■ со при
больших тепловых нагрузках температура наружной поверхности
может существенно превышать допустимое значение Twl ~*- Тц.
В этих случаях необходимо вблизи поверхности понизить
температуру горячего потока газа и уменьшить тепловые потоки. Для этой
цели используют заградительное и пористое охлаждения.
Заградительное охлаждение организуется посредством подачи
охладителя на внешнюю поверхность (рис. 18.4). Охладитель в
этом случае может подаваться самыми различными способами
(через плоскую щель, через систему щелей или систему отверстий,
через пористую вставку и т. д.). При подаче газового охладителя
430

через плоскую щель вблизи защищаемой поверхности образуется
пристенная струя охладителя, температура которой меньше, чем
температура высокотемпературного потока газа. С увеличением
расстояния от места вдува струя холодного газа постепенно
перемешивается с горячим газом, вследствие чего температура
поверхности увеличивается. Поэтому в зависимости от конкретных
условий необходимо установить вдоль поверхности последовательно
несколько щелей. Заградительное охлаждение находит широкое
распространение для тепловой защиты камер сгорания и сопел
реактивных двигателей, лопаток высокотемпературных газовых
турбин.
На рис. 18.5 приведена схема охлаждения цилиндрической
камеры сгорания воздушно-реактивного двигателя. Для тепловой
защиты стенки камеры сгорания на наружной ее поверхности
организуется конвективное охлаждение, а на внутренней (со стороны
горячего потока газа) реализуется заградительное охлаждение
посредством подачи холодного воздуха через цилиндрическую
щель. Заградительное охлаждение лопаток газовых турбин
организуется, как правило, посредством подачи охлаждающего воздуха
через систему отверстий (рис. 18.6).
Аналогичным образом реализуется подача охладителя при
заградительном охлаждении сопел ракетных двигателей. В этом
случае в качестве охладителя используется жидкость — горючее,
которое через систему отверстий в области критического сечения
сопла подается на наружную поверхность стенки, образуя
защитную пленку жидкости. Использование в качестве охладителя
жидкости повышает эффективность тепловой защиты, так как в этом
случае подводимое тепло к охладителю расходуется не только
на его подогрев, но и на его испарение. Заградительное
охлаждение,, реализуемое посредством выдува жидкости на защищаемую
поверхность, иногда называют пленочным охлаждением.
* ю^<5тт7Ш&?н///ш(в7гт
uiiiiiiiiiuimmiiiiii i in in пит utiti ujlllu-LLJJI : и»////////«- <
2 г
-Jiff ^5
в) г)
Рис. 18.4. Схемы подачи охладителя при заградительном охлаждении
поверхности:
а — плоская щель; б — система щелей; в — система отверстий; г — пористая вставка;
/ — высокотемпературный газовый поток; 2 — охладитель; 3 — область
перемешивания; 4 — защищаемая поверхность; 5 — пористая вставка
431

Рис. 18.5. Схема комбинированного
охлаждения стенки жаровой трубы
камеры сгорания:
1 — высокотемпературный газовый поток;
2 — охладитель; 3 — конвективное
охлаждение; 4 — стенка жаровой трубы
камеры сгорания; 5 — заградительное
охлаждение
Рис. 18.6. Схема конвективно-пленочного охлаждения лопатки газовой
турбины:
/ — отверстие для выдува охладителя; 2 — наружная оболочка лопатки; 3 —
дефлекторы
Пористое охлаждение предполагает использование пористых
(проницаемых) материалов. Пористые материалы содержат поры,
т. е. пустотелые промежутки, образующие капиллярные каналы.
Охлаждение пористых материалов достигается посредством
прокачки жидкости или газа через его капилляры. В этом случае
достигается высокая эффективность процесса теплообмена
вследствие существенного увеличения поверхности контакта пористого
скелета с охладителем, пористый материал по существу пропитан
охладителем. Поэтому применение пористых материалов в
тепловой защите позволяет существенно повысить ее эффективность.
Заполнение охлаждающего канала (рис. 18.7) пористым
материалом позволяет существенно интенсифицировать процесс
теплообмена от защищаемой поверхности к охладителю.
Например, эффективность охлаждения лопатки газовой
турбины можно сушественно увеличить, если на теплонапряженных
ее участках каналы охлаждения заполнить пористыми вставками
из материала с большим коэффициентом теплопроводности (см.
рис. 18.7, б). Пористые матеоиалы могут быть использованы для
организации подачи охладителя на внешнюю защищаемую
поверхность (18.7, в). Вдув охладителя в пограничный слой через
пористую (проницаемую) поверхность влияет на его структуру таким
образом, что коэффициент теплоотдачи, а, следовательно, и
тепловой поток от горячего потока газа к попистой поверхности
уменьшается. Таким образом, при вдуве охладителя через пористую
поверхность повышение эффективности тепловой зашиты
обусловлено двумя факторами: во-первых интенсификацией процесса
теплообмена между пористым материалом и охладителем;
во-вторых, уменьшением теплового потока от горячего газа к внешней
поверхности в результате воздействия вдува охладителя на струк-
432

t * ft * *
a)
,|....t,,t,:!t:;:at,...t.,l4i
Рис :
a --■ к i
ристым
41 <'\ - - < t
.ал с п i
i рлаик
:тим наполнителем- о охлая даемся лопатка гааоаой чурбаны с
wots; s - ьдуа ихладителя и пограничный слой чере^ порсстую i г c;i к >;
0 ■• порис: ос .. хл уд:дение допагкн Iааоаой тур'.агь] с ныдуьом охладн-i е.гл на внешнюю
ее поверхность. / ■-- высокотемпературна;;' га.>о!<ый поток; 2 - охладитель. 3 пористые
Ьстгллл!, ■/ -- погрнр.ич ний слон; а -- пористаи стенка; ь - силовой стержень
туру пограничного сюн. Порисгос охлаждение с вндувом
охладители в пиграннчпын слой используется для тепловой защиты камер
сорзнин и сопел ракетных депг; гелей в наиболее теплопапряжен-
пых его \чистках, а так;::е молест бппъ использовано как
эффективным способ тепловой защиты лнчкггок газовых турбин. В этом
случае охлаждающий воаду\ подво дл'ен во внутреннюю полость
.ловаткп и подается через порпепю стенку (ем. рис. 18.7, г).
Б авиационной и рнкегпо-коемпческоп гехппкедля организации
тепловой дщдпты широко пспо..1,зу;о|ч:п теплозащитные покрытия,
которые наносите;; па внешнего поверхность (рис. 18.8). Тепло-
защнтны'е покрытия условно подразделяются па дна класса: пераз-
рушаемые (многоразового не подпаивания i и разрушаемые
(одноразового использования). Н первом случае темпепзтера на
внешней поверхности теплозащитного покд
допустимой температуры, при
которой iiaer>uacT е; и разрешении
(темнена гурна плавления). Такие по
крытпя используются д.ля те....оьон
запчнггы поверхностей летни ыгы>
пппапатов, камер сгорания
реактивных двигателей, лопаток назови \
турбин. Теплозащитные покрытия
многопазового действия
изготавливаются из матеонадов тугоплавких
с низким значением коэффициента
топлопповолноети и не
подвергающихся химическому воздействию
горячего потока газа. К таким мате-
о-: п меньше
м» - -
13д. п-.г-.
ке,ю пекм
'.ня .'.еподнеи части
1 аппарата:
ы. .оскорочтной поток га:,;1;
у,. пгаа водил; 3 — теплоза-
нос покрытие
433

риалам относятся карбиды и окислы тугоплавких металлов,
например Zr02, MoC, WC, ZrC и т. д. Вследствие малого
значения коэффициента теплопроводности топкий слой тугоплавкого
покрытия может существенно понизить температуру поверхности
металлической конструкции, подверженную
высокотемпературному потоку газа.
При высоких скоростях полета, когда температура поверхности
достигает 10 000... 15 000 К, теплозащитные покрытии разр\ iuuiotch
и уносятся с поверхности летательного аппарата. При возвращении
летательного аппарата в атмосферу Земли со скоростью, большей
второй космической, новерхпость его подвергается не только
интенсивному конвективному тепловому потоку, но и лучистому.
Источником интенсивного лучистого теплового потока является
сжатый и разогретый до вышкой температуры слип газа в ударной
волне, которая устанавливается впереди летательного аппарата
при гиперзвуковых скоростях полета. Следовательно, в этих
условиях теплозащитное покрытие должно ооеспечнть защиту
летательного аппарата не только от конвективною тепловою воздействия,
но и от интенсивных лучистых потоков. Дли этой цели могут быть
использованы разрушаемые (уносимые; теплозащитные покрытия.
Идея их применения заключается в использовании поглощения
тепла в результате фазовых превращении — плавление, испарение
или сублимация.
Любое фазовое превращение вещества, как правило,
сопровождается значительным тепловым лффектом (количество тепла,
требуемое для перехода 1 кг массы вещества из одного состояния
в другое). Величина теплового эерфекта связана с температурой
фазового превращения AQ^ = kl\. Для большинства таких
металлов при плавлении к --= 10 кДж/(моль-К). При плавлении
происходит частичное ослабление межатомных связей, поэтому по своей
тепловой эффективности поглощение тепла при плав шиш намного
(в 10—20 раз) уступает испарению, при котором рвутся все
молекулярные и атомные связи вещества [для испарения к =--- 80...
90 кДжДмоль- К) ]. Значение теплоты испарения AQ„,.n колеблется
от 5000 кДж/кг у низкотемпературных металлов до 10 000 кДж/кг
у тугоплавких окислов и 20 000 кДж/кг у графита. На разрушение
материала теплозащитного покрытия затрачивается значительная
доля тепла, поступающего к поверхности тела от горячего потока
газа, в результате чего уменьшается доля тепла, отводимая внутрь
покрытия посредством теплопроводности.
Кроме того, в ряде случаев в результате химического
взаимодействия разрушаемого материала покрытия с
высокотемпературным пограничным слоем происходит дополнительное поглощение
тепла. Вдув продуктов разложения материала теплозащитного
покрытия в пограничный слой также изменяет его структуру н
приводит к блокированию (уменьшению) конвективного теплового
потока к поверхности. Толщина теплозащитного покрытия должна
быть выбрана таким образом, чтобы за время полета летательного
434

аппарата или работы двигателя температура защищаемой
конструкции не превышала допустимую. Поэтому масса покрытия
определяется количеством разрушенного и унесенного материала и
количеством ма1ериала, которое должно оставаться на поверхности
к концу работы и обеспечивать теплоизоляцию и необходимый
перепад температур между поверхностью покрытия и поверхностью
конструкции. Общие треоования к теплозащитным
разрушающимся покрытиям сводятся к следующим: поглощать большое
количество тепла при физико-химических превращениях; иметь
высокие значения объемной теплоемкости (рс); иметь высокие
температуру разрушения и значение степени черноты; образовывать
при разрушении газоооразные продукты с малой молекулярной
массой для эффективного снижения интенсивности конвективного
теплообмена в результате вдува их в пограничный слой; при
образовании жидкой пленки ее вязкость должна быть значительной
для уменьшения ее уноса; иметь простую технологию изготовления
и невысокую стоимость; сохранять свои свойства при длительном
хранении в атмосфере воздуха.
18.2. ПОРИСТОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
Вдув охладителя в пограничный слой через пористую
(проницаемую) поверхность может существенно влиять на
интенсивность процесса теплообмена от внешнего потока к охлаждаемой
поверхности. Рассмотрим основные особенности влияния вдува
охладителя на процесс теплообмена в пограничном слое.
Если газ, подаваемый через пористую (проницаемую)
поверхность, отличается по своим физическим свойствам от газа внешнего
потока, то пограничный слой будет содержать смесь газов,
состоящих из различных компонентов. В этих случаях процесс
теплообмена в пограничном слое сопровождается процессом диффузии,
а при определенных условиях и химическими реакциями. На
практике вдув газа в пограничный слой может быть обусловлен
различными причинами, например при химических реакциях между
потоком газа и поверхностью, при испарении или сублимации
теплозащитных покрытий п т. д. В некоторых случаях имеет место
не только вдув газа в пограничный слой, но и отсос, например для
управления пограничным слоем; для предотвращения его отрыва
и ламинаризацин применяют принудительный отсос через
пористую или перфорированную поверхность. Отсос газа из
пограничного слоя может иметь место при конденсации газообразной среды
на поверхности при протекании химических реакций с
образованием жидких или твердых веществ.
В большинстве случаев вдув или отсос массы вещества из
пограничного слоя через поверхность сопровождается разнообразными
физико-химическими процессами, оказывающими влияние на
характеристики пограничного слоя и интенсивность теплообмена.
435

При вдуве газа в пограничный слой (см. рис.- 18 7, в) система
уравнений, описывающая процесс теплообмена в пограничном
слое, совпадает с системой уравнений на непронипаемой
поверхности. Однако граничные условия на поверхности в силу того, что
вертикальная составляющая скорости (о,.,) пои вдуве газа через
поверхность в пограничный слой отлична от нуля, будут при
у - 0 и - 0, v -- vw, (IP- ■'■
где и„ — заданная заранее пли определяемая из закона
сохранения массы па стенке вертикальная скорость подачи газа от стенки.
И общем случае значение скорости кдува газа иы, является
некоторой функцией, продольной координаты ,\\ Уравнения
пограничного слоя при произвольном законе распределения вдува
и скорости внешнего потока вдоль поверхности могут быть решены
численным методом па ЭВМ. Приближенные решения чнчет быть
получены с помощью интегральных соотношений количества,
движении и энергии, которые при одинаковых алпичеекпх свойствах
вдуваемого вещества и внешнего потока, движущегося с
постоянной дозвуковой скоростью, записываются в гиде:
d&, т (or)
д ^w f U СГ.' . с '* Xi
dx p,uj ' <pu)f '
f^T cc ^ (pv)a t ,. r/,
dx ~~ (nu)fCp (pa)/ ' '-■-/
где б**, 6*'—соответственно толщины потери импульса и
энергии. Эти интегральные соотношения отличаются от
соответствующих интегральных соотношений для пограничного слоя на неппо-
пппасмой поверхности наличием двух последних членов, хао-пы-е-
|М1зующнх вдув вещества в пограничный слой. Для оепнппн ->гнх
обы к п овен пых дифференциальных уравнений необходимо онпез.е-
лить связь между касательным напряжением трепня (т.д и толщн-
пой потерн импульса (6Ч*) п соответственно связь между i-юзх: :ш-
ппептом теплоотдачи (а) и толщиной потерн энергии (^ *). Дш
определения этой связи необходимо знать закон изменен,":"
скорости и температуры в поперечном сечеппи пограничного слоя.
В инженерной практике этот закон задается в виде
интерполяционных формул, пол\чеппых на основе теоретического анализа
и экспериментальных исследований. Точность расчета будет
зависеть от того, насколько удачно выбран вид интерполяционной
формулы для профиля скорости и температуры. Например, д >,:-;
ламинарного режима течения профиль скорости и температур:,; в
поперечном сечеппи пограничного слоя может быть
аппроксимирован полиномом четвертой степени.
Рассмотрим вначале случай вдува в ламинарный пограничны;"!
слой несжимаемой жидкости через плоскую пористую поверхность
с темп же физическими свойствами, что и во внешнем потоке
(см. рис. 18.7). Исходными для анализа рассматриваемся"! задачи
436

Рил. if*.У. П'":(|м а, скорости к is •.•игч.тгур;.! 'i лпмегючмом <'":ntv-< ; -.'"гжичн' :и
ел. оч при E,".V!'.;> ueiucciна Через пори, ryio т'нку (О, -- iu.'ii!U'!!a поллаилчнмо
елся при ^.сулствии вдува; Ф — то..тина пограничного слоя при идуье)
являются уравнения (5.14), (5.15), (5.16), изменяются только
граничные условия (18.4). При вдувс охладителя через порпегую
поверхность в пограничный слои профиль скорости и температуры
б его поперечном сечении могут существенно деформироваться.
Под действием вдува вещества в пограничный слон пристенные
его слои, движущиеся вдоль поверхности, будут тормозиться, что
приводит к уменьшению проекции скорости газового потока вблизи
поверхности на продольную координату х (и).
В результате этого градиент скорости на стенке ( --'— '■
уменьшается, а увеличение массы заторможенного газа приводит к
увеличению толщины пограничного слоя (рис. \8.{)). Следовательно,
под действием деформации профиля скорости и увеличения
толщины пограничного слоя происходит уменьшение силы трения
на стенке при прочих равных условиях. С увеличением массы
вдуваемого газа на профиле скорости появляется точка перегиба.
Аналогичным образом изменяется и проФи.лэ те.млегчгп'пы в
пограничном слое (см. рис. 18.9). Под действием вдува более холодного
газа чем основной внешний поток пристенный поток пограничного
слоя вблизи поверхности охлаждается, толщина теплового
пограничного слоя увеличивается, что приводит к уменьшению гоадпепта
температур, а следовательно, и уменьшению теплового потока па
поверхности.
Деформацию профиля скорости вблизи поверхности под
действием вдува газа можно оценить следующим образом. Из уравнения
движения (5.2) и граничных условий на стенке (18.4) следует, что
при у - - О
pL;y. ; -"Л - ,, (~) . (1Н.7)
Это соотношение в безразмерном виде можно записать следующим
образом:
,-' tf-W, \
437

где Wx — u/Uf, Y — ;jjb — безразмерная скорость и
координата.
Левая часть этого соотношения характеризует деформацию
профиля скорости в пограничном слое под действием вдува,
следовательно, деформация профиля скорости в относительных
координатах определяется безразмерной величиной fw — шс'ш д , называе-
M-tt!
мой параметром, определяющим форму профиля скорости —■
формпараметром. Рассмотрим его физический, смысл
(Ptv йд {[>u)fx
При ламинарном режиме течения газа вдоль поверхности
бд/х ~ Re-0,5, следовательно,
/ш ~ ~~^- = -^Рг- YRe. (18.8)
Из данного соотношения следует, что формпараметр
пропорционален отношению расхода газа, вдуваемого через поверхность,
к расходу газа, протекающему через пограничный слой. При числе
Прандтля Рг = 1 бд ~ бт ~ x/St и формпараметр можно
представить в виде
f (Pv)wX _ (Pfgi) 1 _ (Р"Ь»СР /, о qs
'ш_ (Р")/бд ~ (ри/) St, ~ а ■ V°-*>
Представленный в таком виде формпараметр будет
характеризовать степень деформации поля скоростей и температур под
действием вдува как в ламинарном, так и в турбулентном пограничном
слое. Для турбулентного пограничного слоя St ~ Re-0-2 и,
соответственно,
/ш ~-gg^Re°.2. (18.10)
Чем больше формпараметр /ш, тем больше деформация профиля
скорости; в профиле скорости появляется точка перегиба, которая
с увеличением fw удаляется от стенки, и для ламинарного режима
течения при fw —- 0,619 касательное напряжение на стенке
становится равным нулю и происходит оттеснение пограничного слоя
от плоской поверхности. В общем случае значение формпараметра
fw может быть переменным вдоль стенки. Особый интерес
представляет случай постоянного значения формпараметра вдоль
поверхности (fw = const), при котором деформация профиля скорости
происходит во всех сечениях пограничного слоя одинаково и
решения уравнений пограничного слоя являются автомодельными.
Для плоского ламинарного пограничного слоя условие fw — const
согласно соотношению (18.8) выполняется при подаче охладителя
по закону (ри)ш ~ х~-°-'3. В этом случае напряжение трения и
тепловой поток на стенке (при постоянной температуре стенки)
изменяются по такому же закону (xw~ х~0-5 и qw ~ лг0,5) и являются
438

Рис. 18.10. Профиль скорости в поперечном сечении v/
турбулентного пограничного слоя при вдуве вещества '
через пористую поверхность
практически целесообразными, поскольку о,5
поступающее к стенке тепло должно
рационально поглощаться охлаждающим
газом. При степенном законе изменения
скорости внешнею потока uf = fix'",
автомодельные решения (jw = const) уравнений
Horn - 1
граничного слоя возможны при условии иш~х 2 , откуда следует,
что постоянное значение скорости вдува газа вдоль поверхности
vw = const при fw = const возможно только для течения в
окрестности критической точки (при т = 1).
Вдув ветцеетва в пограничный слой влияет и на его
устойчивость, т. е. на переход ламинарного режима течения в
турбулентный. Под действием вдува вещества в ламинарный пограничный
слой его устойчивость уменьшается и переход ламинарного режима
к турбулентному наступает раньше (при меньших числах Рейнольд-
са) при прочих равных условиях.
Так как интенсивность теплообмена в турбулентном потоке
больше, чем в ламинарном при прочих равных условиях, то более
ранний переход ламинарного режима в турбулентный под действием
вдува может привести в некоторых случаях (при малых значениях
интенсивности вдува) к уменьшению эффективности тепловой
защиты поверхности.
Влияние вдува вещества через пористую поверхность на
турбулентный пограничный слой качественно аналогично
соответствующему влиянию па ламинарный пограничный слой. Профиль
скорости под действием вдува деформируется, градиент скорости
и температуры на поверхности уменьшается, а толщина
пограничного слоя увеличивается, что приводит к уменьшению силы трения
и коэффициента теплоотдачи на поверхности (рис. 18.10). Условно
можно выделить три основных режима течения в турбулентном
пограничном слое.
Первый режим — это сравнительно малые значения
интенсивности вдува охладителя, когда действие его сказывается только
в пределах вязкого подслоя, непосредственно примыкающего
к поверхности. В этих случаях профиль скорости и температуры
под действием вдува охладителя деформируется в пределах вязкого
подслоя. Если на непроницаемой стенке (vw -= 0) профиль скорости
в вязком подслое близок к линейному, то при наличии вдува
профиль скорости деформируется и на нем появляется точка перегиба.
Во внешней области пограничного слоя (в турбулентном ядре)
профиль скорости не изменяется и подчиняется логарифмическому
закону, как и в случае непроницаемой поверхности. Расчет
профиля скоростей и температур при таком режиме вдува в погранич-
439
+w>0 J.
"£=0

ный слой может быть основан на соответствующих зависимостях
для турбулентного пограничного слоя, образованного па
непроницаемой поверхности. Такую модель, расчета влияния вдува вещества
па турбулентный пограничный слои принято называть «пленочной
теорией».
Второй режим течения на пористой поверхности соответствует
таким значениям интенсивности вдува охладителя, когда действие
его распространяется в турбулентное ядро пограничного слоя.
Этот наиболее важный для практики режим течения труднее всего
поддается теоретическому расчету. Главную роль здесь
приобретают экспериментальные исследования. В этих случаях для
приближенных оценок влияния вдува па профили скорости и
температуры может быть использована модель Прапдгля, согласно
,. ,., ! да р
которой турбулентное касательное наппяжение т,г = рг Нг~
где / — длина пути смешения, принимаемая такой же, как и в
случае турбулентного пограничного слоя на непроницаемой
поверхности. Влияние вдува охладителя на профиль скорости
учитывается тем, что напряжение трения принимается переменным
в поперечном сечении пограничного слоя и зависит от
интенсивности вдува охладителя.
Третий режим течения на пористой поверхности соответствует
такой интенсивности вдува охладителя, при которой влияние
стенки на пограничный слой ослабевает, пограничный слой
перестраивается подобно пограничному слою па краю турбулентной
струи. При дальнейшем увеличении интенсивности вдува
охладителя пограничный слой оттесняется от поверхности, а
коэффициенты трения и теплоотдачи стремятся к нулю. Величина Расхода
вдуваемого охладителя, при котором происходит оттеснение
пограничного слоя, примерно соответствует расходу, увлекаемому
пограничным слоем на границе свободной струп. Такой нежим
течения наступает при значении Формпараметра, примерно равном
-РЦ^-Яе0-2 ~ 0,08. Для расчета процесса теплообмена в этом режи-
(Р«)/
ме могут быть применены методы, основанные на теории свободных
турбулентных струй.
Результаты теоретических и экспериментальных исследований
показывают, что основным критерием подобия, опиеделяющим
влияние вдува охладителя в пограничный слой на трение и
теплообмен является формпараметр fw. На рис. 18.11 представлены
расчетные зависимости относительных коэффициентов трения
CflCf0 и теплоотдачи а/а0 (cfn и аа — соответствующие значениям
коэффициентов трепля и теплоотдачи па непроницаемой
поверхности) в зависимости < : формпараметра п длины начального
непроницаемого участка х0Х"л случаев ламинарного дозвукового режима
течения вдоль плоской пластины и одинаковых Физических свойств
внешнего потока и вдуваемого охладителя. Если начало вдува
охладителя совпадает с передней кромкой пластины, то х0 = 0,
440

st/stc
(Puk
Ofi
5§i
>
1,8-
^>^
Z,0^
W
Щ&
х/х.о-Г0*,^^
0,4
0,8 1,1
2(pv)w
Решение
Блазиуса
\
и
vw=const
Рис. 18.11. Влияние начального
непроницаемого участка, х0
параметра вдува на трение и
теплообмен в ламинарном
пограничном слое
и так,. 1 схема вдува охладителя соответствует на приведенном
ipacpir.e значению параметра дя'л'0 —>- оо.
Согласно приведенной зависимости, чем больше формпараметр,
тем меньше трение п интенсивность тенлооомена при прочих
равных условиях. Блп>шие начального непроницаемого участка
пластины x„ существенно проявляется при значениях формпнра-
метра больше 0,2. Увеличение длины начального непроницаемого
участка пластины хп приводит к уменьшению влияния вдува па
трепне и теплообмен, т. е. з-фгректнвность тепловой защиты
уменьшается.
Кслн физические свойства вдуваемого газа отличаются от
физических свойств внешнего потока, то при акал пае тепловых и
гидродинамических процессов пеоиходамо решать водную систему
уравнений погнаппчпого слоя, включая \ ннгшення диффузии,
а при больших тошерат Урал нсооходпмо учитывать и \н ...;ческне
реакции, вознвкакдцне в прднюсе вдува охлади :ели. С :ыих
случаях па нптоьенвьоегь теплооомсна влияют такие физические
параметры Вдуваемою и основною потоков, как теплоемкость,
теплопроводное] ь, вязкость, коэффициент диффузии и др. Согласно
молекулярно-кинетическои теории у идеальных газов при
постоянных значениях давления н температуры все зла физические харак-
441

теристики среды являются функцией одной физической
величины — молекулярной массы. Поэтому влияние природы вдуваемого
газа на трение и процесс теплообмена в первом приближении можно
учесть введением в критериальное уравнение отношения
молекулярных масс вдуваемого (Mw) и основного (Л-f,) газовых потоков
(MJMj). Экспериментальные данные по вдуву различных газов
в ламинарный пограничный слой на плоской пористой пластине
удовлетворительно обобщаются критериальными уравнениями
для коэффициентов трения и теплоотдачи относительно
вышеуказанного комплекса:
-2_ = 1 -2,08 (-^~y,3-?^VWi, (18.11)
JL = i _i,82(-^y/3^^_KR^ (18.12)
где Cf, а и cf0, a0 — соответственно коэффициенты трения и
теплоотдачи при вдуве охладителя и при отсутствии вдува. В качестве
определяющей температуры используется температура, равная
ТопР =Т, + 0,5 (Tw - Т,) -г 0,22 (Те - Tf), где Те -
эффективная температура на непроницаемой поверхности при прочих
равных условиях.
Влияние химических реакций на процесс теплообмена при
вдуве охладителя в пограничный слой в пегжом приближении
может быть учтено аналогично, как и на непроницаемой
поверхности, введением в формулу Ньютона разности полных энтальпий:
ст>
Для больших скоростей обтекания ламинарным потоком
плоской пористой пластины ппи М — 1,5...20 и TJTf = 0,5...5 на
основе численного решения уравнений пограничного слоя
предложены следующие критериальные уравнения:
-5г->-°'85(т^Г'- <1814>
где /ш =- (pu)wcp,Ja0 -- формпараметр, определяемый согласно
соотношению (18.9).
Обобщение результатов расчета коэффициентов теплоотдачи
на пористой поверхности для случая течения в окрестности
передней критической точки тела относительно формпарамегра /к, ---
= (pv)wcp0/a0 представлено на рис. 18.12. Эта зависимость может
быть аппроксимирована критериальным уравнением:
при /ш< 1,5
(а/ср)/(а0/ср)0 = 1 - 0,67 (-щ-)°'25 fw, (18.15)
/ Mj \0,25
при /ш>1,5 (а/ср)/(а/Ср)0=- 1 - (-щ^) ехр [0,23 - (0,3/ш +
f 0,45)].
442

1-{л/а.0)
(Mt/M„)W
1,2
0,8
0
Рис. I8.I2.
результатов
0,8
0,4
2 4 6
(9v)wCPl*0
Практическое обобщение
расчета коэффициентов
теплоотдачи на пористой поверхности
для случая течения в окрестности
передней критической точки тела
относительно формпаряметра
^
",8
1,6
гм
з,г*„
Рис. \Ъ. 13. Влияние параметра
вдува газа на интенсивность
теплообмена в турбулентном
пограничном слое при М "-- 3,
TjTf^ 3.3, Rc~- 4-Ю":
/ — пдув воздуха; 2 — вдув гелия
Влияние вдува охладителя в турбулентный пограничный слой
на интенсивность теплообмена аналогично случаю вдува
охладителя в ламинарный пограничный слой. Однако вдув охладителя
в турбулентный пограничный слой оказывает меньшее влияние
на процесс теплообмена, чем при ламинарном режиме течения, что
приводит к увеличению расхода охладителя при прочих равных
условиях. Результаты экспериментальных исследований процесса
теплообмена в турбулентном пограничном слое при вдуве воздуха
и гелия через пористую поверхность, обтекаемую воздушным
потоком, представлены на рис. 18.13. Как и при ламинарном режиме,
чем больше интенсивность вдува (формпараметр fw -= (pu)tecp/a„)
и чем меньше молекулярная масса вдуваемого газа (Ма), тем
меньше интенсивность теплообмена, а следовательно, тем больше
эффективность тепловой защиты. На основании обобщения
экспериментальных исследований по влиянию вдува различных газов на
теплообмен в турбулентном пограничном слое предложено следующее
критериальное уравнение для расчета коэффициента теплоотдачи
(см. рис. 18.13) при значениях формпараметра, для которых
a/cto > 0.1 :
(а/ср)/(а/ср)0 = 1 - 0.19 (^-)"/„, (18.16)
где показатель степени п опоеделяется в зависимости от параметра
(М,/Ли (при 0,2 < М,/ДС< 1 п = 0,35; при 1 < М//Мш < 8
п = 0,7; при ЛуМш > 8 п = 1).
Расход охладителя через пористую поверхность можно
определить согласно уравнению теплового баланса. Полагая, что
температура охладителя на выходе из пористой стенки равна темпера-
443

Tvpe нонепхшнти (?V/ н нпепебреган потерями тепла посредством
пз..учения, уравнение теплового баланса можно записать в виде
</и ~-~^с- /ы {№)--■ (/ш-- -/»).
где /,, - - начальная энтальпия вдуваемого охладителя.
1 (.ч данного соотношения следует, что ,\;асеовый расход
вдуваемого охладители
г< ■ I / / ') \
((>yL — ( -14^—у~ ) •
Результаты расчетов показывают, что пористое охлаждение
тем более экономичнее и эффект нвнее но сравнению с коцвеынв-
ным, чем выше отношение перепада энтальпии в пограничном слое
(/,, — /ц.) к перепаду энтальпий охладителя (/Ц| -— /„) в системе
охлаждения, а тайнее чем больше параметр вдува. При скорости
полота около о км/с, когда энтальння заторможенного потока,
превышает 4- 103кЛж/кг, расход охладителя при пористом
охлаждении па порядок будет меньше, чем при конвективном
охлаждении.
18.0. ЗАГРАДИТЕЛЬНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
При заградительном охлаждении теплопапряженпых
поверхностей охлаждающий газ подается на поверхность
теплообмена, и распространяется вдоль этой поверхности, образуя
защитный слой относительно холодного потока газа (см. рис. 18.4,
а). Основным параметром, определяющим интенсивность
теплообмена в этих услоили.х, является эффективность заградительного
охлаждения адиабатной (теплоизолированной) поверхности
»ШЙД-(//1 - W/(//i -Ь). (18.17)
где /,., полная энтальпия набегающего (горячего) потока газа;
/,.,— энтальпия охладителя; /юад—энтальпия газового потока
теплой золи новаиной поверхности.
ыелп опзпчеекпе свойства газового поотка и охладителя
одинаковы шля практически близки), то выражение для Вк,ад запишется
в виде
<\.аз-=(Тл~ Т„^!(Тп-Тп), (18.18)
где Т, н Т,-._, — соответственно температуры набегающего потока
газа :. охладителя; Г,,. ад--температура теплоизолированной по-
вадхпо.дп.
Эф;ны.\?:1'-.;юст*- заградительного охлаждения б\, ал еппеделяет
темшепат^гу адиабатной (теплоизолированной) поверхности, кото-
рад хзонктегпзуст пдоцсееы тепло- и массообмекз между горячим
потопом газа и пристенным потоком охладителя.
.'за .,; температуру теплоизолированной поверхности, можно
рассчитать nnoiiece теплообмена и для более сложных случаев,
например при комбинированном охлаждении, при котором одно-
444

zzzzzz
—mm- <ь Т —
uf02-
рис. 18 ';■*. > fi-'b' ст:а> '■■''; '
a — прис-- jw» струя; 0 - свободнЛ!
участок: III - основной участок
впемспно пс iii <
поверхлоетл <. т ^
i-JOCTIf С (ipOTi'i ' л i I ^
дая расчета т<_п~ >г и
согласно fbo" ' ' , т '
Т i ИСПОЛЬЗЛ С" С 1 Г v т '
поверхности:
С'ш ■ а. ■ ,2
Гидродинамическая ;■ аеаааа
цесс теплообмена существенно а,т
рнстнк системы подач;? оадаеаа,
Рассмотрим основные оеободное-а
охладителя чероа плоскую та;::
направлена параллельно 'ал::';:
Ь этом случае долее г .^
струя потока охлаттсла, ко;о' а , .о
с плоской стопкой, а с др-лч.п аа<
газа, скорость которого л;-, : ь лЛк

чальной скорости струи ит и температуры Тт. Распространение
пристенной струи в спутном потоке является сложным
неавтомодельным течением, для детального анализа которого необходимо
использовать методы численного решения газодинамических
уравнений. Однако в инженерной практике для расчета процесса
теплообмена с успехом могут быть использованы полуэмнирические
методы расчета, основанные на экспериментальных исследованиях
основных закономерностей пристенных струйных теченией.
Рассмотрим основные положения этих методов расчета.
В зависимости от размера (высоты) щели (Ь0) и толщины
пограничного слоя (б), образованного в результате обтекания
поверхности внешним потоком, вдув охладителя может быть реализован
во внешний поток (при Ь„ >- б) или в пограничный слой (при Ьа <
< б). Развитие пристенного струйного течения в этих двух случаях
может протекать по-разному. Рассмотрим случай, когда высота
щели больше или соизмерима с толщиной пограничного слоя
внешнего потока (см. рис. 18.14) и начальная скорость струи (uf<n)
больше скорости внешнего спутного потока (ип). Пристенное
струйное течение условно можно разделить на две области:
пограничная, примыкающая непосредственно к поверхности, и струйная
области. С увеличением расстояния от щели, через которую
вдувается охладитель, толщина пограничного слоя и ширина струи
увеличиваются, и соответственно скорость струйного потока
уменьшается и в пределе стремится к скорости внешнего потока. В
пограничном слое имеет место падение скорости до нуля на стенке.
Если стенка теплоизолированная, то температура в поперечном
сечении пограничного слоя остается постоянной и равной ее
значению на внешней границе пограничного слоя.
Если поверхность не теплоизолированная, то вблизи ее
образуется тепловой пограничный слой и температура на его внешней
границе 7"а соответствует температуре на теплоизолированной
поверхности Twan. Следовательно, в общем случае для построения
модели процесса теплообмена при заградительном охлаждении
необходимо опираться на закономерности струйного смешения
потоков и развития пограничного слоя в этой зоне.
При значении толщин пограничного слоя б, много меньших
ширины зоны струйного течения (6 <<( Ь), можно в первом
приближении полагать, что температура Т$ и скорость «^ на внешней
границе пограничного слоя примерно соответствуют значению
температуры Тт и скорости итна оси свободной струи (при
отсутствии стенки).
Рассмотрим основные закономерности турбулентного смешения
двух спутпых потоков. Если пренебречь трением на стенке, то
она может рассматриваться как ось симметрии свободной струи
в спутном потоке (рис. 18.14, б). В свободной струе ми «но
выделить начальный (в котором существует ядро постоянной с прости),
переходный и основной участки. На начальном участь струи
температура и скорость на оси струи остаются постоянными и рав-
446

ними их значению ь выходном сечеппи
;целп. !ia основном участке струн
проспанное изменение скоро-
пуры га.!,-), которые с увс-
юстояппя с)Т выходною
н стремится к значениям
потоке. Для построения
ПС \() ЧС ! НОС I
'"!'! И TCMIIOpi
лишением р,
сеченпя шел
вс! внешнем
кар1 Н1П.1 течеч'ия необходимо знать
профиль скоростей и темперах;, р п
поперечном сеченнп струп, угловой
коэффициент расширения струи и положения
полюса струи относительно среза сопла.
Согласно экспериментальным
исследованиям пробили относительной
скорости, энтальпии и массовой
концентрации
формулой, предложенной Шлнхтенгом
«/, -"«.(У) Г, /JM3/2T
L \ьи I j
О 0,5 1,0 т
PllC. \H.\b. i.ililU ИМ ■.-■,
ПОЛЮС.) зоны струйного
смещения от параметра т
имеют куполообразную форму и могут быть описаны
л
п
«/1 - "?./
I :• <Ю
- 1 ■>'„',
Р/1
С/1 — С,п
Г
(•ё-гТ.
(18.20/
(18.21)
где у -— поперечная координата, отсчитываемая от внутренней
границы зоны смешения для начального участка струи, а для
0( 1Ю13ИОГО участка от оси струи (у0 -•= 0); и2т, I-im, с2т —
соответственно скорость, энтальпия и массовая концентрация на осп
струи; h,L, bt, Ь,. — ширина динамической, тепловой и коинептра-
ционпой зон смешения струп (рис. 18.14,6").
Как показывают экспериментальные исследования, профиль
скоростей, энтальпий и концентрации в зоне струнного смешения
подобны, однако ширина динамической зоны меньше, чем тепловой
и концентрационной зон смешения, и примерно составляет bt --•
- bc 1.2/»,.
Угловой коэффициент расширения струи tga, - bu/x и
положение полюса струи ха (положение точки на осп х, в которой
пересекаются трашгаи области смешения (рис. 18.15)'), зависят от ряда
факторов таких, как уровень турбулентности и профиль (спроста
в выходном сечения щели, толщина стеы-a щели, >зс5,1л льющая
смешивающиеся истоки и размеры пограничного тюя ic- внешней
ее ьовс рхпоет! . сровепь турб;, леитрост и внешьи г п< ни- a, uinoine-
пьс плел постен смешивающихся иенже:-. рп/р,- 1; панаме;; ( нут-
нос ги потока т.
и.-,
Jiifi. В конкретных реальных ког
кцпя;
ic всегда удается \ честь одновременно все эти фактора
IltpapHOMcpiiocvb поля скорость ь выхо'ин \; cent a
можно счесть введением поправки па ее размер б';п). Эффект
размер лили (Ь„ ,ф), учитывающий фактическою величин)
честна движения, определяется как />0 ,ф -- Ьо - 26J, где
толщина вытеснения пограничного слоя в выходном сечении сопла.
447
!И Ще;
КО,'!
6 Г

Pi-t-
Hi
(XT'
M .;, "iSi 'ЧСлУ> ioiii3iii.ii-..i ci'i'i
^/7V
;ш -,
T
;" " 1'
l ■ ■: ! Г >.: 'C'lh l! if. 0.^!
■:i' .>'']) ': .' ;j4 \'! Klin
i'■■ qd ;' v.: Л'ь. v;!,!u:
i:\i гм^чк! qq'd'.-q и глгнч; .vci'-m q c.~;>:'~ q'lqqdq; x :> -сч,,н
'.['i-rsiiif-K.-'cn) очс.'Улчш сч чччм qq- v)ti \.i. poqq ".,'ы;и q >km:u
•i ;'Л"!Т''("> !..\ т.- >i ■> ]i\.f>!c.[[ ]', qqiYq qqqq' qq;> л 'o.irH ,i!\Oi;\: ,q4X\,' ччС И
4.i л(-!Г''- '.iit-ui ■ii'i"J,o i. '<v;vr,v-:v.i -^ о; i l] !< i - \»qq ->;\ п.лж i.cv.iiv. ччп.с . ■■■:.■
Qjopj ■?!!.•. qnoq q пллочр'Ч-, чо.чхчЧчч!. ччч.чч'ччг'оч 'ш.юлгча
iior.:i;.u' uhI.u. ччочм ,hvu' чоччл пц •(}-<-1п и ^)"--,;- [ ?-' ,~q: -
VJ И (ill И
l ~:-г i zb'1 X|' иллсн!сч;л .s.uwip'nd.r eii4n?Honftd<jnodii
hv: L'":::'dj т игсРол omni.'H).') ]-;и пг,!]!^1\л .чю$: и qqqqqqqq кг и ; мог.' *d kSa i.
(Hi, 'iv-u :> 0ii;:sH;i;) о.чс 44 -- гчЙ) — ':oS> зппччгчп: i ■- ш пси юнЧЧ
(I'A'Qi
t.lil ., ...4,
.rq
c;1
ЛПОМЧЕ; LS'.H'Ol'.I'I-Uil.Oil НИИ^ШОЛЛ UJOinHlli.1
!:.'M?i;nf, qqnqpqq гччш*э;и:н podoioq lii'.'i.'iqii.) Чн/хЧок ii(V!.ic;.;;c:ii:i\c
-лгсч: пи ч'ччччиоччо qq.bihqqd чи>ччи,ихсао;\[ qusirqcqicq; ivnii1::. i:x
-нлччсчч ";мс -- огччпичччл '^мммижкмь ччччнсьлчоа 'чнпчочхчч
,'i)! \q.ir,i ,■ ; ■("'(,.-, ч ичиг ,v4»'Jh i 4'i,\r f ■'•'//''•'"/J - ;t/ i:d i,vu:di;n j.o гХхоок
-y.iv.vv.;: :' '•'::?; ч Чх У\ яочачоч х\чт' ниьосыю hi ч rco чччхчич. ч.'ь
s:n.".',', !ю,ч;г.:;'У!. киплчччхч dciquqlnx n.ip'ii'iiiii РГУ1 '-'-'d i;]]
:ux п.л<|;.1 лочлм: ii "</ мглтп imcIolvkim; 'p_jj x;j \iiul) но«оши \ла,. пин
-qirqqxx пхличчч iqMi.ldcmqqd 4<)q l \ ночнслни l. KunD!,i;ii<; au?m; oivuf
-r.Xi.i. on ("/) i:''d'.i rml.mm.a очохчгчхчч пнсь'Г кшмг-'Г.х!!!'.) i;r^
!<"'«!:
1_"(Х - . U/ ИСИ UK.: { --- j;0 - JC- -:~ \')/
:cJ 0
[I l/,'<;;' ■ (•"(,) }',) у
IM!J,.)OU ИЛИ И!;!' IVIDLiJliliiLliavt OiiJIII.'.Rl,'
4J.HI.V,T СС!(0 ОП>Г:ч\ ,f.'j4;| 'CHd ';\.")l l,n':,'l Vi L'OMO i.oii SilT'OH ,. 410
;:c :.v,;i.4iv:i uj и ;. ,ч: -,i: лчн.с и и,\с.'.) ■."(>(!."!.),: очг.члжсл/оь t;ii tv;i
xH.i..)()HX(i,~iitoo .ir) j'.')[i>KAc!i.'ii с (^y; i; >:i. )uL.vqq ::;i ам,\:.^ хгсчн:..
-I'djoii niidoi'.'rq.';! ii Vx'tHo:! Hi;li;(ii,.cjifr:,"),'.-, i;.'>'i]i()i;,i:<)l.'-< i.d '\\") имч'гнс

угловые коэффициенты тепловой зоны струйного смешения
при т (),Г> и т 2 удоплс! ьорнтелыю описываются зависимостью
--'- - с\\ :~т- (18.25)
i ;u: пи начальном учапке смешения с - 0,17, на основном —
с - 0,12. При значениях параметра т, близких к единице 0,7 <
т 1,4, ширина зоны гмешепия не зависит от нарамет[)ов
т u,n;J4j\ и b.Jx ~0,1. При увеличении уровня начальной
ту рбулеит пост и смешивающихся потоков диапазон значений т,
при которых ширина зоны смешения не зависит от т, будет раеши-
ряп.ся, а при уменьшении - уменьшаться.
Изменение скорости ит и температуры Тт па оси струи можно
определит!, на основе решений шпеч'ральных соотношений для
импульса и энтальпии ь струе. Из условий сохранения избыточного
импульса
»п
1\Л1>и*кп i (1>и Л..) (vu-)n ~-- \ (>и* dy (I8.26)
о
и сохранения избыточной энтальпии
Ьь (Р«), „2 (// 02 - 1Н) - | Р" (/ "- 'л) dU- (18-27)
о
Для определения интегралов, стоящих в правой части этих
соотношений, используются формулы для профиля относительной
скорости и энтальпии в поперечном сечении струи (18.20) и (18.21)
и эмпирическое соотношение для ширины зоны струйного
смешения (18.23). В общем случае решение этих уравнений достаточно
громоздко и требует использования численных методов.
Результаты расчетов и экспериментальные исследования показывают, что
в общем случае относительная избыточная безразмерная скорость
Wm ^ {um— «/i)/(«/02 — "я) и температура 6т == (Тт — Тп)/(Тт —
— Тп) зависят от относительного расстояния X = х/Ь0, параметра
вдува гп0 ----- Uj„Jufl, отношения плотностей (или температур)
смешивающихся потоков п --- TU).JTn — рл/Р/02-
Рассмотрим основные закономерности струйного смешения
двух потоков с одинаковыми теплоемкостями при упрощающем
допущении bu — bx. В этом случае профиль температур в
поперечном сечении струи подобен профилю скоростей
IhJ^ilML = Ц^1±Я . (18.28)
В этом случае распределения температуры и скорости потока
на оси струи также будут подобны:
(Тп ~ Tm)l(Tn - Г,(й) = (ип - um)l(un - и,02). (18.29)
На рис. 18.17 приведены значения безразмерной избыточной
температуры на оси струи 6m = (Tm— Tn)/(Tf0i— Тп) для
15 АвдуевскиЯ 449

11,8
Oft
w
tfA\>
0,1
4.0,*
V\ л ЧЧ ,ш
Ж
3
\ \
S """^
74^^/, 5"
^
80
l/ilj
200 0
80
160
ТОО X
Рис. 18. !7. Зависимость безразмерной избыточной температуры на оси струи 8П
от параметров т и X при п — 0,5
различных значений тй — ufQ2/un при л = Tf02lTfl — 0,5,
которые дают наглядное представление о влиянии этого параметра на
характер распределения температуры на оси струи Тт и
дальнобойность струи. При т0 < 1 рост параметра вдува т0 приводит
к увеличению начального участка и дальнобойности струи, а при
/л0 > 1 — к уменьшению этих характеристик, Уменьшение
параметра л (при л < 1) при прочих равных условиях приводит также
к увеличению начального участка и дальнобойности струи.
В частном случае при л = I из интегральных соотношений
(18.26) и (18.27) следует зависимость, представленная на рис. 18.18.
Используя данную графическую зависимость, можно определить
изменение скорости и температуры на оси струи при л = Тf0JTfl =
— 1. Для заданного значения параметра вдува пг0 определяем
длину начального участка и тангенс угла расширения основного
участка зоны струйного смешения tg аг (см. рис. 18.16). Полагая,
что граница основного участка струи проходит через кромку
сопла, для рассматриваемого значения х определяем ширину зоны
смешения bu = xtga.l + b0, где х — координата, отсчитываемая
от выходного сечения щели. Зная ширину зоны струйного
смешения bu/b0, определяем согласно графической зависимости (см.
рис. 18.18) скорость потока на оси струи ит/ип при заданных
значениях т0 и х и из условия подобия поля
температур и скоростей (18.29) определяем
температуру на оси струи Тт. Такая
приближенная методика расчета дает
несколько завышенные значения
температуры потока на оси струи.
При больших параметрах вдува
то (и/о2 5" "д) закономерности
распространения струи будут близки к
закономерностям распространения затопленной
струи. В этом случае длина начального
участка струи составляет /0/Ь0 ~ 10,
полюс струи практически расположен
(b0/bu){l-m20)
0,5
0,25
0 0,5 1,0
J-um/at
Рис. 18.18. Зависимость
для расчета
распределения скорости на оси струи
в спутном потеке
450

в выходном сечении щели (хп = 0) и
вдали от нее распределение скорости на
оси плоской струи определяется из
выражения
"/OS
= 3,98
V С /02
ьо йф
(3 8.30)
Рис. 18.19. Схема
распределения толщины пограничною
слоя.
/ — зона струйного смещения;
2 — профиль скорости Шпих-
тннга; 3 — пограничный слой
Вышеприведенный анализ не
учитывает влияния пограничного слоя,
образующегося на защищаемой
поверхности, на распределение
скорости и температуры в
пристеночном струйном потоке. В первом
приближении можно полагать, что это влияние ограничено
областью пристеночного пограничного слоя. В этом случае
толщину пограничного слоя можно определить из условия:
скорость на внешней границе пограничного слоя лежит на
соответствующем профиле скорости (Шлихтинга) в зоне струйного смешения
(рис. 18.19). Из условия подобия поля температур и скоростей
в зоне струйного смешения согласно формуле (18.20) скорость
ы5 и температура Г5 на границе пограничного слоя равны
Щ\ — "ь
Th
б \ 3/2-112
~ (I)' ]
(18.31)
С другой стороны, если турбулентный пограничный слой
нарастает от выходного сечения щели, то его толщину можно
оценить по формуле
6 = 0,37(v/u5)°'2x°.8. (18.32)
Из совместного решения этих двух уравнений с учетом
вышеприведенной методики определения распределения температуры
и скорости вдоль оси струи можно определить толщину
пограничного слоя. Для этой цели можно использовать метод
последовательных приближений.
Для практических расчетов в первом приближении толщину
пограничного слоя (б) можно оценить по формуле (18.32), в
которой скорость на внешней границе принята и6 = 0,5 (uf02 + «я)>
а значение вязкости определить по температуре Tf = 0,5 (Г<02 +
+ Тп).
Зная толщину пограничного слоя, можно определить
температуру теплоизолированной поверхности Tw&n = T&, скорость на
внешней границе пограничного слоя, а следовательно, и
коэффициент теплоотдачи а согласно формуле
St
a/(pfufcp) = 0,0225 (u06/Vr°'26Pr-°'6. (18.33)
Как показывают расчеты, для большинства практических
случаев при х/Ь0 <; 20 толщина пограничного.слоя составляет bjb ^
15* 451

'w ад
0,8
0,6
0,2
0,2
0,3..
1
\
^
$■
г
h
j
'
0.1 ii значения н'мперзтуры и
|'|'.п|'.(наи па внешней границе
пограничного глоя близки к
значении» темпера i \ ры и скорости на
O'HI еВООоДНОИ СТ|)\'И.
О
)>»
2 4
I« 2')
6 В 10 т0Ь0/(пх)
ill.14
Н
HHi'iiMoein in !ii„!'ty (/i.i) дня
различных значений //,„ (sarpa.'un'e.-iiHioe
охлаждении- при и 0.(3-1)
При заданной эффект пнност и
■•аградителыии о охлаждения его
/Кономичиосгь определ яегся
величиной расхода охладнчеля (<i2),
приходяще1 оси на единицу
площади защищаемой понерхпости (S),
0"'К, : <л, t-JS - ''о (\^i,n)ix- Оч-
носительиую величину этого
расхода охладителя можно
записан, в виде (pu)JU>ii)n --mubj(nx).
Поэтому значение Нк. ад целесообразно представить в виде
функциональной зависимости <->ш -^вш (m0l>J(nx), тв, л), которая
представлена па рис. 18.20 для заградительного охлаждения пластины при
различных значениях т0 н n ~ 0,64. Из приведенной зависимости
следует, что при заданном значении 6а.ад с увеличением параметра
вдува т0 относительный расход охладителя, приходящийся на
единицу поверхности mJ>J(nx), увеличивается и, следовательно,
экономичность ухудшается. Это объясняется тем, что с увеличением
параметра вдува необходимый расход охладителя для тепловой
защиты поверхности увеличивается быстрее,чем дальнобойность струи.
При вдуве охладителя в пограничный слой внешнего потока,
толщина которого много больше чем размеры щели, вдали от нее
при малом параметре вдува т„ < 1 струя будет развиваться в ноле
вязкости и теплопроводности, определяемых пограничным слоем.
В этом случае в основу модели расчета заградительного
охлаждения могут быть положены закономерности пограничного слоя.
Согласно данной модели формула для расчета вшадпри любом
значении х за пределами начального участка х0 может быть
получена путем интерполяции при х > х0:
в
w ад
1 I o^(j4j^y-2u4sSlzzhL']-a-a /18 34)
V V I '-Ч аФо J
ПрИ 0 -:-■'* < Л'о (%Jn;( --= 1 .
Если для тепловом защиты поверхности используется
многорядная система (многощелевая), состоящая из п удаленных друг
от друга щелей, то для расчета эффективности заградительного
охлаждения (в,,ад) можно использовать принцип аддитивности
эффективности охлаждения. При изотермическом вдуве через
каждый ряд щелей эффективность заградительного охлаждения
определяется соотношением
n i=.\
(Н-,а;,)„ --■ I (ве,пд),. П (1 .. (Йгиад);), (18..35)
■ ---1 / а
где I, / - номера рядов.
452

В лопатках газовых турбин конструктивно можно реализовать
выдув охладителя по нормали или под углом к поверхности через
один или несколько рядов отверстии (рпе. 18.21). Выдув
охладителя иод углом к поверхности |J> 90" желателен для снижения
газодинамических потерь, обусловленных увеличением толщины
пограничного слоя и деформацией его профиля скорости.
Эффективность заградительного охлаждении при вдупс охладителя через
опк'ретпя изменяется не только в продольном направлении, по и
в поперечном. Гидродинамическая клргпиа течения, а
следовательно, и процесс теплообмена в этом случае вблизи места вдувл
охладителя существенно зависит от геометрических характеристик
системы вдува: диаметра отверстии dlh vivia пак,лона оси отверстия
к поверхности р, расстояния между отверстиями / (шага
расположения отверстий), числа рядов отверстий и геометрии их
расположения. Температурное поле на защищаемой поверхности при
выдуве охладителя через систему отверстий оказывается менее
равномерным, чем при выдуве охладителя через тангенциальную
щель. Картина течения охладителя через отверстие показана на
рис. 18.21. Под действием горячего потока, движущегося со
скоростью ufx, струя охладителя искривляется и деформируется,
поперечное сечение струи изменяется от эллиптической формы (при
наклонном расположении капала вдува р1 <. 90°) до
подковообразной формы. Такая деформация струн сопровождается образованием
системы вихрей, заполняющих поперечное сечение струи и
пристеночное пространство. Толщина струп b практически изменяется
линейно в зависимости от расстояния от отверстия b -■■■■■ 2,25d0 -f-
• 0,22л:. При относительном шаге отверстий перфорации t/dn •< 3
слияние соседних струй охладителя происходит на расстоянии
примерно равном x/da ~ З...3,5.
P.'tc. 18,21. Картина течения при вдуве охлади it.:я. чериз отверстие:
1 — направление газового потока; 2 — сгруя охладн1с.;я, J — 01Ьерс1ие для ьдува
453

Bwafl
О 0,5 Ю 1,5 т0
Рис. 18.22. Зависимость эффективности заградительного охлаждения от
параметра вдува т0 при вдуве охладителя через одиночное отверстие (Re = 0,22-103;
р = 35°) для различных значений X = x/d0:
1 ... 4 — X = 5,19; П,П; 31,47; 80,67 соответственно
Характер зависимости эффективности заградительного
охлаждения (при вдуве охладителя под углом р" = 35° через одиночное
отверстие) от параметра вдува т0 = (ри)!02/(ри)п показана на
рис. 18.22. При т0 < 0,5 с ростом параметра вдува пг0
эффективность заградительного охлаждения увеличивается, достигает
максимума, а затем при т0 > 0,5 уменьшается. Такая закономерность
изменения 6шад объясняется тем, что при малых значениях т0 <
< 0,5 струя охладителя плотно прилегает к поверхности, образуя
холодный пристенный поток, а при сравнительно больших
значениях т0 > 0,5 происходит отрыв струи охладителя от поверхности,
что и обуславливает уменьшение эффективности заградительного
охлаждения.
На больших расстояниях от места вдува происходит слияние
отдельных струек охладителя, и для расчета эффективности
заградительного охлаждения за рядом перфорированных отверстий
диаметром d0 я с поперечным шагом их расположения t можно
использовать зависимости для эффективности заградительного
охлаждения при вдуве охладителя через сплошную щель (18.34).
В этом случае вместо высоты щели Ь0 используется эквивалентный
ее размер Ьэ, определяемый как отношение площади отверстий
вдува к ширине перфорированной поверхности Ьэ = ndo/(At).
При переменных физических свойствах газового потока и
охладителя для различных углов его вдува в пограничный слой
в области х ^> х0 и та < 1 эффективность заградительного
охлаждения можно оценить согласно критериальному уравнению
l,5Pif032
вшад = П{Г0,329 (срЛ/ср/1)|ЗТ7(Р) ' (!8'36)
454

где
I -
[ V Ьэт0
)m«
c/2
—0,25
/(P)= l + l,5.I0-«Re,
02
fl/ 02 "/i
Н-Д M/ 02
sin p.
При подаче охладителя через перфорированную поверхность,
у которой продольный и поперечный шаг перфорации достаточно
мал, влияние вдува охладителя на пограничный слой проявляется
аналогично, как и в случае вдува через пористую поверхность.
Экспериментальные исследования показывают, что под действием
вдува охладителя через перфорированную поверхность (5...200
отверстий па 1 см2 поверхности) профиль скорости в турбулентном
пограничном слое становится менее заполненным, а толщина его
увеличивается. Основным критерием, определяющим влияние
вдува на процесс теплообмена в пограничном слое (как и при
пористом охлаждении), является формпараметр fw, который для
турбулентного режима течения равен /„, — 4^г^ Re°;2, где (р«)ш —
массовый поток охладителя, отнесенный к единице площади
защищаемой поверхности.
Профиль скорости в турбулентном пограничном слое на
перфорированной поверхности можно
зависимостью и (y)/uf = (г//6д)1/г\
где показатель степени п и
толщина динамического
пограничного слоя зависят только
от формпараметра fw и при
/..<0,3
1/л = 0,143 4-2,9/.;
6д/6до= 1 + 13,5^, (18.37)
где бдо —• толщина динамического
слоя на непроницаемой
поверхности при прочих равных
условиях.
Согласно экспериментальным
данным эффективность
заградительного охлаждения
теплоизолированной перфорированной
поверхности для турбулентного
пограничного слоя с
увеличением формпараметра
уменьшается, а коэффициент теплоотдачи
увеличивается (рис. 18.23) и
аппроксимировать
а/а 0
степенной
18
1ft
А
/
^^
i&^
0,1
Jwa/i
а)
о,г
о,з f„
0,4
0,2
I
0,1
Ю
0,2
0,3 Л,
Рис. 18.23. Зависимости
коэффициента теплоотдачи (а) и
эффективности заградительного
охлаждения (б) на перфорированной
поверхности от параметра вдува fw
455

при /в, > 0,3 обобщается следующими критериальными
уравнениями:
в* ад =- —i■—-.т-пг-; о «■•'<«)
, + .8.5-^-1/1 ,.
"пу ад
1 -1 «1
\
о,
■ /1
,"
) h
1 J
где срП и с,,/2 — теплоемкости охладителя и газового потока,
Р/1 и Р/2 — плотности охладителя и газового потока; и --- —0,5
при ()/2/Р/1 < 1 и л----—0,25 при p/2/p/i > I; ъи ^о — коэффициенты
теплоотдачи на проницаемой и непроницаемой поверхностях при
прочих равных условиях.
Увеличение коэффициента теплоотдачи на перфорированной
поверхности под действием вдува охладителя объясняется
интенсификацией турбулентного переноса тепла в результате
взаимодействия струек охладителя с пристенным потоком пограничного
слоя, приводящее к разрушению вязкого подслоя.
18.4. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ
ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН
Тепловая защита лопаток газовых турбин позволяет
понизить температуру их поверхностей по сравнению с
температурой газа до уровня, при котором обеспечивается надежная работа
лопаток из выбранного материала в течение требуемого срока
службы. Целесообразно выбирать температуру материала лопаток
турбин из условия максимально допустимой прочности. Тепловая
защита лопаток газовых турбин включает в себя совокупность
элементов и узлов, обеспечивающих подготовку охлаждающей
среды, подачу ее к охлаждаемой лопатке, систему охлаждения
самой лопатки и использование охладителя после отвода теплоты от
лопатки. Система охлаждения лопатки включает в себя
конструкцию охлаждаемой лопатки, обеспечивающую определенную
организацию течения охладителя в ней и определенную эффективность
Охлаждения. Системы охлаждения лопаток газовых турбин
подразделяются по роду применяемого охладителя (воздушные,
жидкостные и воздушно-жидкостные) и по способу использования
охладителя в турбине и в двигателе в целом (открытые, замкнутые
и полузамкнутые).
Из всех систем охлаждения наиболее широко используется
в практике авиадвигателестроения воздушная открытая система
охлаждения сопловых и рабочих лопаток газовых турбин, в
которой воздух, отбираемый от компрессора, охладив лопатки,
поступает в проточную часть турбины и смешивается с газом. Однако
из-за увеличения степени повышения давления в двигателе темпе-
456

parvp.'i охлаждающего впаду х а, отбираемого из компрессора,
увс.чичннноггя, что снижает эффективность охлаждения лоткпок
турбни. В -я их случаях необходимо использовать специальные
теплообмонпые аппараты и даже турбохолодильные агрегаты, в
которых температуря воздуха понижается до приемлемого
уровня.
Воздушная открытая система охлаждения лопаток турбин
отличается наибольшим многообразием схем охлаждения. Это
многообразие объясняется стремлением создать высокоэффект ив-
ную конструкцию попатки, на охлаждение которой расходовалось
бы минимально возможное количество воздуха, обеспечивающее
требуемые ъапаеы прочности. Эти требования трудно реализуются
из-за технологических ограничений. Постоянное
совершенствование технологии изготовления охлаждаемых лопаток расширяет
возможность совершенствования схем охлаждения, что приводит
к многообразиям конструктивных схем лопаток с воздушным
охлаждением.
Простейшими схемами внешнего воздушного охлаждения
рабочих лопаток являются охлаждениетеплоотводом в диск и
парциальное охлаждение. Отвод тепла от лопаток в диск осуществляется
воздухом, который обдувает ротор (диск) или продувается через
специальные каналы и монтажные зазоры в замковых соединениях
рабочих лопаток. Такое охлаждение целесообразно использовать
для коротких лопаток (30...40 мм). При расходе охлаждающего
воздуха 0,7... 1,3% от расхода газа температура газа перед
турбиной может быть увеличена (50...60 К). При парциальном
охлаждении рабочих лопаток охлаждающий воздух подается на часть
лопаток, где отсутствуют сопловые лопатки, В этом случае рабочие
лопатки омываются попеременно то газом, то охлаждающим
воздухом. Такой способ охлаждения может быть целесообразен
для рабочих лопаток малоразмерных турбин, в которых трудно
реализовать внутреннее охлаждение из-за малой толщины
профилей.
Наибольшее применение в практике находят схемы
внутреннего воздушного охлаждения. В зависимости от направления
течения охлаждающего воздуха в каналах лопатки схемы
охлаждения бывают с продольным течением воздуха, с поперечным и
смешанным (рис. 18.24). В схеме охлаждения с продольным течением
воздух подается в корневую часть лопатки, движется вдоль ее
длины и вытекает через верхний торец или через отверстие в
выходной кромке. В схемах охлаждения с поперечным течением воздух
подается во внутреннюю зону входной кромки лопатки, движется
в поперечном направлении (по отношению к оси лопатки) и,
охладив лопатку, вытекает через отверстия или щели, расположенные
в выходной кромке или на вогнутой поверхности профиля вблизи
кромки. В схеме охлаждения со смешанным течением воздуха на
отдельных участках лопатки реализуются как продольное, так
И Поперечное 1ечения,
457

Рис. 18.24. Схемы воздушного охлаждения лопаток газовых турбин-
а — продольная; б — поперечная: * — смешанная
Рабочие лопатки с продольным течением воздуха отличаются
сравнительной технологической простотой, однако возможности
достаточно глубокого охлаждения в этой схеме ограничены, в
основном, вследствие существенного увеличения температуры
охлаждающего воздуха вдоль оси лопатки, что обуславливает
также и неравномерность температуры по длине лопатки. Поэтому
эта схема охлаждения применяется в ступенях турбин, при входе
б которые среднемассовая температура газа не превышает 1430 К-
При заданных значениях расхода охладителя, температуре
газа и его расходе через турбину эффективность системы
охлаждения лопаток определяется значением температуры наружной
поверхности лопатки. Чем меньше расход охлаждающего воздуха
при допустимой температуре наружной поверхности лопатки, тем
совершеннее система охлаждения и тем большее количество воздуха
участвует в процессе расширения в турбине.
Для анализа эффективности систем охлаждения температуру
наружной поверхности лопатки Тш1 удобно представлять в
безразмерном виде:
6.1 = (Т,01 - TW1)/IT,01 - (Г, «*)«]. (18.40)
где Тш1 — температура наружной поверхности лопатки; Тпл —
температура газа; (Tf02)BI — температура охлаждающего
воздуха на входе в лопатку.
Чем больше безразмерная температура наружной поверхности
лопатки при заданном расходе охлаждающего воздуха, тем
совершеннее система охлаждения лопатки турбины. При вш -*■ 1
температура наружной поверхности лопатки Тш стремится к
температуре охлаждающего воздуха Т}02.
458

Для определения распределения температуры наружной
поверхности лопатки Twl рассмотрим процесс передачи тепла от
горячего потока газа к охлаждающему воздуху. Для этой цели
воспользуемся одномерной моделью расчета, в которой
предполагается, что передача тепла посредством теплопроводности в
стенках лопатки осуществляется только по нормали к поверхности
лопатки. Выделим элемент поверхности лопатки AS.
Количество тепла,' передаваемого от горячего потока газа
к рассматриваемому элементу внешней поверхности лопатки,
равно
AQ - аг (Тех - Тш) AS,. (18.41)
Это количество тепла передается посредством
теплопроводности через стенки лопатки
- AQ = 4"{Т^ ~ T*J ASlfe*' <* 8'42)
где &ф — коэффициент, учитывающий форму поверхности лопатки.
Для участков лопатки, форма поверхностей которых близка
к плоской поверхности, йф = 0,5 (1 -j- AS J AS,), а для участков
лопатки, форма которых близка к цилиндрической поверхности,
&ф = -.— . '. ' где AS, и Д52 — соответственно элементы
наружной и внутренней поверхностей стенки лопатки; К —
коэффициент теплопроводности материалов наружной стенки
лопатки; б — толщина наружной стенки лопатки.
Это же количество тепла расходуется на нагрев
охлаждающего воздуха
Д<2 = о, (Г.* - 7^) 4§f Д51- (18-43)
В этих уравнениях а„ а2 — коэффициенты теплоотдачи от
горячего потока газа к наружной поверхности лопатки и от
внутренней поверхности лопатки к охлаждающему воздуху, Tw„ Tw2 —
температуры наружной и внутренней поверхностей лопатки;
Те\, Tfi — эффективные температуры газа и охлаждающего
воздуха, в общем случае определяемые с учетом пленочного и
струйного охлаждения поверхностей лопатки.
Из уравнений (18.41), (18.42), (18.43) следует
AQ = k (Тл - Тп) AS,, (18.44)
где k = —j -j j j -r-s — коэффициент теплопередачи.
ax X кф az 'AS 2
Эффективные температуры газового потока при пленочном
охлаждении и охлаждающего воздуха при струйном охлаждении
можно выразить относительно эффективной температуры газового
потока Те0 и температуры "охлаждающего воздуха:
Те1 = Те0-ве,(Те0~-Т)2), (18.45)
459

где Тс0 -• эффективная температура потока, Тп -- средиемас-
еовля температура охлаждающего воздуха в канале.
Используя соотношение (18.45), выражение (18.44) можно
представить в виде
l\Q kAS.UT^ Tn)(\ в,,)]. (18.46)
Температуру наружной поверхности определим из уравнения
(18.41):
' <?0 "~ ' щ] '"■ '~~1Гё~ { ' "<■! {' яо ■" ^ f 92) -- 9^1 (Т/2 — If 02).
Из последних двух уравнений выражение дли безразмерной
температуры наружной поверхности лопатки запишется в виде
_7дг^2о1Гев,-Ь-А.(1 - вр1)1. (18.47)
Таким образом, для определения безразмерной температуры
наружной поверхности 6да1 необходимо определить температуру
охлаждающего воздуха Т12. Для этой пели необходимо
рассмотреть одномерное уравнение теплового баланса с переменным
расходом:
<V;,2 —af- -r (Pv)scp2 (Tfi — 7/02) -: -j±- ---
- M(7V~ Г/02)(1 - 6el) - (7/2 - Tf02)(l - вв1)1,
(18.48)
где (ol')s --- G5'AS — массовый расход струйного потока
охлаждающего воздуха, отнесенный к единице внешней поверхности
канала; G., — расход воздуха па входе в капал; ср2 —
теплоемкость охлаждающего воздуха.
Это уравнение удобно представить относительно безразмерной
температуры охлаждающего воздуха:
iigl_ 4~mefl ---л, (18.49)
где 6,„ ;- (Ту, — ГЧ).,)/(ТР0 — Tf0,); tn = {ov)JG2 +• /г/(а,ср„) X
х (1 -ае1); „ -., k(i -efl)/(^c,,,).
Решение уравнения (18.49) на рассматриваемом элементе
поверхности лопатки AS, при в/02 -- 0 запишется
в<2 -- ехр / — I mdS
AS
)\ \ п ехр ( [ mdS\ dS~\. (18.50)
Выбирая величину AS достаточно малой, при которой все
коэффициенты, входящие в уравнение (18.50), можно принять
постоянными и равными соответственно средним значениям на
460

рассматриваемом учалке лопатки /VS, уравнение ibVOO)
запишете и как
Йг1 -— (1 е '" ЛЛ'). (18.51)
т
Уравнения (18.4b) и (1К.5П) дают возможности определи п,
распределение темпера! ур охлаждающего во;д\хл и темпера i \ ры
наружной поверхности канала. В частном случае для
конвективной схемы охлаждения Н6., •-.- 0. (or)., - 0, а согласно уравнениям
(18.46) и (18 50)
В,, -■- ■Г---;Т- -- ехр
/'2
Для определения распределения температуры наружной
поверхности лопатки необходимо знать значения коэффициенте)»
теплоотдачи на наружной и внутренней поверхностях лопатки.
Определение распределения коэффициентов теплоотдачи на
наружной поверхности лопатки (в элементах проточной части
турбин) является важным этапом при проектировании авиационных
двигателей и их систем охлаждения.
В турбинах лопатки соплового аппарата и рабочие, в
особенности I ступени, находятся под воздействием высокоскоростного
потока газа, отличающегося наиболее высоким уровнем
параметров (температуры и давления), что предопределяет высокую
интенсивность теплоотдачи к внешней поверхности лопатки и,
следователино, высокие требования к точности определения
коэффициентов теплоотдачи.
На основе расчета потенциального обтекания решетки лопаток
определяют распределение скорости и давления вдоль контура
лопатки, затем на основе расчета пограничного слоя определяют
распределение коэффициентов теплоотдачи. Характер изменения
коэффициентов теплоотдачи вдоль контура лопатки определяется
особенностями ее обтекания газовым потоком, При натекапии
газа на профиль лопатки образуется пограничный слой, который
вблизи входной кромки является ламинарным, а затем на
некотором расстоянии, зависящем от начальных условий обтекания
(конфигурации межлопаточного канала, интенсивности нагрева),
переходит в турбулентный. Каждая из областей пограничного
слоя (ламинарная, переходная, турбулентная) характеризуется
своей интенсивностью теплообмена, поэтому в зависимости от
протяженности той или иной области вдоль контура профиля
интенсивность теплообмена будет различной. Точность расчета
процессов теплообмена в этом случае существенно зависит от
точности определения координаты начала разрушения
ламинарного режима течения и развитого турбулентного течения.
На рис. 18.25 приведен типичный характер распределения
коэффициентов теплоотдачи вдоль контура лопатки. Максимум
461

Рис. 18.25. Характер распределения
коэффициентов теплоотдачи по
контуру лопагки газовой турбины:
1 ... 3 — ламинарный, переходной,
турбулентный режимы соответственно
интенсивности теплообмена
реализуется в окрестности
передней кромки лопатки. Расчет
распределения коэффициентов
теплоотдачи вдоль контура профиля лопатки представляет достаточно
трудоемкую задачу. Поэтому в инженерной практике для
приближенных расчетов систем охлаждения лопаток газовых турбин
с целью выбора основных параметров используются более
простые эмпирические зависимости для средних значений
коэффициентов теплоотдачи. Профиль лопатки разбивают на участки, вдоль
которых коэффициенты теплоотдачи принимаются постоянными
и равными средним значениям.
В инженерной практике проектирования охлаждаемых
лопаток получила распространение методика, по которой
определяются средние значения коэффициентов теплоотдачи от газа
к поверхности лопатки на передней кромке и основной средней
части профиля. .Средний коэффициент теплоотдачи по поверхности
передней кромки можно определить согласно критериальному
уравнению, полученному для поперечного обтекания цилиндра
газовым потоком при Рг == 0,7.
Nu, = 0,635Re?'5. (18.53)
За определяющую температуру принята температура
торможения газа в относительном движении, за определяющий р. змер —
диаметр входной кромки, за определяющую скорость — скорость
в относительном движении на входе в решетку.
Формулой (18.53) можно пользоваться при нулевых углах
атаки в диапазоне чисел Re^ = 5-103 ... 4 • 104; М •< 0,9.
Средний коэффициент теплоотдачи на основном участке
профиля лопатки (на вогнутой и выпуклой частях профиля)
определяется согласно критериальному уравнению при Рг — 0,7:
О.ббг
Nu, = 0,206Re,'DDSp
-0,58
(18.54)
Здесь в качестве характерного размера используется хорда
профиля лопатки, в качестве характерной скорости uf — скорость
в относительном движении на выходе из решетки; Sp — критерий
подобия, учитывающий влияние на теплообмен геометрии
решеток.
sin Р, Г 2«0 ПО.5
Sp
р2 L tt
(18.55)
sin p2 L t ein ф, - p,) cos2 (Px - p,)/2)
где рх и Pj •— геометрические углы входа и выхода газа из решеток;
Ь0 — ширина решетки; / — шаг решетки; t = tlb\ b — хорда ре-
462

Гис. ! г-'.1Ч)
/0 V^i
V.I i'l iiift' l' [МОГН-
1 ... 3 - d '(',=-- 0,51'
2,100 eouTutiTcTiiiiHHO
: струйное olH'CK.-iiiHi1 их поверхно-
ГТП (I'M piiC. I (S Л) . ! i ореорец iloM
канале \y.r. i .en HiH.' nn i сиспшнн i и
■; шло'и')mcii,i дост hi ается посредп ном
увел и чен и и поверх нос'1 i: к-n.'iooo
мена и усиления перемешивании
жидкости вблиаи попер хнос'1 п вс.тедп вне
те л ер и рования п рисiепочных впх рей.
Установка и пл нпдрпчеекп X ребер
('интене нфика'п 'ров) поперек по i ока
в канале охлаждения ..'loiiaiMi гачо-
В()Й ТуроН.ЧЫ ПОТИОЛЯСТ V НСЛ ПЧИ'1 I,
тпененвпос! ь геплооомепа и 1.5--
2 раза (рис 18.2G). Олласно
проведенным исследованиям Ко-;ффи-
циепт теплоотдачи за ре-пи"! кой
цилиндрических иптепенфп каюров
тс.'п.ного коэффициента -тепло- уменьшается п[ш мвелпчеппи раеетоя-
отдями a/rx0 a a (.(чисткой ци.'пш- [1ИИ от последнего ряда иптепсифи-
дрических штч.сифик^оров D dy умс11ьик.,|11с д|,;1Mt., ,,а
при Re ' 4-Иг; sxidu •--- I "' <
-.. ,,,,/j,, 2. иптепеифпкл тров (а„) н попереч-
i.or.o; ного шага (Sи —■ i;/ л,,) увеличивает
интенсивность процесса геплооомепа
при прочих равных условиях.
Для расчета коэффициента теплоотдачи на поверх пост и канала
к потоку воздуха (Рг ■■■- 0,7) за решеткой цилиндрических ии-
тенсификаторов Черным М. С. предложено следующее
критериальное уравнение:
Nu .- ARe". (18.57)
Коэффициенты А и п зависят от геометрических параметров
решетки интенсифиикаторов:
А - 0,0221 + 13,6 ехр [—0,617 (x!dK) —
- - 1,15 (dJdB — 0,295sv!dK —
— 0,068 sjd„ — 0,379 m)];
n -~- 0,765 — 0,284 exp [0,987 -- 0,242 x/dK — 0,357 djd3 —
-.-0,128 syldu ~f- 0.018 sjd„ --- 0.144 m[),
где a: - - соответственно продольная координата; dn — диаметр
интенсификатора; da — эквивалентный диаметр канала; sx. sv —
продольный и поперечный шаги решетки иитеиеифнкаторов;
гп — число рядов в решетке иитепсификаторов.
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи внутри
решетки цилиндрических интенсификачоров, установленных в
канале, Ноздриным А. А. предложено критериальное уравнение
(при Рг = 0,7)
Nu = l,74Ren(x/L)-°-7s(sj:/dll)-1- ,
где п -■-: 0,8 [1 - -ехр (- -0.0392 (sx'dj2)].
В этом уравнении коэффициент теплоотдачи отпесеи к
полной площади теплообменной поверхности, включая площадь по-
41.4
(18.58)

верхности интенсификаторов; в качестве характерных размера
и скорости использовались средний эквивалентный диаметр ячейки
какала (с учетом интенсификаторов) и соответственно средняя
скорость потока.
Существенная интенсификация процесса теплообмена при
струйном натекании на поверхность и относительная простота
регулирования перераспределения расхода охладителя и
интенсивности теплообмена по поверхности канала обусловили
широкое применение этого способа интенсификации теплообмена в
системах охлаждения лопаток газовых турбин.
Струйная система охлаждения в лопатках газовых турбин,
как правило, используется для местной интенсификации
теплообмена на наиболее теплонапряженных участках лопатки. При
струйном охлаждении передней кромки лопатки (рис. 18.27),
как и при натекании струи на плоскую поверхность, максимум
теплоотдачи реализуется в окрестности критической точки,
протяженность которой примерно соответствует ширине сопла Ь0 =
= Ь, а на расстоянии от критической точки Д//Ь0 > 10
интенсивность теплообмена резко уменьшается а/а0 да 0,3 (где а0 —
коэффициент теплоотдачи в окрестности критической точки). Для
расчета коэффициента теплоотдачи в окрестности критической
точки при натекании струйного потока на вогнутую поверхность
можно использовать следующие критериальные зависимости при
Рг = 0,7, полученные на основе экспериментальных
исследований:
Nu0 = 1,2Reg'58 {h/b0)~°'u2 при h/b0 > 8;
(18.59)
Nu0 = 0,54ReS'6 (hfb0)~0^ при h/b0 < 8.
Здесь в качестве характерной скорости используется скорость
струи на срезе сопла, а в качестве характерного размера —
эквивалентный диаметр сопла d9 (для плоского сопла йэ — 2Ь0).
Соответственно, средние по периметру передней кромки
лопатки коэффициенты теплоотдачи определяются критериальным
уравнением
NL ^-0.36- Re0-62, (18.60)
0 10 7AI III 'id ТО AL/ti0 I- ^
Рис. 18.27. Схема определения интенсивности теплообмена при струйном
охлаждении передней кромки лопатки
16 Дндуевскнй 465

0,6
Oft
0,2
О
i«11,
rrri i
! I ,1
^
Щ4Ш.
1t^
llll''
+h4+
Trrf*
III
ttlUUi
llllllil
z
4 W7//777
где в качестве характерного размера
используется длина дуги полости А/,
отсчитываемой от критической точки,
а в качестве характерной скорости
скорость на оси струи перед ударом
ее о поверхность, определяемую на
основе закономерностей для
свободной затопленной струи.
Для расчета средних значений
по ширине перфорированного канала
коэффициентов теплоотдачи при
струйном охлаждении одной из его
стенок (см. рис. 18.3) предложено
критериальное уравнение
Nu/Niii =
-1-е (sjdf* (sjd)ny (h/d)n* (mf/rns)n,
(18.61)
где значения числа Нуссельта в зоне первого ряда струй
определяются из критериального уравнения
Nil. = 0,363 (sJd)-°-5M (sJd)-0A22 Res°'727Pr,/3. (18.62)
В этих уравнениях sx, sy — продольный и поперечный шаги
расположения струй (перфорации поверхности); d — диаметр
отверстия (перфорации); h — ширина канала; mf, ms —расходы
охладителя в продольном и соответственно в поперечном
струйном потоке; константа с и показатели степени п в данном
критериальном уравнении зависят от схемы расположения струй:
Рис. 18.28. Зависимость
эффективности охлаждения лопаток
газовых турбин от
относительного расхода охлаждающего
воздуха:
1 ... 4 — конвективное, струйное,
пленочное, пористое охлаждения
соответственно
для коридорной схемы с = 0,596, пх = —0,103, пу
0,36, пг
— 0,803, п = 0,561; для шахматной схемы с = 1,07, пх — —0,198,
Пу = —0,406, пг = 0,788, п = 0,660.
Определив в каждом конкретном случае коэффициенты
теплоотдачи на наружной и внутренней поверхностях лопатки, а также
распределение расхода воздуха по каналам охлаждения согласно
зависимостям (18.52) можно определить и распределение
температуры на наружной поверхности лопатки или для заданной
максимально допустимой температуры материала лопатки
определить потребный расход охлаждающего воздуха.
На рис. 18.28 приведены результаты приближенных оценок
максимальной безразмерной температуры поверхности лопатки
в зависимости от относительного расхода охлаждающего воздуха
гщ/т1 (т.г — расход охлаждающего воздуха; т, — расход газа
через турбину) для конвективного, струйного, пленочного
(заградительного) и пористого охлаждений. Из приведенной
зависимости следует, что наиболее эффективное охлаждение с меньшими
затратами охлаждающего воздуха реализуется при пористом
охлаждении. Струйная система охлаждения занимает
промежуточное положение между конвективным и заградительным.
466

18.5. ТЕПЛОЗАЩИТНЫЕ ПОКРЫТИЯ
Одним из распространенных методов предохранения
конструкции от теплового и химического воздействия внешнего
потока с высокой температурой является нанесение на
поверхность теплозащитных покрытий. Рассмотрим особый класс таких
покрытий — так называемые уносимые покрытия. Идея их
применения заключается в том, что под воздействием внешнего потока
материал, из которого сделано покрытие, может частично
разрушаться и уноситься потоком. На унос материала затрачивается
большое количество поступающего к поверхности тепла.
Масса покрытия определяется количеством унесенного
материала и количеством материала, которое должно оставаться на
поверхности к концу работы и обеспечивать теплоизоляцию
и необходимый .перепад температур между поверхностью
покрытия и поверхностью конструкции. Основной характеристикой
уносимого покрытия является его способность отбирать тепло
при разрушении.
Изменение энтальпии
А/ =. J cdT + r = &i -f т (18.63)
т,
складывается из тепла, затрачиваемого на повышение
теплосодержания материала покрытия, и тепла фазовых переходов и
химических реакций, протекающих в материале при его нагреве.
Количество G вещества, унесенного в единицу времени с единицы
площади при подводе тепла к поверхности покрытия, и выделение
тепла в процессе химического взаимодейстпия покрытия
материала с газом, поступающим из внешнего потока, определяется
из условия теплового баланса:
G Л/ = qa + GHX - qkn - Qr, (18.64)
откуда
О = fa, ~ <7« - ?г)/(Л/- ЯД (18.65)
где <7а, — удельный тепловой поток; Нх — тепловой эффект
реакций на поверхности покрытия, отнесенный к единице массы
унесенного материала; ^вн = qBH — (qBH)cT —дополнительный
тепловой поток, отводимый внутрь покрытия посредством
теплопроводности; qr — поток, излучаемый поверхностью покрытия,
В процессе уноса материала происходит сложное
взаимодействие поверхности покрытия и газа в пограничном слое. Из-за
подачи массы разрушаемого покрытия в пограничный слой
уменьшается конвективный тепловой поток в стенку (qw); при
химических реакциях между продуктами разрушения и внешним потоком
может дополнительно выделяться или поглощаться тепло и
уноситься материал.
16» 467

Поэтому Л/ недостаточно характеризует эффективность
теплозащитного материала в каждом отдельном случае. Более общей
характеристикой материала является так называемая
эффективная энтальпия:
I* = 4miG, (18.66)
где <7шо — тепловой поток к непроницаемой и нереагирующей
поверхности при температуре, равной температуре разрушения;
G — секундный унос массы в реальных условиях.
Из уравнений (18.65) и (18.66) следует, что
/л = Qjm А/ -Я* . (18.67)
Таким образом, /эф является более общей характеристикой
материала, учитывающей его теплофизические свойства и
влияние всех процессов взаимодействия между поверхностью и
внешним потоком. Согласно формуле Ньютона унос массы
определяется соотношением
G = <?шоДэф = (а/ср)о (/„ — /ш)//8ф. (18.68)
Значение /Эф/Д/ должно в каждом случае определяться из
совместного решения уравнения пограничного слоя и уравнений,
описывающих механизм уноса массы. Во многих случаях, когда
механизм уноса массы материала недостаточно хорошо известен,
/эф определяется экспериментально по измерению линейного
уноса образца материала в газовом потоке, моделирующий
внешний поток.
Если все условия моделирования тепло- и массообмена в
пограничном слое выполнены достаточно точно, то унос массы
о = р-зг (18-69)
будет зависеть от теплового потока, направленного внутрь
материала (<7„н), являющегося функцией времени. Следовательно,
экспериментальные значения уноса материала G и эффективной
энтальпии /эф будут зависеть от условий эксперимента и не будут
пригодны для сравнительной оценки материалов.
Поэтому эффективную энтальпию /эф целесообразно
определять при таком режиме, когда <?вн постоянно. Такой режим
называется квазистационарным режимом уноса. Он возникает при
истечении некоторого промежутка времени при постоянных условиях
нагрева и характеризуется тем, что линейная скорость уноса
v = dxldx становится постоянной и количество тепла, отводимого
BHjH-рь, q'm = 0, а
т„
(«7bh)ct=gJ cdT = GM, (18.70)
т,
т. е. в точности равно количеству тепла, необходимому для
подогрева унесенного материала от начальной температуры до тем-
468

Гст
JO
20
10
,с
Рис, 18.29. Зависимость времени установления кваз и-
стационарного режима уноса для однородного ква р ■
цевого стекла
пературы разрушения. При этом скорости
перемещения границы поверхности и
скорости распространения температурной волны
становятся равными, и распределение тем- о ю 20 K/(qcv)
пературы в координатах, связанных с поверхностью, не
зависит от времени
в
—V J рс/Х de
T-T0 = (TW-T0)e о . (18.71)
Если физические свойства материала (плотность р,
теплоемкость с и теплопроводность %) не зависят от Т и у, то
T-T0=(Tw-T0)e-v/6-r,
где 8Т = h/(pcv) = a/v называется глубиной прогрева,
характеризующей расстояние от поверхности, на котором перепад
температур (Tt — То) уменьшается в е раз. Условие баланса тепла
(18.64) будет иметь вид
GCTM = qw + GCTHx-qr, (18.72)
откуда
Got = {qw ~ <7г)/(А/ - Нх). (18.73)
При достаточно большой скорости уноса квазистационарный
режим уноса наступает быстро. В качестве примера на рис. 18.29
представлена зависимость времени установления
квазистационарного режима уноса массы для кварцевого стекла.
Для уменьшения потери материала и снижения массы
теплозащиты летательного аппарата целесообразно увеличивать
величину эффективной энтальпии (/Эф). Это может быть достигнуто
выбором соответствующего материала. Однако при этом
необходимо иметь в виду, что при уменьшении скорости уноса
увеличивается глубина прогрева теплозащиты.
В условиях квазистационарного режима в теплозащитном
материале устанавливается распределение температуры по закону
(18.71). Если допустимая температура защищаемой поверхности
равна Тд, то необходимая толщина теплозащиты (Л) в конце
нагрева согласно (18.71)
^ „ In ш— °
In
гя-т.
(18.74)
С другой стороны, линейная скорость уноса покрытия
f = <7шо/(Р'эф)-
Отсюда
Qwo
-In
Тп-Та
(18.75)
(18.76)
469

Общая масса теплозащитного покрытия, уносимого с
единицы площади и прогреваемого до температуры Гд за время
работы т, определяется выражением
С, = *!*- % -f- °^- In l"~l° . (18.77)
•' 8ф ?aiO ' Д 'о
Отсюда видно, что при увеличении эффективной энтальпии,
растет второй член уравнения (18.77), т. е. увеличивается глубина
прогрева материала и в некоторых случаях может возрасти
потребная масса материала, затрачиваемого на теплоизоляцию
конструкции.
Следует иметь в виду, что выражение (18.77) справедливо,
если унос теплозащитного материала может приближенно
считаться квазистационарным, т. е. при достаточно большом
значении числа Фурье Fo = vH/a и для однослойного теплозащитного
покрытия. Для уменьшения глубины прогрева могут применяться
многослойные покрытия, выбираемые таким образом, чтобы
верхний слой обладал большим значением /8ф, а внутренние слои
имели хорошие теплозащитные свойства.
Таким образом, для характеристики материала необходимо
знать значения его эффективной энтальпии (/эф), коэффициента
температуропроводности (с), плотности (р) и температуры
поверхности (Гц,), при которой происходит разрушение и унос
материала. Большие значения температуры поверхности (Tw)
теплозащитных покрытий имеют преимущества в том, что с ее
увеличением растет тепловой поток (qr), излучаемый поверхностью.
Поверхность охлаждается излучением- что ведет в соответствии
с уравнениями (18.66) и (18.73) к увеличению эффективной
энтальпии материала (/яф). Однако одновременно может увеличиться
толщина покрытия (А) и общая масса теплозащиты может оказаться
большой.
Другая группа требований к покрытиям связана с
технологическими и конструктивными свойствами. Покрытие должно быть
технологичным, легко наноситься на поверхность и обладать
хорошей адгезией, т. е. прочно связываться с поверхностью.
Эта связь не должна нарушаться при нагревании поверхности
контакта. Внешняя поверхность теплозащитного материала должна
выдерживать воздействие больших аэродинамических нагрузок,
не скалываясь и не трескаясь, т. е. обладать высокими
механическими свойствами. Если применяется двухслойное покрытие, то
нижний теплозащитный материал (подслой) не должен
разлагаться при нагреве, ибо при этом произойдет нарушение
целостности верхнего покрытия и его сцепления.
Защищаемые поверхности могут покрываться керамическими
материалами, графитом, стеклообразными материалами,
пластмассами разных типов.
Керамические материалы обычно обладают большой
термостойкостью, высокой температурой разрушения, малой теплопровод-
470

ностью и большой величиной эффектив п
ной энтальпии. Их недостатком является — - Тс
то, что оки требуют обжига при высоких
температурах и,следовательно, их трудно
наносить непосредственно на поверхность
аппарата. Pw. 18.30. Схема тепло-
Пластмассы применяются с различны- обмена (при полностью
ми видами армирующих наполнителей. Эти сублимирующемся по-
*V KJ „ крытии)
материалы обладают высокой прочностью,
малой теплопроводностью, большой теплоемкостью. Унос
теплозащитных материалов данного класса происходит частично путем
сублимации с поверхности, что вызывает большое поглощение
тепла при разрушении. Пластмассы обладают хорошими
технологическими свойствами.
Стекловидные материалы при высоких температурах имеют
свойства очень вязкой жидкости, что способствует поглощению
тепла материалом до того, как жидкий слой будет снесен под
действием аэродинамических сил. Они характеризуются
большой теплотой испарения, малой теплопроводностью и хорошими
термодинамическими характеристиками.
Рассмотрим приближенный метод определения эффективной
энтальпии для некоторых наиболее важных случаев,
позволяющий получить простые выражения для оценки влияния
различных факторов на скорость уноса. В частности, рассмотрим три
типа покрытий: сублимирующихся полностью или частично,
уносимых в результате горения с образованием газообразных
продуктов и плавящихся (стеклообразных). На практике может
оказаться, что все перечисленные физические явления присутствуют
одновременно и сопровождаются механическим уносом материала.
Возможно также более сложное взаимодействие с пограничным
слоем.
Если в состав покрытия входит материал, способный
возгоняться, то для определения эффективной энтальпии покрытия
необходимо знать долю в нем сублимирующегося материала.
Рассмотрим покрытие, изготовленное из однородного материала
(рис. 18.30), который полностью возгоняется и не вступает в
химические реакции с внешним потоком.
При вдуве вещества в пограничный слой в результате
сублимации теплозащитного покрытия тепловой поток на поверхности
с достаточной точностью при не очень большой интенсивности
вдува можно записать в виде [см. формулу (18.15)]
qJqwo=i-BG, (18.78)
где Q — —г-.—г— — (1е — /щУ^эа — безразмерный унос мате-
\а!ср)в
риала; (а/ср)0 ■-- qwoi(le — Iw) — обобщенный коэффициент
теплоотдачи на непроницаемой поверхности; 5=0,67 — 0,87 X
X (MfiMw)0'3 — постоянный коэффициент.
471

Рис. 18.31. Зависимость уноса
сублимирующегося материала G
от энтальпии торможения
набегающего потока 1е (В = 0,5;
с/А» = 0)
Выразим величину истинного -узлового потока qw к
поверхности из уравнения (18.73) через истинную энтальпию материала
при Нх = 0: qw = GAI + qT- Отсюда с учетом уравнения (18.66)
qwl4wo = G Л/Дб/вф) + gv/w
(18.79)
Подставляя в уравнение (18.79) выражение для <7Ш/<7Ш0 из
уравнения (18.78), получаем
А///эф = 1 — J3G — qr/qw0 = 1 — (/„ — /ш)//эф - </г/<?ш0.
(18.80)
Отсюда значение эффективной энтальпии для полностью
сублимирующегося материала
/эф —
Д/
(1+В^а), (18.81)
(1 — qr/qwo)
где /„ = /, + г (ц?/2).
У сублимирующихся материалов эффективная энтальпия
возрастает с увеличением энтальпии торможения. Если молекулярная
масса вещества, испаряющегося с поверхности покрытия, мала,
то значение коэффициента В возрастает и зависимость
эффективной энтальпии материала от энтальпии торможения (1е) становится
еще более сильной.
Используя выражение для /эф и соотношение (18.68), получим
Г, _ (а/ср)о (!е — Ли) С — Qr/Qwo)
Д/(1+В(/е-
или в безразмерном виде
Л»)/Д/)
G
Л?0 ~Qr/Qwo)
(18.82)
(18.83)
l+B/.
где /е = (/е — IJ/AI.
Из рис. 18.31, где представлен примерный вид зависимости
скорости уноса сублимирующегося материала от энтальпии
торможения набегающего потока воздуха, видно, что в некотором
диапазоне изменения безразмерной энтальпии торможения
массовый унос является функцией от /„ (0 -< /е < 2,5).
Анализ уравнений (18.81) и (18.82) показывает, что излучение
с поверхности теплозащитного материала как бы увеличивает
эффективную энтальпию материала и уменьшает унос
теплозащитного покрытия. Очевидно, что при qT — c/wd /0ф —*■ оо, a G —■>■ 0.
472

Для покрытия, состоящего из вещества, способного вступать
в химические реакции с газом набегающего потока, рассмотрим
два случая. Если суммарный подвод тепла к поверхности
недостаточно велик, то температура поверхности (Tw) не достигает
температуры сублимации и количество унесенного теплозащитного
материала будет целиком определяться скоростью диффузии
окислителя из внешнего потока. Во втором случае унос будет
происходить при плавлении или сублимации материала при
температуре, равной температуре фазового перехода. Однако в этом
случае необходимо учитывать дополнительное выделение тепла
гетерогенных реакций на поверхности, и количество унесенного
материала определяется из теплового баланса на поверхности.
Если диффузия окислителя настолько велика, что
соблюдается условие g0K ;> GL (L — количество окислителя,
вступающего в химическую реакцию с 1 кг массы материала покрытия),
то фронт горения будет совпадать с поверхностью тела, если
g0K < LG, то фронт горения может сместиться внутрь
пограничного слоя.
Приближенный расчет теплообмена для этого случая можно
провести, исходя из условия, что профиль полной энтальпии слабо
изменяется при наличии химических реакций, и тогда
тепловой поток определяется из выражения цт = (/е—/ш) +
Ср
+ GHX независимо от положения фронта пламени. При этом
могут быть использованы формулы, полученные для расчета
эффективной энтальпии сублимирующихся покрытий (18.81) при
подстановке в них вместо величины А/ разности А/ — Нх:
г°*=г4^о 0--fr+*'<)• <18-84>
Тогда выражения для уноса материала получим из формул
(18.77) и (18.82):
Г, =г (И/СР)0 (7е — 7ш) (' — Qr/Qwo)
(M-Hx)[\+B(Ie-Iw)l(M~Hx)}
или
q _ М1 — Ят1йя>а)
1 - HJM + Ble '
Область применимости этих формул ограничена кинетикой
испарения и кинетикой протекания химических реакций. При
больших значениях /е обычно HJAI <^ (1е — /Ш)/А/.
Примерный вид зависимости с учетом горения представлен на рис. 18.32.
Приведенный выше приближенный анализ позволяет выяснить
лишь качественную картину явлений при уносе сублимирующихся
покрытий с горением.
Под воздействием теплового потока и сил трения на
поверхности покрытия может образоваться движущаяся пленка расплава.
При своем движении пленка расплава может перегреваться,
473
(18.85)
(18.86)

а температура поверхности отличаться от температуры плавлении.
Например, стекловидные материалы не имеют фиксированной
температуры плавления.
Если тепловой поток не превышает некоторого критического
значения, то на поверхности раздела жидкость — газ нет
заметного испарения (пленка сносится, не успевая прогреться до
температуры испарения). Скорость жидкой пленки из-за большой
вязкости мала относительно скорости потока, и, следовательно,
пленка не оказывает влияние на характер движения газа в
пограничном слое. Поэтому газовый пограничный слой можно
рассчитывать независимо от жидкого пограничного слоя.
Рассмотрим методику расчета скорости уноса теплозащитного
покрытия, на котором формируется жидкая пленка, на примере
течения в окрестности передней критической точки осесимметрич-
ного затупленного тела (рис, 18.33). Будем считать, что решение
для газового пограничного слоя получено и, следовательно,
заданы значения обобщенного коэффициента теплоотдачи и
коэффициента трения. Поскольку скорость движения пленки мала, то
эти коэффициенты можно принять такими же, как и на
неподвижной поверхности.
Граничные условия в системе координат, связанной с
поверхностью, на поверхности раздела при у = О имеют вид
(18.87)
При отсутствии испарения v = О, при наличии испарения v.r -
= «ней- При у -> —оо, Т -*■ Т0,
и -*■ 0, v = vw система координат
перемещается вдоль оси с
неизвестной заранее скоростью
уноса vw. i ^- in
Рис. 18.32. Зависимость эффективной
энтальпии /Эф теплозащитного
материала от энтальпии торможения
набегающего потока 1е с учетом горения
Г l-Hx/Al
tgq>, =£/(0,23 +В):
Ь =
Рис. )».33. Схема течения в
окрестности критической точки при плавлении
теплозащитного покрытия:
I — газообразный пограничный слой; II —
жидкая пленка расплавленного
материала: III -• твердай материал
»/«
tgi
B/(l-"rf>
474

При медленном движении пленки можно пренебречь силами
инерции и уравнение движения принимает вид
д i ди \ dp
ду
(■•-£-)-■£" <|8-ад
Интегрируя это уравнение с использованием граничных
условий (18.87), получаем закон распределения для продольной
скорости в жидкой пленке:
v
dp f у . , С dy
и = —f- ' я А-- ' - v
ах
\ -fdy + x. I -f-. (18.89)
Здесь касательное напряжение тш и градиент давления dpidx
заданы. Для вычисления интегралов необходимо знать закон
распределения вязкости в зависимости от у, что возможно при
известном распределении температуры. Зная профиль скорости и
в жидкой пленке, из уравнения неразрывности ^ - -\ ~- = О
определим местную скорость уноса материала
о
v«=-^ § Цр-dy (18.90)
— ОО
при отсутствии испарения с поверхности. Следовательно, для
расчета уноса необходимо определить профиль температуры
в жидкой пленке Т = f (у). Для этого рассмотрим уравнение
энергии. В окрестности критической точки дТ/дх = 0. В этом случае
уравнение энергии при X = const принимает вид
4=fllF' (18"91)
где а — коэффициент температуропроводности.
Интегрируя это уравнение, с учетом граничных условий (18.87)
получаем
/ ч
dT
dy
о
Таким образом, распределение температуры зависит от
распределения скорости v (у) и необходимо решать совместно
уравнения движения (18.89) и энергии (18.91), что существенно
усложняет анализ.
Однако в случае стекловидных материалов можно внести
существенные упрощения. Вязкость этих материалов хорошо
описывается формулой
Ц/Цш = (Т1ТЯ)Я при п = 10.. .20 (18.93)
и очень быстро увеличивается по мере уменьшения температуры.
Жидкость имеет малую вязкость только на очень малой толщине.
475
(%).ех*{т10(Ь)' (18-92)

Это значит, что динамический слой намного меньше теплового,
а поэтому градиент температуры поперек жидкого слоя почти не
изменяется.
Учитывая перемещение системы координат относительно
твердого тела, имеем v = vw, и градиент температуры внутри
покрытия (18.92) можно представить в виде
(-£)-(-£-).«* (+ ь*)-(£).«р т- <»•">
4 о '
Отсюда получаем искомое распределение температуры
Величина бт = ajvw характеризует глубину прогрева.
Учитывая, что
получаем распределение температуры в теле
Т = ТШ exp (у/6т). (18.97)
Это распределение температуры соответствует квазистационарному
плавлению.
Воспользуемся степенным законом вязкости для жидкой
пленки (18.93). С учетом выражения (18.97) находим
распределение вязкости поперек жидкой пленки
(х/(хш = (TITwf = е-"й/Ч
т. е.
ц = (хшехр (—п(//'бт) = цшехр (—у/б), (18.98)
где б = 6T/n = a/(vwn) — толщина динамического слоя или
условная толщина жидкого слоя, на которой вязкость падает в г раз.
Подставляя закон изменения вязкости (18.87) в уравнение
для распределения скорости (18.89) и интегрируя его, получаем
распределение скорости в жидкой пленке
«-[•-£ (+-0+*]■£-»■>(-*-)• <18-">
Используя полученный профиль для скорости (18.99),
определяем скорость уноса vw из уравнения (18.90). Учитывая, что в
окрестности передней критической точки г = х, а градиент
давления dp/dx и касательное напряжение тш зависят линейно от х,
получаем следующее выражение:
26* / d%w пя <Рр
vw =
|L(^_26.±§-). (18.100)
рнулли для течения t
Так как из уравнения Бернулли для течения на границе газового
пограничного слоя
JE£± - __<-> ( du* V2 ^ » ps
dx%
476

где р = (du1/dx)x=o, а иг — скорость течения на границе газового
пограничного слоя, то уравнение (18.100) принимает вид
^7г(4г + 2М- <18Л01>
Полученные соотношения связывают между собой толщину
слоя (б), скорость уноса (vw), температуру стенки (Tw) и
касательное напряжение (тш).
Для дальнейшего решения необходимо привлечь уравнение
баланса тела qw = pwvwAI (где А/ — тепло, поглощаемое
материалом при нагреве), выражения для теплового потока qw и
касательное напряжение на стенке тш.
В частности, для кварца получено /эф ж р|/<з-н»)угЗ,б4/<з+п)>
Унос теплозащитного материала тем меньше, чем выше его
вязкость и меньше коэффициент теплопроводности (А). Поскольку п
велико, унос-слабо зависит от р1 и энтальпии торможения (/0)
набегающего потока газа. В случае испарения жидкой пленки
эффективная энтальпия материала (/эф) будет возрастать с
увеличением энтальпии торможения (f0).
Приведенное решение справедливо только в том случае, когда
пленка остается стабильной. Опыты показывают, что
стабильность пленки нарушается при Ree ~ 150. При этом значение
эффективной энтальпии теплозащитного материала существенно
уменьшается.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Назовите основные способы тепловой защиты теплонапряжеииыж
поверхностей.
2. Каким образом влияет вдув охладителя в пограничный слой через
пористую поверхность иа его структуру и интенсивность теплообмена?
3. Что такое формпараметр, и каким образом зависит интенсивность
теплообмена в пограничном слое от этого параметра?
4. В чем заключается механизм тепловой защиты при заградительном
охлаждении поверхностей?
5. Сформулируйте основные положения расчета заградительного
охлаждения поверхностей.
6. От каких параметров зависит эффективность заградительного
охлаждения?
7. Назовите основные способы охлаждения лопаток газовых турбин.
8. Какими параметрами характеризуется эффективность охлаждения
лопаток газовых турбин?
9. В чем заключается механизм интенсификации процесса теплообмена
в струйных системах охлаждения лопаток газовых турбин?
10. Назовите наиболее эффективные способы охлаждения лопаток газовых
турбин?
11. В чем заключается механизм тепловой защиты посредством
разрушаемых (уносимых) покрытий?
12. Что понимается под эффективной энтальпией теплозащитного покрытия?

ГЛАВА XIX
ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
19.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В настоящее время можно выделить две основные группы
космических аппаратов: автоматические и пилотируемые. Аппараты этих групп заметно
различаются по конструкции, поглощаемой энергии и выделению тепла.
Серьезной проблемой для пилотируемых космических аппаратов является
создание системы жизнеобеспечения, которая должна быть тесно связана с
системами энергопитания и терморегулирования.
Поддержание тепловых режимов космических летательных аппаратов
обеспечивается специальными системами терморегулирования, которые могут быть
пассивными, не содержащими специальных механизмов, и активными,
включающими в себя иногда довольно сложные системы регулирования
теплообменников.
Внутри космических аппаратов тепло может выделяться работающими
приборами и аппаратурой, энергоустановками, а также в процессе
жизнедеятельности экипажа в пилотируемых аппаратах. Программа деятельности человека
в космосе с каждым годом усложняется, что в свою очередь требует увеличения
мощности бортовых энергоустановок. Среднее энергопотребление лунного
корабля «Аполлон» составляло 2 кВт в течение нескольких недель, а для
многолетней орбитальной станции (12—20 человек) энергопотребление составит несколько
десятков киловатт. В течение нескольких лет еще большее энергопотребление
требуется для электрических двигателей космических аппаратов. Любая
энергетическая установка, работающая по замкнутому циклу, включает источник и
холодильник, которые воспринимают часть тепла. В космосе это тепло может быть
отдано только посредством излучения.
К внешней поверхности аппарата подводятся солнечная энергия как
непосредственно от Солнца, так и отраженная от поверхности планет, энергия
собственного излучения планет и энергия, выделяемая при столкновении
поверхности аппарата с молекулами и атомами, которые могут присутствовать даже
на больших высотах. Количество поступающей к аппарату энергии может
изменяться во много раз в зависимости от расстояния от Солнца и планет и
положении аппарата. Излучением космического пространства, имеющего среднюю
температуру Т ~ 4К, можно пренебречь. Поверхность космического аппарата
непрерывно излучает энергию, причем количество ее зависит от температуры
поверхности, формы и радиационных свойств покрытия.
Разработано большое количество различных систем терморегулирования.
Рассмотреть все эти системы, во многих случаях весьма сложные, не
представляется возможным в рамках настоящей главы. Поэтому в данной главе будут
освещены только некоторые положения, общие для всех систем и дающие
представление о путях и способах поддержания теплового режима космических
аппаратов.
19.2. ВНЕШНИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
Основным внешним источником тепла при полете в
космосе является лучистая энергия от Солнца, Земли и планет.
При полетах в окрестности Земли или планет на низких высотах
некоторое влияние на нагревание может оказывать соударение
с поверхностью аппарата атомов и молекул атмосферы.
478

Таблица 19.1. Значения солнечной постоянной
иа различных расстояниях, соответствующих положению космического аппарата
вблизи различных планет солнечной системы
Планета
Меркурий
Венера
Марс
Луна
Земля
Юпитер
£0, а. е.
0,39
0,72
1,52
1
1
5,2
Радиус
планеты, км
2 437
6 050
3 386
1 735
6 378
70 000
Альбедо
0,06
0,7
0,15
0,07
0,37
0,6
S„, кВт/м"
9,25
2,73
0,61
1,4
1,4
0,053
Лучистая энергия or Солнца. Количество лучистой энергии,
поступающей от Солнца в единицу времени на единицу площади,
называется солнечной постоянной. Для аппаратов, находящихся
от Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию Земли
от Солнца L0 = 149 млн км, солнечная постоянная равна S0 =
= 1400 Вт/м2. В зависимости от расстояния от Солнца тепловой
поток изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния:
Q = SoLb/L2. (19.l)
Значения солнечной постоянной на различных расстояниях,
соответствующих положению космического аппарата вблизи
различных планет солнечной системы, приведены в табл. 19.1.
Энергия Солнца излучается в основном в диапазоне длин волн от X =
== 0,2 до 2,5 мкм (рис. 19.1), причем большая часть энергии
приходится на область видимого излучения.
Расчет нагревания поверхности от прямого солнечного
излучения относительно прост, поскольку солнечный поток является
практически параллельным. При заданном значении угла в
между нормалью к площади и направлением на Солнце
(рис. 19.2) тепловой поток
определяется выражением
dq, = A,Q cos QdF, (19.2)
Qs, в т/см2
0,2
0,1
0
.
J
J
I
_
0,2 0,3 0,<t 0,6 0,8 I
1,5 2 2,51
К,мкм
Рис. 19.1. Спектр солнечного излучения Рис. 19.2. Схема расчета солнечного
потока на поверхности
479

где As — коэффициент поглощения поверхности солнечных
лучей; dF — элементарная площадка, освещенная Солнцем,
В ряде случаев однако солнечная энергия может попадать на
площадку путем отражения от других частей аппарата. Лучистые
потоки отражения, зависящие от формы и расположения
аппарата, должны рассчитываться отдельно.
Собственное излучение планеты. Среднее значение теплового
потока Е0, излучаемого с единицы поверхности планеты, может
быть определено из условия теплового баланса между
количеством тепла от Солнца, поглощенным атмосферой и поверхностью
планеты, и количеством тепла, которое отдано планетой
излучением в окружающее пространство:
QnR* (1 — а) = £04я#2, (19.3)
откуда Е0 = Q (1 — а)/4,
где R — эффективный радиус планеты; а — Альбедо,
определяющее отражательную способность планеты по отношению к
солнечным лучам.
Основное значение для планет, обладающих плотной
атмосферой, играет излучение атмосферы. Для расчета вводится понятие
эффективного радиуса R. Например, для Земли принято
значение R — (R0 + 12) км, где R0 — радиус планеты;
12—эффективная толщина атмосферы; для Венеры, окруженной плотным
слоем облаков на высоте Н ~ 60 км, можно принять R = (R0 +
+ 60) км.
Назовем среднюю температуру поверхности, определяющую
интенсивность и спектр излучения, равновесной температурой Тр.
Так как Е0 — Q (1 — а)/4 = еа0Гр,
где а — постоянная Стефана—Больцмана, то из уравнения (19.3)
7-p = K(l-a)Q/(4oe). (19.4)
Приняв е = 1, получаем для Земли Tv & 250 К, что
значительно ниже средней температуры поверхности (Гпов)ср ~ 290 К,
для Венеры соответственно Тр ~ 240 К и (Тпов)ср ~ 750 К.
Такая разница связана с тем, что атмосфера экранирует
излучение поверхности и энергия переизлучается верхними слоями
атмосферы. Для этих планет собственное излучение слабо
зависит от времени суток.
У планет, обладающих тонкой атмосферой (например у Марса)
либо совсем не имеющих атмосферы (Луна), собственное
излучение определяется непосредственно поверхностью, температура
которой сильно изменяется в зависимости от освещенности
Солнцем. Так, температура точек освещенной части диска Луны
определяется из условий теплового баланса
Q (1 — a) cos i|> = еоТ\ (19.5)
где i|> — зенитный угол.
480

Приняв
392
получаем
/соТ^р". (19.5)
ч.£££&./3<д.
/
В
0)
Иг
f
>
/
Ro.
V
-ч^
\
Рис. 19.3. Схема нагревания лета-
тчльяого аппарата от собственного
излучения планеты для случая
Р < 9.
подсолнечной точме (\Ь --■-
ГР - 892 К, при i|j = .V2 ;;
па неосвещенной стороне
формула приводит к ошибке, так как
в нем не учтена теплоемкость
грунта. Эксперименты и ргсеты,
учитывающие влияние
теплоемкости грунт?., дают значение
температуры на неосвещенной стороне
Луны 90 ... 120 К. Температура
поверхности Марса также сильно
зависит от оодащенности
поверхности и колеблется в пределах
от 150 до 300 К-
При расчете нагревания тела з космосе от собственного
излучения планеты ъ общем случае необходимо учитывать
переменность температуры по поверхности планеты. Однако для планет,
обладающих толстой атмосферой, переменностью температуры
можно пренебречь и получюъ относительно простые расчетные
формулы.
Рассмотрим простейший случай движения вокруг планеты
элемента поверхности космического аппарата в виде пластинки,
нормаль которой составляет угол {3 с линией, соединяющей
пластинку с центром планеты (рис. 19 3). Если угол $ такой, что
плоскость пластинки не пересекается поверхностью планеты
Ф < р\)), то количество тепла, попадающего на пластинку от
собственного излучения планеты, не зависит от предположения
о законе излучения, если считать при этом, что планета является
однородной сферой.
Из условия равенства энергии,, излучаемой поверхностью
планеты, и энергии, проходящей через сферу оадиусом (R9 + И),
следует, что для р = 0 'lEQnRo ~ Qn,.4u (R0 -f #)*, откуда
Е,
/?,.
V Ru + ^') '
(19.7)
где R0 — радиус планеты; // — высота полета над планетой.
Для пластинки, расположенной под углом,
где /
QM-Ee(-£^_)2cosp...£0
H/R(,
i
(1 + //)*
■cosp\ (19.8)
Обозначая QU1I — ЕилФ. где £UJ1 --- £0/я — яркость
излучения планеты, а Ф — геометрический фактор, учитывающий форму
481

объекта и его расположение
относительно планеты, можно
записать для пластины
выражение в виде (для в < 60)
Фп
где
= 2яФх cos 6, (19.9)
(19.10)
Если плоскость пластинки
пересекается с поверхностью
планеты (в > 60), то из
условия теплового баланса можно
получить выражение для
разности тепловых потоков, падающих с обеих сторон пластины:
Рис. 19.4. Схема нагревания
летательного аппарата от собственного
излучения планеты для случая Р > р0
<?!-<?. = £„ (RoR+H )2™sp.
(19.11)
Значения удельных потоков, падающих на пластинку с обеих
сторон, Qi и Q2 при этом существенно зависят от закона излучения.
Примем, что количество тепла, отдаваемое элементом dFaJI
поверхности планеты и падающее на пластинку, определяется
законом Ламберта:
dQn
Ео
d со cos в dF„
или
йФт
cos @d(£>dFnjs,
(19.12)
где da> — телесный угол, под которым видна пластинка; в —
угол между нормалью dFajI и направлением на пластинку
(рис. 19.4).
Полное количество тепла, попадающее на пластинку с одной
стороны, может быть получено интегрированием по поверхности
планеты, видимой с этой стороны (рис. 19.5).
Для значений 8 < 80 = arccos | —) (т. е. когда плоскость
^ \ 1 + Н )
пластинки не пересекает поверхность планеты) справедливы
формулы (19.9) и (19.10).
Количество тепла, поступающее на поперечное сечение тела
почти шаровой формы, может быть определено по формуле
<Эш = 2nF м 1 -
ViH-
■ н*
н
(19.13)
где FM — площадь миделя тела.
При.расчете нагревания тела произвольной выпуклой формы,
беспорядочно вращающегося в пространстве, можно приближенно
482

4>гт
0 SO tOO 150 [i,°
Рис. 19.5. Зависимость Фпл от Я и Р
использовать выражение (19.13), полученное для тела шаровой
формы при среднем значении FM.
Солнечная энергия, отраженная от поверхности планеты. При
полетах в окрестности планет и Луны на аппарат попадает
дополнительная солнечная энергия, отраженная от поверхности
или облачного слоя планет.
Наиболее подробно распределение энергии отраженного в
мировое пространство солнечного излучения получено для Земли.
Коротковолновое излучение в % от S0
От облаков 27
Из-за рассеяния атмосферой 7
От поверхности Земли . . • . ■ 3
Итого- • . 37
Для других планет и Луны среднее значение отраженной
энергии может быть найдено по значениям Альбедо а, приведенным
в табл. 19.1. Альбедо определяет долю отраженной энергии, и,
следовательно, тепловой поток, отраженный во все стороны
единицей поверхности планеты, EOTJ) — ocQ.
Лучистый поток от Солнца является практически
параллельным, но излучение, отраженное планетой, подчиняется сложному
483

Рис. 19.6. Схема нагревания летательного аппарата отраженной солнечной
энергией от поверхности планеты
закону, зависящему от характера поверхности. В предельных
случаях отражение может быть либо зеркальным, либо диффузным.
Нагревание отраженными лучами зависит от формы и
ориентировки летящего тела, а также от взаимного расположения Солнца,
Земли и рассматриваемого тела. Полное количество солнечной
энергии, отраженной единицей поверхности планеты,
определяется выражением
(QotP)o = «Q cos у, (19.14)
где у — угол между нормалью к площадке на поверхности
планеты и направлением солнечных лучей (рис. 19.6). Если принять,
что отражение диффузио, то удельное количество тепла,
отражаемое от поверхности на пластинку dF
Qotj>=~- j cos у cos в da dFnj„ (19.15)
где в — угол между нормалью к площадке на планете dFnJI и
линией, соединяющей dFUJS и dF.
В качестве примера рассмотрим поток на единичную площадку
(пластинку), расположенную на высоте Н. Заданы угол |3 между
нормалью к пластинке и радиусом-вектором, проведенным к ней
из центра планеты, и угол 'ф между радиусом-вектором и
направлением на Солнце.
Для случая, когда вся видимая с пластинки поверхность
планеты освещена Солнцем, т. е. при 0 < \|з < г|з1? где \\>г —
484

= arcstn
Чотр __
aS ~
(рис. 19.7) значение
Направление на Солнце
Ф0тр = Л*(Р?Я)С08ф-
—N ф. Я) sin ф cos а. (19.16)
Здесь входит дополнительно угол а между
плоскостью Р, проходящей через линию ОС
(направление на Солнце) и линию ОА, и
плоскостью S, проходящей через линию ОА
и нормаль к пластинке, поскольку в
противном случае положение пластинки не
было бы определено однозначно. Значение
а == л/2 соответствует случаю, когда
пластина направлена на Солнце своим ребром.
При изменении ст нормаль п вращается во-
Рис. 19.7. Схема
определения углов % и i|),
круг прямой ОА. Зависимости М ф, Н) и Лг ф, Н) приведены
на рис. 19.8 и 19.9.
Если вся видимая с пластинки поверхность находится в тени,
т. е. г|э > 1|з2, где я|>а = я/2 + arccos ( ™] (см. рис. 19.7), то
на пластинку не попадает отраженная энергия Фотр = 0. Если
значения г|> больше, чем т|зг и меньше г|з2, т. е. только часть
видимой с пластинки поверхности планеты освещена Солнцем,
необходимо производить численное интегрирование уравнения (19.15).
0,5
•
.//=
%0157
0,0311
' 0,0472
INSc''
0,078
22
110
J>,1
?7 I
0314 _
г
,472
1,100
1,5
1,1'Ч-С
^
1
=4,720
о so то
Рис. 19.8. Номограмма для расчета Ф0тр
150 р,°
485

N(Ji,H)
0,04
0,03
0,02
0,01
Н = 0,725
/ 0,472
U,/J/
0,110
{ 0,0785
«^ ,0.0472
£ЧГ 0,0314
^\^J,0157
VS>^r 1,100
sXVv^ 1,i 70
SoO^F^^,,^-- /7= 4.72 С
1
0 . 50 100
Рис. 19.9. Номограмма для расчета Фотр
150
А"
В качестве примера на рис. 19.10, 19.11, 19.12 приведены
результаты вычислений для различных значений а при ty = я/2, т. е.
когда пластинка расположена точно над терминатором,
разделяющим теневую и освещенную стороны планеты.
Если отражение зеркальное, то Фотр определяется
выражением (рис. 19.13)
__ _1_ ( 1 \2 sin 2y
отр 4
Ф
1 + Я / sin Ч>
причем у = / (г|з) определяется по графику рис. 19.14.
(19.17)
Ф,
отр
0,04
0,03
ОД
0,01
\
^
(
Л
ч
/ S
0,785
J
\/
щ
1b 7
-0,110
0,
1785
РОГ/
0,0
1
7
157
100
^ 1.5П
1
^S&z""*
720
о
50
А'
Рис. 19.10. Номограмма для расчета <D0TD при полете над терминатором о = 0;
i|> = я/2
486

%тр
0,05
0,04
0,03
ОМ
0,01
*^~
,н=о,ч7г
V^ 0,110
U,U/UJ
у о,о^7г
vV 0,0157
лхС °>785
-^V^T 1,юо
1,570
<S 1,1'W
Nfe H=^,7Z0
===~—.
50
100
150
P>°
Рис. 19.11. Номограмма для расчета Фотр при полете над терминатором о = я;
\|>= к/2
Количество тепла, поступающее на единицу поверхности
пластины, расположенной под углом |3 к горизонту, можно
определить из выражения
фотр = ' ( «J^V Л¥1- »Ш, (19.18)
огр 4 V. R0 -f- Н / sin -ф cos б ' v '
где
б = arcsin { R\H sin у) • (19.19)
150 /i,°
Рис. 19.12. Номограмма для расчета Фотр при полете над терминатором а - я;
■ф = л/2
487

Рис. 19.13. Схема расчета
зеркального отражения солнечной энергии
от поверхности планеты
80
60
40
20
0
н=о,от-~
0,0472-^
1 л
S !
1
i
1
-^
ЙЙ^
О 20 40 60 дО 100 if,0
Рис. 19.14. Связь между углами у
и \|>
Предполагается, что зеркальное отражение имеет место при
углах у, близких к я/2.
В общем случае для тела произвольной формы тепловой поток
на единицу площади миделя вычисляется по следующей формуле:
Фо
тр
-{
1 \2 sin 2y
/ sin i|> cos 6
(19.20)
Нагревание поверхности при соударении ее с молекулами и
атомами атмосферы. При полете космического аппарата вблизи
планеты в ряде случаев некоторый вклад в суммарный тепловой
поток, подводимый к аппарату, может вносить нагревание от
соударения атомов (молекул) к поверхности. При этом тепло
выделяется из-за передачи части кинетической энергии и возможной
рекомбинации диссоциированных молекул.
Для наиболее важного случая полета на больших высотах,
когда течение является свободно молекулярным, удельная
энергия соударения для единичной пластинки с достаточной точностью
может быть определена по формуле
Q»
nmv2/2,
(19.21)
где п — число частиц; т. — масса частицы; v — скорость полета.
При этом
n = Nv sin p\ (19.22)
где Л'' — число частиц в единице объема; |3 — угол между
плоскостью пластинки и направлением полета.
В формулах (19.21) и (19.22) принято, что коэффициент
аккомодации близок к единице и энергия хаотического движения
молекул пренебрежимо мала. Количество тепла, выделяющееся
из-за рекомбинации, зависит от эффективности рекомбинации а,
488

равной отношению числа столк- "
новений с поверхностью к
общему числу столкновений.
Таким образом, количество
энергии вследствие
рекомбинации, приходящееся на единицу
поверхности,
QpeH = naE, (19.23)
где Е — энергия
рекомбинации, отнесенная к одной
частице. В качестве примера на
рис. 19.15 приведена
зависимость QM0JI и QpeK от высоты
полета над Землей. Как видно,
влияние этих членов
становится сравнимым с влиянием тепла от солнечного излучения
на высотах полета ниже 200 км.
^моп
Чррк
190 J00 ^S
i
^S^OO 600 700 Н, км
i!~,
10
Рис. 19.15. Зависимость количества
тепла, получаемого поверхностью
летательного аппарата при
столкновении с атомами и молекулами воздуха
от в ысоты Н
19.3. ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЕ КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
Поскольку на космическом аппарате устанавливаются
различная аппаратура и приборы и должны быть обеспечены для
их работы условия, а в пилотируемых кораблях —• и для жизни
пилотов, то возникает проблема поддержания температуры в
определенных пределах. Поступление тепла извне в оболочку через
теплоизоляцию и элементы конструкции непостоянно и изменяется
в широких пределах в зависимости от положения и ориентации
аппарата. Внутреннее выделение тепла в общем случае также
может изменяться в несколько раз. В этих условиях для
обеспечения требований к стабилизации температуры необходима
специальная система терморегулирования.
Термостатирующая система может быть основана либо на
поглощении или выделении тепла внутри аппарата, либо на
отводе наружу или подводе тепла извне. В первом случае могут быть
использованы химические реакции с выделением или поглощением
тепла, либо эффекты выделения и поглощения при изменении
агрегатного состояния вещества (плавление, испарение,
кристаллизация). Этот метод ограничен по своим возможностям, поскольку
запас вещества не может быть большим. Поэтому его применяют
либо для автономных приборов с небольшим тепловыделением
при переменной температуре наружной оболочки, например на
поверхности Луны, либо как часть общей системы
терморегулирования с внешними теплообменниками.
Большими возможностями обладают схемы, в которых
элементы конструкции, приборы, газ, заполняющий отсеки аппарата,
могут обмениваться теплом со специальными радиационными по-
489

верхностями, расположенными на внешней поверхности аппарата.
В зависимости от назначения аппарата радиационные поверхности
могут быть сделаны так, чтобы их температура была более
высокой или более низкой. В первом случае они действуют как
нагреватели, если температура внутри аппарата почему-либо
понижается, во втором случае — как холодильники для сброса тепла.
Передача тепла от приборов к радиаторам и обратно
регулируется тепловым сопротивлением промежуточной среды. Для
передачи тепла используются практически все возможные способы:
теплопроводность, излучение и конвекция. В последнем случае
используется специальный теплоноситель (газ или жидкость),
циркулирующий между отсеком и радиаторами.
В качестве примера можно указать на пилотируемые
советские корабли «Восток», «Союз» и автоматические станции
«Венера», «Марс» и др., в которых аппаратура и люди размещены
в герметических отсеках или контейнерах, и тепло передается
к радиационным поверхностям с помощью специальных
теплоносителей. На американских аппаратах типа «Сервейер» и «Ма-
ринер» аппаратура размещена в вакууме и передача тепла к
радиационным поверхностям осуществляется излучением и
теплопроводностью.
Расчет температурного режима летательного аппарата по
существу сводится к решению двух уравнений баланса тепла:
1) условие теплового баланса контейнера с аппаратурой
(Mc)k •§£- = - T~RTr + QB„ - QyT, (19.24)
где Тт — температура радиационной поверхности; Т — средняя
температура контейнера; R — общее тепловое сопротивление
между контейнером и радиационной поверхностью; QyT —
среднее количество тепла, передаваемое через элементы
конструкции и теплоизоляцию к внешней поверхности аппарата и
излучаемое в окружающую среду; QBH — количество тепла,
выделяемое внутри контейнера; (Mc)k — эффективная средняя
теплоемкость контейнера и аппаратуры; т — время; М — масса
контейнера;
2) условие теплового баланса радиатора
(Мс)г ^- - Г~Тг + AsEq + Л,/ч7отР + tFqaJI - FeoT*, (l 9.25)
где о — постоянная Стефана—Больцмана; (Мс)т — эффективная
теплоемкость радиатора; F — площадь поверхности радиатора;
q, <?отр и <7пл — удельные потоки тепла от солнечного излучения,
от отраженного солнечного излучения и от собственного
излучения планеты; е — степень черноты радиационной поверхности
для длинноволнового излучения при Т — Тг; As — коэффициент
поглощения по отношению к солнечной радиации; QBH, q, qorp
и qnn задаются.
490

Решение этих уравнений определяет зависимость значений Т
и Тг от времени. Для регулирования температуры возможно
воздействовать на значение R, изменяя, например, расход
теплоносителя, либо на значение площади радиатора F, закрывая его
жалюзи. Для того, чтобы регулирование было возможно, а также
для уменьшения потребного диапазона изменения R и F,
необходимо правильно выбрать величины А, и е и направление
радиатора, если аппарат стабилизирован в пространстве. Для
получения «холодного» радиатора целесообразно выбрать покрытие с
большим е, и если на радиатор попадает солнечная энергия, с
меньшим значением А„ «горячий» радиатор обычно располагают так,
чтобы он освещался солнцем, и выбирают покрытие с большим
значением А„. Изменяя отношение Л,/е, можно получить широкий
диапазон изменения равновесной температуры поверхности
радиатора.
Поскольку тепловая изоляция аппарата обладает в вакууме
весьма высоким тепловым сопротивлением, то величина
определяется перетеканием тепла главным образом через элементы
конструкции, выступающие наружу (тепловые мосты) и не
защищенные изоляцией (приборы навигации, антенны, научные
приборы, элементы крепления и др.). Значение QyT может быть
положительным, если тепловые мосты расположены с солнечной
стороны, и отрицательным, если тепло отводится на теневую
сторону. Как правило, большие значения QyT существенно
уменьшают возможности системы терморегулирования.
19.4. ВЫБОР ОПТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
НАРУЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Из сказанного выше следует, что для поддержания
теплового режима космического аппарата большое значение имеет
правильный выбор оптических коэффициентов наружных
поверхностей е и As. Для этой цели наружные поверхности аппарата —
радиационные поверхности, поверхности теплоизоляции, не
защищенные элементы конструкции и приборы — покрываются
специальными красками. Основной характеристикой покрытия
поверхности является равновесная температура Гр, которую
принимает теплоизолированная поверхность при прямом воздействии
на нее солнечного излучения в стационарных условиях.
Из условия теплового баланса следует:
FwAsQ = eoTlFr
и
Tv = yFuA.QI(Frw)f (19.26)
где Fu — площадь проекции поверхности на плоскость,
перпендикулярную направлению солнечных лучей (эффективный
мидель); Fr— площадь излучающей поверхности. Например, для
пластины, излучающей в одну сторону и расположенной под
491

О 7 2 У л А,---лм
Рис. 19.16. Кривые спектральной поглощательной способности материалов:
I — алюминий, напыленный в вакууме; 2 — плавленый кварц толщиной 2,5 мм (7* =»
» 283 К); 3 — кадмий полированный; 4 — интерференционный фильтр стенное зеркало»
углом р к направлению солнечных лучей, FM/Fr — sin (3; для
сферы Fu/Fr = 1/4 и т. д.
Из формулы (19.26) видно, что при заданных значениях FM/Fr
и Q главную роль играет отношение коэффшшента поглощения
солнечной энергии Л, к степени черноты е при длинах волн,
соответствующих собственному излучению пластинки. При
определении Аа и е следует иметь в виду, что солнечное излучение
передает энергию в диапазоне длин волн от 0,2 до 2,5 мкм, а
интенсивность собственного излучения при температуре радиатора 300 К
имеет максимум при длине волны 9,7 мкм. Таким образом,
отношение А,/е пропорционально отношению среднего" коэффициента
поглощения данного материала А^ в области малых длин волн
к его среднему коэффициенту поглощения в области больших
длин волн и зависит от температуры поверхности-
В природе существуют вещества с отношением AJe больше
и меньше единицы. Как правило, отношение коэффициентов
поглощения в среднем больше у красок, изготовленных на базе
окислов металлов, и меньше — у полированных металлов.
Зависимость коэффициента поглощения Ау, от длины волны,
определяющая значение отношения AJb, также различна у этих
двух групп материалов. У полированных металлов коэффициент
поглощения уменьшается с возрастанием длины волны, у красок,
образованных на базе окислов, коэффициент поглощения растет
с увеличением длины волны.
На рис. 19.16 в качестве примера приведены зависимости
коэффициента поглощения некоторых материалов (A%) от длины
волны. Как видно, изменяя тип покрытия, можно в широких
пределах изменять среднее значение А% и отношение AJe.
Однако на радиационные характеристики покрытий существенное
492

влияние может оказывать космическое излучение, особенно
ультрафиолетовое излучение в космосе.
В ряде случаев применяются двухслойные покрытия.
Например, полированная металлическая поверхность покрывается
тонким плотно прилегающим слоем стекла. При этом солнечные лучи,
проходя через стекло, отражаются от полированной поверхности,
чем обеспечивается малое значение А3. В то же время стекло
имеет большое е, и при хорошем тепловом контакте тепло хорошо
излучается поверхностью так, что температура ее остается
достаточно низкой.
Если между стеклом и поверхностью металла исключить
тепловой контакт, то инфракрасное излучение поверхности будет
задерживаться стеклом, которое будет являться экраном, и
температура поверхности повысится (тепловой эффект).
Если значение Г? должно быть установлено с высокой
точностью, этого можно добиться, покрывая участки поверхности
красками с разным отношением AJe.
Из баланса тепла в стационарных условиях на
теплоизолированной поверхности следует As,Ki + ASt(\ — Id) = оТрХ
X 1г1К1 + (1 — /У еа].
При заданных значениях ASl, Ait, ex, e2, выбирая необходимые
отношения площадей поверхностей Л\ = FJF; Къ — F\jFu
покрытых красками с различными значениями AJe, можно добиться
необходимого значения Тр.
Полученные значения Гр в действительности равны только
температуре участков поверхности теплоизоляции, так как
практически в уравнении теплового баланса можно пренебречь
отводом тепла внутрь аппарата.
19.5. ВНЕШНЯЯ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИЯ
Для теплоизоляции поверхности космических
аппаратов широкое применение получила экранно-вакуумная
теплоизоляция (ЭВТИ), представляющая собой покрытие, состоящее из
большого числа (20 ... 100) слоев пластичного материала с малым
значением степени черноты. В условиях вакуума теплопередача
через такое покрытие осуществляется лучеиспусканием и может
быть снижена до весьма малых значений. Практически ее
наименьшее значение ограничивается тем, что передача тепла через
различные элементы конструкции (тепловые мосты) становится
намного больше, чем через ЭВТИ.
Оценим влияние ЭВТИ на величину излучаемого теплового
потока. Принимая, что изоляция состоит из п слоев с
приведенной степенью черноты епр, получаем, что удельный тепловой
поток через изоляцию
Я = «яро (П, - П.)/я, (19.27)
где TWx и Тю, — температуры поверхности конструкции и
изоляции соответственно.
493

Если наружная поверхность имеет степень черноты ев и
излучает в космос, то тепловой поток от поверхности
q = ^П, (19.28)
Сравнивая уравнения (19.27) и (19.28), получаем
Поверхность без защитного экрана, но с той же степенью
черноты, излучала бы поток qa = ^aTwt. Таким образом, степень
снижения теплового потока
Я/Я0 =; епр/(епр + внл). (19.30)
Отсюда следует, что при увеличении п можно добиться
существенного снижения энергии, излучаемой через слой
теплоизоляции.
Если на поверхность аппарата падает извне некоторый
лучистый поток q„, то удельный тепловой поток при экранно-вакуум-
ной изоляции определится из выражения
4 1+(в^еир)д "'«"■ 1 + (ен/епр)«
- i + clp)» С*74-.-**)- <19-Я)
При больших значениях q„, когда qn > rhoT*Wi знак
теплового потока изменится вне зависимости от числа слоев
изоляции, т. е. поверхность будет нагреваться. Однако
результирующий поток в стенку при этом будет значительно меньше.
Из формул (19.30) и (19.31) следует, что тепловое
сопротивление ЭВТИ может быть достаточно большим при увеличении п
и уменьшении степени черноты экранов. На практике часто
применяют экраны, покрытые слоем алюминия, имеющего епр<0,1.
Более сложной задачей является уменьшение утечек тепла
из-за наличия тепловых мостов. Такими мостами являются узлы
крепления антенн, солнечных батарей, выносных приборов и др.
Поэтому в общем случае необходимо производить сложный расчет
распределения тепловых потоков по конструкции и проверять
тепловое состояние в специальных вакуумных камерах,
имитирующих космические условия.
19.6. СИСТЕМА ПЕРЕНОСА ТЕПЛА
Система переноса тепла от тепловыделяющих
элементов к радиационным поверхностям является важнейшим
элементом системы терморегулирования. Поддержание заданной
температуры внутри аппарата обычно обеспечивается
регулированием интенсивности переноса тепла.
Система переноса тепла включает в себя внутреннюю систему,
обеспечивающую распределение температуры внутри приборного
494

контейнера (между приборами и аппаратурой), и наружную
систему для передачи тепла к радиатору. Эти системы
принципиально различны для аппаратов с негерметичным и герметичным
контейнером или без контейнера вообще, когда аппаратура
работает в условиях вакуума.
Для распределения тепла внутри аппарата с герметичными
контейнерами, заполненными газом, требуется создание
принудительного газообмена, вентиляции, поскольку в условиях
невесомости отсутствует естественный конвективный теплообмен.
Рассмотрим некоторые особенности организации
принудительной системы вентиляции. Поток газа, приводимый в движение
вентилятором, проходит через канал для охлаждения приборов,
через теплообменник и возвращается к воздухозаборнику
вентилятора. В задачу расчета входит определение потребной мощности
вентилятора и герметических размеров системы.
Исходные соотношения:
мощность вентилятора
NB = И^сек Ар/л; (19.32)
отводимое тепло
Q = cppW сек (Гх — Т2) = Fuvauv (ДГэф^р = FT0aT0 (Д^эф)™- (19.33)
где NB — мощность вентилятора при секундном объемном
расходе WceK и напоре Ар; г\ — коэффициент полезного действия;
Q — количество тепла, отводимое от приборов; (7\ — Т2) —
разность температур на входе и выходе из радиатора; р —
плотность газа; FT0 и Fnp — площади поверхностей теплообменников
и приборов, участвующих в теплообмене; ато и апр —
коэффициенты теплоотдачи.
Напор Ар затрачивается на преодоление гидравлических
сопротивлений в системе. При заданных параметрах
охлаждающей системы существует максимальное значение мощности
приборов Qnp, при котором может быть осуществлено охлаждение.
При дальнейшем увеличении мощности приборов вентилятор
начнет работать на себя. Если мощность приборов мала, то доля
энергии привода вентилятора пренебрежимо мала и выбор его
определяется чисто конструктивными соображениями.
Тепло от внутреннего теплообменника или непосредственно
от приборов может передаваться к радиатору с помощью
промежуточного теплоносителя и без него. Если количество
передаваемого тепла невелико, то в качестве теплоносителя удобно
использовать газ, приводимый в движение вентилятором. При больших
количествах снимаемого тепла мощность вентилятора быстро
растет и становится целесообразным использовать жидкие
теплоносители. Главной трудностью при использовании жидких
теплоносителей является опасность их замерзания при
переохлаждении радиатора и отсутствие тепловыделения или кипения в
теплообменнике. В остальном жидкие теплоносители более удобны
благодаря компактности системы, меньшему сечению трубопро-
495

водов, значительно меньшей мощности привода и удобству
транспортировки теплоносителя на большие расстояния.
В ряде случаев, особенно для аппаратов с относительно
небольшим тепловыделением, регулирование интенсивности теплообмена
между внутренними частями аппарата и окружающей средой
может осуществляться более простыми средствами. Простейшим
примером изменения теплопередачи путем регулирования
теплопроводности является способ, при котором в двухслойной
оболочке, заполненной пористой изоляцией, создается переменное
давление газа либо изменяется величина зазора.
Другим методом является установка жалюзи или экранов,
с помощью которых можно закрывать или открывать внешнюю
поверхность аппарата и изменять при этом эффективную
поверхность излучения.
При расположении аппаратуры в вакууме теплообмен между
приборами осуществляется только путем излучения и
теплопроводности. Для правильного выбора компоновки необходимо
провести предварительный расчет сложного теплообмена между
несколькими телами, взаимно облучающими друг друга.
Для передачи тепла к внешним радиационным поверхностям
используются специальные теплопроводы, которые представляют
собой стержни из теплопроводного материала. Более
эффективным средством передачи тепла являются так называемые тепло-
передающие трубки, внутри которых тепло передается путем
испарения жидкости е горячей части и конденсации в холодной
части. Обратная подача жидкости в условиях невесомости может
быть осуществлена при использовании специальных фитилей.
Коэффициент теплопередачи в таких системах может достигать
весьма больших значений.
Рассмотренные способы регулирования теплопередачи в
космических аппаратах далеко не охватывают всех возможных
методов, используемых для этой цели. Во многих случаях
применяются системы холодильников, работающих по паровому или
газовому циклу, вихревые трубки, термоэлектрические
холодильники. Для малых аппаратов и выносных приборов часто можно
ограничиться использованием тепловых аккумуляторов,
существенно повышающих теплоемкость системы в силу скрытой теплоты
фазовых переходов.
Выбор того или иного метода определяется ограничениями,
накладываемыми массовыми и габаритными характеристиками
летательного аппарата, его энерговооруженностью и надежностью.
19.7. ОТВОД ТЕПЛА В КОСМОС
ОТ ХОЛОДИЛЬНИКОВ-ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ
Отвод тепла, выделяемого бортовыми теплосиловыми
и энергетическими установками, приборами и человеком, является
одной из важнейших задач обеспечения деятельности всего кос-
496

мического летательного аппарата. Так как космический аппарат
находится в условиях вакуума, то тепловая радиация является
единственным способом отвода тепла от летательного аппарата.
Однако при умеренных температурах количество тепла, которое
может быть отведено излучением, меньше количества тепла,
которое можно было бы отвести конвекцией с той жо самой
поверхности. Поэтому выполнить холодильник-излучатель в виде
компактных теплообменников, как. например, автомобильные
радиаторы, практически невозможно. Холодильник-излучатель
является одним из громоздких и тяжелых элементов космической
энергетической установки, масса которого может существенно
влиять на общую массу космического аппарата.
Развитие космической техники привело к разработке
большого числа разнообразных конструкций
холодильников-излучателей.
По характеру изменения теплового потока от излучающей
поверхности во времени холодильники-излучатели делятся на
стационарные и нестационарные.
В стационарных холодильниках-излучателях температура
поверхности (а следовательно, и тепловой поток) во времени не
изменяется и излучатель отдает в единицу времени одно и то же
количество тепла.
В нестационарных холодильниках-излучателях температура
поверхности периодически изменяется во времени, т, о. материал
холодильника вначале аккумулирует тепло, а затем излучает
его в космосе. Стационарные холодильники-излучатели в свою
очередь можно классифицировать следующим образом.
I. По типу теплоносителя: без теплоносителя: с жидким
теплоносителем; с газовым теплоносителем.
II. По гипу конструкции оребрения излучающих
поверхностей: без оребрения; двухреберные; многореберные.
III. По конструкции внешней формы излучателя: плоские;
цилиндрические; конические; лепестковые.
IV. По типу противометеоритной защиты: без защиты;
экранированные; секционные.
Для иллюстрации классификации холодильникоь-излучателей
на рис. 19.17 приведены различные конструкции оребрения
каналов излучающими ребрами. Например, схемы б и в позволяют
по сравнению со схемой а уменьшить опасность повреждения
излучателя метеоритами.
Различные внешние формы йзлутателей приведены на
рис. 19.18. Схемы а и б соответствуют цилиндрическому
излучателю с разным расположением каналов с теплоносителем (осевым
и спиральным), схема в — конической форме, схемы г и д —
лепестковой форме. На рис. 19.18, е показано оребрение
массивного излучающего тела цилиндрической формы, характерное для
излучателя без теплоносителя.
17 Авдуевский 497

a) ^ В) 8)
Рис 19.17. Схемы элементов холодильников-излучателей
Рис. 19.18. Формы излучателей:
а, б — цилиндрические (сплошные); в — конические; е — цилиндрические о вырезами;
д — ярехреберные; е — многореберные
На рис. 19.19 показан общий вид излучателя космической
энергетической установки, выполненный в виде плоских крыльев
из трубчато-оребренных поверхностей.
Вначале рассмотрим простейший холодильник-излучатель,
представляющий собой системы каналов без оребрения.
г 1
Рис. 19.19. Схема стационарного хо- Рис. 19.20. Схема расчета излучаю-
лоднльника-излучателя энергоустанов- щего канала
ки:
/ — излучатель; 2 — полезный груз; 3 —•
реактор; 4 — защита
498

Излучающий канал без орсбрсиия. В наиболее общем случае
(с учетом внешнего облучения) отводимое в ;>'илучате.ле тепло
от теплоносителя определяется из решения следующих уравнений
для элемента длины излучателя dx (рис.. 19.2С).
Количество тепла, отводимое, теплоносителем,
dQ1 - —QcpdTh (19.34)
где G — секундный массовый расход теплоносителя; с,, и Т,-~
теплоемкость и температура теплоносителя.
Количество тепла, воспринятое от теплоносителя стенкой
канала
dQt = a (Tf — Тш) lljdx, (19.35)
где а — коэффициент теплоотдачи; 7"ш — температуре
внутренней стенки канала; П^ — периметр пнутренней поверхности
канала; dx — элемент длины канала.
Количество тепла, передаваемое через стенку канала
теплопроводностью,
dQn = -J" {Ти - Г0) (П1-[-2яб) dx, (19.36)
где X — коэффипиент теплопроводности материала стенок
канала; б — толщина стенки канала; Тд -— температура наружной
поверхности канала.
Количество тепла, излученное наружной поверхностью,
dQt = еоофГоПа dx - QSSU2 dx, (19.37)
где П2 — периметр наружного сечения канала; Q3H — тепло,
поступающее от внешних источников (ядерное излучение,
излучение Солнца и планет, теплообмен с окружающей средой); ср —
угловой коэффициент; or—постоянная Стефана—Больцмаяа.
В стационарных условиях dQt = dQ2 = dQ, — dQt. Тогда
из уравнений (19.36) и (19.37) получим
Т Г _ - 8<тоФП2б г4 Л П* S /I Q QS\
1 w ~ l ° - X (Щ +1гсв) ' ° " Vb" 1H7+1S6) Т К •М>
или
где
Tw = Го -j- Л Го — Q.:
«м>М_. qbe^qsj—п'
*,№— 2яб)' ^ВЕ ^siJ (Hj -j- 2пб) X *
Из уравнений (19.35) и (19.36) до лучим
Г, - Tm = Щ^-1- (Tw - Т0) (19.39)
или
T, = TW + B(TU-TJ,
17* 499

где
В = % (III + 2яв)/(вП!а).
Подставляя равенство (19.38) в уравнение (19.39), получаем
Tf = To + A(\+B)T*o-QM{\+B). (19.40)
Дифференцируя выражение (19.40), будем иметь
dT, = {\+bA{\+B)T\\dT0. (19.41)
Подставляя выражение (19.41) в уравнения (19.34) и (19.37)
и учитывая, что поверхность излучателя dF2 — U.2dx, получим
- [1 + А А (1 + В) 71] йТ0 - Т\ ^dF, - QBH -g^-dft. (19.42)
Введем следующие обозначения:
с = (1 + в) а = есФ (А г—^щ- + ~) ^-; D = -^7;
= Чвн . с1 9s Qbh
¥fl — л, ' с ~ П
Gcp ' D всгф
С учетом этих обозначений уравнение (19.42) можно записатч
в виде
-£+_4сг? dT, = D dFt. (19.43)
Обозначим Tq/E = xa, тогда dT0 = El/i dx и уравнение (19.43)
примет вид
^г 4- ^£) dx = D£3'« dF0.
Интегрируя последнее уравнение в пределах от Т0 ъх до Т0 вых (или
от хвх до хВых), выражение для площади наружной поверхности
излучателя будет иметь вид
F - —
1 £-1/4 ; т р\ /4 <тр
1 !„ д Т JD ВЫХ Д ' 0 ВХ I
дрЗ/4 г.1/4 -г cl/4 I f '
^г с — ' о вых с т jsji
+^(^^-m*TJaF-)+fcta£Er+
-fcta-iT^-l. (19.44)
Выражение (19.44) с учетом граничных условий Tf = (7>)вх
при F, = 0 и Г, = (7'/)вых при FK = (/гж)„ол„ позволяет опреде-
500

лить площадь холодильника-
излучателя в наиболее общем
случае. На рис. 19.21 приведен
график, который позволяет
определить температуру
поверхности излучателя Г0 в
зависимости от температуры
теплоносителя при QBH = 0. В
случае малого влияния внешнего
облучения уравнение (19.44)
для определения площади
поверхности излучателя может
быть упрощено.
Небольшие значения
потоков внешнего облучения
соответствуют малым значениям
параметра Е. В этом случае
Т0,К
211110
1500
1000
500
/
г0>\^*>''
^с=0К'3
'<\\ 1-Ю'1'
\ \ 5-10-"
\ ;■»-'"
Г 1Q-1P
500
1000
1500
Tf,K
Рис.М9.2!. Связь температуры
поверхности излучающего канала Т0 и
теплоносителя Tf при QBH = 0 для
различных значений с = А (1 + В)
можно ограничиться первыми членами разложения в ряд типа
In (1 — а) = —а — а2/2 — а3/3, ... и
arctg а = jx/2 — На + 1/(За3) — 1/(5а5) + ... •
Тогда для малых значений £/Г* выражение (19.44) примет вид
F- =
1
D
Т
О вх
ЗГ;
О вх
Ti
+ ■
О вх
О вх
3Tt
О вых
- 1
1 +с
+ 4c In
( Ъ»
'« вх
' 0 ВЫХ
l)
+
(19.45)
При отсутствии внешнего облучения (Е = 0) уравнение (19.45)
примет более простой вид:
Fx =
8 a<j>
п,
+
еаср
З^Овх
1 4- яб/П:
' Овх
- + -LW
1 а, )
■ +
0 вых
(19.46)
Рассмотрим более частные случаи. Выражения
б
1
1
X 1 + Пб/П!
и — характеризуют температурные перепады в стенке и в
теплоносителе. Для большинства случаев, кроме конденсации пара
в канале, можно принять, что б/Я, + 1/а ~ 1/а, а следовательно,
8 0ф П. ,
величина с ex.-—— -—-. Физически это характеризует то, что для
рассматриваемых условий температурный перепад в стенке
небольшой. Для газовых теплоносителей величина с имеет порядок
10~10 ... Ю-11 К-3, для жидкостей с = 10~10 ... 10"11 К"8, для
конденсирующего пара с = 10"11 ... 10~12 K~s-
501

Влияние величины с на перепад между температурами
поверхностей излучателя Т„ и теплоносителя Tf можно определить из
рис. 19.2! и установить области практического совпадения
температур Т0 и Tf в зависимости от величины с. При малых
значениях сТ0 m Tf и в расчетах термическим сопротивлением между
теплоносителем и наружной поверхностью канала можно
пренебречь.
Величина второго члена в фигурных скобках в уравнении
(19.46) имеет порядок 10~7 ... Ю-9. Это показывает, что для
жидкостей, а тем более для пара (при технически реальных
температурах), уравнение (19.46) может быть упрощено и приведено к виду
F,
Gc-p \ г-1
З70вх
\{JJJU2J\ _ i"). (19.47)
LV '» вых / J
Здесь индекс «оэ» обозначает условие а -> оо.
Для газов практические расчеты показывают, что отношение
первого члена ко второму обычно не превышает 15 ... 25%.
Обозначим это отношение через
ЧТ" 4<- 1ч IT I'1' \
-р "•* 0 вх \ 0 ех/_0вых/ /1 q до\
*тепл — Tf /г " ~\з Г • \iy.to/
С о вт/' о вых; 1
Тогда выражение для площади поверхности излучателя можно
записать в виде
^ = ^„(?тепл + 1). (19.49)
Учитывая, что Gcv = —лр-г——-т~г\ и то, что для жидкостей
и пара коэффициент перед Т0 в выражении (19.40) настолько мал,
что можно считать Tf ~ Т0, выражение (19.47) примет вид
Р 0 1 UTfhx!(Tf)Bhlx]3 -1
eoq) 3<Tf)*x l-l(Tf)BMX/(Tf)BT]
Или, обозначив через
F ~= 1 1(г/Ьх/^)вы*]3-1
Ч 1 _ 7" /Т '
получим соотношение
F*»=P-^--J-. (19.50)
08ф 7*х V
Выражение (19.50) отличается от простейшего уравнения
Стефана—Больцмана для идеального излучателя (т. е.
излучателя с постоянной температурой по всей поверхности) только
коэффициентом F.
Так как поверхность излучателя может быть определена также
= „ О 1
по среднеиатегральнои температуре Г, то FXa> ~ — =- и
Т - (Т,)ВХ/УТ. (19.51)
502

0,8 0,7
(^)вых/('гг)ел
Рис. 19.22. Изменение площади
поверхности холодильника-излучателя в
зависимости от степени охлаждения
теплоносителя в нем
Рис. 19.23. Типичные конфигурации излучающих ребер:
а — взлучгтель космических аппаратов! 1 -~ ребра; 2 — труб;
б — профили ребер; I — прямоугольный; II — трапециевидный;
:,г 3
III -
- трубопровод;
треугольный
Изменение коэффициента F в зависимости от степени охлаждения
теплоносителя в излучателе (Tf)BUJ(Tf)BX = (Г1)аых/(Г1)вз:
показано на рис. 19.22.
Отношение температур (Tf)BUTJ(Tf)sx в реальных установках
определяется в зависимости от количества отводимого тепла из
цикла Q3 величиной расхода G, типом теплоносителя (его
теплоемкостью) и абсолютным уровнем температур.
Излучающий оребренчый канал. В заключение этого раздела
рассмотрим приближенный метод расчета оребренного
излучателя. Для большинства предварительных расчетов он является
достаточно точным и одинаково пригодным для всех типов ореб-
рения.
Методика расчета ребер была дана в гл. II. Особенность
расчета ребер для холодильников-излучателей заключается в том,
что в этом случае передача тепла от ребер в окружающее
пространство осуществляется не путем конвекции, а исключительно
излучением. Изменение количества тепла dQ в элементе dx ребра
вследствие его теплопроводности будет равно разности между
излучаемым теплом dE и теплом от внешних источников dQBR,
которое поглощается ребром (рис. 19.23).
Уравнение теплового баланса для элемента ребра можно
записать в виде
dQ - dE - dQBH, (19.52)
где QBS — тепло от внешних источников; Е — лучистый поток
тепла от холодильников в окружающее пространство.
Будем считать ребро серым телом, которое излучает тепло
в окружающее пространство с постоянным угловым коэффициен-
503

том из каждой гочкк вдоль ребра, внутри которого распределение
температуры является только функцией расстояния от его
основания (т. е. температурное поле в ребре одномерное). При этих
допущениях дифференциальное уравнение теплового баланса
(19,52) для ребра, физические свойства материала которого
постоянны, будет иметь вид
л ~ ( 6 4f ) - пащТ* + QBH = 0, (19.53)
где п — число излучающих сторон ребра (п = 1 или 2); q> —
угловой коэффициент; б — толщина ребра; X — коэффициент
теплопроводности ребра.
Рассмотрим случай трапециевидных ребер (см. рис. 19.23):
б — б0 (] — HkIL), тт б0 —толщина ребра у его основания;
В — скос (уклон) ребра. Тогда температурное поле в ребре
определится из уравнения (19.53) со следующими граничными
условиями:
Т |^о = Го; Х8 -J- \X=L = 0, (19.54)
где 7'0 — температура у основания ребра.
Условия (19.54) означают, что излучение тепла с концов ребер
считается пренебрежимо малым.
Введем следующие безразмерные параметры:
€)сх Т/То", X — x/L] А = <2вн/("огеф7о); р = пог^Т\Ь /(ХЬ0).
Тогда уравнение (19.53) и граничные условия (19.54) запишутся
в виде:
-Н(1-**)-£-]~ме*-Л) = о; 0!м=1;
(4-)^- =0. (19.55)
Количество тепла, отдаваемое ребром в окружающее
пространство, определится согласно закону Фурье:
= — Х80 ■
dT
dx
где h — ширина ребра.
Коэффициент эффективности ребра
Л
х=0
T|p = Q/Qmax, (19.56)
где Qm,aK — максимальный тепловой поток для данной геометрии
ребра при условии, что температура ребра постоянна и равна Тд.
Очевидно, максимальный теплоотвод от ребра будет при
отсутствии поглощения падающего теплового и ядерного
излучений и при равномерном распределении температуры по длине
ребра.
504

Рис. 19.24. Эффективность Ио.-j дающих ребер
В этом случае
Qmax = поецТоЫг, (19.57)
где L — длина ребра.
Коэффициент эффективности ребра можно представить с
помощью безразмерных переменных
■Пр = dS/dx \x=olp. (19.58)
В случае, если геометрия ребер и температура Тд известны,
то решение уравнения (19.55) позволяет определить эффективность
ребер. Ввиду нелинейности дифференциального уравнения (19.55)
точное его решение может быть найдено только для частных
случаев.
На рис. 19.24 приведены результаты численных расчетов на
ЭВМ эффективности излучающих ребер в зависимости от
параметра р для различных значений А и 6к/60 (где 60, 6К —
начальная и конечная толщины ребра трапецеидальной формы), по
которым для каждого конкретного случая можно выбрать
параметры ребра и определить его эффективность.
Расчеты показывают, что ребра, обладающие постоянным
градиентом температуры вдоль ребра (~т—= const), имеют
меньшую массу, чем трапециевидные при прочих равных условиях.
Однако отличие в удельной массе треугольного ребра и ребра
с постоянным градиентом температур i-z—= const ] невелико
и в среднем составляет 4 ... 6%. Учитывая также технологические
трудности изготовления сложного профиля ребра при -г— =
505

( Т*)еых
Рис. 19.25. Схема сребренного канала с двумя излучающими поверхностями
= const, на практике предпочтительнее использовать
треугольные ребра. Прямоугольные ребра значительно тяжелее
трапециевидных, тем не менее вследствие прочностных характеристик и
простоты технологии их изготовления они широко используются
в панелях холодильников-излучателей.
На рис. 19.25 представлена секция излучателя с двумя
излучающими ребрами. Рабочее тело входит в теплообменник при
температуре (Tf)sx и выходит при несколько меньшей
температуре (Т/)ъых. Этим значениям температур теплоносителя будут
соответствовать определенные значения температур наружной
поверхности канала Товх и Товых.
Предположим, что температура наружной поверхности канала
(за исключением температуры поверхности самих ребер) на
элементарной длине 6х по всему периметру канала является
величиной постоянной. (В тех случаях, когда это допущение дает
чрезмерно большую ошибку, необходимо учитывать изменение
температуры наружной поверхности по периметру канала.)
При вышепринятом допущении количество тепла,
излучаемое наружной поверхностью оребренного канала, будет
определяться уравнением
6Q
■■ еаофГоПгк 6х — (ЭвнП2 6х + 2е аофТоЩрЛр 6х, (19.59)
где П2К — периметр наружной излучающей поверхности канала;
П2р — периметр наружной излучающей поверхности ребра;
П2 = П2К + 2П2р — полный периметр наружной излучающей
поверхности оребренного канала; tip — эффективность ребра.
Последний член в уравнении (19.59) учитывает излучение
ребристой поверхности. Выражение (19.59) приведем к виду
6Q = (ea0q>7l - Q3H)
П2к + П2,
4-2Qbh/0Wo)
i-Qbh/(«Vpt1)
dx. (19.60)
506

Обозначим множитель
П.+ П.'^-У^-П.. (19.6.)
называемый эквивалентным периметром оребренного канала.
Тогда уравнение (19.60) можно записать в виде
dQ = (еаофТс - QBK) U2sdx. (19.62)
Из уравнений (19.62) и (19.37) следует, что введение понятия
эквивалентного периметра П2Э позволяет представить уравнение
(19.59) для оребренного канала в форме, аналогичной
уравнению (19.37) для неоребренного канала.
Эквивалентный периметр оребрения канала П2Э
соответствует периметру неоребренного канала, который излучает при
постоянной температуре Т0 по всей поверхности такое же
количество тепла, какое излучает оребренный канал с действительным
периметром П2 = П2К + 2П2р и постоянной температурой по
ребрам.
Таким образом, для расчета оребренного излучателя мськно
воспользоваться вышеизложенной методикой для простейшего
неоребренного излучателя, заменив во всех вышеприведенных
уравнениях наружный периметр канала эквивалентным
периметром. Система уравнений (19.34) и (19.37) может быть
аналитически решена только для случая, когда П2Э по длине излучателя
не изменяется, т. е. когда П3э = const. На самом же деле П2Э
зависит от Т0 и, следовательно, изменяется по длине излучателя.
Однако в большинстве практических случаев величина
эквивалентного периметра П2э изменяется незначительно от одного конца
радиатора к другому и поэтому в первом приближении может
быть принята постоянной. Если же изменение эквивалентного
периметра по длине излучателя существенно, то расчет
необходимо производить по участкам. Для этой цели весь холодильник-
излучатель условно разбиваемся на ряд секций, каждую из
которых необходимо рассчитывать отдельно.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каким тепловым воздействиям подвергается летательный аппарат
в космосе?
2. Что понимается под собственным излучением планеты?
3. Как определяется лучистый поток солнечной энергии, отраженный
планетой?
4. Напишите основные соотношения, определяющие нагрев поверхности
аппарата в результате соударения с молекулами н атомами атмосферы.
5. В чем заключается терморегулирование летательного аппарата прн
полете в космосе?
6. Какие требования предъявляются к оптическим свойствам поверхностей
космических аппаратов?
507

7. Назовите основные системы и способы переноса тепла внутри
космического аппарата.
8. Назовите основные схемы и формы холодильников-излучателей.
9. Напишите основные уравнения, описывающие перенос тепла в
излучающем канале холодильника.
10. Напишите дифференциальное уравнение переноса тепла для
излучающего ребра.
11. От каких параметров зависит эффективность излучающего ребра?
12. Что такое эквивалентный периметр излучающего ребра?
13. От каких основных параметров зависит поверхность холодильника-
изучателя?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 824 с.
2. Авдуевский В. С, Антонов Б. М., Анфимов Н. А, Основы теории полета
космических аппаратов. М.: Машиностроение, 2972. 345 с.
3. Беляев Н. М., Рядно А. Л. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая
школа, 1982. 304 с.
4. Галнцейский Б. М. Теплопередача в авиационных двигателя». М.: МАИ,
1985. 82 с. .
5. Головнев Н. Ф. Радиационный теплоперенос в высокотемпературным газаж.
М.: Энергоатомиздат, 1984. 256 с.
7. Дрейцер Г. А. Конвективный теплообмен в каналах: Учеб. пособ. М.: МАИ,
1984. 77 с.
8. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И. Гидродинамика и тепломассообмен иа
проницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984. 276 с.
9. Исаченко В. П., Осипов В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергия,
1975. 424 с.
10. Краснов Н. Ф. Аэродинамика: Методы аэродинамического расчета. Ч. 2.
М.: Высшая школа, 1980. 416 с.
П. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука,
1982. 280 с.
12. Кутателадзе С. С, Накоряков В. Е. Теплообмен и волны в газожидкостныж
системах. Новосибирск: Наука, 1984. 320 с.
13. Крэйт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512 с.
14. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потока»
газа. М.: Наука, 1982. 312 с.
15. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
16. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Свободно-конвективный теплообмен:
Справочник. Минск: Наука и техника, 1982. 400 с.
17. Методы расчета сопряженных задач теплообмена/Э. К- Калинин, Г. А.
Дрейцер, В, В. Костюк, И. И. Берлин. М.: Машиностроение, 1983. 232 с.
18. Методы расчета турбулентных течений/Под ред. В. Колльмана. М.: Мир,
1984. 464 с.
19. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике/
В. С. Авдуевский, Б. М. Галнцейский, Г. А. Глебов и др. М.:
Машиностроение, 1975. 624 с.
20. Себеси Г., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и
вычислительные методы. М.: Мир, 1987. 592 с.
21. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов/ Б. М. Га-
лицейский, Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, В. К. Кошкин. М.:
Машиностроение, 1975. 272 с.
22. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. 544 с.
23. Шлихтняг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.
24. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое
сопротивление. М.: Энергия, 1977. 112 с.
25. Юдаев Б. Н. Техническая термодинамика: Теплопередача. М.: Высшая
школа, 1988. 479 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Абсолютно черное тело 286, 287
Аналитический метод 88
Аналогия гидротепловая Рейнольдса 9
Б
Безразмерные комплексы 68
В
Взаимная поверхность излучения 297
Внутренние источники тепла 50
Вынужденное движение И, 59
Г
Гидравлическое сопротивление 337
Гидродинамический пограничный слой 220
Гидродинамическая теория кризиса 256
Гидротепловая аналогия 70
Градиент температуры 15
Граничные условия 26, 104
Д
Движение осредненное 153
— пульсациоиное 153
Дисперсный режим пленочного кипения 270
Диссипация турбулентной энергии 395
Диффузия 180
3
Закон Вина 287
— Кирхгофа 292
для газов 310
— Ламберга 288
— Ньютона 27
— Ньютона при наличии химических реакций 188
— Планка 287
— Стефана — Больцмана 287
— Фика 179
— Фурье 17
И
Идеальный газ 19
Излучение абсолютно черного тела 287
— реальных тел 292
— спектральное 285
— эффективное 292
Изотермические поверхности 17
Интегральная степень черноты 291
Интегральное излучение 285
К
Калорическая яркость 285
Капельные жидкости 224
Кипение пленочное 263
— пузырьковое 247
510

Конвекция вынужденная 11
— свободная 59, 195
Конвективный теплообмен 12
Конденсация 274
— капельная 275
— пленочная 274
Коэффициент аккомодации 420
— восстановленяя 130
— гидравлического сопротивления 337
— динамической вязкости 108
— диффузия 179
— излучения 305
— конвекции 204
— облученности 296
— объемного расширения 65
— поглощения 306
— рассеяния 306
— гамооблучения 298
— температуропроводности 18
— теплоотдачи 27
— теплопередачи 31
— теплопроводности 18
Краевые условия 62
Кривая кипения 265
Кризис кипения пленочного 263
пузырькового 253
Критериальные уравнения 69
Критерий Био 83
— Грасгофа 68
— Дамкелера 186
— Кнудсена 417
— Льюиса 182
— Маха 69
— Нуссельта 68
— Пекле 68
— Прандтля 71
— Рейнольдса 68
— Рэлея 72
— Фруда 71
— Фурье 68
— Шмидта 182
— Эйлера 68
Критический радиус тепловой изоляции 39
Л
Ламинарная свободная конвекция 60
Ламинарный пограничный слой 109
— подслой 198
Линия растекания 357
Локальное подобие 80
Лучистый теплообмен 282
М
Масштаб турбулентности 393
Межконтактные зазоры 319
Метод регулярного режима 96
Моделирование 77
Н
Нестационарная теплопроводность 82
Неявный метод 95
Номинальная площадь контакта 319, 321
511

о
Объемное тепловыделение 50
Оператор Лапласа 22
Определяющая температура 74
Определяющий размер 73
Оптические свойства 312
Основной закон теплопроводности 17
Относительный шаг шероховатости 374
Отражательная способность 286
Отрывные зоны 378
П
Параметр теплообмена 116
— трения 116
Перегрев пара 239
Переходное кипение 257
Пленочное кинение 263
Плотность потока излучения 284
Поглощательная способность 286
Пограничный слой 108
ламинарный 109
тепловой 220
— — турбулентный 158
Подобие физических процессов 77
Поле физической величины 13
— температурное 13
Полная энтальпия торможения 183
Пробег свободный 416
Пузырьковое кипение 242
Путь перемешивания 156
Р
Размер определяющий 73
Разреженные газы 416
Регулярные тепловые режимы 96
Режим промежуточный 417
— свободномолекулярный 419
С
Свободная гравитационная конвекция 195
Серое тело 290, 291
Скачок температуры 424
Скорость скольжения 424
Совершенный газ 112
Спектральная интенсивность излучения 304
— степень черноты 290, 314
— яркость излучения 285
Спектральное излучение 285
Степень черноты газового объема 315
Структура турбулентного пограничного слоя 1
Сублимация 471
Т
Темп нагрева (охлаждения) 97
Температура определяющая 73
— торможения 107, 114
Температуропроводность 18
Температурное поле 13
Температурный градиент 15, 16
Теоремы подобия 64
Тепловое излучение 283
Тепловой пограничный слой 220
612

— поток 13
— экран 300
Теплоемкость полная 193
Теплозащитное покрытие 467
Теплообмен в замкнутых емкостях 209
— конвективный 11
— лучистый 12
Теплообменники 332
Теплообменные аппараты 332
Теплоотдача 12, 13
Теплопередача 10, 13
Теплопроводность 10
Теплота образования 181
Термическое сопротивление контактное 327
плоской стенки 31
теплопередачи 36
Трехмерные зоны 384
Турбулентная вязкость 155
— теплопроводность 155
Турбулентный пограничный слой 158
У
Уравнение движения (Навье — Стокса) 62
— неразрывности 62
— осредиеиного турбулентного движения 153
— переноса излучения 309, 310
— пограничного слоя 112
— Рейнольдса 156
— состояния 62
— теплопроводности 21—25
— энергии 66
Условия однозначности 25
Ф
Фактическая площадь контакта 319
Формула Саттерленда 112
Ч
Численные методы 91
Число Якоба 259
Ш
Шероховатость допустимая 373
Э
Экран 300, 301
Эффективная теплопроводность 204
— энтальпия теплозащитного материала 468
Я
Явный метод 92
Яркость излучения 285
513

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 3
Основные обозначения 4
Глава I. Введение в курс теплопередачи 7
1.1. Историческая справка 7
1.2. Виды теплообмена 10
1.3. Оснонные понятия и определения 13
Вопросы для самопроверки 16
Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме 17
2.1. Основной закон теплопроводности 17
2.2. Вывод основного дифференциального ураннения
теплопроводности . 21
2.3. Уравиенне теплоотдачи (условия однозначности) ... 25
2.4. Плоская стенка 28
2.5. Цилиндрическая стенка 34
2.6. Критический диаметр тепловой изоляции трубопровода 38
2.7. Шаровая стенка 40
2.8. Стержень бесконечной длины 42
2.9. Стержень конечной длины 44
2.10. Круглые плоские ребра 45
2.11. Тела сложной формы 48
2.12. Теплопроводность при объемном тепловыделении
(qv¥=0) 50
2.12.1. Бесконечная плоская пластина 50
2.12.2. Бесконечный цилиндр 53
2.13. Плоская стенка с переменным коэффициентом
теплопроводности . 54
Вопросы для самопроверки 57
Глава III. Применение теории подобия к исследованию процессов
тепло- и массообмена 58
3.1. Основные понятия и определения 58
3.2. Дифференциальные уравнения и краевые условия для
конвективного теплообмена 60
3.3. Подобие физических процессон 63
3.4. Анализ постановки задачи конвективного теплообмена
методом подобия 65
3.5. Критерии подобия и критериальные ураннения .... 69
3.6. Определяющий размер и определяющая температура 73
3.7. Услония подобия физических процессов ....... 77
3.8. Моделирование 77
Вопросы для самопроверки 80
Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме 81
4.1. Общие сведения 81
4.2. Постановка задачи нестационарной теплопроводности . . 82
514

4.3. Теория подобия в применении к дифференциальному
уравнению теплопроводности 82
4.4. Аналитический метод решения (метод Фурье) .... 88
4.5. Численные методы решения задач нестационарной
теплопроводности 91
4.5.1. Явный метод 92
4.5.2. Неявный метод 95
4.6. Регулярные тепловые режимы 96
4.7. Нестационарная теплопроводность при объемном теп-
лоныделении 102
4.8. Граничные условия 4-го рода 104
Вопросы для самопроверки 106
Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен 107
5.1. Общие сведения 107
5.2. Пограничный слой 108
5.3. Дифференциальные уравнения ламинарного
пограничного слоя 109
5.4. Вторая форма уравнения энергии 114
5.5. Теория подобия в применении к уравнениям
пограничного слоя 115
5.6. Интегральные характеристики пограничного слоя . . 117
5.7. Теплообмен при малых скоростях в пограничном слое
несжимаемой жидкости 123
5.8. Распределение температуры и скорости в пограничном
слое при больших скоростях потока . 127
6.8.1. Теплоизолированная поверхность при Рг = 1 129
5.8.2. Распределение температуры в пограничном слое
на теплоизолированной поверхности при Рг Ф 1 130
5.8.3. Распределение температуры в пограничном слое
сжимаемого газа на пластине при теплообмене 131
5.9. Коэффициент теплоотдачи при больших скоростях . . 132
5.10. Связь между трением и теплоотдачей 132
5.11. Теплообмен при течении вдоль плоской пластины ... 134
5.12. Расчет теплообмена в пограничном слое на пластине 135
5.13. Расчет теплообмена при переменном давлении вне
пограничного слоя 138
5.14. Расчет теплообмена при произвольном продольном
распределении давления (метод эффективной длины) ... 143
5.15. Частные случаи течения и примеры расчета 145
Вопросы для самопроверки 148
Глава VI. Турбулентный конвективный теплообмен 149
6.1. Общие сведения 149
6.2. Переход ламинарного течения в турбулентное .... 149
6.3. Осредненное и пульсационное движения 153
6.4. Дополнительные вязкость и теплопроводность осред-
ненного движения в турбулентном потоке 154
6.5. Теория пути перемешивания 156
6.6. Структура турбулентного пограничного слоя .... 158
6.7. Коэффициент восстановления температуры 161
6.8. Турбулентный теплообмен иа плоской пластине. . . 163
6.8.1. Связь между трением и теплообменом 163
6.8.2. Теплообмен и трение и несжимаемой жидкости 164
6.8.3. Турбулентный теплообмен и трение на
пластине в сжимаемом газе 165
6.8.4. Расчет теплообмена и трения на пластине . . . 167
6.9. Расчет турбулентного теплообмена в потоке с
продольным градиентом давления 168
6.10. Частные случаи течения 170
515

6.10.1. Распределение скорости вне пограничного слоя . . 170
6.10.2. Примеры расчета при различных законах
распределения скорости 172
6.10.3. Обобщение экспериментальных данных 174
Вопросы для самопроверки 175
Глава VII. Конвективный теплообмен при химических реакциях. . 176
7.1. Общие сведения 176
7.2. Основные определения 176
7.3. Основные уравнения ламинарного пограничного слоя 179
7.4. Элементы химической кинетики 184
7.4.1. Гомогенные газовые химические реакции ... 184
7.4.2. Химические равновесные и вамороженные
течения 186
7.5. Методы расчета теплового потока в пограничном слое 187
Т.6. Метод полных коэффициентов для химически
равновесных течений 191
Вопросы для самопроверки 194
Глава VIII. Теплообмен при свободной конвекции 195
8.1. Основные положения 195
8.2. Теплоотдача в большом объеме 198
8.2.1. Вертикальная стенка 198
8.2.2. Горизонтальные поверхности 201
8.2.3. Наклонные поверхности 203
8.3. Теплоотдача жидкости в ограниченном пространстве . . 204
8.3.1. Горизонтальные прослойки 204
8.3.2. Вертикальные прослойки 206
8.4. Процессы теплообмена при заполнении и
опорожнении замкнутых емкостей 209
8.4.1. Методика расчета процесса заполнения емкости
газом и вытеснения из нее жидкости 209
8.4.2. Картины течения 211
8.4.3. Теплообмен в газовой подушке 213
8.5. Тепловая стратификация в вертикальных
цилиндрических емкостях 217
Вопросы для самопроверки 219
Глава IX. Особенности конвективного теплообмена в.каналах. . . 220
9.1. Общие сведения 220
9.2. Теплообмен в трубах при течении теплоносителей с
переменными по сечению теплофизическими свойствами 223
9.2.1. Капельные жидкости 224
9.2.2. Газы 226
9.3. Интенсификация теплообмена 229
9.4. Теплообмен в каналах иекруглого сечения 235
Вопросы для самопроверки 237
Глава X. Теплообмен при кипении и конденсации 238
10.1. Основные понятия и определения 238
10.2. Рост пароных пузырей н большом объеме чистой
перегретой жидкости 242
10.3. Рост паровых пузырей на поверхности нагрева при
кипении 243
10.4. Диаметр паровых пузырей при отрыве от стенки и
частота их отрыва 245
10.5. Теплоотдача при пузырьковом кипении в большом
объеме 247
10.6. Режимы теплосъема при парообразовании в
условиях свободной конвекции 250
516

10.7. Кризис пузырькового кипения 253
10.8. Переходное кипение 257
10.9. Кризис пленочного кипения 263
10.10. Расчет кривой кипения 265
10.11. Пленочное кипение в большом объеме 267
10.12. Пленочное кипение при вынужденном течении в
каналах 268
10.13. Теплообмен при конденсации пара 274
10.14. Теплоотдача при пленочной конденсации
неподвижного пара в гравитационном поле 278
Вопросы для самопроверки 281
Глава XI. Лучистый теплообмев 282
11.1. Основные понятия и определения 282
11.2. Излучение абсолютно черного тела 287
11.3. Излучение реальных тел 289
11.4. Закон Кирхгофа для непрозрачных тел 292
11.5. Теплообмен между двумя параллельными
поверхностями 293
11.6. Теплообмен между двумя абсолютно черными
поверхностями, произвольно расположенными в
пространстве 295
11.7. Теплообмен между телом и его оболочкой 298
11.8. Влияние экрана на лучистый теплообмен 300
11.9. Излучение и поглощение газов 302
11.10. Радиационные свойства газов 304
11.11. Уравнение переноса излучения 309
11.12. Закон Кирхгофа для газов 310
11.13. Оптические свойства газовых сред ". 312
11.14. Эквивалентная толщина слоя излучающего и
поглощающего газа 315
Вопросы для самопроверки 318
Глава XII. Контактный теплообмен 319
12.1. Теплофизйческие особенности 319
12.2. Термическое сопротивление плоского контакта . . . 321
12.3. Термическое контактное сопротивление коаксиальной
цилиндрической пары 327
12.4. Регулирование термического сопротивления 329
Вопросы для самопроверки 331
Глава XIII. Тепловой и гидравлический расчет теплообмениых
аппаратов 332
13.1. Основные схемы авиационных и ракетных теплообмеи-
ных аппаратов 332
13.2. Теплоносители 335
13.3. Гидравлический расчет 336
13.4. Тепловой расчет 339
13.4.1. Изменение температуры теплоносителей и
стенки по длине канала 339
13.4.2. Температура стенки в произвольном сечении 343
13.4.3. Температурный напор 343
13.5. Теплопередающие трубы как теплообменные аппараты 345
Вопросы для самопроверки 352
Глава XIV. Теплообмен на поверхностях летательных аппаратов при
трехмерном обтекании 353
14.1. Течение в трехмерном пограничном слое 353
14.2. Выбор системы координат 355
517

14.3. Дифференциальные ураннения трехмерного
пограничного слоя на криволинейной поверхности 356
14.4. Линии растекания 357
14.5. Расчет теплообмена на линиях растекания при
ламинарном течении 358
14.5.1. Теплообмен по линии растекания на конусе. . 358
14.5.2. Теплообмен по линии растекания на кромке
стреловидного крыла под углом атаки .... 360
14.5.3. Расчет теплообмена в окрестности трехмерной
критической точки 362
14.6. Расчет теплообмена на криволинейной поверхности при
ламинарном течении 363
14.7. Расчет теплообмена при трехмерном обтекании тел
и турбулентном течении в пограничном слое .... 365
14.7.1. Передняя кромка стреловидного крыла или
цилиндр со скольжением 366
14.7.2. Турбулентный теплообмен н окрестности
линии растекания иа остром конусе 368
Вопросы для самопроверки 370
Г л а н а XV. Теплообмен на шероховатой поверхностк и в отрывных
зонах 371
15.1. Теплообмен на шероховатой поверхности 371
15.2. Соотношение между сопротивлением и теплообменом 376
15.3. Течение среды и теплообмен в отрывных зонах,
образующихся перед препятствиями 378
15.4. Двухмерные отрывные зоны 379
15.5. Тепловые потоки внутри циркуляционной зоны . . . 382
15.6. Трехмерные зоны 384
15.7. Геометрические размеры отрывных зон 386
15.8. Двухмерные отрывные зоны, образующиеся за
уступом 388
15.9. Теплообмен внутри циркуляционной зоны 390
15.10. Влияние на теплообмен турбулентности внешнего
потока 392
Вопросы для самопроверки 396
Глава XVI. Радиационно-конвективный теплообмен в
высокотемпературных газовых потоках 397
16.1. Общие сведения 397
16.2. Система дифференциальных ураннений 398
16.3. Уравнения для радиационного теплового потока и его
дивергенции 400
16.4. Радиационно-конвективный теплообмен в
окрестности передней критической точки затупленного тела . . 404
16.5. Приведение системы дифференциальных ураннений
ламинарного пограничного слоя к безразмерному ниду 406
16.6. Численный метод решения системы уравнений
пограничного (ударного) слоя 407
16.7. Результаты расчета радиационно-коннектинного
теплообмена при полете летательных аппаратов с
гиперзвуковыми скоростями 410
16.8. Программа и ее символика 413
Вопросы для самопроверки 415
Глава XVII. Теплообмен при полетах в разреженном газе 416
17.1. Газ как совокупность отдельных молекул 416
17.2. Области течения газа 417
17.3. Свободно-молекулярное течение 419
518

17.4. Течение в переходной области 424
Вопросы для самопроверки 426
Глава XVIII. Тепловая защита летательных аппаратов и их
энергетических установок 427
18.1. Способы тепловой защиты 427
18.2. Пористое охлаждение 435
18.3. Заградительное охлаждение поверхностей 444
18.4. Комбинированные системы охлаждения лопатон
газовых турбин 456
18.5. Теплозащитные покрытия 467
Вопросы для самопроверки . 477
Глава XIX. Тепловые режимы космических аппаратов 478
19.1. Общие сведения 478
19.2. Внешние источники тепла 478
19.3. Терморегулирование космических аппаратов 489
19.4. Выбор оптических коэффициентов наружных
поверхностей летательных аппаратов 491
19.5. Внешняя теплоизоляция 493
19.6. Система переноса тепла 494
19.7. Отвод тепла в космос от холодильников-излучателей 496
Вопросы для самопроверки 507
Список литературы 509
Предметный указатель 510

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Авдуевский Всеволод Сергеевич,
Галицейский Борис Мефодиевич,
Глебов Геннадий Александрович и др.
ОСНОВЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В АВИАЦИОННОЙ
И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ
Редактор Г. Д. Журавлева
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технический редактор Л. А. Макарова
Корректоры О. Е. Мишина, А. П. Сизова
ИБ № 6881
Сдано в набор 12.12.90. Подписано в печать 17.05.91. Формат 60X90/16.
Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная.
Уол. печ. л. 33,0. Усл. кр.-отт. 33,0. Уч.-нзд. л. 34,05. Тираж 1550 вкз.
Заказ 204. «С»
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиноотроенне»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано в типографии НИИ "Геодезия" г. Красноарменск, Моск. обл., с диапозитивов,
изготовленных в типографии м« 6 ордена Трудового Красного Знамени издательства
"Машиностроение" при Министерстве печати и информации Российской Федерации. 193144,
Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10
Зак. ()65т

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Издательство «Машиностроение»
ежегодно выпускает книги по специальным вопросам
машиностроения, тиражи которых определяются на
основании предварительных заказов покупателей.
Своевременный предварительный заказ
экономит время и гарантирует приобретение нужной
книги.
Издательство «Машиностроение» просит
отдельных покупателей, научные учреждения,
предприятия, учебные заведения, библиотеки и другие
организации сделать заказы на специальную
литературу по машиностроению в магазинах, торгующих
технической книгой.
В 1992 г. издательство планирует
выпустить следующие книги:

Когге Ю. К-
Основы надежности авиационной техники
Учеб. пособие для студентов авиационных техникумов.
— М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 10 л.: ил. —
ISBN 5-217-01363-Х (в обл.):
Изложены основные вопросы теории надежности. Рассмотрен
физический смысл закономерностей, обеспечения надежности и
качества изготовления изделий, способы обеспечения и анализ
показателей надежности, комплексная система управления
качеством.
Мазурский М. И., Меерович Г. Ш.,
Степаненко А. Н.
Сертификационные испытания самолетов.
— М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 10 л.: ил. —
(Справ, б-ка авиац. инж.-испытателя). —
ISBN 5-217-01226-9 (в обл.):
Описаны задачи, процедуры и методы сертификационных
испытаний гражданских самолетов, основные принципы нормирования
летной годности и сертификации воздушных судов в
отечественной и зарубежной практике. Изложены особенности оценки
показателей летной годности для взлетно-посадочных и крейсерских
режимов полета, а также специфика комплексной оценки таких
показателей при отказах функциональных систем самолетов.
Для инженеров-испытателей, летчиков-испытателей,
работников авиационных ОКБ и НИИ.

Л. А. Буриченко, В. Г. Ененков,
А. С. Протоерейский и др.
Охрана окружающей среды в гражданской авиации
Учебник для вузов гражданской авиации.
— М.: Машиностроение, 1991 (III). — 20 л.: ил. —
ISBN 5-217-01358-3 (в пер.):
Изложены огранизационные и правовые вопросы управления
охраной окружающей среды, способы защиты от загрязнения
атмосферного воздуха, почв и водоемов. Рассмотрены методы
ограничения воздействия на окружающую среду шума самолетов,
звукового удара, электромагнитных полей, инфразвуковых волн,
вопросы безотходной технологии производства, экономической
эффективности природоохранных мероприятий в гражданской
авиации.
Синяков А. #., Шаймарданов Ф. А.
Системы автоматического управления ЛА
и их силовыми установками
Учебник для студентов авиационных вузов.
— М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 20 л.: ил. —
ISBN 5-217-01360-5 (в пер.):
Приведено математическое описание летательных аппаратов
(ЛА) и их силовых установок как объектов управления.
Рассмотрены законы управления и принципы построения систем
управления. Большое внимание уделено цифровым системам и системам
комплексного интегрального управления ЛА и их силовыми
установками. Изложены требования к авиационным приборам,
системам и комплексам, использующимся при управлении ЛА и их
силовыми установками.

И. М. Дементьев, И. А. Духовский,
П. И. Ковалев и др.
Обтекание баллистических объектов.
Визуализация сверхзвуковых течений
Альбом
— М.: Машиностроение, 1991 (IV). —25 л.: ил. —
ISBN 5-217-01352-4 (в пер.):
В альбоме рассмотрены технические возможности
баллистического эксперимента для решения задач газовой динамики.
Приведены описания оригинальных методик исследования
физических процессов, сопровождающих высокоскоростной удар,
движение в двухфазных средах, групповое движение тел,
сверхзвуковые течения в криволинейных каналах. Изложение методик
сопровождается большим количеством иллюстраций.
Для научных работников, занимающихся исследованиями
быстропротекающих газодинамических процессов, аэродинамикой
и теплофизикой.
Коротеев А. С, Миронов В. М.,
Свирчук Ю. С.
Плазмотроны.
Конструкция, характеристики и расчет
— М.: Машиностроение, 1991 (II). — 18 л.: ил. —
ISBN 5-217-01342-7 (в пер.):
Рассмотрены схемы, конструкция и характеристики
электродуговых плазмотронов различного типа, обладающих широким
диапазоном параметров. Приведены новые оригинальные
результаты исследования физических процессов в плазмотронах и
методы расчета их тепловых и электрических характеристик.
Описаны трехфазные плазмотроны типа «Звезда».
Для инженеров авиационной и ракетно-космической техники.
Книга будет также полезна инженерам, специализирующимся
в плазмохимии, плазмометаллургии, технологии нанесения
покрытий.

A. M. Бутко, В. Д. Кулиев,
Ю. Н. Новичков и др.
Стохастическая термодинамика
многослойных конструкций
— М.: Машиностроение, 1991 (III). — 22 л.: ил. —
ISBN 5-217-01197-1 (в пер.):
Рассмотрены вопросы теплопроводности и термоупругости
сложных неоднородных конструкций. Изложены методы
численного расчета спектральных характеристик случайных полей
температурных напряжений для широкого круга прикладных задач.
Дается оценка долговечности оболочечнои системы в торцевой
зоне.
Для научных работников, занимающихся вопросами
прочности и долговечности многослойных конструкций в авиационной
и ракетно-космической технике.
Макаренков А. Г., Солоноуц В. А.,
Алпаидзе 3. Г.
Конструкция и прочность ракетных двигателей
твердого топлива
— М.: Машиностроение, 1991 (II). — 18 л.: ил. —
ISBN 5-217-01351-6 (в пер.):
Рассмотрены методы расчета, конструирования и
экспериментальной обработки ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ)
на прочность с учетом упруго-пластического деформирования
металлических и композитных материалов при повышенных
уровнях силовых и температурных воздействий. Предложены
методики и алгоритмы расчетов несущих узлов РДТТ.
Для научных работников, занимающихся вопросами
строительной механики и прочности тонкостенных конструкций ЛА.

Е. А. Яковлев, К- И. Гусев, Р. В. Медведева и др.
Метрологическое обеспечение, взаимозаменяемость,
стандартизация
Учеб. пособие для студентов авиационных специальностей
вузов.
— М.: Машиностроение, 1991 (III). — 20 л.: ил. —
ISBN 5-217-01335-4 (в пер.):
Изложены вопросы метрологического обеспечения различных
видов измерений с использованием
информационно-измерительных систем, микропроцессорной техники и автоматического
контроля в условиях гибких автоматизированных производств.
Приведена действующая нормативно-техническая
документация: государственные и отраслевые стандарты и технические
условия, руководящие и методические материалы.
Гиршович Т. А.
Турбулентные струи в поперечном потоке
— М.: Машиностроение, 1991 (II). — 15 л.: ил. —
ISBN 5-217-01349-4 (в обл.):
Рассмотрены физические модели течения в круглых, плоских
и веерных струях, развивающихся в безграничном и
ограниченном поперечном потоках. Приведены их осредненные и пульса-
ционные характеристики. Даны методики расчета задач на
начальном, переходном и основном участках струй несжимаемой
жидкости, переменной плотности и двухфазных струй.
Предложены модели выноса газообразной и твердой примесей из струи
в поперечный поток.
Для научных работников, занимающихся проблемами
сложных струйных течений в авиационной и ракетно-космической
технике.

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
С целью получения информации о качестве наших
изданий просим в предлагаемой анкете подчеркнуть позиции,
соответствующие оценке книги «Теплопередача в
охлаждаемых деталях газотурбинных двигателей» авторов В. И. Ло-
кая, М. Н. Бодунова, В. В. Жуйкова, А. В. Щукина
1. В книге существует: острая необходимость,
значила тельная потребность, незначительная потребность
<и 2. Эффективность книги с точки зрения практического
^ вклада: весьма высокая, высокая, сомнительная, не-
о значительная
к 3. Эффективность книги с точки зрения теоретического
* вклада: весьма высокая, высокая, сомнительная, не-
s значительная
""* 4. Книга сохранит свою актуальность: один—два года,
до пяти лет, длительное время
5. Название книги соответствует содержанию: в полной
мере, частично, слабо

Просьба: по линии отреза отрезать страницу и
выслать в издательство «Машиностроение» по адресу: 107076,
Москва, Стромынский пер., д. 4, сообщив о себе следующие
сведения
Фамилия, имя, отчество
образование ученое звание
специальность и стаж работы по специальности
должность и место работы
домашний адрес